Liczby i wyrażenia algebraiczne - iii-gimnazjum - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Liczby i wyrażenia algebraiczne - iii-gimnazjum - Baza Wiedzy

System dziesiątkowy

System dziesiątkowy to system, w którym do napisania danej liczby użyjemy cyfr od 0 do 9. Liczby mogą być całkowite, mogą mieć rozwinięcie dziesiętne lub mogą być zapisane w postaci notacji wykładniczej.

  1. Liczby całkowite

    Przykłady: $3478$; $87251029$; $12377311$; $11$; $-675$

  2. Liczby z rozwinięciem dziesiętnym

    Przykłady: 12,675; 4,008 ; 5.8

  3. Notacja wykładnicza

    Notacja wykładnicza to przedstawienie najczęściej dużej liczby w postaci iloczynu liczby o module większym lub równym 1, a mniejszym od 10 i potęgi liczby 10.

    $ a×{10}^n $ -> $ 1≤|a|<10 $

    Przykłady: $ 14678000= 1,4678×{10}^7 $$0,000987=9,87×{10}^4 $

 

System rzymski

System rzymski jest systemem zapisywania liczb, który w przeciwieństwie do zapisu pozycyjnego, pozwala zapisać liczby przy pomocy znaków o zawsze ustalonej wartości.


W systemie rzymskim do zapisania liczby używamy zdecydowanie mniej znaków niż w systemie dziesiątkowym.

Za pomocą 7 znaków (liter) : I, V, X, L, C, D i M jesteśmy w stanie ułożyć każdą liczbę naturalną od 1 do 3999.

Do każdego znaku przypisano inną wartość. 

Wyróżniamy cyfry podstawowe:

  • I = 1
  • X = 10
  • C = 100
  • M = 1000 

oraz cyfry pomocnicze:

  • V = 5
  • L = 50 
  • D = 500


Zasady zapisywania liczb w systemie rzymskim
:

  1. Możemy zapisać maksymalnie 3 takie same cyfry podstawowe (czyli I, X, C, M) obok siebie.

    Cyfry pomocnicze (czyli V, L, D) nie mogą występować obok siebie.

    Przykłady:

    • VIII  `->`   `5+1+1+1=8` 

    • MMCCC  `->`   `1000+1000+100+100+100=2300` 

  2. W celu uproszczenia wielu zapisów dopuszcza się umieszczenie cyfry podstawowej o mniejszej wartości przed cyfrą o większej wartości.

    W takim jednak przypadku od wartości większej liczby odejmujemy wartość mniejszej liczby.

    Przykłady:

    • IX  `->`   `10-1=9` 

    • CD  `->`   `500-100=400` 

  3. Gdy liczby (znaki) są ustawione od największej do najmniejszej to wówczas dodajemy ich wartości.

    Przykłady:

    • MMDCLVII  `->`   `1000+1000+500+100+50+5+1+1=2657`   

    • CXXVII  `->`   `100+10+10+5+1+1=127`   

 

Ciekawostka

System rzymski pochodzi od wysoko rozwiniętej cywilizacji Etrusków (ok. 500 r. p.n.e.).

Początkowo zapisywano liczby za pomocą pionowych kresek I, II, III, IIII, IIIII, ... .

Rzymianie przejęli cyfry od Etrusków i poddali je pewnym modyfikacjom oraz udoskonaleniom, co dało początki dzisiaj znanemu systemowi rzymskiemu.

Cyfr rzymskich używano na terenie imperium aż do jego upadku w V w. n.e.

W średniowieczu stały się standardowym systemem liczbowym całej łacińskiej Europy. Pod koniec tej epoki zaczęto coraz częściej używać cyfr arabskich, prostszych i wygodniejszych do obliczeń oraz zapisywania dużych liczb.

System rzymski stopniowo wychodził z codziennego użycia, chociaż do dziś jest powszechnie znany w Europie i stosowany do wielu celów.

Rodzaje liczb

Liczby dzielą się na:

  1. Liczby naturalne
  2. Liczby całkowite
  3. Liczby wymierne
  4. Liczby niewymierne

1. Liczby naturalne są najbardziej podstawowe, służą do określania, ile elementów jest w jakimś zbiorze, np. 3 jabłka w koszyku, 5 jabłek w koszyku itd. Zero też jest liczbą naturalną (powszechnie uznawane na poziomie gimnazjum)!
Przykłady: 0,1,2,3,4,5,6,7....

2. Liczby całkowite to wszystkie liczby naturalne oraz wszystkie liczby przeciwne do jakiejś liczby naturalnej (np. liczbą przeciwną do 5 jest -5, przeciwną do 18 jest -18, a przeciwną do 0 jest 0). Zatem liczby całkowite to wszystkie takie, które występują w postaci jednej „pełnej” liczby (jak liczby naturalne), ale mogą być zarówno dodatnie jak i ujemne.
Przykłady: -3,-2,-1,0,1,2,3....

3. Liczby wymierne to wszystkie takie, które da się przedstawić za pomocą ułamka zwykłego (licznik i mianownik są całkowite). Liczby naturalne i całkowite to liczby wymierne!

Przykłady: : $ 23/45 $, $36/1$, 4, -5, 88....

4. Liczb niewymiernych nie da się przedstawić za pomocą ułamka zwykłego, a zapis w postaci ułamka dziesiętnego miałby nieskończenie wiele cyfr po przecinku, których kolejność wciąż by się zmieniała (nie dałoby się wyodrębnić okresu, patrz niżej). Przykłady: π=3,14…
 

Kilka zależności:
  1. wszystkie liczby naturalne są całkowitymi
  2. wszystkie liczby naturalne i całkowite są liczbami wymiernymi
  3. wszystkie liczby całkowite dodatnie to liczby naturalne
 

Podstawowe działania na liczbach

Podstawowe działania matematyczne na liczbach to dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie oraz potęgowanie i pierwiastkowanie. Najważniejsza jest kolejność wykonywania poszczególnych działań.

Kolejność wykonywania działań:

  1. wykonywanie działań w nawiasach
  2. potęgowanie i pierwiastkowanie
  3. mnożenie i dzielenie
  4. dodawanie i odejmowanie
 

Działania na potęgach i pierwiastkach

Działania na potęgach:

  • $k^a×k^b=k^{(a+b)} $

    Przykład: $5^7×5^3=5^10$

  • $k^a÷k^b=k^{(a-b)} $

    Przykład: $4^7÷4^3=4^4$

  • ${(k^a)}^b=k^{a×b} $

    Przykład: ${(8^2)}^3=8^6$

  • potegi1

    Przykład: potegi2

  • ${(a×b)}^n=a^n×b^n $

    Przykład: ${(6×7)}^3=6^3×7^3$

  • ${(a÷b)}^n=a^n÷b^n={a^n}/{b^n} $

    Przykład: ${(4/7)}^3={4^3}/{7^3} $

 

Działania na pierwiastkach:

  • $ √k×√l=√{k×l} $

    Przykład: $√3×√2=√6$

  • $√{a÷b}=√a÷√b={√a}/{√b} $

    Przykład: $√{6÷2}=√6÷√2=√6/√2 $

Usuwanie niewymierności z mianownika polega na usunięciu pierwiastka niemającego rozwiązania wymiernego.

$ a/√b={a√b}/b $

Przykład:

$ 3/{2√2}={3√2}/{2×2}={3√2}/4 $
 

Oczliczenia procentowe

Słowo procent (symbol %) pochodzi od łacińskiego wyrażenia pro centum oznaczającego na sto. Można więc powiedzieć że procent to nic innego jak ułamek mający w liczniku daną liczbę ( dany procent ), a w mianowniku liczbę 100.

$ p%=p/100 $
 

Przykłady:

  • $13%= 13/{100} $
  • $75%= 75/{100}=3/4 $
  • $0,78=78% $

Czasami pojawia się również pojęcie promil (symbol ‰). Promil jest bardzo podobny do procentu tylko zamiast na sto oznacza na tysiąc.

$ p‰=p/{1000} $

Przekształcanie wyrażeń algebraicznych

Wyrażenia algebraiczne - działania, w których obok liczb i znaków występują także litery. Służą do przedstawienia ogólnych wzorów, zwrotów, twierdzeń oraz równań i nierówności.

Aby doprowadzić wyrażenie do prostszej postaci należy posługiwać się działaniami takimi jak:

  • dodawanie i odejmowanie wyrazow podobnych

    $ ab+3ab-4ab+5ab=4ab-4ab+5ab=5ab $
  • wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias

    $bk+bl-bc=b(k+l-c) $
  • mnożenie jednomianów przez sumy algbraiczne

    $a(b+c)=(a×b)+(a×c)=ab+ac$
  • mnożenie sum algebraicznych

    $(m+n)(k+l)=m(k+l)+n(k+l)=mk+ml+nk+nl$
 

Przypomnienie wzorów skróconego mnożenia:

  1. $ {(a+b)}^2=a^2+2ab+b^2 $
  2. $ {(a-b)}^2=a^2-2ab+b^2 $
  3. $ (a+b)(a-b)=a^2-b^2 $
 

Układy równań

Układ równań to układ dwóch (lub więcej) łączących się równań, w których występują dwie (lub więcej) niewiadome.

Przykład:

ukladrownan

Przy rozwiązywaniu układów równań posługujemy się dwoma metodami: metodą podstawiania i przeciwnych współczynników.

Metoda podstawiania polega na wyznaczeniu z jednego równania jednej niewiadomej w stosunku do drugiej. Następnie otrzymane równanie podstawić do drugiego.

 

Metoda przeciwnych współczynników polega na takim doprowadzeniu dwóch równań by po odjęciu jednego od drugiego zostało równanie z jedną niewiadomą. Jak to zrobić? Wystarczy znaleźć w jednym równaniu jednomian, który w drugim będzie jego odwrotnością.

 

Układy równań mogą mieć jedno rozwiązanie, żadnego lub nieskończenie wiele.

  • Układ oznaczony to taki, który ma jedno rozwiązanie.
  • Układ nieoznaczony to taki, który ma nieskończoną ilość rozwiązań.
  • Układ sprzeczny to taki, który nie ma żadnego rozwiązania.
 

Pamiętaj!

$a/b=c/d$ -> $a×d=c×b$

Spis treści

Rozwiązane zadania
W liczbie dwucyfrowej ...

Oznaczenia:

x - cyfra jedności

y - cyfra dziesiątek

x+5=y - cyfra dziesiątek jest o 5 większa od cyfry jedności (jeżeli do cyfry jedności dodam 5, to otrzymam cyfrę dziesiątek)

10y+x - początkowa liczba

10x+y - liczba po przestawieniu cyfr 

10x+y+45=10y+x - liczba po przestawieniu cyfr jest o 45 mniejsza od początkowej liczby (jeżli do liczby po przestawieniu cyfr dodam 45, to otrzymam liczbę początkową)

 

Zapiszmy układ równań:

 

{premium}  

Rozwiążemy układ równań metodą podstawiania.

 

 

 

Drugie równanie jest równanien nieoznaczonym. Oznacza to, że układ równań będzie spełniała każda para liczb, która spełnia pierwsze równanie: x+5=y. Pamiętać musimy jednak o tym, że x i y to cyfry, więc przyjmują wartości 1,2,3,4,5,6,7,8, oraz 9 (0 nie może być, ponieważ gdyby początkową liczbą było np 50, to po zamianie cyfr otrzymalibyśmy 05, czyli 5 - a to nie jest liczba dwucyfrowa). Ponadto liczba początkowa musi być conajmniej większa od 45, więc y może przyjąć wartość 5, 6 , 7, 8 lub 9.

Liczby, które spełniają warunki zadania, to: 61, 72, 83 oraz 94.

 

Sprawdźmy, czy otrzymane rozwiązania spełniają warunki zadania.

Liczba 61 - cyfra dziesiątek jest o 5 większa od cyfry jedności

Liczba 72 - cyfra dziesiątek jest o 5 większa od cyfry jedności

 

Liczba 83 - cyfra dziesiątek jest o 5 większa od cyfry jedności

Liczba 94 - cyfra dziesiątek jest o 5 większa od cyfry jedności

 

 

Odp: Szukaną liczbą może być 61, 72, 83 lub 94.

Narysuj kilka wykresów opisanych ...

 

{premium}

a) Miejsce zerowe

Dla każdego a, funkcja ma jedno miejsce zerowe: x=a

b) Wykres funkcji

Dla a>0 wykres y=x2 przesuwa się o a jednostek w prawo.

Dla a=0 wykres y=x2 nie przesuwa się .

Dla a<0  wykres y=x2 przesuwa się o |a| jednostek w lewo.

Oblicz...

Posłużymy się grafami. Rysujemy dwa grafy obok siebie, w jednym wpisujemy liczbę a w drugim procent całości, który stanowi. Mnożymy i dzielimy oba grafy zawsze przez taką samą liczbę.

a)

{premium}

W pełnym opakowaniu było 40 ciasteczek.

 

b)

Tata wyszedł mając 150 zł.

 

c)

Autokar ma do przejechania 320 km.

Pusty pucharek, którego wnętrze ma kształt ...

Obliczamy jaką objętość ma pucharek w kształcie stożka, którego promień podstawy ma długość 6 cm, a wysokość ma długość 8 cm. 

{premium}  

Objętość pucharka wynosi 96π cm3


Kropla deszczu jest kulą o promieniu długości 1,5 mm, czyli 0,15 cm.

Obliczamy jaką objętość ma jedna kropla deszczu.

 

Objętość jednej kropli deszczy wynosi 0,0045π cm3.  


Obliczamy ile kropel deszczy wpadło do pucharka. 

W tym celu objętość wody w pucharku dzielimy przez objętość jednej kropli deszczu. 

   


Odpowiedź:
Do pucharka wpadło około 21 000 kropli deszczu. 

Jaką objętość ma bryła drewna w kształcie...

Obliczmy objętość walca o promieniu podstawy 20 cm i wysokości 1,2 m:  {premium}


Obliczmy objętość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego o przekątnych postawy długości 20 cm i wysokości 1,2 m:


Obliczmy objętość tej bryły drewna:


Odp. Objętość tej bryły drewna wynosi 0,12m3.  

Wyłącz czynnik...

 

{premium}

 

Pole figury z zadania 3 jest równe:

Figura ta składa się z dwóch połówek kół o promieniu 0,5x, dwóch połówek kół o promieniu x oraz prostokąta o wymiarach 2x na x. Jej pole wynosi zatem:

{premium}  

 

Największą wartość ma wyrażenie

A.

B. {premium}

C.

D.

Odp. C.

Oblicz objętość stożka, którego powierzchnia ...

a) Tworząca stożka ma długość 15 cm. 

  

Powierzchnia boczna po rozłożeniu tworzy wycinek koła o kącie środkowym równym 288o

 

Korzystając z poniższego wzoru obliczamy, ile{premium} wynosi długość promienia podstawy.

 

 

 

 

 

Promień podstawy ma długość 12 cm.


Promień podstawy, wysokość oraz tworząca stożka tworzą trójkąt prostokątny. 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczamy, ile wynosi długość wysokości stożka. 

 

 

 

 

Wysokość stożka ma długość 9 cm.

   

Obliczamy, ile wynosi objętość tego stożka.

        

 

Odpowiedź: Objętość stożka wynosi 432π cm3.   

 


b) Tworząca stożka ma długość 12 cm. 

  

Powierzchnia boczna po rozłożeniu tworzy wycinek koła o kącie środkowym równym 240o

 

Korzystając z poniższego wzoru obliczamy, ile wynosi długość promienia podstawy.

 

 

  

 

 

Promień podstawy ma długość 8 cm.

Promień podstawy, wysokość oraz tworząca stożka tworzą trójkąt prostokątny. 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczamy, ile wynosi długość wysokości stożka. 

 

 

 

 

Wysokość stożka ma długość 4√5 cm.

   

Obliczamy, ile wynosi objętość tego stożka.

        

   

Odpowiedź: Objętość stożka wynosi 85 1/3√5π cm3.   

Marek jechał rowerem...

A. IV: 36km/h

 

B. III, zdania prawdziwe: 

b) Gdy dwie wielkości są odwrotnie proporcjonalne, to jeśli jedną zwiększymy trzy razy druga zmniejszy się trzy razy.

c) Gdy dwie wielkości są proporcjonalne, to jeśli jedną zmniejszymy trzy razy, druga zmniejszy się trzy razy. 

{premium}

 

C. I - prędkość i czas gdy stała jest droga

 

D. 20 paczek po 1zł

10 paczek po 2zł

5 paczek po 4zł

4 paczki po 5zł

Czy liczba opakowań cukierków możliwych do kupienia za tę kwotę i ich cena to wielkości odwrotnie proporcjonalne: TAK

 

E.


Zakład uszył 32 ubrania.

 

F.  

a) p i r przy stałym q

p i q przy stałym r

b) przy stałym p