Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Ciąg arytmetyczny i geometryczny - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Ciąg arytmetyczny i geometryczny

Jak pamiętamy ciąg to dla nas po prostu ciąg liczb, czyli ponumerowane liczby, które znajdują się w jakimś ściśle określonym szyku. Tutaj opiszę dwa konkretne szyki, które mają specjalne własności - ciąg arytmetyczny i ciąg geometryczny.

Czym się wyróżniają spośród tej masy liczb?


Ciąg arytmetyczny to tak uporządkowane liczby, że między dwiema kolejnymi liczbami jest stała różnica.

Czyli ciągiem arytmetycznym będą:
  • $$a_n=1,2,3,4,5 $$
  • $$a_n=-2,-4,-6,-8$$
  • $$a_n=0,2/3, 4/3,2, 8/3$$
ale już nie:

$$a_n=1,3,3,3,5$$ , ponieważ najpierw mamy różnicę 2 ($$3-1=2)$$,a potem 0 $$(3-3=0)$$

w ten sam sposób ciągiem arytmetycznym NIE jest:

$$a_n=0,-2,2,-2,2$$ najpierw różnica jest -2, bo $$(0-2)=-2$$, następnie 4, $$(2-(-2)=4)$$ więc ciąg nie jest już arytmetyczny.

Ok. Wszystko ładnie pięknie, ale jak wiemy nikt nam nie będzie tak pięknie życia ułatwiał i wzory będą podawane na przykład w postaci:

$$a_n=4n+5$$
Oczywiście możemy podstawiać liczby pod n i sprawdzać czy różnica się zmienia: $$a_1=4×1+5=9 $$ $$a_2=4×2+5=13 $$ $$a_3=4×3+5=17$$ I jak widać różnica zawsze będzie o 4, ale pozostaje jedna kwestia, nie zawsze przykłady będą tak proste i nie będziemy mieli pewności, czy przy wyrazie nr 343553 różnica nie zacznie się zmieniać. Trzeba więc to udowodnić.

Przykład:

Sprawdź czy ciąg $$a_n=4n+5$$ jest arytmetyczny.

Musimy pokazać, że dla dowolnych dwóch kolejnych liczb ich różnica jest stała. Jak oznaczyć liczbę dowolną? Twórca zadania zrobił to za nas. Oznaczmy ją jako $$a_n$$, musimy mieć kolejne, zatem druga musi być o 1 większa czyli nasze dwie dowolne kolejne liczby to:
$$a_n$$, $$a_{n+1}$$

Chcemy policzyć różnicę $$a_{n+1}$$ oraz $$a_n$$, więc musimy wypisać odjemną i odjemnik. Dla n oczywiście wszystko jest bez zmian:
$$a_n=4n+5$$
Teraz dla n+1
$$a_{n+1}=4(n+1)+5$$
W tym przypadku zwróćmy uwagę na to, że podstawiamy n+1, więc musi być w nawiasie jeśli chodzi o mnożenie:

$$a_{n+1}=4n+4+5=4n+9$$

Teraz liczymy różnicę czyli musimy odjąć te wyrazy od siebie:

$$r=a_{n+1}-a_n$$

Pamiętamy, że $$a_n$$ jest równe $$4n+5$$ i musimy odjąć je jako całość czyli nie piszemy $$-4n+5$$ tylko $$–(4n+5)$$.

$$r=4n+9-(4n+5)$$

$$r=4n+9-4n-5$$

$$r=4$$

Widzimy, że dla dowolnych dwóch wyrazów różnica wynosi 4 i w ogóle nie zależy od $$n$$.


Różnica nie jest stała jeśli w jakikolwiek sposób zależy od $$n$$. Pokaże to przykład pewnego ciągu geometrycznego, który nie jest arytmetyczny. Czym jest ciąg geometryczny?

Również specjalnym szykiem liczb, między którymi zachodzi stały iloraz między jedną a drugą, czyli mnożymy o stałą liczbę kolejne wyrazy, ciągami geometrycznymi są więc ciągi:
 
  • $$ a_n=1,2,4,8,16$$ mnożymy przez 2
  • $$ a_n=1,-1,1,-1,1$$ mnożymy przez -1
  • $$ a_n={1}/{2}, {1}/{6}, 1/{18}, 1/{54}, 1/{162}$$ mnożymy przez 1/3
Ale z kolei ciągami geometrycznymi już nie są:

$$a_n=1,3,6,7,9$$ (ponieważ $$3:1=3$$, ale już $$6:3=2$$)

ani $$a_n=-2,0,3,5,1$$ (ponieważ $$0:(-2)=0$$, a z kolei $$3:0=...$$, no cóż sami widzicie, przez zero dzielić nie wolno)

Skoro już wiemy, co to jest ciąg geometryczny, możemy wziąć np. ciąg o wyrazie ogólnym
$$a_n=2^n$$
I pokazać, że jest geometryczny, a nie jest arytmetyczny.

Dwa kolejne wyrazy tego ciągu to $$a_n=2^n$$ oraz $$a_{n+1}=2^{n+1}$$. Policzmy ich iloraz:

$${a_{n+1}}/{a_{n}}={2^{n+1}}/{2^{n}}=2$$
A zatem iloraz dwóch kolejnych wyrazów jest stały (wynosi 2, czyli nie zależy od n), więc ciąg jest geometryczny. Policzmy teraz różnicę dwóch kolejnych wyrazów:

$$a_{n+1}-a_{n}=2^{n+1}-2^{n}=2×2^{n}-2^{n}=2^{n}$$
A zatem różnica dwóch kolejnych wyrazów zależy od n, więc ciąg nie jest arytmetyczny.


Inny przykład: Sprawdź czy ciąg $$a_n=-4n^2+3$$ jest geometryczny.

Bierzemy znów dwie kolejne liczby $$a_n$$, $$a_{n+1}$$.

Standardowo podstawiamy. Dla n dostajemy wzór na wyraz ogólny ciągu:

$$a_n=-4n^2+3$$

a dla n+1 dostajemy

$$a_{n+1}=-4(n+1)^2+3$$

$$a_{n+1}=-4(n^2+2n+1)+3$$

$$a_{n+1}=-4n^2-8n-4+3$$

$$a_{n+1}=-4n^2-8n-1$$

Musimy teraz policzyć,

$${a_{n+1} }/{a_n} ={-4n^2-8n-1}/{-4n^2+3}$$

Uwaga! Ta postać jest dość trudna, proszę skupić się na tym poniżej:

Musimy każdy z tych członów rozbić do prostszych postaci i sprawdzić czy się skrócą, pomoże nam tutaj postać iloczynowa funkcji kwadratowej, najpierw mianownik (szukamy miejsc zerowych):

$$-4n^2+3$$

$$-4n^2+3=0$$

$$-4n^2=-3$$ $$|:(-4)$$

$$n^2=3/4$$

$$n={√{3} }/{2}$$ v $$n=-{√3}/{2}$$

Zatem:

$$-4n^2+3=-4(n-{√3}/{2})(n+{√3}/{2})$$

Teraz licznik:

$$-4n^2-8n-1$$

Tutaj standardowo zabawimy się z deltą:

$$a=-4$$

$$b=-8$$

$$c=-1$$

Obliczmy deltę:

$$∆=b^2-4ac$$

$$∆=(-8)^2-4×(-4)×(-1)$$

$$∆=64+16$$

$$∆=80$$

Obliczmy od razu pierwiastek z delty:

$$√{∆}=√{80}=√{16×5}=4√{5}$$



No i teraz nasze rozwiązania:

$$n_1={-b+√{∆} }/{2a}$$

$$n_1={-8+4√5}/{-8}={2+√5}/2$$

$$n_2={-b-√{∆} }/{2a}$$

$$n_2={-8-4√5}/{-8}={2-√5}/2$$ Zatem:

$$-4n^2-8n-1=-4(n-{2-√5}/2)(n-{2+√5}/2)$$



Podstawmy nasze ciężkie równania do ułamka:

$${a_{n+1} }/{a_n} ={-4n^2-8n-1}/{-4n^2+3}$$
$${a_{n+1} }/{a_n} ={-4(n-{2-√5}/2)(n-{2+√5}/{2} ) }/{-4(n-{√3}/{2} )(n+{√3}/{2})} $$

Jak widać nic nam się tu nie skraca, a skoro w ilorazie jest nadal liczba n to znaczy, że nie jest on geometryczny, bo iloraz nie jest stały (zależy od n).

 

Uwaga!

- Jeśli z różnych przyczyn n, n+1 będą dość trudne do podstawienia możemy wybrać dwa dowolne inne wyrazy do podstawienia, nawet $$2n+1,2n+2$$, ważne żeby były kolejne.
- Jeśli mamy do obliczenia ciąg geometryczny, w którym są wzory skróconego mnożenia, warto ich nie rozbijać przedwcześnie.
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Sprawdź czy ciąg $$a_n=-1/3 n+6$$ jest arytmetyczny

Bierzemy dwie dowolne kolejne liczby. Weźmy n i n+1 i zróbmy podmianę.

Dla n tak samo:

$$a_n=-1/3 n+6$$

dla $$n+1$$:

$$a_n+1=-1/3 (n+1)+6=-1/3 n-1/3+6=-1/3 n+5 2/3$$

Następnie odejmujemy je od siebie.

$$a_{n+1}-a_n=-1/3 n+5 2/3-(-1/3 n+6)$$

$$a_{n+1}-a_n=-1/3 n+5 2/3+1/3 n-6=-1/3$$

Jak widać ciąg jest arytmetyczny.

Zadanie 2.

Sprawdź czy ciąg $$a_n=n^2$$ jest geometryczny.

Zróbmy podmianę dla dwóch kolejnych liczb n, n+1

Dla n tak samo:

$$a_n=n^2$$

a dla $$n+1$$:

$$a_{n+1}={(n+1)}^2$$

$$a_{n+1}={(n+1)}^2$$

Pozostaje nam sprawdzić iloraz

$${a_{n+1}}/{a_n} ={(n+1)^2}/{n^2} $$

Jak widać nic się tu nie skróci zatem ciąg nie jest geometryczny, bo iloraz dwóch kolejnych wyrazów jest zależny od n.

Zadanie 3.

Znajdź błąd w rozumowaniu:

$$10-10=4-4$$

$$5(2-2)=(2+2)(2-2)$$ $$|∶(2-2)$$

$$5=2+2$$

$$10-10=4-4$$

$$5(2-2)=(2+2)(2-2)$$ $$|:(2-2)$$

(2-2)=0, a przez 0 dzielić nie można!!

Spis treści

Rozwiązane zadania
Liczby 800 i 284 podzielono przez

Jeśli liczba 800 przy dzieleniu przez n daje resztę 8, to liczba 800-8=792 jest podzielna przez n. 

Jeśli liczba 284 przy dzieleniu przez n daje resztę 9, to liczba 284-9=275 jest podzielna przez n. 

Oczywiście liczba, przez którą dzielimy musi być większa od uzyskanej reszty, więc n jest większe od 8 i 9, czyli jest większe od 9. Rozłóżmy liczby 792 i 275 na czynniki pierwsze. 

Zauważmy, że jedynym wspólnym dzielnikiem tych liczb jest 11, więc n=11. 

 

Dane są proste...

Wybierzmy punkt należący do wykresu prostej l1:

`"Dla" \ x = 1` 

`l_1: y = 2` 

 

`A=(1, 2)` 

 

Wyznaczmy prostą prostopadłą do prostej l1 przechodzącą przez punkt A, oznaczmy ją prostą p:

`p:y =-1/2x+b` 

Podstawmy współrzędne punktu A:

`2 = -1/2 + b` 

`b = 5/2` 

 

`p: \ y = -1/2x + 5/2` 

 

Znajdźmy punkt przecięcia się tej prostej z prostą l2:

 

`{(y=-1/2x+5/2),(y=2x+4):}` 

`-1/2x+5/2 = 2x + 4` 

`5/2x = -3/2` 

`x = -3/5` 

stąd

`y = 2*(-3/5) + 4` 

`y = -6/5 + 4` 

`y = 14/5` 

 

`B= (-3/5 , 14/5)` 

 

Niech punkt S będzie miał współrzędne:

`S = (x, y)` 

 

 

`a) \ stackrel(->)(BS) = k *stackrel(->)(AS)` 

`[x +3/5 , y - 14/5] = 2*[x - 1, y-2]` 

`[x + 3/5 , y - 14/5] = [2x-2 , 2y -4]` 

`{(x+3/5 = 2x - 2),(y-14/5 = 2y - 4):}` 

`{(-x = -13/5),(-y = -6/5):}` 

`{(x=13/5),(y=6/5):}` 

 

Wyznaczmy równanie prostej prostopadłej do prostej p , przechodzącej przez punkt `(13/5 , 6/5)` 

Do tej prostej będą należeć wszystkie możliwe środki jednokładności. Współczynnik kierunkowy będzie wynosił 2, gdyż prosta prostopadła do prostej p jest równoległa do prostych l1, l2.

 

`g(x) = 2x+d` 

`g(13/5) = 6/5` 

`13/5*2 + d = 6/5` 

`26/5 + d = 6/5` 

`d = -20/5` 

`d = -4` 

Zatem zbiorem wszystkich rozwiązań jest prosta o równaniu:

`y = 2x-4` 

 

 

 

b) Narysujmy obie proste wraz z zaznaczonym punktem A:

Jeżeli k = 1 , to punkt A byłby środkiem jednokładności a prosta l1 byłaby zbiorem wszystkich środków jednokładności dla, których prosta l2 byłaby obrazem prostej l1.

 

Z podpunktu a) wiemy, że prosta zawierająca wszystkie środki jednokładności dla których prosta l2 jest obrazem prostej l1 jest do nich równoległa. A więc będzie dana równaniem:

`l_0 : \ y = 2x + q`

 

Zatem:

`"Dla" \ q < 0 \ , \ k > 1` 

bo odległość pomiędzy prostymi l0 i l2 będzie większa niż odległość pomiędzy prostymi l0 i l1.

 

Czyli zbiór wszystkich prostych leżących pod prostą l1 są rozwiązaniem. Półpłaszczyzna będąca rozwiązaniem to zbiór:

`B = {(x,y) in R^2: y< 2x}` 

 

c) Zauważmy, że jeżeli prosta l0 będzie leżeć pomiędzy prostymi l1 i l2 to skala jednokładności będzie ujemna. Zatem szukany podzbiór płaszczyzny dla którego skala będzie z przedziału:

`k in (0,1)` 

to zbiór wszystkich prostych, leżących ponad prostą l2. Półpłaszczyzna będąca rozwiązaniem to zbiór:

`C = {(x,y) in R^2 : y > 2x+4}` 

 

 

Dany jest prostokąt ABCD o bokach długości...

Jednokładność o skali -2 i środku E(Punkt przecięcia przekątnych) będzie powiększąć długość każdego odcinka dwukrotnie. Punkty będą leżeć na jednej prostej ale po przeciwnych środkach środka jednokładności.

 

`|C'D'| = 2*|AB| = 2*4 = 8` 

`|A'D'| = 2*|BC| = 2 * 3 = 6` 

Wypisz wszystkie elementy

`A={n in NN:\ #(pi-2)^(^(~~3,14-2=1,14))<n<#(pi+4)^(^(~~3,14+4=7,14))}={2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7}` 

 

`B={n in NN:\ 6/(n+1)inNN}={0,\ 1,\ 2,\ 5}` 

Powyższe rozwiązanie wynika z tego, że jeśli wyrażenie `6/(n+1)` ma być liczbą naturalną, to wartość wyrażenia (n+1) musi być dzielnikiem liczby 6. Mamy więc następujące możliwości:

  • n+1=1, czyli n=0
  • n+1=2, czyli n=1
  • n+1=3, czyli n=2
  • n+1=6, czyli n=5

 

`C={ninNN:\ n<10\ "i"\ 2strike|n}={1,\ 3,\ 5,\ 7,\ 9}` 

Zbiór C to zbiór liczb naturalnych mniejszych od 10, które nie dzielą się przez 2.

 

Umieścimy zbiory na diagramie.

Zaczniemy od wpisania elementów, które należą jednocześnie do wszystkich trzech zbiorów.

Jedynym takim elementem jest 5.

Teraz uzupełniamy diagram o elementy, które należą jednocześnie do dokładnie dwóch zbiorów. 

Uzupełniamy pozostałe elementy, które należą do dokładnie jednego zbioru:

 

Korzystając z diagramu, odczytujemy kolejne zbiory:

`a)\ Auu(BnnC)={1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7}` 

Powyższy zbiór to zbiór elementów, które należą do zbioru A lub należą jednocześnie do zbiorów B i C.

 

Poniżej znajduje się ilustracja graficzna (mamy sumę, więc bierzemy wszystkie zamalowane elementy).

 

 

`b)\ (AuuB)nn(AuuC)={1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7}`    

Powyższy zbiór to zbiór elementów, które należą jednocześnie do jednego ze zbiorów A lub B oraz do jednego ze zbiorów A lub C. 

Poniżej znajduje się ilustracja graficzna (mamy iloczyn, więc bierzemy część wspólną zamalowanego obszaru). 

 

`c)\ C\\(AuuB)={9}`  

Bierzemy elementy, które należą do zbioru C, ale nie należą do zbioru A ani do zbioru B. 

 

 

`d)\ (AuuB)\\C={0,\ 2,\ 4,\ 6}` 

Bierzemy elementy, które należą do zbioru A lub do zbioru B, ale nie należą do zbioru C. 

 

 

`e)\ (A\\B)\\C={4,\ 6}` 

Bierzemy elementy, które należą do zbioru A i nie należą do zbioru C, a następnie odrzucamy z nich elementy, które należą do zbioru C. 

 

 

`f)\ A\\(B\\C)=A\\{0,\ 2}={3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7}`  

Elementy, które należą do zbioru B i nie należą do zbioru C, to 0, 2. Wyrzucamy te elementy ze zbioru A. 

Plac zabaw ma kształt prostokąta o wymiarach 12 m x 18 m ...

`P_1=12*18`

`P_2=(12+x)*(18+2x)=`

`\ \ \ \ =12(18+2x)+x(18+2x)=`

`\ \ \ \ =12*18+24x+18x+2x^2=`

`\ \ \ \ =2x^2+42x+12*18`

 

`144=P_2-P_1`

`144=2x^2+42x+12*18-12*18`

`144=2x^2+42x\ \ \ |-144`

`2x^2+42x-144=0\ \ \ |:2`

`x^2+21x-72=0`

`Delta=21^2-4*1*(-72)=`

`\ \ \ =441+288=729`

`sqrtDelta=sqrt729=27`

`x_1=(-21-27)/2<0`

`x_2=(-21+27)/2=6/2=3`

 

`ul(ul(x=3\ m))`

Ustal, który spośród punktów...

Będziemy podstawiać kolejno współrzędne punktów A, B i C by sprawdzić czy spełniają nierówność.

 

a) Punkt A:

`(-2)^2 +(1-3)^2 leq 9`   

`4 + (-2)^2 leq 9` 

`4 + 4 leq 9` 

`8 leq 9` 

Należy.

 

Punkt B:

`(-1)^2+(-3-3)^2 leq 9` 

`1 + (-6)^2 leq 9` 

`1 + 36 leq 9` 

Nie należy.

 

Punkt C:

`4^2 +(2-3)^2 leq 9`   

`16 + (-1)^2 leq 9` 

Nie należy.

 

b) Punkt A:

`(-2-4)^2 +(1+2)^2 leq 16`  

`(-6)^2 + 3^2 leq 16` 

`36 + 9 leq 16` 

Nie należy.

 

Punkt B:

`(-1-4)^2 + (-3+2)^2 leq 16` 

`(-5)^2 + (-1)^2 leq 16` 

`25 + 1 leq 16` 

Nie należy.

 

Punkt C:

`(4-4)^2 +(2+2)^2 leq 16` 

`16 leq 16` 

Należy.

 

c) Punkt A:

`(-2-2)^2 +(1+5)^2 leq 16` 

`(-4)^2 +6^2 leq 16` 

`16 + 36 leq 16` 

Nie należy.

 

Punkt B:

`(-1-2)^2 +(-3+5)^2 leq 16` 

`(-3)^2 + 2^2 leq 16` 

`9 + 4 leq 16` 

Należy.

 

d) Punkt A:

`(-2-12)^2 + (1-8)^2 leq 100` 

`(-14)^2 + (-7)^2 leq 100` 

`196 + 49 leq 100` 

Nie należy.

 

Punkt B:

`(-1-12)^2 + (-3-8)^2 leq 100` 

`(-13)^2 + (-11)^2 leq 100` 

`169 + 121 leq 100` 

Nie należy.

 

Punkt C:

`(4-12)^2 +(2-8)^2 leq 100` 

`(-8)^2 + (-6)^2 leq 100` 

`64 + 36 leq 100` 

Należy.

Na obozie przebywa 80 harcerzy. Mają oni do dyspozycji

`a) \ \ \ 64=2*2*2*2*2*2=2^6`

`b) \ \ \ 66=2*3*11`

`c) \ \ \ 81=3*3*3*3=3^4`

`d) \ \ \ 105=3*5*7`

`e) \ \ \144=2*2*2*2*3*3= 2^4*3^2`

`f) \ \ \ 172=2*2*43=2^2*43`

`g) \ \ \390=2*3*5813`

`h) \ \ \ 1155=3*5*7*11`

`i) \ \ \ 1254=2*3*11*19`

Ile razy funkcja przedstawiona...

Jeżeli poprowadzimy sobie prostą o równaniu y = 3 zauważymy, że wykres funkcji zostanie przecięty trzykrotnie.

 

Odpowiedź B

Wyznacz najmniejsza oraz największą...

`a) \ x^2 >= 0` 

A więc skoro:

`3 > x >= 0 > -2` 

to

`3^2 > x^2 >= 0` 

`9 > x^2 >= 0` 

 

Wartość najmniejsza to:

`y_("min") = f(0) = 0` 

 

Wartość największa nie istnieje:

 

 

`b) \ 8 geq x geq 2` 

`sqrt8 geq sqrtx geq sqrt2` 

`2sqrt2 geq sqrtx geq sqrt2` 

 

Wartość najmniejsza to:

`y_("min") = f(2) = sqrt2` 

 

Wartość największa to:

`y_("max") = f(8) = sqrt8 = 2sqrt2` 

 

 

`c) \ 1 geq x` 

`1/x geq 1` 

Wstawiając coraz większe argumenty będziemy zwiększać mianownik a więc wartość całej liczby będzie się zmniejszać.

`0 < 1/x geq 1` 

 

Wartość najmniejsza nie istnieje.

 

Wartość największa to:

`y_("max") = f(1) = 1/1 = 1` 

 

 

`d) \ [x] = k \ \ \ "dla" \ x in [k, k+1), \ \ k in C`

 

`-1 

`-1 geq [x] geq 2` 

 

Wartość najmniejsza to:

`y_("min") = -1 \ \ \ "dla" \ x in (-1, 0)`  

 

Wartość największa to:

`y_("max") = 2 \ \ \ "dla" \ x in [2,3)`  

Sporządź wykresy funkcji...

Wyrażenie logarytm o podstawie a i liczbie b:

`log_a b`  

ma sens liczbowy wtedy i tylko wtedy gdy:

`a > 0 ^^ a ne 1` 

`b > 0` 

 

dodatkowo dla a i b spełniających powyższe orzystając z własności:

`a^(log_a b) = b` 

Wiemy, że funkcja f ma postać:

`f(x) = 2^(log_2 x) = x` 

Oczywiście przy założeniu, że wyrażenie logarytm ma sens a więc jej dziedziną są wszystkie argumenty, które spełniają założenie:

`x > 0`  

A więc:

`D_f = (0,oo)` 

Wykres:

 

 

Dziedziną funkcji g jest cały zbiór liczb rzeczywistych.

 

Wiadomo, że funkcje są równe wtedy kiedy ich dziedziny i zbiory wartości są równe. Nasze funkcje różnią się więc dziedziną.