Ciąg arytmetyczny i geometryczny - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Ciąg arytmetyczny i geometryczny

Jak pamiętamy ciąg to dla nas po prostu ciąg liczb, czyli ponumerowane liczby, które znajdują się w jakimś ściśle określonym szyku. Tutaj opiszę dwa konkretne szyki, które mają specjalne własności - ciąg arytmetyczny i ciąg geometryczny.

Czym się wyróżniają spośród tej masy liczb?


Ciąg arytmetyczny to tak uporządkowane liczby, że między dwiema kolejnymi liczbami jest stała różnica.

Czyli ciągiem arytmetycznym będą:
  • $$a_n=1,2,3,4,5 $$
  • $$a_n=-2,-4,-6,-8$$
  • $$a_n=0,2/3, 4/3,2, 8/3$$
ale już nie:

$$a_n=1,3,3,3,5$$ , ponieważ najpierw mamy różnicę 2 ($$3-1=2)$$,a potem 0 $$(3-3=0)$$

w ten sam sposób ciągiem arytmetycznym NIE jest:

$$a_n=0,-2,2,-2,2$$ najpierw różnica jest -2, bo $$(0-2)=-2$$, następnie 4, $$(2-(-2)=4)$$ więc ciąg nie jest już arytmetyczny.

Ok. Wszystko ładnie pięknie, ale jak wiemy nikt nam nie będzie tak pięknie życia ułatwiał i wzory będą podawane na przykład w postaci:

$$a_n=4n+5$$
Oczywiście możemy podstawiać liczby pod n i sprawdzać czy różnica się zmienia: $$a_1=4×1+5=9 $$ $$a_2=4×2+5=13 $$ $$a_3=4×3+5=17$$ I jak widać różnica zawsze będzie o 4, ale pozostaje jedna kwestia, nie zawsze przykłady będą tak proste i nie będziemy mieli pewności, czy przy wyrazie nr 343553 różnica nie zacznie się zmieniać. Trzeba więc to udowodnić.

Przykład:

Sprawdź czy ciąg $$a_n=4n+5$$ jest arytmetyczny.

Musimy pokazać, że dla dowolnych dwóch kolejnych liczb ich różnica jest stała. Jak oznaczyć liczbę dowolną? Twórca zadania zrobił to za nas. Oznaczmy ją jako $$a_n$$, musimy mieć kolejne, zatem druga musi być o 1 większa czyli nasze dwie dowolne kolejne liczby to:
$$a_n$$, $$a_{n+1}$$

Chcemy policzyć różnicę $$a_{n+1}$$ oraz $$a_n$$, więc musimy wypisać odjemną i odjemnik. Dla n oczywiście wszystko jest bez zmian:
$$a_n=4n+5$$
Teraz dla n+1
$$a_{n+1}=4(n+1)+5$$
W tym przypadku zwróćmy uwagę na to, że podstawiamy n+1, więc musi być w nawiasie jeśli chodzi o mnożenie:

$$a_{n+1}=4n+4+5=4n+9$$

Teraz liczymy różnicę czyli musimy odjąć te wyrazy od siebie:

$$r=a_{n+1}-a_n$$

Pamiętamy, że $$a_n$$ jest równe $$4n+5$$ i musimy odjąć je jako całość czyli nie piszemy $$-4n+5$$ tylko $$–(4n+5)$$.

$$r=4n+9-(4n+5)$$

$$r=4n+9-4n-5$$

$$r=4$$

Widzimy, że dla dowolnych dwóch wyrazów różnica wynosi 4 i w ogóle nie zależy od $$n$$.


Różnica nie jest stała jeśli w jakikolwiek sposób zależy od $$n$$. Pokaże to przykład pewnego ciągu geometrycznego, który nie jest arytmetyczny. Czym jest ciąg geometryczny?

Również specjalnym szykiem liczb, między którymi zachodzi stały iloraz między jedną a drugą, czyli mnożymy o stałą liczbę kolejne wyrazy, ciągami geometrycznymi są więc ciągi:
 
  • $$ a_n=1,2,4,8,16$$ mnożymy przez 2
  • $$ a_n=1,-1,1,-1,1$$ mnożymy przez -1
  • $$ a_n={1}/{2}, {1}/{6}, 1/{18}, 1/{54}, 1/{162}$$ mnożymy przez 1/3
Ale z kolei ciągami geometrycznymi już nie są:

$$a_n=1,3,6,7,9$$ (ponieważ $$3:1=3$$, ale już $$6:3=2$$)

ani $$a_n=-2,0,3,5,1$$ (ponieważ $$0:(-2)=0$$, a z kolei $$3:0=...$$, no cóż sami widzicie, przez zero dzielić nie wolno)

Skoro już wiemy, co to jest ciąg geometryczny, możemy wziąć np. ciąg o wyrazie ogólnym
$$a_n=2^n$$
I pokazać, że jest geometryczny, a nie jest arytmetyczny.

Dwa kolejne wyrazy tego ciągu to $$a_n=2^n$$ oraz $$a_{n+1}=2^{n+1}$$. Policzmy ich iloraz:

$${a_{n+1}}/{a_{n}}={2^{n+1}}/{2^{n}}=2$$
A zatem iloraz dwóch kolejnych wyrazów jest stały (wynosi 2, czyli nie zależy od n), więc ciąg jest geometryczny. Policzmy teraz różnicę dwóch kolejnych wyrazów:

$$a_{n+1}-a_{n}=2^{n+1}-2^{n}=2×2^{n}-2^{n}=2^{n}$$
A zatem różnica dwóch kolejnych wyrazów zależy od n, więc ciąg nie jest arytmetyczny.


Inny przykład: Sprawdź czy ciąg $$a_n=-4n^2+3$$ jest geometryczny.

Bierzemy znów dwie kolejne liczby $$a_n$$, $$a_{n+1}$$.

Standardowo podstawiamy. Dla n dostajemy wzór na wyraz ogólny ciągu:

$$a_n=-4n^2+3$$

a dla n+1 dostajemy

$$a_{n+1}=-4(n+1)^2+3$$

$$a_{n+1}=-4(n^2+2n+1)+3$$

$$a_{n+1}=-4n^2-8n-4+3$$

$$a_{n+1}=-4n^2-8n-1$$

Musimy teraz policzyć,

$${a_{n+1} }/{a_n} ={-4n^2-8n-1}/{-4n^2+3}$$

Uwaga! Ta postać jest dość trudna, proszę skupić się na tym poniżej:

Musimy każdy z tych członów rozbić do prostszych postaci i sprawdzić czy się skrócą, pomoże nam tutaj postać iloczynowa funkcji kwadratowej, najpierw mianownik (szukamy miejsc zerowych):

$$-4n^2+3$$

$$-4n^2+3=0$$

$$-4n^2=-3$$ $$|:(-4)$$

$$n^2=3/4$$

$$n={√{3} }/{2}$$ v $$n=-{√3}/{2}$$

Zatem:

$$-4n^2+3=-4(n-{√3}/{2})(n+{√3}/{2})$$

Teraz licznik:

$$-4n^2-8n-1$$

Tutaj standardowo zabawimy się z deltą:

$$a=-4$$

$$b=-8$$

$$c=-1$$

Obliczmy deltę:

$$∆=b^2-4ac$$

$$∆=(-8)^2-4×(-4)×(-1)$$

$$∆=64+16$$

$$∆=80$$

Obliczmy od razu pierwiastek z delty:

$$√{∆}=√{80}=√{16×5}=4√{5}$$



No i teraz nasze rozwiązania:

$$n_1={-b+√{∆} }/{2a}$$

$$n_1={-8+4√5}/{-8}={2+√5}/2$$

$$n_2={-b-√{∆} }/{2a}$$

$$n_2={-8-4√5}/{-8}={2-√5}/2$$ Zatem:

$$-4n^2-8n-1=-4(n-{2-√5}/2)(n-{2+√5}/2)$$



Podstawmy nasze ciężkie równania do ułamka:

$${a_{n+1} }/{a_n} ={-4n^2-8n-1}/{-4n^2+3}$$
$${a_{n+1} }/{a_n} ={-4(n-{2-√5}/2)(n-{2+√5}/{2} ) }/{-4(n-{√3}/{2} )(n+{√3}/{2})} $$

Jak widać nic nam się tu nie skraca, a skoro w ilorazie jest nadal liczba n to znaczy, że nie jest on geometryczny, bo iloraz nie jest stały (zależy od n).

 

Uwaga!

- Jeśli z różnych przyczyn n, n+1 będą dość trudne do podstawienia możemy wybrać dwa dowolne inne wyrazy do podstawienia, nawet $$2n+1,2n+2$$, ważne żeby były kolejne.
- Jeśli mamy do obliczenia ciąg geometryczny, w którym są wzory skróconego mnożenia, warto ich nie rozbijać przedwcześnie.
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Sprawdź czy ciąg $$a_n=-1/3 n+6$$ jest arytmetyczny

Bierzemy dwie dowolne kolejne liczby. Weźmy n i n+1 i zróbmy podmianę.

Dla n tak samo:

$$a_n=-1/3 n+6$$

dla $$n+1$$:

$$a_n+1=-1/3 (n+1)+6=-1/3 n-1/3+6=-1/3 n+5 2/3$$

Następnie odejmujemy je od siebie.

$$a_{n+1}-a_n=-1/3 n+5 2/3-(-1/3 n+6)$$

$$a_{n+1}-a_n=-1/3 n+5 2/3+1/3 n-6=-1/3$$

Jak widać ciąg jest arytmetyczny.

Zadanie 2.

Sprawdź czy ciąg $$a_n=n^2$$ jest geometryczny.

Zróbmy podmianę dla dwóch kolejnych liczb n, n+1

Dla n tak samo:

$$a_n=n^2$$

a dla $$n+1$$:

$$a_{n+1}={(n+1)}^2$$

$$a_{n+1}={(n+1)}^2$$

Pozostaje nam sprawdzić iloraz

$${a_{n+1}}/{a_n} ={(n+1)^2}/{n^2} $$

Jak widać nic się tu nie skróci zatem ciąg nie jest geometryczny, bo iloraz dwóch kolejnych wyrazów jest zależny od n.

Zadanie 3.

Znajdź błąd w rozumowaniu:

$$10-10=4-4$$

$$5(2-2)=(2+2)(2-2)$$ $$|∶(2-2)$$

$$5=2+2$$

$$10-10=4-4$$

$$5(2-2)=(2+2)(2-2)$$ $$|:(2-2)$$

(2-2)=0, a przez 0 dzielić nie można!!

Spis treści

Rozwiązane zadania
W pierwszym dniu dystrybucji

`"liczba wszystkich biletów:"\ \ \ x` 

`"liczba biletów sprzedanych pierwszego dnia:"\ \ \ 25%*x=25/100x=1/4x` 

`"liczba pozostałych biletów:"\ \ \ x-1/4x=3/4x` 

`"liczba biletów sprzedanych drugiego dnia:"\ \ \ 20%*3/4x=20/100*3/4x=1/5*3/4x=3/20x` 

`"liczba pozostałych biletów:"\ \ \ 3/4x-3/20x=15/20x-3/20x=12/20x=6/10x` 

 

Obliczamy, jaki procent początkowej liczby biletów stanowi liczba biletów, które pozostały do sprzedania:

`(6/10x)/x=6/10=60/100=60%` 

 

Przedstaw liczbę a^60

Potęga o wykładniku ujemnym sprawia, że bierzemy przeciwną potęgę odwrotności danej liczby (tzn. a-k=(1/a)k), więc jeśli mamy potęgę o wykładniku ujemnym, to nie tylko mianownik, ale też licznik musi być niezerowy (bo po odwróceniu licznik staje się mianownikiem). 

W przykładach a, b, d, e należy założyć, że a jest różne od zera, w przykładzie c liczba a jest dowolna. 

 

 

`a)\ a^60=a^(-10*(-6))=(a^-10)^-6\ \ \ \ \ (ane0)`  

`b)\ a^60=a^(-5*(-12))=(a^-5)^-12\ \ \ \ \ (ane0)` 

`c)\ a^60=a^(4*15)=(a^4)^15\ \ \ \ \ (a\ -\ "dowolne")` 

`d)\ a^60=a^(-30*(-2))=(a^-30)^-2\ \ \ \ \ (ane0)`  

`e)\ a^60=a^(-1*(-60))=(a^-1)^-60\ \ \ \ \ (ane0)` 

 

 

Wyznacz miary kątów x i y.

`y=180^o-32^o=148^o`

 

Obliczamy miarę trzeciego kąta trójkąta: 

`180^o-(103^o +32^o)=180^o-135^o=45^o`

 

`x=180^o-45^o=135^o`

Zbadaj, czy funkcja ma miejsca...

`a) \ f(x) = 3x^2 - 3x + 3` 

`Delta = (-3)^2 -4*3*3 = 9 -36 < 0` 

Wyróżnik funkcji jest mniejszy od 0 a więc funkcja nie ma miejsc zerowych

 

`b) \ f(x) = 0,4x^2 - x + 0,1 = 2/5 x^2 - x + 1/10` 

`Delta = (-1)^2 - 4 * 2/5 * 1/10 = 1 - 8/50 > 0` 

Wyróżnik funkcji jest większy od 0 a więc funkcja ma dwa miejsca zerowe

 

`c) \ f(x) = sqrt3 x^2 + 6 x - sqrt3` 

`Delta = 6^2 - 4 * sqrt3*(-sqrt3) = 36 + 4*3 > 0` 

Wyróżnik funkcji jest większy od 0 a więc funkcja ma dwa miejsca zerowe

 

`d) \ f(x) = 2x^2 - 4x + 2 = 2(x^2 -2x+1) = 2(x-1)^2` 

Funkcja ma jedno miejsce zerowe, jest to postać iloczynowa gdy wyróżnik jest równy 0.

Która z liczb nie jest zaokrągleniem

Należy zaznaczyć odpowiedź B, ponieważ prawidłowe zaokrąglenie tej liczby do części dziesiątych jest równe 56,4.  

Sprawdź, czy podane równania...

Dziedziną wszystkich równań jest zbiór liczb rzeczywistych.

 

`a) \ x^2 = 4` 

`x^2 - 4=0` 

`(x-2)(x+2)=0` 

`x_1 = 2 \ \ vv \ \ x_2 = -2` 

Równania nie są równoważne gdyż -2 nie jest rozwiązaniem drugiego równania

 

 

`b) \ 2(x+7) = x` 

`2x + 14 = x` 

`-x = 14` 

`x = -14` 

 

`-x+6=20` 

`-x = 14` 

`x = -14` 

 

Równania są równoważne gdyż liczba -14 jest rozwiązaniem obu z nich.

 

`c) \ 3x^2 = 3x \ \ \ |:3`

`x^2 = x` 

`x^2 - x =0` 

`x(x-1)=0` 

`x_1 = 0 \ \ vv \ \ x_2 = 1` 

 

Równania nie są równoważne gdyż liczba 1 nie jest rozwiązaniem drugiego równania.

 

`d) \ x*(x+8)=0` 

`x_1 = 0 \ \ vv \ \ x_2 = -8` 

 

Równania nie są równoważne gdyż liczba 0 nie jest rozwiązaniem drugiego równania.

Na rysunku obok przedstawiono łamaną

`a)`

Wyznaczmy współrzędne dwóch punktów należących do tej prostej i poprowadźmy wykres:

`x=2\ \ \ ->\ \ \ y=1/2*2=1\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (2;\ 1)`

`x=4\ \ \ ->\ \ \ y=1/2*4=2\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (4;\ 2)`

Wykres ma 4 punkty wspólne z łamaną - zanzaczono je zielonymi punktami. 

 

 

 

`b)`

Wyznaczmy współrzędne dwóch punktów należących do tej prostej i poprowadźmy wykres:

`x=3\ \ \ ->\ \ \ y=1/3*3=1\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (3;\ 1)`

`x=6\ \ \ ->\ \ \ y=1/3*6=2\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (6;\ 2)`

Wykres ma 7 punktów wspólnych z łamaną - zanzaczono je zielonymi punktami. 

 

 

 

`c)`

Wyznaczmy współrzędne dwóch punktów należących do tej prostej i poprowadźmy wykres:

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=4/5*0=0\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (0;\ 0)`

`x=5\ \ \ ->\ \ \ y=4/5*5=4\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (5;\ 4)`

Wykres ma 3 punkty wspólne z łamaną - zanzaczono je zielonymi punktami. 

 

 

Teraz chcemy wyznaczyć wartość parametru a, dla którego prosta ma z łamaną 9 puktów wspólnych. Zauważmy, że jeśli prosta będzie przechodzić przez którykolwiek z wyższych wierzchołków, to ilość punktów wspólnych będzie różna od 9:

W pierwszym przypadku mielibyśmy nieskończenie wiele punktów wspólnych, w drugim - trzy punkty wspólne, a w trzecim - 5 punktów wspólnych. 

 

Sprawdźmy teraz sytuacje, gdy prosta przechodzi przez którykolwiek z niższych wierzchołków:

W pierwszym przypadku mamy 7 punktów wspólnych z łamaną, a w drugim - 9 punktów wspólnych. 

Rozwiązaniem jest więc prosta y=ax przechodząca przez punkt (7; 1). Podstawmy współrzędne punktu do równania prostej i wyznaczmy wartość współczynnika a:

`1=a*7\ \ \ |:7`

`ul(ul(a=1/7))`

 

Wyznacz wszystkie pary takich liczb całkowitych

a)

`log_2 a + log_2 b=2`

Z definicji logarytmu wynikają następujące założenia dotyczące powyższych logarytmów: a>0 i b>0

`log_2 ab= log_2 2^2`

`log_2 ab= log_2 4`

Pomijamy logarytm, pamietając o założeniach wynikajacych z definicji logarytmu: b>0 i a>0 ( pamiętamy też z treści zadania, że mają to być liczby całkowite)

`ab=4 `

`a=2 \ \ i \ \ b=2 `

lub

`a=1 \ \ i \ \ b=4`

lub

`a=4 \ \ i \ \ b= 1`

b)

Z definicji logarytmu wynikają następujące założenia dotyczące powyższych logarytmów: a>0 i b2>0

`log_3 a+log_3b^2= 1`

`log_3 ab^2=log_3 3 `

Pomijamy logarytm, pamietając o założeniach wynikajacych z definicji logarytmu: b2>0 i a>0 ( pamiętamy też z  treści zadania, że mają to być liczby całkowite)

`ab^2=3 `

Powyższe równanie spełniają pary liczb:

`a=3 \ \ i \ \ b= 1`

lub

`a=3 \ \ i \ \ b=(-1)`

c)

Z definicji logarytmu wynikają następujące założenia dotyczące powyższych logarytmów: a>0 i b>0

`2log_5a^2+log_5 b=2`

`log_5 ^2+log_5 b= log_5 5^2`

`log_5 (a^2*b)= log_5 25`

Pomijamy logarytm, pamietając o założeniach wynikajacych z definicji logarytmu: b>0 i a>0 ( pamiętamy też z treści zadania, że mają to być liczby całkowite)

`a^2b=25`

Powyższe równanie spełniają pary liczb:

`a=5 \ \ i \ \ b= 1`

lub

`a=1 \ \ i \ \ \ b=25`

Zbiory A, B i C są ...

`"a)"\ AcapB={3,\ 4,\ 14,\ 21}`

`"b)"\ BcapC={4,\ 13,\ 21,\ 22}` 

`"c)"\ AcapBcapC={4,\ 21}` 

`"d)"\ AcupB={1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 11,\ 12,\ 13,\ 14,\ 21,\ 22,\ 23}` 

`"e)"\ A\\B={1,\ 2,\ 5,\ 23}` 

`"f)"\ B\\(AcupC)={11,\ 12}`  

Naszkicuj wykres funkcji f(x)=x^2

`a)`

Wystarczy przesunąć wykres funkcji f o 1 jednostkę w prawo. 

`g(x)=0\ \ \ dla\ \ \ x=1`

 

 

`b)`

Wystarczy przesunąć wykres funkcji f o 1 jednostkę w lewo. 

 

`g(x)=0\ \ \ dla\ \ \ x=-1`

 

 

`c)`

Wystarczy przesunąć wykres funkcji f o 2 jednostki w lewo. 

 

`g(x)=0\ \ \ dla\ \ \ x=-2`