Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Bryły obrotowe - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Puszczamy walec o promieniu r=50 cm z 1000 metrowej górki. Zakładając, że zatrzymamy go na 1000 m, ile obrotów zrobi? Przyjmij $$π=3,14$$.

Promień jest w centymetrach,a górkę liczymy w metrach.

Pierwsze co w takim wypadku robimy to ustalamy wspólną jednostkę, ja wezmę metry:

$$R=50 cm=0,5 m$$
Jeden obrót walca to przeturlanie się po jego całym obwodzie.

Zatem musimy obliczyć obwód koła (nie powierzchnie boczną!)

Obw$$=2πr=2π×0,5=π$$

Zatem podczas jednego obrotu zrobi zgodnie z warunkami 3,14 m

No to pozostało obliczyć ile obrotów

ilość obrotów$$={1000}/{π}≈{1000}/{3,14}≈318,47$$

Walec zrobi 318 pełnych obrotów

Zadanie 2.

Objętość stożka jest równa $$V=200π cm^3$$, znajdź tworzącą stożka, jeśli promień r=5 cm

Wzór na objętość:

$$V=1/3 P_p×H$$

Potrzebujemy Pola Podstawy to liczymy

$$P_p=πr^2=π5^2=25π$$

Teraz bez problemu obliczymy wysokość

$$V=1/3 P_p×H$$

Podmieniamy:

$$200π=1/3 25π×H$$ $$|×3$$

$$600π=25πH$$ $$|:25π$$

$$H=24$$

Nanieśmy wartości na rysunek:

rys1

No to jak widać pozostaje nam użyć Twierdzenia Pitagorasa:

$$5^2+{24}^2=l^2$$

$$l^2=25+576$$

$$l^2=601$$

No i dostaliśmy liczbę pierwszą, więc to jest rozwiązanie. Liczba pierwsza dzieli się tylko przez 1 i przez samą siebie

$$l=√601$$

Zadanie 3.

Jak zwiększy się objętość kuli jeśli jej promień zwiększymy trzykrotnie?

Standardowe zadanie na "przed i po". Zróbmy tym razem tabelkę:

tab1
Gdy nie ma czasu na tabelkę, wystarczy zauważyć, że licząc objętość podnosimy $$3r$$ do trzeciej potęgi, więc objętość będzie $$3^3=27$$ razy większa.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Dane są zbiory X i Y oraz funkcja f

`a)`

Wartość funkcji dla argumentu 2 jest równa -1. 

Wartość funkcji dla argumentu 4 jest równa 2. 

 

 

`b)`

Funkcja f przyjmuje wartość 2 dla argumentów 4 oraz 3. 

Funkcja f nie przyjmuje wartości 1 dla żadnego argumentu. 

 

`c)`

 

`x`  `1`  `5`  `2`  `4`  `3` 
`y`  `-2`  `-1`  `-1`  `2`    `2`
Wyznacz równanie ogólne prostej przechodzącej...

Postać ogólna prostej:

`Ax+By+C=0` 

 

a) Weźmy postać kierunkową pewnej prostej:

`y = ax+b` 

Jeżeli prosta przechodzi przez punkt P, to punkt P spełnia równanie tej prostej zatem:

`y_1 = ax_1 + b` 

stąd:

`b = y_1 - ax_1` 

 

czyli nasze równanie ma postać:

`y = ax + y_1 - ax_1` 

`y= ax - ax_1+y_1` 

`y = a(x-x_1) + y_1` 

 

Podstawmy współrzędne punktu P:

`y = a(x+1)+2`  

`y=ax+a + 2` 

`-ax + y - a - 2=0` 

 

Odległość naszej prostej od początku układu współrzędnych wynosi `(4sqrt5)/5` 

`(4sqrt5)/5 = (|-a*0+1*0 -a-2|)/sqrt((-a)^2+1^2)` 

`4/sqrt5 = (|-a-2|)/sqrt(a^2+1)`   

Podnieśmy do kwadratu obustronnie równanie:

`16/5 = (|a+2|^2)/(a^2+1)`   

Możemy opuścić wartość bezwzględną gdyż cały dwumian jest podnoszony do kwadratu:

`16/5 = (a+2)^2/(a^2+1)` 

`16(a^2+1) = 5(a+2)^2` 

`16a^2 + 16 = 5(a^2+4a+4)` 

`16a^2 + 16 = 5a^2 + 20a + 20` 

`11a^2 -20a -4=0` 

`Delta = (-20)^2 -4*11*(-4) = 400 + 16*11 = 400 + 176 = 576` 

`sqrtDelta = sqrt576 = 24` 

`a_1 = (20 - 24)/22 = -4/22 = -2/11` 

`a_2 = (20+24)/22 = 44/22 =2` 

 

A więc:

`y = -2/11(x+1)+2 \ \ \ vv \ \ \ y = 2 (x+1) + 2` 

`y = -2/11x -2/11 + 2 \ \ \ vv \ \ \ y = 2x+2+2` 

`y = -2/11x +20/11 \ \ \ vv \ \ \ y = 2x+4` 

`2/11x + y - 20/11=0  \ \|*11 \ \ \ vv \ \ \ -2x+y-4=0`  

`2x+11y - 20 =0 \ \ \ vv \ \ \ -2x+y-4=0` 

 

`b) \ {(x-y=1 \ \ \ |*2),(2x+y=8):}` 

`{(2x-2y=2),(2x+y=8):}` 

`underline(underline(stackrel(\)(-) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \))` 

`-3y = -6` 

`y = 2` 

stąd:

`x -2=1` 

`x = 3` 

punkt przecięcia ma współrzędne:

`P = (3, 2)` 

 

Analogicznie jak w podpunkcie a, współrzędne punktu P spełniają równanie kierunkowe prostej:

`y = a(x-3) + 2`  

`y = ax-3a + 2` 

`-ax + y + 3a - 2=0` 

 

Odległość od początku układu współrzędnych wynosi `6/5` 

`6/5 = (|-a*0+1*0 + 3a -2|)/sqrt((-a)^2+1^2)` 

`6/5 = (|3a-2|)/sqrt(a^2+1)` 

Podnieśmy równanie obustronnie do kwadratu:

`36/25 = (3a-2)^2/(a^2+1)`  

`36(a^2+1) = 25(3a-2)^2` 

`36a^2 + 36 = 25(9a^2 -12a + 4)` 

`36a^2 + 36 = 225a^2 - 300a + 100` 

`-189a^2 + 300a - 64 =0` 

`Delta = 300^2 - 4*(-189)*(-64) = 90000 - 48384 = 41616` 

`sqrtDelta = sqrt41616 =204` 

`a_1 = (-300 - 204)/(-378) = (-504)/(-378) = 252/189 = 28/21 = 4/3` 

`a_2 = (-300+204)/(-378) = (-96)/(-378) = 48/189 = 16/63` 

 

Stąd:

`y = 4/3(x-3)+2  \ \|*3 \ \ \ vv \ \ \ y = 16/63 (x-3)+2 \ \ |*63` 

`3y = 4(x-3) + 6 \ \ \ vv \ \ \ 63y = 16(x-3)+126` 

`3y = 4x - 12 + 6 \ \ \ vv \ \ \ 63y = 16x - 48 + 126` 

`3y = 4x - 6 \ \ \ vv \ \ \ 63y = 16x +78` 

`-4x+3y+6=0 \ \ \ vv \ \ \ -16x + 63y - 78 =0` 

Wykonaj działanie. a) log₃54+log₃1,5

a)

`log_3 54+log_3 1,5= log_3 (54*1,5)=log_3 (54*3/2)=log_3 (162/2)=`

`=log_3 81= log_3 3^4=4`

b)

`log_2 5 +log_2 (25,6)=log_2(5*25,6)=log_2 128= log_2 2^7=7`

c)

 

`log_2 144-log_2 9= log_2 (144/9)=log_2 16=log_2 2^4= 4 d)`

d)

`log_3 33- log_3 11= log_3 33/11=log_3 3= 1`

 

Wskaż największą liczbę przecięcia ...

Odp:C

 

W "klasycznym" mamy 6 punktów przecięcia brzegu prostokąta z okręgiem.

Szczególnym przypadkiem prostokąta jest kwadrat.

Brzeg kwadratu może mieć z okręgiem 8 punktów wspólnych (popatrz zad.2.10, str.115).

Pole trójkąta ABC jest równe 21 ...

`|RB|=x` 

`|RB|=1/3|AB|` 

`|AB|=3|RB|` 

`|AR|=|AB|-|RB|=3|RB|-|RB|=2|RB|`  

`|AR|=2x` 

 

`|PC|=y` 

`|PC|=1/3|BC|` 

`3|PC|=|BC|`

`|BP|=|BC|-|PC|=3|PC|-|PC|=2|PC|` 

`|BP|=2y` 

 

`|QA|=z` 

`|QA|=1/3|CA|` 

`3|QA|=|CA|` 

`|QC|=|CA|-|QA|=3|QA|-|QA|=2|QA|` 

`|QC|=2z` 

Literki umieszczone w poszczególnych trójkątach są wartosciami pól tych trójkątów. Przykładowo:"

`P_(AFE)=h` 

`(**)\ a+b+c+d+e+f+g+h+k+x=21`   

 

`c=2d` 

`e=2f` 

`b=2a` 

`(**)\ a+2a+2d+d+2f+f+g+h+k+x=21`   

`3a+3d+3f+g+h+k+x=21` 

 

`h+c+x=2(k+d)` 

`h+2d+x=2k+2d` 

`h+x=2k` 

 

`k+x+e=2(f+g)` 

`k+x+2f=2f+g`

 

`k+x=2g ` 

 

`g+x+b=2(h+a)` 

`g+x+2a=2h+2a` 

`g+x=2h` 

 

Otrzymaliśmy trzy równania:

`{(h+x=2k),(k+x=2g),(g+x=2h):}` 

Dodajmy równania stronami:

`3x+h+k+g=2k+2g+2h` 

`3x=2k+2g+2h-h-k-h=k+g+h` 

`3x=k+g+h` 

 

`P_(RBC)=1/3*21=7=P_(AQB)=P_(ACP)`  

`a+3d+h=7` 

`d+k+3f=7` 

`f+g+3a=7` 

Dodajmy do siebie powyższe trzy równania.

`a+d+f+3d+3f+3a+h+k+g=21` 

`k+g+h+4a+4d+4f=21` 

`k+g+h=21-4(a+d+f)` 

 

`P_(ABC)=k+g+h+3a+3d+3f+x=21` 

`21-4(a+d+f)+3(a+d+f)+x=21`  

`x=a+d+f` 

 

`P_(ABC)=f+g+h+3a+3d+3f+x=f+g+h+3(a+d+f)+x=21` 

`f+g+h=3x` 

`a+d+f=x` 

`f+g+h+3(a+d+f)+x=3x+3x+x=21`  

`ul(x=3` 

Na wykresie przedstawiono funkcję...

A. Nie, bo

`f(0)=-2` 

 

B. Nie, bo

`f(-2) = 2` 

 

C. Tak

Odpowiedź C

 

D. Nie, bo

f(0) = -2 

Oblicz a) -3/4+5/6

`a)\ -3/4+5/6=-9/12+10/12=1/12` 

`b)\ 5/6-8/9=15/18-16/18=-1/18` 

`c)\ 1 1/6-7/9=` `7/6-7/9=`  `21/18-14/18=7/18` 

`d)\ 3/5-1 2/3=` `3/5-5/3=` `9/15-25/15=-16/15=-1 1/15` 

`e)\ 2 2/9+1 5/12=` `2 8/36+1 15/36=` `3 23/36` 

`f)\ 1 1/7+2 2/3=` `1 3/21+2 14/21=` `3 17/21` 

`g)\ 3 2/5-5 2/3=` `3 6/15-5 10/15=` `-(5 10/15-3 6/15)=` `- 2 4/15` 

`h)\ 4 1/6-2 7/15=` `4 5/30-2 14/30=` `3 35/30-2 14/30=` `1 21/30=1 7/10`   

 

Uprość

`a)`

Pierwszy podpunkt możemy rozwiązać na dwa sposoby. Najpierw rozwiążemy, korzystając ze wzoru na kwadrat sumy i kwadrat różnicy:

`(x+1)^2-(x-1)^2=x^2+2x+1-(x^2-2x+1)=x^2+2x+1-x^2+2x-1=4x`

 

Teraz rozwiążemy korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów:

`(x+1)^2-(x-1)^2=((x+1)-(x-1))*((x+1)+(x-1))=`

`=(x+1-x+1)*(x+1+x-1)=2*2x=4x`

 

 

 

`b)`

`(2x+1)^2+(x-2)^2=((2x)^2+2*2x+1^2)+(x^2-2*x*2+2^2)=`

`=(4x^2+4x+1)+(x^2-4x+4)=4x^2+4x+1+x^2-4x+4=5x^2+5`

  

 

Wyznacz współczynniki b i c...

Skoro -4 jest miejscem zerowym to

`f(-4) = 0`  

Punkt P należy do wykresu funkcji a więc:

`f(1) = 10`  

 

Rozwiążmy układ równań:

`{(f(-4)=0),(f(1)=10):}` 

`{(-2*(-4)^2 + b * (-4) + c = 0),(-2*1 + b + c = 10):}` 

`{(-2*16 -4b + c =0),(-2 + b + c = 10):}` 

`{(-4b+ c = 32),(b+ c= 12):}` 

`underline(underline( stackrel(  )(-) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \) )` 

`-4b - b + c - c = 32 - 12` 

`-5b = 20` 

`b = -4` 

Podstawmy wartość b pod drugie równanie

`-4 + c = 12` 

`c = 16` 

 

`f(x) = -2x^2 - 4x + 16` 

`Delta = (-4)^2 - 4*(-2) * 16 = 16 + 128 = 144`  

`sqrtDelta = sqrt144 = 12` 

`x_1 = (-(-4) - 12)/(-4) = (4 - 12)/(-4) = (-8)/(-4) = 2` 

`x_2 = (-(-4) + 12)/(-4) = (16)/(-4) = -4` 

 

`p = (-(-4))/(-4) = -1` 

`q = -144/(-8) = 18` 

 

`f(x) = -2(x+1)+18` 

Do wykresu funkcji liniowej należą...

Postać kierunkowa funkcji liniowej:

`f(x) = ax+b` 

 

Skoro prosta przechodzi przez początek układu współrzędnych to znaczy, że:

`f(0)=0`  

`b=0` 

 

Zatem:

`f(x) = ax` 

 

`a) \ f(1) = p` 

`a=p` 

 

Wzór to:

`f(x)=px` 

 

 

`b) \ f(p)=2` 

`ap = 2` 

`a = 2/p` 

 

Wzór to:

`f(x) = 2/px , \ \ \ p ne 0` 

 

`c) \ f(m) = n` 

`am = n` 

`a = n/m` 

 

Wzór to:

`f(x) = n/m x , \ \ \ m ne 0` 

 

`d) \ f(2p^2)=q` 

`2p^2 a = q` 

`a = q/(2p^2)` 

 

Wzór to:

`f(x) = q/(2p^2) x , \ \ \ p ne 0`