Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Liczba spełniająca równanie - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Sprawdź czy liczba $$x=3$$ spełnia równanie $$x^3+x^2-x-6=0$$

W tym wypadku najprościej będzie zastąpić x naszą liczbą czyli 3

$$x^3+x^2-x-6=0$$

$$3^3+3^2-3-6=0 $$

I rozwiązujemy:

$$27+9-9=0$$

$$27=0$$

Liczba 3 nie spełnia równania

Zadanie 2.

Sprawdź czy liczba $$x=√2$$ spełnia równanie $$(x+2)^2-(x+2)(x-2)= √2$$

Tutaj bezpieczniej jest lekko uporządkować nasze równanie:

$$(x+2)^2-(x+2)(x-2)= √2 $$

$$x^2+4x+4-x^2+4=√2 $$

zredukujmy $$x^2$$

$$4x+8=√2$$

I teraz zastosujmy sposób II czyli bezpośrednie podstawienie

$$4√2+8=√2$$

Jak widać lewa strona nie jest równa prawej, zatem nie spełnia równania

Spis treści

Rozwiązane zadania
Rozwiąż nierówność

`a)`

`2x+7<=3\ \ \ |-7`

`2x<=-4\ \ \ |:2`

`x<=-2`

 

 

`b)`

`2/5x-3>1\ \ \ |+3`

`2/5x>4\ \ \ |:2`

`1/5x>2\ \ \ \|*5`

`x>10`

 

 

 

`c)`

`2x-4<1/2x-1\ \ \ |*2`

`4x-8<x-2\ \ \ \ |-x`

`3x-8< -2\ \ \ |+8`

`3x<6\ \ \ |:3`

`x<2`

 

 

`d)`

`1/4-x>=1-6x\ \ \ |+6x`

`1/4+5x>=1\ \ \ |-1/4`

`5x>=3/4\ \ \ |*1/5`

`x>=3/20`

 

Rok temu Beata miała dwa razy mniej lat ...

`x-"wiek Aliny"` 

`y-"wiek Beaty"` 

 

`{(2(y-1)=x+9),(6+y=2(x-7)):}` 

`{(2 y-2 =x+9),(6+y=2 x-14 ):}`  

`{(-4 y+4=-2x-18),(6+y=2 x-14 ):}`   

`10-3y=-32` 

`y=42/3=14` 

`x=2(y-1)-9=26-9=17` 

`{(x=17),(y=14):}`   

Dany jest kwadrat ...

`a)` 

`P-"pole koła opisanego na kwadracie"\ K_2\ "o boku a."`  

`P=pir^2` 

`r=(asqrt2)/2`  

`P=pi((asqrt2)/2)^2=16pi` 

`(2a^2)/4=16` 

`a^2=32` 

`a=4sqrt2`   

 

`k-"skala podobieństwa kwadratów"\ K_1 \ "i"\ K_2`  

`k=4/(4sqrt2)=1/sqrt2=ul(sqrt2/2`  

`"Skala podobieństwa kwadratów"\ K_1\ "i"\ K_2\ "wynosi"\ sqrt2:2. `     

 

`b)` 

` P-"pole koła wpisanego w kwadracie"\ K_2\ "o boku a." ` 

`r=a/2` 

`P=pir^2=1024pi`   

`pi(a/2)^2=1024pi` 

`a^2/4=1024` 

`a^2=4096`   

`a=64` 

 

`k-"skala podobieństwa kwadratów"\ K_1 \ "i"\ K_2`  

`k=4/64=1/16`   

`"Skala podobieństwa kwadratów"\ K_1\ "i"\ K_2\ "wynosi"\ 1:16. `     

Dany jest prostokąt o bokach x i y

Długość przekątnej prostokąta (oznaczmy ją d) można obliczyć korzystając z twierdzenia Pitagorasa, tak jak w poprzednim zadaniu. 

 

`a)\ 2^2+4^2=d^2`

`\ \ \ 4+16=d^2`

`\ \ \ d^2=20`

`\ \ \ d=sqrt20notinW`

 

`b)\ 3^2+4^2=d^2`

`\ \ \ 9+16=d^2`

`\ \ \ d^2=25`

`\ \ \ d=sqrt25=5inW`

 

`c)\ 6^2+8^2=d^2`

`\ \ \ 36+64=d^2`

`\ \ \ 100=d^2`

`\ \ \ d=sqrt100=10inW`

 

`d)\ 8^2+10^2=d^2`

`\ \ \ 64+100=d^2`

`\ \ \ 164=d^2`

`\ \ \ d=sqrt164notinW`

 

`e)\ 5^2+12^2=d^2`

`\ \ \ 25+144=d^2`

`\ \ \ 169=d^2`

`\ \ \ d=sqrt169=13inW`

 

`f)\ 7^2+24^2=d^2`

`\ \ \ 49+576=d^2`

`\ \ \ 625=d^2`

` \ \ d=sqrt625=25inW`

 

 

Przedstaw liczbę w postaci

`a)\ 27^3:81^-1=(3^3)^3:(3^4)^-1=3^(3*3):3^(4*(-1))=3^9:3^-4=3^(9-(-4))=3^(9+4)=3^13`

`b)\ (1/3)^-5*9^-2:243=3^5*(3^2)^-2:3^5=3^5*3^(2*(-2)):3^5=3^5*3^-4:3^5=3^(5+(-4)-5)=3^-4`

`c)\ 1/9^3*27^-2:(1/3)^-4=9^-3*(3^3)^-2:3^4=(3^2)^-3*3^(3*(-2)):3^4=3^(2*(-3))*3^-6:3^4=`

`\ \ \ =3^-6*3^-6:3^4=3^(-6+(-6)-4)=3^-16`

         

Zapisz nierówności podwójne

`a)` 

`x in <<-3;\ 5>>\ \ \ <=>\ \ \ -3<=x<=5` 

 

Liczby całkowite należące do tego przedziału to -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 - jest 9 takich liczb. 

 

 

`b)` 

`x in <<-sqrt5;\ sqrt5>>\ \ \ <=>\ \ \ -sqrt5<=x<=sqrt5` 

 

Wiemy, że:

`sqrt5~~2,24` 

 

Liczby całkowite należące do tego przedziału to zatem: -2, -1, 0, 1, 2 - jest 5 takich liczb. 

 

 

`c)` 

`x in <<-7/3;\ 4/3>>\ \ \ <=>\ \ \ -7/3<=x<=4/3` 

 

Wiadomo, że:

`-7/3=-2 1/3` 

`4/3=1 1/3` 

 

Liczby całkowite należące do tego przedziału to zatem: -2, -1, 0, 1 - są 4 takie liczby. 

 

 

 

`d)` 

`x in (-pi;\ 2pi)\ \ \ <=>\ \ \ -pi<x<2pi` 

 

Wiemy, że:

`-pi~~-3,14` 

`2pi~~2*3,14=6,28` 

 

Liczby całkowite należące do tego przedziału to zatem: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 - jest 10 takich liczb. 

W trapezie równoramiennym przekątne przecinają się...

Rysunek poglądowy:

Obliczmy długość ramienia kąta za pomocą trójkąta ABC:

`sin 30^o = c/a \ \ \ |*a`  

`c = sin 30^o a` 

`c = a/2` 

 

Poprowadźmy teraz wysokość z wierzchołka C na podstawę AB, wtedy:

Zauważmy, że:

`b+2|HB| = a` 

 

A więc:

`cos 60^o = (|HB|)/c` 

`|HB| = c * cos 60^o` 

`|HB| = a/2 * 1/2` 

`|HB| = a/4` 

 

Zatem:

`b + 2*a/4 = a` 

`b + a/2 = a` 

`b = a/2` 

 

Zatem obwód trapezu wynosi:

`"O" = a + b + 2c = a + a/2 + 2*a/2 = a+a/2 + a = 5/2 a` 

Naszkicuj wykres funkcji kwadratowej...

`"a)"` Wyznaczmy kilka punktów należących do wykresu funkcji `y=-2x^2:` 

`x`   `-2`  `-1`  `0`  `1`  `2` 
`y=-2x^2`  `-8`  `-2`  `0`  `-2`  `-8`  

Rysujemy wykres funkcji:

  

Z wykresu funkcji `y=-2x^2` odczytujemy jej własności:

`D=R`  

`Z_w=(-oo;\ 0>>` 

Miejsce zerowe: `x=0.` 

Funkcja jest rosnąca w przedziale `(-oo;\ 0>>` i malejaca w przedziale `< 0;+oo).` 

Funkcja przyjmuje największą wartość dla `x=0.` 

`f(0)=0` 

Oś `y` jest osią symetrii wykresu funkcji.

 

`"b)"` Wyznaczmy kilka punktów należących do wykresu funkcji `y=1/4x^2:` 

`x`  `-3`  `-2`  `-1`  `0`  `1`  `2`  `3` 
`y=1/4x^2`  `9/4`  `1`  `1/4`  `0`  `1/4`  `1`  `9/4` 

Rysujemy wykres funkcji:

Z wykresu funkcji `y=1/4x^2` odczytujemy jej własności:

`D=R`  

`Z_w=< 0;+oo)` 

Miejsce zerowe: `x=0.` 

Funkcja jest rosnąca w przedziale `< 0;+oo)` i malejąca w przedziale  `(-oo;\ 0>>.`

Funkcja nie przyjmuje największej wartości.

Oś `y` jest osią symetrii wykresu funkcji.

 

`"c)"` Wyznaczmy kilka punktów należących do wykresu funkcji `y=-sqrt2x^2:` 

`x`  `-2`  `-1`  `0`  `1`  `2` 
`y=-sqrt2x^2`  `-4sqrt2~~-5,65`  `-sqrt2~~-1,41`   `0`  `-sqrt2`  `-4sqrt2` 

Rysujemy wykres funkcji:

Z wykresu funkcji `y=-sqrt22x^2` odczytujemy jej własności:

`D=R`  

`Z_w=(-oo;\ 0>>` 

Miejsce zerowe: `x=0.` 

Funkcja jest rosnąca w przedziale `(-oo;\ 0>>` i malejaca w przedziale `< 0;+oo).` 

Funkcja przyjmuje największą wartość dla `x=0.` 

`f(0)=0` 

Oś `y` jest osią symetrii wykresu funkcji.

 

`"d)"` Wyznaczmy kilka punktów należących do wykresu funkcji `y=1/(sqrt2-1)x^2:` 

`1/(sqrt2-1)*(sqrt2+1)/(sqrt2+1)=(sqrt2+1)/(2-1)=(sqrt2+1)~~1,41+1=2,41` 

`x`  `-2`  `-1`   `0`  `1`  `2` 
`y=1/(sqrt2-1)x^2`  `4/(sqrt2-1)~~9,64`  `1/(sqrt2-1)~~2,41` `0`  `1/(sqrt2-1)~~2,41` `4/(sqrt2-1)~~9,64`

Rysujemy wykres funkcji: 

Z wykresu funkcji `y=1/(sqrt2-1)x^2` odczytujemy jej własności:

`D=R`  

`Z_w=< 0;+oo)` 

Miejsce zerowe: `x=0.` 

Funkcja jest rosnąca w przedziale `< 0;+oo)` i malejąca w przedziale  `(-oo;\ 0>>.`

Funkcja nie przyjmuje największej wartości.

Oś `y` jest osią symetrii wykresu funkcji.

Funkcja f przyporządkowuje

`a)`

Najmniejsza wartość funkcji f jest równa 0 (dla argumentów 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90). 

Największa wartość funkcji f jest równa 81 (dla argumentu 99). 

 

 

`b)`

Funkcja przyjmuje wartość 12, jeśli iloczyn cyfr liczby dwucyfrowej jest równy 12. Jedyne liczby dwucyfrowe, których iloczyn cyfr jest równy 12, to 34, 43, 26 oraz 62. Funkcja f przyjmuje więc wartość 12 dla czterech argumentów. 

Funkcja przyjmuje wartość 16, jeśli iloczyn cyfr liczby dwucyfrowej jest równy 16. Jedyne liczby dwucyfrowe, których iloczyn cyfr jest równy 16, to 44, 28 oraz 82. Funkcja f przyjmuje więc wartość 16 dla trzech argumentów. 

 

 

`c)`

Funkcja f przyjmuje wartości parzyste, jeśli iloczyn cyfr liczby dwucyfrowej będzie liczbą parzystą. 

Ten iloczyn będzie liczbą parzystą, jeśli choć jedna z cyfr będzie parzysta.

Mamy następujące możliwości:

  • 10 liczb dwucyfrowych, których pierwszą cyfrą jest 2
  • 10 liczb dwucyfrowych, których pierwszą cyfrą jest 4
  • 10 liczb dwucyfrowych, których pierwszą cyfrą jest 6
  • 10 liczb dwucyfrowych, których pierwszą cyfrą jest 8
  • liczby 10, 12, 14, 16, 18 (5 liczb)
  • liczby 30, 32, 34, 36, 38 (5 liczb)
  • liczby 50, 52, 54, 56, 58 (5 liczb)
  • liczby 70, 72, 74, 76, 78 (5 liczb)
  • liczby 90, 92, 94, 96, 98 (5 liczb)

Razem 65 liczb. 

Funkja f przyjmuje wartości parzyste dla 65 argumentów. 

Wykres przedstawia funkcję y=f(x)...

Zauważmy, że spośród podanych, tylko funkcja `y=-f(x)` przyjmuje wartość największą.

Prawidłowa odpowiedź to `"C."`