Ciąg arytmetyczny - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Ciąg arytmetyczny i jego suma

W tym temacie przekażemy Wam niezbędne informacje, w jaki sposób sprawdzić ile wynosi dowolny wyraz (piąty, szósty itd.) ciągu arytmetycznego, a także jak szybko policzyć sumę N wyrazów tego ciągu, na przykład 20 czy 40 wyrazów.

Pamiętamy, że ciąg arytmetyczny to taki, w którym pomiędzy jego wyrazami występuje stała różnica.

Wszystko omówimy na prostym przykładzie:
$$a_n=2,4,6,8,10,x$$

Widzimy, że jest arytmetyczny (stała różnica wynosi 2). Jednak nie znamy wartość x. Możemy bez liczenia odpowiedzieć, że wynosi 12. Jednakże znacznie trudniej jest to obliczyć w pamięci w bardziej skomplikowanych przypadkach.

$$a_n=1/3, 1/{12}, -1/6, -5/{12},x$$

W tym przykładzie nie będzie już tak prosto.
Musimy najpierw obliczyć różnicę. Skoro wiemy, że jest to ciąg arytmetyczny, wystarczy odjąć dwa dowolne sąsiednie wyrazy od siebie - weźmy trzeci oraz czwarty:

$$r={-5}/{12} - (-1/6)$$

$$r={-5}/{12}+1/6$$

$$r={-5}/{12}+2/{12}$$

$$r={-3}/{12}={-1}/4$$

Posiadamy już różnicę. Teraz przedstawiamy wzór na wartość dowolnego wyrazu ciągu arytmetycznego:

$$a_n=a_1+(n-1)×r$$

dla naszego x, czyli piątego wyrazu: $$a_5=a_1+(5-1)×r$$

Jak widzimy jest to podstawa ($$a_1$$) oraz 4 różnice ($$(5-1)×r$$).

$$a_5=a_1+4×r$$

$$a_5=1/3+4×1/4=1/3+1=1 1/3 $$

Pamiętajmy również o ważnej własności - wyraz środkowy jest średnią liczb sąsiednich, z czego wynika, że:

$$a_{n-1}, a_n, a_{n+1}$$ -> kolejne trzy wyrazy

$$a_n={a_{n-1}+a_{n+1}}/2$$
 

Suma ciągu arytmetycznego

Aby obliczyć sumę ciągu arytmetycznego potrzebujemy następujących danych:
  • Pierwszy wyraz: $$a_1$$
  • Ilość wyrazów, których sumę zamierzamy policzyć: $$N$$
  • Ostatni wyraz: $$a_N$$
Wzór na sumę wygląda następująco:

$$S_N={a_1+a_N}/{2}×N$$

Spotykana jest również inna odmiana tego wzoru:

$$S_N={2a_1+(N-1)r}/2×N$$

(pod $$a_N$$ pierwszego wzoru został podstawiony po prostu wzór na wartość dowolnego wyrazu: $$a_n=a_1+(n-1)×r$$)

Przykład:

Oblicz sumę pierwszych dziesięciu wyrazów ciągu arytmetycznego o różnicy $$r=-2$$ i trzecim wyrazie równym $$a_3=4$$ .

Potrzebujemy podstawy, zatem obliczmy $$a_1$$ ze wzoru na dowolny wyraz:

$$a_3=a_1+(3-1)×r$$

$$4= a_1+2×(-2)$$

$$4=a_1-4$$

$$a_1=8$$

Wiemy, że musimy mieć sumę 10 wyrazów, zatem $$N=10$$.

Pozostaje nam odnaleźć ostatni wyraz czyli $$a_{10}$$

Również użyjmy wzoru na dowolny wyraz: $$a_{10}=a_1+(10-1)×r$$

$$a_{10}=8+9×(-2)$$

$$a_{10}=-10$$

Posiadamy już wszystkie wartości do podstawienia ich do wzoru na sumę ciągu:

$$a_1=8$$

$$N=10$$

$$a_{10}=-10$$

$$S_N={a_1+a_N}/{2}×N$$

$$S_N={8-10}/{2}×10$$

$$S_N={-2}/{2}×10=-10$$

Zatem suma naszych wyrazów wynosi $$-10$$.

Uwaga!

Wszystkie użyte wzory zawarte w tym temacie znajdują się w karcie wzorów maturalnych.
Wzór na dowolny wyraz jest uniwersalnym wzorem, działa dla każdego ciągu arytmetycznego.
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Oblicz trzeci, piąty i dziesiąty wyraz ciągu arytmetycznego o różnicy $$r=-3$$ i $$a_2=33$$.

Tutaj korzystamy tylko i wyłącznie z wzoru na dowolny wyraz.

$$a_n=a_1+(n-1)×r$$

Najpierw policzmy sobie nasze $$a_1$$

$$a_2=a_1+(2-1)×r$$

$$a_2=a_1+(2-1)×r$$

$$33=a_1-3$$

$$a_1=36$$

Skoro mamy $$a_1$$ szybko obliczamy pozostałe wyrazy.

Trzeci:

$$a_3=a_1+(3-1)×r$$

$$a_3=36+2×(-3)$$

$$a_3=36-6$$

$$a_3=30$$

Piąty:

$$a_5=a_1+(5-1)*r$$

$$a_5=36+4×(-3)$$

$$a_5=36-12$$

$$a_5=24$$

oraz dziesiąty:

$$a_{10}=a_1+(10-1)×r$$

$$a_{10}=36+9×(-3)$$

$$a_{10}=36-27$$

$$a_{10}=9$$

Zadanie 2.

Znajdź różnicę ciągu arytmetycznego oraz jego pierwszy wyraz jeżeli $$a_5=4$$ i $$a_7=14$$.

Znajdźmy różnicę. Wiemy z wzoru na dowolny wyraz, że:

$$a_7=a_1+6r$$

$$a_5=a_1+4r$$

Zatem różnica pomiędzy nimi:

$$a_7-a_5=a_1+6r-(a_1+4r)=2r$$

Zatem:

$$14-4=2r$$

$$10=2r$$

$$r=5$$

Pozostaje nam znaleźć pierwszy wyraz z wzoru na dowolny wyraz:

$$a_n=a_1+(n-1)×r$$

weźmy wyraz piąty, którego wartość już znamy:

$$a_5=a_1+(5-1)×r$$

$$4=a_1+4*5$$

$$4=a_1+20$$

$$a_1=-16$$

Zadanie 3.

Wyznacz minimalną sumę dwudziestu wyrazów ciągu arytmetycznego, jeżeli wyrazy są liczbami naturalnymi i są większe o 2 od różnicy $$r=3$$.

W zadaniu mamy podane dwadzieścia wyrazów, tak więc $$N=20$$. Potrzebujemy sumy minimalnej, czyli jak najmniejszej.

Liczby naturalne większe od 2, więc najmniejsza kolejna to 3, $$a_1=3$$.

Różnica to 3, czyli $$r=3$$.

Potrzebujemy jedynie 20-tego wyrazu:

$$a_N=a_1+(N-1)×r$$

$$a_{20}=3+(20-1)×r$$

$$a_{20}=3+19×3$$

$$a_{20}=60$$ -> wartość 20-tego wyrazu.

Pozostaje nam obliczyć sumę:

$$S_N={a_1+a_N}/{2}×N$$

$$S_{20}={a_1+a_{20} }/{2}×20$$

$$S_{20}={3+63}/{2}×20$$

$$S_{20}=33*20=660$$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Określ przedziały monotoniczności funkcji...

a) Funkcja rosnąca w przedziale:

`(-4,-1]`  

Funkcja stała w przedziale:

`(-1,1)` 

Funkcja malejąca w przedziale:

`[1,3)` 

 

b) Funkcja rosnąca w przedziałach:

`[-6,-4) \ "i" \ [0,3)` 

Funkcja malejąca w przedziałach:

`[-4,0] \ "i" \ (3,6]` 

 

c) Funkcja stała na całej swojej dziedzinie.

 

d) Funkcja stała w przedziałach:

`(-oo, 0) \ "i" \ [0,oo)` 

 

             Uwaga: Funkcja rosnąca a funkcja rosnąca przedziałami to dwie osobne rzeczy. Np. w b) Funkcja jest rosnąca przedziałami ale nie jest rosnąca gdyż w punkcie -4 przyjmuje wartość 5, natomiast w punkcie 2 przyjmuje wartość 0 więc nie spełnia warunku na funkcję rosnącą mimo, że w każdym z tych przedziałów jest rosnąca.

Sporządź odpowiednią tabelę

Rozwiąż nierówność.

`a)` 

`3x^2-2x-1>=0` 

 

`Delta=(-2)^2-4*3*(-1)=` 

`\ \ \ =4+12=16` 

`sqrtDelta=sqrt16=4` 

`x_1=(2-4)/(2*3)=` `-2/6=-1/3` 

`x_2=(2+4)/(2*3)=6/6=1` 

 

`3(x+1/3)(x-1)>=0` 

 

  

`ul(ul(x in (-infty,\ -1/3>\ \ uu\ \ <1,\ +infty)))`  

 

 

 

`b)` 

`-x^2+2x+4>0` 

 

`Delta=2^2-4*(-1)*4=` 

`\ \ \ =4+16=20` 

`sqrtDelta=sqrt20=sqrt(4*5)=sqrt4*sqrt5=2sqrt5` 

`x_1=(-2-2sqrt5)/(-2)=` `1+sqrt5` 

`x_2=(-2+2sqrt5)/(-2)=` `1-sqrt5` 

 

`ul(ul(x in (1-sqrt5,\ 1+sqrt5)))`  

 

 

 

`c)` 

`2x^2+x-1<=0` 

 

`Delta=1^2-4*2*(-1)=` 

`\ \ \ =1+8=9` 

`sqrtDelta=sqrt9=3` 

`x_1=(-1-3)/(2*2)=(-4)/4=-1` 

`x_2=(-1+3)/(2*2)=2/4=1/2` 

 

 

`ul(ul(x in (-infty,\ -1>\ \ uu\ \ <1/2,\ +infty)))`  

     

Liczba ||-3|*2-7|-|-5|-3|+2|

`||-3|*2-7|-|-5|-3|+2|=` `=|3*2-7|-|-5*3+2|=` `|6-7|-|-15+2|=` 

`=|-1|-|-13|=1-13=ul(ul(-12))` 

Wykaż, że nie istnieje taka wartość...

a)

`x^2+mx+1+m^2=0` 

`Delta=m^2-4*1*(1+m^2)=m^2-4-4m^2=-3m^2-4` 

Sprawdźmy kiedy `Delta< =0` czyli kiedy równianie nie ma rozwiązania.

`-3m^2-4 < 0` 

`Delta_m=0^2-4*(-3)*(-4)=-48` 

Dla każdego `m: \ \ -3m^2-4< 0` 


 

b)

`x^2+(2+m)x+2+m^2=0` 

`Delta=(2+m)^2-4*1*(2+m^2)=4+4m+m^2-8-4m^2=-3m^2+4m-4` 

Sprawdźmy kiedy `Delta< 0`   czyli kiedy równianie nie ma rozwiązania.

`-3m^2+4m-4 < 0` 

`Delta_m=4^2-4*(-3)*(-4)=16-48=-32 < 0` 

Dla każdego  `m: \ \  -3m^2+4m-4 < 0`  

Oblicz

`a)\ root(3)(-8000)=-20`

`b)\ root(3)(-0,001)=-0,1`

`c)\ root(3)(-125/64)=-5/4=-1 1/4`

`d)\ root(3)(-3 3/8)=root(3)(-27/8)=-3/2=-1 1/2`

Udowodnij, że jeśli wektory ...

`vecu+vecv,\ vecu-vecv-"wektory prostopadłe"`   

`bb(Teza):|vecu|=|vecv|`  

 

`vecu=(u_1;u_2)` 

`vecv=(v_1;v_2)` 

`vecu+vecv=(u_1+v_1;u_2+v_2)` 

`vecu-vecv=(u_1-v_1;u_2-v_2)`  

Rozpatrzmy pewne działanie zwane iloczynem skalarnym.

`veca*vecb=|a|*|b|*cosalpha` 

`alpha-"kąt między wektorami a i b"` 

Jeżeli wektory są prostopadłe to kąt alfa jest prosty.

Cosinus kąta prostego jest równy zero, czyli iloczyn skalarny wektorów prostopadłych jest równy zero.

`(vecu+vecv)*(vecu-vecv)=(u_1+v_1)*(u_1-v_1)+(u_2+v_2)*(u_2-v_2)=0` 

`u_1^2+v_1^2+u_2^2+v_2^2=0` 

Zauważmy, że składniki powyższej sumy są dodtanie. Jedyną wartością wszystkich tych skłądników może być zero.

`u_1=v_1=u_2=v_2=0` 

`vecu=(0;0)\ implies \ |vecu|=0` 

`vecv=(0;0)\ implies\ |vecv|=0` 

`ul(|vecv|=|vecu|` 

Czy podana liczba jest wymierna?

Wszystkie podane liczby mają rozwinięcia dziesiętne nieokresowe, więc są niewymierne. 

Na rysunku poniżej czworokąt ABCD jest ...

`a)` 

`bb(Teza):h=h_1+h_2` 

`"Trójkąty PAD, DQC i PQB są podobne. (cecha KKK)"`  

`h_1/(|PD|)=h_2/(|DQ|)=h/(|PD|+|DQ|)` 

`h_1=(h|PD|)/(|PD|+|DQ|)` 

`h_2=(h|DQ|)/(|PD|+|DQ|)`   

`h_2+h_1=(h|DQ|)/(|PD|+|DQ|)+(h|PD|)/(|PD|+|DQ|)= (h(|PD|+|DQ|))/(|PD|+|DQ|) =h` 

`ul(h_1+h_2=h` 

 

`b)` 

`bb(Teza):h=h_1+h_2` 

 

`|angleAPD|=|angleQPC|`   (kąty wierzchołkowe)

`|angleABC|=|angleADP|`   (z własności równoległoboku)

 

`"Zauważmy, że trójkąty ADP, ABQ i PCQ są podobne z cechy KKK."` 

`h_1/(|AP|)=h_2/(|PQ|)=h/(|AP+|PQ|)`    

`h_1=(h|AP|)/(|AP|+|PQ|)` 

`h_2=(h|PQ|)/(|AP|+|PQ|)`    

`h_2+h_1=(h|AP|)/(|AP|+|PQ|)+(h|PQ|)/(|AP|+|PQ|)= (h(|AP|+|PQ|))/(|AP|+|PQ|) =h` 

`ul(h_1+h_2=h` 

Zbiorem rozwiązań nierówności...

Trzeba wskazać przedział w którym funkcja przyjmuje wartości nie mniejsze od 3, czyli równe albo większe, szukany przedział to:

`[3,6]`  

Odpowiedź A