Bryły - iii-gimnazjum - Baza Wiedzy

Graniastosłupy

Graniastosłup składa się z dwóch równoległych do siebie podstaw oraz ścian bocznych w kształcie równoległoboków.

  Zobacz w programie GeoGebra

 

graniastoslup

Graniastosłupy dzielimy na graniastosłupy proste, pochyłe oraz prawidłowe.

  1. Graniastosłup prosty to taki, w którym krawędzie boczne są prostopadłe do podstawy. Ściany boczne są prostokątami.

  2. Graniastosłup pochyły to taki, w którym krawędzie boczne nie są prostopadłe do podstawy. Ściany boczne są równoległobokami.

  3. Graniastosłup prawidłowy to taki, który ma w podstawie wielokąt foremny. Ściany boczne są przystającymi równoległobokami.

Objętość graniastosłupa:

$$V=P_p×H$$

$$V$$ -> objętość graniastosłupa

$$P_p$$ -> pole podstawy

$$H$$ -> wysokość graniastosłupa

 

Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa:

$$P_c=2P_p+P_b$$

$$P_c$$ -> pole powierzchni całkowitej graniastosłupa

$$P_p$$ -> pole podstawy

$$P_b$$ -> pole powierzchni bocznej (suma pól wszystkich ścian bocznych)

 

W graniastosłupach są trzy różne odcinki: przekątna podstawy, przekątna ściany bocznej oraz przekątna graniastosłupa.

 

Ostrosłupy

Ostrosłup składa się z jednej podstawy, ścian bocznych i wierzchołka ostrosłupa. Punkt na podstawie, na który pada wysokość nazywamy spodkiem wysokości.

  Zobacz w programie GeoGebra

 

ostroslup

Ostrosłup, który ma w podstawie wielokąt foremny nazywamy ostrosłupem prawidłowym.

Ostrosłup prawidłowy trójkątny nosi również nazwę czworościan foremny. Wszystkie jego ściany są w kształcie trójkątów równobocznych.

Objętość ostrosłupa:

$$V=1/3 P_p×H$$

$$V$$ -> objętość ostrosłupa

$$P_p$$ -> pole podstawy

$$H$$ -> wysokość ostrosłupa

 

Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa:

$$P_c=P_p+P_b$$

$$Pc$$ -> pole powierzchni całkowitej

$$P_p$$ -> pole podstawy

$$P_b$$ -> pole powierzchni bocznej (suma pól wszystkich ścian bocznych)

 

Walec

Walec jest nazywany bryłą obrotową, ponieważ otrzymuje się poprzez obrót prostokąta. Wygląda jak graniastosłup o podstawie koła. Walec składa się z dwóch takich samych podstaw w kształcie kół oraz powierzchni bocznej. Przekrój osiowy walca to prostokąt, którego boki to średnica podstawy i wysokość.

  Zobacz w programie GeoGebra

 

walec

Objętość walca:

$$V=P_p×H$$
$$V=πr^2×H$$

$$V$$ -> objętość walca

$$r$$ -> promień podstawy

$$H$$ -> wysokość

 

Pole powierzchni całkowitej walca:

$$P_c=2P_p+P_b$$
$$P_c=2πr^2+2πr×H$$

$$P_c$$ -> pole powierzchni całkowitej walca

$$r$$ -> promień podstawy

$$H$$ -> wysokość

 

Stożek

Stożek jest kolejna bryłą obrotową, ponieważ powstał w wyniku obrotu trójkąta prostokątnego wokół prostej zawierającej jedną z jego przyprostokątnych. Wygląda jak ostrosłup o podstawie koła. Składa się z jednej podstawy oraz powierzchni bocznej. Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równoramiennym. Odcinek łączący wierzchołek ze środkiem podstawy jest wysokością. Każdy odcinek łączący wierzchołek z brzegiem podstawy to tworząca stożka, którą oznacza się literą „l”.

  Zobacz w programie GeoGebra

stozek

Objętość stożka:

`V=1/3P_p*H`  

`V=1/3pir^2*H`  

$$V$$ - objętość stożka

$$r$$ - długość promienia podstawy stożka

$$H$$ - długość wysokości stożka

 

Pole powierzchni całkowitej stożka:

`P_c=P_p+P_b`  

`P_c=pir^2+pirl=pir(r+l)`

$$P_c$$ - pole powierzchni całkowitej stożka

$$r$$ - długość promienia podstawy stożka

$$l$$ - długość tworzącej stożka

 

Kula

Kula jest bryłą obrotową, ponieważ powstaje w wyniku obrotu koła. Powierzchnia kuli nazywana jest sferą. Odcinek łączący środek kuli z dowolnym punktem na jej powierzchni to promień kuli. Przekrój osiowy kuli to koło wielkie kuli.

  Zobacz w programie GeoGebra

 

kula

Objętość kuli:

$$V=4/3 πr^3$$

$$ V$$ -> objętość kuli

$$r$$ -> promień kuli

 

Pole powierzchni kuli (sfery):

$$P=4πr^2$$

$$P$$ -> pole powierzchni kuli

$$r$$ -> promień kuli

 
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Ile wynosi objętość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy 2 cm i wysokości 12 cm?

$$ V=P_p×H $$

$$ V=2×2×12=48 cm^3 $$

Odp.: Objętość tego graniastosłupa wynosi 48 $$ cm^3$$.

Zadanie 2.

Jaką długość będzie miała przekątna ściany bocznej w graniastosłupie prawidłowym czworokątnym, jeżeli jego objętość wynosi 75 $$m^3$$, a wysokość 3 m?

d -> przekątna ściany bocznej

$$ V=P_p×H $$

$$ P_p={75}/3 $$

$$ a^2=25 -> a=5 m $$

Liczę przekątną z pitagorasa (trójkąt prostokątny to połowa ściany bocznej):

$$ d^2=H^2+a^2 $$

$$ d^2=9+25 $$

$$ d=√34 m $$

Odp.: Przekątna ściany bocznej ma długość $$√34$$ m.

Zadanie 3.

Ile wynosi powierzchnia boczna stożka, jeżeli pole podstawy wynosi 25π $$cm^2$$, a tworząca stożka 3 cm?

$$ πr^2=25π $$

$$ r=5 cm $$

$$ P_b=πrl=π×5×3=15π cm^2 $$

Odp.: Pole powierzchni bocznej tego stożka wynosi 15π $$cm^2$$.

Zadanie 4.

Promień kuli ma długość 4cm. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tej kuli.

$$ V= 4/3 πr^3 $$

$$ V=4/3 π×64=85 1/3 π$$ $$cm^3 $$

$$ P_c=4πr^2 $$

$$ P_c=4π×16=64π cm^2 $$

Odp.: Objętość tej kuli wynosi $$85 1/3 π$$ $$cm^3$$, a pole powierzchni całkowitej 64π $$cm^2$$.

Zadanie 5.

Oblicz pole przekroju stożka powstałego przez obrót trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych długości 3 cm i 4 cm wokół dłuższej przyprostokątnej.

$$r=3$$ cm -> $$a=6$$ cm

$$H=4$$ cm

$$P={a×H}/2={6×4}/2=12$$ $$cm^2 $$

Odp.: Pole przekroju osiowego tego stożka wynosi 12 $$cm^2$$.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Sprawdź sam siebie

A. III. 

`3/1.5=2`

`6/3=2`

`8/4=2`

 

B. IV:

Kąty muszą mieć taką samą miarę `(70^o)` .

Stosunke boków:

`6/4=1.5`

`7.5/5=1.5`

 

C. II

Jeśli miary dwóch kątów wynoszą `40^o` oraz `60^o` to miara trzeciego musi wynosić `80^o` .

Jeśli miary dwóch kątów wynoszą `60^o` oraz `80^o` to miara trzeciego ma miarę `40^o`

Okazuje się że te trójkąty mają wszystkie trzy kąty parami równe.

 

D. `k=6/3=2` 

 

`x=7/2=3.5`

`y=2*2=4`

 

E. k=7.2/3=2.4

`x/8.25=2.4`

`x=19.8`

 

F. 

 

`|AD|=4`

`|BC|=12` 

 

Trójkąty podobne:

ABD i ABC, skala k=1

ASD i CSB, k=1

ACD i BCD, k=1

ABS i CDS, k=3

 

Podaj promień podstawy....

`a)` 

Promień:

`r = 1/2*5sqrt2\ cm` 

`r = 5/2 sqrt2\ cm` 

Wysokość:

`H^2+r^2 = (5\ cm)^2`  

`H^2 + (5/2 sqrt2\ cm)^2 = 25\ cm` 

`H^2 + 25/4*2\ cm^2 = 25\ cm^2` 

`H^2 +25/2\ cm^2 = 25\ cm^2 \ \ \ \ |-25/2\ cm^2` 

`H^2 = 50/25\ cm^2 - 25/2\ cm^2` 

`H^2=25/2\ cm^2\ \ \ \ |sqrt(\ )` 

`H = sqrt(25/2\ cm^2)` 

`H = 5/sqrt2\  cm` 

`H = (5sqrt2)/2\ cm` 

 

`b)` 

Promień:

`r = 5` 

Wysokość:

`H = 5` 

Trójkąty ACD i ABE przedstawione na rysunku ...

a) Skala podobieństwa trójkąta ACD do trójkąta ABE wynosi k=1,5. 

Zatem:

`|AC|/|AB|=k` 

`|AC|/21=1,5 \ \ \ \ \ \ \ |*21` 

`|AC|=31,5 \ \ \ ["cm"]` 


Wiemy, że odcinek AD ma długość 30 cm. 

`|AD|=30 \ "cm"` 


Obliczamy, ile wynosi pole trójkąta ACD.

`P_(ACD)=1/strike2^1*strike30^15*31,5=15*31,5=472,5 \ \ \ ["cm"^2]` 

Skala podobieństwa trójkąta ACD do trójkąta ABE wynosi:

`k=1,5` 

Stosunek pola trójkąta ACD do pola trójkąta ABE wynosi:

`P_(ACD)/P_(ABE)=k^2=1,5^2=2,25` 


Obliczamy, ile wynosi pole trójkąta ABE.

`472,5/P_(ABE)=2,25 \ \ \ \ \ \ |*P_(ABE)` 

`472,5=2,25*P_(ABE) \ \ \ \ \ \ \ \ |:2,25` 

`P_(ABE)=210 \ \ \ ["cm"^2]` 


Obliczamy, ile wynosi pole trapezu BCDE.

`P_(BCDE)=P_(ACD)-P_(ABE)=472,5-210=262,5 \ \ \ ["cm"^2]` 

Pole trapezu BCDE wynosi 262,5 cm2.  

 

b) Obliczamy, ile wynosi długość odcinka BC. 

`|BC|=|AC|-|AB|=31,5-21=10,5 \ \ \ ["cm"]`       


Z podobieństwa trójkątów mamy: 

`k=|AD|/|AE|` 

`1,5=30/|AE| \ \ \ \ \ \ \ |*"|AE|"`  

`1,5|AE|=30 \ \ \ \ \ \ \ \ |:1,5` 

`|AE|=20 \ \ \ ["cm"]` 


Odcinek ED ma więc długość:

`|ED|=|AD|-|AE|=30-20=10 \ \ \ ["cm"]` 


Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta ABE obliczamy ile wynosi długość odcinki BE.    

`21^2+20^2=|BE|^2` 

`441+400=|BE|^2` 

`841=|BE|^2` 

`|BE|=sqrt{841}=29 \ \ \ ["cm"]` 


Mamy więc:

`k=|CD|/|BE|` 

`1,5=|CD|/29 \ \ \ \ \ \ \ \ \ |*29` 

`|CD|=43,5 \ \ \ ["cm"]`         


Obliczamy, ile wynosi obwód trapezu BCDE.

`Obw=10,5+43,5+10+29=93 \ \ \ ["cm"]` 

Obwód trapezu BCDE wynosi 93 cm.   

W pewnej klasie 55%...

Liczba możliwych wyników - całość klasy to 100%:

`N = 1` 

Liczba interesujących nas wyników - w klasie jest 55% dziewcząt, czyli chłopców w tej klasie jest 45%. Z tego wynika, że chłopcy zajmują czterdzieści pięć setnych części swojej klasy:

`n = 45/100` 

Prawdopodobieństwo zajścia wynosi:

`p = n/N` 

`p = (45/100)/(1)` 

`p = 45/100` 

`p=9/20` 

Odp.: A. `9/20` 

Wskaż długości boków trójkąta prostokątnego ...

A. Sprawdzamy, czy stosunek długości krótszych przyprostokątnych (najkrótszy bok) tego trójkąta jest równy stosunkowi długości dłuższych (boki średniej długości) przyprostokątnych. 

`10/40 \ stackrel(?)= \ 10,5/42` 

`10/40=1/4` 

`10,5/42=1/4` 

Zatem:

`10/40=10,5/42` , czyli stosunek długości krótszych przyprostokątnych jest równy stosunkowi długości dłuższych przyprostokątnych. 

Oznacza to, że trójkąty te są podobne.


Dla pewności sprawdzamy, czy pozostałe trójkąty nie są podobne.

B. Sprawdzamy, czy stosunek długości krótszych przyprostokątnych (najkrótszy bok) tego trójkąta jest równy stosunkowi długości dłuższych (boki średniej długości) przyprostokątnych. 

`5/40 \ stackrel(?)= \ 12/42`  

`5/40=1/8`  

`12/42=2/7`  

Zatem:

`5/40!=12/42`  , czyli stosunek długości krótszych przyprostokątnych nie jest równy stosunkowi długości dłuższych przyprostokątnych. 

Oznacza to, że trójkąty te nie są podobne.

C. Sprawdzamy, czy stosunek długości krótszych przyprostokątnych (najkrótszy bok) tego trójkąta jest równy stosunkowi długości dłuższych (boki średniej długości) przyprostokątnych. 

`3/40 \ stackrel(?)= \ 4/42`   

`3/40=12/160`  

`4/42=12/126`  

Zatem:

`3/40!=4/42` , czyli stosunek długości krótszych przyprostokątnych nie jest równy stosunkowi długości dłuższych przyprostokątnych. 

Oznacza to, że trójkąty te nie są podobne.

D. Sprawdzamy, czy stosunek długości krótszych przyprostokątnych (najkrótszy bok) tego trójkąta jest równy stosunkowi długości dłuższych (boki średniej długości) przyprostokątnych. 

`1,2/40 \ stackrel(?)= \ 3,5/42`  

`1,2/40=12/400=3/100=21/700`   

`3,5/42=35/420=7/84=21/252`   

Zatem:

`1,2/40!=3,5/42` , czyli stosunek długości krótszych przyprostokątnych nie jest równy stosunkowi długości dłuższych przyprostokątnych. 

Oznacza to, że trójkąty te nie są podobne.


Poprawna odpowiedź to: A. 

W klasie znajdowało się ...

Dane:

28 - liczba uczniów w klasie

4:3 - stosunek liczby dziewcząt do liczby chłopców

 

Oznaczenia:

x - liczba dziewcząt

28-x - liczba chłopców

 

Układamy proporcje:

`4/3=x/(28-x)` 

`4(28-x)=3x` 

`112-4x=3x` 

`112=7x\ \ \ \ \ |:7` 

`x=16` 

W klasie było 16 dziewczynek.

 

Obliczmy liczbę chłopców:

`28-16=12` 

W klasie było 12 chłopców.

 

Odp: W klasie było 16 dziewczynek oraz 12 chłopców.

Punkt symetryczny do punktu...

W symetrii względem osi `x` współrzędna igrekowa punktu zmienia się

na przeciwną, a współrzędna iksowa pozostaje bez zmian.

Zatem punkt symetryczny do `B=(-1,-4)` względem osi `x` to punkt

o współrzędnych `(-1,\ 4),`czyli prawidłowa odpowiedź to `"B."`  

Prostokątną działkę...

a) Jeśli w stosunku 3:5 większa część ma 1250 to mniejsza musi mieć 750. Razem `2000m^2` .

b) 6000-2000=4000

2000:4000=1:2

c) 1400:7=200

Mniejsza działka ma `400m^2` , większa ma `1000m^2` . 

Dwa prostokąty...

12cm - długość dłuższego boku 1 prostokąta

10cm - długość krótszego boku 1 prostokąta

a - długość dłuższego boku 2 prostokąta

 

b - długość krótszego boku 2 prostokąta

`P_1=12*10=120`

 

`P_2=a*b=120`

`b=12*1.25=15`

`a=120/15=8`

 

`10-8=2`

`10/2=0.2`

Drugi bok jest krótszy o 20%.

Wykonaj obliczenia i wpisz w puste pola tabeli odpowiednie wielkości.

 

 

Promień podstawy

Wysokość walca

Pole
jednej podstawy

Pole powierzchni bocznej

Pole powierzchni całkowitej

Objętość

Walec 1

`12cm`  `30cm`  `144picm^2`  `720picm^2`  `1008picm^2`  `4320picm^3`  

Walec 2

 `5cm`  `6cm`  `25picm^2`   `60picm^2`   `110picm^2`    `150picm^3`  

Walec 3

`8cm`   `5cm`   `64picm^2`   `80picm^2`   `208picm^2`  `320picm^3` 

Walec 1:
Pole jednej podstawy:
`P_p=pi*r^2=pi*(12cm)^2=144picm^2` 

Pole powierzchni bocznej:
`P_b=2pi*r*H=2pi*12cm*30cm=720picm^2` 

Pole powierzchni całkowitej:  
`P_c=2pi*r*(r+H)=2pi*12cm*(12cm+30cm)=1008picm^2` 

Objętość:
`V=pi*r^2*H=pi*(12cm)^2*30cm=pi*144cm^2*30cm=4320picm^3`         

Walec 2:      
Promień podstawy:
`pi*r^2=25picm^2` 
`r^2=25cm^2` 
`r=5cm` 

Pole powierzchni bocznej:
`P_b=2pi*r*H=2pi*5cm*6cm=60picm^2`   

Pole powierzchni całkowitej:
`P_c=2pi*r*(r+H)=2pi*5cm*(5cm+6cm)=110picm^2` 

Objętość:
`V=pi*r^2*H=pi*(5cm)^2*6cm=pi*25cm^2*6cm=150picm^3` 

Walec 3:
Wysokość walca:
`pi*(8cm)^2*H=320picm^3` 
`pi*64cm^2*H=320picm^3` 
`H=5cm` 

Pole jednej podstawy:
`P_p=pi*r^2=pi*(8cm)^2=64picm^2` 

Pole powierzchni bocznej:
`P_b=2pi*r*H=2pi*8cm*5cm=80picm^2` 

Pole powierzchni całkowitej:
`P_c=2pi*r*(r+H)=2pi*8cm*(8cm+5cm)=208picm^2`