Metoda graficzna układu równań - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Wyznaczanie wzoru funkcji

Rozwiązywanie układu dwóch równań liniowych za pomocą metody graficznej polega na narysowaniu dwóch wykresów funkcji liniowej i znalezienia ich punktu wspólnego. Dokładnie czym jest funkcja liniowa, możesz przeczytać w osobnym dziale. Przypomnijmy jedynie, że wzór ogólny na funkcję liniową to:

$$y=ax+b$$

Gdzie:

x, y – współrzędne

a, b – współczynniki (dowolne liczby rzeczywiste)

Zatem, żeby zastosować interpretację graficzną, potrzebujemy doprowadzić układ równań do postaci:

img01
Zatem naszym zadaniem głównym jest wyznaczenie y z obu wzorów. Pokażemy to teraz na przykładzie.
 

  • img02

    Robimy krok po kroku

    1. Przenieś y na lewą stronę (zamieniając znak), jeśli jest po lewej stronie to przejdź do kroku 2,

    2. Przenieś wszystko poza y na stronę prawą pamiętając o zmianie znaku,

    3. Podziel całe równanie przez liczbę stojącą przy y jeśli jest różna od 1

    4. Powtórz kroki 1-3 dla drugiego równania

    Zaczynamy, krok 1:

    img03
    y jest po lewej stronie w obu równaniach, więc przechodzimy do kroku 2.

    img04
    Jak widać $$2x$$ i $$4x$$ zostało przeniesione i zmieniliśmy im znak na $$-2x$$ i $$-4x$$

    Mamy już same y po lewej stronie, zatem krok 3:

    img05
    Dzielimy każdy składnik równania czyli liczby oddzielone +,- lub =

    img06
    Mamy już nasz y w obu równaniach

    img07
    Zróbmy drobną korektę (zamieńmy miejscami x z drugą liczbą)

    img08

Uzyskaliśmy w ten sposób dwa wzory funkcji, dzięki którym narysujemy dwa wykresy. Zanim jeszcze to zrobimy potrzebujemy wykonać tabelki.

Tabele funkcji

Aby narysować wykres dowolnej funkcji liniowej potrzebujemy dwóch dowolnych punktów, czyli musimy wybrać dowolny x i obliczyć dla niego y. Ważne przy wyborze x jest, aby jak najłatwiej policzyć y. np.

$$y=4x-7$$

możemy wybrać $$x=0$$, wtedy $$y=-7$$

czy $$x=2$$ wtedy $$y=8-7=1$$

Przejdźmy więc do naszego przykładu, przypominam, że ma on postać:

img08

Zajmijmy się pierwszym równaniem: $$y=-x+3$$

Rysujemy pierwszą tabelkę:

 
x 0 1
y    

0,1 to dwie dowolnie wybrane liczby

Teraz podstawiamy nasze x w $$y=-x+3$$

Dla ułatwienia pokażę ten proces na tabelce

x 0 1
y y=-0+3 y=-1+3

Zatem ostatecznie:

x 0 1
y 3 2

Zróbmy tak samo dla drugiego równania: $$y=2x-3$$ przy tych samych x

x 0 1
y $$y=2×0-3$$ $$y=2×1-3$$
x 0 1
y $$-3$$ $$-1$$

Mamy już nasze tabelki, więc możemy przejść do ostatecznego tworzenia wykresów.

Tworzenie wykresów

x 0 1
y 3 2

Tabelka x/y oznacza dwa punkty przez które będzie przechodzić funkcja liniowa.

Mamy punkty:

A(0;3)

B(1;2)
 

Kolejnym krokiem jest zaznaczenie ich na układzie współrzędnych i połączenie linią.

wykres1

Przejdźmy teraz do drugiej tabelki.

x 0 1
y -3 -1

Ponownie odczytujemy punkty i łączymy je linią:

C(0;-3)

D(1;-1)

wykres2

Teraz musimy nałożyć oba wykresy na siebie. Miejsce przecięcia obu prostych to rozwiązanie.

wykes-koncowy

Linie przecięły się punkcie o współrzędnych (2,1), z tego wynika, że $$x=2$$, $$y=1$$.

Uwaga!

  • Istnieją specjalne układy równań:
    - Tożsamościowe: Wykresy się pokrywają,
    - Sprzeczne: Wykresy się nigdy nie przetną.
  • Wynik metody graficznej możemy sprawdzić algebraicznie, czyli metodami przeciwnych współczynników lub podstawiania.
  • Jeśli wykresy nie są równoległe to znaczy, że zawsze gdzieś się przetną!
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Rozwiąż graficznie układ równań

uklad1

Część I - wyznaczmy y

Najpierw y na lewą stronę, a wszystko inne na prawą, (pamiętajmy o zmianie znaków)

uklad2

Teraz dzielimy przez to co stoi przy y

uklad3

I ostatecznie

uklad4 Przechodzimy do części drugiej - tabelki

Zacznijmy od I równania

$$y=x/3+3$$

Rozsądnie dobrać tutaj pod x będzie 0 oraz mianownik czyli 3:

 
x 0 3
y 3 4


Teraz drugie równanie:

$$y=5/2 x+3$$

Również polujemy na 0 i mianownik czyli 2.
 
x 0 2
y 3 8
Przechodzimy do części III, czyli rysowania wykresu.

Również zaznaczamy punkty i przeprowadzamy odpowiednie linie.

wynik-wykres

Widzimy, że wynik to $$x=0$$, $$y=3$$.

Zadanie 2.

Rozwiąż podany układ równań

auklad1

Zaczynamy od przeniesienia y na lewą stronę a reszty na prawą, zmieniając znak.

auklad2

I dzielimy przez to co stoi przy y

auklad3

Ostatecznie

auklad4

Teraz przechodzimy do tabelki:

Tutaj możemy użyć najprostszych czyli 0 i 1

I równanie

$$y=-2x+1$$

 
x 0 1
y 1 -1


I drugie

$$y=x-2$$
 
x 0 1
y -2 -1


Zatem wykres ostatecznie

wykres-wynik
Rozwiązanie to

$$x=1$$ oraz $$y=-1$$

Zadanie 3.

Rozwiąż graficznie układ równań:

buklad1

Zaczynamy od przeniesienia y na lewą stronę a reszty na prawą, zmieniając znak

buklad2

Przy y nie stoi żadna liczba, więc przechodzimy do części II (tabelka). Zaznaczam, że już tutaj widać, że będzie to układ sprzeczny.

Używamy najprostszych liczb do podstawienia pod x czyli 0 i 1.

Pierwsze równanie:

$$y=x+1$$

 
x 0 1
y 1 2


oraz drugie

$$y=x-2$$
 
x 0 1
y -2 -1


Przechodzimy do części III - rysowanie wykresu.

wynikowy

Wykresy są równoległe, z tego wynika, że układ jest sprzeczny

Spis treści

Rozwiązane zadania
Dany jest wykres funkcji. Które ze zdań...

Prawidłowa odpowiedź to rownanie matematyczne Wykres funkcji nie ma osi symetrii.

Uzasadnij, że iloczyn dowolnych

rownanie matematyczne

Co druga liczba jest podzielna przez 2, więc wśród dwóch kolejnych liczb naturalnych jedna na pewno dzieli się przez 2. Wśród trzech kolejnych liczb naturalnych na pewno co najmniej{premium} jedna liczba dzieli się więc przez 2. 

Co trzecia liczba jest podzielna przez 3, więc wśród trzech kolejnych liczb naturalnych jedna na pewno dzieli się przez 3. 

Jeśli więc wśród tych trzech kolejnych liczb naturalnych jedna na pewno dzieli się przez 2, a jedna na pewno dzieli się przez 3, to iloczyn tych liczb dzieli się przez 2∙3, czyli dzieli się przez 6. 

 

 

rownanie matematyczne

Co druga liczba jest podzielna przez 2, więc wśród dwóch kolejnych liczb naturalnych jedna na pewno dzieli się przez 2. Wśród pięciu kolejnych liczb naturalnych na pewno co najmniej jedna liczba dzieli się więc przez 2. 

Co trzecia liczba jest podzielna przez 3, więc wśród trzech kolejnych liczb naturalnych jedna na pewno dzieli się przez 3. Wśród pięciu kolejnych liczb naturalnych na pewno co najmniej jedna liczba dzieli się więc przez 3. 

Co czwarta liczba jest podzielna przez 4, więc wśród czterech kolejnych liczb naturalnych jedna na pewno dzieli się przez 4. Wśród pięciu kolejnych liczb naturalnych na pewno co najmniej jedna liczba dzieli się więc przez 4. 

Co piąta liczba jest podzielna przez 5, więc wśród pięciu kolejnych liczb naturalnych jedna na pewno dzieli się przez 5. 

Jeśli więc wśród tych pięciu kolejnych liczb naturalnych jedna na pewno dzieli się przez 2, jedna na pewno dzieli się przez 3, jedna na pewno dzieli się przez 4 oraz jedna na pewno dzieli się przez 5, to iloczyn tych liczb dzieli się przez 2∙3∙4∙5, czyli dzieli się przez 120. 

Zapisz równanie prostej

rownanie matematyczne

Zauważmy, że punkty mają jednakową drugą współrzędną, więc możemy zapisać równanie:

rownanie matematyczne

 

 

rownanie matematyczne

Zauważmy, że punkty mają jednakową pierwszą współrzędną, więc możemy zapisać równanie:

rownanie matematyczne

 

 

rownanie matematyczne

Zauważmy, że:

rownanie matematyczne

więc punkty mają jednakową pierwszą współrzędną. Możemy zapisać równanie prostej:

rownanie matematyczne

 

Napisz układ nierówności, którego ...

rownanie matematyczne 

Wyznaczmy równania prostych zaznaczonych na rysunku ciemniejszą linią.

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Zatem układ równań ma postać:

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

Układ rówńań to dwie proste równoległe.

rownanie matematyczne 

 

Do powyższej prostej należą punkty A=(0;3) i B=(2;4). Na ich podstawie wyznaczmy równanie prostej.

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Zatem układ równań ma postać:

rownanie matematyczne   

 

rownanie matematyczne 

Zauważmy, że proste (jedna jest zaznaczona linią przerywaną) zaznaczone na rysunku

są do siebie prostopadłe.

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Zatem układ równań ma postać:

rownanie matematyczne   

Wyznacz równanie okręgu o środku ...

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne  

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne   

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne  

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne  

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne  

Wyznacz współczynniki b i c funkcji ...

Dana jest funkcja kwadratowa określona wzorem:

rownanie matematyczne 

Punkt W jest wierzchołkiem paraboli.

W zadaniu będziemy korzystać ze wzorów na współrzędne wierzchołka paraboli:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne  

 

rownanie matematyczne 

Korzystając ze wzoru na współrzędną x-ową wierzchołka wyznaczamy wartość b:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Korzystając ze wzoru na współrzędną y-ową wierzchołka wyznaczamy wartość c:

rownanie matematyczne   

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Współczynnik b=0 oraz c=5.

 

Otrzymujemy wzór funkcji:

rownanie matematyczne 

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji:

rownanie matematyczne     

Funkcja nie posiada miejsc zerowych.

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne  

Korzystając ze wzoru na współrzędną x-ową wierzchołka wyznaczamy wartość b:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne  

Korzystając ze wzoru na współrzędną y-ową wierzchołka wyznaczamy wartość c:

rownanie matematyczne  

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne 

Współczynnik b=-10 oraz c=25.

 

Otrzymujemy wzór funkcji:

rownanie matematyczne  

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji:

rownanie matematyczne  

rownanie matematyczne  

Funkcja posiada jedno miejsce zerowe.

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne   

Korzystając ze wzoru na współrzędną x-ową wierzchołka wyznaczamy wartość b:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne    

rownanie matematyczne   

Korzystając ze wzoru na współrzędną y-ową wierzchołka wyznaczamy wartość c:

rownanie matematyczne  

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne  

rownanie matematyczne 

 

Współczynnik b=1 oraz c=0.

 

Otrzymujemy wzór funkcji:

rownanie matematyczne    

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne  

rownanie matematyczne  

rownanie matematyczne        

Funkcja posiada dwa miejsca zerowe.

Ile punktów...

a) Rysunek:

Jest osiem takich punktów.

 

b) Rysunek:

Jest dwanaście takich punktów.

Błąd bezwzględny pewnego przybliżenia

Oznaczmy przybliżaną liczbę jako a. 

Z treści zadania wiadomo, że zachodzą równości:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

Podstawmy pierwszą równość do drugiej równości:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne  

rownanie matematyczne 

Uzasadnij stwierdzenie, że między dowolnymi dwiema kolejnymi liczbami

Wiemy już, że √2 jest liczbą niewymierną.

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

 

Teraz wystarczy dodawać lub {premium}odejmować liczby całkowite od √2, na przykład: 

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

i tak dalej

Pole rombu ABCD jest równe 32 ...

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Odcinek AC leży na prstej y:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Dodajmy równania do siebie.

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne  

Przekątne rombu przecinają się w połowie i są do siebie prostopadłe. Zatem punkty B i D leżą na prostej k prostopadłej do prostej y.

rownanie matematyczne 

Punkt S należy do prostej k.

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne   

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne   

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Odcinek AC leży na prstej y:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Dodajmy pierwsze równanie do drugiego ze zmienionym znakiem.

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne  

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne  

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne  

Przekątne rombu przecinają się w połowie i są do siebie prostopadłe. Zatem punkty B i D leżą na prostej k prostopadłej do prostej y.

rownanie matematyczne  

Punkt S należy do prostej k.

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne   

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne    

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne  

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne   

Analogicznie możemy obliczyć współrzędne wierzchołka D.

rownanie matematyczne  

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne  

rownanie matematyczne  

rownanie matematyczne   

 

rownanie matematyczne