Matematyka w zastosowaniach - iii-gimnazjum - Baza Wiedzy

Zamiana jednostek

Jednostki długości:

  • $$1 cm=10 mm $$
  • $$1 m =100 cm=1000 mm $$
  • $$1 km=1000 m=100000 cm=1000000 mm $$

Jednostki pola:

  • $$ 1 {cm}^2=100 {mm}^2 $$
  • $$ 1 m^2=10000 {cm}^2=100000 {mm}^2 $$
  • $$ 1 {km}^2=1000000 m^2=1×{10}^{10} {cm}^2=1×{10}^{12} {mm}^2 $$
  • $$ 1 a=100 m^2=1000000 {cm}^2=100000000 {mm}^2 $$
  • $$ 1 ha=100 a=10000 m^2=1×{10}^8 {cm}^2=1×{10}^{10} {mm}^2 $$

Jednostki wagi:

  • $$1 g=1000 mg$$
  • $$1 dag=10 g= 10000 mg$$
  • $$1 kg= 100 dag= 1000 g= 10000000 mg$$
  • $$1 t= 1000 kg= 100000 dag= 1×{10}^6 g=1×{10}^9 mg$$

Odczytywanie diagramów

Diagramy służą do zobrazowania różnych danych. Pozwalają na szybsze odczytywanie informacji. Diagramy mogą być przedstawione w różnych formach. Diagram kołowy, słupkowy oraz liniowy to najbardziej popularne i najczęściej używane.

Diagram kołowy:

kolowy

Powyższy diagram przedstawia, jaki procent wśród polskiej młodzieży ma poszczególne zainteresowania.

Diagram słupkowy:

slupkowy

Diagram przedstawia ile średnio bramek zdobywał poszczególny klub w jednym meczu.

Diagram liniowy:

liniowy

Z tego diagramu możemy odczytać ile osób odwiedziło poszczególne muzeum w podanych godzinach.

Skala na mapie

Przy odczytywaniu informacji z mapy należy pamiętać o skali mapy. Skala informuje nas o tym ile razy obiekty i odległości na mapie zostały zwiększone lub zmniejszone.

$$ 1:x $$ -> $$ 1 cm $$ na mapie odpowiada x centymetrom w rzeczywistości.

Przykład:

Odcinek na mapie o skali 1:43000 ma długość 13 cm. Ile w rzeczywistości ma ten odcinek?

$$ 1 cm $$ -> $$43000 cm $$
$$ 1 cm $$ -> $$430 m $$
$$ 13 cm $$ -> $$13×430 m =5590m$$
$$ 13 cm $$ -> $$5590 m=5,59 km $$

Odp.: W rzeczywistości ten odcinek ma 5,59 km.

Podatek vat i inne

  1. Podatek VAT

    W Polsce podatek VAT wynosi 23% lub 8% od ceny towaru lub usługi. Oznacza to, że cena produktu jest droższa o 23% (lub 8%), a pieniądze w ten sposób uzbierane sprzedawca musi przekazać do skarbu państwa. Cena brutto to cena towaru razem z podatkiem. Cena netto to cena samego towaru.

    $$ ext"cena netto" + 23% ext"(lub 8%)" ext"cena netto" = ext"cena brutto" $$

    Przykład:

    Cena netto pralki wynosi 3600 zł. VAT na sprzęt gospodarstwa domowego wynosi 23%. Ile wynosi cena brutto?

    $$ ext"cena brutto"=3600 zł + {23}/{100} 3600 zł=3600 zł+828 zł=4428 zł $$

    Odp.: Cena brutto pralki wynosi $$4428$$ zł.

  2. Podatek od dochodów

    W Polsce oprócz podatku VAT obowiązuje również podatek od dochodów. Podatek od dochodów wynosi 19%. Oznacza to, że obywatel musi odliczyć od zarobionych pieniędzy 19% i oddać je do skarbu państwa. Kwota netto to pieniądze, które zostają po odjęciu podatku, a kwota brutto to zarobki.

    $$ ext"kwota brutto"-19% ext"kwoty brutto"= ext"kwota netto" $$

    przykład:

    Pan W zarabia 31000 zł rocznie. Ile zostanie pieniędzy panu W po odjęciu podatku?

    $$ ext"kwota netto"=31000 zł- 19/100 31000 zł=31000 zł-5890 zł=25110 zł $$

    Odp.: Panu W zostanie $$25110$$ zł po odjęciu podatku od dochodów.

Lokaty bankowe

Gdy na konto wpłaca się pewną sumę pieniędzy, ważne jest oprocentowanie tego konta. Oprocentowanie to część (wyrażona w %) wpłaconych pieniędzy, które otrzymamy po upływie roku. Otrzymane w ten sposób pieniądze to odsetki.

$$ ext"odsetki"=x%× ext"wpłacone pieniądze" $$
czyli:
$$ ext"odsetki"= x/100× ext"wpłacone pieniądze " $$

$$x$$ -> oprocentowanie

Przykład:

Pan R wpłacił na konto z oprocentowaniem 5%, 1300 zł. Jaki będzie jego stan konta po upływie roku?

$$ ext"stan konta po roku"= ext"odsetki" + ext"wpłacona kwota" $$
$$ ext"odsetki"=5/100×1300=65 zł $$
$$ ext"stan konta po roku"=65 zł+1300 zł=1365zł $$

Odp: Po roku Pan R będzie miał na swoim koncie 1365 zł.

Droga, prędkość, czas

Wzór ogólny na średnią prędkość:

$$V= S/t$$

$$ V $$ -> średnia prędkość
$$ S $$ -> droga (przejechana odległość)
$$ t $$ -> czas, w jakim pokonaliśmy daną odległość
  1. $$V=S/t$$

    Przykład:

    Rowerzysta przejechał 60 km w 5 godzin. Jaka była jego średnia prędkość?

    $$ V={60 km}/{5 h}={12 km}/{1 h}=12$$ $$km/h $$

    Odp.: Średnia prędkość rowerzysty wynosiła 12 km/h.

  2. $$ S=V×t$$

    Przykład:

    Samochód jechał ze średnią prędkością 70 km/h. Jaką odległość pokonał w 3,5h.

    $$ S={70 km}/h×3,5 h=70 km×3,5=245 $$ km

    Odp.: Samochód przejechał 245 km.

  3. $$t= S/V$$

    Przykład:

    Pociąg jedzie 120 km/h. Jak długo zajmie mu przejechanie 400 km?

    $$t={400 km}/{ {120 km}/h}=31/3 h=3h $$ $$ 20 min$$

    Odp: Przejechanie 400 km zajmie pociągowi 3h 20min.

Gęstość i stężenia procentowe

Matematyki używamy również w dziedzinie fizyki i chemii. Przede wszystkim do obliczania gęstości oraz stężenia procentowego.

  1. Gęstość – własność substancji oznaczająca ile waży, na przykład, jeden $$cm^3$$ tej substancji. Podaje się ją najczęściej w $$g/{cm^3}$$ oraz kg/m3.

    $$ρ=m/V$$

    $$ ρ $$ -> gęstość substancji

    $$ m$$ -> masa substancji

    $$ V$$ -> objętość substancji

  2. Stężenie procentowe – właściwość roztworu informująca nas ile % masy roztworu stanowi masa substancji (np. soli).

    $$C_p={m_s}/{m_r} ×100% $$

    $$C_p$$ -> stężenie procentowe

    $$m_s $$ -> masa substancji

    $$m_r $$ -> masa roztworu

Spis treści

Rozwiązane zadania
Oblicz.

`a) \ \ 2^3*5^3=#underbrace(2*2*2)_(8)*#underbrace(5*5*5)_(125)=8*125=1000` 
  

`b) \ \ (0,1^2)^2=(0,01)^2=0,0001`  

`c) \ \ 3^2*3^5=#underbrace(3*3*3)_(27)*#underbrace(3*3*3)_(27)*3=27*27*3=2187` 
 

`d) \ \ 8^3:4^3=8*8*8:(4*4*4)=8*64:64=8` 

`e) \ \ 0,5^4:0,5^2=#underbrace(0,5*0,5)_(0,25)*#underbrace(0,5*0,5)_(0,25):#underbrace((0,5*0,5))_(0,25)=0,25*#underbrace(0,25:0,25)_(1)=0,25`      

Korzystając z praw działań na potęgach, możemy ustalić jak nazywa się liczba.

`2,5*10^8=2,5*10^2*10^6=2,5*100*10^6=250*10^6 \ \ \ - \ "250 milionów"` 

`3,9*10^10=3,9*10*10^9=39*10^9 \ \ \ - \ "39 miliardów"` 

`7,28*10^14=7,28*10^2*10^12=7,28*100*10^12=728*10^12 \ \ \ - \ "728 bilionów"` 

`6,52*10^41=6,52*10^5*10^36=6,52*100 \ 000*10^36=652 \ 000*10^36 \ \ \ - \ "652 000 sekstylionów"` 

Serweta w kształcie koła ma średnicę 1,60 m. O ile m² mniej materiału zużyjemy na serwetę

`"Pole serwety ze średnicą"\ 1,60\ "m:"`

`"P"_1=pi*(0,80)^2=0,64pi~~0,64*3,14~~2,01\ "m"^2`

 

`"Pole serwety ze średnicą"\ 1,40\ "m:"`

`"P"_2=pi*(0,6)^2=0,36pi~~0,36*3,14~~1,13\ "m"^2`

 

`"P"_1-"P"_2~~2,01-1,13=0,88~~0,9\ "m"^2`

`"Zużyjemy o"\ 0,9\ "m"^2\ "mniej materiału."`

Uzupełnij tabelę dotyczącą ostrosłupów.
Liczba krawędzi podstawy Liczba wierzchołków Liczba ścian Liczba krawędzi
3 4 4 6
6 7 7 12
8 9 9 16
40 41 41 80
n n+1 n+1 2n
W wyniku obrotu trójkąta...

`a)` 

Promień podstawy: `40\ cm` 

Wysokość: `9\ cm` 

Długość tworzącej: `41\ cm` 

 

`b)` 

Promień podstawy: `9\ cm` 

Wysokość: `40\ cm` 

Długość tworzącej: `41\ cm` 

Funkcja f(x)=-3x+b przyjmuje wartość 4...

Wiemy, że `f(2)=4.` Stąd: 

`-3*2+b=4` 

`-6+b=4` 

`b=10` 

Prawidłowa odpowiedź to `"C."`     

Punkt A=(a,-5) należy do wykresu funkcji ...

Wzór funkcji ma postać: `y=-x^2+4` . Punkt A=(a,-5) należy do wykresu tej funkcji, czyli spełnia jej równanie. 

Zatem:

`-5=-a^2+4 \ \ \ \ \ \ \ \ \ |-4` 

`-9=-a^2 \ \ \ \ \ \ \ \ |*(-1)` 

`9=a^2` 

`a=3 \ \ \ "lub" \ \ \ a=-3` 


Poprawna odpowiedź: D. a=3 lub a=-3.      

Rozwiąż równania.

a)

`12x+4(x+1)=1/4(8x-12)+14`

`12x+4x+4=2x-3+14`

`16x+4=2x+11\ \ \ \ |-2x`

`14x+4=11\ \ \ \ \ \ |-4`

`14x=7\ \ \ \ \ |:14`

`x=strike7^1/strike14^2=1/2`

Równanie jest spełnione przez 1/2.

 

b)

`1/2(18x+8)=19x-3(6+5x)`

`9x+4=19x-18-15x`

`9x+4=4x-18\ \ \ \ \ \ |-4x`

`5x+4=-18\ \ \ \ \ \ |-4`

`5x=-22`

`x=-22/5=-4 2/5`

Równanie spełnia liczba -42/5.

Na podstawie informacji...

a) 

Czyścik odtłuszczający Woda Płyn do mycia
1 litr 10 litrów 11 litrów
3 litry 30 litrów 33 litry

 

 

b)

Koncentrat do MP Woda Płyn do mycia
80ml 8l 8,08l
20ml 2l 2,02l

 

 

c)

Płyn do CN Woda Płyn do mycia
1l 3l 4l
1l 5l 6l

 

Poniżej podano powierzchnie mieszkań...

`bbA.` 

Powierzchnia mieszkania wynosi 55 m2, a cena za jeden metr kwadratowy wraz z podatkiem VAT wynosi 4 500 zł. Z tego wynika, że mieszkanie to kosztuje:

`55 * 4  500\ zł =247  500\ zł` 


`bbB.` 

Powierzchnia mieszkania wynosi 77 m2, a cena za jeden metr kwadratowy bez podatku VAT wynosi 3 330 zł. Obliczmy cenę jednego metra kwadratowego tego mieszkania wraz z podatkiem VAT:

`3  330\ zł + 8%*3  330\ zł = 3  330\ zł + 0,08*3  330\ zł =3  330\ zł + 266,4\ zł= 3  596,40\ zł` 

Z tego wynika, że mieszkanie to kosztuje:

`77 * 3  596,40\ zł=276  922,80\ zł`


`bbC.` 

Powierzchnia mieszkania wynosi 48 m2, a cena za jeden metr kwadratowy wraz z podatkiem VAT wynosi 5 000 zł. Z tego wynika, że mieszkanie to kosztuje:

`48 * 5  000\ zł =240  000\ zł` 


`bbD.` 

Powierzchnia mieszkania wynosi 68 m2, a cena za jeden metr kwadratowy bez podatku VAT wynosi 3 500 zł. Obliczmy cenę jednego metra kwadratowego tego mieszkania wraz z podatkiem VAT:

`3  500\ zł + 8%*3  500\ zł = 3  500\ zł + 0,08*3  500\ zł =3  500\ zł + 280\ zł= 3  780\ zł` 

Z tego wynika, że mieszkanie to kosztuje:

`68 * 3  780\ zł=257  040\ zł`

 

Odp.: B. Powierzchnia 77 m2, 3330 zł/m2 bez podatku VAT.