Liczby rzeczywiste - matura-podstawowa - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Liczby rzeczywiste - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Podział liczb rzeczywistych

Liczby rzeczywiste dzielą się na:

  • Naturalne: $0, 1, 2, 3 ...$
  • Całkowite (dodatnie oraz ujemne): $... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 ...$
  • Wymierne:

    Liczby, które da się zapisać w postaci ułamka zwykłego dwóch liczb całkowitych np.: $2/5$, $0,35$ $(0,35={35}/{100})$.
    Uwaga! Liczby całkowite i naturalne są również liczbami wymiernymi.

  • Niewymierne:

    Są to liczby, których nie da się przedstawić w postaci ułamka dwóch liczb całkowitych, np.: $π$, $√3$.

Ogólny podział liczb rzeczywistych możemy przedstawić następująco:

podzial

Legenda:
R - Rzeczywiste
W - Wymierne
NW - Niewymierne
C - Całkowite (dodatnie i ujemne)
N - Naturalne

Zatem opisując ten schemat: liczby rzeczywiste dzielą się na wymierne i niewymierne. W skład wymiernych wchodzą całkowite, które z kolei zawierają naturalne.

 

Ułamki zwykłe

O ułamkach uczyliśmy się już w szkole podstawowej.

Oznaczamy nimi w matematyce „część” czegoś. 

 

Ułamek składa się z licznika, mianownika oraz kreski ułamkowej.

ułamek

Wyrażenie postaci `a/b` , gdzie a i b to liczby naturalne oraz b jest różne od zera, nazywamy ułamkiem zwykłym.

Ciekawostka

Współczesny sposób zapisu ułamków pochodzi od matematyków hinduskich, którzy zapisywali licznik i mianownik nie używając kreski rozdzielającej. Dodanie kreski rozdzielającej zawdzięczamy Arabom tłumaczącym dzieła Hindusów. W Europie znane do dziś oznaczenie ułamków jako pierwszy w swoich pracach publikuje włoski matematyk Fibonacci.

Ułamki to inny zapis dzielenia liczb naturalnych.
Iloraz liczb naturalnych `a:b` możemy zapisać w postaci ułamka `a/b` . Dzielna `a`  jest licznikiem ułamka, dzielnik `b`  różny od zera jest mianownikiem, a kreska ułamkowa zastępuje znak dzielenia: `a:b=a/b` , gdzie b jest różne od zera ($b≠0$).

Przykłady:

  • `9/2=9:2`  

  • `2/3=2:3`  


Odwrotność ułamka

Jeżeli dany jest ułamek `a/b`, to ułamek `b/a` nazywamy odwrotnością ułamka `a/b` , gdzie `a!=0 \ "i" \ b!=0` .

Przykłady

  • odwrotnością liczby `3/4`  jest ułamek `4/3` ;  

  • odwrotnością liczby `4=4/1`  jest ułamek `1/4`,

  • odwrotnością ułamka  `1/9` jest liczba `9/1=9`


Ułamek w życiu codziennym

W życiu codziennym ułamek jest stosowany bardzo często, głównie oznacza część (kawałek) jakiejś całości.

Przykład:

  • Gdy podzielimy pizzę na 7 kawałków i zabierzemy 3 kawałki, to będziemy mieli `3/7`  („trzy siódme”) pizzy.

    Ogólnie:

    `a/b`   → jeśli mamy jakiś przedmiot (np. jabłko, tort, pizzę, czekoladę), to mianownik `b`  mówi na ile części go dzielimy, a licznik `a`  – ile takich części zabieramy.

Rodzaje ułamków

W ułamkach zwykłych występują również specjalne rodzaje ułamków.

  1. Ułamek niewłaściwy
    W ułamku niewłaściwym góra jest większa od dołu, czyli licznik jest większy od mianownika. Przykłady: $7/4$, $8/3$, $4/2$.

    Ułamek niewłaściwy możemy zapisać w postaci mieszanej.

  2. Ułamek mieszany
    Jest on połączeniem części ułamkowej i całkowitej np.: $3{3}/{4}$ . Możemy swobodnie przechodzić z ułamków niewłaściwych do mieszanych oraz na odwrót.

  3. Ułamek dziesiętny
    Ułamki dziesiętne to ułamki zwykłe o mianowniku będącym potęgą liczby 10 (10,100,1000,1000000 itd.)

 

Zamiana liczby mieszanej na ułamek niewłaściwy

Licznik tego ułamka otrzymujemy w następujący sposób: 

  1. Mianownik części ułamkowej mnożymy razy część całkowitą liczby mieszanej.

  2. Do otrzymanego iloczynu dodajemy licznik części ułamkowej.

Mianownik szukanego ułamka niewłaściwego jest równy mianownikowi części ułamkowej liczby mieszanej.

Przykłady: 

`3 1/4=(3*4+1)/4=13/4` 


`5 2/7=(5*7+2)/7=37/7` 

Zamiana ułamka niewłaściwego na liczbę mieszaną

W tym przypadku wykonujemy dokładnie odwrotne działania niż przy zamianie liczby mieszanej na ułamek niewłaściwy. 


Krok po kroku - zamiana ułamka niewłaściwego `16/3`  na liczbę mieszaną

  1. Najpierw dzielimy licznik przez mianownik, czyli `16:3=5 \ \ "r" \ 1 \ \ \ "bo" \ \ \ 5*3+1=15+1=16` 

  2. Otrzymujemy 5 całości. Pozostaje nam jeszcze 1 część. 

Mamy więc: 

`16/3=5 1/3` 


Przykłady:

  • `21/4=5 1/4` 

  • `35/6=5 5/6` 


Zamiana ułamka niewłaściwego na liczbę mieszaną lub liczbę naturalną nazywana jest wyłączaniem całości z ułamka

 

Rozszerzanie i skracanie ułamków

Każdy ułamek możemy rozszerzyć poprzez pomnożenie zarówno licznika jak i mianownika przez dowolną liczbę różną od 0. Pamiętamy przy tym o dwóch zasadach:

  • Każda liczba pomnożona przez 0 da 0
  • Kreska ułamkowa zastępuje znak dzielenia, a przez 0 nie dzielimy

Przykłady rozszerzania ułamków:

  • ${3}/{5}={3×3}/{5×3}={9}/{15}$
  • ${4}/{7}={4×5}/{7×5}={20}/{35}$

Każdy ułamek możemy skrócić dzieląc zarówno licznik i mianownik przez liczbę, przez którą obie liczby są podzielne.

Przykłady skracania ułamków

  • ${6}/{10}={3}/{5}$
  • ${8}/{32}={1}/{4}$
  • ${14}/{7}=2$

Uwaga!

Wynik ułamkowy zawsze sprowadzamy do postaci nieskracalnej! Możemy skracać lub rozszerzać część ułamkową w ułamku mieszanym.

Ułamki dziesiętne

Kolejny z omawianych typów ułamków to ułamki dziesiętne. Są to ułamki zwykłe o mianowniku będącym potęgą liczby 10 (10,100,1000,1000000 itd.). Aby uzyskać taki ułamek wystarczy, ze doprowadzimy metodami rozszerzania lub skracania do takiej liczby w mianowniku. Możemy także podzielić licznik przez mianownik.

Ułamek dziesiętny został stworzony po to, aby ułatwić ludzkości przeliczanie części. Badania marketingowe potwierdzają, że cena odpowiednio obniżona o 1-10gr działa cuda w porównaniu do pierwotnej.

Przykłady ułamków dziesiętnych:

  • $0,4$
  • $5,25$
  • $9,135$

Uwaga!

Możemy dowolnie dopisywać 0 za ostatnią cyfrą po przecinku np. $0,6=0,60=0,600$ , ale nie możemy ich usunąć przed tą cyfrą zatem równanie $0,06=0,6$ jest fałszywe!

Doprowadzenie do ułamka dziesiętnego odbywa się głównie na dwa sposoby:

  1. Rozszerzanie lub skracanie ułamka
    Doprowadzamy poznaną wcześniej metodą do wymaganego mianownika.

    Przykłady:

    • ${3}/{5}={3×2}/{5×2}={6}/{10}=0,6 $
    • ${11}/{4}=2{3}/{4}=2{3×25}/{4×25}=2{75}/{100}=2,75$
  2. Dzielenie licznika przez mianownik
    W tym przypadku obliczenia będziemy wykonywać pod kreską.

    Przykład:

    • p1

      ${1}/{8}=0,125$

Specjalnym typem ułamków dziesiętnych są ułamki okresowe, gdzie okresem nazywamy powtarzające się w nieskończoność cyfry za przecinkiem, okres oznaczamy symbolami $( )$.

Przykład:

p2

${1}/{6}=0,166666=0,1(6)$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Czy układ równań liniowych jest układem oznaczonym ...

{premium}

Otrzymaliśmy równość, która zawsze jest prawdziwa, co oznacza, że układ równań jest nieoznaczony - ma nieskończenie wiele rozwiązań. 

 

 

Możemy wyliczyć x, potem wstawimy tą wyliczoną wartość do dowolnego równania i wyliczymy y, dzięki czemu znajdziemy rozwiązanie układu - układ jest oznaczony (ma jedno rozwiązanie). 

 

 

Otrzymaliśmy sprzeczność, więc układ równań jest sprzeczny - nie ma rozwiązania. 

Prosta m przecina dwie równoległe proste...

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:

Thumb zad4.43str112

 

Kąty   i  to kąty wierzchołkowe, więc mają równe miary.

 więc  {premium}

 

 więc kąty  i  to kąty odpowiadające.

Kąty odpowiadające mają równe miary, czyli:

 

 

Otrzymaliśmy, że:

 i  

Stąd:

 

Oznacza to, że półprosta  jest dwusieczną kąta  co należało dowieść.

Wyznacz miejsca zerowe funkcji danych za

Miejsce zerowe to taki argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość zero. Wstawiamy więc za f(x) wartość 0 i obliczamy x. Następnie sprawdzamy, czy wyliczony argument należy do dziedziny funkcji.

a) 

Dziedziną funkcji jest zbiór liczb naturalnych. 7 należy do zbioru liczb naturalnych. Miejscem zerowym tej funkcji jest więc liczba 7.

 

 

b)

      {premium}        

Dziedziną funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych ujemnych (R_) , dlatego miejscem zerowym, spośród możliwych liczb 3 i -3 będzie liczba -3. 

 

 

c)

Miejscem zerowym tej funkcji jest liczba 2 (należy do dziedziny funkcji Df=<-2,2>)

 

 

d)

Nie mamy określonej dziedziny funkcji. Wzór funkcji nie zawiera pierwiastków ani ułamków więc jej dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych. 

Jeśli którykolwiek czynnik iloczynu po prawej stronie będzie równy zero, to całość wyrażenia po prawej stronie będzie równa 0. 

      lub       

        lub      

Funkcja ma dwa miejsca zerowe: 3 i -2. 

 

 

e)

Nie określono w zadaniu dziedziny funkcji. Określamy ją z założenia, że liczba w mianowniku nie może być równa 0 (nie da się dzielić przez zero).

zał.

         lub        

 

Teraz szukamy miejsc zerowych

Jeśli wyrażenie w liczniku będzie równe zero, to cały ułamek będzie równy zero.

Liczba ta nie należy do dziedziny funkcji, czyli funkcja nie ma miejsc zerowych. 

 

 

f)

Nie określono w zadaniu dziedziny funkcji. Określamy ją z założenia, że liczba pod pierwsiatkiem musi być większa lub równa zero. 

Teraz szukamy miejsc zerowych:

           

Dziedziną funkcji jest zbiór argumentów większych lub równych -4, zatem argument -4 należy do dziedziny funkcji i jest miejscem zerowym tej funkcji. 

Boki trójkąta mają długość...

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:


Mamy dane:

 

 

 


a) Obliczamy połowę obwodu trójkąta:{premium}

 


Obliczamy pole trójkąta, korzystając ze wzoru Herona:

 

 


Odp. Pole trójkąta jest równe 420 cm2.



b) Trzykrotnie skorzystamy ze wzoru na pole trójkąta, by wyznaczyć jego wysokości.

Wyznaczamy wysokość h1:

 

 

 

 


Wyznaczamy wysokość h2:

 

 

 


Wyznaczamy wysokość h3:

 

 

 


Odp. Wysokości trójkąta są równe 15 cm, 21 7/13 cm i 33,6 cm.

Punkt S jest punktem przecięcia...

a)

Kąty ASB i CSD mają takie same miary - tworzą one parę kątów wierzchołkowych:

 

 

Miary kątów SDC oraz SBA również są sobie równe - stanowią parę kątów naprzemianległych:

Skoro miary dwóch kątów są sobie równe, to również miara trzeciego kąta musi być taka sama - zatem trójkąty ASB i DSC są podobne.

 

{premium}

Dorysujmy wysokość w tym trapezie:

 

Zauważmy, że pola trójkątów ACD oraz BCD są sobie równe - mają wspólny bok o długości |CD|, a wysokość opuszczona na ten bok ma długość h.

Każdy z tych trójkątów można rozbić na dwa mniejsze trójkąty:

 

 

 

Skoro pola obu dużych trójkątów są sobie równe, to możemy zapisać równanie:  

  

 

 

 

A więc trójkąty ASD i BSC mają równe pola, co należało pokazać.

 

 


b)

k - skala podobieństwa.

 

Oba trójkąty są podobne, możemy więc zapisać:

 

 

 

 

 

 

Zauważmy, że trójkąty DSA i DSC mają wspólną wysokość - a zatem stosunek ich pól powierzchni jest równo stosunkowi ich podstaw:

    

 

 

 

 

Z poprzedniego podpunktu wiemy, że  , a więc pole całego trapezu jest równe:

 

 

 


c)

Obliczmy wysokość tego trapezu:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Obliczmy pole trójkąta ADC:

 

 

Skoro podstawy mają długość 3 i 5, to trójkąty  SCD i ABS są podobne w skali:

 

 

  - wysokość trójkąta CDS

  - wysokość trójkąta ASB

 

 

 

 

 

  - wysokość trójkąta SCD.

 

Obliczmy pole trójkąta SCD:

 

 

Czyli pole trójkąta ASD jest równe:

                     

 

 

 

Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych...

Rysunek:

 

Obliczmy punkty przecięcia z osiami:

 

 

 

Zatem bok AC ma długość:

 

 

 

 

 

{premium}  

 

 

Zatem bok AB ma długość:

 

 

Z twierdzenia Pitagorasa:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Funkcję f określono za pomocą tabeli. Sporządź wykres ...

Szkicujemy wykres funkcji .{premium}

Wykres funkcji  powstał przez symetryczne odbicie wykresu funkcji  względem osi  i przesunięcie otrzymanego wykresu o 1 jednostkę w górę wzdłuż osi . Szkicujemy wykres funkcji .

Wykaż, że jeżeli roczne oprocentowanie ...

Kwota, którą złożono na lokatę oznaczmy przez . Oprocentowanie roczne wynosi .

Obliczamy wysokość odsetek (bez uwzględnienia podatku).

  {premium}

Od odsetek pobierany jest podatek w wysokości . Obliczamy kwotę podatku.

 


Odsetki po potrąceniu podatku wynoszą:

 


Obliczamy, jaki procent kwoty początkowej stanowią odsetki.

 

 

 

Zapisz symbolicznie (w postaci...

 {premium}

 

 

W automacie można kupić sok...

Obliczamy, ile soku można wypić za 1 zł w ofercie A:{premium}

 


Obliczamy, ile soku można wypić za 1 zł w ofercie B:

 


Obliczamy, ile soku można wypić za 1 zł w ofercie C:

 


Obliczamy, ile soku można wypić za 1 zł w ofercie D:

 


Odp. Należy wybrać ofertę C.