Funkcje trygonometryczne o różnych wartościach - matura-podstawowa - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Funkcje trygonometryczne o różnych wartościach - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Robotnik oparł drabinę o długości 3m o mur pod kątem $80^o$, czy sięgnie po leżącą na parapecie „książkę”, gdzie parapet jest na wysokości 2,9m od ziemi?

Narysujmy sobie jako trójkąt tę sytuację:

zad1

Musimy skorzystać z sinusa, wtedy będziemy mieć bok naprzeciwko kąta czyli szukaną wysokość.

$sin 80^o={h}/{3}$

Odczytujemy z tablic wartość kąta:

$0,9848={h}/{3}$ $|×3$

$0,9848={h}/{3}$ $|×3$

$h=2,9544$

Robotnik sięgnie książkę.  

Zadanie 2.

Oblicz: $(cos 60^o+ g 45^o)^2-sin 78^o$

Oprócz trygonometrii, mamy tutaj wzór skróconego mnożenia, jednakże widzimy, że łatwiej będzie nam najpierw podstawić liczby:

$({1}/{2}-1)^2-0,9781=(-0,5)^2-0,9781=0,25-0,9781=-0,7281$  

Spis treści

Rozwiązane zadania
Dany jest układ równań liniowych...

A. Dla m=-1:

 {premium}

Dodajemy równania stronami i jedno równanie przepisujemy bez zmian.

 

 

Podstawiamy x=1 do drugiego równania.

 

 

 

Układ równań ma jedno rozwiązanie, więc jest oznaczony.

Zdanie A jest prawdziwe.


B. Dla m=0:

 

 

 

Podstawiamy x=1,4 do drugiego równania.

 

 

 

Układ równań ma jedno rozwiązanie, więc jest oznaczony.

Zdanie B jest prawdziwe.


C. Dla m=1:

 

Otrzymaliśmy dwa równania, których lewe strony są takie same, a prawe strony mają inne wartości. Wynika stąd, że układ równań jest sprzeczny (nie ma rozwiązań).

Zdanie C jest prawdziwe.

Zapisz taki układ nierówności, żeby spełniające...

a) Rysujemy kwadrat ABCD w układzie współrzędnych:

{premium}


Proste AB i BC przecinają os Y w punkcie (0, -4), więc wyrazy wolne w równaniach tych prostych są równe -4.

Proste CD i AD przecinają os Y w punkcie (0, 4), więc wyrazy wolne w równaniach tych prostych są równe 4.

Czworokąt ABCD jest kwadratem, więc AB||CD oraz BC||AD. Proste równoległe mają takie same współczynniki kierunkowe. Oznaczmy więc:

 

 

 

 


Prosta AB przechodzi przez punkty A(-4, 0), B(0, -4). Obliczamy współczynnik kierunkowy tej prostej:

 

Prosta AD przechodzi przez punkty A(-4, 0), D(0, 4). Obliczamy współczynnik kierunkowy tej prostej:

 


Otrzymujemy:

 

 

 

 


Punkty należące do kwadratu znajdują się powyżej prostych AB: y=-x-4 i BC: y=x-4 oraz poniżej prostych CD: y=-x+4 i AD: y=x+4, więc szukany układ nierówności ma postać:

 



b) Rysujemy trójkąt KLM w układzie współrzędnych.


Z rysunku odczytujemy równanie prostej KL:

 

Proste KM i LM przecinają os Y w punkcie (0, 5), więc wyrazy wolne w równaniach tych prostych są równe 5. Oznaczmy:

 

 


Prosta KM przechodzi przez punkty K(-3, 0), M(0, 5). Obliczamy współczynnik kierunkowy tej prostej:

 

Prosta LM przechodzi przez punkty L(2, 0), M(0, 5). Obliczamy współczynnik kierunkowy tej prostej:

 


Otrzymujemy:

 

 


Punkty należące do kwadratu znajdują się powyżej prostej KL: y=0 oraz poniżej prostych KM: y=5/3x+5 i LM: y=-5/2x+5, więc szukany układ nierówności ma postać:

 

Dane są zbiory: A - zbiór wszystkich dwucyfrowych ...

Wypiszemy elementy zbiorów A, B i C.

  

 

 

 

Suma zbiorów A i C to zbiór zawierający wszystkie elementy ze zbiorów A i C.

 {premium}

Iloczyn (część wspólna) zbiorów B i C to zbiór zawierający elementy wspólne dla zbiorów B i C.

 

Różnica zbiorów A i C to zbiór zawierający elementy należące do zbioru A, ale nie należące do zbioru C.

 

Różnica zbiorów B i A to zbiór zawierający elementy należące do zbioru B, ale nie należące do zbioru A.

 

Iloczyn (część wspólna) zbiorów AB i C to zbiór zawierający elementy wspólne dla zbiorów AB i C.

 

Spośród podanych niżej wymiarów wybierz...

Przypadek 1: bokowi długości 12 cm odpowiada bok{premium} długości 36 cm.

Obliczamy skalę podobieństwa:

 

Obliczamy długość drugiego boku:

 

Prostokąt podobny może mieć wymiary 36 cm x 60 cm.


Przypadek 2: bokowi długości 12 cm odpowiada bok długości 48 cm.

Obliczamy skalę podobieństwa:

 

Obliczamy długość drugiego boku:

 

Prostokąt podobny może mieć wymiary 48 cm x 80 cm.


Przypadek 3: bokowi długości 12 cm odpowiada bok długości 60 cm.

Obliczamy skalę podobieństwa:

 

Obliczamy długość drugiego boku:

 

Prostokąt podobny może mieć wymiary 60 cm x 100 cm.


Jeżeli chcemy otrzymać prostokąty podobne, to bokowi długości 12 cm nie mogą odpowiadać boki 80 cm i 100 cm, ponieważ wówczas nie znajdziemy dłuższych boków, które odpowiadałyby bokowi 20 cm.


Przypadek 4: bokowi długości 20 cm odpowiada bok długości 36 cm.

Obliczamy skalę podobieństwa:

 

Obliczamy długość drugiego boku:

 

Boku o długości 21,6 cm nie ma w podanym zestawie, więc ten przypadek nie spełnia warunków zadania.


Przypadek 5: bokowi długości 20 cm odpowiada bok długości 48 cm.

Obliczamy skalę podobieństwa:

 

Obliczamy długość drugiego boku:

 

Boku o długości 28,8 cm nie ma w podanym zestawie, więc ten przypadek nie spełnia warunków zadania.


Zatem sprawdziliśmy już wszystkie możliwe przypadki. Możemy wskazać trzy pary boków, z których możemy zbudować prostokąty podobne. Są to:

  • 36 cm x 60 cm,
  • 48 cm x 80 cm,
  • 60 cm x 100 cm.
Z klasy liczącej 32 uczniów...

Obliczamy, ilu uczniów wyjechało{premium} razem do rodziny i poza województwo:

 


Wiemy, że klasa liczy 32 uczniów, więc część uczniów wyjechała do rodziny mieszkającej poza województwem. Obliczamy, ilu ich było:

 


Odp. 10 uczniów wyjechało do rodziny mieszkającej poza województwem.

Uzupełnij tabelę...

Tabelę należy uzupełnić w następujący sposób:

Wzór funkcji Monotoniczność Punkt przecięcia z osią y Numery ćwiartek układu współrzędnych, przez które przechodzi wykres
y=-2,7x+8  funkcja malejąca (0; 8){premium} I, II, IV
y=0,09x-15  funkcja rosnąca (0; -15) I, III, IV
y=46 funkcja stała (0; 46) I, II
y=-35x-2,06 funkcja malejąca (0; -2, 06) II, III, IV
Wyznacz dziedzinę funkcji.

 

Pierwiastek kwadratowy możemy obliczać wyłącznie z liczb{premium} nieujemnych. Stąd:

 

 

 


 

Pierwiastek kwadratowy możemy obliczać wyłącznie z liczb nieujemnych. Stąd:

 

 

 

 


 

Pierwiastek kwadratowy możemy obliczać wyłącznie z liczb nieujemnych. Stąd:

 

 

 

 

 


 

Pierwiastek kwadratowy możemy obliczać wyłącznie z liczb nieujemnych. Stąd:

 

 

 

 

 


 

Pierwiastek kwadratowy możemy obliczać wyłącznie z liczb nieujemnych. Stąd:

 

 

 

 

 

 


 

Pierwiastek kwadratowy możemy obliczać wyłącznie z liczb nieujemnych. Stąd:

 

 

 

 

 

 

 

Jaką liczbą należy zastąpić literę a...

Zauważmy, że możemy ułożyć następującą proporcję:  {premium}

 

 

 


Odp.: D

W trójkącie równoramiennym o podstawie a...

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:{premium}


Z twierdzenia o dwusiecznej:

 

 

 

Mnożymy na krzyż.

 

 

 

 

 


Trójkąty ABE i BDA są przystające na podstawie cechy KBK. Z przystawania tych trójkątów: |AE|=|BD| i stąd: |EC|=|DC|.

|AE|=|BD| oraz |EC|=|DC|, więc na mocy twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Talesa ED||AB.


ED||AB, więc trójkąty EDC i ABC są podobne na podstawie cechy KKK. Z podobieństwa tych trójkątów:

 

 

 

 

Z 1,5 t buraków można otrzymać ...

Z treści zadania wiemy, że:

 

 

Zatem:     {premium}

 

 

 

 

 

 

 

 

Odp. D