Liczba spełniająca równanie - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Sprawdź czy liczba $$x=3$$ spełnia równanie $$x^3+x^2-x-6=0$$

W tym wypadku najprościej będzie zastąpić x naszą liczbą czyli 3

$$x^3+x^2-x-6=0$$

$$3^3+3^2-3-6=0 $$

I rozwiązujemy:

$$27+9-9=0$$

$$27=0$$

Liczba 3 nie spełnia równania

Zadanie 2.

Sprawdź czy liczba $$x=√2$$ spełnia równanie $$(x+2)^2-(x+2)(x-2)= √2$$

Tutaj bezpieczniej jest lekko uporządkować nasze równanie:

$$(x+2)^2-(x+2)(x-2)= √2 $$

$$x^2+4x+4-x^2+4=√2 $$

zredukujmy $$x^2$$

$$4x+8=√2$$

I teraz zastosujmy sposób II czyli bezpośrednie podstawienie

$$4√2+8=√2$$

Jak widać lewa strona nie jest równa prawej, zatem nie spełnia równania

Spis treści

Rozwiązane zadania
Niech Obw, P, r oznaczają odpowiednio obwód

a)

Z twierdzenia 1:

`P=(a+b+c)/2 * r`

`a+b+c=O`

`P=(O)/2*r`

`P=(30cm)/2*1,6cm`

`P=ul(ul(24cm^2))`

 

b)

Przekształcamy wzór z twierdzenia 1:

`P=(a+b+c)/2 * r`          `/:r`

`P/r=(a+b+c)/2`              `/*2`

`(2P)/r=a+b+c`

`(2P)/r=O`

`O=(2*30cm^2)/(1,4cm)`

`O=(60cm^3)/(14/10cm)=600/14 cm= 42 12/14 cm=ul(ul( 42 6/7 cm))`  

 

c)

`P=(a+b+c)/2 *r`           `/:((a+b+c)/2)`

`(2P)/(a+b+c)=r`

`r=(2*60cm^2)/(50cm)`

`r=12/5 cm=ul(ul(2 2/5 cm)`

 

Wyznacz cyfrę jedności każdej z liczb...

Zauważmy, że:

`3^1 = 3`  

`3^2 = 9` 

`3^3 = 27` 

`3^4 = 81` 

`3^5 = ...3` 

`3^6 = ...9` 

`3^7 = ...7` 

`3^8 = ...1` 

Liczby mają takie same cyfry na pozycji jedności co czwartą potęgę.

 

323 ma taką samą cyfrę jedności jak 33 , czyli 7.

 

357 ma taką samą cyfrę jedności jak 31 , czyli 3.

 

32010 ma taką samą cyfrę jedności jak 32 , czyli 9.

 

Skoro  32010 ma cyfrę jedności 9 to 32010 +1 będzie miało na miejscu jedności cyfrę 0.

 

32010 -2 będzie miało cyfrę jedności o dwa mniejszą od 32010 , czyli 7.

Chcemy położyć kostkę ...

`A.` `x>=0` 

`(2x+4)(2x+8)=4x^2+24x+32` 

`4x^2+24x+32-32=64` 

`4x^2+24x-64=0` 

`f(x)=x^2+6x-16=0`  

`Delta=36+63=100`  

`sqrtDelta=10` 

 

`x_1=(-6+10)/2=ul(2`  

`x_2=(-6-10)/2=-8 notin D_f` 

 

`B.` `x>=0` 

`(2x+4)(4x+8)=8x^2+32x+32` 

`8x^2+32x+32-32=66`   

`8x^2+32x-66=0` 

`f(x)=4x^2+16x-33=0`  

`Delta=256+528=784` 

`sqrtDelta=28` 

 

`x_1=(-16+28)/8=12/8=ul(3/2`  

`x_2=(-16-28)/8=-44/8 notin D_f`   

 

`C.` `x>=0` 

`(2x+8)(4x+4)=8x^2+40x+32` 

`8x^2+40x+32-32=78` 

`8x^2+40x-78=0` 

`f(x)=4x^2+20x-39` 

`Delta=400+624=1024` 

`sqrtDelta=32` 

 

`x_1=(-20+32)/8=12/8=ul(3/2` 

`x_2=(-20-32)/8=-52/8 notin D_f`   

Wskaż największą liczbę przecięcia ...

Odp:C

 

W "klasycznym" mamy 6 punktów przecięcia brzegu prostokąta z okręgiem.

Szczególnym przypadkiem prostokąta jest kwadrat.

Brzeg kwadratu może mieć z okręgiem 8 punktów wspólnych (popatrz zad.2.10, str.115).

Dana jest funkcja f(x)=2x-3

`g(x)=-2x+3=-(2x-3)=-f(x)\ \ \ \ \ \ \ odp.\ A`

 

Wyznacz t wiedząc

`a)` 

Wyznaczymy równanie prostej przechodzącej przez punkty B i C. 

Będziemy korzystać z tego, że prosta ma równanie y=ax+b. Podstawiamy współrzędne punktów w miejsce x (pierwsza współrzędna) oraz w miejsce y (druga współrzędna), dzięki czemu otrzymamy układ równań, z którego wyliczymy współczynniki a oraz b.

`{(-6=a*(-2)+b), (-3=a*2+b):}` 

`{(-6=-2a+b), (-3=2a+b):}\ \ \ \ |+` 

`-9=2b\ \ \ |:2` 

`b=-9/2` 

Podstawiamy obliczoną wartość do drugiego równania drugiego układu:

`-3=a*2-9/2` 

`-6/2=a*2-9/2\ \ \ |+9/2` 

`3/2=a*2\ \ \ |*1/2` 

`3/4=a` 

`a=3/4` 

 

Mamy więc równanie prostej BC:

`ul(y=3/4x-9/2)` 

 

Jeśli punkt A należy do tej samej prostej, to jego współrzędne muszą spełniać powyższe równanie. Możemy więc podstawić x=t oraz y=0. 

`0=3/4t-9/2\ \ \ |+9/2` 

`9/2=3/4t\ \ \ |*4` 

`18=3t\ \ \ |:3` 

`6=t` 

`ul(ul(t=6))` 

 

 

 

`b)` 

Wyznaczymy równanie prostej przechodzącej przez punkty A i C. 

 

Będziemy korzystać z tego, że prosta ma równanie y=ax+b. Podstawiamy współrzędne punktów w miejsce x (pierwsza współrzędna) oraz w miejsce y (druga współrzędna), dzięki czemu otrzymamy układ równań, z którego wyliczymy współczynniki a oraz b.

`{(-5=a*(-4)+b\ \ \ |*(-1)), (1=a*2+b):}` 

`{(5=4a-b), (1=2a+b):}\ \ \ |+` 

`6=6a\ \ \ |:6` 

`1=a` 

`a=1` 

Podstawiamy obliczoną wartość do drugiego równania pierwszego układu:

`1=1*2+b` 

`1=2+b\ \ \ |-2` 

`-1=b` 

`b=-1` 

 

Mamy więc równanie prostej AC:

`ul(y=x-1)` 

 

Jeśli punkt B należy do tej samej prostej, to jego współrzędne muszą spełniać powyższe równanie. Możemy więc podstawić x=5 oraz y=t. 

`t=5-1` 

`ul(ul(t=4))` 

 

Udowodnij, że jeśli wektory ...

`vecu+vecv,\ vecu-vecv-"wektory prostopadłe"`   

`bb(Teza):|vecu|=|vecv|`  

 

`vecu=(u_1;u_2)` 

`vecv=(v_1;v_2)` 

`vecu+vecv=(u_1+v_1;u_2+v_2)` 

`vecu-vecv=(u_1-v_1;u_2-v_2)`  

Rozpatrzmy pewne działanie zwane iloczynem skalarnym.

`veca*vecb=|a|*|b|*cosalpha` 

`alpha-"kąt między wektorami a i b"` 

Jeżeli wektory są prostopadłe to kąt alfa jest prosty.

Cosinus kąta prostego jest równy zero, czyli iloczyn skalarny wektorów prostopadłych jest równy zero.

`(vecu+vecv)*(vecu-vecv)=(u_1+v_1)*(u_1-v_1)+(u_2+v_2)*(u_2-v_2)=0` 

`u_1^2+v_1^2+u_2^2+v_2^2=0` 

Zauważmy, że składniki powyższej sumy są dodtanie. Jedyną wartością wszystkich tych skłądników może być zero.

`u_1=v_1=u_2=v_2=0` 

`vecu=(0;0)\ implies \ |vecu|=0` 

`vecv=(0;0)\ implies\ |vecv|=0` 

`ul(|vecv|=|vecu|` 

Funkcja liniowa f określona ...

`f(x)=(3-5m)/4x+2m+1` 

`"Rosnąca dla:"` 

`(3-5m)/4>0` 

`3-5m>0` 

`5m<3` 

`m<3/5` 

`"Odpowiedź B."` 

Oblicz

`a)\ (sqrt21-sqrt20)(sqrt21+sqrt20)=sqrt21^2-sqrt20^2=21-20=1`

`b)\ sqrt(sqrt13+2)*sqrt(sqrt13-2)=sqrt((sqrt13+2)(sqrt13-2))=`

`\ \ \ =sqrt(sqrt13^2-2^2)=sqrt(13-4)=sqrt9=3`

`c)\ sqrt(5sqrt2+7)*sqrt(5sqrt2-7)=sqrt((5sqrt2+7)(5sqrt2-7))=`

`\ \ \ =sqrt((5sqrt2)^2-7^2)=sqrt(25*2-49)=sqrt(50-49)=sqrt1=1`

 

Dane są punkty

Wystarczy do równania prostej y=ax+b podstawić współrzędne punktów należących do tej prostej.

 

 

`b)`

`{(-1=a*(-4)+b), (2=a*5+b):}`

 

 

 

`c)`

`{(4=a*1+b), (2=a*5+b):}`