Błąd względny i bezwzględny - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Błąd względny i bezwzględny

Pomiary są stosowane od zawsze, budowa, architektura, elektronika, fizyka czy życie codzienne nie mogą się bez nich obyć. Wszystko co mierzymy ma wartość, której dokładnie nie znamy, dlatego stosujemy najczęściej wartość przybliżoną.

Często nie jesteśmy w stanie zmierzyć jakiegoś zjawiska czy przedmiotu. Możemy zrzucić piłkę z 20m:
- licząc sekundy głośno wyjdzie nam 5s,
- używając stopera zatrzymamy go na 4,44s
- z kolei mając dostarczone dane, odczytujemy, że powinna spadać 4,1s.

Zatem pomyliliśmy się w naszych testach, jednakże możemy je wykonać ponownie i za każdym razem porównywać wyniki z wartością dokładną.

Błąd bezwzględny

W celu policzenia błędu bezwzględnego musimy znać wartość dokładną oraz przybliżoną, oznaczmy je jako:

d - wartość dokładna

p - wartość przybliżona

b - błąd

Oczywiście dobrane litery (zmienne) możemy mieć dowolne. Skorzystamy ze wzoru:

$$b=|d-p|$$

Najzwyczajniej w świecie liczymy różnicę pomiędzy naszym pomiarem, a wartością dokładną, jednakże korzystamy z wartości bezwzględnej. Uzasadnienie jest proste: nie możemy uzyskać błędu o wartości ujemnej (np.: "Te drzewa się różnią się o minus trzy metry"). Dla przypomnienia: wartość bezwzględna zawsze daje wynik dodatni lub 0, więcej o niej opowiemy w następnych działach (wpisz w naszą portalową wyszukiwarkę "wartość bezwzględna").

Przykład:

Odczytaliśmy z termometru za oknem temperaturę $$-15,2 ^{o}C$$. Termometr elektroniczny umieszczony tuż obok wskazuje temperaturę $$-15,39 ^{o}C$$. Jaki jest błąd bezwzględny naszego pomiaru?

$$d=15,39$$ -> W trakcie obliczeń opuszczę dla wygody jednostki, czyli tym razem stopnie Celsjusza.

$$p=15,2$$

$$b=|d-p|$$

$$b=|-15,39-(-15,2)|$$ -> pamiętamy, że dwa minusy dają plus

$$b=|-15,39+15,2|=|-0,19|=0,19$$ -> opuszczając wartość bezwzględną z liczby ujemnej zawsze mamy dodatnią

zatem błąd względny to:

$$b=0,19^{o}C$$
 

Błąd względny

Przy błędzie bezwzględnym liczyliśmy dokładną różnicę pomiędzy pomiarami, w przypadku względnego stosujemy różnicę procentową, zatem wystarczy policzyć o ile procent zaszła pomyłka. Bez wartości błędu bezwzględnego nie obliczymy wartości błędu względnego.

Dobierzmy odpowiedni wzór stosując oznaczenia:

d - wartość dokładna

bb - błąd względny

b - błąd bezwzględny

$$bb=b/d×100%$$
 

Przykład:

Tomek oszacował wysokość drzewa na działce na 7,5m. Założył się z Markiem o butelkę Coli , że pomylił się maksymalnie o 10%. Zmierzyli wysokość drzewa, która wynosiła 6,5m. Kto wygrał zakład?

Zaczynamy w tym wypadku od błędu bezwzględnego. Liczymy:

b - błąd bezwzględny

d - wartość dokładna

p - pomiar

$$b=|d-p|$$

$$b=|7,5-6,5|=1m$$

Jak widać tutaj wartość bezwzględna nam nic nie zmienia.

Mamy błąd bezwzględny, zatem teraz policzymy błąd względny.

$$bb=b/d×100%$$

$$bb=1/{6,5}×100%$$

$$bb={100}/{6,5}%$$

Rozszerzmy razy 10 nasz ułamek: $$bb={1000}/{65}%≈15,39%$$

Zatem zakład wygrał Marek, $$15,39%$$ to więcej niż $$10%$$.

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Zmierzyliście ścianę w Waszej klasie, miała 2,47m, jednakże na planie szkoły, napisano, że ma 2600mm, jaki jest błąd względny i bezwzględny Waszego pomiaru? (Uwaga! Wartości na planach zapisywane są w mm).

Zacznijmy od wypisania danych, przyjmę takie same oznaczenia jak w przykładzie. Pamiętamy o zamianie jednostek na jednakową!

$$d=2600mm=260cm=2,6m$$

$$p=2,47m$$

$$b=|d-p|=|2,6-2,47|=0,13m$$

Błąd bezwzględny to $$0,13m$$

Obliczmy i względny

$$bb={0,13}/{2,6}×100%$$

$$bb={13}/{2,6}%$$

$$bb=5%$$

Odp: Błąd bezwzględny to $$0,13m$$ , a względny $$5%$$  

Zadanie 2.

Na festiwalu odbył się konkurs. Trzeba było zgadnąć ile kuleczek jest w słoiku. Nowak odpowiedział, że 356. Kowalski, że 445, a Piłkowski 375. W słoiku było 405 kulek. Za pomocą błędu bezwzględnego wyznacz zwycięzcę, oblicz o ile procent się pomylił.

Oznaczmy:

p - Pomiar Piłkowskiego

k - Pomiar Kowalskiego

n - Pomiar Nowaka

d - ilość dokładna

Policzmy po kolei błędy względne

Nowak:

$$b_n=|d-n|=|405-356|=49$$

Kowalski:

$$b_k=|d-k|=|405-445|=|-40|=40$$

Piłkowski:

$$b_p=|d-p|=|405-375|=30$$

Jak widzimy Piłkowski wygrał, zatem obliczmy o ile % się pomylił

$$bb={30}/{405}×100%$$

$$bb={3000}/{405}%$$

$$bb={600}/{81}%$$ -> skróciliśmy razy 5

$$bb={200}/{27}%$$ -> skróciliśmy razy 3

$$bb={200}/{27}%≈7,4%$$

Zadanie 3.

Trzy różne osoby rzuciły piłkę z okna i zatrzymały stoper w momencie uderzenia o ziemię. Ich pomiary to: 3,25s ; 4,5s ; 4s. Czas spadku piłki to 4s. Oblicz średni względny błąd pomiaru.

Zadanie Combo, musimy policzyć aż 6 błędów (3 względne i 3 bezwzględne) oraz policzyć ich średnią, to zaczynamy!

Oznaczmy czasy jako:

$$a=3,25s $$

$$e=4,5s $$ -> celowo ominąłem b, żeby nie mylić z błędem bezwzględnym

$$c=4s $$

$$d=4s $$

Liczymy błędy bezwzględne

$$ba=|4s-3,25s|=0,75s$$

$$be=|4s-4,5s|=|-0,5s|=0,5s$$

$$bc=|4s-4s|=0s$$

Liczymy względne

$$bba={0,75s}/{4s}×100%$$

$$bba={75}/{4}%$$

$$bba=18,75%$$

Kolejny:

$$bbe={0,5s}/{4s}×100%$$

$$bbe={50}/{4}%$$

$$bbe=12,5%$$

I ostatni:

$$bbc=0s/4s×100%$$

$$bbc=0%$$ -> strzelec wyborowy :)

Pozostaje nam obliczyć średnią, średnia to suma elementów przez ich ilość, więc

$$BBśr={18,75+12,5+0}/{3}%={31,25}/{3}%≈10,42%$$

Zatem średni błąd względny to: $$10,42%$$
 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Punkty A, B, C należące do okręgu wyznaczają trójkąt...

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:

Thumb zad17str110


Mamy dane:

 


Korzystając z twierdzenia o kącie wpisanym i środkowym, opartych na tym samym łuku,

obliczamy miary kątów  {premium}

 

 

 


Obliczamy, jaką część kąta pełnego stanowią wyznaczone kąty:

 

 

 


W takim razie łuk  stanowi  obwodu okręgu, łuk  stanowi  obwodu okręgu,

a łuk  ma długość  obwodu okręgu.


Obliczamy obwód okręgu:

 

 


Obliczamy długości łuków wyznaczonych przez wierzchołki trójkąta  

 

 

 


Prawidłowa odpowiedź to B.

Które z podanych kątów...

 {premium}

 

 

 

 

Kątami ostrymi są  

Oblicz za pomocą wzorów skróconego ...

   

 

 

    

Korzystamy ze wzorów:

 

 

 

      

 

 

 

 

 

 

Zauważmy, że powyższe wyrażenie możemy zapisać za pomoca wzoru na sumę sześcianów:

  

W naszym przykładzie:

  

 

Stąd:

 

 

 

Zauważmy, że powyższe wyrażenie możemy zapisać za pomoca wzoru na różnicę sześcianów:

   

W naszym przykładzie:

  

  

Stąd:

  

Jola i Bartek wyruszyli jednocześnie...

 długość kroku Bartka

 ilość kroków, jaką robi Bartek w czasie  


 długość kroku Joli {premium}

 ilość kroków, jaką robi Jola w czasie  


Obliczamy odległość, jaką pokona Bartek w czasie  

 


Obliczamy odległość, jaką pokona Jola w czasie  

 


 


Oznacza to, że Jola w czasie  pokona większą odległość, zatem to ona szybciej dotrze do szkoły.

Rozwiąż układ równań metodą ...

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

  

     

Oblicz wartość wyrażenia

 

Obliczamy błąd względny przybliżenia:

 

Bank obniżył oprocentowanie lokaty z 7,2%...

Obliczamy, o ile punktów procentowych obniżono oprocentowanie kredytu:

 {premium}


Obliczamy, ile to punktów bazowych:

 


Odp. Bank zmniejszył oprocentowanie o  punktów bazowych.

Wyznacz sumę zbiorów A i B

{premium}

Jeśli równanie ma pierwiastki ...

 

 

 

{premium}

 

 

   

   

 

 

 

 

 

 

 

    

 

     

 

 

 

 

 

  

  

     

 

      

Doprowadź do najprostszej postaci wyrażenie

 

 

Obliczamy wartość wyrażenia dla podanej wartości x: