Ciągi - matura-podstawowa - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Ciągi - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Ciągi

W tym dziale zajmiemy się ciągami liczbowymi. Zacznijmy od tego czym jest ciąg liczbowy. Są to ponumerowane liczby, które dzięki ponumerowaniu są w jakimś ściśle określonym szyku (mówiąc łopatologicznie jest to "liczba po liczbie": pierwsza liczba, druga liczba, trzecia liczba...). Uwaga: numerami są liczby naturalne, czyli 0,1,2,3...

Przykłady ciągów:
 
  • $5,12,14,-5,1$
  • $1,1,1,1,1,1,1$
  • $-1,0,1,2,3,4,5$

Każdy wyraz ciągu ma swój numer: Pierwszy, piąty, dwudziesty...
Oznaczamy to zazwyczaj tak: $a_1$ , $a_5$, $a_{20}$.

Ciągi można określić wzorami ogólnymi, pozwalającymi nam wyznaczyć wartość dowolnego wyrazu ciągu: szóstego, dziesiątego czy trzydziestego. Widzicie już podobieństwo do funkcji? Jeśli tak, to dobrze, bo każdy ciąg liczbowy jest funkcją! Jej dziedziną jest pewien podzbiór liczb naturalnych, a zbiorem wartości pewien podzbiór liczb rzeczywistych. Argumenty takiej funkcji, jaką jest ciąg, oznaczamy przez n.

Przykładowy wzór ogólny ciągu:

$a_n=n+5$

gdzie n to numer wyrazu, którego szukamy, zatem:

$a_2=2+5=7$

$a_2=7$

$a_6=6+5=11$

i tak dalej...

a z kolei jeśli:

$a_n=5$

to:

$a_3=5$

$a_8=5$

i tak dalej...

Zatem kluczowe dla tego działu jest nasze podstawianie: pod $n$ wstawiamy numer szukanego wyrazu i wyznaczamy ten wyraz korzystając ze wzoru ogólnego.

Przykład:

Dla podanego ciągu $a_n=n^2+5n-3$ znajdź czwarty i piąty wyraz.

Zatem podstawiamy $n=4$ oraz $n=5$.

$a_n=n^2+5n-3$

$a_4=4^2+5×4-3=16+20-3=33$

$a_5=5^2+5×5-3=25+25-3=47$
 

Uwaga!

Wyrazy ciągu to nie tylko liczby naturalne, mogą się pojawić ułamki lub pierwiastki. Numery kolejnych wyrazów to liczby naturalne, więc nie mogą być ujemne, ułamkowe ani niewymierne.
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Znajdź szósty wyraz ciągu $a_n=n^3-n^2+n-1$.

Tutaj zrobimy naszą metodę podmiany czyli po prostu $n=6$

$a_6= 6^3-6^2+6-1=216-36+6-1=180+5=185$

Szóstym wyrazem jest 185.
 

Zadanie 2.

Znajdź sumę dwu-krotności trzeciego i trzykrotności piątego wyrazu ciągu $a_n=|(n-3)(n+3)|$.

Znajdźmy najpierw pojedynczo wyrazy trzeci i piąty.

Metoda podstawiania.

Najpierw trzeci:

$a_n=|(n-3)(n+3)|$

$a_3=|(3-3)(3+3)|$

$a_3=|0×6|=0$

a teraz piąty:

$a_n=|(n-3)(n+3)| $

$a_5=|(5-3)(5+3)| $

$a_5=|2×8|=16 $

Teraz czym jest dwu-krotność, po prostu podwojeniem, więc $2×a_3$

Trzykrotność to potrojenie, więc $3×a_5$

Suma obu rezultatów:

$2×a_3+3×a_5=2×0+3×16=48$

Zadanie 3.

Wskaż który wyraz ciągu $a_n={(n-5)}^2$ ma wartość 4.

Tutaj mamy działanie zupełnie odwrotne, musimy znaleźć takie n dla którego równanie to 4.

Czyli:

$a_n={(n-5)}^2$

$4={(n-5)}^2$

Musimy rozbić wzór skróconego mnożenia

$4=n^2-10n+25$

Zatem:

$n^2-10n+25-4=0$

$n^2-10n+21=0$

Mamy teraz nic innego jak równanie kwadratowe

Wyznaczmy więc punkty

$a=1$

$b=-10$

$c=21$

Obliczmy deltę:

$∆=b^2-4ac$

$∆=(-10)^2-4×1×21$

$∆=100-84$

$∆=16$

Obliczmy pierwiastek:

$√{∆}=√{16}=4$


No i teraz nasze rozwiązania:

$n_1={-b+√{∆} }/{2a}$

$n_1={-(-10)+4)/2={14}/2=7$

$n_2={-b-√{∆} }/{2a}$

$n_2={-(-10)-4}/2=6/2=3$

Zatem wyraz ciągu jest równy 4 dla $n=3$ i $n=7$.

Ciekawostka: to zadanie dało się zrobić dużo prościej, zaczynając od równania

$4={(n-5)}^2$

Zamiast używać wzoru skróconego mnożenia można wziąć pierwiastek z obu stron (są dodatnie, więc nikt nam nie zabroni):
2=|n-5|
Daje to dwa rozwiązania:
Pierwsze:
$2=n-5$
$7=n$

Drugie:
$2=5-n$
$2+n=5$
$n=3$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Z podanych wzorów wyznacz a:

 

      {premium}

 


 

 

 

 


 

 

 


 

 

 

 

W trójkącie równoramiennym o polu...

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:


Mamy dane:

 



a) Z tw. Pitagorasa wyznaczamy a:

 {premium}

 

 

 

 


Ze wzoru na pole trójkąta wyznaczamy x:

 

 

 

 


Obliczamy obwód trójkąta:

 

 


Odp. Obwód trójkąta jest równy 32 cm.



b) Ze wzoru na pole wyznaczamy wysokość h:

 

 

 

 


Obliczamy wysokość opuszczoną na podstawę:

 


Odp. Wysokości trójkąta są równe 8 cm, 9,6 cm, 9,6 cm



c) Ze wzoru na pole obliczamy promień r okręgu wpisanego w trójkąt:

 

 

 

 


Odp. Promień okręgu wpisanego w trójkąt ma długość 3 cm.

Narysuj wykres przykładowej funkcji...

Przykładowy wykres funkcji. Krańce dziedziny zaznaczamy otwartymi kółeczkami gdyż nie należą do niej. Funkcja nie może przyjmować wartości większych od 4 i mniejszych od 2.

{premium}

Doprowadź wyrażenia do najprostszej postaci...

 

 

Wykonaliśmy dzielenie, więc koniecznie musimy założyć, że dzielnik jest różny od zera. Stąd:

 

 

Obliczamy wartość wyrażenia dla  

 {premium}


 

 

Wykonaliśmy dzielenie, więc koniecznie musimy założyć, że dzielnik jest różny od zera. Stąd:

 

 

Obliczamy wartość wyrażenia dla  

 


 

 

 

Wykonaliśmy dzielenie, więc koniecznie musimy założyć, że dzielnik jest różny od zera. Stąd:

 

 

Obliczamy wartość wyrażenia dla  

 

 


 

 

Wykonaliśmy dzielenie, więc koniecznie musimy założyć, że dzielnik jest różny od zera. Stąd:

 

 

 

 

Obliczamy wartość wyrażenia dla 

 

Na rysunku obok przedstawiono...

Funkcje y=x3+2x2 i y=-x3+2x2 są symetryczne względem osi{premium} y, zatem

wykres funkcji y=-x3+2xprzedstawiono na wykresie B.

Odp.: B

Dane są wektory...

{premium}

 

Wyłącz wspólny czynnik poza nawias

 

{premium}  

 

 

 

  

 

 

   

Na podstawie wykresu funkcji f...

Wykres funkcji f otrzymamy po przesunięciu wykresy funkcji h(x)=x2 równolegle o wektor [1, 0].

Rysujemy wykres funkcji f w danym przedziale.{premium}

Na podstawie wykresu funkcji f rysujemy wykres funkcji g.


 

 


 

Wyznacz liczbę, której 15% jest liczbą...

 szukana liczba


Zdanie "liczby  jest liczbą o  mniejszą niż liczby " możemy zapisać równaniem: {premium}

 


Wyznaczamy z równania  

 

 

 

 

 


Odp. Szukana liczba to  

 

 

Wykaż, że suma promienia okręgu opisanego na...

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:

Thumb zad5.111str125


Mamy:

 przyprostokątne

 przeciwprostokątna


Wówczas promienie okręgów wpisanego i opisanego na trójkącie dane są wzorami:

 {premium}

 


Obliczamy sumę tych promieni:

 


 to średnia arytmetyczna przyprostokątnych, zatem pokazaliśmy, że suma długości promieni

jest średnią arytmetyczną długości przyprostokątnych, co należało dowieść.