Ciąg geometryczny i jego suma - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Ciąg geometryczny i jego suma

Temat ten jest bardzo podobny do obliczania sumy ciągu arytmetycznego, lecz w przypadku ciągu geometrycznego musi wykonać więcej obliczeń.

Jak pamiętamy ciąg to ponumerowane liczby. Dodatkowy wiemy, że ciąg geometryczny to taki gdzie iloraz pomiędzy kolejnymi wyrazami jest zawsze taki sam.

Mamy przykładowy ciąg:

$$a_n=2,4,8,16,32,x$$

Gołym okiem widać, że ciągle jest mnożony przez 2, zatem nasz x będzie wynosić 64, bo $$32*2=64$$

Jednak i tu nie jest tak łatwo jeśli mamy ciąg takiej postaci:

$$a_n=1/3,-1/5,3/{2}5,-9/{25},x$$

Przykład:

Znajdź $$x$$ w ciągu $$a_n=1/3,-1/5,3/{2}5,-9/{25},x$$. Musimy najpierw znaleźć jaki iloraz został tutaj użyty, zatem wprowadźmy wzór na dowolny wyraz ciągu geometrycznego:

$$a_n=a_1×q^(n-1)$$

Podstawmy tu wyraz numer 2:

Czyli $$n=2$$

$$a_2=a_1×q^(2-1)$$

Nasze wyrazy to:

$$a_1=1/3$$

$$a_2=-1/5$$

Podstawiamy do wzoru:

$$a_2=a_1×q^1$$

W celu usunięcia ułamków

$$-1/5=1/3×q$$ $$|×15$$

$$-3=5×q$$ $$|:(-3)$$

$$q=-5/3$$

Obliczmy teraz bez problemu wyraz numer 5:

$$a_5=a_1×q^(5-1)$$

$$a_5=a_1×q^4$$

$$a_5=1/3×(-5/3)^4$$

$$a_5=1/3×-{625}/{81}=-{625}/{243}$$

Ciąg geometryczny ma również własność wyrazu środkowego - kwadrat wyrazu środkowego jest równy iloczynowi wartości sąsiednich wyrazów, czyli:

$$a_{n-1}$$, $$a_n$$, $$a_{n+1}$$ -> trzy kolejne wyrazy

$$a_n^2=a_{n-1}×a_{n+1}$$

Suma ciągu geometrycznego

W celu obliczenia sumy ciągu geometrycznego potrzebujemy następujących danych:

Pierwszy wyraz: $$a_1$$
Ilość wyrazów, których sumę liczymy: $$N$$
Iloraz: $$q$$

Wzór na sumę wygląda następująco:

$$S_N={a_1(1-q^N)}/{1-q}$$

Przykład:

Oblicz sumę pierwszych 7 wyrazów ciągu geometrycznego, gdzie ostatni wyraz to $$a_7=81$$, a iloraz to $$q=3$$.

Potrzebujemy podstawy, zatem obliczmy $$a_1$$ z wzoru na dowolny wyraz:

$$a_N=a_1×q^{N-1}$$

$$a_7=a_1×q^6$$

Podstawmy: $$81=a_1×3^6$$

81 również jest potęgą trójki, więc zamiast bawić się w duże liczby zróbmy tak:

$$3^4=a_1×3^6$$ $$|:3^6$$

Z własności dzielenia potęg:

$$3^{-2}=a_1$$

$$1/9=a_1$$

Wiemy, że N=7, bo 7 wyrazów, więc liczymy sumę:

$$S_N={a_1 (1-q^N)}/{1-q}$$

$$S_7={1/9(1-3^7)}/{1-3}$$

$$S_7={1/9(1-3^7)}/{1-3}$$

$$S_7={1/9(-2186)}/{-2}$$

$$S_7={-{2186}/9}/{-2}$$

$$S_7={2186}/{18}$$

Uwaga!

Powyższe wzory są zawarte w karcie wzorów.

Wzór na dowolny wyraz jest uniwersalny, działa dla każdego ciągu geometrycznego.

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Mamy ciąg geometryczny w postaci $$x+1,0,x-3$$. Oblicz x, rozważ wszystkie możliwe przypadki.

Zobacz rozwiązanie

Skorzystamy tutaj z wzoru ratującego życie, czyli na sąsiednie wyrazy:

$$a_2^2=a_1×a_3$$

Podstawiamy:

$$0=(x+1)(x-3)$$

Z zasad mnożenia wiemy, że mnożenie to 0 jeśli jeden z czynników to 0, więc mamy tu dwa przypadki:

$$x+1=0$$

Lub

$$x-3=0$$

zatem mamy dwa rozwiązania:

$$x=-1$$ lub $$x=3$$

Zadanie 2.

Oblicz sumę ciągu geometrycznego jeśli składa się z 10 wyrazów, o ilorazie $$q=1/2$$, jeśli $$a_6=72$$.

Zobacz rozwiązanie

Zadanie bardzo podobne do przykładu przedstawionego w tym temacie.

Najpierw znajdźmy podstawę z wzoru na dowolny wyraz:

$$a_n=a_1×q^(n-1)$$

$$a_6=a_1×q^5$$

Podstawmy:

$$72=a_1×{(1/2)}^5$$

$$72=a_1×1/{32}$$

$$a_1=72×32=2304$$

Mamy już wszystko, pozostaje nam wyliczyć sumę:

$$N=10$$

$$a_1=2304$$

$$q=1/2$$

Zatem obliczamy sumę, podstawiając wszystkie wartości pod wzór:

$$S_N={a_1 (1-q^N)}/{1-q}$$

$$S_10={2304(1-(1/2)^10)}/{1-1/2}$$

$$S_10={2304(1-1/{1024})}/{1/2}$$

$$S_10={2304-{2304}/{1024} }/{1/2}$$

$$S_10=2×(2304-{2304}/{1024})$$

$$S_10=4608-{2304}/{512}$$

I teraz doprowadzamy do najprostszej postaci:

$$S_10=4608-9/2=4603,5$$

Zadanie 3.

Oblicz iloraz ciągu jeśli $$a_2=25$$ i $$a_4=1$$.

Zobacz rozwiązanie

Możemy również skorzystać z wzoru na sąsiedni wyraz ciągu w celu szybszego obliczenia:

$$a_3^2=a_2×a_4$$

Podstawiamy:

$$a_3^2=25×1$$

$$a_3^2=25$$

Więc znów mamy dwa przypadki

$$a_3=5$$ oraz $$a_3=-5$$

Załóżmy przypadek pierwszy czyli $$a_3=5$$ wtedy:

$$q={a^4}/{a^3}=1/5$$

Zatem w drugim przypadku jest to:

$$q={a^4}/{a^3} =1/{-5}=-1/5$$

Spis treści

Rozwiązane zadania

Liczba 3 jest miejscem zerowym funkcji kwadratowej f ...

Skorzystamy z tego, że pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli to średnia arytmetyczna miejsc zerowych funkcji kwadratowej, której wykresem jest ta parabola.

`x_w=(x_1+x_2)/2\ \ \ \ |x_1=3`

`x_w=(3+x_2)/2\ \ \ |*2`

`2x_w=3+x_2\ \ \ |-3`

`ul(ul(x_2=2x_w-3))`

`a)`

`x_w=5`

`x_2=2*5-3=10-3=7` - drugie miejsce zerowe

`b)`

`x_w=-3`

`x_2=2*(-3)-3=-6-3=-9`

`c)`

`x_w=1/2`

`x_2=2*1/2-3=1-3=-2`

`d)`

`x_w=5/4`

`x_2=2*5/4-3=5/2-3=2 1/2-3=-1/2`

Dany jest trójkąt równoramienny ABC...

Rysunek poglądowy:

`/_APB = 180^o -(36^o+18^o) = 180^o - 54^o = 126^o`

Odpowiedź C

Dany jest kwadrat o boku...

Boki prostokąta mają miary:

`a = 6 - x`

`b = 6 + x`

Pole kwadratu:

`P = 6^2 = 36`

Pole powstałego prostokąta:

`P_("pr") = a*b = (6-x)(6+x) = 36 -x^2`

Wiemy, że pole prostokąta jest o 4 mniejsze od pola kwadratu a więc:

`P - 4 = 36-x^2`

`36 - 4 = 36 - x^2`

`x^2 -4 =0`

`(x-2)(x+2)=0`

`x_1 = 2 \ \ vv \ \ x_2 = -2 < 0`

Długości boków prostokąta są równe

`a = 6 - 2 = 4`

`b = 6+2 = 8`

Oceń na podstawie wykresu...

I. W Ameryce Północnej i Japonii były momenty w których funkcje rosły i malały a jedynie w Europie wartość ta stale rosła. P

II. W 1997 roku wynosiła ok. 11 mln a w 1998 roku była na poziomie ok. 9 mln. Zatem różni się o ok. 2 mln. Policzmy jakim procentem liczby 11 jest liczba 2:

`2/11 * 100% approx 18%`

produkcja samochodów spadła o 18%. F

III. Po roku 2000 widzimy duży spadek produkcji, który trwał aż do 2002 roku. P

Prawdziwe zdania to I. oraz III.

Odpowiedź A

Na rysunkach przedstawiono wykresy funkcji

`a)`

Najmniejsza wartość funkcji f jest równa -3 i jest przyjmowana dla argumentu 2.

`b)`

Funkcja g nie przyjmuje najmniejszej wartości (w punkcie (-3, -3) mamy kółeczko niezamalowane)

`c)`

Najmniejsza wartość funkcji h jest równa -2 i jest przyjmowana dla argumentu -3.

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji...

`"a)"`

Niebieski wykres to symetria wykresu funkcji `y=f(x)` względem osi `x.`

Otrzymamy wówczas funkcję `y=-f(x).`

Czerwony wykres to symetria wykresu funkcji `y=-f(x)` względem osi `y.`

Otrzymamy wówczas funkcję `y=-f(-x).`

`"b)"`

Niebieski wykres to symetria wykresu funkcji `y=f(x)` względem osi `y.`

Otrzymamy wówczas funkcję `y=f(-x).`

Czerwony wykres to symetria wykresu funkcji `y=f(-x)` względem osi `x.`

Otrzymamy wówczas funkcję `y=-f(-x).`

Wykresy funkcji otrzymanych w obu punktach są takie same.

guffno

1-1=0

W wodzie w tym samym kierunku, w tę samą stronę...

Przyjmijmy następujące obliczenia:

`x-`odległość między pierwszą i drugą rybką

`y-`odległość między drugą i trzecią rybką

Skorzystamy ze wzoru na prędkość w ruchu jednostajnym:

`v=s/t`

Gdyby druga rybka płynęła dwa razy szybciej, płynęłaby z prędkością `5\ "m"/"s"` i dogoniłaby

wtedy pierwszą po dwóch sekundach.

Obliczmy, jaką odległość pokonuje pierwsza rybka w czasie `2\ "s"` płynąc z prędkością `2,5\ "m"/"s":`

`s=2,5*2=5\ ["m"]`

Oznacza to, że rybka druga przebyłaby odległość `x+5` w czasie `2\ "s."`

Podstawiając do wzoru, otrzymujemy:

`5=(x+5)/2`

Stąd:

`x+5=10`

`x=5`

Gdyby trzecia rybka płynęła trzy razy szybciej, płynęłaby z prędkością `7,5\ "m"/"s"` i dogoniłaby

wtedy pierwszą po pięciu sekundach.

Obliczmy, jaką odległość pokonuje pierwsza rybka w czasie `5\ "s"` płynąc z prędkością `2,5\ "m"/"s":`

`s=2,5*5=12,5\ ["m"]`

Oznacza to, że przebyłaby odległość `x+y+12,5` w czasie `5\ "s."`

Podstawiając do wzoru, otrzymujemy:

`7,5=(x+y+12,5)/5`

Podstawiamy `x=5` i wyznaczamy `y:`

`7,5=(5+y+12,5)/5\ "/"*5`

`37,5=17,5+y`

`y=20`

Odp. Rybki pierwsza i druga płyną w odległości `5\ "m",` a druga i trzecia w odległości `20\ "m".`

Napisz równanie prostej ...

`a)`

`y=-2/5x+11`

`M=(2,0)`

`y_p-"równanie prostej prostopadłej"`

`y_p=5/2x+b`

`0=5/2*2+b`

`b=-5`

`ul(y_p=5/2x-5`

`b)`

`x=0`

`M=(2,0)`

`ul(y_p=0`

`c)`

`y=0`

`M=(2,0)`

`ul(x=2`

Wykres funkcji f(x)=-2x^2...

`f(x)=-2x^2`

`g(x)=-2(x+3)^2+4`

`W=(-3,4)`

`ZW_f=(-oo, 4>`

Funkcja rośnie w przedziale: `(-oo, -3>`

Funkcja maleje w przedziale: `< 3,+oo)`