Bryły - iii-gimnazjum - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Bryły - iii-gimnazjum - Baza Wiedzy

Graniastosłupy

Graniastosłup składa się z dwóch równoległych do siebie podstaw oraz ścian bocznych w kształcie równoległoboków.

  Zobacz w programie GeoGebra

 

graniastoslup

Graniastosłupy dzielimy na graniastosłupy proste, pochyłe oraz prawidłowe.

  1. Graniastosłup prosty to taki, w którym krawędzie boczne są prostopadłe do podstawy. Ściany boczne są prostokątami.

  2. Graniastosłup pochyły to taki, w którym krawędzie boczne nie są prostopadłe do podstawy. Ściany boczne są równoległobokami.

  3. Graniastosłup prawidłowy to taki, który ma w podstawie wielokąt foremny. Ściany boczne są przystającymi równoległobokami.

Objętość graniastosłupa:

$V=P_p×H$

$V$ -> objętość graniastosłupa

$P_p$ -> pole podstawy

$H$ -> wysokość graniastosłupa

 

Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa:

$P_c=2P_p+P_b$

$P_c$ -> pole powierzchni całkowitej graniastosłupa

$P_p$ -> pole podstawy

$P_b$ -> pole powierzchni bocznej (suma pól wszystkich ścian bocznych)

 

W graniastosłupach są trzy różne odcinki: przekątna podstawy, przekątna ściany bocznej oraz przekątna graniastosłupa.

 

Ostrosłupy

Ostrosłup składa się z jednej podstawy, ścian bocznych i wierzchołka ostrosłupa. Punkt na podstawie, na który pada wysokość nazywamy spodkiem wysokości.

  Zobacz w programie GeoGebra

 

ostroslup

Ostrosłup, który ma w podstawie wielokąt foremny nazywamy ostrosłupem prawidłowym.

Ostrosłup prawidłowy trójkątny nosi również nazwę czworościan foremny. Wszystkie jego ściany są w kształcie trójkątów równobocznych.

Objętość ostrosłupa:

$V=1/3 P_p×H$

$V$ -> objętość ostrosłupa

$P_p$ -> pole podstawy

$H$ -> wysokość ostrosłupa

 

Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa:

$P_c=P_p+P_b$

$Pc$ -> pole powierzchni całkowitej

$P_p$ -> pole podstawy

$P_b$ -> pole powierzchni bocznej (suma pól wszystkich ścian bocznych)

 

Walec

Walec jest nazywany bryłą obrotową, ponieważ otrzymujemy go w wyniku obrótu prostokąta.

Wygląda jak graniastosłup o podstawie koła.

Walec składa się z dwóch takich samych podstaw w kształcie kół oraz powierzchni bocznej, która po rozłożeniu jest prostokątem.

Przekrój osiowy walca to prostokąt, którego boki mają taką samą długość jak średnica podstawy i wysokość walca. 

Pole powierzchni całkowitej walca:

`P_c=2*P_p+P_b`

`P_p=pir^2`

`P_b=2pir*H`

Zatem: 

`P_c=2pir^2+2pirH=2pir(r+H)`    

`P_c \ \ ->`  pole powierzchni całkowitej

`P_p \ \ ->`  pole podstawy

`P_b \ \ ->`  pole powierzchni bocznej

`r \ \ ->`  długość promienia podstawy

`H \ \ ->`    długość wysokości walca

 

Objętość walca: 

`V=P_p*H`

`P_p=pir^2`

Zatem: 

`V=pir^2*H`   


`V \ \ ->`  objętość

`P_p \ \ ->`  pole podstawy 

`H \ \ ->`  długość wysokości walca

`r \ \ ->`    długość promienia podstawy

Stożek

Stożek jest kolejna bryłą obrotową, ponieważ powstał w wyniku obrotu trójkąta prostokątnego wokół prostej zawierającej jedną z jego przyprostokątnych. Wygląda jak ostrosłup o podstawie koła. Składa się z jednej podstawy oraz powierzchni bocznej. Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równoramiennym. Odcinek łączący wierzchołek ze środkiem podstawy jest wysokością. Każdy odcinek łączący wierzchołek z brzegiem podstawy to tworząca stożka, którą oznacza się literą „l”.

  Zobacz w programie GeoGebra

stozek

Objętość stożka:

`V=1/3P_p*H`  

`V=1/3pir^2*H`  

$V$ - objętość stożka

$r$ - długość promienia podstawy stożka

$H$ - długość wysokości stożka

 

Pole powierzchni całkowitej stożka:

`P_c=P_p+P_b`  

`P_c=pir^2+pirl=pir(r+l)`

$P_c$ - pole powierzchni całkowitej stożka

$r$ - długość promienia podstawy stożka

$l$ - długość tworzącej stożka

 

Kula

Kula jest bryłą obrotową, ponieważ powstaje w wyniku obrotu koła. Powierzchnia kuli nazywana jest sferą. Odcinek łączący środek kuli z dowolnym punktem na jej powierzchni to promień kuli. Przekrój osiowy kuli to koło wielkie kuli.

  Zobacz w programie GeoGebra

 

kula

Objętość kuli:

$V=4/3 πr^3$

$ V$ -> objętość kuli

$r$ -> promień kuli

 

Pole powierzchni kuli (sfery):

$P=4πr^2$

$P$ -> pole powierzchni kuli

$r$ -> promień kuli

 
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Ile wynosi objętość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy 2 cm i wysokości 12 cm?

$ V=P_p×H $

$ V=2×2×12=48 cm^3 $

Odp.: Objętość tego graniastosłupa wynosi 48 $ cm^3$.

Zadanie 2.

Jaką długość będzie miała przekątna ściany bocznej w graniastosłupie prawidłowym czworokątnym, jeżeli jego objętość wynosi 75 $m^3$, a wysokość 3 m?

d -> przekątna ściany bocznej

$ V=P_p×H $

$ P_p={75}/3 $

$ a^2=25 -> a=5 m $

Liczę przekątną z pitagorasa (trójkąt prostokątny to połowa ściany bocznej):

$ d^2=H^2+a^2 $

$ d^2=9+25 $

$ d=√34 m $

Odp.: Przekątna ściany bocznej ma długość $√34$ m.

Zadanie 3.

Ile wynosi powierzchnia boczna stożka, jeżeli pole podstawy wynosi 25π $cm^2$, a tworząca stożka 3 cm?

$ πr^2=25π $

$ r=5 cm $

$ P_b=πrl=π×5×3=15π cm^2 $

Odp.: Pole powierzchni bocznej tego stożka wynosi 15π $cm^2$.

Zadanie 4.

Promień kuli ma długość 4cm. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tej kuli.

$ V= 4/3 πr^3 $

$ V=4/3 π×64=85 1/3 π$ $cm^3 $

$ P_c=4πr^2 $

$ P_c=4π×16=64π cm^2 $

Odp.: Objętość tej kuli wynosi $85 1/3 π$ $cm^3$, a pole powierzchni całkowitej 64π $cm^2$.

Zadanie 5.

Oblicz pole przekroju stożka powstałego przez obrót trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych długości 3 cm i 4 cm wokół dłuższej przyprostokątnej.

$r=3$ cm -> $a=6$ cm

$H=4$ cm

$P={a×H}/2={6×4}/2=12$ $cm^2 $

Odp.: Pole przekroju osiowego tego stożka wynosi 12 $cm^2$.

Spis treści

Rozwiązane zadania
W tabeli przedstawiono wyniki

Zapiszmy wyniki w uporządkowanym zbiorze: 

 

 

Modalną danych przedstawionych w tabeli jest 5 (odp. D), ponieważ 5 oczek pojawiło się najczęściej - 5 razy. 

 

Medianą danych przedstawionych w tabeli jest   - odp. A

 

Średnia arytmetyczna danych przedstawionych w tabeli jest równa: 

W ostatnim zdaniu należy zaznaczyć opowiedź B. 

Przedstaw w postaci wykresu funkcję, która ...

Funkcja każdej liczbie ze zbioru {-1, 0, 1, 2} przyporządkowuje liczbę o 2 mniejszą od jej potrojenia. 

 {premium}

 

 

 


Funkcja ta nie ma miejsc zerowych. Wartość 0 nie jest przyjmowana dla żadnego argumentu. 


Funkcja ta przyjmuje wartość dodatnią dla dwóch argumentów: x=1 i x=2. 

Rozwiąż układ równań metodą ...

 

 

 

 

   

 

  

 

 

 

Rozwiazanie układu równań jest para liczb:

 

 

Sprawdzamy rozwiązanie:

Podstawimy x i y do lewych stron obu równań i patrzymy, czy otrzymamy liczbę znajdującą się po prawej stronie.

Pierwsze równanie:

 

 

Drugie równanie:

  

 

 

  

  

 

     

 

 

   

 

  

Rozwiazanie układu równań jest para liczb:

 

 

Sprawdzamy rozwiązanie:

Podstawimy x i y do lewych stron obu równań i patrzymy, czy otrzymamy liczbę znajdującą się po prawej stronie.

Pierwsze równanie:

  

 

Drugie równanie:

  

 

 

  

  

  

   

     

 

 

   

 

  

Rozwiazanie układu równań jest para liczb:

 

 

Sprawdzamy rozwiązanie:

Podstawimy x i y do lewych stron obu równań i patrzymy, czy otrzymamy liczbę znajdującą się po prawej stronie.

Pierwsze równanie:

  

 

Drugie równanie:

Zapisz odpowiedzi...

 

Liczba sucharków w opakowaniu:  

Masa opakowania sucharków:  

Procent skrobi znajdujący się w jednym sucharku:  

Zapisujemy wyrażenie opisujące masę skrobi w jednym sucharku:

 

 

 

 

  

Liczba czytelników w wieku 16 lat:   

Liczba czytelników w wieku powyżej 16 lat:  

Procent o jaki wzrosła grupa czytelników w wieku 16 lat:  

Procent o jaki zmalała grupa czytelników w wieku powyżej 16 lat:  

Zapisujemy wyrażenie opisujące liczbę czytelników po zmianach:

 

 

  

 

 

Cena biletu jednorazowego:  

Cena biletu miesięcznego:  

Liczba biletów jednorazowych:  

Zapisujemy wyrażenie opisujące o ile więcej kosztują bilety jednorazowe od miesięcznego:

 

 

 

Liczba biletów kupionych na karuzelę w dniu otwarcia:  

Cena jednego biletu na karuzelę:  

Kwota o jaką zmniejszono cenę biletów:  

Procent o jaki wzrosła liczba sprzedanych biletów:  

Zapisujemy wyrażenie opisujące kwotę uzyskaną ze sprzedaży biletów:

 

 

 

Funkcja określona tabelką przyporządkowuje każdej ...

a) Wyraz pasujący do tabeli to:

MATEMATYKA

 

b) Tabela dla wyrazu OPOWIADANIE:

x O P W I A D N E
y 2 1 1 2 2 1 1 1

 

c) Tabela dla przykładowego imienia i nazwiska - ANNA KOWALSKA

x A N K O W L S
y 4 2 2 1 1 1 1
Trójkąt prostokątny ma dwa boki o długościach 5 cm i 12 cm

x - trzeci bok, który jest przyprostokątną trójkąta

 

 

y - trzeci bok, który jest przeciwprostokątną trójkąta

Podaj promień podstawy i wysokość...

 

Wysokość stożka:  

Tworząca stożek:  

Obliczamy promień podstawy stożka:

 

 

 

 

 

 

 

 

Promień podstawy stożka:  

Tworząca stożek:  

Obliczamy wysokość stożka:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Promień podstawy stożka:  

Tworząca stożek:  

Obliczamy wysokość stożka:

 

 

 

 

 

 

 

Promień podstawy stożka:  

Tworząca stożek:  

Obliczamy wysokość stożka:

 

 

 

 

Jaką liczbę należy dopisać do czterech poniższych, aby ...

Liczbę, którą należy dopisać oznaczamy  .

Chcemy, aby średnia arytmetyczna liczb:

 

wynosiła 12. 


Zatem:
 

 

       

 

 

 

Należy dopisać liczbę 2 1/2.         

Przedstawiona obok bryła powstała przez doklejenie...

Rysunek pomocniczy:

 

 {premium}

 

 

 

Na objętość bryły składają się: objętość graniastosłupa  oraz dwie objętości przystających stożków.

Obliczamy najpierw pole podstawy graniastosłupa/stożków:

 

 

Obliczamy objętość graniastosłupa:

 

 

Obliczamy objętość jednego stożka:

 

 

Obliczamy objętość bryły:

 

          

Na pole powierzchni całkowitej bryły składają się: pole powierzchni bocznej graniastosłupa oraz podwojone

pole powierzchni bocznej stożka.

Obliczamy pole powierzchni bocznej graniastosłupa:

 

 

Do obliczenia pola powierzchni bocznej stożka będzie nam potrzebna wysokość ściany bocznej,

a aby ją wyznaczyć, musimy ustalić długość krawędzi ściany bocznej - skorzystamy z twierdzenia

Pitagorasa dla trójkąta  

 

 

 

 

 

Obliczamy wysokość ściany bocznej - korzystamy z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta   

 

  

 

 

 

Obliczamy pole powierzchni bocznej jednego stożka:

 

 

Obliczamy pole powierzchni całkowitej bryły:

 

 

Odp. Objętość bryły wynosi  a pole powierzchni całkowitej jest równe           

  

      

 

 

Wyznacz x z każdego równania