Bryły obrotowe - matura-podstawowa - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Bryły obrotowe - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Puszczamy walec o promieniu r=50 cm z 1000 metrowej górki. Zakładając, że zatrzymamy go na 1000 m, ile obrotów zrobi? Przyjmij $π=3,14$.

Promień jest w centymetrach,a górkę liczymy w metrach.

Pierwsze co w takim wypadku robimy to ustalamy wspólną jednostkę, ja wezmę metry:

$R=50 cm=0,5 m$
Jeden obrót walca to przeturlanie się po jego całym obwodzie.

Zatem musimy obliczyć obwód koła (nie powierzchnie boczną!)

Obw$=2πr=2π×0,5=π$

Zatem podczas jednego obrotu zrobi zgodnie z warunkami 3,14 m

No to pozostało obliczyć ile obrotów

ilość obrotów$={1000}/{π}≈{1000}/{3,14}≈318,47$

Walec zrobi 318 pełnych obrotów

Zadanie 2.

Objętość stożka jest równa $V=200π cm^3$, znajdź tworzącą stożka, jeśli promień r=5 cm

Wzór na objętość:

$V=1/3 P_p×H$

Potrzebujemy Pola Podstawy to liczymy

$P_p=πr^2=π5^2=25π$

Teraz bez problemu obliczymy wysokość

$V=1/3 P_p×H$

Podmieniamy:

$200π=1/3 25π×H$ $|×3$

$600π=25πH$ $|:25π$

$H=24$

Nanieśmy wartości na rysunek:

rys1

No to jak widać pozostaje nam użyć Twierdzenia Pitagorasa:

$5^2+{24}^2=l^2$

$l^2=25+576$

$l^2=601$

No i dostaliśmy liczbę pierwszą, więc to jest rozwiązanie. Liczba pierwsza dzieli się tylko przez 1 i przez samą siebie

$l=√601$

Zadanie 3.

Jak zwiększy się objętość kuli jeśli jej promień zwiększymy trzykrotnie?

Standardowe zadanie na "przed i po". Zróbmy tym razem tabelkę:

tab1
Gdy nie ma czasu na tabelkę, wystarczy zauważyć, że licząc objętość podnosimy $3r$ do trzeciej potęgi, więc objętość będzie $3^3=27$ razy większa.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Oblicz bez korzystania z tablic...

 

 

Przekształćmy pomocniczo poszczególne wyrażenia by nie przepisywać wszystkiego ciągle.

 

 

 

 

 

Wyznacz miarę kąta ...

a)

 

 

     {premium}


b)

 

 

 

 

 

  


c)

 

 

 

 

 

 


d)

 

 

 

 

 

 

 

W trójkątach ABC...

Dwa trójkąty nazwiemy trójkątami przystającymi wtedy, gdy boki i kąty jednego z nich

są równe odpowiednim bokom i kątom drugiego.


Skorzystamy z następujących cech przystawania trójkątów

(bkb) Jeżeli dwa boki i kąt między tymi bokami w jednym trójkącie są równe odpowiednio dwóm bokom

i kątowi między tymi bokami w drugim trójkącie, to te trójkąty są przystające.

(kbk) Jeżeli bok i dwa przyległe do niego kąty w jednym trójkącie są odpowiednio równe bokowi i dwóm

przyległym do niego kątom w drugim trójkącie, to te trójkąty są przystające.


Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunkach poniżej:

Thumb zad5.125str126


Założenia:

 

 

 


Teza:

 


Dowód:

Z założeń wynika, że trójkąty  i  są przystające {premium}na podstawie cechy bkb.


Z przystawania tych trójkątów wynika, że  oraz  


 i  są dwusiecznymi, więc  


Z powyższej równości i założeń wynika, że trójkąty  i  są przystające na podstawie

cechy kbk, co należało dowieść.

Naszkicuj w jednym układzie współrzędnych

Wyznaczmy współrzędne dwóch punktów, przez które przechodzi wykres funkcji f. 

{premium}

 

Wyznaczamy współrzędne dwóch punktów, przez które przechodzi wykres funkcji g: 

 

Funkcja h to funkcja stale równa -4. Rysujemy wykresy w jednym układzie współrzędnych. 

  

 

Funkcja f jest rosnąca, funkcja g jest malejąca, funkcja h jest stała. 

 

 

 

 

 

  

 

Funkcja f jest malejąca, funkcja g jest stała, funkcja h jest rosnąca. 

Narysuj kwadrat ABCD o boku długości 6...

 Rysujemy kwadrat  o boku długości  i wyznaczamy wektor  

Thumb zad4.72a1str115


Otrzymujemy:

 


Przesuwamy kwadrat  równolegle o wektor  {premium}

Thumb zad4.72a2str115


Obrazem kwadratu  w przesunięciu równoległym o wektor  jest kwadrat  



 Wyznaczamy wektor  

Thumb zad4.72b1str115


Otrzymujemy:

 


Przesuwamy kwadrat  równolegle o wektor  

Thumb zad4.72b2str115


Obrazem kwadratu  w przesunięciu równoległym o wektor  jest kwadrat  

Zapisz wyrażenie bez użycia ...

 

Wiemy, że:

Wyrażenie x+4 dla x<-4 przyjmuje wartości ujemne, zatem:

 

Wyrażenie x+2 dla x<-4 przyjmuje wartości ujemne, zatem:

 

Dla x<-4 mozemy więc zapisać podane wyrażenie jako:

 

 

  

Wiemy, że:

Wyrażenie -x+1 dla x<-1 przyjmuje wartości dodatnie, zatem:

   

Wyrażenie x-5 dla x<-1 przyjmuje wartości ujemne, zatem:

  

Dla x<-1 możemy więc zapisać podane wyrażenie jako:

 

Na rysunku obok cztery jednakowe...

Wykonajmy rysunek pomocniczy:   {premium}



wiemy, że:

a- długość promienia zielonego okręgu

 

 


Obliczmy długość średnicy zielonego okręgu:

 

Oblicz

{premium}

 

 

 

Oblicz

`b)\ 3root(3)(-0,125)-2root(3)(-125)=3*(-0,5)-2*(-5)=-1,5+10=8,5`{premium}

Rozwiąż trójkąt prostokątny...

Brakującą długość przyprostokątnej oznaczymy literą a natomiast brakującą długość przeciwprostokątnej oznaczymy literą c.

 

 

 

 

Z twierdzenia Pitagorasa:

 

 

 

 

 

Miara drugiego kąta ostrego to:

 

 

 

 

 

Z twierdzenia Pitagorasa:

  

 

 

 

Miara drugiego kąta ostrego to:

 

 

c) W tym przykładzie oznaczymy przyprostokątną leżącą naprzeciwko kąta 55o literą b natomiast drugą przyprostokątną literą a.

  

 

 

 

 

 

Miara drugiego kąta ostrego to: