Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Wyrażenia algebraiczne - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Wyrażenia algebraiczne

Wyrażenia algebraiczne to wyrażenia składające się z liczb, liter, znaków działań i nawiasów.

Przykłady:

  • `x+5` 

  • `x^2-y^2` 

  • `2+a` 

  • `3x-5y` 

  • `y^2` 

  • `1/2ah` 

  • `-3/4` 


Uwaga!

Wyrażenie `3*x` możemy zapisać prościej jako `3x`.

Wyrażenie `3*(m+n)` możemy zapisać prościej jako `3(m+n)` .


Uwaga!!

Jeśli w danym wyrażeniu po kropce oznaczającej znak mnożenia występuje liczba NIE WOLNO pominąć kropki. 

Wyrażenia  `3+x*5`  nie można zapisać jako `strike(3+x5)` . 

Wyrażenia `(3m+n)*7` nie można zapisać jako  `strike((3m+n)7)` . 


Przykładowe wyrażenia algebraiczne i sposób ich odczytywania.      

Wyrażenie algebraiczne (zapis) Nazwa (sposób odczytywania)
`3+b`  suma liczb 3 i b
`a+b`  suma liczb a i b
`a-b`  różnica liczb a i b
`x*y`  iloczyn liczb x i y
`m:2`  iloraz liczby m i 2 (iloraz liczby m przez 2)
`2y`  podwojona liczba y,
liczba dwa razy większa od y,
iloczyn liczb 2 i y
`3b`  potrojona liczba b,
liczba trzy razy większa od b,
iloczyn liczb 3 i b
`1/2a`  połowa liczby a
`1/3x`  trzecia część liczby x
`x^2`  kwadrat liczby x
`y^3`  sześcian liczby y
`-2xy`  iloczyn liczb -2, x i y
`x-12`  różnica liczb x i 12, 
liczba o 12 mniejsza od x

 

Wartości liczbowe wyrażeń algebraicznych

Aby obliczyć wartość liczbową wyrażenia algebraicznego należy w miejsce liter podstawić odpowiednie liczby.


Przykład:

Oblicz wartość liczbową wyrażenia `2y+3y^2-10 \ \ \ "dla" \ \ \ y=2` . 

W miejsce `y` wstawiamy 2.  

`2*2+3*2^2-10=4+3*4-10=4+12-10=16-10=6` 

Wartość wyrażenia `2y+3y^2-10 \ \ \ "dla" \ \ \ y=2`  wynosi 6. 

Jednomiany

W wyrażeniach algebraicznych poszczególne elementy, czyli pojedyncze litery, liczby lub iloczyny liczb i liter nazywamy jednomianami.

Przykłady jednomianów: 

`-7b, \ \ 4bk, \ \ 10z, \ \ 5t^2,  \ \ x, \ \ -5`   


Liczbę występującą w danym jednomianie nazywamy współczynnikiem liczbowym jednomianu.

Przykłady:

  • `13k^3 \ \ \ -> \ \ \ "współczynnik liczbowy: 13"` 

  • `-4xyz \ \ \ -> \ \ \ "współczynnik liczbowy: -4"`   

W celu przedstawienia wyrażenia algebraicznego w sposób bardziej przejrzysty należy uporządkować go, czyli doprowadzić do najprostszej postaci.

Pamiętaj aby w każdym z jednomianów najpierw stała liczba a następnie litera lub litery w kolejności alfabetycznej!

Przykłady:

  • `1/4*16x*x*3y=ul(1/4)*ul(16)*ul(ul(x))*ul(ul(x))*ul(3)*y=12*x^2*y=12x^2y`      

  • `(-15k)*(-3p)=ul((-15))*ul(ul(k))*ul((-3))*p=45*k*p=45kp`    

Sumy algebraiczne

Wyrażenie algebraiczne powstałe po dodaniu jednomianów nazywamy sumą algebraiczną.

Dodawane jednomiany noszą nazwę wyrazów sumy. Sumę algebraiczną możemy nazwać także wielomianem.


Przykłady sum algebraicznych:

  • `8k-5l-10q` 

  • `67r+(-9p)-3` 
     


Jeżeli podczas dodawania lub odejmowania jednomianów spotkamy się z jednomianami różniącymi się tylko współczynnikiem liczbowym lub kolejnością czynników wówczas mówimy, że jednomiany są podobne.

Dodawanie i odejmowanie tych jednomianów nazywamy redukcją wyrazów podobnych.


Przykłady jednomianów podobnych:

  • `4xy^2 \ "i" \ 16y^2x` 

  • `14nm \ "i" \ (-16)mn` 

  • `3k \ "i" \ 8k`   


Przykłady redukcji wyrazów podobnych:

  • `4xy-9xy=(-5)xy` 

  • `8y^2+19y^2=27y^2`  

Redukcja wyrazów podobnych

Jednomiany podobne to wyrazy sumy algebraicznej (sumy jednomianów) różniące się tylko współczynnikiem liczbowym.


Redukcja wyrazów podobnych
polega na dodaniu wyrazów podobnych.


Przykłady redukcji wyrazów podobnych:

  • `ul(2xy)+ul(ul(6z))-ul(10xy)+ul(ul(z))-k=-8xy+7z-k`  

    Jednomiany podobne to: 2xy i -10xy oraz 6z i z. 

  • `ul(8x)+ul(ul(2y))+ul(ul(ul(9x^2)))+7-ul(x)-ul(ul(3y))-ul(ul(ul(x^2)))=8x^2+7x-y+7` 

    Jednomiany podobne to: 9x2 i -x2, 8x i -x, 2y i -3y    

Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych

Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych to nic innego jak opuszczanie nawiasów i porządkowanie otrzymanego wyrażenia algebraicznego.

Przykłady:

  • `(x-y)+(4x-2y)=ul(x)-ul(ul(y))+ul(4x)-ul(ul(2y))=5x-3y`  

  • `7k-9m+(11m-4k)=ul(7k)-ul(ul(9m))+ul(ul(11m))-ul(4k)=3k+2m` 


Uwaga - ważna zasada!!!

Jeśli w sumie algebraicznej przed nawiasem znajduje się znak minus, to opuszczając nawias należy znaki wszystkich wyrazów z nawiasu zmienić na przeciwne. 

Przykłady:

  • `9l-10k-(11l+7k-11t)=ul(9l)-ul(ul(10k))-ul(11l)-ul(ul(7k))+11t=-2l-17k+11t`    

  • `8+2k-(6k+5m)=8+ul(2k)-ul(6k)-5m=8-4k-5m`  

Mnożenie jednomianów przez sumy algebraiczne

Mnożenie jednomianów przez sumy algebraiczne polega na pomnożeniu jednomianu przez każdy wyraz sumy.


Przykłady:

  • `9a(4c+9b)=9a*4c+9a*9b=36ac+81ab`  

  • `(a-bc)*5xy=a*5xy-bc*5xy=5axy-5bcxy`  

Mnożenie sum algebraicznych

Mnożenie sum algebraicznych jest bardzo podobne do mnożenia jednomianu przez sumę algebraiczną.

Wystarczy tylko pomnożyć każdy jednomian z pierwszej sumy przez wszystkie jednomiany z drugiej sumy i je dodać.

`(m+n)(k+l)=m(k+l)+n(k+l)=mk+ml+nk+nl` 


Schemat mnożenia sum algebraicznych: 


Przykłady:

  • `(3k-1)(2+t)=3k*2+3k*t+(-1)*2+(-1)*t=6k+3kt-2-t` 

  • `(6l-7b)(9r+4q)=6l*9r+6l*4q+(-7b)*(9r)+(-7b)*4q=54lr+24lq-63br-28bq`     

Wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias

Mnożenie jednomianów i sum algebraicznych prowadziło do powstania sumy algebraicznej.

Czasami warto wykonać odwrotną operację czyli zamienić sumę algebraiczną na iloczyn jednomianu i krótszej sumy algebraicznej. Taką operację nazywamy wyłączaniem czynnika przed nawias.


Jak to zrobić? 

Mamy sumę:  `8xy+2x+9kx+17x` 

  1. Z każdego wyrazu sumy wybieramy powtarzający się element. W podanym przykładzie będzie to: `x` . 

    `8ul(x)y+2ul(x)+9kul(x)+17ul(x)`  

  2. Wyciągamy powtarzający się element przed nawias tak, by po pomnożeniu otrzymać początkową sumę algebraiczną.
    Z pozostałych elementów każdego jednomianu tworzymy sumę algebraiczną. 

    `x(8y+2+9k+17)`  


Przykłady:

  • `9x-3y+18k=ul(3)*3x+ul(3)*(-y)+ul(3)*6k=ul(3)(3x-y+6k)`  

  • `5kl+10xk-20qk=ul(5k)*l+ul(5k)*2x+ul(5k)*(-4q)=ul(5k)(l+2x-4q)`  

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Michał ma n lat. Dwie siostry Michała są od niego młodsze: Ania o 3 lata, a Beata o 5 lat. Tata Michała jest od niego starszy o 30 lat, a mama o 28. Zapisz w postaci wyrażeń algebraicznych wiek sióstr i rodziców.

Ania: n-3

Beata: n-5

Tata: n+30

Mama: n+28
 

Zadanie 2.

Oblicz wartość poniższych wyrażeń dla $$x=3$$.

  1. $$ 2x+5 $$
  2. $$ 2(x+5) $$
  3. $$ x(2+5) $$
  1. $$ 2x+5=2×3+5=6+5=11 $$
  2. $$ 2(x+5)=2(3+5)=2×8=16 $$
  3. $$ x(2+5)=3(2+5)=3×7=21 $$

Zadanie 3.

Uporządkuj jednomiany:

  1. baba
  2. baca
  3. lelek
  4. jajo
  1. $$ a^2 b^2 $$
  2. $$ a^2 bc $$
  3. $$ e^2 kl^2 $$
  4. $$ aj^2 o $$

Zadanie 4.

Marcin ma x złotych, Jacek o 5 złotych więcej, a Olek trzy razy więcej niż Marcin. Ile pieniędzy mają w sumie?

Marcin -> $$x$$

Jacek -> $$x+5$$

Olek -> $$3x$$

$$ x+(x+5)+3x=x+x+5+3x=5x+5$$

Odp.: W sumie chłopcy mają $$5x+5$$ zł.

Zadanie 5.

Przekształć do postaci sumy algebraicznej wyrażenie:

  1. $$ 2(a+b) $$
  2. $$ 3(x+2y-6) $$
  3. $$ -2(x+4-y+z) $$
  1. $$ 2(a+b)=2a+2b $$
  2. $$ 3(x+2y-6)=3x+6y-18 $$
  3. $$ -2(x+4-y+z)=-2x-8+2y-2z$$

Zadanie 6.

Wyłącz wspólny czynnik przed nawias:

  1. $$ 5a+10b-15c $$
  2. $$ 12x+5xy+8x^2 $$
  3. $$ -3k-6k^2-18klm $$
  1. $$ 5a+10b-15c=5(a+2b-3c) $$
  2. $$ 12x+5xy+8x^2=x(12+5y+8x) $$
  3. $$ -3k-6k^2-18klm=-3k(1+2k+6lm) $$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Niektóre z najmniejszych znanych gwiazd zwane są białymi karłami. Są one bardzo masywne. Astronomowie twierdzą, że 1cm

Obliczmy ile waży biały karzeł. {premium}

`10^6\ "g" = 1\ 000\ 000\ "g"=1000\ "kg"=1\ "t"`

 

Odp. Nie jest to możliwe.

Kostka o zadanej wielkości ważyłaby tonę, a jest to wielkość

kilkukrotnie przekraczająca obecny rekord świata w podnoszeniu ciężarów.

Drabinę o długości 3,7 m ...

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczamy jak wysoko nad ziemią znajduje się koniec drobiny,

czyli ile wynosi długość dłuższej z przyprostokątnych (x). {premium}

`1,6^2+x^2=3,7^2` 
`x^2=3,7^2-1,6^2` 
`x^2=13,69-2,56` 
`x^2=11,13` 
`x=sqrt{11,13}~~3,3 \ \ \ ["m"]` 

Dłuższa przyprostokątna ma długość około 3,3 m.


Odpowiedź:
Górny koniec drabiny jest oparty o ścianę na wysokości około 3,3 m nad ziemią.    

Odpowiedz na pytanie. Uzasadnij...

Figury są przystające jeśli mają ten sam kształt i tą samą wielkość

zatem wielokąty są przystające jeśli mają odpowiednie boki równej długości 

i odpowiednie kąty tej samej miary

a) TAK ponieważ {premium}
wszystkie kwadraty mają kąty takiej samej miary,
a kwadraty o takim samym polu mają boki tej samej długości

b) NIE ponieważ
np. prostokąty o bokach 2 i 6 oraz 3 i 4 mają równe pola ale nie są przystające

c) TAK ponieważ
wszystkie prostokąty mają kąty równej miary, zatem jeśli mają również
odpowiednie boki tej samej długości to są przystające

d) NIE ponieważ

np. równoległoboki na poniższym rysunku mają odpowiednie boki równej długości 
ale nie są przystające:



e) NIE ponieważ

np. kwadrat o boku 3 i romb o boku 3 i kącie ostrym `40^@`  nie są figurami przystającymi

f) TAK, ponieważ
wszystkie figury które mają kąty równej miary i
odpowiednie boki tej samej długości są przystające

g) TAK, ponieważ
wszystkie figury które mają kąty równej miary i
odpowiednie boki tej samej długości są przystające

Na rysunkach przedstawiono dwa jednakowe ...

Zastanówmy się jakie figury wyznaczają zacieniowane części kwadratów oraz jakie są długości boków potrzebnych do obliczenia ich pól. 

Przyjmijmy oznaczenia jak na poniższych rysunkach. {premium}

Na pierwszym rysunku mamy trójkąt, którego zarówno podstawa jak i wysokość mają długość a. 

Pole tego trójkąta wynosi: 

`P_"trójkąta"=1/2*a*a=1/2a^2` 


Na drugim rysunku mamy trapez prostokątny, którego podstawy mają długość a-2 oraz 1. Wysokość ma długość a. 

Pole trapezu wynosi: 

`P_("trapezu")=1/2(a-2+1)*a=1/2a(a-1)=1/2a^2-1/2a` 


`1/2a^2 \ > \ 1/2a^2-1/2a` 

`P_("trójkąta") \ > \ P_("trapezu")` 

Większe pole ma trójkąt na pierwszym rysunku. 


Obliczamy o ile większe pole ma trójkąt. 

`1/2a^2-(1/2a^2-1/2a)=1/2a^2-1/2a^2+1/2a=1/2a` 


Odpowiedź: Większe pole, o 1/a, ma trójkąt

Która z poniższych figur nie jest ...

Figura jest środkowosymetryczna,jeśli istnieje punkt, względem którego jest ona symetryczna sama do siebie. {premium}

Odp. C

Ile jest liczb pierwszych mniejszych od 20?

Liczby pierwsze mniejsze od 20 to: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19. 

{premium}

Jest ich 8

Oblicz miary kątów...

Suma miar kątów wewnętrznych w trójkącie wynosi `180^@ .` 

Z tego wynika, że kąt α ma miarę:

`alpha + 15^@ + 20^@ = 180^@` 

`alpha + 35^@ = 180^@ \ \ \ \ \ |-35^@` 

`alpha = 145^@` 
{premium}


Wiemy, że suma kątów przyległych równa jest `180^@.` 

Z tego wynika, że kąt β będzie miał miarę:

`beta+80^@ + (180^@ - 145^@) = 180^@` 

`beta + 80^@ + 35^@ = 180^@` 

`beta + 115^@ = 180^@ \ \ \ \ \ |-115^@` 

`beta = 65^@` 

Wiemy, że kąty wierzchołkowe mają takie same miary. Z tego wynika, że kąt γ ma miarę:

`gamma + 93^@ + 70^@ = 180^@` 

`gamma +163^@ = 180^@ \ \ \ \ \ |-163^@` 

`gamma = 17^@` 

Podkreśl tę z wymienionych liczb, która ...

`"a)"\ sqrt2~~1,41`  

`\ \  \ sqrt2< 1,5` 

Podkreślamy liczbę 1,5. 

 

`"b)"` {premium} `sqrt256=16` 

`\ \ \ sqrt256< 17` 

Podkreślamy liczbę 17.  

 

`"c)"\ sqrt300=10sqrt3~~10*1,73=17,3` 

`\ \ \ sqrt300>17` 

Podkreślamy liczbę 17.  

 

`"d)"\ root(3)(-64)=-4` 

`\ \ \ root(3)-64=-4` 

Podkreślamy liczbę -4. 

 

`"e)"\ root(3)(-2) \ < \ root(3)(-1)\ < \ root(3)0`    

`\ \ \ root(3)(-2)\ < \ -1\ < \ 0`  

Dodatkowo zauważmy, że:

`\ \ \ root(3)(-8)\ < \ root(3)(-2)`  

czyli:

`-2\ < \ root(3)(-2)\ < \ -1\ < \ 0` 

Podkreślamy liczbę -2. 

 

`"f)"\ root(3)-1\ < \ root(3)0\ < \ root(3)(0,1)\ < \ root(3)1` 

`\ \ -1\ < \ 0\ < \ root(3)0,1\ < \ 1` 

Podkreślamy liczbę 1.

 

 

Narysuj dowolny trójkąt ABC. ...



{premium}

Która z figur ma większy obwód: prostokąt o wymiarach 3 cm ...

Obwód prostokąta o wymiarach 3 cm i 7 cm:

`Obw=2*3 \ "cm"+2*7 \ "cm"=6 \ "cm"+14 \ "cm"=20 \ "cm"` 

{premium}

Bok kwadratu o polu 4 cm2:

`P=4 \ "cm"^2` 

`P=a^2` 

`a^2=4 \ "cm"^2 \ \ \ \ |sqrt` 

`a=2 \ "cm"` 

 

Obwód kwadratu o boku długości 2 cm:

`Obw_(square)=4*2 \ "cm"=8 \ "cm"` 

 

`20 \ "cm" \ > \ 8 \ "cm"`