A. Dla m=-1:
{premium}
Dodajemy równania stronami i jedno równanie przepisujemy bez zmian.
Podstawiamy x=1 do drugiego równania.
Układ równań ma jedno rozwiązanie, więc jest oznaczony.
Zdanie A jest prawdziwe.
B. Dla m=0:
Podstawiamy x=1,4 do drugiego równania.
Układ równań ma jedno rozwiązanie, więc jest oznaczony.
Zdanie B jest prawdziwe.
C. Dla m=1:
Otrzymaliśmy dwa równania, których lewe strony są takie same, a prawe strony mają inne wartości. Wynika stąd, że układ równań jest sprzeczny (nie ma rozwiązań).
Zdanie C jest prawdziwe.
a) Rysujemy kwadrat ABCD w układzie współrzędnych:
{premium}
Proste AB i BC przecinają os Y w punkcie (0, -4), więc wyrazy wolne w równaniach tych prostych są równe -4.
Proste CD i AD przecinają os Y w punkcie (0, 4), więc wyrazy wolne w równaniach tych prostych są równe 4.
Czworokąt ABCD jest kwadratem, więc AB||CD oraz BC||AD. Proste równoległe mają takie same współczynniki kierunkowe. Oznaczmy więc:
Prosta AB przechodzi przez punkty A(-4, 0), B(0, -4). Obliczamy współczynnik kierunkowy tej prostej:
Prosta AD przechodzi przez punkty A(-4, 0), D(0, 4). Obliczamy współczynnik kierunkowy tej prostej:
Otrzymujemy:
Punkty należące do kwadratu znajdują się powyżej prostych AB: y=-x-4 i BC: y=x-4 oraz poniżej prostych CD: y=-x+4 i AD: y=x+4, więc szukany układ nierówności ma postać:
b) Rysujemy trójkąt KLM w układzie współrzędnych.
Z rysunku odczytujemy równanie prostej KL:
Proste KM i LM przecinają os Y w punkcie (0, 5), więc wyrazy wolne w równaniach tych prostych są równe 5. Oznaczmy:
Prosta KM przechodzi przez punkty K(-3, 0), M(0, 5). Obliczamy współczynnik kierunkowy tej prostej:
Prosta LM przechodzi przez punkty L(2, 0), M(0, 5). Obliczamy współczynnik kierunkowy tej prostej:
Otrzymujemy:
Punkty należące do kwadratu znajdują się powyżej prostej KL: y=0 oraz poniżej prostych KM: y=5/3x+5 i LM: y=-5/2x+5, więc szukany układ nierówności ma postać:
Wypiszemy elementy zbiorów A, B i C.
Suma zbiorów A i C to zbiór zawierający wszystkie elementy ze zbiorów A i C.
{premium}
Iloczyn (część wspólna) zbiorów B i C to zbiór zawierający elementy wspólne dla zbiorów B i C.
Różnica zbiorów A i C to zbiór zawierający elementy należące do zbioru A, ale nie należące do zbioru C.
Różnica zbiorów B i A to zbiór zawierający elementy należące do zbioru B, ale nie należące do zbioru A.
Iloczyn (część wspólna) zbiorów A, B i C to zbiór zawierający elementy wspólne dla zbiorów A, B i C.
Przypadek 1: bokowi długości 12 cm odpowiada bok{premium} długości 36 cm.
Obliczamy skalę podobieństwa:
Obliczamy długość drugiego boku:
Prostokąt podobny może mieć wymiary 36 cm x 60 cm.
Przypadek 2: bokowi długości 12 cm odpowiada bok długości 48 cm.
Obliczamy skalę podobieństwa:
Obliczamy długość drugiego boku:
Prostokąt podobny może mieć wymiary 48 cm x 80 cm.
Przypadek 3: bokowi długości 12 cm odpowiada bok długości 60 cm.
Obliczamy skalę podobieństwa:
Obliczamy długość drugiego boku:
Prostokąt podobny może mieć wymiary 60 cm x 100 cm.
Jeżeli chcemy otrzymać prostokąty podobne, to bokowi długości 12 cm nie mogą odpowiadać boki 80 cm i 100 cm, ponieważ wówczas nie znajdziemy dłuższych boków, które odpowiadałyby bokowi 20 cm.
Przypadek 4: bokowi długości 20 cm odpowiada bok długości 36 cm.
Obliczamy skalę podobieństwa:
Obliczamy długość drugiego boku:
Boku o długości 21,6 cm nie ma w podanym zestawie, więc ten przypadek nie spełnia warunków zadania.
Przypadek 5: bokowi długości 20 cm odpowiada bok długości 48 cm.
Obliczamy skalę podobieństwa:
Obliczamy długość drugiego boku:
Boku o długości 28,8 cm nie ma w podanym zestawie, więc ten przypadek nie spełnia warunków zadania.
Zatem sprawdziliśmy już wszystkie możliwe przypadki. Możemy wskazać trzy pary boków, z których możemy zbudować prostokąty podobne. Są to:
Obliczamy, ilu uczniów wyjechało{premium} razem do rodziny i poza województwo:
Wiemy, że klasa liczy 32 uczniów, więc część uczniów wyjechała do rodziny mieszkającej poza województwem. Obliczamy, ilu ich było:
Odp. 10 uczniów wyjechało do rodziny mieszkającej poza województwem.
Tabelę należy uzupełnić w następujący sposób:
Wzór funkcji | Monotoniczność | Punkt przecięcia z osią y | Numery ćwiartek układu współrzędnych, przez które przechodzi wykres |
y=-2,7x+8 | funkcja malejąca | (0; 8){premium} | I, II, IV |
y=0,09x-15 | funkcja rosnąca | (0; -15) | I, III, IV |
y=46 | funkcja stała | (0; 46) | I, II |
y=-35x-2,06 | funkcja malejąca | (0; -2, 06) | II, III, IV |
Pierwiastek kwadratowy możemy obliczać wyłącznie z liczb{premium} nieujemnych. Stąd:
Pierwiastek kwadratowy możemy obliczać wyłącznie z liczb nieujemnych. Stąd:
Pierwiastek kwadratowy możemy obliczać wyłącznie z liczb nieujemnych. Stąd:
Pierwiastek kwadratowy możemy obliczać wyłącznie z liczb nieujemnych. Stąd:
Pierwiastek kwadratowy możemy obliczać wyłącznie z liczb nieujemnych. Stąd:
Pierwiastek kwadratowy możemy obliczać wyłącznie z liczb nieujemnych. Stąd:
Zauważmy, że możemy ułożyć następującą proporcję: {premium}
Odp.: D
Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:{premium}
Z twierdzenia o dwusiecznej:
Mnożymy na krzyż.
Trójkąty ABE i BDA są przystające na podstawie cechy KBK. Z przystawania tych trójkątów: |AE|=|BD| i stąd: |EC|=|DC|.
|AE|=|BD| oraz |EC|=|DC|, więc na mocy twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Talesa ED||AB.
ED||AB, więc trójkąty EDC i ABC są podobne na podstawie cechy KKK. Z podobieństwa tych trójkątów:
Z treści zadania wiemy, że:
Zatem: {premium}
Odp. D