Prawdopodobieństwo - iii-gimnazjum - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Prawdopodobieństwo - iii-gimnazjum - Baza Wiedzy

Obliczanie prawdopodobieństw

Z doświadczeniami losowymi mamy do czynienia na co dzień. Rzut monetą, rzut sześcienną kostką do gry, wygrana na loterii czy numer nadjeżdżającego autobusu to tylko kilka z nich.

Zdarzenie losowe to pewna sytuacja możliwa do uzyskania podczas danego doświadczenia losowego, np. wyrzucenie parzystej liczby oczek na kostce do gry. 

W zdarzeniach losowych prawdopodobieństwo (oznaczmy go literą P) nastąpienia sytuacji, która nas interesuje oblicza się bardzo prosto (o ile każda z sytuacji jest jednakowo prawdopodobna). Jest to iloraz ilości sytuacji nas interesujących (np. autobusy nam odpowiadające) (ich ilość oznaczmy literą n) i ilości wszystkich możliwych sytuacji (np. wszystkie autobusy) (ich ilość oznaczmy literą N).

`P=n/N` 


Przykładowe zadania:

Zadanie 1.

Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowanie króla z talii 52 kart?

Wiemy, że w talii są 52 karty. W całej talii są 4 króle. 

Wszystkich możliwych wyników jest więc 52. Liczba interesujących nas wyników to 4. 

Prawdopodobieństwo (p) tego zdarzenia wynosi:

`p=4/52=1/13` 

Odpowiedź: Prawdopodobieństwo, że wylosujemy króla wynosi `1/13`

Zadanie 2.

Stoimy na przystanku. Na tym przystanku zatrzymuje się łącznie 8 autobusów. My możemy jechać tylko autobusem numer 234 oraz 123. Nadjeżdża autobus. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że będzie to jeden z autobusów, którymi możemy pojechać?


Wszystkich możliwych wyników jest 8. Liczba interesujących nas wyników to 2. 

Prawdopodobieństwo (p) tego zdarzenia wynosi:

`p=2/8=1/4`  

Odpowiedź: Prawdopodobieństwo nadjechania autobusu, który nam odpowiada wynosi `1/4`.

Zadanie 3.

Rzucamy dwa razy sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo, że suma oczek wyniesie 6.

Rzucając kostką dwukrotnie otrzymujemy 36 róznych kombinacji. Przedstawione są one na tabelce:

tabela

Liczby, które spełniają nasz warunek (suma wynosi 6) zostały pogrubione. Jest ich w sumie 5. 

Wszystkich możliwych wyników jest 36. Liczba interesujących nas wyników to 5. 

Prawdopodobieństwo (p) tego zdarzenia wynosi:

`p=5/36`  

Odpowiedź: Prawdopodobieństwo wynosi `5/36`


Zadanie 4.

Ze zbioru liczb 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ..., 19, 20 wybieramy losowo jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo, że wylosowana liczba jest podzielna przez 3.

Ze zbioru liczb 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ..., 19, 20 (jest ich w sumie 20) wypisujemy wszystkie liczby podzielne przez 3, czyli: 3, 6, 9, 12, 15, 18. Jest ich w sumie 6. 

Wszystkich możliwych wyników jest 20. Liczba interesujących nas wyników to 6. 

Prawdopodobieństwo (p) tego zdarzenia wynosi: 
 
`p=6/20=3/10` 

Odpowiedź: Prawdopodobieństwo w tym przypadku wynosi `3/10`

Zadanie 5.

Rzucamy 2 razy monetą. Oblicz prawdopodobieństwo, że dwa razy wypadnie reszka.

Na początek musimy wypisać wszystkie możliwe kombinacje rzutów tak więc: 

  • Orzeł i Orzeł
  • Orzeł i Reszka
  • Reszka i Reszka
  • Reszka i Orzeł

Pogrubiona została kombinacja, która spełnia nasz warunek. 

Wszystkich możliwych wyników jest 4. Liczba interesujących nas wyników to 1. 

Prawdopodobieństwo (p) tego zdarzenia wynosi:

`p=1/4`  
Odpowiedź: Prawdopodobieństwo w tym przypadku wynosi `1/4` . 

 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Normalny bilet kolejowy na przejazd między pewnymi stacjami kosztuje x złotych...

a) x-0,37x= 0,63x{premium}
b) x-0,33x=0,67x
c) x+0,63x=1,63x
d) 0,67x +6 ∙ 0,63x= 0,67x+3,78x=4,45x
e) 4∙0,67x +30∙0,63x= 2,68x +18,9x=21,58x
f) 100- 3x
g)50-2 ∙0,63x= 50- 1,26x
h) 100-(0,67x + 6∙0,63x)=100-(0,67x+3,78x)=100-4,45x

W rondelku o wewnętrznej średnicy ...

Świeczka ma kształt walca o promieniu podstawy długości 1 cm i wysokości długości 16 cm. 

 

 

Obliczamy, ile wynosi objętość jednej świeczki.   

{premium}  

 

Objętość jednej świeczki wynosi 16π cm3.    


Wojtek stopił 4 takie świeczki. Obliczamy, ile wynosi objętość tych świeczek. 

 

Objętość świeczek wynosi 64π cm3.  


Świeczki te Wojtek roztopił w rondelku, którego średnica podstawy ma długość 16 cm. Promień podstawy rondelka ma więc długość:

 

Obliczamy, do jakiej wysokości (H) rondelka sięga wosk z roztopionych świeczek.  

  

 

 

 


Odpowiedź: Wosk sięga w rondelku na wysokość 1 cm.    

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz ...
Istnieje funkcja, której argument 0 nie jest jej miejscem zerowym.  P F
Istnieje funkcja, której każdy argument jest jej miejscem zerowym.  P F


Pierwszy wiersz w tabelce

Jeżeli do wykresu funkcji należy np. punkt o współrzędnych (0,2) to argument x = 0 nie jest miejscem zerowym tej funkcji.  


Drugi wiersz w tabelce: 

Funkcja, która każdej liczbie ze zbioru X = {1, 2, 3, 4, 5, 6} przyporządkowuje wartość 0 to funkcja, której każdy argument jest miejscem zerowym.

Uzasadnij, że powierzchnia boczna stożka, którego przekrojem osiowym jest trójkąt równoboczny

Stożek o promieniu r i przekroju osiowym trójkąta równobocznego ma wysokość . Tworząca stożka jest zatem równa:

{premium}

Z wzoru na długość okręgu i łuku wynika, że:

, gdzie  - miara kąta środkowego wycinka kołowego tworzącego powierzchnię boczną stożka. Z tego widzimy, że powierzchnia boczna stożka jest po rozłożeniu na płaszczyznę półkolem.

Dane są liczby...

 

{premium}

 

Odpowiedź: A. średnią

Podstawa trójkąta ABC ma długość 12 cm

{premium}

 

  - tyle razy większe jest pole trójkąta ABC od pola trójkąta A'B'C'

Trójkąt prostokątny T₂ o polu 45 cm jest podobny do

Stosunek pól dwóch figur podobnych jest równy kwadratowi skali ich podobieństwa.

 

{premium}  

 

 

   

a) Wysokość poprowadzona z wierzchołka kąta...

 

Wykonajmy rysunek do zadania:

Musimy pokazać, że wysokość poprowadzona z wierzchołka kąta prostego dzieli ten trójkąt na dwa podobne trójkąty prostokątne. Oznacza to, że powinniśmy pokazać, że:

 

Wiemy, że dla trójkąta ABC mamy zależność:

 

{premium}  

Z tego wynika, że możemy zapisać:

 

Wówczas otrzymujemy, że kąt γ wynosi:

 

 

 

 

 

Co należało pokazać. 

Natomiast otrzymujemy, że kąt δ wynosi:

 

 

 

 

 

Co należało wykazać. Z tego wynika, że jeżeli γ=β i δ=α to wysokość poprowadzona z wierzchołka kąta prostego dzieli ten trójkąt na dwa podobne trójkąty prostokątne podobne do trójkąta ABC.

 

 

Trójkąty ABC, ADF i DCF są trójkątami podobnymi.

 

 

Trójkąty AED, ECD, AGF, GBF i BCF są trójkątami podobnymi.

Sprawdź, cy figury P_1 i P_2 są podobne. Jeśli ...

a) Sprawdzamy, czy stosunek długości dłuższych boków jest równy stosunkowi długości krótszych boków prostokątów. 

 

 

 

Zatem:{premium}

 , czyli prostokąty P2 i P1 są podobne.  

Skala podobieństwa większej figury do mniejszej wynosi:  .     


b) Sprawdzamy, czy stosunek długości dłuższych boków jest równy stosunkowi długości krótszych boków. 

 

 

 

Zatem:

 , czyli równoległoboki P2 i P1 nie są podobne.     


c) Sprawdzamy, czy stosunek długości krótszych podstaw jest równy stosunkowi długości ramion tych trapezów. 

 

 

    

Zatem:

  

Miary kątów obu trapezów są takie same.

Oznacza to, że trapezy P2 i P1 są podobne. Skala podobieństwa większego trapezu do mniejszego wynosi:  . 

Na lekcji techniki uczniowie budowali modele sześcianów (...)

  - ilość krawędzi (patyczków) w jednym sześcianie

 - ilość krawędzi (patyków) w jednym czworościanie

  - ilość zbudowanych sześcianów 

  - ilość zbudowanych czworościanów  
 

 

 {premium}

  

 

 

 

   

 

 


Odpowiedź
Uczniowie zbudowali 3 modele sześcianów i 4 modele czworościanów.