Ciąg arytmetyczny i geometryczny - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Ciąg arytmetyczny i geometryczny

Jak pamiętamy ciąg to dla nas po prostu ciąg liczb, czyli ponumerowane liczby, które znajdują się w jakimś ściśle określonym szyku. Tutaj opiszę dwa konkretne szyki, które mają specjalne własności - ciąg arytmetyczny i ciąg geometryczny.

Czym się wyróżniają spośród tej masy liczb?


Ciąg arytmetyczny to tak uporządkowane liczby, że między dwiema kolejnymi liczbami jest stała różnica.

Czyli ciągiem arytmetycznym będą:
  • $$a_n=1,2,3,4,5 $$
  • $$a_n=-2,-4,-6,-8$$
  • $$a_n=0,2/3, 4/3,2, 8/3$$
ale już nie:

$$a_n=1,3,3,3,5$$ , ponieważ najpierw mamy różnicę 2 ($$3-1=2)$$,a potem 0 $$(3-3=0)$$

w ten sam sposób ciągiem arytmetycznym NIE jest:

$$a_n=0,-2,2,-2,2$$ najpierw różnica jest -2, bo $$(0-2)=-2$$, następnie 4, $$(2-(-2)=4)$$ więc ciąg nie jest już arytmetyczny.

Ok. Wszystko ładnie pięknie, ale jak wiemy nikt nam nie będzie tak pięknie życia ułatwiał i wzory będą podawane na przykład w postaci:

$$a_n=4n+5$$
Oczywiście możemy podstawiać liczby pod n i sprawdzać czy różnica się zmienia: $$a_1=4×1+5=9 $$ $$a_2=4×2+5=13 $$ $$a_3=4×3+5=17$$ I jak widać różnica zawsze będzie o 4, ale pozostaje jedna kwestia, nie zawsze przykłady będą tak proste i nie będziemy mieli pewności, czy przy wyrazie nr 343553 różnica nie zacznie się zmieniać. Trzeba więc to udowodnić.

Przykład:

Sprawdź czy ciąg $$a_n=4n+5$$ jest arytmetyczny.

Musimy pokazać, że dla dowolnych dwóch kolejnych liczb ich różnica jest stała. Jak oznaczyć liczbę dowolną? Twórca zadania zrobił to za nas. Oznaczmy ją jako $$a_n$$, musimy mieć kolejne, zatem druga musi być o 1 większa czyli nasze dwie dowolne kolejne liczby to:
$$a_n$$, $$a_{n+1}$$

Chcemy policzyć różnicę $$a_{n+1}$$ oraz $$a_n$$, więc musimy wypisać odjemną i odjemnik. Dla n oczywiście wszystko jest bez zmian:
$$a_n=4n+5$$
Teraz dla n+1
$$a_{n+1}=4(n+1)+5$$
W tym przypadku zwróćmy uwagę na to, że podstawiamy n+1, więc musi być w nawiasie jeśli chodzi o mnożenie:

$$a_{n+1}=4n+4+5=4n+9$$

Teraz liczymy różnicę czyli musimy odjąć te wyrazy od siebie:

$$r=a_{n+1}-a_n$$

Pamiętamy, że $$a_n$$ jest równe $$4n+5$$ i musimy odjąć je jako całość czyli nie piszemy $$-4n+5$$ tylko $$–(4n+5)$$.

$$r=4n+9-(4n+5)$$

$$r=4n+9-4n-5$$

$$r=4$$

Widzimy, że dla dowolnych dwóch wyrazów różnica wynosi 4 i w ogóle nie zależy od $$n$$.


Różnica nie jest stała jeśli w jakikolwiek sposób zależy od $$n$$. Pokaże to przykład pewnego ciągu geometrycznego, który nie jest arytmetyczny. Czym jest ciąg geometryczny?

Również specjalnym szykiem liczb, między którymi zachodzi stały iloraz między jedną a drugą, czyli mnożymy o stałą liczbę kolejne wyrazy, ciągami geometrycznymi są więc ciągi:
 
  • $$ a_n=1,2,4,8,16$$ mnożymy przez 2
  • $$ a_n=1,-1,1,-1,1$$ mnożymy przez -1
  • $$ a_n={1}/{2}, {1}/{6}, 1/{18}, 1/{54}, 1/{162}$$ mnożymy przez 1/3
Ale z kolei ciągami geometrycznymi już nie są:

$$a_n=1,3,6,7,9$$ (ponieważ $$3:1=3$$, ale już $$6:3=2$$)

ani $$a_n=-2,0,3,5,1$$ (ponieważ $$0:(-2)=0$$, a z kolei $$3:0=...$$, no cóż sami widzicie, przez zero dzielić nie wolno)

Skoro już wiemy, co to jest ciąg geometryczny, możemy wziąć np. ciąg o wyrazie ogólnym
$$a_n=2^n$$
I pokazać, że jest geometryczny, a nie jest arytmetyczny.

Dwa kolejne wyrazy tego ciągu to $$a_n=2^n$$ oraz $$a_{n+1}=2^{n+1}$$. Policzmy ich iloraz:

$${a_{n+1}}/{a_{n}}={2^{n+1}}/{2^{n}}=2$$
A zatem iloraz dwóch kolejnych wyrazów jest stały (wynosi 2, czyli nie zależy od n), więc ciąg jest geometryczny. Policzmy teraz różnicę dwóch kolejnych wyrazów:

$$a_{n+1}-a_{n}=2^{n+1}-2^{n}=2×2^{n}-2^{n}=2^{n}$$
A zatem różnica dwóch kolejnych wyrazów zależy od n, więc ciąg nie jest arytmetyczny.


Inny przykład: Sprawdź czy ciąg $$a_n=-4n^2+3$$ jest geometryczny.

Bierzemy znów dwie kolejne liczby $$a_n$$, $$a_{n+1}$$.

Standardowo podstawiamy. Dla n dostajemy wzór na wyraz ogólny ciągu:

$$a_n=-4n^2+3$$

a dla n+1 dostajemy

$$a_{n+1}=-4(n+1)^2+3$$

$$a_{n+1}=-4(n^2+2n+1)+3$$

$$a_{n+1}=-4n^2-8n-4+3$$

$$a_{n+1}=-4n^2-8n-1$$

Musimy teraz policzyć,

$${a_{n+1} }/{a_n} ={-4n^2-8n-1}/{-4n^2+3}$$

Uwaga! Ta postać jest dość trudna, proszę skupić się na tym poniżej:

Musimy każdy z tych członów rozbić do prostszych postaci i sprawdzić czy się skrócą, pomoże nam tutaj postać iloczynowa funkcji kwadratowej, najpierw mianownik (szukamy miejsc zerowych):

$$-4n^2+3$$

$$-4n^2+3=0$$

$$-4n^2=-3$$ $$|:(-4)$$

$$n^2=3/4$$

$$n={√{3} }/{2}$$ v $$n=-{√3}/{2}$$

Zatem:

$$-4n^2+3=-4(n-{√3}/{2})(n+{√3}/{2})$$

Teraz licznik:

$$-4n^2-8n-1$$

Tutaj standardowo zabawimy się z deltą:

$$a=-4$$

$$b=-8$$

$$c=-1$$

Obliczmy deltę:

$$∆=b^2-4ac$$

$$∆=(-8)^2-4×(-4)×(-1)$$

$$∆=64+16$$

$$∆=80$$

Obliczmy od razu pierwiastek z delty:

$$√{∆}=√{80}=√{16×5}=4√{5}$$



No i teraz nasze rozwiązania:

$$n_1={-b+√{∆} }/{2a}$$

$$n_1={-8+4√5}/{-8}={2+√5}/2$$

$$n_2={-b-√{∆} }/{2a}$$

$$n_2={-8-4√5}/{-8}={2-√5}/2$$ Zatem:

$$-4n^2-8n-1=-4(n-{2-√5}/2)(n-{2+√5}/2)$$



Podstawmy nasze ciężkie równania do ułamka:

$${a_{n+1} }/{a_n} ={-4n^2-8n-1}/{-4n^2+3}$$
$${a_{n+1} }/{a_n} ={-4(n-{2-√5}/2)(n-{2+√5}/{2} ) }/{-4(n-{√3}/{2} )(n+{√3}/{2})} $$

Jak widać nic nam się tu nie skraca, a skoro w ilorazie jest nadal liczba n to znaczy, że nie jest on geometryczny, bo iloraz nie jest stały (zależy od n).

 

Uwaga!

- Jeśli z różnych przyczyn n, n+1 będą dość trudne do podstawienia możemy wybrać dwa dowolne inne wyrazy do podstawienia, nawet $$2n+1,2n+2$$, ważne żeby były kolejne.
- Jeśli mamy do obliczenia ciąg geometryczny, w którym są wzory skróconego mnożenia, warto ich nie rozbijać przedwcześnie.
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Sprawdź czy ciąg $$a_n=-1/3 n+6$$ jest arytmetyczny

Bierzemy dwie dowolne kolejne liczby. Weźmy n i n+1 i zróbmy podmianę.

Dla n tak samo:

$$a_n=-1/3 n+6$$

dla $$n+1$$:

$$a_n+1=-1/3 (n+1)+6=-1/3 n-1/3+6=-1/3 n+5 2/3$$

Następnie odejmujemy je od siebie.

$$a_{n+1}-a_n=-1/3 n+5 2/3-(-1/3 n+6)$$

$$a_{n+1}-a_n=-1/3 n+5 2/3+1/3 n-6=-1/3$$

Jak widać ciąg jest arytmetyczny.

Zadanie 2.

Sprawdź czy ciąg $$a_n=n^2$$ jest geometryczny.

Zróbmy podmianę dla dwóch kolejnych liczb n, n+1

Dla n tak samo:

$$a_n=n^2$$

a dla $$n+1$$:

$$a_{n+1}={(n+1)}^2$$

$$a_{n+1}={(n+1)}^2$$

Pozostaje nam sprawdzić iloraz

$${a_{n+1}}/{a_n} ={(n+1)^2}/{n^2} $$

Jak widać nic się tu nie skróci zatem ciąg nie jest geometryczny, bo iloraz dwóch kolejnych wyrazów jest zależny od n.

Zadanie 3.

Znajdź błąd w rozumowaniu:

$$10-10=4-4$$

$$5(2-2)=(2+2)(2-2)$$ $$|∶(2-2)$$

$$5=2+2$$

$$10-10=4-4$$

$$5(2-2)=(2+2)(2-2)$$ $$|:(2-2)$$

(2-2)=0, a przez 0 dzielić nie można!!

Spis treści

Rozwiązane zadania
Znajdź wartość największą i wartość najmniejszą

`a)`

Wyznaczamy współrzędne dwóch punktów leżących na prostej ograniczającej pierwszą półpłaszczyznę:

`y=2x+4`

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=2*0+4=0+4=4`

`x=2\ \ \ ->\ \ \ y=2*2+4=4+4=8`

 

 

Wyznaczamy współrzędne dwóch punktów leżących na prostej ograniczającej drugą półpłaszczyznę:

`y=2x-4`

`x=1\ \ \ ->\ \ \ y=2*1-4=2-4=-2`

`x=3\ \ \ ->\ \ \ y=2*3-4=6-4=2`

 

 

Trzecie i czwarte nierówności są ograniczone przez poziome proste y=-2 i y=6. 

 

 

 

Obliczamy wartości, jakie suma x+y osiąga w wierzchołkach wielokąta: 

`(-3,\ -2):\ \ \ x+y=-3+(-2)=-5\ \ \ -\ \ \ "wartość minimalna"`

`(1,\ -2):\ \ \ \ \ x+y=1+(-2)=-1`

`(5,\ 6):\ \ \ \ \ \ \ \ \ x+y=5+6=11\ \ \ -\ \ \ "wartość maksymalna"`

`(1,\ 6):\ \ \ \ \ \ \ \ \ x+y=1+6=7`

 

 

`ul(ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )))`

 

 

`b)`

Wyznaczamy współrzędne dwóch punktów leżących na prostej ograniczającej drugą półpłaszczyznę:

`y=2x+9`

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=2*0+9=0+9=9`

`x=-2\ \ \ ->\ \ \ y=2*(-2)+9=-4+9=5`

 

 

 

Wyznaczamy współrzędne dwóch punktów leżących na prostej ograniczającej drugą półpłaszczyznę:

`y=2x-6`

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=2*0-6=0-6=-6`

`x=1\ \ \ ->\ \ \ y=2*1-6=2-6=-4`

 

 

 

 

Wyznaczamy współrzędne dwóch punktów leżących na prostej ograniczającej trzecią półpłaszczyznę:

`y=-x-3`

`x=1\ \ \ ->\ \ \ y=-1-3=-4`

`x=2\ \ \ ->\ \ \ y=-2-3=-5`

 

 

 

 

Wyznaczamy współrzędne dwóch punktów leżących na prostej ograniczającej czwartą półpłaszczyznę:

`y=-1/2x+4`

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=-1/2*0+4=0+4=4`

`x=2\ \ \ ->\ \ \ y=-1/2*2+4=-1+4=3`

 

 

Obliczamy wartości, jakie suma x+y osiąga w wierzchołkach wielokąta: 

`(-4,\ 1):\ \ \ \ \ x+y=-4+1=-3\ \ \ -\ \ \ "wartość minimalna"`

`(1,\ -4):\ \ \ \ x+y=1+(-4)=-3\ \ \ -\ \ \ "wartość minimalna"`

`(4,\ 2):\ \ \ \ \ \ \ x+y=4+2=6\ \ \ -\ \ \ "wartość maksymalna"`

`(-2,\ 5):\ \ \ \ x+y=-2+5=3`

 

 

`ul(ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )))`

 

 

`c )`

`{(x-6<=0\ \ \ |+6), (x-y+3>=0\ \ \ \ |-x-3) , (x+y-7<=0\ \ \ |-x+7), (x+3y+3>=0\ \ \ \|-x-3):}`

`{(x<=6), (-y>=-x-3\ \ \ |*(-1)), (y<=-x+7), (3y>=-x-3\ \ \ |:3):}`

`{(x<=6), (y<=x+3), (y<=-x+7), (y>=-1/3x-1):}`

 

 

Pierwsza nierówność jest ograniczona przez pionową prostą x=6. 

 

 

Wyznaczamy współrzędne dwóch punktów leżących na prostej ograniczającej drugą półpłaszczyznę:

`y=x+3`

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=0+3=3`

`x=2\ \ \ ->\ \ \ y=2+3=5`

 

 

 

Wyznaczamy współrzędne dwóch punktów leżących na prostej ograniczającej trzecią półpłaszczyznę:

`y=-x+7`

`x=1\ \ \ ->\ \ \ y=-1+7=6`

`x=3\ \ \ ->\ \ \ y=-3+7=4`

 

 

 

Wyznaczamy współrzędne dwóch punktów leżących na prostej ograniczającej czwartą półpłaszczyznę:

`y=-1/3x-1`

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=-1/3*0-1=0-1=-1`

`x=3\ \ \ ->\ \ \ y=-1/3*3-1=-1-1=-2`

Obliczamy wartości, jakie suma x+y osiąga w wierzchołkach wielokąta: 

`(-3, \ 0):\ \ \ \ \ x+y=-3+0=-3\ \ \ -\ \ \ "wartość minimalna"`

`(6,\ -3):\ \ \ x+y=6+(-3)=3`

`(6,\ 1):\ \ \ \ \ \ x+y=6+1=7\ \ \ -\ \ \ "wartość maksymalna"`

`(2,\ 5):\ \ \ \ \ \ x+y=2+5=7\ \ \ -\ \ \ "wartość maksymalna"`

 

Uprość wyrażenie

W wyrażeniach tego typu warto podać założenia. 

Przy wypisywaniu założeń należy pamiętać o następujących rzeczach:

- nie można dzielić przez 0, więc jeśli przez coś dzielimy, to musimy założyć, że to wyrażenie jest niezerowe

- kreska ułamkowa oznacza dzielenie, więc wyrazenie w mianowniku musi być niezerowe

- potęga o wykładniku ujemnym sprawia, że bierzemy przeciwną potęgę odwrotności danej liczby (tzn. a-k=(1/a)k), więc jeśli mamy potęgę o wykładniku ujemnym, to nie tylko mianownik, ale też licznik musi być niezerowy (bo po odwróceniu licznik staje się mianownikiem)

 

Przypomnijmy jeszcze prawa działań na potęgach:

 

 

`a)` 

`"założenia:"` 

`xne0\ \ \ "i"\ \ \ x^-4ne0\ \ \ =>\ \ \ ul(xne0)` 

 

Przechodzimy do uproszczenia wyrażenia:

`(x^-3*x^9+x^2:x^-4)*x^-4=(x^(-3+9)+x^(2-(-4)))*x^-4=(x^6+x^6)*x^-4=2x^6*x^-4=2x^(6+(-4))=2x^2` 

 

Obliczamy wartość liczbową wyrażenia:

`2x^2=2*(3sqrt2)^2=2*3^2*sqrt2^2=2*9*2=36` 

 

 

 

`b)` 

`"założenia:"` 

`3xne0\ \ \ "i"\ \ \ (9x^2)^3*(3x)^-2ne0\ \ \ "i"\ \ \ (27x^3)^2*(3x)^-3ne0\ \ \ =>\ \ \ ul(xne0)` 

 

Przechodzimy do uproszczenia wyrażenia:

`((9x^2)^3*(3x)^-2)^-2:((27x^3)^2*(3x)^-3)^-2=(((3x)^2)^3*(3x)^-2)^-2:(((3x)^3)^2*(3x)^-3)^-2=` 

`=((3x)^6*(3x)^-2)^-2:((3x)^6*(3x)^-3)^-2=((3x)^4)^-2:((3x)^3)^-2=(3x)^-8:(3x)^-6=(3x)^(-8-(-6))=(3x)^-2` 

 

Obliczamy wartość liczbową wyrażenia:

`(3x)^-2=(strike3^1*5/strike6^2)^-2=(5/2)^-2=(2/5)^2=4/25` 

 

Wyznacz równanie prostej zawierającej wysokość...

Rysunek poglądowy:

 

Wyznaczmy prostą AB:

`{(f(-3)=1),(f(4)=-1):}` 

`{(-3a+b=1),(4a+b=-1):}` 

`underline(underline(stackrel(\)(-) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

`-7a = 1-(-1)` 

`-7a = 2` 

`a = -2/7` 

Zatem:

`-3*(-2/7) + b = 1`  

`6/7 + b = 1` 

`b = 1/7` 

 

Wzór funkcji:

`f(x) = -2/7x+1/7` 

 

Wyznaczmy wzór funkcji prostopadłej do tej prostej przechodzącej przez punkt C:

`g(x) = 7/2x + b` 

`g(2)=6` 

`7/2*2+b=6` 

`7+b=6` 

`b = -1` 

 

`g(x) = 7/2x -1` 

Uzupełnij tabelę

`a)`

`x`  `-3`  `-2`  `-1`  `0`   `1`  `2`  `3` 
`f(x)`  `8`  `4`  `2`      `1`   `1/2`   `1/4`   `1/8` 

 

 

`b)` 

`y=2^-x` 

Oto schematyczny plan alejek w parku

Dana jest funkcja f określona ...

`f(x)=-2(x-3)(x+4)` 

`x-3=0\ implies \x=3` 

`x_1=3` 

 

`x+4=0\ implies\ x=-4` 

`x_2=-4` 

 

`p=(x_1+x_2)/2=(3-4)/2=-1/2` 

`q=f(p)=-2(-1/2-3)(-1/2+4)=-2(-7/2)*7/2=-2*(49/4)=49/2` 

`W=(p;q)=(-1/2;49/2)`

Miejscami zerowymi funkcji f są liczby -4, 0, 7.

Miejsca zerowe są to takie argumenty funkcji, dla których przyjmuje ona wartość 0. Pierwsze współrzędne (iksowe) punktów należących do funkcji f(x) i f(-x) są liczbami przeciwnymi, a że miejsca zerowe opisuje się właśnie przez współrzędną iksową (bo ta druga dla miejsc zerowych zawsze wynosi 0), to miejscami zerowymi funkcji f(-x) będą liczby przeciwne do miejsc zerowych funkcji f(x).

`x_1=-(-4)=ul(4)`

`x_2=-0=ul(0)`

`x_3=ul(-7)`

Znajdź najmniejszą lub największą wartość...

`"a)"` Dla funkcji `f` mamy: `a=-4,\ b=1,\ c=12.`   

Współczynnik `a` paraboli jest ujemny, więc ramiona paraboli skierowane są do dołu.

Zatem funkcja `f` przyjmuje wartość nawiększą w wierzchołku paraboli.

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego:

`Delta=1-4*(-4)*12=1+48=49` 

Obliczamy największą wartość funkcji (rzędną wierzchołka paraboli):

`y_w=-Delta/(4a)` 

`y_w=-49/(4*(-4))=-49/(-16)=49/16`   

`y_(max)=49/16`    

 

`"b)"` Dla funkcji `f` mamy: `a=sqrt3,\ b=-5,\ c=-1,25.`   

Współczynnik `a` paraboli jest dodatni, więc ramiona paraboli skierowane są do góry.

Zatem funkcja `f` przyjmuje wartość najmniejszą w wierzchołku paraboli.

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego:

`Delta=(-5)^2-4*sqrt3*(-1,25)=25+5sqrt3` 

Obliczamy najmniejszą wartość funkcji (rzędną wierzchołka paraboli):

`y_w=-Delta/(4a)` 

`y_w=-(25+5sqrt3)/(4sqrt3)*sqrt3/sqrt3=-(25sqrt3+15)/12`   

`y_(min)=-(25sqrt3+15)/12`  

 

`"c)"` Dla funkcji `f` mamy: `a=2,\ b=-2sqrt2,\ c=1.`   

Współczynnik `a` paraboli jest dodatni, więc ramiona paraboli skierowane są do góry.

Zatem funkcja `f` przyjmuje wartość najmniejszą w wierzchołku paraboli.

Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego:

`Delta=(-2sqrt2)^2-4*2*1=8-8=0` 

Obliczamy najmniejszą wartość funkcji (rzędną wierzchołka paraboli):

`y_w=-Delta/(4a)` 

`y_w=0`   

`y_(min)=0`  

Sporządź tabelę

Oblicz odległość między liczbami:

`a) \ |2 -(-12)| = |2 + 12| = |14| = 14` 

 

`b) \ |-5 -24| = |-29| = 29` 

 

`c) \ |-4,3 - 2,8| = |-7,1| = 7,1` 

 

`d) \ |-1+sqrt2 - sqrt2| = |-1| = 1` 

 

`e) \ | 4 - 1,6| = | 2,4| = 2,4` 

 

`f) \ |-7 -(-12)| = |-7 + 12|= |5|= 5`