Funkcje trygonometryczne o różnych wartościach - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

`a)`

`3-(-3)^2-(-3)^3-(-3)^4=3-9-(-27)-81=`

`=ul3-ul(ul(9))+ul27-ul(ul(81))=30-90=-60`

 

 

`b)`

`(-4)^3-4^3-((-5)^4-5^4)=-64-64-(625-625)=-128-0=-128`

 

 

`c)`

`3*(7-(-2)^3)-(1-(2-2^2))=3*(7-(-8))-(1-(2-4))=`

`=3*(7+8)-(1-(-2))=3*15-(1+2)=45-3=42`

 

 

`d)`

`3-{9-[18-(-2)^3*(-3)^2]}=3-{9-[18-(-8)*9]}=`

`=3-{9-[18-(-72)]}=3-{9-[18+72]}=3-{9-90}=`

`=3-{-81}=3+81=84`

 

 

Proste są równoległe, jeśli mają jednakowe współczynniki kierunkowe. Wyznaczamy współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez punkty P i Q:

`a=(-1-8)/(-2-4)=(-9)/(-6)=3/2`

 

`a)\ a=(0-6)/(-4-0)=(-6)/(-4)=3/2`

Prosta przechodząca przez punkty P i Q jest równoległa do prostej przechodzącej przez punkty R i S.

 

 

`b)\ a=(7-4)/(1-(-2))=3/(1+2)=3/3=1ne3/2`

Prosta przechodząca przez punkty P i Q nie jest równoległa do prostej przechodzącej przez punkty R i S.

 

 

`c)\ a=(2-(-5/2))/(8-5)=(2+5/2)/3=(4/2+5/2):3=9/2:3=3/2`

Prosta przechodząca przez punkty P i Q jest równoległa do prostej przechodzącej przez punkty R i S.

 

`tg31^@=180/(|AB|)` 

`|AB|=180/(tg31^@)=180/(0,6009)~~3\ "m"` 

`x-"wysokość drzewa"` 

 

`|AC|=18\ "m"+ 3\ "m"=21\ "m"` 

`tg31^@=x/(21)` 

`x=21*tg31^@=21*0,6009~~12,62` 

 

`"Wysokość drzewa wynosi około 12,62 m."`      

x - cena za jednego misia

x-10 - zysk uzyskany ze sprzedaży jednego misia

1000-50(x-15) - ilość sprzedanych sztuk przy ustalonej cenie x (uzasadnienie znajduje się poniżej)

 

Wiemy, że przy cenie 15 zł sprzedaje się 1000 misiów. 

Jesli cena wyniesie 16 zł, to sprzedaż spadnie o 50 sztuk

Jeśli cena wyniesie 17 zł, to sprzedaż spadnie o 2∙50=100 sztuk

Jeśli cena wyniesie x zł, to sprzedaż spadnie o (x-15)∙50 sztuk i będzie wynosić wtedy 1000-50(x-15)

 

`a)` 

Aby obliczyć roczny zysk wystarczy pomnożyć zysk uzyskany ze sprzedaży jednego misia przez ilość sprzedanych sztuk: 

`f(x)=(x-10)*(1000-50(x-15))=` 

`\ \ \ \ \ \ \ =(x-10)*(1000-50x+750)=`  

`\ \ \ \ \ \ \ =(x-10)*(1750-50x)=`  

`\ \ \ \ \ \ \ =x(1750-50x)-10(1750-50x)=`   

`\ \ \ \ \ \ \ =1750x-50x^2-17500+500x=`  

`\ \ \ \ \ \ \ =-50x^2+2250x-17500`  

 

`b)` 

Współczynnik a w funkcji kwadratowej otrzymanej poprzednio jest ujemny, więc ramiona paraboli są skierowane w dół, czyli osiągana jest wartość maksymalna (w wierzchołku).

Roczny zysk będzie największy, jeśli cenę misia x ustalimy tak, że zachodzi:

`x=x_w=-2250/(2*(-50))=`    `2250/100=22,50` 

Obliczamy, jaka będzie wielkość sprzedaży przy takiej cenie: 

`1000-50(x-15)=` `1000-50*(22,50-15)=` 

`=1000-50*7,50=1000-375=625` 

Obliczamy, jaki będzie zysk: 

`625*22,60=14\ 062,50` 

Rysunek poglądowy, istnieją dwa możliwe położenia punktu D:

Wpierw zajmijmy się przypadkiem w którym punkt D leży w I ćwiartce układu współrzędnych:

 

Wyznaczmy środek odcinka AB:

`S_("AB") = ((x_A+x_B)/2,(y_A+y_B)/2) = ((-4+8)/2,(2+(-2))/2) = (4/2,0/2) = (2,0)` 

 

Wyznaczmy sobie równanie prostej AB:

`{(f(-4)=2),(f(8)=-2):}` 

`{(-4a+b=2),(8a+b=-2):}` 

`underline(underline(stackrel(\)(-) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \))` 

`-12a = 4` 

`a = -1/3` 

 

`-4*(-1/3)+b=2` 

`4/3 + b = 2` 

`b = 2/3` 

 

`y = -1/3x + 2/3` 

 

Wyznaczmy prostą prostopadłą do prostej AB przechodzącą przez środek odcinka AB:

`y = cx+d`  

`a*c = -1`  

`-1/3 * c = -1` 

`c = 3` 

 

Podstawmy współrzędne środka odcinka AB:

`0=3*2+d`  

`0= 6+d` 

`d = -6` 

 

`l: \ y = 3x-6` 

 

 

Wyznaczymy teraz równanie prostej równoległej do prostej AB przechodzącej przez punkt C:

`y = ex+f` 

`e = -1/3` 

 

Podstawmy współrzędne punktu C:

`4=-1/3*6+f` 

`4 = -2 + f` 

`f = 6` 

 

`m: \ y = -1/3x+6` 

 

Wyznaczmy punkt przecięcia prostych m i l, będzie to środek odcinka CD:

`{(l: \ y=3x-6),(m: \ y=-1/3x+6):}` 

`3x-6 = -1/3x+6` 

`10/3x = 12` 

`x = 12*3/10 = 36/10 = 18/5` 

`y = 3*18/5 - 6 = 54/5 - 6 = 10,8 - 6 = 4,8 = 4 4/5 = 24/5` 

 

`S_("CD") = ((x_C+x_D)/2, (y_C+y_D)/2)` 

```(18/5 , 24/5) = ((6+x_D)/2, (4+y_D)/2)` 

`{((6+x_D)/2 = 18/5),((4+y_D)/2 = 24/5):}` 

`{(6+x_D = 36/5),(y_D+4 = 48/5):}` 

`{(x_D = 6/5),(y_D = 28/5):}` 

 

II przypadek:

Odcinek CD zawiera się w prostej m, jej równanie to:

`y=-1/3x+6` 

czyli współrzędne punktu D to:

`D = (x, -1/3x+6)` 

 

Obliczmy długość odcinka AB:

`|AB| = sqrt((x_B-x_A)^2+(y_B - y_A)^2) = sqrt((8-(-4))^2+(-2-2)^2) = sqrt(12^2 +(-4)^2) = sqrt(144+16) = sqrt160 = 4sqrt10` 

 

Długość odcinka AD musi być równa długości odcinka AB:

`|CD| = |AB|` 

`sqrt((x_D-x_C)^2+(y_D - y_C)^2) = 4sqrt10` 

 

`(x - 6)^2 + (-1/3x+6-4)^2 = 160` 

`(x-6)^2 + (-1/3x+2)^2 = 160` 

`x^2 - 12x + 36 + 1/9x^2 - 4/3x + 4 = 160` 

`10/9x^2 - 40/3 x + 40 = 160` 

`10/9x^2 -40/3x - 120=0 \ \ \ |*9` 

`10x^2 - 120x -1080=0 \ \ \ |:10` 

`x^2 -12x -108=0` 

`Delta = (-12)^2 - 4*1*(-108) = 144 + 432 = 576` 

`sqrtDelta = sqrt576 = 24` 

Bierzemy pod uwagę tylko ujemny x.

`x = (12-24)/2 = -12/2 = -6`  

`y = -1/3*(-6)+6 = 2 + 6 = 8` 

 

`D = (-6, 8)` 

 

Zatem punkt D może mieć współrzędne:

`D = (-6, 8) \ \ vv \ \ D = (6/5, 28/5)` 

Kreska ułamkowa oznacza dzielenie. Nie można dzielić przez zero, dlatego należy "wyrzucić" z dziedziny te punkty, dla których mianownik się zeruje. 

 

`a)`

`xne0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "i"\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x-2ne0\ \ \ |+2`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ xne2`

 

`D=RR\\{0,\ 2}`

 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

 

 

`b)`

`x+3ne0\ \ \ |-3\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "i"\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 5-xne0\ \ \ |-5`

`xne-3\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "i"\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -xne-5\ \ \ |*(-1)`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ xne5`

 

`D=RR\\{-3,\ 5}`

 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

 

 

`c)`

`2x-1ne0\ \ \ |+1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "i"\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x+3ne0\ \ \ |-3`

`2xne1\ \ \ |:2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "i"\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ xne-3`

`xne1/2`

 

`D=RR\\{-3,\ 1/2}`

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

 

 

`d)`

`xne0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "i"\ \ \ \ \ \ \ \ \ \5x-3ne0\ \ \ |+3`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 5xne3\ \ \ |:5`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ xne3/5`

 

`D=RR\\{0,\ 3/5}`

 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

 

 

`e)`

`4x+3ne0\ \ \ |-3\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "i"\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 6-4xne0\ \ \ |-6`

`4xne-3\ \ \ |:4\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "i"\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -4xne-6\ \ \ |:(-4)`

`xne-3/4\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "i"\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ xne3/2`

 

`D=RR\\{-3/4,\ 3/2}`

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

 

 

`f)`

`8x-6ne0\ \ \ |+6\ \ \ \ \ \ \ \ \ \"i"\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0,5x+1ne0\ \ \ |-1`

`8xne6\ \ \ |:8\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \"i"\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0,5xne-1\ \ \ |*2`

`xne3/4\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "i"\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x ne-2`

 

`D=RR\\{-2,\ 3/4}`

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

 

 

`g)`

`x(x+3)ne0`

`xne0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \"i"\ \ \ \ \ \ \ \ \ \x+3ne0\ \ \ |-3`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ xne-3`

 

`D=RR\\{-3,\ 0}`

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

 

 

`h)`

`x(6-3x)ne0`

`xne0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "i"\ \ \ \ \ \ \ \ \ \6-3xne0\ \ \ |-6`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -3xne-6\ \ \ |:(-3)`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ xne2`

 

`D=RR\\{0,\ 2}`

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

 

 

`i)`

`(2x+5)xne0`

`2x+5ne0\ \ \ |-5\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "i"\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ xne0`

`2xne-5\ \ \ |:2`

`xne-5/2`

 

`D=RR\\{-5/2,\ 0}`

 

 

Rozwiążemy nierówności, a następnie ocenimy, które liczby należą do zbioru rozwiązań podanych nierówności.

Ustalmy najpierw, ile w przybliżeniu są równe dane liczby:

`a=11 1/7=78/7~~11,14` 

`b=3,12*10^(-5)=3,12*0,00001=0,0000312` 

`c=(2sqrt2)/3~~(2*1,41)/3=(2,82)/3=0,94` 

`d=(-3sqrt2-5)/12~~(-3*1,41-5)/12=(-4,32-5)/12=-9,32/12~~-0,78`     

 

Rozwiązujemy nierówności:

`"a)"\ 1/6(x-12)-3(x+1) >=2\ "/"*6` 

`x-12-18(x+1) geq12` 

`x-12-18x-18 geq12` 

`-17x-30 geq 12` 

`-17x geq 42\ "/":(-17)` 

`x leq-42/17` 

`x leq -2 8/17`  

Odp. Żadna z podanych liczb nie spełnia tej nierówności. 

Uwaga: Odpowiedź w zbiorze zadań jest błędna.

 

`"b)"\ (x-3)^2+3x > x^2+6x`  

`x^2-6x+9+2x > x^2+6x`   

`-4x+9 > 6x` 

`9 > 10x\ "/":10` 

`0,9 >x` 

`x < 0,9` 

Odp. Nierówność spełniają liczby `b` i `d.` 

 

`"c)"\ (3x-1)/5-(3-2x)/3 geq1\ "/"*15` 

`3(3x-1)-5(3-2x)geq15` 

`9x-3-15+10xgeq15` 

`19x-18geq15` 

`19xgeq33\ "/":19` 

`xgeq33/19` 

`xgeq1 14/19` 

Odp. Nierówność spełnia liczba `a.` 

 

`"d)"\ -3(2+x)^2+13x < -3x^2+1` 

`-3(4+4x+x^2)+13x < -3x^2+1`           

`-12-12x-3x^2+13x < -3x^2+1` 

`-12+x< 1` 

`x< 13` 

Odp. Wszystkie liczby spełniają nierówność.

           

      

 

`a)`

`1/(root(3)2+1)=1/(root(3)2+1)*((root(3)2)^2-root(3)2*1+1^2)/((root(3)2)^2-root(3)2*1+1^2)=(root(3)4-root(3)2+1)/((root(3)2)^3+1^3)=(root(3)4-root(3)2+1)/(2+1)=(root(3)4-root(3)2+1)/3`

 

 

 

`b)`

`5/(2-root(3)(3))=5/(2-root(3)3)*(2^2+2*root(3)3+(root(3)3)^2)/(2^2+2*root(3)3+(root(3)3)^2)=(5(4+2root(3)3+root(3)9))/(2^3-(root(3)3)^3)=(5(4+2root(3)3+root(3)9))/(8-3)=(5(4+2root(3)3+root(3)9))/5=4+2root(3)3+root(3)9`

 

 

 

`c)`

`10/(root(3)3+root(3)2)=10/(root(3)3+root(3)2)*((root(3)3)^2-root(3)3*root(3)2+(root(3)2)^2)/((root(3)3)^2-root(3)3*root(3)2+(root(3)2)^2)=(10(root(3)9-root(3)6+root(3)4))/((root(3)3)^3+(root(3)2)^3)=(10(root(3)9-root(3)6+root(3)4))/(3+2)=(10(root(3)9-root(3)6+root(3)4))/5=`

`=2(root(3)9-root(3)6+root(3)4)=2root(3)9-2root(3)6+2root(3)4`

 

 

`d)`

`11/(3-2root(3)2)=11/(3-2root(3)2)*(3^2+3*2root(3)2+(2root(3)2)^2)/(3^2+3*2root(3)2+(2root(3)2)^2)=(11(9+6root(3)2+4root(3)4))/(3^3-(2root(3)2)^3)=(11(9+6root(3)2+4root(3)4))/(27-8*2)=(11(9+6root(3)2+4root(3)4))/11=9+6root(3)2+4root(3)4`

        

`a)`

`A={1,\ 2,\ 3,\ 6}`

`B={1,\ 3, \ 5,\ 15}`

Zbiory A i B mają po 4 elementy. 

 

`6inA\ \ i\ \ \ 6notinB`

 

 

`b)`

`A={1,\ 2,\ 3,\ 6,\ 9,\ 18}`

`B={1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 6,\ 10,\ 15,\ 30}`

Zbiory A i B nie mają tyle samo elementów.

 

`18inA\ \ \ i\ \ \ 18notinB`

 

 

`c)`

`A={1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 6,\ 9,\ 12,\ 18,\ 36}`

`B={1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 6,\ 8,\ 12,\ 16,\ 24,\ 48}`

Zbiory A i B nie mają tyle samo elementów.

 

`18inA\ \ \ i\ \ \ 18notinB`

 

a)

`8^(2/3)= 8^(1/3*2)=(root(3)8)^2=2^2=4`

`(9/16)^(3/2)=(9/16)^(3*1/2)=(sqrt(9/16))^3=(3/4)^3=27/64`

`(1/27)^(2/3)=(1/27)^(2*1/3)=(root(3)(1/27))^2=(1/3)^2=1/9`

b)

`9^(3/2)=9^(3*1/2)=(sqrt9)^2=3^3=27`

`(27^(4/3))=(27^(4*1/3))=(root(3)27)^4=3^4=81`

`16^(3/4)=16^(3*1/4)=(root(4)(16))^3=2^3=8`

c)

`(0,25)^(3/2)=(sqrt(1/4))^3=(1/2)^3=1/8`

`(0,216)^(2/3)=(root(3)(0,216))^2=(0,6)^2=0,36`

`(0,00032)^(3/5)=(root(5)(0,00032))^3=(0,2)^3=0,008`