Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Liczby i wyrażenia algebraiczne - iii-gimnazjum - Baza Wiedzy

System dziesiątkowy

System dziesiątkowy to system, w którym do napisania danej liczby użyjemy cyfr od 0 do 9. Liczby mogą być całkowite, mogą mieć rozwinięcie dziesiętne lub mogą być zapisane w postaci notacji wykładniczej.

  1. Liczby całkowite

    Przykłady: $$3478$$; $$87251029$$; $$12377311$$; $$11$$; $$-675$$

  2. Liczby z rozwinięciem dziesiętnym

    Przykłady: 12,675; 4,008 ; 5.8

  3. Notacja wykładnicza

    Notacja wykładnicza to przedstawienie najczęściej dużej liczby w postaci iloczynu liczby o module większym lub równym 1, a mniejszym od 10 i potęgi liczby 10.

    $$ a×{10}^n $$ -> $$ 1≤|a|<10 $$

    Przykłady: $$ 14678000= 1,4678×{10}^7 $$$$0,000987=9,87×{10}^4 $$

 

System rzymski

System rzymski jest systemem zapisywania liczb, który w przeciwieństwie do zapisu pozycyjnego, pozwala zapisać liczby przy pomocy znaków o zawsze ustalonej wartości.


W systemie rzymskim do zapisania liczby używamy zdecydowanie mniej znaków niż w systemie dziesiątkowym.

Za pomocą 7 znaków (liter) : I, V, X, L, C, D i M jesteśmy w stanie ułożyć każdą liczbę naturalną od 1 do 3999.

Do każdego znaku przypisano inną wartość. 

Wyróżniamy cyfry podstawowe:

  • I = 1
  • X = 10
  • C = 100
  • M = 1000 

oraz cyfry pomocnicze:

  • V = 5
  • L = 50 
  • D = 500


Zasady zapisywania liczb w systemie rzymskim
:

  1. Możemy zapisać maksymalnie 3 takie same cyfry podstawowe (czyli I, X, C, M) obok siebie.

    Cyfry pomocnicze (czyli V, L, D) nie mogą występować obok siebie.

    Przykłady:

    • VIII  `->`   `5+1+1+1=8` 

    • MMCCC  `->`   `1000+1000+100+100+100=2300` 

  2. W celu uproszczenia wielu zapisów dopuszcza się umieszczenie cyfry podstawowej o mniejszej wartości przed cyfrą o większej wartości.

    W takim jednak przypadku od wartości większej liczby odejmujemy wartość mniejszej liczby.

    Przykłady:

    • IX  `->`   `10-1=9` 

    • CD  `->`   `500-100=400` 

  3. Gdy liczby (znaki) są ustawione od największej do najmniejszej to wówczas dodajemy ich wartości.

    Przykłady:

    • MMDCLVII  `->`   `1000+1000+500+100+50+5+1+1=2657`   

    • CXXVII  `->`   `100+10+10+5+1+1=127`   

 

Ciekawostka

System rzymski pochodzi od wysoko rozwiniętej cywilizacji Etrusków (ok. 500 r. p.n.e.).

Początkowo zapisywano liczby za pomocą pionowych kresek I, II, III, IIII, IIIII, ... .

Rzymianie przejęli cyfry od Etrusków i poddali je pewnym modyfikacjom oraz udoskonaleniom, co dało początki dzisiaj znanemu systemowi rzymskiemu.

Cyfr rzymskich używano na terenie imperium aż do jego upadku w V w. n.e.

W średniowieczu stały się standardowym systemem liczbowym całej łacińskiej Europy. Pod koniec tej epoki zaczęto coraz częściej używać cyfr arabskich, prostszych i wygodniejszych do obliczeń oraz zapisywania dużych liczb.

System rzymski stopniowo wychodził z codziennego użycia, chociaż do dziś jest powszechnie znany w Europie i stosowany do wielu celów.

Rodzaje liczb

Liczby dzielą się na:

  1. Liczby naturalne
  2. Liczby całkowite
  3. Liczby wymierne
  4. Liczby niewymierne

1. Liczby naturalne są najbardziej podstawowe, służą do określania, ile elementów jest w jakimś zbiorze, np. 3 jabłka w koszyku, 5 jabłek w koszyku itd. Zero też jest liczbą naturalną (powszechnie uznawane na poziomie gimnazjum)!
Przykłady: 0,1,2,3,4,5,6,7....

2. Liczby całkowite to wszystkie liczby naturalne oraz wszystkie liczby przeciwne do jakiejś liczby naturalnej (np. liczbą przeciwną do 5 jest -5, przeciwną do 18 jest -18, a przeciwną do 0 jest 0). Zatem liczby całkowite to wszystkie takie, które występują w postaci jednej „pełnej” liczby (jak liczby naturalne), ale mogą być zarówno dodatnie jak i ujemne.
Przykłady: -3,-2,-1,0,1,2,3....

3. Liczby wymierne to wszystkie takie, które da się przedstawić za pomocą ułamka zwykłego (licznik i mianownik są całkowite). Liczby naturalne i całkowite to liczby wymierne!

Przykłady: : $$ 23/45 $$, $$36/1$$, 4, -5, 88....

4. Liczb niewymiernych nie da się przedstawić za pomocą ułamka zwykłego, a zapis w postaci ułamka dziesiętnego miałby nieskończenie wiele cyfr po przecinku, których kolejność wciąż by się zmieniała (nie dałoby się wyodrębnić okresu, patrz niżej). Przykłady: π=3,14…
 

Kilka zależności:
  1. wszystkie liczby naturalne są całkowitymi
  2. wszystkie liczby naturalne i całkowite są liczbami wymiernymi
  3. wszystkie liczby całkowite dodatnie to liczby naturalne
 

Podstawowe działania na liczbach

Podstawowe działania matematyczne na liczbach to dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie oraz potęgowanie i pierwiastkowanie. Najważniejsza jest kolejność wykonywania poszczególnych działań.

Kolejność wykonywania działań:

  1. wykonywanie działań w nawiasach
  2. potęgowanie i pierwiastkowanie
  3. mnożenie i dzielenie
  4. dodawanie i odejmowanie
 

Działania na potęgach i pierwiastkach

Działania na potęgach:

  • $$k^a×k^b=k^{(a+b)} $$

    Przykład: $$5^7×5^3=5^10$$

  • $$k^a÷k^b=k^{(a-b)} $$

    Przykład: $$4^7÷4^3=4^4$$

  • $${(k^a)}^b=k^{a×b} $$

    Przykład: $${(8^2)}^3=8^6$$

  • potegi1

    Przykład: potegi2

  • $${(a×b)}^n=a^n×b^n $$

    Przykład: $${(6×7)}^3=6^3×7^3$$

  • $${(a÷b)}^n=a^n÷b^n={a^n}/{b^n} $$

    Przykład: $${(4/7)}^3={4^3}/{7^3} $$

 

Działania na pierwiastkach:

  • $$ √k×√l=√{k×l} $$

    Przykład: $$√3×√2=√6$$

  • $$√{a÷b}=√a÷√b={√a}/{√b} $$

    Przykład: $$√{6÷2}=√6÷√2=√6/√2 $$

Usuwanie niewymierności z mianownika polega na usunięciu pierwiastka niemającego rozwiązania wymiernego.

$$ a/√b={a√b}/b $$

Przykład:

$$ 3/{2√2}={3√2}/{2×2}={3√2}/4 $$
 

Oczliczenia procentowe

Słowo procent (symbol %) pochodzi od łacińskiego wyrażenia pro centum oznaczającego na sto. Można więc powiedzieć że procent to nic innego jak ułamek mający w liczniku daną liczbę ( dany procent ), a w mianowniku liczbę 100.

$$ p%=p/100 $$
 

Przykłady:

  • $$13%= 13/{100} $$
  • $$75%= 75/{100}=3/4 $$
  • $$0,78=78% $$

Czasami pojawia się również pojęcie promil (symbol ‰). Promil jest bardzo podobny do procentu tylko zamiast na sto oznacza na tysiąc.

$$ p‰=p/{1000} $$

Przekształcanie wyrażeń algebraicznych

Wyrażenia algebraiczne - działania, w których obok liczb i znaków występują także litery. Służą do przedstawienia ogólnych wzorów, zwrotów, twierdzeń oraz równań i nierówności.

Aby doprowadzić wyrażenie do prostszej postaci należy posługiwać się działaniami takimi jak:

  • dodawanie i odejmowanie wyrazow podobnych

    $$ ab+3ab-4ab+5ab=4ab-4ab+5ab=5ab $$
  • wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias

    $$bk+bl-bc=b(k+l-c) $$
  • mnożenie jednomianów przez sumy algbraiczne

    $$a(b+c)=(a×b)+(a×c)=ab+ac$$
  • mnożenie sum algebraicznych

    $$(m+n)(k+l)=m(k+l)+n(k+l)=mk+ml+nk+nl$$
 

Przypomnienie wzorów skróconego mnożenia:

  1. $$ {(a+b)}^2=a^2+2ab+b^2 $$
  2. $$ {(a-b)}^2=a^2-2ab+b^2 $$
  3. $$ (a+b)(a-b)=a^2-b^2 $$
 

Układy równań

Układ równań to układ dwóch (lub więcej) łączących się równań, w których występują dwie (lub więcej) niewiadome.

Przykład:

ukladrownan

Przy rozwiązywaniu układów równań posługujemy się dwoma metodami: metodą podstawiania i przeciwnych współczynników.

Metoda podstawiania polega na wyznaczeniu z jednego równania jednej niewiadomej w stosunku do drugiej. Następnie otrzymane równanie podstawić do drugiego.

 

Metoda przeciwnych współczynników polega na takim doprowadzeniu dwóch równań by po odjęciu jednego od drugiego zostało równanie z jedną niewiadomą. Jak to zrobić? Wystarczy znaleźć w jednym równaniu jednomian, który w drugim będzie jego odwrotnością.

 

Układy równań mogą mieć jedno rozwiązanie, żadnego lub nieskończenie wiele.

  • Układ oznaczony to taki, który ma jedno rozwiązanie.
  • Układ nieoznaczony to taki, który ma nieskończoną ilość rozwiązań.
  • Układ sprzeczny to taki, który nie ma żadnego rozwiązania.
 

Pamiętaj!

$$a/b=c/d$$ -> $$a×d=c×b$$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Oblicz pole powierzchni całkowitej półkuli,...

`"Znamy objętość półkuli zatem możemy obliczyć jej promień:"` 

`42 2/3Pi= 1/2*4/3Pi r^3` 
`128/3 Pi=2/3Pi*r^3` 
`r^3=128/3 *3/2` 
`r^3=64` 
`r=4` 


`"Pole powierzchni całkowitej tej półkuli to suma pól koła wielkiego i powierzchni bocznej tej półkuli:"` 

`P_c= Pi*4^2+1/2*4Pi*4^2= Pi*16+2Pi*16= 16Pi+32Pi= 48Pi` 

Piaskownica ma wymiary (zewnętrzne) 4 m x 3 m...

Rysunek pomocniczy:

Objętość murku obliczymy jako różnicę objętości prostopadłościanu o wymiarach `4\ "m"xx3\ "m"xx\ 30\ "cm"` 

i prostopadłościanu o wymiarach `3,6\ "m"xx2,6\ "m"xx30\ "cm".` 

Obliczamy objętość piaskownicy z murkiem:

`V_1=4*3*0,3=12*0,3=3,6\ "m"^3` 

Obliczamy objętość piaskownicy bez murku:

`V_2=3,6*2,6*0,3=2,808\ "m"^3` 

Obliczamy objętość murku:

`V_3=V_1-V_2` 

`V_3=3,6-2,808=0,792 \"m"^3` 

Odp. Do wykonania tego murku zużyto `0,792\ "m"^3` betonu.      

  

Ania ma 14 lat, jej mama 36, a tata 37 lat...

Wiemy, że:


Ania ma 14 lat

Mama Ani ma 36 lat

Tata Ani ma 37 lat

obliczmy liczbę lat, po upłynięciu, których ta trójką będzie mieć w sumie 114 lat:

`[114-(14+36+37)]:3=[114-87]:3=27:3=bb9` 


Odp.: Ania, jej mama i tata będą mieć w sumie 114 lat za 9 lat.

Trójkąt prostokątny o przyprostokątnych...

Dane:

`a = 3\ cm` 

`b = 4\ cm`  

Obliczmy długość trzeciego boku tego trójkąta korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

`c^2 = a^2 + b^2` 

`c^2 = (3\ cm)^2 + (4\ cm)^2` 

`c^2 = 9\ cm^2 + 16\ cm^2` 

`c^2 = 25\ cm^2 \ \ \ \ \ |sqrt(\ )` 

`sqrt(c^2) = sqrt(25\ cm^2)`  

`c = 5\ cm` 

 

`a)` 

Chcemy, żeby odwód był jak największy, czyli punkt będący środkiem symetrii znajduje się w połowie najkrótszego boku tego trójkąta.

Obwód powstałej figury będzie wynosił:

`l = 5\ cm + 4\ cm + 5\ cm + 4\ cm` 

`l = 18\ cm` 

 

`b)` 

Prosta powinna przechodzić przez najkrótszy bok tego trójkąta, aby zostały odbite dwa dłuższe boki.

 

Obwód powstałej figury będzie wynosił:

`l = 5\ cm + 4\ cm + 5\ cm + 4\ cm` 

`l = 18\ cm` 

Dwa prostokąty są podobne w skali k=1,5

`a-b=10cm*1,5=15cm` 

`a+b=45cmtoa=30cm\ \;b=15cm` 

`P=15cm*30cm=450cm^2` 

mały ptrostokąt `p=P:k^2=200cm^2`

W ostrosłupie prawidłowym pięciokątnym...

`"a)"` Rysunek pomocniczy ściany bocznej:

 

`a=2\ "dm"` 

`b=10\ "dm"` 

Obliczamy wysokość ściany bocznej, korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta `DBC:` 

`h^2+(a/2)^2=b^2` 

`h^2+1^2=10^2` 

`h^2=99` 

`h=3sqrt11\ "dm"` 

Obliczamy pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa:

`P_b=5*1/2ah` 

`P_b=5/2*2*3sqrt11=15sqrt11\ "dm"^2` 

Odp. Pole powierzchni bocznej ostrosłupa jest równe `15sqrt11\ "dm"^2.` 

 

`"b)"` Mamy:

`P_c=56sqrt2\ "cm"^2` 

`P_b=2P_p,` czyli `P_p=1/2P_b` 

`P_c=P_p+P_b=1/2P_b+P_b=3/2P_b` 

Podstawiamy do powyższego równania wartość `P_c` i wyznaczamy pole powierzchni bocznej ostrosłupa:       

`56sqrt2=3/2P_b\ "/"*2/3` 

`P_b=(112sqrt2)/3\ "cm"^2`  

Ostrosłup jest ostrosłupem prawidłowym ośmiokątnym, więc  ma osiem ścian bocznych o jednakowych polach.

Wyznaczamy pole jednej ściany bocznej:

`P_Delta=1/8P_b` 

`P_Delta=1/8*(112sqrt2)/3=(14sqrt2)/3\ "cm"^2`  

Odp. Pole ściany bocznej jest równe `(14sqrt2)/3\ "cm"^2.` 

  

Punkty A, B i C są wierzchołkami...

Aby sprawdzić, czy trójkąt o podanych wierzchołkach jest równoramienny musimy obliczyć długości odcinków łączących poszczególne punkty. Długość odcinka o końcach `A=(x_A,  y_A)`  i `B=(x_B,  y_B)`  ma postać:

`d_|AB| = sqrt((x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2)` 

gdzie d|AB| jest długością tego odcinka.

 

`a)` 

Podane punkty to: `A= (0,  -3);  B= (3,  1);  C=(2,  6)  .`  

Obliczamy długości poszczególnych odcinków:

`d_|AB| = sqrt((3-0)^2 + (1-(-3))^2)=sqrt(3^2 + (1+3)^2) = sqrt(3^2 + 4^2) = sqrt(9 +16)=sqrt(25) = 5` 

`d_|BC| = sqrt((2-3)^2 + (6-1)^2)=sqrt((-1)^2 + 5^2) = sqrt(1 + 25) = sqrt(26)` 

`d_|AC| = sqrt((2-0)^2 + (6-(-3))^2) = sqrt(2^2 + (6+3)^2) =sqrt(2^2 + 9^2) = sqrt(4 + 81) = sqrt(85)` 

Odp.: Każdy bok trójkąta ma inną długość, czyli nie jest to trójkąt równoramienny.

 

`b)`  

Podane punkty to: `A= (1,  -10);  B= (-1,  -5);  C=(3,  -3)  .`  

Obliczamy długości poszczególnych odcinków:

`d_|AB| = sqrt((-1-1)^2 + (-5-(-10))^2)=sqrt((-2)^2 + (-5+10)^2) = sqrt((-2)^2 + 5^2) = sqrt(4 +25)=sqrt(29)` 

`d_|BC| = sqrt((3-(-1))^2 + (-3-(-5))^2)=sqrt((3+1)^2 + (-3+5)^2) = sqrt(4^2 + 2^2) = sqrt(16 + 4) = sqrt(20)=sqrt(4*5)=2sqrt5` 

`d_|AC| = sqrt((3-1)^2 + (-3-(-10))^2) = sqrt(2^2 + (-3+10)^2) =sqrt(2^2 + 7^2) = sqrt(4 + 49) = sqrt(53)` 

Odp.: Każdy bok trójkąta ma inną długość, czyli nie jest to trójkąt równoramienny.

 

`c)` 

Podane punkty to: `A= (-4,  -6);  B= (1,  -5);  C=(-3,  -1)  .`  

Obliczamy długości poszczególnych odcinków:

`d_|AB| = sqrt((1-(-4))^2 + (-5-(-6))^2)=sqrt((1+4)^2 + (-5+6)^2) = sqrt(5^2 + 1^2) = sqrt(25 +1)=sqrt(26)` 

`d_|BC| = sqrt((-3-1)^2 + (-1-(-5))^2)=sqrt((-4)^2 + (-1+5)^2) = sqrt((-4)^2+4^2) =sqrt(16 + 16) = sqrt(16*2)=4sqrt(2)` 

`d_|AC| = sqrt((-3-(-4))^2 + (-1-(-6))^2) = sqrt((-3+4)^2 + (-1+6)^2) =sqrt(1^2 + 5^2) = sqrt(1 + 25) = sqrt(26)` 

Odp.: Zauważmy że odcinki d|AB| i d|AC| mają taką samą długość, czyli jest to trójkąt równoramienny.

W klasach drugich liczących 120 osób przeprowadzono...

a) Obliczmy ile osób wytrzyma pod wodą 140 sekund:

`120*5%= 120*5/100=60/10=6` 


Obliczmy ile osób wytrzyma pod wodą 120 sekund:

`120*45%=120*45/100=540/10=54` 


Obliczmy ile osób wytrzyma pod wodą 100 sekund:

`120*20%=120*20/100=240/10=24` 


Obliczmy ile osób wytrzyma pod wodą 80 sekund:

`120*25%=120*25/100=300/10=30` 


Obliczmy ile osób wytrzyma pod wodą 60 sekund:

`120*5%= 120*5/100=60/10=6` 



Obliczmy średnią arytmetyczną tych wyników:

`(140*6+120*54+100*24+80*30+60*6)/120=(840+6480+2400+2400+360)/120=12480/120=bb104` 


b) Medianą jest wynik: `(120+100)/2=bb110`  

c) Wartość modalna tego testu wynosi 120

Bryły przedstawione na rysunkach mają...

Obliczamy pole powierzchni całkowitej walca:

`P_W=2pi*3^2+2pi*3*4=2pi*9+2pi*12=18pi+24pi=42pi` 

Obliczamy pole powierzchni kuli: 

`P_K=4pi*3^2=4pi*9=36pi` 

Obliczamy długość tworzącej stożka: 

`3^2+6^2=l^2` 

`9+36=l^2` 

`45=l^2` 

`l=3sqrt5` 

Obliczamy pole powierzchni całkowitej stożka:    

`P_S=pi*6^2+pi*6*3sqrt5=36pi+18sqrt5pi` 

Odp. Najmniejsze pole powierzchni ma kula, a największe stożek.

Oblicz pole trapezu równoramiennego, którego podstawy wynoszą 15 cm i 35 cm, a ramię ma 26 cm długości.

Połowa różnicy między dolną i górną podstawą (czyli ½ (35 - 15) = ½ 20 = 10 cm) tworzy razem z ramieniem  (26 cm) i wysokością (h) trójkąt prostokątny. Z tw. Pitagorasa:

`h^2+10^2=26^2`

`h=sqrt(26^2-10^2)=sqrt(676-100)=sqrt576=24cm`

Pole trapezu jest równe:

`(15+35)/2*24=50*12=600cm^2`