Figury na płaszczyźnie - iii-gimnazjum - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Figury na płaszczyźnie - iii-gimnazjum - Baza Wiedzy

Trójkąty

Trójkąty dzielimy na:

  • ostrokątne (wszystkie kąty trójkąta są kątami ostrymi),

  • prostokątne (jeden z kątów trójkąta jest kątem prostym),

  • rozwartokątne (jeden z kątów trójkąta jest kątem rozwartym),

  • równoboczne (wszystkie boki trójkąta mają taką samą długość),

  • równoramienne (dwa boki - ramiona, mają taką samą długość), 

  • różnoboczne (każdy bok trójkąta ma inną długość).


Suma miar kątów w dowolnym trójkącie jest równa 180°.

Nierówność trójkąta:

Boki dowolnego trójkąta muszą spełniać poniższe nierówności:

  1. `a+b \ > \ c` 

  2. `a+c \ > \ b` 

  3. `b+c \ > \ a`   

trojkat

Aby stwierdzić, czy z trzech odcinków można zbudować trójkąt wystarczy sprawdzić, czy suma długości dwóch krótszych odcinków jest większa od długości najdłuższego odcinka.


Trójkąt równoramienny

W trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie mają równe miary, a ramiona mają taką samą długość. 


Trójkąt równoboczny: 

W trójkącie równobocznym wszystkie kąty mają równe miary wynoszące 60o, a boki mają równe długości. 


Trójkąt prostokątny: 

 

Pole trójkąta: 

Pole trójkąta obliczamy ze wzoru:

`P=(a*h)/2` 

`a`   - długość boku

`h`   - długość wysokości opuszczonej na ten bok

Czworokąty

Czworokąty:

  • Trapez - czworokąt, który ma co najmniej jedną parę boków równoległych.

    $ P={(a+b)h}/2 $
  • Równoległobok- czworokąt, który ma dwie pary boków równoległych.

    $P=ah$
  • Romb - czworokąt, który ma wszystkie boki równej długości.

    $P=ah=1/2 d_1 d_2 $
  • Prostokąt - czworokąt, który ma wszystkie kąty proste.

    $ P=ab $
  • Kwadrat - czworokąt, który ma wszystkie boki równe, a wszystkie jego kąty mają miarę 90°.

    $ P=a^2 $

Koła i okręgi

Liczba $π$ (pi) to liczba niewymierna, która określa stosunek długości okręgu do długości średnicy. Służy do obliczania pola koła oraz długości okręgu. W przybliżeniu wynosi 3,14.

 

Długość okręgu:

$ L=dπ=2πr $

L - długość okręgu

d- średnica okręgu

r- promień okręgu

 

Pole koła:

$P=πr^2$

P- pole koła

r- promień koła

Długość łuku:

$L=α/{360°} 2πr$

α- kąt środkowy wycinka okręgu

 

Pole wycinka koła:

$P=α/{360°} πr^2 $

α- kąt środkowy wycinka koła

 

Styczna oraz punkt styczności:

styczna_mavcbw
 

Wzajemne położenie dwóch okręgów

Dwa okręgi mogą być:

  • rozłączne
  • przecinające się
  • styczne
  • współśrodkowe

Wielokąty i okręgi

Wielokąt foremny - wielokąt, który ma wszystkie boki równej długości, a wszystkie jego kąty mają taką samą miarę.

 

Środek okręgu wpisanego w wielokąt jest jednocześnie środkiem okręgu opisanego na tym wielokącie.

Okrąg opisany i wpisany w kwadrat:

$R={a√2}/2$
$r=1/2 a $

R- długość promienia okręgu opisanego

r- długość okręgu wpisanego

a- długość boku kwadratu

okragikwadrat_ytcbgy

Okrąg opisany i wpisany w trójkąt równoboczny:

$ R=2/3 h $
$ r=1/3 h $

R- długość promienia okręgu opisanego

r- długość okręgu wpisanego

h- długość wysokości trójkąta równobocznego

okragitrojkat_kbfmnt

Okrąg opisany i wpisany w sześciokąt foremny:

$ R= a $
$ r={a√3}/2 $

R- długość promienia koła opisanego

r- długość okręgu wpisanego

a- długość boku sześciokąta foremnego


okragwszesciokat

Symetrie

Figury mogą być symetryczne względem punktu i prostej. Prosta, względem, której figury są symetryczne, nazywamy osią symetrii. Punkt, względem, którego figury są symetryczne, nazywamy środkiem symetrii.

  1. Figura, w której możemy pociągnąć oś symetrii nazywamy figurą osiowosymetryczną.

  2. Figura, w której możemy wyznaczyć środek symetrii nazywamy figurą środkowosymetryczną.

 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

W jakich czworokątach (prostokąt, kwadrat, równoległobok, romb lub trapez):

  1. przekątne są równej długości
  2. przekątne przecinają się w połowie
  3. przekątne są prostopadłe
  4. przekątna dzieli czworokąt na 2 trójkąty o równych polach
  1. w prostokącie i kwadracie
  2. w prostokącie, kwadracie, równoległoboku i rombie
  3. w kwadracie i rombie
  4. w prostokącie, kwadracie, równoległoboku i rombie

Zadanie 2.

Jakie pole ma trójkąt równoboczny wpisany w okrąg o promieniu 3?

$ r= 2/3 h $

$ r=2/3×{a√3}/2 $

$ 3= {a√3}/2 $

$a=3√3$ -> $P={a^2 √3}/4={27√3}/4 $

Odp.: Ten trójkąt ma pole ${27√3}/4$.

Zadanie 3.

Jaka jest odległość miedzy środkami okręgów stycznych zewnętrznie o promieniach 4 cm i 9 cm?

szukana odległość -> $r_1+r_2=4+9=13 cm$

Odp.: Odległość między środkami tych okręgów wynosi 13 cm.

Zadanie 4.

W trapezie długości podstaw wynoszą 4 cm i 7 cm, a wysokość 16cm. Oblicz pole tego trapezu.

$P= {(a+b)h}/2 $

$P={(4+7)16}/2=11×8=88 cm^2 $

Odp.: Pole tego trapezu wynosi 88 $cm^2$.

Zadanie 5.

Jakie miary mają dwa pozostałe kąty w rombie, jeżeli miara dwóch kątów wynosi 130°?

Romb posiada dwie pary takich samych kątów. Suma ich miar wynosi 360°.

$130°+130°+x+x=360° $

$2x+260°=360°$

$x=50°$

Odp.: Dwa pozostałe kąty w tym rombie mają po 50°.

Zadanie 6.

Jaki obwód ma kwadrat o przekątnej 5 cm?

a -> bok kwadratu

$a√2=5$

$a={5√2}/2$ -> $Obw=4a=4×{5√2}/2=10√2$ cm

Odp.: Obwód tego kwadratu wynosi $10√2$ cm.

 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Z drutu o długości 280 dm wykonano szkielet ostrosłupa prawidłowego ...

Ostrosłupa prawidłowy ośmiokątny ma:

  • 8 krawędzi podstaw takiej samej długości;
  • 8 krawędzi bocznych takiej samej długości;

a - długość krawędzi podstawy [w dm]
b - długość krawędzi bocznej [w dm]

Krawędź boczna oraz krawędź podstawy pozostają w stosunku 3:2, czyli:{premium} 

 

 

 

Krawędź boczna jest więc 1,5 razy dłuższa od krawędzi podstawy.


Do wykonania szkieletu tego ostrosłupa zużyto 280 dm drutu. Zatem: 

 

 

 

 

 


Odpowiedź:
Krawędź podstawy tego ostrosłupa ma długość 14 dm.    

W pewnej klasie...

 

{premium}

 

Odpowiedź: 30% uczniów klasy uczęszcza na zajęcia z koszykówki.

Oblicz i zapisz wynik w notacji wykładniczej.

{premium}  


 


     

Wyrażenie [(a^8·a^5):(a^-8·a^10)]^-2 dla a ≠0 po uproszczeniu ma postać:

{premium}

Pole pierścienia wynosi 8478 cm²

r - promień mniejszego okręgu

 

Pole pierścienia obliczymy odejmując od pola dużego koła pole małego koła: 

{premium}

 

Z wykresu funkcji f można odczytać, że funkcja ta: A. ma pięć miejsc zerowych

Prawdziwa jest odpowiedź D.

Oceń prawdziwość każdego ...

Odpowiedź: 

I) - PRAWDA

II) - FAŁSZ

III) - PRAWDA

IV) - PRAWDA

 

 

I)

Podstawiamy x=2 do pierwszego równania, aby obliczyć y.

{premium}

Rozwiązaniem układu równań jest para liczb:

Zarówno x, jak i y są liczbami dodatnimi.

 

II) 

  

Do drugiego równania podstawiamy x=4,2, aby obliczyć y.

Rozwiązaniem układu równań jest para liczb:

x jest liczbą dodatnią, natomiast y jest liczbą ujemną.

 

III)

Aby sprawdzić czy interpretacją graficzną układu równań są dwie proste równoległe, należy doprowadzić oba równania do postaci y=ax+b.

  

Po narysowaniu wykresów widać, że proste wyznaczone przez te równania są równoległe.

Można także zauważyć, że po sprowadzeniu wzorów do postaci y=ax+b,  współczynniki stojące przy x są takie same.

Jeżeli współczynniki są takie same to proste sa równoległe. W powyższym przykładzie współczynnik przy x wynosi -2/3 dla obu równań.

 

IV)

 Doprowadżmy oba równania do postaci y=ax+b.

 

Po narysowaniu wykresów widać, że proste wyznaczone przez te równania są równoległe.

Po sprowadzeniu wzorów do postaci y=ax+b,  współczynniki stojące przy x są takie same.

Jeżeli współczynniki są takie same to proste sa równoległe. W powyższym przykładzie współczynnik przy x wynosi 1/2 dla obu równań.

 

 

Wskaż wszystkie poprawne dokończenia ...

  

{premium}  

 

Poprawne odpowiedzi to: A., C. i D. 
 


  

 

Poprawne odpowiedzi to: A. i D.  
 


 

Poprawne odpowiedzi to: B. i C.         

Liczba...

{premium}  

 

Odpowiedź: B.  

Ile kosztuje ptasie mleczko, jeśli do 9 zł trzeba jeszcze dołożyć 25% jego ceny

x- cena ptasiego mleczka

{premium}

Odp. Ptasie mleczko kosztuje 12 zł.