Pierwiastki - ii-gimnazjum - Baza Wiedzy

Działania na pierwiastkach

Iloczynem dwóch takich samych pierwiastków kwadratowych jest liczba podpierwiastkowa.

`sqrtk * sqrt k= (sqrtk)^2=k`  

`sqrt7 * sqrt7 = 7` 

 

Iloczynem trzech takich samych pierwiastków sześciennych jest liczba podpierwiastkowa.

`root(3)(k) * root(3)(k) * root(3)(k) = (root(3)(k))^3 = k` 

`root(3)(5) * root(3)(5) * root(3)(5) = (root(3)(5))^3 = 5` 
 

Pierwiastek z iloczynu liczb jest równy iloczynowi pierwiastków z tych liczb.

`root(n)(k*l) = root(n)(k) * root(n)(l)`

`root(3)(3*5) = root(3)(3) * root(3)(5)` 



Pierwiastek z ilorazu liczb jest równy ilorazowi pierwiastków z tych liczb.

`root(n)(k/l) = (root(n)(k))/(root(n)(l))` 

`root(3)(6/7) = (root(3)(6))/(root(3)(7))` 

Wyciąganie czynnika przed znak pierwiastka

Gdy liczbę podpierwiastkową możemy zamienić na iloczyn liczby, z której da się wyciągnąć pierwiastek i liczby z której jest to niemożliwe, wówczas możemy wyciągnąć czynnik przed znak pierwiastka.

$$ √c=√{a^2×b}=a√b $$
 

Przykłady:

  • $$ √75=√{25×3}=√{5^2×3}=5√3 $$
  • $$ ∛16=∛{8×2}=∛{2^3×2}=2∛2 $$
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Oblicz:

  1. $$ √81 $$
  2. $$ √10000 $$
  3. $$ √0,04 $$
  1. $$ √{81}=9 $$
  2. $$ √{10000}=100 $$
  3. $$ √{0,04}=0,2 $$

Zadanie 2.

Jaką długość ma bok kwadratu, którego pole jest równe:

  1. $$ 40 000 m^2 $$
  2. $$ 0,0001 m^2 $$
  3. $$ 10^{-16} m^2 $$
  1. $$ √{40 000}=200 m $$
  2. $$ √{1/{10 000} }={1}/{100} m $$
  3. $$ √{10^{-16} }=√{1/{10^{16} } }=1/{10^8} =1/{100000000} m $$

Zadanie 3.

Włącz czynnik pod znak pierwiastka:

  1. $$ 5√3 $$
  2. $$ 6√1,5 $$
  3. $$ 2∛10 $$
  1. $$ 5√3=√{5×5×3}=√75 $$
  2. $$ 6√1,5=√{6×6×1,5}=√54 $$
  3. $$ 2∛10=∛{2×2×2×10}=∛80 $$

Zadanie 4.

Oblicz:

  1. $$ √{8^2} $$
  2. $$ {√6}^4 $$
  3. $$ √{4^6} $$
  1. $$ √{8^2} =8 $$
  2. $$ {√6}^4={√6}^2×{√6}^2=6×6=36 $$
  3. $$ √{4^6}=√{2^12}=2^6 $$

Zadanie 5.

Usuń niewymierność z mianownika:

  1. $$ 1/{√7} $$
  2. $$ 2/{√2} $$
  3. $$ {10}/{2√5} $$
  1. $$ 1/{√7}={√7}/7 $$
  2. $$ 2/{√2}={2√2}/2=√2 $$
  3. $$ {10}/{2√5}={20√5}/{10}=√5 $$

Zadanie 6.

Oblicz pole kwadratu o boku:

  1. $$ √8$$ $$m $$
  2. $$ 3√2$$ $$m $$
  3. $$ 10√5$$ $$m $$
  1. $$ {√8}^2=8$$ $$m^2 $$
  2. $$ {3√2}^2=9×2=18$$ $$m^2 $$
  3. $$ {10√5}^2=100×5=500$$ $$m^2 $$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Oblicz długość przekątnej prostopadłościanu

Korzystamy ze wzoru podanego w ramce na stronie 255. 

 

`a)\ k=sqrt((2\ cm)^2+(2\ cm)^2+(1\ cm)^2)=sqrt(4\ cm^2+4\ cm^2+1\ cm^2)=sqrt(9\ cm^2)=3\ cm`

`b)\ k=sqrt((2\ cm)^2+(4\ cm)^2+(7\ cm)^2)=sqrt(4\ cm^2+16\ cm^2+49\ cm^2)=sqrt(69\ cm^2)=sqrt69\ cm`

 

Objętość sześcianu wynosi 1 litr

Należy pamiętać, że litr to decymetr sześcienny. Jeśli więc objętość sześciany jest równa 1 dm3, to krawędź tego sześcianu musi mieć długość 1 dm, czyli 10 cm. 

Każda ściana sześcianu jest kwadratem. Znamy wzór na przekątną kwadratu o danym boku a:

`d=asqrt2`

Możemy więc zapisać, jaką długość ma przekątna każdej ściany sześcianu:

`d=10sqrt2\ cm`

 

Przekrojem będzie więc trójkąt równoboczny o boku 10√2 cm. 

Znamy wzór na pole trójkąta równobocznego o danym boku a:

`P_(Delta)=(a^2sqrt3)/4`

Możemy więc obliczyć pole przekroju: 

`P_("przekroju")=((10sqrt2\ cm)^2sqrt3)/4=(10sqrt2\ cm*10sqrt2\ cm*sqrt3)/4=(100*2*sqrt3)/4\ cm^2=(200sqrt3)/4\ cm^2=50sqrt3\ cm^2\ \ \ \ \ \ \ odp.\ C`

 

 

Na 400-metrowej bieżni dwaj biegacze wystartowali do biegu na 10 000 m

v - prędkość drugiego zawodnika (w km/h)

v+5%v=v+0,05v=1,05v - prędkość pierwszego zawodnika (w km/h)

 

Zamieńmy 24 minuty na godziny: 

`24\ mi n=24/60\ h=4/10\ h=2/5\ h`

`s=400\ m=0,4 \ km`

 

`s=1,05vt-vt=0,05vt\ \ \ =>\ \ \ v=s/(0,05t)`

`v=0,4\ km:(0,05*2/5\ h)=0,4\ km:0,02\ h=(40:2)\ (km)/h=20\ (km)/h`

`1,05v=1,05*20\ (km)/h=21\ (km)/h`

 

Oblicz:

Korzystamy ze wzoru:

`(a)^(-n)=(1/a)^n`

 

`"a)"\ 0,5^(-2)=(strike5^1/strike10^2)^-2=(1/2)^(-2)=2^2=4`

`"b)"\ 0,89^-1=(89/100)^-1=100/89=1 11/89`

`"c)"\ 0,2^-3=(strike2^1/strike10^5)^-3=5^3=125`

`"d)"\ 1,5^-2=(strike15^3/strike10^2)^-2=(2/3)^2=4/9`

`"e)"\ 1,7^(-1)=(17/10)^-1=(10/17)^1=10/17`

`"f)"\ 2,5^-3=(strike25^5/strike10^2)^-3=(2/5)^3=8/125`

a) Jaka jest wysokość drzewa?

`a) ` 

`2a=20 \ "m" \ \ \ \ \ |:2` 

`a=10 \ "m"` 

Wysokość drzewa wynosi 10 m.

`b)`   

`a+asqrt3=3` 

`a*1+a*sqrt3=3` 

`a(1+sqrt3)=3 \ \ \ \ \ \ \ \ \ |:(1+sqrt3)` 

`a=3/(1+sqrt3)*(1-sqrt3)/(1-sqrt3)=(3(1-sqrt3))/(1^2-(sqrt3)^2)=(3-3sqrt3)/(1-3)=(3-3sqrt3)/(-2)=-3/2+3/2sqrt3` 

`(-3/2+3/2sqrt3) \ "km"~~-1,5+1,5*1,73 \ "km"=-1,5+2,595 \ "km"=1,095 \ "km"~~1,1 \ "km"`    

 

`c) \ ` 

 

`asqrt2=3 \ "m" \ \ \ \ \ \ \ \ \ |:sqrt2 `

`a=3/sqrt2 \ "m"*sqrt2/sqrt2=(3sqrt2)/sqrt4 \ "m"=(3sqrt2)/2 \ "m"=1 1/2sqrt2 \ "m"` 

`bsqrt3=1 1/2sqrt2 \ "m" \ \ \ \ \ \ \ \ \ |:sqrt3` 

`b=(1 1/2sqrt2)/sqrt3 \ "m"*sqrt3/sqrt3=(1 1/2sqrt6)/sqrt9 \ "m"=(1 1/2sqrt6)/3 \ "m"=strike3^1/2sqrt6*1/strike3^1 \ "m"=1/2sqrt6 \ "m"` 

`2b=2*1/2sqrt6 \ "m"=sqrt6 \ "m"`  

Belka podpiera drabinę w połowie jej długości, stąd cała długość drabiny wynosi:

`2sqrt6 \ "m"~~4,9 \ "m"` 

 

Wykonaj mnożenie i przeprowadź ...

`a) \ (x-4)(x+4)=x^2+ul(4x)-ul(4x)-16=x^2-16` 

`b) \ (3-x)(3+x)=9+ul(3x)-ul(3x)-x^2=9-x^2` 

`c) \ (2x-1)(2x+1)=4x^2+ul(2x)-ul(2x)-1=4x^2-1` 

`d) \ (-2x+y)(-2x-y)=4x^2+ul(2xy)-ul(2xy)-y^2=4x^2-y^2` 

`e) \ (1/2x-6)(1/2x+6)=1/4x^2+ul(3x)-ul(3x)-36=1/4x^2-36` 

`f) \ (3/5x-1/2y)(3/5x+1/2y)=9/25x^2+ul(3/10xy)-ul(3/10xy)-1/4y^2=9/25x^2-1/4y^2`    

Podstawą graniastosłupa prostego ...

Podstawą graniastosłupa jest trapez o podstawach długości 15 cm i 9 cm i wysokości długości 8 cm. 

Obliczamy, ile wynosi pole podstawy tego trapezu.
`P_p=((15 \ "cm"+9 \ "cm")*8 \ "cm")/2=(strike24^12 \ "cm"*8 \ "cm")/strike2^1=12 \ "cm"*8 \ "cm"=96 \ "cm"^2` 


Obliczamy, ile wynosi długość drugiego ramienia trapezu. 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczamy, jaką długość ma drugie ramię (c) trapezu, czyli przeciwprostokątna powstałego trójkąta prostokątnego. 
`6^2+8^2=c^2` 
`36+64=c^2` 
`100=c^2` 
`c=sqrt{100}=10 \ \ \ ["cm"]` 

Drugie ramię tego trapezu ma długość 10 cm. 


Wysokość tego graniastosłupa wynosi 20 cm. 

Ściany boczne są prostokątami o wymiarach 15 cm x 20 cm, 8 cm x 20 cm, 9 cm x 20 cm, 10 cm x 20 cm. 

Obliczamy, ile wynosi pole powierzchni bocznej. 
`P_b=15 \ "cm"*20 \ "cm"+8 \ "cm"*20 \ "cm"+9 \ "cm"*20 \ "cm"+10 \ "cm"*20 \ "cm"=` 
`\ \ \ \ =300 \ "cm"^2+160 \ "cm"^2+180 \ "cm"^2+200 \ "cm"^2=840 \ "cm"^2` 


Obliczamy, ile wynosi pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.
`P_c=2*P_p+P_b` 

Zatem:
`P_c=2*96 \ "cm"^2+840 \ "cm"^2=192 \ "cm"^2+840 \ "cm"^2=1032 \ "cm"^2` 

Pole powierzchni całkowitej tego graniastołupa wynosi 1032 cm2.   


Poprawna odpowiedź to: B. 1032 cm2

Na diagramie przedstawiono informacje o liczbie osób zwiedzających muzeum w pewnym tygodniu.

a) W sobotę muzeum odwiedziło 300 osób, a w niedzielę 260. 
Liczba osób zwiedzających muzeum w weekend to:
`300+260=560` 

W weekend muzeum odwiedziło 560 osób. 
`ul(ul( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 


b) W piątek muzeum zwiedzało 100 osób, a we wtorek 60 osób. 
Różnica w liczbie zwiedzających wynosi:
`100-60=40` 

W piątek zwiedziło muzeum 40 osób więcej niż we wtorek. 
`ul(ul( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 


c) W niedzielę muzeum zwiedziało 260 osób, a w czwartek 40 osób. 
Obliczamy, ile razy więcej zwiedzających było w niedzielę. 
`260:40=6,5` 

W niedzielę było 6,5 razy więcej zwiedzających niż we czwartek. 

`ul(ul( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`


d) Obliczamy liczbę wszystkich zwiedzających. 
Wtorek - 60
Środa - 40
Czwartek - 40
Piątek -100
Sobota - 300
Niedziela - 260
`60+40+40+100+300+260=800` 

Wszystkich zwiedzających było 800. 
Obliczamy, jaką część wszystkich stanowili zwiedzający w sobotę. 
`300/800=3/8` 

Zwiedzający w sobotę stanowili 3/8 wszystkich zwiedzających. 
`ul(ul( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 


e) Wszystkich zwiedzających było 800. Zwiedzających w środę było 40. 
Obliczamy, jaki procent wszystkich stanowią zwiedzający w środę. 
`40/strike800^8*strike100^1%=40/8%=5%` 

Zwiedzający w środę stanowili 5% wszystkich zwiedzających.
`ul(ul( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 


f) Obliczamy liczbę zwiedzających muzeum od wtorku do piątku. 
Wtorek - 60
Środa - 40
Czwartek - 40
Piątek - 100
`60+40+40+100=240` 

Liczba zwiedzających w niedzielę to 260. 

`240<260` 

Liczba zwiedzających od wtorku do piątku była mniejsza niż liczba zwiedzających w niedzielę.   

Dokończ zdanie tak, aby otrzymać ...

Prostokąt opisany na okręgu to kwadrat. 

Bok kwadratu (a) jest dwa razy dłuższy od promienia okręgu wpisanego w ten kwadrat (r), czyli:
`a=2r=2*3sqrt{2}=6sqrt{2}` 

Bok kwadratu ma długość 6√2. 


Obliczamy jaką długość ma przekątna (d) tego kwadratu. 
`d=asqrt{2}=6sqrt{2}*sqrt{2}=6*2=12` 

Przekątna kwadratu ma długość 12. 


Poprawna odpowiedź to: D. 12. 

Bryły, które narysowano poniżej, powstały ...

a) 

Powierzchnia bryły 1. (znajdującej się po lewej stronie) składa się z 5 ścian będących kwadratami oraz 4 ścian mających kształt trójkątów równoramiennych.

Powierzchni bryły 2. także składa się z składa się z 5 ścian będących kwadratami oraz 4 ścian mających kształt trójkątów równoramiennych.

Odp: Pola powierzchni obu brył są równe.

 

b) Obliczymy oddzielnie objętość sześcianu oraz ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o wysokości 1 dm.

Następnie objętość bryły 1. obliczymy odejmując od objętości sześcianu objętość ostrosła,

a objętość bryły 2. obliczymy dodając do objętości sześcianu objętość ostrosłupa.

 

Obliczamy objętość sześcianu o krawędzi długości 1 dm:

`V_s=1^3=1\ ["dm"^3]`  

Obliczamy objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego (o krawędzi podstawy równej krawędzi sześcianu) i wysokości wynoszącej 1 dm:

`V_o=1/3*P_p*H=1/3*1^2*1=1/3\ ["dm"^3]`  

 

Obliczamy objętość bryły 1:

`V_1=V_s-V_o=1-1/3=2/3\ ["dm"^3]` 

Obliczamy objętość bryły 2:

`V_2=V_s+V_o=1+1/3=1 1/3\ ["dm"^3]` 

 

Obliczamy, ile razy objętość bryły 2. jest większa od objętości bryły 1.:

`V_2/V_1=(1 1/3)/(2/3)=strike4^2/strike3^1*strike3^1/strike2^1=2` 

 

Odp: Objętość bryły 2. jest 2 razy większa od objętości bryły 1.