Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Ciągi - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Ciągi

W tym dziale zajmiemy się ciągami liczbowymi. Zacznijmy od tego czym jest ciąg liczbowy. Są to ponumerowane liczby, które dzięki ponumerowaniu są w jakimś ściśle określonym szyku (mówiąc łopatologicznie jest to "liczba po liczbie": pierwsza liczba, druga liczba, trzecia liczba...). Uwaga: numerami są liczby naturalne, czyli 0,1,2,3...

Przykłady ciągów:
 
  • $$5,12,14,-5,1$$
  • $$1,1,1,1,1,1,1$$
  • $$-1,0,1,2,3,4,5$$

Każdy wyraz ciągu ma swój numer: Pierwszy, piąty, dwudziesty...
Oznaczamy to zazwyczaj tak: $$a_1$$ , $$a_5$$, $$a_{20}$$.

Ciągi można określić wzorami ogólnymi, pozwalającymi nam wyznaczyć wartość dowolnego wyrazu ciągu: szóstego, dziesiątego czy trzydziestego. Widzicie już podobieństwo do funkcji? Jeśli tak, to dobrze, bo każdy ciąg liczbowy jest funkcją! Jej dziedziną jest pewien podzbiór liczb naturalnych, a zbiorem wartości pewien podzbiór liczb rzeczywistych. Argumenty takiej funkcji, jaką jest ciąg, oznaczamy przez n.

Przykładowy wzór ogólny ciągu:

$$a_n=n+5$$

gdzie n to numer wyrazu, którego szukamy, zatem:

$$a_2=2+5=7$$

$$a_2=7$$

$$a_6=6+5=11$$

i tak dalej...

a z kolei jeśli:

$$a_n=5$$

to:

$$a_3=5$$

$$a_8=5$$

i tak dalej...

Zatem kluczowe dla tego działu jest nasze podstawianie: pod $$n$$ wstawiamy numer szukanego wyrazu i wyznaczamy ten wyraz korzystając ze wzoru ogólnego.

Przykład:

Dla podanego ciągu $$a_n=n^2+5n-3$$ znajdź czwarty i piąty wyraz.

Zatem podstawiamy $$n=4$$ oraz $$n=5$$.

$$a_n=n^2+5n-3$$

$$a_4=4^2+5×4-3=16+20-3=33$$

$$a_5=5^2+5×5-3=25+25-3=47$$
 

Uwaga!

Wyrazy ciągu to nie tylko liczby naturalne, mogą się pojawić ułamki lub pierwiastki. Numery kolejnych wyrazów to liczby naturalne, więc nie mogą być ujemne, ułamkowe ani niewymierne.
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Znajdź szósty wyraz ciągu $$a_n=n^3-n^2+n-1$$.

Tutaj zrobimy naszą metodę podmiany czyli po prostu $$n=6$$

$$a_6= 6^3-6^2+6-1=216-36+6-1=180+5=185$$

Szóstym wyrazem jest 185.
 

Zadanie 2.

Znajdź sumę dwu-krotności trzeciego i trzykrotności piątego wyrazu ciągu $$a_n=|(n-3)(n+3)|$$.

Znajdźmy najpierw pojedynczo wyrazy trzeci i piąty.

Metoda podstawiania.

Najpierw trzeci:

$$a_n=|(n-3)(n+3)|$$

$$a_3=|(3-3)(3+3)|$$

$$a_3=|0×6|=0$$

a teraz piąty:

$$a_n=|(n-3)(n+3)| $$

$$a_5=|(5-3)(5+3)| $$

$$a_5=|2×8|=16 $$

Teraz czym jest dwu-krotność, po prostu podwojeniem, więc $$2×a_3$$

Trzykrotność to potrojenie, więc $$3×a_5$$

Suma obu rezultatów:

$$2×a_3+3×a_5=2×0+3×16=48$$

Zadanie 3.

Wskaż który wyraz ciągu $$a_n={(n-5)}^2$$ ma wartość 4.

Tutaj mamy działanie zupełnie odwrotne, musimy znaleźć takie n dla którego równanie to 4.

Czyli:

$$a_n={(n-5)}^2$$

$$4={(n-5)}^2$$

Musimy rozbić wzór skróconego mnożenia

$$4=n^2-10n+25$$

Zatem:

$$n^2-10n+25-4=0$$

$$n^2-10n+21=0$$

Mamy teraz nic innego jak równanie kwadratowe

Wyznaczmy więc punkty

$$a=1$$

$$b=-10$$

$$c=21$$

Obliczmy deltę:

$$∆=b^2-4ac$$

$$∆=(-10)^2-4×1×21$$

$$∆=100-84$$

$$∆=16$$

Obliczmy pierwiastek:

$$√{∆}=√{16}=4$$


No i teraz nasze rozwiązania:

$$n_1={-b+√{∆} }/{2a}$$

$$n_1={-(-10)+4)/2={14}/2=7$$

$$n_2={-b-√{∆} }/{2a}$$

$$n_2={-(-10)-4}/2=6/2=3$$

Zatem wyraz ciągu jest równy 4 dla $$n=3$$ i $$n=7$$.

Ciekawostka: to zadanie dało się zrobić dużo prościej, zaczynając od równania

$$4={(n-5)}^2$$

Zamiast używać wzoru skróconego mnożenia można wziąć pierwiastek z obu stron (są dodatnie, więc nikt nam nie zabroni):
2=|n-5|
Daje to dwa rozwiązania:
Pierwsze:
$$2=n-5$$
$$7=n$$

Drugie:
$$2=5-n$$
$$2+n=5$$
$$n=3$$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Wykresy przedstawiają funkcje...

Zwróćmy uwagę na punkty (1,1) i (5,3).

Można wywnioskować stąd, że funkcja g powstanie poprzez przesunięcie wykresu funkcji f o 4 jednostki w prawo i 2 jednostki do góry. Natomiast funkcja f powstanie poprzez przesunięcie wykresu funkcji g o 4 jednostki w lewo i 2 jednostki w dół. Prawdziwe zatem są równości:

`f(x) = g(x+4)-2` 

`g(x) = f(x-4)+2` 

 

Odpowiedź A

Na rysunku obok przedstawiono fragment paraboli

`x_w=1`

`x_1=-1/2\ \ -\ \ m.\ zerowe`

`x_2=?\ \ -\ \ m.\ zerowe`

 

`x_w=(x_1+x_2)/2`

`1=(-1/2+x_2)/2\ \ \ |*2`

`2=-1/2+x_2\ \ \ |+1/2`

`x_2=2 1/2\ \ \ \ odp.\ C`

 

Rozwiąż nierówność

Podaj tangens kąta...

Współczynnik kierunkowy a prostej danej równaniem:

`y = ax +b` 

Jest równy tangensowi kąta alfa, który prosta tworzy z osią x.

`tg alpha = a` 

 

 

`a) \ y = 1x-4` 

`tg \ alpha = 1` 

 

 

`b) \ y = sqrt3/3 x + 9`  

`tg \ alpha = sqrt3/3` 

 

 

`c) \ y = -sqrt3x - 0,4` 

`tg \ alpha = - sqrt3`  

 

 

`d) \ y = -3/4x + sqrt3` 

`tg \ alpha = -3/4` 

 

Oblicz

`a)\ 1 3/5-2 1/6=`  `1 18/30-2 5/30=` `-(2 5/30-1 18/30)=` 

`\ \ \ =-(1 35/30-1 18/30)=` `- 17/30` 

 

 

`b)\ 3 3/8+2 5/6=` `3 9/24+2 20/24=` `5 29/24=6 5/24` 

 

 

`c)\ 1/2-(-1/6-1/3)=` `1/2-(-1/6-2/6)=` `1/2-(-3/6)=1/2+3/6=1/2+1/2=1` 

 

 

`d)\ 7/6+(-5/4-4/3)=`  `7/6+(-1 1/4-1 1/3)=` `14/12+(-1 3/12-1 4/12)=` 

`\ \ \ =14/12-2 7/12=` `1 2/12-2 7/12=` `-(2 7/12-1 2/12)=` `-1 5/12` 

 

 

`e)\ -(-2 2/3)+7/15=` `2 2/3+7/15=` `2 10/15+7/15=` `2 17/15=3 2/15` 

 

 

`f)\ -1 9/16+11/12=` `-1 27/48+44/48=` `44/48-75/48=-31/48` 

 

 

`g)\ 1 5/8-(-2 2/3+0,25)=` `1 5/8-(-2 2/3+1/4)=`  

`\ \ \ =1 5/8-(-2 8/12+3/12)=` `1 5/8-(-2 5/12)=` 

`\ \ \ =1 5/8+2 5/12=` `1 15/24+2 10/24=` `3 25/24=4 1/24` 

 

 

`h)\ 1 2/5-3 7/8-0,125=` `1 2/5-3 7/8-1/8=` 

`\ \ \ =1 2/5-4=` `-(4-1 2/5)=-2 3/5` 

 

 

`i)\ 1/2-1/3-(1/4-1/5)=` `3/6-2/6-(5/20-4/20)=` 

`\ \ \ =1/6-1/20=` `10/60-3/60=7/60`      

Przez punkt przecięcia wysokości w trójkącie...

Każdy z trójkątów T1, T2, T3 ma jeden bok zawierający się w boku dużego trójkąta równobocznego. Kąty oparte na tych bokach mają miarę 60o gdyż są kątami odpowiadającymi względem kątów dużego trójkąta. Zatem trzeci kąt w każdym z małych trójkątów również ma miarę 60o , czyli każdy z trójkątów T1, T2, T3 jest równoboczny. Boki tych trójkątów są równe z uwagi na fakt, że proste są równoległe do odpowiednich boków trójkąta równobocznego.

Spośród podanych prostych wybierz tę...

Prawidłowa odpowiedź to `"C.",` ponieważ w równaniu nie występuje `y.` 

Uprość

`a)`

Pierwszy podpunkt możemy rozwiązać na dwa sposoby. Najpierw rozwiążemy, korzystając ze wzoru na kwadrat sumy i kwadrat różnicy:

`(x+1)^2-(x-1)^2=x^2+2x+1-(x^2-2x+1)=x^2+2x+1-x^2+2x-1=4x`

 

Teraz rozwiążemy korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów:

`(x+1)^2-(x-1)^2=((x+1)-(x-1))*((x+1)+(x-1))=`

`=(x+1-x+1)*(x+1+x-1)=2*2x=4x`

 

 

 

`b)`

`(2x+1)^2+(x-2)^2=((2x)^2+2*2x+1^2)+(x^2-2*x*2+2^2)=`

`=(4x^2+4x+1)+(x^2-4x+4)=4x^2+4x+1+x^2-4x+4=5x^2+5`

  

 

Oblicz wartość wyrażenia

`a)` 

Skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów:

`a^2-b^2=(a-b)(a+b)` 

 

`(sqrt5x+2y)^2-(2x+sqrt5y)^2=(sqrt5x+2y-2x-sqrt5y)*(sqrt5x+2y+2x+sqrt5y)=` 

`=(sqrt5(x-y)-2(x-y))*(sqrt5(x+y)+2(x+y))=` 

`=((x-y)(sqrt5-2))*((x+y)(sqrt5+2))=` 

`=(x-y)(x+y)(sqrt5-2)(sqrt5+2)=(x^2-y^2)(sqrt5^2-2^2)=` 

`=(x^2-y^2)(5-4)=x^2-y^2`   

 

 

Wyrażenie można uprościć także w inny sposób - korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy: 

`(a+b)^2=a^2+2ab+b^2` 

 

`(sqrt5x+2y)^2-(2x+sqrt5y)^2=((sqrt5x)^2+2*sqrt5x*2y+(2y)^2)-((2x)^2+2*2x*sqrt5y+(sqrt5y)^2)=`  

`=(5x^2+4sqrt5xy+4y^2)-(4x^2+4sqrt5xy+5y^2)=x^2-y^2` 

 

Obliczamy wartość liczbową wyrażenia; ponownie skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów. 

`x^2-y^2=(root(3)9+root(3)(3))^2-(root(3)9-root(3)3)^2=((root(3)9+root(3)(3))-(root(3)9-root(3)(3))*((root(3)9+root(3)(3))+(root(3)9-root(3)(3))=` 

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =(root(3)9+root(3)3-root(3)9+root(3)3)*(root(3)9+root(3)3+root(3)9-root(3)3)=2root(3)3*2root(3)9=4root(3)27=4*3=12` 

 

 

 

`b)` 

Zauważmy, że możemy skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy:

`a^2-2ab+b^2=(a-b)^2` 

 

`(2x-y)^2-2(2x-y)(x+2y)+(x+2y)^2=[(2x-y)-(x+2y)]^2=` 

`=[2x-y-x-2y]^2=(x-3y)^2` 

 

Obliczamy wartość liczbową wyrażenia:

`(x-3y)^2=(sqrt5-6-3(sqrt3-2))^2=(sqrt5-6-3sqrt3+6)^2=(sqrt5-3sqrt3)^2=` 

`=sqrt5^2-2*sqrt5*3sqrt3+(3sqrt3)^2=5-6sqrt15+9*3=`  

`=5-6sqrt15+27=32-6sqrt15`  

 

 

 

 

`c)` 

Skorzystamy najpierw ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów, a następnie ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy. 

`(x+3y)^4-2(x^2-9y^2)^2+(x-3y)^4=((x+3y)^2)^2-2(x^2-(3y)^2)+((x-3y)^2)^2=` 

`=((x+3y)^2)^2-2(x-3y)(x+3y)+((x-3y)^2)^2=[(x+3y)^2-(x-3y)^2]^2=` 

`=[(x+3y-(x-3y))*(x+3y+(x-3y))]^2=[(x+3y-x+3y)*(x+3y+x+3y)]^2=`  

`=[6y*2x]^2=(12xy)^2` 

 

Obliczamy wartość liczbową wyrażenia:

`(12xy)^2=(strike12^strike6^ 3*(sqrt3-1)/strike2^1*(sqrt3+1)/strike2^1)^2=(3*(sqrt3-1)(sqrt3+1))^2=(3*(sqrt3^2-1^2))^2=` 

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =(3*(3-1))^2=(3*2)^2=6^2=36`         

Zapisz wyrażenie w najprostszej postaci

a)

`|-2-14|+|6-8|-|13-7|-|6-21|-|-9|= |-16|+|-2|-|6|-|-15|-|-9|=`

`=-(-16)+(-(-2))-6-(-(-15))-(-(-9))=16+2-6-15-9=(-12)`  

b)

Ze względu na to, że:

`2sqrt3~~2*1,7~~3,4`

`3sqrt3~~3*1,7~~5,1`

`5sqrt3~~5*1,7~~8,5`

Wartości w modułach przyjmują znaki:

`stackrel"(-)"|3-2sqrt3|-stackrel"(-)"|3sqrt3-6|+ stackrel"(-)"|2(-4+sqrt3)|-3stackrel"(+)"|9-5sqrt3|=` 

`=-(3-2sqrt3)-(-(3sqrt3-6))+2(-(-4+sqrt3))-3(9-5sqrt3)=`

`=-3+2sqrt3+3sqrt3-6+2(4-sqrt3)-27+15sqrt3=` `20sqrt3-36+8-2sqrt3=` 

`=18sqrt3-28` 

c)

Ze względu na to, że:

`2sqrt3~~2*1,7~~3,4`

`sqrt5>sqrt4`

`sqrt5>2`

A z tego wynika również:

`2sqrt5>2*2` 

`2sqrt5>4`

`3sqrt5>3*2`

`3sqrt5>6`

 

Wartości w modułach przyjmują znaki:

`stackrel"(-)"|2-sqrt5|+stackrel"(-)"|1-sqrt3|-stackrel"(-)"|2sqrt3-4|-stackrel"(-)"|3sqrt5-6|=`

`=-(2-sqrt5)+(-(1-sqrt3))-(-(2sqrt3-4))+(-(3sqrt5-6))=` 

`=-2+sqrt5-1+sqrt3+2sqrt3-4-3sqrt5+6=3sqrt3-2sqrt5-1=` 

d)

Ze względu na to, że:

`3pi~~3*3,141..~~9,423...`

`root(3)6<root(3)8`

`root(3)6<2`

`5stackrel(?)>2sqrt5>4` 

`sqrt25>sqrt20>4` 

 

Wartości w modułach przyjmują znaki:

`stackrel"(+)"|5-2sqrt5|+stackrel"(-)"|9,42-3pi|-stackrel"(?)"|3^(1/3)*(1/2)^(-1/3)|-stackrel"(-)"|root(3)6-2|=` `5-2sqrt5+(-(9,42-3pi))-stackrel"(?)"|3^(1/3)*2^(1/3)|-(-(root(3)6-2))=`  

`=5-2sqrt5-9,42+3pi-stackrel"(?)"|(3*2)^(1/3)|+root(3)6-2=``5-2sqrt5-9,42+3pi-stackrel"(?)"|6^(1/3)|+root(3)6-2=` 

`=3-2sqrt5-9,42+3pi-root(3)6+root(3)6=3-2sqrt5-9,42+3pi=3pi-2sqrt5-6,42`