Kąty na okręgu - matura-podstawowa - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Kąty na okręgu - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Kąt środkowy i kąt wpisany są oparte na tym samym łuku. Suma ich miar jest równa 180°. Jaka jest miara kąta środkowego?

  Pamiętamy, że kąt środkowy jest dwa razy większy od wpisanego.

$x$ - kąt wpisany to

$2x$ - kąt środkowy

Razem dają nam 180 stopni, więc

$x+2x=180$

$3x=180$ $|:3$

$x=60$

Zatem miary kątów to:

Wpisany: 60°

Środkowy: 120°

Zadanie 2.

Oblicz miary zaznaczonych kątów:

zad2

  a) Kąt wpisany na tym samym łuku, więc:

$α={160}/2=80$

b) Mamy podane jeden z kątów trójkąta równoramiennego (ramiona to promienie, więc drugi kąt też ma 40).

Suma kątów w trójkącie to 180 stopni, więc środkowy:

β=180-40×2=180-80=100$

Kąt $α$ jest wpisany na tym samym łuku, więc:

$α=β/2={100}/2=50$

C) Tutaj kąt wbrew pozorom nie jest oparty na tym samym łuku, tylko na jego dopełnieniu. Liczymy, z kąta pełnego brakujący środkowy:

$β=360-140=220$

Pozostaje obliczyć kąt:

$α=β/2={220}/2=110$

 

Spis treści

Rozwiązane zadania
W trapezie równoramiennym przekątne przecinają się...

Rysunek poglądowy:

Obliczmy długość ramienia kąta za pomocą trójkąta ABC:

  

 

 

 

Poprowadźmy teraz wysokość z wierzchołka C na podstawę AB, wtedy:

Zauważmy, że:

 

 

A więc:

 

 

 

 

 

Zatem:

 

 

 

 

Zatem obwód trapezu wynosi:

 

Uzasadnij, że równanie...

a)

 

 

Sprawdźmy kiedy  czyli kiedy równanie ma jedno lub dwa rozwiązania.

 

 

Dla każdego  


b) 

 

 

 

Sprawdźmy kiedy  czyli kiedy równanie ma jedno lub dwa rozwiązania.

 

 

Dla każdego   

Jaki warunek musi spełniać m, alby punkty...

 Wyznaczamy równanie prostej przechodzącej przez punkty  i   

Wstawiamy do równania prostej  współrzędne punktu  Otrzymujemy:

 

Wstawiamy do równania prostej  współrzędne punktu  Otrzymujemy:

 

Zapisujemy wyznaczone równania jako układ równań i wyliczamy z niego  

 

 

 

Zatem prosta przechodząca przez punkty  i   dana jest wzorem:

 

Obliczamy, jaką liczbę należy wstawić w miejsce  by punkty  były współliniowe.

 

 

 

 

Odp. Aby punkty nie były współliniowe, musi zachodzić  

 

 Wyznaczamy równanie prostej przechodzącej przez punkty  i   

Wstawiamy do równania prostej  współrzędne punktu  Otrzymujemy:

 

Wstawiamy do równania prostej  współrzędne punktu  Otrzymujemy:

 

Zapisujemy wyznaczone równania jako układ równań i wyliczamy z niego  

 

 

 

Zatem prosta przechodząca przez punkty  i   dana jest wzorem:

 

Obliczamy, jaką liczbę należy wstawić w miejsce  by punkty  były współliniowe.

  

 

Odp. Aby punkty nie były współliniowe, musi zachodzić  

 

 Wyznaczamy równanie prostej przechodzącej przez punkty  i   

Wstawiamy do równania prostej  współrzędne punktu  Otrzymujemy:

 

Wstawiamy do równania prostej  współrzędne punktu  Otrzymujemy:

 

Zapisujemy wyznaczone równania jako układ równań i wyliczamy z niego  

 

 

 

Zatem prosta przechodząca przez punkty  i   dana jest wzorem:

 

Obliczamy, jaką liczbę należy wstawić w miejsce  by punkty  były współliniowe.

 

 

 

Odp. Aby punkty nie były współliniowe, musi zachodzić  

 

 Wyznaczamy równanie prostej przechodzącej przez punkty  i   

Wstawiamy do równania prostej  współrzędne punktu  Otrzymujemy:

 

Wstawiamy do równania prostej  współrzędne punktu  Otrzymujemy:

 

Zapisujemy wyznaczone równania jako układ równań i wyliczamy z niego  

 

 

 

Zatem prosta przechodząca przez punkty  i   dana jest wzorem:

 

Obliczamy, jaką liczbę należy wstawić w miejsce  by punkty  były współliniowe.

  

 

Odp. Aby punkty nie były współliniowe, musi zachodzić  

W kole o środku S i średnicy ...

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.

Znamy długość średnicy AB:

 

Długość promienia jest dwukrotnie mniejsza od długości średnicy:

 

 

Pole części koła pomiędzy średnicą AB i cięciwą CD możemy obliczyć sumując pola dwóch wycinków koła oraz trójkąta równoramiennego.

Obliczmy miarę kąta α:

 

 

 

Obliczmy miarę kąta ß:

 

 

 

Obliczmy pole wycinka koła o o promieniu 8 i kącie środkowym α = 30o.

 

 

Chcemy obliczyć pole trójkąta. Musimy wyznaczyć długość odcinka CD (podstawa) oraz odcinka FS (wysokość).  

Zauważmy, że:

 

oraz 

 

Korzystając z własności trójkąta o kątach 90o, 60o oraz 30o wyznaczamy długość odcinka DE oraz SE.

 

 

 

Stąd mamy:

 

 

 

Cięciwa Cd podzielona jest na dwa odcinki o równej długości, stąd:

 

Obliczamy pole trójkąta równoramiennego CSD:

 

 

Obliczamy pole części koła pomiedzy średnicą i cięciwą:

 

 

 

Odp: Pole części koła pomiędzy średnicą a cięciwą wynosi 32/3π+163 j2.

W pewnym banku do codziennej kapitalizacji odsetek kapitału

 

 

 

Po około 37 dniach. 

Sprawdź, czy podane równości są tożsamościami...

 

Równość jest tożsamością trygonometryczną.

 

 

Równość jest tożsamością trygonometryczną.

 

 

Równość nie jest tożsamością trygonometryczną.

 

 

 

Narysuj kwadrat ABCD o boku długości 6...

 Rysujemy kwadrat  o boku długości  i wyznaczamy wektor  

Thumb zad4.72a1str115


Otrzymujemy:

 


Przesuwamy kwadrat  równolegle o wektor  {premium}

Thumb zad4.72a2str115


Obrazem kwadratu  w przesunięciu równoległym o wektor  jest kwadrat  



 Wyznaczamy wektor  

Thumb zad4.72b1str115


Otrzymujemy:

 


Przesuwamy kwadrat  równolegle o wektor  

Thumb zad4.72b2str115


Obrazem kwadratu  w przesunięciu równoległym o wektor  jest kwadrat  

czy wykres funkcji f(x), gdzie x...

Wykres funkcji f {premium}nie ma punktu wspólnego z osią OY, bo argument x=0 nie należy do dziedziny tej funkcji.

Wykres funkcji f(x)= ...

 

 

 

  

   

 

 

 

 

 

 

 

     

 

Zapisz w postaci kwadratu sumy