Bryły obrotowe - matura-podstawowa - Baza Wiedzy
Zadania powtórzeniowe
Zadanie 1.
Puszczamy walec o promieniu r=50 cm z 1000 metrowej górki. Zakładając, że zatrzymamy go na 1000 m, ile obrotów zrobi? Przyjmij $$π=3,14$$.
Promień jest w centymetrach,a górkę liczymy w metrach.
Pierwsze co w takim wypadku robimy to ustalamy wspólną jednostkę, ja wezmę metry:
$$R=50 cm=0,5 m$$
Jeden obrót walca to przeturlanie się po jego całym obwodzie.
Zatem musimy obliczyć obwód koła (nie powierzchnie boczną!)
Obw$$=2πr=2π×0,5=π$$
Zatem podczas jednego obrotu zrobi zgodnie z warunkami 3,14 m
No to pozostało obliczyć ile obrotów
ilość obrotów$$={1000}/{π}≈{1000}/{3,14}≈318,47$$
Walec zrobi 318 pełnych obrotów
Zadanie 2.
Objętość stożka jest równa $$V=200π cm^3$$, znajdź tworzącą stożka, jeśli promień r=5 cm
Wzór na objętość:
$$V=1/3 P_p×H$$
Potrzebujemy Pola Podstawy to liczymy
$$P_p=πr^2=π5^2=25π$$
Teraz bez problemu obliczymy wysokość
$$V=1/3 P_p×H$$
Podmieniamy:
$$200π=1/3 25π×H$$ $$|×3$$
$$600π=25πH$$ $$|:25π$$
$$H=24$$
Nanieśmy wartości na rysunek:
No to jak widać pozostaje nam użyć Twierdzenia Pitagorasa:
$$5^2+{24}^2=l^2$$
$$l^2=25+576$$
$$l^2=601$$
No i dostaliśmy liczbę pierwszą, więc to jest rozwiązanie. Liczba pierwsza dzieli się tylko przez 1 i przez samą siebie
$$l=√601$$
Zadanie 3.
Jak zwiększy się objętość kuli jeśli jej promień zwiększymy trzykrotnie?
Standardowe zadanie na "przed i po". Zróbmy tym razem tabelkę:
Gdy nie ma czasu na tabelkę, wystarczy zauważyć, że licząc objętość podnosimy $$3r$$ do trzeciej potęgi, więc objętość będzie $$3^3=27$$ razy większa.
Spis treści
Rozwiązane zadania
Rozwiąż nierówność
`a)`
`2x+7<=3\ \ \ |-7`
`2x<=-4\ \ \ |:2`
`x<=-2`
`b)`
`2/5x-3>1\ \ \ |+3`
`2/5x>4\ \ \ |:2`
`1/5x>2\ \ \ \|*5`
`x>10`
`c)`
`2x-4<1/2x-1\ \ \ |*2`
`4x-8<x-2\ \ \ \ |-x`
`3x-8< -2\ \ \ |+8`
`3x<6\ \ \ |:3`
`x<2`
`d)`
`1/4-x>=1-6x\ \ \ |+6x`
`1/4+5x>=1\ \ \ |-1/4`
`5x>=3/4\ \ \ |*1/5`
`x>=3/20`
Rok temu Beata miała dwa razy mniej lat ...
`x-"wiek Aliny"`
`y-"wiek Beaty"`
`{(2(y-1)=x+9),(6+y=2(x-7)):}`
`{(2 y-2 =x+9),(6+y=2 x-14 ):}`
`{(-4 y+4=-2x-18),(6+y=2 x-14 ):}`
`10-3y=-32`
`y=42/3=14`
`x=2(y-1)-9=26-9=17`
`{(x=17),(y=14):}`
Dany jest kwadrat ...
`a)`
`P-"pole koła opisanego na kwadracie"\ K_2\ "o boku a."`
`P=pir^2`
`r=(asqrt2)/2`
`P=pi((asqrt2)/2)^2=16pi`
`(2a^2)/4=16`
`a^2=32`
`a=4sqrt2`
`k-"skala podobieństwa kwadratów"\ K_1 \ "i"\ K_2`
`k=4/(4sqrt2)=1/sqrt2=ul(sqrt2/2`
`"Skala podobieństwa kwadratów"\ K_1\ "i"\ K_2\ "wynosi"\ sqrt2:2. `
`b)`
` P-"pole koła wpisanego w kwadracie"\ K_2\ "o boku a." `
`r=a/2`
`P=pir^2=1024pi`
`pi(a/2)^2=1024pi`
`a^2/4=1024`
`a^2=4096`
`a=64`
`k-"skala podobieństwa kwadratów"\ K_1 \ "i"\ K_2`
`k=4/64=1/16`
`"Skala podobieństwa kwadratów"\ K_1\ "i"\ K_2\ "wynosi"\ 1:16. `
Dany jest prostokąt o bokach x i y
Długość przekątnej prostokąta (oznaczmy ją d) można obliczyć korzystając z twierdzenia Pitagorasa, tak jak w poprzednim zadaniu.
`a)\ 2^2+4^2=d^2`
`\ \ \ 4+16=d^2`
`\ \ \ d^2=20`
`\ \ \ d=sqrt20notinW`
`b)\ 3^2+4^2=d^2`
`\ \ \ 9+16=d^2`
`\ \ \ d^2=25`
`\ \ \ d=sqrt25=5inW`
`c)\ 6^2+8^2=d^2`
`\ \ \ 36+64=d^2`
`\ \ \ 100=d^2`
`\ \ \ d=sqrt100=10inW`
`d)\ 8^2+10^2=d^2`
`\ \ \ 64+100=d^2`
`\ \ \ 164=d^2`
`\ \ \ d=sqrt164notinW`
`e)\ 5^2+12^2=d^2`
`\ \ \ 25+144=d^2`
`\ \ \ 169=d^2`
`\ \ \ d=sqrt169=13inW`
`f)\ 7^2+24^2=d^2`
`\ \ \ 49+576=d^2`
`\ \ \ 625=d^2`
` \ \ d=sqrt625=25inW`
Przedstaw liczbę w postaci
`a)\ 27^3:81^-1=(3^3)^3:(3^4)^-1=3^(3*3):3^(4*(-1))=3^9:3^-4=3^(9-(-4))=3^(9+4)=3^13`
`b)\ (1/3)^-5*9^-2:243=3^5*(3^2)^-2:3^5=3^5*3^(2*(-2)):3^5=3^5*3^-4:3^5=3^(5+(-4)-5)=3^-4`
`c)\ 1/9^3*27^-2:(1/3)^-4=9^-3*(3^3)^-2:3^4=(3^2)^-3*3^(3*(-2)):3^4=3^(2*(-3))*3^-6:3^4=`
`\ \ \ =3^-6*3^-6:3^4=3^(-6+(-6)-4)=3^-16`
Zapisz nierówności podwójne
`a)`
`x in <<-3;\ 5>>\ \ \ <=>\ \ \ -3<=x<=5`
Liczby całkowite należące do tego przedziału to -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 - jest 9 takich liczb.
`b)`
`x in <<-sqrt5;\ sqrt5>>\ \ \ <=>\ \ \ -sqrt5<=x<=sqrt5`
Wiemy, że:
`sqrt5~~2,24`
Liczby całkowite należące do tego przedziału to zatem: -2, -1, 0, 1, 2 - jest 5 takich liczb.
`c)`
`x in <<-7/3;\ 4/3>>\ \ \ <=>\ \ \ -7/3<=x<=4/3`
Wiadomo, że:
`-7/3=-2 1/3`
`4/3=1 1/3`
Liczby całkowite należące do tego przedziału to zatem: -2, -1, 0, 1 - są 4 takie liczby.
`d)`
`x in (-pi;\ 2pi)\ \ \ <=>\ \ \ -pi<x<2pi`
Wiemy, że:
`-pi~~-3,14`
`2pi~~2*3,14=6,28`
Liczby całkowite należące do tego przedziału to zatem: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 - jest 10 takich liczb.
W trapezie równoramiennym przekątne przecinają się...
Rysunek poglądowy:
Obliczmy długość ramienia kąta za pomocą trójkąta ABC:
`sin 30^o = c/a \ \ \ |*a`
`c = sin 30^o a`
`c = a/2`
Poprowadźmy teraz wysokość z wierzchołka C na podstawę AB, wtedy:
Zauważmy, że:
`b+2|HB| = a`
A więc:
`cos 60^o = (|HB|)/c`
`|HB| = c * cos 60^o`
`|HB| = a/2 * 1/2`
`|HB| = a/4`
Zatem:
`b + 2*a/4 = a`
`b + a/2 = a`
`b = a/2`
Zatem obwód trapezu wynosi:
`"O" = a + b + 2c = a + a/2 + 2*a/2 = a+a/2 + a = 5/2 a`
Naszkicuj wykres funkcji kwadratowej...
`"a)"` Wyznaczmy kilka punktów należących do wykresu funkcji `y=-2x^2:`
| `x` | `-2` | `-1` | `0` | `1` | `2` |
| `y=-2x^2` | `-8` | `-2` | `0` | `-2` | `-8` |
Rysujemy wykres funkcji:
Z wykresu funkcji `y=-2x^2` odczytujemy jej własności:
`D=R`
`Z_w=(-oo;\ 0>>`
Miejsce zerowe: `x=0.`
Funkcja jest rosnąca w przedziale `(-oo;\ 0>>` i malejaca w przedziale `< 0;+oo).`
Funkcja przyjmuje największą wartość dla `x=0.`
`f(0)=0`
Oś `y` jest osią symetrii wykresu funkcji.
`"b)"` Wyznaczmy kilka punktów należących do wykresu funkcji `y=1/4x^2:`
| `x` | `-3` | `-2` | `-1` | `0` | `1` | `2` | `3` |
| `y=1/4x^2` | `9/4` | `1` | `1/4` | `0` | `1/4` | `1` | `9/4` |
Rysujemy wykres funkcji:
Z wykresu funkcji `y=1/4x^2` odczytujemy jej własności:
`D=R`
`Z_w=< 0;+oo)`
Miejsce zerowe: `x=0.`
Funkcja jest rosnąca w przedziale `< 0;+oo)` i malejąca w przedziale `(-oo;\ 0>>.`
Funkcja nie przyjmuje największej wartości.
Oś `y` jest osią symetrii wykresu funkcji.
`"c)"` Wyznaczmy kilka punktów należących do wykresu funkcji `y=-sqrt2x^2:`
| `x` | `-2` | `-1` | `0` | `1` | `2` |
| `y=-sqrt2x^2` | `-4sqrt2~~-5,65` | `-sqrt2~~-1,41` | `0` | `-sqrt2` | `-4sqrt2` |
Rysujemy wykres funkcji:
Z wykresu funkcji `y=-sqrt22x^2` odczytujemy jej własności:
`D=R`
`Z_w=(-oo;\ 0>>`
Miejsce zerowe: `x=0.`
Funkcja jest rosnąca w przedziale `(-oo;\ 0>>` i malejaca w przedziale `< 0;+oo).`
Funkcja przyjmuje największą wartość dla `x=0.`
`f(0)=0`
Oś `y` jest osią symetrii wykresu funkcji.
`"d)"` Wyznaczmy kilka punktów należących do wykresu funkcji `y=1/(sqrt2-1)x^2:`
`1/(sqrt2-1)*(sqrt2+1)/(sqrt2+1)=(sqrt2+1)/(2-1)=(sqrt2+1)~~1,41+1=2,41`
| `x` | `-2` | `-1` | `0` | `1` | `2` |
| `y=1/(sqrt2-1)x^2` | `4/(sqrt2-1)~~9,64` | `1/(sqrt2-1)~~2,41` | `0` | `1/(sqrt2-1)~~2,41` | `4/(sqrt2-1)~~9,64` |
Rysujemy wykres funkcji:
Z wykresu funkcji `y=1/(sqrt2-1)x^2` odczytujemy jej własności:
`D=R`
`Z_w=< 0;+oo)`
Miejsce zerowe: `x=0.`
Funkcja jest rosnąca w przedziale `< 0;+oo)` i malejąca w przedziale `(-oo;\ 0>>.`
Funkcja nie przyjmuje największej wartości.
Oś `y` jest osią symetrii wykresu funkcji.
Funkcja f przyporządkowuje
`a)`
Najmniejsza wartość funkcji f jest równa 0 (dla argumentów 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90).
Największa wartość funkcji f jest równa 81 (dla argumentu 99).
`b)`
Funkcja przyjmuje wartość 12, jeśli iloczyn cyfr liczby dwucyfrowej jest równy 12. Jedyne liczby dwucyfrowe, których iloczyn cyfr jest równy 12, to 34, 43, 26 oraz 62. Funkcja f przyjmuje więc wartość 12 dla czterech argumentów.
Funkcja przyjmuje wartość 16, jeśli iloczyn cyfr liczby dwucyfrowej jest równy 16. Jedyne liczby dwucyfrowe, których iloczyn cyfr jest równy 16, to 44, 28 oraz 82. Funkcja f przyjmuje więc wartość 16 dla trzech argumentów.
`c)`
Funkcja f przyjmuje wartości parzyste, jeśli iloczyn cyfr liczby dwucyfrowej będzie liczbą parzystą.
Ten iloczyn będzie liczbą parzystą, jeśli choć jedna z cyfr będzie parzysta.
Mamy następujące możliwości:
- 10 liczb dwucyfrowych, których pierwszą cyfrą jest 2
- 10 liczb dwucyfrowych, których pierwszą cyfrą jest 4
- 10 liczb dwucyfrowych, których pierwszą cyfrą jest 6
- 10 liczb dwucyfrowych, których pierwszą cyfrą jest 8
- liczby 10, 12, 14, 16, 18 (5 liczb)
- liczby 30, 32, 34, 36, 38 (5 liczb)
- liczby 50, 52, 54, 56, 58 (5 liczb)
- liczby 70, 72, 74, 76, 78 (5 liczb)
- liczby 90, 92, 94, 96, 98 (5 liczb)
Razem 65 liczb.
Funkja f przyjmuje wartości parzyste dla 65 argumentów.
Wykres przedstawia funkcję y=f(x)...
Zauważmy, że spośród podanych, tylko funkcja `y=-f(x)` przyjmuje wartość największą.
Prawidłowa odpowiedź to `"C."`
© 2018 Odrabiamy.pl