Bryły - iii-gimnazjum - Baza Wiedzy

Graniastosłupy

Graniastosłup składa się z dwóch równoległych do siebie podstaw oraz ścian bocznych w kształcie równoległoboków.

  Zobacz w programie GeoGebra

 

graniastoslup

Graniastosłupy dzielimy na graniastosłupy proste, pochyłe oraz prawidłowe.

  1. Graniastosłup prosty to taki, w którym krawędzie boczne są prostopadłe do podstawy. Ściany boczne są prostokątami.

  2. Graniastosłup pochyły to taki, w którym krawędzie boczne nie są prostopadłe do podstawy. Ściany boczne są równoległobokami.

  3. Graniastosłup prawidłowy to taki, który ma w podstawie wielokąt foremny. Ściany boczne są przystającymi równoległobokami.

Objętość graniastosłupa:

$$V=P_p×H$$

$$V$$ -> objętość graniastosłupa

$$P_p$$ -> pole podstawy

$$H$$ -> wysokość graniastosłupa

 

Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa:

$$P_c=2P_p+P_b$$

$$P_c$$ -> pole powierzchni całkowitej graniastosłupa

$$P_p$$ -> pole podstawy

$$P_b$$ -> pole powierzchni bocznej (suma pól wszystkich ścian bocznych)

 

W graniastosłupach są trzy różne odcinki: przekątna podstawy, przekątna ściany bocznej oraz przekątna graniastosłupa.

 

Ostrosłupy

Ostrosłup składa się z jednej podstawy, ścian bocznych i wierzchołka ostrosłupa. Punkt na podstawie, na który pada wysokość nazywamy spodkiem wysokości.

  Zobacz w programie GeoGebra

 

ostroslup

Ostrosłup, który ma w podstawie wielokąt foremny nazywamy ostrosłupem prawidłowym.

Ostrosłup prawidłowy trójkątny nosi również nazwę czworościan foremny. Wszystkie jego ściany są w kształcie trójkątów równobocznych.

Objętość ostrosłupa:

$$V=1/3 P_p×H$$

$$V$$ -> objętość ostrosłupa

$$P_p$$ -> pole podstawy

$$H$$ -> wysokość ostrosłupa

 

Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa:

$$P_c=P_p+P_b$$

$$Pc$$ -> pole powierzchni całkowitej

$$P_p$$ -> pole podstawy

$$P_b$$ -> pole powierzchni bocznej (suma pól wszystkich ścian bocznych)

 

Walec

Walec jest nazywany bryłą obrotową, ponieważ otrzymujemy go w wyniku obrótu prostokąta.

Wygląda jak graniastosłup o podstawie koła.

Walec składa się z dwóch takich samych podstaw w kształcie kół oraz powierzchni bocznej, która po rozłożeniu jest prostokątem.

Przekrój osiowy walca to prostokąt, którego boki mają taką samą długość jak średnica podstawy i wysokość walca. 

Pole powierzchni całkowitej walca:

`P_c=2*P_p+P_b`

`P_p=pir^2`

`P_b=2pir*H`

Zatem: 

`P_c=2pir^2+2pirH=2pir(r+H)`    

`P_c \ \ ->`  pole powierzchni całkowitej

`P_p \ \ ->`  pole podstawy

`P_b \ \ ->`  pole powierzchni bocznej

`r \ \ ->`  długość promienia podstawy

`H \ \ ->`    długość wysokości walca

 

Objętość walca: 

`V=P_p*H`

`P_p=pir^2`

Zatem: 

`V=pir^2*H`   


`V \ \ ->`  objętość

`P_p \ \ ->`  pole podstawy 

`H \ \ ->`  długość wysokości walca

`r \ \ ->`    długość promienia podstawy

Stożek

Stożek jest kolejna bryłą obrotową, ponieważ powstał w wyniku obrotu trójkąta prostokątnego wokół prostej zawierającej jedną z jego przyprostokątnych. Wygląda jak ostrosłup o podstawie koła. Składa się z jednej podstawy oraz powierzchni bocznej. Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równoramiennym. Odcinek łączący wierzchołek ze środkiem podstawy jest wysokością. Każdy odcinek łączący wierzchołek z brzegiem podstawy to tworząca stożka, którą oznacza się literą „l”.

  Zobacz w programie GeoGebra

stozek

Objętość stożka:

`V=1/3P_p*H`  

`V=1/3pir^2*H`  

$$V$$ - objętość stożka

$$r$$ - długość promienia podstawy stożka

$$H$$ - długość wysokości stożka

 

Pole powierzchni całkowitej stożka:

`P_c=P_p+P_b`  

`P_c=pir^2+pirl=pir(r+l)`

$$P_c$$ - pole powierzchni całkowitej stożka

$$r$$ - długość promienia podstawy stożka

$$l$$ - długość tworzącej stożka

 

Kula

Kula jest bryłą obrotową, ponieważ powstaje w wyniku obrotu koła. Powierzchnia kuli nazywana jest sferą. Odcinek łączący środek kuli z dowolnym punktem na jej powierzchni to promień kuli. Przekrój osiowy kuli to koło wielkie kuli.

  Zobacz w programie GeoGebra

 

kula

Objętość kuli:

$$V=4/3 πr^3$$

$$ V$$ -> objętość kuli

$$r$$ -> promień kuli

 

Pole powierzchni kuli (sfery):

$$P=4πr^2$$

$$P$$ -> pole powierzchni kuli

$$r$$ -> promień kuli

 
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Ile wynosi objętość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy 2 cm i wysokości 12 cm?

$$ V=P_p×H $$

$$ V=2×2×12=48 cm^3 $$

Odp.: Objętość tego graniastosłupa wynosi 48 $$ cm^3$$.

Zadanie 2.

Jaką długość będzie miała przekątna ściany bocznej w graniastosłupie prawidłowym czworokątnym, jeżeli jego objętość wynosi 75 $$m^3$$, a wysokość 3 m?

d -> przekątna ściany bocznej

$$ V=P_p×H $$

$$ P_p={75}/3 $$

$$ a^2=25 -> a=5 m $$

Liczę przekątną z pitagorasa (trójkąt prostokątny to połowa ściany bocznej):

$$ d^2=H^2+a^2 $$

$$ d^2=9+25 $$

$$ d=√34 m $$

Odp.: Przekątna ściany bocznej ma długość $$√34$$ m.

Zadanie 3.

Ile wynosi powierzchnia boczna stożka, jeżeli pole podstawy wynosi 25π $$cm^2$$, a tworząca stożka 3 cm?

$$ πr^2=25π $$

$$ r=5 cm $$

$$ P_b=πrl=π×5×3=15π cm^2 $$

Odp.: Pole powierzchni bocznej tego stożka wynosi 15π $$cm^2$$.

Zadanie 4.

Promień kuli ma długość 4cm. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tej kuli.

$$ V= 4/3 πr^3 $$

$$ V=4/3 π×64=85 1/3 π$$ $$cm^3 $$

$$ P_c=4πr^2 $$

$$ P_c=4π×16=64π cm^2 $$

Odp.: Objętość tej kuli wynosi $$85 1/3 π$$ $$cm^3$$, a pole powierzchni całkowitej 64π $$cm^2$$.

Zadanie 5.

Oblicz pole przekroju stożka powstałego przez obrót trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych długości 3 cm i 4 cm wokół dłuższej przyprostokątnej.

$$r=3$$ cm -> $$a=6$$ cm

$$H=4$$ cm

$$P={a×H}/2={6×4}/2=12$$ $$cm^2 $$

Odp.: Pole przekroju osiowego tego stożka wynosi 12 $$cm^2$$.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Oblicz objętość...

 

a)  

 

b) Graniastosłup prawidłowy czworokątny ma w podstawie kwadrat.

Obliczmy pole podstawy.

 

 

 

c) Graniastosłup prawidłowy trójkątny ma w podstawie trójkąt równoboczny. 

Obliczmy pole podstawy.

  

Oceń prawdziwość każdego zdania.

I. - F (fałsz)

Kąt środkowy jednego z wycinków może mięc miarę 50o a drugiego z wycinków 80o
Miary kątów środkowych są różne, więc wyniki nie są podobne mimo równej długości promieni. 


II. - P (prawda)

Pierwszy kwadrat:
Obwód tego kwadratu wynosi 24 cm. 
Długość boku kwadratu o obwodzie 24 cm wynosi 24cm:4=6cm. 

Drugi kwadrat:
Pole kwadratu wynosi 36cm2. Bok tego kwadratu ma więc długość 6 cm.

Kwadraty te mają boki długości 6 cm, więc skala ich podobienstwa wynosi 1. 


III. - P (prawda)

Koło o polu 6,25πcm2 ma promień (r) długości:
 
 
  

Promień koła ma długość 2,5 cm. 

Długość średnicy tego koła wynosi:
 

Średnica koła ma długość 5 cm. 

Koło o średnicy 5 cm jest podobne do koła o średnicy 14 cm w skali:

 


IV. - P (prawda)

Romb o boku długości 5 cm i przekątnej długości 5 cm jest więc podobny do rombu o kącie ostrym równym 60o i boku 5 cm. 

Liczba 5-² jest większa od liczby 1/625

Odp.D

Przekątna sześciokąta foremnego

(na rysunku B nie zaznaczono przekątnej)

Jaką wysokość ma trójkąt równoboczny o boku 12 cm?

  - wzór na wysokość trójkąta równobocznego o boku długości a{premium}

  - wzór na pole trójkąta równobocznego o boku długości a


   

  

   

Pan Graczyk kupił 100 akcji firmy Eldorado...

Obliczamy, ile pan Graczyk zarobił przy pierwszej sprzedaży akcji:

 

Obliczamy, ile pan Graczyk zarobił przy drugiej sprzedaży akcji:{premium}

 

Obliczamy, ile w sumie zarobił pan Graczyk:

 

Odp. Po obu transakcjach pan Graczyk zyskał   

 

Najpopularniejsze kolory pojawiające się na flagach (...)

224 - flagi wszystkich państw

132 - flagi, na których pojawia się kolor biały i czerwony

18 - flagi, na których są tylko te dwa kolory

4 - flagi, na których jest tyle samo koloru białego, co czerwonego

 

a) Na 132 flagach z 224 pojawiają się kolory czerwony i biały. 

 

Flagi, na których są kolory biały i czerwony stanowią około 59% flag państwowych. 

{premium}

b) 18 flag z 224 to flagi, które są biało - czerwone. 

 

Flagi biało - czerwone stanowią około 8% wszystkich flag. 

 

c) Na 4 flagach z 18 (flagi biało - czerwone) jest tyle samo koloru białego co czerwonego.

Na około 22% flag biało - czerwonych jest tyle samo koloru białego co czerwonego. 

Oblicz, a następnie sprawdź, czy wynik znajduje się wśród liczb wypisanych z prawej strony...

 {premium}
 
 
 
 
 
 

W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź podstawy jest równa 8 cm

a)

 

|HD|=10cm

Odp. Długości krawędzi bocznych mają długość:  oraz 10cm.

b)

Odp. Pole powierzchni całkowitej wynosi 

c)

Odp. Objętość ostrosłupa jest 3 razy mniejsza od objętości graniastosłupa.

 

Wśród liczb...

  

Podany mamy wzór:  

Miejscem zerowym funkcji jest:   

 

  

Podany mamy wzór:  

Miejscami zerowymi funkcji są:  

 

  

Podany mamy wzór:  

Miejscami zerowymi funkcji są:  

 

  

Podany mamy wzór:  

Miejscem zerowym funkcji jest: