Bryły - iii-gimnazjum - Baza Wiedzy
Graniastosłupy
Graniastosłup składa się z dwóch równoległych do siebie podstaw oraz ścian bocznych w kształcie równoległoboków.
Zobacz w programie GeoGebra
Graniastosłupy dzielimy na graniastosłupy proste, pochyłe oraz prawidłowe.
-
Graniastosłup prosty to taki, w którym krawędzie boczne są prostopadłe do podstawy. Ściany boczne są prostokątami.
-
Graniastosłup pochyły to taki, w którym krawędzie boczne nie są prostopadłe do podstawy. Ściany boczne są równoległobokami.
-
Graniastosłup prawidłowy to taki, który ma w podstawie wielokąt foremny. Ściany boczne są przystającymi równoległobokami.
Objętość graniastosłupa:
$$V=P_p×H$$$$V$$ -> objętość graniastosłupa
$$P_p$$ -> pole podstawy
$$H$$ -> wysokość graniastosłupa
Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa:
$$P_c=2P_p+P_b$$$$P_c$$ -> pole powierzchni całkowitej graniastosłupa
$$P_p$$ -> pole podstawy
$$P_b$$ -> pole powierzchni bocznej (suma pól wszystkich ścian bocznych)
W graniastosłupach są trzy różne odcinki: przekątna podstawy, przekątna ściany bocznej oraz przekątna graniastosłupa.
Ostrosłupy
Ostrosłup składa się z jednej podstawy, ścian bocznych i wierzchołka ostrosłupa. Punkt na podstawie, na który pada wysokość nazywamy spodkiem wysokości.
Zobacz w programie GeoGebra
Ostrosłup, który ma w podstawie wielokąt foremny nazywamy ostrosłupem prawidłowym.
Ostrosłup prawidłowy trójkątny nosi również nazwę czworościan foremny. Wszystkie jego ściany są w kształcie trójkątów równobocznych.
Objętość ostrosłupa:
$$V=1/3 P_p×H$$$$V$$ -> objętość ostrosłupa
$$P_p$$ -> pole podstawy
$$H$$ -> wysokość ostrosłupa
Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa:
$$P_c=P_p+P_b$$$$Pc$$ -> pole powierzchni całkowitej
$$P_p$$ -> pole podstawy
$$P_b$$ -> pole powierzchni bocznej (suma pól wszystkich ścian bocznych)
Walec
Walec jest nazywany bryłą obrotową, ponieważ otrzymujemy go w wyniku obrótu prostokąta.
Wygląda jak graniastosłup o podstawie koła.
Walec składa się z dwóch takich samych podstaw w kształcie kół oraz powierzchni bocznej, która po rozłożeniu jest prostokątem.
Przekrój osiowy walca to prostokąt, którego boki mają taką samą długość jak średnica podstawy i wysokość walca. 
Pole powierzchni całkowitej walca:
`P_c=2*P_p+P_b`
`P_p=pir^2`
`P_b=2pir*H`
Zatem:
`P_c=2pir^2+2pirH=2pir(r+H)`
`P_c \ \ ->` pole powierzchni całkowitej
`P_p \ \ ->` pole podstawy
`P_b \ \ ->` pole powierzchni bocznej
`r \ \ ->` długość promienia podstawy
`H \ \ ->` długość wysokości walca
Objętość walca:
`V=P_p*H`
`P_p=pir^2`
Zatem:
`V=pir^2*H`
`V \ \ ->` objętość
`P_p \ \ ->` pole podstawy
`H \ \ ->` długość wysokości walca
`r \ \ ->` długość promienia podstawy
Stożek
Stożek jest kolejna bryłą obrotową, ponieważ powstał w wyniku obrotu trójkąta prostokątnego wokół prostej zawierającej jedną z jego przyprostokątnych. Wygląda jak ostrosłup o podstawie koła. Składa się z jednej podstawy oraz powierzchni bocznej. Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równoramiennym. Odcinek łączący wierzchołek ze środkiem podstawy jest wysokością. Każdy odcinek łączący wierzchołek z brzegiem podstawy to tworząca stożka, którą oznacza się literą „l”.
Zobacz w programie GeoGebra
Objętość stożka:
`V=1/3P_p*H`
`V=1/3pir^2*H`
$$V$$ - objętość stożka
$$r$$ - długość promienia podstawy stożka
$$H$$ - długość wysokości stożka
Pole powierzchni całkowitej stożka:
`P_c=P_p+P_b`
`P_c=pir^2+pirl=pir(r+l)`
$$P_c$$ - pole powierzchni całkowitej stożka
$$r$$ - długość promienia podstawy stożka
$$l$$ - długość tworzącej stożka
Kula
Kula jest bryłą obrotową, ponieważ powstaje w wyniku obrotu koła. Powierzchnia kuli nazywana jest sferą. Odcinek łączący środek kuli z dowolnym punktem na jej powierzchni to promień kuli. Przekrój osiowy kuli to koło wielkie kuli.
Zobacz w programie GeoGebra
Objętość kuli:
$$V=4/3 πr^3$$$$ V$$ -> objętość kuli
$$r$$ -> promień kuli
Pole powierzchni kuli (sfery):
$$P=4πr^2$$$$P$$ -> pole powierzchni kuli
$$r$$ -> promień kuli
Zadania powtórzeniowe
Zadanie 1.
Ile wynosi objętość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy 2 cm i wysokości 12 cm?
$$ V=P_p×H $$
$$ V=2×2×12=48 cm^3 $$
Odp.: Objętość tego graniastosłupa wynosi 48 $$ cm^3$$.
Zadanie 2.
Jaką długość będzie miała przekątna ściany bocznej w graniastosłupie prawidłowym czworokątnym, jeżeli jego objętość wynosi 75 $$m^3$$, a wysokość 3 m?
d -> przekątna ściany bocznej
$$ V=P_p×H $$
$$ P_p={75}/3 $$
$$ a^2=25 -> a=5 m $$
Liczę przekątną z pitagorasa (trójkąt prostokątny to połowa ściany bocznej):
$$ d^2=H^2+a^2 $$
$$ d^2=9+25 $$
$$ d=√34 m $$
Odp.: Przekątna ściany bocznej ma długość $$√34$$ m.
Zadanie 3.
Ile wynosi powierzchnia boczna stożka, jeżeli pole podstawy wynosi 25π $$cm^2$$, a tworząca stożka 3 cm?
$$ πr^2=25π $$
$$ r=5 cm $$
$$ P_b=πrl=π×5×3=15π cm^2 $$
Odp.: Pole powierzchni bocznej tego stożka wynosi 15π $$cm^2$$.
Zadanie 4.
Promień kuli ma długość 4cm. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tej kuli.
$$ V= 4/3 πr^3 $$
$$ V=4/3 π×64=85 1/3 π$$ $$cm^3 $$
$$ P_c=4πr^2 $$
$$ P_c=4π×16=64π cm^2 $$
Odp.: Objętość tej kuli wynosi $$85 1/3 π$$ $$cm^3$$, a pole powierzchni całkowitej 64π $$cm^2$$.
Zadanie 5.
Oblicz pole przekroju stożka powstałego przez obrót trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych długości 3 cm i 4 cm wokół dłuższej przyprostokątnej.
$$r=3$$ cm -> $$a=6$$ cm
$$H=4$$ cm
$$P={a×H}/2={6×4}/2=12$$ $$cm^2 $$
Odp.: Pole przekroju osiowego tego stożka wynosi 12 $$cm^2$$.
Spis treści
Rozwiązane zadania
Oszacuj wyniki działań. Podkreśl jedną kreską działania, których wynik jest mniejszy od 50 (...)
Uzupełnij zdania: a) liczba 7·10⁶ jest .... razy większa od 7·10⁴.
a) Liczba `7*10^6` jest 100 razy większa od `7*10^4` (bo `(7*10^6)/(7*10^4)=(10^6)/(10^4)=10^6:10^4=10^(6-4)=10^2=10*10=100` )
b) Liczba `3,12*10^9` jest 1000 razy mniejsza od `3,12*10^12` (bo `(3,12*10^12)/(3,12*10^9)=(10^12)/(10^9)=10^12:10^9=10^(12-9)=10^3=10*10*10=1000` )
c) Liczba `7,2*10^11` jest 6 razy większa od `1,2*10^11` (bo `(7,2*10^11)/(1,2*10^11)=(7,2)/(1,2)=72/12=36/6=6/1=6` )
d) Liczba `3*10^8` jest 20 razy mniejsza od `6*10^9` (bo `(6*10^9)/(3*10^8)=6/3*(10^9)/(10^8)=2*(10^9:10^8)=2*10^(9-8)=2*10^1=2*10=20` )
Jeśli przeczytałeś notkę historyczną z podręcznika to wiesz, że w starożytnym Rzymie zasady (...)
MCCCCLXII oznacza 1462, poprawny zapis to MCDLXII
MCCCC to 1400 (4 liczby C zapisane obok siebie oznaczają 4 razy po 100)
{premium}
CCMXXXX oznacza 840, poprawny zapis to DCCCXL
CCM oznacza, że od 1000 (M) odejmujemy 200 (CC), ponieważ CC zapisano po lewej stronie M, XXXX oznacza 4 razy po 10, czyli 40
MIM oznacza 1999, poprawny zapis to MCMXCIX
IM oznacza 999, ponieważ I (1) zapisano na lewo od M (1000), a 1000-1=999
MMMCXXC oznacza 3180, poprawny zapis to MMMCLXXX
XXC oznacza 80, ponieważ XX (20) zapisano po lewej stronie C (100), co oznacza, że od 100 odejmujemy 20
Wstaw znak < lub >: a) (-5)⁷ ... 5⁶, (...)
Kilka przydatnych obserwacji:
1) przy podnoszeniu liczby ujemnej do potęgi parzystej minus znika, więc wynik jest dodatni, a przy podnoszeniu do potęgi nieparzystej wynik jest ujemny (np. `(-3)^2=(-3)*(-3)=9` , ale `(-3)^3=(-3)*(-3)*(-3)=9*(-3)=-27` ){premium}
2) podnoszenie liczby mniejszej od 1 do coraz większych potęg sprawia, że wynik jest coraz mniejszy (np. `0,1^2=0,1*0,1=0,01` , `0,1^3=0,1*0,1*0,1=0,001` , `0,001<0,01` )
3) podnoszenie liczby większej od 1 do coraz większych potęg sprawia, że wynik jest coraz większy (np. `2^2=2*2=4` , `2^3=2*2*2=8` , `8>2` )
4) podnoszenie liczby do potęgi ujemnej to podnoszenie do potęgi nieujemnej jej odwrotności (np. `(1/2)^(-2)=(2/1)^2=2^2=2*2=4` ,
)
5) jeśli dwie różne liczby są podnoszone do takich samych potęg większych od 0, to większy wynik uzyskamy podnosząc do potęgi większą z nich (np. `3>2` , więc `3^100>2^100` )
jest liczbą ujemną (patrz 1)), a `5^6` jest liczbą dodatnią, więc `(-5)^7<5^6`
(patrz 2))
(patrz 3))
(patrz 5))
`e)\ 3^(-4)=(1/3)^4` , `3^(-5)=(1/3)^5` , `3^(-4)>3^(-5)` (patrz 2))
, `(1/3)^(-5)=(3/1)^5=3^5` , `(1/3)^(-4)<(1/3)^(-5)` (patrz 3))
, więc `1/(1,2)>1/(1,21)`
`1,2^(-10)=(1/(1,2))^10` , `1,21^(-10)=(1/(1,21))^10`
(patrz 5))
, więc `1/(0,8)>1/(0,81)`
(analogicznie jak g))
Wykonaj obliczenia. Skreśl litery odpowiadające otrzymanym wynikom. Pozostałe litery, (...)
`sqrt(2/10*20/1)=` `sqrt(2/1*2/1)=sqrt(2^2)=2` {premium}
`(-12/10)=` `1/4+12/10=0,25+1,2=1,45`
`1/15*(-10/1)=` `-10/15=-2/3`
`1/3*1/3=1/9`
Hasło: root
oblicz
a)
b)
c)
d)
e) (
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
Podaj nazwy liczb zapisanych poniżej: 5·10^9
to 5 miliardów{premium}
to 30 bilionów
to 1 biliard
to 1 biliard
Przedstaw iloraz w postaci potęgi o wykładniku ujemnym
` `
Wskaż wspólne czynniki licznika i mianownika, a następnie wykonaj działania
Wykonaj działania
`[-7/3*(3/7)*(-1/8)]^(-2)=(-1/8)^(-2)=64`{premium}
© 2018 Odrabiamy.pl