Metoda graficzna układu równań - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Wyznaczanie wzoru funkcji

Rozwiązywanie układu dwóch równań liniowych za pomocą metody graficznej polega na narysowaniu dwóch wykresów funkcji liniowej i znalezienia ich punktu wspólnego. Dokładnie czym jest funkcja liniowa, możesz przeczytać w osobnym dziale. Przypomnijmy jedynie, że wzór ogólny na funkcję liniową to:

$$y=ax+b$$

Gdzie:

x, y – współrzędne

a, b – współczynniki (dowolne liczby rzeczywiste)

Zatem, żeby zastosować interpretację graficzną, potrzebujemy doprowadzić układ równań do postaci:

img01
Zatem naszym zadaniem głównym jest wyznaczenie y z obu wzorów. Pokażemy to teraz na przykładzie.
 

  • img02

    Robimy krok po kroku

    1. Przenieś y na lewą stronę (zamieniając znak), jeśli jest po lewej stronie to przejdź do kroku 2,

    2. Przenieś wszystko poza y na stronę prawą pamiętając o zmianie znaku,

    3. Podziel całe równanie przez liczbę stojącą przy y jeśli jest różna od 1

    4. Powtórz kroki 1-3 dla drugiego równania

    Zaczynamy, krok 1:

    img03
    y jest po lewej stronie w obu równaniach, więc przechodzimy do kroku 2.

    img04
    Jak widać $$2x$$ i $$4x$$ zostało przeniesione i zmieniliśmy im znak na $$-2x$$ i $$-4x$$

    Mamy już same y po lewej stronie, zatem krok 3:

    img05
    Dzielimy każdy składnik równania czyli liczby oddzielone +,- lub =

    img06
    Mamy już nasz y w obu równaniach

    img07
    Zróbmy drobną korektę (zamieńmy miejscami x z drugą liczbą)

    img08

Uzyskaliśmy w ten sposób dwa wzory funkcji, dzięki którym narysujemy dwa wykresy. Zanim jeszcze to zrobimy potrzebujemy wykonać tabelki.

Tabele funkcji

Aby narysować wykres dowolnej funkcji liniowej potrzebujemy dwóch dowolnych punktów, czyli musimy wybrać dowolny x i obliczyć dla niego y. Ważne przy wyborze x jest, aby jak najłatwiej policzyć y. np.

$$y=4x-7$$

możemy wybrać $$x=0$$, wtedy $$y=-7$$

czy $$x=2$$ wtedy $$y=8-7=1$$

Przejdźmy więc do naszego przykładu, przypominam, że ma on postać:

img08

Zajmijmy się pierwszym równaniem: $$y=-x+3$$

Rysujemy pierwszą tabelkę:

 
x 0 1
y    

0,1 to dwie dowolnie wybrane liczby

Teraz podstawiamy nasze x w $$y=-x+3$$

Dla ułatwienia pokażę ten proces na tabelce

x 0 1
y y=-0+3 y=-1+3

Zatem ostatecznie:

x 0 1
y 3 2

Zróbmy tak samo dla drugiego równania: $$y=2x-3$$ przy tych samych x

x 0 1
y $$y=2×0-3$$ $$y=2×1-3$$
x 0 1
y $$-3$$ $$-1$$

Mamy już nasze tabelki, więc możemy przejść do ostatecznego tworzenia wykresów.

Tworzenie wykresów

x 0 1
y 3 2

Tabelka x/y oznacza dwa punkty przez które będzie przechodzić funkcja liniowa.

Mamy punkty:

A(0;3)

B(1;2)
 

Kolejnym krokiem jest zaznaczenie ich na układzie współrzędnych i połączenie linią.

wykres1

Przejdźmy teraz do drugiej tabelki.

x 0 1
y -3 -1

Ponownie odczytujemy punkty i łączymy je linią:

C(0;-3)

D(1;-1)

wykres2

Teraz musimy nałożyć oba wykresy na siebie. Miejsce przecięcia obu prostych to rozwiązanie.

wykes-koncowy

Linie przecięły się punkcie o współrzędnych (2,1), z tego wynika, że $$x=2$$, $$y=1$$.

Uwaga!

  • Istnieją specjalne układy równań:
    - Tożsamościowe: Wykresy się pokrywają,
    - Sprzeczne: Wykresy się nigdy nie przetną.
  • Wynik metody graficznej możemy sprawdzić algebraicznie, czyli metodami przeciwnych współczynników lub podstawiania.
  • Jeśli wykresy nie są równoległe to znaczy, że zawsze gdzieś się przetną!
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Rozwiąż graficznie układ równań

uklad1

Część I - wyznaczmy y

Najpierw y na lewą stronę, a wszystko inne na prawą, (pamiętajmy o zmianie znaków)

uklad2

Teraz dzielimy przez to co stoi przy y

uklad3

I ostatecznie

uklad4 Przechodzimy do części drugiej - tabelki

Zacznijmy od I równania

$$y=x/3+3$$

Rozsądnie dobrać tutaj pod x będzie 0 oraz mianownik czyli 3:

 
x 0 3
y 3 4


Teraz drugie równanie:

$$y=5/2 x+3$$

Również polujemy na 0 i mianownik czyli 2.
 
x 0 2
y 3 8
Przechodzimy do części III, czyli rysowania wykresu.

Również zaznaczamy punkty i przeprowadzamy odpowiednie linie.

wynik-wykres

Widzimy, że wynik to $$x=0$$, $$y=3$$.

Zadanie 2.

Rozwiąż podany układ równań

auklad1

Zaczynamy od przeniesienia y na lewą stronę a reszty na prawą, zmieniając znak.

auklad2

I dzielimy przez to co stoi przy y

auklad3

Ostatecznie

auklad4

Teraz przechodzimy do tabelki:

Tutaj możemy użyć najprostszych czyli 0 i 1

I równanie

$$y=-2x+1$$

 
x 0 1
y 1 -1


I drugie

$$y=x-2$$
 
x 0 1
y -2 -1


Zatem wykres ostatecznie

wykres-wynik
Rozwiązanie to

$$x=1$$ oraz $$y=-1$$

Zadanie 3.

Rozwiąż graficznie układ równań:

buklad1

Zaczynamy od przeniesienia y na lewą stronę a reszty na prawą, zmieniając znak

buklad2

Przy y nie stoi żadna liczba, więc przechodzimy do części II (tabelka). Zaznaczam, że już tutaj widać, że będzie to układ sprzeczny.

Używamy najprostszych liczb do podstawienia pod x czyli 0 i 1.

Pierwsze równanie:

$$y=x+1$$

 
x 0 1
y 1 2


oraz drugie

$$y=x-2$$
 
x 0 1
y -2 -1


Przechodzimy do części III - rysowanie wykresu.

wynikowy

Wykresy są równoległe, z tego wynika, że układ jest sprzeczny

Spis treści

Rozwiązane zadania
Dane są okrąg o środku O ...

 

 

  

  

 

`|DB|=sinalpha`  

 

 

 

`|DO|=cosalpha` 

 

 

 

    

  

 

 

`"Trójkąty ABO i ACO maja wspólny kąt przy wierzchołku A oraz każdy z nich zawiera kąt prosty."` 

 

    

  

 

`|BO|/|CB|=|AB|/|BO|` 

`1/|CB|=|AB|/1=|AB|` 

      

Do równania 3x+2y=3 dopisz drugie tak

Dopisujemy drugie równania tak, aby jego lewa strona była taka sama, jak w pierwszym równaniu, ale prawa strona była różna od 3. Wtedy układ na pewno będzie sprzeczny - suma liczb 3x i 2y nie może być równa jednocześnie 3 i jakiejś innej liczbie.

Przykładowe rozwiązania:

 

 

Układ będzie nieoznaczony (będzie miał nieskończenie wiele rozwiązań), jeślii drugie równanie będzie pewna wielokrotnością pierwszego równania.

Przykładowe rozwiązania:

 

 

Najpierw znajdźmy jakąś parę liczb, która spełnia pierwsze równanie.

Podstawmy na przykład jeden w miejsce x i wyliczmy y:

 

Teraz drugie równanie dopisujemy tak, aby było spełnione przez parę (3, 0), na przykład:

 

 

Punkty A, B i C są wierzchołkami czworokąta ABCD...

Żeby czworokąt ABCD miał środek symetrii to musi być równoległobokiem.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Wyznacz dziedzinę funkcji.

a) Mianownik musi być różny od 0, zatem:

 

 

 

 

b) Pod pierwiastkiem musi być liczba nieujemna:

 

 

 

 

 

 

c) Mianownik musi być różny od 0 i pod pierwiastkiem musi być liczba nieujemna. Do dziedziny będą należeć liczby, które spełnią oba warunki a więc skoro pierwiastek jest w mianowniku to do dziedziny będą należeć tylko te liczby, dla których pierwiastek jest dodatni:

 

 

 

 

d) Dla obu pierwiastków będziemy wyliczać dziedzinę pamiętając, że jeden z pierwiastków jest w mianowniku a więc musi być dodatni.

 

 

 

Z dwóch warunków możemy utworzyć jeden:

  

 

Kat utworzony przez przekątne prostokąta...

Rysunek pomocniczy:

Przekątne prostokąta przecinają się w połowie, więc  

Dla  mamy:

 

skorzystaliśmy z wartości sinusa podanych w zadaniu       

 

 

oraz 

 

 

 

 

Obliczamy pole prostokąta.      

 

 

Odp. Pole prostokąta jest równe  

Dane są zbiory

 

 

 

 

 

 

 

Sprawdź, czy podane równanie jest równaniem okręgu.

Musimy doprowadzić równanie do postaci:

 

Jeżeli równanie nie będzie sprzeczne to znaczy, że równanie opisuje okrąg. Liczba r musi być dodatnia.

 

  

 

 

 

 

 

 

Równanie opisuje okrąg o środku i promieniu:

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Równanie opisuje okrąg o środku i promieniu:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Zauważmy, że jeżeli równanie opisywałoby okrąg to kwadrat promienia musiałby być równy -1, zatem równanie jest sprzeczne.

 

 

 

 

 

 

 

 

Równanie opisuje okrąg o środku i promieniu:

 

 

 

 

 

 

 

 

Równanie nie opisuje okręgu gdyż kwadrat długości promienia okręgu wynosi 0. Zatem równanie opisuje punkt o współrzędnych (5,-2).

 

 

 

 

 

 

 

 

Równanie opisuje okrąg o środku i promieniu:

 

 

Dany jest okrąg o równaniu...

Środek okręgu ma współrzędne:

 

Długość promienia jest niezmiennicza.

 

 

 

 

 

 

 

c) Zauważmy, że prosta przechodzi przez środek okręgu, zatem równania okręgu i jego obrazu są sobie równe.

 

 

d) Wyznaczmy równanie prostej prostopadłej do prostej  y = -x , przechodzącej przez środek okręgu:

  

Wstawmy współrzędne środka okręgu:

 

 

a więc:

 

 

Wyznaczmy punkt przecięcia prostych:

 

stąd

 

 

 

a więc:

 

 

 

 

Wyliczmy nowe współrzędne środka okręgu:

  

 

 

 

 

 

Równanie okręgu:

 

Na obóz harcerski wyjechało 50 Czechów

ODP: Na obozie było 80 Polaków. 

 

 

ODP: Polacy stanowili ok. 61,54% wszystkich uczestników obozu. 

 

 

ODP: Na obozie było o 37,5% mniej Czechów niż Polaków. 

Dziedziną funkcji f jest przedział [1;5], ...