Funkcje - iii-gimnazjum - Baza Wiedzy

Wyznaczanie wartości funkcji ze wzoru

Mając wzór funkcji bardzo łatwo jest obliczyć, jaka wartość funkcji będzie przyporządkowana danemu argumentowi. Wystarczy pod x podstawić wartość liczbową argumentu, a następnie obliczyć y tak jak przy rozwiązywaniu równań.

Przykład:

Jaka jest wartość funkcji y=3x+4 dla x=6 ?

$$y=3x+4$$
$$y=3×6+4=18+4=22 $$

Odp: Dla x=6 funkcja przyjmuje wartość 22.

 

Nieco trudniej jest w sytuacji, gdy mamy podaną wartość funkcji i musimy znaleźć argument. Wielu argumentom może być przyporządkowana ta sama wartość. W przypadku funkcji liniowej sytuacja jest jednak prosta: wystarczy podstawić wartość liczbową funkcji pod y i wyliczyć x.

Przykład:

Jakiemu argumentowi funkcji y=1/2 x+2 jest podporządkowana wartość 6 ?

$$y=1/2 x+2 $$
$$6= 1/2 x+2 $$
$$4= 1/2 x $$
$$x=8 $$

Odp: Funkcja przyjmuje wartość 6 dla argumentu $$x=8$$.

 

Miejsce zerowe funkcji

Miejsce zerowe funkcji to argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość 0, czyli miejsce w którym funkcja przecina oś x. Oblicza się go podstawiając pod y wartość 0 we wzorze funkcji.

Przykład:

Obliczyć miejsce zerowe dla funkcji y=2x-3.

$$y=2x-3 $$
$$0=2x-3 $$
$$3=2x $$
$$x=1,5 $$

Odp.: Miejscem zerowym funkcji jest x=1,5.

 

Proporcjonalność

Proporcjonalność to zależność dwóch wartości, a zatem proporcjonalność jest funkcją. Gdy jedna z nich wzrośnie druga tyle samo razy wzrośnie lub zmaleje.

Proporcjonalność, w której wraz ze wzrostem jednej wartości druga również wzrasta, nazywamy proporcjonalnością prostą. Możemy ją określić wzorem $$y=ax$$, gdzie a to współczynnik proporcjonalności.

Przykład:

Metr drutu kosztuje 1,5 zł. Ile zapłacimy za x metrów drutu?

$$ y=ax $$
$$ y=1,5x zł $$

 

Proporcjonalność, w której wraz ze wzrostem jednej wartości druga maleje, nazywamy proporcjonalnością odwrotną. Możemy ją określić wzorem $$y=a/x$$.

Przykład:

Tort dzielimy na dwa razy więcej kawałków niż jest dzieci. Każde dziecko dostanie jeden kawałek. Jaką część tortu dostanie jedno dziecko, gdy na przyjęciu będzie x dzieci?

$$ y=a/x $$
$$ y=2/x $$

 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Podaj współrzędne punktu przecięcia osi y przez funkcję liniową o wzorze $$y=2x-3$$.

$$y=2x-3$$

$$2$$ -> współczynnik a

$$-3$$ -> współczynnik b

„Współczynnik b wskazuje miejsce przecięcia osi y przez wykres funkcji.”

współrzędne szukanego punktu (0,-3)

Odp.: Punkt przecięcia osi y przez tą funkcję ma współrzędne (0,-3).
 

Zadanie 2.

Podaj czy funkcja liniowa o wzorze $$y=-2x+10$$ jest stała, rosnąca czy malejąca.

$$-2$$ -> współczynnik a

$$10$$ -> współczynnik b

„Jeżeli współczynnik a jest liczbą dodatnią funkcja jest rosnąca, jeżeli ujemną malejąca. Gdy współczynnik a jest równy 0 funkcja jest stała.”

Odp.: Ta funkcja jest malejąca.

Zadanie 3.

Podaj wzór funkcji liniowej o współczynnikach $$a=2$$,$$b=-5$$.

$$y=ax+b$$ -> $$y=2x-5$$

Odp.: Wzór tej funkcji wynosi $$y=2x-5$$.

Zadanie 4.

Podaj wartość funkcji liniowej o wzorze $$y=-3x+10$$ dla $$x=4$$.

$$ f(4)=-3×4+10 $$

$$ f(4)=-2 $$

Odp.: Wartość tej funkcji dla x=4 wynosi -2.

Zadanie 5.

Wykres której z funkcji jest równoległy do wykresu funkcji o wzorze $$y=2x+10$$

  1. $$ y=-2x+10 $$
  2. $$ y=2x+14 $$
  3. $$ y=3x-10 $$

„Gdy dwie funkcje liniowe mają dwa takie same współczynniki a to ich wykresy są równoległe.”

Odp: Druga funkcja $$y=2x+14$$ ma wykres równoległy do wykresu funkcji $$y=2x+10$$.

Zadanie 6.

Dziedziną funkcji liniowej $$y=x+3$$ jest zero i wszystkie liczby naturalne mniejsze od 3. Podaj wszystkie argumenty i wartości funkcji dla tych argumentów.

Argumenty to dziedzina funkcji:
$$D= ext "{"0,1,2 ext "}"$$ -> argumenty: 0,1,2

$$ f(0)=0+3=3 $$

$$ f(1)=1+3=4 $$

$$ f(2)=2+3=5 $$

Odp.: Argumentami tej funkcji są liczby 0,1 i 2 a wartością tej funkcji są liczby 3,4 i 5.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Oszacuj wyniki działań. Podkreśl jedną kreską działania, których wynik jest mniejszy od 50 (...)

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne

 

 

Uzupełnij zdania: a) liczba 7·10⁶ jest .... razy większa od 7·10⁴.

a) Liczba `7*10^6`  jest 100 razy większa od `7*10^4`    (bo `(7*10^6)/(7*10^4)=(10^6)/(10^4)=10^6:10^4=10^(6-4)=10^2=10*10=100` )

 

b) Liczba `3,12*10^9` jest 1000 razy mniejsza od `3,12*10^12`   (bo `(3,12*10^12)/(3,12*10^9)=(10^12)/(10^9)=10^12:10^9=10^(12-9)=10^3=10*10*10=1000` )

 

c) Liczba `7,2*10^11` jest 6 razy większa od `1,2*10^11`   (bo `(7,2*10^11)/(1,2*10^11)=(7,2)/(1,2)=72/12=36/6=6/1=6` )

 

d) Liczba `3*10^8` jest 20 razy mniejsza od `6*10^9`   (bo `(6*10^9)/(3*10^8)=6/3*(10^9)/(10^8)=2*(10^9:10^8)=2*10^(9-8)=2*10^1=2*10=20` )    

Jeśli przeczytałeś notkę historyczną z podręcznika to wiesz, że w starożytnym Rzymie zasady (...)

MCCCCLXII oznacza 1462, poprawny zapis to MCDLXII

MCCCC to 1400 (4 liczby C zapisane obok siebie oznaczają 4 razy po 100)

{premium}

CCMXXXX oznacza 840, poprawny zapis to DCCCXL

CCM oznacza, że od 1000 (M) odejmujemy 200 (CC), ponieważ CC zapisano po lewej stronie M, XXXX oznacza 4 razy po 10, czyli 40

 

MIM oznacza 1999, poprawny zapis to MCMXCIX

IM oznacza 999, ponieważ I (1) zapisano na lewo od M (1000), a 1000-1=999

 

MMMCXXC oznacza 3180, poprawny zapis to MMMCLXXX

XXC oznacza 80, ponieważ XX (20) zapisano po lewej stronie C (100), co oznacza, że od 100 odejmujemy 20

Wstaw znak < lub >: a) (-5)⁷ ... 5⁶, (...)

Kilka przydatnych obserwacji:

1) przy podnoszeniu liczby ujemnej do potęgi parzystej minus znika, więc wynik jest dodatni, a przy podnoszeniu do potęgi nieparzystej wynik jest ujemny (np. `(-3)^2=(-3)*(-3)=9` , ale `(-3)^3=(-3)*(-3)*(-3)=9*(-3)=-27` ){premium}

2) podnoszenie liczby mniejszej od 1 do coraz większych potęg sprawia, że wynik jest coraz mniejszy (np. `0,1^2=0,1*0,1=0,01` , `0,1^3=0,1*0,1*0,1=0,001` , `0,001<0,01` )

3) podnoszenie liczby większej od 1 do coraz większych potęg sprawia, że wynik jest coraz większy (np. `2^2=2*2=4` , `2^3=2*2*2=8` , `8>2` )

4) podnoszenie liczby do potęgi ujemnej to podnoszenie do potęgi nieujemnej jej odwrotności (np. `(1/2)^(-2)=(2/1)^2=2^2=2*2=4`  ,  

rownanie matematyczne  )

5) jeśli dwie różne liczby są podnoszone do takich samych potęg większych od 0, to większy wynik uzyskamy podnosząc do potęgi większą z nich (np. `3>2` , więc `3^100>2^100` )

 

 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne  jest liczbą ujemną (patrz 1)), a `5^6` jest liczbą dodatnią, więc `(-5)^7<5^6` 

rownanie matematyczne     (patrz 2))

rownanie matematyczne   (patrz 3))

rownanie matematyczne   (patrz 5)) 

 `e)\ 3^(-4)=(1/3)^4`   ,   `3^(-5)=(1/3)^5` ,   `3^(-4)>3^(-5)`     (patrz 2))

rownanie matematyczne  ,  `(1/3)^(-5)=(3/1)^5=3^5` ,  `(1/3)^(-4)<(1/3)^(-5)`   (patrz 3))

rownanie matematyczne , więc `1/(1,2)>1/(1,21)` 

  `1,2^(-10)=(1/(1,2))^10` ,  `1,21^(-10)=(1/(1,21))^10` 

rownanie matematyczne   (patrz 5))

 

rownanie matematyczne , więc `1/(0,8)>1/(0,81)` 

rownanie matematyczne   (analogicznie jak g))  

Wykonaj obliczenia. Skreśl litery odpowiadające otrzymanym wynikom. Pozostałe litery, (...)

rownanie matematyczne  

rownanie matematyczne `sqrt(2/10*20/1)=` `sqrt(2/1*2/1)=sqrt(2^2)=2` {premium}

rownanie matematyczne `(-12/10)=` `1/4+12/10=0,25+1,2=1,45` 

rownanie matematyczne `1/15*(-10/1)=` `-10/15=-2/3` 

rownanie matematyczne  

rownanie matematyczne `1/3*1/3=1/9` 

 

Hasło: root

 

oblicz

a) rownanie matematyczne

b) rownanie matematyczne

c) rownanie matematyczne

d) rownanie matematyczne

e) (rownanie matematyczne

f) rownanie matematyczne

g)rownanie matematyczne

h) rownanie matematyczne

i)rownanie matematyczne

j)rownanie matematyczne

k)rownanie matematyczne

l)rownanie matematyczne

m)rownanie matematyczne

n)rownanie matematyczne

o)rownanie matematyczne

Podaj nazwy liczb zapisanych poniżej: 5·10^9

rownanie matematyczne to 5 miliardów{premium}

rownanie matematyczne to 30 bilionów

rownanie matematyczne to 1 biliard 

rownanie matematyczne to 1 biliard

Przedstaw iloraz w postaci potęgi o wykładniku ujemnym

rownanie matematyczne rownanie matematyczne rownanie matematyczne

rownanie matematyczne rownanie matematyczne rownanie matematyczne  ` ` rownanie matematyczne rownanie matematyczne rownanie matematyczne

 

Wskaż wspólne czynniki licznika i mianownika, a następnie wykonaj działania

rownanie matematyczne rownanie matematyczne

rownanie matematyczne rownanie matematyczne rownanie matematyczne

rownanie matematyczne rownanie matematyczne

rownanie matematyczne rownanie matematyczne

Wykonaj działania

rownanie matematyczne `[-7/3*(3/7)*(-1/8)]^(-2)=(-1/8)^(-2)=64`{premium}

rownanie matematyczne  rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne  rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne rownanie matematyczne rownanie matematyczne