Figury na płaszczyźnie - iii-gimnazjum - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Figury na płaszczyźnie - iii-gimnazjum - Baza Wiedzy

Trójkąty

Trójkąty dzielimy na:

  • ostrokątne (wszystkie kąty trójkąta są kątami ostrymi),

  • prostokątne (jeden z kątów trójkąta jest kątem prostym),

  • rozwartokątne (jeden z kątów trójkąta jest kątem rozwartym),

  • równoboczne (wszystkie boki trójkąta mają taką samą długość),

  • równoramienne (dwa boki - ramiona, mają taką samą długość), 

  • różnoboczne (każdy bok trójkąta ma inną długość).


Suma miar kątów w dowolnym trójkącie jest równa 180°.

Nierówność trójkąta:

Boki dowolnego trójkąta muszą spełniać poniższe nierówności:

  1. `a+b \ > \ c` 

  2. `a+c \ > \ b` 

  3. `b+c \ > \ a`   

trojkat

Aby stwierdzić, czy z trzech odcinków można zbudować trójkąt wystarczy sprawdzić, czy suma długości dwóch krótszych odcinków jest większa od długości najdłuższego odcinka.


Trójkąt równoramienny

W trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie mają równe miary, a ramiona mają taką samą długość. 


Trójkąt równoboczny: 

W trójkącie równobocznym wszystkie kąty mają równe miary wynoszące 60o, a boki mają równe długości. 


Trójkąt prostokątny: 

 

Pole trójkąta: 

Pole trójkąta obliczamy ze wzoru:

`P=(a*h)/2` 

`a`   - długość boku

`h`   - długość wysokości opuszczonej na ten bok

Czworokąty

Czworokąty:

  • Trapez - czworokąt, który ma co najmniej jedną parę boków równoległych.

    $ P={(a+b)h}/2 $
  • Równoległobok- czworokąt, który ma dwie pary boków równoległych.

    $P=ah$
  • Romb - czworokąt, który ma wszystkie boki równej długości.

    $P=ah=1/2 d_1 d_2 $
  • Prostokąt - czworokąt, który ma wszystkie kąty proste.

    $ P=ab $
  • Kwadrat - czworokąt, który ma wszystkie boki równe, a wszystkie jego kąty mają miarę 90°.

    $ P=a^2 $

Koła i okręgi

Liczba $π$ (pi) to liczba niewymierna, która określa stosunek długości okręgu do długości średnicy. Służy do obliczania pola koła oraz długości okręgu. W przybliżeniu wynosi 3,14.

 

Długość okręgu:

$ L=dπ=2πr $

L - długość okręgu

d- średnica okręgu

r- promień okręgu

 

Pole koła:

$P=πr^2$

P- pole koła

r- promień koła

Długość łuku:

$L=α/{360°} 2πr$

α- kąt środkowy wycinka okręgu

 

Pole wycinka koła:

$P=α/{360°} πr^2 $

α- kąt środkowy wycinka koła

 

Styczna oraz punkt styczności:

styczna_mavcbw
 

Wzajemne położenie dwóch okręgów

Dwa okręgi mogą być:

  • rozłączne
  • przecinające się
  • styczne
  • współśrodkowe

Wielokąty i okręgi

Wielokąt foremny - wielokąt, który ma wszystkie boki równej długości, a wszystkie jego kąty mają taką samą miarę.

 

Środek okręgu wpisanego w wielokąt jest jednocześnie środkiem okręgu opisanego na tym wielokącie.

Okrąg opisany i wpisany w kwadrat:

$R={a√2}/2$
$r=1/2 a $

R- długość promienia okręgu opisanego

r- długość okręgu wpisanego

a- długość boku kwadratu

okragikwadrat_ytcbgy

Okrąg opisany i wpisany w trójkąt równoboczny:

$ R=2/3 h $
$ r=1/3 h $

R- długość promienia okręgu opisanego

r- długość okręgu wpisanego

h- długość wysokości trójkąta równobocznego

okragitrojkat_kbfmnt

Okrąg opisany i wpisany w sześciokąt foremny:

$ R= a $
$ r={a√3}/2 $

R- długość promienia koła opisanego

r- długość okręgu wpisanego

a- długość boku sześciokąta foremnego


okragwszesciokat

Symetrie

Figury mogą być symetryczne względem punktu i prostej. Prosta, względem, której figury są symetryczne, nazywamy osią symetrii. Punkt, względem, którego figury są symetryczne, nazywamy środkiem symetrii.

  1. Figura, w której możemy pociągnąć oś symetrii nazywamy figurą osiowosymetryczną.

  2. Figura, w której możemy wyznaczyć środek symetrii nazywamy figurą środkowosymetryczną.

 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

W jakich czworokątach (prostokąt, kwadrat, równoległobok, romb lub trapez):

  1. przekątne są równej długości
  2. przekątne przecinają się w połowie
  3. przekątne są prostopadłe
  4. przekątna dzieli czworokąt na 2 trójkąty o równych polach
  1. w prostokącie i kwadracie
  2. w prostokącie, kwadracie, równoległoboku i rombie
  3. w kwadracie i rombie
  4. w prostokącie, kwadracie, równoległoboku i rombie

Zadanie 2.

Jakie pole ma trójkąt równoboczny wpisany w okrąg o promieniu 3?

$ r= 2/3 h $

$ r=2/3×{a√3}/2 $

$ 3= {a√3}/2 $

$a=3√3$ -> $P={a^2 √3}/4={27√3}/4 $

Odp.: Ten trójkąt ma pole ${27√3}/4$.

Zadanie 3.

Jaka jest odległość miedzy środkami okręgów stycznych zewnętrznie o promieniach 4 cm i 9 cm?

szukana odległość -> $r_1+r_2=4+9=13 cm$

Odp.: Odległość między środkami tych okręgów wynosi 13 cm.

Zadanie 4.

W trapezie długości podstaw wynoszą 4 cm i 7 cm, a wysokość 16cm. Oblicz pole tego trapezu.

$P= {(a+b)h}/2 $

$P={(4+7)16}/2=11×8=88 cm^2 $

Odp.: Pole tego trapezu wynosi 88 $cm^2$.

Zadanie 5.

Jakie miary mają dwa pozostałe kąty w rombie, jeżeli miara dwóch kątów wynosi 130°?

Romb posiada dwie pary takich samych kątów. Suma ich miar wynosi 360°.

$130°+130°+x+x=360° $

$2x+260°=360°$

$x=50°$

Odp.: Dwa pozostałe kąty w tym rombie mają po 50°.

Zadanie 6.

Jaki obwód ma kwadrat o przekątnej 5 cm?

a -> bok kwadratu

$a√2=5$

$a={5√2}/2$ -> $Obw=4a=4×{5√2}/2=10√2$ cm

Odp.: Obwód tego kwadratu wynosi $10√2$ cm.

 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Na płaskim terenie ustawiono maszt wysokości 11 m ...

Mamy ostrosłup prawidłowy trójkątny. 

Podstawą jest trójkąt równoboczny o boku długości 12 m. 

Wysokość ostrosłupa ma długość 11 m. 


Przyjmijmy oznaczenia jak na poniższym rysunku. 

Obliczamy jaką długość ma wysokość trójkąta równobocznego, o boku {premium}długości 12 m, będącego podstawą ostrosłupa. 

 

Wysokość podstawy ma długość 6√3 m. 


Odcinek x stanowi 2/3 wysokości trójkąta będącego podstawą (w trójkącie równobocznym punkt przecięcia wysokości dzieli je w stosunku 2:1 licząc od wierzchołka). 

 

Odcinek x, wysokość ostrosłupa oraz krawędź boczna tworzą trójkąt prostokątny. 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczamy, ile wynosi długość krawędzi bocznej (b). 

 

 

 

 

Krawędzie boczne mają długość 13 m.


Odpowiedź: Długość lin wynosi 13 m.      

Podstawą graniastosłupa jest sześciokąt...

Dane:

 

{premium}  

Szukane:

 

Rozwiązanie:

 

 

 

Odp.: Objętość tego graniastosłupa wynosi  

Ile wynosi suma miar kątów czworokąta?

Suma miar kątów wewnętrznych czworokąta wynosi{premium} .  

Krawędź podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego ma 12 cm

Graniastosłup prawidłowy czworokątny to prostopadłościan, którego podstawą jest kwadrat. 

Obliczmy z twierdzenia Pitagorasa wysokość tego graniastosłupa (x)

{premium}

 

 

Na pole powierzchni składają się 2 podstawy (kwadraty o boku 12 cm) oraz 4 ściany boczne (prostokąty 12 cm x 16 cm)

 

Oblicz miary kątów trójkąta ABC wpisanego...

Przypomnijmy, że jeżeli średnica okręgu opisanego na trójkącie jest jednym z boków tego trójkąta, to taki trójkąt jest trójkątem prostokątnym. Stąd:{premium}

 

Odcinki  i  są promieniami okręgu, więc trójkąt  jest trójkątem równoramiennym i: 

    

Miarę kąta  obliczamy z sumy kątów trójkąta    

  

 

 

 

Odp.         

Wartość wyrażenia...

Wiemy, że:  

Oznacza to, że:{premium}

 

 

Odpowiedź: B.  

Bilety kolejowe podrożały o 10%.

Skoro bilety podrożały o 10%, to{premium} nowa cena stanowi 100%+10%=110% starej. 

 


Odpowiedź: 
Po podwyżce bilet kosztuje 5,50 zł

Woda nie zawsze wrze w temperaturze...

 Przy ciśnieniu  woda wrze w temperaturze około     {premium}

Takie ciśnienie panuje na wysokości około  nad poziomem morza. 

 Na Śnieżce panuje ciśnienie około Takiemu ciśnieniu odpowiada temperatura około  

Na Mount Everest panuje ciśnienie około  Takiemu ciśnieniu odpowiada temperatura około  

 Temperatura  odpowiada ciśnieniu  Takie ciśnienie panuje na wysokości około  nad poziomem morza.        

Dany jest kąt o mierze 64°. Jak za pomocą

Wyznacz długość przekątnej sześcianu...

 Rysunek pomocniczy:

 

Będziemy chcieli wyznaczyć, jaką długość ma{premium} odcinek zaznaczony na rysunku jako  

Sześcian ma w podstawie kwadrat, więc, ze wzoru na przekątną kwadratu, możemy zapisać, że 

  

Długość przekątnej sześcianu obliczymy, stosując twierdzenie Pitagorasa do trójkąta

z zaznaczonym na rysunku kątem prostym:

 

 

 

 

 

Odp. Przekątna sześcianu o boku   ma długość       

 

 Skorzystamy z rysunku w poprzednim podpunkcie.

Wiemy, że

   

  

Ponownie zastosujemy twierdzenie Pitagorasa, tym razem będziemy wyznaczać długość boku   

 

 

 

   

 

Obliczamy pole podstawy:

  

Sześcian ma wszystkie ściany o takich samych wymiarach, dlatego

pole powierzchni całkowitej będzie równe:

 

Odp. Pole powierzchni całkowitej sześcianu wynosi