Liczby i wyrażenia algebraiczne - iii-gimnazjum - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Liczby i wyrażenia algebraiczne - iii-gimnazjum - Baza Wiedzy

System dziesiątkowy

System dziesiątkowy to system, w którym do napisania danej liczby użyjemy cyfr od 0 do 9. Liczby mogą być całkowite, mogą mieć rozwinięcie dziesiętne lub mogą być zapisane w postaci notacji wykładniczej.

  1. Liczby całkowite

    Przykłady: $3478$; $87251029$; $12377311$; $11$; $-675$

  2. Liczby z rozwinięciem dziesiętnym

    Przykłady: 12,675; 4,008 ; 5.8

  3. Notacja wykładnicza

    Notacja wykładnicza to przedstawienie najczęściej dużej liczby w postaci iloczynu liczby o module większym lub równym 1, a mniejszym od 10 i potęgi liczby 10.

    $ a×{10}^n $ -> $ 1≤|a|<10 $

    Przykłady: $ 14678000= 1,4678×{10}^7 $$0,000987=9,87×{10}^4 $

 

System rzymski

System rzymski jest systemem zapisywania liczb, który w przeciwieństwie do zapisu pozycyjnego, pozwala zapisać liczby przy pomocy znaków o zawsze ustalonej wartości.


W systemie rzymskim do zapisania liczby używamy zdecydowanie mniej znaków niż w systemie dziesiątkowym.

Za pomocą 7 znaków (liter) : I, V, X, L, C, D i M jesteśmy w stanie ułożyć każdą liczbę naturalną od 1 do 3999.

Do każdego znaku przypisano inną wartość. 

Wyróżniamy cyfry podstawowe:

  • I = 1
  • X = 10
  • C = 100
  • M = 1000 

oraz cyfry pomocnicze:

  • V = 5
  • L = 50 
  • D = 500


Zasady zapisywania liczb w systemie rzymskim
:

  1. Możemy zapisać maksymalnie 3 takie same cyfry podstawowe (czyli I, X, C, M) obok siebie.

    Cyfry pomocnicze (czyli V, L, D) nie mogą występować obok siebie.

    Przykłady:

    • VIII  `->`   `5+1+1+1=8` 

    • MMCCC  `->`   `1000+1000+100+100+100=2300` 

  2. W celu uproszczenia wielu zapisów dopuszcza się umieszczenie cyfry podstawowej o mniejszej wartości przed cyfrą o większej wartości.

    W takim jednak przypadku od wartości większej liczby odejmujemy wartość mniejszej liczby.

    Przykłady:

    • IX  `->`   `10-1=9` 

    • CD  `->`   `500-100=400` 

  3. Gdy liczby (znaki) są ustawione od największej do najmniejszej to wówczas dodajemy ich wartości.

    Przykłady:

    • MMDCLVII  `->`   `1000+1000+500+100+50+5+1+1=2657`   

    • CXXVII  `->`   `100+10+10+5+1+1=127`   

 

Ciekawostka

System rzymski pochodzi od wysoko rozwiniętej cywilizacji Etrusków (ok. 500 r. p.n.e.).

Początkowo zapisywano liczby za pomocą pionowych kresek I, II, III, IIII, IIIII, ... .

Rzymianie przejęli cyfry od Etrusków i poddali je pewnym modyfikacjom oraz udoskonaleniom, co dało początki dzisiaj znanemu systemowi rzymskiemu.

Cyfr rzymskich używano na terenie imperium aż do jego upadku w V w. n.e.

W średniowieczu stały się standardowym systemem liczbowym całej łacińskiej Europy. Pod koniec tej epoki zaczęto coraz częściej używać cyfr arabskich, prostszych i wygodniejszych do obliczeń oraz zapisywania dużych liczb.

System rzymski stopniowo wychodził z codziennego użycia, chociaż do dziś jest powszechnie znany w Europie i stosowany do wielu celów.

Rodzaje liczb

Liczby dzielą się na:

  1. Liczby naturalne
  2. Liczby całkowite
  3. Liczby wymierne
  4. Liczby niewymierne

1. Liczby naturalne są najbardziej podstawowe, służą do określania, ile elementów jest w jakimś zbiorze, np. 3 jabłka w koszyku, 5 jabłek w koszyku itd. Zero też jest liczbą naturalną (powszechnie uznawane na poziomie gimnazjum)!
Przykłady: 0,1,2,3,4,5,6,7....

2. Liczby całkowite to wszystkie liczby naturalne oraz wszystkie liczby przeciwne do jakiejś liczby naturalnej (np. liczbą przeciwną do 5 jest -5, przeciwną do 18 jest -18, a przeciwną do 0 jest 0). Zatem liczby całkowite to wszystkie takie, które występują w postaci jednej „pełnej” liczby (jak liczby naturalne), ale mogą być zarówno dodatnie jak i ujemne.
Przykłady: -3,-2,-1,0,1,2,3....

3. Liczby wymierne to wszystkie takie, które da się przedstawić za pomocą ułamka zwykłego (licznik i mianownik są całkowite). Liczby naturalne i całkowite to liczby wymierne!

Przykłady: : $ 23/45 $, $36/1$, 4, -5, 88....

4. Liczb niewymiernych nie da się przedstawić za pomocą ułamka zwykłego, a zapis w postaci ułamka dziesiętnego miałby nieskończenie wiele cyfr po przecinku, których kolejność wciąż by się zmieniała (nie dałoby się wyodrębnić okresu, patrz niżej). Przykłady: π=3,14…
 

Kilka zależności:
  1. wszystkie liczby naturalne są całkowitymi
  2. wszystkie liczby naturalne i całkowite są liczbami wymiernymi
  3. wszystkie liczby całkowite dodatnie to liczby naturalne
 

Podstawowe działania na liczbach

Podstawowe działania matematyczne na liczbach to dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie oraz potęgowanie i pierwiastkowanie. Najważniejsza jest kolejność wykonywania poszczególnych działań.

Kolejność wykonywania działań:

  1. wykonywanie działań w nawiasach
  2. potęgowanie i pierwiastkowanie
  3. mnożenie i dzielenie
  4. dodawanie i odejmowanie
 

Działania na potęgach i pierwiastkach

Działania na potęgach:

  • $k^a×k^b=k^{(a+b)} $

    Przykład: $5^7×5^3=5^10$

  • $k^a÷k^b=k^{(a-b)} $

    Przykład: $4^7÷4^3=4^4$

  • ${(k^a)}^b=k^{a×b} $

    Przykład: ${(8^2)}^3=8^6$

  • potegi1

    Przykład: potegi2

  • ${(a×b)}^n=a^n×b^n $

    Przykład: ${(6×7)}^3=6^3×7^3$

  • ${(a÷b)}^n=a^n÷b^n={a^n}/{b^n} $

    Przykład: ${(4/7)}^3={4^3}/{7^3} $

 

Działania na pierwiastkach:

  • $ √k×√l=√{k×l} $

    Przykład: $√3×√2=√6$

  • $√{a÷b}=√a÷√b={√a}/{√b} $

    Przykład: $√{6÷2}=√6÷√2=√6/√2 $

Usuwanie niewymierności z mianownika polega na usunięciu pierwiastka niemającego rozwiązania wymiernego.

$ a/√b={a√b}/b $

Przykład:

$ 3/{2√2}={3√2}/{2×2}={3√2}/4 $
 

Oczliczenia procentowe

Słowo procent (symbol %) pochodzi od łacińskiego wyrażenia pro centum oznaczającego na sto. Można więc powiedzieć że procent to nic innego jak ułamek mający w liczniku daną liczbę ( dany procent ), a w mianowniku liczbę 100.

$ p%=p/100 $
 

Przykłady:

  • $13%= 13/{100} $
  • $75%= 75/{100}=3/4 $
  • $0,78=78% $

Czasami pojawia się również pojęcie promil (symbol ‰). Promil jest bardzo podobny do procentu tylko zamiast na sto oznacza na tysiąc.

$ p‰=p/{1000} $

Przekształcanie wyrażeń algebraicznych

Wyrażenia algebraiczne - działania, w których obok liczb i znaków występują także litery. Służą do przedstawienia ogólnych wzorów, zwrotów, twierdzeń oraz równań i nierówności.

Aby doprowadzić wyrażenie do prostszej postaci należy posługiwać się działaniami takimi jak:

  • dodawanie i odejmowanie wyrazow podobnych

    $ ab+3ab-4ab+5ab=4ab-4ab+5ab=5ab $
  • wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias

    $bk+bl-bc=b(k+l-c) $
  • mnożenie jednomianów przez sumy algbraiczne

    $a(b+c)=(a×b)+(a×c)=ab+ac$
  • mnożenie sum algebraicznych

    $(m+n)(k+l)=m(k+l)+n(k+l)=mk+ml+nk+nl$
 

Przypomnienie wzorów skróconego mnożenia:

  1. $ {(a+b)}^2=a^2+2ab+b^2 $
  2. $ {(a-b)}^2=a^2-2ab+b^2 $
  3. $ (a+b)(a-b)=a^2-b^2 $
 

Układy równań

Układ równań to układ dwóch (lub więcej) łączących się równań, w których występują dwie (lub więcej) niewiadome.

Przykład:

ukladrownan

Przy rozwiązywaniu układów równań posługujemy się dwoma metodami: metodą podstawiania i przeciwnych współczynników.

Metoda podstawiania polega na wyznaczeniu z jednego równania jednej niewiadomej w stosunku do drugiej. Następnie otrzymane równanie podstawić do drugiego.

 

Metoda przeciwnych współczynników polega na takim doprowadzeniu dwóch równań by po odjęciu jednego od drugiego zostało równanie z jedną niewiadomą. Jak to zrobić? Wystarczy znaleźć w jednym równaniu jednomian, który w drugim będzie jego odwrotnością.

 

Układy równań mogą mieć jedno rozwiązanie, żadnego lub nieskończenie wiele.

  • Układ oznaczony to taki, który ma jedno rozwiązanie.
  • Układ nieoznaczony to taki, który ma nieskończoną ilość rozwiązań.
  • Układ sprzeczny to taki, który nie ma żadnego rozwiązania.
 

Pamiętaj!

$a/b=c/d$ -> $a×d=c×b$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Zbadaj, ile rozwiązań, w zależności od liczby a, ma układ równań

 

{premium}  

 

 

 

Chcielibyśmy wyliczyć x, czyli musimy podzielić przez a+6. Możemy to zrobić wyłącznie wtedy, gdy a jest różne od -6 (bo wtedy mamy pewność, że nie dzielimy przez 0)

Gdyby a=-6, to wtedy mamy po obu stronach równania:

 

  

 , czyli układ wtedy jest sprzeczny. 

 

 

Dalej załóżmy, że a jest różne od-6, czyli możemy podzielić:

 

Wstawiamy wyliczonego x do jednego równania, na przykład do drugiego:

 

 

           

Przedstaw za pomocą tabeli oraz wzoru funkcję ...

Tabela:

x 0 1 2 3 4 5 6
y 3 4 5 6 7 8 9

 

Wzór: {premium}

 



Zbiór wartości to zbiór: {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

Dany jest odcinek o długości a

Wystarczy dorysować do odcinka dowolną półprostą tak, aby utworzył się kąt. 

{premium}

W a) odkładamy cyrklem 3-krotnie odcinek dowolnej długości od początku półprostej. Łączymy koniec trzeciego odcinka z końcem odcinka a, następnie prowadzimy odcinki równoległe do narysowanego, które wyznaczą podział odcinka a na 3 równe części. 

W b) postępujemy tak samo, tyle że na dorysowanej półprostej odkładamy 9-krotnie dowolny odcinek. Zauważ, że wygodnie jest tutaj poprowadzić półprostą po kratkach - kratek jest właśnie 9. 

 

Uzasadnij, że promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny...

Rysunek pomocniczy:


Zauważmy, że:

 

 

{premium}

|AB|=c=|AD|+|BD|=a-r+b-r

 

 

 

 

 

co należało uzasadnić


Oblicz długość zaznaczonej przekątnej ...

Ściany boczne graniastosłupa prostego są prostokątami. 

Mamy więc: 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczamy, ile {premium}wynosi długość przekątnej (x) ściany bocznej. 

 

 

 

 

Przekątna ściany bocznej ma długość 2√21.   

Na rysunku obok przedstawiono siatki...

Pierwsza siatka przedstawia ostrosłup prawidłowy pięciokątny, ponieważ w podstawie jest pięciokąt foremny.

{premium}

Druga siatka przedstawia czworościan (ostrosłup prawidłowy trójkątny), ponieważ w podstawie jest trójkąt równoboczny. 

Oblicz stosunek pól kwadratów przedstawionych na rysunku.




 - pole zielonego kwadratu

{premium}  - pole czarnego kwadratu

 

 

zatem:

 

Zatem stosunek pól kwadratów przedstawionych na rysunku wynosi  .

Jaką tabliczkę należy umieścić pod znakiem...

  

Obliczamy wielkość wzniesienia: 

{premium}   

Odp. Należy umieścić tabliczkę    

 

  

Obliczamy wielkość wzniesienia: 

  

Odp. Należy umieścić tabliczkę   

 

  

Obliczamy wielkość wzniesienia: 

  

Odp. Należy umieścić tabliczkę   

Wyobraź sobie, że masz dwa garnki...

Aby odmierzyć dwa litry wody, wystarczy napełnić garnek ośmiolitrowy i {premium}odlać z niego dwa razy po trzy litry wody.

Aby odmierzyć jeden litr wody, wystarczy wlać do garnka ośmiolitrowego dwa razy po trzy litry wody.

Gdy będziemy za trzecim razem przelewać wodę z garnka trzylitrowego do garnka ośmiolitrowego,

w garnku ośmiolitrowym zmieszczą się tylko dwa litry wody, więc w garnku trzylitrowym zostanie jeden litr.

Odcinek A'B' jest podobny do odcinka AB ...

Odcinek A'B' jest podobny do odcinka AB w skali 1/3
Długość odcinka AB to 12 cm. 
x - długość odcinka A'B'. 

 
 
 
 

Odcinek A'B' ma długość 4 cm. 


Odcinek AB ma długość 12 cm, a odcinek A'B' ma długość 2 cm. 
Obliczamy skalę podobieństwa odcinka A'B' do odcinka AB. 

 

Odcinek A'B' jest podobny do odcinka AB w skali 1/6


Skala podobieństwa odcinka A'B' do odcinka Ab wynosi 2. 
Odcinek A'B' ma długość 8 cm.
x - długość odcinka AB.
 
 
 

Odcinek AB ma długość 4 cm.

Odcinek A'B' jest podobny do odcinka AB w skali 1. 
Długość odcinka AB to 7 cm. 
x - długość odcinka A'B'. 

 
 

 

Odcinek A'B' ma długość 7 cm.

Zauważmy, że jeśli skala podobieństwa wynosi 1, to odcinki mają taką samą długość. 

 

Skala podobieństwa

Długość odcinka AB

Długość odcinka A’B’

k=1/3

12 cm

4 cm

k=1/6

12 cm

2 cm

k=2

4 cm

8 cm

k=1

7 cm

7 cm