Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Arytmetyka liczb wymiernych - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Kolejność wykonywania działań

Przed rozpoczęcie wykonywania działań musimy pamiętać w jakiej kolejności to robić:

  1. Potęgi i nawiasy
  2. Mnożenie i dzielenie
  3. Dodawanie, odejmowanie

Dodawanie i odejmowanie liczb naturalnych

Podstawowe działanie, które ciągnie się za nami aż od podstawówki. Nie trzeba już chyba nic tłumaczyć. Przedstawiamy jedynie kilka przykładów.

Przykłady:

  • $$19+16=35$$
  • $$105-0=105$$
  • $$123+452=575$$
  • $$356-185=171$$

Dodawanie i odejmowanie liczb całkowitych

W tym wypadku musimy uważać na znaki "plus" i "minus", może się zdarzyć sytuacja, że znajdziemy dwa znaki obok siebie, wtedy musimy zamienić dwa znaki w jeden. Tabelka poniżej powinna wyjaśnić wszelkie wątpliwości:

tabelka

Przykłady:

  • $$156-(-29)=156+29=185$$
  • $$99+(-65)=99-65=34$$
  • $$99+(101+25)=99+101+25=225$$
  • $$99-(101-65+2)=99-101+65-2=61$$

Dodawanie i odejmowanie ułamków zwykłych

Najważniejszą rzeczą podczas dodawania i odejmowania ułamków zwykłych jest sprowadzenie danych ułamków do wspólnego mianownika.

Aby sprowadzić ułamek do wspólnego mianownika musimy rozszerzyć oba ułamki przez liczbę w taki sposób, aby otrzymać takie same mianowniki, a następnie dodać liczniki, czyli:

$$1/3+3/4=1/3×4/4+3/4×3/3=4/{12}+9/{12}={13}/{12}=1{1}/{12}$$

Wykonaliśmy mnożenie przez 1 w różnych formach ($$4/4$$ oraz $$3/3$$), przez co sprowadziliśmy ułamki do wspólnego mianownika (12), nie zaburzając działania.

Tak samo w przypadku odejmowania.

$$1 1/5-3/4=6/5-3/4=6/5×4/4-3/4×5/5={24}/{20}-{15}/{20}={9}/{20}$$

Pamiętaj, aby zawsze skracać ułamki!

Mnożenie i dzielenie liczb naturalnych

Podstawowe zasady do przypomnienia:

  1. Nie można dzielić przez 0,
  2. Mnożenie przez 0 dowolnej liczby daje nam 0,
  3. Mnożenie lub dzielenie przez 1 daje nam tą samą liczbę.

Przykłady:

  • $$6×15=90$$
  • $$99×0=0$$
  • $$55÷5=11$$

Mnożenie i dzielenie liczb całkowitych

Wszystko dzieje się identycznie jak w przypadku liczb naturalnych. Jednakże musimy skorzystać ponownie z tabelki zamiany znaków "plus" i "minus":

tabelka

Przykłady:

  • $$7×(-8)=-56$$
  • $$-100÷4=-25$$
  • $$-55×(-3)=165$$

Ponadto jeśli mamy mnożenie lub dzielenie przed nawiasem, mnożymy lub dzielimy każdy składnik nawiasu pamiętając o znaku, na przykład:

$$-5(3+12-5)=-15-60+25=-50$$
 

Mnożenie i dzielenie ułamków zwykłych

W przypadku mnożenia ułamków, sprawa prosta. Mnożymy:
Licznik razy Licznik i Mianownik razy Mianownik

Przykład:

$$1/5×3/2=3/{10}$$

W przypadku dzielenia w drugim z ułamków należy zamienić licznik z mianownikiem i wtedy pomnożyć oba ułamki.

Przykład:

$$-{4}/{3}÷{2}/{5}=-4/3×5/2=-{20}/6$$

Nie możemy mnożyć i dzielić ze sobą ułamków mieszanych. Najpierw musimy je zamienić na niewłaściwe.

Przykład:

$$3 {1}/{5}×2 {1}/{4}={16}/{5}×9/4={144}/{20}={72}/{10}={36}/{5}=7{1}/{5}$$

Porady

  • Możemy zostawiać wyniki w ułamkach w postaci niewłaściwej, ale koniecznie nieskracalnej
  • Ułamek to tak naprawdę dzielenie $$1/2=1÷2 $$
  • Skoro ułamek to dzielenie, w mianowniku nie może być 0
  • Skracać ułamki na krzyż (np. licznik pierwszego z mianownikiem drugiego) można tylko przy mnożeniu i dzieleniu. Przy dodawaniu i odejmowaniu jest to niedopuszczalne!

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Oblicz:
$${2 1/2-0,9+2/3}/{1/4+1/5-1/3}=$$

Zaczynamy od obliczenia tego co jest w liczniku i w mianowniku:
Licznik:
Zamieniamy wszystko na ułamki zwykłe lub niewłaściwe:
$${2 1/2-0,9+2/3}/{1/4+1/5-1/3}={5/2-9/{10}+2/3}/{1/4+1/5-1/3}$$

Sprowadzamy do wspólnego mianownika - przez 10, 2, 3 dzieli się 30
$${5/2-9/{10}+2/3}/{1/4+1/5-1/3}={ {75}/{30}-{27}/{30}+{20}/{30} }/{1/4+1/5-1/3}$$

I wykonujemy działanie
$${ {68}/{30} }/{1/4+1/5-1/3}$$

Mianownik:
Sprowadzamy ułamki w mianowniku do wspólnej wartości - przez 4,5,3 dzieli się 60.
$${ {68}/{30} }/{ {15}/{60}+{12}/{60}-{20}/{60} }$$

Pozostaje nam wykonać działanie
$${ {68}/{30} }/{ {7}/{60} }={68}/{30} ÷ { {7}/{60} }$$
Odwracamy drugi ułamek i mnożymy:
$${68}/{30}×{60}/7$$
I skracamy na krzyż:
$${68}/1×2/7$$
Mnożymy licznik przez licznik i mianownik przez mianownik i wynik:
$${136}/{7}$$

Zadanie 2.

Oblicz:
$$5(3-1/2+7/8)-(1/2+2,5)=$$

Najpierw bezpieczniej wykonać to co jest w nawiasie, znów wspólne mianowniki, 2 i 8 to 16:
$$5(3-8/{16}+{14}/{16})-(1/2+2,5)=$$

Musimy działać od lewej do prawej, więc najpierw wykonujemy odejmowanie, w drugim nawiasie przekształcamy dziesiętny
$$5(2 8/{16}+{14}/{16})-(1/2+5/2)=$$
Zamieniamy na ułamek niewłaściwy, ułatwi nam to potem mnożenie, w drugim dodajemy
$$5({40}/{16}+{14}/{16})-6/2=$$

Dodajemy to co w nawiasie i dzielimy ułamek wolny
$$5×{54}/{16}-3=$$

Wykonujemy najpierw mnożenie, jednakże skróćmy ułamek przez 2
$$5×{27}/8-3=$$

$${135}/8-3=$$

Rozszerzmy przez $$8/8$$ nasza trójkę i mamy wynik:
$${135}/8-{24}/8={111}/8$$

Zadanie 3.

Oblicz: $${2+2/3-3/5÷{6/5} }/{5/2×2/3}=$$

Zaczynamy znów np. od licznika, możemy zrobić dodawanie, które nam nie koliduje z dzieleniem, ale już odejmowanie nie, bo przeczy to kolejności, zamienimy również dzielenie na mnożenie, więc:
Licznik:
$${6/3+2/3-3/5×5/6}/{5/2×2/3}=$$

Skracamy ułamki w mnożeniu i dodajemy pozostałe
$${8/3-1/1×1/2}/{5/2×2/3}=$$

Mnożymy ułamki
$${8/3-1/2}/{5/2×2/3}=$$

Następnie sprowadzamy do wspólnego mianownika
$${ {16}/6-3/6}/{5/2×2/3}=$$

I odejmujemy
$${ {13}/6}/{5/2×2/3}=$$

Mianownik:
Mnożymy liczniki i mianowniki ze sobą
$${ {13}/6}/{ {10}/6}= $$

Kreska ułamkowa to znak dzielenia, więc
$${13}/6÷ { {10}/6}=$$

Zamieniamy na mnożenie
$${13}/6×6/{10}=$$

Skracamy szóstki $${13}/1×1/{10}={13}/{10}$$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Dane są liczby:

Zamieńmy ułamki okresowe na ułamki zwykłe. 

 

`\ \ \ \ x=0,090909...` 

`100x=9,090909...` 

`100x-x=9,090909...-0,090909...` 

`99x=9\ \ \ |:9` 

`x=9/99=1/11` 

 

 

`\ \ \ y=0,1111...` 

`10y=1,1111...` 

`10y-y=1,1111...-0,1111...` 

`9y=1\ \ \ |:9` 

`y=1/9` 

 

Zapiszmy podane liczby:

`2,(09)=2 1/11` 

`0,2^-1=1/(0,2)=10/2=5` 

`sqrt(1 1/16)=sqrt(17/16)=sqrt17/sqrt16=sqrt17/4` 

`(4/9)^3=64/729` 

`(8/27)^-2=(27/8)^2=729/64` 

`(sqrtpi)^2=pi` 

`(-0,5)^-3=(-1/2)^-3=(-2)^3=-8` 

`sqrt243/sqrt27=sqrt(243/27)=sqrt9=3` 

`root(3)(-15 5/8)=root(3)(-125/8)=-5/2` 

`root(3)(-16)=root(3)(-8)*root(3)(2)=-2root(3)2` 

`root(3)32=root(3)8*root(3)4=2root(3)4` 

`sqrt(0,(1))=sqrt(1/9)=1/3` 

 

 

`a)\ 0,2^-1,\ \ \ \ sqrt243/sqrt27` 

`b)\ 0,2^-1,\ \ \ (-0,5)^-3,\ \ \ sqrt243/sqrt27` 

`c)\ 2,(09),\ \ \ 0,2^-1,\ \ \ (4/9)^3,\ \ \ (8/27)^-2,\ \ \ (-0,5)^-3,\ \ \ sqrt243/sqrt27,\ \ \ root(3)(-15 5/8),\ \ \ sqrt(0,(1))` 

`d)\ sqrt(1 1/16),\ \ \ (sqrtpi)^2,\ \ \ root(3)(-16),\ \ \ root(3)(32)` 

 

Dla jakich wartości parametru m...

`x^2+(2-m)x-2m=0` 

 

`x_2=x_1+2` 

 

`Delta=(2-m)^2-4*1*(-2m)=4-4m+m^2+8m=m^2+4m+4=(m+2)^2` 

`sqrt(Delta)=sqrt((m+2)^2)=|m+2|` 

 

I przypadek. 

Gdy `m+2 >0` 

`x_1=(-(2-m)-(m+2))/2=(-2+m-m-2)/2=(-4)/2=-2` 

`x_2=(-(2-m)+(m+2))/2=(-2+m+m+2)/2=(2m)/2=m` 

`m=-2+2` 

`m=0` 

 

II przypadek. 

Gdy `m+2< 0` 

`x_1=(-(2-m)-(-m-2))/2=(-2+m+m+2)/2=(2m)/2=m` 

`x_2=(-(2-m)+(-m-2))/2=(-2+m-m-2)/2=(-4)/2=-2` 

`-2=m+2` 

`-4=m` 

 

 

Odp. `m in {-4, 0}`  

 

Rozwiąż nierówność

`a)`

Pierwsza wartość bezwzględna zeruje się dla x=3, druga zeruje się dla x=0. Mamy więc do rozpatrzenia trzy przypadki. 

 

`1)\ x in (-infty;\ 0)`

`\ \ \ |x-3|+|x|<=3`

`\ \ \ -(x-3)-x<=3`

`\ \ \ -x+3-x<=3`

`\ \ \ -2x+3<=3\ \ \ |-3`

`\ \ \ -2x<=0\ \ \ |:(-2)`

`\ \ \ x>=0`

`(x>=0\ \ \ "i"\ \ \ x in (-infty;\ 0))\ \ \ =>\ \ \ ul("brak rozwiązań")`

 

 

`2)\ x in <<0;\ 3)`

`\ \ \ |x-3|+|x|<=3`

`\ \ \ -(x-3)+x<=3`

`\ \ \ -x+3+x<=3`

`\ \ \ 3<=3`

Powyższa nierówność jest prawdziwa niezależnie od wartości x, dlatego wszystkie liczby z drugiego przedziału są rozwiązaniem wyjściowej nierówności. 

`ul(x in <<0;\ 3))`

 

 

`3)\ x in <<3;\ +infty)`

`\ \ \ |x-3|+|x|<=3`

`\ \ \ x-3+x<=3`

`\ \ \ 2x-3<=3\ \ \ |+3`

`\ \ \ 2x<=6\ \ \ |:2`

`\ \ \ x<=3`

`(x <=3\ \ \ "i"\ \ \ x in <<3;\ +infty))\ \ \ =>\ \ \ ul(x=3)`

 

Łącząc przypadki 1), 2) oraz 3) otrzymujemy ostateczne rozwiązanie nierówności:

`ul(ul(x in <<0;\ 3>>))`

 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )`

 

 

 

`b)`

Pierwsza wartość bezwzględna zeruje się dla x=1, druga zeruje się dla x=-1. Mamy więc do rozpatrzenia trzy przypadki. 

 

`1)\ x in (-infty;\ -1)`

`\ \ \ |1-x|-|1+x|>=2`

`\ \ \ 1-x+(1+x)>=2`

`\ \ \ 1-x+1+x>=2`

`\ \ \ 2>=2`

Powyższa nierówność jest prawdziwa niezależnie od wartości x, dlatego wszystkie liczby z pierwszego przedziału są rozwiązaniem wyjściowej nierówności. 

`ul(x in (-infty;\ -1)`

 

 

`2)\ x in <<-1;\ 1)`

`\ \ \ |1-x|-|1+x|>=2`

`\ \ \ 1-x-(1+x)>=2`

`\ \ \ 1-x-1-x>=2`

`\ \ \ -2x>=2\ \ \ |:(-2)`

`\ \ \ x<=-1`

`(x<=-1\ \ \ "i"\ \ \ x in <<-1;\ 1))\ \ \ =>\ \ \ ul(x=-1)`

 

`3)\ x in <<1;\ +infty)`

`\ \ \ |1-x|-|1+x|>=2`

`\ \ \ -(1-x)-(1+x)>=2`

`\ \ \ -1+x-1-x>=2`

`\ \ \ -2>=2`

Otrzymaliśmy sprzeczność, więc w tym przedziale nierówność nie ma rozwiązania.

 

 

Łącząc przypadki 1), 2) oraz 3) otrzymujemy ostateczne rozwiązanie nierówności:

`ul(ul(x in (-infty;\ -1>>))`

 

 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )`

 

 

`c)`

Pierwsza wartość bezwzględna zeruje się dla x=5, druga zeruje się dla x=1. Mamy więc do rozpatrzenia trzy przypadki. 

 

`1)\ x in (-infty;\ 1)`

`\ \ \ |x-5|+|x-1|>=4`

`\ \ \ -(x-5)-(x-1)>=4`

`\ \ \ -x+5-x+1>=4`

`\ \ \ -2x+6>=4\ \ \ |-6`

`\ \ \ -2x>=-2\ \ \ |:(-2)`

`\ \ \ x<=1`

`(x <=1\ \ \ "i"\ \ \ x <=1)\ \ \ =>\ \ \ ul(x in (-infty;\ 1))`

 

 

`2)\ x in <<1;\ 5)`

`\ \ \ |x-5|+|x-1|>=4`

`\ \ \ -(x-5)+(x-1)>=4`

`\ \ \ -x+5+x-1>=4`

`\ \ \ 4>=4`

Powyższa nierówność jest prawdziwa niezależnie od wartości x, dlatego wszystkie liczby z drugiego przedziału są rozwiązaniem wyjściowej nierówności. 

`ul(x in <<1;\ 5))`

 

 

`3)\ x in <<5;\ +infty)`

`\ \ \ |x-5|+|x-1|>=4`

`\ \ \ x-5+x-1>=4`

`\ \ \ 2x-6>=4\ \ \ |+6`

`\ \ \ 2x>=10\ \ \ |:2`

`\ \ \ x>=5`

`(x>=5\ \ \ "i"\ \ \ x in <<5;\ +infty))\ \ \ =>\ \ \ ul(x in <<5;\ +infty))`

 

Łącząc przypadki 1), 2) oraz 3) otrzymujemy ostateczne rozwiązanie nierówności:

`ul(ul(x in RR))`

 

 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )`

 

 

`d)`

Pierwsza wartość bezwzględna zeruje się dla x=2, druga zeruje się dla x=-2. Mamy więc do rozpatrzenia trzy przypadki. 

 

`1)\ x in (-infty;\ -2)`

`\ \ \ |3x-6|-|x+2|<8`

`\ \ \ -(3x-6)+(x+2)<8`

`\ \ \ -3x+6+x+2<8`

`\ \ \ -2x+8<8\ \ \ |-8`

`\ \ \ -2x<=0\ \ \ |:(-2)`

`\ \ \ x>=0`

`(x>=0\ \ \ "i"\ \ \ x in (-infty;\ -2))\ \ \ =>\ \ \ ul("brak rozwiązań")`

 

`2)\ x in <<-2;\ 2)`

`\ \ \ |3x-6|-|x+2|<8`

`\ \ \ -(3x-6)-(x+2)<8`

`\ \ \ -3x+6-x-2<8`

`\ \ \ -4x+4<8\ \ \ |-4`

`\ \ \ -4x<4\ \ \ |:(-4)`

`\ \ \ x> -1`

`(x> -1\ \ \ "i"\ \ \ x in <<-2;\ 2))\ \ \ =>\ \ \ ul(x in (-1;\ 2))`

 

 

`3)\ x in <<2;\ +infty)`

`\ \ \ |3x-6|-|x+2|<8`

`\ \ \ 3x-6-(x+2)<8`

`\ \ \ 3x-6-x-2<8`

`\ \ \ 2x-8<8\ \ \ |+8`

`\ \ \ 2x<16\ \ \ |:2`

`\ \ \ x<8`

`(x<8\ \ \ "i"\ \ \ x in <<2;\ +infty))\ \ \ =>\ \ \ ul(x in <<2;\ 8))`

 

 

Łącząc przypadki 1), 2) oraz 3) otrzymujemy ostateczne rozwiązanie nierówności:

`ul(ul(x in (-1;\ 8))`

 

 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )`

 

 

`e)`

`sqrt(x^2+4x+4)+|x|<=5`

`sqrt(x^2+2*x*2+2^2)+|x|<=5`

`sqrt((x+2)^2)+|x|<=5`

`|x+2|+|x|<=5`

 

Pierwsza wartość bezwzględna zeruje się dla x=-2, druga zeruje się dla x=0. Mamy więc do rozpatrzenia trzy przypadki. 

 

`1)\ x in (-infty;\ -2)`

`\ \ \ |x+2|+|x|<=5`

`\ \ \ -(x+2)-x<=5`

`\ \ \ -x-2-x<=5`

`\ \ \ -2x-2<=5\ \ \ |+2`

`\ \ \ -2x<=7\ \ \ |:(-2)`

`\ \ \ x>=-7/2`

`\ \ \ x>=-3 1/2`

`(x>=-3 1/2\ \ \ "i"\ \ \ x in (-infty;\ -2))\ \ \ =>\ \ \ ul(x in <<-3 1/2;\ -2))`

 

`2)\ x in <<-2;\ 0)`

`\ \ \ |x+2|+|x|<=5`

`\ \ \ x+2-x<=5`

`\ \ \ 2<=5`

Powyższa nierówność jest prawdziwa niezależnie od wartości x, dlatego wszystkie liczby z drugiego przedziału są rozwiązaniem wyjściowej nierówności. 

`ul(x in <<-2;\ 0))`

 

`3)\ x in <<0;\ +infty)`

`\ \ \ |x+2|+|x|<=5`

`\ \ \ x+2+x<=5`

`\ \ \ 2x+2<=5\ \ \ |-2`

`\ \ \ 2x<=3\ \ \ |:2`

`\ \ \ x<=3/2`

`\ \ \ x<=1 1/2`

`(x<=1 1/2\ \ \ "i"\ \ \ x in <<0;\ +infty))\ \ \ =>\ \ \ ul(x in <<0;\ 1 1/2>>)`

 

Łącząc przypadki 1), 2) oraz 3) otrzymujemy ostateczne rozwiązanie nierówności:

`ul(ul(x in <<-3 1/2;\ 1 1/2>>))`

 

 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )`

 

`f)`

`sqrt(9-6x+x^2)-3>sqrt(x^2)`

`sqrt(x^2-6x+9)-3>|x|`

`sqrt(x^2-2*x*3+3^2)-3>|x|`

`sqrt((x-3)^2)-3>|x|`

`|x-3|-3>|x|`

 

Pierwsza wartość bezwzględna zeruje się dla x=3, druga zeruje się dla x=0. Mamy więc do rozpatrzenia trzy przypadki. 

 

 

`1)\ x in (-infty;\ 0)`

`\ \ \ |x-3|-3>|x|`

`\ \ \ -(x-3)-3> -x`

`\ \ \ -x+3-3 > -x`

`\ \ \ -x>=-x\ \ \ |+x`

`\ \ \ 0>0`

Otrzymaliśmy sprzeczność, więc w pierwszym przedziale nierówność nie ma rozwiązania.  

 

 

 

`2)\ x in <<0;\ 3)`

`\ \ \ |x-3|-3>|x|`

`\ \ \ -(x-3)-3>x`

`\ \ \ -x+3-3>x`

`\ \ \ -x>x\ \ \ |-x`

`\ \ \ -2x>0\ \ \ |:(-2)`

`\ \ \ x<0`

`(x<\ \ \ "i"\ \ \ x in <<0;\ 3))\ \ \ =>\ \ \ ul("brak rozwiązań")`

 

 

`3)\ x in <<3;\ +infty)`

`\ \ \ |x-3|-3>|x|`

`\ \ \ x-3-3>x`

`\ \ \ x-6>x\ \ \ |-x`

`\ \ \-6>0`

Otrzymaliśmy sprzeczność, więc w trzecim przedziale nierówność nie ma rozwiązania.  

 

 

   

Łącząc przypadki 1), 2) oraz 3) otrzymujemy, że nierówność nie ma rozwiązania. 

`ul(ul("brak rozwiązania"))`

 

Odległość środka okręgu od cięciwy...

Wysokość poprowadzona z wierzchołka S dzieli bok AB na połowy bo ABS jest trójkątem równoramiennym.

Z twierdzenia Pitagorasa:

`9^2 + 12^2 = |AS|^2` 

`81 + 144 = |AS|^2` 

`|AS|^2 = 225` 

`|AS| = 15` 

Ramię AS to promień okręgu, skoro średnica to podwojona długość promienia to:

`d = 2*|AS| = 2*15 = 30 \ ["cm"]` 

Koniec dowodu.

Skorzystaj z definicji logarytmu ...

`"a)"\ log_(sqrt2)(x+1)=2` 

Zał:

`x+1>0` 

`x> -1` 

 

`log_(sqrt2)(x+1)=2` 

Rozpisujemy równanie korzystając z def. logarytmu:

`(sqrt2)^2=x+1` 

`2=x+1` 

`x=1` 

Sprawdzamy, czy otrzymana liczba spełnia równanie:

`log_(sqrt2)2=2, \ \ "OK, ponieważ"\ \ (sqrt2)^2=2`  

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )` 

`"b)"\ log_(1/4)(x-3)=-2` 

Zał:

`x-3>0` 

`x>3` 

 

`log_(1/4)(x-3)=-2` 

Rozpisujemy równanie korzystając z def. logarytmu:

`(1/4)^-2=x-3`  

`4^2=x-3` 

`16=x-3` 

`x=19` 

Sprawdzamy, czy otrzymana liczba spełnia równanie:

`log_(1/4)16=-2\ \ \ "OK, ponieważ"\ \ (1/4)^-2=4^2=16`   

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )`  

`"c)"\ logx+2=1` 

Zał:

`x>0` 

 

`logx+2=1` 

`logx=-1` 

Rozpisujemy równanie korzystając z def. logarytmu:

`10^-1=x` 

`x=1/10` 

Sprawdzamy, czy otrzymana liczba spełnia równanie:

`log (1/10)+2=1\ \ \ "OK, ponieważ"\ \ -1+2=1` 

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )`  

`"d)"\ log_(4)x+3=5`  

Zał:

`x>0` 

 

`log_(4)x+3=5`  

`log_(4)x=2`   

Rozpisujemy równanie korzystając z def. logarytmu:

`4^2=x` 

`x=16`  

Sprawdzamy, czy otrzymana liczba spełnia równanie:

`log_(4)16+3=5\ \ \ "OK, ponieważ"\ \ 2+3=5`  

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )`  

`"e)"\ logx+log10=2`   

Zał:

`x>0` 

 

`logx+1=2`  

`logx=1`   

Rozpisujemy równanie korzystając z def. logarytmu:

`10^1=x` 

`x=10`   

Sprawdzamy, czy otrzymana liczba spełnia równanie:

`log10+log10=2\ \ \ "OK, ponieważ"\ \ 1+1=2`   

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )`  

`"f)"\ log_(3x)3+log_(3x)9=1`    

Zał:

`3x>0` 

`x>0` 

oraz

`3x!=1`

`x!=1/3`

 

Korzystamy z tw:

`log_(3x)(3*9)=1`   

`log_(3x)27=1`    

Rozpisujemy równanie korzystając z def. logarytmu:

`(3x)^1=27`  

`x=9`    

Sprawdzamy, czy otrzymana liczba spełnia równanie:

`log_(27)3+log_(27)9=1\ \ \ "OK, ponieważ"\ \ 1/3+2/3=1` 

Bok pewnego trójkąta zawiera się...

Wysokość opuszczona na ten bok musi być prostopadła do prostej `y=2/3x+2,` 

czyli musi się zawierać w prostej prostopadłej do prostej o równaniu `y=2/3x+2.` 

Współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej do `y=2/3x+2` będzie równy:

`a=-3/2` 

Zatem prawidłowa odpowiedź to `"D."` 

Dane są funkcje f(x)= ...

`a)` 

`f(x)=-2x^2-8x-4=-2(x^2+4x+4-2)=-2(x+2)^2+4`  

`g(x)=f(-x)` 

`g(x)=-2(-x+2)^2+4=-2(x-2)^2+4` 

 

`b)` 

`f(x)>=g(x)` 

`x in (-oo;0]` 

Wyznacz liczby rzeczywiste spełniające podany warunek

`a)`

`2x-10> -7x+8\ \ \ \ \ \ |+7x`

`9x-10>8\ \ \ \ \ \ \ \ |+10`

`9x>18\ \ \ \ \ \ |:9`

`x>2`

 

 

`x/6-(2x)/9+1/2>=0\ \ \ \ \ \ \ \ |*18`

`3x-4x+9>=0`

`-x+9 >=0\ \ \ \ \ \ \ \ |-9`

`-x>=-9\ \ \ \ \ |*(-1)`

`x<=9`

 

Liczby spełniające jednocześnie obie nierówności:

`(x>2\ \ \ \ "i"\ \ \ \ x<=9)\ \ \ \ =>\ \ \ \ ul(ul(x in (2,\ 9>>))`

 

 

 

 

`b)`

`2(4x-2)<3(x-1/3)`

`8x-4<3x-1\ \ \ \ |-3x`

`5x-4< -1\ \ \ \ \ |+4`

`5x<3\ \ \ \ \ |:5`

`x<3/5`

 

 

`-(2-5x)>=-2(5-2x)`

`-2+5x>=-10+4x\ \ \ \ \ |-4x`

`-2+x>=-10 \ \ \ \ \ \ |+2`

`x>= -8`

 

Liczby spełniające jednocześnie obie nierówności:

`(x<3/5\ \ \ \ "i"\ \ \ \ x>=-8)\ \ \ \ =>\ \ \ \ ul(ul(x in <<-8, \ 3/5)))`

 

 

 

`c)`

`-1,4x-3,6> -2,4x+6\ \ \ \ \ \ |+2,4x`

`x-3,6>6\ \ \ \ |+3,6`

`x>9,6`

 

 

`(2x)/5-(7x)/10<=1,5\ \ \ \ \ \ \|*10`

`4x-7x<=15`

`-3x<=15\ \ \ \ \ \ \ |:(-3)`

`x>= -5`

 

Liczby spełniające pierwszą lub drugą nierówność

`(x>9,6\ \ \ \ "lub"\ \ \ \ x>=-5)\ \ \ \ =>\ \ \ \ ul(ul(x in <<-5;\ \ +infty)`

 

 

 

 

`d)` 

`(-5x)/8+2 3/5<3/8+x\ \ \ \ |*8` 

`-5x+16 24/5<3+8x\ \ \ \ |-8x` 

`-13x+20 4/5<3\ \ \ \ |-20 4/5` 

`-13x<-17 4/5` 

`-13x< -89/5\ \ \ \ |:(-13)` 

`x> 89/65` 

 

 

 

`(x-2)/5-2/5<=-1-x/5\ \ \ \ \ |*5` 

`x-2-2<=-5-x` 

`x-4<=-5-x\ \ \ \ |+x` 

`2x-4<=-5\ \ \ \ |+4` 

`2x<=-1\ \ \ \|:2` 

`x<=-1/2` 

 

Liczby, które spełniają pierwszą lub drugą nierówność:

`(x>89\ \ \ \ "lub"\ \ \ \ x<=-1/2)\ \ \ \ =>\ \ \ \ ul(ul( x in (-infty,\ -1/2>>uu(89,\ +infty)))`       

 

Podaj dziedzinę

Kreska ułamkowa oznacza dzielenie. Nie można dzielić przez 0, więc musimy zadbać o to, aby wyrażenia w mianownikach nie przyjmowały wartości 0. 

 

 

`a)` 

`{(xne0), (x-2ne0\ \ \ |+2):}` 

`{(xne0), (xne2):}` 

`D=RR\\{0;\ 2}` 

 

 

`b)` 

`{(x+3ne0\ \ \ |-3), (5-xne0\ \ |+x):}` 

`{(xne-3), (5nex):}` 

`D=RR\\{-3;\ 5}` 

 

 

`c)` 

`{(4x+3ne0\ \ \ |-3), (6-xne0\ \ \ |-6):}` 

`{(4xne-3\ \ \ |:4) , (-xne-6\ \ \ |*(-1)):}` 

`{(xne-3/4), (xne6):}` 

`D=RR\\{-3/4;\ 6}` 

 

 

`d)` 

`{(8x-6ne0\ \ \ |+6), (x+1ne0\ \ \ |-1):}` 

`{(8xne6\ \ \ |:8), (xne-1):}` 

`{(xne3/4), (xne-1):}` 

`D=RR\\{-1;\ 3/4}` 

 

 

`e)` 

`x(x+6)ne0` 

`{(xne0), (x+6ne0\ \ \ |-6):}` 

`{(xne0), (xne-6):}` 

`D=RR\\{-6, \ 0}` 

 

 

`f)` 

`(x-1)(x+3)ne0` 

`{(x-1ne0\ \ \ |+1), (x+3ne0\ \ \ |-3):}`  

`{(xne1), (xne-3):}`   

`D=RR\\{-3,\ 1}` 

 

Rozważmy układ równań

`a)`

Układ jest nieoznaczony (ma nieskończenie wiele rozwiązań), gdy proste pokrywają się - gdy mają takie same równania. 

`a_1=a_2,\ \ \ \ b_1=b_2`

 

 

`b)`

Układ jest sprzeczny, gdy proste są równoległe, ale nie pokrywają się. 

Proste są równoległe, gdy mają takie same współczynniki kierunkowe: 

`a_1=a_2,\ \ \ \ b_1neb_2`

 

 

`c)`

Aby układ miał rozwiązanie (i nie był nieoznaczony) proste muszą przecinać się w jednym punkcie, czyli nie mogą być równoległe:

`a_1nea_2,\ \ \ b_1,\ b_2\ -\ dowol n e`