Kombinatoryka - matura-podstawowa - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Kombinatoryka - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Kombinatoryka

Zadaniem tego działu jest nauczenie tzw. Kombinacji czyli łączenia kilku elementów lub zdarzeń w taki sposób, aby wyczerpać wszystkie dostępne możliwości. Musimy więc przedstawić wszystkie ustawienia.

Wypisanie:
Metoda wypisanie polega na rozpisaniu wszystkich możliwych sytuacji i policzeniu ich. Jest skuteczna przy małych liczbach zdarzeń, jednakże niektóre zadania mogą nawet dobijać do 1000 ustawień i więcej, a wtedy sama rozpiska zajęłaby pół matury. Jednakże warto omówić tę metodę - czasem rozpisanie tylko części przypadków pozwala nam wpaść na poprawne rozwiązanie.

Przykład:
Ile jest liczb dwucyfrowych mniejszych od 30 podzielnych przez 3.
Wypisujemy każdą z tych liczb: 3,6,9,12,15,18,21,24,27 ma być mniejsze od 30, więc samo 30 się nie kwalifikuje. Mamy więc 9 takich liczb.
Jednakże tak jak wspominałem liczba ustawień musi być mała, na większe liczby pomoże reguła mnożenia.

Reguła Mnożenia:
Polega na podzieleniu zdarzeń na etapy, wykonujemy jeden z nich na kilka sposobów, a drugi również na kilka itd.
Czyli np.:
Pierwszy na 5 sposobów
Drugi na 4 sposoby
Więc wszystkie sytuacje przedstawimy na $5*4=20$ sposobów.

Przykład:
Ile jest liczb dwucyfrowych, w których obie cyfry są mniejsze od 4?
Dzielimy tu na etapy:
1. ustaw cyfry dziesiątek:
Możliwe cyfry dziesiątek to $1,2,3,4$ - 4 cyfry
2. ustaw cyfry jedności:
Możliwe cyfry dziesiątek to $0,1,2,3,4$ - 5 cyfr
Zatem takich liczb jest $4×5=20$

Reguła dodawania:
Stosujemy ją, jeśli musimy wybrać tylko jedną z kilku decyzji, czyli stosujemy „albo”, w przypadku mnożenia było to wymuszenie czyli „i” tutaj jest alternatywa.

Przykład:
Zamek szyfrowy jest strzeżony przez dwie wieże, jedna z nich jest zamknięta kodem dwucyfrowym nieparzystym, druga kodem dwucyfrowym parzystym. Wystarczy złamać kod na jednej wieży, aby wejść. Na ile sposobów możemy wejść do zamku?

Mamy tutaj jednocześnie regułę mnożenia i dodawania.
Najpierw mnożenia, wieża z kodem parzystym składa się z 2 cyfr.
Możliwe dziesiątki: $2,4,6,8$
Możliwe jedności: $0,2,4,6,8$
Zatem z reguły mnożenia kombinacji jest 5×4=20
Tak samo w wieży nieparzystej.
Możliwe dziesiątki: $1,3,5,7,9$
Możliwe jedności: $1,3,5,7,9$
Z reguły mnożenia kombinacji jest 5×5=25
Z racji, że mamy „albo” (ta wieża albo tamta) sumujemy nasze wyliczone kombinacje:
$25+20=45$
Uwaga: "albo" to alternatywa wykluczająca, co oznacza, że nie mogę przejść przez obie wieże naraz - to logiczne.
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Na ile sposobów możemy ustawić liczbę trzycyfrową tak, aby pierwsza cyfra była podzielna przez 2, druga przez 4, trzecia przez 8.

Sprawdzamy po kolei cyfry:
Setki: 2,4,6,8
Dziesiątki: 0,4,8
Jedności: 0,8
Zatem możemy ustawić na 4×3×2=24 sposoby

Zadanie 2.

Podczas egzaminu student może wybrać 4 pytania spośród 6 możliwych. Na ile sposobów może to zrobić?

Tutaj musimy pamiętać, że jeśli student wybierze już jedno pytanie, ma mniej możliwości niż wcześniej, zatem:

I pytanie: 6 sposobów (jest 6 pytań do wyboru)
II pytanie: 5 sposobów (wybrał jedno, zostało 5)
III pytanie: 4 sposoby (itd)
IV pytanie: 3 sposoby
Z reguły mnożenia: 6×5×4×3=360

Jednakże kolejność, które pytanie wybierze najpierw, które potem itd. nie ma tutaj znaczenia, zatem liczymy jeszcze dostępne ustawienia tych pytań, które wybrał. Ustawiamy:
I pytanie: 4 sposoby (może wybrać I pytanie jako pierwsze, drugie, trzecie albo czwarte)
II pytanie: 3 sposoby (na II pytanie zostały mu już tylko 3 miejsca)
III pytanie: 2 sposoby (itd)
IV pytanie: 1 sposób
4×3×2×1=24
Musimy w końcu podzielić nasze kombinacje: ${360}/{24}=15$
Student może więc wybrać na 15 sposobów.

Uwaga dla ciekawskich: student wybrał cztery pytania, dwa zostały. Na ile sposobów można zostawić 2 pytania z 6? Z reguły mnożenia mam 6×5=30. Na ile sposobów można ustawić kolejność dwóch pytań? Na 2×1=2. Wtedy $30/2=15$. To nie przypadek, że wyszło to samo!

Zadanie 3.

Na ile sposobów można ustawić w kolejce 5 osób ?

Kolejność tutaj ma znaczenie, zatem robimy podobnie jak z pytaniami, tylko nie dzielimy przez liczbę ustawień (bo wyszłoby 1):

Ustawiona I osoba: 5 sposobów
Ustawiona II osoba: 4 sposoby
Ustawiona III osoba: 3 sposoby
Ustawiona IV osoba: 2 sposoby
Ustawiona V osoba: 1 sposób

Z reguły mnożenia: 5×4×3×2×1=120 sposobów

 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Rozwiąż równania:

 

Zauważmy, że każdy ze składników sumy po lewej stronie równania przyjmuje wartość nieujemną.

Taka suma może być równa zero tylko wtedy, gdy każdy składnik jest zerem, stąd:

 

 

 

 

 

 {premium}


 

Zauważmy, że każdy ze składników sumy po lewej stronie równania przyjmuje wartość nieujemną.

Taka suma może być równa zero tylko wtedy, gdy każdy składnik jest zerem, stąd:

 

 

 

 

 


 

Zauważmy, że każdy ze składników sumy po lewej stronie równania przyjmuje wartość nieujemną.

Taka suma może być równa zero tylko wtedy, gdy każdy składnik jest zerem, stąd:

 

 

 

Równanie sprzeczne.


 

 

Zauważmy, że każdy ze składników sumy po lewej stronie równania przyjmuje wartość nieujemną.

Taka suma może być równa zero tylko wtedy, gdy każdy składnik jest zerem, stąd:

 

 

 

 

 

Wykaż, że jeżeli symetralna boku trójkąta...

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej.

Thumb zad5.96str123


Założenia:

 jest symetralną boku  

 


Teza:

 jest prostokątny.


Dowód:{premium}

 więc  

Trójkąt  ma kąt prosty, więc jest trójkątem prostokątnym, co należało dowieść.

W trójkąt ABC, którego kąty...

Trójkąt  jest opisany na okręgu, wiec środek okręgu

jest punktem przecięcia dwusiecznych kątów tego trójkąta.

Przyjmijmy więc oznaczenia jak na rysunku poniżej:

Thumb zad5.104str124


Punkty  są punktami styczności, więc  


Z sumy kątów dla czworokąta  

 {premium}

 

 

 


Kąty  i  to kąt środkowy i wpisany, oparte na tym samym łuku. Stąd:

 


Punkty  są punktami styczności, więc  


Z sumy kątów dla czworokąta  

 

 

 

 


Kąty  i  to kąt środkowy i wpisany, oparte na tym samym łuku. Stąd:

 


Z sumy kątów trójkąta  

 

 

 

 


Odp. Kąty trójkąta  mają miary:  

1. Podaj wartości g(3), g(5), g(16)...

Funkcja g jest określona następująco:

 

Funkcja g każdemu argumentowi przyporządkowuje liczbę parzystą mniejszą lub równą od n.


1. Wartości funkcji g dla podanych argumentów to:

     {premium}

 

 

 


2. Funkcja g przyjmuje wartość 120 dla argumentów: 120 i 121.

3. Tak, funkcja g ma dwa miejsca zerowe: 0 i 1.

4. Funkcja g przyjmuje wartości mniejsze od 50 dla liczb {0, 1, 2, 3, 4, ..., 48, 49}

czyli dla 50 liczb.

5. Wykres funkcji g:





Wykres funkcji g(x) otrzymano wyniku...

Gdy przekształcamy wykres funkcji  w symetrii względem osi  wówczas zachodzi: 

 

Zatem:

 

Prawidłowa odpowiedź to    

Wykorzystaj informacje zamieszczone na rysunku...

Oznaczmy wysokość budynku przez h, wtedy odległość budynku od punktu B wynosi również h bo trójkąt jest trójkątem prostokątnym równoramiennym.

 

 

 

 

 

 

 

 

W trójkącie równobocznym ABC wysokości...

Rysunek pomocniczy:

Thumb zad5.149str129


 W trójkącie równobocznym wysokości zawierają się w środkowych boków.

Zatem punkt  dzieli te wysokości w stosunku  licząc od wierzchołka.

Wszystkie wysokości trójkąta równobocznego mają taką samą długość.


Z powyższego wynika, że:

 

A stąd:

 


Rozważmy trójkąt  Jest to trójkąt o kącie  między dwoma równymi bokami  

zatem jest równoboczny.

Stąd wynika, że 

A zatem:{premium}

 


Trójkąty  i  mają wspólny kąt  


Mamy więc:

 

i trójkąty  i  są podobne na podstawie cechy kkk, co należało dowieść.


Przyjmijmy następujące oznaczenia:

 długość boku trójkąta  

 wysokość trójkąta  


Wysokość trójkąta równobocznego wyraża się wzorem:

 


Obliczamy skalę podobieństwa trójkąta  do trójkąta  

 


Odp. Skala podobieństwa trójkąta  do trójkąta  jest równa  



 Mamy dane:

 


Zauważmy, że:

 


Obliczamy obwód trójkąta  

 

 


Wiemy, że obwód jest równy  Stąd:

 

 

 

 

 


Odp. Bok trójkąta ma długość  

Oblicz

{premium}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

             

Dany jest prostokąt o bokach długości 1 i x

Duży prostokąt ma krótszy bok długości 1 i dłuższy bok długości x.

Mały prostokąt ma krótszy bok długości x-1 i dłuższy bok długości 1.

Jeśli prostokąty są podobne, to {premium}możemy zapisać proporcję:

 

Pierwsze rozwiązanie jest ujemne, dlatego odrzucamy je, drugie rozwiązanie jest poprawne - otrzymaliśmy złotą liczbę.

 

Boki trójkąta mają długość: 21 cm, 20 cm, 13 cm

a)

 

b)

     

 

   

   

 

 

   

 

c)

Pole trójkąta równa się iloczynowi promienia koła wpisanego w ten trójkąt i połowy obwodu tego trójkąta.

    

Przekształcimy ten wzór tak, aby otrzymać wzór na proień koła wpisanego w ten trójkąt.

            

 

d)

Pole trójkąta o bokach mających długość abc wpisanego w koło o promieniu R wyraża się wzorem:

Przekształcamy ten wzór tak, aby obliczyć promień: