Matematyka w zastosowaniach - iii-gimnazjum - Baza Wiedzy

Zamiana jednostek

Jednostki długości:

  • $$1 cm=10 mm $$
  • $$1 m =100 cm=1000 mm $$
  • $$1 km=1000 m=100000 cm=1000000 mm $$

Jednostki pola:

  • $$ 1 {cm}^2=100 {mm}^2 $$
  • $$ 1 m^2=10000 {cm}^2=100000 {mm}^2 $$
  • $$ 1 {km}^2=1000000 m^2=1×{10}^{10} {cm}^2=1×{10}^{12} {mm}^2 $$
  • $$ 1 a=100 m^2=1000000 {cm}^2=100000000 {mm}^2 $$
  • $$ 1 ha=100 a=10000 m^2=1×{10}^8 {cm}^2=1×{10}^{10} {mm}^2 $$

Jednostki wagi:

  • $$1 g=1000 mg$$
  • $$1 dag=10 g= 10000 mg$$
  • $$1 kg= 100 dag= 1000 g= 10000000 mg$$
  • $$1 t= 1000 kg= 100000 dag= 1×{10}^6 g=1×{10}^9 mg$$

Odczytywanie diagramów

Diagramy służą do zobrazowania różnych danych. Pozwalają na szybsze odczytywanie informacji. Diagramy mogą być przedstawione w różnych formach. Diagram kołowy, słupkowy oraz liniowy to najbardziej popularne i najczęściej używane.

Diagram kołowy:

kolowy

Powyższy diagram przedstawia, jaki procent wśród polskiej młodzieży ma poszczególne zainteresowania.

Diagram słupkowy:

slupkowy

Diagram przedstawia ile średnio bramek zdobywał poszczególny klub w jednym meczu.

Diagram liniowy:

liniowy

Z tego diagramu możemy odczytać ile osób odwiedziło poszczególne muzeum w podanych godzinach.

Skala na mapie

Przy odczytywaniu informacji z mapy należy pamiętać o skali mapy. Skala informuje nas o tym ile razy obiekty i odległości na mapie zostały zwiększone lub zmniejszone.

$$ 1:x $$ -> $$ 1 cm $$ na mapie odpowiada x centymetrom w rzeczywistości.

Przykład:

Odcinek na mapie o skali 1:43000 ma długość 13 cm. Ile w rzeczywistości ma ten odcinek?

$$ 1 cm $$ -> $$43000 cm $$
$$ 1 cm $$ -> $$430 m $$
$$ 13 cm $$ -> $$13×430 m =5590m$$
$$ 13 cm $$ -> $$5590 m=5,59 km $$

Odp.: W rzeczywistości ten odcinek ma 5,59 km.

Podatek vat i inne

  1. Podatek VAT

    W Polsce podatek VAT wynosi 23% lub 8% od ceny towaru lub usługi. Oznacza to, że cena produktu jest droższa o 23% (lub 8%), a pieniądze w ten sposób uzbierane sprzedawca musi przekazać do skarbu państwa. Cena brutto to cena towaru razem z podatkiem. Cena netto to cena samego towaru.

    $$ ext"cena netto" + 23% ext"(lub 8%)" ext"cena netto" = ext"cena brutto" $$

    Przykład:

    Cena netto pralki wynosi 3600 zł. VAT na sprzęt gospodarstwa domowego wynosi 23%. Ile wynosi cena brutto?

    $$ ext"cena brutto"=3600 zł + {23}/{100} 3600 zł=3600 zł+828 zł=4428 zł $$

    Odp.: Cena brutto pralki wynosi $$4428$$ zł.

  2. Podatek od dochodów

    W Polsce oprócz podatku VAT obowiązuje również podatek od dochodów. Podatek od dochodów wynosi 19%. Oznacza to, że obywatel musi odliczyć od zarobionych pieniędzy 19% i oddać je do skarbu państwa. Kwota netto to pieniądze, które zostają po odjęciu podatku, a kwota brutto to zarobki.

    $$ ext"kwota brutto"-19% ext"kwoty brutto"= ext"kwota netto" $$

    przykład:

    Pan W zarabia 31000 zł rocznie. Ile zostanie pieniędzy panu W po odjęciu podatku?

    $$ ext"kwota netto"=31000 zł- 19/100 31000 zł=31000 zł-5890 zł=25110 zł $$

    Odp.: Panu W zostanie $$25110$$ zł po odjęciu podatku od dochodów.

Lokaty bankowe

Gdy na konto wpłaca się pewną sumę pieniędzy, ważne jest oprocentowanie tego konta. Oprocentowanie to część (wyrażona w %) wpłaconych pieniędzy, które otrzymamy po upływie roku. Otrzymane w ten sposób pieniądze to odsetki.

$$ ext"odsetki"=x%× ext"wpłacone pieniądze" $$
czyli:
$$ ext"odsetki"= x/100× ext"wpłacone pieniądze " $$

$$x$$ -> oprocentowanie

Przykład:

Pan R wpłacił na konto z oprocentowaniem 5%, 1300 zł. Jaki będzie jego stan konta po upływie roku?

$$ ext"stan konta po roku"= ext"odsetki" + ext"wpłacona kwota" $$
$$ ext"odsetki"=5/100×1300=65 zł $$
$$ ext"stan konta po roku"=65 zł+1300 zł=1365zł $$

Odp: Po roku Pan R będzie miał na swoim koncie 1365 zł.

Droga, prędkość, czas

Wzór ogólny na średnią prędkość:

$$V= S/t$$

$$ V $$ -> średnia prędkość
$$ S $$ -> droga (przejechana odległość)
$$ t $$ -> czas, w jakim pokonaliśmy daną odległość
  1. $$V=S/t$$

    Przykład:

    Rowerzysta przejechał 60 km w 5 godzin. Jaka była jego średnia prędkość?

    $$ V={60 km}/{5 h}={12 km}/{1 h}=12$$ $$km/h $$

    Odp.: Średnia prędkość rowerzysty wynosiła 12 km/h.

  2. $$ S=V×t$$

    Przykład:

    Samochód jechał ze średnią prędkością 70 km/h. Jaką odległość pokonał w 3,5h.

    $$ S={70 km}/h×3,5 h=70 km×3,5=245 $$ km

    Odp.: Samochód przejechał 245 km.

  3. $$t= S/V$$

    Przykład:

    Pociąg jedzie 120 km/h. Jak długo zajmie mu przejechanie 400 km?

    $$t={400 km}/{ {120 km}/h}=31/3 h=3h $$ $$ 20 min$$

    Odp: Przejechanie 400 km zajmie pociągowi 3h 20min.

Gęstość i stężenia procentowe

Matematyki używamy również w dziedzinie fizyki i chemii. Przede wszystkim do obliczania gęstości oraz stężenia procentowego.

  1. Gęstość – własność substancji oznaczająca ile waży, na przykład, jeden $$cm^3$$ tej substancji. Podaje się ją najczęściej w $$g/{cm^3}$$ oraz kg/m3.

    $$ρ=m/V$$

    $$ ρ $$ -> gęstość substancji

    $$ m$$ -> masa substancji

    $$ V$$ -> objętość substancji

  2. Stężenie procentowe – właściwość roztworu informująca nas ile % masy roztworu stanowi masa substancji (np. soli).

    $$C_p={m_s}/{m_r} ×100% $$

    $$C_p$$ -> stężenie procentowe

    $$m_s $$ -> masa substancji

    $$m_r $$ -> masa roztworu

Spis treści

Rozwiązane zadania
Tabelka przedstawia...

Sprawdźmy dla jakie wartości przyjmują poszczególne funkcje dla argumentu 2:

`"A. " y=2-1 = 1` 

`"B. " y=5*2 - 5 = 10-5 = 5` 

`"C. " y=5/3*2 - 5/3 = 10/3 - 5/3 = 5/3` 

`"D. " y=3*2+ 1 = 6+1 = 7` 

Zależność spełnia tylko funkcja B.

 

Odp.: B. `y = 5 x - 5` 

Przedstaw liczbę w postaci ilorazu potęg o tej samej podstawie

`9=(1/3)^(-1)*(1/3)^(-1)`

`-1/125=5^(-1)*5^(-2)`

`-27=(-1/3)^(-1)*(-1/3)^(-2)`

Liczby a i b spełniają warunki...

Zdanie `"I."` jest prawdziwe, bo jeżeli od liczby niedodatniej odejmiemy liczbę dodatnią,

to wynik na pewno będzie liczbą ujemną. W kwadracik należy wpisać P.

Zdanie `"II."` jest fałszywe, bo jeżeli od liczby dodatniej odejmiemy liczbę mniejszą lub równa zero,

to wynik będzie liczbą dodatnią. W kwadracik należy wpisać F.

Zdanie `"III."` jest prawdziwe, bo iloczyn liczby dodatniej i liczby mniejszej lub równej `0` 

jest liczbą mniejszą lub równą `0.` W kwadracik należy wpisać P. 

Zdanie `IV."`jest prawdziwe, bo iloraz liczby mniejszej lub równej `0` i liczby dodatniej

jest liczbą mniejszą lub równą `0.` W kwadracik należy wpisać P. 

Oblicz pola powierzchni całkowitej stożków...

`"a)"` Rysunek pomocniczy:

`H=8` 

`r=6` 

Wyznaczamy długość tworzącej stożka, korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta `CDB:` 

`H^2+r^2=l^2` 

`8^2+6^2=l^2` 

`64+36=l^2` 

`100=l^2` 

`l=10` 

Obliczamy pole podstawy:     

`P_p=pir^2` 

`P_p=pi*6^2=36pi` 

Obliczamy pole powierzchni bocznej:

`P_b=pirl` 

`P_b=pi*6*10=60pi` 

Obliczamy pole powierzchni całkowitej:

`P_c=P_p+P_b` 

`P_c=36pi+60pi=96pi` 

Odp. Pole powierzchni całkowitej stożka jest równe `96pi.` 

 

`"b)"` Mamy:

`l=7` 

`d=10` 

`r=5` 

Obliczamy pole podstawy:     

`P_p=pir^2` 

`P_p=pi*5^2=25pi` 

Obliczamy pole powierzchni bocznej:

`P_b=pirl` 

`P_b=pi*5*7=35pi` 

Obliczamy pole powierzchni całkowitej:

`P_c=P_p+P_b` 

`P_c=25pi+35pi=60pi` 

Odp. Pole powierzchni całkowitej stożka jest równe `60pi.` 

 

`"c)"` Skorzystamy z rysunku z pierwszego przykładu. Mamy:

`H=6` 

`d=4sqrt3` 

`r=2sqrt3` 

Wyznaczamy długość tworzącej stożka, korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta `CDB:` 

`H^2+r^2=l^2`  

`6^2+(2sqrt3)^2=l^2`      

`36+12=l^2` 

`48=l^2` 

`l=4sqrt3` 

Obliczamy pole podstawy:     

`P_p=pir^2` 

`P_p=pi*(2sqrt3)^2=12pi` 

Obliczamy pole powierzchni bocznej:

`P_b=pirl` 

`P_b=pi*2sqrt3*4sqrt3=24pi` 

Obliczamy pole powierzchni całkowitej:

`P_c=P_p+P_b` 

`P_c=12pi+24pi=36pi` 

Odp. Pole powierzchni całkowitej stożka jest równe `36pi.` 

   

          

Psy przebiegły w pobliżu swoich właścicieli wzdłuż zaznaczonych tras. (...)

Azor odbiegł od swojego właściciela (odległość rośnie), a następnie poruszał się po półokręgu, czyli był w stałej odległości od swojego właściciela (równej promieniowi tego półokręgu), zatem jest to WYKRES C.
 

Reksio był w pewnej odległości od właściciela, następnie oddalał się i zbliżał - trzykrotnie. Wykres mający trzy takie same części to WYKRES A.
 

Ruch Burka obrazuje WYKRES B (2 takie same kawałki).
 

Szarik oddalał się od swojego właściciela, później poruszał się po kawałku okręgu (odległość rośnie, a potem przez chwilę jest stała), następnie zbliżył się - odległość maleje i poruszał po kawałku okręgu - odległość stała, zatem jest to WYKRES D. 

Ile wody jest ...

Obliczmy ile soli jest w 5 kg osmioprocentowego roztworu soli:

 `8/100*5\ kg=40/100 \ kg=strike40^4/strike100^10\ kg= 0,4 \ kg` 

Obliczmy ile jest wody w 5 kg roztworze soli:

`5-0,4=4,6 \ kg`

Odpowiedź: D

W kulę o powierzchni 784πcm² wpisano stożek tak, że jego podstawą jest koło wielkie tej kuli.

Wyznaczmy promień kuli i zarazem promień koła wielkiego kuli (czyli także stożka):

`784pi=4pir^2`

`r^2=196`

`r=14\ "cm"`

 

Wysokość stożka jest taka sama jak promień kuli i wynosi 16 cm. Tworząca tworzy z wysokością stożka i promieniem stożka trójkąt prostokątny. Tworząca wynosi zatem:

`l=sqrt(r^2+r^2)=sqrt(196+196)=sqrt392=14sqrt2\ "cm"`

 

Pole powierzchni całkowitej stożka wynosi:

`P_c=pi*r^2+pi*r*l=196pi+pi*14*14sqrt2=196pi+196pisqrt2=196pi(1+sqrt2)\ "cm"^2`

 

Objętość stożka jest równa:

`V=1/3*pi*r^2*r=1/3pi*196*14=2744/3pi\ "cm"^3`

Oblicz objętość walca, którego podstawą...

`d=14\ "cm"-`długość średnicy koła

`r=1/2d` 

`r=7\ "cm"` 

`H=10\ "cm"` 

Obliczamy pole podstawy walca:

`P_p=pir^2` 

`P_p=pi*7^2=49pi\ "cm"^2` 

Obliczamy objętość walca:

`V=P_pH` 

`V=49pi*10=490pi\ "cm"^3` 

Odp. Objętość walca jest równa `490pi\ "cm"^3.`           

Sprawdź sam siebie

A. III. 

`3/1.5=2`

`6/3=2`

`8/4=2`

 

B. IV:

Kąty muszą mieć taką samą miarę `(70^o)` .

Stosunke boków:

`6/4=1.5`

`7.5/5=1.5`

 

C. II

Jeśli miary dwóch kątów wynoszą `40^o` oraz `60^o` to miara trzeciego musi wynosić `80^o` .

Jeśli miary dwóch kątów wynoszą `60^o` oraz `80^o` to miara trzeciego ma miarę `40^o`

Okazuje się że te trójkąty mają wszystkie trzy kąty parami równe.

 

D. `k=6/3=2` 

 

`x=7/2=3.5`

`y=2*2=4`

 

E. k=7.2/3=2.4

`x/8.25=2.4`

`x=19.8`

 

F. 

 

`|AD|=4`

`|BC|=12` 

 

Trójkąty podobne:

ABD i ABC, skala k=1

ASD i CSB, k=1

ACD i BCD, k=1

ABS i CDS, k=3

 

Objętość ostrosłupa jest równa 300√3 cm³

Najpierw obliczymy pole podstawy tego ostrosłupa: 

`300sqrt3=1/3*12*P_p`

`300sqrt3=4*P_p\ \ \ |:4`

`P_p=300sqrt3:4=75sqrt3\ cm^2`

 

W trójkącie prostokątnym o kątach 90°, 60° i 30° długości boków wyrażają się następująco:

`1/2*b*bsqrt3=75sqrt3\ \ \ |*2`

`b^2sqrt3=150sqrt3\ \ \ |:sqrt3`

`b^2=150`

`b=sqrt150=25*sqrt6=5sqrt6\ cm`

`bsqrt3=5sqrt6*sqrt3=5sqrt18=5sqrt9*sqrt2=5*3sqrt2=15sqrt2\ cm`

`2b=10sqrt6\ cm`

 

Obliczamy obwód podstawy: 

`O=5sqrt6+15sqrt2+10sqrt6=(15sqrt6+15sqrt2)\ cm`