Bryły obrotowe - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Puszczamy walec o promieniu r=50 cm z 1000 metrowej górki. Zakładając, że zatrzymamy go na 1000 m, ile obrotów zrobi? Przyjmij $$π=3,14$$.

Promień jest w centymetrach,a górkę liczymy w metrach.

Pierwsze co w takim wypadku robimy to ustalamy wspólną jednostkę, ja wezmę metry:

$$R=50 cm=0,5 m$$
Jeden obrót walca to przeturlanie się po jego całym obwodzie.

Zatem musimy obliczyć obwód koła (nie powierzchnie boczną!)

Obw$$=2πr=2π×0,5=π$$

Zatem podczas jednego obrotu zrobi zgodnie z warunkami 3,14 m

No to pozostało obliczyć ile obrotów

ilość obrotów$$={1000}/{π}≈{1000}/{3,14}≈318,47$$

Walec zrobi 318 pełnych obrotów

Zadanie 2.

Objętość stożka jest równa $$V=200π cm^3$$, znajdź tworzącą stożka, jeśli promień r=5 cm

Wzór na objętość:

$$V=1/3 P_p×H$$

Potrzebujemy Pola Podstawy to liczymy

$$P_p=πr^2=π5^2=25π$$

Teraz bez problemu obliczymy wysokość

$$V=1/3 P_p×H$$

Podmieniamy:

$$200π=1/3 25π×H$$ $$|×3$$

$$600π=25πH$$ $$|:25π$$

$$H=24$$

Nanieśmy wartości na rysunek:

rys1

No to jak widać pozostaje nam użyć Twierdzenia Pitagorasa:

$$5^2+{24}^2=l^2$$

$$l^2=25+576$$

$$l^2=601$$

No i dostaliśmy liczbę pierwszą, więc to jest rozwiązanie. Liczba pierwsza dzieli się tylko przez 1 i przez samą siebie

$$l=√601$$

Zadanie 3.

Jak zwiększy się objętość kuli jeśli jej promień zwiększymy trzykrotnie?

Standardowe zadanie na "przed i po". Zróbmy tym razem tabelkę:

tab1
Gdy nie ma czasu na tabelkę, wystarczy zauważyć, że licząc objętość podnosimy $$3r$$ do trzeciej potęgi, więc objętość będzie $$3^3=27$$ razy większa.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Oblicz cenę średniego i cenę małego

Obliczamy cenę początkową średniego zestawu rondli (oznaczmy tą cenę przez x)

`(100%-24%)*x=190` 

`76%*x=190` 

`76/100*x=190\ \ \ \ |*100/76` 

`x=strike190^95*100/strike76^38=` `9500/38=(9500:19)/(38:19)=500/2=250\ "zł"` 

 

Obliczamy cenę początkową małego zestawu rodnli (oznaczmy tę cenę przez y) 

`(100%-32%)*y=85` 

`68%*y=85` 

`68/100*y=85` 

`17/25*y=85\ \ \ |*25/17` 

`y=strike85^5*25/strike17^1=` `125\ "zł"` 

Uzasadnij, że podane liczby ...

`"a)"\ sqrt5-2` 

`\ \ \ 1/(sqrt5-2)=(1*(sqrt5+2))/((sqrt5-2)(sqrt5+2))=(sqrt5+2)/((sqrt5)^2-2^2)=(sqrt5+2)/(5-4)=sqrt5+2` 

Po usunięciu niewymierności otrzymaliśmy 5+2.

Jeżeli od 5 odejmiemy 2, to w rozwinięciu dziesiętnym zmienia się liczba stojąca przed przecinkiem, ale cyfry po przecinku liczby 5 zostają takie same.

Jeżeli do 5 dodamy 2, to w rozwinięciu dziesiętnym także zmieni się liczba stojąca przed przecinkiem, ale cyfry po przecinku liczby 5 zostaną takie same.

Stąd obie liczby mają takie same cyfry po przecinku.

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )` 

`"b)"\ sqrt3+1` 

`\ \ \ 1/(2-sqrt3)=(1*(2+sqrt3))/((2-sqrt3)(2+sqrt3))=(2+sqrt3)/(2^2-(sqrt3)^2)=(2+sqrt3)/(4-3)=2+sqrt3` 

Po usunięciu niewymierności otrzymaliśmy 3+2.

Jeżeli do 3 dodamy 2, to w rozwinięciu dziesiętnym zmienia się liczba stojąca przed przecinkiem, ale cyfry po przecinku liczby 3 zostają takie same.

Jeżeli do 3 dodamy 1, to w rozwinięciu dziesiętnym także zmieni się liczba stojąca przed przecinkiem, ale cyfry po przecinku liczby 3 zostaną takie same.

Stąd obie liczby mają takie same cyfry po przecinku.

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )` 

`"c)"\ sqrt10-3` 

`\ \ \ 1/(sqrt10-3)=(1*(sqrt10+3))/((sqrt10-3)(sqrt10+3))=(sqrt10+3)/((sqrt10)^2-3^2)=(sqrt10+3)/(10-9)=sqrt10+3` 

Po usunięciu niewymierności otrzymaliśmy 10+3.

Jeżeli od 10 odejmiemy 3, to w rozwinięciu dziesiętnym zmienia się liczba stojąca przed przecinkiem, ale cyfry po przecinku liczby 10 zostają takie same.

Jeżeli do √10 dodamy 3, to w rozwinięciu dziesiętnym także zmieni się liczba stojąca przed przecinkiem, ale cyfry po przecinku liczby 10 zostaną takie same.

Stąd obie liczby mają takie same cyfry po przecinku.

Dla funkcji określonej za pomocą ...

`"a)"\ (-5;-4>>` 

Funkcja dla x=-4 ma wartośc największą y=2.

Funkcja nie ma wartości najmniejszej w tym  przedziale.

 

`"b)"\ <<-2;3)` 

Funkcja dla x=1 ma wartość największą y=4.

 

Funkcja dla x=-2 ma wartość najmniejszą y=1.

 

`"c)"\ <<-4;0>>` 

Funkcja dla x=0 ma wartość największą y=3.

 

Funkcja dla x=-2 ma wartość najmniejszą y=1.

 

`"d)"\ (0;5)` 

Funkcja dla x=1 ma wartość największą y=4.

Funkcja nie ma wartości najmniejszej w tym  przedziale.

Wskaż liczbę, która nie jest równa

`a)` 

`x=sqrt50+sqrt98=sqrt25*sqrt2+sqrt49*sqrt2=5sqrt2+7sqrt2=12sqrt2` 

`y=sqrt75+sqrt108=sqrt25*sqrt3+sqrt36*sqrt3=5sqrt3+6sqrt3=11sqrt3` 

`z=sqrt8+sqrt200=sqrt4*sqrt2+sqrt100*sqrt2=2sqrt2+10sqrt2=12sqrt2` 

 

Należy wskazać liczbę y. 

 

 

 

`b)` 

`x=sqrt48-sqrt243=sqrt16*sqrt3-sqrt81*sqrt3=4sqrt3-9sqrt3=-5sqrt3` 

`y=-sqrt192+sqrt12-sqrt75=-sqrt64*sqrt3+sqrt4*sqrt3-sqrt25*sqrt3=-8sqrt3+2sqrt3-5sqrt3=-11sqrt3` 

`z=sqrt300-sqrt147-8sqrt3=sqrt100*sqrt3-sqrt49*sqrt3-8sqrt3=10sqrt3-7sqrt3-8sqrt3=-5sqrt3` 

 

Należy wskazać liczbę y.      

W trójkącie prostokątnym jedna...

Niech między przyprostokątną i przeciwprostokątną dwa razy dłuższą od niej jest kąt alfa, wtedy:

`cos alpha = a/(2a) = 1/2` 

`alpha = 60^o` 

`beta = 90^o - 60^o = 30^o` 

Odpowiedź C

Liczba |1,4-√2|-|√2-1,4| jest równa

`sqrt2~~1,41`

 

`stackrel"(-)"|1,4-sqrt2|-|sqrt2-1,4|=-(1,4-sqrt2)-(sqrt2-1,4)=-1,4+sqrt2-sqrt2+1,4=0`

 

Jeśli 20% liczby 55 jest o 4 mniejsze

Obliczmy najpierw 20% liczby 55:

`20%*55=20/100*55=1/5*55=11`

 

Wiemy, że 20% liczby 55 jest o 4 mniejsze od 30% liczby x:

`11+4=30%*x`

`15=0,3*x\ \ \ \ |:0,3`

`x=15:0,3=150:3=50\ \ \ \ \ \ odp.\ B`

 

Wskaż zbiór liczb rzeczywistych

`|2x-5|>=1` 

`2x-5>=1\ \ \ |+5\ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ \ \ 2x-5<=-1\ \ \ |+5` 

`2x>=6\ \ \ |:2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ \ \ 2x<=4\ \ \ |:2` 

`x>=3\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ \ \ x<=2`  

`ul( x in (-infty;\ 2>>uu<<3;\ +infty))`  

 

 

` ` `|4-3x|<=4` 

`4-3x<=4\ \ \ |-4\ \ \ \ \ \ \ "i"\ \ \ \ \ \ \ 4-3x>=-4\ \ \ |-4` 

`-3x<=0\ \ \ |:(-3)\ \ \ \ \ \ "i"\ \ \ \ \ \ \ -3x>=-8\ \ \ |:(-3)` 

`x>=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ "i"\ \ \ \ \ \ \ x<=8/3` 

`ul(x in <<0;\ 8/3>>)` 

 

Zbiór liczb spełniających jednoczesnie obie nierówności:

`ul(ul(x in <<0;\ 2>>))` 

 

Prawidłowa jest odpowiedź C.   

  

Przekształć wyrażenie (x-y)², korzystając z

(x-y)^2=(x-y)(x-y)=x^2-xy-yx+y^2=x^2-2xy+y^2

Liczba ... jest równa ...

`((2,4*10^18*1,9*10^-16)/(2*10^8*1,14*10^n))^2=4*10^10` 

`((4,56*10^2)/(2,28*10^(8+n)))^2=4*10^10` 

`(2*10^(2-(8+n)))^2=4*10^10` 

`(2*10^(-6-n))^2=4*10^10` 

`2^2*(10^(-6-n))^2=4*10^10` 

`4*10^(-12-2n)=4*10^10` 

Stąd:

`-12-2n=10`  

`-2n=22` 

`n=-11` 

 

Odp: D