Liczby i wyrażenia algebraiczne - iii-gimnazjum - Baza Wiedzy

System dziesiątkowy

System dziesiątkowy to system, w którym do napisania danej liczby użyjemy cyfr od 0 do 9. Liczby mogą być całkowite, mogą mieć rozwinięcie dziesiętne lub mogą być zapisane w postaci notacji wykładniczej.

  1. Liczby całkowite

    Przykłady: $$3478$$; $$87251029$$; $$12377311$$; $$11$$; $$-675$$

  2. Liczby z rozwinięciem dziesiętnym

    Przykłady: 12,675; 4,008 ; 5.8

  3. Notacja wykładnicza

    Notacja wykładnicza to przedstawienie najczęściej dużej liczby w postaci iloczynu liczby o module większym lub równym 1, a mniejszym od 10 i potęgi liczby 10.

    $$ a×{10}^n $$ -> $$ 1≤|a|<10 $$

    Przykłady: $$ 14678000= 1,4678×{10}^7 $$$$0,000987=9,87×{10}^4 $$

 

System rzymski

W systemie rzymskim do zapisania liczby używamy zdecydowanie mniej znaków niż w systemie dziesiątkowym. Za pomocą 7 znaków (liter) : I, V, X, L, C, D i M jesteśmy w stanie ułożyć każdą liczbę naturalną od 1 do 3999.

Do każdego znaku jest przypisana inna wartość:

  • I -> 1
  • V -> 5
  • X -> 10
  • L -> 50
  • C -> 100
  • D -> 500
  • M -> 1000

Zasady zapisywania liczb w systemie rzymskim:

  1. Możemy zapisać maksymalnie 3 takie same znaki koło siebie. Mogą być to tylko znaki I, X, C i M. Inne znaki nie mogą występować koło siebie.

    Przykłady:

    • VIII -> $$ 5+1+1+1 =8 $$
    • MMCCC -> $$1000+1000+100+100+100=2300 $$
  2. Gdy znak, który ma większą wartość poprzedza znak o mniejszej wartości to wówczas liczymy różnicę tych dwóch wartości.

    Przykłady:

    • IX -> $$10-1=9$$
    • XCC -> $$(100-10)+100=190$$
  3. Gdy liczby (znaki) są ustawione od największej do najmniejszej to wówczas dodajemy ich wartości.

    Przykład:

    • MMDCLVII -> $$ 1000+1000+500+100+50+5+1+1=2657$$
 

Rodzaje liczb

Liczby dzielą się na:

  1. Liczby naturalne
  2. Liczby całkowite
  3. Liczby wymierne
  4. Liczby niewymierne

1. Liczby naturalne są najbardziej podstawowe, służą do określania, ile elementów jest w jakimś zbiorze, np. 3 jabłka w koszyku, 5 jabłek w koszyku itd. Zero też jest liczbą naturalną (powszechnie uznawane na poziomie gimnazjum)!
Przykłady: 0,1,2,3,4,5,6,7....

2. Liczby całkowite to wszystkie liczby naturalne oraz wszystkie liczby przeciwne do jakiejś liczby naturalnej (np. liczbą przeciwną do 5 jest -5, przeciwną do 18 jest -18, a przeciwną do 0 jest 0). Zatem liczby całkowite to wszystkie takie, które występują w postaci jednej „pełnej” liczby (jak liczby naturalne), ale mogą być zarówno dodatnie jak i ujemne.
Przykłady: -3,-2,-1,0,1,2,3....

3. Liczby wymierne to wszystkie takie, które da się przedstawić za pomocą ułamka zwykłego (licznik i mianownik są całkowite). Liczby naturalne i całkowite to liczby wymierne!

Przykłady: : $$ 23/45 $$, $$36/1$$, 4, -5, 88....

4. Liczb niewymiernych nie da się przedstawić za pomocą ułamka zwykłego, a zapis w postaci ułamka dziesiętnego miałby nieskończenie wiele cyfr po przecinku, których kolejność wciąż by się zmieniała (nie dałoby się wyodrębnić okresu, patrz niżej). Przykłady: π=3,14…
 

Kilka zależności:
  1. wszystkie liczby naturalne są całkowitymi
  2. wszystkie liczby naturalne i całkowite są liczbami wymiernymi
  3. wszystkie liczby całkowite dodatnie to liczby naturalne
 

Podstawowe działania na liczbach

Podstawowe działania matematyczne na liczbach to dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie oraz potęgowanie i pierwiastkowanie. Najważniejsza jest kolejność wykonywania poszczególnych działań.

Kolejność wykonywania działań:

  1. wykonywanie działań w nawiasach
  2. potęgowanie i pierwiastkowanie
  3. mnożenie i dzielenie
  4. dodawanie i odejmowanie
 

Działania na potęgach i pierwiastkach

Działania na potęgach:

  • $$k^a×k^b=k^{(a+b)} $$

    Przykład: $$5^7×5^3=5^10$$

  • $$k^a÷k^b=k^{(a-b)} $$

    Przykład: $$4^7÷4^3=4^4$$

  • $${(k^a)}^b=k^{a×b} $$

    Przykład: $${(8^2)}^3=8^6$$

  • potegi1

    Przykład: potegi2

  • $${(a×b)}^n=a^n×b^n $$

    Przykład: $${(6×7)}^3=6^3×7^3$$

  • $${(a÷b)}^n=a^n÷b^n={a^n}/{b^n} $$

    Przykład: $${(4/7)}^3={4^3}/{7^3} $$

 

Działania na pierwiastkach:

  • $$ √k×√l=√{k×l} $$

    Przykład: $$√3×√2=√6$$

  • $$√{a÷b}=√a÷√b={√a}/{√b} $$

    Przykład: $$√{6÷2}=√6÷√2=√6/√2 $$

Usuwanie niewymierności z mianownika polega na usunięciu pierwiastka niemającego rozwiązania wymiernego.

$$ a/√b={a√b}/b $$

Przykład:

$$ 3/{2√2}={3√2}/{2×2}={3√2}/4 $$
 

Oczliczenia procentowe

Słowo procent (symbol %) pochodzi od łacińskiego wyrażenia pro centum oznaczającego na sto. Można więc powiedzieć że procent to nic innego jak ułamek mający w liczniku daną liczbę ( dany procent ), a w mianowniku liczbę 100.

$$ p%=p/100 $$
 

Przykłady:

  • $$13%= 13/{100} $$
  • $$75%= 75/{100}=3/4 $$
  • $$0,78=78% $$

Czasami pojawia się również pojęcie promil (symbol ‰). Promil jest bardzo podobny do procentu tylko zamiast na sto oznacza na tysiąc.

$$ p‰=p/{1000} $$

Przekształcanie wyrażeń algebraicznych

Wyrażenia algebraiczne - działania, w których obok liczb i znaków występują także litery. Służą do przedstawienia ogólnych wzorów, zwrotów, twierdzeń oraz równań i nierówności.

Aby doprowadzić wyrażenie do prostszej postaci należy posługiwać się działaniami takimi jak:

  • dodawanie i odejmowanie wyrazow podobnych

    $$ ab+3ab-4ab+5ab=4ab-4ab+5ab=5ab $$
  • wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias

    $$bk+bl-bc=b(k+l-c) $$
  • mnożenie jednomianów przez sumy algbraiczne

    $$a(b+c)=(a×b)+(a×c)=ab+ac$$
  • mnożenie sum algebraicznych

    $$(m+n)(k+l)=m(k+l)+n(k+l)=mk+ml+nk+nl$$
 

Przypomnienie wzorów skróconego mnożenia:

  1. $$ {(a+b)}^2=a^2+2ab+b^2 $$
  2. $$ {(a-b)}^2=a^2-2ab+b^2 $$
  3. $$ (a+b)(a-b)=a^2-b^2 $$
 

Układy równań

Układ równań to układ dwóch (lub więcej) łączących się równań, w których występują dwie (lub więcej) niewiadome.

Przykład:

ukladrownan

Przy rozwiązywaniu układów równań posługujemy się dwoma metodami: metodą podstawiania i przeciwnych współczynników.

Metoda podstawiania polega na wyznaczeniu z jednego równania jednej niewiadomej w stosunku do drugiej. Następnie otrzymane równanie podstawić do drugiego.

 

Metoda przeciwnych współczynników polega na takim doprowadzeniu dwóch równań by po odjęciu jednego od drugiego zostało równanie z jedną niewiadomą. Jak to zrobić? Wystarczy znaleźć w jednym równaniu jednomian, który w drugim będzie jego odwrotnością.

 

Układy równań mogą mieć jedno rozwiązanie, żadnego lub nieskończenie wiele.

  • Układ oznaczony to taki, który ma jedno rozwiązanie.
  • Układ nieoznaczony to taki, który ma nieskończoną ilość rozwiązań.
  • Układ sprzeczny to taki, który nie ma żadnego rozwiązania.
 

Pamiętaj!

$$a/b=c/d$$ -> $$a×d=c×b$$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej...

Rysunek pomocniczy:

`"a)"` Mamy dane:

`r=2`  

`h=9` 

Obliczamy pole podstawy walca:

`P_p=pir^2` 

`P_p=pi*2^2=4pi` 

Obliczamy pole powierzchni bocznej walca:

`P_b=2pirh` 

`P_b=2pi*2*9=36pi` 

Obliczamy pole powierzchni całkowitej:

`P_c=2P_p+P_b` 

`P_c=2*4pi+36pi=8pi+36pi=44pi` 

Obliczamy objętość walca:

`V=P_p*h` 

`V=4pi*9=36pi` 

Odp. Pole powierzchni całkowitej walca jest równe `44pi,` a objętość wynosi `36pi.` 

 

`"b)"` Mamy dane:

`h=3` 

`d=0,8` 

Wiemy, że `d=2r,` a stąd:

`r=0,4` 

Obliczamy pole podstawy walca:

`P_p=pir^2` 

`P_p=pi*(0,4)^2=0,16pi` 

Obliczamy pole powierzchni bocznej walca:

`P_b=2pirh` 

`P_b=2pi*0,4*3=2,4pi` 

Obliczamy pole powierzchni całkowitej:

`P_c=2P_p+P_b` 

`P_c=2*0,16pi+2,4pi=0,32pi+2,4pi=2,72pi` 

Obliczamy objętość walca:

`V=P_p*h` 

`V=0,16pi*3=0,48pi` 

Odp. Pole powierzchni całkowitej walca jest równe `2,72pi,` a objętość wynosi `0,48pi.` 

W szufladzie są zielone, niebieskie i żółte kredki

A - zbiór zielonych kredek

B - zbiór niebieskich kredek

C - zbiór żółtych kredek

`bar{A}=6`

 

Prawdopodobieństwo wylosowania niebieskiej kredki:

`P(A)=bar{A}/bar{Omega}=6/19`

 

Prawdopodobieństwo wylosowania żółtej lub niebieskiej kredki:

`P(BuuC)` `=bar{BuuC}/bar{Omega}=13/19`

 

Ponieważ zbiory A i ∪ C są rozłączne i suma tych zbiorów, czyli  B  C daje całą przestrzeń , to P(A) + P(B ∪ C) = 1. Z tego wynika, że Ω = 19, czyli wszystkich kredek jest 19.

Marek po napisaniu...

Średni wynik Marka po napisaniu czterech testów wynosi: `36` 

Liczba punktów uzyskanych przez Marka z piątego testu: `39` 

Z tego wynika, że średni wynik, jaki uzyskał Marek po napisaniu piątego testu będzie wynosił:

`(4*36 + 39)/5 = (144+39)/5=183/5=36,6` 

 

Odpowiedź: Średni wynik Marka po napisaniu pięciu testów wynosi 36,6 punktów. 

Pan Nowak marzy o tym, aby utrzymywać się...

Chcemy by `4%` wpłaconej kwoty było równe `30\ 000\ "zł".` 

Obliczymy, ile wynosi `100%` wpłaconej kwoty, korzystając z proporcji:

`4%-30\ 000\ "zł"` 

`100%-x` 

`x=(30\ 000\ "zł"*100%)/(4%)=750\ 000\ "zł"` 

Odp. Pan Nowak musiałby wpłacić `750\ 000\ "zł".`   

      

Uzupełnij zdania opisujące rysunek

Przedstawiony walce powstał w wyniku obrotu prostokąta o bokach długości 5 cm i 1 cm wokół prostej zawierającej dłuższy bok tego prostokąta lub w wyniku obrotu prostokąta o bokach długości  5cm i 2 cm wokół osi symetrii równoległej do dłuższego boku tego prostokąta. 

Podaj wzór funkcji opisanej słownie oraz określ jej dziedzinę

`f(a)=4a `                                     a> 0

`y = x+4`                                   `18 <= a <=41`

`f(x) = x^3`                                 x > 0

`y = 32,50x `                                    x>0

`b = 40:a  `                                        a> 0

Oblicz pole przekroju osiowego stożka, którego promień podstawy jest równy 5 cm

Przekrój osiowy tego stożka jest trójkątem równobocznym o boku 10 cm.

`P=(10^2sqrt(3))/4=(100sqrt(3))/4=25sqrt(3)cm^2`

Odp. Pole przekroju wynosi `25sqrt(3)cm^2` .

Co jest większe: wartość wyrażenia a=[(sqrt(4/3)^4+(sqrt(8/9)^2)*2/(sqrt(25)]] *root(3)(125)

`a=[(sqrt(4/3)^4+(sqrt(8/9)^2)*2/(sqrt(25)]] *root(3)(125)=` `(16/9+8/9*2/5)*5` `=` `(16/9+16/45)*5=(80/45+16/45)*5=` `=96/45*5=96/9=32/3=10 2/3`

`b=root(3)(2/3):root(3)(2 1/4)+(root(3)(2,5))^3-` `root(3)(1000)=root(3)(2/3:2 1/4)+2,5-10` `=root(3)(2/3*4/9)-7,5=2/3-7 1/2=4/6-7 3/6=-6 5/6`

a>b

Wszystkie narysowane poniżej trójkąty są....

Ania i Magda mają w sumie 140 zł...

Prawidłowa odpowiedź to `"C."` 

Od kwoty Ani odejmujemy `12,5%` tej kwoty, czyli `12,5%x` i tę kwotę dajemy Magdzie.