Kombinatoryka - matura-podstawowa - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Kombinatoryka - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Kombinatoryka

Zadaniem tego działu jest nauczenie tzw. Kombinacji czyli łączenia kilku elementów lub zdarzeń w taki sposób, aby wyczerpać wszystkie dostępne możliwości. Musimy więc przedstawić wszystkie ustawienia.

Wypisanie:
Metoda wypisanie polega na rozpisaniu wszystkich możliwych sytuacji i policzeniu ich. Jest skuteczna przy małych liczbach zdarzeń, jednakże niektóre zadania mogą nawet dobijać do 1000 ustawień i więcej, a wtedy sama rozpiska zajęłaby pół matury. Jednakże warto omówić tę metodę - czasem rozpisanie tylko części przypadków pozwala nam wpaść na poprawne rozwiązanie.

Przykład:
Ile jest liczb dwucyfrowych mniejszych od 30 podzielnych przez 3.
Wypisujemy każdą z tych liczb: 3,6,9,12,15,18,21,24,27 ma być mniejsze od 30, więc samo 30 się nie kwalifikuje. Mamy więc 9 takich liczb.
Jednakże tak jak wspominałem liczba ustawień musi być mała, na większe liczby pomoże reguła mnożenia.

Reguła Mnożenia:
Polega na podzieleniu zdarzeń na etapy, wykonujemy jeden z nich na kilka sposobów, a drugi również na kilka itd.
Czyli np.:
Pierwszy na 5 sposobów
Drugi na 4 sposoby
Więc wszystkie sytuacje przedstawimy na $5*4=20$ sposobów.

Przykład:
Ile jest liczb dwucyfrowych, w których obie cyfry są mniejsze od 4?
Dzielimy tu na etapy:
1. ustaw cyfry dziesiątek:
Możliwe cyfry dziesiątek to $1,2,3,4$ - 4 cyfry
2. ustaw cyfry jedności:
Możliwe cyfry dziesiątek to $0,1,2,3,4$ - 5 cyfr
Zatem takich liczb jest $4×5=20$

Reguła dodawania:
Stosujemy ją, jeśli musimy wybrać tylko jedną z kilku decyzji, czyli stosujemy „albo”, w przypadku mnożenia było to wymuszenie czyli „i” tutaj jest alternatywa.

Przykład:
Zamek szyfrowy jest strzeżony przez dwie wieże, jedna z nich jest zamknięta kodem dwucyfrowym nieparzystym, druga kodem dwucyfrowym parzystym. Wystarczy złamać kod na jednej wieży, aby wejść. Na ile sposobów możemy wejść do zamku?

Mamy tutaj jednocześnie regułę mnożenia i dodawania.
Najpierw mnożenia, wieża z kodem parzystym składa się z 2 cyfr.
Możliwe dziesiątki: $2,4,6,8$
Możliwe jedności: $0,2,4,6,8$
Zatem z reguły mnożenia kombinacji jest 5×4=20
Tak samo w wieży nieparzystej.
Możliwe dziesiątki: $1,3,5,7,9$
Możliwe jedności: $1,3,5,7,9$
Z reguły mnożenia kombinacji jest 5×5=25
Z racji, że mamy „albo” (ta wieża albo tamta) sumujemy nasze wyliczone kombinacje:
$25+20=45$
Uwaga: "albo" to alternatywa wykluczająca, co oznacza, że nie mogę przejść przez obie wieże naraz - to logiczne.
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Na ile sposobów możemy ustawić liczbę trzycyfrową tak, aby pierwsza cyfra była podzielna przez 2, druga przez 4, trzecia przez 8.

Sprawdzamy po kolei cyfry:
Setki: 2,4,6,8
Dziesiątki: 0,4,8
Jedności: 0,8
Zatem możemy ustawić na 4×3×2=24 sposoby

Zadanie 2.

Podczas egzaminu student może wybrać 4 pytania spośród 6 możliwych. Na ile sposobów może to zrobić?

Tutaj musimy pamiętać, że jeśli student wybierze już jedno pytanie, ma mniej możliwości niż wcześniej, zatem:

I pytanie: 6 sposobów (jest 6 pytań do wyboru)
II pytanie: 5 sposobów (wybrał jedno, zostało 5)
III pytanie: 4 sposoby (itd)
IV pytanie: 3 sposoby
Z reguły mnożenia: 6×5×4×3=360

Jednakże kolejność, które pytanie wybierze najpierw, które potem itd. nie ma tutaj znaczenia, zatem liczymy jeszcze dostępne ustawienia tych pytań, które wybrał. Ustawiamy:
I pytanie: 4 sposoby (może wybrać I pytanie jako pierwsze, drugie, trzecie albo czwarte)
II pytanie: 3 sposoby (na II pytanie zostały mu już tylko 3 miejsca)
III pytanie: 2 sposoby (itd)
IV pytanie: 1 sposób
4×3×2×1=24
Musimy w końcu podzielić nasze kombinacje: ${360}/{24}=15$
Student może więc wybrać na 15 sposobów.

Uwaga dla ciekawskich: student wybrał cztery pytania, dwa zostały. Na ile sposobów można zostawić 2 pytania z 6? Z reguły mnożenia mam 6×5=30. Na ile sposobów można ustawić kolejność dwóch pytań? Na 2×1=2. Wtedy $30/2=15$. To nie przypadek, że wyszło to samo!

Zadanie 3.

Na ile sposobów można ustawić w kolejce 5 osób ?

Kolejność tutaj ma znaczenie, zatem robimy podobnie jak z pytaniami, tylko nie dzielimy przez liczbę ustawień (bo wyszłoby 1):

Ustawiona I osoba: 5 sposobów
Ustawiona II osoba: 4 sposoby
Ustawiona III osoba: 3 sposoby
Ustawiona IV osoba: 2 sposoby
Ustawiona V osoba: 1 sposób

Z reguły mnożenia: 5×4×3×2×1=120 sposobów

 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Ile jest liczb całkowitych, które ...

{premium}  

Wiemy, że:

 

 

 

Otrzymujemy nierówność:

 

 

Stąd:

 

W miejsce x możemy wstawić tylko dwie liczby całkowite 3 lub 4.

 

Odp: C

Zapisz w jak najprostszej ...

a)  {premium}


b)    


c)   

  


d)   

  


e)    

 

 


f)    

Rozwiąż algebraicznie i graficznie układ równań

Podstawiamy pierwsze równanie do drugiego równania:

 

 

Przekształcamy każde równanie do{premium} postaci kierunkowej. 

 

Dla każdej prostej wyznaczamy współrzędne dwóch punktów, które do niej należą (dzięki temu będziemy mogli narysować wykres, prowadząc prostą przez te punkty). 

 

 

 

Odczytujemy współrzędne punktu przecięcia prostych - jest to rozwiązanie układu:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Drugie równanie opisuje prostą pionową, pierwsze równanie przekształcamy do postaci kierunkowej. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Równość jest zawsze prawdziwa, więc układ jest nieoznaczony - ma nieskończenie wiele rozwiązań. 

Spełnia je każda taka para liczb, że:

 

 

Obydwa równania opisują tę samą prostą. Układ ma nieskończenie wiele rozwiązań - wszystkie leżą na narysowanej prostej. 

 

 

 

 

Pierwsze równanie jest sprzeczne, więc układ równań jest sprzeczny - nie ma rozwiązań. 

 

 

 

 

Narysowane proste nie mają punktów wspólnych, więc układ jest sprzeczny - nie ma rozwiązania. 

Mając dany wykres funkcji y=f(x)...

a)

I. Wykres funkcji f przesuwamy o jedną jednostkę w prawo wzdłuż osi x.{premium}


II. Wykres funkcji f przesuwamy o trzy jednostki w lewo wzdłuż osi x.


III. Wykres funkcji f przesuwamy o dwie jednostki w prawo wzdłuż osi x.


IV. Wykres funkcji f przesuwamy o pięć jednostek w lewo wzdłuż osi x.


b)

I. Wykres funkcji f przesuwamy o jedną jednostkę w prawo wzdłuż osi x.


II. Wykres funkcji f przesuwamy o trzy jednostki w lewo wzdłuż osi x.


III. Wykres funkcji f przesuwamy o dwie jednostki w prawo wzdłuż osi x.


IV. Wykres funkcji f przesuwamy o pięć jednostek w lewo wzdłuż osi x.

Narysuj wykres funkcji...

Wyznaczamy współrzędne kilu punktów należących do wykresu funkcji f i przedstawiamy je w tabeli:{premium}

x 0 1 4 9
y=f(x) 0 1 2 3

a) Aby otrzymać szukany wykres, należy przesunąć wykres funkcji y=f(x) o jedną jednostkę w lewo wzdłuż osi x.


b) Aby otrzymać szukany wykres, należy przesunąć wykres funkcji y=f(x) o pięć jednostek w górę wzdłuż osi y.


c) Aby otrzymać szukany wykres, należy przesunąć wykres funkcji y=f(x) o trzy jednostki w dół wzdłuż osi y.


d) Aby otrzymać szukany wykres, należy przesunąć wykres funkcji y=f(x) o cztery jednostki w prawo wzdłuż osi x.

Usuń niewymierność z mianownika

{premium}

Uzasadnij, że rozwinięcie dziesiętne...

a) Ułamek ma rozwinięcie dziesiętne skończone, ponieważ{premium} mianownik ułamka możemy rozszerzyć do liczby 1000. Mianowicie:

 


b) Ułamek ma rozwinięcie dziesiętne skończone, ponieważ mianownik ułamka możemy rozszerzyć do liczby 10 000. Mianowicie:

 


c) Ułamek ma rozwinięcie dziesiętne skończone, ponieważ po skróceniu licznika i mianownika przez 17, otrzymujemy:

 


d) Ułamek ma rozwinięcie dziesiętne skończone, ponieważ po skróceniu licznika i mianownika przez 13, otrzymujemy:

 

Ewa jest cztery razy młodsza od swojej ...

Przyjmijmy następujące oznaczenia:

 - wiek Ewy (w latach)

 - wiek trenerki Ewy (w latach)


Wiemy, że: {premium}

- Ewa jest cztery razy młodsza od swojej trenerki

- za siedem lat trenerka będzie starsza od Ewy trzykrotnie


Możemy więc zapisać:

 


Rozwiązujemy układ równań metodą przez podstawienie.

 

 

 

 

 

  

  


Ewa ma 14 lat, a jej trenerka - 56 lat.

Rozwiąż nierówność

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

{premium}  

 

 

Wyrażenie pod pierwszą wartością bezwzględną przyjmuje wartość 0 dla x=3, a pod drugą - dla x=-3. 

Musimy rozpatrzeć trzy przypadki. 

 

 

 

 

 

 

 

Należy pamiętać, że rozpatrywaliśmy nierówność w zadanym przedziale:

 

 

 

 

 

 

 

Powyższa nierówność jest spełniona zawsze, więc cały zadany przedział jest rozwiązaniem nierówności. 

  

 

 

 

 

 

 

 

Należy pamiętać, że rozpatrywaliśmy nierówność w zadanym przedziale:

 

 

 

Biorąc sumę rozwiązań otrzymanych we wszystkich przypadkach otrzymujemy ostateczne rozwiązanie nierówności:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Musimy rozpatrzeć dwa przypadki:

 

 

 

 

 

 

 

Należy pamiętać, że rozpatrywaliśmy nierówność w zadanym przedziale:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Należy pamiętać, że rozpatrywaliśmy nierówność w zadanym przedziale:

 

 

Biorąc sumę rozwiązań otrzymanych we wszystkich przypadkach otrzymujemy ostateczne rozwiązanie nierówności:
  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Musimy rozpatrzeć trzy przypadki. 

 

 

 

 

  

  

Należy pamiętać, że rozpatrywaliśmy nierówność w zadanym przedziale:

  

 

 

 

  

 

 

 

 

Nierówność jest sprzeczna, więc w zadanym przedziale nierówność nie ma rozwiązania. 

 

 

 

 

 

  

 

 

Należy pamiętać, że rozpatrywaliśmy nierówność w zadanym przedziale:

 

 

Nierówność nie ma rozwiązania w żadnym z podanych przedziałów. 

 

Do równania 3x+2y=3 dopisz drugie tak

Dopisujemy drugie równania tak, aby jego lewa strona była taka sama, jak w pierwszym równaniu, ale prawa{premium} strona była różna od 3. Wtedy układ na pewno będzie sprzeczny - suma liczb 3x i 2y nie może być równa jednocześnie 3 i jakiejś innej liczbie.

Przykładowe rozwiązania:

 

 

Układ będzie nieoznaczony (będzie miał nieskończenie wiele rozwiązań), jeślii drugie równanie będzie pewna wielokrotnością pierwszego równania.

Przykładowe rozwiązania:

 

 

Najpierw znajdźmy jakąś parę liczb, która spełnia pierwsze równanie.

Podstawmy na przykład jeden w miejsce x i wyliczmy y:

 

Teraz drugie równanie dopisujemy tak, aby było spełnione przez parę (3, 0), na przykład: