Figury podobne - iii-gimnazjum - Baza Wiedzy

Podobieństwo figur

Gdy dwie figury, o takich samych kształtach, różnią się tylko i wyłącznie wielkością to mówimy, że to figury podobne.

Przykład:

podobne1

Stosunek, w jakim różnią się odpowiednie boki figury nazywamy skalą podobieństwa i oznaczamy ją literą k.

Przykład:

podobne2

$$k=2/4=6/12=2/1=1:2$$ -> Figura 1 jest podobna do figury 2 skalą podobieństwa 1:2.

 

Podobieństwo pól figur

W figurach podobnych stosunek pól jest równy kwadratowi skali podobieństwa.

Pzykład:

podobne3
$$k=a/{a'}$$
$$k^2={P_{F1}}/{P_{F2}} =a^2/{a'}^2 $$
 

Prostokąty podobne

Gdy mamy podane długości boków dwóch prostokątów i nie wiemy czy są one podobne, wystarczy sprawdzić czy stosunek boków w jednym prostokącie jest równy stosunkowi boków w drugim prostokącie.

Cecha podobieństw prostokątów:

„Jeżeli stosunek dłuższego boku do krótszego w jednym prostokącie jest taki sam jak w drugim prostokącie, to te dwa prostokąty są podobne.”

prostokatypodobne

Jeżeli $$b/a=d/c$$, to prostokąty są podobne.

 

Trójkąty prostokątne podobne

  1. Cecha podobieństw trójkątów prostokątnych (boki):

    „Dwa trójkąty prostokątne są podobne, jeżeli stosunek długości przyprostokątnych jednego trójkąta jest równy stosunkowi długości odpowiednich przyprostokątnych drugiego trójkąta.”

    trojkatypodobne

    Jeżeli $$a/b=c/d$$ , to trójkąty prostokątne są podobne.

  2. Cecha podobieństwa trójkątów prostokątnych (kąty):

    „Aby stwierdzić, że dwa trójkąty prostokątne są podobne, wystarczy sprawdzić, że jeden z kątów ostrych w jednym trójkącie ma taką samą miarę, jak jeden z kątów ostrych w drugim trójkącie.”

    trojkatypodobne2

    Jeżeli $$α=β$$, to trójkąty prostokątne są podobne.

 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Ile będzie wynosił stosunek pól dwóch figur, jeżeli skala podobieństwa ich boków wynosi 1:6.

$$k= 1/6$$ -> skala podobieństw boków

$$k^2={(1/6)}^2=1/36$$ -> stosunek pól

Odp.: Stosunek pól tych dwóch figur wynosi 1:36.

Zadanie 2.

Mamy dane dwa trójkąty prostokątne podobne, z których mniejszy ma pole równe 4 cm2, a większy 16 cm2. Jaką długość będzie miał bok większego trójkąta, jeżeli odpowiadający mu bok w mniejszym trójkącie ma 4 cm?

$$ k^2=4/{16}$$ -> $$k=1/2 $$

$$ a=4$$ -> $$ 4a^'=? $$

$$ a/{a^'} =1/2 $$

$$ 4/{a^'} =1/2 $$

$$ a{^'}=8 cm $$

Odp.: Długość jednego z boków w większym trójkącie wynosi 8cm.

Zadanie 3.

Prostokąt ma wymiary $$4 cm×5 cm$$. Jakie wymiary będzie miał drugi z prostokątów, który jest do niego podobny w skali 2:5?

$$ k= 2/5 $$

$$ a=2/5×4 cm=8/5=1,6 cm $$

$$ b=2/5×5 cm=2 cm $$

Odp.: Drugi prostokąt będzie miał wymiary $$1,6 cm×2 cm$$.

Zadanie 4.

Jeden kwadraty jest do drugiego podobny w skali 5 i ma bok o długości 12 m. Jaki obwód będzie miał drugi kwadrat?

$$ k=5 $$

$$ Obw_1=12×4=48 m $$

$$ Obw_2=48/5=9,6 m $$

Odp.: Drugi kwadrat będzie miał obwód równy 9,6 m.

Zadanie 5.

Jeden prostokąt jest podobny do drugiego w skali 0,1. Jakie będzie miał pole drugi prostokąt, jeżeli pole pierwszego ma pole równe 35.

$$k=0,1$$ -> $$k^2=0,01$$

$${35}/{P_2} =1/{100} $$

$$P_2=3500$$

Odp.: Pole drugiego prostokąta jest równe 3500.

Zadanie 6.

Ile razy większe jest pole jednej figury od drugiej, gdy jest ona do niej podobna w skali 7?

$$k=7$$ -> $$k^2=49$$

$${P_1}/{P_2} =49 $$

Odp.: Pole pierwszej figury jest 49 razy większe od pola drugiej figury.

 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Średnica koła roweru Jacka wynosi około 70 cm

r = 35 cm = 0,35m

10km =10000m

`Ob=2*0,35Pi~~2,198m`

`10000m: 2,198m~~4550`

Odp. Każde z kół roweru wykonuje około 4550 obrotów.

Sprawdź, które z par trójkątów o podanych kątach są podobne.

Suma kątów w trójkącie wynosi 180°. 

 

a) Trójkąt I ma kąty: 50°, 60° i 70°

Trójkąt II ma kąty 60°, 70° i 50°

Te trójkąty są podobne.

 

b) Trójkąt I ma kąty: 40°, 60° i 80°

Trójkąt II ma kąty 60°, 80° i 40°

Te trójkąty są podobne.

 

c) Trójkąt I ma kąty: 90°, 45° i 45°

Trójkąt II ma kąty 30°, 60° i 90°

Te trójkąty nie są podobne.

 

d) Trójkąt I ma kąty: 30°, 55° i 95°

Trójkąt II ma kąty 55°, 65° i 60°

Te trójkąty nie są podobne.

Andrzej zapisał na kartce...

Ekran oddalony jest...

Zapiszmy wszystko za pomocą centymetrów:

2m=200cm

4m=400cm

 

`k=30/200=0.15`

`400*0.15=60`

Która z przedstawionych figur jest jednocześnie środkowosymetryczna i osiowosymetryczna?

Prawdziwa jest odpowiedź D.

Uzupełnij tabelę. Do obliczeń możesz korzystać z kalkulatora

 

  kula 1 kula 2 kula 3 kula 4 kula 5 kula 6
promień kuli `15\ cm`  `21\ cm`  `12\ cm`  `6\ cm`  `0,9\ cm`  `4,5\ cm` 
pole powierzchni kuli `4*pi*15^2=900pi\ cm^2`  `4*pi*21^2=1764pi\ cm^2` 

`576pi\ cm^2` 

`"czyli" \ 4pir^2=576pi` 

`"czyli"\ r^2=576pi:4pi=144` 

`144pi\ cm^2` 

`"czyli"\ 4pir^2=144pi` 

`"czyli"\ r^2=36` 

`4*pi*0,9^2=3,24pi\ cm^2`  `4*pi*4,5^2=81pi\ cm^2` 
objętość kuli `4/3*pi*15^3=4500pi\ cm^3`  `4/3*pi*21^3=12348pi\ cm^3`  `4/3*pi*12^3=2304pi\ cm^3`   `4/3*pi*6^3=288pi\ cm^3` 

`0,972pi\ cm^3` 

`"czyli"\ 4/3pir^3=0,972pi`

`"czyli"\ r^3=0,972*3/4=0,729` 

`121,5pi\ cm^3` 

`"czyli"\ 4/3pir^3=121,5pi``"czyli"\ r^3=121,5*3/4=91,125`   

 

Rozwinięcie dziesiętne liczby...

`0,0(432)=0,0432432432...` 

Zauważmy, że od drugiego miejsca po przecinku począwszy cyfry będą się powtarzać co trzy,

tzn. jeżeli czwórka wystąpiła na drugim miejscu, to dalej pojawi się na piątym, ósmym, jedenastym, itd.

Analogicznie będzie dla trójki i dwójki. W związku z tym, ustalenie cyfry, która będzie na siedemdziesiątym miejscu

po przecinku sprowadza się do wyznaczenia reszty z dzielenia przez `3` i prawidłowej interpretacji wyniku.

Wyznaczmy najpierw tę resztę z dzielenia:

`70:3=23\ "r."\ 1` 

A teraz sprawdźmy, jakiej cyfrze odpowiada reszta równa `1.` 

`4` znajduje się na drugim miejscu po przecinku, reszta z dzielenia jest równa `2.` 

`3` znajduje się na trzecim miejscu po przecinku, reszta z dzielenia jest równa `0.` 

`2` znajduje się na czwartym miejscu po przecinku, reszta z dzielenia jest równa `1.`       

Wobec tego na siedemdziesiątym miejscu po przecinku pojawi się `2.` 

Prawidłowa odpowiedź to `"B."`  

Wobec tego na siedemdziesiątym miejsc23

Złote kolczyki mają kształt pierścienia kołowego

`2Pir=8Picm`

r=4cm

`PiR^2-4^2Pi=9Picm^2`

`R^2-16=9cm^2`

`R^2=25cm^2`

R=5cm

`2*5cm=10cm`

Odp. Zewnętrzna średnica tych kolczyków ma 10 cm.

Na rysunkach przedstawiono wykresy trzech ...
  • I. - h 

  • II. - f, g 

  • III. - f, g

  • IV. - h 

  • V. - f, g   (dla x=-2 funkcje te przyjmują wartość 1)

  • VI. - f, h   (dla x=-4 funkcja f przyjmuje wartość -1, dla x=-4 funkcja h przyjmuje wartość -3)

  • VII. - f 
Sporządź tabelkę funkcji ...

Wzór funkcji:

`y=1/(x-1)` 

Zauważmy, że x musi być różny od 1. Gdyby x był równy 1, to w mianowniku otrzymalibyśmy 0, a przez 0 nie dzielimy.

Stąd dziedziną funkcji są wszystkie liczby rzeczywiste oprócz 1.

Tabelka:

x

-3

-1

0

2

3

5

y

-1/4

-1/2

-1

1

1/2

1/4

 

Wykres:

 

W tym samym układzie współrzędnych rysujemy wykres funkcji y=1/x.

Meżmy zauważyć, że wykres funkcji y=1/x-1 powstał przez przesunięcie wykresy y=1/x o jedną jednostkę w prawo.