Liczby rzeczywiste - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Podział liczb rzeczywistych

Liczby rzeczywiste dzielą się na:

  • Naturalne: $$0, 1, 2, 3 ...$$
  • Całkowite (dodatnie oraz ujemne): $$... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 ...$$
  • Wymierne:

    Liczby, które da się zapisać w postaci ułamka zwykłego dwóch liczb całkowitych np.: $$2/5$$, $$0,35$$ $$(0,35={35}/{100})$$.
    Uwaga! Liczby całkowite i naturalne są również liczbami wymiernymi.

  • Niewymierne:

    Są to liczby, których nie da się przedstawić w postaci ułamka dwóch liczb całkowitych, np.: $$π$$, $$√3$$.

Ogólny podział liczb rzeczywistych możemy przedstawić następująco:

podzial

Legenda:
R - Rzeczywiste
W - Wymierne
NW - Niewymierne
C - Całkowite (dodatnie i ujemne)
N - Naturalne

Zatem opisując ten schemat: liczby rzeczywiste dzielą się na wymierne i niewymierne. W skład wymiernych wchodzą całkowite, które z kolei zawierają naturalne.

 

Ułamki zwykłe

O ułamkach zwykłych uczyliśmy się już w podstawówce i gminazjum, oznaczamy nimi w matematyce „część” czegoś. Może to być objętość, np. $$0,5 l$$. czy masa („Poproszę ćwierć kilo ziemniaków”) i wiele innych. Ułamki składają się z licznika, mianownika i kreski ułamkowej.

ulamek

Bardzo ważną kwestią jest znaczenie kreski ułamkowej, o którym wiele osób zapomina: zastępuje ona znak dzielenia. Zatem przykładowy ułamek możemy zapisać jako $$2/5=2÷5=0,4$$

 

Rodzaje ułamków

W ułamkach zwykłych występują również specjalne rodzaje ułamków.

  1. Ułamek niewłaściwy
    W ułamku niewłaściwym góra jest większa od dołu, czyli licznik jest większy od mianownika. Przykłady: $$7/4$$, $$8/3$$, $$4/2$$.

    Ułamek niewłaściwy możemy zapisać w postaci mieszanej.

  2. Ułamek mieszany
    Jest on połączeniem części ułamkowej i całkowitej np.: $$3{3}/{4}$$ . Możemy swobodnie przechodzić z ułamków niewłaściwych do mieszanych oraz na odwrót.

  3. Ułamek dziesiętny
    Ułamki dziesiętne to ułamki zwykłe o mianowniku będącym potęgą liczby 10 (10,100,1000,1000000 itd.)

 

Zamiana ułamka mieszanego na niewłaściwy

W zamianie ułamków niezależnie od sposobu mianownik pozostaje ten sam (zakładając oczywiście, że jakiś ułamek nam zostanie. W przypadku $$3 {8}/{4}=5$$ wynikiem jest liczba całkowita.)

Klucz do zamiany:

$$A{b}/{c}={A×c+b}/{c}$$

Przykłady:

  • $$3{4}/{5}={3×5+4}/{5}={19}/{5}$$
  • $$4{2}/{3}={4×3+2}/{3}={14}/{3}$$
 

Zamiana ułamka niewłaściwego na mieszany

W tym przypadku wykonujemy dokładnie odwrotne działanie jak przy zamianie ułamka mieszanego na niewłaściwy. Mianownik również pozostaje taki sam (z wyjątkami, w przypadku $${12}/{4}=3$$ wynikiem jest po prostu liczba całkowita).

Klucz do zamiany ułamka niewłaściwego na mieszany:

$${b}/{c}=A+{r}/{c}$$

Legenda:
A - część całkowita dzielenia
r - reszta z dzielenia

Krok po kroku - zamiana ułamka niewłaściwego $$16/3$$ na ułamek mieszany.
Najpierw dzielimy licznik przez mianownik, czyli $$16÷3=5$$ r. $$1$$ bo $$5×3+1=16$$. Z tego wynika, że nasze A=5; r=1, a c wynosi 3 (jest to zawsze mianownik ułamka niewłaściwego, który chcemy zamienić).
Działanie:
$${16}/{3}=5{1}/{3}$$

Przykłady:

  • $${21}/{4}=5{1}/{4}$$
  • $${35}/{6}=5{5}/{6}$$
 

Rozszerzanie i skracanie ułamków

Każdy ułamek możemy rozszerzyć poprzez pomnożenie zarówno licznika jak i mianownika przez dowolną liczbę różną od 0. Pamiętamy przy tym o dwóch zasadach:

  • Każda liczba pomnożona przez 0 da 0
  • Kreska ułamkowa zastępuje znak dzielenia, a przez 0 nie dzielimy

Przykłady rozszerzania ułamków:

  • $${3}/{5}={3×3}/{5×3}={9}/{15}$$
  • $${4}/{7}={4×5}/{7×5}={20}/{35}$$

Każdy ułamek możemy skrócić dzieląc zarówno licznik i mianownik przez liczbę, przez którą obie liczby są podzielne.

Przykłady skracania ułamków

  • $${6}/{10}={3}/{5}$$
  • $${8}/{32}={1}/{4}$$
  • $${14}/{7}=2$$

Uwaga!

Wynik ułamkowy zawsze sprowadzamy do postaci nieskracalnej! Możemy skracać lub rozszerzać część ułamkową w ułamku mieszanym.

Ułamki dziesiętne

Kolejny z omawianych typów ułamków to ułamki dziesiętne. Są to ułamki zwykłe o mianowniku będącym potęgą liczby 10 (10,100,1000,1000000 itd.). Aby uzyskać taki ułamek wystarczy, ze doprowadzimy metodami rozszerzania lub skracania do takiej liczby w mianowniku. Możemy także podzielić licznik przez mianownik.

Ułamek dziesiętny został stworzony po to, aby ułatwić ludzkości przeliczanie części. Badania marketingowe potwierdzają, że cena odpowiednio obniżona o 1-10gr działa cuda w porównaniu do pierwotnej.

Przykłady ułamków dziesiętnych:

  • $$0,4$$
  • $$5,25$$
  • $$9,135$$

Uwaga!

Możemy dowolnie dopisywać 0 za ostatnią cyfrą po przecinku np. $$0,6=0,60=0,600$$ , ale nie możemy ich usunąć przed tą cyfrą zatem równanie $$0,06=0,6$$ jest fałszywe!

Doprowadzenie do ułamka dziesiętnego odbywa się głównie na dwa sposoby:

  1. Rozszerzanie lub skracanie ułamka
    Doprowadzamy poznaną wcześniej metodą do wymaganego mianownika.

    Przykłady:

    • $${3}/{5}={3×2}/{5×2}={6}/{10}=0,6 $$
    • $${11}/{4}=2{3}/{4}=2{3×25}/{4×25}=2{75}/{100}=2,75$$
  2. Dzielenie licznika przez mianownik
    W tym przypadku obliczenia będziemy wykonywać pod kreską.

    Przykład:

    • p1

      $${1}/{8}=0,125$$

Specjalnym typem ułamków dziesiętnych są ułamki okresowe, gdzie okresem nazywamy powtarzające się w nieskończoność cyfry za przecinkiem, okres oznaczamy symbolami $$( )$$.

Przykład:

p2

$${1}/{6}=0,166666=0,1(6)$$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Udowodnij, że liczby

Liczba pierwsza ma tylko dwa dzielniki - dzieli się wyłącznie przez siebie i przez jedynkę. Zauważmy, że wszystkie liczby pierwsze poza liczbą 2 to liczby nieparzyste. Liczba 2123 to liczba nieparzysta. Jeśli chcemy przedstawić ją jako sumę dwóch liczb, to musi to być suma liczby parzystej i nieparzystej (dwie liczby parzyste i dwie liczby nieparzyste w sumie dają parzystą). Jedyna liczba pierwsza parzysta to 2. Wtedy druga liczba musiałaby być równa 2123-2=2121, ale ta liczba nie jest pierwsza, bo dzieli się na przykład przez 101 (2121:101=21).

Cenę pewnego towaru

`"początkowa cena towaru:"\ \ \ x` 

`"cena po obniżce 25%:"\ \ \ (100%-25%)*x=75%*x=0,75x` 

`"cena po podwyżce o 20%:"\ \ \ (100%+20%)*0,75x=120%*0,75x=1,2*0,75x=0,9x` 

`"cena po podwyżce o 10%:"\ \ \ (100%+10%)*0,9x=110%*0,9x=1,1*0,9x=0,99x` 

 

Ostateczna cena jest niższa od ceny początkowej. Obliczamy, o ile procent zmalała cena, czyli jakim procentem ceny początkowej jest różnica cen:

`(x-0,99x)/x=(0,01x)/x=0,01=1%\ \ \ \ \ \ odp.\ A` 

 

Każdy z punktów...

Przesuwając punkt (a,b) o wektor [p, q] otrzymujemy punkt A' o współrzędnych:

`A^' = (a +p, b+q)` 

 

`a) \ K^' = (2+3, 1-2) = (5, -1)` 

`L^' = (-3 + 3, -2 -2) = (0, -4)` 

`M^' = (0+3, 3-2) = (3, 1)` 

Cięciwy AB i CD przecinają się w punkcie ...

Kąty DMA oraz CMB są katami wierzchołkowymi, więc mają równe miary. Oznaczmy te miary jako α.

`|/_DMA|=|/_CMB|=alpha` 

Kąty wpisane DAB oraz DCB wyznaczone są przez te same łuki, więc mają równe miary. Oznaczmy te miary jako ß.

`|/_DAB|=|/_CMB|=beta` 

Trójkaty DMA oraz CMB są trójkątami podobnymi z cechy kąt kąt kąt (mają dwa kąty równej miary).

Trójkąty są podobne, więc długości odpowiadających sobie odcinków są proporcjonalne.

`|MA|/|MC|=|MD|/|MB|` 

`|MA|*|MB|=|MC|*|MD|` 

Oblicz: a) |-7*3| i |-7|*|3|,

a)

`|-7*3| =|-21|=-(-21)=21`

`|-7|*|3|=-(-7)*3=21`

b)

`|-12*(-2)|=|24|=24`

`|-12|*|-2|=-(-12)*-(-2)=12*2=24`

c)

`(|-16|)/(|2|)=|-16/2|=|-8|=-(-8)=8`

`|-16/2|=|-8|=-(-8)=8`

Dana jest funkcja f(x) ...

`f(x)=3-x` 

 

`a)` 

`g(x)=f(|x|)=3-|x|`  

`h(x)=1-f(|x|)=1-(3-|x|)`  

Zauważmy że powstały prostokąt można podzielić na dwa trójkąty o podstawie równej 5 i wysokości równej 2,5.

`P=2*1/2*2,5*5=12,5` 

 

`b)` 

`g(x)=|f(x)|=|3-x|`  

`h(x)=f(|x-2|)=3-|x-2|`  

Zauważmy że powstały prostokąt ma boki następującej długości:

`sqrt2 \ "i"\ 2sqrt2` 

`P=sqrt2*2sqrt2=4` 

Punkty wspólne paraboli...

Wyliczmy punkty wspólne paraboli:

`-x^2+2x+8 = 1/2x^2 -x + 7/2 \ \ \ |*2`  

`-2x^2 + 4x + 16 = x^2 - 2x + 7` 

`-3x^2 + 6x + 9 =0 \ \ \ |:(-3)` 

`x^2 -2x -3 =0` 

`Delta = (-2)^2 -4*1*(-3) = 4 + 12 = 16` 

`sqrtDelta = sqrt16 = 4` 

`x_1 = (-(-2)-4)/2 = (-2)/2 = -1` 

`x_2 = (-(-2)+4)/2 = 6/2 = 3` 

Podstawmy argumenty pod którekolwiek funkcje żeby obliczyć odpowiednie wartości

`f(x) = -x^2+2x+8` 

`f(-1) = -(-1)^2 + 2 * (-1) + 8 = -1 - 2 + 8 = 5` 

`f(3) = -3^2 + 2*3 + 8 = -9+6+8 = 14-9 = 5` 

 

Skoro punkty -1 i 3 mają takie same wartości to znaczy, że leżą w równej odległości od odciętej wierzchołka paraboli a więc:

`(-1+3)/2 = 1` 

 

Odcięta obu wierzchołków paraboli jest taka sama

 

`f(1) = -1^2 + 2*1 + 8 = 1 + 10 = 9` 

 

`g(x) = 1/2x^2 - x + 7/2 ` 

`g(1) = 1/2*1^2 - 1 + 7/2 = 4-1 = 3` 

 

Wierzchołki czworokąta to:

`(-1, 5) \ , \ (3, 5) \ , \ (1, 3) \ , \ (1, 9)` 

Jest to deltoid o przekątnych długości 4 i 6. Jego pole możemy obliczyć licząc połowę iloczynu długości jego przekątnych

`P=(4*6)/2 = 12`  

Liczba ³√75* ³√45 jest równa

`root(3)75*root(3)45=root(3)(75*45)=root(3)(3375)=root(3)15^3=ul(ul15)`

 

Przekątne rombu mają długośći

`a)` 

Pole rombu obliczamy jako połowę iloczynu długości przekątnych. 

Zapiszmy pole (wyrażone w centymetrach kwadratowych)

`P=1/2*3sqrt2*k` 

 

Wiemy, że pole jest większe niż 6 cm2:

`1/2*3sqrt2*k>6\ \ \ \ |*2` 
`3sqrt2*k>12\ \ \ |:3` 
`sqrt2*k>4\ \ \ |:sqrt2` 
`k>4/sqrt2` 
`k>(4sqrt2)/(sqrt2*sqrt2)` 
`k>(4sqrt2)/2` 
`k>2sqrt2\ \ \ \ \ \ \ \ (2sqrt2~~2*1,41=2,82)`       


Wiemy także, że pole jest mniejsze niż 18 cm2:
`1/2*3sqrt2*k<18\ \ \ |:3` 
`1/2*sqrt2*k<6\ \ \ |*2` 
`sqrt2*k<12\ \ \ |:sqrt2` 
`k<12/sqrt2` 
`k<(12sqrt2)/(sqrt2*sqrt2)` 
`k<(12sqrt2)/2` 
`k<6sqrt2\ \ \ \ \ \ \ \(6sqrt2~~6*1,41=8,46)`            


`"Liczby całkowite spełniające nierówność"\ 2sqrt2<k<6sqrt2\ "to:"\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8.`            


`b)` 
Pole trapezu obliczamy, dodając do siebie długości podstaw, a następnie mnożąc razy długość wysokości i dzieląc na dwa. Zapiszmy, ile wynosi pole trapezu (wyrażone w centymetrach kwadratowych): 
`P=(6+k)*5*1/2`     

Wiemy, że pole trapezu jest większe niż 20 cm2:
`(6+k)*5*1/2>20\ \ \ |:5` 
`(6+k)*1/2>4\ \ \ |*2`
`6+k>8\ \ \ |-6` 
`k>2`       


Wiemy także, że pole trapezu jest nie większe niż 52 cm2:
`(6+k)*5*1/2<=52\ \ \ \ |*2` 
`(6+k)*5<104\ \ \ |:5` 
`6+k<20,8\ \ \ |-6` 
`k<14,8`   

`"Liczby całkowite spełniające nierówność"\ 2<k<14,8\ "to: 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9,\ 10,\ 11,\ 12,\ 13,\ 14."`         

Oblicz

`a)\ (2+sqrt2)^3=2^3+3*2^2*sqrt2+3*2*sqrt2^2+sqrt2^3=`

`\ \ \ =8+3*4*sqrt2+3*2*2+2sqrt2=`

`\ \ \ =8+12sqrt2+12+2sqrt2=`

`\ \ \ =20+14sqrt2`

 

 

 

`b)\ (sqrt5-1)^3=sqrt5^3-3*sqrt5^2*1+3*sqrt5*1^2-1^3=`

`\ \ \ =5sqrt5-3*5*1+3sqrt5-1=`

`\ \ \ =5sqrt5-15+3sqrt5-1=`

`\ \ \ =8sqrt5-16`

 

 

 

`c)\ (3-sqrt3)^3=3^3-3*3^2*sqrt3+3*3*sqrt3^2-sqrt3^3=`

`\ \ \ =27-3*9sqrt3+3*3*3-3sqrt3=`

`\ \ \ =27-27sqrt3+27-3sqrt3=`

`\ \ \ =54-30sqrt3`

 

 

 

`d)\ (sqrt2-4)^3=sqrt2^3-3*sqrt2^2*4+3*sqrt2*4^2-4^3=`

`\ \ \ =2sqrt2-3*2*4+3*sqrt2*16-64=`

`\ \ \ =2sqrt2-24+48sqrt2-64=`

`\ \ \ =50sqrt2-88`

 

 

 

`e)\ (1+2sqrt5)^3=1^3+3*1^2*2sqrt5+3*1*(2sqrt5)^2+(2sqrt5)^3=`

`\ \ \ =1+3*1*2sqrt5+3*1*4*5+8*5sqrt5=`

`\ \ \ =1+6sqrt5+60+40sqrt5=`

`\ \ \ =46sqrt5+61`

 

 

 

`f)\ (2sqrt3-3)^3=(2sqrt3)^3-3*(2sqrt3)^2*3+3*2sqrt3*3^2-3^3=`

`\ \ \ =8*3sqrt3-3*4*3*3+3*2sqrt3*9-27=`

`\ \ \ =24sqrt3-108+54sqrt3-27=`

`\ \ \ =78sqrt3-135`

 

 

 

`g)\ (sqrt2+sqrt3)^3=sqrt2^3+3*sqrt2^2*sqrt3+3*sqrt2*sqrt3^2+sqrt3^3=`

`\ \ \ =2sqrt2+3*2*sqrt3+3*sqrt2*3+3sqrt3=`

`\ \ \ =2sqrt2+6sqrt3+9sqrt2+3sqrt3=`

`\ \ \ =11sqrt2+9sqrt3`

 

 

 

`h)\ (sqrt3-sqrt6)^3=sqrt3^3-3*sqrt3^2*sqrt6+3*sqrt3*sqrt6^2-sqrt6^3=`

`\ \ \ =3sqrt3-3*3*sqrt6+3*sqrt3*6-6sqrt6=`

`\ \ \ =3sqrt3-9sqrt6+18sqrt3-6sqrt6=`

`\ \ \ =21sqrt3-15sqrt6`