Ciąg arytmetyczny - matura-podstawowa - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Ciąg arytmetyczny - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Ciąg arytmetyczny i jego suma

W tym temacie przekażemy Wam niezbędne informacje, w jaki sposób sprawdzić ile wynosi dowolny wyraz (piąty, szósty itd.) ciągu arytmetycznego, a także jak szybko policzyć sumę N wyrazów tego ciągu, na przykład 20 czy 40 wyrazów.

Pamiętamy, że ciąg arytmetyczny to taki, w którym pomiędzy jego wyrazami występuje stała różnica.

Wszystko omówimy na prostym przykładzie:
$a_n=2,4,6,8,10,x$

Widzimy, że jest arytmetyczny (stała różnica wynosi 2). Jednak nie znamy wartość x. Możemy bez liczenia odpowiedzieć, że wynosi 12. Jednakże znacznie trudniej jest to obliczyć w pamięci w bardziej skomplikowanych przypadkach.

$a_n=1/3, 1/{12}, -1/6, -5/{12},x$

W tym przykładzie nie będzie już tak prosto.
Musimy najpierw obliczyć różnicę. Skoro wiemy, że jest to ciąg arytmetyczny, wystarczy odjąć dwa dowolne sąsiednie wyrazy od siebie - weźmy trzeci oraz czwarty:

$r={-5}/{12} - (-1/6)$

$r={-5}/{12}+1/6$

$r={-5}/{12}+2/{12}$

$r={-3}/{12}={-1}/4$

Posiadamy już różnicę. Teraz przedstawiamy wzór na wartość dowolnego wyrazu ciągu arytmetycznego:

$a_n=a_1+(n-1)×r$

dla naszego x, czyli piątego wyrazu: $a_5=a_1+(5-1)×r$

Jak widzimy jest to podstawa ($a_1$) oraz 4 różnice ($(5-1)×r$).

$a_5=a_1+4×r$

$a_5=1/3+4×1/4=1/3+1=1 1/3 $

Pamiętajmy również o ważnej własności - wyraz środkowy jest średnią liczb sąsiednich, z czego wynika, że:

$a_{n-1}, a_n, a_{n+1}$ -> kolejne trzy wyrazy

$a_n={a_{n-1}+a_{n+1}}/2$
 

Suma ciągu arytmetycznego

Aby obliczyć sumę ciągu arytmetycznego potrzebujemy następujących danych:
  • Pierwszy wyraz: $a_1$
  • Ilość wyrazów, których sumę zamierzamy policzyć: $N$
  • Ostatni wyraz: $a_N$
Wzór na sumę wygląda następująco:

$S_N={a_1+a_N}/{2}×N$

Spotykana jest również inna odmiana tego wzoru:

$S_N={2a_1+(N-1)r}/2×N$

(pod $a_N$ pierwszego wzoru został podstawiony po prostu wzór na wartość dowolnego wyrazu: $a_n=a_1+(n-1)×r$)

Przykład:

Oblicz sumę pierwszych dziesięciu wyrazów ciągu arytmetycznego o różnicy $r=-2$ i trzecim wyrazie równym $a_3=4$ .

Potrzebujemy podstawy, zatem obliczmy $a_1$ ze wzoru na dowolny wyraz:

$a_3=a_1+(3-1)×r$

$4= a_1+2×(-2)$

$4=a_1-4$

$a_1=8$

Wiemy, że musimy mieć sumę 10 wyrazów, zatem $N=10$.

Pozostaje nam odnaleźć ostatni wyraz czyli $a_{10}$

Również użyjmy wzoru na dowolny wyraz: $a_{10}=a_1+(10-1)×r$

$a_{10}=8+9×(-2)$

$a_{10}=-10$

Posiadamy już wszystkie wartości do podstawienia ich do wzoru na sumę ciągu:

$a_1=8$

$N=10$

$a_{10}=-10$

$S_N={a_1+a_N}/{2}×N$

$S_N={8-10}/{2}×10$

$S_N={-2}/{2}×10=-10$

Zatem suma naszych wyrazów wynosi $-10$.

Uwaga!

Wszystkie użyte wzory zawarte w tym temacie znajdują się w karcie wzorów maturalnych.
Wzór na dowolny wyraz jest uniwersalnym wzorem, działa dla każdego ciągu arytmetycznego.
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Oblicz trzeci, piąty i dziesiąty wyraz ciągu arytmetycznego o różnicy $r=-3$ i $a_2=33$.

Tutaj korzystamy tylko i wyłącznie z wzoru na dowolny wyraz.

$a_n=a_1+(n-1)×r$

Najpierw policzmy sobie nasze $a_1$

$a_2=a_1+(2-1)×r$

$a_2=a_1+(2-1)×r$

$33=a_1-3$

$a_1=36$

Skoro mamy $a_1$ szybko obliczamy pozostałe wyrazy.

Trzeci:

$a_3=a_1+(3-1)×r$

$a_3=36+2×(-3)$

$a_3=36-6$

$a_3=30$

Piąty:

$a_5=a_1+(5-1)*r$

$a_5=36+4×(-3)$

$a_5=36-12$

$a_5=24$

oraz dziesiąty:

$a_{10}=a_1+(10-1)×r$

$a_{10}=36+9×(-3)$

$a_{10}=36-27$

$a_{10}=9$

Zadanie 2.

Znajdź różnicę ciągu arytmetycznego oraz jego pierwszy wyraz jeżeli $a_5=4$ i $a_7=14$.

Znajdźmy różnicę. Wiemy z wzoru na dowolny wyraz, że:

$a_7=a_1+6r$

$a_5=a_1+4r$

Zatem różnica pomiędzy nimi:

$a_7-a_5=a_1+6r-(a_1+4r)=2r$

Zatem:

$14-4=2r$

$10=2r$

$r=5$

Pozostaje nam znaleźć pierwszy wyraz z wzoru na dowolny wyraz:

$a_n=a_1+(n-1)×r$

weźmy wyraz piąty, którego wartość już znamy:

$a_5=a_1+(5-1)×r$

$4=a_1+4*5$

$4=a_1+20$

$a_1=-16$

Zadanie 3.

Wyznacz minimalną sumę dwudziestu wyrazów ciągu arytmetycznego, jeżeli wyrazy są liczbami naturalnymi i są większe o 2 od różnicy $r=3$.

W zadaniu mamy podane dwadzieścia wyrazów, tak więc $N=20$. Potrzebujemy sumy minimalnej, czyli jak najmniejszej.

Liczby naturalne większe od 2, więc najmniejsza kolejna to 3, $a_1=3$.

Różnica to 3, czyli $r=3$.

Potrzebujemy jedynie 20-tego wyrazu:

$a_N=a_1+(N-1)×r$

$a_{20}=3+(20-1)×r$

$a_{20}=3+19×3$

$a_{20}=60$ -> wartość 20-tego wyrazu.

Pozostaje nam obliczyć sumę:

$S_N={a_1+a_N}/{2}×N$

$S_{20}={a_1+a_{20} }/{2}×20$

$S_{20}={3+63}/{2}×20$

$S_{20}=33*20=660$

Spis treści

Rozwiązane zadania
O funkcji f: R - > R wiemy, że ...

a)

Wiemy, że

 

Z faktu, że funkcja  jest rosnąca w zbiorze liczb rzeczywistych  wynika, że {premium}

 

Rozwiązując powyższą nierówność, otrzymamy kolejno:

 

 


b)

Wiemy, że

 

Z faktu, że funkcja  jest malejąca w zbiorze liczb rzeczywistych  wynika, że 

 

Rozwiązując powyższą nierówność, otrzymamy kolejno:

 

 

 

 

czyli

 


c)

Wiemy, że

 

Z faktu, że funkcja  jest rosnąca w zbiorze liczb rzeczywistych  wynika, że 

 

Rozwiązując powyższą nierówność, otrzymamy kolejno:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Udowodnij, że: ...

Upraszczamy lewą stronę równości.

  {premium}

 

Upraszczamy prawą stronę równości.

 

 


Równość zachodzi.

Wykaż, że jeśli...

Założenia:

 

 


Teza:

 


Dowód:{premium}

 

Wykres funkcji liniowej y=ax+b przechodzi...

Wykres funkcji liniowej y=ax+b przechodzi przez I, III i IV ćwiartkę układu współrzędnych, gdy{premium} funkcja jest rosnąca (współczynnik kierunkowy prostej jest dodatni) oraz, gdy wykres funkcji przecina oś OY poniżej osi OX (czyli wyraz wolny jest ujemny). Stąd:

 


Prawidłowa odpowiedź to A.

Przekątne deltoidu ABCD mają długości...

Obliczamy pole deltoidu ABCD:{premium}

 

Pole powierzchni latawca podobnego do deltoidu ABCD jest czterokrotnie większe, więc skala podobieństwa latawca do deltoidu jest równa 4.


Oznaczmy pole powierzchni latawca jako P.

Stosunek pól figur podobnych równy jest kwadratowi skali podobieństwa. Zatem:

 

 

 


Odp. Pole powierzchni latawca jest równe 1200 cm2.

Zapisz warunek, który jest spełniony ...

a)

 

Są to takie punkty, których odległość od -1 jest większa niż 3.    {premium}

 

 


b)

 

Są to takie punkty, których odległość od -5 jest mniejsza lub równa 2.

 

 


c)

 

Są to takie punkty, których odległość od 4 jest większa lub równa 2.

 


d)

 

Są to takie punkty, których odległość od -2 ¹/₂ jest mniejsza lub równa 5 ¹/₂.

 

 

Dokończ zdanie. Wybierz...

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:{premium}


Z twierdzenia Pitagorasa:

 

 

 

 


W każdym trójkącie najmniejszy kąt jest położony naprzeciw najkrótszego boku. Zatem najmniejszym kątem trójkąta ABC jest kąt 𝛼

Mamy:

 


Prawidłowa odpowiedź to C.

Zbiorem wartości funkcji y=f(x) jest przedział...

Wykres funkcji y=f-(x) otrzymamy w wyniku {premium}przekształcenia wykresu funkcji y=f(x) przez symetrię osiową względem osi OX. Zatem zbiorem wartości funkcji y=-f(x) jest zbiór <-1, 3).

Na parkingu A pobiera się opłatę

Obliczmy czas parkowania tego samochodu na parkingu A jako x (x to liczba dodatnia). 

Wiemy, że za parkowanie na parkingu A pobiera się opłatę 5 zł za pierwszą godzinę parkowania i 3 zł za każdą następną, więc koszt parkowania przez x godzin jest równy:

 

 

Na parkingu B płaci się 3,90 zł za pierwszą godzinę i 3,20 zł za każdą następną, więc koszt parkowania x godzin na tym parkingu wynosI;

 

 

 

Wiemy, że koszt parkowania na parkingu B przez x godzin byłby wyższy niż na parkingu A, więc możemy zapisać nierówność:

{premium}  

 

 

 

 

 

 

 

 

Samochód parkował przez co najmniej 7 godzin.  

Przez które ćwiartki układu współrzędnych ...

Funkcja  jest rosnąca (bo współczynnik kierunkowy prostej jest większy od 0). {premium}Wykres tej funkcji przecina oś  w punkcie . Oznacza to, że wykres tej funkcji przechodzi przez I, III i IV ćwiartkę układu współrzędnych.


Odpowiedź: B