Liczby rzeczywiste - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Podział liczb rzeczywistych

Liczby rzeczywiste dzielą się na:

  • Naturalne: $$0, 1, 2, 3 ...$$
  • Całkowite (dodatnie oraz ujemne): $$... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 ...$$
  • Wymierne:

    Liczby, które da się zapisać w postaci ułamka zwykłego dwóch liczb całkowitych np.: $$2/5$$, $$0,35$$ $$(0,35={35}/{100})$$.
    Uwaga! Liczby całkowite i naturalne są również liczbami wymiernymi.

  • Niewymierne:

    Są to liczby, których nie da się przedstawić w postaci ułamka dwóch liczb całkowitych, np.: $$π$$, $$√3$$.

Ogólny podział liczb rzeczywistych możemy przedstawić następująco:

podzial

Legenda:
R - Rzeczywiste
W - Wymierne
NW - Niewymierne
C - Całkowite (dodatnie i ujemne)
N - Naturalne

Zatem opisując ten schemat: liczby rzeczywiste dzielą się na wymierne i niewymierne. W skład wymiernych wchodzą całkowite, które z kolei zawierają naturalne.

 

Ułamki zwykłe

O ułamkach zwykłych uczyliśmy się już w podstawówce i gminazjum, oznaczamy nimi w matematyce „część” czegoś. Może to być objętość, np. $$0,5 l$$. czy masa („Poproszę ćwierć kilo ziemniaków”) i wiele innych. Ułamki składają się z licznika, mianownika i kreski ułamkowej.

ulamek

Bardzo ważną kwestią jest znaczenie kreski ułamkowej, o którym wiele osób zapomina: zastępuje ona znak dzielenia. Zatem przykładowy ułamek możemy zapisać jako $$2/5=2÷5=0,4$$

 

Rodzaje ułamków

W ułamkach zwykłych występują również specjalne rodzaje ułamków.

  1. Ułamek niewłaściwy
    W ułamku niewłaściwym góra jest większa od dołu, czyli licznik jest większy od mianownika. Przykłady: $$7/4$$, $$8/3$$, $$4/2$$.

    Ułamek niewłaściwy możemy zapisać w postaci mieszanej.

  2. Ułamek mieszany
    Jest on połączeniem części ułamkowej i całkowitej np.: $$3{3}/{4}$$ . Możemy swobodnie przechodzić z ułamków niewłaściwych do mieszanych oraz na odwrót.

  3. Ułamek dziesiętny
    Ułamki dziesiętne to ułamki zwykłe o mianowniku będącym potęgą liczby 10 (10,100,1000,1000000 itd.)

 

Zamiana ułamka mieszanego na niewłaściwy

W zamianie ułamków niezależnie od sposobu mianownik pozostaje ten sam (zakładając oczywiście, że jakiś ułamek nam zostanie. W przypadku $$3 {8}/{4}=5$$ wynikiem jest liczba całkowita.)

Klucz do zamiany:

$$A{b}/{c}={A×c+b}/{c}$$

Przykłady:

  • $$3{4}/{5}={3×5+4}/{5}={19}/{5}$$
  • $$4{2}/{3}={4×3+2}/{3}={14}/{3}$$
 

Zamiana ułamka niewłaściwego na mieszany

W tym przypadku wykonujemy dokładnie odwrotne działanie jak przy zamianie ułamka mieszanego na niewłaściwy. Mianownik również pozostaje taki sam (z wyjątkami, w przypadku $${12}/{4}=3$$ wynikiem jest po prostu liczba całkowita).

Klucz do zamiany ułamka niewłaściwego na mieszany:

$${b}/{c}=A+{r}/{c}$$

Legenda:
A - część całkowita dzielenia
r - reszta z dzielenia

Krok po kroku - zamiana ułamka niewłaściwego $$16/3$$ na ułamek mieszany.
Najpierw dzielimy licznik przez mianownik, czyli $$16÷3=5$$ r. $$1$$ bo $$5×3+1=16$$. Z tego wynika, że nasze A=5; r=1, a c wynosi 3 (jest to zawsze mianownik ułamka niewłaściwego, który chcemy zamienić).
Działanie:
$${16}/{3}=5{1}/{3}$$

Przykłady:

  • $${21}/{4}=5{1}/{4}$$
  • $${35}/{6}=5{5}/{6}$$
 

Rozszerzanie i skracanie ułamków

Każdy ułamek możemy rozszerzyć poprzez pomnożenie zarówno licznika jak i mianownika przez dowolną liczbę różną od 0. Pamiętamy przy tym o dwóch zasadach:

  • Każda liczba pomnożona przez 0 da 0
  • Kreska ułamkowa zastępuje znak dzielenia, a przez 0 nie dzielimy

Przykłady rozszerzania ułamków:

  • $${3}/{5}={3×3}/{5×3}={9}/{15}$$
  • $${4}/{7}={4×5}/{7×5}={20}/{35}$$

Każdy ułamek możemy skrócić dzieląc zarówno licznik i mianownik przez liczbę, przez którą obie liczby są podzielne.

Przykłady skracania ułamków

  • $${6}/{10}={3}/{5}$$
  • $${8}/{32}={1}/{4}$$
  • $${14}/{7}=2$$

Uwaga!

Wynik ułamkowy zawsze sprowadzamy do postaci nieskracalnej! Możemy skracać lub rozszerzać część ułamkową w ułamku mieszanym.

Ułamki dziesiętne

Kolejny z omawianych typów ułamków to ułamki dziesiętne. Są to ułamki zwykłe o mianowniku będącym potęgą liczby 10 (10,100,1000,1000000 itd.). Aby uzyskać taki ułamek wystarczy, ze doprowadzimy metodami rozszerzania lub skracania do takiej liczby w mianowniku. Możemy także podzielić licznik przez mianownik.

Ułamek dziesiętny został stworzony po to, aby ułatwić ludzkości przeliczanie części. Badania marketingowe potwierdzają, że cena odpowiednio obniżona o 1-10gr działa cuda w porównaniu do pierwotnej.

Przykłady ułamków dziesiętnych:

  • $$0,4$$
  • $$5,25$$
  • $$9,135$$

Uwaga!

Możemy dowolnie dopisywać 0 za ostatnią cyfrą po przecinku np. $$0,6=0,60=0,600$$ , ale nie możemy ich usunąć przed tą cyfrą zatem równanie $$0,06=0,6$$ jest fałszywe!

Doprowadzenie do ułamka dziesiętnego odbywa się głównie na dwa sposoby:

  1. Rozszerzanie lub skracanie ułamka
    Doprowadzamy poznaną wcześniej metodą do wymaganego mianownika.

    Przykłady:

    • $${3}/{5}={3×2}/{5×2}={6}/{10}=0,6 $$
    • $${11}/{4}=2{3}/{4}=2{3×25}/{4×25}=2{75}/{100}=2,75$$
  2. Dzielenie licznika przez mianownik
    W tym przypadku obliczenia będziemy wykonywać pod kreską.

    Przykład:

    • p1

      $${1}/{8}=0,125$$

Specjalnym typem ułamków dziesiętnych są ułamki okresowe, gdzie okresem nazywamy powtarzające się w nieskończoność cyfry za przecinkiem, okres oznaczamy symbolami $$( )$$.

Przykład:

p2

$${1}/{6}=0,166666=0,1(6)$$

Spis treści

3 szkoły podstawowej
4 szkoły podstawowej
5 szkoły podstawowej
6 szkoły podstawowej
7 szkoły podstawowej
II gimnazjum
III gimnazjum
Matura podstawowa
Matura rozszerzona
Rozwiązane zadania
Zaznacz liczby parzyste

Jeśli liczbę da się zapisać w postaci: 

`2*("coś")`

gdzie "coś" jest liczbą naturalną, to jest to liczba parzysta. 

Jeśli natomiast liczbę da się zapisać jako:

`2*("coś")+1`

to jest to liczba nieparzysta.

 

Liczby a i b już są w takiej postaci, zajmijmy sie następnymi liczbami:

`c=2n+3=2n+2+1=2(n+1)+1`

`d=4n+2=2(2n+1)`

`e=4n+3=4n+2+1=2(2n+1)+1`

`g=(4n-1)-(2n-3)=4n-1-2n+3=2n+2=2(n+1)`

`h=(4n-1)-2(n-3)=4n-1-2n+6=2n+5=2n+4+1=2(n+2)+1`

 

 

Możemy teraz rozwiązać zadanie:

`ul(a=2n)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ul(ul(c=2n+3))\ \ \ \ \ \ ul(ul(e=4n+3))\ \ \ \ \ \ \ ul(g=(4n-1)-(2n-3))`

`ul(ul(b=2n+1))\ \ \ \ \ ul(d=4n+2)\ \ \ \ \ ul(f=2(2n+1))\ \ \ \ \ ul(ul(h=(4n-1)-2(n-3)))`

Oceń wartość logiczną zdania.

a) fałsz

b) prawda

c) fałsz

Wśród poniższych wypowiedzi wskaż zdania

`a)`

Jest to zdanie - możemy stwierdzić, że jest ono fałszywe. 

 

`b)`

Nie jest to zdanie - wypowiedź jest pytaniem, a nie wypowiedzią oznajmującą.

 

`c)`

Jest to zdanie - możemy stwierdzić, że jest ono prawdziwe.

 

`d)`

Nie jest to zdanie - dla różnych x przyjmuje ono różną wartość logiczną, np. dla 3 jest prawdziwe, ale dla 2 jest nieprawdziwe.

 

`e)`

Jest to zdanie - możemy stwierdzić, że jest ono fałszywe.

 

`f)\`

`(-100)^3=-100*(-100)*(-100)=-1\ 000\ 000`

`-100^3=-1*100^3=-1*100*100*100=-1\ 000\ 000`

Jest to zdanie - możemy stwierdzić, że jest ono fałszywe. 

 

`g)`

Nie jest to zdanie - na końcu znajduje się wykrzynik. 

 

`h)`

Jest to zdanie - możemy stwierdzić, że jest ono prawdziwe.

Podaj przykład takich dwóch zdań p oraz q

Alternatywa będzie prawdziwa, jeśli przynajmniej jedno ze zdań p, q będzie prawdziwe, natomiast koniunkcja będzie fałszywa, jeśli przynajmniej jedno ze zdań p, q będzie fałszywe. Musimy więc podać przykład takich dwóch zdań, z których jedno jest prawdziwe, a drugie fałszywe. 

Poniżej podajemy kilka takich przykładów:

 

`a)`

`p:\ \ 2inN\ \ \ \ \ w(p)=1`

`q:\ \ piinW\ \ \ \ w(q)=0`

 

 

`b)`

`p:\ \ NWD(1,7)=7\ \ \ \ w (p)=0`

`q:\ \ 2>1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ w(q)=1`

 

 

`c)`

`p:\ \ "Polska leży w Europie"\ \ \ w(p)=1`

`q:\ \ "Opole to stolica Polski"\ \ \ w(q)=0`

 

Wiadomo, że prawdziwe są zdania p∨q

Alternatywy p∨q i p∨(¬q) różnią się tylko drugim zdaniem. Jeśli zdanie q jest prawdziwe, to zdanie ¬q jest nieprawdziwe, natomiast jeśli zdanie q jest nieprawdziwe, to zdanie ¬q jest prawdziwe - zawsze jedno ze zdań ¬q ma wartość logiczną 0. 

Zatem zdanie p nie może być fałszywe, bo wtedy któraś alternatywa byłaby fałszywa (oba zdania proste tworzące jedną alternatywę byłyby fałszywe), stąd wniosek, że wartość logiczna zdania p wynosi 1. 

 

`w(p)=1\ \ \ =>\ \ \ w(notp)=0\ \ \ =>\ \ \ w((#(notp)^0)wedgeq)=0`

Niezależnie od tego, jaką wartość logiczną przyjmuje zdanie q, wartość logiczna zdania (¬p)∧q wynosi 0, ponieważ pierwsze zdanie (¬p) jest fałszywe, więc koniunkcja jest fałszywa. 

Zapisz liczbę w postaci 3k, 3k+1 lub 3k+2

`a)\ 26=3*8+2`

`b)\ 76=3*25+1`

`c)\ 108=3*36`

`d)\ 127=3*42+1`

`e)\ 713=3*237+2`

Zapisz liczby w postaci

`a)` 

Zamienimy część ułamkową wyrażoną ułamkiem okresowym na ułamek zwykły. 

Mnożymy ułamek razy 10 do tej potęgi, jaką długość ma okres - u nas mnożymy przez 10 do potęgi pierwszej (czyli przez 10).

`\ \ \ x=0,777...` 

`10x=7,777...` 

`10x-x=7,777...-0,777...` 

`9x=7\ \ \ |:9` 

`x=7/9` 

Zapisujemy liczbę w postaci ułamka zwykłego:

`-2,(7)=-2 7/9=-25/9`  

 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )` 

 

 

`\ \ \ x=0,888...` 

`10x=8,888...` 

`10x-x=8,888...-0,888...` 

`9x=8\ \ \ |:9` 

`x=8/9` 

 

`-7,(8)=-7 8/9=-71/9` 

 

 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )` 

 

`\ \ \ x=0,2666...` 

`10x=2,6666...` 

`10x-x=2,6666...-0,2666...` 

`9x=2,4 \ \ |:9` 

`x=(2,4)/9=(0,8)/3=8/30=4/15`  

 

`1,2(6)=1 4/15=19/15` 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`      

 

 

`b)` 

`\ \ \ \ x=0,05454...` 

`100x=5,45454...` 

`100x-x=5,45454...-0,05454...`  

`99x=5,4\ \ \ |:99` 

`x=(5,4)/99=(0,6)/11=6/110=3/55` 

 

`3,0(54)=3 3/55=168/55` 

 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )` 

 

 

`\ \ \ \ \ x=0,324324...` 

`1000x=324,324324...` 

`1000x-x=324,324324...-0,324324...` 

`999x=324\ \ \ |:999` 

`x=324/999=108/333=36/111` 

 

`-2,(324)=-2 36/111=-258/111` 

 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )` 

 

 

`\ \ \ \ \ x=0,0135135...` 

`1000x=13,5135135...` 

`1000x-x=13,5135135...-0,0135135...` 

`999x=13,5\ \ \ |:999` 

`x=(13,5)/999=(1,5)/111=15/1110=3/222` 

 

`8,0(135)=8 3/222=1779/222` 

Nie wykonując dzielenia podaj, które spośród liczb
  • Aby liczba dzieliła się przez 15 musi dzielić się przez 3 i przez 5, co oznacza, że suma jej cyfr musi byc liczbą podzielną przez 3 oraz jej ostatnią cyfrą musi być 0 lub 5. 
  • Aby liczba dzieliła się przez 45, musi dzielić się przez 9 i przez 5, co oznacza, że suma jej cyfr musi być liczbą podzielną przez 9 oraz jej ostatnią cyfrą musi być 0 lub 5
  • Aby liczba dzieliła się przez 75, musi dzielić się przez 3 i przez 25, co oznacza, że suma jej cyfr musi być liczbą podzielną przez 3 oraz jej dwie ostatnie cyfry to 00, 25, 50 lub 75. 

 

`a)`

`1+1+5+5=12`

 

Liczba 1155 jest podzielna przez 15. 

 

`b)`

`9+8+2+5=24`

Liczba 9825 jest podzielna przez 15 i 75. 

 

`c)`

`5+1+6+5=17`

Liczba 5165 nie jest podzielna przez 15, 45 ani 75.

 

 

`d)`

`8+2+3+5=18`

Liczba 8235 jest podzielna przez 15 i 45.

 

Utwórz zaprzeczenie zdania i oceń jego wartość

a)

Zaprzeczenie zdania:

Liczba 6 nie jest liczbą parzystą.

Wartość logiczna zaprzeczenia:

Fałsz.

 

b)

Zaprzeczenie zdania:

Liczba 17 nie jest podzielna przez 3.

Wartość logiczna zaprzeczenia:

Prawda.

 

c)

Zaprzeczenie zdania:

`5<=7`

Wartość logiczna zaprzeczenia:

Prawda.

 

d)

Zaprzeczenie zdania:

`0>3`

Wartość logiczna zaprzeczenia:

Fałsz

 

e)

Zaprzeczenie zdania:

`13-9!=5`

Wartość logiczna zaprzeczenia:

Prawda.

 

f)

Zaprzeczenie zdania:

`pi>=3`

Wartość logiczna zaprzeczenia:

Prawda.

 

g)

Zaprzeczenie zdania:

`7/17=1`

Wartość logiczna zaprzeczenia:

Fałsz

 

h)

Zaprzeczenie zdania:

`14/16!=2/3`

Wartość logiczna zaprzeczenia:

Prawda.

 

Podaj najmniejszą dodatnią liczbę naturalną podzielną przez

`a)\ 24`

`b)\ 60`

`c)\ 144`

`d)\ 120`