Bryły obrotowe - matura-podstawowa - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Bryły obrotowe - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Puszczamy walec o promieniu r=50 cm z 1000 metrowej górki. Zakładając, że zatrzymamy go na 1000 m, ile obrotów zrobi? Przyjmij $π=3,14$.

Promień jest w centymetrach,a górkę liczymy w metrach.

Pierwsze co w takim wypadku robimy to ustalamy wspólną jednostkę, ja wezmę metry:

$R=50 cm=0,5 m$
Jeden obrót walca to przeturlanie się po jego całym obwodzie.

Zatem musimy obliczyć obwód koła (nie powierzchnie boczną!)

Obw$=2πr=2π×0,5=π$

Zatem podczas jednego obrotu zrobi zgodnie z warunkami 3,14 m

No to pozostało obliczyć ile obrotów

ilość obrotów$={1000}/{π}≈{1000}/{3,14}≈318,47$

Walec zrobi 318 pełnych obrotów

Zadanie 2.

Objętość stożka jest równa $V=200π cm^3$, znajdź tworzącą stożka, jeśli promień r=5 cm

Wzór na objętość:

$V=1/3 P_p×H$

Potrzebujemy Pola Podstawy to liczymy

$P_p=πr^2=π5^2=25π$

Teraz bez problemu obliczymy wysokość

$V=1/3 P_p×H$

Podmieniamy:

$200π=1/3 25π×H$ $|×3$

$600π=25πH$ $|:25π$

$H=24$

Nanieśmy wartości na rysunek:

rys1

No to jak widać pozostaje nam użyć Twierdzenia Pitagorasa:

$5^2+{24}^2=l^2$

$l^2=25+576$

$l^2=601$

No i dostaliśmy liczbę pierwszą, więc to jest rozwiązanie. Liczba pierwsza dzieli się tylko przez 1 i przez samą siebie

$l=√601$

Zadanie 3.

Jak zwiększy się objętość kuli jeśli jej promień zwiększymy trzykrotnie?

Standardowe zadanie na "przed i po". Zróbmy tym razem tabelkę:

tab1
Gdy nie ma czasu na tabelkę, wystarczy zauważyć, że licząc objętość podnosimy $3r$ do trzeciej potęgi, więc objętość będzie $3^3=27$ razy większa.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Udowodnij, że jeżeli liczby ...

Przyjmijmy:

 

Z nierówności   otrzymujemy:   {premium}

 

 

 

 

Zatem:

 

Z powyższych nierówności otrzymujemy:

 

 

W pozostałych przypadkach uporządkowania, np.   otrzymujemy takie same wnioski.

Zatem jeśli liczby rzeczywiste   spełniają nierówności podane w zadaniu, to zachodzi  

Rozwiąż algebraicznie i graficznie układ równań

Podstawiamy pierwsze równanie do drugiego równania:

 

 

Przekształcamy każde równanie do{premium} postaci kierunkowej. 

 

Dla każdej prostej wyznaczamy współrzędne dwóch punktów, które do niej należą (dzięki temu będziemy mogli narysować wykres, prowadząc prostą przez te punkty). 

 

 

 

Odczytujemy współrzędne punktu przecięcia prostych - jest to rozwiązanie układu:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Drugie równanie opisuje prostą pionową, pierwsze równanie przekształcamy do postaci kierunkowej. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Równość jest zawsze prawdziwa, więc układ jest nieoznaczony - ma nieskończenie wiele rozwiązań. 

Spełnia je każda taka para liczb, że:

 

 

Obydwa równania opisują tę samą prostą. Układ ma nieskończenie wiele rozwiązań - wszystkie leżą na narysowanej prostej. 

 

 

 

 

Pierwsze równanie jest sprzeczne, więc układ równań jest sprzeczny - nie ma rozwiązań. 

 

 

 

 

Narysowane proste nie mają punktów wspólnych, więc układ jest sprzeczny - nie ma rozwiązania. 

Zmieszano dwa roztwory soli kuchennej...

Oznaczmy:

x - masa roztworu o stężeniu 10% (w kg)

y - masa roztworu o stężeniu 40% (w kg)


Wówczas:{premium}

0,1x - masa soli w roztworze o stężeniu 10%

0,4y - masa soli w roztworze o stężeniu 40%


Po zmieszaniu otrzymano 12 kg roztworu. Stąd:

 


Stężenie procentowe otrzymanego roztworu wynosi 25%. Oznacza to, że sól stanowi 25% masy roztworu. Stąd:

 

 


Zapisujemy powyższe równania jako układ i wyznaczamy z niego x oraz y:

 

 

Podstawiamy x=12-y do drugiego równania.

 

 

 

Podstawiamy y=6 do pierwszego równania.

 

 


Odp. Zmieszano 6 kg roztworu o stężeniu 10% i 6 kg roztworu o stężeniu 40%.

Z materiału w kształcie prostokąta ...

Od pola prostokąta o wymiarach 5,1m na 1,52m należy odjąć pole kwadratu o boku długości 152cm oraz pole trzech prostokątów o wymairach 118cm na 45cm. Otrzymujemy: {premium}

 

 

 

Obliczenia:

Dane są cztery funkcje ...

Funkcja liniowa  jest rosnąca, gdy .


Sprawdzamy, które funkcje są rosnące.

 - funkcja rosnąca {premium}

 - funkcja rosnąca

 - funkcja malejąca

 - funkcja rosnąca


Rosnące są funkcje . Sprawdzamy, które z nich mają dodatnie miejsca zerowe.

Jeśli , to funkcja liniowa  ma jedno miejsce zerowe: .


Wyznaczamy miejsce zerowe funkcji .

 

Funkcja  ma dodatnie miejsce zerowe.

Wyznaczamy miejsce zerowe funkcji .

 

Funkcja  ma ujemne miejsce zerowe.

Wyznaczamy miejsce zerowe funkcji .

 

Funkcja  ma dodatnie miejsce zerowe.


Funkcjami rosnącymi, które mają dodatnie miejsca zerowe są funkcje .

Uwzględnij dane przedstawione...

a) Oznaczmy długość nieznanego boku trójkąta jako x.

Z tw. Pitagorasa:

 {premium}

 

 

 

Zatem:

 

 


b) Oznaczmy długość nieznanego boku trójkąta jako x.

Z tw. Pitagorasa:

 

 

 

 

Zatem:

 

 


c) Oznaczmy długość nieznanego boku trójkąta jako x.

Z tw. Pitagorasa:

 

 

 

 

Zatem:

 

 

Narysuj wykres dowolnej funkcji...

Przykładowy wykres:

{premium}

Wykaż, że dane równanie ...

 

 

 

 

     {premium}

 

 

 

Równanie posiada trzy rozwiązania, zatem nie jest równaniem tożsamościowymi ani równaniem sprzecznym.


 

 

Wystarczy znaleźć jedną liczbę należącą do dziedziny, która nie spełnia tego równania.

Dla x=-1 otrzymujemy:

 

 

Równanie nie jest równaniem tożsamościowym.

Równanie posiada przynajmniej jedno rozwiązanie (np., liczba x=1 jest rozwiązaniem tego równania), więc nie jest równaniem sprzecznym.

Zatem nie jest to równanie tożsamościowe ani równanie sprzeczne.


 

 

 

 

 

 

Równanie posiada jedno rozwiązanie, zatem nie jest równaniem tożsamościowymi ani równaniem sprzecznym.


 

 

 

 

 

 

 

Równanie posiada jedno rozwiązanie, zatem nie jest równaniem tożsamościowymi ani równaniem sprzecznym.

Miejscami...

a) 

O funkcji kwadratowej f wiemy, że jej miejscami zerowymi są liczby

oraz 

   

zatem możemy zapisać wzór tej funkcji w postaci iloczynowej. 

Otrzymamy{premium}

Z postaci iloczynowej przechodzimy do postaci ogólnej

  

zatem wzór funkcji f w postaci ogólnej, to


b) 

O funkcji kwadratowej f wiemy, że jej miejscami zerowymi są liczby

oraz 

   

zatem możemy zapisać wzór tej funkcji w postaci iloczynowej. 

Otrzymamy

Z postaci iloczynowej przechodzimy do postaci ogólnej

  

zatem wzór funkcji f w postaci ogólnej, to


c) 

O funkcji kwadratowej f wiemy, że jej miejscami zerowymi są liczby

oraz 

   

zatem możemy zapisać wzór tej funkcji w postaci iloczynowej. 

Otrzymamy

Z postaci iloczynowej przechodzimy do postaci ogólnej

  

zatem wzór funkcji f w postaci ogólnej, to

Wysokości trójkąta równoramiennego przecinają ...

Wykonajmy rysunek pomocniczy: 

 {premium}

Trójkąty  są podobne na podstawie cechy podobieństwa trójkątów kąt-kąt-kąt.

Takim samym kolorem zaznaczymy odpowiadające boki.

Możemy więc zapisać:

 

 

 

 


Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta .

 

 

 

 

 


Pole trójkąta  jest więc równe: