Ciągi - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Ciągi

W tym dziale zajmiemy się ciągami liczbowymi. Zacznijmy od tego czym jest ciąg liczbowy. Są to ponumerowane liczby, które dzięki ponumerowaniu są w jakimś ściśle określonym szyku (mówiąc łopatologicznie jest to "liczba po liczbie": pierwsza liczba, druga liczba, trzecia liczba...). Uwaga: numerami są liczby naturalne, czyli 0,1,2,3...

Przykłady ciągów:
 
  • $$5,12,14,-5,1$$
  • $$1,1,1,1,1,1,1$$
  • $$-1,0,1,2,3,4,5$$

Każdy wyraz ciągu ma swój numer: Pierwszy, piąty, dwudziesty...
Oznaczamy to zazwyczaj tak: $$a_1$$ , $$a_5$$, $$a_{20}$$.

Ciągi można określić wzorami ogólnymi, pozwalającymi nam wyznaczyć wartość dowolnego wyrazu ciągu: szóstego, dziesiątego czy trzydziestego. Widzicie już podobieństwo do funkcji? Jeśli tak, to dobrze, bo każdy ciąg liczbowy jest funkcją! Jej dziedziną jest pewien podzbiór liczb naturalnych, a zbiorem wartości pewien podzbiór liczb rzeczywistych. Argumenty takiej funkcji, jaką jest ciąg, oznaczamy przez n.

Przykładowy wzór ogólny ciągu:

$$a_n=n+5$$

gdzie n to numer wyrazu, którego szukamy, zatem:

$$a_2=2+5=7$$

$$a_2=7$$

$$a_6=6+5=11$$

i tak dalej...

a z kolei jeśli:

$$a_n=5$$

to:

$$a_3=5$$

$$a_8=5$$

i tak dalej...

Zatem kluczowe dla tego działu jest nasze podstawianie: pod $$n$$ wstawiamy numer szukanego wyrazu i wyznaczamy ten wyraz korzystając ze wzoru ogólnego.

Przykład:

Dla podanego ciągu $$a_n=n^2+5n-3$$ znajdź czwarty i piąty wyraz.

Zatem podstawiamy $$n=4$$ oraz $$n=5$$.

$$a_n=n^2+5n-3$$

$$a_4=4^2+5×4-3=16+20-3=33$$

$$a_5=5^2+5×5-3=25+25-3=47$$
 

Uwaga!

Wyrazy ciągu to nie tylko liczby naturalne, mogą się pojawić ułamki lub pierwiastki. Numery kolejnych wyrazów to liczby naturalne, więc nie mogą być ujemne, ułamkowe ani niewymierne.
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Znajdź szósty wyraz ciągu $$a_n=n^3-n^2+n-1$$.

Tutaj zrobimy naszą metodę podmiany czyli po prostu $$n=6$$

$$a_6= 6^3-6^2+6-1=216-36+6-1=180+5=185$$

Szóstym wyrazem jest 185.
 

Zadanie 2.

Znajdź sumę dwu-krotności trzeciego i trzykrotności piątego wyrazu ciągu $$a_n=|(n-3)(n+3)|$$.

Znajdźmy najpierw pojedynczo wyrazy trzeci i piąty.

Metoda podstawiania.

Najpierw trzeci:

$$a_n=|(n-3)(n+3)|$$

$$a_3=|(3-3)(3+3)|$$

$$a_3=|0×6|=0$$

a teraz piąty:

$$a_n=|(n-3)(n+3)| $$

$$a_5=|(5-3)(5+3)| $$

$$a_5=|2×8|=16 $$

Teraz czym jest dwu-krotność, po prostu podwojeniem, więc $$2×a_3$$

Trzykrotność to potrojenie, więc $$3×a_5$$

Suma obu rezultatów:

$$2×a_3+3×a_5=2×0+3×16=48$$

Zadanie 3.

Wskaż który wyraz ciągu $$a_n={(n-5)}^2$$ ma wartość 4.

Tutaj mamy działanie zupełnie odwrotne, musimy znaleźć takie n dla którego równanie to 4.

Czyli:

$$a_n={(n-5)}^2$$

$$4={(n-5)}^2$$

Musimy rozbić wzór skróconego mnożenia

$$4=n^2-10n+25$$

Zatem:

$$n^2-10n+25-4=0$$

$$n^2-10n+21=0$$

Mamy teraz nic innego jak równanie kwadratowe

Wyznaczmy więc punkty

$$a=1$$

$$b=-10$$

$$c=21$$

Obliczmy deltę:

$$∆=b^2-4ac$$

$$∆=(-10)^2-4×1×21$$

$$∆=100-84$$

$$∆=16$$

Obliczmy pierwiastek:

$$√{∆}=√{16}=4$$


No i teraz nasze rozwiązania:

$$n_1={-b+√{∆} }/{2a}$$

$$n_1={-(-10)+4)/2={14}/2=7$$

$$n_2={-b-√{∆} }/{2a}$$

$$n_2={-(-10)-4}/2=6/2=3$$

Zatem wyraz ciągu jest równy 4 dla $$n=3$$ i $$n=7$$.

Ciekawostka: to zadanie dało się zrobić dużo prościej, zaczynając od równania

$$4={(n-5)}^2$$

Zamiast używać wzoru skróconego mnożenia można wziąć pierwiastek z obu stron (są dodatnie, więc nikt nam nie zabroni):
2=|n-5|
Daje to dwa rozwiązania:
Pierwsze:
$$2=n-5$$
$$7=n$$

Drugie:
$$2=5-n$$
$$2+n=5$$
$$n=3$$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Wypisz elementy zbiorów opisanych ...

A - zbiór naturalnych dzielników liczby 36

 

B - zbiór naturalnych wielokrotności liczby 3 nie większych niż 42

 

 

 

 

 

  

Która liczba nie należy do zbioru

 

Do zbioru rozwiązań nie należy liczba 4, więc należy zaznaczyć odpowiedź D.   

Cenę pewnego produktu podnoszono dwukrotnie

Obliczmy cenę początkową pierwszego sklepu. Zadanie rozwiązujemy "od końca", czyli najpierw obliczamy cenę przed drugą podwyżką- o 30%. 252zł stanowi 130% tej ceny- układamy proporcję:

       `/:130`

 

Teraz obliczamy cenę przed pierwszą podwyżką, wiedząc, że cena 193,85 zł stanowi 120%  tej ceny:

    `/:120`

 

Analogiczne obliczenia przeprowadzamy dla cen i obliczeń w drugim sklepie- jednak ponieważ tam druga zmiana ceny była obniżką o 20%, to ostateczna cena stanowi 80% drugiej ceny.

       /:80

 

 

Przed zmianami taniej ten produkt sprzedawał sklep pierwszy. Obliczmy o ile procent jest tańszy- musimy obliczyć jaki procent ceny droższego produktu stanowi różnica cen. Zatem:

`138,46 "zł "` 

Funkcja f przyporządkowuje każdej liczbie...

Liczba przeciwna do x to:

 

Połowa z tej liczby to:

 

 

Odpowiedź C

Okręgi o środkach S₁ i S₂ są ...

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.

Odcinki S1P oraz S1M są promieniami większego okręgu, więc są równej długości. 

Stąd trójkąt PMS1 jest trójkątem równoramiennym.

Oznaczmy miarę kątów przy podstawie PM jako α. Wówczas kąt PS1M ma miarę:

 

 

Odcinki S2K oraz S2M są promieniami mniejszego okręgu, więc są równej długości. 

Stąd trójkąt MKS2 jest trójkątem równoramiennym.

Oznaczmy miarę kątów przy podstawie MK jako ß. Wówczas kąt MS2K ma miarę:

 

 

Zauważmy, że czworokąt PKS2S1 jest trapezem prostokątnym. 

Punkty P i K są punktami styczności, więc odpowiednie promienie poprowadzone do nich tworzą kat prosty ze styczną. Stąd:

 

Suma miar kątów w czworokącie wynosi 360o. Więc suma miar dwóch pozostałych kątów (PS1M oraz MS2K) musi wynosić 180o.

 

 

 

 

  

 

Zauważmy, że kąty S1MP, PMK oraz KMS2 są kątami przyległymi.
 

Wiemy, że:

 

stąd:

 

 

czyli:

 

Wskaż zdania w koniunkcji i oceń jej wartość

a) Zdanie w koniunkcji. Jedno ze zdań jest fałszywe, dlatego wartość logiczna całego zdania: fałsz.

b) Zdanie w koniunkcji. Jedno ze zdań jest fałszywe, dlatego wartość logiczna całego zdania: fałsz.

c) Zdanie w koniunkcji. Oba zdania są fałszywe, dlatego wartość logiczna całego zdania: fałsz.

d) Zdanie w koniunkcji.  Oba zdania są prawdziwe, dlatego wartość logiczna całego zdania: prawda.

Bartek napisał na kartce

 

Po dopisaniu do początkowej liczby cyfry 2 otrzymamy liczbę dwucyfrową postaci x2. Wartość takiej liczby jest równa 10x+2 (x to cyfra dziesiątek, 2 to cyfra jedności). 

 

 

Jeśli przestawimy cyfry w otrzymanej liczbie, to uzyskamy liczbę postaci 2x. Wartość takiej liczby jest równa 20+x (mamy 2 dziesiątki i x jedności). 

 

 

Wiemy, że suma pierwszej i trzeciej liczby jest o 30 mniejsza od drugiej liczby:

 

Różnica jest równa

 

 

Wśród elementów zbioru A wskaż liczby

W celu wyodrębnienia liczb całkowitych upraszczamy elementy zbioru A.

  • `(2-sqrt3)/sqrt3*sqrt3/sqrt3=(sqrt3(2-sqrt3))/3=(2sqrt3-3)/3 \ \ \ \ \ \ notinC`
  • `ul(ul(6sqrt3-3sqrt12))=6sqrt3-3sqrt(3*4)=6sqrt3-3*2sqrt3=6sqrt3-6sqrt3=0 \ \ \ \ inC`
  • `ul(ul(root(3)216))=6 \ \ \ \ \ inC`
  • `ul(ul(3+(3sqrt2+2sqrt3)/(3sqrt2-2sqrt3)-2sqrt6))=3+(3sqrt2+2sqrt3)/(3sqrt2-2sqrt3)*(3sqrt2+2sqrt3)/(3sqrt2+2sqrt3)-2sqrt6=`

  • `ul(ul(sqrt(root(3)64)))=sqrt4=2 \ \ \ \ \ \ \ inC`  

Elementy należące do podzbioru liczb całkowitych dwukrotnie podkreślono.

Trapezy...

Policzmy stosunek długości dłuższych podstaw trapezów żeby określić skalę podobieństwa:

 

A więc: