Potęgi - ii-gimnazjum - Baza Wiedzy

Potęga o wykładniku naturalnym

Potęga to wielokrotne pomnożenie tej samej liczby przez siebie samą.

$$a^n$$ -> a to podstawa potęgi, a n to wykładnik potęgi.

Powyższa potęga oznacza, że dokonamy mnożenie czynnika a, n razy.

$$a^n=a×a×a×a…$$ (n - liczba wystąpień czynnika $$a$$)

Przykład:

$$3^4=3×3×3×3=81$$

Gdy liczba ujemna lub dodatnia będzie podniesiona do potęgi parzystej, wówczas wynikiem będzie zawsze liczba dodatnia. Gdy wykładnikiem potęgi liczby ujemnej będzie liczba nieparzysta to wynik będzie zawsze ujemny.

Przykłady

$$ {(-3)}^6=3^6 $$
$$ -3^6=-(3^6) $$
$$ (-6)^5=-6^5 $$

Gdy podnosimy pewien ułamek do danej potęgi, to wykonujemy potęgowanie oddzielnie dla mianownika i licznika, a kreska ułamkowa pozostaje bez zmian.

$$(2/3)^2=2^2/3^2 =4/9$$

Zapamiętaj:

  • $$a^0=1, $$
  • $$a^1=a, $$
  • $$0^0 $$ -> nie istnieje!
 

Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach

Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach jest bardzo proste. Należy zapamiętać dwie proste zasady:

  1. Mnożenie - wynikiem mnożenia dwóch potęg o tych samych podstawach jest potęga w której podstawa pozostaje bez zmian, a wykładnik to suma dwóch wykładników mnożonych liczb.

    $$k^a×k^b=k^{(a+b)}$$
  2. Dzielenie - wynikiem dzielenia dwóch potęg o tych samych podstawach jest potęga w której podstawa pozostaje bez zmian, a wykładnik to różnica dwóch wykładników mnożonych liczb.

    $$ k^a÷k^b=k^{(a-b)} $$

Przykłady:

  • $$3^2×3^4=3^6$$
  • $$5^4÷5^2=5^2$$
  • $$7^2×7=7^3$$
 

Potęgowanie potęg

Potęgując potęgi należy korzystać z poniższych schematów:

  • $$ {(k^a)}^b=k^{a×b} $$
  • przyklad1

Przykłady:

  • $${(2^3)}^3=2^9 $$
  • przyklad2
  • $${(9^7)}^8=9^56 $$

Potęgowanie iloczynu i ilorazu

Potęgowanie iloczynu i ilorazu odbywa się w taki sam sposób jak pozbywanie się nawiasu.

$${(a×b)}^n=a^n×b^n$$
$${(a÷b)}^n=a^n÷b^n$$
$${(a÷b)}^n={(a/b)}^n=a^n/b^n $$
 

Przykłady:

  • $$ {(3×2)}^2=3^2×2^2 $$
  • $$ {(4/6)}^2=4^2/6^2 $$
  • $$ {(9÷4)}^6=9^6÷4^6 $$

Potęga o wykładniku całkowitym ujemnym

Gdy spotkamy się z potęgą o wykładniku całkowitym ujemnym wystarczy tylko zamienić tą potęgę na ułamek, który w liczniku ma 1, a w mianowniku tą sama potęgę tylko z wykładnikiem dodatnim.

$$ k^{-a}=1/{k^a} $$
$$ {(1/k)}^{-m}=k^m $$
 

Przykłady:

  • $$ 7^{-9}=1/{7^9} $$
  • $$ 2^{-3}=1/{2^3} =1/8 $$
  • $$ {(1/2)}^{-3}={1}/{2}^{-3} =1/{1/{2^3}}=1/{1/8}=1/1×8/1=8 $$

Notacja wykładnicza

Notacja wykładnicza to przedstawienie dużej liczby, jako iloczyn liczby o module mniejszym od 10 i potęgi 10. Potęga dziesiątki informuje nas ile dodamy zer, bądź też o ile miejsc przesuniemy przecinek.

Zapamiętaj:

$$k×{10}^a $$, gdzie $$ 1≤ |k| <10 $$
 

Przykłady:

  • $$ 38900 = 3,89×10000=3,89×{10}^4 $$ -> notacja wykładnicza: $$3,89×{10}^4 $$
  • $$ 0.00934= 9,34÷1000=9,34×{10}^{-3} $$ -> notacja wykładnicza: $$ 9,34×{10}^{- 3} $$
  • $$ 789423=7,89423×100000=7,89423×{10}^5 $$ -> notacja wykładnicza: $$7,89423×{10}^5$$
 
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Oblicz w pamięci:

  1. $$ 4^2 $$
  2. $$ 3^2 $$
  3. $$ 2^4 $$
  4. $$ 3^4 $$
  5. $$ 1^{43} $$
  1. $$ 4^2=16 $$
  2. $$ 3^2=9 $$
  3. $$ 2^4=16 $$
  4. $$ 3^4=81 $$
  5. $$ 1^{43}=1 $$

Zadanie 2.

Odgadnij liczbę spełniającą równanie:

  1. $$ 3^3×3^5=3^x $$
  2. $$ 5^2×5^x=5^7 $$
  3. $$ 7^7÷7^x=7^5 $$
  1. $$ 3^3×3^5=3^8 -> x=8 $$
  2. $$ 5^2×5^5=5^7 -> x=5 $$
  3. $$ 7^7÷7^2=7^5 -> x=2 $$

Zadanie 3.

Przedstaw wartość wyrażenia w postaci potęgi liczby 3:

  1. $$ 3^5×9^3 $$
  2. $$ {27}^5÷3^2 $$
  3. $$ 3^2×9^1÷3^3 $$
  1. $$ 3^5×9^3=3^5×3^6=3^{11} $$
  2. $$ {27}^5÷3^2=3^{15}÷3^2=3^{13} $$
  3. $$ 3^2×9^1÷3^3=3^2×3^2÷3^3=3^4÷3^3=3 $$

Zadanie 4.

Oblicz:

  1. $$ 2^{-4} $$
  2. $$ 3^{-3} $$
  3. $$ {10}^{-5} $$
  1. $$ 2^{-4}=1/{2^4} =1/{16} $$
  2. $$ 3^(-3)=1/{3^3} =1/{27} $$
  3. $$ {10}^{-5}=1/{ {10}^5} =1/{100000} $$

Zadanie 5.

Zapisz w notacji wykładniczej:

  1. 125 mln
  2. 8276 mln
  3. 25,6 mld
  1. 125 mln$$=125 000 000=1,25×{10}^8 $$
  2. 8276 mln$$=8726 000 000=8,726×{10}^9 $$
  3. 25,6 mld$$=25 600 000 000=2,56×{10}^{10}$$

Zadanie 6.

Który znak należy wstawić $$ < $$ czy $$ > $$?

  1. $$4^8$$ i $$3^8$$
  2. $$2^8$$ i $$2^{10}$$
  3. $$6^{-3}$$ i $$6^{-4}$$
  1. $$ 4^8 > 3^8 $$
  2. $$ 2^8 < 2^{10} $$
  3. $$ 6^{-3} > 6^{-4} $$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Zapisz cyframi arabskimi następujące liczby: a) LXI, CCL, DCCC

a)

LXI 61

CCL 250

DCCC 800

CLXVIII 168

MDCLVI 1656

MMDCCLXXVII 2777

 

 

b)

XLI= 41

CMV= 905

XCVII= 97

CMXX= 920

CDXL= 440

MMIX= 2009

 

c)

MMCDXLVII= 2447

MMMCDXLIV=3444

MCMLIX= 1959

MMCMXXXIX= 2939

Wśród zaznaczonych na osi punktów wskaż te, których współrzędna spełnia podany warunek.

I. Punkty, których odległość od zera jest równa 2, to H i D.

II. Punkty, których odległość od zera jest mniejsza niż 3, to G, H, E i D.

III. Punkty, których odległość od zera jest większa od 4, to K i A.

IV. Punkty, których współrzędna x spełnia warunek x mniejsze lub równe 1, to E, F i G.

Określ położenie ośrodka okręgu opisanego na

W pierwszej kolejności obliczmy miarę trzeciego kąta trójkąta, aby móc stwierdzić, czy jest on ostrokątny, prostokątny czy rozwartokątny.

`a) \ \ 180^o-(15^o +75^o)=180^o-90^o=90^o` 

Trójkąt jest prostokątny. Środek okręgu opisanego na tym trójkącie znajduje się w połowie przeciwprostokątnej trójkąta. 

`b) \ \ 180^o-(25^o +45^o)=180^o-70^o=110^o` 

Trójkąt jest rozwartokątny. Środek okręgu opisanego na tym trójkącie znajduje się na zewnątrz trójkąta. 

Podaną sumę zapisz w postaci kwadratu sumy.

`a) \ a^2+2ab+b^2=(a+b)^2` 

`b) \ a^2+16ab+64b^2=ul(a)^2+2*ul(a)*ul(ul(8b))+(ul(ul(8b)))^2=(ul(a)+ul(ul(8b)))^2` 

`c) \ 64a^2+48ab+9b^2=(ul(8a))^2+2*ul(8a)*ul(ul(3b))+(ul(ul(3b)))^2=(ul(8a)+ul(ul(3b)))^2` 

`d) \ 16a^2+16ab+4b^2=(ul(4a))^2+2*ul(4a)*ul(ul(2b))+(ul(ul(2b)))^2=(4a+2b)^2` 

`e) \ 36a^2+48ab+16b^2=(ul(6a))^2+2*ul(6a)*ul(ul(4b))+(ul(ul(4b)))^2=(6a+4b)^2` 

`f) \ 9a^2+18ab+9b^2=(ul(3a))^2+2*ul(3a)*ul(ul(3b))+(ul(ul(3b)))^2=(ul(3a)+ul(ul(3b)))^2`        

Typowa karta do gry ma wysokość ...

Pojedynczy domek z dwóch kart tworzy trójkąt równoramienny o ramionach długości 9 cm (wysokość karty) i podstawie długości 6 cm (rozstaw kart). 

Wysokość opuszczona z wierzchołka znajdującego się między ramionami dzieli podstawę na dwie równe części (dzieli trójkąt równoramieny na dwa przystające trójkąty prostokątne). 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczamy jaka jest wysokość domku utworzonego z dwóch kart (ile wynosi h). 
`3^2+h^2=9^2` 
`9+h^2=81 \ \ \ \ \ \ \ \ \ |-9` 
`h^2=72` 
`h=sqrt{72}=sqrt{36*2}=6sqrt{2} \ \ \ ["cm"]` 

Wysokość domku wynosi 6√2 cm. 
`6sqrt{2} \ "cm"~~6*1,41 \ "cm"=8,46 \ "cm"` 

Wysokość domku wynosi więc około 8,46 cm. 

Wysokość każdej z warstw jest równa wysokości domku (każda warstwa składa się z pewnej ilości domków ułożonych obok siebie), czyli ma ona wysokość 8,46 cm. 


Obliczamy ile warstw (x) należy ustawić, aby konstrukcja miała ponad 1 m = 100 cm wysokości. 
`8,46 \ "cm"*x \ > \ 100 \ "cm" \ \ \ \ \ \ \ \ |*100` 
`846 \ "cm" *x \ > \ 10 \ 000 \ "cm" \ \ \ \ \ \ \ \ |:846`  

`x \ > \ 11 694/846`         

Aby konstrukcja miała wysokość większą niż 1 m należy ustawić przynajmniej 12 warstw domków z kart. 

Z każdą kolejną warstwą konstrukcja będzie coraz wyższa, ale aby jej wysokość wynosiła ponad 1 m potrzeba minimalnie 12 warstw. 


Odpowiedź:
Należy ustawić 12 warstw domków z kart. 

Równanie 2-⁸∙x+2-⁵=2-³

`2^(-8)*x+2^(-5)=2^(-3)` 

`(1/2)^8*x+(1/2)^5=(1/2)^3 \ \ \ \ |- (1/2)^5` 

`1/256*x=1/8-1/32` 

`1/256*x=4/32-1/32 ` 

` ` `1/256x=3/32 \ \ \ \ |:1/256` 

`x=3/32:1/256` 

`x=3/strike32^1*strike256^8=24` 

 

TN, poniewaź C. rozwiązniem tego równania jest liczba 24.

Spójrz na podstawy!

`rarr`

Oba zestawy iloczynów są takie same, jednak w drugim iloczynie duże liczby zapisano za pomocą potęg liczby 10. 

 

`->`

Za każdym razem dostajemy w wyniku liczbę złożoną z 1 i 10 zer, czyli 10 do potęgi 10. Mnożąc potęgi o tej samej podstawie (czyli podstawie 10) wystarczy dodać do siebie wykładniki. 

Krawędź podstawy graniastosłupa prawidłowego ...

Rysunek pomocniczy:

 

W podstawie graniastosłupa prawidłowego znajduje się sześciokąt foremny o boku długości 6 cm.

Obliczamy pole podstawy, czyli pole sześciokąta foremnego (sześciokąt foremny możemy podzielić na 6 trójkątó rónobocznych o długości boku takiej samej, jak długość boku sześciokąta):

`P_p=6*(6^2sqrt3)/4=6*(strike36^9sqrt3)/strike4^1=54sqrt3\ ["cm"^2]`  

 

Wiemy, że pole całkowite graniastosłupa jest równe:

`P_c=252sqrt3\ "cm"^2` 

Pole całkowite wyznaczamy dodając dwa pola podstaw oraz pole boczne.

Pole podstawy wyznaczono powyżej.

Pole boczne składa się z sześciu prostokątnych ścian o wymiarach 6 cm x H (H - wysokość graniastosłupa).

Obliczamy pole powierzchni bocznej:

`P_b=6*6*H=36H\ ["cm"^2]` 

 

Podstawiamy dane do wzoru na pole całkowite graniastosłupa:

`P_c=2*P_p+P_b` 

`252sqrt3=2*54sqrt3+36H` 

`252sqrt3=108sqrt3+36H\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |-108sqrt3` 

`144sqrt3=36H\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |:36` 

`H=4sqrt3\ ["cm"]` 

 

Wyznaczamy objętość graniastosłupa:

`V=P_p*H=54sqrt3*4sqrt3=54*4*3=648\ ["cm"^3]` 

 

Odp: Objętość graniastosłupa jest równa 648 cm3.

Oblicz długości narysowanych okręgów i porównaj długość

a) Długość niebieskiego okręgu:

`l_n=2pir=pi*2r=pi*d=pi*20=20pi` 

Długość średnicy czerwonych okręgów:

`d=20:2=10` 

Długość czerwonego okręgu:

`l_"cz"=2pir=pi*2r=pi*d=pi*10=10pi` 

Suma długości czerwonych okręgów:

`4*l_"cz"=4*10pi=40pi`  

 

`20pi \ \ < \ \ 40pi` 

Długość niebieskiego okręgu jest mniejsza od sumy długości czerwonych okręgów.

b) Długość niebieskiego okręgu:

`l_n=2pir=pi*2r=pi*d=pi*20=20pi`

 

Długość większego czerwonego okręgu:

`l_"cz"=2pir=pi*2r=pi*d=pi*10=10pi` 

Długość mniejszego czerwonego okręgu:

`l_"cz2"=2pir=pi*d=pi*5=5pi` 

Suma długości czerwonych okręgów:

`10pi+2*5pi=20pi` 

 

`20pi \ \ \ = \ \ \ 20pi` 

Długość niebieskiego okręgu jest taka sama jak suma długości czerwonych okręgów.

 c) Długość niebieskiego okręgu:`l_n=2pir=pi*2r=pi*d=pi*20=20pi` 

Długość większego czerwonego okręgu:

`l_"cz"=2pir=pi*2r=pi*d=pi*14=14pi` 

Długość mniejszego czerwonego okręgu:

`l_"cz2"=2pir=pi*d=pi*6=6pi` 

Suma długości czerwonych okręgów:

`14pi+6pi=20pi`

`20pi=20pi` 

 

Długość niebieskiego okręgu jest taka sama jak suma długości czerwonych okręgów.

W poniedziałek za kilogram jabłek ...

Oznaczamy:

x - cena 1 kg jabłek w poniedziałek

y - cena 1 kg gruszek w poniedziałek

0,8x - cena 1 kg jabłek we wtorek (jabłka staniały o 20%, czyli x-20%x=80%x=0,8x)

0,75x - cena 1 kg gruszek we wtorek (gruszki staniały o 25%, czyli x-25%x=75%x=0,75x)

0,750,8x - cena 1 kg jabłek w środę (jabłka staniały o 25% w porównaniu do ceny wtorkowej, czyli 0,8x-25%0,8x=75%0,8x=0,750,8x)

0,80,75y - cena 1 kg gruszek w środę (gruszki staniały o 20% w porównaniu do ceny wtorkowej, czyli 0,75y-20%0,75y=80%0,75y=0,80,75y)

 

Pierwsze równanie - w poniedziałek za kilogram jabłek i pół kilograma gruszek zapłacono 4,95 zł:

`x+0,5y=4,95` 

Drugie równanie - w środę za kilogram jabłek i kilogram gruszek zapłacono 3,99 zł:

`0,75*0,8x+0,8*0,75y=3,99` 

 

Rozwiązujemy układ równań:

`{(x+0,5y=4,95\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |-0,5y),(0,75*0,8x+0,8*0,75y=3,99):}`   

`{(x=4,95-0,5y),(0,6x+0,6y=3,99):}` 

`{(x=4,95-0,5y),(0,6(4,95-0,5y)+0,6y=3,99):}` 

`{(x=4,95-0,5y),(2,97-0,3y+0,6y=3,99\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |-2,97):}` 

`{(x=4,95-0,5y),(0,3y=1,02\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |:(0,3)):}`

`{(x=4,95-0,5y),(y=3,4):}` 

`{(x=4,95-0,5*3,4),(y=3,4):}` 

`{(x=4,95-1,7),(y=3,4):}` 

`{(x=3,25),(y=3,4):}` 

W poniedziałek jabłka kosztowały 3,25 zł za kg, a gruszki kosztowały 3,40 zł za kg.

Obliczmy cenę za 1 kg jabłek i gruszek we wtorek:

`"jabłka"\ -\ 0,8*3,25\ "zł"=2,6\ "zł"` 

`"gruszki"\ -\ 0,75*3,4\ "zł"=2,55\ "zł"` 

Obliczmy cenę za 1 kg jabłek i gruszek w środę:

`"jabłka"\ -\ 0,75*2,6\ "zł"=1,95\ "zł"` 

 

`"gruszki"\ -\ 0,8*2,55\ "zł"=2,04\ "zł"` 

 

Odp: 1 kg gruszek był tańszy od 1 kg jabłek we wtorek.