Arytmetyka liczb wymiernych - matura-podstawowa - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Arytmetyka liczb wymiernych - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Kolejność wykonywania działań

Przed rozpoczęcie wykonywania działań musimy pamiętać w jakiej kolejności to robić:

  1. Potęgi i nawiasy
  2. Mnożenie i dzielenie
  3. Dodawanie, odejmowanie

Dodawanie i odejmowanie liczb naturalnych

Podstawowe działanie, które ciągnie się za nami aż od podstawówki. Nie trzeba już chyba nic tłumaczyć. Przedstawiamy jedynie kilka przykładów.

Przykłady:

  • $19+16=35$
  • $105-0=105$
  • $123+452=575$
  • $356-185=171$

Dodawanie i odejmowanie liczb całkowitych

W tym wypadku musimy uważać na znaki "plus" i "minus", może się zdarzyć sytuacja, że znajdziemy dwa znaki obok siebie, wtedy musimy zamienić dwa znaki w jeden. Tabelka poniżej powinna wyjaśnić wszelkie wątpliwości:

tabelka

Przykłady:

  • $156-(-29)=156+29=185$
  • $99+(-65)=99-65=34$
  • $99+(101+25)=99+101+25=225$
  • $99-(101-65+2)=99-101+65-2=61$

Dodawanie i odejmowanie ułamków zwykłych

Najważniejszą rzeczą podczas dodawania i odejmowania ułamków zwykłych jest sprowadzenie danych ułamków do wspólnego mianownika.

Aby sprowadzić ułamek do wspólnego mianownika musimy rozszerzyć oba ułamki przez liczbę w taki sposób, aby otrzymać takie same mianowniki, a następnie dodać liczniki, czyli:

$1/3+3/4=1/3×4/4+3/4×3/3=4/{12}+9/{12}={13}/{12}=1{1}/{12}$

Wykonaliśmy mnożenie przez 1 w różnych formach ($4/4$ oraz $3/3$), przez co sprowadziliśmy ułamki do wspólnego mianownika (12), nie zaburzając działania.

Tak samo w przypadku odejmowania.

$1 1/5-3/4=6/5-3/4=6/5×4/4-3/4×5/5={24}/{20}-{15}/{20}={9}/{20}$

Pamiętaj, aby zawsze skracać ułamki!

Mnożenie i dzielenie liczb naturalnych

Podstawowe zasady do przypomnienia:

  1. Nie można dzielić przez 0,
  2. Mnożenie przez 0 dowolnej liczby daje nam 0,
  3. Mnożenie lub dzielenie przez 1 daje nam tą samą liczbę.

Przykłady:

  • $6×15=90$
  • $99×0=0$
  • $55÷5=11$

Mnożenie i dzielenie liczb całkowitych

Wszystko dzieje się identycznie jak w przypadku liczb naturalnych. Jednakże musimy skorzystać ponownie z tabelki zamiany znaków "plus" i "minus":

tabelka

Przykłady:

  • $7×(-8)=-56$
  • $-100÷4=-25$
  • $-55×(-3)=165$

Ponadto jeśli mamy mnożenie lub dzielenie przed nawiasem, mnożymy lub dzielimy każdy składnik nawiasu pamiętając o znaku, na przykład:

$-5(3+12-5)=-15-60+25=-50$
 

Mnożenie i dzielenie ułamków zwykłych

W przypadku mnożenia ułamków, sprawa prosta. Mnożymy:
Licznik razy Licznik i Mianownik razy Mianownik

Przykład:

$1/5×3/2=3/{10}$

W przypadku dzielenia w drugim z ułamków należy zamienić licznik z mianownikiem i wtedy pomnożyć oba ułamki.

Przykład:

$-{4}/{3}÷{2}/{5}=-4/3×5/2=-{20}/6$

Nie możemy mnożyć i dzielić ze sobą ułamków mieszanych. Najpierw musimy je zamienić na niewłaściwe.

Przykład:

$3 {1}/{5}×2 {1}/{4}={16}/{5}×9/4={144}/{20}={72}/{10}={36}/{5}=7{1}/{5}$

Porady

  • Możemy zostawiać wyniki w ułamkach w postaci niewłaściwej, ale koniecznie nieskracalnej
  • Ułamek to tak naprawdę dzielenie $1/2=1÷2 $
  • Skoro ułamek to dzielenie, w mianowniku nie może być 0
  • Skracać ułamki na krzyż (np. licznik pierwszego z mianownikiem drugiego) można tylko przy mnożeniu i dzieleniu. Przy dodawaniu i odejmowaniu jest to niedopuszczalne!

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Oblicz:
${2 1/2-0,9+2/3}/{1/4+1/5-1/3}=$

Zaczynamy od obliczenia tego co jest w liczniku i w mianowniku:
Licznik:
Zamieniamy wszystko na ułamki zwykłe lub niewłaściwe:
${2 1/2-0,9+2/3}/{1/4+1/5-1/3}={5/2-9/{10}+2/3}/{1/4+1/5-1/3}$

Sprowadzamy do wspólnego mianownika - przez 10, 2, 3 dzieli się 30
${5/2-9/{10}+2/3}/{1/4+1/5-1/3}={ {75}/{30}-{27}/{30}+{20}/{30} }/{1/4+1/5-1/3}$

I wykonujemy działanie
${ {68}/{30} }/{1/4+1/5-1/3}$

Mianownik:
Sprowadzamy ułamki w mianowniku do wspólnej wartości - przez 4,5,3 dzieli się 60.
${ {68}/{30} }/{ {15}/{60}+{12}/{60}-{20}/{60} }$

Pozostaje nam wykonać działanie
${ {68}/{30} }/{ {7}/{60} }={68}/{30} ÷ { {7}/{60} }$
Odwracamy drugi ułamek i mnożymy:
${68}/{30}×{60}/7$
I skracamy na krzyż:
${68}/1×2/7$
Mnożymy licznik przez licznik i mianownik przez mianownik i wynik:
${136}/{7}$

Zadanie 2.

Oblicz:
$5(3-1/2+7/8)-(1/2+2,5)=$

Najpierw bezpieczniej wykonać to co jest w nawiasie, znów wspólne mianowniki, 2 i 8 to 16:
$5(3-8/{16}+{14}/{16})-(1/2+2,5)=$

Musimy działać od lewej do prawej, więc najpierw wykonujemy odejmowanie, w drugim nawiasie przekształcamy dziesiętny
$5(2 8/{16}+{14}/{16})-(1/2+5/2)=$
Zamieniamy na ułamek niewłaściwy, ułatwi nam to potem mnożenie, w drugim dodajemy
$5({40}/{16}+{14}/{16})-6/2=$

Dodajemy to co w nawiasie i dzielimy ułamek wolny
$5×{54}/{16}-3=$

Wykonujemy najpierw mnożenie, jednakże skróćmy ułamek przez 2
$5×{27}/8-3=$

${135}/8-3=$

Rozszerzmy przez $8/8$ nasza trójkę i mamy wynik:
${135}/8-{24}/8={111}/8$

Zadanie 3.

Oblicz: ${2+2/3-3/5÷{6/5} }/{5/2×2/3}=$

Zaczynamy znów np. od licznika, możemy zrobić dodawanie, które nam nie koliduje z dzieleniem, ale już odejmowanie nie, bo przeczy to kolejności, zamienimy również dzielenie na mnożenie, więc:
Licznik:
${6/3+2/3-3/5×5/6}/{5/2×2/3}=$

Skracamy ułamki w mnożeniu i dodajemy pozostałe
${8/3-1/1×1/2}/{5/2×2/3}=$

Mnożymy ułamki
${8/3-1/2}/{5/2×2/3}=$

Następnie sprowadzamy do wspólnego mianownika
${ {16}/6-3/6}/{5/2×2/3}=$

I odejmujemy
${ {13}/6}/{5/2×2/3}=$

Mianownik:
Mnożymy liczniki i mianowniki ze sobą
${ {13}/6}/{ {10}/6}= $

Kreska ułamkowa to znak dzielenia, więc
${13}/6÷ { {10}/6}=$

Zamieniamy na mnożenie
${13}/6×6/{10}=$

Skracamy szóstki ${13}/1×1/{10}={13}/{10}$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Jaki kąt tworzą wskazówki zegara o godzinie

 

O godzinie 15.30 duża wskazówka znajduje się na 6, natomiast mała znajduje się dokładnie w połowie drogi między 3 a 4, dlatego{premium} podzieliliśmy zegar na 24 równe części. 

   

 

 

 

 

O godzinie 15.40 duża wskazówka znajduje się na 8, natomiast mała wskazówka znajduje się dokładnie w  drogi między 3 i 4, dlatego podzieliliśmy zegar na 36 równych części. 

      

 

 

 

 

 

 

 

O godzinie 12.45 duża wskazówka znajduje się na 9, natomiast mała wskazówka znajduje się dokładnie w  drogi między 12 a 1, dlatego podzieliliśmy zegar na 48 równych części.

 

 

 

 

 

 

O godzinie 12:50 duża wskazówka znajduje się dokładnie na 10, a mała wskazówka znajduje się w  drogi między 12 a 1, dlatego podzieliliśmy zegar na 72 części (nie rysujemy wszystkich kreseczek - między 12 a 1 jest  6 części, tak samo między 1 a 2 itd)

 

  

Oblicz pole zacieniowanej...

a) Wykonajmy rysunek pomocniczy:



Obliczmy pierwszą współrzędną punktu A:    {premium}

 

 

 


Obliczmy drugą współrzędną punktu B:

 


Obliczmy pole zaznaczonego trójkąta:

 


b) Wykonajmy rysunek pomocniczy:



Obliczmy drugą współrzędną punktu C:

 

 


Obliczmy pole zaznaczonego trójkąta:

 


c) Wykonajmy rysunek pomocniczy:


Obliczmy pierwszą współrzędną punktu F i E:

 

 

 


Obliczmy drugą współrzędną punktu G:



zatem:

 

 


Obliczmy pole zaznaczonego trapezu:

 

Na rysunku przedstawiono wykres...

Dla każdego argumentu z przedziału:

{premium}  

Istnieje wartość a więc to jest dziedzina funkcji f.

Punkty newralgiczne to:

 

 

Odpowiedź A

Sinus jednego z kątów ostrych...

 

{premium}  

 

Oznaczmy długość drugiej przyprostokątnej przez b, wtedy z twierdzenia Pitagorasa:

 

 

 

 

 

 

 

 

Odpowiedź D

Rozwiąż równania:

Będziemy korzystać z symbolicznej definicji wartości bezwzględnej:

 


 

Z definicji wartości bezwzględnej:

 

 

 


 

Z definicji wartości bezwzględnej:

 

 {premium}


 

Z definicji wartości bezwzględnej:

 

 

 


 

Z definicji wartości bezwzględnej:

 

 

 


 

Z definicji wartości bezwzględnej:

 

 

 


 

 

Z definicji wartości bezwzględnej:

 

 

 


 

 

Z definicji wartości bezwzględnej:

 

 

 


 

 

 

Z definicji wartości bezwzględnej:

 

 

 


 

 

 

Z definicji wartości bezwzględnej:

 

 

 

Korzystając z definicji funkcji trygonometrycznych...

Korzystając z definicji funkcji trygonometrycznych uzasadnijmy następującą tożsamość:

    {premium}


 

 

zatem:

 

 

 


Korzystając z definicji funkcji trygonometrycznych uzasadnijmy następującą tożsamość:

 


 

 

 

zatem:

 

 

 

Rozwiąż równanie korzystając z podanej własności

 

{premium}

 

 

   

 

 

 

 

 

 

  

 

 

Zaznacz wektor w układzie ...

 

 

{premium}    

 

 

  

 

 

    

 

 

 

` `

Które spośród liczb

Do przedziału należą liczby większe od -2 2/3 i nie większe niż 3 2/3

Porównamy podane liczby:{premium}

Sprowadzimy końce przedziału oraz drugą z podanych liczb do wspólnego mianownika, aby łatwo można było sprawdzić, czy liczba należy do przedziału: 

 

 

Sprowadzimy końce przedziału oraz trzecią z podanych liczb do wspólnego mianownika, aby łatwo można było sprawdzić, czy liczba należy do przedziału. Podana liczba jest dodatnia, więc na pewno jest większa od lewego końca przedziału (który jest liczbą ujemną). Wystarczy więc sprawdzić, czy podana liczba jest nie większa od prawego końca przedziału:

 

 

 

 

Zamienimy liczbę y na ułamek zwykły. 

 

 

 

 

 

Zamienimy liczbę z na ułamek zwykły. 

 

 

 

 

 

 

 

Oblicz pozostałe wartości funkcji trygonometrycznych...

Podstawowe tożsamości trygonometryczne:

 

 

 

 

Tożsamość 1) nazywamy jedynką trygonometryczną.


 


 

Obliczamy cos 𝛼 z jedynki trygonometrycznej:

 

 

 

 {premium}

odrzucamy

Obliczamy tg 𝛼 ze wzoru 3):

 

Obliczamy ctg 𝛼 ze wzoru 4):

 

Otrzymaliśmy:

 


 

Obliczamy sin 𝛼 z jedynki trygonometrycznej:

 

 

 

 

odrzucamy

Obliczamy tg 𝛼 ze wzoru 3):

 

Obliczamy ctg 𝛼 ze wzoru 4):

 

Otrzymaliśmy:

 


 

Obliczamy ctg 𝛼 ze wzoru 2):

 

 

 

Ze wzoru 3) wyznaczmy związek sinusa z cosinusem:

 

 

 

Wykorzystując powyższą zależność i jedynkę trygonometryczną, obliczamy cos 𝛼:

 

 

 

 

 

odrzucamy

Obliczamy sin 𝛼:

 

 

Otrzymaliśmy:

 


 

Obliczamy tg 𝛼 ze wzoru 2):

 

 

 

Ze wzoru 3) wyznaczmy związek sinusa z cosinusem:

 

 

 

Wykorzystując powyższą zależność i jedynkę trygonometryczną, obliczamy cos 𝛼:

 

 

 

 

 

odrzucamy

Obliczamy sin 𝛼:

 

 

Otrzymaliśmy: