Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Figury podobne - iii-gimnazjum - Baza Wiedzy

Podobieństwo figur

Gdy dwie figury, o takich samych kształtach, różnią się tylko i wyłącznie wielkością to mówimy, że to figury podobne.

Przykład:

podobne1

Stosunek, w jakim różnią się odpowiednie boki figury nazywamy skalą podobieństwa i oznaczamy ją literą k.

Przykład:

podobne2

$$k=2/4=6/12=2/1=1:2$$ -> Figura 1 jest podobna do figury 2 skalą podobieństwa 1:2.

 

Podobieństwo pól figur

W figurach podobnych stosunek pól jest równy kwadratowi skali podobieństwa.

Pzykład:

podobne3
$$k=a/{a'}$$
$$k^2={P_{F1}}/{P_{F2}} =a^2/{a'}^2 $$
 

Prostokąty podobne

Gdy mamy podane długości boków dwóch prostokątów i nie wiemy czy są one podobne, wystarczy sprawdzić czy stosunek boków w jednym prostokącie jest równy stosunkowi boków w drugim prostokącie.

Cecha podobieństw prostokątów:

„Jeżeli stosunek dłuższego boku do krótszego w jednym prostokącie jest taki sam jak w drugim prostokącie, to te dwa prostokąty są podobne.”

prostokatypodobne

Jeżeli $$b/a=d/c$$, to prostokąty są podobne.

 

Trójkąty prostokątne podobne

  1. Cecha podobieństw trójkątów prostokątnych (boki):

    „Dwa trójkąty prostokątne są podobne, jeżeli stosunek długości przyprostokątnych jednego trójkąta jest równy stosunkowi długości odpowiednich przyprostokątnych drugiego trójkąta.”

    trojkatypodobne

    Jeżeli $$a/b=c/d$$ , to trójkąty prostokątne są podobne.

  2. Cecha podobieństwa trójkątów prostokątnych (kąty):

    „Aby stwierdzić, że dwa trójkąty prostokątne są podobne, wystarczy sprawdzić, że jeden z kątów ostrych w jednym trójkącie ma taką samą miarę, jak jeden z kątów ostrych w drugim trójkącie.”

    trojkatypodobne2

    Jeżeli $$α=β$$, to trójkąty prostokątne są podobne.

 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Ile będzie wynosił stosunek pól dwóch figur, jeżeli skala podobieństwa ich boków wynosi 1:6.

$$k= 1/6$$ -> skala podobieństw boków

$$k^2={(1/6)}^2=1/36$$ -> stosunek pól

Odp.: Stosunek pól tych dwóch figur wynosi 1:36.

Zadanie 2.

Mamy dane dwa trójkąty prostokątne podobne, z których mniejszy ma pole równe 4 cm2, a większy 16 cm2. Jaką długość będzie miał bok większego trójkąta, jeżeli odpowiadający mu bok w mniejszym trójkącie ma 4 cm?

$$ k^2=4/{16}$$ -> $$k=1/2 $$

$$ a=4$$ -> $$ 4a^'=? $$

$$ a/{a^'} =1/2 $$

$$ 4/{a^'} =1/2 $$

$$ a{^'}=8 cm $$

Odp.: Długość jednego z boków w większym trójkącie wynosi 8cm.

Zadanie 3.

Prostokąt ma wymiary $$4 cm×5 cm$$. Jakie wymiary będzie miał drugi z prostokątów, który jest do niego podobny w skali 2:5?

$$ k= 2/5 $$

$$ a=2/5×4 cm=8/5=1,6 cm $$

$$ b=2/5×5 cm=2 cm $$

Odp.: Drugi prostokąt będzie miał wymiary $$1,6 cm×2 cm$$.

Zadanie 4.

Jeden kwadraty jest do drugiego podobny w skali 5 i ma bok o długości 12 m. Jaki obwód będzie miał drugi kwadrat?

$$ k=5 $$

$$ Obw_1=12×4=48 m $$

$$ Obw_2=48/5=9,6 m $$

Odp.: Drugi kwadrat będzie miał obwód równy 9,6 m.

Zadanie 5.

Jeden prostokąt jest podobny do drugiego w skali 0,1. Jakie będzie miał pole drugi prostokąt, jeżeli pole pierwszego ma pole równe 35.

$$k=0,1$$ -> $$k^2=0,01$$

$${35}/{P_2} =1/{100} $$

$$P_2=3500$$

Odp.: Pole drugiego prostokąta jest równe 3500.

Zadanie 6.

Ile razy większe jest pole jednej figury od drugiej, gdy jest ona do niej podobna w skali 7?

$$k=7$$ -> $$k^2=49$$

$${P_1}/{P_2} =49 $$

Odp.: Pole pierwszej figury jest 49 razy większe od pola drugiej figury.

 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Korzystając z danych na diagramie, oblicz średnią pensję brutto w Polsce

`"a)"\ (3740+3613+3652+3823)/4=(14\ 828)/4=3707\ "zł"` 

`"b)"\ (3895+3740+3781+3943)/4=(15\ 359)/4=3839,75\ "zł"`   

Pola dwóch kół różnią się o 225πcm², a ich promienie o 5 cm. Oblicz obwód mniejszego koła.

P1 - pole większego koła

P2 - pole mniejszego koła

r - promień większego koła

r - 5 - promień mniejszego koła

 

Mamy równanie:

`P_1-P_2=pir^2-pi(r-5)^2=pir^2-pi(r^2-10r+25)=pir^2-pir^2+10rpi-25pi=225pi`

`10rpi-25pi=225pi`

`10rpi=250pi`

`r=(250pi)/(10pi)=25\ "cm"`

 

Obwód mniejszego koła jest równy:

`O=2pi(r-5)=2*pi*20=40pi\ "cm"`

Na planie miasta w skali 1 : 10 000 park jest prostokątem o bokach długości 3 cm i 4,5 cm

`"Rzeczywiste wymiary parku wynoszą:"`

`"długość -"\ 3*10^4\ "cm"`

`"szerokość -"\ 4,5*10^4\ "cm"`

`"Pole powierzchni parku wynosi:"`

`"P"=3*4,5*10^8\ "cm"^2=13,5*10^4\ "m"^2=13,5\ "ha"=1350\ "a"`

Losowano 20 razy (ze zwracaniem) jedną kartę z tali 52 kart. Sporządzono tabelę częstości:

Prawdziwa jest odpowiedź C.

Wykres funkcji opisanej wzorem ...

Obliczamy, ile wynosi wartość funkcji `f(x)=2x+1`  dla argumentu `sqrt{5}` . 

`f(sqrt{5})=2sqrt{5}+1` 

Wartość funkcji f dla argumentu `sqrt{5}`  wynosi `2sqrt{5}+1`


Sprawdzamy, czy druga współrzędna punktu `C=(sqrt{5},5)` wynosi więcej, czy mniej, niż wartość funkcji f dla argumentu `sqrt{5}` . 

Jeżeli druga współrzędna punktu C wynosi więcej niż wartość funkcji f dla `sqrt{5}` , to punkt C leży nad wykresem funkcji f. 

Jeżeli druga współrzędna punktu C wynosi mniej niż wartość funkcji f dla argumentu `sqrt{5}` , to punkt C leży poniżej wykresu funkcji f. 

`\ \ \ 4 \ < \ \ \ 5 \ \ < \ 9`      

`sqrt{4} \ < \ sqrt{5} \ < \ sqrt{9}` 

`\ \ \ 2 \ < \ sqrt{5} \ < \ 3`  

`2*2  \ < \ 2sqrt{5} \ < \ 3*2` 

`\ \ \ 4 \ \ \ < \ 2sqrt{5} \ < \ 6` 

`4+1 \ < \ 2sqrt{5}+1 \ < \ 6+1`   

`\ \ \ 5 \ \ \ < \ 2sqrt{5}+1 \ < \ 7` 

Druga współrzędna punktu C wynosi mniej niż wartość funkcji f dla argumentu `sqrt{5}` . 

Oznacza to, że punkt C leży pod wykresem funkcji f. 


Odpowiedź
N (nie), ponieważ B. 2√5+1 > 5. 

W starożytnej...

`6:4:3`

Dany jest trapez prostokątny ABCD...

Rysunek pomocniczy:

`a=8` 

Zauważmy, że wysokość trapezu jest taka sama, jak wysokość trójkąta `ABC.` 

Możemy wiec wyznaczyć tę wysokość, korzystając ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego:

`h=(asqrt3)/2` 

`h=(8sqrt3)/2=4sqrt3` 

Pierwsze zdanie jest prawdziwe.

 

Wyznaczmy długość odcinka `b,` korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta `ADC:` 

`h^2+b^2=a^2` 

`(4sqrt3)^2+b^2=8^2` 

`48+b^2=64` 

`b^2=64-48` 

`b^2=16` 

`b=4` 

Obliczamy obwód trapezu:

`L=h+b+2a` 

`L=4sqrt3+4+2*8=4sqrt3+4+16=20+4sqrt3` 

Drugie zdanie jest prawdziwe.      

        

W dwuskrzydłowe i dwuszybowe okno kuchenne wstawione są szyby o wymiarach

`V = 2 *70cm*130cm*0,2cm+2 *40cm*130cm*0,2cm = 3640cm^3+2080cm^3 = 5720cm^3`

`m = 2,6*5720=14872g =14,872% ~~14,87%`

Odp. Masa tych szyb wynosi około 14,87 kg.

Uzasadnij, że jeśli reszta z dzielenia liczby...

Mamy:

`x:5=a,\ "r." \ 3` 

`y:5=b,\ "r."\ 2` 

Czyli liczba `x` podzielona przez `5` daje liczbę `a` i resztę `3,` 

a liczba `y` podzielona przez `5` daje liczbę `b` i resztę `2.`     

Możemy zatem zapisać:

`x=5a+3` 

`y=5b+2` 

Obliczmy teraz iloczyn `x*y:` 

`x*y=(5a+3)(5b+2)=25ab+10a+15b+6` 

Podzielmy ten iloczyn przez `5` i wyznaczmy resztę z dzielenia:

`(x*y):5=5ab+2a+3b+1,\ "r."\ 1` 

Czyli pokazaliśmy, że resztą z dzielenia `x*y` przez `5` jest `1,` co należało dowieść.            

 

Powierzchnia boczna walca jest kwadratem...

Objętość walca obliczamy korzystając  z wzoru:

`V= pi*r^2*H` 

wiemy, że powierzchnia boczna tego walca jest kwadratem zatem:

`2pir=H= 10 \ "cm"` 

`2pir=10 \ \ |:2` 

`pir=5 \ |:pi` 

`r=5/pi` 

zatem:

`V= pi*(5/pi)^2*10=pi*25/pi^2*10=250/pi \ "[cm"^3"]"` 


Odp.: C