Bryły obrotowe - matura-podstawowa - Baza Wiedzy
Zadania powtórzeniowe
Zadanie 1.
Puszczamy walec o promieniu r=50 cm z 1000 metrowej górki. Zakładając, że zatrzymamy go na 1000 m, ile obrotów zrobi? Przyjmij $$π=3,14$$.
Promień jest w centymetrach,a górkę liczymy w metrach.
Pierwsze co w takim wypadku robimy to ustalamy wspólną jednostkę, ja wezmę metry:
$$R=50 cm=0,5 m$$
Jeden obrót walca to przeturlanie się po jego całym obwodzie.
Zatem musimy obliczyć obwód koła (nie powierzchnie boczną!)
Obw$$=2πr=2π×0,5=π$$
Zatem podczas jednego obrotu zrobi zgodnie z warunkami 3,14 m
No to pozostało obliczyć ile obrotów
ilość obrotów$$={1000}/{π}≈{1000}/{3,14}≈318,47$$
Walec zrobi 318 pełnych obrotów
Zadanie 2.
Objętość stożka jest równa $$V=200π cm^3$$, znajdź tworzącą stożka, jeśli promień r=5 cm
Wzór na objętość:
$$V=1/3 P_p×H$$
Potrzebujemy Pola Podstawy to liczymy
$$P_p=πr^2=π5^2=25π$$
Teraz bez problemu obliczymy wysokość
$$V=1/3 P_p×H$$
Podmieniamy:
$$200π=1/3 25π×H$$ $$|×3$$
$$600π=25πH$$ $$|:25π$$
$$H=24$$
Nanieśmy wartości na rysunek:
No to jak widać pozostaje nam użyć Twierdzenia Pitagorasa:
$$5^2+{24}^2=l^2$$
$$l^2=25+576$$
$$l^2=601$$
No i dostaliśmy liczbę pierwszą, więc to jest rozwiązanie. Liczba pierwsza dzieli się tylko przez 1 i przez samą siebie
$$l=√601$$
Zadanie 3.
Jak zwiększy się objętość kuli jeśli jej promień zwiększymy trzykrotnie?
Standardowe zadanie na "przed i po". Zróbmy tym razem tabelkę:
Gdy nie ma czasu na tabelkę, wystarczy zauważyć, że licząc objętość podnosimy $$3r$$ do trzeciej potęgi, więc objętość będzie $$3^3=27$$ razy większa.
Spis treści
Rozwiązane zadania
Dane są zbiory X i Y oraz funkcja f
`a)`
Wartość funkcji dla argumentu 2 jest równa -1.
Wartość funkcji dla argumentu 4 jest równa 2.
`b)`
Funkcja f przyjmuje wartość 2 dla argumentów 4 oraz 3.
Funkcja f nie przyjmuje wartości 1 dla żadnego argumentu.
`c)`
| `x` | `1` | `5` | `2` | `4` | `3` |
| `y` | `-2` | `-1` | `-1` | `2` | `2` |
Wyznacz równanie ogólne prostej przechodzącej...
Postać ogólna prostej:
`Ax+By+C=0`
a) Weźmy postać kierunkową pewnej prostej:
`y = ax+b`
Jeżeli prosta przechodzi przez punkt P, to punkt P spełnia równanie tej prostej zatem:
`y_1 = ax_1 + b`
stąd:
`b = y_1 - ax_1`
czyli nasze równanie ma postać:
`y = ax + y_1 - ax_1`
`y= ax - ax_1+y_1`
`y = a(x-x_1) + y_1`
Podstawmy współrzędne punktu P:
`y = a(x+1)+2`
`y=ax+a + 2`
`-ax + y - a - 2=0`
Odległość naszej prostej od początku układu współrzędnych wynosi `(4sqrt5)/5`
`(4sqrt5)/5 = (|-a*0+1*0 -a-2|)/sqrt((-a)^2+1^2)`
`4/sqrt5 = (|-a-2|)/sqrt(a^2+1)`
Podnieśmy do kwadratu obustronnie równanie:
`16/5 = (|a+2|^2)/(a^2+1)`
Możemy opuścić wartość bezwzględną gdyż cały dwumian jest podnoszony do kwadratu:
`16/5 = (a+2)^2/(a^2+1)`
`16(a^2+1) = 5(a+2)^2`
`16a^2 + 16 = 5(a^2+4a+4)`
`16a^2 + 16 = 5a^2 + 20a + 20`
`11a^2 -20a -4=0`
`Delta = (-20)^2 -4*11*(-4) = 400 + 16*11 = 400 + 176 = 576`
`sqrtDelta = sqrt576 = 24`
`a_1 = (20 - 24)/22 = -4/22 = -2/11`
`a_2 = (20+24)/22 = 44/22 =2`
A więc:
`y = -2/11(x+1)+2 \ \ \ vv \ \ \ y = 2 (x+1) + 2`
`y = -2/11x -2/11 + 2 \ \ \ vv \ \ \ y = 2x+2+2`
`y = -2/11x +20/11 \ \ \ vv \ \ \ y = 2x+4`
`2/11x + y - 20/11=0 \ \|*11 \ \ \ vv \ \ \ -2x+y-4=0`
`2x+11y - 20 =0 \ \ \ vv \ \ \ -2x+y-4=0`
`b) \ {(x-y=1 \ \ \ |*2),(2x+y=8):}`
`{(2x-2y=2),(2x+y=8):}`
`underline(underline(stackrel(\)(-) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \))`
`-3y = -6`
`y = 2`
stąd:
`x -2=1`
`x = 3`
punkt przecięcia ma współrzędne:
`P = (3, 2)`
Analogicznie jak w podpunkcie a, współrzędne punktu P spełniają równanie kierunkowe prostej:
`y = a(x-3) + 2`
`y = ax-3a + 2`
`-ax + y + 3a - 2=0`
Odległość od początku układu współrzędnych wynosi `6/5`
`6/5 = (|-a*0+1*0 + 3a -2|)/sqrt((-a)^2+1^2)`
`6/5 = (|3a-2|)/sqrt(a^2+1)`
Podnieśmy równanie obustronnie do kwadratu:
`36/25 = (3a-2)^2/(a^2+1)`
`36(a^2+1) = 25(3a-2)^2`
`36a^2 + 36 = 25(9a^2 -12a + 4)`
`36a^2 + 36 = 225a^2 - 300a + 100`
`-189a^2 + 300a - 64 =0`
`Delta = 300^2 - 4*(-189)*(-64) = 90000 - 48384 = 41616`
`sqrtDelta = sqrt41616 =204`
`a_1 = (-300 - 204)/(-378) = (-504)/(-378) = 252/189 = 28/21 = 4/3`
`a_2 = (-300+204)/(-378) = (-96)/(-378) = 48/189 = 16/63`
Stąd:
`y = 4/3(x-3)+2 \ \|*3 \ \ \ vv \ \ \ y = 16/63 (x-3)+2 \ \ |*63`
`3y = 4(x-3) + 6 \ \ \ vv \ \ \ 63y = 16(x-3)+126`
`3y = 4x - 12 + 6 \ \ \ vv \ \ \ 63y = 16x - 48 + 126`
`3y = 4x - 6 \ \ \ vv \ \ \ 63y = 16x +78`
`-4x+3y+6=0 \ \ \ vv \ \ \ -16x + 63y - 78 =0`
Wykonaj działanie. a) log₃54+log₃1,5
a)
`log_3 54+log_3 1,5= log_3 (54*1,5)=log_3 (54*3/2)=log_3 (162/2)=`
`=log_3 81= log_3 3^4=4`
b)
`log_2 5 +log_2 (25,6)=log_2(5*25,6)=log_2 128= log_2 2^7=7`
c)
`log_2 144-log_2 9= log_2 (144/9)=log_2 16=log_2 2^4= 4 d)`
d)
`log_3 33- log_3 11= log_3 33/11=log_3 3= 1`
Wskaż największą liczbę przecięcia ...
Odp:C
W "klasycznym" mamy 6 punktów przecięcia brzegu prostokąta z okręgiem.
Szczególnym przypadkiem prostokąta jest kwadrat.
Brzeg kwadratu może mieć z okręgiem 8 punktów wspólnych (popatrz zad.2.10, str.115).
Pole trójkąta ABC jest równe 21 ...
`|RB|=x`
`|RB|=1/3|AB|`
`|AB|=3|RB|`
`|AR|=|AB|-|RB|=3|RB|-|RB|=2|RB|`
`|AR|=2x`
`|PC|=y`
`|PC|=1/3|BC|`
`3|PC|=|BC|`
`|BP|=|BC|-|PC|=3|PC|-|PC|=2|PC|`
`|BP|=2y`
`|QA|=z`
`|QA|=1/3|CA|`
`3|QA|=|CA|`
`|QC|=|CA|-|QA|=3|QA|-|QA|=2|QA|`
`|QC|=2z`
Literki umieszczone w poszczególnych trójkątach są wartosciami pól tych trójkątów. Przykładowo:"
`P_(AFE)=h`
`(**)\ a+b+c+d+e+f+g+h+k+x=21`
`c=2d`
`e=2f`
`b=2a`
`(**)\ a+2a+2d+d+2f+f+g+h+k+x=21`
`3a+3d+3f+g+h+k+x=21`
`h+c+x=2(k+d)`
`h+2d+x=2k+2d`
`h+x=2k`
`k+x+e=2(f+g)`
`k+x+2f=2f+g`
`k+x=2g `
`g+x+b=2(h+a)`
`g+x+2a=2h+2a`
`g+x=2h`
Otrzymaliśmy trzy równania:
`{(h+x=2k),(k+x=2g),(g+x=2h):}`
Dodajmy równania stronami:
`3x+h+k+g=2k+2g+2h`
`3x=2k+2g+2h-h-k-h=k+g+h`
`3x=k+g+h`
`P_(RBC)=1/3*21=7=P_(AQB)=P_(ACP)`
`a+3d+h=7`
`d+k+3f=7`
`f+g+3a=7`
Dodajmy do siebie powyższe trzy równania.
`a+d+f+3d+3f+3a+h+k+g=21`
`k+g+h+4a+4d+4f=21`
`k+g+h=21-4(a+d+f)`
`P_(ABC)=k+g+h+3a+3d+3f+x=21`
`21-4(a+d+f)+3(a+d+f)+x=21`
`x=a+d+f`
`P_(ABC)=f+g+h+3a+3d+3f+x=f+g+h+3(a+d+f)+x=21`
`f+g+h=3x`
`a+d+f=x`
`f+g+h+3(a+d+f)+x=3x+3x+x=21`
`ul(x=3`
Na wykresie przedstawiono funkcję...
A. Nie, bo
`f(0)=-2`
B. Nie, bo
`f(-2) = 2`
C. Tak
Odpowiedź C
D. Nie, bo
f(0) = -2
Oblicz a) -3/4+5/6
`a)\ -3/4+5/6=-9/12+10/12=1/12`
`b)\ 5/6-8/9=15/18-16/18=-1/18`
`c)\ 1 1/6-7/9=` `7/6-7/9=` `21/18-14/18=7/18`
`d)\ 3/5-1 2/3=` `3/5-5/3=` `9/15-25/15=-16/15=-1 1/15`
`e)\ 2 2/9+1 5/12=` `2 8/36+1 15/36=` `3 23/36`
`f)\ 1 1/7+2 2/3=` `1 3/21+2 14/21=` `3 17/21`
`g)\ 3 2/5-5 2/3=` `3 6/15-5 10/15=` `-(5 10/15-3 6/15)=` `- 2 4/15`
`h)\ 4 1/6-2 7/15=` `4 5/30-2 14/30=` `3 35/30-2 14/30=` `1 21/30=1 7/10`
Uprość
`a)`
Pierwszy podpunkt możemy rozwiązać na dwa sposoby. Najpierw rozwiążemy, korzystając ze wzoru na kwadrat sumy i kwadrat różnicy:
`(x+1)^2-(x-1)^2=x^2+2x+1-(x^2-2x+1)=x^2+2x+1-x^2+2x-1=4x`
Teraz rozwiążemy korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów:
`(x+1)^2-(x-1)^2=((x+1)-(x-1))*((x+1)+(x-1))=`
`=(x+1-x+1)*(x+1+x-1)=2*2x=4x`
`b)`
`(2x+1)^2+(x-2)^2=((2x)^2+2*2x+1^2)+(x^2-2*x*2+2^2)=`
`=(4x^2+4x+1)+(x^2-4x+4)=4x^2+4x+1+x^2-4x+4=5x^2+5`
Wyznacz współczynniki b i c...
Skoro -4 jest miejscem zerowym to
`f(-4) = 0`
Punkt P należy do wykresu funkcji a więc:
`f(1) = 10`
Rozwiążmy układ równań:
`{(f(-4)=0),(f(1)=10):}`
`{(-2*(-4)^2 + b * (-4) + c = 0),(-2*1 + b + c = 10):}`
`{(-2*16 -4b + c =0),(-2 + b + c = 10):}`
`{(-4b+ c = 32),(b+ c= 12):}`
`underline(underline( stackrel( )(-) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \) )`
`-4b - b + c - c = 32 - 12`
`-5b = 20`
`b = -4`
Podstawmy wartość b pod drugie równanie
`-4 + c = 12`
`c = 16`
`f(x) = -2x^2 - 4x + 16`
`Delta = (-4)^2 - 4*(-2) * 16 = 16 + 128 = 144`
`sqrtDelta = sqrt144 = 12`
`x_1 = (-(-4) - 12)/(-4) = (4 - 12)/(-4) = (-8)/(-4) = 2`
`x_2 = (-(-4) + 12)/(-4) = (16)/(-4) = -4`
`p = (-(-4))/(-4) = -1`
`q = -144/(-8) = 18`
`f(x) = -2(x+1)+18`
Do wykresu funkcji liniowej należą...
Postać kierunkowa funkcji liniowej:
`f(x) = ax+b`
Skoro prosta przechodzi przez początek układu współrzędnych to znaczy, że:
`f(0)=0`
`b=0`
Zatem:
`f(x) = ax`
`a) \ f(1) = p`
`a=p`
Wzór to:
`f(x)=px`
`b) \ f(p)=2`
`ap = 2`
`a = 2/p`
Wzór to:
`f(x) = 2/px , \ \ \ p ne 0`
`c) \ f(m) = n`
`am = n`
`a = n/m`
Wzór to:
`f(x) = n/m x , \ \ \ m ne 0`
`d) \ f(2p^2)=q`
`2p^2 a = q`
`a = q/(2p^2)`
Wzór to:
`f(x) = q/(2p^2) x , \ \ \ p ne 0`
© 2018 Odrabiamy.pl