Układy równań - ii-gimnazjum - Baza Wiedzy

Rozwiązywanie układów równań

Aby rozwiązać układ równań najlepiej posłużyć się jedną z dwóch metod: metodą podstawiania lub przeciwnych współczynników.

 

Metoda podstawiania polega na wyznaczeniu z jednego równania jednej niewiadomej w stosunku do drugiej. Następnie otrzymane równanie podstawić do drugiego.

Przykład:

Rozwiązać układ równań ukladyrownan2 metodą podstawiania.


ukladyrownan2
  1. ukladyrownan3

    Wyznaczyliśmy z pierwszego równania x. Teraz wystarczy podstawić otrzymany x do drugiego równania.

  2. ukladyrownan4

    Mając już jedno równanie z jedną niewiadomą należy je po prostu rozwiązać. Mając na końcu już jedno równanie nie trzeba przepisywać całego układu równań!

  3. ukladyrownan5

Rozwiązaniem równania jest para liczb $$x=10$$ i $$y=5$$.

 

Metoda przeciwnych współczynników polega na takim doprowadzeniu dwóch równań by po odjęciu jednego od drugiego zostało równanie z jedną niewiadomą. Jak to zrobić? Wystarczy znaleźć w jednym równaniu jednomian który w drugim będzie jego odwrotnością.

 

Przykład:

Rozwiązać układ równań ukladyrownan6 metodą przeciwnych współczynników.

ukladyrownan6

  1. ukladyrownan7

    Dzięki pomnożeniu pierwszego równania razy 2 doprowadziliśmy do sytuacji gdzie po dodaniu dwóch równań zostanie jedno równanie z jedną niewiadomą.

  2. ukladyrownan8

    Gdy znamy już jedną niewiadomą należy wyznaczyć drugą.

  3. ukladyrownan9

    Rozwiązaniem równania jest para liczb $$y=-2/3$$ i $$x=4$$.

 

Rodzaje układów równań

Przy rozwiązywaniu układów równań warto pamiętać, że nie zawsze muszą być do nich rozwiązania. Są układy równań które mają, nie mają lub mają nieskończoną ilość rozwiązań. Takie układy mają swoje nazwy. 

  • Układ oznaczony to taki który ma jedno rozwiązanie.

    Przykład:

    example1
  • Układ nieoznaczony to taki który ma nieskończoną ilość rozwiązań.

    Przykład:

    example2
  • Układ sprzeczny to taki który nie ma żadnego rozwiązania.

    Przykład:

    example3
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Zapisz podane informacje w postaci układów równań:

  1. Suma liczby x i y wynosi 7, a ich różnica wynosi 3.

  2. Liczba a jest 10 razy większa od liczby b, a liczba b jest o 10 mniejsza od liczby a.

  3. Liczba x jest o 3 większa od liczby y. Liczba y jest o 6 większa od połowy liczby x.

Zadanie 2.

Wyznacz z równań x:

  1. $$ 5x+y=7 $$
  2. $$ 3y-x=3 $$
  3. $$ 3x=y-5 $$
  1. $$ x= {7-y}/5 $$
  2. $$ x=3y-3 $$
  3. $$ x={y-5}/3 $$

Zadanie 3.

Rozwiąż układ równań rownania2

Zadanie 4.

Agnieszka jest starsza od Magdy o 5 lat. Agnieszka mówi, że gdyby każda z nich była dwukrotnie starsza, to Magda byłaby młodsza o 7 lat. Czy Agnieszka nie pomyliła się w obliczeniach?

x -> wiek Magdy

y -> wiek Agnieszki

Układam układ równań, aby sprawdzić czy Agnieszka miała rację:

rownania4

Wychodzi układ sprzeczny -> Agnieszka pomyliła się w swoich obliczeniach.

Odp.: Agnieszka pomyliła się w swoich obliczeniach.

Zadanie 5.

Oblicz:

W klasie IIIb jest o 25% więcej osób niż w IIa. W sumie w tych klasach jest 45 osób. Ile uczniów liczy każda z tych klas?

x -> ilość osób w klasie IIIb

y -> ilość osób w klasie IIa

rownania5

Odp.: W klasie IIIb jest 25 osób, a w klasie IIa jest 20 osób.

Zadanie 6.

Jaki to układ równań rownania6

rownania7

Odp.: Ten układ jest układem nieoznaczonym, ma nieskończoną ilość rozwiązań.

Spis treści

Rozwiązane zadania
W urnie znajdują się...

a) Połączenie ilustruje jedno doświadczenie, które polega na wyciągnięciu 2 kul jednocześnie.

b) Możliwe wyniki to liczba wszystkich połączeń, jest ich 6.

c) Trzeba policzyć ilość połączeń pomiędzy czarnymi kulami, są 3 takie połączenia.

d) Trzeba policzyć ilość połączęn pomiędzy czarną a białą kulą, są 3 takie połączenia.

e) Skoro wszystkich możliwości jest 6 a możliwości na wylosowanie 2 czarnych kul jest 3. To dokładnie połowa możliwości to wybór 2 czarnych kul, szansa wynosi 1/2.

f) Podobnie jak w podpunkcie e czyli 3 możliwości wyboru różnokolorowych kul do 6 możliwości na wybór jakichkolwiek dwóch kul. Szansa wynosi 1/2.

Wynik mnożenia 3x(4y-x) to:

`3x(4y-x)=3x*4y+3x*(-x)=12xy-3x^2`

 

Dla dowolnego trójkąta o kątach 30°, 60°, 90°

`a) \ \ "I przypadek" \ \ (asqrt3)/a=(sqrt3)/1=sqrt3` 

`"II przypadek" \ \ \ \ a/(asqrt3)=1/(sqrt3)*sqrt3/sqrt3=sqrt3/sqrt9=sqrt3/3` 

`b) \ \ "I przypadek" \ \ \ a/(2a)=1/2` 

`"II przypadek" \ \ \ (sqrt3a)/(2a)=sqrt3/2` 

`c) \ \ (1/2)^2+(sqrt3/2)^2=1/4+3/4=1`  

Oblicz wysokość trójkąta równobocznego o boku podanej długości

`"Skorzystamy ze wzoru: " h=(asqrt3)/2`

 

`a)\ h=(18sqrt3)/2\ cm=9sqrt3\ cm`

`b)\ h=(sqrt3*sqrt3)/2\ m=3/2\ m`

`c)\ h=(3/4sqrt3)/2\ cm=3/8sqrt3\ cm`

`d)\ h=(0,024sqrt3)/2\ km=0,012sqrt3\ km`

`e)\ h=((2sqrt3)/3*sqrt3)/2\ cm=((2*sqrt3*sqrt3)/3)/2\ cm=((2*3)/3)/2\ cm=2/2\ cm=1\ cm`

Na rysunku przedstawiono siatkę ...

Siatka ostrosłupa wraz z wymiarami (wymiary podane są w cm; otrzymane wymiary moga się różnić w zależności od dokładności pomiaru).

Obliczamy pole powierzchni podstawy (zaznaczona kolorem fioletowym):

`P_p=1,1*1,7=1,87\ ["cm"^2]` 

Obliczamy pole powierzchni ścian bocznych (dwie ściany zaznaczone kolorem niebieskim i dwie ściany zaznaczone kolorem żółtym):

`P_(sb)=(1,7*1,5)/2+(1,1*1,6)/2=(1,65)/2+(1,76)/2=0,825+0,88=1,705\ ["cm"^2]` 

Prostokątna sala lekcyjna ma z metrów szerokości i t metrów długości.

Szerokość i długość sali podano w metrach, zatem szerokość drzwi również należy wyrazić w metrach.

Listwę należy w sali położyć wzdłuż ścian, omijając drzwi. 
Długość listwy w metrach wynosi więc:
`L=t+z+z+t-0,9` 
`L=2t+2z-0,9` 


Wyznaczamy długość z:
`L=2t+2z-0,9 \ \ \ \ \ \ |-2t`  
`L-2t=2z-0,9 \ \ \ \ \ \ |+0,9` 
`L-2t+0,9=2z \ \ \ \ \ \ \ |:2` 
`z=1/2(L-2t+0,9)`   

Oblicz objętość prostopadłościanu o podanych wymiarach

`a)\ V=5*6*8=30*8=240\ cm^3`

`b)\ 10*20*3=200*3=600\ cm^3`

`c)\ 0,5*2*9=1*9=9\ m^3`

`d)\ 1/3*12*1/2=4*1/2=2\ cm^3`

`e)\ 5*5*15=25*15=20*15+5*15=300+75=375\ cm^3`

`f)\ 0,6*1,5*5=0,6*5*1,5=3*1,5=4,5\ m^3`

Suma liczb a i b jest równa 5, a suma ...

Suma liczb a i b wynosi 5, czyli:
`a+b=5` 

Suma podwojonej liczby a i połowy liczby b wynosi 13. 
`2a+1/2b=13` 


Układ równań ma więc postać:

`\ \ \ {(a+b=5),(2a+1/2b=13 \ \ \ \ \ |*(-2)):}`  

Rozwiązujemy powyższy układ. 

`+ \ {(a+b=5),(-4a-b=-26):}`  
`\ \ \ ^ul( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )` 
`\ \ \ \ \ \ -3a=-21 \ \ \ \ \ |:(-3)` 
`\ \ \ \ \ \ \ a=7` 

`\ \ \ {(a=7),(a+b=5):}`      

W miejsce a w drugim równaniu wstawiamy 7 i obliczamy ile wynosi b. 
`a+b=5` 
`7+b=5 \ \ \ \ \ \ \ \ \ |-7` 
`b=-2` 

Rozwiązaniem układu równań jest para liczb:

`{(a=7),(b=-2):}` 

Oblicz w pamięci.

`"a)"\ 4^2=16` 

`"b)"\ 7^2=49` 

`"c)"\ (1/9)^2=1/81` 

`"d)" \ (5/7)^2=25/49` 

`"e)"\ 10^5=100000` 

Liczba ujemna podniesiona do potęgi nieparzystej daje w wyniku liczbę ujemną.

`"f)"\ (-10)^7=-10000000` 

`"g)"\ 4^3=64` 

Liczba ujemna podniesiona do potęgi parzystej daje w wyniku liczbę dodatnią.

`"h)"\ (-3)^4=81` 

`"i)"\ 0^13=0` 

`"j)"\ 0^2000=0` 

`"k)"\ 2000^0=1` 

`"l)"\ (-1000)^0=1` 

`"m)"\ 1^503=1` 

`"n)"\ (-1)^15=-1` 

`"o)"\ 43^1=43` 

`"p)"\ (-1)^1=-1` 

`"r)"\ (1/4)^3=1/64` 

`"s)"\ (-1/2)^4=1/16` 

`"t)"\ 0,1^4=0,0001` 

`"u)"\ 0,2^3=0,008`  

Oblicz pole koła o obwodzie ...

`a) \ l=2pir` 
`\ \ \ \ P=pir^2` 

`l=16picm`  
`16picm=2pir \ \ \ \ \ \ |:2pi` 
`r=8cm` 

`P=pi*(8cm)^2=64picm^2` 
`ul( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )` 

`l=pim`  
`pim=2pir \ \ \ \ \ \ |:2pi` 
`r=1/2m` 

`P=pi*(1/2m)^2=1/4pim^2` 
`ul( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )` 


`l=0,12pimm`  
`0,12pimm=2pir \ \ \ \ \ \ |:2pi` 
`r=0,06mm` 

`P=pi*(0,06mm)^2=0,0036pimm^2`  
`ul( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )` 


`l=2/3pikm`  
`2/3pikm=2pir \ \ \ \ \ \ \ \ \|:2pi` 
`r=1/3km` 

`P=pi*(1/3km)^2=1/9pikm^2` 
`ul( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )` 


`l=4dm`  
`4dm=2pir \ \ \ \ \ \ \ \ \ |:2pi` 
`r=2/pi dm` 

`P=pi*(2/pidm)^2=strike(pi)*4/strike(pi^2)^(pi)dm^2=4/pidm^2` 
`ul(ul( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 


`b) \ P=pir^2`  
`\ \ \ \ l=2pir` 


`P=16picm^2`  
`16picm^2=pir^2 \ \ \ \ \ \ \ |:pi` 
`16cm^2=r^2` 
`r=4cm` 

`l=2pi*4cm=8picm` 
`ul( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )` 


`P=4/9pim^2`  
`4/9pim^2=pir^2 \ \ \ \ \ \ \ \ |:pi` 
`4/9m^2=r^2` 
`r=2/3m` 

`l=2pi*2/3m=4/3pim` 
`ul( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )` 


`P=0,25pimm^2` 
`0,25pimm^2=pir^2 \ \ \ \ \ \ \ \ \ |:pi` 
`0,25mm^2=r^2` 
`r=0,5mm` 

`l=2pi*0,5mm=pimm` 
`ul( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )` 


`P=2pidm^2`  
`2pidm^2=pir^2 \ \ \ \ \ \ \ \ |:pi` 
`2dm^2=r^2` 
`r=sqrt{2}dm` 

`l=2pi*sqrt{2}dm=2sqrt{2}pidm` 
`ul( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )` 


`P=3km^2` 
`3km^2=pir^2 \ \ \ \ \ \ \ |:pi` 
`3/pikm^2=r^2` 
`r=sqrt{3/pi}km=sqrt{3}/sqrt{pi}km*sqrt{pi}/sqrt{pi}=sqrt{3pi}/pikm`  

`l=2strike(pi)*sqrt{3pi}/strike(pi)km=2sqrt{3pi}km`