Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Prawdopodobieństwo - iii-gimnazjum - Baza Wiedzy

Obliczanie prawdopodobieństw

Z doświadczeniami losowymi mamy do czynienia na co dzień. Rzut monetą, rzut sześcienną kostką do gry, wygrana na loterii czy numer nadjeżdżającego autobusu to tylko kilka z nich.

Zdarzenie losowe to pewna sytuacja możliwa do uzyskania podczas danego doświadczenia losowego, np. wyrzucenie parzystej liczby oczek na kostce do gry. 

W zdarzeniach losowych prawdopodobieństwo (oznaczmy go literą P) nastąpienia sytuacji, która nas interesuje oblicza się bardzo prosto (o ile każda z sytuacji jest jednakowo prawdopodobna). Jest to iloraz ilości sytuacji nas interesujących (np. autobusy nam odpowiadające) (ich ilość oznaczmy literą n) i ilości wszystkich możliwych sytuacji (np. wszystkie autobusy) (ich ilość oznaczmy literą N).

`P=n/N` 


Przykładowe zadania:

Zadanie 1.

Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowanie króla z talii 52 kart?

Wiemy, że w talii są 52 karty. W całej talii są 4 króle. 

Wszystkich możliwych wyników jest więc 52. Liczba interesujących nas wyników to 4. 

Prawdopodobieństwo (p) tego zdarzenia wynosi:

`p=4/52=1/13` 

Odpowiedź: Prawdopodobieństwo, że wylosujemy króla wynosi `1/13`

Zadanie 2.

Stoimy na przystanku. Na tym przystanku zatrzymuje się łącznie 8 autobusów. My możemy jechać tylko autobusem numer 234 oraz 123. Nadjeżdża autobus. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że będzie to jeden z autobusów, którymi możemy pojechać?


Wszystkich możliwych wyników jest 8. Liczba interesujących nas wyników to 2. 

Prawdopodobieństwo (p) tego zdarzenia wynosi:

`p=2/8=1/4`  

Odpowiedź: Prawdopodobieństwo nadjechania autobusu, który nam odpowiada wynosi `1/4`.

Zadanie 3.

Rzucamy dwa razy sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo, że suma oczek wyniesie 6.

Rzucając kostką dwukrotnie otrzymujemy 36 róznych kombinacji. Przedstawione są one na tabelce:

tabela

Liczby, które spełniają nasz warunek (suma wynosi 6) zostały pogrubione. Jest ich w sumie 5. 

Wszystkich możliwych wyników jest 36. Liczba interesujących nas wyników to 5. 

Prawdopodobieństwo (p) tego zdarzenia wynosi:

`p=5/36`  

Odpowiedź: Prawdopodobieństwo wynosi `5/36`


Zadanie 4.

Ze zbioru liczb 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ..., 19, 20 wybieramy losowo jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo, że wylosowana liczba jest podzielna przez 3.

Ze zbioru liczb 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ..., 19, 20 (jest ich w sumie 20) wypisujemy wszystkie liczby podzielne przez 3, czyli: 3, 6, 9, 12, 15, 18. Jest ich w sumie 6. 

Wszystkich możliwych wyników jest 20. Liczba interesujących nas wyników to 6. 

Prawdopodobieństwo (p) tego zdarzenia wynosi: 
 
`p=6/20=3/10` 

Odpowiedź: Prawdopodobieństwo w tym przypadku wynosi `3/10`

Zadanie 5.

Rzucamy 2 razy monetą. Oblicz prawdopodobieństwo, że dwa razy wypadnie reszka.

Na początek musimy wypisać wszystkie możliwe kombinacje rzutów tak więc: 

  • Orzeł i Orzeł
  • Orzeł i Reszka
  • Reszka i Reszka
  • Reszka i Orzeł

Pogrubiona została kombinacja, która spełnia nasz warunek. 

Wszystkich możliwych wyników jest 4. Liczba interesujących nas wyników to 1. 

Prawdopodobieństwo (p) tego zdarzenia wynosi:

`p=1/4`  
Odpowiedź: Prawdopodobieństwo w tym przypadku wynosi `1/4` . 

 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Tomek spacerował po parku. Wyruszył na spacer ...

Początkowo odległość Tomka od fontanny rosła. 

Następnie (pionowy odcinek na rysunku), do środkowej części ścieżki odległość malała. 
Od środkowej części do końcowej części tej ścieżki odległość ponownie rosła. 

Kolejny etap (poziomy odcinek na rysunku) przebiega analogicznie jak powyższy. 

W kolejnej części (pionowa część wykresu) odległość Tomka od fontanny maleje.

Następnie, kiedy Tomek poruszał się po okręgu, jego odległość od fontanny była stała.

W końcowym etapie odległość od fontanny malała.

Tomek trzy razy znajdował się w maksymalnie dalekiej pozycji od fontanny (w trzech wierzchołkach kwadratu na wykresie).


Odległość Tomka od fontanny obrazuje wykres A.  

Oblicz długości boków...

`b=12`

 

`a=2/3b`

`a=2/3*12`

`a=8`

 

`c^2=a^2+b^2`

`c^2=64+144`

`c^2=208`

`c=sqrt208`

`c=4sqrt13`

Suma dwóch liczb wynosi ...

Oznaczenie:

x - pierwsza liczba

y - druga liczba

x+y - suma dwóch liczb

x-y - różnica dwóch liczb

 

Zapiszmy układ równań:

`{(x+y=10),(x-y=-30):}` 

Rozwiążmy układ równań stisując metodę mieszaną:

`+\ {(x+y=10),(ul(x-y=-30)):}` 

`\ \ \ \ \ \ \ 2x=-20` 

`\ \ \ \ \ \ \ x=-10` 

`{(x=-10),(-10-y=-30):}` 

`{(x=-10),(y=20):}` 

Rozwiązaniem układu równań jest para liczb:

`{(x=-10),(y=20):}` 

 

Sprawdźmy, czy otrzymane rozwiązanie spełnia warunki zadania.

`-10+20=10` 

`-10-20=-30` 

Rozwiązanie spełnia warunki zadania.

 

Odp: Szukane liczby to -10 oraz 20. 

Oblicz przybliżone pole trójkąta ABC...

Obliczamy długość odcinka `AD:` 

`"tg"\ 44^@=10/|AD|` 

`|AD|=10/("tg"\ 44^@)~~10/0,9657~~10,355` 

Obliczamy długość odcinka `DB:`  

`"tg"\ 39^@=10/|DB|` 

`|DB|=10/("tg"\ 39^@)~~10/0,8098~~12,349` 

Obliczamy długość odcinka `AB:`       

`|AB|=|AD|+|DB|` 

`|AB| ~~10,355+12,349=22,704` 

Obliczamy pole trójkąta `DeltaABC:` 

`P_Delta=1/2*|AB|*|CD|`  

`P_Delta~~1/2*22,704*10=1/2*227,04=113,52`   

Odp. Przybliżone pole trójkąta `ABC` wynosi `113,52.`   

Wyraź wielkość w podanej jednostce. Zastosuj ...

`a) \ 1 \ "km"=1000 \ "m"` 

Zatem:
`720 \ "km"=720*1000 \ "m"=720 \ 000 \ "m"=7,2*10^5 \ "m"` 


`b) \ 1 \ "m"=100 \ "cm"=1000 \ "mm"` 
`1 \ "m"^2=1000 \ "mm"*1000 \ "mm"=1 \ 000 \ 000 \ "mm"^2` 

Zatem:
`8600 \ "m"^2=8600*1 \ 000 \ 000 \ "mm"^2=8 \ 600 \ 000 \ 000 \ "mm"^2=8,6*10^9 \ "mm"^2` 


`c) \ 1 \ "cm"=1/100 \ "m"`  
`1 \ "cm"^2=1/100 \ "m"*1/100 \ "m"=1/(10 \ 000) \ "m"^2`  

Zatem:
`990 \ 000 \ 000 \ "cm"^3=990 \ 00strike(0 \ 000)*1/(1strike(0 \ 000)) \ "m"^2=99 \ 000 \ "m"^2=9,9*10^4 \ "m"^2` 


`d) \ 1 \ "s"=1/3600 \ "h"` 

Zatem:
`120 \ "m"/"s"=120*(1 \ "m")/(1/3600 \ "h")=120*1*3600/1 \ "m"/"h"=120*3600 \ "m"/"h"=432 \ 000 \ "m"/"h"=4,32*10^5 \ "m"/"h"` 


`e) \ 1 \ "kg"=1000 \ "g"` 

`1 \ "m"=100 \ "cm"` 
`1 \ "m"^3=100 \ "cm"*100 \ "cm"*100 \ "cm"=1 \ 000 \ 000 \ "cm"^3` 

Zatem:
`87 \ "kg"/"m"^3=87*(1strike(000) \ "g")/(1 \ 000 \ strike(000) \ "cm"^3)=87*(1 \ "g")/(1000 \ "cm"^3)=87/1000 \ "g"/"cm"^3=0,087 \ "g"/"cm"^3=8,7*10^-2 \ "g"/"cm"^3`        

Oto wykres pewnej...

`a)` 

Dziedzina funkcji:

`-5 < x < = 6` 

 

`b)` 

Miejsca zerowe funkcji:

`x = -4  " i "  x = -2` 

 

`c)` 

Funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla:

`-5 < x < -4   " i "  -2 < x < = 6`   

Funkcja przyjmuje wartości ujemne dla:

`-4 < x < -2` 

 

`d)` 

Najmniejsza wartość funkcji to: `-2` 

Największa wartość funkcji to: `5` 

 

`e)` 

Funkcja rośnie dla:

`-3 < = x  < = 0  " i "  2 < = x < = 4` 

Funkcja maleje dla:

`-5 < x < = -3  " i " 4 < = x < = 6` 

Funkcja jest stała dla:

`0 < = x < =2` 

 

`f)` 

Wartość funkcji dla argumentu 0 to: `2` 

 

`g)` 

Wartość funkcji dla argumentu -3 to: `-2` 

 

`h)` 

Argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartość 4 to:

`x = 3  " i "  x = 4,5` 

Filip i Oskar obliczali pole powierzchni pudełka ...

Na pole powierzchni całkowitej pudełka skała się pole jednej podstawy (dno pudełka) oraz pole powierzchni bocznej. 


Obliczenia poprawnie wykonał Filip. Do pola powierzchni bocznej walca (`2pi*3*5`) dodał pole podstawy walca (`pi*3^2`). 

Obliczenia Oskara są błędne, gdyż do pola powierzchni bocznej dodał dwa pola podstaw (błąd).
Pudełko nie ma pokrywki, więc należało dodać pole tylko jednej z podstaw.

Funkcja f jest określona wzorem postaci f(x) = ax dla x

`3:(-9)=-1/3`

`a=-1/3`

`x_o=0`

`f(-6)=2`

f(3)=-1

`f(-3)=-1/3*(-3)=1`

`f(6)=-1/3*6=-2`

Funkcja jest malejąca.

`y <=0`  dla `x >=0`

Ile gramów wody należy...

Dane:

Początkowa masa roztworu: `m_(r) = 500\ g` 

Początkowe stężenie roztworu: `C_(p1) = 75%` 

Końcowe stężenie roztworu: `C_(p2) = 45%` 

Szukane:

Masa wody jaką należy dolać do roztworu: `m = ?` 

Rozwiązanie:

Obliczmy początkową masę substancji w 75% roztworze o masie 500 g:

`C_(p1) = m_s/m_r * 100%` 

`75%=m_s/(500\ g)*100% \ \ \ \ |:100%` 

`(75%)/(100%) = m_s/(500\ g)` 

`0,75 = m_s/(500\ g) \ \ \ \ \ |*500\ g` 

`0,75*500\ g = m_s` 

`m_s = 375\ g` 

Obliczmy, ile wody musimy dolać, aby roztwór był 45%:

`C_(p2) = m_s/(m_r+m)*100%` 

`45% = (375\ g)/(500\ g+m)*100% \ \ \ \ \ |*(500\ g+m)` 

`45%*(500\ g+m) = 375\ g * 100% \ \ \ \ \ |:45%` 

`500\ g+m = 375\ g * (100%)/(45%)` 

`500\ g+m = strike(375)^(125)\ g * 20/strike(9)^3` 

`500\ g+m = (2500)/3\ g \ \ \ \ \ |-500\ g` 

`m = (2500)/3\ g - 500\ g` 

`m ~~ 833\ g - 500\ g` 

`m~~333\ g` 

Odp.: Do roztworu należy dodać około 333 gramy wody.

Na rysunku obok przedstawiono dwa...

Zaznaczmy na rysunku odpowiednie kąty:

Wszystkie trójkąty mają takie same miary kątów, czyli wszystkie trójkąty są podobne.

Odp.: D. wszystkie