Graniastosłupy i ostrosłupy - matura-podstawowa - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Graniastosłupy i ostrosłupy - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Graniastosłupy

Graniastosłupem nazywamy wielościan, w którym dwie ściany zwane podstawami są równoległymi wielokątami przystającymi, natomiast ściany boczne są równoległobokami.
Wysokość graniastosłupa to odcinek prostopadły do jego podstaw, którego końce zawierają się w płaszczyznach na których leżą te podstawy.

Typowe graniastosłupy:

img01

Graniastosłupy mogą być:
 
  • Proste - wtedy ich wszystkie ściany boczne to prostokąty, a podstawa to dowolny wielokąt
  • Prawidłowe - wtedy to graniastosłupy proste, które mają w podstawie wielokąt foremny (wszystkie boki równej długości) np. trójkąt równoboczny, kwadrat itp.

Typowym graniastosłupem prostym jest prostopadłościan - graniastosłup o podstawie prostokąta.

img02

d jest przekątną prostopadłościanu. Jak policzyć taką przekątną? Skorzystamy z tego, że w graniastosłupie prostym ściany są prostopadłe do podstaw, więc trójkąt zaznaczony na niebiesko jest prostokątny:

img03

Zatem kłania nam się twierdzenie Pitagorasa i to dwukrotnie, ponieważ musimy go użyć do d, ale także do przekątnej podstawy, nazwijmy ją $e$. Wtedy:
$a^2+b^2=e^2$ dla trójkąta o bokach $a$, $b$, $e$ (który jest prostokątny bo podstawa to prostokąt)
$e^2+c^2=d^2$ (dla niebieskiego trójkąta)

Wystarczy teraz podstawić $e^2$ z pierwszego równania do drugiego, żeby dostać:
$a^2+b^2+c^2=d^2$

Typowym graniastosłupem prawidłowym jest sześcian, czyli graniastosłup o podstawie kwadratu, którego wysokość jest równa krawędzi podstawy.

img04

Przekątną sześcianu liczymy identycznie jak w prostopadłościanie.

Przejdźmy teraz do Pola i Objętości.
 

Pole całkowite prostopadłościanu

Pole obejmuje całą powierzchnię, jaką da się zobaczyć zakładając, że możemy obracać graniastosłupem jak chcemy. To tak jakbyśmy wzięli kostkę do gry: obracając ją widzimy w sumie 6 ścianek. Tak samo pudełko, mające dno, wieczko i 4 boki - ponownie 6 ścian.

Musimy policzyć powierzchnię każdej z 6 części i sumować.
Ogólny wzór na pole powierzchni graniastosłupa:

$P_c=2P_p+P_b$

Gdzie $P_p$ to pole podstawy a $P_b$ powierzchni bocznej.

Przykład:

Oblicz pole prostopadłościanu o wymiarach podstawy $a=7$ , $b=5$ i wysokości $c=10$.

Narysujmy to sobie:

img05

Mamy wzór:

$P_c=2P_p+P_b$

Podstawą jest prostokąt o wymiarach $7x5$, więc $P_p=7×5=35$

$P_c=2×35+P_b=70+P_b$

Obliczyliśmy już dwie ściany, bo pomnożyliśmy podstawę razy dwa.

Zostały nam 4 ściany czyli $P_b$

4 ściany tworzą prostokąty, wysokość zostaje taka sama, ale podstawa się zmienia - są to prostokąty o wymiarach:

$7×10$,

$5×10$,

$7×10$,

$5×10$

No to sumujemy te pola!

$P_b=2×7×10+2×5×10=140+100=240$

Pozostaje obliczyć pole całkowite:

$P_c=2P_p+P_b=70+240=310$
 

Objętność prostopadłościanu

wzór ogólny na objętość prostopadłościanu to:

$V=P_p×H$

Przykład:

Oblicz objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego, o podstawie równej $a=3$ oraz wysokości graniastosłupa równej $h=5$.

Rysunek:

img06

Bierzemy wzór na objętość:

$V=P_p×H$

Wysokość już mamy, jedyną trudność stanowi znalezienia $P_p$

$P_p={a^2 √3}/4$ - wzór na pole trójkąta równobocznego, który jest w podstawie

Podstawiamy:

$P_p={3^2 √3}/4={9√3}/4$ Pozostaje policzyć objętość $V={9√3}/4×5={45√3}/4$
 

Ostrosłup

Ostrosłupem nazywamy taki wielościan, którego jedna ściana jest dowolnym wielokątem (podstawa), a pozostałe ściany (ściany boczne) są trójkątami o wspólnym wierzchołku.

img07
 

Ostrosłupy również mogą być:

  • proste - wtedy każda krawędź boczna jest równej długości,
  • prawidłowe - wtedy podstawą jest wielokąt foremny, a jego spodek wysokości pokrywa się ze środkiem okręgu opisanego na jego podstawie. Tak jak wcześniej, wszystkie ostrosłupy prawidłowe są proste (ale nie odwrotnie).

Wysokością ostrosłupa nazywamy najkrótszy odcinek, łączący wierzchołek z płaszczyzną podstawy. Na czerwono został oznaczony kąt nachylenia krawędzi ściany do podstawy.

img08
 

Pole całkowite ostrosłupa

Wzór na pole całkowite dowolnego ostrosłupa:

$P_c=P_p+P_b$

$P_p$ - pole podstawy

$P_b$ - pole boczne (czyli pole wszystkich trójkątnych ścian)

Przykład:

Oblicz pole ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy $a=6$ i krawędzi bocznej $l=5$.

Zacznijmy od rysunku:

img09

Pole podstawy to pole kwadratu o boku 6cm, zatem:

$P_p=6×6=36$

Jednakże do powierzchni bocznej potrzeba nam wysokości trójkąta (ściany bocznej).

Ściana boczna w każdym ostrosłupie jest trójkątem równoramiennym.

img11
Zatem wysokość podzieli podstawę na pół ($a/2=3$):

img12
Więc możemy użyć twierdzenia Pitagorasa:

$(a/2)^2+h^2=c^2$

$3^2+h^2=5^2$

$9+h^2=25$

$h^2=16$

$h=4$

$h$ jest naszą wysokością

Pole powierzchni bocznej $P_b$ to 4 pola tego samego trójkąta ($P_t$).

$P_t=1/2×a×h=1/2×6×4=12$

Liczymy powierzchnie boczną

$P_b=4P_t=4×12=48$

No to pole całkowite:

$P_c=P_p+P_b$

$P_c=36+48=84$
 

Objętość ostrosłupa

Wzór na objętość ostrosłupa:

$V=1/3 P_p×H$

Pole podstawy będzie zazwyczaj łatwe do policzenia, gorzej z wysokością, będziemy stosować metody o których wspominałem przy kącie nachylenia (trzeba znaleźć trójkąt, którego jednym z boków jest wysokość ostrosłupa).

Przykład:

Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy a=2√2 oraz krawędzi ściany nachylonej do podstawy pod kątem $60°$.

Rysunek:

img13
Teraz potrzebujemy połowy przekątnej kwadratu (podstawy):

Wzór na przekątną kwadratu o boku a to:

$a√2$

Zatem:

$a√2=2√2×√2=2×2=4$

Nasza przekątna ma długość 4, połowa to 2.

img14
Możemy teraz skorzystać z własności trójkąta w celu policzenia wysokości:

img15

Zatem nasza wysokość to:

$H=2√3$

A ostatecznie objętość:

$V=1/3 P_p×H=1/3 (2√2)^2×2√3=1/3×8×2√3={16√3}/3$
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego o krawędzie podstawy $a=2cm$, zaś kąt nachylenia krawędzi ściany bocznej do podstawy wynosi 60°.

Rysunek:

rys1

Ostrosłup jest prawidłowy, więc sześciokąt w podstawie jest foremny:
rys3
Sześciokąt foremny składa się z 6 trójkątów równobocznych o wspólnym wierzchołku, co widać na rysunku (wystarczy poprowadzić 3 główne przekątne i sprawdzić, że wszystkie kąty to $60^o$):
rys4
Dlatego jasnoniebieski odcinek na rysunku poniżej ma taką samą długość co krawędź podstawy, czyli 2.
rys1
Wysokość możemy więc szybko policzyć szybko z własności trójkąta o kątach 90,60,30

rys2
Zatem nasza wysokość to:
$H=2√3$

Aby policzyć polę podstawy, jeszcze raz przeprowadźmy jej trzy główne przekątne:

rys4

Mamy 6 trójkątów równobocznych i znamy wzór na pole trójkąta równobocznego: $P_t={a^2 √3}/4$

Zatem: $P_p=6×P_t=6×{a^2 √3}/4=6×{2^2 √3}/4=6×{4√3)}/4$

$P_p=6×{4√3}/4=6√3$

Mamy pole podstawy i wysokość, więc możemy wreszcie policzyć objętość:

$V=1/3 P_p×H=1/3×6√3×2√3$

$V=1/3×12×3=12$
 

Zadanie 2.

Oblicz pole całkowite sześcianu o przekątnej $d=8$.

Rysunek:

rys5
Do policzenia objętości potrzebujemy tylko boku a.

Mamy jedynie przekątną, przypomnijmy sobie jak powstała:

rys6
Zatem musimy użyć twierdzenia Pitagorasa. Wiemy, że wzór na przekątną kwadratu to:

$b=a√2$. Więc:

$a^2+b^2=c^2$

$a^2+(a√2)^2=8^2$

$a^2+2a^2=8^2$

$3a^2=64$ $|:3$

$a^2={64}/3$

$a=8/{√3}$

I usuwamy niewymierność:

$a={8√3}/3$

Pozostaje nam obliczyć pole.

W sześcianie pole składa się z 6 takich samych kwadratów, więc:

$P_c=6×a^2$

$P_c=6×{ {8√3}/3}^2$

$P_c=6×{ 64×3}/9=128$
 

 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Czy boki trójkąta mogą mieć...

a) Obliczamy sumę długości dwóch krótszych odcinków:{premium}

 

Mamy:

 

Suma długości dwóch krótszych odcinków jest większa od długości najdłuższego odcinka, więc boki trójkąta mogą mieć długości 2, 2, √7.


b) Obliczamy sumę długości dwóch krótszych odcinków:

 

Mamy:

 

Suma długości dwóch krótszych odcinków jest równa długości najdłuższego odcinka, więc boki trójkąta nie mogą mieć długości 7, 8, √225.


c) Obliczamy sumę długości dwóch krótszych odcinków:

 

Mamy:

 

Suma długości dwóch krótszych odcinków jest mniejsza od długości najdłuższego odcinka, więc boki trójkąta nie mogą mieć długości  


d) Obliczamy sumę długości dwóch krótszych odcinków:

 

Mamy:

 

Suma długości dwóch krótszych odcinków jest większa od długości najdłuższego odcinka, więc boki trójkąta mogą mieć długości  

Rozwiąż układ równań metodą ...

a)

 

 

 

 

 

Wyznaczoną wartość podstawiamy do jednego z równań wyjściowego układu równań. {premium}

 

 

 

 


b)

 

 

 

 

 

Wyznaczoną wartość podstawiamy do jednego z równań wyjściowego układu równań.

 

 

 


c)

 

 

 

 

 

Wyznaczoną wartość podstawiamy do jednego z równań wyjściowego układu równań.

 

 

 

 

Reszta z dzielenia pewnej liczby ...

Oznaczmy:

x - pewna liczba całkowita

Z treści zadania wiemy, że reszta z dzielenia tej liczby przez 7 wynosi 5, zatem możemy tą liczbą zapisać jako: {premium}

 

 

Wyznaczmy kwadrat tej liczby.

 

Zatem reszta z dzielenia kwadratu tej liczby przez 7 wynosi 4.

 

Odp. B

Napisz równania prostych k, l, m...

a) Z wykresu odczytujemy, że:{premium}

 

 


Do wykresu prostej k należą punkty (-6, 2) oraz (5, -5). Wyznaczamy współczynnik kierunkowy prostej k:

 

Zatem:

 

Podstawiamy współrzędne punktu (5, -5) i wyznaczamy b:

 

 

 

Mamy więc:

 


Przekształcamy równania do postaci podanej w odpowiedziach:

  •  

 

  •  

 

  •  

 

 

Ostatecznie mamy więc:

 

 

 



b) Wykres funkcji k przechodzi przez początek układu współrzędnych, więc:

 

Do wykresu funkcji k należy punkt (3, -2). Zatem:

 

 

Zatem:

 


Wykres funkcji l przecina oś OY w punkcie (0, -4), więc:

 

Do wykresu funkcji l należy punkt (3, -2), więc:

 

 

 

Zatem:

 


Do wykresu prostej m należą punkty (-6, 4) oraz (9, 2). Wyznaczamy współczynnik kierunkowy prostej k:

 

Wówczas:

 

Podstawiamy współrzędne punktu (9, 2) i wyznaczamy b:

 

 

 

 

Zatem:

 


Przekształcamy równania do postaci podanej w odpowiedziach:

  •  

 

 

  •  

 

 

  •  

 

 

Ostatecznie mamy więc:

 

 

 

Naszkicuj wykres funkcji

Oszacujmy wartości, które potem przydadzą się do określenia, z którego "przepisu" na funkcję należy skorzystać:

 

{premium}

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

Mirka...

a)

Do wykresu funkcji A należy np. punkt o współrzędnych (3, 3).

Zauważmy, że spełnia on równanie {premium}

ponieważ

       


Do wykresu funkcji B należy np. punkt o współrzędnych (2, 1).

Zauważmy, że spełnia on równanie 

ponieważ

   


Do wykresu funkcji D należy np. punkt o współrzędnych (1, 2).

Zauważmy, że spełnia on równanie 

ponieważ

   


Do wykresu funkcji E należy np. punkt o współrzędnych (1, 3).

Zauważmy, że spełnia on równanie 

ponieważ

   


Do wykresu funkcji F należy np. punkt o współrzędnych (2, -1).

Zauważmy, że spełnia on równanie 

ponieważ

   


Do wykresu funkcji G należy np. punkt o współrzędnych (3, -3).

Zauważmy, że spełnia on równanie 

ponieważ

   


Do wykresu funkcji H należy np. punkt o współrzędnych (1, -2).

Zauważmy, że spełnia on równanie 

ponieważ

   


czyli funkcja C musi spełniać równanie

 

 

Odp. A6, B1, C8, D3, E5, F7, G2, H4.


b)

Symetryczne względem osi x są parabole o równaniach

 

 

 

Naszkicuj wykres funkcji...

Żeby narysować wykres hiperboli

wystarczy zaznaczyć dwa lub trzy punkty, które leżą na jednej gałęzi hiperboli, a następnie odbić te punkty symetrycznie względem punktu (0,0) (który jest środkiem symetrii hiperboli) i  w ten sposób otrzymamy druga gałąź. 


a)

Narysujemy hiperbolę określoną wzorem:

 

Na podstawie poniższej tabelki

       
       

Narysujemy gałąź hiperboli leżącą w IV ćwiartce układu współrzędnych{premium}

Aby naszkicować drugą gałąź hiperboli, rysujemy ją symetrycznie względem punktu O = (0,0).

Otrzymamy:


b)

Narysujemy hiperbolę określoną wzorem:

 

Na podstawie poniższej tabelki

       
       

Narysujemy gałąź hiperboli leżącą w I ćwiartce układu współrzędnych

Aby naszkicować drugą gałąź hiperboli, rysujemy ją symetrycznie względem punktu O = (0,0).

Otrzymamy:


c)

Narysujemy hiperbolę określoną wzorem:

 

Na podstawie poniższej tabelki

       
       

Narysujemy gałąź hiperboli leżącą w IV ćwiartce układu współrzędnych

Aby naszkicować drugą gałąź hiperboli, rysujemy ją symetrycznie względem punktu O = (0,0).

Otrzymamy:

Przedstaw w postaci jednego...

   {premium}

 

 

 

 


 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

Przedstaw za pomocą tabeli wszystkie funkcje ...

Przedstawimy za pomocą tabeli wszystkie funkcje rosnące, których dziedzinę tworzą liczby: 1, 2, 3, a wartościami są liczby wybrane spośród: 1, 2, 3, 4, 5. {premium}

       
       
       
       
       
       
       
       
       
       
       
Jeden z wykresów przedstawia funkcję...

Z danych nierówności wynika, że{premium} im większy jest argument funkcji, tym większa jest jej wartość. Tę własność spełnia funkcja przedstawiona na drugim wykresie.