Metoda graficzna układu równań - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Wyznaczanie wzoru funkcji

Rozwiązywanie układu dwóch równań liniowych za pomocą metody graficznej polega na narysowaniu dwóch wykresów funkcji liniowej i znalezienia ich punktu wspólnego. Dokładnie czym jest funkcja liniowa, możesz przeczytać w osobnym dziale. Przypomnijmy jedynie, że wzór ogólny na funkcję liniową to:

$$y=ax+b$$

Gdzie:

x, y – współrzędne

a, b – współczynniki (dowolne liczby rzeczywiste)

Zatem, żeby zastosować interpretację graficzną, potrzebujemy doprowadzić układ równań do postaci:

img01
Zatem naszym zadaniem głównym jest wyznaczenie y z obu wzorów. Pokażemy to teraz na przykładzie.
 

  • img02

    Robimy krok po kroku

    1. Przenieś y na lewą stronę (zamieniając znak), jeśli jest po lewej stronie to przejdź do kroku 2,

    2. Przenieś wszystko poza y na stronę prawą pamiętając o zmianie znaku,

    3. Podziel całe równanie przez liczbę stojącą przy y jeśli jest różna od 1

    4. Powtórz kroki 1-3 dla drugiego równania

    Zaczynamy, krok 1:

    img03
    y jest po lewej stronie w obu równaniach, więc przechodzimy do kroku 2.

    img04
    Jak widać $$2x$$ i $$4x$$ zostało przeniesione i zmieniliśmy im znak na $$-2x$$ i $$-4x$$

    Mamy już same y po lewej stronie, zatem krok 3:

    img05
    Dzielimy każdy składnik równania czyli liczby oddzielone +,- lub =

    img06
    Mamy już nasz y w obu równaniach

    img07
    Zróbmy drobną korektę (zamieńmy miejscami x z drugą liczbą)

    img08

Uzyskaliśmy w ten sposób dwa wzory funkcji, dzięki którym narysujemy dwa wykresy. Zanim jeszcze to zrobimy potrzebujemy wykonać tabelki.

Tabele funkcji

Aby narysować wykres dowolnej funkcji liniowej potrzebujemy dwóch dowolnych punktów, czyli musimy wybrać dowolny x i obliczyć dla niego y. Ważne przy wyborze x jest, aby jak najłatwiej policzyć y. np.

$$y=4x-7$$

możemy wybrać $$x=0$$, wtedy $$y=-7$$

czy $$x=2$$ wtedy $$y=8-7=1$$

Przejdźmy więc do naszego przykładu, przypominam, że ma on postać:

img08

Zajmijmy się pierwszym równaniem: $$y=-x+3$$

Rysujemy pierwszą tabelkę:

 
x 0 1
y    

0,1 to dwie dowolnie wybrane liczby

Teraz podstawiamy nasze x w $$y=-x+3$$

Dla ułatwienia pokażę ten proces na tabelce

x 0 1
y y=-0+3 y=-1+3

Zatem ostatecznie:

x 0 1
y 3 2

Zróbmy tak samo dla drugiego równania: $$y=2x-3$$ przy tych samych x

x 0 1
y $$y=2×0-3$$ $$y=2×1-3$$
x 0 1
y $$-3$$ $$-1$$

Mamy już nasze tabelki, więc możemy przejść do ostatecznego tworzenia wykresów.

Tworzenie wykresów

x 0 1
y 3 2

Tabelka x/y oznacza dwa punkty przez które będzie przechodzić funkcja liniowa.

Mamy punkty:

A(0;3)

B(1;2)
 

Kolejnym krokiem jest zaznaczenie ich na układzie współrzędnych i połączenie linią.

wykres1

Przejdźmy teraz do drugiej tabelki.

x 0 1
y -3 -1

Ponownie odczytujemy punkty i łączymy je linią:

C(0;-3)

D(1;-1)

wykres2

Teraz musimy nałożyć oba wykresy na siebie. Miejsce przecięcia obu prostych to rozwiązanie.

wykes-koncowy

Linie przecięły się punkcie o współrzędnych (2,1), z tego wynika, że $$x=2$$, $$y=1$$.

Uwaga!

  • Istnieją specjalne układy równań:
    - Tożsamościowe: Wykresy się pokrywają,
    - Sprzeczne: Wykresy się nigdy nie przetną.
  • Wynik metody graficznej możemy sprawdzić algebraicznie, czyli metodami przeciwnych współczynników lub podstawiania.
  • Jeśli wykresy nie są równoległe to znaczy, że zawsze gdzieś się przetną!
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Rozwiąż graficznie układ równań

uklad1

Część I - wyznaczmy y

Najpierw y na lewą stronę, a wszystko inne na prawą, (pamiętajmy o zmianie znaków)

uklad2

Teraz dzielimy przez to co stoi przy y

uklad3

I ostatecznie

uklad4 Przechodzimy do części drugiej - tabelki

Zacznijmy od I równania

$$y=x/3+3$$

Rozsądnie dobrać tutaj pod x będzie 0 oraz mianownik czyli 3:

 
x 0 3
y 3 4


Teraz drugie równanie:

$$y=5/2 x+3$$

Również polujemy na 0 i mianownik czyli 2.
 
x 0 2
y 3 8
Przechodzimy do części III, czyli rysowania wykresu.

Również zaznaczamy punkty i przeprowadzamy odpowiednie linie.

wynik-wykres

Widzimy, że wynik to $$x=0$$, $$y=3$$.

Zadanie 2.

Rozwiąż podany układ równań

auklad1

Zaczynamy od przeniesienia y na lewą stronę a reszty na prawą, zmieniając znak.

auklad2

I dzielimy przez to co stoi przy y

auklad3

Ostatecznie

auklad4

Teraz przechodzimy do tabelki:

Tutaj możemy użyć najprostszych czyli 0 i 1

I równanie

$$y=-2x+1$$

 
x 0 1
y 1 -1


I drugie

$$y=x-2$$
 
x 0 1
y -2 -1


Zatem wykres ostatecznie

wykres-wynik
Rozwiązanie to

$$x=1$$ oraz $$y=-1$$

Zadanie 3.

Rozwiąż graficznie układ równań:

buklad1

Zaczynamy od przeniesienia y na lewą stronę a reszty na prawą, zmieniając znak

buklad2

Przy y nie stoi żadna liczba, więc przechodzimy do części II (tabelka). Zaznaczam, że już tutaj widać, że będzie to układ sprzeczny.

Używamy najprostszych liczb do podstawienia pod x czyli 0 i 1.

Pierwsze równanie:

$$y=x+1$$

 
x 0 1
y 1 2


oraz drugie

$$y=x-2$$
 
x 0 1
y -2 -1


Przechodzimy do części III - rysowanie wykresu.

wynikowy

Wykresy są równoległe, z tego wynika, że układ jest sprzeczny

Spis treści

Rozwiązane zadania
Dany jest trójkąt prostokątny ...

 

 

   

 {premium}

 

 

  

 

 

 

 

 

  

 

  

 

Wyznacz liczbę, której przybliżeniem jest

Błąd przybliżenia to różnica między daną liczbą a jej przybliżeniem. 

Szukaną liczbę oznaczymy jako x. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Na rysunku jest przedstawiony wykres...

Funkcja nie przyjmuje wartości największej bo widzimy, że:

 

Lecz 4 nie należy do dziedziny funkcji a więc im większy argument mniejszy od 4 weźmiemy tym większą otrzymamy wartość.

 

Funkcja przyjmuje wartość najmniejszą dla x = 1, wartość ta wynosi y = -2.

 

A. Zdanie fałszywe.

 

B. Zdanie fałszywe.

 

C. Zdanie prawdziwe.

 

D. Zdanie fałszywe. 

 

Określ dziedzinę funkcji f. Naszkicuj...

 

Wyznaczamy dziedzinę funkcji f:

 

 

Nierówność jest zawsze spełniona. Zatem:

 


Aby narysować wykres funkcji f, zauważmy, że wzór tej funkcji możemy przekształcić następująco:{premium}

 

Z definicji wartości bezwzględnej:

 

W takim razie w przedziale (-∞, 5) rysujemy wykres funkcji y=-x+5, zaś w przedziale <5, +∞) - wykres funkcji y=x-5.

Rysujemy wykres funkcji f:


Odczytujemy z wykresu zbiór wartości funkcji f:

 



 

Wyznaczamy dziedzinę funkcji f:

 

 

 

 


Aby narysować wykres funkcji f, zauważmy, że wzór tej funkcji możemy przekształcić następująco:

 

Z definicji wartości bezwzględnej:

 

Stąd:

 

Mamy więc:

 

Rysujemy wykres funkcji f:


Odczytujemy z wykresu zbiór wartości funkcji f:

 



 

Wyznaczamy dziedzinę funkcji f:

 

 

 

 


Aby narysować wykres funkcji f, zauważmy, że wzór tej funkcji możemy przekształcić następująco:

 

Rysujemy wykres funkcji f:


Odczytujemy z wykresu zbiór wartości funkcji f:

 



 

Wyznaczamy dziedzinę funkcji f:

 

 

 

 

 


Aby narysować wykres funkcji f, zauważmy, że wzór tej funkcji możemy przekształcić następująco:

 

Z definicji wartości bezwzględnej:

 

Stąd:

 

Mamy więc:

 

Rysujemy wykres funkcji f:


Odczytujemy z wykresu zbiór wartości funkcji f:

 

Wyznacz biory wartości funkcji: a) f(x)=x²

a)

Dziedzinę określa pięć argumentów. Znajdujemy wartości przyporządkowane podanym argumentom podstawiając za x konkretne argumenty i obliczając w ten sposób f(x).

b)

Dziedzinę funkcji określa zbiór argumentów większych i równych -2. Znajdujemy wartości przyporządkowane kilku wybranym argumentom należącym do dziedziny.

Zauważamy, że podstawiając kolejne argumenty, przyporządkowane im wartości są coraz większe. Gdybyśmy tak podstawiali kolejne argumenty: 2,3,4,5.. , dostawalibyśmy coraz większe wartości w nieskończoność. Zbiór wartości zaczyna się więc od liczby 7 (wartość dla najmniejszego argumentu dziedziny funkcji) i jest nieograniczony z prawej strony. 

Funkcja f każdej naturalnej liczbie dwucyfrowej...

a) Zacznijmy od wyznaczenia dziedziny funkcji f. Są to wszystkie liczby naturalne dwucyfrowe, czyli:{premium}

 

Suma dwóch liczb może być równa 3, gdy tymi liczbami są 0 i 3 lub 1 i 2. Z liczb 0 i 3 możemy ułożyć liczbę 30, a z liczb 1 i 2 - liczby: 12 i 21.

Zatem funkcja f przyjmuje wartość 3 dla argumentów: 12, 21, 30.


b) Najmniejszą wartością, jaką przyjmuje funkcja f jest 1 (dla argumentu 10). Największą wartością, jaką przyjmuje funkcja f jest 18 (dla argumentu 99).

Zapisz warunek, który spełniają liczby należące do danego przedziału

Wskaż przedział, do którego nie należy

Do przedziału A należy liczba 9. Do przedziału C należy liczba 102. Do przedziału D należy liczba 3. Te liczby są podzielne przez 3. Należy więc zaznaczyć odpowiedź B. 

Przekształć wyrażenie, korzystając z wzoru na

a)

b)

c)

d)

 

 

Właściciele kotów zastanawiają się...

 

 

 

A więc wzór funkcji to:

 

 

 

 

 

 

 

 

Odpowiedź: Koty 7-, 11- i 15- letnie mają w przeliczeniu na lata ludzkie odpowiednio 44, 60 i 76 lat.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Odpowiedź: Lata kotów, których wiek wyrażony w latach ludzkich wynosi 45, 50 i 90 lat wynoszą odpowiednio 7 lat i 3 miesiące, 8 lat i 6 miesięcy oraz 18 lat i 6 miesięcy.