Liczba spełniająca równanie - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Sprawdź czy liczba $$x=3$$ spełnia równanie $$x^3+x^2-x-6=0$$

W tym wypadku najprościej będzie zastąpić x naszą liczbą czyli 3

$$x^3+x^2-x-6=0$$

$$3^3+3^2-3-6=0 $$

I rozwiązujemy:

$$27+9-9=0$$

$$27=0$$

Liczba 3 nie spełnia równania

Zadanie 2.

Sprawdź czy liczba $$x=√2$$ spełnia równanie $$(x+2)^2-(x+2)(x-2)= √2$$

Tutaj bezpieczniej jest lekko uporządkować nasze równanie:

$$(x+2)^2-(x+2)(x-2)= √2 $$

$$x^2+4x+4-x^2+4=√2 $$

zredukujmy $$x^2$$

$$4x+8=√2$$

I teraz zastosujmy sposób II czyli bezpośrednie podstawienie

$$4√2+8=√2$$

Jak widać lewa strona nie jest równa prawej, zatem nie spełnia równania

Spis treści

Rozwiązane zadania
Dopasuj wyrażenie

`P_I=(ax+x)(a+1)=ax(a+1)+x(a+1)=a^2x+ax+ax+x=a^2x+2ax+x\ \ \ \ \ "wyrażenie c)"`

`P_(II)=1/2(2a^2+6a)x=(a^2+3a)x=a^2x+3ax\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "wyrażenie a)"`

`P_(III)=(x+ax)*2x*1/2=(x+ax)x=x^2+ax^2\ \ \ \ \ \ \ \ "wyrażenie b)"`

 

Sprawdź, czy podane punkty należą do wykresu...

`a) \ f(x) = 3x^2-2` 

 

Sprawdźmy czy punkt A należy do wykresu funkcji:

`f(-1) = 3*(-1)^2 -2 = 3-2 = 1` 

Nie należy.

 

Sprawdźmy czy punkt B należy do wykresu funkcji:

`f(-1) = 3*(-1)^2 -2 = 3-2 = 1` 

Należy.

 

`b) \ f(x) = -x^2 + 3` 

 

Sprawdźmy czy punkt A należy do wykresu funkcji:

`f(-2) = -(-2)^2 + 3 = -4+3 = -1` 

Należy.

 

Punkt B nie należy do wykresu funkcji.

 

`c) \ f(x) = x^2-6x + 9 = (x-3)^2` 

 

Sprawdźmy czy punkt A należy do wykresu funkcji:

`f(2) = (2-3)^2 = (-1)^2 = 1` 

Należy.

 

Sprawdźmy czy punkt B należy do wykresu funkcji:

`f(3) = (3-3)^2 = 0` 

Należy.

 

`d) \ f(x)=2(x+3)^2` 

 

Sprawdźmy czy punkt A należy do wykresu funkcji:

`f(-2) = 2*(-2+3)^2  = 2 * 1^2 = 2` 

Nie należy.

 

Sprawdźmy czy punkt B należy do wykresu funkcji:

`f(-4) = 2*(-4+3)^2 = 2*(-1)^2 = 2` 

Należy.

Wyznacz wszystkie liczby x spełniające podany

a)

`x=-2sqrt3`

`x=2sqrt3`

b)

`x>=-7 \ \ \ \ vv \ \ \ \ x<=7`

`x in<<-7,7>>`

c)

`x>5 \ \ \ vv \ \ \ \ x<-5`

`x(-oo,-5>>uu<<5,+oo)`

 

 

W ciągu 1 minuty...

Jeżeli w ciągu minuty wypływa ze zbiornika 10 litrów wody to wykres opisuje funkcję malejącą.

Tę funkcję opisuje wykres B.

Odpowiedź B

Budujemy liczbę w taki sposób...

Zauważmy, że liczba powstaje poprzez wstawienie kolejnego kwadratu liczby naturalnej(poczynając od 1), bo:

`1^2=1` 

`2^2 = 4` 

`3^2 = 9` 

`4^2 = 16` 

`5^2 = 25` 

itd..

stąd powstaje nam liczba:

`149162536496481...` 

 

Zauważmy, że kwadraty liczb od 1 do 3 są jednocyfrowe. (3 liczby)

Kwadraty liczb od 4 do 9 są dwucyfrowe. (6 liczb)

Kwadraty liczb od 10 do 31 są trzycyfrowe. (22 Liczby)

Kwadraty liczb od 32 do 99 są czterocyfrowe.

 

Policzmy kwadrat której liczby naturalnej stoi 50 miejscu:

`50 = 3*1 + 6*2 + 11*3 +2` 

A więc chodzi o kwadrat liczby 21 (bo 3+6+11 =20 i bierzemy drugą cyfrę kwadratu liczby 21), chodzi o jej drugą cyfrę, czyli:

`21^2 = 441` 

Cyfra stojąca na 50 miejscu to cyfra 4.

 

Analogicznie:

`75 = 3*1+6*2+19*3 + 3` 

A więc chodzi o kwadrat liczby 29 (bo 3+6+19=28 i bierzemy trzecią cyfrę kwadratu liczby 29), czyli:

`29^2 = 841` 

Cyfra stojąca na 75 miejscu to cyfra 1.

 

 

Obliczmy cyfrę stojącą na setnym miejscu.

`100 = 3*1 + 6*2 + 22*3+4*4+3` 

A więc chodzi o kwadrat liczby 36 (bo 3+6+22+4=35 i bierzemy trzecią cyfrę kwadratu liczby 36), czyli:

`36^2 = 1296` 

Cyfra stojąca na 100 miejscu to cyfra 9.

Wykres funkcji y powstaje przez przesunięcie...

Prawidłowa odpowiedź to `"C."`  

Rozwiąż nierówność, korzystając z podanej własności

`a)`

`|5x+2|<7`

`5x+2<7\ \ \ \ |-2\ \ \ \ \ \ "i"\ \ \ \ \ \ 5x+2> -7\ \ \ \ |-2`

`5x<5\ \ \ |:5\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "i"\ \ \ \ \ \ 5x> -9\ \ \ |:5`

`x<1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "i"\ \ \ \ \ \ x> -9/5`

`x in (-9/5;\ 1)`

 

 

 

`b)`

`|3x-1/2|<1 1/2`

`3x-1/2<1 1/2\ \ \ |+1/2\ \ \ \ \ \ \ \ "i"\ \ \ \ \ \ 3x-1/2> -1 1/2\ \ \ \ |+1/2`

`3x<2\ \ \ |:3\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "i"\ \ \ \ \ \ 3x> -1\ \ \ |:3`

   

`x<2/3\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "i"\ \ \ \ \ \ x> -1/3`

`x in (-1/3;\ 2/3)`

 

 

`c)`

`|1/3x+2|<=1`

`1/3x+2<=1\ \ \ |-2\ \ \ \ \ \ "i"\ \ \ \ \ \ 1/3x+2>=-1\ \ \ |-2`

`1/3x<=-1\ \ \ |*3\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "i"\ \ \ \ \ \ 1/3x>=-3\ \ \ |*3`

`x<=-3\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "i"\ \ \ \ \ \ x>=-9`

`x in <<-9;\ -3>>`

 

 

`d)`

`|6x+2|>1`

`6x+2>1\ \ \ |-2\ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ \ 6x+2< -1\ \ \ |-2`

`6x> -1\ \ \ |:6\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ \ 6x<-3\ \ \ |:6`

`x> -1/6\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ \ x<-1/2`

`x in (-infty;\ -1/2)uu(-1/6;\ +infty)`

 

 

`e)`

`|2/3x-3|>=5`

`2/3x-3>=5\ \ \ |+3\ \ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ \ 2/3x-3<=-5\ \ \ |+3`

`2/3x>=8\ \ \ |*3/2 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ \ 2/3x<=-2\ \ \ |*3/2`

`x>=12\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ \ x<=-3`

`x in (-infty;\ -3>>uu<<12;\ +infty)`

 

 

`f)`

`|3x-1/4|>0,125`

`|3x-1/4|>1/8`

`3x-1/4>1/8 \ \ \ |+1/4 \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ \ 3x-1/4<-1/8\ \ \ |+1/4`

`3x>3/8\ \ \ |*1/3\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \"lub"\ \ \ \ \ \ 3x<1/8\ \ \ \ |*1/3`

`x>1/8\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \"lub"\ \ \ \ \ \ x<1/24`

`x in (-infty;\ 1/24)uu(1/8;\ +infty)`

    

  

 

 

Sporządź tabelę

Przyjrzyj się powyższym rysunkom i, stosując metodę Talesa

`7/3=(225+115)/H`

`7H=3*(225+115)`

`7H=3*340`

`H=(3*340)/7=1020/7~~145,71\ m`

Znajdź współczynniki b i c

Współczynnik a funkcji f jest równy 1. Stąd mając współrzędne wierzchołka będziemy mogli zapisać wzór funkcji w postaci kanonicznej:

`f(x)=(x-x_w)^2+y_w` 

Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia wykonamy działania, dzięki czemu znajdziemy współczynniki b i c. 

Przypomnijmy wzory skróconego mnożenia na kwadrat sumy i kwadrat różnicy:

`(a+b)^2=a^2+2ab+b^2` 

`(a-b)^2=a^2-2ab+b^2` 

 

 

`a)` 

`f(x)=(x-2)^2+4=x^2-4x+4+4=x^2-4x+8` 

`b=-4` 

`c=8` 

 

 

`b)` 

`f(x)=(x+1)^2-3=x^2+2x+1-3=x^2+2x-2` 

`b=2` 

`c=-2` 

 

 

`c)` 

`f(x)=(x-1/2)^2-1=x^2-x+1/4-1=x^2-x-3/4` 

`b=-1` 

`c=-3/4`

 

 

`d)`   

`f(x)=(x-0)^2+3=x^2+3` 

`b=0` 

`c=3` 

 

 

`e)` 

`f(x)=(x-10)^2=x^2-20x+100` 

`b=-20` 

`c=100`