Kąty na okręgu - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Kąt środkowy i kąt wpisany są oparte na tym samym łuku. Suma ich miar jest równa 180°. Jaka jest miara kąta środkowego?

  Pamiętamy, że kąt środkowy jest dwa razy większy od wpisanego.

$$x$$ - kąt wpisany to

$$2x$$ - kąt środkowy

Razem dają nam 180 stopni, więc

$$x+2x=180$$

$$3x=180$$ $$|:3$$

$$x=60$$

Zatem miary kątów to:

Wpisany: 60°

Środkowy: 120°

Zadanie 2.

Oblicz miary zaznaczonych kątów:

zad2

  a) Kąt wpisany na tym samym łuku, więc:

$$α={160}/2=80$$

b) Mamy podane jeden z kątów trójkąta równoramiennego (ramiona to promienie, więc drugi kąt też ma 40).

Suma kątów w trójkącie to 180 stopni, więc środkowy:

β=180-40×2=180-80=100$$

Kąt $α$ jest wpisany na tym samym łuku, więc:

$$α=β/2={100}/2=50$$

C) Tutaj kąt wbrew pozorom nie jest oparty na tym samym łuku, tylko na jego dopełnieniu. Liczymy, z kąta pełnego brakujący środkowy:

$$β=360-140=220$$

Pozostaje obliczyć kąt:

$$α=β/2={220}/2=110$$

 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Napisz wzory i naszkicuj ...

`a)` 

`f(x)=x^2-4` 

`g(x)=|f(x)|=|x^2-4|` 

`h(x)=f(|x|)=|x|*|x|-4=x^2-4` 

Zauważmy, że:

`f(x)=h(x)` 

 

`b)` 

`f(x)=(x-4)^2`    

`g(x)=|f(x)|=|(x-4)^2|=(x-4)^2`  

`h(x)=f(|x|)=(|x|-4)^2` 

Zauważmy, że:

`f(x)=g(x)`  

 

`c)` 

`f(x)=|x|-3` 

`g(x)=|f(x)|=||x|-3|` 

`h(x)=f(|x|)=|x|-3` 

Zauważmy, że:

`f(x)=h(x)`  

Przeczytaj informację w ramce ...

`a)` 

`f(x)=sgn(x-3)={(1\ "dla"\ x-3>0),(0\ "dla"\ x-3=0),(-1\ "dla"\ x-3<0):}`  

`f(x)={(1\ "dla"\ x >3),(0\ "dla"\ x =3),(-1\ "dla"\ x <3):}`    

 

`b)` 

`f(x)=sgn(x+1)={(1\ "dla"\ x+1>0),(0\ "dla"\ x+1=0),(-1\ "dla"\ x+1<0):}`    

`f(x)={(1\ "dla"\ x > -1),(0\ "dla"\ x =-1),(-1\ "dla"\ x <-1):}` 

 

`c)` 

`f(x)=sgn|x|={(1\ "dla"\ |x|>0),(0\ "dla"\ |x|=0),(-1\ "dla"\ |x|<0):}`    

`f(x)={(1\ "dla"\ x > 0\ \ \vv\ \ \x<0),(0\ "dla"\ x=0),(-1\ "dla"\ x in emptyset):}`   

 

`d)` 

`f(x)=|sgnx|={(|1|\ "dla"\ x>0),(|0|\ "dla"\ x=0),(|-1|\ "dla"\ x<0):}`      

`f(x) ={(1\ "dla"\ x>0),(0\ "dla"\ x=0),(1\ "dla"\ x<0):}`      

` `

Wyznacz tangens kąta...

Wyznaczmy współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez punkty A i B:

`{(f(x_A) = y_A),(f(x_B)=y_B):}` 

`{(f(-4)=3),(f(3)=-2):}` 

`{(-4a+b=3),(3a+b=-2):}` 

`underline(underline(stackrel( \ )( - ) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

`-4a-3a = 3-(-2)` 

`-7a = 5` 

`a = -5/7` 

Tangens kąta, który prosta tworzy z osią x jest równy współczynnikowi kierunkowemu, a więc:

`tg \ alpha = -5/7`

Jeden z boków prostokąta o obwodzie równym 60 ma długość

Zapiszmy, jaką długość ma drugi bok prostokąta - wiemy, że jeden bok ma długość x, a obwód jest równy 60. 

`(60-2x):2=30-x`

 

Długości boków prostokąta muszą być liczbami dodatnimi, więc zapiszmy założenia: 

`x>0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ i\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 30-x>0\ \ \ \ |+x`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 30>x`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x<30`

 

`x in (0,\ 30)`

 

Długość przekątnej d obliczymy, korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

 

`(30-x)^2+x^2=d^2`

`900-60x+x^2+x^2=d^2`

`d^2=2x^2-60x+900`

`d=sqrt(2x^2-60x+900)`

 

 

`d(x)=sqrt(2x^2-60x+900),\ \ \ \ \ x in (0,\ 30)`

 

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji ...

`a)` 

`f(x)=x^2` 

`g(x)=x^2+3` 

  

`ZW_{g}=[3,+infty)`  

`b)` 

`f(x)=2x^2` 

`g(x)=2x^2-2` 

`ZW_{g}=[-2,+infty)` 

 

`c)` 

`f(x)=-1/2x^2` 

`g(x)=-1/2x^2+2` 

`ZW_{g}=(-infty,2]` 

Wyznacz x przy założeniu

`a)` 

`x^-2=121` 

`x^-2=11^2` 

`x^-2=(1/11)^-2` 

`x=1/11` 

 

 

`b)` 

`x^-2=25/16` 

`x^-2=(5/4)^2` 

`x^-2=(4/5)^-2` 

`x=4/5` 

 

 

`c)` 

`36x^-2=49\ \ \ |:36` 

`x^-2=49/36`  

`x^-2=(7/6)^2` 

`x^-2=(6/7)^-2` 

`x=6/7` 

 

 

`d)` 

`13x^-2=52\ \ \ |:13` 

`x^-2=4` 

`x^-2=2^2` 

`x^-2=(1/2)^-2` 

`x=1/2` 

 

 

`e)` 

`5x^-3=0,32\ \ \ |:5` 

`x^-3=0,064` 

`x^-3=0,4^3` 

`x^-3=(1/(0,4))^-3`  

`x^-3=(10/4)^-3` 

`x^-3=(5/2)^-3` 

`x=5/2` 

 

 

`f)` 

`x^-3=3,375` 

`x^-3=3 3/8` 

`x^-3=27/8` 

`x^-3=(3/2)^3` 

`x^-3=(2/3)^-3` 

`x=2/3` 

 

Wypisz wszystkie czteroelementowe podzbiory

`{a,\ b,\ c,\ d}`

`{a, \ b,\ c,\ e}`

`{a,\ b,\ d,\ e}`

`{a,\ c,\ d,\ e}`

`{b,\ c,\ d,\ e}`

Oblicz wartość wyrażenia

`a)` 

`(16,8:(-0,7))/(3 1/3-4 11/12*0,8)=` `(168:(-7))/(3 1/3-59/strike(12)^ 3*strike(0,8)^(0,2))=` `((140+28):(-7))/(10/3-(11,8)/3)=` 

`=(-20+(-4))/((-1,8)/3)=` `(-24)/(-0,6)=(-240)/(-6)=40` 

 

 

`b)` 

`5 1/2-3*[1 1/4-(-2 2/3)]:[(-0,5):0,25]=` 

`=5 1/2-3*[1 1/4+2 2/3]:[(-50):25]=`   

`=5 1/2-3*[1 3/12+2 8/12]:(-2)=` 

`=5 1/2-3*3 11/12:(-2)=` 

`=5 1/2-strike3^1*47/strike12^4*(-1/2)=` 

`=5 1/2+47/8=` `5 4/8+5 7/8=` 

`=10 11/8=11 3/8`           

Objętość prostopadłościanu o podstawie kwadratowej jest równa V

Oznaczmy długość krawędzi podstawy przez a. Podstawa jest kwadratem, więc jej pole wynosi: 

`P_p=a*a=a^2`

Wysokość jest 2 razy dłuższa od krawędzi podstawy, ma więc długość 2a. Zatem objętość wynosi: 

`V=a^2*2a=2a^3`

 

 

`a)`

`2a^3=6000\ \ \ |:2`

`a^3=3000`

`a=root(3)3000=root(3)(1000*3)=root(3)1000*root(3)3=10root(3)3\ cm`

`h=2a=2*10root(3)3\ cm=20root(3)3\ cm`

 

 

`b)`

`2a^3=48\ \ \ |:2`

`a^3=24`

`a=root(3)24=root(3)(8*3)=root(3)8*root(3)3=2root(3)3\ cm`

`h=2a=2*2root(3)3\ cm=4root(3)3\ cm`

 

 

 

`c)`

`2a^3=750\ \ \ |:2`

`a^3=325`

`a=root(3)(325)=root(3)(125*3)=root(3)125*root(3)3=5root(3)3\ cm`

`h=2a=2*5root(3)3\ cm=10root(3)3\ cm`

 

Zbiór A to zbiór naturalnych potęg liczby 3

Obliczenia:

`3^0=1`

`3^1=3`

`3^2=9`

`3^3=27`

`3^4=81`

`3^5= 243`

Elementy zbioru A:

`A={1,3,9,27,81,243,...}`