Figury podobne - iii-gimnazjum - Baza Wiedzy

Podobieństwo figur

Gdy dwie figury, o takich samych kształtach, różnią się tylko i wyłącznie wielkością to mówimy, że to figury podobne.

Przykład:

podobne1

Stosunek, w jakim różnią się odpowiednie boki figury nazywamy skalą podobieństwa i oznaczamy ją literą k.

Przykład:

podobne2

$$k=2/4=6/12=2/1=1:2$$ -> Figura 1 jest podobna do figury 2 skalą podobieństwa 1:2.

 

Podobieństwo pól figur

W figurach podobnych stosunek pól jest równy kwadratowi skali podobieństwa.

Pzykład:

podobne3
$$k=a/{a'}$$
$$k^2={P_{F1}}/{P_{F2}} =a^2/{a'}^2 $$
 

Prostokąty podobne

Gdy mamy podane długości boków dwóch prostokątów i nie wiemy czy są one podobne, wystarczy sprawdzić czy stosunek boków w jednym prostokącie jest równy stosunkowi boków w drugim prostokącie.

Cecha podobieństw prostokątów:

„Jeżeli stosunek dłuższego boku do krótszego w jednym prostokącie jest taki sam jak w drugim prostokącie, to te dwa prostokąty są podobne.”

prostokatypodobne

Jeżeli $$b/a=d/c$$, to prostokąty są podobne.

 

Trójkąty prostokątne podobne

  1. Cecha podobieństw trójkątów prostokątnych (boki):

    „Dwa trójkąty prostokątne są podobne, jeżeli stosunek długości przyprostokątnych jednego trójkąta jest równy stosunkowi długości odpowiednich przyprostokątnych drugiego trójkąta.”

    trojkatypodobne

    Jeżeli $$a/b=c/d$$ , to trójkąty prostokątne są podobne.

  2. Cecha podobieństwa trójkątów prostokątnych (kąty):

    „Aby stwierdzić, że dwa trójkąty prostokątne są podobne, wystarczy sprawdzić, że jeden z kątów ostrych w jednym trójkącie ma taką samą miarę, jak jeden z kątów ostrych w drugim trójkącie.”

    trojkatypodobne2

    Jeżeli $$α=β$$, to trójkąty prostokątne są podobne.

 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Ile będzie wynosił stosunek pól dwóch figur, jeżeli skala podobieństwa ich boków wynosi 1:6.

$$k= 1/6$$ -> skala podobieństw boków

$$k^2={(1/6)}^2=1/36$$ -> stosunek pól

Odp.: Stosunek pól tych dwóch figur wynosi 1:36.

Zadanie 2.

Mamy dane dwa trójkąty prostokątne podobne, z których mniejszy ma pole równe 4 cm2, a większy 16 cm2. Jaką długość będzie miał bok większego trójkąta, jeżeli odpowiadający mu bok w mniejszym trójkącie ma 4 cm?

$$ k^2=4/{16}$$ -> $$k=1/2 $$

$$ a=4$$ -> $$ 4a^'=? $$

$$ a/{a^'} =1/2 $$

$$ 4/{a^'} =1/2 $$

$$ a{^'}=8 cm $$

Odp.: Długość jednego z boków w większym trójkącie wynosi 8cm.

Zadanie 3.

Prostokąt ma wymiary $$4 cm×5 cm$$. Jakie wymiary będzie miał drugi z prostokątów, który jest do niego podobny w skali 2:5?

$$ k= 2/5 $$

$$ a=2/5×4 cm=8/5=1,6 cm $$

$$ b=2/5×5 cm=2 cm $$

Odp.: Drugi prostokąt będzie miał wymiary $$1,6 cm×2 cm$$.

Zadanie 4.

Jeden kwadraty jest do drugiego podobny w skali 5 i ma bok o długości 12 m. Jaki obwód będzie miał drugi kwadrat?

$$ k=5 $$

$$ Obw_1=12×4=48 m $$

$$ Obw_2=48/5=9,6 m $$

Odp.: Drugi kwadrat będzie miał obwód równy 9,6 m.

Zadanie 5.

Jeden prostokąt jest podobny do drugiego w skali 0,1. Jakie będzie miał pole drugi prostokąt, jeżeli pole pierwszego ma pole równe 35.

$$k=0,1$$ -> $$k^2=0,01$$

$${35}/{P_2} =1/{100} $$

$$P_2=3500$$

Odp.: Pole drugiego prostokąta jest równe 3500.

Zadanie 6.

Ile razy większe jest pole jednej figury od drugiej, gdy jest ona do niej podobna w skali 7?

$$k=7$$ -> $$k^2=49$$

$${P_1}/{P_2} =49 $$

Odp.: Pole pierwszej figury jest 49 razy większe od pola drugiej figury.

 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Określ czy zdanie jest prawdziwe...

a) TAK (dwa boki proporcjonalne oraz kąt prosty między nimi wystarcza aby stwierdzić podobieństwo)

 

b) TAK (dwie pary kątów równej miary oznaczają że miara trzeciej pary też musi być równa, a to daje wszystkie kąty równe co wystarcza żeby stwierdzić podobieństwo)

 

c) NIE (mamy tylko jeden bok i jeden kąt a to za mało aby móc określić czy trójkąty są podobne czy nie)

Przerysuj poniższy wielokąt i narysuj...

W tym zadaniu nie musimy konstruować, bo symetrie można narysować "po kratkach".

`"a)"` 

 

`"b)"` 

 

 

`"c)"` 

`"d)"`  

Usuń niewymierność z mianownika. a) 20/(5+√ 5)

a) `20/(5+sqrt5)=(20(5-sqrt5))/((5+sqrt5)(5-sqrt5))=` `(100-20sqrt5)/(25-5)=5-sqrt5`

b) `3/(2-sqrt5)=(3(2+sqrt5))/((2-sqrt5)(2+sqrt5))=` `(6+3sqrt5)/(4-5)=-6-3sqrt5`

c) `1/(2sqrt2+3)=(2sqrt2-3)/((2sqrt2+3)(2sqrt2-3))=(2sqrt2-3)/(8-9)=3-2sqrt2`

d) `4/(sqrt7-sqrt5)=(4*(sqrt7+sqrt5))/((sqrt7-sqrt5)(sqrt7+sqrt5))` `=(4sqrt7+4sqrt5)/(7-5)=2sqrt7+2sqrt5`

Objętość graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ...

Objętość graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego wynosi 72√3. 

`V=72sqrt{3}` 

Wysokość tego graniastosłupa ma długość 12.

`H=12` 

Obliczamy, ile wynosi pole podstawy `P_p` tego graniastosłupa. 

`V=P_p*H` 

`72sqrt{3}=P_p*12 \ \ \ \ \ \ \ \ \ |:12` 

`P_p=6sqrt{3}` 


Podstawą graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego jest sześciokąt foremny. 

Sześciokąt ten możemy podzielić na sześć przystających trójkątów równobocznych. 

Obliczamy, ile wynosi długość boku (a) tego sześciokąta. 

`P_p=6*(a^2sqrt{3})/4` 

`6sqrt{3}=strike6^3*(a^2sqrt{3})/strike4^2` 

`6sqrt{3}=(3sqrt{3}a^2)/2 \ \ \ \ \ \ \ \ \ |*2` 

`12sqrt{3}=3sqrt{3}a^2 \ \ \ \ \ \ \ |:3sqrt{3}` 

`a^2=4` 

`a=sqrt{4}=2` 

Boki sześciokąta mają długość 2.


Odpowiedź:
Krawędzie podstawy mają długość 2.       

Usuń niewymierność z mianownika ułamka

`a)\ 4/sqrt5=(4sqrt5)/(sqrt5*sqrt5)=` `(4sqrt5)/5` 

`b)\ (3sqrt3)/sqrt6=` `(3sqrt3*sqrt6)/(sqrt6*sqrt6)=` `(3sqrt18)/6=` `sqrt18/2=` `(sqrt9*sqrt2)/2=(3sqrt2)/2` 

`c)\ (2+sqrt5)/(3sqrt2)=` `((2+sqrt5)*sqrt2)/(3sqrt2*sqrt2)=` `(2sqrt2+sqrt10)/(3*2)=` `(2sqrt2+sqrt10)/6` 

`d)\ 2/root3(5)=` `(2*root3(5)*root3(5))/(root3(5)*root3(5)*root3(5))=` `2root3(25)/5` 

`e)\ 3/(2root3(3))=` `(3root3(3)*root3(3))/(2root3(3)*root3(3)*root3(3))=` `(3root3(9))/(2*3)=` `root3(9)/2` 

`f)\ (3+root3(5))/root3(2)=` `((3+root3(5))*root3(2)*root3(2))/(root3(2)*root3(2)*root3(2))=` `((3+root3(5))*root3(4))/2=` `(3root3(4)+root3(20))/2` 

`g)\ sqrt2/(sqrt2-1)=` `(sqrt2*(sqrt2+1))/((sqrt2-1)(sqrt2+1))=` `(2+sqrt2)/(sqrt2^2-1^2)=` `(2+sqrt2)/(2-1)=2+sqrt2` 

`h)\ (sqrt27)/(sqrt3+1)=` `(sqrt27*(sqrt3-1))/((sqrt3+1)(sqrt3-1))=`  `(sqrt81-sqrt27)/(sqrt3^2-1^2)=` `(9-sqrt9*sqrt3)/(3-1)=` `(9-3sqrt3)/2`          

Zaznacz w układzie współrzędnych kilka punktów należących do wykresu (...)

`x=-3,  \ \ \ y=-1/3*(-3)+1=1+1=2 \ \ \ -> \ (-3,2)`   

`x=0,  \ \ \ y=-1/3*0+1=0+1=1 \ \ \ -> \ (0,1)`  

`x=3,  \ \ \ y=-1/3*3+1=-1+1=0 \ \ \ -> \ (3,0)`  

`x=6,  \ \ \ y=-1/3*6+1=-2+1=-1 \ \ \ -> \ (6,-1)` 

`x=-6,  \ \ \ y=-1/3*(-6)+1=2+1=3 \ \ \ -> \ (-6,3)`   

W układzie współrzędnych zaznaczamy powyższe punkty.  

 Zaznaczone punkty są współliniowe. 

W rombie jedna przekątna ma długość x dm, druga jest 20% dłuższa

`x` dm— pierwsza przekątna

`120%x=1,2x` - druga przekątna

`P=1/2*x*1,2x`

`P=0,6x^2dm^2`

Odp. Pole tego rombu wynosi `0,6x^2dm^2` .

Przekątna graniastosłupa prawidłowego czworokątnego ...

Podstawą graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat. 

Wysokość tego graniastosłupa ma długość 6√3, czyli krawędzie boczne mają długość 6√3. 

Zauważmy, że przekątna podstawy, przekątna graniastosłupa oraz krawędź boczna tworzą trójkąt o kątach `30^@, 60^@, 90^@` (jak na powyższym rysunku). 

Korzystając z zależności między bokami w trójkącie o kątach `30^@, 60^@, 90^@` mamy: 

`6sqrt{3}=dsqrt{3} \ \ \ \ \ \ \ \ |:sqrt{3}` 

`6=d` 

Przekątna podstawy ma długość 6.

`x=2d=2*6=12` 

Przekątna graniastosłupa ma długość 12.


Podstawą graniastosłupa jest kwadrat, którego przekątna ma długość 6.

Obliczamy, ile wynosi długość krawędzi podstawy (a).

`d=asqrt{2}` 

`6=asqrt{2} \ \ \ \ \ \ \ \ \ |:sqrt{2}` 

`a=6/sqrt{2}=6/sqrt{2}*sqrt{2}/sqrt{2}=(6sqrt{2})/2=3sqrt{2}` 

Krawędź podstawy ma długość 3√2.


Obliczamy, ile wynosi pole podstawy tego graniastosłupa.

`P_p=(3sqrt{2})^2=9*2=18` 


Obliczamy, ile wynosi pole powierzchni bocznej.

Ściany boczne są prostokątami o wymiarach 3√2 x 6√3. Graniastosłup ten ma 4 ściany boczne. 

`P_b=4*(3sqrt{2}*6sqrt{3})=4*18sqrt{6}=72sqrt{6}` 


Obliczamy, ile wynosi pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa. 

`P_c=2*P_p+P_b` 

`P_c=2*18+72sqrt{6}=36+72sqrt{6}`   


Odpowiedź:
Przekątna graniastosłupa ma długość 12. Pole powierzchni całkowitej wynosi 36+72√6.     

 

Przedstawione na rysunku ...

fskfs

`"I."\ m/(p+s)=s/(m+k)`  FAŁSZ (odcinki nie odpowiadają sobie)

 `"II."\ k/(m+k)=s/(p+s)`  PRAWDA  

`"III."\ p/(p+s)=m/(m+k)`  PRAWDA

`"IV."\ s/(p+s)=m/(m+k)`  FAŁSZ (odcinki nie odpowiadają sobie)

 

Na diagramie przedstawiono...

`a)` 

Wiemy, że trzy osoby nie odwiedziły galerii w ciągu ostatniego miesiąca i stanowią oni 15% ankietowanych. Z tego wynika, że liczba wszystkich ankietowanych osób wynosi:

`3/x*100% = 15%` 

`3/x = 15/100` 

`15*x = 3*100` 

`15*x = 300 \ \ \ \ |:15` 

`x = 20` 

Odpowiedź: W ankiecie wzięło udział 20 osób.

 

`b)` 

Z diagramy wynika, że:

0 wizyt: `3` 

1 wizyta: `20% *20 = 20/100*20 = 4`  

2 wizyty: `25%*20 = 25/100*20 =5` 

3 wizyty: `30%*20 =30/100*20 = 6` 

4 wizyty: `10%*20 = 10/100*20 = 2` 

Średnia liczba wizyt przypadająca na każdego uczestnika ankiety:

`(3*0 + 1*4 + 2*5 + 3*6 + 4*2)/20 = (0+4+10+18+8)/20=40/20 =2` 

Odpowiedź: Średnio na jednego uczestnika ankiety przypadają 2 wizyty.

 

`c)` 

Odpowiedź: `3` 

 

`d)` 

Odpowiedź: `2`