Figury na płaszczyźnie - iii-gimnazjum - Baza Wiedzy

Trójkąty

Oto kilka najważniejszych własności i wzorów, które powinieneś zapamiętać.

  • Suma miar kątów w trójkącie wynosi 180°.

  • Każdy bok trójkąta ma długość mniejszą od sumy długości dwóch pozostałych.

  • W trójkącie prostokątnym suma kwadratów dwóch krótszych boków jest równa kwadratowi długości trzeciego boku.

  • Wzór na pole trójkąta to $$P=1/2 ah $$

Wzory dotyczące trójkąta równobocznego:

$$ P={a^2 √3}/4 $$
$$ P={h^2 √3}/3 $$
$$ h={a√3}/2 $$

Zależności boków w trójkątach prostokątnych o kątach 60° i 30° oraz 45° i 45°.

306090
454590

Czworokąty

Czworokąty:

  • Trapez - czworokąt, który ma co najmniej jedną parę boków równoległych.

    $$ P={(a+b)h}/2 $$
  • Równoległobok- czworokąt, który ma dwie pary boków równoległych.

    $$P=ah$$
  • Romb - czworokąt, który ma wszystkie boki równej długości.

    $$P=ah=1/2 d_1 d_2 $$
  • Prostokąt - czworokąt, który ma wszystkie kąty proste.

    $$ P=ab $$
  • Kwadrat - czworokąt, który ma wszystkie boki równe, a wszystkie jego kąty mają miarę 90°.

    $$ P=a^2 $$

Koła i okręgi

Liczba $$π$$ (pi) to liczba niewymierna, która określa stosunek długości okręgu do długości średnicy. Służy do obliczania pola koła oraz długości okręgu. W przybliżeniu wynosi 3,14.

 

Długość okręgu:

$$ L=dπ=2πr $$

L - długość okręgu

d- średnica okręgu

r- promień okręgu

 

Pole koła:

$$P=πr^2$$

P- pole koła

r- promień koła

Długość łuku:

$$L=α/{360°} 2πr$$

α- kąt środkowy wycinka okręgu

 

Pole wycinka koła:

$$P=α/{360°} πr^2 $$

α- kąt środkowy wycinka koła

 

Styczna oraz punkt styczności:

styczna_mavcbw
 

Wzajemne położenie okręgów

Dwa okręgi mogą być: rozłączne, przecinające się, styczne wewnętrznie i zewnętrznie.

Okręgi rozłączne - nie mają punktów wspólnych

rozlaczne

Okręgi przecinające się - mają dwa punkty wspólne

przcinajace

Okręgi styczne wewnętrznie - mają jeden punkt wspólny

wewnterznie

Okręgi styczne zewnętrznie - mają jeden punkt wspólny

zewnetrznie
 

Wielokąty i okręgi

Wielokąt foremny - wielokąt, który ma wszystkie boki równej długości, a wszystkie jego kąty mają taką samą miarę.

 

Środek okręgu wpisanego w wielokąt jest jednocześnie środkiem okręgu opisanego na tym wielokącie.

Okrąg opisany i wpisany w kwadrat:

$$R={a√2}/2$$
$$r=1/2 a $$

R- długość promienia okręgu opisanego

r- długość okręgu wpisanego

a- długość boku kwadratu

okragikwadrat_ytcbgy

Okrąg opisany i wpisany w trójkąt równoboczny:

$$ R=2/3 h $$
$$ r=1/3 h $$

R- długość promienia okręgu opisanego

r- długość okręgu wpisanego

h- długość wysokości trójkąta równobocznego

okragitrojkat_kbfmnt

Okrąg opisany i wpisany w sześciokąt foremny:

$$ R= a $$
$$ r={a√3}/2 $$

R- długość promienia koła opisanego

r- długość okręgu wpisanego

a- długość boku sześciokąta foremnego


okragwszesciokat

Symterie

Figury mogą być symetryczne względem punktu i prostej. Prosta, względem, której figury są symetryczne, nazywamy osią symetrii. Punkt, względem, którego figury są symetryczne, nazywamy środkiem symetrii.

  1. Figura, w której możemy pociągnąć oś symetrii nazywamy figurą osiowosymetryczną.

  2. Figura, w której możemy wyznaczyć środek symetrii nazywamy figurą środkowosymetryczną.

 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

W jakich czworokątach (prostokąt, kwadrat, równoległobok, romb lub trapez):

  1. przekątne są równej długości
  2. przekątne przecinają się w połowie
  3. przekątne są prostopadłe
  4. przekątna dzieli czworokąt na 2 trójkąty o równych polach
  1. w prostokącie i kwadracie
  2. w prostokącie, kwadracie, równoległoboku i rombie
  3. w kwadracie i rombie
  4. w prostokącie, kwadracie, równoległoboku i rombie

Zadanie 2.

Jakie pole ma trójkąt równoboczny wpisany w okrąg o promieniu 3?

$$ r= 2/3 h $$

$$ r=2/3×{a√3}/2 $$

$$ 3= {a√3}/2 $$

$$a=3√3$$ -> $$P={a^2 √3}/4={27√3}/4 $$

Odp.: Ten trójkąt ma pole $${27√3}/4$$.

Zadanie 3.

Jaka jest odległość miedzy środkami okręgów stycznych zewnętrznie o promieniach 4 cm i 9 cm?

szukana odległość -> $$r_1+r_2=4+9=13 cm$$

Odp.: Odległość między środkami tych okręgów wynosi 13 cm.

Zadanie 4.

W trapezie długości podstaw wynoszą 4 cm i 7 cm, a wysokość 16cm. Oblicz pole tego trapezu.

$$P= {(a+b)h}/2 $$

$$P={(4+7)16}/2=11×8=88 cm^2 $$

Odp.: Pole tego trapezu wynosi 88 $$cm^2$$.

Zadanie 5.

Jakie miary mają dwa pozostałe kąty w rombie, jeżeli miara dwóch kątów wynosi 130°?

Romb posiada dwie pary takich samych kątów. Suma ich miar wynosi 360°.

$$130°+130°+x+x=360° $$

$$2x+260°=360°$$

$$x=50°$$

Odp.: Dwa pozostałe kąty w tym rombie mają po 50°.

Zadanie 6.

Jaki obwód ma kwadrat o przekątnej 5 cm?

a -> bok kwadratu

$$a√2=5$$

$$a={5√2}/2$$ -> $$Obw=4a=4×{5√2}/2=10√2$$ cm

Odp.: Obwód tego kwadratu wynosi $$10√2$$ cm.

 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Spośród liczb naturalnych od 51 do 80 włącznie losujemy jedną liczbę

A - wylosowanie liczby podzielnej przez 6

B - wylosowanie liczby podzielnej przez 9

A = {54,60,66,72,78}

B = {54,63,72}

`P(A)=5/30=1/6`

`P(B)=3/30=1/10`

P(A)>P(B)

Odp. Prawdopodobieństwo wylosowania liczby podzielnej przez 6 jest większe od prawdopodobieństwa wylosowania liczby podzielnej przez 9.

Które z wyrażeń...

Sprawdźmy wyrażenia podstawiając x=3 i y=-2.

 

A.

`x+y-1=3+(-2)-1=3-2-1=0` 

 

B.

`6x-3y-11=6*3 -3*(-2) -11 = 18 + 6 - 11 = 24-11 = 13` 

 

C.

`(3x+2y)/5 = (3*3 + 2*(-2))/5 =(9-4)/5=5/5=1` 

 

D.

`5(x-y)-26 = 5(3-(-2))-26=5(3+2)-26=5*5-26=25-26=-1` 

 

Odpowiedź C

 

 

 

` `

 

Wyrażenie ... jest równe

`(sqrt72-sqrt2)/sqrt27=(sqrt(36*2)-sqrt2)/sqrt(9*3)=(sqrt36*sqrt2-sqrt2)/(sqrt9*sqrt3)=(6sqrt2-sqrt2)/(3sqrt3)=(5sqrt2)/(3sqrt3)*sqrt3/sqrt3=(5sqrt6)/9` 

Prawidłowa odpowiedź to `"D."`    

Który z elementów puzzli jest figurą osiowosymetryczną?

a) W pewnej klasie n uczniów ma jednego brata lub jedną siostrę (...)

a) n - liczba uczniów mających 1 rodzeństwo

n-4 - liczba uczniów mających 2 rodzeństwa

2 - liczba uczniów mających 3 rodzeństwa

Ilość rodzeństwa to

`n+2*(n-4)+3*2=n+2n-8+6=3n-2` 

b) a - długość podłogi w metrach 

a-1,5 - szerokość podłogi w metrach

Koszt wykładziny

`a*(a-1,5)*45=(a^2-1,5a)*45=45a^2-67,5a` 

c) x - ilość osób, które obejrzały film

`80%x=80/100x=8/10x=4/5x` - tyle dzieci obejrzało film

`x-4/5x=1/5x`  - tyle dorosłych obejrzało film

Przychód:

`10*4/5x+12*1/5x=40/5x+12/5x=52/5x=10 2/5x=10 4/10x=10,4x`  


d) `5-(0,3x+0,25y)=5-0,3x-0,25y` 

 

e) p - długość płotu w metrach

2 - tyle metrów płotu Tomek pomalował sam

p - 2 - pozostała część płotu (w m)

90% (p-2) - część płotu pomalowana przez kolegów (w m)

Płot, który należy jeszcze pomalować

`p-(2+90%(p-2))=p-(2+0,9(p-2))=p-(2+0,9p-1,8)=p-(0,2+0,9p)=p-0,2-0,9p=0,1p-0,2`  

Rozwiąż układ równań. a) 2x+y=-4 x-y=-2

`"a)"`

`{(2"x"+"y"=-4), ("x"-"y"=-2):}`

`"Dodając stronami mamy:"`

`3"x"=-6`

`"x"=-2`

`-2-"y"=-2`

`"y"=0`

 

`"b)"`

`{(2"x"+4"y"=5"y"-1), ("y"+5=0):}`

`"Podstawiając drugie równanie y"=-5\ "do pierwszego, otrzymujemy:"`

`2"x"+4*(-5)=5*(-5)-1`

`2"x"-20=-25-1`

`2"x"=-6`

`"x"=-3`

`"y"=-5`

 

`"c)"`

`{("y"-3=0), (3"x"-6"y"=12):}`

`"Podstawiamy pierwsze równanie y"=3\ "do drugiego równania:"`

`3"x"-6*3=12`

`3"x"=12+18`

`3"x"=30`

`"x"=10`

`"y"=3`

 

`"d)"`

`{(5"x"-2"y"=4), ("x"+"y"=5):}`

`"Mnożymy drugie równanie przez"\ 2":"`

`{(5"x"-2"y"=4), (2"x"+2"y"=10):}`

`"Dodajemy teraz równania stronami i otrzymujemy:"`

`7"x"=14`

`"x"=2`

`2+"y"=5`

`"y"=3`

 

`"e)"`

`{("x"+2"y"=4), (-4"x"+"y"=2):}`

`"Mnożymy drugie równanie przez"\ -2\ "i otrzymujemy:"`

`{("x"+2"y"=4), (8"x"-2y=-4):}`

`"Dodajemy stronami:"`

`9"x"=0`

`"x"=0`

`0+2"y"=4`

`"y"=2`

 

`"f)"`

`{("y"-4=0), (3"x"-"y"=8):}`

`"Podstawiamy pierwsze równanie y"=4\ "do drugiego i otrzymujemy:"`

`3"x"-4=8`

`3"x"=12`

`"x"=4`

`"y"=4`

Wycinek kołowy o kącie środkowym...

Narysujmy najpierw, jak wygląda wycinek kołowy:

Wiemy, że łuk jest obwodem okręgu w podstawie stożka i jest równy `2pi r.` 

Wzór na długość łuku okręgu o danym promieniu `R` to:

`l=(alpha* 2pi R)/360^@` 

W naszym zadaniu `R=6\ "cm, a"\ alpha=150^@.` Obliczmy długość łuku:  

`l=(150^@*2pi*6\ "cm")/360^@=5pi\ "cm"`       

Ta długość łuku ma być równa `2pi r,` gdzie `r` jest promieniem okręgu z podstawy stożka, czyli:

`2pi r=5pi\ "cm"\ "/":2pi`  

`r=2,5\ "cm"`     

Odp. Promień podstawy stożka wynosi `2,5\ "cm."`  


Przykładowy rysunek przekroju osiowego:

 

Młodzież na zajęciach techniki budowała budki lęgowe dla ptaków (jak na rysunku)

Pole powierzchni jednego karmnika składa się z pola powierzchni dwóch brył - sześcianu i graniastosłupa prawidłowego trójkątnego. Wynosi zatem:

`P_p=5*20^2+2*20^2+2*(20^2sqrt3)/4=7*400+200sqrt3~~` `~~2800+200*1,73=2800+346=3146cm^2=0,3146m^2`

4 karmniki mają pole powierzchni: `4*P_p~~4*0,3146=1,2584m^2~~1,26m^2 `

Na rysunku obok przedstawiono...

Dane:

`r = 2\ m` 

Szukane:

`P = ?` 

Rozwiązanie:

Obliczamy pole powierzchni przekroju tej kuli: 

`P_p = pi r^2` 

`P_p = pi*(2\ m)^2` 

`P_p = pi*4\ m^2` 

`P_p = 4pi\ m^2` 

Obliczamy połowę pola powierzchni przekrojonej kuli:

`P_k =1/2*4 pi  r^2` 

`P_k = 2*pi*(2\ m)^2` 

`P_k = 2*pi*4\ m^2` 

`P_k = 8 pi\ m^2` 

Całkowite pole bryły przedstawionej na rysunku wynosi:

`P = P_p + P_k` 

`P = 4pi\ m^2 + 8pi\ m^2` 

`P = 12pi\ m^2` 

 

Odp.: C. `12 pi\ m^2` 

Uzasadnij, że jeżeli w trójkącie dwusieczna pokrywa się ze środkową

Weźmy trójkąt ABC. Weźmy dwusieczną poprowadzoną z wierzchołka C na bok AB. Niech ta dwusieczna będzie jednocześnie środkową. Dwusieczna dzieli kąt ∠BCA na dwie równe połowy. Środkowa dzieli bok AB na dwie równe połowy. Jest to możliwe tylko wtedy, jeżeli środkowa/dwusieczna jest nachylona pod kątem prostym do boku AB. Wtedy otrzymujemy dwa trójkąty, które są przystające (cecha bok-kąt-kąt). Skoro są przystające, to mają ramiona CA i CB równej długości. Trójkąt ABC jest zatem trójkątem równoramiennym.