Prawdopodobieństwo - iii-gimnazjum - Baza Wiedzy

Zdarzenia losowe

Ze zdarzeniami losowymi mamy do czynienia na co dzień. Rzut monetą, wygrana na loterii czy numer nadjeżdżającego autobusu to tylko kilka z nich. W zdarzeniach losowych prawdopodobieństwo nastąpienia sytuacji która nas interesuję oblicza się bardzo prosto (o ile każda z sytuacji jest jednakowo prawdopodobna). Jest to iloraz ilości sytuacji nas interesujących (np. autobusy nam odpowiadające) i ilości wszystkich możliwych sytuacji (np. wszystkie autobusy). Najłatwiej jest to pokazać na przykładach dlatego prezenujemy zestaw kilku zadań.

 

Zadanie 1.

Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowanie króla z talii 52 kart?

Wiemy, że w talii są 52 karty, króli na całą talię przypada 4. Zgodnie z definicją otrzymamy z tego iloraz $$ {4}/{52} $$, z tego wynika, że:
$$ ext"prawdopodobieństwo" = {4}/{52}={1}/{13}$$
Odp.: Prawdopodobieństwo, że wylosujemy króla wynosi $${1}/{13}$$ (1:13).

Zadanie 2.

Stoimy na przystanku. Na tym przystanku zatrzymuje się łącznie 8 autobusów. My możemy jechać tylko autobusem numer 234 oraz 123. Nadjeżdża autobus. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że to będzie jeden z autobusów, którymi możemy pojechać?

$$ ext"prawdopodobieństwo" =2/8=1/4=1∶4 $$
Odp: Prawdopodobieństwo nadjechania autobusu, który nam odpowiada wynosi $$1/4$$ (1:4).

Zadanie 3.

Rzucamy dwa razy sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo, że suma oczek wyniesie 6.

Rzucając kostką dwukrotnie otrzymujemy 36 róznych kombinacji. Przedstawione są one na tabelce:

tabela

Liczby, które spełniają nasz warunek(suma wynosi 6) zostały pogrubione. Jest i ch w sumie 6, z tego wynika, że:
$$ ext"prawdopodobieństwo"=5/{36} $$

Odp.: Prawdopodobieństwo wynosi $$5/{36} $$ (5:36).

Zadanie 4.

Ze zbioru liczb $${1,2,3,4,5,6,7,...,19,20}$$ wybieramy losowo jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo, że wylosowana liczba jest podzielna przez 3.

Ze zbioru liczb $${1,2,3,4,5,6,7,...,19,20}$$ (jest ich w sumie 20) wypisuję wszystkie liczby podzielne przez 3, czyli: 3,6,9,12,15,18. Jest ich w sumie 6, tak więc:
$$ ext"prawdopodobieństwo"=6/{20}=3/{10} $$

Odp.: Prawdopodobieństwo w tym przypadku wynosi $$3/{10}$$ (3:10).

Zadanie 5.

Rzucamy 2 razy monetą. Oblicz prawdopodobieństwo, że dwa razy wypadnie reszka.

Na początek musimy wypisać wszystkie możliwe kombinacje rzutów tak więc:

 
  • Orzeł i Orzeł
  • Orzeł i Reszka
  • Reszka i Reszka
  • Reszka i Orzeł

Pogrubiona została kombinacja, która spełnia nasz warunek jest ona tylko jedna. Wszystkich kombinacji mieliśmy 4, tak więc:
$$ ext"prawdopodobieństwo"=1/{4}$$

Odp.: Prawdopodobieństwo w tym przypadku wynosi $$1/{4}$$ (1:4).

 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Oblicz

`a)\ (2^-1+3^-1)^-1=` `(1/2+1/3)^-1=` `(3/6+2/6)^-1=` `(5/6)^-1=6/5=1 1/5` 

 

`b)\ (-0,5)^-2-0,3^-3-1^-5=` ` ` `(-1/2)^-2-(3/10)^-3-1=` 

`\ \ \ =(-2)^2-(10/3)^3-1=` `4-1000/27-1=` `4-37 1/27-1=` `-34 1/27` 

 

`c)\ (4/5)^-1+(-2 2/3)^-2=` `5/4+(-8/3)^(-2)=` `5/4+(-3/8)^2=` 

`\ \ \ =5/4+9/64=`  `1 1/4+9/64=` `1 16/64+9/64=` `1 25/64` 

 

`d)\ (-(1/2)^-2-(1 3/5)^-1*(-8))/(29^0-10^-2)=` `(-2^2-(8/5)^-1*(-8))/(1-(1/10)^2)=` 

`\ \ \ =(-4-5/8*(-8))/(1-1/100)=` `(-4+5)/(99/100)=` `1/(99/100)=100/99=1 1/99` 

   

  ` `  

  ` ` 

Dwie mrówki...

Wzór na prędkość ma postać:

`v=s/t`

Przekształćmy go by otrzymać wzór na drogę.

`v=s/t \ \ \ |*t`

`vt=s`

Prędkość wolniejszej mrówki oznaczmy przez v1, natomiast prędkość szybszej mrówki przez v2.

Wzór na drogę wynosi:

`v_1 t + v_2 t = s`

  • Równanie:

Oznaczmy prędkość wolniejszej mrówki przez x. Wtedy prędkość szybszej mrówki będzie wynosić 2x.

t dla obu mrówek jest równe i wynosi 0,6m, s wynosi 1,44

`x*0,6 + 2x*0,6m = 1,44` 

 

  • Układ równań:

Wiemy, że szybsza mrówka porusza się dwa razy szybciej niż wolniejsza. Czyli musimy pomnożyć przez 2 prędkość wolniejszej mrówki żeby otrzymać równość.

`2v_1 = v_2`

Po czasie t=0,6min odległość między mrówkami wynosi 1,44m.

`v_1 0,6 +v_2 0,6=1,44`

`0,6 v_1 + 0,6 v_2 = 1,44`

Obie zależności pomiędzy prędkościami możemy zapisać w układzie równań.

`{(2v_1=v_2),(0,6v_1 + 0,6v_2=1,44):}`

 

Narysuj w zeszycie kwadrat...

Skala podobieństwa:

a i b=1:2

a i c=2

b i c=4

Powierzchnia boczna stożka po rozwinięciu jest ...

Po rozwinięciu powierzchni bocznej stożka otrzymujemy wycinek koła. 

Kat środkowy tego wycinka ma miarę `180^@`.

`alpha=180^@` 

Promień tego półkola / wycinka koła jest tworzącą stożka. Ma on długość 6 cm.

`l=6 \ "cm"`    


Korzystając z poniższej zależności obliczamy, ile wynosi długość promienia podstawy stożka. 

`r/l=alpha/360^@` 

`r/6=180^@/360^@` 

`r/6=1/2` 

`r*2=6 \ \ \ \ \ \ \ \ |:2` 

`r=3 \ \ \ ["cm"]` 

Promień podstawy stożka ma długość 3 cm.      


Przyjmijmy oznaczenia jak na poniższym rysunku. 



Promień podstawy, wysokość stożka oraz tworząca stożka tworzą trójkąt prostokątny. 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczamy, ile wynosi długość wysokości stożka. 

`3^2+H^2=6^2` 

`9+H^2=36 \ \ \ \ \ \ \ \ |-9` 

`H^2=27` 

`H=sqrt{27}=3sqrt{3} \ \ \ ["cm"]`   

Wysokość stożka ma długość 3√3 cm. 


Obliczamy, ile wynosi pole powierzchni całkowitej stożka. 

`P_c=pir^2+pirl=pir(r+l)` 

`P_c=pi*3*(3+6)=pi*3*9=27pi \ \ \ ["cm"^2]` 


Obliczamy, ile wynosi objętość stożka.

`V=1/3pir^2*H` 

`V=1/3pi*3^2*3sqrt{3}=1/strike3^1pi*9*strike3^1sqrt{3}=9sqrt{3}pi \ \ \ ["cm"^3]` 

Odpowiedź: Pole powierzchni całkowitej stożka wynosi 27π cm2. Objętość tego stożka jest równa 9√3π cm3.     

Prostokąt o bokach 15 cm i 10 cm tworzy powierzchnię boczną walca

`1\ przypadek`

`h=15\ cm`

`2pir=10\ cm\ \ \ =>\ \ \ r=10/(2pi)=5/pi\ cm`

 

 

`2\ przypadek`

`h=10\ cm`

`2pir=15\ cm\ \ \ =>\ \ \ r=15/(2pi)\ cm`

a) Jakie jest pole koła...

`a)` 

Koło to również ma promień: `r= 10\ cm` 

Z tego wynika, że pole tego koła wynosi:

`P = pi r^2` 

`P = pi*(10\ cm)^2` 

`P = pi*100\ cm^2` 

`P=100pi\ cm^2` 

 

`b)` 

Średnica półkola i kuli jest taka sama i wynosi: `d = 8\ cm` 

Obwód półkola będzie sumą średnicy i połowy długości obwodu koła o średnicy d. Promień tego koła wynosi:

`r = 1/2  d` 

Połowa długości obwodu koła wynosi:

`l=1/2 *2pir` 

`l=pi r` 

`l=pi(1/2 d)` 

`l = 1/2 pi d` 

`l=1/2*pi*8\ cm` 

`l=4pi\ cm` 

Wówczas obwód półkola, które obracane jest wokół średnicy wynosi:

`L = l + d` 

`L = 4pi\ cm + 8\ cm` 

`L = 4(pi+2)\ cm` 

Funkcja f każdej liczbie naturalnej ...

`f(0)=0 \ \ \ "bo" \ \ \ 0:6=0 \ r. \ 0`  
`f(1)=1 \ \ \ "bo" \ \ \ 1:6=0 \ r. \ 1`   
`f(2)=2 \ \ \ "bo" \ \ \ 2:6=0 \ r. \ 2` 
`f(3)=3 \ \ \ "bo" \ \ \ 3:6=0 \ r. \ 3`   
`f(4)=4 \ \ \ "bo" \ \ \ 4:6=0 \ r. \ 4` 
`f(5)=5 \ \ \ "bo" \ \ \ 5:6=0 \ r. \ 5` 
`f(6)=0 \ \ \ "bo" \ \ \ 6:6=1 \ r. \ 0` 
`f(7)=1 \ \ \ "bo" \ \ \ 7:6=1 \ r. \ 1`    itd.


a) Reszta z dzielenia przez 6 może wynosić 0, 1, 2, 3, 4 i 5.  

Zbiór wartości funkcji to zbiór {0, 1, 2, 3, 4, 5}


b) Funkcja przyjmuje wartość 5 dla argumentów: 5, 11, 17

`f(5)=5 \ \ \ "bo" \ \ \ 5:6=0 \ r. \ 5` 
`f(11)=5 \ \ \ "bo" \ \ \ 11:6=1 \ r. \ 5` 
`f(17)=5 \ \ \ "bo" \ \ \ 17:6=2 \ r. \ 5`   


c) Wykres funkcji f ma postać: 

Z papierowego koła o promieniu 12 cm wykrojono wycinek wyznaczony...

`"Korzystamy z wzoru na pole wycinka koła:"` 

`P_b=(alpha)/360^o * Pi *l^2` 

`P_b=(90^o)/(360^o) *Pi*12^2= 1/4 *Pi*144= 36Pi` 

`"Pole wycinka możemy obliczyć również z wzoru:"` 

`P_b= Pi*r*l` 

`36Pi= Pi*r*12` 

`36Pi= 12Pir` 

`r= (36Pi)/(12Pi)=3` 


`"Odpowiedź: Promień podstawy tego stożka wynosi 3 cm."` 

Zaznacz na osi liczbowej sumę zbiorów i zapisz ją w postaci przedziału. a) (4;7) u (5;8)

a) `(4;7)uu(5;8)=(4,8)`

b) `<-7;3>uu(-7;5)=<-7,5)`

c) `<-oo;3>uu(3;+oo)=RR`

d) `(-4;8>uu(8;+oo)=(-4,+oo)`

e) `<-3;5)uu{5}=<-3,5>`

f) `(-oo;7)uu{7}=(-oo,7>`

Wojtek rzucał kostką...

Posłużymy się grafami, Rysujemy dwa grafy obok siebie, w jednym wpisujemy liczbę a w drugim procent całości, który stanowi Mnożymy i dzielimy oba grafy zawsze przez taką samą liczbę.

W sumie Wojtek rzucił kostką 75 razy.

Odpowiedź D