Wyrażenia algebraiczne - ii-gimnazjum - Baza Wiedzy

Jednomiany i sumy algebraiczne

Przypomnienie z pierwszej klasy. Wyrażenia algebraiczne to takie wyrażenia, w których oprócz liczb i znaków występują również litery.

W wyrażeniach algebraicznych poszczególne elementy, czyli pojedyncze litery, liczby lub iloczyny liczb i liter nazywamy jednomianami.

Przykłady:

  • $$ -7b $$
  • $$ 4bk $$
  • $$ 10z $$
  • $$ 5t^2 $$

Jeżeli w jednomianie występują pierwiastki lub potęgi, to zapisujemy je na końcu takiego jednomianu!

Wyrażenie algebraiczne powstałe po dodaniu jednomianów nazywamy sumą algebraiczną. Dodawane jednomiany noszą nazwę wyrazy sumy lub wielomiany.

Przykłady sum algebraicznych:

  • $$ 8k+5l-10q $$
  • $$ 67r+(-9p)-3 $$

Jeżeli podczas dodawania lub odejmowania jednomianów spotkamy się z jednomianami, w których różni się tylko współczynnik liczbowy, wówczas mówimy że jednomiany są podobne. Dodawanie i odejmowanie tych jednomianów nazywamy redukcją wyrazów podobnych.

Przykłady jednomianów podobnych:

  • $$ 4xy^2 $$ i $$ 16y^2 x $$
  • $$ 14nm$$ i $$ (-14)nm $$
  • $$3k$$ i $$8k $$
 

Przykłady redukcji wyrazów podobnych:

  • $$ 4xy-9xy=(-5)xy $$
  • $$ 8y^2+19y^2=27y^2 $$

Mnożenie jednomianu przez sumy algebraiczne

Mnożenie jednomianu przez sumy algebraiczne polega na pomnożeniu jednomianu przez każdy oddzielny wyraz sumy.

Przykłady:

  • $$ 9a(4c+9b)=(9a×4c)+(9a×9b)=36ac+81ab $$
  • $$ (a-bc)5xy=(a×5xy)-(bc×5xy)=5axy-5bcxy $$

Mnożenie sum algebraicznych

Mnożenie sum algebraicznych jest bardzo podobne do mnożenia jednomianu przez sumę algebraiczną. Wystarczy tylko pomnożyć każdy jednomian z pierwszej sumy przez wszystkie jednomiany z drugiej sumy i je dodać. Należy pamiętać o zamienianiu znaków, gdy tuż przed nawiasem znajduje się minus!

$$ (m+n)(k+l)=m(k+l)+n(k+l)=mk+ml+nk+nl $$

Przykłady:

  • $$ (3k-1)(2+t)=3k(2+t)-1(2+t)=6k+3kt-2-t $$
  • $$ (6l-7b)(9r+4q)=6l(9r+4q)-7b(9r+4q)=54lr+24lq-63br-28bq $$
 

Zachęcamamy do poszerzenia swojej wiedzy z tematru wyrażenia algebraiczne. Materiał dostępny w zakładce "Przygotowanie do konkursów" - Wzory skróconego mnożenia

 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Zapisz liczbę:

  1. 3 razy większą od x,
  2. 3 razy mniejszą od x,
  3. o 3 mniejszą od x.
  1. $$ 3x $$
  2. $$ 1/3 x $$
  3. $$ x-3 $$

Zadanie 2.

Zapisz w postaci wyrażenia algebraicznego połowę wyrażenia:

  1. $$ 2x+5y $$
  2. $$ 3x-8 $$
  3. $$ a-2b $$
  1. $$ 1/2 (2x+5y)=x+2,5y $$
  2. $$ 1/2 (3x-8)=1,5x-4 $$
  3. $$ 1/2 (a-2b)=0,5a-b $$

Zadanie 3.

Wyłącz wspólny czynnik przed nawias:

  1. $$ 15ab-6b $$
  2. $$ 4xyz+10xz $$
  3. $$ 8k^2l^3-4k^2l $$
  1. $$ 15ab-6b=3b(5a-2) $$
  2. $$ 4xyz+10xz=2xz(2y+5) $$
  3. $$ 8k^2 l^3-4k^2 l=4k^2 l(2l^2-1) $$

Zadanie 4.

Wykonaj mnożenie i zredukuj wyrazy podobne w wyrażeniu $$(x+1)(x^2-x+1)$$.

$$(x+1)(x^2-x+1)=x^3-x^2+x+x^2-x-1=x^3+1$$

Zadanie 5.

Ile wynosi wartość wyrażenia $$2a(6a^2-3a+2)-4(3a^3-2a^2+a+4)$$ dla $$a=-3$$?

$$ 2a(6a^2-3a+2)-4(3a^3-2a^2+a+4)$$ $$=2a[3a(2a-1)+2]-4[a^2 (3a-2)+a+4] $$ = $$ -6(-9×-7+2)-4(9×-11+1) $$ = $$(-6×65)-(4×-98)=-390+392=2 $$

Odp.: Wartość tego wyrażenia dla $$a=-3$$ wynosi 2.

Zadanie 6.

Zapisz w postaci jednomianu:

  1. liczbę o 40% mniejszą od x
  2. liczbę stanowiącą 150% liczby y
  3. liczbę równą 70% k
  1. $$ 0,6x $$
  2. $$ 1,5y $$
  3. $$ 0,7k $$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Na papirusie Rhinda, najstarszym tekście

`(16/9)^2=256/81~~ulul(3,16)`   

 

Narysuj w układzie współrzędnych...

Żeby narysować wykres funkcji liniowej potrzebujemy dwóch punktów, które spełniają dane równanie funkcji liniowej.

 

`a) \ {(y=x+1),(y=x-2):}`

  • Pierwsze równanie:

Wstawmy zamiast x taką liczbę żeby łatwo było zaznaczyć punkty w układzie współrzędnych.

Pierwsza para

`{(x=0),(y=x+1):}` 

`{(x=0),(y=1):}`

Druga para

`{(x=1),(y=x+1):}`

`{(x=1),(y=2):}`

 

A więc punkty (0,1), (1,2) należą do wykresu funkcji.

funkcja y=x-2 to funkcja y=x+1 przesunięta o 3 jednostki w dół.

Nie ma punktu przecięcia.

 

 

`b) \ {(y=-2x+1),(y=-3x+2):}`

  • Pierwsze równanie:

`y=-2x+1`

Pierwsza para

`{(x=0),(y=-2x+1):}`

`{(x=0),(y=-2*0+1):}`

`{(x=0),(y=1):}`

Druga para

`{(x=-1),(y=-2x+1):}`

`{(x=-1),(y=-2*(-1)+1):}`

`{(x=-1),(y=3):}` 

Punkty (0,1), (-1,3) należą do wykresu funkcji.

  • Drugie równanie:

`y=-3x+2`

Pierwsza para

`{(x=-1),(y=-3x+2):}`

`{(x=-1),(y=-3*(-1)+2):}`

`{(x=-1),(y=5):}`

Druga para

`{(x=0),(y=-3x+2):}`

`{(x=0),(y=2):}`

Punkty (-1,5), (0,2) należą do wykresu funkcji.

Punkt przecięcia ma współrzędne (1,-1)

 

 

`c) \ {(y=1/2x -2),(y=0,5x+2):}`

`{(y=1/2x -2),(y=1/2x+2):}`

Podobnie jak w podpunkcie a) proste różnią się o pewną stałą i mają takie same współczynniki kierunkowe. Wystarczy narysować pierwszą prostą a druga będzie do niej równoległa przesunięta o 4 jednostki w górę.

`y=1/2x-2`

Znajdźmy dwa punkty należące do wykresu funkcji.

`{(x=0),(y=1/2*0 -2):}`

`{(x=0),(y=-2):}`

 

`{(x=2),(y=1/(strike2^1)*strike2^1 -2):}`

`{(x=2),(y=-1):}`

Druga prosta będzie o 4 jednostki wyżej.

Nie ma punktu przecięcia bo proste są równoległe.

Podkreśl liczby równe ...

`(1/7)^77*7^77=1^77/strike(7^77)*strike(7^77)=1`

 

`(1/5)^5*(0,5)^5=1^5/5^5*(5*0,1)^5=1/strike(5^5)*strike(5^5)*0,1^5=0,1^5!=1`

 

`((1*2*3*4*5)^6)/((2*3*4*5*6)^6)=(1^6*strike(2^6)*strike(3^6)*strike(4^6)*strike(5^6))/(strike(2^6)*strike(3^6)*strike(4^6)*strike(5^6)*6^6)=1^6/6^6=1/6^6!=1`

 

`36^8/(2^8*3^8)=36^8/((2*3)^8)=36^8/6^8=(strike36^6/strike6^1)^8=6^8!=1`

 

`(2^3*3^3*5^3)/30^3=((2*3*5)^3)/30^3=strike(30^3)/strike(30^3)=1`

 

`1/5^7:(1/5)^7=1/5^7:1^7/5^7=1/strike(5^7)*strike(5^7)/1^7=1`

 

`((23*45)^3)/(23*45^3)=(23^3*strike(45^3))/(23*strike(45^3))=23^3/23=23^2!=1`

 

Podkreślamy:

`(1/7)^77*7^77`

`(2^3*3^3*5^3)/30^3`

`1/5^7:(1/5)^7`

Które ze znaków mają: a) środek symetrii i oś symetrii

 

`"a) III, V, VI" `

`"b) brak"`

`"c) II, IV, VII"`

W 2015 roku najwyższym budynkiem na świecie był

`6400 \ "km"+555 \ "m"=6400 \ "km"+0,555 \ "km"=6400,555 \ "km"` 

 

Maksymalna odległość, na jaką może ujrzeć horyzont osoba stojąca na tarasie oznaczyliśmy jako x. Odległość tę można obliczyć, korzystając z twierdzenia Pitagorasa.

`6400^2+x^2=6400,555^2` 

`40 \ 960 \ 000+x^2=40 \ 967 \ 104,308025 \ \ \ \ \ \ \ \ \ |-40 \ 960 \ 000 ` 

`x^2=7 \ 104,308025 \ \ \ \ \ \ \ |sqrt` 

`x~~84,287 ` 

Skala podobieństwa dwóch kół jest

Oznaczmy sobie obwód pierwszego koła jako l1, a obwód drugiego koła jako l2.

`{(l_1+l_2=50pi \ "cm"),(l_1/l_2=4 \ \ \ \ |*l_2):}` 

`{(l_1+l_2=50pi \ "cm"),(l_1=4*l_2):}` 

  `{(4l_2+l_2=50pi \ "cm"),(l_1=4l_2):}` 

`{(5l_2=50pi \ "cm" \ \ \ \ \ \ |:5l_2),(l_1=4l_2):}` 

`{(l_2=10pi \ "cm"),(l_1=4*10pi \ "cm"=40pi \ "cm"):}` 

Obliczamy długość i promień każdego z kół.

`l_2=2pir` 

`[email protected]=10pi \ "cm" \ \ \ \ |:2pi` 

`r_2=5 \ "cm"` 

`P_2=pir_2^2=pi*(5 \ "cm")^2=pi*25 \ "cm"^2=25pi \ "cm"^2`  

 

`l_1=2pir_1` 

`2pir_1=40pi \ "cm" \ \ \ \ \ \ |:2pi` 

`r_1=20 \ "cm"` 

`P_1=pir_1^2=pi*(20 \ "cm")^2=pi*400 \ "cm"^2=400pi \ "cm"^2`    

  

Narysuj proste a, b i c, wiedząc ...

- prosta a ma dwa punkty wspólne z okręgiem

- prosta b ma jeden punkt wspólny z okręgiem

- prosta c nie ma punktów wspólnych z okręgiem

 

Przekształć równanie do postaci y=ax+b i oblicz brakującą

`a)\ 4y=8x-12\ \ \ |:4`

`\ \ \ y=2x-3`

 

`I.\ dla\ x=3`

`\ \ \ y=2*3-3=6-3=3`

`II.\ dla \ x=-5`

`\ \ \ \ y=2*(-5)-3=-10-3=-13`

 

`b)\ y-5=x\ \ \ |+5`

`\ \ \ y=x+5`

 

`I.\ dla\ x=1`

`\ \ \ y=1+5=6`

`II.\ dla \ x=-2`

`\ \ \ \ y=-2+5=3`

Zapisz w jak najprostszej ...

Przypomnienie:

`root(3)(-a)=-root(3)(a)`

Dla a0:

`sqrt(a^2)=a`

`(sqrta)^2=a`

Dla dowolnego a:

`root(3)(a^3)=a`

`(root(3)(a))^3=a`

 

`"a)"\ sqrt(7^2)+sqrt6-(sqrt6)^2=7+sqrt6-6=1+sqrt6`

`"b)"\ root(3)(12^3)-(sqrt17)^2-sqrt5=12-17-sqrt5=-5-sqrt5`

`"c)"\ 3sqrt(5^2)+2sqrt5-2root(3)((-5)^3)=3*5+2sqrt5-2*(-5)=15+2sqrt5+10=25+2sqrt5`

`"d)"\root(3)(5^3)-root(3)(7)-root(3)(-7)=-5-root(3)(7)-(-root(3)(7))=-5-root(3)(7)+root(3)(7)=-5`

Wyznacz miary kątów trójkąta ABC pokazanego

Kąty ABS, BCS i ASC są równoramienne, stąd możemy obliczyć miary kątów leżących przy podstawach tych trójkątów. 

`|angleABS|+|angleSAB|+130^o=180^o \ \ \ \ \ \ |-130^o` 

`|angleABS|+|angleSAB|=50^o` 

 

`|angleABS|=|angleSAB|` 

 

`2|angleABS|=50^o \ \ \ |:2` 

`|angleABS|=25^o` 

`|angleSAB|=25^o` 

 

 

`|angleSBC|+|angleBCS|+80^o=180^o \ \ \ \ \ \ |-80^o` 

`|angleSBC|+|angleBCS|=100^o`  

 

`|angleSBC|=|angleBCS|` 

 

`2|angleSBC|=100^o \ \ \ |:2` 

`|angleSBC|=50^o` 

`|angleBCS|=50^o` 

 

`|angleASC|=360^o-(130^o +80^o)=360^o-210^o=150^o` 

`|angleACS|+|angleCAS|+150^o=180^o \ \ \ \ |-150^o` 

`|angleACS|=|angleCAS|`

`2|angleACS|=30^o \ \ \ \ \ |:2` 

`|angleACS|=15^o` 

`|angleCAS|=15^o`   

Kąty CAB, ABC i BCA mają miarę stanowiącą sumę odpowiednich kątów trójkątów ASC, BSC, ASB. 

`|angleCAB|=15^o +25^o=40^o` 

`|angleABC|=25^o +50^o=75^o` 

`|angleBCA|=50^o +15^o=65^o`