Błąd względny i bezwzględny - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Błąd względny i bezwzględny

Pomiary są stosowane od zawsze, budowa, architektura, elektronika, fizyka czy życie codzienne nie mogą się bez nich obyć. Wszystko co mierzymy ma wartość, której dokładnie nie znamy, dlatego stosujemy najczęściej wartość przybliżoną.

Często nie jesteśmy w stanie zmierzyć jakiegoś zjawiska czy przedmiotu. Możemy zrzucić piłkę z 20m:
- licząc sekundy głośno wyjdzie nam 5s,
- używając stopera zatrzymamy go na 4,44s
- z kolei mając dostarczone dane, odczytujemy, że powinna spadać 4,1s.

Zatem pomyliliśmy się w naszych testach, jednakże możemy je wykonać ponownie i za każdym razem porównywać wyniki z wartością dokładną.

Błąd bezwzględny

W celu policzenia błędu bezwzględnego musimy znać wartość dokładną oraz przybliżoną, oznaczmy je jako:

d - wartość dokładna

p - wartość przybliżona

b - błąd

Oczywiście dobrane litery (zmienne) możemy mieć dowolne. Skorzystamy ze wzoru:

$$b=|d-p|$$

Najzwyczajniej w świecie liczymy różnicę pomiędzy naszym pomiarem, a wartością dokładną, jednakże korzystamy z wartości bezwzględnej. Uzasadnienie jest proste: nie możemy uzyskać błędu o wartości ujemnej (np.: "Te drzewa się różnią się o minus trzy metry"). Dla przypomnienia: wartość bezwzględna zawsze daje wynik dodatni lub 0, więcej o niej opowiemy w następnych działach (wpisz w naszą portalową wyszukiwarkę "wartość bezwzględna").

Przykład:

Odczytaliśmy z termometru za oknem temperaturę $$-15,2 ^{o}C$$. Termometr elektroniczny umieszczony tuż obok wskazuje temperaturę $$-15,39 ^{o}C$$. Jaki jest błąd bezwzględny naszego pomiaru?

$$d=15,39$$ -> W trakcie obliczeń opuszczę dla wygody jednostki, czyli tym razem stopnie Celsjusza.

$$p=15,2$$

$$b=|d-p|$$

$$b=|-15,39-(-15,2)|$$ -> pamiętamy, że dwa minusy dają plus

$$b=|-15,39+15,2|=|-0,19|=0,19$$ -> opuszczając wartość bezwzględną z liczby ujemnej zawsze mamy dodatnią

zatem błąd względny to:

$$b=0,19^{o}C$$
 

Błąd względny

Przy błędzie bezwzględnym liczyliśmy dokładną różnicę pomiędzy pomiarami, w przypadku względnego stosujemy różnicę procentową, zatem wystarczy policzyć o ile procent zaszła pomyłka. Bez wartości błędu bezwzględnego nie obliczymy wartości błędu względnego.

Dobierzmy odpowiedni wzór stosując oznaczenia:

d - wartość dokładna

bb - błąd względny

b - błąd bezwzględny

$$bb=b/d×100%$$
 

Przykład:

Tomek oszacował wysokość drzewa na działce na 7,5m. Założył się z Markiem o butelkę Coli , że pomylił się maksymalnie o 10%. Zmierzyli wysokość drzewa, która wynosiła 6,5m. Kto wygrał zakład?

Zaczynamy w tym wypadku od błędu bezwzględnego. Liczymy:

b - błąd bezwzględny

d - wartość dokładna

p - pomiar

$$b=|d-p|$$

$$b=|7,5-6,5|=1m$$

Jak widać tutaj wartość bezwzględna nam nic nie zmienia.

Mamy błąd bezwzględny, zatem teraz policzymy błąd względny.

$$bb=b/d×100%$$

$$bb=1/{6,5}×100%$$

$$bb={100}/{6,5}%$$

Rozszerzmy razy 10 nasz ułamek: $$bb={1000}/{65}%≈15,39%$$

Zatem zakład wygrał Marek, $$15,39%$$ to więcej niż $$10%$$.

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Zmierzyliście ścianę w Waszej klasie, miała 2,47m, jednakże na planie szkoły, napisano, że ma 2600mm, jaki jest błąd względny i bezwzględny Waszego pomiaru? (Uwaga! Wartości na planach zapisywane są w mm).

Zacznijmy od wypisania danych, przyjmę takie same oznaczenia jak w przykładzie. Pamiętamy o zamianie jednostek na jednakową!

$$d=2600mm=260cm=2,6m$$

$$p=2,47m$$

$$b=|d-p|=|2,6-2,47|=0,13m$$

Błąd bezwzględny to $$0,13m$$

Obliczmy i względny

$$bb={0,13}/{2,6}×100%$$

$$bb={13}/{2,6}%$$

$$bb=5%$$

Odp: Błąd bezwzględny to $$0,13m$$ , a względny $$5%$$  

Zadanie 2.

Na festiwalu odbył się konkurs. Trzeba było zgadnąć ile kuleczek jest w słoiku. Nowak odpowiedział, że 356. Kowalski, że 445, a Piłkowski 375. W słoiku było 405 kulek. Za pomocą błędu bezwzględnego wyznacz zwycięzcę, oblicz o ile procent się pomylił.

Oznaczmy:

p - Pomiar Piłkowskiego

k - Pomiar Kowalskiego

n - Pomiar Nowaka

d - ilość dokładna

Policzmy po kolei błędy względne

Nowak:

$$b_n=|d-n|=|405-356|=49$$

Kowalski:

$$b_k=|d-k|=|405-445|=|-40|=40$$

Piłkowski:

$$b_p=|d-p|=|405-375|=30$$

Jak widzimy Piłkowski wygrał, zatem obliczmy o ile % się pomylił

$$bb={30}/{405}×100%$$

$$bb={3000}/{405}%$$

$$bb={600}/{81}%$$ -> skróciliśmy razy 5

$$bb={200}/{27}%$$ -> skróciliśmy razy 3

$$bb={200}/{27}%≈7,4%$$

Zadanie 3.

Trzy różne osoby rzuciły piłkę z okna i zatrzymały stoper w momencie uderzenia o ziemię. Ich pomiary to: 3,25s ; 4,5s ; 4s. Czas spadku piłki to 4s. Oblicz średni względny błąd pomiaru.

Zadanie Combo, musimy policzyć aż 6 błędów (3 względne i 3 bezwzględne) oraz policzyć ich średnią, to zaczynamy!

Oznaczmy czasy jako:

$$a=3,25s $$

$$e=4,5s $$ -> celowo ominąłem b, żeby nie mylić z błędem bezwzględnym

$$c=4s $$

$$d=4s $$

Liczymy błędy bezwzględne

$$ba=|4s-3,25s|=0,75s$$

$$be=|4s-4,5s|=|-0,5s|=0,5s$$

$$bc=|4s-4s|=0s$$

Liczymy względne

$$bba={0,75s}/{4s}×100%$$

$$bba={75}/{4}%$$

$$bba=18,75%$$

Kolejny:

$$bbe={0,5s}/{4s}×100%$$

$$bbe={50}/{4}%$$

$$bbe=12,5%$$

I ostatni:

$$bbc=0s/4s×100%$$

$$bbc=0%$$ -> strzelec wyborowy :)

Pozostaje nam obliczyć średnią, średnia to suma elementów przez ich ilość, więc

$$BBśr={18,75+12,5+0}/{3}%={31,25}/{3}%≈10,42%$$

Zatem średni błąd względny to: $$10,42%$$
 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Prędkość światła wynosi 300 000 km/s

Obliczamy, ile sekund ma jeden rok: 

`365\ dni=365*24\ h=8760\ h=8760*60\ mi n=`  

`=525600\ mi n=525600*60\ s=31\ 536\ 000 s=3,1536*10^7\ s` 

 

Teraz obliczamy, ile kilometrów ma rok świetlny (skoro w 1 sekundzie światło pokonuje 300 000 km, to aby obliczyć, ile pokonuje w ciągu roku, wystarczy pomnożyć:

`3,1536*10^7*300\ 000\ km=` `3,1536*10^7*3*10^5\ km=` 

`=3,1536*3*10^7*10^5\ km=` `9,4608*10^12\ km` 

 

Sekunda świetlna to odległość, jaką światło pokonuje w ciągu roku, zapiszmy ją w notacji wykładniczej (wygodniej będzie obliczać w tabelce)

`300\ 000\ km=3*10^5\ km` 

 

Policzmy jescze, ile kilometrów ma godzina świetlna, najpierw zamieńmy godzinę na sekundy: 

`1\ h=60\ mi n=3600\ s` 

 

`3*10^5\ km*3600=` `3*10^5*3,6*10^3\ km=` 

`=10,8*10^8\ km=1,08*10^9\ km` 

 

 

 

Odległość z Ziemi do w jednostkach świetlnych w kilometrach

Księżyca 1,3 sekundy świetlnej  `1,3*3*10^5=3,9*10^5` 

Słońca 8 minut 19 sekund świetlnych `1,5*10^8` 

Plutona 5,5 godziny świetlnej `5,5*1,08*10^9=` `5,94*10^9` 

Gwiazdy Polarnej ok. 430 lat świetlnych

`430*9,4608*10^12=` `4068,144*10^12=` 

`=4,068144*10^15` 

środka Galaktyki ok. 28 000 lat świetlnych

`28\ 000*9,4608*10^12=264902,4*10^12=` 

`=2,649024*10^17` 

najbliższych kwazarów ok. 1,5 mld lat świetlnych

`1,5*10^9*9,4608*10^12=14,1912*10^21=` 

`=1,41912*10^22`   

 

 

 

Sprawdź, które z podanych zbiorów są równe

Zbiory A i B są równe, jeśli zbiór A zawiera się w zbiorze B, a zbiór B zawiera sę w zbiorze A, czyli wtedy, gdy zbiory A i B mają dokładnie takie same elementy. 

`b)`

`-(-2)^2=-(-2)*(-2)=-4,\ \ "więc"\ \ A={1/2,\ 1,\ 2,\ -4}`

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ B={1/2,\ 1,\ 2,\ 4}`

`sqrt(1/4)=1/2,\ \ root(3)(8)=2,\ \ "więc"\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ C={1,\ 4,\ 1/2,\ 2}`

`AneB,\ \ A neC,\ \ B=C`

 

 

`c)`

`A={-2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2}`

`B={-2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2}`

`C={-2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 1,\ 2,\ 2,\ 2}`

`A=B,\ \ AneC,\ \ BneC`

        

Narysuj wykres funkcji...

`f(x) = sqrt(x^2)-x+2 = |x|-x+2` 

 

Stąd:

`f(x) = {(x-x+2 "," \ \ \ x in [0, oo)),(-x-x+2 "," \ \ \ x in (-oo, 0)):}` 

`f(x)={(2 "," \ \ \ x in [0, oo)),(-2x+2 "," \ \ \ x in (-oo, 0)):}` 

Wykres:

 

`f(x) geq 2 \ \ "dla" \ x in R` 

Oś symetrii paraboli...

Oś symetrii przechodzi przez wierzchołek, zatem:

`x_w = (-a)/2 = -1/2a` 

 

 

Zatem oś symetrii jest dana równaniem:

`x = -1/2a`  

A więc skoro prosta ma przechodzić przez punkt

`(3/2 , 4)` 

to znaczy, że `x = 3/2` 

`3/2 = -1/2a` 

`3 = -a` 

`a = -3` 

Odpowiedź C

W tabeli podano informacje

Wyznacz dziedzinę funkcji.

a) Każdą liczbie możemy przyporządkować jej podwojenie, zatem dziedzina to zbiór liczb rzeczywistych.

`D = R` 

 

b) Każdej liczbie możemy przyporządkować liczbę 3, zatem dziedzina to zbiór liczb rzeczywistych.

`D = R` 

 

c) Każdej liczbie możemy przyporządkować sumę jej kwadratu i liczby siedmiokrotnie od niej większej, zatem dziedzina to zbiór liczb rzeczywistych.

`D = R` 

 

d) Każdej liczbie możemy przyporządkować różnicę jej sześcianu i liczby 1, zatem dziedzina to zbiór liczb rzeczywistych.

`D = R` 

Narysuj w jednym układzie współrzędnych wykresy

a)

1) Wartości obu funkcji są równe dla argumentu 1 (miejsce przecięcia się wykresów funkcji).

`f(1)=g(1)=1`

2) Wartości funkcji f są mniejsze od wartości funkcji g dla każdego x należącego do przedziału (-oo,1) (podzbiór dziedziny w którym wykres funkcji f(x) znajduje się ,,pod" wykresem funkcji g(x)).

`|x|<2-x \ \ <=> \ \ x in (-oo,1)`

 

b)

1) Wartości obu funkcji są równe dla argumentów -1,0 i 1 (miejsca przecięcia się wykresów funkcji).

`f(-1)=g(-1)=-1`

`f(0)=g(0)=0`

`f(1)=g(1)=1`

2) Wartości funkcji f są mniejsze od wartości funkcji g dla każdego x należącego do przedziałów (-1,0) i (1,+oo) (podzbiór dziedziny w którym wykres funkcji f(x) znajduje się ,,pod" wykresem funkcji g(x)).

`x<x^3 \="" <=""> \ \ \ x in (-1,0)u(1,+oo)`</x^3>

W trójkącie KLM...

Rysunek poglądowy:

`sin \ 30^o = (|MD|)/(|KM|)` 

`sin30^o * |KM| = |MD|` 

`|MD| = 1/2 * 8sqrt2`  

`|MD| = 4sqrt2` 

 

`sin45^o = (|MD|)/(|ML|)` 

`|ML| = (|MD|)/(sin45^o)` 

`|ML| = (4sqrt2)/(sqrt2/2)`  

`|ML| = 4sqrt2 *2/sqrt2 = 8` 

Wykres przedstawia poparcie dla dwóch...

`"a)"` W dziesiątym, dziewiątym, piątym i czwartym tygodniu pozostałym do wyborów.

`"b)"` W szóstym tygodniu.

`"c)"\ (35-18)/18*100%=17/18*100%~~94%`   

Odp. Tak.

Wyznacz liczbę

`a)\ 100+2%_o*100=100+0,002*100=100+0,2=100,2`

`b)\ 500+1,6%_o*500=500+0,0016*500=500+0,8=500,8`