Błąd względny i bezwzględny - matura-podstawowa - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Błąd względny i bezwzględny - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Błąd względny i bezwzględny

Pomiary są stosowane od zawsze, budowa, architektura, elektronika, fizyka czy życie codzienne nie mogą się bez nich obyć. Wszystko co mierzymy ma wartość, której dokładnie nie znamy, dlatego stosujemy najczęściej wartość przybliżoną.

Często nie jesteśmy w stanie zmierzyć jakiegoś zjawiska czy przedmiotu. Możemy zrzucić piłkę z 20m:
- licząc sekundy głośno wyjdzie nam 5s,
- używając stopera zatrzymamy go na 4,44s
- z kolei mając dostarczone dane, odczytujemy, że powinna spadać 4,1s.

Zatem pomyliliśmy się w naszych testach, jednakże możemy je wykonać ponownie i za każdym razem porównywać wyniki z wartością dokładną.

Błąd bezwzględny

W celu policzenia błędu bezwzględnego musimy znać wartość dokładną oraz przybliżoną, oznaczmy je jako:

d - wartość dokładna

p - wartość przybliżona

b - błąd

Oczywiście dobrane litery (zmienne) możemy mieć dowolne. Skorzystamy ze wzoru:

$b=|d-p|$

Najzwyczajniej w świecie liczymy różnicę pomiędzy naszym pomiarem, a wartością dokładną, jednakże korzystamy z wartości bezwzględnej. Uzasadnienie jest proste: nie możemy uzyskać błędu o wartości ujemnej (np.: "Te drzewa się różnią się o minus trzy metry"). Dla przypomnienia: wartość bezwzględna zawsze daje wynik dodatni lub 0, więcej o niej opowiemy w następnych działach (wpisz w naszą portalową wyszukiwarkę "wartość bezwzględna").

Przykład:

Odczytaliśmy z termometru za oknem temperaturę $-15,2 ^{o}C$. Termometr elektroniczny umieszczony tuż obok wskazuje temperaturę $-15,39 ^{o}C$. Jaki jest błąd bezwzględny naszego pomiaru?

$d=15,39$ -> W trakcie obliczeń opuszczę dla wygody jednostki, czyli tym razem stopnie Celsjusza.

$p=15,2$

$b=|d-p|$

$b=|-15,39-(-15,2)|$ -> pamiętamy, że dwa minusy dają plus

$b=|-15,39+15,2|=|-0,19|=0,19$ -> opuszczając wartość bezwzględną z liczby ujemnej zawsze mamy dodatnią

zatem błąd względny to:

$b=0,19^{o}C$
 

Błąd względny

Przy błędzie bezwzględnym liczyliśmy dokładną różnicę pomiędzy pomiarami, w przypadku względnego stosujemy różnicę procentową, zatem wystarczy policzyć o ile procent zaszła pomyłka. Bez wartości błędu bezwzględnego nie obliczymy wartości błędu względnego.

Dobierzmy odpowiedni wzór stosując oznaczenia:

d - wartość dokładna

bb - błąd względny

b - błąd bezwzględny

$bb=b/d×100%$
 

Przykład:

Tomek oszacował wysokość drzewa na działce na 7,5m. Założył się z Markiem o butelkę Coli , że pomylił się maksymalnie o 10%. Zmierzyli wysokość drzewa, która wynosiła 6,5m. Kto wygrał zakład?

Zaczynamy w tym wypadku od błędu bezwzględnego. Liczymy:

b - błąd bezwzględny

d - wartość dokładna

p - pomiar

$b=|d-p|$

$b=|7,5-6,5|=1m$

Jak widać tutaj wartość bezwzględna nam nic nie zmienia.

Mamy błąd bezwzględny, zatem teraz policzymy błąd względny.

$bb=b/d×100%$

$bb=1/{6,5}×100%$

$bb={100}/{6,5}%$

Rozszerzmy razy 10 nasz ułamek: $bb={1000}/{65}%≈15,39%$

Zatem zakład wygrał Marek, $15,39%$ to więcej niż $10%$.

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Zmierzyliście ścianę w Waszej klasie, miała 2,47m, jednakże na planie szkoły, napisano, że ma 2600mm, jaki jest błąd względny i bezwzględny Waszego pomiaru? (Uwaga! Wartości na planach zapisywane są w mm).

Zacznijmy od wypisania danych, przyjmę takie same oznaczenia jak w przykładzie. Pamiętamy o zamianie jednostek na jednakową!

$d=2600mm=260cm=2,6m$

$p=2,47m$

$b=|d-p|=|2,6-2,47|=0,13m$

Błąd bezwzględny to $0,13m$

Obliczmy i względny

$bb={0,13}/{2,6}×100%$

$bb={13}/{2,6}%$

$bb=5%$

Odp: Błąd bezwzględny to $0,13m$ , a względny $5%$  

Zadanie 2.

Na festiwalu odbył się konkurs. Trzeba było zgadnąć ile kuleczek jest w słoiku. Nowak odpowiedział, że 356. Kowalski, że 445, a Piłkowski 375. W słoiku było 405 kulek. Za pomocą błędu bezwzględnego wyznacz zwycięzcę, oblicz o ile procent się pomylił.

Oznaczmy:

p - Pomiar Piłkowskiego

k - Pomiar Kowalskiego

n - Pomiar Nowaka

d - ilość dokładna

Policzmy po kolei błędy względne

Nowak:

$b_n=|d-n|=|405-356|=49$

Kowalski:

$b_k=|d-k|=|405-445|=|-40|=40$

Piłkowski:

$b_p=|d-p|=|405-375|=30$

Jak widzimy Piłkowski wygrał, zatem obliczmy o ile % się pomylił

$bb={30}/{405}×100%$

$bb={3000}/{405}%$

$bb={600}/{81}%$ -> skróciliśmy razy 5

$bb={200}/{27}%$ -> skróciliśmy razy 3

$bb={200}/{27}%≈7,4%$

Zadanie 3.

Trzy różne osoby rzuciły piłkę z okna i zatrzymały stoper w momencie uderzenia o ziemię. Ich pomiary to: 3,25s ; 4,5s ; 4s. Czas spadku piłki to 4s. Oblicz średni względny błąd pomiaru.

Zadanie Combo, musimy policzyć aż 6 błędów (3 względne i 3 bezwzględne) oraz policzyć ich średnią, to zaczynamy!

Oznaczmy czasy jako:

$a=3,25s $

$e=4,5s $ -> celowo ominąłem b, żeby nie mylić z błędem bezwzględnym

$c=4s $

$d=4s $

Liczymy błędy bezwzględne

$ba=|4s-3,25s|=0,75s$

$be=|4s-4,5s|=|-0,5s|=0,5s$

$bc=|4s-4s|=0s$

Liczymy względne

$bba={0,75s}/{4s}×100%$

$bba={75}/{4}%$

$bba=18,75%$

Kolejny:

$bbe={0,5s}/{4s}×100%$

$bbe={50}/{4}%$

$bbe=12,5%$

I ostatni:

$bbc=0s/4s×100%$

$bbc=0%$ -> strzelec wyborowy :)

Pozostaje nam obliczyć średnią, średnia to suma elementów przez ich ilość, więc

$BBśr={18,75+12,5+0}/{3}%={31,25}/{3}%≈10,42%$

Zatem średni błąd względny to: $10,42%$
 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Oblicz...

Pole trójkąta o boku a i wysokości h opuszczonej na ten bok wyraża się wzorem:

 

a) Podstawa ma długość 8, wysokość opuszczona na tę podstawę ma długość 4.

{premium}

 

 

b) Podstawa ma długość 6, wysokość opuszczona na przedłużenie podstawy ma długość 4.

 

 

c) Podstawa ma długość 5, wysokość opuszczona na przedłużenie podstawy ma długość 4.

 

 

d) Podstawa ma długość 3, wysokość opuszczona na przedłużenie podstawy ma długość 9.

Wyjaśnij, co oznaczają współrzędne ...

  

 

{premium}    

   

 

   

  

 

   

   

Wiedząc, że...

 

{premium}  

 

 

A więc:

 

A więc:

 

 

 

 

 

Wyznacz zbiory

{premium}  

Zbiór A to zbiór kolejnych potęg liczby 3 (o wykładniku naturalnym dodatnim). 

 

 

Zbiór B to zbiór dodatnich liczb naturalnych podzielnych przez 9. 

 

Zauważmy, że wszystkie elementy zbioru A poza liczbą 3 to wielokrotności liczby 9, więc wszystkie elementy zbioru A (poza liczbą 3) należą do zbioru B. 

 

 

Wiemy już, że jedyny element zbioru A, który nie należy do zbioru B, to element 3. 

 

 

 

 

 

Która z liczb jest większa: x czy y?

 

  {premium}

 

 

 


 

  

 

 

    

Oblicz:

Skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów:

 


 


 {premium}


 


 


 


 


 


 

Która z podanych liczb jest równa sumie

 

Z podanej zależności wyznacz ...

 

Wyznaczamy .

 

 

 

 

 {premium}


 

Wyznaczamy .

 

 

 

 

 

 


 

Wyznaczamy .

 

 

 


 

Wyznaczamy .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Prostą prostopadłą do prostej o równaniu

Iloczyn współczynników kierunkowych prostych prostopadłych jest równy -1. Szukamy współczynnika kierunkowego tej prostej. 

 

 

Wartość współczynnika b obliczymy podstawiając współrzędne punktu A do powyższego równania: 

{premium}

 

Mamy więc równanie kierunkowe prostej prostopadłej: 

 

Wyznaczmy jeszcze równania kierunkowe prostych B oraz C, aby upewnić się, że te odpowiedzi nie są poprawne:

 

 

 

Prawidłowa jest tylko odpowiedź D.  

Na rysunku przedstawiono kolejne etapy ...

   

 {premium}

  

 

``