Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Kąty na okręgu - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Kąt środkowy i kąt wpisany są oparte na tym samym łuku. Suma ich miar jest równa 180°. Jaka jest miara kąta środkowego?

  Pamiętamy, że kąt środkowy jest dwa razy większy od wpisanego.

$$x$$ - kąt wpisany to

$$2x$$ - kąt środkowy

Razem dają nam 180 stopni, więc

$$x+2x=180$$

$$3x=180$$ $$|:3$$

$$x=60$$

Zatem miary kątów to:

Wpisany: 60°

Środkowy: 120°

Zadanie 2.

Oblicz miary zaznaczonych kątów:

zad2

  a) Kąt wpisany na tym samym łuku, więc:

$$α={160}/2=80$$

b) Mamy podane jeden z kątów trójkąta równoramiennego (ramiona to promienie, więc drugi kąt też ma 40).

Suma kątów w trójkącie to 180 stopni, więc środkowy:

β=180-40×2=180-80=100$$

Kąt $α$ jest wpisany na tym samym łuku, więc:

$$α=β/2={100}/2=50$$

C) Tutaj kąt wbrew pozorom nie jest oparty na tym samym łuku, tylko na jego dopełnieniu. Liczymy, z kąta pełnego brakujący środkowy:

$$β=360-140=220$$

Pozostaje obliczyć kąt:

$$α=β/2={220}/2=110$$

 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Wskaż...

`A=(-1,-1)` 

`B=(4,-1)`

`C=(3,2)`

`|AB|=5`

`|AC|=sqrt((3-(-1))^2+(2-(-1))^2) = sqrt(4^2 + 3^2)= sqrt25 = 5`

`|AB|=|AC|` 

Czyli jest to trójkąt równoramienny.

 

Punkty tworzące odcinek DE mają współrzędne:

`D=(-3,0)`

`E=(-3,5)`

 

 

Odcinek DE w trójkącie DEF będzie odpowiadać albo odcinkowi AB albo odcinkowi AC z trójkąta ABC, w takim razie możliwe położenia są przedstawione na rysunku:

 

 

 

`F_1=(-6,1) \ "lub" \ F_2=(0,1) \ "lub" \ F_3=(0,4) \ "lub" \ F_4=(-6,-4)`

 

Prosta jest postaci y=ax+b, a więc:

`F_1=(-6,1)`

prosta przechodzi przez punkty F1 i D, czyli podstawmy współrzędne punktów pod równanie prostej y=ax+b:

`{(1=-6a+b),(0=-3a+b \ \ \ |*(-2)):}`

`{(1=-6a+b),(0=6a -2b):}`

Zsumujmy:

`1 = -b`

`b=-1` 

`1=-6a+b`

`1=-6a-1 \ \ \ |+1`

`-6a = 2 \ \ \ |:(-6)`

`a = -1/3`

a więc prosta będzie miała postać:

`y_1=-1/3x -1`

 

 

Prosta zawierająca punkty D i F2 będzie miała przeciwny współczynnik do prostej y1 oraz będzie przesunięta o 2 jednostki w górę, jej wzór to:

`y_2=1/3x +1`

 

 

Prosta zawierająca punkty F4 i D, podstawmy współrzędne punktów pod równanie prostej y=ax+b:

`{(4=-6a+b),(0=-3a+b \ \ \ |*(-2)):}`

`{(4=-6a+b),(0=6a-2b):}`

Zsumujmy:

`4 = -b \ \ \ |*(-1)`

`b=-4`

`0=-3a+b`

`0=-3a-4`

`3a=-4 \ \ \ |:3`

`a=-4/3`

`y_4 = -4/3x -4`

 

 

Prosta zawierająca punkty D i F3 będzie miała przeciwny współczynnik do prostej y1 oraz będzie przesunięta o 8 jednostki w górę, jej wzór to:

`y_3 = 4/3x +4`

O ile różnią się liczby

Zamienimy ułamki okresowe na ułamki zwykłe. 

`\ \ \ x=0,3333...` 

`10x=3,3333...` 

`10x-x=3,3333...-0,3333...` 

`9x=3\ \ \ |:9` 

`x=3/9=1/3` 

 

 

`\ \ \ y=0,5555...` 

`10y=5,5555...` 

`10y-y=5,5555...-0,5555...` 

`9y=5\ \ \ |:9` 

`y=5/9` 

 

 

Obliczamy, o ile róznią się liczby 0,(3) oraz 20% liczby 1,(5):

`0,(3)-20%*1,(5)=1/3-20/100*1 5/9=1/3-1/5*1 5/9=1/3-1/5*14/9=` 

`=15/45-14/45=1/45=0,0222...=0,0(2)`  

Rozwiąż algebraicznie i graficznie układ równań

`a)`

`ul(ul("sposób algebraiczny"))`

`{(y=1/3x+3), (y+x=7):}`

Podstawiamy pierwsze równanie do drugiego równania:

`{(y=1/3x+3), (1/3x+3+x=7\ \ \ |*3):}`

`{(y=1/3x+3) , (x+9+3x=21\ \ \ |-9):}`

`{(y=1/3x+3) , (4x=12\ \ \ \|:4):}`

`{(y=1/3x+3), (x=3):}`

`{(y=1/3*3+3=1+3=4), (x=3):}`

 

 

`ul(ul("sposób graficzny"))`

Przekształcamy każde równanie do postaci kierunkowej. 

`{(y=1/3x+3), (y+x=7\ \ \ |-x):}`

`{(y=1/3x+3), (y=-x+7):}`

 

Dla każdej prostej wyznaczamy współrzędne dwóch punktów, które do niej należą (dzięki temu będziemy mogli narysować wykres, prowadząc prostą przez te punkty). 

`y=1/3x+3`

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=1/3*0+3=0+3=3`

`x=3\ \ \ ->\ \ \ y=1/3*3+3=1+3=4`

 

`y=-x+7`

`x=2\ \ \ ->\ \ \ y=-2+7=5`

`x=4\ \ \ ->\ \ \ y=-4+7=3`

 

 

Odczytujemy współrzędne punktu przecięcia prostych - jest to rozwiązanie układu:

`{(x=3), (y=4):}`

 

 

`ul(ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )))`

 

 

`b)`

`ul(ul("sposób algebraiczny"))`

`{(y=-2x+2), (4y+3x=-12):}`

`{(y=-2x+2), (4(-2x+2)+3x=-12):}`

`{(y=-2x+2), (-8x+8+3x=-12\ \ \ \ |-8):}`

`{(y=-2x+2), (-5x=-20\ \ \ \ |:(-5)):}`

`{(y=-2x+2), (x=4):}`

`{(y=-2*4+2=-8+2=-6), (x=4):}`

 

`ul(ul("sposób graficzny"))`

`{(y=-2x+2), (4y+3x=-12\ \ \ |-3x):}`

`{(y=-2x+2), (4y=-3x-12\ \ \ |:4):}`

`{(y=-2x+2),(y=-3/4x-3):}`

 

`y=-2x+2`

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=-2*0+2=0+2=2`

`x=1\ \ \ ->\ \ \ y=-2*1+2=-2+2=0`

 

 

`y=-3/4x-3`

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=-3/4*0-3=0-3=-3`

`x=-4\ \ \ ->\ \ \ y=-3/4*(-4)-3=3-3=0`

 

`{(x=4), (y=-6):}`

 

 

`ul(ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )))`

 

 

`c)`

`ul(ul("sposób algebraiczny"))`

`{(y-3x+4=0), (4=x):}`

`{(y-3*4+4=0), (x=4):}`

`{(y-12+4=0), (x=4):}`

`{(y-8=0\ \ \ |+8), (x=4):}`

`{(y=8), (x=4):}`

 

 

`ul(ul("sposób graficzny"))`

Drugie równanie opisuje prostą pionową, pierwsze równanie przekształcamy do postaci kierunkowej. 

`{(y-3x+4=0\ \ \ |+3x-4), (4=x):}`

`{(y=3x-4), (x=4):}`

 

`y=3x-4`

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=3*0-4=0-4=-4`

`x=2\ \ \ ->\ \ \ y=3*2-4=6-4=2`

 

 

 

`{(x=4), (y=8):}`

 

 

`ul(ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )))`

 

 

`d)`

`ul(ul("sposób algebraiczny"))`

`{(y-2x=4), (1-y=0\ \ \ |+y):}`

`{(y-2x=4), (y=1):}`

`{(1-2x=4\ \ \ |-1), (y=1):}`

`{(-2x=3\ \ \ |:(-2)), (y=1):}`

`{(x=-3/2), (y=1):}`

 

 

`ul(ul("sposób graficzny"))`

`{(y-2x=4\ \ \ |+2x), (1-y=0 \ \ \ |+y):}`

`{(y=2x+4), (y=1):}`

 

`y=2x+4`

`x=-1\ \ \ ->\ \ \ y=2*(-1)+4=-2+4=2`

`x=-2\ \ \ ->\ \ \ y=2*(-2)+4=-4+4=0`

 

 

`{(x=-1 1/2), (y=1):}`

 

 

 

`ul(ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )))`

 

 

`e)`

`ul(ul("sposób algebraiczny"))`

`{(2x-3y=6\ \ \ |*2), (-4/3x+2y=-4\ \ \ |*3):}`

`{(4x-6y=12), (-4x+6y=-12):}\ \ \ \ \ |+`

`0=0`

Równość jest zawsze prawdziwa, więc układ jest nieoznaczony - ma nieskończenie wiele rozwiązań. 

Spełnia je każda taka para liczb, że:

`{(2x-3y=6\ \ \ \|-2x),(x in RR):}`

`{(-3y=-2x+6\ \ \ |:(-3)), (x in RR):}`

`{(y=2/3x-2), (x in RR):}`

 

`ul(ul("sposób graficzny"))`

`{(2x-3y=6\ \ \ |-2x), (-4/3x+2y=-4\ \ \ \|+4/3x):}`

`{(-3y=-2x+6\ \ \ \|:(-3)),(2y=4/3x-4\ \ \ \|:2):}`

`{(y=2/3x-2), (y=2/3x-2):}`

 

Obydwa równania opisują tę samą prostą. Układ ma nieskończenie wiele rozwiązań - wszystkie leżą na narysowanej prostej. 

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=2/3*0-2=0-2=-2`

`x=3\ \ \ ->\ \ \ y=2/3*3-2=2-2=0`

 

 

`ul(ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )))`

 

 

`f)`

`ul(ul("sposób algebraiczny"))`

`{(3y+x=9), (y+3=-1/3x\ \ \ |*(-3)):}`

`{(3y+x=9) , (-3y-9=x):}`

`{(3y+(-3y-9)=9), (x=-3y-9):}`

`{(3y-3y-9=9), (x=-3y-9):}`

`{(-9=9), (x=-3y-9):}`

Pierwsze równanie jest sprzeczne, więc układ równań jest sprzeczny - nie ma rozwiązań. 

 

`ul(ul("sposób graficzny"))`

`{(3y+x=9\ \ \ \|-x), (y+3=-1/3x\ \ \ |-3):}`

`{(3y=-x+9\ \ \ |:3), (y=-1/3x-3):}`

`{(y=-1/3x+3), (y=-1/3x-3):}`

 

`y=-1/3x+3`

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=-1/3*0+3=0+3=3`

`x=3\ \ \ ->\ \ \ y=-1/3*3+3=-1+3=2`

 

 

`y=-1/3x-3`

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=-1/3*0-3=0-3=-3`

`x=3\ \ \ ->\ \ \ y=-1/3*3-3=-1-3=-4`

Narysowane proste nie mają punktów wspólnych, więc układ jest sprzeczny - nie ma rozwiązania. 

Liczba √3( ⁵√32-³√-64+⁵√-1)

`sqrt3(root(5)32-root(3)(-64)+root(5)(-1)=sqrt3(2-(-4)+(-1))=`

`=sqrt3*5=5sqrt3`

Oblicz: a) log₇ 1/343, b) log0,0001

a)

`log_7 (1/343)=log_7 343^(-1)=log_7 (7^3)^(-1)=log_7 7^(-3)=-3`

b)

`log0,0001=log 1/10000= log (1/10)^4=log (10^(-1))^4=log 10^(-4)=-4`

c)

`log_(sqrt5) 125=log_(sqrt5) 5^3= log_(sqrt5) ((sqrt5)^2)^3=log_(sqrt5) (sqrt5)^6=6`

d)

`log_(sqrt2)4sqrt2=log_(sqrt2) (2^2*sqrt2)=log_(sqrt2)( ((sqrt2)^2)^2*(sqrt2)^1)=log_(sqrt2) (sqrt2)^5=5`

 

Oblicz odległości...

`a) \ |AB|= sqrt((5-1)^2 + (5-2)^2)= sqrt(4^2 + 3^2)= sqrt(16+9)=sqrt25 = 5` 

 

`b) \ |AC| = sqrt((4-1)^2 + (-1-2)^2) = sqrt(3^2 + 3^2) = sqrt(9+9) = sqrt18 = sqrt(9*2) = 3sqrt2`

 

`c) \ |BC| = sqrt((4-5)^2 + (-1-5)^2)=sqrt((-1)^2 + (-6)^2) = sqrt(1+36)= sqrt37`

Różnica jest równa

`4,3*10^-24-2*10^-26=4,3*10^-26*10^2-2*10^-26=10^-26*(4,3*10^2-2)=10^-26*(430-2)=` 

`=10^-26*428=10^-26*4,28*10^2=4,28*10^-24\ \ \ \ \ \ \ odp.\ A` 

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji ...

`f:(-5;4]->RR` 

`"f jest malejąca w przedziale"\ (-5;0]` 

 

`"Odpowiedź C."` 

Na diagramie przedstawiono sześcioelementowy zbiór A

`a) \ P`

`b)\ F`

`c)\ sqrt16=4\ \ \ P`

`d)\ sqrt9=3\ \ \ \ F`

`e)\ F`

`f)\ P`

Jakie wymiary powinien mieć prostokąt...

Oznaczmy długość boku prostokąta przez x, wtedy drugi bok ma długość:

`2x + 2b = 64` 

`2b = 64 - 2x` 

`b = 32 - x` 

 

Pole prostokąta wyraża się wzorem:

`P(x) = x(32-x) = - x(x-32)` 

Parabola jest skierowana ramionami ku dołowi a więc największą wartość mamy w wierzchołku, odcięta wierzchołka paraboli jest średnią arytmetyczną miejsc zerowych, zatem:

`x_w = (0+32)/2 = 16` 

Prostokąt powinien być kwadratem o boku 16 m, żeby jego pole było największe.