Figury podobne - iii-gimnazjum - Baza Wiedzy

Podobieństwo figur

Gdy dwie figury, o takich samych kształtach, różnią się tylko i wyłącznie wielkością to mówimy, że to figury podobne.

Przykład:

podobne1

Stosunek, w jakim różnią się odpowiednie boki figury nazywamy skalą podobieństwa i oznaczamy ją literą k.

Przykład:

podobne2

$$k=2/4=6/12=2/1=1:2$$ -> Figura 1 jest podobna do figury 2 skalą podobieństwa 1:2.

 

Podobieństwo pól figur

W figurach podobnych stosunek pól jest równy kwadratowi skali podobieństwa.

Pzykład:

podobne3
$$k=a/{a'}$$
$$k^2={P_{F1}}/{P_{F2}} =a^2/{a'}^2 $$
 

Prostokąty podobne

Gdy mamy podane długości boków dwóch prostokątów i nie wiemy czy są one podobne, wystarczy sprawdzić czy stosunek boków w jednym prostokącie jest równy stosunkowi boków w drugim prostokącie.

Cecha podobieństw prostokątów:

„Jeżeli stosunek dłuższego boku do krótszego w jednym prostokącie jest taki sam jak w drugim prostokącie, to te dwa prostokąty są podobne.”

prostokatypodobne

Jeżeli $$b/a=d/c$$, to prostokąty są podobne.

 

Trójkąty prostokątne podobne

  1. Cecha podobieństw trójkątów prostokątnych (boki):

    „Dwa trójkąty prostokątne są podobne, jeżeli stosunek długości przyprostokątnych jednego trójkąta jest równy stosunkowi długości odpowiednich przyprostokątnych drugiego trójkąta.”

    trojkatypodobne

    Jeżeli $$a/b=c/d$$ , to trójkąty prostokątne są podobne.

  2. Cecha podobieństwa trójkątów prostokątnych (kąty):

    „Aby stwierdzić, że dwa trójkąty prostokątne są podobne, wystarczy sprawdzić, że jeden z kątów ostrych w jednym trójkącie ma taką samą miarę, jak jeden z kątów ostrych w drugim trójkącie.”

    trojkatypodobne2

    Jeżeli $$α=β$$, to trójkąty prostokątne są podobne.

 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Ile będzie wynosił stosunek pól dwóch figur, jeżeli skala podobieństwa ich boków wynosi 1:6.

$$k= 1/6$$ -> skala podobieństw boków

$$k^2={(1/6)}^2=1/36$$ -> stosunek pól

Odp.: Stosunek pól tych dwóch figur wynosi 1:36.

Zadanie 2.

Mamy dane dwa trójkąty prostokątne podobne, z których mniejszy ma pole równe 4 cm2, a większy 16 cm2. Jaką długość będzie miał bok większego trójkąta, jeżeli odpowiadający mu bok w mniejszym trójkącie ma 4 cm?

$$ k^2=4/{16}$$ -> $$k=1/2 $$

$$ a=4$$ -> $$ 4a^'=? $$

$$ a/{a^'} =1/2 $$

$$ 4/{a^'} =1/2 $$

$$ a{^'}=8 cm $$

Odp.: Długość jednego z boków w większym trójkącie wynosi 8cm.

Zadanie 3.

Prostokąt ma wymiary $$4 cm×5 cm$$. Jakie wymiary będzie miał drugi z prostokątów, który jest do niego podobny w skali 2:5?

$$ k= 2/5 $$

$$ a=2/5×4 cm=8/5=1,6 cm $$

$$ b=2/5×5 cm=2 cm $$

Odp.: Drugi prostokąt będzie miał wymiary $$1,6 cm×2 cm$$.

Zadanie 4.

Jeden kwadraty jest do drugiego podobny w skali 5 i ma bok o długości 12 m. Jaki obwód będzie miał drugi kwadrat?

$$ k=5 $$

$$ Obw_1=12×4=48 m $$

$$ Obw_2=48/5=9,6 m $$

Odp.: Drugi kwadrat będzie miał obwód równy 9,6 m.

Zadanie 5.

Jeden prostokąt jest podobny do drugiego w skali 0,1. Jakie będzie miał pole drugi prostokąt, jeżeli pole pierwszego ma pole równe 35.

$$k=0,1$$ -> $$k^2=0,01$$

$${35}/{P_2} =1/{100} $$

$$P_2=3500$$

Odp.: Pole drugiego prostokąta jest równe 3500.

Zadanie 6.

Ile razy większe jest pole jednej figury od drugiej, gdy jest ona do niej podobna w skali 7?

$$k=7$$ -> $$k^2=49$$

$${P_1}/{P_2} =49 $$

Odp.: Pole pierwszej figury jest 49 razy większe od pola drugiej figury.

 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Mieszkanie o powierzchni 64 m² ma na planie powierzchnię 64 cm²

`64m^2=640000cm^2`

`k^2=64/640000=1/10000`

`k=1/100`

Odp. Plan sporządzono w skali 1:100.

Proste p i s są równoległe

`b/a=d/c`

`b/(4,5)=(5,4)/(3,6)`

`b/(4,5)=9/6`

`b/(4,5)=3/2`

`b=3/2*4,5=(13,5)/2=6,75`

``

Oblicz: a) objętość ostrosłupa o polu

a)

`V=1/3Pp*H`

Aby prawidłowo obliczyć objętość, musimy wyrazić pole podstawy i wysokość w takich samych jednostkach:

`Pp=300 cm^2`

`H=0,2m=20 cm`

`V=1/3*300cm^2*20cm=ul(ul(2000cm^3))`

b)

Wyrażamy wymienione dane w jednakowych jednostkach:

`V=42cm^2`

`Pp=4dm^2= 400cm^2`

Korzystając ze wzoru na objętość ostrosłupa, podstawiamy te dane. Powstanie równanie z niewiadomą H.

`V=1/3*Pp*H`

`42cm^2=1/3*400cm^2*H`

`42=400/3H`       `/:400/3`

`H=42 * 3/400`

`H=ul(ul(0,315 cm))`

c)

Wyrażamy wymienione dane w jednakowych jednostkach:

`V=50dm^3`

`H=45cm=4,5 dm`

Korzystając ze wzoru na objętość ostrosłupa, podstawiamy te dane. Powstanie równanie z niewiadomą Pp.

`V=1/3*Pp*H`

`50dm^3=1/3*Pp*4,5dm`

`50=1,5 Pp`                     `/:1,5`

`Pp=50 * 10/15=500/15= ul(ul(33 1/3 dm^2))`

Odcinek AB ma długość 5 cm. Okrąg ...

`|AB|=5 \ "cm"` 


`a) \ \ r_a=2 \ "cm"`  (promień okręgu o środku w punkcie A)

`r_b=2,5 \ "cm"`  (promień okręgu o środku w punkcie B)

`r_a+r_b=2 \ "cm"+2,5 \ "cm"=4,5 \ "cm" \ < \ 5 \ "cm"` 

Suma długości promieni okręgów jest mniejsza od odległości między punktami A i B. 

Oznacza to, że okręgi te są rozłączne, czyli nie mają punktów wspólnych.    


`b) \ \ r_a=2 \ "cm"` 

`r_b=3 \ "cm"` 

`r_a+r_b=2 \ "cm"+3 \ "cm"=5 \ "cm"` 

Suma długości promieni okręgów jest równa odległości między punktami A i B.

Oznacza to, że okręgi te są styczne zewnętrznie, czyli mają jeden punkt wspólny.  


`c) \ \ r_a=2 \ "cm"` 

`r_b=4 \ "cm"` 

`r_a+r_b=2 \ "cm"+4 \ "cm"=6 \ "cm" \ > \ 5 \ "cm"` 

`|r_b-r_a|=|4 \ "cm"-2 \ "cm"|=2 \ "cm" \ < \ 5 \ "cm"` 

Oznacza to, że okręgi te przecinają się, czyli mają dwa punkty wspólne.  


`d) \ \ r_a=2 \ "cm"` 

`r_b=6 \ "cm"` 

`|r_b-r_a|=|6 \ "cm"-2 \ "cm"|=4 \ "cm" \ < \ 5 \ "cm"`      

`r_a+r_b=2 \ "cm"+6 \ "cm"=8 \ "cm" \ > \ 5 \ "cm"` 

Oznacza to, że okręgi te przecinają się, czyli mają dwa punkty wspólne.  


`e) \ \ r_a=2 \ "cm"` 

`r_b=7 \ "cm"` 

`|r_b-r_a|=|7 \ "cm"-2 \ "cm"|=5 \ "cm"` 

Oznacza to, że okręgi są styczne wewnętrznie, czyli mają jeden punkt wspólny.    


`f) \ \ r_a=2 \ "cm"` 

`r_b=8 \ "cm"` 

`|r_b-r_a|=|8 \ "cm"-2 \ "cm"|=6 \ "cm" \ > \ 5 \ "cm"` 

Oznacza to, że okręgi są rozłączne wewnętrznie, czyli nie mają punktów wspólnych.     

Liczba a jest dodatnia. Zapisz za pomocą wyrażeń algebraicznych:

`a) \ \ 26%a=26/100a=0,26a` 

`b) \ \ a+26%a=126%a=126/100a=1,26a` 

`c) \ \ a-26%a=74%a=74/100a=0,74a`  

`d) \ \ 26%x=a` 

`26/100x=a \ \ \ \ \ \ \ \ |*100`  

`26x=100a \ \ \ \ \ \ \ \ |:26`    

`x=100/26a=50/13a` 

Pole jednej ściany ostrosłupa prawidłowego pięciokątnego, równe 70 cm2

`0,4*P_p=70`

`P_p = 175cm^2`

`P_c =175+5*70`

`P_c =175+ 350`

`P_c=525cm^2`

Odp. D.

Wyznacz liczbę, której a) 3% jest równe 12

`a)\ 3%*x=12`

`\ \ \ 0,03*x=12\ \ \ |:0,03`

`\ \ \ x=12:0,03=1200:3=400`

 

`b)\ 25%*x=0,1`

`\ \ \ 25/100*x=0,1`

`\ \ \ 1/4*x=0,1\ \ \ |*4`

`\ \ \ x=0,4`

 

`c)\ 1/2%*x=10`

`\ \ \ (1/2)/100*x=10`

`\ \ \ 1/2*1/100*x=10`

`\ \ \ 1/200*x=10\ \ \ |*200`

`\ \ \ x=2000`

Ile farby pozostało w pojemniku po pomalowaniu 30...

Z wykresu możemy odczytać, że po pomalowaniu 30 m2 ściany w pojemniku pozostało 8 litrów farby. 


Odp. A

Przeczytaj uważnie zamieszczone poniżej informacje o warunkach wypożyczenia (...)

`a)  \ y=0,4x+17` 

`x`  - liczba przejechanych kilometrów 

`y`  - cena wypożyczenia samochodu (w zł)

17 - wpłata początkowa (w zł)

 

b) Sprawdzamy, w której firmie koszt wypożyczenia samochodu na 10 km jest tańszy:

Pik: `y=0,5*10+10=5+10=15` 

Caro: `y=0,4*10+17=4+17=21` 

Na tej podstawie wnioskujemy, że wykres niebieski odpowiada firmie Pik, a wykres czerwony odpowiada firmie Caro.

Jeśli chcemy przejechać 50 km bardziej opłaca się skorzystać z usług firmy Pik.    

Jeśli chcemy przejechać 100 km lub 150 km bardziej opłaca się skorzystać z usług firmy Caro.  


c) Koszt wypożyczenia samochodu jest taki sam w obu firmach przy 70 przejechanych kilometrach (punkt przecięcia obu wykresów).

Sprawdzamy:

Pik: `y=0,5*70+10=35+10=45`   [zł]

Caro: `y=0,4*70+17=28+17=45`   [zł]

Oblicz, jaka była początkowa cena towaru, jeśli ...

a) 

120% to 360

10% to 360:12=30 (dzielimy przez 12, bo 120%:10%=12)

100% to 30·10=300 (mnożymy przez 10, bo 100%:10%=10)

Odp: Początkowa cena towaru wynosiła 300 zł.

 

b) 

115% to 552

1% to 552:115=4,8

100% to 4,8·100=480

Odp: Początkowa cena towaru wynosiła 480 zł. 

 

c) 

90% to 270

10% to 270:9=30

100% to 30·10=300

Odp: Początkowa cena towaru wynosiła 300 zł. 

 

d) 

94% to 517

1% to 517:94=5,5

100% to 5,5·100=550

Odp: Początkowa cena towaru wynosiła 550 zł.