Kąty na okręgu - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Kąt środkowy i kąt wpisany są oparte na tym samym łuku. Suma ich miar jest równa 180°. Jaka jest miara kąta środkowego?

  Pamiętamy, że kąt środkowy jest dwa razy większy od wpisanego.

$$x$$ - kąt wpisany to

$$2x$$ - kąt środkowy

Razem dają nam 180 stopni, więc

$$x+2x=180$$

$$3x=180$$ $$|:3$$

$$x=60$$

Zatem miary kątów to:

Wpisany: 60°

Środkowy: 120°

Zadanie 2.

Oblicz miary zaznaczonych kątów:

zad2

  a) Kąt wpisany na tym samym łuku, więc:

$$α={160}/2=80$$

b) Mamy podane jeden z kątów trójkąta równoramiennego (ramiona to promienie, więc drugi kąt też ma 40).

Suma kątów w trójkącie to 180 stopni, więc środkowy:

β=180-40×2=180-80=100$$

Kąt $α$ jest wpisany na tym samym łuku, więc:

$$α=β/2={100}/2=50$$

C) Tutaj kąt wbrew pozorom nie jest oparty na tym samym łuku, tylko na jego dopełnieniu. Liczymy, z kąta pełnego brakujący środkowy:

$$β=360-140=220$$

Pozostaje obliczyć kąt:

$$α=β/2={220}/2=110$$

 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Koszt wyprodukowania jednego pluszowego misia

x - cena za jednego misia

x-10 - zysk uzyskany ze sprzedaży jednego misia

1000-50(x-15) - ilość sprzedanych sztuk przy ustalonej cenie x (uzasadnienie znajduje się poniżej)

 

Wiemy, że przy cenie 15 zł sprzedaje się 1000 misiów. 

Jesli cena wyniesie 16 zł, to sprzedaż spadnie o 50 sztuk

Jeśli cena wyniesie 17 zł, to sprzedaż spadnie o 2∙50=100 sztuk

Jeśli cena wyniesie x zł, to sprzedaż spadnie o (x-15)∙50 sztuk i będzie wynosić wtedy 1000-50(x-15)

 

`a)` 

Aby obliczyć roczny zysk wystarczy pomnożyć zysk uzyskany ze sprzedaży jednego misia przez ilość sprzedanych sztuk: 

`f(x)=(x-10)*(1000-50(x-15))=` 

`\ \ \ \ \ \ \ =(x-10)*(1000-50x+750)=`  

`\ \ \ \ \ \ \ =(x-10)*(1750-50x)=`  

`\ \ \ \ \ \ \ =x(1750-50x)-10(1750-50x)=`   

`\ \ \ \ \ \ \ =1750x-50x^2-17500+500x=`  

`\ \ \ \ \ \ \ =-50x^2+2250x-17500`  

 

`b)` 

Współczynnik a w funkcji kwadratowej otrzymanej poprzednio jest ujemny, więc ramiona paraboli są skierowane w dół, czyli osiągana jest wartość maksymalna (w wierzchołku).

Roczny zysk będzie największy, jeśli cenę misia x ustalimy tak, że zachodzi:

`x=x_w=-2250/(2*(-50))=`    `2250/100=22,50` 

Obliczamy, jaka będzie wielkość sprzedaży przy takiej cenie: 

`1000-50(x-15)=` `1000-50*(22,50-15)=` 

`=1000-50*7,50=1000-375=625` 

Obliczamy, jaki będzie zysk: 

`625*22,60=14\ 062,50` 

Znajdź wszystkie liczby całkowite ...

`a,b in CC` 

Szukamy takich liczb a i b, że:

`a^2-b^2=17` 

`(a-b)(a+b)=17` 

 

Stąd mamy następujące przypadki:

`"I."\ \ 1*17=17`  

`+{(a-b=1),(ul(a+b=17)):}` 

`\ \ \ \ \ 2a=18` 

`\ \ \ \ \ \ a=9` 

Obliczamy b:

`9-b=1` 

`b=8` 

Otrzymujemy:

`{(a=9),(b=8):}` 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )` 

`"II."\ \ -1*(-17)=17`   

`+{(a-b=-1),(ul(a+b=-17)):}` 

`\ \ \ \ \ 2a=-18` 

`\ \ \ \ \ \ a=-9` 

Obliczamy b:

`-9-b=-1` 

`b=-8` 

Otrzymujemy:

`{(a=-9),(b=-8):}` 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )` 

`"III."\ \ 17*1=17`   

`+{(a-b=17),(ul(a+b=1)):}` 

`\ \ \ \ \ 2a=18` 

`\ \ \ \ \ \ a=9` 

Obliczamy b:

`9-b=17` 

`b=-8` 

Otrzymujemy:

`{(a=9),(b=-8):}` 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )` 

`"IV."\ \ -17*(-1)=17`   

`+{(a-b=-17),(ul(a+b=-1)):}` 

`\ \ \ \ \ 2a=-18` 

`\ \ \ \ \ \ a=-9` 

Obliczamy b:

`-9-b=-17` 

`b=8` 

Otrzymujemy:

`{(a=-9),(b=8):}` 

Dane są zbiory

Zbiór A to zbiór liczb całkowitych, których kwadrat jest nie większy od 10. 

`A={k in C:\ k^2<=10}={-3,\ -2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2,\ 3}` 

 

Zbiór A to zbiór liczb naturalnych, których kwadrat jest nie większy od 10. 

`B={n in N:\ n^2<=10}={0,\ 1,\ 2,\ 3}` 

 

`A\\B={-3,\ -2,\ -1}` 

 

Prawidłowa jest odpowiedź B. 

Oblicz

`a)\ (-2)^5=-32`

`\ \ \ (-2)^(-5)=1/(-2)^5=-1/32`

`\ \ \ 2^-5=1/2^5=1/32`

 

`b)\ (1/3)^-2=3^2=9`

`\ \ \ (-1/3)^-2=(-3)^2=9`

`\ \ \ (-1/3)^-3=(-3)^-3=-27`

 

`c)\ (sqrt3)^4=3^2=9`

`\ \ \ (sqrt3)^-2=1/(sqrt3)^2=1/3`

`\ \ \ (sqrt3)^-6=1/(sqrt3)^6=1/3^3=1/27`

 

`d)\ (sqrt2)^6=2^3=8`

`\ \ \ (sqrt2)^7=(sqrt2)^6*sqrt2=2^3*sqrt2=8sqrt2`

`\ \ \ (sqrt2)^-8=1/(sqrt2)^8=1/2^4=1/16`

Rozwiąż równanie.

`a)` 

`x^2-2=|x|` 

`t=|x|` 

`t^2-2=t` 

`t^2-t-2=0` 

`Delta=1+8=9` 

`sqrtDelta=3` 

 

`t_1=(1-3)/2=-1` 

`t_2=(1+3)/2=2` 

 

`|x|=-1\ "Sprzeczność."` 

`|x|=2\ implies \ x=2\ \ \vv\ \ \x=-2` 

 

`ul ( x in {-2;2}` 

 

`b)` 

`3-1/8 x^2=|x-3|` 

`x-3=0\ implies x=3` 

`"Rozważmy dwa przypadki."` 

 

`"I".\ x in (-oo;3]` 

`3-1/8x^2=-x+3` 

`-1/8x^2+x=0` 

`-1/8(x-8)=0`  

`x=0` 

`x-8=0\ implies \x=8 notin (-oo;3]` 

 

`"II".\ x in (3;+oo)` 

`3-1/8x^2=x-3` 

`-1/8x^2-x+6=0` 

`Delta=1+24/8=4` 

`sqrtDelta=2` 

 

`x_1=(1-2)/(-1/4)=4` 

`x_2=(1+3)/(-1/4)=-16 notin (3;+oo)` 

 

`ul(x in {0;4}`   

  

`c)` 

`-x^2+4x-1=|2x-4|` 

`2x-4=0\ implies \ x=2` 

 

`"I".\ x in (-oo;2]` 

`-x^2+4x-1=-2x+4` 

`-x^2+6x-5=0` 

`Delta=36-20=16` 

`sqrtDelta=4` 

 

`x_1=(-6-4)/-2=5 notin (-oo;2]`  

`x_2=(-6+4)/-2=1` 

 

`"II". \ x in (2;+oo)` 

`-x^2+4x-1=2x-4` 

`-x^2+2x+3=0` 

`Delta=4+12=16` 

`sqrtDelta=4` 

 

`x_1=(-2-4)/-2=3` 

`x_2=(-2+4)/-2=-1 notin (2;+oo)` 

 

`"Z I i II otrzymujemy, że"\ ul(x in {1;3}.` 

Na rysunku przedstawiono wykres ...

`a)` 

`ZW_f=<-4,1>` 

`ZW_(-f)=<-1,4>` 

 

`b)` 

`ZW_f=<-3,2>` 

`ZW_(-f)=<-2,3>` 

 

`c)` 

`ZW_f=<-4,4>` 

`ZW_(-f)=<-4,4>` 

Oblicz

`a)\ 4^-3*(0,125)^-3=(4*0,125)^(-3)=(4*1/8)^-3=(1/2)^-3=2^3=8`

`b)\ (2,5)^-2*(0,2)^-2*(2/3)^-2=(2,5*0,2*2/3)^(-2)=(0,5*2/3)^-2=(1/strike2^1*strike2^1/3)^(-2)=(1/3)^-2=3^2=9`

`c)\ (2/3)^-4*(3/4)^-4=(strike2^1/strike3^1*strike3^1/strike4^2)^-4=(1/2)^-4=2^4=16`

`d)\ 2^-3*3^-3*(1/12)^-3=(2*3*1/12)^-3=(strike6^1*1/strike12^2)^-3=(1/2)^-3=2^3=8`

`e)\ 5^-7*4^-7*(0,05)^-7=(5*4*0,05)^-7=(20*0,05)^(-7)=1^-7=1^7=1`

`f)\ 2^0*5^0:(1/13)^0=1*1:1=1:1=1`

Która z liczb nie należy do zbioru rozwiązań

`-2x>=-7\ \ \ \ |:(-2)`

`x<=3,5`

 

Należy zaznaczyć odpowiedź D. 

Zbiór A jest zbiorem naturalnych potęg liczby 5 nie

Wypiszmy elementy obu opisanych zbiorów:

`A={1,5,25,125}`         (elementy mają być nie większe od 125, zatem ta potęga należy do bioru)

`B={0,5,10,15,20}`        (elementy mają być mniejsze od 25, dlatego ta wielokrotność nie należy do zbioru)

Wtedy:

`AuuB={0,1,5,10,15,20,25,125}`

 

Podpisz zbiory punktów

`a)`

 

 

`b)`