Graniastosłupy i ostrosłupy - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Graniastosłupy

Graniastosłupem nazywamy wielościan, w którym dwie ściany zwane podstawami są równoległymi wielokątami przystającymi, natomiast ściany boczne są równoległobokami.
Wysokość graniastosłupa to odcinek prostopadły do jego podstaw, którego końce zawierają się w płaszczyznach na których leżą te podstawy.

Typowe graniastosłupy:

img01

Graniastosłupy mogą być:
 
  • Proste - wtedy ich wszystkie ściany boczne to prostokąty, a podstawa to dowolny wielokąt
  • Prawidłowe - wtedy to graniastosłupy proste, które mają w podstawie wielokąt foremny (wszystkie boki równej długości) np. trójkąt równoboczny, kwadrat itp.

Typowym graniastosłupem prostym jest prostopadłościan - graniastosłup o podstawie prostokąta.

img02

d jest przekątną prostopadłościanu. Jak policzyć taką przekątną? Skorzystamy z tego, że w graniastosłupie prostym ściany są prostopadłe do podstaw, więc trójkąt zaznaczony na niebiesko jest prostokątny:

img03

Zatem kłania nam się twierdzenie Pitagorasa i to dwukrotnie, ponieważ musimy go użyć do d, ale także do przekątnej podstawy, nazwijmy ją $$e$$. Wtedy:
$$a^2+b^2=e^2$$ dla trójkąta o bokach $$a$$, $$b$$, $$e$$ (który jest prostokątny bo podstawa to prostokąt)
$$e^2+c^2=d^2$$ (dla niebieskiego trójkąta)

Wystarczy teraz podstawić $$e^2$$ z pierwszego równania do drugiego, żeby dostać:
$$a^2+b^2+c^2=d^2$$

Typowym graniastosłupem prawidłowym jest sześcian, czyli graniastosłup o podstawie kwadratu, którego wysokość jest równa krawędzi podstawy.

img04

Przekątną sześcianu liczymy identycznie jak w prostopadłościanie.

Przejdźmy teraz do Pola i Objętości.
 

Pole całkowite prostopadłościanu

Pole obejmuje całą powierzchnię, jaką da się zobaczyć zakładając, że możemy obracać graniastosłupem jak chcemy. To tak jakbyśmy wzięli kostkę do gry: obracając ją widzimy w sumie 6 ścianek. Tak samo pudełko, mające dno, wieczko i 4 boki - ponownie 6 ścian.

Musimy policzyć powierzchnię każdej z 6 części i sumować.
Ogólny wzór na pole powierzchni graniastosłupa:

$$P_c=2P_p+P_b$$

Gdzie $$P_p$$ to pole podstawy a $$P_b$$ powierzchni bocznej.

Przykład:

Oblicz pole prostopadłościanu o wymiarach podstawy $$a=7$$ , $$b=5$$ i wysokości $$c=10$$.

Narysujmy to sobie:

img05

Mamy wzór:

$$P_c=2P_p+P_b$$

Podstawą jest prostokąt o wymiarach $$7x5$$, więc $$P_p=7×5=35$$

$$P_c=2×35+P_b=70+P_b$$

Obliczyliśmy już dwie ściany, bo pomnożyliśmy podstawę razy dwa.

Zostały nam 4 ściany czyli $$P_b$$

4 ściany tworzą prostokąty, wysokość zostaje taka sama, ale podstawa się zmienia - są to prostokąty o wymiarach:

$$7×10$$,

$$5×10$$,

$$7×10$$,

$$5×10$$

No to sumujemy te pola!

$$P_b=2×7×10+2×5×10=140+100=240$$

Pozostaje obliczyć pole całkowite:

$$P_c=2P_p+P_b=70+240=310$$
 

Objętność prostopadłościanu

wzór ogólny na objętość prostopadłościanu to:

$$V=P_p×H$$

Przykład:

Oblicz objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego, o podstawie równej $$a=3$$ oraz wysokości graniastosłupa równej $$h=5$$.

Rysunek:

img06

Bierzemy wzór na objętość:

$$V=P_p×H$$

Wysokość już mamy, jedyną trudność stanowi znalezienia $$P_p$$

$$P_p={a^2 √3}/4$$ - wzór na pole trójkąta równobocznego, który jest w podstawie

Podstawiamy:

$$P_p={3^2 √3}/4={9√3}/4$$ Pozostaje policzyć objętość $$V={9√3}/4×5={45√3}/4$$
 

Ostrosłup

Ostrosłupem nazywamy taki wielościan, którego jedna ściana jest dowolnym wielokątem (podstawa), a pozostałe ściany (ściany boczne) są trójkątami o wspólnym wierzchołku.

img07
 

Ostrosłupy również mogą być:

  • proste - wtedy każda krawędź boczna jest równej długości,
  • prawidłowe - wtedy podstawą jest wielokąt foremny, a jego spodek wysokości pokrywa się ze środkiem okręgu opisanego na jego podstawie. Tak jak wcześniej, wszystkie ostrosłupy prawidłowe są proste (ale nie odwrotnie).

Wysokością ostrosłupa nazywamy najkrótszy odcinek, łączący wierzchołek z płaszczyzną podstawy. Na czerwono został oznaczony kąt nachylenia krawędzi ściany do podstawy.

img08
 

Pole całkowite ostrosłupa

Wzór na pole całkowite dowolnego ostrosłupa:

$$P_c=P_p+P_b$$

$$P_p$$ - pole podstawy

$$P_b$$ - pole boczne (czyli pole wszystkich trójkątnych ścian)

Przykład:

Oblicz pole ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy $$a=6$$ i krawędzi bocznej $$l=5$$.

Zacznijmy od rysunku:

img09

Pole podstawy to pole kwadratu o boku 6cm, zatem:

$$P_p=6×6=36$$

Jednakże do powierzchni bocznej potrzeba nam wysokości trójkąta (ściany bocznej).

Ściana boczna w każdym ostrosłupie jest trójkątem równoramiennym.

img11
Zatem wysokość podzieli podstawę na pół ($$a/2=3$$):

img12
Więc możemy użyć twierdzenia Pitagorasa:

$$(a/2)^2+h^2=c^2$$

$$3^2+h^2=5^2$$

$$9+h^2=25$$

$$h^2=16$$

$$h=4$$

$$h$$ jest naszą wysokością

Pole powierzchni bocznej $$P_b$$ to 4 pola tego samego trójkąta ($$P_t$$).

$$P_t=1/2×a×h=1/2×6×4=12$$

Liczymy powierzchnie boczną

$$P_b=4P_t=4×12=48$$

No to pole całkowite:

$$P_c=P_p+P_b$$

$$P_c=36+48=84$$
 

Objętość ostrosłupa

Wzór na objętość ostrosłupa:

$$V=1/3 P_p×H$$

Pole podstawy będzie zazwyczaj łatwe do policzenia, gorzej z wysokością, będziemy stosować metody o których wspominałem przy kącie nachylenia (trzeba znaleźć trójkąt, którego jednym z boków jest wysokość ostrosłupa).

Przykład:

Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy a=2√2 oraz krawędzi ściany nachylonej do podstawy pod kątem $$60°$$.

Rysunek:

img13
Teraz potrzebujemy połowy przekątnej kwadratu (podstawy):

Wzór na przekątną kwadratu o boku a to:

$$a√2$$

Zatem:

$$a√2=2√2×√2=2×2=4$$

Nasza przekątna ma długość 4, połowa to 2.

img14
Możemy teraz skorzystać z własności trójkąta w celu policzenia wysokości:

img15

Zatem nasza wysokość to:

$$H=2√3$$

A ostatecznie objętość:

$$V=1/3 P_p×H=1/3 (2√2)^2×2√3=1/3×8×2√3={16√3}/3$$
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego o krawędzie podstawy $$a=2cm$$, zaś kąt nachylenia krawędzi ściany bocznej do podstawy wynosi 60°.

Rysunek:

rys1

Ostrosłup jest prawidłowy, więc sześciokąt w podstawie jest foremny:
rys3
Sześciokąt foremny składa się z 6 trójkątów równobocznych o wspólnym wierzchołku, co widać na rysunku (wystarczy poprowadzić 3 główne przekątne i sprawdzić, że wszystkie kąty to $$60^o$$):
rys4
Dlatego jasnoniebieski odcinek na rysunku poniżej ma taką samą długość co krawędź podstawy, czyli 2.
rys1
Wysokość możemy więc szybko policzyć szybko z własności trójkąta o kątach 90,60,30

rys2
Zatem nasza wysokość to:
$$H=2√3$$

Aby policzyć polę podstawy, jeszcze raz przeprowadźmy jej trzy główne przekątne:

rys4

Mamy 6 trójkątów równobocznych i znamy wzór na pole trójkąta równobocznego: $$P_t={a^2 √3}/4$$

Zatem: $$P_p=6×P_t=6×{a^2 √3}/4=6×{2^2 √3}/4=6×{4√3)}/4$$

$$P_p=6×{4√3}/4=6√3$$

Mamy pole podstawy i wysokość, więc możemy wreszcie policzyć objętość:

$$V=1/3 P_p×H=1/3×6√3×2√3$$

$$V=1/3×12×3=12$$
 

Zadanie 2.

Oblicz pole całkowite sześcianu o przekątnej $$d=8$$.

Rysunek:

rys5
Do policzenia objętości potrzebujemy tylko boku a.

Mamy jedynie przekątną, przypomnijmy sobie jak powstała:

rys6
Zatem musimy użyć twierdzenia Pitagorasa. Wiemy, że wzór na przekątną kwadratu to:

$$b=a√2$$. Więc:

$$a^2+b^2=c^2$$

$$a^2+(a√2)^2=8^2$$

$$a^2+2a^2=8^2$$

$$3a^2=64$$ $$|:3$$

$$a^2={64}/3$$

$$a=8/{√3}$$

I usuwamy niewymierność:

$$a={8√3}/3$$

Pozostaje nam obliczyć pole.

W sześcianie pole składa się z 6 takich samych kwadratów, więc:

$$P_c=6×a^2$$

$$P_c=6×{ {8√3}/3}^2$$

$$P_c=6×{ 64×3}/9=128$$
 

 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Rozwiąż nierówność

W każdym przykładzie najpierw uprościmy wyrażenie pod wartością bezwzględną, a dopiero potem rozwiążemy nierówność. 

 

 

Szukamy takich liczb x, których {premium}odległość od liczby -2 jest nie większa niż 4. 

Możemy więc "pójść" nie więcej niż 4 jednostki w lewo od liczby -2 (-2-4=-6) oraz nie więcej niż 4 jednostki w prawo od liczby -2 (-2+4=2). 

 

 

 

 

 

 

Szukamy takich liczb x, których odległość od liczby 3 jest nie mniejsza niż 2. 

Możemy więc "pójść" nie mniej niż 2 jednostki w lewo od liczby 3 (3-2=1) lub o nie mniej niż 2 jednostki w prawo od liczby 3 (3+2=5). 

 

 

 

 

 

Szukamy takich liczb x, których odległość od liczby -¼ jest większa niż 1. 

Możemy więc "pójść" o więcej niż 1 jednostkę w lewo od liczby -¼ (-¼-1=-1¼) lub o więcej niż 1 jednostkę w prawo od liczby -¼ (-¼+1=¾)

 

 

 

 

Szukamy takich liczb x, których odległość od liczby 6 jest mniejsza niż 3.
Możemy więc "pójść" o mniej niż 3 jednostki w lewo od liczby 6 (6-3=3) i o mniej niż 3 jednostki w prawo od liczby 6 (6+3=9).

 

 

 

 

 

Szukamy takich liczb x, których odległość od liczby -4 jest nie mniejsza niż 2. 

Możemy więc "pójść" o nie mniej niż 2 jednostki w lewo od liczby -4 (-4-2=-6) lub o nie mniej niż 2 jednostki w prawo od liczby -4 (-4+2=-2). 

 

 

 

 

 

Szukamy takich liczb x, których odległość od liczby -3/5 jest mniejsza niż 1/5
Możemy więc pójść o mniej niż 1/5 jednostki w lewo od liczby -3/5 (-3/5-1/5=-4/5) i o mniej niż 1/5 jednostki w prawo od liczby -3/5 (-3/5+1/5=-2/5). 

 

 

 

Wiemy, że wartość bezwzględna przyjmuje wyłącznie wartości nieujemne. Podana nierówność będzie prawdziwa tylko wtedy, gdy wartość bezwzględna przyjmie wartość zero, czyli gdy wyrażenie pod wartością bezwzględną wyzeruje się.

 

 

 

Wiemy, że wartość bezwzględna przyjmuje wyłącznie wartości nieujemne. Podana nierówność będzie prawdziwa tylko wtedy, gdy wartość bezwzględna będzie niezerowa. 

 

 

 

Wiemy, że wartość bezwzględna przyjmuje wyłącznie wartości nieujemne. Podana nierówność będzie więc prawdziwa zawsze. 

 

Wskaż współczynnik kierunkowy prostej...

Przekształcamy równanie prostej do postaci  

 

 

 

Współczynnik kierunkowy prostej jest równy  czyli  

Prawidłowa odpowiedź to         

Wypisz elementy podanych zbiorów

 

 

 

 

Szukamy elementów, które należą jednocześnie do zbiorów A, B, C:

 

Szukamy elementów, które należą do zbioru A lub do zbioru B i jednocześnie należą do zbioru C:

 

Szukamy elementów, które należą do zbioru A i nie należą do zbioru B, jednocześnie należąc do zbioru C;

 

Szukamy elementów, które należą jednocześnie do zbiorów A i B, ale nie należą do zbioru C:

 

Szukamy elementów, które należą do jednego ze zbiorów A lub B, ale nie należą do zbioru C:

 

Szukamy elementów, które należą do zbioru A i nie należą do zbioru B, a następnie dopisujemy do nich elementy zbioru C:

 

Szukamy elementów, które należą jednocześnie do zbiorów A i B, a anastępnie dopisujemy do nich elementy zbioru C:

 

Szukamy elementów, które należą do zbioru A i nie należą do zbioru B, a następnie z usykanego zbioru zabieramy elementy zbioru C:

Znajdź punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych

Punkt przecięcia paraboli z osią Y ma współrzędne (0, y)=(0, f(0))  - druga współrzędna to wartość funkcji dla argumentu 0

Punkt przecięcia paraboli z osią X ma współrzędne (x, 0) - są to miejsca zerowe paraboli

Oznaczenia:

Punkt przecięcia paraboli z osią Y nazywamy A

Punkty przecięcia paraboli z osią X nazywamy A, B. 

 

 

 

  

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 `-4*(-3)=12\ \ \ =>\ \ \ ul(ul(A=(0,\ 12)))` 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 `-3*5=-15\ \ \ =>\ \ \ ul(ul(A=(0,\ -15)))` 

 

 

 

 

 

  

Która z liczb x, y ma większą wartość bezwzględną

`|x|=|7|=7`

Większą wartość bezwzględną ma liczba x. 

 

 

`|x|=|-10|=10`

`|y|=|-12|=12`

Większą wartość bezwzględną ma liczba y. 

 

 

`|y|=|0|=0`

Większą wartość bezwzględną ma liczba x. 

Załóżmy, że U={1, 2, 3, 4...

Jeżeli  jest dowolnym zbiorem w przestrzeni  to dopełnieniem zbioru  

w przestrzeni ozn.  nazywamy zbiór tych elementów przestrzeni  które nie należą do zbioru  


 Będzie nam łatwiej, jeśli zapiszemy najpierw, jak wyglądają zbiory  i  w przestrzeni  

 

 

 

 

Wówczas mamy:

 

 

 

 

 

 {premium}


 Wyznaczmy zbiory  i  

 

 

Wówczas mamy:

 

 

 

 

 

 


 Zapiszmy najpierw, jak wyglądają zbiory  i  w przestrzeni  

 

 

 

 

Wówczas mamy:

 

 

 

 

 

 

Rozwiąż równanie

 

 

 

 

Drugie równanie jest sprzeczne - wartość bezwzględna nie może przyjmować wartości ujemnych. Rozwiązujemy pierwsze równanie.

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

Wyrażenie √7+π jest sumą dwóch liczb dodatnich, więc jest dodatnie. Wyrażenie √7-π jest równe około 2,65-3,14, a więc jest ujemne. Stąd drugie równanie jest sprzeczne - wartość bezwzględna nie może przyjmować wartości ujemnych. Rozwiązujemy pierwsze równanie.

 

 

 

 

    

 

 

 

 

   

     

     

 

 

  

 

 

 

 

    

   

     

Wyrażenie 3√2-2√3 jest równe około 3∙1,41-2∙1,73=4,23-3,46, a więc jest dodatnie. Wyrażenie 3√2+2√3 jest sumą dwóch liczb dodatnich, a więc także jest dodatnie. Nie odrzucamy więc żadnego równania. 

   

 

 

 

                     

              

 

 

  

 

 

 

 

 

 

  

  

         

  

  

              

     

 

 

  

 

 

 

 

 

 

Pierwsze równanie jest sprzeczne - wartość bezwzględna nie może przyjmować wartości ujemnych. Rozwiązujemy drugie równanie.

 

   

 

O funkcji f wiadomo, że jest...

Aby otrzymać wykres funkcji   należy przekształcić wykres funkcji  przez symetrię

względem osi  

Wobec tego funkcja  jest malejąca w przedziale  i rosnąca w przedziale      

Pewna restauracja po pierwszym

Oznaczmy początkową wysokość cen w tej restauracji jako x. Po obniżce o 20% te ceny wynosiły:

 

 

Po podwyżce o 25% te ceny wynosiły:

 

 

Po podwyżce o 10% te ceny wynosiły:

 

 

Obliczamy, o ile wzrosły ceny w tej restauracji po trzech latach, czyli jakim procentem początkowej ceny jest różnica cen:

 

 

Która z podanych liczb jest najmniejsza?

Jeśli liczbę -1 podniesiemy do potęgi nieparzystej, to otrzymamy -1. 

 

Jeśli liczbę -1 podniesiemy do potęgi parzystej, to otrzymamy 1. 

 

Jedynka podniesiona do każdej potęgi daje 1. 

 

 

 

Należy zaznaczyć odpowiedź A.