Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Liczba spełniająca równanie - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Sprawdź czy liczba $$x=3$$ spełnia równanie $$x^3+x^2-x-6=0$$

W tym wypadku najprościej będzie zastąpić x naszą liczbą czyli 3

$$x^3+x^2-x-6=0$$

$$3^3+3^2-3-6=0 $$

I rozwiązujemy:

$$27+9-9=0$$

$$27=0$$

Liczba 3 nie spełnia równania

Zadanie 2.

Sprawdź czy liczba $$x=√2$$ spełnia równanie $$(x+2)^2-(x+2)(x-2)= √2$$

Tutaj bezpieczniej jest lekko uporządkować nasze równanie:

$$(x+2)^2-(x+2)(x-2)= √2 $$

$$x^2+4x+4-x^2+4=√2 $$

zredukujmy $$x^2$$

$$4x+8=√2$$

I teraz zastosujmy sposób II czyli bezpośrednie podstawienie

$$4√2+8=√2$$

Jak widać lewa strona nie jest równa prawej, zatem nie spełnia równania

Spis treści

Rozwiązane zadania
Jedna bluzka kosztuje

`80-10%*80=80-0,1*80=80-8=72`

Punkty: A(-3;7) ...

`A=(-3;7)` 

`B=(17;-3)` 

`C=(13;5)` 

`D=(x;y)` 

  

`vec(AB)=vec(CD)` 

`-[17+3;-3-7]=[x-13;y-5]` 

`x-13=-(17+3)` 

`x=-7` 

`y-5=-(-3-7)` 

`y=15` 

`D=(-7;15)` 

 

`"Odpowiedź A."` 

Wyznacz wszystkie liczby całkowite ...

`"a)"\ -3sqrt2<m<3sqrt2` 

`\ \ \ -sqrt9sqrt2<m<sqrt9sqrt2` 

`\ \ \ -sqrt(9*2)<m<sqrt(9*2)` 

`\ \ \ -sqrt18<m<sqrt18` 

Szukamy pierwaistków większych od -18 i mniejszych od √18, które są liczbami całkowitymi.

`-sqrt16=-4` 

`-sqrt9=-3` 

`-sqrt4=-2` 

`-sqrt1=-1` 

`sqrt0=0` 

`sqrt1=1` 

`sqrt4=2` 

`sqrt9=3` 

`sqrt16=4` 

Otrzymaliśmy:

`m in{-4,-3,-2,-1,\ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4}` 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )` 

`"b)"\ 1/3sqrt7<m<5/3sqrt7` 

`\ \ \ sqrt(1/9*7)<m<sqrt(25/9*7)` 

`\ \ \ sqrt(7/9)<m<sqrt(175/9)` 

`\ \ \ sqrt(7/9)<m<sqrt(19 4/9)` 

Szukamy pierwaistków większych od 7/9 i mniejszych od √194/9, które są liczbami całkowitymi.

`sqrt1=1` 

`sqrt4=2` 

`sqrt9=3` 

`sqrt16=4`

Otrzymaliśmy:

`m in{1,\ 2,\ 3,\ 4}` 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )` 

`"c)"\ -3sqrt3<m<sqrt3` 

`\ \ \ -sqrt(9*3)<m<sqrt3` 

`\ \ \ -sqrt27<m<sqrt3` 

Szukamy pierwaistków większych od -27 i mniejszych od √3, które są liczbami całkowitymi.

`-sqrt25=-5` 

`-sqrt16=-4` 

`-sqrt9=-3` 

`-sqrt4=-2` 

`-sqrt1=-1` 

`sqrt0=0` 

`sqrt1=1`

Otrzymaliśmy:

`m in{-5,-4,-3,-2,-1,\ 0,\ 1}` 

Przepisz i uzupełnij wyrażenia ...

`"a)"\ square\ hArr\ x!=4` 

`\ \ \ \ x<4\ \ vv\ \ x>4\ hArr\ x!=4`  

 

`"b)"\ sqrt16=4\ hArr\ square` 

`\ \ \ sqrt16=4\ hArr\ 4^2=16` 

 

`"c)"\ x^2=1\ hArr\ square` 

`\ \ \ x^2=1\ hArr\ x=1\ \ vv\ \ x=-1` 

 

`"d)"\ x*y!=0\ hArr\ square` 

`\ \ \ x*y!=0\ hArr\ x!=0\ \ ^^ \ \ y!=0` 

 

`"e)"\ square\ hArr\ x=-3\ \ vv\ \ x=3` 

`\ \ \ x^2=9\ hArr\ x=-1\ \ vv\ \ x=3` 

 

`"f)"\ x!=-5\ \ ^^\ \ x!=5\ hArr\ square` 

`\ \ \ x!=-5\ \ ^^\ \ x!=5\ hArr\ x^2!=25`   

Iloczyn dwóch liczb jest równy 2028

`a*b=2028,\ \ \ NWW(a,\ b)=156,\ \ \ NWD(a,\ b)=?`

 

Mamy twierdzenie:

`NWW(a,\ b)*NWD(a,\ b)=a*b`

`156*NWD(a,\ b)=2028\ \ \ |:156`

`NWD(a,\ b)=2028:156=13`

Wyznacz...

W tym zadaniu będziemy musieli skorzystać ze wzorów skróconego mnożenia:

`a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2`

`a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2`

 

Musimy dopasować liczbę do wyrażenia z x oraz wyrażenia z y tak aby powstał jeden z powyższych wzorów skróconego mnożenia. Pamiętamy, że finalnie nie możemy zmienić wartości całego wyrażenia.

`a) \ x^2 - 4x + y^2 - 4y + ul(6)=0`

`x^2 - 4x + y^2 - 4y + ul(8 -2)=0`

`x^2 - 4x + y^2 - 4y + 4 + 4 - 2 =0`

`x^2 - 4x + 4 + y^2 - 4y + 4 -2 =0`

`(x-2)^2 + (y-2)^2 -2=0`

`(x-2)^2 + (y-2)^2 =2`

`"Środek:" \ S=(2,2), \ \ \ "promień:" \ r=\ sqrt2`

 

 

`b) \ x^2 -4x+y^2 +6y - ul(3)=0`

`x^2 - 4x + y^2 + 6y + ul(13 - 16)=0`

`x^2 - 4x + y^2 + 6y + 4 + 9 - 16 =0`

`x^2 - 4x + 4 + y^2 + 6y + 9 -16=0`

`(x-2)^2 + (y+3)^2 -16=0`

`(x-2)^2 + (y+3)^2 = 16`

`"Środek:" \ S=(2,-3), \ \ \ "promień:" \ r = 4`

 

 

`c) \ x^2 + 3x + y^2 - 10y + ul(27)=0`

`x^2 + 3x + y^2 - 10 y + ul(9/4 + 25 -1/4)=0`

`x^2 + 3x + 9/4 + y^2 - 10y + 25 -1/4=0`

`(x+3/2)^2 + (y-5)^2 - 1/4=0`

`(x+3/2)^2 + (y-5)^2 = 1/4`

`"Środek:" \ S=(-3/2, \ 5), \ \ \ "promień:" \ r=1/2`

 

 

`d) \ x^2 - 2sqrt2x+y^2 + 2y - ul(7)=0`

`x^2 - 2sqrt2x + y^2 + 2y + ul(2 + 1 -10)=0`

`x^2 - 2sqrt2x + 2 + y^2 + 2y + 1 - 10=0`

`(x-sqrt2)^2 + (y+1)^2 -10=0`

`(x-sqrt2)^2 + (y+1)^2 = 10`

`"Środek:" \ S=(sqrt2, -1), \ \ \ "promień:" \ sqrt10`

W dwóch sklepach wprowadzono

Oznaczmy przez x cenę początkową tego towaru. 

 

`ul(ul("pierwszy sklep"))`

`"cena po pierwszej obniżce:"\ \ \ (100%-5%)*x=95%*x=0,95x`

`"cena po drugiej obniżce:"\ \ \ (100%-15%)*0,95x=85%*0,95x=0,85*0,95x=0,8075x`

 

 

`ul(ul("drugi sklep"))`

`"cena po pierwszej obniżce:"\ \ \ (100%-10%)*x=90%*x=0,9x`

`"cena po drugiej obniżce:"\ \ \ (100%-10%)*0,9x=90%*0,9x=0,9*0,9x=0,81x`

 

Przekątne równoległoboku o polu równym ...

`P=16sqrt2` 

`alpha-"kąt przecięcia się przekątnych"` 

`sin alpha=(2sqrt2)/3` 

`p,q-"długości przekątnych równoległoboku"` 

`p=3q`   

Przekątne równoległoboku przecinają się w połowie. 

`q=2x` 

`p=2y` 

`p=3q\ implies \ 2y=6x\ implies y=3x`

`P_(ADS)=1/2xy*sinalpha=1/2xy(2sqrt2)/3=(2xysqrt2)/6=(xysqrt2)/3=(3x^2sqrt2)/3=x^2sqrt2` 

`P_(ADS)=1/4P=16sqrt2` 

`x^2sqrt2=1/4*16sqrt2` 

`x^2=4` 

`x=2` 

`y=6`      

 

`sin^2alpha+cos^2alpha=1` 

`cos^2alpha=1-sin^2alpha=1-8/9=1/9`  

`cosalpha=1/3` 

`"Czy"\ cos alpha=x/y?`    

`x/y=x/(3x)=1/3=cosalpha`  

Z powyższej zależności wynika, że beta jest kątem prostym.

`beta=90^o`  

 

`b)` 

`sinalpha=(2sqrt2)/3=a/y=a/6` 

`a=6*(2sqrt2)/3=4sqrt2` 

Z twierdzenia Pitagorasa (dla trójkąta ACD): 

`b^2=a^2+(2x)^2`

`b^2=32+16=48` 

`b=4sqrt3` 

 

`Obw=2a+2b=8sqrt2+8sqrt3`   

Wyznacz równania prostych

`a)` 

`A=(-2, \ -1)` 

`B=(3, \ -1)` 

`C=(4,\ 2)` 

`D=(-1,\ 2)` 

 

Najpierw warto zauważyć, że proste AB oraz CD zawierają się w prostych poziomych, (pary punktów A i B oraz C i D mają takie same drugie współrzędne).

`ul(prosta\ AB:\ \ \ y=-1) `  

`ul(prosta\ CD:\ \ \ y=2)`  

 

Teraz wyznaczymy równanie prostej AD (prosta ma równanie y=ax+b, podstawimy współrzędne punktów A i D w miejsce x i y):

`{(-1=a*(-2)+b), (2=a*(-1)+b):}` 

`{(-1=-2a+b), (2=-a+b):}\ \ \ \ \ |-` ``         odejmujemy równania stronami

`-3=-a\ \ \ \ \ \ |*(-1)` 

`a=3` 

 

Wstawiamy do drugiego równania:

`2=-a+b\ \ \ =>\ \ \ 2=-3+b\ \ \ =>\ \ \ b=2+3=5` 

`ul(prosta\ AD:\ \ \ y=3x+5)`  

 

Proste BC i AD są równoległe, zatem mają taki sam współczynnik kierunkowy; prosta BC ma więc równanie: ``` ` 

`y=3x+c` 

Współczynnik c obliczymy, podstawiając współrzędne punktu B do równania (punkt B należy do prostej BC): 

`-1=3*3+c\ \ \ =>\ \ \ -1=9+c\ \ \ =>\ \ \ c=-1-9=-10 ` 

`ul(prosta \ BC:\ \ \ y =3x-10)`  

 

 

 

`b)` 

`A=(-2,\ 0)` 

`B=(2,\ -2)` 

`C=(2, \ 1)` 

`D=(-2,\ 3)` 

 

Najpierw warto zauważyć, że proste AD oraz BC zawierają się w prostych pionowych, (pary punktów A i D oraz B i C mają takie same pierwsze współrzędne).

`ul(prosta\ AD:\ \ \ x=-2)`  

`ul(prosta\ BC:\ \ \ x=2)`  

 


Teraz wyznaczymy równanie prostej AB (prosta ma równanie y=ax+b, podstawimy współrzędne punktów A i B w miejsce x i y):

`{(-2=a*2+b), (0=a*(-2)+b):}` 

`{(-2=2a+b), (0=-2a+b):}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |-` 

`-2=4a\ \ \ \ \ \ \ |:4` 

`a=-1/2` 

 

Wstawiamy wyliczony współczynnik a do drugiego równania:

`0=-2a+b\ \ \ \ =>\ \ \ 0=-2*(-1/2)+b\ \ \ =>\ \ \ 0=1+b\ \ \ =>\ \ \ b=-1` 

`ul(prosta\ AB:\ \ \ y=-1/2x-1)` 

 

Proste AB i CD są równoległe, zatem mają taki sam współczynnik kierunkowy; prosta CD ma więc równanie:  

`y=-1/2x+c` 

 

Współczynnik c obliczymy, podstawiając współrzędne punktu D do równania (punkt D należy do prostej CD):

`3=-1/2*(-2)+c\ \ \ =>\ \ \ 3=1+c\ \ \ =>\ \ \ c=3-1=2` 

`ul(prosta\ CD:\ \ \ y=-1/2x+2)` 

 

 

 

`c)`  

`A=(-1,\ -1)` 

`B=(5,\ 1)` 

`C=(3,\ 3)` 

`D=(-3,\ 1)` 

 

Wyznaczamy równanie prostej AB (prosta ma równanie y=ax+b), podstawiając współrzędne punktów A i B w miejsce x i y :

`{(-1=a*(-1)+b), (1=a*5+b):}` 

`{(-1=-a+b), (1=5a+b):}\ \ \ \ \ \ |-` 

`-2=-6a\ \ \ \ \ |:(-6)`  

`a=(-2)/(-6)=1/3` 

 

Wstawiamy wyliczoną wartość współczynnika a do pierwszego równania:

`-1=-a+b\ \ \ \=>\ \ \ -1=-1/3+b\ \ \ =>\ \ \ b=-1+1/3=-2/3` 

`ul(prosta\ AB:\ \ \ y=1/3x-2/3)` 

 


Proste AB i CD są równoległe, zatem mają taki sam współczynnik kierunkowy; prosta CD ma więc równanie:  

`y=1/3x+c` 



Współczynnik c obliczymy, podstawiając współrzędne punktu D do równania (punkt D należy do prostej CD):

`1=1/3*(-3)+c\ \ \ =>\ \ \ 1=-1+c\ \ \ =>\ \ \c=1+1=2` 

`ul(prosta\ CD:\ \ \ y=1/3x+2)` 

 

Teraz wyznaczymy równanie prostej AD podstawiając do równania y=dx+e współrzędne punktów A i D:

`{(-1=d*(-1)+e), (1=d*(-3)+e):}`   

`{(-1=-d+e), (1=-3d+e):}\ \ \ \ \ |-`  

`-2=2d\ \ \ \ \ \ \ |:2` 

`d=-1`  

Wstawiamy wyliczoną wartość współczynnika d do pierwszego równania: 

`-1=-d+e\ \ \ =>\ \ \ -1=1+e\ \ \ =>\ \ \ e=-1-1=-2`  

`ul(prosta\ AD:\ \ \ y=-x-2)`  

 


Proste AD i BC są równoległe, zatem mają taki sam współczynnik kierunkowy; prosta BC ma więc równanie:  

`y=-x+f` 


Współczynnik f obliczymy, podstawiając współrzędne punktu B do równania (punkt B należy do prostej BC):

`1=-5+f\ \ \ =>\ \ \ f=1+5=6` 

`ul(prosta\ BC:\ \ \ y=-x+6)` 

 

 

 

Uprość wyrażenie

W wyrażeniach tego typu warto podać założenia. 

Przy wypisywaniu założeń należy pamiętać o następujących rzeczach:

- nie można dzielić przez 0, więc jeśli przez coś dzielimy, to musimy założyć, że to wyrażenie jest niezerowe

- kreska ułamkowa oznacza dzielenie, więc wyrazenie w mianowniku musi być niezerowe

- potęga o wykładniku ujemnym sprawia, że bierzemy przeciwną potęgę odwrotności danej liczby (tzn. a-k=(1/a)k), więc jeśli mamy potęgę o wykładniku ujemnym, to nie tylko mianownik, ale też licznik musi być niezerowy (bo po odwróceniu licznik staje się mianownikiem)

 

Przypomnijmy jeszcze prawa działań na potęgach:

 

 

`a)` 

`"założenia:"` 

`xne0\ \ \ "i"\ \ \ x^-4ne0\ \ \ =>\ \ \ ul(xne0)` 

 

Przechodzimy do uproszczenia wyrażenia:

`(x^-3*x^9+x^2:x^-4)*x^-4=(x^(-3+9)+x^(2-(-4)))*x^-4=(x^6+x^6)*x^-4=2x^6*x^-4=2x^(6+(-4))=2x^2` 

 

Obliczamy wartość liczbową wyrażenia:

`2x^2=2*(3sqrt2)^2=2*3^2*sqrt2^2=2*9*2=36` 

 

 

 

`b)` 

`"założenia:"` 

`3xne0\ \ \ "i"\ \ \ (9x^2)^3*(3x)^-2ne0\ \ \ "i"\ \ \ (27x^3)^2*(3x)^-3ne0\ \ \ =>\ \ \ ul(xne0)` 

 

Przechodzimy do uproszczenia wyrażenia:

`((9x^2)^3*(3x)^-2)^-2:((27x^3)^2*(3x)^-3)^-2=(((3x)^2)^3*(3x)^-2)^-2:(((3x)^3)^2*(3x)^-3)^-2=` 

`=((3x)^6*(3x)^-2)^-2:((3x)^6*(3x)^-3)^-2=((3x)^4)^-2:((3x)^3)^-2=(3x)^-8:(3x)^-6=(3x)^(-8-(-6))=(3x)^-2` 

 

Obliczamy wartość liczbową wyrażenia:

`(3x)^-2=(strike3^1*5/strike6^2)^-2=(5/2)^-2=(2/5)^2=4/25`