Graniastosłupy - ii-gimnazjum - Baza Wiedzy

Siatka graniastosłupa

Siatka graniastosłupa to przedstawienie jego wszystkich ścian bocznych i podstaw na płaszczyźnie.

Przykład:

siatka

Siatka graniastosłupa składa się z dwóch podstaw i ścian bocznych. Pole powierzchni całkowitej to suma pól dwóch podstaw i pól ścian bocznych. Pole ścian bocznych liczy się ze wzoru: $$ P_b=Ob_{p}×H $$.

$$ P_{c}=2P_p+P_b $$
$$ P_{c}=2P_{p}+Obw_{p}×H $$
$$ P_{c} $$ -> pole powierzchni całkowitej
$$ P_{p} $$ -> pole podstawy , $$ Ob_{p} $$ -> obwód podstawy
$$ P_{b} $$ -> pole powierzchni ścian bocznych
 

Objętość graniastosłupa

Objętość („V”) prostopadłościanu oblicza się ze wzoru $$ V=a×b×H $$.

objetoscgraniastoslupa
a,b -> krawędzie podstawy
H -> wysokość (krawędź boczna)

Z powyższego wzoru na objętość prostopadłościanu łatwo możemy wywnioskować ogólny wzór na objętość dowolnego graniastosłupa.

Wzór na objętość dowolnego graniastosłupa to $$ V=P_{podstawy}×H $$.

 

Jednostki objętości

Objętość podaje się w jednostkach sześciennych. Podstawowe jednostki objętości to: milimetr sześcienny ($$mm^3$$), centymetr sześcienny ($$cm^3$$), mililitr ($$ml$$), decymetr sześcienny ($$dm^3$$), metr sześcienny ($$m^3$$), litr ($$l$$) i kilometr sześcienny ($$km^3$$).

Przeliczanie jednostek:

  • $$ 1 ml = 0,001 l = 0,000 001 m^3 $$
  • $$1 cm^3 = 0,000 001 m^3 = 1 ml $$ -> $$ 1mm = 1cm3 $$
  • $$1 l = 0,001 m^3 = 1 000 cm3 $$
  • $$1 dm^3 = 0,001 m^3 = 1 l $$ -> $$ 1l = 1dm^3 $$
  • $$1 m^3 = 1 000 l $$
  • $$1 km^3 = 1 000 000 000 m^3 $$
 

Odcinki w graniastostłupach

W graniastosłupach rozróżniamy 3 różne odcinki: przekątna ściany bocznej, przekątna podstawy i przekątna graniastosłupa.

odcinkiwgraniastoslupie

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Oblicz objętość prostopadłościanu o wymiarach:

  1. $$ 4 cm×20 cm×1 m $$
  2. $$ 0,3 m×50 cm×1,5 m $$
  3. $$ 300 m ×0,5 km×150 cm $$
  1. $$ V=4×20×100=8 000 cm^3 $$
  2. $$ V=0,3×0,5×1,5=0,225 m^3 $$
  3. $$ V=300×500×1,5=225 000 m^3 $$

Zadanie 2.

Oblicz ile waży sztabka złota w kształcie prostopadłościanu o wymiarach 30 cm×10 cm×10 cm. Gęstość złota wynosi 19,3 g/ $$cm^3$$.

$$ V=30×10×10=3000 cm^3 $$

$$ m=3000×19,3=57900 g $$

Odp.: Sztabka złota waży 57900 g.

Zadanie 3.

Oblicz wysokość graniastosłupa prostego o objętości 36 cm3, którego podstawą jest prostokąt o wymiarach 3 cm×4 cm.

$$ 3×4×h=36 $$

$$ 12h=36 $$

$$ h=3 cm $$

Odp.: Wysokość tego graniastosłupa wynosi 3cm.

Zadanie 4.

Oblicz długość przekątnej sześcianu o boku długości 3 m.

Przekątną sześcianu możemy obliczyć ze wzoru $$a√3$$, gdzie a oznacza długość boku sześcianu.

$$ a√3=3√3 m $$

Odp.: Długość przekątnej tego sześcianu wynosi $$3√3$$ m.

Zadanie 5.

Ile krawędzi ma graniastosłup o dziesięciu ścianach bocznych?

10 ścian bocznych -> jest to graniastosłup dziesięciokątny

ilość krawędzi: 20 przy dwóch podstawach + 10 przy ścianach bocznych = 30

Odp.: Graniastosłup o dziesięciu ścianach bocznych ma 30 krawędzi.

Zadanie 6.

Przekątna ściany bocznej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość 10 cm, a jego wysokość 6cm. Ile wynosi objętość tego graniastosłupa?

Ściana boczna ma kształt prostokąta o przekątnej 10 cm i boku 6 cm. Drugi bok wynosi 8 cm, po wyliczeniu go dzięki twierdzeniu pitagorasa.

$$ V=P_p×H $$

$$ V=8^2×6=64×6=384 cm^3 $$

Odp.: Objętość tego graniastosłupa wynosi 384 $$cm^3$$.

Spis treści

3 szkoły podstawowej
4 szkoły podstawowej
5 szkoły podstawowej
6 szkoły podstawowej
7 szkoły podstawowej
II gimnazjum
III gimnazjum
Matura podstawowa
Matura rozszerzona
Rozwiązane zadania
Pomiędzy jakimi wielkościami na osi należy umieścić

Przyjmijmy, że średni wzrost człowieka to 1,7 m. Chcąc zapisać tą liczbę  w postaci potęgi liczby 10, najbliższym przybliżeniem będzie 100, czyli 1 (m). Tym samym człowieka na osi trzeba umieścić pomiędzy wielkościami 100 i 102.

 

Wskaż liczbę naturalną, którą można przedstawić ...

Podstawa potęgi wynosi 5. 

Wykładnik potęgi ma być liczbą naturalną. 


Liczba naturalna, którą można przedstawić w postaci potęgi o podstawie 5 i wykładniku będącym liczbą naturalną to 125, bo:
`125=5^3` 


Poprawna odpowiedź to: B. 125

Połącz równe wyrażenia.

Korzystamy ze wzoru:

`(a*b)^m=a^m*b^m `

`(a/b)^n=a^n/b^n `

Ponadto ułamek możemy zapisać w postaci ilorazu, wtedy:

`(a:b)^n=a^n:b^n`

 

 

`(2:3)^5=(2/3)^5=2^5/3^5=2^5:3^5`

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )`

`(3/2)^5=3^5/2^5=3^5:2^5=(3:2)^5`

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )`

`6^5=(2*3)^5=3^5*2^5`

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )`

`1/3*2^5=2^5/3`

Wpisz brakujący wykładnik.

Korzystamy:

`a^m*a^n=a^{m+n}`

`b^m/b^n=b^{m-n}`

`(c^m)^n=c^{m*n}`

 

`"a)"\ 3^6:9=3^6:3^2=3^ul(4)`

`"b)"\ 9*3^4=3^2*3^4=3^ul(6)`

`"c)"\ 3^7/9=3^7/3^2=3^ul(5)`

`"d)"\ (3^3)^2=3^ul(6)`

`"e)"\ 27^3/3^8=((3^3)^3)/3^8=3^9/3^8=3^ul(1)`

`"f)"\ 9^6:3^11=(3^2)^6:3^11=3^12:3^11=3^ul(1)`

`"g)"\ 9^3/27=((3^2)^3)/3^3=3^6/3^3=3^ul(3)`

`"h)" \ 3*9*27=3*3^2*3^3=3^ul(6)`

Wskaż wyrażenie: o najmniejszej wartości, o największej wartości.

`A.`   `|-2|-|3*(-4)|-5=2-|-12|-5=` `2-12-5=-15` ` " najmniejsza wartość"`

`B.`   `|2|*|-3|-2=2*3-2=6-2=4`

`C.` `-|-6|+|-8|:|4|=-6+8:4=-6+2=-4`

`D.` `9+|6:(-2)|+|-2|+|-2|=9+|-3|+2=9+3+2=14``" największa wartość"` 

`E.` `|-12|:|-3|-|-2|*|5|=12:3-2*5=4-10=-6`

W tabeli podano, jak zmieniała się ...

Rok

Liczba ludności w Ameryce Północnej

1100

500 000

5 105

1750

2 000 000

2 106

1900

82 000 000

8,2 107

1950

172 000 000

1,72 108

2000

316 000 000

3,16 108

Zapisz w postaci jednej potęgi.

`a) \ 13^5*13^6=13^(5+6)=13^11` 

`b) \ (-123)^3*(-123)^9=(-123)^(3+9)=(-123)^12=123^12`  

`c) \ 6^11*6*6^12=6^(11+1+12)=6^24` 

`d) \ (-17)^9/(-17)^5=(-17)^(9-5)=(-17)^4` 

`e) \ (1 1/3)^13:1 1/3=(1 1/3)^(13-1)=(1 1/3)^(12)` 

`f) \ (8^14*8^16)/(8^15)=(8^(14+16))/(8^15)=8^30/8^15=8^(30-15)=8^15` 

`g) \ (a^9*a^6)/a^4=(a^(9+6))/a^4=a^15/a^4=a^(15-4)=a^11` 

`h) \ (x^11*x^5*x)/x^9=(x^(11+5+1))/x^9=x^17/x^9=x^(17-9)=x^8` 

`i) \ (b^7*b^3:b)/(b^4*b^2)=b^(7+3-1)/b^(4+2)=b^9/b^6=b^(9-6)=b^3`    

Zapisz nierówność, którą spełniają liczby należące do zbioru wskazanego na osi liczbowej.

`a)`

`|x| < 2`

`b)`

`|x|>=3`

`c)`

`|x|<=4`

`d)`

`|x| > 2 1/2`

Zastąp gwiazdki odpowiednimi liczbami.

`a) \ 6^3*6^star*6^7=6^21` 

`3+star+7=21`  
`10+star=21 \ \ \ \ \ |-10` 
`star=11` 

Gwiazdkę należy zastąpić liczbą 11. 
`ul(ul( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 


`b) \ 11^star:11^3=11^6` 

`star-3=6 \ \ \ \ \ |+3` 
`star=9` 

Gwiazdkę należy zastąpić cyfrą 9. 
`ul(ul( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 


`c) \ 8^19:8^star=8^8` 

`19-star=8 \ \ \ \ \ \ |-19` 
`-star=-11 \ \ \ \ \ \ |*(-1)` 
`star=11` 

Gwiazdkę należy zastąpić liczbą 11. 
`ul(ul( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 


`d) \ 36*6^star=6^11` 
`\ \ \ 6^2*6^star=6^11`     

`2+star=11 \ \ \ \ \ |-2` 
`star=9` 

Gwiazdkę należy zastąpić cyfrą 9. 
`ul(ul( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 


`e) \ 25*5^star*125=5^10` 
`\ \ \ 5^2*5^star*5^3=5^10` 

`2+star+3=10` 
`5+star=10 \ \ \ \ \ \ |-5` 
`star=5` 

Gwiazdkę należy zastąpić cyfrą 5. 
`ul(ul( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 


`f) \ 144*12^8:12^star=12^5` 
`\ \ \ \ 12^2*12^8:12^star=12^5` 

`2+8-star=5` 
`10-star=5 \ \ \ \ \ \ \ |-10` 
`-star=-5 \ \ \ \ \ \ |*(-1)` 
`star=5`          

Gwiazdkę należy zastąpić cyfrą 5. 

Zastąp litery odpowiednimi liczbami.

`a) \ 4^8=(2^2)^8=2^(2*8)=2^16`

Zatem:
`a=16` 
`ul(ul( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 


`b) \ 8^3=(2^3)^3=2^(3*3)=2^9` 

Zatem:
`b=9` 
`ul(ul( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 


`c) \ 9^9=(3^2)^9=3^(2*9)=3^18` 

Zatem:
`c=18` 
`ul(ul( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 


`d) \ 36^8=(6^2)^8=6^(2*8)=6^16` 

Zatem:
`d=16` 
`ul(ul( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 


`e) \ 7^6=7^(2*3)=(7^2)^3=49^3` 

Zatem:
`e=49` 
`ul(ul( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 


`f) \ 5^6=5^(3*2)=(5^3)^2=125^2=(-125)^2`  

Zatem:
`f=125 \ \ \ "lub" \ \ \ f=-125` 


Liczba dodatnia a podniesiona do parzystej potęgi jest równa liczbie przeciwnej do a (-a) podniesionionej do potęgi parzystej. 
an=(-a)n, gdzie n jest liczbą parzystą

`ul(ul( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`


`g) \ 2^20=2^(2*10)=(2^2)^10=4^10=(-4)^10`  

Zatem:
`g=4 \ \ \ "lub" \ \ \ g=-4`  
`ul(ul( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 


`h) \ 3^15=3^(3*5)=(3^3)^5=27^5` 

Zatem:
`h=27`