Bryły - iii-gimnazjum - Baza Wiedzy
Graniastosłupy
Graniastosłup składa się z dwóch równoległych do siebie podstaw oraz ścian bocznych w kształcie równoległoboków.
Zobacz w programie GeoGebra
Graniastosłupy dzielimy na graniastosłupy proste, pochyłe oraz prawidłowe.
-
Graniastosłup prosty to taki, w którym krawędzie boczne są prostopadłe do podstawy. Ściany boczne są prostokątami.
-
Graniastosłup pochyły to taki, w którym krawędzie boczne nie są prostopadłe do podstawy. Ściany boczne są równoległobokami.
-
Graniastosłup prawidłowy to taki, który ma w podstawie wielokąt foremny. Ściany boczne są przystającymi równoległobokami.
Objętość graniastosłupa:
$$V=P_p×H$$$$V$$ -> objętość graniastosłupa
$$P_p$$ -> pole podstawy
$$H$$ -> wysokość graniastosłupa
Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa:
$$P_c=2P_p+P_b$$$$P_c$$ -> pole powierzchni całkowitej graniastosłupa
$$P_p$$ -> pole podstawy
$$P_b$$ -> pole powierzchni bocznej (suma pól wszystkich ścian bocznych)
W graniastosłupach są trzy różne odcinki: przekątna podstawy, przekątna ściany bocznej oraz przekątna graniastosłupa.
Ostrosłupy
Ostrosłup składa się z jednej podstawy, ścian bocznych i wierzchołka ostrosłupa. Punkt na podstawie, na który pada wysokość nazywamy spodkiem wysokości.
Zobacz w programie GeoGebra
Ostrosłup, który ma w podstawie wielokąt foremny nazywamy ostrosłupem prawidłowym.
Ostrosłup prawidłowy trójkątny nosi również nazwę czworościan foremny. Wszystkie jego ściany są w kształcie trójkątów równobocznych.
Objętość ostrosłupa:
$$V=1/3 P_p×H$$$$V$$ -> objętość ostrosłupa
$$P_p$$ -> pole podstawy
$$H$$ -> wysokość ostrosłupa
Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa:
$$P_c=P_p+P_b$$$$Pc$$ -> pole powierzchni całkowitej
$$P_p$$ -> pole podstawy
$$P_b$$ -> pole powierzchni bocznej (suma pól wszystkich ścian bocznych)
Walec
Walec jest nazywany bryłą obrotową, ponieważ otrzymujemy go w wyniku obrótu prostokąta.
Wygląda jak graniastosłup o podstawie koła.
Walec składa się z dwóch takich samych podstaw w kształcie kół oraz powierzchni bocznej, która po rozłożeniu jest prostokątem.
Przekrój osiowy walca to prostokąt, którego boki mają taką samą długość jak średnica podstawy i wysokość walca. 
Pole powierzchni całkowitej walca:
`P_c=2*P_p+P_b`
`P_p=pir^2`
`P_b=2pir*H`
Zatem:
`P_c=2pir^2+2pirH=2pir(r+H)`
`P_c \ \ ->` pole powierzchni całkowitej
`P_p \ \ ->` pole podstawy
`P_b \ \ ->` pole powierzchni bocznej
`r \ \ ->` długość promienia podstawy
`H \ \ ->` długość wysokości walca
Objętość walca:
`V=P_p*H`
`P_p=pir^2`
Zatem:
`V=pir^2*H`
`V \ \ ->` objętość
`P_p \ \ ->` pole podstawy
`H \ \ ->` długość wysokości walca
`r \ \ ->` długość promienia podstawy
Stożek
Stożek jest kolejna bryłą obrotową, ponieważ powstał w wyniku obrotu trójkąta prostokątnego wokół prostej zawierającej jedną z jego przyprostokątnych. Wygląda jak ostrosłup o podstawie koła. Składa się z jednej podstawy oraz powierzchni bocznej. Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równoramiennym. Odcinek łączący wierzchołek ze środkiem podstawy jest wysokością. Każdy odcinek łączący wierzchołek z brzegiem podstawy to tworząca stożka, którą oznacza się literą „l”.
Zobacz w programie GeoGebra
Objętość stożka:
`V=1/3P_p*H`
`V=1/3pir^2*H`
$$V$$ - objętość stożka
$$r$$ - długość promienia podstawy stożka
$$H$$ - długość wysokości stożka
Pole powierzchni całkowitej stożka:
`P_c=P_p+P_b`
`P_c=pir^2+pirl=pir(r+l)`
$$P_c$$ - pole powierzchni całkowitej stożka
$$r$$ - długość promienia podstawy stożka
$$l$$ - długość tworzącej stożka
Kula
Kula jest bryłą obrotową, ponieważ powstaje w wyniku obrotu koła. Powierzchnia kuli nazywana jest sferą. Odcinek łączący środek kuli z dowolnym punktem na jej powierzchni to promień kuli. Przekrój osiowy kuli to koło wielkie kuli.
Zobacz w programie GeoGebra
Objętość kuli:
$$V=4/3 πr^3$$$$ V$$ -> objętość kuli
$$r$$ -> promień kuli
Pole powierzchni kuli (sfery):
$$P=4πr^2$$$$P$$ -> pole powierzchni kuli
$$r$$ -> promień kuli
Zadania powtórzeniowe
Zadanie 1.
Ile wynosi objętość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy 2 cm i wysokości 12 cm?
$$ V=P_p×H $$
$$ V=2×2×12=48 cm^3 $$
Odp.: Objętość tego graniastosłupa wynosi 48 $$ cm^3$$.
Zadanie 2.
Jaką długość będzie miała przekątna ściany bocznej w graniastosłupie prawidłowym czworokątnym, jeżeli jego objętość wynosi 75 $$m^3$$, a wysokość 3 m?
d -> przekątna ściany bocznej
$$ V=P_p×H $$
$$ P_p={75}/3 $$
$$ a^2=25 -> a=5 m $$
Liczę przekątną z pitagorasa (trójkąt prostokątny to połowa ściany bocznej):
$$ d^2=H^2+a^2 $$
$$ d^2=9+25 $$
$$ d=√34 m $$
Odp.: Przekątna ściany bocznej ma długość $$√34$$ m.
Zadanie 3.
Ile wynosi powierzchnia boczna stożka, jeżeli pole podstawy wynosi 25π $$cm^2$$, a tworząca stożka 3 cm?
$$ πr^2=25π $$
$$ r=5 cm $$
$$ P_b=πrl=π×5×3=15π cm^2 $$
Odp.: Pole powierzchni bocznej tego stożka wynosi 15π $$cm^2$$.
Zadanie 4.
Promień kuli ma długość 4cm. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tej kuli.
$$ V= 4/3 πr^3 $$
$$ V=4/3 π×64=85 1/3 π$$ $$cm^3 $$
$$ P_c=4πr^2 $$
$$ P_c=4π×16=64π cm^2 $$
Odp.: Objętość tej kuli wynosi $$85 1/3 π$$ $$cm^3$$, a pole powierzchni całkowitej 64π $$cm^2$$.
Zadanie 5.
Oblicz pole przekroju stożka powstałego przez obrót trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych długości 3 cm i 4 cm wokół dłuższej przyprostokątnej.
$$r=3$$ cm -> $$a=6$$ cm
$$H=4$$ cm
$$P={a×H}/2={6×4}/2=12$$ $$cm^2 $$
Odp.: Pole przekroju osiowego tego stożka wynosi 12 $$cm^2$$.
Spis treści
Rozwiązane zadania
Oblicz stosunek długości...
Spójrzmy najpierw na podstawę sześcianu:
`c^2=2a^2`
`c=a*sqrt2`
Teraz zajmijmy się trójkątem tworzonym przez przekątną sześcianu d, przekątną podstawy c oraz krawędź sześcianu a:
`d^2=a^2+c^2`
`d^2=a^2+(a*sqrt2)^2`
`d^2=a^2+2a^2`
`d^2=3a^2`
`d=sqrt(3a^2)`
`d=a*sqrt3`
`a=d/sqrt3`
`a=d*sqrt3/3`
a)`sqrt3/3`
b) `sqrt3/3 `
c) `sqrt3/3`
Oblicz pole zacieniowanego...
`a)`
`r = 3`
`alpha = 72^@`
Pole wycinka koła wynosi:
`P = alpha/360^@*pir^2`
`P = 72^@/360^@*pi*3^2`
`P=1/5*pi*9`
`P = 9/5 pi`
Długość zaznaczonego łuku wynosi:
`l = alpha/360^@*2pir`
`l = 72^@/360^@*2*pi*3`
`l = 1/5*6*pi`
`l = 6/5 pi`
`b)`
`r=5`
`alpha = 96^@`
Pole wycinka koła wynosi:
`P = alpha/360^@*pir^2`
`P = 96^@/360^@*pi*5^2`
`P=4/strike(15)^3 *pi*strike(25)^5`
`P = 20/3 pi`
Długość zaznaczonego łuku wynosi:
`l = alpha/360^@*2pir`
`l = 96^@/360^@*2*pi*5`
`l = 4/strike(15)^3*strike(10)^2*pi`
`l = 8/3 pi`
`c)`
`r = 6`
`alpha = 360^@-150^@ = 210`
Pole wycinka koła wynosi:
`P = alpha/360^@*pir^2`
`P = 210^@/360^@*pi*6^2`
`P=7/strike(12)*pi*strike(36)^3 `
`P = 7* pi*3`
`P = 21pi`
Długość zaznaczonego łuku wynosi:
`l = alpha/360^@*2pir`
`l = 210^@/360^@*2*pi*6`
`l = 7/strike(12)*12*pi`
`l = 7 pi`
Rozwiąż układ równań metodą dodawania stronami. a) 5x+2y=20
`a) \ \ {(5x+2y=20),(8x-2y=58):}`
`` `{(5x+8x+2y-2y=20+58),(8x-2y=58):}`
`{(13x=78 \ \ \ \ |:13),(8x-2y=58):}`
`{(x=6),(8*6-2y=58):}`
`{(x=6),(48-2y=58 \ \ \ |-48):}`
`{(x=6),(-2y=10 \ \ |:(-2)):}`
`{(x=6),(y=-5):}`
`b) \ \ {(-3x+11y=23),(6x+2y=-22 \ \ \ |:2):}`
`{(-3x+11y=23),(3x+y=-11):}`
`{(-3x+3x+11y+y=23+(-11)),(3x+y=-11):}`
`{(12y=12 \ \ \ |:12),(3x+y=-11):}`
`{(y=1),(3x+1=-11):}`
`{(y=1),(3*x+1=-11 \ \ \ |-1):}`
`{(y=1),(3x=-12 \ \ \ \ |:3):}`
`{(y=1),(x=-4):}`
`` `c) \ \ {(12x-5y=16),(4x+y=0 \ \ \ \ \ |*5):}`
`{(12x-5y=16),(20x+5y=0):}`
`{(12x+20x-5y+5y=16+0),(20x+5y=0 \ \ \ \ |-20x):}`
`{(32x=16 \ \ \ |:32),(5y=-20x \ \ |:5):}`
`` `{(x=16/32),(y=-4x):}`
`{(y=1/2),(y=-4*1/2=-2):}`
`d) \ \ {(8x-9y=35),(2x+3y=7 \ \ \ |*3):}`
`{(8x-9y=35),(6x+9y=21):}`
`{(8x+6x-9y+9y=35+21),(6x+9y=21):}`
`{(14x=56 \ \ \ |:14),(6x+9y=21):}`
`{(x=4),(6*4+9y=21):}`
`{(x=4),(24+9y=21 \ \ \ |-24):}`
`{(x=4),(9y=-3 \ \ \ |:9):}`
`{(x=4),(y=-3/9=-1/3):}`
Suma pól dwóch figur podobnych wynosi 200 cm²
`P_1+P_2=200`
`(P_1)/(P_2)=(0,5)^2=0,25=>P_1=0,25P_2`
`0,25P_2+P_2=200`
`1,25P_2=200`
`P_2=160cm^2`
`P_1=40cm^2`
Odp. Pole pierwszej figury wynosi `160cm^2` , natomiast drugiej `40cm^2` .
W klasie znajdowało się ...
Dane:
28 - liczba uczniów w klasie
4:3 - stosunek liczby dziewcząt do liczby chłopców
Oznaczenia:
x - liczba dziewcząt
28-x - liczba chłopców
Układamy proporcje:
`4/3=x/(28-x)`
`4(28-x)=3x`
`112-4x=3x`
`112=7x\ \ \ \ \ |:7`
`x=16`
W klasie było 16 dziewczynek.
Obliczmy liczbę chłopców:
`28-16=12`
W klasie było 12 chłopców.
Odp: W klasie było 16 dziewczynek oraz 12 chłopców.
Podstawą ostrosłupa jest prostokąt...
`P_p=20*14=280 ["cm"^2]`
Pole boczne składa się z pola dwóch trójkątów równoramiennych o podstawie 14 cm i dwóch trójkątów równoramiennych o podstawie 20 cm.
Pole trójkąta o podstawie 14 cm oznaczmy przez P1, a pole trójkąta o podstawie 20 cm oznaczmy P2.
`P_b=2*P_1+2*P_2`
Obliczmy wysokość trójkąta pierwszego, korzystając z tw. Pitagorasa.
`7^2+h_1^2=(5sqrt29)^2`
`49+h_1^2=25*29`
`49+h_1^2=725 \ \ \ \ \ \ |-49`
`h_1^2=676`
`h_1=26`
`P_1=1/2*14*26=182 ["cm"^2]`
Obliczmy wysokość trójkąta drugiego, korzystając z tw. Pitagorasa.
`10^2+h_2^2=(5sqrt29)^2`
`100+h_2^2=25*29`
`100+h_2^2=725 \ \ \ \ \ \ |-100`
`h_2^2=625`
`h_2=25`
`P_2=1/2*20*25=250 ["cm"^2]`
`P_b=2*182+2*250=364+500=864 ["cm"^2]`
`P_c=P_p+P_b=280+864=1144 ["cm"^2]`
Uzupełnij zdania...
a) f(-3)= -2
b) 3 (wykres 3 razy przecina oś x)
c) -2 (jest to wartość -3)
d) -4 < x ≤ 2
Sprawdź, korzystając...
a) `3*42=126`
`63*2=126`
TAK
b) `14*15=210`
`10*21=210`
TAK
c) `15*54=810`
`6*135=810`
TAK
d) `2*54=108`
`3*36=108`
TAK
e) `2*41=82`
`9*9=81`
NIE
f) `3*48=144`
`12*12=144`
TAK
Dane są wykresy dwóch funkcji f i g.
a) Funkcje f i g przecinają się w punkcie (-1,2). Oznacza to, że przyjmujące one tę samą wartość dla argumentu x = -1.
b) Odczytujemy, dla jakich argumentów wykres funkcji g leży poniżej wykresu funkcji f.
Wartości funkcji g są mniejsze od wartości funkcji f dla argumentu spełniających warunek: -6 < x < -1
c) Największa wartość funkcji g wynosi 6. Największa wartość funkcji f wynosi 4.
Obliczamy, o ile największą wartością funkcji g jest większa od największą wartością funkcji f.
`6-4=2`
Największa wartość funkcji g jest o 2 większa od największej wartości funkcji f.
d) Najmniejsza wartość funkcji f wynosi -4. Najmniejsza wartość funkcji g wynosi -2.
Obliczamy, o ile najmniejsza wartość funkcji f jest mniejsza od najmniejszej wartości funkcji g.
`-2-(-4)=-2+4=2`
Najmniejsza wartość funkcji f jest o 2 mniejsza od najmniejszej wartości funkcji g.
e) Funkcja f ma jedno miejsce zerowe.
Funkcja g ma dwa miejsca zerowe.
Dany jest równoległobok ABCD
S - punkt przecięcia odcinków GH i EF
Takimi samymi kolorami zaznaczono kąty o równych miarach.
Korzystając z równości miar kątów oraz równości zaznaczonych odcinków możemy zapisać:
`AESG-=CFSH,\ \ \ \ \ FDGS-=EBHS`
© 2018 Odrabiamy.pl