Kąty na okręgu - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Kąt środkowy i kąt wpisany są oparte na tym samym łuku. Suma ich miar jest równa 180°. Jaka jest miara kąta środkowego?

  Pamiętamy, że kąt środkowy jest dwa razy większy od wpisanego.

$$x$$ - kąt wpisany to

$$2x$$ - kąt środkowy

Razem dają nam 180 stopni, więc

$$x+2x=180$$

$$3x=180$$ $$|:3$$

$$x=60$$

Zatem miary kątów to:

Wpisany: 60°

Środkowy: 120°

Zadanie 2.

Oblicz miary zaznaczonych kątów:

zad2

  a) Kąt wpisany na tym samym łuku, więc:

$$α={160}/2=80$$

b) Mamy podane jeden z kątów trójkąta równoramiennego (ramiona to promienie, więc drugi kąt też ma 40).

Suma kątów w trójkącie to 180 stopni, więc środkowy:

β=180-40×2=180-80=100$$

Kąt $α$ jest wpisany na tym samym łuku, więc:

$$α=β/2={100}/2=50$$

C) Tutaj kąt wbrew pozorom nie jest oparty na tym samym łuku, tylko na jego dopełnieniu. Liczymy, z kąta pełnego brakujący środkowy:

$$β=360-140=220$$

Pozostaje obliczyć kąt:

$$α=β/2={220}/2=110$$

 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Miejscami zerowymi funkcji f są liczby -4, 0, 7.

Miejsca zerowe są to takie argumenty funkcji, dla których przyjmuje ona wartość 0. Pierwsze współrzędne (iksowe) punktów należących do funkcji f(x) i f(-x) są liczbami przeciwnymi, a że miejsca zerowe opisuje się właśnie przez współrzędną iksową (bo ta druga dla miejsc zerowych zawsze wynosi 0), to miejscami zerowymi funkcji f(-x) będą liczby przeciwne do miejsc zerowych funkcji f(x).

`x_1=-(-4)=ul(4)`

`x_2=-0=ul(0)`

`x_3=ul(-7)`

Wyznacz wartość najmniejszą i największą...

`a) \ f(x) = 3/4 x - 2` 

Podstawiając x z naszego przedziału do wzoru naszej funkcji będziemy obliczać iloczyn tego argumentu i ułamka 3/4 a następnie odejmować od tego iloczynu liczbę 2. Im większą liczbę podstawimy pod x tym większa będzie wartość a więc najmniejsza wartość będzie dla najmniejszego argumentu z tego przedziału a największa wartość dla największego argumentu z tego przedziału:

`y_(min)=f(4) = 3/4 * 4 - 2 = 3-2 = 1` 

`y_(max) = f(8) = 3/4 * 8 - 2 = 3*2-2=6-2=4` 

 

`b) \ f(x) = -5/2 x + 4` 

Podstawiając x z naszego przedziału do wzoru naszej funkcji będziemy obliczać iloczyn tego argumentu i ułamka 5/2 a następnie brać liczbę przeciwną do obliczonego iloczynu i dodawać liczbę 4. Im większą liczbę podstawimy pod x tym mniejsza będzie wartość a więc najmniejsza wartość będzie dla największego argumentu z tego przedziału a największa wartość dla najmniejszego argumentu z tego przedziału:

`y_(min) = f(4) = -5/2 * 4 + 4 = -5*2+4=-10+4=-6` 

`y_(max) = f(2) = -5/2 * 2 + 4 = -5 + 4 = -1` 

 

`c) \ f(x) = x^2 - 1/2 ` 

Podstawiając x z naszego przedziału do wzoru naszej funkcji będziemy brać kwadrat tego argumentu a następnie odejmować ułamek 1/2. Biorąc dowolną liczbę do kwadratu zawsze otrzymamy liczbę nieujemną. Żeby wybrać liczbę największą musimy popatrzeć, która liczba (nie zwracając uwagi na jej znak, gdyż podnosząc ją do kwadratu i tak dostaniemy liczbę nieujemną) jest największa.

`y_(max) = f(-2) = (-2)^2 -1/2 = 4 -1/2 = 7/2` 

`y_(min) = f(-1) = (-1)^2 -1/2 = 1-1/2 = 1/2` 

 

`d) \ f(x) = x^2 -1/2` 

Tak jak w przykładzie c) wybierzmy argument, który jest największy nie zwracając uwagi na znak. W naszym przypadku mamy tylko argumenty dodatnie.

`y_(max) = f(2) = 2^2 -1/2 = 4 -1/2 = 7/2` 

`y_(min) = f(1) = 1^2 - 1/2 = 1-1/2 = 1/2` 

 

`e) \ f(x) = 2x^3 -1` 

W przeciwieństwie do przykładu c) i d) w tym przykładzie podnosimy x do trzeciej potęgi a więc musimy zwracać uwagę na znak. Największa wartość będzie dla największego argumentu a najmniejsza wartość będzie dla najmniejszego argumentu.

`y_(max) = f(2) = 2*(2)^3 -1 = 2*8 -1 = 16-1 = 15` 

`y_(min) = f(-2) = 2*(-2)^3 - 1 = 2*(-8) - 1 = -16-1=-17` 

 

`f) \ f(x) = 1/9 x^3 -1` 

Im większą liczbę podstawimy pod x tym większą będziemy mieć wartość funkcji. Wtedy największa wartość będzie dla największego argumentu a najmniejsza wartość będzie dla najmniejszego argumentu.

`y_(max) = f(4) = 1/9 * (4)^3 -1 = 1/9 * 64 -1 = 64/9 - 1 = 55/9` 

`y_(min) = f(3) = 1/9 * (3)^3 -1 = 1/9 * 27 -1 = 27/9 -1 = 3-1 = 2` 

Narysuj trójkąt prostokątny...

Rysunek poglądowy, wielkości w rzeczywistości mogą się różnić:

`sin alpha = 2/5 = a/c` 

`a/c = 2/5` 

Załóżmy, że a = 2 c = 5

Sprawdźmy czy suma długości przyprostokątnych jest większa od długości przeciwprostokątnej:

`a+ 4 > c` 

`2 + 4 > 5` 

`6 > 5` 

Zgadza się

Naszkicuj w jednym układzie współrzędnych wykresy funkcji ...

`a)` 

`f(x)=2x^2` 

`g(x)=-x^2+3` 

`"Szukamy punktów wspólnych."` 

`f(x)=g(x)` 

`2x^2=-x^2+3` 

`3x^2-3=0` 

`x^2=1` 

`x=1\ \ \vee\ \ \x=-1` 

`f(1)=g(1)=2` 

`f(-1)=g(-1)=2` 

 

`"Punkty wspólne to:"` 

`(1,2)\ "i"\ (-1,2)` 

 

`b)` 

`f(x)=-2x^2` 

`g(x)=2(x-1)^2-2` 

 

`"Szukamy punktów wspólnych. (czyli dal jakiego x spełniona jest poniższa równość)"` 

`f(x)=g(x)` 

`-2x^2=2(x-1)^2-2=2(x^2-2x+1)-2=2x^2-4x+2-2` 

`-2x^2=2x^2-4x` 

`4x^2-4x=0` 

`x^2-x=0` 

`x(x-1)=0` 

`x=0\ \ \vee \ \ \x=1` 

 

`f(0)=g(0)=0` 

`f(1)=g(1)=-2` 

 

`"Punkty wspólne to:"` 

`(0,0)\ "i"\ (1,-2)`    

Lądy na ziemi zajmują obszar

Powierzchnie zostały wyrażone w jednakowych jednostkach, więc od razu możemy obliczyć, jakim procentem powierzchni lądów na Ziemi jest powierzchnia Europy:

`(10,4)/(149,1)=104/1491=0,069751...=6,9751...%~~6,98%`

 

Ile liczb całkowitych spełnia nierówność?

`a)`

`9-1/4x^2>=0\ \ \ |*(-4)`

`-36+x^2<=0`

`x^2-36<=0`

`(x-6)(x+6)<=0`

 

`x in <-6,\ 6>\ \ \ wedge\ \ \ x in C`

`x in {-6,\ -5,\ -4,\ ...,\ 4,\ 5,\ 6}\ \ \ -\ \ \ 13\ liczb`

 

 

 

`b)`

`1/3x^2>x\ \ \ |-x`

`1/3x^2-x>0\ \ \ |*3`

`x^2-3x>0`

`x(x-3)>0`

  

`x in (-infty, \ 0)\ \ uu\ \ (3,\ +infty)\ \ wedge\ \ x in C`

Jest nieskończenie wiele takich liczb całkowitych

 

 

 

`c)`

`2x^2-10<=x\ \ \ |-x`

`2x^2-x-10<=0`

 

`Delta=(-1)^2-4*2*(-10)=1+80=81`

`sqrtDelta=sqrt81=9`

`x_1=(1-9)/(2*2)=(-8)/4=-2`

`x_2=(1+9)/(2*2)=10/4=2 1/2`

`x in<-2,\ 2 1/2>\ \ wedge\ \ x in C`

`x in {-2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2}\ \ \ -\ \ \ 5\ liczb`

 

 

 

`d)`

`2-x>x^2\ \ \ |-x^2`

`-x^2-x+2>0\ \ \ |*(-1)`

`x^2+x-2<0`

 

`Delta=1^2-4*1*(-2)=1+8=9`

`sqrtDelta=sqrt9=3`

`x_1=(-1-3)/2=(-4)/2=-2`

`x_2=(-1+3)/2=2/2=1`

 

`x in (-2,\ 1)\ \ wedge\ \ x in C`

`x in {-1,\ 0}\ \ -\ \ 2 \ liczby`

Dany jest prostokąt o bokach długości 1 i x

Duży prostokąt ma krótszy bok długości 1 i dłuższy bok długości x.

Mały prostokąt ma krótszy bok długości x-1 i dłuższy bok długości 1.

Jeśli prostokąty są podobne, to możemy zapisać proporcję:

`1/(x-1)=x/1`

`1/(x-1)=x\ \ \ |*(x-1)`

`1=x(x-1)`

`1=x^2-x\ \ \ |-1`

`x^2-x-1=0`

 

`Delta=(-1)^2-4*1*(-1)=1+4=5`

`sqrtDelta=sqrt5`

`x_1=(1-sqrt5)/2<0`

`x_2=(1+sqrt5)/2`

Pierwsze rozwiązanie jest ujemne, dlatego odrzucamy je, drugie rozwiązanie jest poprawne - otrzymaliśmy złotą liczbę.

 

Liczbę 6 przedstaw w postaci...

Oznaczmy nasze liczby przez x, y. Bez straty ogólności możemy założyć, że:

`x >= y` 

Wiemy, że

`6 = x+y`

a więc

`y = 6 - x`  

 

Funkcja opisująca sumę kwadratów liczb ma postać:

`S(x) = x^2 + (6-x)^2 = x^2 + 36 - 12x + x^2 = 2x^2 - 12x + 36 = 2(x^2 - 6x+18)` 

Parabola ma ramiona skierowane ku górze a więc wartość najmniejsza jest w wierzchołku. Obliczmy odciętą wierzchołka paraboli:

`x_w = p = (-b)/(2a) = (-(-6))/(2)= 6/2 = 3` 

 

`x = 3`  

`y = 6-3 = 3`

Uprość wyrażenie

`a)\ root(3)(a)*root(3)(b^2)*root(3)(a^2)*root(3)(b^4)=root(3)(a*b^2*a^2*b^4)=root(3)(a^3*b^6)=root(3)(a^3)*root(3)(b^6)=a*root(3)((b^2)^3)=a*b^2=ab^2`

`b)\ root(4)(a/b)*root(4)b/root(4)c:root(4)(a/c)=root(4)(a/b)*root(4)(b/c)*root(4)(c/a)=root(4)(a/b*b/c*c/a)=root(4)(1)=1`

Wyznacz wartości...

Zakładamy, że:

`alpha < beta`

a) rysunek:

`sin alpha = cos beta = 9/15 `

`cos alpha = sin beta = 12/15`

`tg alpha = ctg beta = 9/12`

`ctg alpha = tg beta = 12/9`

 

 

b) rysunek:

`sin alpha = cos beta = 2/sqrt13`

`cos alpha = sin beta = 3/sqrt13`

`tg alpha = ctg beta = 2/3`

`ctg alpha = tg beta = 3/2`

 

 

c) rysunek: 

`sin alpha = cos beta = 1/sqrt10`

`cos alpha = sin beta = 3/sqrt10`

`tg alpha = ctg beta = 1/3`

`ctg alpha = tg beta = 3`