Liczby rzeczywiste - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Podział liczb rzeczywistych

Liczby rzeczywiste dzielą się na:

  • Naturalne: $$0, 1, 2, 3 ...$$
  • Całkowite (dodatnie oraz ujemne): $$... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 ...$$
  • Wymierne:

    Liczby, które da się zapisać w postaci ułamka zwykłego dwóch liczb całkowitych np.: $$2/5$$, $$0,35$$ $$(0,35={35}/{100})$$.
    Uwaga! Liczby całkowite i naturalne są również liczbami wymiernymi.

  • Niewymierne:

    Są to liczby, których nie da się przedstawić w postaci ułamka dwóch liczb całkowitych, np.: $$π$$, $$√3$$.

Ogólny podział liczb rzeczywistych możemy przedstawić następująco:

podzial

Legenda:
R - Rzeczywiste
W - Wymierne
NW - Niewymierne
C - Całkowite (dodatnie i ujemne)
N - Naturalne

Zatem opisując ten schemat: liczby rzeczywiste dzielą się na wymierne i niewymierne. W skład wymiernych wchodzą całkowite, które z kolei zawierają naturalne.

 

Ułamki zwykłe

O ułamkach zwykłych uczyliśmy się już w podstawówce i gminazjum, oznaczamy nimi w matematyce „część” czegoś. Może to być objętość, np. $$0,5 l$$. czy masa („Poproszę ćwierć kilo ziemniaków”) i wiele innych. Ułamki składają się z licznika, mianownika i kreski ułamkowej.

ulamek

Bardzo ważną kwestią jest znaczenie kreski ułamkowej, o którym wiele osób zapomina: zastępuje ona znak dzielenia. Zatem przykładowy ułamek możemy zapisać jako $$2/5=2÷5=0,4$$

 

Rodzaje ułamków

W ułamkach zwykłych występują również specjalne rodzaje ułamków.

  1. Ułamek niewłaściwy
    W ułamku niewłaściwym góra jest większa od dołu, czyli licznik jest większy od mianownika. Przykłady: $$7/4$$, $$8/3$$, $$4/2$$.

    Ułamek niewłaściwy możemy zapisać w postaci mieszanej.

  2. Ułamek mieszany
    Jest on połączeniem części ułamkowej i całkowitej np.: $$3{3}/{4}$$ . Możemy swobodnie przechodzić z ułamków niewłaściwych do mieszanych oraz na odwrót.

  3. Ułamek dziesiętny
    Ułamki dziesiętne to ułamki zwykłe o mianowniku będącym potęgą liczby 10 (10,100,1000,1000000 itd.)

 

Zamiana ułamka mieszanego na niewłaściwy

W zamianie ułamków niezależnie od sposobu mianownik pozostaje ten sam (zakładając oczywiście, że jakiś ułamek nam zostanie. W przypadku $$3 {8}/{4}=5$$ wynikiem jest liczba całkowita.)

Klucz do zamiany:

$$A{b}/{c}={A×c+b}/{c}$$

Przykłady:

  • $$3{4}/{5}={3×5+4}/{5}={19}/{5}$$
  • $$4{2}/{3}={4×3+2}/{3}={14}/{3}$$
 

Zamiana ułamka niewłaściwego na mieszany

W tym przypadku wykonujemy dokładnie odwrotne działanie jak przy zamianie ułamka mieszanego na niewłaściwy. Mianownik również pozostaje taki sam (z wyjątkami, w przypadku $${12}/{4}=3$$ wynikiem jest po prostu liczba całkowita).

Klucz do zamiany ułamka niewłaściwego na mieszany:

$${b}/{c}=A+{r}/{c}$$

Legenda:
A - część całkowita dzielenia
r - reszta z dzielenia

Krok po kroku - zamiana ułamka niewłaściwego $$16/3$$ na ułamek mieszany.
Najpierw dzielimy licznik przez mianownik, czyli $$16÷3=5$$ r. $$1$$ bo $$5×3+1=16$$. Z tego wynika, że nasze A=5; r=1, a c wynosi 3 (jest to zawsze mianownik ułamka niewłaściwego, który chcemy zamienić).
Działanie:
$${16}/{3}=5{1}/{3}$$

Przykłady:

  • $${21}/{4}=5{1}/{4}$$
  • $${35}/{6}=5{5}/{6}$$
 

Rozszerzanie i skracanie ułamków

Każdy ułamek możemy rozszerzyć poprzez pomnożenie zarówno licznika jak i mianownika przez dowolną liczbę różną od 0. Pamiętamy przy tym o dwóch zasadach:

  • Każda liczba pomnożona przez 0 da 0
  • Kreska ułamkowa zastępuje znak dzielenia, a przez 0 nie dzielimy

Przykłady rozszerzania ułamków:

  • $${3}/{5}={3×3}/{5×3}={9}/{15}$$
  • $${4}/{7}={4×5}/{7×5}={20}/{35}$$

Każdy ułamek możemy skrócić dzieląc zarówno licznik i mianownik przez liczbę, przez którą obie liczby są podzielne.

Przykłady skracania ułamków

  • $${6}/{10}={3}/{5}$$
  • $${8}/{32}={1}/{4}$$
  • $${14}/{7}=2$$

Uwaga!

Wynik ułamkowy zawsze sprowadzamy do postaci nieskracalnej! Możemy skracać lub rozszerzać część ułamkową w ułamku mieszanym.

Ułamki dziesiętne

Kolejny z omawianych typów ułamków to ułamki dziesiętne. Są to ułamki zwykłe o mianowniku będącym potęgą liczby 10 (10,100,1000,1000000 itd.). Aby uzyskać taki ułamek wystarczy, ze doprowadzimy metodami rozszerzania lub skracania do takiej liczby w mianowniku. Możemy także podzielić licznik przez mianownik.

Ułamek dziesiętny został stworzony po to, aby ułatwić ludzkości przeliczanie części. Badania marketingowe potwierdzają, że cena odpowiednio obniżona o 1-10gr działa cuda w porównaniu do pierwotnej.

Przykłady ułamków dziesiętnych:

  • $$0,4$$
  • $$5,25$$
  • $$9,135$$

Uwaga!

Możemy dowolnie dopisywać 0 za ostatnią cyfrą po przecinku np. $$0,6=0,60=0,600$$ , ale nie możemy ich usunąć przed tą cyfrą zatem równanie $$0,06=0,6$$ jest fałszywe!

Doprowadzenie do ułamka dziesiętnego odbywa się głównie na dwa sposoby:

  1. Rozszerzanie lub skracanie ułamka
    Doprowadzamy poznaną wcześniej metodą do wymaganego mianownika.

    Przykłady:

    • $${3}/{5}={3×2}/{5×2}={6}/{10}=0,6 $$
    • $${11}/{4}=2{3}/{4}=2{3×25}/{4×25}=2{75}/{100}=2,75$$
  2. Dzielenie licznika przez mianownik
    W tym przypadku obliczenia będziemy wykonywać pod kreską.

    Przykład:

    • p1

      $${1}/{8}=0,125$$

Specjalnym typem ułamków dziesiętnych są ułamki okresowe, gdzie okresem nazywamy powtarzające się w nieskończoność cyfry za przecinkiem, okres oznaczamy symbolami $$( )$$.

Przykład:

p2

$${1}/{6}=0,166666=0,1(6)$$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Narysuj kąt ostry. Poprowadź prostą przecinającą ramiona

Istnieje tylko jeden taki punkt (na rysunku oznaczony C). 

Punkty E i F są środkami boków AB i BC

`|DG|/|GB|=?`

 

Wiemy, że przekątne w równoległoboku dzielą się na pół, czyli:

`|DS|=|SB|=1/2|DB|`

 

Dodatkowo z twierdzenia o odcinku łączącym środki boków (dla trójkąta ABC) możemy zauważyć, że odcinki AC i EF są równoległe.

Możemy więc skorzystać z twierdzenia Talesa (ramiona kąta SBC przecięto równoległymi prostymi GF i SC)

`|BG|/|BF|=|GS|/|FC|\ \ \ =>\ \ \ |BG|*|FC|=|BF|*|GS|\ \ \ #(=>)^(|BF|=|FC|=1/2|BC|)\ \ \ |BG|*|FC|=|FC|*|GS|\ \ \ =>\ \ \ |BG|=|GS|`

 

 

 Oznaczmy długości odcinków: 

`|BG|=|GS|=x`

`|DS|=|SB|=|SG|+|GB|=x+x=2x`

 

 `|DG|/|GB|=(|DS|+|SG|)/|GB|=(2x+x)/x=(3x)/x=3/1=3:1`        

 

Zapisz liczby

`a)` 

Zamienimy ułamek okresowy na ułamek dziesiętny. 

 

`\ \ \ x=0,2222...` 

`10x=2,2222...` 

`10x-x=2,2222...-0,2222...` 

`9x=2\ \ \ |:2` 

`x=2/9` 

 

Zapisujemy podane liczby w postaci dziesiętnej oraz w postaci ułamka zwykłego. 

`3x=strike3^1*2/strike9^3=2/3=0,666...=0,(6)`  

`4x=4*2/9=8/9=0,888...=0,(8)`  

`5x=5*2/9=10/9=1 1/9=1,111...=1,(1)`  

`6x=strike6^2*2/strike9^3=4/3=1 1/3=1,333...=1,(3)`  

 

 

 

`b)` 

`\ \ \ \ x=0,050505...` 

`100x=5,050505...` 

`100x-x=5,050505...-0,050505...` 

`99x=5\ \ \ |:99` 

`x=5/99` 

 

`3x=strike3^1*5/strike99^33=5/33=0,151515...=0,(15)` 

`4x=4*5/99=20/99=0,202020...=0,(20)` 

`5x=5*5/99=25/99=0,252525...=0,(25)` 

`6x=strike6^2*5/strike99^33=10/33=0,303030...=0,(30)` 

 

 

`c)` 

`\ \ \ \ x=0,252525...` 

`100x=25,252525...` 

`100x-x=25,252525...-0,252525...` 

`99x=25\ \ \ |:99` 

`x=25/99` 

 

`3x=strike3^1*25/strike99^33=25/33=0,757575...=0,(75)` 

`4x=4*25/99=100/99=1 1/99=1,010101...=1,(01)` 

`5x=5*25/99=125/99=1 26/99=1,262626...=1,(26)` 

`6x=strike6^2*25/strike99^33=50/33=1 17/33=1,515151...=1,(51)` 

           

 

 

`d)` 

`\ \ \ \ x=0,242424...` 

`100x=24,242424...` 

`100x-x=24,242424...-0,242424...` 

`99x=24\ \ \ |:99` 

`x=24/99=8/33` 

 

`3x=strike3^1*8/strike33^11=8/11=0,727272...=0,(72)` 

`4x=4*8/33=32/33=0,969696...=0,(96)` 

`5x=5*8/33=40/33=1 7/33=1,212121...=1,(21)` 

`6x=strike6^2*8/strike33^11=16/11=1 5/11=1,454545...=1,(45)` 

 

Wyznacz dziedzinę funkcji ...

`a)` 

`f(x)=sqrt(2x)` 

 

`D:` 

`2x>=0\ implies\ x>=0` 

`D=[0;+oo)` 

 

`"Funkcja f jest rosnąca na przedziale P, gdy:"` 

`x_1,x_2 in P:\ x_1<x_2\ implies\ f(x_1)<f(x_2)`  

 

`x_1 in [0;+oo)`  

`t in RR_+` 

`x_2=x_1+t` 

`x_2>x_1`  

 

`f(x_1)=sqrt(2x_1)` 

`f(x_2)=sqrt(2x_1+2t)`  

`f(x_2)>f(x_1)`  

`"Na podstawie definicji funkcji rosnącej możemy stwierdzić, że f jest funkcją rosnącą."`  

 

`b)` 

`f(x)=sqrt(x-4)` 

 

`D:` 

`x-4>=0\ implies \ x>=4` 

`D=[4;+oo)` 

 

`"Funkcja f jest rosnąca na przedziale P, gdy:"` 

`x_1,x_2 in P:\ x_1<x_2\ implies\ f(x_1)<f(x_2)`  

 

`x_1 in [4;+oo)` 

`t in RR_+` 

`x_2=x_1+t` 

`x_2>x_1`  

 

`f(x_1)=sqrt(x_1-4) ` 

`f(x_2)=sqrt(x_1+t-4)` 

`f(x_2)>f(x_1)`  

`"Na podstawie definicji funkcji rosnącej możemy stwierdzić, że f jest funkcją rosnącą."` 

 

`c)` 

`f(x)=sqrt(x+1)-2` 

 

`D:` 

`x+1>=0\ implies\ x>=-1` 

`D=[-1;+oo)` 

 

`"Funkcja f jest rosnąca na przedziale P, gdy:"` 

`x_1,x_2 in P:\ x_1<x_2\ implies\ f(x_1)<f(x_2)`  

 

`x_1 in [-1;+oo)` 

`t in RR_+` 

`x_2=x_1+t` 

`x_2>x_1` 

 

`f(x_1)=sqrt(x_1+1)-2` 

`f(x_2)=sqrt(x_1+t+1)-2` 

`f(x_2)>f(x_1)` 

`"Na podstawie definicji funkcji rosnącej możemy stwierdzić, że f jest funkcją rosnącą."` 

Przekształć w symetrii

`a)` 

Zapiszmy wartości funkcji dla kilku argumentów: 

`f(-4)=-1/4*(-4)+2=1+2=3` 

`f(0)=-1/4*0+2=0+2=2` 

`f(4)=-1/4*4+2=-1+2=1` 

 

Odbijając symetrycznie względem osi x druga współrzędna, czyli y, zmienia znak na przeciwny. 

 

 

`b)` 

`f(-2)=(-2)^2=(-2)*(-2)=4` 

`f(-1)=(-1)^2=(-1)*(-1)=1` 

`f(0)=0^2=0*0=0` 

`f(1)=1^2=1*1=1` 

`f(2)=2^2=2*2=4` 

   

 

 

 

Piotr wybrał się z kolegą na wycieczkę rowerową ...

`a)`

`b)`

Wiemy, że w ciągu 50 minut pokonano 15 km. Chcemy obliczyć, ile pokonano w ciągu 1 godziny:

`50\ m i n =50/60\ h=5/6\ h\ \ \ \ \ \ -\ \ \ \ \ \ 15\ km`

`1\ h\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -\ \ \ \ \ \ x`

 

 

`(5/6)/15=1/x`

`5/6x=15\ \ \ |:5`

`1/6x=3\ \ \ |*6`

`x=18`

 

Zatem w ciągu jednej godziny pokonywano 60 km. Możemy zapisać wzór:

`t\ -\ "czas wyrażony w godzinach"`

`s(t)\ \ -\ \ "droga przebyta w czasie"\ t\ [km]`

`s(t)=18t`

 

 

 

`c)`

W ciągu jednej godziny pokonali 18 km, więc w ciągu 2 godzin pokonali 2 razy więcej, czyli 36 km. 

Skreśl liczby równe 2^10

`ul(ul("obliczenia:"))`

`2^3*2^2+2^5=2^(3+2)+2^5=2^5+2^5=2*2^5=2^6`

`4^-1:64^(-2)=(2^2)^(-1):(2^6)^(-2)=2^(2*(-1)):2^(6*(-2))=2^-2:2^-12=2^(-2-(-12))=2^(-2+12)=2^10`

`0,25^-1*4^4=(1/4)^-1*4^4=4*4^4=4^5=(2^2)^5=2^(2*5)=2^10`

`(2^5)^5-2^15=2^(5*5)-2^15=2^25-2^15`

`((-2)^4)^-5:(2^-10)^3=(-2)^(4*(-5)):2^(-10*3)=(-2)^(-20):2^(-30)=2^-20:2^-30=2^(-20-(-30))=2^(-20+30)=2^10`

`2*2^8+2*2^2=2^9+2^3`

`2^9+2*2^8=2^9+2^9=2*2^9=2^10`

 

 

`ul(ul("odpowiedź:"))`

`2^3*2^2+2^5\ \ \ \ \ \ \ \ \ strike(4^-1:64^-2)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \strike(0,25^-1*4^4)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ strike1024`

`(2^5)^5-2^15\ \ \ \ \ \ \ \ strike((-2)^4)^-5:(2^-10)^3\ \ \ \ \ \ \ \ 2*2^8+2*2^2\ \ \ \ \ \ \ \ strike(2^9+2*2^8)`

Punkt P(1;-3) leży na prostej l ...

`P_o=(1;-3)` 

`vecu=[-3;2]` 

Rozważmy wektor u jako wektor zaczepiony w początku układu współrzędnych.

k-prosta równoległa do prostej l. Do prostej k należą punkty P i punkt T=(0;0).

`k:y=ax+b` 

`0=0a+b\ implies\ b=0` 

`2=-3a` 

`a=-2/3` 

`k:y=-2/3x` 

 

`l:y=-2/3x+b` 

`-3=-2/3*1+b` 

`b=-3+2/3=-7/3` 

`l:y=-2/3x-7/3` 

 

`a)`   

`l:y=-2/3x-7/3` 

`P=(-17;9)` 

`9=-2/3*(-17)-7/3=34/3-7/3=27/3=9`  

Punkt P należy do prostej l.

 

`b)` 

`l:y=-2/3x-7/3` 

`P=(-18;9)` 

`9=-2/3*(-18)-7/3=36/3-7/3=29/3ne9`   

Punkt P nie należy do prostej l.

 

`c)` 

`l:y=-2/3x-7/3` 

`P=(16;-13)` 

`-13=-2/3*(16)-7/3=-32/3-7/3=-39/3=-13`  

Punkt P należy do prostej l.

 

`d)` 

`l:y=-2/3x-7/3` 

`P=(20;-17)` 

`-17=-2/3*(20)-7/3=-40/3-7/3=-47/3ne-13`  

Punkt P nie należy do prostej l.

Funkcję liniową, której wykresem jest prosta

Patrząc na współrzędne punktu B wnioskujemy, że współczynnik b musi byc równy -5 (patrz twierdzenie ze strony 150). 

`f(x)=ax-5`

 

Teraz wystarczy podstawić współrzędne punktu A do równania prostej: 

`f(-3)=0`

`a*(-3)-5=0\ \ \ |+5`

`-3a=5\ \ \ |:(-3)`

`a=-5/3=-1 2/3`

 

`f(x)=-1 2/3x-5\ \ \ \ \ \ \ odp.\ C`

Uzasadnij, że trójkąt, którego boki są zawarte w prostych

`a)` 

Narysujemy proste w układzie współrzędnych. trzecia prosta opisuje funkcję liniową stałą, równania dwóch pierwszych prostych zapisujemy w postaci kierunkowej i wyznaczamy współrzędne dwóch punktów, przez które przechodzić będzie wykres. 

 

`x+y=0\ \ \ =>\ \ \ y=-x`  

`x=2\ \ \ ->\ \ \ y=-2` 

`x=5\ \ \ ->\ \ \ y=-5` 

 

 

`x-y=0\ \ \ =>\ \ \ y=x` 

`x=3\ \ \ ->\ \ \ y=3` 

`x=4\ \ \ ->\ \ \ y=4`` ` 

 

 

 

 

 

`b)` 

`2x-y=0\ \ \ =>\ \ \ y=2x` 

`x=2\ \ \ ->\ \ \ y=2*2=4` 

`x=3\ \ \ ->\ \ \ y=2*3=6` 

 

 

`y-x-2=0\ \ \ =>\ \ \ y=x+2` 

`x=1\ \ \ ->\ \ \ y=1+2=3` 

`x=4\ \ \ ->\ \ \ y=4+2=6` 

 

`y+2=0\ \ \ =>\ \ \ y=-2`