Ciąg geometryczny i jego suma - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Ciąg geometryczny i jego suma

Temat ten jest bardzo podobny do obliczania sumy ciągu arytmetycznego, lecz w przypadku ciągu geometrycznego musi wykonać więcej obliczeń.

Jak pamiętamy ciąg to ponumerowane liczby. Dodatkowy wiemy, że ciąg geometryczny to taki gdzie iloraz pomiędzy kolejnymi wyrazami jest zawsze taki sam.

Mamy przykładowy ciąg:

$a_n=2,4,8,16,32,x$

Gołym okiem widać, że ciągle jest mnożony przez 2, zatem nasz x będzie wynosić 64, bo $32*2=64$

Jednak i tu nie jest tak łatwo jeśli mamy ciąg takiej postaci:

$a_n=1/3,-1/5,3/{2}5,-9/{25},x$

Przykład:

Znajdź $x$ w ciągu $a_n=1/3,-1/5,3/{2}5,-9/{25},x$. Musimy najpierw znaleźć jaki iloraz został tutaj użyty, zatem wprowadźmy wzór na dowolny wyraz ciągu geometrycznego:

$a_n=a_1×q^(n-1)$

Podstawmy tu wyraz numer 2:

Czyli $n=2$

$a_2=a_1×q^(2-1)$

Nasze wyrazy to:

$a_1=1/3$

$a_2=-1/5$

Podstawiamy do wzoru:

$a_2=a_1×q^1$

W celu usunięcia ułamków

$-1/5=1/3×q$ $|×15$

$-3=5×q$ $|:(-3)$

$q=-5/3$

Obliczmy teraz bez problemu wyraz numer 5:

$a_5=a_1×q^(5-1)$

$a_5=a_1×q^4$

$a_5=1/3×(-5/3)^4$

$a_5=1/3×-{625}/{81}=-{625}/{243}$

Ciąg geometryczny ma również własność wyrazu środkowego - kwadrat wyrazu środkowego jest równy iloczynowi wartości sąsiednich wyrazów, czyli:

$a_{n-1}$, $a_n$, $a_{n+1}$ -> trzy kolejne wyrazy

$a_n^2=a_{n-1}×a_{n+1}$

Suma ciągu geometrycznego

W celu obliczenia sumy ciągu geometrycznego potrzebujemy następujących danych:

Pierwszy wyraz: $a_1$
Ilość wyrazów, których sumę liczymy: $N$
Iloraz: $q$

Wzór na sumę wygląda następująco:

$S_N={a_1(1-q^N)}/{1-q}$

Przykład:

Oblicz sumę pierwszych 7 wyrazów ciągu geometrycznego, gdzie ostatni wyraz to $a_7=81$, a iloraz to $q=3$.

Potrzebujemy podstawy, zatem obliczmy $a_1$ z wzoru na dowolny wyraz:

$a_N=a_1×q^{N-1}$

$a_7=a_1×q^6$

Podstawmy: $81=a_1×3^6$

81 również jest potęgą trójki, więc zamiast bawić się w duże liczby zróbmy tak:

$3^4=a_1×3^6$ $|:3^6$

Z własności dzielenia potęg:

$3^{-2}=a_1$

$1/9=a_1$

Wiemy, że N=7, bo 7 wyrazów, więc liczymy sumę:

$S_N={a_1 (1-q^N)}/{1-q}$

$S_7={1/9(1-3^7)}/{1-3}$

$S_7={1/9(1-3^7)}/{1-3}$

$S_7={1/9(-2186)}/{-2}$

$S_7={-{2186}/9}/{-2}$

$S_7={2186}/{18}$

Uwaga!

Powyższe wzory są zawarte w karcie wzorów.

Wzór na dowolny wyraz jest uniwersalny, działa dla każdego ciągu geometrycznego.

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Mamy ciąg geometryczny w postaci $x+1,0,x-3$. Oblicz x, rozważ wszystkie możliwe przypadki.

Zobacz rozwiązanie

Skorzystamy tutaj z wzoru ratującego życie, czyli na sąsiednie wyrazy:

$a_2^2=a_1×a_3$

Podstawiamy:

$0=(x+1)(x-3)$

Z zasad mnożenia wiemy, że mnożenie to 0 jeśli jeden z czynników to 0, więc mamy tu dwa przypadki:

$x+1=0$

Lub

$x-3=0$

zatem mamy dwa rozwiązania:

$x=-1$ lub $x=3$

Zadanie 2.

Oblicz sumę ciągu geometrycznego jeśli składa się z 10 wyrazów, o ilorazie $q=1/2$, jeśli $a_6=72$.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie bardzo podobne do przykładu przedstawionego w tym temacie.

Najpierw znajdźmy podstawę z wzoru na dowolny wyraz:

$a_n=a_1×q^(n-1)$

$a_6=a_1×q^5$

Podstawmy:

$72=a_1×{(1/2)}^5$

$72=a_1×1/{32}$

$a_1=72×32=2304$

Mamy już wszystko, pozostaje nam wyliczyć sumę:

$N=10$

$a_1=2304$

$q=1/2$

Zatem obliczamy sumę, podstawiając wszystkie wartości pod wzór:

$S_N={a_1 (1-q^N)}/{1-q}$

$S_10={2304(1-(1/2)^10)}/{1-1/2}$

$S_10={2304(1-1/{1024})}/{1/2}$

$S_10={2304-{2304}/{1024} }/{1/2}$

$S_10=2×(2304-{2304}/{1024})$

$S_10=4608-{2304}/{512}$

I teraz doprowadzamy do najprostszej postaci:

$S_10=4608-9/2=4603,5$

Zadanie 3.

Oblicz iloraz ciągu jeśli $a_2=25$ i $a_4=1$.

Zobacz rozwiązanie

Możemy również skorzystać z wzoru na sąsiedni wyraz ciągu w celu szybszego obliczenia:

$a_3^2=a_2×a_4$

Podstawiamy:

$a_3^2=25×1$

$a_3^2=25$

Więc znów mamy dwa przypadki

$a_3=5$ oraz $a_3=-5$

Załóżmy przypadek pierwszy czyli $a_3=5$ wtedy:

$q={a^4}/{a^3}=1/5$

Zatem w drugim przypadku jest to:

$q={a^4}/{a^3} =1/{-5}=-1/5$

Spis treści

Rozwiązane zadania

Wyznacz wzór funkcji liniowej ...

Wiemy, że:

(wykres funkcji przechodzi przez punkt )

(funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla argumentów mniejszych od 2) {premium}

(funkcja przyjmuje wartości ujemne dla argumentów większych od 2)

Z dwóch powyższych informacji możemy wywnioskować, że miejscem zerowym funkcji jest liczba 2.

Szkicujemy wykres funkcji .

Wyznaczamy wzór funkcji , wiedząc, że do jej wykresu należą punkty o współrzędnych .

Mamy więc:

Wiemy, że:

(wykres funkcji przechodzi przez punkt −2,−1))

(funkcja przyjmuje wartości ujemne dla argumentów mniejszych od -1)

(funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla argumentów większych od -1)

Z dwóch powyższych informacji możemy wywnioskować, że miejscem zerowym funkcji jest liczba -1.

Szkicujemy wykres funkcji .

Wyznaczamy wzór funkcji , wiedząc, że do jej wykresu należą punkty o współrzędnych .

Mamy więc:

Wiemy, że:

(wykres funkcji przechodzi przez punkt )

(funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla wszystkich argumentów)

Z dwóch powyższych informacji możemy wywnioskować, że funkcja stale przyjmuje wartość 5.

Szkicujemy wykres funkcji .

Funkcja liniowa jest stała, gdy . Stąd:

Współrzędne punktu podstawiamy do wzoru funkcji i wyznaczamy wyraz wolny .

Mamy więc:

Na rysunku przedstawiono wykres zależności ...

Z wykresu możemy odczytać, że w czasie między 20. a 40. sekundą obiekt nie poruszał się wcale. Jego prędkość wynosiła więc wtedy 0 m/s. {premium}

W czasie pierwszych 20 sekund ruchu obiekt pokonał drogę długości 15 m. Poruszał się wtedy z prędkością 0,75 m/s.

W czasie 80 sekund obiekt pokonał drogę długości 30 metrów. Obliczamy średnią prędkość, z jaką poruszał się ten obiekt.

Liczba...

Korzystając z tablic trygonometrycznych dostajemy, że

więc{premium}

więc

Odp. C.

Napisz układ nierówności opisujący...

a) Rysujemy trójkąt ABC w układzie współrzędnych.{premium}

Wyznaczmy równania prostych ograniczających przedstawiony obszar.

Z rysunku możemy odczytać równanie prostej BC.

Prosta AB przecina oś Y w punkcie (0, 3), więc ma równanie:

Do wykresu tej prostej należy punkt A=(1, 2). Stąd:

Wówczas wzór prostej przyjmuje postać:

Niech prosta AC ma równanie:

Do wykresu tej prostej należą punkty A=(1, 2) oraz C=(5, 4).

Podstawiamy współrzędne punktów do równania prostej i wyznaczamy współczynniki a, b.

Podstawiamy a=2-b do drugiego równania w układzie.

Podstawiamy b=3/2 do pierwszego równania w układzie.

Otrzymujemy:

Zbiór punktów leżących wewnątrz trójkąta znajduje się powyżej prostej AB, poniżej prostej AC oraz na lewo od prostej BC. Interesuje nas obszar leżący wewnątrz trójkąta, więc punkty leżące na jego bokach nie powinny spełniać nierówności. Otrzymujemy układ nierówności:

b) Rysujemy trójkąt ABC w układzie współrzędnych.

Wyznaczmy równania prostych ograniczających przedstawiony obszar.

Prosta AB przecina oś Y w punkcie (0, 1), więc ma równanie:

Do wykresu tej prostej należy punkt A=(-6, 7). Stąd:

Wówczas wzór prostej przyjmuje postać:

Prosta BC przecina oś Y w punkcie (0, 1), więc ma równanie:

Do wykresu tej prostej należy punkt C=(2, 3). Stąd:

Wówczas wzór prostej przyjmuje postać:

Prosta AC przecina oś Y w punkcie (0, 4), więc ma równanie:

Do wykresu tej prostej należy punkt A=(-6, 7). Stąd:

Wówczas wzór prostej przyjmuje postać:

Zbiór punktów leżących wewnątrz trójkąta znajduje się powyżej prostych AB i BC oraz poniżej prostej AC. Interesuje nas obszar leżący wewnątrz trójkąta, więc punkty leżące na jego bokach nie powinny spełniać nierówności. Otrzymujemy układ nierówności:

Liczby ...

Liczby wymierne to takie, które można zapisać w postaci ułamka. {premium}

Liczbami niewymiernymi są liczby, które nie są wymierne.

Liczbami niewymiernymi są zatem:

Iloczyn dwóch liczb naturalnych...

Oznaczmy:

a, b - szukane liczby

Wiemy, że największym wspólnym dzielnikiem tych liczb jest 7, więc możemy zapisać, że{premium}

gdzie k i n są pewnymi liczbami całkowitymi takimi, że NWD(k, n)=1 (w przeciwnym przypadku liczby a i b miałyby inny największy wspólny dzielnik).

Wiemy, że iloczyn liczb a i b jest równy 588. Stąd:

Liczbę 12 możemy zapisać jako iloczyn dwóch liczb w następujący sposób:

Spośród podanych liczb tylko pary 1 i 12 oraz 3 i 4 są parami liczb względnie pierwszych, czyli NWD(1, 12)=1 oraz NWD(3, 4)=1.

Mnożenie jest przemienne, więc możemy przyjąć, że rozwiązaniem równania kn=12 są k=1, n=12 lub k=3, n=4.

gdy k=1, n=12:
gdy k=3, n=4:

Odp. Szukane liczby to 7 i 84 lub 21 i 28.

Trójkąt równoboczny rozcięto na dwa...

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:{premium}

Suma miar kątów w trójkącie jest równa 180°, więc dla trójkąta ADC mamy:

Suma miar kątów przyległych jest równa 180°, więc:

Wszystkie kąty trójkąta równobocznego mają miarę 60°. Stąd:

Odp. Kąty drugiego trójkąta (BDC) mają miary: 50°, 60°, 70°.

Wyznacz równanie krzywej ...

Weźmy dowolny punkt A należący do paraboli k.{premium}

Podkładając za 2x literę x otrzymamy, że:

Powyższy punkt należy do krzywej opisanej następującym wzorem:

Weźmy dowolny punkt A należący do krzywej k.

Podkładając za -2x literę x otrzymamy, że:

Powyższy punkt należy do krzywej opisanej następującym wzorem:

Zapisz wzór funkcji kwadratowej f w postaci...

Wzór funkcji f w postaci ogólnej:{premium}

Wzór funkcji f w postaci ogólnej:

Klub sportowy zapłacił 10 725 zł za koszulki ...

Przyjmijmy następujące oznaczenia:

- liczba kobiet trenujących w tym klubie

- liczba mężczyzn trenujących w tym klubie

Wiemy, że: {premium}

- damska koszulka kosztowała 45 zł, a para damskich butów cztery razy więcej, czyli 180 zł

- para męskich butów kosztowała 200 zł, a męska koszulka 25% tej ceny, czyli 50 zł

- w klubie trenuje łącznie 46 osób

Możemy więc zapisać:

Rozwiązujemy układ równań metodą przez podstawienie.

W klubie trenuje 31 kobiet i 15 mężczyzn.