Arytmetyka liczb wymiernych - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Kolejność wykonywania działań

Przed rozpoczęcie wykonywania działań musimy pamiętać w jakiej kolejności to robić:

  1. Potęgi i nawiasy
  2. Mnożenie i dzielenie
  3. Dodawanie, odejmowanie

Dodawanie i odejmowanie liczb naturalnych

Podstawowe działanie, które ciągnie się za nami aż od podstawówki. Nie trzeba już chyba nic tłumaczyć. Przedstawiamy jedynie kilka przykładów.

Przykłady:

  • $$19+16=35$$
  • $$105-0=105$$
  • $$123+452=575$$
  • $$356-185=171$$

Dodawanie i odejmowanie liczb całkowitych

W tym wypadku musimy uważać na znaki "plus" i "minus", może się zdarzyć sytuacja, że znajdziemy dwa znaki obok siebie, wtedy musimy zamienić dwa znaki w jeden. Tabelka poniżej powinna wyjaśnić wszelkie wątpliwości:

tabelka

Przykłady:

  • $$156-(-29)=156+29=185$$
  • $$99+(-65)=99-65=34$$
  • $$99+(101+25)=99+101+25=225$$
  • $$99-(101-65+2)=99-101+65-2=61$$

Dodawanie i odejmowanie ułamków zwykłych

Najważniejszą rzeczą podczas dodawania i odejmowania ułamków zwykłych jest sprowadzenie danych ułamków do wspólnego mianownika.

Aby sprowadzić ułamek do wspólnego mianownika musimy rozszerzyć oba ułamki przez liczbę w taki sposób, aby otrzymać takie same mianowniki, a następnie dodać liczniki, czyli:

$$1/3+3/4=1/3×4/4+3/4×3/3=4/{12}+9/{12}={13}/{12}=1{1}/{12}$$

Wykonaliśmy mnożenie przez 1 w różnych formach ($$4/4$$ oraz $$3/3$$), przez co sprowadziliśmy ułamki do wspólnego mianownika (12), nie zaburzając działania.

Tak samo w przypadku odejmowania.

$$1 1/5-3/4=6/5-3/4=6/5×4/4-3/4×5/5={24}/{20}-{15}/{20}={9}/{20}$$

Pamiętaj, aby zawsze skracać ułamki!

Mnożenie i dzielenie liczb naturalnych

Podstawowe zasady do przypomnienia:

  1. Nie można dzielić przez 0,
  2. Mnożenie przez 0 dowolnej liczby daje nam 0,
  3. Mnożenie lub dzielenie przez 1 daje nam tą samą liczbę.

Przykłady:

  • $$6×15=90$$
  • $$99×0=0$$
  • $$55÷5=11$$

Mnożenie i dzielenie liczb całkowitych

Wszystko dzieje się identycznie jak w przypadku liczb naturalnych. Jednakże musimy skorzystać ponownie z tabelki zamiany znaków "plus" i "minus":

tabelka

Przykłady:

  • $$7×(-8)=-56$$
  • $$-100÷4=-25$$
  • $$-55×(-3)=165$$

Ponadto jeśli mamy mnożenie lub dzielenie przed nawiasem, mnożymy lub dzielimy każdy składnik nawiasu pamiętając o znaku, na przykład:

$$-5(3+12-5)=-15-60+25=-50$$
 

Mnożenie i dzielenie ułamków zwykłych

W przypadku mnożenia ułamków, sprawa prosta. Mnożymy:
Licznik razy Licznik i Mianownik razy Mianownik

Przykład:

$$1/5×3/2=3/{10}$$

W przypadku dzielenia w drugim z ułamków należy zamienić licznik z mianownikiem i wtedy pomnożyć oba ułamki.

Przykład:

$$-{4}/{3}÷{2}/{5}=-4/3×5/2=-{20}/6$$

Nie możemy mnożyć i dzielić ze sobą ułamków mieszanych. Najpierw musimy je zamienić na niewłaściwe.

Przykład:

$$3 {1}/{5}×2 {1}/{4}={16}/{5}×9/4={144}/{20}={72}/{10}={36}/{5}=7{1}/{5}$$

Porady

  • Możemy zostawiać wyniki w ułamkach w postaci niewłaściwej, ale koniecznie nieskracalnej
  • Ułamek to tak naprawdę dzielenie $$1/2=1÷2 $$
  • Skoro ułamek to dzielenie, w mianowniku nie może być 0
  • Skracać ułamki na krzyż (np. licznik pierwszego z mianownikiem drugiego) można tylko przy mnożeniu i dzieleniu. Przy dodawaniu i odejmowaniu jest to niedopuszczalne!

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Oblicz:
$${2 1/2-0,9+2/3}/{1/4+1/5-1/3}=$$

Zaczynamy od obliczenia tego co jest w liczniku i w mianowniku:
Licznik:
Zamieniamy wszystko na ułamki zwykłe lub niewłaściwe:
$${2 1/2-0,9+2/3}/{1/4+1/5-1/3}={5/2-9/{10}+2/3}/{1/4+1/5-1/3}$$

Sprowadzamy do wspólnego mianownika - przez 10, 2, 3 dzieli się 30
$${5/2-9/{10}+2/3}/{1/4+1/5-1/3}={ {75}/{30}-{27}/{30}+{20}/{30} }/{1/4+1/5-1/3}$$

I wykonujemy działanie
$${ {68}/{30} }/{1/4+1/5-1/3}$$

Mianownik:
Sprowadzamy ułamki w mianowniku do wspólnej wartości - przez 4,5,3 dzieli się 60.
$${ {68}/{30} }/{ {15}/{60}+{12}/{60}-{20}/{60} }$$

Pozostaje nam wykonać działanie
$${ {68}/{30} }/{ {7}/{60} }={68}/{30} ÷ { {7}/{60} }$$
Odwracamy drugi ułamek i mnożymy:
$${68}/{30}×{60}/7$$
I skracamy na krzyż:
$${68}/1×2/7$$
Mnożymy licznik przez licznik i mianownik przez mianownik i wynik:
$${136}/{7}$$

Zadanie 2.

Oblicz:
$$5(3-1/2+7/8)-(1/2+2,5)=$$

Najpierw bezpieczniej wykonać to co jest w nawiasie, znów wspólne mianowniki, 2 i 8 to 16:
$$5(3-8/{16}+{14}/{16})-(1/2+2,5)=$$

Musimy działać od lewej do prawej, więc najpierw wykonujemy odejmowanie, w drugim nawiasie przekształcamy dziesiętny
$$5(2 8/{16}+{14}/{16})-(1/2+5/2)=$$
Zamieniamy na ułamek niewłaściwy, ułatwi nam to potem mnożenie, w drugim dodajemy
$$5({40}/{16}+{14}/{16})-6/2=$$

Dodajemy to co w nawiasie i dzielimy ułamek wolny
$$5×{54}/{16}-3=$$

Wykonujemy najpierw mnożenie, jednakże skróćmy ułamek przez 2
$$5×{27}/8-3=$$

$${135}/8-3=$$

Rozszerzmy przez $$8/8$$ nasza trójkę i mamy wynik:
$${135}/8-{24}/8={111}/8$$

Zadanie 3.

Oblicz: $${2+2/3-3/5÷{6/5} }/{5/2×2/3}=$$

Zaczynamy znów np. od licznika, możemy zrobić dodawanie, które nam nie koliduje z dzieleniem, ale już odejmowanie nie, bo przeczy to kolejności, zamienimy również dzielenie na mnożenie, więc:
Licznik:
$${6/3+2/3-3/5×5/6}/{5/2×2/3}=$$

Skracamy ułamki w mnożeniu i dodajemy pozostałe
$${8/3-1/1×1/2}/{5/2×2/3}=$$

Mnożymy ułamki
$${8/3-1/2}/{5/2×2/3}=$$

Następnie sprowadzamy do wspólnego mianownika
$${ {16}/6-3/6}/{5/2×2/3}=$$

I odejmujemy
$${ {13}/6}/{5/2×2/3}=$$

Mianownik:
Mnożymy liczniki i mianowniki ze sobą
$${ {13}/6}/{ {10}/6}= $$

Kreska ułamkowa to znak dzielenia, więc
$${13}/6÷ { {10}/6}=$$

Zamieniamy na mnożenie
$${13}/6×6/{10}=$$

Skracamy szóstki $${13}/1×1/{10}={13}/{10}$$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Korzystając z geometrycznej interpretacji

`a)` 

Na osi liczbowej odległość liczby x od zera jest większa lub równa niż odległość liczby x od 2. 

Odległość ta będzie równa, gdy x będzie znajdował się dokładnie w połowie między liczbami 0 i 2, czyli gdy będzie równy 1. 

Ta odległość ma być większa lub równa, więc zaznaczamy liczby większe lub równe 1. 

 

 

`b)` 

Na osi liczbowej odległość liczby x od zera jest mniejsza lub równa niż odległość liczby x od 6. 

Odległość ta będzie równa, gdy x będzie znajdował się dokładnie w połowie między liczbami 0 i 6, czyli gdy będzie równy 3. 

 

Ta odległość ma być mniejsza lub równa, więc zaznaczamy liczby mniejsze lub równe 3. 

 

 

`c)` 

Na osi liczbowej odległość liczby x od liczby 2 jest większa niż odległość liczby x od -2. 

Odległość ta będzie równa, gdy x będzie znajdował się dokładnie w połowie między liczbami 2 i -2, czyli gdy będzie równy 0. 

 

Ta odległość ma być większa, więc zaznaczamy liczby większe od 0.

Oblicz pole...

Rysunek:

`sin 30^o = (x)/(2) \ \ \ |*2`

`2 *1/2 = x`

`x=1 \ [cm]`

`h= 2+x = 2+1=3`

Wiemy, że wysokość w trójkącie równobocznym o boku długości a wyraża się wzorem:

`h = (asqrt3)/2`

`3 = (asqrt3)/2 \ \ \ |*2`

`6 = a sqrt3`

`a = 6/sqrt3`

`a = 2sqrt3`

 

Pole trójkąta równobocznego:

`P= (a^2sqrt3)/4= ((2sqrt3)^2 * sqrt3)/4 = (4*3*sqrt3)/4 = 3 sqrt3 \ [cm^2]`

 

 

 

b) Rysunek:

 

`sin 30^o = sqrt3/y \ \ \ |*y`

`1/2 y = sqrt3 \ \ \ |*2`

`y = 2sqrt3`

 

`h = 3sqrt3`

 

`h= (asqrt3)/2`

`3sqrt3 = (asqrt3)/2 \ \ \ |*2`

`6sqrt3 = asqrt3`

`a=6 \ [cm]`

 

 

`P=(a^2sqrt3)/4 = (6^2 sqrt3)/4 = (36sqrt3)/4 = 9 sqrt3 \ [cm^2]`

Podaj przykład dwóch liczb o nieskończonych okresowych

`a)`

`ul("przykład 1")`

`1/3=0,333...=0,(3)`

`2/3=0,666...=0,(6)`

Dodając te dwie liczby o nieskończonych okresowych rozwinięciach dziesiętnych otrzymamy liczbę całkowitą:

`1/3+2/3=1`

 

 

`ul("przykład 2")`

`1/6=0,1666...=0,1(6)`

`5/6=0,8333...=0,8(3)`

Dodając te dwie liczby o nieskończonych okresowych rozwinięciach dziesiętnych otrzymamy liczbę całkowitą:

`1/6+5/6=1`

 

 

`ul("przykład 3")`

`1 2/9=1,222...=1,(2)`

`1 7/9=1,777...=1,(7)`

Dodając te dwie liczby o nieskończonych okresowych rozwinięciach dziesiętnych otrzymamy liczbę całkowitą:

`1 2/9+1 7/9=3`

 

 

 

`b)`

`ul("przykład 1")`

`1/6=0,1(6)`

`2/6=1/3=0,(3)`

Dodając te dwie liczby o nieskończonych okresowych rozwinięciach dziesiętnych otrzymamy liczbę niecałkowitą o skończonym rozwinięciu dziesiętnym:

`1/6+2/6=3/6=1/2=0,5`

 

 

`ul("przykład 2")`

`6/18=1/3=0,(3)`

`3/18=1/6=0,1(6)`

Dodając te dwie liczby o nieskończonych okresowych rozwinięciach dziesiętnych otrzymamy liczbę niecałkowitą o skończonym rozwinięciu dziesiętnym:

`6/18+3/18=9/18=1/2=0,5`

 

 

`ul("przykład 3")`

`1/12=0,0833...=0,08(3)`

`2/12=1/6=0,1(6)`

Dodając te dwie liczby o nieskończonych okresowych rozwinięciach dziesiętnych otrzymamy liczbę niecałkowitą o skończonym rozwinięciu dziesiętnym:

`1/12+2/12=3/12=1/4=0,25`

 

 

 

 

`c)`

`ul("przykład 1")`

`1/9=0,111...=0,(1)`

`4/9=0,444...=0,(4)`

Dodając te dwie liczby o nieskończonych okresowych rozwinięciach dziesiętnych otrzymamy liczbę niecałkowitą o nieskończonym rozwinięciu dziesiętnym:

`1/9+4/9=5/9=0,555...=0,(5)`

 

 

`ul("przykład 2")`

`2/9=0,222...=0,(2)`

`13/99=0,1313...=0,(13)`

Dodając te dwie liczby o nieskończonych okresowych rozwinięciach dziesiętnych otrzymamy liczbę niecałkowitą o nieskończonym rozwinięciu dziesiętnym:

`2/9+13/99=22/99+13/99=35/99=0,3535...=0,(35)`

 

 

`ul("przykład 3")`

`123/999=0,123123...=0,(123)`

`201/999=0,201201...=0,(201)`

Dodając te dwie liczby o nieskończonych okresowych rozwinięciach dziesiętnych otrzymamy liczbę niecałkowitą o nieskończonym rozwinięciu dziesiętnym:

`123/999+201/999=324/999=0,324324...=0,(324)`

 

Oblicz pole i obwód prostokąta...

Rysunek poglądowy:

`sin 60^o = b/15` 

`b = sin60^o * 15` 

`b = sqrt3/2 * 15` 

`b = (15sqrt3)/2` 

 

`cos 60^o = a/15` 

`a = cos60^o * 15` 

`a = 1/2 * 15` 

`a = 15/2` 

 

Obwód prostokąta:

`"O" = 2a + 2b = 2*15/2 + 2*(15sqrt3)/2 = 15 + 15sqrt3 = 15(1+sqrt3) \ ["cm"]` 

 

Pole prostokąta:

`P = ab = 15/2*(15sqrt3)/2 = (225sqrt3)/4 \ ["cm"^2]` 

W stałej temperaturze ciśnienie gazu...

`"a)"` Oznaczmy szukane ciśnienie gazu jako `x.` 

Ponieważ ciśnienie jest odwrotnie proporcjonalne do objętości, to zachodzi:

`200\ "cm"^3*p=150\ "cm"^3*x` 

Wyznaczamy z równania `x:` 

`x=(200p)/150=4/3p` 

Odp. Ciśnienie będzie wynosiło `4/3p.`       

 

`"b)"` Oznaczmy szukane ciśnienie gazu jako `x.` 

Ponieważ ciśnienie jest odwrotnie proporcjonalne do objętości, to zachodzi:

`200\ "cm"^3*p=300\ "cm"^3*x` 

Wyznaczamy z równania `x:` 

`x=(200p)/300=2/3p` 

Odp. Ciśnienie będzie wynosiło `2/3p.`    

 

`"c)"` Oznaczmy szukane ciśnienie gazu jako `x.` 

Ponieważ ciśnienie jest odwrotnie proporcjonalne do objętości, to zachodzi:

`200\ "cm"^3*p=180\ "cm"^3*x` 

Wyznaczamy z równania `x:` 

`x=(200p)/180=10/9p` 

Odp. Ciśnienie będzie wynosiło `10/9p.`    

Na podstawie wykresu przedstawiającego...

Zdania `"A."` oraz `"B."` są prawdziwe na podstawie obserwacji wykresów.

Sprawdzamy prawdziwość `"C:"`    

`1998\ "r."` import rejestrowany butów wynosił około `100\ "mln"` par, a w `2000\ "r."` około `50\ "mln"` par.    

W takim razie import zmalał o prawie `50\ "mln"` par i zdanie `"C."` jest prawdziwe.

Wobec tego fałszywe jest zdanie `"D."`  

Naszkicuj wykres funkcji f(x)=x^2

`a)`

Wystarczy przesunąć wykres funkcji f o 1 jednostkę w prawo. 

`g(x)=0\ \ \ dla\ \ \ x=1`

 

 

`b)`

Wystarczy przesunąć wykres funkcji f o 1 jednostkę w lewo. 

 

`g(x)=0\ \ \ dla\ \ \ x=-1`

 

 

`c)`

Wystarczy przesunąć wykres funkcji f o 2 jednostki w lewo. 

 

`g(x)=0\ \ \ dla\ \ \ x=-2`

 

Dla jakiej wartości a...

`D = R \ \\ \ {0}` 

 

Jeżeli wykres przechodzi przez punkt o współrzędnych q to zachodzi:

`f(p)=q` 

 

`a) \ A = (1,2)` 

`f(1)=2` 

`a/1 = 2` 

`a = 2` 

 

`b) \ B = (-1/3, -1/2)` 

`f(-1/3) = -1/2` 

`a/(-1/3) = -1/2` 

`-3a = -1/2` 

`a = 1/6` 

 

`c) \ C = (1/8 , 2)` 

`f(1/8) = 2` 

`a/(1/8) = 2` 

`8a = 2` 

`a = 1/4` 

 

`d) \ D = (0,3)` 

Punkt nie należy do dziedziny.

Które zdanie jest prawdziwe?

I. Fałsz

np. Prostokąt o bokach długości 1 i 2 i prostokąt o bokach długości 1 i 3. Wtedy stosunek krótszych boków wynosi 1 a dłuższych 1,5. A więc stosunki odpowiednich boków nie są równe zatem prostokąty nie są podobne.

 

II. Prawda

`O_1 = (P, r_1)` 

`O_2 = (Q, r_2)`

Obwody okręgów:

`"Obw"_1 = 2pir_1` 

`"Obw"_2 = 2pir_2`

 

Stosunek obwodów:

`("Obw"_1)/("Obw"_2) = (2pir_1)/(2pir_2) = r_1/r_2`

 

A więc okręgi są podobne a ich skala podobieństwa jest równa stosunkowi długości promieni.

 

III. Fałsz

Np Trójkąt równoboczny i trójkąt prostokątny o równych polach. Kąty będą różne zatem całe twierdzenie jest fałszywe.

 

Odpowiedź B

 

Do prostej przechodzącej przez punkty ...

`P=(sqrt2;-1)` 

`Q=(-sqrt2;1)` 

 

`PQ:\ y= ax+b` 

`{(-1=sqrt2a+b),(1=-sqrt2a+b):}` 

`{( 1=-sqrt2a-b),(1=-sqrt2a+b):}` 

`2=-2sqrt2a `  

`sqrt2a=-1`  

`a=-1/sqrt2=-sqrt2/2` 

`b=1+sqrt2a=1+sqrt2*(-sqrt2)/2=0`    

`PQ:\ y=-sqrt2/2x`  

 

Sprawdźmy punkt z podpunktu D:

`(4;-2sqrt2)` 

`-2sqrt2=-sqrt2/2*4` 

`-2sqrt2=-2sqrt2` 

`0=0` 

Punkt z podpunktu D należy do prostej przechodzącej przez punkty P i Q.

`"Odpowiedź D."`