Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Bryły - iii-gimnazjum - Baza Wiedzy

Graniastosłupy

Graniastosłup składa się z dwóch równoległych do siebie podstaw oraz ścian bocznych w kształcie równoległoboków.

  Zobacz w programie GeoGebra

 

graniastoslup

Graniastosłupy dzielimy na graniastosłupy proste, pochyłe oraz prawidłowe.

  1. Graniastosłup prosty to taki, w którym krawędzie boczne są prostopadłe do podstawy. Ściany boczne są prostokątami.

  2. Graniastosłup pochyły to taki, w którym krawędzie boczne nie są prostopadłe do podstawy. Ściany boczne są równoległobokami.

  3. Graniastosłup prawidłowy to taki, który ma w podstawie wielokąt foremny. Ściany boczne są przystającymi równoległobokami.

Objętość graniastosłupa:

$$V=P_p×H$$

$$V$$ -> objętość graniastosłupa

$$P_p$$ -> pole podstawy

$$H$$ -> wysokość graniastosłupa

 

Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa:

$$P_c=2P_p+P_b$$

$$P_c$$ -> pole powierzchni całkowitej graniastosłupa

$$P_p$$ -> pole podstawy

$$P_b$$ -> pole powierzchni bocznej (suma pól wszystkich ścian bocznych)

 

W graniastosłupach są trzy różne odcinki: przekątna podstawy, przekątna ściany bocznej oraz przekątna graniastosłupa.

 

Ostrosłupy

Ostrosłup składa się z jednej podstawy, ścian bocznych i wierzchołka ostrosłupa. Punkt na podstawie, na który pada wysokość nazywamy spodkiem wysokości.

  Zobacz w programie GeoGebra

 

ostroslup

Ostrosłup, który ma w podstawie wielokąt foremny nazywamy ostrosłupem prawidłowym.

Ostrosłup prawidłowy trójkątny nosi również nazwę czworościan foremny. Wszystkie jego ściany są w kształcie trójkątów równobocznych.

Objętość ostrosłupa:

$$V=1/3 P_p×H$$

$$V$$ -> objętość ostrosłupa

$$P_p$$ -> pole podstawy

$$H$$ -> wysokość ostrosłupa

 

Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa:

$$P_c=P_p+P_b$$

$$Pc$$ -> pole powierzchni całkowitej

$$P_p$$ -> pole podstawy

$$P_b$$ -> pole powierzchni bocznej (suma pól wszystkich ścian bocznych)

 

Walec

Walec jest nazywany bryłą obrotową, ponieważ otrzymujemy go w wyniku obrótu prostokąta.

Wygląda jak graniastosłup o podstawie koła.

Walec składa się z dwóch takich samych podstaw w kształcie kół oraz powierzchni bocznej, która po rozłożeniu jest prostokątem.

Przekrój osiowy walca to prostokąt, którego boki mają taką samą długość jak średnica podstawy i wysokość walca. 

Pole powierzchni całkowitej walca:

`P_c=2*P_p+P_b`

`P_p=pir^2`

`P_b=2pir*H`

Zatem: 

`P_c=2pir^2+2pirH=2pir(r+H)`    

`P_c \ \ ->`  pole powierzchni całkowitej

`P_p \ \ ->`  pole podstawy

`P_b \ \ ->`  pole powierzchni bocznej

`r \ \ ->`  długość promienia podstawy

`H \ \ ->`    długość wysokości walca

 

Objętość walca: 

`V=P_p*H`

`P_p=pir^2`

Zatem: 

`V=pir^2*H`   


`V \ \ ->`  objętość

`P_p \ \ ->`  pole podstawy 

`H \ \ ->`  długość wysokości walca

`r \ \ ->`    długość promienia podstawy

Stożek

Stożek jest kolejna bryłą obrotową, ponieważ powstał w wyniku obrotu trójkąta prostokątnego wokół prostej zawierającej jedną z jego przyprostokątnych. Wygląda jak ostrosłup o podstawie koła. Składa się z jednej podstawy oraz powierzchni bocznej. Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równoramiennym. Odcinek łączący wierzchołek ze środkiem podstawy jest wysokością. Każdy odcinek łączący wierzchołek z brzegiem podstawy to tworząca stożka, którą oznacza się literą „l”.

  Zobacz w programie GeoGebra

stozek

Objętość stożka:

`V=1/3P_p*H`  

`V=1/3pir^2*H`  

$$V$$ - objętość stożka

$$r$$ - długość promienia podstawy stożka

$$H$$ - długość wysokości stożka

 

Pole powierzchni całkowitej stożka:

`P_c=P_p+P_b`  

`P_c=pir^2+pirl=pir(r+l)`

$$P_c$$ - pole powierzchni całkowitej stożka

$$r$$ - długość promienia podstawy stożka

$$l$$ - długość tworzącej stożka

 

Kula

Kula jest bryłą obrotową, ponieważ powstaje w wyniku obrotu koła. Powierzchnia kuli nazywana jest sferą. Odcinek łączący środek kuli z dowolnym punktem na jej powierzchni to promień kuli. Przekrój osiowy kuli to koło wielkie kuli.

  Zobacz w programie GeoGebra

 

kula

Objętość kuli:

$$V=4/3 πr^3$$

$$ V$$ -> objętość kuli

$$r$$ -> promień kuli

 

Pole powierzchni kuli (sfery):

$$P=4πr^2$$

$$P$$ -> pole powierzchni kuli

$$r$$ -> promień kuli

 
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Ile wynosi objętość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy 2 cm i wysokości 12 cm?

$$ V=P_p×H $$

$$ V=2×2×12=48 cm^3 $$

Odp.: Objętość tego graniastosłupa wynosi 48 $$ cm^3$$.

Zadanie 2.

Jaką długość będzie miała przekątna ściany bocznej w graniastosłupie prawidłowym czworokątnym, jeżeli jego objętość wynosi 75 $$m^3$$, a wysokość 3 m?

d -> przekątna ściany bocznej

$$ V=P_p×H $$

$$ P_p={75}/3 $$

$$ a^2=25 -> a=5 m $$

Liczę przekątną z pitagorasa (trójkąt prostokątny to połowa ściany bocznej):

$$ d^2=H^2+a^2 $$

$$ d^2=9+25 $$

$$ d=√34 m $$

Odp.: Przekątna ściany bocznej ma długość $$√34$$ m.

Zadanie 3.

Ile wynosi powierzchnia boczna stożka, jeżeli pole podstawy wynosi 25π $$cm^2$$, a tworząca stożka 3 cm?

$$ πr^2=25π $$

$$ r=5 cm $$

$$ P_b=πrl=π×5×3=15π cm^2 $$

Odp.: Pole powierzchni bocznej tego stożka wynosi 15π $$cm^2$$.

Zadanie 4.

Promień kuli ma długość 4cm. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tej kuli.

$$ V= 4/3 πr^3 $$

$$ V=4/3 π×64=85 1/3 π$$ $$cm^3 $$

$$ P_c=4πr^2 $$

$$ P_c=4π×16=64π cm^2 $$

Odp.: Objętość tej kuli wynosi $$85 1/3 π$$ $$cm^3$$, a pole powierzchni całkowitej 64π $$cm^2$$.

Zadanie 5.

Oblicz pole przekroju stożka powstałego przez obrót trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych długości 3 cm i 4 cm wokół dłuższej przyprostokątnej.

$$r=3$$ cm -> $$a=6$$ cm

$$H=4$$ cm

$$P={a×H}/2={6×4}/2=12$$ $$cm^2 $$

Odp.: Pole przekroju osiowego tego stożka wynosi 12 $$cm^2$$.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Oblicz stosunek długości...

Spójrzmy najpierw na podstawę sześcianu:

`c^2=2a^2`

`c=a*sqrt2`

 

Teraz zajmijmy się trójkątem tworzonym przez przekątną sześcianu d, przekątną podstawy c oraz krawędź sześcianu a:

`d^2=a^2+c^2`

`d^2=a^2+(a*sqrt2)^2`

`d^2=a^2+2a^2`

`d^2=3a^2`

`d=sqrt(3a^2)`

`d=a*sqrt3`

`a=d/sqrt3`

`a=d*sqrt3/3`

 

a)`sqrt3/3` 

 

b) `sqrt3/3 `

 

c) `sqrt3/3`

Oblicz pole zacieniowanego...

`a)`  

`r = 3` 

`alpha = 72^@` 

Pole wycinka koła wynosi:

`P = alpha/360^@*pir^2` 

`P = 72^@/360^@*pi*3^2` 

`P=1/5*pi*9` 

`P = 9/5 pi` 

Długość zaznaczonego łuku wynosi:

`l = alpha/360^@*2pir` 

`l = 72^@/360^@*2*pi*3` 

`l = 1/5*6*pi` 

`l = 6/5 pi` 

 

`b)` 

`r=5` 

`alpha = 96^@` 

Pole wycinka koła wynosi:

`P = alpha/360^@*pir^2` 

`P = 96^@/360^@*pi*5^2` 

`P=4/strike(15)^3 *pi*strike(25)^5` 

`P = 20/3 pi` 

Długość zaznaczonego łuku wynosi:

`l = alpha/360^@*2pir` 

`l = 96^@/360^@*2*pi*5` 

`l = 4/strike(15)^3*strike(10)^2*pi` 

`l = 8/3 pi` 

 

`c)` 

`r = 6`

`alpha = 360^@-150^@ = 210`  

Pole wycinka koła wynosi:

`P = alpha/360^@*pir^2` 

`P = 210^@/360^@*pi*6^2` 

`P=7/strike(12)*pi*strike(36)^3 ` 

`P = 7* pi*3`

`P = 21pi`  

Długość zaznaczonego łuku wynosi:

`l = alpha/360^@*2pir` 

`l = 210^@/360^@*2*pi*6` 

`l = 7/strike(12)*12*pi` 

`l = 7 pi` 

Rozwiąż układ równań metodą dodawania stronami. a) 5x+2y=20

`a) \ \ {(5x+2y=20),(8x-2y=58):}` 

`` `{(5x+8x+2y-2y=20+58),(8x-2y=58):}` 

`{(13x=78 \ \ \ \ |:13),(8x-2y=58):}` 

`{(x=6),(8*6-2y=58):}` 

`{(x=6),(48-2y=58 \ \ \ |-48):}` 

`{(x=6),(-2y=10 \ \ |:(-2)):}` 

`{(x=6),(y=-5):}` 

 `b) \ \ {(-3x+11y=23),(6x+2y=-22 \ \ \ |:2):}` 

`{(-3x+11y=23),(3x+y=-11):}` 

`{(-3x+3x+11y+y=23+(-11)),(3x+y=-11):}`   

`{(12y=12 \ \ \ |:12),(3x+y=-11):}` 

`{(y=1),(3x+1=-11):}` 

`{(y=1),(3*x+1=-11 \ \ \ |-1):}` 

`{(y=1),(3x=-12 \ \ \ \ |:3):}`  

`{(y=1),(x=-4):}`  

`` `c) \ \ {(12x-5y=16),(4x+y=0 \ \ \ \ \ |*5):}` 

`{(12x-5y=16),(20x+5y=0):}` 

`{(12x+20x-5y+5y=16+0),(20x+5y=0 \ \ \ \ |-20x):}`  

`{(32x=16 \ \ \ |:32),(5y=-20x \ \ |:5):}` 

``    `{(x=16/32),(y=-4x):}` 

`{(y=1/2),(y=-4*1/2=-2):}` 

`d) \ \ {(8x-9y=35),(2x+3y=7 \ \ \ |*3):}`  

`{(8x-9y=35),(6x+9y=21):}` 

`{(8x+6x-9y+9y=35+21),(6x+9y=21):}` 

`{(14x=56 \ \ \ |:14),(6x+9y=21):}` 

`{(x=4),(6*4+9y=21):}` 

`{(x=4),(24+9y=21 \ \ \ |-24):}` 

`{(x=4),(9y=-3 \ \ \ |:9):}`  

`{(x=4),(y=-3/9=-1/3):}`  

 

 

 

Suma pól dwóch figur podobnych wynosi 200 cm²

`P_1+P_2=200`

`(P_1)/(P_2)=(0,5)^2=0,25=>P_1=0,25P_2`

`0,25P_2+P_2=200`

`1,25P_2=200`

`P_2=160cm^2`

`P_1=40cm^2`

Odp. Pole pierwszej figury wynosi `160cm^2` , natomiast drugiej `40cm^2` .

W klasie znajdowało się ...

Dane:

28 - liczba uczniów w klasie

4:3 - stosunek liczby dziewcząt do liczby chłopców

 

Oznaczenia:

x - liczba dziewcząt

28-x - liczba chłopców

 

Układamy proporcje:

`4/3=x/(28-x)` 

`4(28-x)=3x` 

`112-4x=3x` 

`112=7x\ \ \ \ \ |:7` 

`x=16` 

W klasie było 16 dziewczynek.

 

Obliczmy liczbę chłopców:

`28-16=12` 

W klasie było 12 chłopców.

 

Odp: W klasie było 16 dziewczynek oraz 12 chłopców.

Podstawą ostrosłupa jest prostokąt...

`P_p=20*14=280 ["cm"^2]` 

Pole boczne składa się z pola dwóch trójkątów równoramiennych o podstawie 14 cm i dwóch trójkątów równoramiennych o podstawie 20 cm.

Pole trójkąta o podstawie 14 cm oznaczmy przez P1, a pole trójkąta o podstawie 20 cm oznaczmy P2.

`P_b=2*P_1+2*P_2` 

Obliczmy wysokość trójkąta pierwszego, korzystając z tw. Pitagorasa.

`7^2+h_1^2=(5sqrt29)^2` 

`49+h_1^2=25*29` 

`49+h_1^2=725 \ \ \ \ \ \ |-49` 

`h_1^2=676` 

`h_1=26` 

`P_1=1/2*14*26=182 ["cm"^2]` 

Obliczmy wysokość trójkąta drugiego, korzystając z tw. Pitagorasa.

`10^2+h_2^2=(5sqrt29)^2` 

`100+h_2^2=25*29`  

`100+h_2^2=725 \ \ \ \ \ \ |-100` 

`h_2^2=625` 

`h_2=25` 

`P_2=1/2*20*25=250 ["cm"^2]` 

 

`P_b=2*182+2*250=364+500=864 ["cm"^2]` 

`P_c=P_p+P_b=280+864=1144 ["cm"^2]` 

Uzupełnij zdania...

a) f(-3)= -2

b) 3 (wykres 3 razy przecina oś x)

c) -2 (jest to wartość -3)

d) -4 < x ≤ 2

Sprawdź, korzystając...

a) `3*42=126`

`63*2=126`

TAK

 

b) `14*15=210`

`10*21=210`

TAK

 

c) `15*54=810`

`6*135=810`

TAK

 

d) `2*54=108`

`3*36=108`

 TAK

 

e) `2*41=82`

`9*9=81`

NIE

 

f) `3*48=144`

`12*12=144`

TAK

Dane są wykresy dwóch funkcji f i g.

a) Funkcje f i g przecinają się w punkcie (-1,2). Oznacza to, że przyjmujące one tę samą wartość dla argumentu x = -1



b) Odczytujemy, dla jakich argumentów wykres funkcji g leży poniżej wykresu funkcji f. 

Wartości funkcji g są mniejsze od wartości funkcji f dla argumentu spełniających warunek: -6 < x < -1



c)
Największa wartość funkcji g wynosi 6. Największa wartość funkcji f wynosi 4. 

Obliczamy, o ile największą wartością funkcji g jest większa od największą wartością funkcji f. 

`6-4=2` 

Największa wartość funkcji g jest o 2 większa od największej wartości funkcji f. 


d) Najmniejsza wartość funkcji f wynosi -4. Najmniejsza wartość funkcji g wynosi -2. 

Obliczamy, o ile najmniejsza wartość funkcji f jest mniejsza od najmniejszej wartości funkcji g. 

`-2-(-4)=-2+4=2` 

Najmniejsza wartość funkcji f jest o 2 mniejsza od najmniejszej wartości funkcji g. 

 

e) Funkcja f ma jedno miejsce zerowe. 

Funkcja g ma dwa miejsca zerowe. 

Dany jest równoległobok ABCD

S - punkt przecięcia odcinków GH i EF

Takimi samymi kolorami zaznaczono kąty o równych miarach. 

Korzystając z równości miar kątów oraz równości zaznaczonych odcinków możemy zapisać: 

`AESG-=CFSH,\ \ \ \ \ FDGS-=EBHS`