Liczby i wyrażenia algebraiczne - iii-gimnazjum - Baza Wiedzy

System dziesiątkowy

System dziesiątkowy to system, w którym do napisania danej liczby użyjemy cyfr od 0 do 9. Liczby mogą być całkowite, mogą mieć rozwinięcie dziesiętne lub mogą być zapisane w postaci notacji wykładniczej.

  1. Liczby całkowite

    Przykłady: $$3478$$; $$87251029$$; $$12377311$$; $$11$$; $$-675$$

  2. Liczby z rozwinięciem dziesiętnym

    Przykłady: 12,675; 4,008 ; 5.8

  3. Notacja wykładnicza

    Notacja wykładnicza to przedstawienie najczęściej dużej liczby w postaci iloczynu liczby o module większym lub równym 1, a mniejszym od 10 i potęgi liczby 10.

    $$ a×{10}^n $$ -> $$ 1≤|a|<10 $$

    Przykłady: $$ 14678000= 1,4678×{10}^7 $$$$0,000987=9,87×{10}^4 $$

 

System rzymski

System rzymski jest systemem zapisywania liczb, który w przeciwieństwie do zapisu pozycyjnego, pozwala zapisać liczby przy pomocy znaków o zawsze ustalonej wartości.


W systemie rzymskim do zapisania liczby używamy zdecydowanie mniej znaków niż w systemie dziesiątkowym.

Za pomocą 7 znaków (liter) : I, V, X, L, C, D i M jesteśmy w stanie ułożyć każdą liczbę naturalną od 1 do 3999.

Do każdego znaku przypisano inną wartość. 

Wyróżniamy cyfry podstawowe:

  • I = 1
  • X = 10
  • C = 100
  • M = 1000 

oraz cyfry pomocnicze:

  • V = 5
  • L = 50 
  • D = 500


Zasady zapisywania liczb w systemie rzymskim
:

  1. Możemy zapisać maksymalnie 3 takie same cyfry podstawowe (czyli I, X, C, M) obok siebie.

    Cyfry pomocnicze (czyli V, L, D) nie mogą występować obok siebie.

    Przykłady:

    • VIII  `->`   `5+1+1+1=8` 

    • MMCCC  `->`   `1000+1000+100+100+100=2300` 

  2. W celu uproszczenia wielu zapisów dopuszcza się umieszczenie cyfry podstawowej o mniejszej wartości przed cyfrą o większej wartości.

    W takim jednak przypadku od wartości większej liczby odejmujemy wartość mniejszej liczby.

    Przykłady:

    • IX  `->`   `10-1=9` 

    • CD  `->`   `500-100=400` 

  3. Gdy liczby (znaki) są ustawione od największej do najmniejszej to wówczas dodajemy ich wartości.

    Przykłady:

    • MMDCLVII  `->`   `1000+1000+500+100+50+5+1+1=2657`   

    • CXXVII  `->`   `100+10+10+5+1+1=127`   

 

Ciekawostka

System rzymski pochodzi od wysoko rozwiniętej cywilizacji Etrusków (ok. 500 r. p.n.e.).

Początkowo zapisywano liczby za pomocą pionowych kresek I, II, III, IIII, IIIII, ... .

Rzymianie przejęli cyfry od Etrusków i poddali je pewnym modyfikacjom oraz udoskonaleniom, co dało początki dzisiaj znanemu systemowi rzymskiemu.

Cyfr rzymskich używano na terenie imperium aż do jego upadku w V w. n.e.

W średniowieczu stały się standardowym systemem liczbowym całej łacińskiej Europy. Pod koniec tej epoki zaczęto coraz częściej używać cyfr arabskich, prostszych i wygodniejszych do obliczeń oraz zapisywania dużych liczb.

System rzymski stopniowo wychodził z codziennego użycia, chociaż do dziś jest powszechnie znany w Europie i stosowany do wielu celów.

Rodzaje liczb

Liczby dzielą się na:

  1. Liczby naturalne
  2. Liczby całkowite
  3. Liczby wymierne
  4. Liczby niewymierne

1. Liczby naturalne są najbardziej podstawowe, służą do określania, ile elementów jest w jakimś zbiorze, np. 3 jabłka w koszyku, 5 jabłek w koszyku itd. Zero też jest liczbą naturalną (powszechnie uznawane na poziomie gimnazjum)!
Przykłady: 0,1,2,3,4,5,6,7....

2. Liczby całkowite to wszystkie liczby naturalne oraz wszystkie liczby przeciwne do jakiejś liczby naturalnej (np. liczbą przeciwną do 5 jest -5, przeciwną do 18 jest -18, a przeciwną do 0 jest 0). Zatem liczby całkowite to wszystkie takie, które występują w postaci jednej „pełnej” liczby (jak liczby naturalne), ale mogą być zarówno dodatnie jak i ujemne.
Przykłady: -3,-2,-1,0,1,2,3....

3. Liczby wymierne to wszystkie takie, które da się przedstawić za pomocą ułamka zwykłego (licznik i mianownik są całkowite). Liczby naturalne i całkowite to liczby wymierne!

Przykłady: : $$ 23/45 $$, $$36/1$$, 4, -5, 88....

4. Liczb niewymiernych nie da się przedstawić za pomocą ułamka zwykłego, a zapis w postaci ułamka dziesiętnego miałby nieskończenie wiele cyfr po przecinku, których kolejność wciąż by się zmieniała (nie dałoby się wyodrębnić okresu, patrz niżej). Przykłady: π=3,14…
 

Kilka zależności:
  1. wszystkie liczby naturalne są całkowitymi
  2. wszystkie liczby naturalne i całkowite są liczbami wymiernymi
  3. wszystkie liczby całkowite dodatnie to liczby naturalne
 

Podstawowe działania na liczbach

Podstawowe działania matematyczne na liczbach to dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie oraz potęgowanie i pierwiastkowanie. Najważniejsza jest kolejność wykonywania poszczególnych działań.

Kolejność wykonywania działań:

  1. wykonywanie działań w nawiasach
  2. potęgowanie i pierwiastkowanie
  3. mnożenie i dzielenie
  4. dodawanie i odejmowanie
 

Działania na potęgach i pierwiastkach

Działania na potęgach:

  • $$k^a×k^b=k^{(a+b)} $$

    Przykład: $$5^7×5^3=5^10$$

  • $$k^a÷k^b=k^{(a-b)} $$

    Przykład: $$4^7÷4^3=4^4$$

  • $${(k^a)}^b=k^{a×b} $$

    Przykład: $${(8^2)}^3=8^6$$

  • potegi1

    Przykład: potegi2

  • $${(a×b)}^n=a^n×b^n $$

    Przykład: $${(6×7)}^3=6^3×7^3$$

  • $${(a÷b)}^n=a^n÷b^n={a^n}/{b^n} $$

    Przykład: $${(4/7)}^3={4^3}/{7^3} $$

 

Działania na pierwiastkach:

  • $$ √k×√l=√{k×l} $$

    Przykład: $$√3×√2=√6$$

  • $$√{a÷b}=√a÷√b={√a}/{√b} $$

    Przykład: $$√{6÷2}=√6÷√2=√6/√2 $$

Usuwanie niewymierności z mianownika polega na usunięciu pierwiastka niemającego rozwiązania wymiernego.

$$ a/√b={a√b}/b $$

Przykład:

$$ 3/{2√2}={3√2}/{2×2}={3√2}/4 $$
 

Oczliczenia procentowe

Słowo procent (symbol %) pochodzi od łacińskiego wyrażenia pro centum oznaczającego na sto. Można więc powiedzieć że procent to nic innego jak ułamek mający w liczniku daną liczbę ( dany procent ), a w mianowniku liczbę 100.

$$ p%=p/100 $$
 

Przykłady:

  • $$13%= 13/{100} $$
  • $$75%= 75/{100}=3/4 $$
  • $$0,78=78% $$

Czasami pojawia się również pojęcie promil (symbol ‰). Promil jest bardzo podobny do procentu tylko zamiast na sto oznacza na tysiąc.

$$ p‰=p/{1000} $$

Przekształcanie wyrażeń algebraicznych

Wyrażenia algebraiczne - działania, w których obok liczb i znaków występują także litery. Służą do przedstawienia ogólnych wzorów, zwrotów, twierdzeń oraz równań i nierówności.

Aby doprowadzić wyrażenie do prostszej postaci należy posługiwać się działaniami takimi jak:

  • dodawanie i odejmowanie wyrazow podobnych

    $$ ab+3ab-4ab+5ab=4ab-4ab+5ab=5ab $$
  • wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias

    $$bk+bl-bc=b(k+l-c) $$
  • mnożenie jednomianów przez sumy algbraiczne

    $$a(b+c)=(a×b)+(a×c)=ab+ac$$
  • mnożenie sum algebraicznych

    $$(m+n)(k+l)=m(k+l)+n(k+l)=mk+ml+nk+nl$$
 

Przypomnienie wzorów skróconego mnożenia:

  1. $$ {(a+b)}^2=a^2+2ab+b^2 $$
  2. $$ {(a-b)}^2=a^2-2ab+b^2 $$
  3. $$ (a+b)(a-b)=a^2-b^2 $$
 

Układy równań

Układ równań to układ dwóch (lub więcej) łączących się równań, w których występują dwie (lub więcej) niewiadome.

Przykład:

ukladrownan

Przy rozwiązywaniu układów równań posługujemy się dwoma metodami: metodą podstawiania i przeciwnych współczynników.

Metoda podstawiania polega na wyznaczeniu z jednego równania jednej niewiadomej w stosunku do drugiej. Następnie otrzymane równanie podstawić do drugiego.

 

Metoda przeciwnych współczynników polega na takim doprowadzeniu dwóch równań by po odjęciu jednego od drugiego zostało równanie z jedną niewiadomą. Jak to zrobić? Wystarczy znaleźć w jednym równaniu jednomian, który w drugim będzie jego odwrotnością.

 

Układy równań mogą mieć jedno rozwiązanie, żadnego lub nieskończenie wiele.

  • Układ oznaczony to taki, który ma jedno rozwiązanie.
  • Układ nieoznaczony to taki, który ma nieskończoną ilość rozwiązań.
  • Układ sprzeczny to taki, który nie ma żadnego rozwiązania.
 

Pamiętaj!

$$a/b=c/d$$ -> $$a×d=c×b$$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Narysuj w układzie współrzędnych przykładowy wykres ...

Przykładowe wykresy funkcji to: 

Dokończ zdanie tak, aby otrzymać zdanie prawdziwe...

 

 
 

   

Przypatrz się jeszcze raz czworokątowi...

Pole tego rombu wynosi 15 [j2] F  (pole tego rombu wynosi 4 5=20 j2){premium}

Obwód tego rombu wynosi 28  [j] F (obwód tego rombu wynosi 5 ∙4= 20 j)

Wyłącz czynnik przed znak pierwiastka i oblicz:

 
{premium}

 

 

 

 

 

Ile jest równa różnica...

a)

  • Największa liczba to:

  • Najmniejsza liczba to:

Zbadajmy różnicę tych liczb:

 

b)

  

  • Największa liczba to:

  • Najmniejsza liczba to:

Zbadajmy różnicę tych liczb:

 

 

 

Za czekoladę...

Cena czekolady - c

Cena batonika - b

Naszkicowany na rysunku...

Funkcja przecina oś y w punkcie:  

Funkcja ma miejsce zerowe w punkcie:  

Zauważmy, że funkcja jest funkcją liniową w postaci:   

Otrzymujemy zatem układ równań:

 

 

 

 

 

 

 

Z tego wynika, że wzór funkcji ma postać:

 

 

Odp.: D.  

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym

Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy wysokość ściany bocznej:

   

 

W oparciu o twierdzenie Talesa układamy proporcję:

   

 

Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy wysokość ściany bocznej mniejszego ostrosłupa (y)

Wstawiamy za z zależność wyprowadzoną z Talesa

     

       

 

 

Znajdujemy wysokość dużego ostrosłupa- układamy kolejną proporcje w oparciu o twierdzenie Talesa:

   

 

 

Obliczamy objętość i pole powierzchni mniejszego ostrosłupa:

Krawędzią podstawy tego ostrosłupa jest podwojony odcinek z.

 

 

Obliczamy objętość i pole powierzchni drugiej bryły. Objętość obliczymy odejmując od objętości dużego ostrosłupa objętość małego ostrosłupa.

 

Objętość dużego ostrosłupa:

Objętość drugiej bryły:

Pole powierzchni tej bryły składa się z pola powierzchni bocznej- czterech jednakowych trapezów oraz dwóch podstaw w kształcie kwadratów o różnej wielkości.

 

 

 

Laborant potrzebuje 10 g roztworu

x-masa roztworu o stężeniu 6%

y-masa roztworu o stężeniu 10%

0.06x- masa azotanu potasu w x gramach roztworu o stężeniu 6%

0.1y- masa azotanu potasu w y gramach roztworu o stężeniu 10%

0.09∙10- masa azotanu potasu w 10 gramach roztworu o stężeniu 9%

Sumujemy masy roztworów oraz masy azotanów potasu zawartych w roztworach.

Tworzymy i rozwiązujemy układ równań:

Z pierwszego równania wyznaczamy x. 

Wstawiamy x=10-y do drugiego równania.

Podstawiamy y=7.5 do pierwszego równania.

Oblicz pole powierzchni całkowitej każdego...

Rysunek pomocniczy:

 

 wzór na przekątną kwadratu 

 

Będziemy chcieli obliczyć pole trójkąta  W tym celu wyznaczymy, {premium}korzystając z twierdzenia Pitagorasa

dla trójkąta  wysokość trójkąta  

 

 

 

    

 

 

Pole powierzchni całkowitej wielościanu  będziemy obliczać następująco:   

  

  

    

Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa  będziemy obliczać następująco:   

  

 

 

Odp. Pole powierzchni całkowitej wielościanu  wynosi  

a pole powierzchni całkowitej ostrosłupa  jest równe