Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Kombinatoryka - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Kombinatoryka

Zadaniem tego działu jest nauczenie tzw. Kombinacji czyli łączenia kilku elementów lub zdarzeń w taki sposób, aby wyczerpać wszystkie dostępne możliwości. Musimy więc przedstawić wszystkie ustawienia.

Wypisanie:
Metoda wypisanie polega na rozpisaniu wszystkich możliwych sytuacji i policzeniu ich. Jest skuteczna przy małych liczbach zdarzeń, jednakże niektóre zadania mogą nawet dobijać do 1000 ustawień i więcej, a wtedy sama rozpiska zajęłaby pół matury. Jednakże warto omówić tę metodę - czasem rozpisanie tylko części przypadków pozwala nam wpaść na poprawne rozwiązanie.

Przykład:
Ile jest liczb dwucyfrowych mniejszych od 30 podzielnych przez 3.
Wypisujemy każdą z tych liczb: 3,6,9,12,15,18,21,24,27 ma być mniejsze od 30, więc samo 30 się nie kwalifikuje. Mamy więc 9 takich liczb.
Jednakże tak jak wspominałem liczba ustawień musi być mała, na większe liczby pomoże reguła mnożenia.

Reguła Mnożenia:
Polega na podzieleniu zdarzeń na etapy, wykonujemy jeden z nich na kilka sposobów, a drugi również na kilka itd.
Czyli np.:
Pierwszy na 5 sposobów
Drugi na 4 sposoby
Więc wszystkie sytuacje przedstawimy na $$5*4=20$$ sposobów.

Przykład:
Ile jest liczb dwucyfrowych, w których obie cyfry są mniejsze od 4?
Dzielimy tu na etapy:
1. ustaw cyfry dziesiątek:
Możliwe cyfry dziesiątek to $$1,2,3,4$$ - 4 cyfry
2. ustaw cyfry jedności:
Możliwe cyfry dziesiątek to $$0,1,2,3,4$$ - 5 cyfr
Zatem takich liczb jest $$4×5=20$$

Reguła dodawania:
Stosujemy ją, jeśli musimy wybrać tylko jedną z kilku decyzji, czyli stosujemy „albo”, w przypadku mnożenia było to wymuszenie czyli „i” tutaj jest alternatywa.

Przykład:
Zamek szyfrowy jest strzeżony przez dwie wieże, jedna z nich jest zamknięta kodem dwucyfrowym nieparzystym, druga kodem dwucyfrowym parzystym. Wystarczy złamać kod na jednej wieży, aby wejść. Na ile sposobów możemy wejść do zamku?

Mamy tutaj jednocześnie regułę mnożenia i dodawania.
Najpierw mnożenia, wieża z kodem parzystym składa się z 2 cyfr.
Możliwe dziesiątki: $$2,4,6,8$$
Możliwe jedności: $$0,2,4,6,8$$
Zatem z reguły mnożenia kombinacji jest 5×4=20
Tak samo w wieży nieparzystej.
Możliwe dziesiątki: $$1,3,5,7,9$$
Możliwe jedności: $$1,3,5,7,9$$
Z reguły mnożenia kombinacji jest 5×5=25
Z racji, że mamy „albo” (ta wieża albo tamta) sumujemy nasze wyliczone kombinacje:
$$25+20=45$$
Uwaga: "albo" to alternatywa wykluczająca, co oznacza, że nie mogę przejść przez obie wieże naraz - to logiczne.
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Na ile sposobów możemy ustawić liczbę trzycyfrową tak, aby pierwsza cyfra była podzielna przez 2, druga przez 4, trzecia przez 8.

Sprawdzamy po kolei cyfry:
Setki: 2,4,6,8
Dziesiątki: 0,4,8
Jedności: 0,8
Zatem możemy ustawić na 4×3×2=24 sposoby

Zadanie 2.

Podczas egzaminu student może wybrać 4 pytania spośród 6 możliwych. Na ile sposobów może to zrobić?

Tutaj musimy pamiętać, że jeśli student wybierze już jedno pytanie, ma mniej możliwości niż wcześniej, zatem:

I pytanie: 6 sposobów (jest 6 pytań do wyboru)
II pytanie: 5 sposobów (wybrał jedno, zostało 5)
III pytanie: 4 sposoby (itd)
IV pytanie: 3 sposoby
Z reguły mnożenia: 6×5×4×3=360

Jednakże kolejność, które pytanie wybierze najpierw, które potem itd. nie ma tutaj znaczenia, zatem liczymy jeszcze dostępne ustawienia tych pytań, które wybrał. Ustawiamy:
I pytanie: 4 sposoby (może wybrać I pytanie jako pierwsze, drugie, trzecie albo czwarte)
II pytanie: 3 sposoby (na II pytanie zostały mu już tylko 3 miejsca)
III pytanie: 2 sposoby (itd)
IV pytanie: 1 sposób
4×3×2×1=24
Musimy w końcu podzielić nasze kombinacje: $${360}/{24}=15$$
Student może więc wybrać na 15 sposobów.

Uwaga dla ciekawskich: student wybrał cztery pytania, dwa zostały. Na ile sposobów można zostawić 2 pytania z 6? Z reguły mnożenia mam 6×5=30. Na ile sposobów można ustawić kolejność dwóch pytań? Na 2×1=2. Wtedy $$30/2=15$$. To nie przypadek, że wyszło to samo!

Zadanie 3.

Na ile sposobów można ustawić w kolejce 5 osób ?

Kolejność tutaj ma znaczenie, zatem robimy podobnie jak z pytaniami, tylko nie dzielimy przez liczbę ustawień (bo wyszłoby 1):

Ustawiona I osoba: 5 sposobów
Ustawiona II osoba: 4 sposoby
Ustawiona III osoba: 3 sposoby
Ustawiona IV osoba: 2 sposoby
Ustawiona V osoba: 1 sposób

Z reguły mnożenia: 5×4×3×2×1=120 sposobów

 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Wierzchołkiem paraboli jest punkt

Zapiszmy równanie paraboli w postaci kanonicznej, wtedy z łatwością odczytamy współrzędne wierzchołka: 

`y=x^2+4x=x^2+4x+4-4=(x+2)^2-4\ \ \ =>\ \ \ W=(-2,\ -4)`

Sprawdź, czy podana równość...

`L=(sin x)/(1+cosx) + (1+cosx)/sinx = (sin^2x)/(sinx(1+cosx)) +((1+cosx)^2)/(sinx(1+cosx))=(sin^2x + 1 + 2cosx + cos^2x)/(sinx(1+cosx))=` 

`(2+2cosx)/(sinx(1+cosx)) = (2(1+cosx))/(sinx(1+cosx)) = 2/sinx=P` 

Jest to tożsamość trygonometryczna.

Do prostej przechodzącej przez punkty ...

`P=(sqrt2;-1)` 

`Q=(-sqrt2;1)` 

 

`PQ:\ y= ax+b` 

`{(-1=sqrt2a+b),(1=-sqrt2a+b):}` 

`{( 1=-sqrt2a-b),(1=-sqrt2a+b):}` 

`2=-2sqrt2a `  

`sqrt2a=-1`  

`a=-1/sqrt2=-sqrt2/2` 

`b=1+sqrt2a=1+sqrt2*(-sqrt2)/2=0`    

`PQ:\ y=-sqrt2/2x`  

 

Sprawdźmy punkt z podpunktu D:

`(4;-2sqrt2)` 

`-2sqrt2=-sqrt2/2*4` 

`-2sqrt2=-2sqrt2` 

`0=0` 

Punkt z podpunktu D należy do prostej przechodzącej przez punkty P i Q.

`"Odpowiedź D."`   

 

Wyznacz taką wartość m, aby wykres funkcji...

Punkt `(2,-3)` musi spełniać równanie prostej, czyli:

`-3=2m+3`  

`-6=2m\ "/":2` 

`m=-3`     

Odp. Dla `m=-3` podany punkt należy do wykresu funkcji. 

Zapisz nierówności, które są spełnione przez liczby

`a)\ -3<x<2`

`b)\ 0<x<4`

`c)\ -1/3<x<1/2`

`d)\ 100<x<150`

 

 

Ile elementów należy do zbioru X?

Wykres funkcji f(x) przekształcono symetrycznie

`g(x)=f(-x)=4*(-x)-5=-4x-5\ \ \ \ \ \ \ odp.\ B`

Jeden z uczniów z poprzedniego zadania

Mamy teraz następujące dane:

  • klasa nadal liczy 30 osób
  • 15 uczniów ma psa (jeden uczeń dostał psa na urodziny)
  • 9 uczniów ma kota
  • 3 uczniów ma świnki morskie
  • 8 nie ma żadnego z wymienionych zwierząt
  • 1 uczeń mający świnkę morską ma też psa

 

Żadnego ze zwierząt nadal nie ma 8 osób: 

 

Osoby, które nie mają ani psa ani kota, to osoby, które nie mają żadnego ze zwierząt plus te, które mają świnkę morską, ale nie mają psa - są 2 takie osoby. 

Zatem liczba osób, które nie mają ani psa ani kota jest równa 8+2=10. 

Obliczamy, jaki to procent wszystkich uczniów; 

`10/30=1/3=1/3*100%=100/3%=33 1/3%`

Suma dwóch kolejnych liczb

Liczba parzysta to taka, która dzieli się przez 2, jest więc iloczynem dwójki i pewnej liczby naturalnej n. Liczbę parzystą można oznaczyć więc jako 2n. Liczba o 1 większa od liczby parzystej jest nieparzysta, więc pierwszą z szukanych liczb możemy oznaczyć jako 2n+1. Kolejna liczba nieparzysta jest o 2 większa, więc możemy oznaczyć ją jako 2n+3. 

Suma tych liczb nie przekracza 16, więc możemy zapisać nierówność:

`2n+1+2n+3<=16`

`4n+4<=16\ \ \ |-4`

`4n<=12\ \ \ |:4`

`n<=3`

 

Liczby naturalne spełniające tą nierówność to: 0, 1, 2, 3. Mamy więc następujące pary liczb:

`1)\ n=0\ \ \ =>\ \ \ 2n+1=2*0+1=1,\ \ \ 2n+3=2*0+3=3\ \ \ =>\ \ \ ul("para"\ 1,\ \ 3)`

`2)\ n=1\ \ \ =>\ \ \ 2n+1=2*1+1=3,\ \ \ 2n+3=2*1+3=5\ \ \ =>\ \ \ ul("para"\ 3,\ \ 5)`

`3)\ n=2\ \ \ =>\ \ \ 2n+1=2*2+1=5,\ \ \ 2n+3=2*2+3=7\ \ \ =>\ \ \ ul("para"\ 5,\ \ 7)`

`4)\ n=3\ \ \ =>\ \ \ 2n+1=2*3+1=7,\ \ \ 2n+3=2*3+3=9\ \ \ =>\ \ \ ul("para"\ 7,\ \ 9)`

Podaj trzy pary liczb

`a)`

Zauważmy, że drugie równanie powstało przez pomnożenie pierwszego równania razy 3. Jeśli jedno równanie jest wielokrotnością drugiego, to układ jest nieoznaczony. Każda para liczb spełniająca jedno równanie, spełnia także drugie równanie. Wyznaczmy więc trzy pary liczb spełniające pierwsze równanie.  Najpierw wyznaczymy y z pierwszego równania - pozwoli to łatwo znajdować pary liczb. 

`2x-y=3\ \ \ |-2x`

`-y=-2x+3\ \ \ |*(-1)`

`y=2x-3`

 

Wyznaczmy trzy pary liczb spełniające pierwsze równanie, a więc spełniające cały układ równań:

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=2*0-3=0-3=-3\ \ \ ->\ \ \ "para"\ (0;\ -3)`

`x=3\ \ \ ->\ \ \ y=2*3-3=6-3=3\ \ \ ->\ \ \ "para"\ (3;\ 3)`

`x=10\ \ \ ->\ \ \ y=2*10-3=20-3=17\ \ \ ->\ \ \ "para"\ (10;\ 17)`

 

 

 

`b)`

Zauważmy, że drugie równanie powstało przez pomnożenie pierwszego równania razy -2. Jeśli jedno równanie jest wielokrotnością drugiego, to układ jest nieoznaczony. Każda para liczb spełniająca jedno równanie, spełnia także drugie równanie. Wyznaczmy więc trzy pary liczb spełniające pierwsze równanie.  Najpierw wyznaczymy y z pierwszego równania - pozwoli to łatwo znajdować pary liczb. 

`2x-3y=4\ \ \ \ |-2x`

`-3y=-2x+4\ \ \ |:(-3)`

`y=2/3x-4/3`

 

Wyznaczmy trzy pary liczb spełniające pierwsze równanie, a więc spełniające cały układ równań:

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=2/3*0-4/3=0-4/3=-4/3\ \ \ ->\ \ \ "para"\ (0;\ -4/3)`

`x=2\ \ \ ->\ \ \ y=2/3*2-4/3=4/3-4/3=0\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (2;\ 0)`

`x=-1\ \ \ ->\ \ \ y=2/3*(-1)-4/3=-2/3-4/3=-6/3=-2\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (-1;\ -2)`

 

 

`c)`

Zauważmy, że pierwsze równanie powstało przez pomnożenie drugiego równania razy -6. Jeśli jedno równanie jest wielokrotnością drugiego, to układ jest nieoznaczony. Każda para liczb spełniająca jedno równanie, spełnia także drugie równanie. Wyznaczmy więc trzy pary liczb spełniające pierwsze równanie.  Najpierw wyznaczymy y z pierwszego równania - pozwoli to łatwo znajdować pary liczb. 

`-3x+4y=6\ \ \ |+3x`

`4y=3x+6\ \ \ |:4`

`y=3/4x+6/4`

`y=3/4x+3/2`

 

 

Wyznaczmy trzy pary liczb spełniające pierwsze równanie, a więc spełniające cały układ równań:

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=3/4*0+3/2=0+3/2=3/2\ \ \ ->\ \ \ "para"\ (0;\ 3/2)`

`x=2\ \ \ ->\ \ \ y=3/4*2+3/2=3/2+3/2=6/2=3\ \ \ ->\ \ \ "para"\ (2;\ 3)`

`x=-2\ \ \ ->\ \ \ y=3/4*(-2)+3/2=-3/2+3/2=0\ \ \ ->\ \ \ "para"\ (-2;\ 0)`