Błąd względny i bezwzględny - matura-podstawowa - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Błąd względny i bezwzględny - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Błąd względny i bezwzględny

Pomiary są stosowane od zawsze, budowa, architektura, elektronika, fizyka czy życie codzienne nie mogą się bez nich obyć. Wszystko co mierzymy ma wartość, której dokładnie nie znamy, dlatego stosujemy najczęściej wartość przybliżoną.

Często nie jesteśmy w stanie zmierzyć jakiegoś zjawiska czy przedmiotu. Możemy zrzucić piłkę z 20m:
- licząc sekundy głośno wyjdzie nam 5s,
- używając stopera zatrzymamy go na 4,44s
- z kolei mając dostarczone dane, odczytujemy, że powinna spadać 4,1s.

Zatem pomyliliśmy się w naszych testach, jednakże możemy je wykonać ponownie i za każdym razem porównywać wyniki z wartością dokładną.

Błąd bezwzględny

W celu policzenia błędu bezwzględnego musimy znać wartość dokładną oraz przybliżoną, oznaczmy je jako:

d - wartość dokładna

p - wartość przybliżona

b - błąd

Oczywiście dobrane litery (zmienne) możemy mieć dowolne. Skorzystamy ze wzoru:

$b=|d-p|$

Najzwyczajniej w świecie liczymy różnicę pomiędzy naszym pomiarem, a wartością dokładną, jednakże korzystamy z wartości bezwzględnej. Uzasadnienie jest proste: nie możemy uzyskać błędu o wartości ujemnej (np.: "Te drzewa się różnią się o minus trzy metry"). Dla przypomnienia: wartość bezwzględna zawsze daje wynik dodatni lub 0, więcej o niej opowiemy w następnych działach (wpisz w naszą portalową wyszukiwarkę "wartość bezwzględna").

Przykład:

Odczytaliśmy z termometru za oknem temperaturę $-15,2 ^{o}C$. Termometr elektroniczny umieszczony tuż obok wskazuje temperaturę $-15,39 ^{o}C$. Jaki jest błąd bezwzględny naszego pomiaru?

$d=15,39$ -> W trakcie obliczeń opuszczę dla wygody jednostki, czyli tym razem stopnie Celsjusza.

$p=15,2$

$b=|d-p|$

$b=|-15,39-(-15,2)|$ -> pamiętamy, że dwa minusy dają plus

$b=|-15,39+15,2|=|-0,19|=0,19$ -> opuszczając wartość bezwzględną z liczby ujemnej zawsze mamy dodatnią

zatem błąd względny to:

$b=0,19^{o}C$
 

Błąd względny

Przy błędzie bezwzględnym liczyliśmy dokładną różnicę pomiędzy pomiarami, w przypadku względnego stosujemy różnicę procentową, zatem wystarczy policzyć o ile procent zaszła pomyłka. Bez wartości błędu bezwzględnego nie obliczymy wartości błędu względnego.

Dobierzmy odpowiedni wzór stosując oznaczenia:

d - wartość dokładna

bb - błąd względny

b - błąd bezwzględny

$bb=b/d×100%$
 

Przykład:

Tomek oszacował wysokość drzewa na działce na 7,5m. Założył się z Markiem o butelkę Coli , że pomylił się maksymalnie o 10%. Zmierzyli wysokość drzewa, która wynosiła 6,5m. Kto wygrał zakład?

Zaczynamy w tym wypadku od błędu bezwzględnego. Liczymy:

b - błąd bezwzględny

d - wartość dokładna

p - pomiar

$b=|d-p|$

$b=|7,5-6,5|=1m$

Jak widać tutaj wartość bezwzględna nam nic nie zmienia.

Mamy błąd bezwzględny, zatem teraz policzymy błąd względny.

$bb=b/d×100%$

$bb=1/{6,5}×100%$

$bb={100}/{6,5}%$

Rozszerzmy razy 10 nasz ułamek: $bb={1000}/{65}%≈15,39%$

Zatem zakład wygrał Marek, $15,39%$ to więcej niż $10%$.

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Zmierzyliście ścianę w Waszej klasie, miała 2,47m, jednakże na planie szkoły, napisano, że ma 2600mm, jaki jest błąd względny i bezwzględny Waszego pomiaru? (Uwaga! Wartości na planach zapisywane są w mm).

Zacznijmy od wypisania danych, przyjmę takie same oznaczenia jak w przykładzie. Pamiętamy o zamianie jednostek na jednakową!

$d=2600mm=260cm=2,6m$

$p=2,47m$

$b=|d-p|=|2,6-2,47|=0,13m$

Błąd bezwzględny to $0,13m$

Obliczmy i względny

$bb={0,13}/{2,6}×100%$

$bb={13}/{2,6}%$

$bb=5%$

Odp: Błąd bezwzględny to $0,13m$ , a względny $5%$  

Zadanie 2.

Na festiwalu odbył się konkurs. Trzeba było zgadnąć ile kuleczek jest w słoiku. Nowak odpowiedział, że 356. Kowalski, że 445, a Piłkowski 375. W słoiku było 405 kulek. Za pomocą błędu bezwzględnego wyznacz zwycięzcę, oblicz o ile procent się pomylił.

Oznaczmy:

p - Pomiar Piłkowskiego

k - Pomiar Kowalskiego

n - Pomiar Nowaka

d - ilość dokładna

Policzmy po kolei błędy względne

Nowak:

$b_n=|d-n|=|405-356|=49$

Kowalski:

$b_k=|d-k|=|405-445|=|-40|=40$

Piłkowski:

$b_p=|d-p|=|405-375|=30$

Jak widzimy Piłkowski wygrał, zatem obliczmy o ile % się pomylił

$bb={30}/{405}×100%$

$bb={3000}/{405}%$

$bb={600}/{81}%$ -> skróciliśmy razy 5

$bb={200}/{27}%$ -> skróciliśmy razy 3

$bb={200}/{27}%≈7,4%$

Zadanie 3.

Trzy różne osoby rzuciły piłkę z okna i zatrzymały stoper w momencie uderzenia o ziemię. Ich pomiary to: 3,25s ; 4,5s ; 4s. Czas spadku piłki to 4s. Oblicz średni względny błąd pomiaru.

Zadanie Combo, musimy policzyć aż 6 błędów (3 względne i 3 bezwzględne) oraz policzyć ich średnią, to zaczynamy!

Oznaczmy czasy jako:

$a=3,25s $

$e=4,5s $ -> celowo ominąłem b, żeby nie mylić z błędem bezwzględnym

$c=4s $

$d=4s $

Liczymy błędy bezwzględne

$ba=|4s-3,25s|=0,75s$

$be=|4s-4,5s|=|-0,5s|=0,5s$

$bc=|4s-4s|=0s$

Liczymy względne

$bba={0,75s}/{4s}×100%$

$bba={75}/{4}%$

$bba=18,75%$

Kolejny:

$bbe={0,5s}/{4s}×100%$

$bbe={50}/{4}%$

$bbe=12,5%$

I ostatni:

$bbc=0s/4s×100%$

$bbc=0%$ -> strzelec wyborowy :)

Pozostaje nam obliczyć średnią, średnia to suma elementów przez ich ilość, więc

$BBśr={18,75+12,5+0}/{3}%={31,25}/{3}%≈10,42%$

Zatem średni błąd względny to: $10,42%$
 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Rozwiąż równania:

 

Zauważmy, że każdy ze składników sumy po lewej stronie równania przyjmuje wartość nieujemną.

Taka suma może być równa zero tylko wtedy, gdy każdy składnik jest zerem, stąd:

 

 

 

 

 

 {premium}


 

Zauważmy, że każdy ze składników sumy po lewej stronie równania przyjmuje wartość nieujemną.

Taka suma może być równa zero tylko wtedy, gdy każdy składnik jest zerem, stąd:

 

 

 

 

 


 

Zauważmy, że każdy ze składników sumy po lewej stronie równania przyjmuje wartość nieujemną.

Taka suma może być równa zero tylko wtedy, gdy każdy składnik jest zerem, stąd:

 

 

 

Równanie sprzeczne.


 

 

Zauważmy, że każdy ze składników sumy po lewej stronie równania przyjmuje wartość nieujemną.

Taka suma może być równa zero tylko wtedy, gdy każdy składnik jest zerem, stąd:

 

 

 

 

 

Wykaż, że jeżeli symetralna boku trójkąta...

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej.

Thumb zad5.96str123


Założenia:

 jest symetralną boku  

 


Teza:

 jest prostokątny.


Dowód:{premium}

 więc  

Trójkąt  ma kąt prosty, więc jest trójkątem prostokątnym, co należało dowieść.

W trójkąt ABC, którego kąty...

Trójkąt  jest opisany na okręgu, wiec środek okręgu

jest punktem przecięcia dwusiecznych kątów tego trójkąta.

Przyjmijmy więc oznaczenia jak na rysunku poniżej:

Thumb zad5.104str124


Punkty  są punktami styczności, więc  


Z sumy kątów dla czworokąta  

 {premium}

 

 

 


Kąty  i  to kąt środkowy i wpisany, oparte na tym samym łuku. Stąd:

 


Punkty  są punktami styczności, więc  


Z sumy kątów dla czworokąta  

 

 

 

 


Kąty  i  to kąt środkowy i wpisany, oparte na tym samym łuku. Stąd:

 


Z sumy kątów trójkąta  

 

 

 

 


Odp. Kąty trójkąta  mają miary:  

1. Podaj wartości g(3), g(5), g(16)...

Funkcja g jest określona następująco:

 

Funkcja g każdemu argumentowi przyporządkowuje liczbę parzystą mniejszą lub równą od n.


1. Wartości funkcji g dla podanych argumentów to:

     {premium}

 

 

 


2. Funkcja g przyjmuje wartość 120 dla argumentów: 120 i 121.

3. Tak, funkcja g ma dwa miejsca zerowe: 0 i 1.

4. Funkcja g przyjmuje wartości mniejsze od 50 dla liczb {0, 1, 2, 3, 4, ..., 48, 49}

czyli dla 50 liczb.

5. Wykres funkcji g:





Wykres funkcji g(x) otrzymano wyniku...

Gdy przekształcamy wykres funkcji  w symetrii względem osi  wówczas zachodzi: 

 

Zatem:

 

Prawidłowa odpowiedź to    

Wykorzystaj informacje zamieszczone na rysunku...

Oznaczmy wysokość budynku przez h, wtedy odległość budynku od punktu B wynosi również h bo trójkąt jest trójkątem prostokątnym równoramiennym.

 

 

 

 

 

 

 

 

W trójkącie równobocznym ABC wysokości...

Rysunek pomocniczy:

Thumb zad5.149str129


 W trójkącie równobocznym wysokości zawierają się w środkowych boków.

Zatem punkt  dzieli te wysokości w stosunku  licząc od wierzchołka.

Wszystkie wysokości trójkąta równobocznego mają taką samą długość.


Z powyższego wynika, że:

 

A stąd:

 


Rozważmy trójkąt  Jest to trójkąt o kącie  między dwoma równymi bokami  

zatem jest równoboczny.

Stąd wynika, że 

A zatem:{premium}

 


Trójkąty  i  mają wspólny kąt  


Mamy więc:

 

i trójkąty  i  są podobne na podstawie cechy kkk, co należało dowieść.


Przyjmijmy następujące oznaczenia:

 długość boku trójkąta  

 wysokość trójkąta  


Wysokość trójkąta równobocznego wyraża się wzorem:

 


Obliczamy skalę podobieństwa trójkąta  do trójkąta  

 


Odp. Skala podobieństwa trójkąta  do trójkąta  jest równa  



 Mamy dane:

 


Zauważmy, że:

 


Obliczamy obwód trójkąta  

 

 


Wiemy, że obwód jest równy  Stąd:

 

 

 

 

 


Odp. Bok trójkąta ma długość  

Oblicz

{premium}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

             

Dany jest prostokąt o bokach długości 1 i x

Duży prostokąt ma krótszy bok długości 1 i dłuższy bok długości x.

Mały prostokąt ma krótszy bok długości x-1 i dłuższy bok długości 1.

Jeśli prostokąty są podobne, to {premium}możemy zapisać proporcję:

 

Pierwsze rozwiązanie jest ujemne, dlatego odrzucamy je, drugie rozwiązanie jest poprawne - otrzymaliśmy złotą liczbę.

 

Boki trójkąta mają długość: 21 cm, 20 cm, 13 cm

a)

 

b)

     

 

   

   

 

 

   

 

c)

Pole trójkąta równa się iloczynowi promienia koła wpisanego w ten trójkąt i połowy obwodu tego trójkąta.

    

Przekształcimy ten wzór tak, aby otrzymać wzór na proień koła wpisanego w ten trójkąt.

            

 

d)

Pole trójkąta o bokach mających długość abc wpisanego w koło o promieniu R wyraża się wzorem:

Przekształcamy ten wzór tak, aby obliczyć promień: