Figury podobne - iii-gimnazjum - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Figury podobne - iii-gimnazjum - Baza Wiedzy

Podobieństwo figur

Gdy dwie figury, o takich samych kształtach, różnią się tylko i wyłącznie wielkością to mówimy, że to figury podobne.

Przykład:

podobne1

Stosunek, w jakim różnią się odpowiednie boki figury nazywamy skalą podobieństwa i oznaczamy ją literą k.

Przykład:

podobne2

$k=2/4=6/12=2/1=1:2$ -> Figura 1 jest podobna do figury 2 skalą podobieństwa 1:2.

 

Podobieństwo pól figur

W figurach podobnych stosunek pól jest równy kwadratowi skali podobieństwa.

Pzykład:

podobne3
$k=a/{a'}$
$k^2={P_{F1}}/{P_{F2}} =a^2/{a'}^2 $
 

Prostokąty podobne

Gdy mamy podane długości boków dwóch prostokątów i nie wiemy czy są one podobne, wystarczy sprawdzić czy stosunek boków w jednym prostokącie jest równy stosunkowi boków w drugim prostokącie.

Cecha podobieństw prostokątów:

„Jeżeli stosunek dłuższego boku do krótszego w jednym prostokącie jest taki sam jak w drugim prostokącie, to te dwa prostokąty są podobne.”

prostokatypodobne

Jeżeli $b/a=d/c$, to prostokąty są podobne.

 

Trójkąty prostokątne podobne

  1. Cecha podobieństw trójkątów prostokątnych (boki):

    „Dwa trójkąty prostokątne są podobne, jeżeli stosunek długości przyprostokątnych jednego trójkąta jest równy stosunkowi długości odpowiednich przyprostokątnych drugiego trójkąta.”

    trojkatypodobne

    Jeżeli $a/b=c/d$ , to trójkąty prostokątne są podobne.

  2. Cecha podobieństwa trójkątów prostokątnych (kąty):

    „Aby stwierdzić, że dwa trójkąty prostokątne są podobne, wystarczy sprawdzić, że jeden z kątów ostrych w jednym trójkącie ma taką samą miarę, jak jeden z kątów ostrych w drugim trójkącie.”

    trojkatypodobne2

    Jeżeli $α=β$, to trójkąty prostokątne są podobne.

 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Ile będzie wynosił stosunek pól dwóch figur, jeżeli skala podobieństwa ich boków wynosi 1:6.

$k= 1/6$ -> skala podobieństw boków

$k^2={(1/6)}^2=1/36$ -> stosunek pól

Odp.: Stosunek pól tych dwóch figur wynosi 1:36.

Zadanie 2.

Mamy dane dwa trójkąty prostokątne podobne, z których mniejszy ma pole równe 4 cm2, a większy 16 cm2. Jaką długość będzie miał bok większego trójkąta, jeżeli odpowiadający mu bok w mniejszym trójkącie ma 4 cm?

$ k^2=4/{16}$ -> $k=1/2 $

$ a=4$ -> $ 4a^'=? $

$ a/{a^'} =1/2 $

$ 4/{a^'} =1/2 $

$ a{^'}=8 cm $

Odp.: Długość jednego z boków w większym trójkącie wynosi 8cm.

Zadanie 3.

Prostokąt ma wymiary $4 cm×5 cm$. Jakie wymiary będzie miał drugi z prostokątów, który jest do niego podobny w skali 2:5?

$ k= 2/5 $

$ a=2/5×4 cm=8/5=1,6 cm $

$ b=2/5×5 cm=2 cm $

Odp.: Drugi prostokąt będzie miał wymiary $1,6 cm×2 cm$.

Zadanie 4.

Jeden kwadraty jest do drugiego podobny w skali 5 i ma bok o długości 12 m. Jaki obwód będzie miał drugi kwadrat?

$ k=5 $

$ Obw_1=12×4=48 m $

$ Obw_2=48/5=9,6 m $

Odp.: Drugi kwadrat będzie miał obwód równy 9,6 m.

Zadanie 5.

Jeden prostokąt jest podobny do drugiego w skali 0,1. Jakie będzie miał pole drugi prostokąt, jeżeli pole pierwszego ma pole równe 35.

$k=0,1$ -> $k^2=0,01$

${35}/{P_2} =1/{100} $

$P_2=3500$

Odp.: Pole drugiego prostokąta jest równe 3500.

Zadanie 6.

Ile razy większe jest pole jednej figury od drugiej, gdy jest ona do niej podobna w skali 7?

$k=7$ -> $k^2=49$

${P_1}/{P_2} =49 $

Odp.: Pole pierwszej figury jest 49 razy większe od pola drugiej figury.

 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Sprawdź sam siebie

A. II: 

 

B. II:

 

C. IV:

 

 

D.

 

 

E.

Tworząca walca jest równa 8cm, obwód podstawy wynosi więc 4cm

{premium}

 

F.

 

`V=3.14*18^2*32`

 

 

Pani Agnieszka przejechała autostradą...

Dane:

Droga jaką pani Agnieszka pokonała na autostradzie:   

Prędkość z jaką pani Agnieszka poruszała się po autostradzie:  

Droga jaką pani Agnieszka pokonała na szosie:   

Prędkość z jaką pani Agnieszka poruszała się po szosie:  

Szukane:

Prędkość średnia pani Agnieszki:  

Rozwiązanie:

Czas ruchu pani Agnieszki na autostradzie przedstawimy wzorem:

{premium}  

Czas ruchu pani Agnieszki na szosie przedstawimy wzorem:

 

Średnia prędkość pani Agnieszki jest to iloraz całkowitej drogi pokonanej przez panią Agnieszkę do całkowitego czasu ruchu pani Agnieszki. Całkowita droga pokonana przez panią Agnieszkę wynosi:

 

Natomiast całkowity czas ruchu pani Agnieszki ma postać:

 

Z tego wynika, że średnia prędkość pani Agnieszki wynosi:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Odp.: Pani Agnieszka poruszała się ze średnią prędkością około  

a) Zamień na ułamki dziesiętne: 3%, 48%, 130%, (...)

  

 {premium}

 

 

  

Zamieniając procent na ułamek dzielimy przez 100, czyli przesuwamy przecinek o 2 miejsca w lewo. 

  

 

 

 

   

Zamieniając z liczb na procenty mnożymy razy 100, czyli przesuwamy przecinek o 2 miejsca w prawo. 

Lina podtrzymująca maszt tworzy z podłożem kąt o mierze 60 stopni

{premium}

Promień podstawy stożka ma 3 cm, a jego ...

I. 

Promień koła, z którego wycięto wycinek stanowiący powierzchnię boczną ma taką samą długość jak tworząca, czyli 9 cm. 

Poprawna odpowiedź to: D. 9 cm


II. Obliczamy ile wynosi pole powierzchni bocznej stożka (r=3cm, l=9cm). 
{premium}   


Promień koła, z którego została wycięta powierzchnia boczna stożka ma długość 9 cm, czyli rk=9cm.  

Obliczamy ile wynosi pole tego koła. 
 


Stosunek pola powierzchni bocznej stożka do pola koła wynosi:
  

Stosunek pola powierzchni bocznej stożka do pola koła wynosi 1:3. 

Poprawna odpowiedź to: C. 1:3

Sprawdź wymiary dowodu osobistego oraz karty płatniczej i zobacz, czy spełniają...

Wymiary dowodu osobistego i karty płatniczej:

 

sprawdźmy czy spełniają one warunki złotej proporcji:{premium}


 


 

 


 

 

Wymiary dowodu osobistego i karty płatniczej nie spełniają warunków złotej proporcji.

Na poniższym diagramie przedstawiono...

 

Odpowiedź: Największą popularnością wśród chłopców cieszy się piłka nożna, w wśród dziewcząt taniec.

{premium}

 

Odpowiedź: Siatkówkę i taniec.

 

 

 

Odpowiedź: Na zajęcia z koszykówki chodzi 12 osób.

 

 

 

Odpowiedź: Na zajęcia sportowe chodzą 63 osoby.

 

 

Liczba wszystkich chłopców uczestniczących w zajęciach sportowych:

 

Procent chłopców uczęszczających na siatkówkę:

 

Odpowiedź: Na siatkówkę uczęszcza około 18% chłopców.

Tabela przedstawia wyniki ankiety, w której grupę ...

a) Obliczamy, ilu było ankietowanych. 

 

Zapytano 40 nastolatków. 

  • 4 osoby odpowiedziały, że nie były w ogóle w kinie. 

Obliczamy, ile procent ankietowanych udzieliło takiej odpowiedzi. 

 
Obliczamy ile będzie wynosić miara kąta środkowego wycinka koła odpowiadającego tej odpowiedzi.  

 

  • 15 osób odpowiedziało, że były w kinie jeden raz. 

Obliczamy, ile procent ankietowanych udzieliło takiej odpowiedzi. 

{premium}  
Obliczamy ile będzie wynosić miara kąta środkowego wycinka koła odpowiadającego tej odpowiedzi. 

 

  • 12 osób odpowiedziało, że w kinie byli 2 razy. 

Obliczamy, ile procent ankietowanych udzieliło takiej odpowiedzi. 

  
Obliczamy ile będzie wynosić miara kąta środkowego wycinka koła odpowiadającego tej odpowiedzi.  

 

  • 6 osób odpowiedziało, że w kinie byli 3 razy. 

Obliczamy, ile procent ankietowanych udzieliło takiej odpowiedzi. 

  
Obliczamy ile będzie wynosić miara kąta środkowego wycinka koła odpowiadającego tej odpowiedzi.  

 

  • 2 osoby odpowiedziały, że były w kinie 4 razy. 

Obliczamy, ile procent ankietowanych udzieliło takiej odpowiedzi. 

 
Obliczamy ile będzie wynosić miara kąta środkowego wycinka koła odpowiadającego tej odpowiedzi.  

 

  • 1 osoba odpowiedziała, że była w kinie 5 razy. 

Obliczamy, ile procent ankietowanych udzieliło takiej odpowiedzi. 

   

Obliczamy ile będzie wynosić miara kąta środkowego wycinka koła odpowiadającego tej odpowiedzi.  

 


Diagram kołowy: 

 

b) Obliczamy, ile wynosiła średnia ilość filmów obejrzanych przez nastolatków. 

 

Średnia wynosi 1,75 filmu. 


c) Wszystkich wyników jest 40 (parzysta ilość). Mediana będzie więc średnią arytmetyczną dwóch środkowych wyników, czyli 20 i 21 wyniku. 

20 wynik to 2, 21 wynik to również 2. Mediana wynosi więc: 

  

Mediana wynosi 2 filmy. 

Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość walca,...

Jeśli jedna bryła jest podobna do drugiej w skali k, to:

-stosunek długości odcinków pierwszej bryły do długości odpowiednich odcinków drugiej bryły jest równy k

-stosunek pola powierzchni pierwszej bryły do pola powierzchni drugiej bryły jest równy k2

-stosunek objętości pierwszej bryły do objętości drugiej bryły jest równy k3


 - objętość pierwszego walca

 

obliczmy objętość pierwszego walca:

 

{premium}  

 

 

 


objętość walca obliczamy korzystając z wzoru:

 

wiemy, że wysokość tego walca jest pięć razy dłuższa od promienia, zatem:

 

 

 

 

 

 


Obliczmy pole powierzchni całkowitej tego walca:

 

 


Odp.: Objętość tego walca wynosi  cm3, a pole powierzchni całkowitej tego walca wynosi  cm2.

Wyznacz medianę sześciu kolejnych liczb nieparzystych...

Sześć kolejnych liczb nieparzystych to kolejno:

  

 

{premium}  

 

 

 


Medianą tego zestawu liczb jest średnia arytmetyczna liczb:   i   :

 


Odp.: Medianą tego zestawu danych jest liczba  .