Błąd względny i bezwzględny - matura-podstawowa - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Błąd względny i bezwzględny - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Błąd względny i bezwzględny

Pomiary są stosowane od zawsze, budowa, architektura, elektronika, fizyka czy życie codzienne nie mogą się bez nich obyć. Wszystko co mierzymy ma wartość, której dokładnie nie znamy, dlatego stosujemy najczęściej wartość przybliżoną.

Często nie jesteśmy w stanie zmierzyć jakiegoś zjawiska czy przedmiotu. Możemy zrzucić piłkę z 20m:
- licząc sekundy głośno wyjdzie nam 5s,
- używając stopera zatrzymamy go na 4,44s
- z kolei mając dostarczone dane, odczytujemy, że powinna spadać 4,1s.

Zatem pomyliliśmy się w naszych testach, jednakże możemy je wykonać ponownie i za każdym razem porównywać wyniki z wartością dokładną.

Błąd bezwzględny

W celu policzenia błędu bezwzględnego musimy znać wartość dokładną oraz przybliżoną, oznaczmy je jako:

d - wartość dokładna

p - wartość przybliżona

b - błąd

Oczywiście dobrane litery (zmienne) możemy mieć dowolne. Skorzystamy ze wzoru:

$b=|d-p|$

Najzwyczajniej w świecie liczymy różnicę pomiędzy naszym pomiarem, a wartością dokładną, jednakże korzystamy z wartości bezwzględnej. Uzasadnienie jest proste: nie możemy uzyskać błędu o wartości ujemnej (np.: "Te drzewa się różnią się o minus trzy metry"). Dla przypomnienia: wartość bezwzględna zawsze daje wynik dodatni lub 0, więcej o niej opowiemy w następnych działach (wpisz w naszą portalową wyszukiwarkę "wartość bezwzględna").

Przykład:

Odczytaliśmy z termometru za oknem temperaturę $-15,2 ^{o}C$. Termometr elektroniczny umieszczony tuż obok wskazuje temperaturę $-15,39 ^{o}C$. Jaki jest błąd bezwzględny naszego pomiaru?

$d=15,39$ -> W trakcie obliczeń opuszczę dla wygody jednostki, czyli tym razem stopnie Celsjusza.

$p=15,2$

$b=|d-p|$

$b=|-15,39-(-15,2)|$ -> pamiętamy, że dwa minusy dają plus

$b=|-15,39+15,2|=|-0,19|=0,19$ -> opuszczając wartość bezwzględną z liczby ujemnej zawsze mamy dodatnią

zatem błąd względny to:

$b=0,19^{o}C$
 

Błąd względny

Przy błędzie bezwzględnym liczyliśmy dokładną różnicę pomiędzy pomiarami, w przypadku względnego stosujemy różnicę procentową, zatem wystarczy policzyć o ile procent zaszła pomyłka. Bez wartości błędu bezwzględnego nie obliczymy wartości błędu względnego.

Dobierzmy odpowiedni wzór stosując oznaczenia:

d - wartość dokładna

bb - błąd względny

b - błąd bezwzględny

$bb=b/d×100%$
 

Przykład:

Tomek oszacował wysokość drzewa na działce na 7,5m. Założył się z Markiem o butelkę Coli , że pomylił się maksymalnie o 10%. Zmierzyli wysokość drzewa, która wynosiła 6,5m. Kto wygrał zakład?

Zaczynamy w tym wypadku od błędu bezwzględnego. Liczymy:

b - błąd bezwzględny

d - wartość dokładna

p - pomiar

$b=|d-p|$

$b=|7,5-6,5|=1m$

Jak widać tutaj wartość bezwzględna nam nic nie zmienia.

Mamy błąd bezwzględny, zatem teraz policzymy błąd względny.

$bb=b/d×100%$

$bb=1/{6,5}×100%$

$bb={100}/{6,5}%$

Rozszerzmy razy 10 nasz ułamek: $bb={1000}/{65}%≈15,39%$

Zatem zakład wygrał Marek, $15,39%$ to więcej niż $10%$.

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Zmierzyliście ścianę w Waszej klasie, miała 2,47m, jednakże na planie szkoły, napisano, że ma 2600mm, jaki jest błąd względny i bezwzględny Waszego pomiaru? (Uwaga! Wartości na planach zapisywane są w mm).

Zacznijmy od wypisania danych, przyjmę takie same oznaczenia jak w przykładzie. Pamiętamy o zamianie jednostek na jednakową!

$d=2600mm=260cm=2,6m$

$p=2,47m$

$b=|d-p|=|2,6-2,47|=0,13m$

Błąd bezwzględny to $0,13m$

Obliczmy i względny

$bb={0,13}/{2,6}×100%$

$bb={13}/{2,6}%$

$bb=5%$

Odp: Błąd bezwzględny to $0,13m$ , a względny $5%$  

Zadanie 2.

Na festiwalu odbył się konkurs. Trzeba było zgadnąć ile kuleczek jest w słoiku. Nowak odpowiedział, że 356. Kowalski, że 445, a Piłkowski 375. W słoiku było 405 kulek. Za pomocą błędu bezwzględnego wyznacz zwycięzcę, oblicz o ile procent się pomylił.

Oznaczmy:

p - Pomiar Piłkowskiego

k - Pomiar Kowalskiego

n - Pomiar Nowaka

d - ilość dokładna

Policzmy po kolei błędy względne

Nowak:

$b_n=|d-n|=|405-356|=49$

Kowalski:

$b_k=|d-k|=|405-445|=|-40|=40$

Piłkowski:

$b_p=|d-p|=|405-375|=30$

Jak widzimy Piłkowski wygrał, zatem obliczmy o ile % się pomylił

$bb={30}/{405}×100%$

$bb={3000}/{405}%$

$bb={600}/{81}%$ -> skróciliśmy razy 5

$bb={200}/{27}%$ -> skróciliśmy razy 3

$bb={200}/{27}%≈7,4%$

Zadanie 3.

Trzy różne osoby rzuciły piłkę z okna i zatrzymały stoper w momencie uderzenia o ziemię. Ich pomiary to: 3,25s ; 4,5s ; 4s. Czas spadku piłki to 4s. Oblicz średni względny błąd pomiaru.

Zadanie Combo, musimy policzyć aż 6 błędów (3 względne i 3 bezwzględne) oraz policzyć ich średnią, to zaczynamy!

Oznaczmy czasy jako:

$a=3,25s $

$e=4,5s $ -> celowo ominąłem b, żeby nie mylić z błędem bezwzględnym

$c=4s $

$d=4s $

Liczymy błędy bezwzględne

$ba=|4s-3,25s|=0,75s$

$be=|4s-4,5s|=|-0,5s|=0,5s$

$bc=|4s-4s|=0s$

Liczymy względne

$bba={0,75s}/{4s}×100%$

$bba={75}/{4}%$

$bba=18,75%$

Kolejny:

$bbe={0,5s}/{4s}×100%$

$bbe={50}/{4}%$

$bbe=12,5%$

I ostatni:

$bbc=0s/4s×100%$

$bbc=0%$ -> strzelec wyborowy :)

Pozostaje nam obliczyć średnią, średnia to suma elementów przez ich ilość, więc

$BBśr={18,75+12,5+0}/{3}%={31,25}/{3}%≈10,42%$

Zatem średni błąd względny to: $10,42%$
 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Niech A={3,5,7,9}, B= ...

 

    {premium}

 

 

Odp. C

Na rysunku obok prosta k jest styczną...

Z twierdzenia o kącie między styczną i cięciwą:

 {premium}


Zatem:

 

 

 


Prawidłowa odpowiedź to D.

Włącz czynnik pod pierwiastek

{premium}

Wyznacz miejsca zerowe funkcji f

 

 

  

 

 

 

{premium}

 

 

 

 

  

 

  

  

Zapisz dwie dowolne liczby...

Przykładowe rozwiązanie:

Wybrano liczby 5 i 10

zatem:

 


Do obu liczb dodajemy tę samą liczbę dodatnią  :       {premium}

 

 

ta operacja nie zmienia znaku nierówności


Od obu liczb odejmujemy tę samą liczbę ujemną  :

 

 

 

ta operacja nie zmienia znaku nierówności


Obie liczby mnożymy przez tę samą liczbę dodatnią  :

 

 

 

ta operacja nie zmienia znaku nierówności


Obie liczby mnożymy przez tę samą liczbę ujemną  :

 

 

 

ta operacja zmienia znak nierówności


Obie liczby dzielimy przez tę samą liczbę dodatnią  :

 

 

 

ta operacja nie zmienia znaku nierówności


Obie liczby dzielimy przez tę samą liczbę ujemną  :

 

 

 

ta operacja zmienia znak nierówności

Poniższy wykres przedstawia, jak zmieniała...

a) Wzór tej funkcji to:

 

    {premium}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

wzór tej funkcji to:

 


b) Obliczmy po jakim czasie piłka spadła na ziemię:

 

 

 

 

 

 

 

 


c) Obliczmy jak długo piłka wznosiła się ponad siatkę:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Które z poniższych zdań są prawdziwe...

 

 

równanie ma dwa rozwiązania    {premium}

 

 

Prawdziwe są zdania: 1, 2, 3.


 

 

równanie nie ma rozwiązań 

żadne zdanie nie jest prawdziwe


 

 

równanie ma dwa rozwiązania

 

 

Prawdziwe są zdania: 1, 3, 4.


 

 

równanie ma dwa rozwiązania

 

 

Prawdziwe są zdania: 1, 3, 4.


 

 

równanie ma dwa rozwiązania

 

 

Prawdziwe są zdania: 1, 2, 3.


 

 

równanie ma dwa rozwiązania

 

 

Prawdziwe są zdania: 1, 2.

Oblicz promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny...

Przyjmijmy następujące oznaczenia:

 długość przyprostokątnej

 długość przeciwprostokątnej

 promień okręgu wpisanego w trójkąt



 Mamy dane:

 


Z twierdzenia Pitagorasa:

 

 {premium}

 

 

 


Obliczamy promień okręgu wpisanego w trójkąt:

 


Odp. Promień okręgu wpisanego w trójkąt ma długość  



 Mamy dane:

 


Z twierdzenia Pitagorasa:

 

 

 

 

 


Obliczamy promień okręgu wpisanego w trójkąt:

 


Odp. Promień okręgu wpisanego w trójkąt ma długość  

Rozwiąż nierówność.

 

 

 {premium}

 

 

 

 

Z własności wartości bezwzględnej:

 

 

 

 

 



 

 

 

 


Z definicji wartości bezwzględnej:

 

 

Zatem:

 


Rozważamy więc trzy przypadki:

  •  

 

 

 

 

 

Po uwzględnieniu przedziału, w którym rozważaliśmy nierówność, otrzymujemy:

 

 

  •  

 

 

 

Otrzymaliśmy nierówność tożsamościową. Oznacza to, że rozwiązaniem tej nierówności jest każda liczba z rozważanego przedziału:

 

  •  

 

 

 

 

 

Po uwzględnieniu przedziału, w którym rozważaliśmy nierówność, otrzymujemy:

 

 


Łącząc wszystkie przypadki, otrzymujemy następujący zbiór rozwiązań:

 

 



 

 

 

 

 

 


Z definicji wartości bezwzględnej:

 


Rozważamy więc dwa przypadki:

  •  

 

 

 

 

 

Po uwzględnieniu przedziału, w którym rozważaliśmy nierówność, otrzymujemy:

 

 

  •  

 

 

 

 

 

 

Po uwzględnieniu przedziału, w którym rozważaliśmy nierówność, otrzymujemy:

 

 


Łącząc wszystkie przypadki, otrzymujemy następujący zbiór rozwiązań:

 

 



 

 

 

 

 


Z definicji wartości bezwzględnej:

 

 

Zatem:

 


Rozważamy więc trzy przypadki:

  •  

 

 

 

 

 

Otrzymany zbiór rozwiązań jest rozłączny z przedziałem, w którym rozwiązywaliśmy nierówność, więc w rozważanym przedziale nierówność nie ma rozwiązań.

  •  

 

 

 

Otrzymana nierówność jest sprzeczna, czyli nie ma rozwiązań w rozważanym przedziale.

  •  

 

 

 

 

 

Otrzymany zbiór rozwiązań jest rozłączny z przedziałem, w którym rozwiązywaliśmy nierówność, więc w rozważanym przedziale nierówność nie ma rozwiązań.


Nierówność nie ma rozwiązań w żadnym z rozważanych przedziałów, więc nie ma rozwiązań w całym zbiorze liczb rzeczywistych.

Odgadnij postać iloczynową funkcji kwadratowej.

W celu odgadnięcia skorzystamy z wzorów Viete'a.

Jeżeli  są pierwiastkami trójmianu to 

 

 

 

 "Zgadujemy" dwie liczby, których suma jest równa  {premium}  a iloczyn  

Są to  oraz 

Stąd:

 

 

 "Zgadujemy" dwie liczby, których suma jest równa  a iloczyn  

Są to  oraz 

Stąd:

 

 

 "Zgadujemy" dwie liczby, których suma jest równa  a iloczyn  

Są to  oraz 

Stąd:

 

 

 "Zgadujemy" dwie liczby, których suma jest równa  a iloczyn  

Są to  oraz 

Stąd: