Bryły - iii-gimnazjum - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Bryły - iii-gimnazjum - Baza Wiedzy

Graniastosłupy

Graniastosłup składa się z dwóch równoległych do siebie podstaw oraz ścian bocznych w kształcie równoległoboków.

  Zobacz w programie GeoGebra

 

graniastoslup

Graniastosłupy dzielimy na graniastosłupy proste, pochyłe oraz prawidłowe.

  1. Graniastosłup prosty to taki, w którym krawędzie boczne są prostopadłe do podstawy. Ściany boczne są prostokątami.

  2. Graniastosłup pochyły to taki, w którym krawędzie boczne nie są prostopadłe do podstawy. Ściany boczne są równoległobokami.

  3. Graniastosłup prawidłowy to taki, który ma w podstawie wielokąt foremny. Ściany boczne są przystającymi równoległobokami.

Objętość graniastosłupa:

$V=P_p×H$

$V$ -> objętość graniastosłupa

$P_p$ -> pole podstawy

$H$ -> wysokość graniastosłupa

 

Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa:

$P_c=2P_p+P_b$

$P_c$ -> pole powierzchni całkowitej graniastosłupa

$P_p$ -> pole podstawy

$P_b$ -> pole powierzchni bocznej (suma pól wszystkich ścian bocznych)

 

W graniastosłupach są trzy różne odcinki: przekątna podstawy, przekątna ściany bocznej oraz przekątna graniastosłupa.

 

Ostrosłupy

Ostrosłup składa się z jednej podstawy, ścian bocznych i wierzchołka ostrosłupa. Punkt na podstawie, na który pada wysokość nazywamy spodkiem wysokości.

  Zobacz w programie GeoGebra

 

ostroslup

Ostrosłup, który ma w podstawie wielokąt foremny nazywamy ostrosłupem prawidłowym.

Ostrosłup prawidłowy trójkątny nosi również nazwę czworościan foremny. Wszystkie jego ściany są w kształcie trójkątów równobocznych.

Objętość ostrosłupa:

$V=1/3 P_p×H$

$V$ -> objętość ostrosłupa

$P_p$ -> pole podstawy

$H$ -> wysokość ostrosłupa

 

Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa:

$P_c=P_p+P_b$

$Pc$ -> pole powierzchni całkowitej

$P_p$ -> pole podstawy

$P_b$ -> pole powierzchni bocznej (suma pól wszystkich ścian bocznych)

 

Walec

Walec jest nazywany bryłą obrotową, ponieważ otrzymujemy go w wyniku obrótu prostokąta.

Wygląda jak graniastosłup o podstawie koła.

Walec składa się z dwóch takich samych podstaw w kształcie kół oraz powierzchni bocznej, która po rozłożeniu jest prostokątem.

Przekrój osiowy walca to prostokąt, którego boki mają taką samą długość jak średnica podstawy i wysokość walca. 

Pole powierzchni całkowitej walca:

`P_c=2*P_p+P_b`

`P_p=pir^2`

`P_b=2pir*H`

Zatem: 

`P_c=2pir^2+2pirH=2pir(r+H)`    

`P_c \ \ ->`  pole powierzchni całkowitej

`P_p \ \ ->`  pole podstawy

`P_b \ \ ->`  pole powierzchni bocznej

`r \ \ ->`  długość promienia podstawy

`H \ \ ->`    długość wysokości walca

 

Objętość walca: 

`V=P_p*H`

`P_p=pir^2`

Zatem: 

`V=pir^2*H`   


`V \ \ ->`  objętość

`P_p \ \ ->`  pole podstawy 

`H \ \ ->`  długość wysokości walca

`r \ \ ->`    długość promienia podstawy

Stożek

Stożek jest kolejna bryłą obrotową, ponieważ powstał w wyniku obrotu trójkąta prostokątnego wokół prostej zawierającej jedną z jego przyprostokątnych. Wygląda jak ostrosłup o podstawie koła. Składa się z jednej podstawy oraz powierzchni bocznej. Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równoramiennym. Odcinek łączący wierzchołek ze środkiem podstawy jest wysokością. Każdy odcinek łączący wierzchołek z brzegiem podstawy to tworząca stożka, którą oznacza się literą „l”.

  Zobacz w programie GeoGebra

stozek

Objętość stożka:

`V=1/3P_p*H`  

`V=1/3pir^2*H`  

$V$ - objętość stożka

$r$ - długość promienia podstawy stożka

$H$ - długość wysokości stożka

 

Pole powierzchni całkowitej stożka:

`P_c=P_p+P_b`  

`P_c=pir^2+pirl=pir(r+l)`

$P_c$ - pole powierzchni całkowitej stożka

$r$ - długość promienia podstawy stożka

$l$ - długość tworzącej stożka

 

Kula

Kula jest bryłą obrotową, ponieważ powstaje w wyniku obrotu koła. Powierzchnia kuli nazywana jest sferą. Odcinek łączący środek kuli z dowolnym punktem na jej powierzchni to promień kuli. Przekrój osiowy kuli to koło wielkie kuli.

  Zobacz w programie GeoGebra

 

kula

Objętość kuli:

$V=4/3 πr^3$

$ V$ -> objętość kuli

$r$ -> promień kuli

 

Pole powierzchni kuli (sfery):

$P=4πr^2$

$P$ -> pole powierzchni kuli

$r$ -> promień kuli

 
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Ile wynosi objętość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy 2 cm i wysokości 12 cm?

$ V=P_p×H $

$ V=2×2×12=48 cm^3 $

Odp.: Objętość tego graniastosłupa wynosi 48 $ cm^3$.

Zadanie 2.

Jaką długość będzie miała przekątna ściany bocznej w graniastosłupie prawidłowym czworokątnym, jeżeli jego objętość wynosi 75 $m^3$, a wysokość 3 m?

d -> przekątna ściany bocznej

$ V=P_p×H $

$ P_p={75}/3 $

$ a^2=25 -> a=5 m $

Liczę przekątną z pitagorasa (trójkąt prostokątny to połowa ściany bocznej):

$ d^2=H^2+a^2 $

$ d^2=9+25 $

$ d=√34 m $

Odp.: Przekątna ściany bocznej ma długość $√34$ m.

Zadanie 3.

Ile wynosi powierzchnia boczna stożka, jeżeli pole podstawy wynosi 25π $cm^2$, a tworząca stożka 3 cm?

$ πr^2=25π $

$ r=5 cm $

$ P_b=πrl=π×5×3=15π cm^2 $

Odp.: Pole powierzchni bocznej tego stożka wynosi 15π $cm^2$.

Zadanie 4.

Promień kuli ma długość 4cm. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tej kuli.

$ V= 4/3 πr^3 $

$ V=4/3 π×64=85 1/3 π$ $cm^3 $

$ P_c=4πr^2 $

$ P_c=4π×16=64π cm^2 $

Odp.: Objętość tej kuli wynosi $85 1/3 π$ $cm^3$, a pole powierzchni całkowitej 64π $cm^2$.

Zadanie 5.

Oblicz pole przekroju stożka powstałego przez obrót trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych długości 3 cm i 4 cm wokół dłuższej przyprostokątnej.

$r=3$ cm -> $a=6$ cm

$H=4$ cm

$P={a×H}/2={6×4}/2=12$ $cm^2 $

Odp.: Pole przekroju osiowego tego stożka wynosi 12 $cm^2$.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Na wykresie przedstawiono, jak zmieniała się ilość pyłów emitowana rocznie...

Z wykresu wynika, że:


a) W 1985 r. elektrownia emitowała około 110 tysięcy ton pyłów.{premium}

b) Emisja pyłów spadła do 40 tysięcy ton w 2005 roku.

c) Emisja pyłów rosła od 1985 roku do 1995 roku.

d) W okresie od 1995 r. do 2000 r. emisja pyłów spadła o 40 tysięcy ton.

e) W latach 2000-2005 emisja pyłów zmniejszyła się rocznie średnio o 12 tysięcy ton. (60:5=12)

Określ, czy daną nierówność spełnia każda liczba, czy nie spełnia jej żadna liczba

{premium}

nierówność jest spełniona przez każdą liczbę 

 

nierówność jest spełniona przez każdą liczbę 

 

nierówność nie jest spełniona przez żadną liczbę  

 

nierówność nie jest spełniona przez żadną liczbę 

Podstawa trójkąta ABC ma długość 12 cm

{premium}

 

  - tyle razy większe jest pole trójkąta ABC od pola trójkąta A'B'C'

Zapisz sumę w postaci iloczynu

a) 

b)  {premium}

c) 

d) 

e) 

f) 

W pokoju na poddaszu

Obliczmy, jaka powinna być minimalna i maksymalna łączna powierzchnia tych dwóch okien: 

{premium}

 

Łączna powierzchnia dwóch okien ma wynosić więcej niż 1,6 m², ale mniej niż 2 m². 

Okna mają być jednakowe, więc powierzchnia jednego okna musi być większa niż 0,8 m² (1,6:2=0,8), ale mniejsza niż 1 m²(2:2=1)

Obliczmy powierzchnię kolejnych okien: 

Pola czwartego okna nie obliczamy - ma ono taką samą wysokość, jak okno 3 i większą wysokość, niż okno 3, więc jego pole będzie większe niż pole okna 3 (a okno 3 było za duże, miało powierzchnię większą niż 1 m²).

 

Okno o powierzchni większej niż 0,8 m², ale mniejszej niż 1 m², to okno O2.  

Oblicz...

Posłużymy się grafami. Rysujemy dwa grafy obok siebie, w jednym wpisujemy liczbę a w drugim procent całości, który stanowi. Mnożymy i dzielimy oba grafy zawsze przez taką samą liczbę.

a)

{premium}

W pełnym opakowaniu było 40 ciasteczek.

 

b)

Tata wyszedł mając 150 zł.

 

c)

Autokar ma do przejechania 320 km.

Podstawą ostrosłupa (rysunek obok) ...

{premium}  

 

 

Odp. B

Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość ostrosłupa

Obliczamy wysokość ostrosłupa korzystając z twierdzenia Pitagorasa: 

 

 

 

{premium}  

 

 

 

Teraz chcemy obliczyć pole boczne - dwa trójkąty równoramienne o podstawie 12 cm i wysokości 8 cm oraz dwa trójkąty równoramienne o podstawie 8 cm i nieznanej wysokości. 

Obliczmy tą wysokość korzystając z twierdzenia Pitagorasa: 

 

 

 

 

 

Obliczamy pole boczne: 

 `(96+16sqrt21)\ cm^2` 

 

 

 

  

Oblicz i porównaj pola powierzchni...
  • Pole powierzchni całkowitej walca powstałego w wyniku obrotu prostokąta wokół dłuższego boku:

       

     

  • {premium}
  • Pole powierzchni całkowitej walca powstałego w wyniku obrotu prostokąta wokół krótszego boku:



Ile jest możliwych...

{premium}  

2, ponieważ może wypaść orzeł lub reszka.

 

 

6, ponieważ kostka ma sześć oczek.

 

 

52, ponieważ w talii są 52 karty.