Wyrażenia algebraiczne - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Wyrażenia algebraiczne - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Wyrażenia algebraiczne

Wyrażenia algebraiczne to wyrażenia składające się z liczb, liter, znaków działań i nawiasów.

Przykłady:

  • `x+5` 

  • `x^2-y^2` 

  • `2+a` 

  • `3x-5y` 

  • `y^2` 

  • `1/2ah` 

  • `-3/4` 


Uwaga!

Wyrażenie `3*x` możemy zapisać prościej jako `3x`.

Wyrażenie `3*(m+n)` możemy zapisać prościej jako `3(m+n)` .


Uwaga!!

Jeśli w danym wyrażeniu po kropce oznaczającej znak mnożenia występuje liczba NIE WOLNO pominąć kropki. 

Wyrażenia  `3+x*5`  nie można zapisać jako `strike(3+x5)` . 

Wyrażenia `(3m+n)*7` nie można zapisać jako  `strike((3m+n)7)` . 


Przykładowe wyrażenia algebraiczne i sposób ich odczytywania.      

Wyrażenie algebraiczne (zapis) Nazwa (sposób odczytywania)
`3+b`  suma liczb 3 i b
`a+b`  suma liczb a i b
`a-b`  różnica liczb a i b
`x*y`  iloczyn liczb x i y
`m:2`  iloraz liczby m i 2 (iloraz liczby m przez 2)
`2y`  podwojona liczba y,
liczba dwa razy większa od y,
iloczyn liczb 2 i y
`3b`  potrojona liczba b,
liczba trzy razy większa od b,
iloczyn liczb 3 i b
`1/2a`  połowa liczby a
`1/3x`  trzecia część liczby x
`x^2`  kwadrat liczby x
`y^3`  sześcian liczby y
`-2xy`  iloczyn liczb -2, x i y
`x-12`  różnica liczb x i 12, 
liczba o 12 mniejsza od x

 

Wartości liczbowe wyrażeń algebraicznych

Aby obliczyć wartość liczbową wyrażenia algebraicznego należy w miejsce liter podstawić odpowiednie liczby.


Przykład:

Oblicz wartość liczbową wyrażenia `2y+3y^2-10 \ \ \ "dla" \ \ \ y=2` . 

W miejsce `y` wstawiamy 2.  

`2*2+3*2^2-10=4+3*4-10=4+12-10=16-10=6` 

Wartość wyrażenia `2y+3y^2-10 \ \ \ "dla" \ \ \ y=2`  wynosi 6. 

Jednomiany

W wyrażeniach algebraicznych poszczególne elementy, czyli pojedyncze litery, liczby lub iloczyny liczb i liter nazywamy jednomianami.

Przykłady jednomianów: 

`-7b, \ \ 4bk, \ \ 10z, \ \ 5t^2,  \ \ x, \ \ -5`   


Liczbę występującą w danym jednomianie nazywamy współczynnikiem liczbowym jednomianu.

Przykłady:

  • `13k^3 \ \ \ -> \ \ \ "współczynnik liczbowy: 13"` 

  • `-4xyz \ \ \ -> \ \ \ "współczynnik liczbowy: -4"`   

W celu przedstawienia wyrażenia algebraicznego w sposób bardziej przejrzysty należy uporządkować go, czyli doprowadzić do najprostszej postaci.

Pamiętaj aby w każdym z jednomianów najpierw stała liczba a następnie litera lub litery w kolejności alfabetycznej!

Przykłady:

  • `1/4*16x*x*3y=ul(1/4)*ul(16)*ul(ul(x))*ul(ul(x))*ul(3)*y=12*x^2*y=12x^2y`      

  • `(-15k)*(-3p)=ul((-15))*ul(ul(k))*ul((-3))*p=45*k*p=45kp`    

Sumy algebraiczne

Wyrażenie algebraiczne powstałe po dodaniu jednomianów nazywamy sumą algebraiczną.

Dodawane jednomiany noszą nazwę wyrazów sumy. Sumę algebraiczną możemy nazwać także wielomianem.


Przykłady sum algebraicznych:

  • `8k-5l-10q` 

  • `67r+(-9p)-3` 
     


Jeżeli podczas dodawania lub odejmowania jednomianów spotkamy się z jednomianami różniącymi się tylko współczynnikiem liczbowym lub kolejnością czynników wówczas mówimy, że jednomiany są podobne.

Dodawanie i odejmowanie tych jednomianów nazywamy redukcją wyrazów podobnych.


Przykłady jednomianów podobnych:

  • `4xy^2 \ "i" \ 16y^2x` 

  • `14nm \ "i" \ (-16)mn` 

  • `3k \ "i" \ 8k`   


Przykłady redukcji wyrazów podobnych:

  • `4xy-9xy=(-5)xy` 

  • `8y^2+19y^2=27y^2`  

Redukcja wyrazów podobnych

Jednomiany podobne to wyrazy sumy algebraicznej (sumy jednomianów) różniące się tylko współczynnikiem liczbowym.


Redukcja wyrazów podobnych
polega na dodaniu wyrazów podobnych.


Przykłady redukcji wyrazów podobnych:

  • `ul(2xy)+ul(ul(6z))-ul(10xy)+ul(ul(z))-k=-8xy+7z-k`  

    Jednomiany podobne to: 2xy i -10xy oraz 6z i z. 

  • `ul(8x)+ul(ul(2y))+ul(ul(ul(9x^2)))+7-ul(x)-ul(ul(3y))-ul(ul(ul(x^2)))=8x^2+7x-y+7` 

    Jednomiany podobne to: 9x2 i -x2, 8x i -x, 2y i -3y    

Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych

Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych to nic innego jak opuszczanie nawiasów i porządkowanie otrzymanego wyrażenia algebraicznego.

Przykłady:

  • `(x-y)+(4x-2y)=ul(x)-ul(ul(y))+ul(4x)-ul(ul(2y))=5x-3y`  

  • `7k-9m+(11m-4k)=ul(7k)-ul(ul(9m))+ul(ul(11m))-ul(4k)=3k+2m` 


Uwaga - ważna zasada!!!

Jeśli w sumie algebraicznej przed nawiasem znajduje się znak minus, to opuszczając nawias należy znaki wszystkich wyrazów z nawiasu zmienić na przeciwne. 

Przykłady:

  • `9l-10k-(11l+7k-11t)=ul(9l)-ul(ul(10k))-ul(11l)-ul(ul(7k))+11t=-2l-17k+11t`    

  • `8+2k-(6k+5m)=8+ul(2k)-ul(6k)-5m=8-4k-5m`  

Mnożenie jednomianów przez sumy algebraiczne

Mnożenie jednomianów przez sumy algebraiczne polega na pomnożeniu jednomianu przez każdy wyraz sumy.


Przykłady:

  • `9a(4c+9b)=9a*4c+9a*9b=36ac+81ab`  

  • `(a-bc)*5xy=a*5xy-bc*5xy=5axy-5bcxy`  

Mnożenie sum algebraicznych

Mnożenie sum algebraicznych jest bardzo podobne do mnożenia jednomianu przez sumę algebraiczną.

Wystarczy tylko pomnożyć każdy jednomian z pierwszej sumy przez wszystkie jednomiany z drugiej sumy i je dodać.

`(m+n)(k+l)=m(k+l)+n(k+l)=mk+ml+nk+nl` 


Schemat mnożenia sum algebraicznych: 


Przykłady:

  • `(3k-1)(2+t)=3k*2+3k*t+(-1)*2+(-1)*t=6k+3kt-2-t` 

  • `(6l-7b)(9r+4q)=6l*9r+6l*4q+(-7b)*(9r)+(-7b)*4q=54lr+24lq-63br-28bq`     

Wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias

Mnożenie jednomianów i sum algebraicznych prowadziło do powstania sumy algebraicznej.

Czasami warto wykonać odwrotną operację czyli zamienić sumę algebraiczną na iloczyn jednomianu i krótszej sumy algebraicznej. Taką operację nazywamy wyłączaniem czynnika przed nawias.


Jak to zrobić? 

Mamy sumę:  `8xy+2x+9kx+17x` 

  1. Z każdego wyrazu sumy wybieramy powtarzający się element. W podanym przykładzie będzie to: `x` . 

    `8ul(x)y+2ul(x)+9kul(x)+17ul(x)`  

  2. Wyciągamy powtarzający się element przed nawias tak, by po pomnożeniu otrzymać początkową sumę algebraiczną.
    Z pozostałych elementów każdego jednomianu tworzymy sumę algebraiczną. 

    `x(8y+2+9k+17)`  


Przykłady:

  • `9x-3y+18k=ul(3)*3x+ul(3)*(-y)+ul(3)*6k=ul(3)(3x-y+6k)`  

  • `5kl+10xk-20qk=ul(5k)*l+ul(5k)*2x+ul(5k)*(-4q)=ul(5k)(l+2x-4q)`  

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Michał ma n lat. Dwie siostry Michała są od niego młodsze: Ania o 3 lata, a Beata o 5 lat. Tata Michała jest od niego starszy o 30 lat, a mama o 28. Zapisz w postaci wyrażeń algebraicznych wiek sióstr i rodziców.

Ania: n-3

Beata: n-5

Tata: n+30

Mama: n+28
 

Zadanie 2.

Oblicz wartość poniższych wyrażeń dla $x=3$.

  1. $ 2x+5 $
  2. $ 2(x+5) $
  3. $ x(2+5) $
  1. $ 2x+5=2×3+5=6+5=11 $
  2. $ 2(x+5)=2(3+5)=2×8=16 $
  3. $ x(2+5)=3(2+5)=3×7=21 $

Zadanie 3.

Uporządkuj jednomiany:

  1. baba
  2. baca
  3. lelek
  4. jajo
  1. $ a^2 b^2 $
  2. $ a^2 bc $
  3. $ e^2 kl^2 $
  4. $ aj^2 o $

Zadanie 4.

Marcin ma x złotych, Jacek o 5 złotych więcej, a Olek trzy razy więcej niż Marcin. Ile pieniędzy mają w sumie?

Marcin -> $x$

Jacek -> $x+5$

Olek -> $3x$

$ x+(x+5)+3x=x+x+5+3x=5x+5$

Odp.: W sumie chłopcy mają $5x+5$ zł.

Zadanie 5.

Przekształć do postaci sumy algebraicznej wyrażenie:

  1. $ 2(a+b) $
  2. $ 3(x+2y-6) $
  3. $ -2(x+4-y+z) $
  1. $ 2(a+b)=2a+2b $
  2. $ 3(x+2y-6)=3x+6y-18 $
  3. $ -2(x+4-y+z)=-2x-8+2y-2z$

Zadanie 6.

Wyłącz wspólny czynnik przed nawias:

  1. $ 5a+10b-15c $
  2. $ 12x+5xy+8x^2 $
  3. $ -3k-6k^2-18klm $
  1. $ 5a+10b-15c=5(a+2b-3c) $
  2. $ 12x+5xy+8x^2=x(12+5y+8x) $
  3. $ -3k-6k^2-18klm=-3k(1+2k+6lm) $

Spis treści

Rozwiązane zadania
W graniastosłupie prawidłowym ...

Podstawą graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat. 

Przekątna tego kwadratu ma długość 8√2 cm. Obliczamy ile wynosi długość boku tego kwadratu, czyli długość krawędzi podstawy (a). {premium}

 

 

Krawędź podstawy graniastosłupa ma długość 8 cm. 


Obliczamy ile wynosi pole podstawy. 

 


Krawędź boczna, czyli wysokość graniastosłupa, ma długość 17 cm.

  


Ściany boczne są prostokątami o wymiarach 8 cm i 17 cm. Graniastosłup ten ma 4 ściany boczne. 

Obliczamy ile wynosi pole powierzchni bocznej. 

 


Obliczamy ile wynosi pole powierzchni całkowitej. 

 


Obliczamy ile wynosi objętość graniastosłupa. 

 

Zapisz największą liczbę za pomocą:

{premium}

Trójkąt równoboczny ma taki sam obwód ...

Kwadrat to czworokąt, który ma wszystkie boki równej długości.  

Obliczmy obwód kwadratu o boku 3x+1,5y: {premium}

 

 

Obliczmy długość boku trójkąta równobocznego o obwodzie długości 12x+6y.

Trójkąt równoboczny ma wszystkie boki równej długości, zatem jeden bok ma długość:

 

 

Odp. Długość boku trójkąta równobocznego to 4x+2y.

 

Zapisano liczby: ...

Zauważmy, że:

               {premium}

 

 

Łatwo zauważyć, że należy dodać   do liczby   aby otrzymać liczbę  

Odp. A

Na rysunku przedstawiono trzy trójkąty.

Treść:

Na rysunku przedstawiono trzy trójkąty.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. 


Na podstawie informacji przedstawionych na rysunku można stwierdzić, że

A. trójkąt ABC jest przystający do trójkąta KLM

B. trójkąt KLM jest przystający do trójkąta PQR

C. trójkąt PQR jest przystający do trójkąta ABC

D. wszystkie trójkąty są do siebie przystające

 



Rozwiązanie
:

Obliczmy najpierw ile wynosi miara trzeciego kąta w każdym z tych trójkątów. 

 

  

 

 

Przeanalizujmy każdą z odpowiedzi. {premium}

A.
W trójkącie ABC przy boku długości 7 leżą kąty o miarach 59o i 76o

W trójkącie KLM przy boku długości 7 leżą kąty o miarach 55o i 76o

Oznacza to, że trójkąty te nie są przystające (przy boku długości 7 nie leżą kąty o równych miarach).  


B. W trójkącie KLM przy boku długości 7 leżą kąty o miarach 55o i 76o

W trójkącie PQR przy boku długości 7 leżą kąty o miarach 55o i 76o

Oznacza to, że trójkąty te są przystające (przy boku długości 7 leżą kąty o równych miarach).  


C. W trójkącie PQR przy boku długości 7 leżą kąty o miarach 55o i 76o

W trójkącie ABC przy boku długości 7 leżą kąty o miarach 59o i 76o

Oznacza to, że trójkąty te nie są przystające (przy boku długości 7 nie leżą kąty o równych miarach).  


D. Trójkąt ABC nie jest przystający do trójkąta KLM, więc wszystkie trójkąty nie są do siebie przystające. 

 



Odpowiedź:

B. 

W szkole Adama w gazetce szkolnej ...

Treść:

W szkole Adama w gazetce szkolnej ukazał się artykuł, dotyczący wyboru przez ósmoklasistów szkoły ponadpodstawowej. 

Poniżej zapisano trzy prawdziwe informacje. 

I. Ankietę oddało łącznie 150 uczniów. 

II. W ankiecie wzięli udział wszyscy uczniowie klas ósmych. 

III. Łącznie mniej niż połowa uczniów biorących udział w ankiecie zamierza kontynuować naukę w technikum lub w branżowej szkole. 

Które z informacji- I, II, III - wynikają z analizy danych zamieszczonych w treści artykułu ? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. 

A. Tylko I i II. 

B. Tylko I i III. 

C. Tylko II i III. 

D. Wszystkie- I, II i III.  


Rozwiązanie:

Ad. I. 

Oznaczmy przez x liczbę uczniów biorących udział w ankiecie. 

Korzystając z danych przedstawionych na diagramie, obliczmy jak procent uczniów nie wie w jakiej szkole ponadpodstawowej będzie kontynuować naukę:{premium}

Wiadomo, że 6 uczniów nie zdecydowało się na typ szkoły ponadpodstawowej, skąd dostajemy  

    

czyli ankietę oddało łącznie 150 uczniów. 

Ta informacja wynika z danych w tabeli. 


Ad. II 

W artykule nie ma podanej informacji, czy wszyscy uczniowie klas ósmych wzięli udział w ankiecie. 


Ad. III. 

Korzystając z danych na diagramie obliczmy jaki procent uczniów (biorących udział w ankiecie) zamierza kontynuować naukę w technikum lub w szkole branżowej:

czyli mniej niż połowa uczniów (biorących udział w ankiecie) zamierza kontynuować naukę w technikum lub w szkole branżowej. 

Ta informacja wynika z danych w tabeli. 

 

Odp. Poprawna odpowiedź to B. 

Wykres przedstawia, ile kilometrów autostrad...

a) Obliczamy, ile kilometrów autostrad przybywało w kolejnych latach.

W latach  przybyło   

W latach  przybyły   

W latach  przybyło   

W latach  {premium}  przybyło   

W latach  ubyło   

W latach  przybyło   

W latach  przybyło   

W latach  przybyło   

W latach  przybyły   

W latach  przybyły   

W latach  przybyło   

W latach  przybyło   

W latach  przybyło   

Nanosimy wartości na wykres:


b) W luki należy wpisać kolejno: 

 

  

   

 

Obliczenia do ostatniej luki:

Obliczamy, ile kilometrów autostrad przybyło w latach 1997 - 2015:

 

Obliczamy średnią długość zbudowanych autostrad w latach 1997 - 2015:

 

Obliczamy, o ile wzrosła średnia:

 

W ostatniej luce należy wpisać 26,2.

a) Podaj liczbę przeciwną do liczby ...

a) Liczba przeciwna do liczby    to   . 

Aby znaleźć odwrotność liczby   zapiszmy najpierw tę liczbę w postaci ułamka niewłaściwego. 

 

{premium}

Odwrotność liczby  wynosi  .



b) Podany ułamek skracamy, czyli licznik i mianownik dzielimy przez tę samą liczbę. Następnie zapisujemy go w postaci liczby mieszanej. 

 



c) Aby znaleźć rozwinięcia dziesiętne należy tak rozszerzyć ułamki, aby ich mianowniki wynosiły 10, 100, 1000, itd.

Jeśli nie jest to możliwe licznik dzielimy przez mianownik (kreska ułamkowa zastępuje znak dzielenia). 

   

Wskazówka minutowa zegara...

Obliczmy długość obwodu tarczy tego zegara przyjmując, że:    {premium}

 

 


 

 

Lekcja trwa 45 minut, zatem koniec dłuższej wskazówki tego zegara pokona drogę równą 3/4 długości obwodu tarczy zegara

ponieważ:

 

 


Odp.: Koniec tej wskazówki pokona w czasie jednej lekcji drogę ok. 38 m.

Obwód trapezu równoramiennego...

Długość dłuższej podstawy trapezu równoramiennego:  

Długość krótszej podstawy trapezu:  

Długość ramiona tego trapezu:  

Wiemy, że obwód stanowi  z , czyli:{premium}

 

Z tego wynika, że długość ramion wynosi:

 

 

 

 

 

 

Odpowiedź: Długości ramion tego trapezu wynoszą po .