Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Liczby rzeczywiste - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Podział liczb rzeczywistych

Liczby rzeczywiste dzielą się na:

  • Naturalne: $$0, 1, 2, 3 ...$$
  • Całkowite (dodatnie oraz ujemne): $$... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 ...$$
  • Wymierne:

    Liczby, które da się zapisać w postaci ułamka zwykłego dwóch liczb całkowitych np.: $$2/5$$, $$0,35$$ $$(0,35={35}/{100})$$.
    Uwaga! Liczby całkowite i naturalne są również liczbami wymiernymi.

  • Niewymierne:

    Są to liczby, których nie da się przedstawić w postaci ułamka dwóch liczb całkowitych, np.: $$π$$, $$√3$$.

Ogólny podział liczb rzeczywistych możemy przedstawić następująco:

podzial

Legenda:
R - Rzeczywiste
W - Wymierne
NW - Niewymierne
C - Całkowite (dodatnie i ujemne)
N - Naturalne

Zatem opisując ten schemat: liczby rzeczywiste dzielą się na wymierne i niewymierne. W skład wymiernych wchodzą całkowite, które z kolei zawierają naturalne.

 

Ułamki zwykłe

O ułamkach zwykłych uczyliśmy się już w podstawówce i gminazjum, oznaczamy nimi w matematyce „część” czegoś. Może to być objętość, np. $$0,5 l$$. czy masa („Poproszę ćwierć kilo ziemniaków”) i wiele innych. Ułamki składają się z licznika, mianownika i kreski ułamkowej.

ulamek

Bardzo ważną kwestią jest znaczenie kreski ułamkowej, o którym wiele osób zapomina: zastępuje ona znak dzielenia. Zatem przykładowy ułamek możemy zapisać jako $$2/5=2÷5=0,4$$

 

Rodzaje ułamków

W ułamkach zwykłych występują również specjalne rodzaje ułamków.

  1. Ułamek niewłaściwy
    W ułamku niewłaściwym góra jest większa od dołu, czyli licznik jest większy od mianownika. Przykłady: $$7/4$$, $$8/3$$, $$4/2$$.

    Ułamek niewłaściwy możemy zapisać w postaci mieszanej.

  2. Ułamek mieszany
    Jest on połączeniem części ułamkowej i całkowitej np.: $$3{3}/{4}$$ . Możemy swobodnie przechodzić z ułamków niewłaściwych do mieszanych oraz na odwrót.

  3. Ułamek dziesiętny
    Ułamki dziesiętne to ułamki zwykłe o mianowniku będącym potęgą liczby 10 (10,100,1000,1000000 itd.)

 

Zamiana ułamka mieszanego na niewłaściwy

W zamianie ułamków niezależnie od sposobu mianownik pozostaje ten sam (zakładając oczywiście, że jakiś ułamek nam zostanie. W przypadku $$3 {8}/{4}=5$$ wynikiem jest liczba całkowita.)

Klucz do zamiany:

$$A{b}/{c}={A×c+b}/{c}$$

Przykłady:

  • $$3{4}/{5}={3×5+4}/{5}={19}/{5}$$
  • $$4{2}/{3}={4×3+2}/{3}={14}/{3}$$
 

Zamiana ułamka niewłaściwego na mieszany

W tym przypadku wykonujemy dokładnie odwrotne działanie jak przy zamianie ułamka mieszanego na niewłaściwy. Mianownik również pozostaje taki sam (z wyjątkami, w przypadku $${12}/{4}=3$$ wynikiem jest po prostu liczba całkowita).

Klucz do zamiany ułamka niewłaściwego na mieszany:

$${b}/{c}=A+{r}/{c}$$

Legenda:
A - część całkowita dzielenia
r - reszta z dzielenia

Krok po kroku - zamiana ułamka niewłaściwego $$16/3$$ na ułamek mieszany.
Najpierw dzielimy licznik przez mianownik, czyli $$16÷3=5$$ r. $$1$$ bo $$5×3+1=16$$. Z tego wynika, że nasze A=5; r=1, a c wynosi 3 (jest to zawsze mianownik ułamka niewłaściwego, który chcemy zamienić).
Działanie:
$${16}/{3}=5{1}/{3}$$

Przykłady:

  • $${21}/{4}=5{1}/{4}$$
  • $${35}/{6}=5{5}/{6}$$
 

Rozszerzanie i skracanie ułamków

Każdy ułamek możemy rozszerzyć poprzez pomnożenie zarówno licznika jak i mianownika przez dowolną liczbę różną od 0. Pamiętamy przy tym o dwóch zasadach:

  • Każda liczba pomnożona przez 0 da 0
  • Kreska ułamkowa zastępuje znak dzielenia, a przez 0 nie dzielimy

Przykłady rozszerzania ułamków:

  • $${3}/{5}={3×3}/{5×3}={9}/{15}$$
  • $${4}/{7}={4×5}/{7×5}={20}/{35}$$

Każdy ułamek możemy skrócić dzieląc zarówno licznik i mianownik przez liczbę, przez którą obie liczby są podzielne.

Przykłady skracania ułamków

  • $${6}/{10}={3}/{5}$$
  • $${8}/{32}={1}/{4}$$
  • $${14}/{7}=2$$

Uwaga!

Wynik ułamkowy zawsze sprowadzamy do postaci nieskracalnej! Możemy skracać lub rozszerzać część ułamkową w ułamku mieszanym.

Ułamki dziesiętne

Kolejny z omawianych typów ułamków to ułamki dziesiętne. Są to ułamki zwykłe o mianowniku będącym potęgą liczby 10 (10,100,1000,1000000 itd.). Aby uzyskać taki ułamek wystarczy, ze doprowadzimy metodami rozszerzania lub skracania do takiej liczby w mianowniku. Możemy także podzielić licznik przez mianownik.

Ułamek dziesiętny został stworzony po to, aby ułatwić ludzkości przeliczanie części. Badania marketingowe potwierdzają, że cena odpowiednio obniżona o 1-10gr działa cuda w porównaniu do pierwotnej.

Przykłady ułamków dziesiętnych:

  • $$0,4$$
  • $$5,25$$
  • $$9,135$$

Uwaga!

Możemy dowolnie dopisywać 0 za ostatnią cyfrą po przecinku np. $$0,6=0,60=0,600$$ , ale nie możemy ich usunąć przed tą cyfrą zatem równanie $$0,06=0,6$$ jest fałszywe!

Doprowadzenie do ułamka dziesiętnego odbywa się głównie na dwa sposoby:

  1. Rozszerzanie lub skracanie ułamka
    Doprowadzamy poznaną wcześniej metodą do wymaganego mianownika.

    Przykłady:

    • $${3}/{5}={3×2}/{5×2}={6}/{10}=0,6 $$
    • $${11}/{4}=2{3}/{4}=2{3×25}/{4×25}=2{75}/{100}=2,75$$
  2. Dzielenie licznika przez mianownik
    W tym przypadku obliczenia będziemy wykonywać pod kreską.

    Przykład:

    • p1

      $${1}/{8}=0,125$$

Specjalnym typem ułamków dziesiętnych są ułamki okresowe, gdzie okresem nazywamy powtarzające się w nieskończoność cyfry za przecinkiem, okres oznaczamy symbolami $$( )$$.

Przykład:

p2

$${1}/{6}=0,166666=0,1(6)$$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Wskaż przedział

`{(x> -2), (-x>=-5\ \ \ |*(-1)):}`

`{(x> -2), (x<=5):}\ \ \ =>\ \ \ x in (-2;\ 5>>\ \ \ \ \ odp.\ B`

 

 

Na rysunkach przedstawiono wykresy funkcji

`a)`

Najmniejsza wartość funkcji f jest równa -3 i jest przyjmowana dla argumentu 2. 

 

`b)`

Funkcja g nie przyjmuje najmniejszej wartości (w punkcie (-3, -3) mamy kółeczko niezamalowane)

 

`c)`

Najmniejsza wartość funkcji h jest równa -2 i jest przyjmowana dla argumentu -3. 

Dla jakiego α zachodzi ...

`alphavecu+vecv=vec0` 

`a)` 

`vecu=[2;-3]` 

`vecv=[-6;9]` 

`alphavecu+vecv=alpha[2;-3]+[-6;9]=[2alpha-6;-3alpha+9]=vec0=[0;0]` 

`2alpha-6=0\ \ \wedge\ \ \-3alpha+9=0` 

`alpha=3\ \ \wedge\ \ \alpha=3` 

`ul(alpha=3` 

 

`b)` 

`vecu=[-12;9]` 

`vecv=[-16;12]` 

`alphavecu+vecv=alpha[-12;9]+[-16;12]=[-12alpha-16;9alpha+12]=vec0=[0;0]` 

`-12alpha-16=0\ \ \wedge\ \ \9alpha+12=0` 

`alpha=-16/12=-4/3\ \ \wedge\ \ \alpha=-12/9=-4/3`   

`ul(alpha=-4/3`  

Dany jest okrąg...

`x^2+y^2 = 16` 

`x^2 + y^2 = 4^2` 

A więc nasz okrąg ma promień r = 4. Skoro cięciwa i promień mają taką samą długość to znaczy, że tworzą trójkąt równoboczny. Wysokość trójkąta równobocznego o boku 4 wynosi:

`h = (asqrt3)/2 = (4sqrt3)/2 = 2sqrt3` 

 

Wysokość padająca na bok trójkąta, będącęgo cięciwą okręgu, jest odległością środka okręgu od środka cięciwy. A więc wysokość będzie promieniem okręgu, którego elementami są środki cięciw o długości 4 okręgu `x^2 + y^2 = 16`  

`x^2+y^2 = (2sqrt3) ^2` 

`x^2 + y^2 = 12` 

Koniec dowodu.

Centrala ogrodnicza skupuje dziennie...

Przez x oznaczmy liczbę obniżek ceny truskawek o 10 groszy. Przychód z każdego kilograma to 3,50 zł natomiast czystego dochodu mamy 0,50 groszy gdyż 3 złoty wydajemy na dostawców.

`3, 50 - (3 + 0,1x) = 0,5 - 0,1x` 

Ilość sprzedawanych truskawek:

`100*x` 

 

Wtedy funkcja dochodu wygląda następująco:

`f(x) = (0,5 - 0,1x)*100x =0,1(5 - x) *100x = 10x(5-x) = -10x(x-5)`  

`D = (0,5)` 

 

Parabola ma ramiona skierowane ramionami ku dołowi a więc największa wartość jest w wierzchołku, odcięta wierzchołka paraboli to średnia arytmetyczna miejsc zerowych gdyż są równo odległe od wierzchołka.

`x_w = p = (x_1+x_2)/2 = (0+5)/2 = 5/2 = 2,5` 

 

A więc musimy obniżyć cenę truskawek o :

`3, 5 - (3+0,1*2,5) = 3,5 - (3+0,25) = 3,5 - 3,25 = -0,25`

Uzasadnij powyższe twierdzenie

Wystarczy z równania wyznaczyć x (wiemy, że współczynnik a jest niezerowy, więc możemy przez niego dzielić). 

Miejsce zerowe to argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość 0.

`0=ax+b\ \ \ \ \ \ |-b`

`-b=ax\ \ \ \ \ \ |:ane0`

`-b/a=x`

`x=-b/a`

Dana jest funkcja f(x)=2x-3

`g(x)=-2x+3=-(2x-3)=-f(x)\ \ \ \ \ \ \ odp.\ A`

 

Oblicz. Odpowiedź podaj w notacji wykładniczej

`a)\ 0,00000008*2,5=` `8*10^-8*2,5=` `8*2,5*10^-8=` 

`\ \ \ =20*10^-8=2*10*10^-8=2*10^-7` 

 

`b)\ 400\ 000\ 000:0,02=` `40\ 000\ 000\ 000:2=` 

`\ \ \ =4*10^10:2=4:2*10^10=2*10^10`   

 

`c)\ 10\ 240:0,00000032=` `(1024*10):(32*10^-8)=` 

`\ \ \ =(1024*10)/(32*10^-8)=1024/32*10/10^-8=` 

`\ \ \ =32*10^(1-(-8))=32*10^(1+8)=32*10^9=` 

`\ \ \ =3,2*10*10^9=3,2*10^10` 

Wyznacz miejsca zerowe funkcji

W każdym przykładzie rozpoczniemy od wyznaczenia dziedziny funkcji. 

 

`a)`

Wyznaczamy dziedzinę funkcji:

`x-4ne0\ \ \ \ |+4`

`xne4`

`D=RR\\{4}=(-infty,\ 4)uu(4,\ +infty)`

 

 

Szukamy miejsca zerowego funkcji, czyli argumentu, dla którego funkcja przyjmuje wartość 0: 

`f(x)=0`

`(x+2)/(x-4)=0\ \ \ \ |*(x-4)`

`x+2=0\ \ \ |-2`

`x=#(-2)_(_(inD))`

Otrzymany argument należy do dziedziny funkcji, jest więc miejscem zerowym. 

 

 

`b)`

`D=RR`

 

Szukamy miejsca zerowego:

`f(x)=0`

`|x|+3=0\ \ \ |-3`

`|x|=-3`

Taka równość nigdy nie zajdzie, ponieważ wartość bezwględna zawsze przyjmuje wartość nieujemną (określa ona przecież odległość od zera na osi liczbowej, więc nie może być ujemna). Zatem funkcja f(x) nie ma miejsc zerowych. 

W trójkątach ABC oraz A'B'C' poprowadzono ...

Z treści zadania wiemy, że:

`|CD|=|C'D'|`

`|/_ACB|=|/_A'C'B'|` 

`|/_ADB|=|/_A'D'B'|` 

Wykażemy najpierw, że przystające są trójkąty ADC oraz A'D'C'.

Kąt ADB ma taka samą miarę jak kąt A'D'B'. Kąt ADC jest przyległy do kąta ADB, podobnie kąt A'D'C' jest przyległy do kąta A'D'B'.

Kąty ADB i A'D'B' mają równą miarę, więc kąty ADC i A'D'C' także mają równą miarę.

`|/_ADC|=|/_A'D'C'|`

Trójkąty ADC oraz A'D'C' mają odpowiednio równy bok (|CD|=|c'D'|) oraz kąty przylegające do tego boku, więc są to trójkąty przystające.

 

Ccemy pokazać, że |CB|=|C'B'|.

Odcinki AD i A'D' są środkowymi poprowadzonymi z wierzchołka A na bok CB oraz z wierzchołka A' na bok C'B', dzielą więc każdy z boków CB i C'B' na dwa odcinki o równej mierze.

Stąd w trójkącie ABC mamy:

`|CD|=|DB|` 

 

 Natomiast w trójkącie A'B'C' mamy:

`|C'D|=|D'B'|` 

Odcinki CD i C'D' są przystajece więc także DB będzie przystający do D'B':

`|DB|=|D'B'|` 

czyli ostatecznie:

`|CB|=|C'B'|` 

 

Z treści zadania mamy:

`|/_ACB|=|/_A'C'B'|` 

Z przystawania trójkątów ADC i A'D'C' mamy:

`|AC|=|A'C'|` 

Z przystawania trójkątów ADC i A'D'C' oraz faktu, że AD i A'D' są środkowymi mamy:

`|CB|=|C'B'|` 

 

Trójkąty ABC oraz A'B'C' mają odpowiednio równe dwa bok (|AC|=|A'C'| i |CB|=|C'B'|) oraz kąty znajdujące się pomiędzy tymi bokami,  więc są to trójkąty przystające.