Figury podobne - iii-gimnazjum - Baza Wiedzy

Podobieństwo figur

Gdy dwie figury, o takich samych kształtach, różnią się tylko i wyłącznie wielkością to mówimy, że to figury podobne.

Przykład:

podobne1

Stosunek, w jakim różnią się odpowiednie boki figury nazywamy skalą podobieństwa i oznaczamy ją literą k.

Przykład:

podobne2

$$k=2/4=6/12=2/1=1:2$$ -> Figura 1 jest podobna do figury 2 skalą podobieństwa 1:2.

 

Podobieństwo pól figur

W figurach podobnych stosunek pól jest równy kwadratowi skali podobieństwa.

Pzykład:

podobne3
$$k=a/{a'}$$
$$k^2={P_{F1}}/{P_{F2}} =a^2/{a'}^2 $$
 

Prostokąty podobne

Gdy mamy podane długości boków dwóch prostokątów i nie wiemy czy są one podobne, wystarczy sprawdzić czy stosunek boków w jednym prostokącie jest równy stosunkowi boków w drugim prostokącie.

Cecha podobieństw prostokątów:

„Jeżeli stosunek dłuższego boku do krótszego w jednym prostokącie jest taki sam jak w drugim prostokącie, to te dwa prostokąty są podobne.”

prostokatypodobne

Jeżeli $$b/a=d/c$$, to prostokąty są podobne.

 

Trójkąty prostokątne podobne

  1. Cecha podobieństw trójkątów prostokątnych (boki):

    „Dwa trójkąty prostokątne są podobne, jeżeli stosunek długości przyprostokątnych jednego trójkąta jest równy stosunkowi długości odpowiednich przyprostokątnych drugiego trójkąta.”

    trojkatypodobne

    Jeżeli $$a/b=c/d$$ , to trójkąty prostokątne są podobne.

  2. Cecha podobieństwa trójkątów prostokątnych (kąty):

    „Aby stwierdzić, że dwa trójkąty prostokątne są podobne, wystarczy sprawdzić, że jeden z kątów ostrych w jednym trójkącie ma taką samą miarę, jak jeden z kątów ostrych w drugim trójkącie.”

    trojkatypodobne2

    Jeżeli $$α=β$$, to trójkąty prostokątne są podobne.

 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Ile będzie wynosił stosunek pól dwóch figur, jeżeli skala podobieństwa ich boków wynosi 1:6.

$$k= 1/6$$ -> skala podobieństw boków

$$k^2={(1/6)}^2=1/36$$ -> stosunek pól

Odp.: Stosunek pól tych dwóch figur wynosi 1:36.

Zadanie 2.

Mamy dane dwa trójkąty prostokątne podobne, z których mniejszy ma pole równe 4 cm2, a większy 16 cm2. Jaką długość będzie miał bok większego trójkąta, jeżeli odpowiadający mu bok w mniejszym trójkącie ma 4 cm?

$$ k^2=4/{16}$$ -> $$k=1/2 $$

$$ a=4$$ -> $$ 4a^'=? $$

$$ a/{a^'} =1/2 $$

$$ 4/{a^'} =1/2 $$

$$ a{^'}=8 cm $$

Odp.: Długość jednego z boków w większym trójkącie wynosi 8cm.

Zadanie 3.

Prostokąt ma wymiary $$4 cm×5 cm$$. Jakie wymiary będzie miał drugi z prostokątów, który jest do niego podobny w skali 2:5?

$$ k= 2/5 $$

$$ a=2/5×4 cm=8/5=1,6 cm $$

$$ b=2/5×5 cm=2 cm $$

Odp.: Drugi prostokąt będzie miał wymiary $$1,6 cm×2 cm$$.

Zadanie 4.

Jeden kwadraty jest do drugiego podobny w skali 5 i ma bok o długości 12 m. Jaki obwód będzie miał drugi kwadrat?

$$ k=5 $$

$$ Obw_1=12×4=48 m $$

$$ Obw_2=48/5=9,6 m $$

Odp.: Drugi kwadrat będzie miał obwód równy 9,6 m.

Zadanie 5.

Jeden prostokąt jest podobny do drugiego w skali 0,1. Jakie będzie miał pole drugi prostokąt, jeżeli pole pierwszego ma pole równe 35.

$$k=0,1$$ -> $$k^2=0,01$$

$${35}/{P_2} =1/{100} $$

$$P_2=3500$$

Odp.: Pole drugiego prostokąta jest równe 3500.

Zadanie 6.

Ile razy większe jest pole jednej figury od drugiej, gdy jest ona do niej podobna w skali 7?

$$k=7$$ -> $$k^2=49$$

$${P_1}/{P_2} =49 $$

Odp.: Pole pierwszej figury jest 49 razy większe od pola drugiej figury.

 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Narysuj w układzie współrzędnych przykładowy wykres ...

Przykładowe wykresy funkcji to: 

Dokończ zdanie tak, aby otrzymać zdanie prawdziwe...

 

 
 

   

Przypatrz się jeszcze raz czworokątowi...

Pole tego rombu wynosi 15 [j2] F  (pole tego rombu wynosi 4 5=20 j2){premium}

Obwód tego rombu wynosi 28  [j] F (obwód tego rombu wynosi 5 ∙4= 20 j)

Wyłącz czynnik przed znak pierwiastka i oblicz:

 
{premium}

 

 

 

 

 

Ile jest równa różnica...

a)

  • Największa liczba to:

  • Najmniejsza liczba to:

Zbadajmy różnicę tych liczb:

 

b)

  

  • Największa liczba to:

  • Najmniejsza liczba to:

Zbadajmy różnicę tych liczb:

 

 

 

Za czekoladę...

Cena czekolady - c

Cena batonika - b

Naszkicowany na rysunku...

Funkcja przecina oś y w punkcie:  

Funkcja ma miejsce zerowe w punkcie:  

Zauważmy, że funkcja jest funkcją liniową w postaci:   

Otrzymujemy zatem układ równań:

 

 

 

 

 

 

 

Z tego wynika, że wzór funkcji ma postać:

 

 

Odp.: D.  

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym

Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy wysokość ściany bocznej:

   

 

W oparciu o twierdzenie Talesa układamy proporcję:

   

 

Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy wysokość ściany bocznej mniejszego ostrosłupa (y)

Wstawiamy za z zależność wyprowadzoną z Talesa

     

       

 

 

Znajdujemy wysokość dużego ostrosłupa- układamy kolejną proporcje w oparciu o twierdzenie Talesa:

   

 

 

Obliczamy objętość i pole powierzchni mniejszego ostrosłupa:

Krawędzią podstawy tego ostrosłupa jest podwojony odcinek z.

 

 

Obliczamy objętość i pole powierzchni drugiej bryły. Objętość obliczymy odejmując od objętości dużego ostrosłupa objętość małego ostrosłupa.

 

Objętość dużego ostrosłupa:

Objętość drugiej bryły:

Pole powierzchni tej bryły składa się z pola powierzchni bocznej- czterech jednakowych trapezów oraz dwóch podstaw w kształcie kwadratów o różnej wielkości.

 

 

 

Laborant potrzebuje 10 g roztworu

x-masa roztworu o stężeniu 6%

y-masa roztworu o stężeniu 10%

0.06x- masa azotanu potasu w x gramach roztworu o stężeniu 6%

0.1y- masa azotanu potasu w y gramach roztworu o stężeniu 10%

0.09∙10- masa azotanu potasu w 10 gramach roztworu o stężeniu 9%

Sumujemy masy roztworów oraz masy azotanów potasu zawartych w roztworach.

Tworzymy i rozwiązujemy układ równań:

Z pierwszego równania wyznaczamy x. 

Wstawiamy x=10-y do drugiego równania.

Podstawiamy y=7.5 do pierwszego równania.

Oblicz pole powierzchni całkowitej każdego...

Rysunek pomocniczy:

 

 wzór na przekątną kwadratu 

 

Będziemy chcieli obliczyć pole trójkąta  W tym celu wyznaczymy, {premium}korzystając z twierdzenia Pitagorasa

dla trójkąta  wysokość trójkąta  

 

 

 

    

 

 

Pole powierzchni całkowitej wielościanu  będziemy obliczać następująco:   

  

  

    

Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa  będziemy obliczać następująco:   

  

 

 

Odp. Pole powierzchni całkowitej wielościanu  wynosi  

a pole powierzchni całkowitej ostrosłupa  jest równe