Ciąg geometryczny i jego suma - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Ciąg geometryczny i jego suma

Temat ten jest bardzo podobny do obliczania sumy ciągu arytmetycznego, lecz w przypadku ciągu geometrycznego musi wykonać więcej obliczeń.

Jak pamiętamy ciąg to ponumerowane liczby. Dodatkowy wiemy, że ciąg geometryczny to taki gdzie iloraz pomiędzy kolejnymi wyrazami jest zawsze taki sam.

Mamy przykładowy ciąg:

$a_n=2,4,8,16,32,x$

Gołym okiem widać, że ciągle jest mnożony przez 2, zatem nasz x będzie wynosić 64, bo $32*2=64$

Jednak i tu nie jest tak łatwo jeśli mamy ciąg takiej postaci:

$a_n=1/3,-1/5,3/{2}5,-9/{25},x$

Przykład:

Znajdź $x$ w ciągu $a_n=1/3,-1/5,3/{2}5,-9/{25},x$. Musimy najpierw znaleźć jaki iloraz został tutaj użyty, zatem wprowadźmy wzór na dowolny wyraz ciągu geometrycznego:

$a_n=a_1×q^(n-1)$

Podstawmy tu wyraz numer 2:

Czyli $n=2$

$a_2=a_1×q^(2-1)$

Nasze wyrazy to:

$a_1=1/3$

$a_2=-1/5$

Podstawiamy do wzoru:

$a_2=a_1×q^1$

W celu usunięcia ułamków

$-1/5=1/3×q$ $|×15$

$-3=5×q$ $|:(-3)$

$q=-5/3$

Obliczmy teraz bez problemu wyraz numer 5:

$a_5=a_1×q^(5-1)$

$a_5=a_1×q^4$

$a_5=1/3×(-5/3)^4$

$a_5=1/3×-{625}/{81}=-{625}/{243}$

Ciąg geometryczny ma również własność wyrazu środkowego - kwadrat wyrazu środkowego jest równy iloczynowi wartości sąsiednich wyrazów, czyli:

$a_{n-1}$, $a_n$, $a_{n+1}$ -> trzy kolejne wyrazy

$a_n^2=a_{n-1}×a_{n+1}$

Suma ciągu geometrycznego

W celu obliczenia sumy ciągu geometrycznego potrzebujemy następujących danych:

Pierwszy wyraz: $a_1$
Ilość wyrazów, których sumę liczymy: $N$
Iloraz: $q$

Wzór na sumę wygląda następująco:

$S_N={a_1(1-q^N)}/{1-q}$

Przykład:

Oblicz sumę pierwszych 7 wyrazów ciągu geometrycznego, gdzie ostatni wyraz to $a_7=81$, a iloraz to $q=3$.

Potrzebujemy podstawy, zatem obliczmy $a_1$ z wzoru na dowolny wyraz:

$a_N=a_1×q^{N-1}$

$a_7=a_1×q^6$

Podstawmy: $81=a_1×3^6$

81 również jest potęgą trójki, więc zamiast bawić się w duże liczby zróbmy tak:

$3^4=a_1×3^6$ $|:3^6$

Z własności dzielenia potęg:

$3^{-2}=a_1$

$1/9=a_1$

Wiemy, że N=7, bo 7 wyrazów, więc liczymy sumę:

$S_N={a_1 (1-q^N)}/{1-q}$

$S_7={1/9(1-3^7)}/{1-3}$

$S_7={1/9(1-3^7)}/{1-3}$

$S_7={1/9(-2186)}/{-2}$

$S_7={-{2186}/9}/{-2}$

$S_7={2186}/{18}$

Uwaga!

Powyższe wzory są zawarte w karcie wzorów.

Wzór na dowolny wyraz jest uniwersalny, działa dla każdego ciągu geometrycznego.

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Mamy ciąg geometryczny w postaci $x+1,0,x-3$. Oblicz x, rozważ wszystkie możliwe przypadki.

Zobacz rozwiązanie

Skorzystamy tutaj z wzoru ratującego życie, czyli na sąsiednie wyrazy:

$a_2^2=a_1×a_3$

Podstawiamy:

$0=(x+1)(x-3)$

Z zasad mnożenia wiemy, że mnożenie to 0 jeśli jeden z czynników to 0, więc mamy tu dwa przypadki:

$x+1=0$

Lub

$x-3=0$

zatem mamy dwa rozwiązania:

$x=-1$ lub $x=3$

Zadanie 2.

Oblicz sumę ciągu geometrycznego jeśli składa się z 10 wyrazów, o ilorazie $q=1/2$, jeśli $a_6=72$.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie bardzo podobne do przykładu przedstawionego w tym temacie.

Najpierw znajdźmy podstawę z wzoru na dowolny wyraz:

$a_n=a_1×q^(n-1)$

$a_6=a_1×q^5$

Podstawmy:

$72=a_1×{(1/2)}^5$

$72=a_1×1/{32}$

$a_1=72×32=2304$

Mamy już wszystko, pozostaje nam wyliczyć sumę:

$N=10$

$a_1=2304$

$q=1/2$

Zatem obliczamy sumę, podstawiając wszystkie wartości pod wzór:

$S_N={a_1 (1-q^N)}/{1-q}$

$S_10={2304(1-(1/2)^10)}/{1-1/2}$

$S_10={2304(1-1/{1024})}/{1/2}$

$S_10={2304-{2304}/{1024} }/{1/2}$

$S_10=2×(2304-{2304}/{1024})$

$S_10=4608-{2304}/{512}$

I teraz doprowadzamy do najprostszej postaci:

$S_10=4608-9/2=4603,5$

Zadanie 3.

Oblicz iloraz ciągu jeśli $a_2=25$ i $a_4=1$.

Zobacz rozwiązanie

Możemy również skorzystać z wzoru na sąsiedni wyraz ciągu w celu szybszego obliczenia:

$a_3^2=a_2×a_4$

Podstawiamy:

$a_3^2=25×1$

$a_3^2=25$

Więc znów mamy dwa przypadki

$a_3=5$ oraz $a_3=-5$

Załóżmy przypadek pierwszy czyli $a_3=5$ wtedy:

$q={a^4}/{a^3}=1/5$

Zatem w drugim przypadku jest to:

$q={a^4}/{a^3} =1/{-5}=-1/5$

Spis treści

Rozwiązane zadania

Wyprowadź wzór

{premium}

Oblicz miary kątów wierzchołkowych...

Dwa kąty mniejsze od kąta półpełnego nazywamy kątami wierzchołkowymi wtedy,

gdy ramiona jednego kąta są przedłużeniami ramion drugiego kąta.

Kąty wierzchołkowe są równe.

Oznaczmy:

Kąt jest przyległy do kąta o mierze Stąd:

Odp. {premium}

stąd:

Zatem:

Odp.

Oznaczmy:

Kąty i również są wierzchołkowe, stąd:

Zatem:

Kąty i są przyległe. Stąd:

Odp.

Zauważmy, że kąty oznaczone jako tworzą kąt półpełny. Stąd:

Odp.

Z prostokątnego arkusza blachy...

Rysunek poglądowy:

Pole powierzchni bocznej to suma dwóch pól prostokąta o bokach x, 80-2x i dwóch pól prostokąta o bokach x, 120-2x

Pole powierzchni bocznej można wyrazić funkcją:

Ramiona paraboli są skierowane ku dołowi a więc wartość największa będzie w wierzchołku. Obliczymy odciętą wierzchołka paraboli licząc średnią arytmetyczną miejsc zerowych (gdyż są równo odległe od wierzchołka paraboli).

Odpowiedź: Każdy z wycinanych kwadratów powinien mieć bok długości 25cm.

Z punktu leżącego na zewnątrz kąta ABC o mierze...

Rysunek pomocniczy:

Thumb zad4.42str101 {premium}

Zauważmy, że miara kąta między prostymi i jest taka sama jak miara kąta

bo są to kąty odpowiadające.

Obliczamy miarę kąta z sumy kątów trójkąta:

Odp. Kąt między narysowanymi prostymi ma miarę

Znajdź obrazy następujących figur w przesunięciu...

{premium}

W pewnym zakładzie fotograficznym...

Pamiętajmy, że

Wykres:

Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych...

Z twierdzenia Pitagorasa:

W trapezie ACD podstawy AB i DC mają długość

|angleASB|=|angleCSD| ( kąty wierzchołkowe)

|angleDCA|=|angleCAB| (kąty naprzemianległe)

|angleCDB|=|angleDAB| (kąty naprzemianległe)

Z zasady kkk trójkąty CDS i ABS są podobne.

Stosunek pól trójkątów CDS i ABS jest równy kwadratowi skali podobieństwa.

Podaj liczbę punktów wspólnych okręgu opisanego...

Równanie okręgu o środku w punkcie S=(1,3) i promieniu r:

Odległość środków:

0 punktów wspólnych

Okręgi rozłączne zewnętrznie dla:

Okręgi rozłączne wewnętrznie dla:

Suma obu przypadków:

1 punkt wspólny:

2 punkty wspólne:

Odległość środków:

0 punktów wspólnych

Okręgi rozłączne zewnętrznie dla:

Okręgi rozłączne wewnętrznie dla:

Suma obu przypadków:

1 punkt wspólny:

2 punkty wspólne:

Wyznacz równanie prostej przedstawionej na rysunku

Prosta ma równanie y=ax+b. W celu wyznaczenia współczynników a oraz b podstawiamy współrzędne punktów (na każdej prostej wyraźnie zaznaczono dwa punkty) w miejsce x i y - mamy układ równań, z którego wyznaczymy a i b. Mając równanie prostej, podstawiamy współrzędne punktu (-10, -5) do równania - jeśli jest ono spełnione, to punkt należy do prostej, a jeśli nie, to punkt nie należy do prostej .{premium}

Mamy punkty o współrzędnych:

Warto zauważyć, że pierwszy punkt to miejsce przecięcia wykresu z osią OY, zatem jego druga współrzędna jest równa współczynnikowi b (wiemy to z twierdzenia na stronie 101).

Zatem prosta ma równanie:

Teraz wystarczy podstawić współrzędne drugiego punktu w miejsce x i y:

Mamy więc równanie prostej:

Sprawdzamy, czy punkt (-10, -5) należy do tej prostej:

równość nie jest spełniona, więc punkt (-10, -5) nie należy do tej prostej

Mamy zaznaczone dwa punkty:

Tworzymy układ równań:

Prosta ma więc równanie:

Sprawdzamy, czy punkt (-10, -5) należy do tej prostej:

`` równość nie jest spełniona, więc punkt (-10, -5) nie należy do tej prostej

Mamy zaznaczone dwa punkty:

Tworzymy układ równań:

odejmujemy równania stronami

Wstawiamy do pierwszego równania:

Zatem prosta ma równanie:

Sprawdzamy, czy punkt (-10, -5) należy do tej prostej:

równość jest spełniona, więc punkt (-10, -5) należy do tej prostej