Prawdopodobieństwo - iii-gimnazjum - Baza Wiedzy

Zdarzenia losowe

Ze zdarzeniami losowymi mamy do czynienia na co dzień. Rzut monetą, wygrana na loterii czy numer nadjeżdżającego autobusu to tylko kilka z nich. W zdarzeniach losowych prawdopodobieństwo nastąpienia sytuacji która nas interesuję oblicza się bardzo prosto (o ile każda z sytuacji jest jednakowo prawdopodobna). Jest to iloraz ilości sytuacji nas interesujących (np. autobusy nam odpowiadające) i ilości wszystkich możliwych sytuacji (np. wszystkie autobusy). Najłatwiej jest to pokazać na przykładach dlatego prezenujemy zestaw kilku zadań.

 

Zadanie 1.

Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowanie króla z talii 52 kart?

Wiemy, że w talii są 52 karty, króli na całą talię przypada 4. Zgodnie z definicją otrzymamy z tego iloraz $$ {4}/{52} $$, z tego wynika, że:
$$ ext"prawdopodobieństwo" = {4}/{52}={1}/{13}$$
Odp.: Prawdopodobieństwo, że wylosujemy króla wynosi $${1}/{13}$$ (1:13).

Zadanie 2.

Stoimy na przystanku. Na tym przystanku zatrzymuje się łącznie 8 autobusów. My możemy jechać tylko autobusem numer 234 oraz 123. Nadjeżdża autobus. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że to będzie jeden z autobusów, którymi możemy pojechać?

$$ ext"prawdopodobieństwo" =2/8=1/4=1∶4 $$
Odp: Prawdopodobieństwo nadjechania autobusu, który nam odpowiada wynosi $$1/4$$ (1:4).

Zadanie 3.

Rzucamy dwa razy sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo, że suma oczek wyniesie 6.

Rzucając kostką dwukrotnie otrzymujemy 36 róznych kombinacji. Przedstawione są one na tabelce:

tabela

Liczby, które spełniają nasz warunek(suma wynosi 6) zostały pogrubione. Jest i ch w sumie 6, z tego wynika, że:
$$ ext"prawdopodobieństwo"=5/{36} $$

Odp.: Prawdopodobieństwo wynosi $$5/{36} $$ (5:36).

Zadanie 4.

Ze zbioru liczb $${1,2,3,4,5,6,7,...,19,20}$$ wybieramy losowo jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo, że wylosowana liczba jest podzielna przez 3.

Ze zbioru liczb $${1,2,3,4,5,6,7,...,19,20}$$ (jest ich w sumie 20) wypisuję wszystkie liczby podzielne przez 3, czyli: 3,6,9,12,15,18. Jest ich w sumie 6, tak więc:
$$ ext"prawdopodobieństwo"=6/{20}=3/{10} $$

Odp.: Prawdopodobieństwo w tym przypadku wynosi $$3/{10}$$ (3:10).

Zadanie 5.

Rzucamy 2 razy monetą. Oblicz prawdopodobieństwo, że dwa razy wypadnie reszka.

Na początek musimy wypisać wszystkie możliwe kombinacje rzutów tak więc:

 
  • Orzeł i Orzeł
  • Orzeł i Reszka
  • Reszka i Reszka
  • Reszka i Orzeł

Pogrubiona została kombinacja, która spełnia nasz warunek jest ona tylko jedna. Wszystkich kombinacji mieliśmy 4, tak więc:
$$ ext"prawdopodobieństwo"=1/{4}$$

Odp.: Prawdopodobieństwo w tym przypadku wynosi $$1/{4}$$ (1:4).

 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Podaj wzór funkcji opisanej słownie oraz określ jej dziedzinę

`f(a)=4a `                                     a> 0

`y = x+4`                                   `18 <= a <=41`

`f(x) = x^3`                                 x > 0

`y = 32,50x `                                    x>0

`b = 40:a  `                                        a> 0

Czy opisana zależność...

Proporcjonalność prosta, czyli inaczej wprost proporcjonalność jest wtedy, gdy możemy zależność przedstawić wzorem:

`y = a  x` 

gdzie x i y są wprost proporcjonalnymi zależnościami, a jest współczynnikiem proporcjonalności. 

 

`a)` 

Koszt przyjazdu taksówki: `5\ zł`  

Cena przejazdu jednego kilometra: `2\ zł` 

Liczba przejechanych kilometrów: `x` 

Koszt przejazdu: `y` 

Zauważmy, że koszt przejazdu będzie sumą kosztu przyjazdu taksówki i kosztu przejazdu x kilometrów:

`y = 5\ zł + 2\ zł*x` 

`y = 5+2x` 

Zależność ta nie jest zależnością prostą.

 

`b)` 

Liczba ile razy obwód kwadratu jest większy od jego boku: `4` 

Długość boku: `x` 

Obwód kwadratu: `y` 

Zależność obwodu kwadratu od długości boku ma postać:

 `y = 4 x` 

Zależność ta jest zależnością prostą.

 

`c)` 

Skala mapy: `1  :  10  000` 

Długość na mapie: `y` 

Długość w terenie: `x` 

Zależność odległości na mapie od odległości rzeczywistej wyznaczymy korzystając z metody proporcji:

`y\ ----\ 1` 

`x\ ----\ 10 000` 

`10 000* y = 1*x \ \ \ \ \ |:10  000` 

`y = 1/(10 000)*x` 

`y = 0,0001 x` 

Zależność ta jest zależnością prostą.

 

`d)` 

Kwota brutto: `x` 

Kwota netto: `y` 

Procent o jaki pomniejszona jest kwota netto od kwoty brutto: `18%` 

Zależność kwoty netto od kwoty brutto ma postać:

`y = x - 18%*x` 

`y = x - 0,18 x` 

`y = 0,82 x` 

Zależność ta jest zależnością prostą.

Cena tygodniowej wycieczki do Egiptu...

Obliczamy, o ile droższa jest wycieczka do Grecji:

`2000-1600=400\ "zł"`  

Obliczamy, jaki to procent ceny wyjazdu do Egiptu:

`400/1600*100%=1/4*100%=0,25*100%=25%` 

Pierwsze zadanie jest prawdziwe.

 

Obliczamy, o ile procent jest mniejsza cena wyjazdu do Egiptu od ceny wyjazdu do Grecji:

`400/2000*100%=1/5*100%=0,2*100%=20%` 

Drugie zdanie jest fałszywe.

Oblicz...

`a)` 

`sqrt6 * sqrt(1/6) = sqrt(6*1/6) = sqrt(6/6) = sqrt1 = 1` 

 

`b)` 

`sqrt(0,4)*sqrt10 = sqrt(0,4*10) = sqrt4 = 2` 

 

`c)` 

`sqrt(1  1/5) * sqrt(0,3) = sqrt(1 1/5  *0,3) = sqrt(6/5*3/10) = sqrt(strike(6)^3/5 * 3/strike(10)^5) = sqrt(3/5*3/5) = sqrt(9/25)=sqrt9/sqrt(25)=3/5`      

 

`d)` 

`root(3)(2) * root(3)(4) = root(3)(2*4) = root(3)(8) = root(3)(2^3) = 2`  

 

`e)` 

`root(3)(0,08)*root(3)(100) = root(3)(0,08*100) = root(3)(8) = root(3)(2^3) = 2`  

 

`f)` 

`root(3)(2/9) * root(3)(1  1/3) = root(3)(2/9) * root(3)(4/3) =root(3)(2/9*4/3) = root(3)(8/27) = root(3)(2^3/3^3) = root(3)((2/3)^3)=2/3`  

 

`g)` 

`sqrt(0,9)/sqrt(10) = sqrt((0,9)/10) = sqrt(9/100) = sqrt(3^2/10^2) = sqrt((3/10)^2) = 3/10 = 0,3`   

 

`h)`  

`(root(3)(10 000))/(root(3)(10)) = root(3)((10 000)/10) = root(3)(1 000) = root(3)(10^3) = 10`

 

`i)`  

`sqrt(3^6) = sqrt(3^(2*3))=sqrt((3^3)^2) = 3^3 = 27` 

 

`j)` 

`sqrt(7^4) = sqrt(7^(2*2)) = sqrt((7^2)^2) = 7^2 = 49` 

 

`k)` 

`sqrt(5^2*11^2) = sqrt((5*11)^2) = 5*11 = 55` 

 

`l)` 

`sqrt(3^2*2^4) = sqrt(3^2 * 2^(2*2)) = sqrt(3^2 * (2^2)^2) = sqrt((3*2^2)^2) = 3*2^2 = 3*4=12`   

W akwarium o kształcie prostopadłościanu o wymiarach podstawy 1 m x 30 cm

`100cm*30cm *25cm = 75000cm^3 = 75l`

`75ll+30l=105l = 105000cm^3` 

`105000cm^3:(100cm*30cm)=35cm`

Odp. Woda sięga teraz na wysokość 35 cm.

Największe wyspy świata mają powierzchnie:

Średnia arytmetyczna powierzchni tych wysp wynosi:

`(2176+785+747+587+507)/5\ "tys. km"^2=960,4\ "tys. km"^2 = 960,4 * 10^3\ "km"^2 ` `=96,04*10^4\ "km"^2`

 

Kwadrat o boku długości...

Dane:

`a' = 12\ cm` 

`a = 3\ cm` 

Szukane:

Skala podobieństwa kwadratu: `x = ?` 

Rozwiązanie:

`a' = x*a` 

`12\ cm =x*3\ cm \ \ \ \ |:3\ cm` 

`(12\ cm)/(3\ cm) = x` 

`x = (strike(12)^4\ strike(cm))/(strike(3)^1\ strike(cm))` 

`x = 4/1` 

`x = 4`  

Odp.: Skala podobieństwa tego trójkąta wynosi 4. 

Wyprowadź...

`R=U/I\ \ |*I`

`U=R*I`

Uzupełnij podpisy pod wykresami...

Obliczamy moc żarówki na pierwszym wykresie w górnym rzędzie po lewej stronie.

Mamy:

`t=1\ "h"` 

`E=100\ "Wh"` 

`E=Pt\ "/":t` 

`P=E/t` 

`P=(100\ "Wh")/(1\ "h")=100W` 

W lukę pod wykresem należy wpisać `100.`       

 

Obliczamy moc żarówki na drugim wykresie w górnym rzędzie po prawej stronie.

Mamy:

`t=1\ "h"` 

`E=20\ "Wh"` 

`E=Pt\ "/":t` 

`P=E/t` 

`P=(20\ "Wh")/(1\ "h")=20W` 

W lukę pod wykresem należy wpisać `20.`  

 

Wykres dla żarówki o mocy `60\ "W":` 

 

Wykres dla żarówki o mocy `80\ "W":` 

Pusty pucharek, którego wnętrze ...

Wnętrze pucharka ma kształt stożka o promieniu podstawy długości 6 cm i wysokości długości 8 cm. 

`r=6 \ "cm"=60 \ "mm"` 

`H=8 \ "cm"=80 \ "mm"` 

Obliczamy, ile wynosi objętość pucharka. 

`V_"p"=1/3pi*60^2*80=1/strike3^1pi*strike3600^(1200)*80=pi*1200*80=96 \ 000pi \ \ \ ["mm"^3]` 
Objętość pucharka wynosi 96 000π cm3.   


Kropla deszczu jest kulą, której promień ma długość 1,5 mm. 

`R=1,5 \ "mm"` 

Obliczamy, ile wynosi objętość kropli deszczu. 

`V_"k"=4/3pi*1,5^3=4/3pi*3,375=(13,5pi)/3=4,5pi \ \ \ ["mm"^3]` 

Objętość jednej kropli wynosi 4,5π mm3.  


Podczas deszczy pucharek napełnił się wodą. 

Obliczamy, ile kropli deszczu zmieściło się w pucharku. 

`(96 \ 000strikepi)/(4,5strikepi)=(96 \ 000)/(4,5)=(960 \ 000)/45~~21 \ 333` 


Odpowiedź: Do pucharka wpadło około 21 333 kropel deszczu.