Ciąg arytmetyczny i geometryczny - matura-podstawowa - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Ciąg arytmetyczny i geometryczny - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Ciąg arytmetyczny i geometryczny

Jak pamiętamy ciąg to dla nas po prostu ciąg liczb, czyli ponumerowane liczby, które znajdują się w jakimś ściśle określonym szyku. Tutaj opiszę dwa konkretne szyki, które mają specjalne własności - ciąg arytmetyczny i ciąg geometryczny.

Czym się wyróżniają spośród tej masy liczb?


Ciąg arytmetyczny to tak uporządkowane liczby, że między dwiema kolejnymi liczbami jest stała różnica.

Czyli ciągiem arytmetycznym będą:
  • $a_n=1,2,3,4,5 $
  • $a_n=-2,-4,-6,-8$
  • $a_n=0,2/3, 4/3,2, 8/3$
ale już nie:

$a_n=1,3,3,3,5$ , ponieważ najpierw mamy różnicę 2 ($3-1=2)$,a potem 0 $(3-3=0)$

w ten sam sposób ciągiem arytmetycznym NIE jest:

$a_n=0,-2,2,-2,2$ najpierw różnica jest -2, bo $(0-2)=-2$, następnie 4, $(2-(-2)=4)$ więc ciąg nie jest już arytmetyczny.

Ok. Wszystko ładnie pięknie, ale jak wiemy nikt nam nie będzie tak pięknie życia ułatwiał i wzory będą podawane na przykład w postaci:

$a_n=4n+5$
Oczywiście możemy podstawiać liczby pod n i sprawdzać czy różnica się zmienia: $a_1=4×1+5=9 $ $a_2=4×2+5=13 $ $a_3=4×3+5=17$ I jak widać różnica zawsze będzie o 4, ale pozostaje jedna kwestia, nie zawsze przykłady będą tak proste i nie będziemy mieli pewności, czy przy wyrazie nr 343553 różnica nie zacznie się zmieniać. Trzeba więc to udowodnić.

Przykład:

Sprawdź czy ciąg $a_n=4n+5$ jest arytmetyczny.

Musimy pokazać, że dla dowolnych dwóch kolejnych liczb ich różnica jest stała. Jak oznaczyć liczbę dowolną? Twórca zadania zrobił to za nas. Oznaczmy ją jako $a_n$, musimy mieć kolejne, zatem druga musi być o 1 większa czyli nasze dwie dowolne kolejne liczby to:
$a_n$, $a_{n+1}$

Chcemy policzyć różnicę $a_{n+1}$ oraz $a_n$, więc musimy wypisać odjemną i odjemnik. Dla n oczywiście wszystko jest bez zmian:
$a_n=4n+5$
Teraz dla n+1
$a_{n+1}=4(n+1)+5$
W tym przypadku zwróćmy uwagę na to, że podstawiamy n+1, więc musi być w nawiasie jeśli chodzi o mnożenie:

$a_{n+1}=4n+4+5=4n+9$

Teraz liczymy różnicę czyli musimy odjąć te wyrazy od siebie:

$r=a_{n+1}-a_n$

Pamiętamy, że $a_n$ jest równe $4n+5$ i musimy odjąć je jako całość czyli nie piszemy $-4n+5$ tylko $–(4n+5)$.

$r=4n+9-(4n+5)$

$r=4n+9-4n-5$

$r=4$

Widzimy, że dla dowolnych dwóch wyrazów różnica wynosi 4 i w ogóle nie zależy od $n$.


Różnica nie jest stała jeśli w jakikolwiek sposób zależy od $n$. Pokaże to przykład pewnego ciągu geometrycznego, który nie jest arytmetyczny. Czym jest ciąg geometryczny?

Również specjalnym szykiem liczb, między którymi zachodzi stały iloraz między jedną a drugą, czyli mnożymy o stałą liczbę kolejne wyrazy, ciągami geometrycznymi są więc ciągi:
 
  • $ a_n=1,2,4,8,16$ mnożymy przez 2
  • $ a_n=1,-1,1,-1,1$ mnożymy przez -1
  • $ a_n={1}/{2}, {1}/{6}, 1/{18}, 1/{54}, 1/{162}$ mnożymy przez 1/3
Ale z kolei ciągami geometrycznymi już nie są:

$a_n=1,3,6,7,9$ (ponieważ $3:1=3$, ale już $6:3=2$)

ani $a_n=-2,0,3,5,1$ (ponieważ $0:(-2)=0$, a z kolei $3:0=...$, no cóż sami widzicie, przez zero dzielić nie wolno)

Skoro już wiemy, co to jest ciąg geometryczny, możemy wziąć np. ciąg o wyrazie ogólnym
$a_n=2^n$
I pokazać, że jest geometryczny, a nie jest arytmetyczny.

Dwa kolejne wyrazy tego ciągu to $a_n=2^n$ oraz $a_{n+1}=2^{n+1}$. Policzmy ich iloraz:

${a_{n+1}}/{a_{n}}={2^{n+1}}/{2^{n}}=2$
A zatem iloraz dwóch kolejnych wyrazów jest stały (wynosi 2, czyli nie zależy od n), więc ciąg jest geometryczny. Policzmy teraz różnicę dwóch kolejnych wyrazów:

$a_{n+1}-a_{n}=2^{n+1}-2^{n}=2×2^{n}-2^{n}=2^{n}$
A zatem różnica dwóch kolejnych wyrazów zależy od n, więc ciąg nie jest arytmetyczny.


Inny przykład: Sprawdź czy ciąg $a_n=-4n^2+3$ jest geometryczny.

Bierzemy znów dwie kolejne liczby $a_n$, $a_{n+1}$.

Standardowo podstawiamy. Dla n dostajemy wzór na wyraz ogólny ciągu:

$a_n=-4n^2+3$

a dla n+1 dostajemy

$a_{n+1}=-4(n+1)^2+3$

$a_{n+1}=-4(n^2+2n+1)+3$

$a_{n+1}=-4n^2-8n-4+3$

$a_{n+1}=-4n^2-8n-1$

Musimy teraz policzyć,

${a_{n+1} }/{a_n} ={-4n^2-8n-1}/{-4n^2+3}$

Uwaga! Ta postać jest dość trudna, proszę skupić się na tym poniżej:

Musimy każdy z tych członów rozbić do prostszych postaci i sprawdzić czy się skrócą, pomoże nam tutaj postać iloczynowa funkcji kwadratowej, najpierw mianownik (szukamy miejsc zerowych):

$-4n^2+3$

$-4n^2+3=0$

$-4n^2=-3$ $|:(-4)$

$n^2=3/4$

$n={√{3} }/{2}$ v $n=-{√3}/{2}$

Zatem:

$-4n^2+3=-4(n-{√3}/{2})(n+{√3}/{2})$

Teraz licznik:

$-4n^2-8n-1$

Tutaj standardowo zabawimy się z deltą:

$a=-4$

$b=-8$

$c=-1$

Obliczmy deltę:

$∆=b^2-4ac$

$∆=(-8)^2-4×(-4)×(-1)$

$∆=64+16$

$∆=80$

Obliczmy od razu pierwiastek z delty:

$√{∆}=√{80}=√{16×5}=4√{5}$



No i teraz nasze rozwiązania:

$n_1={-b+√{∆} }/{2a}$

$n_1={-8+4√5}/{-8}={2+√5}/2$

$n_2={-b-√{∆} }/{2a}$

$n_2={-8-4√5}/{-8}={2-√5}/2$ Zatem:

$-4n^2-8n-1=-4(n-{2-√5}/2)(n-{2+√5}/2)$



Podstawmy nasze ciężkie równania do ułamka:

${a_{n+1} }/{a_n} ={-4n^2-8n-1}/{-4n^2+3}$
${a_{n+1} }/{a_n} ={-4(n-{2-√5}/2)(n-{2+√5}/{2} ) }/{-4(n-{√3}/{2} )(n+{√3}/{2})} $

Jak widać nic nam się tu nie skraca, a skoro w ilorazie jest nadal liczba n to znaczy, że nie jest on geometryczny, bo iloraz nie jest stały (zależy od n).

 

Uwaga!

- Jeśli z różnych przyczyn n, n+1 będą dość trudne do podstawienia możemy wybrać dwa dowolne inne wyrazy do podstawienia, nawet $2n+1,2n+2$, ważne żeby były kolejne.
- Jeśli mamy do obliczenia ciąg geometryczny, w którym są wzory skróconego mnożenia, warto ich nie rozbijać przedwcześnie.
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Sprawdź czy ciąg $a_n=-1/3 n+6$ jest arytmetyczny

Bierzemy dwie dowolne kolejne liczby. Weźmy n i n+1 i zróbmy podmianę.

Dla n tak samo:

$a_n=-1/3 n+6$

dla $n+1$:

$a_n+1=-1/3 (n+1)+6=-1/3 n-1/3+6=-1/3 n+5 2/3$

Następnie odejmujemy je od siebie.

$a_{n+1}-a_n=-1/3 n+5 2/3-(-1/3 n+6)$

$a_{n+1}-a_n=-1/3 n+5 2/3+1/3 n-6=-1/3$

Jak widać ciąg jest arytmetyczny.

Zadanie 2.

Sprawdź czy ciąg $a_n=n^2$ jest geometryczny.

Zróbmy podmianę dla dwóch kolejnych liczb n, n+1

Dla n tak samo:

$a_n=n^2$

a dla $n+1$:

$a_{n+1}={(n+1)}^2$

$a_{n+1}={(n+1)}^2$

Pozostaje nam sprawdzić iloraz

${a_{n+1}}/{a_n} ={(n+1)^2}/{n^2} $

Jak widać nic się tu nie skróci zatem ciąg nie jest geometryczny, bo iloraz dwóch kolejnych wyrazów jest zależny od n.

Zadanie 3.

Znajdź błąd w rozumowaniu:

$10-10=4-4$

$5(2-2)=(2+2)(2-2)$ $|∶(2-2)$

$5=2+2$

$10-10=4-4$

$5(2-2)=(2+2)(2-2)$ $|:(2-2)$

(2-2)=0, a przez 0 dzielić nie można!!

Spis treści

Rozwiązane zadania
Pole trójkąta o bokach długości...

Obliczamy połowę obwodu trójkąta:{premium}

 

Obliczamy pole trójkąta, korzystając ze wzoru Herona:

 

Prawidłowa odpowiedź to C.

Rozwiąż równanie

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z dwóch plantacji truskawek w pierwszym roku...

Oznaczmy liczbę zebranych truskawek z pierwszej plantacji przez x oraz liczbę zebranych truskawek z drugiej plantacji przez y. Wtedy:

 

W drugim roku na pierwszej plantacji odnotowano 20% wzrost natomiast na drugiej 30% wzrost, łącznie zebrano 14,21 tony truskawek.

 

 

Rozwiążmy układ równań:

 

 

 

 

 

 

 

Podstawmy pod pierwsze równanie:

 

 

 

 

W pierwszym roku zebrano z pierwszej plantacji 10 ton truskawek a w roku drugim zebrano:

 

 

W pierwszym roku zebrano z drugiej plantacji 1,7 tony truskawek a w roku drugim zebrano:

 

Oblicz. W

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Nie używając kalkulatora, oblicz wartość wyrażenia:

 {premium} 

Podpisz zbiory punktów

 

{premium}

 

  

 

Zapisz w postaci x^k

`a)\ (x^4*x^6)/(x^3*x^-5)=(x^(4+6))/(x^(3+(-5)))=x^10/x^-2=x^(10-(-2))=x^(10+2)=x^12`{premium}

Zbiorem wartości funkcji...

Funkcja g powstaje poprzez przesunięcie wykresu funkcji f o 3 jednostki w górę. Zbiór wartości funkcji to zbiór:

 

Widać, że funkcja jest stale większa od zera, zatem nie ma miejsc zerowych.

Wykaż, że czworokąt ABCD...

Rysunek poglądowy:

Jeżeli czworokąt ABCD ma być trapezem równoramiennym to trzeba pokazać, że odcinki AB i CD są równoległe i mają różne długości oraz długości ramion są równe.

Jeżeli odcinki są równoległe to wektory je zawierające muszą mieć ten sam kierunek, a więc jeżeli istnieje stała k taka, że:

 

to wektory są równoległe.

Zatem:

 

 

 

 

Porównajmy współrzędne wektorów:

 

 

A więc wektory są rownoległe, czyli odcinki AB i DC są podstawami trapezu.

 

Długości podstaw:

  

 

 

Ramiona trapezu:

 

 

 

 

 

 

A więc czworokąt jest trapezem równoramiennym gdyż ma dwie podstawy równoległe do siebie mające różne długości, natomiast jego ramiona mają równą długość.

Przez punkty M, N i K...

Styczna i promień są do siebie prostopadłe, łatwo zatem sobie wyobrazić, że przy wierzchołku leżącym na przeciwko kąta o mierze 120o będzie kąt o mierze:{premium}

 

Odejmujemy od kąta półpełnego miarę znanego nam kąta gdyż styczne z promieniami tworzą kąty proste. A więc za każdym razem powstaje nam czworokąt którego suma kątów wewnętrznych jest równa 360o a my znamy zawsze trzy z czterech miar.

 

Przy wierzchołku leżącym na przeciwko kąta prostego będzie kąt o mierze:

 

 

Suma miar kątów wewnętrznych w trójkącie jest równa 180o, zatem ostatni kąt ma miarę:

 

Odpowiedź C