Wielokąty i okręgi - ii-gimnazjum - Baza Wiedzy

Okrąg opisany na trójkącie

Gdy mówimy, że okrąg jest opisany na trójkącie mamy na myśli sytuację, gdy wszystkie wierzchołki znajdują się na okręgu. Środek okręgu opisanego na trójkącie znajduje się na przecięciu symetralnych boków tego trójkąta, czyli prostych wychodzących z przeciwnych wierzchołka i przechodzących przez środki boków.

obrazek1

Gdy trójkąt prostokątny jest wpisany w okrąg to jego przeciwprostokątna jest średnicą okręgu, a środek tego okręgu dzieli przeciwprostokątną na dwie równe części.

obrazek2

Uwaga! Na każdym trójkącie można opisać okrąg!

 

Styczna do okręgu

Styczna do okręgu to prosta mająca tylko jeden punkt wspólny z okręgiem. Punkt wspólny nazywamy punktem styczności. Promień poprowadzony do punktu styczności jest prostopadły do stycznej.

styczna

Okrąg wpisany w trójkąt

Gdy mówimy, że okrąg jest wpisany w trójkąt to mamy na myśli sytuację, gdy okrąg jest styczny do wszystkich trzech boków tego trójkąta. Środek okręgu wpisanego w trójkąt leży na przecięciu dwusiecznych kątów tego trójkąta, czyli na prostych wychodzących z wierzchołków i dzielących kąt na dwie równe części. W każdy trójkąt można wpisać okrąg!

okragwtrojkat

Wielokąty foremne

Wielokątem foremnym nazywamy wielokąt, który ma wszystkie boki równej długości, a kąty miedzy nimi są równe.

  • Trójkąt równoboczny

    trojkatrownoboczny
  • Kwadrat

    kwadrat1
  • Pięciokąt foremny

    piecokat
  • Sześciokąt foremny

    szesciokat
 

Okręgi wpisane i opisane na wielokątach foremnych

Środek okręgu wpisanego i opisanego na wielokącie foremnym leży dokładnie w tym samym punkcie. Różnią się tylko ich promienie.

Okrąg opisany i wpisany w kwadrat:
$$ R={a√2}/2 $$
$$ r=1/2 a $$
$$R$$ - długość promienia okręgu opisanego
$$r$$ - długość okręgu wpisanego
$$a$$ - długość boku kwadratu

okragikwadrat
 

Okrąg opisany i wpisany w trójkąt równoboczny:

$$ R=2/3 h $$
$$ r=1/3 h $$
$$ R$$ - długość promienia okręgu opisanego
$$ r$$ - długość okręgu wpisanego
$$ h$$ - długość wysokości trójkąta równobocznego

okragitrojkat
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Podaj, jaką miarę ma kąt wewnętrzny:

  1. pięciokąta foremnego,
  2. ośmiokąta foremnego,
  3. sześćdziesięciokąta foremnego.

Korzystamy ze wzoru na miarę kąta wewnętrzengo w wielokącie foremnym: $${180°(n-2)}/n$$, gdzie n stanowi liczbę boków.

  1. $$ {180°(n-2)}/n={180°×3}/5=108° $$
  2. $$ {180°(n-2)}/n={180°×6}/8=135° $$
  3. $$ {180°(n-2)}/n={180°×58}/60=174° $$

Zadanie 2.

Oblicz obwód sześciokąta foremnego wpisanego w okrąg o promieniu 30cm.

W sześciokącie foremnym długość promienia okręgu opisanego jest równa długości boku. Wynika to z tego, że sześciokąt foremny zbudowany jest z 6 przystających trójkątów równobocznych - bok każdego z nich jest także promienień.

r=30 cm -> a=30 cm

Obw=30×6=180 cm

Odp.: Obwód tego sześciokąta wynosi 180cm.

Zadanie 3.

Oblicz liczbę przekątnych w dwudziestokącie foremnym.

Korzystamy ze wzoru na liczbę przekątnych w dowolnym wielokącie foremnym $$ {n(n-3)}/2 $$, gdzie n to liczba boków wielokąta.

$$ {n(n-3)}/2={20×17}/2=170 $$

Odp.: W dwudziestokącie foremnym jest 170 przekątnych.

Zadanie 4.

Ustal jakie promienie mają okręgi opisane na:

  1. kwadracie o boku $$√2$$ cm,
  2. trójkącie równobocznym o boku 6 cm.
  1. W pierwszym przypadku pormień okręgu opisanego na kwadracie jest równy połowie długości przekątnej. Wzór na długość przekątnej to $$ a√2 $$, gdzie a to długość boku kwadratu.
    $$ r= 1/2 a√2=1/2 √2×√2=1 cm $$
  2. W trójkącie równobocznym promień stanowi 2/3 długości wysokości. Długość wysokości trójkąta równobocznego oblicza się ze wzoru $$ {a√3}/2 $$, gdzie a to długość boku trójkąta.
    $$ r=2/3×{a√3}/2={6√3}/3=2√3 cm $$

Zadanie 5.

Środek okręgu opisanego na trójkącie leży na środku jednego z jego boków. Jaki to trójkąt?

„Środek okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym leży zawsze na środku przeciwprostokątnej.” -> z tego wynika, że jest to trójkąt prostokątny

Odp.: Ten trójkąt jest trójkątem prostokątnym

Zadanie 6.

Oblicz pole trójkąta równobocznego wpisanego w okrąg o promieniu 2.

$$ r= 2/3 h $$ - promień stanowi 2/3 wysokości
$$ r=2/3×{a√3}/2 $$ - wprowadzmy wzór na wysokość trójkąta równobocznego $$ h={a√3}/2 $$
$$ 2= {a√3}/3 $$ - podstawiamy wartość liczbową r=2
$$ a=2√3 $$ - długość boku tego trójkąta
$$ P={a^2 √3}/4={12√3}/4=3√3 $$ - korzystamy ze wzoru na pole trójkaa równobocznego i podstawiamy przed chwilą wyliczoną wartość boku.
Odp.: Pole tego trójkąta równobocznego wynosi $$3√3 j^2$$.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Wśród liczb: 0,121212 ...

`0,121212 ...=0,(12)`  - nieskończone rozwinięcie dziesiętne liczby posiada okres, więc liczba ta jest liczbą wymierną

`sqrt169=13` - liczba wymierna

`sqrt7`  - liczba niewymierna, nie istnieje taka liczba, postaci p/q (p,q - liczby całkowite, q≠0), która byłaby wynikiem tego pierwiastka (liczba p/q podniesiona do potęgi drugiej, musiałaby dawać w wyniku liczbe 7).

 

Odp: C

Suma dwóch liczb wynosi 12, a ich różnica 2.

Suma dwóch liczb wynosi 12, więc:
`x+y=12` 

Różnica tych liczb wynosi 2, więc:
`x-y=2` 

Tworzymy układ równań i rozwiązujemy go graficznie. 
`{(x+y=12),(x-y=2):}` 

`{(y=12-x),(y=x-2):}`

Proste te mają jeden punkt wspólny. 

Współrzędne punktu wspólnego obu prostych to:
`(7,5)` 

Sprawdzamy, czy spełnia on pierwsze równanie.
`x+y=12` 
`7+5=12` 
`12=12` 
Równość jest prawdziwa. Punkt ten spełnia pierwsze równanie.

Sprawdzamy, czy spełnia on drugie równanie. 
`x-y=2` 
`7-5=2` 
`2=2` 
Równość jest prawdziwa. Punkt ten spełnia drugie rówananie. 

Wskazana para liczb spełnia oba równanie, więc spełnia również układ równań. 

Poszukiwane liczby to 7 i 5

Uzasadnij, że √3+2√2=√2+1

`sqrt(3+2sqrt2)=sqrt2+1 \ \ \ \ \ \ \ \ |(...)^2` 

Ponieważ obie strony równania są dodatnie, możemy podnieść równanie obustronnie do kwadratu. Gdybyśmy mieli jedną stronę równania ujemną, a drugą dodatnią, nie moglibyśmy podnieść równania stronami do kwadratu, gdyż zmieniłoby nam to wynik rozwiązywanego (lub uzasadnianego) równania.

`(sqrt(3+2sqrt2))^2=(sqrt2+1)^2` 

`3+2sqrt2=(sqrt2+1)(sqrt2+1)`    

`3+2sqrt2=sqrt2*sqrt2+sqrt2*1+1sqrt2+1*1` 

`3+2sqrt2=sqrt4+sqrt2+sqrt2+1` 

`3+2sqrt2=2+2sqrt2+1` 

`3+2sqrt2=3+2sqrt2` 

Porównaj liczby. a) 3²² i 2³³

UWAGA: Rozwiązanie jest podkreślone. 

`a) \ \ 3^22 \ \ stackrel?square \ \ 2^33` 

`3^(11*2) \ \ stackrel?square \ \ 2^(11*3)` 

`(3^2)^11 \ stackrel?square \ \ (2^3)^11` 

`9^11 \ \ > \ \ 8^11` 

`ul(3^22 \ \ > \ \ 2^33)`

`b) \ \ 11^16 \ \ stackrel?square \ \ 5^24` 

`11^(2*8) \ \ stackrel?square \ \ 5^(3*8)` 

`(11^2)^8 \ \ stackrel?square \ \ (5^3)^8` 

`121^8 \ \ < \ \ 125^8` 

`ul(11^16\ \ < \ \ 5^24)`

`c) \ \ 5^60 \ \ stackrel?square \ \ 2^140`

`5^(3*20) \ \ stackrel?square \ \ 2^(7*20)`  

`(5^3)^20 \ \ stackrel?square \ \ (2^7)^20`

`125^20 \ \ < \ \ 128^20`

`ul(5^60\ \ < \ \ 2^140)`

`d) \ \ 2^75 \ \ stackrel?square \ \ 3^45`   

`2^(15*5) \ \ stackrel?square \ \ 3^(15*3)` 

`(2^5)^15 \ \ stackrel?square \ \ (3^3)^15 `

`32^15 \ \ > \ \ 27^15` 

`ul(2^75 \ \ > \ \ 3^45)`

Proste AC i BC są stycznymi do ...

Rysuenk pomocniczy:

 

Odcinek OB oraz OA są równej długości, ponieważ są promieniami okręgu. Stąd trójkąt OAB jest tójkątem równoramiennym. 

Kąty prz podstawie AB, czyli kąty OAC oraz BAO, mają miarę równą α.

Promienie OB oraz OA zostały poprwadzone do punktów styczności stycznej z okręgiem, więc kąt OBC oraz OAC są kątami prostymi.

Stąd otrzymujemy, że miara kąta ABC jest równa 90°-α i miara kąta BAC także jest równa 90°-α.

Trójkąt BAC ma przy podstawie BC kąty o takich samych miarach, więc jest trójkątem równoramiennym, czyli odcinek BC ma taką samą długość jak odcinek AC.

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`  

Możemy także zauważyć, że półprosta CO jest dwusieczną kąta BCA  (ponieważ |OA| = |OB|) . Zatem odcinek AC jest symetryczny do BC względem półprostej CO. Jedną z własności symetrii jest to, że nie zmienia ona wielkości ( w tym przypadku długości ) figur, czyli odcinek BC ma taką samą długość jak odcinek AC.

Oblicz.

Wykonując poprzednie zadania zauważyliśmy, że:

`a^(-n)=1/a^n\ \ \ \ "dla"\ \ a!=0, \ n\inNN`

 

`"a)"\ 5^-1=1/5^1=1/5` 

`\ \ \ (1/5)^-1=1/(1/5)=1*5/1=5` 

 

`"b)"\ 6^-2=1/6^2=1/36` 

`\ \ \ (1/6)^-2=1/(1/6)^2=1/(1/36)=1*36/1=36` 

 

`"c)"\ 3^(-3)=1/3^3=1/27` 

`\ \ \ (1/3)^-3=1/(1/3)^3=1/(1/27)=1*27/1=27` 

Na rysunku prosta AB jest styczna ...

1) Dorysowujemy promień z punktu styczności (odcinek OA).

2) Dorysowujemy kąt prosty między styczną a promieniem.

3) Obliczamy miarę kąta AOB ( od sumy miar kątów w trójkącie odejmujemy 34° i 90°):

`180^"o"-90^"o"-34^"o"=56^"o"`

4) Ze względu na to, że trójką OAD jest równoramienny i prosta EB dzieli go na pół, kąt DOC również będzie miał miarę 56°

5) Kąt wpisany α leży na tym samym łuku co kąt środkowy DOC. Z własności o kącie wpisanym i środkowym opartych na tym samym łuku wiemy, że wpisany jest dwa razy mniejszy od środkowego. Kąt α ma więc miarę:

`56^"o":2=28^"o"` 

 

ODP: C

Niech n oznacza liczbę naturalną. ...

`a) \ 11<=sqrt{n}<=12`

`\ \ \ 11^2<=n<=12^2`

`\ \ \ 121<=n<=144`

Najmniejsza liczba spełniająca warunek to 121
Największa liczba spełniająca warunek to 144
`ul(ul( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 


`b) \ 12<=sqrt{n}<=14` 

`\ \ \ 12^2<=n<=14^2`

`\ \ \ 144<=n<=196`

Najmniejsza liczba spełniająca warunek to 144
Największa liczba spełniająca warunek to 196
`ul(ul( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`


`c) \ 15<=sqrt{n}<=16` 

`\ \ \ 15^2<=n<=16^2`

`\ \ \ 225<=n<=256`

Najmniejsza liczba spełniająca warunek to 225
Największa liczba spełniająca warunek to 256

Jakie są długości odcinków łączących początek układu współrzędnych z podanymi punktami?

Odległość punktu A=(x,y) od początku układu współrzędnych O obliczamy korzystając ze wzoru:
`|AO|=sqrt{x^2+y^2}` 


a) Obliczamy odległość punktu A=(8,6) od początku układu współrzędnych. 
`|AO|=sqrt{x^2+y^2}=sqrt{8^2+6^2}=sqrt{64+36}=sqrt{100}=10` 

Obliczamy odległość punktu B=(-8, -6) od początku układu współrzędnych. 
`|BO|=sqrt{x^2+y^2}=sqrt{(-8)^2+(-6)^2}=sqrt{64+36}=sqrt{100}=10` 

Zauważmy, że odległość tych punktów jest taka sama. Dzieje się tak dlatego, że obie współrzędne podnosimy do kwadratu, więc obliczamy pierwiastek z tej samej liczby, w tym przypadku ze 100. 


b) Obliczamy odległość punktu A=(-5,12) od początku układu współrzędnych. 
`|AO|=sqrt{x^2+y^2}=sqrt{(-5)^2+12^2}=sqrt{25+144}=sqrt{169}=13`  

Obliczamy odległość punktu B=(5, -12) od początku układu współrzędnych. 
`|BO|=sqrt{x^2+y^2}=sqrt{5^2+(-12)^2}=sqrt{25+144}=sqrt{169}=13`  

 

c) Obliczamy odległość punktu A=(9,-12) od początku układu współrzędnych. 
`|AO|=sqrt{x^2+y^2}=sqrt{9^2+(-12)^2}=sqrt{81+144}=sqrt{225}=15` 

Obliczamy odległość punktu B=(-9,12) od początku układu współrzędnych. 
`|BO|=sqrt{x^2+y^2}=sqrt{(-9)^2+12^2}=sqrt{81+144}=sqrt{225}=15` 

 

d) Obliczamy odległość punktu A=(-15,-20) od początku układu współrzędnych. 
`|AO|=sqrt{x^2+y^2}=sqrt{(-15)^2+(-20)^2}=sqrt{225+400}=sqrt{625}=25`  

Obliczamy odległość punktu B=(15,20) od początku układu współrzędnych. 
`|BO|=sqrt{x^2+y^2}=sqrt{15^2+20^2}=sqrt{225+400}=sqrt{625}=25`  

Diagram ilustruje regularne (czyli powtarzające ...

Spróbujmy określić zależność wielkości "a" od numeru, który jest jej przypisany:

`1\ --->\ a=4=2*1+2`  

`2\ --->\ a=6=2*2+4`    

`3\ --->\ a=8=2*3+2`  

`4\ --->\ a=10=2*4+2` 

`5\ --->\ a=12=2*5+2` 

Możemy zauważyć, że liczba jest "a" jest równa podwojonemu numerowi powiększonemu o 2, czyli:

`a=2n+2` 

 

 

Spróbujmy określić zależność wielkości "P" od numeru, który jest jej przypisany:

`1\ --->\ P=6=3*1+3`  

`2\ --->\ P=9=3*2+3`     

`3\ --->\ P=12=3*3+3`  

`4\ --->\ P=15=3*4+3` 

`5\ --->\ P=18=3*5+3=18`  

Możemy zauważyć, że liczba jest "P" jest równa potrojonemu numerowi powiększonemu o 3, czyli:

`P=3n+3` 

 

 

Określamy wartość "a" i "P" dla liczby 6:

`6\ --->\ a=2*6+2=12+2=14` 

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ P=3*6+3=18+3=21`    

 

Określamy wartość "a" i "P" dla liczby 7:

`7\ --->\ a=2*7+2=14+2=16` 

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ P=3*7+3=21+3=24`    

 

Określamy wartość "a" i "P" dla liczby n:

`n\ --->\ a=2*n+2=2n+2` 

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ P=3*n+3=3n+3`