Ciągi - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Ciągi

W tym dziale zajmiemy się ciągami liczbowymi. Zacznijmy od tego czym jest ciąg liczbowy. Są to ponumerowane liczby, które dzięki ponumerowaniu są w jakimś ściśle określonym szyku (mówiąc łopatologicznie jest to "liczba po liczbie": pierwsza liczba, druga liczba, trzecia liczba...). Uwaga: numerami są liczby naturalne, czyli 0,1,2,3...

Przykłady ciągów:
 
  • $$5,12,14,-5,1$$
  • $$1,1,1,1,1,1,1$$
  • $$-1,0,1,2,3,4,5$$

Każdy wyraz ciągu ma swój numer: Pierwszy, piąty, dwudziesty...
Oznaczamy to zazwyczaj tak: $$a_1$$ , $$a_5$$, $$a_{20}$$.

Ciągi można określić wzorami ogólnymi, pozwalającymi nam wyznaczyć wartość dowolnego wyrazu ciągu: szóstego, dziesiątego czy trzydziestego. Widzicie już podobieństwo do funkcji? Jeśli tak, to dobrze, bo każdy ciąg liczbowy jest funkcją! Jej dziedziną jest pewien podzbiór liczb naturalnych, a zbiorem wartości pewien podzbiór liczb rzeczywistych. Argumenty takiej funkcji, jaką jest ciąg, oznaczamy przez n.

Przykładowy wzór ogólny ciągu:

$$a_n=n+5$$

gdzie n to numer wyrazu, którego szukamy, zatem:

$$a_2=2+5=7$$

$$a_2=7$$

$$a_6=6+5=11$$

i tak dalej...

a z kolei jeśli:

$$a_n=5$$

to:

$$a_3=5$$

$$a_8=5$$

i tak dalej...

Zatem kluczowe dla tego działu jest nasze podstawianie: pod $$n$$ wstawiamy numer szukanego wyrazu i wyznaczamy ten wyraz korzystając ze wzoru ogólnego.

Przykład:

Dla podanego ciągu $$a_n=n^2+5n-3$$ znajdź czwarty i piąty wyraz.

Zatem podstawiamy $$n=4$$ oraz $$n=5$$.

$$a_n=n^2+5n-3$$

$$a_4=4^2+5×4-3=16+20-3=33$$

$$a_5=5^2+5×5-3=25+25-3=47$$
 

Uwaga!

Wyrazy ciągu to nie tylko liczby naturalne, mogą się pojawić ułamki lub pierwiastki. Numery kolejnych wyrazów to liczby naturalne, więc nie mogą być ujemne, ułamkowe ani niewymierne.
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Znajdź szósty wyraz ciągu $$a_n=n^3-n^2+n-1$$.

Tutaj zrobimy naszą metodę podmiany czyli po prostu $$n=6$$

$$a_6= 6^3-6^2+6-1=216-36+6-1=180+5=185$$

Szóstym wyrazem jest 185.
 

Zadanie 2.

Znajdź sumę dwu-krotności trzeciego i trzykrotności piątego wyrazu ciągu $$a_n=|(n-3)(n+3)|$$.

Znajdźmy najpierw pojedynczo wyrazy trzeci i piąty.

Metoda podstawiania.

Najpierw trzeci:

$$a_n=|(n-3)(n+3)|$$

$$a_3=|(3-3)(3+3)|$$

$$a_3=|0×6|=0$$

a teraz piąty:

$$a_n=|(n-3)(n+3)| $$

$$a_5=|(5-3)(5+3)| $$

$$a_5=|2×8|=16 $$

Teraz czym jest dwu-krotność, po prostu podwojeniem, więc $$2×a_3$$

Trzykrotność to potrojenie, więc $$3×a_5$$

Suma obu rezultatów:

$$2×a_3+3×a_5=2×0+3×16=48$$

Zadanie 3.

Wskaż który wyraz ciągu $$a_n={(n-5)}^2$$ ma wartość 4.

Tutaj mamy działanie zupełnie odwrotne, musimy znaleźć takie n dla którego równanie to 4.

Czyli:

$$a_n={(n-5)}^2$$

$$4={(n-5)}^2$$

Musimy rozbić wzór skróconego mnożenia

$$4=n^2-10n+25$$

Zatem:

$$n^2-10n+25-4=0$$

$$n^2-10n+21=0$$

Mamy teraz nic innego jak równanie kwadratowe

Wyznaczmy więc punkty

$$a=1$$

$$b=-10$$

$$c=21$$

Obliczmy deltę:

$$∆=b^2-4ac$$

$$∆=(-10)^2-4×1×21$$

$$∆=100-84$$

$$∆=16$$

Obliczmy pierwiastek:

$$√{∆}=√{16}=4$$


No i teraz nasze rozwiązania:

$$n_1={-b+√{∆} }/{2a}$$

$$n_1={-(-10)+4)/2={14}/2=7$$

$$n_2={-b-√{∆} }/{2a}$$

$$n_2={-(-10)-4}/2=6/2=3$$

Zatem wyraz ciągu jest równy 4 dla $$n=3$$ i $$n=7$$.

Ciekawostka: to zadanie dało się zrobić dużo prościej, zaczynając od równania

$$4={(n-5)}^2$$

Zamiast używać wzoru skróconego mnożenia można wziąć pierwiastek z obu stron (są dodatnie, więc nikt nam nie zabroni):
2=|n-5|
Daje to dwa rozwiązania:
Pierwsze:
$$2=n-5$$
$$7=n$$

Drugie:
$$2=5-n$$
$$2+n=5$$
$$n=3$$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Iloczyn dwóch liczb naturalnych wynosi

a,b- liczby naturalne
`a * b = 6174`

W oparciu o informację o największym wspólnym dzielniku:
`NWD(a,b) = 21`

Zapiszmy te liczby symbolicznie
`a = 21x`
`b = 21y`
`21x * 21y = 6174`                   `/:21`
`xy = 14`

Dzieląc liczbę a lub b przez 21 otrzymamy liczbę całkowitą (na tym opiera się podzielność), zatem zgodnie z powyżej wyznaczoną zależnością muszą to być takie liczby, które pomnożone przez siebie dadzą w wyniku 14, mamy dwie możliwości:

  • `x=1, y=14 \ \ \ wtedy \ \ \ a=42,b=147`
  • `x=2, y=7 \ \ \ wtedy \ \ \a=21, b=194`



Tosia i Tomek zdawali egzamin testowy z matematyki

`a)`

Wiemy, że Tomek rozwiązał poprawnie 74% zadań, a Tosia rozwiązała poprawnie 74%+14%=88% zadań. Oznaczmy liczbę wszystkich zadań jako x. Możemy wtedy zapisać:

`"liczba zadań poprawnie rozwiązanych przez Tomka:"\ \ \ 74%*x=0,74x`

`"liczbza zadań poprawnie rozwiązanych przez Tosię:"\ \ \ 88%*x=0,88x`

 

Obliczamy, o ile procent więcej zadań rozwiązała Tosia od Tomka, czyli jakim procentem liczby zadań rozwiązanych przez Tomka jest różnica liczby rozwiązanych zadań:

`(0,88x-0,74x)/(0,74x)=(0,14x)/(0,74x)=(0,14)/(0,74)=14/74=0,189189...=18,9189...%~~18,9%`

 

 

`b)`

`"Tomek:"\ \ \ 74%*50=74/100*50=37/50*50=37`

`"Tosia:"\ \ \ 88%*50=88/100*50=44/50*50=44`

Na podstawie wykresu funkcji określ:

Dziedzina to zbiór argumentów którym przyporządkowano wartość. Każdy argument z dziedziny ma wartość a ich zbiór nazywamy zbiorem wartości funkcji.

Miejsca zerowe to punkty w których wykres funkcji przecina oś OX czyli punkt w którym wartość funkcji w punkcie wynosi 0.

Punkt przecięcia z osią OY ma pierwszą współrzędną równą 0.

Wartości dodatnie to te, które znajdują się ponad osią OX, natomiast ujemne znajdują się poniżej jej.

Wyznaczając przedziały w którym funkcja rośnie patrzymy dla jakich argumentów z danego przedziału zachodzi warunek:

`x_1 < x_2 => f(x_1) < f(x_2)` 

Wyznaczając przedziały w których funkcja maleje patrzymy dla jakcih argumentów z danego przedziału zachodzi warunek:

`x_1 < x_2 => f(x_1) > f(x_2)` 

 

Przez wartość funkcji 

`f(D)` 

 

`a) \ D_f = [-6,6] \ , \ Z_w = [-6,3]` 

`M_z = {-6,-2,4}` 

`P=(0,-5)` 

`f(x) > 0 \ \ "Dla" \ x in (-6,-2) \cup (4,6) \ \ \ f(x) < 0 \ \ "Dla" \ x in (-2,4)` 

`"Rosnąca dla" \ x in [-6,-4] \ "i" \ [1,6] \ \ \ "malejąca dla" \ x in [-4,1]` 

`f(x) geq 2 \ \ "Dla" \ x in [-5,-3] \cup {6}` 

`y in [-3,0] \ \ "Dla" \ x in [-2,-1] \cup [3,4] \ \ \ \ \ y in [0,2] \ \ "Dla" \ x in [-6,-5] \cup [-3,-2] \cup [4,6]` 

 

 

`b) \ D_f = (-7,8] \ , \ Z_w = [-2,2]` 

`M_z = {-5,-2,2,4}` 

`P=(0,1)` 

`f(x) > 0 \ \ "Dla" \ x in (-7,-5) \cup (-2,2) \cup (4,8] \ \ \ f(x) < 0 \ \ "Dla" \ x in (-5,-2) \cup (2,4)` 

`"Rosnąca dla" \ x in [-3,0] \ "i" \ [3,8] \ \ \ "malejąca dla" \ x in (-7,-3] \cup [0,3]` 

`f(x) geq 2 \ \ "Dla" \ x in {8}` 

`y in [-3,0] \ \ "Dla" \ x in [-5,-2] \cup [2,4] \ \ \ \ \ y in [0,2] \ \ "Dla" \ x in (-7,-5] \cup [-2,2] \cup [4,8]` 

 

Określ monotoniczność funkcji f

`a)\ a=0,003>0\ \ \ -\ \ \ "rosnąca"`

`c)\ a=3,14-pi~~3,14-3,14159...<0\ \ \ -\ \ \ "malejąca"`

`d)\ a=0\ \ \ -\ \ \ "stała"`

`e)\ a=-1/(sqrt3-3)=1/(3-sqrt3)~~1/(3-1,73)>0\ \ \ -\ \ \ "rosnąca"`

`f)\ a=1/2-1/sqrt2=sqrt2/(2sqrt2)-2/(2sqrt2)=(sqrt2-2)/(2sqrt2)~~(1,41-2)/(2*1,41)<0\ \ \ -\ \ \ "malejąca"`

 ` `  

` `

Naszkicuj wykres innej funkcji spełniającej te same warunki

Własności funkcji są takie same. 

 

Podaj dziedzinę funkcji f

Pierwiastek kwadratowy jest określony tylko dla liczb nieujemnych, musimy więc zadbać, by liczba pod pierwiastkiem była większa lub równa 0. 

 

 

`a)`

`x-8>=0\ \ \ |+8`

`x>=8`

 

`D=<<8,\ +infty)`

 

 

`b)`

`3-x>=0\ \ \ \ |-3`

`-x>=-3\ \ \ |*(-1)`

`x<=3`

 

`D=(-infty,\ 3>>`

 

`c)`

`-x>=0\ \ \ |*(-1)`

`x<=0`

 

`D=(-infty,\ 0>>`

Na rysunku zaznaczono półpłaszczyznę

Patrząc na rysunek możemy odczytać, że punkt A spełnia warunek (leży w części zaznaczonej na niebiesko), natomiast punkty C i E nie spełniają podanego warunku. 

Jeśli chodzi o punkty B, D, F, to nie można odczytać z rysunku, dlatego sprawdzimy to algebraicznie - podstawimy współrzędne punktów do nierówności i sprawdzimy, czy jest ona prawdziwa. 

`ul("punkt B")`

`-5#>^?2*(-2)-3`

`-5#>^?-4-3`

`-5#>^?-7`

Nierówność jest prawdziwa, więc punkt B spełnia podany warunek. 

 

`ul("punkt D")`

`10#>^?2*4-3`

`10#>^?8-3`

`10#>^?5`

Nierówność jest prawdziwa, więc punkt D spełnia podany warunek. 

 

`ul("punkt F")`

`-14#>^?2*(-6)-3`

`-14#>^?-12-3`

`-14#>^?-15`

Nierówność jest prawdziwa, więc punkt F spełnia podany warunek. 

 

 

`ul("odpowiedź")`

`ul(A(0;\ 2))\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ C(2;\ 0)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ E(2;\ 1)`

`ul(B(-2;\ -5))\ \ \ \ \ \ \ \ ul(D(4;\ 10))\ \ \ \ \ \ \ \ ul(F(-6;\ -14))`

Wyznacz dziedzinę funkcji ...

`a)` 

`f(x)=sqrt(x^2-3x-4)` 

`D:\ x^2-3x-4>=0`  

`Delta=9+16=25` 

`sqrtDelta=5` 

 

`x_1 = (3-5)/2=-1` 

`x_2 = (3+5)/2=4` 

 

`x in (-oo;-1]cup[4;+oo) ` 

`ul(D=(-oo;-1]cup[4;+oo) ` 

 

`b)` 

`f(x)=sqrt(-2x^2+5x+3)` 

`D:-2x^2+5x+3>=0`  

`Delta=25+24=49` 

`sqrtDelta=7` 

 

`x_1=(-5+7)/-4=-1/2` 

`x_2=(-5-7)/-4=3` 

`x in [-1/2;3]` 

`ul(D=[-1/2;3]` 

 

`c)` 

`f(x)=sqrt(x^2-1)-sqrt(4-x^2)` 

`D:x^2-1>=0\ \ \wedge\ \ \4-x^2>=0`  

 

`"I". \ x^2-1>=0` 

`x^2>=1` 

`x>=1\ \ \vv\ \ \x<=-1` 

`x in (-oo;-1] cup [1;+oo)` 

 

`"II".\ 4-x^2>=0` 

`x^2<=4` 

`x<=2\ \ \wedge \ \ \x>=-2`  

`x in [-2;2]`   

 

`"Weźmy część wspólną wyznaczonych zbiorów w punktach I i II:"` 

`D=[(-oo;-1]cup[1;+oo)]cap[-2;2]=ul([-2;-1]cup[1;2]` 

 

`d)` 

`f(x)=sqrt(2x^2-1)-sqrt(9-4x^2)` 

`D: 2x^2-1>=0\ \ \wedge\ \ \ 9-4x^2>=0` 

 

`"I".\ 2x^2-1>=0` 

`2x^2>=1` 

`x^2>=1/2` 

`x>=1/sqrt2=sqrt2/2\ \ \vv\ \ \x<=-sqrt2/2`      

`x in (-oo;-sqrt2/2]cup[sqrt2/2;+oo)` 

 

`"II".\ 9-4x^2>=0` 

`x^2<=9/4` 

`x<=3/2\ \ \wedge\ \ \x>=-3/2` 

`x in [-3/2;3/2]` 

`"Weźmy część wspólną wyznaczonych zbiorów w punktach I i II:"`  

`D=[(-oo;-sqrt2/2]cup[sqrt2/2;+oo)]cap [-3/2;3/2]=ul([-3/2;-sqrt2/2]cup[sqrt2/2;3/2])`    

Naszkicuj w jednym układzie współrzędnych ...

`a)` 

`f(x)=x^2` 

`g(x)=(x-1)^2+1=f(x-1)+1` 

`"Wykres funkcji g to wykres funkcji f przesunięty o wektor [1;1]"` 

`h(x)=(x-2)^2-4=f(x-2)-4` 

`"Wykres funkcji h to wykres funkcji f przesunięty o wektor [2;-4]"` 

`b)` 

`f(x)=x^2` 

`g(x)=(x+2)^2-4=f(x+2)-4` 

`"Wykres funkcji g to wykres funkcji f przesunięty o wektor [-2;-4]"` 

`h(x)=(x+3)^2-1=f(x+3)-1`   

`"Wykres funkcji hto wykres funkcji f przesunięty o wektor [-3;-1]"` 

 

Wyznacz równanie kierunkowe ...

`a)` 

`A=(4;-3)` 

`B=(-2;1)` 

`AB:\ y=ax+b` 

`{(-3=4a+b),(1=-2a+b):}`  

`{( 3=-4a-b),(1=-2a+b):}`  

`4=-6a` 

`a=-2/3` 

`b=1+2a=1-4/3=-1/3` 

`AB:\ y=-2/3x-1/3` 

 

`P=(3;-1)` 

`k-"szukana prosta"` 

`k:\ y=-2/3x+b` 

`-1=-2/3*3+b` 

`b=1` 

`ul(k:\ y=-2/3x+1`    

 

`b)` 

`A=(-sqrt2;sqrt2)` 

`B=(2sqrt2;sqrt2)` 

`AB:\ y=ax+b` 

 

Zauważmy, że punkty A i B mają wspólną drugą współrzędną, zatem leża na prostej opisanej 

równaniem:

`AB:\ y=sqrt2` 

 

`P=(3;-1)` 

`k-"szukana prosta"` 

`k:\ y=b` 

`ul(k:\ y=-1` 

 

`c)` 

`A=(sqrt5;sqrt5)` 

`B=(-sqrt7;-sqrt7)` 

`AB:\ y=ax+b` 

Zauważmy, że punkty A i B mają równą pierwszą i drugą współrzędną tzn. y=x.

`AB:\ y=x` 

 

`P=(3;-1)` 

`k-"szukana prosta"` 

`k:\ y=x+b` 

`-1=3+b\ implies\ b=-4` 

`ul(k:\ y=x-4`  

 

`d)` 

`A=(-2sqrt2;2sqrt3)` 

`B=(-sqrt3;4sqrt2)` 

`AB:\ y=ax+b` 

`{(2sqrt3=-2sqrt2a+b),(4sqrt2=-sqrt3a+b):}` 

`{(-2sqrt3= 2sqrt2a-b),(4sqrt2=-sqrt3a+b):}` 

`4sqrt2-2sqrt3=a(2sqrt2-sqrt3)` 

`a=2` 

`b=-2sqrt3-2sqrt2a=-2sqrt3-4sqrt2` 

`AB:\ y=2x-2sqrt3-4sqrt2` 

 

`P=(3;-1)` 

`k-"szukana prosta"` 

`k:\ y=2x+b` 

`-1=2*3+b\ implies\ b=-7`  

`ul(k:\ y=2x-7`