Kombinatoryka - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Kombinatoryka

Zadaniem tego działu jest nauczenie tzw. Kombinacji czyli łączenia kilku elementów lub zdarzeń w taki sposób, aby wyczerpać wszystkie dostępne możliwości. Musimy więc przedstawić wszystkie ustawienia.

Wypisanie:
Metoda wypisanie polega na rozpisaniu wszystkich możliwych sytuacji i policzeniu ich. Jest skuteczna przy małych liczbach zdarzeń, jednakże niektóre zadania mogą nawet dobijać do 1000 ustawień i więcej, a wtedy sama rozpiska zajęłaby pół matury. Jednakże warto omówić tę metodę - czasem rozpisanie tylko części przypadków pozwala nam wpaść na poprawne rozwiązanie.

Przykład:
Ile jest liczb dwucyfrowych mniejszych od 30 podzielnych przez 3.
Wypisujemy każdą z tych liczb: 3,6,9,12,15,18,21,24,27 ma być mniejsze od 30, więc samo 30 się nie kwalifikuje. Mamy więc 9 takich liczb.
Jednakże tak jak wspominałem liczba ustawień musi być mała, na większe liczby pomoże reguła mnożenia.

Reguła Mnożenia:
Polega na podzieleniu zdarzeń na etapy, wykonujemy jeden z nich na kilka sposobów, a drugi również na kilka itd.
Czyli np.:
Pierwszy na 5 sposobów
Drugi na 4 sposoby
Więc wszystkie sytuacje przedstawimy na $$5*4=20$$ sposobów.

Przykład:
Ile jest liczb dwucyfrowych, w których obie cyfry są mniejsze od 4?
Dzielimy tu na etapy:
1. ustaw cyfry dziesiątek:
Możliwe cyfry dziesiątek to $$1,2,3,4$$ - 4 cyfry
2. ustaw cyfry jedności:
Możliwe cyfry dziesiątek to $$0,1,2,3,4$$ - 5 cyfr
Zatem takich liczb jest $$4×5=20$$

Reguła dodawania:
Stosujemy ją, jeśli musimy wybrać tylko jedną z kilku decyzji, czyli stosujemy „albo”, w przypadku mnożenia było to wymuszenie czyli „i” tutaj jest alternatywa.

Przykład:
Zamek szyfrowy jest strzeżony przez dwie wieże, jedna z nich jest zamknięta kodem dwucyfrowym nieparzystym, druga kodem dwucyfrowym parzystym. Wystarczy złamać kod na jednej wieży, aby wejść. Na ile sposobów możemy wejść do zamku?

Mamy tutaj jednocześnie regułę mnożenia i dodawania.
Najpierw mnożenia, wieża z kodem parzystym składa się z 2 cyfr.
Możliwe dziesiątki: $$2,4,6,8$$
Możliwe jedności: $$0,2,4,6,8$$
Zatem z reguły mnożenia kombinacji jest 5×4=20
Tak samo w wieży nieparzystej.
Możliwe dziesiątki: $$1,3,5,7,9$$
Możliwe jedności: $$1,3,5,7,9$$
Z reguły mnożenia kombinacji jest 5×5=25
Z racji, że mamy „albo” (ta wieża albo tamta) sumujemy nasze wyliczone kombinacje:
$$25+20=45$$
Uwaga: "albo" to alternatywa wykluczająca, co oznacza, że nie mogę przejść przez obie wieże naraz - to logiczne.
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Na ile sposobów możemy ustawić liczbę trzycyfrową tak, aby pierwsza cyfra była podzielna przez 2, druga przez 4, trzecia przez 8.

Sprawdzamy po kolei cyfry:
Setki: 2,4,6,8
Dziesiątki: 0,4,8
Jedności: 0,8
Zatem możemy ustawić na 4×3×2=24 sposoby

Zadanie 2.

Podczas egzaminu student może wybrać 4 pytania spośród 6 możliwych. Na ile sposobów może to zrobić?

Tutaj musimy pamiętać, że jeśli student wybierze już jedno pytanie, ma mniej możliwości niż wcześniej, zatem:

I pytanie: 6 sposobów (jest 6 pytań do wyboru)
II pytanie: 5 sposobów (wybrał jedno, zostało 5)
III pytanie: 4 sposoby (itd)
IV pytanie: 3 sposoby
Z reguły mnożenia: 6×5×4×3=360

Jednakże kolejność, które pytanie wybierze najpierw, które potem itd. nie ma tutaj znaczenia, zatem liczymy jeszcze dostępne ustawienia tych pytań, które wybrał. Ustawiamy:
I pytanie: 4 sposoby (może wybrać I pytanie jako pierwsze, drugie, trzecie albo czwarte)
II pytanie: 3 sposoby (na II pytanie zostały mu już tylko 3 miejsca)
III pytanie: 2 sposoby (itd)
IV pytanie: 1 sposób
4×3×2×1=24
Musimy w końcu podzielić nasze kombinacje: $${360}/{24}=15$$
Student może więc wybrać na 15 sposobów.

Uwaga dla ciekawskich: student wybrał cztery pytania, dwa zostały. Na ile sposobów można zostawić 2 pytania z 6? Z reguły mnożenia mam 6×5=30. Na ile sposobów można ustawić kolejność dwóch pytań? Na 2×1=2. Wtedy $$30/2=15$$. To nie przypadek, że wyszło to samo!

Zadanie 3.

Na ile sposobów można ustawić w kolejce 5 osób ?

Kolejność tutaj ma znaczenie, zatem robimy podobnie jak z pytaniami, tylko nie dzielimy przez liczbę ustawień (bo wyszłoby 1):

Ustawiona I osoba: 5 sposobów
Ustawiona II osoba: 4 sposoby
Ustawiona III osoba: 3 sposoby
Ustawiona IV osoba: 2 sposoby
Ustawiona V osoba: 1 sposób

Z reguły mnożenia: 5×4×3×2×1=120 sposobów

 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Dane są funkcje f(x)= ...

 

 

 

  

  

  

Skoro a i c są różnych znaków to również b i d muszą być różnych znaków.

Zatem funkcje f i g przedstawia rysunek III.

Korzystając z jednej z cech przystawania trójkątów uzasadnij

 

 

 

Policzmy miarę kątów zewnętrznych ośmiokąta (są to kąty o mierze y+y=2y) 

 

 
 
 

Teraz możemy obliczyć miary kątów w powstałych trójkątach: 

 

 

Podaj dla jakich wartości x spełnione jest równanie

{premium}

 

 

 

 

 

 

 

brak rozwiązań - wartość bezwzględna określa odległość od 0 na osi liczbowej, nigdy nie osiągnie wartości ujemnej    

Dany jest trapez...

a) rysunek:

Wiemy, że miary kątów przy ramieniu AD muszą dać w sumie 180°:

Czyli

oraz w zadaniu mamy napisane, że:

a więc również:

 

Na podstawie cechy kąt-kąt-kąt stwierdzamy, że trójkąty ABD i BCD są podobne.

 

b) z podobieństwa trójkątów obliczmy stosunki odpowiednich boków w trójkatach leżących na przeciwko odpowiednich kątów:

 

  

Obliczmy skalę podobieństwa:

 

Obliczmy długość boku AB:

 

Obwód trapezu:

Wyznacz x jeżeli

 W tym zadaniu korzystać będziemy z różnowartościowości funkcji wykładniczej, co oznacza, że zachodzi następujące wynikanie:

 

 

 


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Wyznacz wszystkie pary liczb naturalnych

Wyznaczmy n z danego równania:

 

 

 

 

Liczby n i k mają być liczbami naturalnymi, więc w szczególności musi zachodzić warunek n≥0. Rozwiążmy nierówność.

 

  

 

 

 

Oczywiście k także musi być liczbą naturalną, więc k≥0.

Liczby naturalne k, które są nie mniejsze niż 0 oraz nie większe niż 6 to: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Zauważmy, że aby n było liczbą naturalną, to k musi być podzielne przez 2 (inaczej ułamek 3/2 nie skróci się z k). Mamy więc następujące możliwości:

 

 

 

 

 

Liczba log 15 + log 4 + ...

W zadaniu korzystamy z twierdzenia:

Jeśli a>0 i a1 oraz b>0, c>0 i n R, to:

 

 

 

Odp:A

Wyznacz dziedzinę funkcji.

a) Wyrażenie w mianowniku musi być różne od zera.

 

 

Zatem dziedzina to:

 

 

b) Wyrażenie pod pierwiastkiem musi być nieujemne.

 

 

Zatem dziedzina to:

 

 

c) Wyrażenie w mianowniku musi być różne od zera.

 

 

 

Zatem dziedzina to:

 

 

d) Jeżeli do liczby nieujemnej dodamy dowolną liczbę rzeczywistą dodatnią to wyrażenie będzie stale większe od zera. Dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych.

 

Uzasadnij, że suma trzech kolejnych liczb naturalnych

 

 

  - trzy kolejne liczby naturalne

 

 

{premium}

 

 

 

  - trzy kolejne liczby parzyste

 

  

 

 

 

 

  - cztery kolejne liczby nieparzyste

 

    

 

Na bokach AC i BC trójkąta ABC...

Rysunek poglądowy:

 

 

 

 

 

 

A więc proste PQ i AB są równoległe, zatem czworokąt ABQP jest trapezem.

 

Stosunek dłuższej podstawy do krótszej:

 

 

 

 

Odpowiedź: Stosunek długości dłużej podstawy do krótszej wynosi 5:2.