Figury na płaszczyźnie - iii-gimnazjum - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Figury na płaszczyźnie - iii-gimnazjum - Baza Wiedzy

Trójkąty

Trójkąty dzielimy na:

  • ostrokątne (wszystkie kąty trójkąta są kątami ostrymi),

  • prostokątne (jeden z kątów trójkąta jest kątem prostym),

  • rozwartokątne (jeden z kątów trójkąta jest kątem rozwartym),

  • równoboczne (wszystkie boki trójkąta mają taką samą długość),

  • równoramienne (dwa boki - ramiona, mają taką samą długość), 

  • różnoboczne (każdy bok trójkąta ma inną długość).


Suma miar kątów w dowolnym trójkącie jest równa 180°.

Nierówność trójkąta:

Boki dowolnego trójkąta muszą spełniać poniższe nierówności:

  1. `a+b \ > \ c` 

  2. `a+c \ > \ b` 

  3. `b+c \ > \ a`   

trojkat

Aby stwierdzić, czy z trzech odcinków można zbudować trójkąt wystarczy sprawdzić, czy suma długości dwóch krótszych odcinków jest większa od długości najdłuższego odcinka.


Trójkąt równoramienny

W trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie mają równe miary, a ramiona mają taką samą długość. 


Trójkąt równoboczny: 

W trójkącie równobocznym wszystkie kąty mają równe miary wynoszące 60o, a boki mają równe długości. 


Trójkąt prostokątny: 

 

Pole trójkąta: 

Pole trójkąta obliczamy ze wzoru:

`P=(a*h)/2` 

`a`   - długość boku

`h`   - długość wysokości opuszczonej na ten bok

Czworokąty

Czworokąty:

  • Trapez - czworokąt, który ma co najmniej jedną parę boków równoległych.

    $ P={(a+b)h}/2 $
  • Równoległobok- czworokąt, który ma dwie pary boków równoległych.

    $P=ah$
  • Romb - czworokąt, który ma wszystkie boki równej długości.

    $P=ah=1/2 d_1 d_2 $
  • Prostokąt - czworokąt, który ma wszystkie kąty proste.

    $ P=ab $
  • Kwadrat - czworokąt, który ma wszystkie boki równe, a wszystkie jego kąty mają miarę 90°.

    $ P=a^2 $

Koła i okręgi

Liczba $π$ (pi) to liczba niewymierna, która określa stosunek długości okręgu do długości średnicy. Służy do obliczania pola koła oraz długości okręgu. W przybliżeniu wynosi 3,14.

 

Długość okręgu:

$ L=dπ=2πr $

L - długość okręgu

d- średnica okręgu

r- promień okręgu

 

Pole koła:

$P=πr^2$

P- pole koła

r- promień koła

Długość łuku:

$L=α/{360°} 2πr$

α- kąt środkowy wycinka okręgu

 

Pole wycinka koła:

$P=α/{360°} πr^2 $

α- kąt środkowy wycinka koła

 

Styczna oraz punkt styczności:

styczna_mavcbw
 

Wzajemne położenie dwóch okręgów

Dwa okręgi mogą być:

  • rozłączne
  • przecinające się
  • styczne
  • współśrodkowe

Wielokąty i okręgi

Wielokąt foremny - wielokąt, który ma wszystkie boki równej długości, a wszystkie jego kąty mają taką samą miarę.

 

Środek okręgu wpisanego w wielokąt jest jednocześnie środkiem okręgu opisanego na tym wielokącie.

Okrąg opisany i wpisany w kwadrat:

$R={a√2}/2$
$r=1/2 a $

R- długość promienia okręgu opisanego

r- długość okręgu wpisanego

a- długość boku kwadratu

okragikwadrat_ytcbgy

Okrąg opisany i wpisany w trójkąt równoboczny:

$ R=2/3 h $
$ r=1/3 h $

R- długość promienia okręgu opisanego

r- długość okręgu wpisanego

h- długość wysokości trójkąta równobocznego

okragitrojkat_kbfmnt

Okrąg opisany i wpisany w sześciokąt foremny:

$ R= a $
$ r={a√3}/2 $

R- długość promienia koła opisanego

r- długość okręgu wpisanego

a- długość boku sześciokąta foremnego


okragwszesciokat

Symetrie

Figury mogą być symetryczne względem punktu i prostej. Prosta, względem, której figury są symetryczne, nazywamy osią symetrii. Punkt, względem, którego figury są symetryczne, nazywamy środkiem symetrii.

  1. Figura, w której możemy pociągnąć oś symetrii nazywamy figurą osiowosymetryczną.

  2. Figura, w której możemy wyznaczyć środek symetrii nazywamy figurą środkowosymetryczną.

 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

W jakich czworokątach (prostokąt, kwadrat, równoległobok, romb lub trapez):

  1. przekątne są równej długości
  2. przekątne przecinają się w połowie
  3. przekątne są prostopadłe
  4. przekątna dzieli czworokąt na 2 trójkąty o równych polach
  1. w prostokącie i kwadracie
  2. w prostokącie, kwadracie, równoległoboku i rombie
  3. w kwadracie i rombie
  4. w prostokącie, kwadracie, równoległoboku i rombie

Zadanie 2.

Jakie pole ma trójkąt równoboczny wpisany w okrąg o promieniu 3?

$ r= 2/3 h $

$ r=2/3×{a√3}/2 $

$ 3= {a√3}/2 $

$a=3√3$ -> $P={a^2 √3}/4={27√3}/4 $

Odp.: Ten trójkąt ma pole ${27√3}/4$.

Zadanie 3.

Jaka jest odległość miedzy środkami okręgów stycznych zewnętrznie o promieniach 4 cm i 9 cm?

szukana odległość -> $r_1+r_2=4+9=13 cm$

Odp.: Odległość między środkami tych okręgów wynosi 13 cm.

Zadanie 4.

W trapezie długości podstaw wynoszą 4 cm i 7 cm, a wysokość 16cm. Oblicz pole tego trapezu.

$P= {(a+b)h}/2 $

$P={(4+7)16}/2=11×8=88 cm^2 $

Odp.: Pole tego trapezu wynosi 88 $cm^2$.

Zadanie 5.

Jakie miary mają dwa pozostałe kąty w rombie, jeżeli miara dwóch kątów wynosi 130°?

Romb posiada dwie pary takich samych kątów. Suma ich miar wynosi 360°.

$130°+130°+x+x=360° $

$2x+260°=360°$

$x=50°$

Odp.: Dwa pozostałe kąty w tym rombie mają po 50°.

Zadanie 6.

Jaki obwód ma kwadrat o przekątnej 5 cm?

a -> bok kwadratu

$a√2=5$

$a={5√2}/2$ -> $Obw=4a=4×{5√2}/2=10√2$ cm

Odp.: Obwód tego kwadratu wynosi $10√2$ cm.

 

Spis treści

Rozwiązane zadania
W tabeli przedstawiono wyniki

Zapiszmy wyniki w uporządkowanym zbiorze: 

 

 

Modalną danych przedstawionych w tabeli jest 5 (odp. D), ponieważ 5 oczek pojawiło się najczęściej - 5 razy. 

 

Medianą danych przedstawionych w tabeli jest   - odp. A

 

Średnia arytmetyczna danych przedstawionych w tabeli jest równa: 

W ostatnim zdaniu należy zaznaczyć opowiedź B. 

Przedstaw w postaci wykresu funkcję, która ...

Funkcja każdej liczbie ze zbioru {-1, 0, 1, 2} przyporządkowuje liczbę o 2 mniejszą od jej potrojenia. 

 {premium}

 

 

 


Funkcja ta nie ma miejsc zerowych. Wartość 0 nie jest przyjmowana dla żadnego argumentu. 


Funkcja ta przyjmuje wartość dodatnią dla dwóch argumentów: x=1 i x=2. 

Rozwiąż układ równań metodą ...

 

 

 

 

   

 

  

 

 

 

Rozwiazanie układu równań jest para liczb:

 

 

Sprawdzamy rozwiązanie:

Podstawimy x i y do lewych stron obu równań i patrzymy, czy otrzymamy liczbę znajdującą się po prawej stronie.

Pierwsze równanie:

 

 

Drugie równanie:

  

 

 

  

  

 

     

 

 

   

 

  

Rozwiazanie układu równań jest para liczb:

 

 

Sprawdzamy rozwiązanie:

Podstawimy x i y do lewych stron obu równań i patrzymy, czy otrzymamy liczbę znajdującą się po prawej stronie.

Pierwsze równanie:

  

 

Drugie równanie:

  

 

 

  

  

  

   

     

 

 

   

 

  

Rozwiazanie układu równań jest para liczb:

 

 

Sprawdzamy rozwiązanie:

Podstawimy x i y do lewych stron obu równań i patrzymy, czy otrzymamy liczbę znajdującą się po prawej stronie.

Pierwsze równanie:

  

 

Drugie równanie:

Zapisz odpowiedzi...

 

Liczba sucharków w opakowaniu:  

Masa opakowania sucharków:  

Procent skrobi znajdujący się w jednym sucharku:  

Zapisujemy wyrażenie opisujące masę skrobi w jednym sucharku:

 

 

 

 

  

Liczba czytelników w wieku 16 lat:   

Liczba czytelników w wieku powyżej 16 lat:  

Procent o jaki wzrosła grupa czytelników w wieku 16 lat:  

Procent o jaki zmalała grupa czytelników w wieku powyżej 16 lat:  

Zapisujemy wyrażenie opisujące liczbę czytelników po zmianach:

 

 

  

 

 

Cena biletu jednorazowego:  

Cena biletu miesięcznego:  

Liczba biletów jednorazowych:  

Zapisujemy wyrażenie opisujące o ile więcej kosztują bilety jednorazowe od miesięcznego:

 

 

 

Liczba biletów kupionych na karuzelę w dniu otwarcia:  

Cena jednego biletu na karuzelę:  

Kwota o jaką zmniejszono cenę biletów:  

Procent o jaki wzrosła liczba sprzedanych biletów:  

Zapisujemy wyrażenie opisujące kwotę uzyskaną ze sprzedaży biletów:

 

 

 

Funkcja określona tabelką przyporządkowuje każdej ...

a) Wyraz pasujący do tabeli to:

MATEMATYKA

 

b) Tabela dla wyrazu OPOWIADANIE:

x O P W I A D N E
y 2 1 1 2 2 1 1 1

 

c) Tabela dla przykładowego imienia i nazwiska - ANNA KOWALSKA

x A N K O W L S
y 4 2 2 1 1 1 1
Trójkąt prostokątny ma dwa boki o długościach 5 cm i 12 cm

x - trzeci bok, który jest przyprostokątną trójkąta

 

 

y - trzeci bok, który jest przeciwprostokątną trójkąta

Podaj promień podstawy i wysokość...

 

Wysokość stożka:  

Tworząca stożek:  

Obliczamy promień podstawy stożka:

 

 

 

 

 

 

 

 

Promień podstawy stożka:  

Tworząca stożek:  

Obliczamy wysokość stożka:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Promień podstawy stożka:  

Tworząca stożek:  

Obliczamy wysokość stożka:

 

 

 

 

 

 

 

Promień podstawy stożka:  

Tworząca stożek:  

Obliczamy wysokość stożka:

 

 

 

 

Jaką liczbę należy dopisać do czterech poniższych, aby ...

Liczbę, którą należy dopisać oznaczamy  .

Chcemy, aby średnia arytmetyczna liczb:

 

wynosiła 12. 


Zatem:
 

 

       

 

 

 

Należy dopisać liczbę 2 1/2.         

Przedstawiona obok bryła powstała przez doklejenie...

Rysunek pomocniczy:

 

 {premium}

 

 

 

Na objętość bryły składają się: objętość graniastosłupa  oraz dwie objętości przystających stożków.

Obliczamy najpierw pole podstawy graniastosłupa/stożków:

 

 

Obliczamy objętość graniastosłupa:

 

 

Obliczamy objętość jednego stożka:

 

 

Obliczamy objętość bryły:

 

          

Na pole powierzchni całkowitej bryły składają się: pole powierzchni bocznej graniastosłupa oraz podwojone

pole powierzchni bocznej stożka.

Obliczamy pole powierzchni bocznej graniastosłupa:

 

 

Do obliczenia pola powierzchni bocznej stożka będzie nam potrzebna wysokość ściany bocznej,

a aby ją wyznaczyć, musimy ustalić długość krawędzi ściany bocznej - skorzystamy z twierdzenia

Pitagorasa dla trójkąta  

 

 

 

 

 

Obliczamy wysokość ściany bocznej - korzystamy z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta   

 

  

 

 

 

Obliczamy pole powierzchni bocznej jednego stożka:

 

 

Obliczamy pole powierzchni całkowitej bryły:

 

 

Odp. Objętość bryły wynosi  a pole powierzchni całkowitej jest równe           

  

      

 

 

Wyznacz x z każdego równania