Figury na płaszczyźnie - iii-gimnazjum - Baza Wiedzy

Trójkąty

Trójkąty dzielimy na:

  • ostrokątne (wszystkie kąty trójkąta są kątami ostrymi),

  • prostokątne (jeden z kątów trójkąta jest kątem prostym),

  • rozwartokątne (jeden z kątów trójkąta jest kątem rozwartym),

  • równoboczne (wszystkie boki trójkąta mają taką samą długość),

  • równoramienne (dwa boki - ramiona, mają taką samą długość), 

  • różnoboczne (każdy bok trójkąta ma inną długość).


Suma miar kątów w dowolnym trójkącie jest równa 180°.

Nierówność trójkąta:

Boki dowolnego trójkąta muszą spełniać poniższe nierówności:

  1. `a+b \ > \ c` 

  2. `a+c \ > \ b` 

  3. `b+c \ > \ a`   

trojkat

Aby stwierdzić, czy z trzech odcinków można zbudować trójkąt wystarczy sprawdzić, czy suma długości dwóch krótszych odcinków jest większa od długości najdłuższego odcinka.


Trójkąt równoramienny

W trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie mają równe miary, a ramiona mają taką samą długość. 


Trójkąt równoboczny: 

W trójkącie równobocznym wszystkie kąty mają równe miary wynoszące 60o, a boki mają równe długości. 


Trójkąt prostokątny: 

 

Pole trójkąta: 

Pole trójkąta obliczamy ze wzoru:

`P=(a*h)/2` 

`a`   - długość boku

`h`   - długość wysokości opuszczonej na ten bok

Czworokąty

Czworokąty:

  • Trapez - czworokąt, który ma co najmniej jedną parę boków równoległych.

    $$ P={(a+b)h}/2 $$
  • Równoległobok- czworokąt, który ma dwie pary boków równoległych.

    $$P=ah$$
  • Romb - czworokąt, który ma wszystkie boki równej długości.

    $$P=ah=1/2 d_1 d_2 $$
  • Prostokąt - czworokąt, który ma wszystkie kąty proste.

    $$ P=ab $$
  • Kwadrat - czworokąt, który ma wszystkie boki równe, a wszystkie jego kąty mają miarę 90°.

    $$ P=a^2 $$

Koła i okręgi

Liczba $$π$$ (pi) to liczba niewymierna, która określa stosunek długości okręgu do długości średnicy. Służy do obliczania pola koła oraz długości okręgu. W przybliżeniu wynosi 3,14.

 

Długość okręgu:

$$ L=dπ=2πr $$

L - długość okręgu

d- średnica okręgu

r- promień okręgu

 

Pole koła:

$$P=πr^2$$

P- pole koła

r- promień koła

Długość łuku:

$$L=α/{360°} 2πr$$

α- kąt środkowy wycinka okręgu

 

Pole wycinka koła:

$$P=α/{360°} πr^2 $$

α- kąt środkowy wycinka koła

 

Styczna oraz punkt styczności:

styczna_mavcbw
 

Wzajemne położenie dwóch okręgów

Dwa okręgi mogą być:

  • rozłączne
  • przecinające się
  • styczne
  • współśrodkowe

Wielokąty i okręgi

Wielokąt foremny - wielokąt, który ma wszystkie boki równej długości, a wszystkie jego kąty mają taką samą miarę.

 

Środek okręgu wpisanego w wielokąt jest jednocześnie środkiem okręgu opisanego na tym wielokącie.

Okrąg opisany i wpisany w kwadrat:

$$R={a√2}/2$$
$$r=1/2 a $$

R- długość promienia okręgu opisanego

r- długość okręgu wpisanego

a- długość boku kwadratu

okragikwadrat_ytcbgy

Okrąg opisany i wpisany w trójkąt równoboczny:

$$ R=2/3 h $$
$$ r=1/3 h $$

R- długość promienia okręgu opisanego

r- długość okręgu wpisanego

h- długość wysokości trójkąta równobocznego

okragitrojkat_kbfmnt

Okrąg opisany i wpisany w sześciokąt foremny:

$$ R= a $$
$$ r={a√3}/2 $$

R- długość promienia koła opisanego

r- długość okręgu wpisanego

a- długość boku sześciokąta foremnego


okragwszesciokat

Symetrie

Figury mogą być symetryczne względem punktu i prostej. Prosta, względem, której figury są symetryczne, nazywamy osią symetrii. Punkt, względem, którego figury są symetryczne, nazywamy środkiem symetrii.

  1. Figura, w której możemy pociągnąć oś symetrii nazywamy figurą osiowosymetryczną.

  2. Figura, w której możemy wyznaczyć środek symetrii nazywamy figurą środkowosymetryczną.

 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

W jakich czworokątach (prostokąt, kwadrat, równoległobok, romb lub trapez):

  1. przekątne są równej długości
  2. przekątne przecinają się w połowie
  3. przekątne są prostopadłe
  4. przekątna dzieli czworokąt na 2 trójkąty o równych polach
  1. w prostokącie i kwadracie
  2. w prostokącie, kwadracie, równoległoboku i rombie
  3. w kwadracie i rombie
  4. w prostokącie, kwadracie, równoległoboku i rombie

Zadanie 2.

Jakie pole ma trójkąt równoboczny wpisany w okrąg o promieniu 3?

$$ r= 2/3 h $$

$$ r=2/3×{a√3}/2 $$

$$ 3= {a√3}/2 $$

$$a=3√3$$ -> $$P={a^2 √3}/4={27√3}/4 $$

Odp.: Ten trójkąt ma pole $${27√3}/4$$.

Zadanie 3.

Jaka jest odległość miedzy środkami okręgów stycznych zewnętrznie o promieniach 4 cm i 9 cm?

szukana odległość -> $$r_1+r_2=4+9=13 cm$$

Odp.: Odległość między środkami tych okręgów wynosi 13 cm.

Zadanie 4.

W trapezie długości podstaw wynoszą 4 cm i 7 cm, a wysokość 16cm. Oblicz pole tego trapezu.

$$P= {(a+b)h}/2 $$

$$P={(4+7)16}/2=11×8=88 cm^2 $$

Odp.: Pole tego trapezu wynosi 88 $$cm^2$$.

Zadanie 5.

Jakie miary mają dwa pozostałe kąty w rombie, jeżeli miara dwóch kątów wynosi 130°?

Romb posiada dwie pary takich samych kątów. Suma ich miar wynosi 360°.

$$130°+130°+x+x=360° $$

$$2x+260°=360°$$

$$x=50°$$

Odp.: Dwa pozostałe kąty w tym rombie mają po 50°.

Zadanie 6.

Jaki obwód ma kwadrat o przekątnej 5 cm?

a -> bok kwadratu

$$a√2=5$$

$$a={5√2}/2$$ -> $$Obw=4a=4×{5√2}/2=10√2$$ cm

Odp.: Obwód tego kwadratu wynosi $$10√2$$ cm.

 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Oszacuj wyniki działań. Podkreśl jedną kreską działania, których wynik jest mniejszy od 50 (...)

 

 

Uzupełnij zdania: a) liczba 7·10⁶ jest .... razy większa od 7·10⁴.

a) Liczba `7*10^6`  jest 100 razy większa od `7*10^4`    (bo `(7*10^6)/(7*10^4)=(10^6)/(10^4)=10^6:10^4=10^(6-4)=10^2=10*10=100` )

 

b) Liczba `3,12*10^9` jest 1000 razy mniejsza od `3,12*10^12`   (bo `(3,12*10^12)/(3,12*10^9)=(10^12)/(10^9)=10^12:10^9=10^(12-9)=10^3=10*10*10=1000` )

 

c) Liczba `7,2*10^11` jest 6 razy większa od `1,2*10^11`   (bo `(7,2*10^11)/(1,2*10^11)=(7,2)/(1,2)=72/12=36/6=6/1=6` )

 

d) Liczba `3*10^8` jest 20 razy mniejsza od `6*10^9`   (bo `(6*10^9)/(3*10^8)=6/3*(10^9)/(10^8)=2*(10^9:10^8)=2*10^(9-8)=2*10^1=2*10=20` )    

Jeśli przeczytałeś notkę historyczną z podręcznika to wiesz, że w starożytnym Rzymie zasady (...)

MCCCCLXII oznacza 1462, poprawny zapis to MCDLXII

MCCCC to 1400 (4 liczby C zapisane obok siebie oznaczają 4 razy po 100)

{premium}

CCMXXXX oznacza 840, poprawny zapis to DCCCXL

CCM oznacza, że od 1000 (M) odejmujemy 200 (CC), ponieważ CC zapisano po lewej stronie M, XXXX oznacza 4 razy po 10, czyli 40

 

MIM oznacza 1999, poprawny zapis to MCMXCIX

IM oznacza 999, ponieważ I (1) zapisano na lewo od M (1000), a 1000-1=999

 

MMMCXXC oznacza 3180, poprawny zapis to MMMCLXXX

XXC oznacza 80, ponieważ XX (20) zapisano po lewej stronie C (100), co oznacza, że od 100 odejmujemy 20

Wstaw znak < lub >: a) (-5)⁷ ... 5⁶, (...)

Kilka przydatnych obserwacji:

1) przy podnoszeniu liczby ujemnej do potęgi parzystej minus znika, więc wynik jest dodatni, a przy podnoszeniu do potęgi nieparzystej wynik jest ujemny (np. `(-3)^2=(-3)*(-3)=9` , ale `(-3)^3=(-3)*(-3)*(-3)=9*(-3)=-27` ){premium}

2) podnoszenie liczby mniejszej od 1 do coraz większych potęg sprawia, że wynik jest coraz mniejszy (np. `0,1^2=0,1*0,1=0,01` , `0,1^3=0,1*0,1*0,1=0,001` , `0,001<0,01` )

3) podnoszenie liczby większej od 1 do coraz większych potęg sprawia, że wynik jest coraz większy (np. `2^2=2*2=4` , `2^3=2*2*2=8` , `8>2` )

4) podnoszenie liczby do potęgi ujemnej to podnoszenie do potęgi nieujemnej jej odwrotności (np. `(1/2)^(-2)=(2/1)^2=2^2=2*2=4`  ,  

  )

5) jeśli dwie różne liczby są podnoszone do takich samych potęg większych od 0, to większy wynik uzyskamy podnosząc do potęgi większą z nich (np. `3>2` , więc `3^100>2^100` )

 

 

 

  jest liczbą ujemną (patrz 1)), a `5^6` jest liczbą dodatnią, więc `(-5)^7<5^6` 

     (patrz 2))

   (patrz 3))

   (patrz 5)) 

 `e)\ 3^(-4)=(1/3)^4`   ,   `3^(-5)=(1/3)^5` ,   `3^(-4)>3^(-5)`     (patrz 2))

  ,  `(1/3)^(-5)=(3/1)^5=3^5` ,  `(1/3)^(-4)<(1/3)^(-5)`   (patrz 3))

 , więc `1/(1,2)>1/(1,21)` 

  `1,2^(-10)=(1/(1,2))^10` ,  `1,21^(-10)=(1/(1,21))^10` 

   (patrz 5))

 

 , więc `1/(0,8)>1/(0,81)` 

   (analogicznie jak g))  

Wykonaj obliczenia. Skreśl litery odpowiadające otrzymanym wynikom. Pozostałe litery, (...)

  

 `sqrt(2/10*20/1)=` `sqrt(2/1*2/1)=sqrt(2^2)=2` {premium}

 `(-12/10)=` `1/4+12/10=0,25+1,2=1,45` 

 `1/15*(-10/1)=` `-10/15=-2/3` 

  

 `1/3*1/3=1/9` 

 

Hasło: root

 

oblicz

a)

b)

c)

d)

e) (

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

m)

n)

o)

Podaj nazwy liczb zapisanych poniżej: 5·10^9

to 5 miliardów{premium}

to 30 bilionów

to 1 biliard 

to 1 biliard

Przedstaw iloraz w postaci potęgi o wykładniku ujemnym

 ` `

 

Wskaż wspólne czynniki licznika i mianownika, a następnie wykonaj działania

Wykonaj działania

`[-7/3*(3/7)*(-1/8)]^(-2)=(-1/8)^(-2)=64`{premium}