Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Ciąg arytmetyczny i geometryczny - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Ciąg arytmetyczny i geometryczny

Jak pamiętamy ciąg to dla nas po prostu ciąg liczb, czyli ponumerowane liczby, które znajdują się w jakimś ściśle określonym szyku. Tutaj opiszę dwa konkretne szyki, które mają specjalne własności - ciąg arytmetyczny i ciąg geometryczny.

Czym się wyróżniają spośród tej masy liczb?


Ciąg arytmetyczny to tak uporządkowane liczby, że między dwiema kolejnymi liczbami jest stała różnica.

Czyli ciągiem arytmetycznym będą:
  • $$a_n=1,2,3,4,5 $$
  • $$a_n=-2,-4,-6,-8$$
  • $$a_n=0,2/3, 4/3,2, 8/3$$
ale już nie:

$$a_n=1,3,3,3,5$$ , ponieważ najpierw mamy różnicę 2 ($$3-1=2)$$,a potem 0 $$(3-3=0)$$

w ten sam sposób ciągiem arytmetycznym NIE jest:

$$a_n=0,-2,2,-2,2$$ najpierw różnica jest -2, bo $$(0-2)=-2$$, następnie 4, $$(2-(-2)=4)$$ więc ciąg nie jest już arytmetyczny.

Ok. Wszystko ładnie pięknie, ale jak wiemy nikt nam nie będzie tak pięknie życia ułatwiał i wzory będą podawane na przykład w postaci:

$$a_n=4n+5$$
Oczywiście możemy podstawiać liczby pod n i sprawdzać czy różnica się zmienia: $$a_1=4×1+5=9 $$ $$a_2=4×2+5=13 $$ $$a_3=4×3+5=17$$ I jak widać różnica zawsze będzie o 4, ale pozostaje jedna kwestia, nie zawsze przykłady będą tak proste i nie będziemy mieli pewności, czy przy wyrazie nr 343553 różnica nie zacznie się zmieniać. Trzeba więc to udowodnić.

Przykład:

Sprawdź czy ciąg $$a_n=4n+5$$ jest arytmetyczny.

Musimy pokazać, że dla dowolnych dwóch kolejnych liczb ich różnica jest stała. Jak oznaczyć liczbę dowolną? Twórca zadania zrobił to za nas. Oznaczmy ją jako $$a_n$$, musimy mieć kolejne, zatem druga musi być o 1 większa czyli nasze dwie dowolne kolejne liczby to:
$$a_n$$, $$a_{n+1}$$

Chcemy policzyć różnicę $$a_{n+1}$$ oraz $$a_n$$, więc musimy wypisać odjemną i odjemnik. Dla n oczywiście wszystko jest bez zmian:
$$a_n=4n+5$$
Teraz dla n+1
$$a_{n+1}=4(n+1)+5$$
W tym przypadku zwróćmy uwagę na to, że podstawiamy n+1, więc musi być w nawiasie jeśli chodzi o mnożenie:

$$a_{n+1}=4n+4+5=4n+9$$

Teraz liczymy różnicę czyli musimy odjąć te wyrazy od siebie:

$$r=a_{n+1}-a_n$$

Pamiętamy, że $$a_n$$ jest równe $$4n+5$$ i musimy odjąć je jako całość czyli nie piszemy $$-4n+5$$ tylko $$–(4n+5)$$.

$$r=4n+9-(4n+5)$$

$$r=4n+9-4n-5$$

$$r=4$$

Widzimy, że dla dowolnych dwóch wyrazów różnica wynosi 4 i w ogóle nie zależy od $$n$$.


Różnica nie jest stała jeśli w jakikolwiek sposób zależy od $$n$$. Pokaże to przykład pewnego ciągu geometrycznego, który nie jest arytmetyczny. Czym jest ciąg geometryczny?

Również specjalnym szykiem liczb, między którymi zachodzi stały iloraz między jedną a drugą, czyli mnożymy o stałą liczbę kolejne wyrazy, ciągami geometrycznymi są więc ciągi:
 
  • $$ a_n=1,2,4,8,16$$ mnożymy przez 2
  • $$ a_n=1,-1,1,-1,1$$ mnożymy przez -1
  • $$ a_n={1}/{2}, {1}/{6}, 1/{18}, 1/{54}, 1/{162}$$ mnożymy przez 1/3
Ale z kolei ciągami geometrycznymi już nie są:

$$a_n=1,3,6,7,9$$ (ponieważ $$3:1=3$$, ale już $$6:3=2$$)

ani $$a_n=-2,0,3,5,1$$ (ponieważ $$0:(-2)=0$$, a z kolei $$3:0=...$$, no cóż sami widzicie, przez zero dzielić nie wolno)

Skoro już wiemy, co to jest ciąg geometryczny, możemy wziąć np. ciąg o wyrazie ogólnym
$$a_n=2^n$$
I pokazać, że jest geometryczny, a nie jest arytmetyczny.

Dwa kolejne wyrazy tego ciągu to $$a_n=2^n$$ oraz $$a_{n+1}=2^{n+1}$$. Policzmy ich iloraz:

$${a_{n+1}}/{a_{n}}={2^{n+1}}/{2^{n}}=2$$
A zatem iloraz dwóch kolejnych wyrazów jest stały (wynosi 2, czyli nie zależy od n), więc ciąg jest geometryczny. Policzmy teraz różnicę dwóch kolejnych wyrazów:

$$a_{n+1}-a_{n}=2^{n+1}-2^{n}=2×2^{n}-2^{n}=2^{n}$$
A zatem różnica dwóch kolejnych wyrazów zależy od n, więc ciąg nie jest arytmetyczny.


Inny przykład: Sprawdź czy ciąg $$a_n=-4n^2+3$$ jest geometryczny.

Bierzemy znów dwie kolejne liczby $$a_n$$, $$a_{n+1}$$.

Standardowo podstawiamy. Dla n dostajemy wzór na wyraz ogólny ciągu:

$$a_n=-4n^2+3$$

a dla n+1 dostajemy

$$a_{n+1}=-4(n+1)^2+3$$

$$a_{n+1}=-4(n^2+2n+1)+3$$

$$a_{n+1}=-4n^2-8n-4+3$$

$$a_{n+1}=-4n^2-8n-1$$

Musimy teraz policzyć,

$${a_{n+1} }/{a_n} ={-4n^2-8n-1}/{-4n^2+3}$$

Uwaga! Ta postać jest dość trudna, proszę skupić się na tym poniżej:

Musimy każdy z tych członów rozbić do prostszych postaci i sprawdzić czy się skrócą, pomoże nam tutaj postać iloczynowa funkcji kwadratowej, najpierw mianownik (szukamy miejsc zerowych):

$$-4n^2+3$$

$$-4n^2+3=0$$

$$-4n^2=-3$$ $$|:(-4)$$

$$n^2=3/4$$

$$n={√{3} }/{2}$$ v $$n=-{√3}/{2}$$

Zatem:

$$-4n^2+3=-4(n-{√3}/{2})(n+{√3}/{2})$$

Teraz licznik:

$$-4n^2-8n-1$$

Tutaj standardowo zabawimy się z deltą:

$$a=-4$$

$$b=-8$$

$$c=-1$$

Obliczmy deltę:

$$∆=b^2-4ac$$

$$∆=(-8)^2-4×(-4)×(-1)$$

$$∆=64+16$$

$$∆=80$$

Obliczmy od razu pierwiastek z delty:

$$√{∆}=√{80}=√{16×5}=4√{5}$$



No i teraz nasze rozwiązania:

$$n_1={-b+√{∆} }/{2a}$$

$$n_1={-8+4√5}/{-8}={2+√5}/2$$

$$n_2={-b-√{∆} }/{2a}$$

$$n_2={-8-4√5}/{-8}={2-√5}/2$$ Zatem:

$$-4n^2-8n-1=-4(n-{2-√5}/2)(n-{2+√5}/2)$$



Podstawmy nasze ciężkie równania do ułamka:

$${a_{n+1} }/{a_n} ={-4n^2-8n-1}/{-4n^2+3}$$
$${a_{n+1} }/{a_n} ={-4(n-{2-√5}/2)(n-{2+√5}/{2} ) }/{-4(n-{√3}/{2} )(n+{√3}/{2})} $$

Jak widać nic nam się tu nie skraca, a skoro w ilorazie jest nadal liczba n to znaczy, że nie jest on geometryczny, bo iloraz nie jest stały (zależy od n).

 

Uwaga!

- Jeśli z różnych przyczyn n, n+1 będą dość trudne do podstawienia możemy wybrać dwa dowolne inne wyrazy do podstawienia, nawet $$2n+1,2n+2$$, ważne żeby były kolejne.
- Jeśli mamy do obliczenia ciąg geometryczny, w którym są wzory skróconego mnożenia, warto ich nie rozbijać przedwcześnie.
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Sprawdź czy ciąg $$a_n=-1/3 n+6$$ jest arytmetyczny

Bierzemy dwie dowolne kolejne liczby. Weźmy n i n+1 i zróbmy podmianę.

Dla n tak samo:

$$a_n=-1/3 n+6$$

dla $$n+1$$:

$$a_n+1=-1/3 (n+1)+6=-1/3 n-1/3+6=-1/3 n+5 2/3$$

Następnie odejmujemy je od siebie.

$$a_{n+1}-a_n=-1/3 n+5 2/3-(-1/3 n+6)$$

$$a_{n+1}-a_n=-1/3 n+5 2/3+1/3 n-6=-1/3$$

Jak widać ciąg jest arytmetyczny.

Zadanie 2.

Sprawdź czy ciąg $$a_n=n^2$$ jest geometryczny.

Zróbmy podmianę dla dwóch kolejnych liczb n, n+1

Dla n tak samo:

$$a_n=n^2$$

a dla $$n+1$$:

$$a_{n+1}={(n+1)}^2$$

$$a_{n+1}={(n+1)}^2$$

Pozostaje nam sprawdzić iloraz

$${a_{n+1}}/{a_n} ={(n+1)^2}/{n^2} $$

Jak widać nic się tu nie skróci zatem ciąg nie jest geometryczny, bo iloraz dwóch kolejnych wyrazów jest zależny od n.

Zadanie 3.

Znajdź błąd w rozumowaniu:

$$10-10=4-4$$

$$5(2-2)=(2+2)(2-2)$$ $$|∶(2-2)$$

$$5=2+2$$

$$10-10=4-4$$

$$5(2-2)=(2+2)(2-2)$$ $$|:(2-2)$$

(2-2)=0, a przez 0 dzielić nie można!!

Spis treści

Rozwiązane zadania
Wypisz pary odcinków równych, wiedząc, że ...

Korzystając z tw. o odcinkach stycznych (Jeżeli z punktu P leżącego poza okręgiem poprowadzimy

dwie proste styczne do tego okręgu w punktach A i B, to |PA|=|PB|), wypisujemy pary odcinków mających równą długość:

`|PB|=|PA|` 

`|CB|=|CE|` 

`|DE|=|DA|`  

Dana jest funkcja f(x)= 0,5x, której dziedziną jest

Wybieramy kilka argumentów należących do zbioru liczb rzeczywistych np. -1,0,1  i obliczamy ze wzoru funkcji przyporządkowywane im wartości:

`f(x)=0,5x`

`f(-1)=0,5 * (0,1)=(-0,5)`

`f(0)=0,5*0=0`

`f(1)=0,5*1=0,5`

x

-1

0

1

y

-0,5

0

0,5

 

 

Narysuj wykres funkcji spełniającej podane warunki

W każdym podpunkcie podajemy po dwa przykłady takich funkcji: 

 

Przedstaw liczbę w postaci ...

`"a)"\ 98=2*7*7` 

 

Dzielniki liczby 98 to: 1, 2, 7, 14, 49, 98

 

`"b)"\ 124=2*2*31` 

 

Dzielniki liczby 124 to: 1, 2, 4, 31, 62, 124

 

`"c)"\ 966=2*3*7*23`

Dzielniki liczby 966 to:1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 23, 42, 46, 69, 138, 161, 322, 483, 966

 

`"d)"\ 1344=2*2*2*2*2*2*3*7`

Dzielniki liczby 1344 to: 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 12, 14, 16, 21, 24, 28, 32, 42, 48, 56, 64, 84, 96, 112, 168, 192,

224, 336, 448, 672, 1344

Prosta l1 określona jest równaniem

Proste równoległe mają jednakowe współczynniki stojące przy x. 

 

`ul("prosta"\ l_2)`

`y=2/3x+b`

Prosta przecina oś OY w punkcie (0, -1), więc współczynnik b jest równy -1. 

`y=2/3x-1`

 

 

`ul("prosta"\ l_3)`

`y=2/3x+b`

Prosta przecina oś OY w punkcie (0, 2), więc współczynnik b jest równy 2. 

`y=2/3x+2`

 

 

Wyznaczmy współczynnik stojący przy x w prostych prostopadłych do prostej l1:

`a=-1/(2/3)=-1:2/3=-1*3/2=-3/2`

 

`ul("prosta"\ l_4)`

`y=-3/2x+b`

Prosta przecina oś OY w punkcie (0, -3), więc współczynnik b jest równy -3. 

`y=-3/2x-3`

 

 

`ul("prosta"\ l_5)`

`y=-3/2x+b`

Prosta przecina oś OY w punkcie (0, 0), więc współczynnik b jest równy 0. 

`y=-3/2x+0`

`y=-3/2x`

 

`ul("prosta"\ l_6)`

`y=-3/2x+b`

Prosta przecina oś OY w punkcie (0, 2), więc współczynnik b jest równy 2.

`y=-3/2x+2`

 

Piotr postanowił ulokować w banku...

Wpłacamy 5000 zł na lokatę o oprocentowaniu x% , po pierwszym roku mamy:

`5000*x%` 

Po drugim roku

`(5000*x%)*x% = 5000*x% * x% = 5000 * x/100 * x/100 = 5000*(x^2)/10000 = 5*(x^2)/10 = (x^2)/2` 

Po dwóch latach Piotr chce mieć 5400 zł.

`(x^2)/2 = 5400` 

`x^2 = 10800`

`x approx 103,92` 

Oprocentowanie musi wynosić około 4%

Na podstawie diagramu obok

`a)\ AnnB={4,\ 5}` 

 

`b)` 

Musimy wypisać elementy, które należą do jednego ze zbiorów A lub B, ale nie należą do zbioru A - są to te elementy zbioru B, które nie należą jednocześnie do A. 

`(AuuB)\\A={6,\ 7,\ 8}` 

 

`c)` 

Musimy wypisać elementy, które należą do zbioru A, ale jednocześnie nie należą do zbioru A i zbioru B.

`A\\(AnnB)={1,\ 2,\ 3}` 

 

`d)` 

Musimy wypisać wszystkie elementy, które nie należą jednocześnie do zbiorów A i B.

`(AnnB)'={1,\ 2,\ 3,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9,\ 10}` 

 

`e)` 

Musimy wypisać wszystkie zbiory, które nie należą do zbioru A i jednocześnie nie należą do zbioru B. 

`A'nnB'={9,\ 10}` 

 

`f)` 

Najpierw wypiszmy elementy, które należą do zbioru B, ale nie należą do zbioru A:

`B\\A={6,\ 7,\ 8}` 

Teraz musimy wypisać elementy zbioru A różne od elementów wypisanych powyżej:

`A\\(B\\A)={1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5}` 

Wskaż liczby naturalne n, dla których...

Ułamek ma rozwinięcie dziesiętne skończone jeżeli w rozkładzie mianownika na czynniki pierwsze występują wyłącznie liczby 2 lub 5. Dowolna liczba całkowita ma rozwinięcie dziesiętne skończone. Zatem:

`n = 1` 

 

`1 \ , \ 1/2` 

Mają rozwinięcia skończone gdyż 1 to liczba naturalna a w rozkładzie mianownika ułamka 1/2 występuje wyłącznie liczba 2.

 

Zauważmy dodatkowo, że:

`"Dla" \ n = 4` 

`1/4 \ , \ 1/5` 

Pierwszy ułamek ma rozwinięcie skończone bo w rozkładzie mianownika występuje wyłącznie liczba 2 a w rozkładzie drugiego ułamka występuje wyłącznie liczba 5.

 

Odległość środka okręgu od cięciwy...

Wysokość poprowadzona z wierzchołka S dzieli bok AB na połowy bo ABS jest trójkątem równoramiennym.

Z twierdzenia Pitagorasa:

`9^2 + 12^2 = |AS|^2` 

`81 + 144 = |AS|^2` 

`|AS|^2 = 225` 

`|AS| = 15` 

Ramię AS to promień okręgu, skoro średnica to podwojona długość promienia to:

`d = 2*|AS| = 2*15 = 30 \ ["cm"]` 

Koniec dowodu.

Przeczytaj informacje dotyczące

`a)`

Wystarczy zauważyć, że w wypożyczalni "Szprycha" koszt wypożyczenia roweru górskiego na 1 godzinę wynosi 9 zł (6+3∙1=6+3=9), a na dwie godziny wynosi 12 zł (6+3∙2=6+6=12), a następnie poprowadzić wykres przez te punkty. 

 

`b)`

Wypożyczenie roweruna mniej niż 4 godziny jest korzystniejsze w wypożyczalni "Szprycha", natomiast przy czasie dłuższym niż 4 godziny korzystniejsze jest wypożyczenie w wypożyczalni "Wagabunda" Przy wypożyczeniu roweru na 4 godziny koszt w obu wypożyczalniach jest jednakowy.