Ciągi - matura-podstawowa - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Ciągi - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Ciągi

W tym dziale zajmiemy się ciągami liczbowymi. Zacznijmy od tego czym jest ciąg liczbowy. Są to ponumerowane liczby, które dzięki ponumerowaniu są w jakimś ściśle określonym szyku (mówiąc łopatologicznie jest to "liczba po liczbie": pierwsza liczba, druga liczba, trzecia liczba...). Uwaga: numerami są liczby naturalne, czyli 0,1,2,3...

Przykłady ciągów:
 
  • $5,12,14,-5,1$
  • $1,1,1,1,1,1,1$
  • $-1,0,1,2,3,4,5$

Każdy wyraz ciągu ma swój numer: Pierwszy, piąty, dwudziesty...
Oznaczamy to zazwyczaj tak: $a_1$ , $a_5$, $a_{20}$.

Ciągi można określić wzorami ogólnymi, pozwalającymi nam wyznaczyć wartość dowolnego wyrazu ciągu: szóstego, dziesiątego czy trzydziestego. Widzicie już podobieństwo do funkcji? Jeśli tak, to dobrze, bo każdy ciąg liczbowy jest funkcją! Jej dziedziną jest pewien podzbiór liczb naturalnych, a zbiorem wartości pewien podzbiór liczb rzeczywistych. Argumenty takiej funkcji, jaką jest ciąg, oznaczamy przez n.

Przykładowy wzór ogólny ciągu:

$a_n=n+5$

gdzie n to numer wyrazu, którego szukamy, zatem:

$a_2=2+5=7$

$a_2=7$

$a_6=6+5=11$

i tak dalej...

a z kolei jeśli:

$a_n=5$

to:

$a_3=5$

$a_8=5$

i tak dalej...

Zatem kluczowe dla tego działu jest nasze podstawianie: pod $n$ wstawiamy numer szukanego wyrazu i wyznaczamy ten wyraz korzystając ze wzoru ogólnego.

Przykład:

Dla podanego ciągu $a_n=n^2+5n-3$ znajdź czwarty i piąty wyraz.

Zatem podstawiamy $n=4$ oraz $n=5$.

$a_n=n^2+5n-3$

$a_4=4^2+5×4-3=16+20-3=33$

$a_5=5^2+5×5-3=25+25-3=47$
 

Uwaga!

Wyrazy ciągu to nie tylko liczby naturalne, mogą się pojawić ułamki lub pierwiastki. Numery kolejnych wyrazów to liczby naturalne, więc nie mogą być ujemne, ułamkowe ani niewymierne.
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Znajdź szósty wyraz ciągu $a_n=n^3-n^2+n-1$.

Tutaj zrobimy naszą metodę podmiany czyli po prostu $n=6$

$a_6= 6^3-6^2+6-1=216-36+6-1=180+5=185$

Szóstym wyrazem jest 185.
 

Zadanie 2.

Znajdź sumę dwu-krotności trzeciego i trzykrotności piątego wyrazu ciągu $a_n=|(n-3)(n+3)|$.

Znajdźmy najpierw pojedynczo wyrazy trzeci i piąty.

Metoda podstawiania.

Najpierw trzeci:

$a_n=|(n-3)(n+3)|$

$a_3=|(3-3)(3+3)|$

$a_3=|0×6|=0$

a teraz piąty:

$a_n=|(n-3)(n+3)| $

$a_5=|(5-3)(5+3)| $

$a_5=|2×8|=16 $

Teraz czym jest dwu-krotność, po prostu podwojeniem, więc $2×a_3$

Trzykrotność to potrojenie, więc $3×a_5$

Suma obu rezultatów:

$2×a_3+3×a_5=2×0+3×16=48$

Zadanie 3.

Wskaż który wyraz ciągu $a_n={(n-5)}^2$ ma wartość 4.

Tutaj mamy działanie zupełnie odwrotne, musimy znaleźć takie n dla którego równanie to 4.

Czyli:

$a_n={(n-5)}^2$

$4={(n-5)}^2$

Musimy rozbić wzór skróconego mnożenia

$4=n^2-10n+25$

Zatem:

$n^2-10n+25-4=0$

$n^2-10n+21=0$

Mamy teraz nic innego jak równanie kwadratowe

Wyznaczmy więc punkty

$a=1$

$b=-10$

$c=21$

Obliczmy deltę:

$∆=b^2-4ac$

$∆=(-10)^2-4×1×21$

$∆=100-84$

$∆=16$

Obliczmy pierwiastek:

$√{∆}=√{16}=4$


No i teraz nasze rozwiązania:

$n_1={-b+√{∆} }/{2a}$

$n_1={-(-10)+4)/2={14}/2=7$

$n_2={-b-√{∆} }/{2a}$

$n_2={-(-10)-4}/2=6/2=3$

Zatem wyraz ciągu jest równy 4 dla $n=3$ i $n=7$.

Ciekawostka: to zadanie dało się zrobić dużo prościej, zaczynając od równania

$4={(n-5)}^2$

Zamiast używać wzoru skróconego mnożenia można wziąć pierwiastek z obu stron (są dodatnie, więc nikt nam nie zabroni):
2=|n-5|
Daje to dwa rozwiązania:
Pierwsze:
$2=n-5$
$7=n$

Drugie:
$2=5-n$
$2+n=5$
$n=3$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Jaki jest promień okręgu wpisanego...

Wykonajmy rysunek pomocniczy:  {premium}




Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczmy długość przeciwprostokątnej tego trójkąta:

 

 

 

 


Obliczmy pole powierzchni trójkąta ABC:

 


Obliczmy długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt ABC:

 

zatem:

 

 


Odp.: D

Przedstaw podany w ramce przykład

   

{premium}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Oblicz pole trójkąta ABC...

Podstawa trójkąta zawiera się w osi y. Wysokość będzie zawierać się w prostej prostopadłej do osi y, jej długość to 7. Pole wynosi:

 

Punkt C zawiera się w prostej KB.

 

  

 

{premium}  

 

 

Podstawmy wyliczoną wartość pod jedno z równań.

 

 

 

 

Obliczmy współrzędną punktu C:

 

Punkt C ma współrzędne:

 

 

Punkt A zawiera się w prostej BL:

 

 

 

 

 

 

Podstawmy wyliczoną wartość pod jedno z równań:

 

 

 

 

Obliczmy współrzędną punktu A:

 

 

Obliczmy długość podstawy AC, będzie sumą modułów drugich współrzędnych punktów A i C:

 

 

Pole trójkąta to:

 

Określ dziedzinę funkcji

  

{premium}

 

 

 

 

 

Kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest nieujemny, więc powyższa nierówność jest spełniona zawsze.

 

Funkcja ...

Obliczamy dla jakich argumentów funkcja f przyjmuje wartości ujemne. 

 
{premium}

  


Rozwiążmy równanie pomocnicze. 

  

 

Iloczyn dwóch czynników jest równy 0, gdy przynajmniej jeden z tych czynników jest równy 0. 

 

  


Wracamy do nierówności. 

 


Poprawna odpowiedź: A. 

A jest zbiorem kwadratów liczb naturalnych

{premium}

 

 

 

Liczby mniejsze od 200 należące do różnicy zbiorów B i A (liczby należą do zbioru B, ale nie należą do zbioru A) to liczby:

 

Odp. C

Rozwiąż...

a)

więc

po rozwiązaniu równania (*) otrzymamy

 

po rozwiązaniu równania (**) otrzymamy

  

Zatem rozwiązaniami równania są liczby{premium}

 


b)

przekształcając otrzymujemy 

   

powyższe równanie przyjmuje postać

   

 

Ad.1)

 

Obliczmy wyróżnik 

zatem równanie ma 2 rozwiązania

Ad.2)

Obliczmy wyróżnik 

zatem równanie ma 2 rozwiązania

 

Otrzymaliśmy, że rozwiązaniami równania

są liczby

 

W trójkącie ABC poprowadzono dwusieczną CD...

Trójkąty A'PC i{premium} BPC są przystające na podstawie cechy KBK (mają po jednym kącie prostym, wspólny bok CP oraz kąt 𝛾/2). Z przystawania tych trójkątów:

  

A'D'||AD, więc:

 

Kąty A'PD' oraz BPD mają równe miary jako kąty wierzchołkowe:

 

W takim razie trójkąty A'D'O i BDP są przystające na podstawie cechy KBK.


A'D'||AD, więc:

 

 

W takim razie trójkąty A'D'C i ADC są podobne na podstawie cechy KKK.


Trójkąty A'PC i BPC są przystające na podstawie cechy KBK. Z przystawania tych trójkątów:

 

Z przystawania trójkątów A'D'P i BDP:

 

Z podobieństwa trójkątów A'D'C i ADC wynika,że:

 

 

Suma odwrotności pierwiastków równania...

  

 

W rozwiązaniu tego zadania skorzystamy z wzorów Viete'a na sumę i iloczyn rozwiązań równania kwadratowego.

Jeśli mamy dane równanie kwadratowe (które posiada rozwiązania):

  

To suma jego rozwiązań jest równa:

   

A iloczyn jest równy:

 

 

Sumę odwrotności rozwiązań możemy zapisać jako:

  

 

{premium}

   

 

    

 

 

 

 

Odp.: D  

Zmierz długość i szerokość...

z