Ciąg arytmetyczny i geometryczny - matura-podstawowa - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Ciąg arytmetyczny i geometryczny - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Ciąg arytmetyczny i geometryczny

Jak pamiętamy ciąg to dla nas po prostu ciąg liczb, czyli ponumerowane liczby, które znajdują się w jakimś ściśle określonym szyku. Tutaj opiszę dwa konkretne szyki, które mają specjalne własności - ciąg arytmetyczny i ciąg geometryczny.

Czym się wyróżniają spośród tej masy liczb?


Ciąg arytmetyczny to tak uporządkowane liczby, że między dwiema kolejnymi liczbami jest stała różnica.

Czyli ciągiem arytmetycznym będą:
  • $a_n=1,2,3,4,5 $
  • $a_n=-2,-4,-6,-8$
  • $a_n=0,2/3, 4/3,2, 8/3$
ale już nie:

$a_n=1,3,3,3,5$ , ponieważ najpierw mamy różnicę 2 ($3-1=2)$,a potem 0 $(3-3=0)$

w ten sam sposób ciągiem arytmetycznym NIE jest:

$a_n=0,-2,2,-2,2$ najpierw różnica jest -2, bo $(0-2)=-2$, następnie 4, $(2-(-2)=4)$ więc ciąg nie jest już arytmetyczny.

Ok. Wszystko ładnie pięknie, ale jak wiemy nikt nam nie będzie tak pięknie życia ułatwiał i wzory będą podawane na przykład w postaci:

$a_n=4n+5$
Oczywiście możemy podstawiać liczby pod n i sprawdzać czy różnica się zmienia: $a_1=4×1+5=9 $ $a_2=4×2+5=13 $ $a_3=4×3+5=17$ I jak widać różnica zawsze będzie o 4, ale pozostaje jedna kwestia, nie zawsze przykłady będą tak proste i nie będziemy mieli pewności, czy przy wyrazie nr 343553 różnica nie zacznie się zmieniać. Trzeba więc to udowodnić.

Przykład:

Sprawdź czy ciąg $a_n=4n+5$ jest arytmetyczny.

Musimy pokazać, że dla dowolnych dwóch kolejnych liczb ich różnica jest stała. Jak oznaczyć liczbę dowolną? Twórca zadania zrobił to za nas. Oznaczmy ją jako $a_n$, musimy mieć kolejne, zatem druga musi być o 1 większa czyli nasze dwie dowolne kolejne liczby to:
$a_n$, $a_{n+1}$

Chcemy policzyć różnicę $a_{n+1}$ oraz $a_n$, więc musimy wypisać odjemną i odjemnik. Dla n oczywiście wszystko jest bez zmian:
$a_n=4n+5$
Teraz dla n+1
$a_{n+1}=4(n+1)+5$
W tym przypadku zwróćmy uwagę na to, że podstawiamy n+1, więc musi być w nawiasie jeśli chodzi o mnożenie:

$a_{n+1}=4n+4+5=4n+9$

Teraz liczymy różnicę czyli musimy odjąć te wyrazy od siebie:

$r=a_{n+1}-a_n$

Pamiętamy, że $a_n$ jest równe $4n+5$ i musimy odjąć je jako całość czyli nie piszemy $-4n+5$ tylko $–(4n+5)$.

$r=4n+9-(4n+5)$

$r=4n+9-4n-5$

$r=4$

Widzimy, że dla dowolnych dwóch wyrazów różnica wynosi 4 i w ogóle nie zależy od $n$.


Różnica nie jest stała jeśli w jakikolwiek sposób zależy od $n$. Pokaże to przykład pewnego ciągu geometrycznego, który nie jest arytmetyczny. Czym jest ciąg geometryczny?

Również specjalnym szykiem liczb, między którymi zachodzi stały iloraz między jedną a drugą, czyli mnożymy o stałą liczbę kolejne wyrazy, ciągami geometrycznymi są więc ciągi:
 
  • $ a_n=1,2,4,8,16$ mnożymy przez 2
  • $ a_n=1,-1,1,-1,1$ mnożymy przez -1
  • $ a_n={1}/{2}, {1}/{6}, 1/{18}, 1/{54}, 1/{162}$ mnożymy przez 1/3
Ale z kolei ciągami geometrycznymi już nie są:

$a_n=1,3,6,7,9$ (ponieważ $3:1=3$, ale już $6:3=2$)

ani $a_n=-2,0,3,5,1$ (ponieważ $0:(-2)=0$, a z kolei $3:0=...$, no cóż sami widzicie, przez zero dzielić nie wolno)

Skoro już wiemy, co to jest ciąg geometryczny, możemy wziąć np. ciąg o wyrazie ogólnym
$a_n=2^n$
I pokazać, że jest geometryczny, a nie jest arytmetyczny.

Dwa kolejne wyrazy tego ciągu to $a_n=2^n$ oraz $a_{n+1}=2^{n+1}$. Policzmy ich iloraz:

${a_{n+1}}/{a_{n}}={2^{n+1}}/{2^{n}}=2$
A zatem iloraz dwóch kolejnych wyrazów jest stały (wynosi 2, czyli nie zależy od n), więc ciąg jest geometryczny. Policzmy teraz różnicę dwóch kolejnych wyrazów:

$a_{n+1}-a_{n}=2^{n+1}-2^{n}=2×2^{n}-2^{n}=2^{n}$
A zatem różnica dwóch kolejnych wyrazów zależy od n, więc ciąg nie jest arytmetyczny.


Inny przykład: Sprawdź czy ciąg $a_n=-4n^2+3$ jest geometryczny.

Bierzemy znów dwie kolejne liczby $a_n$, $a_{n+1}$.

Standardowo podstawiamy. Dla n dostajemy wzór na wyraz ogólny ciągu:

$a_n=-4n^2+3$

a dla n+1 dostajemy

$a_{n+1}=-4(n+1)^2+3$

$a_{n+1}=-4(n^2+2n+1)+3$

$a_{n+1}=-4n^2-8n-4+3$

$a_{n+1}=-4n^2-8n-1$

Musimy teraz policzyć,

${a_{n+1} }/{a_n} ={-4n^2-8n-1}/{-4n^2+3}$

Uwaga! Ta postać jest dość trudna, proszę skupić się na tym poniżej:

Musimy każdy z tych członów rozbić do prostszych postaci i sprawdzić czy się skrócą, pomoże nam tutaj postać iloczynowa funkcji kwadratowej, najpierw mianownik (szukamy miejsc zerowych):

$-4n^2+3$

$-4n^2+3=0$

$-4n^2=-3$ $|:(-4)$

$n^2=3/4$

$n={√{3} }/{2}$ v $n=-{√3}/{2}$

Zatem:

$-4n^2+3=-4(n-{√3}/{2})(n+{√3}/{2})$

Teraz licznik:

$-4n^2-8n-1$

Tutaj standardowo zabawimy się z deltą:

$a=-4$

$b=-8$

$c=-1$

Obliczmy deltę:

$∆=b^2-4ac$

$∆=(-8)^2-4×(-4)×(-1)$

$∆=64+16$

$∆=80$

Obliczmy od razu pierwiastek z delty:

$√{∆}=√{80}=√{16×5}=4√{5}$



No i teraz nasze rozwiązania:

$n_1={-b+√{∆} }/{2a}$

$n_1={-8+4√5}/{-8}={2+√5}/2$

$n_2={-b-√{∆} }/{2a}$

$n_2={-8-4√5}/{-8}={2-√5}/2$ Zatem:

$-4n^2-8n-1=-4(n-{2-√5}/2)(n-{2+√5}/2)$



Podstawmy nasze ciężkie równania do ułamka:

${a_{n+1} }/{a_n} ={-4n^2-8n-1}/{-4n^2+3}$
${a_{n+1} }/{a_n} ={-4(n-{2-√5}/2)(n-{2+√5}/{2} ) }/{-4(n-{√3}/{2} )(n+{√3}/{2})} $

Jak widać nic nam się tu nie skraca, a skoro w ilorazie jest nadal liczba n to znaczy, że nie jest on geometryczny, bo iloraz nie jest stały (zależy od n).

 

Uwaga!

- Jeśli z różnych przyczyn n, n+1 będą dość trudne do podstawienia możemy wybrać dwa dowolne inne wyrazy do podstawienia, nawet $2n+1,2n+2$, ważne żeby były kolejne.
- Jeśli mamy do obliczenia ciąg geometryczny, w którym są wzory skróconego mnożenia, warto ich nie rozbijać przedwcześnie.
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Sprawdź czy ciąg $a_n=-1/3 n+6$ jest arytmetyczny

Bierzemy dwie dowolne kolejne liczby. Weźmy n i n+1 i zróbmy podmianę.

Dla n tak samo:

$a_n=-1/3 n+6$

dla $n+1$:

$a_n+1=-1/3 (n+1)+6=-1/3 n-1/3+6=-1/3 n+5 2/3$

Następnie odejmujemy je od siebie.

$a_{n+1}-a_n=-1/3 n+5 2/3-(-1/3 n+6)$

$a_{n+1}-a_n=-1/3 n+5 2/3+1/3 n-6=-1/3$

Jak widać ciąg jest arytmetyczny.

Zadanie 2.

Sprawdź czy ciąg $a_n=n^2$ jest geometryczny.

Zróbmy podmianę dla dwóch kolejnych liczb n, n+1

Dla n tak samo:

$a_n=n^2$

a dla $n+1$:

$a_{n+1}={(n+1)}^2$

$a_{n+1}={(n+1)}^2$

Pozostaje nam sprawdzić iloraz

${a_{n+1}}/{a_n} ={(n+1)^2}/{n^2} $

Jak widać nic się tu nie skróci zatem ciąg nie jest geometryczny, bo iloraz dwóch kolejnych wyrazów jest zależny od n.

Zadanie 3.

Znajdź błąd w rozumowaniu:

$10-10=4-4$

$5(2-2)=(2+2)(2-2)$ $|∶(2-2)$

$5=2+2$

$10-10=4-4$

$5(2-2)=(2+2)(2-2)$ $|:(2-2)$

(2-2)=0, a przez 0 dzielić nie można!!

Spis treści

Rozwiązane zadania
Oblicz wartość wyrażenia:

    {premium}


 


 


 


 

 


 


 


 

 

Oblicz ...

 

 


 {premium}


 


 


 


 

 


 


 

 


 


 

 

Wyłącz czynnik przed pierwiastek...

 {premium}


 


 


 


 


 


 


 


 


 

Średnia...

Oznaczmy przez x liczbę punktów jaką łącznie z egzaminu uzyskali studenci I grupy. 

Wiemy, że średnia liczba punktów uzyskanych przez studentów I grupy jest równa 30, a wszystkich studentów w tej grupie było 40. 

Korzystając ze wzoru na średnią arytmetyczną dostajemy {premium}

Wiemy, że w drugiej grupie było 20 studentów, którzy łącznie uzyskali 1800 punktów. 

Zatem średni wynik z tego egzaminu liczony dla studentów obu grup wynosi

 

Odp. C.  

Boki trapezu ABCD mają długości...

Możliwe są dwie sytuacje: albo bok BC ma punkt wspólny z dwusieczną kąta BAD, albo bok CD.

Rysunek pomocniczy:{premium}


AB||CD, więc trójkąty ABE i DCE są podobne na podstawie cechy KKK.

Z podobieństwa tych trójkątów:

 

 

 

Mnożymy na krzyż.

 

 

oraz

 

 

 

Mnożymy na krzyż.

 

 


Z twierdzenia o dwusiecznej:

 

Punkt F to jeden z punktów F1 lub F2. Po wyznaczeniu długości odcinka BF określimy, czy F=F1, czy F=F2.

 

 

 

 

Mnożymy na krzyż.

 

 

 

 


Otrzymaliśmy, że |BF|>|BC|, więc punkt F jest położony powyżej punktu C - F=F2.

Zatem dwusieczna kąta BAD ma punkt wspólny z bokiem CD.

Na rysunku przedstawiono wykresy funkcji ...

 

{premium}  

 

 

 

 

Wyznacz wartość najmniejszą i największą...

 

Podstawiając x z naszego przedziału do wzoru naszej funkcji będziemy obliczać iloczyn tego argumentu i ułamka 3/4 a następnie odejmować od tego iloczynu liczbę 2. Im większą liczbę podstawimy pod x tym większa będzie wartość a więc najmniejsza wartość będzie dla najmniejszego argumentu z tego przedziału a największa wartość dla największego argumentu z tego przedziału:

 

 

 

{premium}  

Podstawiając x z naszego przedziału do wzoru naszej funkcji będziemy obliczać iloczyn tego argumentu i ułamka 5/2 a następnie brać liczbę przeciwną do obliczonego iloczynu i dodawać liczbę 4. Im większą liczbę podstawimy pod x tym mniejsza będzie wartość a więc najmniejsza wartość będzie dla największego argumentu z tego przedziału a największa wartość dla najmniejszego argumentu z tego przedziału:

 

 

 

 

Podstawiając x z naszego przedziału do wzoru naszej funkcji będziemy brać kwadrat tego argumentu a następnie odejmować ułamek 1/2. Biorąc dowolną liczbę do kwadratu zawsze otrzymamy liczbę nieujemną. Żeby wybrać liczbę największą musimy popatrzeć, która liczba (nie zwracając uwagi na jej znak, gdyż podnosząc ją do kwadratu i tak dostaniemy liczbę nieujemną) jest największa.

 

 

 

 

Tak jak w przykładzie c) wybierzmy argument, który jest największy nie zwracając uwagi na znak. W naszym przypadku mamy tylko argumenty dodatnie.

 

 

 

 

W przeciwieństwie do przykładu c) i d) w tym przykładzie podnosimy x do trzeciej potęgi a więc musimy zwracać uwagę na znak. Największa wartość będzie dla największego argumentu a najmniejsza wartość będzie dla najmniejszego argumentu.

 

 

 

 

Im większą liczbę podstawimy pod x tym większą będziemy mieć wartość funkcji. Wtedy największa wartość będzie dla największego argumentu a najmniejsza wartość będzie dla najmniejszego argumentu.

 

 

Nie używając kalkulatora sprawdź, czy:

 

 

Otrzymaliśmy:

 {premium}

Zatem:

 


 

 

Otrzymaliśmy:

 

Zatem:

 

Część całkowita liczby x to największa liczba...

 

Część ułamkowa dowolnej liczby całkowitej{premium} jest równa zero. Części ułamkowe pozostałych liczb rzeczywistych należą do przedziału (0, 1). Ponadto

  • jeśli ∈ <0, 1), to [x]=0 i f(x)=x,
  • jeśli x ∈ <1, 2), to [x]=1 i f(x)=x-1,
  • jeśli x ∈ <-1, 0), to [x]=-1 i f(x)=x+1.

Ogólnie, jeśli k ∈ Z i x ∈ <k, k+1), to f(x)=x-k.


Narysujmy fragment wykresu funkcji f(x)=x-[x]:


Własności funkcji:

  • D=R
  • ZW=<0, 1)
  • Miejscem zerowym funkcji jest każda liczba ∈ Z.
  • Funkcja jest rosnąca w każdym z przedziałów postaci <k, k+1), gdzie k ∈ Z.
  • Najmniejsza wartość funkcji: 0.
  • Funkcja nie przyjmuje wartości największej.
  • Funkcja przyjmuje wartości dodatnie w każdym z przedziałów postaci (k, k+1), gdzie k ∈ Z.
Sprawdź, czy istnieje kąt ostry ...

Wiemy, że dla każdego kąta ostrego α prawdziwe są nierówności:

 

 

 

 

  

   

{premium}  

Istnieje kąt ostry spełniający taki warunek.

 

 

 

  

 

NIE istnieje kąt ostry spełniający podany warunek.
  

 

 

 

   

Istnieje kąt ostry spełniający dany warunek.

  

 

 

 

 

   

Istnieje kąt ostry spełniający dany warunek.