Liczby i wyrażenia algebraiczne - iii-gimnazjum - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Liczby i wyrażenia algebraiczne - iii-gimnazjum - Baza Wiedzy

System dziesiątkowy

System dziesiątkowy to system, w którym do napisania danej liczby użyjemy cyfr od 0 do 9. Liczby mogą być całkowite, mogą mieć rozwinięcie dziesiętne lub mogą być zapisane w postaci notacji wykładniczej.

  1. Liczby całkowite

    Przykłady: $3478$; $87251029$; $12377311$; $11$; $-675$

  2. Liczby z rozwinięciem dziesiętnym

    Przykłady: 12,675; 4,008 ; 5.8

  3. Notacja wykładnicza

    Notacja wykładnicza to przedstawienie najczęściej dużej liczby w postaci iloczynu liczby o module większym lub równym 1, a mniejszym od 10 i potęgi liczby 10.

    $ a×{10}^n $ -> $ 1≤|a|<10 $

    Przykłady: $ 14678000= 1,4678×{10}^7 $$0,000987=9,87×{10}^4 $

 

System rzymski

System rzymski jest systemem zapisywania liczb, który w przeciwieństwie do zapisu pozycyjnego, pozwala zapisać liczby przy pomocy znaków o zawsze ustalonej wartości.


W systemie rzymskim do zapisania liczby używamy zdecydowanie mniej znaków niż w systemie dziesiątkowym.

Za pomocą 7 znaków (liter) : I, V, X, L, C, D i M jesteśmy w stanie ułożyć każdą liczbę naturalną od 1 do 3999.

Do każdego znaku przypisano inną wartość. 

Wyróżniamy cyfry podstawowe:

  • I = 1
  • X = 10
  • C = 100
  • M = 1000 

oraz cyfry pomocnicze:

  • V = 5
  • L = 50 
  • D = 500


Zasady zapisywania liczb w systemie rzymskim
:

  1. Możemy zapisać maksymalnie 3 takie same cyfry podstawowe (czyli I, X, C, M) obok siebie.

    Cyfry pomocnicze (czyli V, L, D) nie mogą występować obok siebie.

    Przykłady:

    • VIII  `->`   `5+1+1+1=8` 

    • MMCCC  `->`   `1000+1000+100+100+100=2300` 

  2. W celu uproszczenia wielu zapisów dopuszcza się umieszczenie cyfry podstawowej o mniejszej wartości przed cyfrą o większej wartości.

    W takim jednak przypadku od wartości większej liczby odejmujemy wartość mniejszej liczby.

    Przykłady:

    • IX  `->`   `10-1=9` 

    • CD  `->`   `500-100=400` 

  3. Gdy liczby (znaki) są ustawione od największej do najmniejszej to wówczas dodajemy ich wartości.

    Przykłady:

    • MMDCLVII  `->`   `1000+1000+500+100+50+5+1+1=2657`   

    • CXXVII  `->`   `100+10+10+5+1+1=127`   

 

Ciekawostka

System rzymski pochodzi od wysoko rozwiniętej cywilizacji Etrusków (ok. 500 r. p.n.e.).

Początkowo zapisywano liczby za pomocą pionowych kresek I, II, III, IIII, IIIII, ... .

Rzymianie przejęli cyfry od Etrusków i poddali je pewnym modyfikacjom oraz udoskonaleniom, co dało początki dzisiaj znanemu systemowi rzymskiemu.

Cyfr rzymskich używano na terenie imperium aż do jego upadku w V w. n.e.

W średniowieczu stały się standardowym systemem liczbowym całej łacińskiej Europy. Pod koniec tej epoki zaczęto coraz częściej używać cyfr arabskich, prostszych i wygodniejszych do obliczeń oraz zapisywania dużych liczb.

System rzymski stopniowo wychodził z codziennego użycia, chociaż do dziś jest powszechnie znany w Europie i stosowany do wielu celów.

Rodzaje liczb

Liczby dzielą się na:

  1. Liczby naturalne
  2. Liczby całkowite
  3. Liczby wymierne
  4. Liczby niewymierne

1. Liczby naturalne są najbardziej podstawowe, służą do określania, ile elementów jest w jakimś zbiorze, np. 3 jabłka w koszyku, 5 jabłek w koszyku itd. Zero też jest liczbą naturalną (powszechnie uznawane na poziomie gimnazjum)!
Przykłady: 0,1,2,3,4,5,6,7....

2. Liczby całkowite to wszystkie liczby naturalne oraz wszystkie liczby przeciwne do jakiejś liczby naturalnej (np. liczbą przeciwną do 5 jest -5, przeciwną do 18 jest -18, a przeciwną do 0 jest 0). Zatem liczby całkowite to wszystkie takie, które występują w postaci jednej „pełnej” liczby (jak liczby naturalne), ale mogą być zarówno dodatnie jak i ujemne.
Przykłady: -3,-2,-1,0,1,2,3....

3. Liczby wymierne to wszystkie takie, które da się przedstawić za pomocą ułamka zwykłego (licznik i mianownik są całkowite). Liczby naturalne i całkowite to liczby wymierne!

Przykłady: : $ 23/45 $, $36/1$, 4, -5, 88....

4. Liczb niewymiernych nie da się przedstawić za pomocą ułamka zwykłego, a zapis w postaci ułamka dziesiętnego miałby nieskończenie wiele cyfr po przecinku, których kolejność wciąż by się zmieniała (nie dałoby się wyodrębnić okresu, patrz niżej). Przykłady: π=3,14…
 

Kilka zależności:
  1. wszystkie liczby naturalne są całkowitymi
  2. wszystkie liczby naturalne i całkowite są liczbami wymiernymi
  3. wszystkie liczby całkowite dodatnie to liczby naturalne
 

Podstawowe działania na liczbach

Podstawowe działania matematyczne na liczbach to dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie oraz potęgowanie i pierwiastkowanie. Najważniejsza jest kolejność wykonywania poszczególnych działań.

Kolejność wykonywania działań:

  1. wykonywanie działań w nawiasach
  2. potęgowanie i pierwiastkowanie
  3. mnożenie i dzielenie
  4. dodawanie i odejmowanie
 

Działania na potęgach i pierwiastkach

Działania na potęgach:

  • $k^a×k^b=k^{(a+b)} $

    Przykład: $5^7×5^3=5^10$

  • $k^a÷k^b=k^{(a-b)} $

    Przykład: $4^7÷4^3=4^4$

  • ${(k^a)}^b=k^{a×b} $

    Przykład: ${(8^2)}^3=8^6$

  • potegi1

    Przykład: potegi2

  • ${(a×b)}^n=a^n×b^n $

    Przykład: ${(6×7)}^3=6^3×7^3$

  • ${(a÷b)}^n=a^n÷b^n={a^n}/{b^n} $

    Przykład: ${(4/7)}^3={4^3}/{7^3} $

 

Działania na pierwiastkach:

  • $ √k×√l=√{k×l} $

    Przykład: $√3×√2=√6$

  • $√{a÷b}=√a÷√b={√a}/{√b} $

    Przykład: $√{6÷2}=√6÷√2=√6/√2 $

Usuwanie niewymierności z mianownika polega na usunięciu pierwiastka niemającego rozwiązania wymiernego.

$ a/√b={a√b}/b $

Przykład:

$ 3/{2√2}={3√2}/{2×2}={3√2}/4 $
 

Oczliczenia procentowe

Słowo procent (symbol %) pochodzi od łacińskiego wyrażenia pro centum oznaczającego na sto. Można więc powiedzieć że procent to nic innego jak ułamek mający w liczniku daną liczbę ( dany procent ), a w mianowniku liczbę 100.

$ p%=p/100 $
 

Przykłady:

  • $13%= 13/{100} $
  • $75%= 75/{100}=3/4 $
  • $0,78=78% $

Czasami pojawia się również pojęcie promil (symbol ‰). Promil jest bardzo podobny do procentu tylko zamiast na sto oznacza na tysiąc.

$ p‰=p/{1000} $

Przekształcanie wyrażeń algebraicznych

Wyrażenia algebraiczne - działania, w których obok liczb i znaków występują także litery. Służą do przedstawienia ogólnych wzorów, zwrotów, twierdzeń oraz równań i nierówności.

Aby doprowadzić wyrażenie do prostszej postaci należy posługiwać się działaniami takimi jak:

  • dodawanie i odejmowanie wyrazow podobnych

    $ ab+3ab-4ab+5ab=4ab-4ab+5ab=5ab $
  • wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias

    $bk+bl-bc=b(k+l-c) $
  • mnożenie jednomianów przez sumy algbraiczne

    $a(b+c)=(a×b)+(a×c)=ab+ac$
  • mnożenie sum algebraicznych

    $(m+n)(k+l)=m(k+l)+n(k+l)=mk+ml+nk+nl$
 

Przypomnienie wzorów skróconego mnożenia:

  1. $ {(a+b)}^2=a^2+2ab+b^2 $
  2. $ {(a-b)}^2=a^2-2ab+b^2 $
  3. $ (a+b)(a-b)=a^2-b^2 $
 

Układy równań

Układ równań to układ dwóch (lub więcej) łączących się równań, w których występują dwie (lub więcej) niewiadome.

Przykład:

ukladrownan

Przy rozwiązywaniu układów równań posługujemy się dwoma metodami: metodą podstawiania i przeciwnych współczynników.

Metoda podstawiania polega na wyznaczeniu z jednego równania jednej niewiadomej w stosunku do drugiej. Następnie otrzymane równanie podstawić do drugiego.

 

Metoda przeciwnych współczynników polega na takim doprowadzeniu dwóch równań by po odjęciu jednego od drugiego zostało równanie z jedną niewiadomą. Jak to zrobić? Wystarczy znaleźć w jednym równaniu jednomian, który w drugim będzie jego odwrotnością.

 

Układy równań mogą mieć jedno rozwiązanie, żadnego lub nieskończenie wiele.

  • Układ oznaczony to taki, który ma jedno rozwiązanie.
  • Układ nieoznaczony to taki, który ma nieskończoną ilość rozwiązań.
  • Układ sprzeczny to taki, który nie ma żadnego rozwiązania.
 

Pamiętaj!

$a/b=c/d$ -> $a×d=c×b$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Które wyrażenia mają jednakowe wartości

Odp.C

Pole kwadratu jest równe 128 cm²

Kwadrat jest także rombem (bo ma wszystkie boki równej długości), dlatego jego pole możemy obliczyć jako połowę iloczynu długości przekątnych. W kwadracie obie przekatne są równe, oznaczmy długość przekątnej jako e, wtedy: 

W dzienniku Rzeczpospolita z dnia 20 sierpnia 2009 r. zamieszczono dane dotyczące korzystania z internetu.

a) o 6,4 milionów

 

b) o 77%

 

 

c) w latach 2007 i 2008

Na bokach trójkąta prostokątnego T

Trójkąt Ta ma takie same wymiary jak trójkąt T, gdyż jego dłuższa przyprostokątna pokrywa się z dłuższą przyprostokątną trójkąta T i są to trójkąty podobne. Stąd pole trójkąta Ta możemy wyrazić jako:

 

Trójkąt Tb ma dłuższą przyprostokątną długości a i jest podobny do trójkąta T. Ułóżmy proporcję pozwalającą przedstawić długość krótszej przyprostokątnej za pomocą wielkości a lub b. Przyrównajmy do siebie stosunek ich dłuższych przyprostokątnych do stosunku krótszych przeciwprostokątnych.

 

 

 

Pole trójkąta Tb możemy wyrazić jako:

 

Trójkąt Tc ma dłuższą przyprostokątną długości c i jest podobny do trójkąta T. Ułóżmy proporcję pozwalającą przedstawić długość krótszej przyprostokątnej za pomocą wielkości a,b lub c. Przyrównajmy do siebie stosunek ich dłuższych przyprostokątnych do stosunku krótszych przeciwprostokątnych.

 

 

 

 

Uzasadnijmy, że:

 

 

 

 

 

Jak widać równanie przybrało postać zgodną z twierdzeniem Pitagorasa dla trójkąta T. Równość jest spełniona.

 

 

W tabeli przedstawiono roczne...

 

 

 

Odpowiedź: Średnia zarobków w tej firmie wynosi 74 000 złote.

{premium}

 

Ułóżmy zarobki w kolejności rosnącej:

 

Odpowiedź: Mediana zarobków wynosi 60 000 złotych.

 

 

Odpowiedź: Moda zarobków wynosi 60 000 złotych.

 

 

Odpowiedź: Moda nie ulega zmianie.

 

 

Odpowiedź: Moda i mediana nie ulegną wówczas zmianie.

Każdy bok prostokąta zwiększono dwa razy. Ile razy zwiększy się pole tego prostokąta

Odp. Pole zwiększy się czterokrotnie

Sporządź tabelkę funkcji ...

Tabelka:

x

-2

-1

0

1

2

y

-9

-2

-1

0

7

Wykres:

 

a) Wartości dodatnie (znajdują się nad osią x), funkcja przyjmuje dla x>1.

Wartości ujemne (znajdują się pod osią x) funkcj przyjmuje dla x<1.

b) Funkcja nie przyjmuje wartości najmniejszej.

Funkcja nie przyjmuje wartości największej.

c) Miejsce zerowe funkcji jest to argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość 0. 

Wartość zero funkcja przyjmuje dla x=1.

d) Funkcja jest rosnąca w całej swojej dziedzinie, czyli funkcja jest rosnąca dla:

 

Włos ludzki ma średnicę ok. 10^(-4) m. Ile włosów należy ułożyć

Połącz w pary figurę i jej ...

ODP:

I -A

II - D

III - B

IV - C

 

Pole figury I:

Figurę możemy podzielić na na trzy części. Dwa trapezy (kolor fioletowy) oraz kwadrat (kolor żółty). 

Obliczamy pole figury - dodajemy dwa pola trapezów oraz pole kwadratu:

 

 

Pole figury II:

Korzystamy ze wzoru na pole deltoidu:

  

 

Pole figury III:

 

Jeżeli poprowadzimy wysokość - odcinek a, to otrzymamy trójkąt równoramienny o kątach ostrych równych 45o (otrzymaliśmy połowę kwadratu).

Korzystając ze wzoru na długość przekątnej mamy:

 

  

 

Korzystając ze wzoru na pole równoległoboku mamy:

 

 

Pole figury IV:

Jeżeli poprowadzimy wysokość - h, to podzieli ona podstawę na dwa równe odcinki o długości 2,5 cm (ponieważ trójkąt jest równoramienny).

Korzystając z tw. Pitagorasa obliczamy długość h:

 

 

 

 

 

Obliczamy pole trójkąta:

 

Płyta kompaktowa ma średnicę 120 mm i grubość 1,2 mm...