Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Ciąg arytmetyczny - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Ciąg arytmetyczny i jego suma

W tym temacie przekażemy Wam niezbędne informacje, w jaki sposób sprawdzić ile wynosi dowolny wyraz (piąty, szósty itd.) ciągu arytmetycznego, a także jak szybko policzyć sumę N wyrazów tego ciągu, na przykład 20 czy 40 wyrazów.

Pamiętamy, że ciąg arytmetyczny to taki, w którym pomiędzy jego wyrazami występuje stała różnica.

Wszystko omówimy na prostym przykładzie:
$$a_n=2,4,6,8,10,x$$

Widzimy, że jest arytmetyczny (stała różnica wynosi 2). Jednak nie znamy wartość x. Możemy bez liczenia odpowiedzieć, że wynosi 12. Jednakże znacznie trudniej jest to obliczyć w pamięci w bardziej skomplikowanych przypadkach.

$$a_n=1/3, 1/{12}, -1/6, -5/{12},x$$

W tym przykładzie nie będzie już tak prosto.
Musimy najpierw obliczyć różnicę. Skoro wiemy, że jest to ciąg arytmetyczny, wystarczy odjąć dwa dowolne sąsiednie wyrazy od siebie - weźmy trzeci oraz czwarty:

$$r={-5}/{12} - (-1/6)$$

$$r={-5}/{12}+1/6$$

$$r={-5}/{12}+2/{12}$$

$$r={-3}/{12}={-1}/4$$

Posiadamy już różnicę. Teraz przedstawiamy wzór na wartość dowolnego wyrazu ciągu arytmetycznego:

$$a_n=a_1+(n-1)×r$$

dla naszego x, czyli piątego wyrazu: $$a_5=a_1+(5-1)×r$$

Jak widzimy jest to podstawa ($$a_1$$) oraz 4 różnice ($$(5-1)×r$$).

$$a_5=a_1+4×r$$

$$a_5=1/3+4×1/4=1/3+1=1 1/3 $$

Pamiętajmy również o ważnej własności - wyraz środkowy jest średnią liczb sąsiednich, z czego wynika, że:

$$a_{n-1}, a_n, a_{n+1}$$ -> kolejne trzy wyrazy

$$a_n={a_{n-1}+a_{n+1}}/2$$
 

Suma ciągu arytmetycznego

Aby obliczyć sumę ciągu arytmetycznego potrzebujemy następujących danych:
  • Pierwszy wyraz: $$a_1$$
  • Ilość wyrazów, których sumę zamierzamy policzyć: $$N$$
  • Ostatni wyraz: $$a_N$$
Wzór na sumę wygląda następująco:

$$S_N={a_1+a_N}/{2}×N$$

Spotykana jest również inna odmiana tego wzoru:

$$S_N={2a_1+(N-1)r}/2×N$$

(pod $$a_N$$ pierwszego wzoru został podstawiony po prostu wzór na wartość dowolnego wyrazu: $$a_n=a_1+(n-1)×r$$)

Przykład:

Oblicz sumę pierwszych dziesięciu wyrazów ciągu arytmetycznego o różnicy $$r=-2$$ i trzecim wyrazie równym $$a_3=4$$ .

Potrzebujemy podstawy, zatem obliczmy $$a_1$$ ze wzoru na dowolny wyraz:

$$a_3=a_1+(3-1)×r$$

$$4= a_1+2×(-2)$$

$$4=a_1-4$$

$$a_1=8$$

Wiemy, że musimy mieć sumę 10 wyrazów, zatem $$N=10$$.

Pozostaje nam odnaleźć ostatni wyraz czyli $$a_{10}$$

Również użyjmy wzoru na dowolny wyraz: $$a_{10}=a_1+(10-1)×r$$

$$a_{10}=8+9×(-2)$$

$$a_{10}=-10$$

Posiadamy już wszystkie wartości do podstawienia ich do wzoru na sumę ciągu:

$$a_1=8$$

$$N=10$$

$$a_{10}=-10$$

$$S_N={a_1+a_N}/{2}×N$$

$$S_N={8-10}/{2}×10$$

$$S_N={-2}/{2}×10=-10$$

Zatem suma naszych wyrazów wynosi $$-10$$.

Uwaga!

Wszystkie użyte wzory zawarte w tym temacie znajdują się w karcie wzorów maturalnych.
Wzór na dowolny wyraz jest uniwersalnym wzorem, działa dla każdego ciągu arytmetycznego.
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Oblicz trzeci, piąty i dziesiąty wyraz ciągu arytmetycznego o różnicy $$r=-3$$ i $$a_2=33$$.

Tutaj korzystamy tylko i wyłącznie z wzoru na dowolny wyraz.

$$a_n=a_1+(n-1)×r$$

Najpierw policzmy sobie nasze $$a_1$$

$$a_2=a_1+(2-1)×r$$

$$a_2=a_1+(2-1)×r$$

$$33=a_1-3$$

$$a_1=36$$

Skoro mamy $$a_1$$ szybko obliczamy pozostałe wyrazy.

Trzeci:

$$a_3=a_1+(3-1)×r$$

$$a_3=36+2×(-3)$$

$$a_3=36-6$$

$$a_3=30$$

Piąty:

$$a_5=a_1+(5-1)*r$$

$$a_5=36+4×(-3)$$

$$a_5=36-12$$

$$a_5=24$$

oraz dziesiąty:

$$a_{10}=a_1+(10-1)×r$$

$$a_{10}=36+9×(-3)$$

$$a_{10}=36-27$$

$$a_{10}=9$$

Zadanie 2.

Znajdź różnicę ciągu arytmetycznego oraz jego pierwszy wyraz jeżeli $$a_5=4$$ i $$a_7=14$$.

Znajdźmy różnicę. Wiemy z wzoru na dowolny wyraz, że:

$$a_7=a_1+6r$$

$$a_5=a_1+4r$$

Zatem różnica pomiędzy nimi:

$$a_7-a_5=a_1+6r-(a_1+4r)=2r$$

Zatem:

$$14-4=2r$$

$$10=2r$$

$$r=5$$

Pozostaje nam znaleźć pierwszy wyraz z wzoru na dowolny wyraz:

$$a_n=a_1+(n-1)×r$$

weźmy wyraz piąty, którego wartość już znamy:

$$a_5=a_1+(5-1)×r$$

$$4=a_1+4*5$$

$$4=a_1+20$$

$$a_1=-16$$

Zadanie 3.

Wyznacz minimalną sumę dwudziestu wyrazów ciągu arytmetycznego, jeżeli wyrazy są liczbami naturalnymi i są większe o 2 od różnicy $$r=3$$.

W zadaniu mamy podane dwadzieścia wyrazów, tak więc $$N=20$$. Potrzebujemy sumy minimalnej, czyli jak najmniejszej.

Liczby naturalne większe od 2, więc najmniejsza kolejna to 3, $$a_1=3$$.

Różnica to 3, czyli $$r=3$$.

Potrzebujemy jedynie 20-tego wyrazu:

$$a_N=a_1+(N-1)×r$$

$$a_{20}=3+(20-1)×r$$

$$a_{20}=3+19×3$$

$$a_{20}=60$$ -> wartość 20-tego wyrazu.

Pozostaje nam obliczyć sumę:

$$S_N={a_1+a_N}/{2}×N$$

$$S_{20}={a_1+a_{20} }/{2}×20$$

$$S_{20}={3+63}/{2}×20$$

$$S_{20}=33*20=660$$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Naszkicuj wykres dowolnej funkcji, której

Funkcja jest stała w pewnych podzbiorach dziedziny, a w całej dziedzinie jest nierosnąca, dlatego jest monotoniczna. 

Liczba log₂16+log₃27 to

`log_2 16+log_3 27= log_2 2^4+log_3 3^3= 4+3=7`

 

Wykaż, że:

`"a)"\ sqrt(11+6sqrt2)=3+sqrt2` 

I sposób:

Korzystamy z definicji pierwiastka kwadratowego. Jeżeli równość jest prawdziwa, to spełniony jest warunek:

`(3+sqrt2)^2=11+6sqrt2` 

Sprawdzamy, czy powyższy warunek zachodzi:

`(3+sqrt2)^2=3^2+2*3*sqrt2+(sqrt2)^2=9+6sqrt2+2=11+6sqrt2` 

Warunek zachodzi, więc początkowa równość jest prawdziwa.

II sposób:

Zauważmy, że liczbę podpierwiastkowa możemy zapisać w postaci kwadratu sumy:

`11+6sqrt2=9+6sqrt2+2=3^2+2*3*sqrt2+(sqrt2)^2=(3+sqrt2)^2` 

Stąd:

`sqrt(11+6sqrt2)=sqrt((3+sqrt2)^2)=3+sqrt2,` 

ponieważ liczba 3+2 jest liczbą dodatnia.  

Początkowa równość jest więc prawdziwa.

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

`"b)"\ sqrt(30-10sqrt5)=5-sqrt5` 

Podobnie jak wyżej zadanie rozwiążemy na dwa sposoby:

I sposób:

Korzystamy z definicji pierwiastka kwadratowego. Jezeli równość jest prawdziwa, to spełniony jest warunek:

`(5-sqrt5)^2=30-10sqrt5` 

Sprawdzamy, czy powyższy warunek zachodzi:

`(5-sqrt5)^2=5^2-2*5*sqrt5+(sqrt5)^2=25-10sqrt5+5=30-10sqrt5` 

Warunek zachodzi, więc początkowa równość jest prawdziwa.

II sposób:

Zauważmy, że liczbę podpierwiastkowa możemy zapisać w postaci kwadratu sumy:

`30-10sqrt5=25-10sqrt5+5=5^2-2*5*sqrt5+(sqrt5)^2=(5-sqrt5)^2` 

Stąd:

`sqrt(30-10sqrt5)=sqrt((5-sqrt5)^2)=5-sqrt5,`    

ponieważ liczba 5-5 jest liczbą dodatnia.  

 

Początkowa równość jest więc prawdziwa.

Zbiorem wartości funkcji f(x) jest zbiór

Musimy znaleźć argumenty, dla których funkcja przyjmuje podane wartości. Dziedziną funkcji f jest zbiór liczb rzeczywistych. 

`f(x)=-2`

`2-3x=-2\ \ \ |-2`

`-3x=-4\ \ \ |:(-3)`

`x=4/3`

 

 

`f(x)=-1`

`2-3x=-1\ \ \ |-2`

`-3x=-3\ \ \ |:(-3)`

`x=1`

 

 

`f(x)=0`

`2-3x=0\ \ \ |-2`

`-3x=-2\ \ \ |:(-3)`

`x=2/3`

 

 

 

`f(x)=1`

`2-3x=1\ \ \ |-2`

`-3x=-1\ \ \|:(-3)`

`x=1/3`

 

 

`f(x)=2`

`2-3x=2\ \ \ |-2`

`-3x=0\ \ \ |:(-3)`

`x=0`

 

 

`f(x)=3`

`2-3x=3\ \ \ |-2`

`-3x=1\ \ \ |:(-3)`

`x=-1/3`

 

Zapisujemy dziedzinę funkcji: 

`D={4/3,\ 1,\ 2/3,\ 1/3,\ 0,\ -1/3}`

Obwód trójkąta prostokątnego jest równy 30 ...

`a)` 

Najdłuższy bok trójkąta prostokątnego to przeciwprostokątna tego trójkąta. Oznaczmy przez x i y długości przyprostokątnych tego trójkąta (oczywiście x i y są liczbami dodatnimi). 

Możemy zapisać układ równań (jedno równanie otrzymujemy z tw. Pitagorasa, a drugie dzięki temu, że znamy obwód trójkąta)

 

`{(x^2+y^2=13^2\ \ \ \ \ \ \ \ \), (x+y+13=30\ \ \ \ |-13-y):}`

`{(x^2+y^2=169), (x=17-y\ \ \ \ ):}`

 

Wstawiamy x z drugiego równania do pierwszego równania: 

`(17-y)^2+y^2=169`

`289-34y+y^2+y^2=169\ \ \ \ |-169`

`2y^2-34y+120=0\ \ \ \ |:2`

`y^2-17y+60=0`

`Delta=(-17)^2-4*1*60=289-240=49`

`sqrtDelta=sqrt49=7`

`y_1=(17-7)/2=10/2=5\ cm`

`y_2=(17+7)/2=24/2=12\ cm`

 

`{(y=5\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ), (x=17-5=12):}\ \ \ \ vee\ \ \ {(y=12\ \ \ \ \ \ \ ), (x=17-12=5):}`

 

`b)` 

Oznaczmy długości przyprostokątnych przez x i y (oczywiście x i y to liczby dodatnie). 

Możemy zapisać układ równań (pierwsze równanie powstaje dzięki tw. Pitagorasa, a drugie dzięki informacji z zadania o średniej)

 

`{(x^2+y^2=2^2), (x=(y+2)/2):}`

`{(x^2+y^2=4), (2x=y+2\ \ \ |-2):}`

`{(x^2+y^2=4), (y=2x-2):}`

 

Wstawiamy y z drugiego równania do pierwszego równania: 

`x^2+(2x-2)^2=4`

`x^2+4x^2-8x+4=4 \ \ \ |-4`

`5x^2-8x=0\ \ \ |:5`

`x^2-8/5x=0`

`x(x-8/5)=0`

 

`x=0\ \ \ \ vee\ \ \ \ x-8/5=0`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x=8/5`

 

Odrzucamy pierwsze rozwiązanie (przyprostokątna nie może mieć długości 0)

 

`{(x=8/5\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ), (y=2*8/5-2=16/5-10/5=6/5):}`

 

`O_(Delta)=8/5+6/5+2=14/5+2=2 4/5+2=4 4/5=4,8\ cm`

Która z wypisanych poniżej liter ...

Litery osiowosymetryczne:

A, B, C, D, E, H, I, M, O, T, U, V, W, X, Y

Litery środkowosymetryczne:

H, I, N, O, S, X, Z  

Oblicz współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej

`a)\ a=-1/(1/5)=-1:1/5=-1*5=-5`

`b)\ a=-1/9`

`c)\ a=-1/(-2 1/3)=1/(7/3)=1:7/3=1*3/7=3/7`

`d)\ a=-1/(sqrt2/6)=-1:sqrt2/6=-1*6/sqrt2=-(6sqrt2)/(sqrt2*sqrt2)=-(6sqrt2)/2=-3sqrt2`

Badania przeprowadzone przez specjalistów dowodzą, że

Musimy sprawdzić, czy iloraz prędkości pojazdu i drogi hamowania jest stały. 

`50/13=3 11/13`

`72/27=8/3=2 2/3`

Te wielkości nie są wprost proporcjonalne. 

Odczytaj z wykresu własności funkcji y=g(x).

 Dziedziną funkcji jest przedział `<< -6,\ 3>>.` 

Zbiorem wartości funkcji jest przedział `<< -1,\ 3>>.` 

Funkcja przyjmuje największą wartość równą `3` dla `x=1.`  

Funkcja przyjmuje najmniejszą wartość równą `-1` dla `x=-3.`  

Miejscami zerowymi są argumenty `x=-4,\ x= -2,\ x=3.`  

`f(x)>0` dla `x in (-oo,-4)`  oraz dla `x in (-2,\ 3).` 

`f(x)< 0` dla `x in (-4,-2).`  

Funkcja nie jest monotoniczna w całej dziedzinie, natomiast:

w przedziałach `<< -6,-3>>uu<< 1,\ 3>>` funkcja maleje,

w przedziale `<< -3,\ 1>>` funkcja rośnie.

Równanie `f(x)=m` 

nie ma rozwiązań dla `m in(-oo,-1)uu(3,+oo);`  

ma jedno rozwiązanie dla `m in{-1,\ 3};`  

ma dwa rozwiązania dla `m in (-1,\ 0)uu(2,\ 3);` 

ma trzy rozwiązania dla `m in << 0,\ 2>>.` 

Wyznacz wartość największą...

a) `f(x)=-x^2+4x` 

Sprawdźmy, czy wierzchołek funkcji leży w tym przedziale.

`p=(-b)/(2a)=-4/-2=2 in < 0, 5>` 

`f(2)=-2^2+4*2=-4+8=4` 

`f(0)=-0^2+4*0=0` 

`f(5)=-5^2+4*5=-25+20=-5` 

Odp. Wartość największa to 4, wartość najmniejsza to -5.


b) `f(x)=x^2-2x-1` 

Sprawdźmy, czy wierzchołek funkcji leży w tym przedziale.

`p=(-b)/(2a)=2/2=1 !in < -2, 0>` 

`f(-2)=(-2)^2-2*(-2)-1=4+4-1=7` 

`f(0)=0^2-2*0-1=-1` 

Odp. Wartość największa to 7, wartość najmniejsza to -1.


 

c) `f(x)=-3x^2-3x-1` 

Sprawdźmy, czy wierzchołek funkcji leży w tym przedziale.

`p=(-b)/(2a)=3/(-6)=-1/2 in < -1, 2>` 

`f(-1/2)=-3*(-1/2)^2-3*(-1/2)-1=-3*1/4+3/2-1=-3/4+6/4-4/4=-1/4` 

`f(-1)=-3*(-1)^2-3*(-1)-1=-3+3-1=-1` 

`f(2)=-3*2^2-3*2-1=-12-6-1=-19` 

Odp. Wartość największa to `-1/4` , wartość najmniejsza to -19.


d) `f(x)=2x^2+5x-4` 

`p=(-b)/(2a)=-5/4 in < -2, -1>` 

`f(-5/4)=2*(-5/4)^2+5*(-5/4)-4=2*25/16-25/4-4=50/16-100/4-64/16=-114/16=-7 2/16=-7 1/8` 

`f(-2)=2*(-2)^2+5*(-2)-4=8-10-4=-6` 

`f(-1)=2*(-1)^2+5*(-1)-4=2-5-4=-7` 

Odp. Wartość największa to -6, wartość najmniejsza to `-7 1/8` .


e) `f(x)=2x^2-8x+9` 

`p=(-b)/(2a)=8/4=2 in < -2, 2>` 

`f(2)=2*2^2-8*2+9=8-16+9=1` 

`f(-2)=2*(-2)^2-8*(-2)+9=8+16+9=33` 

Odp. Wartość największa to 33, wartość najmniejsza to 1.


f) `f(x)=-3x^2+72x-433` 

`p=(-b)/(2a)=-72/-6=12 !in < 0, 10>` 

`f(0)=-3*0^2+72*0-433=-433` 

`f(10)=-3*10^2+72*10-433=-300+720-433=-13` 

Odp. Wartość największa to -13, wartość najmniejsza to -433.