Kombinatoryka - matura-podstawowa - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Kombinatoryka - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Kombinatoryka

Zadaniem tego działu jest nauczenie tzw. Kombinacji czyli łączenia kilku elementów lub zdarzeń w taki sposób, aby wyczerpać wszystkie dostępne możliwości. Musimy więc przedstawić wszystkie ustawienia.

Wypisanie:
Metoda wypisanie polega na rozpisaniu wszystkich możliwych sytuacji i policzeniu ich. Jest skuteczna przy małych liczbach zdarzeń, jednakże niektóre zadania mogą nawet dobijać do 1000 ustawień i więcej, a wtedy sama rozpiska zajęłaby pół matury. Jednakże warto omówić tę metodę - czasem rozpisanie tylko części przypadków pozwala nam wpaść na poprawne rozwiązanie.

Przykład:
Ile jest liczb dwucyfrowych mniejszych od 30 podzielnych przez 3.
Wypisujemy każdą z tych liczb: 3,6,9,12,15,18,21,24,27 ma być mniejsze od 30, więc samo 30 się nie kwalifikuje. Mamy więc 9 takich liczb.
Jednakże tak jak wspominałem liczba ustawień musi być mała, na większe liczby pomoże reguła mnożenia.

Reguła Mnożenia:
Polega na podzieleniu zdarzeń na etapy, wykonujemy jeden z nich na kilka sposobów, a drugi również na kilka itd.
Czyli np.:
Pierwszy na 5 sposobów
Drugi na 4 sposoby
Więc wszystkie sytuacje przedstawimy na $5*4=20$ sposobów.

Przykład:
Ile jest liczb dwucyfrowych, w których obie cyfry są mniejsze od 4?
Dzielimy tu na etapy:
1. ustaw cyfry dziesiątek:
Możliwe cyfry dziesiątek to $1,2,3,4$ - 4 cyfry
2. ustaw cyfry jedności:
Możliwe cyfry dziesiątek to $0,1,2,3,4$ - 5 cyfr
Zatem takich liczb jest $4×5=20$

Reguła dodawania:
Stosujemy ją, jeśli musimy wybrać tylko jedną z kilku decyzji, czyli stosujemy „albo”, w przypadku mnożenia było to wymuszenie czyli „i” tutaj jest alternatywa.

Przykład:
Zamek szyfrowy jest strzeżony przez dwie wieże, jedna z nich jest zamknięta kodem dwucyfrowym nieparzystym, druga kodem dwucyfrowym parzystym. Wystarczy złamać kod na jednej wieży, aby wejść. Na ile sposobów możemy wejść do zamku?

Mamy tutaj jednocześnie regułę mnożenia i dodawania.
Najpierw mnożenia, wieża z kodem parzystym składa się z 2 cyfr.
Możliwe dziesiątki: $2,4,6,8$
Możliwe jedności: $0,2,4,6,8$
Zatem z reguły mnożenia kombinacji jest 5×4=20
Tak samo w wieży nieparzystej.
Możliwe dziesiątki: $1,3,5,7,9$
Możliwe jedności: $1,3,5,7,9$
Z reguły mnożenia kombinacji jest 5×5=25
Z racji, że mamy „albo” (ta wieża albo tamta) sumujemy nasze wyliczone kombinacje:
$25+20=45$
Uwaga: "albo" to alternatywa wykluczająca, co oznacza, że nie mogę przejść przez obie wieże naraz - to logiczne.
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Na ile sposobów możemy ustawić liczbę trzycyfrową tak, aby pierwsza cyfra była podzielna przez 2, druga przez 4, trzecia przez 8.

Sprawdzamy po kolei cyfry:
Setki: 2,4,6,8
Dziesiątki: 0,4,8
Jedności: 0,8
Zatem możemy ustawić na 4×3×2=24 sposoby

Zadanie 2.

Podczas egzaminu student może wybrać 4 pytania spośród 6 możliwych. Na ile sposobów może to zrobić?

Tutaj musimy pamiętać, że jeśli student wybierze już jedno pytanie, ma mniej możliwości niż wcześniej, zatem:

I pytanie: 6 sposobów (jest 6 pytań do wyboru)
II pytanie: 5 sposobów (wybrał jedno, zostało 5)
III pytanie: 4 sposoby (itd)
IV pytanie: 3 sposoby
Z reguły mnożenia: 6×5×4×3=360

Jednakże kolejność, które pytanie wybierze najpierw, które potem itd. nie ma tutaj znaczenia, zatem liczymy jeszcze dostępne ustawienia tych pytań, które wybrał. Ustawiamy:
I pytanie: 4 sposoby (może wybrać I pytanie jako pierwsze, drugie, trzecie albo czwarte)
II pytanie: 3 sposoby (na II pytanie zostały mu już tylko 3 miejsca)
III pytanie: 2 sposoby (itd)
IV pytanie: 1 sposób
4×3×2×1=24
Musimy w końcu podzielić nasze kombinacje: ${360}/{24}=15$
Student może więc wybrać na 15 sposobów.

Uwaga dla ciekawskich: student wybrał cztery pytania, dwa zostały. Na ile sposobów można zostawić 2 pytania z 6? Z reguły mnożenia mam 6×5=30. Na ile sposobów można ustawić kolejność dwóch pytań? Na 2×1=2. Wtedy $30/2=15$. To nie przypadek, że wyszło to samo!

Zadanie 3.

Na ile sposobów można ustawić w kolejce 5 osób ?

Kolejność tutaj ma znaczenie, zatem robimy podobnie jak z pytaniami, tylko nie dzielimy przez liczbę ustawień (bo wyszłoby 1):

Ustawiona I osoba: 5 sposobów
Ustawiona II osoba: 4 sposoby
Ustawiona III osoba: 3 sposoby
Ustawiona IV osoba: 2 sposoby
Ustawiona V osoba: 1 sposób

Z reguły mnożenia: 5×4×3×2×1=120 sposobów

 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Niech A={3,5,7,9}, B= ...

 

    {premium}

 

 

Odp. C

Na rysunku obok prosta k jest styczną...

Z twierdzenia o kącie między styczną i cięciwą:

 {premium}


Zatem:

 

 

 


Prawidłowa odpowiedź to D.

Włącz czynnik pod pierwiastek

{premium}

Wyznacz miejsca zerowe funkcji f

 

 

  

 

 

 

{premium}

 

 

 

 

  

 

  

  

Zapisz dwie dowolne liczby...

Przykładowe rozwiązanie:

Wybrano liczby 5 i 10

zatem:

 


Do obu liczb dodajemy tę samą liczbę dodatnią  :       {premium}

 

 

ta operacja nie zmienia znaku nierówności


Od obu liczb odejmujemy tę samą liczbę ujemną  :

 

 

 

ta operacja nie zmienia znaku nierówności


Obie liczby mnożymy przez tę samą liczbę dodatnią  :

 

 

 

ta operacja nie zmienia znaku nierówności


Obie liczby mnożymy przez tę samą liczbę ujemną  :

 

 

 

ta operacja zmienia znak nierówności


Obie liczby dzielimy przez tę samą liczbę dodatnią  :

 

 

 

ta operacja nie zmienia znaku nierówności


Obie liczby dzielimy przez tę samą liczbę ujemną  :

 

 

 

ta operacja zmienia znak nierówności

Poniższy wykres przedstawia, jak zmieniała...

a) Wzór tej funkcji to:

 

    {premium}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

wzór tej funkcji to:

 


b) Obliczmy po jakim czasie piłka spadła na ziemię:

 

 

 

 

 

 

 

 


c) Obliczmy jak długo piłka wznosiła się ponad siatkę:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Które z poniższych zdań są prawdziwe...

 

 

równanie ma dwa rozwiązania    {premium}

 

 

Prawdziwe są zdania: 1, 2, 3.


 

 

równanie nie ma rozwiązań 

żadne zdanie nie jest prawdziwe


 

 

równanie ma dwa rozwiązania

 

 

Prawdziwe są zdania: 1, 3, 4.


 

 

równanie ma dwa rozwiązania

 

 

Prawdziwe są zdania: 1, 3, 4.


 

 

równanie ma dwa rozwiązania

 

 

Prawdziwe są zdania: 1, 2, 3.


 

 

równanie ma dwa rozwiązania

 

 

Prawdziwe są zdania: 1, 2.

Oblicz promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny...

Przyjmijmy następujące oznaczenia:

 długość przyprostokątnej

 długość przeciwprostokątnej

 promień okręgu wpisanego w trójkąt



 Mamy dane:

 


Z twierdzenia Pitagorasa:

 

 {premium}

 

 

 


Obliczamy promień okręgu wpisanego w trójkąt:

 


Odp. Promień okręgu wpisanego w trójkąt ma długość  



 Mamy dane:

 


Z twierdzenia Pitagorasa:

 

 

 

 

 


Obliczamy promień okręgu wpisanego w trójkąt:

 


Odp. Promień okręgu wpisanego w trójkąt ma długość  

Rozwiąż nierówność.

 

 

 {premium}

 

 

 

 

Z własności wartości bezwzględnej:

 

 

 

 

 



 

 

 

 


Z definicji wartości bezwzględnej:

 

 

Zatem:

 


Rozważamy więc trzy przypadki:

  •  

 

 

 

 

 

Po uwzględnieniu przedziału, w którym rozważaliśmy nierówność, otrzymujemy:

 

 

  •  

 

 

 

Otrzymaliśmy nierówność tożsamościową. Oznacza to, że rozwiązaniem tej nierówności jest każda liczba z rozważanego przedziału:

 

  •  

 

 

 

 

 

Po uwzględnieniu przedziału, w którym rozważaliśmy nierówność, otrzymujemy:

 

 


Łącząc wszystkie przypadki, otrzymujemy następujący zbiór rozwiązań:

 

 



 

 

 

 

 

 


Z definicji wartości bezwzględnej:

 


Rozważamy więc dwa przypadki:

  •  

 

 

 

 

 

Po uwzględnieniu przedziału, w którym rozważaliśmy nierówność, otrzymujemy:

 

 

  •  

 

 

 

 

 

 

Po uwzględnieniu przedziału, w którym rozważaliśmy nierówność, otrzymujemy:

 

 


Łącząc wszystkie przypadki, otrzymujemy następujący zbiór rozwiązań:

 

 



 

 

 

 

 


Z definicji wartości bezwzględnej:

 

 

Zatem:

 


Rozważamy więc trzy przypadki:

  •  

 

 

 

 

 

Otrzymany zbiór rozwiązań jest rozłączny z przedziałem, w którym rozwiązywaliśmy nierówność, więc w rozważanym przedziale nierówność nie ma rozwiązań.

  •  

 

 

 

Otrzymana nierówność jest sprzeczna, czyli nie ma rozwiązań w rozważanym przedziale.

  •  

 

 

 

 

 

Otrzymany zbiór rozwiązań jest rozłączny z przedziałem, w którym rozwiązywaliśmy nierówność, więc w rozważanym przedziale nierówność nie ma rozwiązań.


Nierówność nie ma rozwiązań w żadnym z rozważanych przedziałów, więc nie ma rozwiązań w całym zbiorze liczb rzeczywistych.

Odgadnij postać iloczynową funkcji kwadratowej.

W celu odgadnięcia skorzystamy z wzorów Viete'a.

Jeżeli  są pierwiastkami trójmianu to 

 

 

 

 "Zgadujemy" dwie liczby, których suma jest równa  {premium}  a iloczyn  

Są to  oraz 

Stąd:

 

 

 "Zgadujemy" dwie liczby, których suma jest równa  a iloczyn  

Są to  oraz 

Stąd:

 

 

 "Zgadujemy" dwie liczby, których suma jest równa  a iloczyn  

Są to  oraz 

Stąd:

 

 

 "Zgadujemy" dwie liczby, których suma jest równa  a iloczyn  

Są to  oraz 

Stąd: