Arytmetyka liczb wymiernych - matura-podstawowa - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Arytmetyka liczb wymiernych - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Kolejność wykonywania działań

Przed rozpoczęcie wykonywania działań musimy pamiętać w jakiej kolejności to robić:

  1. Potęgi i nawiasy
  2. Mnożenie i dzielenie
  3. Dodawanie, odejmowanie

Dodawanie i odejmowanie liczb naturalnych

Podstawowe działanie, które ciągnie się za nami aż od podstawówki. Nie trzeba już chyba nic tłumaczyć. Przedstawiamy jedynie kilka przykładów.

Przykłady:

  • $19+16=35$
  • $105-0=105$
  • $123+452=575$
  • $356-185=171$

Dodawanie i odejmowanie liczb całkowitych

W tym wypadku musimy uważać na znaki "plus" i "minus", może się zdarzyć sytuacja, że znajdziemy dwa znaki obok siebie, wtedy musimy zamienić dwa znaki w jeden. Tabelka poniżej powinna wyjaśnić wszelkie wątpliwości:

tabelka

Przykłady:

  • $156-(-29)=156+29=185$
  • $99+(-65)=99-65=34$
  • $99+(101+25)=99+101+25=225$
  • $99-(101-65+2)=99-101+65-2=61$

Dodawanie i odejmowanie ułamków zwykłych

Najważniejszą rzeczą podczas dodawania i odejmowania ułamków zwykłych jest sprowadzenie danych ułamków do wspólnego mianownika.

Aby sprowadzić ułamek do wspólnego mianownika musimy rozszerzyć oba ułamki przez liczbę w taki sposób, aby otrzymać takie same mianowniki, a następnie dodać liczniki, czyli:

$1/3+3/4=1/3×4/4+3/4×3/3=4/{12}+9/{12}={13}/{12}=1{1}/{12}$

Wykonaliśmy mnożenie przez 1 w różnych formach ($4/4$ oraz $3/3$), przez co sprowadziliśmy ułamki do wspólnego mianownika (12), nie zaburzając działania.

Tak samo w przypadku odejmowania.

$1 1/5-3/4=6/5-3/4=6/5×4/4-3/4×5/5={24}/{20}-{15}/{20}={9}/{20}$

Pamiętaj, aby zawsze skracać ułamki!

Mnożenie i dzielenie liczb naturalnych

Podstawowe zasady do przypomnienia:

  1. Nie można dzielić przez 0,
  2. Mnożenie przez 0 dowolnej liczby daje nam 0,
  3. Mnożenie lub dzielenie przez 1 daje nam tą samą liczbę.

Przykłady:

  • $6×15=90$
  • $99×0=0$
  • $55÷5=11$

Mnożenie i dzielenie liczb całkowitych

Wszystko dzieje się identycznie jak w przypadku liczb naturalnych. Jednakże musimy skorzystać ponownie z tabelki zamiany znaków "plus" i "minus":

tabelka

Przykłady:

  • $7×(-8)=-56$
  • $-100÷4=-25$
  • $-55×(-3)=165$

Ponadto jeśli mamy mnożenie lub dzielenie przed nawiasem, mnożymy lub dzielimy każdy składnik nawiasu pamiętając o znaku, na przykład:

$-5(3+12-5)=-15-60+25=-50$
 

Mnożenie i dzielenie ułamków zwykłych

W przypadku mnożenia ułamków, sprawa prosta. Mnożymy:
Licznik razy Licznik i Mianownik razy Mianownik

Przykład:

$1/5×3/2=3/{10}$

W przypadku dzielenia w drugim z ułamków należy zamienić licznik z mianownikiem i wtedy pomnożyć oba ułamki.

Przykład:

$-{4}/{3}÷{2}/{5}=-4/3×5/2=-{20}/6$

Nie możemy mnożyć i dzielić ze sobą ułamków mieszanych. Najpierw musimy je zamienić na niewłaściwe.

Przykład:

$3 {1}/{5}×2 {1}/{4}={16}/{5}×9/4={144}/{20}={72}/{10}={36}/{5}=7{1}/{5}$

Porady

  • Możemy zostawiać wyniki w ułamkach w postaci niewłaściwej, ale koniecznie nieskracalnej
  • Ułamek to tak naprawdę dzielenie $1/2=1÷2 $
  • Skoro ułamek to dzielenie, w mianowniku nie może być 0
  • Skracać ułamki na krzyż (np. licznik pierwszego z mianownikiem drugiego) można tylko przy mnożeniu i dzieleniu. Przy dodawaniu i odejmowaniu jest to niedopuszczalne!

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Oblicz:
${2 1/2-0,9+2/3}/{1/4+1/5-1/3}=$

Zaczynamy od obliczenia tego co jest w liczniku i w mianowniku:
Licznik:
Zamieniamy wszystko na ułamki zwykłe lub niewłaściwe:
${2 1/2-0,9+2/3}/{1/4+1/5-1/3}={5/2-9/{10}+2/3}/{1/4+1/5-1/3}$

Sprowadzamy do wspólnego mianownika - przez 10, 2, 3 dzieli się 30
${5/2-9/{10}+2/3}/{1/4+1/5-1/3}={ {75}/{30}-{27}/{30}+{20}/{30} }/{1/4+1/5-1/3}$

I wykonujemy działanie
${ {68}/{30} }/{1/4+1/5-1/3}$

Mianownik:
Sprowadzamy ułamki w mianowniku do wspólnej wartości - przez 4,5,3 dzieli się 60.
${ {68}/{30} }/{ {15}/{60}+{12}/{60}-{20}/{60} }$

Pozostaje nam wykonać działanie
${ {68}/{30} }/{ {7}/{60} }={68}/{30} ÷ { {7}/{60} }$
Odwracamy drugi ułamek i mnożymy:
${68}/{30}×{60}/7$
I skracamy na krzyż:
${68}/1×2/7$
Mnożymy licznik przez licznik i mianownik przez mianownik i wynik:
${136}/{7}$

Zadanie 2.

Oblicz:
$5(3-1/2+7/8)-(1/2+2,5)=$

Najpierw bezpieczniej wykonać to co jest w nawiasie, znów wspólne mianowniki, 2 i 8 to 16:
$5(3-8/{16}+{14}/{16})-(1/2+2,5)=$

Musimy działać od lewej do prawej, więc najpierw wykonujemy odejmowanie, w drugim nawiasie przekształcamy dziesiętny
$5(2 8/{16}+{14}/{16})-(1/2+5/2)=$
Zamieniamy na ułamek niewłaściwy, ułatwi nam to potem mnożenie, w drugim dodajemy
$5({40}/{16}+{14}/{16})-6/2=$

Dodajemy to co w nawiasie i dzielimy ułamek wolny
$5×{54}/{16}-3=$

Wykonujemy najpierw mnożenie, jednakże skróćmy ułamek przez 2
$5×{27}/8-3=$

${135}/8-3=$

Rozszerzmy przez $8/8$ nasza trójkę i mamy wynik:
${135}/8-{24}/8={111}/8$

Zadanie 3.

Oblicz: ${2+2/3-3/5÷{6/5} }/{5/2×2/3}=$

Zaczynamy znów np. od licznika, możemy zrobić dodawanie, które nam nie koliduje z dzieleniem, ale już odejmowanie nie, bo przeczy to kolejności, zamienimy również dzielenie na mnożenie, więc:
Licznik:
${6/3+2/3-3/5×5/6}/{5/2×2/3}=$

Skracamy ułamki w mnożeniu i dodajemy pozostałe
${8/3-1/1×1/2}/{5/2×2/3}=$

Mnożymy ułamki
${8/3-1/2}/{5/2×2/3}=$

Następnie sprowadzamy do wspólnego mianownika
${ {16}/6-3/6}/{5/2×2/3}=$

I odejmujemy
${ {13}/6}/{5/2×2/3}=$

Mianownik:
Mnożymy liczniki i mianowniki ze sobą
${ {13}/6}/{ {10}/6}= $

Kreska ułamkowa to znak dzielenia, więc
${13}/6÷ { {10}/6}=$

Zamieniamy na mnożenie
${13}/6×6/{10}=$

Skracamy szóstki ${13}/1×1/{10}={13}/{10}$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Na rysunku obok przedstawiono wykresy ...

 

Z rysunku odczytujemy zbiór argumentów, dla których funkcja  przyjmuje wartości mniejsze od wartości funkcji  (wykres funkcji  znajduje się pod wykresem funkcji ). {premium}

 

Odpowiedź: D


 

Iloczyn dwóch liczb jest dodatni, gdy obie te liczby są dodatnie lub obie są ujemne. Z rysunku odczytujemy zbiór argumentów, dla których funkcje  jednocześnie przyjmują wartości dodatnie lub jednocześnie przyjmują wartości ujemne (wykresy funkcji  znajdują się jednocześnie nad osią   lub jednocześnie pod osią ).

 

Odpowiedź: B

Tylko w jednym z poniższych zdań symbol...

A. W tym przypadku nie możemy zastąpić symbolu implikacji znakiem równoważności ponieważ 

np.:  {premium}

  to liczba wymierna ale liczba   to liczba niewymierna


B. W tym przypadku nie możemy zastąpić symbolu implikacji znakiem równoważności ponieważ 

np.:

 jest dzielnikiem liczby   nie jest podzielna przez   


C. W tym przypadku możemy zastąpić symbol implikacji znakiem równoważności ponieważ 

 

 

 


D. W tym przypadku nie możemy zastąpić symbolu implikacji znakiem równoważności ponieważ 

np.:

 

 

 

Zapisz zbiór: a) nazw dni ...

 {premium}


 


 


 


 


 

Wyznacz równanie prostej będącej obrazem...

Doprowadźmy równanie prostej do postaci kierunkowej:

 

 

 

Równanie dowolnej prostej prostopadłej do tej prostej to:

 

 

a) Wyznaczmy prostą prostopadłą do prostej 4x + 2y = 1 , przechodzącą przez punk S:

  

Wstawmy współrzędne punktu S:

 

 

a więc:

 

 

Punkt przecięcia się prostych:

 

 

 

 

zatem

 

 

 

 

 

 

A więc:

 

 

 

 

{premium}  

 

 

Wyznaczmy równanie prostej równoległej do prostej  

przechodzącej przez punkt A', wstawmy współrzędne tego punktu do równania prostej:

  

 

 

  

 

a więc:

  

 

a) Wyznaczmy prostą prostopadłą do prostej 4x + 2y = 1 , przechodzącą przez punk S:

  

Wstawmy współrzędne punktu S:

 

 

a więc:

 

 

Punkt przecięcia się prostych:

 

 

 

 

zatem

 

 

 

 

 

 

A więc:

 

 

 

 

 

 

 

Wyznaczmy równanie prostej równoległej do prostej  

przechodzącej przez punkt A', wstawmy współrzędne tego punktu do równania prostej:

  

 

 

  

 

a więc:

  

 

c) Wyznaczmy prostą prostopadłą do prostej 4x + 2y = 1 , przechodzącą przez punk S:

  

Wstawmy współrzędne punktu S:

 

 

a więc:

 

 

Punkt przecięcia się prostych:

 

 

 

 

zatem

 

 

 

 

 

 

A więc:

 

 

 

 

 

 

 

Wyznaczmy równanie prostej równoległej do prostej  

przechodzącej przez punkt A', wstawmy współrzędne tego punktu do równania prostej:

  

 

 

  

 

a więc:

  

 

d) Wyznaczmy prostą prostopadłą do prostej 4x + 2y = 1 , przechodzącą przez punk S:

  

Wstawmy współrzędne punktu S:

 

 

a więc:

 

 

Punkt przecięcia się prostych:

 

 

 

 

zatem

 

 

 

 

 

 

A więc:

 

 

 

 

 

 

 

Wyznaczmy równanie prostej równoległej do prostej  

przechodzącej przez punkt A', wstawmy współrzędne tego punktu do równania prostej:

  

 

 

  

 

a więc:

  

Udowodnij cechę podzielności przez...

Sformułujmy twierdzenie, które chcemy dowieść:

Jeżeli suma cyfr liczby naturalnej trzycyfrowej jest podzielna przez 3, to ta liczba jest podzielna przez 3.


Liczbę trzycyfrową o cyfrze setek a, cyfrze dziesiątek b i cyfrze jedności c możemy{premium} zapisać w postaci n=100a+10b+c, przy czym cyfra setek musi być rożna od zera, aby liczba była trzycyfrowa. Wynikają stąd następujące założenia.

Założenia:

n=100a+10b+c

a, b, c - cyfry

a≠0

a+b+c=3k, gdzie∈ N (zakładamy, że istnieje takie k naturalne, że suma cyfr jest podzielna przez 3)


Teza:

Istnieje takie ∈ N, że n=3m (czyli liczba n jest podzielna przez 3).


Dowód:

 

Suma liczb naturalnych jest liczbą naturalną, więc możemy przyjąć, że 33a+3b+k=m.

Pokazaliśmy więc, że n=3m, gdzie ∈ N, co należało dowieść.

Czy suma czterech kolejnych...

Niech n będzie liczbą naturalną. Wówczas cztery kolejne liczby naturalne to{premium} n, n+1, n+2, n+3.

Suma tych liczb jest równa

n+n+1+n+2+n+3=4n+6=4n+4+2=4(n+1)+2=4q+2

Liczba n jest naturalna, więc liczba q=n+1 jest naturalna. 

W takim razie wyrażenie 4q+2 oznacza liczbę naturalną, która przy dzieleniu przez 4 daje resztę 2.

Odp. Suma czterech kolejnych liczb naturalnych nie jest podzielna przez 4, bo reszta z dzielenia tej sumy przez 4 jest równa 2.

Która nierówność nie ma rozwiązań?

 

 

 {premium}

 

Nierówność jest spełniona przez każdą liczbę rzeczywistą.

 


 

 

 

 

Nierówność jest sprzeczna, czyli nie ma rozwiązań.


 

 

 

 


 

 

 

 


Prawidłowa odpowiedź to B.

Oblicz NWD(a, b) i ...

 

Podane liczby rozkładamy na czynniki pierwsze:

 

 


Największy wspólny dzielnik liczb 12 i 144 jest równy:

 

Najmniejsza wspólna wielokrotność liczb 12 i 144 jest równa:

  {premium}


 

Podane liczby rozkładamy na czynniki pierwsze:

 

 


Największy wspólny dzielnik liczb 126 i 36 jest równy:

 

Najmniejsza wspólna wielokrotność liczb 126 i 36 jest równa:

 


 

Podane liczby rozkładamy na czynniki pierwsze:

 

 


Największy wspólny dzielnik liczb 155 i 410 jest równy:

 

Najmniejsza wspólna wielokrotność liczb 155 i 410 jest równa:

 


 

Podane liczby rozkładamy na czynniki pierwsze:

 

 


Największy wspólny dzielnik liczb 840 i 10 780 jest równy:

 

Najmniejsza wspólna wielokrotność liczb 840 i 10 780 jest równa:

 

Objętość kuli o promieniu ...

Objętość kuli o promieniu długości 3.

 {premium}

Objętość kuli o promieniu długości 4.

 

Objętość kuli o promieniu długości 5.

 


Objętość kuli o promieniu długości R jest zatem równa:

 


Wyznaczamy długość R.

 

 

 

 

Uzupełnij dwiema kolejnymi liczbami naturalnymi

{premium}