Funkcje - iii-gimnazjum - Baza Wiedzy

Wyznaczanie wartości funkcji ze wzoru

Mając wzór funkcji bardzo łatwo jest obliczyć, jaka wartość funkcji będzie przyporządkowana danemu argumentowi. Wystarczy pod x podstawić wartość liczbową argumentu, a następnie obliczyć y tak jak przy rozwiązywaniu równań.

Przykład:

Jaka jest wartość funkcji y=3x+4 dla x=6 ?

$$y=3x+4$$
$$y=3×6+4=18+4=22 $$

Odp: Dla x=6 funkcja przyjmuje wartość 22.

 

Nieco trudniej jest w sytuacji, gdy mamy podaną wartość funkcji i musimy znaleźć argument. Wielu argumentom może być przyporządkowana ta sama wartość. W przypadku funkcji liniowej sytuacja jest jednak prosta: wystarczy podstawić wartość liczbową funkcji pod y i wyliczyć x.

Przykład:

Jakiemu argumentowi funkcji y=1/2 x+2 jest podporządkowana wartość 6 ?

$$y=1/2 x+2 $$
$$6= 1/2 x+2 $$
$$4= 1/2 x $$
$$x=8 $$

Odp: Funkcja przyjmuje wartość 6 dla argumentu $$x=8$$.

 

Miejsce zerowe funkcji

Miejsce zerowe funkcji to argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość 0, czyli miejsce w którym funkcja przecina oś x. Oblicza się go podstawiając pod y wartość 0 we wzorze funkcji.

Przykład:

Obliczyć miejsce zerowe dla funkcji y=2x-3.

$$y=2x-3 $$
$$0=2x-3 $$
$$3=2x $$
$$x=1,5 $$

Odp.: Miejscem zerowym funkcji jest x=1,5.

 

Proporcjonalność

Proporcjonalność to zależność dwóch wartości, a zatem proporcjonalność jest funkcją. Gdy jedna z nich wzrośnie druga tyle samo razy wzrośnie lub zmaleje.

Proporcjonalność, w której wraz ze wzrostem jednej wartości druga również wzrasta, nazywamy proporcjonalnością prostą. Możemy ją określić wzorem $$y=ax$$, gdzie a to współczynnik proporcjonalności.

Przykład:

Metr drutu kosztuje 1,5 zł. Ile zapłacimy za x metrów drutu?

$$ y=ax $$
$$ y=1,5x zł $$

 

Proporcjonalność, w której wraz ze wzrostem jednej wartości druga maleje, nazywamy proporcjonalnością odwrotną. Możemy ją określić wzorem $$y=a/x$$.

Przykład:

Tort dzielimy na dwa razy więcej kawałków niż jest dzieci. Każde dziecko dostanie jeden kawałek. Jaką część tortu dostanie jedno dziecko, gdy na przyjęciu będzie x dzieci?

$$ y=a/x $$
$$ y=2/x $$

 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Podaj współrzędne punktu przecięcia osi y przez funkcję liniową o wzorze $$y=2x-3$$.

$$y=2x-3$$

$$2$$ -> współczynnik a

$$-3$$ -> współczynnik b

„Współczynnik b wskazuje miejsce przecięcia osi y przez wykres funkcji.”

współrzędne szukanego punktu (0,-3)

Odp.: Punkt przecięcia osi y przez tą funkcję ma współrzędne (0,-3).
 

Zadanie 2.

Podaj czy funkcja liniowa o wzorze $$y=-2x+10$$ jest stała, rosnąca czy malejąca.

$$-2$$ -> współczynnik a

$$10$$ -> współczynnik b

„Jeżeli współczynnik a jest liczbą dodatnią funkcja jest rosnąca, jeżeli ujemną malejąca. Gdy współczynnik a jest równy 0 funkcja jest stała.”

Odp.: Ta funkcja jest malejąca.

Zadanie 3.

Podaj wzór funkcji liniowej o współczynnikach $$a=2$$,$$b=-5$$.

$$y=ax+b$$ -> $$y=2x-5$$

Odp.: Wzór tej funkcji wynosi $$y=2x-5$$.

Zadanie 4.

Podaj wartość funkcji liniowej o wzorze $$y=-3x+10$$ dla $$x=4$$.

$$ f(4)=-3×4+10 $$

$$ f(4)=-2 $$

Odp.: Wartość tej funkcji dla x=4 wynosi -2.

Zadanie 5.

Wykres której z funkcji jest równoległy do wykresu funkcji o wzorze $$y=2x+10$$

  1. $$ y=-2x+10 $$
  2. $$ y=2x+14 $$
  3. $$ y=3x-10 $$

„Gdy dwie funkcje liniowe mają dwa takie same współczynniki a to ich wykresy są równoległe.”

Odp: Druga funkcja $$y=2x+14$$ ma wykres równoległy do wykresu funkcji $$y=2x+10$$.

Zadanie 6.

Dziedziną funkcji liniowej $$y=x+3$$ jest zero i wszystkie liczby naturalne mniejsze od 3. Podaj wszystkie argumenty i wartości funkcji dla tych argumentów.

Argumenty to dziedzina funkcji:
$$D= ext "{"0,1,2 ext "}"$$ -> argumenty: 0,1,2

$$ f(0)=0+3=3 $$

$$ f(1)=1+3=4 $$

$$ f(2)=2+3=5 $$

Odp.: Argumentami tej funkcji są liczby 0,1 i 2 a wartością tej funkcji są liczby 3,4 i 5.

Spis treści

Rozwiązane zadania
W którym naczyniu zmieści się najwięcej płynu: w kształcie walca, stożka czy półkuli

Objętość walca:

`"V"_1=pi*3^2*16=144pi\ "cm"^3`

Objętość stożka:

`"V"_2=1/3*pi6^2*12=144pi\ "cm"^3`

Objętość półkuli:

`"V"=2/3pi*6^3=144pi\ "cm"^3`

Dane są zbiory ...

Rozwiąż układ równań metodą ...

`"a)"\ {(x+y=7),(x-y=3):}` 

`+\ {(x+y=7),(ul(x-y=3)):}` 

`\ \ \ \ \ \ 2x=10` 

`\ \ \ \ \ \ x=5`

`ul(\ \ \ \ \ \ )` 

`\ \ \ \{(x+y=7\ \ \ \ \ |*(-1)),(x-y=3):}` 

`+\ {(-x-y=-7),(ul(x-y=3)):}`  

`\ \ \ \ \ -2y=-4` 

`\ \ \ \ \ \ y=2` 

 

Rozwiązaniem układu równań jest para:

`{(x=5),(y=2):}` 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

`"b)"\ {(3x+2y=2),(3x-y=-10\ \ \ \ \ \ \ |*2):}`  

`+\ {(3x+2y=2),(ul(6x-2y=-20)):}` 

`\ \ \ \ \ \ 9x=-18` 

`\ \ \ \ \ \ x=-2` 

`ul(\ \ \ \ \ \ )` 

`\ \ \ \{(3x+2y=2\ \ \ \ \ |*(-1)),(3x-y=-10):}` 

`+\ {(-3x-2y=-2),(ul(3x-y=-10)):}`   

`\ \ \ \ \ -3y=-12` 

`\ \ \ \ \ \ y=4`  

 

Rozwiązaniem układu równań jest para:

`{(x=-2),(y=4):}`  

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

`"c)"\ {(2x+3y=3),(4x+3y=-9\ \ \ \ \ \ \ |*(-1)):}`  

`+\ {(2x+3y=3),(ul(-4x-3y=9)):}` 

`\ \ \ \ \ \ -2x=12` 

`\ \ \ \ \ \ x=-6` 

`ul(\ \ \ \ \ \ )` 

`\ \ \ \{(2x+3y=3\ \ \ \ \ |*(-2)),(4x+3y=-9):}` 

`+\ {(-4x-6y=-6),(ul(4x+3y=-9)):}`    

`\ \ \ \ \ -3y=-15` 

`\ \ \ \ \ \ y=5`   

 

Rozwiązaniem układu równań jest para:

`{(x=-6),(y=5):}`  

 

Przeczytaj informacje w ramce obok. Który telewizor ma ekran o większej powierzchni- 26-calowy typu 9:16 czy 25-calowy typu 3:4?

Telewizor 26 calowy

Stosunek szerokości do długości wynosi 9:16, czyli:

`(9x)^2+(16x)^2=26^2` 

`81x^2+256x^2=676`

`337x^2=676 \ \ \ \ \ \ \ \ |:337` 

`x^2~~2`  

`x~~sqrt2=1,4` 

Szerokość telewizora wynosi: `9x=9*1,4=12,6` 

Długość telewizora wynosi: `16x=16*1,4=22,4` 

Pole powierzchni telewizora wynosi: `P_1=12,6*22,4=282,24 ~~282`     

 

Telewizor 25 calowy

Stosunek szerokości do długości wynosi 3:4, czyli: 

`(3x)^2+(4x)^2=25^2`

`9x^2+16x^2=625`

`25x^2=625 \ \ \ \ \ \ \ \ |:25` 

`x^2=25`  

x=5

Szerokość telewizora wynosi: `3x=3*5=15` 

Długość telewizora wynosi: `4x=4*5=20` 

Pole powierzchni telewizora wynosi: `P_2=15*20=300`  


`300 \ > \ 282`  

`\ \ P_2 \ > \ P_1` 


Odpowiedź: 
Większą powierzchnię ma telewizor 25 calowy.    

Długość boku kwadratu ABCD jest równa a. Na bokach tego kwadratu wyznaczono punkty K, L, M i N

I. Policzmy boki prostokąta:

Dłuższy bok (x):

`(2/3a)^2+(2/3a)^2=x^2` 

`x=sqrt(4/9a^2+4/9a^2)=(2sqrt2)/3 a`

Krótszy bok (y):

`(1/3a)^2+(1/3a)^2=y^2` 

`y=sqrt(1/9a^2+1/9a^2)=(sqrt2)/3 a`

Pole prostokąta wynosi zatem:

`P_p=xy=(2sqrt2)/3 a*sqrt2/3 a = 4/9a^2`

Pole kwadratu wynosi natomiast:

`P_k=a^2`

II. Obwód prostokąta KLMN wynosi `2*(sqrt2/3 a + (2sqrt2)/3 a)=2(3sqrt2)/3 a = 2sqrt2 a=2asqrt2`

III. Długość przekątnej protokąta KLMN (z) policzymy z tw. Pitagorasa:

`(sqrt2/3 a)^2+((2sqrt2)/3 a)^2=z^2`

`z=sqrt(2/9a^2+8/9a^2)=sqrt(10/9 a^2)=sqrt10/3 a`

 

I. Stosunek pola prostokąta KLMN do pola kwadratu ABCD jest równy `1/3`.

Fałsz

II. Wyrażenie algebraiczne `2asqrt2` opisuje obwód prostokąta KLMN.

Prawda

III. Wyrażenie algebraiczne `(asqrt10)/3` opisuje długość przekątnej prostokąta KLMN.

Prawda

Kąt między wysokością stożka i tworzącą ma miarę 30 stopni

`|/_ACB|=30^o`

l = 2r

`24^2+r^2 =l^2`

`24^2+r^2 = (2r)^2`

`24^2+r^2=4r^2`

`3r^2 = 576`

`r^2=192`

`r =8sqrt(3)cm`

`d =16sqrt(3)cm`

Odp. Średnica podstawy stożka ma długość` 16sqrt(3)cm`

W trapezie prostokątnym ABCD przekątna BD jest prostopadła do ramienia AD oraz |DC|=|BC|.

Czy podane zdania są prawdziwe? Zaznacz właściwą odpowiedź.

I. Trójkąt ABD jest równoramienny. 

Tak (bo kąty CDB, CBD, DBA i BAD wynoszą 45 stopni).

II. Trójkąty ABD i BCD są podobne.

Tak (z tego samego powodu co powyżej).

Wskaż punkt, który należy do wykresu...

Obliczamy wartość funkcji dla `x=1:`  

`f(1)=-1-3=-4` 

W żadnej odpowiedzi nie mamy punktu `(1,-4),` więc obliczamy wartość funkcji dla `x=-1:` 

`f(-1)=-(-1)-3=1-3=-2` 

Oznacza to, że do wykresu funkcji należy punkt `(-1,-2).` 

Prawidłowa odpowiedź to `"C."`  

   

Wyłącz czynnik przed znak pierwiastka.

`a")" \ sqrt75= sqrt(25*3)= sqrt25 *sqrt3= 5sqrt3` 
`b")" \ sqrt125= sqrt(25*5)= sqrt(25)*sqrt(5)=5sqrt5` 
`c")" \ sqrt18=sqrt(9*2)=sqrt9*sqrt2= 3sqrt2` 
`d")" \ sqrt45= sqrt(9*5)=sqrt9*sqrt5=3sqrt5` 
`e")" \ sqrt700=sqrt(100*7)= sqrt100*sqrt7= 10sqrt7` 
`f")" \ sqrt28=sqrt(4*7)= sqrt4*sqrt7= 2sqrt7` 
`g")" \ sqrt72= sqrt(36*2)= sqrt36*sqrt2= 6sqrt2` 
`h")" \ sqrt40= sqrt(4*10)= sqrt4*sqrt10= 2sqrt10` 

Dla liczb naturalnych podany wzór służy do wyznaczania trójkątów pitagorejskich

a) Rozpiszmy lewą i prawą stronę. 

`L=(m^2+n^2)^2=` `(m^2)^2+2m^2n^2+(n^2)^2=`  

`\ \ \ =m^4+2m^2n^2+n^4` 

 

`P=(m^2-n^2)^2+(2mn)^2=` `(m^2)^2-2m^2n^2+(n^2)^2+4m^2n^2=` 

`\ \ \ =m^4-2m^2n^2+n^4+4m^2n^2=` `m^4+2m^2n^2+n^4` 

 

 

b)

 

 

 

`m`  `n`  `m^2+n^2`  `m^2-n^2`  `2mn` 
`2`  `1`  `4+1=5`  `4-1=3`  `2*2*1=4` 
`3`  `2`  `9+4=13`  `9-4=5`  `2*3*2=12` 
`6`  `3`  `36+9=45`   `36-9=27`  `2*6*3=36` 
`8`  `5`  `64+25=89`  `64-25=` `39`  `2*8*5=80` 
`10`  `7`  `100+49=149`  `100-49=51`  `2*10*7=140`