Ciąg arytmetyczny - matura-podstawowa - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Ciąg arytmetyczny - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Ciąg arytmetyczny i jego suma

W tym temacie przekażemy Wam niezbędne informacje, w jaki sposób sprawdzić ile wynosi dowolny wyraz (piąty, szósty itd.) ciągu arytmetycznego, a także jak szybko policzyć sumę N wyrazów tego ciągu, na przykład 20 czy 40 wyrazów.

Pamiętamy, że ciąg arytmetyczny to taki, w którym pomiędzy jego wyrazami występuje stała różnica.

Wszystko omówimy na prostym przykładzie:
$a_n=2,4,6,8,10,x$

Widzimy, że jest arytmetyczny (stała różnica wynosi 2). Jednak nie znamy wartość x. Możemy bez liczenia odpowiedzieć, że wynosi 12. Jednakże znacznie trudniej jest to obliczyć w pamięci w bardziej skomplikowanych przypadkach.

$a_n=1/3, 1/{12}, -1/6, -5/{12},x$

W tym przykładzie nie będzie już tak prosto.
Musimy najpierw obliczyć różnicę. Skoro wiemy, że jest to ciąg arytmetyczny, wystarczy odjąć dwa dowolne sąsiednie wyrazy od siebie - weźmy trzeci oraz czwarty:

$r={-5}/{12} - (-1/6)$

$r={-5}/{12}+1/6$

$r={-5}/{12}+2/{12}$

$r={-3}/{12}={-1}/4$

Posiadamy już różnicę. Teraz przedstawiamy wzór na wartość dowolnego wyrazu ciągu arytmetycznego:

$a_n=a_1+(n-1)×r$

dla naszego x, czyli piątego wyrazu: $a_5=a_1+(5-1)×r$

Jak widzimy jest to podstawa ($a_1$) oraz 4 różnice ($(5-1)×r$).

$a_5=a_1+4×r$

$a_5=1/3+4×1/4=1/3+1=1 1/3 $

Pamiętajmy również o ważnej własności - wyraz środkowy jest średnią liczb sąsiednich, z czego wynika, że:

$a_{n-1}, a_n, a_{n+1}$ -> kolejne trzy wyrazy

$a_n={a_{n-1}+a_{n+1}}/2$
 

Suma ciągu arytmetycznego

Aby obliczyć sumę ciągu arytmetycznego potrzebujemy następujących danych:
  • Pierwszy wyraz: $a_1$
  • Ilość wyrazów, których sumę zamierzamy policzyć: $N$
  • Ostatni wyraz: $a_N$
Wzór na sumę wygląda następująco:

$S_N={a_1+a_N}/{2}×N$

Spotykana jest również inna odmiana tego wzoru:

$S_N={2a_1+(N-1)r}/2×N$

(pod $a_N$ pierwszego wzoru został podstawiony po prostu wzór na wartość dowolnego wyrazu: $a_n=a_1+(n-1)×r$)

Przykład:

Oblicz sumę pierwszych dziesięciu wyrazów ciągu arytmetycznego o różnicy $r=-2$ i trzecim wyrazie równym $a_3=4$ .

Potrzebujemy podstawy, zatem obliczmy $a_1$ ze wzoru na dowolny wyraz:

$a_3=a_1+(3-1)×r$

$4= a_1+2×(-2)$

$4=a_1-4$

$a_1=8$

Wiemy, że musimy mieć sumę 10 wyrazów, zatem $N=10$.

Pozostaje nam odnaleźć ostatni wyraz czyli $a_{10}$

Również użyjmy wzoru na dowolny wyraz: $a_{10}=a_1+(10-1)×r$

$a_{10}=8+9×(-2)$

$a_{10}=-10$

Posiadamy już wszystkie wartości do podstawienia ich do wzoru na sumę ciągu:

$a_1=8$

$N=10$

$a_{10}=-10$

$S_N={a_1+a_N}/{2}×N$

$S_N={8-10}/{2}×10$

$S_N={-2}/{2}×10=-10$

Zatem suma naszych wyrazów wynosi $-10$.

Uwaga!

Wszystkie użyte wzory zawarte w tym temacie znajdują się w karcie wzorów maturalnych.
Wzór na dowolny wyraz jest uniwersalnym wzorem, działa dla każdego ciągu arytmetycznego.
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Oblicz trzeci, piąty i dziesiąty wyraz ciągu arytmetycznego o różnicy $r=-3$ i $a_2=33$.

Tutaj korzystamy tylko i wyłącznie z wzoru na dowolny wyraz.

$a_n=a_1+(n-1)×r$

Najpierw policzmy sobie nasze $a_1$

$a_2=a_1+(2-1)×r$

$a_2=a_1+(2-1)×r$

$33=a_1-3$

$a_1=36$

Skoro mamy $a_1$ szybko obliczamy pozostałe wyrazy.

Trzeci:

$a_3=a_1+(3-1)×r$

$a_3=36+2×(-3)$

$a_3=36-6$

$a_3=30$

Piąty:

$a_5=a_1+(5-1)*r$

$a_5=36+4×(-3)$

$a_5=36-12$

$a_5=24$

oraz dziesiąty:

$a_{10}=a_1+(10-1)×r$

$a_{10}=36+9×(-3)$

$a_{10}=36-27$

$a_{10}=9$

Zadanie 2.

Znajdź różnicę ciągu arytmetycznego oraz jego pierwszy wyraz jeżeli $a_5=4$ i $a_7=14$.

Znajdźmy różnicę. Wiemy z wzoru na dowolny wyraz, że:

$a_7=a_1+6r$

$a_5=a_1+4r$

Zatem różnica pomiędzy nimi:

$a_7-a_5=a_1+6r-(a_1+4r)=2r$

Zatem:

$14-4=2r$

$10=2r$

$r=5$

Pozostaje nam znaleźć pierwszy wyraz z wzoru na dowolny wyraz:

$a_n=a_1+(n-1)×r$

weźmy wyraz piąty, którego wartość już znamy:

$a_5=a_1+(5-1)×r$

$4=a_1+4*5$

$4=a_1+20$

$a_1=-16$

Zadanie 3.

Wyznacz minimalną sumę dwudziestu wyrazów ciągu arytmetycznego, jeżeli wyrazy są liczbami naturalnymi i są większe o 2 od różnicy $r=3$.

W zadaniu mamy podane dwadzieścia wyrazów, tak więc $N=20$. Potrzebujemy sumy minimalnej, czyli jak najmniejszej.

Liczby naturalne większe od 2, więc najmniejsza kolejna to 3, $a_1=3$.

Różnica to 3, czyli $r=3$.

Potrzebujemy jedynie 20-tego wyrazu:

$a_N=a_1+(N-1)×r$

$a_{20}=3+(20-1)×r$

$a_{20}=3+19×3$

$a_{20}=60$ -> wartość 20-tego wyrazu.

Pozostaje nam obliczyć sumę:

$S_N={a_1+a_N}/{2}×N$

$S_{20}={a_1+a_{20} }/{2}×20$

$S_{20}={3+63}/{2}×20$

$S_{20}=33*20=660$

Spis treści

Rozwiązane zadania
W trapezie równoramiennym przekątne przecinają się...

Rysunek poglądowy:

Obliczmy długość ramienia kąta za pomocą trójkąta ABC:

  

 

 

 

Poprowadźmy teraz wysokość z wierzchołka C na podstawę AB, wtedy:

Zauważmy, że:

 

 

A więc:

 

 

 

 

 

Zatem:

 

 

 

 

Zatem obwód trapezu wynosi:

 

Uzasadnij, że równanie...

a)

 

 

Sprawdźmy kiedy  czyli kiedy równanie ma jedno lub dwa rozwiązania.

 

 

Dla każdego  


b) 

 

 

 

Sprawdźmy kiedy  czyli kiedy równanie ma jedno lub dwa rozwiązania.

 

 

Dla każdego   

Jaki warunek musi spełniać m, alby punkty...

 Wyznaczamy równanie prostej przechodzącej przez punkty  i   

Wstawiamy do równania prostej  współrzędne punktu  Otrzymujemy:

 

Wstawiamy do równania prostej  współrzędne punktu  Otrzymujemy:

 

Zapisujemy wyznaczone równania jako układ równań i wyliczamy z niego  

 

 

 

Zatem prosta przechodząca przez punkty  i   dana jest wzorem:

 

Obliczamy, jaką liczbę należy wstawić w miejsce  by punkty  były współliniowe.

 

 

 

 

Odp. Aby punkty nie były współliniowe, musi zachodzić  

 

 Wyznaczamy równanie prostej przechodzącej przez punkty  i   

Wstawiamy do równania prostej  współrzędne punktu  Otrzymujemy:

 

Wstawiamy do równania prostej  współrzędne punktu  Otrzymujemy:

 

Zapisujemy wyznaczone równania jako układ równań i wyliczamy z niego  

 

 

 

Zatem prosta przechodząca przez punkty  i   dana jest wzorem:

 

Obliczamy, jaką liczbę należy wstawić w miejsce  by punkty  były współliniowe.

  

 

Odp. Aby punkty nie były współliniowe, musi zachodzić  

 

 Wyznaczamy równanie prostej przechodzącej przez punkty  i   

Wstawiamy do równania prostej  współrzędne punktu  Otrzymujemy:

 

Wstawiamy do równania prostej  współrzędne punktu  Otrzymujemy:

 

Zapisujemy wyznaczone równania jako układ równań i wyliczamy z niego  

 

 

 

Zatem prosta przechodząca przez punkty  i   dana jest wzorem:

 

Obliczamy, jaką liczbę należy wstawić w miejsce  by punkty  były współliniowe.

 

 

 

Odp. Aby punkty nie były współliniowe, musi zachodzić  

 

 Wyznaczamy równanie prostej przechodzącej przez punkty  i   

Wstawiamy do równania prostej  współrzędne punktu  Otrzymujemy:

 

Wstawiamy do równania prostej  współrzędne punktu  Otrzymujemy:

 

Zapisujemy wyznaczone równania jako układ równań i wyliczamy z niego  

 

 

 

Zatem prosta przechodząca przez punkty  i   dana jest wzorem:

 

Obliczamy, jaką liczbę należy wstawić w miejsce  by punkty  były współliniowe.

  

 

Odp. Aby punkty nie były współliniowe, musi zachodzić  

W kole o środku S i średnicy ...

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.

Znamy długość średnicy AB:

 

Długość promienia jest dwukrotnie mniejsza od długości średnicy:

 

 

Pole części koła pomiędzy średnicą AB i cięciwą CD możemy obliczyć sumując pola dwóch wycinków koła oraz trójkąta równoramiennego.

Obliczmy miarę kąta α:

 

 

 

Obliczmy miarę kąta ß:

 

 

 

Obliczmy pole wycinka koła o o promieniu 8 i kącie środkowym α = 30o.

 

 

Chcemy obliczyć pole trójkąta. Musimy wyznaczyć długość odcinka CD (podstawa) oraz odcinka FS (wysokość).  

Zauważmy, że:

 

oraz 

 

Korzystając z własności trójkąta o kątach 90o, 60o oraz 30o wyznaczamy długość odcinka DE oraz SE.

 

 

 

Stąd mamy:

 

 

 

Cięciwa Cd podzielona jest na dwa odcinki o równej długości, stąd:

 

Obliczamy pole trójkąta równoramiennego CSD:

 

 

Obliczamy pole części koła pomiedzy średnicą i cięciwą:

 

 

 

Odp: Pole części koła pomiędzy średnicą a cięciwą wynosi 32/3π+163 j2.

W pewnym banku do codziennej kapitalizacji odsetek kapitału

 

 

 

Po około 37 dniach. 

Sprawdź, czy podane równości są tożsamościami...

 

Równość jest tożsamością trygonometryczną.

 

 

Równość jest tożsamością trygonometryczną.

 

 

Równość nie jest tożsamością trygonometryczną.

 

 

 

Narysuj kwadrat ABCD o boku długości 6...

 Rysujemy kwadrat  o boku długości  i wyznaczamy wektor  

Thumb zad4.72a1str115


Otrzymujemy:

 


Przesuwamy kwadrat  równolegle o wektor  {premium}

Thumb zad4.72a2str115


Obrazem kwadratu  w przesunięciu równoległym o wektor  jest kwadrat  



 Wyznaczamy wektor  

Thumb zad4.72b1str115


Otrzymujemy:

 


Przesuwamy kwadrat  równolegle o wektor  

Thumb zad4.72b2str115


Obrazem kwadratu  w przesunięciu równoległym o wektor  jest kwadrat  

czy wykres funkcji f(x), gdzie x...

Wykres funkcji f {premium}nie ma punktu wspólnego z osią OY, bo argument x=0 nie należy do dziedziny tej funkcji.

Wykres funkcji f(x)= ...

 

 

 

  

   

 

 

 

 

 

 

 

     

 

Zapisz w postaci kwadratu sumy