Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Arytmetyka liczb wymiernych - matura-podstawowa - Baza Wiedzy

Kolejność wykonywania działań

Przed rozpoczęcie wykonywania działań musimy pamiętać w jakiej kolejności to robić:

  1. Potęgi i nawiasy
  2. Mnożenie i dzielenie
  3. Dodawanie, odejmowanie

Dodawanie i odejmowanie liczb naturalnych

Podstawowe działanie, które ciągnie się za nami aż od podstawówki. Nie trzeba już chyba nic tłumaczyć. Przedstawiamy jedynie kilka przykładów.

Przykłady:

  • $$19+16=35$$
  • $$105-0=105$$
  • $$123+452=575$$
  • $$356-185=171$$

Dodawanie i odejmowanie liczb całkowitych

W tym wypadku musimy uważać na znaki "plus" i "minus", może się zdarzyć sytuacja, że znajdziemy dwa znaki obok siebie, wtedy musimy zamienić dwa znaki w jeden. Tabelka poniżej powinna wyjaśnić wszelkie wątpliwości:

tabelka

Przykłady:

  • $$156-(-29)=156+29=185$$
  • $$99+(-65)=99-65=34$$
  • $$99+(101+25)=99+101+25=225$$
  • $$99-(101-65+2)=99-101+65-2=61$$

Dodawanie i odejmowanie ułamków zwykłych

Najważniejszą rzeczą podczas dodawania i odejmowania ułamków zwykłych jest sprowadzenie danych ułamków do wspólnego mianownika.

Aby sprowadzić ułamek do wspólnego mianownika musimy rozszerzyć oba ułamki przez liczbę w taki sposób, aby otrzymać takie same mianowniki, a następnie dodać liczniki, czyli:

$$1/3+3/4=1/3×4/4+3/4×3/3=4/{12}+9/{12}={13}/{12}=1{1}/{12}$$

Wykonaliśmy mnożenie przez 1 w różnych formach ($$4/4$$ oraz $$3/3$$), przez co sprowadziliśmy ułamki do wspólnego mianownika (12), nie zaburzając działania.

Tak samo w przypadku odejmowania.

$$1 1/5-3/4=6/5-3/4=6/5×4/4-3/4×5/5={24}/{20}-{15}/{20}={9}/{20}$$

Pamiętaj, aby zawsze skracać ułamki!

Mnożenie i dzielenie liczb naturalnych

Podstawowe zasady do przypomnienia:

  1. Nie można dzielić przez 0,
  2. Mnożenie przez 0 dowolnej liczby daje nam 0,
  3. Mnożenie lub dzielenie przez 1 daje nam tą samą liczbę.

Przykłady:

  • $$6×15=90$$
  • $$99×0=0$$
  • $$55÷5=11$$

Mnożenie i dzielenie liczb całkowitych

Wszystko dzieje się identycznie jak w przypadku liczb naturalnych. Jednakże musimy skorzystać ponownie z tabelki zamiany znaków "plus" i "minus":

tabelka

Przykłady:

  • $$7×(-8)=-56$$
  • $$-100÷4=-25$$
  • $$-55×(-3)=165$$

Ponadto jeśli mamy mnożenie lub dzielenie przed nawiasem, mnożymy lub dzielimy każdy składnik nawiasu pamiętając o znaku, na przykład:

$$-5(3+12-5)=-15-60+25=-50$$
 

Mnożenie i dzielenie ułamków zwykłych

W przypadku mnożenia ułamków, sprawa prosta. Mnożymy:
Licznik razy Licznik i Mianownik razy Mianownik

Przykład:

$$1/5×3/2=3/{10}$$

W przypadku dzielenia w drugim z ułamków należy zamienić licznik z mianownikiem i wtedy pomnożyć oba ułamki.

Przykład:

$$-{4}/{3}÷{2}/{5}=-4/3×5/2=-{20}/6$$

Nie możemy mnożyć i dzielić ze sobą ułamków mieszanych. Najpierw musimy je zamienić na niewłaściwe.

Przykład:

$$3 {1}/{5}×2 {1}/{4}={16}/{5}×9/4={144}/{20}={72}/{10}={36}/{5}=7{1}/{5}$$

Porady

  • Możemy zostawiać wyniki w ułamkach w postaci niewłaściwej, ale koniecznie nieskracalnej
  • Ułamek to tak naprawdę dzielenie $$1/2=1÷2 $$
  • Skoro ułamek to dzielenie, w mianowniku nie może być 0
  • Skracać ułamki na krzyż (np. licznik pierwszego z mianownikiem drugiego) można tylko przy mnożeniu i dzieleniu. Przy dodawaniu i odejmowaniu jest to niedopuszczalne!

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Oblicz:
$${2 1/2-0,9+2/3}/{1/4+1/5-1/3}=$$

Zaczynamy od obliczenia tego co jest w liczniku i w mianowniku:
Licznik:
Zamieniamy wszystko na ułamki zwykłe lub niewłaściwe:
$${2 1/2-0,9+2/3}/{1/4+1/5-1/3}={5/2-9/{10}+2/3}/{1/4+1/5-1/3}$$

Sprowadzamy do wspólnego mianownika - przez 10, 2, 3 dzieli się 30
$${5/2-9/{10}+2/3}/{1/4+1/5-1/3}={ {75}/{30}-{27}/{30}+{20}/{30} }/{1/4+1/5-1/3}$$

I wykonujemy działanie
$${ {68}/{30} }/{1/4+1/5-1/3}$$

Mianownik:
Sprowadzamy ułamki w mianowniku do wspólnej wartości - przez 4,5,3 dzieli się 60.
$${ {68}/{30} }/{ {15}/{60}+{12}/{60}-{20}/{60} }$$

Pozostaje nam wykonać działanie
$${ {68}/{30} }/{ {7}/{60} }={68}/{30} ÷ { {7}/{60} }$$
Odwracamy drugi ułamek i mnożymy:
$${68}/{30}×{60}/7$$
I skracamy na krzyż:
$${68}/1×2/7$$
Mnożymy licznik przez licznik i mianownik przez mianownik i wynik:
$${136}/{7}$$

Zadanie 2.

Oblicz:
$$5(3-1/2+7/8)-(1/2+2,5)=$$

Najpierw bezpieczniej wykonać to co jest w nawiasie, znów wspólne mianowniki, 2 i 8 to 16:
$$5(3-8/{16}+{14}/{16})-(1/2+2,5)=$$

Musimy działać od lewej do prawej, więc najpierw wykonujemy odejmowanie, w drugim nawiasie przekształcamy dziesiętny
$$5(2 8/{16}+{14}/{16})-(1/2+5/2)=$$
Zamieniamy na ułamek niewłaściwy, ułatwi nam to potem mnożenie, w drugim dodajemy
$$5({40}/{16}+{14}/{16})-6/2=$$

Dodajemy to co w nawiasie i dzielimy ułamek wolny
$$5×{54}/{16}-3=$$

Wykonujemy najpierw mnożenie, jednakże skróćmy ułamek przez 2
$$5×{27}/8-3=$$

$${135}/8-3=$$

Rozszerzmy przez $$8/8$$ nasza trójkę i mamy wynik:
$${135}/8-{24}/8={111}/8$$

Zadanie 3.

Oblicz: $${2+2/3-3/5÷{6/5} }/{5/2×2/3}=$$

Zaczynamy znów np. od licznika, możemy zrobić dodawanie, które nam nie koliduje z dzieleniem, ale już odejmowanie nie, bo przeczy to kolejności, zamienimy również dzielenie na mnożenie, więc:
Licznik:
$${6/3+2/3-3/5×5/6}/{5/2×2/3}=$$

Skracamy ułamki w mnożeniu i dodajemy pozostałe
$${8/3-1/1×1/2}/{5/2×2/3}=$$

Mnożymy ułamki
$${8/3-1/2}/{5/2×2/3}=$$

Następnie sprowadzamy do wspólnego mianownika
$${ {16}/6-3/6}/{5/2×2/3}=$$

I odejmujemy
$${ {13}/6}/{5/2×2/3}=$$

Mianownik:
Mnożymy liczniki i mianowniki ze sobą
$${ {13}/6}/{ {10}/6}= $$

Kreska ułamkowa to znak dzielenia, więc
$${13}/6÷ { {10}/6}=$$

Zamieniamy na mnożenie
$${13}/6×6/{10}=$$

Skracamy szóstki $${13}/1×1/{10}={13}/{10}$$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Centrala ogrodnicza skupuje dziennie...

Przez x oznaczmy liczbę obniżek ceny truskawek o 10 groszy. Przychód z każdego kilograma to 3,50 zł natomiast czystego dochodu mamy 0,50 groszy gdyż 3 złoty wydajemy na dostawców.

`3, 50 - (3 + 0,1x) = 0,5 - 0,1x` 

Ilość sprzedawanych truskawek:

`100*x` 

 

Wtedy funkcja dochodu wygląda następująco:

`f(x) = (0,5 - 0,1x)*100x =0,1(5 - x) *100x = 10x(5-x) = -10x(x-5)`  

`D = (0,5)` 

 

Parabola ma ramiona skierowane ramionami ku dołowi a więc największa wartość jest w wierzchołku, odcięta wierzchołka paraboli to średnia arytmetyczna miejsc zerowych gdyż są równo odległe od wierzchołka.

`x_w = p = (x_1+x_2)/2 = (0+5)/2 = 5/2 = 2,5` 

 

A więc musimy obniżyć cenę truskawek o :

`3, 5 - (3+0,1*2,5) = 3,5 - (3+0,25) = 3,5 - 3,25 = -0,25`

Funkcja f(x)...

`f(x) = ax^2 - 3x - 4` 

Współczynnik kierunkowy musi być różny od zera żeby funkcja była funkcją kwadratową.

`a ne 0` 

 

Funkcja ma dwa różne miejsca zerowe jeżeli:

`Delta > 0` 

 

`Delta = (-3)^2 -4*a*(-4) = 9 + 16a` 

`9+16 a > 0` 

`16a > -9` 

`a > -9/16` 

`a in (-9/16 , oo) \ \\ \ {0}` 

Odpowiedź A

W klasach 3a, 3b i 3c jest 75 uczniów...

Oznaczmy liczbę uczniów w klasach 3a, 3b i 3c przez a, b c odpowiednio.

`a+b+c = 75` 

 

W klasie 3b jest o 4 uczniów więcej niż w klasie 3a.

`b=a+4` 

 

W klasie 3c liczba uczniów jest mniejsza od średniej arytmetycznej liczby uczniów w klasach 3a i 3b.

`c < (a+b)/2` 

 

A więc:

`a+b+c = 75`  

`a+b = 75-c` 

 

Stąd:

`c < (75-c)/2` 

`2c < 75 - c` 

`3c < 75` 

`c < 25` 

 

Wiemy również, że:

`a+b+c=75` 

`a+a+4 = 75 - c` 

`2a+4 = 75 - c` 

`c = 71 - 2a` 

Stąd:

`71 - 2a < 25`  

`-2a < -46` 

`a > 23` 

oraz:

`b > 27`  

 

Z treści zadania wiemy, że liczba osób w każdej klasie jest nie mniejsza od 20, zatem:

`20 leq c < 25` 

 

Sprawdźmy c=24

`a+a+4+24 = 75`   

`2a+28 = 75` 

 `2a = 47` 

Sprzeczność. c musi być liczbą nieparzystą.

 

`c= 23` 

`a+a+4+23=75` 

`2a+27=75` 

`2a = 48` 

`a = 24`

`b=28`  

Zgadza się z założeniami.

 

Sprawdźmy jeszcze c=21:

`a+a+4+21 = 75` 

`2a+25 = 75` 

`2a = 50` 

`a = 25` 

`b=29` 

 

Istnieją zatem dwa rozwiązania:

`{(a=24),(b=28),(c=23):} \ \ \ vv \ \ \ {(a=25),(b=29),(c=21):}` 

Funkcje, których wykresy przedstawiono ...

`W(p,q)` 

 

`W_1(4,2),\ f_1(x)=(x-4)^2+2` 

 

`W_2(-1,-2),\ f_2(x)=(x+1)^2-2` 

 

`W_3(-4,1),\ f_3(x)=(x+4)^2+1`   

Liczby x1 i x2 są pierwiastkami równania...

`sqrt12x^2+sqrt8x-sqrt3=0` 

 

`1/(x_1^2+x_2^2)=?` 

`(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=(-b/a)^2-2*c/a=(((-sqrt8)/sqrt12)^2-2*(-sqrt3)/sqrt12)=8/12+(2sqrt3)/sqrt12=2/3+(2sqrt3)/(2sqrt3)=2/3+1=1 2/3=5/3` 

`1/(x_1^2+x_2^2)=1/(5/3)=1*3/5=3/5` 

 

Odp. D

 

Wypisz elementy zbiorów

`a)` 

`2x-5<0\ \ \ |+5` 

`2x<5\ \ \ |:2` 

`x<5/2` 

`x<2 1/2` 

`A={x in N\ "i"\ 2x-5<0}={x in N\ "i"\ x<2 1/2}={0,\ 1,\ 2}` 

 

`7x-2=26\ \ \ |+2` 

`7x=28\ \ \ |:7` 

`x=4` 

`B={4}` 

 

`AuuB={0,\ 1,\ 2,\ 4}` 

 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

 

 

`b)` 

Zbiór A to zbiór liczb parzystych, naturalnych, mniejszych od 10.

`A={0,\ 2,\ 4,\ 6,\ 8}` 

`B={2,\ 3,\ 5,\ 7}` 

`AuuB={0,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8}` 

 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

 

 

`c)` 

 

 

 

`A={-3,\ -2,\ -1,\ 0,\ 1}` 

`B={0,\ 1,\ 2}` 

`AuuB={-3,\ -2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2}` 

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

 

 

`d)` 

Zbiór A to zbiór liczb naturalnych nie większych niż pierwiastek z 37. Wiemy, że pierwiastek z 36 to 6. 

`A={0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6}` 

 

`2sqrt3~~2*1,73=3,46` 

`B={0,\ 1,\ 2,\ 3}` 

`AuuB={0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6}` 

 

 


``

W trapezie ABCD podstawa...

Długość odcinka AB jest 2 razy dłuższa niż długość odcinka CD:

`| stackrel(->)(AB) | = 2 * |stackrel(->)(CD)| = 2* sqrt((-2)^2 +4^2) = 2 * sqrt(4 + 16) = 2 sqrt20 = 2 sqrt(4*5) = 4 sqrt5` 

 

Odcinek AD:

`stackrel(->)(AC) + stackrel(->)(CD)= stackrel(->)(AD)` 

`stackrel(->)(AD)=[6, -5] + [-2,4] = [4,-1]`  

`| stackrel(->)(AD) | = sqrt(4^2 +(-1)^2) = sqrt(16 + 1) = sqrt17` 

 

Odcinek BC:

`stackrel(->)(AB) = 2 * stackrel(->)(DC) = 2 * (-stackrel(->)(CD)) =-2 stackrel(->)(CD) = -2 * [-2,4] = [4, -8]`

`stackrel(->)(BA) = - stackrel(->)(AB) = - [4,-8] = [-4, 8]` 

 

`stackrel(->)(BC) = stackrel(->)(BA) + stackrel(->)(AC) = [-4, 8] + [6,-5] = [2, 3]`

`| stackrel(->)(BC) | = sqrt(2^2 +3^2) = sqrt(4+9)=sqrt13` 

 

Obwód:

`sqrt17 + sqrt13 + 4sqrt5 + 2 sqrt5 = sqrt17 + sqrt13 + 6 sqrt5` 

Zapisz za pomocą sum algebraicznych wyrażenia

`a)\ (1-x)^3=1^3-3*1^2*x+3*1*x^2-x^3=` 

`\ \ \ =1-3x+3x^2-x^3` 

 

`b)\ (n+2)^3=n^3+3n^2*2+3n*2^2+2^3=`  

`\ \ \ =n^3+6n^2+12n+8`   

 

`c)\ (a+root(3)(2))(a^2-root(3)(2)a+#ul(ul(root(3)(4)))_(_(=(root(3)(2))^2)))=` `a^3+root(3)(2)^3=a^3+2`      

 

Funkcja f przyporządkowuje

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji...

a) Zauważmy, że od x = -3 do x = -2 funkcja rośnie. Tak samo od x = 1 do x = 4:

`[-3,-2] \ , \ [1,4]` 

 

b) Zauważmy, że od x = -5 do x = -3 funkcja maleje. Tak samo od x = 0 do x = 1:

`[-5,-3] \ , \ [0,1]` 

 

c) Nierosnąca a więc może również być stała.

`[-5,-3] \ , \ [-2, 1]` 

 

d) Niemalejąca a więc może być również stała.

`[-3,0] \ , \ [1,4]`