Zastosowania matematyki - iii-gimnazjum - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Zastosowania matematyki - iii-gimnazjum - Baza Wiedzy

Pojęcie procentu i promila

Procent (symbol %) oznacza setną część danej wielkości, czyli procent to inny sposób zapisania ułamka o mianowniku 100.


Warto zapamiętać:

`100% = 1`  (całość)

`75%=3/4`   (trzy czwarte) 

`50%=1/2`   (połowa)

`25%=1/4`   (ćwierć)

`20%=1/5`   (jedna piąta)   

`10%=1/10`   (jedna dziesiąta)

`150%=1 1/2`   (półtora) 


Zapamiętaj!!!

W praktyce procent nigdy nie występuje samodzielnie, jest on zawsze ułamkiem pewnej konkretnej wielkości.



Promil (symbol `permille`) oznacza tysięczną część danej wielkości, czyli promil to inny sposób zapisania ułamka o mianowniku 1000. 

`n \ permille=n/1000` 


Przykłady:

`1 \ permille=1/1000`    

`2,5 \ permille=2,5/1000=25/(10 \ 000)` 

`36 \ permille=36/1000` 



Uwaga!!!
Zauważmy, że `1 \ permille = 1/1000`, a  `1%=1/100` . Oznacza to, że `1 \ permille` to 10 razy mniej niż `1%`.  

Zamiana procentu na ułamek

Procent można przedstawić w postaci ułamka mającego w liczniku daną liczbę (dany procent), a w mianowniku liczbę 100.

Zamiana procentu na ułamek polega na podzieleniu procentu przez 100 i usunięciu znaku %.

Procenty możemy przedstawiać zarówno w postaci ułamków zwykłych, jak i dziesiętnych.


Przykłady
:

  • `1%=1/100=0,01` 

  • `13%=13/100=0,13` 

  • `86,3%=(86,3)/100=(863)/1000=0,863`   

Zamiana liczby na procent

Aby zamienić liczbę na procent należy pomnożyć ją razy 100%.


Przykłady
:

  • `1=1*100%=100%` 

  • `3=3*100%=300%`   

  • `0,3=0,3*100%=30%`  

  • `1/4=1/strike4^1*strike100^25%=25%` 

  • `1 1/5=6/5=6/strike5^1*strike100^20%=6*20%=120%` 

Jaki to procent?

Aby dowiedzieć się jakim procentem jednej z liczb jest druga liczba wystarczy przedstawić te liczby w postaci ułamka zwykłego a następnie pomnożyć razy 100%. 

Należy pamiętać, że w mianowniku musi znaleźć się ta liczba, do której porównujemy daną liczbę. 


Przykłady:

  • Jakim procentem liczby 264 jest liczba 165?  [Liczbę 165 porównujemy z liczbą 264, więc liczba 264 musi znaleźć się w mianowniku.] 

    `165/264*100% = 55/88 * 100% = 5/strike8^2*strike100^25% = 5/2*25% = 125/2% = 62,5%` 

  • Jakim procentem liczby 150 jest liczba 30?  [Liczbę 30 porównujemy z liczbą 150, więc liczba 150 musi znaleźć się w mianowniku.]

    `30/150*100% = 1/5*100% = 20%`

Obliczanie procentu danej liczby

Aby dowiedzieć się jaka liczba jest pewnym procentem danej liczby wystarczy zamienić procent na ułamek zwykły i pomnożyć go razy tę daną liczbę.


Przykłady:

  • Ile to jest 43% liczby 300?

    `43%*300 = 43/strike100^1*strike300^3 = 43*3 = 129` 

  • Ile to jest 18% liczby 150?

    `18% *150 = 18/strike100^2 *strike150^3 = 18/2*3 = 9*3 = 27`

Obliczanie liczby, gdy dany jest jej procent

Gdy wiemy, że pewna liczba jest danym procentem drugiej liczby łatwo możemy znaleźć tą drugą liczbę.

Przykład: 

  • 70% pewnej liczby to 140.  

    10% tej liczby to 20 (10% to 7 razy mniej niż 70%, czyli wynosi 7 razy mniej niż 140). 

    100% tej liczby to 200 (100% to 10 razy więcej niż 10%, czyli wynosi 10 razy więcej niż 20). 

    Szukana liczba to 200. 

Czasami jednak musimy rozwiązać trudniejsze zadania. Wtedy warto użyć równania.


Przykład
:

  • 40% pewnej liczby (x - szukana liczba) to 70. Jaka to liczba?

    `40%*x=70` 

    `0,4*x=70` 

    `x=70:0,4` 

    `x=175` 

    Szukana liczba to 175.     

Lokaty bankowe

Gdy na konto bankowe wpłaca się pewną sumę pieniędzy, ważne jest oprocentowanie tego konta.

Oprocentowanie to pewna część (wyrażona w %) wpłaconych pieniędzy, które otrzymamy dodatkowo po upływie roku.

Otrzymane w ten sposób pieniądze to odsetki.


x
- wysokość oprocentowania 

`"odsetki"=x%*"wpłacone pieniądze"` 

`"czyli:"`

`"odsetki"=x/100*"wpłacone pieniądze"`  


Przykład:

Pan Robert wpłacił na konto 1500 zł. Oprocentowanie wynosiło 5%. Jaki będzie jego stan konta po upływie roku?

`"stan konta po roku"="wpłacone pieniądze" \ + \ "odsetki"`

`"odsetki"=5%*1500 \ "zł"=5/(1strike00)*15strike(00) \ "zł"=5*15 \ "zł"=75 \ "zł"`  

`"stan konta po roku"=1500 \ "zł"+75 \ "zł"=1575 \ "zł"` 

Odpowiedź: Po roku Pan Robert będzie miał na swoim koncie 1575 zł.

Podatek VAT i inne

  1. Podatek VAT

    W Polsce podatek VAT wynosi 23%, 8%, 7% i 4% od ceny towaru lub usługi.

    Oznacza to, że cena produktu jest wyższa o 23% (lub 8%, 7% i 4%), a pieniądze w ten sposób uzbierane sprzedawca musi przekazać do skarbu państwa.

    Cena brutto to cena towaru razem z podatkiem. Cena netto to cena samego towaru.


    `"cenna brutto" \ = \ "cena netto" \ + \ "VAT"` 

    `"cena brutto" \ = \ "cena netto" \ + \ 23% (8%, 7%, 4%)*"cena netto"` 


    Przykład
    :

    Cena netto pralki wynosi 3600 zł. VAT na sprzęt gospodarstwa domowego wynosi 23%. Ile wynosi cena brutto?
    `"cena brutto"=3600 \ "zł"+23%*3600 \ "zł"=3600 \ "zł"+23/(1strike(00))*36strike(00) \ "zł"=3600 \ "zł"+23*36 \ "zł"=` 
    `=3600 \ "zł"+828 \ "zł"=4428 \ "zł"` 

    Odpowiedź: Cena brutto pralki wynosi 4428 zł. 


  2. Podatek od dochodów

    W Polsce oprócz podatku VAT obowiązuje również podatek od dochodów. Podatek od dochodów wynosi 19%.

    Oznacza to, że obywatel musi odliczyć od zarobionych pieniędzy 19% i oddać je do skarbu państwa.

    Kwota netto to pieniądze, które zostają po odjęciu podatku, a kwota brutto to zarobki.


    `"kwota brutto" \ - \ 19%*"kwota brutto" \ = \ "kwota netto"` 


    Przykład:

    Pan Waldemar zarabia 31 000 zł rocznie. Ile zostanie pieniędzy panu Waldemarowi po odjęciu podatku?

    `"kwota netto" \ = \ 31 \ 000 \ "zł"-19%*31 \ 000 \ "zł"=31 \ 000 \ "zł"-19/(1strike(00))*31 \ 0strike(00) \ "zł"=` 
    `=31 \ 000 \ "zł"-19*310 \ "zł"=31 \ 000 \ "zł"-5890 \ "zł"=25 \ 110 \ "zł"` 

    Odpowiedź: Panu Waldemarowi po odjęciu podatku od dochodów zostanie 25 110 zł.

Odczytywanie diagramów

Diagramy służą do zobrazowania różnych danych. Pozwalają na szybsze odczytywanie informacji. Diagramy mogą być przedstawione w różnych formach. Diagram kołowy, słupkowy oraz liniowy to najbardziej popularne i najczęściej używane.


Diagram kołowy
:

kolowy

Powyższy diagram przedstawia, jaki procent wśród polskiej młodzieży ma poszczególne zainteresowania.


Diagram słupkowy:

slupkowy

Diagram przedstawia ile średnio bramek zdobywał poszczególny klub w jednym meczu.


Diagram liniowy:

liniowy

Z tego diagramu możemy odczytać ile osób odwiedziło poszczególne muzeum w podanych godzinach.

Diagramy procentowe

Aby przedstawić dane liczbowe zapisane w procentach najlepiej jest posługiwać się diagramami procentowymi.

Diagram kołowy i słupkowy to dwa najbardziej popularne rodzaje diagramów.

  • Diagram kołowy

    diagram_kolowy


    Z przykładowego diagramu powyżej można odczytać ile osób głosowało na poszczególnych kandydatów.
    Widzimy, że na pana A głosowało 59% osób. Można więc powiedzieć, że gdyby w głosowaniu brało udział 100 osób to 59 z nich głosowałoby na pana A.
    Dalej widzimy że na panów B, C i D głosowało odpowiednio 23%, 10% i 9%.

  • Diagram słupkowy

    diagram_slupkowy

    Z powyższego diagramu można odczytać jaki procent osób danego miasta stanowią kobiety a jaki mężczyźni. 
    W mieście A mężczyźni stanowią 57% mieszkańców a kobiety 43% mieszkańców. Można więc powiedzieć, że jeśli w mieście A jest 100 mieszkańców, to 57 z nich to mężczyźni a 43 to kobiety.
    Ta sama zasada odnosi się do miast B i C.

Podział proporcjonalny

Podział proporcjonalny to podział danej wielkości na odpowiednie kawałki zgodnie z podanym stosunkiem. 

 

Przykład: 

Jak należy podzielić sznurek długości 70 cm w stosunku 2:5?

Stosunek 2:5 oznacza, że cały sznurek należy podzielić na 2+5=7 równych, małych części. Długość każdej części oznaczamy literą x. 

Pierwszy kawałek sznurka będzie składać się z 2 małych części, czyli jej długość to 2x. 

Drugi kawałek całego sznurka będzie składać się z 5 małych części, czyli jej długość to 5x.

Wiemy, że długość całego sznurka wynosi 70 cm. Czyli: 

`2x+5x=70` 

`7x=70 \ \ \ \ \ \ \ \ |:7` 

`x=10 \ \ \ ["cm"]`


Zatem: 

`2x=2*10=20 \ \ \ ["cm"]`

`5x=5*10=50 \ \ \ ["cm"]`


Odpowiedź: Sznurek podzielono na dwie części o długości 20 cm i 50 cm.   

Obliczanie prawdopodobieństw

Z doświadczeniami losowymi mamy do czynienia na co dzień. Rzut monetą, rzut sześcienną kostką do gry, wygrana na loterii czy numer nadjeżdżającego autobusu to tylko kilka z nich.

Zdarzenie losowe to pewna sytuacja możliwa do uzyskania podczas danego doświadczenia losowego, np. wyrzucenie parzystej liczby oczek na kostce do gry. 

W zdarzeniach losowych prawdopodobieństwo (oznaczmy go literą P) nastąpienia sytuacji, która nas interesuje oblicza się bardzo prosto (o ile każda z sytuacji jest jednakowo prawdopodobna). Jest to iloraz ilości sytuacji nas interesujących (np. autobusy nam odpowiadające) (ich ilość oznaczmy literą n) i ilości wszystkich możliwych sytuacji (np. wszystkie autobusy) (ich ilość oznaczmy literą N).

`P=n/N` 


Przykładowe zadania:

Zadanie 1.

Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowanie króla z talii 52 kart?

Wiemy, że w talii są 52 karty. W całej talii są 4 króle. 

Wszystkich możliwych wyników jest więc 52. Liczba interesujących nas wyników to 4. 

Prawdopodobieństwo (p) tego zdarzenia wynosi:

`p=4/52=1/13` 

Odpowiedź: Prawdopodobieństwo, że wylosujemy króla wynosi `1/13`

Zadanie 2.

Stoimy na przystanku. Na tym przystanku zatrzymuje się łącznie 8 autobusów. My możemy jechać tylko autobusem numer 234 oraz 123. Nadjeżdża autobus. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że będzie to jeden z autobusów, którymi możemy pojechać?


Wszystkich możliwych wyników jest 8. Liczba interesujących nas wyników to 2. 

Prawdopodobieństwo (p) tego zdarzenia wynosi:

`p=2/8=1/4`  

Odpowiedź: Prawdopodobieństwo nadjechania autobusu, który nam odpowiada wynosi `1/4`.

Zadanie 3.

Rzucamy dwa razy sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo, że suma oczek wyniesie 6.

Rzucając kostką dwukrotnie otrzymujemy 36 róznych kombinacji. Przedstawione są one na tabelce:

tabela

Liczby, które spełniają nasz warunek (suma wynosi 6) zostały pogrubione. Jest ich w sumie 5. 

Wszystkich możliwych wyników jest 36. Liczba interesujących nas wyników to 5. 

Prawdopodobieństwo (p) tego zdarzenia wynosi:

`p=5/36`  

Odpowiedź: Prawdopodobieństwo wynosi `5/36`


Zadanie 4.

Ze zbioru liczb 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ..., 19, 20 wybieramy losowo jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo, że wylosowana liczba jest podzielna przez 3.

Ze zbioru liczb 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ..., 19, 20 (jest ich w sumie 20) wypisujemy wszystkie liczby podzielne przez 3, czyli: 3, 6, 9, 12, 15, 18. Jest ich w sumie 6. 

Wszystkich możliwych wyników jest 20. Liczba interesujących nas wyników to 6. 

Prawdopodobieństwo (p) tego zdarzenia wynosi: 
 
`p=6/20=3/10` 

Odpowiedź: Prawdopodobieństwo w tym przypadku wynosi `3/10`

Zadanie 5.

Rzucamy 2 razy monetą. Oblicz prawdopodobieństwo, że dwa razy wypadnie reszka.

Na początek musimy wypisać wszystkie możliwe kombinacje rzutów tak więc: 

  • Orzeł i Orzeł
  • Orzeł i Reszka
  • Reszka i Reszka
  • Reszka i Orzeł

Pogrubiona została kombinacja, która spełnia nasz warunek. 

Wszystkich możliwych wyników jest 4. Liczba interesujących nas wyników to 1. 

Prawdopodobieństwo (p) tego zdarzenia wynosi:

`p=1/4`  
Odpowiedź: Prawdopodobieństwo w tym przypadku wynosi `1/4` . 

 

Zamiana jednostek

Jednostki długości:

  • `1 \ "cm"=10 \ "mm"` 

  • `1 \ "dm"=10 \ "cm"=100 \ "mm"` 

  • `1 \ "m"=10 \ "dm"=100 \ "cm"=1000 \ "mm"` 

  • `1 \ "km"=1000 \ "m"=100 \ 000 \ "cm"=1 \ 000 \ 000 \ "mm"` 

 

Jednostki wagi: 

  • `1 \ "g"=1000 \ "mg"` 

  • `1 \ "dag"=10 \ "g"` 

  • `1 \ "kg"=100 \ "dag"=1000 \ "g"` 

  • `1 \ "t"=1000 \ "kg"=100 \ 000 \ "dag"=1 \ 000 \ 000 \ "g"`   



Jednostki czasu: 

  • `1 \ "min" = 60 \ "s"` 

  • `1 \ "h" = 60 \ "min" = 3600 \ "s"` 

  • `1 \ "kwadrans" \ - \ 15 \ "min"` 

  • `1 \ "doba" - 24 \ "h"` 

  • `1 \ "tydzień" \ - \ 7 \ "dni"` 

  • `1 \ "rok" \ - \ 12 \ "miesięcy"` 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Które z prostokątów przedstawionych na rysunku...

Podany prostokąt ma boki długości:

 

 

 

 

Mierzymy długości boków:

 

 

Obliczmy proporcjonalność krótszych boków:

 

 

 

 

Obliczamy proporcjonalność dłuższych boków:

 

{premium}  

 

 

Odp.: Współczynniki proporcjonalności są takie same, czyli prostokąt jest podobny do podanego prostokąta.

 

 

Mierzymy długości boków:

 

 

Obliczmy proporcjonalność krótszych boków:

 

 

 

 

 

Obliczamy proporcjonalność dłuższych boków:

 

 

 

 

Odp.: Współczynniki proporcjonalności są takie różne, czyli prostokąt nie jest podobny do podanego prostokąta.

 

 

Mierzymy długości boków:

 

 

Obliczmy proporcjonalność krótszych boków:

 

 

 

 

Obliczamy proporcjonalność dłuższych boków:

 

 

 

 

Odp.: Współczynniki proporcjonalności są takie same, czyli prostokąt jest podobny do podanego prostokąta.

 

 

Mierzymy długości boków:

 

 

Obliczmy proporcjonalność krótszych boków:

 

 

 

 

Obliczamy proporcjonalność dłuższych boków:

 

 

 

 

 

Odp.: Współczynniki proporcjonalności są takie same, czyli prostokąt jest podobny do podanego prostokąta.

Przedstawiony na rysunku wielościan powstał...

Rysunek pomocniczy:

Wielościan ma  krawędzi równej długości. Obliczamy długość jednej krawędzi:{premium}

  

 

Wielościan ma  ścian będących trójkątami równobocznymi o boku długości  Obliczamy pole jednego z nich:

  

 

Obliczamy pole powierzchni całkowitej wielościanu:

 

 

Do obliczenia objętości przypomnijmy, że spodek wysokości czworościanu dzieli wysokości trójkąta z podstawy

na odcinki o długości  i  gdzie  to wysokość trójkąta równobocznego.

Zatem odcinek  ma długość  

Obliczymy wysokość czworościanu  korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta  

 

 

 

 

 

 

Obliczamy objętość czworościanu  

 

 

Obliczamy objętość wielościanu powstałego przez sklejenie dwóch czworościanów:

  

 

Odp. Pole powierzchni całkowitej wielościanu wynosi  a jego objętość jest równa     

   

 

Rozwiąż układ równań

{premium}

Wstawiamy x do pierwszego równania:

 

 

Wstawiamy x do pierwszego równania:

 

Wstawiamy wyliczonego y do pierwszego równania:

 

     

Wykaż, że trójkąty...

a)

Wiemy, że kąty przy wierzchołkach K oraz R są proste, więc obydwa mają miarę .

Wiemy też, że obydwa kąty przy wierzchołku P, zaznaczone na czerwono mają taką samą miarę bo są kątami wierzchołkowymi, oznaczmy miarę kątów czerwonych jako .

Musimy w takim razie pokazać, że kąt przy wierzchołku M (fioletowy) jest równy kątowi przy wierzchołku (zielony).

 

Suma kątów w trójkącie wynosi 180^o:

{premium}

 

 

 


Miary poszczególnych par kątów są równe więc trójkąty są podobne.

 

 

b)

Analogicznie jak w przykładzie a:

 

Kąty przy wierzchołkach K oraz R są równe, ich miara wynosi  

Obydwa kąty przy wierzchołku są równe (kąty wierzchołkowe), ich miara wynosi .

Kąty przy wierzchołku M oraz są równe, ich miara wynosi:  

W związku z tym mamy wszystkie kąty równe, a więc trójkąty są podobne.  

 

c)

Kąty przy wierzchołkach K oraz R są równe, ich miara wynosi .
Kąt przy wierzchołku jest wspólny dla obydwu trójkątów, oznaczmy jego miarę jako .

Kąty przy wierzchołkach oraz są równe, ich miara wynosi  

W związku z tym mamy wszystkie kąty równe, a więc trójkąty są podobne.  

W wyniku 10-krotnego rzutu monetą otrzymano następujące wyniki: O, O, R, O, R, R, O, R, R, R,

Czy trójkąty o podanych długościach boków są podobne?

{premium}

Rozwiąż układ równań.

a)

 

Doprowadźmy równania do najprostszej postaci.

Dzielimy drugie równanie obustronnie przez -9, aby je uprościć.

{premium}

Układ równań rozwiążemy metodą podstawiania. 

Z drugiego równania obliczmy x.

Podstawiamy obliczony x do pierwszego równania.

Podstawiamy obliczony y do równania x=3-y.

 

Rozwiązaniem układu równań jest para liczb:

b)

Doprowadźmy równania do najprostszej postaci.

Rozwiążemy układ metodą przeciwnych współczynników.

W tym celu mnożymy drugie równania przez -2.

    

Dodajemy równania stronami.

Podstawiamy obliczony y do równania 2x+3y=-6, aby obliczyć x.

  

Rozwiązaniem układu równań jest para liczb:

Oblicz długość przekątnej ściany bocznej:

a) 

Ściany sześcianu są kwadratami o boku (a) długości 6 cm. 

  

Obliczamy, ile wynosi{premium} długość przekątnej ściany bocznej, czyli długość przekątnej kwadratu. 

 

 

Przekątna ściany bocznej sześcianu ma długość 6√2 cm.   

 

b) Podstawą prostopadłościanu jest kwadrat o boku długości 4 cm, czyli krawędzie podstaw mają długość 4 cm. 

  

Wysokość prostopadłościanu jest taka sama jak długość krawędzi bocznych. Wynosi ona 6 cm. 

  

Wszystkie ściany boczne są więc prostokątami o wymiarach 4 cm x 6 cm. 

Przekątna ściany bocznej, krawędź podstawy oraz krawędź boczna tworzą trójkąt prostokątny. 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczamy, ile wynosi długość przekątnej ściany bocznej. 

 

 

 

 

Przekątna ściany bocznej ma długość 2√13 cm.     

 

c) Podstawą graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest trójkąt równoboczny o boku długości 2 cm. 

Krawędź podstawy ma długość 2 cm. 

 

Wysokość graniastosłupa, a więc długość krawędzi bocznej, wynosi 8 cm.

 

Ściany boczne są więc prostokątami o wymiarach 2 cm x 8 cm. 

Krawędź podstawy, krawędź boczna oraz przekątna ściany bocznej tworzą trójkąt prostokątny.   

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczamy, ile wynosi długość przekątnej ściany bocznej. 

 

 

 

 

Przekątna ściany bocznej ma długość 2√17 cm.     

Wnętrze pucharka do lodów jest półkulą o

Obliczamy objętość półkuli o promieniu 6 cm- połowę objętości kuli o takim promieniu.

 

{premium}

Obliczamy objętości kulki lodów o średnicy 4cm.

r=4cm:2=2cm

 

Średnia wieku dwunastu członków szkolnej sekcji szachowej...

Oznaczmy jako  wiek opiekuna. 

Wówczas możemy zapisać średnia arytmetyczną wieku członków szkolnej sekcji szachowej,

razem z opiekunem, następująco: {premium}

 

Przekształcamy równanie i wyznaczamy  

  

     

 

 

Odp. Opiekun ma  lata.