Potęgi - ii-gimnazjum - Baza Wiedzy

Potęga o wykładniku naturalnym

Potęga to wielokrotne pomnożenie przez siebie takiego samego czynnika.


Potęgę liczby a o wykładniku n oznaczamy symbolem `a^n`, gdzie a to podstawa potęgi, n to wykładnik potęgi.  

Powyższa potęga oznacza, że dokonamy n - krotnego mnożenie czynnika a.

`a^n=#underbrace(a*a*...*a)_("n czynników")` 

Przykłady:

  • `3^4=3*3*3*3=81` 

  • `2^3=2*2*2=8`  

Gdy liczbę dodatnią lub ujemną podnosimy do potęgi parzystej, wówczas wynikiem będzie zawsze liczba dodatnia.

Gdy wykładnikiem potęgi liczby ujemnej będzie liczba nieparzysta to wynik będzie zawsze ujemny.

Przykłady:

  • `(-3)^6=3^6` 

  • `(-6)^5=-6^5`  

  • `(-1/2)^4=(1/2)^4` 

  • `(-1/7)^3=-(1/7)^3` 

Gdy podnosimy ułamek zwykły do danej potęgi, to wykonujemy oddzielnie potęgowanie dla licznika i mianownika. 

Przykłady

  • `(2/3)^2=2^2/3^2=4/9` 

  •  `(1/2)^4=1^4/2^4=1/16`  


Zapamiętaj:

  • `a^0=1 \ \ \ "dla" \ \ \ a!=0`  

  • `a^1=a`    

Iloczyn i iloraz potęg o tych samych podstawach

Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach jest bardzo proste. Należy zapamiętać dwie proste zasady:

  1. Mnożenie - iloczynem dwóch potęg o tych samych podstawach jest potęga, której podstawa jest taka sama jak podstawy mnożonych potęg, a wykładnik jest sumą wykładników tych potęg.

    `a^m*a^n=a^(m+n)`  

  2. Dzielenie - ilorazem dwóch potęg o tych samych podstawach jest potęga, której podstawa jest taka sama jak podstawy dzielnej i dzielnika, a wykładnik jest różnicą wykładników tych potęg.

    `a^m:a^n=a^(m-n) \ \ \ \ "dla" \ \ \ a!=0` 
     

Przykłady:

  • `3^2*3^4=3^(2+4)=3^6` 

  • `(-5)^3*(-5)^2=(-5)^(3+2)=(-5)^5` 

  • `7^3:7=7^3:7^1=7^(3-1)=7^2`     

  • `4^8:4^5=4^(8-5)=4^3`   

Potęgowanie potęgi

Potęgując potęgę należy pamiętać, że podstawa pozostaje bez zmian, a wykładniki mnożymy. 

  • `(a^m)^n=a^(m*n)` 


Przykłady:

  • `(2^3)^4=2^(3*4)=2^12` 

  • `(9^7)^8=9^(7*8)=9^(56)`   



Uwaga

Jeśli mamy potęgę postaci `a^(m^n)`, to w pierwszej kolejności potęgujemy potęgi, czyli obliczamy ile wynosi `m^n`.

W wyniku otrzymujemy potęgę o tej samej podstawie (`a`) i wykładniku będącym potęgą potęg.   


Przykłady

  • `5^(2^3)=5^8 \ \ \ \ "bo" \ \ \ 2^3=8` 

  • `4^(3^4)=4^81 \ \ \ \ "bo" \ \ \ \ 3^4=81`   

Potęgowanie iloczynu i ilorazu

Potęgowanie iloczynu i ilorazu odbywa się według dwóch prostych zasad: 

  1. Potęga iloczynu jest równa iloczynowi potęg. 

    `(a*b)^n=a^n*b^n`  

  2. Potęga ilorazu jest równa ilorazowi potęg. 
  • `(a:b)^n=a^n:b^n \ \ \ \ "dla" \ \ \ b!=0`    

  • `(a/b)^n=a^n/b^n \ \ \ \ "dla" \ \ \ b!=0`  
     

Przykłady:

  • `(3*2)^2=3^2*2^2`
     
  • `(5*7)^4=5^4*7^4`   

  • `(9:4)^3=9^3:4^3`  

  • `(8/5)^6=8^6/5^6`  

Potęga o wykładniku całkowitym ujemnym

Aby obliczyć potęgę, której podstawą jest liczba `a!=0` a wykładnik jest liczbą całkowitą ujemną zamieniamy podstawę potęgi na liczbę do niej odwrotną a wykładnik potęgi na liczbę do niego przeciwną. 

  • `a^(-n)=(1/a)^n=1^n/a^n=1/a^n`  


Przykłady
:

  • `7^-9=1/7^9` 

  • `2^(-3)=1/2^3`  

  • `(1/2)^(-4)=(2/1)^4=2^4`  

Notacja wykładnicza

Notacja wykładnicza to przedstawienie danej liczby w postaci iloczynu liczby większej lub równej 1 i mniejszej od 10 oraz potęgi liczby 10.

Zapis liczby dodatniej w notacji wykładniczej:

`a*10^n,  \ \ \ \ "gdzie" \ \ \ 1  <=  a < 10, \ \ \ "n jest liczbą całkowitą"` 


Przykłady:

  • `38 \ 900=3,8900*10 \ 000=3,89*10^4` 

  • `789 \ 423=7,89423*100 \ 000=7,89423*10^3`   

  • `0,00934=934/(100 \ 000)=(9,34)/(1000)=(9,34)/10^3=9,34*1/10^3=9,34*10^-3`     

  •  `0,00001257=(1257)/(100 \ 000 \ 000)=(1,257)/(100 \ 000)=(1,257)/10^5=1,257*1/10^5=1,257*10^-5`   


Uwaga:

Na podstawie powyższych przykładów można zauważyć, że:

  • Jeżeli przecinek przesuwaliśmy w lewo, to wykładnik potęgi liczby 10 będzie liczbą dodatnią;
  • Jeżeli przecinek przesuwaliśmy w prawo, to wykładnik potęgi liczby 10 będzie liczbą ujemną.

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Oblicz w pamięci:

  1. $$ 4^2 $$
  2. $$ 3^2 $$
  3. $$ 2^4 $$
  4. $$ 3^4 $$
  5. $$ 1^{43} $$
  1. $$ 4^2=16 $$
  2. $$ 3^2=9 $$
  3. $$ 2^4=16 $$
  4. $$ 3^4=81 $$
  5. $$ 1^{43}=1 $$

Zadanie 2.

Odgadnij liczbę spełniającą równanie:

  1. $$ 3^3×3^5=3^x $$
  2. $$ 5^2×5^x=5^7 $$
  3. $$ 7^7÷7^x=7^5 $$
  1. $$ 3^3×3^5=3^8 -> x=8 $$
  2. $$ 5^2×5^5=5^7 -> x=5 $$
  3. $$ 7^7÷7^2=7^5 -> x=2 $$

Zadanie 3.

Przedstaw wartość wyrażenia w postaci potęgi liczby 3:

  1. $$ 3^5×9^3 $$
  2. $$ {27}^5÷3^2 $$
  3. $$ 3^2×9^1÷3^3 $$
  1. $$ 3^5×9^3=3^5×3^6=3^{11} $$
  2. $$ {27}^5÷3^2=3^{15}÷3^2=3^{13} $$
  3. $$ 3^2×9^1÷3^3=3^2×3^2÷3^3=3^4÷3^3=3 $$

Zadanie 4.

Oblicz:

  1. $$ 2^{-4} $$
  2. $$ 3^{-3} $$
  3. $$ {10}^{-5} $$
  1. $$ 2^{-4}=1/{2^4} =1/{16} $$
  2. $$ 3^(-3)=1/{3^3} =1/{27} $$
  3. $$ {10}^{-5}=1/{ {10}^5} =1/{100000} $$

Zadanie 5.

Zapisz w notacji wykładniczej:

  1. 125 mln
  2. 8276 mln
  3. 25,6 mld
  1. 125 mln$$=125 000 000=1,25×{10}^8 $$
  2. 8276 mln$$=8726 000 000=8,726×{10}^9 $$
  3. 25,6 mld$$=25 600 000 000=2,56×{10}^{10}$$

Zadanie 6.

Który znak należy wstawić $$ < $$ czy $$ > $$?

  1. $$4^8$$ i $$3^8$$
  2. $$2^8$$ i $$2^{10}$$
  3. $$6^{-3}$$ i $$6^{-4}$$
  1. $$ 4^8 > 3^8 $$
  2. $$ 2^8 < 2^{10} $$
  3. $$ 6^{-3} > 6^{-4} $$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Jaką długość ma przekątna d prostopadłościanu

Obliczamy długość przekątnej podstawy (x) korzystając z twierdzenia Pitagorasa. Chcemy wyznaczyć x w zależności od a i b. 

`a^2+b^2=x^2`

`x=sqrt(a^2+b^2)`

 

 

Teraz możemy obliczyć długość przekątnej prostopadłościanu d korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla zamalowanego na niebiesko trójkąta: 

`x^2+c^2=d^2`

`(sqrt(a^2+b^2))^2+c^2=d^2`

`a^2+b^2+c^2=d^2`

`ul(ul(d=sqrt(a^2+b^2+c^2)))`

Największe porty lotnicze w Polsce i liczba pasażerów odprawionych w 2010 r.

Poprawne odpowiedzi to:

  • B. 4 [Gdańsk, Warszawa, Katolice, Kraków]; 

  • C. 19 065 mln [2,210mln+1,384mln+8,667mln+1,599mln+2,366mln+2,839mln];

  • F. Krakowie [8,667mln : 2,839mln ≈ 3];

  • G. 38% [Różnica to 0,611mln. (0,611mln : 1,599mln) * 100% ≈ 38%]. 
Napisz równanie pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi

`a) \ \ x=2, \ \ y=5`

`5=2*2+1`

`y=2*x+1`

`ul(y=2x+1)`

`b) \ \ x=sqrt16=4, \ \ y=-3`

`4=-3+7`

`ul(x=y+7)`

`c) \ \ x=root(3)(-1)=-1, \ \ y=-1`

`ul(x=y)`

 

Przeanalizujcie plakat ilustrujący rozwiązanie kolejnej zagadki.

---> Obrazek I. 
Waga po lewej stronie: z obu szalek zabrano po jednej kręgli. 
Waga po prawej stronie: zawartość szalek pozostaje bez zmian. 

Obrazek II. 
Waga po lewej stronie: zawartość szalek pozostaje bez zmian. 
Waga po prawej stronie: Wiemy, że jedna kula odpowiada trzem kręglom, więc dwie kule na lewej szalce zastępujemy sześcioma kręglami.

Obrazek III.
Waga po lewej stronie: zawartość szalek pozostaje bez zmian. 
Waga po prawej stronie: Zabieramy z lewej szalki odważnik o masie 1 kg. Musimy więc zamienić odważnik leżący na prawej szalce na inny, o 1 kg lżejszy. 

Obrazek IV. 
Waga po lewej stronie: zawartość szalek pozostaje bez zmian. 
Waga po prawej stronie: zabieramy po dwie kręgle z każdej szalki. Widzimy, że cztery kręgle ważą 4 kg. 

Obrazek V. 
Waga po lewej stronie: zawartość szalek pozostaje bez zmian. 
Waga po prawej stronie: Cztery kręgle ważyły 4 kg, zatem 1 kręgiel waży 1 kg.  

Obrazek VI. 
Waga po lewej stronie: Trzy kręgle zastępujemy trzema 1 kg odważnikami, bo jeden kręgiel waży 1 kg. Oznacza to, że kula waży 3 kg. 


---> Przez x oznaczono wagę kuli, przez y oznaczono wagę kręgla (na prawej szalce lewej wagi stoją cztery kręgle stąd w pierwszym równaniu 4y. Stąd też wiadomo, że waga kręgla to y.)

---> Kolejne etapy można opisać układami: 
`I. \ \ \ \ {(x=3y),(2x+1=2y+5):}`    

`II. \ \ {(x=3y),(6y+1=2y+5):}`

`III. \ {(x=3y),(6y=2y+4):}`

`IV. \ \ {(x=3y),(4y=4):}`

`V. \ \ \ {(x=3y),(y=1):}`

`VI. \ {(x=3),(y=1):}`

---> Równania w kolejnych krokach były przekształcane w sposób równoważny. 
Jeżeli w którymś z równań musieliśmy odjąć jakąś wartość, odejmowaliśmy ją od obu stron równania. 
Jeśli w równaniu dodawaliśmy jakąś wartość, dodawaliśmy ją do obu stron równania. 
Podobnie, jeśli mnożyliśmy lub dzieliliśmy jakieś równanie działanie to musiało zostać wykonane na obu stronach równania. 
Wyliczając daną niewiadomą z któregoś z równań, można wstawić jej wartość do drugiego równania, by obliczyć wartość drugiej niewiadomej. 

Zapisz w postaci jednej potęgi. a) 5² ∙5³ b) 2-³∙2-²

`a) \ \ 5^2*5^3=(5*5)*(5*5*5)=5*5*5*5*5=5^(2+3)=5^5` 

`b) \ \ 2^(-3)*2^(-2)=1/2^3*1/2^2=1/(2*2*2)*1/(2*2)=1/2^(3+2)=1/2^5=2^(-5)` 

`c) \ \ 7^(-3)*7^6=1/7^3*7^6=1/strike(7*7*7)*strike(7*7*7)*7*7*7=7*7*7=7^3`   

Niech n oznacza liczbę naturalną. ...

`a) \ 11<=sqrt{n}<=12`

`\ \ \ 11^2<=n<=12^2`

`\ \ \ 121<=n<=144`

Najmniejsza liczba spełniająca warunek to 121
Największa liczba spełniająca warunek to 144
`ul(ul( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 


`b) \ 12<=sqrt{n}<=14` 

`\ \ \ 12^2<=n<=14^2`

`\ \ \ 144<=n<=196`

Najmniejsza liczba spełniająca warunek to 144
Największa liczba spełniająca warunek to 196
`ul(ul( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`


`c) \ 15<=sqrt{n}<=16` 

`\ \ \ 15^2<=n<=16^2`

`\ \ \ 225<=n<=256`

Najmniejsza liczba spełniająca warunek to 225
Największa liczba spełniająca warunek to 256

Jeżeli od kwadratu pewnej liczby odejmiemy kwadrat różnicy tej liczby i liczby 6,

x -pewna, wybrana liczba

x² -kwadrat liczby x

(x-6)² -kwadrat różnicy liczby x i liczby 6

Jeśli od kwadratu liczby x odejmiemy kwadrat różnicy x i 6 to otrzymamy -120, więc:
`x^2-(x-6)^2=-120` 

Z równania wyliczamy x. 

`x^2-(x-6)^2=-120` 
`x^2-(x^2-12x+36)=-120` 
`ul(ul(x^2))-ul(ul(x^2))+12x-36=-120`  
`12x-36=-120 \ \ \ \ \ \ \ |+36`  
`12x=-84 \ \ \ \ \ \ \ |:12`  
`x=-7` 

Liczba ta jest równa: -7.    

Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej

`a) \ \ P_p=1/strike2^1*strike12^6 \ "cm"*5 \ "cm"=30 \ "cm"^2` 

`V=P_p*H=30 \ "cm"^2*10 \ "cm"=ulul(300 \ "cm"^3)` 

Obliczmy długość trzeciego boku trójkąta w podstawie.

`(12 \ "cm")^2+(5 \ "cm")^2=x^2` 

`144 \ "cm"^2+25 \ "cm"^2=x^2` 

`x^2=169 \ "cm"^2 \ \ \ \ \ \ \ \ |sqrt` 

`x=sqrt(169 \ "cm"^2)=13 \ "cm"` 

`P_b=13 \ "cm"*10 \ "cm"+12 \ "cm"*10 \ "cm"+5 \ "cm"*10 \ "cm"=130 \ "cm"^2+120 \ "cm"^2+50 \ "cm"^2=300 \ "cm"^2`   

`P_c=2P_p+P_b=2*30 \ "cm"^2+300 \ "cm"^2=60 \ "cm"^2+300 \ "cm"^2=ulul(360 \ "cm"^2)` 

`b) \ \ P_p=1/2*12 \ "cm"*5 \ "cm"=30 \ "cm"^2` 

`V=P_p*H=30 \ "cm"^2*8 \ "cm"=ulul(240 \ "cm"^3)` 

 

Obliczmy długość trzeciego boku trójkąta w podstawie.

`(12 \ "cm")^2+(5 \ "cm")^2=x^2` 

`144 \ "cm"^2+25 \ "cm"^2=x^2` 

`x^2=169 \ "cm"^2 \ \ \ \ \ \ \ \ |sqrt` 

`x=sqrt(169 \ "cm"^2)=13 \ "cm"` 

`P_b=13 \ "cm"*8 \ "cm"+12 \ "cm"*8 \ "cm"+5 \ "cm"*8 \ "cm"=104 \ "cm"^2+96 \ "cm"^2+40 \ "cm"^2=240 \ "cm"^2`   

`P_c=2P_p+P_b=2*30 \ "cm"^2+240 \ "cm"^2=60 \ "cm"^2+240 \ "cm"^2=ulul(300 \ "cm"^2)` 

W układzie współrzędnych zaznaczono dwa punkty K=(4,-1) i L=(-4,?)

 

`"Podstawiamy kolejne możliwości z punktów A-B i sprawdzamy, w którym przypadku dostaniemy"\ 10"."`

 

`"A."\ |"KL"|=sqrt((4-(-4))^2+(-1-(-7))^2)=` 

`\ \ \ =sqrt((4+4)^2+(-1+7)^2)=` 

`\ \ \ =sqrt(8^2+6^2)=sqrt(64+36)=sqrt100=10` 

 

`"B."\ |"KL"|=sqrt((4-(-4))^2+(-1-(-5))^2)=` 

`\ \ \ =sqrt(8^2+(-1+5)^2)=sqrt(64+4^2)=sqrt(64+16)=sqrt80ne10` 

 

`"C."\ |"KL"|=sqrt((4-(-4))^2+(-1-5)^2)=` 

`\ \ \ =sqrt(8^2+6^2)=sqrt(64+36)=sqrt100=10` 

 

`"D."\ |"KL"|=sqrt((4-(-4))^2+(-1-7)^2)=` 

`\ \ \ sqrt(8^2+8^2)=sqrt(64+64)=sqrt128!=10`     

Długość okręgu wpisanego w sześciokąt foremny ...

Długość okręgu wynosi 4π. 
`l=4pi` 

Obliczamy jaką długość ma promień (r) tego okręgu. 
`4pi=2pir \ \ \ \ \ \ \ \ |:2pi` 
`r=2` 

Promień okręgu ma długość 2. 


Bok sześciokąta oznaczamy literą a. 

Sześciokąt foremny możemy podzielić na sześć przystających trójkątów równobocznych, których boki mają taką samą długość jak boki sześciokąta, gdyż jednym z boków każdego z trójkątów jest odpowiedni bok sześciokąta. Boki trójkątów mają więc długość a. 

Promień okręgu wpisanego w ten sześciokąt (r) ma taką samą długość jak wysokości (h) trójkątów, na jakie ten sześciokąt został podzielony. 

Zatem:
`r=h=(asqrt{3})/2`  

Obliczamy jaką długość mają boki sześciokąta i boki trójkątów na jakie ten sześciokąt został podzielony (mają one taką samą długość).
`2=(asqrt{3})/2 \ \ \ \ \ \ \ |*2` 
`4=asqrt{3} \ \ \ \ \ \ \ \ |:sqrt{3}` 
`a=4/sqrt{3}=4/sqrt{3}*sqrt{3}/sqrt{3}=(4sqrt{3})/3` 

Boki sześciokąta oraz boki trójkątów na jakie ten sześciokąt został podzielony mają długość 4√3/3.  


Sześciokąt składa się z sześciu przystających trójkątów równobocznych o boku długości 4√3/3. 

Obliczamy ile wynosi pole tego sześciokąta. 
`P=6*(a^2sqrt{3})/4=strike6^3*(((4sqrt{3})/3)^2*sqrt{3})/strike4^2=3*(48/9*sqrt{3})/2=strike3^1*strike48^24/strike9^3*sqrt{3}*1/strike2^1=24/3*sqrt{3}=8sqrt{3}` 


Odpowiedź:
Pole sześciokąta wynosi 8√3.