Ciąg arytmetyczny i geometryczny - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Ciąg arytmetyczny i geometryczny

Jak pamiętamy ciąg to dla nas po prostu ciąg liczb, czyli ponumerowane liczby, które znajdują się w jakimś ściśle określonym szyku. Tutaj opiszę dwa konkretne szyki, które mają specjalne własności - ciąg arytmetyczny i ciąg geometryczny.

Czym się wyróżniają spośród tej masy liczb?


Ciąg arytmetyczny to tak uporządkowane liczby, że między dwiema kolejnymi liczbami jest stała różnica.

Czyli ciągiem arytmetycznym będą:
  • $$a_n=1,2,3,4,5 $$
  • $$a_n=-2,-4,-6,-8$$
  • $$a_n=0,2/3, 4/3,2, 8/3$$
ale już nie:

$$a_n=1,3,3,3,5$$ , ponieważ najpierw mamy różnicę 2 ($$3-1=2)$$,a potem 0 $$(3-3=0)$$

w ten sam sposób ciągiem arytmetycznym NIE jest:

$$a_n=0,-2,2,-2,2$$ najpierw różnica jest -2, bo $$(0-2)=-2$$, następnie 4, $$(2-(-2)=4)$$ więc ciąg nie jest już arytmetyczny.

Ok. Wszystko ładnie pięknie, ale jak wiemy nikt nam nie będzie tak pięknie życia ułatwiał i wzory będą podawane na przykład w postaci:

$$a_n=4n+5$$
Oczywiście możemy podstawiać liczby pod n i sprawdzać czy różnica się zmienia: $$a_1=4×1+5=9 $$ $$a_2=4×2+5=13 $$ $$a_3=4×3+5=17$$ I jak widać różnica zawsze będzie o 4, ale pozostaje jedna kwestia, nie zawsze przykłady będą tak proste i nie będziemy mieli pewności, czy przy wyrazie nr 343553 różnica nie zacznie się zmieniać. Trzeba więc to udowodnić.

Przykład:

Sprawdź czy ciąg $$a_n=4n+5$$ jest arytmetyczny.

Musimy pokazać, że dla dowolnych dwóch kolejnych liczb ich różnica jest stała. Jak oznaczyć liczbę dowolną? Twórca zadania zrobił to za nas. Oznaczmy ją jako $$a_n$$, musimy mieć kolejne, zatem druga musi być o 1 większa czyli nasze dwie dowolne kolejne liczby to:
$$a_n$$, $$a_{n+1}$$

Chcemy policzyć różnicę $$a_{n+1}$$ oraz $$a_n$$, więc musimy wypisać odjemną i odjemnik. Dla n oczywiście wszystko jest bez zmian:
$$a_n=4n+5$$
Teraz dla n+1
$$a_{n+1}=4(n+1)+5$$
W tym przypadku zwróćmy uwagę na to, że podstawiamy n+1, więc musi być w nawiasie jeśli chodzi o mnożenie:

$$a_{n+1}=4n+4+5=4n+9$$

Teraz liczymy różnicę czyli musimy odjąć te wyrazy od siebie:

$$r=a_{n+1}-a_n$$

Pamiętamy, że $$a_n$$ jest równe $$4n+5$$ i musimy odjąć je jako całość czyli nie piszemy $$-4n+5$$ tylko $$–(4n+5)$$.

$$r=4n+9-(4n+5)$$

$$r=4n+9-4n-5$$

$$r=4$$

Widzimy, że dla dowolnych dwóch wyrazów różnica wynosi 4 i w ogóle nie zależy od $$n$$.


Różnica nie jest stała jeśli w jakikolwiek sposób zależy od $$n$$. Pokaże to przykład pewnego ciągu geometrycznego, który nie jest arytmetyczny. Czym jest ciąg geometryczny?

Również specjalnym szykiem liczb, między którymi zachodzi stały iloraz między jedną a drugą, czyli mnożymy o stałą liczbę kolejne wyrazy, ciągami geometrycznymi są więc ciągi:
 
  • $$ a_n=1,2,4,8,16$$ mnożymy przez 2
  • $$ a_n=1,-1,1,-1,1$$ mnożymy przez -1
  • $$ a_n={1}/{2}, {1}/{6}, 1/{18}, 1/{54}, 1/{162}$$ mnożymy przez 1/3
Ale z kolei ciągami geometrycznymi już nie są:

$$a_n=1,3,6,7,9$$ (ponieważ $$3:1=3$$, ale już $$6:3=2$$)

ani $$a_n=-2,0,3,5,1$$ (ponieważ $$0:(-2)=0$$, a z kolei $$3:0=...$$, no cóż sami widzicie, przez zero dzielić nie wolno)

Skoro już wiemy, co to jest ciąg geometryczny, możemy wziąć np. ciąg o wyrazie ogólnym
$$a_n=2^n$$
I pokazać, że jest geometryczny, a nie jest arytmetyczny.

Dwa kolejne wyrazy tego ciągu to $$a_n=2^n$$ oraz $$a_{n+1}=2^{n+1}$$. Policzmy ich iloraz:

$${a_{n+1}}/{a_{n}}={2^{n+1}}/{2^{n}}=2$$
A zatem iloraz dwóch kolejnych wyrazów jest stały (wynosi 2, czyli nie zależy od n), więc ciąg jest geometryczny. Policzmy teraz różnicę dwóch kolejnych wyrazów:

$$a_{n+1}-a_{n}=2^{n+1}-2^{n}=2×2^{n}-2^{n}=2^{n}$$
A zatem różnica dwóch kolejnych wyrazów zależy od n, więc ciąg nie jest arytmetyczny.


Inny przykład: Sprawdź czy ciąg $$a_n=-4n^2+3$$ jest geometryczny.

Bierzemy znów dwie kolejne liczby $$a_n$$, $$a_{n+1}$$.

Standardowo podstawiamy. Dla n dostajemy wzór na wyraz ogólny ciągu:

$$a_n=-4n^2+3$$

a dla n+1 dostajemy

$$a_{n+1}=-4(n+1)^2+3$$

$$a_{n+1}=-4(n^2+2n+1)+3$$

$$a_{n+1}=-4n^2-8n-4+3$$

$$a_{n+1}=-4n^2-8n-1$$

Musimy teraz policzyć,

$${a_{n+1} }/{a_n} ={-4n^2-8n-1}/{-4n^2+3}$$

Uwaga! Ta postać jest dość trudna, proszę skupić się na tym poniżej:

Musimy każdy z tych członów rozbić do prostszych postaci i sprawdzić czy się skrócą, pomoże nam tutaj postać iloczynowa funkcji kwadratowej, najpierw mianownik (szukamy miejsc zerowych):

$$-4n^2+3$$

$$-4n^2+3=0$$

$$-4n^2=-3$$ $$|:(-4)$$

$$n^2=3/4$$

$$n={√{3} }/{2}$$ v $$n=-{√3}/{2}$$

Zatem:

$$-4n^2+3=-4(n-{√3}/{2})(n+{√3}/{2})$$

Teraz licznik:

$$-4n^2-8n-1$$

Tutaj standardowo zabawimy się z deltą:

$$a=-4$$

$$b=-8$$

$$c=-1$$

Obliczmy deltę:

$$∆=b^2-4ac$$

$$∆=(-8)^2-4×(-4)×(-1)$$

$$∆=64+16$$

$$∆=80$$

Obliczmy od razu pierwiastek z delty:

$$√{∆}=√{80}=√{16×5}=4√{5}$$



No i teraz nasze rozwiązania:

$$n_1={-b+√{∆} }/{2a}$$

$$n_1={-8+4√5}/{-8}={2+√5}/2$$

$$n_2={-b-√{∆} }/{2a}$$

$$n_2={-8-4√5}/{-8}={2-√5}/2$$ Zatem:

$$-4n^2-8n-1=-4(n-{2-√5}/2)(n-{2+√5}/2)$$



Podstawmy nasze ciężkie równania do ułamka:

$${a_{n+1} }/{a_n} ={-4n^2-8n-1}/{-4n^2+3}$$
$${a_{n+1} }/{a_n} ={-4(n-{2-√5}/2)(n-{2+√5}/{2} ) }/{-4(n-{√3}/{2} )(n+{√3}/{2})} $$

Jak widać nic nam się tu nie skraca, a skoro w ilorazie jest nadal liczba n to znaczy, że nie jest on geometryczny, bo iloraz nie jest stały (zależy od n).

 

Uwaga!

- Jeśli z różnych przyczyn n, n+1 będą dość trudne do podstawienia możemy wybrać dwa dowolne inne wyrazy do podstawienia, nawet $$2n+1,2n+2$$, ważne żeby były kolejne.
- Jeśli mamy do obliczenia ciąg geometryczny, w którym są wzory skróconego mnożenia, warto ich nie rozbijać przedwcześnie.
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Sprawdź czy ciąg $$a_n=-1/3 n+6$$ jest arytmetyczny

Bierzemy dwie dowolne kolejne liczby. Weźmy n i n+1 i zróbmy podmianę.

Dla n tak samo:

$$a_n=-1/3 n+6$$

dla $$n+1$$:

$$a_n+1=-1/3 (n+1)+6=-1/3 n-1/3+6=-1/3 n+5 2/3$$

Następnie odejmujemy je od siebie.

$$a_{n+1}-a_n=-1/3 n+5 2/3-(-1/3 n+6)$$

$$a_{n+1}-a_n=-1/3 n+5 2/3+1/3 n-6=-1/3$$

Jak widać ciąg jest arytmetyczny.

Zadanie 2.

Sprawdź czy ciąg $$a_n=n^2$$ jest geometryczny.

Zróbmy podmianę dla dwóch kolejnych liczb n, n+1

Dla n tak samo:

$$a_n=n^2$$

a dla $$n+1$$:

$$a_{n+1}={(n+1)}^2$$

$$a_{n+1}={(n+1)}^2$$

Pozostaje nam sprawdzić iloraz

$${a_{n+1}}/{a_n} ={(n+1)^2}/{n^2} $$

Jak widać nic się tu nie skróci zatem ciąg nie jest geometryczny, bo iloraz dwóch kolejnych wyrazów jest zależny od n.

Zadanie 3.

Znajdź błąd w rozumowaniu:

$$10-10=4-4$$

$$5(2-2)=(2+2)(2-2)$$ $$|∶(2-2)$$

$$5=2+2$$

$$10-10=4-4$$

$$5(2-2)=(2+2)(2-2)$$ $$|:(2-2)$$

(2-2)=0, a przez 0 dzielić nie można!!

Spis treści

Rozwiązane zadania
Usuń niewymierność z mianownika. a) (√12+√3)²

a)

`3/sqrt7*sqrt7/sqrt7=(3sqrt7)/7=3/7 sqrt7`

b)

`(5sqrt3)/(3sqrt2)*sqrt2/sqrt2=(5sqrt3*sqrt2)/(3sqrt2*sqrt2)=(5sqrt6)/(3*2)=5/6sqrt6`

c)

`(sqrt6-1)/(2sqrt5)*sqrt5/sqrt5=((sqrt6-1)*sqrt5)/(2*5)=(sqrt30-sqrt5)/10`

d)

`2/(sqrt2+1)=2/(sqrt2+1)*(sqrt2-1)/(sqrt2-1)=(2*(sqrt2-1))/(2-1)=2(sqrt2-1)`

e)

`(3sqrt2)/(2sqrt3-1)=(3sqrt2)/(2sqrt3-1) *(2sqrt3+1)/(2sqrt3+1)=(3sqrt2(2sqrt3+1))/((2sqrt3)^2-1^2)=`

`(6sqrt6+3sqrt2)/(4*3-1)=(3(2sqrt6+sqrt2))/11`

f)

`(7-2sqrt5)/(7+2sqrt5)=(7-2sqrt5)/(7+2sqrt5)*(7-2sqrt5)/(7-2sqrt5)= ((7-2sqrt5)(7-2sqrt5))/(7^2-(2sqrt5)^2)=`

`=(7-2sqrt5)^2/(49-4*5)=(49-2*7*2sqrt5+(2sqrt5)^2)/(49-20)=(49-28sqrt5+20)/29=`

`=(69-28sqrt5)/29`

Oblicz

`a)`

`3-(-3)^2-(-3)^3-(-3)^4=3-9-(-27)-81=`

`=ul3-ul(ul(9))+ul27-ul(ul(81))=30-90=-60`

 

 

`b)`

`(-4)^3-4^3-((-5)^4-5^4)=-64-64-(625-625)=-128-0=-128`

 

 

`c)`

`3*(7-(-2)^3)-(1-(2-2^2))=3*(7-(-8))-(1-(2-4))=`

`=3*(7+8)-(1-(-2))=3*15-(1+2)=45-3=42`

 

 

`d)`

`3-{9-[18-(-2)^3*(-3)^2]}=3-{9-[18-(-8)*9]}=`

`=3-{9-[18-(-72)]}=3-{9-[18+72]}=3-{9-90}=`

`=3-{-81}=3+81=84`

 

 

Cięciwy AB i BC są równej długości ...

Wiemy, że miara kąta ABC wynosi 100°.

Trójkąta ACB jest trókątem równoramiennym, gdyż AB i BC mają taką samą długość.

Stąd kąty przy podstawie AC będą miały taką samą miarę:

`(180^"o"-100^"o"):2=80^"o":2=40^"o"` 

`|/_CAB|=|/_ACB|=40^"o"` 

 

Wypukły kąt środkowy wyznaczony przez cięciwę AB to kąt ASB.

Zauważmy, że kąt wpisany ACB jest oparty na takim samym łuku, co kąt środkowy ASB.

Korzystamy z tw. mówiącego o tym, że kąt wpisany równy jest połowie kąta środkowego opartego na tym samym łuku.

Wiemy już, że:

`|/_ACB|=40^"o"` 

Kąta ten jest równy połowie kąta ASB, czyli:

`|/_ASB|=2*|/_ACB|` 

`|/_ASB|=2*40^"o"` 

`|/_ASB|=80^"o"` 

 

Odp: Miara wypukłego kąta środkowego wyznaczonego przez cięciwę AB wynosi 80°.

Oblicz

`a)\ (0,25)^-3+2*(-0,5)^2=` `(1/4)^-3+2*(-1/2)^2=` 

`\ \ \ =4^3+2*1/4=` `64+1/2=64 1/2` 

 

`b)\ 3*(1,125)^-2+81^-1=` `3*(1 1/8)^-2+1/81=` 

`\ \ \ =3*(9/8)^-2+1/81=` `3*(8/9)^2+1/81=` 

`\ \ \ =3*64/81+1/81=` `192/81+1/81=193/81=2 31/81` 

 

`c)\ -5*(-1,5)^-3+14*3^-3=` 

`\ \ \ =-5*(-3/2)^-3+14*(1/3)^3=` 

`\ \ \ =-5*(-2/3)^3+14*1/27=` 

`\ \ \ =-5*(-8/27)+14/27=40/27+14/27=` 

`\ \ \ =54/27=2` 

 

`d)\ [8^-6:(1,6)^-6]:5^-5=` `(8:1,6)^-6:5^-5=` 

`\ \ \ =5^-6:5^-5=5^(-6-(-5))=5^(-6+5)=5^-1=1/5` 

 

`e)\ [(2,7)^-3:(0,9)^-3]^2:3^-7=` `((2,7:0,9)^-3)^2:3^-7=` 

`\ \ \ =(3^-3)^2:3^-7=3^-6:3^-7=3^(-6-(-7))=3^(-6+7)=3^1=3` 

 

`f)\ (0,125)^-4*8^-4-(0,25)^-6*2^-12=` 

`\ \ \ =(0,125*8)^-4-((0,5)^2)^-6*2^-12=` 

`\ \ \ =1^-4-(0,5)^-12*2^-12=` 

`\ \ \ =1-(0,5*2)^-12=1-1^-12=1-1=0`    

Przyprostokątne trójkąta ABC ...

Zauważmy, że trójkaty EDB i CAB są podobne z cechy KKK.

Z podobieństwa wspomnianych trójkątów:

`(15-x)/x=15/10` 

`10(15-x)=15x` 

`150-10x=15x`  

`150=25x` 

`x=6` 

`ul(P_(ADEF)=x^2=36` 

 

Naszkicuj wykres dowolnej funkcji...

Rysunek:

Funkcja jest rosnąca przedziałami a jej miejscami zerowymi są punkty A i B.

Podpisz zbiory punktów

`a)`

 

 

`b)`

 

  

 

Ile razy funkcja przedstawiona...

Jeżeli poprowadzimy sobie prostą o równaniu y = 3 zauważymy, że wykres funkcji zostanie przecięty trzykrotnie.

 

Odpowiedź B

Podaj przybliżenie liczby z dokładnością

Na podstawie danych z diagramu...

1 - Minimalne w ścisłym centrum

Malejąca w całej dziedzinie

 

2 - Minimalne poza ścisłym centrum

Malejąca w całej dziedzinie

 

3 - Maksymalne w ścisłym centrum

Malejąca w latach 2001 - 2004, stała w latach 2004-2005

 

4 - Maksymalne poza ścisłym centrum 

Malejąca w latach 2001-2004, rosnąca w latach 2004-2005

 

Widać, że funkcja 1 jest stale większa od funkcji 2, natomiast funkcja 3 jest stale większa od funkcji 4.

Odpowiedź: Stawki czynszu poza centrum Nowograjek były niższe od stawek w ścisłym centrum.