Bryły - iii-gimnazjum - Baza Wiedzy
Graniastosłupy
Graniastosłup składa się z dwóch równoległych do siebie podstaw oraz ścian bocznych w kształcie równoległoboków.
Zobacz w programie GeoGebra
Graniastosłupy dzielimy na graniastosłupy proste, pochyłe oraz prawidłowe.
-
Graniastosłup prosty to taki, w którym krawędzie boczne są prostopadłe do podstawy. Ściany boczne są prostokątami.
-
Graniastosłup pochyły to taki, w którym krawędzie boczne nie są prostopadłe do podstawy. Ściany boczne są równoległobokami.
-
Graniastosłup prawidłowy to taki, który ma w podstawie wielokąt foremny. Ściany boczne są przystającymi równoległobokami.
Objętość graniastosłupa:
$V=P_p×H$$V$ -> objętość graniastosłupa
$P_p$ -> pole podstawy
$H$ -> wysokość graniastosłupa
Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa:
$P_c=2P_p+P_b$$P_c$ -> pole powierzchni całkowitej graniastosłupa
$P_p$ -> pole podstawy
$P_b$ -> pole powierzchni bocznej (suma pól wszystkich ścian bocznych)
W graniastosłupach są trzy różne odcinki: przekątna podstawy, przekątna ściany bocznej oraz przekątna graniastosłupa.
Ostrosłupy
Ostrosłup składa się z jednej podstawy, ścian bocznych i wierzchołka ostrosłupa. Punkt na podstawie, na który pada wysokość nazywamy spodkiem wysokości.
Zobacz w programie GeoGebra
Ostrosłup, który ma w podstawie wielokąt foremny nazywamy ostrosłupem prawidłowym.
Ostrosłup prawidłowy trójkątny nosi również nazwę czworościan foremny. Wszystkie jego ściany są w kształcie trójkątów równobocznych.
Objętość ostrosłupa:
$V=1/3 P_p×H$$V$ -> objętość ostrosłupa
$P_p$ -> pole podstawy
$H$ -> wysokość ostrosłupa
Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa:
$P_c=P_p+P_b$$Pc$ -> pole powierzchni całkowitej
$P_p$ -> pole podstawy
$P_b$ -> pole powierzchni bocznej (suma pól wszystkich ścian bocznych)
Walec
Walec jest nazywany bryłą obrotową, ponieważ otrzymujemy go w wyniku obrótu prostokąta.
Wygląda jak graniastosłup o podstawie koła.
Walec składa się z dwóch takich samych podstaw w kształcie kół oraz powierzchni bocznej, która po rozłożeniu jest prostokątem.
Przekrój osiowy walca to prostokąt, którego boki mają taką samą długość jak średnica podstawy i wysokość walca. 
Pole powierzchni całkowitej walca:
`P_c=2*P_p+P_b`
`P_p=pir^2`
`P_b=2pir*H`
Zatem:
`P_c=2pir^2+2pirH=2pir(r+H)`
`P_c \ \ ->` pole powierzchni całkowitej
`P_p \ \ ->` pole podstawy
`P_b \ \ ->` pole powierzchni bocznej
`r \ \ ->` długość promienia podstawy
`H \ \ ->` długość wysokości walca
Objętość walca:
`V=P_p*H`
`P_p=pir^2`
Zatem:
`V=pir^2*H`
`V \ \ ->` objętość
`P_p \ \ ->` pole podstawy
`H \ \ ->` długość wysokości walca
`r \ \ ->` długość promienia podstawy
Stożek
Stożek jest kolejna bryłą obrotową, ponieważ powstał w wyniku obrotu trójkąta prostokątnego wokół prostej zawierającej jedną z jego przyprostokątnych. Wygląda jak ostrosłup o podstawie koła. Składa się z jednej podstawy oraz powierzchni bocznej. Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równoramiennym. Odcinek łączący wierzchołek ze środkiem podstawy jest wysokością. Każdy odcinek łączący wierzchołek z brzegiem podstawy to tworząca stożka, którą oznacza się literą „l”.
Zobacz w programie GeoGebra
Objętość stożka:
`V=1/3P_p*H`
`V=1/3pir^2*H`
$V$ - objętość stożka
$r$ - długość promienia podstawy stożka
$H$ - długość wysokości stożka
Pole powierzchni całkowitej stożka:
`P_c=P_p+P_b`
`P_c=pir^2+pirl=pir(r+l)`
$P_c$ - pole powierzchni całkowitej stożka
$r$ - długość promienia podstawy stożka
$l$ - długość tworzącej stożka
Kula
Kula jest bryłą obrotową, ponieważ powstaje w wyniku obrotu koła. Powierzchnia kuli nazywana jest sferą. Odcinek łączący środek kuli z dowolnym punktem na jej powierzchni to promień kuli. Przekrój osiowy kuli to koło wielkie kuli.
Zobacz w programie GeoGebra
Objętość kuli:
$V=4/3 πr^3$$ V$ -> objętość kuli
$r$ -> promień kuli
Pole powierzchni kuli (sfery):
$P=4πr^2$$P$ -> pole powierzchni kuli
$r$ -> promień kuli
Zadania powtórzeniowe
Zadanie 1.
Ile wynosi objętość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy 2 cm i wysokości 12 cm?
$ V=P_p×H $
$ V=2×2×12=48 cm^3 $
Odp.: Objętość tego graniastosłupa wynosi 48 $ cm^3$.
Zadanie 2.
Jaką długość będzie miała przekątna ściany bocznej w graniastosłupie prawidłowym czworokątnym, jeżeli jego objętość wynosi 75 $m^3$, a wysokość 3 m?
d -> przekątna ściany bocznej
$ V=P_p×H $
$ P_p={75}/3 $
$ a^2=25 -> a=5 m $
Liczę przekątną z pitagorasa (trójkąt prostokątny to połowa ściany bocznej):
$ d^2=H^2+a^2 $
$ d^2=9+25 $
$ d=√34 m $
Odp.: Przekątna ściany bocznej ma długość $√34$ m.
Zadanie 3.
Ile wynosi powierzchnia boczna stożka, jeżeli pole podstawy wynosi 25π $cm^2$, a tworząca stożka 3 cm?
$ πr^2=25π $
$ r=5 cm $
$ P_b=πrl=π×5×3=15π cm^2 $
Odp.: Pole powierzchni bocznej tego stożka wynosi 15π $cm^2$.
Zadanie 4.
Promień kuli ma długość 4cm. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tej kuli.
$ V= 4/3 πr^3 $
$ V=4/3 π×64=85 1/3 π$ $cm^3 $
$ P_c=4πr^2 $
$ P_c=4π×16=64π cm^2 $
Odp.: Objętość tej kuli wynosi $85 1/3 π$ $cm^3$, a pole powierzchni całkowitej 64π $cm^2$.
Zadanie 5.
Oblicz pole przekroju stożka powstałego przez obrót trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych długości 3 cm i 4 cm wokół dłuższej przyprostokątnej.
$r=3$ cm -> $a=6$ cm
$H=4$ cm
$P={a×H}/2={6×4}/2=12$ $cm^2 $
Odp.: Pole przekroju osiowego tego stożka wynosi 12 $cm^2$.
Spis treści
Rozwiązane zadania
W tabeli przedstawiono wyniki
Zapiszmy wyniki w uporządkowanym zbiorze:
Modalną danych przedstawionych w tabeli jest 5 (odp. D), ponieważ 5 oczek pojawiło się najczęściej - 5 razy.
Medianą danych przedstawionych w tabeli jest - odp. A
Średnia arytmetyczna danych przedstawionych w tabeli jest równa:
W ostatnim zdaniu należy zaznaczyć opowiedź B.
Przedstaw w postaci wykresu funkcję, która ...
Funkcja każdej liczbie ze zbioru {-1, 0, 1, 2} przyporządkowuje liczbę o 2 mniejszą od jej potrojenia.
{premium}
Funkcja ta nie ma miejsc zerowych. Wartość 0 nie jest przyjmowana dla żadnego argumentu.
Funkcja ta przyjmuje wartość dodatnią dla dwóch argumentów: x=1 i x=2.
Rozwiąż układ równań metodą ...
Rozwiazanie układu równań jest para liczb:
Sprawdzamy rozwiązanie:
Podstawimy x i y do lewych stron obu równań i patrzymy, czy otrzymamy liczbę znajdującą się po prawej stronie.
Pierwsze równanie:
Drugie równanie:
Rozwiazanie układu równań jest para liczb:
Sprawdzamy rozwiązanie:
Podstawimy x i y do lewych stron obu równań i patrzymy, czy otrzymamy liczbę znajdującą się po prawej stronie.
Pierwsze równanie:
Drugie równanie:
Rozwiazanie układu równań jest para liczb:
Sprawdzamy rozwiązanie:
Podstawimy x i y do lewych stron obu równań i patrzymy, czy otrzymamy liczbę znajdującą się po prawej stronie.
Pierwsze równanie:
Drugie równanie:
Zapisz odpowiedzi...
Liczba sucharków w opakowaniu:
Masa opakowania sucharków:
Procent skrobi znajdujący się w jednym sucharku:
Zapisujemy wyrażenie opisujące masę skrobi w jednym sucharku:
Liczba czytelników w wieku 16 lat:
Liczba czytelników w wieku powyżej 16 lat:
Procent o jaki wzrosła grupa czytelników w wieku 16 lat:
Procent o jaki zmalała grupa czytelników w wieku powyżej 16 lat:
Zapisujemy wyrażenie opisujące liczbę czytelników po zmianach:
Cena biletu jednorazowego:
Cena biletu miesięcznego:
Liczba biletów jednorazowych:
Zapisujemy wyrażenie opisujące o ile więcej kosztują bilety jednorazowe od miesięcznego:
Liczba biletów kupionych na karuzelę w dniu otwarcia:
Cena jednego biletu na karuzelę:
Kwota o jaką zmniejszono cenę biletów:
Procent o jaki wzrosła liczba sprzedanych biletów:
Zapisujemy wyrażenie opisujące kwotę uzyskaną ze sprzedaży biletów:
Funkcja określona tabelką przyporządkowuje każdej ...
a) Wyraz pasujący do tabeli to:
MATEMATYKA
b) Tabela dla wyrazu OPOWIADANIE:
| x | O | P | W | I | A | D | N | E |
| y | 2 | 1 | 1 | 2 | 2 | 1 | 1 | 1 |
c) Tabela dla przykładowego imienia i nazwiska - ANNA KOWALSKA
| x | A | N | K | O | W | L | S |
| y | 4 | 2 | 2 | 1 | 1 | 1 | 1 |
Trójkąt prostokątny ma dwa boki o długościach 5 cm i 12 cm
x - trzeci bok, który jest przyprostokątną trójkąta
y - trzeci bok, który jest przeciwprostokątną trójkąta
Podaj promień podstawy i wysokość...
Wysokość stożka:
Tworząca stożek:
Obliczamy promień podstawy stożka:
Promień podstawy stożka:
Tworząca stożek:
Obliczamy wysokość stożka:
Promień podstawy stożka:
Tworząca stożek:
Obliczamy wysokość stożka:
Promień podstawy stożka:
Tworząca stożek:
Obliczamy wysokość stożka:
Jaką liczbę należy dopisać do czterech poniższych, aby ...
Liczbę, którą należy dopisać oznaczamy .
Chcemy, aby średnia arytmetyczna liczb:
wynosiła 12.
Zatem:
Należy dopisać liczbę 2 1/2.
Przedstawiona obok bryła powstała przez doklejenie...
Rysunek pomocniczy:
{premium}
Na objętość bryły składają się: objętość graniastosłupa oraz dwie objętości przystających stożków.
Obliczamy najpierw pole podstawy graniastosłupa/stożków:
Obliczamy objętość graniastosłupa:
Obliczamy objętość jednego stożka:
Obliczamy objętość bryły:
Na pole powierzchni całkowitej bryły składają się: pole powierzchni bocznej graniastosłupa oraz podwojone
pole powierzchni bocznej stożka.
Obliczamy pole powierzchni bocznej graniastosłupa:
Do obliczenia pola powierzchni bocznej stożka będzie nam potrzebna wysokość ściany bocznej,
a aby ją wyznaczyć, musimy ustalić długość krawędzi ściany bocznej - skorzystamy z twierdzenia
Pitagorasa dla trójkąta
Obliczamy wysokość ściany bocznej - korzystamy z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta
Obliczamy pole powierzchni bocznej jednego stożka:
Obliczamy pole powierzchni całkowitej bryły:
Odp. Objętość bryły wynosi a pole powierzchni całkowitej jest równe
Wyznacz x z każdego równania
© 2019 Odrabiamy.pl