Liczby rzeczywiste - matura-podstawowa - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Liczby rzeczywiste - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Podział liczb rzeczywistych

Liczby rzeczywiste dzielą się na:

  • Naturalne: $0, 1, 2, 3 ...$
  • Całkowite (dodatnie oraz ujemne): $... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 ...$
  • Wymierne:

    Liczby, które da się zapisać w postaci ułamka zwykłego dwóch liczb całkowitych np.: $2/5$, $0,35$ $(0,35={35}/{100})$.
    Uwaga! Liczby całkowite i naturalne są również liczbami wymiernymi.

  • Niewymierne:

    Są to liczby, których nie da się przedstawić w postaci ułamka dwóch liczb całkowitych, np.: $π$, $√3$.

Ogólny podział liczb rzeczywistych możemy przedstawić następująco:

podzial

Legenda:
R - Rzeczywiste
W - Wymierne
NW - Niewymierne
C - Całkowite (dodatnie i ujemne)
N - Naturalne

Zatem opisując ten schemat: liczby rzeczywiste dzielą się na wymierne i niewymierne. W skład wymiernych wchodzą całkowite, które z kolei zawierają naturalne.

 

Ułamki zwykłe

O ułamkach uczyliśmy się już w szkole podstawowej.

Oznaczamy nimi w matematyce „część” czegoś. 

 

Ułamek składa się z licznika, mianownika oraz kreski ułamkowej.

ułamek

Wyrażenie postaci `a/b` , gdzie a i b to liczby naturalne oraz b jest różne od zera, nazywamy ułamkiem zwykłym.

Ciekawostka

Współczesny sposób zapisu ułamków pochodzi od matematyków hinduskich, którzy zapisywali licznik i mianownik nie używając kreski rozdzielającej. Dodanie kreski rozdzielającej zawdzięczamy Arabom tłumaczącym dzieła Hindusów. W Europie znane do dziś oznaczenie ułamków jako pierwszy w swoich pracach publikuje włoski matematyk Fibonacci.

Ułamki to inny zapis dzielenia liczb naturalnych.
Iloraz liczb naturalnych `a:b` możemy zapisać w postaci ułamka `a/b` . Dzielna `a`  jest licznikiem ułamka, dzielnik `b`  różny od zera jest mianownikiem, a kreska ułamkowa zastępuje znak dzielenia: `a:b=a/b` , gdzie b jest różne od zera ($b≠0$).

Przykłady:

  • `9/2=9:2`  

  • `2/3=2:3`  


Odwrotność ułamka

Jeżeli dany jest ułamek `a/b`, to ułamek `b/a` nazywamy odwrotnością ułamka `a/b` , gdzie `a!=0 \ "i" \ b!=0` .

Przykłady

  • odwrotnością liczby `3/4`  jest ułamek `4/3` ;  

  • odwrotnością liczby `4=4/1`  jest ułamek `1/4`,

  • odwrotnością ułamka  `1/9` jest liczba `9/1=9`


Ułamek w życiu codziennym

W życiu codziennym ułamek jest stosowany bardzo często, głównie oznacza część (kawałek) jakiejś całości.

Przykład:

  • Gdy podzielimy pizzę na 7 kawałków i zabierzemy 3 kawałki, to będziemy mieli `3/7`  („trzy siódme”) pizzy.

    Ogólnie:

    `a/b`   → jeśli mamy jakiś przedmiot (np. jabłko, tort, pizzę, czekoladę), to mianownik `b`  mówi na ile części go dzielimy, a licznik `a`  – ile takich części zabieramy.

Rodzaje ułamków

W ułamkach zwykłych występują również specjalne rodzaje ułamków.

  1. Ułamek niewłaściwy
    W ułamku niewłaściwym góra jest większa od dołu, czyli licznik jest większy od mianownika. Przykłady: $7/4$, $8/3$, $4/2$.

    Ułamek niewłaściwy możemy zapisać w postaci mieszanej.

  2. Ułamek mieszany
    Jest on połączeniem części ułamkowej i całkowitej np.: $3{3}/{4}$ . Możemy swobodnie przechodzić z ułamków niewłaściwych do mieszanych oraz na odwrót.

  3. Ułamek dziesiętny
    Ułamki dziesiętne to ułamki zwykłe o mianowniku będącym potęgą liczby 10 (10,100,1000,1000000 itd.)

 

Zamiana liczby mieszanej na ułamek niewłaściwy

Licznik tego ułamka otrzymujemy w następujący sposób: 

  1. Mianownik części ułamkowej mnożymy razy część całkowitą liczby mieszanej.

  2. Do otrzymanego iloczynu dodajemy licznik części ułamkowej.

Mianownik szukanego ułamka niewłaściwego jest równy mianownikowi części ułamkowej liczby mieszanej.

Przykłady: 

`3 1/4=(3*4+1)/4=13/4` 


`5 2/7=(5*7+2)/7=37/7` 

Zamiana ułamka niewłaściwego na liczbę mieszaną

W tym przypadku wykonujemy dokładnie odwrotne działania niż przy zamianie liczby mieszanej na ułamek niewłaściwy. 


Krok po kroku - zamiana ułamka niewłaściwego `16/3`  na liczbę mieszaną

  1. Najpierw dzielimy licznik przez mianownik, czyli `16:3=5 \ \ "r" \ 1 \ \ \ "bo" \ \ \ 5*3+1=15+1=16` 

  2. Otrzymujemy 5 całości. Pozostaje nam jeszcze 1 część. 

Mamy więc: 

`16/3=5 1/3` 


Przykłady:

  • `21/4=5 1/4` 

  • `35/6=5 5/6` 


Zamiana ułamka niewłaściwego na liczbę mieszaną lub liczbę naturalną nazywana jest wyłączaniem całości z ułamka

 

Rozszerzanie i skracanie ułamków

Każdy ułamek możemy rozszerzyć poprzez pomnożenie zarówno licznika jak i mianownika przez dowolną liczbę różną od 0. Pamiętamy przy tym o dwóch zasadach:

  • Każda liczba pomnożona przez 0 da 0
  • Kreska ułamkowa zastępuje znak dzielenia, a przez 0 nie dzielimy

Przykłady rozszerzania ułamków:

  • ${3}/{5}={3×3}/{5×3}={9}/{15}$
  • ${4}/{7}={4×5}/{7×5}={20}/{35}$

Każdy ułamek możemy skrócić dzieląc zarówno licznik i mianownik przez liczbę, przez którą obie liczby są podzielne.

Przykłady skracania ułamków

  • ${6}/{10}={3}/{5}$
  • ${8}/{32}={1}/{4}$
  • ${14}/{7}=2$

Uwaga!

Wynik ułamkowy zawsze sprowadzamy do postaci nieskracalnej! Możemy skracać lub rozszerzać część ułamkową w ułamku mieszanym.

Ułamki dziesiętne

Kolejny z omawianych typów ułamków to ułamki dziesiętne. Są to ułamki zwykłe o mianowniku będącym potęgą liczby 10 (10,100,1000,1000000 itd.). Aby uzyskać taki ułamek wystarczy, ze doprowadzimy metodami rozszerzania lub skracania do takiej liczby w mianowniku. Możemy także podzielić licznik przez mianownik.

Ułamek dziesiętny został stworzony po to, aby ułatwić ludzkości przeliczanie części. Badania marketingowe potwierdzają, że cena odpowiednio obniżona o 1-10gr działa cuda w porównaniu do pierwotnej.

Przykłady ułamków dziesiętnych:

  • $0,4$
  • $5,25$
  • $9,135$

Uwaga!

Możemy dowolnie dopisywać 0 za ostatnią cyfrą po przecinku np. $0,6=0,60=0,600$ , ale nie możemy ich usunąć przed tą cyfrą zatem równanie $0,06=0,6$ jest fałszywe!

Doprowadzenie do ułamka dziesiętnego odbywa się głównie na dwa sposoby:

  1. Rozszerzanie lub skracanie ułamka
    Doprowadzamy poznaną wcześniej metodą do wymaganego mianownika.

    Przykłady:

    • ${3}/{5}={3×2}/{5×2}={6}/{10}=0,6 $
    • ${11}/{4}=2{3}/{4}=2{3×25}/{4×25}=2{75}/{100}=2,75$
  2. Dzielenie licznika przez mianownik
    W tym przypadku obliczenia będziemy wykonywać pod kreską.

    Przykład:

    • p1

      ${1}/{8}=0,125$

Specjalnym typem ułamków dziesiętnych są ułamki okresowe, gdzie okresem nazywamy powtarzające się w nieskończoność cyfry za przecinkiem, okres oznaczamy symbolami $( )$.

Przykład:

p2

${1}/{6}=0,166666=0,1(6)$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Wykaż (powołując się na odpowiednie...

Przypomnijmy własności logarytmów, które nam się przydadzą:

 

 

 

 

gdzie  

oraz

 

 

 

 

gdzie  


 


 {premium}


 


 

 


 

 


 

 

Korzystając z wykresu...

a) Zauważmy, że:

{premium}  

 

 

Wykres sin(x)

podglad pliku

 

 

 

podglad pliku

 

Wyznacz równanie okręgu opisanego na kwadracie...

Żeby wyznaczyć równanie okręgu opisanego na kwadracie musimy:

- Obliczyć połowę długości przekątnej kwadratu (odcinek AC lub BD), stanowi ona długość promienia okręgu.

- Obliczyć środek odcinka AC lub BD, będzie to środek okręgu.

 

Żeby wyznaczyć równanie okręgu wpisanego w kwadrat musimy:

- Obliczyć połowę długości boku kwadratu, stanowi ona długość promienia okręgu. Jako iż w poprzednim podpunkcie policzymy długość przekątnej to skorzystamy z zależności pomiędzy długością boku kwadratu a długością przekątnej.

- Obliczyć środek odcinka AC lub BD, będzie to środek okręgu.

 

a) Równanie okręgu opisanego na kwadracie:

 

stąd:

 

 

 

 

 

{premium}  

 

  • Równanie okręgu wpisanego w kwadrat:

 

 

 

a więc:

 

 

 

równanie:

  

 

b) Równanie okręgu opisanego na kwadracie:

 

stąd:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Równanie okręgu wpisanego w kwadrat:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Równanie:

 

 

Przedstaw funkcję kwadratową f w postaci kanonicznej

Wykres funkcji f otrzymamy przesuwając wykres funkcji y=x² o 2 jednostki w prawo i 4 jednostki w dół.{premium}

 

 

 

Wykres funkcji f otrzymamy przesuwając wykres funkcji y=-x² o 1 jednostkę w prawo i 2 jednostki w dół.

 

 

Wykres funkcji f otrzymamy przesuwając wykres funkcji y=x² o 5 jednostek w lewo i 1 jednostkę w górę.

 

 

 

Wykres funkcji f otrzymamy przesuwając wykres funkcji y=-x² o 4 jednostki w prawo i 1 jednostkę w dół.

Podnieś do kwadratu liczbę dwucyfrową kończącą

{premium}

Liczba dwucyfrowa kończąca się cyfrą 5 podniesiona do kwadratu daje w wyniku liczbę, której dwie ostatnie cyfry to liczba 25.

Podobnie liczba trzycyfrowa lub czterocyfrowa kończąca się cyfrą 5 podniesiona do kwadratu daje w wyniku liczbę, której dwie ostatnie cyfry to liczba 25.

Dłuższa podstawa trapezu ma długość...

a) Rysunek poglądowy:

Skala podobieństwa większego trójkąta do mniejszego wynosi 4, zatem krótsza podstawa ma długość 2. Pole:

 

 

b) Rysunek poglądowy:

 

 

Stosunek pól trójkątów jest równy kwadratowi skali ich podobieństwa.

{premium}  

 

 

 

A więc

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Znając skalę podobieństwa łatwo zauważyć, ile wynosi długość trójkąta CDS:

 

 

Zatem wysokość trójkąta wynosi:

 

Dany jest trapez ABCD, gdzie ...

 

 

 

 

 

 

{premium}

 

 

 

  

 

  

Zapisz wzór funkcji w postaci kanonicznej ...

 

 {premium}

 

 

 

   

Połowa koła o promieniu 4...

Obliczmy pole połowy koła o promieniu 4:    {premium}

 


Obliczmy długość promienia koła o polu 8π:

 

 

 

 


Odp.: D


Wyznacz oś symetrii wykresu funkcji ...

{premium}