Długość okręgu i pole koła - ii-gimnazjum - Baza Wiedzy

Długość okręgu

Długość okręgu to nic innego jak obwód okręgu.

wzór na długość okręgu („l”):

$$l=2πr$$ , gdzie r oznacza długość promienia okręgu

przykład:
dla $$r=5cm$$, $$l=2π×5=10π$$ $$cm^2$$
 

okreg

Liczba π (pi), która wystąpiła w powyższym wzorze, to liczba wyznaczająca stosunek długości okręgu do długości średnicy i w przybliżeniu wynosi 3.14 lub 22/7.
Liczba π jest liczbą niewymierną!

 

Przykład:

Oblicz długość okręgu którego promień wynosi 5.

$$r=5$$
$$ l=2πr=2×5×π=10π $$
 

Pole koła

Koło, tak samo jak kwadrat, trójkąt czy prostokąt, też ma swoje pole.

Wzór na pole koła („P”):

$$P=πr^2=π×r^2$$ , gdzie r oznacza długość promienia koła

okreg

Przykład:

Oblicz pole koła którego promień wynosi 3.

$$ r=3 $$
$$ P=πr^2=π×3^2=9π $$
 

Wycinek koła lub okręgu

Wycinek koła lub okręgu to pewna część koła lub okręgu. Wyznaczają go dwa promienie wychodzące ze środka koła.

wycinekkola

$$ r $$ – promień wycinku koła lub okręgu
$$ β $$ – kąt środkowy wycinka

Długość łuku wycinka okręgu:

$$ l=β/360°×2πr $$
 

Pole wycinka koła:

$$ P=β/360°×πr^2 $$

 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Ustal, ile razy dłuższy jest okrąg o promieniu 5 od okręgu o średnicy 5.

$$ L_1=2πr_1=2π×5=10π $$

$$ L_2=2πr_2=2π×2,5=5π $$

$$ {L_1}/{L_2} ={10}/5=2 $$

Odp.: Okrąg o promieniu 5 jest 2 razy dłuższy od okręgu o średnicy 5.

Zadanie 2.

Ustal, ile razy większe jest koło o promieniu 4 od koła o średnicy 4.

$$ P_1=π {r_1}^2=π×4^2=16π $$

$$ P_2=π {r_2}^2=π×2^2=4π $$

$$ {P_1}/{P_2} ={16}/4=4 $$

Odp.: Koło o promieniu 4 jest 4 razy większe od koła o średnicy 4.

Zadanie 3.

Ustal promień koła, w którym wycinkowi:

  1. o polu $$3π$$, odpowiada kąt 30°
  2. o polu $$3/2 π$$, odpowiada kąt 240°
  3. o polu $$2π$$, odpowiada kąt 72°
  1. $$ {30°}/{360°}×πr^2=3π $$

    $$ 1/{12}×r^2=3 $$

    $$ r=6 $$
     
  2. $$ {240°}/{360°}×πr^2=3/2 π $$

    $$ 2/3×r^2=3/2 $$

    $$ r=3/2=1,5 $$
     
  3. $$ {72°}/{360°}×πr^2=2π $$

    $$ 1/5×r^2=2 $$

    $$ r=√10 $$
     

Zadanie 4.

Co oznacza liczba π i jakie jest jej przybliżenie w zaokrągleniu do części setnych?

Liczba π jest to stosunek długości obwodu okręgu do jego średnicy. W przybliżeniu wynosi 3,14.

$$π={ ext "długość obwodu"}/{ ext "długość promienia"}≈3,14 $$

Zadanie 5.

Jakie pole i obwód ma koło o średnicy $$4√π$$ ?

$$ d=4√π -> r=2√π $$

$$ P=πr^2=π{(2√π)}^2=4π^2 $$

$$ L=2πr=2π2√π=4π√π $$

Odp.: Pole koła wynosi $$4π^2$$, a obwód $$4π√π$$.

Zadanie 6.

Kasia obeszła trawnik wykonując 30 kroków. Oblicz jaką średnicę miał ten trawnik jeżeli długość jednego kroku Kasi jest równa 0,6m. Przybliż liczbę π do 3.

$$ 2πr=30×0,6 $$

$$ 2×3r=18 $$

$$ r=3 m $$

$$ d=2×3=6 m $$

Odp.: Średnica trawnika wynosi 6 m.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Wskaż wszystkie poprawne ...

Jeżeli w trójkącie suma kwadratów długości dwóch krótszych boków jest równa kwadratowi długości najdłuższego boku, to trójkąt jest prostokątny. 

Należy pamiętać, aby długości odcinków były zapisane w tej samej jednostce. 


A.
 1 dm=10 cm

Musimy sprawdzić, czy:
`6^2+8^2 \ stackrel(?)= \ 10^2`  

`L=6^2+8^2=36+64=100`   
`P=10^2=100`  
`L=P` 

Zatem z podanych odcinków można zbudować trójkąt prostokątny.


B. 1 dm=10 cm
1 m=100 cm

Musimy sprawdzić, czy:
`1^2+10^2 \ stackrel(?)= \ 100^2`   

`L=1^2+10^2=1+100=101`   
`P=100^2=10 \ 000`   
`L!=P`  

 

Zatem z podanych odcinków nie można zbudować trójkąta prostokątnego.


C.
 1 stopa=12 cali

Musimy sprawdzić, czy:
`5^2+12^2 \ stackrel(?)= \ 13^2`   

`L=5^2+12^2=25+144=169`    
`P=13^2=169`    
`L=P` 

 

Zatem z podanych odcinków można zbudować trójkąt prostokątny.

D. Musimy sprawdzić, czy:
`(2sqrt{2})^2+(2sqrt{7})^2 \ stackrel(?)= \ 6^2`    

`L=(2sqrt{2})^2+(2sqrt{7})^2=4*2+4*7=8+28=36`    
`P=6^2=36`     
`L=P`  

 

Zatem z podanych odcinków można zbudować trójkąt prostokątny.


Poprawne odpowiedzi to: A, CD

Z akwarium o długości 50 cm i ...

Długość akwarium to 50 cm. Szerokość akwarium to 40 cm.

Zamieńmy jednostki na dm:

`50\ "cm"=5\ "dm"` 

`40\ "cm"=4\ "dm"` 

Wiemy, że objętość odlanej wody (Vw) wynosi 3 l:

`V_w=3\ "l"=3\ "dm"^3` 

 

Obliczamy jaką wysokość ma prostopadłościan o objętości 3 dm3 i podstawie o wymiarach 5 dm x 4 dm.

Oznaczmy wysokość tego prostopadłościanu jako h.

Korzystając ze wzoru na objętość prostopadłościanu zapisujemy:

`5*4*h=3` 

`20*h=3\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |:20` 

`h=3/20=15/100=0,15\ ["dm"]` 

`0,15\ "dm"=1,5\ "cm"` 

 

Odp: Poziom wody obniżył się o 1,5 cm.

Na rysunku przedstawiono fragment siatki

`a) \ \ P_p=(3^2sqrt3)/4=(9sqrt3)/4=2 1/4sqrt3` 

`P_b=3*ab=3*3*10=90` 

`P_c=2*P_p+P_b=2*2 1/4sqrt3+90=ulul(4 1/2sqrt3+90)` 

`b) \ \ P_p=a^2=4^2=16` 

`P_b=4*ab=4*4*10=16*10=160` 

`P_c=2*P_p+P_b=2*16+160=32+160=ulul(192)` 

`c) \ \ P_p=6*(a^2sqrt3)/4=6*(6^2*sqrt3)/4=6*(36sqrt3)/4=6*9sqrt3=54sqrt3` 

`P_b=6*ab=6*6*10=360` 

` ` `P_c=2*P_p+P_b=2*54sqrt3+360=ulul(108sqrt3+360)` 

 

Mając dane kąty α-rozwarty, ß-ostry oraz odcinek a

Oblicz objętości narysowanych ...

a) Z rysunku odczytujemy, że graniastosłup ma w podstawie pięciokąt. Wysokość graniastosłupa jest równa 3:

`H=3` 

 

Obliczamy pole podstawy: 

Podstawę możemy podzielić na prostokąt oraz trójkąt równoboczny. Rysunek pomocniczy:

Pole prostokąta:

`P_1=2*6=12\ [j^2]` 

Pole trójkąta równobocznego:

`P_2=(2^2sqrt3)/4=(strike4^1sqrt3)/strike4^1=sqrt3\ [j^2]` 

Pole podstawy:

`P_p=P_1+P_2=12+sqrt3\ [j^2]` 

 

Obliczamy objętość graniastosłupa:

`V=P_p*H` 

`V=(12+sqrt3)*3=36+3sqrt3\ [j^3]` 

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

b) Z rysunku odczytujemy, że graniastosłup ma w podstawie ośmiokąt. Wysokość graniastosłupa jest równa 4:

`H=4`  

  

Obliczamy pole podstawy: 

 

Podstawę możemy podzielić na trzy różne prostokąty. Rysunek pomocniczy:

Pole prostokąta 1:

`P_1=1*1=1\ [j^2]`   

Pole prostokąta 2:

`P_2=1*2=2\ [j^2]` 

Pole prostokąta 3:

`P_3=1*3=3\ [j^2]`  

Pole podstawy:

`P_p=P_1+P_2+P_3=1+2+3=6\ [j^2]`  

 

Obliczamy objętość graniastosłupa:

`V=P_p*H` 

`V=6*4=24\ [j^3]`   

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

c) Z rysunku odczytujemy, że graniastosłup ma w podstawie sześciokąt. Wysokość graniastosłupa jest równa 8:

`H=8`   

  

Obliczamy pole podstawy: 

 

Podstawę możemy podzielić na kwadrat i trapez. Rysunek pomocniczy:

Pole kwadratu:

`P_1=5*5=25\ [j^2]`   

Aby obliczyć pole trapezu, korzystając z tw. Pitagorasa obliczamy długość wysokości podstawy (h):

`h^2=5^2-3^2` 

`h^2=25-9=16` 

`h=sqrt16=4` 

Pole trapezu:

`P_2=((11+5)*strike4^2)/strike2^1=16*2=32\ [j^2]`  

Pole podstawy:

`P_p=P_1+P_2=25+32=57\ [j^2]`  

 

Obliczamy objętość graniastosłupa:

`V=P_p*H` 

`V=57*8=456\ [j^3]` 

Punkty A i B są symetryczne względem początku układu współrzędnych

Jesli punkty są symetryczne względem początku układu współrzędnych, to ich współrzędne są liczbami przeciwnymi. 

 

`{(2c-4=-(-3-c)), (3c+2d=-(-3+4d)):}`

`{(2c-4=3+c\ \ \ |-c), (3c+2d=3-4d\ \ \ |+4d):}`

`{(c-4=3\ \ \ |+4), (3c+6d=3\ \ \ |:3):}`

`{(c=7), (c+2d=1):}`

`{(c=7), (7+2d=1\ \ \ |-7):}`

`{(c=7), (2d=-6\ \ \ |:2):}`

`{(c=7), (d=-3):}\ \ \ \ \ \ odp.\ D`

Na rysunku przedstawiony jest fragment trójkąta ABC. Punkt D jest środkiem boku AC. Opisz, jak bez rysowania

Przez punkt D należy poprowadzić prostą równoległą do prostej AB. Prosta ta przecina prostą BC w takich samych proporcjach jak prosta D dzieli AC , czyli 1:1

Uprość poniższe wyrażenie.

Upraszczamy wyrażenia. 

`a) \ (2x+5y)+(3x-5y)=ul(2x)+ul(ul(5y))+ul(3x)-ul(ul(5y))=5x` 

`b) \ (-3x+4y)-(7x+4y)=-ul(3x)+ul(ul(4y))-ul(7x)-ul(ul(4y))=-10x` 
Należy pamiętać, że minus przed nawiasem oznacza, że należy zmienić znaki składników w nawiasie na przeciwne. 

`c) \ (6x-y)+(-6x-y)=ul(6x)-ul(ul(y))-ul(6x)-ul(ul(y))=-2y`      

Szef pewnej firmy zatrudnia 20 pracowników

`"Każdy z"\ 20\ "pracowników otrzymał"\ 70\ "zł więcej, szef otrzymał x zł więcej,"`
`"średni każdy z nich otrzymał"\ 100\ "zł więcej. Możemy więc zapisać:"`  

`(20*70+"x")/21=100`

`(1400+"x")/21=100\ \ \ |*21`

`1400+"x"=2100\ \ \ |-1400`

`"x"=700`

 

`"Szef dotrzymał słowa - średnia podwyżka to"\ 100\ "zł, ponieważ ogromna podwyżka"`
`"dla szefa równa aż"\ 700\ "zł zawyżyła średnią podwyżkę pracowników."`  

Marta i Agata wybrały się ze swoimi rodzicami ...

u - cena biletu ulgowego

n - cena biletu normalnego

Trzy bilety ulgowe i dwa bilety normalne kosztują razem 80 zł, czyli:
`3u+2n=80` 

Pięć biletów normalnych i jeden bilet ulgowy kosztują 122 zł, czyli: 
`5n+u=122` 


Układ równań ma postać:

`{(3u+2n=80),(5n+u=122):}` 

Rozwiązujemy układ metodą podstawiania. Z drugiego równania wyznaczamy u. 

`{(3u+2n=80),(5n+u=122 \ \ \ \ \ |-5n):}` 

`{(3u+2n=80),(u=122-5n):}` 

W miejsce u w pierwszym równaniu wstawiamy 122-5n. 

`{(3(122-5n)+2n=80),(u=122-5n):}` 

`{(366-15n+2n=80 \ \ \ \ \ |-366),(u=122-5n):}` 

`{(-13n=-286 \ \ \ \ \ \ |:(-13)),(u=122-5n):}` 

`{(n=22),(u=122-5n):}` 

W miejsce n w drugim równaniu wstawiamy 22.

`{(n=22),(u=122-5*22):}` 

`{(n=22),(u=122-110):}` 

Rozwiązanie to:

`{(n=22),(u=12):}`   


Odpowiedź:
Bilet normalny kosztuje 22 zł, a bilet ulgowy 12 zł