Bryły - iii-gimnazjum - Baza Wiedzy

Graniastosłupy

Graniastosłup składa się z dwóch równoległych do siebie podstaw oraz ścian bocznych w kształcie równoległoboków.

  Zobacz w programie GeoGebra

 

graniastoslup

Graniastosłupy dzielimy na graniastosłupy proste, pochyłe oraz prawidłowe.

  1. Graniastosłup prosty to taki, w którym krawędzie boczne są prostopadłe do podstawy. Ściany boczne są prostokątami.

  2. Graniastosłup pochyły to taki, w którym krawędzie boczne nie są prostopadłe do podstawy. Ściany boczne są równoległobokami.

  3. Graniastosłup prawidłowy to taki, który ma w podstawie wielokąt foremny. Ściany boczne są przystającymi równoległobokami.

Objętość graniastosłupa:

$$V=P_p×H$$

$$V$$ -> objętość graniastosłupa

$$P_p$$ -> pole podstawy

$$H$$ -> wysokość graniastosłupa

 

Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa:

$$P_c=2P_p+P_b$$

$$P_c$$ -> pole powierzchni całkowitej graniastosłupa

$$P_p$$ -> pole podstawy

$$P_b$$ -> pole powierzchni bocznej (suma pól wszystkich ścian bocznych)

 

W graniastosłupach są trzy różne odcinki: przekątna podstawy, przekątna ściany bocznej oraz przekątna graniastosłupa.

 

Ostrosłupy

Ostrosłup składa się z jednej podstawy, ścian bocznych i wierzchołka ostrosłupa. Punkt na podstawie, na który pada wysokość nazywamy spodkiem wysokości.

  Zobacz w programie GeoGebra

 

ostroslup

Ostrosłup, który ma w podstawie wielokąt foremny nazywamy ostrosłupem prawidłowym.

Ostrosłup prawidłowy trójkątny nosi również nazwę czworościan foremny. Wszystkie jego ściany są w kształcie trójkątów równobocznych.

Objętość ostrosłupa:

$$V=1/3 P_p×H$$

$$V$$ -> objętość ostrosłupa

$$P_p$$ -> pole podstawy

$$H$$ -> wysokość ostrosłupa

 

Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa:

$$P_c=P_p+P_b$$

$$Pc$$ -> pole powierzchni całkowitej

$$P_p$$ -> pole podstawy

$$P_b$$ -> pole powierzchni bocznej (suma pól wszystkich ścian bocznych)

 

Walec

Walec jest nazywany bryłą obrotową, ponieważ otrzymuje się poprzez obrót prostokąta. Wygląda jak graniastosłup o podstawie koła. Walec składa się z dwóch takich samych podstaw w kształcie kół oraz powierzchni bocznej. Przekrój osiowy walca to prostokąt, którego boki to średnica podstawy i wysokość.

  Zobacz w programie GeoGebra

 

walec

Objętość walca:

$$V=P_p×H$$
$$V=πr^2×H$$

$$V$$ -> objętość walca

$$r$$ -> promień podstawy

$$H$$ -> wysokość

 

Pole powierzchni całkowitej walca:

$$P_c=2P_p+P_b$$
$$P_c=2πr^2+2πr×H$$

$$P_c$$ -> pole powierzchni całkowitej walca

$$r$$ -> promień podstawy

$$H$$ -> wysokość

 

Stożek

Stożek jest kolejna bryłą obrotową, ponieważ powstał w wyniku obrotu trójkąta prostokątnego wokół prostej zawierającej jedną z jego przyprostokątnych. Wygląda jak ostrosłup o podstawie koła. Składa się z jednej podstawy oraz powierzchni bocznej. Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równoramiennym. Odcinek łączący wierzchołek ze środkiem podstawy jest wysokością. Każdy odcinek łączący wierzchołek z brzegiem podstawy to tworząca stożka, którą oznacza się literą „l”.

  Zobacz w programie GeoGebra

stozek

Objętość stożka:

`V=1/3P_p*H`  

`V=1/3pir^2*H`  

$$V$$ - objętość stożka

$$r$$ - długość promienia podstawy stożka

$$H$$ - długość wysokości stożka

 

Pole powierzchni całkowitej stożka:

`P_c=P_p+P_b`  

`P_c=pir^2+pirl=pir(r+l)`

$$P_c$$ - pole powierzchni całkowitej stożka

$$r$$ - długość promienia podstawy stożka

$$l$$ - długość tworzącej stożka

 

Kula

Kula jest bryłą obrotową, ponieważ powstaje w wyniku obrotu koła. Powierzchnia kuli nazywana jest sferą. Odcinek łączący środek kuli z dowolnym punktem na jej powierzchni to promień kuli. Przekrój osiowy kuli to koło wielkie kuli.

  Zobacz w programie GeoGebra

 

kula

Objętość kuli:

$$V=4/3 πr^3$$

$$ V$$ -> objętość kuli

$$r$$ -> promień kuli

 

Pole powierzchni kuli (sfery):

$$P=4πr^2$$

$$P$$ -> pole powierzchni kuli

$$r$$ -> promień kuli

 
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Ile wynosi objętość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy 2 cm i wysokości 12 cm?

$$ V=P_p×H $$

$$ V=2×2×12=48 cm^3 $$

Odp.: Objętość tego graniastosłupa wynosi 48 $$ cm^3$$.

Zadanie 2.

Jaką długość będzie miała przekątna ściany bocznej w graniastosłupie prawidłowym czworokątnym, jeżeli jego objętość wynosi 75 $$m^3$$, a wysokość 3 m?

d -> przekątna ściany bocznej

$$ V=P_p×H $$

$$ P_p={75}/3 $$

$$ a^2=25 -> a=5 m $$

Liczę przekątną z pitagorasa (trójkąt prostokątny to połowa ściany bocznej):

$$ d^2=H^2+a^2 $$

$$ d^2=9+25 $$

$$ d=√34 m $$

Odp.: Przekątna ściany bocznej ma długość $$√34$$ m.

Zadanie 3.

Ile wynosi powierzchnia boczna stożka, jeżeli pole podstawy wynosi 25π $$cm^2$$, a tworząca stożka 3 cm?

$$ πr^2=25π $$

$$ r=5 cm $$

$$ P_b=πrl=π×5×3=15π cm^2 $$

Odp.: Pole powierzchni bocznej tego stożka wynosi 15π $$cm^2$$.

Zadanie 4.

Promień kuli ma długość 4cm. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tej kuli.

$$ V= 4/3 πr^3 $$

$$ V=4/3 π×64=85 1/3 π$$ $$cm^3 $$

$$ P_c=4πr^2 $$

$$ P_c=4π×16=64π cm^2 $$

Odp.: Objętość tej kuli wynosi $$85 1/3 π$$ $$cm^3$$, a pole powierzchni całkowitej 64π $$cm^2$$.

Zadanie 5.

Oblicz pole przekroju stożka powstałego przez obrót trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych długości 3 cm i 4 cm wokół dłuższej przyprostokątnej.

$$r=3$$ cm -> $$a=6$$ cm

$$H=4$$ cm

$$P={a×H}/2={6×4}/2=12$$ $$cm^2 $$

Odp.: Pole przekroju osiowego tego stożka wynosi 12 $$cm^2$$.

Spis treści

3 szkoły podstawowej
4 szkoły podstawowej
5 szkoły podstawowej
6 szkoły podstawowej
7 szkoły podstawowej
II gimnazjum
III gimnazjum
Matura podstawowa
Matura rozszerzona
Rozwiązane zadania
Oblicz 270% liczby a, jeżeli a

`a=[(sqrt(16/9))^2+(2 1/3)^2]:` `[(2,5)^6*(2/5)^6]=[16/9+(7/3)^2]:` `[(2,5)^6*(0,4)^6]=(16/9+49/9):(2,5*0,4)^6=` `=65/9:1^6=7 2/9:1=7 2/9`

`270%*7 2/9=27/10*65/9=195/10=19,5`

Przedstaw iloczyn w postaci potęgi o wykładniku dodatnim

`a^(-3)*a^2*a^(-10)=a^(-11)=(1/a)^11`

`(1/a)^(-2)*(1/a)^4*(1/a)^0=(1/a)^2`

`(1/a)^(-6)*a^(-4)*(1/a)=a^6*a^(-4)*a^(-1)=a^1`

`a^7*(1/a)^2*a^(-8)=` `(1/a)^(-7)*(1/a)^2*(1/a)^8=(1/a)^3`

Zapisz, używając notacji wykładniczej. a) 5 mm = ... m

`"a)"\ 5\ "mm"=5*10^-3\ "m"`

 

`"b)"\ 1,2\ "mm"=1,2*10^-6\ "km"`

 

`"c)"\ 6\ "cm"=6*10^-2\ "m"`

 

`"d)"\ 8\ "dm"=8*10^-4\ "km"`

 

`"e)"\ 5\ "g"=5*10^-3\ "kg"`

 

`"f)"\ 2\ "mg"=2*10^-6\ "kg"`

 

`"g)"\ 3\ "dag"=3*10^-5\ "t"`

 

`"h)"\ 6\ "kg"=6*10^-3\ "t"`

 

`"i)"\ 5\ "ml"=5*10^-3\ "l"`

 

`"j)"\ 10\ "l"=10^-1\ "hl"`

 

`"k)"\ 3\ "ml"=3*10^-5\ "hl"`

 

`"l)"\ 5\ "mg"=5*10^-3\ "g"`

Wskaż wspólne czynniki licznika i mianownika, a następnie wykonaj działania

`(3^2*2^(-1))/(2*3^3)=(3^2)/(3^3)*(2^(-1))/2=` `3^(-1)*2^(-2)=1/3*1/4=1/12`

`(4^(-3):4^(-2)+2^(-2))/(5^(-4)*5^3)=` `(4^(-1)+(1/2)^2)/(5^(-1))=` `(1/4+1/4)/(1/5)=2/4*5=10/4=2 1/2`

`((1/3)^4*5^(-2))/(3^(-2)*(1/5)^4)=` `(3^(-4))/(3^(-2))*(5^(-2))/(5^(-4))=3^(-2)*5^2=1/9*25=2 7/9`

`(3^(-1)*(1/3)^(-1)-7^(-5):7^(-6))/((1/7)^2:7^(-1))=` `(3^(-1)*3-7)/(7^(-2):7^(-1))=(3^0-7)/(7^(-1))=(1-7)/(1/7)=-6*7=-42`

Od dnia urodzin Karola upłynęło 3600 dni, od urodzin ...

Karol: 

`3600 \ "dni":7 \ > \ 3500 \ "dni":7=500 \ "tygodni"`  

Karol ma więcej niż 500 tygodni. 


Krystian: 

Krystian ma 500 tygodni, więc jest na pewno młodszy od Karola. 


Marcin: 

`125 \ "miesięcy" \ > \ 125*4 \ "tygodni"=500 \ "tygodni"` 

`\ \ \ \ \ \ \ \ ("miesiąc" \ > \ 4 \ "tygodnie")`    

Marcin ma więcej niż 500 tygodni.  


Mateusz: 

`10 \ "lat" \ = \ 120 \ "miesięcy"` 

Mateusz ma 120 miesięcy, czyli mniej niż 125 miesięcy, zatem jest on młodszy od Marcina.  



Najstarszy będzie więc Karol lub Marcin, gdyż mają więcej niż 500 tygodni. 

Karol ma 3600 dni. 

Marcin ma: 

`125 \ "miesięcy" \ > \ 125*30 \ "dni"=3750 \ "dni"`  

`\ \ \ \ \ \ \ \ ("miesiąc" \ > \ 30 \ "dni")` 

 

`3600 \ "dni" \ < \ 3750 \ "dni"`    

Oznacza to, że najstarszy jest Marcin. 


Poprawna odpowiedź to: C. Marcin

a) Podaj przykład liczby większej od 1/5 i mniejszej od 1/3.

a) `1/5=3/15=6/30`

`\ \ \ 1/3=5/15=10/30`

Przykłady liczb: `7/30, \ \ 8/30, \ \ 9/30, \ \ 1/4`

 

b) `-1/4=-25/100=-0,25`

Przykłady liczb: `-0,26,  \ \ -0,5, \ \ -0,79, \ \ -0,65`  

 

c) Liczba przeciwna do `-1 5/7` to `1 5/7`

`-1 5/7=-12/7` 
Liczba odwrotna do `-1 5/7`  to  `-7/12` .   

 

d) Są to liczby: 2, 3

Oblicz.

`a) \ 3/4+2/3:(-8/12)=3/4+2/3:(-2/3)=3/4+2/3*(-3/2)=3/4+(-1)=3/4-1=-1/4`  

`b) \ ((2-1/7)*3)/(2+0,6)=(1 6/7*3)/(2,6)=(13/7*3)/(26/10)=(39/7)/(13/5)=39/7:13/5=strike39^3/7*5/strike13^1=3/7*5=15/7=2 1/7`    

`c) \ (1/3+2/7):(1-1/9)+3/7=(7/21+6/21):8/9+3/7=13/21:8/9+3/7=13/strike21^7*strike9^3/8+3/7=13/7*3/8+3/7=39/56+3/7=39/56+24/56=63/56=1 7/56=1 1/8`   

`d) \ (strike2^1*5/strike6^3)^2-(3^2-sqrt(1 7/9))=(5/3)^2-(9-sqrt(16/9))=25/9-(9-4/3)=25/9-(9-1 1/3)=25/9-7 2/3=`    

 `\ \ \ \ =25/9-23/3=25/9-69/9=-44/9=-4 8/9` 
  

`e) \ [(-2/3)^2:8/9]^(-1)=[strike4^1/strike9^1*strike9^1/strike8^2]^(-1)=(1/2)^(-1)=2`     

`f) \ 1,6*7/16-(2,7)/(3^3)=strike16^1/10*7/strike16^1-(27/10)/27=7/10-(27/10)/27=7/10-27/10:27=7/10-strike27^1/10*1/strike27^1=7/10-1/10=6/10=3/5`     ``

a) 12,5% kwoty 1600 zł - ile to złotych? , (...)

`a) \ \ 12,5%*1600 \ "zł"=(12,5)/(1strike(00))*16strike(00) \ "zł"=12,5*16 \ "zł"=200 \ "zł"` 

12,5% kwoty 1600 zł to 200 zł.  

 

`b) \ \ 150%*x=330` 

`150/100x=330`

`3/2x=330 \ \ \ \ \ \ \ \ |*2` 

`3x=660 \ \ \ \ \ \ \ |:3` 

`x=220`   

150% liczby 220 to 330. 

 

`c) \ \ 3%*x=12` 

`3/100x=12 \ \ \ \ \ \ \ \ |*100` 

`3x=1200 \ \ \ \ \ \ \ |:3`  `3x=1200`

`x=400` 

3% liczby 400 to 12. 

 

`d) \ \ (240 \ "zł")/(200 \ "zł")=240/200=24/20=12/10=120/100=120%` 

Kwota 240 zł stanowi 120% kwoty 200 zł.  

 

`e) \ \ 1,5%*x=300` 

`(1,5)/100x=300`  

`15/1000x=300 \ \ \ \ \ \ \ \|*1000` 

`15x=300 \ 000 \ \ \ \ \ \ \ \ \ |:15` 

`x=20 \ 000` 

1,5% kwoty 20 000 zł wynosi 300 zł.   

Uzupełnij tabele tak, aby wielkości x i y były wielkościami odwrotnie

`a)`

`x*y=2,5*6=15` 

`x`  `2`  `15:4=15/4=3 3/4=3,75`  `3`  `2,5`  `5` 
`y`  `15:2=7,5`   `4`  `15:3=5`  `6`  `15:5=3` 



 

 

 

`b)` 

`x*y=4*1,5=6` 

 

`x`  `1`  `6:10,=0,6`  `2`  `6:5=1,2`  `4` 
`y`  `6:1=6`  `10`  `6:2=3`  `5`  `1,5` 



 

 

 `c)` 

`x*y=5*1,2=6` 

 

`x`  `6:3=2`  `1,5`  `6:4=1,5`  `5`  `6:2=3` 
`y`  `3`  `6:1,5=4`  `4`  `1,2`  `2` 

 

 

`d)` 

`x*y=42*0,1=4,2` 

 

`x`  `4,2:7=0,6`   `1,4`  `4,2:3,5=42/35=6/5=1,2`  `4,2:21=0,2`  `42` 
`y`  `7`  `4,2:1,4=3`  `3,4`  `21`  `0,1` 





Rozwiąż równania podane w postaci proporcji.

Proporcję rozwiązujemy mnożąc na krzyż.
 

`a) \ \ x/2=5/6` 

`x*6=2*5` 

`6x=10 \ \ \ \ \ \ \ \ |:6` 

`x=10/6=5/3`

 

`b)  \ \ x/2=(x+1)/4` 

`x*4=2(x+1)` 

`4x=2x+2 \ \ \ \ \ \ \ \ |-2x` 

`2x=2 \ \ \ \ \ \  |:2` 

`x=1`

 

`c) \ \ (2(x-1))/3=(x+2)/5` 

`2(x-1)*5=3*(x+2)`

`10(x-1)=3x+6`

`10x-10=3x+6 \ \ \ \ \ \ \ |+10` 

`10x=3x+16 \ \ \ \ \ \ |-3x`  

`7x=16 \ \ \ \ \ \ \ \ |:7`  

`x=16/7`

 

`d) \ \ (x-1)/(x+3)=x/(x+1)` 

`(x-1)(x+1)=(x+3)x` 

`x^2-1=x^2+3x \ \ \ \ \ \ \ |-x^2`  

`-1=3x \ \ \ \ \ \ \ \ |:3` 

`x=-1/3`

 

`e) \ \ (2a+1)/(2a)=(a+3)/(a-1)` 

`(2a+1)(a-1)=2a(a+3)`

`2a^2-2a+a-1=2a^2+6a \ \ \ \ \ \ \ \ |-2a^2` 

`-a-1=6a \ \ \ \ \ \ \ |+a`  

`-1=7a \ \ \ \ \ \ \ \ \ |:7` 

`a=-1/7`

 

`f) \ \ (b-2)/(b+1)=b/(b-3)`  

`(b-2)(b-3)=(b+1)b` 

`b^2-3b-2b+6=b^2+b`

`b^2-5b+6=b^2+b \ \ \ \ \ \ |-b^2` 

`-5b+6=b \ \ \ \ \ \ \ |+5b` 

`6=6b \ \ \ \ \ \ \ |:6` 

`b=1`