Wyrażenia algebraiczne - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Wyrażenia algebraiczne

Wyrażenia algebraiczne to wyrażenia składające się z liczb, liter, znaków działań i nawiasów.

Przykłady:

  • `x+5` 

  • `x^2-y^2` 

  • `2+a` 

  • `3x-5y` 

  • `y^2` 

  • `1/2ah` 

  • `-3/4` 


Uwaga!

Wyrażenie `3*x` możemy zapisać prościej jako `3x`.

Wyrażenie `3*(m+n)` możemy zapisać prościej jako `3(m+n)` .


Uwaga!!

Jeśli w danym wyrażeniu po kropce oznaczającej znak mnożenia występuje liczba NIE WOLNO pominąć kropki. 

Wyrażenia  `3+x*5`  nie można zapisać jako `strike(3+x5)` . 

Wyrażenia `(3m+n)*7` nie można zapisać jako  `strike((3m+n)7)` . 


Przykładowe wyrażenia algebraiczne i sposób ich odczytywania.      

Wyrażenie algebraiczne (zapis) Nazwa (sposób odczytywania)
`3+b`  suma liczb 3 i b
`a+b`  suma liczb a i b
`a-b`  różnica liczb a i b
`x*y`  iloczyn liczb x i y
`m:2`  iloraz liczby m i 2 (iloraz liczby m przez 2)
`2y`  podwojona liczba y,
liczba dwa razy większa od y,
iloczyn liczb 2 i y
`3b`  potrojona liczba b,
liczba trzy razy większa od b,
iloczyn liczb 3 i b
`1/2a`  połowa liczby a
`1/3x`  trzecia część liczby x
`x^2`  kwadrat liczby x
`y^3`  sześcian liczby y
`-2xy`  iloczyn liczb -2, x i y
`x-12`  różnica liczb x i 12, 
liczba o 12 mniejsza od x

 

Wartości liczbowe wyrażeń algebraicznych

Aby obliczyć wartość liczbową wyrażenia algebraicznego należy w miejsce liter podstawić odpowiednie liczby.


Przykład:

Oblicz wartość liczbową wyrażenia `2y+3y^2-10 \ \ \ "dla" \ \ \ y=2` . 

W miejsce `y` wstawiamy 2.  

`2*2+3*2^2-10=4+3*4-10=4+12-10=16-10=6` 

Wartość wyrażenia `2y+3y^2-10 \ \ \ "dla" \ \ \ y=2`  wynosi 6. 

Jednomiany

W wyrażeniach algebraicznych poszczególne elementy, czyli pojedyncze litery, liczby lub iloczyny liczb i liter nazywamy jednomianami.

Przykłady jednomianów: 

`-7b, \ \ 4bk, \ \ 10z, \ \ 5t^2,  \ \ x, \ \ -5`   


Liczbę występującą w danym jednomianie nazywamy współczynnikiem liczbowym jednomianu.

Przykłady:

  • `13k^3 \ \ \ -> \ \ \ "współczynnik liczbowy: 13"` 

  • `-4xyz \ \ \ -> \ \ \ "współczynnik liczbowy: -4"`   

W celu przedstawienia wyrażenia algebraicznego w sposób bardziej przejrzysty należy uporządkować go, czyli doprowadzić do najprostszej postaci.

Pamiętaj aby w każdym z jednomianów najpierw stała liczba a następnie litera lub litery w kolejności alfabetycznej!

Przykłady:

  • `1/4*16x*x*3y=ul(1/4)*ul(16)*ul(ul(x))*ul(ul(x))*ul(3)*y=12*x^2*y=12x^2y`      

  • `(-15k)*(-3p)=ul((-15))*ul(ul(k))*ul((-3))*p=45*k*p=45kp`    

Sumy algebraiczne

Wyrażenie algebraiczne powstałe po dodaniu jednomianów nazywamy sumą algebraiczną.

Dodawane jednomiany noszą nazwę wyrazów sumy. Sumę algebraiczną możemy nazwać także wielomianem.


Przykłady sum algebraicznych:

  • `8k-5l-10q` 

  • `67r+(-9p)-3` 
     


Jeżeli podczas dodawania lub odejmowania jednomianów spotkamy się z jednomianami różniącymi się tylko współczynnikiem liczbowym lub kolejnością czynników wówczas mówimy, że jednomiany są podobne.

Dodawanie i odejmowanie tych jednomianów nazywamy redukcją wyrazów podobnych.


Przykłady jednomianów podobnych:

  • `4xy^2 \ "i" \ 16y^2x` 

  • `14nm \ "i" \ (-16)mn` 

  • `3k \ "i" \ 8k`   


Przykłady redukcji wyrazów podobnych:

  • `4xy-9xy=(-5)xy` 

  • `8y^2+19y^2=27y^2`  

Redukcja wyrazów podobnych

Jednomiany podobne to wyrazy sumy algebraicznej (sumy jednomianów) różniące się tylko współczynnikiem liczbowym.


Redukcja wyrazów podobnych
polega na dodaniu wyrazów podobnych.


Przykłady redukcji wyrazów podobnych:

  • `ul(2xy)+ul(ul(6z))-ul(10xy)+ul(ul(z))-k=-8xy+7z-k`  

    Jednomiany podobne to: 2xy i -10xy oraz 6z i z. 

  • `ul(8x)+ul(ul(2y))+ul(ul(ul(9x^2)))+7-ul(x)-ul(ul(3y))-ul(ul(ul(x^2)))=8x^2+7x-y+7` 

    Jednomiany podobne to: 9x2 i -x2, 8x i -x, 2y i -3y    

Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych

Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych to nic innego jak opuszczanie nawiasów i porządkowanie otrzymanego wyrażenia algebraicznego.

Przykłady:

  • `(x-y)+(4x-2y)=ul(x)-ul(ul(y))+ul(4x)-ul(ul(2y))=5x-3y`  

  • `7k-9m+(11m-4k)=ul(7k)-ul(ul(9m))+ul(ul(11m))-ul(4k)=3k+2m` 


Uwaga - ważna zasada!!!

Jeśli w sumie algebraicznej przed nawiasem znajduje się znak minus, to opuszczając nawias należy znaki wszystkich wyrazów z nawiasu zmienić na przeciwne. 

Przykłady:

  • `9l-10k-(11l+7k-11t)=ul(9l)-ul(ul(10k))-ul(11l)-ul(ul(7k))+11t=-2l-17k+11t`    

  • `8+2k-(6k+5m)=8+ul(2k)-ul(6k)-5m=8-4k-5m`  

Mnożenie jednomianów przez sumy algebraiczne

Mnożenie jednomianów przez sumy algebraiczne polega na pomnożeniu jednomianu przez każdy wyraz sumy.


Przykłady:

  • `9a(4c+9b)=9a*4c+9a*9b=36ac+81ab`  

  • `(a-bc)*5xy=a*5xy-bc*5xy=5axy-5bcxy`  

Mnożenie sum algebraicznych

Mnożenie sum algebraicznych jest bardzo podobne do mnożenia jednomianu przez sumę algebraiczną.

Wystarczy tylko pomnożyć każdy jednomian z pierwszej sumy przez wszystkie jednomiany z drugiej sumy i je dodać.

`(m+n)(k+l)=m(k+l)+n(k+l)=mk+ml+nk+nl` 


Schemat mnożenia sum algebraicznych: 


Przykłady:

  • `(3k-1)(2+t)=3k*2+3k*t+(-1)*2+(-1)*t=6k+3kt-2-t` 

  • `(6l-7b)(9r+4q)=6l*9r+6l*4q+(-7b)*(9r)+(-7b)*4q=54lr+24lq-63br-28bq`     

Wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias

Mnożenie jednomianów i sum algebraicznych prowadziło do powstania sumy algebraicznej.

Czasami warto wykonać odwrotną operację czyli zamienić sumę algebraiczną na iloczyn jednomianu i krótszej sumy algebraicznej. Taką operację nazywamy wyłączaniem czynnika przed nawias.


Jak to zrobić? 

Mamy sumę:  `8xy+2x+9kx+17x` 

  1. Z każdego wyrazu sumy wybieramy powtarzający się element. W podanym przykładzie będzie to: `x` . 

    `8ul(x)y+2ul(x)+9kul(x)+17ul(x)`  

  2. Wyciągamy powtarzający się element przed nawias tak, by po pomnożeniu otrzymać początkową sumę algebraiczną.
    Z pozostałych elementów każdego jednomianu tworzymy sumę algebraiczną. 

    `x(8y+2+9k+17)`  


Przykłady:

  • `9x-3y+18k=ul(3)*3x+ul(3)*(-y)+ul(3)*6k=ul(3)(3x-y+6k)`  

  • `5kl+10xk-20qk=ul(5k)*l+ul(5k)*2x+ul(5k)*(-4q)=ul(5k)(l+2x-4q)`  

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Michał ma n lat. Dwie siostry Michała są od niego młodsze: Ania o 3 lata, a Beata o 5 lat. Tata Michała jest od niego starszy o 30 lat, a mama o 28. Zapisz w postaci wyrażeń algebraicznych wiek sióstr i rodziców.

Ania: n-3

Beata: n-5

Tata: n+30

Mama: n+28
 

Zadanie 2.

Oblicz wartość poniższych wyrażeń dla $$x=3$$.

  1. $$ 2x+5 $$
  2. $$ 2(x+5) $$
  3. $$ x(2+5) $$
  1. $$ 2x+5=2×3+5=6+5=11 $$
  2. $$ 2(x+5)=2(3+5)=2×8=16 $$
  3. $$ x(2+5)=3(2+5)=3×7=21 $$

Zadanie 3.

Uporządkuj jednomiany:

  1. baba
  2. baca
  3. lelek
  4. jajo
  1. $$ a^2 b^2 $$
  2. $$ a^2 bc $$
  3. $$ e^2 kl^2 $$
  4. $$ aj^2 o $$

Zadanie 4.

Marcin ma x złotych, Jacek o 5 złotych więcej, a Olek trzy razy więcej niż Marcin. Ile pieniędzy mają w sumie?

Marcin -> $$x$$

Jacek -> $$x+5$$

Olek -> $$3x$$

$$ x+(x+5)+3x=x+x+5+3x=5x+5$$

Odp.: W sumie chłopcy mają $$5x+5$$ zł.

Zadanie 5.

Przekształć do postaci sumy algebraicznej wyrażenie:

  1. $$ 2(a+b) $$
  2. $$ 3(x+2y-6) $$
  3. $$ -2(x+4-y+z) $$
  1. $$ 2(a+b)=2a+2b $$
  2. $$ 3(x+2y-6)=3x+6y-18 $$
  3. $$ -2(x+4-y+z)=-2x-8+2y-2z$$

Zadanie 6.

Wyłącz wspólny czynnik przed nawias:

  1. $$ 5a+10b-15c $$
  2. $$ 12x+5xy+8x^2 $$
  3. $$ -3k-6k^2-18klm $$
  1. $$ 5a+10b-15c=5(a+2b-3c) $$
  2. $$ 12x+5xy+8x^2=x(12+5y+8x) $$
  3. $$ -3k-6k^2-18klm=-3k(1+2k+6lm) $$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Liczbę 11 podziel...

Niech pewna część liczby  wynosi .  Wówczas druga{premium}część tej liczby będzie wynosiła . Wiemy, że iloraz tych części ma wynosić . Wówczas:

 

 

Odpowiedź:  

W ośmiokącie foremnym poprowadź:

a) w ośmiokącie ABCDEFGH prowadzimy przekątne AF oraz BE.
rysunek:{premium}

 

b)  w ośmiokącie ABCDEFGH prowadzimy przekątne AC, CE, EG oraz GA.

Na ile sposobów można otrzymać stożek ...

Stożek powstały przez obrót trójkąta prostokątnego można otrzymać na {premium}dwa sposoby.

 

Warunek  rozbijamy na dwa przypadki.

 

I przypadek:  

1. Stożek powstaje w wyniku obrotu trójkąta prostokątnego wokół osi zawierającej przyprostokątną .

Thumb str. 121   7

2. Stożek powstaje w wyniku obrotu trójkąta prostokątnego wokół osi zawierającej przyprostokątną .

Thumb str. 121   7...

 

II przypadek:  

1. Stożek powstaje w wyniku obrotu trójkąta prostokątnego wokół osi zawierającej przyprostokątną .

Thumb str. 121   7.

2. Stożek powstaje w wyniku obrotu trójkąta prostokątnego wokół osi zawierającej przyprostokątną .

Thumb str. 121   7..

Wykonaj odpowiednie pomiary na rysunkach ...

a) 

Thumb str. 112   3a

 

 

 {premium}


b)

Thumb str. 112   3b

 

 

 


c)

Thumb str. 112   3c

 

 

 

Ile osi symetrii mają gwiazdki ...

{premium}

Na rysunku przedstawiono graniastosłup ...

a) 

podglad pliku{premium}


b)     - krawędź podstawy

 - krawędź podstawy

 - krótsza przekątna podstawy

 - dłuższa przekątna podstawy

 - krótsza przekątna podstawy

 - dłuższa przekątna podstawy

 - krawędź boczna


c)                

           

Oceń prawdziwość każdego zdania ...

FAŁSZ, ponieważ

pole powierzchni całkowitej czworościanu foremnego to suma pól czterech równobocznych trójkątów.

Zanim obliczymy pole jednego takiego trójkąta, musimy wyznaczyć wysokość ściany bocznej - oznaczamy ją przez .{premium}

Wysokość trójkąta równobocznego o boku długości  możemy obliczyć ze wzoru:

Pole trójkąta równobocznego o boku długości
  możemy obliczyć ze wzoru:

 

Pole trójkąta równobocznego o boku długości  jest równe

 

Zatem pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa jest równe

 

 

PRAWDA, ponieważ

pole powierzchni całkowitej czworościanu foremnego to suma pól czterech równobocznych trójkątów.

Pole powierzchni całkowitej czworościanu foremnego wynosi , zatem pole jednego takiego trójkąta jest równe

 

Pole trójkąta równobocznego o boku długości
  możemy obliczyć ze wzoru:

 

Wiemy, że pole to jest równe , zatem

 

 

 

 

 

podglad pliku

Narysuj opisane odcinki.

Które cyfry mają środek symetrii?

Środek symetrii figury to punkt, względem którego figura jest symetryczna sama do siebie. {premium}

Proste a, b, c przedstawione na rysunku obok są równoległe...

Zauważmy, że:

Kąty  i  to kąty odpowiadające, zatem:{premium}

 

Kąty  i  to kąty naprzemianległe, zatem:

 

pierwsze zdanie jest fałszywe


Kąty  i  to kąty przyległe, zatem:

 

 

drugie zdanie jest prawdziwe