Figury podobne - iii-gimnazjum - Baza Wiedzy

Podobieństwo figur

Gdy dwie figury, o takich samych kształtach, różnią się tylko i wyłącznie wielkością to mówimy, że to figury podobne.

Przykład:

podobne1

Stosunek, w jakim różnią się odpowiednie boki figury nazywamy skalą podobieństwa i oznaczamy ją literą k.

Przykład:

podobne2

$$k=2/4=6/12=2/1=1:2$$ -> Figura 1 jest podobna do figury 2 skalą podobieństwa 1:2.

 

Podobieństwo pól figur

W figurach podobnych stosunek pól jest równy kwadratowi skali podobieństwa.

Pzykład:

podobne3
$$k=a/{a'}$$
$$k^2={P_{F1}}/{P_{F2}} =a^2/{a'}^2 $$
 

Prostokąty podobne

Gdy mamy podane długości boków dwóch prostokątów i nie wiemy czy są one podobne, wystarczy sprawdzić czy stosunek boków w jednym prostokącie jest równy stosunkowi boków w drugim prostokącie.

Cecha podobieństw prostokątów:

„Jeżeli stosunek dłuższego boku do krótszego w jednym prostokącie jest taki sam jak w drugim prostokącie, to te dwa prostokąty są podobne.”

prostokatypodobne

Jeżeli $$b/a=d/c$$, to prostokąty są podobne.

 

Trójkąty prostokątne podobne

  1. Cecha podobieństw trójkątów prostokątnych (boki):

    „Dwa trójkąty prostokątne są podobne, jeżeli stosunek długości przyprostokątnych jednego trójkąta jest równy stosunkowi długości odpowiednich przyprostokątnych drugiego trójkąta.”

    trojkatypodobne

    Jeżeli $$a/b=c/d$$ , to trójkąty prostokątne są podobne.

  2. Cecha podobieństwa trójkątów prostokątnych (kąty):

    „Aby stwierdzić, że dwa trójkąty prostokątne są podobne, wystarczy sprawdzić, że jeden z kątów ostrych w jednym trójkącie ma taką samą miarę, jak jeden z kątów ostrych w drugim trójkącie.”

    trojkatypodobne2

    Jeżeli $$α=β$$, to trójkąty prostokątne są podobne.

 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Ile będzie wynosił stosunek pól dwóch figur, jeżeli skala podobieństwa ich boków wynosi 1:6.

$$k= 1/6$$ -> skala podobieństw boków

$$k^2={(1/6)}^2=1/36$$ -> stosunek pól

Odp.: Stosunek pól tych dwóch figur wynosi 1:36.

Zadanie 2.

Mamy dane dwa trójkąty prostokątne podobne, z których mniejszy ma pole równe 4 cm2, a większy 16 cm2. Jaką długość będzie miał bok większego trójkąta, jeżeli odpowiadający mu bok w mniejszym trójkącie ma 4 cm?

$$ k^2=4/{16}$$ -> $$k=1/2 $$

$$ a=4$$ -> $$ 4a^'=? $$

$$ a/{a^'} =1/2 $$

$$ 4/{a^'} =1/2 $$

$$ a{^'}=8 cm $$

Odp.: Długość jednego z boków w większym trójkącie wynosi 8cm.

Zadanie 3.

Prostokąt ma wymiary $$4 cm×5 cm$$. Jakie wymiary będzie miał drugi z prostokątów, który jest do niego podobny w skali 2:5?

$$ k= 2/5 $$

$$ a=2/5×4 cm=8/5=1,6 cm $$

$$ b=2/5×5 cm=2 cm $$

Odp.: Drugi prostokąt będzie miał wymiary $$1,6 cm×2 cm$$.

Zadanie 4.

Jeden kwadraty jest do drugiego podobny w skali 5 i ma bok o długości 12 m. Jaki obwód będzie miał drugi kwadrat?

$$ k=5 $$

$$ Obw_1=12×4=48 m $$

$$ Obw_2=48/5=9,6 m $$

Odp.: Drugi kwadrat będzie miał obwód równy 9,6 m.

Zadanie 5.

Jeden prostokąt jest podobny do drugiego w skali 0,1. Jakie będzie miał pole drugi prostokąt, jeżeli pole pierwszego ma pole równe 35.

$$k=0,1$$ -> $$k^2=0,01$$

$${35}/{P_2} =1/{100} $$

$$P_2=3500$$

Odp.: Pole drugiego prostokąta jest równe 3500.

Zadanie 6.

Ile razy większe jest pole jednej figury od drugiej, gdy jest ona do niej podobna w skali 7?

$$k=7$$ -> $$k^2=49$$

$${P_1}/{P_2} =49 $$

Odp.: Pole pierwszej figury jest 49 razy większe od pola drugiej figury.

 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Oblicz objętość stożka, który powstał przez obrót trójkąta prostokątnego

a)

`l=6sqrt(2)cm`

r=h

`2r^2=(6sqrt(2))^2`

`2r^2=72`

`r^2=36`

r=6cm

h=6cm

`V=1/3*6^2Pi*6=72Picm^3`

b)

`2r=6sqrt(2)`

`r=3sqrt(2)cm`

`2l^2=(6sqrt(2))^2`

`2l^2=72`

`l^2=36`

l=6cm

`h=sqrt(l^2-r^2)`

`h=sqrt(36-18)=sqrt(18)=3sqrt(2)cm`

`V=1/3*(3sqrt(2))^2Pi*3sqrt(2)=1/3*18Pi*3sqrt(2)=18sqrt(2)Picm^3`

Wysokość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego

`P_p=((6x)^2sqrt(3))/4=(36x^2sqrt(3))/4=9sqrt(3)x^2`

`1/3P_ph=V`

`1/3*9sqrt(3)x^2*h=V`

`h=(3V)/(9sqrt(3)x^2)`

`h=(V)/(3sqrt(3)x^2)`

`h=(Vsqrt(3))/(9x^2)`

Odp.C.

Aby otrzymać 3-procentowy ocet, trzeba dodać do 0,5 l

`10% *0,5l=0,05` l - ilość octu w roztworze

x- ilość wody jaką trzeba dolać

`(0,05)/(0,5+x)=3%`

`(0,05)/(0,5+x)=0,03`

`1/2+x=5/3`

`x=10/6-3/6`

`x=7/6=1 1/6l`

Do kina przyszło...

x - liczba chłopców

y - liczba dziewcząt

`{(x+y=20),(y=4x):}`
`{(x+4x=20),(y=4x):}`

`{(5x=20),(y=4x):}`

`{(x=4),(y=4x):}`

`{(x=4),(y=16):}`

Wskaż zdanie...

Zdanie D jest zdaniem fałszywym, ponieważ liczba, która ma więcej niż 100 milionów cyfr po przecinku i jest liczbą wymierną jest na przykład:

`10^( - 1\ 000\ 000\ 000)` 

 

Odp.: D. 

Pomóż chłopcom rozstrzygnąć spór.

P - waga Piotra

f - waga Filipa

 

`{(p+2f=180\ \ |*2),(f+2p=210):}`

`+{(-2p-4f=-360),(f+2p=210):}`

(pamiętamy, że waga nie może być ujemna, ale stosujemy skrót myślowy dla skrócenia zapisu)

`-3f=-150`

`f=50`

`p+100=180`

`p=80`

 

Spr.

`p+2f=80+2*50=80+100=180`

`f+2p=50+2*80=50+160=210`

 

Oblicz, korzystając z tabeli na stronie 259

a)

`(sin45^o +cos45^o):(sin30^o +60^o)=(sqrt2/2+sqrt2/2):(1/2+1/2)= sqrt2:1=sqrt2`

b)

`(tg30^o*cos30^o)/(sin30^o*tg45^o)=(sqrt3/3*sqrt3/2)/(1/2*1)=(3/6)/(1/2)=(1/2)/(1/2)=1`

c)

`sqrt((sin60^o)^2+(cos60^o)^2+(tg60^o)^2)=sqrt((sqrt3/2)^2+(1/2)^2+(sqrt3)^2)=sqrt(3/4+1/4+3)=sqrt4=2`

Prostokąty przedstawione na rysunku...

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczmy przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego o bokach 5 i 12:

`c^2 = 5^2 + 12^2` 

`c^2 = 25+144` 

`c^2 = 169 \ \ \ \ |sqrt(\ )` 

`c = sqrt(169)` 

`c= 13` 

Korzystając z cech podobieństwa obliczmy długość odcinka x:

`x/c = 5/12` 

`x/13 = 5/12 \ \ \ \ \ |*13` 

`x = 65/12` 

`x= 5  5/12` 

 

Odp.: A. `5  5/12` 

Dany jest stożek o wymiarach podanych na rysunku...

`"Promień podstawy tego stożka możemy obliczyć korzystając z twierdzenia Pitagorasa:"` 

`5^2+r^2= 13^2` 
`25+r^2=169` 
`r^2=144` 
`r=12 \ [cm]` 

`"Pole podstawy tego stożka wynosi:"` 

`P_p= 12^2Pi=144Pi \ [cm^2]` 


`"Pole boczne tego stożka wynosi:"` 

`P_b= Pi*12*13=156Pi \ [cm^2]` 


`"Pole całkowite tego stożka wynosi:"` 

`P_c= 144Pi+156Pi= 300Pi \ [cm^2]` 


`"Objętość tego stożka wynosi:"` 

`V= 1/strike3_1*strike144^48Pi*5=240Pi \ [cm^3]` 

`bb(Odp. :A, C, D)` 

Oblicz pole powierzchni i objętość kuli przedstawionej na rysunku.

`"a)"` Mamy:

`R=11\ "cm"` 

Obliczamy pole powierzchni kuli:

`P=4piR^2` 

`P=4pi*11^2=4pi*121=484pi\ "cm"^2` 

Obliczamy objętość kuli:

`V=4/3piR^3` 

`V=4/3pi*11^3=4/3pi*1331=5324/3pi=1774 2/3pi\ "cm"^3` 

Odp. Pole powierzchni kuli wynosi `484pi\ "cm"^2,` a objętość jest równa `1774 2/3pi\ "cm"^3.`          

 

`"b)"` Mamy:

`d=10sqrt2\ "cm" =>R=5sqrt2\ "cm"` 

Obliczamy pole powierzchni kuli:

`P=4piR^2` 

`P=4pi*(5sqrt2)^2=4pi*50=200pi\ "cm"^2` 

Obliczamy objętość kuli:

`V=4/3piR^3` 

`V=4/3pi*(5sqrt2)^3=4/3pi*250sqrt2=(1000sqrt2)/3pi=333 1/3pisqrt2\ "cm"^3`  

Odp. Pole powierzchni kuli wynosi `200pi\  "cm"^2,` a objętość jest równa `333 1/3pisqrt2\ "cm"^3.`   

 

`"c)"` Mamy:

`R=6sqrt3\ "cm"` 

Obliczamy pole powierzchni kuli:

`P=4piR^2` 

`P=4pi*(6sqrt3)^2=4pi*108=432pi\ "cm"^2` 

Obliczamy objętość kuli:

`V=4/3piR^3` 

`V=4/3pi*(6sqrt3)^3=4/3pi*216*3sqrt3=4*216sqrt3pi=864pisqrt3\ "cm"^3` 

Odp. Pole powierzchni kuli wynosi `432pi\ "cm"^2,` a objętość jest równa `864pisqrt3\ "cm"^3.`