Ciąg arytmetyczny - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Ciąg arytmetyczny i jego suma

W tym temacie przekażemy Wam niezbędne informacje, w jaki sposób sprawdzić ile wynosi dowolny wyraz (piąty, szósty itd.) ciągu arytmetycznego, a także jak szybko policzyć sumę N wyrazów tego ciągu, na przykład 20 czy 40 wyrazów.

Pamiętamy, że ciąg arytmetyczny to taki, w którym pomiędzy jego wyrazami występuje stała różnica.

Wszystko omówimy na prostym przykładzie:
$$a_n=2,4,6,8,10,x$$

Widzimy, że jest arytmetyczny (stała różnica wynosi 2). Jednak nie znamy wartość x. Możemy bez liczenia odpowiedzieć, że wynosi 12. Jednakże znacznie trudniej jest to obliczyć w pamięci w bardziej skomplikowanych przypadkach.

$$a_n=1/3, 1/{12}, -1/6, -5/{12},x$$

W tym przykładzie nie będzie już tak prosto.
Musimy najpierw obliczyć różnicę. Skoro wiemy, że jest to ciąg arytmetyczny, wystarczy odjąć dwa dowolne sąsiednie wyrazy od siebie - weźmy trzeci oraz czwarty:

$$r={-5}/{12} - (-1/6)$$

$$r={-5}/{12}+1/6$$

$$r={-5}/{12}+2/{12}$$

$$r={-3}/{12}={-1}/4$$

Posiadamy już różnicę. Teraz przedstawiamy wzór na wartość dowolnego wyrazu ciągu arytmetycznego:

$$a_n=a_1+(n-1)×r$$

dla naszego x, czyli piątego wyrazu: $$a_5=a_1+(5-1)×r$$

Jak widzimy jest to podstawa ($$a_1$$) oraz 4 różnice ($$(5-1)×r$$).

$$a_5=a_1+4×r$$

$$a_5=1/3+4×1/4=1/3+1=1 1/3 $$

Pamiętajmy również o ważnej własności - wyraz środkowy jest średnią liczb sąsiednich, z czego wynika, że:

$$a_{n-1}, a_n, a_{n+1}$$ -> kolejne trzy wyrazy

$$a_n={a_{n-1}+a_{n+1}}/2$$
 

Suma ciągu arytmetycznego

Aby obliczyć sumę ciągu arytmetycznego potrzebujemy następujących danych:
  • Pierwszy wyraz: $$a_1$$
  • Ilość wyrazów, których sumę zamierzamy policzyć: $$N$$
  • Ostatni wyraz: $$a_N$$
Wzór na sumę wygląda następująco:

$$S_N={a_1+a_N}/{2}×N$$

Spotykana jest również inna odmiana tego wzoru:

$$S_N={2a_1+(N-1)r}/2×N$$

(pod $$a_N$$ pierwszego wzoru został podstawiony po prostu wzór na wartość dowolnego wyrazu: $$a_n=a_1+(n-1)×r$$)

Przykład:

Oblicz sumę pierwszych dziesięciu wyrazów ciągu arytmetycznego o różnicy $$r=-2$$ i trzecim wyrazie równym $$a_3=4$$ .

Potrzebujemy podstawy, zatem obliczmy $$a_1$$ ze wzoru na dowolny wyraz:

$$a_3=a_1+(3-1)×r$$

$$4= a_1+2×(-2)$$

$$4=a_1-4$$

$$a_1=8$$

Wiemy, że musimy mieć sumę 10 wyrazów, zatem $$N=10$$.

Pozostaje nam odnaleźć ostatni wyraz czyli $$a_{10}$$

Również użyjmy wzoru na dowolny wyraz: $$a_{10}=a_1+(10-1)×r$$

$$a_{10}=8+9×(-2)$$

$$a_{10}=-10$$

Posiadamy już wszystkie wartości do podstawienia ich do wzoru na sumę ciągu:

$$a_1=8$$

$$N=10$$

$$a_{10}=-10$$

$$S_N={a_1+a_N}/{2}×N$$

$$S_N={8-10}/{2}×10$$

$$S_N={-2}/{2}×10=-10$$

Zatem suma naszych wyrazów wynosi $$-10$$.

Uwaga!

Wszystkie użyte wzory zawarte w tym temacie znajdują się w karcie wzorów maturalnych.
Wzór na dowolny wyraz jest uniwersalnym wzorem, działa dla każdego ciągu arytmetycznego.
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Oblicz trzeci, piąty i dziesiąty wyraz ciągu arytmetycznego o różnicy $$r=-3$$ i $$a_2=33$$.

Tutaj korzystamy tylko i wyłącznie z wzoru na dowolny wyraz.

$$a_n=a_1+(n-1)×r$$

Najpierw policzmy sobie nasze $$a_1$$

$$a_2=a_1+(2-1)×r$$

$$a_2=a_1+(2-1)×r$$

$$33=a_1-3$$

$$a_1=36$$

Skoro mamy $$a_1$$ szybko obliczamy pozostałe wyrazy.

Trzeci:

$$a_3=a_1+(3-1)×r$$

$$a_3=36+2×(-3)$$

$$a_3=36-6$$

$$a_3=30$$

Piąty:

$$a_5=a_1+(5-1)*r$$

$$a_5=36+4×(-3)$$

$$a_5=36-12$$

$$a_5=24$$

oraz dziesiąty:

$$a_{10}=a_1+(10-1)×r$$

$$a_{10}=36+9×(-3)$$

$$a_{10}=36-27$$

$$a_{10}=9$$

Zadanie 2.

Znajdź różnicę ciągu arytmetycznego oraz jego pierwszy wyraz jeżeli $$a_5=4$$ i $$a_7=14$$.

Znajdźmy różnicę. Wiemy z wzoru na dowolny wyraz, że:

$$a_7=a_1+6r$$

$$a_5=a_1+4r$$

Zatem różnica pomiędzy nimi:

$$a_7-a_5=a_1+6r-(a_1+4r)=2r$$

Zatem:

$$14-4=2r$$

$$10=2r$$

$$r=5$$

Pozostaje nam znaleźć pierwszy wyraz z wzoru na dowolny wyraz:

$$a_n=a_1+(n-1)×r$$

weźmy wyraz piąty, którego wartość już znamy:

$$a_5=a_1+(5-1)×r$$

$$4=a_1+4*5$$

$$4=a_1+20$$

$$a_1=-16$$

Zadanie 3.

Wyznacz minimalną sumę dwudziestu wyrazów ciągu arytmetycznego, jeżeli wyrazy są liczbami naturalnymi i są większe o 2 od różnicy $$r=3$$.

W zadaniu mamy podane dwadzieścia wyrazów, tak więc $$N=20$$. Potrzebujemy sumy minimalnej, czyli jak najmniejszej.

Liczby naturalne większe od 2, więc najmniejsza kolejna to 3, $$a_1=3$$.

Różnica to 3, czyli $$r=3$$.

Potrzebujemy jedynie 20-tego wyrazu:

$$a_N=a_1+(N-1)×r$$

$$a_{20}=3+(20-1)×r$$

$$a_{20}=3+19×3$$

$$a_{20}=60$$ -> wartość 20-tego wyrazu.

Pozostaje nam obliczyć sumę:

$$S_N={a_1+a_N}/{2}×N$$

$$S_{20}={a_1+a_{20} }/{2}×20$$

$$S_{20}={3+63}/{2}×20$$

$$S_{20}=33*20=660$$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Wykaż, że...

Wykorzystajmy założenie:

`sin alpha + cos alpha = m`{premium} 

 

Naszkicuj na rysunku przedstawiającym wykres ...

 

 

 

Napisz równanie prostej prostopadłej ...

Iloczyn współczynników kierunkowych prostych prostopadłych jest równy -1. 

 

Aby wyliczyć wartość współczynnika b wystarczy podstawić współrzędne punktu A do powyższego równania: 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Bankowa stopa lombardowa...

1 Punkt bazowy to 1/100 punktu procentowego:

 

 

a) Obliczmy o ile punktów procentowych zmieniła się stopa lombardowa:

 

Zamieńmy punkty procentowe na punkty bazowe:

 

 

b) Zamieńmy procenty na liczby:

 

 

Obliczmy różnicę:

 

Przyrównajmy jakim procentem początkowej stopy lombardowej jest powyższa różnica:

 

Wysokość nad poziomem morza możemy w przybliżeniu

       

       

   

Zgodnie z definicją logarytmu:

 

Dane są liczby a, b, c. Prawdą jest, że:

 {premium}

 

 

Mamy więc:

 


Prawidłowa odpowiedź to C.

Czworokąt ABCD jest wpisany...

Rysunek poglądowy:{premium}

podglad pliku

Jest to trapez równoramienny.

 

 

A więc:

 

Stąd

 

 

Odpowiedź C

Określ, czy poniższe przybliżenie jest przybliżeniem z niedomiarem

{premium}

 

 

 

 

Obrazem punktu A w jednokładności ...

 

 

 

 

  

 

{premium}

 

 

 

    

  

 

Porównujemy współrzędne.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

  

  

     

  

 

Porównujemy współrzędne.

 

 

  

   

Wykaż, że...

Przekształcimy wyrażenie by skorzystać ze znanego nam faktu zależności między funkcjami trygonometrycznymi:{premium}

 

 

 

Jest to jedynka trygonometryczna, jest ona prawdziwa dla dowolnego kąta. W szczególności jest prawdziwa dla kąta 13o.