Liczby rzeczywiste - matura-podstawowa - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Liczby rzeczywiste - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Podział liczb rzeczywistych

Liczby rzeczywiste dzielą się na:

  • Naturalne: $0, 1, 2, 3 ...$
  • Całkowite (dodatnie oraz ujemne): $... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 ...$
  • Wymierne:

    Liczby, które da się zapisać w postaci ułamka zwykłego dwóch liczb całkowitych np.: $2/5$, $0,35$ $(0,35={35}/{100})$.
    Uwaga! Liczby całkowite i naturalne są również liczbami wymiernymi.

  • Niewymierne:

    Są to liczby, których nie da się przedstawić w postaci ułamka dwóch liczb całkowitych, np.: $π$, $√3$.

Ogólny podział liczb rzeczywistych możemy przedstawić następująco:

podzial

Legenda:
R - Rzeczywiste
W - Wymierne
NW - Niewymierne
C - Całkowite (dodatnie i ujemne)
N - Naturalne

Zatem opisując ten schemat: liczby rzeczywiste dzielą się na wymierne i niewymierne. W skład wymiernych wchodzą całkowite, które z kolei zawierają naturalne.

 

Ułamki zwykłe

O ułamkach uczyliśmy się już w szkole podstawowej.

Oznaczamy nimi w matematyce „część” czegoś. 

 

Ułamek składa się z licznika, mianownika oraz kreski ułamkowej.

ułamek

Wyrażenie postaci `a/b` , gdzie a i b to liczby naturalne oraz b jest różne od zera, nazywamy ułamkiem zwykłym.

Ciekawostka

Współczesny sposób zapisu ułamków pochodzi od matematyków hinduskich, którzy zapisywali licznik i mianownik nie używając kreski rozdzielającej. Dodanie kreski rozdzielającej zawdzięczamy Arabom tłumaczącym dzieła Hindusów. W Europie znane do dziś oznaczenie ułamków jako pierwszy w swoich pracach publikuje włoski matematyk Fibonacci.

Ułamki to inny zapis dzielenia liczb naturalnych.
Iloraz liczb naturalnych `a:b` możemy zapisać w postaci ułamka `a/b` . Dzielna `a`  jest licznikiem ułamka, dzielnik `b`  różny od zera jest mianownikiem, a kreska ułamkowa zastępuje znak dzielenia: `a:b=a/b` , gdzie b jest różne od zera ($b≠0$).

Przykłady:

  • `9/2=9:2`  

  • `2/3=2:3`  


Odwrotność ułamka

Jeżeli dany jest ułamek `a/b`, to ułamek `b/a` nazywamy odwrotnością ułamka `a/b` , gdzie `a!=0 \ "i" \ b!=0` .

Przykłady

  • odwrotnością liczby `3/4`  jest ułamek `4/3` ;  

  • odwrotnością liczby `4=4/1`  jest ułamek `1/4`,

  • odwrotnością ułamka  `1/9` jest liczba `9/1=9`


Ułamek w życiu codziennym

W życiu codziennym ułamek jest stosowany bardzo często, głównie oznacza część (kawałek) jakiejś całości.

Przykład:

  • Gdy podzielimy pizzę na 7 kawałków i zabierzemy 3 kawałki, to będziemy mieli `3/7`  („trzy siódme”) pizzy.

    Ogólnie:

    `a/b`   → jeśli mamy jakiś przedmiot (np. jabłko, tort, pizzę, czekoladę), to mianownik `b`  mówi na ile części go dzielimy, a licznik `a`  – ile takich części zabieramy.

Rodzaje ułamków

W ułamkach zwykłych występują również specjalne rodzaje ułamków.

  1. Ułamek niewłaściwy
    W ułamku niewłaściwym góra jest większa od dołu, czyli licznik jest większy od mianownika. Przykłady: $7/4$, $8/3$, $4/2$.

    Ułamek niewłaściwy możemy zapisać w postaci mieszanej.

  2. Ułamek mieszany
    Jest on połączeniem części ułamkowej i całkowitej np.: $3{3}/{4}$ . Możemy swobodnie przechodzić z ułamków niewłaściwych do mieszanych oraz na odwrót.

  3. Ułamek dziesiętny
    Ułamki dziesiętne to ułamki zwykłe o mianowniku będącym potęgą liczby 10 (10,100,1000,1000000 itd.)

 

Zamiana liczby mieszanej na ułamek niewłaściwy

Licznik tego ułamka otrzymujemy w następujący sposób: 

  1. Mianownik części ułamkowej mnożymy razy część całkowitą liczby mieszanej.

  2. Do otrzymanego iloczynu dodajemy licznik części ułamkowej.

Mianownik szukanego ułamka niewłaściwego jest równy mianownikowi części ułamkowej liczby mieszanej.

Przykłady: 

`3 1/4=(3*4+1)/4=13/4` 


`5 2/7=(5*7+2)/7=37/7` 

Zamiana ułamka niewłaściwego na liczbę mieszaną

W tym przypadku wykonujemy dokładnie odwrotne działania niż przy zamianie liczby mieszanej na ułamek niewłaściwy. 


Krok po kroku - zamiana ułamka niewłaściwego `16/3`  na liczbę mieszaną

  1. Najpierw dzielimy licznik przez mianownik, czyli `16:3=5 \ \ "r" \ 1 \ \ \ "bo" \ \ \ 5*3+1=15+1=16` 

  2. Otrzymujemy 5 całości. Pozostaje nam jeszcze 1 część. 

Mamy więc: 

`16/3=5 1/3` 


Przykłady:

  • `21/4=5 1/4` 

  • `35/6=5 5/6` 


Zamiana ułamka niewłaściwego na liczbę mieszaną lub liczbę naturalną nazywana jest wyłączaniem całości z ułamka

 

Rozszerzanie i skracanie ułamków

Każdy ułamek możemy rozszerzyć poprzez pomnożenie zarówno licznika jak i mianownika przez dowolną liczbę różną od 0. Pamiętamy przy tym o dwóch zasadach:

  • Każda liczba pomnożona przez 0 da 0
  • Kreska ułamkowa zastępuje znak dzielenia, a przez 0 nie dzielimy

Przykłady rozszerzania ułamków:

  • ${3}/{5}={3×3}/{5×3}={9}/{15}$
  • ${4}/{7}={4×5}/{7×5}={20}/{35}$

Każdy ułamek możemy skrócić dzieląc zarówno licznik i mianownik przez liczbę, przez którą obie liczby są podzielne.

Przykłady skracania ułamków

  • ${6}/{10}={3}/{5}$
  • ${8}/{32}={1}/{4}$
  • ${14}/{7}=2$

Uwaga!

Wynik ułamkowy zawsze sprowadzamy do postaci nieskracalnej! Możemy skracać lub rozszerzać część ułamkową w ułamku mieszanym.

Ułamki dziesiętne

Kolejny z omawianych typów ułamków to ułamki dziesiętne. Są to ułamki zwykłe o mianowniku będącym potęgą liczby 10 (10,100,1000,1000000 itd.). Aby uzyskać taki ułamek wystarczy, ze doprowadzimy metodami rozszerzania lub skracania do takiej liczby w mianowniku. Możemy także podzielić licznik przez mianownik.

Ułamek dziesiętny został stworzony po to, aby ułatwić ludzkości przeliczanie części. Badania marketingowe potwierdzają, że cena odpowiednio obniżona o 1-10gr działa cuda w porównaniu do pierwotnej.

Przykłady ułamków dziesiętnych:

  • $0,4$
  • $5,25$
  • $9,135$

Uwaga!

Możemy dowolnie dopisywać 0 za ostatnią cyfrą po przecinku np. $0,6=0,60=0,600$ , ale nie możemy ich usunąć przed tą cyfrą zatem równanie $0,06=0,6$ jest fałszywe!

Doprowadzenie do ułamka dziesiętnego odbywa się głównie na dwa sposoby:

  1. Rozszerzanie lub skracanie ułamka
    Doprowadzamy poznaną wcześniej metodą do wymaganego mianownika.

    Przykłady:

    • ${3}/{5}={3×2}/{5×2}={6}/{10}=0,6 $
    • ${11}/{4}=2{3}/{4}=2{3×25}/{4×25}=2{75}/{100}=2,75$
  2. Dzielenie licznika przez mianownik
    W tym przypadku obliczenia będziemy wykonywać pod kreską.

    Przykład:

    • p1

      ${1}/{8}=0,125$

Specjalnym typem ułamków dziesiętnych są ułamki okresowe, gdzie okresem nazywamy powtarzające się w nieskończoność cyfry za przecinkiem, okres oznaczamy symbolami $( )$.

Przykład:

p2

${1}/{6}=0,166666=0,1(6)$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Dla pewnej wartości parametru d funkcja ...

Wyznaczamy wartość funkcji  dla argumentu .

 {premium}


Wiemy, że dla pewnej wartości parametru , funkcja  spełnia zależność:

 


Możemy więc zapisać równość:

 

 

 

 


Wzór funkcji  ma więc postać:

 


Pierwsza współrzędna punktu przecięcia wykresu funkcji i osi  jest równa 0. Obliczamy wartość funkcji  dla argumentu 0.

 


Wykres funkcji  przecina oś  w punkcie o współrzędnych .

Które pary punktów mogą należeć ...

 

 

{premium}

 

   

 

Wykresy funkcji g i h...

a) Wykres funkcji g powstał przez odbicie symetryczne funkcji y=x2 względem osi x, zatem:

 

Wykres funkcji h powstał przez odbicie symetryczne funkcji y=x2 względem osi x, a następnie przesunięcie o wektor [3, 0]:   {premium}

 


b) Wykres funkcji g powstał przez odbicie symetryczne funkcji y=x względem osi y, zatem:

 

Wykres funkcji h powstał przez odbicie symetryczne funkcji y=względem osi y, a następnie przesunięcie o wektor [0, -4]:

 


c) Wykres funkcji g powstał przez odbicie symetryczne funkcji y=x3 względem osi y, zatem:

 

Wykres funkcji h powstał przez odbicie symetryczne funkcji y=x3 względem osi y, a następnie przesunięcie o wektor [1, 2]:

 

Naczynie A ma objętość 3,2 litra...

Wiemy, że:

 

zatem:  {premium}

 

 

Obliczmy, ile razy objętość naczynia A jest większa od objętości naczynia B:

 

 

Odp.: Objętość naczynia A jest 5 razy większa od objętości naczynia B.

Który znak: <, = czy > należy...

 ponieważ{premium}

 


 ponieważ

 

 

 


 ponieważ

 


 ponieważ

 


 ponieważ

 


 ponieważ

 

Niech x oznacza długość ramienia...

Obwód trójkąta{premium} o bokach x, x, 10 jest równy 2x+10


Trójkąt musi istnieć, więc suma długości każdych dwóch boków trójkąta musi być większa od długości trzeciego boku. Stąd:

 

 

 

 


Zatem:

 

Określ liczbę pierwiastków równania ...

 

 

 

{premium}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

     

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   

 

 

 

 

 

  

 

     

 

   

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

Sporządź wykres funkcji...

 

Z definicji wartości bezwzględnej:{premium}

 

 

Zatem:

 

I stąd:

 

Aby narysować wykres funkcji y=|x-2|+|x+1|-4, należy:

  • w przedziale (-oo, -1) narysować wykres funkcji y=-2x-3 [przechodzi on przez punkty (-3, 3) oraz (-1, -1)],
  • w przedziale <-1, 2) narysować wykres funkcji y=-1 [przechodzi on przez punkty (-1, -1) oraz (2, -1)],
  • w przedziale <2, +oo) narysować wykres funkcji y=2x-5 [przechodzi on przez punkty (2, -1) oraz (4, 3)].

Szkicujemy wykres funkcji y=|x-2|+|x+1|-4:

W trójkącie prostokątnym ABC, przez wierzchołek...

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:{premium}


a) Pole trójkąta ABC zapisujemy jako sumę pól trójkątów ACD i BCD:

 

 

 

 

 

 


b) Z tw. sinusów dla trójkąta ADC:

 

 

 

 


Z tw. sinusów dla trójkąta BCD:

 

 

 


Mamy więc:

 


 

Funkcja f jest malejąca w przedziale...

a) Wykres funkcji f przesuwamy o 2 jednostki w prawo. Przedziały monotoniczności{premium} przesuną się tak samo.

Zatem funkcja jest malejąca w przedziale (-oo, -1>, a rosnąca w przedziale <-1, +oo).


b) Wykres funkcji f przesuwamy o 3 jednostki w lewo. Przedziały monotoniczności przesuną się tak samo.

Zatem funkcja jest malejąca w przedziale (-oo, -6>, a rosnąca w przedziale <-6, +oo).


c) Wykres funkcji f przesuwamy o 7 jednostek w górę. Przedziały monotoniczności nie ulegną zmianie.

Zatem funkcja jest malejąca w przedziale (-oo, -3>, a rosnąca w przedziale <-3, +oo).


d) Wykres funkcji f przesuwamy o 100 jednostek w dół. Przedziały monotoniczności nie ulegną zmianie.

Zatem funkcja jest malejąca w przedziale (-oo, -3>, a rosnąca w przedziale <-3, +oo).