Liczby i wyrażenia algebraiczne - iii-gimnazjum - Baza Wiedzy

System dziesiątkowy

System dziesiątkowy to system, w którym do napisania danej liczby użyjemy cyfr od 0 do 9. Liczby mogą być całkowite, mogą mieć rozwinięcie dziesiętne lub mogą być zapisane w postaci notacji wykładniczej.

  1. Liczby całkowite

    Przykłady: $$3478$$; $$87251029$$; $$12377311$$; $$11$$; $$-675$$

  2. Liczby z rozwinięciem dziesiętnym

    Przykłady: 12,675; 4,008 ; 5.8

  3. Notacja wykładnicza

    Notacja wykładnicza to przedstawienie najczęściej dużej liczby w postaci iloczynu liczby o module większym lub równym 1, a mniejszym od 10 i potęgi liczby 10.

    $$ a×{10}^n $$ -> $$ 1≤|a|<10 $$

    Przykłady: $$ 14678000= 1,4678×{10}^7 $$$$0,000987=9,87×{10}^4 $$

 

System rzymski

W systemie rzymskim do zapisania liczby używamy zdecydowanie mniej znaków niż w systemie dziesiątkowym. Za pomocą 7 znaków (liter) : I, V, X, L, C, D i M jesteśmy w stanie ułożyć każdą liczbę naturalną od 1 do 3999.

Do każdego znaku jest przypisana inna wartość:

  • I -> 1
  • V -> 5
  • X -> 10
  • L -> 50
  • C -> 100
  • D -> 500
  • M -> 1000

Zasady zapisywania liczb w systemie rzymskim:

  1. Możemy zapisać maksymalnie 3 takie same znaki koło siebie. Mogą być to tylko znaki I, X, C i M. Inne znaki nie mogą występować koło siebie.

    Przykłady:

    • VIII -> $$ 5+1+1+1 =8 $$
    • MMCCC -> $$1000+1000+100+100+100=2300 $$
  2. Gdy znak, który ma większą wartość poprzedza znak o mniejszej wartości to wówczas liczymy różnicę tych dwóch wartości.

    Przykłady:

    • IX -> $$10-1=9$$
    • XCC -> $$(100-10)+100=190$$
  3. Gdy liczby (znaki) są ustawione od największej do najmniejszej to wówczas dodajemy ich wartości.

    Przykład:

    • MMDCLVII -> $$ 1000+1000+500+100+50+5+1+1=2657$$
 

Rodzaje liczb

Liczby dzielą się na:

  1. Liczby naturalne
  2. Liczby całkowite
  3. Liczby wymierne
  4. Liczby niewymierne

1. Liczby naturalne są najbardziej podstawowe, służą do określania, ile elementów jest w jakimś zbiorze, np. 3 jabłka w koszyku, 5 jabłek w koszyku itd. Zero też jest liczbą naturalną (powszechnie uznawane na poziomie gimnazjum)!
Przykłady: 0,1,2,3,4,5,6,7....

2. Liczby całkowite to wszystkie liczby naturalne oraz wszystkie liczby przeciwne do jakiejś liczby naturalnej (np. liczbą przeciwną do 5 jest -5, przeciwną do 18 jest -18, a przeciwną do 0 jest 0). Zatem liczby całkowite to wszystkie takie, które występują w postaci jednej „pełnej” liczby (jak liczby naturalne), ale mogą być zarówno dodatnie jak i ujemne.
Przykłady: -3,-2,-1,0,1,2,3....

3. Liczby wymierne to wszystkie takie, które da się przedstawić za pomocą ułamka zwykłego (licznik i mianownik są całkowite). Liczby naturalne i całkowite to liczby wymierne!

Przykłady: : $$ 23/45 $$, $$36/1$$, 4, -5, 88....

4. Liczb niewymiernych nie da się przedstawić za pomocą ułamka zwykłego, a zapis w postaci ułamka dziesiętnego miałby nieskończenie wiele cyfr po przecinku, których kolejność wciąż by się zmieniała (nie dałoby się wyodrębnić okresu, patrz niżej). Przykłady: π=3,14…
 

Kilka zależności:
  1. wszystkie liczby naturalne są całkowitymi
  2. wszystkie liczby naturalne i całkowite są liczbami wymiernymi
  3. wszystkie liczby całkowite dodatnie to liczby naturalne
 

Podstawowe działania na liczbach

Podstawowe działania matematyczne na liczbach to dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie oraz potęgowanie i pierwiastkowanie. Najważniejsza jest kolejność wykonywania poszczególnych działań.

Kolejność wykonywania działań:

  1. wykonywanie działań w nawiasach
  2. potęgowanie i pierwiastkowanie
  3. mnożenie i dzielenie
  4. dodawanie i odejmowanie
 

Działania na potęgach i pierwiastkach

Działania na potęgach:

  • $$k^a×k^b=k^{(a+b)} $$

    Przykład: $$5^7×5^3=5^10$$

  • $$k^a÷k^b=k^{(a-b)} $$

    Przykład: $$4^7÷4^3=4^4$$

  • $${(k^a)}^b=k^{a×b} $$

    Przykład: $${(8^2)}^3=8^6$$

  • potegi1

    Przykład: potegi2

  • $${(a×b)}^n=a^n×b^n $$

    Przykład: $${(6×7)}^3=6^3×7^3$$

  • $${(a÷b)}^n=a^n÷b^n={a^n}/{b^n} $$

    Przykład: $${(4/7)}^3={4^3}/{7^3} $$

 

Działania na pierwiastkach:

  • $$ √k×√l=√{k×l} $$

    Przykład: $$√3×√2=√6$$

  • $$√{a÷b}=√a÷√b={√a}/{√b} $$

    Przykład: $$√{6÷2}=√6÷√2=√6/√2 $$

Usuwanie niewymierności z mianownika polega na usunięciu pierwiastka niemającego rozwiązania wymiernego.

$$ a/√b={a√b}/b $$

Przykład:

$$ 3/{2√2}={3√2}/{2×2}={3√2}/4 $$
 

Oczliczenia procentowe

Słowo procent (symbol %) pochodzi od łacińskiego wyrażenia pro centum oznaczającego na sto. Można więc powiedzieć że procent to nic innego jak ułamek mający w liczniku daną liczbę ( dany procent ), a w mianowniku liczbę 100.

$$ p%=p/100 $$
 

Przykłady:

  • $$13%= 13/{100} $$
  • $$75%= 75/{100}=3/4 $$
  • $$0,78=78% $$

Czasami pojawia się również pojęcie promil (symbol ‰). Promil jest bardzo podobny do procentu tylko zamiast na sto oznacza na tysiąc.

$$ p‰=p/{1000} $$

Przekształcanie wyrażeń algebraicznych

Wyrażenia algebraiczne - działania, w których obok liczb i znaków występują także litery. Służą do przedstawienia ogólnych wzorów, zwrotów, twierdzeń oraz równań i nierówności.

Aby doprowadzić wyrażenie do prostszej postaci należy posługiwać się działaniami takimi jak:

  • dodawanie i odejmowanie wyrazow podobnych

    $$ ab+3ab-4ab+5ab=4ab-4ab+5ab=5ab $$
  • wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias

    $$bk+bl-bc=b(k+l-c) $$
  • mnożenie jednomianów przez sumy algbraiczne

    $$a(b+c)=(a×b)+(a×c)=ab+ac$$
  • mnożenie sum algebraicznych

    $$(m+n)(k+l)=m(k+l)+n(k+l)=mk+ml+nk+nl$$
 

Przypomnienie wzorów skróconego mnożenia:

  1. $$ {(a+b)}^2=a^2+2ab+b^2 $$
  2. $$ {(a-b)}^2=a^2-2ab+b^2 $$
  3. $$ (a+b)(a-b)=a^2-b^2 $$
 

Układy równań

Układ równań to układ dwóch (lub więcej) łączących się równań, w których występują dwie (lub więcej) niewiadome.

Przykład:

ukladrownan

Przy rozwiązywaniu układów równań posługujemy się dwoma metodami: metodą podstawiania i przeciwnych współczynników.

Metoda podstawiania polega na wyznaczeniu z jednego równania jednej niewiadomej w stosunku do drugiej. Następnie otrzymane równanie podstawić do drugiego.

 

Metoda przeciwnych współczynników polega na takim doprowadzeniu dwóch równań by po odjęciu jednego od drugiego zostało równanie z jedną niewiadomą. Jak to zrobić? Wystarczy znaleźć w jednym równaniu jednomian, który w drugim będzie jego odwrotnością.

 

Układy równań mogą mieć jedno rozwiązanie, żadnego lub nieskończenie wiele.

  • Układ oznaczony to taki, który ma jedno rozwiązanie.
  • Układ nieoznaczony to taki, który ma nieskończoną ilość rozwiązań.
  • Układ sprzeczny to taki, który nie ma żadnego rozwiązania.
 

Pamiętaj!

$$a/b=c/d$$ -> $$a×d=c×b$$

Spis treści

Rozwiązane zadania
W trapezie równoramiennym przekątna zawiera się w dwusiecznej kąta ostrego.

4 dm - górna podstawa

10 dm - dolna podstawa

h - wysokość trapezu

x - kąt ostry, dzielony przez dwusieczną

2x - kąt między ramieniem i podstawą

Przekątna tworzy wraz z wysokością i częścią dolnej podstawy trójkąt prostokątny. Jedna z przyprostokątnych ma długość: `1/2*(10-4)=3cm`.

Kąty w trójkącie wynoszą odpowiednio: 90, 2x, 180 - (90+2x).

Trójkąt utworzony przez przekątną, ramię i górną podstawę ma kąty:

x, 90+(180-(90+2x)), 180-(180-(90+2x)+90+x), czyli:

x, 180-2x, x

Ten trójkąt jest równoramienny, zatem ramię trapezu ma taką samą długość jak górna podstawa i wynosi 4 cm. Wówczas wysokość pierwszego rozpatrywanego trójkąta i jednocześnie wysokość trapezu jest równa z tw. PItagorasa:

`h^2+3^2=4^2`

`h=sqrt(16-9)=sqrt7cm`

Pole trapezu wynosi:

`P=(10+4)/2*sqrt7=7sqrt7cm^2`

 

Która bryła ma większą objętość: sześcian ...

Jeśli kula ma być styczne do wszystkich krawędzi sześcianu, to sześcian musi być wpisany w tą kulę. 

Skoro sześcian znajduje się wewnątrz kuli, to jego objętość jest mniejsza od objętości kuli 

`V_("sześcianu") \ < \ V_("kuli")`  


Pokażmy to dodatkowo za pomocą obliczeń. 

Przyjmijmy oznaczenia jak na poniższym rysunku - przekrój osiowy: 

`a`  - długość krawędzi sześcianu

`d`  - długość przekątnej sześcianu / długość średnicy kuli 

`r` - długość promienia kuli    

Przekątna sześcianu ma taką samą długość jak średnica kuli. 


Zapiszmy długość przekątnej sześcianu za pomocą zmiennej a. 

Przekątna podstawy sześcianu (kwadratu) ma długość a√2. 

Przekątna sześcianu (d) jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych długości a i a√2. 

`(asqrt{2})^2+a^2=d^2` 

`2a^2+a^2=d^2` 

`3a^2=d^2` 

`d=sqrt{3a^2}=sqrt{3}a`     

Przekątna sześcianu ma długość √3 a, zatem średnica kuli również ma długość √3 a. 


Obliczamy, ile wynosi długość promienia kuli. 

`r=1/2d=1/2*sqrt{3}a=sqrt{3}/2a` 


Obliczamy, ile wynosi objętość sześcianu. 

`V_("sześcianu")=a^3` 

Obliczamy, ile wynosi objętość kuli. 

`V_("kuli")=4/3pir^3=4/3pi*(sqrt{3}/2a)^3=strike4^1/3pi*(3sqrt{3})/strike4^1a^3=1/strike3^1pi*strike3^1sqrt{3}a^3=sqrt{3}pia^3` 
Zatem: 

`\ \ \ \ \ a^3 \ \ \ \ < \ sqrt{3}pia^3`    

`V_("sześcianu") \ < \ \ \ V_("kuli")`       


Odpowiedź: Większą objętość ma kula

Rysunek obok przedstawia...

Odpowiedź: `bbI` 

Odcinek DE jest równoległy do odcinka AB. Oblicz, ile razy...

a) Trójkąty ABC i DEC są podobne, obliczmy skalę podobieństwa (k):

  15/10=k
   k=1,5
 
 Pole trójkąta ABC jest k2 razy większe od pola trójkąta CDE, zatem:

  k2=(1,5)2=2,25


Odpowiedź: Pole trójkąta ABC jest 2,25 razy większe od pola trójkąta CDE.



b) Trójkąty ABC i DEC są podobne, obliczmy skalę podobieństwa (k):

  22/10=k
   k=2,2
 
 Pole trójkąta ABC jest k2 razy większe od pola trójkąta CDE, zatem:

  k2=(2,2)2=4,84


Odpowiedź: Pole trójkąta ABC jest 4,84 razy większe od pola trójkąta CDE.

Papier ozdobiono

`I.\ C,\ D`  

Gwiazdka f1 jest podobna do gwiazdki f2 w skali 2. Oznacza to, że długość boku gwiazdki f1 jest 2 razy dłuższa od długości boku gwiazdki f2

Gwiazdka f2 jest podobna do gwiazdki f3 w skali 2. Oznacza to, że długość boku gwiazdki f2 jest 2 razy dłuższa od długości boku gwiazdki f3. Długość boku gwiazdki f1 jest więc 2∙2, czyli 4 razy dłuższa od długości boku gwiazdki f3

Gwiazdka f3 jest podobna do gwiazdki f4 w skali 2. Oznacza to, że długość boku gwiazdki f3 jest 2 razy dłuższa od długości boku gwiazdki f4. Długość boku gwiazdki f1 jest więc 4∙2, czyli 8 razy dłuższa od długości boku gwiazdki f4

Skala podobieństwa gwiazdki f1 do gwiazdki f4 jest więc równa 8. 

Prawidłowe są odpowiedzi C oraz D.

 

Dla ułatwienia możemy przyjąć, że bok najmniejszej gwiazdki ma długość 1. Bok gwiazdki z numerem 3 ma wtedy długość 2, bok gwiazdki z numerem 2 ma długość 4, a bok gwiazdki z numerem 1 ma długość 8 - są wedy spełnione warunki zadania. 

 

`II.\ B` 

Dla ułatwienia możemy przyjąć, że bok najmniejszej gwiazdki ma długość 1. Bok gwiazdki z numerem 3 ma wtedy długość 2, bok gwiazdki z numerem 2 ma długość 4, a bok gwiazdki z numerem 1 ma długość 8 - są wedy spełnione warunki zadania. 

Gwiazdka f3 ma bok długości 2, a gwiazdka f1 ma bok długości 8. Szukana skala podobieństwa jest równa:

`s=2/8=1/4` 

 

`III.\ A,\ C`  

Bok gwiazdki f2 jest 4 razy dłuższy od boku gwiazdki f4Wtedy długość boku czwartej gwiazdki wynosi:

`20\ mm:4=5\ mm=0,5\ cm` 

 

Rozwiąż układ...

a)

` {(3x-y=14),(x-3y=-12\ \ |*(-3)):} `   

`+{(3x-y=14),(-3x+9y=36):}`

`8y=50`

`y=strike50^25/strike8^4` 

`3x-y=14`

`3x-25/4=14`

`3x=14 25/4`

`3x=81/4`

`x=27/4`

`{(x=27/4),(y=25/4):}`

 

b)

`{(7x-5y=11),(11x-y=31\ \ |*(-5)):}` `+{(7x-5y=11),(-55x+5y=-155):}`

`-48x=-144`

`x=3`

`7x-5y=11`

`21-5y=11`

`5y=10`

`y=2` `{(x=3),(y=2):}`

 

c)

`{(1/2x+1/3y=6),(1/3x+1/3y=4):}` `{(3/6x+2/6y=6),(2/6x+2/6y=4\ \ |*(-1)):}`

`+{(3/6x+2/6y=6),(-2/6x-2/6y=-4):}`

`1/6x=2`

`x=12`

`1/2x+1/3y=6`

`6+1/3y=0`

`1/3y=0`

`y=0`

`{(x=12),(y=0):}`

Janek buduje różne prostokąty, których ...

ODP: 

I - D

II - A

III - C

IV - B

 

Długości boków wyrarażone w centymetrach są liczbami naturalnymi.

Pola prostokątów zapisujemy za pomocą ich dzielników.

 

`P=54\ "cm"^2` 

54 możemy zapisać jako iloczyn nastepujących liczb naturalnych:

`1*54\ \ \ "lub"\ \ \ \ 2*27\ \ \ "lub"\ \ \ 3*18\ \ \ "lub"\ \ \ 6*9` 

Mamy więc 4 możliwości zapisania danego pola za pomocą liczb naturalnych.

 

`P=7\ "cm"^2` 

7 możemy zapisać jako iloczyn następujących liczb naturalnych:

`1*7` 

Mamy więc 1 możliwość zapisania danego pola za pomocą liczb naturalnych.

 

`P=12\ "cm"^2` 

12 możemy zapisać jako iloczyn nastepujących liczb naturalnych:

`1*12\ \ \ "lub"\ \ \ \ 2*6\ \ \ "lub"\ \ \ 3*4` 

Mamy 3 możliwości zapisania danego pola za pomocą liczb naturalnych.

 

`P=25\ "cm"^2` 

25 możemy zapisać jako iloczyn nastepujących liczb naturalnych:

`1*25\ \ \ "lub"\ \ \ \ 5*5` 

Mamy 2 możliwości zapisania danego pola za pomocą liczb naturalnych.

Czy z odcinków o podanych długościach można zbudować trójkąt prostokątny?

Sprawdźmy, czy jest spełnione twierdzenie Pitagorasa.

 

a)

`7^2+8^2=49+64=113!=144=12^2`

Nie da się zbudować trójkąta prostokątnego

 

b)

`6^2+8^2=36+64=100=10^2`

Da się zbudować trójkąt prostokątny

 

c)

`2^2+(sqrt5)^2=4+5=9=3^2`

Da się zbudować trójkąt prostokątny

Krótsza przekątna trapezu prostokątnego o długości 6sqrt3cm dzieli go na dwa trójkąty prostokątne

Kąt rozwarty ma 150°. Ponieważ krótsza przekątna dzieli trapez na dwa trójkąty prostokątne, to kąt między krótszą przekątną i górną podstawą wynosi 30°. Kąt między przekątną i wysokością (ramieniem krótszym) wynosi 60°. Kąt między przekątną i dolną podstawą jest równy 30°. Kąt ostry trapezu wynosi 60°. Mamy zatem następujące długości:

`1/2*6sqrt3=3sqrt3\ "cm - wysokość trapezu"`

`3sqrt3*sqrt3=9\ "cm - górna podstawa"`

`6\ "cm - dłuższe ramię"`

`12\ "cm - dolna podstawa"`

 

Obwód wynosi:

`"O"=12+6+9+3sqrt3=27+3sqrt3\ "cm"`

 

Pole trapezu jest równe:

`"P"=(9+12)/2*3sqrt3=31,5sqrt3\ "cm"^2`

Wykonaj działania, przy założeniu, że x!=0

`"a)"`  `x^(-2)*(x^(-3)+2x^(-2)+3x^(-3))` `=x^(-5) + 2x^(-4) + 3x^(-5)=4x^(-5) + 2x^(-4)`

 

`"b)"`  `2x^(-1)*(x-x^2+2x^3+3x^(-2))` `=2 - 2x + 4x^2 + 6x^-3`

 

`"c)"`  `(x-2x^(-2))*(x-3x^(-1)+4x^(-2))` `=x^2-3+4x^(-1)-2x^(-1)+6x^(-3)-8x^(-4)=x^2-3-2x^(-1)+6x^(-3)-8x^(-4)`

 

`"d)"`  `(2x^(-3)+4x^(-2))*(x^2+3x^2+5x^(-5)+4x^(-3)+1)`

`=2x^(-1)+6x^(-1)+10x^(-8)+8x^(-6)+2x^(-3)+4+3+20x^(-7)+16x^(-5)+4x^(-2)=`

`=7+8x^(-1) + 4x^(-2)+2x^(-3)+16x^(-5)+8x^(-6)+20x^(-7)+10x^(-8`` `