Układy równań - ii-gimnazjum - Baza Wiedzy

Rozwiązywanie układów równań

Aby rozwiązać układ równań najlepiej posłużyć się jedną z dwóch metod: metodą podstawiania lub przeciwnych współczynników.

 

Metoda podstawiania polega na wyznaczeniu z jednego równania jednej niewiadomej w stosunku do drugiej. Następnie otrzymane równanie podstawić do drugiego.

Przykład:

Rozwiązać układ równań ukladyrownan2 metodą podstawiania.


ukladyrownan2
  1. ukladyrownan3

    Wyznaczyliśmy z pierwszego równania x. Teraz wystarczy podstawić otrzymany x do drugiego równania.

  2. ukladyrownan4

    Mając już jedno równanie z jedną niewiadomą należy je po prostu rozwiązać. Mając na końcu już jedno równanie nie trzeba przepisywać całego układu równań!

  3. ukladyrownan5

Rozwiązaniem równania jest para liczb $$x=10$$ i $$y=5$$.

 

Metoda przeciwnych współczynników polega na takim doprowadzeniu dwóch równań by po odjęciu jednego od drugiego zostało równanie z jedną niewiadomą. Jak to zrobić? Wystarczy znaleźć w jednym równaniu jednomian który w drugim będzie jego odwrotnością.

 

Przykład:

Rozwiązać układ równań ukladyrownan6 metodą przeciwnych współczynników.

ukladyrownan6

  1. ukladyrownan7

    Dzięki pomnożeniu pierwszego równania razy 2 doprowadziliśmy do sytuacji gdzie po dodaniu dwóch równań zostanie jedno równanie z jedną niewiadomą.

  2. ukladyrownan8

    Gdy znamy już jedną niewiadomą należy wyznaczyć drugą.

  3. ukladyrownan9

    Rozwiązaniem równania jest para liczb $$y=-2/3$$ i $$x=4$$.

 

Rodzaje układów równań

Przy rozwiązywaniu układów równań warto pamiętać, że nie zawsze muszą być do nich rozwiązania. Są układy równań które mają, nie mają lub mają nieskończoną ilość rozwiązań. Takie układy mają swoje nazwy. 

  • Układ oznaczony to taki który ma jedno rozwiązanie.

    Przykład:

    example1
  • Układ nieoznaczony to taki który ma nieskończoną ilość rozwiązań.

    Przykład:

    example2
  • Układ sprzeczny to taki który nie ma żadnego rozwiązania.

    Przykład:

    example3
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Zapisz podane informacje w postaci układów równań:

  1. Suma liczby x i y wynosi 7, a ich różnica wynosi 3.

  2. Liczba a jest 10 razy większa od liczby b, a liczba b jest o 10 mniejsza od liczby a.

  3. Liczba x jest o 3 większa od liczby y. Liczba y jest o 6 większa od połowy liczby x.

Zadanie 2.

Wyznacz z równań x:

  1. $$ 5x+y=7 $$
  2. $$ 3y-x=3 $$
  3. $$ 3x=y-5 $$
  1. $$ x= {7-y}/5 $$
  2. $$ x=3y-3 $$
  3. $$ x={y-5}/3 $$

Zadanie 3.

Rozwiąż układ równań rownania2

Zadanie 4.

Agnieszka jest starsza od Magdy o 5 lat. Agnieszka mówi, że gdyby każda z nich była dwukrotnie starsza, to Magda byłaby młodsza o 7 lat. Czy Agnieszka nie pomyliła się w obliczeniach?

x -> wiek Magdy

y -> wiek Agnieszki

Układam układ równań, aby sprawdzić czy Agnieszka miała rację:

rownania4

Wychodzi układ sprzeczny -> Agnieszka pomyliła się w swoich obliczeniach.

Odp.: Agnieszka pomyliła się w swoich obliczeniach.

Zadanie 5.

Oblicz:

W klasie IIIb jest o 25% więcej osób niż w IIa. W sumie w tych klasach jest 45 osób. Ile uczniów liczy każda z tych klas?

x -> ilość osób w klasie IIIb

y -> ilość osób w klasie IIa

rownania5

Odp.: W klasie IIIb jest 25 osób, a w klasie IIa jest 20 osób.

Zadanie 6.

Jaki to układ równań rownania6

rownania7

Odp.: Ten układ jest układem nieoznaczonym, ma nieskończoną ilość rozwiązań.

Spis treści

3 szkoły podstawowej
4 szkoły podstawowej
5 szkoły podstawowej
6 szkoły podstawowej
7 szkoły podstawowej
II gimnazjum
III gimnazjum
Matura podstawowa
Matura rozszerzona
Rozwiązane zadania
Pomiędzy jakimi wielkościami na osi należy umieścić

Przyjmijmy, że średni wzrost człowieka to 1,7 m. Chcąc zapisać tą liczbę  w postaci potęgi liczby 10, najbliższym przybliżeniem będzie 100, czyli 1 (m). Tym samym człowieka na osi trzeba umieścić pomiędzy wielkościami 100 i 102.

 

Wskaż liczbę naturalną, którą można przedstawić ...

Podstawa potęgi wynosi 5. 

Wykładnik potęgi ma być liczbą naturalną. 


Liczba naturalna, którą można przedstawić w postaci potęgi o podstawie 5 i wykładniku będącym liczbą naturalną to 125, bo:
`125=5^3` 


Poprawna odpowiedź to: B. 125

Oblicz, korzystając z wartości podanych w tabeli.

`a) \ \ 2^2*2^4=2^(2+4)=2^6=64`

`b) \ \ 2^3*2^5=2^(3+5)=2^8=256`

`c) \ \ 3^2*3^3=3^(2+3)=3^5=243`

`d) \ \ 2^5*2^3*2=2^(5+3+1)=2^9=512`

`e) \ \ 2^5*2^0*2^5=2^(5+0+5)=2^10=1024`

`f) \ \ 3^5*3*3^0=3^(5+1+0)=3^6=729`

`g) \ \ 2^9:2^6=2^(9-6)=2^3=8`

`h) \ \ 3^9:3^5=3^(9-5)=3^4=81`

`i) \ \ 3^7:3=3^(7-1)=3^6=729`

Oblicz kwadrat liczby 24.

`24^2=24*24=576` 

Połącz równe wyrażenia.

Korzystamy ze wzoru:

`(a*b)^m=a^m*b^m `

`(a/b)^n=a^n/b^n `

Ponadto ułamek możemy zapisać w postaci ilorazu, wtedy:

`(a:b)^n=a^n:b^n`

 

 

`(2:3)^5=(2/3)^5=2^5/3^5=2^5:3^5`

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )`

`(3/2)^5=3^5/2^5=3^5:2^5=(3:2)^5`

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )`

`6^5=(2*3)^5=3^5*2^5`

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )`

`1/3*2^5=2^5/3`

Odczytaj datę zapisaną w systemie rzymskim. a) MCMLXXXVIII

a ) 

MCMLXXVIII = 1000 + (1000-100) + 50 + 10 + 10 + 5 + 1 + 1 + 1 = 1978

b)

CMLXVI = (1000-100) + 50 + 10 + 5 + 1 = 966

c)

MDCCXCV = 1000 + 500 + 100 + 100 + (100-10) + 5 = 1795

d)

MCCCXXXI = 1000 + 100 + 100 + 100 + 10 + 10 + 10 + 1 = 1331

e) 

MCDXLIV = 1000 + (500 - 100) + (50 - 10) + (5 - 1) = 1444

Zapisz znakami rzymskimi cztery ostatnie lata przestępne XXI wieku.

`2096 = 1000+1000+(100-10)+6\ - \ MMXCVI`

`2092 = 1000+1000+(100-10)+2\ - \ MMXCII`

`2088 = 1000+1000+50+30+8\ -\ MMLXXXVIII`

`2084 = 1000+1000+50+30+4\ -\ MMLXXXIV`

Oblicz:

`5^1=5` 

```5^0=1` 

`(-5)^1=-5` 

`1^5=1*1*1*1*1=1` 

`0^5=0` 

`(-1)^1=-1` 

`(-5)^0=1` 

`0^1=0` 

`(-1)^5=(-1)*(-1)*(-1)*(-1)*(-1)=-1` 

`(-1)^0=1` 

`1^0=1` 

Wpisz brakujący wykładnik.

Korzystamy:

`a^m*a^n=a^{m+n}`

`b^m/b^n=b^{m-n}`

`(c^m)^n=c^{m*n}`

 

`"a)"\ 3^6:9=3^6:3^2=3^ul(4)`

`"b)"\ 9*3^4=3^2*3^4=3^ul(6)`

`"c)"\ 3^7/9=3^7/3^2=3^ul(5)`

`"d)"\ (3^3)^2=3^ul(6)`

`"e)"\ 27^3/3^8=((3^3)^3)/3^8=3^9/3^8=3^ul(1)`

`"f)"\ 9^6:3^11=(3^2)^6:3^11=3^12:3^11=3^ul(1)`

`"g)"\ 9^3/27=((3^2)^3)/3^3=3^6/3^3=3^ul(3)`

`"h)" \ 3*9*27=3*3^2*3^3=3^ul(6)`

Ustal, dla jakich liczb naturalnych n:

`a) \ 100<3^n<1000`

  • `n=4` 
    `3^4=81` 
    81 < 100, więc to za mało


  • `n=5` 
    `3^5=243` 
    100< 243 < 1000 


  • `n=6` 
    `3^6=729` 
    100 < 729 < 1000


  • `n=7` 
    `3^7=2187` 
    2187 > 1000, więc to za dużo

Odpowiedź:
Liczba 3n jest większa od 100 i mniejsza od 1000 dla n=5 i n=6
`ul(ul( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 


`b) \ 100 < n^3 < 1000` 

  • `n=4` 
    `n^3=64` 
    64 < 100, więc to za mało


  • `n=5` 
    `5^3=125` 
    100 < 125 < 1000


  • `n=6` 
    `6^3=216` 
    100 < 216 < 1000


  • `n=7` 
    `7^3=343` 
    100 < 343 < 1000


  • `n=8`   
    `8^3=512` 
    100 < 512 < 1000


  • `n=9` 
    `9^3=729` 
    100 < 729 < 1000


  • `n=10` 
    `10^3=1000` 
    1000 nie jest liczbą mniejszą od 1000, więc to za dużo 

Odpowiedź:
Liczba n3 jest większa od 100 i mniejsza od 1000 dla n=5, n=6, n=7, n=8 i n=9