Arytmetyka liczb wymiernych - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Kolejność wykonywania działań

Przed rozpoczęcie wykonywania działań musimy pamiętać w jakiej kolejności to robić:

  1. Potęgi i nawiasy
  2. Mnożenie i dzielenie
  3. Dodawanie, odejmowanie

Dodawanie i odejmowanie liczb naturalnych

Podstawowe działanie, które ciągnie się za nami aż od podstawówki. Nie trzeba już chyba nic tłumaczyć. Przedstawiamy jedynie kilka przykładów.

Przykłady:

  • $$19+16=35$$
  • $$105-0=105$$
  • $$123+452=575$$
  • $$356-185=171$$

Dodawanie i odejmowanie liczb całkowitych

W tym wypadku musimy uważać na znaki "plus" i "minus", może się zdarzyć sytuacja, że znajdziemy dwa znaki obok siebie, wtedy musimy zamienić dwa znaki w jeden. Tabelka poniżej powinna wyjaśnić wszelkie wątpliwości:

tabelka

Przykłady:

  • $$156-(-29)=156+29=185$$
  • $$99+(-65)=99-65=34$$
  • $$99+(101+25)=99+101+25=225$$
  • $$99-(101-65+2)=99-101+65-2=61$$

Dodawanie i odejmowanie ułamków zwykłych

Najważniejszą rzeczą podczas dodawania i odejmowania ułamków zwykłych jest sprowadzenie danych ułamków do wspólnego mianownika.

Aby sprowadzić ułamek do wspólnego mianownika musimy rozszerzyć oba ułamki przez liczbę w taki sposób, aby otrzymać takie same mianowniki, a następnie dodać liczniki, czyli:

$$1/3+3/4=1/3×4/4+3/4×3/3=4/{12}+9/{12}={13}/{12}=1{1}/{12}$$

Wykonaliśmy mnożenie przez 1 w różnych formach ($$4/4$$ oraz $$3/3$$), przez co sprowadziliśmy ułamki do wspólnego mianownika (12), nie zaburzając działania.

Tak samo w przypadku odejmowania.

$$1 1/5-3/4=6/5-3/4=6/5×4/4-3/4×5/5={24}/{20}-{15}/{20}={9}/{20}$$

Pamiętaj, aby zawsze skracać ułamki!

Mnożenie i dzielenie liczb naturalnych

Podstawowe zasady do przypomnienia:

  1. Nie można dzielić przez 0,
  2. Mnożenie przez 0 dowolnej liczby daje nam 0,
  3. Mnożenie lub dzielenie przez 1 daje nam tą samą liczbę.

Przykłady:

  • $$6×15=90$$
  • $$99×0=0$$
  • $$55÷5=11$$

Mnożenie i dzielenie liczb całkowitych

Wszystko dzieje się identycznie jak w przypadku liczb naturalnych. Jednakże musimy skorzystać ponownie z tabelki zamiany znaków "plus" i "minus":

tabelka

Przykłady:

  • $$7×(-8)=-56$$
  • $$-100÷4=-25$$
  • $$-55×(-3)=165$$

Ponadto jeśli mamy mnożenie lub dzielenie przed nawiasem, mnożymy lub dzielimy każdy składnik nawiasu pamiętając o znaku, na przykład:

$$-5(3+12-5)=-15-60+25=-50$$
 

Mnożenie i dzielenie ułamków zwykłych

W przypadku mnożenia ułamków, sprawa prosta. Mnożymy:
Licznik razy Licznik i Mianownik razy Mianownik

Przykład:

$$1/5×3/2=3/{10}$$

W przypadku dzielenia w drugim z ułamków należy zamienić licznik z mianownikiem i wtedy pomnożyć oba ułamki.

Przykład:

$$-{4}/{3}÷{2}/{5}=-4/3×5/2=-{20}/6$$

Nie możemy mnożyć i dzielić ze sobą ułamków mieszanych. Najpierw musimy je zamienić na niewłaściwe.

Przykład:

$$3 {1}/{5}×2 {1}/{4}={16}/{5}×9/4={144}/{20}={72}/{10}={36}/{5}=7{1}/{5}$$

Porady

  • Możemy zostawiać wyniki w ułamkach w postaci niewłaściwej, ale koniecznie nieskracalnej
  • Ułamek to tak naprawdę dzielenie $$1/2=1÷2 $$
  • Skoro ułamek to dzielenie, w mianowniku nie może być 0
  • Skracać ułamki na krzyż (np. licznik pierwszego z mianownikiem drugiego) można tylko przy mnożeniu i dzieleniu. Przy dodawaniu i odejmowaniu jest to niedopuszczalne!

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Oblicz:
$${2 1/2-0,9+2/3}/{1/4+1/5-1/3}=$$

Zaczynamy od obliczenia tego co jest w liczniku i w mianowniku:
Licznik:
Zamieniamy wszystko na ułamki zwykłe lub niewłaściwe:
$${2 1/2-0,9+2/3}/{1/4+1/5-1/3}={5/2-9/{10}+2/3}/{1/4+1/5-1/3}$$

Sprowadzamy do wspólnego mianownika - przez 10, 2, 3 dzieli się 30
$${5/2-9/{10}+2/3}/{1/4+1/5-1/3}={ {75}/{30}-{27}/{30}+{20}/{30} }/{1/4+1/5-1/3}$$

I wykonujemy działanie
$${ {68}/{30} }/{1/4+1/5-1/3}$$

Mianownik:
Sprowadzamy ułamki w mianowniku do wspólnej wartości - przez 4,5,3 dzieli się 60.
$${ {68}/{30} }/{ {15}/{60}+{12}/{60}-{20}/{60} }$$

Pozostaje nam wykonać działanie
$${ {68}/{30} }/{ {7}/{60} }={68}/{30} ÷ { {7}/{60} }$$
Odwracamy drugi ułamek i mnożymy:
$${68}/{30}×{60}/7$$
I skracamy na krzyż:
$${68}/1×2/7$$
Mnożymy licznik przez licznik i mianownik przez mianownik i wynik:
$${136}/{7}$$

Zadanie 2.

Oblicz:
$$5(3-1/2+7/8)-(1/2+2,5)=$$

Najpierw bezpieczniej wykonać to co jest w nawiasie, znów wspólne mianowniki, 2 i 8 to 16:
$$5(3-8/{16}+{14}/{16})-(1/2+2,5)=$$

Musimy działać od lewej do prawej, więc najpierw wykonujemy odejmowanie, w drugim nawiasie przekształcamy dziesiętny
$$5(2 8/{16}+{14}/{16})-(1/2+5/2)=$$
Zamieniamy na ułamek niewłaściwy, ułatwi nam to potem mnożenie, w drugim dodajemy
$$5({40}/{16}+{14}/{16})-6/2=$$

Dodajemy to co w nawiasie i dzielimy ułamek wolny
$$5×{54}/{16}-3=$$

Wykonujemy najpierw mnożenie, jednakże skróćmy ułamek przez 2
$$5×{27}/8-3=$$

$${135}/8-3=$$

Rozszerzmy przez $$8/8$$ nasza trójkę i mamy wynik:
$${135}/8-{24}/8={111}/8$$

Zadanie 3.

Oblicz: $${2+2/3-3/5÷{6/5} }/{5/2×2/3}=$$

Zaczynamy znów np. od licznika, możemy zrobić dodawanie, które nam nie koliduje z dzieleniem, ale już odejmowanie nie, bo przeczy to kolejności, zamienimy również dzielenie na mnożenie, więc:
Licznik:
$${6/3+2/3-3/5×5/6}/{5/2×2/3}=$$

Skracamy ułamki w mnożeniu i dodajemy pozostałe
$${8/3-1/1×1/2}/{5/2×2/3}=$$

Mnożymy ułamki
$${8/3-1/2}/{5/2×2/3}=$$

Następnie sprowadzamy do wspólnego mianownika
$${ {16}/6-3/6}/{5/2×2/3}=$$

I odejmujemy
$${ {13}/6}/{5/2×2/3}=$$

Mianownik:
Mnożymy liczniki i mianowniki ze sobą
$${ {13}/6}/{ {10}/6}= $$

Kreska ułamkowa to znak dzielenia, więc
$${13}/6÷ { {10}/6}=$$

Zamieniamy na mnożenie
$${13}/6×6/{10}=$$

Skracamy szóstki $${13}/1×1/{10}={13}/{10}$$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Dany jest trójkąt ABC o bokach długości ...

`a)` 

 Obliczmy skalę podobieństwa trójkąta ABC do trójkąta A'B'C'  (dzieląc długość najdłuższego boku trójkąta ABC przez długość najdłuższego boku trójkąta A'B'C')

`k=12/16=3/4` 

 

Stosunek obwodów trójątów także jest równy skali podobieństwa, więc możemy zapisać:

`(O_(DeltaABC))/(O_(DeltaA'B'C'))=` `3/4` 

`(6+8+12)/(O_(DeltaA'B'C'))=3/4` 

`26/(O_(DeltaA'B'C'))=3/4` 

`4*26=3*O_(DeltaA'B'C')` 

`O_(DeltaA'B'C')=104/3=34 2/3`    

 

`b)` 

`k=(O_(DeltaABC))/(O_(DeltaA'B'C'))=` `55/(4+8+10)=55/22=5/2` 

 

Oznaczmy długości boków trójkąta ABC przez x, y, z:

`x/4=y/8=z/10=5/2` 

 

`x/4=5/2\ \ \ =>\ \ \ 2x=4*5\ \ \ =>\ \ \ x=20/2=10` 

`y/8=5/2\ \ \ =>\ \ \ 2y=5*8\ \ \ =>\ \ \ y=40/2=20` 

`z/10=5/2\ \ \ =>\ \ \ 2z=5*10\ \ \ =>\ \ \ z=50/2=25` 

Długości boków trójkąta ABC wynoszą 10, 20, 25

Odczytaj z rysunku rozwiązanie

Szukamy współrzędnych punktu przecęcia prostych o zadanych równaniach, ma on współrzędne (2; 3). Sprawdzamy, czy współrzędne tego punktu spełniają pierwsze równanie układu:

`3#=^?2*2-1`

`3#=^?4-1`

`3#=^?3`

Współrzędne punktu (2; 3) spełniają pierwsze równanie układu. 

 

 

Sprawdzamy, czy współrzędne tego punktu spełniają drugie równanie układu: 

`3#=^?1/2*2+2`

`3#=^?1+2`

`3#=^?3`

Współrzędne punktu (2; 3) spełniają drugie równanie układu. 

 

Jeśli współrzędne punktu (2; 3) spełniają oba równania układu równań, to punkt (2; 3) jest rozwiązaniem tego układu. 

Zaznacz na osi liczbowej i zapisz w postaci przedziału

Uzasadnij, że suma trzech kolejnych

`a)`

`k,\ \ k+1,\ \ k+2\ \ \ -\ \ \ "trzy kolejne liczby naturalne"`

 

Zapiszmy sumę tych liczb. Jeśli uda się ją przedstwić jako iloczyn trójki i pewnej liczby naturalnej, to będzie to oznaczać, że ta suma jest podzielna przez 3. 

`k+k+1+k+2=3k+3=3*#underbrace((k+1))_("l. naturalna")`

 

 

 

 

`b)`

Liczba parzysta jest podzielna przez 2, jest więc iloczynem dwójki i pewnej liczby całkowitej k. Oznacza to, że liczba parzysta jest postaci 2k. Co druga liczba jest parzysta, więc liczba o 2 większa od parzystej także jest parzysta. 

`2k,\ \ 2k+2,\ \ 2k+4\ \ -\ \ \ "trzy kolejne liczby parzyste"`

 

 

Zapiszmy sumę tych liczb. Jeśli uda się ją przedstwić jako iloczyn szóstki i pewnej liczby naturalnej, to będzie to oznaczać, że ta suma jest podzielna przez 6. 

`2k+2k+2+2k+4=6k+6=6*#underbrace((k+1))_("l. naturalna")`

 

 

 

`c)`

Wiemy już, że liczba parzysta jest postaci 2k. Liczba o 1 większa od liczby parzystej jest nieparzysta, więc liczba nieparzysta to liczba postaci 2k+1. Kolejna liczba nieparzysta jest o 2 większa od tej liczby (co druga liczba jest nieparzysta). 

`2k+1,\ 2k+3,\ 2k+5,\ 2k+7,\ 2k+9\ \ \ -\ \ \ "pięć kolejnych liczb nieparzystych"`

 

Zapiszmy sumę tych liczb. Jeśli uda się ją przedstwić jako iloczyn piątki i pewnej liczby naturalnej, to będzie to oznaczać, że ta suma jest podzielna przez 5. 

`2k+1+2k+3+2k+5+2k+7+2k+9=10k+25=5*#underbrace((2k+5))_("l. naturalna")`

Punkt A' położony jest symetrycznie ...

`a)` 

`O=(0;0)` 

`A=(3;4)` 

`|A A'|=2|OA|=2sqrt(3^2+4^2)=2sqrt25=10`  

 

`b)` 

`A=(-1;4)` 

`|A A'|=2|OA|=2sqrt((-1)^2+4^2)=2sqrt17=2sqrt17`    

 

`c)` 

`A=(-6;-8)` 

`|A A'|=2|AO|=2sqrt(6^2+8^2)=2sqrt100=20`   

 

`d)` 

`A=(a;a)` 

`|A A'|=2|AO|=2sqrt(a^2+a^2)=2sqrt(2a^2)=2sqrt2|a|`    

Wyznacz kąty trójkąta ABC ...

 

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.

Dorysowujemy promienie SD oraz SB, a także styczna do okręgu w punkcie B.

Miejsce przecięcia obu stycznych (prostej AC i prostej EB) oznaczamy literą E.

 

Zauważmy, że:

`75^"o"+60^"o"+alpha=180^"o"` 

`135^"o"+alpha=180^"o"` 

`alpha=45^"o"` 

Mamy więc wyznaczoną miarę kata BAC:

`ul(ul(|/_BAC|=45^"o"))` 

 

Z tw. o odcinkach stycznych mamy:

`|EA|=|EB|` 

Stąd trójkąt BEA jest trójkątem równoramiennym i miary kątów przy podstawie AB są sobie równe, czyli:

`|/_BAE|=|/_ABE|=45^"o"` 

 

Kąt środkowy DSB jest oparty na tym samym łuku, co kąt wpisany DAB, stąd (z tw. o kącie wpisanym i środkowym opartych na tym samym łuku) mamy:

`beta=2*60^"o"=120^"o"` 

Trójkąt DBS jest trójkątem równoramiennym, ponieważ |SD|=|SB|. Miary kątów przy podstawie są równe. Obliczmy miarę kąta γ:

`2gamma+120^"o"=180^"o"` 

`2gamma=60^"o"`  

`gamma=30^"o"` 

`|/_BDA|=|/_DBS|=30^"o"` 

 

W punkcie B znajduje się punkt styczności, więc promień poprowadzony do tego punktu tworzy ze styczną kąt prosty, czyli:

`|/_SBE|=90^"o"` 

Obliczmy miarę kąta δ:

`gamma+90^"o"+delta=180^"o"` 

`30^"o"+90^"o"+delta=180^"o"` 

`120^"o"+delta=180^"o"` 

`delta=60^"o"` 

Możemy wyznaczyć miarę kata CBA:

`|/_CBA|=alpha+delta` 

`|/_CBA|=45^"o"+60^"o"` 

`ul(ul(|/_CBA=105^"o"))` 

 

Z tw. o sumie miar kątów w trójkącie (dla trójkąta ABC) obliczamy miarę kąta BCA:

`lambda=180^"o"-45^"o"-105^"o"`  

`lambda=30^"o"` 

`ul(ul(|/_BCA|=30^"o"))` 

 

Odp: Miary kątów wewnętrznych w trójkącie wynoszą 30o, 45o i 105o.

 

Uzasadnij równość

`a)` 

Zaczniemy rozpisywać prawą stronę równości, aż dojdziemy do lewej strony. 

`(1-x^2)(1+x+x^2)(1-x+x^2)=(1^2-x^2)(1+x+x^2)(1-x+x^2)=(1-x)(1+x)(1+x+x^2)(1-x+x^2)=` 

`=(1-x)(1+x+x^2)(1+x)(1-x+x^2)=(1^3-x^3)(1^3+x^3)=(1-x^3)(1+x^3)=1^2-(x^3)^2=1-x^6` 

 

 

`b)` 

Zaczniemy rozpisywać prawą stronę równości, aż dojdziemy do lewej strony. 

`(x+y)^6-(x-y)^6=((x+y)^3)^2-((x-y)^3)^2=[(x+y)^3-(x-y)^3]*[(x+y)^3+(x-y)^3]=` 

`=[(x^3+3x^2y+3xy^2+y^3)-(x^3-3x^2y+3xy^2-y^3)]*[(x^3+3x^2y+3xy^2+y^3)+(x^3-3x^2y+3xy^2-y^3)]=`  

`=[6x^2y+2y^3]*[2x^3+6xy^2]=2y*(3x^2+y^2)*2x(x^2+3y^2)=4xy(3x^2+y^2)(x^2+3y^2)`   

Oblicz miarę kąta...

Z twierdzenia sinusów:

`R = b/(2 sin beta) = (10sqrt3)/(2*1/4) = (10sqrt3)/(1/2) = 20sqrt3` 

 

A więc:

`R = a/(2sin alpha)` 

`R sin alpha = a/2` 

`sin alpha = a/(2R)` 

`sin alpha = (20sqrt3)/(2*20sqrt3) = 1/2` 

`alpha = 30^o \ \ vv alpha = 150^o` 

Oblicz

`a)\ (sqrt7+1)^2=sqrt7^2+2*sqrt7*1+1^2=7+2sqrt7+1=8+2sqrt7`

`b)\ (sqrt5-3)^2=sqrt5^2-2*sqrt5*3+3^2=5-6sqrt5+9=14-6sqrt5`

`c)\ (6-sqrt3)^2=6^2-2*6*sqrt3+sqrt3^2=36-12sqrt3+3=39-12sqrt3`

`d)\ (sqrt3+sqrt2)^2=sqrt3^2+2*sqrt3*sqrt2+sqrt2^2=3+2sqrt6+2=5+2sqrt6`

`e)\ (sqrt6+sqrt15)^2=sqrt6^2+2*sqrt6*sqrt15+sqrt15^2=6+2sqrt90+15=21+2*sqrt9*sqrt10=21+2*3sqrt10=21+6sqrt10`

`f)\ (sqrt2/2-sqrt6)^2=(sqrt2/2)^2-2*sqrt2/2*sqrt6+sqrt6^2=2/4-sqrt12+6=1/2-sqrt4*sqrt3+6=6 1/2-2sqrt3`

Napisz równanie prostej równoległej

Proste równoległe mają jednakowe współczynniki kierunkowe, więc szukana prosta ma współczynnik kierunkowy m. 

 

`a)`

`y=-2/3x+b`

Aby obliczyć wartość współczynnika b wystarczy podstawić współrzędne punktu A do powyższego równania: 

`5=-2/3*3+b`

`5=-2+b\ \ \ |+2`

`b=7`

 

`ul(ul(y=-2/3x+7))`

 

 

 

`b)`

`y=x+b`

 

Podstawiamy współrzędne punktu A:

`-1=-2+b\ \ \ \ |+2`

`b=1`

 

`ul(ul(y=x+1)`

 

 

`c)`

`y=3x+b`

 

Podstawiamy współrzędne punktu A:

`1=3*3+b`

`1=9+b\ \ \ |-9`

`b=-8`

 

`ul(ul(y=3x-8))`