Bryły - iii-gimnazjum - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Bryły - iii-gimnazjum - Baza Wiedzy

Graniastosłupy

Graniastosłup składa się z dwóch równoległych do siebie podstaw oraz ścian bocznych w kształcie równoległoboków.

  Zobacz w programie GeoGebra

 

graniastoslup

Graniastosłupy dzielimy na graniastosłupy proste, pochyłe oraz prawidłowe.

  1. Graniastosłup prosty to taki, w którym krawędzie boczne są prostopadłe do podstawy. Ściany boczne są prostokątami.

  2. Graniastosłup pochyły to taki, w którym krawędzie boczne nie są prostopadłe do podstawy. Ściany boczne są równoległobokami.

  3. Graniastosłup prawidłowy to taki, który ma w podstawie wielokąt foremny. Ściany boczne są przystającymi równoległobokami.

Objętość graniastosłupa:

$V=P_p×H$

$V$ -> objętość graniastosłupa

$P_p$ -> pole podstawy

$H$ -> wysokość graniastosłupa

 

Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa:

$P_c=2P_p+P_b$

$P_c$ -> pole powierzchni całkowitej graniastosłupa

$P_p$ -> pole podstawy

$P_b$ -> pole powierzchni bocznej (suma pól wszystkich ścian bocznych)

 

W graniastosłupach są trzy różne odcinki: przekątna podstawy, przekątna ściany bocznej oraz przekątna graniastosłupa.

 

Ostrosłupy

Ostrosłup składa się z jednej podstawy, ścian bocznych i wierzchołka ostrosłupa. Punkt na podstawie, na który pada wysokość nazywamy spodkiem wysokości.

  Zobacz w programie GeoGebra

 

ostroslup

Ostrosłup, który ma w podstawie wielokąt foremny nazywamy ostrosłupem prawidłowym.

Ostrosłup prawidłowy trójkątny nosi również nazwę czworościan foremny. Wszystkie jego ściany są w kształcie trójkątów równobocznych.

Objętość ostrosłupa:

$V=1/3 P_p×H$

$V$ -> objętość ostrosłupa

$P_p$ -> pole podstawy

$H$ -> wysokość ostrosłupa

 

Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa:

$P_c=P_p+P_b$

$Pc$ -> pole powierzchni całkowitej

$P_p$ -> pole podstawy

$P_b$ -> pole powierzchni bocznej (suma pól wszystkich ścian bocznych)

 

Walec

Walec jest nazywany bryłą obrotową, ponieważ otrzymujemy go w wyniku obrótu prostokąta.

Wygląda jak graniastosłup o podstawie koła.

Walec składa się z dwóch takich samych podstaw w kształcie kół oraz powierzchni bocznej, która po rozłożeniu jest prostokątem.

Przekrój osiowy walca to prostokąt, którego boki mają taką samą długość jak średnica podstawy i wysokość walca. 

Pole powierzchni całkowitej walca:

`P_c=2*P_p+P_b`

`P_p=pir^2`

`P_b=2pir*H`

Zatem: 

`P_c=2pir^2+2pirH=2pir(r+H)`    

`P_c \ \ ->`  pole powierzchni całkowitej

`P_p \ \ ->`  pole podstawy

`P_b \ \ ->`  pole powierzchni bocznej

`r \ \ ->`  długość promienia podstawy

`H \ \ ->`    długość wysokości walca

 

Objętość walca: 

`V=P_p*H`

`P_p=pir^2`

Zatem: 

`V=pir^2*H`   


`V \ \ ->`  objętość

`P_p \ \ ->`  pole podstawy 

`H \ \ ->`  długość wysokości walca

`r \ \ ->`    długość promienia podstawy

Stożek

Stożek jest kolejna bryłą obrotową, ponieważ powstał w wyniku obrotu trójkąta prostokątnego wokół prostej zawierającej jedną z jego przyprostokątnych. Wygląda jak ostrosłup o podstawie koła. Składa się z jednej podstawy oraz powierzchni bocznej. Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równoramiennym. Odcinek łączący wierzchołek ze środkiem podstawy jest wysokością. Każdy odcinek łączący wierzchołek z brzegiem podstawy to tworząca stożka, którą oznacza się literą „l”.

  Zobacz w programie GeoGebra

stozek

Objętość stożka:

`V=1/3P_p*H`  

`V=1/3pir^2*H`  

$V$ - objętość stożka

$r$ - długość promienia podstawy stożka

$H$ - długość wysokości stożka

 

Pole powierzchni całkowitej stożka:

`P_c=P_p+P_b`  

`P_c=pir^2+pirl=pir(r+l)`

$P_c$ - pole powierzchni całkowitej stożka

$r$ - długość promienia podstawy stożka

$l$ - długość tworzącej stożka

 

Kula

Kula jest bryłą obrotową, ponieważ powstaje w wyniku obrotu koła. Powierzchnia kuli nazywana jest sferą. Odcinek łączący środek kuli z dowolnym punktem na jej powierzchni to promień kuli. Przekrój osiowy kuli to koło wielkie kuli.

  Zobacz w programie GeoGebra

 

kula

Objętość kuli:

$V=4/3 πr^3$

$ V$ -> objętość kuli

$r$ -> promień kuli

 

Pole powierzchni kuli (sfery):

$P=4πr^2$

$P$ -> pole powierzchni kuli

$r$ -> promień kuli

 
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Ile wynosi objętość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy 2 cm i wysokości 12 cm?

$ V=P_p×H $

$ V=2×2×12=48 cm^3 $

Odp.: Objętość tego graniastosłupa wynosi 48 $ cm^3$.

Zadanie 2.

Jaką długość będzie miała przekątna ściany bocznej w graniastosłupie prawidłowym czworokątnym, jeżeli jego objętość wynosi 75 $m^3$, a wysokość 3 m?

d -> przekątna ściany bocznej

$ V=P_p×H $

$ P_p={75}/3 $

$ a^2=25 -> a=5 m $

Liczę przekątną z pitagorasa (trójkąt prostokątny to połowa ściany bocznej):

$ d^2=H^2+a^2 $

$ d^2=9+25 $

$ d=√34 m $

Odp.: Przekątna ściany bocznej ma długość $√34$ m.

Zadanie 3.

Ile wynosi powierzchnia boczna stożka, jeżeli pole podstawy wynosi 25π $cm^2$, a tworząca stożka 3 cm?

$ πr^2=25π $

$ r=5 cm $

$ P_b=πrl=π×5×3=15π cm^2 $

Odp.: Pole powierzchni bocznej tego stożka wynosi 15π $cm^2$.

Zadanie 4.

Promień kuli ma długość 4cm. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tej kuli.

$ V= 4/3 πr^3 $

$ V=4/3 π×64=85 1/3 π$ $cm^3 $

$ P_c=4πr^2 $

$ P_c=4π×16=64π cm^2 $

Odp.: Objętość tej kuli wynosi $85 1/3 π$ $cm^3$, a pole powierzchni całkowitej 64π $cm^2$.

Zadanie 5.

Oblicz pole przekroju stożka powstałego przez obrót trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych długości 3 cm i 4 cm wokół dłuższej przyprostokątnej.

$r=3$ cm -> $a=6$ cm

$H=4$ cm

$P={a×H}/2={6×4}/2=12$ $cm^2 $

Odp.: Pole przekroju osiowego tego stożka wynosi 12 $cm^2$.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Jacek kupił p kilogramów ...

Odpowiedź: B

 

 

p - ilość zakupionych jabłek (w kg)

a - cana za kilogram jabłek

q - ilość zakupionych cukierków(w dag)

b - cena za kilogram cukierków

 

Cena za zakupione jabłka:

 

Ponieważ, ilość zakupionych cukierków wyrażona jest w dekagramach należy zmienić jednostki na kilogramy.

Przypomnienie:

{premium}

Aby zamienić dekagramy na kilogramu musimy ilość w dekagramach pomnożyć przez 0,01.

 

Cena za zakupione cukierki:

 

Za całe zakupy Jacek zapłacił:

Połącz w pary ...

  

{premium}  

 

 

 

 

 


Przyporządkowanie to:

  • I. - E.

  • II. - G.

  • III. - A.

  • IV. - C.

  • V. - F.

  • VI. - D.

  • VII. - B.  
Mama Ani kupiła 2 kg jabłek i 1 kg ...

x-cena 1 kg jabłek
y-cena 1 kg pomarańczy

2x+y=9     (zakupy mamy Ani){premium}

2x+2y=12 /:2  (zakupy mamy Kasi)
x+y=6

2x+y=9
x+y=6

Odpowiedź D


Każdy z podanych punktów należy do wykresu jednej z poniższych funkcji...

Należy połączyć:

punkt B=(3,-5) z wzorem y=-2x+1 ponieważ:

-2∙3+1=-6+1=-5{premium}


punkt C=(3,2) z wzorem y=6/x ponieważ:

6/3=2


punkt D=(0,5) z wzorem y=1/2x+5 ponieważ:

1/2∙0+5=0+5=5


punkt E=(1,-8) z wzorem y=4(x-3) ponieważ:

4(1-3)=4-12=-8

Zgromadzono zapas...

Zapas wystarcza dla 15 osób na 20 dni.

To oznacza, że mamy    dziennych porcji dla 1 osoby.

  •  dla 1 osoby wystarczy na 300 dni
  • {premium}
  •  
Czy trójkąt, którego...

Proporcje boków muszą być takie same, sprawdźmy proporcje boków w pierwszym trójkącie:

{premium}

Teraz musimy sprawdzić czy w drugim trójkącie istnieją dwa boki których proporcje są takie same:

Znaleźliśmy boki o takich samych proporcjach. To oznacza, że trójkąty mogą być podobne, jeśli trzeci bok pierwszego trójkąta będzie odpowiedni.

Na rysunku obok przedstawiono fragment siatki...

 Rysunek pomocniczy:

Mamy:{premium}

 

 

Wyznaczmy obwód podstawy walca - będzie on minimalną długością kawałka tektury:

 

 

Zauważmy, że minimalna szerokość tektury to co najmniej  (ponieważ walec ma dwie podstawy w kształcie koła każda o średnicy  ) czyli:

 

Otrzymaliśmy, że minimalne wymiary kawałka tektury, z jakiego można wyciąć 

taką siatkę to Wymiary są mniejsze lub równe   co należało dowieść.

 

 Przyda nam się rysunek przekroju osiowego stożka:

  

Mamy:

 

 

We wzorze na pole powierzchni bocznej mamy długość tworzącej stożka, więc musimy ją wyznaczyć.

Skorzystamy w tym celu z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta  

 

 

 

 

 

Pole powierzchni siatki będzie takie samo jak pole powierzchni całkowitej stożka.

Obliczamy pole podstawy stożka:

 

 

Obliczamy pole powierzchni bocznej stożka:

 

 

Obliczamy pole powierzchni całkowitej stożka:

 

 

Odp. Pole powierzchni siatki tego stożka będzie równe                

  

     

Wskaż parę liczb spełniającą układ równań.


A:
x=1, y=-2
Podstawiamy podane wartości do każdego z równań i sprawdzamy, czy{premium} zachodzi równość.
 

Dla x=1 i y=-2 mamy:
 
 
 

Para (1,-2) nie spełnia pierwszego równania, więc nie spełnia układu równań.


B: x=-1, y=2
Podstawiamy podane wartości do każdego z równań i sprawdzamy, czy zachodzi równość.
 

Dla x=-1 i y=2 mamy:
 
 
 

Para (-1,2) nie spełnia pierwszego równania, więc nie spełnia układu równań.


C: x=-1, y=-2
Podstawiamy podane wartości do każdego z równań i sprawdzamy, czy zachodzi równość.
 

Dla x=-1 i y=-2 mamy:
 
 
 

 

Dla x=-1 i y=-2 mamy:
 
 
 

Para (-1,-2) spełnia oba równania, więc spełnia układ równań.

 

 

W pewnym roztworze wodnym o masie 400 kg stosunek masy substancji rozpuszczonej

{premium}

Dla którego argumentu wartość funkcji...

 

 {premium}

 

 

Zatem  

Prawidłowa odpowiedź to