Figury podobne - iii-gimnazjum - Baza Wiedzy

Podobieństwo figur

Gdy dwie figury, o takich samych kształtach, różnią się tylko i wyłącznie wielkością to mówimy, że to figury podobne.

Przykład:

podobne1

Stosunek, w jakim różnią się odpowiednie boki figury nazywamy skalą podobieństwa i oznaczamy ją literą k.

Przykład:

podobne2

$$k=2/4=6/12=2/1=1:2$$ -> Figura 1 jest podobna do figury 2 skalą podobieństwa 1:2.

 

Podobieństwo pól figur

W figurach podobnych stosunek pól jest równy kwadratowi skali podobieństwa.

Pzykład:

podobne3
$$k=a/{a'}$$
$$k^2={P_{F1}}/{P_{F2}} =a^2/{a'}^2 $$
 

Prostokąty podobne

Gdy mamy podane długości boków dwóch prostokątów i nie wiemy czy są one podobne, wystarczy sprawdzić czy stosunek boków w jednym prostokącie jest równy stosunkowi boków w drugim prostokącie.

Cecha podobieństw prostokątów:

„Jeżeli stosunek dłuższego boku do krótszego w jednym prostokącie jest taki sam jak w drugim prostokącie, to te dwa prostokąty są podobne.”

prostokatypodobne

Jeżeli $$b/a=d/c$$, to prostokąty są podobne.

 

Trójkąty prostokątne podobne

  1. Cecha podobieństw trójkątów prostokątnych (boki):

    „Dwa trójkąty prostokątne są podobne, jeżeli stosunek długości przyprostokątnych jednego trójkąta jest równy stosunkowi długości odpowiednich przyprostokątnych drugiego trójkąta.”

    trojkatypodobne

    Jeżeli $$a/b=c/d$$ , to trójkąty prostokątne są podobne.

  2. Cecha podobieństwa trójkątów prostokątnych (kąty):

    „Aby stwierdzić, że dwa trójkąty prostokątne są podobne, wystarczy sprawdzić, że jeden z kątów ostrych w jednym trójkącie ma taką samą miarę, jak jeden z kątów ostrych w drugim trójkącie.”

    trojkatypodobne2

    Jeżeli $$α=β$$, to trójkąty prostokątne są podobne.

 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Ile będzie wynosił stosunek pól dwóch figur, jeżeli skala podobieństwa ich boków wynosi 1:6.

$$k= 1/6$$ -> skala podobieństw boków

$$k^2={(1/6)}^2=1/36$$ -> stosunek pól

Odp.: Stosunek pól tych dwóch figur wynosi 1:36.

Zadanie 2.

Mamy dane dwa trójkąty prostokątne podobne, z których mniejszy ma pole równe 4 cm2, a większy 16 cm2. Jaką długość będzie miał bok większego trójkąta, jeżeli odpowiadający mu bok w mniejszym trójkącie ma 4 cm?

$$ k^2=4/{16}$$ -> $$k=1/2 $$

$$ a=4$$ -> $$ 4a^'=? $$

$$ a/{a^'} =1/2 $$

$$ 4/{a^'} =1/2 $$

$$ a{^'}=8 cm $$

Odp.: Długość jednego z boków w większym trójkącie wynosi 8cm.

Zadanie 3.

Prostokąt ma wymiary $$4 cm×5 cm$$. Jakie wymiary będzie miał drugi z prostokątów, który jest do niego podobny w skali 2:5?

$$ k= 2/5 $$

$$ a=2/5×4 cm=8/5=1,6 cm $$

$$ b=2/5×5 cm=2 cm $$

Odp.: Drugi prostokąt będzie miał wymiary $$1,6 cm×2 cm$$.

Zadanie 4.

Jeden kwadraty jest do drugiego podobny w skali 5 i ma bok o długości 12 m. Jaki obwód będzie miał drugi kwadrat?

$$ k=5 $$

$$ Obw_1=12×4=48 m $$

$$ Obw_2=48/5=9,6 m $$

Odp.: Drugi kwadrat będzie miał obwód równy 9,6 m.

Zadanie 5.

Jeden prostokąt jest podobny do drugiego w skali 0,1. Jakie będzie miał pole drugi prostokąt, jeżeli pole pierwszego ma pole równe 35.

$$k=0,1$$ -> $$k^2=0,01$$

$${35}/{P_2} =1/{100} $$

$$P_2=3500$$

Odp.: Pole drugiego prostokąta jest równe 3500.

Zadanie 6.

Ile razy większe jest pole jednej figury od drugiej, gdy jest ona do niej podobna w skali 7?

$$k=7$$ -> $$k^2=49$$

$${P_1}/{P_2} =49 $$

Odp.: Pole pierwszej figury jest 49 razy większe od pola drugiej figury.

 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Oszacuj wyniki działań. Podkreśl jedną kreską działania, których wynik jest mniejszy od 50 (...)

 

 

Uzupełnij zdania: a) liczba 7·10⁶ jest .... razy większa od 7·10⁴.

a) Liczba `7*10^6`  jest 100 razy większa od `7*10^4`    (bo `(7*10^6)/(7*10^4)=(10^6)/(10^4)=10^6:10^4=10^(6-4)=10^2=10*10=100` )

 

b) Liczba `3,12*10^9` jest 1000 razy mniejsza od `3,12*10^12`   (bo `(3,12*10^12)/(3,12*10^9)=(10^12)/(10^9)=10^12:10^9=10^(12-9)=10^3=10*10*10=1000` )

 

c) Liczba `7,2*10^11` jest 6 razy większa od `1,2*10^11`   (bo `(7,2*10^11)/(1,2*10^11)=(7,2)/(1,2)=72/12=36/6=6/1=6` )

 

d) Liczba `3*10^8` jest 20 razy mniejsza od `6*10^9`   (bo `(6*10^9)/(3*10^8)=6/3*(10^9)/(10^8)=2*(10^9:10^8)=2*10^(9-8)=2*10^1=2*10=20` )    

Jeśli przeczytałeś notkę historyczną z podręcznika to wiesz, że w starożytnym Rzymie zasady (...)

MCCCCLXII oznacza 1462, poprawny zapis to MCDLXII

MCCCC to 1400 (4 liczby C zapisane obok siebie oznaczają 4 razy po 100)

{premium}

CCMXXXX oznacza 840, poprawny zapis to DCCCXL

CCM oznacza, że od 1000 (M) odejmujemy 200 (CC), ponieważ CC zapisano po lewej stronie M, XXXX oznacza 4 razy po 10, czyli 40

 

MIM oznacza 1999, poprawny zapis to MCMXCIX

IM oznacza 999, ponieważ I (1) zapisano na lewo od M (1000), a 1000-1=999

 

MMMCXXC oznacza 3180, poprawny zapis to MMMCLXXX

XXC oznacza 80, ponieważ XX (20) zapisano po lewej stronie C (100), co oznacza, że od 100 odejmujemy 20

Wstaw znak < lub >: a) (-5)⁷ ... 5⁶, (...)

Kilka przydatnych obserwacji:

1) przy podnoszeniu liczby ujemnej do potęgi parzystej minus znika, więc wynik jest dodatni, a przy podnoszeniu do potęgi nieparzystej wynik jest ujemny (np. `(-3)^2=(-3)*(-3)=9` , ale `(-3)^3=(-3)*(-3)*(-3)=9*(-3)=-27` ){premium}

2) podnoszenie liczby mniejszej od 1 do coraz większych potęg sprawia, że wynik jest coraz mniejszy (np. `0,1^2=0,1*0,1=0,01` , `0,1^3=0,1*0,1*0,1=0,001` , `0,001<0,01` )

3) podnoszenie liczby większej od 1 do coraz większych potęg sprawia, że wynik jest coraz większy (np. `2^2=2*2=4` , `2^3=2*2*2=8` , `8>2` )

4) podnoszenie liczby do potęgi ujemnej to podnoszenie do potęgi nieujemnej jej odwrotności (np. `(1/2)^(-2)=(2/1)^2=2^2=2*2=4`  ,  

  )

5) jeśli dwie różne liczby są podnoszone do takich samych potęg większych od 0, to większy wynik uzyskamy podnosząc do potęgi większą z nich (np. `3>2` , więc `3^100>2^100` )

 

 

 

  jest liczbą ujemną (patrz 1)), a `5^6` jest liczbą dodatnią, więc `(-5)^7<5^6` 

     (patrz 2))

   (patrz 3))

   (patrz 5)) 

 `e)\ 3^(-4)=(1/3)^4`   ,   `3^(-5)=(1/3)^5` ,   `3^(-4)>3^(-5)`     (patrz 2))

  ,  `(1/3)^(-5)=(3/1)^5=3^5` ,  `(1/3)^(-4)<(1/3)^(-5)`   (patrz 3))

 , więc `1/(1,2)>1/(1,21)` 

  `1,2^(-10)=(1/(1,2))^10` ,  `1,21^(-10)=(1/(1,21))^10` 

   (patrz 5))

 

 , więc `1/(0,8)>1/(0,81)` 

   (analogicznie jak g))  

Wykonaj obliczenia. Skreśl litery odpowiadające otrzymanym wynikom. Pozostałe litery, (...)

  

 `sqrt(2/10*20/1)=` `sqrt(2/1*2/1)=sqrt(2^2)=2` {premium}

 `(-12/10)=` `1/4+12/10=0,25+1,2=1,45` 

 `1/15*(-10/1)=` `-10/15=-2/3` 

  

 `1/3*1/3=1/9` 

 

Hasło: root

 

oblicz

a)

b)

c)

d)

e) (

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

m)

n)

o)

Podaj nazwy liczb zapisanych poniżej: 5·10^9

to 5 miliardów{premium}

to 30 bilionów

to 1 biliard 

to 1 biliard

Przedstaw iloraz w postaci potęgi o wykładniku ujemnym

 ` `

 

Wskaż wspólne czynniki licznika i mianownika, a następnie wykonaj działania

Wykonaj działania

`[-7/3*(3/7)*(-1/8)]^(-2)=(-1/8)^(-2)=64`{premium}