Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Funkcje - iii-gimnazjum - Baza Wiedzy

Wyznaczanie wartości funkcji ze wzoru

Mając wzór funkcji bardzo łatwo jest obliczyć, jaka wartość funkcji będzie przyporządkowana danemu argumentowi. Wystarczy pod x podstawić wartość liczbową argumentu, a następnie obliczyć y tak jak przy rozwiązywaniu równań.

Przykład:

Jaka jest wartość funkcji y=3x+4 dla x=6 ?

$$y=3x+4$$
$$y=3×6+4=18+4=22 $$

Odp: Dla x=6 funkcja przyjmuje wartość 22.

 

Nieco trudniej jest w sytuacji, gdy mamy podaną wartość funkcji i musimy znaleźć argument. Wielu argumentom może być przyporządkowana ta sama wartość. W przypadku funkcji liniowej sytuacja jest jednak prosta: wystarczy podstawić wartość liczbową funkcji pod y i wyliczyć x.

Przykład:

Jakiemu argumentowi funkcji y=1/2 x+2 jest podporządkowana wartość 6 ?

$$y=1/2 x+2 $$
$$6= 1/2 x+2 $$
$$4= 1/2 x $$
$$x=8 $$

Odp: Funkcja przyjmuje wartość 6 dla argumentu $$x=8$$.

 

Miejsce zerowe funkcji

Miejsce zerowe funkcji to argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość 0, czyli miejsce w którym funkcja przecina oś x. Oblicza się go podstawiając pod y wartość 0 we wzorze funkcji.

Przykład:

Obliczyć miejsce zerowe dla funkcji y=2x-3.

$$y=2x-3 $$
$$0=2x-3 $$
$$3=2x $$
$$x=1,5 $$

Odp.: Miejscem zerowym funkcji jest x=1,5.

 

Proporcjonalność

Proporcjonalność to zależność dwóch wartości, a zatem proporcjonalność jest funkcją. Gdy jedna z nich wzrośnie druga tyle samo razy wzrośnie lub zmaleje.

Proporcjonalność, w której wraz ze wzrostem jednej wartości druga również wzrasta, nazywamy proporcjonalnością prostą. Możemy ją określić wzorem $$y=ax$$, gdzie a to współczynnik proporcjonalności.

Przykład:

Metr drutu kosztuje 1,5 zł. Ile zapłacimy za x metrów drutu?

$$ y=ax $$
$$ y=1,5x zł $$

 

Proporcjonalność, w której wraz ze wzrostem jednej wartości druga maleje, nazywamy proporcjonalnością odwrotną. Możemy ją określić wzorem $$y=a/x$$.

Przykład:

Tort dzielimy na dwa razy więcej kawałków niż jest dzieci. Każde dziecko dostanie jeden kawałek. Jaką część tortu dostanie jedno dziecko, gdy na przyjęciu będzie x dzieci?

$$ y=a/x $$
$$ y=2/x $$

 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Podaj współrzędne punktu przecięcia osi y przez funkcję liniową o wzorze $$y=2x-3$$.

$$y=2x-3$$

$$2$$ -> współczynnik a

$$-3$$ -> współczynnik b

„Współczynnik b wskazuje miejsce przecięcia osi y przez wykres funkcji.”

współrzędne szukanego punktu (0,-3)

Odp.: Punkt przecięcia osi y przez tą funkcję ma współrzędne (0,-3).
 

Zadanie 2.

Podaj czy funkcja liniowa o wzorze $$y=-2x+10$$ jest stała, rosnąca czy malejąca.

$$-2$$ -> współczynnik a

$$10$$ -> współczynnik b

„Jeżeli współczynnik a jest liczbą dodatnią funkcja jest rosnąca, jeżeli ujemną malejąca. Gdy współczynnik a jest równy 0 funkcja jest stała.”

Odp.: Ta funkcja jest malejąca.

Zadanie 3.

Podaj wzór funkcji liniowej o współczynnikach $$a=2$$,$$b=-5$$.

$$y=ax+b$$ -> $$y=2x-5$$

Odp.: Wzór tej funkcji wynosi $$y=2x-5$$.

Zadanie 4.

Podaj wartość funkcji liniowej o wzorze $$y=-3x+10$$ dla $$x=4$$.

$$ f(4)=-3×4+10 $$

$$ f(4)=-2 $$

Odp.: Wartość tej funkcji dla x=4 wynosi -2.

Zadanie 5.

Wykres której z funkcji jest równoległy do wykresu funkcji o wzorze $$y=2x+10$$

  1. $$ y=-2x+10 $$
  2. $$ y=2x+14 $$
  3. $$ y=3x-10 $$

„Gdy dwie funkcje liniowe mają dwa takie same współczynniki a to ich wykresy są równoległe.”

Odp: Druga funkcja $$y=2x+14$$ ma wykres równoległy do wykresu funkcji $$y=2x+10$$.

Zadanie 6.

Dziedziną funkcji liniowej $$y=x+3$$ jest zero i wszystkie liczby naturalne mniejsze od 3. Podaj wszystkie argumenty i wartości funkcji dla tych argumentów.

Argumenty to dziedzina funkcji:
$$D= ext "{"0,1,2 ext "}"$$ -> argumenty: 0,1,2

$$ f(0)=0+3=3 $$

$$ f(1)=1+3=4 $$

$$ f(2)=2+3=5 $$

Odp.: Argumentami tej funkcji są liczby 0,1 i 2 a wartością tej funkcji są liczby 3,4 i 5.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Obwód ściany bocznej ostrosłupa prawidłowego...

`"a)"` Rysunek pomocniczy:

 

Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma w podstawie kwadrat. Jego obwód wynosi:

`Ob_1=4a`  

Obliczamy długość krawędzi podstawy: 

`4a=24\ "/":4` 

`a=6\ "cm"` 

Ściana boczną ostrosłupa jest trójkąt równoramienny. Jego obwód wynosi:

`Ob_2=a+2b` 

Obliczamy długość krawędzi bocznej: 

`6+2b=18` 

`2b=12\ "/":2` 

`b=6\ "cm"` 

Aby obliczyć pole powierzchni całkowitej ostrosłupa, potrzebna będzie wysokość ściany bocznej `h.` 

Obliczamy ją, korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta `ECW:` 

`h^2+(a/2)^2=b^2` 

`h^2+3^2=6^2` 

`h^2+9=36` 

`h^2=36-9` 

`h^2=27` 

`h=3sqrt(3)\ "cm"` 

Obliczamy pole podstawy:

`P_p=a^2` 

`P_p=6^2=36\ "cm"^2` 

Obliczamy pole ściany bocznej:

`P_Delta=1/2ah` 

`P_Delta=1/2*6*3sqrt3=9sqrt3\ "cm"^2` 

Obliczamy pole powierzchni całkowitej:

`P_c=P_p+P_b=P_p+4P_Delta=36+4*9sqrt3=36+36sqrt3=36(1+sqrt3)\ "cm"^2`  

Odp. Pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa wynosi `36(1+sqrt3)\ "cm"^2.`  

 

`"b)"` Rysunek pomocniczy:

 

Podstawą ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest trójkąt równoboczny. Obliczymy długość krawędzi podstawy:

`3a=24\ "/":3`  

`a=8\ "cm"` 

Ścianą boczną ostrosłupa jest trójkąt równoramienny. Jego obwód wynosi:

`Ob=a+2b`  

Obliczamy długość krawędzi bocznej:

`a+2b=18` 

`8+2b=18` 

`2b=10\ "/":2` 

`b=5\ "cm"` 

Obliczamy długość wysokości ściany bocznej `h.` W tym celu korzystamy z twierdzenia Pitagorasa

dla trójkąta `ADW:` 

`(a/2)^2+h^2=b^2` 

`4^2+h^2=5^2` 

`16+h^2=25` 

`h^2=9` 

`h=3\ "cm"` 

Obliczamy pole podstawy:

`P_p=(a^2sqrt3)/4` 

`P_p=(8^2sqrt3)/4=(64sqrt3)/4=16sqrt3\ "cm"^2` 

Obliczamy pole ściany bocznej:

`P_Delta=1/2ah` 

`P_Delta=1/2*8*3=12\ "cm"^2` 

Obliczamy pole powierzchni całkowitej:          

`P_c=P_p+P_b=P_p+3P_Delta=16sqrt3+3*12=(36+16sqrt3)\ "cm"^2` 

Odp. Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa wynosi `(36+16sqrt3)\ "cm"^2.` 

 

`"c)"` Rysunek pomocniczy:

Podstawą ostrosłupa jest sześciokąt foremny. Obliczamy długość krawędzi podstawy:

`6a=24\ "/":6` 

`a=4\ "cm"` 

Ścianą boczną ostrosłupa jest trójkąt równoramienny. Obliczamy długość krawędzi bocznej:

`a+2b=18` 

`4+2b=18` 

`2b=14\ "/":2`  

`b=7\ "cm"`  

Obliczamy długość wysokości ściany bocznej `h-` korzystamy z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta `GDW:` 

`h^2+(a/2)^2=b^2` 

`h^2+2^2=7^2` 

`h^2+4=49`         

`h^2=45` 

`h=3sqrt5\ "cm"` 

Obliczamy pole podstawy ostrosłupa [jest to suma pól sześciu trójkątów równobocznych o boku długości `a`]       

`P_p=6*(a^2sqrt3)/4` 

`P_p=(3*4^2sqrt3)/2=24sqrt3\ "cm"^2` 

Obliczamy pole ściany bocznej:  

`P_Delta=1/2ah` 

`P_Delta=1/2*4*3sqrt5=6sqrt5\ "cm"^2` 

Obliczamy pole powierzchni całkowitej:  

`P_c=P_p+P_b=P_p+6P_Delta=24sqrt3+6*6sqrt5=(24sqrt3+36sqrt5)\ "cm"^2` 

Odp. Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa wynosi `(24sqrt3+36sqrt5)\ "cm"^2.`  

 

W pewnym zespole są osoby w następującym

Do obliczenia wieku dziewcząt brakuje nam wieku Asi i wieku Kasi. Jednak, ze względu na to, że przy obliczeniu będziemy sumować wiek każdej z dziewczynek, możemy sobie zredukować ilość niewiadomych z dwóch (wiek Asi, wiek Kasi) do jednej- suma wieku Kasi i Asi. 

Oznaczmy sobie jako x sumę wieku Asi i Kasi. Piszemy wyrażenie na średnią, podstawiając zamast sumy wieku Asi i Kasi x. Przyrównujemy te wyrażenie do podanej w zadaniu średniej wieku wszystkich osób.

`(19+14+13+11+15+x)/7= 12`

Rozwiązujemy równanie:

`(72+x)/7= 12`     `/*7`

`72+x=84`

`x=84-72`

`x=12`

Znamy sumę wieku Kasi i Asi, oraz wiek każdej z reszty dziewczynek. Obliczeniamy średnią wieku dziewcząt- Agnieszki,Klaudi, Asi i Kasi

`(14+15+x)/4=(14+15+12)/4=41/4=ul(ul(10 1/4))`  

 

 

Zaokrąglij liczbę...

`a)` 

`12,(72) = 12,72727272... ~~12,73`  

 

`b)` 

`0,0(346) = 0,0346346346... ~~0,035`   

 

`c)` 

`0,5(15)=0,51515151515...~~0,5152`  

 

`d)` 

`0,(39) = 0,39393939...~~0,39394`  

Długość boku kwadratu ABCD jest równa a...

Rysunek pomocniczy:




I. Obliczmy pole prostokąta KLMN:

`P_(KLMN)=1/3sqrt2a*2/3sqrt2a=2*2/9a^2= 4/9a^2` 


Obliczmy pole kwadratu ABCD:

`P_(ABCD)= a^2` 

Obliczmy stosunek pola prostokąta KLMN do pola kwadratu ABCD:

`(4/9a^2)/a^2=4/9` 

Odpowiedź: FAŁSZ


II. Obliczmy obwód prostokąta KLMN:

{premium}

`0=1/3sqrt2a+2/3sqrt2a+1/3sqrt2a+2/3sqrt2a= 2sqrt2a` 

Odpowiedź: PRAWDA


III. Obliczmy długość przekątnej prostokąta KLMN  `(d)` :

`(1/3sqrt2a)^2+((2/3sqrt2a)^2=d^2` 

`1/9*2*a^2+4/9*2*a^2=d^2` 

`(2a^2)/9+(8a^2)/9=d^2` 

`(10a^2)/9=d^2 \ \ |sqrt` 

`d= (asqrt10)/3` 


Odpowiedź: PRAWDA


Uzasadnij, że w tabeli i na grafie przedstawiono ...

Dziedziną funkcji f przedstawionej w tabeli jest zbiór Xf = {1, 3, 5, 7, 9}. 
Funkcja ta przyporządkowuje każdemu argumentowi ze zbioru Xf liczbę o 2 większą. 

Dziedziną funkcji g przedstawionej na grafie jest zbiór Xg = {3, 5, 7, 9, 11}. 
Funkcja ta przyporządkowuje każdemu argumentowi ze zbioru Xg liczbę o 2 mniejszą. 

Oznacza to, że w tabeli i na grafie przedstawiono dwie różne funkcje. 


Ułóż i rozwiąż odpowiednie równiania.

`a) \ 20=1/2*(x+4+x)*5 \ \ \ \ \ \ \ |*2`  

`40=(2x+4)*5 \ \ \ \ \ \ \ \ |:5` 

`8=2x+4 \ \ \ \ \ \ \ \ |-4` 

`4=2x \ \ \ \ \ \ \ \ \ |:2` 

`x=2`

 

`b) \ 18=3x-2+x+1+x+1+3x-2+2x`  

`18=10x-2 \ \ \ \ \ \ \ \  |+2` 

`20=10x \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |:10` 

`x=2` 

 

`c) \ 28=(x+1)*6+1/2(6+4)*x` 
`28=6x+6+1/2*10*x` 

`28=6x+6+5x`

`28=11x+6 \ \ \ \ \ \ \ \ \ |-6` 

`22=11x \ \ \ \ \ \ \ \ |:11` 

`x=2` 

Oblicz pole powierzchni całkowitej ostrosłupa, którego podstawą jest kwadrat o polu 49 cm2

a - krawędź podstawy

h- wysokość ściany bocznej

`a^2=49`

a=7cm

h=10cm

`P_c=49+4*1/2*7*10`

`P_c=49+140`  

`P_c =189cm^2`

Odp. Pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa wynosi `189cm^2` .

Jaki procent drzew polskich lasów...

Odp.: B. 6,4%

Wskaż wszystkie poprawne dokończenia zdania...

`"Punkt" \ A=(-2,5)` 


`A. f(-2)=-2*(-2)^2+13=-2*4+13=-8+13=5 \ \ \ "punkt A należy do wykresu tej funkcji"` 

`B. f(-2)=-2*(-2)^2-3=-2*4-3=-8-3=-11\ \ \ "punkt A nie należy do wykresu tej funkcji"` 

`C. f(-2)=2*(-2)^2+13=2*4+13=8+13=21\ \ \ "punkt A nie należy do wykresu tej funkcji"` 

`D. f(-2)=2*(-2)^2-3=2*4-3=8-3=5\ \ \ "punkt A należy do wykresu tej funkcji"` 

Usuń nawiasy i zredukuj wyrazy podobne. a) (3x-4y)+(8x-10y)

`"a)"`  `(3x-4y)+(8x-10y)` `=3x-4y+8x-10y=11x-14y`

`"b)"`  `(12a-3b+10)-(4a+5b-20)` `=12a-3b+10-4a-5b+20` `=8a-8b+30`

`"c)"`  `-(4x^2+2x)-(3x-5x^2+8)` `=-4x^2-2x-3x+5x^2-8=x^2-5x-8`

`"d)"`  `(2ab-3ab^2+4a^2b)-(-5a^2b+8ab-7ab^2)` `=2ab-3ab^2+4a^2b+5a^2b-8ab+7ab^2=`

`=9a^2b+4ab^2-6ab`

`"e)"`  `-3a-[-(-4ab+a-7b)-(5a+2ab)-8b]` `=-3a-[4ab-a+7b-5a-2ab-8b]` `=`

`=-3a-4ab+a-7b+5a+2ab+8b=` `-2ab+3a+b`

`"f)"`  `(2x^n+3y^m+4z^p)+(-7y^m+8z^p-10x^n)=``2x^n+3y^m+4z^p-7y^m+8z^p-10x^n=` ` `

`-8x^n-4y^m+12z^p`