Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Liczby rzeczywiste - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Podział liczb rzeczywistych

Liczby rzeczywiste dzielą się na:

  • Naturalne: $$0, 1, 2, 3 ...$$
  • Całkowite (dodatnie oraz ujemne): $$... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 ...$$
  • Wymierne:

    Liczby, które da się zapisać w postaci ułamka zwykłego dwóch liczb całkowitych np.: $$2/5$$, $$0,35$$ $$(0,35={35}/{100})$$.
    Uwaga! Liczby całkowite i naturalne są również liczbami wymiernymi.

  • Niewymierne:

    Są to liczby, których nie da się przedstawić w postaci ułamka dwóch liczb całkowitych, np.: $$π$$, $$√3$$.

Ogólny podział liczb rzeczywistych możemy przedstawić następująco:

podzial

Legenda:
R - Rzeczywiste
W - Wymierne
NW - Niewymierne
C - Całkowite (dodatnie i ujemne)
N - Naturalne

Zatem opisując ten schemat: liczby rzeczywiste dzielą się na wymierne i niewymierne. W skład wymiernych wchodzą całkowite, które z kolei zawierają naturalne.

 

Ułamki zwykłe

O ułamkach uczyliśmy się już w szkole podstawowej.

Oznaczamy nimi w matematyce „część” czegoś. 

 

Ułamek składa się z licznika, mianownika oraz kreski ułamkowej.

ułamek

Wyrażenie postaci `a/b` , gdzie a i b to liczby naturalne oraz b jest różne od zera, nazywamy ułamkiem zwykłym.

Ciekawostka

Współczesny sposób zapisu ułamków pochodzi od matematyków hinduskich, którzy zapisywali licznik i mianownik nie używając kreski rozdzielającej. Dodanie kreski rozdzielającej zawdzięczamy Arabom tłumaczącym dzieła Hindusów. W Europie znane do dziś oznaczenie ułamków jako pierwszy w swoich pracach publikuje włoski matematyk Fibonacci.

Ułamki to inny zapis dzielenia liczb naturalnych.
Iloraz liczb naturalnych `a:b` możemy zapisać w postaci ułamka `a/b` . Dzielna `a`  jest licznikiem ułamka, dzielnik `b`  różny od zera jest mianownikiem, a kreska ułamkowa zastępuje znak dzielenia: `a:b=a/b` , gdzie b jest różne od zera ($$b≠0$$).

Przykłady:

  • `9/2=9:2`  

  • `2/3=2:3`  


Odwrotność ułamka

Jeżeli dany jest ułamek `a/b`, to ułamek `b/a` nazywamy odwrotnością ułamka `a/b` , gdzie `a!=0 \ "i" \ b!=0` .

Przykłady

  • odwrotnością liczby `3/4`  jest ułamek `4/3` ;  

  • odwrotnością liczby `4=4/1`  jest ułamek `1/4`,

  • odwrotnością ułamka  `1/9` jest liczba `9/1=9`


Ułamek w życiu codziennym

W życiu codziennym ułamek jest stosowany bardzo często, głównie oznacza część (kawałek) jakiejś całości.

Przykład:

  • Gdy podzielimy pizzę na 7 kawałków i zabierzemy 3 kawałki, to będziemy mieli `3/7`  („trzy siódme”) pizzy.

    Ogólnie:

    `a/b`   → jeśli mamy jakiś przedmiot (np. jabłko, tort, pizzę, czekoladę), to mianownik `b`  mówi na ile części go dzielimy, a licznik `a`  – ile takich części zabieramy.

Rodzaje ułamków

W ułamkach zwykłych występują również specjalne rodzaje ułamków.

  1. Ułamek niewłaściwy
    W ułamku niewłaściwym góra jest większa od dołu, czyli licznik jest większy od mianownika. Przykłady: $$7/4$$, $$8/3$$, $$4/2$$.

    Ułamek niewłaściwy możemy zapisać w postaci mieszanej.

  2. Ułamek mieszany
    Jest on połączeniem części ułamkowej i całkowitej np.: $$3{3}/{4}$$ . Możemy swobodnie przechodzić z ułamków niewłaściwych do mieszanych oraz na odwrót.

  3. Ułamek dziesiętny
    Ułamki dziesiętne to ułamki zwykłe o mianowniku będącym potęgą liczby 10 (10,100,1000,1000000 itd.)

 

Zamiana liczby mieszanej na ułamek niewłaściwy

Licznik tego ułamka otrzymujemy w następujący sposób: 

  1. Mianownik części ułamkowej mnożymy razy część całkowitą liczby mieszanej.

  2. Do otrzymanego iloczynu dodajemy licznik części ułamkowej.

Mianownik szukanego ułamka niewłaściwego jest równy mianownikowi części ułamkowej liczby mieszanej.

Przykłady: 

`3 1/4=(3*4+1)/4=13/4` 


`5 2/7=(5*7+2)/7=37/7` 

Zamiana ułamka niewłaściwego na liczbę mieszaną

W tym przypadku wykonujemy dokładnie odwrotne działania niż przy zamianie liczby mieszanej na ułamek niewłaściwy. 


Krok po kroku - zamiana ułamka niewłaściwego `16/3`  na liczbę mieszaną

  1. Najpierw dzielimy licznik przez mianownik, czyli `16:3=5 \ \ "r" \ 1 \ \ \ "bo" \ \ \ 5*3+1=15+1=16` 

  2. Otrzymujemy 5 całości. Pozostaje nam jeszcze 1 część. 

Mamy więc: 

`16/3=5 1/3` 


Przykłady:

  • `21/4=5 1/4` 

  • `35/6=5 5/6` 


Zamiana ułamka niewłaściwego na liczbę mieszaną lub liczbę naturalną nazywana jest wyłączaniem całości z ułamka

 

Rozszerzanie i skracanie ułamków

Każdy ułamek możemy rozszerzyć poprzez pomnożenie zarówno licznika jak i mianownika przez dowolną liczbę różną od 0. Pamiętamy przy tym o dwóch zasadach:

  • Każda liczba pomnożona przez 0 da 0
  • Kreska ułamkowa zastępuje znak dzielenia, a przez 0 nie dzielimy

Przykłady rozszerzania ułamków:

  • $${3}/{5}={3×3}/{5×3}={9}/{15}$$
  • $${4}/{7}={4×5}/{7×5}={20}/{35}$$

Każdy ułamek możemy skrócić dzieląc zarówno licznik i mianownik przez liczbę, przez którą obie liczby są podzielne.

Przykłady skracania ułamków

  • $${6}/{10}={3}/{5}$$
  • $${8}/{32}={1}/{4}$$
  • $${14}/{7}=2$$

Uwaga!

Wynik ułamkowy zawsze sprowadzamy do postaci nieskracalnej! Możemy skracać lub rozszerzać część ułamkową w ułamku mieszanym.

Ułamki dziesiętne

Kolejny z omawianych typów ułamków to ułamki dziesiętne. Są to ułamki zwykłe o mianowniku będącym potęgą liczby 10 (10,100,1000,1000000 itd.). Aby uzyskać taki ułamek wystarczy, ze doprowadzimy metodami rozszerzania lub skracania do takiej liczby w mianowniku. Możemy także podzielić licznik przez mianownik.

Ułamek dziesiętny został stworzony po to, aby ułatwić ludzkości przeliczanie części. Badania marketingowe potwierdzają, że cena odpowiednio obniżona o 1-10gr działa cuda w porównaniu do pierwotnej.

Przykłady ułamków dziesiętnych:

  • $$0,4$$
  • $$5,25$$
  • $$9,135$$

Uwaga!

Możemy dowolnie dopisywać 0 za ostatnią cyfrą po przecinku np. $$0,6=0,60=0,600$$ , ale nie możemy ich usunąć przed tą cyfrą zatem równanie $$0,06=0,6$$ jest fałszywe!

Doprowadzenie do ułamka dziesiętnego odbywa się głównie na dwa sposoby:

  1. Rozszerzanie lub skracanie ułamka
    Doprowadzamy poznaną wcześniej metodą do wymaganego mianownika.

    Przykłady:

    • $${3}/{5}={3×2}/{5×2}={6}/{10}=0,6 $$
    • $${11}/{4}=2{3}/{4}=2{3×25}/{4×25}=2{75}/{100}=2,75$$
  2. Dzielenie licznika przez mianownik
    W tym przypadku obliczenia będziemy wykonywać pod kreską.

    Przykład:

    • p1

      $${1}/{8}=0,125$$

Specjalnym typem ułamków dziesiętnych są ułamki okresowe, gdzie okresem nazywamy powtarzające się w nieskończoność cyfry za przecinkiem, okres oznaczamy symbolami $$( )$$.

Przykład:

p2

$${1}/{6}=0,166666=0,1(6)$$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Naszkicuj w jednym układzie współrzędnych wykresy funkcji ...

`a)` 

`f(x)=2x^2` 

`g(x)=-x^2+3` 

`"Szukamy punktów wspólnych."` 

`f(x)=g(x)` 

`2x^2=-x^2+3` 

`3x^2-3=0` 

`x^2=1` 

`x=1\ \ \vee\ \ \x=-1` 

`f(1)=g(1)=2` 

`f(-1)=g(-1)=2` 

 

`"Punkty wspólne to:"` 

`(1,2)\ "i"\ (-1,2)` 

 

`b)` 

`f(x)=-2x^2` 

`g(x)=2(x-1)^2-2` 

 

`"Szukamy punktów wspólnych. (czyli dal jakiego x spełniona jest poniższa równość)"` 

`f(x)=g(x)` 

`-2x^2=2(x-1)^2-2=2(x^2-2x+1)-2=2x^2-4x+2-2` 

`-2x^2=2x^2-4x` 

`4x^2-4x=0` 

`x^2-x=0` 

`x(x-1)=0` 

`x=0\ \ \vee \ \ \x=1` 

 

`f(0)=g(0)=0` 

`f(1)=g(1)=-2` 

 

`"Punkty wspólne to:"` 

`(0,0)\ "i"\ (1,-2)`    

W trójkącie równoramiennym ramiona długości 5...

Rysunek poglądowy:

`sin 60^o = a/5` 

`a = sin60^o * 5 = sqrt3/2 * 5= (5sqrt3)/2`  

 

A więc długość podstawy wynosi:

`p = 2a = 2*(5sqrt3)/2 = 5sqrt3` 

Naszkicuj wykres funkcji g(x) = ...

Szkicujemy wykres funkcji:

`g(x)=3(2-x)` 

dla

`x in (-7;1>>` 

 

Zapiszmy wzór funkcji w prostszej postaci:

`g(x)=3(2-x)=6-3x` 

 

Wykres funkcji:

 

Nie istnieje największa wartość funkcji.

Funkcja dla x=1 ma wartość najmniejszą y=3.

Wyznacz zbiory A, B

`A={1,\ 4,\ 5,\ 7,\ 9}`

`B={6,\ 7,\ 8,\ 9}`

`A\\B={1,\ 4,\ 5}`

 

Oblicz wartość współczynnika b, jeśli...

`3x^2+bx-4=0` 

`1/x_1^4+1/x_2^4=x_2^4/(x_1^4x_2^4)+x_1^4/(x_1^4x_2^4)=(x_1^4+x_2^4)/(x_1^4x_2^4)` 

`x_1^4+x_2^4=(x_1^2)^2+(x_2^2)^2=(x_1^2+x_2^2)^2-2x_1^2x_2^2=((x_1+x_2)^2-2x_1x_2)^2-2(x_1x_2)^2=((-b/a)^2-2c/a)^2-2(c/a)^2`  

`1/x_1^4+1/x_2^4=5 1/8` 

`(((-b/a)^2-2c/a)^2-2(c/a)^2)/(c/a)^4=41/8` 

`(((-b/3)^2-2*(-4)/3)^2-2*((-4)/3)^2)/(-4/3)^4=41/8` 

`((b^2/9+8/3)^2-2*16/9)/(256/81)=41/8 \ \ \ |*256/81` 

`(b^2/9+24/9)^2-32/9=41/8*256/81` 

`((b^2+24)/9)^2-32/9=41/strike8^1*strike256^32/81`  

`((b^2+24)/9)^2-32/9=1312/81 \ \ \ |+32/9` 

`((b^2+24)/9)^2=1312/81+32/9` 

`((b^2+24)/9)^2=1312/81+288/81` 

`(b^4+48b^2+576)/81=1600/81 \ \ \ |*81` 

`b^4+48b^2+576=1600 \ \ \ |-1600` 

`b^4+48b^2-1024=0` 

Wstawmy `b^2=t` 

`t^2+48t-1024=0` 

`Delta=48^2-4*1*(-1024)=2304+4096=6400` 

`sqrt(Delta)=80` 

`t_1=(-48-80)/(2*1)=(-128)/2=-64 \ \ \ "sprzeczność"` 

`t_2=(-48+80)/(2*1)=32/2=16` 

`b^2=16` 

`b=4 \ \ \ "lub" \ \ \ b=-4` 

Dla jakich wartości parametru m

Najpierw rozwiążemy drugie równanie:

`2sqrt(9x^2-12x+4)-1/2(2x-3)=1 1/2-x` 

`2sqrt((3x-2)^2)-x+3/2=1 1/2-x` 

`2|3x-2|-x+1 1/2=1 1/2-x\ \ \ \ |+x-1 1/2` 

`2|3x-2|=0\ \ \ |:2` 

`|3x-2|=0` 

`3x-2=0\ \ \ \|+2`  

`3x=2\ \ \ |:3` 

`x=2/3`   

 

 

 

Teraz wyznaczymy rozwiązanie równania z parametrem:

`2m+3(x-5m)=m+9` 

`2m+3x-15m=m+9` 

`-13m+3x=m+9\ \ \ |+13m` 

`3x=14m+9\ \ \ |:3` 

`x=(14m+9)/3` 

 

 

Ma zachodzić warunek:

`(14m+9)/3>2/3\ \ \ |*3` 

`14m+9>2\ \ \ |-9` 

`14m> -7\ \ \ |:14` 

`m> -1/2` 

`ul(ul( m in (-1/2;\ +infty)))` 

 

Sprawdź czy trójkąt ABC jest ...

`a)` 

`A=(3;0)` 

`B=(-6;8)` 

`C=(-2;-2)` 

 

`|AB|=sqrt((-6-3)^2+(8-0)^2)=sqrt(81+64)=sqrt145` 

`|AC|=sqrt((-2-3)^2+(-2-0)^2)=sqrt(25+4)=sqrt29` 

`|BC|=sqrt((-2+6)^2+(-2-8)^2)=sqrt(16+100)=sqrt116` 

`"Czy"\ |AB|^2=|AC|^2+|BC|^2?` 

`|AB|^2=145` 

`|AC|^2+|BC|^2=29+116=145` 

Trójkąt ABC jest prostokątny.

 

`b)` 

`A=(-5;-1)` 

`B=(4;1)` 

`C=(3;5)` 

 

`|AB|=sqrt((4+5)^2+(1+1)^2)=sqrt(81+4)=sqrt85` 

`|AC|=sqrt((3+5)^2+(5+1)^2)=sqrt(64+36)=sqrt100=10`  

`|BC|=sqrt((3-4)^2+(5-1)^2)=sqrt(1+16)=sqrt17` 

`"Czy"\ |AC|^2=|AB|^2+|BC|^2?` 

`|AB|^2=100` 

`|AB|^2+|BC|^2=85+17=102ne100`  

 

Trójkąt ABC nie jest prostokątny.

Romb o przekątnych długości 10 cm i 24 cm jest podobny

`5^2+12^2=a^2`

`25+144=a^2`

`a^2=169`

`a=sqrt169=13\ cm`

 

Policzmy skalę podobieństwa dużego rombu do małego: 

`k=(65\ cm)/(13\ cm)=5`

 

Obliczamy obwody:

`O_d=4*65\ cm=260\ cm`

`O_m=4*13\ cm=52\ cm`

 

Policzmy jeszcze, jakie długości mają przekątne dużego rombu (oznaczmy je x, y)

`x/10=5\ \ \ =>\ \ \ x=10*5=50\ cm`

`y/24=5\ \ \ =>\ \ \ y=24*5=120\ cm`

 

Teraz możemy obliczyć pola rombów:

`P_d=1/2*120*50=60*50=3000\ cm^2`

`P_m=1/2*10*24=10*12=120\ cm^2`

 

 

Naszkicuj wykres funkcji f...

Najlepiej sobie poprowadzić proste x = -3  , x = 5 , y = -1 , y = 4. Wtedy dokładnie wiemy gdzie mamy naszkicować wykres naszej funkcji. Przykładowy wykres:

 

Dziedzina i zbiór wartości się zgadzają oraz funkcja ma dwa miejsca zerowe ujemne.

 

Równanie...

`x^2 -7x + 12 =0` 

`x^2 - 3x - 4x + 12 =0` 

`x(x-3)-4(x-3) =0` 

`(x-3)(x-4)=0` 

`x_1=3 \ \ vv \ \ x_2 = 4` 

Odpowiedź C