Potęgi - ii-gimnazjum - Baza Wiedzy

Potęga o wykładniku naturalnym

Potęga to wielokrotne pomnożenie tej samej liczby przez siebie samą.

$$a^n$$ -> a to podstawa potęgi, a n to wykładnik potęgi.

Powyższa potęga oznacza, że dokonamy mnożenie czynnika a, n razy.

$$a^n=a×a×a×a…$$ (n - liczba wystąpień czynnika $$a$$)

Przykład:

$$3^4=3×3×3×3=81$$

Gdy liczba ujemna lub dodatnia będzie podniesiona do potęgi parzystej, wówczas wynikiem będzie zawsze liczba dodatnia. Gdy wykładnikiem potęgi liczby ujemnej będzie liczba nieparzysta to wynik będzie zawsze ujemny.

Przykłady

$$ {(-3)}^6=3^6 $$
$$ -3^6=-(3^6) $$
$$ (-6)^5=-6^5 $$

Gdy podnosimy pewien ułamek do danej potęgi, to wykonujemy potęgowanie oddzielnie dla mianownika i licznika, a kreska ułamkowa pozostaje bez zmian.

$$(2/3)^2=2^2/3^2 =4/9$$

Zapamiętaj:

  • $$a^0=1, $$
  • $$a^1=a, $$
  • $$0^0 $$ -> nie istnieje!
 

Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach

Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach jest bardzo proste. Należy zapamiętać dwie proste zasady:

  1. Mnożenie - wynikiem mnożenia dwóch potęg o tych samych podstawach jest potęga w której podstawa pozostaje bez zmian, a wykładnik to suma dwóch wykładników mnożonych liczb.

    $$k^a×k^b=k^{(a+b)}$$
  2. Dzielenie - wynikiem dzielenia dwóch potęg o tych samych podstawach jest potęga w której podstawa pozostaje bez zmian, a wykładnik to różnica dwóch wykładników mnożonych liczb.

    $$ k^a÷k^b=k^{(a-b)} $$

Przykłady:

  • $$3^2×3^4=3^6$$
  • $$5^4÷5^2=5^2$$
  • $$7^2×7=7^3$$
 

Potęgowanie potęg

Potęgując potęgi należy korzystać z poniższych schematów:

  • $$ {(k^a)}^b=k^{a×b} $$
  • przyklad1

Przykłady:

  • $${(2^3)}^3=2^9 $$
  • przyklad2
  • $${(9^7)}^8=9^56 $$

Potęgowanie iloczynu i ilorazu

Potęgowanie iloczynu i ilorazu odbywa się w taki sam sposób jak pozbywanie się nawiasu.

$${(a×b)}^n=a^n×b^n$$
$${(a÷b)}^n=a^n÷b^n$$
$${(a÷b)}^n={(a/b)}^n=a^n/b^n $$
 

Przykłady:

  • $$ {(3×2)}^2=3^2×2^2 $$
  • $$ {(4/6)}^2=4^2/6^2 $$
  • $$ {(9÷4)}^6=9^6÷4^6 $$

Potęga o wykładniku całkowitym ujemnym

Gdy spotkamy się z potęgą o wykładniku całkowitym ujemnym wystarczy tylko zamienić tą potęgę na ułamek, który w liczniku ma 1, a w mianowniku tą sama potęgę tylko z wykładnikiem dodatnim.

$$ k^{-a}=1/{k^a} $$
$$ {(1/k)}^{-m}=k^m $$
 

Przykłady:

  • $$ 7^{-9}=1/{7^9} $$
  • $$ 2^{-3}=1/{2^3} =1/8 $$
  • $$ {(1/2)}^{-3}={1}/{2}^{-3} =1/{1/{2^3}}=1/{1/8}=1/1×8/1=8 $$

Notacja wykładnicza

Notacja wykładnicza to przedstawienie dużej liczby, jako iloczyn liczby o module mniejszym od 10 i potęgi 10. Potęga dziesiątki informuje nas ile dodamy zer, bądź też o ile miejsc przesuniemy przecinek.

Zapamiętaj:

$$k×{10}^a $$, gdzie $$ 1≤ |k| <10 $$
 

Przykłady:

  • $$ 38900 = 3,89×10000=3,89×{10}^4 $$ -> notacja wykładnicza: $$3,89×{10}^4 $$
  • $$ 0.00934= 9,34÷1000=9,34×{10}^{-3} $$ -> notacja wykładnicza: $$ 9,34×{10}^{- 3} $$
  • $$ 789423=7,89423×100000=7,89423×{10}^5 $$ -> notacja wykładnicza: $$7,89423×{10}^5$$
 
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Oblicz w pamięci:

  1. $$ 4^2 $$
  2. $$ 3^2 $$
  3. $$ 2^4 $$
  4. $$ 3^4 $$
  5. $$ 1^{43} $$
  1. $$ 4^2=16 $$
  2. $$ 3^2=9 $$
  3. $$ 2^4=16 $$
  4. $$ 3^4=81 $$
  5. $$ 1^{43}=1 $$

Zadanie 2.

Odgadnij liczbę spełniającą równanie:

  1. $$ 3^3×3^5=3^x $$
  2. $$ 5^2×5^x=5^7 $$
  3. $$ 7^7÷7^x=7^5 $$
  1. $$ 3^3×3^5=3^8 -> x=8 $$
  2. $$ 5^2×5^5=5^7 -> x=5 $$
  3. $$ 7^7÷7^2=7^5 -> x=2 $$

Zadanie 3.

Przedstaw wartość wyrażenia w postaci potęgi liczby 3:

  1. $$ 3^5×9^3 $$
  2. $$ {27}^5÷3^2 $$
  3. $$ 3^2×9^1÷3^3 $$
  1. $$ 3^5×9^3=3^5×3^6=3^{11} $$
  2. $$ {27}^5÷3^2=3^{15}÷3^2=3^{13} $$
  3. $$ 3^2×9^1÷3^3=3^2×3^2÷3^3=3^4÷3^3=3 $$

Zadanie 4.

Oblicz:

  1. $$ 2^{-4} $$
  2. $$ 3^{-3} $$
  3. $$ {10}^{-5} $$
  1. $$ 2^{-4}=1/{2^4} =1/{16} $$
  2. $$ 3^(-3)=1/{3^3} =1/{27} $$
  3. $$ {10}^{-5}=1/{ {10}^5} =1/{100000} $$

Zadanie 5.

Zapisz w notacji wykładniczej:

  1. 125 mln
  2. 8276 mln
  3. 25,6 mld
  1. 125 mln$$=125 000 000=1,25×{10}^8 $$
  2. 8276 mln$$=8726 000 000=8,726×{10}^9 $$
  3. 25,6 mld$$=25 600 000 000=2,56×{10}^{10}$$

Zadanie 6.

Który znak należy wstawić $$ < $$ czy $$ > $$?

  1. $$4^8$$ i $$3^8$$
  2. $$2^8$$ i $$2^{10}$$
  3. $$6^{-3}$$ i $$6^{-4}$$
  1. $$ 4^8 > 3^8 $$
  2. $$ 2^8 < 2^{10} $$
  3. $$ 6^{-3} > 6^{-4} $$

Spis treści

3 szkoły podstawowej
4 szkoły podstawowej
5 szkoły podstawowej
6 szkoły podstawowej
7 szkoły podstawowej
II gimnazjum
III gimnazjum
Matura podstawowa
Matura rozszerzona
Rozwiązane zadania
Pomiędzy jakimi wielkościami na osi należy umieścić

Przyjmijmy, że średni wzrost człowieka to 1,7 m. Chcąc zapisać tą liczbę  w postaci potęgi liczby 10, najbliższym przybliżeniem będzie 100, czyli 1 (m). Tym samym człowieka na osi trzeba umieścić pomiędzy wielkościami 100 i 102.

 

Wskaż liczbę naturalną, którą można przedstawić ...

Podstawa potęgi wynosi 5. 

Wykładnik potęgi ma być liczbą naturalną. 


Liczba naturalna, którą można przedstawić w postaci potęgi o podstawie 5 i wykładniku będącym liczbą naturalną to 125, bo:
`125=5^3` 


Poprawna odpowiedź to: B. 125

Oblicz, korzystając z wartości podanych w tabeli.

`a) \ \ 2^2*2^4=2^(2+4)=2^6=64`

`b) \ \ 2^3*2^5=2^(3+5)=2^8=256`

`c) \ \ 3^2*3^3=3^(2+3)=3^5=243`

`d) \ \ 2^5*2^3*2=2^(5+3+1)=2^9=512`

`e) \ \ 2^5*2^0*2^5=2^(5+0+5)=2^10=1024`

`f) \ \ 3^5*3*3^0=3^(5+1+0)=3^6=729`

`g) \ \ 2^9:2^6=2^(9-6)=2^3=8`

`h) \ \ 3^9:3^5=3^(9-5)=3^4=81`

`i) \ \ 3^7:3=3^(7-1)=3^6=729`

Oblicz kwadrat liczby 24.

`24^2=24*24=576` 

Połącz równe wyrażenia.

Korzystamy ze wzoru:

`(a*b)^m=a^m*b^m `

`(a/b)^n=a^n/b^n `

Ponadto ułamek możemy zapisać w postaci ilorazu, wtedy:

`(a:b)^n=a^n:b^n`

 

 

`(2:3)^5=(2/3)^5=2^5/3^5=2^5:3^5`

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )`

`(3/2)^5=3^5/2^5=3^5:2^5=(3:2)^5`

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )`

`6^5=(2*3)^5=3^5*2^5`

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )`

`1/3*2^5=2^5/3`

Odczytaj datę zapisaną w systemie rzymskim. a) MCMLXXXVIII

a ) 

MCMLXXVIII = 1000 + (1000-100) + 50 + 10 + 10 + 5 + 1 + 1 + 1 = 1978

b)

CMLXVI = (1000-100) + 50 + 10 + 5 + 1 = 966

c)

MDCCXCV = 1000 + 500 + 100 + 100 + (100-10) + 5 = 1795

d)

MCCCXXXI = 1000 + 100 + 100 + 100 + 10 + 10 + 10 + 1 = 1331

e) 

MCDXLIV = 1000 + (500 - 100) + (50 - 10) + (5 - 1) = 1444

Zapisz znakami rzymskimi cztery ostatnie lata przestępne XXI wieku.

`2096 = 1000+1000+(100-10)+6\ - \ MMXCVI`

`2092 = 1000+1000+(100-10)+2\ - \ MMXCII`

`2088 = 1000+1000+50+30+8\ -\ MMLXXXVIII`

`2084 = 1000+1000+50+30+4\ -\ MMLXXXIV`

Oblicz:

`5^1=5` 

```5^0=1` 

`(-5)^1=-5` 

`1^5=1*1*1*1*1=1` 

`0^5=0` 

`(-1)^1=-1` 

`(-5)^0=1` 

`0^1=0` 

`(-1)^5=(-1)*(-1)*(-1)*(-1)*(-1)=-1` 

`(-1)^0=1` 

`1^0=1` 

Wpisz brakujący wykładnik.

Korzystamy:

`a^m*a^n=a^{m+n}`

`b^m/b^n=b^{m-n}`

`(c^m)^n=c^{m*n}`

 

`"a)"\ 3^6:9=3^6:3^2=3^ul(4)`

`"b)"\ 9*3^4=3^2*3^4=3^ul(6)`

`"c)"\ 3^7/9=3^7/3^2=3^ul(5)`

`"d)"\ (3^3)^2=3^ul(6)`

`"e)"\ 27^3/3^8=((3^3)^3)/3^8=3^9/3^8=3^ul(1)`

`"f)"\ 9^6:3^11=(3^2)^6:3^11=3^12:3^11=3^ul(1)`

`"g)"\ 9^3/27=((3^2)^3)/3^3=3^6/3^3=3^ul(3)`

`"h)" \ 3*9*27=3*3^2*3^3=3^ul(6)`

Ustal, dla jakich liczb naturalnych n:

`a) \ 100<3^n<1000`

  • `n=4` 
    `3^4=81` 
    81 < 100, więc to za mało


  • `n=5` 
    `3^5=243` 
    100< 243 < 1000 


  • `n=6` 
    `3^6=729` 
    100 < 729 < 1000


  • `n=7` 
    `3^7=2187` 
    2187 > 1000, więc to za dużo

Odpowiedź:
Liczba 3n jest większa od 100 i mniejsza od 1000 dla n=5 i n=6
`ul(ul( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 


`b) \ 100 < n^3 < 1000` 

  • `n=4` 
    `n^3=64` 
    64 < 100, więc to za mało


  • `n=5` 
    `5^3=125` 
    100 < 125 < 1000


  • `n=6` 
    `6^3=216` 
    100 < 216 < 1000


  • `n=7` 
    `7^3=343` 
    100 < 343 < 1000


  • `n=8`   
    `8^3=512` 
    100 < 512 < 1000


  • `n=9` 
    `9^3=729` 
    100 < 729 < 1000


  • `n=10` 
    `10^3=1000` 
    1000 nie jest liczbą mniejszą od 1000, więc to za dużo 

Odpowiedź:
Liczba n3 jest większa od 100 i mniejsza od 1000 dla n=5, n=6, n=7, n=8 i n=9