Bryły obrotowe - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Puszczamy walec o promieniu r=50 cm z 1000 metrowej górki. Zakładając, że zatrzymamy go na 1000 m, ile obrotów zrobi? Przyjmij $$π=3,14$$.

Promień jest w centymetrach,a górkę liczymy w metrach.

Pierwsze co w takim wypadku robimy to ustalamy wspólną jednostkę, ja wezmę metry:

$$R=50 cm=0,5 m$$
Jeden obrót walca to przeturlanie się po jego całym obwodzie.

Zatem musimy obliczyć obwód koła (nie powierzchnie boczną!)

Obw$$=2πr=2π×0,5=π$$

Zatem podczas jednego obrotu zrobi zgodnie z warunkami 3,14 m

No to pozostało obliczyć ile obrotów

ilość obrotów$$={1000}/{π}≈{1000}/{3,14}≈318,47$$

Walec zrobi 318 pełnych obrotów

Zadanie 2.

Objętość stożka jest równa $$V=200π cm^3$$, znajdź tworzącą stożka, jeśli promień r=5 cm

Wzór na objętość:

$$V=1/3 P_p×H$$

Potrzebujemy Pola Podstawy to liczymy

$$P_p=πr^2=π5^2=25π$$

Teraz bez problemu obliczymy wysokość

$$V=1/3 P_p×H$$

Podmieniamy:

$$200π=1/3 25π×H$$ $$|×3$$

$$600π=25πH$$ $$|:25π$$

$$H=24$$

Nanieśmy wartości na rysunek:

rys1

No to jak widać pozostaje nam użyć Twierdzenia Pitagorasa:

$$5^2+{24}^2=l^2$$

$$l^2=25+576$$

$$l^2=601$$

No i dostaliśmy liczbę pierwszą, więc to jest rozwiązanie. Liczba pierwsza dzieli się tylko przez 1 i przez samą siebie

$$l=√601$$

Zadanie 3.

Jak zwiększy się objętość kuli jeśli jej promień zwiększymy trzykrotnie?

Standardowe zadanie na "przed i po". Zróbmy tym razem tabelkę:

tab1
Gdy nie ma czasu na tabelkę, wystarczy zauważyć, że licząc objętość podnosimy $$3r$$ do trzeciej potęgi, więc objętość będzie $$3^3=27$$ razy większa.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Dziedziną funkcji f jest zbiór

`a)`

`f(x)=2x` 

`x`  `-3`  `-2`  `-1`   `0`  `1`  `2`    `3` 
`f(x)`  `2*(-3)=-6`  `2*(-2)=-4`  `2*(-1)=-2`    `2*0=0`  `2*1=2`  `2*2=4`  `2*3=6` 

 

 

`b)` 

`f(x)=x-2` 

 

 
`x`  `-3`  `-2`  `-1`  `0`  `1`  `2`  `3` 
`f(x)`  `-3-2=-5`  `-2-2=-4`  `-1-2=-3`  `0-2=-2`  `1-2=-1`  `2-2=0`  `3-2=1` 

 

 

 

`c)` 

`f(x)=x+3` 

`x`  `-3`  `-2`  `-1`  `0`  `1`  `2`   `3` 
`f(x)`  `-3+3=0`  `-2+3=1`  `-1+3=2`  `0+3=3`  `1+3=4`  `2+3=5`  `3+3=6` 
W którym z podanych przedziałów...

Funkcja rośnie w dwóch przedziałach:

`[-6, -3] \ "i" \ [-2,0]` 

Odpowiedź C

Proste AB, CD, EF na rysunku obok

`1)\ |OA|/|OB|=|OC|/|OD|`

`2)\ |OC|/|OD|=|OE|/|OF|`

`3)\ |OA|/|AB|=|OC|/|CD|`

`4)\ |OA|/|AB|=|OE|/|EF|`

`5)\ |AB|/|CD|=|OA|/|OC|`

Wyznacz zbiór rozwiązań nierówności

`a)`

`1/x<0\ \ \ |*x^2>=0`

`ul(x<0)`

 

 

`b)`

`3/x>3\ \ |:3`

`1/x>1`

x nie może być ujemny, bo wtedy lewa strona byłaby ujemna, a ma być większa od 1. 

x nie może być także większy od 1, bo po lewej mielibyśmy liczbę mniejszą lub równą 1, a ma być większa od 1. 

`ul(x in (0,\ 1))`

 

 

`c)`

Mają być spełnione dwie nierówności: 

`-1<2/x\ \ \ wedge\ \ \ 2/x<0`

 

`-1<2/x\ \ \ =>\ \ \ 2/x> -1\ \ \ =>\ \ \ x in (-infty,\ -2)uu(0,\ +infty)`

`2/x<0\ \ =>\ \ \ x in(-infty,\ 0)`

 

`[x in(-infty,\ -2)uu(0,\ +infty)\ \ wedge\ \ x in(-infty,\ 0)]\ \ =>\ \ ul(x in(-infty,\ -2))`

   

 

 

 

Prosta o równaniu x=-9 jest osią symetrii wykresu...

Ponieważ prosta o równaniu `x=-9` jest osią symetrii wykresu, to odciętą wierzchołka paraboli jest `x_w=-9.` 

Na podstawie tego, że zbiór wartości to przedział `(-oo,-3>>` możemy stwierdzić, że `a>0,` czyli funkcja maleje

w przedziale `(-oo,-9>>` oraz rośnie w przedziale `<< -9,+oo).` 

 

`"a)"\ x_w notin<< 2,\ 3>>` i dany przedział leży na prawo od wierzchołka, więc funkcja w nim rośnie.

W takim razie najmniejszą wartość funkcja przyjmuje dla `x=2,` a największą dla `x=3.` 

 

`"b)"\ x_w in << -9,\ 0>>,` więc funkcja przyjmuje najmniejszą wartość w wierzchołku paraboli, czyli dla `x=-9,` 

a największą na drugim końcu przedziału, czyli dla `x=0.` 

 

`"c)"\ x_w in << -10,\ -3>>,` więc funkcja przyjmuje najmniejszą wartość w wierzchołku paraboli, czyli dla `x=-9,` 

a największą na jednym z końców przedziału. Jest to punkt `x=-3,` bo `-10` leży bliżej osi symetrii wykresu.

 

`"d)"\ x_w notin<< -12,-11>>` i dany przedział leży na lewo od wierzchołka, więc funkcja w nim maleje.

W takim razie najmniejszą wartość funkcja przyjmuje dla `x=-11,` a największą dla `x=-12.`         

  

Sprawdź, czy trójkąty ABC i PQR ...

Sprawdzamy, czy odpowiednie boki w obu trójkątach są proporcjonalne.

`"a)"\ 18/12=3/2` 

`\ \ \ 15/10=3/2` 

`\ \ \ 9/6=3/2` 

`18/12=15/10=9/6` 

Trójkaty ABC i PQR są trójkątami podobnymi.

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`  

Sprawdzamy, czy odpowiednie boki w obu trójkątach są proporcjonalne.

`"b)"\ 7/6=70/60` 

`\ \ \ \ 6/5=72/60`  

`\ \ \ \ 5/4=75/60`  

`7/6!=6/5!=5/4` 

Trójkaty ABC i PQR nie są trójkątami podobnymi.

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

Sprawdzamy, czy odpowiednie boki w obu trójkątach są proporcjonalne oraz kąt pomiędzy tymi bokami ma taką samą miarę.

`"c)"\ |/_ABC|=|/_RQP|=50^"o"`  

`12/9=4/3`  

`8/6=4/3`  

`12/6=8/9`  

Trójkaty ABC i PQR są trójkątami podobnymi.

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

Nie znamy długości boków, więc patrzymy na miary kątów.

Obliczmy miarę trzeciego kąta w obu trójkątach.

Trójkąt ABC:

`|/_ABC|=180^"o"-54^"o"-62^"o"=64^"o"`  

Trójkąt PQR:

`|/_QPR|=180^"o"-64^"o"-54^"o"=62^"o"` 

Miary kątów w obu trójkątach są takie same.

Trójkaty ABC i PQR są trójkątami podobnymi.

Oblicz:

`"a)"\ root(3)(27+64+125)=root(3)216=6` 

`"b)"\ sqrt25-sqrt16+root(3)27=5-4+3=4` 

`"c)"\ root(3)(-343)+sqrt(1,96)-root(3)(2,744)=-7+1,4-1,4=-7` 

`"d)"\ sqrt144+root(3)(72+144)=12+root(3)216=12+6=18` 

Który z poniższych zbiorów jest zbiorem pustym?

`A\ -\ "zbiór parzystych dzielników liczby 35"`

Dzielniki liczby 35 to 1, 5, 7, 35. Liczba 35 nie ma parzystych dzielników, więc zbiór A jest zbiorem pustym. 

`A=emptyset`

 

 

`B\ -\ "zbiór nieparzystych dzielników liczby 32"`

Dzielniki liczby 32 to 1, 2, 4, 8, 16, 32. Liczba 32 ma jeden nieparzysty dzielnik. 

`B={1}`

 

`C\ -\ "zbiór liczb wymiernych"\ x,\ "spełniających równanie"\ x^2=8`

`x^2=8`

`x=sqrt8\ \ \ "lub"\ \ \ x=-sqrt8`

`x=2sqrt2\ \ \ "lub"\ \ \ x=-2sqrt2`

Żadna z powyższych liczb nie jest liczbą wymierną, więc zbiór C jest zbiorem pustym. 

`C=emptyset`

 

 

`D\ -\ "zbiór liczb rzeczywistych"\ x \ "spełniających równanie"x^2=6`

`x^2=6`

`x=sqrt6\ \ \ "lub"\ \ \ x=-sqrt6`

Obie liczby są liczbami rzeczywistymi.
`D=-sqrt6,\ sqrt6}` 

 

 

Należy zaznaczyć odpowiedzi A oraz C.  

 

 

Cosinus kąta ostrego...

Cosinus kąta nazywamy stosunek długości przyprostokątnej, przyległej do danego kąta, do przeciwprostokątnej.

 

`cos alpha = sqrt5/4` 

Wiemy, że w mianowniku ma być długość przeciwprostokątnej, a więc rozszerzmy ułamek tak aby w mianowniku mieć 12.

`cos alpha = sqrt5/4 * 3/3 = (3sqrt5)/12`

 

Jedna z przyprostokątnych ma długość

`3sqrt5` 

 

Z twierdzenia Pitagorasa obliczmy drugą przyprostokątną

`(3sqrt5)^2 + x^2 = 12^2` 

`9*5 + x^2 = 144` 

`x^2 = 99` 

`x = sqrt99 = sqrt(11*9) = 3sqrt11`

Narysuj dowolny trójkąt ABC, a następnie skonstruuj trójkąt A'B'C' ...

`a)`

Skala 3 oznacza, że każdy bok trójkąta A'B'C' będzie 3 razy dłuższy od odpowiadającego mu boku trójkąta ABC. 

 

 

 

`b)`

 

 

 

`c)`