Układy równań - ii-gimnazjum - Baza Wiedzy

Rozwiązywanie układów równań

Aby rozwiązać układ równań najlepiej posłużyć się jedną z dwóch metod: metodą podstawiania lub przeciwnych współczynników.

 

Metoda podstawiania polega na wyznaczeniu z jednego równania jednej niewiadomej w stosunku do drugiej. Następnie otrzymane równanie podstawić do drugiego.

Przykład:

Rozwiązać układ równań ukladyrownan2 metodą podstawiania.


ukladyrownan2
  1. ukladyrownan3

    Wyznaczyliśmy z pierwszego równania x. Teraz wystarczy podstawić otrzymany x do drugiego równania.

  2. ukladyrownan4

    Mając już jedno równanie z jedną niewiadomą należy je po prostu rozwiązać. Mając na końcu już jedno równanie nie trzeba przepisywać całego układu równań!

  3. ukladyrownan5

Rozwiązaniem równania jest para liczb $$x=10$$ i $$y=5$$.

 

Metoda przeciwnych współczynników polega na takim doprowadzeniu dwóch równań by po odjęciu jednego od drugiego zostało równanie z jedną niewiadomą. Jak to zrobić? Wystarczy znaleźć w jednym równaniu jednomian który w drugim będzie jego odwrotnością.

 

Przykład:

Rozwiązać układ równań ukladyrownan6 metodą przeciwnych współczynników.

ukladyrownan6

  1. ukladyrownan7

    Dzięki pomnożeniu pierwszego równania razy 2 doprowadziliśmy do sytuacji gdzie po dodaniu dwóch równań zostanie jedno równanie z jedną niewiadomą.

  2. ukladyrownan8

    Gdy znamy już jedną niewiadomą należy wyznaczyć drugą.

  3. ukladyrownan9

    Rozwiązaniem równania jest para liczb $$y=-2/3$$ i $$x=4$$.

 

Rodzaje układów równań

Przy rozwiązywaniu układów równań warto pamiętać, że nie zawsze muszą być do nich rozwiązania. Są układy równań które mają, nie mają lub mają nieskończoną ilość rozwiązań. Takie układy mają swoje nazwy. 

  • Układ oznaczony to taki który ma jedno rozwiązanie.

    Przykład:

    example1
  • Układ nieoznaczony to taki który ma nieskończoną ilość rozwiązań.

    Przykład:

    example2
  • Układ sprzeczny to taki który nie ma żadnego rozwiązania.

    Przykład:

    example3
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Zapisz podane informacje w postaci układów równań:

  1. Suma liczby x i y wynosi 7, a ich różnica wynosi 3.

  2. Liczba a jest 10 razy większa od liczby b, a liczba b jest o 10 mniejsza od liczby a.

  3. Liczba x jest o 3 większa od liczby y. Liczba y jest o 6 większa od połowy liczby x.

Zadanie 2.

Wyznacz z równań x:

  1. $$ 5x+y=7 $$
  2. $$ 3y-x=3 $$
  3. $$ 3x=y-5 $$
  1. $$ x= {7-y}/5 $$
  2. $$ x=3y-3 $$
  3. $$ x={y-5}/3 $$

Zadanie 3.

Rozwiąż układ równań rownania2

Zadanie 4.

Agnieszka jest starsza od Magdy o 5 lat. Agnieszka mówi, że gdyby każda z nich była dwukrotnie starsza, to Magda byłaby młodsza o 7 lat. Czy Agnieszka nie pomyliła się w obliczeniach?

x -> wiek Magdy

y -> wiek Agnieszki

Układam układ równań, aby sprawdzić czy Agnieszka miała rację:

rownania4

Wychodzi układ sprzeczny -> Agnieszka pomyliła się w swoich obliczeniach.

Odp.: Agnieszka pomyliła się w swoich obliczeniach.

Zadanie 5.

Oblicz:

W klasie IIIb jest o 25% więcej osób niż w IIa. W sumie w tych klasach jest 45 osób. Ile uczniów liczy każda z tych klas?

x -> ilość osób w klasie IIIb

y -> ilość osób w klasie IIa

rownania5

Odp.: W klasie IIIb jest 25 osób, a w klasie IIa jest 20 osób.

Zadanie 6.

Jaki to układ równań rownania6

rownania7

Odp.: Ten układ jest układem nieoznaczonym, ma nieskończoną ilość rozwiązań.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Uporządkuj jednomiany.

Aby uporządkować jednomian mnożymy liczby występujące w jednomianie i wynik zapisujemy na początku tego jednomianu.
Iloczyn jednakowych czynników literowych zapisujemy za pomocą potęgi i zapisujemy je w porządku alfabetycznym.

Mnożąc czynniki literowe pamiętamy o własności potęgowania:

`a^m*a^n=a^{m+n}`

 

`"a)"\ 2x*x=2x^2`

`"b)"\ 4p*2p=8p^2`

`"c)"\ -3a*5a^2=-15a^3`

`"d)"\ 2c^2*7c^3=14c^5`

`"e)"\ -2m^2*(-7m^3)=14m^5`

`"f)"\ 3xy*2x=6x^2y`

`"g)"\ -4pq*5p^2q=-20p^3q^2`

`"h)"\ 6n*(-2m)*n^2=-12mn^3`

`"i)"\ -3b^2*(-2ba)*b=6ab^4`

Jaką funkcję: rosnącą, malejącą czy stałą, przedstawiono w układzie współrzędnych?

Ta funkcja jest malejąca, ponieważ coraz większym argumentom odpowiadają coraz mniejsze wartości funkcji (B)

Połącz w pary równe liczby.

Obliczamy wartość każdego z pierwiastków i łączymy z odpowiednim wynikiem. 

`A. \ root{3}{11^3}=11 \ \ \ - \ "III."` 

`B. \ root{3}{-11^3}=-root{3}{11^3}=-11 \ \ \ - \ "IV."` 


`C. \ root{3}{11^-3}=root{3}{(1/11)^3}=1/11 \ \ \ - \ "I."` 


`D. \ root{3}{-11^-3}=-root{3}{11^-3}=-root{3}{(1/11)^3}=-1/11 \ \ \ - \ "II."` 

Ile wierzchołków ma wielokąt foremny, jeśli

Suma miar wszystkich kątów n-kąta foremnego określona jest wzorem:

`(n-2)*180^o` 

Sporządzamy zatem następujące równanie:

`(n-2)*180^o=1800^o \ \ \ \ \ \ \ \ |:180^o` 

`n-2=10 \ \ \ \ \ \ |+2` 

`n=12` 

Rozwiąż równanie

`a)\ 4x^2+7=71\ \ \ |-7`

`\ \ \ 4x^2=64\ \ \ |:4`

`\ \ \ x^2=16`

`\ \ \ x=4\ \ \ albo\ \ \ x=-4`

 

`b)\ 5(x^2-6)=7x^2-80`

`\ \ \ 5x^2-30=7x^2-80\ \ \ |-5x^2`

`\ \ \ -30=2x^2-80\ \ \ |+80`

`\ \ \ 50=2x^2\ \ \ |:2`

`\ \ \ x^2=25`

`\ \ \ x=5\ \ \ albo\ \ \ x=-5`

 

`c)\ x(x-2)=4(1-0,5x)`

`\ \ \ x^2-2x=4-2x\ \ \ |+2x`

`\ \ \ x^2=4`

`\ \ \ x=2\ \ \ albo\ \ \ x=-2`

 

`d)\ (x+6)^2-12x=0`

`\ \ \ x^2+12x+36-12x=0`

`\ \ \ x^2+36=0\ \ \ |-36`

`\ \ \ x^2=-36`

równanie jest sprzeczne (żadna liczba podniesiona do kwadratu nie da wyniku ujemnego)

 

`e)\ (x-1)^2+(2x-1)^2=47-6x`

`\ \ \ x^2-2x+1+4x^2-4x+1=47-6x`

`\ \ \ 5x^2-6x+2=47-6x\ \ \ |+6x`

`\ \ \ 5x^2+2=47\ \ \ |-2`

`\ \ \ 5x^2=45\ \ \ |:5`

`\ \ \ x^2=9`

`\ \ \ x=3\ \ \ albo\ \ \ x=-3`

 

`f)\ x^2(x-2)=-2x(x+4)+8(x-1)`

`\ \ \ x^3-2x^2=-2x^2-8x+8x-8`

`\ \ \ x^3-2x^2=-2x^2-8\ \ \ |+2x^2`

`\ \ \ x^3=-8`

`\ \ \ x=-2`

 

Moneta o nominale 5 zł ma średnicę 24 mm. Czy na

Obliczmy, ile monet o nominale 5 zł ma łączną wartość 8000 zł:

`8000 \ "zł":5 \ "zł"=16000` 

Obliczmy łączną powierzchnię 16000 monet o średnicy 24 mm (czyli promieniu 12 mm):

`P_1=16000*pi*(12 \ "mm")^2=16000*pi*144 \ "mm"^2=2 \ 304 \ 000 \ "mm"^2` 

Obliczmy powierzchnię stołu o wymiarach 60 cm x 120 cm.

`P_2=60 \ "cm"*120 \ "cm"=7200 \ "cm"^2=7200*(10 \ "mm")^2=7200*100 \ "mm"^2=720 \ 000 \ "mm"^2` 

`720 \ 000 \ "mm"^2 \ < \ 2 \ 304 \ 000 \ "mm"^2` 

 

Przepisz do zeszytu i uzupełnij

`"Objętość ostrosłupa obliczamy, biorąc trzecią część iloczynu pola podstawy i wysokości:"`

`"V"=1/3*"P"_"p"*"h"`

 

Sąsiednie wierzchołki wielokąta foremnego ...

Wielokąt ten jest ośmiokątem foremnym.        PRAWDA

Pole tego wielokąta wynosi 162 cm2.               FAŁSZ

 

Rysunek pomocniczy:

Przyjmijmy oznaczenia, jak na rysunku. 

Z treści zadania wiemy, że łuk DC ma długość 2π cm oraz promień okręgu ma 8 cm.

Obliczamy długość całego okręgu:

`l=2pir=2pi*8=16pi\ ["cm"]` 

Łuk o długości 2π cm stanowi więc 1/8 długości okręgu:

`(2pi)/(16pi)=1/8` 

Kąt pomiędzy promieniami OD i OC stanowi więc 1/8 kąta pełnego, czyli:

`1/strike8^1*strike(360^@)^(45^@)=45^@` 

Wielokąt jest więc 8 kątem foremnym, gdyż kąty pomiędzy promieniami poprowadzonymi do sąsiadujących wierzchołków mają miarę 45o:

`360^@:45^@=8` 

 

Ośmiokąt foremny możemy podzielić na 8 trójkątów równoramiennych.

Zauważymy, że jeżeli połączymy dwa takie trójkąty, to otrzymamy deltoidy (wówczas ośmiokąt foremny możemy podzielić na 4 deltoidy).

Aby obliczyć pole deltoidu ABCO, musimy znać długości odcinków OB i AC.

Odcinek OB jest promieniem koła, więc jego długość to 8 cm:

`|OB|=8\ "cm"` 

Trójkąt AOC jest prostokątnym trójkątem równoramiennym, więc długość odcinka CA wynosi:

`|CA|=8sqrt2\ "cm"` 

 

Obliczamy pole deltoidu ABCO:

`P_(ABCO)=(strike8^4*8sqrt2)/strike2^1=32sqrt2\ ["cm"^2]` 

Ośmiokąt składa się z czterech przystających deltoidów więc jego pole jest równe:

`P_o=4*32sqrt2=128sqrt2\ ["cm"^2]`  

Narysuj okrąg. Poprowadź w nim cięciwę: a) równą

a) Rysujemy okrąg. Nie zmieniając rozwartości cyrkla wbijamy go w dowolny punkt na okręgu i kreślimy łuk przecinający okrąg w innym punkcie. Łączymy te dwa punkty. 

b) Cięciwą dwa razy dłuższą od promienia okręgu jest średnica tego okręgu. Kreślimy prostą przechodzącą przez środek okręgu. Zaznaczamy punkty przecięcia tej prostej z okręgiem. Odcinek łączący te punkty to średnica okręgu. 

 

Przyjrzyjcie się rysunkom

`rarr`

Ostrosłup, którego podstawą jest n-kąt ma:

  • n+1 ściany (n ścian bocznych+podstawa)
  • 2n krawędzi (n krawędzi podstawie+n krawędzi bocznych)
  • n+1 wierzchołków (n wierzchołków przy podstawie+"główny" wierzchołek ostrosłupa)

`rarr`

Z poprzedniego podpunktu wiemy już, że jeśli podstawą ostrsołupa jest wielokąt mający n krawędzi, to taki ostrosłup ma 2n krawędzi - jest to liczba parzysta. 

Liczba 101 jest liczbą nieparzystą - nie istnieje ostrosłup, mający 101 krawędzi.