Graniastosłupy i ostrosłupy - matura-podstawowa - Baza Wiedzy
Graniastosłupy
Graniastosłupem nazywamy wielościan, w którym dwie ściany zwane podstawami są równoległymi wielokątami przystającymi, natomiast ściany boczne są równoległobokami.
Wysokość graniastosłupa to odcinek prostopadły do jego podstaw, którego końce zawierają się w płaszczyznach na których leżą te podstawy.
Graniastosłupy mogą być:
- Proste - wtedy ich wszystkie ściany boczne to prostokąty, a podstawa to dowolny wielokąt
- Prawidłowe - wtedy to graniastosłupy proste, które mają w podstawie wielokąt foremny (wszystkie boki równej długości) np. trójkąt równoboczny, kwadrat itp.
Typowym graniastosłupem prostym jest prostopadłościan - graniastosłup o podstawie prostokąta.
d jest przekątną prostopadłościanu. Jak policzyć taką przekątną? Skorzystamy z tego, że w graniastosłupie prostym ściany są prostopadłe do podstaw, więc trójkąt zaznaczony na niebiesko jest prostokątny:
Zatem kłania nam się twierdzenie Pitagorasa i to dwukrotnie, ponieważ musimy go użyć do d, ale także do przekątnej podstawy, nazwijmy ją $$e$$. Wtedy:
$$a^2+b^2=e^2$$ dla trójkąta o bokach $$a$$, $$b$$, $$e$$ (który jest prostokątny bo podstawa to prostokąt)
$$e^2+c^2=d^2$$ (dla niebieskiego trójkąta)
Wystarczy teraz podstawić $$e^2$$ z pierwszego równania do drugiego, żeby dostać:
$$a^2+b^2+c^2=d^2$$
Typowym graniastosłupem prawidłowym jest sześcian, czyli graniastosłup o podstawie kwadratu, którego wysokość jest równa krawędzi podstawy.
Przekątną sześcianu liczymy identycznie jak w prostopadłościanie.
Przejdźmy teraz do Pola i Objętości.
Pole całkowite prostopadłościanu
Pole obejmuje całą powierzchnię, jaką da się zobaczyć zakładając, że możemy obracać graniastosłupem jak chcemy. To tak jakbyśmy wzięli kostkę do gry: obracając ją widzimy w sumie 6 ścianek. Tak samo pudełko, mające dno, wieczko i 4 boki - ponownie 6 ścian.
Musimy policzyć powierzchnię każdej z 6 części i sumować.
Ogólny wzór na pole powierzchni graniastosłupa:
$$P_c=2P_p+P_b$$
Gdzie $$P_p$$ to pole podstawy a $$P_b$$ powierzchni bocznej.
Przykład:
Oblicz pole prostopadłościanu o wymiarach podstawy $$a=7$$ , $$b=5$$ i wysokości $$c=10$$.
Narysujmy to sobie:
Mamy wzór:
$$P_c=2P_p+P_b$$
Podstawą jest prostokąt o wymiarach $$7x5$$, więc $$P_p=7×5=35$$
$$P_c=2×35+P_b=70+P_b$$
Obliczyliśmy już dwie ściany, bo pomnożyliśmy podstawę razy dwa.
Zostały nam 4 ściany czyli $$P_b$$
4 ściany tworzą prostokąty, wysokość zostaje taka sama, ale podstawa się zmienia - są to prostokąty o wymiarach:
$$7×10$$,
$$5×10$$,
$$7×10$$,
$$5×10$$
No to sumujemy te pola!
$$P_b=2×7×10+2×5×10=140+100=240$$
Pozostaje obliczyć pole całkowite:
$$P_c=2P_p+P_b=70+240=310$$
Musimy policzyć powierzchnię każdej z 6 części i sumować.
Ogólny wzór na pole powierzchni graniastosłupa:
$$P_c=2P_p+P_b$$
Gdzie $$P_p$$ to pole podstawy a $$P_b$$ powierzchni bocznej.
Przykład:
Oblicz pole prostopadłościanu o wymiarach podstawy $$a=7$$ , $$b=5$$ i wysokości $$c=10$$.
Narysujmy to sobie:
Mamy wzór:
$$P_c=2P_p+P_b$$
Podstawą jest prostokąt o wymiarach $$7x5$$, więc $$P_p=7×5=35$$
$$P_c=2×35+P_b=70+P_b$$
Obliczyliśmy już dwie ściany, bo pomnożyliśmy podstawę razy dwa.
Zostały nam 4 ściany czyli $$P_b$$
4 ściany tworzą prostokąty, wysokość zostaje taka sama, ale podstawa się zmienia - są to prostokąty o wymiarach:
$$7×10$$,
$$5×10$$,
$$7×10$$,
$$5×10$$
No to sumujemy te pola!
$$P_b=2×7×10+2×5×10=140+100=240$$
Pozostaje obliczyć pole całkowite:
$$P_c=2P_p+P_b=70+240=310$$
Objętność prostopadłościanu
wzór ogólny na objętość prostopadłościanu to:
$$V=P_p×H$$
Przykład:
Oblicz objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego, o podstawie równej $$a=3$$ oraz wysokości graniastosłupa równej $$h=5$$.
Rysunek:
Bierzemy wzór na objętość:
$$V=P_p×H$$
Wysokość już mamy, jedyną trudność stanowi znalezienia $$P_p$$
$$P_p={a^2 √3}/4$$ - wzór na pole trójkąta równobocznego, który jest w podstawie
Podstawiamy:
$$P_p={3^2 √3}/4={9√3}/4$$ Pozostaje policzyć objętość $$V={9√3}/4×5={45√3}/4$$
$$V=P_p×H$$
Przykład:
Oblicz objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego, o podstawie równej $$a=3$$ oraz wysokości graniastosłupa równej $$h=5$$.
Rysunek:
Bierzemy wzór na objętość:
$$V=P_p×H$$
Wysokość już mamy, jedyną trudność stanowi znalezienia $$P_p$$
$$P_p={a^2 √3}/4$$ - wzór na pole trójkąta równobocznego, który jest w podstawie
Podstawiamy:
$$P_p={3^2 √3}/4={9√3}/4$$ Pozostaje policzyć objętość $$V={9√3}/4×5={45√3}/4$$
Ostrosłup
Ostrosłupem nazywamy taki wielościan, którego jedna ściana jest dowolnym wielokątem (podstawa), a pozostałe ściany (ściany boczne) są trójkątami o wspólnym wierzchołku.
Ostrosłupy również mogą być:
- proste - wtedy każda krawędź boczna jest równej długości,
- prawidłowe - wtedy podstawą jest wielokąt foremny, a jego spodek wysokości pokrywa się ze środkiem okręgu opisanego na jego podstawie. Tak jak wcześniej, wszystkie ostrosłupy prawidłowe są proste (ale nie odwrotnie).
Wysokością ostrosłupa nazywamy najkrótszy odcinek, łączący wierzchołek z płaszczyzną podstawy. Na czerwono został oznaczony kąt nachylenia krawędzi ściany do podstawy.
Pole całkowite ostrosłupa
Wzór na pole całkowite dowolnego ostrosłupa:
$$P_c=P_p+P_b$$$$P_p$$ - pole podstawy
$$P_b$$ - pole boczne (czyli pole wszystkich trójkątnych ścian)
Przykład:
Oblicz pole ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy $$a=6$$ i krawędzi bocznej $$l=5$$.
Zacznijmy od rysunku:
Pole podstawy to pole kwadratu o boku 6cm, zatem:
$$P_p=6×6=36$$
Jednakże do powierzchni bocznej potrzeba nam wysokości trójkąta (ściany bocznej).
Ściana boczna w każdym ostrosłupie jest trójkątem równoramiennym.
Zatem wysokość podzieli podstawę na pół ($$a/2=3$$):
Więc możemy użyć twierdzenia Pitagorasa:
$$(a/2)^2+h^2=c^2$$
$$3^2+h^2=5^2$$
$$9+h^2=25$$
$$h^2=16$$
$$h=4$$
$$h$$ jest naszą wysokością
Pole powierzchni bocznej $$P_b$$ to 4 pola tego samego trójkąta ($$P_t$$).
$$P_t=1/2×a×h=1/2×6×4=12$$
Liczymy powierzchnie boczną
$$P_b=4P_t=4×12=48$$
No to pole całkowite:
$$P_c=P_p+P_b$$
$$P_c=36+48=84$$
Objętość ostrosłupa
Wzór na objętość ostrosłupa:
$$V=1/3 P_p×H$$Pole podstawy będzie zazwyczaj łatwe do policzenia, gorzej z wysokością, będziemy stosować metody o których wspominałem przy kącie nachylenia (trzeba znaleźć trójkąt, którego jednym z boków jest wysokość ostrosłupa).
Przykład:
Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy a=2√2 oraz krawędzi ściany nachylonej do podstawy pod kątem $$60°$$.
Rysunek:
Teraz potrzebujemy połowy przekątnej kwadratu (podstawy):
Wzór na przekątną kwadratu o boku a to:
$$a√2$$
Zatem:
$$a√2=2√2×√2=2×2=4$$
Nasza przekątna ma długość 4, połowa to 2.
Możemy teraz skorzystać z własności trójkąta w celu policzenia wysokości:
Zatem nasza wysokość to:
$$H=2√3$$
A ostatecznie objętość:
$$V=1/3 P_p×H=1/3 (2√2)^2×2√3=1/3×8×2√3={16√3}/3$$
Zadania powtórzeniowe
Zadanie 1.
Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego o krawędzie podstawy $$a=2cm$$, zaś kąt nachylenia krawędzi ściany bocznej do podstawy wynosi 60°.
Rysunek:
Ostrosłup jest prawidłowy, więc sześciokąt w podstawie jest foremny:
Sześciokąt foremny składa się z 6 trójkątów równobocznych o wspólnym wierzchołku, co widać na rysunku (wystarczy poprowadzić 3 główne przekątne i sprawdzić, że wszystkie kąty to $$60^o$$):
Dlatego jasnoniebieski odcinek na rysunku poniżej ma taką samą długość co krawędź podstawy, czyli 2.
Wysokość możemy więc szybko policzyć szybko z własności trójkąta o kątach 90,60,30
Zatem nasza wysokość to:
$$H=2√3$$
Aby policzyć polę podstawy, jeszcze raz przeprowadźmy jej trzy główne przekątne:
Mamy 6 trójkątów równobocznych i znamy wzór na pole trójkąta równobocznego: $$P_t={a^2 √3}/4$$
Zatem: $$P_p=6×P_t=6×{a^2 √3}/4=6×{2^2 √3}/4=6×{4√3)}/4$$
$$P_p=6×{4√3}/4=6√3$$
Mamy pole podstawy i wysokość, więc możemy wreszcie policzyć objętość:
$$V=1/3 P_p×H=1/3×6√3×2√3$$
$$V=1/3×12×3=12$$
Zadanie 2.
Oblicz pole całkowite sześcianu o przekątnej $$d=8$$.
Rysunek:
Do policzenia objętości potrzebujemy tylko boku a.
Mamy jedynie przekątną, przypomnijmy sobie jak powstała:
Zatem musimy użyć twierdzenia Pitagorasa. Wiemy, że wzór na przekątną kwadratu to:
$$b=a√2$$. Więc:
$$a^2+b^2=c^2$$
$$a^2+(a√2)^2=8^2$$
$$a^2+2a^2=8^2$$
$$3a^2=64$$ $$|:3$$
$$a^2={64}/3$$
$$a=8/{√3}$$
I usuwamy niewymierność:
$$a={8√3}/3$$
Pozostaje nam obliczyć pole.
W sześcianie pole składa się z 6 takich samych kwadratów, więc:
$$P_c=6×a^2$$
$$P_c=6×{ {8√3}/3}^2$$
$$P_c=6×{ 64×3}/9=128$$
Spis treści
Rozwiązane zadania
Wyznacz...
Pomocniczo wyciągnijmy liczbę przed pierwiastek:
Stalowy pręt w temperaturze...
Zamieńmy metry na milimetry.
a) Jeżeli temperatura wzrośnie o stopień to pręty wydłuży się o 0,2mm. Zatem funkcja opisująca tą zależność to:
b) Obliczmy wartość funkcji w punkcie 26.
c) Obliczmy dla jakiego x wartość funkcji wynosi 16016
Odpowiedź: Pręt wydłuży się o 1,6 cm jeżeli temperatura podniesie się o 80oC.
Długości boków dwóch trójkątów są liczbami
Szukamy takich długości boków dwóch trójkątów, aby spełniały one zależność :
Suma długości dwóch boków jest większa od długości trzeciego boku.
Tą zależność spełniają trójkąty:
- pierwszy trójkąt 1,1,1 drugi trójkąt 2,2,3
1+1+1+2+2+3=10
1+1>1
2+2>3
3+2>2
- pierwszy trójkąt 1,1,1 drugi trójkąt 1,3,3
1+1+1+1+3+3=10
1+1>1
1+3>3
3+3>1
- pierwszy trójkąt 1,2,2 drugi trójkąt 1,2,2
1+2+2+1+2+2=10
1+2>2
2+2>1
Rozwiąż równanie ...
Otrzymane rozwiązanie spełnia założenia, jest więc poprawne.
Otrzymane rozwiązanie spełnia założenia, jest więc poprawne.
Narysuj trzy trójkąty: ostrokątny, ...
Możemy zauważyć, że punkt przecięcia symetralnych w trójkącie ostrokątnym znajduje się wewnątrz trójkąta.
W trójkącie prostokątnym symetralne przecinają się w punkcie, który jest środkiem przeciwprostokątnej.
W trójkącie rozwartokątnym punkt przecięcia symetralnych leży poza trójkątem.
Możemy zauważyć, że punkt przecięcia symetralnych w każdym trójkącie leży wewnątrz tego trójkąta.
Możemy zauważyć, że punkt przecięcia prostych zawierających wysokości w trójkącie ostrokątnym znajduje się wewnątrz trójkąta.
W trójkącie prostokątnym proste zawierające wysokości przecinają się w wierzchołku przy kącie prostym.
W trójkącie rozwartokątnym punkt przecięcia prostych zawierających wysokości leży poza trójkątem.
Możemy zauważyć, że punkt przecięcia środkowych w każdym trójkącie leży wewnątrz tego trójkąta.
Ile miejsc zerowych ma funkcja ...
{premium}
Podaj przykład trójkąta prostokątnego
Twierdzenie Pitagorasa mówi, że w trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej. Musimy więc znaleźć takie długości przyprostokątnych x oraz y, że zachodzi równość:
Równość jest spełniona na przykład dla x=2 oraz y=1. Wtedy pole trójkąta jest równe:
Weźmy na przykład długości przyprostokątnych równe √2 oraz √8. Wtedy pole jest liczbą wymierną:
Sprawdźmy jeszcze, czy długość przeciwprostokatnej wyraża się wtedy liczbą niewymierną. Obliczmy długość przeciwprostokątnej korzystając z twierdzenia Pitagorasa.
Trójkąt prostokątny o bokach długości √2, √8 oraz √10 spełnia warunki zadania.
Podajemy drugi przykład. Weźmy długości przyprostokątnych równe √3 oraz √27. Wtedy pole jest liczbą wymierną:
Sprawdźmy jeszcze, czy długość przeciwprostokatnej wyraża się wtedy liczbą niewymierną. Obliczmy długość przeciwprostokątnej korzystając z twierdzenia Pitagorasa.
W układzie współrzędnych sporządź wykresy ...
Rozwiąż równanie
Rozwiąż nierówność
{premium}
``
``
© 2018 Odrabiamy.pl