Logarytmy - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Skład logarytmu

Typowy logarytm wygląda następująco:

$$log_{2}8$$

gdzie:
$$2$$ to podstawa logarytmu
$$8$$ to liczba logarytmowa

Uwaga!

Jeżeli nie mamy określonej podstawy logarytmu to jest ona równa 10.

W przypadku tego logarytmu pytanie brzmi:
Do jakiej potęgi musimy podnieść liczbę 2, aby uzyskać liczbę 8?
No to wiemy bardzo łatwo, że to 3, więc

$$log_{2}8=3$$
 

Definicja logarytmu:

$$log_{a}b=c$$, gdzie $$a^c=b$$
 

Przykłady:

  • $$log_{3}1=0$$, bo $$3^0=1$$
  • $$log_{4}64=3$$ bo $$4^3=64$$
  • $$log_{5}{1}/{5}=-1$$ bo $$5^{-1}=1/5$$

Dziedzina logarytmu

Aby logarytm istniał musi on spełniać trzy podstawowe warunki.

Jeśli mamy logarytm w postaci:
$$log_ab=c$$
To a musi spełniać wymagania:

  • $$a≠1$$
  • $$a > 0$$
Z kolei wartość b:
  • $$b > 0$$

Jeśli natrafimy na jakiekolwiek równanie z logarytmem musimy o tym pamiętać!

Logarytm mnożenia

Możemy mnożyć liczby znajdujące się w liczbie logarytmowej, dzięki czemu rozbijemy go na dwa osobne. Z logarytmami jak z pierwiastkami, nie każdy da się policzyć, ale możemy je rozbić.

Wzór na dodawanie logarytmów:

$$log_{a}(b×c)=log_{a}b+log_{a}c$$
 

Przykład:

$$log_{2}6=$$

Niestety nie znajdziemy powyższego logarytmu, więc 6 musimy rozbić na mnożenie:

$$log_{2}(2×3)=$$

Zgodnie z wzorem, zamieniamy na dodawanie:

$$log_2(2×3)=log_2 2+log_2 3$$

Pierwszy z nich jest możliwy do obliczenia, zaś drugi musimy pozostawić

$$log_2 2+log_2 3=1+log_2 3$$, bo $$2^1=2$$ (stąd ta jedynka zamiast $$log_2 2$$)
 

Logarytm dzielenia

W tym przypadku wykonujemy wszystko podobnie jak w przypadku mnożenia logarytmów, jednak zamiast dodawania, jest odejmowanie.

Wzór na odejmowanie logarytmów:

$$log_{a}{b}/{c}=log_{a}b-log_{a}c$$
 

Przykład:

$$log_2{5}/{8}=$$

Zamieniamy dzielenie na odejmowanie dwóch logarytmów, tak jak we wzorze:

$$log_2{5}/{8}=log_2 5-log_2 8=log_2 5-3$$ Niestety nie możemy wyliczyć $$log_2 5$$, więc wynik pozostaje w formie $$log_2 5-3$$.
 

Logarytm potęgi

Zdarza się również, że liczba logarytmowa jest potęgą, np.: $$log_2 {4^3}$$. Wtedy wykładnik potęgi (w tym przypadku jest to 2) wyciągamy przed logarytm.

Wzór na logarytm potęgi:

$$log_a(b^n)=n×log_a b$$
 

Przykład:

$$log_2 5^4=$$

Po prostu wyciągamy wykładnik potęgi przed logarytm:

$$log_2 5^4= 4×log_2 5$$
 

Uwaga!

Dziedzinę sprawdzamy tylko wtedy, kiedy mamy w logarytmach niewiadome, jednakże warto wiedzieć czy nie mamy sprzeczności.
Wszystkie wzory z tego tematu znajdują się w karcie wzorów maturalnych.
Jeśli logarytm nie ma podstawy to znaczy, że to logarytm dziesiętny, wtedy $$a=10$$.
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Znajdź dziedzinę funkcji $$f(x)=log_x (x^2-16)$$.

Pamiętamy, zasady:
Jeśli mamy logarytm w postaci:

$$log_a b=c$$

To a musi spełniać wymagania:

$$a≠1$$

Oraz

$$a >0$$

Więc

$$x≠1$$

Oraz

$$x >0$$

Teraz b

$$b >0$$

$$x^2-16>0$$

Przenosimy

$$x^2 >16$$

I Pamiętamy o dwóch granicach

$$x > 4$$ lub $$x < -4$$

Zapisujemy całą dziedzinę

$$D=(4;∞)$$
 

Zadanie 2.

Oblicz:
$$log_5 5-log_5 125=$$

Po prostu podstawiamy:

$$log_5 5-log_5 125=1-3=-2$$

Ponieważ

$$5^1=5$$

$$5^3=125$$
 

Zadanie 3.

Oblicz:
$$2 log_{1/5} 125=$$

  $$2 log_{1/5} 125=2×(-3)=-6$$

Bo

$$({1/5})^{-3}=125$$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Podaj zbiory argumentów, dla których funkcja przedstawiona

 

Wykres danej funkcji przekształć ...

 

  

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

     

Ile procent pola koła stanowi pole trójkąta równobocznego...

Rysunek pomocniczy:

Thumb zad2.137str48


Przyjmijmy następujące oznaczenia:

 długość boku trójkąta

 wysokość trójkąta

 promień koła opisanego na tym trójkącie


Obliczamy pole trójkąta:

  {premium}


Wiemy, że w trójkącie równobocznym punkt przecięcia wysokości dzieli je w stosunku  licząc od wierzchołka.

Jednocześnie ten punkt jest środkiem koła opisanego na trójkącie. Zatem promień koła ma długość  

 


Obliczamy pole koła o tym promieniu:

 

 


Obliczamy, jaki procent koła stanowi pole trójkąta równobocznego:

 

 


Odp. Pole trójkąta równobocznego stanowi około  pola koła opisanego na tym trójkącie.

Naszkicuj wykres funkcji...

a) Wykres funkcji f:

 

Żeby otrzymać wykres funkcji w module wystarczy wszystko poniżej osi x odbić symetrycznie względem tej osi.

 

Żeby otrzymać wykres funkcji g wystarczy obrócić symetrycznie wykres funkcji powyższej funkcji względem osi x.

 

 

b) Wykres funkcji f:

 

Odbijmy symetrycznie względem osi x:

 

Wykres funkcji g:

 

c) Wykres funkcji f:

 

 

Odbijmy symetrycznie względem osi x:

 

Wykres funkcji g:

 

d) Wykres funkcji f:

 

 

Odbijmy symetrycznie względem osi x:

 

Wykres funkcji g:

Narysuj wykres funkcji mającej trzy miejsca zerowe

Podajemy trzy przykłady takich funkcji. 

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji

Wykres funkcji f(x) to wykres funkcji liniowej f(x)=ax+b. 

Wykres funkcji f przecina oś y w punkcie (0, -2), więc współczynnik b jest równy -2.

Do wykresu funkcji f należy także punkt (3, 0), więc możemy obliczyć wartość współczynnika a: 

 

 

Znamy już wzór funkcji f. Wiemy, że powstała ona przez przesunięcie wykresu funkcji g(x) o 3 jednostki w prawo: 

 

Sprawdzamy kolejne odpowiedzi. 

 

 

Dany jest wykres funkcji

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Powierzchnia stanu Kansas jest równa 213 000 km²

 

 

 

  

  

 

Obliczyliśmy już rzeczywiste wymiary tego prostokąta

 

Skala 1:10 000 000 oznacza, że 1 cm na mapie odpowiada 10 000 000 cm w rzeczywistości

 

 

Obliczmy, jaką długość miałby bok x prostokąta na tej mapie:

 

 

 `(326,34\ cm)/100=3,2634\ cm~~3,26\ cm` 

 

Teraz obliczmy, jaką długość miałby bok 2x: 

 

 

   

      

Ile razy funkcja przedstawiona...

Jeżeli poprowadzimy sobie prostą o równaniu y = 3 zauważymy, że wykres funkcji zostanie przecięty trzykrotnie.

 

Odpowiedź B

Podaj współrzędne wektora u, wiedząc, że

a)

Zauważamy, że:

b)