Ciągi - matura-podstawowa - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Ciągi - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Ciągi

W tym dziale zajmiemy się ciągami liczbowymi. Zacznijmy od tego czym jest ciąg liczbowy. Są to ponumerowane liczby, które dzięki ponumerowaniu są w jakimś ściśle określonym szyku (mówiąc łopatologicznie jest to "liczba po liczbie": pierwsza liczba, druga liczba, trzecia liczba...). Uwaga: numerami są liczby naturalne, czyli 0,1,2,3...

Przykłady ciągów:
 
  • $5,12,14,-5,1$
  • $1,1,1,1,1,1,1$
  • $-1,0,1,2,3,4,5$

Każdy wyraz ciągu ma swój numer: Pierwszy, piąty, dwudziesty...
Oznaczamy to zazwyczaj tak: $a_1$ , $a_5$, $a_{20}$.

Ciągi można określić wzorami ogólnymi, pozwalającymi nam wyznaczyć wartość dowolnego wyrazu ciągu: szóstego, dziesiątego czy trzydziestego. Widzicie już podobieństwo do funkcji? Jeśli tak, to dobrze, bo każdy ciąg liczbowy jest funkcją! Jej dziedziną jest pewien podzbiór liczb naturalnych, a zbiorem wartości pewien podzbiór liczb rzeczywistych. Argumenty takiej funkcji, jaką jest ciąg, oznaczamy przez n.

Przykładowy wzór ogólny ciągu:

$a_n=n+5$

gdzie n to numer wyrazu, którego szukamy, zatem:

$a_2=2+5=7$

$a_2=7$

$a_6=6+5=11$

i tak dalej...

a z kolei jeśli:

$a_n=5$

to:

$a_3=5$

$a_8=5$

i tak dalej...

Zatem kluczowe dla tego działu jest nasze podstawianie: pod $n$ wstawiamy numer szukanego wyrazu i wyznaczamy ten wyraz korzystając ze wzoru ogólnego.

Przykład:

Dla podanego ciągu $a_n=n^2+5n-3$ znajdź czwarty i piąty wyraz.

Zatem podstawiamy $n=4$ oraz $n=5$.

$a_n=n^2+5n-3$

$a_4=4^2+5×4-3=16+20-3=33$

$a_5=5^2+5×5-3=25+25-3=47$
 

Uwaga!

Wyrazy ciągu to nie tylko liczby naturalne, mogą się pojawić ułamki lub pierwiastki. Numery kolejnych wyrazów to liczby naturalne, więc nie mogą być ujemne, ułamkowe ani niewymierne.
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Znajdź szósty wyraz ciągu $a_n=n^3-n^2+n-1$.

Tutaj zrobimy naszą metodę podmiany czyli po prostu $n=6$

$a_6= 6^3-6^2+6-1=216-36+6-1=180+5=185$

Szóstym wyrazem jest 185.
 

Zadanie 2.

Znajdź sumę dwu-krotności trzeciego i trzykrotności piątego wyrazu ciągu $a_n=|(n-3)(n+3)|$.

Znajdźmy najpierw pojedynczo wyrazy trzeci i piąty.

Metoda podstawiania.

Najpierw trzeci:

$a_n=|(n-3)(n+3)|$

$a_3=|(3-3)(3+3)|$

$a_3=|0×6|=0$

a teraz piąty:

$a_n=|(n-3)(n+3)| $

$a_5=|(5-3)(5+3)| $

$a_5=|2×8|=16 $

Teraz czym jest dwu-krotność, po prostu podwojeniem, więc $2×a_3$

Trzykrotność to potrojenie, więc $3×a_5$

Suma obu rezultatów:

$2×a_3+3×a_5=2×0+3×16=48$

Zadanie 3.

Wskaż który wyraz ciągu $a_n={(n-5)}^2$ ma wartość 4.

Tutaj mamy działanie zupełnie odwrotne, musimy znaleźć takie n dla którego równanie to 4.

Czyli:

$a_n={(n-5)}^2$

$4={(n-5)}^2$

Musimy rozbić wzór skróconego mnożenia

$4=n^2-10n+25$

Zatem:

$n^2-10n+25-4=0$

$n^2-10n+21=0$

Mamy teraz nic innego jak równanie kwadratowe

Wyznaczmy więc punkty

$a=1$

$b=-10$

$c=21$

Obliczmy deltę:

$∆=b^2-4ac$

$∆=(-10)^2-4×1×21$

$∆=100-84$

$∆=16$

Obliczmy pierwiastek:

$√{∆}=√{16}=4$


No i teraz nasze rozwiązania:

$n_1={-b+√{∆} }/{2a}$

$n_1={-(-10)+4)/2={14}/2=7$

$n_2={-b-√{∆} }/{2a}$

$n_2={-(-10)-4}/2=6/2=3$

Zatem wyraz ciągu jest równy 4 dla $n=3$ i $n=7$.

Ciekawostka: to zadanie dało się zrobić dużo prościej, zaczynając od równania

$4={(n-5)}^2$

Zamiast używać wzoru skróconego mnożenia można wziąć pierwiastek z obu stron (są dodatnie, więc nikt nam nie zabroni):
2=|n-5|
Daje to dwa rozwiązania:
Pierwsze:
$2=n-5$
$7=n$

Drugie:
$2=5-n$
$2+n=5$
$n=3$

Spis treści

Rozwiązane zadania
W trapezie równoramiennym przekątne przecinają się...

Rysunek poglądowy:

Obliczmy długość ramienia kąta za pomocą trójkąta ABC:

  

 

 

 

Poprowadźmy teraz wysokość z wierzchołka C na podstawę AB, wtedy:

Zauważmy, że:

 

 

A więc:

 

 

 

 

 

Zatem:

 

 

 

 

Zatem obwód trapezu wynosi:

 

Uzasadnij, że równanie...

a)

 

 

Sprawdźmy kiedy  czyli kiedy równanie ma jedno lub dwa rozwiązania.

 

 

Dla każdego  


b) 

 

 

 

Sprawdźmy kiedy  czyli kiedy równanie ma jedno lub dwa rozwiązania.

 

 

Dla każdego   

Jaki warunek musi spełniać m, alby punkty...

 Wyznaczamy równanie prostej przechodzącej przez punkty  i   

Wstawiamy do równania prostej  współrzędne punktu  Otrzymujemy:

 

Wstawiamy do równania prostej  współrzędne punktu  Otrzymujemy:

 

Zapisujemy wyznaczone równania jako układ równań i wyliczamy z niego  

 

 

 

Zatem prosta przechodząca przez punkty  i   dana jest wzorem:

 

Obliczamy, jaką liczbę należy wstawić w miejsce  by punkty  były współliniowe.

 

 

 

 

Odp. Aby punkty nie były współliniowe, musi zachodzić  

 

 Wyznaczamy równanie prostej przechodzącej przez punkty  i   

Wstawiamy do równania prostej  współrzędne punktu  Otrzymujemy:

 

Wstawiamy do równania prostej  współrzędne punktu  Otrzymujemy:

 

Zapisujemy wyznaczone równania jako układ równań i wyliczamy z niego  

 

 

 

Zatem prosta przechodząca przez punkty  i   dana jest wzorem:

 

Obliczamy, jaką liczbę należy wstawić w miejsce  by punkty  były współliniowe.

  

 

Odp. Aby punkty nie były współliniowe, musi zachodzić  

 

 Wyznaczamy równanie prostej przechodzącej przez punkty  i   

Wstawiamy do równania prostej  współrzędne punktu  Otrzymujemy:

 

Wstawiamy do równania prostej  współrzędne punktu  Otrzymujemy:

 

Zapisujemy wyznaczone równania jako układ równań i wyliczamy z niego  

 

 

 

Zatem prosta przechodząca przez punkty  i   dana jest wzorem:

 

Obliczamy, jaką liczbę należy wstawić w miejsce  by punkty  były współliniowe.

 

 

 

Odp. Aby punkty nie były współliniowe, musi zachodzić  

 

 Wyznaczamy równanie prostej przechodzącej przez punkty  i   

Wstawiamy do równania prostej  współrzędne punktu  Otrzymujemy:

 

Wstawiamy do równania prostej  współrzędne punktu  Otrzymujemy:

 

Zapisujemy wyznaczone równania jako układ równań i wyliczamy z niego  

 

 

 

Zatem prosta przechodząca przez punkty  i   dana jest wzorem:

 

Obliczamy, jaką liczbę należy wstawić w miejsce  by punkty  były współliniowe.

  

 

Odp. Aby punkty nie były współliniowe, musi zachodzić  

W kole o środku S i średnicy ...

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.

Znamy długość średnicy AB:

 

Długość promienia jest dwukrotnie mniejsza od długości średnicy:

 

 

Pole części koła pomiędzy średnicą AB i cięciwą CD możemy obliczyć sumując pola dwóch wycinków koła oraz trójkąta równoramiennego.

Obliczmy miarę kąta α:

 

 

 

Obliczmy miarę kąta ß:

 

 

 

Obliczmy pole wycinka koła o o promieniu 8 i kącie środkowym α = 30o.

 

 

Chcemy obliczyć pole trójkąta. Musimy wyznaczyć długość odcinka CD (podstawa) oraz odcinka FS (wysokość).  

Zauważmy, że:

 

oraz 

 

Korzystając z własności trójkąta o kątach 90o, 60o oraz 30o wyznaczamy długość odcinka DE oraz SE.

 

 

 

Stąd mamy:

 

 

 

Cięciwa Cd podzielona jest na dwa odcinki o równej długości, stąd:

 

Obliczamy pole trójkąta równoramiennego CSD:

 

 

Obliczamy pole części koła pomiedzy średnicą i cięciwą:

 

 

 

Odp: Pole części koła pomiędzy średnicą a cięciwą wynosi 32/3π+163 j2.

W pewnym banku do codziennej kapitalizacji odsetek kapitału

 

 

 

Po około 37 dniach. 

Sprawdź, czy podane równości są tożsamościami...

 

Równość jest tożsamością trygonometryczną.

 

 

Równość jest tożsamością trygonometryczną.

 

 

Równość nie jest tożsamością trygonometryczną.

 

 

 

Narysuj kwadrat ABCD o boku długości 6...

 Rysujemy kwadrat  o boku długości  i wyznaczamy wektor  

Thumb zad4.72a1str115


Otrzymujemy:

 


Przesuwamy kwadrat  równolegle o wektor  {premium}

Thumb zad4.72a2str115


Obrazem kwadratu  w przesunięciu równoległym o wektor  jest kwadrat  



 Wyznaczamy wektor  

Thumb zad4.72b1str115


Otrzymujemy:

 


Przesuwamy kwadrat  równolegle o wektor  

Thumb zad4.72b2str115


Obrazem kwadratu  w przesunięciu równoległym o wektor  jest kwadrat  

czy wykres funkcji f(x), gdzie x...

Wykres funkcji f {premium}nie ma punktu wspólnego z osią OY, bo argument x=0 nie należy do dziedziny tej funkcji.

Wykres funkcji f(x)= ...

 

 

 

  

   

 

 

 

 

 

 

 

     

 

Zapisz w postaci kwadratu sumy