Logarytmy - matura-podstawowa - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Logarytmy - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Skład logarytmu

Typowy logarytm wygląda następująco:

$log_{2}8$

gdzie:
$2$ to podstawa logarytmu
$8$ to liczba logarytmowa

Uwaga!

Jeżeli nie mamy określonej podstawy logarytmu to jest ona równa 10.

W przypadku tego logarytmu pytanie brzmi:
Do jakiej potęgi musimy podnieść liczbę 2, aby uzyskać liczbę 8?
No to wiemy bardzo łatwo, że to 3, więc

$log_{2}8=3$
 

Definicja logarytmu:

$log_{a}b=c$, gdzie $a^c=b$
 

Przykłady:

  • $log_{3}1=0$, bo $3^0=1$
  • $log_{4}64=3$ bo $4^3=64$
  • $log_{5}{1}/{5}=-1$ bo $5^{-1}=1/5$

Dziedzina logarytmu

Aby logarytm istniał musi on spełniać trzy podstawowe warunki.

Jeśli mamy logarytm w postaci:
$log_ab=c$
To a musi spełniać wymagania:

  • $a≠1$
  • $a > 0$
Z kolei wartość b:
  • $b > 0$

Jeśli natrafimy na jakiekolwiek równanie z logarytmem musimy o tym pamiętać!

Logarytm mnożenia

Możemy mnożyć liczby znajdujące się w liczbie logarytmowej, dzięki czemu rozbijemy go na dwa osobne. Z logarytmami jak z pierwiastkami, nie każdy da się policzyć, ale możemy je rozbić.

Wzór na dodawanie logarytmów:

$log_{a}(b×c)=log_{a}b+log_{a}c$
 

Przykład:

$log_{2}6=$

Niestety nie znajdziemy powyższego logarytmu, więc 6 musimy rozbić na mnożenie:

$log_{2}(2×3)=$

Zgodnie z wzorem, zamieniamy na dodawanie:

$log_2(2×3)=log_2 2+log_2 3$

Pierwszy z nich jest możliwy do obliczenia, zaś drugi musimy pozostawić

$log_2 2+log_2 3=1+log_2 3$, bo $2^1=2$ (stąd ta jedynka zamiast $log_2 2$)
 

Logarytm dzielenia

W tym przypadku wykonujemy wszystko podobnie jak w przypadku mnożenia logarytmów, jednak zamiast dodawania, jest odejmowanie.

Wzór na odejmowanie logarytmów:

$log_{a}{b}/{c}=log_{a}b-log_{a}c$
 

Przykład:

$log_2{5}/{8}=$

Zamieniamy dzielenie na odejmowanie dwóch logarytmów, tak jak we wzorze:

$log_2{5}/{8}=log_2 5-log_2 8=log_2 5-3$ Niestety nie możemy wyliczyć $log_2 5$, więc wynik pozostaje w formie $log_2 5-3$.
 

Logarytm potęgi

Zdarza się również, że liczba logarytmowa jest potęgą, np.: $log_2 {4^3}$. Wtedy wykładnik potęgi (w tym przypadku jest to 2) wyciągamy przed logarytm.

Wzór na logarytm potęgi:

$log_a(b^n)=n×log_a b$
 

Przykład:

$log_2 5^4=$

Po prostu wyciągamy wykładnik potęgi przed logarytm:

$log_2 5^4= 4×log_2 5$
 

Uwaga!

Dziedzinę sprawdzamy tylko wtedy, kiedy mamy w logarytmach niewiadome, jednakże warto wiedzieć czy nie mamy sprzeczności.
Wszystkie wzory z tego tematu znajdują się w karcie wzorów maturalnych.
Jeśli logarytm nie ma podstawy to znaczy, że to logarytm dziesiętny, wtedy $a=10$.
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Znajdź dziedzinę funkcji $f(x)=log_x (x^2-16)$.

Pamiętamy, zasady:
Jeśli mamy logarytm w postaci:

$log_a b=c$

To a musi spełniać wymagania:

$a≠1$

Oraz

$a >0$

Więc

$x≠1$

Oraz

$x >0$

Teraz b

$b >0$

$x^2-16>0$

Przenosimy

$x^2 >16$

I Pamiętamy o dwóch granicach

$x > 4$ lub $x < -4$

Zapisujemy całą dziedzinę

$D=(4;∞)$
 

Zadanie 2.

Oblicz:
$log_5 5-log_5 125=$

Po prostu podstawiamy:

$log_5 5-log_5 125=1-3=-2$

Ponieważ

$5^1=5$

$5^3=125$
 

Zadanie 3.

Oblicz:
$2 log_{1/5} 125=$

  $2 log_{1/5} 125=2×(-3)=-6$

Bo

$({1/5})^{-3}=125$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Oceń wartość logiczną zdania.

a)

 

 

FAŁSZ    {premium}

 

b)

 

 

 

PRAWDA

 

c)

Trapez jest równoległobokiem

Trapez to czworokąt, który ma przynajmniej jedną parę boków równoległych.

Zatem trapez nie jest równoległobokiem.

FAŁSZ 

Na ile co najmniej godzin...

Wprowadźmy oznaczenie:

x- liczba godzin, na które możemy wypożyczyć łódź, tak aby bardziej opłacało się skorzystać z usług firmy Y  {premium}


 

 

 


Odp.: Najmniejsza liczba godzin taka, na którą opłaca się bardziej skorzystać z usług firmy Y to 11.

Wyznacz współrzędne punktu ...

{premium}  

 

  

Do wykresu funkcji f(x)= ...

 

{premium}  

 

 

 

 

Zauważmy, że powyższy związek spełnia tylko para p=3 i q=-2. 

 

 

 

 

 

Wykonaj działania i zapisz wyrażenie

{premium}

Oblicz miejsce zerowe podanej funkcji...

 

Obliczmy miejsce zerowe podanej funkcji:

 

 

Współrzędne przecięcia wykresu tej funkcji z osią x to{premium} (7; 0)

Współrzędne przecięcia wykresu tej funkcji z osią y to (0; 7)


 

Obliczmy miejsce zerowe podanej funkcji:

 

 

 

Współrzędne przecięcia wykresu tej funkcji z osią x to (-2,5; 0)

Współrzędne przecięcia wykresu tej funkcji z osią y to (0; -2)


 

Obliczmy miejsce zerowe podanej funkcji:

 

 

 

Współrzędne przecięcia wykresu tej funkcji z osią x to (1/2; 0)

Współrzędne przecięcia wykresu tej funkcji z osią y to (0; 1/6)


 

Obliczmy miejsce zerowe podanej funkcji:

 

 

 

Współrzędne przecięcia wykresu tej funkcji z osią x to (-1; 0)

Współrzędne przecięcia wykresu tej funkcji z osią y to (0; 1/7)

W trójkącie prostokątnym kąt ostry ma miarę...

Rysunek poglądowy:

W trójkącie BCD:

 

{premium}  

 

Obliczmy długość boku AB, gdyż przeciwprostokątna AC jest od niego dwa razy większa. W trójkącie ABC:

 

 

 

Zatem:

 

 

 

Wyznacz równanie prostej...

a) Zauważmy, że rzędne obu punktów są równe. Jest to funkcja stała dana równaniem:{premium}

 

 

  

 

 

 

 

stąd

 

 

 

a więc

 

Funkcja liniowa jest dana równaniem:

 

 

d) Zauważmy, że odcięte obu punktów są równe. A więc prosta jest dana równaniem:

 

Funkcja f(x)=x^2+bx+c...

 

 

{premium}  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Jaką wartość przyjmuje funkcja f...

1. Funkcja f przyjmuje dla argumentu 1 wartość -7.{premium}

2. Ta funkcja przyjmuje wartość -7 dla argumentów 1 i 1 2/5.

3. Miejsca zerowe tej funkcji to √3 i -√2.

4. Do wykresu tej funkcji należy 5 punktów.

5. Największa wartość jaką przyjmuje ta funkcja to 1