Ciąg arytmetyczny - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Ciąg arytmetyczny i jego suma

W tym temacie przekażemy Wam niezbędne informacje, w jaki sposób sprawdzić ile wynosi dowolny wyraz (piąty, szósty itd.) ciągu arytmetycznego, a także jak szybko policzyć sumę N wyrazów tego ciągu, na przykład 20 czy 40 wyrazów.

Pamiętamy, że ciąg arytmetyczny to taki, w którym pomiędzy jego wyrazami występuje stała różnica.

Wszystko omówimy na prostym przykładzie:
$$a_n=2,4,6,8,10,x$$

Widzimy, że jest arytmetyczny (stała różnica wynosi 2). Jednak nie znamy wartość x. Możemy bez liczenia odpowiedzieć, że wynosi 12. Jednakże znacznie trudniej jest to obliczyć w pamięci w bardziej skomplikowanych przypadkach.

$$a_n=1/3, 1/{12}, -1/6, -5/{12},x$$

W tym przykładzie nie będzie już tak prosto.
Musimy najpierw obliczyć różnicę. Skoro wiemy, że jest to ciąg arytmetyczny, wystarczy odjąć dwa dowolne sąsiednie wyrazy od siebie - weźmy trzeci oraz czwarty:

$$r={-5}/{12} - (-1/6)$$

$$r={-5}/{12}+1/6$$

$$r={-5}/{12}+2/{12}$$

$$r={-3}/{12}={-1}/4$$

Posiadamy już różnicę. Teraz przedstawiamy wzór na wartość dowolnego wyrazu ciągu arytmetycznego:

$$a_n=a_1+(n-1)×r$$

dla naszego x, czyli piątego wyrazu: $$a_5=a_1+(5-1)×r$$

Jak widzimy jest to podstawa ($$a_1$$) oraz 4 różnice ($$(5-1)×r$$).

$$a_5=a_1+4×r$$

$$a_5=1/3+4×1/4=1/3+1=1 1/3 $$

Pamiętajmy również o ważnej własności - wyraz środkowy jest średnią liczb sąsiednich, z czego wynika, że:

$$a_{n-1}, a_n, a_{n+1}$$ -> kolejne trzy wyrazy

$$a_n={a_{n-1}+a_{n+1}}/2$$
 

Suma ciągu arytmetycznego

Aby obliczyć sumę ciągu arytmetycznego potrzebujemy następujących danych:
  • Pierwszy wyraz: $$a_1$$
  • Ilość wyrazów, których sumę zamierzamy policzyć: $$N$$
  • Ostatni wyraz: $$a_N$$
Wzór na sumę wygląda następująco:

$$S_N={a_1+a_N}/{2}×N$$

Spotykana jest również inna odmiana tego wzoru:

$$S_N={2a_1+(N-1)r}/2×N$$

(pod $$a_N$$ pierwszego wzoru został podstawiony po prostu wzór na wartość dowolnego wyrazu: $$a_n=a_1+(n-1)×r$$)

Przykład:

Oblicz sumę pierwszych dziesięciu wyrazów ciągu arytmetycznego o różnicy $$r=-2$$ i trzecim wyrazie równym $$a_3=4$$ .

Potrzebujemy podstawy, zatem obliczmy $$a_1$$ ze wzoru na dowolny wyraz:

$$a_3=a_1+(3-1)×r$$

$$4= a_1+2×(-2)$$

$$4=a_1-4$$

$$a_1=8$$

Wiemy, że musimy mieć sumę 10 wyrazów, zatem $$N=10$$.

Pozostaje nam odnaleźć ostatni wyraz czyli $$a_{10}$$

Również użyjmy wzoru na dowolny wyraz: $$a_{10}=a_1+(10-1)×r$$

$$a_{10}=8+9×(-2)$$

$$a_{10}=-10$$

Posiadamy już wszystkie wartości do podstawienia ich do wzoru na sumę ciągu:

$$a_1=8$$

$$N=10$$

$$a_{10}=-10$$

$$S_N={a_1+a_N}/{2}×N$$

$$S_N={8-10}/{2}×10$$

$$S_N={-2}/{2}×10=-10$$

Zatem suma naszych wyrazów wynosi $$-10$$.

Uwaga!

Wszystkie użyte wzory zawarte w tym temacie znajdują się w karcie wzorów maturalnych.
Wzór na dowolny wyraz jest uniwersalnym wzorem, działa dla każdego ciągu arytmetycznego.
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Oblicz trzeci, piąty i dziesiąty wyraz ciągu arytmetycznego o różnicy $$r=-3$$ i $$a_2=33$$.

Tutaj korzystamy tylko i wyłącznie z wzoru na dowolny wyraz.

$$a_n=a_1+(n-1)×r$$

Najpierw policzmy sobie nasze $$a_1$$

$$a_2=a_1+(2-1)×r$$

$$a_2=a_1+(2-1)×r$$

$$33=a_1-3$$

$$a_1=36$$

Skoro mamy $$a_1$$ szybko obliczamy pozostałe wyrazy.

Trzeci:

$$a_3=a_1+(3-1)×r$$

$$a_3=36+2×(-3)$$

$$a_3=36-6$$

$$a_3=30$$

Piąty:

$$a_5=a_1+(5-1)*r$$

$$a_5=36+4×(-3)$$

$$a_5=36-12$$

$$a_5=24$$

oraz dziesiąty:

$$a_{10}=a_1+(10-1)×r$$

$$a_{10}=36+9×(-3)$$

$$a_{10}=36-27$$

$$a_{10}=9$$

Zadanie 2.

Znajdź różnicę ciągu arytmetycznego oraz jego pierwszy wyraz jeżeli $$a_5=4$$ i $$a_7=14$$.

Znajdźmy różnicę. Wiemy z wzoru na dowolny wyraz, że:

$$a_7=a_1+6r$$

$$a_5=a_1+4r$$

Zatem różnica pomiędzy nimi:

$$a_7-a_5=a_1+6r-(a_1+4r)=2r$$

Zatem:

$$14-4=2r$$

$$10=2r$$

$$r=5$$

Pozostaje nam znaleźć pierwszy wyraz z wzoru na dowolny wyraz:

$$a_n=a_1+(n-1)×r$$

weźmy wyraz piąty, którego wartość już znamy:

$$a_5=a_1+(5-1)×r$$

$$4=a_1+4*5$$

$$4=a_1+20$$

$$a_1=-16$$

Zadanie 3.

Wyznacz minimalną sumę dwudziestu wyrazów ciągu arytmetycznego, jeżeli wyrazy są liczbami naturalnymi i są większe o 2 od różnicy $$r=3$$.

W zadaniu mamy podane dwadzieścia wyrazów, tak więc $$N=20$$. Potrzebujemy sumy minimalnej, czyli jak najmniejszej.

Liczby naturalne większe od 2, więc najmniejsza kolejna to 3, $$a_1=3$$.

Różnica to 3, czyli $$r=3$$.

Potrzebujemy jedynie 20-tego wyrazu:

$$a_N=a_1+(N-1)×r$$

$$a_{20}=3+(20-1)×r$$

$$a_{20}=3+19×3$$

$$a_{20}=60$$ -> wartość 20-tego wyrazu.

Pozostaje nam obliczyć sumę:

$$S_N={a_1+a_N}/{2}×N$$

$$S_{20}={a_1+a_{20} }/{2}×20$$

$$S_{20}={3+63}/{2}×20$$

$$S_{20}=33*20=660$$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Wypisz elementy zbiorów opisanych ...

A - zbiór naturalnych dzielników liczby 36

 

B - zbiór naturalnych wielokrotności liczby 3 nie większych niż 42

 

 

 

 

 

  

Która liczba nie należy do zbioru

 

Do zbioru rozwiązań nie należy liczba 4, więc należy zaznaczyć odpowiedź D.   

Cenę pewnego produktu podnoszono dwukrotnie

Obliczmy cenę początkową pierwszego sklepu. Zadanie rozwiązujemy "od końca", czyli najpierw obliczamy cenę przed drugą podwyżką- o 30%. 252zł stanowi 130% tej ceny- układamy proporcję:

       `/:130`

 

Teraz obliczamy cenę przed pierwszą podwyżką, wiedząc, że cena 193,85 zł stanowi 120%  tej ceny:

    `/:120`

 

Analogiczne obliczenia przeprowadzamy dla cen i obliczeń w drugim sklepie- jednak ponieważ tam druga zmiana ceny była obniżką o 20%, to ostateczna cena stanowi 80% drugiej ceny.

       /:80

 

 

Przed zmianami taniej ten produkt sprzedawał sklep pierwszy. Obliczmy o ile procent jest tańszy- musimy obliczyć jaki procent ceny droższego produktu stanowi różnica cen. Zatem:

`138,46 "zł "` 

Funkcja f przyporządkowuje każdej liczbie...

Liczba przeciwna do x to:

 

Połowa z tej liczby to:

 

 

Odpowiedź C

Okręgi o środkach S₁ i S₂ są ...

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.

Odcinki S1P oraz S1M są promieniami większego okręgu, więc są równej długości. 

Stąd trójkąt PMS1 jest trójkątem równoramiennym.

Oznaczmy miarę kątów przy podstawie PM jako α. Wówczas kąt PS1M ma miarę:

 

 

Odcinki S2K oraz S2M są promieniami mniejszego okręgu, więc są równej długości. 

Stąd trójkąt MKS2 jest trójkątem równoramiennym.

Oznaczmy miarę kątów przy podstawie MK jako ß. Wówczas kąt MS2K ma miarę:

 

 

Zauważmy, że czworokąt PKS2S1 jest trapezem prostokątnym. 

Punkty P i K są punktami styczności, więc odpowiednie promienie poprowadzone do nich tworzą kat prosty ze styczną. Stąd:

 

Suma miar kątów w czworokącie wynosi 360o. Więc suma miar dwóch pozostałych kątów (PS1M oraz MS2K) musi wynosić 180o.

 

 

 

 

  

 

Zauważmy, że kąty S1MP, PMK oraz KMS2 są kątami przyległymi.
 

Wiemy, że:

 

stąd:

 

 

czyli:

 

Wskaż zdania w koniunkcji i oceń jej wartość

a) Zdanie w koniunkcji. Jedno ze zdań jest fałszywe, dlatego wartość logiczna całego zdania: fałsz.

b) Zdanie w koniunkcji. Jedno ze zdań jest fałszywe, dlatego wartość logiczna całego zdania: fałsz.

c) Zdanie w koniunkcji. Oba zdania są fałszywe, dlatego wartość logiczna całego zdania: fałsz.

d) Zdanie w koniunkcji.  Oba zdania są prawdziwe, dlatego wartość logiczna całego zdania: prawda.

Bartek napisał na kartce

 

Po dopisaniu do początkowej liczby cyfry 2 otrzymamy liczbę dwucyfrową postaci x2. Wartość takiej liczby jest równa 10x+2 (x to cyfra dziesiątek, 2 to cyfra jedności). 

 

 

Jeśli przestawimy cyfry w otrzymanej liczbie, to uzyskamy liczbę postaci 2x. Wartość takiej liczby jest równa 20+x (mamy 2 dziesiątki i x jedności). 

 

 

Wiemy, że suma pierwszej i trzeciej liczby jest o 30 mniejsza od drugiej liczby:

 

Różnica jest równa

 

 

Wśród elementów zbioru A wskaż liczby

W celu wyodrębnienia liczb całkowitych upraszczamy elementy zbioru A.

  • `(2-sqrt3)/sqrt3*sqrt3/sqrt3=(sqrt3(2-sqrt3))/3=(2sqrt3-3)/3 \ \ \ \ \ \ notinC`
  • `ul(ul(6sqrt3-3sqrt12))=6sqrt3-3sqrt(3*4)=6sqrt3-3*2sqrt3=6sqrt3-6sqrt3=0 \ \ \ \ inC`
  • `ul(ul(root(3)216))=6 \ \ \ \ \ inC`
  • `ul(ul(3+(3sqrt2+2sqrt3)/(3sqrt2-2sqrt3)-2sqrt6))=3+(3sqrt2+2sqrt3)/(3sqrt2-2sqrt3)*(3sqrt2+2sqrt3)/(3sqrt2+2sqrt3)-2sqrt6=`

  • `ul(ul(sqrt(root(3)64)))=sqrt4=2 \ \ \ \ \ \ \ inC`  

Elementy należące do podzbioru liczb całkowitych dwukrotnie podkreślono.

Trapezy...

Policzmy stosunek długości dłuższych podstaw trapezów żeby określić skalę podobieństwa:

 

A więc: