Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Figury podobne - iii-gimnazjum - Baza Wiedzy

Podobieństwo figur

Gdy dwie figury, o takich samych kształtach, różnią się tylko i wyłącznie wielkością to mówimy, że to figury podobne.

Przykład:

podobne1

Stosunek, w jakim różnią się odpowiednie boki figury nazywamy skalą podobieństwa i oznaczamy ją literą k.

Przykład:

podobne2

$$k=2/4=6/12=2/1=1:2$$ -> Figura 1 jest podobna do figury 2 skalą podobieństwa 1:2.

 

Podobieństwo pól figur

W figurach podobnych stosunek pól jest równy kwadratowi skali podobieństwa.

Pzykład:

podobne3
$$k=a/{a'}$$
$$k^2={P_{F1}}/{P_{F2}} =a^2/{a'}^2 $$
 

Prostokąty podobne

Gdy mamy podane długości boków dwóch prostokątów i nie wiemy czy są one podobne, wystarczy sprawdzić czy stosunek boków w jednym prostokącie jest równy stosunkowi boków w drugim prostokącie.

Cecha podobieństw prostokątów:

„Jeżeli stosunek dłuższego boku do krótszego w jednym prostokącie jest taki sam jak w drugim prostokącie, to te dwa prostokąty są podobne.”

prostokatypodobne

Jeżeli $$b/a=d/c$$, to prostokąty są podobne.

 

Trójkąty prostokątne podobne

  1. Cecha podobieństw trójkątów prostokątnych (boki):

    „Dwa trójkąty prostokątne są podobne, jeżeli stosunek długości przyprostokątnych jednego trójkąta jest równy stosunkowi długości odpowiednich przyprostokątnych drugiego trójkąta.”

    trojkatypodobne

    Jeżeli $$a/b=c/d$$ , to trójkąty prostokątne są podobne.

  2. Cecha podobieństwa trójkątów prostokątnych (kąty):

    „Aby stwierdzić, że dwa trójkąty prostokątne są podobne, wystarczy sprawdzić, że jeden z kątów ostrych w jednym trójkącie ma taką samą miarę, jak jeden z kątów ostrych w drugim trójkącie.”

    trojkatypodobne2

    Jeżeli $$α=β$$, to trójkąty prostokątne są podobne.

 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Ile będzie wynosił stosunek pól dwóch figur, jeżeli skala podobieństwa ich boków wynosi 1:6.

$$k= 1/6$$ -> skala podobieństw boków

$$k^2={(1/6)}^2=1/36$$ -> stosunek pól

Odp.: Stosunek pól tych dwóch figur wynosi 1:36.

Zadanie 2.

Mamy dane dwa trójkąty prostokątne podobne, z których mniejszy ma pole równe 4 cm2, a większy 16 cm2. Jaką długość będzie miał bok większego trójkąta, jeżeli odpowiadający mu bok w mniejszym trójkącie ma 4 cm?

$$ k^2=4/{16}$$ -> $$k=1/2 $$

$$ a=4$$ -> $$ 4a^'=? $$

$$ a/{a^'} =1/2 $$

$$ 4/{a^'} =1/2 $$

$$ a{^'}=8 cm $$

Odp.: Długość jednego z boków w większym trójkącie wynosi 8cm.

Zadanie 3.

Prostokąt ma wymiary $$4 cm×5 cm$$. Jakie wymiary będzie miał drugi z prostokątów, który jest do niego podobny w skali 2:5?

$$ k= 2/5 $$

$$ a=2/5×4 cm=8/5=1,6 cm $$

$$ b=2/5×5 cm=2 cm $$

Odp.: Drugi prostokąt będzie miał wymiary $$1,6 cm×2 cm$$.

Zadanie 4.

Jeden kwadraty jest do drugiego podobny w skali 5 i ma bok o długości 12 m. Jaki obwód będzie miał drugi kwadrat?

$$ k=5 $$

$$ Obw_1=12×4=48 m $$

$$ Obw_2=48/5=9,6 m $$

Odp.: Drugi kwadrat będzie miał obwód równy 9,6 m.

Zadanie 5.

Jeden prostokąt jest podobny do drugiego w skali 0,1. Jakie będzie miał pole drugi prostokąt, jeżeli pole pierwszego ma pole równe 35.

$$k=0,1$$ -> $$k^2=0,01$$

$${35}/{P_2} =1/{100} $$

$$P_2=3500$$

Odp.: Pole drugiego prostokąta jest równe 3500.

Zadanie 6.

Ile razy większe jest pole jednej figury od drugiej, gdy jest ona do niej podobna w skali 7?

$$k=7$$ -> $$k^2=49$$

$${P_1}/{P_2} =49 $$

Odp.: Pole pierwszej figury jest 49 razy większe od pola drugiej figury.

 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Sporządź wykres proporcjonalności prostej dla liczb rzeczywistych.

Dwa statki rybackie oddaliły się...

Rysunek pomocniczy:

{premium}

Zauważmy, że po oddaleniu o `10` mil statki będą znajdowały się w położeniu jak na rysunku powyżej. 

Wobec tego będą wierzchołkami trójkąta równoramiennego. 

Na początku określamy azymut względem statku bazy, więc przyjmujemy czarny "układ współrzędnych", 

którego baza jest początkiem. 

Dalej będziemy chcieli określić azymut, pod jakim powinna popłynąć motorówka od Szprota do Meduzy,

czyli przyjmiemy zielony "układ współrzędnych", którego Szprot jest początkiem. 

Szukanym azymutem jest kąt `alpha.` 

Wyznaczamy miarę kąta `beta:` 

`beta=90^@-40^@=50^@` 

Z sumy kątów trójkąta wyznaczamy miarę kąta `alpha:` 

`2alpha+beta+90^@=180^@` 

`2alpha+50^@+90^@=180^@` 

`2alpha+140^@=180^@` 

`2alpha=40^@\ "/":2` 

`alpha=20^@` 

Odp. Motorówka powinna popłynąć od Szprota do meduzy pod azymutem `20^@.`           

Prostokąt P₁ ma wymiary 12 cm i 15 cm. Oblicz

`a)`  `12 \ "cm"*4=ul(48 \ "cm")` 

`15 \ "cm"*4=ul(60 \ "cm")`  

`b) \ \ 12 \ "cm"*1=ul(12 \ "cm")` 

`15 \ "cm"*1=ul(15 \ "cm")` 

`c) \ \ 12 \ "cm"*6,5=ul(78 \ "cm")` 

`15 \ "cm"*6,5=ul(97,5 \ "cm")` 

`d) \ \ 12 \ "cm"*1/60=12/60 \ "cm"=ul(1/5 \ "cm")` 

`15 \ "cm"*1/60=15/60 \ "cm"=ul(1/4 \ "cm")`     

Ile wynosi średnia...

`(10+11+12+13+14+15)/6 = 75/6=12,5` 

 

Odpowiedź: `12,5` 

Prostokąt...

Policzmy obwód prostokąta o bokach 12cm i 8cm:

`"Obw" \ = 2*12 + 2*8=24+16 = 40 \ [cm]`

Skoro prostokąty są podobne to stosunek obwodu większego prostokąta do obwodu mniejszego prostokąta będzie przekładał się również na stosunek odpowiednich boków w prostokącie, policzmy stosunek obwodów:

`40/8 = 5`

A więc skala wynosi 5.

Czyli dłuższy bok drugiego prostokąta jest 5 razy mniejszy od dłuższego boku pierwszego prostokąta, analogicznie z krótszymi bokami.

Wystarczy podzielić długości boków pierwszego prostokąta przez 5.

`12/5 = 2 2/5 = 2 4/10 = 2,4 \ [cm]`

`8/5 = 1 3/5 = 1 6/10 = 1,6 \ [cm]`

A więc prostokąt ma wymiary 2,4 cm i 1,6 cm.

Przyjrzyj się następującym sumom oraz ich składnikom

a) Składniki tych sum są dwucyfrowe i mają przestawione cyfry.

b) Największy wspólny dzielnik tych sum to 11.

c) Największy wspólny dzielnik sum liczb dwucyfrowych zbudowanych wg tej zasady to 11.

d) Suma liczby dwucyfrowej i liczby zbudowanej przez przestawienie jej cyfr jest podzlelna przez 11.

e) Dowolna liczba dwucyfrowa: 10x+ y

Liczba o przestawionych cyfrach: 10y+x

10x + y+10y+x=11x+11y-11(x+y)

Zamień sumę na iloczyn.

a) = 7a(2b-3c) + 9b(2b-3c)= (7a+9b)(2b-3c)

b) = 4b(5c-6b) + 7a(5c-6b)= (4b+7a)(5c-6b)

c) = 5(x+y) + 2x(y+x)= (5+2x)(x+y)

d) = 1(1+a) + a^2(1+a) + a^4(1+a)= (1+a^2+a^4)(1+a)

Przyjmij, że...

Liczba pracowników i czas potrzebny do wykonania ustalonej pracy  odwrotnie proporcjonalne, ale liczba pracowników i praca wykonana przez nich w ciągu godziny nie są odwrotnie proporcjonalne.

Zbiornik na wodę o wymiarach przedstawionych na rysunku...

Z rysunku odczytujemy następujące dane:

`H=2\ "m"` 

`2r=1\ "m"` 

`r=0,5\ "m"` 

Obliczymy objętość tego zbiornika:

`V_Z=pir^2H` 

`V_Z=pi*(1/2)^2*2=pi/2\ "m"^3` 

Przybliżymy wynik i przedstawimy go w litrach:,

`pi/2\ "m"^3~~3,14/2\ "m"^3=1,57\ "m"^3=1570\ "l"` 

Zbiornik jest w połowie napełniony wodą, czyli obecnie znajduje się w nim `1570:2=785\ "l"` wody

i tyle też trzeba wlać, by całkowicie napełnić ten zbiornik.  

Wobec powyższego pierwsze zdanie jest fałszywe. Należy wpisać F.

 

Drugie zdanie jest fałszywe. Byłoby to prawdą, gdyby pojemnik miał kształt prostopadłościanu.

Należy wpisać F.

Na kuli o objętości 2304πcm³ opisano walec, tak jak przedstawiono na rysunku.

Wyznaczmy promień r kuli:

`2304pi=4/3pir^3`

`r^3=2304*3/4=1728`

`r=12\ "cm"`

 

Wysokość walca wynosi dwukrotność promienia kuli, czyli 2r = 24 cm. Podstawa (koło) jest oparta na tym samym promieniu co kula. Mamy zatem objętość walca równą:

`V=pi*r^2*2r=2r^3pi=2*1728pi=3456pi\ "cm"^3`

 

Pole powierzchni całkowitej wynosi:

`P=2*pi*r^2+2pir*2r=2r^2pi+4r^2pi=288pi+576pi=864pi\ "cm"^2`