Błąd względny i bezwzględny - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Błąd względny i bezwzględny

Pomiary są stosowane od zawsze, budowa, architektura, elektronika, fizyka czy życie codzienne nie mogą się bez nich obyć. Wszystko co mierzymy ma wartość, której dokładnie nie znamy, dlatego stosujemy najczęściej wartość przybliżoną.

Często nie jesteśmy w stanie zmierzyć jakiegoś zjawiska czy przedmiotu. Możemy zrzucić piłkę z 20m:
- licząc sekundy głośno wyjdzie nam 5s,
- używając stopera zatrzymamy go na 4,44s
- z kolei mając dostarczone dane, odczytujemy, że powinna spadać 4,1s.

Zatem pomyliliśmy się w naszych testach, jednakże możemy je wykonać ponownie i za każdym razem porównywać wyniki z wartością dokładną.

Błąd bezwzględny

W celu policzenia błędu bezwzględnego musimy znać wartość dokładną oraz przybliżoną, oznaczmy je jako:

d - wartość dokładna

p - wartość przybliżona

b - błąd

Oczywiście dobrane litery (zmienne) możemy mieć dowolne. Skorzystamy ze wzoru:

$$b=|d-p|$$

Najzwyczajniej w świecie liczymy różnicę pomiędzy naszym pomiarem, a wartością dokładną, jednakże korzystamy z wartości bezwzględnej. Uzasadnienie jest proste: nie możemy uzyskać błędu o wartości ujemnej (np.: "Te drzewa się różnią się o minus trzy metry"). Dla przypomnienia: wartość bezwzględna zawsze daje wynik dodatni lub 0, więcej o niej opowiemy w następnych działach (wpisz w naszą portalową wyszukiwarkę "wartość bezwzględna").

Przykład:

Odczytaliśmy z termometru za oknem temperaturę $$-15,2 ^{o}C$$. Termometr elektroniczny umieszczony tuż obok wskazuje temperaturę $$-15,39 ^{o}C$$. Jaki jest błąd bezwzględny naszego pomiaru?

$$d=15,39$$ -> W trakcie obliczeń opuszczę dla wygody jednostki, czyli tym razem stopnie Celsjusza.

$$p=15,2$$

$$b=|d-p|$$

$$b=|-15,39-(-15,2)|$$ -> pamiętamy, że dwa minusy dają plus

$$b=|-15,39+15,2|=|-0,19|=0,19$$ -> opuszczając wartość bezwzględną z liczby ujemnej zawsze mamy dodatnią

zatem błąd względny to:

$$b=0,19^{o}C$$
 

Błąd względny

Przy błędzie bezwzględnym liczyliśmy dokładną różnicę pomiędzy pomiarami, w przypadku względnego stosujemy różnicę procentową, zatem wystarczy policzyć o ile procent zaszła pomyłka. Bez wartości błędu bezwzględnego nie obliczymy wartości błędu względnego.

Dobierzmy odpowiedni wzór stosując oznaczenia:

d - wartość dokładna

bb - błąd względny

b - błąd bezwzględny

$$bb=b/d×100%$$
 

Przykład:

Tomek oszacował wysokość drzewa na działce na 7,5m. Założył się z Markiem o butelkę Coli , że pomylił się maksymalnie o 10%. Zmierzyli wysokość drzewa, która wynosiła 6,5m. Kto wygrał zakład?

Zaczynamy w tym wypadku od błędu bezwzględnego. Liczymy:

b - błąd bezwzględny

d - wartość dokładna

p - pomiar

$$b=|d-p|$$

$$b=|7,5-6,5|=1m$$

Jak widać tutaj wartość bezwzględna nam nic nie zmienia.

Mamy błąd bezwzględny, zatem teraz policzymy błąd względny.

$$bb=b/d×100%$$

$$bb=1/{6,5}×100%$$

$$bb={100}/{6,5}%$$

Rozszerzmy razy 10 nasz ułamek: $$bb={1000}/{65}%≈15,39%$$

Zatem zakład wygrał Marek, $$15,39%$$ to więcej niż $$10%$$.

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Zmierzyliście ścianę w Waszej klasie, miała 2,47m, jednakże na planie szkoły, napisano, że ma 2600mm, jaki jest błąd względny i bezwzględny Waszego pomiaru? (Uwaga! Wartości na planach zapisywane są w mm).

Zacznijmy od wypisania danych, przyjmę takie same oznaczenia jak w przykładzie. Pamiętamy o zamianie jednostek na jednakową!

$$d=2600mm=260cm=2,6m$$

$$p=2,47m$$

$$b=|d-p|=|2,6-2,47|=0,13m$$

Błąd bezwzględny to $$0,13m$$

Obliczmy i względny

$$bb={0,13}/{2,6}×100%$$

$$bb={13}/{2,6}%$$

$$bb=5%$$

Odp: Błąd bezwzględny to $$0,13m$$ , a względny $$5%$$  

Zadanie 2.

Na festiwalu odbył się konkurs. Trzeba było zgadnąć ile kuleczek jest w słoiku. Nowak odpowiedział, że 356. Kowalski, że 445, a Piłkowski 375. W słoiku było 405 kulek. Za pomocą błędu bezwzględnego wyznacz zwycięzcę, oblicz o ile procent się pomylił.

Oznaczmy:

p - Pomiar Piłkowskiego

k - Pomiar Kowalskiego

n - Pomiar Nowaka

d - ilość dokładna

Policzmy po kolei błędy względne

Nowak:

$$b_n=|d-n|=|405-356|=49$$

Kowalski:

$$b_k=|d-k|=|405-445|=|-40|=40$$

Piłkowski:

$$b_p=|d-p|=|405-375|=30$$

Jak widzimy Piłkowski wygrał, zatem obliczmy o ile % się pomylił

$$bb={30}/{405}×100%$$

$$bb={3000}/{405}%$$

$$bb={600}/{81}%$$ -> skróciliśmy razy 5

$$bb={200}/{27}%$$ -> skróciliśmy razy 3

$$bb={200}/{27}%≈7,4%$$

Zadanie 3.

Trzy różne osoby rzuciły piłkę z okna i zatrzymały stoper w momencie uderzenia o ziemię. Ich pomiary to: 3,25s ; 4,5s ; 4s. Czas spadku piłki to 4s. Oblicz średni względny błąd pomiaru.

Zadanie Combo, musimy policzyć aż 6 błędów (3 względne i 3 bezwzględne) oraz policzyć ich średnią, to zaczynamy!

Oznaczmy czasy jako:

$$a=3,25s $$

$$e=4,5s $$ -> celowo ominąłem b, żeby nie mylić z błędem bezwzględnym

$$c=4s $$

$$d=4s $$

Liczymy błędy bezwzględne

$$ba=|4s-3,25s|=0,75s$$

$$be=|4s-4,5s|=|-0,5s|=0,5s$$

$$bc=|4s-4s|=0s$$

Liczymy względne

$$bba={0,75s}/{4s}×100%$$

$$bba={75}/{4}%$$

$$bba=18,75%$$

Kolejny:

$$bbe={0,5s}/{4s}×100%$$

$$bbe={50}/{4}%$$

$$bbe=12,5%$$

I ostatni:

$$bbc=0s/4s×100%$$

$$bbc=0%$$ -> strzelec wyborowy :)

Pozostaje nam obliczyć średnią, średnia to suma elementów przez ich ilość, więc

$$BBśr={18,75+12,5+0}/{3}%={31,25}/{3}%≈10,42%$$

Zatem średni błąd względny to: $$10,42%$$
 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Zapisz w postaci iloczynu

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne  

rownanie matematyczne   

 

Rozwiąż graficznie układ równań. Sprawdź otrzymane rozwiązanie

W każdym układzie przekształcamy równania do postaci kierunkowej. Dla każdej prostej wyznaczamy współrzędne dwóch punktów, które do niej należą (dzięki temu będziemy mogli narysować wykres, prowadząc prostą przez te punkty). 

 

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

 

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

 

 

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

 

Narysowane proste nie mają punktów wspólnych, więc układ jest sprzeczny - nie ma rozwiązania. 

 

 

Sprawdzamy metodą algebraiczną, że układ faktycznie jest sprzeczny: 

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

Pierwsze równanie jest sprzeczne, więc układ jest spreczny. 

 

 

rownanie matematyczne

 

 

 

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

 

Obydwa równania opisują tę samą prostą. Układ ma nieskończenie wiele rozwiązań - wszystkie leżą na narysowanej prostej. 

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

Układ jest nieoznaczony, ma nieskończenie wiele rozwiązań. Spełnia go każda taka para liczb, że: 

rownanie matematyczne

 

Sprawdzamy metodą algebraiczną, że układ faktycznie jest nieoznaczony:

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

Druga równość jest zawsze prawdziwa, więc układ jest nieoznaczony.

 

 

rownanie matematyczne

 

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

 

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

 

 

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

 

rownanie matematyczne

 

Sprawdzamy, podstawiając do początkowego układu równań: 

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

Równości zachodzą, więc rozwiązanie jest poprawne. 

 

rownanie matematyczne

 

 

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

 

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

 

 

rownanie matematyczne

 

Sprawdzamy, podstawiając do początkowego układu równań: 

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

Równości zachodzą, więc rozwiązanie jest poprawne. 

 

 

rownanie matematyczne

 

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

 

 

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

 

 

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

 

 

Narysowane proste nie mają punktów wspólnych, więc układ jest sprzeczny - nie ma rozwiązania. 

 

 

 

Sprawdzamy metodą algebraiczną, że układ faktycznie jest sprzeczny: 

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

Druga równość jest nieprawdziwa, więc układ jest sprzeczny. 

 

 

rownanie matematyczne

 

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

 Obydwa równania opisują tę samą prostą. Układ ma nieskończenie wiele rozwiązań - wszystkie leżą na narysowanej prostej. 

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

Układ jest nieoznaczony, ma nieskończenie wiele rozwiązań. Spełnia go każda taka para liczb, że: 

rownanie matematyczne

 

Sprawdzamy metodą algebraiczną, że układ faktycznie jest nieoznaczony:

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

Druga równość jest zawsze spełniona, więc układ jest nieoznaczony - ma nieskończenie wiele rozwiązań.

Rozwiąż układ równań i podaj jego ...

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne  

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne  

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne   

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne  

rownanie matematyczne      

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne  

Sprzedawca sprzedaje zegarki

Oznaczmy cenę zegarka bez marży jako x. 

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

 

Obliczamy, o ile procent staniały zegarki, czyli jakim procentem ceny bez promocji jest różnica cen:

rownanie matematyczne

 

Korzystając z tożsamości trygonometrycznych, oblicz pozostałe...

Wiemy, że jeżeli  rownanie matematyczne jest kątem ostrym, to wartości sinusa, cosinusa i tangensa kąta rownanie matematyczne są dodatnie.

Będziemy korzystać z jedynki trygonometrycznej -> otrzymamy dwa rozwiązania - jedno dodatnie i jedno ujemne. 

Ujemne odrzucimy zgodnie z powyższym. 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne to odrzucamy

Dla rownanie matematyczne obliczamy tangens kąta rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Otrzymaliśmy:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne              

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne odrzucamy

Dla rownanie matematyczne obliczamy tangens kąta rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Otrzymaliśmy:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Zapisujemy jedynkę trygonometryczną i wstawiamy w miejsce sinusa wyżej wyznaczoną wartość.

rownanie matematyczne     

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne odrzucamy 

Dla rownanie matematyczne obliczamy sinus kąta rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Otrzymaliśmy:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Zapisujemy jedynkę trygonometryczną i wstawiamy w miejsce sinusa wyżej wyznaczoną wartość.

rownanie matematyczne     

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne odrzucamy 

Dla rownanie matematyczne obliczamy sinus kąta rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Otrzymaliśmy:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

W trójkącie ostrokątnym ABC poprowadzono ...

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku. Kąty zaznaczone takim samym kolorem mają równe miary.

a) Trójkąty podobne do trójkąta AMC (miary kątów zaznaczone kolorem niebieskim, czarnym - kąt prosty oraz fioletowym):

ALB, MOB, LOC

b) Trójkąty podobne do trójkąta CLB (miary kątów zaznaczone kolorem czerwonym, czarnym - kąt prosty oraz żółtym):

KOB, LOA, CKA

c) Trójkąty podobne do trójkąta COK (miary kątów zaznaczone kolorem jasnozielonym, czarnym - kąt prosty oraz zielonym):

AMO, CBM, AKB

Rozwiąż równanie

rownanie matematyczne 

Sprawdźmy, dla jakich wartości x wyrażenie pod wartością bezwzględną przyjmuje wartości ujemne:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

Musimy rozpatrzeć dwa przypadki. 

rownanie matematyczne 

W zadanym przedziale wyrażenie pod wartością bezwzględną jest ujemne, więc opuszczamy wartość bezwzględną ze zmianą znaku.

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Otrzymane rozwiązanie należy do zadanego przedziału.

 

 

rownanie matematyczne 

W zadanym przedziale wyrażenie pod wartością bezwzględną jest dodatnie, więc opuszczamy wartość bezwzględną bez zmiany znaku.

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Otrzymane rozwiązanie nie należy do zadanego przedziału, dlatego odrzucamy je. 

 

Ostatecznie równanie ma tylko jedno rozwiązanie:

rownanie matematyczne 

 

 

rownanie matematyczne 

 

 

 

rownanie matematyczne 

Sprawdźmy, dla jakich liczb wyrażenia pod wartościami bezwzględnymi przyjmują wartość 0. Tak otrzymane liczby podzielą zbiór liczb rzeczywistych na trzy przedziały, w których będziemy rozpatrywać równanie. 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

Rozpatrujemy równanie w odpowiednich przedziałach. 

 

Nad wyrażeniami znadującymi się pod wartościami bezwzględnymi zapiszemy +, jeśli wyrażenie przyjmuje w zadanym przedziale wartości nieujemne (większe lub równe 0) lub -, gdy wyrażenie przyjmuje w zadanym przedziale wartości niedodatnie (mniejsze lub równe 0).

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Otrzymane rozwiązanie należy do zadanego przedziału. 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Otrzymane rozwiązanie nie należy do zadanego przedziału, więc odrzucamy je. 

 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Otrzymane rozwiązanie należy do zadanego przedziału.

 

Ostatecznie równanie ma dwa rozwiązania:

rownanie matematyczne  

 

 

Naszkicuj wykres funkcji

rownanie matematyczne 

Aby otrzymać wykres funkcji f należy przesunąć wykres funkcji y=2x² o 1 jednostkę w dół wzdłuż osi OY. 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

 

rownanie matematyczne 

Aby otrzymać wykres funkcji f należy przesunąć wykres funkcji y=2x² o 3 jednostki w górę wzdłuż osi OY. 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

 

 

rownanie matematyczne 

Aby otrzymać wykres funkcji f należy przesunąć wykres funkcji y=-2x² o 1 jednostkę w dół wzdłuż osi OY. 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

 

rownanie matematyczne 

Aby otrzymać wykres funkcji f należy przesunąć wykres funkcji y=-2x² o 3 jednostki w górę wzdłuż osi OY. 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Zaznacz zbiór A w układzie współrzędnych

Dane są punkty ...

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne   

 

rownanie matematyczne   

rownanie matematyczne  

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

 

rownanie matematyczne