Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Bryły - iii-gimnazjum - Baza Wiedzy

Graniastosłupy

Graniastosłup składa się z dwóch równoległych do siebie podstaw oraz ścian bocznych w kształcie równoległoboków.

  Zobacz w programie GeoGebra

 

graniastoslup

Graniastosłupy dzielimy na graniastosłupy proste, pochyłe oraz prawidłowe.

  1. Graniastosłup prosty to taki, w którym krawędzie boczne są prostopadłe do podstawy. Ściany boczne są prostokątami.

  2. Graniastosłup pochyły to taki, w którym krawędzie boczne nie są prostopadłe do podstawy. Ściany boczne są równoległobokami.

  3. Graniastosłup prawidłowy to taki, który ma w podstawie wielokąt foremny. Ściany boczne są przystającymi równoległobokami.

Objętość graniastosłupa:

$$V=P_p×H$$

$$V$$ -> objętość graniastosłupa

$$P_p$$ -> pole podstawy

$$H$$ -> wysokość graniastosłupa

 

Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa:

$$P_c=2P_p+P_b$$

$$P_c$$ -> pole powierzchni całkowitej graniastosłupa

$$P_p$$ -> pole podstawy

$$P_b$$ -> pole powierzchni bocznej (suma pól wszystkich ścian bocznych)

 

W graniastosłupach są trzy różne odcinki: przekątna podstawy, przekątna ściany bocznej oraz przekątna graniastosłupa.

 

Ostrosłupy

Ostrosłup składa się z jednej podstawy, ścian bocznych i wierzchołka ostrosłupa. Punkt na podstawie, na który pada wysokość nazywamy spodkiem wysokości.

  Zobacz w programie GeoGebra

 

ostroslup

Ostrosłup, który ma w podstawie wielokąt foremny nazywamy ostrosłupem prawidłowym.

Ostrosłup prawidłowy trójkątny nosi również nazwę czworościan foremny. Wszystkie jego ściany są w kształcie trójkątów równobocznych.

Objętość ostrosłupa:

$$V=1/3 P_p×H$$

$$V$$ -> objętość ostrosłupa

$$P_p$$ -> pole podstawy

$$H$$ -> wysokość ostrosłupa

 

Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa:

$$P_c=P_p+P_b$$

$$Pc$$ -> pole powierzchni całkowitej

$$P_p$$ -> pole podstawy

$$P_b$$ -> pole powierzchni bocznej (suma pól wszystkich ścian bocznych)

 

Walec

Walec jest nazywany bryłą obrotową, ponieważ otrzymujemy go w wyniku obrótu prostokąta.

Wygląda jak graniastosłup o podstawie koła.

Walec składa się z dwóch takich samych podstaw w kształcie kół oraz powierzchni bocznej, która po rozłożeniu jest prostokątem.

Przekrój osiowy walca to prostokąt, którego boki mają taką samą długość jak średnica podstawy i wysokość walca. 

Pole powierzchni całkowitej walca:

`P_c=2*P_p+P_b`

`P_p=pir^2`

`P_b=2pir*H`

Zatem: 

`P_c=2pir^2+2pirH=2pir(r+H)`    

`P_c \ \ ->`  pole powierzchni całkowitej

`P_p \ \ ->`  pole podstawy

`P_b \ \ ->`  pole powierzchni bocznej

`r \ \ ->`  długość promienia podstawy

`H \ \ ->`    długość wysokości walca

 

Objętość walca: 

`V=P_p*H`

`P_p=pir^2`

Zatem: 

`V=pir^2*H`   


`V \ \ ->`  objętość

`P_p \ \ ->`  pole podstawy 

`H \ \ ->`  długość wysokości walca

`r \ \ ->`    długość promienia podstawy

Stożek

Stożek jest kolejna bryłą obrotową, ponieważ powstał w wyniku obrotu trójkąta prostokątnego wokół prostej zawierającej jedną z jego przyprostokątnych. Wygląda jak ostrosłup o podstawie koła. Składa się z jednej podstawy oraz powierzchni bocznej. Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równoramiennym. Odcinek łączący wierzchołek ze środkiem podstawy jest wysokością. Każdy odcinek łączący wierzchołek z brzegiem podstawy to tworząca stożka, którą oznacza się literą „l”.

  Zobacz w programie GeoGebra

stozek

Objętość stożka:

`V=1/3P_p*H`  

`V=1/3pir^2*H`  

$$V$$ - objętość stożka

$$r$$ - długość promienia podstawy stożka

$$H$$ - długość wysokości stożka

 

Pole powierzchni całkowitej stożka:

`P_c=P_p+P_b`  

`P_c=pir^2+pirl=pir(r+l)`

$$P_c$$ - pole powierzchni całkowitej stożka

$$r$$ - długość promienia podstawy stożka

$$l$$ - długość tworzącej stożka

 

Kula

Kula jest bryłą obrotową, ponieważ powstaje w wyniku obrotu koła. Powierzchnia kuli nazywana jest sferą. Odcinek łączący środek kuli z dowolnym punktem na jej powierzchni to promień kuli. Przekrój osiowy kuli to koło wielkie kuli.

  Zobacz w programie GeoGebra

 

kula

Objętość kuli:

$$V=4/3 πr^3$$

$$ V$$ -> objętość kuli

$$r$$ -> promień kuli

 

Pole powierzchni kuli (sfery):

$$P=4πr^2$$

$$P$$ -> pole powierzchni kuli

$$r$$ -> promień kuli

 
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Ile wynosi objętość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy 2 cm i wysokości 12 cm?

$$ V=P_p×H $$

$$ V=2×2×12=48 cm^3 $$

Odp.: Objętość tego graniastosłupa wynosi 48 $$ cm^3$$.

Zadanie 2.

Jaką długość będzie miała przekątna ściany bocznej w graniastosłupie prawidłowym czworokątnym, jeżeli jego objętość wynosi 75 $$m^3$$, a wysokość 3 m?

d -> przekątna ściany bocznej

$$ V=P_p×H $$

$$ P_p={75}/3 $$

$$ a^2=25 -> a=5 m $$

Liczę przekątną z pitagorasa (trójkąt prostokątny to połowa ściany bocznej):

$$ d^2=H^2+a^2 $$

$$ d^2=9+25 $$

$$ d=√34 m $$

Odp.: Przekątna ściany bocznej ma długość $$√34$$ m.

Zadanie 3.

Ile wynosi powierzchnia boczna stożka, jeżeli pole podstawy wynosi 25π $$cm^2$$, a tworząca stożka 3 cm?

$$ πr^2=25π $$

$$ r=5 cm $$

$$ P_b=πrl=π×5×3=15π cm^2 $$

Odp.: Pole powierzchni bocznej tego stożka wynosi 15π $$cm^2$$.

Zadanie 4.

Promień kuli ma długość 4cm. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tej kuli.

$$ V= 4/3 πr^3 $$

$$ V=4/3 π×64=85 1/3 π$$ $$cm^3 $$

$$ P_c=4πr^2 $$

$$ P_c=4π×16=64π cm^2 $$

Odp.: Objętość tej kuli wynosi $$85 1/3 π$$ $$cm^3$$, a pole powierzchni całkowitej 64π $$cm^2$$.

Zadanie 5.

Oblicz pole przekroju stożka powstałego przez obrót trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych długości 3 cm i 4 cm wokół dłuższej przyprostokątnej.

$$r=3$$ cm -> $$a=6$$ cm

$$H=4$$ cm

$$P={a×H}/2={6×4}/2=12$$ $$cm^2 $$

Odp.: Pole przekroju osiowego tego stożka wynosi 12 $$cm^2$$.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Podaj współczynnik kierunkowy i wyraz wolny...

`"a)"\ y=2*x+4` 

`a=2-`współczynnik kierunkowy 

`b=4-`wyraz wolny

 

`"b)"\ y=1 1/3*x+4/5` 

`a=1 1/3` 

`b=4/5` 

 

`"c)"\ y=5,5*x+0` 

`a=5,5` 

`b=0` 

 

`"d)"\ y=0*x+(-2)` 

`a=0` 

`b=-2`           

   

Uzasadnij, że jeśli skala podobieństwa czworokątów podobnych ...

a, b, c, d - długości boków czworokąta F

x, y, z, w - długości boków czworokąta F'


Skala podobieństwa czworokąta F do czworokąta F' wynosi k. 

Więc: 

`a/x=k \ \ \ \ \ \ \ |*x` 

`a=kx`   


`b/y=k \ \ \ \ \ \ \ |*y` 

`b=ky` 


`c/z=k \ \ \ \ \ \ \ \ |*z` 

`c=kz` 


`d/w=k \ \ \ \ \ \ \ |*w` 

`d=kw` 


Zatem: 

kx, ky, kz, kw - długości boków czworokąta F 


Obwód czworokąt F wynosi: 

`O_F=kx+ky+kz+kw=k(x+y+z+w)` 

Obwód czworokąta F' wynosi:

`O_(F')=x+y+z+w` 


Stosunek obwodu czworokąta F do obwodu czworokąta F' wynosi:

`O_F/O_(F')=(k(x+y+z+w))/(x+y+z+w)=k`      

Stosunek obwodów tych czworokątów jest równy k. 

Do prostopadłościennego naczynia ...

I. 1800l

Woda wlewa sie z prędkością 10l na 1 min.

W czasie godziny, czyli 60 minut, do naczynia wleje się 600l wody. 

Po 3 godzinach bedzie więc 1800l, bo

`3*600=1800`

 

II. 80%

Po 12 godzinach w naczyniu będzie 7200l wody.

`12*600=7200`

Obliczamy objętość całego naczynia. 

`V=3*2*1,5=9 [m^3]`

Zamieniamy jednostki na litry. 

Przypomnienie:   `1m^3=1000dm^3, \ 1dm^3=1l`  

`9m^3= 9000dm^3= 9000l`

 

Obliczamy jaka część naczynia jest wypełniona po 12 godzinach:

`7200/9000=strike7200^4/strike9000^5=4/5`

Po 12 godzinach naczynie uzupełnia się w 4/5 swojej objętości. 

Obliczamy ile to stanowi procent:

`4/5*100%=(400)/(5)%=(strike400^80)/(strike5^1)%=80%`

 

III. 15 godzin

Ponieważ w trakcie godziny do naczynia wlewa sie 600l wody, więc aby obliczyć ile godzin potrzeba na wypełnienie całego naczynia dzielimy całą objętość naczynia przez 600l.

`9000/600=strike9000^15/strike600^1=15`

 

IV. y=10x

y - ilość wody (w litrach)

x- czas (w minutach)

 

V. 1800l

Chcemy, aby naczynie wypełniało się w ciągu 5 godzin (całkowity czas napełnienia 15 godzin, chcemy skrócić 3 krotnie).

Jeżeli podzielimy objętość naczynia przez 5 obliczymy ile wody wlewa się w ciągu 1 godziny.

`9000/5=strike9000^1800/strike5^1=1800`

 

a) Dane: wymiary naczynia (3m, 2m, 1,5m), prędkość z jaką woda wlewa się do naczynia w czasie 1 minuty (10l na minutę)

Szukane: ilość litrów wody w naczyniu po 3 godzinach, procent wypełnienia naczynia po 12 godzinach, czas potrzebny na wypełnienie całego naczynia, wzór na zależność czasu i ilości wody, ilość wody jaką musiałoby się wlewać do naczynia w ciągu godziny, aby czas wypełnienia skrócić trzykrotnie

b) Tak, trzeba. W litrach.

c) Żeby zapisać czas w minutach (zamienić 3 godziny na minuty).

d) Obliczenie jaki procent stanowi część naczynia wypełniona po 12 godzinach.

`7200/9000*100%`

e) Potrzebne dane: objętość całego naczynia, ile wody wlewa się do naczynia w ciągu godziny

f) IV - dostrzeganie zależności pomiędzy wielkościami (w zadaniu pomiędzy czasem a a ilością wody)

V - dzielenie, dostrzeżenie proporcjonalności odwrotnej

 

 

 

Punkt symetryczny do punktu...

W symetrii względem początku układu współrzędnych zarówno współrzędna iksowa punktu,  

jak i współrzędna igrekowa zmieniają się na przeciwne.

Zatem punkt symetryczny do `C=(5,-1)` względem początku układu współrzędnych

to punkt o współrzędnych `(-5,\ 1),`czyli prawidłowa odpowiedź to `"B."`   

Przekątna ściany bocznej graniastosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość 4...

Przekątna ściany bocznej jest nachylona do krawędzi podstawy pod kątem 30o, zatem korzystając z faktu, że znamy zależności między poszczególnymi długościami boków w trójkącie  prostokątnym o kątach ostrych 30o i 60o:



wiemy, że wysokość tego graniastosłupa wynosi 2 (4:2=2), a długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa wynosi 2√3

Pole powierzchni całkowitej wynosi zatem:

Pc= 2(2√3)2√3:4 +322√3= 2∙4∙3√3:4 +12√3=24√3/4 +12√3=6√3 +12√3=18√3


Objętość tego graniastosłupa wynosi:

V= (2√3)2√3:42=12√3/4 2=3√3∙2= 6√3

Na kliszy fotograficznej obraz osoby mającej 1,7 m wzrostu ma wysokość 3 cm

`3/9=170/x`

3x= 1530

x = 510cm

Odp. Fotografowana osoba była oddalona od soczewki o 5,1 metra.

Uzasadnij, że jeżeli krawędź...

Niech `a`  oznacza długość krawędzi podstawy ostrosłupa sześciokątnego, a `sqrt2a`  długość krawędzi podstawy graniastosłupa trójkątnego.

Niech `h_1` oznacza wysokość ostrosłupa, a `h_2` wysokość graniastosłupa.

Obliczmy objętość ostrosłupa.

`V=1/3*6*(a^2sqrt3)/4*h_1=(a^2sqrt3*h_1)/2` 

Obliczmy objętość graniastosłupa.

`V=((sqrt2a)^2sqrt3)/4*h_2=(2a^2sqrt3)/4*h_2=(a^2sqrt3*h_2)/2` 

\

Jeśli obie bryły mają takie same objętości to : 

`(a^2sqrt3*h_1)/2=(a^2sqrt3*h_2)/2 \ \ \ \ \ \ |*2` 

`a^2sqrt3*h_1=a^2sqrt3*h_2 \ \ \ \ \ \ |:a^2sqrt3` 

`h_1=h_2` 

 

Odp. Obie bryły mają jednakowe wysokości.

 

Średnica piłeczki tenisowej jest równa 6,4 ∙ 10-² m

`64*10^2km=64*10^5m`

`P_z=(64*10^5)^2Pi=(6,4*10^6)^2Pi=` `6,4^2*10^12Pi=2^2*3,2^2*10^12Pim^2`

`P_p=(3,2*10^(-2))^2Pi=3,2^2*10^(-4)Pim^2`

`2^2*3,2^2*10^12Pim^2:3,2^2*10^(-4)Pim^2=4*10^16`

Odp. C.

Zaznacz w układzie współrzędnych punkty, których współrzędne odpowiadają rozwiązaniom

`-{(3x+y=3),(2x+y=4):}`

`{(x=-1),(3x+y=3):}`

`{(x=-1),(3*(-1)+y=3):}`

`{(x=-1),(y=3+3):}`

`{(x=-1),(y=6):}`

`-{(2x+3y=2),(2x-5y=18):}`

`{(8y=-16),(2x-5y=18):}`

`{(y=-2),(2x+10=18):}`

`{(1y=-2),(2x=8):}`

`{(y=-2),(x=4):}`

`{(2x+3y=-18),(-3x+y=16|*(-3)):}`

`+{(2x+3y=-18),(9x-3y=-48):}`

`{(11x=-66),(2x+2y=-18):}`

`{(x=-6),(-12+3y=-18):}`

`{(x=-6),(3y=-6):}`

`{(x=-6),(y=-2):}`

`P_grad=1/2*|CB|*|AD|`

`P_(grad)=1/2*10*8`

` ` `P_grad=40`

Odp. Pole figury wynosi 40.

 

W trójkącie ostrokątnym ABC wysokości AD i BE przecinają się w punkcie O

`|/_AOE|=|/_BOD|` jako kąty wierzchołkowe

`|/_AEO|=|/_BDO|=90^o`

`gradAEO``gradDBO`   (kkk)

`|AO|/|OB|=|OE|/|OD|`

`4/|OB|=(2/3)/(1 1/3)`

`2/3|OB|=1 1/3*4`

`2/3|OB|=4/3*4`

`|OB|=16/3*3/2`

`|OB|=8`

Odp. Długość odcinka OB wynosi 8.