Figury podobne - iii-gimnazjum - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Figury podobne - iii-gimnazjum - Baza Wiedzy

Podobieństwo figur

Gdy dwie figury, o takich samych kształtach, różnią się tylko i wyłącznie wielkością to mówimy, że to figury podobne.

Przykład:

podobne1

Stosunek, w jakim różnią się odpowiednie boki figury nazywamy skalą podobieństwa i oznaczamy ją literą k.

Przykład:

podobne2

$k=2/4=6/12=2/1=1:2$ -> Figura 1 jest podobna do figury 2 skalą podobieństwa 1:2.

 

Podobieństwo pól figur

W figurach podobnych stosunek pól jest równy kwadratowi skali podobieństwa.

Pzykład:

podobne3
$k=a/{a'}$
$k^2={P_{F1}}/{P_{F2}} =a^2/{a'}^2 $
 

Prostokąty podobne

Gdy mamy podane długości boków dwóch prostokątów i nie wiemy czy są one podobne, wystarczy sprawdzić czy stosunek boków w jednym prostokącie jest równy stosunkowi boków w drugim prostokącie.

Cecha podobieństw prostokątów:

„Jeżeli stosunek dłuższego boku do krótszego w jednym prostokącie jest taki sam jak w drugim prostokącie, to te dwa prostokąty są podobne.”

prostokatypodobne

Jeżeli $b/a=d/c$, to prostokąty są podobne.

 

Trójkąty prostokątne podobne

  1. Cecha podobieństw trójkątów prostokątnych (boki):

    „Dwa trójkąty prostokątne są podobne, jeżeli stosunek długości przyprostokątnych jednego trójkąta jest równy stosunkowi długości odpowiednich przyprostokątnych drugiego trójkąta.”

    trojkatypodobne

    Jeżeli $a/b=c/d$ , to trójkąty prostokątne są podobne.

  2. Cecha podobieństwa trójkątów prostokątnych (kąty):

    „Aby stwierdzić, że dwa trójkąty prostokątne są podobne, wystarczy sprawdzić, że jeden z kątów ostrych w jednym trójkącie ma taką samą miarę, jak jeden z kątów ostrych w drugim trójkącie.”

    trojkatypodobne2

    Jeżeli $α=β$, to trójkąty prostokątne są podobne.

 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Ile będzie wynosił stosunek pól dwóch figur, jeżeli skala podobieństwa ich boków wynosi 1:6.

$k= 1/6$ -> skala podobieństw boków

$k^2={(1/6)}^2=1/36$ -> stosunek pól

Odp.: Stosunek pól tych dwóch figur wynosi 1:36.

Zadanie 2.

Mamy dane dwa trójkąty prostokątne podobne, z których mniejszy ma pole równe 4 cm2, a większy 16 cm2. Jaką długość będzie miał bok większego trójkąta, jeżeli odpowiadający mu bok w mniejszym trójkącie ma 4 cm?

$ k^2=4/{16}$ -> $k=1/2 $

$ a=4$ -> $ 4a^'=? $

$ a/{a^'} =1/2 $

$ 4/{a^'} =1/2 $

$ a{^'}=8 cm $

Odp.: Długość jednego z boków w większym trójkącie wynosi 8cm.

Zadanie 3.

Prostokąt ma wymiary $4 cm×5 cm$. Jakie wymiary będzie miał drugi z prostokątów, który jest do niego podobny w skali 2:5?

$ k= 2/5 $

$ a=2/5×4 cm=8/5=1,6 cm $

$ b=2/5×5 cm=2 cm $

Odp.: Drugi prostokąt będzie miał wymiary $1,6 cm×2 cm$.

Zadanie 4.

Jeden kwadraty jest do drugiego podobny w skali 5 i ma bok o długości 12 m. Jaki obwód będzie miał drugi kwadrat?

$ k=5 $

$ Obw_1=12×4=48 m $

$ Obw_2=48/5=9,6 m $

Odp.: Drugi kwadrat będzie miał obwód równy 9,6 m.

Zadanie 5.

Jeden prostokąt jest podobny do drugiego w skali 0,1. Jakie będzie miał pole drugi prostokąt, jeżeli pole pierwszego ma pole równe 35.

$k=0,1$ -> $k^2=0,01$

${35}/{P_2} =1/{100} $

$P_2=3500$

Odp.: Pole drugiego prostokąta jest równe 3500.

Zadanie 6.

Ile razy większe jest pole jednej figury od drugiej, gdy jest ona do niej podobna w skali 7?

$k=7$ -> $k^2=49$

${P_1}/{P_2} =49 $

Odp.: Pole pierwszej figury jest 49 razy większe od pola drugiej figury.

 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Każdej liczbie rzeczywistej x przyporządkowujemy największą z liczb (...)

 

{premium}

 

 

 Funkcja przyjmuje wartość -2 np. dla argumentów:    

 

 
 

Przekrój osiowy walca jest prostokątem, w którym jeden z boków

Przekrój osiowy walca to prostokąt, którego jednym bokiem jest średnica podstawy walca, a drugim bokiem jest wysokość walca. 

 

 

Drugi bok prostokąta (odcinek zaznaczony na czerwono) składa się z dwóch wysokości trójkąta równobocznego o boku 12 cm. 

Obliczmy długość czerwonego odcinka: 

 

 

Więc prostokąt ma wymiary: 

 

 

Są dwie możliwości.

Pierwsza z nich:

{premium}  

  

 

 

Druga możliwość: 

 

   

 

 

 

 

 

  

Drugi bok prostokąta obliczymy jako dwukrotność krótszej przyprostokątnej w zamalowanym na niebiesko trójkącie prostokątnym. 

Dla przypomnienia - długości boków w trójkącie o kątach 90°, 60° i 30°:

U nas: 

 

  - długość krótszej przyprostokątnej

 

Obliczamy długość drugiego boku prostokąta:

  

Prostokąt ma więc wymiary:

   

 

Znów mamy dwie możliwości: 

 

 

  

 

 

 

   

W pudełku znajdują się żetony białe i czarne...

 

  Białe  Czarne  RAZEM
Koła     18 
Kwadraty     17  {premium}  
RAZEM         50

 

 

Prawdopodobieństwo wylosowania żetonu, który nie jest białym kwadratem wynosi:

 

Prawdopodobieństwo wylosowania żetonu, który nie jest czarnym kołem wynosi:

 

Dany jest prostopadłościan...

Obliczmy objętość tej bryły.

{premium}  

 

a)  

b)  

c)  

d)  

 

Odp. C

Podstawą ostrosłupa jest prostokąt. Przekątne...

Rysunek pomocniczy:

 Spodek wysokości ostrosłupa dzieli przekątne podstawy na pół. Prostokąt ma{premium} przekątne równej długości,

więc do obliczenia każdej krawędzi bocznej twierdzenie Pitagorasa będzie wyglądało tak samo, a mianowicie:

 [np. dla trójkąta ]  

Zatem wszystkie krawędzie ostrosłupa będą miały tę samą długość, co należało dowieść.

 

 

 

 

 suma krawędzi ostrosłupa

Ten ostrosłup ma  krawędzie podstawy  długości  i  długości  oraz  krawędzie boczne o długości  

Zatem:

 

Podstawiamy znane wartości  oraz  i wyznaczamy  

 

 

 

 

 

Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta  i wyznaczamy   [trójkąt  jest prostokątny,

bo podstawą ostrosłupa jest prostokąt]         

 

 

 

 

 

Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta  i wyznaczamy wysokość ostrosłupa  

 

 

 

 

 

Obliczamy pole podstawy ostrosłupa:

 

 

Obliczamy objętość ostrosłupa:   

 

 

Odp. Objętość ostrosłupa wynosi     

Dwa wielokąty są podobne w skali 1/4...

Większy wielokąt ma 16 razy większy obwód niż mniejszy wielokąt {premium}F (Większy wielokąt ma 4 razy większy obwód niż mniejszy wielokąt)

Mniejszy wielokąt ma 16 razy mniejsze pole niż większy wielokąt. P

Wypisz liczby całkowite należące jednocześnie do obu zbiorów. a) (-4; 0) i <-3;1)

a) -3, -2, -1

{premium}

b) 2, 3, 4, 5, 6

c) -3, -2, -1, 0, 1

d) -1, 0, 1, 2, 3

Na podstawie wykresu funkcji przedstawionego na rysunku odpowiedz dla jakich argumentów

{premium}

Funkcja ma jedno miejsce zerowe

Czy istnieje ostrosłup prawidłowy...

Podstawa ostrosłup prawidłowego sześciokątnego składa się z sześciu trójkątów równobocznych.

{premium}

Gdyby ściany boczne były również trójkątami równobocznymi to nie będzie możliwe złożenie siatki takiego ostrosłupa, ponieważ trójkąty ścian bocznych nałożą się na trójkąty podstawy i wysokość ostrosłupa wyniesie 0. Jest to niemożliwe do wykonania

 

Odp. Nie

Suma trzech kolejnych liczb naturalnych , z których środkowa ma postać 4x - 5y jest równa:

{premium}