Arytmetyka liczb wymiernych - matura-podstawowa - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Arytmetyka liczb wymiernych - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Kolejność wykonywania działań

Przed rozpoczęcie wykonywania działań musimy pamiętać w jakiej kolejności to robić:

  1. Potęgi i nawiasy
  2. Mnożenie i dzielenie
  3. Dodawanie, odejmowanie

Dodawanie i odejmowanie liczb naturalnych

Podstawowe działanie, które ciągnie się za nami aż od podstawówki. Nie trzeba już chyba nic tłumaczyć. Przedstawiamy jedynie kilka przykładów.

Przykłady:

  • $19+16=35$
  • $105-0=105$
  • $123+452=575$
  • $356-185=171$

Dodawanie i odejmowanie liczb całkowitych

W tym wypadku musimy uważać na znaki "plus" i "minus", może się zdarzyć sytuacja, że znajdziemy dwa znaki obok siebie, wtedy musimy zamienić dwa znaki w jeden. Tabelka poniżej powinna wyjaśnić wszelkie wątpliwości:

tabelka

Przykłady:

  • $156-(-29)=156+29=185$
  • $99+(-65)=99-65=34$
  • $99+(101+25)=99+101+25=225$
  • $99-(101-65+2)=99-101+65-2=61$

Dodawanie i odejmowanie ułamków zwykłych

Najważniejszą rzeczą podczas dodawania i odejmowania ułamków zwykłych jest sprowadzenie danych ułamków do wspólnego mianownika.

Aby sprowadzić ułamek do wspólnego mianownika musimy rozszerzyć oba ułamki przez liczbę w taki sposób, aby otrzymać takie same mianowniki, a następnie dodać liczniki, czyli:

$1/3+3/4=1/3×4/4+3/4×3/3=4/{12}+9/{12}={13}/{12}=1{1}/{12}$

Wykonaliśmy mnożenie przez 1 w różnych formach ($4/4$ oraz $3/3$), przez co sprowadziliśmy ułamki do wspólnego mianownika (12), nie zaburzając działania.

Tak samo w przypadku odejmowania.

$1 1/5-3/4=6/5-3/4=6/5×4/4-3/4×5/5={24}/{20}-{15}/{20}={9}/{20}$

Pamiętaj, aby zawsze skracać ułamki!

Mnożenie i dzielenie liczb naturalnych

Podstawowe zasady do przypomnienia:

  1. Nie można dzielić przez 0,
  2. Mnożenie przez 0 dowolnej liczby daje nam 0,
  3. Mnożenie lub dzielenie przez 1 daje nam tą samą liczbę.

Przykłady:

  • $6×15=90$
  • $99×0=0$
  • $55÷5=11$

Mnożenie i dzielenie liczb całkowitych

Wszystko dzieje się identycznie jak w przypadku liczb naturalnych. Jednakże musimy skorzystać ponownie z tabelki zamiany znaków "plus" i "minus":

tabelka

Przykłady:

  • $7×(-8)=-56$
  • $-100÷4=-25$
  • $-55×(-3)=165$

Ponadto jeśli mamy mnożenie lub dzielenie przed nawiasem, mnożymy lub dzielimy każdy składnik nawiasu pamiętając o znaku, na przykład:

$-5(3+12-5)=-15-60+25=-50$
 

Mnożenie i dzielenie ułamków zwykłych

W przypadku mnożenia ułamków, sprawa prosta. Mnożymy:
Licznik razy Licznik i Mianownik razy Mianownik

Przykład:

$1/5×3/2=3/{10}$

W przypadku dzielenia w drugim z ułamków należy zamienić licznik z mianownikiem i wtedy pomnożyć oba ułamki.

Przykład:

$-{4}/{3}÷{2}/{5}=-4/3×5/2=-{20}/6$

Nie możemy mnożyć i dzielić ze sobą ułamków mieszanych. Najpierw musimy je zamienić na niewłaściwe.

Przykład:

$3 {1}/{5}×2 {1}/{4}={16}/{5}×9/4={144}/{20}={72}/{10}={36}/{5}=7{1}/{5}$

Porady

  • Możemy zostawiać wyniki w ułamkach w postaci niewłaściwej, ale koniecznie nieskracalnej
  • Ułamek to tak naprawdę dzielenie $1/2=1÷2 $
  • Skoro ułamek to dzielenie, w mianowniku nie może być 0
  • Skracać ułamki na krzyż (np. licznik pierwszego z mianownikiem drugiego) można tylko przy mnożeniu i dzieleniu. Przy dodawaniu i odejmowaniu jest to niedopuszczalne!

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Oblicz:
${2 1/2-0,9+2/3}/{1/4+1/5-1/3}=$

Zaczynamy od obliczenia tego co jest w liczniku i w mianowniku:
Licznik:
Zamieniamy wszystko na ułamki zwykłe lub niewłaściwe:
${2 1/2-0,9+2/3}/{1/4+1/5-1/3}={5/2-9/{10}+2/3}/{1/4+1/5-1/3}$

Sprowadzamy do wspólnego mianownika - przez 10, 2, 3 dzieli się 30
${5/2-9/{10}+2/3}/{1/4+1/5-1/3}={ {75}/{30}-{27}/{30}+{20}/{30} }/{1/4+1/5-1/3}$

I wykonujemy działanie
${ {68}/{30} }/{1/4+1/5-1/3}$

Mianownik:
Sprowadzamy ułamki w mianowniku do wspólnej wartości - przez 4,5,3 dzieli się 60.
${ {68}/{30} }/{ {15}/{60}+{12}/{60}-{20}/{60} }$

Pozostaje nam wykonać działanie
${ {68}/{30} }/{ {7}/{60} }={68}/{30} ÷ { {7}/{60} }$
Odwracamy drugi ułamek i mnożymy:
${68}/{30}×{60}/7$
I skracamy na krzyż:
${68}/1×2/7$
Mnożymy licznik przez licznik i mianownik przez mianownik i wynik:
${136}/{7}$

Zadanie 2.

Oblicz:
$5(3-1/2+7/8)-(1/2+2,5)=$

Najpierw bezpieczniej wykonać to co jest w nawiasie, znów wspólne mianowniki, 2 i 8 to 16:
$5(3-8/{16}+{14}/{16})-(1/2+2,5)=$

Musimy działać od lewej do prawej, więc najpierw wykonujemy odejmowanie, w drugim nawiasie przekształcamy dziesiętny
$5(2 8/{16}+{14}/{16})-(1/2+5/2)=$
Zamieniamy na ułamek niewłaściwy, ułatwi nam to potem mnożenie, w drugim dodajemy
$5({40}/{16}+{14}/{16})-6/2=$

Dodajemy to co w nawiasie i dzielimy ułamek wolny
$5×{54}/{16}-3=$

Wykonujemy najpierw mnożenie, jednakże skróćmy ułamek przez 2
$5×{27}/8-3=$

${135}/8-3=$

Rozszerzmy przez $8/8$ nasza trójkę i mamy wynik:
${135}/8-{24}/8={111}/8$

Zadanie 3.

Oblicz: ${2+2/3-3/5÷{6/5} }/{5/2×2/3}=$

Zaczynamy znów np. od licznika, możemy zrobić dodawanie, które nam nie koliduje z dzieleniem, ale już odejmowanie nie, bo przeczy to kolejności, zamienimy również dzielenie na mnożenie, więc:
Licznik:
${6/3+2/3-3/5×5/6}/{5/2×2/3}=$

Skracamy ułamki w mnożeniu i dodajemy pozostałe
${8/3-1/1×1/2}/{5/2×2/3}=$

Mnożymy ułamki
${8/3-1/2}/{5/2×2/3}=$

Następnie sprowadzamy do wspólnego mianownika
${ {16}/6-3/6}/{5/2×2/3}=$

I odejmujemy
${ {13}/6}/{5/2×2/3}=$

Mianownik:
Mnożymy liczniki i mianowniki ze sobą
${ {13}/6}/{ {10}/6}= $

Kreska ułamkowa to znak dzielenia, więc
${13}/6÷ { {10}/6}=$

Zamieniamy na mnożenie
${13}/6×6/{10}=$

Skracamy szóstki ${13}/1×1/{10}={13}/{10}$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Przyjmijmy, że liczby a, b, c oraz...

     {premium}

 

 


 

 

 

 

 

Co można powiedzieć o wektorach u i v

a) wektory są równoległe i mają zgodne zwroty

{premium}

b) wektory są równoległe i mają przeciwne zwroty

c) wektory nie są równoległe lub są równoległe i mają przeciwne zwroty

Niech a=123,4*10^(-12)...

Uprośćmy podane w zadaniu wyrażenia:

 {premium}

 

Stąd dostajemy, że:

b<c<a<d

 

Odp. C   

Oblicz długość wektora AB, jeśli:

a)

 

     {premium}

 


b)

 

 

 


c)

 

 

 


d)

 

 

 

Pierwsza...

Dana jest funkcja kwadratowa określona wzorem w postaci iloczynowej

możemy więc odczytać miejsca zerowe tej funkcji. 

Są nimi liczby{premium}

Obliczmy współrzędną  p wierzchołka W = (p, q) wykresu tej funkcji. 

Otrzymujemy

 

Odp. C.  

Oblicz długość przekątnej sześcianu o krawędzi a

 Długość przekątnej sześcianu (d) o boku a wyraża się wzorem: 

 

 

{premium}

Wykaż, że jeśli dwie wysokości trójkąta poprowadzone...

Założenie:

Dwie wysokości trójkąta poprowadzone do dwóch różnych boków są równej długości

Teza:

Ten trójkąt jest równoramienny

Dowód:

Wykonajmy rysunek pomocniczy{premium}

Dany jest  trójkąt ABC w którym wysokości

są równej długości. 

Rozważmy trójkąty ABE i ABD. 

Wiemy, że

czyli są to trójkąty prostokątne. 

W obu tych trójkątach jedną z przyprostokątnych jest bok o długości h, a przeciwprostokątną jest bok AB. 

Z twierdzenia Pitagorasa dostajemy, że pozostałe boki tych trójkątów, są równej długości czyli, że

Dostaliśmy, że boki trójkątów ABE i ABD są równej długości,

czyli na podstawie cechy przystawania bok-bok-bok (bbb)

te trójkąty są przystające. 

Skoro te trójkąty są przystające to oznacza, że odpowiednie kąty mają równe miary, czyli zachodzi

czyli dostajemy, że wyjściowy trójkąt ABC ma przy wierzchołkach A i B kąty równej miary, 

zatem jest to trójkąt równoramienny.

 

c.n.d.

Liczba 0,05 jest przybliżenie liczby ...

Sprawdźmy A.

Zauważmy, że przybliżenie jest większa niż dana liczba, zatem jest to przybliżenie z nadmiarem. {premium}

Zatem zdanie A. jest fałszywe.

 

Sprawdźmy B.

Zauważmy, że zaokrąglając do drugiego miejsca po przecinku otrzymujemy:

 

Zatem zaokrąglono zgodnie z regułą zaokrąglania.

Zatem zdanie B. jest fałszywe.

 

Sprawdźmy C.

Obliczmy błąd bezwzględny tego przybliżenia.

 

Zatem zdanie C. jest fałszywe.

 

Sprawdźmy D. 

Obliczmy błąd procentowy tego przybliżenia.

 

Błąd względny tego przybliżenia jest większy niż 1%.

Zatem zdanie D. jest prawdziwe.

 

Odp. D

 

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji...

A. Jeżeli poprowadzimy prostą y = 1 to widzimy, że przecina wykres funkcji w trzech punktach.

Fałsz

{premium}

 

B. Jeżeli poprowadzimy prostą y = 2 to widzimy, że przecina wykres funkcji w jednym punkcie. (drugi punkt jest poza narysowaną częścią wykresu)

Fałsz

 

C. Podobnie jak w A. jeżeli poprowadzimy prostą y = 1/2 to widzimy, że przecina wykres funkcji w trzech punktach.

Prawda 

Dana jest prosta l: ...

Sprawdźmy A.

Dla x=3 otrzymujemy:

 

 

Zatem punkt przecięcia z osią x to (3,0).    {premium}

Dla x=0 otrzymujemy:

 

 

Zatem punkt przecięcia z osią y to (0,3).

Zdanie prawdziwe.

 

Sprawdźmy B.

Przekształcając do postaci kierunkowej mamy:

 

Jest to funkcja malejąca, która przecina oś y w punkcie (0,3), zatem przechodzi przez I, II i IV.

Zdanie prawdziwe.

 

Sprawdźmy C.

Przekształcając do postaci kierunkowej mamy:

 

 

 

Łatwo zauważyć, że iloczyn współczynników kierunkowych prostej y=-x+3 i y=x+3 jest równy -1, zatem są to proste prostopadłe.

Zdanie prawdziwe.

 

Sprawdźmy D.

 

 

 

 

Łatwo zauważyć, że drugie równanie spełnia każda liczba większa lub równa 1, zatem istnieje nieskończenie wiele punktów wspólnych.

Zdanie fałszywe.

 

Odp. D