Funkcje - iii-gimnazjum - Baza Wiedzy

Wyznaczanie wartości funkcji ze wzoru

Mając wzór funkcji bardzo łatwo jest obliczyć, jaka wartość funkcji będzie przyporządkowana danemu argumentowi. Wystarczy pod x podstawić wartość liczbową argumentu, a następnie obliczyć y tak jak przy rozwiązywaniu równań.

Przykład:

Jaka jest wartość funkcji y=3x+4 dla x=6 ?

$$y=3x+4$$
$$y=3×6+4=18+4=22 $$

Odp: Dla x=6 funkcja przyjmuje wartość 22.

 

Nieco trudniej jest w sytuacji, gdy mamy podaną wartość funkcji i musimy znaleźć argument. Wielu argumentom może być przyporządkowana ta sama wartość. W przypadku funkcji liniowej sytuacja jest jednak prosta: wystarczy podstawić wartość liczbową funkcji pod y i wyliczyć x.

Przykład:

Jakiemu argumentowi funkcji y=1/2 x+2 jest podporządkowana wartość 6 ?

$$y=1/2 x+2 $$
$$6= 1/2 x+2 $$
$$4= 1/2 x $$
$$x=8 $$

Odp: Funkcja przyjmuje wartość 6 dla argumentu $$x=8$$.

 

Miejsce zerowe funkcji

Miejsce zerowe funkcji to argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość 0, czyli miejsce w którym funkcja przecina oś x. Oblicza się go podstawiając pod y wartość 0 we wzorze funkcji.

Przykład:

Obliczyć miejsce zerowe dla funkcji y=2x-3.

$$y=2x-3 $$
$$0=2x-3 $$
$$3=2x $$
$$x=1,5 $$

Odp.: Miejscem zerowym funkcji jest x=1,5.

 

Proporcjonalność

Proporcjonalność to zależność dwóch wartości, a zatem proporcjonalność jest funkcją. Gdy jedna z nich wzrośnie druga tyle samo razy wzrośnie lub zmaleje.

Proporcjonalność, w której wraz ze wzrostem jednej wartości druga również wzrasta, nazywamy proporcjonalnością prostą. Możemy ją określić wzorem $$y=ax$$, gdzie a to współczynnik proporcjonalności.

Przykład:

Metr drutu kosztuje 1,5 zł. Ile zapłacimy za x metrów drutu?

$$ y=ax $$
$$ y=1,5x zł $$

 

Proporcjonalność, w której wraz ze wzrostem jednej wartości druga maleje, nazywamy proporcjonalnością odwrotną. Możemy ją określić wzorem $$y=a/x$$.

Przykład:

Tort dzielimy na dwa razy więcej kawałków niż jest dzieci. Każde dziecko dostanie jeden kawałek. Jaką część tortu dostanie jedno dziecko, gdy na przyjęciu będzie x dzieci?

$$ y=a/x $$
$$ y=2/x $$

 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Podaj współrzędne punktu przecięcia osi y przez funkcję liniową o wzorze $$y=2x-3$$.

$$y=2x-3$$

$$2$$ -> współczynnik a

$$-3$$ -> współczynnik b

„Współczynnik b wskazuje miejsce przecięcia osi y przez wykres funkcji.”

współrzędne szukanego punktu (0,-3)

Odp.: Punkt przecięcia osi y przez tą funkcję ma współrzędne (0,-3).
 

Zadanie 2.

Podaj czy funkcja liniowa o wzorze $$y=-2x+10$$ jest stała, rosnąca czy malejąca.

$$-2$$ -> współczynnik a

$$10$$ -> współczynnik b

„Jeżeli współczynnik a jest liczbą dodatnią funkcja jest rosnąca, jeżeli ujemną malejąca. Gdy współczynnik a jest równy 0 funkcja jest stała.”

Odp.: Ta funkcja jest malejąca.

Zadanie 3.

Podaj wzór funkcji liniowej o współczynnikach $$a=2$$,$$b=-5$$.

$$y=ax+b$$ -> $$y=2x-5$$

Odp.: Wzór tej funkcji wynosi $$y=2x-5$$.

Zadanie 4.

Podaj wartość funkcji liniowej o wzorze $$y=-3x+10$$ dla $$x=4$$.

$$ f(4)=-3×4+10 $$

$$ f(4)=-2 $$

Odp.: Wartość tej funkcji dla x=4 wynosi -2.

Zadanie 5.

Wykres której z funkcji jest równoległy do wykresu funkcji o wzorze $$y=2x+10$$

  1. $$ y=-2x+10 $$
  2. $$ y=2x+14 $$
  3. $$ y=3x-10 $$

„Gdy dwie funkcje liniowe mają dwa takie same współczynniki a to ich wykresy są równoległe.”

Odp: Druga funkcja $$y=2x+14$$ ma wykres równoległy do wykresu funkcji $$y=2x+10$$.

Zadanie 6.

Dziedziną funkcji liniowej $$y=x+3$$ jest zero i wszystkie liczby naturalne mniejsze od 3. Podaj wszystkie argumenty i wartości funkcji dla tych argumentów.

Argumenty to dziedzina funkcji:
$$D= ext "{"0,1,2 ext "}"$$ -> argumenty: 0,1,2

$$ f(0)=0+3=3 $$

$$ f(1)=1+3=4 $$

$$ f(2)=2+3=5 $$

Odp.: Argumentami tej funkcji są liczby 0,1 i 2 a wartością tej funkcji są liczby 3,4 i 5.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Oblicz objętość stożka powstałego w wyniku obrotu:

`"a)"` Jeżeli obrócimy trójkąt równoboczny wokół wysokości, to przekrojem osiowym tego stożka

będzie ten trójkąt. Mamy wówczas:

`l=4\ "cm"` 

`r=2\ "cm"` 

`H=(lsqrt3)/2` 

`H=2sqrt3\ "cm"` 

Obliczamy objętość:

`V=1/3pir^2*H` 

`V=1/3pi*2^2*2sqrt3=1/3pi*4*2sqrt3=(8sqrt3)/3pi\ "cm"^3`  

Odp. Objętość stożka jest równa `(8sqrt3)/3pi\ "cm"^3.` 

 

`"b)"` Rysunek pomocniczy:     

`l=12\ "cm"`    

`r=1/2*8=4\ "cm"` 

Obliczamy wysokość stożka, korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta `CDB:` 

`H^2+r^2=l^2` 

`H^2+4^2=12^2` 

`H^2=144-16` 

`H^2=128` 

`H=8sqrt2\ "cm"` 

Obliczamy objętość stożka:

`V=1/3pir^2*H` 

`V=1/3pi*4^2*8sqrt2=1/3pi*16*8sqrt2=(128sqrt2)/3pi\ "cm"^3`      

Odp. Objętość ostrosłupa jest równa `(128sqrt2)/3pi\ "cm"^3.`  

W dwóch trójkątach jednakowymi literami oznaczono kąty

Obliczmy długości boków AC i EF.

 

`sqrt15/sqrt5=sqrt21/|EF|` 

`|EF|*sqrt15=sqrt21*sqrt5` 

`|EF|*sqrt15=sqrt(21*5)` 

`|EF|=sqrt(21*5)/sqrt15` 

`|EF|=sqrt105/sqrt15=sqrt(105/15)=sqrt7` 

 

`sqrt15/sqrt5=(|AC|)/sqrt3` 

`sqrt15*sqrt3=sqrt5*|AC|` 

`sqrt45=sqrt5*|AC| \ \ \ |:sqrt5` 

`sqrt45/sqrt5=|AC|` 

`|AC|=sqrt9=3` 

 

`|BC|/|EF|=sqrt21/sqrt7=sqrt(21/7)=sqrt3` 

`|DE|/|AC|=sqrt5/3`   

Sinus jednego z kątów ostrych w trójkącie

Oznaczamy sobie jeden z kątów ostrych trójkąta jako alfa. Drugi kąt, zgodnie z tym, że suma kątów wewnętrznych w trójkącie wynosi 180, będzie miał miarę:

`180^o-90^o-alpha=90^o-alpha`

 

Z treści zadania wiemy, że:

`sinalpha= 1/3 sin(90^o-alpha)`

Wstawiamy w to równanie zależność:

`sin(90^o-alpha)=cosalpha`

`sinalpha=1/3cosalpha`

Otrzymaną zależność wstawiamy do wzoru zwanego jedynką trygonometryczną:

`sin^2alpha+cos^2alpha=1`

`(1/3cosalpha)^2+cos^2alpha=1`

`1/9cos^2alpha+cos^2alpha=1`

`1/9cos^alpha+9/9cos^2alpha=1`

`10/9cos^2alpha=1`       `/:10/9`

`cos^2alpha=9/10 `       `/sqrt`

`cosalpha=sqrt(9/10)`

`cosalpha=sqrt9/sqrt10`

`cosalpha=3/sqrt10*sqrt10/sqrt10=(3sqrt10)/10`

 

 

`sinalpha=1/3cosalpha`

`sinalpha=1/(strike3)*(strike3sqrt10)/10=sqrt10/10`

 

`tgalpha=sinalpha/cosalpha=(strike(sqrt10/strike10))/(3strikesqrt10/strike10)=1/3` 

`ul(ul(tgalpha=1/3))`

 

 

Obliczamy sinus i cosinus drugiego kąta aby potem z nich obliczyc tangens tego kąta

`sin(90^o-alpha)=cosalpha=(3sqrt10)/10`

`cos(90^o-alpha)=sinalpha=sqrt10/10`

`tg(90^o-alpha)=(sin(90^o-alpha))/(cos(90^o-alpha))=(3(strike(sqrt10))/(strike10))/((strikesqrt10)/(strike10))=3` 

`ul(ul(tg(90^o-alpha)=3))`

 

 

Dwa kawałki różnych stopów...

Jeżeli pierwszy kawałek miał masę 1 kilograma i składał się z 50% miedzi i 50% aluminium, to masa miedzi i aluminium pochodząca z pierwszego kawałka wynosiła:

`m_("Al") = 0,5\ kg` 

`m_("Cu"1) = 0,5\ kg` 

Drugi kawałek miał masę 2 kg i zawierał 60% miedzi i 40% cynku. Obliczmy masę miedzi i cynku w tym kawałku:

`m_("Cu"2) = 60%*2\ kg = 0,6*2\ kg = 1,2\ kg` 

`m_"Zn" = 40% * 2\ kg = 0,4*2\ kg = 0,8\ kg` 

Z tego wynika, że masy poszczególnych składników w nowym stopie wynoszą:

`"aluminium: " m_"Al" = 0,5\ kg` 

`"cynk: " m_"Zn" = 0,8\ kg` 

`"miedź: " m_"Cu" = 0,5\ kg + 1,2\ kg = 1,7\ kg` 

 

Odp.:

B. 1,7 kg miedzi

C. 0,8 kg cynku

Spośród podanych liczb wybierz dwie, które mogą być

Wybieramy takie dwie długości, których stosunek jest taki sam, jak stosunek długości 12 cm i 20 cm.

`(12 \ "cm")/(20 \ "cm")=3/5` 

`(36 \ "cm")/(60 \ "cm")=3/5` 

`(48 \ "cm")/(80 \ "cm")=6/10=3/5` 

`(60 \ "cm")/(100 \ "cm")=6/10=3/5` 

 

Naszkicuj...

Trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 7 cm i 11 cm

Obliczmy długość przeciwprostokątnej trójkąta: 

`7^2+11^2=x^2` 

`49+121=x^2` 

`x^2=170` 

`x=sqrt170\ cm` 

 

`a)` 

Obracając wokół dłuższej przyprostokątnej otrzymamy stożek o wysokości 11 cm, promieniu podstawy 7 cm i tworzącej √170 cm.

`P_p=pi*7^2=49pi\ cm^2` 

`P_b=pi*7*sqrt170=7sqrt170pi\ cm^2` 

`P_c=49pi+7sqrt170pi=7pi(7+sqrt170)\ cm^2` 

`V=1/3*49pi*11=` `539/3pi\ cm^3` 

 

 

`b)` 

Obracając wokół krótszej przyprostokątnej otrzymamy stożek o wysokości 7 cm, promieniu podstawy 11 cm i tworzącej √170 cm.

`P_p=pi*11^2=121pi\ cm^2` 

`P_b=pi*11*sqrt170=11sqrt170pi\ cm^2` 

`P_c=121pi+11sqrt170pi=11pi(11+sqrt170)\ cm^2` 

`V=1/3*121pi*7=847/3pi\ cm^3` 

Z podanych znaków...

`a)` 

Mamy podane znaki: `C,\ X,\ X` 

Układamy z nich dwie liczby:

`XC - 90` 

`X - 10` 

Ponieważ:

`90+10=100` 

To:

`XC + X = C` 

 

`b)`      

Mamy podane znaki:  `L,\  X,\  X,\ X,\ X,\ X` 

Układamy z nich dwie liczby:

 

`LXXX - 80` 

`XX - 20` 

Ponieważ:

80+20 =100` 

To:

`LXXX + XX = C` 

 

`c)`      

Mamy podane znaki:  `L,\ L,\ X,\ V,\ V,\ I,\ I` 

Układamy z nich dwie liczby:

`LVI - 56`  

`XLIV - 44` 

Ponieważ:

`56+44=100` 

To:

`LVI + XLIV = C` 

 

`d)`      

Mamy podane znaki:  `L,\ X,\ X,\ X,\ X,\ X,\ I,\ I` 

Układamy z nich dwie liczby:

`LXIX - 69`  

`XXXI - 31` 

Ponieważ:

`69+31=100` 

To:

`LXIX+XXXI=C` 

 

`e)`      

Mamy podane znaki:  `C,\ X,\ X,\ I,\ I` 

Układamy z nich dwie liczby:

`XCI - 91` 

`IX - 9` 

Ponieważ:

`91+9=100` 

To:

`XCI+IX=C` 

 

`f)`      

Mamy podane znaki:  `L,\ X,\ X,\ X,\ X,\ V,\ I,\ I,\ I,\ I,\ I` 

Układamy z nich dwie liczby:

`LXVII - 67` 

`XXXIII - 33` 

Ponieważ:

`67+33=100` 

To:

`LXVII + XXXIII=C` 

Bartek i Kuba grają w grę polegającą na rzutach sześcienną kostką

B - wypadnie ścianka czerwona (wygrywa Bartek)

K - wypadnie ścianka biała (wygrywa Kuba)

a)`P(B)=1/6`

`P(K)=5/6`

`(P(K))/(P(B))=5`

Szansa wygranej Bartka jest 5 razy mniejsza od szansy wygranej Kuby.

b) Przy 3 ściankach czerwonych szanse wygrania obu graczy byłyby równe.

c) Przy 2 ściankach czerwonych szansa wygrania Bartka byłaby dwa razy mniejsza.

Oblicz.

`a) \ \ 2^3*5^3=#underbrace(2*2*2)_(8)*#underbrace(5*5*5)_(125)=8*125=1000` 
  

`b) \ \ (0,1^2)^2=(0,01)^2=0,0001`  

`c) \ \ 3^2*3^5=#underbrace(3*3*3)_(27)*#underbrace(3*3*3)_(27)*3=27*27*3=2187` 
 

`d) \ \ 8^3:4^3=8*8*8:(4*4*4)=8*64:64=8` 

`e) \ \ 0,5^4:0,5^2=#underbrace(0,5*0,5)_(0,25)*#underbrace(0,5*0,5)_(0,25):#underbrace((0,5*0,5))_(0,25)=0,25*#underbrace(0,25:0,25)_(1)=0,25`