Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Logarytmy - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Skład logarytmu

Typowy logarytm wygląda następująco:

$$log_{2}8$$

gdzie:
$$2$$ to podstawa logarytmu
$$8$$ to liczba logarytmowa

Uwaga!

Jeżeli nie mamy określonej podstawy logarytmu to jest ona równa 10.

W przypadku tego logarytmu pytanie brzmi:
Do jakiej potęgi musimy podnieść liczbę 2, aby uzyskać liczbę 8?
No to wiemy bardzo łatwo, że to 3, więc

$$log_{2}8=3$$
 

Definicja logarytmu:

$$log_{a}b=c$$, gdzie $$a^c=b$$
 

Przykłady:

  • $$log_{3}1=0$$, bo $$3^0=1$$
  • $$log_{4}64=3$$ bo $$4^3=64$$
  • $$log_{5}{1}/{5}=-1$$ bo $$5^{-1}=1/5$$

Dziedzina logarytmu

Aby logarytm istniał musi on spełniać trzy podstawowe warunki.

Jeśli mamy logarytm w postaci:
$$log_ab=c$$
To a musi spełniać wymagania:

  • $$a≠1$$
  • $$a > 0$$
Z kolei wartość b:
  • $$b > 0$$

Jeśli natrafimy na jakiekolwiek równanie z logarytmem musimy o tym pamiętać!

Logarytm mnożenia

Możemy mnożyć liczby znajdujące się w liczbie logarytmowej, dzięki czemu rozbijemy go na dwa osobne. Z logarytmami jak z pierwiastkami, nie każdy da się policzyć, ale możemy je rozbić.

Wzór na dodawanie logarytmów:

$$log_{a}(b×c)=log_{a}b+log_{a}c$$
 

Przykład:

$$log_{2}6=$$

Niestety nie znajdziemy powyższego logarytmu, więc 6 musimy rozbić na mnożenie:

$$log_{2}(2×3)=$$

Zgodnie z wzorem, zamieniamy na dodawanie:

$$log_2(2×3)=log_2 2+log_2 3$$

Pierwszy z nich jest możliwy do obliczenia, zaś drugi musimy pozostawić

$$log_2 2+log_2 3=1+log_2 3$$, bo $$2^1=2$$ (stąd ta jedynka zamiast $$log_2 2$$)
 

Logarytm dzielenia

W tym przypadku wykonujemy wszystko podobnie jak w przypadku mnożenia logarytmów, jednak zamiast dodawania, jest odejmowanie.

Wzór na odejmowanie logarytmów:

$$log_{a}{b}/{c}=log_{a}b-log_{a}c$$
 

Przykład:

$$log_2{5}/{8}=$$

Zamieniamy dzielenie na odejmowanie dwóch logarytmów, tak jak we wzorze:

$$log_2{5}/{8}=log_2 5-log_2 8=log_2 5-3$$ Niestety nie możemy wyliczyć $$log_2 5$$, więc wynik pozostaje w formie $$log_2 5-3$$.
 

Logarytm potęgi

Zdarza się również, że liczba logarytmowa jest potęgą, np.: $$log_2 {4^3}$$. Wtedy wykładnik potęgi (w tym przypadku jest to 2) wyciągamy przed logarytm.

Wzór na logarytm potęgi:

$$log_a(b^n)=n×log_a b$$
 

Przykład:

$$log_2 5^4=$$

Po prostu wyciągamy wykładnik potęgi przed logarytm:

$$log_2 5^4= 4×log_2 5$$
 

Uwaga!

Dziedzinę sprawdzamy tylko wtedy, kiedy mamy w logarytmach niewiadome, jednakże warto wiedzieć czy nie mamy sprzeczności.
Wszystkie wzory z tego tematu znajdują się w karcie wzorów maturalnych.
Jeśli logarytm nie ma podstawy to znaczy, że to logarytm dziesiętny, wtedy $$a=10$$.
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Znajdź dziedzinę funkcji $$f(x)=log_x (x^2-16)$$.

Pamiętamy, zasady:
Jeśli mamy logarytm w postaci:

$$log_a b=c$$

To a musi spełniać wymagania:

$$a≠1$$

Oraz

$$a >0$$

Więc

$$x≠1$$

Oraz

$$x >0$$

Teraz b

$$b >0$$

$$x^2-16>0$$

Przenosimy

$$x^2 >16$$

I Pamiętamy o dwóch granicach

$$x > 4$$ lub $$x < -4$$

Zapisujemy całą dziedzinę

$$D=(4;∞)$$
 

Zadanie 2.

Oblicz:
$$log_5 5-log_5 125=$$

Po prostu podstawiamy:

$$log_5 5-log_5 125=1-3=-2$$

Ponieważ

$$5^1=5$$

$$5^3=125$$
 

Zadanie 3.

Oblicz:
$$2 log_{1/5} 125=$$

  $$2 log_{1/5} 125=2×(-3)=-6$$

Bo

$$({1/5})^{-3}=125$$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Oblicz. Odpowiedź podaj w notacji wykładniczej

`a)\ (7,2*10^18*strike(4,9)^7*10^7)/(strike(5,6)^8*10^32)=(strike(7,2)^(0,9)*7*10^18*10^7)/(strike8^1*10^32)=(6,3*10^25)/10^32=6,3*10^(25-32)=6,3*10^-7`

`b)\ (1,44*10^11*strike(5,4)^3*10^23)/(strike(1,8)^1*10^5*3,6*10^8)=(1,44*10^11*10^23*strike3^1)/(10^5*10^8*strike(3,6)^(1,2))=(strike(1,44)^(1,2)*10^34)/(10^13*strike(1,2)^1)=1,2*10^(34-13)=1,2*10^21`

`c)\ 4\ 410\ 000\ 000:0,021=(4,41*10^9):(21*10^-3)=(4,41*10^9)/(21*10^-3)=(4,41)/21*10^9/10^-3=`

`\ \ \ =0,21*10^(9-(-3))=0,21*10^(9+3)=0,21*10^12=0,21*10*10^11=2,1*10^11`

`d)\ 10\ 240:0,000\ 000\ 08=(1,024*10^4):(8*10^-8)=(1,024*10^4)/(8*10^-8)=(1,024)/8*10^4/10^-8=`

`\ \ \ =0,128*10^(8-(-4))=0,128*10^(8+4)=0,128*10^12=0,128*10*10^11=1,28*10^11`

`e)\ 0,000\ 000\ 216:360\ 000=(216*10^-9):(36*10^4)=(216*10^-9)/(36*10^4)=216/36*10^-9/10^4=`

`\ \ \ =6*10^(-9-4)=6*10^-13`

`f)\ 0,000\ 000\ 000\ 08:2,5=(8*10^-11):2,5=(8*10^-11)/(2,5)=8/(2,5)*10^-11=80/25*10^-11=`

`\ \ \ =16/5*10^-11=3,2*10^-11`

Uporządkuj liczby od najmniejszej do największej.

`A= log_6(log_2 64)=log_6(log_2 2^6)=log_6 6= log_6 6^1=1`

`B= log_(2/3) 81/16=log_(2/3) (16/81)^(-1)=log_(2/3) ((2/3)^(4))^(-1)=log_(2/3) (2/3)^(-4)=(-4)`

`C= log_(1/2)2 1/4- log_(1/2) 1 1/8= log_(1/2)9/4- log_(1/2) 9/8=log_(1/2) (9/4: 9/8)=`

`=log_(1/2) ((strike9)/(strike4)* (strike8)/(strike9))=log_(1/2)2=log_(1/2) (1/2)^(-1)= (-1)`

`D= log_3 3 6/7+log_3 2 1/3=log_3 27/7+log_3 7/3 =log_3((strike27)/(strike7)*(strike7)/(strike3))=`

`=log_3 9=log_3 3^2= 2`

`(-4)<(-1)<1<2`

`B<C<A<D` 

 

Badania przeprowadzone przez specjalistów dowodzą, że

Musimy sprawdzić, czy iloraz prędkości pojazdu i drogi hamowania jest stały. 

`50/13=3 11/13`

`72/27=8/3=2 2/3`

Te wielkości nie są wprost proporcjonalne. 

Funkcja kwadratowa f jest dana w postaci...

Przyjmijmy następujące oznaczenia:

`f(x)=ax^2+bx+c` 

`Delta=b^2-4ac` 

`(x_w,\ y_w)-` wierzchołek paraboli

`x_1=(-b-sqrtDelta)/(2a),\ \ \ x_2=(-b+sqrtDelta)/(2a)-`  pierwiastki dla `Delta>0`  

Równanie w postaci kanonicznej wygląda następująco:

`f(x)=a(x-x_w)^2+y_w,` 

a w postaci iloczynowej tak:

`f(x)=a(x-x_1)(x-x_2).`  

     

Rozwiązanie sposobem z pierwszej kropki:

`"a)"\ f(x)=x^2+6x+5` 

Obliczamy:

`Delta=36-4*5=16,\ sqrtDelta=4` 

`x_w=-b/(2a)=-6/2=-3`  

`y_w=-Delta/(4a)=-16/4=-4`     

`x_1=(-b-sqrtDelta)/(2a)=(-6-4)/2=-10/2=-5` 

`x_2=(-b+sqrtDelta)/(2a)=(-6+4)/2=-2/2=-1` 

Mamy już wszystko, co jest nam potrzebne do zapisania równania w postaci kanonicznej i ilocznynowej.

Zapisujemy postać iloczynową:

`f(x)=(x+5)(x+1)` 

Zapisujemy postać kanoniczną:

`f(x)=(x+3)^2-4`  

 

`"b)"\ f(x)=-2x^2+4x+2` 

Obliczamy:

`Delta=16+4*4=32,\ sqrtDelta=4sqrt2` 

`x_w=-b/(2a)=-4/(-4)=1`  

`y_w=-Delta/(4a)=-32/(-8)=-4`     

`x_1=(-b-sqrtDelta)/(2a)=(-4-4sqrt2)/(-4)=1+sqrt2` 

`x_2=(-b+sqrtDelta)/(2a)=(-4+4sqrt2)/(-4)=1-sqrt2` 

Mamy już wszystko, co jest nam potrzebne do zapisania równania w postaci kanonicznej i ilocznynowej.

Zapisujemy postać iloczynową:

`f(x)=-2(x-1-sqrt2)(x-1+sqrt2)` 

Zapisujemy postać kanoniczną:

`f(x)=-2(x-1)^2-4`  

 

`"c)"\ f(x)=3x^2-12x-15` 

Obliczamy:

`Delta=144-4*3*(-15)=144+12*15=144+180=324,\ sqrtDelta=18` 

`x_w=-b/(2a)=12/6=2`  

`y_w=-Delta/(4a)=-324/12=-27`     

`x_1=(-b-sqrtDelta)/(2a)=(12-18)/6=-6/6=-1` 

`x_2=(-b-sqrtDelta)/(2a)=(12+18)/6=30/6=5` 

Mamy już wszystko, co jest nam potrzebne do zapisania równania w postaci kanonicznej i ilocznynowej.

Zapisujemy postać iloczynową:

`f(x)=3(x+1)(x-5)` 

Zapisujemy postać kanoniczną:

`f(x)=3(x-2)^2-27`  

 

`"d)"\ f(x)=4x^2-4x-6` 

Obliczamy:

`Delta=16-4*4*(-6)=16+16*6=16+96=112,\ sqrtDelta=4sqrt7` 

`x_w=-b/(2a)=4/8=1/2`  

`y_w=-Delta/(4a)=-112/16=-7`     

`x_1=(-b-sqrtDelta)/(2a)=(4-4sqrt7)/8=1/2-sqrt7/2` 

`x_2=(-b+sqrtDelta)/(2a)=(4+4sqrt7)/8=1/2+sqrt7/2` 

Mamy już wszystko, co jest nam potrzebne do zapisania równania w postaci kanonicznej i ilocznynowej.

Zapisujemy postać iloczynową:

`f(x)=4(x-1/2+sqrt7/2)(x-1/2-sqrt7/2)` 

Zapisujemy postać kanoniczną:

`f(x)=4(x-1/2)^2-7`  

 

Rozwiązanie sposobem z drugiej kropki, przy pomocy wzorów skróconego mnożenia.

`"a)"\ f(x)=x^2+6x+5=x^2+6x+9-4=(x+3)^2-4->` postać kanoniczna

`f(x)=x^2+6x+5=(x+3)^2-4=(x+3)^2-2^2=(x+3-2)(x+3+2)=`

`=(x+1)(x+5)->`  postać iloczynowa

 

`"b)"\ f(x)=-2x^2+4x+2=-2(x^2-2x-1)=-2(x^2-2x+1-1-1)=`    

`=-2(x-1)^2-2*(-2)=-2(x-1)^2+4->` postać kanoniczna

`f(x)=-2x^2+4x+2=4-2(x-1)^2=2^2-[sqrt2(x-1)]^2=[2-sqrt2(x-1)][2+sqrt2(x-1)]=`  

`=(2-sqrt2x+sqrt2)(2+sqrt2x-sqrt2)=sqrt2(2/sqrt2-x+1)*sqrt2(2/sqrt2+x-1)=`    

`=2(-x+1+sqrt2/2)(x-1+sqrt2/2)=-2(x-1-sqrt2/2)(x-1+sqrt2/2)->` postać iloczynowa 

 

`"c)"\ f(x)=3x^2-12x-15=3(x^2-4x-5)=3(x^2-4x+4-4-5)=3(x^2-4x+4-9)=`  

`=3(x^2-4x+4)-3*9=3(x-2)^2-27->` postać kanoniczna

`f(x)=3x^2-12x-15=[sqrt3(x-2)]^2-(3sqrt3)^2=[sqrt3(x-2)-3sqrt3][sqrt3(x-2)+3sqrt3]=` 

`=sqrt3(x-2-3)*sqrt3(x-2+3)=3(x-5)(x+1)->` postać iloczynowa

 

`"d)"\ f(x)=4x^2-4x-6=4(x^2-x-6/4)=4(x^2-x+1/4-1/4-6/4)=4(x^2-x+1/4)-4*7/4=` 

`=4(x-1/2)^2-7->` postać kanoniczna

`f(x)=4x^2-4x-6=[2(x-1/2)]^2-(sqrt7)^2=[2(x-1/2)-sqrt7][2(x-1/2)+sqrt7]=` 

`=2(x-1/2-sqrt7/2)*2(x-1/2+sqrt7/2)=4(x-1/2-sqrt7/2)(x-1/2+sqrt7/2)->` postać iloczynowa  

  

Wyznacz wszystkie wartości m ...

Funkcja liniowa jest rosnąca, jeśli jej współczynnik kierunkowy (współczynnik stojący przy x) jest liczbą dodatnią. 

 

`a)`

`m-1>0\ \ \ |+1`

`m>1`

 

`b)`

`-3m>0\ \ \ |:(-3m)`

`m<0`

 

`c)`

`2m-sqrt3>0\ \ \ |+sqrt3`

`2m>sqrt3\ \ \ \ \ |:2`

`m>sqrt3/2`

 

`d)`

`(2-3sqrt2)m>0\ \ \ \ \ |:(2-3sqrt2)`

`m>0`

Centrala ogrodnicza skupuje dziennie...

Przez x oznaczmy liczbę obniżek ceny truskawek o 10 groszy. Przychód z każdego kilograma to 3,50 zł natomiast czystego dochodu mamy 0,50 groszy gdyż 3 złoty wydajemy na dostawców.

`3, 50 - (3 + 0,1x) = 0,5 - 0,1x` 

Ilość sprzedawanych truskawek:

`100*x` 

 

Wtedy funkcja dochodu wygląda następująco:

`f(x) = (0,5 - 0,1x)*100x =0,1(5 - x) *100x = 10x(5-x) = -10x(x-5)`  

`D = (0,5)` 

 

Parabola ma ramiona skierowane ramionami ku dołowi a więc największa wartość jest w wierzchołku, odcięta wierzchołka paraboli to średnia arytmetyczna miejsc zerowych gdyż są równo odległe od wierzchołka.

`x_w = p = (x_1+x_2)/2 = (0+5)/2 = 5/2 = 2,5` 

 

A więc musimy obniżyć cenę truskawek o :

`3, 5 - (3+0,1*2,5) = 3,5 - (3+0,25) = 3,5 - 3,25 = -0,25`

Oblicz:

`a) \ (cos110^o)/(cos70^o) - tg \ 160^o * tg \ 70^o = (cos(180^o - 70^o))/(cos70^o) - tg(180^o-20^o) * 1/(tg(90^o - 20^o)) = -(cos70^o)/(cos70^o) +tg20^o*1/(tg \ 20^o)=-1+1=0` 

 

`b) \ (cos(90^o +40^o))/(sin(180^o-40^o)) + tg(180^o - 30^o)*tg \ 60^o = (- sin40^o)/(sin 40^o) - tg \ 30^o *1/(tg(90^o-30^o))=-1 - tg \ 30^o *1/(tg \ 30^o)= -1-1=-2` 

Zapisz wyrażenie w postaci kwadratu sumy lub kwadratu różnicy

Przypomnijmy wzory skróconego mnożenia na kwadrat sumy i kwadrat różnicy: 

`(a+b)^2=a^2+2ab+b^2`

`(a-b)^2=a^2-2ab+b^2`

 

 

`a)\ x^2+12x+36=x^2+2*x*6+6^2=(x+6)^2`

`b)\ 100k^2-40k+4=(10k)^2-2*10k*2+2^2=(10k-2)^2`

`c)\ a^2b^2+10ab+25=(ab)^2+2*ab*5+5^2=(ab+5)^2`

`d)\ 3t^2+2sqrt6tu+2u^2=(sqrt3t)^2+2*sqrt3t*sqrt2u+(sqrt2u)^2=(sqrt3t+sqrt2u)^2`

Oblicz, stosując wzory skróconego mnożenia

`a)\ 91^2=(90+1)^2=90^2+2*90*1+1^2=` 

`\ \ \ =8100+180+1=8281` 

 

`b)\ 102^2=(100+2)^2=100^2+2*100*2+2^2=` 

`\ \ \ =10\ 000+400+4=10\ 404` 

 

`c)\ 203^2=(200+3)^2=200^2+2*200*3+3^2=` 

` \ \ \ =40\ 000+1200+9=41\ 209` 

 

`d)\ 39^2=(40-1)^2=40^2-2*40*1+1^2=` 

`\ \ \ =1600-80+1=1521` 

 

`e)\ 99^2=(100-1)^2=100^2-2*100*1+1^2=` 

`\ \ \ =10\ 000-200+1=9801` 

 

`f)\ 498^2=(500-2)^2=500^2-2*500*2+2^2=` 

`\ \ \ =250\ 000-2000+4=248\ 004` 

 

`g)\ 33^2-31^2=(33-31)*(33+31)=2*64=128` 

 

`h)\ 103^2-97^2=(103-97)*(103+97)=` `6*200=1200`   

W lipcu pewnego roku było pięć niedziel...

W lipcu mamy 31 dni. Załóżmy, że niedziela jest pierwszym dniem miesiąca. Skoro jest pięć niedziel w tygodniu to od pierwszej do ostatniej niedzieli wyjdzie 29 dni. Zostały nam dwa dni a więc po ostatniej niedzieli będzie jeszcze poniedziałek i wtorek. Jeżeli Lipiec kończyłby się niedzielą to znaczy, że zaczynałby się piątkiem. W obu przypadkach środa i czwartek występowały tylko 4 razy.

 

Odpowiedź: Środa i czwartek.