Logarytmy - matura-podstawowa - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Logarytmy - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Skład logarytmu

Typowy logarytm wygląda następująco:

$log_{2}8$

gdzie:
$2$ to podstawa logarytmu
$8$ to liczba logarytmowa

Uwaga!

Jeżeli nie mamy określonej podstawy logarytmu to jest ona równa 10.

W przypadku tego logarytmu pytanie brzmi:
Do jakiej potęgi musimy podnieść liczbę 2, aby uzyskać liczbę 8?
No to wiemy bardzo łatwo, że to 3, więc

$log_{2}8=3$
 

Definicja logarytmu:

$log_{a}b=c$, gdzie $a^c=b$
 

Przykłady:

  • $log_{3}1=0$, bo $3^0=1$
  • $log_{4}64=3$ bo $4^3=64$
  • $log_{5}{1}/{5}=-1$ bo $5^{-1}=1/5$

Dziedzina logarytmu

Aby logarytm istniał musi on spełniać trzy podstawowe warunki.

Jeśli mamy logarytm w postaci:
$log_ab=c$
To a musi spełniać wymagania:

  • $a≠1$
  • $a > 0$
Z kolei wartość b:
  • $b > 0$

Jeśli natrafimy na jakiekolwiek równanie z logarytmem musimy o tym pamiętać!

Logarytm mnożenia

Możemy mnożyć liczby znajdujące się w liczbie logarytmowej, dzięki czemu rozbijemy go na dwa osobne. Z logarytmami jak z pierwiastkami, nie każdy da się policzyć, ale możemy je rozbić.

Wzór na dodawanie logarytmów:

$log_{a}(b×c)=log_{a}b+log_{a}c$
 

Przykład:

$log_{2}6=$

Niestety nie znajdziemy powyższego logarytmu, więc 6 musimy rozbić na mnożenie:

$log_{2}(2×3)=$

Zgodnie z wzorem, zamieniamy na dodawanie:

$log_2(2×3)=log_2 2+log_2 3$

Pierwszy z nich jest możliwy do obliczenia, zaś drugi musimy pozostawić

$log_2 2+log_2 3=1+log_2 3$, bo $2^1=2$ (stąd ta jedynka zamiast $log_2 2$)
 

Logarytm dzielenia

W tym przypadku wykonujemy wszystko podobnie jak w przypadku mnożenia logarytmów, jednak zamiast dodawania, jest odejmowanie.

Wzór na odejmowanie logarytmów:

$log_{a}{b}/{c}=log_{a}b-log_{a}c$
 

Przykład:

$log_2{5}/{8}=$

Zamieniamy dzielenie na odejmowanie dwóch logarytmów, tak jak we wzorze:

$log_2{5}/{8}=log_2 5-log_2 8=log_2 5-3$ Niestety nie możemy wyliczyć $log_2 5$, więc wynik pozostaje w formie $log_2 5-3$.
 

Logarytm potęgi

Zdarza się również, że liczba logarytmowa jest potęgą, np.: $log_2 {4^3}$. Wtedy wykładnik potęgi (w tym przypadku jest to 2) wyciągamy przed logarytm.

Wzór na logarytm potęgi:

$log_a(b^n)=n×log_a b$
 

Przykład:

$log_2 5^4=$

Po prostu wyciągamy wykładnik potęgi przed logarytm:

$log_2 5^4= 4×log_2 5$
 

Uwaga!

Dziedzinę sprawdzamy tylko wtedy, kiedy mamy w logarytmach niewiadome, jednakże warto wiedzieć czy nie mamy sprzeczności.
Wszystkie wzory z tego tematu znajdują się w karcie wzorów maturalnych.
Jeśli logarytm nie ma podstawy to znaczy, że to logarytm dziesiętny, wtedy $a=10$.
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Znajdź dziedzinę funkcji $f(x)=log_x (x^2-16)$.

Pamiętamy, zasady:
Jeśli mamy logarytm w postaci:

$log_a b=c$

To a musi spełniać wymagania:

$a≠1$

Oraz

$a >0$

Więc

$x≠1$

Oraz

$x >0$

Teraz b

$b >0$

$x^2-16>0$

Przenosimy

$x^2 >16$

I Pamiętamy o dwóch granicach

$x > 4$ lub $x < -4$

Zapisujemy całą dziedzinę

$D=(4;∞)$
 

Zadanie 2.

Oblicz:
$log_5 5-log_5 125=$

Po prostu podstawiamy:

$log_5 5-log_5 125=1-3=-2$

Ponieważ

$5^1=5$

$5^3=125$
 

Zadanie 3.

Oblicz:
$2 log_{1/5} 125=$

  $2 log_{1/5} 125=2×(-3)=-6$

Bo

$({1/5})^{-3}=125$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Naszkicuj wykres funkcji f. Odczytaj z wykresu ...

 

Szkicujemy wykres funkcji .

 {premium}


Funkcja  jest:

- malejąca w przedziale: ;

- stała w przedziale: ;

- rosnąca w przedziale: .


 

Szkicujemy wykres funkcji .


Funkcja  jest:

- rosnąca w przedziałach: ;

- stała w przedziale: .

Oblicz f(-2), f(√3), jeżeli

 {premium}

 


 

 


 

 


 

 

Rozwiąż układ równań...

 

 

Dodajemy równania stronami.{premium}

 

 

Podstawiamy x=-2 do dowolnego równania w układzie i wyznaczamy y.

 

 

 

 

Rozwiązaniem układu równa jest para liczb (-2, -1).

Liczbę 2 przedstaw jako sumę takich dwóch składników...

Oznaczmy te składniki przez x1, x2. Wtedy:

 

{premium}  

 

Suma sześcianów:

 

 

Rozpatrzmy funkcję:

 

Parabola ma ramiona skierowane ku górze a więc najmniejsza wartość znajduje się w wierzchołku ,czyli:

 

 

A więc:

 

Przedstawienie liczby 2 w postaci sumy dwóch składników tak aby suma ich sześcianów była jak najmniejsza.

 

Wszystkich nieparzystych liczb czterocyfrowych, w których ...

Tworzymy liczby czterocyfrowe nieparzyste z cyfr 6, 5, 2, 1. Wszystkie cyfry należy wykorzystać, więc będą to liczby czterocyfrowe, w których cyfry nie powtarzają się. {premium}

  • cyfrę jedności możemy wybrać na 2 sposoby (spośród cyfr 5 i 1, gdyż utworzona liczba ma być nieparzysta); 

  • cyfrę dziesiątek możemy wybrać na 3 sposoby (nie bierzemy pod uwagę cyfry wybranej jako cyfrę jedności); 

  • cyfrę setek możemy wybrać na 2 sposoby (nie bierzemy pod uwagę cyfr wybranych jako cyfry jedności i dziesiątek); 

  • pozostaje nam już tylko jedna cyfra, którą będzie cyfrą tysięcy. 


Korzystając z reguły mnożenia obliczamy ile liczb czterocyfrowych możemy utworzyć. 

 


Poprawna odpowiedź: A. 12

Wyznacz taką wartość współczynnika b...

Dany jest wzór funkcji:

 

Wiemy, że funkcja f jest malejąca w{premium} przedziale  i rosnąca w przedziale 

  

Obliczmy wartość współczynnika 

  

 

 

 

 

Odp.: Wartość współczynnika b wynosi -6. 

Na rysunku obok przedstawiono...

Wykres funkcji f powstał przez przesunięcie wykresu funkcji y=-1,5x2 o wektor [-5, -1], zatem:   {premium}

 


Wykres funkcji g powstał przez przesunięcie wykresu funkcji y=-1,5x2 o wektor [3, 2], zatem:

 

Odgadnij postać iloczynową funkcji kwadratowej.

W celu odgadnięcia skorzystamy z wzorów Viete'a.

Jeżeli  są pierwiastkami trójmianu to 

 

 

 

 "Zgadujemy" dwie liczby, których suma jest równa  {premium}  a iloczyn  

Są to  oraz 

Stąd:

 

 

 "Zgadujemy" dwie liczby, których suma jest równa  a iloczyn  

Są to  oraz 

Stąd:

 

 

 "Zgadujemy" dwie liczby, których suma jest równa  a iloczyn  

Są to  oraz 

Stąd:

 

 

 "Zgadujemy" dwie liczby, których suma jest równa  a iloczyn  

Są to  oraz 

Stąd:

 

     

Funkcja f liczbie naturalnej dodatniej mniejszej od 5

Odpowiedź B.

{premium}

Uzasadnienie:

Liczby naturalne dodatnie: 1,2,3,4.

Liczby o jeden większe od powyższych: 2,3,4,5.

Wykaż, że dla dowolnego...

a)

 

 

         

 

          

 

 

 

 

{premium}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                    

 

 


b)