Bryły obrotowe - matura-podstawowa - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Bryły obrotowe - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Puszczamy walec o promieniu r=50 cm z 1000 metrowej górki. Zakładając, że zatrzymamy go na 1000 m, ile obrotów zrobi? Przyjmij $π=3,14$.

Promień jest w centymetrach,a górkę liczymy w metrach.

Pierwsze co w takim wypadku robimy to ustalamy wspólną jednostkę, ja wezmę metry:

$R=50 cm=0,5 m$
Jeden obrót walca to przeturlanie się po jego całym obwodzie.

Zatem musimy obliczyć obwód koła (nie powierzchnie boczną!)

Obw$=2πr=2π×0,5=π$

Zatem podczas jednego obrotu zrobi zgodnie z warunkami 3,14 m

No to pozostało obliczyć ile obrotów

ilość obrotów$={1000}/{π}≈{1000}/{3,14}≈318,47$

Walec zrobi 318 pełnych obrotów

Zadanie 2.

Objętość stożka jest równa $V=200π cm^3$, znajdź tworzącą stożka, jeśli promień r=5 cm

Wzór na objętość:

$V=1/3 P_p×H$

Potrzebujemy Pola Podstawy to liczymy

$P_p=πr^2=π5^2=25π$

Teraz bez problemu obliczymy wysokość

$V=1/3 P_p×H$

Podmieniamy:

$200π=1/3 25π×H$ $|×3$

$600π=25πH$ $|:25π$

$H=24$

Nanieśmy wartości na rysunek:

rys1

No to jak widać pozostaje nam użyć Twierdzenia Pitagorasa:

$5^2+{24}^2=l^2$

$l^2=25+576$

$l^2=601$

No i dostaliśmy liczbę pierwszą, więc to jest rozwiązanie. Liczba pierwsza dzieli się tylko przez 1 i przez samą siebie

$l=√601$

Zadanie 3.

Jak zwiększy się objętość kuli jeśli jej promień zwiększymy trzykrotnie?

Standardowe zadanie na "przed i po". Zróbmy tym razem tabelkę:

tab1
Gdy nie ma czasu na tabelkę, wystarczy zauważyć, że licząc objętość podnosimy $3r$ do trzeciej potęgi, więc objętość będzie $3^3=27$ razy większa.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Dokończ...

Korzystając z wykresu odczytajmy współrzędne wierzchołka tej paraboli. Otrzymamy:

 

czyli ta funkcja w postaci kanonicznej wyraża się wzorem{premium}

Dodatkowo wiemy, że np. punkt (0, 0) należy do wykresu tej funkcji. 

Zatem zachodzi

 

więc

czyli

funkcja f jest zatem postaci

    

 

Odp. B.     

Funkcja f w przedziale...

Sprawdzamy, czy wierzchołek paraboli należy do danego przedziału.

Obliczamy odciętą wierzchołka:

{premium}    

W takim razie funkcja przyjmuje najmniejszą wartość w wierzchołku, czyli dla  

Obliczamy wartość w tym punkcie.  

 

Prawidłowa odpowiedź to  

Na rysunku przedstawiono wykres pewnej funkcji.

a) Określamy monotoniczność funkcji. 

  • funkcja jest rosnąca dla  

  • funkcja jest malejąca dla    {premium}

  • funkcja jest stała dla  


b) Argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartości nieujemne (dodatnie lub równe 0) to:

  

Zbiór A ma 10 elementów ...

 

Najmniejsza możliwa liczba elementów tego zbioru to 20 (gdy zbiór A zawiera się w zbiorze B).

  {premium}

Największa możliwa liczba elementów tego zbioru to 30 (gdy zbiory A i B są rozłączne).


 

Najmniejsza możliwa liczba elementów tego zbioru to 0 (gdy zbiory A i B są rozłączne).

 

Największa możliwa liczba elementów tego zbioru to 10 (gdy zbiór A zawiera się w zbiorze B).


 

Najmniejsza możliwa liczba elementów tego zbioru to 0 (gdy zbiór A zawiera się w zbiorze B).

 

Największa możliwa liczba elementów tego zbioru to 10 (gdy zbiory A i B są rozłączne).


 

Najmniejsza możliwa liczba elementów tego zbioru to 10 (gdy zbiór A zawiera się w zbiorze B).

 

Największa możliwa liczba elementów tego zbioru to 20 (gdy zbiory A i B są rozłączne).

Mając dany wykres funkcji y=f(x)...

a)

I. Wykres funkcji f przesuwamy o jedną jednostkę w prawo wzdłuż osi x.{premium}


II. Wykres funkcji f przesuwamy o trzy jednostki w lewo wzdłuż osi x.


III. Wykres funkcji f przesuwamy o dwie jednostki w prawo wzdłuż osi x.


IV. Wykres funkcji f przesuwamy o pięć jednostek w lewo wzdłuż osi x.


b)

I. Wykres funkcji f przesuwamy o jedną jednostkę w prawo wzdłuż osi x.


II. Wykres funkcji f przesuwamy o trzy jednostki w lewo wzdłuż osi x.


III. Wykres funkcji f przesuwamy o dwie jednostki w prawo wzdłuż osi x.


IV. Wykres funkcji f przesuwamy o pięć jednostek w lewo wzdłuż osi x.

Dziedziną funkcji f jest zbiór R. Sprawdź...

Punkt P(p, q) należy do wykresu funkcji f, jeśli f(p)=q.{premium}


 

 

 

 

Do wykresu funkcji f należą punkty B, C, D.


 

 

 

 

Do wykresu funkcji f należy punkt C.


 

 

 

 

Do wykresu funkcji f należą punkty A i D.


 

 

 

 

Do wykresu funkcji f należy punkt A.

Wyznacz miary kątów...

a) Wyznaczmy miarę kąta α:{premium}

 

 

 


Obliczamy miarę kąta β:

 

 

 

 


 



b) Kąty wierzchołkowe mają równe miary, więc brakujący kąt w trójkącie o kątach 33° i 87° ma miarę α. Z sumy kątów dla tego trójkąta: 

 

 

 


Obliczamy miarę kąta β:

 

 

 

 


 

Ile różnych rozwiązań ma równanie...

 

 

 

 

  

 

{premium}

  

 

 

Lub: 

 

 

 

 

 

 

Lub:    

 

 

 

 

 

 

 

Lub:

 

 

 

 

Lub:

 

 

A więc równanie posiada 3 różne rozwiązania.

 

 

Odp.: D         

Napisz równanie prostej równoległej do prostej ...

Proste   i    są równoległe, gdy   . 


 

 

Wyznaczamy współczynnik kierunkowy funkcji równoległej do powyższej funkcji. {premium}

 


Mamy więc: 

 


Do wykresu tej funkcji należy punkt P = (1, 2). Wyznaczamy współczynnik b. 

 

  


Prosta równoległa do prostej o równaniu y = 2x -11  i przechodząca przez punkt P = (1, 2) to y = 2x

Odczytaj z wykresu:

a) Temperatura jest najniższa{premium} na wysokości 84 km nad Ziemią.

b) Temperatury dodatnie panują na wysokościach od 0 km do 1 km oraz od 38 km do 54 km nad Ziemią (na wysokościach .