Graniastosłupy i ostrosłupy - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Graniastosłupy

Graniastosłupem nazywamy wielościan, w którym dwie ściany zwane podstawami są równoległymi wielokątami przystającymi, natomiast ściany boczne są równoległobokami.
Wysokość graniastosłupa to odcinek prostopadły do jego podstaw, którego końce zawierają się w płaszczyznach na których leżą te podstawy.

Typowe graniastosłupy:

Graniastosłupy mogą być:

Proste - wtedy ich wszystkie ściany boczne to prostokąty, a podstawa to dowolny wielokąt
Prawidłowe - wtedy to graniastosłupy proste, które mają w podstawie wielokąt foremny (wszystkie boki równej długości) np. trójkąt równoboczny, kwadrat itp.

Typowym graniastosłupem prostym jest prostopadłościan - graniastosłup o podstawie prostokąta.

d jest przekątną prostopadłościanu. Jak policzyć taką przekątną? Skorzystamy z tego, że w graniastosłupie prostym ściany są prostopadłe do podstaw, więc trójkąt zaznaczony na niebiesko jest prostokątny:

Zatem kłania nam się twierdzenie Pitagorasa i to dwukrotnie, ponieważ musimy go użyć do d, ale także do przekątnej podstawy, nazwijmy ją $e$. Wtedy:
$a^2+b^2=e^2$ dla trójkąta o bokach $a$, $b$, $e$ (który jest prostokątny bo podstawa to prostokąt)
$e^2+c^2=d^2$ (dla niebieskiego trójkąta)

Wystarczy teraz podstawić $e^2$ z pierwszego równania do drugiego, żeby dostać:
$a^2+b^2+c^2=d^2$

Typowym graniastosłupem prawidłowym jest sześcian, czyli graniastosłup o podstawie kwadratu, którego wysokość jest równa krawędzi podstawy.

Przekątną sześcianu liczymy identycznie jak w prostopadłościanie.

Przejdźmy teraz do Pola i Objętości.

Pole całkowite prostopadłościanu

Pole obejmuje całą powierzchnię, jaką da się zobaczyć zakładając, że możemy obracać graniastosłupem jak chcemy. To tak jakbyśmy wzięli kostkę do gry: obracając ją widzimy w sumie 6 ścianek. Tak samo pudełko, mające dno, wieczko i 4 boki - ponownie 6 ścian.

Musimy policzyć powierzchnię każdej z 6 części i sumować.
Ogólny wzór na pole powierzchni graniastosłupa:

$P_c=2P_p+P_b$

Gdzie $P_p$ to pole podstawy a $P_b$ powierzchni bocznej.

Przykład:

Oblicz pole prostopadłościanu o wymiarach podstawy $a=7$ , $b=5$ i wysokości $c=10$.

Narysujmy to sobie:

Mamy wzór:

$P_c=2P_p+P_b$

Podstawą jest prostokąt o wymiarach $7x5$, więc $P_p=7×5=35$

$P_c=2×35+P_b=70+P_b$

Obliczyliśmy już dwie ściany, bo pomnożyliśmy podstawę razy dwa.

Zostały nam 4 ściany czyli $P_b$

4 ściany tworzą prostokąty, wysokość zostaje taka sama, ale podstawa się zmienia - są to prostokąty o wymiarach:

$7×10$,

$5×10$,

$7×10$,

$5×10$

No to sumujemy te pola!

$P_b=2×7×10+2×5×10=140+100=240$

Pozostaje obliczyć pole całkowite:

$P_c=2P_p+P_b=70+240=310$

Objętność prostopadłościanu

wzór ogólny na objętość prostopadłościanu to:

$V=P_p×H$

Przykład:

Oblicz objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego, o podstawie równej $a=3$ oraz wysokości graniastosłupa równej $h=5$.

Rysunek:

Bierzemy wzór na objętość:

$V=P_p×H$

Wysokość już mamy, jedyną trudność stanowi znalezienia $P_p$

$P_p={a^2 √3}/4$ - wzór na pole trójkąta równobocznego, który jest w podstawie

Podstawiamy:

$P_p={3^2 √3}/4={9√3}/4$ Pozostaje policzyć objętość $V={9√3}/4×5={45√3}/4$

Ostrosłup

Ostrosłupem nazywamy taki wielościan, którego jedna ściana jest dowolnym wielokątem (podstawa), a pozostałe ściany (ściany boczne) są trójkątami o wspólnym wierzchołku.

Ostrosłupy również mogą być:

proste - wtedy każda krawędź boczna jest równej długości,
prawidłowe - wtedy podstawą jest wielokąt foremny, a jego spodek wysokości pokrywa się ze środkiem okręgu opisanego na jego podstawie. Tak jak wcześniej, wszystkie ostrosłupy prawidłowe są proste (ale nie odwrotnie).

Wysokością ostrosłupa nazywamy najkrótszy odcinek, łączący wierzchołek z płaszczyzną podstawy. Na czerwono został oznaczony kąt nachylenia krawędzi ściany do podstawy.

Pole całkowite ostrosłupa

Wzór na pole całkowite dowolnego ostrosłupa:

$P_c=P_p+P_b$

$P_p$ - pole podstawy

$P_b$ - pole boczne (czyli pole wszystkich trójkątnych ścian)

Przykład:

Oblicz pole ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy $a=6$ i krawędzi bocznej $l=5$.

Zacznijmy od rysunku:

Pole podstawy to pole kwadratu o boku 6cm, zatem:

$P_p=6×6=36$

Jednakże do powierzchni bocznej potrzeba nam wysokości trójkąta (ściany bocznej).

Ściana boczna w każdym ostrosłupie jest trójkątem równoramiennym.

Zatem wysokość podzieli podstawę na pół ($a/2=3$):

Więc możemy użyć twierdzenia Pitagorasa:

$(a/2)^2+h^2=c^2$

$3^2+h^2=5^2$

$9+h^2=25$

$h^2=16$

$h=4$

$h$ jest naszą wysokością

Pole powierzchni bocznej $P_b$ to 4 pola tego samego trójkąta ($P_t$).

$P_t=1/2×a×h=1/2×6×4=12$

Liczymy powierzchnie boczną

$P_b=4P_t=4×12=48$

No to pole całkowite:

$P_c=P_p+P_b$

$P_c=36+48=84$

Objętość ostrosłupa

Wzór na objętość ostrosłupa:

$V=1/3 P_p×H$

Pole podstawy będzie zazwyczaj łatwe do policzenia, gorzej z wysokością, będziemy stosować metody o których wspominałem przy kącie nachylenia (trzeba znaleźć trójkąt, którego jednym z boków jest wysokość ostrosłupa).

Przykład:

Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy a=2√2 oraz krawędzi ściany nachylonej do podstawy pod kątem $60°$.

Rysunek:

Teraz potrzebujemy połowy przekątnej kwadratu (podstawy):

Wzór na przekątną kwadratu o boku a to:

$a√2$

Zatem:

$a√2=2√2×√2=2×2=4$

Nasza przekątna ma długość 4, połowa to 2.

Możemy teraz skorzystać z własności trójkąta w celu policzenia wysokości:

Zatem nasza wysokość to:

$H=2√3$

A ostatecznie objętość:

$V=1/3 P_p×H=1/3 (2√2)^2×2√3=1/3×8×2√3={16√3}/3$

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego o krawędzie podstawy $a=2cm$, zaś kąt nachylenia krawędzi ściany bocznej do podstawy wynosi 60°.

Zobacz rozwiązanie

Rysunek:

Ostrosłup jest prawidłowy, więc sześciokąt w podstawie jest foremny:

Sześciokąt foremny składa się z 6 trójkątów równobocznych o wspólnym wierzchołku, co widać na rysunku (wystarczy poprowadzić 3 główne przekątne i sprawdzić, że wszystkie kąty to $60^o$):

Dlatego jasnoniebieski odcinek na rysunku poniżej ma taką samą długość co krawędź podstawy, czyli 2.

Wysokość możemy więc szybko policzyć szybko z własności trójkąta o kątach 90,60,30

Zatem nasza wysokość to:
$H=2√3$

Aby policzyć polę podstawy, jeszcze raz przeprowadźmy jej trzy główne przekątne:

Mamy 6 trójkątów równobocznych i znamy wzór na pole trójkąta równobocznego: $P_t={a^2 √3}/4$

Zatem: $P_p=6×P_t=6×{a^2 √3}/4=6×{2^2 √3}/4=6×{4√3)}/4$

$P_p=6×{4√3}/4=6√3$

Mamy pole podstawy i wysokość, więc możemy wreszcie policzyć objętość:

$V=1/3 P_p×H=1/3×6√3×2√3$

$V=1/3×12×3=12$

Zadanie 2.

Oblicz pole całkowite sześcianu o przekątnej $d=8$.

Zobacz rozwiązanie

Rysunek:

Do policzenia objętości potrzebujemy tylko boku a.

Mamy jedynie przekątną, przypomnijmy sobie jak powstała:

Zatem musimy użyć twierdzenia Pitagorasa. Wiemy, że wzór na przekątną kwadratu to:

$b=a√2$. Więc:

$a^2+b^2=c^2$

$a^2+(a√2)^2=8^2$

$a^2+2a^2=8^2$

$3a^2=64$ $|:3$

$a^2={64}/3$

$a=8/{√3}$

I usuwamy niewymierność:

$a={8√3}/3$

Pozostaje nam obliczyć pole.

W sześcianie pole składa się z 6 takich samych kwadratów, więc:

$P_c=6×a^2$

$P_c=6×{ {8√3}/3}^2$

$P_c=6×{ 64×3}/9=128$

Spis treści

Rozwiązane zadania

a) Korzystając z tabeli na stronie...

a) Korzystając z tabeli na stronie 230 wiemy, że: {premium}

b) Korzystając z kalkulatora:

Na podstawie danych z poniższej ...

Kraj	Razem	W wieku
		0-4	5-19	20-39	40-64	65 i więcej
		W % ogółu ludności
Polska	38,2 [mln]	5,24	16,15	31,28	33,74	13,59
Chiny	1360 [mln]	6,03	20,96	31,76	31,84	9,41
Malta	0,42 [mln]	16,67	28,57	33,33	16,67	0,42

* Aby obliczyć, jaki procent ogółu ludności stanowi każda grupa wiekowa, należy liczbę ludności w poszczególnych grupach wiekowych podzielić przez liczbę ludności danego kraju i pomnożyć przez 100%.

Np. Polska 0-4

{premium}

Litera X oznacza w liczbie...

Liczba jest podzielna przez jeśli jest jednocześnie podzielna przez i przez

Dana liczba jest parzysta (niezależnie od tego, jakie , więc wystarczy ustalić,

dla jakiej wartości jest podzielna przez {premium}

Obliczamy sumę cyfr tej liczby:

Liczba jest podzielna przez więc liczba będzie podzielna przez gdy

Odp.

Naszkicuj wykres funkcji f. Odczytaj z wykresu ...

Szkicujemy wykres funkcji .

{premium}

Funkcja jest:

- malejąca w przedziale: ;

- stała w przedziale: ;

- rosnąca w przedziale: .

Szkicujemy wykres funkcji .

Funkcja jest:

- rosnąca w przedziałach: ;

- stała w przedziale: .

Diagram obok przedstawia ...

{premium}

Sprawdź, czy równość jest prawdziwa ...

Sprawdzamy, czy równość jest prawdziwa.

Równość nie zachodzi. {premium}

Sprawdzamy, czy równość jest prawdziwa.

Równość zachodzi.

Sprawdzamy, czy równość jest prawdziwa.

Równość nie zachodzi.

Sprawdzamy, czy równość jest prawdziwa.

Równość zachodzi.

Przyjrzyj się przedstawionemu obok...

Dany jest układ równań:

Przykładowe pary liczb spełniające ten układ to: {premium}

W pokoju siedzi 12 sportowców ...

Z treści zadania wiemy, że wszystkich sportowców jest 12.

Co drugi gra w siatkówkę, czyli w siatkówkę gra 6 osób. {premium}

Co trzeci rzuca oszczepem, czyli oszczepem rzucają 4 osoby.

Co czwarty uprawia szermierkę, czyli szermierkę uprawiają 3 osoby.

Dodatkowo wiemy, że żaden z szermierzy nie rzuca oszczepem.

Zauważmy, że łącznie otrzymujemy:

Wszystkich osób jest 12, zatem co najmniej jedna osoba gra w siatkówkę i rzuca oszczepem lub gra w siatkówkę i uprawia szermierkę.

Zbiór A jest zbiorem liczb naturalnych

{premium}

Sprawdź, czy podane przyporządkowanie...

a) Jeżeli pewna liczba całkowita c ma k dzielników to funkcja wygląda nastepująco:

{premium}

Każdemu punktowi przyporządkowana jest jedna liczba a więc jest to funkcja.

b) Załóżmy, że pewien uczeń u_k uczy się języka angielskiego i języka niemieckiego, wtedy:

Wtedy przyporządkowujemy jednemu argumentowi dwie wartości a więc nie jest to funkcja.

c) Możliwe reszty z dzielenia pewnej liczby naturalnej n przez 7 należą do zbioru:

A więc każda liczba naturalna dostanie jedną liczbę z tego zbioru. Przyporządkowanie jest funkcją.

d) Niech n oznacza liczbę naturalną, wtedy przyporządkowanie wygląda następująco:

A więc jest to funkcja gdyż przyporządkowujemy każdej liczbie jedną liczbę równą jej sześcianowi.