Bryły - iii-gimnazjum - Baza Wiedzy
Graniastosłupy
Graniastosłup składa się z dwóch równoległych do siebie podstaw oraz ścian bocznych w kształcie równoległoboków.
Zobacz w programie GeoGebra
Graniastosłupy dzielimy na graniastosłupy proste, pochyłe oraz prawidłowe.
-
Graniastosłup prosty to taki, w którym krawędzie boczne są prostopadłe do podstawy. Ściany boczne są prostokątami.
-
Graniastosłup pochyły to taki, w którym krawędzie boczne nie są prostopadłe do podstawy. Ściany boczne są równoległobokami.
-
Graniastosłup prawidłowy to taki, który ma w podstawie wielokąt foremny. Ściany boczne są przystającymi równoległobokami.
Objętość graniastosłupa:
$V=P_p×H$$V$ -> objętość graniastosłupa
$P_p$ -> pole podstawy
$H$ -> wysokość graniastosłupa
Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa:
$P_c=2P_p+P_b$$P_c$ -> pole powierzchni całkowitej graniastosłupa
$P_p$ -> pole podstawy
$P_b$ -> pole powierzchni bocznej (suma pól wszystkich ścian bocznych)
W graniastosłupach są trzy różne odcinki: przekątna podstawy, przekątna ściany bocznej oraz przekątna graniastosłupa.
Ostrosłupy
Ostrosłup składa się z jednej podstawy, ścian bocznych i wierzchołka ostrosłupa. Punkt na podstawie, na który pada wysokość nazywamy spodkiem wysokości.
Zobacz w programie GeoGebra
Ostrosłup, który ma w podstawie wielokąt foremny nazywamy ostrosłupem prawidłowym.
Ostrosłup prawidłowy trójkątny nosi również nazwę czworościan foremny. Wszystkie jego ściany są w kształcie trójkątów równobocznych.
Objętość ostrosłupa:
$V=1/3 P_p×H$$V$ -> objętość ostrosłupa
$P_p$ -> pole podstawy
$H$ -> wysokość ostrosłupa
Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa:
$P_c=P_p+P_b$$Pc$ -> pole powierzchni całkowitej
$P_p$ -> pole podstawy
$P_b$ -> pole powierzchni bocznej (suma pól wszystkich ścian bocznych)
Walec
Walec jest nazywany bryłą obrotową, ponieważ otrzymujemy go w wyniku obrótu prostokąta.
Wygląda jak graniastosłup o podstawie koła.
Walec składa się z dwóch takich samych podstaw w kształcie kół oraz powierzchni bocznej, która po rozłożeniu jest prostokątem.
Przekrój osiowy walca to prostokąt, którego boki mają taką samą długość jak średnica podstawy i wysokość walca. 
Pole powierzchni całkowitej walca:
`P_c=2*P_p+P_b`
`P_p=pir^2`
`P_b=2pir*H`
Zatem:
`P_c=2pir^2+2pirH=2pir(r+H)`
`P_c \ \ ->` pole powierzchni całkowitej
`P_p \ \ ->` pole podstawy
`P_b \ \ ->` pole powierzchni bocznej
`r \ \ ->` długość promienia podstawy
`H \ \ ->` długość wysokości walca
Objętość walca:
`V=P_p*H`
`P_p=pir^2`
Zatem:
`V=pir^2*H`
`V \ \ ->` objętość
`P_p \ \ ->` pole podstawy
`H \ \ ->` długość wysokości walca
`r \ \ ->` długość promienia podstawy
Stożek
Stożek jest kolejna bryłą obrotową, ponieważ powstał w wyniku obrotu trójkąta prostokątnego wokół prostej zawierającej jedną z jego przyprostokątnych. Wygląda jak ostrosłup o podstawie koła. Składa się z jednej podstawy oraz powierzchni bocznej. Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równoramiennym. Odcinek łączący wierzchołek ze środkiem podstawy jest wysokością. Każdy odcinek łączący wierzchołek z brzegiem podstawy to tworząca stożka, którą oznacza się literą „l”.
Zobacz w programie GeoGebra
Objętość stożka:
`V=1/3P_p*H`
`V=1/3pir^2*H`
$V$ - objętość stożka
$r$ - długość promienia podstawy stożka
$H$ - długość wysokości stożka
Pole powierzchni całkowitej stożka:
`P_c=P_p+P_b`
`P_c=pir^2+pirl=pir(r+l)`
$P_c$ - pole powierzchni całkowitej stożka
$r$ - długość promienia podstawy stożka
$l$ - długość tworzącej stożka
Kula
Kula jest bryłą obrotową, ponieważ powstaje w wyniku obrotu koła. Powierzchnia kuli nazywana jest sferą. Odcinek łączący środek kuli z dowolnym punktem na jej powierzchni to promień kuli. Przekrój osiowy kuli to koło wielkie kuli.
Zobacz w programie GeoGebra
Objętość kuli:
$V=4/3 πr^3$$ V$ -> objętość kuli
$r$ -> promień kuli
Pole powierzchni kuli (sfery):
$P=4πr^2$$P$ -> pole powierzchni kuli
$r$ -> promień kuli
Zadania powtórzeniowe
Zadanie 1.
Ile wynosi objętość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy 2 cm i wysokości 12 cm?
$ V=P_p×H $
$ V=2×2×12=48 cm^3 $
Odp.: Objętość tego graniastosłupa wynosi 48 $ cm^3$.
Zadanie 2.
Jaką długość będzie miała przekątna ściany bocznej w graniastosłupie prawidłowym czworokątnym, jeżeli jego objętość wynosi 75 $m^3$, a wysokość 3 m?
d -> przekątna ściany bocznej
$ V=P_p×H $
$ P_p={75}/3 $
$ a^2=25 -> a=5 m $
Liczę przekątną z pitagorasa (trójkąt prostokątny to połowa ściany bocznej):
$ d^2=H^2+a^2 $
$ d^2=9+25 $
$ d=√34 m $
Odp.: Przekątna ściany bocznej ma długość $√34$ m.
Zadanie 3.
Ile wynosi powierzchnia boczna stożka, jeżeli pole podstawy wynosi 25π $cm^2$, a tworząca stożka 3 cm?
$ πr^2=25π $
$ r=5 cm $
$ P_b=πrl=π×5×3=15π cm^2 $
Odp.: Pole powierzchni bocznej tego stożka wynosi 15π $cm^2$.
Zadanie 4.
Promień kuli ma długość 4cm. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tej kuli.
$ V= 4/3 πr^3 $
$ V=4/3 π×64=85 1/3 π$ $cm^3 $
$ P_c=4πr^2 $
$ P_c=4π×16=64π cm^2 $
Odp.: Objętość tej kuli wynosi $85 1/3 π$ $cm^3$, a pole powierzchni całkowitej 64π $cm^2$.
Zadanie 5.
Oblicz pole przekroju stożka powstałego przez obrót trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych długości 3 cm i 4 cm wokół dłuższej przyprostokątnej.
$r=3$ cm -> $a=6$ cm
$H=4$ cm
$P={a×H}/2={6×4}/2=12$ $cm^2 $
Odp.: Pole przekroju osiowego tego stożka wynosi 12 $cm^2$.
Spis treści
Odpowiedź: B
p - ilość zakupionych jabłek (w kg)
a - cana za kilogram jabłek
q - ilość zakupionych cukierków(w dag)
b - cena za kilogram cukierków
Cena za zakupione jabłka:
Ponieważ, ilość zakupionych cukierków wyrażona jest w dekagramach należy zmienić jednostki na kilogramy.
Przypomnienie:
{premium}
Aby zamienić dekagramy na kilogramu musimy ilość w dekagramach pomnożyć przez 0,01.
Cena za zakupione cukierki:
Za całe zakupy Jacek zapłacił:
{premium}
Przyporządkowanie to:
- I. - E.
- II. - G.
- III. - A.
- IV. - C.
- V. - F.
- VI. - D.
- VII. - B.
x-cena 1 kg jabłek
y-cena 1 kg pomarańczy
2x+y=9 (zakupy mamy Ani){premium}
2x+2y=12 /:2 (zakupy mamy Kasi)
x+y=6
2x+y=9
x+y=6
Odpowiedź D
Należy połączyć:
punkt B=(3,-5) z wzorem y=-2x+1 ponieważ:
-2∙3+1=-6+1=-5{premium}
punkt C=(3,2) z wzorem y=6/x ponieważ:
6/3=2
punkt D=(0,5) z wzorem y=1/2x+5 ponieważ:
1/2∙0+5=0+5=5
punkt E=(1,-8) z wzorem y=4(x-3) ponieważ:
4(1-3)=4-12=-8
Zapas wystarcza dla 15 osób na 20 dni.
To oznacza, że mamy dziennych porcji dla 1 osoby.
- dla 1 osoby wystarczy na 300 dni {premium}
Proporcje boków muszą być takie same, sprawdźmy proporcje boków w pierwszym trójkącie:
{premium}
Teraz musimy sprawdzić czy w drugim trójkącie istnieją dwa boki których proporcje są takie same:
Znaleźliśmy boki o takich samych proporcjach. To oznacza, że trójkąty mogą być podobne, jeśli trzeci bok pierwszego trójkąta będzie odpowiedni.
Rysunek pomocniczy:
Mamy:{premium}
Wyznaczmy obwód podstawy walca - będzie on minimalną długością kawałka tektury:
Zauważmy, że minimalna szerokość tektury to co najmniej (ponieważ walec ma dwie podstawy w kształcie koła każda o średnicy ) czyli:
Otrzymaliśmy, że minimalne wymiary kawałka tektury, z jakiego można wyciąć
taką siatkę to Wymiary są mniejsze lub równe co należało dowieść.
Przyda nam się rysunek przekroju osiowego stożka:
Mamy:
We wzorze na pole powierzchni bocznej mamy długość tworzącej stożka, więc musimy ją wyznaczyć.
Skorzystamy w tym celu z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta
Pole powierzchni siatki będzie takie samo jak pole powierzchni całkowitej stożka.
Obliczamy pole podstawy stożka:
Obliczamy pole powierzchni bocznej stożka:
Obliczamy pole powierzchni całkowitej stożka:
Odp. Pole powierzchni siatki tego stożka będzie równe
A: x=1, y=-2
Podstawiamy podane wartości do każdego z równań i sprawdzamy, czy{premium} zachodzi równość.
Dla x=1 i y=-2 mamy:
Para (1,-2) nie spełnia pierwszego równania, więc nie spełnia układu równań.
B: x=-1, y=2
Podstawiamy podane wartości do każdego z równań i sprawdzamy, czy zachodzi równość.
Dla x=-1 i y=2 mamy:
Para (-1,2) nie spełnia pierwszego równania, więc nie spełnia układu równań.
C: x=-1, y=-2
Podstawiamy podane wartości do każdego z równań i sprawdzamy, czy zachodzi równość.
Dla x=-1 i y=-2 mamy:
Dla x=-1 i y=-2 mamy:
Para (-1,-2) spełnia oba równania, więc spełnia układ równań.
{premium}
{premium}
Zatem
Prawidłowa odpowiedź to
Rozwiązania zadań
Pytania i odpowiedzi
Premium