Bryły - iii-gimnazjum - Baza Wiedzy

Graniastosłupy

Graniastosłup składa się z dwóch równoległych do siebie podstaw oraz ścian bocznych w kształcie równoległoboków.

  Zobacz w programie GeoGebra

 

graniastoslup

Graniastosłupy dzielimy na graniastosłupy proste, pochyłe oraz prawidłowe.

  1. Graniastosłup prosty to taki, w którym krawędzie boczne są prostopadłe do podstawy. Ściany boczne są prostokątami.

  2. Graniastosłup pochyły to taki, w którym krawędzie boczne nie są prostopadłe do podstawy. Ściany boczne są równoległobokami.

  3. Graniastosłup prawidłowy to taki, który ma w podstawie wielokąt foremny. Ściany boczne są przystającymi równoległobokami.

Objętość graniastosłupa:

$$V=P_p×H$$

$$V$$ -> objętość graniastosłupa

$$P_p$$ -> pole podstawy

$$H$$ -> wysokość graniastosłupa

 

Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa:

$$P_c=2P_p+P_b$$

$$P_c$$ -> pole powierzchni całkowitej graniastosłupa

$$P_p$$ -> pole podstawy

$$P_b$$ -> pole powierzchni bocznej (suma pól wszystkich ścian bocznych)

 

W graniastosłupach są trzy różne odcinki: przekątna podstawy, przekątna ściany bocznej oraz przekątna graniastosłupa.

 

Ostrosłupy

Ostrosłup składa się z jednej podstawy, ścian bocznych i wierzchołka ostrosłupa. Punkt na podstawie, na który pada wysokość nazywamy spodkiem wysokości.

  Zobacz w programie GeoGebra

 

ostroslup

Ostrosłup, który ma w podstawie wielokąt foremny nazywamy ostrosłupem prawidłowym.

Ostrosłup prawidłowy trójkątny nosi również nazwę czworościan foremny. Wszystkie jego ściany są w kształcie trójkątów równobocznych.

Objętość ostrosłupa:

$$V=1/3 P_p×H$$

$$V$$ -> objętość ostrosłupa

$$P_p$$ -> pole podstawy

$$H$$ -> wysokość ostrosłupa

 

Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa:

$$P_c=P_p+P_b$$

$$Pc$$ -> pole powierzchni całkowitej

$$P_p$$ -> pole podstawy

$$P_b$$ -> pole powierzchni bocznej (suma pól wszystkich ścian bocznych)

 

Walec

Walec jest nazywany bryłą obrotową, ponieważ otrzymuje się poprzez obrót prostokąta. Wygląda jak graniastosłup o podstawie koła. Walec składa się z dwóch takich samych podstaw w kształcie kół oraz powierzchni bocznej. Przekrój osiowy walca to prostokąt, którego boki to średnica podstawy i wysokość.

  Zobacz w programie GeoGebra

 

walec

Objętość walca:

$$V=P_p×H$$
$$V=πr^2×H$$

$$V$$ -> objętość walca

$$r$$ -> promień podstawy

$$H$$ -> wysokość

 

Pole powierzchni całkowitej walca:

$$P_c=2P_p+P_b$$
$$P_c=2πr^2+2πr×H$$

$$P_c$$ -> pole powierzchni całkowitej walca

$$r$$ -> promień podstawy

$$H$$ -> wysokość

 

Stożek

Stożek jest kolejna bryłą obrotową, ponieważ powstał w wyniku obrotu trójkąta prostokątnego wokół prostej zawierającej jedną z jego przyprostokątnych. Wygląda jak ostrosłup o podstawie koła. Składa się z jednej podstawy oraz powierzchni bocznej. Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równoramiennym. Odcinek łączący wierzchołek ze środkiem podstawy jest wysokością. Każdy odcinek łączący wierzchołek z brzegiem podstawy to tworząca stożka, którą oznacza się literą „l”.

  Zobacz w programie GeoGebra

stozek

Objętość stożka:

`V=1/3P_p*H`  

`V=1/3pir^2*H`  

$$V$$ - objętość stożka

$$r$$ - długość promienia podstawy stożka

$$H$$ - długość wysokości stożka

 

Pole powierzchni całkowitej stożka:

`P_c=P_p+P_b`  

`P_c=pir^2+pirl=pir(r+l)`

$$P_c$$ - pole powierzchni całkowitej stożka

$$r$$ - długość promienia podstawy stożka

$$l$$ - długość tworzącej stożka

 

Kula

Kula jest bryłą obrotową, ponieważ powstaje w wyniku obrotu koła. Powierzchnia kuli nazywana jest sferą. Odcinek łączący środek kuli z dowolnym punktem na jej powierzchni to promień kuli. Przekrój osiowy kuli to koło wielkie kuli.

  Zobacz w programie GeoGebra

 

kula

Objętość kuli:

$$V=4/3 πr^3$$

$$ V$$ -> objętość kuli

$$r$$ -> promień kuli

 

Pole powierzchni kuli (sfery):

$$P=4πr^2$$

$$P$$ -> pole powierzchni kuli

$$r$$ -> promień kuli

 
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Ile wynosi objętość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy 2 cm i wysokości 12 cm?

$$ V=P_p×H $$

$$ V=2×2×12=48 cm^3 $$

Odp.: Objętość tego graniastosłupa wynosi 48 $$ cm^3$$.

Zadanie 2.

Jaką długość będzie miała przekątna ściany bocznej w graniastosłupie prawidłowym czworokątnym, jeżeli jego objętość wynosi 75 $$m^3$$, a wysokość 3 m?

d -> przekątna ściany bocznej

$$ V=P_p×H $$

$$ P_p={75}/3 $$

$$ a^2=25 -> a=5 m $$

Liczę przekątną z pitagorasa (trójkąt prostokątny to połowa ściany bocznej):

$$ d^2=H^2+a^2 $$

$$ d^2=9+25 $$

$$ d=√34 m $$

Odp.: Przekątna ściany bocznej ma długość $$√34$$ m.

Zadanie 3.

Ile wynosi powierzchnia boczna stożka, jeżeli pole podstawy wynosi 25π $$cm^2$$, a tworząca stożka 3 cm?

$$ πr^2=25π $$

$$ r=5 cm $$

$$ P_b=πrl=π×5×3=15π cm^2 $$

Odp.: Pole powierzchni bocznej tego stożka wynosi 15π $$cm^2$$.

Zadanie 4.

Promień kuli ma długość 4cm. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tej kuli.

$$ V= 4/3 πr^3 $$

$$ V=4/3 π×64=85 1/3 π$$ $$cm^3 $$

$$ P_c=4πr^2 $$

$$ P_c=4π×16=64π cm^2 $$

Odp.: Objętość tej kuli wynosi $$85 1/3 π$$ $$cm^3$$, a pole powierzchni całkowitej 64π $$cm^2$$.

Zadanie 5.

Oblicz pole przekroju stożka powstałego przez obrót trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych długości 3 cm i 4 cm wokół dłuższej przyprostokątnej.

$$r=3$$ cm -> $$a=6$$ cm

$$H=4$$ cm

$$P={a×H}/2={6×4}/2=12$$ $$cm^2 $$

Odp.: Pole przekroju osiowego tego stożka wynosi 12 $$cm^2$$.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Zmieszano 200 g roztworu cukru o stężeniu 20% i 400 g

`20%*200=0,2*200 = 40`

`40%*400 = 0,4*400 = 160`

`(40+160)/(200+400)*100%=200/600*100%=33 1/3 %`

Odp. Otrzymana mieszanka ma stężenie `33 1/3%` .

Oblicz.

Wskazówka:

`1%=1/100`

 

a)

`84/(strike100^2) * strike150^3 = (strike84^42 *3)/(strike2^1) = 42*3 = 126[ml]`

 

b)

`15/100 * 12,4 = 15 * 0,124 = 1,86[m]`

 

c)

`(7,5)/100 * 36 = 270/100 = 2,7[ha]`

 

d)

`145/(strike100^5) *strike60^3 = 145/5 * 3 = 29 * 3 = 87[kg]`  

Oblicz obwody czworokątów.

a) Z twierdzenia Pitagorasa obliczy długość boku rombu (a):

 a2=82+32
a2=64+9
a2=73
a=√73 [cm]

zatem obwód rombu wynosi:

Obw= 4∙√73=4√73


b) Z twierdzenia Pitagorasa obliczy długość boków prostokąta:

 x+(3x)2=202
x2+9x2=400
10x2=400
x2=40 
x=√40=2√10

zatem 3x=3∙2√10=6√10 [cm]

więc obwód prostokąta wynosi:

Obw= 2∙2√10 + 2∙6√10=4√10+12√10= 16√10 [cm]

Przyjrzyj się układom równań:

I     2x-y=1
      y-2x=4

      y=2x-1
      y= 4+2x

      2x-1=4+2x

      2x-2x= 4+1
          0≠5

Układ równań I nie ma rozwiązania. P


II   x-4y=-2
      2y-0,5x=1

      x= -2+4y

-0,5x=1-2y  / ∙ (-0,5)
      x= -0,5 +y

       -2+4y=-0,5+y
       4y-y=-0,5+2
        3y= 1,5
         y=0,5

Układ równań II jest sprzeczny F

Oblicz...

`a)` 

`(3,75+1  3/8):2 = (375/100 + 11/8):2 = (15/4 + 11/8):2 =(30/8 + 11/8):2=41/8:2 = 41/8*1/6 = 41/16 = 2  9/16`  

 

`b)` 

`(1,25 - 2 2/3)*6 = (125/100 - 8/3)*6 = (5/4 - 8/3)*6 = (15/12 - 32/12)*6 = - 17/12*6 = -17/strike(12)^2 * strike(6)^1 = -17/2 = -8 1/2`   

 

`c)` 

`-1,6 : 3  11/15  + 1  3/14 = -16/10:56/15 + 17/14 = -16/10*15/56 + 17/14 = - strike(16)^2/strike(10)^2*strike(15)^3/strike(56)^7  + 17/14 =` 

`\ \ \ = -2/2*3/7+17/14=-6/14+17/14=11/14` 

 

`d)` 

`(0,3 + 4/5) : (6  1/15 - 2/3) = (3/10 + 4/5):(91/15 - 2/3) = (3/10 + 8/10):(91/15 - 10/15) = 11/10:81/15 = 11/10*15/81 =`  

 

`\ \ \ =11/strike(10)^2 *strike(15)^3/81= 11/2*3/81= 33/162=11/54` 

 

`e)`  

`(1,6-2/3)/(1,6*2/3) = (16/10 - 2/3)/(16/10 * 2/3) = (48/30 - 20/30)/(16/strike(10)^5 * strike(2)^1/3) = (28/30)/(16/5*1/3) = (14/15)/(16/15)=14/15*15/16=14/16=7/8`  

 

`f)` 

`(4,8)/(1  1/15) - (2  1/4)/(5,4) = (48/10)/(16/15) - (9/4)/(54/10) = 48/10*15/16 - 9/4*10/54=strike(48)^6/strike(10)^2*strike(15)^3/strike(16)^2 - strike(9)^1/strike(4)^2*strike(10)^5/strike(54)^6 =`   

`\ \ \ = 6/2*3/2 - 1/2*5/6 = 18/4 - 5/12 =54/12-5/12=49/12=4  1/12`   

Oblicz najprostszym sposobem

`(2^(-2))^3:4^(-4)=(1/4)^3:(1/4)^4=(1/4)^(-1)=4^1`

`[(2/5)^(-4)]^(-1)*(0.4)^(-4)=(0,4)^4*(0,4)^(-4)=0,4^0=1`

`25^4:(5^(-2))^(-2)=(5^2)^4:5^4=5^8:5^4=5^4=625`

`(-6)^(-3):(-1/36)^2=(-1/6)^3:(1/36)^2=-(1/6)^3:((1/6)^2)^2=-(1/6)^3:(1/6)^4=-(1/6)^(3-4)=-(1/6)^-1=-6` 

Ile jest równe pole powierzchni czworościanu...

Czworościan foremny składa się z czterech trójkątów równobocznych.

`P_c=4*(14^2sqrt3)/4=strike4^1*(14^2sqrt3)/strike4^1=14^2sqrt3=196sqrt3` 

 

Odp. C

Wyrażenie 10-a²-a dla a=-2 jest równe:

`10-a^2-a=10-(-2)^2-(-2)=10-4+2=8`

Ekran oddalony jest...

Zapiszmy wszystko za pomocą centymetrów:

2m=200cm

4m=400cm

 

`k=30/200=0.15`

`400*0.15=60`

Oblicz pole i obwód koła...

Dane:

`r = 3\ m` 

Szukane:

`P = ?` 

`L = ?` 

Rozwiązanie: 

Obliczamy pole koła:

`P = pi  r^2` 

`P = pi*(3\ m)^2` 

`P = pi*9\ m^2` 

`P = 9pi\ m^2` 

Obliczamy obwód koła:

`L = 2  pi  r` 

`L = 2*pi*3\ m` 

`L = 6pi\ m` 

Odp.: Pole koła wynosi 9π m2, a jego obwód wynosi 6π m.