Funkcje trygonometryczne o różnych wartościach - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Robotnik oparł drabinę o długości 3m o mur pod kątem $80^o$, czy sięgnie po leżącą na parapecie „książkę”, gdzie parapet jest na wysokości 2,9m od ziemi?

Narysujmy sobie jako trójkąt tę sytuację:

zad1

Musimy skorzystać z sinusa, wtedy będziemy mieć bok naprzeciwko kąta czyli szukaną wysokość.

$$sin 80^o={h}/{3}$$

Odczytujemy z tablic wartość kąta:

$$0,9848={h}/{3}$$ $$|×3$$

$$0,9848={h}/{3}$$ $$|×3$$

$$h=2,9544$$

Robotnik sięgnie książkę.  

Zadanie 2.

Oblicz: $$(cos 60^o+ g 45^o)^2-sin 78^o$$

Oprócz trygonometrii, mamy tutaj wzór skróconego mnożenia, jednakże widzimy, że łatwiej będzie nam najpierw podstawić liczby:

$$({1}/{2}-1)^2-0,9781=(-0,5)^2-0,9781=0,25-0,9781=-0,7281$$  

Spis treści

Rozwiązane zadania
Środek okręgu opisanego na trójkącie...

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:{premium}


Trójkąty AOE, ADB, EOD i EDC są przystające na podstawie cechy bkb, więc mają równe pola. Zatem pole trójkąta ABC jest równe sumie pól czterech trójkątów prostokątnych o przyprostokątnych długości 2 i 3.

 


Odp. Pole trójkąta jest równe 12 cm2.

Okrąg F1 o równaniu ...

 

 

 

{premium}

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Porównajmy odpowiednie współrzędne.

 

 

 

   

 

 

 

 

  

Porównajmy odpowiednie współrzędne.

 

  

  

   

Wyznacz x z równania...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Pole trójkąta jest równe 20...

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:

{premium}


Mamy dane:

 


Pole trójkąta ABC możemy obliczyć następująco:

 

lub następująco:

 


Powyższe wzory opisują pole tego samego trójkąta. Zatem:

 

 


Skorzystamy z jeszcze jednego wzoru na pole trójkąta (z sinusem) i wyznaczymy długość boku a:

 

 

 

 

 

 

 


Obliczamy długość boku b:

 


Odp. Boki przy kącie rozwartym mają długość 8 cm i 10 cm.

Rozwiąż nierówność

 

 

 

 

 

 

 

 

Kąt BAC ma miarę 30 ...

{premium}

 

 

 

 

 

 

 

Trójkąt ACE ma kąty o mierze 45, 45 i 90 stopni. Wynika stąd, że ACE jest równoramienny.

 

Skorzystamy z następującej tożsamości trygonometrycznej:

 

 

 

 

 

 

 

          

 

 

Z Pitagorasa:

 

    

  

Z własności trójkąta prostokątnego równoramiennego:

 

 

Wiemy, że:

  

      

 

 

W tabeli przedstawiono wyniki sondażu

 

Obliczamy, o ile punktów procentowych wzrosło poparcie dla partii Y: 

 

ODP: Poparcie dla partii Y wzrosło o 4 punkty procentowe. 

 

 

Teraz obliczamy, o{premium} ile procent wzrosła liczba osób popierających partię Y: 

  

ODP: Liczba osób popierających partię Y wzrosła o 25%

 

 

 

 

Obliczamy, o ile punktów procentowych zmalało poparcie dla partii Z: 

 

ODP: Poparcie dla partii Z zmalało o 2 punkty procentowe. 

 

 

Obliczamy, o ile procent zmalała liczba osób popierających partię Z: 

 

ODP: Liczba osób popierających partię Z zmalała o 20%.

Jaka jest największa liczba trzycyfrowa podzielna przez a) 2

Aby liczba dzieliła się przez 2, jej ostatnią cyfrą musi być 0, 2, 4, 6 lub 8. 

Największa liczba trzycyfrowa podzielna przez 2 to{premium} 998. 

 

 

Aby liczba dzieliła się przez 5, jej ostatnią cyfrą musi być 0 lub 5. 

Największa liczba trzycyfrowa podzielna przez 5 to 995. 

 

 

Aby liczba dzieliła się przez 6, musi dzielić się przez 2 i przez 3. Oznacza to, że ostatnią cyfrą tej liczby musi być 0, 2, 4, 6 lub 8, a suma cyfr tej liczby musi dzielić się przez 3.

Sprawdzamy zatem, czy kolejne liczby trzycyfrowe podzielne przez 2 (zaczynając od największej liczby) dzielą się przez 3:

998 - suma cyfr to 9+9+8=26 - liczba nie dzieli się przez 3

996 - suma cyfr to 9+9+6=24 - liczba dzieli się przez 3

Zatem największą liczbą trzycyfrową podzielną przez 6 jest 996. 

 

 

Aby liczba dzieliła się przez 15, musi dzielić się przez 3 i 5. Oznacza to, że ostatnią cyfra tej liczby musi być 0 lub 5, a suma jej cyfr musi dzielić się przez 3. Sprawdzamy zatem, czy kolejne liczby trzycyfrowe podzielne przez 5 (zaczynając od największej liczby) dzielą się przez 3: 

995 - suma cyfr to 9+9+5=23 - liczba nie dzieli się przez 3

990 - suma cyfr to 9+9+0=18 - liczba dzieli się przez 3

Zatem największą liczbą trzycyfrową podzielną przez 15 jest 990. 

Na podstawie wykresu funkcji...

a) Przesuwamy wykres funkcji o 2 jednostki w lewo i 2 jednostki w górę.

 

b) Przesuwamy wykres funkcji o 2 jednostki w prawo i 1 jednostkę w dół.

 

c) Przesuwamy wykres o 4 jednostki w prawo i 4 jednostki w dół.

Wśród 180 studentów przeprowadzono ankietę