Zastosowania matematyki - iii-gimnazjum - Baza Wiedzy

Pojęcie procentu i promila

Procent (symbol %) oznacza setną część danej wielkości, czyli procent to inny sposób zapisania ułamka o mianowniku 100.


Warto zapamiętać:

`100% = 1`  (całość)

`75%=3/4`   (trzy czwarte) 

`50%=1/2`   (połowa)

`25%=1/4`   (ćwierć)

`20%=1/5`   (jedna piąta)   

`10%=1/10`   (jedna dziesiąta)

`150%=1 1/2`   (półtora) 


Zapamiętaj!!!

W praktyce procent nigdy nie występuje samodzielnie, jest on zawsze ułamkiem pewnej konkretnej wielkości.



Promil (symbol `permille`) oznacza tysięczną część danej wielkości, czyli promil to inny sposób zapisania ułamka o mianowniku 1000. 

`n \ permille=n/1000` 


Przykłady:

`1 \ permille=1/1000`    

`2,5 \ permille=2,5/1000=25/(10 \ 000)` 

`36 \ permille=36/1000` 



Uwaga!!!
Zauważmy, że `1 \ permille = 1/1000`, a  `1%=1/100` . Oznacza to, że `1 \ permille` to 10 razy mniej niż `1%`.  

Zamiana procentu na ułamek

Procent można przedstawić w postaci ułamka mającego w liczniku daną liczbę (dany procent), a w mianowniku liczbę 100.

Zamiana procentu na ułamek polega na podzieleniu procentu przez 100 i usunięciu znaku %.

Procenty możemy przedstawiać zarówno w postaci ułamków zwykłych, jak i dziesiętnych.


Przykłady
:

  • `1%=1/100=0,01` 

  • `13%=13/100=0,13` 

  • `86,3%=(86,3)/100=(863)/1000=0,863`   

Zamiana liczby na procent

Aby zamienić liczbę na procent należy pomnożyć ją razy 100%.


Przykłady
:

  • `1=1*100%=100%` 

  • `3=3*100%=300%`   

  • `0,3=0,3*100%=30%`  

  • `1/4=1/strike4^1*strike100^25%=25%` 

  • `1 1/5=6/5=6/strike5^1*strike100^20%=6*20%=120%` 

Jaki to procent?

Aby dowiedzieć się jakim procentem jednej z liczb jest druga liczba wystarczy przedstawić te liczby w postaci ułamka zwykłego a następnie pomnożyć razy 100%. 

Należy pamiętać, że w mianowniku musi znaleźć się ta liczba, do której porównujemy daną liczbę. 


Przykłady:

  • Jakim procentem liczby 264 jest liczba 165?  [Liczbę 165 porównujemy z liczbą 264, więc liczba 264 musi znaleźć się w mianowniku.] 

    `165/264*100% = 55/88 * 100% = 5/strike8^2*strike100^25% = 5/2*25% = 125/2% = 62,5%` 

  • Jakim procentem liczby 150 jest liczba 30?  [Liczbę 30 porównujemy z liczbą 150, więc liczba 150 musi znaleźć się w mianowniku.]

    `30/150*100% = 1/5*100% = 20%`

Obliczanie procentu danej liczby

Aby dowiedzieć się jaka liczba jest pewnym procentem danej liczby wystarczy zamienić procent na ułamek zwykły i pomnożyć go razy tę daną liczbę.


Przykłady:

  • Ile to jest 43% liczby 300?

    `43%*300 = 43/strike100^1*strike300^3 = 43*3 = 129` 

  • Ile to jest 18% liczby 150?

    `18% *150 = 18/strike100^2 *strike150^3 = 18/2*3 = 9*3 = 27`

Obliczanie liczby, gdy dany jest jej procent

Gdy wiemy, że pewna liczba jest danym procentem drugiej liczby łatwo możemy znaleźć tą drugą liczbę.

Przykład: 

  • 70% pewnej liczby to 140.  

    10% tej liczby to 20 (10% to 7 razy mniej niż 70%, czyli wynosi 7 razy mniej niż 140). 

    100% tej liczby to 200 (100% to 10 razy więcej niż 10%, czyli wynosi 10 razy więcej niż 20). 

    Szukana liczba to 200. 

Czasami jednak musimy rozwiązać trudniejsze zadania. Wtedy warto użyć równania.


Przykład
:

  • 40% pewnej liczby (x - szukana liczba) to 70. Jaka to liczba?

    `40%*x=70` 

    `0,4*x=70` 

    `x=70:0,4` 

    `x=175` 

    Szukana liczba to 175.     

Lokaty bankowe

Gdy na konto bankowe wpłaca się pewną sumę pieniędzy, ważne jest oprocentowanie tego konta.

Oprocentowanie to pewna część (wyrażona w %) wpłaconych pieniędzy, które otrzymamy dodatkowo po upływie roku.

Otrzymane w ten sposób pieniądze to odsetki.


x
- wysokość oprocentowania 

`"odsetki"=x%*"wpłacone pieniądze"` 

`"czyli:"`

`"odsetki"=x/100*"wpłacone pieniądze"`  


Przykład:

Pan Robert wpłacił na konto 1500 zł. Oprocentowanie wynosiło 5%. Jaki będzie jego stan konta po upływie roku?

`"stan konta po roku"="wpłacone pieniądze" \ + \ "odsetki"`

`"odsetki"=5%*1500 \ "zł"=5/(1strike00)*15strike(00) \ "zł"=5*15 \ "zł"=75 \ "zł"`  

`"stan konta po roku"=1500 \ "zł"+75 \ "zł"=1575 \ "zł"` 

Odpowiedź: Po roku Pan Robert będzie miał na swoim koncie 1575 zł.

Podatek VAT i inne

  1. Podatek VAT

    W Polsce podatek VAT wynosi 23%, 8%, 7% i 4% od ceny towaru lub usługi.

    Oznacza to, że cena produktu jest wyższa o 23% (lub 8%, 7% i 4%), a pieniądze w ten sposób uzbierane sprzedawca musi przekazać do skarbu państwa.

    Cena brutto to cena towaru razem z podatkiem. Cena netto to cena samego towaru.


    `"cenna brutto" \ = \ "cena netto" \ + \ "VAT"` 

    `"cena brutto" \ = \ "cena netto" \ + \ 23% (8%, 7%, 4%)*"cena netto"` 


    Przykład
    :

    Cena netto pralki wynosi 3600 zł. VAT na sprzęt gospodarstwa domowego wynosi 23%. Ile wynosi cena brutto?
    `"cena brutto"=3600 \ "zł"+23%*3600 \ "zł"=3600 \ "zł"+23/(1strike(00))*36strike(00) \ "zł"=3600 \ "zł"+23*36 \ "zł"=` 
    `=3600 \ "zł"+828 \ "zł"=4428 \ "zł"` 

    Odpowiedź: Cena brutto pralki wynosi 4428 zł. 


  2. Podatek od dochodów

    W Polsce oprócz podatku VAT obowiązuje również podatek od dochodów. Podatek od dochodów wynosi 19%.

    Oznacza to, że obywatel musi odliczyć od zarobionych pieniędzy 19% i oddać je do skarbu państwa.

    Kwota netto to pieniądze, które zostają po odjęciu podatku, a kwota brutto to zarobki.


    `"kwota brutto" \ - \ 19%*"kwota brutto" \ = \ "kwota netto"` 


    Przykład:

    Pan Waldemar zarabia 31 000 zł rocznie. Ile zostanie pieniędzy panu Waldemarowi po odjęciu podatku?

    `"kwota netto" \ = \ 31 \ 000 \ "zł"-19%*31 \ 000 \ "zł"=31 \ 000 \ "zł"-19/(1strike(00))*31 \ 0strike(00) \ "zł"=` 
    `=31 \ 000 \ "zł"-19*310 \ "zł"=31 \ 000 \ "zł"-5890 \ "zł"=25 \ 110 \ "zł"` 

    Odpowiedź: Panu Waldemarowi po odjęciu podatku od dochodów zostanie 25 110 zł.

Odczytywanie diagramów

Diagramy służą do zobrazowania różnych danych. Pozwalają na szybsze odczytywanie informacji. Diagramy mogą być przedstawione w różnych formach. Diagram kołowy, słupkowy oraz liniowy to najbardziej popularne i najczęściej używane.

Diagram kołowy:

kolowy

Powyższy diagram przedstawia, jaki procent wśród polskiej młodzieży ma poszczególne zainteresowania.

Diagram słupkowy:

slupkowy

Diagram przedstawia ile średnio bramek zdobywał poszczególny klub w jednym meczu.

Diagram liniowy:

liniowy

Z tego diagramu możemy odczytać ile osób odwiedziło poszczególne muzeum w podanych godzinach.

Diagramy procentowe

Aby przedstawić dane liczbowe zapisane w procentach najlepiej jest posługiwać się diagramami procentowymi.

Diagram kołowy i słupkowy to dwa najbardziej popularne rodzaje diagramów.

  • Diagram kołowy

    diagram_kolowy


    Z przykładowego diagramu powyżej można odczytać ile osób głosowało na poszczególnych kandydatów.
    Widzimy, że na pana A głosowało 59% osób. Można więc powiedzieć, że gdyby w głosowaniu brało udział 100 osób to 59 z nich głosowałoby na pana A.
    Dalej widzimy że na panów B, C i D głosowało odpowiednio 23%, 10% i 9%.

  • Diagram słupkowy

    diagram_slupkowy

    Z powyższego diagramu można odczytać jaki procent osób danego miasta stanowią kobiety a jaki mężczyźni. 
    W mieście A mężczyźni stanowią 57% mieszkańców a kobiety 43% mieszkańców. Można więc powiedzieć, że jeśli w mieście A jest 100 mieszkańców, to 57 z nich to mężczyźni a 43 to kobiety.
    Ta sama zasada odnosi się do miast B i C.

Podział proporcjonalny

Podział proporcjonalny to podział danej wielkości na odpowiednie kawałki zgodnie z podanym stosunkiem. 

 

Przykład: 

Jak należy podzielić sznurek długości 70 cm w stosunku 2:5?

Stosunek 2:5 oznacza, że cały sznurek należy podzielić na 2+5=7 równych, małych części. Długość każdej części oznaczamy literą x. 

Pierwszy kawałek sznurka będzie składać się z 2 małych części, czyli jej długość to 2x. 

Drugi kawałek całego sznurka będzie składać się z 5 małych części, czyli jej długość to 5x.

Wiemy, że długość całego sznurka wynosi 70 cm. Czyli: 

`2x+5x=70` 

`7x=70 \ \ \ \ \ \ \ \ |:7` 

`x=10 \ \ \ ["cm"]`


Zatem: 

`2x=2*10=20 \ \ \ ["cm"]`

`5x=5*10=50 \ \ \ ["cm"]`


Odpowiedź: Sznurek podzielono na dwie części o długości 20 cm i 50 cm.   

Obliczanie prawdopodobieństw

Z doświadczeniami losowymi mamy do czynienia na co dzień. Rzut monetą, rzut sześcienną kostką do gry, wygrana na loterii czy numer nadjeżdżającego autobusu to tylko kilka z nich.

Zdarzenie losowe to pewna sytuacja możliwa do uzyskania podczas danego doświadczenia losowego, np. wyrzucenie parzystej liczby oczek na kostce do gry. 

W zdarzeniach losowych prawdopodobieństwo (oznaczmy go literą P) nastąpienia sytuacji, która nas interesuje oblicza się bardzo prosto (o ile każda z sytuacji jest jednakowo prawdopodobna). Jest to iloraz ilości sytuacji nas interesujących (np. autobusy nam odpowiadające) (ich ilość oznaczmy literą n) i ilości wszystkich możliwych sytuacji (np. wszystkie autobusy) (ich ilość oznaczmy literą N).

`P=n/N` 


Przykładowe zadania:

Zadanie 1.

Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowanie króla z talii 52 kart?

Wiemy, że w talii są 52 karty. W całej talii są 4 króle. 

Wszystkich możliwych wyników jest więc 52. Liczba interesujących nas wyników to 4. 

Prawdopodobieństwo (p) tego zdarzenia wynosi:

`p=4/52=1/13` 

Odpowiedź: Prawdopodobieństwo, że wylosujemy króla wynosi `1/13`

Zadanie 2.

Stoimy na przystanku. Na tym przystanku zatrzymuje się łącznie 8 autobusów. My możemy jechać tylko autobusem numer 234 oraz 123. Nadjeżdża autobus. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że będzie to jeden z autobusów, którymi możemy pojechać?


Wszystkich możliwych wyników jest 8. Liczba interesujących nas wyników to 2. 

Prawdopodobieństwo (p) tego zdarzenia wynosi:

`p=2/8=1/4`  

Odpowiedź: Prawdopodobieństwo nadjechania autobusu, który nam odpowiada wynosi `1/4`.

Zadanie 3.

Rzucamy dwa razy sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo, że suma oczek wyniesie 6.

Rzucając kostką dwukrotnie otrzymujemy 36 róznych kombinacji. Przedstawione są one na tabelce:

tabela

Liczby, które spełniają nasz warunek (suma wynosi 6) zostały pogrubione. Jest ich w sumie 5. 

Wszystkich możliwych wyników jest 36. Liczba interesujących nas wyników to 5. 

Prawdopodobieństwo (p) tego zdarzenia wynosi:

`p=5/36`  

Odpowiedź: Prawdopodobieństwo wynosi `5/36`


Zadanie 4.

Ze zbioru liczb 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ..., 19, 20 wybieramy losowo jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo, że wylosowana liczba jest podzielna przez 3.

Ze zbioru liczb 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ..., 19, 20 (jest ich w sumie 20) wypisujemy wszystkie liczby podzielne przez 3, czyli: 3, 6, 9, 12, 15, 18. Jest ich w sumie 6. 

Wszystkich możliwych wyników jest 20. Liczba interesujących nas wyników to 6. 

Prawdopodobieństwo (p) tego zdarzenia wynosi: 
 
`p=6/20=3/10` 

Odpowiedź: Prawdopodobieństwo w tym przypadku wynosi `3/10`

Zadanie 5.

Rzucamy 2 razy monetą. Oblicz prawdopodobieństwo, że dwa razy wypadnie reszka.

Na początek musimy wypisać wszystkie możliwe kombinacje rzutów tak więc: 

  • Orzeł i Orzeł
  • Orzeł i Reszka
  • Reszka i Reszka
  • Reszka i Orzeł

Pogrubiona została kombinacja, która spełnia nasz warunek. 

Wszystkich możliwych wyników jest 4. Liczba interesujących nas wyników to 1. 

Prawdopodobieństwo (p) tego zdarzenia wynosi:

`p=1/4`  
Odpowiedź: Prawdopodobieństwo w tym przypadku wynosi `1/4` . 

 

Zamiana jednostek

Jednostki długości:

  • `1 \ "cm"=10 \ "mm"` 

  • `1 \ "dm"=10 \ "cm"=100 \ "mm"` 

  • `1 \ "m"=10 \ "dm"=100 \ "cm"=1000 \ "mm"` 

  • `1 \ "km"=1000 \ "m"=100 \ 000 \ "cm"=1 \ 000 \ 000 \ "mm"` 

 

Jednostki wagi: 

  • `1 \ "g"=1000 \ "mg"` 

  • `1 \ "dag"=10 \ "g"` 

  • `1 \ "kg"=100 \ "dag"=1000 \ "g"` 

  • `1 \ "t"=1000 \ "kg"=100 \ 000 \ "dag"=1 \ 000 \ 000 \ "g"`   



Jednostki czasu: 

  • `1 \ "min" = 60 \ "s"` 

  • `1 \ "h" = 60 \ "min" = 3600 \ "s"` 

  • `1 \ "kwadrans" \ - \ 15 \ "min"` 

  • `1 \ "doba" - 24 \ "h"` 

  • `1 \ "tydzień" \ - \ 7 \ "dni"` 

  • `1 \ "rok" \ - \ 12 \ "miesięcy"` 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Oszacuj wyniki działań. Podkreśl jedną kreską działania, których wynik jest mniejszy od 50 (...)

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

 

 

Uzupełnij zdania: a) liczba 7·10⁶ jest .... razy większa od 7·10⁴.

a) Liczba `7*10^6`  jest 100 razy większa od `7*10^4`    (bo `(7*10^6)/(7*10^4)=(10^6)/(10^4)=10^6:10^4=10^(6-4)=10^2=10*10=100` )

 

b) Liczba `3,12*10^9` jest 1000 razy mniejsza od `3,12*10^12`   (bo `(3,12*10^12)/(3,12*10^9)=(10^12)/(10^9)=10^12:10^9=10^(12-9)=10^3=10*10*10=1000` )

 

c) Liczba `7,2*10^11` jest 6 razy większa od `1,2*10^11`   (bo `(7,2*10^11)/(1,2*10^11)=(7,2)/(1,2)=72/12=36/6=6/1=6` )

 

d) Liczba `3*10^8` jest 20 razy mniejsza od `6*10^9`   (bo `(6*10^9)/(3*10^8)=6/3*(10^9)/(10^8)=2*(10^9:10^8)=2*10^(9-8)=2*10^1=2*10=20` )    

Jeśli przeczytałeś notkę historyczną z podręcznika to wiesz, że w starożytnym Rzymie zasady (...)

MCCCCLXII oznacza 1462, poprawny zapis to MCDLXII

MCCCC to 1400 (4 liczby C zapisane obok siebie oznaczają 4 razy po 100)

{premium}

CCMXXXX oznacza 840, poprawny zapis to DCCCXL

CCM oznacza, że od 1000 (M) odejmujemy 200 (CC), ponieważ CC zapisano po lewej stronie M, XXXX oznacza 4 razy po 10, czyli 40

 

MIM oznacza 1999, poprawny zapis to MCMXCIX

IM oznacza 999, ponieważ I (1) zapisano na lewo od M (1000), a 1000-1=999

 

MMMCXXC oznacza 3180, poprawny zapis to MMMCLXXX

XXC oznacza 80, ponieważ XX (20) zapisano po lewej stronie C (100), co oznacza, że od 100 odejmujemy 20

Wstaw znak < lub >: a) (-5)⁷ ... 5⁶, (...)

Kilka przydatnych obserwacji:

1) przy podnoszeniu liczby ujemnej do potęgi parzystej minus znika, więc wynik jest dodatni, a przy podnoszeniu do potęgi nieparzystej wynik jest ujemny (np. `(-3)^2=(-3)*(-3)=9` , ale `(-3)^3=(-3)*(-3)*(-3)=9*(-3)=-27` ){premium}

2) podnoszenie liczby mniejszej od 1 do coraz większych potęg sprawia, że wynik jest coraz mniejszy (np. `0,1^2=0,1*0,1=0,01` , `0,1^3=0,1*0,1*0,1=0,001` , `0,001<0,01` )

3) podnoszenie liczby większej od 1 do coraz większych potęg sprawia, że wynik jest coraz większy (np. `2^2=2*2=4` , `2^3=2*2*2=8` , `8>2` )

4) podnoszenie liczby do potęgi ujemnej to podnoszenie do potęgi nieujemnej jej odwrotności (np. `(1/2)^(-2)=(2/1)^2=2^2=2*2=4`  ,  

rownanie matematyczne  )

5) jeśli dwie różne liczby są podnoszone do takich samych potęg większych od 0, to większy wynik uzyskamy podnosząc do potęgi większą z nich (np. `3>2` , więc `3^100>2^100` )

 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne  jest liczbą ujemną (patrz 1)), a `5^6` jest liczbą dodatnią, więc `(-5)^7<5^6` 

rownanie matematyczne     (patrz 2))

rownanie matematyczne   (patrz 3))

rownanie matematyczne   (patrz 5)) 

 `e)\ 3^(-4)=(1/3)^4`   ,   `3^(-5)=(1/3)^5` ,   `3^(-4)>3^(-5)`     (patrz 2))

rownanie matematyczne  ,  `(1/3)^(-5)=(3/1)^5=3^5` ,  `(1/3)^(-4)<(1/3)^(-5)`   (patrz 3))

rownanie matematyczne , więc `1/(1,2)>1/(1,21)` 

  `1,2^(-10)=(1/(1,2))^10` ,  `1,21^(-10)=(1/(1,21))^10` 

rownanie matematyczne   (patrz 5))

 

rownanie matematyczne , więc `1/(0,8)>1/(0,81)` 

rownanie matematyczne   (analogicznie jak g))  

Wykonaj obliczenia. Skreśl litery odpowiadające otrzymanym wynikom. Pozostałe litery, (...)

rownanie matematyczne  

rownanie matematyczne `sqrt(2/10*20/1)=` `sqrt(2/1*2/1)=sqrt(2^2)=2` {premium}

rownanie matematyczne `(-12/10)=` `1/4+12/10=0,25+1,2=1,45` 

rownanie matematyczne `1/15*(-10/1)=` `-10/15=-2/3` 

rownanie matematyczne  

rownanie matematyczne `1/3*1/3=1/9` 

 

Hasło: root

 

oblicz

a) rownanie matematyczne

b) rownanie matematyczne

c) rownanie matematyczne

d) rownanie matematyczne

e) (rownanie matematyczne

f) rownanie matematyczne

g)rownanie matematyczne

h) rownanie matematyczne

i)rownanie matematyczne

j)rownanie matematyczne

k)rownanie matematyczne

l)rownanie matematyczne

m)rownanie matematyczne

n)rownanie matematyczne

o)rownanie matematyczne

Podaj nazwy liczb zapisanych poniżej: 5·10^9

rownanie matematyczne to 5 miliardów{premium}

rownanie matematyczne to 30 bilionów

rownanie matematyczne to 1 biliard 

rownanie matematyczne to 1 biliard

Przedstaw iloraz w postaci potęgi o wykładniku ujemnym

rownanie matematyczne rownanie matematyczne rownanie matematyczne

rownanie matematyczne rownanie matematyczne rownanie matematyczne  ` ` rownanie matematyczne rownanie matematyczne rownanie matematyczne

 

Wskaż wspólne czynniki licznika i mianownika, a następnie wykonaj działania

rownanie matematyczne rownanie matematyczne

rownanie matematyczne rownanie matematyczne rownanie matematyczne

rownanie matematyczne rownanie matematyczne

rownanie matematyczne rownanie matematyczne

Wykonaj działania

rownanie matematyczne `[-7/3*(3/7)*(-1/8)]^(-2)=(-1/8)^(-2)=64`{premium}

rownanie matematyczne  rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne  rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne rownanie matematyczne rownanie matematyczne