Układy równań - ii-gimnazjum - Baza Wiedzy

Rozwiązywanie układów równań

Aby rozwiązać układ równań najlepiej posłużyć się jedną z dwóch metod: metodą podstawiania lub przeciwnych współczynników.

 

Metoda podstawiania polega na wyznaczeniu z jednego równania jednej niewiadomej w stosunku do drugiej. Następnie otrzymane równanie podstawić do drugiego.

Przykład:

Rozwiązać układ równań ukladyrownan2 metodą podstawiania.


ukladyrownan2
  1. ukladyrownan3

    Wyznaczyliśmy z pierwszego równania x. Teraz wystarczy podstawić otrzymany x do drugiego równania.

  2. ukladyrownan4

    Mając już jedno równanie z jedną niewiadomą należy je po prostu rozwiązać. Mając na końcu już jedno równanie nie trzeba przepisywać całego układu równań!

  3. ukladyrownan5

Rozwiązaniem równania jest para liczb $$x=10$$ i $$y=5$$.

 

Metoda przeciwnych współczynników polega na takim doprowadzeniu dwóch równań by po odjęciu jednego od drugiego zostało równanie z jedną niewiadomą. Jak to zrobić? Wystarczy znaleźć w jednym równaniu jednomian który w drugim będzie jego odwrotnością.

 

Przykład:

Rozwiązać układ równań ukladyrownan6 metodą przeciwnych współczynników.

ukladyrownan6

  1. ukladyrownan7

    Dzięki pomnożeniu pierwszego równania razy 2 doprowadziliśmy do sytuacji gdzie po dodaniu dwóch równań zostanie jedno równanie z jedną niewiadomą.

  2. ukladyrownan8

    Gdy znamy już jedną niewiadomą należy wyznaczyć drugą.

  3. ukladyrownan9

    Rozwiązaniem równania jest para liczb $$y=-2/3$$ i $$x=4$$.

 

Rodzaje układów równań

Przy rozwiązywaniu układów równań warto pamiętać, że nie zawsze muszą być do nich rozwiązania. Są układy równań które mają, nie mają lub mają nieskończoną ilość rozwiązań. Takie układy mają swoje nazwy. 

  • Układ oznaczony to taki który ma jedno rozwiązanie.

    Przykład:

    example1
  • Układ nieoznaczony to taki który ma nieskończoną ilość rozwiązań.

    Przykład:

    example2
  • Układ sprzeczny to taki który nie ma żadnego rozwiązania.

    Przykład:

    example3
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Zapisz podane informacje w postaci układów równań:

  1. Suma liczby x i y wynosi 7, a ich różnica wynosi 3.

  2. Liczba a jest 10 razy większa od liczby b, a liczba b jest o 10 mniejsza od liczby a.

  3. Liczba x jest o 3 większa od liczby y. Liczba y jest o 6 większa od połowy liczby x.

Zadanie 2.

Wyznacz z równań x:

  1. $$ 5x+y=7 $$
  2. $$ 3y-x=3 $$
  3. $$ 3x=y-5 $$
  1. $$ x= {7-y}/5 $$
  2. $$ x=3y-3 $$
  3. $$ x={y-5}/3 $$

Zadanie 3.

Rozwiąż układ równań rownania2

Zadanie 4.

Agnieszka jest starsza od Magdy o 5 lat. Agnieszka mówi, że gdyby każda z nich była dwukrotnie starsza, to Magda byłaby młodsza o 7 lat. Czy Agnieszka nie pomyliła się w obliczeniach?

x -> wiek Magdy

y -> wiek Agnieszki

Układam układ równań, aby sprawdzić czy Agnieszka miała rację:

rownania4

Wychodzi układ sprzeczny -> Agnieszka pomyliła się w swoich obliczeniach.

Odp.: Agnieszka pomyliła się w swoich obliczeniach.

Zadanie 5.

Oblicz:

W klasie IIIb jest o 25% więcej osób niż w IIa. W sumie w tych klasach jest 45 osób. Ile uczniów liczy każda z tych klas?

x -> ilość osób w klasie IIIb

y -> ilość osób w klasie IIa

rownania5

Odp.: W klasie IIIb jest 25 osób, a w klasie IIa jest 20 osób.

Zadanie 6.

Jaki to układ równań rownania6

rownania7

Odp.: Ten układ jest układem nieoznaczonym, ma nieskończoną ilość rozwiązań.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Który graniastosłup jest prawidłowy

Graniastosłup prawidłowy to taki, którego podstawą jest wielokąt foremny, a krawędzie boczne są prostopadłe do płaszczyzny podstawy. Takim graniastosłupem jest C. 

Dany jest sześcian

Przekrój przecina całą bryłę. Czworokąt EFGH nie może być przekrojem, bo nie przechodzi przez całą bryłę:

Przekrój bryły płaszczyzną przechodzącą przez punkty E, F, G, H jest sześciokątem:

 

Należy zaznaczyć odpowiedź D. 

Wyjaśnij, dlaczego układ równań ...

Pierwsze równanie ma postać:
`x-y=5` 

Oznacza ono, że różnica dwóch liczb wynosi 5. 


Drugie równanie ma postać:
`x-y=10` 

Oznacza ono, że różnica dwóch liczb (takich samych jak w równaniu pierwszym) wynosi 10. 


Różnica dwóch liczb x i y nie może jednocześnie wynosić 5 i 10. 
Może ona wynosić 5 lub 10, ale nie jednocześnie 5 i 10. 

Oznacza to, że układ równań:
`{(x-y=5),(x-y=10):}` 
nie ma rozwiązań, czyli jest układem sprzecznym. 

Określ, czy podana liczba jest dodatnia czy ujemna.

Liczba dodatnia podniesiona do potęgi o jakimkolwiek wykładniku jest dodatnia.

Liczba ujemna podniesiona do nieparzystej potęgi daje w wyniku liczbę ujemną.

Liczba ujemna podniesiona do parzystej potęgi daje w wyniku liczbę dodatnią.

a) Podana liczba jest dodatnia.

b) Podana liczba jest ujemna.

c) Podana liczba jest dodatnia.

d) Podana liczba jest ujemna.

e) Podana liczba jest dodatnia.

f) Podana liczba jest ujemna.

Piramidzie Cheopsa jest ostrosłupem prawidłowym czworokatnym

Obliczamy x korzystając z twierdzenia Pitagorasa: 

`x^2+x^2=230^2` 

`x^2*2=52900\ \ \ |:2` 

`x^2=26450` 

`x=sqrt(26450)=` `sqrt(25*1058)=5sqrt1058\ m` 

 

Teraz ponownie stosujemy twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta zamalowanego na niebiesko:

`x^2+h^2=218^2` 

`26450+h^2=47524\ \ \ |-26450` 

`h^2=21074` 

`h=sqrt(21074)~~145,17\ m~~145\ m`     

Funkcja przyjmuje wartości ujemne dla

`odp.\ C`

Znajdź trzy kolejne liczby naturalne, których suma jest równa:

Wzór na trzy kolejne liczby naturalne:

n+n+1+n+2

3n+3

 

a)

3n+3=126

3n=126-3

3n=123             /: 3

n=41

 

b)

451=3n+3n

451-3=3n

448=3n                  /:3

n= 149,(3)

n nie jest naturalne- nie ma takich liczb

Z podanego równania wyznacz x. a) 2x+8=3y

`a) \ \ 2x+8=3y \ \ \ |-8` 

`2x=3y-8 \ \ \ |:2` 

`x=(3y-8)/2` 

`x=(3y)/2-8/2` 

`x=1 1/2y-4` 

`b) \ \ 3-2(x+2y)=1` 

`3-2x-4y=1 \ \ \ \|+4y` 

`3-2x=1+4y \ \ \ |-3` 

`-2x=4y-2 \ \ \ |:(-2)` 

`x=(4y)/(-2)-2/(-2)` 

`x=-2y+1` 

 

Do każdego z trzech układów ...

Rozwiążemy układ równań metodą przeciwnych współczynników.

`+\ \{ (3x-y=2),(ul(2x+y=8)):}`

`\ \ \ \ \ 5x=10\ \ \ \ |:5`

`\ \ \ \ \ \ x=2`

Podstawy x = 2 do pierwszego równania, aby obliczyć y.

`3*2-y=2`

`6-y=2\ \ \ \ |-6`

` -y=-4\ \ \ \ \ |*(-1)`

` y=4`

 

Rozwiązaniem układu równań jest para liczb:

`{(x=2),(y=4):}`

Odpowiedź: C

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

Rozwiążemy układ równań metodą podstawiania.

`{ (3x-y=2),(x-y=1):}`

Z pierwszego równania obliczmy y.

`{ (3x-y=2\ \ \ |-3x),(x-y=1):}`

`{ (-y=2-3x\ \ \ |*(-1)),(x-y=1):}`

`{ (y=-2+3x),(x-y=1):}`

Podstawmy obliczony y do drugiego równania.

`x-(-2+3x)=1`

`x+2-3x=1`

`-2x+2=1\ \ \ \ |-2`

`-2x=-1\ \ \ |:-2`

`x=1/2`

Podstawmy x do pierwszego równania.

`y=-2+3*1/2`

`y=-2+3/2=-1/2`

Rozwiązaniem układu równań jest para liczb:

`{(x=1/2),(y=-1/2):}`

Odpowiedź: B

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

Rozwiążemy układ równań metodą przeciwnych współczynników.

`{ (2y-6x=-4),(3y-5x=-6):}`

`{ (2y-6x=-4\ \ \ |*(-3)),(3y-5x=-6\ \ \ |*2):}`

`+\ \ { (-6y+18x=12),(ul(6y-10x=-12)):}`

`\ \ \ \ \ 8x=0\ \ \ \ |:8`

`\ \ \ \ \ \ x=0`

Podstawy x = 0 do pierwszego równania, aby obliczyć y.

`-6y+18*0=12`

`-6y=12\ \ \ \ |:-6`

` y=-2`

 

Rozwiązaniem układu równań jest para liczb:

`{(x=0),(y=-2):}`

Odpowiedź: E

Ustal, czy wielkości x i y są wprost proporcjonalne

a) Sprawdzamy, czy współczynnik proporcjonalności dla każdego zestawu liczb jest taki sam.

`a=y/x` 

`a=2/1=2` 

`a=(2+2)/2=4/2=2` 

`a=(2+2+2)/3=6/3=2` 

`a=(2+2+2+2)/4=8/4=2` 

 Wielkości x i y są wprost proporcjonalne. Współczynnik proporcjonalności wynosi 2.

b)

`a=(2+2)/1=4/1=4` 

`a=(2+2+2)/2=6/2=3` 

`a=(2+2+2+2)/3=8/3=2 2/3`    

 Wielkości x i y nie są wprost proporcjonalne.

c)

`a=2/1=2` 

`a=(2*2)/2=4/2=2` 

`a=(2*2*2)/3=8/3=2 2/3` 

 

 Wielkości x i y nie są wprost proporcjonalne.