Liczby i wyrażenia algebraiczne - iii-gimnazjum - Baza Wiedzy

System dziesiątkowy

System dziesiątkowy to system, w którym do napisania danej liczby użyjemy cyfr od 0 do 9. Liczby mogą być całkowite, mogą mieć rozwinięcie dziesiętne lub mogą być zapisane w postaci notacji wykładniczej.

  1. Liczby całkowite

    Przykłady: $$3478$$; $$87251029$$; $$12377311$$; $$11$$; $$-675$$

  2. Liczby z rozwinięciem dziesiętnym

    Przykłady: 12,675; 4,008 ; 5.8

  3. Notacja wykładnicza

    Notacja wykładnicza to przedstawienie najczęściej dużej liczby w postaci iloczynu liczby o module większym lub równym 1, a mniejszym od 10 i potęgi liczby 10.

    $$ a×{10}^n $$ -> $$ 1≤|a|<10 $$

    Przykłady: $$ 14678000= 1,4678×{10}^7 $$$$0,000987=9,87×{10}^4 $$

 

System rzymski

W systemie rzymskim do zapisania liczby używamy zdecydowanie mniej znaków niż w systemie dziesiątkowym. Za pomocą 7 znaków (liter) : I, V, X, L, C, D i M jesteśmy w stanie ułożyć każdą liczbę naturalną od 1 do 3999.

Do każdego znaku jest przypisana inna wartość:

  • I -> 1
  • V -> 5
  • X -> 10
  • L -> 50
  • C -> 100
  • D -> 500
  • M -> 1000

Zasady zapisywania liczb w systemie rzymskim:

  1. Możemy zapisać maksymalnie 3 takie same znaki koło siebie. Mogą być to tylko znaki I, X, C i M. Inne znaki nie mogą występować koło siebie.

    Przykłady:

    • VIII -> $$ 5+1+1+1 =8 $$
    • MMCCC -> $$1000+1000+100+100+100=2300 $$
  2. Gdy znak, który ma większą wartość poprzedza znak o mniejszej wartości to wówczas liczymy różnicę tych dwóch wartości.

    Przykłady:

    • IX -> $$10-1=9$$
    • XCC -> $$(100-10)+100=190$$
  3. Gdy liczby (znaki) są ustawione od największej do najmniejszej to wówczas dodajemy ich wartości.

    Przykład:

    • MMDCLVII -> $$ 1000+1000+500+100+50+5+1+1=2657$$
 

Rodzaje liczb

Liczby dzielą się na:

  1. Liczby naturalne
  2. Liczby całkowite
  3. Liczby wymierne
  4. Liczby niewymierne

1. Liczby naturalne są najbardziej podstawowe, służą do określania, ile elementów jest w jakimś zbiorze, np. 3 jabłka w koszyku, 5 jabłek w koszyku itd. Zero też jest liczbą naturalną (powszechnie uznawane na poziomie gimnazjum)!
Przykłady: 0,1,2,3,4,5,6,7....

2. Liczby całkowite to wszystkie liczby naturalne oraz wszystkie liczby przeciwne do jakiejś liczby naturalnej (np. liczbą przeciwną do 5 jest -5, przeciwną do 18 jest -18, a przeciwną do 0 jest 0). Zatem liczby całkowite to wszystkie takie, które występują w postaci jednej „pełnej” liczby (jak liczby naturalne), ale mogą być zarówno dodatnie jak i ujemne.
Przykłady: -3,-2,-1,0,1,2,3....

3. Liczby wymierne to wszystkie takie, które da się przedstawić za pomocą ułamka zwykłego (licznik i mianownik są całkowite). Liczby naturalne i całkowite to liczby wymierne!

Przykłady: : $$ 23/45 $$, $$36/1$$, 4, -5, 88....

4. Liczb niewymiernych nie da się przedstawić za pomocą ułamka zwykłego, a zapis w postaci ułamka dziesiętnego miałby nieskończenie wiele cyfr po przecinku, których kolejność wciąż by się zmieniała (nie dałoby się wyodrębnić okresu, patrz niżej). Przykłady: π=3,14…
 

Kilka zależności:
  1. wszystkie liczby naturalne są całkowitymi
  2. wszystkie liczby naturalne i całkowite są liczbami wymiernymi
  3. wszystkie liczby całkowite dodatnie to liczby naturalne
 

Podstawowe działania na liczbach

Podstawowe działania matematyczne na liczbach to dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie oraz potęgowanie i pierwiastkowanie. Najważniejsza jest kolejność wykonywania poszczególnych działań.

Kolejność wykonywania działań:

  1. wykonywanie działań w nawiasach
  2. potęgowanie i pierwiastkowanie
  3. mnożenie i dzielenie
  4. dodawanie i odejmowanie
 

Działania na potęgach i pierwiastkach

Działania na potęgach:

  • $$k^a×k^b=k^{(a+b)} $$

    Przykład: $$5^7×5^3=5^10$$

  • $$k^a÷k^b=k^{(a-b)} $$

    Przykład: $$4^7÷4^3=4^4$$

  • $${(k^a)}^b=k^{a×b} $$

    Przykład: $${(8^2)}^3=8^6$$

  • potegi1

    Przykład: potegi2

  • $${(a×b)}^n=a^n×b^n $$

    Przykład: $${(6×7)}^3=6^3×7^3$$

  • $${(a÷b)}^n=a^n÷b^n={a^n}/{b^n} $$

    Przykład: $${(4/7)}^3={4^3}/{7^3} $$

 

Działania na pierwiastkach:

  • $$ √k×√l=√{k×l} $$

    Przykład: $$√3×√2=√6$$

  • $$√{a÷b}=√a÷√b={√a}/{√b} $$

    Przykład: $$√{6÷2}=√6÷√2=√6/√2 $$

Usuwanie niewymierności z mianownika polega na usunięciu pierwiastka niemającego rozwiązania wymiernego.

$$ a/√b={a√b}/b $$

Przykład:

$$ 3/{2√2}={3√2}/{2×2}={3√2}/4 $$
 

Oczliczenia procentowe

Słowo procent (symbol %) pochodzi od łacińskiego wyrażenia pro centum oznaczającego na sto. Można więc powiedzieć że procent to nic innego jak ułamek mający w liczniku daną liczbę ( dany procent ), a w mianowniku liczbę 100.

$$ p%=p/100 $$
 

Przykłady:

  • $$13%= 13/{100} $$
  • $$75%= 75/{100}=3/4 $$
  • $$0,78=78% $$

Czasami pojawia się również pojęcie promil (symbol ‰). Promil jest bardzo podobny do procentu tylko zamiast na sto oznacza na tysiąc.

$$ p‰=p/{1000} $$

Przekształcanie wyrażeń algebraicznych

Wyrażenia algebraiczne - działania, w których obok liczb i znaków występują także litery. Służą do przedstawienia ogólnych wzorów, zwrotów, twierdzeń oraz równań i nierówności.

Aby doprowadzić wyrażenie do prostszej postaci należy posługiwać się działaniami takimi jak:

  • dodawanie i odejmowanie wyrazow podobnych

    $$ ab+3ab-4ab+5ab=4ab-4ab+5ab=5ab $$
  • wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias

    $$bk+bl-bc=b(k+l-c) $$
  • mnożenie jednomianów przez sumy algbraiczne

    $$a(b+c)=(a×b)+(a×c)=ab+ac$$
  • mnożenie sum algebraicznych

    $$(m+n)(k+l)=m(k+l)+n(k+l)=mk+ml+nk+nl$$
 

Przypomnienie wzorów skróconego mnożenia:

  1. $$ {(a+b)}^2=a^2+2ab+b^2 $$
  2. $$ {(a-b)}^2=a^2-2ab+b^2 $$
  3. $$ (a+b)(a-b)=a^2-b^2 $$
 

Układy równań

Układ równań to układ dwóch (lub więcej) łączących się równań, w których występują dwie (lub więcej) niewiadome.

Przykład:

ukladrownan

Przy rozwiązywaniu układów równań posługujemy się dwoma metodami: metodą podstawiania i przeciwnych współczynników.

Metoda podstawiania polega na wyznaczeniu z jednego równania jednej niewiadomej w stosunku do drugiej. Następnie otrzymane równanie podstawić do drugiego.

 

Metoda przeciwnych współczynników polega na takim doprowadzeniu dwóch równań by po odjęciu jednego od drugiego zostało równanie z jedną niewiadomą. Jak to zrobić? Wystarczy znaleźć w jednym równaniu jednomian, który w drugim będzie jego odwrotnością.

 

Układy równań mogą mieć jedno rozwiązanie, żadnego lub nieskończenie wiele.

  • Układ oznaczony to taki, który ma jedno rozwiązanie.
  • Układ nieoznaczony to taki, który ma nieskończoną ilość rozwiązań.
  • Układ sprzeczny to taki, który nie ma żadnego rozwiązania.
 

Pamiętaj!

$$a/b=c/d$$ -> $$a×d=c×b$$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Rozwiąż układ...

`a)`  

Rozwiązujemy metodą przeciwnych współczynników:

`{(3x-2y=5 \ \ \ \ \ |*3),(-2x+6y =9):}` 

`( + {(9x-6y=15),(-2x+6y =9):})/(7x = 24)` 

`7x = 24 \ \ \ \ |:7` 

`x = 24/7` 

`{(x = 24/7),(3*24/7 - 2*y=5):}` 

`{(x = 24/7),(72/7 - 2y=5\ \ \ \ \ \ |-72/7):}` 

`{(x = 24/7),(-2y=5-72/7):}` 

`{(x = 24/7),(-2y=35/7-72/7):}` 

`{(x = 24/7),(-2 y = -37/7 \ \ \ \ \ |*(-1)):}` 

`{(x = 24/7),(2 y=37/7 \ \ \ \ \ |:2):}`  

`{(x = 24/7),(y=37/14):}`  

`{(x = 3  3/7),(y= 2  9/14):}`  

  

`b)` 

Rozwiązujemy metodą podstawiania:

`{(3-3x=3y+2),(y+5=4x-3 \ \ \ \ \ |-5):}` 

`{(3-3x=3y+2),(y=4x-8):}` 

`{(3-3x=3(4x-8)+2),(y=4x-8):}` 

`{(3-3x=12x-24+2),(y=4x-8):}` 

`{(3-3x=12x-22 \ \ \ \ \ |-12 x-3),(y=4x-8):}` 

`{(-15x=-25 \ \ \ \ \ |:(-15)),(y=4x-8):}` 

`{(x=25/15),(y=4x-8):}` 

`{(x=5/3),(y=4x-8):}` 

`{(x=5/3),(y=4*5/3-8):}` 

`{(x=5/3),(y=20/3-24/3):}` 

`{(x=5/3),(y=-4/3):}` 

`{(x=1  2/3),(y=-1  1/3):}` 

 

`c)` 

Rozwiązujemy metodą przeciwnych współczynników:

`{(-7=5x-3y),(3y-5x=0):}`  

`(+{(-3y+5x = -7),(3y-5x=0):})/(0=-7)`  

UKŁAD SPRZECZNY.

 

`d)` 

Rozwiązujemy metodą przeciwnych współczynników:

`{(6x=10-4y \ \ \ \ \ |+4y),(2-2/5 y-3/5 x=0 \ \ \ \ \ |*5):}` 

`{(6x+4y=10),(10-2y-3x=0 \ \ \ \ \ |-10):}` 

`{(6x+4y=10),(-2y-3x=-10 \ \ \ \ \ |*(-1)):}` 

`{(6x+4y=10),(2y +3x=10 \ \ \ \ \ |*2):}` 

`{(6x+4y=10),(4y +6x=20):}` 

`{(6x+4y=10),(6x + 4y=20):}` 

UKŁAD SPRZECZNY.

 

`e)` 

Rozwiązujemy metodą przeciwnych współczynników:

`{(-2(5x-2y)+4 (2x+y)=1),(3(2x-y) - (y+7x) = 5,5):}` 

`{(-10x + 4y + 8 x + 4 y=1),(6 x- 3 y - y- 7x = 5,5):}` 

`{(-2x + 8 y=1),(- x- 4 y = 5,5 \ \ \ \ |*2):}` 

`(+{(-2x + 8 y=1),(- 2 x- 8 y = 11):})/(-4x = 12)` 

`-4x=12 \ \ \ \ |:(-4)` 

`x= -3` 

`{(x = -3),(3(2*(-3) - y ) - (y+7*(-3)) = 5,5 ):}` 

`{(x = -3),(3(-6 - y ) - (y-21) = 5,5 ):}` 

`{(x = -3),(-18 - 3y  - y  + 21 = 5,5 ):}` 

`{(x = -3),(- 4 y  + 3 = 5,5  \ \ \ \ \ |-3):}` 

`{(x = -3),(- 4 y  = 2,5  \ \ \ \ \ |:(-4)):}` 

`{(x = -3),(y  =-0,625 ):}` 

`{(x = -3),(y  =- 625/1000 ):}` 

`{(x = -3),(y  =- 5/8 ):}` 

 

`f)` 

Rozwiązujemy metodą podstawiania:

`{((2x-y)/4 + (3x+5)/2 = 3 \ \ \ \ \ \ |*4),((x-7)/5 - (2y+x)/10 = -1 \ \ \ \ \ \ |*10):}` 

`{((2x-y)/4 *4+ (3x+5)/2*4 = 3*4),((x-7)/5 *10 - (2y+x)/10*10 = -1*10):}` 

`{((2x-y) + (3x+5)*2 = 12),((x-7)*2 - (2y+x) = -10):}` 

`{(2x-y + 6 x+ 10 = 12),(2 x- 14 - 2y+x = -10):}` 

`{(8x -y + 10 = 12 \ \ \ \ \ |-10),(3 x - 2y-14= -10 \ \ \ \ \  |+14):}` 

`{(8x -y = 2 \ \ \ \ \ |*(-1)),(3 x - 2y = 4):}` 

`{(-8x +y = -2 \ \ \ \ \ |+8x),(3 x - 2y = 4):}` 

`{(y = 8x - 2),(3 x - 2y = 4):}` 

`{(y = 8x - 2),(3 x - 2*(8x - 2) = 4):}` 

`{(y = 8x - 2),(3 x - 16 x + 4 = 4 \ \ \ \ \ |-4):}` 

`{(y = 8x - 2),(- 13 x  = 0 \ \ \ \ \ \ |:(-13)):}` 

`{(y = 8x - 2),(x  = 0):}` 

`{(y = 8*0 - 2),(x  = 0):}` 

`{(y = 0 - 2),(x  = 0):}` 

`{(y = - 2),(x  = 0):}` 

Do kieliszka nalano...

W zadaniu podano objętość wlanej wody:

`V = 120\ cm^3` 

Z rysunku odczytujemy, że wysokość napoju w kieliszku wynosi:

`H = 10\ cm` 

Kieliszek ma kształt stożka. Obliczamy promień na wysokości, do jakiej sięgnął napój:

`V = 1/3  pi  r^2  H` 

`120\ cm^3 = 1/3*pi*r^2*10\ cm \ \ \ \ \ |*3` 

`360\ cm^3 = pi*r^2*10\ cm \ \ \ \ \ |:(pi*10\ cm)` 

`r^2 = (360\ cm^3)/(pi*10\ cm)` 

`r = 36/pi\ cm^2 \ \ \ \ \ |sqrt(\ )` 

`r = sqrt(36/pi\ cm^2)` 

`r=6 sqrt(1/pi)\ cm` 

Z tego wynika, że średnica kieliszka na tej wysokości wynosi:

`d = 2 r`  

`d = 2*6sqrt(1/pi)\ cm` 

`d = 12sqrt(1/pi)\ cm` 

`d ~~ 12*sqrt(1/(3,14))\ cm` 

`d ~~ 12*sqrt(0,318)\ cm` 

`d~~12*0,564\ cm` 

`d ~~6,768\ cm` 

`d ~~6,8\ cm` 

 

Odp.: A. `"około"  6,8\ cm` 

Działka...

Obliczmy pole trójkąta prostokątnego przyprostokątnych 6cm i 10cm:

`P=1/2 ah = 1/2 * 6 * 10 = 30 \ [cm^2]`

Skoro trójkąty są podobne w skali k, to stosunek ich pól będzie wynosić k2.

Zamieńmy metry kwadratowe na centymetry kwadratowe:

`750 \ "m"^2 = 750 \ "m" * "m" = 750 * 100 \ "cm" * 100 \ "cm" = 7500000 \ "cm"^2`

`(P_(tr))/P = k^2`

`7500000/30 = k^2`

`250000 = k^2` 

`k^2 = 25 * 10000`

`k=5*100`

`k=500`

Plan działki sporządzono w skali 1:500.

Iluprocentowy roztwór otrzymamy, mieszając

`a)\ (2\ kg)/(2\ kg+3\ kg)*100%=(2\ kg)/(5\ kg)*100%=`  `2/5*100%=200/5%=40%` 

 

`b)\ (3\ dag)/(3\ dag+2\ dag)*100%=` `(3\ dag)/(5\ dag)*100%=3/5*100%=300/5%=60%`     

Wojtek wyszedł z domu do...

`a)` 

Z wykresu możemy odczytać, że po 10 minutach ruchu Wojtek pokonał 1 kilometr. Następnie zatrzymał się na 5 minut i zaczął wracać. Z tego wynika, że sklep znajduje się w odległości 1 km od domu Wojtka.

Odp.: Odległość pomiędzy domem Wojtka, a sklepem wynosi 1 kilometr.

 

`b)` 

Z wykresu wynika, że wyjście Wojtka do sklepu trwało 35 minut.

Odp.: Wojtek wróci do domu po 35 minutach.

 

`c)` 

Wojtek nie poruszał się od 10 minuty do 15 minuty. Oznacza to, że wówczas był w sklepie, czyli w sklepie spędził 5 minut.

Odp.: Wojtek spędził w sklepie 5 minut.

 

`d)` 

Z wykresu odczytujemy, że dla piątek minuty ruchu droga wynosi 0,5 km.

Odp.: Wojtek znajdował się w odległości 0,5 kilometra od domu.

 

`e)` 

Droga jaką pokonał Wojtek wracając ze sklepu do domu wynosi 1 kilometr. Z wykresu odczytujemy, że Wojtek zaczął wracać po 15 minutach od wyjścia z domu, a do domu dotarł po 35 minutach. Z tego wynika, że czas powrotu Wojtka do domu wynosi:

`t = 35 min - 15 min = 20 min` 

Z tego wynika, że prędkość Wojtka wynosi:

`v = (1\ km)/(20 min) = (1  000\ m)/(20 min) = 50 m/(min)` 

Odp.: Wojtek wracał do domu z prędkością `50\ m/(min) .` 

Ile prostokątów podobnych do ABCD można znaleźć na rysunku ...

Przeanalizuj, jak zmienia liczba rozwiązań

a)

Sprawdźmy to, rozwiązując te równanie metodą wyznacznikową- obliczmy wyznacznik W.

`W=|[m,1],[2,3]|=3*m-1*2=3m-2`

Jeśli ten wyznacznik jest różny od zera 0, to układ ma jedno rozwiązanie.

`W!=0`

`3m-2!=0`

`3m!=2`      `/:3`

`m!=2/3`

Zatem dla m≠2/3 układ ma jedno rozwiązanie.

Jeśli wyznacznik W jest równy 0, czyli wartość m wynosi 2/3 , układ albo ma nieskończenie wiele rozwiązań, albo nie ma rozwiązań (w zależności od wartości wyznaczników Wx i Wy). Obliczmy wartość wyznacznika Wy.

`Wy=|[m,4],[2,-1]|=m*(-1)-4*2=-m-8`

`m=2/3`

`Wy=-2/3-8=-8 2/3`

Jeśli przynajmniej jeden z wyznaczników Wx i Wy jest różny od zera, układ nie ma rozwiązań, zatem dla m=2/3 układ nie ma rozwiązań.

b)

Postępujemy analogicznie jak w podpunkcie a)

`W=|[2 1/2, -m],[1,4]|=2,5*4-(-m)*1=10+m`

Jeśli ten wyznacznik jest różny od zera 0, to układ ma jedno rozwiązanie.

`10+m!=0`

`m!=-10`

Zatem dla m≠-10 układ ma jedno rozwiązanie.

Jeśli wyznacznik W jest równy 0, czyli wartość m wynosi -10 , układ albo ma nieskończenie wiele rozwiązań, albo nie ma rozwiązań (w zależności od wartości wyznaczników Wx i Wy). Obliczmy wartość wyznacznika Wy.

`Wy=|[2 1/2, 3],[1, 1 2/10]|=2 1/2*1 2/10-3*1=(strike5)/(strike2)*(strike12)/(strike10)-3=6/2=3-3=0`

Jeśli wyznacznik Wy wynosi 0, musimy obliczyć wartość wyznacznika Wx, ponieważ jeśli tylko jeden z nich jest różny od 0 to układ nie ma rozwiązań.

`Wx=|[3, -m],[1 2/10,4]|=3*4-(-m)*1 2/10= 12+1 2/10m`

`m=-10`

`Wx=12+1 2/10*(-10)=12+(-12)=0`

Jeśli wyznaczniki W, Wx i Wy są równe 0, to układ ma nieskończenie wiele rozwiązań. Zatem dla m=-10 układ ma nieskończenie wiele rozwiązań.

c)

`W=|[m,2],[4,-m]|=m*(-m)-2*4=-m^2-8`

Jeśli ten wyznacznik jest różny od zera 0, to układ ma jedno rozwiązanie.

`-m^2-8!=0 `

`m^2!=-8`

Nie ma takiego m dla którego wyznacznik W będzie równy 0, ponieważ żadna liczba podniesiona do kwadratu nie daje nam wartości na minusie. Zatem dla każdego m wyznacznik będzie różny od zera, czyli dla każdego m ten układ równań ma dwa rozwiązania.

 

Trójkąt A1,B1,C1 jest podobny do trójkąta ABC w skali k=2,5.

`"Boki trójkąta"\ "A"_1"B"_1"C"_1\  "są równe odpowiednio:"`

`|"A"_1"B"_1|=|"AB"|*"k"=12*2,5=30\ "cm"=3\ "dm"`

`|"B"_1"C"_1|=|"BC"|*"k"=18*2,5=45\ "cm"=4,5\ "dm"`

`|"C"_1"A"_1|=|"CA"|*"k"=28*2,5=70\ "cm"=7\ "dm"`

Przedstaw iloczyny potę w postaci potęgi i oblicz. (1/2)^2*(1/3)^2

`"a)"`  `(1/2)^2*(1/3)^2` `=(1/2*1/3)^2=(1/6)^2=1/36`

 

`"b)"`  `(0,75)^(-2)*(8/9)^(-2)``=(3/4*8/9)^(-2)=(8/12)^(-2)=(2/3)^(-2)=` `(3/2)^2=9/4`

 

`"c)"`  `(1/5)^2*10^2``=(1/5*10)^2=2^2=4`

 

`"d)"`  `2^2*3^2*4^2``=(2*3*4)^2=24^2=576`

 

`"e)"`  `(1/5)^(-3)*(-10)^(-3)*(1/2)^(-3)``=(1/5*(-10)*1/2)^-3=(1/10*(-10))^-3=` `(-1)^-3=-1`

 

`"f)"`  `(-3)^(-3)*(1/2)^3*(1/2)^(-3)``=(-3)^(-3)*2^(-3)*(1/2)^(-3)=(-3*2*1/2)^(-3)=(-3)^(-3)=` `(-1/3)^3=-1/27` 

Do basenu o podanych wymiarach wlewana...

Rysunek pomocniczy:






Zauważmy, że jeżeli obrócimy narysowaną bryłę, to otrzymamy graniastosłup o podstawie, która jest trapezem.

 

Obliczamy pole podstawy tego graniastosłupa (basenu):

`P_p=(a+b)/2*H` 

Mamy dane:

`a=2\ "m"` 

`b=4\ "m"` 

`H=10\ "m"` 

`P_p=(2+4)/2*10=6/2*10=30\ ["m"^2]` 

Obliczamy objętość basenu:

`V=P_p*c` 

`c=25\ "m"`    

`V=30*25=750\ ["m"^3]` 

`750 m^3=750000 \ "l"` 

Wiemy, że woda do basenu wlewa się z prędkością `12\ "l"` na sekundę. Obliczamy, korzystając z proporcji,

ile czasu zajmie wypełnienie basenu:  

`12\ "l"-1\ "s"` 

`750\ 000\ "l"-x` 

`x=(750\ 000\ "l"*1\ "s")/(12\ "l")=62\ 500\ "s"=1041\ "min" \ 40 \ "s"`      

Odp. Napełnienie basenu zajmie około `17\ "h"\ 21\ "min"\ 40\ "s".`