Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Figury na płaszczyźnie - iii-gimnazjum - Baza Wiedzy

Trójkąty

Oto kilka najważniejszych własności i wzorów, które powinieneś zapamiętać.

  • Suma miar kątów w trójkącie wynosi 180°.

  • Każdy bok trójkąta ma długość mniejszą od sumy długości dwóch pozostałych.

  • W trójkącie prostokątnym suma kwadratów dwóch krótszych boków jest równa kwadratowi długości trzeciego boku.

  • Wzór na pole trójkąta to $$P=1/2 ah $$

Wzory dotyczące trójkąta równobocznego:

$$ P={a^2 √3}/4 $$
$$ P={h^2 √3}/3 $$
$$ h={a√3}/2 $$

Zależności boków w trójkątach prostokątnych o kątach 60° i 30° oraz 45° i 45°.

306090
454590

Czworokąty

Czworokąty:

  • Trapez - czworokąt, który ma co najmniej jedną parę boków równoległych.

    $$ P={(a+b)h}/2 $$
  • Równoległobok- czworokąt, który ma dwie pary boków równoległych.

    $$P=ah$$
  • Romb - czworokąt, który ma wszystkie boki równej długości.

    $$P=ah=1/2 d_1 d_2 $$
  • Prostokąt - czworokąt, który ma wszystkie kąty proste.

    $$ P=ab $$
  • Kwadrat - czworokąt, który ma wszystkie boki równe, a wszystkie jego kąty mają miarę 90°.

    $$ P=a^2 $$

Koła i okręgi

Liczba $$π$$ (pi) to liczba niewymierna, która określa stosunek długości okręgu do długości średnicy. Służy do obliczania pola koła oraz długości okręgu. W przybliżeniu wynosi 3,14.

 

Długość okręgu:

$$ L=dπ=2πr $$

L - długość okręgu

d- średnica okręgu

r- promień okręgu

 

Pole koła:

$$P=πr^2$$

P- pole koła

r- promień koła

Długość łuku:

$$L=α/{360°} 2πr$$

α- kąt środkowy wycinka okręgu

 

Pole wycinka koła:

$$P=α/{360°} πr^2 $$

α- kąt środkowy wycinka koła

 

Styczna oraz punkt styczności:

styczna_mavcbw
 

Wzajemne położenie dwóch okręgów

Dwa okręgi mogą być:

  • rozłączne
  • przecinające się
  • styczne
  • współśrodkowe

Wielokąty i okręgi

Wielokąt foremny - wielokąt, który ma wszystkie boki równej długości, a wszystkie jego kąty mają taką samą miarę.

 

Środek okręgu wpisanego w wielokąt jest jednocześnie środkiem okręgu opisanego na tym wielokącie.

Okrąg opisany i wpisany w kwadrat:

$$R={a√2}/2$$
$$r=1/2 a $$

R- długość promienia okręgu opisanego

r- długość okręgu wpisanego

a- długość boku kwadratu

okragikwadrat_ytcbgy

Okrąg opisany i wpisany w trójkąt równoboczny:

$$ R=2/3 h $$
$$ r=1/3 h $$

R- długość promienia okręgu opisanego

r- długość okręgu wpisanego

h- długość wysokości trójkąta równobocznego

okragitrojkat_kbfmnt

Okrąg opisany i wpisany w sześciokąt foremny:

$$ R= a $$
$$ r={a√3}/2 $$

R- długość promienia koła opisanego

r- długość okręgu wpisanego

a- długość boku sześciokąta foremnego


okragwszesciokat

Symetrie

Figury mogą być symetryczne względem punktu i prostej. Prosta, względem, której figury są symetryczne, nazywamy osią symetrii. Punkt, względem, którego figury są symetryczne, nazywamy środkiem symetrii.

  1. Figura, w której możemy pociągnąć oś symetrii nazywamy figurą osiowosymetryczną.

  2. Figura, w której możemy wyznaczyć środek symetrii nazywamy figurą środkowosymetryczną.

 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

W jakich czworokątach (prostokąt, kwadrat, równoległobok, romb lub trapez):

  1. przekątne są równej długości
  2. przekątne przecinają się w połowie
  3. przekątne są prostopadłe
  4. przekątna dzieli czworokąt na 2 trójkąty o równych polach
  1. w prostokącie i kwadracie
  2. w prostokącie, kwadracie, równoległoboku i rombie
  3. w kwadracie i rombie
  4. w prostokącie, kwadracie, równoległoboku i rombie

Zadanie 2.

Jakie pole ma trójkąt równoboczny wpisany w okrąg o promieniu 3?

$$ r= 2/3 h $$

$$ r=2/3×{a√3}/2 $$

$$ 3= {a√3}/2 $$

$$a=3√3$$ -> $$P={a^2 √3}/4={27√3}/4 $$

Odp.: Ten trójkąt ma pole $${27√3}/4$$.

Zadanie 3.

Jaka jest odległość miedzy środkami okręgów stycznych zewnętrznie o promieniach 4 cm i 9 cm?

szukana odległość -> $$r_1+r_2=4+9=13 cm$$

Odp.: Odległość między środkami tych okręgów wynosi 13 cm.

Zadanie 4.

W trapezie długości podstaw wynoszą 4 cm i 7 cm, a wysokość 16cm. Oblicz pole tego trapezu.

$$P= {(a+b)h}/2 $$

$$P={(4+7)16}/2=11×8=88 cm^2 $$

Odp.: Pole tego trapezu wynosi 88 $$cm^2$$.

Zadanie 5.

Jakie miary mają dwa pozostałe kąty w rombie, jeżeli miara dwóch kątów wynosi 130°?

Romb posiada dwie pary takich samych kątów. Suma ich miar wynosi 360°.

$$130°+130°+x+x=360° $$

$$2x+260°=360°$$

$$x=50°$$

Odp.: Dwa pozostałe kąty w tym rombie mają po 50°.

Zadanie 6.

Jaki obwód ma kwadrat o przekątnej 5 cm?

a -> bok kwadratu

$$a√2=5$$

$$a={5√2}/2$$ -> $$Obw=4a=4×{5√2}/2=10√2$$ cm

Odp.: Obwód tego kwadratu wynosi $$10√2$$ cm.

 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Dwa z podanych wzorów opisują funkcje ...

Możemy zauważyć, że do wykresu pierwszej funkcji należy między innymi punkt o współrzędnych (1,4).

Podstawiając x=1 oraz y=4 sprawdzamy, dla którego z podanych równań (wzorów) zachodzi równość:

`y=4/x\ \ \ --->\ \ \ 4=4/1\ \ \ "TAK"` 

`y=x/4\ \ \ --->\ \ \ 4=1/4\ \ \ "NIE"` 

`y=-4/x\ \ \ --->\ \ 4=-4/1\ \ \ "NIE"` 

`y=8/x\ \ \ --->\ \ 4=8/1\ \ \ "NIE"` 

`y=-x/2\ \ \ --->\ \ \ 4=-1/2\ \ \ "NIE"` y=-x2    4=-12 

Tylko pierwsza równość jest prawdziwa, więc wykres I przedstawia funkcję zadaną wzorem:

`y=4/x`

Brakujące współrzędne:

Obliczamy wartość dla x=-8  

`y=4/(-8)=-1/2`

Do wykresu należy punkt o współrzędnych `(-8,-1/2)`   

Współrzędne drugiego punktu można odczytać z wykresu:                  

`(2,2)`  




Do wykresu drugiej funkcji należy między innymi punkt o współrzędnych (1,-4).

Sprawdzamy kolejne wzory jak w pierwszym przykładzie.

Wzór pasujący do funkcji przedstawionej na wykresie to:

`y=(-4)/x` 

Brakujące współrzędne: 

Obliczamy wartość dla x=-8 : 

`y=(-4)/(-8)=4/8=1/2` 

Do wykresu funkcji należy punkt o współrzędnych `(-8, 1/2)`  

Współrzędne drugiego punktu odczytujemy z wykresu:

`(-2, 2)` 

Wyznacz odległość prostej, która jest wykresem...

Znajdźmy współrzędne dwóch punktów należących do wykresu funkcji `y=3/4x-3.` Są to:

`B=(4, 0)` 

`C=(0, -3)` 

Zaznaczamy punkty w układzie współrzędnych i prowadzimy przez nie prostą - będzie to wykres

funkcji `y=3/4x-3.` 

Chcemy wyznaczyć odległość tej prostej od początku układu współrzędnych, czyli od punktu `A=(0, 0).` 

Odległość prostej od punktu to najkrótsza odległość, zatem rysunek będzie wyglądał następująco:

 

Chcemy wyznaczyć długość odcinka `h.` 

Zauważmy najpierw, że punkty `A, B, C` tworzą trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości `3` i `4.` 

Wyznaczmy pole tego trójkąta:

`P=1/2*3*4=6` 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa wyznaczmy długość przeciwprostokątnej trójkąta `ABC:` 

`3^2+4^2=|BC|^2` 

`9+16=|BC|^2` 

`25=|BC|^2` 

`|BC|=5` 

Teraz zauważmy, ze odcinek `h` jest wysokością trójkąta `ABC,` bo jest on najkrótszą odległością

prostej `y=3/4x-3` od punktu `(0, 0).`   

Wobec tego pole trójkąta `ABC` możemy zapisać następująco:

`P=1/2*5*h=5/2h` 

Porównajmy teraz ten wynik z polem obliczonym przy pomocy przyprostokątnych:

`5/2h=6` 

Przekształcamy wzór i wyznaczamy z niego `h:`   

`5/2h=6\ "/"*2/5` 

`h=12/5=2 2/5` 

Odp. Odległość prostej `y=3/4x-3` od początku układu współrzędnych jest równa `2 2/5.` 

Zamień sumę na iloczyn. a) x(2a+b)-y^2(-2a-b)+(b+2a)z

`"a)"`  `x(2a+b)-y^2(-2a-b)+(b+2a)z` `=(2a+b)(x+y^2+z)`

`"b)"`  `a^3b(c-1)-a^2b^2(1-c)` `=(c-1)(a^3b+a^2b^2)`

`"c)"`  `a^2bc+abc^2+a(a+c)` `=abc(a+c)+a(a+c)=(a+c)(abc+a)=(a+c)a(bc+1)`

`"d)"`  `x^2y(a^2-b)-a^2y^2+by^2-(b-a^2)``=x^2y(a^2-b)-y^2(a^2-b)-(b-a^2)=` `(a^2-b)(x^2y-y^2+1)`

`"e)"`  `mn(a+b)+m^2n^2(b+a)-b-a``=(a+b)(mn+m^2n^2-1)`

Dany jest walec o wysokości ...

Wysokość walca ma długość 9 cm. 

`H=9 \ "cm"` 

Promień podstawy ma długość 6 cm. 

`r=6 \ "cm"` 


Obliczamy, ile wynosi pole podstawy walca. 

`P_p=pi*(6 \ "cm")^2=pi*36 \ "cm"^2=36pi \ "cm"^2`   


Obliczamy, ile wynosi pole powierzchni bocznej walca. 

`P_b=2pi*6 \ "cm"*9 \ "cm"=108pi \ "cm"^2` 


Obliczamy, ile wynosi pole powierzchni całkowitej. 

`P_c=2*36pi \ "cm"^2+108pi \ "cm"^2=72pi \ "cm"^2+108pi \ "cm"^2=180pi \ "cm"^2`    

 

A. PRAWDA 

Obliczamy, jakim procentem pola powierzchni całkowitej jest pole boczne. 

`P_b/P_c*100%=(108strikepi)/(180strikepi)*100%=108/180*100%=(10 \ 800%)/180=60%`  

Pole powierzchni bocznej stanowi 60% pola powierzchni całkowitej. 


B. PRAWDA 

Obliczamy, ile razy mniejsze jest pole podstawy od pola powierzchni bocznej. 

`P_b/P_p=(108strikepi)/(36strikepi)=3`  

Pole podstawy jest 3 razy mniejsze od pola powierzchni bocznej. 


C. FAŁSZ

Obliczamy, jakim procentem pola powierzchni bocznej jest pole podstawy. 

`P_p/P_b*100%=(36strikepi)/(108strikepi)*100%=36/108*100%=(3600%)/108~~33%` 

Pole podstawy stanowi około 33% pola powierzchni bocznej. 


D. PRAWDA

Obliczamy, ile razy większe jest pole powierzchni całkowitej od pola podstawy. 

`P_c/P_p=(180strikepi)/(36strikepi)=180/36=5` 

Pole powierzchni całkowitej jest 5 razy większe od pola podstawy.  


Poprawna odpowiedź: C. (zdanie C jest nieprawdziwe)

Na rysunku dwie proste zostały przecięte dwiema prostymi równoległymi

`x/3=2/4`

`x=2/4*3=1/2*3=3/2=1 1/2\ \ \ \ odp.\ C`

Przyjmij, że pomarańcza jest modelem kuli o promieniu 4 cm...

`"Objętość kuli o promieniu 4 cm wynosi:"` 

`V= 4/3*Pi*4^3= 4/3*Pi*64= 256/3*Pi~~256/3*3,14=803,84/3~~ 268 \ "[cm"^3"]"` 

`48%V~~0,48*268=128,64 \ "[cm"^3"]"` 

`1 cm^3= 1 ml` 

`128,64 \ cm^3= 128,64 \ ml` 

`"Z jednego owocu można otrzymać ok. 128,64 ml, zatem:"` 

`1\ l=1000 \ ml` 
`1000:128,64~~8` 

`"Odpowiedź: Aby uzyskać 1 l soku należy wycisnąć ok 8 sztuk pomarańczy."` 

Liczba spełniająca równanie...

`3x^2+2 = 1-4x` 

 

`bbA.` 

`3*1^2+ 2 = 1-4*1` 

`3*1+2 = 1-4` 

`3+2=-3` 

`5!=-3` 

SPRZECZNOŚĆ.

 

`bbB.` 

`3*(1/3)^2 + 2 = 1-4*1/3` 

`3*1/9 + 2 = 1-4/3` 

`1/3 + 2 = 3/3-4/3` 

`1/3+6/3 = -1/3` 

`7/3!=-1/3` 

SPRZECZNOŚĆ 

 

`bbC.` 

`3*(-1/3)^2 + 2 =1 - 4*(-1/3)` 

`3*1/9+2 = 1 +4/3` 

`1/3+6/3 = 3/3+4/3` 

`7/3 = 7/3` 

TOŻSAMOŚĆ

 

`bbD.` 

`3*3^2+2 = 1-4*3` 

`3*9+2 = 1-12` 

`27+2 = -11` 

`29!=-11` 

SPRZECZNOŚĆ

 

Odpowiedź: C. `x = -1/3` 

Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie monetą, a następnie sześcienną kostką do gry

`"Zbiór zdarzeń elementarnych ma"\  2*2*6=24\  "elementy."`

Zapisz w postaci iloczynu lub potęgi...

`a")" \ z^2-8z+16=z^2-2*4*z+4^2=(z-4)^2` 

`b")" \ 1/4+t+t^2=(1/2)^2+2*1/2*t+t^2=(1/2+t)^2` 

`c")" \ y^2-1/25=y^2(1/5)^2=(y-1/5)(y+1/5)` 


`d")" \ 9b^2-16a^2=(3b)^2-(4a)^2=(3b-4a)(3b+4a)` 

Trójkąt ABC ma boki...

Skoro trójkąty ABC i A'B'C' są podobne to znaczy, że stosunki odpowiadających boków są równe. W takim razie stosunek długości najdłuższego boku w trójkącie ABC do najdłuższego boku w trójkącie A'B'C' będzie taka sama jak pozostałych odpowiadających sobie boków.

Policzmy stosunek najdłuższych boków:

`(strike14^7)/(strike10^5)=7/5` 

A więc stosunek obwodu trójkąta ABC do obwodu trójkąta A'B'C' jest taki sam jak stosunek boków, policzmy obwód trójkąta ABC:

`Obw_(ABC)=9+14+12 = 35 \ [cm]` 

 Przyrównajmy stosunek obwodów to skali podobieństwa:

`(Obw_(ABC))/(Obw_(A'B'C')) = 7/5`

`35/(Obw(A'B'C'))=(7*5)/(5*5)`

`35/(Obw(A'B'C'))=35/25`

A więc obwód trójkąta A'B'C' wynosi:

`Obw(A'B'C')=25`