Funkcje trygonometryczne o różnych wartościach - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Robotnik oparł drabinę o długości 3m o mur pod kątem $80^o$, czy sięgnie po leżącą na parapecie „książkę”, gdzie parapet jest na wysokości 2,9m od ziemi?

Narysujmy sobie jako trójkąt tę sytuację:

zad1

Musimy skorzystać z sinusa, wtedy będziemy mieć bok naprzeciwko kąta czyli szukaną wysokość.

$$sin 80^o={h}/{3}$$

Odczytujemy z tablic wartość kąta:

$$0,9848={h}/{3}$$ $$|×3$$

$$0,9848={h}/{3}$$ $$|×3$$

$$h=2,9544$$

Robotnik sięgnie książkę.  

Zadanie 2.

Oblicz: $$(cos 60^o+ g 45^o)^2-sin 78^o$$

Oprócz trygonometrii, mamy tutaj wzór skróconego mnożenia, jednakże widzimy, że łatwiej będzie nam najpierw podstawić liczby:

$$({1}/{2}-1)^2-0,9781=(-0,5)^2-0,9781=0,25-0,9781=-0,7281$$  

Spis treści

Rozwiązane zadania
Wyznacz współrzędne punktu ...

`A=(1;3)` 

`vec v=[-3;4]` 

`B=(1-3;3+4)=ul((-2;7)`  

Do zbioru rozwiązań nierówności ...

`(2x+4)/3<3x-1\ \ \ \ |*3`

`2x+4<9x-3\ \ \ \ |-9x`

`-7x+4< -3\ \ \ \ |-4`

`-7x< -7\ \ \ |:(-7)`

`x>1`

 

`odp.\ D`

Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych ...

 

`"Z twierdzenia Pitagorasa:"` 

`y^2=x^2+(2x)^2=5x^2` 

`y=xsqrt5` 

 

`sin alpha=x/y=x/(xsqrt5)=1/sqrt5=sqrt5/5`  

`cosalpha=(2x)/y=(2x)/(xsqrt5)=2/sqrt5=(2sqrt5)/5`  

`tg\ alpha=x/(2x)=1/2`   

`ctg\ alpha=(2x)/x=2 `  

 

`sin beta=(2x)/y=(2x)/(xsqrt5)=2/sqrt5=(2sqrt5)/5`   

`cosbeta=x/y=x/(xsqrt5)=1/sqrt5=sqrt5/5`  

`tg\ beta=(2x)/x=2 `   

`ctg\ beta=x/(2x)=1/2` 

Dziesięć lat temu Pyrki liczyły

Musimy obliczyć, jaką częścią początkowej liczby pyrkowian jest różnica obecnej i początkowej liczby pyrkowian:

`(4500-1500)/1500=3000/1500=2=200% \ \ \ \ \ \ odp.\ D`

 

Jeśli koszt wynajęcia samochodu na jeden dzień ...

`210+1,26d<500\ \ \ \ \ |-210`

`1,26d<290\ \ \ \ \ |:1,26`

`d<230,1587...`

Oblicz

`a)\ 22^2=(20+2)^2=20^2+2*20*2+2^2=400+80+4=484`

`b)\ 39^2=(40-1)^2=40^2-2*40*1+1^2=1600-80+1=1521`

`c)\ 1003^2=(1000+3)^2=1000^2+2*1000*3+3^2=1\ 000\ 000+6000+9=1\ 600\ 009`

`d)\ 498^2=(500-2)^2=500^2-2*500*2+2^2=250\ 000-2000+4=248\ 004`

Oblicz

`a)\ sqrt144=12`

`b)\ sqrt225=15`

`c)\ sqrt324=18`

`d)\ sqrt625=25`

`e)\ sqrt2500=50`

`f)\ sqrt8100=90`

`g)\ sqrt(1,21)=1,1`

`h)\ sqrt(3,61)=1,9`

`i)\ sqrt(4,41)=2,1`

Funkcja f przyporządkowuje każdej liczbie ...

Liczby całkowite z przedziału <-2;5> to:

`-2,-1,\ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5` 

Stąd dziedziną funkcji f(x), która każdej liczbie całkowitej z przedziału <-2;5> przyporządkowuje jej kwadrat pomniejszony o czterokrotność tej liczby, jest zbiór:

`D_(f)={-2,-1,\ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5}` 

Zapiszmy jak wygląda wzór funkcji:

`f(x)=x^2-4x` 

(kwadrat liczby pomniejszony o czterokrotność tej liczby)

Wyznaczmy zbiór wartości tej funkcji. W tym celu obliczamy wartości funkcji f(x) dla każdego argumentu z dziedziny:

`f(-2)=(-2)^2-4*(-2)=4+8=12` 

`f(-1)=(-1)^2-4*(-1)=1+4=5` 

`f(0)=0^2-4*0=0-0=0` 

`f(1)=1^2-4*1=1-4=-3` 

`f(2)=2^2-4*2=4-8=-4` 

`f(3)=3^2-4*3=9-12=-3` 

`f(4)=4^2-4*4=16-16=0` 

`f(5)=5^2-4*5=25-20=5`     

Stąd zbiorem wartosci funkcji jest zbiór:

`Z_w={-4,-3,\ 0,\ 5,\ 12}`

Napisz wzory i naszkicuj ...

`a)` 

`f(x)=x^2-4` 

`g(x)=|f(x)|=|x^2-4|` 

`h(x)=f(|x|)=|x|*|x|-4=x^2-4` 

Zauważmy, że:

`f(x)=h(x)` 

 

`b)` 

`f(x)=(x-4)^2`    

`g(x)=|f(x)|=|(x-4)^2|=(x-4)^2`  

`h(x)=f(|x|)=(|x|-4)^2` 

Zauważmy, że:

`f(x)=g(x)`  

 

`c)` 

`f(x)=|x|-3` 

`g(x)=|f(x)|=||x|-3|` 

`h(x)=f(|x|)=|x|-3` 

Zauważmy, że:

`f(x)=h(x)`  

Nawóz do kwiatów zawiera azot ...

`7x\ -\ "masa azotu"`

`7x\ -\ "masa kwasu fosforowego"`

`6x \ -\ "masa potasu"`

 

`7x+7x+6x=21`

`20x=21\ \ \ \ |:20`

`x=21/20=1 1/20=1 5/100=1,05`

`7x=7*1,05=7,35`

`6x=6*1,05=6,30`