Bryły - iii-gimnazjum - Baza Wiedzy

Graniastosłupy

Graniastosłup składa się z dwóch równoległych do siebie podstaw oraz ścian bocznych w kształcie równoległoboków.

  Zobacz w programie GeoGebra

 

graniastoslup

Graniastosłupy dzielimy na graniastosłupy proste, pochyłe oraz prawidłowe.

  1. Graniastosłup prosty to taki, w którym krawędzie boczne są prostopadłe do podstawy. Ściany boczne są prostokątami.

  2. Graniastosłup pochyły to taki, w którym krawędzie boczne nie są prostopadłe do podstawy. Ściany boczne są równoległobokami.

  3. Graniastosłup prawidłowy to taki, który ma w podstawie wielokąt foremny. Ściany boczne są przystającymi równoległobokami.

Objętość graniastosłupa:

$$V=P_p×H$$

$$V$$ -> objętość graniastosłupa

$$P_p$$ -> pole podstawy

$$H$$ -> wysokość graniastosłupa

 

Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa:

$$P_c=2P_p+P_b$$

$$P_c$$ -> pole powierzchni całkowitej graniastosłupa

$$P_p$$ -> pole podstawy

$$P_b$$ -> pole powierzchni bocznej (suma pól wszystkich ścian bocznych)

 

W graniastosłupach są trzy różne odcinki: przekątna podstawy, przekątna ściany bocznej oraz przekątna graniastosłupa.

 

Ostrosłupy

Ostrosłup składa się z jednej podstawy, ścian bocznych i wierzchołka ostrosłupa. Punkt na podstawie, na który pada wysokość nazywamy spodkiem wysokości.

  Zobacz w programie GeoGebra

 

ostroslup

Ostrosłup, który ma w podstawie wielokąt foremny nazywamy ostrosłupem prawidłowym.

Ostrosłup prawidłowy trójkątny nosi również nazwę czworościan foremny. Wszystkie jego ściany są w kształcie trójkątów równobocznych.

Objętość ostrosłupa:

$$V=1/3 P_p×H$$

$$V$$ -> objętość ostrosłupa

$$P_p$$ -> pole podstawy

$$H$$ -> wysokość ostrosłupa

 

Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa:

$$P_c=P_p+P_b$$

$$Pc$$ -> pole powierzchni całkowitej

$$P_p$$ -> pole podstawy

$$P_b$$ -> pole powierzchni bocznej (suma pól wszystkich ścian bocznych)

 

Walec

Walec jest nazywany bryłą obrotową, ponieważ otrzymuje się poprzez obrót prostokąta. Wygląda jak graniastosłup o podstawie koła. Walec składa się z dwóch takich samych podstaw w kształcie kół oraz powierzchni bocznej. Przekrój osiowy walca to prostokąt, którego boki to średnica podstawy i wysokość.

  Zobacz w programie GeoGebra

 

walec

Objętość walca:

$$V=P_p×H$$
$$V=πr^2×H$$

$$V$$ -> objętość walca

$$r$$ -> promień podstawy

$$H$$ -> wysokość

 

Pole powierzchni całkowitej walca:

$$P_c=2P_p+P_b$$
$$P_c=2πr^2+2πr×H$$

$$P_c$$ -> pole powierzchni całkowitej walca

$$r$$ -> promień podstawy

$$H$$ -> wysokość

 

Stożek

Stożek jest kolejna bryłą obrotową, ponieważ powstał w wyniku obrotu trójkąta prostokątnego wokół prostej zawierającej jedną z jego przyprostokątnych. Wygląda jak ostrosłup o podstawie koła. Składa się z jednej podstawy oraz powierzchni bocznej. Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równoramiennym. Odcinek łączący wierzchołek ze środkiem podstawy jest wysokością. Każdy odcinek łączący wierzchołek z brzegiem podstawy to tworząca stożka, którą oznacza się literą „l”.

  Zobacz w programie GeoGebra

stozek

Objętość stożka:

`V=1/3P_p*H`  

`V=1/3pir^2*H`  

$$V$$ - objętość stożka

$$r$$ - długość promienia podstawy stożka

$$H$$ - długość wysokości stożka

 

Pole powierzchni całkowitej stożka:

`P_c=P_p+P_b`  

`P_c=pir^2+pirl=pir(r+l)`

$$P_c$$ - pole powierzchni całkowitej stożka

$$r$$ - długość promienia podstawy stożka

$$l$$ - długość tworzącej stożka

 

Kula

Kula jest bryłą obrotową, ponieważ powstaje w wyniku obrotu koła. Powierzchnia kuli nazywana jest sferą. Odcinek łączący środek kuli z dowolnym punktem na jej powierzchni to promień kuli. Przekrój osiowy kuli to koło wielkie kuli.

  Zobacz w programie GeoGebra

 

kula

Objętość kuli:

$$V=4/3 πr^3$$

$$ V$$ -> objętość kuli

$$r$$ -> promień kuli

 

Pole powierzchni kuli (sfery):

$$P=4πr^2$$

$$P$$ -> pole powierzchni kuli

$$r$$ -> promień kuli

 
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Ile wynosi objętość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy 2 cm i wysokości 12 cm?

$$ V=P_p×H $$

$$ V=2×2×12=48 cm^3 $$

Odp.: Objętość tego graniastosłupa wynosi 48 $$ cm^3$$.

Zadanie 2.

Jaką długość będzie miała przekątna ściany bocznej w graniastosłupie prawidłowym czworokątnym, jeżeli jego objętość wynosi 75 $$m^3$$, a wysokość 3 m?

d -> przekątna ściany bocznej

$$ V=P_p×H $$

$$ P_p={75}/3 $$

$$ a^2=25 -> a=5 m $$

Liczę przekątną z pitagorasa (trójkąt prostokątny to połowa ściany bocznej):

$$ d^2=H^2+a^2 $$

$$ d^2=9+25 $$

$$ d=√34 m $$

Odp.: Przekątna ściany bocznej ma długość $$√34$$ m.

Zadanie 3.

Ile wynosi powierzchnia boczna stożka, jeżeli pole podstawy wynosi 25π $$cm^2$$, a tworząca stożka 3 cm?

$$ πr^2=25π $$

$$ r=5 cm $$

$$ P_b=πrl=π×5×3=15π cm^2 $$

Odp.: Pole powierzchni bocznej tego stożka wynosi 15π $$cm^2$$.

Zadanie 4.

Promień kuli ma długość 4cm. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tej kuli.

$$ V= 4/3 πr^3 $$

$$ V=4/3 π×64=85 1/3 π$$ $$cm^3 $$

$$ P_c=4πr^2 $$

$$ P_c=4π×16=64π cm^2 $$

Odp.: Objętość tej kuli wynosi $$85 1/3 π$$ $$cm^3$$, a pole powierzchni całkowitej 64π $$cm^2$$.

Zadanie 5.

Oblicz pole przekroju stożka powstałego przez obrót trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych długości 3 cm i 4 cm wokół dłuższej przyprostokątnej.

$$r=3$$ cm -> $$a=6$$ cm

$$H=4$$ cm

$$P={a×H}/2={6×4}/2=12$$ $$cm^2 $$

Odp.: Pole przekroju osiowego tego stożka wynosi 12 $$cm^2$$.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Połącz w pary wysokość i długość tworzącej każdego stożka...

A.  H= 6 cm; l=10 cm; zatem długość promienia tego stożka możemy obliczyć korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

     r2+62=102
     r2+36=100
     r2=64
     r=8 [cm]

Objętość tego stożka wynosi:

V= 1/3 π∙ 82∙6= 1/3∙π∙64∙6= 64∙π∙2= 128π [cm3]

B.  H= 8 cm; l=10 cm; zatem długość promienia tego stożka możemy obliczyć korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

     r2+82=102
     r2+64=100
     r2=36
     r=6 [cm]

Objętość tego stożka wynosi:

V= 1/3 ∙π∙ 62∙8= 1/3∙π∙36∙8= 12∙π∙8= 96π [cm3]


C.  H= 9 cm; l=15 cm; zatem długość promienia tego stożka możemy obliczyć korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

     r2+92=152
     r2+81=225
     r2=144
     r=12 [cm]

Objętość tego stożka wynosi:

V= 1/3 ∙π∙ 122∙9= 1/3∙π∙144∙9= 48∙π∙9= 432π [cm3]

D.  H= 12 cm; l=15 cm; zatem długość promienia tego stożka możemy obliczyć korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

     r2+122=152
     r2+144=225
     r2=81
     r=9 [cm]

Objętość tego stożka wynosi:

V= 1/3 ∙π∙ 92∙12= 1/3∙π∙81∙12= 27∙π∙12= 324π [cm3]


Odp. : Należy połączyć A i II; B i IV; C i III; D i I.

Wierzchołki prostokąta ABCD wpisanego w okrąg dzielą...

Obwód tego okręgu wynosi:

`6pi+3pi+6pi+3pi=18pi` 

zatem promień tego okręgu wynosi:

`2pir=18pi \ \ |:2pi` 

`r=9` 

Kąt `alpha` możemy obliczyć korzystając z wzoru na długość łuku okręgu:

`3pi=(alpha*2pi*9)/360^@` 

`3pi=(18pialpha)/360^@ \ \ \ |:3pi`  

`1=(strike6^1alpha)/strike360_60^@ \ \ \ |*60^@` 

`alpha=60^@` 


Odp. D

Wyznacz przykładową długość...

Niech `a`  oznacza długość krawędzi podstawy, a `h`  długość wysokości tego graniastosłupa. 

`P_c=2*a^2+4*a*h` 

`1000=2a^2+4ah \ \ \ \ \ \ |:2` 

`500=a^2+2ah` 

 

Niech `a=10` 

 

`500=10^2+2*10*h` 

`500=100+20h \ \ \ \ \ \ |-100` 

`400=20h \ \ \ \ \ \ |:20` 

`20=h` 

 

Odp. Na przykład krawędź podstawy równa 10 cm, a wysokość równa 20 cm. 

Nauczycielka zapowiedziała, że na sprawdzianie...

Na stronie `151` jest `11` zadań. Jest to ilość możliwych wyników:

`N=11` 

Ela umie rozwiązać tylko `4` zadania z tej strony, czyli ilość interesujących nas zdarzeń to:

`n=4`   

Obliczamy prawdopodobieństwo tego, że Ela dobrze napisze sprawdzian:

`p=n/N` 

`p=4/11` 

Odp. Prawdopodobieństwo tego, że Ela dobrze napisze sprawdzian jest równe `4/11.`   

Od trójkątnej tafli szkła o wymiarach ...

Obliczamy, ile wynosi pole trójkątnej tafli szkła. 

`P_("tafli")=1/2*75*45=3375/2=1687,5 \ \ \ ["cm"^2]` 


Skala podobieństwa odciętego kawałka do tafli szkła wynosi k=0,32. 

Stosunek pola odciętego kawałka do pola tafli szkła wynosi:

`k^2=0,32^2=0,1024` 


Obliczamy, ile wynosi pole odciętego kawałka.

`P_("kawałka")/P_("tafli")=k^2` 

`P_("kawałka")/1687,5=0,1024 \ \ \ \ \ \ \ \ |*1687,5` 

`P_("kawałka")=172,8 \ \ \ ["cm"^2]` 


Obliczamy, ile wynosi pole pozostałe części.

`P_("pozostałej części")=P_("tafli")-P_("kawałka")=1687,5-172,8=1514,7 \ \ \ ["cm"^2]` 

Pole pozostałej części wynosi 1514,7 cm2.     

Wartość wyrażenia...

`(1  4/9 - 2  5/6)*1,8 = (13/9 - 17/6)*18/10 = (52/36 - 102/36)*18/10 =-50/36*18*10 = -strike(50)^5/strike(36)^2 * strike(18)/strike(10) = -5/2 = -2,5` 

 

Odp.: B. -2,5

Waga pojemnika wypełnionego...

Oznaczmy masę pojemnika przez: `x` 

Oznaczmy masę oleju przez: `y` 

Wiemy, że pojemnik wraz z olejem ma masę:

`x+y = 5,6\ kg` 

Z tego wynika, że sam olej będzie ważył:

`x+y = 5,6\ kg \ \ \ \ |-x` 

`y = 5,6\ kg - x` 

Wiemy, że masa pojemnika i połowy oleju wynosi:

`x + 1/2 y = 3,4\ kg` 

Z tego wynika, że masa pustego pojemnika będzie wynosiła:

`x + 1/2 y = 3,4\ kg` 

`x + 1/2*(5,6\ kg - x) = 3,4\ kg` 

`x + 1/2*5,6\ kg - 1/2 x = 3,4\ kg` 

`x - 1/2 x + 2,8\ kg = 3,4\ kg \ \ \ \ |-2,8\ kg` 

`1/2 x = 0,6\ kg \ \ \ \ |*2` 

`x = 1,2\ kg` 

 

Odpowiedź: Masa pojemnika wynosi 1,2 kg.

Oblicz.

`a) \ sqrt3 * sqrt 7 = sqrt(3*7)=sqrt21`

 

`b) \ sqrt(4/3) * sqrt(5/4) * sqrt(6/5) = sqrt((strike4^1)/3 *(strike5^1)/(strike4^1) * 6/(strike5^1))=sqrt(6/3) = sqrt 2`

 

`c) \ sqrt72 : sqrt36 = sqrt(72/36) = sqrt 2`

 

`d) (sqrt(0,028)/(sqrt0,007)) = sqrt((0,028)/(0,007)) = sqrt4 = 2`

 

`e) root(3)(0,75) * root(3)(16) = root(3)(3/(strike4^1) * strike16^4) = root(3)(3*4)= root(3)(12)`

 

`f) \ root(3)(10) * root(3)(100) * root(3)(1000) = root(3)(10*100) * root(3)(1000) = root(3)(1000) * 10 = 10 * 10 = 100`

 

`g) \ root(3)(52) : root(3)(13) = root(3)(52/13)= root(3)(4)`

 

`h) \ root(3)(6,25)/(root(3)(0,25))= root(3)((6,25)/(0,25))= root(3)(25)`

 

Dokończ zdanie tak, aby otrzymać zdanie prawdziwe...

Obliczmy skalę podobieństwa trójkąta ABC do trójkąta KLM:

`(20:4)/(28:4)=5/7` 



Odp. C

Listonosz ma dostarczyć listy...

Liczba wszystkich mieszkań wynosi: `9` 

Liczba mieszkań z parzystymi numerami wynosi: `3` 

Liczba mieszkań o nieparzystych numerach: `6` 

Liczba listów, które powinien wyjąć listonosz jest liczbą listów do mieszkań nieparzystych i jednego listu, który będzie przeznaczony do mieszkania parzystego:

`6+1 = 7` 

 

Odpowiedź: Listonosz musi wyjąć co najmniej 7 listów, aby mieć pewność, że wśród nich będzie list do mieszkania o parzystym numerze.