Ciąg geometryczny i jego suma - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Ciąg geometryczny i jego suma

Temat ten jest bardzo podobny do obliczania sumy ciągu arytmetycznego, lecz w przypadku ciągu geometrycznego musi wykonać więcej obliczeń.

Jak pamiętamy ciąg to ponumerowane liczby. Dodatkowy wiemy, że ciąg geometryczny to taki gdzie iloraz pomiędzy kolejnymi wyrazami jest zawsze taki sam.

Mamy przykładowy ciąg:

$$a_n=2,4,8,16,32,x$$

Gołym okiem widać, że ciągle jest mnożony przez 2, zatem nasz x będzie wynosić 64, bo $$32*2=64$$

Jednak i tu nie jest tak łatwo jeśli mamy ciąg takiej postaci:

$$a_n=1/3,-1/5,3/{2}5,-9/{25},x$$

Przykład:

Znajdź $$x$$ w ciągu $$a_n=1/3,-1/5,3/{2}5,-9/{25},x$$. Musimy najpierw znaleźć jaki iloraz został tutaj użyty, zatem wprowadźmy wzór na dowolny wyraz ciągu geometrycznego:

$$a_n=a_1×q^(n-1)$$

Podstawmy tu wyraz numer 2:

Czyli $$n=2$$

$$a_2=a_1×q^(2-1)$$

Nasze wyrazy to:

$$a_1=1/3$$

$$a_2=-1/5$$

Podstawiamy do wzoru:

$$a_2=a_1×q^1$$

W celu usunięcia ułamków

$$-1/5=1/3×q$$ $$|×15$$

$$-3=5×q$$ $$|:(-3)$$

$$q=-5/3$$

Obliczmy teraz bez problemu wyraz numer 5:

$$a_5=a_1×q^(5-1)$$

$$a_5=a_1×q^4$$

$$a_5=1/3×(-5/3)^4$$

$$a_5=1/3×-{625}/{81}=-{625}/{243}$$

Ciąg geometryczny ma również własność wyrazu środkowego - kwadrat wyrazu środkowego jest równy iloczynowi wartości sąsiednich wyrazów, czyli:

$$a_{n-1}$$, $$a_n$$, $$a_{n+1}$$ -> trzy kolejne wyrazy

$$a_n^2=a_{n-1}×a_{n+1}$$

Suma ciągu geometrycznego

W celu obliczenia sumy ciągu geometrycznego potrzebujemy następujących danych:

Pierwszy wyraz: $$a_1$$
Ilość wyrazów, których sumę liczymy: $$N$$
Iloraz: $$q$$

Wzór na sumę wygląda następująco:

$$S_N={a_1(1-q^N)}/{1-q}$$

Przykład:

Oblicz sumę pierwszych 7 wyrazów ciągu geometrycznego, gdzie ostatni wyraz to $$a_7=81$$, a iloraz to $$q=3$$.

Potrzebujemy podstawy, zatem obliczmy $$a_1$$ z wzoru na dowolny wyraz:

$$a_N=a_1×q^{N-1}$$

$$a_7=a_1×q^6$$

Podstawmy: $$81=a_1×3^6$$

81 również jest potęgą trójki, więc zamiast bawić się w duże liczby zróbmy tak:

$$3^4=a_1×3^6$$ $$|:3^6$$

Z własności dzielenia potęg:

$$3^{-2}=a_1$$

$$1/9=a_1$$

Wiemy, że N=7, bo 7 wyrazów, więc liczymy sumę:

$$S_N={a_1 (1-q^N)}/{1-q}$$

$$S_7={1/9(1-3^7)}/{1-3}$$

$$S_7={1/9(1-3^7)}/{1-3}$$

$$S_7={1/9(-2186)}/{-2}$$

$$S_7={-{2186}/9}/{-2}$$

$$S_7={2186}/{18}$$

Uwaga!

Powyższe wzory są zawarte w karcie wzorów.

Wzór na dowolny wyraz jest uniwersalny, działa dla każdego ciągu geometrycznego.

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Mamy ciąg geometryczny w postaci $$x+1,0,x-3$$. Oblicz x, rozważ wszystkie możliwe przypadki.

Zobacz rozwiązanie

Skorzystamy tutaj z wzoru ratującego życie, czyli na sąsiednie wyrazy:

$$a_2^2=a_1×a_3$$

Podstawiamy:

$$0=(x+1)(x-3)$$

Z zasad mnożenia wiemy, że mnożenie to 0 jeśli jeden z czynników to 0, więc mamy tu dwa przypadki:

$$x+1=0$$

Lub

$$x-3=0$$

zatem mamy dwa rozwiązania:

$$x=-1$$ lub $$x=3$$

Zadanie 2.

Oblicz sumę ciągu geometrycznego jeśli składa się z 10 wyrazów, o ilorazie $$q=1/2$$, jeśli $$a_6=72$$.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie bardzo podobne do przykładu przedstawionego w tym temacie.

Najpierw znajdźmy podstawę z wzoru na dowolny wyraz:

$$a_n=a_1×q^(n-1)$$

$$a_6=a_1×q^5$$

Podstawmy:

$$72=a_1×{(1/2)}^5$$

$$72=a_1×1/{32}$$

$$a_1=72×32=2304$$

Mamy już wszystko, pozostaje nam wyliczyć sumę:

$$N=10$$

$$a_1=2304$$

$$q=1/2$$

Zatem obliczamy sumę, podstawiając wszystkie wartości pod wzór:

$$S_N={a_1 (1-q^N)}/{1-q}$$

$$S_10={2304(1-(1/2)^10)}/{1-1/2}$$

$$S_10={2304(1-1/{1024})}/{1/2}$$

$$S_10={2304-{2304}/{1024} }/{1/2}$$

$$S_10=2×(2304-{2304}/{1024})$$

$$S_10=4608-{2304}/{512}$$

I teraz doprowadzamy do najprostszej postaci:

$$S_10=4608-9/2=4603,5$$

Zadanie 3.

Oblicz iloraz ciągu jeśli $$a_2=25$$ i $$a_4=1$$.

Zobacz rozwiązanie

Możemy również skorzystać z wzoru na sąsiedni wyraz ciągu w celu szybszego obliczenia:

$$a_3^2=a_2×a_4$$

Podstawiamy:

$$a_3^2=25×1$$

$$a_3^2=25$$

Więc znów mamy dwa przypadki

$$a_3=5$$ oraz $$a_3=-5$$

Załóżmy przypadek pierwszy czyli $$a_3=5$$ wtedy:

$$q={a^4}/{a^3}=1/5$$

Zatem w drugim przypadku jest to:

$$q={a^4}/{a^3} =1/{-5}=-1/5$$

Spis treści

Rozwiązane zadania

Zapisz liczbę bez użycia symbolu pierwiastka.

`sqrt((2+3pi)^2)=|2+3pi|=2+3pi`

`sqrt((3-sqrt2)^2)=|3-sqrt2|=3-sqrt2`

`sqrt((7-sqrt144)^2)=sqrt((7-12)^2)=sqrt((-5)^2)=sqrt25=5`

Zbiór wartości funkcji f ...

`ZW_(f)sube[-3;1]`

`g(x)=f(x)+5sqrt2`

`-sqrt2~~-1,41`

`-2sqrt2~~-2,8 in [-3;1]`

`-3sqrt2<-3`

`x_k-"argument dla, którego f pzyjmuje wartość"\ -2sqrt2`

`g(x_k)=-2sqrt2+5sqrt2=3sqrt2`

`"Odpowiedź C."`

Wyznacz współrzędne ...

`a)`

`vecu=?`

`vecv=[-2;1]`

`vecw=[2;-1]`

`vecv+vecw+vecu=[0;0]`

`vecv+vecw+vecu=[-2;1]+[2;-1]+[u_x;u_y]=[0;0]`

`[-2;1]+[2;-1]=-[u_x;u_y]=[-2+2;1-1]=[0;0]`

`ul(vecu=[0;0]`

`b)`

`vecv=[0;2]`

`vecw=[3;2]`

`vecv+3vecw+2vecu=2vecv`

`-vecv+3vecw=-2vecu`

`-[0;2]+3[3;2]=-2[u_x;u_y]`

`[9;4]=-2[u_x;u_y]`

`ul([u_x;u_y]=[-9/2;-2]`

Budujemy liczbę w taki sposób...

Zauważmy, że liczba powstaje poprzez wstawienie kolejnego kwadratu liczby naturalnej(poczynając od 1), bo:

`1^2=1`

`2^2 = 4`

`3^2 = 9`

`4^2 = 16`

`5^2 = 25`

itd..

stąd powstaje nam liczba:

`149162536496481...`

Zauważmy, że kwadraty liczb od 1 do 3 są jednocyfrowe. (3 liczby)

Kwadraty liczb od 4 do 9 są dwucyfrowe. (6 liczb)

Kwadraty liczb od 10 do 31 są trzycyfrowe. (22 Liczby)

Kwadraty liczb od 32 do 99 są czterocyfrowe.

Policzmy kwadrat której liczby naturalnej stoi 50 miejscu:

`50 = 3*1 + 6*2 + 11*3 +2`

A więc chodzi o kwadrat liczby 21 (bo 3+6+11 =20 i bierzemy drugą cyfrę kwadratu liczby 21), chodzi o jej drugą cyfrę, czyli:

`21^2 = 441`

Cyfra stojąca na 50 miejscu to cyfra 4.

Analogicznie:

`75 = 3*1+6*2+19*3 + 3`

A więc chodzi o kwadrat liczby 29 (bo 3+6+19=28 i bierzemy trzecią cyfrę kwadratu liczby 29), czyli:

`29^2 = 841`

Cyfra stojąca na 75 miejscu to cyfra 1.

Obliczmy cyfrę stojącą na setnym miejscu.

`100 = 3*1 + 6*2 + 22*3+4*4+3`

A więc chodzi o kwadrat liczby 36 (bo 3+6+22+4=35 i bierzemy trzecią cyfrę kwadratu liczby 36), czyli:

`36^2 = 1296`

Cyfra stojąca na 100 miejscu to cyfra 9.

Zastanów się i odpowiedz na pytania ...

`a)`

Dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych - każdą liczbę możemy podnieść do kwadratu.

`b)`

Gdyby współczynnik a był równy 0, to funkcja kwadratowa miałaby postać:

`f(x)=0*x^2+bx+c=bx+c`

Wtedy nie byłaby funkcją kwadratową, ale po prostu funkcją liniową (x występuje tylko w pierwszej potędze).

Punkt A...

`l(x) = ax - 4`

`A in l`

`l(2) = 4`

`2a-4 = 4`

`2a = 8`

`a = 4`

`l(x) = 4x-4`

a) Iloczyn współczynników kierunkowych prostych prostopadłych musi być równy -1.

`k(x) = bx+c`

`b * a = -1`

`4b = -1`

`b = -1/4`

`k(x) = -1/4x+c`

`A in k`

`k(2)=4`

`-1/4 * 2 + c = 4`

`-1/2 + c = 4`

`c = 9/2`

`k(x) = -1/4 x + 9/2`

`b) \ p \ _|_ \ k`

`p(x) = dx + e`

A więc:

`d*(-1/4) = -1`

`d = 4`

`p(x) = 4x+e`

Sprawdźmy wartość funkcji k dla x = 6:

`k(6) = -1/4 * 6 + 9/2 = -3/2 + 9/2 = 6/2 = 3`

A więc prosta p ma przecinać prostą k w punkcie (6,3)

`(6,3) in p`

`p(6) = 3`

`4*6 + e = 3`

`e = -21`

Wzór ogólny prostej:

`p(x) = 4x - 21`

Wyłącz czynnik przed pierwiastek

`a)`

`sqrt48=sqrt(16*3)=sqrt16*sqrt3=4sqrt3`

`sqrt75=sqrt(25*3)=sqrt25*sqrt3=5sqrt3`

`sqrt32=sqrt(16*2)=sqrt16*sqrt2=4sqrt2`

`sqrt45=sqrt(9*5)=sqrt9*sqrt5=3sqrt5`

`sqrt20=sqrt(4*5)=sqrt4*sqrt5=2sqrt5`

`sqrt80=sqrt(16*5)=sqrt16*sqrt5=4sqrt5`

`b)`

`sqrt242=sqrt(121*2)=sqrt121*sqrt2=11sqrt2`

`sqrt180=sqrt(36*5)=sqrt36*sqrt5=6sqrt5`

`sqrt125=sqrt(25*5)=sqrt25*sqrt5=5sqrt5`

`sqrt108=sqrt(36*3)=sqrt36*sqrt3=6sqrt3`

`sqrt432=sqrt(36*6)=sqrt36*sqrt6=6sqrt6`

`sqrt175=sqrt(25*7)=sqrt25*sqrt7=5sqrt7`

Długości ramion trapezu wynoszą 7 cm i 9 cm...

Rysunek:

Suma długości podstawy wynosi 16:

`|AB| + |CD| = 16 \ \ \ |:2`

`(|AB|+|CD|)/2 = 8`

Średnia arytmetyczna długości podstaw jest równa długości odcinka łączącego środki ramion:

`|KL| = 8`

Wiemy, że stosunek pól wynosi:

`P_(KLCD)/P_(ABLK) = 3/5`

`((|CD|+|KL|)/2*h)/((|AB|+|KL|)/2*h) = 3/5`

`(|CD|+8)/(|AB|+8) = 3/5`

`5(|CD|+8)=3(|AB|+8)`

`5|CD| + 40 = 3|AB| + 24`

`5|CD| + 16 = 3|AB|`

`{(5|CD| +16 = 3|AB|),(|AB|+|CD|=16):}`

`{(5|CD|+16=3|AB|),(|AB| = 16 - |CD|):}`

`5|CD| + 16 = 3(16 - |CD|)`

`5|CD| + 16 = 48 - 3|CD|`

`8|CD| = 32`

`|CD| = 4`

stąd:

`|AB| = 16 - 4 = 12`

A więc:

`x + y = 8`

Z twierdzenia Pitagorasa:

`{(x^2 + H^2 = 81),(y^2 + H^2 = 49),(x+y=8):}`

`{(H^2 = 81 - x^2),(H^2 = 49 - y^2),(x+y=8):}`

skoro y = 8 - x, to:

`81 - x^2 = 49 - y^2`

`81 - x^2 = 49 - (8-x)^2`

`81 - x^2 = 49 - (64 - 16x + x^2)`

`81 - x^2 = 49 - 64 + 16x - x^2`

`81 = -15 + 16x`

`16x = 96`

`x = 96/16`

`x = 6`

`H^2 = 81 - 6^2`

`H^2 = 81 - 36`

`H^2 = 45`

`H = sqrt45`

`H = sqrt9 * sqrt5`

`H = 3sqrt5`

Pole trapezu:

`P_(ABCD) = (|AB|+|CD|)/2*H = (12+4)/2*3sqrt5 = 8*3sqrt5 = 24sqrt5 \ ["cm"^2]`

Niech x1 i x2 oznaczają pierwiastki...

`x_1+x_2=(-b)/a`

`x_1*x_2=c/a`

`1/x_1+1/x_2=(x_2+x_1)/(x_1x_2)=((-b)/a)/(c/a)=(-b)/a*a/c=(-b)/c`

`x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=((-b)/a)^2-2*c/a`

`1/x_1^2+1/x_2^2=x_2^2/(x_1^2x_2^2)+x_1^2/(x_1^2x_2^2)=(x_1^2+x_2^2)/(x_1x_2)^2=(b^2/a^2-2c/a)/(c/a)^2=((b^2-2ac)/a^2)/(c^2/a^2)=(b^2-2ac)/a^2*a^2/c^2=(b^2-2ac)/c^2`

Równanie	`x_1+x_2`	`x_1*x_2`	`1/x_1+1/x_2`	`x_1^2+x_2^2`	`1/x_1^2+1/x_2^2`
`4x^2-20x+5=0`	`5`	`1 1/4`	`4`	`22 1/2`	`14 2/5`
`2x^2+3x-3=0`	`-1 1/2`	`-1 1/2`	`1`	`5 1/4`	`2 1/3`
`9x^2-15x-19=0`	`1 2/3`	`-2 1/9`	`-15/19`	`7`	`1 206/361`
`3x^2-6x+2=0`	`2`	`2/3`	`3`	`2 2/3`	`6`

Odpowiedź: ALGEBRA

Obliczenia dla pierwszego wiersza:

`4x^2-20x+5=0`

`x_1+x_2=20/4=5`

`x_1*x_2=5/4=1 1/4`

`1/x_1+1/x_2=20/5=4`

`x_1^2+x_2^2=(20/4)^2-2*5/4=25-10/4=25-2 1/2=22 1/2`

`1/x_1^2+1/x_2^2=((-20)^2-2*4*5)/5^2=(400-40)/25=360/25=14 10/25=14 2/5`

Obliczenia dla drugiego wiersza:

`2x^2+3x-3=0`

`x_1+x_2=(-3)/2=-1 1/2`

`x_1*x_2=(-3)/2=-1 1/2`

`1/x_1+1/x_2=(-3)/(-3)=1`

`x_1^2+x_2^2=((-3)/2)^2-2*((-3)/2)=9/4+6/2=9/4+12/4=21/4=5 1/4`

`1/x_1^2+1/x_2^2=(3^2-2*2*(-3))/(-3)^2=(9+12)/9=21/9=2 3/9=2 1/3`

Obliczenia dla trzeciego wiersza:

`9x^2-15x-19=0`

`x_1+x_2=15/9=5/3=1 2/3`

`x_1*x_2=(-19)/9=-2 1/9`

`1/x_1+1/x_2=15/(-19)=-15/19`

`x_1^2+x_2^2=(15/9)^2-2*(-19)/9=(5/3)^2+38/9=25/9+38/9=63/9=7`

`1/x_1^2+1/x_2^2=((-15)^2-2*9*(-19))/(-19)^2=(225+342)/(361)=567/361=1 206/361`

Obliczenia dla czwartego wiersza:

`3x^2-6x+2=0`

`x_1+x_2=6/3=2`

`x_1*x_2=2/3`

`1/x_1+1/x_2=6/2=3`

`x_1^2+x_2^2=(6/3)^2-2*2/3=2^2-4/3=4-1 1/3=2 2/3`

`1/x_1^2+1/x_2^2=((-6)^2-2*3*2)/(2^2)=(36-12)/4=24/4=6`

Pusty 20-litrowy kanister...

a) Pusty kanister waży 0,6 kg. Może zmieścić się nim 20 litrów z których każdy waży 0,76kg. A więc wzór funkcji opisujący wagę kanistra jest następujący:

`f(x) = 0,6 + 0,76x`

`D = [0,20]`

b) Wykres: