Bryły obrotowe - matura-podstawowa - Baza Wiedzy
Zadania powtórzeniowe
Zadanie 1.
Puszczamy walec o promieniu r=50 cm z 1000 metrowej górki. Zakładając, że zatrzymamy go na 1000 m, ile obrotów zrobi? Przyjmij $π=3,14$.
Promień jest w centymetrach,a górkę liczymy w metrach.
Pierwsze co w takim wypadku robimy to ustalamy wspólną jednostkę, ja wezmę metry:
$R=50 cm=0,5 m$
Jeden obrót walca to przeturlanie się po jego całym obwodzie.
Zatem musimy obliczyć obwód koła (nie powierzchnie boczną!)
Obw$=2πr=2π×0,5=π$
Zatem podczas jednego obrotu zrobi zgodnie z warunkami 3,14 m
No to pozostało obliczyć ile obrotów
ilość obrotów$={1000}/{π}≈{1000}/{3,14}≈318,47$
Walec zrobi 318 pełnych obrotów
Zadanie 2.
Objętość stożka jest równa $V=200π cm^3$, znajdź tworzącą stożka, jeśli promień r=5 cm
Wzór na objętość:
$V=1/3 P_p×H$
Potrzebujemy Pola Podstawy to liczymy
$P_p=πr^2=π5^2=25π$
Teraz bez problemu obliczymy wysokość
$V=1/3 P_p×H$
Podmieniamy:
$200π=1/3 25π×H$ $|×3$
$600π=25πH$ $|:25π$
$H=24$
Nanieśmy wartości na rysunek:
No to jak widać pozostaje nam użyć Twierdzenia Pitagorasa:
$5^2+{24}^2=l^2$
$l^2=25+576$
$l^2=601$
No i dostaliśmy liczbę pierwszą, więc to jest rozwiązanie. Liczba pierwsza dzieli się tylko przez 1 i przez samą siebie
$l=√601$
Zadanie 3.
Jak zwiększy się objętość kuli jeśli jej promień zwiększymy trzykrotnie?
Standardowe zadanie na "przed i po". Zróbmy tym razem tabelkę:
Gdy nie ma czasu na tabelkę, wystarczy zauważyć, że licząc objętość podnosimy $3r$ do trzeciej potęgi, więc objętość będzie $3^3=27$ razy większa.
Spis treści
Liczby naturalne, których kwadraty są mniejsze od 10:
{premium}
Liczby naturalne, których kwadraty są mniejsze lub równe 30:
Naturalne liczby pierwsze mniejsze od 15:
Liczby jednocyfrowe złożone:
Nierówność:{premium}
oznacza, że odległość liczby x od liczby a ma być mniejsza niż odległość liczby x od liczby b.
Zauważmy, że średnia arytmetyczna liczb a i b znajduje się dokładnie w połowie między liczbami a i b.
Szukamy takich liczb x, dla których odległość liczby x od liczby a ma być mniejsza niż odległość liczby x od liczby b. Jeśli średnia arytmetyczna liczb a i b znajduje się dokładnie w połowie między tymi liczbami, to dla x będącego tą średnią, odległość liczby x od liczby a będzie taka sama, jak odległość liczby x od liczby b, więc nierówność z tezy nie będzie spełniona. Aby odległość liczby x od liczby a była mniejsza niż odległość liczby x od liczby b, musimy wziąć wartości x mniejsze od średniej arytmetycznej liczb a i b:
{premium}
Warunki x<-5 lub x>1 spełniają wszystkie liczby rzeczywiste, które należą do przedziału (-oo, -5) lub do przedziału (1, +oo).{premium}
Warunki x≤-2 lub x>1 spełniają wszystkie liczby rzeczywiste, które należą do przedziału (-oo, -2> lub do przedziału (1, +oo).
Warunki x≤2 lub x≥2 spełniają wszystkie liczby rzeczywiste, które należą do przedziału (-oo, 2> lub do przedziału <2, +oo), czyli x ∈ R.
Warunki x<2 i x ∈ <0, 3> spełniają wszystkie liczby rzeczywiste, które należą do przedziału (-oo, 2) i do przedziału <0, 3>, czyli x ∈ <0, 2).
Warunki -3≤x≤8 i x>0 spełniają wszystkie liczby rzeczywiste, które należą do przedziału <-3, 8> i do przedziału (0,+oo), czyli x ∈ (0, 8>.
Warunki -2≤x≤0 i x ∈ <0, 5> spełniają wszystkie liczby rzeczywiste, które należą do przedziału <-2, 0> i do przedziału <0, 5>, czyli x ∈ {0}.
Warunki x ∈ R lub 2<x<5 spełniają wszystkie liczby rzeczywiste.
Warunki x ∈ <2, 5> i x ∈ R spełniają wszystkie liczby z przedziału <2, 5>.
Warunki x≤-1 lub -1<x<3 spełniają wszystkie liczby rzeczywiste, które należą do przedziału (-oo, -1> lub do przedziału (-1, 3), czyli x ∈ (-oo, 3).
Suma miar katów znajdujących się przy jednym ramieniu w równoległoboku wynosi 180o.
Wykonajmy rysunek pomocniczy: {premium}
Obliczmy długość krótszej przekątnej tego rombu:
Obliczmy długość krótszej przekątnej tego rombu:
Odp.: Przekątne tego rombu mają długości ok. 4,54 cm i ok. 8,91 cm.
Przed zmianami pole trójkąta jest równe:
Po zmianach pole trójkąta obliczymy następująco:{premium}
Wiemy, że pole trójkąta zwiększyło się o 20. Stąd:
{premium}
to równanie nie ma rozwiązania ponieważ kwadrat żadnej liczby rzeczywistej nie jest liczbą ujemną
to równanie nie ma rozwiązania ponieważ kwadrat żadnej liczby rzeczywistej nie jest liczbą ujemną
Jeżeli ramię wodzące przechodzi przez punkt (xP, yP) to:
a) W drugiej ćwiartce sinus jest dodatni a cosinus ujemny, zatem:
{premium}
b) W trzeciej sinus i cosinus jest ujemny. Zauważmy, że:
stąd
zatem
c) W pierwszej wszystkie funkcje trygonometryczne są dodatnie. Zauważmy, że:
zatem
d) Analogicznie jak w c) z tą różnicą, że:
zatem
e) W czwartej ćwiartce cosinus jest dodatni, zatem:
f) W trzeciej sinus i cosinus są ujemne. Zauważmy, że:
zatem
Oszacujmy wartości liczb niewymiernych:
Wykres funkcji f będzie więc wyglądał w przybliżony sposób:{premium}
Prawidłowa jest odpowiedź D.
Podajemy przykładowe rozwiązania:
{premium}
