Bryły obrotowe - matura-podstawowa - Baza Wiedzy
Zadania powtórzeniowe
Zadanie 1.
Puszczamy walec o promieniu r=50 cm z 1000 metrowej górki. Zakładając, że zatrzymamy go na 1000 m, ile obrotów zrobi? Przyjmij $π=3,14$.
Promień jest w centymetrach,a górkę liczymy w metrach.
Pierwsze co w takim wypadku robimy to ustalamy wspólną jednostkę, ja wezmę metry:
$R=50 cm=0,5 m$
Jeden obrót walca to przeturlanie się po jego całym obwodzie.
Zatem musimy obliczyć obwód koła (nie powierzchnie boczną!)
Obw$=2πr=2π×0,5=π$
Zatem podczas jednego obrotu zrobi zgodnie z warunkami 3,14 m
No to pozostało obliczyć ile obrotów
ilość obrotów$={1000}/{π}≈{1000}/{3,14}≈318,47$
Walec zrobi 318 pełnych obrotów
Zadanie 2.
Objętość stożka jest równa $V=200π cm^3$, znajdź tworzącą stożka, jeśli promień r=5 cm
Wzór na objętość:
$V=1/3 P_p×H$
Potrzebujemy Pola Podstawy to liczymy
$P_p=πr^2=π5^2=25π$
Teraz bez problemu obliczymy wysokość
$V=1/3 P_p×H$
Podmieniamy:
$200π=1/3 25π×H$ $|×3$
$600π=25πH$ $|:25π$
$H=24$
Nanieśmy wartości na rysunek:
No to jak widać pozostaje nam użyć Twierdzenia Pitagorasa:
$5^2+{24}^2=l^2$
$l^2=25+576$
$l^2=601$
No i dostaliśmy liczbę pierwszą, więc to jest rozwiązanie. Liczba pierwsza dzieli się tylko przez 1 i przez samą siebie
$l=√601$
Zadanie 3.
Jak zwiększy się objętość kuli jeśli jej promień zwiększymy trzykrotnie?
Standardowe zadanie na "przed i po". Zróbmy tym razem tabelkę:
Gdy nie ma czasu na tabelkę, wystarczy zauważyć, że licząc objętość podnosimy $3r$ do trzeciej potęgi, więc objętość będzie $3^3=27$ razy większa.
Spis treści
Przyjmijmy:
Z nierówności otrzymujemy: {premium}
Zatem:
Z powyższych nierówności otrzymujemy:
W pozostałych przypadkach uporządkowania, np. otrzymujemy takie same wnioski.
Zatem jeśli liczby rzeczywiste spełniają nierówności podane w zadaniu, to zachodzi
Podstawiamy pierwsze równanie do drugiego równania:
Przekształcamy każde równanie do{premium} postaci kierunkowej.
Dla każdej prostej wyznaczamy współrzędne dwóch punktów, które do niej należą (dzięki temu będziemy mogli narysować wykres, prowadząc prostą przez te punkty).
Odczytujemy współrzędne punktu przecięcia prostych - jest to rozwiązanie układu:
Drugie równanie opisuje prostą pionową, pierwsze równanie przekształcamy do postaci kierunkowej.
Równość jest zawsze prawdziwa, więc układ jest nieoznaczony - ma nieskończenie wiele rozwiązań.
Spełnia je każda taka para liczb, że:
Obydwa równania opisują tę samą prostą. Układ ma nieskończenie wiele rozwiązań - wszystkie leżą na narysowanej prostej.
Pierwsze równanie jest sprzeczne, więc układ równań jest sprzeczny - nie ma rozwiązań.
Narysowane proste nie mają punktów wspólnych, więc układ jest sprzeczny - nie ma rozwiązania.
Oznaczmy:
x - masa roztworu o stężeniu 10% (w kg)
y - masa roztworu o stężeniu 40% (w kg)
Wówczas:{premium}
0,1x - masa soli w roztworze o stężeniu 10%
0,4y - masa soli w roztworze o stężeniu 40%
Po zmieszaniu otrzymano 12 kg roztworu. Stąd:
Stężenie procentowe otrzymanego roztworu wynosi 25%. Oznacza to, że sól stanowi 25% masy roztworu. Stąd:
Zapisujemy powyższe równania jako układ i wyznaczamy z niego x oraz y:
Podstawiamy x=12-y do drugiego równania.
Podstawiamy y=6 do pierwszego równania.
Odp. Zmieszano 6 kg roztworu o stężeniu 10% i 6 kg roztworu o stężeniu 40%.
Od pola prostokąta o wymiarach 5,1m na 1,52m należy odjąć pole kwadratu o boku długości 152cm oraz pole trzech prostokątów o wymairach 118cm na 45cm. Otrzymujemy: {premium}
Obliczenia:
Funkcja liniowa jest rosnąca, gdy .
Sprawdzamy, które funkcje są rosnące.
- funkcja rosnąca {premium}
- funkcja rosnąca
- funkcja malejąca
- funkcja rosnąca
Rosnące są funkcje . Sprawdzamy, które z nich mają dodatnie miejsca zerowe.
Jeśli , to funkcja liniowa ma jedno miejsce zerowe: .
Wyznaczamy miejsce zerowe funkcji .
Funkcja ma dodatnie miejsce zerowe.
Wyznaczamy miejsce zerowe funkcji .
Funkcja ma ujemne miejsce zerowe.
Wyznaczamy miejsce zerowe funkcji .
Funkcja ma dodatnie miejsce zerowe.
Funkcjami rosnącymi, które mają dodatnie miejsca zerowe są funkcje .
a) Oznaczmy długość nieznanego boku trójkąta jako x.
Z tw. Pitagorasa:
{premium}
Zatem:
b) Oznaczmy długość nieznanego boku trójkąta jako x.
Z tw. Pitagorasa:
Zatem:
c) Oznaczmy długość nieznanego boku trójkąta jako x.
Z tw. Pitagorasa:
Zatem:
Przykładowy wykres:
{premium}
{premium}
Równanie posiada trzy rozwiązania, zatem nie jest równaniem tożsamościowymi ani równaniem sprzecznym.
Wystarczy znaleźć jedną liczbę należącą do dziedziny, która nie spełnia tego równania.
Dla x=-1 otrzymujemy:
Równanie nie jest równaniem tożsamościowym.
Równanie posiada przynajmniej jedno rozwiązanie (np., liczba x=1 jest rozwiązaniem tego równania), więc nie jest równaniem sprzecznym.
Zatem nie jest to równanie tożsamościowe ani równanie sprzeczne.
Równanie posiada jedno rozwiązanie, zatem nie jest równaniem tożsamościowymi ani równaniem sprzecznym.
Równanie posiada jedno rozwiązanie, zatem nie jest równaniem tożsamościowymi ani równaniem sprzecznym.
a)
O funkcji kwadratowej f wiemy, że jej miejscami zerowymi są liczby
oraz
zatem możemy zapisać wzór tej funkcji w postaci iloczynowej.
Otrzymamy{premium}
Z postaci iloczynowej przechodzimy do postaci ogólnej
zatem wzór funkcji f w postaci ogólnej, to
b)
O funkcji kwadratowej f wiemy, że jej miejscami zerowymi są liczby
oraz
zatem możemy zapisać wzór tej funkcji w postaci iloczynowej.
Otrzymamy
Z postaci iloczynowej przechodzimy do postaci ogólnej
zatem wzór funkcji f w postaci ogólnej, to
c)
O funkcji kwadratowej f wiemy, że jej miejscami zerowymi są liczby
oraz
zatem możemy zapisać wzór tej funkcji w postaci iloczynowej.
Otrzymamy
Z postaci iloczynowej przechodzimy do postaci ogólnej
zatem wzór funkcji f w postaci ogólnej, to
Wykonajmy rysunek pomocniczy:
{premium}
Trójkąty są podobne na podstawie cechy podobieństwa trójkątów kąt-kąt-kąt.
Takim samym kolorem zaznaczymy odpowiadające boki.
Możemy więc zapisać:
Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta .
Pole trójkąta jest więc równe:
Książki
Q&A
Premium