Błąd względny i bezwzględny - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Błąd względny i bezwzględny

Pomiary są stosowane od zawsze, budowa, architektura, elektronika, fizyka czy życie codzienne nie mogą się bez nich obyć. Wszystko co mierzymy ma wartość, której dokładnie nie znamy, dlatego stosujemy najczęściej wartość przybliżoną.

Często nie jesteśmy w stanie zmierzyć jakiegoś zjawiska czy przedmiotu. Możemy zrzucić piłkę z 20m:
- licząc sekundy głośno wyjdzie nam 5s,
- używając stopera zatrzymamy go na 4,44s
- z kolei mając dostarczone dane, odczytujemy, że powinna spadać 4,1s.

Zatem pomyliliśmy się w naszych testach, jednakże możemy je wykonać ponownie i za każdym razem porównywać wyniki z wartością dokładną.

Błąd bezwzględny

W celu policzenia błędu bezwzględnego musimy znać wartość dokładną oraz przybliżoną, oznaczmy je jako:

d - wartość dokładna

p - wartość przybliżona

b - błąd

Oczywiście dobrane litery (zmienne) możemy mieć dowolne. Skorzystamy ze wzoru:

$$b=|d-p|$$

Najzwyczajniej w świecie liczymy różnicę pomiędzy naszym pomiarem, a wartością dokładną, jednakże korzystamy z wartości bezwzględnej. Uzasadnienie jest proste: nie możemy uzyskać błędu o wartości ujemnej (np.: "Te drzewa się różnią się o minus trzy metry"). Dla przypomnienia: wartość bezwzględna zawsze daje wynik dodatni lub 0, więcej o niej opowiemy w następnych działach (wpisz w naszą portalową wyszukiwarkę "wartość bezwzględna").

Przykład:

Odczytaliśmy z termometru za oknem temperaturę $$-15,2 ^{o}C$$. Termometr elektroniczny umieszczony tuż obok wskazuje temperaturę $$-15,39 ^{o}C$$. Jaki jest błąd bezwzględny naszego pomiaru?

$$d=15,39$$ -> W trakcie obliczeń opuszczę dla wygody jednostki, czyli tym razem stopnie Celsjusza.

$$p=15,2$$

$$b=|d-p|$$

$$b=|-15,39-(-15,2)|$$ -> pamiętamy, że dwa minusy dają plus

$$b=|-15,39+15,2|=|-0,19|=0,19$$ -> opuszczając wartość bezwzględną z liczby ujemnej zawsze mamy dodatnią

zatem błąd względny to:

$$b=0,19^{o}C$$
 

Błąd względny

Przy błędzie bezwzględnym liczyliśmy dokładną różnicę pomiędzy pomiarami, w przypadku względnego stosujemy różnicę procentową, zatem wystarczy policzyć o ile procent zaszła pomyłka. Bez wartości błędu bezwzględnego nie obliczymy wartości błędu względnego.

Dobierzmy odpowiedni wzór stosując oznaczenia:

d - wartość dokładna

bb - błąd względny

b - błąd bezwzględny

$$bb=b/d×100%$$
 

Przykład:

Tomek oszacował wysokość drzewa na działce na 7,5m. Założył się z Markiem o butelkę Coli , że pomylił się maksymalnie o 10%. Zmierzyli wysokość drzewa, która wynosiła 6,5m. Kto wygrał zakład?

Zaczynamy w tym wypadku od błędu bezwzględnego. Liczymy:

b - błąd bezwzględny

d - wartość dokładna

p - pomiar

$$b=|d-p|$$

$$b=|7,5-6,5|=1m$$

Jak widać tutaj wartość bezwzględna nam nic nie zmienia.

Mamy błąd bezwzględny, zatem teraz policzymy błąd względny.

$$bb=b/d×100%$$

$$bb=1/{6,5}×100%$$

$$bb={100}/{6,5}%$$

Rozszerzmy razy 10 nasz ułamek: $$bb={1000}/{65}%≈15,39%$$

Zatem zakład wygrał Marek, $$15,39%$$ to więcej niż $$10%$$.

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Zmierzyliście ścianę w Waszej klasie, miała 2,47m, jednakże na planie szkoły, napisano, że ma 2600mm, jaki jest błąd względny i bezwzględny Waszego pomiaru? (Uwaga! Wartości na planach zapisywane są w mm).

Zacznijmy od wypisania danych, przyjmę takie same oznaczenia jak w przykładzie. Pamiętamy o zamianie jednostek na jednakową!

$$d=2600mm=260cm=2,6m$$

$$p=2,47m$$

$$b=|d-p|=|2,6-2,47|=0,13m$$

Błąd bezwzględny to $$0,13m$$

Obliczmy i względny

$$bb={0,13}/{2,6}×100%$$

$$bb={13}/{2,6}%$$

$$bb=5%$$

Odp: Błąd bezwzględny to $$0,13m$$ , a względny $$5%$$  

Zadanie 2.

Na festiwalu odbył się konkurs. Trzeba było zgadnąć ile kuleczek jest w słoiku. Nowak odpowiedział, że 356. Kowalski, że 445, a Piłkowski 375. W słoiku było 405 kulek. Za pomocą błędu bezwzględnego wyznacz zwycięzcę, oblicz o ile procent się pomylił.

Oznaczmy:

p - Pomiar Piłkowskiego

k - Pomiar Kowalskiego

n - Pomiar Nowaka

d - ilość dokładna

Policzmy po kolei błędy względne

Nowak:

$$b_n=|d-n|=|405-356|=49$$

Kowalski:

$$b_k=|d-k|=|405-445|=|-40|=40$$

Piłkowski:

$$b_p=|d-p|=|405-375|=30$$

Jak widzimy Piłkowski wygrał, zatem obliczmy o ile % się pomylił

$$bb={30}/{405}×100%$$

$$bb={3000}/{405}%$$

$$bb={600}/{81}%$$ -> skróciliśmy razy 5

$$bb={200}/{27}%$$ -> skróciliśmy razy 3

$$bb={200}/{27}%≈7,4%$$

Zadanie 3.

Trzy różne osoby rzuciły piłkę z okna i zatrzymały stoper w momencie uderzenia o ziemię. Ich pomiary to: 3,25s ; 4,5s ; 4s. Czas spadku piłki to 4s. Oblicz średni względny błąd pomiaru.

Zadanie Combo, musimy policzyć aż 6 błędów (3 względne i 3 bezwzględne) oraz policzyć ich średnią, to zaczynamy!

Oznaczmy czasy jako:

$$a=3,25s $$

$$e=4,5s $$ -> celowo ominąłem b, żeby nie mylić z błędem bezwzględnym

$$c=4s $$

$$d=4s $$

Liczymy błędy bezwzględne

$$ba=|4s-3,25s|=0,75s$$

$$be=|4s-4,5s|=|-0,5s|=0,5s$$

$$bc=|4s-4s|=0s$$

Liczymy względne

$$bba={0,75s}/{4s}×100%$$

$$bba={75}/{4}%$$

$$bba=18,75%$$

Kolejny:

$$bbe={0,5s}/{4s}×100%$$

$$bbe={50}/{4}%$$

$$bbe=12,5%$$

I ostatni:

$$bbc=0s/4s×100%$$

$$bbc=0%$$ -> strzelec wyborowy :)

Pozostaje nam obliczyć średnią, średnia to suma elementów przez ich ilość, więc

$$BBśr={18,75+12,5+0}/{3}%={31,25}/{3}%≈10,42%$$

Zatem średni błąd względny to: $$10,42%$$
 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Mamy 240 metrów bieżących siatki ...

`a,b-"długości boków prostokąta"` 

 

`2a+2b=240` 

`a+b=120` 

`a=120-b` 

 

`a*b=(120-b)*b=-b^2+120b` 

`f(b)=-b^2+120b` 

`"Szukamy wartości największej funkcji f."` 

`"Wykres f jest parabolą o ramionach zwróconych w doł, zatem wartość największa to"\ f(x_w).` 

`x_w=-120/(-2)=60` 

`f(60)=-(60)^2+120*60=-3600+7200=3600` 

`ul(b=60)` 

`ul(a=120-b=60` 

Firma opisana w poprzednim zadaniu podniosła cenę

Koszty dzienne wyprodukowania x puszek pokarmu są równe:

`y=2x+800`

 

Obliczamy współrzędne dwóch punktów należących do wykresu:

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=2*0+800=0+800=800`

`x=200\ \ \ ->\ \ \ y=2*200+800=400+800=1200`

 

Dochody ze sprzedania x puszek pokarmu po 6 zł są równe: 

`y=6x`

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=6*0=0`

`x=400\ \ \ ->\ \ \ y=6*400=2400`

 

 

 

Dochód jest równy kosztom w punkcie (200, 1200), co oznacza, że przy produkcji dziennej 200 puszek dochód jest równy kosztom.

Wyznacz współrzędne punktu ...

`A=(1;3)` 

`vec v=[-3;4]` 

`B=(1-3;3+4)=ul((-2;7)`  

Wyrażenie 3logx-6logy można przedstawić w postaci

`3logx-6logy \ \ \stackrel(bloga=loga^b)= \ \ \ logx^3-logy^6 \ \ \ stackrel(log_n a-log_n b=log_n a/b)= \ \ log(x^3/y^6)`

 

Uporządkuj rosnąco liczby ...

`(2 1/2)^3=(5/2)^3=125/8=15 5/8`

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ )` 

`(-1 2/3)^4=(-5/3)^4=625/81=7 58/81` 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ )` 

`(3,97)^0=1` 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ )` 

`(-3/11)^-2=(-11/3)^2=121/9=13 4/9` 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ )` 

`(3 3/4)^-1=(15/4)^-1=4/15` 

 

 

Liczby uporządkowane rosnąco, czyli od najmniejszej do największej:

`4/15<1<7 58/81< 13 4/9<15 5/8` 

Stąd:

`(3 3/4)^-1<3,967^0<(-1 2/3)^4<(-3/11)^-2<(2 1/2)^3` 

Oblicz współczynnik kierunkowy i wyznacz równanie prostej

`a)`

Korzystając z twierdzenia podanego na stronie 119 wyznaczamy współczynnik kierunkowy prostej y=ax+b. 

`a=(6-4)/(7-3)=2/(4)=1/2`

Teraz do równania:

`y=1/2x+b`

podstawiamy współrzędne jednego z punktów P lub Q i wyznaczamy współczynnik b. Weźmy współrzędne punktu P:

`4=1/2*3+b`

`4=1 1/2+b`

`b=4-1 1/2=2 1/2`

 

Prosta ma więc równanie:

`ul(y=1/2x+2 1/2)`

 

 

 

 

`b)`

`a=(-1-7)/(2-(-2))=(-8)/(2+2)=-8/4=-2`

 

`y=-2x+b`

 

Podstawiamy współrzędne punktu Q:

`-1=-2*2+b`

`-1=-4+b`

`b=-1+4=3`

 

`ul(y=-2x+3)`

 

 

 

`c)`

`a=(-1-1)/(1/2-1/3)=(-2)/(3/6-2/6)=-2/(1/6)=-2:1/6=-2*6=-12`

 

`y=-12x+b`

 

Podstawiamy współrzędne punktu P:

`1=-12*1/3+b`

`1=-4+b`

`b=1+4=5`

 

`ul(y=-12x+5)`

 

 

 

`d)`

`a=(1/3-7/3)/(2-3)=(-6/3)/(-1)=6/3=2`

 

`y=2x+b`

 

Podstawiamy współrzędne punktu Q:

`1/3=2*2+b`

`1/3=4+b`

`b=1/3-4=-3 2/3`

 

`ul(y=2x-3 2/3)`

 

 

 

`e)`

`a=(-6-(-6))/(8-(-2))=(-6+6)/(8+2)=0/10=0`

`y=0*x+b=b`

 

Współczynnik kierunkowy jest równy zero, otrzymaliśmy funkcję stałą. 

`ul(y=-6)`

 

 

 

`f)`

`a=(10-4)/(3sqrt3-sqrt3)=6/(2sqrt3)=3/sqrt3=(3sqrt3)/(sqrt3*sqrt3)=(3sqrt3)/3=sqrt3`

 

`y=sqrt3x+b`

 

Podstawiamy współrzędne punktu P

`4=sqrt3*sqrt3+b`

`4=3+b`

`b=4-3=1`

 

`ul(y=sqrt3x+1)`

Przeczytaj informację w ramce

Interpretacja geometryczna wartości bezwzględnej to odległość od 0 na osi liczbowej. 

 

`a)`

Musimy zaznaczyć liczby, których odległość od 0 jest mniejsza niż 8. 

`x in (-8,\ 8)`

 

 

`b)`

Musimy zaznaczyć liczby, których odległość od 0 jest mniejsza lub równa 4. 

 

`x in <<-4,\ 4>>`

 

`c)`

Musimy zaznaczyć liczby, których odległość od 0 jest większa niż 3. 

`x in (-infty,\ -3)uu(3,\ +infty)`

 

`d)`

Musimy zaznaczyć liczby, których odległość od 0 jest większa lub równa od 1/2. 




`x in(-infty,\ -1/2>>uu<<1/2,\ +infty)`

 

Na rysunku obok przedstawiono...

a) `f(x)=|x^2+bx+c|` 

`A=(0,0)` 

`B=(4,0)` 

Podstawmy współrzędne punktu A.

`0=|0^2+b*0+c|` 

`0=|c|` 

`c=0` 

 

Podstawmy współrzędne punktu B. 

`0=|4^2+b*4+0|` 

`0=|16+4b|` 

`0=16+4b` 

`-4b=16 \ \ \ |:(-4)` 

`b=-4` 


b) ALGEBRAICZNIE

`|x^2-4x|=|x^2-4x+6|` 

I przypadek:

`x^2-4x=x^2-4x+6` 

`0=6` 

sprzeczność

II przypadek: 

`x^2-4x=-(x^2-4x+6)` 

`x^2-4x=-x^2+4x-6` 

`x^2-4x+x^2-4x+6=0` 

`2x^2-8x+6=0 \ \ \ |:2` 

`x^2-4x+3=0` 

`Delta=(-4)^2-4*1*3=16-12=4` 

`sqrt(Delta)=2` 

`x_1=(-(-4)-2)/(2*1)=(4-2)/2=2/2=1` 

`x_2=(-(-4)+2)/(2*1)=(4+2)/2=6/2=3` 

 

GRAFICZNIE

`f(x)=|x^2-4x|` 

`g(x)=|x^2-4x+6|` 

 


c) ALGEBRAICZNIE

`|x^2-4x|=|1/4x^2-x+3 3/4|` 

I przypadek:

`x^2-4x=1/4x^2-x+3 3/4` 

`x^2-4x-1/4x^2+x-3 3/4=0` 

`3/4x^2-3x-15/4=0 \ \ \ |*4` 

`3x^2-12x-15=0 \ \ \ |:3` 

`x^2-4x-5=0` 

`Delta=(-4)^2-4*1*(-5)=16+20=36` 

`sqrt(Delta)=6` 

`x_1=(-(-4)-6)/(2*1)=(4-6)/2=(-2)/2=-1` 

`x_2=(-(-4)+6)/(2*1)=(4+6)/2=10/2=5` 

II przypadek:

`x^2-4x=-(1/4x^2-x+3 3/4)` 

`x^2-4x=-1/4x^2+x-3 3/4` 

`x^2-4x+1/4x^2-x+3 3/4=0` 

`1 1/4x^2-5x+3 3/4=0` 

`5/4x^2-5x+15/4=0 \ \ \ |*4` 

`5x^2=20x+15=0 \ \ \ |:5` 

`x^2-4x+3=0` 

`Delta=(-4)^2-4*1*3=16-12=4` 

`sqrt(Delta)=2` 

`x_1=(-(-4)-2)/(2*1)=(4-2)/2=2/2=1` 

`x_2=(-(-4)+2)/(2*1)=(4+2)/2=6/2=3` 

 

GRAFICZNIE

`f(x)=|x^2-4x|` 

`g(x)=|1/4x^2-x+3 3/4|` 

Czy można ułożyć równanie kwadratowe tak, aby ...

`a)` 

`ax^2+bx+c=0` 

`-b/a=7\ implies \ a=-b/7`     

`c/a=3\ implies\ a=c/3` 

`a=a` 

`-b/7=c/3` 

`7c=-3b` 

`c=-3/7b` 

 

`"Przykładowo:"\ b=1\ implies\ c=-3/7\ implies \ a=-3/7*1/3=-3/21.` 

`-3/21x^2+x-3/7=0` 

`Delta=1-4*3/21*3/7=1-36/147>=0`   

`"Można ułożyć równanie spełniające założenia punktu a)."`    

 

`b)` 

`ax^2+bx+c=0` 

`-b/a=3\ implies \ a=-b/3`     

`c/a=7\ implies\ a=c/7` 

`-b/3=c/7` 

`c=-7/3b` 

`a=c/7=-7/3b*1/7=-7/21b` 

`Delta=b^2-4ac=b^2-4*(-7/3b)(-7/21b)=b^2-28/9b^2=-19/9b^2<0` 

`"Nie można ułóżyć takiego równania."`  

Przyjrzyj się powyższym rysunkom i, stosując metodę Talesa ...

`7/3=(225+115)/H`

`7H=3*(225+115)`

`7H=3*340`

`H=(3*340)/7=1020/7~~145,71\ m`