Bryły obrotowe - matura-podstawowa - Baza Wiedzy
Zadania powtórzeniowe
Zadanie 1.
Puszczamy walec o promieniu r=50 cm z 1000 metrowej górki. Zakładając, że zatrzymamy go na 1000 m, ile obrotów zrobi? Przyjmij $π=3,14$.
Promień jest w centymetrach,a górkę liczymy w metrach.
Pierwsze co w takim wypadku robimy to ustalamy wspólną jednostkę, ja wezmę metry:
$R=50 cm=0,5 m$
Jeden obrót walca to przeturlanie się po jego całym obwodzie.
Zatem musimy obliczyć obwód koła (nie powierzchnie boczną!)
Obw$=2πr=2π×0,5=π$
Zatem podczas jednego obrotu zrobi zgodnie z warunkami 3,14 m
No to pozostało obliczyć ile obrotów
ilość obrotów$={1000}/{π}≈{1000}/{3,14}≈318,47$
Walec zrobi 318 pełnych obrotów
Zadanie 2.
Objętość stożka jest równa $V=200π cm^3$, znajdź tworzącą stożka, jeśli promień r=5 cm
Wzór na objętość:
$V=1/3 P_p×H$
Potrzebujemy Pola Podstawy to liczymy
$P_p=πr^2=π5^2=25π$
Teraz bez problemu obliczymy wysokość
$V=1/3 P_p×H$
Podmieniamy:
$200π=1/3 25π×H$ $|×3$
$600π=25πH$ $|:25π$
$H=24$
Nanieśmy wartości na rysunek:
No to jak widać pozostaje nam użyć Twierdzenia Pitagorasa:
$5^2+{24}^2=l^2$
$l^2=25+576$
$l^2=601$
No i dostaliśmy liczbę pierwszą, więc to jest rozwiązanie. Liczba pierwsza dzieli się tylko przez 1 i przez samą siebie
$l=√601$
Zadanie 3.
Jak zwiększy się objętość kuli jeśli jej promień zwiększymy trzykrotnie?
Standardowe zadanie na "przed i po". Zróbmy tym razem tabelkę:
Gdy nie ma czasu na tabelkę, wystarczy zauważyć, że licząc objętość podnosimy $3r$ do trzeciej potęgi, więc objętość będzie $3^3=27$ razy większa.
Spis treści
Korzystając z wykresu odczytajmy współrzędne wierzchołka tej paraboli. Otrzymamy:
czyli ta funkcja w postaci kanonicznej wyraża się wzorem{premium}
Dodatkowo wiemy, że np. punkt (0, 0) należy do wykresu tej funkcji.
Zatem zachodzi
więc
czyli
funkcja f jest zatem postaci
Odp. B.
Sprawdzamy, czy wierzchołek paraboli należy do danego przedziału.
Obliczamy odciętą wierzchołka:
{premium}
W takim razie funkcja przyjmuje najmniejszą wartość w wierzchołku, czyli dla
Obliczamy wartość w tym punkcie.
Prawidłowa odpowiedź to
a) Określamy monotoniczność funkcji.
- funkcja jest rosnąca dla
- funkcja jest malejąca dla {premium}
- funkcja jest stała dla
b) Argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartości nieujemne (dodatnie lub równe 0) to:
Najmniejsza możliwa liczba elementów tego zbioru to 20 (gdy zbiór A zawiera się w zbiorze B).
{premium}
Największa możliwa liczba elementów tego zbioru to 30 (gdy zbiory A i B są rozłączne).
Najmniejsza możliwa liczba elementów tego zbioru to 0 (gdy zbiory A i B są rozłączne).
Największa możliwa liczba elementów tego zbioru to 10 (gdy zbiór A zawiera się w zbiorze B).
Najmniejsza możliwa liczba elementów tego zbioru to 0 (gdy zbiór A zawiera się w zbiorze B).
Największa możliwa liczba elementów tego zbioru to 10 (gdy zbiory A i B są rozłączne).
Najmniejsza możliwa liczba elementów tego zbioru to 10 (gdy zbiór A zawiera się w zbiorze B).
Największa możliwa liczba elementów tego zbioru to 20 (gdy zbiory A i B są rozłączne).
a)
I. Wykres funkcji f przesuwamy o jedną jednostkę w prawo wzdłuż osi x.{premium}
II. Wykres funkcji f przesuwamy o trzy jednostki w lewo wzdłuż osi x.
III. Wykres funkcji f przesuwamy o dwie jednostki w prawo wzdłuż osi x.
IV. Wykres funkcji f przesuwamy o pięć jednostek w lewo wzdłuż osi x.
b)
I. Wykres funkcji f przesuwamy o jedną jednostkę w prawo wzdłuż osi x.
II. Wykres funkcji f przesuwamy o trzy jednostki w lewo wzdłuż osi x.
III. Wykres funkcji f przesuwamy o dwie jednostki w prawo wzdłuż osi x.
IV. Wykres funkcji f przesuwamy o pięć jednostek w lewo wzdłuż osi x.
Punkt P(p, q) należy do wykresu funkcji f, jeśli f(p)=q.{premium}
Do wykresu funkcji f należą punkty B, C, D.
Do wykresu funkcji f należy punkt C.
Do wykresu funkcji f należą punkty A i D.
Do wykresu funkcji f należy punkt A.
a) Wyznaczmy miarę kąta α:{premium}
Obliczamy miarę kąta β:
b) Kąty wierzchołkowe mają równe miary, więc brakujący kąt w trójkącie o kątach 33° i 87° ma miarę α. Z sumy kątów dla tego trójkąta:
Obliczamy miarę kąta β:
{premium}
Lub:
Lub:
Lub:
Lub:
A więc równanie posiada 3 różne rozwiązania.
Odp.: D
Proste i są równoległe, gdy .
Wyznaczamy współczynnik kierunkowy funkcji równoległej do powyższej funkcji. {premium}
Mamy więc:
Do wykresu tej funkcji należy punkt P = (1, 2). Wyznaczamy współczynnik b.
Prosta równoległa do prostej o równaniu y = 2x -11 i przechodząca przez punkt P = (1, 2) to y = 2x.
a) Temperatura jest najniższa{premium} na wysokości 84 km nad Ziemią.
b) Temperatury dodatnie panują na wysokościach od 0 km do 1 km oraz od 38 km do 54 km nad Ziemią (na wysokościach .
Rozwiązania zadań
Pytania i odpowiedzi
Premium