Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Figury na płaszczyźnie - iii-gimnazjum - Baza Wiedzy

Trójkąty

Oto kilka najważniejszych własności i wzorów, które powinieneś zapamiętać.

  • Suma miar kątów w trójkącie wynosi 180°.

  • Każdy bok trójkąta ma długość mniejszą od sumy długości dwóch pozostałych.

  • W trójkącie prostokątnym suma kwadratów dwóch krótszych boków jest równa kwadratowi długości trzeciego boku.

  • Wzór na pole trójkąta to $$P=1/2 ah $$

Wzory dotyczące trójkąta równobocznego:

$$ P={a^2 √3}/4 $$
$$ P={h^2 √3}/3 $$
$$ h={a√3}/2 $$

Zależności boków w trójkątach prostokątnych o kątach 60° i 30° oraz 45° i 45°.

306090
454590

Czworokąty

Czworokąty:

  • Trapez - czworokąt, który ma co najmniej jedną parę boków równoległych.

    $$ P={(a+b)h}/2 $$
  • Równoległobok- czworokąt, który ma dwie pary boków równoległych.

    $$P=ah$$
  • Romb - czworokąt, który ma wszystkie boki równej długości.

    $$P=ah=1/2 d_1 d_2 $$
  • Prostokąt - czworokąt, który ma wszystkie kąty proste.

    $$ P=ab $$
  • Kwadrat - czworokąt, który ma wszystkie boki równe, a wszystkie jego kąty mają miarę 90°.

    $$ P=a^2 $$

Koła i okręgi

Liczba $$π$$ (pi) to liczba niewymierna, która określa stosunek długości okręgu do długości średnicy. Służy do obliczania pola koła oraz długości okręgu. W przybliżeniu wynosi 3,14.

 

Długość okręgu:

$$ L=dπ=2πr $$

L - długość okręgu

d- średnica okręgu

r- promień okręgu

 

Pole koła:

$$P=πr^2$$

P- pole koła

r- promień koła

Długość łuku:

$$L=α/{360°} 2πr$$

α- kąt środkowy wycinka okręgu

 

Pole wycinka koła:

$$P=α/{360°} πr^2 $$

α- kąt środkowy wycinka koła

 

Styczna oraz punkt styczności:

styczna_mavcbw
 

Wzajemne położenie dwóch okręgów

Dwa okręgi mogą być:

  • rozłączne
  • przecinające się
  • styczne
  • współśrodkowe

Wielokąty i okręgi

Wielokąt foremny - wielokąt, który ma wszystkie boki równej długości, a wszystkie jego kąty mają taką samą miarę.

 

Środek okręgu wpisanego w wielokąt jest jednocześnie środkiem okręgu opisanego na tym wielokącie.

Okrąg opisany i wpisany w kwadrat:

$$R={a√2}/2$$
$$r=1/2 a $$

R- długość promienia okręgu opisanego

r- długość okręgu wpisanego

a- długość boku kwadratu

okragikwadrat_ytcbgy

Okrąg opisany i wpisany w trójkąt równoboczny:

$$ R=2/3 h $$
$$ r=1/3 h $$

R- długość promienia okręgu opisanego

r- długość okręgu wpisanego

h- długość wysokości trójkąta równobocznego

okragitrojkat_kbfmnt

Okrąg opisany i wpisany w sześciokąt foremny:

$$ R= a $$
$$ r={a√3}/2 $$

R- długość promienia koła opisanego

r- długość okręgu wpisanego

a- długość boku sześciokąta foremnego


okragwszesciokat

Symetrie

Figury mogą być symetryczne względem punktu i prostej. Prosta, względem, której figury są symetryczne, nazywamy osią symetrii. Punkt, względem, którego figury są symetryczne, nazywamy środkiem symetrii.

  1. Figura, w której możemy pociągnąć oś symetrii nazywamy figurą osiowosymetryczną.

  2. Figura, w której możemy wyznaczyć środek symetrii nazywamy figurą środkowosymetryczną.

 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

W jakich czworokątach (prostokąt, kwadrat, równoległobok, romb lub trapez):

  1. przekątne są równej długości
  2. przekątne przecinają się w połowie
  3. przekątne są prostopadłe
  4. przekątna dzieli czworokąt na 2 trójkąty o równych polach
  1. w prostokącie i kwadracie
  2. w prostokącie, kwadracie, równoległoboku i rombie
  3. w kwadracie i rombie
  4. w prostokącie, kwadracie, równoległoboku i rombie

Zadanie 2.

Jakie pole ma trójkąt równoboczny wpisany w okrąg o promieniu 3?

$$ r= 2/3 h $$

$$ r=2/3×{a√3}/2 $$

$$ 3= {a√3}/2 $$

$$a=3√3$$ -> $$P={a^2 √3}/4={27√3}/4 $$

Odp.: Ten trójkąt ma pole $${27√3}/4$$.

Zadanie 3.

Jaka jest odległość miedzy środkami okręgów stycznych zewnętrznie o promieniach 4 cm i 9 cm?

szukana odległość -> $$r_1+r_2=4+9=13 cm$$

Odp.: Odległość między środkami tych okręgów wynosi 13 cm.

Zadanie 4.

W trapezie długości podstaw wynoszą 4 cm i 7 cm, a wysokość 16cm. Oblicz pole tego trapezu.

$$P= {(a+b)h}/2 $$

$$P={(4+7)16}/2=11×8=88 cm^2 $$

Odp.: Pole tego trapezu wynosi 88 $$cm^2$$.

Zadanie 5.

Jakie miary mają dwa pozostałe kąty w rombie, jeżeli miara dwóch kątów wynosi 130°?

Romb posiada dwie pary takich samych kątów. Suma ich miar wynosi 360°.

$$130°+130°+x+x=360° $$

$$2x+260°=360°$$

$$x=50°$$

Odp.: Dwa pozostałe kąty w tym rombie mają po 50°.

Zadanie 6.

Jaki obwód ma kwadrat o przekątnej 5 cm?

a -> bok kwadratu

$$a√2=5$$

$$a={5√2}/2$$ -> $$Obw=4a=4×{5√2}/2=10√2$$ cm

Odp.: Obwód tego kwadratu wynosi $$10√2$$ cm.

 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Na seansie filmowym w sali ...

ODP: B

 

Oznaczenie:

c - liczba dorosłych

d - liczba dzieci

 

Pierwsze równanie:

`c+d=171` 

Łączna liczba dorosłych i dzieci to 171.

 

Drugie równanie:

`6(c-1)=d-2` 

Gdy z sali kinowej wyszło dwoje dzieci, to na sali zostało d-2 dzieci.

Wyszła także jedna osoba dorosła, czyli na sali zostało c-1 dorosłych.

Liczba dzieci, które zostały na sali jest wówczas 6 razy większa od liczby dorosłych, którzy na sali zostali.

Jeżeli pomnożę liczbę dorosłych, którzy pozostali na sali przez 6, to otrzymam liczbę dzieci, które pozostały na sali.

 

Rozwiązujemy układ równań:

`{(c+d=171),(6(c-1)=d-2):}`  

`{(d=171-c),(6c-6=d-2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |+6):}` 

`{(d=171-c),(6c=d+4):}`   

`{(d=171-c),(6c=171-c+4\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \|+c):}` 

`{(d=171-c),(7c=175\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |:7):}`   

`{(d=171-c),(c=25):}` 

`{(c=25),(d=146):}` 

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym o wysokości...



Z twierdzenia Pitagorasa możemy obliczyć długość krawędzi bocznej `(x)` :

`(4sqrt2)^2+7^2=x^2` 

`(16*2)+49=x^2` 

`32+49=x^2` 

`x^2=81 \ \ |sqrt` 

`x=9 \ \ "[cm]"` 


suma długości wszystkich krawędzi tego ostrosłupa wynosi:

`4*8 +4*9=32+36=68 \ "[cm]"` 


Odp. Suma długości wszystkich krawędzi tego ostrosłupa wynosi 68 cm.

a) Jaki promień ma kula...

`a)` 

`4/3  pi  r^3 = 40  pi \ \ \ |:pi` 

`4/3 r^3 = 40 \ \ \ \ \ |*3/4` 

`r^3 = (40*3)/4` 

`r^3 = 30\ \ \ \ |root(3)(\ )` 

`r =root(3)(30)` 

 

`b)` 

`4/3  pi  r^3 = 36  pi \ \ \ |:pi` 

`4/3 r^3 = 36 \ \ \ \ \ |*3/4` 

`r^3 = (36*3)/4` 

`r^3 = 27\ \ \ \ |root(3)(\ )` 

`r =root(3)(27)` 

`r = 3` 

 

`c)` 

`4/3  pi  r^3 = 2  pi \ \ \ |:pi` 

`4/3 r^3 = 2 \ \ \ \ \ |*3/4` 

`r^3 = (2*3)/4` 

`r^3 = 3/2\ \ \ \ |root(3)(\ )` 

`r =root(3)(3/2)` 

 

`d)` 

`4/3  pi  r^3 = 200 \ \ \ |:4/3 pi` 

`r^3 = (200)/(4/3  pi)` 

`r^3 = 600/(4  pi)` 

`r^3 = 300/(2 pi)\ \ \ \ |root(3)(\ )` 

`r =root(3)(300/(2 pi))` 

 

`e)` 

`4/3  pi  r^3 = 40 \ \ \ |:4/3 pi` 

`r^3 = (40)/(4/3  pi)` 

`r^3 = 120/(4  pi)` 

`r^3 = 30/(pi)\ \ \ \ |root(3)(\ )` 

`r =root(3)(30/(pi))` 

 

`f)` 

`4/3  pi  r^3 = 10 \ \ \ |:4/3 pi` 

`r^3 = (10)/(4/3  pi)` 

`r^3 = 30/(4  pi)` 

`r^3 = 15/(2 pi)\ \ \ \ |root(3)(\ )` 

`r =root(3)(15/(2 pi))` 

Wpisz podane liczby w puste ...

`0,8^7<0,8^5<0,8^(-1)`

`0,8^(-1)=(8/10)^(-1)=10/8=1 2/8=1 1/4`

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )`

`0,4^6<4,7^6<(-7,4)^6`

Wykładniki potęgi są takie same, więc porównujemy liczby w podstawach potęg.

Pamiętamy, że:

Liczba ujemna podniesiona do potęgi parzystej daje w wyniku liczbę parzystą.

`(-7,4)^6=7,4^6`

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )`

`(7/3)^(-3)<(3/7)^(-3)<(2/7)^(-3)`

Wykładniki potęgi są takie same, więc porównujemy ułamki w podstawach potęg.

Wykładnik jest liczbą ujemną, więc tam, gdzie w podstawie jest najmniejszy ułamek, tam otrzymamy największą potęgę. 

`(3/7)^3<(7/3)^3<(7/2)^3`

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )`

`(-3)^5<-3^(-5)<3^5`

Rozpiszmy -3-5.

`-3^(-5)=-(1/3)^5=-1/(3^5)`

Poniższy wykres opisuje położenie roweru względem ...

a) Rowerzysta znajdował się nad poziomem morza od 10 do 17 minuty, czyli przez 7 minut


b) Rowerzysta znajdował się poniżej poziomu morza od rozpoczęcia przejażdżki do 10 minuty oraz od 17 do końca przejażdżki.  


c) Rowerzysta znajdował się na wysokości poziomu morza w 10 i 17 minucie przejażdżki. 


d) Rowerzysta znajdował się najniżej w stosunku do poziomu morza w 6 minucie, czyli po 6 minutach od rozpoczęcia przejażdżki. 

Pewną liczbę naturalną podniesiono do 30. potęgi...

Wynik, który otrzymano jest liczbą `24-`cyfrową.

Zauważmy, że `10^30` jest liczbą `31-`cyfrową, więc szukamy liczby mniejszej od `10.` 

`0` i `1` wykluczamy, bo `0^30=0,\ 1^30=1.` 

Zostały nam do rozważenia cyfry: `2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9.` 

Zauważmy, że liczba `5^30` będzie miała cyfrę jedności równą `5,` więc `5` odrzucamy.

W podobny sposób możemy zauważyć, że liczby `3^30,\ 7^30,\ 9^30` będą miały nieparzyste cyfry jedności.

W takim razie możliwości, jakie nam pozostały to: `2,\ 4,\ 6,\ 8.` 

Mnożąc `2` przez siebie dowolną ilość razy nigdy nie otrzymamy `6,` więc odrzucamy dwójkę.

Podobnie jest z `8,` bo `8` jest potęgą dwójki.               

Zostają nam `4` i `6.`   

Zauważmy, że

`4^30=(4^2)^15=16^15< 20^15=2^15*10^15=32\ 768*10^15` 

Oznacza to, że `4^30` jest liczbą mniej niż `20-`cyfrową, więc `4` odrzucamy.

W takim razie szukaną liczbą jest `6.`   

Liczba ... jest równa

`(4^3*8^(-2))/(2^5*16^0):2^(-8)=((2^2)^3*(2^3)^(-2))/(2^5*1)*2^8 = (2^6*2^(-6))/(2^5)*2^8 = (2^0)/2^5 * 2^8 = 2^8/2^5 = 2^3` 

Prawidłowa odpowiedź to `"C."`  

Oto siatki wszystkich wielościanów foremnych

I Ścianą jest trójkąt równoboczny

II Ścianą jest trójkąt równoboczny

III Ścianą jest kwadrat

IV Ścianą jest trójkąt równoboczny

V Ścianą jest pięciokąt foremny

 

Wszystkie bryły platońskie pokazano w ramce, ścianą żadnej z nich nie jest ani sześciokąt ani siedmiokąt foremny.  

Oblicz pole powierzchni całkowitej stożka...

Pole powierzchni całkowitej stożka będziemy obliczać ze wzoru:

`P_c=pir^2+pirl.` Mamy więc:

`"a)"\ P_c=pi*2^2+pi*2*5=4pi+10pi=14pi\ "cm"^2` 

Odp. Pole powierzchni całkowitej stożka wynosi `14pi\ "cm"^2.`  

`"b)"\ P_c=pi*5^2+pi*5*12=25pi+60pi=85pi\ "cm"^2` 

Odp. Pole powierzchni całkowitej stożka wynosi `85pi\ "cm"^2.`  

`"c)"\ P_c=pi*4^2+pi*4*16=16pi+64pi=80pi\ "cm"^2` 

Odp. Pole powierzchni całkowitej stożka wynosi `80pi\ "cm"^2.`  

 

 

Narysuj graniastosłup trójkątny i zaznacz kolorami jego podstawy. Ile krawędzi oraz ścian ma ta bryła?

Bryła ma 9 krawędzi oraz 5 ścian.