Trójkąty prostokątne - ii-gimnazjum - Baza Wiedzy

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia pitagorasa

Wiemy już, że w trójkącie prostokątnym suma kwadratów dwóch przyprostokątnych jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej. Analogicznie, znając trzy boki trójkąta jesteśmy w stanie stwierdzić czy dany trójkąt jest prostokątny. Wystarczy sprawdzić czy suma kwadratów dwóch krótszych boków jest równa kwadratowi trzeciego boku. Takie twierdzenie nazywamy twierdzeniem odwrotnym do twierdzenia Pitagorasa.

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa:

„Jeśli w trójkącie suma kwadratów długości dwóch krótszych boków jest równa kwadratowi długości najdłuższego boku, to mówimy że trójkąt jest prostokątny.”

 

Przekątna kwadratu

Dzięki znajomości twierdzenia Pitagorasa jesteśmy w stanie obliczyć m.in. przekątną kwadratu mając podany jego bok.

przekatna
$$a$$ -> bok kwadratu
$$d$$ -> przekątna kwadratu
$$d^2=a^2+a^2$$
$$d^2=2a^2$$
$$d=√{2×{a}^2}$$ -> $$d=a√2$$

Przekątna kwadratu wynosi $$a√2$$, gdzie a oznacza długość boku kwadratu.

 

Wysokość trójkąta równobocznego

Dzięki twierdzeniu Pitagorasa oprócz przekątnej kwadratu jesteśmy również w stanie obliczyć wysokość trójkąta równobocznego znając długość jego boku.

  Zobacz w programie GeoGebra

 

rownoboczny
$${(1/2 a)}^2+h^2=a^2$$
$$1/4 a^2+h^2=a^2$$
$$h^2={3a^2}/4$$
$$h={a√3}/2$$

Wysokość trójkąta równobocznego wynosi $${a√3}/2$$ , gdzie a oznacza długość jego boku.

Mając podstawę i wysokość jesteśmy w stanie również obliczyć pole trójkąta równobocznego.

$$P= 1/2 ah=1/2×(a√3)/2×a=(a^2 √3)/4$$

Korzystając z tego wzoru możemy również tak go przekształcić, że będziemy mogli obliczyć pole trójkąta znając tylko jego wysokość.

$$h={a√3}/2$$ -> $$a={2h}/{√3}$$

z tego wynika, że:

poletrojkata

Pole trójkąta równobocznego wynosi $${a^2√3}/4$$ lub $${h^2√3}/3$$, gdzie a oznacza jego bok, a h jego wysokość.

 

Trojkąty 90°, 45°, 45° i 90°, 60°, 30°

Istnieją dwa trójkąty prostokątne, w których dzięki kątom znamy zależności ich boków. Znajomość tych zależności ułatwi i przyśpieszy rozwiązywanie zadań!

  1. Trójkąt prostokątny równoramienny o kątach 90°,45° i 45°.

    Jest to połowa kwadratu o boku a dlatego przeciwprostokątna ma długość $$a√2$$.

    trojkat1
  2. Trójkąt prostokątny o kątach 90°,60° i 30°.

    trojkat2
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Oblicz długość przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych długości:

  1. 3 i 5
  2. 1 i √2
  3. $$√2$$ i $$√3$$

Z twierdzenia pitagorasa ($$a^2+b^2=c^2$$) obliczam długość trzeciego boku:

  1. $$3^2+5^2=c^2 $$

    $$34=c^2 $$

    $$c=√34 $$
     
  2. $$1^2+{(√2)}^2=c^2 $$

    $$1+2=c^2 $$

    $$c=√3 $$
     
  3. $${(√2)}^2+{(√3)}^2=c^2 $$

    $$2+3=c^2$$

    $$c=√5$$
     

Zadanie 2.

Oblicz pole trójkąta prostokątnego o bokach długości:

  1. 3 cm, 4 cm i 5 cm
  2. 5 cm, 12 cm i 13 cm

Pole trójkąta prostokątnego można obliczyć ze wzoru: $$ P={a×b}/2 $$, gdzie a i b to przyprostokątne. Przyprostokątne to zawsze dwa krótsze boki trójkąta prostokątnego.

  1. $$ P={3×4}/2={12}/2=6 cm^2 $$
  2. $$ P={5×12}/2={60}/2=30 cm^2 $$

Zadanie 3.

Oblicz długość przekątnej kwadratu o boku długości:

  1. 5
  2. $$3√2$$
  3. $$5√3$$

Aby obliczyć przekątną kwadratu należy posłużyć się wzorem $$a√2$$, gdzie a oznacza długość boku kwadratu.

  1. $$ 5×√2=5√2 $$
  2. $$ 3√2×√2=3×2=6 $$
  3. $$ 5√3×√2=5√6 $$

Zadanie 4.

O ile procent przekątna kwadratu jest dłuższa od jego boku? Wynik zaokrąglij do części dziesiątych procenta.

$${a√2-a}/{a}×100%=(√2-1)×100%≈(1,414-1)×100%=0,414×100%=41,4% $$

Odp.: Przekątna kwadratu jest dłuższa od jego boku o ok. 41,4%.

Zadanie 5.

Oblicz długość przekątnej prostokąta o bokach długości 2 dm i 5 cm.

$$2 dm=20 cm$$
 

Obliczam przekątną z twierdzenia pitagorasa przyjmując przekątną, jako trzeci bok trójkąta prostokątnego:

$$ {20}^3+5^2=c^2 $$

$$400+25=c^2$$

$$c=√425=5√17 cm $$
 

Odp.: Przekątna tego prostokąta ma długość $$5√17$$ cm.

Zadanie 6.

Czy istnieje trójkąt prostokątny o bokach długości 2, 5 i 6?

Trójkąt jest prostokątny, gdy długości jego boków spełniają równanie $$a^2+b^2=c^2$$.

$$2^2+5^2$$ ? $$6^2 $$

$$4+25$$ ? $$36$$

$$29≠36$$ -> trójkąt nie jest prostokątny

Odp.: Nie istnieje trójkąt prostokątny o podanych bokach.

 

Spis treści

Rozwiązane zadania
W trójkącie prostokątnym jedna przyprostokątna ...

8 cm - długość jednej z przyprostokątnych trójkąta prostokątnego 

x - długość drugiej przyprostokątnej trójkąta (w cm)

3x - długość przeciwprostokątnej trójkąta (bo jest trzy razy dłuższa od przyprostokątnej / przyprostokątna jest trzy razy od niej krótsza) (w cm)

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczamy ile wynosi x. 
`8^2+x^2=(3x)^2` 
`64+x^2=3^2*x^2` 
`64+x^2=9x^2 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |-x^2` 
`64=8x^2 \ \ \ \ \ \ \ \ |:8` 
`8=x^2` 
`x=sqrt{8}=sqrt{4*2}=2sqrt{2}` 

Przyprostokątna ma długość 2√2 cm. 


Obliczamy jaką długość ma przeciwprostokątna trójkąta. 
`3x=3*2sqrt{2}=6sqrt{2}` 

Przeciwprostokątna ma długość 6√2 cm. 


Odpowiedź
Druga przyprostokątna ma długość 2√2 cm, a przeciwprostokątna ma długość 6√2 cm

W analogiczny sposób (jak w III) przeanalizuj wzór

`rarr`

(Załóż, że m i n są liczbami naturalnymi, przy mnożeniu nie ma znaczenia, która z liczb jest większa, nie będziemy skracać)

 

`m,\ n\ \ -\ \ "liczby naturalne",`

 

 

`rarr`

(Zapisz potęgi w postaci iloczynu, zapisz odpowiednią potęgę w wyniku) 

 

`a^m*a^n=#((a*a*...*a*a))_("m razy")*#((a*a*...*a*a))_("n razy")=#((a*a*...*a*a))_("m+n razy")=a^(m+n)`

 

 

`rarr`

Co się zmieni, gdy n będzie liczbą ujemną?

Jeśli n będzie liczbą ujemną, to wykładnik się zmniejszy, czyli wykładniki m i n także dodajemy do siebie (dodanie liczby ujemnej zmniejsza sumę)

 

Wskaż wszystkie poprawne odpowiedzi. Do ułożenia posadzki potrzeba 160 płytek, które są kwadratami o przekątnej równej 60 cm.

Pole kwadratu o danej przekątnej liczymy ze wzoru:

`1/2 d^2`

Układamy układ równań 

160- ilość płytek o przekątnej 60 cm w posadzce

x- ilość płytek o przekątnej 40 cm 

`160 * 1/2 * 60^2= x *1/2* 40^2 \ \ \ \ \ \:( 1/2 * 40^2)`

`x= (160*1/2*60^2)/ (1/2*40^2)`

Część składników iloczynów w liczniku i mianowniku można sobie skrócić.

`x= (160* 60^2)/(40^2)`

`x= 160 * (60^2)/(40^2)`

`x= 160* (60/40)^2`

`x= 160* (3/2) ^2`

 

Czyli odpowiedzi B, C i D przedstawiają tą samą liczbę i są poprawne.

Rozwiąż układy równań.

`a) \ \ {(x/3+y/2=1 \ \ \ |*6),(x-y=6 \ \ \ |*(-2)):}`

`{(strike6^2*x/strike3^1+strike6^3*y/strike2^1=1 \ \ \ |*6),(-2x+2y=-12):}`

`{(2x+3y=6),(-2x+2y=-12):}`

`ul( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )` 

Metoda przeciwnych współczynników

`5y=-6 \ \ \ \ \ |:5` 

`y=-6/5` 

`2x+3y=6\ \ \ \ |-3y` 

`2x=6-3y\ \ \ \ |:2` 

`x=(6-3y)/2` 

`x=(6-3(-6/5))=(6+18/5)/2=(6+3 3/5)/2=(9 3/5)/2=48/5:2=strike48^24/5*1/strike2^1=24/5`

 

 

`b) \ \ {(2x+y=6 \ \ \ |*4),(x/4-y/5=4 \ \ \ |*20):}`

`{(8x+4y=24),(5x-4y=80\ \ \ ):}`

`ul( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )`

`8x+5x+4y-4y=24+80`

`13x=104 \ \ \ \ \ |:13`

`x=8`

 

`5*8-4y=80`

`40-4y=80`

`-4y=80-40`

`-4y=40 \ \ \ \ \ |:(-4)`

`y=-10` 

`{(x=8),(y=-10):}`

`c) \ \ {((3x)/2-(2y)/3=1 \ \ \ |*6),(x/4+y/2=2 \ \ \ \ \ |*8):}`

 `{(9x-4y=6),(2x+4y=16):}`

`ul( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )`

`11x=22 \ \ \ \ |:11`

`x=2`

`9*2-4y=6`

`18-4y=6`

`-4y=6-18`

`-4y=-12 \ \ \ \ \ \ \ |:(-4)`

`y=3`

`{(x=2),(y=3):}`

  `d) \ \ {(2x+3y=5x-15),(4x+20-2y+6=34):}` 

`{(2x+3y-5x=-15),(4x+26-2y+=34):}` 

`{(3y-3x=-15 \ \ \ |:3),(4x-2y+=34-26):}` 

`{(y-x=5),(4x-2y=8 \ \ |:2):}` 

`{(y-x=5),(2x-y=4):}` 

`ul( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )`

`y-x+2x-y=5+4`

`x=9`

`y-9=5 `

`y=5+9=14`

`{(x=9),(y=14):}`

 

`e) \ \ {((3x-y)/(x+2y)=2 \ \ \ \ \ |*(x+2y)),(4(x-2)-3(y+5)=-6):}`

`{(3x-y=2(x+2y)),(4x-8-3y-15=-6):}` 

`{(3x-y=2x+4y),(4x-3y-23=-6):}` 

`{(3x-2x=4y+y),(4x-3y=-6+23):}` 

`{(x=5y),(4x-3y=17):}` 

`{(x=5y),(4*5y-3y=17):}` 

`{(x=5y),(20y-3y=17):}` 

`{(x=5y),(17y=17 \ \ \ |:17):}`

`{(x=5y),(y=1):}` 

`{(x=5),(y=1):}`   

`f) \ \ {(3(2x+3)-5(3y-2)=22),((x-3y)/(4x-7y)=-1 \ \ \ \ |*(4x-7y)):}`

`{(6x+9-15y+10=22),(x-3y=-4x+7y):} ` 

`{(6x-15y+19=22),(x+4x=3y+7y):} ` 

`{(6x-15y=22-19),(5x=10y \ \ \ |:5):} `

`{(6x-15y=3 \ \ \ |:3 ),(x=2y):} ` 

`{(2x-5y=1),(x=2y):} ` 

`{(2*2y-5y=1),(x=2y):} ` 

`{(4y-5y=1),(x=2y):} ` 

`{(-y=1 \ \ |*(-1)),(x=2y):} ` 

`{(y=-1),(x=2*(-1)):} ` 

`{(y=-1),(x=-2):} `

Na okręgu o środku O obierz kolejno punkty
Zapisz w postaci potęgi. a) 3∙ 3∙ 3∙ 3∙ 3 b)

a)

`3*3*3*3*3=3^5`

b)

`(-1/8)*(-1/8)*(-1/8)*(-1/8)=(-1/8)^4`

c)

`1,5*1,5*1,5*1,5*1,5=(1,5)^5`

d)

`(-a)*(-a)*(-a)*(-a)=(-a)^4`

e)

`4z*4z*4z*4z*4z=(4z)^5`

f)

`(-2 2/3x)*(-2 2/3x)*(-2 2/3x)=(-2 2/3x)^3`

 

Oblicz skalę podobieństwa okręgu opisanego

`a) \ \ R=2/3h` 

`r=1/3h` 

`k=R/r=(2/3h)/(1/3h)=2` 

`b) \ \ R=1/2d=1/2asqrt2` 

`r=1/2a` 

`k=R/r=(1/2asqrt2)/(1/2a)=sqrt2` 

`c) \ \ R=a` 

`r=h=(asqrt3)/2` 

`k=R/r=a/((asqrt3)/2)=1/(sqrt3/2)=2/sqrt3=2/sqrt3*sqrt3/sqrt3=(2sqrt3)/sqrt9=(2sqrt3)/3` 

Dokończ zdanie tak, aby ...

Liczba 22=4 jest mniejsza od 5 1/9

Liczba 32=9 jest większa od 5 1/9

Zatem:

`4 \ < \ 5 1/9 \ < \ 9` 

`sqrt{4} \ < \ sqrt{5 1/9} \ < \ sqrt{9}` 

`2 \ < \ sqrt{5 1/9} \ < \ 3`  

Wartość podanego pierwiastka jest mniejsza od 3, czyli najmniejszą liczbą całkowitą większą od podanego pierwiastka jest 3.

Poprawna odpowiedź to: B. 3.  

Wojtek narysował na kartce fragmenty ...

Wyznaczamy dwa punkty należące do szukanej dwusiecznej:

1. Wierzchołek kąta, którego nie widać oznaczamy jako C.

2. Prowadzimy dowolny odcinek, którego jeden z końców znajduje się na prostej a, a drugi na prostej b.

    Oznaczamy odcinek jako AB.

3. Konstruujemy dwusieczną kąta CBA (kolor zielony) oraz BAC (kolor czerwony). 

4. Punkt przecięcia dwóch powyższych dwusiecznych oznaczamy jako P.

    Punkt P należy także do trzeciej dwusiecznej, czyli dwusiecznej kąta ACB (tej, którą chcemy wyznaczyć).

5. Analogicznie wyznaczamy drugi punkt należący do szukanej dwusiecznej (dwusiecznej kąta ACB);

     prowadzimy dowolny odcinek DE łączący proste a i b, wyznaczamy dwusieczną kąta CDE (kolor żółty) oraz kąta CED (kolor niebieski), 

     punkt przecięcia dwusiecznych oznaczamy literą S, punkt S jest także punktem przecięcia dwusiecznej DCE.

6. Wyznaczyliśmy dwa punkty należące do szukanej dwusiecznej. Prowadzimy prostą przecinającą te punkty.

    Otrzymana prosta jest fragmentem szukanej dwusiecznej.

Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość ...

W zadaniu korzystamy z własności trójkątów o kątach 90o,60o i 30o oraz trójkąta o kątach 90o, 45o i 45o.

 

a) Wysokość graniastosłupa, krawędź podstawy oraz przekątna ściany bocznej tworzą trójkąt o kątach 90o, 60o i 30o.

Wysokość graniastosłupa wynosi:

`H=6sqrt3` 

Korzystając z własności trójkąta o kątach 90o, 60o i 30krawędź podstawy (a) ma długość:

`a=6` 

 

Graniastosłup jest graniastosłupem prawidłowym trójkątnym, więc w jego podstawie znajduje się trójkąt równoboczny.

Obliczamy pole podstawy:

`P_p=(6^2sqrt3)/4=(strike36^9sqrt3)/strike4^1=9sqrt3\ [j^2]` 

 

Powierzchnia boczna składa się z trzech ścian o wymiarach 6 x 63. 

Obliczamy pole powiewrzchni bocznej:

`P_b=3*6*6sqrt3=108sqrt3\ [j^2]` 

 

Obliczamy pole powierzchni całkowitej:

`P_c=2*P_p+P_b=2*9sqrt3+108sqrt3=18sqrt3+108sqrt3=126sqrt3\ [j^2]` 

Obliczamy objętość graniastosłupa:

`V=P_p*H` 

`V=9sqrt3*6sqrt3=54*3=162\ [j^3]` 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

b) Wysokość graniastosłupa, krawędź podstawy oraz przekątna ściany bocznej tworzą trójkąt o kątach 90o, 45o i 45o.

Przekątna ściany bocznej (d) wynosi:

`d=6sqrt2`  

Korzystając z własności trójkąta o kątach 90o, 45o i 45krawędź podstawy (a) oraz wysokość graniastosłupa (H) mają długość:

`H=a=6`  

 

Graniastosłup jest graniastosłupem prawidłowym trójkątnym, więc w jego podstawie znajduje się trójkąt równoboczny.

Obliczamy pole podstawy:

`P_p=(6^2sqrt3)/4=(strike36^9sqrt3)/strike4^1=9sqrt3\ [j^2]` 

Powierzchnia boczna składa się z trzech ścian o wymiarach 6 x 6. 

Obliczamy pole powierzchni bocznej:

`P_b=3*6*6=108\ [j^2]` 

 

Obliczamy pole powierzchni całkowitej:

`P_c=2*P_p+P_b=2*9sqrt3+108=18sqrt3+108\ [j^2]` 

Obliczamy objętość graniastosłupa:

`V=P_p*H` 

`V=9sqrt3*6=54sqrt3\ [j^3]` 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

c) Wysokość graniastosłupa, krawędź podstawy oraz przekątna ściany bocznej tworzą trójkąt o kątach 90o, 45o i 45o.

Krawędź podstawy (a) ma długość:

`a=4`  

Korzystając z własności trójkąta o kątach 90o, 45o i 45wysokość graniastosłupa (H) ma długość:

`H=4`  

 

Graniastosłup jest graniastosłupem prawidłowym trójkątnym, więc w jego podstawie znajduje się trójkąt równoboczny.

Obliczamy pole podstawy:

`P_p=(4^2sqrt3)/4=(strike16^4sqrt3)/strike4^1=4sqrt3\ [j^2]` 

Powierzchnia boczna składa się z trzech ścian o wymiarach 4 x 4. 

Obliczamy pole powiewrzchni bocznej:

`P_b=3*4*4=48\ [j^2]`  

 

Obliczamy pole powierzchni całkowitej:

`P_c=2*P_p+P_b=2*4sqrt3+48=8sqrt3+48\ [j^2]` 

Obliczamy objętość graniastosłupa:

`V=P_p*H` 

`V=4sqrt3*4=16sqrt3\ [j^3]`