Bryły obrotowe - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Puszczamy walec o promieniu r=50 cm z 1000 metrowej górki. Zakładając, że zatrzymamy go na 1000 m, ile obrotów zrobi? Przyjmij $$π=3,14$$.

Promień jest w centymetrach,a górkę liczymy w metrach.

Pierwsze co w takim wypadku robimy to ustalamy wspólną jednostkę, ja wezmę metry:

$$R=50 cm=0,5 m$$
Jeden obrót walca to przeturlanie się po jego całym obwodzie.

Zatem musimy obliczyć obwód koła (nie powierzchnie boczną!)

Obw$$=2πr=2π×0,5=π$$

Zatem podczas jednego obrotu zrobi zgodnie z warunkami 3,14 m

No to pozostało obliczyć ile obrotów

ilość obrotów$$={1000}/{π}≈{1000}/{3,14}≈318,47$$

Walec zrobi 318 pełnych obrotów

Zadanie 2.

Objętość stożka jest równa $$V=200π cm^3$$, znajdź tworzącą stożka, jeśli promień r=5 cm

Wzór na objętość:

$$V=1/3 P_p×H$$

Potrzebujemy Pola Podstawy to liczymy

$$P_p=πr^2=π5^2=25π$$

Teraz bez problemu obliczymy wysokość

$$V=1/3 P_p×H$$

Podmieniamy:

$$200π=1/3 25π×H$$ $$|×3$$

$$600π=25πH$$ $$|:25π$$

$$H=24$$

Nanieśmy wartości na rysunek:

rys1

No to jak widać pozostaje nam użyć Twierdzenia Pitagorasa:

$$5^2+{24}^2=l^2$$

$$l^2=25+576$$

$$l^2=601$$

No i dostaliśmy liczbę pierwszą, więc to jest rozwiązanie. Liczba pierwsza dzieli się tylko przez 1 i przez samą siebie

$$l=√601$$

Zadanie 3.

Jak zwiększy się objętość kuli jeśli jej promień zwiększymy trzykrotnie?

Standardowe zadanie na "przed i po". Zróbmy tym razem tabelkę:

tab1
Gdy nie ma czasu na tabelkę, wystarczy zauważyć, że licząc objętość podnosimy $$3r$$ do trzeciej potęgi, więc objętość będzie $$3^3=27$$ razy większa.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Sprawdź, czy równanie ma pierwiastki ...

`a)` 

`6x^2-17x+11=0` 

`Delta=289-4*11*6=289-264=25>0` 

 

`x_1+x_2=-b/a=17/6` 

`x_1*x_2=c/a=11/6` 

`{(x_1*x_2>0),(x_1+x_2>0):}\ \ implies\ x_1,x_2\ "są dodatnie."`     

 

`b)` 

`-1/4x^2+1,2x-1=0` 

`Delta=1,44-4*(-1/4)*(-1)=0,44>0` 

`x_1+x_2=-b/a=(-1,2)/(-1/4)=4,8>0` 

`x_1*x_2=c/a=-1/(-1/4)=4>0`  

 

` {(x_1*x_2>0),(x_1+x_2>0):}\ \ implies\ x_1,x_2\ "są dodatnie."` 

 

 

`c)` 

`sqrt6x^2+sqrt3x-sqrt2=0` 

`Delta=3+4sqrt12=3+8sqrt3` 

`x_1+x_2=-b/a=-sqrt3/sqrt6=-sqrt18/6=-sqrt2/2<0`  

`x_1*x_2=c/a=-sqrt2/sqrt6=-sqrt12/6<0`   

`{(x_1*x_2<0),(x_1+x_2<0):}\ \ implies\ x_1,x_2\ "są różnych znaków."` 

 

`d)` 

`(1-sqrt2)x^2+x+1=0`   

`Delta=1-4(1-sqrt2)=-3+4sqrt2~~2,66` 

`x_1+x_2=-b/a=1/(1-sqrt2)=(1+sqrt2)/-1=-1-sqrt2<0`  

`x_1*x_2=c/a=1/(1-sqrt2)=-1-sqrt2<0` 

`{(x_1*x_2<0),(x_1+x_2<0):}\ \ implies\ x_1,x_2\ "są różnych znaków."` 

Rozwiąż równanie. a) |x|=√2 b) |x|=0 c) |5x|=0,4

a)

`|x|=sqrt2`

`x=sqrt2 \ \ \ vv \ \ \ x=-sqrt2`

 

b)

`|x|=0`

`x=0`

 

c)

`|5x|=0,4`

`5x=0,4 \ \ \ vv \ \ \ 5x=-0,4`                    `/:5`

`x=0,08 \ \ \ vv \ \ \ x=-0,08`

Dany jest sześcian o krawędzi...

Objętość sześcianu:

`V_("sz") = a^3` 

 

Objętość prostopadłościanu:

`V_("pr") = (a+1)(a-2)(a+2)` 

 

Założenie:

`a in (2, oo)` 

 

Sprawdźmy kiedy objętość sześcianu jest większa od objętości prostopadłościanu:

`V_(sz) > V_("pr")` 

`a^3 > (a+1)(a-2)(a+2)` 

`a^3 > (a+1)(a^2-4)` 

`a^3 > a^3 -4a + a^2 - 4` 

`0 > a^2 -4a - 4` 

`Delta = (-4)^2 -4*1*(-4) = 16 + 16 = 32`  

`sqrtDelta = sqrt32 = 4sqrt2` 

`a_1 = (4+4sqrt2)/2` 

`a_2 = (4-4sqrt2)/2` 

Parabola ma ramiona skierowane ku górze a więc:

`a in ((4-4sqrt2)/2 , (4+4sqrt2)/2)` 

Uwzględniając dziedzinę:

`a in (2, (4+4sqrt2)/2)` 

`a in (2, 2+2sqrt2)` 

W układzie SI jednostką temperatury jest kelwin (K)

`a)`

`T_C=100`

`T_K=100+273,15=373,15`

100 stopni Celsjusza to 373,15 stopni Kelwina. 

 

 

`b)`

`T_K=100`

`100=T_C+273,15\ \ \ \ |-273,15`

`T_C=-173,15`

100 stopni Kelwina to -173,15 stopni Celsjusza. 

Wielokąt ABCDE przedstawiony na rysunku...

Obliczmy miarę jednego kąta w pięciokącie foremnym:

`180^o *(5-2)/5 = 180^o * 3/5 = 36^o * 3 = 108^o` 

 

Zatem:

`beta = 180^o - 108^o = 72^o` 

 

`alpha = 180^o - 2beta = 180^o - 144^o = 36^o` 

 

 

b) Miara kąta przy wierzchołku najbardziej oddalonym od prostej k wynosi:

`180^o *(n-2)/n` 

 

Punkty przecięcia prostych k, l  z prostą m tworzą razem z najbardziej oddalonym wierzchołkiem trójkąt równoramienny. Zatem kąty przy podstawie są równe a ich miara wynosi:

`180^o - 180^o*(n-2)/n = 180^o [1-(n-2)/n] = 180^o*[n/n -(n-2)/n] = 180^o [2/n] = 360^o/n`  

Zatem miary kątów to:

`180^o *(n-2)/n \ , \ 180^o/n \ , \ 180^o/n` 

Uporządkuj rosnąco liczby.

a) Podstawy poteg są dodatnie. Wykładniki potęg są takie same, wieksze od zera.

Z dwóch potęg o dodatnich podstawach i takich samych wykładnikach większych od 0, ta jest większa, której podstawa jest większa.

Stąd:

`3^2<4^2<5^2<6^2`  

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

b) Podstawy potęg są dodatnie. Wykładniki potęg są takie same, mniejsze od zera.

Z dwóch potęg o dodatnich podstawach i takich samych wykładnikach mniejszych od 0, ta jest większa, której podstawa jest mniejsza.

Stąd:

`6^(-2)<5^(-2)<4^(-2)<3^(-2)`

Dla jakich wartości parametru m...

a) Funkcja kwadratowa ma dwa różne pierwiastki dla:

`1) \ Delta > 0` 

Pierwiastki muszą mieć takie same znaki zatem:

`2) \ x_1*x_2 > 0` 

Pierwiastki muszą być dodatnie:

`3) \ x_1 + x_2 > 0` 

 

Przed sprawdzaniem warunków zauważmy, że skoro funkcja ma mieć dwa pierwiastki to znaczy, że musi być to równanie kwadratowe, zatem:

`m-1 ne 0` 

`m ne 1` 

 

 

`1) \ Delta > 0` 

`(-2m)^2 - 4*(m-1)*(m-2) > 0` 

`4m^2 -4(m^2-3m+2)>0` 

`4m^2 -4m^2 + 12m - 8 > 0` 

`12m-8 > 0 \ \ \ |:4` 

`3m-2 > 0` 

`3m > 2` 

`m > 2/3` 

A więc:

`m in (2/3, oo) \ \\ \ {1}` 

 

`2) \ x_1*x_2 > 0` 

`c/a > 0` 

`(m-2)/(m-1)>0` 

`(m-2)(m-1) > 0` 

Parabola ma ramiona skierowane ku górze zatem:

`m in (-oo, 1) \cup (2, oo)` 

 

`3) \ x_1+x_2>0` 

`-b/a > 0` 

`(2m)/(m-1) > 0` 

`2m(m-1)>0` 

Parabola ma ramiona skierowane ku górze:

`m in (-oo, 0) \cup (1, oo)` 

 

A więc:

`m in (2/3, oo) \ \\ \ {1}`  

`m in (-oo, 1) \cup (2, oo)` 

`m in (-oo, 0) \cup (1, oo)` 

Część wspólna to:

`m in (2, oo)` 

 

 

b) musimy zmienić ostatni warunek na sumę pierwiastków funkcji kwadratowej na :

`x_1 + x_2 < 0`  

`(2m)/(m-1) < 0` 

`2m(m-1) < 0` 

`m in (0,1)`  

 

A więc:

`m in (2/3, oo) \ \\ \ {1}`  

`m in (-oo, 1) \cup (2, oo)`

`m in (0,1)`

A więc:

`m in (2/3 , 1)`  

 

 

c) Wyróżnik funkcji dalej musi być większy od 0 a więc: 

`1) \ Delta > 0`  

Żeby były różnych znaków to:

`2) \ x_1*x_2 < 0` 

 

Pierwszy warunek policzyliśmy w poprzednich przykładach, drugi to:

`m in (1,2)` 

bo jest przeciwny do warunku 2) z podpunktów a), b)

 

Zatem:

`m in (2/3, oo) \ \\ \ {1}`  

`m in (1, 2)` 

część wspólna:

`m in (1, 2)` 

 

 

d) Ten przykład będzie różny od poprzednich gdyż są dwa przypadki w których równanie ma jeden pierwiastek. Po pierwsze:

`1) \ Delta = 0` 

 

oraz zauważmy, że jeżeli współczynnik przy najwyższej potędze będzie zerowy to będziemy mieli równanie liniowe. A więc:

`m-1 =0` 

`m = 1` 

 

 

`1) \ Delta =0 \ \ \ "dla" \ m = 2/3` 

część wspólna obu warunków to:

`m in {2/3, 1}` 

Z prostokątnej kartki o bokach długości 5x-1

Korzystamy z wzorów skróconego mnożenia:

`P=(5x+1)(5x-1)-(x-2)^2=25x^2-1-(x^2-4x+4)=`

`=25x^2-1-x^2+4x-4=ul(ul(24x^2+4x-5))`

Wyznacz równanie okręgu ...

`a)` 

`A=(1;2)` 

`B=(7;2)` 

Połowa długości odcinka AB jest równa długości promienia szukanego okręgu.

Środek odcinka AB jest środkiem szukanego okręgu.

`|AB|=sqrt((7-1)^2+(2-2)^2)=6` 

`|AB|/2=3` 

`r=3` 

`S=((1+7)/2;(2+2)/2)=(4;2)` 

`ul((x-4)^2+(y-2)^2=3^2=9`   

 

`b)` 

`A=(-1;-2)`  

`B=(3;6)` 

`|AB|=sqrt((3+1)^2+(6+2)^2)=sqrt80=4sqrt5` 

`|AB|/2=2sqrt5` 

`r=2sqrt5` 

`S=((-1+3)/2;(6-2)/2)=(1;2)` 

`ul((x-1)^2+(y-2)^2=(2sqrt5)^2=20` 

 

`c)` 

`A=(-3;-4)` 

`B=(5;2)` 

`|AB|=sqrt((5+3)^2+(2+4)^2)=sqrt100=10` 

`|AB|/2=5` 

`r=5` 

`S=((5-3)/2;(2-4)/2)=(1;-1)` 

`ul((x-1)^2+(y+1)^2=5^2=25`   

 

Wyznacz równanie symetralnej odcinka...

a) Wyznaczmy prostą AB:

`{(f(-2)=1),(f(4)=-1):}` 

`{(-2a+b=1),(4a+b=-1):}` 

`underline(underline(stackrel(\)(-) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \))` 

`-6a = 2` 

`a = -1/3` 

Stąd:

`-2*(-1/3) + b = 1` 

`2/3 + b = 1` 

`b = 1/3` 

a więc:

`y_1 = -1/3x + 1/3` 

 

Wyznaczmy środek odcinka AB:

`S_("AB") = ((x_A + x_B)/2,(y_A+y_B)/2) = ((-2+4)/2,(1+(-1))/2) = (1,0)` 

Prosta prostopadła do prostej y1 przechodząca przez punkt S będzie symetralną odcinka AB, współczynnik kierunkowy wynosi:

`a=3`  

 

`y_2 = 3x+b` 

`0=3*1 + b` 

`b = -3` 

 

Symetralna jest dana równaniem:

`y_2 = 3x-3` 

 

b) Zapiszmy symetralną w postaci ogólnej:

`y = 2x-1`  

`-2x+y+1=0` 

 

Obliczmy odległość punktu A od prostej:

`d = (|Ax+By+C|)/(sqrt(A^2+B^2)) = (|-2*(-1)+1*5+1|)/(sqrt((-2)^2+1^2))= (|2+5+1|)/(sqrt(4+1)) = 8/sqrt5 = (8sqrt5)/5` 

 

 

Wyznaczmy równanie prostej zawierającej odcinek A i B, prosta przechodząca przez te punkty jest prostopadła do symetralnej a więc:

`y = -1/2x+b` 

Podstawmy współrzędne punktu A:

`5=-1/2*(-1) + b` 

`5 = 1/2 + b` 

`b = 9/2` 

zatem:

`y = -1/2x+9/2` 

 

Oznaczmy współrzędne punktu B przez

`B = (x, -1/2x+9/2)` 

 

Zatem odcinek AB ma długość:

`|AB| = sqrt((x_B - x_A)^2+(y_B - y_A)^2) = sqrt((x+1)^2+(-1/2x+9/2-5)^2) = 2d` 

`sqrt((x+1)^2 + (-1/2x-1/2)^2) = 2 *(8sqrt5)/5`  

`(x+1)^2 + (-1/2x-1/2)^2 = 4*(64*5)/25`  

`x^2 +2x+1 + 1/4x^2+1/2x + 1/4 = 256/5` 

`5/4x^2 + 5/2x + 5/4 = 256/5 \ \ \ |*20` 

`25x^2 + 50x + 25 = 1024` 

`25x^2+50x -999=0` 

`Delta = 50^2 - 4*25*(-999) = 2500 + 99900=102400` 

`sqrtDelta = sqrt102400 = 320` 

Współrzędna x musi być dodatnia bo punkt B leży po prawej stronie prostej 2x-1.

`x = (-50+320)/50 = 270/50 = 27/5` 

 

`B = (27/5,-1/2*27/5 + 9/2) = (27/5 , -27/10 + 45/10) = (27/5,18/10) = (27/5, 9/5)` 

 

c) Skoro prosta y=x-2 jest symetralną odcinka to musimy wyznaczyć prostą prostopadłą do niej przechodzącą przez punkt (2,0)

`y=-1x+b` 

`0=-1*2 + b` 

`0 = -2 + b` 

`b=2` 

 

`y = -x+2`  

 

Oznaczmy współrzędne punktów A i B jako:

`A = (x_A, -x_A+2)` 

`B = (x_B, -x_B +2)` 

 

Punkt A leży w pierwszej ćwiartce zatem obie współrzędne są dodatnie a więc:

`-x_A +2 > 0` 

`2> x_A` 

 

Skoro odcięta odcinka AB wynosi 2 to:

`(x_A + x_B)/2 = 2`  

`x_A+x_B=4` 

`x_B = 4 - x_A` 

 

Długość odcinka AB wynosi 4:

`|AB| = sqrt((x_B - x_A)^2+(y_B - y_A)^2)`  

`4 = sqrt((4-2x_A)^2+(-x_B+2-(-x_A+2))^2)` 

`16 = (4-2x_A)^2 + (-x_B+x_A)^2` 

`16 = (4-2x_A)^2 + (-(4-x_A)+x_A)^2` 

`16 = (4-2x_A)^2 + (-4+x_A+x_A)^2` 

`16 = (4-2x_A)^2 + (-4+2x_A)^2` 

`16 = (4-2x_A)^2 + (-(4-2x_A))^2` 

`16=2*(4-2x_A)^2` 

`8 = (4-2x_A)^2` 

`8 = 16 - 16x_A + 4x_A^2` 

`4x_A^2 -16x_A+8=0` 

`x_A^2 -4x_A+2=0` 

`Delta = (-4)^2 - 4*1*2 = 16 -8 = 8` 

`x_A < 2`  

`x_A = (4-2sqrt2)/2 = 2-sqrt2`  

`x_A = (4+2sqrt2)/2 = 2+sqrt2>2` 

 

`A = (2-sqrt2 \ ,-(2-sqrt2)+2) = (2-sqrt2, sqrt2)`  

`B = (x_B , x_B-2) = (4-x_A , 4-x_A-2) = (4-x_A , 2-x_A) = (4-(2-sqrt2), 2-(2-sqrt2)) = (2+sqrt2 , -sqrt2)`