Metoda graficzna układu równań - matura-podstawowa - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Metoda graficzna układu równań - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Wyznaczanie wzoru funkcji

Rozwiązywanie układu dwóch równań liniowych za pomocą metody graficznej polega na narysowaniu dwóch wykresów funkcji liniowej i znalezienia ich punktu wspólnego. Dokładnie czym jest funkcja liniowa, możesz przeczytać w osobnym dziale. Przypomnijmy jedynie, że wzór ogólny na funkcję liniową to:

$y=ax+b$

Gdzie:

x, y – współrzędne

a, b – współczynniki (dowolne liczby rzeczywiste)

Zatem, żeby zastosować interpretację graficzną, potrzebujemy doprowadzić układ równań do postaci:

img01
Zatem naszym zadaniem głównym jest wyznaczenie y z obu wzorów. Pokażemy to teraz na przykładzie.
 

  • img02

    Robimy krok po kroku

    1. Przenieś y na lewą stronę (zamieniając znak), jeśli jest po lewej stronie to przejdź do kroku 2,

    2. Przenieś wszystko poza y na stronę prawą pamiętając o zmianie znaku,

    3. Podziel całe równanie przez liczbę stojącą przy y jeśli jest różna od 1

    4. Powtórz kroki 1-3 dla drugiego równania

    Zaczynamy, krok 1:

    img03
    y jest po lewej stronie w obu równaniach, więc przechodzimy do kroku 2.

    img04
    Jak widać $2x$ i $4x$ zostało przeniesione i zmieniliśmy im znak na $-2x$ i $-4x$

    Mamy już same y po lewej stronie, zatem krok 3:

    img05
    Dzielimy każdy składnik równania czyli liczby oddzielone +,- lub =

    img06
    Mamy już nasz y w obu równaniach

    img07
    Zróbmy drobną korektę (zamieńmy miejscami x z drugą liczbą)

    img08

Uzyskaliśmy w ten sposób dwa wzory funkcji, dzięki którym narysujemy dwa wykresy. Zanim jeszcze to zrobimy potrzebujemy wykonać tabelki.

Tabele funkcji

Aby narysować wykres dowolnej funkcji liniowej potrzebujemy dwóch dowolnych punktów, czyli musimy wybrać dowolny x i obliczyć dla niego y. Ważne przy wyborze x jest, aby jak najłatwiej policzyć y. np.

$y=4x-7$

możemy wybrać $x=0$, wtedy $y=-7$

czy $x=2$ wtedy $y=8-7=1$

Przejdźmy więc do naszego przykładu, przypominam, że ma on postać:

img08

Zajmijmy się pierwszym równaniem: $y=-x+3$

Rysujemy pierwszą tabelkę:

 
x 0 1
y    

0,1 to dwie dowolnie wybrane liczby

Teraz podstawiamy nasze x w $y=-x+3$

Dla ułatwienia pokażę ten proces na tabelce

x 0 1
y y=-0+3 y=-1+3

Zatem ostatecznie:

x 0 1
y 3 2

Zróbmy tak samo dla drugiego równania: $y=2x-3$ przy tych samych x

x 0 1
y $y=2×0-3$ $y=2×1-3$
x 0 1
y $-3$ $-1$

Mamy już nasze tabelki, więc możemy przejść do ostatecznego tworzenia wykresów.

Tworzenie wykresów

x 0 1
y 3 2

Tabelka x/y oznacza dwa punkty przez które będzie przechodzić funkcja liniowa.

Mamy punkty:

A(0;3)

B(1;2)
 

Kolejnym krokiem jest zaznaczenie ich na układzie współrzędnych i połączenie linią.

wykres1

Przejdźmy teraz do drugiej tabelki.

x 0 1
y -3 -1

Ponownie odczytujemy punkty i łączymy je linią:

C(0;-3)

D(1;-1)

wykres2

Teraz musimy nałożyć oba wykresy na siebie. Miejsce przecięcia obu prostych to rozwiązanie.

wykes-koncowy

Linie przecięły się punkcie o współrzędnych (2,1), z tego wynika, że $x=2$, $y=1$.

Uwaga!

  • Istnieją specjalne układy równań:
    - Tożsamościowe: Wykresy się pokrywają,
    - Sprzeczne: Wykresy się nigdy nie przetną.
  • Wynik metody graficznej możemy sprawdzić algebraicznie, czyli metodami przeciwnych współczynników lub podstawiania.
  • Jeśli wykresy nie są równoległe to znaczy, że zawsze gdzieś się przetną!
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Rozwiąż graficznie układ równań

uklad1

Część I - wyznaczmy y

Najpierw y na lewą stronę, a wszystko inne na prawą, (pamiętajmy o zmianie znaków)

uklad2

Teraz dzielimy przez to co stoi przy y

uklad3

I ostatecznie

uklad4 Przechodzimy do części drugiej - tabelki

Zacznijmy od I równania

$y=x/3+3$

Rozsądnie dobrać tutaj pod x będzie 0 oraz mianownik czyli 3:

 
x 0 3
y 3 4


Teraz drugie równanie:

$y=5/2 x+3$

Również polujemy na 0 i mianownik czyli 2.
 
x 0 2
y 3 8
Przechodzimy do części III, czyli rysowania wykresu.

Również zaznaczamy punkty i przeprowadzamy odpowiednie linie.

wynik-wykres

Widzimy, że wynik to $x=0$, $y=3$.

Zadanie 2.

Rozwiąż podany układ równań

auklad1

Zaczynamy od przeniesienia y na lewą stronę a reszty na prawą, zmieniając znak.

auklad2

I dzielimy przez to co stoi przy y

auklad3

Ostatecznie

auklad4

Teraz przechodzimy do tabelki:

Tutaj możemy użyć najprostszych czyli 0 i 1

I równanie

$y=-2x+1$

 
x 0 1
y 1 -1


I drugie

$y=x-2$
 
x 0 1
y -2 -1


Zatem wykres ostatecznie

wykres-wynik
Rozwiązanie to

$x=1$ oraz $y=-1$

Zadanie 3.

Rozwiąż graficznie układ równań:

buklad1

Zaczynamy od przeniesienia y na lewą stronę a reszty na prawą, zmieniając znak

buklad2

Przy y nie stoi żadna liczba, więc przechodzimy do części II (tabelka). Zaznaczam, że już tutaj widać, że będzie to układ sprzeczny.

Używamy najprostszych liczb do podstawienia pod x czyli 0 i 1.

Pierwsze równanie:

$y=x+1$

 
x 0 1
y 1 2


oraz drugie

$y=x-2$
 
x 0 1
y -2 -1


Przechodzimy do części III - rysowanie wykresu.

wynikowy

Wykresy są równoległe, z tego wynika, że układ jest sprzeczny

Spis treści

Rozwiązane zadania
Uzasadnij, dlaczego poniższe zdania są fałszywe.

 Zdanie jest fałszywe, ponieważ liczbą niewymierną nazywamy liczbę, której nie można przedstawić

w postaci ułamka. {premium}

 Zdanie jest fałszywe, ponieważ ten zbiór nazwiemy iloczynem zbiorów  i  

 Zdanie jest fałszywe, ponieważ zbiór  nie zawiera zera.

 Zdanie jest fałszywe, ponieważ brakuje informacji, że liczba  musi być nieujemna.

Naszkicuj wykres funkcji f

 

Aby otrzymać wykres funkcji f, wystarczy odbić wykres funkcji y=[x] symetrycznie względem osi OX. 

 {premium}

 

 

 

Aby otrzymać wykres funkcji f wystarczy odbić wykres funkcji y=[x] symetrycznie względem osi OY. 

 

 

 

 

 

Aby otrzymać wykres funkcji f wystarczy odbić symetrycznie względem osi OX tę część wykresu funkcji y=[x], która znajduje się pod osią OX. 

 

 

 

 

Aby otrzymać wykres funkcji f wystarczy odbić symetrycznie względem osi OY tę część wykresu funkcji f, która znajduje się po prawej stronie osi OY. 

 

 

 

Wypisz elementy podanych zbiorów

Zbiór A to zbiór dzielników naturalnych liczby 6. 

Zbiór B to zbiór dzielników naturalnych liczby 14. {premium}

Zbiór C to zbiór dzielników naturalnych liczby 15. 

 

 

 

 

Szukamy elementów, które należą jednocześnie do zbiorów A, B, C:

 

Szukamy elementów, które należą do zbioru A lub do zbioru B i jednocześnie należą do zbioru C:

 

Szukamy elementów, które należą do zbioru A i nie należą do zbioru B, jednocześnie należąc do zbioru C;

 

Szukamy elementów, które należą jednocześnie do zbiorów A i B, ale nie należą do zbioru C:

 

Szukamy elementów, które należą do jednego ze zbiorów A lub B, ale nie należą do zbioru C:

 

Szukamy elementów, które należą do zbioru A i nie należą do zbioru B, a następnie dopisujemy do nich elementy zbioru C:

 

Szukamy elementów, które należą jednocześnie do zbiorów A i B, a anastępnie dopisujemy do nich elementy zbioru C:

 

Szukamy elementów, które należą do zbioru A i nie należą do zbioru B, a następnie z usykanego zbioru zabieramy elementy zbioru C:

Przeczytaj podany w ramce przykład

 

Wyznaczmy równanie kierunkowe pierwszej prostej. 

 {premium}

 

 

 

  

 

 

 

 

Wyznaczmy równanie kierunkowe drugiej prostej:

 

 

 

 

Szukamy punktu przecięcia tych prostych, więc musimy rozwiązać układ równań. 

 

 

 

 

Podstawiamy obliczoną wartość y do drugiego równania drugiego układu:

 

 

 

 

Mamy więc punkt przecięcia prostych:

 

 

Obliczmy, ile jest równe t dla x=9 w równaniu pierwszej prostej:

 

 

Obliczmy, ile jest równe t dla x=9 w równaniu drugiej prostej:

 

 

Otrzymaliśmy taki sam czas, co oznacza, że ślimaki spotkają się. 

 

 

 

 

 

Wyznaczmy równanie kierunkowe pierwszej prostej. 

 

 

 

 

 

 

Wyznaczmy równanie kierunkowe drugiej prostej:

 

 

 

 

Szukamy punktu przecięcia tych prostych, więc musimy rozwiązać układ równań. 

 

 

 

 

Podstawiamy obliczoną wartość y do drugiego równania drugiego układu:

 

 

 

 

 

 

Obliczmy, ile jest równe t dla x=12 w równaniu pierwszej prostej:

 

 

 

Obliczmy, ile jest równe t dla x=9 w równaniu drugiej prostej: 

 

 

Ślimaki nie spotkają się, ponieważ pierwszy z nich będzie w punkcie (12, 4) po 2 sekundach, a drugi po 4 sekundach.

 

Punkty F i G są wierzchołkami parabol

 

  

 

 

Skorzystamy ze wzoru na {premium}współrzędne wektora o początku i końcu w danych punktach. Wzór podano na stronie 174 w podręczniku. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Zapiszmy wzory funkcji f i g w żądanej postaci:

 

 

 

 

 

 

 

 

Rozwiąż nierówność.

 

 

 

 

  {premium}

  

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

  (nierówność jest sprzeczna)

 

 

 

  

  

   (parabola nigdy nie "skoczy" powyżej zera, wartośc 0 osiągnie tylko w tym jednym punkcie) 

Liczba dodatnia x jest o 25% mniejsza...

Liczba dodatnia x jest o 25% mniejsza od liczby dodatniej y. Stąd:{premium}

 

 

 

 


Prawidłowa odpowiedź to C.

Dla funkcji określonej powyżej...

Funkcja f każdej liczbie naturalnej przyporządkowuje resztę z jej dzielenia przez 3. Zatem:{premium}

 

 

 

 

Zbiór reszt z dzielenia przez 3 to {0, 1, 2}, więc funkcja f może przyjmować 3 wartości: 0, 1, 2.

Przyjmijmy następujące oznaczenia:

Sumą zbiorów  oraz ozn.  nazywamy zbiór tych elementów,

które należą do zbioru  lub do zbioru  

Iloczynem zbiorów  oraz ozn.  nazywamy zbiór tych elementów,

które należą jednocześnie do zbioru  i do zbioru  

Różnicą zbiorów  oraz ozn.  lub  nazywamy zbiór tych elementów,

które należą do zbioru  i nie należą zbioru  


 zdanie prawdziwe

 zdanie prawdziwe {premium}

 zdanie fałszywe

 zdanie prawdziwe

 zdanie prawdziwe

 zdanie fałszywe

 

Naszkicuj wykres funkcji ...

 

Przypomnijmy definicję wartości bezwzględnej.

 


Mamy więc:

  {premium}

Szkicujemy wykres funkcji .

Miejscem zerowym funkcji  nazywamy taki argument , dla którego .

Funkcja ta ma nieskończenie miejsc zerowych.


 

Przypomnijmy definicję wartości bezwzględnej.

 


Mamy więc:

 

Szkicujemy wykres funkcji .

Miejscem zerowym funkcji  nazywamy taki argument , dla którego .

Funkcja ta ma jedno miejsce zerowe.

 


 

Przypomnijmy definicję wartości bezwzględnej.

 


Mamy więc:

 

Szkicujemy wykres funkcji .

Miejscem zerowym funkcji  nazywamy taki argument , dla którego .

Funkcja ta ma dwa miejsca zerowe.