Graniastosłupy i ostrosłupy - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Graniastosłupy

Graniastosłupem nazywamy wielościan, w którym dwie ściany zwane podstawami są równoległymi wielokątami przystającymi, natomiast ściany boczne są równoległobokami.
Wysokość graniastosłupa to odcinek prostopadły do jego podstaw, którego końce zawierają się w płaszczyznach na których leżą te podstawy.

Typowe graniastosłupy:

Graniastosłupy mogą być:

Proste - wtedy ich wszystkie ściany boczne to prostokąty, a podstawa to dowolny wielokąt
Prawidłowe - wtedy to graniastosłupy proste, które mają w podstawie wielokąt foremny (wszystkie boki równej długości) np. trójkąt równoboczny, kwadrat itp.

Typowym graniastosłupem prostym jest prostopadłościan - graniastosłup o podstawie prostokąta.

d jest przekątną prostopadłościanu. Jak policzyć taką przekątną? Skorzystamy z tego, że w graniastosłupie prostym ściany są prostopadłe do podstaw, więc trójkąt zaznaczony na niebiesko jest prostokątny:

Zatem kłania nam się twierdzenie Pitagorasa i to dwukrotnie, ponieważ musimy go użyć do d, ale także do przekątnej podstawy, nazwijmy ją $e$. Wtedy:
$a^2+b^2=e^2$ dla trójkąta o bokach $a$, $b$, $e$ (który jest prostokątny bo podstawa to prostokąt)
$e^2+c^2=d^2$ (dla niebieskiego trójkąta)

Wystarczy teraz podstawić $e^2$ z pierwszego równania do drugiego, żeby dostać:
$a^2+b^2+c^2=d^2$

Typowym graniastosłupem prawidłowym jest sześcian, czyli graniastosłup o podstawie kwadratu, którego wysokość jest równa krawędzi podstawy.

Przekątną sześcianu liczymy identycznie jak w prostopadłościanie.

Przejdźmy teraz do Pola i Objętości.

Pole całkowite prostopadłościanu

Pole obejmuje całą powierzchnię, jaką da się zobaczyć zakładając, że możemy obracać graniastosłupem jak chcemy. To tak jakbyśmy wzięli kostkę do gry: obracając ją widzimy w sumie 6 ścianek. Tak samo pudełko, mające dno, wieczko i 4 boki - ponownie 6 ścian.

Musimy policzyć powierzchnię każdej z 6 części i sumować.
Ogólny wzór na pole powierzchni graniastosłupa:

$P_c=2P_p+P_b$

Gdzie $P_p$ to pole podstawy a $P_b$ powierzchni bocznej.

Przykład:

Oblicz pole prostopadłościanu o wymiarach podstawy $a=7$ , $b=5$ i wysokości $c=10$.

Narysujmy to sobie:

Mamy wzór:

$P_c=2P_p+P_b$

Podstawą jest prostokąt o wymiarach $7x5$, więc $P_p=7×5=35$

$P_c=2×35+P_b=70+P_b$

Obliczyliśmy już dwie ściany, bo pomnożyliśmy podstawę razy dwa.

Zostały nam 4 ściany czyli $P_b$

4 ściany tworzą prostokąty, wysokość zostaje taka sama, ale podstawa się zmienia - są to prostokąty o wymiarach:

$7×10$,

$5×10$,

$7×10$,

$5×10$

No to sumujemy te pola!

$P_b=2×7×10+2×5×10=140+100=240$

Pozostaje obliczyć pole całkowite:

$P_c=2P_p+P_b=70+240=310$

Objętność prostopadłościanu

wzór ogólny na objętość prostopadłościanu to:

$V=P_p×H$

Przykład:

Oblicz objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego, o podstawie równej $a=3$ oraz wysokości graniastosłupa równej $h=5$.

Rysunek:

Bierzemy wzór na objętość:

$V=P_p×H$

Wysokość już mamy, jedyną trudność stanowi znalezienia $P_p$

$P_p={a^2 √3}/4$ - wzór na pole trójkąta równobocznego, który jest w podstawie

Podstawiamy:

$P_p={3^2 √3}/4={9√3}/4$ Pozostaje policzyć objętość $V={9√3}/4×5={45√3}/4$

Ostrosłup

Ostrosłupem nazywamy taki wielościan, którego jedna ściana jest dowolnym wielokątem (podstawa), a pozostałe ściany (ściany boczne) są trójkątami o wspólnym wierzchołku.

Ostrosłupy również mogą być:

proste - wtedy każda krawędź boczna jest równej długości,
prawidłowe - wtedy podstawą jest wielokąt foremny, a jego spodek wysokości pokrywa się ze środkiem okręgu opisanego na jego podstawie. Tak jak wcześniej, wszystkie ostrosłupy prawidłowe są proste (ale nie odwrotnie).

Wysokością ostrosłupa nazywamy najkrótszy odcinek, łączący wierzchołek z płaszczyzną podstawy. Na czerwono został oznaczony kąt nachylenia krawędzi ściany do podstawy.

Pole całkowite ostrosłupa

Wzór na pole całkowite dowolnego ostrosłupa:

$P_c=P_p+P_b$

$P_p$ - pole podstawy

$P_b$ - pole boczne (czyli pole wszystkich trójkątnych ścian)

Przykład:

Oblicz pole ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy $a=6$ i krawędzi bocznej $l=5$.

Zacznijmy od rysunku:

Pole podstawy to pole kwadratu o boku 6cm, zatem:

$P_p=6×6=36$

Jednakże do powierzchni bocznej potrzeba nam wysokości trójkąta (ściany bocznej).

Ściana boczna w każdym ostrosłupie jest trójkątem równoramiennym.

Zatem wysokość podzieli podstawę na pół ($a/2=3$):

Więc możemy użyć twierdzenia Pitagorasa:

$(a/2)^2+h^2=c^2$

$3^2+h^2=5^2$

$9+h^2=25$

$h^2=16$

$h=4$

$h$ jest naszą wysokością

Pole powierzchni bocznej $P_b$ to 4 pola tego samego trójkąta ($P_t$).

$P_t=1/2×a×h=1/2×6×4=12$

Liczymy powierzchnie boczną

$P_b=4P_t=4×12=48$

No to pole całkowite:

$P_c=P_p+P_b$

$P_c=36+48=84$

Objętość ostrosłupa

Wzór na objętość ostrosłupa:

$V=1/3 P_p×H$

Pole podstawy będzie zazwyczaj łatwe do policzenia, gorzej z wysokością, będziemy stosować metody o których wspominałem przy kącie nachylenia (trzeba znaleźć trójkąt, którego jednym z boków jest wysokość ostrosłupa).

Przykład:

Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy a=2√2 oraz krawędzi ściany nachylonej do podstawy pod kątem $60°$.

Rysunek:

Teraz potrzebujemy połowy przekątnej kwadratu (podstawy):

Wzór na przekątną kwadratu o boku a to:

$a√2$

Zatem:

$a√2=2√2×√2=2×2=4$

Nasza przekątna ma długość 4, połowa to 2.

Możemy teraz skorzystać z własności trójkąta w celu policzenia wysokości:

Zatem nasza wysokość to:

$H=2√3$

A ostatecznie objętość:

$V=1/3 P_p×H=1/3 (2√2)^2×2√3=1/3×8×2√3={16√3}/3$

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego o krawędzie podstawy $a=2cm$, zaś kąt nachylenia krawędzi ściany bocznej do podstawy wynosi 60°.

Zobacz rozwiązanie

Rysunek:

Ostrosłup jest prawidłowy, więc sześciokąt w podstawie jest foremny:

Sześciokąt foremny składa się z 6 trójkątów równobocznych o wspólnym wierzchołku, co widać na rysunku (wystarczy poprowadzić 3 główne przekątne i sprawdzić, że wszystkie kąty to $60^o$):

Dlatego jasnoniebieski odcinek na rysunku poniżej ma taką samą długość co krawędź podstawy, czyli 2.

Wysokość możemy więc szybko policzyć szybko z własności trójkąta o kątach 90,60,30

Zatem nasza wysokość to:
$H=2√3$

Aby policzyć polę podstawy, jeszcze raz przeprowadźmy jej trzy główne przekątne:

Mamy 6 trójkątów równobocznych i znamy wzór na pole trójkąta równobocznego: $P_t={a^2 √3}/4$

Zatem: $P_p=6×P_t=6×{a^2 √3}/4=6×{2^2 √3}/4=6×{4√3)}/4$

$P_p=6×{4√3}/4=6√3$

Mamy pole podstawy i wysokość, więc możemy wreszcie policzyć objętość:

$V=1/3 P_p×H=1/3×6√3×2√3$

$V=1/3×12×3=12$

Zadanie 2.

Oblicz pole całkowite sześcianu o przekątnej $d=8$.

Zobacz rozwiązanie

Rysunek:

Do policzenia objętości potrzebujemy tylko boku a.

Mamy jedynie przekątną, przypomnijmy sobie jak powstała:

Zatem musimy użyć twierdzenia Pitagorasa. Wiemy, że wzór na przekątną kwadratu to:

$b=a√2$. Więc:

$a^2+b^2=c^2$

$a^2+(a√2)^2=8^2$

$a^2+2a^2=8^2$

$3a^2=64$ $|:3$

$a^2={64}/3$

$a=8/{√3}$

I usuwamy niewymierność:

$a={8√3}/3$

Pozostaje nam obliczyć pole.

W sześcianie pole składa się z 6 takich samych kwadratów, więc:

$P_c=6×a^2$

$P_c=6×{ {8√3}/3}^2$

$P_c=6×{ 64×3}/9=128$

Spis treści

Rozwiązane zadania

Czy boki trójkąta mogą mieć...

a) Obliczamy sumę długości dwóch krótszych odcinków:{premium}

Mamy:

Suma długości dwóch krótszych odcinków jest większa od długości najdłuższego odcinka, więc boki trójkąta mogą mieć długości 2, 2, √7.

b) Obliczamy sumę długości dwóch krótszych odcinków:

Mamy:

Suma długości dwóch krótszych odcinków jest równa długości najdłuższego odcinka, więc boki trójkąta nie mogą mieć długości 7, 8, √225.

c) Obliczamy sumę długości dwóch krótszych odcinków:

Mamy:

Suma długości dwóch krótszych odcinków jest mniejsza od długości najdłuższego odcinka, więc boki trójkąta nie mogą mieć długości

d) Obliczamy sumę długości dwóch krótszych odcinków:

Mamy:

Suma długości dwóch krótszych odcinków jest większa od długości najdłuższego odcinka, więc boki trójkąta mogą mieć długości

Rozwiąż układ równań metodą ...

Wyznaczoną wartość podstawiamy do jednego z równań wyjściowego układu równań. {premium}

Wyznaczoną wartość podstawiamy do jednego z równań wyjściowego układu równań.

Reszta z dzielenia pewnej liczby ...

Oznaczmy:

x - pewna liczba całkowita

Z treści zadania wiemy, że reszta z dzielenia tej liczby przez 7 wynosi 5, zatem możemy tą liczbą zapisać jako: {premium}

Wyznaczmy kwadrat tej liczby.

Zatem reszta z dzielenia kwadratu tej liczby przez 7 wynosi 4.

Odp. B

Napisz równania prostych k, l, m...

a) Z wykresu odczytujemy, że:{premium}

Do wykresu prostej k należą punkty (-6, 2) oraz (5, -5). Wyznaczamy współczynnik kierunkowy prostej k:

Zatem:

Podstawiamy współrzędne punktu (5, -5) i wyznaczamy b:

Mamy więc:

Przekształcamy równania do postaci podanej w odpowiedziach:

Ostatecznie mamy więc:

b) Wykres funkcji k przechodzi przez początek układu współrzędnych, więc:

Do wykresu funkcji k należy punkt (3, -2). Zatem:

Zatem:

Wykres funkcji l przecina oś OY w punkcie (0, -4), więc:

Do wykresu funkcji l należy punkt (3, -2), więc:

Zatem:

Do wykresu prostej m należą punkty (-6, 4) oraz (9, 2). Wyznaczamy współczynnik kierunkowy prostej k:

Wówczas:

Podstawiamy współrzędne punktu (9, 2) i wyznaczamy b:

Zatem:

Przekształcamy równania do postaci podanej w odpowiedziach:

Ostatecznie mamy więc:

Naszkicuj wykres funkcji

Oszacujmy wartości, które potem przydadzą się do określenia, z którego "przepisu" na funkcję należy skorzystać:

{premium}

Mirka...

Do wykresu funkcji A należy np. punkt o współrzędnych (3, 3).

Zauważmy, że spełnia on równanie {premium}

ponieważ

Do wykresu funkcji B należy np. punkt o współrzędnych (2, 1).