Ciąg geometryczny i jego suma - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Ciąg geometryczny i jego suma

Temat ten jest bardzo podobny do obliczania sumy ciągu arytmetycznego, lecz w przypadku ciągu geometrycznego musi wykonać więcej obliczeń.

Jak pamiętamy ciąg to ponumerowane liczby. Dodatkowy wiemy, że ciąg geometryczny to taki gdzie iloraz pomiędzy kolejnymi wyrazami jest zawsze taki sam.

Mamy przykładowy ciąg:

$$a_n=2,4,8,16,32,x$$

Gołym okiem widać, że ciągle jest mnożony przez 2, zatem nasz x będzie wynosić 64, bo $$32*2=64$$

Jednak i tu nie jest tak łatwo jeśli mamy ciąg takiej postaci:

$$a_n=1/3,-1/5,3/{2}5,-9/{25},x$$

Przykład:

Znajdź $$x$$ w ciągu $$a_n=1/3,-1/5,3/{2}5,-9/{25},x$$. Musimy najpierw znaleźć jaki iloraz został tutaj użyty, zatem wprowadźmy wzór na dowolny wyraz ciągu geometrycznego:

$$a_n=a_1×q^(n-1)$$

Podstawmy tu wyraz numer 2:

Czyli $$n=2$$

$$a_2=a_1×q^(2-1)$$

Nasze wyrazy to:

$$a_1=1/3$$

$$a_2=-1/5$$

Podstawiamy do wzoru:

$$a_2=a_1×q^1$$

W celu usunięcia ułamków

$$-1/5=1/3×q$$ $$|×15$$

$$-3=5×q$$ $$|:(-3)$$

$$q=-5/3$$


Obliczmy teraz bez problemu wyraz numer 5:

$$a_5=a_1×q^(5-1)$$

$$a_5=a_1×q^4$$

$$a_5=1/3×(-5/3)^4$$

$$a_5=1/3×-{625}/{81}=-{625}/{243}$$


Ciąg geometryczny ma również własność wyrazu środkowego - kwadrat wyrazu środkowego jest równy iloczynowi wartości sąsiednich wyrazów, czyli:

$$a_{n-1}$$, $$a_n$$, $$a_{n+1}$$ -> trzy kolejne wyrazy

$$a_n^2=a_{n-1}×a_{n+1}$$

 

Suma ciągu geometrycznego


W celu obliczenia sumy ciągu geometrycznego potrzebujemy następujących danych:
  • Pierwszy wyraz: $$a_1$$
  • Ilość wyrazów, których sumę liczymy: $$N$$
  • Iloraz: $$q$$

Wzór na sumę wygląda następująco:

$$S_N={a_1(1-q^N)}/{1-q}$$

Przykład:

Oblicz sumę pierwszych 7 wyrazów ciągu geometrycznego, gdzie ostatni wyraz to $$a_7=81$$, a iloraz to $$q=3$$.

Potrzebujemy podstawy, zatem obliczmy $$a_1$$ z wzoru na dowolny wyraz:

$$a_N=a_1×q^{N-1}$$

$$a_7=a_1×q^6$$

Podstawmy: $$81=a_1×3^6$$

81 również jest potęgą trójki, więc zamiast bawić się w duże liczby zróbmy tak:

$$3^4=a_1×3^6$$ $$|:3^6$$

Z własności dzielenia potęg:

$$3^{-2}=a_1$$

$$1/9=a_1$$

Wiemy, że N=7, bo 7 wyrazów, więc liczymy sumę:

$$S_N={a_1 (1-q^N)}/{1-q}$$

$$S_7={1/9(1-3^7)}/{1-3}$$

$$S_7={1/9(1-3^7)}/{1-3}$$

$$S_7={1/9(-2186)}/{-2}$$

$$S_7={-{2186}/9}/{-2}$$

$$S_7={2186}/{18}$$
 

Uwaga!

Powyższe wzory są zawarte w karcie wzorów.

Wzór na dowolny wyraz jest uniwersalny, działa dla każdego ciągu geometrycznego.
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Mamy ciąg geometryczny w postaci $$x+1,0,x-3$$. Oblicz x, rozważ wszystkie możliwe przypadki.

Skorzystamy tutaj z wzoru ratującego życie, czyli na sąsiednie wyrazy:

$$a_2^2=a_1×a_3$$

Podstawiamy:

$$0=(x+1)(x-3)$$

Z zasad mnożenia wiemy, że mnożenie to 0 jeśli jeden z czynników to 0, więc mamy tu dwa przypadki:

$$x+1=0$$

Lub

$$x-3=0$$

zatem mamy dwa rozwiązania:

$$x=-1$$ lub $$x=3$$

Zadanie 2.

Oblicz sumę ciągu geometrycznego jeśli składa się z 10 wyrazów, o ilorazie $$q=1/2$$, jeśli $$a_6=72$$.

Zadanie bardzo podobne do przykładu przedstawionego w tym temacie.

Najpierw znajdźmy podstawę z wzoru na dowolny wyraz:

$$a_n=a_1×q^(n-1)$$

$$a_6=a_1×q^5$$

Podstawmy:

$$72=a_1×{(1/2)}^5$$

$$72=a_1×1/{32}$$

$$a_1=72×32=2304$$

Mamy już wszystko, pozostaje nam wyliczyć sumę:

$$N=10$$

$$a_1=2304$$

$$q=1/2$$

Zatem obliczamy sumę, podstawiając wszystkie wartości pod wzór:

$$S_N={a_1 (1-q^N)}/{1-q}$$

$$S_10={2304(1-(1/2)^10)}/{1-1/2}$$

$$S_10={2304(1-1/{1024})}/{1/2}$$

$$S_10={2304-{2304}/{1024} }/{1/2}$$

$$S_10=2×(2304-{2304}/{1024})$$


$$S_10=4608-{2304}/{512}$$

I teraz doprowadzamy do najprostszej postaci:

$$S_10=4608-9/2=4603,5$$

Zadanie 3.

Oblicz iloraz ciągu jeśli $$a_2=25$$ i $$a_4=1$$.

Możemy również skorzystać z wzoru na sąsiedni wyraz ciągu w celu szybszego obliczenia:

$$a_3^2=a_2×a_4$$

Podstawiamy:

$$a_3^2=25×1$$

$$a_3^2=25$$

Więc znów mamy dwa przypadki

$$a_3=5$$ oraz $$a_3=-5$$

Załóżmy przypadek pierwszy czyli $$a_3=5$$ wtedy:

$$q={a^4}/{a^3}=1/5$$

Zatem w drugim przypadku jest to:

$$q={a^4}/{a^3} =1/{-5}=-1/5$$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Rozwiąż nierówność

W każdym przykładzie najpierw uprościmy wyrażenie pod wartością bezwzględną, a dopiero potem rozwiążemy nierówność. 

 

 

Szukamy takich liczb x, których {premium}odległość od liczby -2 jest nie większa niż 4. 

Możemy więc "pójść" nie więcej niż 4 jednostki w lewo od liczby -2 (-2-4=-6) oraz nie więcej niż 4 jednostki w prawo od liczby -2 (-2+4=2). 

 

 

 

 

 

 

Szukamy takich liczb x, których odległość od liczby 3 jest nie mniejsza niż 2. 

Możemy więc "pójść" nie mniej niż 2 jednostki w lewo od liczby 3 (3-2=1) lub o nie mniej niż 2 jednostki w prawo od liczby 3 (3+2=5). 

 

 

 

 

 

Szukamy takich liczb x, których odległość od liczby -¼ jest większa niż 1. 

Możemy więc "pójść" o więcej niż 1 jednostkę w lewo od liczby -¼ (-¼-1=-1¼) lub o więcej niż 1 jednostkę w prawo od liczby -¼ (-¼+1=¾)

 

 

 

 

Szukamy takich liczb x, których odległość od liczby 6 jest mniejsza niż 3.
Możemy więc "pójść" o mniej niż 3 jednostki w lewo od liczby 6 (6-3=3) i o mniej niż 3 jednostki w prawo od liczby 6 (6+3=9).

 

 

 

 

 

Szukamy takich liczb x, których odległość od liczby -4 jest nie mniejsza niż 2. 

Możemy więc "pójść" o nie mniej niż 2 jednostki w lewo od liczby -4 (-4-2=-6) lub o nie mniej niż 2 jednostki w prawo od liczby -4 (-4+2=-2). 

 

 

 

 

 

Szukamy takich liczb x, których odległość od liczby -3/5 jest mniejsza niż 1/5
Możemy więc pójść o mniej niż 1/5 jednostki w lewo od liczby -3/5 (-3/5-1/5=-4/5) i o mniej niż 1/5 jednostki w prawo od liczby -3/5 (-3/5+1/5=-2/5). 

 

 

 

Wiemy, że wartość bezwzględna przyjmuje wyłącznie wartości nieujemne. Podana nierówność będzie prawdziwa tylko wtedy, gdy wartość bezwzględna przyjmie wartość zero, czyli gdy wyrażenie pod wartością bezwzględną wyzeruje się.

 

 

 

Wiemy, że wartość bezwzględna przyjmuje wyłącznie wartości nieujemne. Podana nierówność będzie prawdziwa tylko wtedy, gdy wartość bezwzględna będzie niezerowa. 

 

 

 

Wiemy, że wartość bezwzględna przyjmuje wyłącznie wartości nieujemne. Podana nierówność będzie więc prawdziwa zawsze. 

 

Wskaż współczynnik kierunkowy prostej...

Przekształcamy równanie prostej do postaci  

 

 

 

Współczynnik kierunkowy prostej jest równy  czyli  

Prawidłowa odpowiedź to         

Wypisz elementy podanych zbiorów

 

 

 

 

Szukamy elementów, które należą jednocześnie do zbiorów A, B, C:

 

Szukamy elementów, które należą do zbioru A lub do zbioru B i jednocześnie należą do zbioru C:

 

Szukamy elementów, które należą do zbioru A i nie należą do zbioru B, jednocześnie należąc do zbioru C;

 

Szukamy elementów, które należą jednocześnie do zbiorów A i B, ale nie należą do zbioru C:

 

Szukamy elementów, które należą do jednego ze zbiorów A lub B, ale nie należą do zbioru C:

 

Szukamy elementów, które należą do zbioru A i nie należą do zbioru B, a następnie dopisujemy do nich elementy zbioru C:

 

Szukamy elementów, które należą jednocześnie do zbiorów A i B, a anastępnie dopisujemy do nich elementy zbioru C:

 

Szukamy elementów, które należą do zbioru A i nie należą do zbioru B, a następnie z usykanego zbioru zabieramy elementy zbioru C:

Znajdź punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych

Punkt przecięcia paraboli z osią Y ma współrzędne (0, y)=(0, f(0))  - druga współrzędna to wartość funkcji dla argumentu 0

Punkt przecięcia paraboli z osią X ma współrzędne (x, 0) - są to miejsca zerowe paraboli

Oznaczenia:

Punkt przecięcia paraboli z osią Y nazywamy A

Punkty przecięcia paraboli z osią X nazywamy A, B. 

 

 

 

  

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 `-4*(-3)=12\ \ \ =>\ \ \ ul(ul(A=(0,\ 12)))` 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 `-3*5=-15\ \ \ =>\ \ \ ul(ul(A=(0,\ -15)))` 

 

 

 

 

 

  

Która z liczb x, y ma większą wartość bezwzględną

`|x|=|7|=7`

Większą wartość bezwzględną ma liczba x. 

 

 

`|x|=|-10|=10`

`|y|=|-12|=12`

Większą wartość bezwzględną ma liczba y. 

 

 

`|y|=|0|=0`

Większą wartość bezwzględną ma liczba x. 

Załóżmy, że U={1, 2, 3, 4...

Jeżeli  jest dowolnym zbiorem w przestrzeni  to dopełnieniem zbioru  

w przestrzeni ozn.  nazywamy zbiór tych elementów przestrzeni  które nie należą do zbioru  


 Będzie nam łatwiej, jeśli zapiszemy najpierw, jak wyglądają zbiory  i  w przestrzeni  

 

 

 

 

Wówczas mamy:

 

 

 

 

 

 {premium}


 Wyznaczmy zbiory  i  

 

 

Wówczas mamy:

 

 

 

 

 

 


 Zapiszmy najpierw, jak wyglądają zbiory  i  w przestrzeni  

 

 

 

 

Wówczas mamy:

 

 

 

 

 

 

Rozwiąż równanie

 

 

 

 

Drugie równanie jest sprzeczne - wartość bezwzględna nie może przyjmować wartości ujemnych. Rozwiązujemy pierwsze równanie.

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

Wyrażenie √7+π jest sumą dwóch liczb dodatnich, więc jest dodatnie. Wyrażenie √7-π jest równe około 2,65-3,14, a więc jest ujemne. Stąd drugie równanie jest sprzeczne - wartość bezwzględna nie może przyjmować wartości ujemnych. Rozwiązujemy pierwsze równanie.

 

 

 

 

    

 

 

 

 

   

     

     

 

 

  

 

 

 

 

    

   

     

Wyrażenie 3√2-2√3 jest równe około 3∙1,41-2∙1,73=4,23-3,46, a więc jest dodatnie. Wyrażenie 3√2+2√3 jest sumą dwóch liczb dodatnich, a więc także jest dodatnie. Nie odrzucamy więc żadnego równania. 

   

 

 

 

                     

              

 

 

  

 

 

 

 

 

 

  

  

         

  

  

              

     

 

 

  

 

 

 

 

 

 

Pierwsze równanie jest sprzeczne - wartość bezwzględna nie może przyjmować wartości ujemnych. Rozwiązujemy drugie równanie.

 

   

 

O funkcji f wiadomo, że jest...

Aby otrzymać wykres funkcji   należy przekształcić wykres funkcji  przez symetrię

względem osi  

Wobec tego funkcja  jest malejąca w przedziale  i rosnąca w przedziale      

Pewna restauracja po pierwszym

Oznaczmy początkową wysokość cen w tej restauracji jako x. Po obniżce o 20% te ceny wynosiły:

 

 

Po podwyżce o 25% te ceny wynosiły:

 

 

Po podwyżce o 10% te ceny wynosiły:

 

 

Obliczamy, o ile wzrosły ceny w tej restauracji po trzech latach, czyli jakim procentem początkowej ceny jest różnica cen:

 

 

Która z podanych liczb jest najmniejsza?

Jeśli liczbę -1 podniesiemy do potęgi nieparzystej, to otrzymamy -1. 

 

Jeśli liczbę -1 podniesiemy do potęgi parzystej, to otrzymamy 1. 

 

Jedynka podniesiona do każdej potęgi daje 1. 

 

 

 

Należy zaznaczyć odpowiedź A.