Bryły obrotowe - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Puszczamy walec o promieniu r=50 cm z 1000 metrowej górki. Zakładając, że zatrzymamy go na 1000 m, ile obrotów zrobi? Przyjmij $$π=3,14$$.

Promień jest w centymetrach,a górkę liczymy w metrach.

Pierwsze co w takim wypadku robimy to ustalamy wspólną jednostkę, ja wezmę metry:

$$R=50 cm=0,5 m$$
Jeden obrót walca to przeturlanie się po jego całym obwodzie.

Zatem musimy obliczyć obwód koła (nie powierzchnie boczną!)

Obw$$=2πr=2π×0,5=π$$

Zatem podczas jednego obrotu zrobi zgodnie z warunkami 3,14 m

No to pozostało obliczyć ile obrotów

ilość obrotów$$={1000}/{π}≈{1000}/{3,14}≈318,47$$

Walec zrobi 318 pełnych obrotów

Zadanie 2.

Objętość stożka jest równa $$V=200π cm^3$$, znajdź tworzącą stożka, jeśli promień r=5 cm

Wzór na objętość:

$$V=1/3 P_p×H$$

Potrzebujemy Pola Podstawy to liczymy

$$P_p=πr^2=π5^2=25π$$

Teraz bez problemu obliczymy wysokość

$$V=1/3 P_p×H$$

Podmieniamy:

$$200π=1/3 25π×H$$ $$|×3$$

$$600π=25πH$$ $$|:25π$$

$$H=24$$

Nanieśmy wartości na rysunek:

rys1

No to jak widać pozostaje nam użyć Twierdzenia Pitagorasa:

$$5^2+{24}^2=l^2$$

$$l^2=25+576$$

$$l^2=601$$

No i dostaliśmy liczbę pierwszą, więc to jest rozwiązanie. Liczba pierwsza dzieli się tylko przez 1 i przez samą siebie

$$l=√601$$

Zadanie 3.

Jak zwiększy się objętość kuli jeśli jej promień zwiększymy trzykrotnie?

Standardowe zadanie na "przed i po". Zróbmy tym razem tabelkę:

tab1
Gdy nie ma czasu na tabelkę, wystarczy zauważyć, że licząc objętość podnosimy $$3r$$ do trzeciej potęgi, więc objętość będzie $$3^3=27$$ razy większa.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Oblicz:

 


 {premium}


 


 


 


 

Udowodnij, że dla wszystkich...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Przyprostokątne trójkąta prostokątnego pozostają

Zgodnie z podanym stosunkiem boków 5:12  długości przyprostokątnych możemy zapisać za pomocą wyrażeń algebraicznych-  wynoszą one 5x i 12x. 

Obliczmy, jak uzależniona od x jest długość przeciwprostokątej (oznaczmy ją jako c), postawiając te wyrażenia do twierdzenia Pitagorasa:

       

Znając proporcje między tymi bokami odniesione do nieznanej wielkości x, dodajemy je i przyrównujemy do obwodu.

         

Długości boków wynoszą:

Podaj miary łukowe...

 {premium}

 

 

 

 

Dane są wektory...

 

 

 

 

A. Fałsz

B. Fałsz

C. Fałsz

Skonstruuj kąt ostry α, wiedząc ...

 

Konstruujemy taki trójkąt, w którm przyprostokątna leżąca naprzeciwko kąta α ma długość równą 1 jednostkę, a przyprostokątna przyległa do tego kąta ma długość równą 3 jednostki.

Ustalmy jako 1 jednostkę 1 cm.

 

 

Konstruujemy taki trójkąt, w którm przyprostokątna leżąca naprzeciwko kąta α ma długość równą 2 jednostki, a przeciwprostokątna ma długość równą3 jednostki.

Ustalmy jako 1 jednostkę 1 cm.

 

 

Konstruujemy taki trójkąt, w którm przyprostokątna przyległa do kąta α ma długość równą 1 jednostkę, a przeciwprostokątna ma długość równą 2 jednostki.

Ustalmy jako 1 jednostkę 1 cm.

 

 

Ustalmy jako 1 jednostkę 1 cm.

W pierwszej części wyznaczymy konstrukcyjnie długość 3 cm. Zauważmy jednak, że z poprzedniej konstrukcji c) długość odcinka EC wynosi 3 cm.

Wiemy, że:

 

 

Z tw. Pitagorasa mamy:

 

 

 

 

 

Następnie skonstruujemy taki trójkąt, w którm przyprostokątna leżąca naprzeciwko kąta α ma długość równą 3 jednostki, a przyprostokątna przyległa do tego kąta ma długość równą 1 jednostkę. Ponownie zauważmy, że takie warunki spełnia trójkąt skonstruowany w punkcie c).

Kąt α zaznaczony w trójkącie CDE spełnia warunek:

 

Oblicz wartość wyrażenia. Nie korzystaj ...

 

Korzystajac z jedynki trygonometrycznej obliczmy wartość cosα:

  

  

  

 

 

 

Podstawiamy dane do początkowego wyrażenia:

 

 

  

Korzystajac z jedynki trygonometrycznej obliczmy wartość sinα:

  

  

   

 

   

 

Podstawiamy dane do początkowego wyrażenia:

 

 

Dziedziną funkcji y = f(x)...

 
Aby otrzymać wykres funkcji y = f(-x) , przekształcamy wykres funkcji y = f(x) przez symetrię względem osi y. Dziedziny obu funkcji są symetryczne względem 0.

 

A więc zbiór wartości pozostanie bez zmian z uwagi na fakt, że symetria względem osi y ma orientację poziomą, każdemu argumentowi zmienia wartość na tą, którą przyjmuje liczba przeciwna do niego.

 

 

 

 

 

 

 

 

Punkt W(2,-3) jest wierzchołkiem...

 

Korzystając z postaci kanonicznej mamy:

 

 

 

 

 

 

 

 

Podany zbiór zapisz w najprostszej ...