Ostrosłupy - ii-gimnazjum - Baza Wiedzy

Siatka ostrosłupa

Siatki ostrosłupów to przedstawienie na płaszczyźnie wszystkich ścian ostrosłupa. Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa to pole powierzchni jego siatki. Pole boczne to pole powierzchni wszystkich ścian bocznych.

siatkaostroslupa

Siatka graniastosłupa składa się z podstawy i ścian bocznych. Pole powierzchni całkowitej to suma pola podstawy i pól ścian bocznych.

$$P_c=P_p+P_b $$
$$ P_c $$ -> pole powierzchni całkowitej
$$ P_p $$ -> pole podstawy
$$ P_b $$ -> pole powierzchni ścian bocznych
 

Objętość ostrosłupa

Objętość ostrosłupów liczy się bardzo podobnie, co objętość graniastosłupów. Objętość ostrosłupa jest 3 razy mniejsza od objętości graniastosłupa o tym samym polu podstawy i tej samej wysokości.

objetoscostroslupa
$$ V= 1/3×P_p×H $$
$$ V $$ -> objętość
$$ P_p $$ -> pole podstawy
$$ H $$ -> wysokość ostrosłupa

 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Ile krawędzi, ścian i wierzchołków ma ostrosłup, którego podstawa jest trójkątem prostokątnym?

krawędzie: 6

ściany: 4

wierzchołki: 4
 

Zadanie 2.

Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o wysokości 12dm i krawędzi podstawy 4dm.

$$V= 1/3 P_p×H$$

$$V=1/3×16×12=64 dm^3$$

Odp.: Objętość tego ostrosłupa wynosi 64 $$dm^3$$.

Zadanie 3.

Podstawą ostrosłupa prawidłowego jest kwadrat o boku długości 0,5m, a jego objętość jest równa $$1 m^3$$. Czy ostrosłup ten zmieści się w sali o wymiarach: $$6 m×5 m×3 m$$ ?

$$ V= 1/3 P_p×H $$

$$ 1= 1/3×1/4×H $$

$$ H=12 m $$

Odp.: Ten ostrosłup nie zmieści się do sali o podanych wymiarach, ponieważ jego wysokość jest większa od przekątnej sali, równej $$√{70}$$ m < 12m, czyli nie wejdzie do sali nawet na ukos.

Zadanie 4.

Jakie ostrosłupy można zbudować z zapałek tak, by każda krawędź miała długość jednej zapałki?

Wszystkie krawędzie mogą być równej długości w ostrosłupach, których krawędź będzie krótsza od połowy przekątnej. -> takie ostrosłupy to ostrosłup prawidłowy: trójkątny, czworokątny i pięciokątny.

Odp.: Z zapałek możemy zbudować ostrosłup prawidłowy: trójkątny, czworokątny i pięciokątny.

Zadanie 5.

Krawędź boczna ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ma 14 cm, a przekątna podstawy ma 12cm. Oblicz wysokość tego ostrosłupa.

Obliczam wysokość z pitagorasa:

$$ {14}^2-{(1/2×12)}^2=H^2 $$

$$ 196-36=H^2 $$

$$ H=√160=4√10 cm $$

Odp.: Wysokość tego ostrosłupa ma długość $$4√10$$ cm.

Zadanie 6.

Ścianami bocznymi ostrosłupa prawidłowego czworokątnego są trójkąty o bokach długości 20cm, 120cm i 120cm. Oblicz sumę długości jego krawędzi.

a -> 20 cm, ponieważ boki o długości 120cm i 120cm muszą być krawędziami bocznymi, ponieważ mają jednakową długość.

Suma krawędzi: $$20×4+120×4=80+480=560$$ cm

Odp.: Suma długości krawędzi tego ostrosłupa wynosi 560 cm.

Spis treści

3 szkoły podstawowej
4 szkoły podstawowej
5 szkoły podstawowej
6 szkoły podstawowej
7 szkoły podstawowej
II gimnazjum
III gimnazjum
Matura podstawowa
Matura rozszerzona
Rozwiązane zadania
Pomiędzy jakimi wielkościami na osi należy umieścić

Przyjmijmy, że średni wzrost człowieka to 1,7 m. Chcąc zapisać tą liczbę  w postaci potęgi liczby 10, najbliższym przybliżeniem będzie 100, czyli 1 (m). Tym samym człowieka na osi trzeba umieścić pomiędzy wielkościami 100 i 102.

 

Wskaż liczbę naturalną, którą można przedstawić ...

Podstawa potęgi wynosi 5. 

Wykładnik potęgi ma być liczbą naturalną. 


Liczba naturalna, którą można przedstawić w postaci potęgi o podstawie 5 i wykładniku będącym liczbą naturalną to 125, bo:
`125=5^3` 


Poprawna odpowiedź to: B. 125

Oblicz, korzystając z wartości podanych w tabeli.

`a) \ \ 2^2*2^4=2^(2+4)=2^6=64`

`b) \ \ 2^3*2^5=2^(3+5)=2^8=256`

`c) \ \ 3^2*3^3=3^(2+3)=3^5=243`

`d) \ \ 2^5*2^3*2=2^(5+3+1)=2^9=512`

`e) \ \ 2^5*2^0*2^5=2^(5+0+5)=2^10=1024`

`f) \ \ 3^5*3*3^0=3^(5+1+0)=3^6=729`

`g) \ \ 2^9:2^6=2^(9-6)=2^3=8`

`h) \ \ 3^9:3^5=3^(9-5)=3^4=81`

`i) \ \ 3^7:3=3^(7-1)=3^6=729`

Oblicz kwadrat liczby 24.

`24^2=24*24=576` 

Połącz równe wyrażenia.

Korzystamy ze wzoru:

`(a*b)^m=a^m*b^m `

`(a/b)^n=a^n/b^n `

Ponadto ułamek możemy zapisać w postaci ilorazu, wtedy:

`(a:b)^n=a^n:b^n`

 

 

`(2:3)^5=(2/3)^5=2^5/3^5=2^5:3^5`

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )`

`(3/2)^5=3^5/2^5=3^5:2^5=(3:2)^5`

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )`

`6^5=(2*3)^5=3^5*2^5`

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )`

`1/3*2^5=2^5/3`

Odczytaj datę zapisaną w systemie rzymskim. a) MCMLXXXVIII

a ) 

MCMLXXVIII = 1000 + (1000-100) + 50 + 10 + 10 + 5 + 1 + 1 + 1 = 1978

b)

CMLXVI = (1000-100) + 50 + 10 + 5 + 1 = 966

c)

MDCCXCV = 1000 + 500 + 100 + 100 + (100-10) + 5 = 1795

d)

MCCCXXXI = 1000 + 100 + 100 + 100 + 10 + 10 + 10 + 1 = 1331

e) 

MCDXLIV = 1000 + (500 - 100) + (50 - 10) + (5 - 1) = 1444

Zapisz znakami rzymskimi cztery ostatnie lata przestępne XXI wieku.

`2096 = 1000+1000+(100-10)+6\ - \ MMXCVI`

`2092 = 1000+1000+(100-10)+2\ - \ MMXCII`

`2088 = 1000+1000+50+30+8\ -\ MMLXXXVIII`

`2084 = 1000+1000+50+30+4\ -\ MMLXXXIV`

Oblicz:

`5^1=5` 

```5^0=1` 

`(-5)^1=-5` 

`1^5=1*1*1*1*1=1` 

`0^5=0` 

`(-1)^1=-1` 

`(-5)^0=1` 

`0^1=0` 

`(-1)^5=(-1)*(-1)*(-1)*(-1)*(-1)=-1` 

`(-1)^0=1` 

`1^0=1` 

Wpisz brakujący wykładnik.

Korzystamy:

`a^m*a^n=a^{m+n}`

`b^m/b^n=b^{m-n}`

`(c^m)^n=c^{m*n}`

 

`"a)"\ 3^6:9=3^6:3^2=3^ul(4)`

`"b)"\ 9*3^4=3^2*3^4=3^ul(6)`

`"c)"\ 3^7/9=3^7/3^2=3^ul(5)`

`"d)"\ (3^3)^2=3^ul(6)`

`"e)"\ 27^3/3^8=((3^3)^3)/3^8=3^9/3^8=3^ul(1)`

`"f)"\ 9^6:3^11=(3^2)^6:3^11=3^12:3^11=3^ul(1)`

`"g)"\ 9^3/27=((3^2)^3)/3^3=3^6/3^3=3^ul(3)`

`"h)" \ 3*9*27=3*3^2*3^3=3^ul(6)`

Ustal, dla jakich liczb naturalnych n:

`a) \ 100<3^n<1000`

  • `n=4` 
    `3^4=81` 
    81 < 100, więc to za mało


  • `n=5` 
    `3^5=243` 
    100< 243 < 1000 


  • `n=6` 
    `3^6=729` 
    100 < 729 < 1000


  • `n=7` 
    `3^7=2187` 
    2187 > 1000, więc to za dużo

Odpowiedź:
Liczba 3n jest większa od 100 i mniejsza od 1000 dla n=5 i n=6
`ul(ul( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 


`b) \ 100 < n^3 < 1000` 

  • `n=4` 
    `n^3=64` 
    64 < 100, więc to za mało


  • `n=5` 
    `5^3=125` 
    100 < 125 < 1000


  • `n=6` 
    `6^3=216` 
    100 < 216 < 1000


  • `n=7` 
    `7^3=343` 
    100 < 343 < 1000


  • `n=8`   
    `8^3=512` 
    100 < 512 < 1000


  • `n=9` 
    `9^3=729` 
    100 < 729 < 1000


  • `n=10` 
    `10^3=1000` 
    1000 nie jest liczbą mniejszą od 1000, więc to za dużo 

Odpowiedź:
Liczba n3 jest większa od 100 i mniejsza od 1000 dla n=5, n=6, n=7, n=8 i n=9