Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Liczby i wyrażenia algebraiczne - iii-gimnazjum - Baza Wiedzy

System dziesiątkowy

System dziesiątkowy to system, w którym do napisania danej liczby użyjemy cyfr od 0 do 9. Liczby mogą być całkowite, mogą mieć rozwinięcie dziesiętne lub mogą być zapisane w postaci notacji wykładniczej.

  1. Liczby całkowite

    Przykłady: $$3478$$; $$87251029$$; $$12377311$$; $$11$$; $$-675$$

  2. Liczby z rozwinięciem dziesiętnym

    Przykłady: 12,675; 4,008 ; 5.8

  3. Notacja wykładnicza

    Notacja wykładnicza to przedstawienie najczęściej dużej liczby w postaci iloczynu liczby o module większym lub równym 1, a mniejszym od 10 i potęgi liczby 10.

    $$ a×{10}^n $$ -> $$ 1≤|a|<10 $$

    Przykłady: $$ 14678000= 1,4678×{10}^7 $$$$0,000987=9,87×{10}^4 $$

 

System rzymski

System rzymski jest systemem zapisywania liczb, który w przeciwieństwie do zapisu pozycyjnego, pozwala zapisać liczby przy pomocy znaków o zawsze ustalonej wartości.


W systemie rzymskim do zapisania liczby używamy zdecydowanie mniej znaków niż w systemie dziesiątkowym.

Za pomocą 7 znaków (liter) : I, V, X, L, C, D i M jesteśmy w stanie ułożyć każdą liczbę naturalną od 1 do 3999.

Do każdego znaku przypisano inną wartość. 

Wyróżniamy cyfry podstawowe:

  • I = 1
  • X = 10
  • C = 100
  • M = 1000 

oraz cyfry pomocnicze:

  • V = 5
  • L = 50 
  • D = 500


Zasady zapisywania liczb w systemie rzymskim
:

  1. Możemy zapisać maksymalnie 3 takie same cyfry podstawowe (czyli I, X, C, M) obok siebie.

    Cyfry pomocnicze (czyli V, L, D) nie mogą występować obok siebie.

    Przykłady:

    • VIII  `->`   `5+1+1+1=8` 

    • MMCCC  `->`   `1000+1000+100+100+100=2300` 

  2. W celu uproszczenia wielu zapisów dopuszcza się umieszczenie cyfry podstawowej o mniejszej wartości przed cyfrą o większej wartości.

    W takim jednak przypadku od wartości większej liczby odejmujemy wartość mniejszej liczby.

    Przykłady:

    • IX  `->`   `10-1=9` 

    • CD  `->`   `500-100=400` 

  3. Gdy liczby (znaki) są ustawione od największej do najmniejszej to wówczas dodajemy ich wartości.

    Przykłady:

    • MMDCLVII  `->`   `1000+1000+500+100+50+5+1+1=2657`   

    • CXXVII  `->`   `100+10+10+5+1+1=127`   

 

Ciekawostka

System rzymski pochodzi od wysoko rozwiniętej cywilizacji Etrusków (ok. 500 r. p.n.e.).

Początkowo zapisywano liczby za pomocą pionowych kresek I, II, III, IIII, IIIII, ... .

Rzymianie przejęli cyfry od Etrusków i poddali je pewnym modyfikacjom oraz udoskonaleniom, co dało początki dzisiaj znanemu systemowi rzymskiemu.

Cyfr rzymskich używano na terenie imperium aż do jego upadku w V w. n.e.

W średniowieczu stały się standardowym systemem liczbowym całej łacińskiej Europy. Pod koniec tej epoki zaczęto coraz częściej używać cyfr arabskich, prostszych i wygodniejszych do obliczeń oraz zapisywania dużych liczb.

System rzymski stopniowo wychodził z codziennego użycia, chociaż do dziś jest powszechnie znany w Europie i stosowany do wielu celów.

Rodzaje liczb

Liczby dzielą się na:

  1. Liczby naturalne
  2. Liczby całkowite
  3. Liczby wymierne
  4. Liczby niewymierne

1. Liczby naturalne są najbardziej podstawowe, służą do określania, ile elementów jest w jakimś zbiorze, np. 3 jabłka w koszyku, 5 jabłek w koszyku itd. Zero też jest liczbą naturalną (powszechnie uznawane na poziomie gimnazjum)!
Przykłady: 0,1,2,3,4,5,6,7....

2. Liczby całkowite to wszystkie liczby naturalne oraz wszystkie liczby przeciwne do jakiejś liczby naturalnej (np. liczbą przeciwną do 5 jest -5, przeciwną do 18 jest -18, a przeciwną do 0 jest 0). Zatem liczby całkowite to wszystkie takie, które występują w postaci jednej „pełnej” liczby (jak liczby naturalne), ale mogą być zarówno dodatnie jak i ujemne.
Przykłady: -3,-2,-1,0,1,2,3....

3. Liczby wymierne to wszystkie takie, które da się przedstawić za pomocą ułamka zwykłego (licznik i mianownik są całkowite). Liczby naturalne i całkowite to liczby wymierne!

Przykłady: : $$ 23/45 $$, $$36/1$$, 4, -5, 88....

4. Liczb niewymiernych nie da się przedstawić za pomocą ułamka zwykłego, a zapis w postaci ułamka dziesiętnego miałby nieskończenie wiele cyfr po przecinku, których kolejność wciąż by się zmieniała (nie dałoby się wyodrębnić okresu, patrz niżej). Przykłady: π=3,14…
 

Kilka zależności:
  1. wszystkie liczby naturalne są całkowitymi
  2. wszystkie liczby naturalne i całkowite są liczbami wymiernymi
  3. wszystkie liczby całkowite dodatnie to liczby naturalne
 

Podstawowe działania na liczbach

Podstawowe działania matematyczne na liczbach to dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie oraz potęgowanie i pierwiastkowanie. Najważniejsza jest kolejność wykonywania poszczególnych działań.

Kolejność wykonywania działań:

  1. wykonywanie działań w nawiasach
  2. potęgowanie i pierwiastkowanie
  3. mnożenie i dzielenie
  4. dodawanie i odejmowanie
 

Działania na potęgach i pierwiastkach

Działania na potęgach:

  • $$k^a×k^b=k^{(a+b)} $$

    Przykład: $$5^7×5^3=5^10$$

  • $$k^a÷k^b=k^{(a-b)} $$

    Przykład: $$4^7÷4^3=4^4$$

  • $${(k^a)}^b=k^{a×b} $$

    Przykład: $${(8^2)}^3=8^6$$

  • potegi1

    Przykład: potegi2

  • $${(a×b)}^n=a^n×b^n $$

    Przykład: $${(6×7)}^3=6^3×7^3$$

  • $${(a÷b)}^n=a^n÷b^n={a^n}/{b^n} $$

    Przykład: $${(4/7)}^3={4^3}/{7^3} $$

 

Działania na pierwiastkach:

  • $$ √k×√l=√{k×l} $$

    Przykład: $$√3×√2=√6$$

  • $$√{a÷b}=√a÷√b={√a}/{√b} $$

    Przykład: $$√{6÷2}=√6÷√2=√6/√2 $$

Usuwanie niewymierności z mianownika polega na usunięciu pierwiastka niemającego rozwiązania wymiernego.

$$ a/√b={a√b}/b $$

Przykład:

$$ 3/{2√2}={3√2}/{2×2}={3√2}/4 $$
 

Oczliczenia procentowe

Słowo procent (symbol %) pochodzi od łacińskiego wyrażenia pro centum oznaczającego na sto. Można więc powiedzieć że procent to nic innego jak ułamek mający w liczniku daną liczbę ( dany procent ), a w mianowniku liczbę 100.

$$ p%=p/100 $$
 

Przykłady:

  • $$13%= 13/{100} $$
  • $$75%= 75/{100}=3/4 $$
  • $$0,78=78% $$

Czasami pojawia się również pojęcie promil (symbol ‰). Promil jest bardzo podobny do procentu tylko zamiast na sto oznacza na tysiąc.

$$ p‰=p/{1000} $$

Przekształcanie wyrażeń algebraicznych

Wyrażenia algebraiczne - działania, w których obok liczb i znaków występują także litery. Służą do przedstawienia ogólnych wzorów, zwrotów, twierdzeń oraz równań i nierówności.

Aby doprowadzić wyrażenie do prostszej postaci należy posługiwać się działaniami takimi jak:

  • dodawanie i odejmowanie wyrazow podobnych

    $$ ab+3ab-4ab+5ab=4ab-4ab+5ab=5ab $$
  • wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias

    $$bk+bl-bc=b(k+l-c) $$
  • mnożenie jednomianów przez sumy algbraiczne

    $$a(b+c)=(a×b)+(a×c)=ab+ac$$
  • mnożenie sum algebraicznych

    $$(m+n)(k+l)=m(k+l)+n(k+l)=mk+ml+nk+nl$$
 

Przypomnienie wzorów skróconego mnożenia:

  1. $$ {(a+b)}^2=a^2+2ab+b^2 $$
  2. $$ {(a-b)}^2=a^2-2ab+b^2 $$
  3. $$ (a+b)(a-b)=a^2-b^2 $$
 

Układy równań

Układ równań to układ dwóch (lub więcej) łączących się równań, w których występują dwie (lub więcej) niewiadome.

Przykład:

ukladrownan

Przy rozwiązywaniu układów równań posługujemy się dwoma metodami: metodą podstawiania i przeciwnych współczynników.

Metoda podstawiania polega na wyznaczeniu z jednego równania jednej niewiadomej w stosunku do drugiej. Następnie otrzymane równanie podstawić do drugiego.

 

Metoda przeciwnych współczynników polega na takim doprowadzeniu dwóch równań by po odjęciu jednego od drugiego zostało równanie z jedną niewiadomą. Jak to zrobić? Wystarczy znaleźć w jednym równaniu jednomian, który w drugim będzie jego odwrotnością.

 

Układy równań mogą mieć jedno rozwiązanie, żadnego lub nieskończenie wiele.

  • Układ oznaczony to taki, który ma jedno rozwiązanie.
  • Układ nieoznaczony to taki, który ma nieskończoną ilość rozwiązań.
  • Układ sprzeczny to taki, który nie ma żadnego rozwiązania.
 

Pamiętaj!

$$a/b=c/d$$ -> $$a×d=c×b$$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Przerysuj do zeszytu histogram ...

a)  Tabelka:

0 - 1

2 - 4

5 - 6

2

12

10

Histogram:

Pole pierwszego słupka:

`2*1=2` 

Pole drugiego słupka:

`3*4=12` 

Pole trzeciego słupka:

`2*5=10` 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

b) Tabelka:

0 - 2

3 - 5

6

6

12

3

Histogram:

Pole pierwszego słupka:

`3*2=6` 

Pole drugiego słupka:

`3*4=12` 

Pole trzeciego słupka:

`1*3=3` 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

c) Tabelka:

0 - 3

4

5 - 6

2

2

10

Histogram:

Pole pierwszego słupka:

`strike4^2*1/strike2^1=2`

Pole drugiego słupka:

`1*2=2` 

Pole trzeciego słupka:

`2*5=10` 

Oblicz i zapisz wynik...

`a)` 

`20,3*10^13*5*10^11 = 20,3*5*10^13*10^11 = 20,3*5*10^(13+11) =101,5*10^24 =` 

`\ \ \  = 1,015*10^2*10^24 = 1,015*10^(2+24) = 1,015*10^26` 

 

`b)` 

`0,65*10^-8*0,025*10^4 = 0,65*0,025*10^-8*10^4 = 0,65*0,025*10^(-8+4) = 0,01625*10^-4 =` 

`\ \ \ = 1,625*10^-2*10^-4 = 1,625*10^(-2+(-4)) = 1,625*10^(-2-4) = 1,625*10^-6` 

 

`c)` 

`(20,3*10^13)/(5*10^11) = (20,3)/5*10^13/10^11 = 4,06*10^(13-11) = 4,06*10^2` 

 

 

`d)` 

`(0,65*10^-8)/(0,025*10^4) = (0,65)/(0,025)*(10^-8)/(10^4) = 26*10^(-8-4) = 26*10^-12 =2,6*10*10^-12=` 

`\ \ \ = 2,6*10^(1+(-12)) = 2,6*10^(1-12) = 2,6*10^-11` 

Złote kolczyki mają kształt pierścienia kołowego

`2Pir=8Picm`

r=4cm

`PiR^2-4^2Pi=9Picm^2`

`R^2-16=9cm^2`

`R^2=25cm^2`

R=5cm

`2*5cm=10cm`

Odp. Zewnętrzna średnica tych kolczyków ma 10 cm.

Drabina składa się z dwóch ramion o długości 4 m

Najpierw obliczmy wysokość h trójkąta zaznaczonego na niebiesko (korzystając z twierdzenia Pitagorasa): 

`0,25^2+h^2=2^2` 

`(1/4)^2+h^2=4` 

`1/16+h^2=4\ \ \ |-1/16` 

`h^2=3 15/16` 

`h^2=63/16` 

`h=sqrt(63/16)=sqrt63/sqrt16=` `(sqrt9*sqrt7)/4=` `3/4sqrt7\ m` 

 

Niebieski i zielony trójkąt są podobne, ponieważ mają takie same kąty (alfa, beta i kąt prosty):

`2/4=(3/4sqrt7)/H` 

`2H=4*3/4sqrt7` 

`2H=3sqrt7\ \ \ |:2` 

`H=3/2sqrt7\ m=1,5sqrt7\ m~~1,5*2,65\ m=3,975\ m`  

Diagram przedstawia wyniki ankiety

`a)\ 80`

`b)\ 40`

`c)\ 70+60=130`

`d)\ 40-30=10`

`e)\ "w sierpniu"`

`f)\ "w sierpniu"`

`g)\ "w lutym"`

`h)\ "grudzień, luty"`

Krawędź czworościanu foremnego ma długość 8 cm...

Jeśli jedna bryła jest podobna do drugiej w skali k, to:

-stosunek długości odcinków pierwszej bryły do długości odpowiednich odcinków drugiej bryły jest równy k

-stosunek pola powierzchni pierwszej bryły do pola powierzchni drugiej bryły jest równy k2

-stosunek objętości pierwszej bryły do objętości drugiej bryły jest równy k3



wiemy, że krawędź czworościanu ma długość a=8 cm


obliczmy długość krawędzi czworościanu powiększonego w skali k=3


`a_1=3*8 \ "cm"=24 \ "cm"` 


obliczmy długość krawędzi czworościanu powiększonego kolejny raz  tym razem w skali k=2

`a_2=2*24 \ "cm"=48 \ "cm"` 


Obliczmy pole powierzchni całkowitej powiększonego dwukrotnie czworościanu:

`P=4*(a_2^2*sqrt3)/4` 

`P=strike4_1*(48^2*sqrt3)/strike4_1=2304sqrt3 \ "[cm"^2"]"` 



Obliczmy objętość powiększonego dwukrotnie czworościanu:


`V=1/3*P_p*H` 

Obliczmy wysokość tego czworościanu:

rysunek pomocniczy:



`a=48 \ "cm"` 

`h=(asqrt3)/2` 

`h=(48sqrt3/2=24sqrt3 \ "cm"` 

`2/3h=2/3*24sqrt3=16sqrt3` 

długość wysokości ostrosłupa `(H)` możemy obliczyć korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

`H^2+(2/3h)^2=a^2` 

`H^2+(16sqrt3)^2=48^2` 

`H^2+256*3=2304` 

`H^2+768=2304 \ \ |-768` 

`H^2=1536 \ \ |sqrt` 

`H=sqrt1536` 

`H=16sqrt6` 


obliczmy objętość tego ostrosłupa:

`V=1/3*(48^2sqrt3)/strike4_1*strike16^4sqrt6=1/3*2304sqrt3*4sqrt6=768sqrt3*4sqrt6=3072sqrt18=9216sqrt2 \ "[cm"^3"]"` 


Odp.: Pole tego ostrosłupa wynosi `2304sqrt3 \ "cm"^2"` , a objętość tego ostrosłupa wynosi `9216sqrt2 \ "cm"^3` 

Do polakierowania jednej kulistej bombki ...

Aby pomalować kulistą bombkę o promieniu długości 2 cm potrzeba 0,5 ml lakieru. 

Obliczamy jaką powierzchnię ma ta bombka. 
`P=4pi*(2 \ "cm")^2=4pi*4 \ "cm"^2=16pi \ "cm"^2` 

Aby pomalować 16π cm2 powierzchni potrzeba więc 0,5 ml lakieru. 


Obliczamy jaką powierzchnię ma bombka o promieniu długości 5 cm. 
`P_1=4pi*(5 \ "cm")^2=4pi*25 \ "cm"^2=100pi \ "cm"^2` 

Pole powierzchni jednej bombki o promieniu długości 5 cm wynosi 100π cm2

Obliczamy jaką łączną powierzchnie ma 1000 takich bombek. 
`1000*P_1=1000*100pi \ "cm"^2=100 \ 000pi \ "cm"^2`  

1000 bombek o promieniu długości 5 cm ma 100 000π cm2 powierzchni.  


Aby pomalować 16π cm2 powierzchni potrzeba 0,5 ml lakieru. 

Obliczamy ile lakieru potrzeba, aby pomalować 100 000π cm2 powierzchni. 
`16pi \ "cm"^2 \ \ \ \ \ \ \ \ \ - \ \ \ \ 0,5 \ "ml" `   
`100 \ 000pi \ "cm"^2 \ \ \ \ - \ \ \ x \ "ml"`    

Zatem:
`16pi \ "cm"^2*x=100 \ 000pi \ "cm"^2*0,5 \ "ml" \ \ \ \ \ \ \ |:pi \ "cm"^2`      
`16*x=50 \ 000 \ "ml" \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \|:16`    
`x=3125 \ "ml"` 

`3125 \ "ml"=3,125 \ "l"` 

Aby pomalować 1000 bombek o promieniu długości 5 cm potrzeba 3,125 l lakieru.     


`2,5 \ "l" \ < \ 3,125 \ "l"` 

Oznacza to, że 2,5 litra lakieru nie wystarczy aby pomalować 1000 bombek o promieniu długości 5 cm. 

Pole podstawy graniastosłupa zwiększono o 30%

Objętość początkowa:

`V_1=P_p*H`

Pole podstawy zwiększonej o 30% stanowi 130% początkowego pola podstawy(100%+30%=130%):

`130%*P_p=1,3P_p`

Wysokość zmniejszona o 20% stanowi 80% początkowej wysokości(100%-20%=80%):

`80%*H=0,8H`

Obliczamy objętość po tych zmianach:

`V_2=1,3P_p*0,8H=1,04 P_p*H=104%P_p*H`

Objętość po tych zmianach stanowi 104% objętości początkowej

`104%-100%=4%`

Trójkąty ABC i A1B1C1 są podobne. Boki trójkąta ABC mają długości

Boki trójkąta ABC: 4,8,10

Boki trójkąta `A_1B_1C_1:x,10,y`

`4/x=8/10`

8x=40

x=5

`10/y=8/10`

8y = 100

`y=100/8=12 1/2`

Odp. Pozostałe boki trójkąta mają długość 5 i `12,5`

Połowa liczby 4^88 to

Obliczamy połowę liczby `4^88,` korzystając z własności działań na potęgach:

`4^88/2=(2^2)^88/2=2^176/2=2^175`  

Prawidłowa odpowiedź to `"C."`