Kombinatoryka - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Kombinatoryka

Zadaniem tego działu jest nauczenie tzw. Kombinacji czyli łączenia kilku elementów lub zdarzeń w taki sposób, aby wyczerpać wszystkie dostępne możliwości. Musimy więc przedstawić wszystkie ustawienia.

Wypisanie:
Metoda wypisanie polega na rozpisaniu wszystkich możliwych sytuacji i policzeniu ich. Jest skuteczna przy małych liczbach zdarzeń, jednakże niektóre zadania mogą nawet dobijać do 1000 ustawień i więcej, a wtedy sama rozpiska zajęłaby pół matury. Jednakże warto omówić tę metodę - czasem rozpisanie tylko części przypadków pozwala nam wpaść na poprawne rozwiązanie.

Przykład:
Ile jest liczb dwucyfrowych mniejszych od 30 podzielnych przez 3.
Wypisujemy każdą z tych liczb: 3,6,9,12,15,18,21,24,27 ma być mniejsze od 30, więc samo 30 się nie kwalifikuje. Mamy więc 9 takich liczb.
Jednakże tak jak wspominałem liczba ustawień musi być mała, na większe liczby pomoże reguła mnożenia.

Reguła Mnożenia:
Polega na podzieleniu zdarzeń na etapy, wykonujemy jeden z nich na kilka sposobów, a drugi również na kilka itd.
Czyli np.:
Pierwszy na 5 sposobów
Drugi na 4 sposoby
Więc wszystkie sytuacje przedstawimy na $$5*4=20$$ sposobów.

Przykład:
Ile jest liczb dwucyfrowych, w których obie cyfry są mniejsze od 4?
Dzielimy tu na etapy:
1. ustaw cyfry dziesiątek:
Możliwe cyfry dziesiątek to $$1,2,3,4$$ - 4 cyfry
2. ustaw cyfry jedności:
Możliwe cyfry dziesiątek to $$0,1,2,3,4$$ - 5 cyfr
Zatem takich liczb jest $$4×5=20$$

Reguła dodawania:
Stosujemy ją, jeśli musimy wybrać tylko jedną z kilku decyzji, czyli stosujemy „albo”, w przypadku mnożenia było to wymuszenie czyli „i” tutaj jest alternatywa.

Przykład:
Zamek szyfrowy jest strzeżony przez dwie wieże, jedna z nich jest zamknięta kodem dwucyfrowym nieparzystym, druga kodem dwucyfrowym parzystym. Wystarczy złamać kod na jednej wieży, aby wejść. Na ile sposobów możemy wejść do zamku?

Mamy tutaj jednocześnie regułę mnożenia i dodawania.
Najpierw mnożenia, wieża z kodem parzystym składa się z 2 cyfr.
Możliwe dziesiątki: $$2,4,6,8$$
Możliwe jedności: $$0,2,4,6,8$$
Zatem z reguły mnożenia kombinacji jest 5×4=20
Tak samo w wieży nieparzystej.
Możliwe dziesiątki: $$1,3,5,7,9$$
Możliwe jedności: $$1,3,5,7,9$$
Z reguły mnożenia kombinacji jest 5×5=25
Z racji, że mamy „albo” (ta wieża albo tamta) sumujemy nasze wyliczone kombinacje:
$$25+20=45$$
Uwaga: "albo" to alternatywa wykluczająca, co oznacza, że nie mogę przejść przez obie wieże naraz - to logiczne.
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Na ile sposobów możemy ustawić liczbę trzycyfrową tak, aby pierwsza cyfra była podzielna przez 2, druga przez 4, trzecia przez 8.

Sprawdzamy po kolei cyfry:
Setki: 2,4,6,8
Dziesiątki: 0,4,8
Jedności: 0,8
Zatem możemy ustawić na 4×3×2=24 sposoby

Zadanie 2.

Podczas egzaminu student może wybrać 4 pytania spośród 6 możliwych. Na ile sposobów może to zrobić?

Tutaj musimy pamiętać, że jeśli student wybierze już jedno pytanie, ma mniej możliwości niż wcześniej, zatem:

I pytanie: 6 sposobów (jest 6 pytań do wyboru)
II pytanie: 5 sposobów (wybrał jedno, zostało 5)
III pytanie: 4 sposoby (itd)
IV pytanie: 3 sposoby
Z reguły mnożenia: 6×5×4×3=360

Jednakże kolejność, które pytanie wybierze najpierw, które potem itd. nie ma tutaj znaczenia, zatem liczymy jeszcze dostępne ustawienia tych pytań, które wybrał. Ustawiamy:
I pytanie: 4 sposoby (może wybrać I pytanie jako pierwsze, drugie, trzecie albo czwarte)
II pytanie: 3 sposoby (na II pytanie zostały mu już tylko 3 miejsca)
III pytanie: 2 sposoby (itd)
IV pytanie: 1 sposób
4×3×2×1=24
Musimy w końcu podzielić nasze kombinacje: $${360}/{24}=15$$
Student może więc wybrać na 15 sposobów.

Uwaga dla ciekawskich: student wybrał cztery pytania, dwa zostały. Na ile sposobów można zostawić 2 pytania z 6? Z reguły mnożenia mam 6×5=30. Na ile sposobów można ustawić kolejność dwóch pytań? Na 2×1=2. Wtedy $$30/2=15$$. To nie przypadek, że wyszło to samo!

Zadanie 3.

Na ile sposobów można ustawić w kolejce 5 osób ?

Kolejność tutaj ma znaczenie, zatem robimy podobnie jak z pytaniami, tylko nie dzielimy przez liczbę ustawień (bo wyszłoby 1):

Ustawiona I osoba: 5 sposobów
Ustawiona II osoba: 4 sposoby
Ustawiona III osoba: 3 sposoby
Ustawiona IV osoba: 2 sposoby
Ustawiona V osoba: 1 sposób

Z reguły mnożenia: 5×4×3×2×1=120 sposobów

 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Przedstaw trójmian w postaci iloczynowej.

`a)` 

`y=-x^2+14x-49` 

`Delta=196-196=0` 

 

`x=-14/-2=7` 

`y=-(x-7)^2` 

 

`b)` 

`y=-4x^2-12x-9` 

`Delta=144-144=0` 

`x=12/-8=-3/2` 

`y=-4(x+3/2)^2` 

 

`c)`   

`y=1/4 x^2 +2x+4` 

`Delta=4-4=0` 

`x=(-2)/(1/2)=-4` 

`y=1/4(x+4)^2` 

 

`d)` 

`y=4/3 x^2-4x+3 ` 

`Delta=16-16=0` 

`x=4/(8/3)=4*3/8=3/2` 

`y=4/3(x-3/2)^2`   

 

Wyznacz wzór funkcji liniowej ...

`a)` 

`f(x)=ax+b-"szukany wzór funkcji f"`  

 

`{(f(0)=1),(f(11)=45):}` 

`{(a*0+b=1),(11a+b=45):}` 

`{( b=1),(11a+b=45):}`       

`11a=45-b=44` 

`a=4` 

`ul(f(x)=4x+1` 

 

`b)` 

`f(x)=ax+b-"szukany wzór funkcji f"`  

 

`{(f(0)=-3),(f(10)=-23):}`  

`{(a*0+b=-3),(10a+b=-23):}`  

`{( b=-3),(10a+b=-23):}`        

`10a=-23-b=-20`   

`a=-2`  

`ul(f(x)=2x-3`  

 

`c)` 

`f(x)=ax+b-"szukany wzór funkcji f"`  

 

`{(f(0)=-2),(f(12)=4 ):}`  

`{(a*0+b=-2),(12a+b=4 ):}` 

`{( b=-2),(12a+b=4):}`       

`12a=4 -b=6` 

`a=1/2`  

 

`ul(f(x)=1/2x-2` 

`d)` 

`f(x)=ax+b-"szukany wzór funkcji f"`  

 

`{(f(0)=0),(f(-8)=15):}`  

`{(a*0+b=0),(-8a+b=15):}`  

`{( b=0),(-8a+b=15):}`       

`-8a=15` 

`a=-15/8`  

`ul(f(x)=-15/8x`   

Punkty B(0;-2) i D(0;8) są przeciwległymi ...

`B=(0;-2)` 

`D=(0;8)` 

`A,\ B,\ C,\ D-"wierzchołki pewnego prostokąta"`

 

`k:\ x+2y-16=0` 

`k:\ y=-x/2+8` 

Sprawdźmy, który z podanych punktów należy do prostej k.

`-2=8\ "fałsz, punkt B nie należy do prostej k"` 

`8=-0/2+8\ iff\ 8=8` 

Punkt D należy do prostej k.

 

Znajdźmy prostą prostopadłą m do prostej k przechodzącą przez punkt B: (Rysunek pod rozwiązaniem)

`-1/2*a=-1\ implies\ a=2` 

`m:\ y=2x+b`   

`-2=2*0+b\ implies \ b=-2` 

`m:\ y=2x-2` 

Przecięcie prostej m i k da nam współrzędne punktu C.

`{(y=-x/2+8),(y=2x-2):}` 

`-x/2+8=2x-2` 

`2,5x=10` 

`x=4` 

`y=2*4-2=6` 

`ul(C=(4;6)`  

 

`l-"prosta prostopadła do prostej k, zawierająca wierzchołek D"`   

`l:y=2x+b` 

`8=b` 

`l:\ y=2x+8`  

 

Wyznaczmy prostą równoległą s do prostej k, przechodzącą przez punkt B:

`s:\ y=-1/2x+b` 

`-2=-1/2*0+b\ implies\ b=-2` 

`s:\ y=-1/2x-2`   

Szukane proste to:

`ul({(s:\ y=-1/2x-2),( l:\ y=2x+8),( m:\ y=2x-2):}` 

`P=|CD|*|BC|=sqrt((0-4)^2+(6-8)^2)*sqrt((4-0)^2+(6+2)^2)=sqrt20*sqrt80=2*20=ul(40`     

Pole prostokąta ABCD wynosi 40.

Narysuj wykres przykładowej funkcji...

a) Miejscem zerowym ma być x = -3

 

b) Miejscami zerowymi mają być x = -2 i x = 2

 

c) Miejscami zerowymi mają być wszystkie argumenty większe bądź równe od 1

 

d) Miejscami zerowymi mają być wszystkie argumenty większe bądź równe od -1 oraz mniejsze bądź równe 2.

Zbiór A to zbiór naturalnych potęg liczby 3

Obliczenia:

`3^0=1`

`3^1=3`

`3^2=9`

`3^3=27`

`3^4=81`

`3^5= 243`

Elementy zbioru A:

`A={1,3,9,27,81,243,...}`

Naszkicuj wykres funkcji

`a)` 

Jeśli punkt P należy do wykresu funkcji f, to możemy wstawić jego współrzędne do równania funkcji i dzięki temu wyliczyć współczynnik a. 

`-4=a*(-2)^2` 

`-4=a*4\ \ \ |:4` 

`a=-1` 

 

Możemy zapisać wzór funkcji:

`f(x)=-x^2` 

 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

 

 

`b)` 

`1/2=a*(1/2)^2` 

`1/2=a*1/4\ \ \ |*4` 

`a=2` 

 

Możemy zapisać wzór funkcji f:

`f(x)=2x^2` 

 

 

Szkicujemy wykres funkcji. 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

 

`c)` 

`-1=a*(1/2)^2` 

`-1=a*1/4\ \ \ |*4` 

`a=-4` 

 

`f(x)=-4x^2` 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

 

`d)` 

`4=a*(-2sqrt2)^2` 

`4=a*(-2)^2*sqrt2^2` 

`4=a*4*2` 

`4=8a\ \ \ |:8` 

`a=4/8=1/2` 

 

`f(x)=1/2x^2` 

 

Uzupełnij tabelę...

Tabelka:

W pierwszym wierszu, który mamy uzupełnić łatwo obliczyć współrzędne wektora o początku w punkcie P i końcu w punkcie A. Wiemy, że skala wynosi 4 więc wektor o początku w punkcie P i końcu w punkcie A' musi być czterokrotnie większy. Odczytujemy współrzędne punktu A'.

 

W drugim wierszu, który mamy uzupełnić odczytujemy współrzędne punktu A oraz współrzędne wektora o początku w punkcie P i końcu w punkcie A'. Widać, że wektor ten jest dwa razy większy oraz ma przeciwny zwrot dlatego skala wynosi -2.

 

Trzeci wiersz do uzupełnienia podaje nam współrzędne punktu A i A' oraz skalę -1/2. Ujemna skala mówi nam o tym, że punkt A' musi leżeć po przeciwnej stronie punktu P względem A oraz odległość pomiędzy punktami P i A musi być dwa razy większa niż odległość pomiędzy punktami P i A'. Obliczmy współrzędne punktu P:

`A=(4,3), \ \ A'=(-2,0)`

`stackrel(->)( A A') = [-2-4, 0-3] = [-6,-3]`

 W takim razie:

`stackrel(->)(AP) = [-4,-2]`

`stackrel(->)(P A')=[-2,-1]`

Bo odległość punktu A od P musi być dwa razy większa od odległości pomiędzy P i A', a więc:

`stackrel(->)(AP) = -stackrel(->)(PA) = [4,2]`

Oblicz

`a)`

`3-(-3)^2-(-3)^3-(-3)^4=3-9-(-27)-81=`

`=ul3-ul(ul(9))+ul27-ul(ul(81))=30-90=-60`

 

 

`b)`

`(-4)^3-4^3-((-5)^4-5^4)=-64-64-(625-625)=-128-0=-128`

 

 

`c)`

`3*(7-(-2)^3)-(1-(2-2^2))=3*(7-(-8))-(1-(2-4))=`

`=3*(7+8)-(1-(-2))=3*15-(1+2)=45-3=42`

 

 

`d)`

`3-{9-[18-(-2)^3*(-3)^2]}=3-{9-[18-(-8)*9]}=`

`=3-{9-[18-(-72)]}=3-{9-[18+72]}=3-{9-90}=`

`=3-{-81}=3+81=84`

 

 

Zaznacz w układzie współrzędnych

Podaj interpretację geometryczną danego układu równań

`a)`

Przekształćmy pierwsze równanie do postaci kierunkowej funkcji liniowej: 

`6x-y-3=0\ \ \ |+y`

`6x-3=y`

`y=6x-3`

 

Znajdźmy współrzędne dwóch punktów, przez które przejdzie wykres pierwszego równania: 

`x=0\ \ \ ->\ \ y=6*0-3=0-3=-3`

`x=1\ \ \ ->\ \ \ y=6*1-3=6-3=3`

 

Przekształćmy drugie równanie do postaci kierunkowej: 

`y-3=0\ \ \ |+3`

`y=3`

Jets to funkcja stała. 

 

Rozwiązanie:

`{(x=1), (y=3):}`

 

 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

 

 

`b)`

Przekształćmy pierwsze równanie do postaci kierunkowej funkcji liniowej: 

`-2x+y=8\ \ \ |+2x`

`y=2x+8`

 

 

Znajdźmy współrzędne dwóch punktów, przez które przejdzie wykres pierwszego równania: 

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=2*0+8=0+8=8`

`x=-2\ \ \ ->\ \ \ y=2*(-2)+8=-4+8=4`

 

 

 

Przekształćmy drugie równanie do postaci kierunkowej: 

`x+2y-1=0\ \ \ |-x+1`

`2y=-x+1\ \ \ |:2`

`y=-1/2x+1/2`

 

Znajdźmy współrzędne dwóch punktów, przez które przejdzie wykres drugiego równania:

`x=1\ \ \ ->\ \ \ y=-1/2*1+1/2=-1/2+1/2=0`

`x=5\ \ \ ->\ \ \ y=-1/2*5+1/2=-5/2+1/2=-4/2=-2`

 

 

 

Rozwiązanie: 

`{(x=-3), (y=2):}`

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

 

`c)`

Przekształćmy pierwsze równanie do postaci kierunkowej funkcji liniowej: 

`x-y=1\ \ \ |-x`

`-y=-x+1\ \ \ |*(-1)`

`y=x-1`

 

 

Znajdźmy współrzędne dwóch punktów, przez które przejdzie wykres pierwszego równania: 

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=0-1=-1`

`x=5\ \ \ ->\ \ \ y=5-1=4`

 

 

Przekształćmy drugie równanie do postaci kierunkowej: 

`x-y+1=0\ \ \ |-x-1`

`-y=-x-1\ \ \ |*(-1)`

`y=x+1`

 

 

Znajdźmy współrzędne dwóch punktów, przez które przejdzie wykres drugiego równania:

`x=2\ \ \ ->\ \ \ y=2+1=3`

`x=-3\ \ \ ->\ \ \ y=-3+1=-2`

 

 

Układ jest sprzeczny. 

 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

 

`d)`

Przekształćmy pierwsze równanie do postaci kierunkowej funkcji liniowej: 

`3x-2y-7=0\ \ \ |-3x+7`

`-2y=-3x+7\ \ \ \ |:(-2)`

`y=3/2x-7/2`

 

Znajdźmy współrzędne dwóch punktów, przez które przejdzie wykres pierwszego równania: 

`x=1\ \ \ ->\ \ \ y=3/2*1-7/2=3/2-7/2=-4/2=-2`

`x=3\ \ \ ->\ \ \ y=3/2*3-7/2=9/2-7/2=2/2=1`

 

 

Przekształćmy drugie równanie do postaci kierunkowej: 

`x+2y+3=0\ \ \ |-x-3`

`2y=-x-3\ \ \ |:2`

`y=-1/2x-3/2`

 

Znajdźmy współrzędne dwóch punktów, przez które przejdzie wykres drugiego równania:

`x=1\ \ \ ->\ \ \ y=-1/2*1-3/2=-1/2-3/2=-4/2=-2`

`x=5\ \ \ ->\ \ \ y=-1/2*5-3/2=-5/2-3/2=-8/2=-4`

 

 

 

Rozwiązanie:

`{(x=1), (y=-2):}`