Logarytmy - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Skład logarytmu

Typowy logarytm wygląda następująco:

$$log_{2}8$$

gdzie:
$$2$$ to podstawa logarytmu
$$8$$ to liczba logarytmowa

Uwaga!

Jeżeli nie mamy określonej podstawy logarytmu to jest ona równa 10.

W przypadku tego logarytmu pytanie brzmi:
Do jakiej potęgi musimy podnieść liczbę 2, aby uzyskać liczbę 8?
No to wiemy bardzo łatwo, że to 3, więc

$$log_{2}8=3$$
 

Definicja logarytmu:

$$log_{a}b=c$$, gdzie $$a^c=b$$
 

Przykłady:

  • $$log_{3}1=0$$, bo $$3^0=1$$
  • $$log_{4}64=3$$ bo $$4^3=64$$
  • $$log_{5}{1}/{5}=-1$$ bo $$5^{-1}=1/5$$

Dziedzina logarytmu

Aby logarytm istniał musi on spełniać trzy podstawowe warunki.

Jeśli mamy logarytm w postaci:
$$log_ab=c$$
To a musi spełniać wymagania:

  • $$a≠1$$
  • $$a > 0$$
Z kolei wartość b:
  • $$b > 0$$

Jeśli natrafimy na jakiekolwiek równanie z logarytmem musimy o tym pamiętać!

Logarytm mnożenia

Możemy mnożyć liczby znajdujące się w liczbie logarytmowej, dzięki czemu rozbijemy go na dwa osobne. Z logarytmami jak z pierwiastkami, nie każdy da się policzyć, ale możemy je rozbić.

Wzór na dodawanie logarytmów:

$$log_{a}(b×c)=log_{a}b+log_{a}c$$
 

Przykład:

$$log_{2}6=$$

Niestety nie znajdziemy powyższego logarytmu, więc 6 musimy rozbić na mnożenie:

$$log_{2}(2×3)=$$

Zgodnie z wzorem, zamieniamy na dodawanie:

$$log_2(2×3)=log_2 2+log_2 3$$

Pierwszy z nich jest możliwy do obliczenia, zaś drugi musimy pozostawić

$$log_2 2+log_2 3=1+log_2 3$$, bo $$2^1=2$$ (stąd ta jedynka zamiast $$log_2 2$$)
 

Logarytm dzielenia

W tym przypadku wykonujemy wszystko podobnie jak w przypadku mnożenia logarytmów, jednak zamiast dodawania, jest odejmowanie.

Wzór na odejmowanie logarytmów:

$$log_{a}{b}/{c}=log_{a}b-log_{a}c$$
 

Przykład:

$$log_2{5}/{8}=$$

Zamieniamy dzielenie na odejmowanie dwóch logarytmów, tak jak we wzorze:

$$log_2{5}/{8}=log_2 5-log_2 8=log_2 5-3$$ Niestety nie możemy wyliczyć $$log_2 5$$, więc wynik pozostaje w formie $$log_2 5-3$$.
 

Logarytm potęgi

Zdarza się również, że liczba logarytmowa jest potęgą, np.: $$log_2 {4^3}$$. Wtedy wykładnik potęgi (w tym przypadku jest to 2) wyciągamy przed logarytm.

Wzór na logarytm potęgi:

$$log_a(b^n)=n×log_a b$$
 

Przykład:

$$log_2 5^4=$$

Po prostu wyciągamy wykładnik potęgi przed logarytm:

$$log_2 5^4= 4×log_2 5$$
 

Uwaga!

Dziedzinę sprawdzamy tylko wtedy, kiedy mamy w logarytmach niewiadome, jednakże warto wiedzieć czy nie mamy sprzeczności.
Wszystkie wzory z tego tematu znajdują się w karcie wzorów maturalnych.
Jeśli logarytm nie ma podstawy to znaczy, że to logarytm dziesiętny, wtedy $$a=10$$.
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Znajdź dziedzinę funkcji $$f(x)=log_x (x^2-16)$$.

Pamiętamy, zasady:
Jeśli mamy logarytm w postaci:

$$log_a b=c$$

To a musi spełniać wymagania:

$$a≠1$$

Oraz

$$a >0$$

Więc

$$x≠1$$

Oraz

$$x >0$$

Teraz b

$$b >0$$

$$x^2-16>0$$

Przenosimy

$$x^2 >16$$

I Pamiętamy o dwóch granicach

$$x > 4$$ lub $$x < -4$$

Zapisujemy całą dziedzinę

$$D=(4;∞)$$
 

Zadanie 2.

Oblicz:
$$log_5 5-log_5 125=$$

Po prostu podstawiamy:

$$log_5 5-log_5 125=1-3=-2$$

Ponieważ

$$5^1=5$$

$$5^3=125$$
 

Zadanie 3.

Oblicz:
$$2 log_{1/5} 125=$$

  $$2 log_{1/5} 125=2×(-3)=-6$$

Bo

$$({1/5})^{-3}=125$$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Marcin, po zdaniu wszystkich egzaminów w sesji zimowej...

Przyjmijmy następujące oznaczenia:

 cena biletu "damskiego"

 cena biletu "męskiego"

Wiemy, że

 [mamy  bo Marcin też idzie na imprezę]   

oraz, że

 

Zapisujemy powyższe równania jako układ i wyznaczamy z niego niewiadome.

 

Dodajemy równania stronami i dopisujemy do układu pierwsze równanie z układu początkowego. 

 

 

 

 

 

Odp. Bilet "damski" kosztował  a "męski"  

Naszkicuj wykres funkcji

Aby narysować wykres funkcji liniowej, wyznaczamy współrzędne dwóch punktów, zaznaczamy je w układzie współrzędnych i prowadzimy przez nie prostą.{premium}

Aby sprawdzić, czy podany punkt należy do wykresu funkcji, podstawiamy pierwszą współrzędną punktu w miejsce x i obliczamy y - jeśli jest równy drugiej współrzędnej, to punkt należy do wykresu, a jeśli jest różny od drugiej współrzędnej, to punkt nie należy do wykresu. 

Wykonaj dzielenie z resztą

{premium}

 

Oblicz długości boków oraz miary kątów...

Rysunek:

 

 

Bo trójkąt jest równoramienny.

 

Z twierdzenia Pitagorasa:

 

 

 

 

 

 

Bo trójkąt jest równoramienny.

 

Z twierdzenia Pitagorasa:

 

 

 

 

 

b) Rysunek:

 

 

 

 

Z twierdzenia Pitagorasa:

  

 

 

 

Z twierdzenia Pitagorasa dla całego trójkąta:

  

 

 

 

 

 

 

Z tablic wartości trygonometrycznych odczytujemy:

 

A więc:

 

 

Stąd:

 

 

 

Oblicz x*y

 

 {premium}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

Rozwiąż równanie

 

 

 

równanie jest sprzeczne - nie ma rozwiązań

 

 

równanie jest tożsamościowe - spełnia je każda liczba rzeczywista

 

 

 

 

Oblicz, ile drobin znajduje się ...

Jeden mol to 6,02* 1023 cząsteczek.

Obliczmy, ile drobin znajduje się w 12 molach gazu:

 

Odp: W 12 molach gazu znajduje się 7,2241024 cząsteczek.

 

W 2006 roku w Polsce mieszkało ...

a) W Polsce mieszkało 38,125 mln osób.

W województwie mazowieckim mieszkało 13,66% ludności.

Obliczamy liczbę osób mieszkajacych w województwie mazowieckim:

 

Odp: W województwie mazowieckim mieszkało 5 207 875 osób.

 

b) W województwie śląskim mieszkało 4,56 mln osób.

Zapiszmy, jaką częścią liczby mieszkańców Polski stanowili mieszkańcy województwa śląskiego:

 

Otrzymany ułamek zapisujemy w procentach:

   

Odp: Mieszkańcy województwa śląskiego stanowili około 11,96% liczby mieszkańców Polski.

Sprawdź, czy wartość wyrażenia ...

 

 

 

    

Wyznacz zbiór A\B

 

{premium}