Prawdopodobieństwo - iii-gimnazjum - Baza Wiedzy

Obliczanie prawdopodobieństw

Z doświadczeniami losowymi mamy do czynienia na co dzień. Rzut monetą, rzut sześcienną kostką do gry, wygrana na loterii czy numer nadjeżdżającego autobusu to tylko kilka z nich.

Zdarzenie losowe to pewna sytuacja możliwa do uzyskania podczas danego doświadczenia losowego, np. wyrzucenie parzystej liczby oczek na kostce do gry. 

W zdarzeniach losowych prawdopodobieństwo (oznaczmy go literą P) nastąpienia sytuacji, która nas interesuje oblicza się bardzo prosto (o ile każda z sytuacji jest jednakowo prawdopodobna). Jest to iloraz ilości sytuacji nas interesujących (np. autobusy nam odpowiadające) (ich ilość oznaczmy literą n) i ilości wszystkich możliwych sytuacji (np. wszystkie autobusy) (ich ilość oznaczmy literą N).

`P=n/N` 


Przykładowe zadania:

Zadanie 1.

Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowanie króla z talii 52 kart?

Wiemy, że w talii są 52 karty. W całej talii są 4 króle. 

Wszystkich możliwych wyników jest więc 52. Liczba interesujących nas wyników to 4. 

Prawdopodobieństwo (p) tego zdarzenia wynosi:

`p=4/52=1/13` 

Odpowiedź: Prawdopodobieństwo, że wylosujemy króla wynosi `1/13`

Zadanie 2.

Stoimy na przystanku. Na tym przystanku zatrzymuje się łącznie 8 autobusów. My możemy jechać tylko autobusem numer 234 oraz 123. Nadjeżdża autobus. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że będzie to jeden z autobusów, którymi możemy pojechać?


Wszystkich możliwych wyników jest 8. Liczba interesujących nas wyników to 2. 

Prawdopodobieństwo (p) tego zdarzenia wynosi:

`p=2/8=1/4`  

Odpowiedź: Prawdopodobieństwo nadjechania autobusu, który nam odpowiada wynosi `1/4`.

Zadanie 3.

Rzucamy dwa razy sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo, że suma oczek wyniesie 6.

Rzucając kostką dwukrotnie otrzymujemy 36 róznych kombinacji. Przedstawione są one na tabelce:

tabela

Liczby, które spełniają nasz warunek (suma wynosi 6) zostały pogrubione. Jest ich w sumie 5. 

Wszystkich możliwych wyników jest 36. Liczba interesujących nas wyników to 5. 

Prawdopodobieństwo (p) tego zdarzenia wynosi:

`p=5/36`  

Odpowiedź: Prawdopodobieństwo wynosi `5/36`


Zadanie 4.

Ze zbioru liczb 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ..., 19, 20 wybieramy losowo jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo, że wylosowana liczba jest podzielna przez 3.

Ze zbioru liczb 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ..., 19, 20 (jest ich w sumie 20) wypisujemy wszystkie liczby podzielne przez 3, czyli: 3, 6, 9, 12, 15, 18. Jest ich w sumie 6. 

Wszystkich możliwych wyników jest 20. Liczba interesujących nas wyników to 6. 

Prawdopodobieństwo (p) tego zdarzenia wynosi: 
 
`p=6/20=3/10` 

Odpowiedź: Prawdopodobieństwo w tym przypadku wynosi `3/10`

Zadanie 5.

Rzucamy 2 razy monetą. Oblicz prawdopodobieństwo, że dwa razy wypadnie reszka.

Na początek musimy wypisać wszystkie możliwe kombinacje rzutów tak więc: 

  • Orzeł i Orzeł
  • Orzeł i Reszka
  • Reszka i Reszka
  • Reszka i Orzeł

Pogrubiona została kombinacja, która spełnia nasz warunek. 

Wszystkich możliwych wyników jest 4. Liczba interesujących nas wyników to 1. 

Prawdopodobieństwo (p) tego zdarzenia wynosi:

`p=1/4`  
Odpowiedź: Prawdopodobieństwo w tym przypadku wynosi `1/4` . 

 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Histogram przedstawia rozkład numerów obuwia chłopców pewnego gimnazjum.

a) rozstęp wynosi 10

48 - 38 = 10

 

b) w rozmiarze 48

 

c) numer 43

 

d) rozmiary 40, 45, 46

 

e) dwa razy mniej chłopców ma rozmiar 38 niż 43 i dwa razy mniej chłopców ma rozmiar 47 zamiast 43.

 

f) o 5 chłopców mniej

 

g) 160 chłopców

15+10+20+25+30+20+10+10+15+5=160

Na kuli o objętości 2304πcm³ opisano walec, tak jak przedstawiono na rysunku.

Wyznaczmy promień r kuli:

 

Wysokość walca wynosi dwukrotność promienia kuli, czyli 2r = 24 cm. Podstawa (koło) jest oparta na tym samym promieniu co kula. Mamy zatem objętość walca równą:

 

Pole powierzchni całkowitej wynosi:

Prostokąt o wymiarach ...

I możliwość: 

Prostokąty AEFD i GBCH są podobne w skali k=1. 

    

Stosunek pól tych prostokątów wynosi więc: 

 
 

Prostokąty AEFD i EGHF są podobne w skali K=0,5. 

   

Stosunek pól tych prostokątów wynosi:

 



II możliwość:    

Prostokąt dzielimy na trzy kwadraty (każdy kwadrat jest prostokątem) o boku długości 2 cm. 

Skala podobieństwa tych kwadratów wynosi k=1. 

 

Stosunek pól tych kwadratów wynosi: 

  

Zapisz podane wielkości używając notacji wykładniczej

Odp. Żyrafa ma o około razy większą masę niż ryjówka etruska, natomiast anakonda ma o około razy większą masę niż gekon.

W pewnej szkole uczniowie obowiązkowo uczą się języka angielskiego i dodatkowo...

Z wykresu wynika, że:


a) Wśród uczniów klasy III a największą popularnością cieszył się język francuski, a wśród uczniów klasy III b język niemiecki.

b) Więcej uczniów z klasy III a niż z klasy III b uczy się języka francuskiego i hiszpańskiego.

c) Języka niemieckiego uczy się w sumie 22 uczniów. (9+13= 22)

d) Obie klasy liczą łącznie 56 osób. (9+13+12+5+4+6+5+2=56)

e) Języka hiszpańskiego uczy się  12,5% uczniów obu klas. (5+2=7 ; 7/56 100%= 1/8 100%=12,5%)

Pan Kowalski zarabia 3000 zł brutto...

 Obliczamy, jaki procent zarobków brutto stanowi dochód netto:

 

Obliczamy  z kwoty     {premium}

 

Odp. Dochód netto pana Kowalskiego to  

 

 Obliczenia dla pierwszego wiersza tabeli:

Zapłacona kwota: 

 

Jeżeli podatek wynosi  to kwota w kolumnie "zapłacona kwota" stanowi  kwoty w kolumnie

"zapłacona kwota netto". Obliczamy, przy pomocy proporcji, ile wynosi    

 

 

 

Kwota podatku to różnica pomiędzy zapłaconą kwotą i zapłaconą kwotą netto, czyli:

     

 

Obliczenia dla drugiego wiersza tabeli:

Zapłacona kwota: 

 

Jeżeli podatek wynosi  to kwota w kolumnie "zapłacona kwota" stanowi  kwoty w kolumnie

"zapłacona kwota netto". Obliczamy, przy pomocy proporcji, ile wynosi    

 

 

 

Kwota podatku to różnica pomiędzy zapłaconą kwotą i zapłaconą kwotą netto, czyli:

  

 

Obliczenia dla pierwszego trzeciego tabeli:

Zapłacona kwota: 

 

Jeżeli podatek wynosi  to kwota w kolumnie "zapłacona kwota" stanowi  kwoty w kolumnie

"zapłacona kwota netto". Obliczamy, przy pomocy proporcji, ile wynosi    

 

 

 

Kwota podatku to różnica pomiędzy zapłaconą kwotą i zapłaconą kwotą netto, czyli:

  

 

Obliczenia dla czwartego wiersza tabeli:

Zapłacona kwota: 

 

Jeżeli podatek wynosi  to kwota w kolumnie "zapłacona kwota" stanowi  kwoty w kolumnie

"zapłacona kwota netto". Obliczamy, przy pomocy proporcji, ile wynosi    

 

 

 

Kwota podatku to różnica pomiędzy zapłaconą kwotą i zapłaconą kwotą netto, czyli:

  

 

Obliczamy, ile wyniosły powyższe podatki razem:

 

 

Uzupełniamy tabelę:

  Zapłacona kwota Procent podatku [...] Zapłacona kwota netto Kwota podatku
Opłaty za użytkowanie mieszkania        
Zakup żywności i innych towarów        
Opłaty za usługi        
Zakup benzyny        
Razem     

 

 

 Z tabeli odczytujemy, że podatek od wydatków wynosi  

 

Obliczamy, ile procent zarobków brutto stanowią podatki od dochodów:

 

Obliczamy, jaka to kwota:

 

 

Zatem mamy:

podatek od dochodów:   

podatek od wydatków:       

RAZEM:  

 

 Korzystamy z wyników otrzymanych w poprzednim podpunkcie i podstawiamy do wzoru:

   

Naszkicuj...

Rozważamy trójkąty o polu 6. Wykres na rysunku ...

Uzupełniona tabelka:

 x 3 4 6 12 
 y 12  6 2 1

 

Jeżeli w tabelce podany jest x:

- na osi X odnajdujemy dany x,

- szukamy przecięcia x z wykresem,

- odczytujemy y z osi Y.

 

Jeżeli w tabelce podany jest y:

- na osi Y odnajdujemy dany y,

- szukamy przecięcia y z wykresem,

- odczytujemy x z osi X.

Od kwadratowej kartki o boku długości 24 cm odcięto

Stosunek pól wielokątów podobnych w skali k jest równy k2, stąd trójkąt podobny do trójkąta o polu 3,5 cm2 ma pole k2 razy większe, czyli:

 

Pole otrzymanej figury to pole kwadratu o boku 24 cm pomniejszone o pola tych dwóch wyciętych trójkątów.

 

Połącz w pary ...

I) Odpowiedź:  E

` `` `

 

II) Odpowiedź:  F

  

 

 

III) Odpowiedź:  B

 

IV) Odpowiedź:  G

 

 

V) Odpowiedź:  C

 

VI) Odpowiedź:  D