Błąd względny i bezwzględny - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Błąd względny i bezwzględny

Pomiary są stosowane od zawsze, budowa, architektura, elektronika, fizyka czy życie codzienne nie mogą się bez nich obyć. Wszystko co mierzymy ma wartość, której dokładnie nie znamy, dlatego stosujemy najczęściej wartość przybliżoną.

Często nie jesteśmy w stanie zmierzyć jakiegoś zjawiska czy przedmiotu. Możemy zrzucić piłkę z 20m:
- licząc sekundy głośno wyjdzie nam 5s,
- używając stopera zatrzymamy go na 4,44s
- z kolei mając dostarczone dane, odczytujemy, że powinna spadać 4,1s.

Zatem pomyliliśmy się w naszych testach, jednakże możemy je wykonać ponownie i za każdym razem porównywać wyniki z wartością dokładną.

Błąd bezwzględny

W celu policzenia błędu bezwzględnego musimy znać wartość dokładną oraz przybliżoną, oznaczmy je jako:

d - wartość dokładna

p - wartość przybliżona

b - błąd

Oczywiście dobrane litery (zmienne) możemy mieć dowolne. Skorzystamy ze wzoru:

$$b=|d-p|$$

Najzwyczajniej w świecie liczymy różnicę pomiędzy naszym pomiarem, a wartością dokładną, jednakże korzystamy z wartości bezwzględnej. Uzasadnienie jest proste: nie możemy uzyskać błędu o wartości ujemnej (np.: "Te drzewa się różnią się o minus trzy metry"). Dla przypomnienia: wartość bezwzględna zawsze daje wynik dodatni lub 0, więcej o niej opowiemy w następnych działach (wpisz w naszą portalową wyszukiwarkę "wartość bezwzględna").

Przykład:

Odczytaliśmy z termometru za oknem temperaturę $$-15,2 ^{o}C$$. Termometr elektroniczny umieszczony tuż obok wskazuje temperaturę $$-15,39 ^{o}C$$. Jaki jest błąd bezwzględny naszego pomiaru?

$$d=15,39$$ -> W trakcie obliczeń opuszczę dla wygody jednostki, czyli tym razem stopnie Celsjusza.

$$p=15,2$$

$$b=|d-p|$$

$$b=|-15,39-(-15,2)|$$ -> pamiętamy, że dwa minusy dają plus

$$b=|-15,39+15,2|=|-0,19|=0,19$$ -> opuszczając wartość bezwzględną z liczby ujemnej zawsze mamy dodatnią

zatem błąd względny to:

$$b=0,19^{o}C$$
 

Błąd względny

Przy błędzie bezwzględnym liczyliśmy dokładną różnicę pomiędzy pomiarami, w przypadku względnego stosujemy różnicę procentową, zatem wystarczy policzyć o ile procent zaszła pomyłka. Bez wartości błędu bezwzględnego nie obliczymy wartości błędu względnego.

Dobierzmy odpowiedni wzór stosując oznaczenia:

d - wartość dokładna

bb - błąd względny

b - błąd bezwzględny

$$bb=b/d×100%$$
 

Przykład:

Tomek oszacował wysokość drzewa na działce na 7,5m. Założył się z Markiem o butelkę Coli , że pomylił się maksymalnie o 10%. Zmierzyli wysokość drzewa, która wynosiła 6,5m. Kto wygrał zakład?

Zaczynamy w tym wypadku od błędu bezwzględnego. Liczymy:

b - błąd bezwzględny

d - wartość dokładna

p - pomiar

$$b=|d-p|$$

$$b=|7,5-6,5|=1m$$

Jak widać tutaj wartość bezwzględna nam nic nie zmienia.

Mamy błąd bezwzględny, zatem teraz policzymy błąd względny.

$$bb=b/d×100%$$

$$bb=1/{6,5}×100%$$

$$bb={100}/{6,5}%$$

Rozszerzmy razy 10 nasz ułamek: $$bb={1000}/{65}%≈15,39%$$

Zatem zakład wygrał Marek, $$15,39%$$ to więcej niż $$10%$$.

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Zmierzyliście ścianę w Waszej klasie, miała 2,47m, jednakże na planie szkoły, napisano, że ma 2600mm, jaki jest błąd względny i bezwzględny Waszego pomiaru? (Uwaga! Wartości na planach zapisywane są w mm).

Zacznijmy od wypisania danych, przyjmę takie same oznaczenia jak w przykładzie. Pamiętamy o zamianie jednostek na jednakową!

$$d=2600mm=260cm=2,6m$$

$$p=2,47m$$

$$b=|d-p|=|2,6-2,47|=0,13m$$

Błąd bezwzględny to $$0,13m$$

Obliczmy i względny

$$bb={0,13}/{2,6}×100%$$

$$bb={13}/{2,6}%$$

$$bb=5%$$

Odp: Błąd bezwzględny to $$0,13m$$ , a względny $$5%$$  

Zadanie 2.

Na festiwalu odbył się konkurs. Trzeba było zgadnąć ile kuleczek jest w słoiku. Nowak odpowiedział, że 356. Kowalski, że 445, a Piłkowski 375. W słoiku było 405 kulek. Za pomocą błędu bezwzględnego wyznacz zwycięzcę, oblicz o ile procent się pomylił.

Oznaczmy:

p - Pomiar Piłkowskiego

k - Pomiar Kowalskiego

n - Pomiar Nowaka

d - ilość dokładna

Policzmy po kolei błędy względne

Nowak:

$$b_n=|d-n|=|405-356|=49$$

Kowalski:

$$b_k=|d-k|=|405-445|=|-40|=40$$

Piłkowski:

$$b_p=|d-p|=|405-375|=30$$

Jak widzimy Piłkowski wygrał, zatem obliczmy o ile % się pomylił

$$bb={30}/{405}×100%$$

$$bb={3000}/{405}%$$

$$bb={600}/{81}%$$ -> skróciliśmy razy 5

$$bb={200}/{27}%$$ -> skróciliśmy razy 3

$$bb={200}/{27}%≈7,4%$$

Zadanie 3.

Trzy różne osoby rzuciły piłkę z okna i zatrzymały stoper w momencie uderzenia o ziemię. Ich pomiary to: 3,25s ; 4,5s ; 4s. Czas spadku piłki to 4s. Oblicz średni względny błąd pomiaru.

Zadanie Combo, musimy policzyć aż 6 błędów (3 względne i 3 bezwzględne) oraz policzyć ich średnią, to zaczynamy!

Oznaczmy czasy jako:

$$a=3,25s $$

$$e=4,5s $$ -> celowo ominąłem b, żeby nie mylić z błędem bezwzględnym

$$c=4s $$

$$d=4s $$

Liczymy błędy bezwzględne

$$ba=|4s-3,25s|=0,75s$$

$$be=|4s-4,5s|=|-0,5s|=0,5s$$

$$bc=|4s-4s|=0s$$

Liczymy względne

$$bba={0,75s}/{4s}×100%$$

$$bba={75}/{4}%$$

$$bba=18,75%$$

Kolejny:

$$bbe={0,5s}/{4s}×100%$$

$$bbe={50}/{4}%$$

$$bbe=12,5%$$

I ostatni:

$$bbc=0s/4s×100%$$

$$bbc=0%$$ -> strzelec wyborowy :)

Pozostaje nam obliczyć średnią, średnia to suma elementów przez ich ilość, więc

$$BBśr={18,75+12,5+0}/{3}%={31,25}/{3}%≈10,42%$$

Zatem średni błąd względny to: $$10,42%$$
 

Spis treści

Rozwiązane zadania
W trójkącie prostokątnym ABC...

 Rysunek:

 

 

 

Odpowiedź B

Która z podanych liczb jest ...

Obliczmy błąd bezwzględny podanych przybliżeń:

 

 

 

 

Porównajmy otrzymane błędy:

 

 

Najmniejszy błąd uzyskujemy przybliżając ułamek 3/7 liczbą 0,429 (odp c)).

Czy suma albo różnica dwóch figur wypukłych

Suma lub różnica figur wypukłych nie zawsze jest figurą wypukłą, co pokazano na rysunku: 

Zaznacz w układzie...

a)


b)


c)

Nierówność spełniają:

Odpowiedź A jest fałszywa, ponieważ np. liczba  jest mniejsza od  ale  {premium}

Odpowiedź B jest fałszywa np. z tego samego powodu, co A.

Odpowiedź C jest fałszywa np. z tego samego powodu, co A.


Prawidłowa odpowiedź to D.

Rozwiąż równanie.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

    

 

 

 

 

Wykaż, że jeśli...

Założenia:

 


Teza:

 


Dowód (wprost):

Zauważmy na początek, że z warunków  wynika, że  bo iloczyn liczby ujemnej

i liczby  będzie dodatni tylko wtedy, gdy liczba  będzie ujemna. {premium}


Ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy mamy:

 

A z założeń:

 

Więc:

 

 

 

Stąd:

 co należało dowieść

W 30-osobowej klasie 14 uczniów ma psa

Wiemy, że klasa liczy 30 osób, a 8 osób nie ma żadnego z wymienionych zwierząt. Obliczamy, ile osób ma psa, kota lub świnkę morską: 

 

Wiemy też, że 3 osoby mają świnkę morską oraz że te osoby nie mają innych zwierząt, zatem możemy obliczyć, ile{premium} osób ma psa lub kota: 

 

Wiemy, że 14 uczniów ma psa, a 9 uczniów ma kota. Jeśli dodamy do siebie te liczby, to uczniowie, którzy mają psa i kota jednocześnie są liczeni dwa razy (raz jako posiadacze psa, a raz jako posiadacze kota). Zatem aby uzyskać liczbę osób mających psa lub kota (czyli 19) musimy dodać 14 i 9 oraz odjąć liczbę uczniów mających jednocześnie psa lub kota, którą oznaczymy jako x.  

 

 

a) Wyznacz liczbę, której 40% jest...

 

 szukana liczba

Wiemy, że  tej liczby jest równe  stąd:

 

 

 

 

Odp. Szukana liczba to  {premium}


 

 szukana liczba

Wiemy, że  tej liczby jest równe  stąd:

 

 

 

 

Odp. Szukana liczba to  


 

 szukana liczba

Wiemy, że  tej liczby jest równe  stąd:

 

 

 

 

Odp. Szukana liczba to  


 

 szukana liczba

Wiemy, że  tej liczby jest równe  stąd:

 

 

 

 

Odp. Szukana liczba to  

Cztery z poniższych równań

Wyznaczymy współrzędne y dla podanych prostych, jeśli współrzędne x są równe 0 oraz 1. 

 

Wykres tej prostej przechodzi przez punkty (0, 2) oraz (1, 1). 

 

 

Wykres tej prostej przechodzi przez punkty (0, -2) oraz (1, -3). 

 

 

Wykres tej prostej przechodzi przez punkty (0, 1) oraz (1, 0). 

 

 

Wykres tej prostej przechodzi przez punkty (0, 2) oraz (1, 3). 

 

 

Wykres tej prostej przechodzi przez punkty (0, -2) oraz (1, -1).

 

Podpisujemy proste oraz dorysowujemy piątą prostą.