Bryły obrotowe - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Puszczamy walec o promieniu r=50 cm z 1000 metrowej górki. Zakładając, że zatrzymamy go na 1000 m, ile obrotów zrobi? Przyjmij $$π=3,14$$.

Promień jest w centymetrach,a górkę liczymy w metrach.

Pierwsze co w takim wypadku robimy to ustalamy wspólną jednostkę, ja wezmę metry:

$$R=50 cm=0,5 m$$
Jeden obrót walca to przeturlanie się po jego całym obwodzie.

Zatem musimy obliczyć obwód koła (nie powierzchnie boczną!)

Obw$$=2πr=2π×0,5=π$$

Zatem podczas jednego obrotu zrobi zgodnie z warunkami 3,14 m

No to pozostało obliczyć ile obrotów

ilość obrotów$$={1000}/{π}≈{1000}/{3,14}≈318,47$$

Walec zrobi 318 pełnych obrotów

Zadanie 2.

Objętość stożka jest równa $$V=200π cm^3$$, znajdź tworzącą stożka, jeśli promień r=5 cm

Wzór na objętość:

$$V=1/3 P_p×H$$

Potrzebujemy Pola Podstawy to liczymy

$$P_p=πr^2=π5^2=25π$$

Teraz bez problemu obliczymy wysokość

$$V=1/3 P_p×H$$

Podmieniamy:

$$200π=1/3 25π×H$$ $$|×3$$

$$600π=25πH$$ $$|:25π$$

$$H=24$$

Nanieśmy wartości na rysunek:

rys1

No to jak widać pozostaje nam użyć Twierdzenia Pitagorasa:

$$5^2+{24}^2=l^2$$

$$l^2=25+576$$

$$l^2=601$$

No i dostaliśmy liczbę pierwszą, więc to jest rozwiązanie. Liczba pierwsza dzieli się tylko przez 1 i przez samą siebie

$$l=√601$$

Zadanie 3.

Jak zwiększy się objętość kuli jeśli jej promień zwiększymy trzykrotnie?

Standardowe zadanie na "przed i po". Zróbmy tym razem tabelkę:

tab1
Gdy nie ma czasu na tabelkę, wystarczy zauważyć, że licząc objętość podnosimy $$3r$$ do trzeciej potęgi, więc objętość będzie $$3^3=27$$ razy większa.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Skreśl liczby mające rozwinięcia dziesiętne

`sqrt(1,44)=1,2`

`sqrt125=sqrt25*sqrt5=5sqrt5`

`1,(037)=1,037037...\ \ -\ \ "rozwinięcie dziesiętne nieskończone okresowe"`

`sqrt(2 1/4)=sqrt(9/4)=3/2=1 1/2=1,5`

Liczba pi ma rozwinięcie dziesiętne nieskończone nieokresowe. Jeśli pomnożymy ją przez 10, to nadal będzie mieć ona rozwinięcie dziesiętne nieskończone nieokresowe. Podobnie, jeśli odejmiemy od liczby pi liczbę 3,14,  to otrzymana liczba będzie mieć rozwinięcie dziesiętne nieskończone nieokresowe. 

 

`"odp:"\ \ \ strike(2sqrt2)\ \ \ sqrt(1,44)\ \ \ strike(sqrt125)\ \ \ 1,(037)\ \ \ sqrt(2 1/4)\ \ \ strike(10pi)\ \ \ strike(pi-3,14)`

Przyjmij, że log₉4=a ...

Przyjmujemy, że:

`log_(9)4=a`

 

`log_(9)16=log_(9)(4*4)=log_(9)4+log_(9)4=a+a=2a`

`log_(9)36=log_(9)(4*9)=log_(9)4+log_(9)9=a+1`

`log_(9)27/8=log_(9)27-log_(9)8=log_(9)3^3-log_(9)2^3=3log_(9)3-3log_(9)2\ \stackrel(star)=\ 3*1/2-3*1/2a=3/2-3/2a`

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )`

`star`   przekształćmy początkową zależność:

`log_(9)4=log_(9)2^2=2log_(9)2`

`2log_(9)2=a`

`log_(9)2=1/2a` 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )` 

`log_(9)2sqrt2=log_(9)(2*2^(1/2))=log_(9)2^(3/2)=3/2log_(9)2\ \stackrel(star)=\ 3/2*1/2a=3/4a` 

`log_(4)81\ \stackrel(starstar)= \ (log_(9)81)/(log_(9)4)=2/(log_(9)(2*2))=2/(log_(9)2+log_(9)2)=2/(1/2a+1/2a)=2/a` 

`(starstar)`  korzystamy z twierdzenia o zmianie podstawy logarytmu (jako podstawę przyjmujemy 9):

`"Jeśli"\ a>0,\ a!=1,\ b>0\ "i"\ c>0,\ c!=1,\ "to"\ log_(a)b=(log_(c)b)/(log_(c)a)`  

 

Wyznacz równania prostych AB, AC i BC

`a)`

`ul(prosta\ AB)`

Korzystając z twierdzenia podanego na stronie 109 obliczamy współczynnik kierunkowy: 

`a=(2-5)/(4-1)=(-3)/3=-1`

`y=-x+b`

Podstawiamy współrzędne jednego z punktów A lub B (wybieramy punkt A):

`5=-1+b`

`b=5+1=6`

`ul(ul(y=-x+6))`

 

 

`ul(prosta\ AC)`

`a=(5-5)/(7-1)=0/6=0`

`y=0*x+b=b`

Mamy funkcję stałą, przyjmuje ona ciągle wartość taką, jak druga współrzędna. 

`ul(ul(y=5))`

 

 

`ul(prosta\ BC)`

`a=(2-5)/(4-1)=(-3)/3=-1`

`y=-x+b`

Podstawiamy współrzędne punktu B

`2=-4+b`

`b=2+4=6`

`ul(ul(y=-x+6)`

 

Ten trójkąt nie jest prostokątnych, ponieważ wśród trzech prostych AB, AC, BC nie ma pary prostych prostopadłych - nie ma pary współczynników kierunkowych, których iloczyn byłby równy -1. 

 

 

 

`b)`

`ul(prosta\ AB)`

`a=(-3-(-1))/(0-(-2))=(-3+1)/(0+2)=-2/2=-1`

`y=-x+b`

Podstawiamy współrzędne punktu B:

`-3=-0+b`

`b=-3`

`ul(ul(y=-x-3))`

 

 

 

`ul(prosta\ AC)`

`a=(5-(-1))/(4-(-2))=(5+1)/(4+2)=6/6=1`

`y=x+b`

Podstawiamy współrzędne punktu C:

`5=4+b`

`b=5-4=1`

`ul(ul(y=x+1))`

 

 

 

`ul(prosta\ BC)`

`a=(5-(-3))/(4-0)=(5+3)/4=8/4=2`

`y=2x+b`

Podstawiamy współrzędne punktu B:

`-3=2*0+b`

`b=-3`

`ul(ul(y=2x-3))`

 

Proste AB i AC są prostopadłe (iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy -1), więc trójkąt ABC jest prostokątny. 

 

 

 

`c)`

`ul(prosta\ AB)`

Punkty A i B mają jednakową drugą współrzędną, więc będzie to prosta pozioma:

`ul(ul(y=-2))`

 

`ul(prosta\ AC)`

`a=(3-(-2))/(-2-(-7))=(3+2)/(-2+7)=5/5=1`

`y=x+b`

Podstawiamy współrzędne punktu C:

`3=-2+b`

`b=3+2=5`

`ul(ul(y=x+5))`

 

 

`ul(prosta\ BC)`

`a=(3-(-2))/(-2-8)=(3+2)/(-10)=5/(-10)=-1/2`

`y=-1/2x+b`

Podstawiamy współrzędne punktu C:

`3=-1/2*(-2)+b`

`3=1+b`

`b=3-1=2`

`ul(ul(y=-1/2x+2))`

Ten trójkąt nie jest prostokątnych, ponieważ wśród trzech prostych AB, AC, BC nie ma pary prostych prostopadłych - nie ma pary współczynników kierunkowych, których iloczyn byłby równy -1. 

 

Wyznacz miejsce zerowe funkcji f

Zaznacz zbiór na osi liczbowej i zapisz

a)

 

 

`(-oo,-5>>uu<<4,+oo)`

  b)

 

 

`(-oo,4)uu(6,+oo)`

c)

`(-oo,-3>>uu(-2,+oo)`

d)

`(-oo,1)uu<<4,+oo)`

Wyznacz dziedzinę funkcji.

a) Każdą liczbie możemy przyporządkować jej podwojenie, zatem dziedzina to zbiór liczb rzeczywistych.

`D = R` 

 

b) Każdej liczbie możemy przyporządkować liczbę 3, zatem dziedzina to zbiór liczb rzeczywistych.

`D = R` 

 

c) Każdej liczbie możemy przyporządkować sumę jej kwadratu i liczby siedmiokrotnie od niej większej, zatem dziedzina to zbiór liczb rzeczywistych.

`D = R` 

 

d) Każdej liczbie możemy przyporządkować różnicę jej sześcianu i liczby 1, zatem dziedzina to zbiór liczb rzeczywistych.

`D = R` 

Gorączkującego pacjenta przyjęto na ...

a) Po 8 godzinach zaobserwowano, że leki zaczynają obniżać gorączkę.

 

b) Wzrost temperatury zaobserwowano o godzinie 10:00.

Temperaturę mierzono co 4 godziny. O godzinie 6:00 temperatura była niższa niż w poprzednich godzinach. Dopiero w czasie kolejnego pomiaru zauważono, że temperatura wzrosła.

Możemy powiedzieć, że temperatura wzrastała od godziny 6:00, ale jej wzrost zaobserwowano o godzinie 10:00 (gdyż wtedy był kolejny pomiar).

 

c) Najniższa temperatura jaką miał pacjent to 36,0ºC.

 

d) Największy spadek temperatury nastąpił między godziną 14:00 a godziną 18:00 (w piątek!).

Zapisz warunek, który spełniają liczby należące do danego przedziału

Napisz wzory i naszkicuj ...

`a)` 

`f(x)=x^2-4` 

`g(x)=|f(x)|=|x^2-4|` 

`h(x)=f(|x|)=|x|*|x|-4=x^2-4` 

Zauważmy, że:

`f(x)=h(x)` 

 

`b)` 

`f(x)=(x-4)^2`    

`g(x)=|f(x)|=|(x-4)^2|=(x-4)^2`  

`h(x)=f(|x|)=(|x|-4)^2` 

Zauważmy, że:

`f(x)=g(x)`  

 

`c)` 

`f(x)=|x|-3` 

`g(x)=|f(x)|=||x|-3|` 

`h(x)=f(|x|)=|x|-3` 

Zauważmy, że:

`f(x)=h(x)`  

Oblicz

`a)\ |1-|1-|1-4|||=|1-|1-|-3|||=|1-|1-3||=|1-|-2||=|1-2|=|-1|=1`

`b)\ |3-|2-5||=|3-|-3||=|3-3|=|0|=0`

`c)\ |2-sqrt3|+|2+sqrt3|=2-sqrt3+2+sqrt3=4`

`d)\ |sqrt3-5|+|sqrt3-1|=-(sqrt3-5)+sqrt3-1=-sqrt3+5+sqrt3-1=4`

`e)\ |3-sqrt2|/|sqrt2-3|=(3-sqrt2)/(-(sqrt2-3))=(3-sqrt2)/(-sqrt2+3)=(3-sqrt2)/(3-sqrt2)=1`

`f) \ |2-4sqrt6|/|2sqrt6-1|=(-(2-4sqrt6))/(2sqrt6-1)=(-2+4sqrt6)/(2sqrt6-1)=(4sqrt6-2)/(2sqrt6-1)=(2(2sqrt6-1))/(2sqrt6-1)=2`