Baza Wiedzy

Graniastosłup prosty

Graniastosłup prosty to graniastosłup, którego ściany boczne są prostopadłe do dwóch identycznych podstaw.

prosty

Każda ściana boczna graniastosłupa prostego jest prostokątem. Krawędzie boczne graniastosłupa prostego mają jednakową długość. Z dowolnego wierzchołka graniastosłupa prostego wychodzą trzy krawędzie. Jedna z nich jest krawędzią boczną, a pozostałe krawędziami podstawy. Krawędź boczna jest prostopadła do każdej z tych dwóch krawędzi podstawy.

Przykłady graniastosłupów prostych:

  • Prostopadłościan

    prostopadloscian
  • Sześcian

    szescian
     

Graniastosłup prawidłowy to graniastosłup, który w podstawie ma wielokąt foremny.
 

  Przypomnienie

Wielokąt foremny to wielokąt, który ma wszystkie kąty wewnętrzne równe i wszystkie boki równej długości, np. kwadrat, trójkąt równoboczny..

Przykład graniastosłupa prawidłowego pięciokątnego:

Graniastosłup prawidłowy pięciokątny

Graniastosłup przyjmuje swoją nazwę od wielokąta, który jest jego podstawą.
 

Wysokość graniastosłupa – to odcinek łączący podstawy graniastosłupa i prostopadły do każdej z nich. W przypadku graniastosłupa prostego wysokością jest po prostu krawędź boczna. Wysokość graniastosłupa oznaczamy literą H.
 

wysokosc-graniastoslupa

 

Pola powierzchni graniastosłupów prostych

Pole powierzchni całkowitej dowolnego graniastosłupa jest sumą pól dwóch jego podstaw i pola powierzchni bocznej.
Pole powierzchni bocznej to suma pól wszystkich ścian bocznych.

$$P_c = 2P_p + P_b$$

$$P_c$$ → pole powierzchni całkowitej
$$P_p$$ → pole podstawy
$$P_b$$ → pole powierzchni bocznej

Pole powierzchni prostopadłościanu możemy policzyć ze wzoru:
$$P_c = 2 (a•b+ a•c+ b•c)$$

Pole powierzchni sześcianu możemy policzyć ze wzoru:
$$P_c = 6a^2$$

 

Objętość graniastosłupa

Objętość graniastosłupa prostego obliczamy mnożąc pole jego podstawy przez wysokość.

$$V = P_p × H$$

$$V$$ → objętość graniastosłupa
$$P_p$$ → pole podstawy
$$H$$ → długość wysokości graniastosłupa

Objętość prostopadłościanu możemy policzyć ze wzoru:
$$V =a•b•c$$

Objętość sześcianu możemy policzyć ze wzoru:
$$V = a^3$$
 

  Uwaga

Do określania objętości cieczy używamy dwóch podstawowych jednostek: litrów oraz mililitrów.

$$1 cm^3$$ nazywamy mililitrem; $$1 ml = 1 cm^3$$
$$1 dm^3$$ nazywamy litrem; $$1 l = 1 dm^3$$

Ostrosłup - pole powierzchni oraz objętość

  Zobacz w programie GeoGebra

Ostrosłup to bryła (figura przestrzenna), mająca w podstawie dowolny wielokąt, a ściany boczne są trójkątami o wspólnym wierzchołku, który nosi nazwę wierzchołka ostrosłupa.

Objętość ostrosłupa
 

Ostrosłup, tak jak graniastosłup, przyjmuje swoją nazwę od wielokąta, który jest jego podstawą. Ostrosłup prawidłowy to taki ostrosłup, który ma w podstawie wielokąt foremny, a krawędzie boczne są jednakowej długości. Ściany boczne ostrosłupa prawidłowego są identycznymi trójkątami równoramiennymi. Wysokość ostrosłupa H jest to odległość od wierzchołka do płaszczyzny podstawy.

Ostrosłup, którego wszystkie ściany są trójkątami równobocznymi nazywamy czworościanem foremnym.
 

prawidlowy

  Ciekawostka

Piramida Cheopsa jest największym na świecie ostrosłupem prawidłowym czworokątnym. Ma 146m wysokości, a krawędź jej podstawy wynosi 230m. Na zbudowanie tej piramidy zużyto 2 300 000 bloków granitowych o ciężarze od 2,5 t do 15t. Gdyby z tego materiału zbudować mur o wysokości 3m i grubości 25cm to opasałby on całą Polskę.

Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa

Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa jest sumą pola jego podstawy i pola powierzchni bocznej. Pole powierzchni bocznej ostrosłupa to suma pól ścian bocznych tego ostrosłupa.

$$P_c = P_p + P_b$$

$$P_c$$ → pole powierzchni całkowitej
$$P_p$$ → pole podstawy
$$P_b$$ → pole powierzchni bocznej
 

Objętość ostrosłupa

Wzór na objętość ostrosłupa:
$$V = 1/3 P_p H$$

V → objętość ostrosłupa
$$P_p$$ → pole podstawy
H → wysokość
 

Walec, stożek, kula

  1. Walec

    Walec powstaje w wyniku obrotu prostokąta dookoła prostej zwanej osią obrotu.

      Zobacz w programie GeoGebra

    Walec
  2. Stożek

    Stożek powstaje w wyniku obrotu trójkąta wokół osi obrotu, stanowiącej jego wysokość.

      Zobacz w programie GeoGebra

    Stożek
  3. Kula

    Kula powstaje w wyniku obrotu półkola dookoła prostej zawierającej średnicę tego półkola. Pole powierzchni kuli nazywane jest sferą.

      Zobacz w programie GeoGebra
    Kula
 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Napisz, jak nazywamy graniastosłup, który w podstawie ma:

  1. trójkąt równoboczny
  2. kwadrat
  3. pięciokąt
  1. graniastosłup prawidłowy trójkątny
  2. graniastosłup prawidłowy czworokątny
  3. graniastosłup pięciokątny

Zadanie 2.

Suma długości krawędzi graniastosłupa prawidłowego czworokątnego wynosi 108 cm. Wszystkie jego krawędzie mają równe długości. Podaj inną nazwę tego graniastosłupa i oblicz długość jednej krawędzi.

wszystkie krawędzie równej długości, w podstawie kwadraty -> jest to sześcian

12 -> ilość wszystkich krawędzi

x -> długość jednej krawędzi

$$ 12x=108 cm $$ | $$÷12$$

$$ x=9 cm $$

Odp.: Inna nazwa tego graniastosłupa to sześcian. Długość jednej krawędzi wynosi 9 cm.

Zadanie 3.

Oblicz pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy $$a=5 cm$$ i wysokości $$H=8 cm$$.

2 podstawy -> $$P_p=2×a^2$$ -> $$P_p=2×25=50 cm^2$$

4 ściany boczne -> $$P_b=4×a×H=4×40=160 cm^2$$

$$P_c=160+50=210 cm^2$$

Odp.: Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa wynosi $$210 cm^2$$.

Zadanie 4.

Graniastosłup prawidłowy trójkątny ma objętość równą objętości sześcianu o krawędzi 4 cm. Podaj pole podstawy tego graniastosłupa, jeżeli jego wysokość ma długość 2 cm.

$$ V=a^3=4^3=64 cm^3$$

$$V=P_p×H$$

$$64=P_p×2$$ -> $$P_p=32 cm^2$$

Odp.: Pole podstawy tego graniastosłupa jest równe $$32 cm^2$$.

Zadanie 5.

Ile ścian ma ostrosłup, który w podstawie ma dziesięciokąt?

dziesięciokąt -> dziesięć ścian bocznych

$$10+1=11$$ -> w sumie 11 ścian

Odp.: Ten ostrosłup ma w sumie 11 ścian.

Zadanie 6.

Suma długości wszystkich krawędzi czworościanu foremnego jest równa 84 cm. Jaką długość ma jedna krawędź?

6 -> ilość wszystkich krawędzi w czworościanie foremnym

x -> długość jednej krawędzi

$$ 6x=84 cm $$ |$$÷6$$

$$ x=14 cm $$

Odp.: Jedna krawędź tego czworościanu ma długość $$ 14 cm $$.