Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Błąd względny i bezwzględny - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Błąd względny i bezwzględny

Pomiary są stosowane od zawsze, budowa, architektura, elektronika, fizyka czy życie codzienne nie mogą się bez nich obyć. Wszystko co mierzymy ma wartość, której dokładnie nie znamy, dlatego stosujemy najczęściej wartość przybliżoną.

Często nie jesteśmy w stanie zmierzyć jakiegoś zjawiska czy przedmiotu. Możemy zrzucić piłkę z 20m:
- licząc sekundy głośno wyjdzie nam 5s,
- używając stopera zatrzymamy go na 4,44s
- z kolei mając dostarczone dane, odczytujemy, że powinna spadać 4,1s.

Zatem pomyliliśmy się w naszych testach, jednakże możemy je wykonać ponownie i za każdym razem porównywać wyniki z wartością dokładną.

Błąd bezwzględny

W celu policzenia błędu bezwzględnego musimy znać wartość dokładną oraz przybliżoną, oznaczmy je jako:

d - wartość dokładna

p - wartość przybliżona

b - błąd

Oczywiście dobrane litery (zmienne) możemy mieć dowolne. Skorzystamy ze wzoru:

$$b=|d-p|$$

Najzwyczajniej w świecie liczymy różnicę pomiędzy naszym pomiarem, a wartością dokładną, jednakże korzystamy z wartości bezwzględnej. Uzasadnienie jest proste: nie możemy uzyskać błędu o wartości ujemnej (np.: "Te drzewa się różnią się o minus trzy metry"). Dla przypomnienia: wartość bezwzględna zawsze daje wynik dodatni lub 0, więcej o niej opowiemy w następnych działach (wpisz w naszą portalową wyszukiwarkę "wartość bezwzględna").

Przykład:

Odczytaliśmy z termometru za oknem temperaturę $$-15,2 ^{o}C$$. Termometr elektroniczny umieszczony tuż obok wskazuje temperaturę $$-15,39 ^{o}C$$. Jaki jest błąd bezwzględny naszego pomiaru?

$$d=15,39$$ -> W trakcie obliczeń opuszczę dla wygody jednostki, czyli tym razem stopnie Celsjusza.

$$p=15,2$$

$$b=|d-p|$$

$$b=|-15,39-(-15,2)|$$ -> pamiętamy, że dwa minusy dają plus

$$b=|-15,39+15,2|=|-0,19|=0,19$$ -> opuszczając wartość bezwzględną z liczby ujemnej zawsze mamy dodatnią

zatem błąd względny to:

$$b=0,19^{o}C$$
 

Błąd względny

Przy błędzie bezwzględnym liczyliśmy dokładną różnicę pomiędzy pomiarami, w przypadku względnego stosujemy różnicę procentową, zatem wystarczy policzyć o ile procent zaszła pomyłka. Bez wartości błędu bezwzględnego nie obliczymy wartości błędu względnego.

Dobierzmy odpowiedni wzór stosując oznaczenia:

d - wartość dokładna

bb - błąd względny

b - błąd bezwzględny

$$bb=b/d×100%$$
 

Przykład:

Tomek oszacował wysokość drzewa na działce na 7,5m. Założył się z Markiem o butelkę Coli , że pomylił się maksymalnie o 10%. Zmierzyli wysokość drzewa, która wynosiła 6,5m. Kto wygrał zakład?

Zaczynamy w tym wypadku od błędu bezwzględnego. Liczymy:

b - błąd bezwzględny

d - wartość dokładna

p - pomiar

$$b=|d-p|$$

$$b=|7,5-6,5|=1m$$

Jak widać tutaj wartość bezwzględna nam nic nie zmienia.

Mamy błąd bezwzględny, zatem teraz policzymy błąd względny.

$$bb=b/d×100%$$

$$bb=1/{6,5}×100%$$

$$bb={100}/{6,5}%$$

Rozszerzmy razy 10 nasz ułamek: $$bb={1000}/{65}%≈15,39%$$

Zatem zakład wygrał Marek, $$15,39%$$ to więcej niż $$10%$$.

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Zmierzyliście ścianę w Waszej klasie, miała 2,47m, jednakże na planie szkoły, napisano, że ma 2600mm, jaki jest błąd względny i bezwzględny Waszego pomiaru? (Uwaga! Wartości na planach zapisywane są w mm).

Zacznijmy od wypisania danych, przyjmę takie same oznaczenia jak w przykładzie. Pamiętamy o zamianie jednostek na jednakową!

$$d=2600mm=260cm=2,6m$$

$$p=2,47m$$

$$b=|d-p|=|2,6-2,47|=0,13m$$

Błąd bezwzględny to $$0,13m$$

Obliczmy i względny

$$bb={0,13}/{2,6}×100%$$

$$bb={13}/{2,6}%$$

$$bb=5%$$

Odp: Błąd bezwzględny to $$0,13m$$ , a względny $$5%$$  

Zadanie 2.

Na festiwalu odbył się konkurs. Trzeba było zgadnąć ile kuleczek jest w słoiku. Nowak odpowiedział, że 356. Kowalski, że 445, a Piłkowski 375. W słoiku było 405 kulek. Za pomocą błędu bezwzględnego wyznacz zwycięzcę, oblicz o ile procent się pomylił.

Oznaczmy:

p - Pomiar Piłkowskiego

k - Pomiar Kowalskiego

n - Pomiar Nowaka

d - ilość dokładna

Policzmy po kolei błędy względne

Nowak:

$$b_n=|d-n|=|405-356|=49$$

Kowalski:

$$b_k=|d-k|=|405-445|=|-40|=40$$

Piłkowski:

$$b_p=|d-p|=|405-375|=30$$

Jak widzimy Piłkowski wygrał, zatem obliczmy o ile % się pomylił

$$bb={30}/{405}×100%$$

$$bb={3000}/{405}%$$

$$bb={600}/{81}%$$ -> skróciliśmy razy 5

$$bb={200}/{27}%$$ -> skróciliśmy razy 3

$$bb={200}/{27}%≈7,4%$$

Zadanie 3.

Trzy różne osoby rzuciły piłkę z okna i zatrzymały stoper w momencie uderzenia o ziemię. Ich pomiary to: 3,25s ; 4,5s ; 4s. Czas spadku piłki to 4s. Oblicz średni względny błąd pomiaru.

Zadanie Combo, musimy policzyć aż 6 błędów (3 względne i 3 bezwzględne) oraz policzyć ich średnią, to zaczynamy!

Oznaczmy czasy jako:

$$a=3,25s $$

$$e=4,5s $$ -> celowo ominąłem b, żeby nie mylić z błędem bezwzględnym

$$c=4s $$

$$d=4s $$

Liczymy błędy bezwzględne

$$ba=|4s-3,25s|=0,75s$$

$$be=|4s-4,5s|=|-0,5s|=0,5s$$

$$bc=|4s-4s|=0s$$

Liczymy względne

$$bba={0,75s}/{4s}×100%$$

$$bba={75}/{4}%$$

$$bba=18,75%$$

Kolejny:

$$bbe={0,5s}/{4s}×100%$$

$$bbe={50}/{4}%$$

$$bbe=12,5%$$

I ostatni:

$$bbc=0s/4s×100%$$

$$bbc=0%$$ -> strzelec wyborowy :)

Pozostaje nam obliczyć średnią, średnia to suma elementów przez ich ilość, więc

$$BBśr={18,75+12,5+0}/{3}%={31,25}/{3}%≈10,42%$$

Zatem średni błąd względny to: $$10,42%$$
 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Ramię trójkąta równoramiennego ma długość...

Skorzystamy z następującego wzoru na pole trójkąta:

`P=1/2ab sinalpha,` gdzie `a,\ b` są bokami trójkąta, a `alpha` kątem między nimi

W naszym zadaniu:

`a=b=4\ "cm"`  

`alpha=30^@` 

Obliczamy pole:

`P=1/2*4*4*sin30^@=1/2*16*1/2=1/4*16=4\ ["cm"^2]`  

Prawidłowa odpowiedź to `"A."`       

Wiedząc, że...

`root(3)(abc)=4` 

`(abc)^(1/3)=4` 

`abc = 64` 

 

A więc:

`(abcd)^(1/4) = (64d)^(1/4) = 2sqrt10` 

A więc:

`64d = (2*sqrt10)^4` 

`64d = 16*100` 

`d = (16*100)/64` 

`d = 100/4` 

`d = 25` 

Uczestnicy kursu spadochronowego...

`a) \ h(5) = -4,9*5^2 + 4000 = -4,9*25 + 4000 = -122,5 + 4000 = 3877,5` 

Skoczek po 5 sekundach znajduje się na poziomie 3877,5 metra.

 

`h(10) = -4,9*10^2 + 4000 = -4,9*100+ 4000 = -490 + 4000 = 3510` 

Skoczek po 10 sekundach znajduje się na poziomie 3510 metrów.

 

`b) \ h(t^2) = 1650` 

`-4,9t^2+4000=1650` 

`-4,9t^2 = -2350` 

`t^2 approx 479,59` 

`t approx 21,89 approx 22 \ ["s"]` 

Nacisk w kilopaskalach, jaki wywiera...

`a) \ p = (100*90)/7^2 = 9000/49 approx 183 \ ["kPa"]` 

 

`b) \ p = (100*60)/2^2 = 6000/4 = 1500 \ ["kPa"]` 

Narysuj wykres funkcji.

`a)` 

`f(x)={(4x-1,\ x<=0),(-2x,\ x>0):}` 

`b)` 

`f(x)={(-x+2,\ x<=1),(-2x+3,\ x>1):}`  

`c)` 

`f(x)={(x+3\ x<-2),(1,\ -2<=x<2),(-x+3,\ x>=2):}`    

`d)` 

`f(x)={(-2x-2\ x<-1),(x+1,\ -1<=x<1),(-2/3x+2 2/3,\ x>=1):}`     

Podaj wartości funkcji trygonometrycznych ...

`sinalpha=a/c=cosbeta` 

`sin beta=b/c=cosalpha` 

`tg\ alpha=a/b=ctg\ beta` 

`tg\ beta=b/a=ctg\ alpha` 

 

`a)` 

`a=3` 

`b=4` 

`c=5`   

 

`sin alpha=a/c=3/5` 

`cos alpha=b/c=4/5` 

`tg\ alpha=a/b=3/4`  

`ctg\ alpha=b/a=4/3`   

 

`sin beta=b/c=4/5`  

`cos beta=a/c=3/5`   

`tg\ beta=b/a=4/3`  

`ctg\ beta=a/b=3/4`   

 

`b)` 

`a=6` 

`b=8` 

`c=10`   

 

`sin alpha=a/c=6/10=3/5`  

`cos alpha=b/c=8/10=4/5`   

`tg\ alpha=a/b=6/8=3/4`   

`ctg\ alpha=b/a=4/3`   

 

`sin beta=b/c=8/10=4/5`   

`cos beta=a/c=6/10=3/5`   

`tg\ beta=b/a=8/6=4/3`   

`ctg\ beta=a/b=3/4`    

 

`c)` 

`a=8` 

`b=15` 

`c=17`   

 

`sin alpha=a/c=8/17`  

`cos alpha=b/c=15/17`   

`tg\ alpha=a/b=8/15`   

`ctg\ alpha=b/a=15/8`   

 

`sin beta=b/c=15/17`   

`cos beta=a/c=8/17`   

`tg\ beta=b/a=15/8`   

`ctg\ beta=a/b=8/15`    

 

`d)` 

`a=7` 

`b=24` 

`c=25`    

 

`sin alpha=a/c=7/25`  

`cos alpha=b/c=24/25`   

`tg\ alpha=a/b=7/24`   

`ctg\ alpha=b/a=24/7`   

 

`sin beta=b/c=24/25`   

`cos beta=a/c=7/25`  

`tg\ beta=b/a=24/7`   

`ctg\ beta=a/b=7/24`    

Na jednej z wysp oceanicznych...

Wysokość oznaczmy przez h wysokość nad początkiem nasypu. Długość o którą musimy powiększyć pas startowy oznaczmy przez s, wtedy:

`tg \ 12^o = h/s` 

`s = h/(tg \ 12^o) = 100/(0,2126) approx 470 \ "m"`   

Pas startowy powinien mieć 2000m + 470 = 2470 m

Centrala ogrodnicza skupuje dziennie...

Przez x oznaczmy liczbę obniżek ceny truskawek o 10 groszy. Przychód z każdego kilograma to 3,50 zł natomiast czystego dochodu mamy 0,50 groszy gdyż 3 złoty wydajemy na dostawców.

`3, 50 - (3 + 0,1x) = 0,5 - 0,1x` 

Ilość sprzedawanych truskawek:

`100*x` 

 

Wtedy funkcja dochodu wygląda następująco:

`f(x) = (0,5 - 0,1x)*100x =0,1(5 - x) *100x = 10x(5-x) = -10x(x-5)`  

`D = (0,5)` 

 

Parabola ma ramiona skierowane ramionami ku dołowi a więc największa wartość jest w wierzchołku, odcięta wierzchołka paraboli to średnia arytmetyczna miejsc zerowych gdyż są równo odległe od wierzchołka.

`x_w = p = (x_1+x_2)/2 = (0+5)/2 = 5/2 = 2,5` 

 

A więc musimy obniżyć cenę truskawek o :

`3, 5 - (3+0,1*2,5) = 3,5 - (3+0,25) = 3,5 - 3,25 = -0,25`

Ile boków ma wielokąt ...

`(n-2)*180^@-"wzór na sumę kątów wewnętrznych wielokąta o n bokach"` 

 

`(n-2)*180^@=1260^@` 

`n-2=7` 

`n=9` 

 

`"Odpowiedź C."` 

Oblicz różnice wysokości między początkiem...

Skoro co 100 metrów wysokość wznosi się o 4m to

Po 300 metrach wysokość będzie wynosić 12m.

A więc różnica poziomów będzie wynosić 12 metrów.

 

`sin alpha = 12/300 = 0,04` 

Odczytajmy z tablic wartość najbliższą naszej. Dwie wartości ograniczające naszą to:

`sin 2^o = 0,0349` 

`sin 3^o = 0,0523` 

Naszemu wynikowi bliżej do sin2o a więc:

`alpha approx 2^o`