Ciąg geometryczny i jego suma - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Ciąg geometryczny i jego suma

Temat ten jest bardzo podobny do obliczania sumy ciągu arytmetycznego, lecz w przypadku ciągu geometrycznego musi wykonać więcej obliczeń.

Jak pamiętamy ciąg to ponumerowane liczby. Dodatkowy wiemy, że ciąg geometryczny to taki gdzie iloraz pomiędzy kolejnymi wyrazami jest zawsze taki sam.

Mamy przykładowy ciąg:

$a_n=2,4,8,16,32,x$

Gołym okiem widać, że ciągle jest mnożony przez 2, zatem nasz x będzie wynosić 64, bo $32*2=64$

Jednak i tu nie jest tak łatwo jeśli mamy ciąg takiej postaci:

$a_n=1/3,-1/5,3/{2}5,-9/{25},x$

Przykład:

Znajdź $x$ w ciągu $a_n=1/3,-1/5,3/{2}5,-9/{25},x$. Musimy najpierw znaleźć jaki iloraz został tutaj użyty, zatem wprowadźmy wzór na dowolny wyraz ciągu geometrycznego:

$a_n=a_1×q^(n-1)$

Podstawmy tu wyraz numer 2:

Czyli $n=2$

$a_2=a_1×q^(2-1)$

Nasze wyrazy to:

$a_1=1/3$

$a_2=-1/5$

Podstawiamy do wzoru:

$a_2=a_1×q^1$

W celu usunięcia ułamków

$-1/5=1/3×q$ $|×15$

$-3=5×q$ $|:(-3)$

$q=-5/3$

Obliczmy teraz bez problemu wyraz numer 5:

$a_5=a_1×q^(5-1)$

$a_5=a_1×q^4$

$a_5=1/3×(-5/3)^4$

$a_5=1/3×-{625}/{81}=-{625}/{243}$

Ciąg geometryczny ma również własność wyrazu środkowego - kwadrat wyrazu środkowego jest równy iloczynowi wartości sąsiednich wyrazów, czyli:

$a_{n-1}$, $a_n$, $a_{n+1}$ -> trzy kolejne wyrazy

$a_n^2=a_{n-1}×a_{n+1}$

Suma ciągu geometrycznego

W celu obliczenia sumy ciągu geometrycznego potrzebujemy następujących danych:

Pierwszy wyraz: $a_1$
Ilość wyrazów, których sumę liczymy: $N$
Iloraz: $q$

Wzór na sumę wygląda następująco:

$S_N={a_1(1-q^N)}/{1-q}$

Przykład:

Oblicz sumę pierwszych 7 wyrazów ciągu geometrycznego, gdzie ostatni wyraz to $a_7=81$, a iloraz to $q=3$.

Potrzebujemy podstawy, zatem obliczmy $a_1$ z wzoru na dowolny wyraz:

$a_N=a_1×q^{N-1}$

$a_7=a_1×q^6$

Podstawmy: $81=a_1×3^6$

81 również jest potęgą trójki, więc zamiast bawić się w duże liczby zróbmy tak:

$3^4=a_1×3^6$ $|:3^6$

Z własności dzielenia potęg:

$3^{-2}=a_1$

$1/9=a_1$

Wiemy, że N=7, bo 7 wyrazów, więc liczymy sumę:

$S_N={a_1 (1-q^N)}/{1-q}$

$S_7={1/9(1-3^7)}/{1-3}$

$S_7={1/9(1-3^7)}/{1-3}$

$S_7={1/9(-2186)}/{-2}$

$S_7={-{2186}/9}/{-2}$

$S_7={2186}/{18}$

Uwaga!

Powyższe wzory są zawarte w karcie wzorów.

Wzór na dowolny wyraz jest uniwersalny, działa dla każdego ciągu geometrycznego.

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Mamy ciąg geometryczny w postaci $x+1,0,x-3$. Oblicz x, rozważ wszystkie możliwe przypadki.

Zobacz rozwiązanie

Skorzystamy tutaj z wzoru ratującego życie, czyli na sąsiednie wyrazy:

$a_2^2=a_1×a_3$

Podstawiamy:

$0=(x+1)(x-3)$

Z zasad mnożenia wiemy, że mnożenie to 0 jeśli jeden z czynników to 0, więc mamy tu dwa przypadki:

$x+1=0$

Lub

$x-3=0$

zatem mamy dwa rozwiązania:

$x=-1$ lub $x=3$

Zadanie 2.

Oblicz sumę ciągu geometrycznego jeśli składa się z 10 wyrazów, o ilorazie $q=1/2$, jeśli $a_6=72$.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie bardzo podobne do przykładu przedstawionego w tym temacie.

Najpierw znajdźmy podstawę z wzoru na dowolny wyraz:

$a_n=a_1×q^(n-1)$

$a_6=a_1×q^5$

Podstawmy:

$72=a_1×{(1/2)}^5$

$72=a_1×1/{32}$

$a_1=72×32=2304$

Mamy już wszystko, pozostaje nam wyliczyć sumę:

$N=10$

$a_1=2304$

$q=1/2$

Zatem obliczamy sumę, podstawiając wszystkie wartości pod wzór:

$S_N={a_1 (1-q^N)}/{1-q}$

$S_10={2304(1-(1/2)^10)}/{1-1/2}$

$S_10={2304(1-1/{1024})}/{1/2}$

$S_10={2304-{2304}/{1024} }/{1/2}$

$S_10=2×(2304-{2304}/{1024})$

$S_10=4608-{2304}/{512}$

I teraz doprowadzamy do najprostszej postaci:

$S_10=4608-9/2=4603,5$

Zadanie 3.

Oblicz iloraz ciągu jeśli $a_2=25$ i $a_4=1$.

Zobacz rozwiązanie

Możemy również skorzystać z wzoru na sąsiedni wyraz ciągu w celu szybszego obliczenia:

$a_3^2=a_2×a_4$

Podstawiamy:

$a_3^2=25×1$

$a_3^2=25$

Więc znów mamy dwa przypadki

$a_3=5$ oraz $a_3=-5$

Załóżmy przypadek pierwszy czyli $a_3=5$ wtedy:

$q={a^4}/{a^3}=1/5$

Zatem w drugim przypadku jest to:

$q={a^4}/{a^3} =1/{-5}=-1/5$

Spis treści

Rozwiązane zadania

Z podanych wzorów wyznacz a:

{premium}

W trójkącie równoramiennym o polu...

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:

Mamy dane:

a) Z tw. Pitagorasa wyznaczamy a:

{premium}

Ze wzoru na pole trójkąta wyznaczamy x:

Obliczamy obwód trójkąta:

Odp. Obwód trójkąta jest równy 32 cm.

b) Ze wzoru na pole wyznaczamy wysokość h:

Obliczamy wysokość opuszczoną na podstawę:

Odp. Wysokości trójkąta są równe 8 cm, 9,6 cm, 9,6 cm.

c) Ze wzoru na pole obliczamy promień r okręgu wpisanego w trójkąt:

Odp. Promień okręgu wpisanego w trójkąt ma długość 3 cm.

Narysuj wykres przykładowej funkcji...

Przykładowy wykres funkcji. Krańce dziedziny zaznaczamy otwartymi kółeczkami gdyż nie należą do niej. Funkcja nie może przyjmować wartości większych od 4 i mniejszych od 2.

{premium}

Doprowadź wyrażenia do najprostszej postaci...

Wykonaliśmy dzielenie, więc koniecznie musimy założyć, że dzielnik jest różny od zera. Stąd:

Obliczamy wartość wyrażenia dla

{premium}

Wykonaliśmy dzielenie, więc koniecznie musimy założyć, że dzielnik jest różny od zera. Stąd:

Obliczamy wartość wyrażenia dla

Wykonaliśmy dzielenie, więc koniecznie musimy założyć, że dzielnik jest różny od zera. Stąd:

Obliczamy wartość wyrażenia dla

Wykonaliśmy dzielenie, więc koniecznie musimy założyć, że dzielnik jest różny od zera. Stąd:

Obliczamy wartość wyrażenia dla

Na rysunku obok przedstawiono...

Funkcje y=x³+2x² i y=-x³+2x² są symetryczne względem osi{premium} y, zatem

wykres funkcji y=-x³+2x²przedstawiono na wykresie B.

Odp.: B

Dane są wektory...

{premium}

Wyłącz wspólny czynnik poza nawias

{premium}

Na podstawie wykresu funkcji f...

Wykres funkcji f otrzymamy po przesunięciu wykresy funkcji h(x)=x² równolegle o wektor [1, 0].

Rysujemy wykres funkcji f w danym przedziale.{premium}

Na podstawie wykresu funkcji f rysujemy wykres funkcji g.

Wyznacz liczbę, której 15% jest liczbą...

szukana liczba

Zdanie "liczby jest liczbą o mniejszą niż liczby " możemy zapisać równaniem: {premium}

Wyznaczamy z równania

Odp. Szukana liczba to

Wykaż, że suma promienia okręgu opisanego na...

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:

Thumb zad5.111str125

Mamy:

przyprostokątne

przeciwprostokątna

Wówczas promienie okręgów wpisanego i opisanego na trójkącie dane są wzorami:

{premium}

Obliczamy sumę tych promieni:

to średnia arytmetyczna przyprostokątnych, zatem pokazaliśmy, że suma długości promieni

jest średnią arytmetyczną długości przyprostokątnych, co należało dowieść.