Ciąg arytmetyczny - matura-podstawowa - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Ciąg arytmetyczny - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Ciąg arytmetyczny i jego suma

W tym temacie przekażemy Wam niezbędne informacje, w jaki sposób sprawdzić ile wynosi dowolny wyraz (piąty, szósty itd.) ciągu arytmetycznego, a także jak szybko policzyć sumę N wyrazów tego ciągu, na przykład 20 czy 40 wyrazów.

Pamiętamy, że ciąg arytmetyczny to taki, w którym pomiędzy jego wyrazami występuje stała różnica.

Wszystko omówimy na prostym przykładzie:
$a_n=2,4,6,8,10,x$

Widzimy, że jest arytmetyczny (stała różnica wynosi 2). Jednak nie znamy wartość x. Możemy bez liczenia odpowiedzieć, że wynosi 12. Jednakże znacznie trudniej jest to obliczyć w pamięci w bardziej skomplikowanych przypadkach.

$a_n=1/3, 1/{12}, -1/6, -5/{12},x$

W tym przykładzie nie będzie już tak prosto.
Musimy najpierw obliczyć różnicę. Skoro wiemy, że jest to ciąg arytmetyczny, wystarczy odjąć dwa dowolne sąsiednie wyrazy od siebie - weźmy trzeci oraz czwarty:

$r={-5}/{12} - (-1/6)$

$r={-5}/{12}+1/6$

$r={-5}/{12}+2/{12}$

$r={-3}/{12}={-1}/4$

Posiadamy już różnicę. Teraz przedstawiamy wzór na wartość dowolnego wyrazu ciągu arytmetycznego:

$a_n=a_1+(n-1)×r$

dla naszego x, czyli piątego wyrazu: $a_5=a_1+(5-1)×r$

Jak widzimy jest to podstawa ($a_1$) oraz 4 różnice ($(5-1)×r$).

$a_5=a_1+4×r$

$a_5=1/3+4×1/4=1/3+1=1 1/3 $

Pamiętajmy również o ważnej własności - wyraz środkowy jest średnią liczb sąsiednich, z czego wynika, że:

$a_{n-1}, a_n, a_{n+1}$ -> kolejne trzy wyrazy

$a_n={a_{n-1}+a_{n+1}}/2$
 

Suma ciągu arytmetycznego

Aby obliczyć sumę ciągu arytmetycznego potrzebujemy następujących danych:
  • Pierwszy wyraz: $a_1$
  • Ilość wyrazów, których sumę zamierzamy policzyć: $N$
  • Ostatni wyraz: $a_N$
Wzór na sumę wygląda następująco:

$S_N={a_1+a_N}/{2}×N$

Spotykana jest również inna odmiana tego wzoru:

$S_N={2a_1+(N-1)r}/2×N$

(pod $a_N$ pierwszego wzoru został podstawiony po prostu wzór na wartość dowolnego wyrazu: $a_n=a_1+(n-1)×r$)

Przykład:

Oblicz sumę pierwszych dziesięciu wyrazów ciągu arytmetycznego o różnicy $r=-2$ i trzecim wyrazie równym $a_3=4$ .

Potrzebujemy podstawy, zatem obliczmy $a_1$ ze wzoru na dowolny wyraz:

$a_3=a_1+(3-1)×r$

$4= a_1+2×(-2)$

$4=a_1-4$

$a_1=8$

Wiemy, że musimy mieć sumę 10 wyrazów, zatem $N=10$.

Pozostaje nam odnaleźć ostatni wyraz czyli $a_{10}$

Również użyjmy wzoru na dowolny wyraz: $a_{10}=a_1+(10-1)×r$

$a_{10}=8+9×(-2)$

$a_{10}=-10$

Posiadamy już wszystkie wartości do podstawienia ich do wzoru na sumę ciągu:

$a_1=8$

$N=10$

$a_{10}=-10$

$S_N={a_1+a_N}/{2}×N$

$S_N={8-10}/{2}×10$

$S_N={-2}/{2}×10=-10$

Zatem suma naszych wyrazów wynosi $-10$.

Uwaga!

Wszystkie użyte wzory zawarte w tym temacie znajdują się w karcie wzorów maturalnych.
Wzór na dowolny wyraz jest uniwersalnym wzorem, działa dla każdego ciągu arytmetycznego.
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Oblicz trzeci, piąty i dziesiąty wyraz ciągu arytmetycznego o różnicy $r=-3$ i $a_2=33$.

Tutaj korzystamy tylko i wyłącznie z wzoru na dowolny wyraz.

$a_n=a_1+(n-1)×r$

Najpierw policzmy sobie nasze $a_1$

$a_2=a_1+(2-1)×r$

$a_2=a_1+(2-1)×r$

$33=a_1-3$

$a_1=36$

Skoro mamy $a_1$ szybko obliczamy pozostałe wyrazy.

Trzeci:

$a_3=a_1+(3-1)×r$

$a_3=36+2×(-3)$

$a_3=36-6$

$a_3=30$

Piąty:

$a_5=a_1+(5-1)*r$

$a_5=36+4×(-3)$

$a_5=36-12$

$a_5=24$

oraz dziesiąty:

$a_{10}=a_1+(10-1)×r$

$a_{10}=36+9×(-3)$

$a_{10}=36-27$

$a_{10}=9$

Zadanie 2.

Znajdź różnicę ciągu arytmetycznego oraz jego pierwszy wyraz jeżeli $a_5=4$ i $a_7=14$.

Znajdźmy różnicę. Wiemy z wzoru na dowolny wyraz, że:

$a_7=a_1+6r$

$a_5=a_1+4r$

Zatem różnica pomiędzy nimi:

$a_7-a_5=a_1+6r-(a_1+4r)=2r$

Zatem:

$14-4=2r$

$10=2r$

$r=5$

Pozostaje nam znaleźć pierwszy wyraz z wzoru na dowolny wyraz:

$a_n=a_1+(n-1)×r$

weźmy wyraz piąty, którego wartość już znamy:

$a_5=a_1+(5-1)×r$

$4=a_1+4*5$

$4=a_1+20$

$a_1=-16$

Zadanie 3.

Wyznacz minimalną sumę dwudziestu wyrazów ciągu arytmetycznego, jeżeli wyrazy są liczbami naturalnymi i są większe o 2 od różnicy $r=3$.

W zadaniu mamy podane dwadzieścia wyrazów, tak więc $N=20$. Potrzebujemy sumy minimalnej, czyli jak najmniejszej.

Liczby naturalne większe od 2, więc najmniejsza kolejna to 3, $a_1=3$.

Różnica to 3, czyli $r=3$.

Potrzebujemy jedynie 20-tego wyrazu:

$a_N=a_1+(N-1)×r$

$a_{20}=3+(20-1)×r$

$a_{20}=3+19×3$

$a_{20}=60$ -> wartość 20-tego wyrazu.

Pozostaje nam obliczyć sumę:

$S_N={a_1+a_N}/{2}×N$

$S_{20}={a_1+a_{20} }/{2}×20$

$S_{20}={3+63}/{2}×20$

$S_{20}=33*20=660$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Z podanych wzorów wyznacz a:

 

      {premium}

 


 

 

 

 


 

 

 


 

 

 

 

W trójkącie równoramiennym o polu...

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:


Mamy dane:

 



a) Z tw. Pitagorasa wyznaczamy a:

 {premium}

 

 

 

 


Ze wzoru na pole trójkąta wyznaczamy x:

 

 

 

 


Obliczamy obwód trójkąta:

 

 


Odp. Obwód trójkąta jest równy 32 cm.



b) Ze wzoru na pole wyznaczamy wysokość h:

 

 

 

 


Obliczamy wysokość opuszczoną na podstawę:

 


Odp. Wysokości trójkąta są równe 8 cm, 9,6 cm, 9,6 cm



c) Ze wzoru na pole obliczamy promień r okręgu wpisanego w trójkąt:

 

 

 

 


Odp. Promień okręgu wpisanego w trójkąt ma długość 3 cm.

Narysuj wykres przykładowej funkcji...

Przykładowy wykres funkcji. Krańce dziedziny zaznaczamy otwartymi kółeczkami gdyż nie należą do niej. Funkcja nie może przyjmować wartości większych od 4 i mniejszych od 2.

{premium}

Doprowadź wyrażenia do najprostszej postaci...

 

 

Wykonaliśmy dzielenie, więc koniecznie musimy założyć, że dzielnik jest różny od zera. Stąd:

 

 

Obliczamy wartość wyrażenia dla  

 {premium}


 

 

Wykonaliśmy dzielenie, więc koniecznie musimy założyć, że dzielnik jest różny od zera. Stąd:

 

 

Obliczamy wartość wyrażenia dla  

 


 

 

 

Wykonaliśmy dzielenie, więc koniecznie musimy założyć, że dzielnik jest różny od zera. Stąd:

 

 

Obliczamy wartość wyrażenia dla  

 

 


 

 

Wykonaliśmy dzielenie, więc koniecznie musimy założyć, że dzielnik jest różny od zera. Stąd:

 

 

 

 

Obliczamy wartość wyrażenia dla 

 

Na rysunku obok przedstawiono...

Funkcje y=x3+2x2 i y=-x3+2x2 są symetryczne względem osi{premium} y, zatem

wykres funkcji y=-x3+2xprzedstawiono na wykresie B.

Odp.: B

Dane są wektory...

{premium}

 

Wyłącz wspólny czynnik poza nawias

 

{premium}  

 

 

 

  

 

 

   

Na podstawie wykresu funkcji f...

Wykres funkcji f otrzymamy po przesunięciu wykresy funkcji h(x)=x2 równolegle o wektor [1, 0].

Rysujemy wykres funkcji f w danym przedziale.{premium}

Na podstawie wykresu funkcji f rysujemy wykres funkcji g.


 

 


 

Wyznacz liczbę, której 15% jest liczbą...

 szukana liczba


Zdanie "liczby  jest liczbą o  mniejszą niż liczby " możemy zapisać równaniem: {premium}

 


Wyznaczamy z równania  

 

 

 

 

 


Odp. Szukana liczba to  

 

 

Wykaż, że suma promienia okręgu opisanego na...

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:

Thumb zad5.111str125


Mamy:

 przyprostokątne

 przeciwprostokątna


Wówczas promienie okręgów wpisanego i opisanego na trójkącie dane są wzorami:

 {premium}

 


Obliczamy sumę tych promieni:

 


 to średnia arytmetyczna przyprostokątnych, zatem pokazaliśmy, że suma długości promieni

jest średnią arytmetyczną długości przyprostokątnych, co należało dowieść.