Funkcje - iii-gimnazjum - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Funkcje - iii-gimnazjum - Baza Wiedzy

Wyznaczanie wartości funkcji ze wzoru

Mając wzór funkcji bardzo łatwo jest obliczyć, jaka wartość funkcji będzie przyporządkowana danemu argumentowi. Wystarczy pod x podstawić wartość liczbową argumentu, a następnie obliczyć y tak jak przy rozwiązywaniu równań.

Przykład:

Jaka jest wartość funkcji y=3x+4 dla x=6 ?

$y=3x+4$
$y=3×6+4=18+4=22 $

Odp: Dla x=6 funkcja przyjmuje wartość 22.

 

Nieco trudniej jest w sytuacji, gdy mamy podaną wartość funkcji i musimy znaleźć argument. Wielu argumentom może być przyporządkowana ta sama wartość. W przypadku funkcji liniowej sytuacja jest jednak prosta: wystarczy podstawić wartość liczbową funkcji pod y i wyliczyć x.

Przykład:

Jakiemu argumentowi funkcji y=1/2 x+2 jest podporządkowana wartość 6 ?

$y=1/2 x+2 $
$6= 1/2 x+2 $
$4= 1/2 x $
$x=8 $

Odp: Funkcja przyjmuje wartość 6 dla argumentu $x=8$.

 

Miejsce zerowe funkcji

Miejsce zerowe funkcji to argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość 0, czyli miejsce w którym funkcja przecina oś x. Oblicza się go podstawiając pod y wartość 0 we wzorze funkcji.

Przykład:

Obliczyć miejsce zerowe dla funkcji y=2x-3.

$y=2x-3 $
$0=2x-3 $
$3=2x $
$x=1,5 $

Odp.: Miejscem zerowym funkcji jest x=1,5.

 

Proporcjonalność

Proporcjonalność to zależność dwóch wartości, a zatem proporcjonalność jest funkcją. Gdy jedna z nich wzrośnie druga tyle samo razy wzrośnie lub zmaleje.

Proporcjonalność, w której wraz ze wzrostem jednej wartości druga również wzrasta, nazywamy proporcjonalnością prostą. Możemy ją określić wzorem $y=ax$, gdzie a to współczynnik proporcjonalności.

Przykład:

Metr drutu kosztuje 1,5 zł. Ile zapłacimy za x metrów drutu?

$ y=ax $
$ y=1,5x zł $

 

Proporcjonalność, w której wraz ze wzrostem jednej wartości druga maleje, nazywamy proporcjonalnością odwrotną. Możemy ją określić wzorem $y=a/x$.

Przykład:

Tort dzielimy na dwa razy więcej kawałków niż jest dzieci. Każde dziecko dostanie jeden kawałek. Jaką część tortu dostanie jedno dziecko, gdy na przyjęciu będzie x dzieci?

$ y=a/x $
$ y=2/x $

 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Podaj współrzędne punktu przecięcia osi y przez funkcję liniową o wzorze $y=2x-3$.

$y=2x-3$

$2$ -> współczynnik a

$-3$ -> współczynnik b

„Współczynnik b wskazuje miejsce przecięcia osi y przez wykres funkcji.”

współrzędne szukanego punktu (0,-3)

Odp.: Punkt przecięcia osi y przez tą funkcję ma współrzędne (0,-3).
 

Zadanie 2.

Podaj czy funkcja liniowa o wzorze $y=-2x+10$ jest stała, rosnąca czy malejąca.

$-2$ -> współczynnik a

$10$ -> współczynnik b

„Jeżeli współczynnik a jest liczbą dodatnią funkcja jest rosnąca, jeżeli ujemną malejąca. Gdy współczynnik a jest równy 0 funkcja jest stała.”

Odp.: Ta funkcja jest malejąca.

Zadanie 3.

Podaj wzór funkcji liniowej o współczynnikach $a=2$,$b=-5$.

$y=ax+b$ -> $y=2x-5$

Odp.: Wzór tej funkcji wynosi $y=2x-5$.

Zadanie 4.

Podaj wartość funkcji liniowej o wzorze $y=-3x+10$ dla $x=4$.

$ f(4)=-3×4+10 $

$ f(4)=-2 $

Odp.: Wartość tej funkcji dla x=4 wynosi -2.

Zadanie 5.

Wykres której z funkcji jest równoległy do wykresu funkcji o wzorze $y=2x+10$

  1. $ y=-2x+10 $
  2. $ y=2x+14 $
  3. $ y=3x-10 $

„Gdy dwie funkcje liniowe mają dwa takie same współczynniki a to ich wykresy są równoległe.”

Odp: Druga funkcja $y=2x+14$ ma wykres równoległy do wykresu funkcji $y=2x+10$.

Zadanie 6.

Dziedziną funkcji liniowej $y=x+3$ jest zero i wszystkie liczby naturalne mniejsze od 3. Podaj wszystkie argumenty i wartości funkcji dla tych argumentów.

Argumenty to dziedzina funkcji:
$D= ext "{"0,1,2 ext "}"$ -> argumenty: 0,1,2

$ f(0)=0+3=3 $

$ f(1)=1+3=4 $

$ f(2)=2+3=5 $

Odp.: Argumentami tej funkcji są liczby 0,1 i 2 a wartością tej funkcji są liczby 3,4 i 5.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Kąt EBF w ostrosłupie prawidłowym czworokątnym

Oznaczmy sobie krawędź tego ostrosłupa jako a. Wtedy długość przekątnej podstawy wynosi:

 

A długość połowy przekątnej podstawy:

 

Zauważamy, że przekątna podstawy wraz z wysokością i krawędzią boczną zakreślają trójkąt prostokątny o kątach ostrych 45, 45. Przyprostokątne tego trójkąta są równej długości, stąd wysokość tego ostrosłupa ma taką samą długość co połowa przekątnej podstawy.

 

 

{premium}  

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

    

Dany jest kąt o mierze 64°. Jak za pomocą

Oceń prawdziwość każdego zapisu

 

{premium}  

 

  

 

  

Zaokrąglij rozwinięcia dziesiętne podanych ułamków ...

{premium}  


 


 


 


Świeczka w kształcie stożka przez ...

Przyjmijmy oznaczenia jak na poniższym rysunku - przekrój osiowy świeczki: 


Niebieski odcinek jest równoległy do podstawy trójkąta. 

    

 

{premium}     (kąty odpowiadające)    

Trójkąty ECD i EAB są więc podobne (cecha kąt-kąt-kąt). 


Korzystając z podobieństwa trójkątów mamy: 

 

 

 

 

Odcinek oznaczony literą x jest 2 razy krótszy od promienia podstawy stożka. 


Zapisujemy objętość tej części świeczki, która spaliła się w ciągu 20 minut (świeczka spaliła się do połowy wysokości). 

    


Zapisujemy objętość tej części świeczki, która pozostała i może się jeszcze spalić.

Objętość tej części świeczki jest równa różnicy objętości całej świeczki i spalonej części świeczki. 

  


Wiemy, że części świeczki o objętości V1 spaliła się w czasie 20 min.   

Objętość pozostałej części świeczki (V2) jest 7 razy większa od objętości spalonej części, czyli na jej spalenie potrzeba 7 razy więcej czasu. 

 

Na spalenie pozostałej części świeczki potrzeba 2 h 20 min, czyli więcej niż 2 h. 


Odpowiedź: W ciągu następnych dwóch godzin świeczka nie wypali się do końca.  

Kąt rozwarcia stożka ma miarę 60°. Różnica długości tworzącej i promienia podstawy wynosi 6 cm.

{premium}

 

Na rysunku przedstawione są trzy walce.

Walec I 

Średnica podstawy tego walca ma długość 6 cm. 

 

Promień podstawy ma więc długość:

 

Wysokość walca ma długość 2 cm.

      

Objętość tego walca wynosi:{premium}

  


Walec II 

Średnica podstawy tego walca ma długość 4 cm. 

  

Promień podstawy ma więc długość:

  

Wysokość walca ma długość 4 cm.

       

Objętość tego walca wynosi:

 


Walec III

Średnica podstawy tego walca ma długość 2 cm. 

 

Promień podstawy ma więc długość:

 

Wysokość walca ma długość 6 cm.

      

Objętość tego walca wynosi:

 



     

 


Poprawna odpowiedź to: A. Największą objętość ma walec I.    

Sprawdź, czy opisane przyporządkowanie ...

a) Przyporządkowanie nie jest funkcją.

Liczba 7 to argument. Możemy przypisać mu wartości 14, 21, 28 itd., czyli więcej niż jedną wartość. 



b) Przyporządkowanie jest funkcją. 

{premium}

Licznie 0 przypiszemy wartość równą 1/3

Liczbie 1 przypiszemy wartość równą 1/4.

Liczbie 2 przypiszemy wartość równą 1/5.

Liczbie 3 przypiszemy wartość równą 1/6.

Liczbie 4 przypiszemy wartość równą 1/7.

Każdemu argumentowi możemy przypisać dokładnie jedną wartość. 



c) Przyporządkowanie nie jest funkcją. 

Np. liczbie 1 możemy przypisać liczby 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, czyli więcej niż jedną wartość. 

Przyjrzyj się następującym iloczynom

a) Największy wspólny dzielnik tych trzech iloczynów to 6.   {premium}

b) W tych iloczynach zawsze jeden czynnik jest podzielny przez 2, drugi przez 3, a trzeci jest liczbę pierwszą. Zatem największy wspólny dzielnik takich iloczynów to 6.

c) Iloczyn trzech kolejnych liczb naturalnych, w którym najmniejszy składnik jest liczbą nieparzystą jest podzielny przez 6.

d) Iloczyn trzech kolejnych liczb naturalnych, z których pierwsza jest nieparzysta to: 
Wśród czynników tego iloczynu jedna liczba jest podzielna przez 2 i jedna liczba podzielna przez 3, zatem iloczyn jest podzielny przez 6.

 

Liczba 2n+2 jest podzielna przez 2, któraś z liczb 2n+1; 2n+2; 2n+3 jest podzielna przez 3 ponieważ są to 3 kolejne liczby naturalne.

e) Iloczyn trzech kolejnych liczb naturalnych, z których pierwsza jest parzysta to: dwa czynniki tego iloczynu to liczby parzyste, z których jedna nie jest podzielna przez 4 oraz jeden czynnik podzielny przez 3. Zatem największy wspólny dzielnik tego iloczynu to 12.

 

Liczby 2n+2 i 2n+4 są podzielne przez 2, któraś z liczb: 2n+2, 2n+3 lub 2n+4 jest na pewno podzielna przez 3 ponieważ są to 3 kolejne liczby naturalne. 

Przekątne prostokąta...

{premium}

Trójkąty są równoramienne. Trójkąty naprzeciwległe są podobne gdyż podstawy są równe gdyż są to boki prostokątna. Przekątne w prostokącie połowią się więc ramiona trójkąta są sobie równe. Skala podobieństwa to 1.