Figury na płaszczyźnie - iii-gimnazjum - Baza Wiedzy

Trójkąty

Trójkąty dzielimy na:

  • ostrokątne (wszystkie kąty trójkąta są kątami ostrymi),

  • prostokątne (jeden z kątów trójkąta jest kątem prostym),

  • rozwartokątne (jeden z kątów trójkąta jest kątem rozwartym),

  • równoboczne (wszystkie boki trójkąta mają taką samą długość),

  • równoramienne (dwa boki - ramiona, mają taką samą długość), 

  • różnoboczne (każdy bok trójkąta ma inną długość).


Suma miar kątów w dowolnym trójkącie jest równa 180°.

Nierówność trójkąta:

Boki dowolnego trójkąta muszą spełniać poniższe nierówności:

  1. `a+b \ > \ c` 

  2. `a+c \ > \ b` 

  3. `b+c \ > \ a`   

trojkat

Aby stwierdzić, czy z trzech odcinków można zbudować trójkąt wystarczy sprawdzić, czy suma długości dwóch krótszych odcinków jest większa od długości najdłuższego odcinka.


Trójkąt równoramienny

W trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie mają równe miary, a ramiona mają taką samą długość. 


Trójkąt równoboczny: 

W trójkącie równobocznym wszystkie kąty mają równe miary wynoszące 60o, a boki mają równe długości. 


Trójkąt prostokątny: 

 

Pole trójkąta: 

Pole trójkąta obliczamy ze wzoru:

`P=(a*h)/2` 

`a`   - długość boku

`h`   - długość wysokości opuszczonej na ten bok

Czworokąty

Czworokąty:

  • Trapez - czworokąt, który ma co najmniej jedną parę boków równoległych.

    $$ P={(a+b)h}/2 $$
  • Równoległobok- czworokąt, który ma dwie pary boków równoległych.

    $$P=ah$$
  • Romb - czworokąt, który ma wszystkie boki równej długości.

    $$P=ah=1/2 d_1 d_2 $$
  • Prostokąt - czworokąt, który ma wszystkie kąty proste.

    $$ P=ab $$
  • Kwadrat - czworokąt, który ma wszystkie boki równe, a wszystkie jego kąty mają miarę 90°.

    $$ P=a^2 $$

Koła i okręgi

Liczba $$π$$ (pi) to liczba niewymierna, która określa stosunek długości okręgu do długości średnicy. Służy do obliczania pola koła oraz długości okręgu. W przybliżeniu wynosi 3,14.

 

Długość okręgu:

$$ L=dπ=2πr $$

L - długość okręgu

d- średnica okręgu

r- promień okręgu

 

Pole koła:

$$P=πr^2$$

P- pole koła

r- promień koła

Długość łuku:

$$L=α/{360°} 2πr$$

α- kąt środkowy wycinka okręgu

 

Pole wycinka koła:

$$P=α/{360°} πr^2 $$

α- kąt środkowy wycinka koła

 

Styczna oraz punkt styczności:

styczna_mavcbw
 

Wzajemne położenie dwóch okręgów

Dwa okręgi mogą być:

  • rozłączne
  • przecinające się
  • styczne
  • współśrodkowe

Wielokąty i okręgi

Wielokąt foremny - wielokąt, który ma wszystkie boki równej długości, a wszystkie jego kąty mają taką samą miarę.

 

Środek okręgu wpisanego w wielokąt jest jednocześnie środkiem okręgu opisanego na tym wielokącie.

Okrąg opisany i wpisany w kwadrat:

$$R={a√2}/2$$
$$r=1/2 a $$

R- długość promienia okręgu opisanego

r- długość okręgu wpisanego

a- długość boku kwadratu

okragikwadrat_ytcbgy

Okrąg opisany i wpisany w trójkąt równoboczny:

$$ R=2/3 h $$
$$ r=1/3 h $$

R- długość promienia okręgu opisanego

r- długość okręgu wpisanego

h- długość wysokości trójkąta równobocznego

okragitrojkat_kbfmnt

Okrąg opisany i wpisany w sześciokąt foremny:

$$ R= a $$
$$ r={a√3}/2 $$

R- długość promienia koła opisanego

r- długość okręgu wpisanego

a- długość boku sześciokąta foremnego


okragwszesciokat

Symetrie

Figury mogą być symetryczne względem punktu i prostej. Prosta, względem, której figury są symetryczne, nazywamy osią symetrii. Punkt, względem, którego figury są symetryczne, nazywamy środkiem symetrii.

  1. Figura, w której możemy pociągnąć oś symetrii nazywamy figurą osiowosymetryczną.

  2. Figura, w której możemy wyznaczyć środek symetrii nazywamy figurą środkowosymetryczną.

 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

W jakich czworokątach (prostokąt, kwadrat, równoległobok, romb lub trapez):

  1. przekątne są równej długości
  2. przekątne przecinają się w połowie
  3. przekątne są prostopadłe
  4. przekątna dzieli czworokąt na 2 trójkąty o równych polach
  1. w prostokącie i kwadracie
  2. w prostokącie, kwadracie, równoległoboku i rombie
  3. w kwadracie i rombie
  4. w prostokącie, kwadracie, równoległoboku i rombie

Zadanie 2.

Jakie pole ma trójkąt równoboczny wpisany w okrąg o promieniu 3?

$$ r= 2/3 h $$

$$ r=2/3×{a√3}/2 $$

$$ 3= {a√3}/2 $$

$$a=3√3$$ -> $$P={a^2 √3}/4={27√3}/4 $$

Odp.: Ten trójkąt ma pole $${27√3}/4$$.

Zadanie 3.

Jaka jest odległość miedzy środkami okręgów stycznych zewnętrznie o promieniach 4 cm i 9 cm?

szukana odległość -> $$r_1+r_2=4+9=13 cm$$

Odp.: Odległość między środkami tych okręgów wynosi 13 cm.

Zadanie 4.

W trapezie długości podstaw wynoszą 4 cm i 7 cm, a wysokość 16cm. Oblicz pole tego trapezu.

$$P= {(a+b)h}/2 $$

$$P={(4+7)16}/2=11×8=88 cm^2 $$

Odp.: Pole tego trapezu wynosi 88 $$cm^2$$.

Zadanie 5.

Jakie miary mają dwa pozostałe kąty w rombie, jeżeli miara dwóch kątów wynosi 130°?

Romb posiada dwie pary takich samych kątów. Suma ich miar wynosi 360°.

$$130°+130°+x+x=360° $$

$$2x+260°=360°$$

$$x=50°$$

Odp.: Dwa pozostałe kąty w tym rombie mają po 50°.

Zadanie 6.

Jaki obwód ma kwadrat o przekątnej 5 cm?

a -> bok kwadratu

$$a√2=5$$

$$a={5√2}/2$$ -> $$Obw=4a=4×{5√2}/2=10√2$$ cm

Odp.: Obwód tego kwadratu wynosi $$10√2$$ cm.

 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Oblicz objętość...

 

a)  

 

b) Graniastosłup prawidłowy czworokątny ma w podstawie kwadrat.

Obliczmy pole podstawy.

 

 

 

c) Graniastosłup prawidłowy trójkątny ma w podstawie trójkąt równoboczny. 

Obliczmy pole podstawy.

  

Oceń prawdziwość każdego zdania.

I. - F (fałsz)

Kąt środkowy jednego z wycinków może mięc miarę 50o a drugiego z wycinków 80o
Miary kątów środkowych są różne, więc wyniki nie są podobne mimo równej długości promieni. 


II. - P (prawda)

Pierwszy kwadrat:
Obwód tego kwadratu wynosi 24 cm. 
Długość boku kwadratu o obwodzie 24 cm wynosi 24cm:4=6cm. 

Drugi kwadrat:
Pole kwadratu wynosi 36cm2. Bok tego kwadratu ma więc długość 6 cm.

Kwadraty te mają boki długości 6 cm, więc skala ich podobienstwa wynosi 1. 


III. - P (prawda)

Koło o polu 6,25πcm2 ma promień (r) długości:
 
 
  

Promień koła ma długość 2,5 cm. 

Długość średnicy tego koła wynosi:
 

Średnica koła ma długość 5 cm. 

Koło o średnicy 5 cm jest podobne do koła o średnicy 14 cm w skali:

 


IV. - P (prawda)

Romb o boku długości 5 cm i przekątnej długości 5 cm jest więc podobny do rombu o kącie ostrym równym 60o i boku 5 cm. 

Liczba 5-² jest większa od liczby 1/625

Odp.D

Przekątna sześciokąta foremnego

(na rysunku B nie zaznaczono przekątnej)

Jaką wysokość ma trójkąt równoboczny o boku 12 cm?

  - wzór na wysokość trójkąta równobocznego o boku długości a{premium}

  - wzór na pole trójkąta równobocznego o boku długości a


   

  

   

Pan Graczyk kupił 100 akcji firmy Eldorado...

Obliczamy, ile pan Graczyk zarobił przy pierwszej sprzedaży akcji:

 

Obliczamy, ile pan Graczyk zarobił przy drugiej sprzedaży akcji:{premium}

 

Obliczamy, ile w sumie zarobił pan Graczyk:

 

Odp. Po obu transakcjach pan Graczyk zyskał   

 

Najpopularniejsze kolory pojawiające się na flagach (...)

224 - flagi wszystkich państw

132 - flagi, na których pojawia się kolor biały i czerwony

18 - flagi, na których są tylko te dwa kolory

4 - flagi, na których jest tyle samo koloru białego, co czerwonego

 

a) Na 132 flagach z 224 pojawiają się kolory czerwony i biały. 

 

Flagi, na których są kolory biały i czerwony stanowią około 59% flag państwowych. 

{premium}

b) 18 flag z 224 to flagi, które są biało - czerwone. 

 

Flagi biało - czerwone stanowią około 8% wszystkich flag. 

 

c) Na 4 flagach z 18 (flagi biało - czerwone) jest tyle samo koloru białego co czerwonego.

Na około 22% flag biało - czerwonych jest tyle samo koloru białego co czerwonego. 

Oblicz, a następnie sprawdź, czy wynik znajduje się wśród liczb wypisanych z prawej strony...

 {premium}
 
 
 
 
 
 

W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź podstawy jest równa 8 cm

a)

 

|HD|=10cm

Odp. Długości krawędzi bocznych mają długość:  oraz 10cm.

b)

Odp. Pole powierzchni całkowitej wynosi 

c)

Odp. Objętość ostrosłupa jest 3 razy mniejsza od objętości graniastosłupa.

 

Wśród liczb...

  

Podany mamy wzór:  

Miejscem zerowym funkcji jest:   

 

  

Podany mamy wzór:  

Miejscami zerowymi funkcji są:  

 

  

Podany mamy wzór:  

Miejscami zerowymi funkcji są:  

 

  

Podany mamy wzór:  

Miejscem zerowym funkcji jest: