Graniastosłupy i ostrosłupy - matura-podstawowa - Baza Wiedzy
Graniastosłupy
Graniastosłupem nazywamy wielościan, w którym dwie ściany zwane podstawami są równoległymi wielokątami przystającymi, natomiast ściany boczne są równoległobokami.
Wysokość graniastosłupa to odcinek prostopadły do jego podstaw, którego końce zawierają się w płaszczyznach na których leżą te podstawy.
Graniastosłupy mogą być:
- Proste - wtedy ich wszystkie ściany boczne to prostokąty, a podstawa to dowolny wielokąt
- Prawidłowe - wtedy to graniastosłupy proste, które mają w podstawie wielokąt foremny (wszystkie boki równej długości) np. trójkąt równoboczny, kwadrat itp.
Typowym graniastosłupem prostym jest prostopadłościan - graniastosłup o podstawie prostokąta.
d jest przekątną prostopadłościanu. Jak policzyć taką przekątną? Skorzystamy z tego, że w graniastosłupie prostym ściany są prostopadłe do podstaw, więc trójkąt zaznaczony na niebiesko jest prostokątny:
Zatem kłania nam się twierdzenie Pitagorasa i to dwukrotnie, ponieważ musimy go użyć do d, ale także do przekątnej podstawy, nazwijmy ją $e$. Wtedy:
$a^2+b^2=e^2$ dla trójkąta o bokach $a$, $b$, $e$ (który jest prostokątny bo podstawa to prostokąt)
$e^2+c^2=d^2$ (dla niebieskiego trójkąta)
Wystarczy teraz podstawić $e^2$ z pierwszego równania do drugiego, żeby dostać:
$a^2+b^2+c^2=d^2$
Typowym graniastosłupem prawidłowym jest sześcian, czyli graniastosłup o podstawie kwadratu, którego wysokość jest równa krawędzi podstawy.
Przekątną sześcianu liczymy identycznie jak w prostopadłościanie.
Przejdźmy teraz do Pola i Objętości.
Pole całkowite prostopadłościanu
Musimy policzyć powierzchnię każdej z 6 części i sumować.
Ogólny wzór na pole powierzchni graniastosłupa:
$P_c=2P_p+P_b$
Gdzie $P_p$ to pole podstawy a $P_b$ powierzchni bocznej.
Przykład:
Oblicz pole prostopadłościanu o wymiarach podstawy $a=7$ , $b=5$ i wysokości $c=10$.
Narysujmy to sobie:
Mamy wzór:
$P_c=2P_p+P_b$
Podstawą jest prostokąt o wymiarach $7x5$, więc $P_p=7×5=35$
$P_c=2×35+P_b=70+P_b$
Obliczyliśmy już dwie ściany, bo pomnożyliśmy podstawę razy dwa.
Zostały nam 4 ściany czyli $P_b$
4 ściany tworzą prostokąty, wysokość zostaje taka sama, ale podstawa się zmienia - są to prostokąty o wymiarach:
$7×10$,
$5×10$,
$7×10$,
$5×10$
No to sumujemy te pola!
$P_b=2×7×10+2×5×10=140+100=240$
Pozostaje obliczyć pole całkowite:
$P_c=2P_p+P_b=70+240=310$
Objętność prostopadłościanu
$V=P_p×H$
Przykład:
Oblicz objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego, o podstawie równej $a=3$ oraz wysokości graniastosłupa równej $h=5$.
Rysunek:
Bierzemy wzór na objętość:
$V=P_p×H$
Wysokość już mamy, jedyną trudność stanowi znalezienia $P_p$
$P_p={a^2 √3}/4$ - wzór na pole trójkąta równobocznego, który jest w podstawie
Podstawiamy:
$P_p={3^2 √3}/4={9√3}/4$ Pozostaje policzyć objętość $V={9√3}/4×5={45√3}/4$
Ostrosłup
Ostrosłupem nazywamy taki wielościan, którego jedna ściana jest dowolnym wielokątem (podstawa), a pozostałe ściany (ściany boczne) są trójkątami o wspólnym wierzchołku.
Ostrosłupy również mogą być:
- proste - wtedy każda krawędź boczna jest równej długości,
- prawidłowe - wtedy podstawą jest wielokąt foremny, a jego spodek wysokości pokrywa się ze środkiem okręgu opisanego na jego podstawie. Tak jak wcześniej, wszystkie ostrosłupy prawidłowe są proste (ale nie odwrotnie).
Wysokością ostrosłupa nazywamy najkrótszy odcinek, łączący wierzchołek z płaszczyzną podstawy. Na czerwono został oznaczony kąt nachylenia krawędzi ściany do podstawy.
Pole całkowite ostrosłupa
Wzór na pole całkowite dowolnego ostrosłupa:
$P_c=P_p+P_b$$P_p$ - pole podstawy
$P_b$ - pole boczne (czyli pole wszystkich trójkątnych ścian)
Przykład:
Oblicz pole ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy $a=6$ i krawędzi bocznej $l=5$.
Zacznijmy od rysunku:
Pole podstawy to pole kwadratu o boku 6cm, zatem:
$P_p=6×6=36$
Jednakże do powierzchni bocznej potrzeba nam wysokości trójkąta (ściany bocznej).
Ściana boczna w każdym ostrosłupie jest trójkątem równoramiennym.
Zatem wysokość podzieli podstawę na pół ($a/2=3$):
Więc możemy użyć twierdzenia Pitagorasa:
$(a/2)^2+h^2=c^2$
$3^2+h^2=5^2$
$9+h^2=25$
$h^2=16$
$h=4$
$h$ jest naszą wysokością
Pole powierzchni bocznej $P_b$ to 4 pola tego samego trójkąta ($P_t$).
$P_t=1/2×a×h=1/2×6×4=12$
Liczymy powierzchnie boczną
$P_b=4P_t=4×12=48$
No to pole całkowite:
$P_c=P_p+P_b$
$P_c=36+48=84$
Objętość ostrosłupa
Wzór na objętość ostrosłupa:
$V=1/3 P_p×H$Pole podstawy będzie zazwyczaj łatwe do policzenia, gorzej z wysokością, będziemy stosować metody o których wspominałem przy kącie nachylenia (trzeba znaleźć trójkąt, którego jednym z boków jest wysokość ostrosłupa).
Przykład:
Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy a=2√2 oraz krawędzi ściany nachylonej do podstawy pod kątem $60°$.
Rysunek:
Teraz potrzebujemy połowy przekątnej kwadratu (podstawy):
Wzór na przekątną kwadratu o boku a to:
$a√2$
Zatem:
$a√2=2√2×√2=2×2=4$
Nasza przekątna ma długość 4, połowa to 2.
Możemy teraz skorzystać z własności trójkąta w celu policzenia wysokości:
Zatem nasza wysokość to:
$H=2√3$
A ostatecznie objętość:
$V=1/3 P_p×H=1/3 (2√2)^2×2√3=1/3×8×2√3={16√3}/3$
Zadania powtórzeniowe
Zadanie 1.
Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego o krawędzie podstawy $a=2cm$, zaś kąt nachylenia krawędzi ściany bocznej do podstawy wynosi 60°.
Rysunek:
Ostrosłup jest prawidłowy, więc sześciokąt w podstawie jest foremny:
Sześciokąt foremny składa się z 6 trójkątów równobocznych o wspólnym wierzchołku, co widać na rysunku (wystarczy poprowadzić 3 główne przekątne i sprawdzić, że wszystkie kąty to $60^o$):
Dlatego jasnoniebieski odcinek na rysunku poniżej ma taką samą długość co krawędź podstawy, czyli 2.
Wysokość możemy więc szybko policzyć szybko z własności trójkąta o kątach 90,60,30
Zatem nasza wysokość to:
$H=2√3$
Aby policzyć polę podstawy, jeszcze raz przeprowadźmy jej trzy główne przekątne:
Mamy 6 trójkątów równobocznych i znamy wzór na pole trójkąta równobocznego: $P_t={a^2 √3}/4$
Zatem: $P_p=6×P_t=6×{a^2 √3}/4=6×{2^2 √3}/4=6×{4√3)}/4$
$P_p=6×{4√3}/4=6√3$
Mamy pole podstawy i wysokość, więc możemy wreszcie policzyć objętość:
$V=1/3 P_p×H=1/3×6√3×2√3$
$V=1/3×12×3=12$
Zadanie 2.
Oblicz pole całkowite sześcianu o przekątnej $d=8$.
Rysunek:
Do policzenia objętości potrzebujemy tylko boku a.
Mamy jedynie przekątną, przypomnijmy sobie jak powstała:
Zatem musimy użyć twierdzenia Pitagorasa. Wiemy, że wzór na przekątną kwadratu to:
$b=a√2$. Więc:
$a^2+b^2=c^2$
$a^2+(a√2)^2=8^2$
$a^2+2a^2=8^2$
$3a^2=64$ $|:3$
$a^2={64}/3$
$a=8/{√3}$
I usuwamy niewymierność:
$a={8√3}/3$
Pozostaje nam obliczyć pole.
W sześcianie pole składa się z 6 takich samych kwadratów, więc:
$P_c=6×a^2$
$P_c=6×{ {8√3}/3}^2$
$P_c=6×{ 64×3}/9=128$
Spis treści
Dana jest funkcja liniowa postaci f(x) = ax +b.
Wiemy, że zachodzi
zatem stąd dostajemy, że{premium}
Korzystając ze wzoru na miejsce zerowe x0 funkcji liniowej, dostajemy że
czyli miejscem zerowym funkcji f jest liczba 1.
Odp. NB
Przykłady wymiarów stopni schodów, które są zgodne z regułą dobrych schodów: {premium}
A. Obliczamy ile wynosi długość odcinka, którego końcami są punkty o współrzędnych (-1, 2) oraz (3, 4).
Długość tego odcinka nie wynosi 5. {premium}
B. Obliczamy ile wynosi długość odcinka, którego końcami są punkty o współrzędnych (-1, 2) oraz (-5, 1).
Długość tego odcinka nie wynosi 5.
C. Obliczamy ile wynosi długość odcinka, którego końcami są punkty o współrzędnych (-1, 2) oraz (-4, -2).
Długość tego odcinka wynosi 5.
D. Obliczamy ile wynosi długość odcinka, którego końcami są punkty o współrzędnych (-1, 2) oraz (5, 0).
Długość tego odcinka nie wynosi 5.
Poprawna odpowiedź: C. (-4, -2)
{premium}
Dwie zmienne wielkości dodatnie nazywamy odwrotnie proporcjonalnymi, jeżeli iloczyn odpowiadających sobie wartości tych wielkości jest stały. {premium}
Wyznaczamy współczynnik proporcjonalności .
Uzupełniamy tabelę.
Funkcję postaci , gdzie oraz jest stałą dodatnią, nazywamy proporcjonalnością odwrotną.
Wzór tej proporcjonalności:
Wykres tej proporcjonalności:
a) Wyznaczmy rozwiązanie tego układu równań.
Zatem otrzymujemy:
Przypadek 1.
Przypadek 2.
Zatem ostatecznie otrzymujemy:
b) Wyznaczmy rozwiązanie tego układu równań.
Zatem otrzymujemy:
Przypadek 1.
Przypadek 2.
Zatem ostatecznie otrzymujemy:
{premium}
Wyznaczmy równanie symetralnej odcinka AB.
Zauważmy, że prsota zawirająca punkty A i B ma równanie:
Równanie okręgu jest postaci:
{premium}
Znajdzmy prostą prostopadłą do prostej l.
Równanie okręgu jest postaci:
Dodajmy równania do siebie.
Znajdźmy prostą prostopadłą do prostej l.
Równanie okręgu jest postaci:
Dodajmy równania do siebie.
Znajdzmy prostą prostopadłą do prostej l.
Równanie okręgu jest postaci:
a) Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:{premium}
Wyznaczamy x:
Wówczas:
Trójkąty ABC, DAC, DBA są podobne na podstawie cechy KKK.
Z podobieństwa trójkątów DAC i DBA:
Mnożymy na krzyż.
Z tw. Pitagorasa dla trójkąta DAC:
Z tw. Pitagorasa dla trójkąta DBA:
Odp. Wysokość trójąta jest równa Przyprostokątne mają długości: oraz
b) Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunkach poniżej:
Sima długości przyprostokątnych trójkąta DEF jest równa 16. Stąd:
Różnica długości przyprostokątynych trójkąta ABC jest równa 6. Stąd:
Podstawiamy b=16-a.
Wówczas:
Z tw. Pitagorasa dla trójkąta DEF:
Wówczas:
Odp. Przeciwprostokątne trójkątów mają długości: oraz
Rysunek poglądowy:
{premium}
Odpowiedź D
