Statystyka - ii-gimnazjum - Baza Wiedzy

Odczytywanie danych statystycznych

Statystyka to nauka zajmująca się zbieraniem i opracowywaniem różnego typu danych. Dane statystyczne są zbierane po przeprowadzeniu wielu badań dotyczących tego samego zjawiska wśród dużej liczby osób. Dane mogą być przedstawione za pomocą diagramów, tabelek lub też w sposób opisowy.

 
  1. Sposób opisowy
    „W 2001 roku na wakacje za granicę wyjechało 50% wszystkich mieszkańców Polski. 30% wszystkich mieszkańców wybrało Włochy, 10% Hiszpanię, 4% Bułgarię, 3% Egipt, a pozostałe 3% wyjechało do krajów innych niż te wymienione.”

  2. Diagram
    diagram

  3. Tabela
    tabela

 

średnia i mediana

Średnia arytmetyczna to średni wynik spośród wielu innych wyników. Na przykład średnia ocen ze sprawdzianu w klasie 2b informuje nas na jakim poziomy był napisany dany sprawdzian.


Narzędzie do obliczania średniej arytmetycznej

$$ ext"średnia"={ ext"suma wyników"}/{ ext"liczba wyników"} $$

Przykład:

„W klasie jest 10 osób. Oceny końcowo roczne z matematyki były w tej klasie następujące: $$ 6,6,5,5,5,4,3,3,3,2 $$. Jaka była średnia ocen na koniec roku z matematyki w tej klasie?”

$$ ext"średnia"={ ext"suma ocen"}/{ ext"ilość ocen"} $$

$$ ext"średnia"=(6+6+5+5+5+4+3+3+3+2)/10=42/10=4,2 $$

Odp: Średnia ocen z matematyki na koniec roku w tej klasie wynosiła 4,2.

 

Mediana to liczba znajdująca się po środku uporządkowanego rosnąco lub malejąco zbioru wyników. Gdy nie jesteśmy w stanie wskazać środkowej liczby bo ich ilość jest parzysta, wówczas obliczamy średnią z dwóch środkowych wyników.


Narzędzie do obliczania mediany

Przykład:

„W klasie jest 10 osób. Oceny końcowo roczne z matematyki były w tej klasie następujące: 6,6,5,5,5,4,3,3,3,2. Jaka jest mediana ocen na koniec roku z matematyki w tej klasie?”

oceny: 6,6,5,5,5,4,3,3,3,2 -> jest parzysta ilość ocen dlatego musimy obliczyć średnią dwóch środkowych.

$$ ext"mediana"={5+4}/2=9/2=4,5 $$

Odp: Mediana ocen na koniec roku w tej klasie wynosi 4,5.

 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Oblicz średnią liczb: 1,2,4,5,3,4,2,3,4,5,2,1.

$$ Śr= {1+2+4+5+3+4+2+3+4+5+2+1}/12={36}/{12}=3 $$

Odp.: Średnia tych liczb wynosi 3.

Zadanie 2.

Oblicz medianę liczb: 1,2,2,3,4,4,5,6,7,12,45,55.

Jest parzysta ilość cyfr, więc należy obliczyć średnią dwóch środkowych liczb.

$${4+5}/2=9/2=4,5$$

Odp.: Mediana tych liczb wynosi 4,5.

Zadanie 3.

Rzucasz jedną sześcienną kostką do gry. Oblicz, jakie jest prawdopodobieństwo, że wynik będzie:

  1. parzysty
  2. nieparzysty
  3. liczbą podzielną przez 3

W sumie może być 6 wyników.

  1. parzystych możliwości jest 3 -> prawdopodobieństwo: $$3/6=1/2$$
  2. nieparzystych możliwości jest 3 -> prawdopodobieństwo: $$3/6=1/2$$
  3. liczb podzielnych przez 3 jest 2 -> prawdopodobieństwo: $$2/6=1/3$$

Zadanie 4.

W klasie Stasia i Małgosi jest 36 osób. Staś ma numer w dzienniku 17, a Małgosia 12. Stasio zaproponował nauczycielowi, że przed każdym wezwaniem do tablicy będzie rzucał dwiema sześciennymi kostkami do gry. Iloczyn wyrzuconych oczek będzie wyznaczał osobę z tym numerem w dzienniku do odpowiedzi. Małgosia natomiast zaprotestowała twierdząc, że to niesprawiedliwe. Wyjaśnij, dlaczego Małgosia uważa, że to niesprawiedliwe i dlaczego ma wyjść na tym najgorzej?

Nie jest to sprawiedliwy sposób, ponieważ każda liczba w dzienniku ma inną liczbę dzielników, przez co jest mniej lub bardziej prawdopodobne wylosowania tej osoby. Niektórych numerów nie będzie można wcale wyznaczyć. Na przykład, numer Stasia 17, można uzyskać tylko poprzez pomnożenia 1 i 17, a takie liczby nie występują na kostkach do gry. Natomiast numer Małgosi można uzyskać poprzez pomnożenie największej ilości kombinacji cyfr.

$$12$$ -> $$2×6$$; $$3×4$$; $$4×3$$; $$6×2$$

$$17$$ -> $$1×17$$

Zadanie 5.

Jakie jest prawdopodobieństwo, że z pomiędzy damy trefl, damy pik i króla trefl wylosujemy damę?

wszystkie możliwe karty -> 3

ilość dam -> 2

prawdopodobieństwo -> $$2/3$$

Odp.: Prawdopodobieństwo wylosowania damy jest równe $$2/3$$.

Zadanie 6.

Ułóż taki zestaw 5 liczb, w którym średnia będzie równa medianie.

Zaczynam od ustalenia sobie średniej i mediany. Wybieram sobie 3.

Tak na razie wygląda ciąg moich liczb: --3--.

Następnie wybieram takie liczby by 1 i 5 oraz 2 i 4 dawały średnią 3. Należy pamiętać, że 1 i 2 nie może być większe od 3, a 4 i 5 nie może być mniejsze od 3.

Tak wyglądają przykładowe liczby: 1,3,3,3,5 lub 1,2,3,4,5.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Wykonaj działania.

`"a)" `

`2sqrt3 - 3sqrt3 + 5sqrt3 - 7sqrt3=sqrt3(2-3+5-7)=-3sqrt3`

 

`"b)"`

`4root(3)(2)+root(3)(2)-3root(3)(2)-root(3)(2)=` `root(3)(2)(4+1-3-1)=root(3)(2)`

 

`"c)"`

`3root(3)(5)-2root(3)(3)-root(3)(5)+4root(3)(2)=root(3)(5)(3-1)` `+root(3)(2)(-2+4)=2root(3)(5)+2root(3)(2)`

 

`"d)"`

`2root(3)(-2)+4-4sqrt5-3root(3)(-2)+6sqrt5=root(3)(-2)(2-3)+sqrt5(-4+6)` `=-root(3)(-2)+2sqrt5+4=root(3)(2)+2sqrt5+4`

Zapoznaj się z opisem konstrukcji i odpowiedz

`a) \ \ "NIE"` 

`b) \ \ "TAK"` 

`c) \ \ "TAK"` 

`d) \ \ "TAK"` 

Oblicz

`a)\ sqrt(4/9)+sqrt(1 7/9)=2/3+sqrt(16/9)=2/3+4/3=6/3=2` 

`b) root(3)(8/125)-sqrt(0,36)=2/5-0,6=4/10-6/10=-2/10=-1/5` 

`c)\ sqrt(2 1/4)*root(3)(8/27)=sqrt(9/4)*2/3=3/2*2/3=1` 

`d)\ sqrt(7/36+1/4)=sqrt(7/36+9/36)=sqrt(16/36)=4/6=2/3` 

`e)\ root(3)(9/16-9/64)=root(3)(36/64-9/64)=root(3)(27/64)=3/4` 

`f)\ sqrt(6^2+3^2+2^2)=sqrt(36+9+4)=sqrt49=7`  

`g)\ sqrt(1+3+5+7)=sqrt16=4` 

`h)\ sqrt(1+2+3+4+5+6+7+8)=sqrt36=6` 

Przekątna prostokąta jest dwukrotnie dłuższa od jednego

Oznaczmy sobie jeden z boków tego prostokąta jako x. Jego przekątna będzie miała wtedy długość 2x. Oznaczmy sobie drugi bok tego prostokąta jako y. Wyznaczmy z twierdzenia Pitagorasa długość drugiego boku prostokąta wyrażoną za pomocą x. 

 

`x^2+y^2=(2x)^2 \ \ \ \ |-x^2` 

`y^2=4x^2-x^2`  

`y^2=3x^2 \ \ \ \ |sqrt` 

`y=sqrt(3x^2)=sqrt3*sqrt(x^2)=sqrt3*x=xsqrt3`   

Zauważmy, że stosunek długości boków w trójkącie ABC jest taki sam jak w każdym trójkącie prostokątnym o kątach ostrych 60o, 30o.

`2x \ : \ x \ : \ xsqrt3 \ \ \ \ \ \ \ \ \ => \ \ \ \ \ \ \ x \ : \ 1/2x \ : \ (xsqrt3)/2` 

Znamy więc miary kątów występujących między przekątną a bokami tego prostokąta.

  

`alpha=180^o-2*60^o=180^o-120^o=60^o`

 

Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego trójkątnego ...

Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego trójkątnego wynosi 100 cm2
`P_c=100 \ "cm"^2` 

Pole podstawy tego graniastosłupa wynosi 16 cm2
`P_p=16 \ "cm"^2` 

Obliczamy, ile wynosi pole boczne tego graniastosłupa: 
`P_c=2*P_p+P_b` 
`100 \ "cm"^2=2*16 \ "cm"^2+P_b` 
`100 \ "cm"^2=32 \ "cm"^2+P_b \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |-32 \ "cm"^2` 
`68 \ "cm"^2=P_b` 


Z sześciu takich graniastosłupów tworzymy graniastosłup prawidłowy sześciokątny. 

Podstawą tego graniastosłupa jest sześciokąt foremny, składający się z sześciu trójkątów równobocznych (trójkątów, które były podstawą graniastosłupa prawidłowego trójkątnego). 

Pole podstawy tego graniastosłupa wynosi więc: 
`P_(p_1)=6*P_p=6*16 \ "cm"^2=96 \ "cm"^2`   


Powierzchnia boczna graniastosłupa prawidłowego trójkątnego składa się z trzech ścian w kształcie prostokątów, których łączne pole powierzchni wynosi 68 cm2

Powierzchnia boczna graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego składa się z sześciu ścian w kształcie prostokątów (ścian, które były ścianami bocznymi graniastosłupa prawidłowego trójkątnego).

Powierzchnia boczna graniastosłupa sześciokątnego jest więc 2 razy większa (ma 2 razy więcej ścian) od powierzchni bocznej graniastosłupa trójkątnego.  
`P_(b_1)=2*P_b=2*68 \ "cm"^2=136 \ "cm"^2` 


Obliczamy, ile wynosi pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego. 
`P_(c_1)=2*P_(p_1)+P_(b_1)=2*96 \ "cm"^2+136 \ "cm"^2=192 \ "cm"^2+136 \ "cm"^2=328 \ "cm"^2` 

Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego wynosi 328 cm2.   

 

a) Średnia arytmetyczna zestawu ...

a) Średnia arytmetyczna zestawu liczb jest liczbą dodatnią. 

Przykładowy zestaw liczb to: 
`-10, \ -8, \ -5, \ 1, \ 76` 

Średnia arytmetyczna tego zestawu liczb wynosi: 

`(-10+(-8)+(-5)+1+76)/5=54/4=10,8` 

Średnia arytmetyczna tego zestawu liczb jest liczbą dodatnią. 


Mediana tego zestawu wynosi -5. 
`-10, \ -8, \ #underbrace( \ -5 \ )_("mediana"), \ 1, \ 76`  

Odpowiedź
Mediana może być liczbą ujemną. 


b) Mediana zestawu liczb jest liczbą dodatnią. 

Przykładowy zestaw liczb to: 
`-15, \ -8, \ #underbrace( \ 2 \ )_("mediana"), \ 5, \ 7` 

Mediana tego zestawu liczb jest liczbą dodatnią. 


Obliczamy, ile wynosi średnia arytmetyczna tego zestawu liczb. 

`(-15+(-8)+2+5+7)/5=-9/5=-1 4/5` 

Średnia arytmtyczna tego zestawu liczb jest liczbą ujemną. 


Odpowiedź
Średnia arytmetyczna może być liczbą ujemną.

Rzucamy dwukrotnie sześcienną kostką. Ile jest ...

Doświadczenie polega na dwukrotnym rzucie kostką sześcienną.

Możliwe wyniki tego doświadczenia to:

`(1,1),\ (1,2),\ (1,3),\ (1,4),\ (1,5),\ (1,6)` 

`(2,1),\ (2,2),\ (2,3),\ (2,4),\ (2,5),\ (2,6)`   

`(3,1),\ (3,2),\ (3,3),\ (3,4),\ (3,5),\ (3,6)`   

`(4,1),\ (4,2),\ (4,3),\ (4,4),\ (4,5),\ (4,6)`   

`(5,1),\ (5,2),\ (5,3),\ (5,4),\ (5,5),\ (5,6)`   

`(6,1),\ (6,2),\ (6,3),\ (6,4),\ (6,5),\ (6,6)`    

 

Jest 36 możliwych wyników tego doświadczenia. 

Wyznacz współrzędne punktu symetrycznego do punktu K=(-5, 3)

Punkt symetryczny do punkt K to punkt: 
`K'=(9,-1)` 

Mając dane kąty α-rozwarty, ß-ostry oraz odcinek a

Wyraź podane objętości w m³. a) 1km³ b) 1 dm³

`a) \ \ 1 \ "km"^3=(10^3 \ "m")^3=(10^3)^3 \ "m"^3=10^(3*3) \ "m"^3=10^9 \ "m"^3` 

`b) \ \ 1 \ "dm"^3=(10^(-1) \ "m")^3=(10^(-1))^3 \ "m"^3=10^(-3) \ "m"^3`  

`c) \ \ 1,2 \ "mm"^3=1,2*(10^(-3) \ "m")^3=1,2*(10^(-3))^3 \ "m"^3=1,2*10^(-9) \ "m"^3`  

`d) \ \ 1000 \ "km"^3=1000*(10^3 \ "m")^3=10^3*(10^3)^3 \ "m"^3=10^3*10^9 \ "m"^3=10^(3+9) \ "m"^3=10^12 \ "m"^3`