Błąd względny i bezwzględny - matura-podstawowa - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Błąd względny i bezwzględny - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Błąd względny i bezwzględny

Pomiary są stosowane od zawsze, budowa, architektura, elektronika, fizyka czy życie codzienne nie mogą się bez nich obyć. Wszystko co mierzymy ma wartość, której dokładnie nie znamy, dlatego stosujemy najczęściej wartość przybliżoną.

Często nie jesteśmy w stanie zmierzyć jakiegoś zjawiska czy przedmiotu. Możemy zrzucić piłkę z 20m:
- licząc sekundy głośno wyjdzie nam 5s,
- używając stopera zatrzymamy go na 4,44s
- z kolei mając dostarczone dane, odczytujemy, że powinna spadać 4,1s.

Zatem pomyliliśmy się w naszych testach, jednakże możemy je wykonać ponownie i za każdym razem porównywać wyniki z wartością dokładną.

Błąd bezwzględny

W celu policzenia błędu bezwzględnego musimy znać wartość dokładną oraz przybliżoną, oznaczmy je jako:

d - wartość dokładna

p - wartość przybliżona

b - błąd

Oczywiście dobrane litery (zmienne) możemy mieć dowolne. Skorzystamy ze wzoru:

$b=|d-p|$

Najzwyczajniej w świecie liczymy różnicę pomiędzy naszym pomiarem, a wartością dokładną, jednakże korzystamy z wartości bezwzględnej. Uzasadnienie jest proste: nie możemy uzyskać błędu o wartości ujemnej (np.: "Te drzewa się różnią się o minus trzy metry"). Dla przypomnienia: wartość bezwzględna zawsze daje wynik dodatni lub 0, więcej o niej opowiemy w następnych działach (wpisz w naszą portalową wyszukiwarkę "wartość bezwzględna").

Przykład:

Odczytaliśmy z termometru za oknem temperaturę $-15,2 ^{o}C$. Termometr elektroniczny umieszczony tuż obok wskazuje temperaturę $-15,39 ^{o}C$. Jaki jest błąd bezwzględny naszego pomiaru?

$d=15,39$ -> W trakcie obliczeń opuszczę dla wygody jednostki, czyli tym razem stopnie Celsjusza.

$p=15,2$

$b=|d-p|$

$b=|-15,39-(-15,2)|$ -> pamiętamy, że dwa minusy dają plus

$b=|-15,39+15,2|=|-0,19|=0,19$ -> opuszczając wartość bezwzględną z liczby ujemnej zawsze mamy dodatnią

zatem błąd względny to:

$b=0,19^{o}C$
 

Błąd względny

Przy błędzie bezwzględnym liczyliśmy dokładną różnicę pomiędzy pomiarami, w przypadku względnego stosujemy różnicę procentową, zatem wystarczy policzyć o ile procent zaszła pomyłka. Bez wartości błędu bezwzględnego nie obliczymy wartości błędu względnego.

Dobierzmy odpowiedni wzór stosując oznaczenia:

d - wartość dokładna

bb - błąd względny

b - błąd bezwzględny

$bb=b/d×100%$
 

Przykład:

Tomek oszacował wysokość drzewa na działce na 7,5m. Założył się z Markiem o butelkę Coli , że pomylił się maksymalnie o 10%. Zmierzyli wysokość drzewa, która wynosiła 6,5m. Kto wygrał zakład?

Zaczynamy w tym wypadku od błędu bezwzględnego. Liczymy:

b - błąd bezwzględny

d - wartość dokładna

p - pomiar

$b=|d-p|$

$b=|7,5-6,5|=1m$

Jak widać tutaj wartość bezwzględna nam nic nie zmienia.

Mamy błąd bezwzględny, zatem teraz policzymy błąd względny.

$bb=b/d×100%$

$bb=1/{6,5}×100%$

$bb={100}/{6,5}%$

Rozszerzmy razy 10 nasz ułamek: $bb={1000}/{65}%≈15,39%$

Zatem zakład wygrał Marek, $15,39%$ to więcej niż $10%$.

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Zmierzyliście ścianę w Waszej klasie, miała 2,47m, jednakże na planie szkoły, napisano, że ma 2600mm, jaki jest błąd względny i bezwzględny Waszego pomiaru? (Uwaga! Wartości na planach zapisywane są w mm).

Zacznijmy od wypisania danych, przyjmę takie same oznaczenia jak w przykładzie. Pamiętamy o zamianie jednostek na jednakową!

$d=2600mm=260cm=2,6m$

$p=2,47m$

$b=|d-p|=|2,6-2,47|=0,13m$

Błąd bezwzględny to $0,13m$

Obliczmy i względny

$bb={0,13}/{2,6}×100%$

$bb={13}/{2,6}%$

$bb=5%$

Odp: Błąd bezwzględny to $0,13m$ , a względny $5%$  

Zadanie 2.

Na festiwalu odbył się konkurs. Trzeba było zgadnąć ile kuleczek jest w słoiku. Nowak odpowiedział, że 356. Kowalski, że 445, a Piłkowski 375. W słoiku było 405 kulek. Za pomocą błędu bezwzględnego wyznacz zwycięzcę, oblicz o ile procent się pomylił.

Oznaczmy:

p - Pomiar Piłkowskiego

k - Pomiar Kowalskiego

n - Pomiar Nowaka

d - ilość dokładna

Policzmy po kolei błędy względne

Nowak:

$b_n=|d-n|=|405-356|=49$

Kowalski:

$b_k=|d-k|=|405-445|=|-40|=40$

Piłkowski:

$b_p=|d-p|=|405-375|=30$

Jak widzimy Piłkowski wygrał, zatem obliczmy o ile % się pomylił

$bb={30}/{405}×100%$

$bb={3000}/{405}%$

$bb={600}/{81}%$ -> skróciliśmy razy 5

$bb={200}/{27}%$ -> skróciliśmy razy 3

$bb={200}/{27}%≈7,4%$

Zadanie 3.

Trzy różne osoby rzuciły piłkę z okna i zatrzymały stoper w momencie uderzenia o ziemię. Ich pomiary to: 3,25s ; 4,5s ; 4s. Czas spadku piłki to 4s. Oblicz średni względny błąd pomiaru.

Zadanie Combo, musimy policzyć aż 6 błędów (3 względne i 3 bezwzględne) oraz policzyć ich średnią, to zaczynamy!

Oznaczmy czasy jako:

$a=3,25s $

$e=4,5s $ -> celowo ominąłem b, żeby nie mylić z błędem bezwzględnym

$c=4s $

$d=4s $

Liczymy błędy bezwzględne

$ba=|4s-3,25s|=0,75s$

$be=|4s-4,5s|=|-0,5s|=0,5s$

$bc=|4s-4s|=0s$

Liczymy względne

$bba={0,75s}/{4s}×100%$

$bba={75}/{4}%$

$bba=18,75%$

Kolejny:

$bbe={0,5s}/{4s}×100%$

$bbe={50}/{4}%$

$bbe=12,5%$

I ostatni:

$bbc=0s/4s×100%$

$bbc=0%$ -> strzelec wyborowy :)

Pozostaje nam obliczyć średnią, średnia to suma elementów przez ich ilość, więc

$BBśr={18,75+12,5+0}/{3}%={31,25}/{3}%≈10,42%$

Zatem średni błąd względny to: $10,42%$
 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Dane są dwie sumy algebraiczne ...

Wykonujemy mnożenie. {premium}

 

 


Odpowiedź: D

Wyłącz czynnik przed pierwiastek...

 {premium}


 


 


 


 


 


 


 


 


 


 


 


 


 


 

Rozwiąż nierówność

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

{premium}  

 

 

Wyrażenie pod pierwszą wartością bezwzględną przyjmuje wartość 0 dla x=3, a pod drugą - dla x=-3. 

Musimy rozpatrzeć trzy przypadki. 

 

 

 

 

 

 

 

Należy pamiętać, że rozpatrywaliśmy nierówność w zadanym przedziale:

 

 

 

 

 

 

 

Powyższa nierówność jest spełniona zawsze, więc cały zadany przedział jest rozwiązaniem nierówności. 

  

 

 

 

 

 

 

 

Należy pamiętać, że rozpatrywaliśmy nierówność w zadanym przedziale:

 

 

 

Biorąc sumę rozwiązań otrzymanych we wszystkich przypadkach otrzymujemy ostateczne rozwiązanie nierówności:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Musimy rozpatrzeć dwa przypadki:

 

 

 

 

 

 

 

Należy pamiętać, że rozpatrywaliśmy nierówność w zadanym przedziale:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Należy pamiętać, że rozpatrywaliśmy nierówność w zadanym przedziale:

 

 

Biorąc sumę rozwiązań otrzymanych we wszystkich przypadkach otrzymujemy ostateczne rozwiązanie nierówności:
  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Musimy rozpatrzeć trzy przypadki. 

 

 

 

 

  

  

Należy pamiętać, że rozpatrywaliśmy nierówność w zadanym przedziale:

  

 

 

 

  

 

 

 

 

Nierówność jest sprzeczna, więc w zadanym przedziale nierówność nie ma rozwiązania. 

 

 

 

 

 

  

 

 

Należy pamiętać, że rozpatrywaliśmy nierówność w zadanym przedziale:

 

 

Nierówność nie ma rozwiązania w żadnym z podanych przedziałów. 

 

Obrazem punktu A...

Zachodzi równość:

 {premium}

  

 

Stąd

 

 

 

 

Cenę towaru obniżono o 25%, a następnie

Oznaczmy sobie jako x początkową cenę towaru, a jako y cenę po przeprowadzonych zmianach. Cena po pierwszej obniżce stanowi zatem 75% ceny początkowej, czyli 0,75 x, cena po podwyżce stanowi 125% ceny 0,75 x, dlatego wynosi:

{premium}

Cena po zmianach stanowi 93,75 % ceny początkowej. Aby dowiedzieć się, o ile procent należy ją zwiększyć, aby wróciła do wartości ceny początkowej, musimy najpierw obliczyć, jaki procent ceny po zmianach stanowi cena początkowa. W tym celu przekształcamy zależność pomiędzy tymi cenami.

          

Cena początkowa stanowi około 106,(6) % ceny po zmianach, dlatego aby cena po obniżkach wróciła do ceny początkowej, należy ją zwiększyć o około 6,(6) %

O funkcji f wiadomo, że jej dziedziną...

Aby otrzymać wykres funkcji y=f(-x), należy{premium} przekształcić wykres funkcji y=f(x) przez symetrię względem osi y.

W takim razie dziedziną funkcji y=f(-x) jest przedział (-12, 3). Funkcja jest stała na przedziale <-3, 3) i malejąca w przedziale (-12, -3>.

Zapisz związki między długościami boków poniższych...

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa wiemy, że:

W trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.

Zapiszmy związki między długościami boków w kolejnych trójkątach prostokątnych:    {premium}

 

 

 

 

Znajdź wartość największą i wartość najmniejszą

Wyznaczmy współrzędne dwóch punktów należących do prostej y=2x+4:

 

Wyznaczmy współrzędne dwóch punktów należących do prostej y=2x-4:{premium}

 

Przez odpowiednie punkty rysujemy proste y=2x+4, y=2x-4, y=-2 oraz x=6 w jednym układzie współrzędnych. 

 

Zaznaczamy obszar znajdujący się jednocześnie pod prostą y=2x+4, nad prostą y=2x-4, nad prostą y=-2 oraz na lewo od prostej x=-6. 

 

Otrzymaliśmy czworokąt o wierzchołkach (-3, -2), (1; -2), (6; 8) oraz (6; 16). Obliczamy dla nich wartości sumy x+y:

 

 

 

 

Największa wartość tej sumy wynosi 22, a najmniejsza wynosi -5.

 

 

 

 

 

Wyznaczmy współrzędne dwóch punktów należących do prostej y=2x+9:

 

 

 

Wyznaczmy współrzędne dwóch punktów należących do prostej y=2x-6.   

  

 

 

Wyznaczmy współrzędne dwóch punktów należacych do prostej y=-x-3:

 

 

 

Wyznaczamy współrzędne dwóch punktów należących do prostej y=-½x+4:

  

 

 

Przez odpowiednie punkty prowadzimy proste. 

 

 

Zaznaczamy obszar spełniający układ nierówności (obszar znajduje się jednocześnie pod pierwszą prostą, nad drugą prostą, nad trzecią prostą oraz pod czwartą prostą). 

 

Otrzymaliśmy czworokąt o wierzchołkach (-4; 1), (1; -4), (4; 2) oraz (-2; 5).  Obliczamy dla nich wartości sumy x+y:

  

 

 

 

Największa wartość sumy wynosi 6, a najmniejsza wartość sumy wynosi -3. 

 

 

 

 

 

 

Przekształćmy pierwszą nierówność:

 

 

 

 

Przekształćmy drugą nierówność:

 

 

 

Wyznaczmy współrzędne dwóch punktów należących do prostej y=x+3:

 

 

 

 

Przekształćmy trzecią nierówność:

 

 

Wyznaczmy współrzędne dwóch punktów należących do prostej y=-x+7:

 

 

 

 

Przekształćmy czwartą nierówność:

 

 

 

Wyznaczmy współrzędne dwóch punktów należących do prostej y=-¹/₃x-1. 

 

 

 

 

Przez odpowiednie punkty prowadzimy proste. 

 

 

Zaznaczamy obszar spełniający układ nierówności (obszar znajdujący się jednocześnie na lewo od pierwszej prostej, pod drugą prostą, pod trzecią prostą oraz nad czwartą prostą):

 

Otrzymaliśmy czworokąt o wierzchołkach (-3; 0), (6; -3), (6; 1) oraz (2; 5). Obliczamy dla nich wartości sumy x+y:

 

 

 

 

Największa wartość sumy jest równa 7, a najmniejsza jest równa -3.  

 

Wykaż, że ...

Obie strony równania podnosimy do kwadratu. 

 

 


Mamy więc: {premium}

 

 

 

 

 

 


Zatem:

 

a) Dla jakich wartości m równanie...

 

Równanie kwadratowe ma dwa różne rozwiązania, gdy:{premium}

 

 

 

 

 

 

 


Niech x1, x2 będą rozwiązaniami równania. Załóżmy, że x1>x2.

Chcemy, by jedno rozwiązanie było większe od 2, a drugie mniejsze od 2. Stąd:

 

 

Liczby x1-2 i x2-2 mają przeciwne znaki, więc ich iloczyn jest ujemny. W takim razie powyższa koniunkcja jest równoważna nierówności:

 

 

 

Ze wzorów Viete'a obliczamy sumę i iloczyn pierwiastków równania:

 

 

Podstawiamy do nierówności x1+x2=-6 oraz x1x2=m.

 

 

 

 

Po uwzględnieniu warunku wynikającego z delty, otrzymujemy:

 



 

Równanie kwadratowe ma dwa różne rozwiązania, gdy:

 

 

 

 

 

 

 


Niech x1, x2 będą rozwiązaniami równania. Załóżmy, że x1>x2.

Chcemy, by jedno rozwiązanie było większe od -4, a drugie mniejsze od -4. Stąd:

 

 

Liczby x1+4 i x2+4 mają przeciwne znaki, więc ich iloczyn jest ujemny. W takim razie powyższa koniunkcja jest równoważna nierówności:

 

 

 

Ze wzorów Viete'a obliczamy sumę i iloczyn pierwiastków równania:

 

 

Podstawiamy do nierówności x1+x2=4 oraz x1x2=1-p.

 

 

 

 

 

Po uwzględnieniu warunku wynikającego z delty, otrzymujemy: