Liczby i wyrażenia algebraiczne - iii-gimnazjum - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Liczby i wyrażenia algebraiczne - iii-gimnazjum - Baza Wiedzy

System dziesiątkowy

System dziesiątkowy to system, w którym do napisania danej liczby użyjemy cyfr od 0 do 9. Liczby mogą być całkowite, mogą mieć rozwinięcie dziesiętne lub mogą być zapisane w postaci notacji wykładniczej.

  1. Liczby całkowite

    Przykłady: $3478$; $87251029$; $12377311$; $11$; $-675$

  2. Liczby z rozwinięciem dziesiętnym

    Przykłady: 12,675; 4,008 ; 5.8

  3. Notacja wykładnicza

    Notacja wykładnicza to przedstawienie najczęściej dużej liczby w postaci iloczynu liczby o module większym lub równym 1, a mniejszym od 10 i potęgi liczby 10.

    $ a×{10}^n $ -> $ 1≤|a|<10 $

    Przykłady: $ 14678000= 1,4678×{10}^7 $$0,000987=9,87×{10}^4 $

 

System rzymski

System rzymski jest systemem zapisywania liczb, który w przeciwieństwie do zapisu pozycyjnego, pozwala zapisać liczby przy pomocy znaków o zawsze ustalonej wartości.


W systemie rzymskim do zapisania liczby używamy zdecydowanie mniej znaków niż w systemie dziesiątkowym.

Za pomocą 7 znaków (liter) : I, V, X, L, C, D i M jesteśmy w stanie ułożyć każdą liczbę naturalną od 1 do 3999.

Do każdego znaku przypisano inną wartość. 

Wyróżniamy cyfry podstawowe:

  • I = 1
  • X = 10
  • C = 100
  • M = 1000 

oraz cyfry pomocnicze:

  • V = 5
  • L = 50 
  • D = 500


Zasady zapisywania liczb w systemie rzymskim
:

  1. Możemy zapisać maksymalnie 3 takie same cyfry podstawowe (czyli I, X, C, M) obok siebie.

    Cyfry pomocnicze (czyli V, L, D) nie mogą występować obok siebie.

    Przykłady:

    • VIII  `->`   `5+1+1+1=8` 

    • MMCCC  `->`   `1000+1000+100+100+100=2300` 

  2. W celu uproszczenia wielu zapisów dopuszcza się umieszczenie cyfry podstawowej o mniejszej wartości przed cyfrą o większej wartości.

    W takim jednak przypadku od wartości większej liczby odejmujemy wartość mniejszej liczby.

    Przykłady:

    • IX  `->`   `10-1=9` 

    • CD  `->`   `500-100=400` 

  3. Gdy liczby (znaki) są ustawione od największej do najmniejszej to wówczas dodajemy ich wartości.

    Przykłady:

    • MMDCLVII  `->`   `1000+1000+500+100+50+5+1+1=2657`   

    • CXXVII  `->`   `100+10+10+5+1+1=127`   

 

Ciekawostka

System rzymski pochodzi od wysoko rozwiniętej cywilizacji Etrusków (ok. 500 r. p.n.e.).

Początkowo zapisywano liczby za pomocą pionowych kresek I, II, III, IIII, IIIII, ... .

Rzymianie przejęli cyfry od Etrusków i poddali je pewnym modyfikacjom oraz udoskonaleniom, co dało początki dzisiaj znanemu systemowi rzymskiemu.

Cyfr rzymskich używano na terenie imperium aż do jego upadku w V w. n.e.

W średniowieczu stały się standardowym systemem liczbowym całej łacińskiej Europy. Pod koniec tej epoki zaczęto coraz częściej używać cyfr arabskich, prostszych i wygodniejszych do obliczeń oraz zapisywania dużych liczb.

System rzymski stopniowo wychodził z codziennego użycia, chociaż do dziś jest powszechnie znany w Europie i stosowany do wielu celów.

Rodzaje liczb

Liczby dzielą się na:

  1. Liczby naturalne
  2. Liczby całkowite
  3. Liczby wymierne
  4. Liczby niewymierne

1. Liczby naturalne są najbardziej podstawowe, służą do określania, ile elementów jest w jakimś zbiorze, np. 3 jabłka w koszyku, 5 jabłek w koszyku itd. Zero też jest liczbą naturalną (powszechnie uznawane na poziomie gimnazjum)!
Przykłady: 0,1,2,3,4,5,6,7....

2. Liczby całkowite to wszystkie liczby naturalne oraz wszystkie liczby przeciwne do jakiejś liczby naturalnej (np. liczbą przeciwną do 5 jest -5, przeciwną do 18 jest -18, a przeciwną do 0 jest 0). Zatem liczby całkowite to wszystkie takie, które występują w postaci jednej „pełnej” liczby (jak liczby naturalne), ale mogą być zarówno dodatnie jak i ujemne.
Przykłady: -3,-2,-1,0,1,2,3....

3. Liczby wymierne to wszystkie takie, które da się przedstawić za pomocą ułamka zwykłego (licznik i mianownik są całkowite). Liczby naturalne i całkowite to liczby wymierne!

Przykłady: : $ 23/45 $, $36/1$, 4, -5, 88....

4. Liczb niewymiernych nie da się przedstawić za pomocą ułamka zwykłego, a zapis w postaci ułamka dziesiętnego miałby nieskończenie wiele cyfr po przecinku, których kolejność wciąż by się zmieniała (nie dałoby się wyodrębnić okresu, patrz niżej). Przykłady: π=3,14…
 

Kilka zależności:
  1. wszystkie liczby naturalne są całkowitymi
  2. wszystkie liczby naturalne i całkowite są liczbami wymiernymi
  3. wszystkie liczby całkowite dodatnie to liczby naturalne
 

Podstawowe działania na liczbach

Podstawowe działania matematyczne na liczbach to dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie oraz potęgowanie i pierwiastkowanie. Najważniejsza jest kolejność wykonywania poszczególnych działań.

Kolejność wykonywania działań:

  1. wykonywanie działań w nawiasach
  2. potęgowanie i pierwiastkowanie
  3. mnożenie i dzielenie
  4. dodawanie i odejmowanie
 

Działania na potęgach i pierwiastkach

Działania na potęgach:

  • $k^a×k^b=k^{(a+b)} $

    Przykład: $5^7×5^3=5^10$

  • $k^a÷k^b=k^{(a-b)} $

    Przykład: $4^7÷4^3=4^4$

  • ${(k^a)}^b=k^{a×b} $

    Przykład: ${(8^2)}^3=8^6$

  • potegi1

    Przykład: potegi2

  • ${(a×b)}^n=a^n×b^n $

    Przykład: ${(6×7)}^3=6^3×7^3$

  • ${(a÷b)}^n=a^n÷b^n={a^n}/{b^n} $

    Przykład: ${(4/7)}^3={4^3}/{7^3} $

 

Działania na pierwiastkach:

  • $ √k×√l=√{k×l} $

    Przykład: $√3×√2=√6$

  • $√{a÷b}=√a÷√b={√a}/{√b} $

    Przykład: $√{6÷2}=√6÷√2=√6/√2 $

Usuwanie niewymierności z mianownika polega na usunięciu pierwiastka niemającego rozwiązania wymiernego.

$ a/√b={a√b}/b $

Przykład:

$ 3/{2√2}={3√2}/{2×2}={3√2}/4 $
 

Oczliczenia procentowe

Słowo procent (symbol %) pochodzi od łacińskiego wyrażenia pro centum oznaczającego na sto. Można więc powiedzieć że procent to nic innego jak ułamek mający w liczniku daną liczbę ( dany procent ), a w mianowniku liczbę 100.

$ p%=p/100 $
 

Przykłady:

  • $13%= 13/{100} $
  • $75%= 75/{100}=3/4 $
  • $0,78=78% $

Czasami pojawia się również pojęcie promil (symbol ‰). Promil jest bardzo podobny do procentu tylko zamiast na sto oznacza na tysiąc.

$ p‰=p/{1000} $

Przekształcanie wyrażeń algebraicznych

Wyrażenia algebraiczne - działania, w których obok liczb i znaków występują także litery. Służą do przedstawienia ogólnych wzorów, zwrotów, twierdzeń oraz równań i nierówności.

Aby doprowadzić wyrażenie do prostszej postaci należy posługiwać się działaniami takimi jak:

  • dodawanie i odejmowanie wyrazow podobnych

    $ ab+3ab-4ab+5ab=4ab-4ab+5ab=5ab $
  • wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias

    $bk+bl-bc=b(k+l-c) $
  • mnożenie jednomianów przez sumy algbraiczne

    $a(b+c)=(a×b)+(a×c)=ab+ac$
  • mnożenie sum algebraicznych

    $(m+n)(k+l)=m(k+l)+n(k+l)=mk+ml+nk+nl$
 

Przypomnienie wzorów skróconego mnożenia:

  1. $ {(a+b)}^2=a^2+2ab+b^2 $
  2. $ {(a-b)}^2=a^2-2ab+b^2 $
  3. $ (a+b)(a-b)=a^2-b^2 $
 

Układy równań

Układ równań to układ dwóch (lub więcej) łączących się równań, w których występują dwie (lub więcej) niewiadome.

Przykład:

ukladrownan

Przy rozwiązywaniu układów równań posługujemy się dwoma metodami: metodą podstawiania i przeciwnych współczynników.

Metoda podstawiania polega na wyznaczeniu z jednego równania jednej niewiadomej w stosunku do drugiej. Następnie otrzymane równanie podstawić do drugiego.

 

Metoda przeciwnych współczynników polega na takim doprowadzeniu dwóch równań by po odjęciu jednego od drugiego zostało równanie z jedną niewiadomą. Jak to zrobić? Wystarczy znaleźć w jednym równaniu jednomian, który w drugim będzie jego odwrotnością.

 

Układy równań mogą mieć jedno rozwiązanie, żadnego lub nieskończenie wiele.

  • Układ oznaczony to taki, który ma jedno rozwiązanie.
  • Układ nieoznaczony to taki, który ma nieskończoną ilość rozwiązań.
  • Układ sprzeczny to taki, który nie ma żadnego rozwiązania.
 

Pamiętaj!

$a/b=c/d$ -> $a×d=c×b$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Dany jest wykres funkcji f. Przedstaw ...

a) 

x -5 -3 0 2 4 5
y 5 3 0 -1 5 1
{premium}

 

b) 

x -5 -3 0 1 2
y 3 1 2 5 4

 

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz ...
Istnieje funkcja, której argument 0 nie jest jej miejscem zerowym.  P F
Istnieje funkcja, której każdy argument jest jej miejscem zerowym.  P F


Pierwszy wiersz w tabelce

Jeżeli do wykresu funkcji należy np. punkt o współrzędnych (0,2) to argument x = 0 nie jest miejscem zerowym tej funkcji.  


Drugi wiersz w tabelce: 

Funkcja, która każdej liczbie ze zbioru X = {1, 2, 3, 4, 5, 6} przyporządkowuje wartość 0 to funkcja, której każdy argument jest miejscem zerowym.

Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego...

Rysunek pomocniczy:

Mamy dane:

 

 

Obliczamy pole {premium}podstawy tego graniastosłupa:  

 

 

 

 

 

Podstawą graniastosłupa jest trójkąt równoboczny.

Ze wzoru na pole trójkąta równobocznego wyznaczamy długość krawędzi podstawy:

 

 

 

 

Ze wzoru na pole powierzchni bocznej wyznaczamy długość krawędzi bocznej (wysokość) graniastosłupa:

 

 

 

 

Odp. Krawędź podstawy graniastosłupa wynosi  a krawędź boczna ma długość           

   

W ramce obok zamieszczono cennik...

 Gdy wypożyczamy sprzęt na  dni, to koszt wypożyczenia jednego kajaka wynosi   a jednej kanadyjki  dziennie.{premium}

Zatem musimy pomnożyć odpowiednio podane ceny przez ilość dni oraz przez ilość wypożyczanego sprzętu.

Mamy:

 

Koszt wypożyczenia  kajaków i  kanadyjek opisuje zatem wyrażenie  

Obliczamy wartość powyższego wyrażenia dla podanych  i          

 

 

 Gdy wypożyczamy sprzęt na  dni, to koszt wypożyczenia jednego kajaka wynosi  

a jednej kanadyjki  dziennie.

Zatem musimy pomnożyć odpowiednio podane ceny przez ilość dni oraz przez ilość wypożyczanego sprzętu.

Mamy:

  

Koszt wypożyczenia  kajaków i  kanadyjek opisuje zatem wyrażenie  

Obliczamy wartość powyższego wyrażenia dla podanych  i          

 

Prostokątny kartonik o wymiarach...

a)

 

{premium}  

 

 

 

 

 

 

b) 

 

 

 

 

 

Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej ...

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku. 

Przekrojem walca jest prostokąt, którego krótszy bok ma długość 6 cm. Przekątna tego prostokąta ma długość 10 cm. 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczamy, ile {premium}wynosi długość dłuższego boku prostokąta / wysokości walca. 

 

 

 

 

Wysokość walca ma długość 8 cm.


Średnica podstawy (d) walca ma długość 6 cm.

 

Promień podstawy ma więc długość:

 


Obliczamy, ile wynosi objętość walca.

 

 


Obliczamy, ile wynosi pole powierzchni całkowitej.

 

 


Odpowiedź:
Objętość walca wynosi 72π cm3. Pole powierzchni całkowitej wynosi 66π cm2.    

Ostrosłup i graniastosłup prosty mają takie...

Ostrosłup i graniastosłup mają takie same podstawy, więc ich pola postawy są równe.

Mamy podaną objętość ostrosłupa, więc możemy wyznaczyć jego wysokość. 

Przypomnijmy wzór:{premium}

 

 

Wyliczamy z powyższego wzoru  traktując  jako znaną wartość.

 

 

Wiemy, że wysokość graniastosłupa jest dwukrotnie większa niż wysokość ostrosłupa, czyli:

 

Obliczamy objętość graniastosłupa:

    

 

Odp. Objętość graniastosłupa wynosi    

Oceń prawdziwość każdego z poniższych zdań...

Zdanie jest fałszywe. W kwadracik należy wpisać F. Kontrprzykład:  {premium}

Zdanie  jest prawdziwe. W kwadracik należy wpisać P. 

Zdanie jest prawdziwe, bo iloczyn liczb o przeciwnych znakach jest zawsze liczbą

ujemną. W kwadracik należy wpisać P.

Zdanie jest fałszywe. W kwadracik należy wpisać F. Kontrprzykład:   

Zdanie jets prawdziwe. W kwadracik należy wpisać P.

 

Wskaż...

Wielkości odwrotnie proporcjonalne:

{premium}

masa i przyspieszenie przy stałej sile

Dwa prostokąty są podobne. Ich boki mogą mieć wymiary

4mm=0,4cm

6dm=60cm

{premium}

                                            nie

0,3dm=3cm  

1,6dm = 16cm

                                             tak

30 cm = 3dm

                                             nie

90mm = 9cm

                                             nie