Zastosowania matematyki - iii-gimnazjum - Baza Wiedzy

Pojęcie procentu i promila

Procent (symbol %) oznacza setną część danej wielkości, czyli procent to inny sposób zapisania ułamka o mianowniku 100.


Warto zapamiętać:

`100% = 1`  (całość)

`75%=3/4`   (trzy czwarte) 

`50%=1/2`   (połowa)

`25%=1/4`   (ćwierć)

`20%=1/5`   (jedna piąta)   

`10%=1/10`   (jedna dziesiąta)

`150%=1 1/2`   (półtora) 


Zapamiętaj!!!

W praktyce procent nigdy nie występuje samodzielnie, jest on zawsze ułamkiem pewnej konkretnej wielkości.



Promil (symbol `permille`) oznacza tysięczną część danej wielkości, czyli promil to inny sposób zapisania ułamka o mianowniku 1000. 

`n \ permille=n/1000` 


Przykłady:

`1 \ permille=1/1000`    

`2,5 \ permille=2,5/1000=25/(10 \ 000)` 

`36 \ permille=36/1000` 



Uwaga!!!
Zauważmy, że `1 \ permille = 1/1000`, a  `1%=1/100` . Oznacza to, że `1 \ permille` to 10 razy mniej niż `1%`.  

Zamiana procentu na ułamek

Procent można przedstawić w postaci ułamka mającego w liczniku daną liczbę (dany procent), a w mianowniku liczbę 100.

Zamiana procentu na ułamek polega na podzieleniu procentu przez 100 i usunięciu znaku %.

Procenty możemy przedstawiać zarówno w postaci ułamków zwykłych, jak i dziesiętnych.


Przykłady
:

  • `1%=1/100=0,01` 

  • `13%=13/100=0,13` 

  • `86,3%=(86,3)/100=(863)/1000=0,863`   

Zamiana liczby na procent

Aby zamienić liczbę na procent należy pomnożyć ją razy 100%.


Przykłady
:

  • `1=1*100%=100%` 

  • `3=3*100%=300%`   

  • `0,3=0,3*100%=30%`  

  • `1/4=1/strike4^1*strike100^25%=25%` 

  • `1 1/5=6/5=6/strike5^1*strike100^20%=6*20%=120%` 

Jaki to procent?

Aby dowiedzieć się jakim procentem jednej z liczb jest druga liczba wystarczy przedstawić te liczby w postaci ułamka zwykłego a następnie pomnożyć razy 100%. 

Należy pamiętać, że w mianowniku musi znaleźć się ta liczba, do której porównujemy daną liczbę. 


Przykłady:

  • Jakim procentem liczby 264 jest liczba 165?  [Liczbę 165 porównujemy z liczbą 264, więc liczba 264 musi znaleźć się w mianowniku.] 

    `165/264*100% = 55/88 * 100% = 5/strike8^2*strike100^25% = 5/2*25% = 125/2% = 62,5%` 

  • Jakim procentem liczby 150 jest liczba 30?  [Liczbę 30 porównujemy z liczbą 150, więc liczba 150 musi znaleźć się w mianowniku.]

    `30/150*100% = 1/5*100% = 20%`

Obliczanie procentu danej liczby

Aby dowiedzieć się jaka liczba jest pewnym procentem danej liczby wystarczy zamienić procent na ułamek zwykły i pomnożyć go razy tę daną liczbę.


Przykłady:

  • Ile to jest 43% liczby 300?

    `43%*300 = 43/strike100^1*strike300^3 = 43*3 = 129` 

  • Ile to jest 18% liczby 150?

    `18% *150 = 18/strike100^2 *strike150^3 = 18/2*3 = 9*3 = 27`

Obliczanie liczby, gdy dany jest jej procent

Gdy wiemy, że pewna liczba jest danym procentem drugiej liczby łatwo możemy znaleźć tą drugą liczbę.

Przykład: 

  • 70% pewnej liczby to 140.  

    10% tej liczby to 20 (10% to 7 razy mniej niż 70%, czyli wynosi 7 razy mniej niż 140). 

    100% tej liczby to 200 (100% to 10 razy więcej niż 10%, czyli wynosi 10 razy więcej niż 20). 

    Szukana liczba to 200. 

Czasami jednak musimy rozwiązać trudniejsze zadania. Wtedy warto użyć równania.


Przykład
:

  • 40% pewnej liczby (x - szukana liczba) to 70. Jaka to liczba?

    `40%*x=70` 

    `0,4*x=70` 

    `x=70:0,4` 

    `x=175` 

    Szukana liczba to 175.     

Lokaty bankowe

Gdy na konto bankowe wpłaca się pewną sumę pieniędzy, ważne jest oprocentowanie tego konta.

Oprocentowanie to pewna część (wyrażona w %) wpłaconych pieniędzy, które otrzymamy dodatkowo po upływie roku.

Otrzymane w ten sposób pieniądze to odsetki.


x
- wysokość oprocentowania 

`"odsetki"=x%*"wpłacone pieniądze"` 

`"czyli:"`

`"odsetki"=x/100*"wpłacone pieniądze"`  


Przykład:

Pan Robert wpłacił na konto 1500 zł. Oprocentowanie wynosiło 5%. Jaki będzie jego stan konta po upływie roku?

`"stan konta po roku"="wpłacone pieniądze" \ + \ "odsetki"`

`"odsetki"=5%*1500 \ "zł"=5/(1strike00)*15strike(00) \ "zł"=5*15 \ "zł"=75 \ "zł"`  

`"stan konta po roku"=1500 \ "zł"+75 \ "zł"=1575 \ "zł"` 

Odpowiedź: Po roku Pan Robert będzie miał na swoim koncie 1575 zł.

Podatek VAT i inne

  1. Podatek VAT

    W Polsce podatek VAT wynosi 23%, 8%, 7% i 4% od ceny towaru lub usługi.

    Oznacza to, że cena produktu jest wyższa o 23% (lub 8%, 7% i 4%), a pieniądze w ten sposób uzbierane sprzedawca musi przekazać do skarbu państwa.

    Cena brutto to cena towaru razem z podatkiem. Cena netto to cena samego towaru.


    `"cenna brutto" \ = \ "cena netto" \ + \ "VAT"` 

    `"cena brutto" \ = \ "cena netto" \ + \ 23% (8%, 7%, 4%)*"cena netto"` 


    Przykład
    :

    Cena netto pralki wynosi 3600 zł. VAT na sprzęt gospodarstwa domowego wynosi 23%. Ile wynosi cena brutto?
    `"cena brutto"=3600 \ "zł"+23%*3600 \ "zł"=3600 \ "zł"+23/(1strike(00))*36strike(00) \ "zł"=3600 \ "zł"+23*36 \ "zł"=` 
    `=3600 \ "zł"+828 \ "zł"=4428 \ "zł"` 

    Odpowiedź: Cena brutto pralki wynosi 4428 zł. 


  2. Podatek od dochodów

    W Polsce oprócz podatku VAT obowiązuje również podatek od dochodów. Podatek od dochodów wynosi 19%.

    Oznacza to, że obywatel musi odliczyć od zarobionych pieniędzy 19% i oddać je do skarbu państwa.

    Kwota netto to pieniądze, które zostają po odjęciu podatku, a kwota brutto to zarobki.


    `"kwota brutto" \ - \ 19%*"kwota brutto" \ = \ "kwota netto"` 


    Przykład:

    Pan Waldemar zarabia 31 000 zł rocznie. Ile zostanie pieniędzy panu Waldemarowi po odjęciu podatku?

    `"kwota netto" \ = \ 31 \ 000 \ "zł"-19%*31 \ 000 \ "zł"=31 \ 000 \ "zł"-19/(1strike(00))*31 \ 0strike(00) \ "zł"=` 
    `=31 \ 000 \ "zł"-19*310 \ "zł"=31 \ 000 \ "zł"-5890 \ "zł"=25 \ 110 \ "zł"` 

    Odpowiedź: Panu Waldemarowi po odjęciu podatku od dochodów zostanie 25 110 zł.

Odczytywanie diagramów

Diagramy służą do zobrazowania różnych danych. Pozwalają na szybsze odczytywanie informacji. Diagramy mogą być przedstawione w różnych formach. Diagram kołowy, słupkowy oraz liniowy to najbardziej popularne i najczęściej używane.

Diagram kołowy:

kolowy

Powyższy diagram przedstawia, jaki procent wśród polskiej młodzieży ma poszczególne zainteresowania.

Diagram słupkowy:

slupkowy

Diagram przedstawia ile średnio bramek zdobywał poszczególny klub w jednym meczu.

Diagram liniowy:

liniowy

Z tego diagramu możemy odczytać ile osób odwiedziło poszczególne muzeum w podanych godzinach.

Diagramy procentowe

Aby przedstawić dane liczbowe zapisane w procentach najlepiej jest posługiwać się diagramami procentowymi.

Diagram kołowy i słupkowy to dwa najbardziej popularne rodzaje diagramów.

  • Diagram kołowy

    diagram_kolowy


    Z przykładowego diagramu powyżej można odczytać ile osób głosowało na poszczególnych kandydatów.
    Widzimy, że na pana A głosowało 59% osób. Można więc powiedzieć, że gdyby w głosowaniu brało udział 100 osób to 59 z nich głosowałoby na pana A.
    Dalej widzimy że na panów B, C i D głosowało odpowiednio 23%, 10% i 9%.

  • Diagram słupkowy

    diagram_slupkowy

    Z powyższego diagramu można odczytać jaki procent osób danego miasta stanowią kobiety a jaki mężczyźni. 
    W mieście A mężczyźni stanowią 57% mieszkańców a kobiety 43% mieszkańców. Można więc powiedzieć, że jeśli w mieście A jest 100 mieszkańców, to 57 z nich to mężczyźni a 43 to kobiety.
    Ta sama zasada odnosi się do miast B i C.

Podział proporcjonalny

Podział proporcjonalny to podział danej wielkości na odpowiednie kawałki zgodnie z podanym stosunkiem. 

 

Przykład: 

Jak należy podzielić sznurek długości 70 cm w stosunku 2:5?

Stosunek 2:5 oznacza, że cały sznurek należy podzielić na 2+5=7 równych, małych części. Długość każdej części oznaczamy literą x. 

Pierwszy kawałek sznurka będzie składać się z 2 małych części, czyli jej długość to 2x. 

Drugi kawałek całego sznurka będzie składać się z 5 małych części, czyli jej długość to 5x.

Wiemy, że długość całego sznurka wynosi 70 cm. Czyli: 

`2x+5x=70` 

`7x=70 \ \ \ \ \ \ \ \ |:7` 

`x=10 \ \ \ ["cm"]`


Zatem: 

`2x=2*10=20 \ \ \ ["cm"]`

`5x=5*10=50 \ \ \ ["cm"]`


Odpowiedź: Sznurek podzielono na dwie części o długości 20 cm i 50 cm.   

Obliczanie prawdopodobieństw

Z doświadczeniami losowymi mamy do czynienia na co dzień. Rzut monetą, rzut sześcienną kostką do gry, wygrana na loterii czy numer nadjeżdżającego autobusu to tylko kilka z nich.

Zdarzenie losowe to pewna sytuacja możliwa do uzyskania podczas danego doświadczenia losowego, np. wyrzucenie parzystej liczby oczek na kostce do gry. 

W zdarzeniach losowych prawdopodobieństwo (oznaczmy go literą P) nastąpienia sytuacji, która nas interesuje oblicza się bardzo prosto (o ile każda z sytuacji jest jednakowo prawdopodobna). Jest to iloraz ilości sytuacji nas interesujących (np. autobusy nam odpowiadające) (ich ilość oznaczmy literą n) i ilości wszystkich możliwych sytuacji (np. wszystkie autobusy) (ich ilość oznaczmy literą N).

`P=n/N` 


Przykładowe zadania:

Zadanie 1.

Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowanie króla z talii 52 kart?

Wiemy, że w talii są 52 karty. W całej talii są 4 króle. 

Wszystkich możliwych wyników jest więc 52. Liczba interesujących nas wyników to 4. 

Prawdopodobieństwo (p) tego zdarzenia wynosi:

`p=4/52=1/13` 

Odpowiedź: Prawdopodobieństwo, że wylosujemy króla wynosi `1/13`

Zadanie 2.

Stoimy na przystanku. Na tym przystanku zatrzymuje się łącznie 8 autobusów. My możemy jechać tylko autobusem numer 234 oraz 123. Nadjeżdża autobus. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że będzie to jeden z autobusów, którymi możemy pojechać?


Wszystkich możliwych wyników jest 8. Liczba interesujących nas wyników to 2. 

Prawdopodobieństwo (p) tego zdarzenia wynosi:

`p=2/8=1/4`  

Odpowiedź: Prawdopodobieństwo nadjechania autobusu, który nam odpowiada wynosi `1/4`.

Zadanie 3.

Rzucamy dwa razy sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo, że suma oczek wyniesie 6.

Rzucając kostką dwukrotnie otrzymujemy 36 róznych kombinacji. Przedstawione są one na tabelce:

tabela

Liczby, które spełniają nasz warunek (suma wynosi 6) zostały pogrubione. Jest ich w sumie 5. 

Wszystkich możliwych wyników jest 36. Liczba interesujących nas wyników to 5. 

Prawdopodobieństwo (p) tego zdarzenia wynosi:

`p=5/36`  

Odpowiedź: Prawdopodobieństwo wynosi `5/36`


Zadanie 4.

Ze zbioru liczb 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ..., 19, 20 wybieramy losowo jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo, że wylosowana liczba jest podzielna przez 3.

Ze zbioru liczb 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ..., 19, 20 (jest ich w sumie 20) wypisujemy wszystkie liczby podzielne przez 3, czyli: 3, 6, 9, 12, 15, 18. Jest ich w sumie 6. 

Wszystkich możliwych wyników jest 20. Liczba interesujących nas wyników to 6. 

Prawdopodobieństwo (p) tego zdarzenia wynosi: 
 
`p=6/20=3/10` 

Odpowiedź: Prawdopodobieństwo w tym przypadku wynosi `3/10`

Zadanie 5.

Rzucamy 2 razy monetą. Oblicz prawdopodobieństwo, że dwa razy wypadnie reszka.

Na początek musimy wypisać wszystkie możliwe kombinacje rzutów tak więc: 

  • Orzeł i Orzeł
  • Orzeł i Reszka
  • Reszka i Reszka
  • Reszka i Orzeł

Pogrubiona została kombinacja, która spełnia nasz warunek. 

Wszystkich możliwych wyników jest 4. Liczba interesujących nas wyników to 1. 

Prawdopodobieństwo (p) tego zdarzenia wynosi:

`p=1/4`  
Odpowiedź: Prawdopodobieństwo w tym przypadku wynosi `1/4` . 

 

Zamiana jednostek

Jednostki długości:

  • `1 \ "cm"=10 \ "mm"` 

  • `1 \ "dm"=10 \ "cm"=100 \ "mm"` 

  • `1 \ "m"=10 \ "dm"=100 \ "cm"=1000 \ "mm"` 

  • `1 \ "km"=1000 \ "m"=100 \ 000 \ "cm"=1 \ 000 \ 000 \ "mm"` 

 

Jednostki wagi: 

  • `1 \ "g"=1000 \ "mg"` 

  • `1 \ "dag"=10 \ "g"` 

  • `1 \ "kg"=100 \ "dag"=1000 \ "g"` 

  • `1 \ "t"=1000 \ "kg"=100 \ 000 \ "dag"=1 \ 000 \ 000 \ "g"`   



Jednostki czasu: 

  • `1 \ "min" = 60 \ "s"` 

  • `1 \ "h" = 60 \ "min" = 3600 \ "s"` 

  • `1 \ "kwadrans" \ - \ 15 \ "min"` 

  • `1 \ "doba" - 24 \ "h"` 

  • `1 \ "tydzień" \ - \ 7 \ "dni"` 

  • `1 \ "rok" \ - \ 12 \ "miesięcy"` 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Oblicz:

Pole kwadratu o boku a jest dane wzorem:

Objętość sześcianu o krawędzi a jest dana wzorem:

Przekątna kwadratu o boku a jest dana wzorem:

Przekątna sześcianu o krawędzi a jest dana wzorem:

 

 

 

a) Przekątna ma długość 2

Policzmy pole kwadratu:

 

b) Przekątna ma długość 3

 

Policzmy objętość sześcianu:

 

Na rysunku przedstawiono wykres jednej ...

Do wykresu funkcji należy punkt (4,1). 


Sprawdzamy, wstawiając do każdego wzoru funkcji współrzędne punktu, czy zachodzi równość. 

 

  {premium}

 

 

 

Oznacza to, że punkt (4,1) nie należy do wykresu tej funkcji.

Przedstawiony wykres nie jest wykresem tej funkcji.


   

 

 

 

Oznacza to, że punkt (4,1) należy do wykresu tej funkcji.

Przedstawiony wykres jest wykresem tej funkcji.



 

 

 

 

Oznacza to, że punkt (4,1) nie należy do wykresu tej funkcji.

Przedstawiony wykres nie jest wykresem tej funkcji.


  

 

 

 

Oznacza to, że punkt (4,1) nie należy do wykresu tej funkcji.

Przedstawiony wykres nie jest wykresem tej funkcji.


Poprawna odpowiedź to: B. 

Oblicz pole powierzchni całkowitej...

 

Obliczmy przekątną podstawy.

 

 

 

 

 

 

Połowa przekątnej wynosi  

Obliczmy wysokość ostrosłupa, korzystając z tw. Pitagorasa.

 

 

 

 

 

 

 

 

Obliczmy h, czyli wysokość ściany bocznej.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Bryła obrotowa składa się z dwóch stożków o wspólnej podstawie, a pole tej...

 

  

 


 

 

 

 

   

 

 

 

 

 



 

 

 

 

 

 

 

 


 

 



 

 

Wysokość walca jet trzy razy dłuższa niż...

Mamy:

 

 

Zapiszmy wzór na objętość walca:{premium}

 

Mamy podaną objętość oraz zależność  od Będziemy chcieli podstawić to do powyższego

wzoru i wyznaczyć wysokość. Zauważmy, że jeżeli podstawimy  to zniknie nam  

Dlatego wyznaczymy najpierw zależność  od  i ją podstawimy do wzoru w miejsce promienia.    

 

 

Podstawiamy:

 

  

   

 

 

Prawidłowa odpowiedź to  

Każdej liczbie rzeczywistej przyporządkowano trzecią część liczby do niej przeciwnej

Prawdziwa jest odpowiedź A.

Papierowe koło o promieniu długości ...

Papierowe koło ma promień długości 18 cm.

Dzielimy go na dwie części. Kąt środkowy jednej z nich wynosi 120o. Kąt środkowy drugiej części ma więc miarę: 

 


I część

Obliczamy, ile wynosi długość łuku tego wycinka. 

 

Z wycinka tego tworzymy stożek (jego powierzchnię boczną). Obwód podstawy tego stożka jest równy długości łuku tego wycinka, czyli wynosi 12π cm.

Obliczamy, ile długość promienia podstawy. 

 

 

Promień podstawy tego stożka ma długość 6 cm. 

Tworząca stożka ma długość 18 cm. 

  


Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczamy, ile wynosi długość wysokości stożka. 

 

 

 

  

Wysokość tego stożka ma długość 12√2 cm. 


Obliczamy, ile wynosi objętość stożka. 

 


II część:   

Obliczamy, ile wynosi długość łuku tego wycinka. 

  

Z wycinka tego tworzymy stożek (jego powierzchnię boczną). Obwód podstawy tego stożka jest równy długości łuku tego wycinka, czyli wynosi 24π cm.

Obliczamy, ile długość promienia podstawy. 

 

  

Promień podstawy tego stożka ma długość 12 cm. 

Tworząca stożka ma długość 18 cm. 

   


Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczamy, ile wynosi długość wysokości stożka. 

 

 

 

  

Wysokość tego stożka ma długość 6√5 cm.  


Obliczamy, ile wynosi objętość stożka. 

 


 

 

Objętość stożka II jest większa od objętości stożka I. 


Obliczamy, ile razy objętość stożka II jest większa od objętości stożka I.      

 


Odpowiedź: Objętość stożka II jest √10 razy większa od objętości stożka I.  

Ustal, ile osi symetrii mają wymienione...

 romb -  osie symetrii lub  osie symetrii, gdy jest kwadratem, ma środek symetrii - punkt przecięcia

    przekątnych  {premium}

 trapez równoramienny -  oś symetrii (gdy nie jest równoległobokiem) lub  osie symetrii, gdy jest

    prostokątem albo równoległobokiem lub  osie symetrii, gdy jest kwadratem; poza pierwszym przypadkiem

    ma środek symetrii - punkt przecięcia przekątnych

 siedmiokąt foremny -  osi symetrii, nie ma środka symetrii

 dziesięciokąt foremny -  osi symetrii, ma środek symetrii - punkt przecięcia przekątnych       

 kąt -  oś symetrii, nie ma środka symetrii

 odcinek -  osie symetrii, ma środek symetrii - środek odcinka

 półkole -  os symetrii, nie ma środka symetrii       

Oblicz długość krawędzi podstawy ostrosłupa...

Ostrosłup prawidłowy trójkątny ma w podstawie trójkąt równoboczny. Dla ostrosłupa o krawędzi podstawy równej  pole podstawy obliczymy następująco:{premium}

 

Mamy daną objętość i wysokość ostrosłupa, możemy więc wyznaczyć długość krawędzi podstawy, korzystając ze wzoru na objętość.

 

 

 

 

Odp. Krawędź podstawy tego ostrosłupa ma długość        

 

Zaokrąglij liczbę 72497,9628:

  

  
{premium}

  

 

  

 


Uwaga!!! Podkreślono cyfrę, na którą należy zwrócić uwagę zaokrąglając do cyfry poprzedzającej podkreśloną cyfrę.