Długość okręgu i pole koła - ii-gimnazjum - Baza Wiedzy

Długość okręgu

Długość okręgu to nic innego jak obwód okręgu.

wzór na długość okręgu („l”):

$$l=2πr$$ , gdzie r oznacza długość promienia okręgu

przykład:
dla $$r=5cm$$, $$l=2π×5=10π$$ $$cm^2$$
 

okreg

Liczba π (pi), która wystąpiła w powyższym wzorze, to liczba wyznaczająca stosunek długości okręgu do długości średnicy i w przybliżeniu wynosi 3.14 lub 22/7.
Liczba π jest liczbą niewymierną!

 

Przykład:

Oblicz długość okręgu którego promień wynosi 5.

$$r=5$$
$$ l=2πr=2×5×π=10π $$
 

Pole koła

Koło, tak samo jak kwadrat, trójkąt czy prostokąt, też ma swoje pole.

Wzór na pole koła („P”):

$$P=πr^2=π×r^2$$ , gdzie r oznacza długość promienia koła

okreg

Przykład:

Oblicz pole koła którego promień wynosi 3.

$$ r=3 $$
$$ P=πr^2=π×3^2=9π $$
 

Wycinek koła lub okręgu

Wycinek koła lub okręgu to pewna część koła lub okręgu. Wyznaczają go dwa promienie wychodzące ze środka koła.

wycinekkola

$$ r $$ – promień wycinku koła lub okręgu
$$ β $$ – kąt środkowy wycinka

Długość łuku wycinka okręgu:

$$ l=β/360°×2πr $$
 

Pole wycinka koła:

$$ P=β/360°×πr^2 $$

 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Ustal, ile razy dłuższy jest okrąg o promieniu 5 od okręgu o średnicy 5.

$$ L_1=2πr_1=2π×5=10π $$

$$ L_2=2πr_2=2π×2,5=5π $$

$$ {L_1}/{L_2} ={10}/5=2 $$

Odp.: Okrąg o promieniu 5 jest 2 razy dłuższy od okręgu o średnicy 5.

Zadanie 2.

Ustal, ile razy większe jest koło o promieniu 4 od koła o średnicy 4.

$$ P_1=π {r_1}^2=π×4^2=16π $$

$$ P_2=π {r_2}^2=π×2^2=4π $$

$$ {P_1}/{P_2} ={16}/4=4 $$

Odp.: Koło o promieniu 4 jest 4 razy większe od koła o średnicy 4.

Zadanie 3.

Ustal promień koła, w którym wycinkowi:

  1. o polu $$3π$$, odpowiada kąt 30°
  2. o polu $$3/2 π$$, odpowiada kąt 240°
  3. o polu $$2π$$, odpowiada kąt 72°
  1. $$ {30°}/{360°}×πr^2=3π $$

    $$ 1/{12}×r^2=3 $$

    $$ r=6 $$
     
  2. $$ {240°}/{360°}×πr^2=3/2 π $$

    $$ 2/3×r^2=3/2 $$

    $$ r=3/2=1,5 $$
     
  3. $$ {72°}/{360°}×πr^2=2π $$

    $$ 1/5×r^2=2 $$

    $$ r=√10 $$
     

Zadanie 4.

Co oznacza liczba π i jakie jest jej przybliżenie w zaokrągleniu do części setnych?

Liczba π jest to stosunek długości obwodu okręgu do jego średnicy. W przybliżeniu wynosi 3,14.

$$π={ ext "długość obwodu"}/{ ext "długość promienia"}≈3,14 $$

Zadanie 5.

Jakie pole i obwód ma koło o średnicy $$4√π$$ ?

$$ d=4√π -> r=2√π $$

$$ P=πr^2=π{(2√π)}^2=4π^2 $$

$$ L=2πr=2π2√π=4π√π $$

Odp.: Pole koła wynosi $$4π^2$$, a obwód $$4π√π$$.

Zadanie 6.

Kasia obeszła trawnik wykonując 30 kroków. Oblicz jaką średnicę miał ten trawnik jeżeli długość jednego kroku Kasi jest równa 0,6m. Przybliż liczbę π do 3.

$$ 2πr=30×0,6 $$

$$ 2×3r=18 $$

$$ r=3 m $$

$$ d=2×3=6 m $$

Odp.: Średnica trawnika wynosi 6 m.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Dane są liczby ...

Obliczamy ile wynosi iloczyn potęg o takim samym wykładniu. 

`3^5*6^5*(-0,5)^5=(3*6*(-0,5))^5=ul(ul((-9)^5))=ul(ul(-9^5))` 


Poprawne odpowiedzi to: A. -95 i B. (-9)5.

Sąsiednie wierzchołki wielokąta foremnego ...

Wielokąt ten jest ośmiokątem foremnym.        PRAWDA

Pole tego wielokąta wynosi 162 cm2.               FAŁSZ

 

Rysunek pomocniczy:

Przyjmijmy oznaczenia, jak na rysunku. 

Z treści zadania wiemy, że łuk DC ma długość 2π cm oraz promień okręgu ma 8 cm.

Obliczamy długość całego okręgu:

`l=2pir=2pi*8=16pi\ ["cm"]` 

Łuk o długości 2π cm stanowi więc 1/8 długości okręgu:

`(2pi)/(16pi)=1/8` 

Kąt pomiędzy promieniami OD i OC stanowi więc 1/8 kąta pełnego, czyli:

`1/strike8^1*strike(360^@)^(45^@)=45^@` 

Wielokąt jest więc 8 kątem foremnym, gdyż kąty pomiędzy promieniami poprowadzonymi do sąsiadujących wierzchołków mają miarę 45o:

`360^@:45^@=8` 

 

Ośmiokąt foremny możemy podzielić na 8 trójkątów równoramiennych.

Zauważymy, że jeżeli połączymy dwa takie trójkąty, to otrzymamy deltoidy (wówczas ośmiokąt foremny możemy podzielić na 4 deltoidy).

Aby obliczyć pole deltoidu ABCO, musimy znać długości odcinków OB i AC.

Odcinek OB jest promieniem koła, więc jego długość to 8 cm:

`|OB|=8\ "cm"` 

Trójkąt AOC jest prostokątnym trójkątem równoramiennym, więc długość odcinka CA wynosi:

`|CA|=8sqrt2\ "cm"` 

 

Obliczamy pole deltoidu ABCO:

`P_(ABCO)=(strike8^4*8sqrt2)/strike2^1=32sqrt2\ ["cm"^2]` 

Ośmiokąt składa się z czterech przystających deltoidów więc jego pole jest równe:

`P_o=4*32sqrt2=128sqrt2\ ["cm"^2]`  

Czy przedstawiony wykres jest wykresem funkcji?

I NIE, ponieważ D

II TAK, ponieważ A

Pole zacieniowanej figury ...

Aby obliczyć pole zacieniowanej figury, od pola większego wycinka (wycinek ten jest półkolem o promieniu równym 3) odejmujemy pole mniejszego wycinka (wycinek ten jest ćwiartką koła o promieniu równym 2). Oznaczmy:

P1 - pole większego wycinka

P2- pole mniejszego wycinka

`P_1=1/2*pi*3^2=9/2pi\ [j^2]`  

`P_2=1/4*pi*2^2=1/strike4^1*pi*strike4^1=pi\ [j^2]` 

Pole zacieniowane wynosi:

`P_z=P_1-P_2=9/2pi-pi=7/2pi=3,5pi\ [j^2]` 

Odp: C 

Obwód rombu jest równy 68 cm

 

Jaki procent ludności w wieku ...

ODP: D

 

W roku szkolnym 2014/2015 osoby uczące się w wieku 19-24 lata stanowiły 47,8% ludności.

Zapisz cyframi arabskimi następujące liczby: a) LXI, CCL, DCCC

a)

LXI 61

CCL 250

DCCC 800

CLXVIII 168

MDCLVI 1656

MMDCCLXXVII 2777

 

 

b)

XLI= 41

CMV= 905

XCVII= 97

CMXX= 920

CDXL= 440

MMIX= 2009

 

c)

MMCDXLVII= 2447

MMMCDXLIV=3444

MCMLIX= 1959

MMCMXXXIX= 2939

Suma długości wszystkich krawędzi pewnego graniastosłupa prawidłowego ...

Podstawą graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat. 

a - długość krawędzi podstawy
H - długość krawędzi bocznych

Łączna długość wszystkich krawędzi tego graniastosłupa wynosi 90 cm. 



`8a+4H=90 \ "cm"` 

Graniastosłup ten dzielimy na sześcian o krawędziach długości a oraz graniastosłup prawidłowy czworokątny o krawędziach podstawy długości a i krawędziach bocznych długości H-a. 

Krawędzie sześcianu (czerwona część) mają taką samą długość. Jest ich 12. Łączna długość tych krawędzi wynosi 24 cm. 

Obliczamy, jaką długość mają krawędzie sześcianu. 
`12*a=24 \ "cm" \ \ \ \ \ \ \ \ |:12` 
`a=2 \ "cm"` 

Krawędzie sześcianu mają długość 2 cm. 


Wracamy do wyjściowego graniastosłupa. Wiemy już ile wynosi a. Obliczamy ile wynosi H. 
`8a+4H=90 \ "cm"` 
`8*2 \ "cm"+4H=90 \ "cm"` 
`16 \ "cm"+4H=90 \ "cm" \ \ \ \ \ \ \ \ |-16 \ "cm"` 
`4H=74 \ "cm" \ \ \ \ \ \ \ \ \ |:4` 
`H=18,5 \ "cm"` 

Krawędź boczna wyjściowego graniastosłupa ma długość 18,5 cm.  


Podstawą powstałego graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat o boku długości a, czyli 2 cm. 

Krawędzie boczne tego graniastosłupa mają długość H-a, czyli: 
`H-a=18,5 \ "cm"-2 \ "cm"=16,5 \ "cm"` 

Krawędzie podstawy tego graniastosłupa mają długość 2 cm, a krawędzie boczne mają długość 16,5 cm. 


Wymiary powstałego sześcianu to 2 cm x 2 cm x 2 cm
Wymiary powstałego graniastosłupa prawidłowego czworokątnego to 2 cm x 2 cm x 16,5 cm

 

W wyrażeniu 1-x-x-2+x wstaw nawiasy tak, aby

`1-(x-(x-2))+x=1-(x-x+2)+x=1-2+x=-1+x=x-1` 

W pewnej ankiecie udzielano czterech ...

ODP: D (I i IV)

 

Zdanie I - prawdziwe

Obliczamy liczbę odpowiedzi "tak" - 8

Obliczamy liczbę odpowiedzi "nie" - 7

Liczba odpowiedzi "tak" jest o 1 większa od liczby odpowiedzi "nie".

 

Zdanie II - fałszywe 

Najczęściej udzielaną odpowiedzią była odpowiedź "tak, oczywiście".

 

Zdanie III - fałszywe

Odpowiedzi TO i NA udzielono 12 razy.

Odpowiedzi TA i NC udzielono 3 razy.

Obliczamy, o ile procent większa jest liczba odpowiedzi TO i NA od liczby odpowiedzi TA i NC.

Wyznaczamy różnicę pomiędzy ilością odpowiedzi TO i NA, a ilością odpowiedzi TA i NC:

`12-3=9` 

Wyznaczamy, jaką częścią ilości odpowiedzi TO i NA jest obliczona różnica. Otrzymany ułamek mnożymy przez 100%.

`strike9^3/strike3^1*100%=3*100%=300%` 

Liczba odpowiedzi skrajnych (TO i NA) jest o 300% większa niż liczba odpowiedzi umiarkowanych (TA i NC).

 

Zdanie IV - prawdziwe

Liczba odpowiedzi "tak" jest równa 8.

Liczba odpowiedzi "tak, oczywiscie" jest równa 7.

Obliczamy, jakim procentam liczby 8 jest liczba 7:

`7/strike8^2*strike100^25%=175/2%=87,5%` 

Wśród odpowiedzi "tak" odpowiedź "tak, oczywiście" stanowi 87,5%.