Wielokąty i okręgi - ii-gimnazjum - Baza Wiedzy

Okrąg opisany na trójkącie

Gdy mówimy, że okrąg jest opisany na trójkącie mamy na myśli sytuację, gdy wszystkie wierzchołki znajdują się na okręgu. Środek okręgu opisanego na trójkącie znajduje się na przecięciu symetralnych boków tego trójkąta, czyli prostych wychodzących z przeciwnych wierzchołka i przechodzących przez środki boków.

obrazek1

Gdy trójkąt prostokątny jest wpisany w okrąg to jego przeciwprostokątna jest średnicą okręgu, a środek tego okręgu dzieli przeciwprostokątną na dwie równe części.

obrazek2

Uwaga! Na każdym trójkącie można opisać okrąg!

 

Styczna do okręgu

Styczna do okręgu to prosta mająca tylko jeden punkt wspólny z okręgiem. Punkt wspólny nazywamy punktem styczności. Promień poprowadzony do punktu styczności jest prostopadły do stycznej.

styczna

Okrąg wpisany w trójkąt

Gdy mówimy, że okrąg jest wpisany w trójkąt to mamy na myśli sytuację, gdy okrąg jest styczny do wszystkich trzech boków tego trójkąta. Środek okręgu wpisanego w trójkąt leży na przecięciu dwusiecznych kątów tego trójkąta, czyli na prostych wychodzących z wierzchołków i dzielących kąt na dwie równe części. W każdy trójkąt można wpisać okrąg!

okragwtrojkat

Wielokąty foremne

Wielokątem foremnym nazywamy wielokąt, który ma wszystkie boki równej długości, a kąty miedzy nimi są równe.

  • Trójkąt równoboczny

    trojkatrownoboczny
  • Kwadrat

    kwadrat1
  • Pięciokąt foremny

    piecokat
  • Sześciokąt foremny

    szesciokat
 

Okręgi wpisane i opisane na wielokątach foremnych

Środek okręgu wpisanego i opisanego na wielokącie foremnym leży dokładnie w tym samym punkcie. Różnią się tylko ich promienie.

Okrąg opisany i wpisany w kwadrat:
$$ R={a√2}/2 $$
$$ r=1/2 a $$
$$R$$ - długość promienia okręgu opisanego
$$r$$ - długość okręgu wpisanego
$$a$$ - długość boku kwadratu

okragikwadrat
 

Okrąg opisany i wpisany w trójkąt równoboczny:

$$ R=2/3 h $$
$$ r=1/3 h $$
$$ R$$ - długość promienia okręgu opisanego
$$ r$$ - długość okręgu wpisanego
$$ h$$ - długość wysokości trójkąta równobocznego

okragitrojkat
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Podaj, jaką miarę ma kąt wewnętrzny:

  1. pięciokąta foremnego,
  2. ośmiokąta foremnego,
  3. sześćdziesięciokąta foremnego.

Korzystamy ze wzoru na miarę kąta wewnętrzengo w wielokącie foremnym: $${180°(n-2)}/n$$, gdzie n stanowi liczbę boków.

  1. $$ {180°(n-2)}/n={180°×3}/5=108° $$
  2. $$ {180°(n-2)}/n={180°×6}/8=135° $$
  3. $$ {180°(n-2)}/n={180°×58}/60=174° $$

Zadanie 2.

Oblicz obwód sześciokąta foremnego wpisanego w okrąg o promieniu 30cm.

W sześciokącie foremnym długość promienia okręgu opisanego jest równa długości boku. Wynika to z tego, że sześciokąt foremny zbudowany jest z 6 przystających trójkątów równobocznych - bok każdego z nich jest także promienień.

r=30 cm -> a=30 cm

Obw=30×6=180 cm

Odp.: Obwód tego sześciokąta wynosi 180cm.

Zadanie 3.

Oblicz liczbę przekątnych w dwudziestokącie foremnym.

Korzystamy ze wzoru na liczbę przekątnych w dowolnym wielokącie foremnym $$ {n(n-3)}/2 $$, gdzie n to liczba boków wielokąta.

$$ {n(n-3)}/2={20×17}/2=170 $$

Odp.: W dwudziestokącie foremnym jest 170 przekątnych.

Zadanie 4.

Ustal jakie promienie mają okręgi opisane na:

  1. kwadracie o boku $$√2$$ cm,
  2. trójkącie równobocznym o boku 6 cm.
  1. W pierwszym przypadku pormień okręgu opisanego na kwadracie jest równy połowie długości przekątnej. Wzór na długość przekątnej to $$ a√2 $$, gdzie a to długość boku kwadratu.
    $$ r= 1/2 a√2=1/2 √2×√2=1 cm $$
  2. W trójkącie równobocznym promień stanowi 2/3 długości wysokości. Długość wysokości trójkąta równobocznego oblicza się ze wzoru $$ {a√3}/2 $$, gdzie a to długość boku trójkąta.
    $$ r=2/3×{a√3}/2={6√3}/3=2√3 cm $$

Zadanie 5.

Środek okręgu opisanego na trójkącie leży na środku jednego z jego boków. Jaki to trójkąt?

„Środek okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym leży zawsze na środku przeciwprostokątnej.” -> z tego wynika, że jest to trójkąt prostokątny

Odp.: Ten trójkąt jest trójkątem prostokątnym

Zadanie 6.

Oblicz pole trójkąta równobocznego wpisanego w okrąg o promieniu 2.

$$ r= 2/3 h $$ - promień stanowi 2/3 wysokości
$$ r=2/3×{a√3}/2 $$ - wprowadzmy wzór na wysokość trójkąta równobocznego $$ h={a√3}/2 $$
$$ 2= {a√3}/3 $$ - podstawiamy wartość liczbową r=2
$$ a=2√3 $$ - długość boku tego trójkąta
$$ P={a^2 √3}/4={12√3}/4=3√3 $$ - korzystamy ze wzoru na pole trójkaa równobocznego i podstawiamy przed chwilą wyliczoną wartość boku.
Odp.: Pole tego trójkąta równobocznego wynosi $$3√3 j^2$$.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Asia i jej brat Wojtek, którzy mieszkają ...

a) (Czas pokonywania drogi odczytujemy z osi x, jedna jednostka - 1 godzina, została podzielona na 6 równych części - 6 małych kwadracików, czyli 1 mały kwadracik odpowiada 10 minutom). 

Asia pokonywała tę drogę przez 3 godziny

Wojtek pokonywał tę drogę przez 1 godzinę i 50 min
`ul( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )` 


b) Wojtek dogonił Asię po 1 godzinie i 40 minutach.

(od momentu wyruszenia z domu do momentu spotkania z Asią upłynęła 1 h 40 min).
`ul( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )`   

c) Asia odpoczywała najpierw 20 min, a następnie 10 min (poziome części wykresu oznaczają odpoczynek). Łącznie odpoczywała więc 30 min.

Wojtek odpoczywał najpierw 40 min, a następnie 10 min. Łącznie odpoczywał więc 50 min. 

Dłużej odpoczywał więc Wojtek
`ul( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )` 


d) Wojtek był najdalej od Asi (wykresy są najbardziej od siebie oddalone) po 50 min od wyjazdu (po 1 h 50 min wędrówki Asi). 
`ul( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )` 


e) W ciągu pierwszych 10 minut (10 min=10/60 h=1/6 h) jazdy Wojtek pokonał 2 kilometry drogi, czyli jego prędkość wynosiła:
`v=(2 \ "km")/(1/6 \ "h")=2*6 \ "km""/""h"=12\ "km""/""h"`     
`ul( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )` 


f) Całą trasę, czyli 10 km, Asia pokonała w ciągu 3 godzin. 

Jej średnia prędkość wynosiła więc:
`v_"A"=(10 \ "km")/(3 \ "h")=10/3 \ "km""/""k"=3 1/3 \ "km""/""h" `    
`ul( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )` 


g) Całą trasę, czyli 10 km, Wojtek pokonał w ciągu 1 godziny 50 minut.

Jego średnia prędkość to:
`v_"w"=(10 \ "km")/(1 50/60 \ "h")=10/(1 5/6) \ "km""/""k"=10/(11/6) \ "km""/""h"=10*6/11 \ "km""/""h"=`   

`\ \ \ =60/11 \"km""/""h"=5 5/11 \"km""/""h"`          

Który z opisanych niżej pierścieni P₁, P₂, ma

Obliczamy pole koła ograniczającego pierwszy pierścień wewnątrz:

`pir^2=pi*(10 \ "cm")^2=pi*100 \ "cm"^2=100pi \ "cm"^2`

Obliczamy pole koła, którego brzeg ogranicza pierścień zewnątrz:

`pi*(11 \ "cm")^2=pi*121 \ "cm"^2=121pi \ "cm"^2`

Pole pierwszego pierścienia:

`121pi \ "cm"^2-100pi \ "cm"^2=ul(ul(21pi \ "cm"^2))`

 

 

Obliczamy promień koła ograniczającego drugi pierścień wewnątrz:

`2pir=8pi \ "cm" \ \ \ \ \ |:2pi`

`r=4 \ "cm"`

Obliczamy pole koła ograniczającego drugi pierścień wewnątrz:

`pi*(4 \ "cm")^2=pi*16 "cm"^2=16pi \ "cm"^2`

Obliczamy promień koła, którego brzeg ogranicza pierścień zewnątrz:

`2pir=12pi \ "cm" \ \ \ \ |:2pi`

`r=6 \ "cm"`

Obliczamy pole koła, którego brzeg ogranicza pierścień zewnątrz:

`pi*(6 \ "cm")^2=pi*36 \ "cm"^2=36pi \ "cm"^2`

Pole drugiego pierścienia:

`36pi \ "cm"^2-16pi \ "cm"^2=ul(ul(20pi \ "cm"^2))`

Każdej liczbie ze zbioru

`a)` 

Policzmy najpierw wartości tej funkcji dla kolejnych argumentów: 

`x=-3\ \ \ ->\ \ \ y=2*(-3)^2-10=` `2*(-3)*(-3)-10=` `18-10=8` 

 

`x=-1 1/2=-3/2\ \ \ ->\ \ \ y=2*(-3/2)^2-10=` `2*(-3/2)*(-3/2)-10=` `9/2-10=` `4 1/2-10=-5 1/2`  

 

`x=-1\ \ \ ->\ \ \ y=2*(-1)^2-10=2*(-1)*(-1)-10=2-10=-8` 

 

`x=0\ \ \ ->\ \ \ y=2*0^2-10=2*0*0-10=0-10=-10` 

 

`x=1/2\ \ \ ->\ \ \ y=2*(1/2)^2-10=2*1/2*1/2-10=1/2-10=-9 1/2`  

 

`x=4\ \ \ ->\ \ \ y=2*4^2-10=2*4*4-10=32-10=22` 

 

 

 

`x`  `-3`    `-1 1/2`  `-1`  `0`  `1/2`  `4` 
`y`  `8`  `-5 1/2`  `-8`  `-10`  `-9 1/2`  `22` 

 

 

`b)` 

  

 

`c)\ f(x)=2x^2-10` 

 

`d)` 

 

 

 

 

 

Jakimi liczbami należy ...

`a) \ 1km=1000m=10^3m` 

`\ \ \ 1km^2=(10^3)^2 \ m^2=10^6 \ m^2` 
W miejsce kwadracika należy wstawić cyfrę 6.

`100km^2=100*1 \ km^2=100*10^6 \ m^2=10^2*10^6 \ m^2=10^8 \ m^2` 

W miejsce kwadracika należy wstawić cyfrę 8.  

`ul(ul( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 


`b) \ 1m=10cm=10^2cm` 

`\ \ \ 1m^2=(10^2)^2 \ cm^2=10^4 \ cm^2` 
W miejsce kwadracika należy wpisać cyfrę 4

`10^5m^2=10^5*1 \ m^2=10^5*10^4 \ cm^2=10^9 \ cm^2`   

W miejsce kwadracika należy wpisać liczbę 9
`ul(ul( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 


`c) \ 1cm=10mm` 

`\ \ \ 1cm^2=10^2 \ mm^2` 
W miejsce kwadracika należy wpisać cyfrę 2


`10cm^2=10*1 \ cm^2=10*10^2 \ mm^2=10^3 \ mm^2`  

W miejsce kwadracika należy wpisać cyfrę 3
`ul(ul( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 


`d) \ 1km=1000m=10^3m` 

`\ \ \ 1km^3=(10^3)^3 \ m^3=10^9 \ m^3` 
W miejsce kwadracika należy wpisać cyfrę 9.


`10km^3=10*1 \ km^3=10*10^9 \ m^3=10^10 \ m^3` 

W miejsce kwadracika należy wpisać liczbę 10.    

Który z warunków musi być spełniony, aby

W trójkącie prostokątnym najdłuższy bok to przeciwprostokątna.

Wiemy, że c < a < b. Oznacza to, że najdłuższym bokiem tego trójkąta jest bok oznaczony literą b. 

Trójkąt jest prostokątny, jeśli suma kwadratów długości dwóch krótszych boków jest równa kwadratowi długości boku najdłuższego. 

Mamy więc: 

`c^2+a^2=b^2 \ \ \ \ \ \ \ |-a^2` 

`b^2-a^2=c^2` 


Poprawna odpowiedź: C. b2-a2=c2   

Skala podobieństwa dwóch wielokątów wynosi

Wiemy, że stosunek pól figur podobnych jest równy kwadratowi ich skali podobieństwa.Na podstawie podanej skali podobieństwa wielokątów możemy sporządzić równanie określające zależność między polami tych wielokątów:

`P_1/P_2=(7/5)^2`

`P_1/P_2=49/25` 

Wiemy, że pola tych figur różnią się o 12, stąd można zapisać drugie równanie:

`P_1-P_2=12` 

Ze sporządzonych równań budujemy układ równań:

`{(P_1/P_2=49/25 \ \ \ \ \ \ |*P_2),(P_1-P_2=12):}` 

`{(P_1=49/25P_2),(P_1-P_2=12):}` 

`{(P_1=49/25P_2),(49/25P_2-P_2=12):}` 

`{(P_1=49/25P_2),(49/25P_2-25/25P_2=12):}` 

`{(P_1=49/25P_2),(24/25P_2=12 \ \ \ \ \ \ \ |:24/25):}` 

`{(P_1=49/25P_2),(P_2=12:24/25=strike12^1*25/strike24^2=25/2=12 1/2):}` 

`{(P_1=49/strike25^1*strike25^1/2=49/2=24 1/2),(P_2=1 1/2):}`     

 

Rozwiąż równanie. a) 1- (3x-88)/7= 5x

`"a)"`

`1-(3"x"-88)/7=5"x" \ \ \ *7`

`7-(3"x"-88)=35"x"`

`7-3"x"+88=35"x"`

`95=35"x"+3"x"`

`95=38"x" :38`

`"x"=95/38`

`"x"=2,5`

 

`"b)"`

`- "x"/2= 3"x"-(3+2"x")/4 \ \ \ *4`

`-2"x"=12"x"-(3+2"x")`

`-2"x"=12"x"-3-2"x"`

`-2"x"-12"x"+2"x"=-3`

`-12"x"=-3 :(-12)`

`"x"=3/12=1/4`

 

`"c)"`

`3- (3"x")/2= 5/8- (4"x"-3)/6 \ \ \ \ \ |*6`

`18- 9"x"= 30/8 -(4"x"-3)`

`18- 9"x"= 15/4 -4"x"+3`

`18- 15/4 -3 = -4"x"+9"x"`

`15- 3 3/4=5"x"`

`11 1/4= 5"x"`

`45/4 =5"x"\ \ \ \ \ |:5`

`9/4="x"`

`"x"=2 1/4`

 

`"d)"`

`(3-2"x")/5 +8= (5"x"+2)/2 -"x" \ \ \ \ |*10`

`2(3-2"x")+80=5(5"x"+2)-10"x"`

`6-4"x"+80= 25"x"+10-10"x"`

`86-4"x"=15"x"+10`

`86-10=15"x"+4"x"`

`76=19"x"\ \ \ \ \ \ |:19`

`"x"=4`

 

`"e)"`

`(2"x"-11)/4+(19-2"x")/2=2"x" \ \ \ \ |*4`

`2"x"-11+2(19-2"x")=8"x"`

`2"x"-11+38-4"x"=8"x"`

`-2"x"+27=8"x"`

`27=8"x"+2"x"`

`27=10"x"`

`"x"=2,7`

 

`"f)"`

`1-(("x"-2)/4+2/3)="x"`

`1-("x"-2)/4-2/3="x" \ \ \ \ \ \ |*12`

`12-3("x"-2)-4*2=12"x"`

`12-3"x"+6-8=12"x"`

`10=12"x"+3"x"`

`10=15"x" \ \ \ \ \ |:15`

`"x"=10/15`

`"x"=2/3`

Zapisz w prostszej postaci. a) 5√2+√2 b) 9√10-4√10-2√10

`a) \ \ 5sqrt2+sqrt2=6sqrt2`

`b) \ \ 9sqrt10-4sqrt10-2sqrt10=9sqrt10-6sqrt10=3sqrt10`

`c) \ \ 6root(3)9-2root(3)9-3=4root(3)9-3`

`d) \ \ 7root(3)4+2root(3)(-4)=7root(3)4+2*root(3)(-1*4)=7root(3)4+2*(root(3)(-1)*root(3)4)=7root(3)4+2*(-1*root(3)4)=`

`=7root(3)4+2*(-root(3)4)=7root(3)4-2root(3)4=5root(3)4`

`e) \ \ sqrt45-sqrt20=sqrt(9*5)-sqrt(4*5)=sqrt9*sqrt5-sqrt4*sqrt5=3sqrt5-2sqrt5=sqrt5`

`f) \ \ sqrt48+sqrt27=sqrt(16*3)+sqrt(3*9)=sqrt16*sqrt3+sqrt3*sqrt9=4sqrt3+3sqrt3=7sqrt3`

`g) \ \ root(3)16+root(3)128=root(3)(8*2)+root(3)(64*2)=root(3)8*root(3)2+root(3)64*root(3)2=2root(3)2+4root(3)2=6root(3)2`

`h) \ \ root(3)375-root(3)24-root(3)(-8)=root(3)(3*125)-root(3)(3*8)-(-2)=root(3)3*root(3)125-root(3)3*root(3)8+2=`

`=5root(3)3-2root(3)3+2=3root(3)3+2` 

`i) \ \ root(3)(-80)+root(3)(-10)=root(3)(-8*10)+root(3)(-1*10)=root(3)(-8)*root(3)10+root(3)(-1)*root(3)10=` 

`=-2root(3)10-1root(3)10=-3root(3)10`  

Ile osi symetrii ma narysowana figura?

Figura ma jedną, pionową oś symetrii - odp. C

Środki ścian sześcianu o krawędzi o długości

Zauważamy, że każda krawędź utworzonej bryły ma długość, która stawoni przeciwprostokątną trójkąta równoramiennego o przyprostokątnych długości 2.

`x^2=2^2+2^2`  

`x^2=4+4` 

`x^2=8 \ \ \ \ \ \ \ |sqrt` 

`x=sqrt8` 

`x=sqrt(4*2)=2sqrt2` 

Na pole powierzchni całkowite tej bryły składają się pola ośmiu trójkątów równobocznych o boku x.

`P_c=strike8^2*(a^2sqrt3)/strike4^1=2*(2sqrt2)^2sqrt3=2*2^2*(sqrt2)^2*sqrt3=2*4*2*sqrt3=16sqrt3` 

`(2sqrt2)^2+(2sqrt2)^2=a^2` 

`8+8=a^2` 

`a^2=16 \ \ \ \ \ \ \ \ |sqrt` 

`a=4` 

`1/2a=1/2*4=2`

 

`h^2+2^2=(2sqrt2)^2` 

`h^2+4=2^2*(sqrt2)^2` 

`h^2+4=4*2` 

`h^2+4=8 \ \ \ \ \ \ \ \ |-4` 

`h^2=4 \ \ \ \ \ \ |sqrt` 

`h=2` 

Długość wysokości można też sprytnie odczytać z rysunku 

  

`P_p=(2sqrt2)^2=8` 

`V=1/3*P_p*H=1/3*8*2=16/3` 

`2*V=2*16/3=32/3=10 2/3`