Figury podobne - iii-gimnazjum - Baza Wiedzy

Podobieństwo figur

Gdy dwie figury, o takich samych kształtach, różnią się tylko i wyłącznie wielkością to mówimy, że to figury podobne.

Przykład:

podobne1

Stosunek, w jakim różnią się odpowiednie boki figury nazywamy skalą podobieństwa i oznaczamy ją literą k.

Przykład:

podobne2

$$k=2/4=6/12=2/1=1:2$$ -> Figura 1 jest podobna do figury 2 skalą podobieństwa 1:2.

 

Podobieństwo pól figur

W figurach podobnych stosunek pól jest równy kwadratowi skali podobieństwa.

Pzykład:

podobne3
$$k=a/{a'}$$
$$k^2={P_{F1}}/{P_{F2}} =a^2/{a'}^2 $$
 

Prostokąty podobne

Gdy mamy podane długości boków dwóch prostokątów i nie wiemy czy są one podobne, wystarczy sprawdzić czy stosunek boków w jednym prostokącie jest równy stosunkowi boków w drugim prostokącie.

Cecha podobieństw prostokątów:

„Jeżeli stosunek dłuższego boku do krótszego w jednym prostokącie jest taki sam jak w drugim prostokącie, to te dwa prostokąty są podobne.”

prostokatypodobne

Jeżeli $$b/a=d/c$$, to prostokąty są podobne.

 

Trójkąty prostokątne podobne

  1. Cecha podobieństw trójkątów prostokątnych (boki):

    „Dwa trójkąty prostokątne są podobne, jeżeli stosunek długości przyprostokątnych jednego trójkąta jest równy stosunkowi długości odpowiednich przyprostokątnych drugiego trójkąta.”

    trojkatypodobne

    Jeżeli $$a/b=c/d$$ , to trójkąty prostokątne są podobne.

  2. Cecha podobieństwa trójkątów prostokątnych (kąty):

    „Aby stwierdzić, że dwa trójkąty prostokątne są podobne, wystarczy sprawdzić, że jeden z kątów ostrych w jednym trójkącie ma taką samą miarę, jak jeden z kątów ostrych w drugim trójkącie.”

    trojkatypodobne2

    Jeżeli $$α=β$$, to trójkąty prostokątne są podobne.

 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Ile będzie wynosił stosunek pól dwóch figur, jeżeli skala podobieństwa ich boków wynosi 1:6.

$$k= 1/6$$ -> skala podobieństw boków

$$k^2={(1/6)}^2=1/36$$ -> stosunek pól

Odp.: Stosunek pól tych dwóch figur wynosi 1:36.

Zadanie 2.

Mamy dane dwa trójkąty prostokątne podobne, z których mniejszy ma pole równe 4 cm2, a większy 16 cm2. Jaką długość będzie miał bok większego trójkąta, jeżeli odpowiadający mu bok w mniejszym trójkącie ma 4 cm?

$$ k^2=4/{16}$$ -> $$k=1/2 $$

$$ a=4$$ -> $$ 4a^'=? $$

$$ a/{a^'} =1/2 $$

$$ 4/{a^'} =1/2 $$

$$ a{^'}=8 cm $$

Odp.: Długość jednego z boków w większym trójkącie wynosi 8cm.

Zadanie 3.

Prostokąt ma wymiary $$4 cm×5 cm$$. Jakie wymiary będzie miał drugi z prostokątów, który jest do niego podobny w skali 2:5?

$$ k= 2/5 $$

$$ a=2/5×4 cm=8/5=1,6 cm $$

$$ b=2/5×5 cm=2 cm $$

Odp.: Drugi prostokąt będzie miał wymiary $$1,6 cm×2 cm$$.

Zadanie 4.

Jeden kwadraty jest do drugiego podobny w skali 5 i ma bok o długości 12 m. Jaki obwód będzie miał drugi kwadrat?

$$ k=5 $$

$$ Obw_1=12×4=48 m $$

$$ Obw_2=48/5=9,6 m $$

Odp.: Drugi kwadrat będzie miał obwód równy 9,6 m.

Zadanie 5.

Jeden prostokąt jest podobny do drugiego w skali 0,1. Jakie będzie miał pole drugi prostokąt, jeżeli pole pierwszego ma pole równe 35.

$$k=0,1$$ -> $$k^2=0,01$$

$${35}/{P_2} =1/{100} $$

$$P_2=3500$$

Odp.: Pole drugiego prostokąta jest równe 3500.

Zadanie 6.

Ile razy większe jest pole jednej figury od drugiej, gdy jest ona do niej podobna w skali 7?

$$k=7$$ -> $$k^2=49$$

$${P_1}/{P_2} =49 $$

Odp.: Pole pierwszej figury jest 49 razy większe od pola drugiej figury.

 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Który z poniższych trójkątów nie jest podobny ...

Sprawdzamy, czy trójkąt `T_1` jest podobny do trójkąta `T_2`.

Obliczamy, czy stosunek długości dłuższych przyprostokątnych jest równy stosunkowi długości przeciwprostokątnych.   

`15/35 \ stackrel(?)= \ 17/37` 

`15/35 \ stackrel(*17)= \ 255/595`   

`17/37 \ stackrel(*15)=255/555` 

Zatem:

`15/35!=17/37` 

Oznacza to, że trójkąt `T_1` nie jest podobny to trójkąta `T_2`.


Sprawdzamy, czy trójkąt `T_2` jest podobny do trójkąta `T_3`  .

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczamy, ile wynosi długość dłuższej przyprostokątnej (x) trójkąta `T_3` .  

`1,8^2+x^2=8,2^2` 

`3,24+x^2=67,24 \ \ \ \ \ \ \ |-3,24` 

`x^2=64` 

`x=sqrt{64}=8`   

Obliczamy, czy stosunek długości dłuższych przyprostokątnych jest równy stosunkowi długości przeciwprostokątnych.  

`35/8 \ stackrel(?)= \ 37/8,2` 

`35/8=4 3/8=4 21/56`  

`37/8,2=370/82=4 42/82=4 21/41`    

Zatem:

`35/8!=37/8,2` 

Oznacza to, że trójkąty `T_2` i `T_3` nie są podobne. 


Trójkąt `T_2` nie jest podobny do trójkąta `T_1` oraz nie jest podobny do trójkąta `T_3`.

Sprawdzamy więc, czy jest podobny do trójkątów `T_4` i `T_5` . 


Sprawdzamy, czy trójkąt `T_2` jest podobny do trójkąta `T_4`.

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczamy, ile wynosi długość dłuższej przyprostokątnej (y) tego trójkąta.

`1,6^2+y^2=3,4^2` 

`2,56+y^2=11,56 \ \ \ \ \ \ \ \ |-2,56` 

`y^2=9` 

`y=sqrt{9}=3` 

Obliczamy, czy stosunek długości dłuższych przyprostokątnych jest równy stosunkowi długości przeciwprostokątnych.  

`35/3 \ stackrel(?)= \ 37/3,4` 

`35/3=11 2/3` 

`37/3,4=370/34=10 30/34` 

Zatem:

`35/3!=37/3,4` 

Oznacza to, że trójkąty `T_2` i `T_4` nie są podobne.       

Sprawdzamy, czy trójkąt `T_2` jest podobny do trójkąta `T_5` .

 

Obliczamy, czy stosunek długości dłuższych przyprostokątnych jest równy stosunkowi długości przeciwprostokątnych.  

`35/40 \ stackrel(?)= \ 37/41`  

`35/40 \ stackrel(*41)= \ 1435/1640`  

`37/41 \ stackrel(*40)= \ 1480/1640`  

Zatem:

`35/40!=37/41` 

Oznacza to, że trójkąty `T_2` i `T_5` nie są podobne.       


Odpowiedź:
Trójkąt `T_2` nie jest podobny do żadnego z trójkątów.  

Dłuższy bok równoległoboku jest dwa razy większy od krótszego boku

2x - dłuższy bok równoległoboku

x - krótszy bok równoległoboku

Wysokość równoległoboku wraz z krótszym bokiem i drugą przyprostokątną tworzy trójkąt prostokątny o kątach 60° i 30°. Oznaczmy zatem drugą przyprostokątną przez ½x. Z tw. Pitagorasa mamy:

`(1/2x)^2+9^2=x^2`

`x^2/4+81=x^2`

`3/4x^2=81`

`x^2=27*4=108`

`x=sqrt108=3sqrt12=6sqrt3cm`

Obwód równoległoboku wynosi:

`O=2*(x+2x)=6x=6*6sqrt3=36sqrt3cm`

Pole równoległoboku jest równe:

`P=2x*9=2*6sqrt3*9=108sqrt3cm^2`

Pole powierzchni bocznej walca o promieniu podstawy 8 cm i wysokości 4 dm jest równe:

Pole powierzchni bocznej walca wynosi:

`"P"_"b"=2*pi*8*40=640pi\ "cm"^2`

Oblicz pola powierzchni całkowitej stożków...

`"a)"` Rysunek pomocniczy:

`H=8` 

`r=6` 

Wyznaczamy długość tworzącej stożka, korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta `CDB:` 

`H^2+r^2=l^2` 

`8^2+6^2=l^2` 

`64+36=l^2` 

`100=l^2` 

`l=10` 

Obliczamy pole podstawy:     

`P_p=pir^2` 

`P_p=pi*6^2=36pi` 

Obliczamy pole powierzchni bocznej:

`P_b=pirl` 

`P_b=pi*6*10=60pi` 

Obliczamy pole powierzchni całkowitej:

`P_c=P_p+P_b` 

`P_c=36pi+60pi=96pi` 

Odp. Pole powierzchni całkowitej stożka jest równe `96pi.` 

 

`"b)"` Mamy:

`l=7` 

`d=10` 

`r=5` 

Obliczamy pole podstawy:     

`P_p=pir^2` 

`P_p=pi*5^2=25pi` 

Obliczamy pole powierzchni bocznej:

`P_b=pirl` 

`P_b=pi*5*7=35pi` 

Obliczamy pole powierzchni całkowitej:

`P_c=P_p+P_b` 

`P_c=25pi+35pi=60pi` 

Odp. Pole powierzchni całkowitej stożka jest równe `60pi.` 

 

`"c)"` Skorzystamy z rysunku z pierwszego przykładu. Mamy:

`H=6` 

`d=4sqrt3` 

`r=2sqrt3` 

Wyznaczamy długość tworzącej stożka, korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta `CDB:` 

`H^2+r^2=l^2`  

`6^2+(2sqrt3)^2=l^2`      

`36+12=l^2` 

`48=l^2` 

`l=4sqrt3` 

Obliczamy pole podstawy:     

`P_p=pir^2` 

`P_p=pi*(2sqrt3)^2=12pi` 

Obliczamy pole powierzchni bocznej:

`P_b=pirl` 

`P_b=pi*2sqrt3*4sqrt3=24pi` 

Obliczamy pole powierzchni całkowitej:

`P_c=P_p+P_b` 

`P_c=12pi+24pi=36pi` 

Odp. Pole powierzchni całkowitej stożka jest równe `36pi.` 

   

          

Liczba ... jest równa

`(4^3*8^(-2))/(2^5*16^0):2^(-8)=((2^2)^3*(2^3)^(-2))/(2^5*1)*2^8 = (2^6*2^(-6))/(2^5)*2^8 = (2^0)/2^5 * 2^8 = 2^8/2^5 = 2^3` 

Prawidłowa odpowiedź to `"C."`  

Na diagramie przedstawiono dane dotyczące...

a) Wydobycie węgla było mniejsze niż zużycie w 2010 r., 2011 r., i 2013 r. 

b) Najlepiej zaplanowano wydobycie i zużycie węgla w 2014 roku.

c) Najkorzystniejszy bilans handlu zagranicznego czyli jak największy eksport przy jednoczesnym jak najmniejszym imporcie zanotowano w 2007 r.
Najmniej korzystny bilans handlu zagranicznego czyli jak największy import przy jednoczesnym jak największym eksporcie zanotowano w 2011 r.

`80 \ 000  \"tys."=80 \ 000 \ 000= bb(8*10^7)`

 

e) Wydobycie w 2014 r. wynosiło 73 mln ton, a sprowadzenie z  zagranicy 10 mln ton, zatem:

`(73)/(10)~~bb7,3`

Zatem wydobyto 7,3 razy więcej węgla niż sprowadzono z zagranicy.

Graniastosłup prawidłowy czworokątny o wymiarach...

Zauważmy, że wszystkie niezamalowane ściany mają kształt prostokątów o wymiarach `20\ "cm"xx (10sqrt2)/2\ "cm".` 

Zatem:

`P=8*20*5sqrt2=800sqrt2\ "cm"^2` 

Odp. Suma pól powierzchni wszystkich niezamalowanych ścian wynosi `800sqrt2\ "cm".`    

Dziesiąta część objętości sześcianu o krawędzi długości 4·10 ¯³km jest równa:

`"Objętosć sześcianu jest równa:"`

`V=(4*10^-3)^3=4^3*(10^(-3))^3=64*10^-9=6,4*10^-8\ "km"^3`

`"Dziesiąta część tej objętości wynosi:"`

`1/10V=6,4*10^-9\ "km"^3`

Jedną z odmian bilarda...

`a)` 

Z treści zadania wynika, że:

`122\ cm = 4\ "stopy"`  

Oznacza to, że:

`1\ "stopa" = 1*(122\ cm)/4 = 30,5\ cm`  

 

`b)` 

Największe dopuszczalne wymiary stołu:

`4,5\ "stopy"  xx  9 \ "stóp"` 

`4,5*30,5\ cm  xx  9*30,5\ cm` 

`137,25\ cm  xx  274,5\ cm` 

Najmniejsze dopuszczalne wymiary stołu:

`3,5\ "stopy"  xx  7\ "stóp"` 

`3,5*30,5\ cm  xx  7*30,5\ cm` 

`106,75\ cm  xx  213,5\ cm` 

`10,675\ dm  xx  21,35\ dm` 

 

`c)` 

Szerokość:

`(137,25\ cm)/(106,75\ cm) = (13725)/(10675) = 549/427 = 1  152/427` 

Długość:

`(274,5\ cm)/(213,5\ cm) = (2745)/(2135)=549/472=1  152/427` 

Ponieważ stosunku długości i szerokości są takie same, to oznacza, że prostokąty są podobne.

 

`d)` 

Z treści zadania wynika, że masa 1 m2 sukna pokrywającego stół wynosi 350 g. Obliczmy pole powierzchni stołu o wymiarach 4 stopy × 8 stóp:

`P = 4\ "stopy" * 8\ "stóp" =32\ "stopy kwadratowe" =32*(30,5\ cm)^2 =32*(0,305\ m)^2=32*0,093025\ m^2=2,9768\ m^2`  

Masa sukna wynosi:

`2,9768*350\ g = 1041,88\ g ~~ 1042\ g` 

Czy z informacji podanych...

`a)` 

Trójkąty są prostokątne oraz  stosunki odpowiadających sobie boków wynoszą:

`20/10 = 2` 

`10/5 = 2` 

Odpowiedź: TAK

 

`b)` 

Trójkąty pokazane na rysunku są prostokątne oraz mają taki sam kąt wierzchołkowy, czyli trzeci kąt również ma taką samą miarę.

Odpowiedź: TAK

 

`c)` 

Z informacji na rysunku nie wiadomo nic o miarach kątów oraz boków tych trójkątów.

Odpowiedź: NIE

 

`d)` 

Z informacji na rysunku wynika, że trójkąty nie są podobne, ponieważ stosunki długości poszczególnych boków są różne.

Odpowiedź: NIE