Bryły obrotowe - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Puszczamy walec o promieniu r=50 cm z 1000 metrowej górki. Zakładając, że zatrzymamy go na 1000 m, ile obrotów zrobi? Przyjmij $$π=3,14$$.

Promień jest w centymetrach,a górkę liczymy w metrach.

Pierwsze co w takim wypadku robimy to ustalamy wspólną jednostkę, ja wezmę metry:

$$R=50 cm=0,5 m$$
Jeden obrót walca to przeturlanie się po jego całym obwodzie.

Zatem musimy obliczyć obwód koła (nie powierzchnie boczną!)

Obw$$=2πr=2π×0,5=π$$

Zatem podczas jednego obrotu zrobi zgodnie z warunkami 3,14 m

No to pozostało obliczyć ile obrotów

ilość obrotów$$={1000}/{π}≈{1000}/{3,14}≈318,47$$

Walec zrobi 318 pełnych obrotów

Zadanie 2.

Objętość stożka jest równa $$V=200π cm^3$$, znajdź tworzącą stożka, jeśli promień r=5 cm

Wzór na objętość:

$$V=1/3 P_p×H$$

Potrzebujemy Pola Podstawy to liczymy

$$P_p=πr^2=π5^2=25π$$

Teraz bez problemu obliczymy wysokość

$$V=1/3 P_p×H$$

Podmieniamy:

$$200π=1/3 25π×H$$ $$|×3$$

$$600π=25πH$$ $$|:25π$$

$$H=24$$

Nanieśmy wartości na rysunek:

rys1

No to jak widać pozostaje nam użyć Twierdzenia Pitagorasa:

$$5^2+{24}^2=l^2$$

$$l^2=25+576$$

$$l^2=601$$

No i dostaliśmy liczbę pierwszą, więc to jest rozwiązanie. Liczba pierwsza dzieli się tylko przez 1 i przez samą siebie

$$l=√601$$

Zadanie 3.

Jak zwiększy się objętość kuli jeśli jej promień zwiększymy trzykrotnie?

Standardowe zadanie na "przed i po". Zróbmy tym razem tabelkę:

tab1
Gdy nie ma czasu na tabelkę, wystarczy zauważyć, że licząc objętość podnosimy $$3r$$ do trzeciej potęgi, więc objętość będzie $$3^3=27$$ razy większa.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Rozwiąż nierówność.

`a)` 

`||x+3|-4|<5` 

`|x+3|-4<5\ \ \wedge\ \ \|x+3|-4> -5`   

`|x+3|<9\ \ \wedge\ \ \|x+3|> -1` 

`x<6\ \ \wedge\ \ \x> -12\ \ \wedge(x> -4\ \ \vv\ \ \x<-2)` 

`x<6\ \ \wedge\ \ \x> -12\ \ \wedge \ \ \ x in RR` 

`x in (-12;6)`    

 

`b)` 

`|x-2|+|x+2|<=2` 

`x-2>0\ implies x>2` 

`x+2>0\ implies \ x> -2` 

 

`"I".\ x in (-oo;-2)` 

`-x+2-x-2<=2` 

`-2x<=2` 

`x>=1notin (-oo;-2)`   

 

`"II".\ x in [-2;2]` 

`-x+2+x+2<=2` 

`4<=2` 

`"Sprzeczność."` 

 

`"III."\ x in (2;+oo)` 

`x-2+x+2<=2` 

`2x<=2` 

`x<=1 notin (2+oo)`    

 

`"Równanie jest sprzeczne - brak rozwiązań."` 

 

`c)` 

`|x-3|+|x-5|>=2` 

`x-3>0\ implies x>3` 

`x-5>0\ implies x>5` 

 

`"I".\ x in (-oo;3)` 

`-x+3-x+5>=2` 

`-2x>=-6` 

`x<=3` 

`x in (-oo;3)` 

 

`"II".\ x in [3;5]` 

`x-3-x+5>=2` 

`2>=2` 

`"Równanie tożsamościowe."` 

`x in [3;5]` 

 

`"III".\ x in (5;+oo)` 

`x-3+x-5>=2` 

`2x>=10` 

`x>=5` 

`x in (5;+oo)` 

`"Podsumowując:"\ x in RR.` 

 

Dane są funkcje f(x)= ...

`f(x)=x^2+6x+9` 

`g(x)=(x-3)^2` 

 

`f(x)=x^2+6x+9=(x+3)^2` 

`g(x)=(x-3)^2=(-1)^2*(3-x)^2=(3-x)^2=f(-x)`  

`g(x)=f(-x)` 

 

`"Odpowiedź B."`   

 

Profesor pracował 6 dni nad pewnym projektem

`x \ -\ "stawka dzienna profesora"`

`y\ -\ "stawka dzienna asystenta"`

 

`{(6x+5y=1560\ \ \ |*2), (4x+3y=1000\ \ \ |*(-3)):}`

`{(12x+10y=3120), (-12x-9y=-3000):}\ \ \ |+`

`y=120`

`{(y=120), (4x+3*120=1000\ \ \ |:4):}`

`{(y=120), (x+3*30=250):}`

`{(y=120), (x+90=250\ \ \ |-90):}`

`{(y=120), (x=160):}`

 

W tabeli przedstawiono wyniki sondażu

`a)` 

Obliczamy, o ile punktów procentowych wzrosło poparcie dla partii Y: 

`20%-16%=4%` 

ODP: Poparcie dla partii Y wzrosło o 4 punkty procentowe. 

 

 

Teraz obliczamy, o ile procent wzrosła liczba osób popierających partię Y: 

`(20%-16%)/(16%)=` `(4%)/(16%)=4/16=1/4=25/100=25%` 

ODP: Liczba osób popierających partię Y wzrosła o 25%

 

 

 

`b)` 

Obliczamy, o ile punktów procentowych zmalało poparcie dla partii Z: 

`10%-8%=2%` 

ODP: Poparcie dla partii Z zmalało o 2 punkty procentowe. 

 

 

Obliczamy, o ile procent zmalała liczba osób popierających partię Z: 

`(10%-8%)/(10%)=(2%)/(10%)=2/10=20/100=20%` 

ODP: Liczba osób popierających partię Z zmalała o 20%.

Punkty A i B są punktami przecięcia ...

`a)` 

`K:y=2x-4` 

`x=0` 

`y=-4` 

`A=(0;-4)`    

 

`y=0` 

`0=2x-4` 

`x=2`   

`B=(2;0)` 

 

`l:y=2x+2`  

`l:2x-y+2=0` 

`C=(x;2x+2)` 

 

Odległość prostej k od prostej l jest wysokością trójkąta ABC poprowadzonej na bok AB.

Obliczmy tę odległość wykorzystując punkt A i prostą l.

`h=|-4*(-1)+2|/sqrt(2^2+(-1)^2)=6/sqrt5` 

`|AB|=sqrt(2^2+4^2)=sqrt20=2sqrt5` 

`P_(ABC)=1/2*h*|AB|=1/2*6/sqrt5*2sqrt5=ul(6` 

 

`b)`      

`k:y=1/2x-6` 

`x=0\ implies\ y=-6` 

`A=(0;-6)` 

 

`y=0\ implies\ x=12` 

`B=(12;0)` 

 

`l:y=1/2x-1`  

`l:1/2x-y-1=0` 

Zauważmy że proste k i l są równoległe. Odległość między nimi jest równa wysokości równoległoboku ABCD

opuszczonej na bok AB. Obliczmy tę odległość wykorzystując punkt A i prostą l.

`h=|-6*(-1)-1|/sqrt((1/2)^2+(-1)^2)=5/sqrt(5/4)=10/sqrt5`  

`|AB|=sqrt(12^2+6^2)=sqrt180=3sqrt20=6sqrt5` 

`P_(ABCD)=|AB|*h=6sqrt5*10/sqrt5=60`      

Dane są funkcje f(x)= ...

`a)` 

`f(x)=-2x^2-8x-4=-2(x^2+4x+4-2)=-2(x+2)^2+4`  

`g(x)=f(-x)` 

`g(x)=-2(-x+2)^2+4=-2(x-2)^2+4` 

 

`b)` 

`f(x)>=g(x)` 

`x in (-oo;0]` 

Dane są cztery różne punkty...

a) Każde dwa punkty są współliniowe, a więc przez każde dwa punkty możemy poprowadzić prostą. Jeżeli punktów jest n to z każdego punktu będzie poprowadzone n-1 prostych. Jeżeli punktów jest n to wyrażenie opisujące tę zależność ma postać:

`n*(n-1)` 

 

Zauważmy jednak, że skoro poprowadziliśmy prostą z punktu A do B, to również prowadzimy prostą z punktu B do punktu A. Zatem musimy nasz wzór podzielić przez 2.

`(n(n-1))/2` 

 

Skoro mamy 4 punkty to prostych będzie:

`(4*(4-1))/2 = (4*3)/2 = 12/2 = 6` 

 

b) W przypadku b zauważmy, że prowadząc półproste poprowadzone z punktu A do punktu B i z punktu B do punktu A to nie są te same półproste, zatem wyrażenie:

`n*(n-1)` 

opisuje liczbę tych półprostych.

 

Jeżeli mamy 4 punkty to półprostych jest:

`4*(4-1) = 4*3 = 12` 

Kwadrat K1 jest obrazem kwadratu ...

`a)` 

`P-"środek jednokładności"` 

`P=(x;y)` 

`a-"bok kwadratu"\ K_1` 

`b-"bok kwadratu"\ K_2` 

`k=a/b=2/4=ul(1/2`  

`A-"ustalony wierzchołek kwadratu"\ K_1`   

`A'-"ustalony wierzchołek kwadratu"\ K_2\ "odpowiadający wierzchołkowi A w"\ K_1` 

`A=(2;3)` 

`A'=(-2;-1)` 

 

`vec(A'P)=1/2vec(AP)` 

`[x+2;y+1]=1/2[x-2;y-3]`  

`x+2=1/2x-1\ implies\ x=-6` 

`y+1=1/2y-3/2\ implies\ y=-5`     

`ul(P=(-6;-5)`  

 

`"lub"` 

 

`k=-a/b=-1/2` 

`P=(-2;-1)` 

 

`b)` 

`P-"środek jednokładności"` 

`P=(x;y)`  

`a-"bok kwadratu"\ K_1` 

`b-"bok kwadratu"\ K_2` 

`k=a/b=4/2=ul(2`  

`A-"ustalony wierzchołek kwadratu"\ K_1`   

`A'-"ustalony wierzchołek kwadratu"\ K_2\ "odpowiadający wierzchołkowi A w"\ K_1` 

`A=(2;3)` 

`A'=(3;-1)`  

 

`kvec(A'P)=vec(AP)` 

`2[x-3;y+1]=[x-2;y-3]`  

`2x-6=x-2\ implies\ x=4`  

`2y+2= y-3\ implies\ y=-5`     

`ul(P=(4;-5)`   

 

`"lub"` 

 

`k=-a/b=-2` 

`P=(4;-1)` 

Naszkicuj wykres funkcji

`a)` 

Aby otrzymać wykres funkcji f, należy najpierw przesunąć wykres funkcji y=x² przesunąć o 3 jednostki w prawo wzdłuż osi OX oraz o 4 jednostki w dół wzdłuż osi OY. 

Następnie należy odbić symetrycznie względem osi OY tę część otrzymanego wykresu, która znajduje się po prawej stronie osi OY. 

`y=x^2\ \ \ \ #(->)^(vecu=[3;\ -4])\ \ \ \ y=(x-3)^2-4\ \ \ \ #(->)^(S_(OY)^+)\ \ \ \ f(x)=(|x|-3)^2-4`  

 

Wykonujemy pierwsze przekształcenie:

 

 

 

Wykonujemy drugie przekształcenie, otrzymując szukany wykres:

 

 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`  

 

`b)` 

Aby otrzymać wykres funkcji f, należy najpierw przesunąć wykres funkcji y=x² przesunąć o 2 jednostki w lewo wzdłuż osi OX. 

 

Następnie należy odbić symetrycznie względem osi OY tę część otrzymanego wykresu, która znajduje się po prawej stronie osi OY. 

`y=x^2\ \ \ \ #(->)^(vecu=[-2;\ 0])\ \ \ \ y=(x+2)^2\ \ \ \ #(->)^(S_(OY)^+)\ \ \ \ f(x)=(|x|+2)^2` 

 

Wykonujemy pierwsze przekształcenie:

 

Wykonujemy drugie przekształcenie, otrzymując szukany wykres:

 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

 

 

`c)` 

`f(x)=(1-|x|)^2-4=(-|x|+1)^2-4` 

Aby otrzymać wykres funkcji f, należy najpierw przesunąć wykres funkcji y=-x² przesunąć o 1 jednostkę w lewo wzdłuż osi OX oraz o 4 jednostki w dół wzdłuż osi OY. 

 

Następnie należy odbić symetrycznie względem osi OY tę część otrzymanego wykresu, która znajduje się po prawej stronie osi OY. 

`y=-x^2\ \ \ \ #(->)^(vecu=[-1;\ -4])\ \ \ \ y=(-x+1)^2-4 \ \ \ #(->)^(S_(OY)^+)\ \ \ \ f(x)=(-|x|+1)^2-4` 

 

Wykonujemy pierwsze przekształcenie:

Wykonujemy drugie przekształcenie, otrzymując szukany wykres:

Kapitał w wysokości 5000 zł został złożony w banku

`a)\ 5000+2%*5000=` `5000+2/strike100^1*strike5000^50=` 

`\ \ \ =5000+100=5100\ "zł"` 

 

`b) \ 5000+3,5%*5000=` `5000+0,035*5000=` 

`\ \ \ =5000+175=5175\ "zł"` 

 

`c)\ 5000+4%*5000=5000+4/strike100^1*strike5000^50=`  

`\ \ \ =5000+200=5200\ "zł"`