Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Ciągi - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Ciągi

W tym dziale zajmiemy się ciągami liczbowymi. Zacznijmy od tego czym jest ciąg liczbowy. Są to ponumerowane liczby, które dzięki ponumerowaniu są w jakimś ściśle określonym szyku (mówiąc łopatologicznie jest to "liczba po liczbie": pierwsza liczba, druga liczba, trzecia liczba...). Uwaga: numerami są liczby naturalne, czyli 0,1,2,3...

Przykłady ciągów:
 
  • $$5,12,14,-5,1$$
  • $$1,1,1,1,1,1,1$$
  • $$-1,0,1,2,3,4,5$$

Każdy wyraz ciągu ma swój numer: Pierwszy, piąty, dwudziesty...
Oznaczamy to zazwyczaj tak: $$a_1$$ , $$a_5$$, $$a_{20}$$.

Ciągi można określić wzorami ogólnymi, pozwalającymi nam wyznaczyć wartość dowolnego wyrazu ciągu: szóstego, dziesiątego czy trzydziestego. Widzicie już podobieństwo do funkcji? Jeśli tak, to dobrze, bo każdy ciąg liczbowy jest funkcją! Jej dziedziną jest pewien podzbiór liczb naturalnych, a zbiorem wartości pewien podzbiór liczb rzeczywistych. Argumenty takiej funkcji, jaką jest ciąg, oznaczamy przez n.

Przykładowy wzór ogólny ciągu:

$$a_n=n+5$$

gdzie n to numer wyrazu, którego szukamy, zatem:

$$a_2=2+5=7$$

$$a_2=7$$

$$a_6=6+5=11$$

i tak dalej...

a z kolei jeśli:

$$a_n=5$$

to:

$$a_3=5$$

$$a_8=5$$

i tak dalej...

Zatem kluczowe dla tego działu jest nasze podstawianie: pod $$n$$ wstawiamy numer szukanego wyrazu i wyznaczamy ten wyraz korzystając ze wzoru ogólnego.

Przykład:

Dla podanego ciągu $$a_n=n^2+5n-3$$ znajdź czwarty i piąty wyraz.

Zatem podstawiamy $$n=4$$ oraz $$n=5$$.

$$a_n=n^2+5n-3$$

$$a_4=4^2+5×4-3=16+20-3=33$$

$$a_5=5^2+5×5-3=25+25-3=47$$
 

Uwaga!

Wyrazy ciągu to nie tylko liczby naturalne, mogą się pojawić ułamki lub pierwiastki. Numery kolejnych wyrazów to liczby naturalne, więc nie mogą być ujemne, ułamkowe ani niewymierne.
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Znajdź szósty wyraz ciągu $$a_n=n^3-n^2+n-1$$.

Tutaj zrobimy naszą metodę podmiany czyli po prostu $$n=6$$

$$a_6= 6^3-6^2+6-1=216-36+6-1=180+5=185$$

Szóstym wyrazem jest 185.
 

Zadanie 2.

Znajdź sumę dwu-krotności trzeciego i trzykrotności piątego wyrazu ciągu $$a_n=|(n-3)(n+3)|$$.

Znajdźmy najpierw pojedynczo wyrazy trzeci i piąty.

Metoda podstawiania.

Najpierw trzeci:

$$a_n=|(n-3)(n+3)|$$

$$a_3=|(3-3)(3+3)|$$

$$a_3=|0×6|=0$$

a teraz piąty:

$$a_n=|(n-3)(n+3)| $$

$$a_5=|(5-3)(5+3)| $$

$$a_5=|2×8|=16 $$

Teraz czym jest dwu-krotność, po prostu podwojeniem, więc $$2×a_3$$

Trzykrotność to potrojenie, więc $$3×a_5$$

Suma obu rezultatów:

$$2×a_3+3×a_5=2×0+3×16=48$$

Zadanie 3.

Wskaż który wyraz ciągu $$a_n={(n-5)}^2$$ ma wartość 4.

Tutaj mamy działanie zupełnie odwrotne, musimy znaleźć takie n dla którego równanie to 4.

Czyli:

$$a_n={(n-5)}^2$$

$$4={(n-5)}^2$$

Musimy rozbić wzór skróconego mnożenia

$$4=n^2-10n+25$$

Zatem:

$$n^2-10n+25-4=0$$

$$n^2-10n+21=0$$

Mamy teraz nic innego jak równanie kwadratowe

Wyznaczmy więc punkty

$$a=1$$

$$b=-10$$

$$c=21$$

Obliczmy deltę:

$$∆=b^2-4ac$$

$$∆=(-10)^2-4×1×21$$

$$∆=100-84$$

$$∆=16$$

Obliczmy pierwiastek:

$$√{∆}=√{16}=4$$


No i teraz nasze rozwiązania:

$$n_1={-b+√{∆} }/{2a}$$

$$n_1={-(-10)+4)/2={14}/2=7$$

$$n_2={-b-√{∆} }/{2a}$$

$$n_2={-(-10)-4}/2=6/2=3$$

Zatem wyraz ciągu jest równy 4 dla $$n=3$$ i $$n=7$$.

Ciekawostka: to zadanie dało się zrobić dużo prościej, zaczynając od równania

$$4={(n-5)}^2$$

Zamiast używać wzoru skróconego mnożenia można wziąć pierwiastek z obu stron (są dodatnie, więc nikt nam nie zabroni):
2=|n-5|
Daje to dwa rozwiązania:
Pierwsze:
$$2=n-5$$
$$7=n$$

Drugie:
$$2=5-n$$
$$2+n=5$$
$$n=3$$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Zapisz w postaci przedziału

`sqrt2x+2<=0\ \ \ \ \ |-2`

`sqrt2x<=-2 \ \ \ \ \ \ \ |:sqrt2`

`x<=-2/sqrt2`

`x<=(-2sqrt2)/(sqrt2*sqrt2)`

`x<=(-2sqrt2)/2`

`x<=-sqrt2`

`x in (-infty,\ -sqrt2>>`

Jeden z boków prostokąta o obwodzie równym 30 ma długość x

Zapiszmy, jaką długość ma drugi bok prostokąta - wiemy, że jeden bok ma długość x, a obwód jest równy 30: 

`(30-2x):2=15-x`

 

Długości boków prostokąta muszą być liczbami dodatnimi, więc zapiszmy założenia: 

`x>0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ i\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 15-x>0\ \ \ \ |+x`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 15>x`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x<15`

`x in(0,\ 15)`

 

 

Pole prostokąta obliczamy mnożąc długości jego boków:

`P(x)=x*(15-x)`

`P(x)=15x-x^2`

`P(x)=-x^2+15x,\ \ \ \ \ \ \ \ \ x in (0,\ 15)`

   

Okręgi...

Zauważmy, że trójkąty KAC i CBL są równoramienne, zatem kąty przy podstawie KC są równe

`/_ AKC = 46^o = /_KCA` 

 

Analogicznie z podstawą CL

`/_LCB = /_ BLC` 

 

Zauważmy ponadto, że

`/_KCA = /_ LCB` 

są równe gdyż są to kąty wierzchołkowe.

 

A więc:

`beta = 46^o` 

 

Suma miar kątów w trójkącie wynosi 180o, zatem:

`2 beta + alpha = 180^o` 

`92^o + alpha = 180^o` 

`alpha = 88^o` 

Odpowiedź D

Zapisz w postaci przedziału

`a)`

`{(2x-3<-5\ \ \ |+3), (3x-2<7\ \ \ |+2):}`

`{(2x<-2\ \ \ |:2), (3x<9\ \ \ |:3):}`

`{(x<-1), (x<3):}\ \ \ =>\ \ \ x <-1\ \ \ =>\ \ \ ul(ul(x in (-infty;\ -1)))`

 

 

 

`b)`

`{(2x-6<x+4\ \ \ |-x), (x-2>=10-3x\ \ \ |+3x):}`

`{(x-6<4\ \ \ |+6), (4x-2>=10\ \ \ |+2):}`

`{(x<10), (4x>=12\ \ \ |:4):}`

`{(x<10), (x>=3):}\ \ \ =>\ \ \ ul(ul(x in <<3;\ 10)))`

 

 

 

`c)`

`{(3x-5>=2x+1\ \ \ |-2x), (x+1>=2x-3\ \ \ |-2x):}`

`{(x-5>=1\ \ \ |+5), (-x+1>=-3\ \ \ |-1):}`

`{(x>=6), (-x>=-4\ \ \ |*(-1)):}`

`{(x>=6), (x<=4):}\ \ \ =>\ \ \ ul(ul("układ nierówności nie ma rozwiązań"))`

 

 

`d)`

`{(6x+2>0\ \ \ |-2) , (4x-8<0\ \ \ |+8):}`

`{(6x> -2\ \ \ |:6), (4x<8\ \ \ |:4):}`

`{(x> -1/3), (x<2):}\ \ \ =>\ \ \ ul(ul(x in (-1/3;\ 2)))`

       

 

 

W trójkąt prostokątny wpisano okrąg...

Przyjmijmy oznaczenia jak w zadaniu 12 z tej samej strony.

 

Skoro punkt styczności dzieli krótszą przyprostokątną na odcinki to znaczy, że krótszy odcinek jest długością promienia a dłuższy długością boku BF. Wiemy, że:

`r = 3` 

`|BF| = 3sqrt3` 

 

Stąd:

`|BC| = |CF| + |BF|` 

`|BC| = 3+3sqrt3` 

 

`|AC| = |CD| + |AD|` 

`|AC| = r + |AD|` 

`|AC| = 3 + |AD|` 

 

`|AB| = |BE|+|AE| = |BF| + |AD| = 3sqrt3+ |AD|` 

 

Z twierdzenia Pitagorasa:

`|BC|^2 + |AC|^2 = |AB|^2` 

`(3+3sqrt3)^2 + (3+|AD|)^2 = (3sqrt3+|AD|)^2` 

`9+18sqrt3 + 27 + 9 + 6|AD| + |AD|^2 = 27 + 6sqrt3|AD| + |AD|^2` 

`18+18sqrt3+6|AD| = 6sqrt3|AD|` 

`18(1+sqrt3) = 6sqrt3|AD| - 6|AD|` 

`18(1+sqrt3) = |AD|(6sqrt3-6)` 

`|AD| = (18(1+sqrt3))/(6(sqrt3-1))` 

`|AD| = (3(1+sqrt3))/(sqrt3-1) *(sqrt3+1)/(sqrt3+1) = (3(sqrt3+1)^2)/(3-1) = (3(3+2sqrt3+1))/2= (3(2sqrt3+4))/2 = 3(sqrt3+2) = 3sqrt3+6` 

 

A więc:

`|AC|=3+3sqrt3+6 = 3sqrt3+9` 

`|AB| = 3sqrt3+3sqrt3+6 = 6sqrt3+6`  

 

Obwód trójkąta ABC:

`O_("ABC") = |AB| + |AC| + |BC| = 6sqrt3+6 + 3sqrt3+9 + 3+3sqrt3 = 18+12sqrt3` 

Naszkicuj przykładowy wykres funkcji ...

a) Przykładowa funkcja określona jest w zbiorze:  `RR-`     

 

b) Przykładowa funkcja określona w zbiorze:`(-3;+oo)` 

 

c) Przykładowa funkcja określona w zbiorze: `<<-4;4>>` 

Boki równoległoboku mają długości...

a) Z jedynki trygonometrycznej:

`sin^2 alpha + cos^2 alpha = 1`  

`sin^2 alpha + (2/3)^2 = 1` 

`sin^2 alpha + 4/9 = 1` 

`sin^2 alpha = 5/9` 

`|sin alpha | = sqrt5/3` 

`"Dla" \ alpha in (0^o , 90^o) \ , \ \ sin alpha > 0` 

`sin alpha = sqrt5/3` 

 

Pole równoległoboku:

`P = 8*15 * sin alpha = 8 * 15 * sqrt5/3 = 8 * 5 * sqrt5 = 40 sqrt5 \ ["cm"^2]` 

 

b) Rysunek poglądowy:

`sin 49^o = (|BF|)/(|AB|)` 

`|AB| = (|BF|)/(sin49^o) approx 6/(0,7547) approx 8,0` 

 

`sin 49^o = (|DE|)/(|AD|)` 

`|AD| = (|DE|)/(sin 49^o) = 4/(0,7547) approx 5,3` 

 

Pole równoległoboku:

`P = |AD|*|AB| *sin 49^o = 5,3*8 * 0,7547 approx 32` 

Dla jakich wartości k wykresy funkcji...

Aby wykresy funkcji były prostopadłe, iloczyn ich współczynników kierunkowych musi być równy `-1,` czyli:

`2k*(-3)=-1` 

`-6k=-1\ "/":(-6)` 

`k=1/6` 

Odp. Proste są prostopadłe dla `k=1/6.`   

 

Określ dziedzinę funkcji

`b)`

`x(x-3)ne0`

`xne0\ \ \ \ \ \ "i"\ \ \ \ \ \ x-3ne0\ \ \ |+3`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x ne3`

 

`ul(D_f\ =RR\\{0;\ 3})`

 

Argument 3 nie należy do dziedziny funkcji, więc nie możemy obliczać f(3). Obliczamy, jaką wartość przyjmuje funkcja dla argumentu x=-3:

`f(-3)=((-3)^2-9)/(-3*(-3-3))=(9-9)/(-3*(-6))=0/18=0`

 

`ul("miejsce zerowe:"\ x=-3)`

 

 

 

 

`c)`

`x-4>0\ \ \ |+4`

`x>4`

 

`ul(D_f\ =(4;\ +infty))`

 

Argumenty 3 i -3 nie należą do dziedziny funkcji, więc nie możemy obliczać f(-3) ani f(3).

`ul("brak miejsc zerowych")`

 

 

`d)`

`5-x>0\ \ \ |-5`

`-x> -5\ \ \ |*(-1)`

`x<5`

 

`ul(D_f\ =(-infty;\ 5))`

 

Argumenty -3 i 3 należą do dziedziny funkcji. Sprawdzamy, czy któryś z nich jest miejscem zerowym funkcji f. 

`f(-3)=(9-(-3)^2)/sqrt(5-(-3))=(9-9)/sqrt(5+3)=0/sqrt8=0`

`f(3)=(9-3^2)/sqrt(5-3)=(9-9)/sqrt2=0/sqrt2=0`

 

`ul("miejsca zerowe:"\ x=-3,\ \ x=3)`

 

 

 

Wyznacz równanie prostej będącej obrazem...

Doprowadźmy równanie prostej do postaci kierunkowej:

`4x+2y=1` 

`2y = -4x + 1` 

`y = -2x + 1/2` 

Równanie dowolnej prostej prostopadłej do tej prostej to:

`y = 1/2x + q` 

 

a) Wyznaczmy prostą prostopadłą do prostej 4x + 2y = 1 , przechodzącą przez punk S:

`y = 1/2x+q`  

Wstawmy współrzędne punktu S:

`0 = 1/2*1 + q` 

`q = -1/2` 

a więc:

`y = 1/2x - 1/2` 

 

Punkt przecięcia się prostych:

`{(y=-2x+1/2),(y=1/2x-1/2):}` 

`-2x+1/2 = 1/2x - 1/2` 

`-5/2x = -1` 

`x = 2/5` 

zatem

`y = -2*2/5 + 1/2` 

`y = -4/5 + 1/2` 

`y = -8/10 + 5/10` 

`y = -3/10` 

`A = (2/5 , -3/10)` 

 

A więc:

`stackrel(->)(AS) = stackrel(->)(SA')` 

`[1- 2/5 , 0 - (-3/10)] = [x_(A') - 1 , y_(A')]` 

`[3/5 , 3/10] = [x_(A') -1 , y_(A')]` 

`{(x_(A') -1= 3/5),(y_(A') = 3/10):}` 

`{(x_(A') = 8/5),(y_(A") = 3/10):}` 

`A' = (8/5 , 3/10)` 

 

Wyznaczmy równanie prostej równoległej do prostej `y = -2x + 1/2` 

przechodzącej przez punkt A', wstawmy współrzędne tego punktu do równania prostej:

`3/10 = -2*8/5 + q`  

`3/10 = -16/5 + q` 

`q = 3/10 + 32/10` 

`q = 35/10`  

`q = 7/2` 

a więc:

`y = -2x + 7/2`  

 

a) Wyznaczmy prostą prostopadłą do prostej 4x + 2y = 1 , przechodzącą przez punk S:

`y = 1/2x+q`  

Wstawmy współrzędne punktu S:

`2 = 1/2*0 + q` 

`q = 2` 

a więc:

`y = 1/2x +2` 

 

Punkt przecięcia się prostych:

`{(y=-2x+1/2),(y=1/2x+2):}` 

`-2x+1/2 = 1/2x +2` 

`-5/2x = 3/2` 

`x = -3/5` 

zatem

`y = -2*(-3/5) + 1/2` 

`y = 6/5 + 1/2` 

`y = 12/10 + 5/10` 

`y = 17/10` 

`A = (-3/5 , 17/10)` 

 

A więc:

`stackrel(->)(AS) = stackrel(->)(SA')` 

`[0- (-3/5) , 2 -17/10] = [x_(A'), y_(A')-2]` 

`[3/5 , 3/10] = [x_(A'), y_(A')-2]` 

`{(x_(A')= 3/5),(y_(A') -2= 3/10):}` 

`{(x_(A') = 3/5),(y_(A") = 23/10):}` 

`A' = (3/5 , 23/10)` 

 

Wyznaczmy równanie prostej równoległej do prostej `y = -2x + 1/2` 

przechodzącej przez punkt A', wstawmy współrzędne tego punktu do równania prostej:

`23/10 = -2*3/5 + q`  

`23/10 = -6/5 + q` 

`q = 23/10 + 12/10` 

`q = 35/10`  

`q = 7/2` 

a więc:

`y = -2x + 7/2`  

 

c) Wyznaczmy prostą prostopadłą do prostej 4x + 2y = 1 , przechodzącą przez punk S:

`y = 1/2x+q`  

Wstawmy współrzędne punktu S:

`2 = 1/2*1 + q` 

`q = 3/2` 

a więc:

`y = 1/2x +3/2` 

 

Punkt przecięcia się prostych:

`{(y=-2x+1/2),(y=1/2x+3/2):}` 

`-2x+1/2 = 1/2x +3/2` 

`-5/2x = 1` 

`x = -2/5` 

zatem

`y = -2*(-2/5) + 1/2` 

`y = 4/5 + 1/2` 

`y = 8/10 + 5/10` 

`y = 13/10` 

`A = (-2/5 , 13/10)` 

 

A więc:

`stackrel(->)(AS) = stackrel(->)(SA')` 

`[1- (-2/5) , 2 - 13/10] = [x_(A') - 1 , y_(A')-2]` 

`[7/5 , 7/10] = [x_(A') -1 , y_(A')-2]` 

`{(x_(A') -1= 7/5),(y_(A')-2 = 7/10):}` 

`{(x_(A') = 12/5),(y_(A") = 27/10):}` 

`A' = (12/5 , 27/10)` 

 

Wyznaczmy równanie prostej równoległej do prostej `y = -2x + 1/2` 

przechodzącej przez punkt A', wstawmy współrzędne tego punktu do równania prostej:

`27/10 = -2*12/5 + q`  

`27/10 = -24/5 + q` 

`q = 27/10 + 48/10` 

`q = 75/10`  

`q = 15/2` 

a więc:

`y = -2x + 15/2`  

 

d) Wyznaczmy prostą prostopadłą do prostej 4x + 2y = 1 , przechodzącą przez punk S:

`y = 1/2x+q`  

Wstawmy współrzędne punktu S:

`5 = 1/2*(-2) + q` 

`q = 6` 

a więc:

`y = 1/2x +6` 

 

Punkt przecięcia się prostych:

`{(y=-2x+1/2),(y=1/2x+6):}` 

`-2x+1/2 = 1/2x +6` 

`-5/2x = 11/2` 

`x = -11/5` 

zatem

`y = -2*(-11/5) + 1/2` 

`y = 22/5 + 1/2` 

`y = 44/10 + 5/10` 

`y = 49/10` 

`A = (-11/5 , 49/10)` 

 

A więc:

`stackrel(->)(AS) = stackrel(->)(SA')` 

`[-2- (-11/5) , 5 - 49/10] = [x_(A') - (-2) , y_(A')-5]` 

`[1/5 , 1/10] = [x_(A') +2 , y_(A')-5]` 

`{(x_(A') +2= 1/5),(y_(A')-5 = 1/10):}` 

`{(x_(A') = -9/5),(y_(A") = 51/10):}` 

`A' = (-9/5 , 51/10)` 

 

Wyznaczmy równanie prostej równoległej do prostej `y = -2x + 1/2` 

przechodzącej przez punkt A', wstawmy współrzędne tego punktu do równania prostej:

`51/10 = -2*(-9/5) + q`  

`51/10 = 18/5 + q` 

`q = 51/10 -36/10` 

`q = 15/10`  

`q = 3/2` 

a więc:

`y = -2x + 3/2`