Prawdopodobieństwo - iii-gimnazjum - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Prawdopodobieństwo - iii-gimnazjum - Baza Wiedzy

Obliczanie prawdopodobieństw

Z doświadczeniami losowymi mamy do czynienia na co dzień. Rzut monetą, rzut sześcienną kostką do gry, wygrana na loterii czy numer nadjeżdżającego autobusu to tylko kilka z nich.

Zdarzenie losowe to pewna sytuacja możliwa do uzyskania podczas danego doświadczenia losowego, np. wyrzucenie parzystej liczby oczek na kostce do gry. 

W zdarzeniach losowych prawdopodobieństwo (oznaczmy go literą P) nastąpienia sytuacji, która nas interesuje oblicza się bardzo prosto (o ile każda z sytuacji jest jednakowo prawdopodobna). Jest to iloraz ilości sytuacji nas interesujących (np. autobusy nam odpowiadające) (ich ilość oznaczmy literą n) i ilości wszystkich możliwych sytuacji (np. wszystkie autobusy) (ich ilość oznaczmy literą N).

`P=n/N` 


Przykładowe zadania:

Zadanie 1.

Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowanie króla z talii 52 kart?

Wiemy, że w talii są 52 karty. W całej talii są 4 króle. 

Wszystkich możliwych wyników jest więc 52. Liczba interesujących nas wyników to 4. 

Prawdopodobieństwo (p) tego zdarzenia wynosi:

`p=4/52=1/13` 

Odpowiedź: Prawdopodobieństwo, że wylosujemy króla wynosi `1/13`

Zadanie 2.

Stoimy na przystanku. Na tym przystanku zatrzymuje się łącznie 8 autobusów. My możemy jechać tylko autobusem numer 234 oraz 123. Nadjeżdża autobus. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że będzie to jeden z autobusów, którymi możemy pojechać?


Wszystkich możliwych wyników jest 8. Liczba interesujących nas wyników to 2. 

Prawdopodobieństwo (p) tego zdarzenia wynosi:

`p=2/8=1/4`  

Odpowiedź: Prawdopodobieństwo nadjechania autobusu, który nam odpowiada wynosi `1/4`.

Zadanie 3.

Rzucamy dwa razy sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo, że suma oczek wyniesie 6.

Rzucając kostką dwukrotnie otrzymujemy 36 róznych kombinacji. Przedstawione są one na tabelce:

tabela

Liczby, które spełniają nasz warunek (suma wynosi 6) zostały pogrubione. Jest ich w sumie 5. 

Wszystkich możliwych wyników jest 36. Liczba interesujących nas wyników to 5. 

Prawdopodobieństwo (p) tego zdarzenia wynosi:

`p=5/36`  

Odpowiedź: Prawdopodobieństwo wynosi `5/36`


Zadanie 4.

Ze zbioru liczb 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ..., 19, 20 wybieramy losowo jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo, że wylosowana liczba jest podzielna przez 3.

Ze zbioru liczb 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ..., 19, 20 (jest ich w sumie 20) wypisujemy wszystkie liczby podzielne przez 3, czyli: 3, 6, 9, 12, 15, 18. Jest ich w sumie 6. 

Wszystkich możliwych wyników jest 20. Liczba interesujących nas wyników to 6. 

Prawdopodobieństwo (p) tego zdarzenia wynosi: 
 
`p=6/20=3/10` 

Odpowiedź: Prawdopodobieństwo w tym przypadku wynosi `3/10`

Zadanie 5.

Rzucamy 2 razy monetą. Oblicz prawdopodobieństwo, że dwa razy wypadnie reszka.

Na początek musimy wypisać wszystkie możliwe kombinacje rzutów tak więc: 

  • Orzeł i Orzeł
  • Orzeł i Reszka
  • Reszka i Reszka
  • Reszka i Orzeł

Pogrubiona została kombinacja, która spełnia nasz warunek. 

Wszystkich możliwych wyników jest 4. Liczba interesujących nas wyników to 1. 

Prawdopodobieństwo (p) tego zdarzenia wynosi:

`p=1/4`  
Odpowiedź: Prawdopodobieństwo w tym przypadku wynosi `1/4` . 

 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Doświadczenie polega na rzucie ośmiościenną kostką do gry...

Doświadczenie polega na jednokrotnym rzucie ośmiościenną kostką

 

 


A. Prawdopodobieństwo otrzymania liczby pierwszej wynosi:

 

{premium}  

 


B. Prawdopodobieństwo otrzymania liczby  wynosi:

  

 

C. Prawdopodobieństwo otrzymania liczby mniejszej od    wynosi:

 

 

 

D. Prawdopodobieństwo otrzymania liczby  wynosi:

 

 

 

Prawdopodobieństwo otrzymania liczby  wynosi:

 

 

 

Odp. A

Wskaż poprawne dokończenie ...

Odpowiedź: D

 

Zauważmy, że kąt 50° i kąt ß są kątami odpowiadającymi, czyli mają taką sama miarę. 

Stąd kąt ß ma miarę 50°.

 

Kąt α i ß są kątami przyleglymi, więc suma ich miar ma 180°.

{premium}

Drugą pod względem długości rzeką na świecie, po Nilu, jest Amazonka

{premium}

Odp. Do Atlantyku wpływa w ciągu doby hl z Amazonki.

Tłuszcz stanowi...

Dane:

Zawartość tłuszczu w ryżu:  

 

 

Mamy porcję o masie: {premium}    

Obliczamy w tej porcji zawiera się tłuszczu:

  

Odp.: Porcja ryżu o masie 30 g zawiera 0,18 g tłuszczu.

 

  

W porcji ryżu znajduje się tłuszcz o masie:   

Obliczamy jak duża jest porcja ryżu:

 

 

 

  

Odp.: Porcja ryżu, w której znajduje się 0,51 g tłuszczu ma masę 85 g.

Z równoramiennych trójkątów prostokątnych zbudowano

I sposób

Oznaczmy sobie długość przyprostokątnej trójkąta 1 jako x. Wtedy jego pole wynosi:

 

A długość przeciwprostokątnej tego trójkąta możemy obliczyć z twierdzenia Pitagorasa:

 

 

{premium}  

Długość tą mogliśmy również przypominając sobie zależności pomiędzy długościami boków w trójkącie o kątach 90O,45O,45O. Przyprostokątne takiego trójkąta są równej długości a przeciwprostokątna jest iloczynem długości przyprostokątnej i √2.

 

 

 

Długość przyprostokątnej trójkąta 2 pokrywa się z długością przeciwprostokątnej trójkąta 1, czyli jej długość wynosi x√2. Pole trójkąta 2:

 

 

Długość przeciwprostokątnej trójkąta 2 ( i jednocześnie przyprostokątnej trójkąta 3):

 

Pole trójkąta 3:

 

Długość przeciwprostokątnej trójkąta 3 ( i jednocześnie przyprostokątnej trójkąta 4):

 

Pole trójkąta 4:

 

Długość przeciwprostokątnej trójkąta 4 ( i jednocześnie przyprostokątnej trójkąta 5):

 

` ` Pole trójkąta 5:

 

 

 

 

II sposób

Przypominamy sobie zależności pomiędzy długościami boków w trójkącie o kątach 90O,45O,45O. Przyprostokątne takiego trójkąta są równej długości a przeciwprostokątna jest iloczynem długości przyprostokątnej i √2.

Zauważamy, że ponieważ przyprostokątna każdego kolejnego trójkąta pokrywa się z przeciwprostokątną trójkąta poprzedniego, każdy kolejny trójkąt ma przyprostokątną √2 razy większą od poprzedniego.

Tym samym wszytkie wymiary kolejnego trójkąta są √2 razy większe, czyli skala podobieństwa wynosi:

 

A stosunek pól dwóch kolejnych trójkątów wynosi:

 

 

 

Wymiary trójkąta 4 są √2√2 razy większe od wymiarów trójkąta 2
 

 

 


Wymiary trójkąta 5 są √2√2 razy większe od wymiarów trójkąta 3

 

 

 

 

 

Wymiary trójkąta 5 są √2√2√2√2 razy większe od wymiarów trójkąta 1.

 

 

 

 

W pewnych wyborach...

Dane:

Liczba głosujących osób na kandydata X obecnie:   

Spadek liczby osób głosujących na tego kandydata w poprzednim roku:  {premium}  

Liczba głosujących osób wynosi:  

Szukane:

Liczba osób głosujących na kandydata X na początku i w poprzednim roku.

Rozwiązanie:

Obliczamy liczbę osób głosujących na kandydata obecnie:

 

Obliczamy liczbę osób głosujących na kandydata X w poprzednim roku:

 

Odp.: W poprzednim roku na kandydata X zagłosowało 490 osób, natomiast obecnie zagłosowało na niego 630 osób.

Wyznacz dziedzinę funkcji opisanej danym wzorem. a) y=1/(x+1)

 

 

  {premium}

 

 

 i 

 i 

 

 

 i 

 

 

 i 

 i 

 

 

Prostokąt podobny w skali...

Obliczamy pole prostokąta narysowanego w zadaniu:

 

Skala wynosi:

{premium}  

Wówczas pole prostokąta narysowanego w tej skali wynosiłoby:

 

 

 

 

  

 

 

Odp.: C.  

W klasie III a jest 28 uczniów...

Jeśli stosunek liczby dziewcząt do liczby chłopców wynosi  to liczbę dziewcząt możemy zapisać jako a liczbę chłopców jako Mamy wówczas: {premium}  

 

Rozwiązujemy równanie i wyznaczamy z niego wartość     

 

 

Obliczamy liczbę chłopców:  

 

Odp. W tej klasie jest  chłopców.  

Woda nie zawsze wrze w temperaturze...

 Przy ciśnieniu  woda wrze w temperaturze około     {premium}

Takie ciśnienie panuje na wysokości około  nad poziomem morza. 

 Na Śnieżce panuje ciśnienie około Takiemu ciśnieniu odpowiada temperatura około  

Na Mount Everest panuje ciśnienie około  Takiemu ciśnieniu odpowiada temperatura około  

 Temperatura  odpowiada ciśnieniu  Takie ciśnienie panuje na wysokości około  nad poziomem morza.