Ciągi - matura-podstawowa - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Ciągi - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Ciągi

W tym dziale zajmiemy się ciągami liczbowymi. Zacznijmy od tego czym jest ciąg liczbowy. Są to ponumerowane liczby, które dzięki ponumerowaniu są w jakimś ściśle określonym szyku (mówiąc łopatologicznie jest to "liczba po liczbie": pierwsza liczba, druga liczba, trzecia liczba...). Uwaga: numerami są liczby naturalne, czyli 0,1,2,3...

Przykłady ciągów:
 
  • $5,12,14,-5,1$
  • $1,1,1,1,1,1,1$
  • $-1,0,1,2,3,4,5$

Każdy wyraz ciągu ma swój numer: Pierwszy, piąty, dwudziesty...
Oznaczamy to zazwyczaj tak: $a_1$ , $a_5$, $a_{20}$.

Ciągi można określić wzorami ogólnymi, pozwalającymi nam wyznaczyć wartość dowolnego wyrazu ciągu: szóstego, dziesiątego czy trzydziestego. Widzicie już podobieństwo do funkcji? Jeśli tak, to dobrze, bo każdy ciąg liczbowy jest funkcją! Jej dziedziną jest pewien podzbiór liczb naturalnych, a zbiorem wartości pewien podzbiór liczb rzeczywistych. Argumenty takiej funkcji, jaką jest ciąg, oznaczamy przez n.

Przykładowy wzór ogólny ciągu:

$a_n=n+5$

gdzie n to numer wyrazu, którego szukamy, zatem:

$a_2=2+5=7$

$a_2=7$

$a_6=6+5=11$

i tak dalej...

a z kolei jeśli:

$a_n=5$

to:

$a_3=5$

$a_8=5$

i tak dalej...

Zatem kluczowe dla tego działu jest nasze podstawianie: pod $n$ wstawiamy numer szukanego wyrazu i wyznaczamy ten wyraz korzystając ze wzoru ogólnego.

Przykład:

Dla podanego ciągu $a_n=n^2+5n-3$ znajdź czwarty i piąty wyraz.

Zatem podstawiamy $n=4$ oraz $n=5$.

$a_n=n^2+5n-3$

$a_4=4^2+5×4-3=16+20-3=33$

$a_5=5^2+5×5-3=25+25-3=47$
 

Uwaga!

Wyrazy ciągu to nie tylko liczby naturalne, mogą się pojawić ułamki lub pierwiastki. Numery kolejnych wyrazów to liczby naturalne, więc nie mogą być ujemne, ułamkowe ani niewymierne.
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Znajdź szósty wyraz ciągu $a_n=n^3-n^2+n-1$.

Tutaj zrobimy naszą metodę podmiany czyli po prostu $n=6$

$a_6= 6^3-6^2+6-1=216-36+6-1=180+5=185$

Szóstym wyrazem jest 185.
 

Zadanie 2.

Znajdź sumę dwu-krotności trzeciego i trzykrotności piątego wyrazu ciągu $a_n=|(n-3)(n+3)|$.

Znajdźmy najpierw pojedynczo wyrazy trzeci i piąty.

Metoda podstawiania.

Najpierw trzeci:

$a_n=|(n-3)(n+3)|$

$a_3=|(3-3)(3+3)|$

$a_3=|0×6|=0$

a teraz piąty:

$a_n=|(n-3)(n+3)| $

$a_5=|(5-3)(5+3)| $

$a_5=|2×8|=16 $

Teraz czym jest dwu-krotność, po prostu podwojeniem, więc $2×a_3$

Trzykrotność to potrojenie, więc $3×a_5$

Suma obu rezultatów:

$2×a_3+3×a_5=2×0+3×16=48$

Zadanie 3.

Wskaż który wyraz ciągu $a_n={(n-5)}^2$ ma wartość 4.

Tutaj mamy działanie zupełnie odwrotne, musimy znaleźć takie n dla którego równanie to 4.

Czyli:

$a_n={(n-5)}^2$

$4={(n-5)}^2$

Musimy rozbić wzór skróconego mnożenia

$4=n^2-10n+25$

Zatem:

$n^2-10n+25-4=0$

$n^2-10n+21=0$

Mamy teraz nic innego jak równanie kwadratowe

Wyznaczmy więc punkty

$a=1$

$b=-10$

$c=21$

Obliczmy deltę:

$∆=b^2-4ac$

$∆=(-10)^2-4×1×21$

$∆=100-84$

$∆=16$

Obliczmy pierwiastek:

$√{∆}=√{16}=4$


No i teraz nasze rozwiązania:

$n_1={-b+√{∆} }/{2a}$

$n_1={-(-10)+4)/2={14}/2=7$

$n_2={-b-√{∆} }/{2a}$

$n_2={-(-10)-4}/2=6/2=3$

Zatem wyraz ciągu jest równy 4 dla $n=3$ i $n=7$.

Ciekawostka: to zadanie dało się zrobić dużo prościej, zaczynając od równania

$4={(n-5)}^2$

Zamiast używać wzoru skróconego mnożenia można wziąć pierwiastek z obu stron (są dodatnie, więc nikt nam nie zabroni):
2=|n-5|
Daje to dwa rozwiązania:
Pierwsze:
$2=n-5$
$7=n$

Drugie:
$2=5-n$
$2+n=5$
$n=3$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Naszkicuj wykres funkcji f i na jego podstawie ...

a) Wykres funkcji f:   {premium}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


b) Wykres funkcji f:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Jeśli licznik ułamka zwiększymy o 1...

Oznaczmy:

x - licznik ułamka

y - mianownik ułamka


Jeśli licznik{premium} zwiększymy o 1, zaś mianownik o 3, to otrzymamy ułamek równy 2/5. Stąd:

 

Po wymnożeniu na krzyż otrzymujemy:

 


Jeśli licznik ułamka zwiększymy dwukrotnie, a mianownik zwiększymy o 5, to ułamek będzie równy 1/2. Stąd:

 

Po wymnożeniu na krzyż otrzymujemy:

 


Zapisujemy powyższe równania jako układ i wyznaczamy z niego x oraz y:

 

 

 

Podstawiamy y=4x-5 do pierwszego równania.

 

 

 

 

Podstawiamy x=3 do drugiego równania.

 

 

 


Odp. Szukany ułamek to  

W trójkącie prostokątnym spodek wysokości...

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:

Thumb zad5.58str120


W trójkącie prostokątnym wysokość  poprowadzona z wierzchołka kąta prostego, dzieli przeciwprostokątną

na odcinki mające długość  dla których  



 Mamy dane:

 

 


 

 


Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta  

 

 

 

 

 {premium}


Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta  

 

 

 

 

 


Obliczamy sumę długości przyprostokątnych trójkąta  

 


Odp. Suma długości przyprostokątnych trójkąta jest równa  



 Mamy dane:

 

 


 

 


Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta  

 

 

 

 

 

 


Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta  

 

 

 

 

 

 


Obliczamy sumę długości przyprostokątnych trójkąta  

 


Odp. Suma długości przyprostokątnych trójkąta jest równa  

Wykres...

a)

O funkcji kwadratowej f wiemy, że przecina oś x w punktach 

czyli miejscami zerowymi tej funkcji są liczby -1 i 5. 

Zatem możemy zapisać wzór tej funkcji w postaci iloczynowej

Dodatkowo wiemy, że do wykresy funkcji f należy punkt  M = (0, 5),

czyli zachodzi f(0) = 5. 

Zatem dostajemy{premium}

  

czyli wzór tej funkcji to 

z postaci iloczynowej funkcji  przejdźmy do postaci ogólnej, otrzymamy 

Obliczmy współrzędne wierzchołka W tej funkcji. 

Dostaniemy

czyli


b)

O funkcji kwadratowej f wiemy, że przecina oś x w punktach 

czyli miejscami zerowymi tej funkcji są liczby -4 i 6. 

Zatem możemy zapisać wzór tej funkcji w postaci iloczynowej

Dodatkowo wiemy, że do wykresy funkcji f należy punkt  M = (0, -12),

czyli zachodzi f(0) = -12. 

Zatem dostajemy

  

czyli wzór tej funkcji to 

z postaci iloczynowej funkcji  przejdźmy do postaci ogólnej, otrzymamy 

Obliczmy współrzędne wierzchołka W tej funkcji. 

Dostaniemy

czyli


c)

O funkcji kwadratowej f wiemy, że przecina oś x w punktach 

czyli miejscami zerowymi tej funkcji są liczby -4 i 1. 

Zatem możemy zapisać wzór tej funkcji w postaci iloczynowej

Dodatkowo wiemy, że do wykresy funkcji f należy punkt  M = (0, 8),

czyli zachodzi f(0) = 8. 

Zatem dostajemy

  

czyli wzór tej funkcji to 

z postaci iloczynowej funkcji  przejdźmy do postaci ogólnej, otrzymamy 

Obliczmy współrzędne wierzchołka W tej funkcji. 

Dostaniemy

 

czyli


d)

O funkcji kwadratowej f wiemy, że przecina oś x w punktach 

czyli miejscami zerowymi tej funkcji są liczby -3 i 1. 

Zatem możemy zapisać wzór tej funkcji w postaci iloczynowej

Dodatkowo wiemy, że do wykresy funkcji f należy punkt  M = (0, -300),

czyli zachodzi f(0) = -300. 

Zatem dostajemy

  

czyli wzór tej funkcji to 

z postaci iloczynowej funkcji  przejdźmy do postaci ogólnej, otrzymamy 

Obliczmy współrzędne wierzchołka W tej funkcji. 

Dostaniemy

czyli

Wyznacz miejsca zerowe

Miejsca zerowe funkcji to argumenty, dla których ta funkcja przyjmuje wartość 0.

 

{premium}  

 

Oblicz.

    {premium}

 

 

 

Niech a= ...

Obliczamy wartość wrażenia dla podanych liczb. {premium}

 

 

 


Odpowiedź: C

Podaj zbiór wartości funkcji.

Wierzchołek paraboli o równaniu     ma współrzędne:

 

Możemy zauważyć, że druga współrzędna wierzchołka paraboli jest wartością najmniejszą lub wartością największą paraboli.


 

 

 

 

Zauważmy, że:

 

Zatem ramiona paraboli są skierowane w dół.

Zatem otrzymujemy:

 


 

 

 

 

Zauważmy, że:

 

Zatem ramiona paraboli są skierowane w górę.

Zatem otrzymujemy:

  


 

 

 

 

Zauważmy, że:

 

Zatem ramiona paraboli są skierowane w dół.

Zatem otrzymujemy:

  


 

 

 

 

Zauważmy, że:

 

Zatem ramiona paraboli są skierowane w górę.

Zatem otrzymujemy:

 

Zapoznaj się z ofertą banku...

    {premium}

 

 

a) Wykaż. że funkcja g(x)=4x+6 jest...

a) Załóżmy, że argumenty x1 i x2 należą do zbioru R i spełniają warunek x1<x2. Wówczas:{premium}

 

 

 

Stąd:

 

Pokazaliśmy, że z nierówności x1<x2 wynika, że g(x1)<g(x2), czyli funkcja g jest rosnąca.


b) Wyznaczmy wartości funkcji h dla kilku argumentów z dziedziny:

 

 

 

Widzimy, że dla wybranych argumentów wartości funkcji maleją wraz ze wzrostem argumentów. Oznacza to, że funkcja h nie jest rosnąca w zbiorze R.