Metoda graficzna układu równań - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Wyznaczanie wzoru funkcji

Rozwiązywanie układu dwóch równań liniowych za pomocą metody graficznej polega na narysowaniu dwóch wykresów funkcji liniowej i znalezienia ich punktu wspólnego. Dokładnie czym jest funkcja liniowa, możesz przeczytać w osobnym dziale (Przejdź do działu funkcje). Przypomnijmy jedynie, że wzór ogólny na funkcję liniową to:

$$y=ax+b$$

Gdzie:

x, y – współrzędne

a, b – współczynniki (dowolne liczby rzeczywiste)

Zatem, żeby zastosować interpretację graficzną, potrzebujemy doprowadzić układ równań do postaci:

img01
Zatem naszym zadaniem głównym jest wyznaczenie y z obu wzorów. Pokażemy to teraz na przykładzie.
 
  • img02

    Robimy krok po kroku

    1. Przenieś y na lewą stronę (zamieniając znak), jeśli jest po lewej stronie to przejdź do kroku 2,

    2. Przenieś wszystko poza y na stronę prawą pamiętając o zmianie znaku,

    3. Podziel całe równanie przez liczbę stojącą przy y jeśli jest różna od 1

    4. Powtórz kroki 1-3 dla drugiego równania

    Zaczynamy, krok 1:

    img03
    y jest po lewej stronie w obu równaniach, więc przechodzimy do kroku 2.

    img04
    Jak widać $$2x$$ i $$4x$$ zostało przeniesione i zmieniliśmy im znak na $$-2x$$ i $$-4x$$

    Mamy już same y po lewej stronie, zatem krok 3:

    img05
    Dzielimy każdy składnik równania czyli liczby oddzielone +,- lub =

    img06
    Mamy już nasz y w obu równaniach

    img07
    Zróbmy drobną korektę (zamieńmy miejscami x z drugą liczbą)

    img08

Uzyskaliśmy w ten sposób dwa wzory funkcji, dzięki którym narysujemy dwa wykresy. Zanim jeszcze to zrobimy potrzebujemy wykonać tabelki.

Tabele funkcji

Aby narysować wykres dowolnej funkcji liniowej potrzebujemy dwóch dowolnych punktów, czyli musimy wybrać dowolny x i obliczyć dla niego y. Ważne przy wyborze x jest, aby jak najłatwiej policzyć y. np.

$$y=4x-7$$

możemy wybrać $$x=0$$, wtedy $$y=-7$$

czy $$x=2$$ wtedy $$y=8-7=1$$

Przejdźmy więc do naszego przykładu, przypominam, że ma on postać:

img08

Zajmijmy się pierwszym równaniem: $$y=-x+3$$

Rysujemy pierwszą tabelkę:

 
x 0 1
y    

0,1 to dwie dowolnie wybrane liczby

Teraz podstawiamy nasze x w $$y=-x+3$$

Dla ułatwienia pokażę ten proces na tabelce

x 0 1
y y=-0+3 y=-1+3

Zatem ostatecznie:

x 0 1
y 3 2

Zróbmy tak samo dla drugiego równania: $$y=2x-3$$ przy tych samych x

x 0 1
y $$y=2×0-3$$ $$y=2×1-3$$
x 0 1
y $$-3$$ $$-1$$

Mamy już nasze tabelki, więc możemy przejść do ostatecznego tworzenia wykresów.

Tworzenie wykresów

x 0 1
y 3 2

Tabelka x/y oznacza dwa punkty przez które będzie przechodzić funkcja liniowa.

Mamy punkty:

A(0;3)

B(1;2)
 

Kolejnym krokiem jest zaznaczenie ich na układzie współrzędnych i połączenie linią.

wykres1

Przejdźmy teraz do drugiej tabelki.

x 0 1
y -3 -1

Ponownie odczytujemy punkty i łączymy je linią:

C(0;-3)

D(1;-1)

wykres2

Teraz musimy nałożyć oba wykresy na siebie. Miejsce przecięcia obu prostych to rozwiązanie.

wykes-koncowy

Linie przecięły się punkcie o współrzędnych (2,1), z tego wynika, że $$x=2$$, $$y=1$$.

Uwaga!

  • Istnieją specjalne układy równań:
    - Tożsamościowe: Wykresy się pokrywają,
    - Sprzeczne: Wykresy się nigdy nie przetną.
  • Wynik metody graficznej możemy sprawdzić algebraicznie, czyli metodami przeciwnych współczynników lub podstawiania.
  • Jeśli wykresy nie są równoległe to znaczy, że zawsze gdzieś się przetną!
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Rozwiąż graficznie układ równań

uklad1

Część I - wyznaczmy y

Najpierw y na lewą stronę, a wszystko inne na prawą, (pamiętajmy o zmianie znaków)

uklad2

Teraz dzielimy przez to co stoi przy y

uklad3

I ostatecznie

uklad4 Przechodzimy do części drugiej - tabelki

Zacznijmy od I równania

$$y=x/3+3$$

Rozsądnie dobrać tutaj pod x będzie 0 oraz mianownik czyli 3:

 
x 0 3
y 3 4


Teraz drugie równanie:

$$y=5/2 x+3$$

Również polujemy na 0 i mianownik czyli 2.
 
x 0 2
y 3 8
Przechodzimy do części III, czyli rysowania wykresu.

Również zaznaczamy punkty i przeprowadzamy odpowiednie linie.

wynik-wykres

Widzimy, że wynik to $$x=0$$, $$y=3$$.

Zadanie 2.

Rozwiąż podany układ równań

auklad1

Zaczynamy od przeniesienia y na lewą stronę a reszty na prawą, zmieniając znak.

auklad2

I dzielimy przez to co stoi przy y

auklad3

Ostatecznie

auklad4

Teraz przechodzimy do tabelki:

Tutaj możemy użyć najprostszych czyli 0 i 1

I równanie

$$y=-2x+1$$

 
x 0 1
y 1 -1


I drugie

$$y=x-2$$
 
x 0 1
y -2 -1


Zatem wykres ostatecznie

wykres-wynik
Rozwiązanie to

$$x=1$$ oraz $$y=-1$$

Zadanie 3.

Rozwiąż graficznie układ równań:

buklad1

Zaczynamy od przeniesienia y na lewą stronę a reszty na prawą, zmieniając znak

buklad2

Przy y nie stoi żadna liczba, więc przechodzimy do części II (tabelka). Zaznaczam, że już tutaj widać, że będzie to układ sprzeczny.

Używamy najprostszych liczb do podstawienia pod x czyli 0 i 1.

Pierwsze równanie:

$$y=x+1$$

 
x 0 1
y 1 2


oraz drugie

$$y=x-2$$
 
x 0 1
y -2 -1


Przechodzimy do części III - rysowanie wykresu.

wynikowy

Wykresy są równoległe, z tego wynika, że układ jest sprzeczny

Spis treści

Rozwiązane zadania
W trójkącie ABC punkt M leży...

A. Mamy trzy długości odcinków a więc wyznaczmy z nich czwartą długość.

 

`B. \ (|MC|)/(|MN|) = (|AC|)/(|AB|)` 

`3/5 = 15/20` 

`3/5 = 3/4` 

A więc ten warunek wyklucza równoległość odcinków AB i MN

Odpowiedź B

Jeden produkt kosztuje 7380 "zł" z VAT, a cena

Obliczamy cenę drugiego podatku z VAT, czyli 123% normalnej ceny:

`123%*5900"zł"= 123/strike100 * 59strike00 "zł"= 123*59 "zł" =7257 "zł"`

Zatem pierwszy produkt jest droższy o:

`7380 "zł"- 7257 "zł"= ul(ul(123 "zł"))`

Oblicz

`a)\ (3+sqrt2)^2=3^2+2*3*sqrt2+sqrt2^2=9+6sqrt2+2=11+6sqrt2`

`b)\ (1-sqrt5)^2=1^2-2*1*sqrt5+sqrt5^2=1-2sqrt5+5=6-2sqrt5`

`c)\ (4-3sqrt2)^2=4^2-2*4*3sqrt2+(3sqrt2)^2=16-24sqrt2+9*2=`

`\ \ \ =16-24sqrt2+18=34-24sqrt2`

`d)\ (2sqrt7+3)^2=(2sqrt7)^2+2*2sqrt7*3+3^2=4*7+12sqrt7+9=`

`\ \ \ =28+12sqrt7+9=37+12sqrt7`

`e)\ (2sqrt5+sqrt3)^2=(2sqrt5)^2+2*2sqrt5*sqrt3+sqrt3^2=4*5+4sqrt15+3=`

`\ \ \ =20+4sqrt15+3=23+4sqrt15`

`f)\ (sqrt6-2sqrt3)^2=sqrt6^2-2*sqrt6*2sqrt3+(2sqrt3)^2=6-4sqrt18+4*3=`

`\ \ \ =6-4*sqrt9*sqrt2+12=18-4*3sqrt2=18-12sqrt2`

`g)\ (sqrt8-sqrt2/2)^2=sqrt8^2-2*sqrt8*sqrt2/2+(sqrt2/2)^2=8-sqrt16+2/4=`

`\ \ \ =8-4+1/2=4 1/2`

`h)\ (sqrt2/2+sqrt3)^2=(sqrt2/2)^2+2*sqrt2/2*sqrt3+sqrt3^2=2/4+sqrt6+3=3 1/2+sqrt6`

Wyznacz współrzędne wierzchołka

`a)` 

`a=1` 

`b=2` 

`c=3`  

`Delta=2^2-4*1*3=4-12=-8` 

`x_w=(-b)/(2a)=-2/(2*1)=-2/2=-1`  

`y_w=(-Delta)/(4a)=8/(4*1)=8/4=2`  

`W=(-1;\ 2)\ \ \ -\ \ \ "współrzędne wierzchołka"`   

`f(x)=(x+1)^2+2\ \ \ -\ \ \ "postać kanoniczna"`  

 

 

 

`b)` 

`a=1` 

`b=-4` 

`c=-2` 

`Delta=(-4)^2-4*1*(-2)=16+8=24`

`x_w=(-b)/(2a)=4/2=2` 

`y_w=(-Delta)/(4a)=-24/4=-6` 

`W=(2;\ -6)\ \ \ -\ \ \ "współrzędne wierzchołka"` 

`f(x)=(x-2)^2-6\ \ \ -\ \ \ "postać kanoniczna"` 

 

 

 

`c)` 

`a=-1` 

`b=-2` 

`c=1` 

`Delta=(-2)^2-4*(-1)*1=4+4=8` 

`x_w=(-b)/(2a)=2/(-2)=-1` 

`y_w=(-Delta)/(4a)=-8/(-4)=2` 

`W=(-1;\ 2)\ \ \ -\ \ \ "współrzędne wierzchołka"` 

`f(x)=-(x+1)^2+2\ \ \ -\ \ \ "postać kanoniczna"` 

 

 

 

`d)` 

`a=-4` 

`b=8` 

`c=1` 

`Delta=8^2-4*(-4)*1=64+16=80` 

`x_w=(-b)/(2a)=(-8)/(2*(-4))=(-8)/(-8)=1` 

`y_w=(-Delta)/(4a)=(-80)/(4*(-4))=(-80)/(-16)=5` 

`W=(1;\ 5)\ \ \ -\ \ \ "współrzędne wierzchołka"`  

`f(x)=-4(x-1)^2+5\ \ \ -\ \ \ "postać kanoniczna"`  

 

 

`e)` 

`a=2` 

`b=8` 

`c=-7` 

`Delta=8^2-4*2*(-7)=64+56=120` 

`x_w=(-b)/(2a)=(-8)/(2*2)=(-8)/4=-2` 

`y_w=(-Delta)/(4a)=(-120)/(4*2)=(-120)/8=-15` 

`W=(-2;\ -15)\ \ \ -\ \ \ "współrzędne wierzchołka"` 

`f(x)=2(x+2)^2-15\ \ \ -\ \ \ "postać kanoniczna"`  

 

 

`f)` 

`a=-2` 

`b=-6` 

`c=2` 

`Delta=(-6)^2-4*(-2)*2=36+16=52` 

`x_w=(-b)/(2a)=6/(2*(-2))=-6/4=-3/2` 

`y_w=(-Delta)/(4a)=-52/(4*(-2))=52/8=26/4=13/2` 

`W=(-3/2;\ 13/2)\ \ \ -\ \ \ "współrzędne wierzchołka"` 

`f(x)=-2(x+3/2)^2+13/2\ \ \ -\ \ \ "postać kanoniczna"`  

 

 

`g)` 

`a=1` 

`b=-1` 

`c=0` 

`Delta=(-1)^2-4*1*0=1-0=1` 

`x_w=(-b)/(2a)=1/2` 

`y_w=(-Delta)/(4a)=-1/4` 

`W=(1/2;\ -1/4)\ \ \ -\ \ \ "współrzędne wierzchołka"` 

`f(x)=(x-1/2)^2-1/4\ \ \ -\ \ \ "postać kanoniczna"`  

 

 

`h)` 

`a=-2` 

`b=6` 

`c=0` 

`Delta=6^2-4*(-2)*0=36-0=36` 

`x_w=(-b)/(2a)=-6/(2*(-2))=6/4=3/2`  

`y_w=(-Delta)/(4a)=(-36)/(4*(-2))=36/8=9/2` 

`W=(3/2;\ 9/2)\ \ \ -\ \ \ "współrzędne wierzchołka"`   

`f(x)=-2(x-3/2)^2+9/2\ \ \ -\ \ \ "postać kanoniczna"`  

 

 

`i)` 

`a=3` 

`b=0` 

`c=-8` 

`Delta=0^2-4*3*(-8)=96` 

`x_w=(-b)/(2a)=-0/(2*3)=0` 

`y_w=(-Delta)/(4a)=-96/(4*3)=-96/12=-32/4=-8` 

`W=(0;\ -8)\ \ \ -\ \ \ "współrzędne wierzchołka"` 

`f(x)=3x^2-8\ \ \ -\ \ \ "postać kanoniczna"` 

Rozwiąż równanie

`a)\ x^12/x^9=64`

`\ \ \ x^(12-9)=64`

`\ \ \ x^3=64`

`\ \ \ x=root(3)64=4`

 

 

 

`b)\ x^7/x^-3=1024`

`\ \ \ x^(7-(-3))=1024`

`\ \ \ x^(7+3)=1024`

`\ \ \ x^10=1024`

`\ \ \ x=root(10)1024=2`

 

 

 

`c)\ (x^5*x^4)/(x^2)^3=27`

`\ \ \ (x^(5+4))/(x^(2*3))=27`

`\ \ \ x^9/x^6=27`

`\ \ \ x^(9-6)=27`

`\ \ \ x^3=27`

`\ \ \ x=root(3)27=3`

 

 

 

`d)\ (x^7*x^-3)/(x^-1)=32`

`\ \ \ (x^(7+(-3)))/(x^-1)=32`

`\ \ \ x^4/x^-1=32`

`\ \ \ x^(4-(-1))=32`

`\ \ \ x^(4+1)=32`

`\ \ \ x^5=32`

`\ \ \ x=root(5)32=2`

 

 

 

`e)\ ((x^2)^-3*x)/((x^-2)^2)=2/7`

`\ \ \ (x^-6*x)/(x^-4)=2/7`

`\ \ \ x^-5/x^-4=2/7`

`\ \ \ x^(-5-(-4))=2/7`

`\ \ \ x^(-5+4)=2/7`

`\ \ \ x^-1=2/7`

`\ \ \ x=(2/7)^-1=7/2=3 1/2`

 

 

`f)\ (x^-4*x^-7)/((x^2)^-4)=1/8`

`\ \ \ (x^-11)/(x^-8)=1/8`

`\ \ \ x^(-11-(-8))=1/8`

`\ \ \ x^(-11+8)=1/8`

`\ \ \ x^-3=1/8`

`\ \ \ x^3=(1/8)^-1`

`\ \ \ x^3=8`

`\ \ \ x=root(3)8=2`

Wyznacz sumę, część wspólną i obie ...

A - zbiór liczb naturalnych dwucyfrowych, których reszta z dzielenia przez 3 jest równa 1.

W zbiorze A będą znajdować się wszystkie liczby postaci 3n+1, gdzie nN, które są mniejsze od 100 (ponieważ mają to być liczby dwucyfrowe).

`A={13,16,19,22,25,28,31,34,37,40,43,46,49,52,55,58, 61, 64,67, 70,73,76, 79, 82,85,88,91,94,97}` 

B - zbiór liczb naturalnych mniejszych od 99

`B={0,1,2,\ ...,\ 98}` 

 

`AcupB=B={0,1,2,...,98}`

`AcapB=A={13,16,19,22,25,28,31,34,37,40,43,46,49,52,55,58,61,64,67,70,73,76,79,82,85,88,91,94,97}`

`A\\B=emptyset`

`B\\A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,14,15,17,18,20,21,23,24,26,27,29,30,32,33,35,36,38,39,41,42,44,45,47,48,`

`50,51,53,54,56,57,59,60,62,63,65,66,68,69,71,72,74,75,77,78,80,81,83,84,86,87,89,90,92,93,95,96,98}` 

Na podstawie wykresu funkcji...

Naszkicujmy wykres funkcji `y = |x+5|` 

 

Równanie:

`y = 2 - m` 

będzie opisywało pewną prostą równoległą do osi x

 

a) Zauważmy, że jeżeli nasza prosta będzie leżała poniżej osi x to równanie nie będzie miało rozwiązań a więc:

`2 - m < 0` 

` 2 < m` 

`m in (2, oo)` 

 

b) Zauważmy, że jeżeli nasza prosta będzie leżeć powyżej osi x to będziemy mieli dwa rozwiązania. Można dodatkowo zauważyć, że funkcja `y = |x+5|` i prosta `y= 5`  mają punkt wspólny na osi y. Zatem jeżeli nasza prosta `y = 2 - m` będzie leżeć poniżej prostej `y=5` to dwa rozwiązania będą ujemne. Zatem:

`0 < 2 - m < 5 \ \ \ |-2`  

`-2 < -m < 3 \ \ \ |*(-1)` 

`2 > m > -3` 

czyli

`m in (-3, 2)`  

Zapisz układ nierówności

`a)`

Obszar znajduje się pod wykresem funkcji y=-x+3. Linia jest ciągła, więc mamy pierwszą nierówność:

`y<=-x+3`

Obszar znajduje się pod wykresem funkcji y=x+1. Linia jest ciągła, więc mamy drugą nierówność: 

`y<=x+1`

 

Możemy zapisać układ nierówności: 

`{(y<=-x+3), (y<=x+1):}`

 

 

`b)`

Obszar znajduje się pod wykresem funkcji y=-2x+2, linia jest ciągła. 

Obszar znajduje się nad wykresem funkcji y=-1/2x-1, linia jest ciągła. 

Zapisujemy układ nierówności: 

`{(y<=-2x+2), (y>=-1/2x-1):}`

 

 

`c)`

Obszar znajduje się nad wykresem funkcji y=-2/3x+1/3, linia jest przerywana. 

Obszar znajduje się pod wykresem funkcji y=x+2, linia jest przerywana. 

Zapisujemy układ nierówności: 

`{(y> -2/3x+1/3), (y<x+2):}`

Pokoloruj...

a) Rysunek:

 

b) Rysunek:

 

c) Rysunek:

 

d) Rysunek:

Zapisz liczbę w postaci potęgi

`a)\ root(5)(7)=7^(1/5)`

`b)\ root(3)(7^2)=7^(2/3)`

`c)\ 1/root(3)(7)=7^(-1/3)`

`d)\ 1/root(5)(7^3)=7^(-3/5)`

`e)\ 7*root(5)(7)=(root(5)(7))^5*root(5)(7)=(root(5)(7))^6=root(5)(7^6)=7^(6/5)`