Baza Wiedzy

Najprostszą grupą figur przestrzennych są graniastosłupy. Graniastosłup składa się z dwóch podstaw, czyli dwóch równoległych i przystających wielokątów oraz jednakowych wysokości wychodzących z każdego wierzchołka podstawy. W graniastosłupach wyróżniamy graniastosłupy proste, pochyłe oraz prawidłowe.

  Zobacz w programie GeoGebra

 

graniastoslup
  1. Graniastosłupy proste to takie, których krawędź boczna (wysokość) pada pod kątem prostym do podstawy. Ściany boczne to prostokąty.

    graniastoslupprosty
  2. Graniastosłupy pochyłe to takie, w których krawędź boczna (wysokość) nie jest prostopadła do podstawy. Ściany boczne są równoległobokami.

    graniastoslupochyly
  3. Graniastosłupy prawidłowe to takie, które w swojej podstawie mają wielokąt foremny.

    graniastosluprawidlowy
 

Nazwy graniastosłupów tworzymy od wielokąta znajdującego się w podstawie. Gdy w podstawie jest czworokąt to taki graniastosłup to graniastosłup czworokątny itd..

Przykłady:

  • w podstawie: kwadrat -> graniastosłup prawidłowy czworokątny
  • w podstawie: siedmiokąt -> graniastosłup siedmiokątny
  • w podstawie: ośmiokąt foremny -> graniastosłup prawidłowy ośmiokątny
 

Siatka graniastosłupa

 

Siatka graniastosłupa to przedstawienie jego wszystkich ścian bocznych i podstaw na płaszczyźnie.

Przykład:

siatka

Siatka graniastosłupa składa się z dwóch podstaw i ścian bocznych. Pole powierzchni całkowitej to suma pól dwóch podstaw i pól ścian bocznych. Pole ścian bocznych liczy się ze wzoru: $$ P_b=Ob_{p}×H $$.

$$ P_{c}=2P_p+P_b $$
$$ P_{c}=2P_{p}+Obw_{p}×H $$
$$ P_{c} $$ -> pole powierzchni całkowitej
$$ P_{p} $$ -> pole podstawy , $$ Ob_{p} $$ -> obwód podstawy
$$ P_{b} $$ -> pole powierzchni ścian bocznych
 

Objętość graniastosłupa

 

Objętość („V”) prostopadłościanu oblicza się ze wzoru $$ V=a×b×H $$.

objetoscgraniastoslupa
a,b -> krawędzie podstawy
H -> wysokość (krawędź boczna)

Z powyższego wzoru na objętość prostopadłościanu łatwo możemy wywnioskować ogólny wzór na objętość dowolnego graniastosłupa.

Wzór na objętość dowolnego graniastosłupa to $$ V=P_{podstawy}×H $$.

 

Jednostki objętości

 

Objętość podaje się w jednostkach sześciennych. Podstawowe jednostki objętości to: milimetr sześcienny ($$mm^3$$), centymetr sześcienny ($$cm^3$$), mililitr ($$ml$$), decymetr sześcienny ($$dm^3$$), metr sześcienny ($$m^3$$), litr ($$l$$) i kilometr sześcienny ($$km^3$$).

Przeliczanie jednostek:

  • $$ 1 ml = 0,001 l = 0,000 001 m^3 $$
  • $$1 cm^3 = 0,000 001 m^3 = 1 ml $$ -> $$ 1mm = 1cm3 $$
  • $$1 l = 0,001 m^3 = 1 000 cm3 $$
  • $$1 dm^3 = 0,001 m^3 = 1 l $$ -> $$ 1l = 1dm^3 $$
  • $$1 m^3 = 1 000 l $$
  • $$1 km^3 = 1 000 000 000 m^3 $$
 

Odcinki w graniastostłupach

 

W graniastosłupach rozróżniamy 3 różne odcinki: przekątna ściany bocznej, przekątna podstawy i przekątna graniastosłupa.

odcinkiwgraniastoslupie

Zadania powtórzeniowe

 

Zadanie 1.

Oblicz objętość prostopadłościanu o wymiarach:

  1. $$ 4 cm×20 cm×1 m $$
  2. $$ 0,3 m×50 cm×1,5 m $$
  3. $$ 300 m ×0,5 km×150 cm $$
  1. $$ V=4×20×100=8 000 cm^3 $$
  2. $$ V=0,3×0,5×1,5=0,225 m^3 $$
  3. $$ V=300×500×1,5=225 000 m^3 $$

Zadanie 2.

Oblicz ile waży sztabka złota w kształcie prostopadłościanu o wymiarach 30 cm×10 cm×10 cm. Gęstość złota wynosi 19,3 g/ $$cm^3$$.

$$ V=30×10×10=3000 cm^3 $$

$$ m=3000×19,3=57900 g $$

Odp.: Sztabka złota waży 57900 g.

Zadanie 3.

Oblicz wysokość graniastosłupa prostego o objętości 36 cm3, którego podstawą jest prostokąt o wymiarach 3 cm×4 cm.

$$ 3×4×h=36 $$

$$ 12h=36 $$

$$ h=3 cm $$

Odp.: Wysokość tego graniastosłupa wynosi 3cm.

Zadanie 4.

Oblicz długość przekątnej sześcianu o boku długości 3 m.

Przekątną sześcianu możemy obliczyć ze wzoru $$a√3$$, gdzie a oznacza długość boku sześcianu.

$$ a√3=3√3 m $$

Odp.: Długość przekątnej tego sześcianu wynosi $$3√3$$ m.

Zadanie 5.

Ile krawędzi ma graniastosłup o dziesięciu ścianach bocznych?

10 ścian bocznych -> jest to graniastosłup dziesięciokątny

ilość krawędzi: 20 przy dwóch podstawach + 10 przy ścianach bocznych = 30

Odp.: Graniastosłup o dziesięciu ścianach bocznych ma 30 krawędzi.

Zadanie 6.

Przekątna ściany bocznej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość 10 cm, a jego wysokość 6cm. Ile wynosi objętość tego graniastosłupa?

Ściana boczna ma kształt prostokąta o przekątnej 10 cm i boku 6 cm. Drugi bok wynosi 8 cm, po wyliczeniu go dzięki twierdzeniu pitagorasa.

$$ V=P_p×H $$

$$ V=8^2×6=64×6=384 cm^3 $$

Odp.: Objętość tego graniastosłupa wynosi 384 $$cm^3$$.