Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Graniastosłupy i ostrosłupy - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Graniastosłupy

Graniastosłupem nazywamy wielościan, w którym dwie ściany zwane podstawami są równoległymi wielokątami przystającymi, natomiast ściany boczne są równoległobokami.
Wysokość graniastosłupa to odcinek prostopadły do jego podstaw, którego końce zawierają się w płaszczyznach na których leżą te podstawy.

Typowe graniastosłupy:

img01

Graniastosłupy mogą być:
 
  • Proste - wtedy ich wszystkie ściany boczne to prostokąty, a podstawa to dowolny wielokąt
  • Prawidłowe - wtedy to graniastosłupy proste, które mają w podstawie wielokąt foremny (wszystkie boki równej długości) np. trójkąt równoboczny, kwadrat itp.

Typowym graniastosłupem prostym jest prostopadłościan - graniastosłup o podstawie prostokąta.

img02

d jest przekątną prostopadłościanu. Jak policzyć taką przekątną? Skorzystamy z tego, że w graniastosłupie prostym ściany są prostopadłe do podstaw, więc trójkąt zaznaczony na niebiesko jest prostokątny:

img03

Zatem kłania nam się twierdzenie Pitagorasa i to dwukrotnie, ponieważ musimy go użyć do d, ale także do przekątnej podstawy, nazwijmy ją $$e$$. Wtedy:
$$a^2+b^2=e^2$$ dla trójkąta o bokach $$a$$, $$b$$, $$e$$ (który jest prostokątny bo podstawa to prostokąt)
$$e^2+c^2=d^2$$ (dla niebieskiego trójkąta)

Wystarczy teraz podstawić $$e^2$$ z pierwszego równania do drugiego, żeby dostać:
$$a^2+b^2+c^2=d^2$$

Typowym graniastosłupem prawidłowym jest sześcian, czyli graniastosłup o podstawie kwadratu, którego wysokość jest równa krawędzi podstawy.

img04

Przekątną sześcianu liczymy identycznie jak w prostopadłościanie.

Przejdźmy teraz do Pola i Objętości.
 

Pole całkowite prostopadłościanu

Pole obejmuje całą powierzchnię, jaką da się zobaczyć zakładając, że możemy obracać graniastosłupem jak chcemy. To tak jakbyśmy wzięli kostkę do gry: obracając ją widzimy w sumie 6 ścianek. Tak samo pudełko, mające dno, wieczko i 4 boki - ponownie 6 ścian.

Musimy policzyć powierzchnię każdej z 6 części i sumować.
Ogólny wzór na pole powierzchni graniastosłupa:

$$P_c=2P_p+P_b$$

Gdzie $$P_p$$ to pole podstawy a $$P_b$$ powierzchni bocznej.

Przykład:

Oblicz pole prostopadłościanu o wymiarach podstawy $$a=7$$ , $$b=5$$ i wysokości $$c=10$$.

Narysujmy to sobie:

img05

Mamy wzór:

$$P_c=2P_p+P_b$$

Podstawą jest prostokąt o wymiarach $$7x5$$, więc $$P_p=7×5=35$$

$$P_c=2×35+P_b=70+P_b$$

Obliczyliśmy już dwie ściany, bo pomnożyliśmy podstawę razy dwa.

Zostały nam 4 ściany czyli $$P_b$$

4 ściany tworzą prostokąty, wysokość zostaje taka sama, ale podstawa się zmienia - są to prostokąty o wymiarach:

$$7×10$$,

$$5×10$$,

$$7×10$$,

$$5×10$$

No to sumujemy te pola!

$$P_b=2×7×10+2×5×10=140+100=240$$

Pozostaje obliczyć pole całkowite:

$$P_c=2P_p+P_b=70+240=310$$
 

Objętność prostopadłościanu

wzór ogólny na objętość prostopadłościanu to:

$$V=P_p×H$$

Przykład:

Oblicz objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego, o podstawie równej $$a=3$$ oraz wysokości graniastosłupa równej $$h=5$$.

Rysunek:

img06

Bierzemy wzór na objętość:

$$V=P_p×H$$

Wysokość już mamy, jedyną trudność stanowi znalezienia $$P_p$$

$$P_p={a^2 √3}/4$$ - wzór na pole trójkąta równobocznego, który jest w podstawie

Podstawiamy:

$$P_p={3^2 √3}/4={9√3}/4$$ Pozostaje policzyć objętość $$V={9√3}/4×5={45√3}/4$$
 

Ostrosłup

Ostrosłupem nazywamy taki wielościan, którego jedna ściana jest dowolnym wielokątem (podstawa), a pozostałe ściany (ściany boczne) są trójkątami o wspólnym wierzchołku.

img07
 

Ostrosłupy również mogą być:

  • proste - wtedy każda krawędź boczna jest równej długości,
  • prawidłowe - wtedy podstawą jest wielokąt foremny, a jego spodek wysokości pokrywa się ze środkiem okręgu opisanego na jego podstawie. Tak jak wcześniej, wszystkie ostrosłupy prawidłowe są proste (ale nie odwrotnie).

Wysokością ostrosłupa nazywamy najkrótszy odcinek, łączący wierzchołek z płaszczyzną podstawy. Na czerwono został oznaczony kąt nachylenia krawędzi ściany do podstawy.

img08
 

Pole całkowite ostrosłupa

Wzór na pole całkowite dowolnego ostrosłupa:

$$P_c=P_p+P_b$$

$$P_p$$ - pole podstawy

$$P_b$$ - pole boczne (czyli pole wszystkich trójkątnych ścian)

Przykład:

Oblicz pole ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy $$a=6$$ i krawędzi bocznej $$l=5$$.

Zacznijmy od rysunku:

img09

Pole podstawy to pole kwadratu o boku 6cm, zatem:

$$P_p=6×6=36$$

Jednakże do powierzchni bocznej potrzeba nam wysokości trójkąta (ściany bocznej).

Ściana boczna w każdym ostrosłupie jest trójkątem równoramiennym.

img11
Zatem wysokość podzieli podstawę na pół ($$a/2=3$$):

img12
Więc możemy użyć twierdzenia Pitagorasa:

$$(a/2)^2+h^2=c^2$$

$$3^2+h^2=5^2$$

$$9+h^2=25$$

$$h^2=16$$

$$h=4$$

$$h$$ jest naszą wysokością

Pole powierzchni bocznej $$P_b$$ to 4 pola tego samego trójkąta ($$P_t$$).

$$P_t=1/2×a×h=1/2×6×4=12$$

Liczymy powierzchnie boczną

$$P_b=4P_t=4×12=48$$

No to pole całkowite:

$$P_c=P_p+P_b$$

$$P_c=36+48=84$$
 

Objętość ostrosłupa

Wzór na objętość ostrosłupa:

$$V=1/3 P_p×H$$

Pole podstawy będzie zazwyczaj łatwe do policzenia, gorzej z wysokością, będziemy stosować metody o których wspominałem przy kącie nachylenia (trzeba znaleźć trójkąt, którego jednym z boków jest wysokość ostrosłupa).

Przykład:

Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy a=2√2 oraz krawędzi ściany nachylonej do podstawy pod kątem $$60°$$.

Rysunek:

img13
Teraz potrzebujemy połowy przekątnej kwadratu (podstawy):

Wzór na przekątną kwadratu o boku a to:

$$a√2$$

Zatem:

$$a√2=2√2×√2=2×2=4$$

Nasza przekątna ma długość 4, połowa to 2.

img14
Możemy teraz skorzystać z własności trójkąta w celu policzenia wysokości:

img15

Zatem nasza wysokość to:

$$H=2√3$$

A ostatecznie objętość:

$$V=1/3 P_p×H=1/3 (2√2)^2×2√3=1/3×8×2√3={16√3}/3$$
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego o krawędzie podstawy $$a=2cm$$, zaś kąt nachylenia krawędzi ściany bocznej do podstawy wynosi 60°.

Rysunek:

rys1

Ostrosłup jest prawidłowy, więc sześciokąt w podstawie jest foremny:
rys3
Sześciokąt foremny składa się z 6 trójkątów równobocznych o wspólnym wierzchołku, co widać na rysunku (wystarczy poprowadzić 3 główne przekątne i sprawdzić, że wszystkie kąty to $$60^o$$):
rys4
Dlatego jasnoniebieski odcinek na rysunku poniżej ma taką samą długość co krawędź podstawy, czyli 2.
rys1
Wysokość możemy więc szybko policzyć szybko z własności trójkąta o kątach 90,60,30

rys2
Zatem nasza wysokość to:
$$H=2√3$$

Aby policzyć polę podstawy, jeszcze raz przeprowadźmy jej trzy główne przekątne:

rys4

Mamy 6 trójkątów równobocznych i znamy wzór na pole trójkąta równobocznego: $$P_t={a^2 √3}/4$$

Zatem: $$P_p=6×P_t=6×{a^2 √3}/4=6×{2^2 √3}/4=6×{4√3)}/4$$

$$P_p=6×{4√3}/4=6√3$$

Mamy pole podstawy i wysokość, więc możemy wreszcie policzyć objętość:

$$V=1/3 P_p×H=1/3×6√3×2√3$$

$$V=1/3×12×3=12$$
 

Zadanie 2.

Oblicz pole całkowite sześcianu o przekątnej $$d=8$$.

Rysunek:

rys5
Do policzenia objętości potrzebujemy tylko boku a.

Mamy jedynie przekątną, przypomnijmy sobie jak powstała:

rys6
Zatem musimy użyć twierdzenia Pitagorasa. Wiemy, że wzór na przekątną kwadratu to:

$$b=a√2$$. Więc:

$$a^2+b^2=c^2$$

$$a^2+(a√2)^2=8^2$$

$$a^2+2a^2=8^2$$

$$3a^2=64$$ $$|:3$$

$$a^2={64}/3$$

$$a=8/{√3}$$

I usuwamy niewymierność:

$$a={8√3}/3$$

Pozostaje nam obliczyć pole.

W sześcianie pole składa się z 6 takich samych kwadratów, więc:

$$P_c=6×a^2$$

$$P_c=6×{ {8√3}/3}^2$$

$$P_c=6×{ 64×3}/9=128$$
 

 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Wyznacz z dokładnością do...

`sin alpha = 30/34 approx 0,8824` 

Sprawdźmy najbliższą wartość w tablicach wartości funkcji trygonometrycznych.

`alpha approx 62^o` 

`180 - alpha = 118^o` 

Oblicz

`a)\ 1 5/12-9/8-2 5/6=1 5/12-1 1/8-2 5/6=1 10/24-1 3/24-2 20/24=7/24-2 20/24=-2 13/24`

`b)\ 6 3/4-2 2/3-3 1/6=6 9/12-2 8/12-3 2/12=4 1/12-3 2/12=3 13/12-3 2/12=11/12`

`c)\ 2 2/9-3 5/6+5 1/3=2 4/18-3 15/18+5 6/18=2 4/18+5 6/18-3 15/18=7 10/18-3 15/18=6 28/18-3 15/18=3 13/18`

`d)\ 2 2/9+1 5/12-7/8=2 16/72+1 30/72-63/72=3 46/72-63/72=2 118/72-63/72=2 55/72`

Ile rozwiązań ma równanie...

`(|m+1|-2)x+m-4=0` 

Jest to równanie liniowe, więc popatrzmy na nie jak na funkcję liniową. Równanie to może:

`"a)"` mieć jedno rozwiązanie, gdy współczynnik kierunkowy jest różny od zera

`"b)"` być sprzeczne, gdy współczynnik kierunkowy jest zerem, a wyraz wolny jest różny od zera   

`"c)"` mieć nieskończenie wiele rozwiązań, gdy współczynnik kierunkowy i wyraz wolny są równe zero 

 

Rozważamy przypadek `"a):"`  

Chcemy, aby współczynnik kierunkowy był różny od zera, czyli:

`|m+1|-2!=0` 

`|m+1|!=2` 

`m+1!=2\ ^^\ m+1!=-2` 

`m!=1\ \ \ \ \ \ ^^\ m!=-3` 

Równanie ma jedno rozwiązanie, gdy `m!=1\ ^^\ m!=-3.` 

 

Rozważamy przypadek `"b)":` 

Chcemy, by współczynnik kierunkowy był równy `0,`a wyraz wolny był różny od `0,`czyli:

`|m+1|-2=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ^^\ m-4!=0`        

`|m+1|=2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ^^\ m!=4`          

`(m+1=2 \vee\ m+1=-2)\ ^^\ m!=4`  

`(m=1 \vee m=-3)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ^^\ m!=4`     

Równanie jest sprzeczne, gdy `m=1\ \vee\ m=-3.` 

 

Rozważamy przypadek `"c):"` 

Chcemy, by współczynnik kierunkowy był równy `0` wyraz wolny był równy `0,`czyli:

`|m+1|-2=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ^^\ m-4=0`        

`|m+1|=2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ^^\ m=4`          

`(m+1=2 \vee\ m+1=-2)\ ^^\ m=4`  

`(m=1 \vee m=-3)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ^^\ m=4`     

To równanie nie może mieć nieskończenie wielu rozwiązań.

 

Odp. Równanie nie ma rozwiązania, gdy `m=1\ \vee\ m=-3.` 

Równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie, gdy `m!=1\ ^^\ m!=-3.`  

 

      

Dla funkcji o danym wzorze...

Jeżeli liczba należy do zbioru wartości to musi istnieć argument należący do dziedziny, któremu jest ona przyporządkowana.

 

`a) \ f(x) = -5` 

`x-3 = -5` 

`x = -2` 

`-2 notin D` 

 

`f(x)=-1` 

`x-3=-1` 

`x = 2` 

`2 in D` 

 

`f(x)=3` 

`x - 3 = 3` 

`x = 6` 

`6 in D` 

 

`f(x) = 5` 

`x - 3 = 5`

`x= 8`  

`8 in D`

Do zbioru wartości należą liczby:

`-1, 3, 5 in Z_w` 

 

 

`b) \ g(x) = 4` 

`2x = 4` 

`x = 2` 

`2 in D` 

 

`g(x) = 1` 

`2x = 1` 

`x = 1/2` 

`1/2 notin D` 

 

`g(x) = 3` 

`2x = 3` 

`x = 3/2` 

`3/2 notin D` 

 

`g(x) = 8` 

`2x = 8` 

`x = 4` 

`4 in D`

 

`4, 8 in Z_w`  

 

 

`c) \ h(x) = 1/3` 

`1/x = 1/3` 

`x=3` 

`3 in D` 

 

`h(x) = -1/2` 

`1/x = -1/2` 

`x = -2` 

`-2 in D` 

 

`h(x) = 2` 

`1/x = 2` 

`x = 1/2` 

`1/2 notin D` 

 

`h(x) = -1` 

`1/x = -1` 

`x = -1` 

`-1 in D` 

 

`-1 , -1/2 , 1/3 in Z_w`  

 

 

`d) \ m(x) = (x+1)^2 - (x-1)^2 = (x+1+(x-1))(x+1-(x-1)) = (2x)(2) = 4x` 

`m(x) = -10` 

`4x = -10` 

`x = -5/2` 

`-5/2 notin D` 

 

`m(x) = -4` 

`4x = -4` 

`x = -1` 

`-1 in D` 

 

`m(x) = 0` 

`4x = 0` 

`x = 0` 

`0 in D` 

 

`m(x) = 4` 

`4x = 4` 

`x = 1` 

`1 in D` 

 

`m(x) = 8` 

`4x = 8` 

`x = 2` 

`2 notin D` 

 

`m(x) = 10` 

`4x = 10` 

`x = 5/2` 

`5/2 notin D` 

 

`-4 , 0, 4 in Z_w` 

Liczba |1,4-√2|-|√2-1,4| jest równa

`sqrt2~~1,41`

 

`stackrel"(-)"|1,4-sqrt2|-|sqrt2-1,4|=-(1,4-sqrt2)-(sqrt2-1,4)=-1,4+sqrt2-sqrt2+1,4=0`

 

Jeśli a=5^40 i b=7^30, to: A. a-b

Odpowiedź D.

Pozostałe równości nie zachodzą. Nie możliwe jest mnożenie(odpowiedź D), odejmowanie (odpowiedź B)czy dodawanie liczb podniesionych do  jakiejś potęgi, gdyż w kolejności wykonywania działań najpierw wykonujemy potęgowanie, a później pozostałe działania. Nie dodajemy też potęg dwóch różnych liczb(jak zrobiono to w odpowiedzi C).

Oblicz...

`(tg \ 23^o * tg \ 67^o - 2)/(sin^2 17^o + sin^2 73) = (1/(tg(90^o-23^o)) * tg \ 67^o - 2)/(sin^2 17^o + sin^2 (90^o - 17^o))= (1/(tg \ 67^o) * tg \ 67^o - 2)/(sin^2 17^o + cos^2 17)= (1-2)/1=-1` 

Narysuj przykładowe wykresy dwóch funkcji...

Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji y=f(x)

a)

b)

 

Jaka jest największa możliwa wartość ...

`x-y=4` 

`x=y+4` 

 

`x*y=(y+4)*y=y^2+4y` 

 

`"Ramiona paraboli zwróconę są w górę, zatem wartość najmniejsza wynosi"\ f(y_w).` 

`y_w=-b/(2a)=-4/2=-2` 

`f(-2)=4-8=ul(-4`