Graniastosłupy - ii-gimnazjum - Baza Wiedzy

Siatka graniastosłupa

Siatka graniastosłupa to przedstawienie jego wszystkich ścian bocznych i podstaw na płaszczyźnie.

Przykład:

siatka

Siatka graniastosłupa składa się z dwóch podstaw i ścian bocznych. Pole powierzchni całkowitej to suma pól dwóch podstaw i pól ścian bocznych. Pole ścian bocznych liczy się ze wzoru: $$ P_b=Ob_{p}×H $$.

$$ P_{c}=2P_p+P_b $$
$$ P_{c}=2P_{p}+Obw_{p}×H $$
$$ P_{c} $$ -> pole powierzchni całkowitej
$$ P_{p} $$ -> pole podstawy , $$ Ob_{p} $$ -> obwód podstawy
$$ P_{b} $$ -> pole powierzchni ścian bocznych
 

Objętość graniastosłupa

Objętość („V”) prostopadłościanu oblicza się ze wzoru $$ V=a×b×H $$.

objetoscgraniastoslupa
a,b -> krawędzie podstawy
H -> wysokość (krawędź boczna)

Z powyższego wzoru na objętość prostopadłościanu łatwo możemy wywnioskować ogólny wzór na objętość dowolnego graniastosłupa.

Wzór na objętość dowolnego graniastosłupa to $$ V=P_{podstawy}×H $$.

 

Jednostki objętości

Objętość podaje się w jednostkach sześciennych. Podstawowe jednostki objętości to: milimetr sześcienny ($$mm^3$$), centymetr sześcienny ($$cm^3$$), mililitr ($$ml$$), decymetr sześcienny ($$dm^3$$), metr sześcienny ($$m^3$$), litr ($$l$$) i kilometr sześcienny ($$km^3$$).

Przeliczanie jednostek:

  • $$ 1 ml = 0,001 l = 0,000 001 m^3 $$
  • $$1 cm^3 = 0,000 001 m^3 = 1 ml $$ -> $$ 1mm = 1cm3 $$
  • $$1 l = 0,001 m^3 = 1 000 cm3 $$
  • $$1 dm^3 = 0,001 m^3 = 1 l $$ -> $$ 1l = 1dm^3 $$
  • $$1 m^3 = 1 000 l $$
  • $$1 km^3 = 1 000 000 000 m^3 $$
 

Odcinki w graniastostłupach

W graniastosłupach rozróżniamy 3 różne odcinki: przekątna ściany bocznej, przekątna podstawy i przekątna graniastosłupa.

odcinkiwgraniastoslupie

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Oblicz objętość prostopadłościanu o wymiarach:

  1. $$ 4 cm×20 cm×1 m $$
  2. $$ 0,3 m×50 cm×1,5 m $$
  3. $$ 300 m ×0,5 km×150 cm $$
  1. $$ V=4×20×100=8 000 cm^3 $$
  2. $$ V=0,3×0,5×1,5=0,225 m^3 $$
  3. $$ V=300×500×1,5=225 000 m^3 $$

Zadanie 2.

Oblicz ile waży sztabka złota w kształcie prostopadłościanu o wymiarach 30 cm×10 cm×10 cm. Gęstość złota wynosi 19,3 g/ $$cm^3$$.

$$ V=30×10×10=3000 cm^3 $$

$$ m=3000×19,3=57900 g $$

Odp.: Sztabka złota waży 57900 g.

Zadanie 3.

Oblicz wysokość graniastosłupa prostego o objętości 36 cm3, którego podstawą jest prostokąt o wymiarach 3 cm×4 cm.

$$ 3×4×h=36 $$

$$ 12h=36 $$

$$ h=3 cm $$

Odp.: Wysokość tego graniastosłupa wynosi 3cm.

Zadanie 4.

Oblicz długość przekątnej sześcianu o boku długości 3 m.

Przekątną sześcianu możemy obliczyć ze wzoru $$a√3$$, gdzie a oznacza długość boku sześcianu.

$$ a√3=3√3 m $$

Odp.: Długość przekątnej tego sześcianu wynosi $$3√3$$ m.

Zadanie 5.

Ile krawędzi ma graniastosłup o dziesięciu ścianach bocznych?

10 ścian bocznych -> jest to graniastosłup dziesięciokątny

ilość krawędzi: 20 przy dwóch podstawach + 10 przy ścianach bocznych = 30

Odp.: Graniastosłup o dziesięciu ścianach bocznych ma 30 krawędzi.

Zadanie 6.

Przekątna ściany bocznej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość 10 cm, a jego wysokość 6cm. Ile wynosi objętość tego graniastosłupa?

Ściana boczna ma kształt prostokąta o przekątnej 10 cm i boku 6 cm. Drugi bok wynosi 8 cm, po wyliczeniu go dzięki twierdzeniu pitagorasa.

$$ V=P_p×H $$

$$ V=8^2×6=64×6=384 cm^3 $$

Odp.: Objętość tego graniastosłupa wynosi 384 $$cm^3$$.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Oblicz według wzoru długości odcinków narysowanych w układzie współrzędnych.

`|CD|^2=2^2+2^2=4+4=8` 
`|CD|=sqrt{8}=sqrt{4*2}=2sqrt{2}` 


`|EF|^2=3^2+4^2=9+16=25` 
`|EF|=sqrt{25}=5` 


`|GH|^2=6^2+5^2=36+25=61` 
`|GH|=sqrt{61}` 


`|IJ|^2=3^2+3^2=9+9=18` 
`|IJ|=sqrt{18}=sqrt{9*2}=3sqrt{2}` 


`|KL|^2=1^2+5^2=1+25=26` 
`|KL|=sqrt{26}`   

Promień wewnętrzny pierścienia jest równy 2 cm, zaś promień wewnętrzny- 2,5 dm.

`"a)"`

`"Pole dużego koła:"`

`"P"=(25\ "cm")^2 pi= 625 pi\ "cm"^2`

`"Pole małego koła:"`

`"P"=(2\ "cm")^2 pi=4pi\ "cm"^2`

 

`"Pole pierścienia:"`

`"P"=625 pi\ "cm"^2- 4 pi\ "cm"^2= 621 pi\ "cm"^2`

Iloraz kwadratu różnicy liczb a i b przez połowę sumy

Kwadrat różnicy liczb a i b:

`(a-b)^2`

Suma kwadratów liczb a i b

`a^2+b^2`

Połowa sumy kwadratów liczb a i b:

`1/2(a^2+b^2)`

Iloraz kwadratu różnicy liczb a i b przez połowę sumy ich kwadratów:

`(a-b)^2/(1/2*(a^2+b^2))`

 

 Można przekształcić to wyrażenie:

`(a-b)^2/(1/2*(a^2+b^2))=(a-b)^2/(1/2a^2+1/2b^2)=(a-b)^2/(a^2+b^2)*2/1=(2(a-b)^2)/(a^2+b^2)`

Wskaż przekształcenie, w którym obrazem punktu (-5,2) jest punkt

Dany jest ostrosłup prawidłowy sześciokątny

`P_p=6*(a^2sqrt3)/4=6*(8^2sqrt3)/4=6*(64sqrt3)/4=6*16sqrt3=96sqrt3` 

`V=1/3*P_p*H=1/strike3^1*strike96^32sqrt3*11=352sqrt3` 

`P_b=6*1/2*8*13=3*8*13=312`

`P_c=P_p+P_b=96sqrt3+312` 

Obrazem trójkąta ABC, gdzie |AC|=|BC|

Warto pamiętać, że po odbiciu symetrycznym pewnej figury względem prostej nie zmienią się długości boków ani miary kątów tej figury. 

Dlatego jeśli wiemy, że kąt C₁A₁B₁ ma miarę 50°, to także kąt CAB musi mieć miarę 50°. Wiemy, że odcinki AC i BC mają jednakową długość, więc trójkąt ABC jest równoramienny, a w trójkącie równoramiennym miary kątów przy podstwie są jednakowe. 

 

Teraz wystarczy wykorzystać fakt, że suma miar wszystkich kątów trójkąta jest równa 180°.

`|angleACB|=180^o-2*50^o=180^o-100^o=80^o`

 

`odp.\ A`

W pobliżu rzeki (prosta l) stoją dwa domu ( na rysunku oznaczono je jako punkty X i Y). W którym miejscu na rzece należy

NIE, ponieważ B

Stosunek ilości wody potrzebnej do produkcji

Mamy stosunek wody potrzebnej do produkcji 1 tony papieru każdego rodzaju, wynosi on 9:22. Zatem jeśli mamy podaną wodę zużytą do produkcji 1 t papieru (zajmuje ona objętość 620m³), to 9 części tej wody zużyto na produkcje papieru z makulatury, a 22 części tej wody zużyto do produkcji papieru pierwszej jakości. Łącznie zużyto 22+9=31 części wody, których łączna objętość wynosi 620 m³. Sporządźmy równanie, w którym jako x oznaczymy jedną część wody.

`31x=620 \ \ m^3 \ \ \ \ \ |:31`

`x=20 \ m^3`

 

Pamiętamy, ze 9 takich części wody zużyto na produkcję papieru z makulatury, a 22 części tej wody zużyto do produkcji papieru pierwszej jakości, obliczamy te objętości:

`9x=9*20 \ m^3=180 \ m^3`

 

`22x=22*20 \ m^3=440 \ m^3`

 

Oblicz:

`"a)"\ 6^2=36` 

`(-6)^2=36`

`-6^2=-36`  - podnosimy do kwadratu tylko 6, minus przepisujemy

`(1/6)^2=1/36` 

`(-1/6)^2=1/36` 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ ))` 

`"b)"\ 3^3=27` 

`(-3)^3=-27` 

`-3^3=-27` 

`(1/3)^3=1/27` 

`(-1/3)^3=-1/27` 

Wskaż dwie kolejne liczby naturalne

`sqrt64<sqrt66<sqrt81`

`8<sqrt66<9\ \ \ \ odp.\ D`