Długość okręgu i pole koła - ii-gimnazjum - Baza Wiedzy

Długość okręgu

Długość okręgu to nic innego jak obwód okręgu.

wzór na długość okręgu („l”):

$$l=2πr$$ , gdzie r oznacza długość promienia okręgu

przykład:
dla $$r=5cm$$, $$l=2π×5=10π$$ $$cm^2$$
 

okreg

Liczba π (pi), która wystąpiła w powyższym wzorze, to liczba wyznaczająca stosunek długości okręgu do długości średnicy i w przybliżeniu wynosi 3.14 lub 22/7.
Liczba π jest liczbą niewymierną!

 

Przykład:

Oblicz długość okręgu którego promień wynosi 5.

$$r=5$$
$$ l=2πr=2×5×π=10π $$
 

Pole koła

Koło, tak samo jak kwadrat, trójkąt czy prostokąt, też ma swoje pole.

Wzór na pole koła („P”):

$$P=πr^2=π×r^2$$ , gdzie r oznacza długość promienia koła

okreg

Przykład:

Oblicz pole koła którego promień wynosi 3.

$$ r=3 $$
$$ P=πr^2=π×3^2=9π $$
 

Wycinek koła lub okręgu

Wycinek koła lub okręgu to pewna część koła lub okręgu. Wyznaczają go dwa promienie wychodzące ze środka koła.

wycinekkola

$$ r $$ – promień wycinku koła lub okręgu
$$ β $$ – kąt środkowy wycinka

Długość łuku wycinka okręgu:

$$ l=β/360°×2πr $$
 

Pole wycinka koła:

$$ P=β/360°×πr^2 $$

 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Ustal, ile razy dłuższy jest okrąg o promieniu 5 od okręgu o średnicy 5.

$$ L_1=2πr_1=2π×5=10π $$

$$ L_2=2πr_2=2π×2,5=5π $$

$$ {L_1}/{L_2} ={10}/5=2 $$

Odp.: Okrąg o promieniu 5 jest 2 razy dłuższy od okręgu o średnicy 5.

Zadanie 2.

Ustal, ile razy większe jest koło o promieniu 4 od koła o średnicy 4.

$$ P_1=π {r_1}^2=π×4^2=16π $$

$$ P_2=π {r_2}^2=π×2^2=4π $$

$$ {P_1}/{P_2} ={16}/4=4 $$

Odp.: Koło o promieniu 4 jest 4 razy większe od koła o średnicy 4.

Zadanie 3.

Ustal promień koła, w którym wycinkowi:

  1. o polu $$3π$$, odpowiada kąt 30°
  2. o polu $$3/2 π$$, odpowiada kąt 240°
  3. o polu $$2π$$, odpowiada kąt 72°
  1. $$ {30°}/{360°}×πr^2=3π $$

    $$ 1/{12}×r^2=3 $$

    $$ r=6 $$
     
  2. $$ {240°}/{360°}×πr^2=3/2 π $$

    $$ 2/3×r^2=3/2 $$

    $$ r=3/2=1,5 $$
     
  3. $$ {72°}/{360°}×πr^2=2π $$

    $$ 1/5×r^2=2 $$

    $$ r=√10 $$
     

Zadanie 4.

Co oznacza liczba π i jakie jest jej przybliżenie w zaokrągleniu do części setnych?

Liczba π jest to stosunek długości obwodu okręgu do jego średnicy. W przybliżeniu wynosi 3,14.

$$π={ ext "długość obwodu"}/{ ext "długość promienia"}≈3,14 $$

Zadanie 5.

Jakie pole i obwód ma koło o średnicy $$4√π$$ ?

$$ d=4√π -> r=2√π $$

$$ P=πr^2=π{(2√π)}^2=4π^2 $$

$$ L=2πr=2π2√π=4π√π $$

Odp.: Pole koła wynosi $$4π^2$$, a obwód $$4π√π$$.

Zadanie 6.

Kasia obeszła trawnik wykonując 30 kroków. Oblicz jaką średnicę miał ten trawnik jeżeli długość jednego kroku Kasi jest równa 0,6m. Przybliż liczbę π do 3.

$$ 2πr=30×0,6 $$

$$ 2×3r=18 $$

$$ r=3 m $$

$$ d=2×3=6 m $$

Odp.: Średnica trawnika wynosi 6 m.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Wybierz poprawne dokończenia zdania. W każdym

II. ściany boczne są przystającymi prostokątami.

IV. podstawy są jednakowymi wielokątami foremnymi.

 

Zdanie I jest nieprawdziwe, ponieważ ściany boczne w graniastosłupie prawidłowym mogą, ale nie muszą być kwadratami. Mogą to być również inne prostokąty.

Zdanie III jest nieprawdziwe, gdyż podstawy w graniastosłupie prawidłowym mogą, ale nie muszą być trójkątami równobocznymi lub kwadratami. Mogą to być również inne wielokąty foremne.

Rysunek przedstawia półkę na kwiaty zawieszoną ...

Półka ma kształt kwadratu o boku długości 30 cm.

Sznurki są równej długości, więc razem z półką tworzą ostrosłup prawidłowy czworokątny. 

Półka ma wisieć 80 cm pod sufitem, więc wysokość ostrosłupa wynosić będzie 80 cm.

 

Rysunek pomocniczy ostrosłupa:

 

Przyjmujemy takie oznaczenia, jak na rysunku.

`H=80\ "cm"` 

 

Odcinek b stanowi połowę przekątnej podstawy.

W podstawie znajduje się kwadrat o boku długości 30 cm, więc przekątna ma długość 302 cm.

Stąd długość odcinka b wynosi:

`b=1/strike2^1*strike30^15sqrt2=15sqrt2\ ["cm"]` 

Odcinek b, krawędź boczna c oraz wysokość ostrosłupa tworzą trójkąt prostokątny.

`c^2=H^2+b^2` 

`c^2=80^2+(15sqrt2)^2` 

`c^2=6400+450=6850` 

`c=sqrt(6850)=5sqrt274~~5*16,6=83\ ["cm"]` 

 

Odp: Sznurki powinny mieć 5274 cm długości, czyli około 83 cm. 

Uporządkuj liczby od najmniejszej do największej

Przy każdym pierwiastku oszacujemy, między jakimi dwoma liczbami całkowitymi leży.

 

`sqrt25<sqrt31<sqrt36,\ \ \ "czyli"\ \ \ 5<sqrt31<6`

`sqrt36<sqrt41<sqrt49,\ \ \ "czyli"\ \ \ 6<sqrt41<7`

`root(3)27<root(3)51<root(3)64,\ \ \ "czyli"\ \ \ 3<root(3)51<4`

`sqrt49<sqrt61<sqrt64,\ \ \ "czyli"\ \ \ 7<sqrt61<8`

`root(3)64<root(3)91<root(3)125,\ \ \ "czyli"\ \ \ 4<root(3)91<5`

 

Teraz możemy uporządkować liczby od najmniejszej do największej: 

`root(3)51<root(3)91<sqrt31<sqrt41<sqrt61`

Oblicz pole równoległoboku ...

Suma miar kątów leżących przy jednym ramieniu równoległoboku wynosi 180o, czyli miara kąta DAB wynosi 60o, bo 120o+60o=180o

Opuszczamy wysokość z wierzchołka D. 

Otrzymujemy trójkąt AED, który jest trójkątem prostokątnym. Jeden z jego kątów ostrych ma miarę 60o, czyli drugi z kątów ostrych ma miarę 30o


Korzystając z zależności między bokami w trójkącie o kątach 30o, 60o i 90o obliczamy długość dłuższej przyprostokątnej tego trójkąta, która jest jednocześnie wysokością równoległoboku.  

Zatem:
`h=(12sqrt{3})/2=6sqrt{3}` 

Dłuższa przyprostokątna, czyli wysokość równoległoboku, ma długość 6√3.


Obliczamy ile wynosi pole równoległoboku.
`P=15*6sqrt{3}=90sqrt{3}` 


Odpowiedź:
Pole równoległoboku wynosi 90√3.  

Sprawdź, które z podanych punktów należą do wykresu ...

Wzór funkcji to: 
`y=3x-1` 


Sprawdzamy, czy do wykresu tej funkcji należy punkt A=(1,2). 
`2 \ stackrel(?)= \ 3*1-1` 
`L=2` 
`P=3*1-1=3-1=2`  
`L=P` 

Oznacza to, że punkt A należy do wykresy funkcji

Sprawdzamy, czy do wykresu tej funkcji należy punkt B=(0,1). 
`1 \ stackrel(?)= \ 3*0-1` 
`L=1` 
`P=3*0-1=0-1=-1`   
`L!=P` 

Oznacza to, że punkt B nie należy do wykresy funkcji

Sprawdzamy, czy do wykresu tej funkcji należy punkt C=(-3,-10). 
`-10 \ stackrel(?)= \ 3*(-3)-1` 
`L=-10`  
`P=3*(-3)-1=-9-1=-10`   
`L=P` 

Oznacza to, że punkt C należy do wykresy funkcji


Do wykresu funkcji należą punkty A i C

Rozwiąż graficznie równanie.

Doprowadzamy równanie do postaci y=ax+b.

`a) \ -1,5x+3y+3=0 \ \ \ |+1,5x`   

`3y+3=1,5x \ \ \ |-3` 

`3y=1,5x -3 \ \ \ |:3` 

`y=0,5x-1` 

Rysujemy prostą y=0,5x-1

Punkty leżące na prostej są rozwiązaniem naszego równania.

 

`b) \ -3x=-3y-1,5 \ \ \ |+3y` 

`3y-3x=-1,5 \ \ \ |+3x`

`3y=3x-1,5 \ \ \ |:3`

`y=x-0,5`

Rysujemy prostą y=x-0.5

Punkty leżące na prostej są rozwiązaniem naszego równania.

 

`c) \ 1/3y+1/6x = 2/3 \ \ \ |-1/6x`

`1/3y=-1/6x+2/3 \ \ \ |*3`

`y=-1/2x+2`

Rysujemy prostą y=-1/2x+2

Punkty leżące na prostej są rozwiązaniem naszego równania.

Zapisz za pomocą jednej potęgi (5¹⁸+5¹⁸+5¹⁸+5¹⁸+5¹⁸):25

`(5^18+5^18+5^18+5^18+5^18):25=(5*5^18):5^2=(5^1*5^18):5^2=5^(1+18):5^2=` 

`=5^19:5^2=5^(19-2)=5^17`  

Z kawałka materiału w kształcie trójkąta równobocznego

Pole pozostałości materiału to pole trójkąta równobocznego o boku 12 cm pomniejszone o pole koła wpisanego w ten trójkąt.

`P_(Delta)=(a^2sqrt3)/4=(12^2*sqrt3)/4=(144sqrt3)/4=36sqrt3 \ "cm"^2` 

Obliczamy promień oraz pole koła wpisanego w ten trójkąt.

`r=(asqrt3)/6=(12sqrt3)/6=2sqrt3 \ "cm"` 

`P_"O"=pir^2=pi*(2sqrt3 \ "cm")^2=pi*(4*3) \ "cm"^2=12pi \ "cm"^2`   

Pole resztek materiału:

`P=36sqrt3 \ "cm"^2-12pi \ "cm"^2=(36sqrt3-12pi) \ "cm"^2` 

 

Oblicz obwód i pole trójkąta równobocznego o

`a) \ \ h=(asqrt3)/2` 

`2 \ "cm"=(asqrt3)/2 \ \ \ \ \ |*2` 

`4 \ "cm"=asqrt3 \ \ \ \ \ \ \ |:sqrt3` 

`a=4/sqrt3 \ "cm"=4/sqrt3*sqrt3/sqrt3 \ "cm"=(4sqrt3)/3 \ "cm"=4/3sqrt3 \ "cm"` 

`O=3a=strike3^1*4/strike3^1sqrt3 \ "cm"=4sqrt3 \ "cm"` 

`P=(a^2sqrt3)/4=((4/3sqrt3 \ "cm")^2*sqrt3)/4 \ "cm"^2=((4/3)^2*(sqrt3)^2*sqrt3)/4 \ "cm"^2=(16/strike9^3*strike3^1*sqrt3)/4 \ "cm"^2=strike16^4/3sqrt3*1/strike4^1 \ "cm"^2=4/3sqrt3 \ "cm"^2`  

`b) \ \ 12 \ "cm"=(asqrt3)/2 \ \ \ \ |*2` 

`24 \ "cm"=asqrt3 \ \ \ \ |:sqrt3` 

`(24 \ "cm")/sqrt3=a` 

`a=24/sqrt3*sqrt3/sqrt3 \ "cm"=(24sqrt3)/3 \ "cm"=8sqrt3 \ "cm"`

`O=3a=3*8sqrt3 \ "cm"=24sqrt3 \ "cm"` 

`P=(a^2sqrt3)/4 \ "cm"^2=((8sqrt3 \ "cm")^2*sqrt3)/4=(8^2*(sqrt3)^2*sqrt3)/4 \ "cm"^2=(strike64^16*3*sqrt3)/strike4^1 \ "cm"^2=48sqrt3 \ "cm"^2` 

`c) \ \ 4sqrt3 \ "cm"=(asqrt3)/2 \ \ \ \ |*2` 

`8sqrt3 \ "cm"=asqrt3 \ \ \ \ \ \ |:sqrt3` 

`a=8 \ "cm"` 

`O=3a=3*8 \ "cm"=24 \ "cm"`

`P=(8^2sqrt3)/4 \ "cm"^2=(64sqrt3)/4 \ "cm"^2=16sqrt3 \ "cm"^2` 

`d) \ \ 2sqrt5 \ "cm"=(asqrt3)/2 \ \ \ \ \ \ \ |*2` 

`4sqrt5 \ "cm"=asqrt3 \ \ \ \ \ \ |:sqrt3` 

`(4sqrt5)/sqrt3 \ "cm"=a` 

`a=(4sqrt5)/sqrt3*sqrt3/sqrt3 \ "cm"=(4sqrt15)/sqrt9 \ "cm"=(4sqrt15)/3 \ "cm"=4/3sqrt15 \ "cm"` 

`O=3a=strike3^1*4/strike3^1sqrt15 \ "cm"=4sqrt15 \ "cm"` 

`P=(a^2sqrt3)/4=((4/3sqrt15 \ "cm")^2*sqrt3)/4=(16/strike9^3*strike15^5*sqrt3)/4 \ "cm"^2=(80/3*sqrt3)/4 \ "cm"^2=strike80^20/3*sqrt3*1/strike4^1 \ "cm"^2=20/3sqrt3 \ "cm"^2=6 2/3sqrt3 \ "cm"^2`    

Zmieszano solankę dwuprocentową ...

Oznaczamy:

x - ilość solanki 2% (w kg)

y - ilość solanki 5% (w kg)

6=x+y  - ilość solanki 3% (otrzymanej po zmieszaniu x kg solanki 2% oraz y kg solanki 5%)

Zapiszmy, ile substancji rozpuszczonej jest w każdej solance:

2%x=0,02x - masa rozpuszczonej substancji w solance 2%

5%y=0,05y - masa rozpuszczonej substancji w solance 5%

3%6=0,036 - masa rozpuszczonej substancji w solance 3%

0,036=0,02x+0,05y - masa rozpuszczonej substancji w solance 3% musi być równa masie rozpuszczonych substancji w solance 2% oraz w solance 5%

 

Zapiszmy układ równań:

`{(x+y=6\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |-y),(0,03*6=0,02x+0,05y):}` 

`{(x=6-y),(0,18=0,02(6-y)+0,05y):}` 

`{(x=6-y),(0,18=0,12-0,02y+0,05y\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |-0,12):}` 

`{(x=6-y),(0,06=0,03y\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |:0,03):}` 

`{(x=6-y),(y=2):}` 

`{(x=4),(y=2):}` 

Użyto 4 kg solanki 2% oraz 2 kg solanki 5%, czyli solanki 2% uzyto dwa razy więcej niż solanki 5%.

 

Odp: A