Wielokąty i okręgi - ii-gimnazjum - Baza Wiedzy

Okrąg opisany na trójkącie

Gdy mówimy, że okrąg jest opisany na trójkącie mamy na myśli sytuację, gdy wszystkie wierzchołki znajdują się na okręgu. Środek okręgu opisanego na trójkącie znajduje się na przecięciu symetralnych boków tego trójkąta, czyli prostych wychodzących z przeciwnych wierzchołka i przechodzących przez środki boków.

obrazek1

Gdy trójkąt prostokątny jest wpisany w okrąg to jego przeciwprostokątna jest średnicą okręgu, a środek tego okręgu dzieli przeciwprostokątną na dwie równe części.

obrazek2

Uwaga! Na każdym trójkącie można opisać okrąg!

 

Styczna do okręgu

Styczna do okręgu to prosta mająca tylko jeden punkt wspólny z okręgiem. Punkt wspólny nazywamy punktem styczności. Promień poprowadzony do punktu styczności jest prostopadły do stycznej.

styczna

Okrąg wpisany w trójkąt

Gdy mówimy, że okrąg jest wpisany w trójkąt to mamy na myśli sytuację, gdy okrąg jest styczny do wszystkich trzech boków tego trójkąta. Środek okręgu wpisanego w trójkąt leży na przecięciu dwusiecznych kątów tego trójkąta, czyli na prostych wychodzących z wierzchołków i dzielących kąt na dwie równe części. W każdy trójkąt można wpisać okrąg!

okragwtrojkat

Wielokąty foremne

Wielokątem foremnym nazywamy wielokąt, który ma wszystkie boki równej długości, a kąty miedzy nimi są równe.

  • Trójkąt równoboczny

    trojkatrownoboczny
  • Kwadrat

    kwadrat1
  • Pięciokąt foremny

    piecokat
  • Sześciokąt foremny

    szesciokat
 

Okręgi wpisane i opisane na wielokątach foremnych

Środek okręgu wpisanego i opisanego na wielokącie foremnym leży dokładnie w tym samym punkcie. Różnią się tylko ich promienie.

Okrąg opisany i wpisany w kwadrat:
$$ R={a√2}/2 $$
$$ r=1/2 a $$
$$R$$ - długość promienia okręgu opisanego
$$r$$ - długość okręgu wpisanego
$$a$$ - długość boku kwadratu

okragikwadrat
 

Okrąg opisany i wpisany w trójkąt równoboczny:

$$ R=2/3 h $$
$$ r=1/3 h $$
$$ R$$ - długość promienia okręgu opisanego
$$ r$$ - długość okręgu wpisanego
$$ h$$ - długość wysokości trójkąta równobocznego

okragitrojkat
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Podaj, jaką miarę ma kąt wewnętrzny:

  1. pięciokąta foremnego,
  2. ośmiokąta foremnego,
  3. sześćdziesięciokąta foremnego.

Korzystamy ze wzoru na miarę kąta wewnętrzengo w wielokącie foremnym: $${180°(n-2)}/n$$, gdzie n stanowi liczbę boków.

  1. $$ {180°(n-2)}/n={180°×3}/5=108° $$
  2. $$ {180°(n-2)}/n={180°×6}/8=135° $$
  3. $$ {180°(n-2)}/n={180°×58}/60=174° $$

Zadanie 2.

Oblicz obwód sześciokąta foremnego wpisanego w okrąg o promieniu 30cm.

W sześciokącie foremnym długość promienia okręgu opisanego jest równa długości boku. Wynika to z tego, że sześciokąt foremny zbudowany jest z 6 przystających trójkątów równobocznych - bok każdego z nich jest także promienień.

r=30 cm -> a=30 cm

Obw=30×6=180 cm

Odp.: Obwód tego sześciokąta wynosi 180cm.

Zadanie 3.

Oblicz liczbę przekątnych w dwudziestokącie foremnym.

Korzystamy ze wzoru na liczbę przekątnych w dowolnym wielokącie foremnym $$ {n(n-3)}/2 $$, gdzie n to liczba boków wielokąta.

$$ {n(n-3)}/2={20×17}/2=170 $$

Odp.: W dwudziestokącie foremnym jest 170 przekątnych.

Zadanie 4.

Ustal jakie promienie mają okręgi opisane na:

  1. kwadracie o boku $$√2$$ cm,
  2. trójkącie równobocznym o boku 6 cm.
  1. W pierwszym przypadku pormień okręgu opisanego na kwadracie jest równy połowie długości przekątnej. Wzór na długość przekątnej to $$ a√2 $$, gdzie a to długość boku kwadratu.
    $$ r= 1/2 a√2=1/2 √2×√2=1 cm $$
  2. W trójkącie równobocznym promień stanowi 2/3 długości wysokości. Długość wysokości trójkąta równobocznego oblicza się ze wzoru $$ {a√3}/2 $$, gdzie a to długość boku trójkąta.
    $$ r=2/3×{a√3}/2={6√3}/3=2√3 cm $$

Zadanie 5.

Środek okręgu opisanego na trójkącie leży na środku jednego z jego boków. Jaki to trójkąt?

„Środek okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym leży zawsze na środku przeciwprostokątnej.” -> z tego wynika, że jest to trójkąt prostokątny

Odp.: Ten trójkąt jest trójkątem prostokątnym

Zadanie 6.

Oblicz pole trójkąta równobocznego wpisanego w okrąg o promieniu 2.

$$ r= 2/3 h $$ - promień stanowi 2/3 wysokości
$$ r=2/3×{a√3}/2 $$ - wprowadzmy wzór na wysokość trójkąta równobocznego $$ h={a√3}/2 $$
$$ 2= {a√3}/3 $$ - podstawiamy wartość liczbową r=2
$$ a=2√3 $$ - długość boku tego trójkąta
$$ P={a^2 √3}/4={12√3}/4=3√3 $$ - korzystamy ze wzoru na pole trójkaa równobocznego i podstawiamy przed chwilą wyliczoną wartość boku.
Odp.: Pole tego trójkąta równobocznego wynosi $$3√3 j^2$$.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Rzucamy "specjalną" kostką...

Oznaczmy szanse na wypadnięcie jedynki, dwójki, trójki i czwórki przez a, wtedy piątka będzie wypadać dwa razy częściej czyli 2a , natomiast szóstka będzie wypadać dwa razy częściej niż piątkia a więc 4a.

Zsumujmy ze sobą wszystkie szanse:

`a + a + a + a + 2a + 4a = 10a`

A więc najlepiej przyjąć ich szanse na 10 rzutów.

a) jedynka wypada raz na 10 rzutów, czyli mamy 0,1 szansy na to, że wypadnie.

b) szóstka wypada 4 razy na 10 rzutów, czyli mamy 0,4 szansy na to, że wypadnie.

Uprość. a) √12/√3 b) √35/√7

`a) \ \ sqrt12/sqrt3=sqrt(12/3)=sqrt4=2` 

`b) \ \ sqrt35/sqrt7=sqrt(35/7)=sqrt5` 

`c) \ \ sqrt14/sqrt14=sqrt(14/14)=sqrt1=1` 

`d) \ \ sqrt34/sqrt17=sqrt(34/17)=sqrt2` 

`e) \ \ sqrt108/sqrt3=sqrt(108/3)=sqrt36=6` 

`f) \ \ sqrt98/sqrt2=sqrt49=7` 

`g) \ \ sqrt150/sqrt6=sqrt(150/6)=sqrt25=5` 

`h) \ \ sqrt2/sqrt32=sqrt(2/32)=sqrt(1/16)=1/4` 

Połącz wyrażenia o tej samej wartości. Przy każdy numerze wyrażenia wpisz literę

`"I."\ (3*5)^5= 3^5*5^5`

`"II."\ (2*3*7)^2= 2^2*3^2*7^2= 4*9*49`

`"III."\ (2*3*5)^3= 2^3* 3^3* 5^3= 8*27*125= 8*27*5^3`

`"IV."\ (10*2*7)^5= 140^5`

 

 

`"I. B, II. D, III. A, IV. C"`



Spójrz na przykład, a potem uzupełnij rysunki i obliczenia.

Zapisz za pomocą potęgi liczby 2, jaką grubość miałaby bibułka, ...

Gdybyśmy złożyli bibułkę 23 razy miałaby ona grubość:
`#(2*2*...*2*2)_(_(23 \ razy)) * 0,01 \ "mm"=2^(23)*0,01 \ "mm"` 


Gdybyśmy złożyli bibułkę 50 razy miałaby ona grubość:
`#(2*2* ...*2*2)_(_(50 razy))*0,01 \ "mm"=2^50*0,01 \ "mm"` 

Jeden z boków równoległoboku ma długość 10 cm.

Aby sprawdzić, czy przecinają się one pod kątem prostym, korzystamy z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa. Sprawdzamy, czy jeden z trójkątów, na jakie przekątne dzielą równoległobok jest prostokątny. Przekątne równoległoboku przecinają się w połowie, stąd dwa krótsze boki tych trójkątów mają długość połowy długości przekątnych równoległoboku. 

`a) \ \ \ 12 \ "cm":2=6 \ "cm" \ \ \ \ \ \` 

`16 \ "cm":2=8 \ "cm"` 

`(6 \ "cm")^2+(8 \ "cm")^2 \ stackrel?= \ (10 \ "cm")^2` 

`36 \ "cm"^2+64 \ "cm"^2=100 \ "cm"^2` 

Przekątne tego czworokąta przecinają się pod kątem prostym.

`b) \ \ 4 \ "cm":2=2 \ "cm"` 

`4sqrt21 \ "cm":2=2sqrt21 \ "cm"` 

`(2 \ "cm")^2+(2sqrt21 \ "cm")^2 \ stackrel?= \ (10 \ "cm")^2` 

`4 \ "cm"^2+2^2*21 \ "cm"^2 \ stackrel?= \ 100 \ "cm"^2` 

`4 \ "cm"^2+84 \ "cm"^2 \ != \ 100 \ "cm"^2` 

 

Przekątne tego czworokąta nie przecinają się pod kątem prostym.

`c) \ \ 4sqrt13 \ "cm":2=2sqrt13 \ "cm"` 

`4sqrt15 \ "cm":2=2sqrt15 \ "cm"` 

`(2sqrt13 \ "cm")^2+(2sqrt15 \ "cm")^2=(10 \ "cm")^2` 

`2^2*13+2^2*15=100 \ "cm"^2` 

`4*13 \ "cm"^2+4*15 \ "cm"^2=100 \ "cm"^2` 

`52 \ "cm"^2+60 \ "cm"^2 \ != \ 100 \ "cm"^2` 

Przekątne tego czworokąta nie przecinają się pod kątem prostym.

 

Korzystając ze wzoru na iloczyn sumy dwóch wyrażeń i ich różnicy

`a)\ (7-2x)(7+2x)=7^2-(2x)^2=49-4x^2`

`b)\ (a+5b)(a-5b)=a^2-(5b)^2=a^2-2b^2`

`c)\ (2p+3q)(2p-3q)=(2p)^2-(3q)^2=4p^2-9q^2`

`d)\ (11x-4y)(11x+4y)=(11x)^2-(4y)^2=121x^2-16y^2`

a) Jaka jest wysokość drzewa?

`a) ` 

`2a=20 \ "m" \ \ \ \ \ |:2` 

`a=10 \ "m"` 

Wysokość drzewa wynosi 10 m.

`b)`   

`a+asqrt3=3` 

`a*1+a*sqrt3=3` 

`a(1+sqrt3)=3 \ \ \ \ \ \ \ \ \ |:(1+sqrt3)` 

`a=3/(1+sqrt3)*(1-sqrt3)/(1-sqrt3)=(3(1-sqrt3))/(1^2-(sqrt3)^2)=(3-3sqrt3)/(1-3)=(3-3sqrt3)/(-2)=-3/2+3/2sqrt3` 

`(-3/2+3/2sqrt3) \ "km"~~-1,5+1,5*1,73 \ "km"=-1,5+2,595 \ "km"=1,095 \ "km"~~1,1 \ "km"`    

 

`c) \ ` 

 

`asqrt2=3 \ "m" \ \ \ \ \ \ \ \ \ |:sqrt2 `

`a=3/sqrt2 \ "m"*sqrt2/sqrt2=(3sqrt2)/sqrt4 \ "m"=(3sqrt2)/2 \ "m"=1 1/2sqrt2 \ "m"` 

`bsqrt3=1 1/2sqrt2 \ "m" \ \ \ \ \ \ \ \ \ |:sqrt3` 

`b=(1 1/2sqrt2)/sqrt3 \ "m"*sqrt3/sqrt3=(1 1/2sqrt6)/sqrt9 \ "m"=(1 1/2sqrt6)/3 \ "m"=strike3^1/2sqrt6*1/strike3^1 \ "m"=1/2sqrt6 \ "m"` 

`2b=2*1/2sqrt6 \ "m"=sqrt6 \ "m"`  

Belka podpiera drabinę w połowie jej długości, stąd cała długość drabiny wynosi:

`2sqrt6 \ "m"~~4,9 \ "m"` 

 

Za 3 zeszyty i 9 długopisów zapłacono ...

x - cena zeszytu

y - cena długopisu 


3 zeszyty i 9 długopisów kosztowało 48 zł. 
`3x+9y=48` 


Cena zeszytu wynosiła 1 zł, czyli x=1. 

Obliczamy, ile wynosiła cena długopisu. 
`3*1+9y=48 ` 
`3+9y=48 \ \ \ \ \ \ \ \ |-3` 
`9y=45 \ \ \ \ \ \ \ |:9` 
`y=5` 

Długopis kosztował 5 zł

Wyraź podane objętości w m³. a) 1km³ b) 1 dm³

`a) \ \ 1 \ "km"^3=(10^3 \ "m")^3=(10^3)^3 \ "m"^3=10^(3*3) \ "m"^3=10^9 \ "m"^3` 

`b) \ \ 1 \ "dm"^3=(10^(-1) \ "m")^3=(10^(-1))^3 \ "m"^3=10^(-3) \ "m"^3`  

`c) \ \ 1,2 \ "mm"^3=1,2*(10^(-3) \ "m")^3=1,2*(10^(-3))^3 \ "m"^3=1,2*10^(-9) \ "m"^3`  

`d) \ \ 1000 \ "km"^3=1000*(10^3 \ "m")^3=10^3*(10^3)^3 \ "m"^3=10^3*10^9 \ "m"^3=10^(3+9) \ "m"^3=10^12 \ "m"^3`