Bryły - iii-gimnazjum - Baza Wiedzy

Graniastosłupy

Graniastosłup składa się z dwóch równoległych do siebie podstaw oraz ścian bocznych w kształcie równoległoboków.

Zobacz w programie GeoGebra

Graniastosłupy dzielimy na graniastosłupy proste, pochyłe oraz prawidłowe.

Graniastosłup prosty to taki, w którym krawędzie boczne są prostopadłe do podstawy. Ściany boczne są prostokątami.
Graniastosłup pochyły to taki, w którym krawędzie boczne nie są prostopadłe do podstawy. Ściany boczne są równoległobokami.
Graniastosłup prawidłowy to taki, który ma w podstawie wielokąt foremny. Ściany boczne są przystającymi równoległobokami.

Objętość graniastosłupa:

$$V=P_p×H$$

$$V$$ -> objętość graniastosłupa

$$P_p$$ -> pole podstawy

$$H$$ -> wysokość graniastosłupa

Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa:

$$P_c=2P_p+P_b$$

$$P_c$$ -> pole powierzchni całkowitej graniastosłupa

$$P_p$$ -> pole podstawy

$$P_b$$ -> pole powierzchni bocznej (suma pól wszystkich ścian bocznych)

W graniastosłupach są trzy różne odcinki: przekątna podstawy, przekątna ściany bocznej oraz przekątna graniastosłupa.

Ostrosłupy

Ostrosłup składa się z jednej podstawy, ścian bocznych i wierzchołka ostrosłupa. Punkt na podstawie, na który pada wysokość nazywamy spodkiem wysokości.

Zobacz w programie GeoGebra

Ostrosłup, który ma w podstawie wielokąt foremny nazywamy ostrosłupem prawidłowym.

Ostrosłup prawidłowy trójkątny nosi również nazwę czworościan foremny. Wszystkie jego ściany są w kształcie trójkątów równobocznych.

Objętość ostrosłupa:

$$V=1/3 P_p×H$$

$$V$$ -> objętość ostrosłupa

$$P_p$$ -> pole podstawy

$$H$$ -> wysokość ostrosłupa

Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa:

$$P_c=P_p+P_b$$

$$Pc$$ -> pole powierzchni całkowitej

$$P_p$$ -> pole podstawy

$$P_b$$ -> pole powierzchni bocznej (suma pól wszystkich ścian bocznych)

Walec

Walec jest nazywany bryłą obrotową, ponieważ otrzymujemy go w wyniku obrótu prostokąta.

Wygląda jak graniastosłup o podstawie koła.

Walec składa się z dwóch takich samych podstaw w kształcie kół oraz powierzchni bocznej, która po rozłożeniu jest prostokątem.

Przekrój osiowy walca to prostokąt, którego boki mają taką samą długość jak średnica podstawy i wysokość walca.

Pole powierzchni całkowitej walca:

`P_c=2*P_p+P_b`

`P_p=pir^2`

`P_b=2pir*H`

Zatem:

`P_c=2pir^2+2pirH=2pir(r+H)`

`P_c \ \ ->` pole powierzchni całkowitej

`P_p \ \ ->` pole podstawy

`P_b \ \ ->` pole powierzchni bocznej

`r \ \ ->` długość promienia podstawy

`H \ \ ->` długość wysokości walca

Objętość walca:

`V=P_p*H`

`P_p=pir^2`

Zatem:

`V=pir^2*H`

`V \ \ ->` objętość

`P_p \ \ ->` pole podstawy

`H \ \ ->` długość wysokości walca

`r \ \ ->` długość promienia podstawy

Stożek

Stożek jest kolejna bryłą obrotową, ponieważ powstał w wyniku obrotu trójkąta prostokątnego wokół prostej zawierającej jedną z jego przyprostokątnych. Wygląda jak ostrosłup o podstawie koła. Składa się z jednej podstawy oraz powierzchni bocznej. Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równoramiennym. Odcinek łączący wierzchołek ze środkiem podstawy jest wysokością. Każdy odcinek łączący wierzchołek z brzegiem podstawy to tworząca stożka, którą oznacza się literą „l”.

Zobacz w programie GeoGebra

stozek

Objętość stożka:

`V=1/3P_p*H`

`V=1/3pir^2*H`

$$V$$ - objętość stożka

$$r$$ - długość promienia podstawy stożka

$$H$$ - długość wysokości stożka

Pole powierzchni całkowitej stożka:

`P_c=P_p+P_b`

`P_c=pir^2+pirl=pir(r+l)`

$$P_c$$ - pole powierzchni całkowitej stożka

$$r$$ - długość promienia podstawy stożka

$$l$$ - długość tworzącej stożka

Kula

Kula jest bryłą obrotową, ponieważ powstaje w wyniku obrotu koła. Powierzchnia kuli nazywana jest sferą. Odcinek łączący środek kuli z dowolnym punktem na jej powierzchni to promień kuli. Przekrój osiowy kuli to koło wielkie kuli.

Zobacz w programie GeoGebra

Objętość kuli:

$$V=4/3 πr^3$$

$$ V$$ -> objętość kuli

$$r$$ -> promień kuli

Pole powierzchni kuli (sfery):

$$P=4πr^2$$

$$P$$ -> pole powierzchni kuli

$$r$$ -> promień kuli

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Ile wynosi objętość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy 2 cm i wysokości 12 cm?

Zobacz rozwiązanie

$$ V=P_p×H $$

$$ V=2×2×12=48 cm^3 $$

Odp.: Objętość tego graniastosłupa wynosi 48 $$ cm^3$$.

Zadanie 2.

Jaką długość będzie miała przekątna ściany bocznej w graniastosłupie prawidłowym czworokątnym, jeżeli jego objętość wynosi 75 $$m^3$$, a wysokość 3 m?

Zobacz rozwiązanie

d -> przekątna ściany bocznej

$$ V=P_p×H $$

$$ P_p={75}/3 $$

$$ a^2=25 -> a=5 m $$

Liczę przekątną z pitagorasa (trójkąt prostokątny to połowa ściany bocznej):

$$ d^2=H^2+a^2 $$

$$ d^2=9+25 $$

$$ d=√34 m $$

Odp.: Przekątna ściany bocznej ma długość $$√34$$ m.

Zadanie 3.

Ile wynosi powierzchnia boczna stożka, jeżeli pole podstawy wynosi 25π $$cm^2$$, a tworząca stożka 3 cm?

Zobacz rozwiązanie

$$ πr^2=25π $$

$$ r=5 cm $$

$$ P_b=πrl=π×5×3=15π cm^2 $$

Odp.: Pole powierzchni bocznej tego stożka wynosi 15π $$cm^2$$.

Zadanie 4.

Promień kuli ma długość 4cm. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tej kuli.

Zobacz rozwiązanie

$$ V= 4/3 πr^3 $$

$$ V=4/3 π×64=85 1/3 π$$ $$cm^3 $$

$$ P_c=4πr^2 $$

$$ P_c=4π×16=64π cm^2 $$

Odp.: Objętość tej kuli wynosi $$85 1/3 π$$ $$cm^3$$, a pole powierzchni całkowitej 64π $$cm^2$$.

Zadanie 5.

Oblicz pole przekroju stożka powstałego przez obrót trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych długości 3 cm i 4 cm wokół dłuższej przyprostokątnej.

Zobacz rozwiązanie

$$r=3$$ cm -> $$a=6$$ cm

$$H=4$$ cm

$$P={a×H}/2={6×4}/2=12$$ $$cm^2 $$

Odp.: Pole przekroju osiowego tego stożka wynosi 12 $$cm^2$$.

Spis treści

Rozwiązane zadania

Podaj współczynnik kierunkowy i wyraz wolny...

`"a)"\ y=2*x+4`

`a=2-`współczynnik kierunkowy

`b=4-`wyraz wolny

`"b)"\ y=1 1/3*x+4/5`

`a=1 1/3`

`b=4/5`

`"c)"\ y=5,5*x+0`

`a=5,5`

`b=0`

`"d)"\ y=0*x+(-2)`

`a=0`

`b=-2`

Uzasadnij, że jeśli skala podobieństwa czworokątów podobnych ...

a, b, c, d - długości boków czworokąta F

x, y, z, w - długości boków czworokąta F'

Skala podobieństwa czworokąta F do czworokąta F' wynosi k.

Więc:

`a/x=k \ \ \ \ \ \ \ |*x`

`a=kx`

`b/y=k \ \ \ \ \ \ \ |*y`

`b=ky`

`c/z=k \ \ \ \ \ \ \ \ |*z`

`c=kz`

`d/w=k \ \ \ \ \ \ \ |*w`

`d=kw`

Zatem:

kx, ky, kz, kw - długości boków czworokąta F

Obwód czworokąt F wynosi:

`O_F=kx+ky+kz+kw=k(x+y+z+w)`

Obwód czworokąta F' wynosi:

`O_(F')=x+y+z+w`

Stosunek obwodu czworokąta F do obwodu czworokąta F' wynosi:

`O_F/O_(F')=(k(x+y+z+w))/(x+y+z+w)=k`

Stosunek obwodów tych czworokątów jest równy k.

Do prostopadłościennego naczynia ...

I. 1800l

Woda wlewa sie z prędkością 10l na 1 min.

W czasie godziny, czyli 60 minut, do naczynia wleje się 600l wody.

Po 3 godzinach bedzie więc 1800l, bo

`3*600=1800`

II. 80%

Po 12 godzinach w naczyniu będzie 7200l wody.

`12*600=7200`

Obliczamy objętość całego naczynia.

`V=3*2*1,5=9 [m^3]`

Zamieniamy jednostki na litry.

Przypomnienie: `1m^3=1000dm^3, \ 1dm^3=1l`

`9m^3= 9000dm^3= 9000l`

Obliczamy jaka część naczynia jest wypełniona po 12 godzinach:

`7200/9000=strike7200^4/strike9000^5=4/5`

Po 12 godzinach naczynie uzupełnia się w 4/5 swojej objętości.

Obliczamy ile to stanowi procent:

`4/5*100%=(400)/(5)%=(strike400^80)/(strike5^1)%=80%`

III. 15 godzin

Ponieważ w trakcie godziny do naczynia wlewa sie 600l wody, więc aby obliczyć ile godzin potrzeba na wypełnienie całego naczynia dzielimy całą objętość naczynia przez 600l.

`9000/600=strike9000^15/strike600^1=15`

IV. y=10x

y - ilość wody (w litrach)

x- czas (w minutach)

V. 1800l

Chcemy, aby naczynie wypełniało się w ciągu 5 godzin (całkowity czas napełnienia 15 godzin, chcemy skrócić 3 krotnie).

Jeżeli podzielimy objętość naczynia przez 5 obliczymy ile wody wlewa się w ciągu 1 godziny.

`9000/5=strike9000^1800/strike5^1=1800`

a) Dane: wymiary naczynia (3m, 2m, 1,5m), prędkość z jaką woda wlewa się do naczynia w czasie 1 minuty (10l na minutę)

Szukane: ilość litrów wody w naczyniu po 3 godzinach, procent wypełnienia naczynia po 12 godzinach, czas potrzebny na wypełnienie całego naczynia, wzór na zależność czasu i ilości wody, ilość wody jaką musiałoby się wlewać do naczynia w ciągu godziny, aby czas wypełnienia skrócić trzykrotnie

b) Tak, trzeba. W litrach.

c) Żeby zapisać czas w minutach (zamienić 3 godziny na minuty).

d) Obliczenie jaki procent stanowi część naczynia wypełniona po 12 godzinach.

`7200/9000*100%`

e) Potrzebne dane: objętość całego naczynia, ile wody wlewa się do naczynia w ciągu godziny

f) IV - dostrzeganie zależności pomiędzy wielkościami (w zadaniu pomiędzy czasem a a ilością wody)

V - dzielenie, dostrzeżenie proporcjonalności odwrotnej

Punkt symetryczny do punktu...

W symetrii względem początku układu współrzędnych zarówno współrzędna iksowa punktu,

jak i współrzędna igrekowa zmieniają się na przeciwne.

Zatem punkt symetryczny do `C=(5,-1)` względem początku układu współrzędnych

to punkt o współrzędnych `(-5,\ 1),`czyli prawidłowa odpowiedź to `"B."`

Przekątna ściany bocznej graniastosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość 4...

Przekątna ściany bocznej jest nachylona do krawędzi podstawy pod kątem 30^o, zatem korzystając z faktu, że znamy zależności między poszczególnymi długościami boków w trójkącie prostokątnym o kątach ostrych 30^o i 60^o:

wiemy, że wysokość tego graniastosłupa wynosi 2 (4:2=2), a długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa wynosi 2√3

Pole powierzchni całkowitej wynosi zatem:

P_c= 2∙(2√3)²√3:4 +3∙2∙2√3= 2∙4∙3√3:4 +12√3=^24√3/₄ +12√3=6√3 +12√3=18√3

Objętość tego graniastosłupa wynosi:

V= (2√3)²√3:4∙2=^12√3/₄ ∙2=3√3∙2= 6√3

Na kliszy fotograficznej obraz osoby mającej 1,7 m wzrostu ma wysokość 3 cm

`3/9=170/x`

3x= 1530

x = 510cm

Odp. Fotografowana osoba była oddalona od soczewki o 5,1 metra.

Uzasadnij, że jeżeli krawędź...

Niech `a` oznacza długość krawędzi podstawy ostrosłupa sześciokątnego, a `sqrt2a` długość krawędzi podstawy graniastosłupa trójkątnego.

Niech `h_1` oznacza wysokość ostrosłupa, a `h_2` wysokość graniastosłupa.

Obliczmy objętość ostrosłupa.

`V=1/3*6*(a^2sqrt3)/4*h_1=(a^2sqrt3*h_1)/2`

Obliczmy objętość graniastosłupa.

`V=((sqrt2a)^2sqrt3)/4*h_2=(2a^2sqrt3)/4*h_2=(a^2sqrt3*h_2)/2`

Jeśli obie bryły mają takie same objętości to :

`(a^2sqrt3*h_1)/2=(a^2sqrt3*h_2)/2 \ \ \ \ \ \ |*2`

`a^2sqrt3*h_1=a^2sqrt3*h_2 \ \ \ \ \ \ |:a^2sqrt3`

`h_1=h_2`

Odp. Obie bryły mają jednakowe wysokości.

Średnica piłeczki tenisowej jest równa 6,4 ∙ 10-² m

`64*10^2km=64*10^5m`

`P_z=(64*10^5)^2Pi=(6,4*10^6)^2Pi=` `6,4^2*10^12Pi=2^2*3,2^2*10^12Pim^2`

`P_p=(3,2*10^(-2))^2Pi=3,2^2*10^(-4)Pim^2`

`2^2*3,2^2*10^12Pim^2:3,2^2*10^(-4)Pim^2=4*10^16`

Odp. C.

Zaznacz w układzie współrzędnych punkty, których współrzędne odpowiadają rozwiązaniom

`-{(3x+y=3),(2x+y=4):}`

`{(x=-1),(3x+y=3):}`

`{(x=-1),(3*(-1)+y=3):}`

`{(x=-1),(y=3+3):}`

`{(x=-1),(y=6):}`

`-{(2x+3y=2),(2x-5y=18):}`

`{(8y=-16),(2x-5y=18):}`

`{(y=-2),(2x+10=18):}`

`{(1y=-2),(2x=8):}`

`{(y=-2),(x=4):}`

`{(2x+3y=-18),(-3x+y=16|*(-3)):}`

`+{(2x+3y=-18),(9x-3y=-48):}`

`{(11x=-66),(2x+2y=-18):}`

`{(x=-6),(-12+3y=-18):}`

`{(x=-6),(3y=-6):}`

`{(x=-6),(y=-2):}`

`P_grad=1/2*|CB|*|AD|`

`P_(grad)=1/2*10*8`

` ` `P_grad=40`

Odp. Pole figury wynosi 40.

W trójkącie ostrokątnym ABC wysokości AD i BE przecinają się w punkcie O

`|/_AOE|=|/_BOD|` jako kąty wierzchołkowe

`|/_AEO|=|/_BDO|=90^o`

`gradAEO`~ `gradDBO` (kkk)

`|AO|/|OB|=|OE|/|OD|`

`4/|OB|=(2/3)/(1 1/3)`

`2/3|OB|=1 1/3*4`

`2/3|OB|=4/3*4`

`|OB|=16/3*3/2`

`|OB|=8`

Odp. Długość odcinka OB wynosi 8.