Bryły - iii-gimnazjum - Baza Wiedzy
Graniastosłupy
Graniastosłup składa się z dwóch równoległych do siebie podstaw oraz ścian bocznych w kształcie równoległoboków.
Zobacz w programie GeoGebra
Graniastosłupy dzielimy na graniastosłupy proste, pochyłe oraz prawidłowe.
-
Graniastosłup prosty to taki, w którym krawędzie boczne są prostopadłe do podstawy. Ściany boczne są prostokątami.
-
Graniastosłup pochyły to taki, w którym krawędzie boczne nie są prostopadłe do podstawy. Ściany boczne są równoległobokami.
-
Graniastosłup prawidłowy to taki, który ma w podstawie wielokąt foremny. Ściany boczne są przystającymi równoległobokami.
Objętość graniastosłupa:
$V=P_p×H$$V$ -> objętość graniastosłupa
$P_p$ -> pole podstawy
$H$ -> wysokość graniastosłupa
Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa:
$P_c=2P_p+P_b$$P_c$ -> pole powierzchni całkowitej graniastosłupa
$P_p$ -> pole podstawy
$P_b$ -> pole powierzchni bocznej (suma pól wszystkich ścian bocznych)
W graniastosłupach są trzy różne odcinki: przekątna podstawy, przekątna ściany bocznej oraz przekątna graniastosłupa.
Ostrosłupy
Ostrosłup składa się z jednej podstawy, ścian bocznych i wierzchołka ostrosłupa. Punkt na podstawie, na który pada wysokość nazywamy spodkiem wysokości.
Zobacz w programie GeoGebra
Ostrosłup, który ma w podstawie wielokąt foremny nazywamy ostrosłupem prawidłowym.
Ostrosłup prawidłowy trójkątny nosi również nazwę czworościan foremny. Wszystkie jego ściany są w kształcie trójkątów równobocznych.
Objętość ostrosłupa:
$V=1/3 P_p×H$$V$ -> objętość ostrosłupa
$P_p$ -> pole podstawy
$H$ -> wysokość ostrosłupa
Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa:
$P_c=P_p+P_b$$Pc$ -> pole powierzchni całkowitej
$P_p$ -> pole podstawy
$P_b$ -> pole powierzchni bocznej (suma pól wszystkich ścian bocznych)
Walec
Walec jest nazywany bryłą obrotową, ponieważ otrzymujemy go w wyniku obrótu prostokąta.
Wygląda jak graniastosłup o podstawie koła.
Walec składa się z dwóch takich samych podstaw w kształcie kół oraz powierzchni bocznej, która po rozłożeniu jest prostokątem.
Przekrój osiowy walca to prostokąt, którego boki mają taką samą długość jak średnica podstawy i wysokość walca. 
Pole powierzchni całkowitej walca:
`P_c=2*P_p+P_b`
`P_p=pir^2`
`P_b=2pir*H`
Zatem:
`P_c=2pir^2+2pirH=2pir(r+H)`
`P_c \ \ ->` pole powierzchni całkowitej
`P_p \ \ ->` pole podstawy
`P_b \ \ ->` pole powierzchni bocznej
`r \ \ ->` długość promienia podstawy
`H \ \ ->` długość wysokości walca
Objętość walca:
`V=P_p*H`
`P_p=pir^2`
Zatem:
`V=pir^2*H`
`V \ \ ->` objętość
`P_p \ \ ->` pole podstawy
`H \ \ ->` długość wysokości walca
`r \ \ ->` długość promienia podstawy
Stożek
Stożek jest kolejna bryłą obrotową, ponieważ powstał w wyniku obrotu trójkąta prostokątnego wokół prostej zawierającej jedną z jego przyprostokątnych. Wygląda jak ostrosłup o podstawie koła. Składa się z jednej podstawy oraz powierzchni bocznej. Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równoramiennym. Odcinek łączący wierzchołek ze środkiem podstawy jest wysokością. Każdy odcinek łączący wierzchołek z brzegiem podstawy to tworząca stożka, którą oznacza się literą „l”.
Zobacz w programie GeoGebra
Objętość stożka:
`V=1/3P_p*H`
`V=1/3pir^2*H`
$V$ - objętość stożka
$r$ - długość promienia podstawy stożka
$H$ - długość wysokości stożka
Pole powierzchni całkowitej stożka:
`P_c=P_p+P_b`
`P_c=pir^2+pirl=pir(r+l)`
$P_c$ - pole powierzchni całkowitej stożka
$r$ - długość promienia podstawy stożka
$l$ - długość tworzącej stożka
Kula
Kula jest bryłą obrotową, ponieważ powstaje w wyniku obrotu koła. Powierzchnia kuli nazywana jest sferą. Odcinek łączący środek kuli z dowolnym punktem na jej powierzchni to promień kuli. Przekrój osiowy kuli to koło wielkie kuli.
Zobacz w programie GeoGebra
Objętość kuli:
$V=4/3 πr^3$$ V$ -> objętość kuli
$r$ -> promień kuli
Pole powierzchni kuli (sfery):
$P=4πr^2$$P$ -> pole powierzchni kuli
$r$ -> promień kuli
Zadania powtórzeniowe
Zadanie 1.
Ile wynosi objętość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy 2 cm i wysokości 12 cm?
$ V=P_p×H $
$ V=2×2×12=48 cm^3 $
Odp.: Objętość tego graniastosłupa wynosi 48 $ cm^3$.
Zadanie 2.
Jaką długość będzie miała przekątna ściany bocznej w graniastosłupie prawidłowym czworokątnym, jeżeli jego objętość wynosi 75 $m^3$, a wysokość 3 m?
d -> przekątna ściany bocznej
$ V=P_p×H $
$ P_p={75}/3 $
$ a^2=25 -> a=5 m $
Liczę przekątną z pitagorasa (trójkąt prostokątny to połowa ściany bocznej):
$ d^2=H^2+a^2 $
$ d^2=9+25 $
$ d=√34 m $
Odp.: Przekątna ściany bocznej ma długość $√34$ m.
Zadanie 3.
Ile wynosi powierzchnia boczna stożka, jeżeli pole podstawy wynosi 25π $cm^2$, a tworząca stożka 3 cm?
$ πr^2=25π $
$ r=5 cm $
$ P_b=πrl=π×5×3=15π cm^2 $
Odp.: Pole powierzchni bocznej tego stożka wynosi 15π $cm^2$.
Zadanie 4.
Promień kuli ma długość 4cm. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tej kuli.
$ V= 4/3 πr^3 $
$ V=4/3 π×64=85 1/3 π$ $cm^3 $
$ P_c=4πr^2 $
$ P_c=4π×16=64π cm^2 $
Odp.: Objętość tej kuli wynosi $85 1/3 π$ $cm^3$, a pole powierzchni całkowitej 64π $cm^2$.
Zadanie 5.
Oblicz pole przekroju stożka powstałego przez obrót trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych długości 3 cm i 4 cm wokół dłuższej przyprostokątnej.
$r=3$ cm -> $a=6$ cm
$H=4$ cm
$P={a×H}/2={6×4}/2=12$ $cm^2 $
Odp.: Pole przekroju osiowego tego stożka wynosi 12 $cm^2$.
Spis treści
Z wykresu wynika, że:
a) W 1985 r. elektrownia emitowała około 110 tysięcy ton pyłów.{premium}
b) Emisja pyłów spadła do 40 tysięcy ton w 2005 roku.
c) Emisja pyłów rosła od 1985 roku do 1995 roku.
d) W okresie od 1995 r. do 2000 r. emisja pyłów spadła o 40 tysięcy ton.
e) W latach 2000-2005 emisja pyłów zmniejszyła się rocznie średnio o 12 tysięcy ton. (60:5=12)
{premium}
nierówność jest spełniona przez każdą liczbę
nierówność jest spełniona przez każdą liczbę
nierówność nie jest spełniona przez żadną liczbę
nierówność nie jest spełniona przez żadną liczbę
{premium}
- tyle razy większe jest pole trójkąta ABC od pola trójkąta A'B'C'
a)
b) {premium}
c)
d)
e)
f)
Obliczmy, jaka powinna być minimalna i maksymalna łączna powierzchnia tych dwóch okien:
{premium}
Łączna powierzchnia dwóch okien ma wynosić więcej niż 1,6 m², ale mniej niż 2 m².
Okna mają być jednakowe, więc powierzchnia jednego okna musi być większa niż 0,8 m² (1,6:2=0,8), ale mniejsza niż 1 m²(2:2=1)
Obliczmy powierzchnię kolejnych okien:
Pola czwartego okna nie obliczamy - ma ono taką samą wysokość, jak okno 3 i większą wysokość, niż okno 3, więc jego pole będzie większe niż pole okna 3 (a okno 3 było za duże, miało powierzchnię większą niż 1 m²).
Okno o powierzchni większej niż 0,8 m², ale mniejszej niż 1 m², to okno O2.
Posłużymy się grafami. Rysujemy dwa grafy obok siebie, w jednym wpisujemy liczbę a w drugim procent całości, który stanowi. Mnożymy i dzielimy oba grafy zawsze przez taką samą liczbę.
a)
W pełnym opakowaniu było 40 ciasteczek.
b)
Tata wyszedł mając 150 zł.
c)
Autokar ma do przejechania 320 km.
{premium}
Odp. B
Obliczamy wysokość ostrosłupa korzystając z twierdzenia Pitagorasa:
{premium}
Teraz chcemy obliczyć pole boczne - dwa trójkąty równoramienne o podstawie 12 cm i wysokości 8 cm oraz dwa trójkąty równoramienne o podstawie 8 cm i nieznanej wysokości.
Obliczmy tą wysokość korzystając z twierdzenia Pitagorasa:
Obliczamy pole boczne:
`(96+16sqrt21)\ cm^2`
- Pole powierzchni całkowitej walca powstałego w wyniku obrotu prostokąta wokół dłuższego boku:
{premium}
- Pole powierzchni całkowitej walca powstałego w wyniku obrotu prostokąta wokół krótszego boku:
{premium}
2, ponieważ może wypaść orzeł lub reszka.
6, ponieważ kostka ma sześć oczek.
52, ponieważ w talii są 52 karty.
