Bryły - iii-gimnazjum - Baza Wiedzy

Graniastosłupy

Graniastosłup składa się z dwóch równoległych do siebie podstaw oraz ścian bocznych w kształcie równoległoboków.

Zobacz w programie GeoGebra

Graniastosłupy dzielimy na graniastosłupy proste, pochyłe oraz prawidłowe.

Graniastosłup prosty to taki, w którym krawędzie boczne są prostopadłe do podstawy. Ściany boczne są prostokątami.
Graniastosłup pochyły to taki, w którym krawędzie boczne nie są prostopadłe do podstawy. Ściany boczne są równoległobokami.
Graniastosłup prawidłowy to taki, który ma w podstawie wielokąt foremny. Ściany boczne są przystającymi równoległobokami.

Objętość graniastosłupa:

$V=P_p×H$

$V$ -> objętość graniastosłupa

$P_p$ -> pole podstawy

$H$ -> wysokość graniastosłupa

Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa:

$P_c=2P_p+P_b$

$P_c$ -> pole powierzchni całkowitej graniastosłupa

$P_p$ -> pole podstawy

$P_b$ -> pole powierzchni bocznej (suma pól wszystkich ścian bocznych)

W graniastosłupach są trzy różne odcinki: przekątna podstawy, przekątna ściany bocznej oraz przekątna graniastosłupa.

Ostrosłupy

Ostrosłup składa się z jednej podstawy, ścian bocznych i wierzchołka ostrosłupa. Punkt na podstawie, na który pada wysokość nazywamy spodkiem wysokości.

Zobacz w programie GeoGebra

Ostrosłup, który ma w podstawie wielokąt foremny nazywamy ostrosłupem prawidłowym.

Ostrosłup prawidłowy trójkątny nosi również nazwę czworościan foremny. Wszystkie jego ściany są w kształcie trójkątów równobocznych.

Objętość ostrosłupa:

$V=1/3 P_p×H$

$V$ -> objętość ostrosłupa

$P_p$ -> pole podstawy

$H$ -> wysokość ostrosłupa

Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa:

$P_c=P_p+P_b$

$Pc$ -> pole powierzchni całkowitej

$P_p$ -> pole podstawy

$P_b$ -> pole powierzchni bocznej (suma pól wszystkich ścian bocznych)

Walec

Walec jest nazywany bryłą obrotową, ponieważ otrzymujemy go w wyniku obrótu prostokąta.

Wygląda jak graniastosłup o podstawie koła.

Walec składa się z dwóch takich samych podstaw w kształcie kół oraz powierzchni bocznej, która po rozłożeniu jest prostokątem.

Przekrój osiowy walca to prostokąt, którego boki mają taką samą długość jak średnica podstawy i wysokość walca.

Pole powierzchni całkowitej walca:

`P_c=2*P_p+P_b`

`P_p=pir^2`

`P_b=2pir*H`

Zatem:

`P_c=2pir^2+2pirH=2pir(r+H)`

`P_c \ \ ->` pole powierzchni całkowitej

`P_p \ \ ->` pole podstawy

`P_b \ \ ->` pole powierzchni bocznej

`r \ \ ->` długość promienia podstawy

`H \ \ ->` długość wysokości walca

Objętość walca:

`V=P_p*H`

`P_p=pir^2`

Zatem:

`V=pir^2*H`

`V \ \ ->` objętość

`P_p \ \ ->` pole podstawy

`H \ \ ->` długość wysokości walca

`r \ \ ->` długość promienia podstawy

Stożek

Stożek jest kolejna bryłą obrotową, ponieważ powstał w wyniku obrotu trójkąta prostokątnego wokół prostej zawierającej jedną z jego przyprostokątnych. Wygląda jak ostrosłup o podstawie koła. Składa się z jednej podstawy oraz powierzchni bocznej. Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równoramiennym. Odcinek łączący wierzchołek ze środkiem podstawy jest wysokością. Każdy odcinek łączący wierzchołek z brzegiem podstawy to tworząca stożka, którą oznacza się literą „l”.

Zobacz w programie GeoGebra

stozek

Objętość stożka:

`V=1/3P_p*H`

`V=1/3pir^2*H`

$V$ - objętość stożka

$r$ - długość promienia podstawy stożka

$H$ - długość wysokości stożka

Pole powierzchni całkowitej stożka:

`P_c=P_p+P_b`

`P_c=pir^2+pirl=pir(r+l)`

$P_c$ - pole powierzchni całkowitej stożka

$r$ - długość promienia podstawy stożka

$l$ - długość tworzącej stożka

Kula

Kula jest bryłą obrotową, ponieważ powstaje w wyniku obrotu koła. Powierzchnia kuli nazywana jest sferą. Odcinek łączący środek kuli z dowolnym punktem na jej powierzchni to promień kuli. Przekrój osiowy kuli to koło wielkie kuli.

Zobacz w programie GeoGebra

Objętość kuli:

$V=4/3 πr^3$

$ V$ -> objętość kuli

$r$ -> promień kuli

Pole powierzchni kuli (sfery):

$P=4πr^2$

$P$ -> pole powierzchni kuli

$r$ -> promień kuli

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Ile wynosi objętość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy 2 cm i wysokości 12 cm?

Zobacz rozwiązanie

$ V=P_p×H $

$ V=2×2×12=48 cm^3 $

Odp.: Objętość tego graniastosłupa wynosi 48 $ cm^3$.

Zadanie 2.

Jaką długość będzie miała przekątna ściany bocznej w graniastosłupie prawidłowym czworokątnym, jeżeli jego objętość wynosi 75 $m^3$, a wysokość 3 m?

Zobacz rozwiązanie

d -> przekątna ściany bocznej

$ V=P_p×H $

$ P_p={75}/3 $

$ a^2=25 -> a=5 m $

Liczę przekątną z pitagorasa (trójkąt prostokątny to połowa ściany bocznej):

$ d^2=H^2+a^2 $

$ d^2=9+25 $

$ d=√34 m $

Odp.: Przekątna ściany bocznej ma długość $√34$ m.

Zadanie 3.

Ile wynosi powierzchnia boczna stożka, jeżeli pole podstawy wynosi 25π $cm^2$, a tworząca stożka 3 cm?

Zobacz rozwiązanie

$ πr^2=25π $

$ r=5 cm $

$ P_b=πrl=π×5×3=15π cm^2 $

Odp.: Pole powierzchni bocznej tego stożka wynosi 15π $cm^2$.

Zadanie 4.

Promień kuli ma długość 4cm. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tej kuli.

Zobacz rozwiązanie

$ V= 4/3 πr^3 $

$ V=4/3 π×64=85 1/3 π$ $cm^3 $

$ P_c=4πr^2 $

$ P_c=4π×16=64π cm^2 $

Odp.: Objętość tej kuli wynosi $85 1/3 π$ $cm^3$, a pole powierzchni całkowitej 64π $cm^2$.

Zadanie 5.

Oblicz pole przekroju stożka powstałego przez obrót trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych długości 3 cm i 4 cm wokół dłuższej przyprostokątnej.

Zobacz rozwiązanie

$r=3$ cm -> $a=6$ cm

$H=4$ cm

$P={a×H}/2={6×4}/2=12$ $cm^2 $

Odp.: Pole przekroju osiowego tego stożka wynosi 12 $cm^2$.

Spis treści

Rozwiązane zadania

Z dwóch trapezów prostokątnych podobnych...

Rysunek pomocniczy:

Wyznaczamy długość odcinka {premium}

Wyznaczamy długość odcinka

Zauważmy, że:

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta wyznaczamy długość odcinka

Wyznaczamy długość odcinka

Wyznaczamy obwód pięciokąta:

Odp. Obwód tego pięciokąta wynosi

Suma dwóch liczb jest równa -2 1\3, a ich różnica 11 2\3 Co to za liczby

{premium}

Odp.C.

Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość...

Rysunek pomocniczy:

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta wyznaczamy długość wysokości stożka:{premium}

Obliczamy pole podstawy stożka:

Obliczamy pole powierzchni bocznej stożka:

Obliczamy pole powierzchni całkowitej stożka:

Obliczamy objętość stożka:

Odp. Pole powierzchni całkowitej stożka wynosi a objętość jest równa

Rysunek pomocniczy:

Tworząca stożka tworzy z promieniem podstawy kąt wobec tego trójkąt jest połówką trójkąta

równobocznego o boku długości Dorysowujemy brakującą część. Otrzymujemy następujące zależności:

Podstawiamy do powyższych równości znaną wartość

Obliczamy pole podstawy stożka:

Obliczamy pole powierzchni bocznej stożka:

Obliczamy pole powierzchni całkowitej stożka:

Obliczamy objętość stożka:

Odp. Pole powierzchni całkowitej stożka wynosi a objętość jest równa

Rysunek pomocniczy:

Tworząca stożka tworzy z promieniem podstawy kąt wobec tego trójkąt jest połówką kwadratu

o przekątnej o długości Mamy zatem:

Obliczamy pole podstawy stożka:

Obliczamy pole powierzchni bocznej stożka:

Obliczamy pole powierzchni całkowitej stożka:

Obliczamy objętość stożka:

Odp. Pole powierzchni całkowitej stożka wynosi a objętość jest równa

W zawodach strzeleckich zawodnik może uzyskać...

W każdej rundzie zawodnik może uzyskać: 1, 2, 3, 4, 5

Wiemy, że w pierwszych sześciu rundach zawodnik uzyskał następujące wyniki: 6, 5, 4, 3, 6, 5

Obliczmy jaką największą średnią mógł uzyskać ten zawodnik po siódmej rundzie:

wówczas w siódmej rundzie musiałby zdobyć 6 punktów:

{premium}

Obliczmy jaką najmniejszą średnią mógł uzyskać ten zawodnik po siódmej rundzie:

wówczas w siódmej rundzie musiałby zdobyć 1 punktów:

Rzucamy czworościenną kostką, której ...

Zdarzenie A: Otrzymano liczbę pierwszą.

{premium}

Zdarzenia elementarne sprzyjające temu zdarzeniu to: 2, 3 (cyfra 1 nie jest ani pierwsza ani złożona).
Liczba zdarzeń sprzyjających zdarzeniu A wynosi 2.

Wszystkich możliwych zdarzeń jest 4.

Prawdopodobieństwo zdarzenia A wynosi więc:

Poprawna odpowiedź to: B. ¹/₂.

Oblicz długość łuku okręgu o promieniu 20 cm, na którym opiera się kąt środkowy o mierze równej:

{premium}

Oto piramida ludności...

Najwięcej kobiet i mężczyn było w grupie wiekowej 20-24.
Liczba mężczyzn i kobiet była prawie taka sama w następujących grupach wiekowych: 0-4, 5-9, 10-14, 15-19, 20-24, 25-29, 30-34.
W grupie wiekowej 70-74.
37+26=63 tysiące kobiet
17+21+25+30=93 tysiące chłopców

31 grudnia 2009 r. pewne miasto miało 185 000 mieszkańców

Przyrost o 1,8 promila - mnożymy przez 1,0018 stanu poprzedniego

{premium}

Miasto 31 grudnia 2010r. liczyło 185333 mieszkańców.

Zbiorem wartości funkcji f są liczby spełniające warunek

Prawidłowa odpowiedź to

Jaka jest wartość x, jeżeli 6^x=(1/6)^-2?

{premium}