Kombinatoryka - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Kombinatoryka

Zadaniem tego działu jest nauczenie tzw. Kombinacji czyli łączenia kilku elementów lub zdarzeń w taki sposób, aby wyczerpać wszystkie dostępne możliwości. Musimy więc przedstawić wszystkie ustawienia.

Wypisanie:
Metoda wypisanie polega na rozpisaniu wszystkich możliwych sytuacji i policzeniu ich. Jest skuteczna przy małych liczbach zdarzeń, jednakże niektóre zadania mogą nawet dobijać do 1000 ustawień i więcej, a wtedy sama rozpiska zajęłaby pół matury. Jednakże warto omówić tę metodę - czasem rozpisanie tylko części przypadków pozwala nam wpaść na poprawne rozwiązanie.

Przykład:
Ile jest liczb dwucyfrowych mniejszych od 30 podzielnych przez 3.
Wypisujemy każdą z tych liczb: 3,6,9,12,15,18,21,24,27 ma być mniejsze od 30, więc samo 30 się nie kwalifikuje. Mamy więc 9 takich liczb.
Jednakże tak jak wspominałem liczba ustawień musi być mała, na większe liczby pomoże reguła mnożenia.

Reguła Mnożenia:
Polega na podzieleniu zdarzeń na etapy, wykonujemy jeden z nich na kilka sposobów, a drugi również na kilka itd.
Czyli np.:
Pierwszy na 5 sposobów
Drugi na 4 sposoby
Więc wszystkie sytuacje przedstawimy na $$5*4=20$$ sposobów.

Przykład:
Ile jest liczb dwucyfrowych, w których obie cyfry są mniejsze od 4?
Dzielimy tu na etapy:
1. ustaw cyfry dziesiątek:
Możliwe cyfry dziesiątek to $$1,2,3,4$$ - 4 cyfry
2. ustaw cyfry jedności:
Możliwe cyfry dziesiątek to $$0,1,2,3,4$$ - 5 cyfr
Zatem takich liczb jest $$4×5=20$$

Reguła dodawania:
Stosujemy ją, jeśli musimy wybrać tylko jedną z kilku decyzji, czyli stosujemy „albo”, w przypadku mnożenia było to wymuszenie czyli „i” tutaj jest alternatywa.

Przykład:
Zamek szyfrowy jest strzeżony przez dwie wieże, jedna z nich jest zamknięta kodem dwucyfrowym nieparzystym, druga kodem dwucyfrowym parzystym. Wystarczy złamać kod na jednej wieży, aby wejść. Na ile sposobów możemy wejść do zamku?

Mamy tutaj jednocześnie regułę mnożenia i dodawania.
Najpierw mnożenia, wieża z kodem parzystym składa się z 2 cyfr.
Możliwe dziesiątki: $$2,4,6,8$$
Możliwe jedności: $$0,2,4,6,8$$
Zatem z reguły mnożenia kombinacji jest 5×4=20
Tak samo w wieży nieparzystej.
Możliwe dziesiątki: $$1,3,5,7,9$$
Możliwe jedności: $$1,3,5,7,9$$
Z reguły mnożenia kombinacji jest 5×5=25
Z racji, że mamy „albo” (ta wieża albo tamta) sumujemy nasze wyliczone kombinacje:
$$25+20=45$$
Uwaga: "albo" to alternatywa wykluczająca, co oznacza, że nie mogę przejść przez obie wieże naraz - to logiczne.
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Na ile sposobów możemy ustawić liczbę trzycyfrową tak, aby pierwsza cyfra była podzielna przez 2, druga przez 4, trzecia przez 8.

Sprawdzamy po kolei cyfry:
Setki: 2,4,6,8
Dziesiątki: 0,4,8
Jedności: 0,8
Zatem możemy ustawić na 4×3×2=24 sposoby

Zadanie 2.

Podczas egzaminu student może wybrać 4 pytania spośród 6 możliwych. Na ile sposobów może to zrobić?

Tutaj musimy pamiętać, że jeśli student wybierze już jedno pytanie, ma mniej możliwości niż wcześniej, zatem:

I pytanie: 6 sposobów (jest 6 pytań do wyboru)
II pytanie: 5 sposobów (wybrał jedno, zostało 5)
III pytanie: 4 sposoby (itd)
IV pytanie: 3 sposoby
Z reguły mnożenia: 6×5×4×3=360

Jednakże kolejność, które pytanie wybierze najpierw, które potem itd. nie ma tutaj znaczenia, zatem liczymy jeszcze dostępne ustawienia tych pytań, które wybrał. Ustawiamy:
I pytanie: 4 sposoby (może wybrać I pytanie jako pierwsze, drugie, trzecie albo czwarte)
II pytanie: 3 sposoby (na II pytanie zostały mu już tylko 3 miejsca)
III pytanie: 2 sposoby (itd)
IV pytanie: 1 sposób
4×3×2×1=24
Musimy w końcu podzielić nasze kombinacje: $${360}/{24}=15$$
Student może więc wybrać na 15 sposobów.

Uwaga dla ciekawskich: student wybrał cztery pytania, dwa zostały. Na ile sposobów można zostawić 2 pytania z 6? Z reguły mnożenia mam 6×5=30. Na ile sposobów można ustawić kolejność dwóch pytań? Na 2×1=2. Wtedy $$30/2=15$$. To nie przypadek, że wyszło to samo!

Zadanie 3.

Na ile sposobów można ustawić w kolejce 5 osób ?

Kolejność tutaj ma znaczenie, zatem robimy podobnie jak z pytaniami, tylko nie dzielimy przez liczbę ustawień (bo wyszłoby 1):

Ustawiona I osoba: 5 sposobów
Ustawiona II osoba: 4 sposoby
Ustawiona III osoba: 3 sposoby
Ustawiona IV osoba: 2 sposoby
Ustawiona V osoba: 1 sposób

Z reguły mnożenia: 5×4×3×2×1=120 sposobów

 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Środek okręgu opisanego na trójkącie ABC ...

Prawidłowe odpowiedzi to: B, C i D.

Jeżeli środek okręgu opisanego na trójkącie leży na jednym z boków trójkąta, to trójkąt ten jest trójkątem prostokątnym. 

Środek okręgu opisanego leży na boku AB, więc kąt prosty znajduje się przy wierzchołku C, stąd:

`|/_ACB|=90^"o"` 

Równocześnie przeciwprostokątna tego trójkata, czyli odcinek AB, jest średnicą opisanego okręgu. Środek okręgu opisanego jest także środkiem odcinka AB.

Przeciwprostokątna jest bokiem najdłuższym, czyli odcinek AB jest najdłuższy.

Wyrażenie zapisz w najprostszej postaci

`(2x-y)(2x+y)-3(x-y)^2-2x(3y+x)=`

`=4x^2-y^2-3(x^2-2xy+y^2)-6xy-2x^2=`

`=4x^2-y^2-3x^2+6xy-3y^2-6xy-2x^2=`

`=-x^2-4y^2`

 

Obliczamy wartość wyrażenia dla podanych wartości x oraz y:

`-sqrt3^2-4*sqrt2^2=-3-4*2=-3-8=-11`

 

Koszt eksploatacji pewnego samolotu w złotych

`K=2850+7500/150+67500000/7500=ul(ul(11900 "zł")`

W naczyniu znajduje się ...

1 mol = 6,021023 cząsteczek

W naczyniu znajduje się 18,061023 cząsteczek wody. Aby obliczyć, ile to moli, wykonujemy dzielenie:

`(18,06*strike(10^23))/(6,02*strike(10^23))=3\ ["mole"]`  

  Odp: 18,061023 cząsteczek wody odpowiada 3 molom.

Wybierz zdania prawdziwe i zapisz ...

Zdania prawdziwe: A, D, G

 

Zdania fałszywe:

B - Równoległobokiem, który ma dwie osie symetrii jest także romb.

C - Jeżeli będzie to trójkąt prostokątny równoramienny to będzie miał oś symetrii.

E -  Nie w każdym równoległoboku przekątne są jego osiami symetrii (tylko w kwadracie przekątne są osiami symetrii).

F -  Nie w każdym równoległoboku symetralne boków są jego osiami symetrii (tylko w kwadracie i prostokącie symetralne boków są osiami symetrii).

H -  Nie w każdym równoległoboku dwusieczne kątów są jego osiami symetrii (tylko w kwadracie dwusieczne kątów są osiami symetrii).

Naszkicuj wykres funkcji...

Do naszkicowania wykresu potrzebujemy znaleźć współrzędne dwóch punktów należących do wykresu tej funkcji.

Będą to:

`A=(0,\ 1),` bo dla `x=0` 

`f(0)=2/3*0+1=1` 

`B=(3,\ 3),` bo dla `x=3` 

`f(3)=2/3*3+1=2+1=3` 

Po narysowaniu wykres wygląda następująco:

 

`"a)"` Gdy przekształcamy funkcję symetrycznie do osi `x,` zachodzi:

`f(x)=-f(x)`  

Zatem:

`y=-f(x)=-(2/3x+1)=-2/3x-1`  

Odbijamy wykres względem osi `x,` otrzymując:     

 

`"b)"` Gdy przekształcamy funkcję symetrycznie do osi `y,` zachodzi:

`f(x)=f(-x)`  

Zatem:

`y=f(-x)=2/3(-x)+1=-2/3x+1`  

Odbijamy wykres względem osi `y,` otrzymując:     

Dane są funkcje f(x)= ...

`f(x)=ax^2` 

`g(x)=bx^2` 

`a,b in RR\ \ \wedge\ \ \a,b<0` 

`x in RR,\ b>a` 

`x^2=x^2` 

`bx^2>=ax^2,\ "bo"\ b>a`   

`g(x)>=f(x)` 

`"Zauważmy, że tu znak słabej nierówności jest obowiązakowy. Dla x=0 wartości funkcji są sobie równe."`   

 

`"Odpowiedź D."` 

 

 

Podaj wartości funkcji trygonometrycznych ...

`sinalpha=a/c=cosbeta` 

`sin beta=b/c=cosalpha` 

`tg\ alpha=a/b=ctg\ beta` 

`tg\ beta=b/a=ctg\ alpha` 

 

`a)` 

`a=3` 

`b=4` 

`c=5`   

 

`sin alpha=a/c=3/5` 

`cos alpha=b/c=4/5` 

`tg\ alpha=a/b=3/4`  

`ctg\ alpha=b/a=4/3`   

 

`sin beta=b/c=4/5`  

`cos beta=a/c=3/5`   

`tg\ beta=b/a=4/3`  

`ctg\ beta=a/b=3/4`   

 

`b)` 

`a=6` 

`b=8` 

`c=10`   

 

`sin alpha=a/c=6/10=3/5`  

`cos alpha=b/c=8/10=4/5`   

`tg\ alpha=a/b=6/8=3/4`   

`ctg\ alpha=b/a=4/3`   

 

`sin beta=b/c=8/10=4/5`   

`cos beta=a/c=6/10=3/5`   

`tg\ beta=b/a=8/6=4/3`   

`ctg\ beta=a/b=3/4`    

 

`c)` 

`a=8` 

`b=15` 

`c=17`   

 

`sin alpha=a/c=8/17`  

`cos alpha=b/c=15/17`   

`tg\ alpha=a/b=8/15`   

`ctg\ alpha=b/a=15/8`   

 

`sin beta=b/c=15/17`   

`cos beta=a/c=8/17`   

`tg\ beta=b/a=15/8`   

`ctg\ beta=a/b=8/15`    

 

`d)` 

`a=7` 

`b=24` 

`c=25`    

 

`sin alpha=a/c=7/25`  

`cos alpha=b/c=24/25`   

`tg\ alpha=a/b=7/24`   

`ctg\ alpha=b/a=24/7`   

 

`sin beta=b/c=24/25`   

`cos beta=a/c=7/25`  

`tg\ beta=b/a=24/7`   

`ctg\ beta=a/b=7/24`    

Porównaj liczby.

`"a)"\ 9^20\ \ \ "i"\ \ \ 3^40` 

`9^20=(3^2)^20=3^40` 

Stąd:

`9^20=3^40` 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

`"b)"\ 16^18\ \ \ "i"\ \ \ 255*4^32` 

`16^18=(4^2)^18=4^36=4^4*4^32=256*4^32` 

Stąd:

`256*4^32>255*4^32` 

czyli:

`16^18>255*4^32` 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

`"c)"\ 27^23\ \ \ "i"\ \ \ 255*9^32` 

`27^23=(3^3)^23=3^69=3^5*3^64=243*3^64`  

`255*9^32=255*(3^2)^32=255*3^64` 

Stąd mamy:

`243*3^64<255*3^64` 

czyli:

`27^23<255*9^32` 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

`"d)"\ 5^17\ \ \ "i"\ \ \ (125root(3)25)^5` 

`(125root(3)25)^5=(5^3*root(3)(5^2))^5=(5^3*5^(2/3))^5=(5^(11/3))^5=5^(55/3)` 

Mamy więc:

`5^17<5^(55/3)` 

czyli:

`5^17<(125root(3)25)^5` 

Dla dowolnych liczb a i b zachodzi równość

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różniucy możemy obliczyć:

`(a-2b)^2=a^2-2*a*2b+(2b)^2=a^2-4ab+4b^2\ \ \ \ \ \ \ \ \ odp.\ D`