Trójkąty prostokątne - ii-gimnazjum - Baza Wiedzy

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia pitagorasa

Wiemy już, że w trójkącie prostokątnym suma kwadratów dwóch przyprostokątnych jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej. Analogicznie, znając trzy boki trójkąta jesteśmy w stanie stwierdzić czy dany trójkąt jest prostokątny. Wystarczy sprawdzić czy suma kwadratów dwóch krótszych boków jest równa kwadratowi trzeciego boku. Takie twierdzenie nazywamy twierdzeniem odwrotnym do twierdzenia Pitagorasa.

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa:

„Jeśli w trójkącie suma kwadratów długości dwóch krótszych boków jest równa kwadratowi długości najdłuższego boku, to mówimy że trójkąt jest prostokątny.”

 

Przekątna kwadratu

Dzięki znajomości twierdzenia Pitagorasa jesteśmy w stanie obliczyć m.in. przekątną kwadratu mając podany jego bok.

przekatna
$$a$$ -> bok kwadratu
$$d$$ -> przekątna kwadratu
$$d^2=a^2+a^2$$
$$d^2=2a^2$$
$$d=√{2×{a}^2}$$ -> $$d=a√2$$

Przekątna kwadratu wynosi $$a√2$$, gdzie a oznacza długość boku kwadratu.

 

Wysokość trójkąta równobocznego

Dzięki twierdzeniu Pitagorasa oprócz przekątnej kwadratu jesteśmy również w stanie obliczyć wysokość trójkąta równobocznego znając długość jego boku.

  Zobacz w programie GeoGebra

 

rownoboczny
$${(1/2 a)}^2+h^2=a^2$$
$$1/4 a^2+h^2=a^2$$
$$h^2={3a^2}/4$$
$$h={a√3}/2$$

Wysokość trójkąta równobocznego wynosi $${a√3}/2$$ , gdzie a oznacza długość jego boku.

Mając podstawę i wysokość jesteśmy w stanie również obliczyć pole trójkąta równobocznego.

$$P= 1/2 ah=1/2×(a√3)/2×a=(a^2 √3)/4$$

Korzystając z tego wzoru możemy również tak go przekształcić, że będziemy mogli obliczyć pole trójkąta znając tylko jego wysokość.

$$h={a√3}/2$$ -> $$a={2h}/{√3}$$

z tego wynika, że:

poletrojkata

Pole trójkąta równobocznego wynosi $${a^2√3}/4$$ lub $${h^2√3}/3$$, gdzie a oznacza jego bok, a h jego wysokość.

 

Trojkąty 90°, 45°, 45° i 90°, 60°, 30°

Istnieją dwa trójkąty prostokątne, w których dzięki kątom znamy zależności ich boków. Znajomość tych zależności ułatwi i przyśpieszy rozwiązywanie zadań!

  1. Trójkąt prostokątny równoramienny o kątach 90°,45° i 45°.

    Jest to połowa kwadratu o boku a dlatego przeciwprostokątna ma długość $$a√2$$.

    trojkat1
  2. Trójkąt prostokątny o kątach 90°,60° i 30°.

    trojkat2
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Oblicz długość przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych długości:

  1. 3 i 5
  2. 1 i √2
  3. $$√2$$ i $$√3$$

Z twierdzenia pitagorasa ($$a^2+b^2=c^2$$) obliczam długość trzeciego boku:

  1. $$3^2+5^2=c^2 $$

    $$34=c^2 $$

    $$c=√34 $$
     
  2. $$1^2+{(√2)}^2=c^2 $$

    $$1+2=c^2 $$

    $$c=√3 $$
     
  3. $${(√2)}^2+{(√3)}^2=c^2 $$

    $$2+3=c^2$$

    $$c=√5$$
     

Zadanie 2.

Oblicz pole trójkąta prostokątnego o bokach długości:

  1. 3 cm, 4 cm i 5 cm
  2. 5 cm, 12 cm i 13 cm

Pole trójkąta prostokątnego można obliczyć ze wzoru: $$ P={a×b}/2 $$, gdzie a i b to przyprostokątne. Przyprostokątne to zawsze dwa krótsze boki trójkąta prostokątnego.

  1. $$ P={3×4}/2={12}/2=6 cm^2 $$
  2. $$ P={5×12}/2={60}/2=30 cm^2 $$

Zadanie 3.

Oblicz długość przekątnej kwadratu o boku długości:

  1. 5
  2. $$3√2$$
  3. $$5√3$$

Aby obliczyć przekątną kwadratu należy posłużyć się wzorem $$a√2$$, gdzie a oznacza długość boku kwadratu.

  1. $$ 5×√2=5√2 $$
  2. $$ 3√2×√2=3×2=6 $$
  3. $$ 5√3×√2=5√6 $$

Zadanie 4.

O ile procent przekątna kwadratu jest dłuższa od jego boku? Wynik zaokrąglij do części dziesiątych procenta.

$${a√2-a}/{a}×100%=(√2-1)×100%≈(1,414-1)×100%=0,414×100%=41,4% $$

Odp.: Przekątna kwadratu jest dłuższa od jego boku o ok. 41,4%.

Zadanie 5.

Oblicz długość przekątnej prostokąta o bokach długości 2 dm i 5 cm.

$$2 dm=20 cm$$
 

Obliczam przekątną z twierdzenia pitagorasa przyjmując przekątną, jako trzeci bok trójkąta prostokątnego:

$$ {20}^3+5^2=c^2 $$

$$400+25=c^2$$

$$c=√425=5√17 cm $$
 

Odp.: Przekątna tego prostokąta ma długość $$5√17$$ cm.

Zadanie 6.

Czy istnieje trójkąt prostokątny o bokach długości 2, 5 i 6?

Trójkąt jest prostokątny, gdy długości jego boków spełniają równanie $$a^2+b^2=c^2$$.

$$2^2+5^2$$ ? $$6^2 $$

$$4+25$$ ? $$36$$

$$29≠36$$ -> trójkąt nie jest prostokątny

Odp.: Nie istnieje trójkąt prostokątny o podanych bokach.

 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Zmieszano pewną liczbę kilogramów 40-procentowego

`"x - tyle kilogramów roztworu"\ 40%\ "użyto"`

`40%*"x - tyle było soli w tym roztworze"`

 

`2"x - tyle kilogramów roztworu"\ 10%\ "użyto"`

`10%*2"x - tyle było soli w tym roztworze"`

 

`"Zapiszmy, jaki jest stosunek soli do masy roztworu w nowym roztworze:"`

`(40%*"x"+10%*2"x")/("x"+2"x")=` `(0,4"x"+0,1*2"x")/(3"x")=` 

`=(0,4"x"+0,2"x")/(3"x")=` `(0,6"x")/(3"x")=(0,6)/3=6/30=1/5=20/100=20%` 

Oblicz pole powierzchni i objętość graniastosłupa

Korzystając z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa sprawdźmy, czy trójkąt będący podstawą tego graniastosłupa jest prostokątny.

`(3 \ "cm")^2+(4 \ "cm")^2 \ stackrel?= \ (5 \ "cm")^2`  

`9 \ "cm"^2+16 \ "cm"^2=25 \ "cm"^2`   

Obliczamy pole tego trójkąta.

`P_p=1/2*3 \ "cm"*4 \ "cm"=1/2*12 \ "cm"^2=6 \ "cm"^2` 

`V=P_p*H=6 \ "cm"^2*8 \ "cm"=ulul(48 \ "cm"^3)`  

`P_b=3 \ "cm"*8 \ "cm"+4 \ "cm"*8 \ "cm"+5 \ "cm"*8 \ "cm"=24 \ "cm"^2+32 \ "cm"^2+40 \ "cm"^2=96 \ "cm"^2` 

`P_c=2*P_p+P_b=2*6 \ "cm"^2+96 \ "cm"^2=12 \ "cm"^2+96 \ "cm"^2=ulul(108 \ "cm"^2)`    

Dany jest punkt A

Jeżeli dwa punkty są symetryczne względem początku układu współrzędnych, to ich współrzędne są liczbami przeciwnymi. 

 

`odp.\ C`

Oceń prawdziwość poniższych ...

Na osi liczbowej odległość ... PRAWDA

Przyjmujemy, że:

`pi~~3,14` 

Odległość pomiędzy liczbą 𝜋 a liczbą 2, wynosi około:

`3,14-2=1,14` 

Odległość pomiędzy liczbą 𝜋 a liczbą 4,5, wynosi około:

`4,5-3,14=1,36` 

Czyli odległość pomiędzy liczbą 𝜋 a liczbą 2 jest mniejsza od odległości pomiędzy liczbą 𝜋 a liczbą 4,5. 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \))`

Tylko 6 liczba całkowitych jest ... FAŁSZ

Zastanawiamy się, ile jest liczb całkowitych pomiędzy liczbą -𝜋 a liczbą 𝜋

Przyjmijmy, że:

`pi~~3,14` 

`-3,14<-3<-2<-1<0<1<2<3<3,14` 

Pomiedzy liczbą -𝜋 a liczbą 𝜋 znajduje się 7 liczb całkowitych.

Wykonaj działania. a) 4√5-10√5+6√5

`a)  \ \ 4sqrt(5)-10sqrt(5)+6sqrt(5)=-6sqrt(5)+6sqrt(5)=0`

`b) \ \ 10 sqrt(1/3)+4 sqrt(1/3)-11sqrt(1/3)+3=14sqrt(1/3)-11sqrt(1/3)+3=3sqrt(1/3)+3=3(sqrt(1/3)+1)`

`c) \ \ 4root(3)(2)-10root(3)(2)+root(3)(2)+4=-6root(3)(2)+root(3)(2)+4=-5root(3)(2)+4`

`d) \ \ -2root(3)(1/5)-10root(3)(1/5)+4root(3)(1/5)+3=-12root(3)(1/5)+4root(3)(1/5)+3=-8root(3)(1/5)+3`

Jeden procent liczby ...

`1%*10^7=1/100*10^7=1/10^2*10^7=10^7/10^2=10^(7-2)=10^5`  

 

Odp: D

Zapisz w postaci potęgi i oblicz. a) potęga

`a) \ \ 3^4=3*3*3*3=81`

`b) \ \ \ 4^3=4*4*4=16*4=64`

`c) \ \ 10^2=10*10=100`

`d) \ \ (-7)^3=(-7)*(-7)*(-7)=49*(-7)=(-343)`

Zapisz bez użycia ...

`"a)"\ 8*10^4=8*10\ 000=80\ 000` 

`"b)"\ 2,7*10^5=2,7*100\ 000=270\ 000` 

`"c)"\ 7,21*10^3=7,21*1000=7210` 

`"d)"\ 5,94*10^6=5,94*1\ 000\ 000=5\ 940\ 000`

`"e)"\ 3*10^-2=3*1/10^2=3*1/100=3*0,01=0,03` 

`"f)"\ 4,5*10^-4=4,5*1/10^4=4,5*1/(10\ 000)=4,5*0,0001=0,00045` 

`"g)"\ 9,13*10^-5=9,13*1/10^5=9,13*0,00001=0,0000913` 

`"h)"\ 7,01*10^-3=7,01*1/10^3=7,01*0,001=0,00701` 

Przedstaw potęgę w postaci iloczynu potęg. a) (4x)²

 

`a)`

`(4x)^2=4^2 x^2` 

`b)` 

`(-3a)^5=(-3)^5a^5`   

` `

` `

`c)`

`(2/5 xz)^3=(2/5)^3 x^3 z^3`

`d)`

`(-1 1/2 bc)^4=(-1 1/2)^4 b^4 c^4`

`e)`

`(1.2mn)^7=(1.2)^7 m^7 n^7`

`f)`

`(-0.3abc)^3=(-0.3)^3 a^3 b^3 c^3`

` `

W urnie znajdują się...

a) Połączenie ilustruje jedno doświadczenie, które polega na wyciągnięciu 2 kul jednocześnie.

b) Możliwe wyniki to liczba wszystkich połączeń, jest ich 6.

c) Trzeba policzyć ilość połączeń pomiędzy czarnymi kulami, są 3 takie połączenia.

d) Trzeba policzyć ilość połączęn pomiędzy czarną a białą kulą, są 3 takie połączenia.

e) Skoro wszystkich możliwości jest 6 a możliwości na wylosowanie 2 czarnych kul jest 3. To dokładnie połowa możliwości to wybór 2 czarnych kul, szansa wynosi 1/2.

f) Podobnie jak w podpunkcie e czyli 3 możliwości wyboru różnokolorowych kul do 6 możliwości na wybór jakichkolwiek dwóch kul. Szansa wynosi 1/2.