Ciągi - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Ciągi

W tym dziale zajmiemy się ciągami liczbowymi. Zacznijmy od tego czym jest ciąg liczbowy. Są to ponumerowane liczby, które dzięki ponumerowaniu są w jakimś ściśle określonym szyku (mówiąc łopatologicznie jest to "liczba po liczbie": pierwsza liczba, druga liczba, trzecia liczba...). Uwaga: numerami są liczby naturalne, czyli 0,1,2,3...

Przykłady ciągów:
 
  • $$5,12,14,-5,1$$
  • $$1,1,1,1,1,1,1$$
  • $$-1,0,1,2,3,4,5$$

Każdy wyraz ciągu ma swój numer: Pierwszy, piąty, dwudziesty...
Oznaczamy to zazwyczaj tak: $$a_1$$ , $$a_5$$, $$a_{20}$$.

Ciągi można określić wzorami ogólnymi, pozwalającymi nam wyznaczyć wartość dowolnego wyrazu ciągu: szóstego, dziesiątego czy trzydziestego. Widzicie już podobieństwo do funkcji? Jeśli tak, to dobrze, bo każdy ciąg liczbowy jest funkcją! Jej dziedziną jest pewien podzbiór liczb naturalnych, a zbiorem wartości pewien podzbiór liczb rzeczywistych. Argumenty takiej funkcji, jaką jest ciąg, oznaczamy przez n.

Przykładowy wzór ogólny ciągu:

$$a_n=n+5$$

gdzie n to numer wyrazu, którego szukamy, zatem:

$$a_2=2+5=7$$

$$a_2=7$$

$$a_6=6+5=11$$

i tak dalej...

a z kolei jeśli:

$$a_n=5$$

to:

$$a_3=5$$

$$a_8=5$$

i tak dalej...

Zatem kluczowe dla tego działu jest nasze podstawianie: pod $$n$$ wstawiamy numer szukanego wyrazu i wyznaczamy ten wyraz korzystając ze wzoru ogólnego.

Przykład:

Dla podanego ciągu $$a_n=n^2+5n-3$$ znajdź czwarty i piąty wyraz.

Zatem podstawiamy $$n=4$$ oraz $$n=5$$.

$$a_n=n^2+5n-3$$

$$a_4=4^2+5×4-3=16+20-3=33$$

$$a_5=5^2+5×5-3=25+25-3=47$$
 

Uwaga!

Wyrazy ciągu to nie tylko liczby naturalne, mogą się pojawić ułamki lub pierwiastki. Numery kolejnych wyrazów to liczby naturalne, więc nie mogą być ujemne, ułamkowe ani niewymierne.
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Znajdź szósty wyraz ciągu $$a_n=n^3-n^2+n-1$$.

Tutaj zrobimy naszą metodę podmiany czyli po prostu $$n=6$$

$$a_6= 6^3-6^2+6-1=216-36+6-1=180+5=185$$

Szóstym wyrazem jest 185.
 

Zadanie 2.

Znajdź sumę dwu-krotności trzeciego i trzykrotności piątego wyrazu ciągu $$a_n=|(n-3)(n+3)|$$.

Znajdźmy najpierw pojedynczo wyrazy trzeci i piąty.

Metoda podstawiania.

Najpierw trzeci:

$$a_n=|(n-3)(n+3)|$$

$$a_3=|(3-3)(3+3)|$$

$$a_3=|0×6|=0$$

a teraz piąty:

$$a_n=|(n-3)(n+3)| $$

$$a_5=|(5-3)(5+3)| $$

$$a_5=|2×8|=16 $$

Teraz czym jest dwu-krotność, po prostu podwojeniem, więc $$2×a_3$$

Trzykrotność to potrojenie, więc $$3×a_5$$

Suma obu rezultatów:

$$2×a_3+3×a_5=2×0+3×16=48$$

Zadanie 3.

Wskaż który wyraz ciągu $$a_n={(n-5)}^2$$ ma wartość 4.

Tutaj mamy działanie zupełnie odwrotne, musimy znaleźć takie n dla którego równanie to 4.

Czyli:

$$a_n={(n-5)}^2$$

$$4={(n-5)}^2$$

Musimy rozbić wzór skróconego mnożenia

$$4=n^2-10n+25$$

Zatem:

$$n^2-10n+25-4=0$$

$$n^2-10n+21=0$$

Mamy teraz nic innego jak równanie kwadratowe

Wyznaczmy więc punkty

$$a=1$$

$$b=-10$$

$$c=21$$

Obliczmy deltę:

$$∆=b^2-4ac$$

$$∆=(-10)^2-4×1×21$$

$$∆=100-84$$

$$∆=16$$

Obliczmy pierwiastek:

$$√{∆}=√{16}=4$$


No i teraz nasze rozwiązania:

$$n_1={-b+√{∆} }/{2a}$$

$$n_1={-(-10)+4)/2={14}/2=7$$

$$n_2={-b-√{∆} }/{2a}$$

$$n_2={-(-10)-4}/2=6/2=3$$

Zatem wyraz ciągu jest równy 4 dla $$n=3$$ i $$n=7$$.

Ciekawostka: to zadanie dało się zrobić dużo prościej, zaczynając od równania

$$4={(n-5)}^2$$

Zamiast używać wzoru skróconego mnożenia można wziąć pierwiastek z obu stron (są dodatnie, więc nikt nam nie zabroni):
2=|n-5|
Daje to dwa rozwiązania:
Pierwsze:
$$2=n-5$$
$$7=n$$

Drugie:
$$2=5-n$$
$$2+n=5$$
$$n=3$$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Narysuj dowolny wektor ...

 

 

 

 

   

 

Zaznacz na osi liczbowej zbiór rozwiązań

 

 

 

 

 

Szukamy liczb, których odległość od zera na osi liczbowej jest nie większa niż 7. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Szukamy liczb, których odległość od zera na osi liczbowej jest nie większa niż 2/5.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Szukamy liczb, których odległość od zera na osi liczbowej jest nie większa niż 7/5.

Włącz czynnik pod pierwiastek

Oblicz obwód i pole trapezu...

Rysunek poglądowy:

 

 

 

 

 

 

Obwód:

 

 

Pole:

 

Oblicz f(-2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

  

Dane są zbiory A=(-∞;5),B=<a;9). Jeśli A∩B
Zatem:
Sporządź wykresy funkcji...

a) Wykresy:

 

 

 

 

Wspólne własności:

- Dziedzina.

- Zbiór wartości.

- Liczba miejsc zerowych.

- Wszystkie wartości funkcji są niedodatnie.

- Druga współrzędna wierzchołka.

 

Różnice:

- Pierwsza współrzędna wierzchołka.

- Miejsca zerowe.

- Monotoniczność.

- Punkt przecięcia z osią y.

 

b) Wykresy:

 

 

 

 

Wspólne własności:

- Dziedzina.

- Zbiór wartości.

- Liczba miejsc zerowych.

- Wszystkie wartości funkcji są nieujemne.

- Druga współrzędna wierzchołka.

 

Różnice:

- Pierwsza współrzędna wierzchołka.

- Miejsca zerowe.

- Monotoniczność.

- Punkt przecięcia z osią y.

Oblicz wartości pozostałych funkcji ...

 

 

 {premium}

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

    

 

 

Prosta l jest styczna do okręgu ...

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku. Zauważmy, że:

  

 

 

 

Trójkąt ROP jest trójkątem równoramiennym, ponieważ |OR|=|OP|.

Miary kątów przy podstawie PR są sobie równe i wynoszą 42o.

Korzystając z tw. o sumie miar kątów w trójkącie (dla trójkata ROP) obliczamy miarę kąta ß:

 

 

 

 

 

Odp: Cięciwa wyznacza kąt środkowy o mierze 96o.

Wyznacz równanie osi symetrii paraboli oraz współrzędne jej wierzchołka

Najpierw wyznaczymy miejsca zerowe (x₁ i x₂, następnie wyznaczymy równanie osi symetrii jako średnią arytmetyczną tych miejsc zerowych. Współrzędna x wierzchołka paraboli jest równa tyle, ile oś symetrii. Współrzędna y wierzchołka paraboli to z kolei wartość, jaką osiąga funkcja dla argumentu równego pierwszej współrzędnej wierzchołka paraboli)

 

 

 

 

 

 

 

 {premium}

 

 

   - współrzędne wierzchołka paraboli

   - równanie osi symetrii paraboli