Graniastosłupy - ii-gimnazjum - Baza Wiedzy

Siatka graniastosłupa

Siatka graniastosłupa to przedstawienie jego wszystkich ścian bocznych i podstaw na płaszczyźnie.

Przykład:

siatka

Siatka graniastosłupa składa się z dwóch podstaw i ścian bocznych. Pole powierzchni całkowitej to suma pól dwóch podstaw i pól ścian bocznych. Pole ścian bocznych liczy się ze wzoru: $$ P_b=Ob_{p}×H $$.

$$ P_{c}=2P_p+P_b $$
$$ P_{c}=2P_{p}+Obw_{p}×H $$
$$ P_{c} $$ -> pole powierzchni całkowitej
$$ P_{p} $$ -> pole podstawy , $$ Ob_{p} $$ -> obwód podstawy
$$ P_{b} $$ -> pole powierzchni ścian bocznych
 

Objętość graniastosłupa

Objętość („V”) prostopadłościanu oblicza się ze wzoru $$ V=a×b×H $$.

objetoscgraniastoslupa
a,b -> krawędzie podstawy
H -> wysokość (krawędź boczna)

Z powyższego wzoru na objętość prostopadłościanu łatwo możemy wywnioskować ogólny wzór na objętość dowolnego graniastosłupa.

Wzór na objętość dowolnego graniastosłupa to $$ V=P_{podstawy}×H $$.

 

Jednostki objętości

Objętość podaje się w jednostkach sześciennych. Podstawowe jednostki objętości to: milimetr sześcienny ($$mm^3$$), centymetr sześcienny ($$cm^3$$), mililitr ($$ml$$), decymetr sześcienny ($$dm^3$$), metr sześcienny ($$m^3$$), litr ($$l$$) i kilometr sześcienny ($$km^3$$).

Przeliczanie jednostek:

  • $$ 1 ml = 0,001 l = 0,000 001 m^3 $$
  • $$1 cm^3 = 0,000 001 m^3 = 1 ml $$ -> $$ 1mm = 1cm3 $$
  • $$1 l = 0,001 m^3 = 1 000 cm3 $$
  • $$1 dm^3 = 0,001 m^3 = 1 l $$ -> $$ 1l = 1dm^3 $$
  • $$1 m^3 = 1 000 l $$
  • $$1 km^3 = 1 000 000 000 m^3 $$
 

Odcinki w graniastostłupach

W graniastosłupach rozróżniamy 3 różne odcinki: przekątna ściany bocznej, przekątna podstawy i przekątna graniastosłupa.

odcinkiwgraniastoslupie

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Oblicz objętość prostopadłościanu o wymiarach:

  1. $$ 4 cm×20 cm×1 m $$
  2. $$ 0,3 m×50 cm×1,5 m $$
  3. $$ 300 m ×0,5 km×150 cm $$
  1. $$ V=4×20×100=8 000 cm^3 $$
  2. $$ V=0,3×0,5×1,5=0,225 m^3 $$
  3. $$ V=300×500×1,5=225 000 m^3 $$

Zadanie 2.

Oblicz ile waży sztabka złota w kształcie prostopadłościanu o wymiarach 30 cm×10 cm×10 cm. Gęstość złota wynosi 19,3 g/ $$cm^3$$.

$$ V=30×10×10=3000 cm^3 $$

$$ m=3000×19,3=57900 g $$

Odp.: Sztabka złota waży 57900 g.

Zadanie 3.

Oblicz wysokość graniastosłupa prostego o objętości 36 cm3, którego podstawą jest prostokąt o wymiarach 3 cm×4 cm.

$$ 3×4×h=36 $$

$$ 12h=36 $$

$$ h=3 cm $$

Odp.: Wysokość tego graniastosłupa wynosi 3cm.

Zadanie 4.

Oblicz długość przekątnej sześcianu o boku długości 3 m.

Przekątną sześcianu możemy obliczyć ze wzoru $$a√3$$, gdzie a oznacza długość boku sześcianu.

$$ a√3=3√3 m $$

Odp.: Długość przekątnej tego sześcianu wynosi $$3√3$$ m.

Zadanie 5.

Ile krawędzi ma graniastosłup o dziesięciu ścianach bocznych?

10 ścian bocznych -> jest to graniastosłup dziesięciokątny

ilość krawędzi: 20 przy dwóch podstawach + 10 przy ścianach bocznych = 30

Odp.: Graniastosłup o dziesięciu ścianach bocznych ma 30 krawędzi.

Zadanie 6.

Przekątna ściany bocznej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość 10 cm, a jego wysokość 6cm. Ile wynosi objętość tego graniastosłupa?

Ściana boczna ma kształt prostokąta o przekątnej 10 cm i boku 6 cm. Drugi bok wynosi 8 cm, po wyliczeniu go dzięki twierdzeniu pitagorasa.

$$ V=P_p×H $$

$$ V=8^2×6=64×6=384 cm^3 $$

Odp.: Objętość tego graniastosłupa wynosi 384 $$cm^3$$.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Zapisz odpowiednie równanie pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi i podaj przykładowe

`"a)"`  `10x+20y=120`

`"Przykładowe rozwiązanie:"\ (10,\ 1)`

 

`"b)"`  `4x+2y=340`

`"Przykładowe rozwiązanie:"\ (80,\ 10)`

 

`"c)"`  `3x=y+6`

`"Przykładowe rozwiązanie:"\ (2,\ 0)` 

 

`"d)"`  `2x=y+100`

`"Przykładowe rozwiązanie:"\ (100,\ 100)`

Na brzegu okrągłej tarczy zegara zaznaczono 12 punktów oznaczających kolejne godziny

 

`"Kąty"\ alpha,\ beta,\ gamma\ "to kąty wpisane. Miara kąta wpisanego jest"\ 2\ "razy mniejsza od miary kąta środkowego opartego na tym samym łuku." `

`"Kąt"\ alpha\ "to kąt wpisany oparty na"\ 3/12\ "całego koła."`

`"Kąt"\ beta\ "to kąt wpisany oparty na"\ 5/12\ "całego koła."`  

`"Kąt"\ gamma\ "to kąt wpisany oparty na"\ 4/12\ "całego koła."`

`alpha=(3/12*360^o):2=` `(1/4*360^o):2=` `90^o:2=45^o` 

`beta=(5/12*360^o):2=(5*30^o):2=150^o:2=75^o` 

`gamma=(4/12*360^o):2=(1/3*360^o):2=120^o:2=60^o` 

Wyraź podaną wielkość w dekagramach. Zapisz

`a) \ \ 6000 \ "kg"=600000 \ "dag"=6*10^5 \ "dag"`   

`b) \ \ 4000 \ "t"=4 \ 000 \ 000 \ "kg" =400 \ 000 \ 000 \ "dag"=4*10^8 \ "dag"` 

`c) \ \ 80 \ 000 \ 000 \ "g"=8 \ 000 \ 000 \ "dag"=8*10^6 \ "dag"` 

`d) \ \ 0,7 \ "kg"=70 \ "dag"=7*10^1 \ "dag"` 

`e) \ \ 0,00092 \ "kg"=0,092 \ "dag"=9,2*10^(-2) \ "dag"` 

`f) \ \ 0,0005 \ "mg"=0,0000005 \ "g"=0,00000005 \ "dag"=5*10^(-8) \ "dag"`   

Figury przedstawione na rysunkach ...

Oznaczmy:

x - pole zielonego fragmentu

y - pole żółtego fragmentu

Pole pierwszej figury składa się z 4 zielonych elementów i 1 żółtego elementu. Pole figury jest równe 16,5.

Możemy więc zapisać równanie:

`4x+1y=16,5` 

Pole drugiej figury składa się z 6 zielonych elementów i 2 żółtych elementów. Pole figury jest równe 29.

Zapiszmy równanie:

`6x+2y=29` 

 

Otrzymujemy układ równań:

`{(4x+y=16,5\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |-4x),(6x+2y=29):}` 

`{(y=16,5-4x),(6x+2(16,5-4x)=29):}` 

Rozwiążemy drugie równanie:

`\ \ 6x+2(16,5-4x)=29`  

`\ \ 6x+33-8x=29\ \ \ \ \ \ \ \ |-33`

`\ \ -2x=-4\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |:(-2)` 

`\ \ x=2`   

 

`{(y=16,5-4x),(x=2):}` 

`{(y=16,5-4*2),(x=2):}` 

`{(y=16,5-8),(x=2):}` 

`{(y=8,5),(x=2):}` 

 

Odp: Zielone elementy mają pole równe 2 [j2]. Żółte elementy mają pole równe 8,5 [j2].

Narysuj kąty przyległe, a następnie skonstruuj ...

 

`"Możemy zauważyć, że dwusieczne kątów przyległych są prostopadłe."`

`"Wiemy, że:"`

`|/_"ABD"|+|/_"DBC"|=180^"o"`   

`"Dwusieczne każdego z kątów dzielą je na dwa kąty o takiej samej mierze, więc:"`

`|/_"ABG"|=|/_"GBD"|` 

`"oraz:"`

`|/_"DBH"|=|/_"HBC"|` 

`"Stąd mamy:"`

`#underbrace(|/_ABG|+|/_GBD|)_(|/_ABD|)+#underbrace(|/_DBH|+|/_HBC|)_(|/_DBC|)=180^"o"` 

`"Odpowiednie miary kątów są sobie równe, więc powyższą równość możemy zapisać w postaci:"`

`#underbrace(|/_GBD|+|/_GBD|)_(|/_ABD|)+#underbrace(|/_DBH|+|/_DBH|)_(|/_DBC|)=180^"o"`

`2|/_"GBD"|+2|/_"DBH"|=180^"o"\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |:2` 

`|/_"GBD"|+|/_"DBH"|=90^"o"` 

Za 7 dni wypoczynku w gospodarstwie

Wiemy, że cena pobuty dziecka w wieku od 4 do 7 lat jest o połowę niższa od ceny pobytu osoby dorosłej. Oznaczmy więc:

`x\ \ -\ \ "cena jednego dnia pobytu osoby dorosłej"` 

`1/2x\ \ -\ \ "cena jednego dnia pobytu dziecka"` 

 

Wiemy, że za 7 dni wypoczynku 3 osób dorosłych i 1 dziecka zapłacono 2107 zł:

`7*(3x+1/2x)=2107\ \ \ |:7` 

`3x+1/2x=301`

`3 1/2x=301` 

`7/2x=301\ \ \ |*2` 

`7x=602\ \ \ |:7` 

`x=86` 

`1/2x=1/2*86=43` 

 

Wiemy już, że jeden dzień pobytu osoby dorosłej to koszt 86 zł, a jeden dzień pobytu dziecka to koszt 43 zł. 

Za dwutygodniowy (14 dni) pobyt osoba dorosła uzyska rabat 10%, więc kosz takiego pobytu wyniesie:

`14*(100%-10%)*86=14*90%*86=14*0,9*86=1083,60\ "zł"` 

 

Oblicz (1 1/2)^4

`a)\ (1 1/2)^4=(3/2)^4=3/2*3/2*3/2*3/2=9/4*9/4=81/16=5 1/16`

`b)\ (2 1/2)^3=(5/2)^3=5/2*5/2*5/2=125/8=15 5/8`

`c)\ 5,5^2=(5 1/2)^2=(11/2)^2=11/2*11/2=121/4=30 1/4`

`d)\ (3/7)^3=3/7*3/7*3/7=27/343`

`e)\ (7/3)^3=343/27`

`f)\ (12 3/4)^0=1`

`g)\ (-2,4)^2=-2,4*(-2,4)=5,76`

`h)\ (-1 1/3)^3=(-4/3)^3=(-4/3)*(-4/3)*(-4/3)=16/9*(-4/3)=-64/27`

Oblicz brakującą długość boku trójkąta,

`a) \ 20^2+b^2=25^2` 
`\ \ \ 400+b^2=625 \ \ \ \ \ \ \ \ \ |-400` 
`\ \ \ b^2=225` 
`\ \ \ b=sqrt{225}` 
`\ \ \ b=15` 
`ul(ul( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 


`b) \ 30^2+40^2=x^2` 
`\ \ \ 900+1600=x^2` 
`\ \ \ 2500=x^2` 
`\ \ \ x=sqrt{2500}` 
`\ \ \ x=50` 
`ul(ul( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 


`c) \ 4^2+p^2=6^2` 
`\ \ \ 16+p^2=36 \ \ \ \ \ \ \ \ |-16` 
`\ \ \ p^2=20` 
`\ \ \ p=sqrt{20}=sqrt{4*5}`  
`\ \ \ p=2sqrt{5}`  
`ul(ul( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 


`d) \ 5^2+6^2=m^2` 
`\ \ \ 25+36=m^2` 
`\ \ \ 61=m^2` 
`\ \ \ m=sqrt{61}` 
`ul(ul( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 


`e) \ w^2+5^2=13^2` 
`\ \ \ w^2+25=169 \ \ \ \ \ \ \ \ \ |-25` 
`\ \ \ w^2=144` 
`\ \ \ w=sqrt{144}` 
`\ \ \ w=12` 

Odczytaj z wykresu wartość funkcji

`a)`

`f(-5)=1`

`f(0)=4`

`f(4)=-2`

`f(6)=2`

`f_(m i n)=-2\ \ \ dla\ \ \ x=4`

`f_(max)=5\ \ \ dla\ \ \ x=2`

 

 

`b)`

`f(-5)=4`

`f(0)=0`

`f(4)=5`

`f(6)=3`

`f_(mi n)=0\ \ \ dla\ \ \ x=0`

`f_(max)=5\ \ \ dla\ \ \ x=4`

Krawędź boczna pewnego graniastosłupa prawidłowego ...

x - długość krawędzi podstawy (w cm)

2x - długość krawędzi bocznej (w cm) [bo jest 2 razy dłuższa od krawędzi podstawy]

Obwód jednej ściany bocznej wynosi 12 cm. 

Ściana boczna jest prostokątem, którego boki mają długość x i 2x (dwie krawędzi boczne oraz dwie krawędzie podstawy tworzą boki ściany bocznej). 

Zatem: 
`2*x+2*2x=12` 
`2x+4x=12` 
`6x=12 \ \ \ \ \ \ |:6` 
`x=2` 

`2x=2*2=4` 

Krawędzie podstawy mają długość 2 cm, a krawędzie boczne mają długość 4 cm. 

 

n - ilość grawiędzi bocznych

2n - ilość krawędzi podstawy [bo krawędzi podstaw jest 2 razy więcej niż krawędzi bocznych]

Suma długości wszystkich krawędzi wynosi 104 cm. 

Zatem: 
`n*4+2n*2=104` 
`4n+4n=104` 
`8n=104 \ \ \ \ \ \ \ \ |:8` 
`n=13` 

`2n=2*13=26` 

W graniastosłupie tym jest 13 krawędzi bocznych i 26 krawędzi podstawy (po 13 krawędzi w każdej z podstaw).

Oznacza to, że podstawą tego graniastosłupa jest 13-kąt.


Odpowiedź:
Podstawa graniastosłupa ma 13 wierzchołków.