Funkcje - iii-gimnazjum - Baza Wiedzy

Wyznaczanie wartości funkcji ze wzoru

Mając wzór funkcji bardzo łatwo jest obliczyć, jaka wartość funkcji będzie przyporządkowana danemu argumentowi. Wystarczy pod x podstawić wartość liczbową argumentu, a następnie obliczyć y tak jak przy rozwiązywaniu równań.

Przykład:

Jaka jest wartość funkcji y=3x+4 dla x=6 ?

$$y=3x+4$$
$$y=3×6+4=18+4=22 $$

Odp: Dla x=6 funkcja przyjmuje wartość 22.

 

Nieco trudniej jest w sytuacji, gdy mamy podaną wartość funkcji i musimy znaleźć argument. Wielu argumentom może być przyporządkowana ta sama wartość. W przypadku funkcji liniowej sytuacja jest jednak prosta: wystarczy podstawić wartość liczbową funkcji pod y i wyliczyć x.

Przykład:

Jakiemu argumentowi funkcji y=1/2 x+2 jest podporządkowana wartość 6 ?

$$y=1/2 x+2 $$
$$6= 1/2 x+2 $$
$$4= 1/2 x $$
$$x=8 $$

Odp: Funkcja przyjmuje wartość 6 dla argumentu $$x=8$$.

 

Miejsce zerowe funkcji

Miejsce zerowe funkcji to argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość 0, czyli miejsce w którym funkcja przecina oś x. Oblicza się go podstawiając pod y wartość 0 we wzorze funkcji.

Przykład:

Obliczyć miejsce zerowe dla funkcji y=2x-3.

$$y=2x-3 $$
$$0=2x-3 $$
$$3=2x $$
$$x=1,5 $$

Odp.: Miejscem zerowym funkcji jest x=1,5.

 

Proporcjonalność

Proporcjonalność to zależność dwóch wartości, a zatem proporcjonalność jest funkcją. Gdy jedna z nich wzrośnie druga tyle samo razy wzrośnie lub zmaleje.

Proporcjonalność, w której wraz ze wzrostem jednej wartości druga również wzrasta, nazywamy proporcjonalnością prostą. Możemy ją określić wzorem $$y=ax$$, gdzie a to współczynnik proporcjonalności.

Przykład:

Metr drutu kosztuje 1,5 zł. Ile zapłacimy za x metrów drutu?

$$ y=ax $$
$$ y=1,5x zł $$

 

Proporcjonalność, w której wraz ze wzrostem jednej wartości druga maleje, nazywamy proporcjonalnością odwrotną. Możemy ją określić wzorem $$y=a/x$$.

Przykład:

Tort dzielimy na dwa razy więcej kawałków niż jest dzieci. Każde dziecko dostanie jeden kawałek. Jaką część tortu dostanie jedno dziecko, gdy na przyjęciu będzie x dzieci?

$$ y=a/x $$
$$ y=2/x $$

 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Podaj współrzędne punktu przecięcia osi y przez funkcję liniową o wzorze $$y=2x-3$$.

$$y=2x-3$$

$$2$$ -> współczynnik a

$$-3$$ -> współczynnik b

„Współczynnik b wskazuje miejsce przecięcia osi y przez wykres funkcji.”

współrzędne szukanego punktu (0,-3)

Odp.: Punkt przecięcia osi y przez tą funkcję ma współrzędne (0,-3).
 

Zadanie 2.

Podaj czy funkcja liniowa o wzorze $$y=-2x+10$$ jest stała, rosnąca czy malejąca.

$$-2$$ -> współczynnik a

$$10$$ -> współczynnik b

„Jeżeli współczynnik a jest liczbą dodatnią funkcja jest rosnąca, jeżeli ujemną malejąca. Gdy współczynnik a jest równy 0 funkcja jest stała.”

Odp.: Ta funkcja jest malejąca.

Zadanie 3.

Podaj wzór funkcji liniowej o współczynnikach $$a=2$$,$$b=-5$$.

$$y=ax+b$$ -> $$y=2x-5$$

Odp.: Wzór tej funkcji wynosi $$y=2x-5$$.

Zadanie 4.

Podaj wartość funkcji liniowej o wzorze $$y=-3x+10$$ dla $$x=4$$.

$$ f(4)=-3×4+10 $$

$$ f(4)=-2 $$

Odp.: Wartość tej funkcji dla x=4 wynosi -2.

Zadanie 5.

Wykres której z funkcji jest równoległy do wykresu funkcji o wzorze $$y=2x+10$$

  1. $$ y=-2x+10 $$
  2. $$ y=2x+14 $$
  3. $$ y=3x-10 $$

„Gdy dwie funkcje liniowe mają dwa takie same współczynniki a to ich wykresy są równoległe.”

Odp: Druga funkcja $$y=2x+14$$ ma wykres równoległy do wykresu funkcji $$y=2x+10$$.

Zadanie 6.

Dziedziną funkcji liniowej $$y=x+3$$ jest zero i wszystkie liczby naturalne mniejsze od 3. Podaj wszystkie argumenty i wartości funkcji dla tych argumentów.

Argumenty to dziedzina funkcji:
$$D= ext "{"0,1,2 ext "}"$$ -> argumenty: 0,1,2

$$ f(0)=0+3=3 $$

$$ f(1)=1+3=4 $$

$$ f(2)=2+3=5 $$

Odp.: Argumentami tej funkcji są liczby 0,1 i 2 a wartością tej funkcji są liczby 3,4 i 5.

Spis treści

Rozwiązane zadania
W pewnym pudełku, które waży 10 gram, znajdują się kulki...

a) Pełne pudełko waży 50 kg, a jedna kulka waży 2 gramy zatem zmianę wagi możemy przedstawić za pomocą funkcji:

    f(x)=50-0,002x , gdzie x-liczba kulek

 Odp. Wzór funkcji przedstawiającej zmianę wagi to f(x)=50-0,002x.


b) Obliczając ile kulek należy wyjąć, aby pudełko z kulkami ważyło 30 kg należy do wzoru z podpunktu a podstawić w miejsce "f(x)" liczbę 30 i obliczyć x:

    30=50-0,002x
    0,002x=50-30
    0,002x=20  /:0,002
            x=10000

 Odp. Należy wyjąć 10000 kulek.


c) Obliczając wagę pudełka po wyjęciu 30 kulek należy do wzoru z podpunktu a podstawić w miejsce "x" liczbę 30:

   f(30)= 50-0,002 30=50-0,06=49,94

  Odp. Pudełko po wyjęciu 30 kulek będzie ważyło 49,94 kg.

Pod koniec XIV wieku trębacz miejski w Krakowie zarabiał 8 gr tygodniowo.

x - cena korca cebuli

y - cena korca grochu
 

`\ \ \ {(2y+3x=8 \ \ \ \ \ \ \ |*3), (3y+1/2x=8 \ \ \ \ \ \ \ \ |*(-2)):}`   

`+ \ {( \ \ \ 6y+9x=24), (-6y-x=-16):}`  
`\ \ \ ul( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )`     

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 8x=8 \ \ \ \ \ \ \ \ |:8`    

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x=1`    


Odpowiedź: 
Korzec cebuli kosztuje 1 grosz

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji. Które z poniższych zdań jest fałszywe?

A. Funkcja rzeczywiście ma dwa miejsca zerowe, dla x = -4 oraz dla x = 7

B. Zdanie również jest prawdziwe

C. Zdanie też jest prawdzwie

D. Zdanie fałszywe, bo dla x > 4 funkcja jest określona tylko dla argumentów całkowitych.

W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym...

Niech `x`  oznacza długość krawędzi bocznej, a `x+2`  długość krawędzi podstawy.

`4x+8(x+2)=136` 

 

Odp. A

Średnica najmniejszej poznanej bakterii wynosi około...

Zapiszmy najpierw liczbę milion w notacji wykładniczej:

`1\ 000\ 000=10^6` 

Teraz obliczmy średnicę milion razy powiększonej bakterii:

`0,2*10^(-6)*10^6=0,2*10^0=0,2*1=0,2\ "m"=20\ "cm"` 

Odp. Bakteria będzie miała średnicę `20\ "cm".`    

 

Oblicz i zapisz wynik w notacji wykładniczej.

`a) \ ul(25)*ul(ul(10^-2))*ul(40)*ul(ul(10^-3))=ul(1000)*ul(ul(10^-5))=1*10^3*10^-5=1*10^-2` 


`b) \ (2*10^-5*4,5*10^-3)/(10^9*9*10^-7)=(9*10^-8)/(9*10^2)=9/9*(10^-8)/(10^2)=1*10^-10` 


`c) \ (0,49*10^-9)/(0,07*10^-6)=(0,49)/(0,07)*(10^-9)/10^-6=49/7*10^(-9-(-6))=7*10^(-9+6)=7*10^-3`     

Przekrój osiowy...

Rysunek poglądowy:

`r=16/2 = 8 \ [cm]`

`h = 16 \ [cm]`

Objętość walca jest dana wzorem:

`V=pir^2 h= pi *8^2 * 16 = pi * 64 * 16 = 1024pi \ [cm^3]`

Ile ścian, krawędzi i...

`a)` 

`n = 6` 

Ściany: 

`s = n+1` 

`s = 6+1` 

`s = 7` 

Krawędzie:

`k = 2n` 

`k = 2*6` 

`k = 12` 

Wierzchołki:

`w = n+1` 

`w = 6+1` 

`w = 7` 

 

`b)` 

`n = 8` 

Ściany: 

`s = n+1` 

`s = 8+1` 

`s = 9` 

Krawędzie:

`k = 2n` 

`k = 2*8` 

`k = 16` 

Wierzchołki:

`w = n+1` 

`w = 8+1` 

`w = 9` 

Uzupełnij rozwiązania zadania

Po dolaniu wody ilość soli nie zmieni się. 

`{(x=0.06*200), (x=0.02*(200+y)):}`

`{(x=12), (12=4+0.02y):}`

`12=4+0.02y\ \ \ |-4`

`0.02y=8\ \ \ |:0.02`

`y=8:0.02=800:2=400`

 

`"sprawdzenie:"`

`12=0.02*(200+400)`

 

ODP: Trzeba dolać 400 g słodkiej wody.

Sferą nazywamy powierzchnię...
  • Odległość wszystkich punktów tworzących sferę od środka tej sfery zawsze jest równa promieniowi.

  • Aby powstała sfera należy obrócić okrąg wokół średnicy.

  • Sfera jest to figura powstała w wyniku obrotu okręgu wokół średnicy.
    Sfera jest to zbiór wszystkich punktów, których odległość od środka jest równa promieniowi.