Funkcje trygonometryczne o różnych wartościach - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Robotnik oparł drabinę o długości 3m o mur pod kątem $80^o$, czy sięgnie po leżącą na parapecie „książkę”, gdzie parapet jest na wysokości 2,9m od ziemi?

Narysujmy sobie jako trójkąt tę sytuację:

zad1

Musimy skorzystać z sinusa, wtedy będziemy mieć bok naprzeciwko kąta czyli szukaną wysokość.

$$sin 80^o={h}/{3}$$

Odczytujemy z tablic wartość kąta:

$$0,9848={h}/{3}$$ $$|×3$$

$$0,9848={h}/{3}$$ $$|×3$$

$$h=2,9544$$

Robotnik sięgnie książkę.  

Zadanie 2.

Oblicz: $$(cos 60^o+ g 45^o)^2-sin 78^o$$

Oprócz trygonometrii, mamy tutaj wzór skróconego mnożenia, jednakże widzimy, że łatwiej będzie nam najpierw podstawić liczby:

$$({1}/{2}-1)^2-0,9781=(-0,5)^2-0,9781=0,25-0,9781=-0,7281$$  

Spis treści

Rozwiązane zadania
Rozwiąż równania:

Będziemy korzystać z symbolicznej definicji wartości bezwzględnej:

 


 

 

Z definicji wartości bezwzględnej:

 

 

 


 

 

Z definicji wartości bezwzględnej: {premium}

 

 

 


 

 

 

Z definicji wartości bezwzględnej:

 

 


 

Z definicji wartości bezwzględnej:

 

 

 


 

 

 

Z definicji wartości bezwzględnej:

 

 

 


 

 

 

Równanie sprzeczne.

Rozwiąż nierówność.

 

 

 

 

Parabola ma ramiona skierowane ku górze zatem:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Parabola ma ramiona skierowane ku dołowi zatem:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Rysunek:

 

Rozwiąż graficznie i algebraicznie układ równań.

Rozwiązania graficzne:

 Przekształcamy równania prostych w układzie do postaci  

   

    

Wykresy obu funkcji rysujemy w układzie współrzędnych.

Wykresem tego układu równań są dwie proste przecinające się, a jego rozwiązaniem

są współrzędne punktu przecięcia obu prostych, które odczytujemy z rysunku:

 

 

 

 Przekształcamy równania prostych w układzie do postaci  

   

    

Wykresy obu funkcji rysujemy w układzie współrzędnych.

Wykresem tego układu równań są dwie proste przecinające się, a jego rozwiązaniem

są współrzędne punktu przecięcia obu prostych, które odczytujemy z rysunku:

 

 

 

 Przekształcamy równania prostych w układzie do postaci  

   

    

Wykresy obu funkcji rysujemy w układzie współrzędnych.

Wykresem tego układu równań są dwie proste przecinające się, a jego rozwiązaniem

są współrzędne punktu przecięcia obu prostych, które odczytujemy z rysunku:

 

 

 

 Przekształcamy równania prostych w układzie do postaci  

   

   

    

Wykresy obu funkcji rysujemy w układzie współrzędnych.

Wykresem tego układu równań są dwie proste przecinające się, a jego rozwiązaniem

są współrzędne punktu przecięcia obu prostych, które odczytujemy z rysunku:

 

 

 

Rozwiązania algebraiczne:

 

   

   

Dodajemy równania stronami i dopisujemy do układu jedno z równań z układu pierwszego.

   

  

 

 

 

 

   

Dodajemy równania stronami i dopisujemy do układu jedno z równań z układu pierwszego.

 

 

  

Dodajemy równania stronami i dopisujemy do układu jedno z równań z układu pierwszego.

  

  

  

  

  

 

 

  

 

Dodajemy równania stronami i dopisujemy do układu jedno z równań z układu pierwszego.

 

 

 

 

 

Sprawdź, czy liczba 3 ...

Musimy podstawić liczbę 3 w miejsce x i sprawdzić, czy lewa strona równania (L) przyjmuje taką samą wartość, jak jego prawa strona (P). 

 

Liczba 3 jest rozwiązaniem tego równania. 

 

 

Liczba 3 nie jest rozwiązaniem tego równania. 

 

 

Liczba 3 nie jest rozwiązaniem tego równania. 

 

 

Liczba 3 jest rozwiązaniem tego równania. 

Sprawdź, czy podane równanie jest równaniem okręgu.

Musimy doprowadzić równanie do postaci:

 

Jeżeli równanie nie będzie sprzeczne to znaczy, że równanie opisuje okrąg. Liczba r musi być dodatnia.

 

  

 

 

 

 

 

 

Równanie opisuje okrąg o środku i promieniu:

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Równanie opisuje okrąg o środku i promieniu:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Zauważmy, że jeżeli równanie opisywałoby okrąg to kwadrat promienia musiałby być równy -1, zatem równanie jest sprzeczne.

 

 

 

 

 

 

 

 

Równanie opisuje okrąg o środku i promieniu:

 

 

 

 

 

 

 

 

Równanie nie opisuje okręgu gdyż kwadrat długości promienia okręgu wynosi 0. Zatem równanie opisuje punkt o współrzędnych (5,-2).

 

 

 

 

 

 

 

 

Równanie opisuje okrąg o środku i promieniu:

 

 

Rozwiąż nierówność

 

 

 

 

Szukamy liczb, których odległość od 0 na osi liczbowej jest większa niż 5 jednostek. 

 

   

 

 

 

 

Szukamy liczb, których odległość od 10 na osi liczbowej jest mniejsza niż 6. 

Możemy więc "iść" mniej niż 6 jednostek w lewo od liczby 10 (10-6=4) i mniej niż 6 jednostek w prawo od liczby 10 (10+6=16). 

 

 

Nierówność można rozwiązać także algebraicznie:

 

 

 

 

 

 

 

 

Szukamy liczb, których odległość od -2 na osi liczbowej jest nie mniejsza (większa lub równa) niż 5. 

Możemy więc "iść" nie mniej niż 5 jednostek w lewo od -2 (-2-5=-7) lub nie mniej niż 5 jednostek w prawo od -2 (-2+5=3). 

 

 

Nierówność można rozwiązać także algebraicznie:

 

 

    

 

 

 

 

 

 

 

Wartość bezwzględna przyjmuje wyłącznie wartości nieujemne (większe lub równe 0), więc powyższa nierówność jest spełniona zawsze. 

 

 

 

 

 

 

 

Wartość bezwzględna przyjmuje wyłącznie wartości nieujemne (większe lub równe 0), więc nie może być mniejsza niż ujemna liczba -17. 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Włącz czynnik pod pierwiastek

Wykaż, że liczba -3 nie jest...

Załóżmy nie wprost, że liczba -3 jest miejscem zerowym funkcji, wtedy ma zachodzić:

  

 

 

Liczba pod pierwiastkiem jest zawsze nieujemna a więc równanie jest sprzeczne.

Napisz alternatywę zdań, używając symboli matematycznych...

Alternatywą zdań  oraz  nazywamy zdanie  lub  i oznaczamy  

Alternatywa dwóch zdań jest prawdziwa wtedy, gdy przynajmniej jedno ze zdań ją tworzących

jest prawdziwe.


 zdanie fałszywe {premium}


 zdanie prawdziwe

Obliczenia:

 

 


 zdanie prawdziwe


 zdanie fałszywe

Obliczenia:

 

 

 

 

  

 

 

Wskaż w twierdzeniu założenie i tezę.

a)

Założenie: Przekątne równoległoboku przecinają się pod kątem prostym.

Teza: Równoległobokiem jest romb.

b)

Założenie: Przekątne równoległoboku są tej samej długości.

Teza: Równoległobokiem jest prostokąt.

c)

Założenie: Dowolny kąt trójkąta równoramiennego ma 60o.

Teza: Trójkąt równoramienny jest trójkątem równobocznym.

d)

Założenie: Przekątne trapezu są tej samej długości.

Teza: Trapez jest równoramienny.

e)

Założenie: Liczba m i liczba n są podzielne przez 7

Teza: Liczba n+m jest podzielna przez 7.

f)

Założenie: Liczba n przy dzieleniu przez 3 daje resztę 1 i liczba m przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2.

Teza: Liczba n+m jest podzielna przez 3.

g)

Założenie: Środkowe w trójkącie są równej długości.

Teza: Trapez jest równoboczny.