Logarytmy - matura-podstawowa - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Logarytmy - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Skład logarytmu

Typowy logarytm wygląda następująco:

$log_{2}8$

gdzie:
$2$ to podstawa logarytmu
$8$ to liczba logarytmowa

Uwaga!

Jeżeli nie mamy określonej podstawy logarytmu to jest ona równa 10.

W przypadku tego logarytmu pytanie brzmi:
Do jakiej potęgi musimy podnieść liczbę 2, aby uzyskać liczbę 8?
No to wiemy bardzo łatwo, że to 3, więc

$log_{2}8=3$
 

Definicja logarytmu:

$log_{a}b=c$, gdzie $a^c=b$
 

Przykłady:

  • $log_{3}1=0$, bo $3^0=1$
  • $log_{4}64=3$ bo $4^3=64$
  • $log_{5}{1}/{5}=-1$ bo $5^{-1}=1/5$

Dziedzina logarytmu

Aby logarytm istniał musi on spełniać trzy podstawowe warunki.

Jeśli mamy logarytm w postaci:
$log_ab=c$
To a musi spełniać wymagania:

  • $a≠1$
  • $a > 0$
Z kolei wartość b:
  • $b > 0$

Jeśli natrafimy na jakiekolwiek równanie z logarytmem musimy o tym pamiętać!

Logarytm mnożenia

Możemy mnożyć liczby znajdujące się w liczbie logarytmowej, dzięki czemu rozbijemy go na dwa osobne. Z logarytmami jak z pierwiastkami, nie każdy da się policzyć, ale możemy je rozbić.

Wzór na dodawanie logarytmów:

$log_{a}(b×c)=log_{a}b+log_{a}c$
 

Przykład:

$log_{2}6=$

Niestety nie znajdziemy powyższego logarytmu, więc 6 musimy rozbić na mnożenie:

$log_{2}(2×3)=$

Zgodnie z wzorem, zamieniamy na dodawanie:

$log_2(2×3)=log_2 2+log_2 3$

Pierwszy z nich jest możliwy do obliczenia, zaś drugi musimy pozostawić

$log_2 2+log_2 3=1+log_2 3$, bo $2^1=2$ (stąd ta jedynka zamiast $log_2 2$)
 

Logarytm dzielenia

W tym przypadku wykonujemy wszystko podobnie jak w przypadku mnożenia logarytmów, jednak zamiast dodawania, jest odejmowanie.

Wzór na odejmowanie logarytmów:

$log_{a}{b}/{c}=log_{a}b-log_{a}c$
 

Przykład:

$log_2{5}/{8}=$

Zamieniamy dzielenie na odejmowanie dwóch logarytmów, tak jak we wzorze:

$log_2{5}/{8}=log_2 5-log_2 8=log_2 5-3$ Niestety nie możemy wyliczyć $log_2 5$, więc wynik pozostaje w formie $log_2 5-3$.
 

Logarytm potęgi

Zdarza się również, że liczba logarytmowa jest potęgą, np.: $log_2 {4^3}$. Wtedy wykładnik potęgi (w tym przypadku jest to 2) wyciągamy przed logarytm.

Wzór na logarytm potęgi:

$log_a(b^n)=n×log_a b$
 

Przykład:

$log_2 5^4=$

Po prostu wyciągamy wykładnik potęgi przed logarytm:

$log_2 5^4= 4×log_2 5$
 

Uwaga!

Dziedzinę sprawdzamy tylko wtedy, kiedy mamy w logarytmach niewiadome, jednakże warto wiedzieć czy nie mamy sprzeczności.
Wszystkie wzory z tego tematu znajdują się w karcie wzorów maturalnych.
Jeśli logarytm nie ma podstawy to znaczy, że to logarytm dziesiętny, wtedy $a=10$.
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Znajdź dziedzinę funkcji $f(x)=log_x (x^2-16)$.

Pamiętamy, zasady:
Jeśli mamy logarytm w postaci:

$log_a b=c$

To a musi spełniać wymagania:

$a≠1$

Oraz

$a >0$

Więc

$x≠1$

Oraz

$x >0$

Teraz b

$b >0$

$x^2-16>0$

Przenosimy

$x^2 >16$

I Pamiętamy o dwóch granicach

$x > 4$ lub $x < -4$

Zapisujemy całą dziedzinę

$D=(4;∞)$
 

Zadanie 2.

Oblicz:
$log_5 5-log_5 125=$

Po prostu podstawiamy:

$log_5 5-log_5 125=1-3=-2$

Ponieważ

$5^1=5$

$5^3=125$
 

Zadanie 3.

Oblicz:
$2 log_{1/5} 125=$

  $2 log_{1/5} 125=2×(-3)=-6$

Bo

$({1/5})^{-3}=125$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Wykaż, że funkcja y=f(x) ...

 

Funkcję  nazywamy malejącą, jeśli dla dowolnych dwóch argumentów  spełniony jest warunek:

jeśli , to .

Niech  są dowolnymi argumentami, takimi że: 

 

Wiemy, że funkcja  jest malejąca, więc spełniony jest warunek: {premium}

 

Zauważmy, że:

 

Pokazaliśmy, że funkcja  również jest malejąca w dziedzinie .


 

Funkcję  nazywamy rosnącą, jeśli dla dowolnych dwóch argumentów  spełniony jest warunek:

jeśli , to .

Niech  są dowolnymi argumentami, takimi że: 

 

Wiemy, że funkcja  jest rosnąca, więc spełniony jest warunek:

 

Zauważmy, że:

 

Pokazaliśmy, że funkcja  jest malejąca w dziedzinie .

Ile osi symetrii ma...

a) Z każdego wierzchołka możemy poprowadzić prostą, która dzieli przeciwległy bok na połowy. Każda z tych prostych jest osią symetrii a więc pięciokąt foremny posiada 5 osi symetrii.

podglad pliku{premium}

 

b) Możemy poprowadzić trzy proste przechodzące przez środki przeciwległych boków, każda z nich jest osią symetrii. Również możemy poprowadzić proste przechodzące przez przeciwległe wierzchołki, te proste również są osiami symetrii. Sześciokąt foremny ma 6 osi symetrii.

podglad pliku

Dwa boki trójkąta mają długość...

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:


Mamy dane:

 

 

 

 


a) Ze wzoru na pole trójkąta wyznaczamy długość trzeciego boku c:{premium}

 

 

 

 


Odp. Trzeci bok trójkąta ma długość 34 cm.



b) Obliczamy połowę obwodu trójkąta:

 


Ze wzoru na pole wyznaczamy promień okręgu wpisanego w trójkąt (r):

 

 

 


Odp. Promień okręgu wpisanego w trójkąt ma długość 7 cm. 

Oblicz ...

  {premium}

 

 


 

 


 

 

Ile jest liczb całkowitych w przedziale...

Liczby całkowite, należące do przedziału <-1,1; 15,2> to:{premium} -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15. Jest ich 17.

Prawidłowa odpowiedź to A.

Napisz równanie prostej tworzącej z prostą k o równaniu ...

Narysujmy prostą k:

 

       
       

Wykres funkcji y=x-2 {premium}

Proste spełniające warunek z zadania (nachylenie do tej prostej pod kątem 45o) są postaci:

 

 

Punkt o rzędnej 2 należący do prostej K to punkt A=(4,2)

Zatem proste spełniające oba warunki zadania to:

 

Jaką liczbę należy wstawić...

Iloczyn liczb xy jest stały.

{premium}  

A więc:

 

 

Odpowiedź D

Wyznacz taką wartość m, aby...

Podstawiamy do{premium} równania x=8, y=-11 i wyznaczamy m:

 

 

 

 


Odp. Para liczba (8, -11) jest rozwiązaniem równania dla m=5.

Ratownicy wytyczają prostokątne kąpielisko...

Lina ma 240 m, oznaczmy bok prostokąta przez x tak jak na rysunku, wtedy bok nieprzylegający do plaży ma długość:

 

 

{premium}  

 

Pole kąpieliska:

 

Funkcja określająca pole prostokąta w zależności od jego boków:

 

Parabola ma ramiona skierowane ku dołowi a więc wartość największa jest w wierzchołku, obliczmy odciętą wierzchołka paraboli. Można ją obliczyć licząc średnią arytmetyczną miejsc zerowych.

 

 

 

 

Kąpielisko o największej powierzchni będzie miało wymiary 60 m x 120 m.

Na przyjęciu spotkało się 12 osób. Ile nastąpiło powitań...

Zauważmy, że skoro na przyjęciu spotkało się 12 osób i każda osoba przywitała się z każdą inną osobą, to każdy gość na przyjęciu przywitał się 11 razy. 

Zwróćmy uwagę, że przywitanie osoby A z osobą B jest równocześnie przywitaniem osoby B z osobą A. {premium}

Zatem dostajemy, że wszystkich przywitań było

 (iloczyn 12٠11 dzielimy przez 2 żeby wykluczyć dwukrotne liczenie tego samego powitania)