Graniastosłupy i ostrosłupy - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Graniastosłupy

Graniastosłupem nazywamy wielościan, w którym dwie ściany zwane podstawami są równoległymi wielokątami przystającymi, natomiast ściany boczne są równoległobokami.
Wysokość graniastosłupa to odcinek prostopadły do jego podstaw, którego końce zawierają się w płaszczyznach na których leżą te podstawy.

Typowe graniastosłupy:

Graniastosłupy mogą być:

Proste - wtedy ich wszystkie ściany boczne to prostokąty, a podstawa to dowolny wielokąt
Prawidłowe - wtedy to graniastosłupy proste, które mają w podstawie wielokąt foremny (wszystkie boki równej długości) np. trójkąt równoboczny, kwadrat itp.

Typowym graniastosłupem prostym jest prostopadłościan - graniastosłup o podstawie prostokąta.

d jest przekątną prostopadłościanu. Jak policzyć taką przekątną? Skorzystamy z tego, że w graniastosłupie prostym ściany są prostopadłe do podstaw, więc trójkąt zaznaczony na niebiesko jest prostokątny:

Zatem kłania nam się twierdzenie Pitagorasa i to dwukrotnie, ponieważ musimy go użyć do d, ale także do przekątnej podstawy, nazwijmy ją $$e$$. Wtedy:
$$a^2+b^2=e^2$$ dla trójkąta o bokach $$a$$, $$b$$, $$e$$ (który jest prostokątny bo podstawa to prostokąt)
$$e^2+c^2=d^2$$ (dla niebieskiego trójkąta)

Wystarczy teraz podstawić $$e^2$$ z pierwszego równania do drugiego, żeby dostać:
$$a^2+b^2+c^2=d^2$$

Typowym graniastosłupem prawidłowym jest sześcian, czyli graniastosłup o podstawie kwadratu, którego wysokość jest równa krawędzi podstawy.

Przekątną sześcianu liczymy identycznie jak w prostopadłościanie.

Przejdźmy teraz do Pola i Objętości.

Pole całkowite prostopadłościanu

Pole obejmuje całą powierzchnię, jaką da się zobaczyć zakładając, że możemy obracać graniastosłupem jak chcemy. To tak jakbyśmy wzięli kostkę do gry: obracając ją widzimy w sumie 6 ścianek. Tak samo pudełko, mające dno, wieczko i 4 boki - ponownie 6 ścian.

Musimy policzyć powierzchnię każdej z 6 części i sumować.
Ogólny wzór na pole powierzchni graniastosłupa:

$$P_c=2P_p+P_b$$

Gdzie $$P_p$$ to pole podstawy a $$P_b$$ powierzchni bocznej.

Przykład:

Oblicz pole prostopadłościanu o wymiarach podstawy $$a=7$$ , $$b=5$$ i wysokości $$c=10$$.

Narysujmy to sobie:

Mamy wzór:

$$P_c=2P_p+P_b$$

Podstawą jest prostokąt o wymiarach $$7x5$$, więc $$P_p=7×5=35$$

$$P_c=2×35+P_b=70+P_b$$

Obliczyliśmy już dwie ściany, bo pomnożyliśmy podstawę razy dwa.

Zostały nam 4 ściany czyli $$P_b$$

4 ściany tworzą prostokąty, wysokość zostaje taka sama, ale podstawa się zmienia - są to prostokąty o wymiarach:

$$7×10$$,

$$5×10$$,

$$7×10$$,

$$5×10$$

No to sumujemy te pola!

$$P_b=2×7×10+2×5×10=140+100=240$$

Pozostaje obliczyć pole całkowite:

$$P_c=2P_p+P_b=70+240=310$$

Objętność prostopadłościanu

wzór ogólny na objętość prostopadłościanu to:

$$V=P_p×H$$

Przykład:

Oblicz objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego, o podstawie równej $$a=3$$ oraz wysokości graniastosłupa równej $$h=5$$.

Rysunek:

Bierzemy wzór na objętość:

$$V=P_p×H$$

Wysokość już mamy, jedyną trudność stanowi znalezienia $$P_p$$

$$P_p={a^2 √3}/4$$ - wzór na pole trójkąta równobocznego, który jest w podstawie

Podstawiamy:

$$P_p={3^2 √3}/4={9√3}/4$$ Pozostaje policzyć objętość $$V={9√3}/4×5={45√3}/4$$

Ostrosłup

Ostrosłupem nazywamy taki wielościan, którego jedna ściana jest dowolnym wielokątem (podstawa), a pozostałe ściany (ściany boczne) są trójkątami o wspólnym wierzchołku.

Ostrosłupy również mogą być:

proste - wtedy każda krawędź boczna jest równej długości,
prawidłowe - wtedy podstawą jest wielokąt foremny, a jego spodek wysokości pokrywa się ze środkiem okręgu opisanego na jego podstawie. Tak jak wcześniej, wszystkie ostrosłupy prawidłowe są proste (ale nie odwrotnie).

Wysokością ostrosłupa nazywamy najkrótszy odcinek, łączący wierzchołek z płaszczyzną podstawy. Na czerwono został oznaczony kąt nachylenia krawędzi ściany do podstawy.

Pole całkowite ostrosłupa

Wzór na pole całkowite dowolnego ostrosłupa:

$$P_c=P_p+P_b$$

$$P_p$$ - pole podstawy

$$P_b$$ - pole boczne (czyli pole wszystkich trójkątnych ścian)

Przykład:

Oblicz pole ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy $$a=6$$ i krawędzi bocznej $$l=5$$.

Zacznijmy od rysunku:

Pole podstawy to pole kwadratu o boku 6cm, zatem:

$$P_p=6×6=36$$

Jednakże do powierzchni bocznej potrzeba nam wysokości trójkąta (ściany bocznej).

Ściana boczna w każdym ostrosłupie jest trójkątem równoramiennym.

Zatem wysokość podzieli podstawę na pół ($$a/2=3$$):

Więc możemy użyć twierdzenia Pitagorasa:

$$(a/2)^2+h^2=c^2$$

$$3^2+h^2=5^2$$

$$9+h^2=25$$

$$h^2=16$$

$$h=4$$

$$h$$ jest naszą wysokością

Pole powierzchni bocznej $$P_b$$ to 4 pola tego samego trójkąta ($$P_t$$).

$$P_t=1/2×a×h=1/2×6×4=12$$

Liczymy powierzchnie boczną

$$P_b=4P_t=4×12=48$$

No to pole całkowite:

$$P_c=P_p+P_b$$

$$P_c=36+48=84$$

Objętość ostrosłupa

Wzór na objętość ostrosłupa:

$$V=1/3 P_p×H$$

Pole podstawy będzie zazwyczaj łatwe do policzenia, gorzej z wysokością, będziemy stosować metody o których wspominałem przy kącie nachylenia (trzeba znaleźć trójkąt, którego jednym z boków jest wysokość ostrosłupa).

Przykład:

Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy a=2√2 oraz krawędzi ściany nachylonej do podstawy pod kątem $$60°$$.

Rysunek:

Teraz potrzebujemy połowy przekątnej kwadratu (podstawy):

Wzór na przekątną kwadratu o boku a to:

$$a√2$$

Zatem:

$$a√2=2√2×√2=2×2=4$$

Nasza przekątna ma długość 4, połowa to 2.

Możemy teraz skorzystać z własności trójkąta w celu policzenia wysokości:

Zatem nasza wysokość to:

$$H=2√3$$

A ostatecznie objętość:

$$V=1/3 P_p×H=1/3 (2√2)^2×2√3=1/3×8×2√3={16√3}/3$$

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego o krawędzie podstawy $$a=2cm$$, zaś kąt nachylenia krawędzi ściany bocznej do podstawy wynosi 60°.

Zobacz rozwiązanie

Rysunek:

Ostrosłup jest prawidłowy, więc sześciokąt w podstawie jest foremny:

Sześciokąt foremny składa się z 6 trójkątów równobocznych o wspólnym wierzchołku, co widać na rysunku (wystarczy poprowadzić 3 główne przekątne i sprawdzić, że wszystkie kąty to $$60^o$$):

Dlatego jasnoniebieski odcinek na rysunku poniżej ma taką samą długość co krawędź podstawy, czyli 2.

Wysokość możemy więc szybko policzyć szybko z własności trójkąta o kątach 90,60,30

Zatem nasza wysokość to:
$$H=2√3$$

Aby policzyć polę podstawy, jeszcze raz przeprowadźmy jej trzy główne przekątne:

Mamy 6 trójkątów równobocznych i znamy wzór na pole trójkąta równobocznego: $$P_t={a^2 √3}/4$$

Zatem: $$P_p=6×P_t=6×{a^2 √3}/4=6×{2^2 √3}/4=6×{4√3)}/4$$

$$P_p=6×{4√3}/4=6√3$$

Mamy pole podstawy i wysokość, więc możemy wreszcie policzyć objętość:

$$V=1/3 P_p×H=1/3×6√3×2√3$$

$$V=1/3×12×3=12$$

Zadanie 2.

Oblicz pole całkowite sześcianu o przekątnej $$d=8$$.

Zobacz rozwiązanie

Rysunek:

Do policzenia objętości potrzebujemy tylko boku a.

Mamy jedynie przekątną, przypomnijmy sobie jak powstała:

Zatem musimy użyć twierdzenia Pitagorasa. Wiemy, że wzór na przekątną kwadratu to:

$$b=a√2$$. Więc:

$$a^2+b^2=c^2$$

$$a^2+(a√2)^2=8^2$$

$$a^2+2a^2=8^2$$

$$3a^2=64$$ $$|:3$$

$$a^2={64}/3$$

$$a=8/{√3}$$

I usuwamy niewymierność:

$$a={8√3}/3$$

Pozostaje nam obliczyć pole.

W sześcianie pole składa się z 6 takich samych kwadratów, więc:

$$P_c=6×a^2$$

$$P_c=6×{ {8√3}/3}^2$$

$$P_c=6×{ 64×3}/9=128$$

Spis treści

Rozwiązane zadania

Dla jakich wartości k wykresy funkcji...

Aby wykresy funkcji były prostopadłe, iloczyn ich współczynników kierunkowych musi być równy `-1,` czyli:

`2k*(-3)=-1`

`-6k=-1\ "/":(-6)`

`k=1/6`

Odp. Proste są prostopadłe dla `k=1/6.`

Jakiej liczbie odpowiada punkt P zaznaczony na osi liczbowej?

Możemy obliczyć tą liczbę korzystając z twierdzenia Pitagorasa

`a)\ 1^2+2^2=x^2`

`\ \ \ 1+4=x^2`

`\ \ \ x^2=5`

`\ \ \ x=sqrt5inNW`

`b)\ 1^2+3^2=x^2`

`\ \ \ 1+9=x^2`

`\ \ \ x^2=10`

`\ \ \ x=sqrt10inNW`

Wyznacz dwie liczby naturalne

Jeśli największy wspólny dzielnik tych liczb ma być równy 18, to te liczby można zapisać jako 18a+18b, gdzie a i b są liczbami względnie pierwszymi (nie mają żadnych wspólnych dzielników, poza liczbą 1; gdyby miały inny wspólny dzielnik, to NWD(18a, 18b) nie byłby równy 18, ale więcej). Suma tych liczb ma być równa 144, więc możemy zapisać równanie:

`18a+18b=144\ \ \ \ |:18`

`a+b=8`

Szukamy dwóch liczb naturalnych, których suma wynosi 8 i które nie mają wspólnych dzielników. Zauważmy, że nie ma znaczenia, którą liczbę weźmiemy jako a, a którą jako b - NWD(18a, 18b) to to samo, co NWD(18b, 18a).

Pary liczb a, b spełniające warunki zadania to: (1, 7), (3, 4). Mamy więc dwie możliwości:

`18*1=18,\ \ \ 18*7=126\ \ \ =>\ \ \ NWD(18,\ 126)=18`

`18*3=54,\ \ \ 18*5=90\ \ \ \ =>\ \ \ NWD(54,\ 90)=18`

Narysuj w jednym układzie współrzędnych ...

`f(x)=x*|x|={(x^2,\ x >0),(-x^2, \ x<-0):}`

`g(x)=|x|`

`f(x) < g(x)`

`x in (-oo;1)\\ {0}`

Zbiorem wartości funkcji...

Ramiona paraboli są skierowane ku dołowi a więc w wierzchołku jest wartość maksymalna. Skoro

`q = 1`

to znaczy, że funkcja przyjmuje wszystkie wartości mniejsze bądź równe 1.

`Z_w = (-oo, 1]`

Odpowiedź C

Zapisz liczbę w postaci 4k, 4k+1, 4k+2 lub 4k+3

`a)\ 3=4*0+3`

`b)\ 49=4*12+1`

`c)\ 79=4*19+3`

`d)\ 126=4*31+2`

`e)\ 492=4*123`

Wiedząc, że...

`root(3)(abc)=4`

`(abc)^(1/3)=4`

`abc = 64`

A więc:

`(abcd)^(1/4) = (64d)^(1/4) = 2sqrt10`

A więc:

`64d = (2*sqrt10)^4`

`64d = 16*100`

`d = (16*100)/64`

`d = 100/4`

`d = 25`

Sprawdź, czy funkcje f oraz g...

`a) \ f(x) = (x^2 -4)/(2x-4)`

`2x -4 ne 0 => x ne 2`

`D_f = R \ \\ \ {2}`

`g(x) = (x+2)/2`

`D_g = R`

Funkcje nie sa równe gdyż mają różne dziedziny.

`b) \ f(x) = (9x^4 + 6x^2 + 1)/(3x^2 + 1) = ((3x^2)^2 + 2*3x^2*1+1)/(3x^2 + 1) = ((3x^2+1)^2)/(3x^2+1) = 3x^2+1`

Dziedziną obu funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych oraz są dane takimi samymi przepisami. Zatem funkcje są równe.

Ze zbioru A = ...

`A={0,-3,\ 1/3,\ sqrt9,\ (-1/3)^2,\ sqrt7,-2 1/2}`

a) liczby naturalne:

`0,\ sqrt9`

b) liczby całkowite:

`0,\ -3,\ sqrt9`

c) liczby wymierne:

`0,-3,\ 1/3,\ sqrt9,\ (-1/3)^2,\ -2 1/2`

d) liczby niewymierne:

`sqrt7`

Trójkąty ABC i DEF są takimi trójkątami ...

`a)`

`vec(AF)=vec(AC)+vec(CF)`

`b)`

`vec(AE)=1/2(vec(AC)-vec(BC))`

`c)`

`vec(AB)=2(2/3vec(AF)-1/3vec(EC))`