Funkcje trygonometryczne o różnych wartościach - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Robotnik oparł drabinę o długości 3m o mur pod kątem $80^o$, czy sięgnie po leżącą na parapecie „książkę”, gdzie parapet jest na wysokości 2,9m od ziemi?

Narysujmy sobie jako trójkąt tę sytuację:

zad1

Musimy skorzystać z sinusa, wtedy będziemy mieć bok naprzeciwko kąta czyli szukaną wysokość.

$$sin 80^o={h}/{3}$$

Odczytujemy z tablic wartość kąta:

$$0,9848={h}/{3}$$ $$|×3$$

$$0,9848={h}/{3}$$ $$|×3$$

$$h=2,9544$$

Robotnik sięgnie książkę.  

Zadanie 2.

Oblicz: $$(cos 60^o+ g 45^o)^2-sin 78^o$$

Oprócz trygonometrii, mamy tutaj wzór skróconego mnożenia, jednakże widzimy, że łatwiej będzie nam najpierw podstawić liczby:

$$({1}/{2}-1)^2-0,9781=(-0,5)^2-0,9781=0,25-0,9781=-0,7281$$  

Spis treści

Rozwiązane zadania
Dla jakich liczb naturalnych...

Miejscem zerowym funkcji f jest:

`f(x) = 0` 

`3x+m = 0` 

`3x = -m` 

`x = -m/3` 

 

Skoro funkcje mają mieć to samo miejsce zerowe to:

`g(-m/3) = 0` 

`n*(-m/3) +4=0` 

`-(mn)/3 = -4` 

`mn = 12` 

Funkcje mają takie same miejsca zerowe dla liczb naturalnych m, n takich , że iloczyn tych liczb wynosi 12. Możliwe rozwiązania to:

`m = 12 \ \ ^^ \ \ n = 1` 

`m = 6 \ \ ^^ \ \ n = 2` 

`m = 4 \ \ ^^ \ \ n = 3` 

`m = 3 \ \ ^^ \ \ n = 4` 

`m = 2 \ \ ^^ \ \ n = 6` 

`m = 1 \ \ ^^ \ \ n = 12` 

Ratownicy wytyczają prostokątne kąpielisko...

Lina ma 240 m, oznaczmy bok prostokąta przez x tak jak na rysunku, wtedy bok nieprzylegający do plaży ma długość:

`2x + b = 240` 

`b = 240 - 2x` 

`b = 240 -2x` 

 

Pole kąpieliska:

`P = x*b = x*(240-2x)` 

Funkcja określająca pole prostokąta w zależności od jego boków:

`P(x) = x*(240-2x) = -2x(x-120)` 

Parabola ma ramiona skierowane ku dołowi a więc wartość największa jest w wierzchołku, obliczmy odciętą wierzchołka paraboli. Można ją obliczyć licząc średnią arytmetyczną miejsc zerowych.

`p = (x_1 + x_2)/2 = (0+120)/2 = 60` 

 

`x = 60` 

`b = 240 - 2*60 = 240 - 120 = 120` 

Kąpielisko o największej powierzchni będzie miało wymiary 60 m x 120 m.

Funkcję f: {-3, -2 , -1, 0, 1, 2} ...

`a)` 

 

 

`b)` 

Szukamy x takich, że f(x)>1.

`"Dla"\ x in {-3;1;2}\ "spełniona jest nierówność"\ f(x)>1.`   

Dane są dwie liczby naturalne, z których

Liczba, która przy dzieleniu przez 3 daje resztę 1:

`3n+1`

Liczba, która przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2:

`3n+2`

`(3n+1)^2+(3n+2)^2=(3n)^2+2*3n*1+1^2+(3n)^2+2*3n*2+2^2=`

`=9n^2+6n+1+9n^2+12n+4= 18n^2+18n+5=18(n^2+n)+5`

 

Sprawdźmy resztę z dzielenia przez 3 tej liczby

`(18(n^2+n)+5)/3=(18(n^2+n))/3+5/3=6(n^2+n)+ 1+ ul(ul(r.2))`

Widzimy, że reszta z dzielenia przez 3 to 2.

W trójkącie ABC wysokość CD jest równa 20 cm.

I sposób:

Obliczmy sobie najpierw przeciwprostokątną trójkąta ABC

`12^2+16^2=|BC|^2`

`400=|BC|^2`     `|BC|>0`

`|BC|=20cm`

Mając obliczony z Pitagorasa bok BC obliczamy skalę podobieństwa trójkątów ABC i ABD

`k=(|AB|)/(|BC|)`

`k=12/20=3/5`

Obliczamy skalę podobieństwa trójkątów ABC i ACD

`k=(|AC|)/(|BC|)`

`k=16/20=4/5`

Obliczamy skalę podobieństwa trójkątów ABD i ADC

`k=(|AB|)/(|AC|)`

`k=12/16=3/4`

 

Stosunek pól trójkątów podobnych równa się kwadratowi skali podobieństwa

`a) \ k^2=(3/5)^2=9/25`

`b) \ k^2=(4/5)^2=16/25`

`c) \ k^2=(3/4)^2=9/16`

 

II sposób

Obliczmy sobie najpierw przeciwprostokątną trójkąta ABC

`12^2+16^2=|BC|^2`

`400=|BC|^2`     `|BC|>0`

`|BC|=20cm`

 

Trójkąty ABC i ABD mają wspólny kąt alfa, oprócz tego oba mają kąt prosty, dlatego ich ostatni kąt będzie miał taką samą miarę- oznaczmy go jako beta. 

Do obliczenia stosunków pól podanych trójkątó potrzebujemy długości boków: AD , BD i CD

Zgodnie z cechą kkk trójkąty ABC i ABD są podobne. 

Układamy proporcje wynikające z podobieństwa:

`(|AD|)/(|AB|)=(|AC|)/(|BC|)`

`(|AD|)/(12cm)=(16cm)/(20cm)`

`|AD|*20cm=12cm*16cm`

`|AD|=ul(9,6 cm)`

 

`(|BD|)/(|AB|)=(|AB|)/(|BC|)`

`(|BD|)/(12cm)=(12cm)/(20cm)`

`|BD|*20cm=12cm*12cm`

`|BD|=7,2cm`

 

`|CD|=|BC|-|BD|=20cm-7,2cm=12,8 cm`

 

Obliczamy pola trójkątów:

`P_(ABC)=1/2*16cm*12cm=96cm^2`

`P_(ADC)=1/2*9,6cm*7,2cm=34,56cm^2`

`P_(ABD)=1/2* 9,6cm*12,8cm=61,44cm^2`

 

a)

`P_(ABD)/P_(ABC)=(61,44cm^2)/(96cm^2)=0,64`

b)

`P_(ADC)/P_(ABC)=(34,56cm^2)/(96cm^2)=0,36`

c)

`P_(ABD)/P_(ADC)=(34,56cm^2)/(61,44cm^2)=0,5625`

 

 

 

 

Prosta l2 jest obrazem prostej l1 ...

`a)` 

`l_1:y=2x-1` 

`P=(0;1)` 

`k=3` 

`A-"dowolny punkt leżący na prostej"\ l_1` 

`A=(x;y)=(x;2x-1)` 

`A'-"punkt A przekształcony przez rozważaną jednokładność"` 

`A'=(a,b)` 

 

`3vec(AP)=vec(A'P)` 

`3[-x;1-2x+1]=[-a;1-b]` 

Porównajmy odpowiednie współrzędne:

`-3x=-a\ implies\ a=3x` 

`3(-2x+2)=1-b\ implies\ b=6x-5`  

`A'=(3x;2*3x-5)` 

Podstawmy zamiast 3x tylko x.

`(x;2x-5)` 

Powyższy punkt należy do prostej:

`l_2:ul(y=2x-5` 

 

`b)` 

`l_1:x+2y-4=0` 

`l_1:y=-x/2+2`   

`P=(2;-1)` 

`k=-2`  

`A-"dowolny punkt leżący na prostej"\ l_1` 

`A=(x;y)=(x;-x/2+2)`  

`A'-"punkt A przekształcony przez rozważaną jednokładność"` 

`A'=(a,b)` 

 

`-2vec(AP)=vec(A'P)`   

`-2[2-x;-1+x/2-2]=[2-a;-1-b]` 

Porównajmy odpowiednie współrzędne:

`-4+2x=2-a\ implies\ a=-2x+6`   

`2(-x/2+3)=-1-b\ implies\ b=x-7`        

`A'=(-2x+6;x-7)`   

`A'=(-2x+6;-(-2x+6)/2-4)`   

Podstawmy zamiast -2x+6 tylko x.

`A'=(x;-x/2-4)`   

Powyższy punkt należy do prostej:

`l_2:ul(y=-x/2-4` 

Zapisz wzór funkcji w postaci kanonicznej ...

`a)` 

`y=x^2+8x+15=x^2+2*4x+4^2-4^2+15=(x+4)^2-1` 

`b)` 

`y=-x^2+4x-6=-(x^2-2*2x+2^2-2^2+6)=-(x-2)^2-2` 

`c)` 

`y=1/2x^2+2x+2=1/2(x^2+4x+4)=1/2(x+2)^2`   

Wyznacz wszystkie

Kreska ułamkowa oznacza dzielenie. Nie można dzielić przez 0, więc w każdym przykładzie musimy założyć, że mianownik nie przyjmuje wartości 0. 

 

`a)` 

`"założenia:"` 

`-|x^2|ne0\ \ \ |*(-1)` 

`|x^2|ne0` 

`x^2ne0` 
`xne0` 
`D=RR-{0}` 
 
`(|x|*|-x|)/(-|x^2|)=(|x*(-x)|)/(-|x^2|)=|-x^2|/(-|x^2|)=-|(-x^2)/x^2|=-|-1|=-1`     

 

 

`b)` 

`"założenia:"` 

`|2x-6|ne0` 

`2x-6ne0\ \ \ |+6` 

`2xne6\ \ \ |:2` 

`xne3` 

`D=RR-{3}` 

 

`|3-x|/|2x-6|=|(3-x)/(2x-6)|=|((-1)*(x-3))/(2*(x-3))|=|-1/2|=1/2` 

 

 

`c)` 

`"założenia:"` 

`|3x-3sqrt2|ne0` 

`3x-3sqrt2ne0\ \ \ |+3sqrt2` 

`3xne3sqrt2\ \ \ |:3` 

`xnesqrt2` 

`D=RR-{sqrt2}` 

 

`|sqrt2-x|/|3x-3sqrt2|=|(sqrt2-x)/(3x-3sqrt2)|=|((-1)*(x-sqrt2))/(3*(x-sqrt2))|=|-1/3|=1/3` 

 

 

`d)` 

`"założenia:"` 

`|4x-10|ne0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "i"\ \ \ \ \ \ |12-2x|ne0`      

`4x-10ne0\ \ \ |+10\ \ \ \ \ \ "i" \ \ \ \ \ \ 12-2xne0\ \ \ |-12` 

`4xne10\ \ \ |:4\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "i"\ \ \ \ \ \ -2xne-12\ \ \ |:(-2)`   

`xne2 1/2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "i"\ \ \ \ \ \ xne6` 

`D=RR-{-2 1/2,\ 6}` 

 

`|5-2x|/|4x-10|-|x-6|/|12-2x|=|(5-2x)/(4x-10)|-|(x-6)/(12-2x)|=|((-1)*(2x-5))/(2*(2x-5))|-|(x-6)/((-2)*(x-6))|=|-1/2|-|1/(-2)|=1/2-1/2=0`           

Ania idzie wzdłuż linii prostej i stawia

Ustalmy prędkość poruszania się Ani- dwa kroki po 55 cm to razem 110cm

`v=(110cm)/s=1,1m/s`

Analizujemy sytuacje od momentu, kiedy Ania przebyła już 100m. Ania: `s_1, t_1, v_1` Kasia: `s_2,t_2,v_2`   Szukamy czasu, po którym Kasia dogoni Anię. Czas ,,mierzymy" od momentu, kiedy Kasia wyruszyła  trasę a Ania była 100 m od niej, zatem czas przebycia danej drogi, do momentu spotkania będzie dla obu dziewczynek taki sam: `t_1=t_2`     A droga Kasi, zgodnie z tym, że analizujemy sytuacje od momentu, kiedy Ania przebyła już 100m: `s_2=s_1+100`   Wiemy też, że `v_1=1,1 m/s`   `v_2= 5 m/s `   Korzystając teraz ze wzoru na czas: `t=s/v` `t_1=s_1/v_1=s_1/(1,1 m/s)` `t_2=s_2/v_2=(s_1+100m)/(5 m/s)`   `t_1=t_2` `s_1/(1,1 m/s)=(s_1+100m)/(5 m/s)`      `(5 m/s* s_1)/(1,1 m/s)=s_1+100m`     `50/11 s_1=s_1+100m`    `50/11 s_1-s_1=100m`    `50/11 s_1- 11/11 s_1= 100m`    `39/11 s_1= 100m` `s_1= 100m *11/39` `s_1=1100/39m=28 8/39 m` Znając drogę obliczamy czas:   `t_1=s_1/v_1=(29 8/39 m)/(1,1 m/s)=1000/39 s~~25,64s`   

Ile punktów wspólnych

Przekształćmy równanie prostej do postaci kierunkowej: 

`mx-y=0\ \ \ |+y`

`mx=y`

`y=mx`

 

Zauważmy, że współczynnik b jest równy zero, więc wykres przecina oś OY w punkcie (0, 0) - przechodzi przez początek układu współrzędnych. 

Oznaczmy pomocniczo wierzchołki prostokąta:

Mamy następujące możliwości:

 

Pierwszą sytuacją, gdy wykres będzie miał punkt wspólny z prostokątem będzie sytauacja, gdy wykres przejdzie przez punkt B. Podstawmy współrzędne punktu B do równania i wyznaczmy wartość współczynnika m:

`1=m*7\ \ \ |:7`

`m=1/7`

Dla powyższej wartości parametru m wykres ma dokładnie jeden punkt wspólny z wykresem. Dla mniejszych wartości parametru m wykres nie ma punktów wspólnych z prostokątem. 

 

Teraz wyznaczmy wartość parametru m dla prostej przechodzącej przez punkt D. Wtedy wykres będzie miał jeden punkt wspólny z prostokątem: 

`4=m*2\ \ \ |:2`

`m=2`

 

Dla większych wartości parametru m wykres nie ma punktów wspólnych z prostokątem. 

 

Dla wartości parametru m między 1/7 a 2 wykres ma nieskończenie wiele punktów wspólnych z wykresem (częścią wspólną wykresu i prostokąta jest wtedy odcinek, a na odcinku znajduje się nieskończenie wiele punktów). Reasumując, mamy: 

`{("brak punktów wspólnych, gdy"\ m in (-infty;\ 1/7)uu(2;\ +infty)), ("jeden punkt wspólny, gdy"\ m in{1/7;\ 2}), ("nieskończenie wiele punktów wspólnych, gdy"\ m in (1/7;\ 2)):}`