Graniastosłupy - ii-gimnazjum - Baza Wiedzy

Siatka graniastosłupa

Siatka graniastosłupa to przedstawienie jego wszystkich ścian bocznych i podstaw na płaszczyźnie.

Przykład:

siatka

Siatka graniastosłupa składa się z dwóch podstaw i ścian bocznych. Pole powierzchni całkowitej to suma pól dwóch podstaw i pól ścian bocznych. Pole ścian bocznych liczy się ze wzoru: $$ P_b=Ob_{p}×H $$.

$$ P_{c}=2P_p+P_b $$
$$ P_{c}=2P_{p}+Obw_{p}×H $$
$$ P_{c} $$ -> pole powierzchni całkowitej
$$ P_{p} $$ -> pole podstawy , $$ Ob_{p} $$ -> obwód podstawy
$$ P_{b} $$ -> pole powierzchni ścian bocznych
 

Objętość graniastosłupa

Objętość („V”) prostopadłościanu oblicza się ze wzoru $$ V=a×b×H $$.

objetoscgraniastoslupa
a,b -> krawędzie podstawy
H -> wysokość (krawędź boczna)

Z powyższego wzoru na objętość prostopadłościanu łatwo możemy wywnioskować ogólny wzór na objętość dowolnego graniastosłupa.

Wzór na objętość dowolnego graniastosłupa to $$ V=P_{podstawy}×H $$.

 

Jednostki objętości

Objętość podaje się w jednostkach sześciennych. Podstawowe jednostki objętości to: milimetr sześcienny ($$mm^3$$), centymetr sześcienny ($$cm^3$$), mililitr ($$ml$$), decymetr sześcienny ($$dm^3$$), metr sześcienny ($$m^3$$), litr ($$l$$) i kilometr sześcienny ($$km^3$$).

Przeliczanie jednostek:

  • $$ 1 ml = 0,001 l = 0,000 001 m^3 $$
  • $$1 cm^3 = 0,000 001 m^3 = 1 ml $$ -> $$ 1mm = 1cm3 $$
  • $$1 l = 0,001 m^3 = 1 000 cm3 $$
  • $$1 dm^3 = 0,001 m^3 = 1 l $$ -> $$ 1l = 1dm^3 $$
  • $$1 m^3 = 1 000 l $$
  • $$1 km^3 = 1 000 000 000 m^3 $$
 

Odcinki w graniastostłupach

W graniastosłupach rozróżniamy 3 różne odcinki: przekątna ściany bocznej, przekątna podstawy i przekątna graniastosłupa.

odcinkiwgraniastoslupie

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Oblicz objętość prostopadłościanu o wymiarach:

  1. $$ 4 cm×20 cm×1 m $$
  2. $$ 0,3 m×50 cm×1,5 m $$
  3. $$ 300 m ×0,5 km×150 cm $$
  1. $$ V=4×20×100=8 000 cm^3 $$
  2. $$ V=0,3×0,5×1,5=0,225 m^3 $$
  3. $$ V=300×500×1,5=225 000 m^3 $$

Zadanie 2.

Oblicz ile waży sztabka złota w kształcie prostopadłościanu o wymiarach 30 cm×10 cm×10 cm. Gęstość złota wynosi 19,3 g/ $$cm^3$$.

$$ V=30×10×10=3000 cm^3 $$

$$ m=3000×19,3=57900 g $$

Odp.: Sztabka złota waży 57900 g.

Zadanie 3.

Oblicz wysokość graniastosłupa prostego o objętości 36 cm3, którego podstawą jest prostokąt o wymiarach 3 cm×4 cm.

$$ 3×4×h=36 $$

$$ 12h=36 $$

$$ h=3 cm $$

Odp.: Wysokość tego graniastosłupa wynosi 3cm.

Zadanie 4.

Oblicz długość przekątnej sześcianu o boku długości 3 m.

Przekątną sześcianu możemy obliczyć ze wzoru $$a√3$$, gdzie a oznacza długość boku sześcianu.

$$ a√3=3√3 m $$

Odp.: Długość przekątnej tego sześcianu wynosi $$3√3$$ m.

Zadanie 5.

Ile krawędzi ma graniastosłup o dziesięciu ścianach bocznych?

10 ścian bocznych -> jest to graniastosłup dziesięciokątny

ilość krawędzi: 20 przy dwóch podstawach + 10 przy ścianach bocznych = 30

Odp.: Graniastosłup o dziesięciu ścianach bocznych ma 30 krawędzi.

Zadanie 6.

Przekątna ściany bocznej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość 10 cm, a jego wysokość 6cm. Ile wynosi objętość tego graniastosłupa?

Ściana boczna ma kształt prostokąta o przekątnej 10 cm i boku 6 cm. Drugi bok wynosi 8 cm, po wyliczeniu go dzięki twierdzeniu pitagorasa.

$$ V=P_p×H $$

$$ V=8^2×6=64×6=384 cm^3 $$

Odp.: Objętość tego graniastosłupa wynosi 384 $$cm^3$$.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Wskaż wszystkie poprawne dokończenia ...

`13 \ 520 \ 000 \ 000=13 \ 5#underbrace(20 \ 000 \ 000)_("8 miejsc")*10^0=135,2*10^8`     
Liczba jest większa od 10, więc wykładnik potęgi zwiększamy o tyle, o ile miejsc przesunięty został przecinek. 


`13 \ 520 \ 000 \ 000=13 \ #underbrace(520 \ 000 \ 000)_("9 miejsc")*10^0=13,52*10^9`        

Liczba jest większa od 10, więc wykładnik potęgi zwiększamy o tyle, o ile miejsc przesunięty został przecinek. 



Poprawne odpowiedzi to: B. 135,2∙108 oraz D. 13,52∙109.

Przyjmij, że 3⁹ ≈ 20 000, ...

Przyjmujemy, że:

`3^9~~20\ 000` 

`3^13~~1\ 600\ 000` 

 

a) Szukamy przybliżenia liczby 310.

Możemy liczbę  310 zapisać jako:

`3^10=3^(9+1)=3^9*3^1=3^9*3`  

(korzystamy ze wzoru anam=an+m)

W miejsce 39 wstawiamy przyjęte przybliżenie.

`3^10=3^9*3~~20\ 000*3=60\ 000` 

Najlepszym przybliżeniem liczby 310 jest liczba 60 000.

Odp: B

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

b) Szukamy przybliżenia liczby 322.

Możemy liczbę  322 zapisać jako:

`3^22=3^(9+13)=3^9*3^13`   

W miejsce 39 oraz 313 wstawiamy przyjęte przybliżenia.

`3^22=3^9*3^13~~20\ 000*1\ 600\ 000= 32\ 000\ 000\ 000` 

Najlepszym przybliżeniem liczby 322 jest liczba 32 000 000 000.

Odp: C

Oceń prawdziwość każdego zdania. Podkreśl P, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub F, jeśli jest fałszywe.

Pole to iloczyn dwóch boków. Podane wyrażenie należy rozłożyć na iloczyn dwóch wyrażeń ( wyciągnąć przed nawias wspólny czynnik na różne możliwe sposoby).

I PRAWDA

II PRAWDA

III PRAWDA

IV FAŁSZ

iloczyn tych dwóch wyrażeń da nam liczbę inną od wyrażenia które opisuje pole

V PRAWDA

VI FAŁSZ

(tak samo jak w IV)

Narysuj dowolny okrąg

Rysujemy okrąg o promieniu 4 cm oraz prostą przechodzącą przez jego środek. Wykorzystujemy to, że promień koła opisanego na trójkącie ma długość dwóch trzecich wysokości. Czyli wysokość będzie miała długość trzech drugich tego promienia.

\

Rysujemy symetralną odcinka OA1

Punkty przecięcia symetralnej i naszego okręgu są wieszchołkami naszego trójkąta.

Obwód trójkąta foremnego jest równy 6√3 cm. Pole

Trójkąt foremny to trójkąt równoboczny, więc jego bok ma długość trzy razy mniejszą od obwodu:

`a=6sqrt3 cm:3=2sqrt3 cm`

Pole trójkąta równobocznego wyraża się wzorem:

`P=(a^2sqrt3)/4`

`P=((2sqrt3cm)^2sqrt3)/4=(4*3*sqrt3)/4cm^2=3sqrt3 cm^2`

Do każdego graniastosłupa dobierz liczbę

`I\ \ \ -\ \ \ B`

Z poprzedniego zadania wiemy już, że pole podstawy jest równe 12. 

Na pole powierzchni bocznej składają się 2 prostokąty o wymiarach 4 x 10 oraz 2 prostokąty o wymiarach 3 x 10. 

`P_b=2*4*10+2*3*10=80+60=140`

 

Obliczamy pole powierzchni całkowitej, dodając do siebie pola 2 podstaw oraz pole powierzchni bocznej: 

`P_c=2*12+140=24+140=164`

 

 

 

`II\ \ \ -\ \ \ A`

Z poprzedniego zadania wiemy już, że pole podstawy jest równe 6. 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczmy, jaką długość ma przeciwprostokątna trójkąta będącego podstawą graniastosłupa: 

`3^2+4^2=x^2`

`9+16=x^2`

`x^2=25`

`x=5`

 

Na pole powierzchni bocznej składają się 3 prostokąty o wymiarach 3 x 10, 4 x 10, 5 x 10. 

`P_b=3*10+4*10+5*10=30+40+50=120`

 

`P_c=2*6+120=12+120=132`

 

 

`III\ \ \ -\ \ \ E`

Z poprzedniego zadania wiemy już, że pole podstawy graniastosłupa jest równe 28. 

Na pole powierzchni bocznej składają się dwa prostokąty o wymiarach 5 x 10, prostokąt o wymiarach 4 x 10 oraz kwadrat o boku 10. 

`P_b=2*5*10+4*10+10*10=100+40+100=240`

 

`P_c=2*28+240+56+240=296`

Przyjrzyj się rysunkowi. Smycz ...

Rysunek pomocniczy:

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.

Korzystając z tw. Pitagorasa obliczmy długość x:

`x^2+3^2=6^2` 

`x^2+9=36\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |-9` 

`x^2=27` 

`x=sqrt27=3sqrt3\ ["m"]` 

 

Jeżeli długość x+2 jest mniejsza od 7,5, to kot może czuć się bezpiecznie, jeżeli jest większa, to pies może go dosięgnąć.

`x+2=3sqrt3+2~~3*1,73+2=5,19+2=7,19\ ["m"]` 

Odległość, do której sięga pies jest mniejsza od 7,5, więc kot może czuć się bezpiecznie.

 

Odp: Kot może czuć się bezpiecznie.

W wyrażeniu (1+(1+(1+(1+2-¹)-¹)-¹)-¹)-¹ liczbę 2

Obliczamy wartość podanego wyrażenia:

`(1+(1+(1+(1+2^(-1))^(-1))^(-1))^(-1))^(-1)=``(1+(1+(1+(1+1/2)^(-1))^(-1))^(-1))^(-1)=`  

`=(1+(1+(1+(1 1/2)^(-1))^(-1))^(-1))^(-1)=``(1+(1+(1+(3/2)^(-1))^(-1))^(-1))^(-1)=`

`=(1+(1+(1+2/3)^(-1))^(-1))^(-1)=``(1+(1+(1 2/3)^(-1))^(-1))^(-1)=``(1+(1+(5/3)^(-1))^(-1))^(-1)=`

`=(1+(1+3/5)^(-1))^(-1)=``(1+(1 3/5)^(-1))^(-1)=``(1+(8/5)^(-1))^(-1)=``(1+ 5/8)^(-1)=`

`=(1 5/8)^(-1)=``(13/8)^(-1)=8/13`

 

Obliczamy wartość wyrażenia z zastąpioną liczbą:

`(1+(1+(1+(1+3^(-1))^(-1))^(-1))^(-1))^(-1)=``(1+(1+(1+(1+1/3)^(-1))^(-1))^(-1))^(-1)=`

`=(1+(1+(1+(1 1/3)^(-1))^(-1))^(-1))^(-1)=``(1+(1+(1+(4/3)^(-1))^(-1))^(-1))^(-1)=`

`=(1+(1+(1+3/4)^(-1))^(-1))^(-1)=``(1+(1+(1 3/4)^(-1))^(-1))^(-1)=``(1+(1+(7/4)^(-1))^(-1))^(-1)=`

`=(1+(1+4/7)^(-1))^(-1)=``(1+(1 4/7)^(-1))^(-1)=``(1+(11/7)^(-1))^(-1)=``(1+ 7/11)^(-1)=`

`=(1 7/11)^(-1)=``(18/7)^(-1)=7/18`

 

`8 / 13 \ \ stackrel?square \ \ 7/18` 

`8/13 \ \ > \ \ (6,5)/13=1/2=9/18 \ \ > \ \ 7/18` 

`8/13 \ \ > \ \ 7/18` 

 

 

Sprawdź, czy trójkąt ABC o podanych wierzchołkach

Jakie pole ma trójkąt ABC?

Musimy wyznaczyć długość podstawy AB. 


Trójkąt ADC jest trójkątem o kątach 30o, 60o i 90o

Krótsza przyprostokątna tego trójkąta ma długość 6. 
`|CD|=6` 

Dłuższa przyprostokątna (bok AD) ma więc długość:
`|AD|=|CD|*sqrt{3}=6sqrt{3}` 


Trójkąt CDB jest trójkątem o kątach 45o, 45o i 90o

Ramię tego trójkąta ma długość 6, czyli:
`|CD|=|DB|=6` 


Obliczamy jaką długość ma podstawa AB tego trójkąta. 
`|AB|=|AD|+|DB|=6sqrt{3}+6` 


Obliczamy ile wynosi pole trójkąta ABC. 
`P_(DeltaABC)=1/2*|AB|*|CD|=1/strike2^1*(6sqrt{3}+6)*strike6^3=`   

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =(6sqrt{3}+6)*3=18sqrt{3}+18=18(sqrt{3}+1)` 


Poprawna odpowiedź to: B. 18(√3+1).