Ostrosłupy - ii-gimnazjum - Baza Wiedzy

Siatka ostrosłupa

Siatki ostrosłupów to przedstawienie na płaszczyźnie wszystkich ścian ostrosłupa. Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa to pole powierzchni jego siatki. Pole boczne to pole powierzchni wszystkich ścian bocznych.

siatkaostroslupa

Siatka graniastosłupa składa się z podstawy i ścian bocznych. Pole powierzchni całkowitej to suma pola podstawy i pól ścian bocznych.

$$P_c=P_p+P_b $$
$$ P_c $$ -> pole powierzchni całkowitej
$$ P_p $$ -> pole podstawy
$$ P_b $$ -> pole powierzchni ścian bocznych
 

Objętość ostrosłupa

Objętość ostrosłupów liczy się bardzo podobnie, co objętość graniastosłupów. Objętość ostrosłupa jest 3 razy mniejsza od objętości graniastosłupa o tym samym polu podstawy i tej samej wysokości.

objetoscostroslupa
$$ V= 1/3×P_p×H $$
$$ V $$ -> objętość
$$ P_p $$ -> pole podstawy
$$ H $$ -> wysokość ostrosłupa

 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Ile krawędzi, ścian i wierzchołków ma ostrosłup, którego podstawa jest trójkątem prostokątnym?

krawędzie: 6

ściany: 4

wierzchołki: 4
 

Zadanie 2.

Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o wysokości 12dm i krawędzi podstawy 4dm.

$$V= 1/3 P_p×H$$

$$V=1/3×16×12=64 dm^3$$

Odp.: Objętość tego ostrosłupa wynosi 64 $$dm^3$$.

Zadanie 3.

Podstawą ostrosłupa prawidłowego jest kwadrat o boku długości 0,5m, a jego objętość jest równa $$1 m^3$$. Czy ostrosłup ten zmieści się w sali o wymiarach: $$6 m×5 m×3 m$$ ?

$$ V= 1/3 P_p×H $$

$$ 1= 1/3×1/4×H $$

$$ H=12 m $$

Odp.: Ten ostrosłup nie zmieści się do sali o podanych wymiarach, ponieważ jego wysokość jest większa od przekątnej sali, równej $$√{70}$$ m < 12m, czyli nie wejdzie do sali nawet na ukos.

Zadanie 4.

Jakie ostrosłupy można zbudować z zapałek tak, by każda krawędź miała długość jednej zapałki?

Wszystkie krawędzie mogą być równej długości w ostrosłupach, których krawędź będzie krótsza od połowy przekątnej. -> takie ostrosłupy to ostrosłup prawidłowy: trójkątny, czworokątny i pięciokątny.

Odp.: Z zapałek możemy zbudować ostrosłup prawidłowy: trójkątny, czworokątny i pięciokątny.

Zadanie 5.

Krawędź boczna ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ma 14 cm, a przekątna podstawy ma 12cm. Oblicz wysokość tego ostrosłupa.

Obliczam wysokość z pitagorasa:

$$ {14}^2-{(1/2×12)}^2=H^2 $$

$$ 196-36=H^2 $$

$$ H=√160=4√10 cm $$

Odp.: Wysokość tego ostrosłupa ma długość $$4√10$$ cm.

Zadanie 6.

Ścianami bocznymi ostrosłupa prawidłowego czworokątnego są trójkąty o bokach długości 20cm, 120cm i 120cm. Oblicz sumę długości jego krawędzi.

a -> 20 cm, ponieważ boki o długości 120cm i 120cm muszą być krawędziami bocznymi, ponieważ mają jednakową długość.

Suma krawędzi: $$20×4+120×4=80+480=560$$ cm

Odp.: Suma długości krawędzi tego ostrosłupa wynosi 560 cm.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Dany jest trójkąt różnoboczny rozwartokątny. Narysuj

Przyjmijmy, że pole jednej ...

a) 

Rysunek I:

Pole figury to pole połowy koła o promieniu r1=3.

`P_I=1/2*pi*(3^2)` 

`P_I=1/2*pi*9` 

`P_I=9/2 pi` 

 

Rysunek II:

Pole figury obliczymy odejmując od pola dużego koła o promieniu r1, pole mniejszego koła o promieniu r2.

`P_{dk}=pi*3^2` 

`P_{dk}=9pi` 

`P_{mk}=pi*1^2` 

`P_{mk}=pi` 

`P_{II}=P_{dk}-P_{mk}=9pi-pi=8pi` 

 

Rysunek III:

Na pole figury składa się połowa pola koła o promieniu r1, oraz połowa pola koła o promieniu r3.

`P_{r_1}=pi*3^2`

`P_{r_1}=9pi` 

`P_{r_3}=pi*2^2` 

`P_{r_3}=4pi` 

`P_{III}=1/2P_{r_1}+1/2P_{r_3}=1/2*9pi+1/2*4pi=4,5pi+2pi=6,5pi` 

 

Rysunek IV:

Pole figury obliczymy odejmując od pola dużego koła o promieniu r1, pole dwóch kwadratów o boku długości 1.

`P_{r_1}=pi*3^2` 

`P_{r_1}=9pi` 

`P_{IV}=9pi-2*1^2=9pi-2` 

 

b)

Rysunek I:

Pole zamalowanej figury wynosi 9π-4.

Aby figura miała pole równe 9π-4 wystarczy od pola koła o promieniu 3 odjąć np. kwadrat o polu równym 4.

Aby obliczyć pole zamalownaje figury odejmujemy od pola koła o promieniu r1 pole kwadrau o boku 2.

`P_{r_1}=pi*3^2` 

`P_{r_1}=9pi` 

`P_I=9pi-2^2=9pi-4`

Rysunek II:

Pole zamalowanej figury wynosi 2,25π.

Aby figura miała pole 2,25π wystarczy zamalować koło o promieniu równm 1,5.

`P_{II}=pi*(1,5)^2` 

`P_{II}=2,25pi` 

 

Rysunek III:

Pole zamalowanej figury wynosi 8π.

Aby figura miała pole równe 8π wystarczy od pola koła o promieniu 3 odjąć pole  koła o promieniu równym 1.

Aby obliczyć pole zamalownaje figury odejmujemy od pola koła o promieniu r1 pole koła o promieniu r3.

`P_{r_1}=pi*3^2` 

`P_{r_1}=9pi` 

`P_{r_3}=pi*1^2` 

`P_{r_3}=pi` 

`P_{III}=9pi-pi=8pi` 

 

Rysunek IV:

Pole zamalowanej figury wynosi 5π-1.

Aby figura miała pole równe 5π-1 wystarczy od pola koła o promieniu 3 odjąć pole  koła o promieniu równym 2 oraz pole kwadratu o boku 1.

Aby obliczyć pole zamalownaje figury odejmujemy od pola koła o promieniu r1 pole koła o promieniu r4 oraz pole kwadratu o boku długości 1.

`P_{r_1}=pi*3^2` 

`P_{r_1}=9pi` 

`P_{r_4}=pi*2^2` 

`P_{r_4}=4pi` 

`P_{IV}=9pi-4pi-1=5pi-1` 

 

c)

 

Rysunek I:

Pole zamalowanej figury wynosi 36-4π.

Aby figura miała pole równe 36-4π wystarczy od pola kwadratu o boku 6, odjąć pole koła o promieniu 2.

`P_{r_1}=pi*2^2`

`P_{r_1}=4pi`

`P_I=6^2-4pi=36-4pi`

Rysunek II:

Pole zamalowanej figury wynosi 30-π.

Aby figura miała pole równe 30-π wystarczy od pola trapezu o podstawach 6 i 4 oraz wysokości 6, odjąć pole koła o promieniu 1.

`P_t=((6+4)*6)/2=(10*strike6^3)/strike2^1=30` 

`P_{r_2}=pi*1^2` 

`P_{r_2}=pi` 

 

`P_{II}=30-pi`

 

Rysunek III:

Pole zamalowanej figury wynosi 20-π/4.

Aby figura miała pole równe 20-π/4 wystarczy od pola trójkąta o podstawie 7 i wysokości 6 odjąć pole koła o promieniu równym 1/2.

`P_t=(7*strike6^3)/strike2^1`

`P_t=21`

`P_{r_3}=pi*(1/2)^2`

`P_{r_3}=1/4pi`

`P_{III}=21-1-1/4pi`

 `P_{III}=21-1-1/4pi` 

 

Rysunek IV:

Pole zamalowanej figury wynosi 22-2π.

Aby figura miała pole równe 22-2π wystarczy od pola trapezu o podstawach 3 i 5 oraz wysokości 6 odjąć dwa pola koła o promieniu 1 oraz np. pole prostokąta o wymiarach 1 x 2.

`P_t=((3+5)*6)/2=(8*strike6^3)/strike2^1=24`

`P_{r_2}=pi*1^2`

`P_{r_2}=pi` 

`P_p=1*2=2` 

`P_{IV}=24-2*pi-2=22-2pi`

Na wykresie przedstawiono liczbę wypadków drogowych i liczbę rannych w latach 2001-2010.

I. Najwięcej rannych było w 2001 roku. 


II.
Spadek liczby wypadków odnotowano w latach 2001 - 2006 oraz 2007 - 2010.


III. 
Liczba wypadków zmalała o około 28 %. 

W 2001 roku liczba wypadków wynosiła 53 799. 
W 2010 roku liczba wypadków to 38 832. 
Różnica w liczbie wypadków to:
`53 \ 799-38 \ 832=14 \ 967`  

Obliczamy, o ile procent zmalała liczba wypadków w stosunku do roku 2001.
`(14 \ 967)/(53 \ 799)*100%=(1 \ 496 \ 700%)/(53 \ 799)~~28%` 

Do każdego z równań dopisz drugie równanie takie, aby

a) Wybieramy sobie parę liczb, która spełnia podane równanie i która będzie jedynym rozwiązaniem utworzonego układu równań. Niech x będzie równy 1.

`x=1`

Dla takiego x wyznaczamy y tak, aby ta para liczb spełniała podane równanie:

`x+y=3`

`1+y=3 \ \ \ |-1`

`y=2`

Mamy zatem parę liczb (1,2). Stwórzmy drugie równanie, które będzie spełnione dla tej pary liczb i nie będzie przekształconą postacią pierwszego równania (w tym przypadku otrzymalibyśmy układ równań nieoznaczony).

`3*2-4*1=2 \ \ \ \ => \ \ \ \ 3*y-4*x=2 \ \ \ \ \ \ => \ \ \ 3y-4x=2`

 

Otrzymany układ równań:

`{(x+y=3),(3y-4x=2):}`

b) Niech liczba x w naszej parze liczb będzie równa 10. Dla takiego x wyznaczamy y tak, aby ta para liczb spełniała podane równanie:

`x-y=6`

`10-y=6 \ \ \ |+y`

`10=6+y \ \ \ \ |-6`

`4=y`

`y=4`

Wyznaczamy przykładowe drugie równanie, które będzie spełnione dla pary liczb (10,4):

`2*10-4/2=18 \ \ \ \ => \ \ \ 2x-y/2=18`

Otrzymany układ równań:

`{(x-y=6),(2x-y/2=18):}`

c) Niech liczba x w naszej parze liczb będzie równa 3. Dla takiego x wyznaczamy y tak, aby ta para liczb spełniała podane równanie:

`2*3-y=4 \ \ \ |+y`

`6=4+y \ \ |-4`

`2=y`

`y=2`

Wyznaczamy przykładowe drugie równanie, które będzie spełnione dla pary liczb (3,2):

`(3+2)/4=2/2+1/4 \ \ => \ \ (x+y)/4=y/2+1/4`

 Otrzymany układ równań:

`{(2x-y=4),((x+y)/4=y/2+1/4):}`

 d) Niech liczba x w naszej parze liczb będzie równa 2.

`y-3*2=6`

`y-6=6 \ \ \ \ |+6`

`y=6+6`

`y=12`

Wyznaczamy przykładowe drugie równanie, które będzie spełnione dla pary liczb (2,12):

`12=2*6 \ \ \ \ => \ \ \ \ y=6x`

 Otrzymany układ równań:

`{(y-3x=6),((y=6x):}`

e) Niech liczba x w naszej parze liczb będzie równa 2.

`2x+2y=3`

`2*2+2y=3`

`4+2y=3 \ \ \ |-4`

`2y=3-4`

`2y=-1 \ \ \ \ \ |:2`

`y=-1/2`

Wyznaczamy przykładowe drugie równanie, które będzie spełnione dla pary liczb (2,-½)

`-4*(-1/2)=2 \ \ \ \ => \ \ \ \ -4*y=x \ \ \ \ -4y=x`

Otrzymany układ równań:

`{(2x+2y=3),(-4y=x):}`

 

f) Niech liczba x w naszej parze liczb będzie równa 2.

`-3*2+4y=6`

`-6+4y=6 \ \ \ |+6`

`4y=12 \ \ \ |:4`

`y=3`

Wyznaczamy przykładowe drugie równanie, które będzie spełnione dla pary liczb (2,3).

`4*2-5*3=-7 \ \ \ \ => 4x-5y=-7`

Otrzymany układ równań:

`{(-3x+4y=6),(4x-5y=-7):}`

 

Oblicz długośc boku trójkąta równobocznego

Znamy wzór na pole trójkąta równobocznego o boku a:

`P=(a^2sqrt3)/4`

 

 

`a)`

`(a^2sqrt3)/4=25sqrt3\ cm^2\ \ \ \ \ \|*4`

`a^2sqrt3=100sqrt3\ cm^2\ \ \ \ \ \\ |:sqrt3`

`a^2=100\ cm^2`

`a=10\ cm`

 

 

 

`b)`

`(a^2sqrt3)/4=sqrt3\ m^2\ \ \ \ \|:sqrt3`

`a^2/4=1\ m^2\ \ \ \ \ \ |*4 `

`a^2=4\ m^2`

`a=2\ m`

 

 

 

`c)`

`(a^2sqrt3)/4=sqrt3/4\ cm^2\ \ \ \ \ |*4/sqrt3`

`a^2=1\ cm^2`

`a=1\ cm`

Porównaj pola zacieniowanych figur.

Przyjmujemy, że bok kratki ma długość 1. 

Pole pierwszej figury:
[Pole prostokąta - 18 ∙ pole koła]

Prostokąt:
a=12
b=6
`P_square=a*b=12*6=72` 

Koło:
r=1
`P_circ=pi*1^2=pi` 

Pole zacienowanej figury to:
`ul(ul(P))=P_square-18*P_circ=ul(ul(72-18pi))` 

 

Pole drugiej figury:
[Pole prostokąta - 8∙ pole koła]

Prostokąt:
a=12
b=6
`P_square=a*b=12*6=72`  

Koło:
r=1,5
`P_circ=pi*1,5^2=2,25pi` 

Pole zacienowanej figury to:
`ul(ul(P))=P_square-8*P_circ=72-8*2,25pi=ul(ul(72-18pi))` 


Odpowiedź:
Pola zacieniowanych figur są takie same.   

W układzie współrzędnych zaznaczono punkty A=(4,6), B=(3,3)

`"I."\ O=(0,0),\ \ A=(4,6)`

`\ \ \ |OA|=sqrt(4^2+6^2)`

`\ \ \ |OA|=sqrt(16+36)`

`\ \ \ |OA|=sqrt(52)`

`\ \ \ |OA|=2sqrt13`

`"Odległość punktu A od początku układu współrzędnych jest równa"\ 2sqrt13"."`

 

`"II."\ O=(0,0),\ \ B=(3,3)`

`\ \ \ |OB|=sqrt(3^2+3^2)`

`\ \ \ |OB|=sqrt(9+9)`

`\ \ \ |OB|=sqrt(2*9)`

`\ \ \ |OB|=3sqrt2`

`"Odległość punktu B od początku układu współrzędnych jest równa"\ 3sqrt2"."`

 

`"III."\ O=(0,0),\ \ C=(4,-3)`

`\ \ \ |OC|=sqrt(4^2+(-3)^2)`

`\ \ \ |OC|=sqrt(16+9)`

`\ \ \ |OC|=sqrt25`

` \ \ \ |OC|=5`

`"Odległość punktu C od początku układu współrzędnych jest równa"\ 5"."`

  

`"IV."\ O=(0,0),\ \ D=(-1,-2)`

`\ \ \ |OD|=sqrt((-1)^2+(-2)^2)`

`\ \ \ |OD|=sqrt(1+4_`

`\ \ \ |OD|=sqrt5`

`"Odległość punktu D od początku układu współrzędnych jest równa"\ sqrt5"."`

Stosunek obwodów dwóch figur podobnych

Stosunek obwodów dwóch figur podobnych określa skalę ich podobieństwa.  

`k=1 4/7=11/7`  

W tym przypadku skala ta jest większa od 1, stąd jest to skala podobieństwa większej figury do mniejszej figury. Stosunek długości boku mniejszej figury do długości opdowiadającego mu boku większej figury będzie liczbą odwrotną, czyli będzie wynosić:

` ` `7/11` 

Naszkicuj graniastosłup prawidłowy.

a) Graniastosłup ma dwie podstawy równoległe do siebie, rozpatrzmy więc jedną gdyż przekątne z drugiej podstawy pokryją się z tymi z pierwszej. Z każdego wierzchołka moglibyśmy poprowadzić 2 przekątne. Wierzchołków mamy w podstawie 5, czyli razem będzie tych przekątnych 10.

 

b) Analogicznie rozpatrzmy tylko jedną podstawę. Z każdego wierzchołka możemy poprowadzić 2 przekątne. Wierzchołków w podstawie mamy 6, czyli razem będzie tych przekątnych 18.

Które zdania nie są ...

ODP:

A. PRAWDA

B. PRAWDA

C. PRAWDA

D. FAŁSZ

 

Zdanie A:

Liczba wypadków w 2013 roku wynosiła 6645.

Liczba wypadków w 2012 roku wynosiła 6995.

Wyznaczamy różnicę pomiędzy liczbą wypadków w 2012 i 2013 roku:

`6995-6645=350` 

Obliczamy, jaką częścią liczby wpadków z 2012 roku jest obliczona różnica:

`350/6995*100%=35000/6995%~~5,004%`   

Liczba wypadków w 2013 roku była o ponad 5% mniejsza od liczby wypadków w 2012 roku.

 

Zdanie B:

Liczba wypadków w październiku 2013 roku wynosiła 617.

Liczba wypadków w październiku 2012 roku wynosiła 688.

Wyznaczamy różnicę pomiędzy liczbą wypadków w październiku 2012 i 2013 roku:

`688-617=71` 

Obliczamy, jaką częścią liczby wpadków z października 2012 roku jest obliczona powyżej różnica:

`71/688*100%=7100/688%~~10,3%` 

Liczba wypadków w październiku 2013 roku była o ponad 10% mniejsza od liczby wypadków w październiku 2012 roku.

 

Zdanie C:

W sierpniu 2013 roku liczba wypadków wynosiła 733.

W styczniu 2013 roku liczba wypadków wynosiła 354.

Liczba wypadków w sierpniu była ponad dwa razy większa niż liczba wypadków w styczniu:

`354*2=708` 

 

Zdanie D:

Najwięcej wypadków w 2012 roku było w lipcu.

Najwięcej wypadków w 2013 roku było w sierpniu.