Prawdopodobieństwo - iii-gimnazjum - Baza Wiedzy

Obliczanie prawdopodobieństw

Z doświadczeniami losowymi mamy do czynienia na co dzień. Rzut monetą, rzut sześcienną kostką do gry, wygrana na loterii czy numer nadjeżdżającego autobusu to tylko kilka z nich.

Zdarzenie losowe to pewna sytuacja możliwa do uzyskania podczas danego doświadczenia losowego, np. wyrzucenie parzystej liczby oczek na kostce do gry. 

W zdarzeniach losowych prawdopodobieństwo (oznaczmy go literą P) nastąpienia sytuacji, która nas interesuje oblicza się bardzo prosto (o ile każda z sytuacji jest jednakowo prawdopodobna). Jest to iloraz ilości sytuacji nas interesujących (np. autobusy nam odpowiadające) (ich ilość oznaczmy literą n) i ilości wszystkich możliwych sytuacji (np. wszystkie autobusy) (ich ilość oznaczmy literą N).

`P=n/N` 


Przykładowe zadania:

Zadanie 1.

Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowanie króla z talii 52 kart?

Wiemy, że w talii są 52 karty. W całej talii są 4 króle. 

Wszystkich możliwych wyników jest więc 52. Liczba interesujących nas wyników to 4. 

Prawdopodobieństwo (p) tego zdarzenia wynosi:

`p=4/52=1/13` 

Odpowiedź: Prawdopodobieństwo, że wylosujemy króla wynosi `1/13`

Zadanie 2.

Stoimy na przystanku. Na tym przystanku zatrzymuje się łącznie 8 autobusów. My możemy jechać tylko autobusem numer 234 oraz 123. Nadjeżdża autobus. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że będzie to jeden z autobusów, którymi możemy pojechać?


Wszystkich możliwych wyników jest 8. Liczba interesujących nas wyników to 2. 

Prawdopodobieństwo (p) tego zdarzenia wynosi:

`p=2/8=1/4`  

Odpowiedź: Prawdopodobieństwo nadjechania autobusu, który nam odpowiada wynosi `1/4`.

Zadanie 3.

Rzucamy dwa razy sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo, że suma oczek wyniesie 6.

Rzucając kostką dwukrotnie otrzymujemy 36 róznych kombinacji. Przedstawione są one na tabelce:

tabela

Liczby, które spełniają nasz warunek (suma wynosi 6) zostały pogrubione. Jest ich w sumie 5. 

Wszystkich możliwych wyników jest 36. Liczba interesujących nas wyników to 5. 

Prawdopodobieństwo (p) tego zdarzenia wynosi:

`p=5/36`  

Odpowiedź: Prawdopodobieństwo wynosi `5/36`


Zadanie 4.

Ze zbioru liczb 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ..., 19, 20 wybieramy losowo jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo, że wylosowana liczba jest podzielna przez 3.

Ze zbioru liczb 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ..., 19, 20 (jest ich w sumie 20) wypisujemy wszystkie liczby podzielne przez 3, czyli: 3, 6, 9, 12, 15, 18. Jest ich w sumie 6. 

Wszystkich możliwych wyników jest 20. Liczba interesujących nas wyników to 6. 

Prawdopodobieństwo (p) tego zdarzenia wynosi: 
 
`p=6/20=3/10` 

Odpowiedź: Prawdopodobieństwo w tym przypadku wynosi `3/10`

Zadanie 5.

Rzucamy 2 razy monetą. Oblicz prawdopodobieństwo, że dwa razy wypadnie reszka.

Na początek musimy wypisać wszystkie możliwe kombinacje rzutów tak więc: 

  • Orzeł i Orzeł
  • Orzeł i Reszka
  • Reszka i Reszka
  • Reszka i Orzeł

Pogrubiona została kombinacja, która spełnia nasz warunek. 

Wszystkich możliwych wyników jest 4. Liczba interesujących nas wyników to 1. 

Prawdopodobieństwo (p) tego zdarzenia wynosi:

`p=1/4`  
Odpowiedź: Prawdopodobieństwo w tym przypadku wynosi `1/4` . 

 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Suma pól dwóch trójkątów podobnych jest równa 100 cm², a

Oznaczmy sobie pole większego trójkąta jako x, a pole mniejszego trójkąta jako y.

       

 

 

 

 

 

  

 

 

Wiemy już, że jeden z trójkątów ma pole 10 cm2, a drugi 90 cm2. Stosunek pól wielokątów podobnych w skali k jest równy k2, stąd:

 

 

 

Trójkąty ABC i DEF

Skalę podobięństwa trójkąta DEF do trójkąta ABC obliczymy, dzieląc długość krótszej przyprostokątnej trójkąta DEF przez długość któtszej przyprostokątnej trójkąta ABC.

 

 

W kolejne luki należy wpisać:

 

 

 

 

Wskaż poprawne dokończenie zdania

 

Rozwiązanie układu równań to punkt przecięcia wykresów. Tylko na wykresie A punkt przecięcia ma drugą współrzędną równą -2. Prawidłowa odpowiedź to A.   

 

Pionowy maszt utrzymują dwie...

 

Trójkąty APB i CPD są prostokątne i w każdym jest kąt osty o mierze α. Zatem mają one równe kąty i oba są podobne.

 

 

 

 

{premium}

 

Trójkąty APB i CPD są prostokątne i w każdym jest kąt osty o mierze α. Zatem mają one równe kąty i oba są podobne.

 

 

 

 

Dwaj sąsiedzi postanowili zbudować domy...

 Do obliczenia objętości strychu z projektu A przyda nam się rysunek pomocniczy:

 

 

 

Objętość strychu będziemy obliczać jako {premium}różnicę objętości prostopadłościanu  i graniastosłupa trójkątnego  . 

Obliczamy objętość prostopadłościanu:

 

 

 

Obliczamy objętość graniastosłupa trójkątnego:

 

    

  

Obliczamy objętość strychu z projektu A:

 


Obliczenie objętości drugiego strychu jest łatwiejsze, bo dach ma kształt ostrosłupa prawidłowego czworokątnego

o krawędzi podstawy długości  i wysokości Wystarczy więc tylko podstawić te dane do wzoru

na objętość. Otrzymujemy:

     

Odp.: Większa kubaturę ma strych z projektu A.

 

 Musimy uzasadnić, że powierzchnia dachu w obu projektach jest taka sama.

Na powierzchnię dachu z projektu A składają się dwa prostokąty o bokach długości  i   Widzimy,

że do obliczenia powierzchni dachu brakuje nam długości odcinka  Wyznaczymy ją, korzystając

z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta        

 

 

 

 

 

Obliczamy powierzchnię dachu z projektu A:

 

  

Do obliczenia powierzchni drugiego dachu przyda nam się rysunek pomocniczy:  

 

 

   

 

 

Na powierzchnię dachu z projektu B składają się cztery trójkąty równoramienne o podstawie  i wysokości  

Będziemy chcieli wyznaczyć  W tym celu obliczymy najpierw, ile wynosi krawędź boczna ostrosłupa -

skorzystamy z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta  

 

 

 

 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta  obliczamy wysokość ściany bocznej:

 

 

 

 

  

Obliczamy powierzchnię dachu z projektu B:

 

              

Zatem mamy:

co należało dowieść.  

 

Oblicz długość przekątnej sześcianu, jeśli długość krawędzi jest równa:

 

 

 

 

Dwa wielokąty są podobne w skali 3/5. Większy z nich ma o ...

 - pole mniejszego wielokąta

 - pole większego wielokąta{premium}

 


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Odp. Pole większego wielokąta wynosi 25 cm2.

Jaką średnicę będzie miała kula ulepiona z kawałka...

 

Wysokość walca wynosi:  

Średnica podstawy walca wynosi:  

Obliczamy promień podstawy walca:

 

 

 

Objętość walca będzie wynosiła:

 

 

 

 

Z tego wynika, że kula ulepiona z kawałka plasteliny w kształcie walca będzie miała promień:

 

 

 

 

 

 

 

Z tego wynika, że średnica kuli wynosi:

 

 

 

 

Wysokość stożka wynosi:  

Promień podstawy stożka wynosi:  

 

Objętość stożka będzie wynosiła:

 

 

 

 

 

Z tego wynika, że kula ulepiona z kawałka plasteliny w kształcie stożka będzie miała promień:

 

 

 

 

 

 

 

Z tego wynika, że średnica kuli wynosi:

 

 

 

 

Krawędź sześcianu wynosi:  

Objętość tego sześcianu będzie wynosiła:

 

 

 

Z tego wynika, że kula ulepiona z kawałka plasteliny w kształcie sześcianu będzie miała promień:

 

 

 

 

 

 

 

 

Z tego wynika, że średnica kuli wynosi:

 

Suma długości wszystkich krawędzi bocznych ostrosłupa...

Rysunek pomocniczy:

 suma krawędzi bocznych  

 suma krawędzi podstawy  

Obliczamy długość krawędzi podstawy:{premium}

 

 

Obliczamy długość krawędzi bocznej:

 

 

Obliczamy długość przekątnej podstawy:

 

 

Obliczamy wysokość ostrosłupa z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta  

 

 

 

 

Obliczamy pole podstawy:

 

 

Obliczamy objętość ostrosłupa:     

 

   

Odp. Objętość ostrosłupa wynosi      

         

Weronika z koleżanką wybrały się na spacer. Poniższy ...

a) Spacer trwał 80 minut. 

{premium}
b) W czasie pierwszych 15 min dziewczyny pokonały drogę długości 0,6 km. 


c) Po pierwszych 15 min dziewczyny zwolniły (wykres jest "mniej pochyły"). 


d) Dziewczęta zatrzymywały się dwukrotnie (poziome odcinki na wykresie oznaczają postoje). 


e) Koleżanki szły najszybciej między 50 a 60 min spaceru (wykres jest najbardziej "pochyły"). 

Koleżanki szły najwolniej między 70 a 80 min spacer (wykres jest najmniej "pochyły").