Bryły obrotowe - matura-podstawowa - Baza Wiedzy
Zadania powtórzeniowe
Zadanie 1.
Puszczamy walec o promieniu r=50 cm z 1000 metrowej górki. Zakładając, że zatrzymamy go na 1000 m, ile obrotów zrobi? Przyjmij $$π=3,14$$.
Promień jest w centymetrach,a górkę liczymy w metrach.
Pierwsze co w takim wypadku robimy to ustalamy wspólną jednostkę, ja wezmę metry:
$$R=50 cm=0,5 m$$
Jeden obrót walca to przeturlanie się po jego całym obwodzie.
Zatem musimy obliczyć obwód koła (nie powierzchnie boczną!)
Obw$$=2πr=2π×0,5=π$$
Zatem podczas jednego obrotu zrobi zgodnie z warunkami 3,14 m
No to pozostało obliczyć ile obrotów
ilość obrotów$$={1000}/{π}≈{1000}/{3,14}≈318,47$$
Walec zrobi 318 pełnych obrotów
Zadanie 2.
Objętość stożka jest równa $$V=200π cm^3$$, znajdź tworzącą stożka, jeśli promień r=5 cm
Wzór na objętość:
$$V=1/3 P_p×H$$
Potrzebujemy Pola Podstawy to liczymy
$$P_p=πr^2=π5^2=25π$$
Teraz bez problemu obliczymy wysokość
$$V=1/3 P_p×H$$
Podmieniamy:
$$200π=1/3 25π×H$$ $$|×3$$
$$600π=25πH$$ $$|:25π$$
$$H=24$$
Nanieśmy wartości na rysunek:
No to jak widać pozostaje nam użyć Twierdzenia Pitagorasa:
$$5^2+{24}^2=l^2$$
$$l^2=25+576$$
$$l^2=601$$
No i dostaliśmy liczbę pierwszą, więc to jest rozwiązanie. Liczba pierwsza dzieli się tylko przez 1 i przez samą siebie
$$l=√601$$
Zadanie 3.
Jak zwiększy się objętość kuli jeśli jej promień zwiększymy trzykrotnie?
Standardowe zadanie na "przed i po". Zróbmy tym razem tabelkę:
Gdy nie ma czasu na tabelkę, wystarczy zauważyć, że licząc objętość podnosimy $$3r$$ do trzeciej potęgi, więc objętość będzie $$3^3=27$$ razy większa.
Spis treści
Rozwiązane zadania
Dziedziną funkcji f jest zbiór
`a)`
`f(x)=2x`
| `x` | `-3` | `-2` | `-1` | `0` | `1` | `2` | `3` |
| `f(x)` | `2*(-3)=-6` | `2*(-2)=-4` | `2*(-1)=-2` | `2*0=0` | `2*1=2` | `2*2=4` | `2*3=6` |
`b)`
`f(x)=x-2`
| `x` | `-3` | `-2` | `-1` | `0` | `1` | `2` | `3` |
| `f(x)` | `-3-2=-5` | `-2-2=-4` | `-1-2=-3` | `0-2=-2` | `1-2=-1` | `2-2=0` | `3-2=1` |
`c)`
`f(x)=x+3`
| `x` | `-3` | `-2` | `-1` | `0` | `1` | `2` | `3` |
| `f(x)` | `-3+3=0` | `-2+3=1` | `-1+3=2` | `0+3=3` | `1+3=4` | `2+3=5` | `3+3=6` |
W którym z podanych przedziałów...
Funkcja rośnie w dwóch przedziałach:
`[-6, -3] \ "i" \ [-2,0]`
Odpowiedź C
Proste AB, CD, EF na rysunku obok
`1)\ |OA|/|OB|=|OC|/|OD|`
`2)\ |OC|/|OD|=|OE|/|OF|`
`3)\ |OA|/|AB|=|OC|/|CD|`
`4)\ |OA|/|AB|=|OE|/|EF|`
`5)\ |AB|/|CD|=|OA|/|OC|`
Wyznacz zbiór rozwiązań nierówności
`a)`
`1/x<0\ \ \ |*x^2>=0`
`ul(x<0)`
`b)`
`3/x>3\ \ |:3`
`1/x>1`
x nie może być ujemny, bo wtedy lewa strona byłaby ujemna, a ma być większa od 1.
x nie może być także większy od 1, bo po lewej mielibyśmy liczbę mniejszą lub równą 1, a ma być większa od 1.
`ul(x in (0,\ 1))`
`c)`
Mają być spełnione dwie nierówności:
`-1<2/x\ \ \ wedge\ \ \ 2/x<0`
`-1<2/x\ \ \ =>\ \ \ 2/x> -1\ \ \ =>\ \ \ x in (-infty,\ -2)uu(0,\ +infty)`
`2/x<0\ \ =>\ \ \ x in(-infty,\ 0)`
`[x in(-infty,\ -2)uu(0,\ +infty)\ \ wedge\ \ x in(-infty,\ 0)]\ \ =>\ \ ul(x in(-infty,\ -2))`
Prosta o równaniu x=-9 jest osią symetrii wykresu...
Ponieważ prosta o równaniu `x=-9` jest osią symetrii wykresu, to odciętą wierzchołka paraboli jest `x_w=-9.`
Na podstawie tego, że zbiór wartości to przedział `(-oo,-3>>` możemy stwierdzić, że `a>0,` czyli funkcja maleje
w przedziale `(-oo,-9>>` oraz rośnie w przedziale `<< -9,+oo).`
`"a)"\ x_w notin<< 2,\ 3>>` i dany przedział leży na prawo od wierzchołka, więc funkcja w nim rośnie.
W takim razie najmniejszą wartość funkcja przyjmuje dla `x=2,` a największą dla `x=3.`
`"b)"\ x_w in << -9,\ 0>>,` więc funkcja przyjmuje najmniejszą wartość w wierzchołku paraboli, czyli dla `x=-9,`
a największą na drugim końcu przedziału, czyli dla `x=0.`
`"c)"\ x_w in << -10,\ -3>>,` więc funkcja przyjmuje najmniejszą wartość w wierzchołku paraboli, czyli dla `x=-9,`
a największą na jednym z końców przedziału. Jest to punkt `x=-3,` bo `-10` leży bliżej osi symetrii wykresu.
`"d)"\ x_w notin<< -12,-11>>` i dany przedział leży na lewo od wierzchołka, więc funkcja w nim maleje.
W takim razie najmniejszą wartość funkcja przyjmuje dla `x=-11,` a największą dla `x=-12.`
Sprawdź, czy trójkąty ABC i PQR ...
Sprawdzamy, czy odpowiednie boki w obu trójkątach są proporcjonalne.
`"a)"\ 18/12=3/2`
`\ \ \ 15/10=3/2`
`\ \ \ 9/6=3/2`
`18/12=15/10=9/6`
Trójkaty ABC i PQR są trójkątami podobnymi.
`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`
Sprawdzamy, czy odpowiednie boki w obu trójkątach są proporcjonalne.
`"b)"\ 7/6=70/60`
`\ \ \ \ 6/5=72/60`
`\ \ \ \ 5/4=75/60`
`7/6!=6/5!=5/4`
Trójkaty ABC i PQR nie są trójkątami podobnymi.
`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`
Sprawdzamy, czy odpowiednie boki w obu trójkątach są proporcjonalne oraz kąt pomiędzy tymi bokami ma taką samą miarę.
`"c)"\ |/_ABC|=|/_RQP|=50^"o"`
`12/9=4/3`
`8/6=4/3`
`12/6=8/9`
Trójkaty ABC i PQR są trójkątami podobnymi.
`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`
Nie znamy długości boków, więc patrzymy na miary kątów.
Obliczmy miarę trzeciego kąta w obu trójkątach.
Trójkąt ABC:
`|/_ABC|=180^"o"-54^"o"-62^"o"=64^"o"`
Trójkąt PQR:
`|/_QPR|=180^"o"-64^"o"-54^"o"=62^"o"`
Miary kątów w obu trójkątach są takie same.
Trójkaty ABC i PQR są trójkątami podobnymi.
Oblicz:
`"a)"\ root(3)(27+64+125)=root(3)216=6`
`"b)"\ sqrt25-sqrt16+root(3)27=5-4+3=4`
`"c)"\ root(3)(-343)+sqrt(1,96)-root(3)(2,744)=-7+1,4-1,4=-7`
`"d)"\ sqrt144+root(3)(72+144)=12+root(3)216=12+6=18`
Który z poniższych zbiorów jest zbiorem pustym?
`A\ -\ "zbiór parzystych dzielników liczby 35"`
Dzielniki liczby 35 to 1, 5, 7, 35. Liczba 35 nie ma parzystych dzielników, więc zbiór A jest zbiorem pustym.
`A=emptyset`
`B\ -\ "zbiór nieparzystych dzielników liczby 32"`
Dzielniki liczby 32 to 1, 2, 4, 8, 16, 32. Liczba 32 ma jeden nieparzysty dzielnik.
`B={1}`
`C\ -\ "zbiór liczb wymiernych"\ x,\ "spełniających równanie"\ x^2=8`
`x^2=8`
`x=sqrt8\ \ \ "lub"\ \ \ x=-sqrt8`
`x=2sqrt2\ \ \ "lub"\ \ \ x=-2sqrt2`
Żadna z powyższych liczb nie jest liczbą wymierną, więc zbiór C jest zbiorem pustym.
`C=emptyset`
`D\ -\ "zbiór liczb rzeczywistych"\ x \ "spełniających równanie"x^2=6`
`x^2=6`
`x=sqrt6\ \ \ "lub"\ \ \ x=-sqrt6`
Obie liczby są liczbami rzeczywistymi.
`D=-sqrt6,\ sqrt6}`
Należy zaznaczyć odpowiedzi A oraz C.
Cosinus kąta ostrego...
Cosinus kąta nazywamy stosunek długości przyprostokątnej, przyległej do danego kąta, do przeciwprostokątnej.
`cos alpha = sqrt5/4`
Wiemy, że w mianowniku ma być długość przeciwprostokątnej, a więc rozszerzmy ułamek tak aby w mianowniku mieć 12.
`cos alpha = sqrt5/4 * 3/3 = (3sqrt5)/12`
Jedna z przyprostokątnych ma długość
`3sqrt5`
Z twierdzenia Pitagorasa obliczmy drugą przyprostokątną
`(3sqrt5)^2 + x^2 = 12^2`
`9*5 + x^2 = 144`
`x^2 = 99`
`x = sqrt99 = sqrt(11*9) = 3sqrt11`
Narysuj dowolny trójkąt ABC, a następnie skonstruuj trójkąt A'B'C' ...
`a)`
Skala 3 oznacza, że każdy bok trójkąta A'B'C' będzie 3 razy dłuższy od odpowiadającego mu boku trójkąta ABC.
`b)`
`c)`
© 2018 Odrabiamy.pl