Prawdopodobieństwo - iii-gimnazjum - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Prawdopodobieństwo - iii-gimnazjum - Baza Wiedzy

Obliczanie prawdopodobieństw

Z doświadczeniami losowymi mamy do czynienia na co dzień. Rzut monetą, rzut sześcienną kostką do gry, wygrana na loterii czy numer nadjeżdżającego autobusu to tylko kilka z nich.

Zdarzenie losowe to pewna sytuacja możliwa do uzyskania podczas danego doświadczenia losowego, np. wyrzucenie parzystej liczby oczek na kostce do gry. 

W zdarzeniach losowych prawdopodobieństwo (oznaczmy go literą P) nastąpienia sytuacji, która nas interesuje oblicza się bardzo prosto (o ile każda z sytuacji jest jednakowo prawdopodobna). Jest to iloraz ilości sytuacji nas interesujących (np. autobusy nam odpowiadające) (ich ilość oznaczmy literą n) i ilości wszystkich możliwych sytuacji (np. wszystkie autobusy) (ich ilość oznaczmy literą N).

`P=n/N` 


Przykładowe zadania:

Zadanie 1.

Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowanie króla z talii 52 kart?

Wiemy, że w talii są 52 karty. W całej talii są 4 króle. 

Wszystkich możliwych wyników jest więc 52. Liczba interesujących nas wyników to 4. 

Prawdopodobieństwo (p) tego zdarzenia wynosi:

`p=4/52=1/13` 

Odpowiedź: Prawdopodobieństwo, że wylosujemy króla wynosi `1/13`

Zadanie 2.

Stoimy na przystanku. Na tym przystanku zatrzymuje się łącznie 8 autobusów. My możemy jechać tylko autobusem numer 234 oraz 123. Nadjeżdża autobus. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że będzie to jeden z autobusów, którymi możemy pojechać?


Wszystkich możliwych wyników jest 8. Liczba interesujących nas wyników to 2. 

Prawdopodobieństwo (p) tego zdarzenia wynosi:

`p=2/8=1/4`  

Odpowiedź: Prawdopodobieństwo nadjechania autobusu, który nam odpowiada wynosi `1/4`.

Zadanie 3.

Rzucamy dwa razy sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo, że suma oczek wyniesie 6.

Rzucając kostką dwukrotnie otrzymujemy 36 róznych kombinacji. Przedstawione są one na tabelce:

tabela

Liczby, które spełniają nasz warunek (suma wynosi 6) zostały pogrubione. Jest ich w sumie 5. 

Wszystkich możliwych wyników jest 36. Liczba interesujących nas wyników to 5. 

Prawdopodobieństwo (p) tego zdarzenia wynosi:

`p=5/36`  

Odpowiedź: Prawdopodobieństwo wynosi `5/36`


Zadanie 4.

Ze zbioru liczb 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ..., 19, 20 wybieramy losowo jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo, że wylosowana liczba jest podzielna przez 3.

Ze zbioru liczb 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ..., 19, 20 (jest ich w sumie 20) wypisujemy wszystkie liczby podzielne przez 3, czyli: 3, 6, 9, 12, 15, 18. Jest ich w sumie 6. 

Wszystkich możliwych wyników jest 20. Liczba interesujących nas wyników to 6. 

Prawdopodobieństwo (p) tego zdarzenia wynosi: 
 
`p=6/20=3/10` 

Odpowiedź: Prawdopodobieństwo w tym przypadku wynosi `3/10`

Zadanie 5.

Rzucamy 2 razy monetą. Oblicz prawdopodobieństwo, że dwa razy wypadnie reszka.

Na początek musimy wypisać wszystkie możliwe kombinacje rzutów tak więc: 

  • Orzeł i Orzeł
  • Orzeł i Reszka
  • Reszka i Reszka
  • Reszka i Orzeł

Pogrubiona została kombinacja, która spełnia nasz warunek. 

Wszystkich możliwych wyników jest 4. Liczba interesujących nas wyników to 1. 

Prawdopodobieństwo (p) tego zdarzenia wynosi:

`p=1/4`  
Odpowiedź: Prawdopodobieństwo w tym przypadku wynosi `1/4` . 

 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Które wyrażenia mają jednakowe wartości

Odp.C

Pole kwadratu jest równe 128 cm²

Kwadrat jest także rombem (bo ma wszystkie boki równej długości), dlatego jego pole możemy obliczyć jako połowę iloczynu długości przekątnych. W kwadracie obie przekatne są równe, oznaczmy długość przekątnej jako e, wtedy: 

W dzienniku Rzeczpospolita z dnia 20 sierpnia 2009 r. zamieszczono dane dotyczące korzystania z internetu.

a) o 6,4 milionów

 

b) o 77%

 

 

c) w latach 2007 i 2008

Na bokach trójkąta prostokątnego T

Trójkąt Ta ma takie same wymiary jak trójkąt T, gdyż jego dłuższa przyprostokątna pokrywa się z dłuższą przyprostokątną trójkąta T i są to trójkąty podobne. Stąd pole trójkąta Ta możemy wyrazić jako:

 

Trójkąt Tb ma dłuższą przyprostokątną długości a i jest podobny do trójkąta T. Ułóżmy proporcję pozwalającą przedstawić długość krótszej przyprostokątnej za pomocą wielkości a lub b. Przyrównajmy do siebie stosunek ich dłuższych przyprostokątnych do stosunku krótszych przeciwprostokątnych.

 

 

 

Pole trójkąta Tb możemy wyrazić jako:

 

Trójkąt Tc ma dłuższą przyprostokątną długości c i jest podobny do trójkąta T. Ułóżmy proporcję pozwalającą przedstawić długość krótszej przyprostokątnej za pomocą wielkości a,b lub c. Przyrównajmy do siebie stosunek ich dłuższych przyprostokątnych do stosunku krótszych przeciwprostokątnych.

 

 

 

 

Uzasadnijmy, że:

 

 

 

 

 

Jak widać równanie przybrało postać zgodną z twierdzeniem Pitagorasa dla trójkąta T. Równość jest spełniona.

 

 

W tabeli przedstawiono roczne...

 

 

 

Odpowiedź: Średnia zarobków w tej firmie wynosi 74 000 złote.

{premium}

 

Ułóżmy zarobki w kolejności rosnącej:

 

Odpowiedź: Mediana zarobków wynosi 60 000 złotych.

 

 

Odpowiedź: Moda zarobków wynosi 60 000 złotych.

 

 

Odpowiedź: Moda nie ulega zmianie.

 

 

Odpowiedź: Moda i mediana nie ulegną wówczas zmianie.

Każdy bok prostokąta zwiększono dwa razy. Ile razy zwiększy się pole tego prostokąta

Odp. Pole zwiększy się czterokrotnie

Sporządź tabelkę funkcji ...

Tabelka:

x

-2

-1

0

1

2

y

-9

-2

-1

0

7

Wykres:

 

a) Wartości dodatnie (znajdują się nad osią x), funkcja przyjmuje dla x>1.

Wartości ujemne (znajdują się pod osią x) funkcj przyjmuje dla x<1.

b) Funkcja nie przyjmuje wartości najmniejszej.

Funkcja nie przyjmuje wartości największej.

c) Miejsce zerowe funkcji jest to argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość 0. 

Wartość zero funkcja przyjmuje dla x=1.

d) Funkcja jest rosnąca w całej swojej dziedzinie, czyli funkcja jest rosnąca dla:

 

Włos ludzki ma średnicę ok. 10^(-4) m. Ile włosów należy ułożyć

Połącz w pary figurę i jej ...

ODP:

I -A

II - D

III - B

IV - C

 

Pole figury I:

Figurę możemy podzielić na na trzy części. Dwa trapezy (kolor fioletowy) oraz kwadrat (kolor żółty). 

Obliczamy pole figury - dodajemy dwa pola trapezów oraz pole kwadratu:

 

 

Pole figury II:

Korzystamy ze wzoru na pole deltoidu:

  

 

Pole figury III:

 

Jeżeli poprowadzimy wysokość - odcinek a, to otrzymamy trójkąt równoramienny o kątach ostrych równych 45o (otrzymaliśmy połowę kwadratu).

Korzystając ze wzoru na długość przekątnej mamy:

 

  

 

Korzystając ze wzoru na pole równoległoboku mamy:

 

 

Pole figury IV:

Jeżeli poprowadzimy wysokość - h, to podzieli ona podstawę na dwa równe odcinki o długości 2,5 cm (ponieważ trójkąt jest równoramienny).

Korzystając z tw. Pitagorasa obliczamy długość h:

 

 

 

 

 

Obliczamy pole trójkąta:

 

Płyta kompaktowa ma średnicę 120 mm i grubość 1,2 mm...