Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Logarytmy - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Skład logarytmu

Typowy logarytm wygląda następująco:

$$log_{2}8$$

gdzie:
$$2$$ to podstawa logarytmu
$$8$$ to liczba logarytmowa

Uwaga!

Jeżeli nie mamy określonej podstawy logarytmu to jest ona równa 10.

W przypadku tego logarytmu pytanie brzmi:
Do jakiej potęgi musimy podnieść liczbę 2, aby uzyskać liczbę 8?
No to wiemy bardzo łatwo, że to 3, więc

$$log_{2}8=3$$
 

Definicja logarytmu:

$$log_{a}b=c$$, gdzie $$a^c=b$$
 

Przykłady:

  • $$log_{3}1=0$$, bo $$3^0=1$$
  • $$log_{4}64=3$$ bo $$4^3=64$$
  • $$log_{5}{1}/{5}=-1$$ bo $$5^{-1}=1/5$$

Dziedzina logarytmu

Aby logarytm istniał musi on spełniać trzy podstawowe warunki.

Jeśli mamy logarytm w postaci:
$$log_ab=c$$
To a musi spełniać wymagania:

  • $$a≠1$$
  • $$a > 0$$
Z kolei wartość b:
  • $$b > 0$$

Jeśli natrafimy na jakiekolwiek równanie z logarytmem musimy o tym pamiętać!

Logarytm mnożenia

Możemy mnożyć liczby znajdujące się w liczbie logarytmowej, dzięki czemu rozbijemy go na dwa osobne. Z logarytmami jak z pierwiastkami, nie każdy da się policzyć, ale możemy je rozbić.

Wzór na dodawanie logarytmów:

$$log_{a}(b×c)=log_{a}b+log_{a}c$$
 

Przykład:

$$log_{2}6=$$

Niestety nie znajdziemy powyższego logarytmu, więc 6 musimy rozbić na mnożenie:

$$log_{2}(2×3)=$$

Zgodnie z wzorem, zamieniamy na dodawanie:

$$log_2(2×3)=log_2 2+log_2 3$$

Pierwszy z nich jest możliwy do obliczenia, zaś drugi musimy pozostawić

$$log_2 2+log_2 3=1+log_2 3$$, bo $$2^1=2$$ (stąd ta jedynka zamiast $$log_2 2$$)
 

Logarytm dzielenia

W tym przypadku wykonujemy wszystko podobnie jak w przypadku mnożenia logarytmów, jednak zamiast dodawania, jest odejmowanie.

Wzór na odejmowanie logarytmów:

$$log_{a}{b}/{c}=log_{a}b-log_{a}c$$
 

Przykład:

$$log_2{5}/{8}=$$

Zamieniamy dzielenie na odejmowanie dwóch logarytmów, tak jak we wzorze:

$$log_2{5}/{8}=log_2 5-log_2 8=log_2 5-3$$ Niestety nie możemy wyliczyć $$log_2 5$$, więc wynik pozostaje w formie $$log_2 5-3$$.
 

Logarytm potęgi

Zdarza się również, że liczba logarytmowa jest potęgą, np.: $$log_2 {4^3}$$. Wtedy wykładnik potęgi (w tym przypadku jest to 2) wyciągamy przed logarytm.

Wzór na logarytm potęgi:

$$log_a(b^n)=n×log_a b$$
 

Przykład:

$$log_2 5^4=$$

Po prostu wyciągamy wykładnik potęgi przed logarytm:

$$log_2 5^4= 4×log_2 5$$
 

Uwaga!

Dziedzinę sprawdzamy tylko wtedy, kiedy mamy w logarytmach niewiadome, jednakże warto wiedzieć czy nie mamy sprzeczności.
Wszystkie wzory z tego tematu znajdują się w karcie wzorów maturalnych.
Jeśli logarytm nie ma podstawy to znaczy, że to logarytm dziesiętny, wtedy $$a=10$$.
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Znajdź dziedzinę funkcji $$f(x)=log_x (x^2-16)$$.

Pamiętamy, zasady:
Jeśli mamy logarytm w postaci:

$$log_a b=c$$

To a musi spełniać wymagania:

$$a≠1$$

Oraz

$$a >0$$

Więc

$$x≠1$$

Oraz

$$x >0$$

Teraz b

$$b >0$$

$$x^2-16>0$$

Przenosimy

$$x^2 >16$$

I Pamiętamy o dwóch granicach

$$x > 4$$ lub $$x < -4$$

Zapisujemy całą dziedzinę

$$D=(4;∞)$$
 

Zadanie 2.

Oblicz:
$$log_5 5-log_5 125=$$

Po prostu podstawiamy:

$$log_5 5-log_5 125=1-3=-2$$

Ponieważ

$$5^1=5$$

$$5^3=125$$
 

Zadanie 3.

Oblicz:
$$2 log_{1/5} 125=$$

  $$2 log_{1/5} 125=2×(-3)=-6$$

Bo

$$({1/5})^{-3}=125$$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Dany jest wykres funkcji f(x)=ax+b

`a)`

Funkcja jest malejąca, więc współczynnik a jest ujemny. 

Wykres funkcji przecina oś OY powyżej zera, więc współczynnik b jest dodatni. 

 

`b)`

Funkcja jest rosnąca, więc współczynnik a jest dodatni. 

Wykres funkcji przecina oś OY poniżej zera, więc współczynnik b jest ujemny. 

 

`c)`

Funkcja jest malejąca, więc współczynnik a jest ujemny. 

Wykres funkcji przecina oś OY poniżej zera, więc współczynnik b jest ujemny. 

Wyznacz miary kątów

`a)`

 

`gamma=1/2*|angleAOB|=1/2*70^o=35^o`

`alpha=1/2*|angleBOC|=1/2*130^o=65^o`

`|angleAOC|=360^o-(70^o +130^o)=360^o-200^o=160^o`

`beta=1/2*|angleAOC|=1/2*160^o=80^o`

 

 

 

`b)`

  

`gamma=1/2*|angleAOC|=1/2*80^o=40^o`

`|angleCOB|=360^o-(220^o +80^o)=360^o-300^o=60^o`

`alpha=1/2*|angleCOB|=1/2*60^o=30^o`

`beta=1/2*|angleAOB|=1/2*220^o=110^o`

 

 

 

`c)`

`gamma=1/2*|angleAOB|=1/2*180^o=90^o`

`|angleCOB|=180^o-130^o=50^o`

`alpha=1/2*|angleCOB|=1/2*50^o=25^o`

`beta=180^o-(90^o +25^o)=180^o-115^o=65^o`

 

a) Podaj wszystkie liczby pierwsze mniejsze od 50

`a)\ 2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 11,\ 13,\ 17,\ 19,\`

`\ \ \ 23,\ 29,\ 31,\ 37,\ 41,\ 43,\ 47`

 

`b)`

51 dzieli się przez 3

57 dzieli się przez 3

91 dzieli się przez 7

Podaj układ nierówności opisujący przedstawiony...

Koło bez brzegów o środku w punkcie (2,1) i promieniu 2 jest opisane przez nierówność:

`(x-2)^2 +(y-1)^2 < 4` 

 

Parabola:

`y = a(x-2)^2 + 1` 

Punktem należącym do paraboli jest np. (0,2) , zatem:

`2 = a*(-2)^2 + 1` 

`1 = 4a` 

`a = 1/4` 

stąd:

`y = 1/4(x-2)^2 + 1` 

Bierzemy wszystkie elementy leżące na bądź poniżej paraboli a więc:

`y < 1/4(x-2)^2 + 1` 

 

Zauważmy, ze parabolę i koło przecina funkcja liniowa:

`y = 2x-3` 

Wszystkie elementy leżące na prostej bądź poniżej jej będą rozwiązaniem, zatem:

`y leq 2x-3` 

 

Poniższy zbiór jest zatem opisany układem nierówności:

`{((x-2)^2+(y-1)^2 < 4),(y leq 1/4(x-2)^2 + 1),(y leq 2x-3):}`

 

b) Mamy trzy okręgi:

Okrąg o środku (-1,0) i promieniu 2:

`1) \ (x+1)^2 + y^2 = 4` 

Koło ograniczone tym okręgiem będzie zawierało elementy z podzbioru płaszczyzny, zatem:

`(x+1)^2 + y^2 leq 4` 

 

 Okrąg o środku (1,0) i promieniu 2:

`2) \ (x-1)^2 + y^2 = 4` 

 

Okrąg o środku (0, 1) i promieniu 2:

`3) \ x^2 + (y-1)^2 = 4` 

 

Zauważmy, że podzbiór płaszczyzny zawiera się w obszarze poza kołami ograniczonymi okręgami 2) 3) a więc układ nierówności opisujący podzbiór płaszczyzny to:

`{((x+1)^2 +y^2 leq 4),((x-1)^2 + y^2 > 4),(x^2+(y-1)^2 > 4):}` 

 

c) Zauważmy, że romb jest opisany przez równanie:

`|x|+|y|=3` 

bierzemy pod uwagę elementy ograniczone brzegami rombu:

`|x|+|y|< 3` 

 

Wycinamy z naszego rombu koło bez brzegów o środku w punkcie (0,0) i promieniu 1, a więc bierzemy pod uwagę elementy które spełniają nierówność:

`x^2+y^2 geq 1` 

 

Układ nierówności opisujący podzbiór płaszczyzny to:

`{(|x|+|y|< 3),(x^2+y^2 geq 1):}` 

 

d) Będziemy brać pod uwagę tylko elementy znajdujące się w środku koła o środku (0,0) i promieniu r. Obliczymy promień koła wiedząc, że do okręgu ,ograniczonego tym kołem, należy np. elementy (2,-2):

`x^2+y^2 = r^2` 

`2^2 + (-2)^2 = r^2` 

`4 + 4 = r^2` 

`r^2 = 8` 

 

A więc koło jest opisane przez nierówność:

`x^2+y^2 leq 8` 

 

Równanie krzywej to:

`y=|x|` 

bierzemy pod uwagę elementy leżące poniżej krzywej zatem:

`y < |x|` 

 

Parabola o wierzchołku w punkcie (0,0) jest dana równaniem:

`y = ax^2` 

Do wykresu tej paraboli należy punkt (2, -2) , zatem:

`-2 = a*2^2` 

`-2 = 4a` 

`a = -1/2` 

 

A więc parabola jest dana równaniem:

`y = -1/2x^2`  

bierzemy pod uwagę elementy leżące powyżej paraboli:

`y > -1/2x^2` 

 

A więc układ nierówności opisujący podzbiór tej płaszczyzny to:

`{(x^2+y^2 leq 8),(y< |x|),(y> -1/2x^2):}` 

Oszacuj powierzchnię stanu Wyoming ...

Skala 1:40 000 000 oznacza, że 1 cm na mapie odpowiada 40 000 000 cm w terenie. 

`40\ 000\ 000\ cm=400\ 000\ m=400\ km`

 

Obliczmy, jakie wymiary ma ten prostokąt w rzeczywistości: 

`1,1*400\ km=440\ km`

`1,5*400\ km=600\ km`

 

`P=440\ km*600\ km=264\ 000\ km^2`

Oblicz błąd bezwzględny

Należy pamiętać, że aby liczyć błąd bezwgzlędny i błąd względny, wielkości a oraz x należy podać w jednakowych jednostkach. 

 

 

`a)`

`x=98,5\ cm`

`a=1\ m=100\ cm`

`|x-a|=|98,5-100|=|-1,5|=1,5\ [cm]`

`|x-a|/|x|=(1,5)/|98,5|=(1,5)/(98,5)=15/985=0,01522...~~0,0152=1,52%`

 

 

`b)`

`x=4700\ cm^3`

`a=5\ l=5\ dm^3=5*10\ cm*10\ cm*10\ cm=5000\ cm^3`

`|x-a|=|4700-5000|=|-300|=300\ [cm^3]`

`|x-a|/|x|=300/|4700|=300/4700=3/47=0,06382...~~0,0638=6,38%`

 

 

`c)`

`x=372\ m i n`

`a=6\ h=6*60\ mi n=360\ mi n`

`|x-a|=|372-360|=|12|=12\ [m i n]`

`|x-a|/|x|=12/|372|=12/372=0,03225...~~0,0323=3,23%`

 

 

`d)`

`x=7806\ s`

`a=2\ h\ 10\ m i n=2*60\ mi n+10\ mi n=120\ mi n+10\ m i n =130\ mi n=130*60\ s=7800\ s`

`|x-a|=|7806-7800|=|6|=6\ [s]`

`|x-a|/|x|=6/|7806|=6/7806=0,00076...~~0,0008=0,08%`

 

Które z punktów...

Punkty należące do osi y muszą mieć pierwszą współrzędną równą 0, gdyż dowolny punkt na osi y ma współrzędne:

`(0, y)` 

Punktami należącymi do osi y są punkty L i P.

Rozwiąż równanie

W każdym przykładzie przyrównujemy wyrazenie pod wartością bezwzględną do zera, dzięki czemu wyznaczymy wartość x, która podzieli zbiór liczb rzeczywistych na dwa przedziały, w których rozpatrujemy równość. 

 

`a)`

`x-1=0\ \ \ |+1`

`x=1`

 

 

`1)\ x in (-infty;\ 1)`

`\ \ \ |x-1|-2x=4`

`\ \ \ -(x-1)-2x=4`

`\ \ \ -x+1-2x=4`

`\ \ \ -3x+1=4\ \ \ |-1`

`\ \ \ -3x=3\ \ \ |:(-3)`

`\ \ \ x=-1 in (-infty;\ 1)`

 

 

`2)\ x in <<1;\ +infty)`

`\ \ \ |x-1|-2x=4`

`\ \ \ x-1-2x=4`

`\ \ \ -x-1=4\ \ \ |+1`

`\ \ \ -x=5\ \ \ |*(-1)`

`\ \ \ x=-5notin<<1;\ +infty)`

 

Ostatecznie możemy zapisać rozwiązanie równania:

`ul(ul(x =-1))`

 

 

 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

 

 

 

`b)`

`x-1=0\ \ \ |+1`

`x=1`

 

 

`1)\ x in (-infty;\ 1)`

`\ \ \ |x-1|+x=2`

`\ \ \ -(x-1)+x=2`

`\ \ \ -x+1+x=2`

`\ \ \ 1=2`

Otrzymaliśmy sprzeczność, więc w pierwszym przedziale równanie nie ma rozwiązania.

 

 

`2)\ x in<<1;\ +infty)`

`\ \ \ |x-1|+x=2`

`\ \ \ x-1+x=2`

`\ \ \ 2x-1=2\ \ \ |+1`

`\ \ \ 2x=3\ \ \ |:2`

`\ \ \ x=3/2=1 1/2in<<1;\ +infty)`

 

 

Ostatecznie możemy zapisać rozwiązanie równania:

`ul(ul(x =1 1/2))`

 

 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

 

 

 

`c)`

`x+4=0\ \ \ |-4`

`x=-4`

 

 

`1)\ x in (-infty;\ -4)`

`\ \ \ |x+4|+1=2x`

`\ \ \ -(x+4)+1=2x`

`\ \ \ -x-4+1=2x`

`\ \ \ -x-3=2x\ \ \ \ |+x`

`\ \ \ -3=3x\ \ \|:3`

`\ \ \ -1=x`

`\ \ \ x=-1notin(-inftyl\ -4)`

 

 

`2)\ x in <<-4;\ +infty)`

`\ \ \ |x+4|+1=2x`

`\ \ \ x+4+1=2x`

`\ \ \ x+5=2x\ \ \|-x`

`\ \ \ 5=x`

`\ \ \ x=5in<<-4;\ +infty)`

 

Ostatecznie możemy zapisać rozwiązanie równania:

`ul(ul(x =5))`

 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

 

 

 

`d)`

`3-x=0\ \ \ |-3`

`-x=-3\ \ \ |*(-1)`

`x=3`

 

`1)\ x in (-infty;\ 3)`

`\ \ \ |3-x|=x-1`

`\ \ \ 3-x=x-1\ \ \ |-x`

`\ \ \ 3-2x=-1\ \ \ |-3`

`\ \ \ -2x=-4\ \ \ |:(-2)`

`\ \ \ x=2in(-infty;\ 3)`

 

`2)\ x in <<3;\ +infty)`

`\ \ \ |3-x|=x-1`

`\ \ \ -(3-x)=x-1`

`\ \ \ -3+x=x-1\ \ \ |-x`

`\ \ \ -3=-1`

Otrzymaliśmy sprzeczność, więc w drugim przedziale równanie nie ma rozwiązania.

 

Ostatecznie możemy zapisać rozwiązanie równania:

`ul(ul(x=2))`

 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

 

 

`e)`

Uprośćmy najpierw równanie:

`|2x+4|-2x=4`

`|2|*|x+2|-2x=4`

`2|x+2|-2x=4\ \ \ |:2`

`|x+2|-x=2`

 

Teraz przyrównujemy wyrażenie pod wartością bezwzględną do zera:

`x+2=0\ \ \ |-2`

`x=-2`

 

Wracamy do rozwiązania równania:

`1)\ x in (-infty;\ -2)`

`\ \ \ |x+2|-x=2`

`\ \ \ -(x+2)-x=2`

`\ \ \ -x-2-x=2`

`\ \ \ -2x-2=2\ \ \ |+2`

`\ \ \ -2x=4\ \ \ |:(-2)`

`\ \ \ x=-2notin(-infty;\ -2)`

 

`2)\ x in <<-2;\ +infty)`

`\ \ \ |x+2|-x=2`

`\ \ \ x+2-x=2`

`\ \ \ 2=2`

Otrzymaliśmy równość, która jest zawsze prawdziwa, więc wszystkie liczby z drugiego przedziału spełniają tą nierówność. 

 

`ul(ul(x in<<-2;\ +infty)))`

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

 

 

`f)`

`x-4=0\ \ \ \ |+4`

`x=4`

 

`1)\ x in (-infty;\ 4)`

`\ \ \ x|x-4|=x^2+4x`

`\ \ \ x*(-(x-4))=x^2+4x`

`\ \ \ x*(-x+4)=x^2+4x`

`\ \ \ -x^2+4x=x^2+4x\ \ \ |-4x`

`\ \ \ -x^2=x^2\ \ \ |-x^2`

`\ \ \ -2x^2=0\ \ \ |:(-2)`

`\ \ \ x^2=0\`

`\ \ \ x=0in(-infty;\ 4)`

 

`2)\ x in <<4;\ +infty)`

`\ \ \ x|x-4|=x^2+4x`

`\ \ \ x(x-4)=x^2+4x`

`\ \ \ x^2-4x=x^2+4x\ \ \ \ |-x^2-4x`

`\ \ \ -8x=0\ \ \ |:(-8)`

`\ \ \ x=0notin<<4;\ +infty)`

 

 

Ostatecznie możemy zapisać rozwiązanie równania:

`ul(ul(x=0))`

 

 

Oblicz cenę średniego i cenę małego

Obliczamy cenę początkową średniego zestawu rondli (oznaczmy tą cenę przez x)

`(100%-24%)*x=190` 

`76%*x=190` 

`76/100*x=190\ \ \ \ |*100/76` 

`x=strike190^95*100/strike76^38=` `9500/38=(9500:19)/(38:19)=500/2=250\ "zł"` 

 

Obliczamy cenę początkową małego zestawu rodnli (oznaczmy tę cenę przez y) 

`(100%-32%)*y=85` 

`68%*y=85` 

`68/100*y=85` 

`17/25*y=85\ \ \ |*25/17` 

`y=strike85^5*25/strike17^1=` `125\ "zł"` 

Oblicz 125% danej liczby

`a)`

`"dana liczba:"\ \ \ 6^4*9^-2:4^2=6^4*(1/9)^2:4^2=6^4*((1/3)^2)^2:4^2=6^4*(1/3)^4:4^2=`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =(6*1/3)^4:4^2=2^4:4^2=2^4:(2^2)^2=2^4:2^4=1`

`125%\ "danej liczby":\ \ \ 125%*1=1,25*1=1,25`

 

 

`b)`

`"dana liczba:"\ \ \ (6/5)^-4*0,2^6:36^-2=(5/6)^4*(1/5)^6:(6^2)^-2=(5/6)^4*(1/5)^4*(1/5)^2:6^-4=`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =(5/6*1/5)^4*(1/5)^2:6^-4=(1/6)^4*(1/5)^2:6^-4=(1/5)^2*(1/6)^4:6^-4=`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =(1/5)^2*(1/6)^4:(1/6)^4=(1/5)^2*1=(1/5)^2=1/25`

`125%\ "danej liczby:"\ \ \ 125%*1/125=125/100*1/25=strike5^1/4*1/strike25^5=1/20`

 

 

`c)`

`"dana liczba:"\ \ \ 6^5*4^-3*27^-2=(2*3)^5*(2^2)^-3*(3^3)^-2=2^5*3^5*2^-6*3^-6=`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =2^(5+(-6))*3^(5+(-6))=2^(-1)*3^(-1)=1/2*1/3=1/6`

`125%\ "danej liczby:"\ \ \ 125%*1/6=125/100*1/6=5/4*1/6=5/24`