Prawdopodobieństwo - iii-gimnazjum - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Prawdopodobieństwo - iii-gimnazjum - Baza Wiedzy

Obliczanie prawdopodobieństw

Z doświadczeniami losowymi mamy do czynienia na co dzień. Rzut monetą, rzut sześcienną kostką do gry, wygrana na loterii czy numer nadjeżdżającego autobusu to tylko kilka z nich.

Zdarzenie losowe to pewna sytuacja możliwa do uzyskania podczas danego doświadczenia losowego, np. wyrzucenie parzystej liczby oczek na kostce do gry. 

W zdarzeniach losowych prawdopodobieństwo (oznaczmy go literą P) nastąpienia sytuacji, która nas interesuje oblicza się bardzo prosto (o ile każda z sytuacji jest jednakowo prawdopodobna). Jest to iloraz ilości sytuacji nas interesujących (np. autobusy nam odpowiadające) (ich ilość oznaczmy literą n) i ilości wszystkich możliwych sytuacji (np. wszystkie autobusy) (ich ilość oznaczmy literą N).

`P=n/N` 


Przykładowe zadania:

Zadanie 1.

Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowanie króla z talii 52 kart?

Wiemy, że w talii są 52 karty. W całej talii są 4 króle. 

Wszystkich możliwych wyników jest więc 52. Liczba interesujących nas wyników to 4. 

Prawdopodobieństwo (p) tego zdarzenia wynosi:

`p=4/52=1/13` 

Odpowiedź: Prawdopodobieństwo, że wylosujemy króla wynosi `1/13`

Zadanie 2.

Stoimy na przystanku. Na tym przystanku zatrzymuje się łącznie 8 autobusów. My możemy jechać tylko autobusem numer 234 oraz 123. Nadjeżdża autobus. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że będzie to jeden z autobusów, którymi możemy pojechać?


Wszystkich możliwych wyników jest 8. Liczba interesujących nas wyników to 2. 

Prawdopodobieństwo (p) tego zdarzenia wynosi:

`p=2/8=1/4`  

Odpowiedź: Prawdopodobieństwo nadjechania autobusu, który nam odpowiada wynosi `1/4`.

Zadanie 3.

Rzucamy dwa razy sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo, że suma oczek wyniesie 6.

Rzucając kostką dwukrotnie otrzymujemy 36 róznych kombinacji. Przedstawione są one na tabelce:

tabela

Liczby, które spełniają nasz warunek (suma wynosi 6) zostały pogrubione. Jest ich w sumie 5. 

Wszystkich możliwych wyników jest 36. Liczba interesujących nas wyników to 5. 

Prawdopodobieństwo (p) tego zdarzenia wynosi:

`p=5/36`  

Odpowiedź: Prawdopodobieństwo wynosi `5/36`


Zadanie 4.

Ze zbioru liczb 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ..., 19, 20 wybieramy losowo jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo, że wylosowana liczba jest podzielna przez 3.

Ze zbioru liczb 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ..., 19, 20 (jest ich w sumie 20) wypisujemy wszystkie liczby podzielne przez 3, czyli: 3, 6, 9, 12, 15, 18. Jest ich w sumie 6. 

Wszystkich możliwych wyników jest 20. Liczba interesujących nas wyników to 6. 

Prawdopodobieństwo (p) tego zdarzenia wynosi: 
 
`p=6/20=3/10` 

Odpowiedź: Prawdopodobieństwo w tym przypadku wynosi `3/10`

Zadanie 5.

Rzucamy 2 razy monetą. Oblicz prawdopodobieństwo, że dwa razy wypadnie reszka.

Na początek musimy wypisać wszystkie możliwe kombinacje rzutów tak więc: 

  • Orzeł i Orzeł
  • Orzeł i Reszka
  • Reszka i Reszka
  • Reszka i Orzeł

Pogrubiona została kombinacja, która spełnia nasz warunek. 

Wszystkich możliwych wyników jest 4. Liczba interesujących nas wyników to 1. 

Prawdopodobieństwo (p) tego zdarzenia wynosi:

`p=1/4`  
Odpowiedź: Prawdopodobieństwo w tym przypadku wynosi `1/4` . 

 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Mamy dany pewien zbiór wyników

{premium}

Jeśli liczba wyników jest parzysta, to medianę liczymy jako średnią arytmetyczną dwóch środkowych wyrazów uporządkowanego ciągu wyników. 

 

Modalna to najczęściej pojawiająca się obserwacja. 

 

Dane są okrąg o środku w punkcie...

Jeżeli średnica ma długość  to promień okręgu jest równy  Wiemy, że {premium}jeżeli długość prostej od środka okręgu jest mniejsza niż długość promienia,  to ta prosta będzie miała z okręgiem dwa punkty wspólne.

Prawidłowa odpowiedź to    

Zapisz w systemie rzymskim liczby: 29, 37, 24, 18, 39.

   {premium}

  

  

  

   

Jacek kupił p kilogramów ...

Odpowiedź: B

 

 

p - ilość zakupionych jabłek (w kg)

a - cana za kilogram jabłek

q - ilość zakupionych cukierków(w dag)

b - cena za kilogram cukierków

 

Cena za zakupione jabłka:

 

Ponieważ, ilość zakupionych cukierków wyrażona jest w dekagramach należy zmienić jednostki na kilogramy.

Przypomnienie:

{premium}

Aby zamienić dekagramy na kilogramu musimy ilość w dekagramach pomnożyć przez 0,01.

 

Cena za zakupione cukierki:

 

Za całe zakupy Jacek zapłacił:

Podstawą ostrosłupa jest trapez...

Ostrosłup, który ma w podstawie trapez ma 4 ściany boczne w kształcie {premium} trójkątów.  

Suma miar kątów wewnętrznych w każdym trójkącie wynosi 180o.

Obliczmy sumę miar katów wewnętrznych w 4 trójkątach:

 


Odp.: Suma miar katów wewnętrznych ścian bocznych tego ostrosłupa wynosi 720o.

Przedstaw w postaci sumy i zredukuj wyrazy podobne...

 

 


{premium}  

 


 


 

 


  


  

 


 


 

 

 

Oblicz objętość bryły...

 

Zauważmy, że figura przypomina duży stożek od którego odcięto mniejszy:

 

 

Aby wyznaczyć wysokość korzystamy z tw. Pitagorasa:

{premium}

 

Z twierdzenia Talesa możemy wywnioskować, że:

 

 

 

 

 

 

Powyższa odpowiedź jest poprawna, ale postarajmy się sprowadzić wynik do prostszej postaci, zauważmy, że pierwiastek można uprościć następująco:

   

 

 

Możemy jeszcze pomnożyć licznik i mianownik ułamka przez 8 aby uzyskać liczby całkowite, otrzymamy wówczas wynik w postaci:

 

Leniwiec porusza się z prędkością 2·10^-3km//h

Podzielmy prędkość sokoła wędrownego przez prędkość leniwca:

{premium}

Połącz w pary ....

Równania równoważne tworzymy np. poprzez dodanie do (odjęcie od) obu stron równania takiego samego wyrażenia lub pomnożenie (podzielenie) obu stron równania przez takie samo wyrażenie.

 

I - C


 

   

Równanie równoważne to:

 

ponieważ równanie

 

pomnożyliśmy obustronnie przez 2.

{premium}  

II - D

 

Rozwiązując równanie otrzymamy:

 

 

III - A

 

 

IV - B

 

 

Jeżeli pomnożymy powyższe równanie obustronnie przez 2 to otrzymamy:

W pewnym pudełku, które waży 10 gram, znajdują się kulki...

a) Pełne pudełko waży 50 kg, a jedna kulka waży 2 gramy zatem zmianę wagi możemy przedstawić za pomocą funkcji:

    f(x)=50-0,002x , gdzie x-liczba kulek{premium}

 Odp. Wzór funkcji przedstawiającej zmianę wagi to f(x)=50-0,002x.


b) Obliczając ile kulek należy wyjąć, aby pudełko z kulkami ważyło 30 kg należy do wzoru z podpunktu a podstawić w miejsce "f(x)" liczbę 30 i obliczyć x:

    30=50-0,002x
    0,002x=50-30
    0,002x=20  /:0,002
            x=10000

 Odp. Należy wyjąć 10000 kulek.


c) Obliczając wagę pudełka po wyjęciu 30 kulek należy do wzoru z podpunktu a podstawić w miejsce "x" liczbę 30:

   f(30)= 50-0,002 30=50-0,06=49,94

  Odp. Pudełko po wyjęciu 30 kulek będzie ważyło 49,94 kg.