Arytmetyka liczb wymiernych - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Kolejność wykonywania działań

Przed rozpoczęcie wykonywania działań musimy pamiętać w jakiej kolejności to robić:

  1. Potęgi i nawiasy
  2. Mnożenie i dzielenie
  3. Dodawanie, odejmowanie

Dodawanie i odejmowanie liczb naturalnych

Podstawowe działanie, które ciągnie się za nami aż od podstawówki. Nie trzeba już chyba nic tłumaczyć. Przedstawiamy jedynie kilka przykładów.

Przykłady:

  • $$19+16=35$$
  • $$105-0=105$$
  • $$123+452=575$$
  • $$356-185=171$$

Dodawanie i odejmowanie liczb całkowitych

W tym wypadku musimy uważać na znaki "plus" i "minus", może się zdarzyć sytuacja, że znajdziemy dwa znaki obok siebie, wtedy musimy zamienić dwa znaki w jeden. Tabelka poniżej powinna wyjaśnić wszelkie wątpliwości:

tabelka

Przykłady:

  • $$156-(-29)=156+29=185$$
  • $$99+(-65)=99-65=34$$
  • $$99+(101+25)=99+101+25=225$$
  • $$99-(101-65+2)=99-101+65-2=61$$

Dodawanie i odejmowanie ułamków zwykłych

Najważniejszą rzeczą podczas dodawania i odejmowania ułamków zwykłych jest sprowadzenie danych ułamków do wspólnego mianownika.

Aby sprowadzić ułamek do wspólnego mianownika musimy rozszerzyć oba ułamki przez liczbę w taki sposób, aby otrzymać takie same mianowniki, a następnie dodać liczniki, czyli:

$$1/3+3/4=1/3×4/4+3/4×3/3=4/{12}+9/{12}={13}/{12}=1{1}/{12}$$

Wykonaliśmy mnożenie przez 1 w różnych formach ($$4/4$$ oraz $$3/3$$), przez co sprowadziliśmy ułamki do wspólnego mianownika (12), nie zaburzając działania.

Tak samo w przypadku odejmowania.

$$1 1/5-3/4=6/5-3/4=6/5×4/4-3/4×5/5={24}/{20}-{15}/{20}={9}/{20}$$

Pamiętaj, aby zawsze skracać ułamki!

Mnożenie i dzielenie liczb naturalnych

Podstawowe zasady do przypomnienia:

  1. Nie można dzielić przez 0,
  2. Mnożenie przez 0 dowolnej liczby daje nam 0,
  3. Mnożenie lub dzielenie przez 1 daje nam tą samą liczbę.

Przykłady:

  • $$6×15=90$$
  • $$99×0=0$$
  • $$55÷5=11$$

Mnożenie i dzielenie liczb całkowitych

Wszystko dzieje się identycznie jak w przypadku liczb naturalnych. Jednakże musimy skorzystać ponownie z tabelki zamiany znaków "plus" i "minus":

tabelka

Przykłady:

  • $$7×(-8)=-56$$
  • $$-100÷4=-25$$
  • $$-55×(-3)=165$$

Ponadto jeśli mamy mnożenie lub dzielenie przed nawiasem, mnożymy lub dzielimy każdy składnik nawiasu pamiętając o znaku, na przykład:

$$-5(3+12-5)=-15-60+25=-50$$
 

Mnożenie i dzielenie ułamków zwykłych

W przypadku mnożenia ułamków, sprawa prosta. Mnożymy:
Licznik razy Licznik i Mianownik razy Mianownik

Przykład:

$$1/5×3/2=3/{10}$$

W przypadku dzielenia w drugim z ułamków należy zamienić licznik z mianownikiem i wtedy pomnożyć oba ułamki.

Przykład:

$$-{4}/{3}÷{2}/{5}=-4/3×5/2=-{20}/6$$

Nie możemy mnożyć i dzielić ze sobą ułamków mieszanych. Najpierw musimy je zamienić na niewłaściwe.

Przykład:

$$3 {1}/{5}×2 {1}/{4}={16}/{5}×9/4={144}/{20}={72}/{10}={36}/{5}=7{1}/{5}$$

Porady

  • Możemy zostawiać wyniki w ułamkach w postaci niewłaściwej, ale koniecznie nieskracalnej
  • Ułamek to tak naprawdę dzielenie $$1/2=1÷2 $$
  • Skoro ułamek to dzielenie, w mianowniku nie może być 0
  • Skracać ułamki na krzyż (np. licznik pierwszego z mianownikiem drugiego) można tylko przy mnożeniu i dzieleniu. Przy dodawaniu i odejmowaniu jest to niedopuszczalne!

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Oblicz:
$${2 1/2-0,9+2/3}/{1/4+1/5-1/3}=$$

Zaczynamy od obliczenia tego co jest w liczniku i w mianowniku:
Licznik:
Zamieniamy wszystko na ułamki zwykłe lub niewłaściwe:
$${2 1/2-0,9+2/3}/{1/4+1/5-1/3}={5/2-9/{10}+2/3}/{1/4+1/5-1/3}$$

Sprowadzamy do wspólnego mianownika - przez 10, 2, 3 dzieli się 30
$${5/2-9/{10}+2/3}/{1/4+1/5-1/3}={ {75}/{30}-{27}/{30}+{20}/{30} }/{1/4+1/5-1/3}$$

I wykonujemy działanie
$${ {68}/{30} }/{1/4+1/5-1/3}$$

Mianownik:
Sprowadzamy ułamki w mianowniku do wspólnej wartości - przez 4,5,3 dzieli się 60.
$${ {68}/{30} }/{ {15}/{60}+{12}/{60}-{20}/{60} }$$

Pozostaje nam wykonać działanie
$${ {68}/{30} }/{ {7}/{60} }={68}/{30} ÷ { {7}/{60} }$$
Odwracamy drugi ułamek i mnożymy:
$${68}/{30}×{60}/7$$
I skracamy na krzyż:
$${68}/1×2/7$$
Mnożymy licznik przez licznik i mianownik przez mianownik i wynik:
$${136}/{7}$$

Zadanie 2.

Oblicz:
$$5(3-1/2+7/8)-(1/2+2,5)=$$

Najpierw bezpieczniej wykonać to co jest w nawiasie, znów wspólne mianowniki, 2 i 8 to 16:
$$5(3-8/{16}+{14}/{16})-(1/2+2,5)=$$

Musimy działać od lewej do prawej, więc najpierw wykonujemy odejmowanie, w drugim nawiasie przekształcamy dziesiętny
$$5(2 8/{16}+{14}/{16})-(1/2+5/2)=$$
Zamieniamy na ułamek niewłaściwy, ułatwi nam to potem mnożenie, w drugim dodajemy
$$5({40}/{16}+{14}/{16})-6/2=$$

Dodajemy to co w nawiasie i dzielimy ułamek wolny
$$5×{54}/{16}-3=$$

Wykonujemy najpierw mnożenie, jednakże skróćmy ułamek przez 2
$$5×{27}/8-3=$$

$${135}/8-3=$$

Rozszerzmy przez $$8/8$$ nasza trójkę i mamy wynik:
$${135}/8-{24}/8={111}/8$$

Zadanie 3.

Oblicz: $${2+2/3-3/5÷{6/5} }/{5/2×2/3}=$$

Zaczynamy znów np. od licznika, możemy zrobić dodawanie, które nam nie koliduje z dzieleniem, ale już odejmowanie nie, bo przeczy to kolejności, zamienimy również dzielenie na mnożenie, więc:
Licznik:
$${6/3+2/3-3/5×5/6}/{5/2×2/3}=$$

Skracamy ułamki w mnożeniu i dodajemy pozostałe
$${8/3-1/1×1/2}/{5/2×2/3}=$$

Mnożymy ułamki
$${8/3-1/2}/{5/2×2/3}=$$

Następnie sprowadzamy do wspólnego mianownika
$${ {16}/6-3/6}/{5/2×2/3}=$$

I odejmujemy
$${ {13}/6}/{5/2×2/3}=$$

Mianownik:
Mnożymy liczniki i mianowniki ze sobą
$${ {13}/6}/{ {10}/6}= $$

Kreska ułamkowa to znak dzielenia, więc
$${13}/6÷ { {10}/6}=$$

Zamieniamy na mnożenie
$${13}/6×6/{10}=$$

Skracamy szóstki $${13}/1×1/{10}={13}/{10}$$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Określ dziedzinę

 

 

 

`a)`   

Każdą liczbę możemy pomnożyć razy -5 i od wyniku odjąć 1.

`D_f\ =RR`        

 

 

`b)`   

`9-x>=0\ \ \ |-9`

`-x>=-9\ \ \ |*(-1)`

`x<=9`

`D_f\ =(-infty;\ 9>>`     

 

 

 

`c)` 

 `x^2+2ne0\ \ \ |-2`   

`x^2ne-2`   

Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny, więc powyższy warunek jest spełniony zawsze (przez każdą liczbę rzeczywistą).   

`D_f\ =RR`   

Dany jest trójkąt o wierzchołkach...

Obliczmy długości boków:

`|AB| = sqrt((x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2) = sqrt((4-1)^2+(2-(-2))^2) = sqrt(3^2 + 4^2) = sqrt(9+16) = sqrt25 = 5` 

`|AC| = sqrt((x_C - x_A)^2+(y_C - y_A)^2) = sqrt((-2-1)^2+(4-(-2))^2) = sqrt((-3)^2+6^2) = sqrt(9+36) = sqrt45 = 3sqrt5` 

`|BC| = sqrt((x_C - x_B)^2+(y_C - y_B)^2) = sqrt((-2-4)^2+(4-2)^2) = sqrt((-6)^2+2^2) = sqrt(36+4) = sqrt40 = 2sqrt10` 

 

Wysokość będzie prowadzona na bok AC z wierzchołka B. Wyznaczmy równanie prostej AC:

`{(f(1)=-2),(f(-2)=4):}` 

`{(a+b=-2),(-2a+b=4):}` 

`underline(underline(stackrel(\)(-) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \))` 

`3a = -6` 

`a = -2` 

stąd

`-2+b=-2` 

`b = 0` 

 

`y = -2x` 

 

Wyznaczmy równanie prostej prostopadłej przechodzącej przez punkt B:

`y=cx+d` 

`-2*c = -1` 

`c = 1/2` 

Podstawmy współrzędne punktu B:

`2=1/2*4+d`  

`2 = 2+d` 

`d=0` 

 

`y = 1/2x` 

 

Zatem punkt przecięcia prostych to punkt (0,0), oznaczmy go przez D i obliczmy długości boków CD, AD:

`|CD| = sqrt((x_D - x_C)^2+(y_D - y_C)^2) = sqrt((0-(-2))^2+(0-4)^2) = sqrt(2^2 + (-4)^2) = sqrt(4+16) = sqrt20 = 2sqrt5` 

`|AD| = sqrt((x_D - x_A)^2+(y_D-y_A)^2) = sqrt((1-0)^2+(-2-0)^2) = sqrt(1^2 + (-2)^2) = sqrt(1+4) = sqrt5` 

Stosunek długości boków:
`(|AD|)/(|AC|) = sqrt5/(2sqrt5) = 1/2` 

Które z punktów...

Punkty należące do osi y muszą mieć pierwszą współrzędną równą 0, gdyż dowolny punkt na osi y ma współrzędne:

`(0, y)` 

Punktami należącymi do osi y są punkty L i P.

Dana jest funkcja f...

`a) \ f(-3) = 3 * (-3) + 1 = -9 + 1 = -8` 

`f(-1) = 3*(-1) + 1 = -3 + 1 = -2` 

`f(0) = 3*0 + 1 = 1` 

`f(5) = 3 * 5 + 1 = 15 + 1 = 16` 

`Z_w = {-8,-2,1,16}` 

 

`b) \ f(-1) = (-1)/(-1+2) = (-1)/(1) = -1` 

`f(1/2) = (1/2)/(1/2 + 2) = (1/2)/(5/2) = 1/2 * 2/5 = 1/5` 

`f(0) = 0/(0+2) = 0/2 = 0` 

`Z_w = {-1, 0, 1/5}` 

 

`c) \ f(0) = 0 sqrt0 = 0` 

`f(1) = 1*sqrt1 = 1` 

`f(4) = 4 * sqrt4 = 4 * 2 = 8` 

`Z_w = {0, 1, 8}` 

 

`d) \ f(-2) = (-2)^4 = 16` 

`f(-1) = (-1)^4 = 1` 

`f(0) = 0^4 = 0` 

`f(1) = 1^4 = 1` 

`Z_w = {0, 1, 16}` 

Zaznacz w układzie współrzędnych

Oblicz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta...

a) Z jedynki trygonometrycznej:

`sin^2 alpha + cos^2 alpha = 1` 

`(1/4)^2 + cos^2 alpha = 1` 

`1/16 + cos^2 alpha = 1` 

`cos^2 alpha = 15/16` 

`|cos alpha| = sqrt15/4` 

Jeżeli kąt będzie ostry to cosinus będzie dodatni, w przeciwnym wypadku będzie ujemny.

`cos alpha = sqrt15/4 \ \ vv \ \ cos alpha = -sqrt15/4` 

Wtedy

`tg \ alpha = sinalpha/cosalpha` 

`tg \ alpha = (1/4)/(sqrt15/4) \ \ \ vv \ \ \ tg \ alpha = (1/4)/(-sqrt15/4)` 

`tg \ alpha = 1/sqrt15 \ \ \ vv \ \ \ tg \ alpha = -1/sqrt15` 

`tg \ alpha = sqrt15/15 \ \ \ vv \ \ \ tg \ alpha = -sqrt15/15` 

A więc:

`{(sin alpha = 1/4),(cos alpha = sqrt15/4),(tg \ alpha = sqrt15/15):} \ \ \ vv \ \ \ {(sin alpha = 1/4),(cos alpha = sqrt15/4),(tg \ alpha = -sqrt15/15):}` 

 

`b) \ sin^2 alpha + cos^2 alpha = 1` 

`sin^2 alpha + (-1/6)^2 = 1`  

`sin^2 alpha + 1/36 = 1` 

`sin^2 alpha = 35/36` 

Jeżeli kąt jest wypukły to sinus jest dodatni.

`sin alpha = sqrt35/6`  

 

`tg \ alpha = sin alpha/cos alpha = (sqrt35/6)/(-1/6) = sqrt35/6*(-6) = -sqrt35` 

 

`c) \ tg \ alpha = -5` 

Skoro tangens jest ujemny to znaczy, że kąt jest rozwarty a więc cosinus będzie ujemny a sinus dodatni.

 

`sin alpha/cos alpha = -5` 

`sin alpha = -5cos alpha` 

 

Z jedynki trygonometrycznej:

`sin^2 alpha + cos^2 alpha = 1` 

`(-5cosalpha)^2 + cos^2 alpha = 1` 

`25cos^2 alpha + cos^2 alpha = 1` 

`26 cos^2 alpha = 1` 

`cos^2 alpha = 1/26` 

`cos alpha = -sqrt26/26` 

 

`sin alpha = -5 cos alpha = -5*(-sqrt26/26) = (5sqrt26)/26` 

 

`d) \ tg \ alpha = 3/2`  

Skoro tangens kąta alfa jest dodatni to znaczy, że kąt alfa jest kątem ostrym a więc wszystkie funkcje trygonometryczne są dodatnie.

 

`sin alpha/cos alpha = 3/2` 

`sin alpha = 3/2 cos alpha` 

Z jedynki trygonometrycznej:

`sin^2 alpha + cos^2 alpha = 1` 

`(3/2cos alpha)^2 + cos^2 alpha = 1` 

`9/4 cos^2 alpha + cos^2 alpha = 1` 

`13/4 cos^2 alpha = 1` 

`cos^2 alpha = 4/13` 

`cos alpha = 2/sqrt13 = (2sqrt13)/13` 

Na rysunku obok przedstawiono ...

`f:\ [-4;7]->RR` 

`g:\ [-4;7]->RR` 

 

`a)` 

`f(x)=0` 

`x in {-3;1/3;3}` 

 

`f(x)>0` 

`x in (-3;1/3)cup(3;7]` 

 

`b)` 

`g(x)=1` 

`x in {0}cup[3;7]` 

 

`g(x)<=1` 

`x in [-4;0]cup[3;7]`  

 

`c)` 

`f(x)=g(x)` 

`x in {0;4}` 

 

`f(x)<g(x)` 

`x in (0;4)` 

Suma liczb

Zauważmy, że wyrażenia pod pierwiastkami można zapisać jako kwadrat różnicy:

`10-4sqrt6=10-2*2*sqrt6=4-2*2*sqrt6+6=2^2-2*2*sqrt6+sqrt6^2=(2-sqrt6)^2` 

`8-2sqrt7=8-2*sqrt7*1=7-2*sqrt7*1+1=sqrt7^2-2*sqrt7*1+1^2=(sqrt7-1)^2` 

 

Sumę liczb a i b możemy zapisać w uproszczony sposób:

`a+b=(sqrt(1-4sqrt6))/(2-sqrt6)+(sqrt(8-2sqrt7))/(sqrt7-1)=sqrt((2-sqrt6)^2)/(2-sqrt6)+sqrt((sqrt7-1)^2)/(sqrt7-1)=|2-sqrt6|/(2-sqrt6)+|sqrt7-1|/(sqrt7-1)=...` 

 

Zbadajmy znak wyrażeń znajdujących się pod wartością bezwzględną:

`2-sqrt6=sqrt4-sqrt6<0\ \ \ \ ("bo"\ 4<6)` 

`sqrt7-1=sqrt7-sqrt1>0\ \ \ ("bo"\ 7>1)` 

 

 

Możemy więc kontynuować obliczenia:

`...=(-(2-sqrt6))/(2-sqrt6)+(sqrt7-1)/(sqrt7-1)=-1+1=0\ \ \ \ \ \ odp.\ B` 

  

Przedstaw ilustrację graficzną

`a)`

Najpierw zaznaczymy obszar opisany pierwszą nierównością. 

`x-y+1>=0\ \ \ |-x-1`

`-y>=-x-1\ \ \ |*(-1)`

`y<=x+1`

 

Wyznaczmy współrzędne dwóch punktów należących do prostej y=x+1

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=0+1=1\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (0;\ 1)`

`x=2\ \ \ ->\ \ \ y=2+1=3\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (2;\ 3)`

 

Rysujemy prostą ciągłą linią i zaznaczamy obszar znajdujący się pod nią. 

      

 

Teraz zaznaczymy obszar opisany drugą nierównością. 

`y+3>=0\ \ \ |-3`

`y>=-3`

Rysujemy prostą ciągłą linią i zaznaczamy obszar znajdujący się nad nią. 

   

 

Ilustracja graficzna układu nierówności została zaznaczona na żółto. Do otrzymanego zbioru należą punkty P oraz R.  

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

 

 

`b)`

Najpierw zaznaczymy obszar opisany pierwszą nierównością. 

`x-y+1>0\ \ \ |-x-1`

`-y> -x-1\ \ \ |*(-1)`

`y<x+1`

 

Wyznaczmy współrzędne dwóch punktów należących do prostej y=x+1

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=0+1=1\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (0;\ 1)`

`x=2\ \ \ ->\ \ \ y=2+1=3\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (2;\ 3)`

 

Rysujemy prostą przerywaną linią i zaznaczamy obszar znajdujący się pod nią. 

 

Teraz zaznaczymy obszar opisany drugą nierównością. 

`x-y-5<0\ \ \ |-x+5`

`-y< -x+5\ \ \ |*(-1)`

`y>x-5`

 

Wyznaczmy współrzędne dwóch punktów należących do prostej y=x-5

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=0-5=-5\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (0;\ -5)`

`x=4\ \ \ ->\ \ \ y=4-5=-1\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (4;\ -1)`

 

Rysujemy prostą przerywaną linią i zaznaczamy obszar znajdujący się nad nią. 

  

Ilustracja graficzna układu nierówności została zaznaczona na żółto. Do otrzymanego zbioru nie należy żaden z otrzymanych punktów.

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

 

`c)`

Najpierw zaznaczymy obszar opisany pierwszą nierównością. 

`2x+y+1>=0\ \ \ |-2x-1`

`y>=-2x-1`

 

Wyznaczmy współrzędne dwóch punktów należących do prostej y=-2x-1. 

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=-2*0-1=0-1=-1\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (0;\ -1)`

`x=1\ \ \ ->\ \ \ y=-2*1-1=-2-1=-3\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (1;\ -3)`

Rysujemy prostą ciągłą linią i zaznaczamy obszar znajdujący się nad nią. 

     

 

Teraz zaznaczymy obszar opisany drugą nierównością. 

`x+2y-7<0\ \ \ |-x+7`

`2y< -x+7\ \ \ |:2`

`y<-1/2x+7/2`

Wyznaczmy współrzędne dwóch punktów należących do prostej y=-1/2x+7/2

`x=1\ \ \ ->\ \ \ y=-1/2*1+7/2=-1/2+7/2=6/2=3\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (1;\ 3)`

`x=3\ \ \ ->\ \ \ y=-1/2*3+7/2=-3/2+7/2=4/2=2\ \ \ ->\ \ \ "punkt"\ (3;\ 2)`

 

Rysujemy prostą przerywaną linią i zaznaczamy obszar znajdujący się pod nią. 

 

Ilustracja graficzna układu nierówności została zaznaczona na żółto. Do otrzymanego zbioru należy punkt R. 

Dane są zbiory A=(-∞,5),B=<a,9) i A\B=(-∞,-1).

a) Sporządzamy rysunek pomocniczy:

Na podstawie rysunku można stwierdzić, że: `B=<<-1,9)`