Figury na płaszczyźnie - iii-gimnazjum - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Figury na płaszczyźnie - iii-gimnazjum - Baza Wiedzy

Trójkąty

Trójkąty dzielimy na:

  • ostrokątne (wszystkie kąty trójkąta są kątami ostrymi),

  • prostokątne (jeden z kątów trójkąta jest kątem prostym),

  • rozwartokątne (jeden z kątów trójkąta jest kątem rozwartym),

  • równoboczne (wszystkie boki trójkąta mają taką samą długość),

  • równoramienne (dwa boki - ramiona, mają taką samą długość), 

  • różnoboczne (każdy bok trójkąta ma inną długość).


Suma miar kątów w dowolnym trójkącie jest równa 180°.

Nierówność trójkąta:

Boki dowolnego trójkąta muszą spełniać poniższe nierówności:

  1. `a+b \ > \ c` 

  2. `a+c \ > \ b` 

  3. `b+c \ > \ a`   

trojkat

Aby stwierdzić, czy z trzech odcinków można zbudować trójkąt wystarczy sprawdzić, czy suma długości dwóch krótszych odcinków jest większa od długości najdłuższego odcinka.


Trójkąt równoramienny

W trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie mają równe miary, a ramiona mają taką samą długość. 


Trójkąt równoboczny: 

W trójkącie równobocznym wszystkie kąty mają równe miary wynoszące 60o, a boki mają równe długości. 


Trójkąt prostokątny: 

 

Pole trójkąta: 

Pole trójkąta obliczamy ze wzoru:

`P=(a*h)/2` 

`a`   - długość boku

`h`   - długość wysokości opuszczonej na ten bok

Czworokąty

Czworokąty:

  • Trapez - czworokąt, który ma co najmniej jedną parę boków równoległych.

    $ P={(a+b)h}/2 $
  • Równoległobok- czworokąt, który ma dwie pary boków równoległych.

    $P=ah$
  • Romb - czworokąt, który ma wszystkie boki równej długości.

    $P=ah=1/2 d_1 d_2 $
  • Prostokąt - czworokąt, który ma wszystkie kąty proste.

    $ P=ab $
  • Kwadrat - czworokąt, który ma wszystkie boki równe, a wszystkie jego kąty mają miarę 90°.

    $ P=a^2 $

Koła i okręgi

Liczba $π$ (pi) to liczba niewymierna, która określa stosunek długości okręgu do długości średnicy. Służy do obliczania pola koła oraz długości okręgu. W przybliżeniu wynosi 3,14.

 

Długość okręgu:

$ L=dπ=2πr $

L - długość okręgu

d- średnica okręgu

r- promień okręgu

 

Pole koła:

$P=πr^2$

P- pole koła

r- promień koła

Długość łuku:

$L=α/{360°} 2πr$

α- kąt środkowy wycinka okręgu

 

Pole wycinka koła:

$P=α/{360°} πr^2 $

α- kąt środkowy wycinka koła

 

Styczna oraz punkt styczności:

styczna_mavcbw
 

Wzajemne położenie dwóch okręgów

Dwa okręgi mogą być:

  • rozłączne
  • przecinające się
  • styczne
  • współśrodkowe

Wielokąty i okręgi

Wielokąt foremny - wielokąt, który ma wszystkie boki równej długości, a wszystkie jego kąty mają taką samą miarę.

 

Środek okręgu wpisanego w wielokąt jest jednocześnie środkiem okręgu opisanego na tym wielokącie.

Okrąg opisany i wpisany w kwadrat:

$R={a√2}/2$
$r=1/2 a $

R- długość promienia okręgu opisanego

r- długość okręgu wpisanego

a- długość boku kwadratu

okragikwadrat_ytcbgy

Okrąg opisany i wpisany w trójkąt równoboczny:

$ R=2/3 h $
$ r=1/3 h $

R- długość promienia okręgu opisanego

r- długość okręgu wpisanego

h- długość wysokości trójkąta równobocznego

okragitrojkat_kbfmnt

Okrąg opisany i wpisany w sześciokąt foremny:

$ R= a $
$ r={a√3}/2 $

R- długość promienia koła opisanego

r- długość okręgu wpisanego

a- długość boku sześciokąta foremnego


okragwszesciokat

Symetrie

Figury mogą być symetryczne względem punktu i prostej. Prosta, względem, której figury są symetryczne, nazywamy osią symetrii. Punkt, względem, którego figury są symetryczne, nazywamy środkiem symetrii.

  1. Figura, w której możemy pociągnąć oś symetrii nazywamy figurą osiowosymetryczną.

  2. Figura, w której możemy wyznaczyć środek symetrii nazywamy figurą środkowosymetryczną.

 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

W jakich czworokątach (prostokąt, kwadrat, równoległobok, romb lub trapez):

  1. przekątne są równej długości
  2. przekątne przecinają się w połowie
  3. przekątne są prostopadłe
  4. przekątna dzieli czworokąt na 2 trójkąty o równych polach
  1. w prostokącie i kwadracie
  2. w prostokącie, kwadracie, równoległoboku i rombie
  3. w kwadracie i rombie
  4. w prostokącie, kwadracie, równoległoboku i rombie

Zadanie 2.

Jakie pole ma trójkąt równoboczny wpisany w okrąg o promieniu 3?

$ r= 2/3 h $

$ r=2/3×{a√3}/2 $

$ 3= {a√3}/2 $

$a=3√3$ -> $P={a^2 √3}/4={27√3}/4 $

Odp.: Ten trójkąt ma pole ${27√3}/4$.

Zadanie 3.

Jaka jest odległość miedzy środkami okręgów stycznych zewnętrznie o promieniach 4 cm i 9 cm?

szukana odległość -> $r_1+r_2=4+9=13 cm$

Odp.: Odległość między środkami tych okręgów wynosi 13 cm.

Zadanie 4.

W trapezie długości podstaw wynoszą 4 cm i 7 cm, a wysokość 16cm. Oblicz pole tego trapezu.

$P= {(a+b)h}/2 $

$P={(4+7)16}/2=11×8=88 cm^2 $

Odp.: Pole tego trapezu wynosi 88 $cm^2$.

Zadanie 5.

Jakie miary mają dwa pozostałe kąty w rombie, jeżeli miara dwóch kątów wynosi 130°?

Romb posiada dwie pary takich samych kątów. Suma ich miar wynosi 360°.

$130°+130°+x+x=360° $

$2x+260°=360°$

$x=50°$

Odp.: Dwa pozostałe kąty w tym rombie mają po 50°.

Zadanie 6.

Jaki obwód ma kwadrat o przekątnej 5 cm?

a -> bok kwadratu

$a√2=5$

$a={5√2}/2$ -> $Obw=4a=4×{5√2}/2=10√2$ cm

Odp.: Obwód tego kwadratu wynosi $10√2$ cm.

 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Cztery wierzchołki sześcianu, którego...

Wykonamy rysunek pomocniczy:   {premium}



Sześcian rozpadnie się na 4 jednakowe ostrosłupy,

które mają w podstawie prostokątny trójkąt równoramienny o ramieniu długości a oraz wysokości a

Obliczmy objętość każdego z tych ostrosłupów:

 


Odp.: Sześcian rozpadnie się na 4 jednakowe części, a każda z tych części ma objętość równą  a3/6 .

Powierzchnia boczna walca jest przedstawiona na rysunku. Oblicz ...

Narysowany prostokąt przedstawia powierzchnię boczną walca.

Wysokość walca jest krótszym bokiem narysowanego prostokąta, czyli: 

 

Oznacza to, że obwód podstawy walca jest dłuższym bokiem prostokąta, czyli:

  

Obliczamy, ile wynosi {premium}długość promienia podstawy.  

 

 

   

 

 

Promień podstawy walca ma długość 3,5 cm.


Obliczamy, ile wynosi pole powierzchni bocznej (powierzchnią boczną jest prostokąt o wymiarach 22 cm x 10 cm, jak na rysunku).

   


Obliczamy, ile wynosi suma pól podstaw walca. 

  


 

 


Odpowiedź:
Promień podstawy ma długość 3,5 cm. Pole powierzchni bocznej jest większe od sumy pól podstaw.       

W czworokąt można wpisać okrąg, gdy sumy długości przeciwległych boków tego czworokąta są równe

Aby w trapez można było wpisać okrąg, sumy długości przeciwległych boków muszą być sobie równe. Wyznaczymy zatem długość ramienia trapezu.

Wysokość 3a poprowadzona z prawej górnej przekątnej trapezu dzieli podstawę trapezu na długości 2a i 4a. Jednocześnie tworzy ona trójkąt prostokątny z przyprostokątnymi 3a i 4a oraz przeciwprostokątną (oznaczmy przez x), która jest czwartym ramieniem trapezu. Policzmy jej długość z tw. Pitagorasa:

{premium}

Sumy długości przeciwległych boków są sobie równe , zatem w ten czworokąt można wpisać okrąg.

Według prognoz firma Motorola może wyprodukować

Prawdziwa jest odpowiedź D.

Przekątne rombu mają długości...

Rysunek pomocniczy:

Mamy:

 

 

Wyznaczmy długość boku rombu, korzystając z  twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta  {premium}

 

 

 

 

 

Obliczamy obwód rombu:      

 

 

Obliczamy pole rombu:

 

  

Odp. Obwód rombu jest równy  a pole    

Narysuj prostokąt, a następnie pięć...

W pewnej małej lodziarni...

 

Odp.: W sobotę.

 

{premium}  

Odp.: 300 złotych.

 

 

W poniedziałek:  

We wtorek:  

W środę:    

W czwartek:   

W piątek:  

W sobotę:   

W niedzielę:  

Odp.: W sobotę i niedzielę. 

Pewien prostokąt ma tę własność...

Rysunek pomocniczy:

Mamy:

 

wynika z tego, że:{premium}

  

Wiemy, że prostokąt  jest podobny do prostokąta  

Chcemy wyznaczyć, ile wynosi skala podobieństwa większego prostokąta do mniejszego:

  

Z podobieństwa prostokątów zachodzi proporcja:

 

Podstawiamy zależność   i wyznaczamy stosunek         

 

 

 

 

Odp. Skala podobieństwa większego prostokąta do mniejszych prostokątów wynosi  

Trójkąty ABC i A1 B1 C1 są podobne. W pierwszym trójkącie długości boków są

{premium}

Mieszkanie państwa Kowalskich zajmuje powierzchnię prostokąta o wymiarach 7,5 m x 12 m

Pole prostokąta na planie wynosi 360 cm^2. Pole rzeczywiste mieszkania wynosi:

{premium}

Jeżeli wymiary danej figury są w skali 1 : x, to pole tej figury jest w skali . Korzystając z tego, zbadajmy skalę :

Pan Kowalski musiał zatem zastosować skalę 1 : 50.