Ostrosłupy - ii-gimnazjum - Baza Wiedzy

Siatka ostrosłupa

Siatki ostrosłupów to przedstawienie na płaszczyźnie wszystkich ścian ostrosłupa. Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa to pole powierzchni jego siatki. Pole boczne to pole powierzchni wszystkich ścian bocznych.

siatkaostroslupa

Siatka graniastosłupa składa się z podstawy i ścian bocznych. Pole powierzchni całkowitej to suma pola podstawy i pól ścian bocznych.

$$P_c=P_p+P_b $$
$$ P_c $$ -> pole powierzchni całkowitej
$$ P_p $$ -> pole podstawy
$$ P_b $$ -> pole powierzchni ścian bocznych
 

Objętość ostrosłupa

Objętość ostrosłupów liczy się bardzo podobnie, co objętość graniastosłupów. Objętość ostrosłupa jest 3 razy mniejsza od objętości graniastosłupa o tym samym polu podstawy i tej samej wysokości.

objetoscostroslupa
$$ V= 1/3×P_p×H $$
$$ V $$ -> objętość
$$ P_p $$ -> pole podstawy
$$ H $$ -> wysokość ostrosłupa

 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Ile krawędzi, ścian i wierzchołków ma ostrosłup, którego podstawa jest trójkątem prostokątnym?

krawędzie: 6

ściany: 4

wierzchołki: 4
 

Zadanie 2.

Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o wysokości 12dm i krawędzi podstawy 4dm.

$$V= 1/3 P_p×H$$

$$V=1/3×16×12=64 dm^3$$

Odp.: Objętość tego ostrosłupa wynosi 64 $$dm^3$$.

Zadanie 3.

Podstawą ostrosłupa prawidłowego jest kwadrat o boku długości 0,5m, a jego objętość jest równa $$1 m^3$$. Czy ostrosłup ten zmieści się w sali o wymiarach: $$6 m×5 m×3 m$$ ?

$$ V= 1/3 P_p×H $$

$$ 1= 1/3×1/4×H $$

$$ H=12 m $$

Odp.: Ten ostrosłup nie zmieści się do sali o podanych wymiarach, ponieważ jego wysokość jest większa od przekątnej sali, równej $$√{70}$$ m < 12m, czyli nie wejdzie do sali nawet na ukos.

Zadanie 4.

Jakie ostrosłupy można zbudować z zapałek tak, by każda krawędź miała długość jednej zapałki?

Wszystkie krawędzie mogą być równej długości w ostrosłupach, których krawędź będzie krótsza od połowy przekątnej. -> takie ostrosłupy to ostrosłup prawidłowy: trójkątny, czworokątny i pięciokątny.

Odp.: Z zapałek możemy zbudować ostrosłup prawidłowy: trójkątny, czworokątny i pięciokątny.

Zadanie 5.

Krawędź boczna ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ma 14 cm, a przekątna podstawy ma 12cm. Oblicz wysokość tego ostrosłupa.

Obliczam wysokość z pitagorasa:

$$ {14}^2-{(1/2×12)}^2=H^2 $$

$$ 196-36=H^2 $$

$$ H=√160=4√10 cm $$

Odp.: Wysokość tego ostrosłupa ma długość $$4√10$$ cm.

Zadanie 6.

Ścianami bocznymi ostrosłupa prawidłowego czworokątnego są trójkąty o bokach długości 20cm, 120cm i 120cm. Oblicz sumę długości jego krawędzi.

a -> 20 cm, ponieważ boki o długości 120cm i 120cm muszą być krawędziami bocznymi, ponieważ mają jednakową długość.

Suma krawędzi: $$20×4+120×4=80+480=560$$ cm

Odp.: Suma długości krawędzi tego ostrosłupa wynosi 560 cm.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Mając dane kąty α-rozwarty, ß-ostry oraz odcinek a

Widownia Sceny Ciśnień Teatru Muzycznego

Oznaczmy niewiadome:

x- liczba sprzedanych biletów ulgowych

y- liczba sprzedanych biletów normalnych

Na spektakl sprzedano 3/4 wszystkich miejsc (z 280 miejsc). Na tę sumę sprzedanych biletów składała się liczba biletów ulgowych i normalnych.

`x+y=3/4*280` 

Przychód ze sprzedaży biletów wyniósł 7000 zł.

`x*30+y*35=7000` 

Ułożone równania zapisujemy w postaci układu dwóch równań z dwiema niewiadomymi:

`{(x+y=3/strike4^1*strike280^70),(30x+35y=7000):}` 

`{(x+y=210 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |-y),(30x+35y=7000):}` 

`{(x=210-y),(30x+35y=7000):}` 

`{(x=210-y),(30(210-y)+35y=7000):}` 

`{(x=210-y),(6300-30y+35y=7000):}` 

`{(x=210-y),(6300+5y=7000 \ \ \ \ \ \ \ \ |-6300):}` 

`{(x=210-y),(5y=700 \ \ \ \ \ \ \ \ |:5):}` 

`{(x=210-y),(y=140):}` 

`{(x=210-140=70),(y=140):}` 

   

Połącz wyrażenie algebraiczne z jego opisem. Przy każdym numerze wyrażenia wpisz literę przypisaną opisowi tego wyrażenia.

I B

II D

III C

IV A

Wskaż wszystkie poprawne dokończenia każdego zdania.

`"I."`

`"Pole prostokąta:"`

`"P"="a"*"b"= 2,5\ "cm"*1,6\ "cm"=4\ "cm"^2`

`"Pole kwadratu:"`

`"P"="a"^2= 4\ "cm"^2`

`"a"=2\ "cm"= 20\ "mm"`

`"I.: C, D"`

 

`"II."`

`"V"="a"^3`

`24\ "cm"^3= "a"^3`

`"a"=root(3)24`

`"a"=root(3)(8*3)`

`"a"=2root(3)3`

`"II.: B, C"`

 

`"III."`

`"P"_"c"= 6*"a"^2`

`6*"a"^2= 72 \ \ | : 6`

`"a"^2=12`

`"a"=sqrt12`

`"a"=sqrt(4*3)=2sqrt3\ "dm"= 20sqrt3\ "cm"`

`"III.: A, B"`

Oblicz długość boku kwadratu o przekątnej

`"Długość przekątnej (p) kwadratu obliczamy ze wzoru:"`
`"p"=asqrt{2}` 
`"gdzie a to długość boku kwadratu."`


`"Obliczamy długość boku kwadratu znając długość jego przekątnej."`
 
`"a)" \ p=5sqrt{2}` 
`5sqrt{2}=asqrt{2} \ \ \ \ \ |:sqrt{2}` 
`5=a` 
`"Bok kwadratu ma długość"\ ul(ul(5))"."`   


`"b)" \ p=13sqrt{2}` 
`13sqrt{2}=asqrt{2} \ \ \ \ \ |:sqrt{2}` 
`13=a` 
`"Bok kwadratu ma długość"\ ul(ul(13))"."`


`"c)" \ p=sqrt{8}=sqrt{4*2}=2sqrt{2}` 
`2sqrt{2}=asqrt{2} \ \ \ \ \ |:sqrt{2}` 
`2=a` 
`"Bok kwadratu ma długość"\ ul(ul(2))"."`


`"d)" \ p=2` 
`2=asqrt{2} \ \ \ \ \ |:sqrt{2}` 
`2/sqrt{2}=a` 
`2/sqrt{2}*sqrt{2}/sqrt{2}=(2sqrt{2})/sqrt{2*2}=(2sqrt{2})/sqrt{4}=(2sqrt{2})/2` 
`a=(2sqrt{2})/2`   
`"Bok kwadratu ma długość"\ ul(ul((2sqrt{2})/2))"."`  

Na rysunku przedstawiono graniastosłup

`a)` 

`"I kolumna"` 

`c=2a=2*2=ul( \ 4 \ )`  

`b^2+c^2=d^2` 

`3^2+4^2=d^2` 

`9+16=d^2` 

`d^2=25 \ \ \ \ \ |sqrt` 

`d=sqrt25=ul( \ 5 \ )` 

`"II kolumna"` 

`c=2a` 

`a=1/2c=1/2*6=ul( \ 3 \ )`  

`b^2+c^2=d^2` 

`5^2+6^2=d^2` 

`25+36=d^2` 

`d^2=61 \ \ \ \ \ \ \ |sqrt` 

`d=ulsqrt61` 

`"III kolumna"` 

`b^2+c^2=d^2` 

`1^2+c^2=(sqrt10)^2` 

`1+c^2=10 \ \ \ \ \ \ \ |-1` 

`c^2=9 \ \ \ \ \ \ |sqrt` 

`c=sqrt9=ul( \ 3 \ )`  

`a=1/2c=1/2*3=ul(1 1/2)` 

`b) `

 

`"I kolumna"` 

`c=2h=strike2^1*(asqrt3)/strike2^1=asqrt3` 

`c=ul(2sqrt3)` 

`b^2+c^2=d^2` 

`4^2+(2sqrt3)^2=d^2` 

`16+2^2*3=d^2` 

`16+4*3=d^2` 

`16+12=d^2` 

`d^2=28 \ \ \ \ \ |sqrt` 

`d=sqrt28=sqrt(4*7)=ul(2sqrt7)` 

`"II kolumna"` 

`c=asqrt3` 

`asqrt3=3 \ \ \ \ \ \ \ |:sqrt3` 

`a=3/sqrt3=3/sqrt3*sqrt3/sqrt3=(3sqrt3)/sqrt9=(3sqrt3)/3=ul(sqrt3)` 

`b^2+c^2=d^2` 

`5^2+3^2=d^2` 

`25+9=d^2` 

`d^2=34 \ \ \ \ \ \ |sqrt` 

`d=ul(sqrt34)` 

 

`"III kolumna"`  

`b^2+c^2=d^2` 

`b^2+3^2=4^2` 

`b^2+9=16 \ \ \ \ \ \ |-9` 

`b^2=7 \ \ \ \ \ \ \ |sqrt` 

`b=ul(sqrt7)` 

 

`c=asqrt3` 

`asqrt3=3 \ \ \ \ \ \ \ |:sqrt3` 

`a=3/sqrt3*sqrt3/sqrt3=(3sqrt3)/sqrt9=(3sqrt3)/3=ul(sqrt3)` 

 

Ile krawędzi ma ostrosłup

`a)`

Jeśli ostrosłup ma 5 ścian, to wśród nich jest 1 podstawa oraz 4 ściany boczne, co oznacza, że podstawą ostrsołupa jest czworokąt. 

Taki ostrosłup ma 8 krawędzi (4 krawędzie podstawy oraz 4 krawędzie boczne)

 

 

`b)`

Jeśli ostrosłup ma 8 ścian, to wśród nich jest 1 podstawa oraz 7 ścian bocznych, co oznacza, że podstawą ostrosłupa jest siedmiokąt. 

Taki ostrosłup ma 14 krawędzi (7 krawędzi podstawy oraz 7 krawędzi bocznych). 

Ustal, ile razy dłuższy ...

Obliczmy długość okręgu o promieniu 5:

`l=2pi*5=10pi` 

 

a) Obliczmy długość okręgu o średnicy 5. Promień tego okręgu wynosi 2,5 (połowa średnicy).

`r=2,5` 

Stąd:

`l_a=2pi*2,5=5pi`   

Obliczmy, ile razy dłuższy jest wyjściowy okrąg od okręgu z punktu a).

`l/l_a=(10pi)/(5pi)=2` 

Odp: Wyjściowy okrąg jest 2 razy dłuższy od okregu z punktu a).

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

b) Obliczmy długość okręgu o promieniu 1/5

`r=1/5` 

Stąd:

`l_b=2pi*1/5=(2pi)/5`    

Obliczmy, ile razy dłuższy jest wyjściowy okrąg od okręgu z punktu b).

`l/l_b=(10pi)/((2pi)/5)=strike10^5strike(pi)*5/(strike(2pi))=25`  

Odp: Wyjściowy okrąg jest 25 razy dłuższy od okręgu z punktu b).

 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

c) Obliczmy długość okręgu o promieniu 1. 

`r=1` 

Stąd:

`l_c=2pi*1=2pi`    

Obliczmy, ile razy dłuższy jest wyjściowy okrąg od okręgu z punktu c).

`l/l_c=(strike10^5strike(pi))/(strike(2pi))=5`  

Odp: Wyjściowy okrąg jest 5 razy dłuższy od okręgu z punktu c).

Ile jest zer w zapisie dziesiętnym liczby ...

`1,035*100^4=1035*10^-3*(10^2)^4=1035*10^-3*10^8=1035*10^5` 

Liczba 1035∙105 składa się z liczby 1035 i pięciu cyfr 0. 


Odpowiedź:
W zapisie dziesiętnym liczby 1,035∙1004 jest 5 zer. 

Oblicz, ile razy większe ...

Obliczmy pole koła o promieniu 4:

`"P"_"k"=pi*4^2=16pi\ [j^2]` 

 

a) Długość średnicy wynosi 4. Długość promienia jest dwa razy krótsza od długości średnicy, więc:

`r=1/2*4=2` 

Obliczmy pole zadanego koła:

`"P"_"a"=pi*2^2=4pi\ [j^2]`  

Obliczmy, ile razy większe jest pole koła o promieniu 4 od pola koła o średnicy 4:

`"P"_"k"/"P"_"a"=(strike16^4strike(pi))/(strike4^1strike(pi))=4` 

Odp: Pole koła o promieniu 4 jest 4 razy większe od pola koła o średnicy 4.

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

b) Długość promienia wynosi 1/4.

`r=1/4`  

Obliczmy pole zadanego koła:

`"P"_"b"=pi*(1/4)^2=1/16pi=pi/16\ [j^2]`   

Obliczmy, ile razy większe jest pole koła o promieniu 4 od pola koła o promieniu 1/4:

`"P"_"k"/"P"_"b"=(16pi)/(pi/16)=16strike(pi)*16/strike(pi)=256`  

Odp: Pole koła o promieniu 4 jest 256 razy większe od pola koła o promieniu 1/4.

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

c) Długość promienia wynosi 1.

`r=1`  

Obliczmy pole zadanego koła:

`"P"_"c"=pi*1^2=pi\ [j^2]`   

Obliczmy, ile razy większe jest pole koła o promieniu 4 od pola koła o promieniu 1:

`"P"_"k"/"P"_"c"=(16strike(pi))/strike(pi)=16`  

Odp: Pole koła o promieniu 4 jest 16 razy większe od pola koła o promieniu 1.