Graniastosłupy i ostrosłupy - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Graniastosłupy

Graniastosłupem nazywamy wielościan, w którym dwie ściany zwane podstawami są równoległymi wielokątami przystającymi, natomiast ściany boczne są równoległobokami.
Wysokość graniastosłupa to odcinek prostopadły do jego podstaw, którego końce zawierają się w płaszczyznach na których leżą te podstawy.

Typowe graniastosłupy:

img01

Graniastosłupy mogą być:
 
  • Proste - wtedy ich wszystkie ściany boczne to prostokąty, a podstawa to dowolny wielokąt
  • Prawidłowe - wtedy to graniastosłupy proste, które mają w podstawie wielokąt foremny (wszystkie boki równej długości) np. trójkąt równoboczny, kwadrat itp.

Typowym graniastosłupem prostym jest prostopadłościan - graniastosłup o podstawie prostokąta.

img02

d jest przekątną prostopadłościanu. Jak policzyć taką przekątną? Skorzystamy z tego, że w graniastosłupie prostym ściany są prostopadłe do podstaw, więc trójkąt zaznaczony na niebiesko jest prostokątny:

img03

Zatem kłania nam się twierdzenie Pitagorasa i to dwukrotnie, ponieważ musimy go użyć do d, ale także do przekątnej podstawy, nazwijmy ją $$e$$. Wtedy:
$$a^2+b^2=e^2$$ dla trójkąta o bokach $$a$$, $$b$$, $$e$$ (który jest prostokątny bo podstawa to prostokąt)
$$e^2+c^2=d^2$$ (dla niebieskiego trójkąta)

Wystarczy teraz podstawić $$e^2$$ z pierwszego równania do drugiego, żeby dostać:
$$a^2+b^2+c^2=d^2$$

Typowym graniastosłupem prawidłowym jest sześcian, czyli graniastosłup o podstawie kwadratu, którego wysokość jest równa krawędzi podstawy.

img04

Przekątną sześcianu liczymy identycznie jak w prostopadłościanie.

Przejdźmy teraz do Pola i Objętości.
 

Pole całkowite prostopadłościanu

Pole obejmuje całą powierzchnię, jaką da się zobaczyć zakładając, że możemy obracać graniastosłupem jak chcemy. To tak jakbyśmy wzięli kostkę do gry: obracając ją widzimy w sumie 6 ścianek. Tak samo pudełko, mające dno, wieczko i 4 boki - ponownie 6 ścian.

Musimy policzyć powierzchnię każdej z 6 części i sumować.
Ogólny wzór na pole powierzchni graniastosłupa:

$$P_c=2P_p+P_b$$

Gdzie $$P_p$$ to pole podstawy a $$P_b$$ powierzchni bocznej.

Przykład:

Oblicz pole prostopadłościanu o wymiarach podstawy $$a=7$$ , $$b=5$$ i wysokości $$c=10$$.

Narysujmy to sobie:

img05

Mamy wzór:

$$P_c=2P_p+P_b$$

Podstawą jest prostokąt o wymiarach $$7x5$$, więc $$P_p=7×5=35$$

$$P_c=2×35+P_b=70+P_b$$

Obliczyliśmy już dwie ściany, bo pomnożyliśmy podstawę razy dwa.

Zostały nam 4 ściany czyli $$P_b$$

4 ściany tworzą prostokąty, wysokość zostaje taka sama, ale podstawa się zmienia - są to prostokąty o wymiarach:

$$7×10$$,

$$5×10$$,

$$7×10$$,

$$5×10$$

No to sumujemy te pola!

$$P_b=2×7×10+2×5×10=140+100=240$$

Pozostaje obliczyć pole całkowite:

$$P_c=2P_p+P_b=70+240=310$$
 

Objętność prostopadłościanu

wzór ogólny na objętość prostopadłościanu to:

$$V=P_p×H$$

Przykład:

Oblicz objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego, o podstawie równej $$a=3$$ oraz wysokości graniastosłupa równej $$h=5$$.

Rysunek:

img06

Bierzemy wzór na objętość:

$$V=P_p×H$$

Wysokość już mamy, jedyną trudność stanowi znalezienia $$P_p$$

$$P_p={a^2 √3}/4$$ - wzór na pole trójkąta równobocznego, który jest w podstawie

Podstawiamy:

$$P_p={3^2 √3}/4={9√3}/4$$ Pozostaje policzyć objętość $$V={9√3}/4×5={45√3}/4$$
 

Ostrosłup

Ostrosłupem nazywamy taki wielościan, którego jedna ściana jest dowolnym wielokątem (podstawa), a pozostałe ściany (ściany boczne) są trójkątami o wspólnym wierzchołku.

img07
 

Ostrosłupy również mogą być:

  • proste - wtedy każda krawędź boczna jest równej długości,
  • prawidłowe - wtedy podstawą jest wielokąt foremny, a jego spodek wysokości pokrywa się ze środkiem okręgu opisanego na jego podstawie. Tak jak wcześniej, wszystkie ostrosłupy prawidłowe są proste (ale nie odwrotnie).

Wysokością ostrosłupa nazywamy najkrótszy odcinek, łączący wierzchołek z płaszczyzną podstawy. Na czerwono został oznaczony kąt nachylenia krawędzi ściany do podstawy.

img08
 

Pole całkowite ostrosłupa

Wzór na pole całkowite dowolnego ostrosłupa:

$$P_c=P_p+P_b$$

$$P_p$$ - pole podstawy

$$P_b$$ - pole boczne (czyli pole wszystkich trójkątnych ścian)

Przykład:

Oblicz pole ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy $$a=6$$ i krawędzi bocznej $$l=5$$.

Zacznijmy od rysunku:

img09

Pole podstawy to pole kwadratu o boku 6cm, zatem:

$$P_p=6×6=36$$

Jednakże do powierzchni bocznej potrzeba nam wysokości trójkąta (ściany bocznej).

Ściana boczna w każdym ostrosłupie jest trójkątem równoramiennym.

img11
Zatem wysokość podzieli podstawę na pół ($$a/2=3$$):

img12
Więc możemy użyć twierdzenia Pitagorasa:

$$(a/2)^2+h^2=c^2$$

$$3^2+h^2=5^2$$

$$9+h^2=25$$

$$h^2=16$$

$$h=4$$

$$h$$ jest naszą wysokością

Pole powierzchni bocznej $$P_b$$ to 4 pola tego samego trójkąta ($$P_t$$).

$$P_t=1/2×a×h=1/2×6×4=12$$

Liczymy powierzchnie boczną

$$P_b=4P_t=4×12=48$$

No to pole całkowite:

$$P_c=P_p+P_b$$

$$P_c=36+48=84$$
 

Objętość ostrosłupa

Wzór na objętość ostrosłupa:

$$V=1/3 P_p×H$$

Pole podstawy będzie zazwyczaj łatwe do policzenia, gorzej z wysokością, będziemy stosować metody o których wspominałem przy kącie nachylenia (trzeba znaleźć trójkąt, którego jednym z boków jest wysokość ostrosłupa).

Przykład:

Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy a=2√2 oraz krawędzi ściany nachylonej do podstawy pod kątem $$60°$$.

Rysunek:

img13
Teraz potrzebujemy połowy przekątnej kwadratu (podstawy):

Wzór na przekątną kwadratu o boku a to:

$$a√2$$

Zatem:

$$a√2=2√2×√2=2×2=4$$

Nasza przekątna ma długość 4, połowa to 2.

img14
Możemy teraz skorzystać z własności trójkąta w celu policzenia wysokości:

img15

Zatem nasza wysokość to:

$$H=2√3$$

A ostatecznie objętość:

$$V=1/3 P_p×H=1/3 (2√2)^2×2√3=1/3×8×2√3={16√3}/3$$
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego o krawędzie podstawy $$a=2cm$$, zaś kąt nachylenia krawędzi ściany bocznej do podstawy wynosi 60°.

Rysunek:

rys1

Ostrosłup jest prawidłowy, więc sześciokąt w podstawie jest foremny:
rys3
Sześciokąt foremny składa się z 6 trójkątów równobocznych o wspólnym wierzchołku, co widać na rysunku (wystarczy poprowadzić 3 główne przekątne i sprawdzić, że wszystkie kąty to $$60^o$$):
rys4
Dlatego jasnoniebieski odcinek na rysunku poniżej ma taką samą długość co krawędź podstawy, czyli 2.
rys1
Wysokość możemy więc szybko policzyć szybko z własności trójkąta o kątach 90,60,30

rys2
Zatem nasza wysokość to:
$$H=2√3$$

Aby policzyć polę podstawy, jeszcze raz przeprowadźmy jej trzy główne przekątne:

rys4

Mamy 6 trójkątów równobocznych i znamy wzór na pole trójkąta równobocznego: $$P_t={a^2 √3}/4$$

Zatem: $$P_p=6×P_t=6×{a^2 √3}/4=6×{2^2 √3}/4=6×{4√3)}/4$$

$$P_p=6×{4√3}/4=6√3$$

Mamy pole podstawy i wysokość, więc możemy wreszcie policzyć objętość:

$$V=1/3 P_p×H=1/3×6√3×2√3$$

$$V=1/3×12×3=12$$
 

Zadanie 2.

Oblicz pole całkowite sześcianu o przekątnej $$d=8$$.

Rysunek:

rys5
Do policzenia objętości potrzebujemy tylko boku a.

Mamy jedynie przekątną, przypomnijmy sobie jak powstała:

rys6
Zatem musimy użyć twierdzenia Pitagorasa. Wiemy, że wzór na przekątną kwadratu to:

$$b=a√2$$. Więc:

$$a^2+b^2=c^2$$

$$a^2+(a√2)^2=8^2$$

$$a^2+2a^2=8^2$$

$$3a^2=64$$ $$|:3$$

$$a^2={64}/3$$

$$a=8/{√3}$$

I usuwamy niewymierność:

$$a={8√3}/3$$

Pozostaje nam obliczyć pole.

W sześcianie pole składa się z 6 takich samych kwadratów, więc:

$$P_c=6×a^2$$

$$P_c=6×{ {8√3}/3}^2$$

$$P_c=6×{ 64×3}/9=128$$
 

 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Oblicz

`a)\ root(4)16+root(4)81+root(4)256+root(4)625=2+3+4+5=14`

`b)\ root(4)2*root(4)8-root(4)27*root(4)3+root(4)(10\ 000)=root(4)16-root(4)81+10=2-3+10=9`

`c)\ root(6)4*root(6)16-root(6)1000/root(6)(0,001)-root(5)32=root(6)64-root(6)(1000/(0,001))-2=2-root(6)(1000000/1)-2=2-10-2=-10`

`d)\ root(8)8*root(8)32-root(10)1024+root(5)1024=root(8)256-2+4=2-2+4=4`

`e)\ 2root(4)(81/16)-3root(4)(256/625)=strike2^1*3/strike2^1-3*4/5=3-12/5=3-2 2/5=3/5`

`f)\ 6root(4)(0,0625)-3root(4)(0,0081)=6*0,5-3*0,3=3-0,9=2,1`

`g)\ root(6)64-root(6)(1/64)-root(3)(1/64)=2-1/2-1/4=1 1/2-1/4=1 2/4-1/4=1 1/4`

`h)\ root(6)(1\ 000\ 000)+root(8)256=10+2=12`

   

Funkcja f jest określona

`a)` 

`ul(ul("graf"))` 

 

`ul(ul("uporządkowane pary liczb"))` 

`{(-3,1),\ (-2,0),\ (-1,-1),\ (0,-2),\ (1,-1),\ (2,0)}` 

 

 

 

`ul(ul("wykres"))` 

 

`ul(ul("wzór"))` 

`f(x)=|x|-2,\ \ \ \ \x in {-3,\ -2,\ -1,\ 0, \ 1,\ 2}` 

 

 

 

`b)` 

`f(x)=0\ \ \ "dla"\ \ \ x =-2\ \ \ "lub"\ \ \ \x=2` 

Oblicz odległość między prostą ...

`l_1:y=-x+b_1` 

`l_1:x+y-b_1=0` 

`l_2:y=-x+b_2` 

`l_2:x+y-b_2=0` 

`b_1,b_2>0`  

`O=(0;0)` 

 

`|Ol_1|=2=|-b_1|/sqrt(1^2+1^2)=|-b_1|/sqrt2` 

`2sqrt2=|-b_1|` 

`2sqrt2=-b_1\ \ \vv \ \ \-2sqrt2=-b_1`   

`b_1=2sqrt2\ \ \vv\ \ \b_1=2sqrt2` 

`b_1>0\ implies \ b_1=2sqrt2` 

 

`|Ol_2|=6=|-b_2|/sqrt(1^2+1^2)` 

`6sqrt2=|-b_2|` 

`b_2=6sqrt2\ \ \vv\ \ \b_2=-6sqrt2` 

`b_2>0\ implies \ b_2=6sqrt2` 

 

`l_1:y=-x+2sqrt2`  

`l_2:y=-x+6sqrt2`  

`A=(x;y)=(x;-x+2sqrt2)` 

`"Niech"\ x=0\ implies \ A=(0;2sqrt2)`  

`|Al_2|=|0+2sqrt2-6sqrt2|/sqrt(1^2+1^2)=4sqrt2/sqrt2=4` 

Odelgłość między rozważanymi prostymi jest równa 4. 

Dane są wektory ...

`vecu=[1;2]` 

`vecv=[3;-1]` 

 

`a)` 

`alphavecu+betavecv=[-1;5]` 

`alpha[1;2]+beta[3;-1]=[-1;5]` 

`{(alpha+3beta=-1),(2alpha-beta=5):}` 

`{(alpha=-1-3beta),(2alpha-beta=5):}` 

`2(-1-3beta)-beta=5` 

`-2-7beta=5` 

`beta=-1` 

`alpha=-1-3*(-1)=2` 

`{(alpha =2),( beta=-1):}` 

 

`b)` 

`alphavecu+betavecv=[3;-4]` 

`alpha[1;2]+beta[3;-1]=[3;-4]` 

`{(alpha+3beta=3),(2alpha-beta=-4):}` 

`{(alpha=3-3beta),(2alpha-beta=-4):}`  

`2(3-3beta)-beta=-4`  

`-7beta=-10` 

`beta=10/7` 

`alpha=3-30/7=-9/7` 

`{(alpha =-9/7),( beta=10/7):}` 

 

`c)` 

`alphavecu-betavecv=[-3;2 1/2]`  

`alpha[1;2]-beta[3;-1]=[-3;2 1/2]` 

`{(alpha-3beta=-3),(2alpha+beta=2 1/2):}`  

`{(alpha=-3+3beta),(2alpha+beta=2 1/2):}` 

`2(-3+3beta)+beta=2 1/2` 

`7beta = 8 1/2` 

`beta=17/14` 

`alpha=-3+3*17/14=-42/14+51/14=9/14` 

`{(alpha =9/14),( beta=17/4):}`    

  

`d)` 

`alphavecu-betavecv=[-1;-23]`  

`alpha[1;2]-beta[3;-1]=[-1;-23]`  

`{(alpha-3beta=-1),(2alpha+beta=-23):}`   

`{(alpha=-1+3beta),(2alpha+beta=-23):}`  

`2(-1+3beta)+beta=-23` 

`7beta=-21` 

`beta=-3` 

`alpha=-1+3beta=-1-9=-10` 

 

`{(alpha =-10),( beta=-3):}`     

Podczas wycieczki szkolnej Hubert kupił

Oznaczmy cenę koperty jako x. Wiemy, że na zakupy Hubert wydał prawie 24,50 zł, czyli trochę mniej niż 24,50 zł. 

 

`7*1,20+15+7x<24,50`

`8,40+15+7x<24,50`

`23,40+7x<24,50\ \ \ \ \ |-23,40`

`7x<1,10\ \ \ \ |:7`

`x<0,15714...`

 

Prosta l1 określona jest równaniem

Proste równoległe mają jednakowe współczynniki stojące przy x. 

 

`ul("prosta"\ l_2)`

`y=2/3x+b`

Prosta przecina oś OY w punkcie (0, -1), więc współczynnik b jest równy -1. 

`y=2/3x-1`

 

 

`ul("prosta"\ l_3)`

`y=2/3x+b`

Prosta przecina oś OY w punkcie (0, 2), więc współczynnik b jest równy 2. 

`y=2/3x+2`

 

 

Wyznaczmy współczynnik stojący przy x w prostych prostopadłych do prostej l1:

`a=-1/(2/3)=-1:2/3=-1*3/2=-3/2`

 

`ul("prosta"\ l_4)`

`y=-3/2x+b`

Prosta przecina oś OY w punkcie (0, -3), więc współczynnik b jest równy -3. 

`y=-3/2x-3`

 

 

`ul("prosta"\ l_5)`

`y=-3/2x+b`

Prosta przecina oś OY w punkcie (0, 0), więc współczynnik b jest równy 0. 

`y=-3/2x+0`

`y=-3/2x`

 

`ul("prosta"\ l_6)`

`y=-3/2x+b`

Prosta przecina oś OY w punkcie (0, 2), więc współczynnik b jest równy 2.

`y=-3/2x+2`

 

Oblicz 49^(1/2)

`a)\ 49^(1/2)=sqrt49=7`

`b)\ 0,0016^(1/4)=root(4)(0,0016)=0,2`

`c)\ 64^(4/3)=root(3)(64^4)=(root(3)(64))^4=4^4=16^2=256`

`d)\ (0,25)^(-1/2)=(1/4)^(-1/2)=4^(1/2)=sqrt4=2`

`e)\ 32^(4/5)=root(5)(32^4)=(root(5)(32))^4=2^4=4^2=16`

`f)\ 243^(3/5)=root(5)(243^3)=(root(5)(243))^3=3^3=27`

`g)\ (3 3/8)^(-2/3)=(27/8)^(-2/3)=(8/27)^(2/3)=root(3)((8/27)^2)=(root(3)(8/27))^2=(2/3)^2=4/9`

 

 

Dla jakiego argumentu funkcja ...

Jeżeli funkcja jest malejąca, to dla mniejszego argumentu będzie przyjmowała większe wartości.

W przedziale (-3;5> funkcja nie przyjmuje wartości największej.

Dla argumenu x=5 funkcja będzie przyjmować wartość najmniejszą.

Przedstaw za pomocą wzoru funkcję...

Objętość kuli o promieniu R jest dana wzorem:

`V = 4/3 pi R^3` 

Średnica jest równa połowie promienia:

`R = d/2` 

Zatem objętość wynosi:

`V = 4/3*pi *(d/2)^3 = 4/3*pi *d^3/8 = pi/6 d^3` 

 

Długość średnicy d jest z przedziału [3, 8] a więc promień jest z przedziału:

`d in [3,8]` 

 

A więc:

`f(d) = pi/6d^3` 

Dziedzina:

`D = [3, 8]`  

 

Przybliżenie `pi` w zadaniu to:

`pi approx 3,1415` 

 

 

Wartość najmniejsza:

`f(3) = pi/6*27 approx 14,14` 

 

Wartość największa:

`f(8) = pi/6*8^3 = pi/6 * 2^9 = pi/6 * 512 = 268,07` 

Wyznacz równania prostych

`a)` 

`A=(-2, \ -1)` 

`B=(3, \ -1)` 

`C=(4,\ 2)` 

`D=(-1,\ 2)` 

 

Najpierw warto zauważyć, że proste AB oraz CD zawierają się w prostych poziomych, (pary punktów A i B oraz C i D mają takie same drugie współrzędne).

`ul(prosta\ AB:\ \ \ y=-1) `  

`ul(prosta\ CD:\ \ \ y=2)`  

 

Teraz wyznaczymy równanie prostej AD (prosta ma równanie y=ax+b, podstawimy współrzędne punktów A i D w miejsce x i y):

`{(-1=a*(-2)+b), (2=a*(-1)+b):}` 

`{(-1=-2a+b), (2=-a+b):}\ \ \ \ \ |-` ``         odejmujemy równania stronami

`-3=-a\ \ \ \ \ \ |*(-1)` 

`a=3` 

 

Wstawiamy do drugiego równania:

`2=-a+b\ \ \ =>\ \ \ 2=-3+b\ \ \ =>\ \ \ b=2+3=5` 

`ul(prosta\ AD:\ \ \ y=3x+5)`  

 

Proste BC i AD są równoległe, zatem mają taki sam współczynnik kierunkowy; prosta BC ma więc równanie: ``` ` 

`y=3x+c` 

Współczynnik c obliczymy, podstawiając współrzędne punktu B do równania (punkt B należy do prostej BC): 

`-1=3*3+c\ \ \ =>\ \ \ -1=9+c\ \ \ =>\ \ \ c=-1-9=-10 ` 

`ul(prosta \ BC:\ \ \ y =3x-10)`  

 

 

 

`b)` 

`A=(-2,\ 0)` 

`B=(2,\ -2)` 

`C=(2, \ 1)` 

`D=(-2,\ 3)` 

 

Najpierw warto zauważyć, że proste AD oraz BC zawierają się w prostych pionowych, (pary punktów A i D oraz B i C mają takie same pierwsze współrzędne).

`ul(prosta\ AD:\ \ \ x=-2)`  

`ul(prosta\ BC:\ \ \ x=2)`  

 


Teraz wyznaczymy równanie prostej AB (prosta ma równanie y=ax+b, podstawimy współrzędne punktów A i B w miejsce x i y):

`{(-2=a*2+b), (0=a*(-2)+b):}` 

`{(-2=2a+b), (0=-2a+b):}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |-` 

`-2=4a\ \ \ \ \ \ \ |:4` 

`a=-1/2` 

 

Wstawiamy wyliczony współczynnik a do drugiego równania:

`0=-2a+b\ \ \ \ =>\ \ \ 0=-2*(-1/2)+b\ \ \ =>\ \ \ 0=1+b\ \ \ =>\ \ \ b=-1` 

`ul(prosta\ AB:\ \ \ y=-1/2x-1)` 

 

Proste AB i CD są równoległe, zatem mają taki sam współczynnik kierunkowy; prosta CD ma więc równanie:  

`y=-1/2x+c` 

 

Współczynnik c obliczymy, podstawiając współrzędne punktu D do równania (punkt D należy do prostej CD):

`3=-1/2*(-2)+c\ \ \ =>\ \ \ 3=1+c\ \ \ =>\ \ \ c=3-1=2` 

`ul(prosta\ CD:\ \ \ y=-1/2x+2)` 

 

 

 

`c)`  

`A=(-1,\ -1)` 

`B=(5,\ 1)` 

`C=(3,\ 3)` 

`D=(-3,\ 1)` 

 

Wyznaczamy równanie prostej AB (prosta ma równanie y=ax+b), podstawiając współrzędne punktów A i B w miejsce x i y :

`{(-1=a*(-1)+b), (1=a*5+b):}` 

`{(-1=-a+b), (1=5a+b):}\ \ \ \ \ \ |-` 

`-2=-6a\ \ \ \ \ |:(-6)`  

`a=(-2)/(-6)=1/3` 

 

Wstawiamy wyliczoną wartość współczynnika a do pierwszego równania:

`-1=-a+b\ \ \ \=>\ \ \ -1=-1/3+b\ \ \ =>\ \ \ b=-1+1/3=-2/3` 

`ul(prosta\ AB:\ \ \ y=1/3x-2/3)` 

 


Proste AB i CD są równoległe, zatem mają taki sam współczynnik kierunkowy; prosta CD ma więc równanie:  

`y=1/3x+c` 



Współczynnik c obliczymy, podstawiając współrzędne punktu D do równania (punkt D należy do prostej CD):

`1=1/3*(-3)+c\ \ \ =>\ \ \ 1=-1+c\ \ \ =>\ \ \c=1+1=2` 

`ul(prosta\ CD:\ \ \ y=1/3x+2)` 

 

Teraz wyznaczymy równanie prostej AD podstawiając do równania y=dx+e współrzędne punktów A i D:

`{(-1=d*(-1)+e), (1=d*(-3)+e):}`   

`{(-1=-d+e), (1=-3d+e):}\ \ \ \ \ |-`  

`-2=2d\ \ \ \ \ \ \ |:2` 

`d=-1`  

Wstawiamy wyliczoną wartość współczynnika d do pierwszego równania: 

`-1=-d+e\ \ \ =>\ \ \ -1=1+e\ \ \ =>\ \ \ e=-1-1=-2`  

`ul(prosta\ AD:\ \ \ y=-x-2)`  

 


Proste AD i BC są równoległe, zatem mają taki sam współczynnik kierunkowy; prosta BC ma więc równanie:  

`y=-x+f` 


Współczynnik f obliczymy, podstawiając współrzędne punktu B do równania (punkt B należy do prostej BC):

`1=-5+f\ \ \ =>\ \ \ f=1+5=6` 

`ul(prosta\ BC:\ \ \ y=-x+6)`