Arytmetyka liczb wymiernych - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Kolejność wykonywania działań

Przed rozpoczęcie wykonywania działań musimy pamiętać w jakiej kolejności to robić:

  1. Potęgi i nawiasy
  2. Mnożenie i dzielenie
  3. Dodawanie, odejmowanie

Dodawanie i odejmowanie liczb naturalnych

Podstawowe działanie, które ciągnie się za nami aż od podstawówki. Nie trzeba już chyba nic tłumaczyć. Przedstawiamy jedynie kilka przykładów.

Przykłady:

  • $$19+16=35$$
  • $$105-0=105$$
  • $$123+452=575$$
  • $$356-185=171$$

Dodawanie i odejmowanie liczb całkowitych

W tym wypadku musimy uważać na znaki "plus" i "minus", może się zdarzyć sytuacja, że znajdziemy dwa znaki obok siebie, wtedy musimy zamienić dwa znaki w jeden. Tabelka poniżej powinna wyjaśnić wszelkie wątpliwości:

tabelka

Przykłady:

  • $$156-(-29)=156+29=185$$
  • $$99+(-65)=99-65=34$$
  • $$99+(101+25)=99+101+25=225$$
  • $$99-(101-65+2)=99-101+65-2=61$$

Dodawanie i odejmowanie ułamków zwykłych

Najważniejszą rzeczą podczas dodawania i odejmowania ułamków zwykłych jest sprowadzenie danych ułamków do wspólnego mianownika.

Aby sprowadzić ułamek do wspólnego mianownika musimy rozszerzyć oba ułamki przez liczbę w taki sposób, aby otrzymać takie same mianowniki, a następnie dodać liczniki, czyli:

$$1/3+3/4=1/3×4/4+3/4×3/3=4/{12}+9/{12}={13}/{12}=1{1}/{12}$$

Wykonaliśmy mnożenie przez 1 w różnych formach ($$4/4$$ oraz $$3/3$$), przez co sprowadziliśmy ułamki do wspólnego mianownika (12), nie zaburzając działania.

Tak samo w przypadku odejmowania.

$$1 1/5-3/4=6/5-3/4=6/5×4/4-3/4×5/5={24}/{20}-{15}/{20}={9}/{20}$$

Pamiętaj, aby zawsze skracać ułamki!

Mnożenie i dzielenie liczb naturalnych

Podstawowe zasady do przypomnienia:

  1. Nie można dzielić przez 0,
  2. Mnożenie przez 0 dowolnej liczby daje nam 0,
  3. Mnożenie lub dzielenie przez 1 daje nam tą samą liczbę.

Przykłady:

  • $$6×15=90$$
  • $$99×0=0$$
  • $$55÷5=11$$

Mnożenie i dzielenie liczb całkowitych

Wszystko dzieje się identycznie jak w przypadku liczb naturalnych. Jednakże musimy skorzystać ponownie z tabelki zamiany znaków "plus" i "minus":

tabelka

Przykłady:

  • $$7×(-8)=-56$$
  • $$-100÷4=-25$$
  • $$-55×(-3)=165$$

Ponadto jeśli mamy mnożenie lub dzielenie przed nawiasem, mnożymy lub dzielimy każdy składnik nawiasu pamiętając o znaku, na przykład:

$$-5(3+12-5)=-15-60+25=-50$$
 

Mnożenie i dzielenie ułamków zwykłych

W przypadku mnożenia ułamków, sprawa prosta. Mnożymy:
Licznik razy Licznik i Mianownik razy Mianownik

Przykład:

$$1/5×3/2=3/{10}$$

W przypadku dzielenia w drugim z ułamków należy zamienić licznik z mianownikiem i wtedy pomnożyć oba ułamki.

Przykład:

$$-{4}/{3}÷{2}/{5}=-4/3×5/2=-{20}/6$$

Nie możemy mnożyć i dzielić ze sobą ułamków mieszanych. Najpierw musimy je zamienić na niewłaściwe.

Przykład:

$$3 {1}/{5}×2 {1}/{4}={16}/{5}×9/4={144}/{20}={72}/{10}={36}/{5}=7{1}/{5}$$

Porady

  • Możemy zostawiać wyniki w ułamkach w postaci niewłaściwej, ale koniecznie nieskracalnej
  • Ułamek to tak naprawdę dzielenie $$1/2=1÷2 $$
  • Skoro ułamek to dzielenie, w mianowniku nie może być 0
  • Skracać ułamki na krzyż (np. licznik pierwszego z mianownikiem drugiego) można tylko przy mnożeniu i dzieleniu. Przy dodawaniu i odejmowaniu jest to niedopuszczalne!

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Oblicz:
$${2 1/2-0,9+2/3}/{1/4+1/5-1/3}=$$

Zaczynamy od obliczenia tego co jest w liczniku i w mianowniku:
Licznik:
Zamieniamy wszystko na ułamki zwykłe lub niewłaściwe:
$${2 1/2-0,9+2/3}/{1/4+1/5-1/3}={5/2-9/{10}+2/3}/{1/4+1/5-1/3}$$

Sprowadzamy do wspólnego mianownika - przez 10, 2, 3 dzieli się 30
$${5/2-9/{10}+2/3}/{1/4+1/5-1/3}={ {75}/{30}-{27}/{30}+{20}/{30} }/{1/4+1/5-1/3}$$

I wykonujemy działanie
$${ {68}/{30} }/{1/4+1/5-1/3}$$

Mianownik:
Sprowadzamy ułamki w mianowniku do wspólnej wartości - przez 4,5,3 dzieli się 60.
$${ {68}/{30} }/{ {15}/{60}+{12}/{60}-{20}/{60} }$$

Pozostaje nam wykonać działanie
$${ {68}/{30} }/{ {7}/{60} }={68}/{30} ÷ { {7}/{60} }$$
Odwracamy drugi ułamek i mnożymy:
$${68}/{30}×{60}/7$$
I skracamy na krzyż:
$${68}/1×2/7$$
Mnożymy licznik przez licznik i mianownik przez mianownik i wynik:
$${136}/{7}$$

Zadanie 2.

Oblicz:
$$5(3-1/2+7/8)-(1/2+2,5)=$$

Najpierw bezpieczniej wykonać to co jest w nawiasie, znów wspólne mianowniki, 2 i 8 to 16:
$$5(3-8/{16}+{14}/{16})-(1/2+2,5)=$$

Musimy działać od lewej do prawej, więc najpierw wykonujemy odejmowanie, w drugim nawiasie przekształcamy dziesiętny
$$5(2 8/{16}+{14}/{16})-(1/2+5/2)=$$
Zamieniamy na ułamek niewłaściwy, ułatwi nam to potem mnożenie, w drugim dodajemy
$$5({40}/{16}+{14}/{16})-6/2=$$

Dodajemy to co w nawiasie i dzielimy ułamek wolny
$$5×{54}/{16}-3=$$

Wykonujemy najpierw mnożenie, jednakże skróćmy ułamek przez 2
$$5×{27}/8-3=$$

$${135}/8-3=$$

Rozszerzmy przez $$8/8$$ nasza trójkę i mamy wynik:
$${135}/8-{24}/8={111}/8$$

Zadanie 3.

Oblicz: $${2+2/3-3/5÷{6/5} }/{5/2×2/3}=$$

Zaczynamy znów np. od licznika, możemy zrobić dodawanie, które nam nie koliduje z dzieleniem, ale już odejmowanie nie, bo przeczy to kolejności, zamienimy również dzielenie na mnożenie, więc:
Licznik:
$${6/3+2/3-3/5×5/6}/{5/2×2/3}=$$

Skracamy ułamki w mnożeniu i dodajemy pozostałe
$${8/3-1/1×1/2}/{5/2×2/3}=$$

Mnożymy ułamki
$${8/3-1/2}/{5/2×2/3}=$$

Następnie sprowadzamy do wspólnego mianownika
$${ {16}/6-3/6}/{5/2×2/3}=$$

I odejmujemy
$${ {13}/6}/{5/2×2/3}=$$

Mianownik:
Mnożymy liczniki i mianowniki ze sobą
$${ {13}/6}/{ {10}/6}= $$

Kreska ułamkowa to znak dzielenia, więc
$${13}/6÷ { {10}/6}=$$

Zamieniamy na mnożenie
$${13}/6×6/{10}=$$

Skracamy szóstki $${13}/1×1/{10}={13}/{10}$$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Oblicz:

 


 {premium}


 


 


 


 

Udowodnij, że dla wszystkich...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Przyprostokątne trójkąta prostokątnego pozostają

Zgodnie z podanym stosunkiem boków 5:12  długości przyprostokątnych możemy zapisać za pomocą wyrażeń algebraicznych-  wynoszą one 5x i 12x. 

Obliczmy, jak uzależniona od x jest długość przeciwprostokątej (oznaczmy ją jako c), postawiając te wyrażenia do twierdzenia Pitagorasa:

       

Znając proporcje między tymi bokami odniesione do nieznanej wielkości x, dodajemy je i przyrównujemy do obwodu.

         

Długości boków wynoszą:

Podaj miary łukowe...

 {premium}

 

 

 

 

Dane są wektory...

 

 

 

 

A. Fałsz

B. Fałsz

C. Fałsz

Skonstruuj kąt ostry α, wiedząc ...

 

Konstruujemy taki trójkąt, w którm przyprostokątna leżąca naprzeciwko kąta α ma długość równą 1 jednostkę, a przyprostokątna przyległa do tego kąta ma długość równą 3 jednostki.

Ustalmy jako 1 jednostkę 1 cm.

 

 

Konstruujemy taki trójkąt, w którm przyprostokątna leżąca naprzeciwko kąta α ma długość równą 2 jednostki, a przeciwprostokątna ma długość równą3 jednostki.

Ustalmy jako 1 jednostkę 1 cm.

 

 

Konstruujemy taki trójkąt, w którm przyprostokątna przyległa do kąta α ma długość równą 1 jednostkę, a przeciwprostokątna ma długość równą 2 jednostki.

Ustalmy jako 1 jednostkę 1 cm.

 

 

Ustalmy jako 1 jednostkę 1 cm.

W pierwszej części wyznaczymy konstrukcyjnie długość 3 cm. Zauważmy jednak, że z poprzedniej konstrukcji c) długość odcinka EC wynosi 3 cm.

Wiemy, że:

 

 

Z tw. Pitagorasa mamy:

 

 

 

 

 

Następnie skonstruujemy taki trójkąt, w którm przyprostokątna leżąca naprzeciwko kąta α ma długość równą 3 jednostki, a przyprostokątna przyległa do tego kąta ma długość równą 1 jednostkę. Ponownie zauważmy, że takie warunki spełnia trójkąt skonstruowany w punkcie c).

Kąt α zaznaczony w trójkącie CDE spełnia warunek:

 

Oblicz wartość wyrażenia. Nie korzystaj ...

 

Korzystajac z jedynki trygonometrycznej obliczmy wartość cosα:

  

  

  

 

 

 

Podstawiamy dane do początkowego wyrażenia:

 

 

  

Korzystajac z jedynki trygonometrycznej obliczmy wartość sinα:

  

  

   

 

   

 

Podstawiamy dane do początkowego wyrażenia:

 

 

Dziedziną funkcji y = f(x)...

 
Aby otrzymać wykres funkcji y = f(-x) , przekształcamy wykres funkcji y = f(x) przez symetrię względem osi y. Dziedziny obu funkcji są symetryczne względem 0.

 

A więc zbiór wartości pozostanie bez zmian z uwagi na fakt, że symetria względem osi y ma orientację poziomą, każdemu argumentowi zmienia wartość na tą, którą przyjmuje liczba przeciwna do niego.

 

 

 

 

 

 

 

 

Punkt W(2,-3) jest wierzchołkiem...

 

Korzystając z postaci kanonicznej mamy:

 

 

 

 

 

 

 

 

Podany zbiór zapisz w najprostszej ...