Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Ciąg arytmetyczny - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Ciąg arytmetyczny i jego suma

W tym temacie przekażemy Wam niezbędne informacje, w jaki sposób sprawdzić ile wynosi dowolny wyraz (piąty, szósty itd.) ciągu arytmetycznego, a także jak szybko policzyć sumę N wyrazów tego ciągu, na przykład 20 czy 40 wyrazów.

Pamiętamy, że ciąg arytmetyczny to taki, w którym pomiędzy jego wyrazami występuje stała różnica.

Wszystko omówimy na prostym przykładzie:
$$a_n=2,4,6,8,10,x$$

Widzimy, że jest arytmetyczny (stała różnica wynosi 2). Jednak nie znamy wartość x. Możemy bez liczenia odpowiedzieć, że wynosi 12. Jednakże znacznie trudniej jest to obliczyć w pamięci w bardziej skomplikowanych przypadkach.

$$a_n=1/3, 1/{12}, -1/6, -5/{12},x$$

W tym przykładzie nie będzie już tak prosto.
Musimy najpierw obliczyć różnicę. Skoro wiemy, że jest to ciąg arytmetyczny, wystarczy odjąć dwa dowolne sąsiednie wyrazy od siebie - weźmy trzeci oraz czwarty:

$$r={-5}/{12} - (-1/6)$$

$$r={-5}/{12}+1/6$$

$$r={-5}/{12}+2/{12}$$

$$r={-3}/{12}={-1}/4$$

Posiadamy już różnicę. Teraz przedstawiamy wzór na wartość dowolnego wyrazu ciągu arytmetycznego:

$$a_n=a_1+(n-1)×r$$

dla naszego x, czyli piątego wyrazu: $$a_5=a_1+(5-1)×r$$

Jak widzimy jest to podstawa ($$a_1$$) oraz 4 różnice ($$(5-1)×r$$).

$$a_5=a_1+4×r$$

$$a_5=1/3+4×1/4=1/3+1=1 1/3 $$

Pamiętajmy również o ważnej własności - wyraz środkowy jest średnią liczb sąsiednich, z czego wynika, że:

$$a_{n-1}, a_n, a_{n+1}$$ -> kolejne trzy wyrazy

$$a_n={a_{n-1}+a_{n+1}}/2$$
 

Suma ciągu arytmetycznego

Aby obliczyć sumę ciągu arytmetycznego potrzebujemy następujących danych:
  • Pierwszy wyraz: $$a_1$$
  • Ilość wyrazów, których sumę zamierzamy policzyć: $$N$$
  • Ostatni wyraz: $$a_N$$
Wzór na sumę wygląda następująco:

$$S_N={a_1+a_N}/{2}×N$$

Spotykana jest również inna odmiana tego wzoru:

$$S_N={2a_1+(N-1)r}/2×N$$

(pod $$a_N$$ pierwszego wzoru został podstawiony po prostu wzór na wartość dowolnego wyrazu: $$a_n=a_1+(n-1)×r$$)

Przykład:

Oblicz sumę pierwszych dziesięciu wyrazów ciągu arytmetycznego o różnicy $$r=-2$$ i trzecim wyrazie równym $$a_3=4$$ .

Potrzebujemy podstawy, zatem obliczmy $$a_1$$ ze wzoru na dowolny wyraz:

$$a_3=a_1+(3-1)×r$$

$$4= a_1+2×(-2)$$

$$4=a_1-4$$

$$a_1=8$$

Wiemy, że musimy mieć sumę 10 wyrazów, zatem $$N=10$$.

Pozostaje nam odnaleźć ostatni wyraz czyli $$a_{10}$$

Również użyjmy wzoru na dowolny wyraz: $$a_{10}=a_1+(10-1)×r$$

$$a_{10}=8+9×(-2)$$

$$a_{10}=-10$$

Posiadamy już wszystkie wartości do podstawienia ich do wzoru na sumę ciągu:

$$a_1=8$$

$$N=10$$

$$a_{10}=-10$$

$$S_N={a_1+a_N}/{2}×N$$

$$S_N={8-10}/{2}×10$$

$$S_N={-2}/{2}×10=-10$$

Zatem suma naszych wyrazów wynosi $$-10$$.

Uwaga!

Wszystkie użyte wzory zawarte w tym temacie znajdują się w karcie wzorów maturalnych.
Wzór na dowolny wyraz jest uniwersalnym wzorem, działa dla każdego ciągu arytmetycznego.
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Oblicz trzeci, piąty i dziesiąty wyraz ciągu arytmetycznego o różnicy $$r=-3$$ i $$a_2=33$$.

Tutaj korzystamy tylko i wyłącznie z wzoru na dowolny wyraz.

$$a_n=a_1+(n-1)×r$$

Najpierw policzmy sobie nasze $$a_1$$

$$a_2=a_1+(2-1)×r$$

$$a_2=a_1+(2-1)×r$$

$$33=a_1-3$$

$$a_1=36$$

Skoro mamy $$a_1$$ szybko obliczamy pozostałe wyrazy.

Trzeci:

$$a_3=a_1+(3-1)×r$$

$$a_3=36+2×(-3)$$

$$a_3=36-6$$

$$a_3=30$$

Piąty:

$$a_5=a_1+(5-1)*r$$

$$a_5=36+4×(-3)$$

$$a_5=36-12$$

$$a_5=24$$

oraz dziesiąty:

$$a_{10}=a_1+(10-1)×r$$

$$a_{10}=36+9×(-3)$$

$$a_{10}=36-27$$

$$a_{10}=9$$

Zadanie 2.

Znajdź różnicę ciągu arytmetycznego oraz jego pierwszy wyraz jeżeli $$a_5=4$$ i $$a_7=14$$.

Znajdźmy różnicę. Wiemy z wzoru na dowolny wyraz, że:

$$a_7=a_1+6r$$

$$a_5=a_1+4r$$

Zatem różnica pomiędzy nimi:

$$a_7-a_5=a_1+6r-(a_1+4r)=2r$$

Zatem:

$$14-4=2r$$

$$10=2r$$

$$r=5$$

Pozostaje nam znaleźć pierwszy wyraz z wzoru na dowolny wyraz:

$$a_n=a_1+(n-1)×r$$

weźmy wyraz piąty, którego wartość już znamy:

$$a_5=a_1+(5-1)×r$$

$$4=a_1+4*5$$

$$4=a_1+20$$

$$a_1=-16$$

Zadanie 3.

Wyznacz minimalną sumę dwudziestu wyrazów ciągu arytmetycznego, jeżeli wyrazy są liczbami naturalnymi i są większe o 2 od różnicy $$r=3$$.

W zadaniu mamy podane dwadzieścia wyrazów, tak więc $$N=20$$. Potrzebujemy sumy minimalnej, czyli jak najmniejszej.

Liczby naturalne większe od 2, więc najmniejsza kolejna to 3, $$a_1=3$$.

Różnica to 3, czyli $$r=3$$.

Potrzebujemy jedynie 20-tego wyrazu:

$$a_N=a_1+(N-1)×r$$

$$a_{20}=3+(20-1)×r$$

$$a_{20}=3+19×3$$

$$a_{20}=60$$ -> wartość 20-tego wyrazu.

Pozostaje nam obliczyć sumę:

$$S_N={a_1+a_N}/{2}×N$$

$$S_{20}={a_1+a_{20} }/{2}×20$$

$$S_{20}={3+63}/{2}×20$$

$$S_{20}=33*20=660$$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Wyznacz współrzędne wierzchołka paraboli...

`a) \ f(x) = x^2 - 2x - 3 = x^2 - 2x + 1 - 4 = (x-1)^2 -4` 

Wierzchołek paraboli ma współrzędne:

`W = (1,4)` 

Parabola jest skierowana ramionami ku górze a więc

`"maleje dla" \ x in (-oo, 1]` 

`"rośnie dla" \ x in [1, oo)` 

 

`b) \ f(x) = 2x^2 + 5x` 

`Delta = 5^2 - 4 * 2 * 0 = 25` 

`p = -5/(2*2) = -5/4` 

`q = -25/(4*2) = -25/8` 

`W = (-5/4 , -25/8)` 

 

`f(x) = 2(x + 5/4)^2 -25/8` 

Parabola jest skierowana ramionami ku górze a więc

`"maleje dla" \ x in (-oo, -5/4]`  

`"rośnie dla" \ x in [-5/4, oo)` 

 

`c) \ f(x) = 1/2x^2 + x + 1`

`Delta = 1^2 - 4 * 1/2 * 1 = 1 - 2 = -1` 

`p = -1/(2*1/2) = -1/1 = -1` 

`q = -(-1)/(4*1/2) = 1/2` 

`W = (-1, 1/2)` 

 

`f(x) = 1/2(x+1)^2 + 1/2` 

Parabola jest skierowana ramionami ku górze a więc

`"maleje dla" \ x in (-oo, -1]`  

`"rośnie dla" \ x in [-1, oo)` 

 

`d) \ f(x) = -x^2 + sqrt3x-6` 

`Delta = (sqrt3)^2 - 4*(-1)*(-6) = 3 - 24 = -21` 

`p = -sqrt3/(2*(-1)) = sqrt3/2` 

`q = -(-21)/(4*(-1)) = -21/4` 

 

`f(x) = -(x-sqrt3/2)^2 -21/4` 

Parabola jest skierowana ramionami ku dołowi a więc

`"rośnie dla" \ x in (-oo, sqrt3/2]`  

`"maleje dla" \ x in [sqrt3/2, oo)` 

Rozwiąż algebraicznie i graficznie układ równań

`a)`

`ul(ul("sposób algebraiczny"))`

`{(x-y=-5), (2x+y=-4):}\ \ \ \ \ |+`

`3x=-9\ \ \ |:3`

`x=-3`

 

Podstawiamy do drugiego równania: 

`2*(-3)+y=-4`

`-6+y=-4\ \ \ \ |+6`

`y=2`

 

`{(x=-3), (y=2):}`

 

 

`ul(ul("sposób graficzny"))`

Przekszatłcamy równania prostych do postaci kierunkowej. 

`{(x-y=-5\ \ \ |-x), (2x+y=-4\ \ \ |-2x):}`

`{(-y=-x-5\ \ \ |*(-1)), (y=-2x-4):}`

`{(y=x+5), (y=-2x-4):}`

 

Dla każdej prostej wyznaczamy współrzędne dwóch punktów, które umożliwią narysowanie wykresu. 

`y=x+5`

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=0+5=5`

`x=-2\ \ \ ->\ \ \ y=-2+5=3`

 

 

`y=-2x-4`

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=-2*0-4=0-4=-4`

`x=-1\ \ \ ->\ \ \ y=-2*(-1)-4=2-4=-2`

 

 

 

Odczytujemy współrzędne punktu przecięcia wykresów - jest to rozwiązanie układu równań. 

`{(x=-3), (y=2):}`

 

 

`ul(ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )))`

 

 

`b)`

`ul(ul("sposób algebraiczny"))`

`{(3x-y=3\ \ \ |*(-3)), (x-3y=-15):}`

`{(-9x+3y=-9), (x-3y=-15):}\ \ \ \ |+`

`-8x=-24\ \ \ |:(-8)`

`x=3`

Podstawiamy do pierwszego równania pierwszego układu:

`3*3-y=3`

`9-y=3\ \ \ |-9`

`-y=-6\ \ \ |*(-1)`

`y=6`

 

`{(x=3), (y=6):}`

 

 

`ul(ul("sposób graficzny"))`

`{(3x-y=3\ \ \ |-3x), (x-3y=-15\ \ \ |-x):}`

`{(-y=-3x+3\ \ \ |*(-1)), (-3y=-x-15\ \ \ \|:(-3)):}`

`{(y=3x-3), (y=1/3x+5):}`

 

`y=3x-3`

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=3*0-3=0-3=-3`

`x=2\ \ \ ->\ \ \ y=3*2-3=6-3=3`

 

 

`y=1/3x+5`

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=1/3*0+5=0+5=5`

`x=3\ \ \ ->\ \ \ y=1/3*3+5=1+5=6`

 

 

`{(x=3), (y=6):}`

 

 

`ul(ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )))`

 

 

`c)`

`ul(ul("sposób algebraiczny"))`

`{(3x-2y=5), (x-y=3\ \ \ |*(-2)):}`

`{(3x-2y=5), (-2x+2y=-6):}\ \ \ \ |+`

`x=-1`

Podstawiamy do drugiego równania pierwszego układu: 

`-1-y=3\ \ \ |+1`

`-y=4\ \ \ |*(-1)`

`y=-4`

 

`{(x=-1), (y=-4):}`

 

`ul(ul("sposób graficzny"))`

`{(3x-2y=5\ \ \ \|-3x), (x-y=3\ \ \ \|-x):}`

`{(-2y=-3x+5\ \ \ |:(-2)), (-y=-x+3\ \ \ |*(-1)):}`

`{(y=3/2x-5/2), (y=x-3):}`

 

`y=3/2x-5/2`

`x=1\ \ \ ->\ \ \ y=3/2*1-5/2=3/2-5/2=-2/2=-1`

`x=3\ \ \ ->\ \ \ y=3/2*3-5/2=9/2-5/2=4/2=2`

 

 

`y=x-3`

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=0-3=-3`

`x=2\ \ \ ->\ \ \ y=2-3=-1`

 

`{(x=-1), (y=-4):}`

 

 

`ul(ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )))`

 

 

`d)`

`ul(ul("sposób algebraiczny"))`

`{(3x+4y=-19), (1/2x-y=-1.5\ \ \ |*4):}` 

`{(3x+4y=-19), (2x-4y=-6):}\ \ \ \ |+` 

`5x=-25\ \ \ |:5` 

`x=-5` 

Podstawiamy do pierwszego równania pierwszego układu: 

`3*(-5)+4y=-19` 

`-15+4y=-19\ \ \ |+15`  

`4y=-4\ \ \ |:4` 

`y=-1` 

`{(x=-5), (y=-1):}`

 

 

`ul(ul("sposób graficzny"))` 

 `{(3x+4y=-19\ \ \ \ |-3x), (1/2x-y=-1.5\ \ \ |-1/2x):}` 

`{(4y=-3x-19\ \ \ |:4), (-y=-1/2x-1.5\ \ \ |*(-1)):}`  

 

`{(y=-3/4x-19/4), (y=1/2x+1 1/2):}` 

 

`y=-3/4x-19/4` 

`x=-1\ \ \ ->\ \ \ y=-3/4*(-1)-19/4=3/4-19/4=-16/4=-4` 

`x=-5\ \ \ ->\ \ \ y=-3/4*(-5)-19/4=15/4-19/4=-4/4=-1` 

 

 

`y=1/2x+1 1/2` 

`x=1\ \ \ ->\ \ \ y=1/2*1+1 1/2=1/2+1 1/2=2` 

`x=3\ \ \ ->\ \ \ y=1/2*3+1 1/2=3/2+1 1/2=1 1/2+1 1/2=3` 

 

 

`{(x=-5), (y=-1):}` 

 

 

`ul(ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )))` 

 

`e)` 

`ul(ul("sposób algebraiczny"))` 

`{(0.5y-0.125x=1.5\ \ \ \ |*(-8)), (1/4y-1/32x=1\ \ \ |*32):}`  

`{(-4y+x=-12), (8y-x=32):}\ \ \ \ |+` 

`4y=20\ \ \ \ |:4` 

`y=5` 

Podstawiamy do pierwszego równania ostatniego układu:

`-4*5+x=-12`  

`-20+x=-12\ \ \ |+20` 

`x=8` 

 

`{(x=8), (y=5):}` 

 

 

 

`ul(ul("sposób graficzny"))` 

`{(0.5y-0.125x=1.5\ \ \ |+0.125x), (1/4y-1/32x=1\ \ \ |+1/32x):}` 

`{(0.5y=0.125x+1.5\ \ \ |*2), (1/4y=1/32x+1\ \ \ |*4):}` 

`{(y=0.25x+3), (y=1/8x+4):}` 

`{(y=1/4x+3), (y=1/8x+4):}` 

 

`y=1/4x+3` 

`x=4\ \ \ ->\ \ \ y=1/4*4+3=1+3=4` 

`x=-4\ \ \ ->\ \ \ y=1/4*(-4)+3=-1+3=2` 

 

 

`y=1/8x+4` 

`x=8\ \ \ ->\ \ \ y=1/8*8+4=1+4=5` 

`x=-8\ \ \ ->\ \ \ y=1/8*(-8)+4=-1+4=3` 

 

 

 

 

 

`ul(ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )))` 

 

 

 `f)` 

`ul(ul("sposób algebraiczny"))` 

`{(2y-(3x-4)/2=0\ \ \ |*2), (y-1.5x=5\ \ \ |*2):}` 

 

`{(4y-(3x-4)=0), (2y-3x=10):}` 

`{(4y-3x+4=0\ \ \ |-4), (2y-3x=10\ \ \ |*(-2)):}` 

`{(4y-3x=-4), (-4y+6x=-20):}\ \ \ |+` 

`3x=-24\ \ \ |:3` 

`x=-8` 

Podstawiamy do pierwszego równania pierwszego układu:

`y-1.5*(-8)=5` 

`y+12=5\ \ \ |-12` 

`y=-7` 

 

`{(x=-8), (y=-7):}` 

 

 

 

`ul(ul("sposób graficzny"))` 

`{(2y-(3x-4)/2=0\ \ \ |+(3x-4)/2), (y-1.5x=5 \ \ \ \ |+1.5x):}`  

`{(2y=(3x-4)/2\ \ \ |:2), (y=1.5x+5):}` 

`{(y=(3x-4)/4),(y=1 1/2x+5):}` 

`{(y=3/4x-1), (y=3/2x+5):}` 

 

`y=3/4x-1` 

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=3/4*0-1=0-1=-1` 

`x=4\ \ \ ->\ \ \ y=3/4*4-1=3-1=2` 

 

 

`y=3/2x+5` 

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=3/2*0+5=0+5=5` 

`x=-2\ \ \ ->\ \ \ y=3/2*(-2)+5=-3+5=2` 

 

 

`{(x=-8), (y=-7):}` 

 

Oblicz pole wycinka koła, korzystając z danych

a)

Pole wycinka koła obliczamy ze wzoru:

`P=(alpha)/(360^o)*pir^2`

`P=(270^o)/(360^o)*pir^2=3/4*pi8^2=ul(ul(48pi))`

b)

Obliczymy obwód okręgu, gdyż znając długość łuku i długość całego okręgu możemy obliczyć kąt rozwarcia tego łuku

`O=2*pi*10=20pi`

`(alpha)/(360^o)=(8pi)/(20pi)=4/10`

`P=(alpha)/(360^o)*pir^2=4/10*pi10^2=ul(ul(40pi))`

c)

Do obliczenia pola wycinka brakuje nam długości promienia. Obliczamy promień okręgu wstawiając dane do wzoru na długość łuku.

`d=alpha/(360^o)*2pir`

`12pi= (108^o)/(360^o)*2pir`      `/:pi`

`12= (108^o)/(360^o)*2r`

`12= 3/5r`             `/*5/3`

`12*5/3=r`

`r=60/3=20`

 

`P=(alpha)/(360^o) * pir^2= (108^o)/(360^o)pi20^2=27/90*400 pi=ul(ul(120pi))`

 

 

Uzupełnij tabele

Dana jest funkcja f(x)= ...

`f(x)=x^2` 

 

`a)` 

`g(x)=4-f(-x)` 

`g(x)=4-(-x)^2=4-x^2` 

 

`b)` 

`g(x)=1-f(x+3)` 

`g(x)=1-(x+3)^2=1-(x^2+6x+9)=-x^2-6x-8` 

 

`c)` 

`g(x)=4-f(2-x)`   

`g(x)=4-(2-x)^2=4-2+4x-x^2=-x^2+4x+2` 

Funkcję opisano za pomocą grafu...

a) Zauważmy, że każdej liczbie przyporządkowano liczbę o 5 większą.

`f(x) = x+5` 

Dziedzina:

`D = {-2,-1,0,1}` 

Zbiór wartości:

`Z_w = {3,4,5,6}` 

 

Przyporządkowanie odwrotne jest funkcją bo każdy argument ma jedną wartość.

 

b) Zauważmy, że każdej liczbie przyporządkowano jej kwadrat.

`f(x) = x^2` 

Dziedzina:

`D = {1,2,3,4,5}` 

Zbiór wartości:

`Z_w = {1,4,9,16,25}` 

 

Przyporządkowanie odwrotne jest funkcją bo każdy argument ma jedną wartość.

 

c) Każdej dodatniej liczbie przyporządkowano 1 a każdej ujemnej -1.

`f(x) = {(1 \ \ \ \ \ \ \ \ ","  \ x in {1,3,5}),(-1 \ \ \ \ \ "," \  x in {-5,-3,-1}):}` 

Dziedzina:

`D = {-5,-3,-1,1,3,5}` 

Zbiór wartości:

`Z_w = {-1,1}` 

 

Przyporządkowanie odwrotne nie jest funkcją bo jeden element miałby przyporządkowane kilka elementów.

 

d) Każdej liczbie przyporządkowano jej podwojony moduł.

`f(x) =2|x|`   

Dziedzina:

`D = {-2,-1,0,1,2}` 

Zbiór wartości:

`Z_w = {0,1,4}`

 

Przyporządkowanie odwrotne nie jest funkcją bo elementy 1,4 miałyby przyporządkowane dwa elementy każdy.

Wyznacz dwie liczby naturalne

Jeśli największy wspólny dzielnik tych liczb ma być równy 18, to te liczby można zapisać jako 18a+18b, gdzie a i b są liczbami względnie pierwszymi (nie mają żadnych wspólnych dzielników, poza liczbą 1; gdyby miały inny wspólny dzielnik, to NWD(18a, 18b) nie byłby równy 18, ale więcej). Suma tych liczb ma być równa 144, więc możemy zapisać równanie:

`18a+18b=144\ \ \ \ |:18` 

`a+b=8` 

Szukamy dwóch liczb naturalnych, których suma wynosi 8 i które nie mają wspólnych dzielników. Zauważmy, że nie ma znaczenia, którą liczbę weźmiemy jako a, a którą jako b - NWD(18a, 18b) to to samo, co NWD(18b, 18a). 

Pary liczb a, b spełniające warunki zadania to: (1, 7), (3, 4). Mamy więc dwie możliwości:

`18*1=18,\ \ \ 18*7=126\ \ \ =>\ \ \ NWD(18,\ 126)=18` 

`18*3=54,\ \ \ 18*5=90\ \ \ \ =>\ \ \ NWD(54,\ 90)=18` 

 

Oceń prawdziwość każdego zdania

`a)\ "prawda"` 

Suma ta może być liczbą wymierną tylko wtedy, gdy b=0 (wtedy pierwiastek znika). Otrzymujemy wtedy w wyniku liczbę całkowitą a. Liczba całkowita jest także liczbą wymierną.  

 

 

`b)\ "fałsz"` 

Dla b będącego dodatnią liczbą naturalną nie uda nam się pozbyć pierwiastka z dwóch, więc nigdy nie otrzymamy liczby wymiernej. 

Liczby -1, -1/2, 3 są miejscami zerowymi

`a)` 

`g(x)=f(-x)=2*(-x)^3-3*(-x)^2-8*(-x)-3=-2x^3-3x^2+8x-3` 

 

Zauważmy, że przy podnoszeniu do potęg parzystych minus "znika":

`(-x)^3=((-1)*x)^3=(-1)^3*x^3=(-1)*x^3=-x^3` 

`(-x)^2=((-1)*x)^2=(-1)^2*x^2=1*x^2=x^2` 

 

Wykres funkcji g otrzymalibyśmy, odbijając wykres funkcji f symetrycznie względem osi OY. Miejsca zerowe funkcji g będą więc symetryczne względem osi OY do miejsc zerowych funkcji f. 

`"miejsca zerowe funkcji"\ g:\ \ \ 1,\ 1/2,\ -3` 

 

 

`b)` 

`g(x)=f(x+1)=2*(x+1)^3-3*(x+1)^2-8*(x+1)-3=` 

`\ \ \ \ \ \ \ =2*(x^3+3x^2+3x+1)-3(x^2+2x+1)-8x-8-3=` 

`\ \ \ \ \ \ \ =2x^3+6x^2+6x+2-3x^2-6x-3-8x-11=` 

`\ \ \ \ \ \ \ =2x^3+3x^2-8x-12` 

 

Wykres funkcji g otrzymalibyśmy, przesuwając wykres funkcji f o 1 jednostkę w lewo wzdłuż osi OX. Miejsca zerowe funkcji g będą więc miejscami zerowymi funkcji f przesuniętymi o 1 jednostkę w lewo wzdłuż osi OX:

`"miejsca zerowe funkcji"\ g:\ \ \ -1-1=-2,\ \ \ \ -1/2-1=-1 1/2,\ \ \ \ 3-1=2` 

 

 

`c)` 

`g(x)=f(1-x)=2*(1-x)^3-3*(1-x)^2-8*(1-x)-3=`  

`\ \ \ \ \ \ \ =2*(1-3x+3x^2-x^3)-3*(1-2x+x^2)-8+8x-3=` 

`\ \ \ \ \ \ \ =2-6x+6x^2-2x^3-3+6x-3x^2+8x-11=` 

`\ \ \ \ \ \ \ =-2x^3+3x^2+8x-12`     

 

Wykres funkcji g otrzymalibyśmy, odbijając wykres funkcji f symetrycznie względem osi OY, a następnie przesuwając otrzymany wykres o 1 jednostkę w górę wzdłuż osi OY. Miejsca zerowe funkcji g będą więc symetryczne względem osi OY do miejsc zerowych funkcji f, a następnie przesunięte o 1 jednostkę w górę wzdłuż osi OY.

`"miejsca zerowe funkcji"\ g:\ \ \ 1+1=2,\ \ \ \ 1/2+1=1 1/2,\ \ \ \ -3+1=-2`  

 

Rozwiąż nierówność.

`a)` 

`(2x+1)^2+(x-3)^2<10` 

`4x^2+4x+1+x^2-6x+9-10<0` 

`5x^2-2x<0` 

`x(5x-2)<0` 

`x_1=0` 

`5x-2=0` 

`x_2=2/5` 

`x in (x_1;x_2)=(0;2/5)` 

 

`b)` 

`3x-(1-x)^2>=(x-2)(x+2)` 

`3x-(1-2x+x^2)>=x^2-4` 

`3x-1+2x-x^2-x^2+4>=0` 

`-2x^2+5x+3>=0` 

`Delta=25+24=49` 

`sqrtDelta=7` 

 

`x_1=(-5+7)/-4=-1/2` 

`x_2=(-5-7)/-4=3` 

`x in [-1/2;3]` 

 

`c)` 

`(1/3x+1/3)^2>2/3x-8/3` ` <br> `

`1/9x^2+2/9x+1/9-2/3x+8/3>0` 

`1/9x^2-4/9x+25/9>0` 

`Delta=(-4/9)^2-4*1/9*25/9=16/81-100/81=-84/81` 

`Delta<0 ` 

`a=1/9>0` 

`x in RR` 

 

`d)` 

`2-x^2<=(2-x)^2` 

`2-x^2<=4-4x+x^2` 

`2x^2-4x+2>=0` 

`Delta=16-16=0` 

`x=-b/(2a)=4/4=1` 

`x in RR`