
{premium}
Dwa kąty mniejsze od kąta półpełnego nazywamy kątami wierzchołkowymi wtedy,
gdy ramiona jednego kąta są przedłużeniami ramion drugiego kąta.
Kąty wierzchołkowe są równe.
Oznaczmy:
Kąt jest przyległy do kąta o mierze Stąd:
Odp. {premium}
stąd:
Zatem:
Odp.
Oznaczmy:
Kąty i również są wierzchołkowe, stąd:
Zatem:
Kąty i są przyległe. Stąd:
Odp.
Zauważmy, że kąty oznaczone jako tworzą kąt półpełny. Stąd:
Odp.
Rysunek poglądowy:
Pole powierzchni bocznej to suma dwóch pól prostokąta o bokach x, 80-2x i dwóch pól prostokąta o bokach x, 120-2x
Pole powierzchni bocznej można wyrazić funkcją:
Ramiona paraboli są skierowane ku dołowi a więc wartość największa będzie w wierzchołku. Obliczymy odciętą wierzchołka paraboli licząc średnią arytmetyczną miejsc zerowych (gdyż są równo odległe od wierzchołka paraboli).
Odpowiedź: Każdy z wycinanych kwadratów powinien mieć bok długości 25cm.
Rysunek pomocniczy:
{premium}
Zauważmy, że miara kąta między prostymi i jest taka sama jak miara kąta
bo są to kąty odpowiadające.
Obliczamy miarę kąta z sumy kątów trójkąta:
Odp. Kąt między narysowanymi prostymi ma miarę
{premium}
Pamiętajmy, że
Wykres:
Z twierdzenia Pitagorasa:
Z twierdzenia Pitagorasa:
Z twierdzenia Pitagorasa:
Z twierdzenia Pitagorasa:
|angleASB|=|angleCSD| ( kąty wierzchołkowe)
|angleDCA|=|angleCAB| (kąty naprzemianległe)
|angleCDB|=|angleDAB| (kąty naprzemianległe)
Z zasady kkk trójkąty CDS i ABS są podobne.
Stosunek pól trójkątów CDS i ABS jest równy kwadratowi skali podobieństwa.
Równanie okręgu o środku w punkcie S=(1,3) i promieniu r:
Odległość środków:
Okręgi rozłączne zewnętrznie dla:
Okręgi rozłączne wewnętrznie dla:
Suma obu przypadków:
Odległość środków:
Okręgi rozłączne zewnętrznie dla:
Okręgi rozłączne wewnętrznie dla:
Suma obu przypadków:
Prosta ma równanie y=ax+b. W celu wyznaczenia współczynników a oraz b podstawiamy współrzędne punktów (na każdej prostej wyraźnie zaznaczono dwa punkty) w miejsce x i y - mamy układ równań, z którego wyznaczymy a i b. Mając równanie prostej, podstawiamy współrzędne punktu (-10, -5) do równania - jeśli jest ono spełnione, to punkt należy do prostej, a jeśli nie, to punkt nie należy do prostej .{premium}
Mamy punkty o współrzędnych:
Warto zauważyć, że pierwszy punkt to miejsce przecięcia wykresu z osią OY, zatem jego druga współrzędna jest równa współczynnikowi b (wiemy to z twierdzenia na stronie 101).
Zatem prosta ma równanie:
Teraz wystarczy podstawić współrzędne drugiego punktu w miejsce x i y:
Mamy więc równanie prostej:
Sprawdzamy, czy punkt (-10, -5) należy do tej prostej:
równość nie jest spełniona, więc punkt (-10, -5) nie należy do tej prostej
Mamy zaznaczone dwa punkty:
Tworzymy układ równań:
Prosta ma więc równanie:
Sprawdzamy, czy punkt (-10, -5) należy do tej prostej:
`` równość nie jest spełniona, więc punkt (-10, -5) nie należy do tej prostej
Mamy zaznaczone dwa punkty:
Tworzymy układ równań:
odejmujemy równania stronami
Wstawiamy do pierwszego równania:
Zatem prosta ma równanie:
Sprawdzamy, czy punkt (-10, -5) należy do tej prostej:
równość jest spełniona, więc punkt (-10, -5) należy do tej prostej