Funkcje trygonometryczne o różnych wartościach - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Robotnik oparł drabinę o długości 3m o mur pod kątem $80^o$, czy sięgnie po leżącą na parapecie „książkę”, gdzie parapet jest na wysokości 2,9m od ziemi?

Narysujmy sobie jako trójkąt tę sytuację:

zad1

Musimy skorzystać z sinusa, wtedy będziemy mieć bok naprzeciwko kąta czyli szukaną wysokość.

$$sin 80^o={h}/{3}$$

Odczytujemy z tablic wartość kąta:

$$0,9848={h}/{3}$$ $$|×3$$

$$0,9848={h}/{3}$$ $$|×3$$

$$h=2,9544$$

Robotnik sięgnie książkę.  

Zadanie 2.

Oblicz: $$(cos 60^o+ g 45^o)^2-sin 78^o$$

Oprócz trygonometrii, mamy tutaj wzór skróconego mnożenia, jednakże widzimy, że łatwiej będzie nam najpierw podstawić liczby:

$$({1}/{2}-1)^2-0,9781=(-0,5)^2-0,9781=0,25-0,9781=-0,7281$$  

Spis treści

Rozwiązane zadania
Wyznacz miejsca zerowe funkcji f.

`f(x) = (x+4) sqrt(x-2)` 

Obliczmy dziedzinę funkcji, liczba pod pierwiastkiem musi być nieujemna.

`x -2 geq 0`  

`x geq 2` 

`D = [2, oo)` 

 

`f(x) =0` 

`(x+4) sqrt(x-2) =0` 

 

Wiemy, że:

`x + 4 =0 \ \ "dla" \ x =-4`  

Lecz nie należy do dziedziny a więc możemy podzielić przez to wyrażenie gdyż jest różne od 0.

 

`sqrt(x-2) =0` 

`x - 2 =0` 

`x = 2` 

`M_z = {2}` 

Wyznacz współczynniki we wzorze funkcji kwadratowej...

Wykres funkcji `y=|x+3|-2`

 

Skoro miejsca zerowe obu funkcji są wspólne to możemy zapisać funkcję kwadratową w postaci iloczynowej:

`f(x) = a(x+5)(x+1)` 

Wiemy również, że pierwsza współrzędna wierzchołka jest równa sumie arytmetycznej miejsc zerowych. Funkcje mają trzy punkty wspólne zatem, oprócz dwóch miejsc zerowych, trzecim punktem wspólnym jest punkt o współrzędnych:

`(-3,-2)`  

A więc:

`f(-3)=-2` 

`a(-3+5)(-3+1)=-2` 

`a*2*(-2)=-2` 

`-4a = -2` 

`a = 1/2` 

 

`f(x) = 1/2(x+5)(x+1) = 1/2(x^2+x+5x+5) = 1/2(x^2+6x+5) = 1/2x^2 + 3x + 5/2` 

`{(a=1/2),(b=3),(c=5/2):}` 

Rozwiąż układ równań.

`{(x^2+y^2 -6x-2y=6 ),(y=x+2):}` 

`{(x^2 -6x + y^2 -2y = 6 \ \ \ |+10),(y=x+2):}`

`{(x^2 - 6x + y^2 - 2y + 10 =16),(y=x+2):}`

`{(x^2 - 6x + 9 + y^2 - 2y + 1 = 16),(y=x+2):}`

`{((x-3)^2 + (y-1)^2=16),(y=x+2):}`

Podstawmy drugie równanie pod pierwsze i obliczmy zmienną x:

`(x-3)^2 + (x+2-1)^2 = 16`  

`(x-3)^2 + (x+1)^2 = 16` 

 `x^2 -6x + 9 + x^2 + 2x + 1 = 16` 

`2x^2 -4x + 10 = 16`

`2x^2 -4x -6 =0 \ \ \ |:2`

`x^2 -2x -3 =0`

`Delta = 4 -4*(-3)*1=4+12 = 16`

`sqrtDelta = 4` 

`x_1 = (-(-2) - 4)/2 = (-2)/2 = -1`

`x_2 = (-(-2)+4)/2 = 3`

Wróćmy do układu równań:

`{(x_1=-1),(y_1=1):} \ \ \ \ vee \ \ \ \ {(x_2 = 3),(y_2 = 5):}`

Pary (-1,1), (3,5) są rozwiązaniami układu równań, interpretacja geometryczna:

 

 

`b) \ {(x^2-4x+y^2-6y+8=0),(y=2x+3):}`

`{(x^2 -4x + 4 + y^2 - 6y +9 -5=0),(y=2x+3):}`

`{((x-2)^2 +(y-3)^2=5),(y=2x+3):}`

Podstawmy drugie równanie pod pierwsze i obliczmy zmienną x:

`(x-2)^2 +(2x+3-3)^2=5`

`(x-2)^2 + (2x)^2=5`

`x^2 -4x+4 + 4x^2 = 5`

`5x^2 -4x -1=0`

`Delta = 16 - 4*5*(-1) = 16 + 20 = 36`

`sqrt(Delta)=6`

`x_1 = (-(-4)-6)/10 = -1/5`

`x_2 = (-(-4)+6)/10 = 1`

Wróćmy do układu równań:

`{(x_1=-1/5),(y_1=2*(-1/5)+3):} \ \ \ \ vee \ \ \ \ {(x_2=1),(y_2=2*1+3):}`

`{(x_1=-0,2),(y_1=2,6):} \ \ \ \ vee \ \ \ \ {(x_2=1),(y_2=5):}`

Pary (-0,2 , 2,6),(1,5) są rozwiązaniami układu równań, interpretacja geometryczna:

 

 

`c) \ {(x^2+y^2=8),(x^2+y^2-2x-2y=0 \ \ \ |+2):}`

`{(x^2 + y^2=8),(x^2 - 2x + y^2 -2y +2=2):}`

`{(x^2 + y^2 =8),(x^2 -2x +1 + y^2 -2y + 1=2):}`

`{(x^2 + y^2=8),((x-1)^2 +(y-1)^2 =2):}` 

Taka postać układu równań jest nam potrzebna do interpretacji geometrycznej, wróćmy teraz do początku i rozwiążmy go algebraicznie.

`{(x^2+y^2=8),(x^2 + y^2 - 2x - 2y=0):}`

Podstawmy pierwsze równanie pod drugie.

`8 - 2x - 2y =0 \ \ \ |:2`

`4-y=x` 

Wróćmy do układu równań:

`{(x=4-y),(x^2 + y^2 =8):}`

`{(x=4-y),((4-y)^2 + y^2 =8):}`

`(4-y)^2 + y^2 =8`

`16 - 8y + y^2 + y^2 =8`

`2y^2 -8y + 8 =0 \ \ \ |:2`

`y^2 -4y +4=0`

`(y-2)^2 =0`

`y=2`

`{(y=2),(x=2):}`

Para (2,2) jest rozwiązaniem układu równań, interpretacja geometryczna:

 

 

`d) \ {(x^2+6x+y^2 -16=0),(x^2-2x+y^2 -8=0):}` 

Zapiszmy oba równania w takiej postaci by łatwo odczytać środku i promienie okręgów a nastepnie rozwiążemy układ algebraicznie.

`{(x^2+6x+y^2-16=0),(x^2-2x+y^2-8=0):}`

`{(x^2+6x+9+y^2 =25),(x^2 -2x +1 +y^2=9):}`

`{((x+3)^2 + y^2 =25),((x-1)^2 + y^2 = 3):}`

Wróćmy do początkowej postaci układu równań i rozwiążmy go.

`{(x^2+6x+y^2 -16=0),(x^2 -2x+y^2 -8=0):}`

`{(x^2+y^2 = 16-6x),(x^2 + y^2 = 2x+8):}`

`16-6x = 2x+8`

`8x = 8`

`x=1`

`{(x=1),(x^2+y^2 = 2x+8):}`

`{(x=1),(1+y^2 = 10):}`

`{(x=1),(y^2=9):}`

`{(x=1),(|y|=3):}`

`{(x_1=1),(y_1=3):} \ \ \ \ vv \ \ \ \ {(x_2=1),(y_2=-3):}`

Pary (1,3), (1,-3) są rozwiązaniami układu równań, interpretacja geometryczna:

 

Na rysunku obok przedstawiono łamaną

`a)`

Wyznaczmy współrzędne dwóch punktów należących do tej prostej i poprowadźmy wykres:

`x=2\ \ \ ->\ \ \ y=1/2*2=1\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (2;\ 1)`

`x=4\ \ \ ->\ \ \ y=1/2*4=2\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (4;\ 2)`

Wykres ma 4 punkty wspólne z łamaną - zanzaczono je zielonymi punktami. 

 

 

 

`b)`

Wyznaczmy współrzędne dwóch punktów należących do tej prostej i poprowadźmy wykres:

`x=3\ \ \ ->\ \ \ y=1/3*3=1\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (3;\ 1)`

`x=6\ \ \ ->\ \ \ y=1/3*6=2\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (6;\ 2)`

Wykres ma 7 punktów wspólnych z łamaną - zanzaczono je zielonymi punktami. 

 

 

 

`c)`

Wyznaczmy współrzędne dwóch punktów należących do tej prostej i poprowadźmy wykres:

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=4/5*0=0\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (0;\ 0)`

`x=5\ \ \ ->\ \ \ y=4/5*5=4\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (5;\ 4)`

Wykres ma 3 punkty wspólne z łamaną - zanzaczono je zielonymi punktami. 

 

 

Teraz chcemy wyznaczyć wartość parametru a, dla którego prosta ma z łamaną 9 puktów wspólnych. Zauważmy, że jeśli prosta będzie przechodzić przez którykolwiek z wyższych wierzchołków, to ilość punktów wspólnych będzie różna od 9:

W pierwszym przypadku mielibyśmy nieskończenie wiele punktów wspólnych, w drugim - trzy punkty wspólne, a w trzecim - 5 punktów wspólnych. 

 

Sprawdźmy teraz sytuacje, gdy prosta przechodzi przez którykolwiek z niższych wierzchołków:

W pierwszym przypadku mamy 7 punktów wspólnych z łamaną, a w drugim - 9 punktów wspólnych. 

Rozwiązaniem jest więc prosta y=ax przechodząca przez punkt (7; 1). Podstawmy współrzędne punktu do równania prostej i wyznaczmy wartość współczynnika a:

`1=a*7\ \ \ |:7`

`ul(ul(a=1/7))`

 

Wyznacz wszystkie pary liczb naturalnych

Wyznaczmy n z danego równania:

`2n+3k=18\ \ \ \ |-3k` 

`2n=18-3k\ \ \ |:2` 

`n=9-3/2k` 

 

Liczby n i k mają być liczbami naturalnymi, więc w szczególności musi zachodzić warunek n≥0. Rozwiążmy nierówność.

`n>=0` 

`9-3/2k>=0\ \ \ |-18`  

`-3/2k>=-9\ \ \ |:(-3)` 

`1/2k<=3\ \ \ |*2` 

`k<=6` 

Oczywiście k także musi być liczbą naturalną, więc k≥0.

Liczby naturalne k, które są nie mniejsze niż 0 oraz nie większe niż 6 to: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Zauważmy, że aby n było liczbą naturalną, to k musi być podzielne przez 2 (inaczej ułamek 3/2 nie skróci się z k). Mamy więc następujące możliwości:

`1)\ k=0\ \ \ =>\ \ \ n=9-3/2*0=9-0=9\ \ \ =>\ \ \ "para"\ (9;\ 0)` 

`2)\ k=2\ \ \ =>\ \ \ n=9-3/strike2^1*strike2^1=9-3=6\ \ \ =>\ \ \ "para"\ (6;\ 2)` 

`3)\ k=4\ \ \ =>\ \ \ n=9-3/strike2^1*strike4^2=9-6=3\ \ \ =>\ \ \ "para"\ (3;\ 4)` 

`4)\ k=6\ \ \ =>\ \ \ n=9-3/strike2^1*strike9^3=9-9=0\ \ \ =>\ \ \ "para"\ (0;\ 6)` 

 

Na diagramie przedstawiono sześcioelementowy zbiór A

`a) \ P`

`b)\ F`

`c)\ sqrt16=4\ \ \ P`

`d)\ sqrt9=3\ \ \ \ F`

`e)\ F`

`f)\ P`

Wyznacz wszystkie liczby naturalne

`a)` 

Musimy znaleźć takie liczby całkowite n, aby liczba 6 była podzielna przez n-1. Wypiszmy wszystkie dzielniki całkowite liczby 6: -6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6. Mamy więc następujące możliwości:

`1)\ n-1=-6\ \ \ =>\ \ \ n=-6+1=-5notinNN` 

`2)\ n-1=-3\ \ \ =>\ \ \ n=-3+1=-2notinNN` 

`3)\ n-1=-2\ \ \ =>\ \ \ n=-2+1=-1notinNN` 

`4)\ n-1=-1\ \ \ =>\ \ \ n=-1+1=0` 

`5)\ n-1=1\ \ \ \ \ =>\ \ \ n=1+1=2` 

`6)\ n-1=2\ \ \ \ \ =>\ \ \ n=2+1=3` 

`7)\ n-1=3\ \ \ \ \ =>\ \ \ n=3+1=4` 

`8)\ n-1=6\ \ \ \ \ =>\ \ \ n=6+1=7` 

Liczba n ma być liczbą naturalną, możemy więc zapisać odpowiedź:

`ul(ul(n in{ 0,\ 2,\ 3,\ 4,\ 7}))` 

 

 

`ul(ul(ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))))` 

   

 

`b)` 

Musimy znaleźć takie liczby całkowite n, aby liczba 18 była podzielna przez 2n+1. Wypiszmy wszystkie dzielniki całkowite liczby 18: -18, -9, -6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6, 9, 18. Aby za każdym razem nie wykonywać tych samych przekształceń, oznaczmy dzielnik kwadracikiem i wyznaczmy z poniższego równania wzór na n:

`square=2n+1\ \ \ |-1` 

`square-1=2n\ \ \ |:2` 

`n=(square-1)/2` 

 

Mamy następujące możliwości:

`1)\ n=(-18-1)/2=-19/2=-9 1/2notinNN` 

`2)\ n=(-9-1)/2=-10/2=-5notinNN` 

`3)\ n=(-6-1)/2=-7/2=-3 1/2notinNN` 

`4)\ n=(-3-1)/2=-4/2=-2notinNN`

`5)\ n=(-2-1)/2=-3/2=-1 1/2notinNN` 

`6)\ n=(-1-1)/2=-2/2=-1notinNN` 

`7)\ n=(1-1)/2=0/2=0` 

`8)\ n=(2-1)/2=1/2notinNN` 

`9)\ n=(3-1)/2=2/2=1` 

`10)\ n=(6-1)/2=5/2=2 1/2notinNN` 

`11)\ n=(9-1)/2=8/2=4` 

`12)\ n=(18-1)/2=17/2=8 1/2notinNN` 

Wybieramy tyle liczby naturalne. Możemy zapisać odpowiedź:

`ul(ul(n in { 0,\ 1,\ 4}))`  

 

 

`ul(ul(ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))))` 

 

 

`c)` 

Wykonajmy przekształcenia:

`(n-7)/(n-2)=(n-2-5)/(n-2)=(n-2)/(n-2)-5/(n-2)=1-5/(n-2)` 

 

Musimy znaleźć takie liczby całkowite n, aby liczba 5 była podzielna przez n-2. Wypiszmy wszystkie dzielniki całkowite liczby 5: -5, -1, 1, 5. 

Mamy więc następujące możliwości:

`1)\ n-2=-5\ \ \ =>\ \ \ n=-5+2=-3notinNN` 

`2)\ n-2=-1\ \ \ =>\ \ \ n=-1+2=1` 

`3)\ n-2=1\ \ \ \ \ =>\ \ \ n=1+2=3` 

`4)\ n-2=5\ \ \ \ \ =>\ \ \ n=5+2=7` 

 

Wybieramy tyle liczby naturalne. Możemy zapisać odpowiedź:

`ul(ul(n in {1,\ 3,\ 7}))` 

 

 

 

`ul(ul(ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))))` 

 

 

`d)` 

 Wykonajmy przekształcenia:

`(4n+5)/(2n+1)=(2(2n+1)+3)/(2n+1)=(2(2n+1))/(2n+1)+3/(2n+1)=2+3/(2n+1)` 

 

Musimy znaleźć takie liczby całkowite n, aby liczba 3 była podzielna przez 2n+1. Wypiszmy wszystkie dzielniki całkowite liczby 3: -3, -1, 1, 3. 

Aby za każdym razem nie wykonywać tych samych przekształceń, oznaczmy dzielnik kwadracikiem i wyznaczmy z poniższego równania wzór na n:

`square=2n+1\ \ \ |-1`

`square-1=2n\ \ \ |:2`

`n=(square-1)/2` 

 

Mamy następujące możliwości:

`1)\ n=(-3-1)/2=-4/2=-2notinNN` 

`2)\ n=(-1-1)/2=-2/2=-1notinNN` 

`3)\ n=(1-1)/2=0/2=0`  

`4)\ n =(3-1)/2=2/2=1` 

 

Wybieramy tyle liczby naturalne. Możemy zapisać odpowiedź:

`ul(ul(n in {0;\ 1}))` 

 

O ile procent liczba x jest większa od liczby y

 

Przykład O ile procent liczba x jest większa od liczby y O ile procent liczba y jest mniejsza od liczby x
`a`  `(32-20)/20=12/20=6/10=60%`  `(32-20)/32=12/32=3/8=3/8*100%=300/8%=37,5%` 
`b`  `(60-48)/48=12/48=1/4=25%`  `(60-48)/60=12/60=1/5=20/100=20%` 
`c`  `(8-6)/6=2/6=1/3=100/3%=33 1/3%`   `(8-6)/8=2/8=1/4=25/100=25%` 
`d`  `(2,4-0,6)/(0,6)=(1,8)/(0,6)=3=300/100=300%`  `(2,4-0,6)/(2,4)=(1,8)/(2,4)=18/24=3/4=75%` 
`e`  `(22-4,4)/(4,4)=(17,6)/(4,4)=176/44=44/11=4=400%`  `(22-4,4)/22=(17,6)/22=176/220=16/20=8/10=80%` 
`f`  `(80-25)/25=55/25=11/5=22/10=220%`  `(80-25)/80=55/80=55/80*100%=550/8%=68 3/4%` 

 

Liczba 3 jest miejscem zerowym funkcji kwadratowej f ...

Skorzystamy z tego, że pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli to średnia arytmetyczna miejsc zerowych funkcji kwadratowej, której wykresem jest ta parabola. 

`x_w=(x_1+x_2)/2\ \ \ \ |x_1=3` 

`x_w=(3+x_2)/2\ \ \ |*2` 

`2x_w=3+x_2\ \ \ |-3` 

`ul(ul(x_2=2x_w-3))` 

 

 

`a)` 

`x_w=5` 

`x_2=2*5-3=10-3=7`  - drugie miejsce zerowe

 

 

`b)` 

`x_w=-3` 

`x_2=2*(-3)-3=-6-3=-9` 

 

 

`c)` 

`x_w=1/2` 

`x_2=2*1/2-3=1-3=-2` 

 

 

`d)` 

`x_w=5/4` 

`x_2=2*5/4-3=5/2-3=2 1/2-3=-1/2`

Miejscem zerowym funkcji jest liczba

`a)`

Przekształcamy równanie prostej do postaci kierunkowej: 

`3x+2y+6=0\ \ \ \ \ \ |-3x-6`

`2y=-3x-6\ \ \ \ \ \ \ |:2`

`y=-3/2x-3`

 

Współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej będzie równy: 

`a=-1/(-3/2)=2/3`

 

Prosta prostopadła ma równanie: 

`y=2/3x+b`

 

Wiemy, że -2 jest miejscem zerowym tej prostej: 

`0=2/3*(-2)+b`

`0=-4/3+b`

`b=4/3`

 

`ul(ul(y=2/3x+4/3))`

 

 

 

`b)`

`2x-1/2y-5=0\ \ \ \ |-2x+5`

`-1/2y=-2x+5\ \ \ \ \ |*(-2)`

`y=4x-10`

 

 

Współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej: 

`a=-1/4`

 

`y=-1/4x+b`

Wiemy, że -2 jest miejscem zerowym:

`0=-1/4*(-2)+b`

`0=1/2+b`

`b=-1/2`

`ul(ul(y=-1/4x-1/2))`

 

 

 

`c)`

`-3/4x+9/8y+3=0\ \ \ \ \ |*8`

`-6x+9y+24=0\ \ \ \ \ \ |+6x-24`

`9y=6x-24\ \ \ \ \ \ |:9`

`y=2/3x-8/3`

 

Współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej: 

`a=-1/(2/3)=-3/2`

`y=-3/2x+b`

Miejscem zerowym jest -2, czyli:

`0=-3/2*(-2)+b`

`0=3+b`

`b=-3`

`ul(ul(y=-3/2x-3))`