Bryły obrotowe - matura-podstawowa - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Bryły obrotowe - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Puszczamy walec o promieniu r=50 cm z 1000 metrowej górki. Zakładając, że zatrzymamy go na 1000 m, ile obrotów zrobi? Przyjmij $π=3,14$.

Promień jest w centymetrach,a górkę liczymy w metrach.

Pierwsze co w takim wypadku robimy to ustalamy wspólną jednostkę, ja wezmę metry:

$R=50 cm=0,5 m$
Jeden obrót walca to przeturlanie się po jego całym obwodzie.

Zatem musimy obliczyć obwód koła (nie powierzchnie boczną!)

Obw$=2πr=2π×0,5=π$

Zatem podczas jednego obrotu zrobi zgodnie z warunkami 3,14 m

No to pozostało obliczyć ile obrotów

ilość obrotów$={1000}/{π}≈{1000}/{3,14}≈318,47$

Walec zrobi 318 pełnych obrotów

Zadanie 2.

Objętość stożka jest równa $V=200π cm^3$, znajdź tworzącą stożka, jeśli promień r=5 cm

Wzór na objętość:

$V=1/3 P_p×H$

Potrzebujemy Pola Podstawy to liczymy

$P_p=πr^2=π5^2=25π$

Teraz bez problemu obliczymy wysokość

$V=1/3 P_p×H$

Podmieniamy:

$200π=1/3 25π×H$ $|×3$

$600π=25πH$ $|:25π$

$H=24$

Nanieśmy wartości na rysunek:

rys1

No to jak widać pozostaje nam użyć Twierdzenia Pitagorasa:

$5^2+{24}^2=l^2$

$l^2=25+576$

$l^2=601$

No i dostaliśmy liczbę pierwszą, więc to jest rozwiązanie. Liczba pierwsza dzieli się tylko przez 1 i przez samą siebie

$l=√601$

Zadanie 3.

Jak zwiększy się objętość kuli jeśli jej promień zwiększymy trzykrotnie?

Standardowe zadanie na "przed i po". Zróbmy tym razem tabelkę:

tab1
Gdy nie ma czasu na tabelkę, wystarczy zauważyć, że licząc objętość podnosimy $3r$ do trzeciej potęgi, więc objętość będzie $3^3=27$ razy większa.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Wypisz wszystkie liczby: ...

 

Liczby naturalne, których kwadraty są mniejsze od 10:

   {premium}


 

Liczby naturalne, których kwadraty są mniejsze lub równe 30:

  


 

Naturalne liczby pierwsze mniejsze od 15:

  


 

Liczby jednocyfrowe złożone:

  

Korzystając z interpretacji geometrycznej

Nierówność:{premium}

oznacza, że odległość liczby x od liczby a ma być mniejsza niż odległość liczby x od liczby b. 

Zauważmy, że średnia arytmetyczna liczb a i b znajduje się dokładnie w połowie między liczbami a i b. 

 

Szukamy takich liczb x, dla których odległość liczby x od liczby a ma być mniejsza niż odległość liczby x od liczby b. Jeśli średnia arytmetyczna liczb a i b znajduje się dokładnie w połowie między tymi liczbami, to dla x będącego tą średnią, odległość liczby x od liczby a będzie taka sama, jak odległość liczby x od liczby b, więc nierówność z tezy nie będzie spełniona. Aby odległość liczby x od liczby a była mniejsza niż odległość liczby x od liczby b, musimy wziąć wartości x mniejsze od średniej arytmetycznej liczb a i b:

 

 

Rozwiąż układ równań ...

 

 

 {premium}

 

 

 

 

    

 

 

 

   

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

  

Zaznacz na osi liczbowej zbiór...

 Warunki x<-5 lub x>1 spełniają wszystkie liczby rzeczywiste, które należą do przedziału (-oo, -5) lub do przedziału (1, +oo).{premium}


 Warunki x-2 lub x>1 spełniają wszystkie liczby rzeczywiste, które należą do przedziału (-oo, -2> lub do przedziału (1, +oo).


 Warunki x2 lub x2 spełniają wszystkie liczby rzeczywiste, które należą do przedziału (-oo, 2> lub do przedziału <2, +oo), czyli ∈ R.


 Warunki x<2 i x ∈ <0, 3> spełniają wszystkie liczby rzeczywiste, które należą do przedziału (-oo, 2) i do przedziału <0, 3>, czyli x ∈ <0, 2).


 Warunki -3≤x≤8 i x>0 spełniają wszystkie liczby rzeczywiste, które należą do przedziału <-3, 8> i do przedziału (0,+oo), czyli x ∈ (0, 8>.


 Warunki -2≤x≤0 i x ∈ <0, 5> spełniają wszystkie liczby rzeczywiste, które należą do przedziału <-2, 0> i do przedziału <0, 5>, czyli x ∈ {0}.


 Warunki ∈ R lub 2<x<5 spełniają wszystkie liczby rzeczywiste.


 Warunki ∈ <2, 5> i x ∈ R spełniają wszystkie liczby z przedziału <2, 5>.


 Warunki x≤-1 lub -1<x<3 spełniają wszystkie liczby rzeczywiste, które należą do przedziału (-oo, -1> lub do przedziału (-1, 3), czyli x ∈ (-oo, 3).

Bok rombu ma długość 5 cm...

Suma miar katów znajdujących się przy jednym ramieniu w równoległoboku wynosi 180o.

Wykonajmy rysunek pomocniczy:  {premium}



 

 

 


Obliczmy długość krótszej przekątnej tego rombu:

 


 

 

 


Obliczmy długość krótszej przekątnej tego rombu:

 


Odp.: Przekątne tego rombu mają długości ok. 4,54 cm i ok. 8,91 cm. 

Dany jest trójkąt prostokątny równoramienny...

Przed zmianami pole trójkąta jest równe:

 


Po zmianach pole trójkąta obliczymy następująco:{premium}

 


Wiemy, że pole trójkąta zwiększyło się o 20. Stąd:

 

 

 

 

Rozwiąż równanie, korzystając...

 

    {premium}

 


 

 

 

 

 


 

 

 

 

 


 

to równanie nie ma rozwiązania ponieważ kwadrat żadnej liczby rzeczywistej nie jest liczbą ujemną


 

 

to równanie nie ma rozwiązania ponieważ kwadrat żadnej liczby rzeczywistej nie jest liczbą ujemną


 

 

 

 

 

Na podstawie rysunku...

Jeżeli ramię wodzące przechodzi przez punkt (xP, yP) to:

 

 

 

a) W drugiej ćwiartce sinus jest dodatni a cosinus ujemny, zatem:

 {premium}

 

b) W trzeciej sinus i cosinus jest ujemny. Zauważmy, że:

stąd 

 

zatem

 

 

c) W pierwszej wszystkie funkcje trygonometryczne są dodatnie. Zauważmy, że:

 

zatem

 

 

d) Analogicznie jak w c) z tą różnicą, że:

 

zatem

 

 

e) W czwartej ćwiartce cosinus jest dodatni, zatem:

 

 

f) W trzeciej sinus i cosinus są ujemne. Zauważmy, że:

 

 

zatem

 

Wiemy, że

Oszacujmy wartości liczb niewymiernych:

 

 

 

Wykres funkcji f będzie więc wyglądał w przybliżony sposób:{premium}

 

Prawidłowa jest odpowiedź D. 

Naszkicuj wykres funkcji spełniającej

Podajemy przykładowe rozwiązania:

 

{premium}