Funkcje - iii-gimnazjum - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Funkcje - iii-gimnazjum - Baza Wiedzy

Wyznaczanie wartości funkcji ze wzoru

Mając wzór funkcji bardzo łatwo jest obliczyć, jaka wartość funkcji będzie przyporządkowana danemu argumentowi. Wystarczy pod x podstawić wartość liczbową argumentu, a następnie obliczyć y tak jak przy rozwiązywaniu równań.

Przykład:

Jaka jest wartość funkcji y=3x+4 dla x=6 ?

$y=3x+4$
$y=3×6+4=18+4=22 $

Odp: Dla x=6 funkcja przyjmuje wartość 22.

 

Nieco trudniej jest w sytuacji, gdy mamy podaną wartość funkcji i musimy znaleźć argument. Wielu argumentom może być przyporządkowana ta sama wartość. W przypadku funkcji liniowej sytuacja jest jednak prosta: wystarczy podstawić wartość liczbową funkcji pod y i wyliczyć x.

Przykład:

Jakiemu argumentowi funkcji y=1/2 x+2 jest podporządkowana wartość 6 ?

$y=1/2 x+2 $
$6= 1/2 x+2 $
$4= 1/2 x $
$x=8 $

Odp: Funkcja przyjmuje wartość 6 dla argumentu $x=8$.

 

Miejsce zerowe funkcji

Miejsce zerowe funkcji to argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość 0, czyli miejsce w którym funkcja przecina oś x. Oblicza się go podstawiając pod y wartość 0 we wzorze funkcji.

Przykład:

Obliczyć miejsce zerowe dla funkcji y=2x-3.

$y=2x-3 $
$0=2x-3 $
$3=2x $
$x=1,5 $

Odp.: Miejscem zerowym funkcji jest x=1,5.

 

Proporcjonalność

Proporcjonalność to zależność dwóch wartości, a zatem proporcjonalność jest funkcją. Gdy jedna z nich wzrośnie druga tyle samo razy wzrośnie lub zmaleje.

Proporcjonalność, w której wraz ze wzrostem jednej wartości druga również wzrasta, nazywamy proporcjonalnością prostą. Możemy ją określić wzorem $y=ax$, gdzie a to współczynnik proporcjonalności.

Przykład:

Metr drutu kosztuje 1,5 zł. Ile zapłacimy za x metrów drutu?

$ y=ax $
$ y=1,5x zł $

 

Proporcjonalność, w której wraz ze wzrostem jednej wartości druga maleje, nazywamy proporcjonalnością odwrotną. Możemy ją określić wzorem $y=a/x$.

Przykład:

Tort dzielimy na dwa razy więcej kawałków niż jest dzieci. Każde dziecko dostanie jeden kawałek. Jaką część tortu dostanie jedno dziecko, gdy na przyjęciu będzie x dzieci?

$ y=a/x $
$ y=2/x $

 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Podaj współrzędne punktu przecięcia osi y przez funkcję liniową o wzorze $y=2x-3$.

$y=2x-3$

$2$ -> współczynnik a

$-3$ -> współczynnik b

„Współczynnik b wskazuje miejsce przecięcia osi y przez wykres funkcji.”

współrzędne szukanego punktu (0,-3)

Odp.: Punkt przecięcia osi y przez tą funkcję ma współrzędne (0,-3).
 

Zadanie 2.

Podaj czy funkcja liniowa o wzorze $y=-2x+10$ jest stała, rosnąca czy malejąca.

$-2$ -> współczynnik a

$10$ -> współczynnik b

„Jeżeli współczynnik a jest liczbą dodatnią funkcja jest rosnąca, jeżeli ujemną malejąca. Gdy współczynnik a jest równy 0 funkcja jest stała.”

Odp.: Ta funkcja jest malejąca.

Zadanie 3.

Podaj wzór funkcji liniowej o współczynnikach $a=2$,$b=-5$.

$y=ax+b$ -> $y=2x-5$

Odp.: Wzór tej funkcji wynosi $y=2x-5$.

Zadanie 4.

Podaj wartość funkcji liniowej o wzorze $y=-3x+10$ dla $x=4$.

$ f(4)=-3×4+10 $

$ f(4)=-2 $

Odp.: Wartość tej funkcji dla x=4 wynosi -2.

Zadanie 5.

Wykres której z funkcji jest równoległy do wykresu funkcji o wzorze $y=2x+10$

  1. $ y=-2x+10 $
  2. $ y=2x+14 $
  3. $ y=3x-10 $

„Gdy dwie funkcje liniowe mają dwa takie same współczynniki a to ich wykresy są równoległe.”

Odp: Druga funkcja $y=2x+14$ ma wykres równoległy do wykresu funkcji $y=2x+10$.

Zadanie 6.

Dziedziną funkcji liniowej $y=x+3$ jest zero i wszystkie liczby naturalne mniejsze od 3. Podaj wszystkie argumenty i wartości funkcji dla tych argumentów.

Argumenty to dziedzina funkcji:
$D= ext "{"0,1,2 ext "}"$ -> argumenty: 0,1,2

$ f(0)=0+3=3 $

$ f(1)=1+3=4 $

$ f(2)=2+3=5 $

Odp.: Argumentami tej funkcji są liczby 0,1 i 2 a wartością tej funkcji są liczby 3,4 i 5.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Doświadczenie polega na rzucie ośmiościenną kostką do gry...

Doświadczenie polega na jednokrotnym rzucie ośmiościenną kostką

 

 


A. Prawdopodobieństwo otrzymania liczby pierwszej wynosi:

 

{premium}  

 


B. Prawdopodobieństwo otrzymania liczby  wynosi:

  

 

C. Prawdopodobieństwo otrzymania liczby mniejszej od    wynosi:

 

 

 

D. Prawdopodobieństwo otrzymania liczby  wynosi:

 

 

 

Prawdopodobieństwo otrzymania liczby  wynosi:

 

 

 

Odp. A

Wskaż poprawne dokończenie ...

Odpowiedź: D

 

Zauważmy, że kąt 50° i kąt ß są kątami odpowiadającymi, czyli mają taką sama miarę. 

Stąd kąt ß ma miarę 50°.

 

Kąt α i ß są kątami przyleglymi, więc suma ich miar ma 180°.

{premium}

Drugą pod względem długości rzeką na świecie, po Nilu, jest Amazonka

{premium}

Odp. Do Atlantyku wpływa w ciągu doby hl z Amazonki.

Tłuszcz stanowi...

Dane:

Zawartość tłuszczu w ryżu:  

 

 

Mamy porcję o masie: {premium}    

Obliczamy w tej porcji zawiera się tłuszczu:

  

Odp.: Porcja ryżu o masie 30 g zawiera 0,18 g tłuszczu.

 

  

W porcji ryżu znajduje się tłuszcz o masie:   

Obliczamy jak duża jest porcja ryżu:

 

 

 

  

Odp.: Porcja ryżu, w której znajduje się 0,51 g tłuszczu ma masę 85 g.

Z równoramiennych trójkątów prostokątnych zbudowano

I sposób

Oznaczmy sobie długość przyprostokątnej trójkąta 1 jako x. Wtedy jego pole wynosi:

 

A długość przeciwprostokątnej tego trójkąta możemy obliczyć z twierdzenia Pitagorasa:

 

 

{premium}  

Długość tą mogliśmy również przypominając sobie zależności pomiędzy długościami boków w trójkącie o kątach 90O,45O,45O. Przyprostokątne takiego trójkąta są równej długości a przeciwprostokątna jest iloczynem długości przyprostokątnej i √2.

 

 

 

Długość przyprostokątnej trójkąta 2 pokrywa się z długością przeciwprostokątnej trójkąta 1, czyli jej długość wynosi x√2. Pole trójkąta 2:

 

 

Długość przeciwprostokątnej trójkąta 2 ( i jednocześnie przyprostokątnej trójkąta 3):

 

Pole trójkąta 3:

 

Długość przeciwprostokątnej trójkąta 3 ( i jednocześnie przyprostokątnej trójkąta 4):

 

Pole trójkąta 4:

 

Długość przeciwprostokątnej trójkąta 4 ( i jednocześnie przyprostokątnej trójkąta 5):

 

` ` Pole trójkąta 5:

 

 

 

 

II sposób

Przypominamy sobie zależności pomiędzy długościami boków w trójkącie o kątach 90O,45O,45O. Przyprostokątne takiego trójkąta są równej długości a przeciwprostokątna jest iloczynem długości przyprostokątnej i √2.

Zauważamy, że ponieważ przyprostokątna każdego kolejnego trójkąta pokrywa się z przeciwprostokątną trójkąta poprzedniego, każdy kolejny trójkąt ma przyprostokątną √2 razy większą od poprzedniego.

Tym samym wszytkie wymiary kolejnego trójkąta są √2 razy większe, czyli skala podobieństwa wynosi:

 

A stosunek pól dwóch kolejnych trójkątów wynosi:

 

 

 

Wymiary trójkąta 4 są √2√2 razy większe od wymiarów trójkąta 2
 

 

 


Wymiary trójkąta 5 są √2√2 razy większe od wymiarów trójkąta 3

 

 

 

 

 

Wymiary trójkąta 5 są √2√2√2√2 razy większe od wymiarów trójkąta 1.

 

 

 

 

W pewnych wyborach...

Dane:

Liczba głosujących osób na kandydata X obecnie:   

Spadek liczby osób głosujących na tego kandydata w poprzednim roku:  {premium}  

Liczba głosujących osób wynosi:  

Szukane:

Liczba osób głosujących na kandydata X na początku i w poprzednim roku.

Rozwiązanie:

Obliczamy liczbę osób głosujących na kandydata obecnie:

 

Obliczamy liczbę osób głosujących na kandydata X w poprzednim roku:

 

Odp.: W poprzednim roku na kandydata X zagłosowało 490 osób, natomiast obecnie zagłosowało na niego 630 osób.

Wyznacz dziedzinę funkcji opisanej danym wzorem. a) y=1/(x+1)

 

 

  {premium}

 

 

 i 

 i 

 

 

 i 

 

 

 i 

 i 

 

 

Prostokąt podobny w skali...

Obliczamy pole prostokąta narysowanego w zadaniu:

 

Skala wynosi:

{premium}  

Wówczas pole prostokąta narysowanego w tej skali wynosiłoby:

 

 

 

 

  

 

 

Odp.: C.  

W klasie III a jest 28 uczniów...

Jeśli stosunek liczby dziewcząt do liczby chłopców wynosi  to liczbę dziewcząt możemy zapisać jako a liczbę chłopców jako Mamy wówczas: {premium}  

 

Rozwiązujemy równanie i wyznaczamy z niego wartość     

 

 

Obliczamy liczbę chłopców:  

 

Odp. W tej klasie jest  chłopców.  

Woda nie zawsze wrze w temperaturze...

 Przy ciśnieniu  woda wrze w temperaturze około     {premium}

Takie ciśnienie panuje na wysokości około  nad poziomem morza. 

 Na Śnieżce panuje ciśnienie około Takiemu ciśnieniu odpowiada temperatura około  

Na Mount Everest panuje ciśnienie około  Takiemu ciśnieniu odpowiada temperatura około  

 Temperatura  odpowiada ciśnieniu  Takie ciśnienie panuje na wysokości około  nad poziomem morza.