Trójkąty prostokątne - ii-gimnazjum - Baza Wiedzy

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia pitagorasa

Wiemy już, że w trójkącie prostokątnym suma kwadratów dwóch przyprostokątnych jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej. Analogicznie, znając trzy boki trójkąta jesteśmy w stanie stwierdzić czy dany trójkąt jest prostokątny. Wystarczy sprawdzić czy suma kwadratów dwóch krótszych boków jest równa kwadratowi trzeciego boku. Takie twierdzenie nazywamy twierdzeniem odwrotnym do twierdzenia Pitagorasa.

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa:

„Jeśli w trójkącie suma kwadratów długości dwóch krótszych boków jest równa kwadratowi długości najdłuższego boku, to mówimy że trójkąt jest prostokątny.”

 

Przekątna kwadratu

Dzięki znajomości twierdzenia Pitagorasa jesteśmy w stanie obliczyć m.in. przekątną kwadratu mając podany jego bok.

przekatna
$$a$$ -> bok kwadratu
$$d$$ -> przekątna kwadratu
$$d^2=a^2+a^2$$
$$d^2=2a^2$$
$$d=√{2×{a}^2}$$ -> $$d=a√2$$

Przekątna kwadratu wynosi $$a√2$$, gdzie a oznacza długość boku kwadratu.

 

Wysokość trójkąta równobocznego

Dzięki twierdzeniu Pitagorasa oprócz przekątnej kwadratu jesteśmy również w stanie obliczyć wysokość trójkąta równobocznego znając długość jego boku.

  Zobacz w programie GeoGebra

 

rownoboczny
$${(1/2 a)}^2+h^2=a^2$$
$$1/4 a^2+h^2=a^2$$
$$h^2={3a^2}/4$$
$$h={a√3}/2$$

Wysokość trójkąta równobocznego wynosi $${a√3}/2$$ , gdzie a oznacza długość jego boku.

Mając podstawę i wysokość jesteśmy w stanie również obliczyć pole trójkąta równobocznego.

$$P= 1/2 ah=1/2×(a√3)/2×a=(a^2 √3)/4$$

Korzystając z tego wzoru możemy również tak go przekształcić, że będziemy mogli obliczyć pole trójkąta znając tylko jego wysokość.

$$h={a√3}/2$$ -> $$a={2h}/{√3}$$

z tego wynika, że:

poletrojkata

Pole trójkąta równobocznego wynosi $${a^2√3}/4$$ lub $${h^2√3}/3$$, gdzie a oznacza jego bok, a h jego wysokość.

 

Trojkąty 90°, 45°, 45° i 90°, 60°, 30°

Istnieją dwa trójkąty prostokątne, w których dzięki kątom znamy zależności ich boków. Znajomość tych zależności ułatwi i przyśpieszy rozwiązywanie zadań!

  1. Trójkąt prostokątny równoramienny o kątach 90°,45° i 45°.

    Jest to połowa kwadratu o boku a dlatego przeciwprostokątna ma długość $$a√2$$.

    trojkat1
  2. Trójkąt prostokątny o kątach 90°,60° i 30°.

    trojkat2
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Oblicz długość przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych długości:

  1. 3 i 5
  2. 1 i √2
  3. $$√2$$ i $$√3$$

Z twierdzenia pitagorasa ($$a^2+b^2=c^2$$) obliczam długość trzeciego boku:

  1. $$3^2+5^2=c^2 $$

    $$34=c^2 $$

    $$c=√34 $$
     
  2. $$1^2+{(√2)}^2=c^2 $$

    $$1+2=c^2 $$

    $$c=√3 $$
     
  3. $${(√2)}^2+{(√3)}^2=c^2 $$

    $$2+3=c^2$$

    $$c=√5$$
     

Zadanie 2.

Oblicz pole trójkąta prostokątnego o bokach długości:

  1. 3 cm, 4 cm i 5 cm
  2. 5 cm, 12 cm i 13 cm

Pole trójkąta prostokątnego można obliczyć ze wzoru: $$ P={a×b}/2 $$, gdzie a i b to przyprostokątne. Przyprostokątne to zawsze dwa krótsze boki trójkąta prostokątnego.

  1. $$ P={3×4}/2={12}/2=6 cm^2 $$
  2. $$ P={5×12}/2={60}/2=30 cm^2 $$

Zadanie 3.

Oblicz długość przekątnej kwadratu o boku długości:

  1. 5
  2. $$3√2$$
  3. $$5√3$$

Aby obliczyć przekątną kwadratu należy posłużyć się wzorem $$a√2$$, gdzie a oznacza długość boku kwadratu.

  1. $$ 5×√2=5√2 $$
  2. $$ 3√2×√2=3×2=6 $$
  3. $$ 5√3×√2=5√6 $$

Zadanie 4.

O ile procent przekątna kwadratu jest dłuższa od jego boku? Wynik zaokrąglij do części dziesiątych procenta.

$${a√2-a}/{a}×100%=(√2-1)×100%≈(1,414-1)×100%=0,414×100%=41,4% $$

Odp.: Przekątna kwadratu jest dłuższa od jego boku o ok. 41,4%.

Zadanie 5.

Oblicz długość przekątnej prostokąta o bokach długości 2 dm i 5 cm.

$$2 dm=20 cm$$
 

Obliczam przekątną z twierdzenia pitagorasa przyjmując przekątną, jako trzeci bok trójkąta prostokątnego:

$$ {20}^3+5^2=c^2 $$

$$400+25=c^2$$

$$c=√425=5√17 cm $$
 

Odp.: Przekątna tego prostokąta ma długość $$5√17$$ cm.

Zadanie 6.

Czy istnieje trójkąt prostokątny o bokach długości 2, 5 i 6?

Trójkąt jest prostokątny, gdy długości jego boków spełniają równanie $$a^2+b^2=c^2$$.

$$2^2+5^2$$ ? $$6^2 $$

$$4+25$$ ? $$36$$

$$29≠36$$ -> trójkąt nie jest prostokątny

Odp.: Nie istnieje trójkąt prostokątny o podanych bokach.

 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Ustal, które z poniższych układów równań są sprzeczne, które - nieoznaczone,

a) Lewe strony obu równań są takie same. Prawe strony równań są różne. 
Takie samo równanie nie może być jednocześnie równe 5 i 1. 
Oznacza to, że układ ten jest układem sprzecznym

Dla potrwierdzenia rozwiążmy układ. 
`\ \ \ {(6x-2y=5),(6x-2y=1 \ \ \ \ \ \ \ \ \ |*(-1)):}`  

`+ \ {(6x-2y=5),(-6x+2y=-1):}` 
`\ \ \ ^ul( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )` 
`\ \ \ \ \ \ \ \ 0=4` 

Równość nie jest prawdziwa, gdyż 0 nie jest równe 4. Oznacza to, że układ jest sprzeczny.
`ul(ul( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 


b) Drugie równanie jest wielokrotnością pierwszego.
Aby uzyskać drugie równanie, pierwsze należy pomnożyć razy 2.
Oznacza to, że układ jest nieoznaczony

Dla potwierdzenia rozwiążmy układ. 
`\ \ \ {(6x-2y=5 \ \ \ \ \ \ \|*(-2)),(12x-4y=10):}` 

`+ \ {(-12x+4y=-10 \ \ \ \ \ \ \|*(-2)),(12x-4y=10):}`   
`\ \ \ ^ul( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )` 
`\ \ \ \ \ \ \ \ 0=0` 

Równość jest prawdziwa. Oznacza to, że układ jest nieoznaczony. 
`ul(ul( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 


c) Pierwsze równanie jest wielokrotnością drugiego. 
Aby uzyskać pierwsze równanie, drugie należy pomnożyć razy 2. 
Oznacza to, że układ jest nieoznaczony.      
`ul(ul( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 


d) Żadne z równań nie jest wielkokrotnością drugiego. Lewe strony (tam, gdzie występuje x i y) są różne. 
Oznacza to, że układ jest oznaczony

Rozwiążmy ten układ. 
`\ \ \ {(6x-2y=5),(3x-2y=5 \ \ \ \ \ \ |*(-1)):}` 

`+ \ {(6x-2y=5),(-3x+2y=-5):}` 
`\ \ \ ^ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )` 
`\ \ \ \ \ \ \ \ 3x=0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |:3` 
`\ \ \ \ \ \ \ \ x=0` 

Wstawiamy obliczoną wartość x do pierwszego lub drugiego równania wyjściowego układu i obliczamy wartość y.
`\ \ \ 6*0-2y=5` 
`\ \ \ 0-2y=5` 
 `\ \ \ -2y=5 \ \ \ \ \ \ \ \ \ |:(-2)` 

`\ \ \ y=-5/2` 

`\ \ \ y=-2 1/2`        

Liczba 17 nie jest równa ...

`"A."\ sqrt(17^2)=17` 

`"B."\ (root(3)(17))^3=17` 

`"C."\ (sqrt17)^2=17` 

`"D."\ root(3)((-17)^3)=-17` 

 

Odp: D 

Pole koła wpisanego w trójkąt ...

 

 

 Koło wpisano w trójkąt foremny. Przypomnijmy zależność pomiędzy długością promienia koła wpisanego w trójkąt a wysokością tego trójkąta.

`r=1/3H` 

gdzie r - promień koła wpisanego w trójkąt foremny, H - wysokość tego trójkąta

 

Znamy pole koła, obliczymy więc jego promień:

`12pi=pir^2\ \ \ \ \ \ \ \ |:pi` 

`r^2=12` 

`r=sqrt12=2sqrt3\ ["cm"]` 

 

Podstawiamy obliczoną długość do pierwszego wzoru (opisującego zeleżność pomiędzy promieniem okręgu wpisanego a wysokością trójkąta równobocznego):

`2sqrt3=1/3H\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |*3` 

`H=6sqrt3\ ["cm"]` 

Znamy wysokość trójkąta równobocznego, musimy obliczyć długość boku tego trójkąta. 

Korzystamy ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego w zależności od długości boku a tego trójkąta:

`H=(asqrt3)/2` 

`6sqrt3=(asqrt3)/2\ \ \ \ \ \ \ |*2` 

`12sqrt3=asqrt3\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |:sqrt3` 

`a=12\ ["cm"]` 

 

Obwód trójkąta równobocznego obliczymy mnożąc długość jednego boku przez 3, stąd:

`O_(tr)=3*a=3*12=36\ ["cm"]`  

 

Odp: Obwód tego trójkąta jest równy 36 cm.

` `

Tort urodzinowy pokrojono na równe części, z których każda jest wycinkiem koła o kącie środkowym równym 15°

`360^o:15^o=24`

Oblicz promień okręgu o danej długości l. a) l=13π cm

`a) \ \ 2pir=13pi \ "cm" \ \ \ \ \ |:pi`

`2r=13 \ "cm" \ \ \ \ |:2`

`r=6,5 \ "cm"`

`b) \ \ 2pir=25pi \ "cm" \ \ \ \ \ |:pi`

`2r=25 \ "cm" \ \ \ \ |:2`

`r=12 1/2 \ "cm"`

`c) \ \ 2pir=20 \ "cm" \ \ \ \ |:2`

`pir=10 \ "cm" \ \ \ \ |:pi`

`r=10/pi \ "cm"`

 

 

Na prostej stycznej do okręgu o środku S i promieniu ...

Podstawą trójkąta SAB jest odcinek AB długości 4 cm. 

Odcinek ST jest promieniem okręgu poprowadzonym do punktu styczności. Odcinek ten jest wysokością trójkąta SAB, czyli wysokość ma długość 3 cm. 

Obliczamy ile wynosi pole trójkąta SAB. 
`P=1/strike2^1*strike4^2 \ "cm"*3 \ "cm"=6 \ "cm"^2` 


Odpowiedź:
Pole trójkąta SAB wynosi 6 cm2

FAJNE ZADANE.PL

dddddddddddddddddddd

Jaką długość ma promień okręgu, którego

Najdłuższą cięciwą okręgu jest jego średnica. Znając długość średnicy okręgu możemy wyznaczyć długość promienia okręgu, która jest dwa razy mniejsza.

`r=11 \ "cm":2=5,5 \ "cm"` 

W grze Twister prowadzący losuje kolejno kolory pól

Modalną jest kółko w kolorze pomarańczowym. 

Narysuj w układzie współrzędnych odcinek o długości 10 tak

Obliczmy, jaką długość mogą mieć przyprostokątne trójkąta prostokątnego o przeciwprostokątnej długości 10.

`10^2=x^2+y^2` 

`100=x^2+y^2` 

`100=36+64` 

`100=6^2+8^2` 

Przeciwprostokątną o długości 10 ma trójkąt o przyprostokątnych długości 6 i 8.