Ciąg geometryczny i jego suma - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Ciąg geometryczny i jego suma

Temat ten jest bardzo podobny do obliczania sumy ciągu arytmetycznego, lecz w przypadku ciągu geometrycznego musi wykonać więcej obliczeń.

Jak pamiętamy ciąg to ponumerowane liczby. Dodatkowy wiemy, że ciąg geometryczny to taki gdzie iloraz pomiędzy kolejnymi wyrazami jest zawsze taki sam.

Mamy przykładowy ciąg:

$$a_n=2,4,8,16,32,x$$

Gołym okiem widać, że ciągle jest mnożony przez 2, zatem nasz x będzie wynosić 64, bo $$32*2=64$$

Jednak i tu nie jest tak łatwo jeśli mamy ciąg takiej postaci:

$$a_n=1/3,-1/5,3/{2}5,-9/{25},x$$

Przykład:

Znajdź $$x$$ w ciągu $$a_n=1/3,-1/5,3/{2}5,-9/{25},x$$. Musimy najpierw znaleźć jaki iloraz został tutaj użyty, zatem wprowadźmy wzór na dowolny wyraz ciągu geometrycznego:

$$a_n=a_1×q^(n-1)$$

Podstawmy tu wyraz numer 2:

Czyli $$n=2$$

$$a_2=a_1×q^(2-1)$$

Nasze wyrazy to:

$$a_1=1/3$$

$$a_2=-1/5$$

Podstawiamy do wzoru:

$$a_2=a_1×q^1$$

W celu usunięcia ułamków

$$-1/5=1/3×q$$ $$|×15$$

$$-3=5×q$$ $$|:(-3)$$

$$q=-5/3$$


Obliczmy teraz bez problemu wyraz numer 5:

$$a_5=a_1×q^(5-1)$$

$$a_5=a_1×q^4$$

$$a_5=1/3×(-5/3)^4$$

$$a_5=1/3×-{625}/{81}=-{625}/{243}$$


Ciąg geometryczny ma również własność wyrazu środkowego - kwadrat wyrazu środkowego jest równy iloczynowi wartości sąsiednich wyrazów, czyli:

$$a_{n-1}$$, $$a_n$$, $$a_{n+1}$$ -> trzy kolejne wyrazy

$$a_n^2=a_{n-1}×a_{n+1}$$

 

Suma ciągu geometrycznego


W celu obliczenia sumy ciągu geometrycznego potrzebujemy następujących danych:
  • Pierwszy wyraz: $$a_1$$
  • Ilość wyrazów, których sumę liczymy: $$N$$
  • Iloraz: $$q$$

Wzór na sumę wygląda następująco:

$$S_N={a_1(1-q^N)}/{1-q}$$

Przykład:

Oblicz sumę pierwszych 7 wyrazów ciągu geometrycznego, gdzie ostatni wyraz to $$a_7=81$$, a iloraz to $$q=3$$.

Potrzebujemy podstawy, zatem obliczmy $$a_1$$ z wzoru na dowolny wyraz:

$$a_N=a_1×q^{N-1}$$

$$a_7=a_1×q^6$$

Podstawmy: $$81=a_1×3^6$$

81 również jest potęgą trójki, więc zamiast bawić się w duże liczby zróbmy tak:

$$3^4=a_1×3^6$$ $$|:3^6$$

Z własności dzielenia potęg:

$$3^{-2}=a_1$$

$$1/9=a_1$$

Wiemy, że N=7, bo 7 wyrazów, więc liczymy sumę:

$$S_N={a_1 (1-q^N)}/{1-q}$$

$$S_7={1/9(1-3^7)}/{1-3}$$

$$S_7={1/9(1-3^7)}/{1-3}$$

$$S_7={1/9(-2186)}/{-2}$$

$$S_7={-{2186}/9}/{-2}$$

$$S_7={2186}/{18}$$
 

Uwaga!

Powyższe wzory są zawarte w karcie wzorów.

Wzór na dowolny wyraz jest uniwersalny, działa dla każdego ciągu geometrycznego.
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Mamy ciąg geometryczny w postaci $$x+1,0,x-3$$. Oblicz x, rozważ wszystkie możliwe przypadki.

Skorzystamy tutaj z wzoru ratującego życie, czyli na sąsiednie wyrazy:

$$a_2^2=a_1×a_3$$

Podstawiamy:

$$0=(x+1)(x-3)$$

Z zasad mnożenia wiemy, że mnożenie to 0 jeśli jeden z czynników to 0, więc mamy tu dwa przypadki:

$$x+1=0$$

Lub

$$x-3=0$$

zatem mamy dwa rozwiązania:

$$x=-1$$ lub $$x=3$$

Zadanie 2.

Oblicz sumę ciągu geometrycznego jeśli składa się z 10 wyrazów, o ilorazie $$q=1/2$$, jeśli $$a_6=72$$.

Zadanie bardzo podobne do przykładu przedstawionego w tym temacie.

Najpierw znajdźmy podstawę z wzoru na dowolny wyraz:

$$a_n=a_1×q^(n-1)$$

$$a_6=a_1×q^5$$

Podstawmy:

$$72=a_1×{(1/2)}^5$$

$$72=a_1×1/{32}$$

$$a_1=72×32=2304$$

Mamy już wszystko, pozostaje nam wyliczyć sumę:

$$N=10$$

$$a_1=2304$$

$$q=1/2$$

Zatem obliczamy sumę, podstawiając wszystkie wartości pod wzór:

$$S_N={a_1 (1-q^N)}/{1-q}$$

$$S_10={2304(1-(1/2)^10)}/{1-1/2}$$

$$S_10={2304(1-1/{1024})}/{1/2}$$

$$S_10={2304-{2304}/{1024} }/{1/2}$$

$$S_10=2×(2304-{2304}/{1024})$$


$$S_10=4608-{2304}/{512}$$

I teraz doprowadzamy do najprostszej postaci:

$$S_10=4608-9/2=4603,5$$

Zadanie 3.

Oblicz iloraz ciągu jeśli $$a_2=25$$ i $$a_4=1$$.

Możemy również skorzystać z wzoru na sąsiedni wyraz ciągu w celu szybszego obliczenia:

$$a_3^2=a_2×a_4$$

Podstawiamy:

$$a_3^2=25×1$$

$$a_3^2=25$$

Więc znów mamy dwa przypadki

$$a_3=5$$ oraz $$a_3=-5$$

Załóżmy przypadek pierwszy czyli $$a_3=5$$ wtedy:

$$q={a^4}/{a^3}=1/5$$

Zatem w drugim przypadku jest to:

$$q={a^4}/{a^3} =1/{-5}=-1/5$$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Oceń wartość logiczną ...

a) Pierwsze zdanie jest prawdziwe. Drugie zdanie jest fałszywe.

Jedno ze zdań jest prawdziwe, więc alternatywa jest prawdziwa.

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )` 

b) Pierwsze zdanie jest prawdziwe. Drugie zdanie jest prawdziwe.

Oba zdania są prawdziwe, więc alternatywa jest prawdziwa.

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )` 

c) Pierwsze zdanie jest prawdziwe. Drugie zdanie jest fałszywe.

Jedno ze zdań jest prawdziwe, więc alternatywa jest prawdziwa.

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )` 

d) Pierwsze zdanie jest fałszywe. Drugie zdanie jest prawdziwe.

Jedno ze zdań jest prawdziwe, więc alternatywa jest prawdziwa.

Nie rozwiązując układu równań ...

`a)` 

`{(y=3x+7),(y=-2x+3):}` 

Mimo, iż współczynniki przy niewiadomej y są równe, to współczynniki przy x różnią się.

Równanie ma jedno rozwiąznie.

 

`b)` 

`{(3x-5y=6),(3x-5y=7):}` 

Równanie jest sprzeczne. Po jednej stronie, równania są identyczne, a po drugiej różnią się.

Możemy tak stwierdzić, ponieważ po jednej stronie są tylko stałe liczby.

 

`c)` 

`{(4x-8y=2),(6x-12y=3):}` 

Zauważmy, że oba równania są tak naprawdę jednym równaniem.

Wystarczy pierwsze pomnożyć przez 6, natomiast drugie przez 4.

Układ ma nieskończenie wiele rozwiązań.

Uzasadnij, że podane liczby ...

`"a)"\ sqrt5-2` 

`\ \ \ 1/(sqrt5-2)=(1*(sqrt5+2))/((sqrt5-2)(sqrt5+2))=(sqrt5+2)/((sqrt5)^2-2^2)=(sqrt5+2)/(5-4)=sqrt5+2` 

Po usunięciu niewymierności otrzymaliśmy 5+2.

Jeżeli od 5 odejmiemy 2, to w rozwinięciu dziesiętnym zmienia się liczba stojąca przed przecinkiem, ale cyfry po przecinku liczby 5 zostają takie same.

Jeżeli do 5 dodamy 2, to w rozwinięciu dziesiętnym także zmieni się liczba stojąca przed przecinkiem, ale cyfry po przecinku liczby 5 zostaną takie same.

Stąd obie liczby mają takie same cyfry po przecinku.

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )` 

`"b)"\ sqrt3+1` 

`\ \ \ 1/(2-sqrt3)=(1*(2+sqrt3))/((2-sqrt3)(2+sqrt3))=(2+sqrt3)/(2^2-(sqrt3)^2)=(2+sqrt3)/(4-3)=2+sqrt3` 

Po usunięciu niewymierności otrzymaliśmy 3+2.

Jeżeli do 3 dodamy 2, to w rozwinięciu dziesiętnym zmienia się liczba stojąca przed przecinkiem, ale cyfry po przecinku liczby 3 zostają takie same.

Jeżeli do 3 dodamy 1, to w rozwinięciu dziesiętnym także zmieni się liczba stojąca przed przecinkiem, ale cyfry po przecinku liczby 3 zostaną takie same.

Stąd obie liczby mają takie same cyfry po przecinku.

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )` 

`"c)"\ sqrt10-3` 

`\ \ \ 1/(sqrt10-3)=(1*(sqrt10+3))/((sqrt10-3)(sqrt10+3))=(sqrt10+3)/((sqrt10)^2-3^2)=(sqrt10+3)/(10-9)=sqrt10+3` 

Po usunięciu niewymierności otrzymaliśmy 10+3.

Jeżeli od 10 odejmiemy 3, to w rozwinięciu dziesiętnym zmienia się liczba stojąca przed przecinkiem, ale cyfry po przecinku liczby 10 zostają takie same.

Jeżeli do √10 dodamy 3, to w rozwinięciu dziesiętnym także zmieni się liczba stojąca przed przecinkiem, ale cyfry po przecinku liczby 10 zostaną takie same.

Stąd obie liczby mają takie same cyfry po przecinku.

Miejscem zerowym funkcji jest liczba

`a)`

Przekształcamy równanie prostej do postaci kierunkowej: 

`3x+2y+6=0\ \ \ \ \ \ |-3x-6`

`2y=-3x-6\ \ \ \ \ \ \ |:2`

`y=-3/2x-3`

 

Współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej będzie równy: 

`a=-1/(-3/2)=2/3`

 

Prosta prostopadła ma równanie: 

`y=2/3x+b`

 

Wiemy, że -2 jest miejscem zerowym tej prostej: 

`0=2/3*(-2)+b`

`0=-4/3+b`

`b=4/3`

 

`ul(ul(y=2/3x+4/3))`

 

 

 

`b)`

`2x-1/2y-5=0\ \ \ \ |-2x+5`

`-1/2y=-2x+5\ \ \ \ \ |*(-2)`

`y=4x-10`

 

 

Współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej: 

`a=-1/4`

 

`y=-1/4x+b`

Wiemy, że -2 jest miejscem zerowym:

`0=-1/4*(-2)+b`

`0=1/2+b`

`b=-1/2`

`ul(ul(y=-1/4x-1/2))`

 

 

 

`c)`

`-3/4x+9/8y+3=0\ \ \ \ \ |*8`

`-6x+9y+24=0\ \ \ \ \ \ |+6x-24`

`9y=6x-24\ \ \ \ \ \ |:9`

`y=2/3x-8/3`

 

Współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej: 

`a=-1/(2/3)=-3/2`

`y=-3/2x+b`

Miejscem zerowym jest -2, czyli:

`0=-3/2*(-2)+b`

`0=3+b`

`b=-3`

`ul(ul(y=-3/2x-3))`

 

Oblicz długość krawędzi sześcianu o objętości V

`a)\ a=root(3)1=1`

`b)\ a=root(3)(64)=4`

`c)\ a=root(3)216=6`

`d)\ a=root(3)8000=20`

Oblicz

`a)\ (3sqrt2)^3=3^3*sqrt2^3=27*2sqrt2=54sqrt2`

`b)\ (2sqrt3)^4=2^4*sqrt3^4=16*9=144`

`c)\ (2sqrt2)^5=2^5*sqrt2^5=32*4sqrt2=128sqrt2`

`d)\ (2sqrt5)^6=2^6*sqrt5^6=64*125=8000`

Oblicz

`a)\ (2/3)^-2-(4/3)^-1=(3/2)^2-3/4=9/4-3/4=6/4=3/2=1 1/2`

`b)\ [(1/5)^-3-(1/3)^-4]^-1=[(5/1)^3-(3/1)^4]^-1=[5^3-3^4]^-1=`

`\ \ \ =[125-81]^-1=44^-1=1/44`

`c)\ (4^2*4^-1-7^0)/(1+2^-3)=(16*1/4-1)/(1+1/2^3)=(4-1)/(1+1/8)=3/(1 1/8)=3/(9/8)=3:9/8=3*8/9=8/3=2 2/3`

Przesuń wykres funkcji...

a) Po przesunięciu powstaje wykres funkcji g:

`g(x) = f(x+3)+2 = 2(x+3)^2 + 2` 

 

Współrzędne wierzchołka:

`(-3,2)` 

 

zatem zbiór wartości to:

`Z_w = [2, oo)` 

 

b) Po przesunięciu powstaje wykres funkcji g:

`g(x) = f(x-1/2) -1 = 2(x-1/2)^2-1` 

 

Współrzędne wierzchołka:

`(1/2, -1)` 

 

zatem zbiór wartości to:

`Z_w = [-1, oo)` 

 

c) Po przesunięciu powstaje wykres funkcji g:

`g(x) = f(x)-2 = 2x^2-2` 

 

Współrzędne wierzchołka:

`(0,-2)` 

 

zatem zbiór wartości to:

`Z_w = [-2, oo)` 

 

d) Po przesunięciu powstaje wykres funkcji g:

`g(x) = f(x-sqrt2) - 1 = 2(x-sqrt2)^2-1` 

 

Współrzędne wierzchołka:

`(sqrt2,-1)` 

 

zatem zbiór wartości to:

`Z_w = [-1, oo)` 

Ile liczb całkowitych spełnia jednocześnie

`a)`

`{(2x-1<x+5\ \ \ |-x), (3x-4>=2x-7\ \ \ |-2x):}`

`{(x-1<5\ \ \ |+1), (x-4>=-7\ \ \ |+4):}`

`{(x<6), (x>=-3):}`

`"Liczby całkowite spełniające jednocześnie te nierówności to:" -3,\ -2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5. `

`"Tych liczb jest dziewięć."`

 

 

`b)`

`{(3x+1>x-4\ \ \ |-x), (2x-5<4-2x\ \ \ \ |+2x):}`

`{(2x+1> -4\ \ \ |-1), (4x-5<4\ \ \ |+5):}`

`{(2x> -5\ \ \ |:2), (4x<9\ \ \ |:4):}`

`{(x> -5/2), (x<9/4):}`

`{(x> -2.5), (x<1.75):}`

`"Liczby całkowite spełniające jednocześnie te nierówności to:"\ -2,\ -1,\ 0,\ 1.`

`"Tych liczb jest cztery."`

 

 

`c)`

`{(x+3<2x+4\ \ \ |-2x), (3-x<=x-3\ \ \ |-x):}`

`{(-x+3<4\ \ \ |-3), (3-2x<=-3\ \ \ |-3):}`

`{(-x<1\ \ \ |*(-1)), (-2x<=-6\ \ \ |:(-2)):}`

`{(x> -1), (x>=3):}`

`"Liczby całkowite spełniające jednocześnie te nierówności to:"\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ ...`

`"Jest nieskończenie wiele takich liczb."`

` `

 

 

`d)`

`{(-2x+3>x+1\ \ \ |-x), (x-(2-x)<6x-3):}`

`{(-3x+3>1\ \ \ |-3), (x-2+x<6x-3):}`

`{(-3x> -2\ \ \ |:(-3)), (2x-2<6x-3\ \ \ |-6x):}`

`{(x<2/3), (-4x-2<-3\ \ \ |+2):}`

`{(x<2/3), (-4x< -1\ \ \ |:(-4)):}`

`{(x<2/3), (x>1/4):}`

`"Brak liczb całkowitych spełniających jednocześnie te nierówności."`

 

Wyznacz x, wiedząc, że log₅(3x+1)=2

`log_5(3x+1)=2`

`log_5(3x+1)=log_5 25`

`3x+1=25`

`3x=25-1`

`3x=24`        `/:3`

`x=8`