Bryły obrotowe - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

 
Aby otrzymać wykres funkcji y = |f(x)|, przekształcamy przez symetrię względem osi x tylko te fragmenty wykresu funkcji y=f(x), które leżą poniżej osi x , a pozostałe zachowujemy bez zmian. Dziedziny obu funkcji są identyczne.

 

Skoro zbiorem wartości funkcji f jest przedział [-4; 2] to po odbiciu symetrycznym tej części wykresu, która leży poniżej osi x względem tej osi otrzymamy funkcję o zbiorze wartości wynoszącym:

 

Bo:

 

 

Wartość najmniejsza to:

 

Wartość największa to:

 

Przykładowe wielokąty foremne, które są środkowosymetryczne:{premium}

Takie wielokąty mają parzystą liczbę boków.

 

 

 

 

 

  

  

  

 

 

  

 

 

 

Wszystkie trzy liczby są równe.

 {premium}

 

 

 

 

 

 

  

a)

b)

c)

a) Funkcja nie jest różnowartościowa. Zauważmy, że:

 

A więc wartość 0 jest przyjmowana dla kilku argumentów, czyli funkcja nie jest różnowartościowa.

 

b) Funkcja jest różnowartościowa gdyż nie istnieje prosta dana równaniem y = a, gdzie a jest pewną liczbą rzeczywistą, która przecinałaby wykres funkcji w co najmniej dwóch punktach.

Korzystamy ze wzorów:

 

` `

 

 

 

Stąd otrzymujemy:

 

 

Wiemy, że

 

podstawmy obliczone a i b:

 

 

  

  

   

 

Stąd otrzymujemy:

 

 

 

 

 

 

Wiemy, że:

 

podstawiamy obliczone a do wzoru:

 

 

 

  

 

  

Stąd otrzymujemy:

 

 

 

 

 

wiemy, że:

 

Podstawiamy obliczone b do wzoru:

 

 

 

  

 

Korzystamy ze wzorów:

 

` ` 

 

 

   

Stąd otrzymujemy:

 

 

 

 

 

Wiemy, że:

 

Podstawiamy obliczone b:

 

Dla pewności sprawdźmy, czy:

  

 

Mamy:

 

 

 

Stąd otrzymujemy: 

 

  

Podstawmy obliczone b:

` `  

 

 

  

a=-1 nie może być, ponieważ otrzymlibyśmy wówczas -48x², więc:

 

Wiemy, że:

 

Podstawiamy obliczone a:` `

 

 

Mamy:

  

 

 

Stąd otrzymujemy:

 

 

Wiemy, że:

 

Podstawmy obliczone x i y:

 

 

 

 

Mamy więc:

 

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:

  środek odcinka  

 środek odcinka  

 środek odcinka  

---

Przyda nam się następujące twierdzenie:

Jeżeli w trójkącie połączymy środki dwóch boków, to powstały odcinek jest równoległy do boku trzeciego

i jego długość jest równa połowie długości boku trzeciego.

---

Z twierdzenia wynika, że  {premium}

---

 wiec możemy skorzystać z twierdzenia Talesa. Otrzymujemy:

 

---

Mamy:

 

 

---

Zatem:

 

 

 

 

 

---

Odp.   

  

  

{premium}