Logarytmy - matura-podstawowa - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Logarytmy - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Skład logarytmu

Typowy logarytm wygląda następująco:

$log_{2}8$

gdzie:
$2$ to podstawa logarytmu
$8$ to liczba logarytmowa

Uwaga!

Jeżeli nie mamy określonej podstawy logarytmu to jest ona równa 10.

W przypadku tego logarytmu pytanie brzmi:
Do jakiej potęgi musimy podnieść liczbę 2, aby uzyskać liczbę 8?
No to wiemy bardzo łatwo, że to 3, więc

$log_{2}8=3$
 

Definicja logarytmu:

$log_{a}b=c$, gdzie $a^c=b$
 

Przykłady:

  • $log_{3}1=0$, bo $3^0=1$
  • $log_{4}64=3$ bo $4^3=64$
  • $log_{5}{1}/{5}=-1$ bo $5^{-1}=1/5$

Dziedzina logarytmu

Aby logarytm istniał musi on spełniać trzy podstawowe warunki.

Jeśli mamy logarytm w postaci:
$log_ab=c$
To a musi spełniać wymagania:

  • $a≠1$
  • $a > 0$
Z kolei wartość b:
  • $b > 0$

Jeśli natrafimy na jakiekolwiek równanie z logarytmem musimy o tym pamiętać!

Logarytm mnożenia

Możemy mnożyć liczby znajdujące się w liczbie logarytmowej, dzięki czemu rozbijemy go na dwa osobne. Z logarytmami jak z pierwiastkami, nie każdy da się policzyć, ale możemy je rozbić.

Wzór na dodawanie logarytmów:

$log_{a}(b×c)=log_{a}b+log_{a}c$
 

Przykład:

$log_{2}6=$

Niestety nie znajdziemy powyższego logarytmu, więc 6 musimy rozbić na mnożenie:

$log_{2}(2×3)=$

Zgodnie z wzorem, zamieniamy na dodawanie:

$log_2(2×3)=log_2 2+log_2 3$

Pierwszy z nich jest możliwy do obliczenia, zaś drugi musimy pozostawić

$log_2 2+log_2 3=1+log_2 3$, bo $2^1=2$ (stąd ta jedynka zamiast $log_2 2$)
 

Logarytm dzielenia

W tym przypadku wykonujemy wszystko podobnie jak w przypadku mnożenia logarytmów, jednak zamiast dodawania, jest odejmowanie.

Wzór na odejmowanie logarytmów:

$log_{a}{b}/{c}=log_{a}b-log_{a}c$
 

Przykład:

$log_2{5}/{8}=$

Zamieniamy dzielenie na odejmowanie dwóch logarytmów, tak jak we wzorze:

$log_2{5}/{8}=log_2 5-log_2 8=log_2 5-3$ Niestety nie możemy wyliczyć $log_2 5$, więc wynik pozostaje w formie $log_2 5-3$.
 

Logarytm potęgi

Zdarza się również, że liczba logarytmowa jest potęgą, np.: $log_2 {4^3}$. Wtedy wykładnik potęgi (w tym przypadku jest to 2) wyciągamy przed logarytm.

Wzór na logarytm potęgi:

$log_a(b^n)=n×log_a b$
 

Przykład:

$log_2 5^4=$

Po prostu wyciągamy wykładnik potęgi przed logarytm:

$log_2 5^4= 4×log_2 5$
 

Uwaga!

Dziedzinę sprawdzamy tylko wtedy, kiedy mamy w logarytmach niewiadome, jednakże warto wiedzieć czy nie mamy sprzeczności.
Wszystkie wzory z tego tematu znajdują się w karcie wzorów maturalnych.
Jeśli logarytm nie ma podstawy to znaczy, że to logarytm dziesiętny, wtedy $a=10$.
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Znajdź dziedzinę funkcji $f(x)=log_x (x^2-16)$.

Pamiętamy, zasady:
Jeśli mamy logarytm w postaci:

$log_a b=c$

To a musi spełniać wymagania:

$a≠1$

Oraz

$a >0$

Więc

$x≠1$

Oraz

$x >0$

Teraz b

$b >0$

$x^2-16>0$

Przenosimy

$x^2 >16$

I Pamiętamy o dwóch granicach

$x > 4$ lub $x < -4$

Zapisujemy całą dziedzinę

$D=(4;∞)$
 

Zadanie 2.

Oblicz:
$log_5 5-log_5 125=$

Po prostu podstawiamy:

$log_5 5-log_5 125=1-3=-2$

Ponieważ

$5^1=5$

$5^3=125$
 

Zadanie 3.

Oblicz:
$2 log_{1/5} 125=$

  $2 log_{1/5} 125=2×(-3)=-6$

Bo

$({1/5})^{-3}=125$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Rozwiąż równanie

W każdym przykładzie przyrównujemy wyrazenie pod wartością bezwzględną do zera, dzięki czemu {premium}wyznaczymy wartość x, która podzieli zbiór liczb rzeczywistych na dwa przedziały, w których rozpatrujemy równość. 

 

 

 

 

 

 

Ostatecznie możemy zapisać rozwiązanie równania:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Otrzymaliśmy sprzeczność, więc w pierwszym przedziale równanie nie ma rozwiązania.

 

 

 

 

Ostatecznie możemy zapisać rozwiązanie równania:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ostatecznie możemy zapisać rozwiązanie równania:

 

 

 

 

 

 

 

Otrzymaliśmy sprzeczność, więc w drugim przedziale równanie nie ma rozwiązania.

 

Ostatecznie możemy zapisać rozwiązanie równania:

 

 

 

 

Uprośćmy najpierw równanie:

 

Teraz przyrównujemy wyrażenie pod wartością bezwzględną do zera:

 

Wracamy do rozwiązania równania:

 

Otrzymaliśmy równość, która jest zawsze prawdziwa, więc wszystkie liczby z drugiego przedziału spełniają tą nierówność. 

 

 

 

 

 

`\ \ \ x^2=0

W każdym przykładzie przyrównujemy wyrazenie pod wartością bezwzględną do zera, dzięki czemu wyznaczymy wartość x, która podzieli zbiór liczb rzeczywistych na dwa przedziały, w których rozpatrujemy równość. 

 

 

 

 

 

 

Ostatecznie możemy zapisać rozwiązanie równania:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Otrzymaliśmy sprzeczność, więc w pierwszym przedziale równanie nie ma rozwiązania.

 

 

 

 

Ostatecznie możemy zapisać rozwiązanie równania:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ostatecznie możemy zapisać rozwiązanie równania:

 

 

 

 

 

 

 

Otrzymaliśmy sprzeczność, więc w drugim przedziale równanie nie ma rozwiązania.

 

Ostatecznie możemy zapisać rozwiązanie równania:

 

 

 

 

Uprośćmy najpierw równanie:

 

Teraz przyrównujemy wyrażenie pod wartością bezwzględną do zera:

 

Wracamy do rozwiązania równania:

 

Otrzymaliśmy równość, która jest zawsze prawdziwa, więc wszystkie liczby z drugiego przedziału spełniają tą nierówność. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ostatecznie możemy zapisać rozwiązanie równania:

 

 

Wśród poniższych liczb wskaż liczby niewymierne

{premium}

 

 

Oblicz...

 

 

Dany jest przedział A.

 Oszacujmy liczby na końcach przedziału  

 {premium}

 

Do przedziału  należą więc liczby:

 


 

Oblicz, korzystając ze wzorów skróconego mnożenia:

Przypomnijmy wzory, które będą nam potrzebne:

 

 

 


 

 


 

 {premium}


 

 


 

 


 


 


 

 


 

 

Miara /_AOB wynosi...

Dwa kąty są przyległe, jeśli mają jedno ramię wspólne, a dwa pozostałe ramiona tworzą prostą.

Suma kątów przyległych tworzy kąt półpełny, zatem suma ich miar wynosi  



 miara kąta przyległego do kąta  


 {premium}


 


 


 

Dane są punkty ...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

  

    

Oceń wartość logiczną ...

a) Poprzednik jest zdaniem prawdziwym i następnik jest zdaniem prawdziwym, więc implikacja jest zdaniem prawdziwym.

b) Poprzednik jest zdaniem fałszywym i następnik jest zdaniem fałszywym, więc implikacja jest zdaniem prawdziwym.

c) Poprzednik jest zdaniem prawdziwym, a następnik jest zdaniem fałszywym, więc implikacja jest zdaniem fałszywym.

d) Poprzednik jest zdaniem prawdziwym i następnik jest zdaniem prawdziwym, więc implikacja jest zdaniem prawdziwym.

e) Poprzednik jest zdaniem prawdziwym, a następnik jest zdaniem fałszywym, więc implikacja jest zdaniem fałszywym.

Na brzegu jeziora mieszkało 16 rybaków...

Zauważmy, że domy rybaków są wierzchołkami pewnego wielokąta - szesnastokąta.

W takim razie liczba wszystkich wydeptanych ścieżek będzie równa sumie liczby boków{premium}

i  przekątnych szesnastokąta.

Zatem liczbę ścieżek możemy obliczyć następująco:

 

Odp. Było  ścieżek.

Zaznacz na osi liczbowej