Kombinatoryka - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Kombinatoryka

Zadaniem tego działu jest nauczenie tzw. Kombinacji czyli łączenia kilku elementów lub zdarzeń w taki sposób, aby wyczerpać wszystkie dostępne możliwości. Musimy więc przedstawić wszystkie ustawienia.

Wypisanie:
Metoda wypisanie polega na rozpisaniu wszystkich możliwych sytuacji i policzeniu ich. Jest skuteczna przy małych liczbach zdarzeń, jednakże niektóre zadania mogą nawet dobijać do 1000 ustawień i więcej, a wtedy sama rozpiska zajęłaby pół matury. Jednakże warto omówić tę metodę - czasem rozpisanie tylko części przypadków pozwala nam wpaść na poprawne rozwiązanie.

Przykład:
Ile jest liczb dwucyfrowych mniejszych od 30 podzielnych przez 3.
Wypisujemy każdą z tych liczb: 3,6,9,12,15,18,21,24,27 ma być mniejsze od 30, więc samo 30 się nie kwalifikuje. Mamy więc 9 takich liczb.
Jednakże tak jak wspominałem liczba ustawień musi być mała, na większe liczby pomoże reguła mnożenia.

Reguła Mnożenia:
Polega na podzieleniu zdarzeń na etapy, wykonujemy jeden z nich na kilka sposobów, a drugi również na kilka itd.
Czyli np.:
Pierwszy na 5 sposobów
Drugi na 4 sposoby
Więc wszystkie sytuacje przedstawimy na $$5*4=20$$ sposobów.

Przykład:
Ile jest liczb dwucyfrowych, w których obie cyfry są mniejsze od 4?
Dzielimy tu na etapy:
1. ustaw cyfry dziesiątek:
Możliwe cyfry dziesiątek to $$1,2,3,4$$ - 4 cyfry
2. ustaw cyfry jedności:
Możliwe cyfry dziesiątek to $$0,1,2,3,4$$ - 5 cyfr
Zatem takich liczb jest $$4×5=20$$

Reguła dodawania:
Stosujemy ją, jeśli musimy wybrać tylko jedną z kilku decyzji, czyli stosujemy „albo”, w przypadku mnożenia było to wymuszenie czyli „i” tutaj jest alternatywa.

Przykład:
Zamek szyfrowy jest strzeżony przez dwie wieże, jedna z nich jest zamknięta kodem dwucyfrowym nieparzystym, druga kodem dwucyfrowym parzystym. Wystarczy złamać kod na jednej wieży, aby wejść. Na ile sposobów możemy wejść do zamku?

Mamy tutaj jednocześnie regułę mnożenia i dodawania.
Najpierw mnożenia, wieża z kodem parzystym składa się z 2 cyfr.
Możliwe dziesiątki: $$2,4,6,8$$
Możliwe jedności: $$0,2,4,6,8$$
Zatem z reguły mnożenia kombinacji jest 5×4=20
Tak samo w wieży nieparzystej.
Możliwe dziesiątki: $$1,3,5,7,9$$
Możliwe jedności: $$1,3,5,7,9$$
Z reguły mnożenia kombinacji jest 5×5=25
Z racji, że mamy „albo” (ta wieża albo tamta) sumujemy nasze wyliczone kombinacje:
$$25+20=45$$
Uwaga: "albo" to alternatywa wykluczająca, co oznacza, że nie mogę przejść przez obie wieże naraz - to logiczne.
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Na ile sposobów możemy ustawić liczbę trzycyfrową tak, aby pierwsza cyfra była podzielna przez 2, druga przez 4, trzecia przez 8.

Sprawdzamy po kolei cyfry:
Setki: 2,4,6,8
Dziesiątki: 0,4,8
Jedności: 0,8
Zatem możemy ustawić na 4×3×2=24 sposoby

Zadanie 2.

Podczas egzaminu student może wybrać 4 pytania spośród 6 możliwych. Na ile sposobów może to zrobić?

Tutaj musimy pamiętać, że jeśli student wybierze już jedno pytanie, ma mniej możliwości niż wcześniej, zatem:

I pytanie: 6 sposobów (jest 6 pytań do wyboru)
II pytanie: 5 sposobów (wybrał jedno, zostało 5)
III pytanie: 4 sposoby (itd)
IV pytanie: 3 sposoby
Z reguły mnożenia: 6×5×4×3=360

Jednakże kolejność, które pytanie wybierze najpierw, które potem itd. nie ma tutaj znaczenia, zatem liczymy jeszcze dostępne ustawienia tych pytań, które wybrał. Ustawiamy:
I pytanie: 4 sposoby (może wybrać I pytanie jako pierwsze, drugie, trzecie albo czwarte)
II pytanie: 3 sposoby (na II pytanie zostały mu już tylko 3 miejsca)
III pytanie: 2 sposoby (itd)
IV pytanie: 1 sposób
4×3×2×1=24
Musimy w końcu podzielić nasze kombinacje: $${360}/{24}=15$$
Student może więc wybrać na 15 sposobów.

Uwaga dla ciekawskich: student wybrał cztery pytania, dwa zostały. Na ile sposobów można zostawić 2 pytania z 6? Z reguły mnożenia mam 6×5=30. Na ile sposobów można ustawić kolejność dwóch pytań? Na 2×1=2. Wtedy $$30/2=15$$. To nie przypadek, że wyszło to samo!

Zadanie 3.

Na ile sposobów można ustawić w kolejce 5 osób ?

Kolejność tutaj ma znaczenie, zatem robimy podobnie jak z pytaniami, tylko nie dzielimy przez liczbę ustawień (bo wyszłoby 1):

Ustawiona I osoba: 5 sposobów
Ustawiona II osoba: 4 sposoby
Ustawiona III osoba: 3 sposoby
Ustawiona IV osoba: 2 sposoby
Ustawiona V osoba: 1 sposób

Z reguły mnożenia: 5×4×3×2×1=120 sposobów

 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Wyznacz równanie prostej zawierającej wysokość...

Rysunek poglądowy:

 

Wyznaczmy prostą AB:

`{(f(-3)=1),(f(4)=-1):}` 

`{(-3a+b=1),(4a+b=-1):}` 

`underline(underline(stackrel(\)(-) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

`-7a = 1-(-1)` 

`-7a = 2` 

`a = -2/7` 

Zatem:

`-3*(-2/7) + b = 1`  

`6/7 + b = 1` 

`b = 1/7` 

 

Wzór funkcji:

`f(x) = -2/7x+1/7` 

 

Wyznaczmy wzór funkcji prostopadłej do tej prostej przechodzącej przez punkt C:

`g(x) = 7/2x + b` 

`g(2)=6` 

`7/2*2+b=6` 

`7+b=6` 

`b = -1` 

 

`g(x) = 7/2x -1` 

Działkę budowlaną w kształcie trójkąta

 

Trójkąty ABC oraz  EDC są podobne (cecha kkk)

Wiemy, że pole trapezu ABDE jest równe polu trójkąta EDC, więc pole trójkąta ABC jest 2 razy większe od pola trójkąta EDC.

`P_(DeltaABC)=2*P_(DeltaEDC)` 

 

Stosunek pól trójkątów jest równy kwadratowi skali podobieństwa: 

`k^2=(P_(DeltaABC))/(P_(DeltaEDC))` 

`k^2=(2*P_(DeltaEDC))/(P_(DeltaEDC)` 

`k^2=2` 

`k=sqrt2`   (skala podobieństwa trójkąta ABC do trójkąta EDC)

 

 

Mamy skalę podobieństwa, więc możemy zapisać proporcje odpowiednich odcinków: 

`k=|AB|/|ED|=|AC|/|EC|=|BC|/|DC|` 

`sqrt2=40/|ED|=60/|EC|=60/|DC|` 

 

Obliczamy długości odcinków ED, EC, DC:

`sqrt2=40/|ED|\ \ \ =>\ \ \ |ED|*sqrt2=40\ \ \ =>\ \ \ |ED|=40/sqrt2=(40sqrt2)/2=20sqrt2` 

`sqrt2=60/|EC|\ \ \ =>\ \ \ |EC|*sqrt2=60\ \ \ =>\ \ \ |EC|=60/sqrt2=(60sqrt2)/2=30sqrt2` 

`sqrt2=60/|DC|\ \ \ =>\ \ \ |DC|=30sqrt2` 

 

`|AE|=60-30sqrt2=|DB|` 

 

Teraz obliczamy obwody:

`O_(DeltaEDC)=20sqrt2+30sqrt2+30sqrt2=80sqrt2~~80*1,41=112,8~~113\ m` 

`O_(ABDE)=40+(60-30sqrt2)+(60-30sqrt2)+20sqrt2=` 

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =160-40sqrt2~~160-40*1,41=` `160-56,4=103,6~~104\ m`        

 

Dany jest kąt o mierze 45° i punkt A, położony

Odległość punktu od prostej jest prostopadła do tej prostej. W tym zadaniu odległość ta wraz z ramieniem kąta tworzy kąt prosty, w wyniku czego powstaje nam trójkąt prostokątny. Odległość x można obliczyć przez ułożenie i rozwiązanie zależności trygonometrycznej:

`sin45^o=x/1`

`sqrt2/2=x/1`       `/*1`

`x=sqrt2/2`

 

Pan Władysław i pan Kazimierz malowali płot...

Przyjmijmy następujące oznaczenia:

`x-`część płotu, jaką maluje pan Władysław w ciągu godziny

`80%x=4/5x-`część płotu, jaką maluje pan Kazimierz w ciągu godziny

`t-` czas pracy pana Kazimeirza

Mamy wówczas:

`5*x=4/5x*t`  

Wyznaczamy z równania `t:` 

`5x=4/5x\ "/":4/5x` 

`t=5*5/4=25/4=6 1/4` 

Odp. Pan Kazimierz skończył malować płot po `6 1/4\ "h".`       

Rozwiąż algebraicznie i graficznie układ równań.

`"a)"` Rozwiązanie algebraiczne:

`{((y+1)/3=2-x\ "/"*3),(3(x+2)-2(y-2)=3x+12):}` 

`{(y+1=6-3x),(3x+6-2y+4=3x+12):}` 

`{(y=-3x+5),(-2y=2\ "/":(-2)):}` 

`{(y=-3x+5),(y=-1):}` 

`{(-1=-3x+5),(y=-1):}` 

`{(3x=6\ "/":3),(y=-1):}` 

`{(x=2),(y=-1):}` 

Rozwiązanie graficzne:

W oparciu o układ

`{(y=-3x+5),(y=-1):}` 

otrzymujemy równania dwóch prostych

`{(f(x)=-3x+5),(g(x)=-1):}` 

Po narysowaniu  ich w układzie współrzędnych otrzymujemy dwie proste przecinające się.

Rozwiązaniem jest punkt przecięcia tych prostych. Mamy: `x=2,\ y=-1.` 

 

`"b)"` Rozwiązanie algebraiczne:

`{(0,1-1/5(y+1)=0,3(x-2)\ "/"*10),((x-3)/2+(2y+9)/6=1,5\ "/"*6):}` 

`{(1-2y-2=3x-6),(3x-9+2y+9=9):}` 

`{(-3x-2y=-5),(3x+2y=9):}` 

Dodajemy równania stronami, otrzymując:      

`0=4` 

czyli sprzeczność! Oznacza to, że układ równań jest sprzeczny, więc nie ma rozwiązania. 

W interpretacji graficznej będą to dwie proste równoległe. Wyznaczmy ich równania, przekształcając poniższy układ:

`{(-3x-2y=-5),(3x+2y=9):}` 

`{(-2y=3x-5\ "/":(-2)),(2y=-3x+9\ "/":2):}` 

`{(y=-3/2x+5/2),(y=-3/2x+9/2):}` 

 

`"c)"` Rozwiązanie algebraiczne:

`{(x^2-4x+3=2(x-2y)-(3-x)(3+x)),(2x=4-y):}` 

`{(x^2-4x+3=2x-4y-9+x^2),(2x+y=4):}`  

`{(-6x+4y=-12\ "/":3),(2x+y=4):}` 

`{(-2x+4/3y=-4),(2x+y=4):}` 

Dodajemy równania stronami i dopisujemy do układu pierwsze równanie z układu początkowego.

 

`{(7/3y=0),(2x=4-y):}` 

`{(y=0),(2x=4-y):}` 

`{(y=0),(2x=4\ "/":2):}` 

`{(y=0),(x=2):}` 

Rozwiązanie graficzne:

Przekształcamy układ

`{(-2x+4/3y=-4),(2x+y=4):}` 

w taki sposób, by dostać równania dwóch prostych.

`{(4/3y=2x-4\ "/"*3/4),(y=-2x+4):}` 

`{(y=3/2x-3),(y=-2x+4):}`

Otrzymujemy równania dwóch prostych:

`{(f(x)=3/2x-3),(g(x)=-2x+4):}`

Po narysowaniu  ich w układzie współrzędnych otrzymujemy dwie proste przecinające się.

Rozwiązaniem jest punkt przecięcia tych prostych. Mamy: `x=2,\ y=0.` 

 

`"d)"` Rozwiązanie algebraiczne:

`{(4(x-1)^2-(3y-2)^2=(2x-3)^2-(3y+1)(3y-1)-2),((2x-sqrt3)(2x+sqrt3)-(2x+1)^2=12(y-1)):}` 

`{(4(x^2-2x+1)-(9y^2-12y+4)=4x^2-12x+9-(9y^2-1)-2),(4x^2-3-(4x^2+4x+1)=12y-12):}` 

`{(4x^2-8x+4-9y^2+12y-4=4x^2-12x+9-9y^2+1-2),(4x^2-3-4x^2-4x-1=12y-12):}` 

`{(4x+12y=8),(-4x-12y=-8):}` 

Dodajemy równania stronami, otrzymując:

`0=0` 

Oznacza to, że układ równań jest nieoznaczony, czyli ma nieskończenie wiele rozwiązań.

W interpretacji graficznej wykresem funkcji jest jedna prosta. Wyznaczmy jej równanie.

Na podstawie ostatniego układu mamy:

`4x+12y=8` 

`12y=-4x+8\ "/":12` 

`y=-1/3x+2/3` 

Czyli:

`f(x)=-1/3x+2/3` 

 

        

   

Oblicz

`a)\ (-2sqrt3)^-3=1/(-2sqrt3)^3=1/((-2)^3*(sqrt3)^3)=1/(-8*3sqrt3)=-1/(24sqrt3)=-1/(24sqrt3)*sqrt3/sqrt3=(-sqrt3)/(24*3)=-sqrt3/72`

`b)\(3/sqrt2)^-4=(sqrt2/3)^4=4/81`

`c)\ (-sqrt5/10)^-3=(-10/sqrt5)^3=-1000/(5sqrt5)=-200/sqrt5=-(200sqrt5)/(sqrt5*sqrt5)=-(200sqrt5)/5=-40sqrt5`

`d) \ ((-3sqrt2)^-1)^-2=(-3sqrt2)^(-1*(-2))=(-3sqrt2)^2=9*2=18`

 

Wykres przedstawia średni kurs dolara...

`"a)"` sierpień

`"b)"` od końca czerwca do początku października

`"c)"` cztery miesiące - od połowy kwietnia do połowy sierpnia

Korzystając z odpowiedniej cechy przystawania trójkątów uzasadnij

Dane są punkty

Wystarczy do równania prostej y=ax+b podstawić współrzędne punktów należących do tej prostej.

 

 

`b)`

`{(-1=a*(-4)+b), (2=a*5+b):}`

 

 

 

`c)`

`{(4=a*1+b), (2=a*5+b):}`

 

Trójkąty ABC i DEF są takimi trójkątami ...

`a)` 

`vec(AF)=vec(AC)+vec(CF)` 

 

`b)` 

`vec(AE)=1/2(vec(AC)-vec(BC))`  

 

`c)` 

`vec(AB)=2(2/3vec(AF)-1/3vec(EC))`