Potęgi - ii-gimnazjum - Baza Wiedzy

Potęga o wykładniku naturalnym

Potęga to wielokrotne pomnożenie tej samej liczby przez siebie samą.

$$a^n$$ -> a to podstawa potęgi, a n to wykładnik potęgi.

Powyższa potęga oznacza, że dokonamy mnożenie czynnika a, n razy.

$$a^n=a×a×a×a…$$ (n - liczba wystąpień czynnika $$a$$)

Przykład:

$$3^4=3×3×3×3=81$$

Gdy liczba ujemna lub dodatnia będzie podniesiona do potęgi parzystej, wówczas wynikiem będzie zawsze liczba dodatnia. Gdy wykładnikiem potęgi liczby ujemnej będzie liczba nieparzysta to wynik będzie zawsze ujemny.

Przykłady

$$ {(-3)}^6=3^6 $$
$$ -3^6=-(3^6) $$
$$ (-6)^5=-6^5 $$

Gdy podnosimy pewien ułamek do danej potęgi, to wykonujemy potęgowanie oddzielnie dla mianownika i licznika, a kreska ułamkowa pozostaje bez zmian.

$$(2/3)^2=2^2/3^2 =4/9$$

Zapamiętaj:

  • $$a^0=1, $$
  • $$a^1=a, $$
  • $$0^0 $$ -> nie istnieje!
 

Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach

Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach jest bardzo proste. Należy zapamiętać dwie proste zasady:

  1. Mnożenie - wynikiem mnożenia dwóch potęg o tych samych podstawach jest potęga w której podstawa pozostaje bez zmian, a wykładnik to suma dwóch wykładników mnożonych liczb.

    $$k^a×k^b=k^{(a+b)}$$
  2. Dzielenie - wynikiem dzielenia dwóch potęg o tych samych podstawach jest potęga w której podstawa pozostaje bez zmian, a wykładnik to różnica dwóch wykładników mnożonych liczb.

    $$ k^a÷k^b=k^{(a-b)} $$

Przykłady:

  • $$3^2×3^4=3^6$$
  • $$5^4÷5^2=5^2$$
  • $$7^2×7=7^3$$
 

Potęgowanie potęg

Potęgując potęgi należy korzystać z poniższych schematów:

  • $$ {(k^a)}^b=k^{a×b} $$
  • przyklad1

Przykłady:

  • $${(2^3)}^3=2^9 $$
  • przyklad2
  • $${(9^7)}^8=9^56 $$

Potęgowanie iloczynu i ilorazu

Potęgowanie iloczynu i ilorazu odbywa się w taki sam sposób jak pozbywanie się nawiasu.

$${(a×b)}^n=a^n×b^n$$
$${(a÷b)}^n=a^n÷b^n$$
$${(a÷b)}^n={(a/b)}^n=a^n/b^n $$
 

Przykłady:

  • $$ {(3×2)}^2=3^2×2^2 $$
  • $$ {(4/6)}^2=4^2/6^2 $$
  • $$ {(9÷4)}^6=9^6÷4^6 $$

Potęga o wykładniku całkowitym ujemnym

Gdy spotkamy się z potęgą o wykładniku całkowitym ujemnym wystarczy tylko zamienić tą potęgę na ułamek, który w liczniku ma 1, a w mianowniku tą sama potęgę tylko z wykładnikiem dodatnim.

$$ k^{-a}=1/{k^a} $$
$$ {(1/k)}^{-m}=k^m $$
 

Przykłady:

  • $$ 7^{-9}=1/{7^9} $$
  • $$ 2^{-3}=1/{2^3} =1/8 $$
  • $$ {(1/2)}^{-3}={1}/{2}^{-3} =1/{1/{2^3}}=1/{1/8}=1/1×8/1=8 $$

Notacja wykładnicza

Notacja wykładnicza to przedstawienie dużej liczby, jako iloczyn liczby o module mniejszym od 10 i potęgi 10. Potęga dziesiątki informuje nas ile dodamy zer, bądź też o ile miejsc przesuniemy przecinek.

Zapamiętaj:

$$k×{10}^a $$, gdzie $$ 1≤ |k| <10 $$
 

Przykłady:

  • $$ 38900 = 3,89×10000=3,89×{10}^4 $$ -> notacja wykładnicza: $$3,89×{10}^4 $$
  • $$ 0.00934= 9,34÷1000=9,34×{10}^{-3} $$ -> notacja wykładnicza: $$ 9,34×{10}^{- 3} $$
  • $$ 789423=7,89423×100000=7,89423×{10}^5 $$ -> notacja wykładnicza: $$7,89423×{10}^5$$
 
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Oblicz w pamięci:

  1. $$ 4^2 $$
  2. $$ 3^2 $$
  3. $$ 2^4 $$
  4. $$ 3^4 $$
  5. $$ 1^{43} $$
  1. $$ 4^2=16 $$
  2. $$ 3^2=9 $$
  3. $$ 2^4=16 $$
  4. $$ 3^4=81 $$
  5. $$ 1^{43}=1 $$

Zadanie 2.

Odgadnij liczbę spełniającą równanie:

  1. $$ 3^3×3^5=3^x $$
  2. $$ 5^2×5^x=5^7 $$
  3. $$ 7^7÷7^x=7^5 $$
  1. $$ 3^3×3^5=3^8 -> x=8 $$
  2. $$ 5^2×5^5=5^7 -> x=5 $$
  3. $$ 7^7÷7^2=7^5 -> x=2 $$

Zadanie 3.

Przedstaw wartość wyrażenia w postaci potęgi liczby 3:

  1. $$ 3^5×9^3 $$
  2. $$ {27}^5÷3^2 $$
  3. $$ 3^2×9^1÷3^3 $$
  1. $$ 3^5×9^3=3^5×3^6=3^{11} $$
  2. $$ {27}^5÷3^2=3^{15}÷3^2=3^{13} $$
  3. $$ 3^2×9^1÷3^3=3^2×3^2÷3^3=3^4÷3^3=3 $$

Zadanie 4.

Oblicz:

  1. $$ 2^{-4} $$
  2. $$ 3^{-3} $$
  3. $$ {10}^{-5} $$
  1. $$ 2^{-4}=1/{2^4} =1/{16} $$
  2. $$ 3^(-3)=1/{3^3} =1/{27} $$
  3. $$ {10}^{-5}=1/{ {10}^5} =1/{100000} $$

Zadanie 5.

Zapisz w notacji wykładniczej:

  1. 125 mln
  2. 8276 mln
  3. 25,6 mld
  1. 125 mln$$=125 000 000=1,25×{10}^8 $$
  2. 8276 mln$$=8726 000 000=8,726×{10}^9 $$
  3. 25,6 mld$$=25 600 000 000=2,56×{10}^{10}$$

Zadanie 6.

Który znak należy wstawić $$ < $$ czy $$ > $$?

  1. $$4^8$$ i $$3^8$$
  2. $$2^8$$ i $$2^{10}$$
  3. $$6^{-3}$$ i $$6^{-4}$$
  1. $$ 4^8 > 3^8 $$
  2. $$ 2^8 < 2^{10} $$
  3. $$ 6^{-3} > 6^{-4} $$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Na rysunku przedstawiono fragment siatki ...

ODP: B

 

Krawędzie boczne mają taką samą długość, jak krawędzie podstawy.

Przedstawiony fragment siatki jest siatką ostrosłupa prawidłowego pięciokątnego.

Liczba krawędzi w ostrosłupie prawidłowym pięciokątnym jest równa 10.

Oznaczamy długość krawędzi jako a. Suma wszystkich krawędzi wynosi 120.

`10a=120\ \ \ \ \ \ \ \ \ |:10` 

`a=12` 

Krawędź podstawy oraz krawędź boczna mają długość równą 10.

Skala podobieństwa dwóch wielokątów podobnych

`k=16:25=16/25` 

`P_1/P_2=k^2` 

`P_1/P_2=(16/25)^2=256/625=256:625`  

 

Dokończ rysunek ostrosłupa o podstawie sześciokąta foremnego

B. Ostrosłup prawidłowy sześciokątny.

C. Ostrosłup sześciokątny.

 

Okrąg wpisany w trójkąt ABC ...

Punkty X, Y oraz Z są punktami styczności. Korzystając z tw. o odcinkach stycznych mamy:

`|CZ|=|CY|` 

`|AZ|=|AX|` 

`|BX|=|BY|` 

 

Z treści zadania wiemy, że:

`|AX|+|BY|+|CZ|=24\ "cm"\ \ \ (star)`  

 

Obwód trójkąta możemy obliczyć sumując długości jego boków:

`O_(Delta)=|AX|+|BX|+|BY|+|CY|+|CZ|+|AZ|` 

 

Odpowiednie odcinki są sobie równe, więc powyższą równość możemy zapisać w postaci:

`O_Delta=|AX|+|BY|+|BY|+|CZ|+|CZ|+|AX|=2|AX|+2|BY|+2|CZ|=2(|AX|+|BY|+|CZ|)` 

Korzystając z `(star)` otrzymujemy:

`O_Delta=2(|AX|+|BY|+|CZ|)\ \stackrel((star))=\ 2*24\ "cm"=48\ "cm"`   

 

Odp: Obwód trójkąta ABC wynosi 48 cm.

Dokończ zdanie zdanie tak, aby otrzymać zdanie ...

Odcinek CA w trójkącie ABC ma długość:
`|CA|=|CK|+|KA|=6+18=24` 

Odcinek CA ma długość 24. 


Odcinek CK w trójkącie KLC ma długość:
`|CK|=6` 

Odcinek CK w trójkącie KLC ma długość 6.


Odcinek CA w trójkącie ABC odpowiada odcinkowi CK w trójkącie KLC.

Skala podobieństwa (k) trójkąta KLC do trójkąta ABC wynosi: 

`k=|CK|/|CA|=6/24=1/4` 

Skala podobieństwa trójkąta KLC do trójkąta ABC wynosi 1/4


Poprawna odpowiedź to: A. 1/4.

Masę atomową wyraża się w chemii za pomocą unitów.

`a) \ \ (2*10^(-23) )/(1,66*10^(-24))=2/(1,66)*10^(-23-(-24))=200/166*10^1=100/83*10=1000/83~~ulul(12,05 \ "u")`  

`b) \ \ 64*1,66*10^(-24) \ "g"=106,24*10^(-24) \ "g"=ul(ul(1,0624*10^(-22) \ "g"))` 

`c) \ \ 100 \ "g"=(100 \ )/(1,66*10^(-24)) \ "u"=(10^2)/(1,66*10^(-24)) \ "u"=1/(1,66)*10^(2-(-24)) \ "u"=`   

`=100/166*10^(2+24) \ "u"~~0,602*10^26 \ "u"=6,02*10^25 \ "u"` 

Powyżej obliczono ile unitów mieści się w stugramowej sztabce złota. Obliczymy teraz ile to atomów złota, jeśli jede atom ma masę 197 u.

`(6,02*10^25)/197=(602*10^23)/197=602/197*10^24~~ulul(3,06*10^23)` 

W 100-gramowej sztabce złota mieści się około 3,061023 atomów złota.

 

Uzasadnij, że poniższe trójkąty prostokątne

a) Obliczmy miarę trzeciego kąta w niebieskiem trójkącie:

`180^o-(90^o +56^o)=180^o-146^o=34^o` 

Jeśli jeden z kątów ostrych w trójkącie prostokątnym ma taką samą miarę jak kąt ostry w drugim trójkącie prostokątnym, to trójkąty są podobne. 

b)

 

`(2,8)/2 \ stackrel?= \ 7/5 ` 

`2,8*5 \ stackrel?= \ 2*7`  

`14=14`

 

Jeśli w dwóch trójkątach prostokątnych stosunek długości odpowiadających sobie przyprostokątnych jest równy stosunkowi długości ich przeciwprostokątnych, to trójkąty są podobne.

 

Wskaż, które z poniższych figur są podobne

`k=(2b)/b=(2a)/a` 

`"C." \ \ F_1 \ "i" \ F_3` 

W składzie porcelany było razem ...

Oznaczamy:

x - początkowa liczba filiżanek

y - początkowa liczba talerzyków

x-45 - liczba filiżanek po wejściu słonia

y-40 - liczba talerzyków po wejściu słonia

 

Pierwsze równanie - łączna liczba filiżanek i talerzyków:

`x+y=190`     

Drugie równanie - po rozbiciu przez słonia części filiżanek i talerzyków, w składzie pozostało dwa razy więcej talerzyków niż filiżanek; jeżeli liczbę filiżanek po wejściu słonia pomnożymy przez 2, to otrzymamy liczbę talerzyków po wejściu słonia:

`2(x-45)=y-40`     

 

Rozwiązujemy układ równań metodą podstawiania:

`{(x+y=190\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |-x),(2(x-45)=y-40):}`       

`{(y=190-x),(2x-90=190-x-40\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |+x):}` 

`{(y=190-x),(3x-90=150\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |+90):}`       

`{(y=190-x),(3x=240\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |:3):}` 

`{(y=190-x),(x=80):}`      

`{(x=80),(y=190-80):}`     

`{(x=80),(y=110):}`  

 

Odp: Przed wejściem słonia w składzie porcelany było 80 filiżanek i 110 talerzyków.

Ania ma w skarbonce 99 zł w monetach ...

ODP: B

 

Pierwsze równanie - monet dwuzłotowych jest dwa razy więcej niż monet pięciozłotowych; jeżeli liczbę monet pięciozłotowych pomnożymy przez 2, to otrzymamy liczbę money dwuzłotowych:

`y=2x` 

Drugie równanie - suma wartości monet dwuzłotowych oraz wartości monet pięciozłotowych wynosi łącznie 99 zł:

`5x+2y=99`