Funkcje - iii-gimnazjum - Baza Wiedzy

Wyznaczanie wartości funkcji ze wzoru

Mając wzór funkcji bardzo łatwo jest obliczyć, jaka wartość funkcji będzie przyporządkowana danemu argumentowi. Wystarczy pod x podstawić wartość liczbową argumentu, a następnie obliczyć y tak jak przy rozwiązywaniu równań.

Przykład:

Jaka jest wartość funkcji y=3x+4 dla x=6 ?

$$y=3x+4$$
$$y=3×6+4=18+4=22 $$

Odp: Dla x=6 funkcja przyjmuje wartość 22.

 

Nieco trudniej jest w sytuacji, gdy mamy podaną wartość funkcji i musimy znaleźć argument. Wielu argumentom może być przyporządkowana ta sama wartość. W przypadku funkcji liniowej sytuacja jest jednak prosta: wystarczy podstawić wartość liczbową funkcji pod y i wyliczyć x.

Przykład:

Jakiemu argumentowi funkcji y=1/2 x+2 jest podporządkowana wartość 6 ?

$$y=1/2 x+2 $$
$$6= 1/2 x+2 $$
$$4= 1/2 x $$
$$x=8 $$

Odp: Funkcja przyjmuje wartość 6 dla argumentu $$x=8$$.

 

Miejsce zerowe funkcji

Miejsce zerowe funkcji to argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość 0, czyli miejsce w którym funkcja przecina oś x. Oblicza się go podstawiając pod y wartość 0 we wzorze funkcji.

Przykład:

Obliczyć miejsce zerowe dla funkcji y=2x-3.

$$y=2x-3 $$
$$0=2x-3 $$
$$3=2x $$
$$x=1,5 $$

Odp.: Miejscem zerowym funkcji jest x=1,5.

 

Proporcjonalność

Proporcjonalność to zależność dwóch wartości, a zatem proporcjonalność jest funkcją. Gdy jedna z nich wzrośnie druga tyle samo razy wzrośnie lub zmaleje.

Proporcjonalność, w której wraz ze wzrostem jednej wartości druga również wzrasta, nazywamy proporcjonalnością prostą. Możemy ją określić wzorem $$y=ax$$, gdzie a to współczynnik proporcjonalności.

Przykład:

Metr drutu kosztuje 1,5 zł. Ile zapłacimy za x metrów drutu?

$$ y=ax $$
$$ y=1,5x zł $$

 

Proporcjonalność, w której wraz ze wzrostem jednej wartości druga maleje, nazywamy proporcjonalnością odwrotną. Możemy ją określić wzorem $$y=a/x$$.

Przykład:

Tort dzielimy na dwa razy więcej kawałków niż jest dzieci. Każde dziecko dostanie jeden kawałek. Jaką część tortu dostanie jedno dziecko, gdy na przyjęciu będzie x dzieci?

$$ y=a/x $$
$$ y=2/x $$

 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Podaj współrzędne punktu przecięcia osi y przez funkcję liniową o wzorze $$y=2x-3$$.

$$y=2x-3$$

$$2$$ -> współczynnik a

$$-3$$ -> współczynnik b

„Współczynnik b wskazuje miejsce przecięcia osi y przez wykres funkcji.”

współrzędne szukanego punktu (0,-3)

Odp.: Punkt przecięcia osi y przez tą funkcję ma współrzędne (0,-3).
 

Zadanie 2.

Podaj czy funkcja liniowa o wzorze $$y=-2x+10$$ jest stała, rosnąca czy malejąca.

$$-2$$ -> współczynnik a

$$10$$ -> współczynnik b

„Jeżeli współczynnik a jest liczbą dodatnią funkcja jest rosnąca, jeżeli ujemną malejąca. Gdy współczynnik a jest równy 0 funkcja jest stała.”

Odp.: Ta funkcja jest malejąca.

Zadanie 3.

Podaj wzór funkcji liniowej o współczynnikach $$a=2$$,$$b=-5$$.

$$y=ax+b$$ -> $$y=2x-5$$

Odp.: Wzór tej funkcji wynosi $$y=2x-5$$.

Zadanie 4.

Podaj wartość funkcji liniowej o wzorze $$y=-3x+10$$ dla $$x=4$$.

$$ f(4)=-3×4+10 $$

$$ f(4)=-2 $$

Odp.: Wartość tej funkcji dla x=4 wynosi -2.

Zadanie 5.

Wykres której z funkcji jest równoległy do wykresu funkcji o wzorze $$y=2x+10$$

  1. $$ y=-2x+10 $$
  2. $$ y=2x+14 $$
  3. $$ y=3x-10 $$

„Gdy dwie funkcje liniowe mają dwa takie same współczynniki a to ich wykresy są równoległe.”

Odp: Druga funkcja $$y=2x+14$$ ma wykres równoległy do wykresu funkcji $$y=2x+10$$.

Zadanie 6.

Dziedziną funkcji liniowej $$y=x+3$$ jest zero i wszystkie liczby naturalne mniejsze od 3. Podaj wszystkie argumenty i wartości funkcji dla tych argumentów.

Argumenty to dziedzina funkcji:
$$D= ext "{"0,1,2 ext "}"$$ -> argumenty: 0,1,2

$$ f(0)=0+3=3 $$

$$ f(1)=1+3=4 $$

$$ f(2)=2+3=5 $$

Odp.: Argumentami tej funkcji są liczby 0,1 i 2 a wartością tej funkcji są liczby 3,4 i 5.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Dany jest sześcian o krawędzi długości a. Sześcian ten przecięto płaszczyzną zawierającą przekątne trzech sąsiednich ścian

I.

II.

III.

Objętość ostrosłupa jest sześć razy mniejsza, bo pole podstawy jest 2 razy mniejsze, wysokość jest taka sama, a ostrosłup o danej podstawie i wysokości ma 3 razy mniejszą objętość niż analogiczny graniastosłup (wynika to ze wzoru). 

 

I. Pole trójkąta  jest równe 

Nie

II. Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa  jest sześć razy mniejsze niż pole powierzchni sześcianu

Nie

III. Objętość ostrosłupa  jest równa 

Tak

Objętość walca przedstawionego na rysunku jest równa:

Musimy policzyć wysokość walca (z tw. Pitagorasa). Oznaczmy ją przez h:

Objętość wynosi:

Nauczyciel przygotował na lekcję karty z rysunkami...

Nauczyciel przygotował  kart. Igor wylosował jedną z nich, więc dla kolejnego ucznia zostało  kart.

Jest to ilość możliwych zdarzeń:{premium}

    

Wśród tych pięciu kart są  karty z bryłami obrotowymi. Jest to ilość interesujących nas zdarzeń:

   

Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia, że z pozostałych kart kolejna osoba wylosuje bryłę obrotową:

 

 

Odp. Prawdopodobieństwo zdarzenia, że z pozostałych kart kolejna osoba wylosuje bryłę obrotową jest równe    

Wreszcie spadł śnieg. W poniedziałek ...

 

Dzień tygodnia

Poniedziałek

Wtorek

Środa

Czwartek

Piątek

Sobota

Ilość sprzedanych par nart

14

17

17

22

22

22


Obliczamy ile średnio nart sprzedano w ciągu tych sześciu dni, czyli ilość sprzedanych nart dzielimy przez ilość dni w jakie je sprzedano. 

 

W ciągu sześciu dni sprzedano średnio po 19 par nart każdego dnia. 


Poprawna odpowiedź to: D. 19 par nart. 

Oblicz przybliżoną miarę kąta między krawędzią

Wyznaczamy wzór na długość przekątnej sześcianu.

Z twierdzenia Pitagorasa:

         

 

Graniastosłup G jest prawidłowy pięciokątny...

Wykonajmy rysunek przedstawiający sytuację opisaną w zadaniu:

Pole podstawy oznaczymy:   

Pole całkowite tego graniastosłupa G będzie wynosiło:  

Pole całkowite nowo powstałego graniastosłupa G' będzie wynosiło:  

Pole powierzchni bocznej graniastosłupa G będzie wynosiło:  

Pole powierzchni bocznej graniastosłupa G' będzie wynosiło:  

Suma długości krawędzi graniastosłupa G będzie wynosiła:  

Suma długości krawędzi graniastosłupa G' będzie wynosiła:  

Zauważmy, że:  

Z treści zadania wiemy, że zależność pola graniastosłupa G' od pola graniastosłupa G ma postać:  

Z treści zadania wiemy, że zależność długości krawędzi graniastosłupa G' od długości krawędzi graniastosłupa G ma postać:  

Wyznaczmy wysokość graniastosłupa G:

 

  

 

 

 

 

Obliczamy krawędź podstawy graniastosłupa G:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Które z poniższych zdań jest prawdziwe? A. Dwa romby o takim samym obwodzie są podobne.

Prawdziwa jest odpowiedź B.

Klosz lampy ma kształt walca ...

Wysokość klosza lampy wynosi 36 cm. 

 

Średnica podstawy klosza ma długość 40 cm.

 

Promień podstawy klosza ma więc długość:{premium}

 


Obliczamy, ile wynosi pole powierzchni bocznej klosza.

 

Zatem:

 


Odpowiedź:
Pole powierzchni bocznej klosza wynosi około 45 dm2.         

Wskaż poprawne dokończenie ...

I) Odpowiedź: C

 

 

II) Odpowiedź: D

 

III) Odpowiedź: A

 

IV) Odpowiedź: B

Narysuj trójkąt...