Arytmetyka liczb wymiernych - matura-podstawowa - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Arytmetyka liczb wymiernych - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Kolejność wykonywania działań

Przed rozpoczęcie wykonywania działań musimy pamiętać w jakiej kolejności to robić:

  1. Potęgi i nawiasy
  2. Mnożenie i dzielenie
  3. Dodawanie, odejmowanie

Dodawanie i odejmowanie liczb naturalnych

Podstawowe działanie, które ciągnie się za nami aż od podstawówki. Nie trzeba już chyba nic tłumaczyć. Przedstawiamy jedynie kilka przykładów.

Przykłady:

  • $19+16=35$
  • $105-0=105$
  • $123+452=575$
  • $356-185=171$

Dodawanie i odejmowanie liczb całkowitych

W tym wypadku musimy uważać na znaki "plus" i "minus", może się zdarzyć sytuacja, że znajdziemy dwa znaki obok siebie, wtedy musimy zamienić dwa znaki w jeden. Tabelka poniżej powinna wyjaśnić wszelkie wątpliwości:

tabelka

Przykłady:

  • $156-(-29)=156+29=185$
  • $99+(-65)=99-65=34$
  • $99+(101+25)=99+101+25=225$
  • $99-(101-65+2)=99-101+65-2=61$

Dodawanie i odejmowanie ułamków zwykłych

Najważniejszą rzeczą podczas dodawania i odejmowania ułamków zwykłych jest sprowadzenie danych ułamków do wspólnego mianownika.

Aby sprowadzić ułamek do wspólnego mianownika musimy rozszerzyć oba ułamki przez liczbę w taki sposób, aby otrzymać takie same mianowniki, a następnie dodać liczniki, czyli:

$1/3+3/4=1/3×4/4+3/4×3/3=4/{12}+9/{12}={13}/{12}=1{1}/{12}$

Wykonaliśmy mnożenie przez 1 w różnych formach ($4/4$ oraz $3/3$), przez co sprowadziliśmy ułamki do wspólnego mianownika (12), nie zaburzając działania.

Tak samo w przypadku odejmowania.

$1 1/5-3/4=6/5-3/4=6/5×4/4-3/4×5/5={24}/{20}-{15}/{20}={9}/{20}$

Pamiętaj, aby zawsze skracać ułamki!

Mnożenie i dzielenie liczb naturalnych

Podstawowe zasady do przypomnienia:

  1. Nie można dzielić przez 0,
  2. Mnożenie przez 0 dowolnej liczby daje nam 0,
  3. Mnożenie lub dzielenie przez 1 daje nam tą samą liczbę.

Przykłady:

  • $6×15=90$
  • $99×0=0$
  • $55÷5=11$

Mnożenie i dzielenie liczb całkowitych

Wszystko dzieje się identycznie jak w przypadku liczb naturalnych. Jednakże musimy skorzystać ponownie z tabelki zamiany znaków "plus" i "minus":

tabelka

Przykłady:

  • $7×(-8)=-56$
  • $-100÷4=-25$
  • $-55×(-3)=165$

Ponadto jeśli mamy mnożenie lub dzielenie przed nawiasem, mnożymy lub dzielimy każdy składnik nawiasu pamiętając o znaku, na przykład:

$-5(3+12-5)=-15-60+25=-50$
 

Mnożenie i dzielenie ułamków zwykłych

W przypadku mnożenia ułamków, sprawa prosta. Mnożymy:
Licznik razy Licznik i Mianownik razy Mianownik

Przykład:

$1/5×3/2=3/{10}$

W przypadku dzielenia w drugim z ułamków należy zamienić licznik z mianownikiem i wtedy pomnożyć oba ułamki.

Przykład:

$-{4}/{3}÷{2}/{5}=-4/3×5/2=-{20}/6$

Nie możemy mnożyć i dzielić ze sobą ułamków mieszanych. Najpierw musimy je zamienić na niewłaściwe.

Przykład:

$3 {1}/{5}×2 {1}/{4}={16}/{5}×9/4={144}/{20}={72}/{10}={36}/{5}=7{1}/{5}$

Porady

  • Możemy zostawiać wyniki w ułamkach w postaci niewłaściwej, ale koniecznie nieskracalnej
  • Ułamek to tak naprawdę dzielenie $1/2=1÷2 $
  • Skoro ułamek to dzielenie, w mianowniku nie może być 0
  • Skracać ułamki na krzyż (np. licznik pierwszego z mianownikiem drugiego) można tylko przy mnożeniu i dzieleniu. Przy dodawaniu i odejmowaniu jest to niedopuszczalne!

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Oblicz:
${2 1/2-0,9+2/3}/{1/4+1/5-1/3}=$

Zaczynamy od obliczenia tego co jest w liczniku i w mianowniku:
Licznik:
Zamieniamy wszystko na ułamki zwykłe lub niewłaściwe:
${2 1/2-0,9+2/3}/{1/4+1/5-1/3}={5/2-9/{10}+2/3}/{1/4+1/5-1/3}$

Sprowadzamy do wspólnego mianownika - przez 10, 2, 3 dzieli się 30
${5/2-9/{10}+2/3}/{1/4+1/5-1/3}={ {75}/{30}-{27}/{30}+{20}/{30} }/{1/4+1/5-1/3}$

I wykonujemy działanie
${ {68}/{30} }/{1/4+1/5-1/3}$

Mianownik:
Sprowadzamy ułamki w mianowniku do wspólnej wartości - przez 4,5,3 dzieli się 60.
${ {68}/{30} }/{ {15}/{60}+{12}/{60}-{20}/{60} }$

Pozostaje nam wykonać działanie
${ {68}/{30} }/{ {7}/{60} }={68}/{30} ÷ { {7}/{60} }$
Odwracamy drugi ułamek i mnożymy:
${68}/{30}×{60}/7$
I skracamy na krzyż:
${68}/1×2/7$
Mnożymy licznik przez licznik i mianownik przez mianownik i wynik:
${136}/{7}$

Zadanie 2.

Oblicz:
$5(3-1/2+7/8)-(1/2+2,5)=$

Najpierw bezpieczniej wykonać to co jest w nawiasie, znów wspólne mianowniki, 2 i 8 to 16:
$5(3-8/{16}+{14}/{16})-(1/2+2,5)=$

Musimy działać od lewej do prawej, więc najpierw wykonujemy odejmowanie, w drugim nawiasie przekształcamy dziesiętny
$5(2 8/{16}+{14}/{16})-(1/2+5/2)=$
Zamieniamy na ułamek niewłaściwy, ułatwi nam to potem mnożenie, w drugim dodajemy
$5({40}/{16}+{14}/{16})-6/2=$

Dodajemy to co w nawiasie i dzielimy ułamek wolny
$5×{54}/{16}-3=$

Wykonujemy najpierw mnożenie, jednakże skróćmy ułamek przez 2
$5×{27}/8-3=$

${135}/8-3=$

Rozszerzmy przez $8/8$ nasza trójkę i mamy wynik:
${135}/8-{24}/8={111}/8$

Zadanie 3.

Oblicz: ${2+2/3-3/5÷{6/5} }/{5/2×2/3}=$

Zaczynamy znów np. od licznika, możemy zrobić dodawanie, które nam nie koliduje z dzieleniem, ale już odejmowanie nie, bo przeczy to kolejności, zamienimy również dzielenie na mnożenie, więc:
Licznik:
${6/3+2/3-3/5×5/6}/{5/2×2/3}=$

Skracamy ułamki w mnożeniu i dodajemy pozostałe
${8/3-1/1×1/2}/{5/2×2/3}=$

Mnożymy ułamki
${8/3-1/2}/{5/2×2/3}=$

Następnie sprowadzamy do wspólnego mianownika
${ {16}/6-3/6}/{5/2×2/3}=$

I odejmujemy
${ {13}/6}/{5/2×2/3}=$

Mianownik:
Mnożymy liczniki i mianowniki ze sobą
${ {13}/6}/{ {10}/6}= $

Kreska ułamkowa to znak dzielenia, więc
${13}/6÷ { {10}/6}=$

Zamieniamy na mnożenie
${13}/6×6/{10}=$

Skracamy szóstki ${13}/1×1/{10}={13}/{10}$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Wykres funkcji liniowej przechodzi przez ...

Prosta będąca wykresem funkcji liniowej  przecina oś  w punkcie .

Wykres funkcji liniowej  przechodzi przez punkt . Mamy więc:

 


Stąd:

 

 

 

 

 

 

 


Zatem:

 

Wyznacz wszystkie wartości parametru n...

 Liczba  jest całkowita (a więc i naturalna), gdy  jest dzielnikiem czwórki.

Wypisujemy możliwe dzielniki czwórki dla  {premium}

 są to wszystkie wartości parametru  dla których dana liczba jest całkowita

Odp. Dana liczba jest całkowita dla  


 Liczba  jest naturalna, gdy jest całkowita (czyli jest rozwiązaniem poprzedniego

podpunktu) i dodatkowo jest nieujemna.

Podstawiamy wyznaczone w poprzednim podpunkcie wartości  i sprawdzamy, dla których

z nich liczba   jest nieujemna.

 

 

 

Odp. Dla  dana liczba jest naturalna.

Podaj przykład funkcji parzystej, której dziedziną jest...

Funkcję liczbową f nazywamy funkcją parzystą wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby x należącej do dziedziny funkcji f liczba -x również należy do dziedziny tej funkcji oraz spełniona jest równość f(x)=f(-x).{premium}


Najłatwiej podać wzór funkcji w postaci ilorazu dwóch funkcji. Obie funkcje powinny być parzyste, a ponadto funkcja z mianownika powinna mieć miejsca zerowe dla liczb -7 i 7. Przykładem szukanej funkcji może być:

  

Jeżeli x oznacza długość...

Zauważmy, że:

{premium}  

A więc długości ramienia przyporządkowujemy dwie długości ramienia oraz długość podstawy, jest to równoważne obwodowi tego trójkąta.

Wiemy, że suma długości dwóch krótszych boków musi być większa od długości najdłuższego boku, a więc musi być spełniony warunek:

 

 

 

 

 

Odpowiedź C

Naszkicuj wykresy funkcji f(x) = ...

  

 

Wyznaczmy dziedzinę.

 

 

  

 

 

 

 

 

Spróbujmy rozłożyć wielomian z licznika na iloczyn wielomianów niższego stopnia.       

Rozważmy wielomian  

Sprawdźmy, czy posiada on pierwiastki całkowite:

  - a więc 1 jest pierwiastkiem tego wielomianu.

 

{premium}

   

 

 

Skorzystajmy z wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów.

  

 

Zatem wzór funkcji f(x) możemy zapisać jako:  

 

 

 

Narysujmy wykres funkcji f(x) (pamiętajmy, że x = 1 oraz x = -3 nie należą do dziedziny!)

 

 

 


 

 

Dla    ta funkcja przyjmuje postać:

  

 

Dla   ta funkcja przyjmuje postać:

         

 

Zapisz wyrażenie w postaci ...

 {premium}


 


 


 

 


 

 


 

 

 

W ciągu...

O ciągu arytmetycznym wiemy, że 

Zauważmy, że korzystając że z definicji ciągu arytmetycznego dostajemy {premium}

więc

więc

 

 

Odp.   

Naszkicuj wykres funkcji f, która każdej ...

Szkicujemy wykres funkcji . {premium}


 

Do zbioru wartości funkcji  należą liczby -1 i 1.

 


 

Zapiszmy wzór funkcji .

 

Znajdź punkt przecięcia narysowanych...

c

Narysuj wykres przykładowej funkcji...

a) Przykładowy wykres:

{premium}

 

b) Przykładowy wykres:

 

c) Przykładowy wykres: