Ciąg arytmetyczny - matura-podstawowa - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Ciąg arytmetyczny - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Ciąg arytmetyczny i jego suma

W tym temacie przekażemy Wam niezbędne informacje, w jaki sposób sprawdzić ile wynosi dowolny wyraz (piąty, szósty itd.) ciągu arytmetycznego, a także jak szybko policzyć sumę N wyrazów tego ciągu, na przykład 20 czy 40 wyrazów.

Pamiętamy, że ciąg arytmetyczny to taki, w którym pomiędzy jego wyrazami występuje stała różnica.

Wszystko omówimy na prostym przykładzie:
$a_n=2,4,6,8,10,x$

Widzimy, że jest arytmetyczny (stała różnica wynosi 2). Jednak nie znamy wartość x. Możemy bez liczenia odpowiedzieć, że wynosi 12. Jednakże znacznie trudniej jest to obliczyć w pamięci w bardziej skomplikowanych przypadkach.

$a_n=1/3, 1/{12}, -1/6, -5/{12},x$

W tym przykładzie nie będzie już tak prosto.
Musimy najpierw obliczyć różnicę. Skoro wiemy, że jest to ciąg arytmetyczny, wystarczy odjąć dwa dowolne sąsiednie wyrazy od siebie - weźmy trzeci oraz czwarty:

$r={-5}/{12} - (-1/6)$

$r={-5}/{12}+1/6$

$r={-5}/{12}+2/{12}$

$r={-3}/{12}={-1}/4$

Posiadamy już różnicę. Teraz przedstawiamy wzór na wartość dowolnego wyrazu ciągu arytmetycznego:

$a_n=a_1+(n-1)×r$

dla naszego x, czyli piątego wyrazu: $a_5=a_1+(5-1)×r$

Jak widzimy jest to podstawa ($a_1$) oraz 4 różnice ($(5-1)×r$).

$a_5=a_1+4×r$

$a_5=1/3+4×1/4=1/3+1=1 1/3 $

Pamiętajmy również o ważnej własności - wyraz środkowy jest średnią liczb sąsiednich, z czego wynika, że:

$a_{n-1}, a_n, a_{n+1}$ -> kolejne trzy wyrazy

$a_n={a_{n-1}+a_{n+1}}/2$
 

Suma ciągu arytmetycznego

Aby obliczyć sumę ciągu arytmetycznego potrzebujemy następujących danych:
  • Pierwszy wyraz: $a_1$
  • Ilość wyrazów, których sumę zamierzamy policzyć: $N$
  • Ostatni wyraz: $a_N$
Wzór na sumę wygląda następująco:

$S_N={a_1+a_N}/{2}×N$

Spotykana jest również inna odmiana tego wzoru:

$S_N={2a_1+(N-1)r}/2×N$

(pod $a_N$ pierwszego wzoru został podstawiony po prostu wzór na wartość dowolnego wyrazu: $a_n=a_1+(n-1)×r$)

Przykład:

Oblicz sumę pierwszych dziesięciu wyrazów ciągu arytmetycznego o różnicy $r=-2$ i trzecim wyrazie równym $a_3=4$ .

Potrzebujemy podstawy, zatem obliczmy $a_1$ ze wzoru na dowolny wyraz:

$a_3=a_1+(3-1)×r$

$4= a_1+2×(-2)$

$4=a_1-4$

$a_1=8$

Wiemy, że musimy mieć sumę 10 wyrazów, zatem $N=10$.

Pozostaje nam odnaleźć ostatni wyraz czyli $a_{10}$

Również użyjmy wzoru na dowolny wyraz: $a_{10}=a_1+(10-1)×r$

$a_{10}=8+9×(-2)$

$a_{10}=-10$

Posiadamy już wszystkie wartości do podstawienia ich do wzoru na sumę ciągu:

$a_1=8$

$N=10$

$a_{10}=-10$

$S_N={a_1+a_N}/{2}×N$

$S_N={8-10}/{2}×10$

$S_N={-2}/{2}×10=-10$

Zatem suma naszych wyrazów wynosi $-10$.

Uwaga!

Wszystkie użyte wzory zawarte w tym temacie znajdują się w karcie wzorów maturalnych.
Wzór na dowolny wyraz jest uniwersalnym wzorem, działa dla każdego ciągu arytmetycznego.
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Oblicz trzeci, piąty i dziesiąty wyraz ciągu arytmetycznego o różnicy $r=-3$ i $a_2=33$.

Tutaj korzystamy tylko i wyłącznie z wzoru na dowolny wyraz.

$a_n=a_1+(n-1)×r$

Najpierw policzmy sobie nasze $a_1$

$a_2=a_1+(2-1)×r$

$a_2=a_1+(2-1)×r$

$33=a_1-3$

$a_1=36$

Skoro mamy $a_1$ szybko obliczamy pozostałe wyrazy.

Trzeci:

$a_3=a_1+(3-1)×r$

$a_3=36+2×(-3)$

$a_3=36-6$

$a_3=30$

Piąty:

$a_5=a_1+(5-1)*r$

$a_5=36+4×(-3)$

$a_5=36-12$

$a_5=24$

oraz dziesiąty:

$a_{10}=a_1+(10-1)×r$

$a_{10}=36+9×(-3)$

$a_{10}=36-27$

$a_{10}=9$

Zadanie 2.

Znajdź różnicę ciągu arytmetycznego oraz jego pierwszy wyraz jeżeli $a_5=4$ i $a_7=14$.

Znajdźmy różnicę. Wiemy z wzoru na dowolny wyraz, że:

$a_7=a_1+6r$

$a_5=a_1+4r$

Zatem różnica pomiędzy nimi:

$a_7-a_5=a_1+6r-(a_1+4r)=2r$

Zatem:

$14-4=2r$

$10=2r$

$r=5$

Pozostaje nam znaleźć pierwszy wyraz z wzoru na dowolny wyraz:

$a_n=a_1+(n-1)×r$

weźmy wyraz piąty, którego wartość już znamy:

$a_5=a_1+(5-1)×r$

$4=a_1+4*5$

$4=a_1+20$

$a_1=-16$

Zadanie 3.

Wyznacz minimalną sumę dwudziestu wyrazów ciągu arytmetycznego, jeżeli wyrazy są liczbami naturalnymi i są większe o 2 od różnicy $r=3$.

W zadaniu mamy podane dwadzieścia wyrazów, tak więc $N=20$. Potrzebujemy sumy minimalnej, czyli jak najmniejszej.

Liczby naturalne większe od 2, więc najmniejsza kolejna to 3, $a_1=3$.

Różnica to 3, czyli $r=3$.

Potrzebujemy jedynie 20-tego wyrazu:

$a_N=a_1+(N-1)×r$

$a_{20}=3+(20-1)×r$

$a_{20}=3+19×3$

$a_{20}=60$ -> wartość 20-tego wyrazu.

Pozostaje nam obliczyć sumę:

$S_N={a_1+a_N}/{2}×N$

$S_{20}={a_1+a_{20} }/{2}×20$

$S_{20}={3+63}/{2}×20$

$S_{20}=33*20=660$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Naszkicuj wykres funkcji f i na jego podstawie ...

a) Wykres funkcji f:   {premium}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


b) Wykres funkcji f:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Jeśli licznik ułamka zwiększymy o 1...

Oznaczmy:

x - licznik ułamka

y - mianownik ułamka


Jeśli licznik{premium} zwiększymy o 1, zaś mianownik o 3, to otrzymamy ułamek równy 2/5. Stąd:

 

Po wymnożeniu na krzyż otrzymujemy:

 


Jeśli licznik ułamka zwiększymy dwukrotnie, a mianownik zwiększymy o 5, to ułamek będzie równy 1/2. Stąd:

 

Po wymnożeniu na krzyż otrzymujemy:

 


Zapisujemy powyższe równania jako układ i wyznaczamy z niego x oraz y:

 

 

 

Podstawiamy y=4x-5 do pierwszego równania.

 

 

 

 

Podstawiamy x=3 do drugiego równania.

 

 

 


Odp. Szukany ułamek to  

W trójkącie prostokątnym spodek wysokości...

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:

Thumb zad5.58str120


W trójkącie prostokątnym wysokość  poprowadzona z wierzchołka kąta prostego, dzieli przeciwprostokątną

na odcinki mające długość  dla których  



 Mamy dane:

 

 


 

 


Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta  

 

 

 

 

 {premium}


Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta  

 

 

 

 

 


Obliczamy sumę długości przyprostokątnych trójkąta  

 


Odp. Suma długości przyprostokątnych trójkąta jest równa  



 Mamy dane:

 

 


 

 


Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta  

 

 

 

 

 

 


Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta  

 

 

 

 

 

 


Obliczamy sumę długości przyprostokątnych trójkąta  

 


Odp. Suma długości przyprostokątnych trójkąta jest równa  

Wykres...

a)

O funkcji kwadratowej f wiemy, że przecina oś x w punktach 

czyli miejscami zerowymi tej funkcji są liczby -1 i 5. 

Zatem możemy zapisać wzór tej funkcji w postaci iloczynowej

Dodatkowo wiemy, że do wykresy funkcji f należy punkt  M = (0, 5),

czyli zachodzi f(0) = 5. 

Zatem dostajemy{premium}

  

czyli wzór tej funkcji to 

z postaci iloczynowej funkcji  przejdźmy do postaci ogólnej, otrzymamy 

Obliczmy współrzędne wierzchołka W tej funkcji. 

Dostaniemy

czyli


b)

O funkcji kwadratowej f wiemy, że przecina oś x w punktach 

czyli miejscami zerowymi tej funkcji są liczby -4 i 6. 

Zatem możemy zapisać wzór tej funkcji w postaci iloczynowej

Dodatkowo wiemy, że do wykresy funkcji f należy punkt  M = (0, -12),

czyli zachodzi f(0) = -12. 

Zatem dostajemy

  

czyli wzór tej funkcji to 

z postaci iloczynowej funkcji  przejdźmy do postaci ogólnej, otrzymamy 

Obliczmy współrzędne wierzchołka W tej funkcji. 

Dostaniemy

czyli


c)

O funkcji kwadratowej f wiemy, że przecina oś x w punktach 

czyli miejscami zerowymi tej funkcji są liczby -4 i 1. 

Zatem możemy zapisać wzór tej funkcji w postaci iloczynowej

Dodatkowo wiemy, że do wykresy funkcji f należy punkt  M = (0, 8),

czyli zachodzi f(0) = 8. 

Zatem dostajemy

  

czyli wzór tej funkcji to 

z postaci iloczynowej funkcji  przejdźmy do postaci ogólnej, otrzymamy 

Obliczmy współrzędne wierzchołka W tej funkcji. 

Dostaniemy

 

czyli


d)

O funkcji kwadratowej f wiemy, że przecina oś x w punktach 

czyli miejscami zerowymi tej funkcji są liczby -3 i 1. 

Zatem możemy zapisać wzór tej funkcji w postaci iloczynowej

Dodatkowo wiemy, że do wykresy funkcji f należy punkt  M = (0, -300),

czyli zachodzi f(0) = -300. 

Zatem dostajemy

  

czyli wzór tej funkcji to 

z postaci iloczynowej funkcji  przejdźmy do postaci ogólnej, otrzymamy 

Obliczmy współrzędne wierzchołka W tej funkcji. 

Dostaniemy

czyli

Wyznacz miejsca zerowe

Miejsca zerowe funkcji to argumenty, dla których ta funkcja przyjmuje wartość 0.

 

{premium}  

 

Oblicz.

    {premium}

 

 

 

Niech a= ...

Obliczamy wartość wrażenia dla podanych liczb. {premium}

 

 

 


Odpowiedź: C

Podaj zbiór wartości funkcji.

Wierzchołek paraboli o równaniu     ma współrzędne:

 

Możemy zauważyć, że druga współrzędna wierzchołka paraboli jest wartością najmniejszą lub wartością największą paraboli.


 

 

 

 

Zauważmy, że:

 

Zatem ramiona paraboli są skierowane w dół.

Zatem otrzymujemy:

 


 

 

 

 

Zauważmy, że:

 

Zatem ramiona paraboli są skierowane w górę.

Zatem otrzymujemy:

  


 

 

 

 

Zauważmy, że:

 

Zatem ramiona paraboli są skierowane w dół.

Zatem otrzymujemy:

  


 

 

 

 

Zauważmy, że:

 

Zatem ramiona paraboli są skierowane w górę.

Zatem otrzymujemy:

 

Zapoznaj się z ofertą banku...

    {premium}

 

 

a) Wykaż. że funkcja g(x)=4x+6 jest...

a) Załóżmy, że argumenty x1 i x2 należą do zbioru R i spełniają warunek x1<x2. Wówczas:{premium}

 

 

 

Stąd:

 

Pokazaliśmy, że z nierówności x1<x2 wynika, że g(x1)<g(x2), czyli funkcja g jest rosnąca.


b) Wyznaczmy wartości funkcji h dla kilku argumentów z dziedziny:

 

 

 

Widzimy, że dla wybranych argumentów wartości funkcji maleją wraz ze wzrostem argumentów. Oznacza to, że funkcja h nie jest rosnąca w zbiorze R.