Ciąg geometryczny i jego suma - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Ciąg geometryczny i jego suma

Temat ten jest bardzo podobny do obliczania sumy ciągu arytmetycznego, lecz w przypadku ciągu geometrycznego musi wykonać więcej obliczeń.

Jak pamiętamy ciąg to ponumerowane liczby. Dodatkowy wiemy, że ciąg geometryczny to taki gdzie iloraz pomiędzy kolejnymi wyrazami jest zawsze taki sam.

Mamy przykładowy ciąg:

$a_n=2,4,8,16,32,x$

Gołym okiem widać, że ciągle jest mnożony przez 2, zatem nasz x będzie wynosić 64, bo $32*2=64$

Jednak i tu nie jest tak łatwo jeśli mamy ciąg takiej postaci:

$a_n=1/3,-1/5,3/{2}5,-9/{25},x$

Przykład:

Znajdź $x$ w ciągu $a_n=1/3,-1/5,3/{2}5,-9/{25},x$. Musimy najpierw znaleźć jaki iloraz został tutaj użyty, zatem wprowadźmy wzór na dowolny wyraz ciągu geometrycznego:

$a_n=a_1×q^(n-1)$

Podstawmy tu wyraz numer 2:

Czyli $n=2$

$a_2=a_1×q^(2-1)$

Nasze wyrazy to:

$a_1=1/3$

$a_2=-1/5$

Podstawiamy do wzoru:

$a_2=a_1×q^1$

W celu usunięcia ułamków

$-1/5=1/3×q$ $|×15$

$-3=5×q$ $|:(-3)$

$q=-5/3$

Obliczmy teraz bez problemu wyraz numer 5:

$a_5=a_1×q^(5-1)$

$a_5=a_1×q^4$

$a_5=1/3×(-5/3)^4$

$a_5=1/3×-{625}/{81}=-{625}/{243}$

Ciąg geometryczny ma również własność wyrazu środkowego - kwadrat wyrazu środkowego jest równy iloczynowi wartości sąsiednich wyrazów, czyli:

$a_{n-1}$, $a_n$, $a_{n+1}$ -> trzy kolejne wyrazy

$a_n^2=a_{n-1}×a_{n+1}$

Suma ciągu geometrycznego

W celu obliczenia sumy ciągu geometrycznego potrzebujemy następujących danych:

Pierwszy wyraz: $a_1$
Ilość wyrazów, których sumę liczymy: $N$
Iloraz: $q$

Wzór na sumę wygląda następująco:

$S_N={a_1(1-q^N)}/{1-q}$

Przykład:

Oblicz sumę pierwszych 7 wyrazów ciągu geometrycznego, gdzie ostatni wyraz to $a_7=81$, a iloraz to $q=3$.

Potrzebujemy podstawy, zatem obliczmy $a_1$ z wzoru na dowolny wyraz:

$a_N=a_1×q^{N-1}$

$a_7=a_1×q^6$

Podstawmy: $81=a_1×3^6$

81 również jest potęgą trójki, więc zamiast bawić się w duże liczby zróbmy tak:

$3^4=a_1×3^6$ $|:3^6$

Z własności dzielenia potęg:

$3^{-2}=a_1$

$1/9=a_1$

Wiemy, że N=7, bo 7 wyrazów, więc liczymy sumę:

$S_N={a_1 (1-q^N)}/{1-q}$

$S_7={1/9(1-3^7)}/{1-3}$

$S_7={1/9(1-3^7)}/{1-3}$

$S_7={1/9(-2186)}/{-2}$

$S_7={-{2186}/9}/{-2}$

$S_7={2186}/{18}$

Uwaga!

Powyższe wzory są zawarte w karcie wzorów.

Wzór na dowolny wyraz jest uniwersalny, działa dla każdego ciągu geometrycznego.

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Mamy ciąg geometryczny w postaci $x+1,0,x-3$. Oblicz x, rozważ wszystkie możliwe przypadki.

Zobacz rozwiązanie

Skorzystamy tutaj z wzoru ratującego życie, czyli na sąsiednie wyrazy:

$a_2^2=a_1×a_3$

Podstawiamy:

$0=(x+1)(x-3)$

Z zasad mnożenia wiemy, że mnożenie to 0 jeśli jeden z czynników to 0, więc mamy tu dwa przypadki:

$x+1=0$

Lub

$x-3=0$

zatem mamy dwa rozwiązania:

$x=-1$ lub $x=3$

Zadanie 2.

Oblicz sumę ciągu geometrycznego jeśli składa się z 10 wyrazów, o ilorazie $q=1/2$, jeśli $a_6=72$.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie bardzo podobne do przykładu przedstawionego w tym temacie.

Najpierw znajdźmy podstawę z wzoru na dowolny wyraz:

$a_n=a_1×q^(n-1)$

$a_6=a_1×q^5$

Podstawmy:

$72=a_1×{(1/2)}^5$

$72=a_1×1/{32}$

$a_1=72×32=2304$

Mamy już wszystko, pozostaje nam wyliczyć sumę:

$N=10$

$a_1=2304$

$q=1/2$

Zatem obliczamy sumę, podstawiając wszystkie wartości pod wzór:

$S_N={a_1 (1-q^N)}/{1-q}$

$S_10={2304(1-(1/2)^10)}/{1-1/2}$

$S_10={2304(1-1/{1024})}/{1/2}$

$S_10={2304-{2304}/{1024} }/{1/2}$

$S_10=2×(2304-{2304}/{1024})$

$S_10=4608-{2304}/{512}$

I teraz doprowadzamy do najprostszej postaci:

$S_10=4608-9/2=4603,5$

Zadanie 3.

Oblicz iloraz ciągu jeśli $a_2=25$ i $a_4=1$.

Zobacz rozwiązanie

Możemy również skorzystać z wzoru na sąsiedni wyraz ciągu w celu szybszego obliczenia:

$a_3^2=a_2×a_4$

Podstawiamy:

$a_3^2=25×1$

$a_3^2=25$

Więc znów mamy dwa przypadki

$a_3=5$ oraz $a_3=-5$

Załóżmy przypadek pierwszy czyli $a_3=5$ wtedy:

$q={a^4}/{a^3}=1/5$

Zatem w drugim przypadku jest to:

$q={a^4}/{a^3} =1/{-5}=-1/5$

Spis treści

Rozwiązane zadania

Napisz równanie prostej k, będącej symetralną ...

Prosta przechodząca przez punkt A i B:

Odejmując stronami otrzymujemy: {premium}

Prosta prostopadła do prostej AB jest postaci:

Symetralna to prosta przechodząca przez środek odcinka.

Równanie symetralnej odcinka AB:

Pole powierzchni sześcianu ...

Sześcian S₂:

a₂ - długość krawędzi tego sześcianu, a₂> 0

- pole powierzchni tego sześcianu {premium}

Sześcian S₁:

a₁ - długość krawędzi tego sześcianu, a₁ > 0

- pole powierzchni tego sześcianu

Pole powierzchni sześcianu S₂ jest 36 razy większe od pola powierzchni sześcianu S₁, zatem:

Poprawna odpowiedź: D.

Kąt α...

Kąt α jest ostry oraz

przekształcając powyższą równość otrzymamy{premium}

Wykaż, że zachodzi równość...

Dowód:{premium}

Zapisz funkcję kwadratową ...

Podane funkcje zapisane są w postaci kanonicznej, przekształcimy je do postaci ogólnej.

Pomóc nam w tym mogą wzory skróconego mnożenia:

{premium}

Niech f(p) oznacza długość ...

Wyznaczmy miejsca zerowe tej funkcji.

{premium}

Zał:

Wyznaczmy długość odcinka, którego końcami są te miejsca zerowe.

			`-1`
			`2`

Wykres funkcji f:

Sprawdź, że podane równanie...

Jeśli liczby x₁ i x₂ są rozwiązaniami równania kwadratowego ax²+bx+c=0, to:{premium}

Powyższe wzory nazywamy wzorami Viete'a.

Wyznaczmy wzór na sumę odwrotności rozwiązań równania w taki sposób, by móc zastosować wzory Viete'a:

Δ>0, więc równanie ma dwa rozwiązania. Obliczamy sumę odwrotności tych rozwiązań, korzystając z wyznaczonego wzoru:

Uzasadnij, że dla dowolnych Uzasadnij, że dla dowolnych

{premium}

Wiemy, że zachodzi równość:

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy rozpiszmy lewą stronę powyższej równości:

Iloczyn dwóch liczb jest równy 0, jeśli przynajmniej jedna z nich jest równa 0, więc:

Otrzymaliśmy tezę, co kończy dowód.

Wyznacz wszystkie wartości m...

Rysunek pomocniczy:{premium}

Na podstawie rysunku widzimy, że wykres funkcji liniowej przechodzi przez II, III i IV ćwiartkę układu współrzędnych, gdy funkcja jest malejąca (współczynnik kierunkowy jest ujemny) oraz gdy wykres funkcji przecina oś OY poniżej osi OX (wyraz wolny jest ujemny).

Wynika stąd, że muszą być spełnione warunki:

Oblicz

{premium}