Ostrosłupy - ii-gimnazjum - Baza Wiedzy

Siatka ostrosłupa

Siatki ostrosłupów to przedstawienie na płaszczyźnie wszystkich ścian ostrosłupa. Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa to pole powierzchni jego siatki. Pole boczne to pole powierzchni wszystkich ścian bocznych.

siatkaostroslupa

Siatka graniastosłupa składa się z podstawy i ścian bocznych. Pole powierzchni całkowitej to suma pola podstawy i pól ścian bocznych.

$$P_c=P_p+P_b $$
$$ P_c $$ -> pole powierzchni całkowitej
$$ P_p $$ -> pole podstawy
$$ P_b $$ -> pole powierzchni ścian bocznych
 

Objętość ostrosłupa

Objętość ostrosłupów liczy się bardzo podobnie, co objętość graniastosłupów. Objętość ostrosłupa jest 3 razy mniejsza od objętości graniastosłupa o tym samym polu podstawy i tej samej wysokości.

objetoscostroslupa
$$ V= 1/3×P_p×H $$
$$ V $$ -> objętość
$$ P_p $$ -> pole podstawy
$$ H $$ -> wysokość ostrosłupa

 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Ile krawędzi, ścian i wierzchołków ma ostrosłup, którego podstawa jest trójkątem prostokątnym?

krawędzie: 6

ściany: 4

wierzchołki: 4
 

Zadanie 2.

Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o wysokości 12dm i krawędzi podstawy 4dm.

$$V= 1/3 P_p×H$$

$$V=1/3×16×12=64 dm^3$$

Odp.: Objętość tego ostrosłupa wynosi 64 $$dm^3$$.

Zadanie 3.

Podstawą ostrosłupa prawidłowego jest kwadrat o boku długości 0,5m, a jego objętość jest równa $$1 m^3$$. Czy ostrosłup ten zmieści się w sali o wymiarach: $$6 m×5 m×3 m$$ ?

$$ V= 1/3 P_p×H $$

$$ 1= 1/3×1/4×H $$

$$ H=12 m $$

Odp.: Ten ostrosłup nie zmieści się do sali o podanych wymiarach, ponieważ jego wysokość jest większa od przekątnej sali, równej $$√{70}$$ m < 12m, czyli nie wejdzie do sali nawet na ukos.

Zadanie 4.

Jakie ostrosłupy można zbudować z zapałek tak, by każda krawędź miała długość jednej zapałki?

Wszystkie krawędzie mogą być równej długości w ostrosłupach, których krawędź będzie krótsza od połowy przekątnej. -> takie ostrosłupy to ostrosłup prawidłowy: trójkątny, czworokątny i pięciokątny.

Odp.: Z zapałek możemy zbudować ostrosłup prawidłowy: trójkątny, czworokątny i pięciokątny.

Zadanie 5.

Krawędź boczna ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ma 14 cm, a przekątna podstawy ma 12cm. Oblicz wysokość tego ostrosłupa.

Obliczam wysokość z pitagorasa:

$$ {14}^2-{(1/2×12)}^2=H^2 $$

$$ 196-36=H^2 $$

$$ H=√160=4√10 cm $$

Odp.: Wysokość tego ostrosłupa ma długość $$4√10$$ cm.

Zadanie 6.

Ścianami bocznymi ostrosłupa prawidłowego czworokątnego są trójkąty o bokach długości 20cm, 120cm i 120cm. Oblicz sumę długości jego krawędzi.

a -> 20 cm, ponieważ boki o długości 120cm i 120cm muszą być krawędziami bocznymi, ponieważ mają jednakową długość.

Suma krawędzi: $$20×4+120×4=80+480=560$$ cm

Odp.: Suma długości krawędzi tego ostrosłupa wynosi 560 cm.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Napisz wzór takiej funkcji liniowej, której wykres z częścią ujemną osi y tworzy kąt ostry.

Szukamy takiej funkcji, której wykres tworzy kąt ostry z ujemną częścią osi y. 

Wykres pomocniczy takiej funkcji to:

Zauważmy, że funkcja ta jest funkcją malejącą, czyli współczynnik kierunkowy jest ujemny.
`a<0` 

Punkt przecięcia wykresu z osią Y ma współrzędne (0,b). 
Wykres przecina oś Y w jej ujemnej części, czyli wyraz wolny b również musi być ujemny. 
`b<0` 


Każda funkcja, której współczynnik kierunkowy oraz wyraz wolny są ujemne będzie nachylona pod kątem ostrym do ujemnej części osi Y. 

Przykłady takich funkcji to:
`y=-1/2x-5` 

`y=-3x-1/6`

`y=-7/5x-11/4`

`y=-4x-7`

Podany iloczyn zapisz w postaci liczby naturalnej

`a) \ \ 1,234*10^6=1 \ 234 \ 000` 

`b) \ \ 2,101*10^9=2 \ 101 \ 000 \ 000` 

`c) \ \ 3,14*10^8=314 \ 000 \ 000`

`d) \ \ 5,125*10^7=51 \ 250 \ 000` 

 

Wpisz odpowiednie wykładniki potęg. Uzupełnij luki.

`13*13*13= 13^3`

`(-5)*(-5)=(-5)^2`

`1/3 * 1/3 * 1/3* 1/3* 1/3= (1/3)^5`

`(-2/5)*(-2/5)*(-2/5)*(-2/5)*(-2/5)*(-2/5)*(-2/5)*=(-2/5)^7`

`(0,3)*(0,3)*(0,3)*(0,3)*(0,3)*(0,3)*(0,3)*(0,3)*(0,3)*(0,3)= (0,3)^10`

`a*a*a*a=a^4`

W prostopadłościanie długość najkrótszej krawędzi n

Oznaczmy przez x długość najdłuższej krawędzi:

`36%x=n`

`36/100x=n`                                      `/*100/36`

`x=100/36 n=50/18n=25/9n`

 

średnia krawędź ma długość:

`n+12` .

 

`V=n*25/9n*(n+12)=25/9n^2(n+12)`

`P=2*n*25/9n+2*n*(n+12)+2*25/9n*(n+12)=50/9n^2+2n^2+24n+50/9n^2+50/9n*12=`

`=50/9n^2+2n^2+50/9n^2+24n+200/3n=2n^2+100/9n^2+24n+200/3n=118/9n^2+216/9n+600/9n=`

`=118/9n^2+816n=2/9n(59n+408)`

 

Wykonujemy obliczenia dla n=9 cm.

`V=25/9*9*9*(9+12) cm^3=25*9*21 cm^3=225*21cm^3=ul(ul(4725cm^3))`

`P=2/9*9*(59*9+408)cm^2=2*(531+408)cm^2=2*939cm^2=ul(ul(1878 cm^2))`

Oblicz.

`a) \ sqrt{8}*sqrt{2}=sqrt{8*2}=sqrt{16}=4`
`ul(ul( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`    


`b) \ sqrt{0,2}*sqrt{5}=sqrt{0,2*5}=sqrt{1}=1` 
`ul(ul( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 


`c) \ sqrt{0,32}*sqrt{2}=sqrt{0,32*2}=sqrt{0,64}=0,8` 
`ul(ul( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`  


`d) \ sqrt{1/7}*sqrt{4/7}=sqrt{1/7*4/7}=sqrt{4/49}=2/7` 
`ul(ul( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 


`e) \ sqrt{5/18}*sqrt{1/10}=sqrt{strike5^1/18*1/strike10^2}=sqrt{1/36}=1/6`  
`ul(ul( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 


`f) \ sqrt{2/7}*sqrt{14}=sqrt{2/strike7^1*strike14^2}=sqrt{4}=2` 
`ul(ul( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 


`g) \ root{3}{25}*root{3}{5}=root{3}{25*5}=root{3}{125}=5` 
`ul(ul( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 


`h) \ root{3}{2}*root{3}{32}=root{3}{2*32}=root{3}{64}=4` 
`ul(ul( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 


`i) \ root{3}{-2}*root{3}{-0,004}=root{3}{-2*(-0,004)}=root{3}{0,008}=0,2` 
`ul(ul( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 


`j) \ root{3}{0,003}*root{3}{9}=root{3}{0,003*9}=root{3}{0,027}=0,3` 
`ul(ul( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 


`k) \ root{3}{1/4}*root{3}{-1/2}=root{3}{1/4*(-1/2)}=root{3}{-1/8}=-1/2` 
`ul(ul( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 


`l) \ root{3}{108/3}*root{3}{-2/9}=root{3}{strike108^12/3*(-2/strike9^1)}=root{3}{-24/3}=root{3}{-8}=-2` 

Połącz w pary wyrażenie z jego wartością. Przy każdym numerze wyrażenia wpisz literę przypisaną jego wartości.

`"I."\ sqrt(225:144)= sqrt 225: sqrt144= 15:12= 15/12= 5/4= 1 1/4`

`"II."\ sqrt(160): sqrt(2,5)= sqrt (160:2,5)= sqrt(160: 2 1/2)= sqrt(160 : 5/2)= sqrt(160* 2/5)= sqrt(32*2/1)=sqrt64=8`

`"III."\ sqrt(1 7/9)= sqrt( 16/9)=sqrt16/sqrt9=4/3=1 1/3`

`"IV."\ root(3)(-32)/(root(3)(4))= root(3)(-32/4)=root(3)(-8)=(-2)`

`"V."\ root(3) ( 64: (-27))= root(3)64: root(3)(-27)= 4:(-3)= -4/3=- 1 1/3`

`"VI."\ root(3) (-72): root(3)9= root(3) ( -72:9)= root(3)(-8)=(-2)`

 

`"I. B"`

`"II. C"`

`"III. A"`

`"IV. E"`

`"V. D"`

`"VI. E"`

 

 

 

Na rysunku przedstawiono podstawy czterech graniastosłupów ...

GRANIASTOSŁUP A

Podstawą tego graniastosłupa jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 6 i 8. 

Obliczamy, ile wynosi pole podstawy. 
`P_p=1/strike2^1*strike6^3*8=3*8=24` 

Pole podstawy graniastosłupa wynosi 24. 


Wysokość tego graniastosłupa jest równa obwodowi podstawy. 

Aby obliczyć obwód podstawy musimy najpierw obliczyć długość przeciwprostokątnej. 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczamy, jaką długość ma przeciwprostokątna (c). 
`6^2+8^2=c^2` 
`36+64=c^2` 
`100=c^2` 
`c=sqrt{100}=10` 


Obliczamy, ile wynosi obwód podstawy. 
`Obw.=6+8+10=24` 

Wysokość graniastosłupa jest równa obwodowy podstawy, czyli:
`H=24`   


Obliczamy, ile wynosi objętość tego graniastosłupa. 
`V=P_p*H` 

Zatem: 
`V_A=24*24=576`  

Objętość graniastosłupa wynosi 576 [j3]. 


GRANIASTOSŁUPA B

Podstawę tego graniastosłupa możemy podzielić na pięć kwadratów o boku długości 2. 

Obliczamy, ile wynosi pole podstawy. 
`P_p=5*2^2=5*4=20` 

Wysokość tego graniastosłupa jest równa obwodowi podstawy. 

Obliczamy, ile wynosi obwód podstawy: 
`Obw.=12*2=24` 

Wysokość graniastosłupa jest równa obwodowy podstawy, czyli: 
`H=24` 


Obliczamy, ile wynosi obwód graniastosłupa: 
`V_B=20*24=480`  

Objętość graniastosłupa wynosi 480 [j3]. 


GRANIASTOSŁUP C

Podstawą tego graniastosłupa jest romb o przekątnych długości 6 i 8. 

Obliczamy, ile wynosi pole podstawy rombu. 
`P_p=1/strike2^1*strike6^3*8=3*8=24` 

Wysokość tego graniastosłupa jest równa obwodowi podstawy. 

Przekątne rombu przecinają się pod kątem prostym i połowią się.
Dzielą one romb na cztery trójkąty prostokątne o przyprostokątnych długości 3 i 4. 

Aby obliczyć obwód podstawy musimy najpierw obliczyć długość przeciwprostokątnej jednego z trójkątów, na jakie został podzielony romb.


Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczamy jaką długość ma przeciwprostokątna (a), czyli bok rombu.
`3^2+4^2=a^2`   
`9+16=a^2` 
`25=a^2` 
`a=sqrt{25}=5` 

Bok rombu ma długość 5. 


Obliczamy, ile wynosi obwód podstawy. 
`Obw.=4*5=20` 

Wysokość graniastosłupa jest równa obwodowy podstawy, czyli: 
`H=20` 


Obliczamy, ile wynosi objętość graniastosłupa.
`V_C=24*20=480`  

Objętość graniastosłupa wynosi 480 [j3]. 


GRANIASTOSŁUP D

Podstawę tego graniastosłupa możemy podzielić na dwa prostokąty o wymiarach 2 x 6. 

Obliczamy, ile wynosi pole podstawy. 
`P_p=2*2*6=24`   

Wysokość tego graniastosłupa jest równa obwodowi podstawy. 

Obliczamy, ile wynosi obwód podstawy: 
`Obw.=2*6+2*4+4*2=12+8+8=28`  

Wysokość graniastosłupa jest równa obwodowy podstawy, czyli: 
`H=28`  


Obliczamy, ile wynosi obwód graniastosłupa: 
`V_D=24*28=672`    

Objętość graniastosłupa wynosi 672 [j3]. 


Odpowiedź
Największą objętość ma graniastosłup D

Wyłącz wspólny czynnik poza nawias

`a)\ 16x+12y+8=4*4x+4*3y+4*2=4*(4x+3y+2)`

 

`b)\ -2a+4b-6c=-2*a+(-2)*(-2b)-2*3c=-2*(a-2b+3c)`

 

`c)\ 10ab+5a+25a^2=5a*2b+5a*1+5a*5a=5a*(2b+1+5a)`

 

`d)\ 0,5a+2,5b+1,5ab=0,5*a+0,5*5b+0,5*3ab=0,5*(a+5b+3ab)`

 

`e)\ -0,6y+0,9x-1,2xy=0,3*(-2y)+0,3*3x+0,3*(-4xy)=0,3*(-2y+3x-4xy)`

 

`f)\ 1,4az+2,1zb-3,5z=7z*0,2a+7z*0,3b+7z*(-0,5)=7z*(0,2a+0,3b-0,5)`

 

`g)\ -1/6u+5/12w-5/18y=-6/36+15/36w-10/36y=1/36*(-6)+1/36*15w+1/36*(-10y)=1/36*(-6+15w-10y)`

 

`h)\ 11/21u-22/35w-33/42y=1/7*11/3u+1/7*(-22/5w)+1/7*(-33/6y)=1/7(11/3u-22/5w-11/2y)`

Krawędź podstawy graniastosłupa prawidłowego ...

Rysunek pomocniczy:

 

W podstawie graniastosłupa prawidłowego znajduje się sześciokąt foremny o boku długości 6 cm.

Obliczamy pole podstawy, czyli pole sześciokąta foremnego (sześciokąt foremny możemy podzielić na 6 trójkątó rónobocznych o długości boku takiej samej, jak długość boku sześciokąta):

`P_p=6*(6^2sqrt3)/4=6*(strike36^9sqrt3)/strike4^1=54sqrt3\ ["cm"^2]`  

 

Wiemy, że pole całkowite graniastosłupa jest równe:

`P_c=252sqrt3\ "cm"^2` 

Pole całkowite wyznaczamy dodając dwa pola podstaw oraz pole boczne.

Pole podstawy wyznaczono powyżej.

Pole boczne składa się z sześciu prostokątnych ścian o wymiarach 6 cm x H (H - wysokość graniastosłupa).

Obliczamy pole powierzchni bocznej:

`P_b=6*6*H=36H\ ["cm"^2]` 

 

Podstawiamy dane do wzoru na pole całkowite graniastosłupa:

`P_c=2*P_p+P_b` 

`252sqrt3=2*54sqrt3+36H` 

`252sqrt3=108sqrt3+36H\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |-108sqrt3` 

`144sqrt3=36H\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |:36` 

`H=4sqrt3\ ["cm"]` 

 

Wyznaczamy objętość graniastosłupa:

`V=P_p*H=54sqrt3*4sqrt3=54*4*3=648\ ["cm"^3]` 

 

Odp: Objętość graniastosłupa jest równa 648 cm3.

Narysuj wykres funkcji przedstawionej w tabelce

`f(x)=0\ \ \ gdy\ \ \ x=2 \ \ \ larr\ \ m.\ zerowe`

`f(x)>0\ \ \ gdy\ \ \ x =3`

`f(x)<0\ \ \ gdy\ \ \ x in{-1,\ 0,\ 1}`

`f\ uarr`

`f_(max)=1`

`f_(min)=-3`

`f(-1)=-3`

`f(3)=1`