Funkcje - iii-gimnazjum - Baza Wiedzy

Wyznaczanie wartości funkcji ze wzoru

Mając wzór funkcji bardzo łatwo jest obliczyć, jaka wartość funkcji będzie przyporządkowana danemu argumentowi. Wystarczy pod x podstawić wartość liczbową argumentu, a następnie obliczyć y tak jak przy rozwiązywaniu równań.

Przykład:

Jaka jest wartość funkcji y=3x+4 dla x=6 ?

$$y=3x+4$$
$$y=3×6+4=18+4=22 $$

Odp: Dla x=6 funkcja przyjmuje wartość 22.

 

Nieco trudniej jest w sytuacji, gdy mamy podaną wartość funkcji i musimy znaleźć argument. Wielu argumentom może być przyporządkowana ta sama wartość. W przypadku funkcji liniowej sytuacja jest jednak prosta: wystarczy podstawić wartość liczbową funkcji pod y i wyliczyć x.

Przykład:

Jakiemu argumentowi funkcji y=1/2 x+2 jest podporządkowana wartość 6 ?

$$y=1/2 x+2 $$
$$6= 1/2 x+2 $$
$$4= 1/2 x $$
$$x=8 $$

Odp: Funkcja przyjmuje wartość 6 dla argumentu $$x=8$$.

 

Miejsce zerowe funkcji

Miejsce zerowe funkcji to argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość 0, czyli miejsce w którym funkcja przecina oś x. Oblicza się go podstawiając pod y wartość 0 we wzorze funkcji.

Przykład:

Obliczyć miejsce zerowe dla funkcji y=2x-3.

$$y=2x-3 $$
$$0=2x-3 $$
$$3=2x $$
$$x=1,5 $$

Odp.: Miejscem zerowym funkcji jest x=1,5.

 

Proporcjonalność

Proporcjonalność to zależność dwóch wartości, a zatem proporcjonalność jest funkcją. Gdy jedna z nich wzrośnie druga tyle samo razy wzrośnie lub zmaleje.

Proporcjonalność, w której wraz ze wzrostem jednej wartości druga również wzrasta, nazywamy proporcjonalnością prostą. Możemy ją określić wzorem $$y=ax$$, gdzie a to współczynnik proporcjonalności.

Przykład:

Metr drutu kosztuje 1,5 zł. Ile zapłacimy za x metrów drutu?

$$ y=ax $$
$$ y=1,5x zł $$

 

Proporcjonalność, w której wraz ze wzrostem jednej wartości druga maleje, nazywamy proporcjonalnością odwrotną. Możemy ją określić wzorem $$y=a/x$$.

Przykład:

Tort dzielimy na dwa razy więcej kawałków niż jest dzieci. Każde dziecko dostanie jeden kawałek. Jaką część tortu dostanie jedno dziecko, gdy na przyjęciu będzie x dzieci?

$$ y=a/x $$
$$ y=2/x $$

 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Podaj współrzędne punktu przecięcia osi y przez funkcję liniową o wzorze $$y=2x-3$$.

$$y=2x-3$$

$$2$$ -> współczynnik a

$$-3$$ -> współczynnik b

„Współczynnik b wskazuje miejsce przecięcia osi y przez wykres funkcji.”

współrzędne szukanego punktu (0,-3)

Odp.: Punkt przecięcia osi y przez tą funkcję ma współrzędne (0,-3).
 

Zadanie 2.

Podaj czy funkcja liniowa o wzorze $$y=-2x+10$$ jest stała, rosnąca czy malejąca.

$$-2$$ -> współczynnik a

$$10$$ -> współczynnik b

„Jeżeli współczynnik a jest liczbą dodatnią funkcja jest rosnąca, jeżeli ujemną malejąca. Gdy współczynnik a jest równy 0 funkcja jest stała.”

Odp.: Ta funkcja jest malejąca.

Zadanie 3.

Podaj wzór funkcji liniowej o współczynnikach $$a=2$$,$$b=-5$$.

$$y=ax+b$$ -> $$y=2x-5$$

Odp.: Wzór tej funkcji wynosi $$y=2x-5$$.

Zadanie 4.

Podaj wartość funkcji liniowej o wzorze $$y=-3x+10$$ dla $$x=4$$.

$$ f(4)=-3×4+10 $$

$$ f(4)=-2 $$

Odp.: Wartość tej funkcji dla x=4 wynosi -2.

Zadanie 5.

Wykres której z funkcji jest równoległy do wykresu funkcji o wzorze $$y=2x+10$$

  1. $$ y=-2x+10 $$
  2. $$ y=2x+14 $$
  3. $$ y=3x-10 $$

„Gdy dwie funkcje liniowe mają dwa takie same współczynniki a to ich wykresy są równoległe.”

Odp: Druga funkcja $$y=2x+14$$ ma wykres równoległy do wykresu funkcji $$y=2x+10$$.

Zadanie 6.

Dziedziną funkcji liniowej $$y=x+3$$ jest zero i wszystkie liczby naturalne mniejsze od 3. Podaj wszystkie argumenty i wartości funkcji dla tych argumentów.

Argumenty to dziedzina funkcji:
$$D= ext "{"0,1,2 ext "}"$$ -> argumenty: 0,1,2

$$ f(0)=0+3=3 $$

$$ f(1)=1+3=4 $$

$$ f(2)=2+3=5 $$

Odp.: Argumentami tej funkcji są liczby 0,1 i 2 a wartością tej funkcji są liczby 3,4 i 5.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Wyznacz długość boków...

`k=8/4=2`

`3*2=6`

`7/2=3.5`


Jeden z trójkątów ma boki długości:

8, 7, 6

Drugi ma boki długości:

4, 3.5, 3

 

Skala podobieństwa wynosi 2.

Do kartonu o wymiarach 40 cm x 30cm x 20 cm...

Obliczymy objętość jednego walca (jednej puszki). Mamy:

`H=20\ "cm"`  

`4*2r=40` 

`8r=40\ "/":8` 

`r=5\ "cm"` 

Obliczamy objętość jednej puszki:

`V_1=pir^2H` 

`V_1=3,14*5^2*20=3,14*25*20=1570\ "cm"^3` 

Obliczamy objętość `12` puszek:

`V_12=12V_1` 

`V_12=12*1570=18\ 840\ "cm"^3` 

`18\ 840\ "cm"^3=18,84\ "l"` 

Odp. Objętość sosu znajdującego się w puszkach wynosi `18,84\ "l".`      

Łańcuszek z wisiorkiem kosztuje 105 zł. (...)

`l`  - cena łańcuszka (w zł)

`w`  - cena wisiorka (w zł)
 

`{(l+w=105 \ \ \ \ \ \ \ \ |-l), (w-8+120%l=100 \ \ \ \ \ \ |+8):}`  

`{(w=105-l), (w+1,2l=108):}`  

`{(w=105-l), (105-l+1,2l=108):}` 

`105-l+1,2l=108` 

`105+0,2l=108 \ \ \ \ \ \ \ \ |-105` 

`0,2l=3 \ \ \ \ \ \ \ \ |*10` 

`2l=30 \ \ \ \ \ \ \ \ |:2` 

`l=15` 

`{(l=15),(w=105-l):}` 

`{(l=15),(w=105-15):}` 

`{(l=15),(w=90):}`    

 

Odpowiedź 
Wisiorek kosztuje 90 zł

Suma liczb [(-1^-3)]^-4 i [(-1^-1)]^3 jest równa:

`[(-1^-3)]^-4+` `[(-1^-1)]^3=1+(-1)=0`

Oblicz promień kuli, która powstała przez obrót koła, opisanego na trójkącie równobocznym o boku 4√3cm

`"Koło opisane na trójkącie równobocznym ma promień równy"\ 2/3\ "wysokości tego trójkąta."`

`"W tym przypadku promień koła wynosi zatem:"`

`2/3"h"=2/3*4sqrt3*sqrt3/2=1/3*12=4\ "cm"`

`"Promień kuli powstałej z obrotu koła jest taki sam i wynosi również"\ 4\ "cm."`

Oblicz, jakim ułamkiem liczby a jest liczba b, jeżeli:

`"Aby obliczyć, jakim ułamkiem liczby a jest liczba b, wystarczy uprościć wyrażenie"\ "b"/"a"":"`

`"b"/"a" = (-(-2^2)^3)/([(-2)^2]^3*2)=(-(-4^3))/((4^3)*2)=64/(64*2)=1/2`

 

`"Odp: Liczba b stanowi"\ 1/2\ "liczby a."`

Oblicz odległości między...

Odcinek AB:

`|AB| = 2+3` 

`|AB| = 5` 

Odcinek BC:

`|BC| = 3+4` 

`|BC| = 7` 

Odcinek DE:

`|DE| = 1+5` 

`|DE| = 6` 

Odcinek EF:

`|EF| = 5+2` 

`|EF| = 7` 

Ania skończyła 18 lat i urządza przyjęcie urodzinowe dla przyjaciół (od 14 do 17 osób)

Rozważmy kieliszki 125 ml (bardziej ekonomiczna wersja). Sprawdźmy ile napoju potrzeba dla 17 osób:

`17*125=2125\ "ml"`

Podzielmy tą ilość napoju przez pojemność butelki, aby otrzymać liczbę butelek i zaokrąglijmy do części całkowitej:

`2125:750~~2,83~~3`

Na powierzchni kuli znajdują się dwa punkty. Wyjaśnij, że ...

Prowadzimy prostą przez dwa dowolne punkty znajdujące się na powierzchni kuli. 

Prowadzimy proste przez każdy z punktów leżących na powierzchni kuli oraz przez środek kuli.

Prowadzimy płaszczyznę przez te trzy proste. Część wspólna tej płaszczyzny oraz kuli jest szukanym kołem wielkim.

 

Suma długości najkrótszego i najdłuższego boku trójkąta jest równa

Oznaczmy sobie:

x-najkrótszy bok trójkąta

y-średni bok trójkąta

z-najdłuższy bok trójkąta

`{(x+z=10 7/10),(y+z=12),(x+y=10 3/10):}`

Wyprowadźmy z pierwszego niewiadomą x i podstawmy ją do trzeciego równania

`{(x=10 7/10-z),(y+z=12),(10 7/10-z+y=10 3/10):}`

`{(x=10 7/10-z),(y=12),(4/10=z-y):}`

Wyprowadźmy z drugiego równania niewiadomą y i podstawmy ją do trzeciego równania.

`{(x=10 7/10-z),(y=12-z),(4/10=z-(12-z)):}`

`{(x=10 7/10-z),(y=12-z),(4/10=z-12+z):}`

`{(x=10 7/10-z),(y=12-z),(4/10+12=2z):}`

`{(x=10 7/10-z),(y=12-z),(12 4/10=2z \ \ \ \ :2):}`

`{(x=10 7/10-6 2/10),(y=12-6 2/10),(z=6 2/10):}`

`{(x=4 5/10),(y=5 8/10),(z=6 2/10):}`

Obliczamy obwód trójkąta:

`O=x+y+z=4 5/10 cm+5 8/10 cm+6 2/10 cm= 15 15/10cm=16 5/10cm=16 1/2 cm`