Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Prawdopodobieństwo - iii-gimnazjum - Baza Wiedzy

Obliczanie prawdopodobieństw

Z doświadczeniami losowymi mamy do czynienia na co dzień. Rzut monetą, rzut sześcienną kostką do gry, wygrana na loterii czy numer nadjeżdżającego autobusu to tylko kilka z nich.

Zdarzenie losowe to pewna sytuacja możliwa do uzyskania podczas danego doświadczenia losowego, np. wyrzucenie parzystej liczby oczek na kostce do gry. 

W zdarzeniach losowych prawdopodobieństwo (oznaczmy go literą P) nastąpienia sytuacji, która nas interesuje oblicza się bardzo prosto (o ile każda z sytuacji jest jednakowo prawdopodobna). Jest to iloraz ilości sytuacji nas interesujących (np. autobusy nam odpowiadające) (ich ilość oznaczmy literą n) i ilości wszystkich możliwych sytuacji (np. wszystkie autobusy) (ich ilość oznaczmy literą N).

`P=n/N` 


Przykładowe zadania:

Zadanie 1.

Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowanie króla z talii 52 kart?

Wiemy, że w talii są 52 karty. W całej talii są 4 króle. 

Wszystkich możliwych wyników jest więc 52. Liczba interesujących nas wyników to 4. 

Prawdopodobieństwo (p) tego zdarzenia wynosi:

`p=4/52=1/13` 

Odpowiedź: Prawdopodobieństwo, że wylosujemy króla wynosi `1/13`

Zadanie 2.

Stoimy na przystanku. Na tym przystanku zatrzymuje się łącznie 8 autobusów. My możemy jechać tylko autobusem numer 234 oraz 123. Nadjeżdża autobus. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że będzie to jeden z autobusów, którymi możemy pojechać?


Wszystkich możliwych wyników jest 8. Liczba interesujących nas wyników to 2. 

Prawdopodobieństwo (p) tego zdarzenia wynosi:

`p=2/8=1/4`  

Odpowiedź: Prawdopodobieństwo nadjechania autobusu, który nam odpowiada wynosi `1/4`.

Zadanie 3.

Rzucamy dwa razy sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo, że suma oczek wyniesie 6.

Rzucając kostką dwukrotnie otrzymujemy 36 róznych kombinacji. Przedstawione są one na tabelce:

tabela

Liczby, które spełniają nasz warunek (suma wynosi 6) zostały pogrubione. Jest ich w sumie 5. 

Wszystkich możliwych wyników jest 36. Liczba interesujących nas wyników to 5. 

Prawdopodobieństwo (p) tego zdarzenia wynosi:

`p=5/36`  

Odpowiedź: Prawdopodobieństwo wynosi `5/36`


Zadanie 4.

Ze zbioru liczb 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ..., 19, 20 wybieramy losowo jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo, że wylosowana liczba jest podzielna przez 3.

Ze zbioru liczb 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ..., 19, 20 (jest ich w sumie 20) wypisujemy wszystkie liczby podzielne przez 3, czyli: 3, 6, 9, 12, 15, 18. Jest ich w sumie 6. 

Wszystkich możliwych wyników jest 20. Liczba interesujących nas wyników to 6. 

Prawdopodobieństwo (p) tego zdarzenia wynosi: 
 
`p=6/20=3/10` 

Odpowiedź: Prawdopodobieństwo w tym przypadku wynosi `3/10`

Zadanie 5.

Rzucamy 2 razy monetą. Oblicz prawdopodobieństwo, że dwa razy wypadnie reszka.

Na początek musimy wypisać wszystkie możliwe kombinacje rzutów tak więc: 

  • Orzeł i Orzeł
  • Orzeł i Reszka
  • Reszka i Reszka
  • Reszka i Orzeł

Pogrubiona została kombinacja, która spełnia nasz warunek. 

Wszystkich możliwych wyników jest 4. Liczba interesujących nas wyników to 1. 

Prawdopodobieństwo (p) tego zdarzenia wynosi:

`p=1/4`  
Odpowiedź: Prawdopodobieństwo w tym przypadku wynosi `1/4` . 

 

Spis treści

Rozwiązane zadania
4,75 h - ile to minut?

Prawdziwe są następujące zależności:

`1\ "doba"=24\ "h"` 

`1\ "h"=60\ "min"` 

`1\ "min"=60\ "s"`   

Mamy:

`"a)"\ 4,75\ "h"=4,75*60\ "min"=285\ "min"`  

`"b)"\ 2\ "min"\ 6\ "s"=2*60\ "s"+6\ "s"=120\ "s"+6\ "s"=126\ "s"` 

`"c)"\ 2,4\ "min"=2,4*60\ "s"=144\ "s"`  

`"d)"\ 0,01\ "h"=0,01*60\ "min"=0,6\ "min"=0,6*60\ "s"=36\ "s"` 

`"e)"\ 0,1\ "doby"=0,1*24\ "h"=2,4\ "h"=2,4*60\ "min"=144\ "min"`  

 

Teraz przydadzą nam się odwrotne zależności:

`1\ "h"=1/24\ "doby"` 

`1\ "min"=1/60\ "h"` 

`1\ "s"=1/60\ "min"` 

Mamy:

`"f)"\ 8\ "min"=8*1/60\ "h"=8/60\ "h"=2/15\ "h"` 

`"g)"\ 3\ "h"\ 6\ "min"=3\ "h"\ +6*1/60\ "h"=3\ "h"+0,1\ "h"=3,1\ "h"` 

`"h)"\ 4\ "h"\ 30\ "min"=4,5\ "h"=4,5*1/24\ "doby"=(9/2)/24\ "doby"=9/48\ "doby"=3/16\ "doby"` 

`"i)"\ 1500\ "s"=1500*1/60\ "min"=25\ "min"` 

`"j)"\ 3\ "h"\ 3\ "min"\ 3\ "s"=3*60\ "min"+3\ "min"+3*1/60\ "min"=180\ "min"+3\ "min"+1/20\ "min"=183 1/20\ "min"`          

     

Rozwiąż układ równań 6x+y=22 x-2y=8 metodą dodawania stronami

`a) \ \ {(6x+y=22),(x-2y=8 \ \ \ |*(-6)):}` 

`{(6x+y=22),(-6x+12y=-48):}` 

`{(6x+(-6x)+y+12y=22-48),(-6x+12y=-48):}` 

`{(13y=-26),(-6x+12y=-48):}` 

`{(y=-2),(-6x+12*(-2)=-48):}` 

`{(y=-2),(-6x-24=-48 \ \ |+24):}` 

`{(y=-2),(-6x=-24 \ \ \ \ |:(-6)):}` 

`{(y=-2),(x=4):}` 

 `b) \ \ {(6x+y=22 \ \ \ |*2),(x-2y=8):}`

 `{(12x+2y=44),(x-2y=8):}` 

`{(12x+x+2y-2y=44+8),(x-2y=8):}` 

`{(13x=52 \ \ \ \ |:13),(x-2y=8):}`  

`{(x=4),(4-2y=8 \ \ \ |-4):}`

`{(x=4),(-2y=4 \ \ |:(-2)):}` 

`{(x=4),(y=-2):}` 

   

 

Oblicz objętość kuli o promieniu r...

Objętość kuli obliczamy korzystając z wzoru:


`bb(V=4/3pir^3)` 


a) `r=10 \ "cm"` 

`V=4/3*3,14*10^3=4/3*3,14*1000=4/3*3140=12560/3=4186  2/3 \"[cm"^3"]"` 


b) `r=20 \ "cm"` 

`V=4/3*3,14*20^3=4/3*3,14*8000=4/3*25120=100480/3=33493 1/3  \"[cm"^3"]"` 


b) `r=30 \ "cm"` 

`V=4/3*3,14*30^3=4/3*3,14*27000=4/3*84780=339120/3=113040  \"[cm"^3"]"` 

Marcin zaplanował wykonanie lampki. Abażur...

`H=16\ "cm"` 

`d=24\ "cm"` 

`r=12\ "cm"` 

Wykonajmy rysunek pomocniczy stożka, jaki powstanie:   

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta `CDB,` wyznaczymy długość tworzącej stożka,

czyli długość promienia wycinka koła, z jakiego należy wyciąć szablon abażuru.

`H^2+r^2=l^2`  

`16^2+12^2=l^2`   

`256+144=l^2` 

`400=l^2` 

`l=20\ "cm"` 

Z poprzedniego zadania wiemy, że długość łuku wycinka koła możemy obliczyć na dwa sposoby:

pierwszy sposób - jako obwód podstawy stożka,

drugi sposób - ze wzoru z kątem środkowym.

My skorzystamy najpierw z pierwszego sposobu i wyznaczymy obwód, a następnie podstawimy go 

do wzoru ze sposobu drugiego. Dzięki temu wyznaczymy miarę kąta środkowego.

Obliczamy obwód podstawy stożka:

`Ob=2pir` 

`Ob=2pi*12=24pi\ "cm"` 

Zapisujemy wzór na długość łuku wycinka koła o kącie środkowym `alpha:` 

`L=alpha/360^@*2pil` 

Podstawiamy znane wartości i wyznaczamy miarę kąta `alpha:` 

`24pi=alpha/360^@*2pi*20` 

`24pi=pi/9*alpha\ "/":pi/9` 

`alpha=216^@` 

Odp. Marcin musi przygotować wycinek koła o promieniu `20\ "cm"` i kącie środkowym o mierze `216^@.`  

Zapisz liczby 32, 75, 89, 100

`32=27+3+2*1=3^2+3^2+2*3^0` ` `  

 

`75=2*27+2*9+3=2*3^3+2*3^2+3^1` 

 

`89=81+2*3+2*1=` `3^4+2*3^1+2*3^0` 

 

`100=81+2*9+1=3^4+2*3^2+3^0` 

Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego ...

a) Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat o boku długości 4. 

`a=4`  

Obliczamy, ile wynosi długość przekątnej podstawy. 

`d=asqrt{2}=4sqrt{2}`  

Obliczamy, ile wynosi {premium}połowa długości przekątnej podstawy. 

`1/2d=1/2*4sqrt{2}=2sqrt{2}`  

Połowa przekątnej podstawy, krawędź boczna oraz wysokość ostrosłupa tworzą trójkąt prostokątny. 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczamy, ile wynosi długość wysokości ostrosłupa (H). 

`(2sqrt{2})^2+H^2=4^2` 

`8+H^2=16 \ \ \ \ \ \ \ \ |-8` 

`H^2=8` 

`H=sqrt{8}=2sqrt{2}` 

Wysokość ostrosłupa ma długość 2√2.

Obliczamy, ile wynosi objętość ostrosłupa.

`ul(ul( \ V \ ))=1/3*4^2*2sqrt{2}=1/3*16*2sqrt{2}=ul(ul( \ (32sqrt{2})/3 \ ))` 

 

b) Podstawą ostrosłupa jest kwadrat o boku 4. 

`a=4` 

Wysokość ściany bocznej ma długość 4.

`h=4` 

Przyjmijmy oznaczenia jak na poniższym rysunku. 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczamy, ile wynosi długość wysokości ostrosłupa. 

`2^2+H^2+4^2` 

`4+H^2=16 \ \ \ \ \ \ |-4` 

`H^2=12` 

`H=sqrt{12}=2sqrt{3}` 

Wysokość ostrosłupa ma długość 2√3.

Obliczamy, ile wynosi objętość ostrosłupa.

`ul(ul( \ V \ ))=1/3*4^2*2sqrt{3}=1/3*16*2sqrt{3}=ul(ul( \ (32sqrt{3})/3 \ ))`    

Dwa widoczne na rysunku wielokąty są podobne...

`"a)"` Jeżeli punkty `A` i `B` są środkami boków większego czworokąta, to boki mniejszego czworokąta

są o połowę mniejsze od boków większego czworokąta. Wobec tego, skala podobieństwa mniejszego

czworokąta do większego wynosi `1/2,` a skala podobieństwa większego czworokąta do mniejszego wynosi `2.`   

Obliczamy pole większego czworokąta:

`P=4*(2)^2=4*4=16` 

Odp. Pole większego czworokąta jest równe `16.` 

 

`"b)"` Skoro `|KL|=1/2|LM|,` to `|KM|=1/2|LM|+|LM|=3/2|LM|.` Wobec tego skala podobieństwa

większego trójkąta do mniejszego wynosi `3/2.` 

Obliczamy pole większego trójkąta:

`P=3*(3/2)^2=3*9/4=27/4`     

Odp. Pole większego trójkąta jest równe `27/4.`   

   

Sprawdź, czy układ równań jest oznaczony, nieoznaczony

a)

Sprawdzamy typ układu równań poprzez metodę wyznacznikową.

`W=|[4,8],[1, 1/2]|= 4* 1/2 -8* 1=2-8=(-6)`

Wyznacznik W jest różny od zera, dlatego układ ten jest oznaczony.

`Wx=|[1,8],[3,1/2]|=1*1/2-8*3=1/2-24=-23 1/2`

`Wy=|[4,1],[1,3]|=4*3-1*1=11`

`x=(Wx)/W=(-23 1/2)/(-6)=-47/2*-1/6=47/12=3 11/2`

`y=11/(-6)=-11/6=-1 5/6`

 

b)

`W=|[1/2,-1/3],[3,-2]|=1/2*(-2)-(-1/3)*3=-1+1=0`

`Wx=|[2,-1/3],[12,-2]|=2*(-2)-(-1/3)*12=-4+4=0`

`Wy=|[1/2,2],[3,12]|=1/2*12-2*3=6-6=0`

Wartości wszystkich wyznaczników wynoszą 0, zatem układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań- jest nieoznaczony.

c)

`W=|[-1,3],[2,-7]|=(-1)*(-7)-6*2=7-12=(-5)`

`W!=0`

Wyznacznik W jest różny od zera, dlatego układ ten jest oznaczony.

`Wx=|[4,3],[2,-7]|=4*(-7)-3*2=-28-6=-34`

`Wy=|[-1,4],[2,2]|=-1*2-4*2=-2-8=-10`

`x=(Wx)/W=(-34)/(-5)=6 4/5`

`y=(Wy)/W=(-10)/(-5)=2`

Czy podobne są trójkąty o bokach ...

Trójkąty są podobne, jeżeli stosunek długości odpowiadających sobie boków trójkątów jest równy.

Stosunek boków najdłuższych:

`20/5=4/1=4` 

Stosunek boków o średniej długości:

`15/4=4/1=4` 

 

Stosunek bok najkrótszych:

`12/3=4/1=4`

Trójkąty o bokach 20 cm, 16 cm i 12 cm oraz 5 cm, 4 cm i 3 cm są trójkątami podobnymi.

Skala podobieństwa wynosi 4.

(Skala podobieństwa może być także równa 1/4, jeżeli obliczymy stosunek długości boków mniejszego trójkąta do długości odpowiednich boków większego trójkąta)

 

Odp: Trójkąty są podobne. Skala podobieństwa to 4.

Sporządź wykres funkcji y=-x+1, określonej na zbiorze (...)

a) y=-x+1

x -2  -1 0 1 2
y 3 2 1 0 -1

{premium}

 



b) y=-x+1

x `-1 1/2`  `-1/2`   `0`  `1/2`   `1 1/2`  
y `2 1/2`   `1 1/2`   1 `1/2`   `-1/2`