Funkcje - iii-gimnazjum - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Funkcje - iii-gimnazjum - Baza Wiedzy

Wyznaczanie wartości funkcji ze wzoru

Mając wzór funkcji bardzo łatwo jest obliczyć, jaka wartość funkcji będzie przyporządkowana danemu argumentowi. Wystarczy pod x podstawić wartość liczbową argumentu, a następnie obliczyć y tak jak przy rozwiązywaniu równań.

Przykład:

Jaka jest wartość funkcji y=3x+4 dla x=6 ?

$y=3x+4$
$y=3×6+4=18+4=22 $

Odp: Dla x=6 funkcja przyjmuje wartość 22.

 

Nieco trudniej jest w sytuacji, gdy mamy podaną wartość funkcji i musimy znaleźć argument. Wielu argumentom może być przyporządkowana ta sama wartość. W przypadku funkcji liniowej sytuacja jest jednak prosta: wystarczy podstawić wartość liczbową funkcji pod y i wyliczyć x.

Przykład:

Jakiemu argumentowi funkcji y=1/2 x+2 jest podporządkowana wartość 6 ?

$y=1/2 x+2 $
$6= 1/2 x+2 $
$4= 1/2 x $
$x=8 $

Odp: Funkcja przyjmuje wartość 6 dla argumentu $x=8$.

 

Miejsce zerowe funkcji

Miejsce zerowe funkcji to argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość 0, czyli miejsce w którym funkcja przecina oś x. Oblicza się go podstawiając pod y wartość 0 we wzorze funkcji.

Przykład:

Obliczyć miejsce zerowe dla funkcji y=2x-3.

$y=2x-3 $
$0=2x-3 $
$3=2x $
$x=1,5 $

Odp.: Miejscem zerowym funkcji jest x=1,5.

 

Proporcjonalność

Proporcjonalność to zależność dwóch wartości, a zatem proporcjonalność jest funkcją. Gdy jedna z nich wzrośnie druga tyle samo razy wzrośnie lub zmaleje.

Proporcjonalność, w której wraz ze wzrostem jednej wartości druga również wzrasta, nazywamy proporcjonalnością prostą. Możemy ją określić wzorem $y=ax$, gdzie a to współczynnik proporcjonalności.

Przykład:

Metr drutu kosztuje 1,5 zł. Ile zapłacimy za x metrów drutu?

$ y=ax $
$ y=1,5x zł $

 

Proporcjonalność, w której wraz ze wzrostem jednej wartości druga maleje, nazywamy proporcjonalnością odwrotną. Możemy ją określić wzorem $y=a/x$.

Przykład:

Tort dzielimy na dwa razy więcej kawałków niż jest dzieci. Każde dziecko dostanie jeden kawałek. Jaką część tortu dostanie jedno dziecko, gdy na przyjęciu będzie x dzieci?

$ y=a/x $
$ y=2/x $

 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Podaj współrzędne punktu przecięcia osi y przez funkcję liniową o wzorze $y=2x-3$.

$y=2x-3$

$2$ -> współczynnik a

$-3$ -> współczynnik b

„Współczynnik b wskazuje miejsce przecięcia osi y przez wykres funkcji.”

współrzędne szukanego punktu (0,-3)

Odp.: Punkt przecięcia osi y przez tą funkcję ma współrzędne (0,-3).
 

Zadanie 2.

Podaj czy funkcja liniowa o wzorze $y=-2x+10$ jest stała, rosnąca czy malejąca.

$-2$ -> współczynnik a

$10$ -> współczynnik b

„Jeżeli współczynnik a jest liczbą dodatnią funkcja jest rosnąca, jeżeli ujemną malejąca. Gdy współczynnik a jest równy 0 funkcja jest stała.”

Odp.: Ta funkcja jest malejąca.

Zadanie 3.

Podaj wzór funkcji liniowej o współczynnikach $a=2$,$b=-5$.

$y=ax+b$ -> $y=2x-5$

Odp.: Wzór tej funkcji wynosi $y=2x-5$.

Zadanie 4.

Podaj wartość funkcji liniowej o wzorze $y=-3x+10$ dla $x=4$.

$ f(4)=-3×4+10 $

$ f(4)=-2 $

Odp.: Wartość tej funkcji dla x=4 wynosi -2.

Zadanie 5.

Wykres której z funkcji jest równoległy do wykresu funkcji o wzorze $y=2x+10$

  1. $ y=-2x+10 $
  2. $ y=2x+14 $
  3. $ y=3x-10 $

„Gdy dwie funkcje liniowe mają dwa takie same współczynniki a to ich wykresy są równoległe.”

Odp: Druga funkcja $y=2x+14$ ma wykres równoległy do wykresu funkcji $y=2x+10$.

Zadanie 6.

Dziedziną funkcji liniowej $y=x+3$ jest zero i wszystkie liczby naturalne mniejsze od 3. Podaj wszystkie argumenty i wartości funkcji dla tych argumentów.

Argumenty to dziedzina funkcji:
$D= ext "{"0,1,2 ext "}"$ -> argumenty: 0,1,2

$ f(0)=0+3=3 $

$ f(1)=1+3=4 $

$ f(2)=2+3=5 $

Odp.: Argumentami tej funkcji są liczby 0,1 i 2 a wartością tej funkcji są liczby 3,4 i 5.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Na rysunku przedstawiono...

Dane:

Promień okręgu o środku C:  

Promień okręgu o środku D:  

Szukane:

 

Rozwiązanie:

Bok czworokąta BC wynosi:

 

 

Bok czworokąta AD wynosi:

 

 

Bok czworokąta CD wynosi:

 

 

 

Poprowadźmy z wierzchołka A do wierzchołka C przekątną. Otrzymujemy wówczas trójkąt ACD. Poprowadźmy na odcinek AD wysokość tego trójkąta ACD i punkt przecięcia się tej wysokości z odcinkiem AD oznaczmy jako E. Zauważy, że wysokość CE ta jest równa bokowi czworokąta AB. Natomiast odcinek DE będzie miał długość:

 

 

 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa możemy zauważyć, że bok AB będzie miała długość:

 

 

 

 

 

 

 

Z tego wynika, że obwód tego czworokąta będzie wynosił:

 

 

 

Odp.: Obwód czworokąta ABCD wynosi  

Do każdej funkcji dobierz jej miejsce zerowe.

I - D, II - F, III - A, IV - C

Trójkąt ABC ma boki...

Skoro trójkąty ABC i A'B'C' są podobne to znaczy, że stosunki odpowiadających boków są równe. W takim razie stosunek długości najdłuższego boku w trójkącie ABC do najdłuższego boku w trójkącie A'B'C' będzie taka sama jak pozostałych odpowiadających sobie boków.

Policzmy stosunek najdłuższych boków:

 

A więc stosunek obwodu trójkąta ABC do obwodu trójkąta A'B'C' jest taki sam jak stosunek boków, policzmy obwód trójkąta ABC:

 

 Przyrównajmy stosunek obwodów to skali podobieństwa:

A więc obwód trójkąta A'B'C' wynosi:

Test z biologii składa się z sześciu...

Zaważmy, że na każde pytanie uczeń może odpowiedzieć dobrze lub źle. Prawdopodobieństwo, że{premium} uczeń odpowie na pytanie poprawnie jest takie samo jak prawdopodobieństwo, że uczeń odpowie na pytanie źle i wynosi:

 

Zauważmy, że uczeń każde pytanie odpowiada z takim samym prawdopodobieństwem oraz liczba pytań wynosi sześć. Otrzymujemy wówczas, że prawdopodobieństwo z jakim uczeń odpowie poprawnie na wszystkie pytania wynosi:

 

Oblicz pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego,...

{premium}



Aby obliczyć pole powierzchni całkowitej musimy znaleźć długość krawędzi bocznej podstawy (a):

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa możemy znaleźć długość przekątnej (a√2):

(a√2)2+62=(2√17)2

2a2+36=68
2a2=32
a2=16
a=4 [cm]

Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa wynosi:

2∙42 + 4 ∙6 ∙4= 32+96=128 [cm2]


Odpowiedź: Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa wynosi 128.

Beczka o średnicy 60 cm i wysokości 1 m...

 

 

 

 

Obliczamy pole podstawy:{premium}

 

 

Obliczamy objętość:      

 

 

Odp. W tej beczce zmieści się około  wody.    

Na rysunku przedstawiono...

 

Funkcja przyjmuje wartości:

 

 

 

 

Zauważmy, że dla liczb parzystych funkcja ta przyjmuje wartość 0, czyli dla liczby 120 wartość funkcji wynosi 0.

 

 

Zauważmy, że dla liczb nieparzystych funkcja ta przyjmuje wartość 2, czyli dla liczby 999 999 wartość funkcji wynosi 2.

 

 

Miejsca zerowe funkcji są liczbami parzystymi.

Wskaż pary brył podobnych i oblicz dla nich skalę podobieństwa.

 

 

 

 

Pęd dyni o długości 64 cm w ciągu doby...

 

Odp. Długość pędu wzrosła o    

 

 Obliczamy, o ile zwiększyła się objętość wody: {premium}

 

Obliczamy, jaki to procent:

 

Odp. Objętość wody zwiększyła się o  

 

 Obliczamy, o ile zmniejszyło się ciśnienie:

 

Obliczamy, jaki to procent:

 

Odp. Ciśnienie zmniejszyło się o   

W loterii, w której co trzeci...

Pustych losów w loterii jest:  

Wiemy, że wygrywa co trzeci los, czyli {premium}dwa losy na trzy są puste. Możemy zatem obliczyć liczbę wszystkich losów biorących udział w loterii:

 

 

 

Z tego wynika, że pustych losów w loterii jest:

 

 

Odpowiedź: Pełnych losów w loterii jest 318.