Długość okręgu i pole koła - ii-gimnazjum - Baza Wiedzy

Długość okręgu

Długość okręgu to nic innego jak obwód okręgu.

wzór na długość okręgu („l”):

$$l=2πr$$ , gdzie r oznacza długość promienia okręgu

przykład:
dla $$r=5cm$$, $$l=2π×5=10π$$ $$cm^2$$
 

okreg

Liczba π (pi), która wystąpiła w powyższym wzorze, to liczba wyznaczająca stosunek długości okręgu do długości średnicy i w przybliżeniu wynosi 3.14 lub 22/7.
Liczba π jest liczbą niewymierną!

 

Przykład:

Oblicz długość okręgu którego promień wynosi 5.

$$r=5$$
$$ l=2πr=2×5×π=10π $$
 

Pole koła

Koło, tak samo jak kwadrat, trójkąt czy prostokąt, też ma swoje pole.

Wzór na pole koła („P”):

$$P=πr^2=π×r^2$$ , gdzie r oznacza długość promienia koła

okreg

Przykład:

Oblicz pole koła którego promień wynosi 3.

$$ r=3 $$
$$ P=πr^2=π×3^2=9π $$
 

Wycinek koła lub okręgu

Wycinek koła lub okręgu to pewna część koła lub okręgu. Wyznaczają go dwa promienie wychodzące ze środka koła.

wycinekkola

$$ r $$ – promień wycinku koła lub okręgu
$$ β $$ – kąt środkowy wycinka

Długość łuku wycinka okręgu:

$$ l=β/360°×2πr $$
 

Pole wycinka koła:

$$ P=β/360°×πr^2 $$

 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Ustal, ile razy dłuższy jest okrąg o promieniu 5 od okręgu o średnicy 5.

$$ L_1=2πr_1=2π×5=10π $$

$$ L_2=2πr_2=2π×2,5=5π $$

$$ {L_1}/{L_2} ={10}/5=2 $$

Odp.: Okrąg o promieniu 5 jest 2 razy dłuższy od okręgu o średnicy 5.

Zadanie 2.

Ustal, ile razy większe jest koło o promieniu 4 od koła o średnicy 4.

$$ P_1=π {r_1}^2=π×4^2=16π $$

$$ P_2=π {r_2}^2=π×2^2=4π $$

$$ {P_1}/{P_2} ={16}/4=4 $$

Odp.: Koło o promieniu 4 jest 4 razy większe od koła o średnicy 4.

Zadanie 3.

Ustal promień koła, w którym wycinkowi:

  1. o polu $$3π$$, odpowiada kąt 30°
  2. o polu $$3/2 π$$, odpowiada kąt 240°
  3. o polu $$2π$$, odpowiada kąt 72°
  1. $$ {30°}/{360°}×πr^2=3π $$

    $$ 1/{12}×r^2=3 $$

    $$ r=6 $$
     
  2. $$ {240°}/{360°}×πr^2=3/2 π $$

    $$ 2/3×r^2=3/2 $$

    $$ r=3/2=1,5 $$
     
  3. $$ {72°}/{360°}×πr^2=2π $$

    $$ 1/5×r^2=2 $$

    $$ r=√10 $$
     

Zadanie 4.

Co oznacza liczba π i jakie jest jej przybliżenie w zaokrągleniu do części setnych?

Liczba π jest to stosunek długości obwodu okręgu do jego średnicy. W przybliżeniu wynosi 3,14.

$$π={ ext "długość obwodu"}/{ ext "długość promienia"}≈3,14 $$

Zadanie 5.

Jakie pole i obwód ma koło o średnicy $$4√π$$ ?

$$ d=4√π -> r=2√π $$

$$ P=πr^2=π{(2√π)}^2=4π^2 $$

$$ L=2πr=2π2√π=4π√π $$

Odp.: Pole koła wynosi $$4π^2$$, a obwód $$4π√π$$.

Zadanie 6.

Kasia obeszła trawnik wykonując 30 kroków. Oblicz jaką średnicę miał ten trawnik jeżeli długość jednego kroku Kasi jest równa 0,6m. Przybliż liczbę π do 3.

$$ 2πr=30×0,6 $$

$$ 2×3r=18 $$

$$ r=3 m $$

$$ d=2×3=6 m $$

Odp.: Średnica trawnika wynosi 6 m.

Spis treści

3 szkoły podstawowej
4 szkoły podstawowej
5 szkoły podstawowej
6 szkoły podstawowej
7 szkoły podstawowej
II gimnazjum
III gimnazjum
Matura podstawowa
Matura rozszerzona
Rozwiązane zadania
Pomiędzy jakimi wielkościami na osi należy umieścić

Przyjmijmy, że średni wzrost człowieka to 1,7 m. Chcąc zapisać tą liczbę  w postaci potęgi liczby 10, najbliższym przybliżeniem będzie 100, czyli 1 (m). Tym samym człowieka na osi trzeba umieścić pomiędzy wielkościami 100 i 102.

 

Wskaż liczbę naturalną, którą można przedstawić ...

Podstawa potęgi wynosi 5. 

Wykładnik potęgi ma być liczbą naturalną. 


Liczba naturalna, którą można przedstawić w postaci potęgi o podstawie 5 i wykładniku będącym liczbą naturalną to 125, bo:
`125=5^3` 


Poprawna odpowiedź to: B. 125

Oblicz, korzystając z wartości podanych w tabeli.

`a) \ \ 2^2*2^4=2^(2+4)=2^6=64`

`b) \ \ 2^3*2^5=2^(3+5)=2^8=256`

`c) \ \ 3^2*3^3=3^(2+3)=3^5=243`

`d) \ \ 2^5*2^3*2=2^(5+3+1)=2^9=512`

`e) \ \ 2^5*2^0*2^5=2^(5+0+5)=2^10=1024`

`f) \ \ 3^5*3*3^0=3^(5+1+0)=3^6=729`

`g) \ \ 2^9:2^6=2^(9-6)=2^3=8`

`h) \ \ 3^9:3^5=3^(9-5)=3^4=81`

`i) \ \ 3^7:3=3^(7-1)=3^6=729`

Oblicz kwadrat liczby 24.

`24^2=24*24=576` 

Połącz równe wyrażenia.

Korzystamy ze wzoru:

`(a*b)^m=a^m*b^m `

`(a/b)^n=a^n/b^n `

Ponadto ułamek możemy zapisać w postaci ilorazu, wtedy:

`(a:b)^n=a^n:b^n`

 

 

`(2:3)^5=(2/3)^5=2^5/3^5=2^5:3^5`

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )`

`(3/2)^5=3^5/2^5=3^5:2^5=(3:2)^5`

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )`

`6^5=(2*3)^5=3^5*2^5`

`ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ )`

`1/3*2^5=2^5/3`

Odczytaj datę zapisaną w systemie rzymskim. a) MCMLXXXVIII

a ) 

MCMLXXVIII = 1000 + (1000-100) + 50 + 10 + 10 + 5 + 1 + 1 + 1 = 1978

b)

CMLXVI = (1000-100) + 50 + 10 + 5 + 1 = 966

c)

MDCCXCV = 1000 + 500 + 100 + 100 + (100-10) + 5 = 1795

d)

MCCCXXXI = 1000 + 100 + 100 + 100 + 10 + 10 + 10 + 1 = 1331

e) 

MCDXLIV = 1000 + (500 - 100) + (50 - 10) + (5 - 1) = 1444

Zapisz znakami rzymskimi cztery ostatnie lata przestępne XXI wieku.

`2096 = 1000+1000+(100-10)+6\ - \ MMXCVI`

`2092 = 1000+1000+(100-10)+2\ - \ MMXCII`

`2088 = 1000+1000+50+30+8\ -\ MMLXXXVIII`

`2084 = 1000+1000+50+30+4\ -\ MMLXXXIV`

Oblicz:

`5^1=5` 

```5^0=1` 

`(-5)^1=-5` 

`1^5=1*1*1*1*1=1` 

`0^5=0` 

`(-1)^1=-1` 

`(-5)^0=1` 

`0^1=0` 

`(-1)^5=(-1)*(-1)*(-1)*(-1)*(-1)=-1` 

`(-1)^0=1` 

`1^0=1` 

Wpisz brakujący wykładnik.

Korzystamy:

`a^m*a^n=a^{m+n}`

`b^m/b^n=b^{m-n}`

`(c^m)^n=c^{m*n}`

 

`"a)"\ 3^6:9=3^6:3^2=3^ul(4)`

`"b)"\ 9*3^4=3^2*3^4=3^ul(6)`

`"c)"\ 3^7/9=3^7/3^2=3^ul(5)`

`"d)"\ (3^3)^2=3^ul(6)`

`"e)"\ 27^3/3^8=((3^3)^3)/3^8=3^9/3^8=3^ul(1)`

`"f)"\ 9^6:3^11=(3^2)^6:3^11=3^12:3^11=3^ul(1)`

`"g)"\ 9^3/27=((3^2)^3)/3^3=3^6/3^3=3^ul(3)`

`"h)" \ 3*9*27=3*3^2*3^3=3^ul(6)`

Ustal, dla jakich liczb naturalnych n:

`a) \ 100<3^n<1000`

  • `n=4` 
    `3^4=81` 
    81 < 100, więc to za mało


  • `n=5` 
    `3^5=243` 
    100< 243 < 1000 


  • `n=6` 
    `3^6=729` 
    100 < 729 < 1000


  • `n=7` 
    `3^7=2187` 
    2187 > 1000, więc to za dużo

Odpowiedź:
Liczba 3n jest większa od 100 i mniejsza od 1000 dla n=5 i n=6
`ul(ul( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 


`b) \ 100 < n^3 < 1000` 

  • `n=4` 
    `n^3=64` 
    64 < 100, więc to za mało


  • `n=5` 
    `5^3=125` 
    100 < 125 < 1000


  • `n=6` 
    `6^3=216` 
    100 < 216 < 1000


  • `n=7` 
    `7^3=343` 
    100 < 343 < 1000


  • `n=8`   
    `8^3=512` 
    100 < 512 < 1000


  • `n=9` 
    `9^3=729` 
    100 < 729 < 1000


  • `n=10` 
    `10^3=1000` 
    1000 nie jest liczbą mniejszą od 1000, więc to za dużo 

Odpowiedź:
Liczba n3 jest większa od 100 i mniejsza od 1000 dla n=5, n=6, n=7, n=8 i n=9