Liczby i wyrażenia algebraiczne - iii-gimnazjum - Baza Wiedzy

System dziesiątkowy

System dziesiątkowy to system, w którym do napisania danej liczby użyjemy cyfr od 0 do 9. Liczby mogą być całkowite, mogą mieć rozwinięcie dziesiętne lub mogą być zapisane w postaci notacji wykładniczej.

  1. Liczby całkowite

    Przykłady: $$3478$$; $$87251029$$; $$12377311$$; $$11$$; $$-675$$

  2. Liczby z rozwinięciem dziesiętnym

    Przykłady: 12,675; 4,008 ; 5.8

  3. Notacja wykładnicza

    Notacja wykładnicza to przedstawienie najczęściej dużej liczby w postaci iloczynu liczby o module większym lub równym 1, a mniejszym od 10 i potęgi liczby 10.

    $$ a×{10}^n $$ -> $$ 1≤|a|<10 $$

    Przykłady: $$ 14678000= 1,4678×{10}^7 $$$$0,000987=9,87×{10}^4 $$

 

System rzymski

W systemie rzymskim do zapisania liczby używamy zdecydowanie mniej znaków niż w systemie dziesiątkowym. Za pomocą 7 znaków (liter) : I, V, X, L, C, D i M jesteśmy w stanie ułożyć każdą liczbę naturalną od 1 do 3999.

Do każdego znaku jest przypisana inna wartość:

  • I -> 1
  • V -> 5
  • X -> 10
  • L -> 50
  • C -> 100
  • D -> 500
  • M -> 1000

Zasady zapisywania liczb w systemie rzymskim:

  1. Możemy zapisać maksymalnie 3 takie same znaki koło siebie. Mogą być to tylko znaki I, X, C i M. Inne znaki nie mogą występować koło siebie.

    Przykłady:

    • VIII -> $$ 5+1+1+1 =8 $$
    • MMCCC -> $$1000+1000+100+100+100=2300 $$
  2. Gdy znak, który ma większą wartość poprzedza znak o mniejszej wartości to wówczas liczymy różnicę tych dwóch wartości.

    Przykłady:

    • IX -> $$10-1=9$$
    • XCC -> $$(100-10)+100=190$$
  3. Gdy liczby (znaki) są ustawione od największej do najmniejszej to wówczas dodajemy ich wartości.

    Przykład:

    • MMDCLVII -> $$ 1000+1000+500+100+50+5+1+1=2657$$
 

Rodzaje liczb

Liczby dzielą się na:

  1. Liczby naturalne
  2. Liczby całkowite
  3. Liczby wymierne
  4. Liczby niewymierne

1. Liczby naturalne są najbardziej podstawowe, służą do określania, ile elementów jest w jakimś zbiorze, np. 3 jabłka w koszyku, 5 jabłek w koszyku itd. Zero też jest liczbą naturalną (powszechnie uznawane na poziomie gimnazjum)!
Przykłady: 0,1,2,3,4,5,6,7....

2. Liczby całkowite to wszystkie liczby naturalne oraz wszystkie liczby przeciwne do jakiejś liczby naturalnej (np. liczbą przeciwną do 5 jest -5, przeciwną do 18 jest -18, a przeciwną do 0 jest 0). Zatem liczby całkowite to wszystkie takie, które występują w postaci jednej „pełnej” liczby (jak liczby naturalne), ale mogą być zarówno dodatnie jak i ujemne.
Przykłady: -3,-2,-1,0,1,2,3....

3. Liczby wymierne to wszystkie takie, które da się przedstawić za pomocą ułamka zwykłego (licznik i mianownik są całkowite). Liczby naturalne i całkowite to liczby wymierne!

Przykłady: : $$ 23/45 $$, $$36/1$$, 4, -5, 88....

4. Liczb niewymiernych nie da się przedstawić za pomocą ułamka zwykłego, a zapis w postaci ułamka dziesiętnego miałby nieskończenie wiele cyfr po przecinku, których kolejność wciąż by się zmieniała (nie dałoby się wyodrębnić okresu, patrz niżej). Przykłady: π=3,14…
 

Kilka zależności:
  1. wszystkie liczby naturalne są całkowitymi
  2. wszystkie liczby naturalne i całkowite są liczbami wymiernymi
  3. wszystkie liczby całkowite dodatnie to liczby naturalne
 

Podstawowe działania na liczbach

Podstawowe działania matematyczne na liczbach to dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie oraz potęgowanie i pierwiastkowanie. Najważniejsza jest kolejność wykonywania poszczególnych działań.

Kolejność wykonywania działań:

  1. wykonywanie działań w nawiasach
  2. potęgowanie i pierwiastkowanie
  3. mnożenie i dzielenie
  4. dodawanie i odejmowanie
 

Działania na potęgach i pierwiastkach

Działania na potęgach:

  • $$k^a×k^b=k^{(a+b)} $$

    Przykład: $$5^7×5^3=5^10$$

  • $$k^a÷k^b=k^{(a-b)} $$

    Przykład: $$4^7÷4^3=4^4$$

  • $${(k^a)}^b=k^{a×b} $$

    Przykład: $${(8^2)}^3=8^6$$

  • potegi1

    Przykład: potegi2

  • $${(a×b)}^n=a^n×b^n $$

    Przykład: $${(6×7)}^3=6^3×7^3$$

  • $${(a÷b)}^n=a^n÷b^n={a^n}/{b^n} $$

    Przykład: $${(4/7)}^3={4^3}/{7^3} $$

 

Działania na pierwiastkach:

  • $$ √k×√l=√{k×l} $$

    Przykład: $$√3×√2=√6$$

  • $$√{a÷b}=√a÷√b={√a}/{√b} $$

    Przykład: $$√{6÷2}=√6÷√2=√6/√2 $$

Usuwanie niewymierności z mianownika polega na usunięciu pierwiastka niemającego rozwiązania wymiernego.

$$ a/√b={a√b}/b $$

Przykład:

$$ 3/{2√2}={3√2}/{2×2}={3√2}/4 $$
 

Oczliczenia procentowe

Słowo procent (symbol %) pochodzi od łacińskiego wyrażenia pro centum oznaczającego na sto. Można więc powiedzieć że procent to nic innego jak ułamek mający w liczniku daną liczbę ( dany procent ), a w mianowniku liczbę 100.

$$ p%=p/100 $$
 

Przykłady:

  • $$13%= 13/{100} $$
  • $$75%= 75/{100}=3/4 $$
  • $$0,78=78% $$

Czasami pojawia się również pojęcie promil (symbol ‰). Promil jest bardzo podobny do procentu tylko zamiast na sto oznacza na tysiąc.

$$ p‰=p/{1000} $$

Przekształcanie wyrażeń algebraicznych

Wyrażenia algebraiczne - działania, w których obok liczb i znaków występują także litery. Służą do przedstawienia ogólnych wzorów, zwrotów, twierdzeń oraz równań i nierówności.

Aby doprowadzić wyrażenie do prostszej postaci należy posługiwać się działaniami takimi jak:

  • dodawanie i odejmowanie wyrazow podobnych

    $$ ab+3ab-4ab+5ab=4ab-4ab+5ab=5ab $$
  • wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias

    $$bk+bl-bc=b(k+l-c) $$
  • mnożenie jednomianów przez sumy algbraiczne

    $$a(b+c)=(a×b)+(a×c)=ab+ac$$
  • mnożenie sum algebraicznych

    $$(m+n)(k+l)=m(k+l)+n(k+l)=mk+ml+nk+nl$$
 

Przypomnienie wzorów skróconego mnożenia:

  1. $$ {(a+b)}^2=a^2+2ab+b^2 $$
  2. $$ {(a-b)}^2=a^2-2ab+b^2 $$
  3. $$ (a+b)(a-b)=a^2-b^2 $$
 

Układy równań

Układ równań to układ dwóch (lub więcej) łączących się równań, w których występują dwie (lub więcej) niewiadome.

Przykład:

ukladrownan

Przy rozwiązywaniu układów równań posługujemy się dwoma metodami: metodą podstawiania i przeciwnych współczynników.

Metoda podstawiania polega na wyznaczeniu z jednego równania jednej niewiadomej w stosunku do drugiej. Następnie otrzymane równanie podstawić do drugiego.

 

Metoda przeciwnych współczynników polega na takim doprowadzeniu dwóch równań by po odjęciu jednego od drugiego zostało równanie z jedną niewiadomą. Jak to zrobić? Wystarczy znaleźć w jednym równaniu jednomian, który w drugim będzie jego odwrotnością.

 

Układy równań mogą mieć jedno rozwiązanie, żadnego lub nieskończenie wiele.

  • Układ oznaczony to taki, który ma jedno rozwiązanie.
  • Układ nieoznaczony to taki, który ma nieskończoną ilość rozwiązań.
  • Układ sprzeczny to taki, który nie ma żadnego rozwiązania.
 

Pamiętaj!

$$a/b=c/d$$ -> $$a×d=c×b$$

Spis treści

3 szkoły podstawowej
4 szkoły podstawowej
5 szkoły podstawowej
6 szkoły podstawowej
7 szkoły podstawowej
II gimnazjum
III gimnazjum
Matura podstawowa
Matura rozszerzona
Rozwiązane zadania
Oblicz 270% liczby a, jeżeli a

`a=[(sqrt(16/9))^2+(2 1/3)^2]:` `[(2,5)^6*(2/5)^6]=[16/9+(7/3)^2]:` `[(2,5)^6*(0,4)^6]=(16/9+49/9):(2,5*0,4)^6=` `=65/9:1^6=7 2/9:1=7 2/9`

`270%*7 2/9=27/10*65/9=195/10=19,5`

Przedstaw iloczyn w postaci potęgi o wykładniku dodatnim

`a^(-3)*a^2*a^(-10)=a^(-11)=(1/a)^11`

`(1/a)^(-2)*(1/a)^4*(1/a)^0=(1/a)^2`

`(1/a)^(-6)*a^(-4)*(1/a)=a^6*a^(-4)*a^(-1)=a^1`

`a^7*(1/a)^2*a^(-8)=` `(1/a)^(-7)*(1/a)^2*(1/a)^8=(1/a)^3`

Zapisz, używając notacji wykładniczej. a) 5 mm = ... m

`"a)"\ 5\ "mm"=5*10^-3\ "m"`

 

`"b)"\ 1,2\ "mm"=1,2*10^-6\ "km"`

 

`"c)"\ 6\ "cm"=6*10^-2\ "m"`

 

`"d)"\ 8\ "dm"=8*10^-4\ "km"`

 

`"e)"\ 5\ "g"=5*10^-3\ "kg"`

 

`"f)"\ 2\ "mg"=2*10^-6\ "kg"`

 

`"g)"\ 3\ "dag"=3*10^-5\ "t"`

 

`"h)"\ 6\ "kg"=6*10^-3\ "t"`

 

`"i)"\ 5\ "ml"=5*10^-3\ "l"`

 

`"j)"\ 10\ "l"=10^-1\ "hl"`

 

`"k)"\ 3\ "ml"=3*10^-5\ "hl"`

 

`"l)"\ 5\ "mg"=5*10^-3\ "g"`

Wskaż wspólne czynniki licznika i mianownika, a następnie wykonaj działania

`(3^2*2^(-1))/(2*3^3)=(3^2)/(3^3)*(2^(-1))/2=` `3^(-1)*2^(-2)=1/3*1/4=1/12`

`(4^(-3):4^(-2)+2^(-2))/(5^(-4)*5^3)=` `(4^(-1)+(1/2)^2)/(5^(-1))=` `(1/4+1/4)/(1/5)=2/4*5=10/4=2 1/2`

`((1/3)^4*5^(-2))/(3^(-2)*(1/5)^4)=` `(3^(-4))/(3^(-2))*(5^(-2))/(5^(-4))=3^(-2)*5^2=1/9*25=2 7/9`

`(3^(-1)*(1/3)^(-1)-7^(-5):7^(-6))/((1/7)^2:7^(-1))=` `(3^(-1)*3-7)/(7^(-2):7^(-1))=(3^0-7)/(7^(-1))=(1-7)/(1/7)=-6*7=-42`

Od dnia urodzin Karola upłynęło 3600 dni, od urodzin ...

Karol: 

`3600 \ "dni":7 \ > \ 3500 \ "dni":7=500 \ "tygodni"`  

Karol ma więcej niż 500 tygodni. 


Krystian: 

Krystian ma 500 tygodni, więc jest na pewno młodszy od Karola. 


Marcin: 

`125 \ "miesięcy" \ > \ 125*4 \ "tygodni"=500 \ "tygodni"` 

`\ \ \ \ \ \ \ \ ("miesiąc" \ > \ 4 \ "tygodnie")`    

Marcin ma więcej niż 500 tygodni.  


Mateusz: 

`10 \ "lat" \ = \ 120 \ "miesięcy"` 

Mateusz ma 120 miesięcy, czyli mniej niż 125 miesięcy, zatem jest on młodszy od Marcina.  



Najstarszy będzie więc Karol lub Marcin, gdyż mają więcej niż 500 tygodni. 

Karol ma 3600 dni. 

Marcin ma: 

`125 \ "miesięcy" \ > \ 125*30 \ "dni"=3750 \ "dni"`  

`\ \ \ \ \ \ \ \ ("miesiąc" \ > \ 30 \ "dni")` 

 

`3600 \ "dni" \ < \ 3750 \ "dni"`    

Oznacza to, że najstarszy jest Marcin. 


Poprawna odpowiedź to: C. Marcin

a) Podaj przykład liczby większej od 1/5 i mniejszej od 1/3.

a) `1/5=3/15=6/30`

`\ \ \ 1/3=5/15=10/30`

Przykłady liczb: `7/30, \ \ 8/30, \ \ 9/30, \ \ 1/4`

 

b) `-1/4=-25/100=-0,25`

Przykłady liczb: `-0,26,  \ \ -0,5, \ \ -0,79, \ \ -0,65`  

 

c) Liczba przeciwna do `-1 5/7` to `1 5/7`

`-1 5/7=-12/7` 
Liczba odwrotna do `-1 5/7`  to  `-7/12` .   

 

d) Są to liczby: 2, 3

Oblicz.

`a) \ 3/4+2/3:(-8/12)=3/4+2/3:(-2/3)=3/4+2/3*(-3/2)=3/4+(-1)=3/4-1=-1/4`  

`b) \ ((2-1/7)*3)/(2+0,6)=(1 6/7*3)/(2,6)=(13/7*3)/(26/10)=(39/7)/(13/5)=39/7:13/5=strike39^3/7*5/strike13^1=3/7*5=15/7=2 1/7`    

`c) \ (1/3+2/7):(1-1/9)+3/7=(7/21+6/21):8/9+3/7=13/21:8/9+3/7=13/strike21^7*strike9^3/8+3/7=13/7*3/8+3/7=39/56+3/7=39/56+24/56=63/56=1 7/56=1 1/8`   

`d) \ (strike2^1*5/strike6^3)^2-(3^2-sqrt(1 7/9))=(5/3)^2-(9-sqrt(16/9))=25/9-(9-4/3)=25/9-(9-1 1/3)=25/9-7 2/3=`    

 `\ \ \ \ =25/9-23/3=25/9-69/9=-44/9=-4 8/9` 
  

`e) \ [(-2/3)^2:8/9]^(-1)=[strike4^1/strike9^1*strike9^1/strike8^2]^(-1)=(1/2)^(-1)=2`     

`f) \ 1,6*7/16-(2,7)/(3^3)=strike16^1/10*7/strike16^1-(27/10)/27=7/10-(27/10)/27=7/10-27/10:27=7/10-strike27^1/10*1/strike27^1=7/10-1/10=6/10=3/5`     ``

a) 12,5% kwoty 1600 zł - ile to złotych? , (...)

`a) \ \ 12,5%*1600 \ "zł"=(12,5)/(1strike(00))*16strike(00) \ "zł"=12,5*16 \ "zł"=200 \ "zł"` 

12,5% kwoty 1600 zł to 200 zł.  

 

`b) \ \ 150%*x=330` 

`150/100x=330`

`3/2x=330 \ \ \ \ \ \ \ \ |*2` 

`3x=660 \ \ \ \ \ \ \ |:3` 

`x=220`   

150% liczby 220 to 330. 

 

`c) \ \ 3%*x=12` 

`3/100x=12 \ \ \ \ \ \ \ \ |*100` 

`3x=1200 \ \ \ \ \ \ \ |:3`  `3x=1200`

`x=400` 

3% liczby 400 to 12. 

 

`d) \ \ (240 \ "zł")/(200 \ "zł")=240/200=24/20=12/10=120/100=120%` 

Kwota 240 zł stanowi 120% kwoty 200 zł.  

 

`e) \ \ 1,5%*x=300` 

`(1,5)/100x=300`  

`15/1000x=300 \ \ \ \ \ \ \ \|*1000` 

`15x=300 \ 000 \ \ \ \ \ \ \ \ \ |:15` 

`x=20 \ 000` 

1,5% kwoty 20 000 zł wynosi 300 zł.   

Uzupełnij tabele tak, aby wielkości x i y były wielkościami odwrotnie

`a)`

`x*y=2,5*6=15` 

`x`  `2`  `15:4=15/4=3 3/4=3,75`  `3`  `2,5`  `5` 
`y`  `15:2=7,5`   `4`  `15:3=5`  `6`  `15:5=3` 



 

 

 

`b)` 

`x*y=4*1,5=6` 

 

`x`  `1`  `6:10,=0,6`  `2`  `6:5=1,2`  `4` 
`y`  `6:1=6`  `10`  `6:2=3`  `5`  `1,5` 



 

 

 `c)` 

`x*y=5*1,2=6` 

 

`x`  `6:3=2`  `1,5`  `6:4=1,5`  `5`  `6:2=3` 
`y`  `3`  `6:1,5=4`  `4`  `1,2`  `2` 

 

 

`d)` 

`x*y=42*0,1=4,2` 

 

`x`  `4,2:7=0,6`   `1,4`  `4,2:3,5=42/35=6/5=1,2`  `4,2:21=0,2`  `42` 
`y`  `7`  `4,2:1,4=3`  `3,4`  `21`  `0,1` 





Rozwiąż równania podane w postaci proporcji.

Proporcję rozwiązujemy mnożąc na krzyż.
 

`a) \ \ x/2=5/6` 

`x*6=2*5` 

`6x=10 \ \ \ \ \ \ \ \ |:6` 

`x=10/6=5/3`

 

`b)  \ \ x/2=(x+1)/4` 

`x*4=2(x+1)` 

`4x=2x+2 \ \ \ \ \ \ \ \ |-2x` 

`2x=2 \ \ \ \ \ \  |:2` 

`x=1`

 

`c) \ \ (2(x-1))/3=(x+2)/5` 

`2(x-1)*5=3*(x+2)`

`10(x-1)=3x+6`

`10x-10=3x+6 \ \ \ \ \ \ \ |+10` 

`10x=3x+16 \ \ \ \ \ \ |-3x`  

`7x=16 \ \ \ \ \ \ \ \ |:7`  

`x=16/7`

 

`d) \ \ (x-1)/(x+3)=x/(x+1)` 

`(x-1)(x+1)=(x+3)x` 

`x^2-1=x^2+3x \ \ \ \ \ \ \ |-x^2`  

`-1=3x \ \ \ \ \ \ \ \ |:3` 

`x=-1/3`

 

`e) \ \ (2a+1)/(2a)=(a+3)/(a-1)` 

`(2a+1)(a-1)=2a(a+3)`

`2a^2-2a+a-1=2a^2+6a \ \ \ \ \ \ \ \ |-2a^2` 

`-a-1=6a \ \ \ \ \ \ \ |+a`  

`-1=7a \ \ \ \ \ \ \ \ \ |:7` 

`a=-1/7`

 

`f) \ \ (b-2)/(b+1)=b/(b-3)`  

`(b-2)(b-3)=(b+1)b` 

`b^2-3b-2b+6=b^2+b`

`b^2-5b+6=b^2+b \ \ \ \ \ \ |-b^2` 

`-5b+6=b \ \ \ \ \ \ \ |+5b` 

`6=6b \ \ \ \ \ \ \ |:6` 

`b=1`