Funkcje - iii-gimnazjum - Baza Wiedzy

Wyznaczanie wartości funkcji ze wzoru

Mając wzór funkcji bardzo łatwo jest obliczyć, jaka wartość funkcji będzie przyporządkowana danemu argumentowi. Wystarczy pod x podstawić wartość liczbową argumentu, a następnie obliczyć y tak jak przy rozwiązywaniu równań.

Przykład:

Jaka jest wartość funkcji y=3x+4 dla x=6 ?

$$y=3x+4$$
$$y=3×6+4=18+4=22 $$

Odp: Dla x=6 funkcja przyjmuje wartość 22.

 

Nieco trudniej jest w sytuacji, gdy mamy podaną wartość funkcji i musimy znaleźć argument. Wielu argumentom może być przyporządkowana ta sama wartość. W przypadku funkcji liniowej sytuacja jest jednak prosta: wystarczy podstawić wartość liczbową funkcji pod y i wyliczyć x.

Przykład:

Jakiemu argumentowi funkcji y=1/2 x+2 jest podporządkowana wartość 6 ?

$$y=1/2 x+2 $$
$$6= 1/2 x+2 $$
$$4= 1/2 x $$
$$x=8 $$

Odp: Funkcja przyjmuje wartość 6 dla argumentu $$x=8$$.

 

Miejsce zerowe funkcji

Miejsce zerowe funkcji to argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość 0, czyli miejsce w którym funkcja przecina oś x. Oblicza się go podstawiając pod y wartość 0 we wzorze funkcji.

Przykład:

Obliczyć miejsce zerowe dla funkcji y=2x-3.

$$y=2x-3 $$
$$0=2x-3 $$
$$3=2x $$
$$x=1,5 $$

Odp.: Miejscem zerowym funkcji jest x=1,5.

 

Proporcjonalność

Proporcjonalność to zależność dwóch wartości, a zatem proporcjonalność jest funkcją. Gdy jedna z nich wzrośnie druga tyle samo razy wzrośnie lub zmaleje.

Proporcjonalność, w której wraz ze wzrostem jednej wartości druga również wzrasta, nazywamy proporcjonalnością prostą. Możemy ją określić wzorem $$y=ax$$, gdzie a to współczynnik proporcjonalności.

Przykład:

Metr drutu kosztuje 1,5 zł. Ile zapłacimy za x metrów drutu?

$$ y=ax $$
$$ y=1,5x zł $$

 

Proporcjonalność, w której wraz ze wzrostem jednej wartości druga maleje, nazywamy proporcjonalnością odwrotną. Możemy ją określić wzorem $$y=a/x$$.

Przykład:

Tort dzielimy na dwa razy więcej kawałków niż jest dzieci. Każde dziecko dostanie jeden kawałek. Jaką część tortu dostanie jedno dziecko, gdy na przyjęciu będzie x dzieci?

$$ y=a/x $$
$$ y=2/x $$

 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Podaj współrzędne punktu przecięcia osi y przez funkcję liniową o wzorze $$y=2x-3$$.

$$y=2x-3$$

$$2$$ -> współczynnik a

$$-3$$ -> współczynnik b

„Współczynnik b wskazuje miejsce przecięcia osi y przez wykres funkcji.”

współrzędne szukanego punktu (0,-3)

Odp.: Punkt przecięcia osi y przez tą funkcję ma współrzędne (0,-3).
 

Zadanie 2.

Podaj czy funkcja liniowa o wzorze $$y=-2x+10$$ jest stała, rosnąca czy malejąca.

$$-2$$ -> współczynnik a

$$10$$ -> współczynnik b

„Jeżeli współczynnik a jest liczbą dodatnią funkcja jest rosnąca, jeżeli ujemną malejąca. Gdy współczynnik a jest równy 0 funkcja jest stała.”

Odp.: Ta funkcja jest malejąca.

Zadanie 3.

Podaj wzór funkcji liniowej o współczynnikach $$a=2$$,$$b=-5$$.

$$y=ax+b$$ -> $$y=2x-5$$

Odp.: Wzór tej funkcji wynosi $$y=2x-5$$.

Zadanie 4.

Podaj wartość funkcji liniowej o wzorze $$y=-3x+10$$ dla $$x=4$$.

$$ f(4)=-3×4+10 $$

$$ f(4)=-2 $$

Odp.: Wartość tej funkcji dla x=4 wynosi -2.

Zadanie 5.

Wykres której z funkcji jest równoległy do wykresu funkcji o wzorze $$y=2x+10$$

  1. $$ y=-2x+10 $$
  2. $$ y=2x+14 $$
  3. $$ y=3x-10 $$

„Gdy dwie funkcje liniowe mają dwa takie same współczynniki a to ich wykresy są równoległe.”

Odp: Druga funkcja $$y=2x+14$$ ma wykres równoległy do wykresu funkcji $$y=2x+10$$.

Zadanie 6.

Dziedziną funkcji liniowej $$y=x+3$$ jest zero i wszystkie liczby naturalne mniejsze od 3. Podaj wszystkie argumenty i wartości funkcji dla tych argumentów.

Argumenty to dziedzina funkcji:
$$D= ext "{"0,1,2 ext "}"$$ -> argumenty: 0,1,2

$$ f(0)=0+3=3 $$

$$ f(1)=1+3=4 $$

$$ f(2)=2+3=5 $$

Odp.: Argumentami tej funkcji są liczby 0,1 i 2 a wartością tej funkcji są liczby 3,4 i 5.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Rzucamy dwiema sześciennymi kostkami do gry. ...

A. Nie jest to zdarzenie niemożliwe. 

Jeżeli na jednej kostce otrzymamy 3 oczka a na drugiej 6 oczek, to ich iloczyn wynosi `3*6=18`.  


B. Zdarzenie niemożliwe. 

Suma oczek może wynosić maksymalnie 12. Uzyskamy ją, jeśli ma obu kostkach wypadnie po 6 oczek, wtedy `6+6=12` .  


C. Nie jest to zdarzenie niemożliwe.

Jeżeli na jednej kostce otrzymamy 6 oczek a na drugiej 1 oczko, to ich iloraz wynosi `6:1=6` . 


D. Zdarzenie niemożliwe. 

Różnica liczb oczek może wynosić maksymalnie 5. Uzyskamy ją, jeśli na jednej kostce wypadnie 6 oczek a na drugiej 1 oczko, wtedy `6-1=5`.  


Zdarzenia niemożliwe to B. i D. 

Wpisz brakujące podstawy i wykładniki.

`"a)"\ 2^4*3^4=(2*3)^4=underline(6^4)=(6^2)^2=underline(36^2)` 

Przy wykładniku 4 wpisujemy podstawę 6.

Przy wykładniku 2 wpisujemy podstawę 36.

 

`4^5*9^5=(4*9)^5=underline(36^5)=(6^2)^5=6^(2*5)=underline(6^10)` 

Przy wykładniku 5 wpisujemy podstawę 36.

Przy wykładniku 10 wpisujemy podstawę 6.

 

`(3^3)^4=3^(3*4)=underline(3^12)=3^(2*6)=(3^2)^6=underline(9^6)` 

Przy podstawie 3 wpisujemy wykładnik 12.

Przy podstawie 9 wpisujemy wykładnik 6.

 

`(5^2)^6=5^(2*6)=underline(5^12)=5^(3*4)=(5^3)^4=underline(125^4)`

Przy podstawie 5 wpisujemy wykładnik 12.

Przy podstawie 125 wpisujemy wykładnik 4.



`"b)"\ 2^9*2^(-3)=2^(9+(-3))=underline(2^6)=2^(2*3)=(2^2)^3=underline(4^3)`  

Przy podstawie 2 wpisujemy wykładnik 6.

Przy podstawie 4 wpisujemy wykładnik 3.

 

`3^(-5)*3^3=3^(-5+3)=underline(3^(-2))=(1/3)^2=1/9=underline((1/9)^1)` 

Przy podstawie 3 wpisujemy wykładnik -2.

Przy podstawie 1/9 wpisujemy wykładnik 1.

 

`6^(-3):6^7=6^(-3-7)=underline(6^(-10))=6^(2*(-5))=(6^2)^(-5)=underline(36^(-5))` 

Przy podstawie 6 wpisujemy wykładnik -10.

Przy podstawie 36 wpisujemy wykładnik -5.

 

`10^8:5^8=(10:5)^8=underline(2^8)=2^(4*2)=(2^4)^2=underline(16^2)` 

Przy wykładniku 8 wpisujemy podstawę 2.

Przy podstawie 16 wpisujemy wykładnik 2.

Trapez równoramienny ABCD o kącie rozwartym 130° przecięto prostą równoległą

Oznaczmy punkt przecięcia prostej z odcinkiem AB jako E, a punkt przecięcia prostej z odcinkiem CD jako F. 

 

`|angleDAB|=|angleCBA|=130^o`

`|angleCDA|=|angleDCB|=180^o-130^o=50^o`

 `|angleBEF|=|angleDFE|=50^o` 

`|angleCFE|=|angleAEF|=130^o`

  

Oblicz objętość...

`V=P_p*H` 

a) `V=125 \ "cm"^2* 24 \ "cm"=3000 \ "cm"^3` 

 

b) Graniastosłup prawidłowy czworokątny ma w podstawie kwadrat.

Obliczmy pole podstawy.

`P_p=11 \ "cm"*11 \ "cm"=121 \ "cm"^2` 

`V=121 \ "cm"^2*8 \ "cm"=968 \ "cm"^3` 

 

c) Graniastosłup prawidłowy trójkątny ma w podstawie trójkąt równoboczny. 

Obliczmy pole podstawy.

`P_p=(a^2sqrt3)/4=(12^2sqrt3)/4=(144sqrt(3))/4=36sqrt3`

`V=36sqrt3 \ "cm"^2* 11 \ "cm"=396sqrt3 \ "cm"^3`  

Narysowane trójkąty są podobne...

Trójkąty są podobne, czyli odpowiadające sobie kąty wewnętrzne mają takie same miary. Z tego wynika, że kąt α wynosi:

`110^@ + 40^@ + alpha = 180^@` 

`150^@ + alpha = 180^@ \ \ \ \ \ |-150^@` 

`alpha = 30^@` 

Obliczamy długość boku a:

`a/18 = 4/6 \ \ \ \ |*18` 

`a = 4/6*18` 

`a = 4*3` 

`a = 12`

Oblicz.

a)

`((12^9 : 12^6) * (12^5 : 12))/(12*12^2 *12^3) = (12^(9-6) * 12^(5-1))/(12^(1+2+3))=(12^3 * 12^4)/(12^6) = 12^(3+4) / 12^6 = 12^7 / 12^6 = 12^(7-6) = 12`

 

b)

`[7^5 *11^9 :(7^3 *11^6)]^2:(11^2*7^3 *11*7)=[7^5 * 11^9 : 7^3 : 11^6]^2 : (11^2 *11 * 7^3 * 7)=`  

`[7^5 : 7^3 * 11^9 : 11^6]^2 : (11^3 * 7^4) = [7^2 * 11^3]^2 : (11^3*7^4) = 7^(2*2) * 11^(3*2) : 11^3 : 7^4 =` 

`7^4 : 7^4 * 11^6 :11^3 = 7^0 * 11^3 = 11^3 = 1331`

 

Przyjmij, że...

Liczba pracowników i czas potrzebny do wykonania ustalonej pracy  odwrotnie proporcjonalne, ale liczba pracowników i praca wykonana przez nich w ciągu godziny nie są odwrotnie proporcjonalne.

Oblicz objętość kabla światłowodowego o średnicy 6 mm i długości...

`"Promień kabla wynosi" \  3 \ mm= 0,003 \ m \ (6:2=3)` 

`"Długość  (wysokość)  kabla wynosi" \ 10 \ km= 10000 \ m` 

`"Objętość tego kabla wynosi:"` 

`V= 0,003^2*Pi*10000= 0,000009*Pi*10000=0,09Pi~~0,09*3,14=0,2826 \ [m^3]` 


`"Odp.: Objętość tego kabla wynosi około" \  0,2826 m^3.` 

Prostokąt o wymiarach 12,5 cm ...

Prostokąty o wymiarach 12,5 cm i 2,5 cm oraz 1 m i 2 dm są trójkątami podobnymi.

Oznacza to, że stosunek długości krótszych boków jest równy stosunkowi długości dłuższych boków.

Pamiętać musimy o tym, aby obliczać stosunek długości boków podanych w takich samych jednostkach.

Zamieńmy m oraz dm na cm.

`1\ "m"=100\ "cm"` 

`2\ "dm"=20\ "cm"` 

Zapiszmy stosunek krótszych boków:

`20/(2,5)=200/25=8` 

Zapiszmy stosunek dłuższych boków:

`100/(12,5)=1000/125=8` 

 

Odp: Skala podobieństwa danych prostokątów jest równa 8.

 

Dwie proste przecięto ...

I. Odpowiedź: C

Korzystając z tw. Talesa możemy np. zapisać proporcje:

`x/5=7/10`

Obliczmy x:

`10x=35\ \ \ \ |":"10`

`x=3,5=3 1/2`

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ ))`

II. Odpowiedź: A

Korzystamy z tw. Talesa (ramiona kąta zostały przedłużone). Możemy zapisać proporcje:

`x/15=4/12`

Obliczmy x:

`12x=60\ \ \ \ \ \ |":"12`

`x=5`