Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Kombinatoryka - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Kombinatoryka

Zadaniem tego działu jest nauczenie tzw. Kombinacji czyli łączenia kilku elementów lub zdarzeń w taki sposób, aby wyczerpać wszystkie dostępne możliwości. Musimy więc przedstawić wszystkie ustawienia.

Wypisanie:
Metoda wypisanie polega na rozpisaniu wszystkich możliwych sytuacji i policzeniu ich. Jest skuteczna przy małych liczbach zdarzeń, jednakże niektóre zadania mogą nawet dobijać do 1000 ustawień i więcej, a wtedy sama rozpiska zajęłaby pół matury. Jednakże warto omówić tę metodę - czasem rozpisanie tylko części przypadków pozwala nam wpaść na poprawne rozwiązanie.

Przykład:
Ile jest liczb dwucyfrowych mniejszych od 30 podzielnych przez 3.
Wypisujemy każdą z tych liczb: 3,6,9,12,15,18,21,24,27 ma być mniejsze od 30, więc samo 30 się nie kwalifikuje. Mamy więc 9 takich liczb.
Jednakże tak jak wspominałem liczba ustawień musi być mała, na większe liczby pomoże reguła mnożenia.

Reguła Mnożenia:
Polega na podzieleniu zdarzeń na etapy, wykonujemy jeden z nich na kilka sposobów, a drugi również na kilka itd.
Czyli np.:
Pierwszy na 5 sposobów
Drugi na 4 sposoby
Więc wszystkie sytuacje przedstawimy na $$5*4=20$$ sposobów.

Przykład:
Ile jest liczb dwucyfrowych, w których obie cyfry są mniejsze od 4?
Dzielimy tu na etapy:
1. ustaw cyfry dziesiątek:
Możliwe cyfry dziesiątek to $$1,2,3,4$$ - 4 cyfry
2. ustaw cyfry jedności:
Możliwe cyfry dziesiątek to $$0,1,2,3,4$$ - 5 cyfr
Zatem takich liczb jest $$4×5=20$$

Reguła dodawania:
Stosujemy ją, jeśli musimy wybrać tylko jedną z kilku decyzji, czyli stosujemy „albo”, w przypadku mnożenia było to wymuszenie czyli „i” tutaj jest alternatywa.

Przykład:
Zamek szyfrowy jest strzeżony przez dwie wieże, jedna z nich jest zamknięta kodem dwucyfrowym nieparzystym, druga kodem dwucyfrowym parzystym. Wystarczy złamać kod na jednej wieży, aby wejść. Na ile sposobów możemy wejść do zamku?

Mamy tutaj jednocześnie regułę mnożenia i dodawania.
Najpierw mnożenia, wieża z kodem parzystym składa się z 2 cyfr.
Możliwe dziesiątki: $$2,4,6,8$$
Możliwe jedności: $$0,2,4,6,8$$
Zatem z reguły mnożenia kombinacji jest 5×4=20
Tak samo w wieży nieparzystej.
Możliwe dziesiątki: $$1,3,5,7,9$$
Możliwe jedności: $$1,3,5,7,9$$
Z reguły mnożenia kombinacji jest 5×5=25
Z racji, że mamy „albo” (ta wieża albo tamta) sumujemy nasze wyliczone kombinacje:
$$25+20=45$$
Uwaga: "albo" to alternatywa wykluczająca, co oznacza, że nie mogę przejść przez obie wieże naraz - to logiczne.
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Na ile sposobów możemy ustawić liczbę trzycyfrową tak, aby pierwsza cyfra była podzielna przez 2, druga przez 4, trzecia przez 8.

Sprawdzamy po kolei cyfry:
Setki: 2,4,6,8
Dziesiątki: 0,4,8
Jedności: 0,8
Zatem możemy ustawić na 4×3×2=24 sposoby

Zadanie 2.

Podczas egzaminu student może wybrać 4 pytania spośród 6 możliwych. Na ile sposobów może to zrobić?

Tutaj musimy pamiętać, że jeśli student wybierze już jedno pytanie, ma mniej możliwości niż wcześniej, zatem:

I pytanie: 6 sposobów (jest 6 pytań do wyboru)
II pytanie: 5 sposobów (wybrał jedno, zostało 5)
III pytanie: 4 sposoby (itd)
IV pytanie: 3 sposoby
Z reguły mnożenia: 6×5×4×3=360

Jednakże kolejność, które pytanie wybierze najpierw, które potem itd. nie ma tutaj znaczenia, zatem liczymy jeszcze dostępne ustawienia tych pytań, które wybrał. Ustawiamy:
I pytanie: 4 sposoby (może wybrać I pytanie jako pierwsze, drugie, trzecie albo czwarte)
II pytanie: 3 sposoby (na II pytanie zostały mu już tylko 3 miejsca)
III pytanie: 2 sposoby (itd)
IV pytanie: 1 sposób
4×3×2×1=24
Musimy w końcu podzielić nasze kombinacje: $${360}/{24}=15$$
Student może więc wybrać na 15 sposobów.

Uwaga dla ciekawskich: student wybrał cztery pytania, dwa zostały. Na ile sposobów można zostawić 2 pytania z 6? Z reguły mnożenia mam 6×5=30. Na ile sposobów można ustawić kolejność dwóch pytań? Na 2×1=2. Wtedy $$30/2=15$$. To nie przypadek, że wyszło to samo!

Zadanie 3.

Na ile sposobów można ustawić w kolejce 5 osób ?

Kolejność tutaj ma znaczenie, zatem robimy podobnie jak z pytaniami, tylko nie dzielimy przez liczbę ustawień (bo wyszłoby 1):

Ustawiona I osoba: 5 sposobów
Ustawiona II osoba: 4 sposoby
Ustawiona III osoba: 3 sposoby
Ustawiona IV osoba: 2 sposoby
Ustawiona V osoba: 1 sposób

Z reguły mnożenia: 5×4×3×2×1=120 sposobów

 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Przedstawione na rysunku proste k, l ...

`l: y=- 1/2x+2` 

 

`k: y=-1/2x+3` 

`m:y=-1/2x` 

`n: y=-1/2x-1` 

Oblicz odległość punktu P(5,1) od ...

`P=(x_0;y_0)`

Odległość punktu P od prostej l o równaniu Ax+By+c=0 wyraża się za pomocą wzoru:

`d=|Ax_0+By_0+C|/sqrt(A^2+B^2)` 

`y=x\ implies\ x-y=0` 

`A=1` 

`B=-1` 

`P=(5;1)` 

`d=|Ax_0+By_0+C|/sqrt(A^2+B^2)=|5-1+0|/(sqrt(1^2+(-1)^2))=4/sqrt2=2sqrt2`   

`ul(d=sqrt2` 

Naszkicuj układ współrzędnych

Prosta y=ax+b przechodzi przez ...

`y=ax+b` 

`a>1/2` 

`P=(0;-1)` 

 

`-1=b` 

`y=ax-1` 

Skoro a>0 to dla dodatnich argumentów wartość funkcji f(x)=ax-1 będzie zawsze większa od -1.

Zatem punkt (3;-1) nie może należeć do wykresu opisanego wzorem y=ax-1.

 

`"Odpowiedź C."` 

 

 

 

 

Uzasadnij, że dla wszystkich różnych od siebie

Wyprowadzamy najpierw wzór na kwadrat sumy trzech składników:

`(x+y+z)^2=(x+y+z)(x+y+z)=`

`=x^2+xy+xz+yx+y^2+yz+zx+yz+z^2=`

`=x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz`

Przekształcamy wyrażenie:

`(x+y+z)^2-4(x^2+y^2+z^2)=x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz-4(x^2+y^2+z^2)=`

`=x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz-4x^2-4y^2-4z^2=2xy+2xz+2yz-3x^2-3y^2-3z^2=`

`=-x^2+2xy-y^2-y^2+2yz-z^2-z^2+2xz-x^2-x^2-y^2-z^2=`

`=-(x^2+2xy+y^2)-(y^2-2yx+z^2)-(z^2-2xz+x^2)-(x^2+y^2+z^2)=`

`=-(x-y)^2-(y-z)^2-(z-x)^2-(x^2+y^2+z^2)= -{(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2+x^2+y^2+z^2}`

Mamy sumę liczb podniesionych do kwadratu- jest to liczba dodatnia. Przed tą sumą stoi znak minus- dlatego jest to liczba ujemna.

Wpisz w miejsce kratki

`a)`

Liczba jest podzielna przez 15, jeśli jest podzielna przez 3 i przez 5. 

Liczba jest podzielna przez 5, jeśli jej ostatnią cyfrą jest 0 lub 5. 

Liczba jest podzielna przez 3, jeśli suma jej cyfr jest liczbą podzielną przez 3. 

Wstawmy więc w miejsce kwadraciku cyfrę 0 i sprawdźmy, ile wynosi wtedy suma cyfr tej liczby: 

`1+7+3+4+0=15`

Liczba 15 dzieli się przez 3, więc także liczba 17 340 dzieli się przez 3. 

 

Wstawmy w miejsce kwadraciku cyfrę 5 i sprawdźmy, ile wynosi wtedy suma cyfr tej liczby:

`1+7+3+4+5=20`

Liczba 20 nie dzieli się przez 3, więc także liczba 17 345 nie dzieli się przez 3, a więc także nie dzieli się przez 15. 

 

 

ODP: W kwadracik należy wstawić cyfrę 0. 

 

 

 

`b)`

Liczba jest podzielna przez 12, jeśli dzieli się przez 3 i przez 4. 

Liczba dzieli się przez 3, jeśli suma jej cyfr dzieli się przez 3. 

Liczba dzieli się przez 4, jeśli liczba utworzona z dwóch jej ostatnich cyfr jest liczbą podzielną przez 4. 

Sprawdźmy, ile wynosi suma cyfr podanej liczby: 

`1+5+6+2+square=14`

Aby ta suma dzieliła się przez 3, w miejsce kwadraciku możemy wstawić liczby 1, 4, 7. 

Wtedy liczby utworzone z dwóch ostatnich cyfr byłyby równe kolejno: 21, 24, 27. 

Spośród nich tylko jedna jest podzielna przez 4 - jest to liczba 24, dlatego w kwadracik należy wstawić cyfrę 4. 

 

ODP: W kwadracik należy wstawić cyfrę 4. 

 

 

 

`c)`

Liczba jest podzielna przez 18, jeśli dzieli się przez 2 i przez 9. 

Liczba jest podzielna przez 2, jeśli jej ostatnią cyfrą jest: 0, 2, 4, 6 lub 8. 

Liczba jest podzielna przez 9, jeśli suma jej cyfr jest liczbą podzielną przez 9. 

Obliczmy, ile wynosi suma cyfr podanej liczby: 

`2+3+0+7+square=12+square`

Aby ta suma była liczbą podzielną przez 9, w kwadracik należy wstawić cyfrę 6 (suma cyfr będzie wtedy równa 18). Wtedy liczba będzie się także dzieliła przez 2. 

 

ODP: W kwadracik należy wstawić cyfrę 6. 

Okrąg o środku w punkcie O ...

`a)` 

`l:x=1` 

`l:x-1=0`  

`O=(-1;4)` 

Aby wyznaczć promień okręgu stycznego do l, wystarczy wyznaczyć 

odległość środka okręgu od prostej l.

`d=|Ax_o +By_o +C|/sqrt(A^2+B^2)` 

`A=1` 

`C=-1` 

`d=|1*(-1)-1|/sqrt(1^2)=2` 

`r_O=2` 

 

`k:x=3` 

`k:x-3=0` 

`S=(1;4)`  

`r_S=|1*1-3|/sqrt(1^2)=2` 

`r_S=2` 

 

`|SO|=sqrt((-1-1)^2+(4-4)^2)=2<r_S+r_O` 

Okręgi przecinają się.  

 

`b)` 

`l:y=-2` 

`l:y+2=0` 

`O=(-3;-3)` 

`r_O=|-3+2|/sqrt(1^2)=1`    

 

`k:y=-6` 

`k:y+6=0` 

`S=(-3;-4)` 

`r_S=|-4+6|/sqrt(1^2)=2`  

 

`|SO|=sqrt((-3+3)^2+(-3+4)^2)=1=r_S-r_O` 

Okręgi są stycznie wewnętrznie.

 

`c)` 

`l:y=-x+7` 

`l:y+x-7=0` 

`O=(-2;5)` 

`r_O=|-2*1+5*1-7|/sqrt(1^2+1^2)=4/sqrt2=2sqrt2` 

 

`k:y=x+3` 

`k:y-x-3=0` 

`S=(4;-1)` 

`r_S=|4*(-1)+(-1)*1-3|/sqrt(1^2+(-1)^2)=8/sqrt2=4sqrt2` 

 

`|SO|=sqrt((-2-4)^2+(5+1)^2)=6sqrt2=r_O+r_S` 

Okręgi są styczne zewnętrznie.

Jeżeli wartość funkcji f dla argumentu...

`A. \ f(2) = 2*2 + 4 = 4 + 4=  8` 

`B. \ f(2) = 2^2 + 2 = 4 + 2 = 6 ne 8` 

Odpowiedź B

Szerokość pokoju jest o 2m mniejsza od jego długości ...

 

`x>0\ \ \ i\ \ \ x-2>0\ \ \ =>\ \ \ ul(ul(x>2))` 

`ul(ul(6<=d<=10))` 

 

Wyraźmy d w zależności od x korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

`x^2+(x-2)^2=d^2` 

`x^2+x^2-4x+4=d^2` 

`2x^2-4x+4=d^2` 

 

`6<=d<=10` 

`36<=d^2<=100`    (możemy podnieść do kwadratu, ponieważ liczby 6, d, 10 są dodatnie, więc na pewno nie zmieni się kierunek nierówności)

 

 

`36<=d^2\ \ \ \ i\ \ \ \ d^2<=100` 

 

 

Mamy do rozwiązania dwie nierówności:

`36<=d^2` 

`d^2>=36` 

`2x^2-4x+4>=36\ \ \ |-36` 

`2x^2-4x-32>=0\ \ \ |:2` 

`x^2-2x-16>=0` 

 

`Delta=(-2)^2-4*1*(-16)=` 

`\ \ \ =4+64=68` 

`sqrtDelta=sqrt68=sqrt(4*17)=2sqrt17` 

`x_1=(2-2sqrt17)/2=1-sqrt17` 

`x_2=(2+2sqrt17)/2=1+sqrt17`           

 

`x in (-infty,\ 1-sqrt17>>\ \ uu\ \ <<1+sqrt17, +infty)\ \ \ i\ \ \ x>2\ \ \ =>\ \ \ ul(ul(x in<<1+sqrt17,\ +infty)))` 

 

 

 

Teraz rozwiązujemy drugą nierówność:

`d^2<=100` 

`2x^2-4x+4<=100\ \ \ |-100` 

`2x^2-4x-96<=0\ \ \ |:2` 

`x^2-2x-48<=0` 

 

`Delta=(-2)^2-4*1*(-48)=` 

`\ \ \ =4+192=196` 

`sqrtDelta=sqrt196=14` 

`x_1=(2-14)/2=(-12)/2=-6` 

`x_2=(2+14)/2=16/2=8` 

 

  

 

`x in <<-6,\ 8>>\ \ \ i \ \ \ x>2\ \ \ =>\ \ \ ul(ul(x in(2,\ 8>>))` 

 

 

Rozwiązanie musi spełniać obie nierówności, więc: 

`x in <<1+sqrt17,\ +infty)\ \ \ i\ \ \ x in (2,\ 8>>\ \ \ =>\ \ \ ul(ul(x in <<1+sqrt17,\ 8>>))\ \ \ \ -\ \ \ \ "długość"`  

`x-2in<<1+sqrt17-2,\ 8-2)\ \ \ =>\ \ \ ul(ul(x-2in<<sqrt17-1,\ 6)))\ \ \ -\ \ \ "szerokość"` 

Zaznacz na osi liczbowej zbiór rozwiązań

`a)`

`{(2(7-x)+1>=3-4(x-2)), (6(x+2)-5x<3x+10):}`

`{(14-2x+1>=3-4x+8), (6x+12-5x<3x+10):}`

`{(15-2x>=11-4x \ \ \ |+4x), (x+12<3x+10\ \ \ |-3x):}`

`{(15+2x>=11\ \ \ |-15), (-2x+12<10\ \ \ |-12):}`

`{(2x>=-4\ \ \ |:2), (-2x<-2\ \ \|:(-2)):}`

`{(x>=-2), (x<1):}\ \ \ =>\ \ \ x in (1;\ +infty)`

  

  

 

 

`b)`

`{(9(x+1)-7(x+1)>3(x+2)+1), (1/2(x-2)+5>=4-1 1/2x\ \ \ |*2):}`

`{(2(x+1)>3x+6+1), (x-2+10>=8-3x):}`

`{(2x+2>3x+7\ \ \ |-3x), (x+8>=8-3x\ \ \ |+3x):}`

`{(-x+2>7\ \ \ |-2), (4x+8>=8\ \ \ \|-8):}`

`{(-x>5\ \ \ |*(-1)) , (4x>=0\ \ \ |:4):}`

`{(x< -5), (x>=0):}\ \ \ =>\ \ \ "układ nie ma rozwiązań"`

  

 

 

`c)`

`{((x-2)/3>(3-x)/5-1\ \ \ |*15), ((3x-1)^2-1<=3(x-2)^2+6(x^2+3)):}`

`{(5(x-2)>3(3-x)-15), (9x^2-6x+1-1<=3(x^2-4x+4)+6x^2+18):}`

`{(5x-10>9-3x-15), (9x^2-6x<=3x^2-12x+12+6x^2+18):}`

`{(5x-10> -6-3x\ \ \ |+3x), (9x^2-6x<=9x^2-12x+30\ \ \ |-9x^2):}`

`{(8x-10> -6\ \ \ |+10), (-6x<=-12x+30\ \ \ |+12x):}`

`{(8x>4 \ \ \ |:8), (6x<=30 \ \ \ |:6):}`

`{(x>1/2), (x<=5):}\ \ \ =>\ \ \ x in (1/2;\ 5>>`

  

 

 

`d)`

`{((5-x)^2+3(x-1)^2<(2x+1)(2x-1)-3), (2(x-3)^2-(4-x)^2<5+(x+1)^2):}`

`{(25-10x+x^2+3(x^2-2x+1)<4x^2-1-3), (2(x^2-6x+9)-(16-8x+x^2)<5+x^2+2x+1):}`

`{(25-10x+x^2+3x^2-6x+3<4x^2-4), (2x^2-12x+18-16+8x-x^2<x^2+2x+6):}`

`{(4x^2-16x+28<4x^2-4\ \ \ |-4x^2), (x^2-12x+2<x^2+2x+6\ \ \ |-x^2):}`

`{(-16x+28<-4\ \ \ |-28), (-12x+2<2x+6\ \ \ |-2x):}`

`{(-16x< -32\ \ \ |:(-16)), (-14x+2<6\ \ \ |-2):}`

`{(x>2), (-14x< 4\ \ \ |:(-14)):}`

`{(x>2), (x> -2/7):}\ \ \ =>\ \ \ x in (2;\ +infty)`