Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Rok 2018 odpowiedzi (matematyka) - egzamin-gimnazjalny-3 - Baza Wiedzy

Egzamin gimnazjalny 2018 - Matematyka

Zadanie 1.

W pierwszym dniu każdego miesiąca ubiegłego roku pan Tomek zapisywał masę swojego ciała. Początkowo masa jego ciała malała. W listopadzie i grudniu ważył tyle samo, ile w lipcu. W żadnym miesiącu nie ważył więcej niż 76 kg. Pan Tomek wyniki swoich pomiarów umieścił na diagramie.

Który z diagramów przedstawia wyniki pomiarów pana Tomka w ubiegłym roku?

Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.


Rozwiązanie:

Zauważmy, że w listopadzie, grudniu i lipcu pan Tomek ważył tyle samo oraz, że jego waga w żadnym  miesiącu nie była większa niż 76 kg, zatem prawdziwa jest

odpowiedź B


Zadanie 2

W ramach prac renowacyjnych odtworzono na ścianie budowli zegar słoneczny, który powstał w 1533 roku. Pod nowym zegarem zapisano datę tej renowacji- MCMXC

Po ilu latach od powstania tego zegara słonecznego odtworzono go na ścianie budowli? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Rozwiązanie:

MCMXC=1990

1990-1533=457

odpowiedź A


Zadanie 3

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F- jeśli zdanie jest fałszywe.

Rozwiązanie:

pierwsze zdanie jest fałszywe ponieważ:

`root(3)(8)-3=2-3=-1` 

`-1`  nie jest liczbą naturalną

drugie zdanie jest prawdziwe ponieważ:

`root(3)(64)-sqrt25=4-5=-1` 

 `-1` jest liczbą ujemną


Zadanie 4

Samochód na pokonanie pierwszego odcinka trasy zużył 27 litrów benzyny. Na drugim odcinku trasy, mającym długość 150 km, zużył on dwa razy mniej benzyny niż na pierwszym odcinku. Średnie zużycie benzyny na kilometr było na każdym odcinku trasy takie samo.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Średnie zużycie benzyny przez ten
samochód na każde 100 km tej trasy było równe

Rozwiązanie:

Wiemy, że na odcinku długości `150`  km samochód zużył `27/2`  litrów benzyny

zatem  na odcinku `150`  km samochód zużył `13 1/2`  litra benzyny

średnie zużycie benzyny na kilometr było na każdym odcinku takie samo, czyli

średnie zużycie benzyny przez ten samochód na każde 100 km tej trasy było równe:

obliczmy jaką częścią liczby `100 \ "km"` jest liczba `150\ "km"` :

`100/150= 2/3` , zatem:

`13 1/2*2/3= strike27^9/strike2_1*strike2^1/strike3_1= 9 \ "[l]"` 

odpowiedź B


Zadanie 5

W czytelni ustawiono 20 stolików dwuosobowych i 10 stolików czteroosobowych. Po pewnym czasie 10% stolików dwuosobowych zastąpiono tą samą liczbą stolików czteroosobowych.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba stolików czteroosobowych zwiększyła się o :

Rozwiązanie:

obliczmy o ile zwiększyła się liczba stolików czteroosobowych:

`10+20*10%= 20*10/100= 2` 


obliczmy o ile procent zwiększyła się liczba stolików czteroosobowych:

`(12-10)/10*100%=2/10*100%= 200%/10=20%` 


odpowiedź D


Zadanie 6

Dane są dwie liczby: `a=8^5``b=4^5`Oceń prawdziwość podanych zdań. wybierz P, jeśli zdanie jest  prawdziwe, albo F- jeśli jest fałszywe

Rozwiązanie:

`8^5*4^5=(8*4)^5=32^5` 

pierwsze zdanie jest fałszywe

`8^5/4^5= (8/4)^5=2^5` 
 
drugie zdanie jest prawdziwe


Zadanie 7

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Iloraz `sqrt12/(sqrt75*sqrt3)` jest równy

Rozwiązanie:

`sqrt12/(sqrt75*sqrt3)=(sqrt3*sqrt4)/(*sqrt(25*3)*sqrt3)= (2sqrt3)/(5sqrt3*sqrt3)=(2sqrt3)/(5*3)= (2sqrt3)/15` 

odpowiedź A


Zadanie 8

Grupa turystów w ciągu pierwszej godziny marszu pokonała pewien odcinek trasy. W każdej następnej godzinie pokonywany dystans był o 0,5 km krótszy od dystansu pokonanego w poprzedniej godzinie. W ciągu pierwszym pięciu godzin marszu turyści przeszli łącznie 17,5 km trasy.

Dokończ zadnie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych .

Odcinek trasy, który turyści przeszli w pierwszej godzinie marszu, miał długość

Rozwiązanie:

`x` km- długość odcinka, którą turyści przeszli w pierwszej godzinie marszu

`x-0,5` km - długość odcinka, którą turyści przeszli w drugiej godzinie marszu

`x-1` km- długość odcinka, którą turyści przeszli w trzeciej godzinie marszu

`x-1,5` km- długość odcinka, którą turyści przeszli w czwartej godzinie marszu

`x-2` km - długość odcinka, którą turyści przeszli w piątej godzinie marszu


wiemy, że w ciągu pięciu pierwszych godzin wędrówki turyści przeszli `17,5` km, zatem:

`x+x-0,5+x-1+x-1,5+x-2=17,5` 

`5x-5=17,5 \ |+5` 

`5x=22,5 \ |:5` 

`x=4,5` [km]

Odpowiedź E


Zadanie 9

W autobusie jechało m mężczyzn i k kobiet. Na przystanku wysiedli 2 mężczyźni i 3 kobiety, a wsiadło 5 mężczyzn i 2 kobiety.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Gdy autobus odjechał z tego przystanku, podróżowało nim:

Rozwiązanie:

Obliczmy ilu mężczyzn podróżowało autobusem, gdy odjechał on z przystanku:

`m-2+5= m+3` 

Obliczmy ile kobiet podróżowało autobusem gdy odjechał on z przystanku:

`k-3+2= k-1` 

zatem gdy autobus odjechał z przystanku podróżowało nim:

`m+3`  mężczyzn i `k-1` kobiet


Odpowiedź A


Zadanie 10


Suma liczb x i y jest liczbą dodatnią, a ich iloczyn jest liczbą ujemną. 

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F- jeśli jest fałszywe.

Rozwiązanie:

1. Liczby x i y są różnych znaków. P

(iloczyn dwóch liczb jest liczbą ujemną tylko wtedy, gdy mają one różne znaki)


2. Na osi liczbowej odległość każdej z tych liczb od zera jest taka sama F

(wiemy, że liczby x i y mają różne znaki, ale ich suma jest liczbą dodatnią, gdyby powyższe zdanie było prawdziwe suma liczb x i y byłaby równa 0)


Zadanie 11

Na rysunku przedstawiono dwie figury. Figura I powstała przez usunięcie dwóch kwadratów jednostkowych z kwadratu o boku długości 6, a figura II powstała przez usunięcie dwóch kwadratów jednostkowych z prostokąta o bokach długości 4 i 8.



Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F-jeśli jest fałszywe.

Rozwiązanie:

Obwód figury I wynosi:

`6+6+5+2+1+4=24` 

Obwód kwadratu o boku długości 6 wynosi:

`4*6=24` 

1) Obwód figury I jest równy obwodowi kwadratu o boku 6. P

 
Obwód figury II wynosi:

`4+8+4+5+1+2+1+1= 26` 

2) Obwód figury II jest większy od obwodu figury I


Zadanie 12

W pudełku są 2 kule zielone, 2 białe i 4 czarne. Losujemy z pudełka 1 kulę.

Czy prawdziwe jest stwierdzenie, że prawdopodobieństwo wylosowania kuli czarnej jest równe `1/2` ? Wybierz odpowiedź T albo N i jej uzasadnienie spośród A, B albo C.

Rozwiązanie:

Obliczmy liczbę wszystkich kul w tym pudełku:

`2+2+4=8` 

w tym pudełku znajdują się 4 czarne kule zatem prawdopodobieństwo wylosowania czarnej kuli wynosi:

`4/8= 1/2` 

Tak, ponieważ  kule czarne stanowią połowę wszystkich kul w pudełku

Odpowiedź : T ponieważ C


Zadanie 13

W układzie współrzędnych zaznaczono dwa wierzchołki kwadratu MNPS, które nie należą do tego samego boku.



Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Dwa pozostałe wierzchołki tego kwadratu mają współrzędne

Rozwiązanie:

Punkty M i P mają współrzędne:

M=(-1, -2); P=(2,1)

zatem kolejne dwa wierzchołki kwadratu mają współrzędne:

(-1, 1) i (2, -2)

Odpowiedź A


Zadanie 14


W układzie współrzędnych narysowano wykres funkcji i zaznaczono jego punkty przecięcia z osiami układu.



Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F- jeśli jest fałszywe.

1) Funkcja przyjmuje wartość 0 dla dwóch argumentów: 1 i 6. P

2) Dla wszystkich argumentów większych od 1 i jednocześnie mniejszych od 6 funkcja przyjmuje wartości ujemne. F

(dla wszystkich argumentów większych od 1 i jednocześnie mniejszych od 6 funkcja przyjmuje wartości dodatnie)


Zadanie 15

Na kwadratowej siatce narysowano pewien wielokąt (patrz rysunek). Jego wierzchołki znajdują się w punktach kratowych przecięcia linii siatki.


Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Pole tego wielokąta jest równe

Rozwiązanie:

Pole tego wielokąta możemy obliczyć np. odejmując od pola prostokąta o bokach długości 5 cm i 8 cm pola dwóch trójkątów prostokątnych o przyprostokątnych długości 2 cm i 3 cm oraz pole trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych 2 cm i 5 cm

zatem pole tego wielokąta wynosi:

`P= 5*8-2*1/2*2*3-1/2*2*5=40-6-5= 29 \ "[cm"^2"]"` 

Odpowiedź C


Zadanie 16

Dany jest trójkąt prostokątny ABC o przyprostokątnych długości 15 cm i 20 cm.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Przeciwprostokątna trójkąta DEF podobnego do trójkąta ABC w skali 2:1 ma długość

Rozwiązanie:

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczmy długość przeciwprostokątnej trójkąta ABC:

`x` - długość przeciwprostokątnej trójkąta ABC

`15^2+20^2=x^2` 

`225+400=x^2` 

`625=x^2 \ |sqrt` 

`x=25 \ "[cm]"` 

 wiemy, że trójkąt DEF jest podobny do trójkąta ABC  w skali 2:1, zatem przeciwprostokątna trójkąta DEF ma długość:

`2*25 \ "cm"=50 \ "cm"` 

Odpowiedź D


Zadanie 17

Dwa boki pewnego trójkąta mają 12 cm i 15 cm.

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F- jeśli jest fałszywe.

1) Obwód trójkąta może być równy 28 cm. F

gdyby obwód tego trójkąta był równy 28 cm to trzeci bok musiałby mieć długość 3 cm, wiemy, że aby z trzech odcinków można była zbudować trójkąt suma każdych dwóch długości odcinków musi być większa od długości trzeciego odcinka, a w tym przypadku  :

`3 \ "cm"+12\ "cm"=15 \ "cm` 

zatem z tych odcinków nie da się zbudować trójkąta)

2) Trzeci bok tego trójkąta może mieć długość 3 cm F

trzeci bok tego trójkąta nie może mieć długości równej 3 cm ponieważ

`3 \ "cm"+12\ "cm"=15 \ "cm"` 

zatem jest to sprzeczne z twierdzeniem, że aby z trzech odcinków można była zbudować trójkąt suma każdych dwóch długości odcinków musi być większa od długości trzeciego odcinka


Zadanie 18

Na rysunku przedstawiono okrąg o środku O oraz kąt środkowy o mierze 280°. Punkty A i B
znajdują się na okręgu. Prosta k jest styczna do okręgu w punkcie B.



Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Miara kąta `alpha`  jest równa

Rozwiązanie:

Obliczmy miarę kąta AOB:

`360^@-280^@=80^@` 

Punkty A i B leżą na okręgu zatem trójkąt AOB jest równoramienny

wiemy, że sum,a kątów wewnętrznych w każdym trójkącie wynosi `180^@` obliczmy miarę kąta AOB:

`(180^@-80^@):2=100^@:2=50^@` 

Prosta k jest styczna do okręgu w punkcie B zatem miara kąta `alpha+50^@` wynosi `90^@` 

obliczmy miarę kąta `alpha` :

`alpha+50^@=90^@` 

`alpha=40^@` 

Odpowiedź B


Zadanie 19

Na przekątnej BD kwadratu ABCD o boku długości 4 zbudowano trójkąt równoboczny BED.



Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Pole trójkąta BED jest równe

Rozwiązanie:


Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczmy długość przekątnej kwadratu ABCD o boku długości 4:

`4^2+4^2=|BD|^2` 

`16+16=|BD|^2` 

`|BD|^2=32 \ \ |sqrt` 

`|BD|=sqrt32` 

`|BD|=4sqrt2` 

 Wiemy, że trójkąt BED  jest równoboczny, zatem jego pole możemy obliczyć korzystając z wzoru:

`P=(a^2sqrt3)/4` (`a` - oznacza długość boku trójkąta równobocznego)

pole trójkąta BED wynosi:

`P=((4sqrt2)^2sqrt3)/4=(16*2*sqrt3)/4=(32sqrt3)/4= 8sqrt3` 

Odpowiedź C


Zadanie 20

Pole podstawy walca jest równe `36pi` , a pole jego powierzchni bocznej jest 3 razy większe niż pole podstawy. 

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wysokość tego walca jest równa

Rozwiązanie:

Pole podstawy walca obliczamy korzystając z następującego wzoru:

`P_p=pi*r^2` (`r` - oznacza długość promienia podstawy walca)

zatem:

`36pi=pir^2 \ \ |:pi` 

`r^2=36 \ \ |sqrt` 

`r=6` 

Pole powierzchni bocznej walca obliczamy korzystając z wzoru:

`P_b=2pirH` (`r` oznacza długość promienia podstawy walca, `H` )

Wiemy, że pole powierzchni bocznej tego walca jest 3 razy większe niż pole podstawy zatem:

`P_b= 3*36pi=108pi` 

obliczmy wysokość tego walca:

`108pi=2pi*6*H \ \ |:pi` 

`108=12H \ \ |:12` 

`H=9` 

Odpowiedź C


Zadanie 21

Do zestawu liczb: 3, 5 i 9 dopisano czwartą liczbę. Mediana otrzymanego w ten sposób zestawu czterech liczb jest większa od mediany początkowego zestawu trzech liczb. Uzasadnij, że dopisana liczba jest większa od 5. 


Rozwiązanie:

3, 5, 9 - zestaw początkowych liczb 

5 - mediana początkowego zestawu liczb (wynik środkowy, jeśli podane liczby ustawione są w porządku rosnącym)


x - czwarta, dopisana liczba 


I przypadek - dopisana liczba jest mniejsza lub równa 3

Otrzymujemy wtedy zestaw liczb: x, 3, 5, 9. 

Zauważmy, że mediana tego zestawu wynosiłaby maksymalnie: `(3+5)/2=8/2=4 \ < \ 5`  .
 
Mediana tego zestawu wynosiłaby mniej niż 5, czyli byłaby mniejsza od mediany początkowego zestawu liczb. 

Oznacza to, że ten przypadek nie przedstawia poszukiwanego rozwiązania. 


II przypadek - dopisana liczba jest większa lub równa 3 i mniejsza lub równa 5  

Otrzymujemy wtedy zestaw liczb: 3, x, 5, 9

Zauważmy, że mediana tego zestawu wynosiłaby minimalnie  `(3+5)/2=8/2=4`  i maksymalnie  `(5+5)/2=10/2=5` . 
 
Mediana tego zestawu byłaby maksymalnie równa 5, czyli nie byłaby większa od mediany początkowego zestawu liczb. 

Oznacza to, że ten przypadek nie przedstawia poszukiwanego rozwiązania. 


III przypadek - dopisana liczba jest większa lub równa 5 i mniejsza lub równa 9 

Otrzymujemy wtedy zestaw liczb: 3, 5, x, 9. 

Zauważmy, że mediana tego zestawu wynosiłaby minimalnie `(5+5)/2=10/2=5`  i maksymalnie  `(5+9)/2=14/2=7`
 
Mediana tego zestawu byłaby większa lub równa 5, czyli byłaby większa lub równa początkowej medianie. 


Jeśli czwarta, dopisana liczba byłaby równa 5, to mediana nowego zestawu liczb wynosiłaby 5. 

Zatem jeśli dopisana liczba byłaby większa od 5, to mediana nowego zestawu liczb byłaby większa od 5.  

 

Zadanie 22

Właściciel sklepu sportowego kupił w hurtowni deskorolki i kaski. Cena hurtowa deskorolki była o 60 zł wyższa niż cena hurtowa kasku. Właściciel sklepu ustalił cenę sprzedaży deskorolki o 20% wyższą od ceny hurtowej, a cenę sprzedaży kasku – o 40% wyższą od ceny hurtowej. Deskorolka i kask łącznie kosztowały w sklepie 397 zł. Oblicz łączny koszt zakupu po cenach hurtowych jednej deskorolki i jednego kasku. Zapisz obliczenia.


Rozwiązanie:

x - cena hurtowa kasku [w zł]

x+60 - cena hurtowa deskorolki [w zł]  (bo była o 60 zł droższa od kasku) 

x+40%x=140%x=1,4x - cena sprzedaży kasku [w zł]  (bo jest o 40% wyższa od ceny hurtowej)

x+60+20%(x+60)=100%(x+60)+20%(x+60)=120%(x+60)=1,2(x+60) - cena sprzedaży deskorolki [w zł]  (bo była o 20% wyższa od ceny hurtowej)


Łączny koszt deskorolki i kasku w sklepie wynosił 397 zł, czyli: 

`1,2(x+60)+1,4x=397` 

`1,2*x+1,2*60+1,4x=397`  

`1,2x+72+1,4x=397`    

`2,6x+72=397 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |-72` 

`2,6x=325 \ \ \ \ \ \ \ \ |:2,6` 

`x=125 \ \ \ ["zł"]`    - cena hurtowa kasku

`x+60=125+60=185 \ \ \ ["zł"]`    - cena hurtowa deskorolki


Obliczamy ile wynosił łączny koszt zakupu kasku i deskorolki po cenach hurtowych. 

`125+185=310 \ \ \ ["zł"]` 


Odpowiedź: Łączny koszt zakupu deskorolki i kasku po cenach hurtowych wynosił 310 zł.  

 

Zadanie 23

Maja zrobiła dwa pudełka w kształcie graniastosłupów prawidłowych czworokątnych o różnych objętościach. Powierzchnię boczną każdego z tych  graniastosłupów wykonała z takich samych prostokątów o wymiarach 28 cm i 12 cm (patrz rysunek). Oblicz różnicę objętości tych graniastosłupów. Zapisz obliczenia.

Rozwiązanie

I graniastosłup - obwód podstawy wynosi 28 cm, wysokość ma długość 12 cm

HI = 12 cm

Obw= 28 cm

a - długość krawędzi podstawy [w cm]

Mamy więc: 

`Obw_I=4a`  

`28=4a \ \ \ \ \ \ \ \ |:4` 

`a=7 \ \ \ ["cm"]` 

Krawędź podstawy tego graniastosłupa ma długość 7 cm. 

Obliczamy ile wynosi pole podstawy tego graniastosłupa: 

`P_(pI)=7*7=49 \ \ \ ["cm"^2]`  

Obliczamy ile wynosi objętość tego graniastosłupa:

`V_I=49*12=588 \ \ \ ["cm"^3]`    


II graniastosłup - obwód podstawy wynosi 12 cm, wysokość ma długość 28 cm

HII = 28 cm

ObwII = 12 cm

b - długość krawędzi podstawy [w cm]

Mamy więc: 

`Obw_(II)=4b`  

`12=4b \ \ \ \ \ \ \ \ |:4` 

`b=3 \ \ \ ["cm"]` 

Krawędź podstawy tego graniastosłupa ma długość 3 cm. 

Obliczamy ile wynosi pole podstawy tego graniastosłupa: 

`P_(pII)=3*3=9 \ \ \ ["cm"^2]`  

Obliczamy ile wynosi objętość tego graniastosłupa:

`V_(II)=9*28=252 \ \ \ ["cm"^3]`    


Obliczamy ile wynosi różnica objętości tych graniastosłupów: 

`V_I-V_(II)=588-252=336 \ \ \ ["cm"^3]`  


Odpowiedź: Różnica objętości tych graniastosłupów wynosi 336 cm3

Spis treści

Rozwiązane zadania