Wyrażenia algebraiczne - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Wyrażenia algebraiczne - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Wyrażenia algebraiczne

Wyrażenia algebraiczne to wyrażenia składające się z liczb, liter, znaków działań i nawiasów.

Przykłady:

  • `x+5` 

  • `x^2-y^2` 

  • `2+a` 

  • `3x-5y` 

  • `y^2` 

  • `1/2ah` 

  • `-3/4` 


Uwaga!

Wyrażenie `3*x` możemy zapisać prościej jako `3x`.

Wyrażenie `3*(m+n)` możemy zapisać prościej jako `3(m+n)` .


Uwaga!!

Jeśli w danym wyrażeniu po kropce oznaczającej znak mnożenia występuje liczba NIE WOLNO pominąć kropki. 

Wyrażenia  `3+x*5`  nie można zapisać jako `strike(3+x5)` . 

Wyrażenia `(3m+n)*7` nie można zapisać jako  `strike((3m+n)7)` . 


Przykładowe wyrażenia algebraiczne i sposób ich odczytywania.      

Wyrażenie algebraiczne (zapis) Nazwa (sposób odczytywania)
`3+b`  suma liczb 3 i b
`a+b`  suma liczb a i b
`a-b`  różnica liczb a i b
`x*y`  iloczyn liczb x i y
`m:2`  iloraz liczby m i 2 (iloraz liczby m przez 2)
`2y`  podwojona liczba y,
liczba dwa razy większa od y,
iloczyn liczb 2 i y
`3b`  potrojona liczba b,
liczba trzy razy większa od b,
iloczyn liczb 3 i b
`1/2a`  połowa liczby a
`1/3x`  trzecia część liczby x
`x^2`  kwadrat liczby x
`y^3`  sześcian liczby y
`-2xy`  iloczyn liczb -2, x i y
`x-12`  różnica liczb x i 12, 
liczba o 12 mniejsza od x

 

Wartości liczbowe wyrażeń algebraicznych

Aby obliczyć wartość liczbową wyrażenia algebraicznego należy w miejsce liter podstawić odpowiednie liczby.


Przykład:

Oblicz wartość liczbową wyrażenia `2y+3y^2-10 \ \ \ "dla" \ \ \ y=2` . 

W miejsce `y` wstawiamy 2.  

`2*2+3*2^2-10=4+3*4-10=4+12-10=16-10=6` 

Wartość wyrażenia `2y+3y^2-10 \ \ \ "dla" \ \ \ y=2`  wynosi 6. 

Jednomiany

W wyrażeniach algebraicznych poszczególne elementy, czyli pojedyncze litery, liczby lub iloczyny liczb i liter nazywamy jednomianami.

Przykłady jednomianów: 

`-7b, \ \ 4bk, \ \ 10z, \ \ 5t^2,  \ \ x, \ \ -5`   


Liczbę występującą w danym jednomianie nazywamy współczynnikiem liczbowym jednomianu.

Przykłady:

  • `13k^3 \ \ \ -> \ \ \ "współczynnik liczbowy: 13"` 

  • `-4xyz \ \ \ -> \ \ \ "współczynnik liczbowy: -4"`   

W celu przedstawienia wyrażenia algebraicznego w sposób bardziej przejrzysty należy uporządkować go, czyli doprowadzić do najprostszej postaci.

Pamiętaj aby w każdym z jednomianów najpierw stała liczba a następnie litera lub litery w kolejności alfabetycznej!

Przykłady:

  • `1/4*16x*x*3y=ul(1/4)*ul(16)*ul(ul(x))*ul(ul(x))*ul(3)*y=12*x^2*y=12x^2y`      

  • `(-15k)*(-3p)=ul((-15))*ul(ul(k))*ul((-3))*p=45*k*p=45kp`    

Sumy algebraiczne

Wyrażenie algebraiczne powstałe po dodaniu jednomianów nazywamy sumą algebraiczną.

Dodawane jednomiany noszą nazwę wyrazów sumy. Sumę algebraiczną możemy nazwać także wielomianem.


Przykłady sum algebraicznych:

  • `8k-5l-10q` 

  • `67r+(-9p)-3` 
     


Jeżeli podczas dodawania lub odejmowania jednomianów spotkamy się z jednomianami różniącymi się tylko współczynnikiem liczbowym lub kolejnością czynników wówczas mówimy, że jednomiany są podobne.

Dodawanie i odejmowanie tych jednomianów nazywamy redukcją wyrazów podobnych.


Przykłady jednomianów podobnych:

  • `4xy^2 \ "i" \ 16y^2x` 

  • `14nm \ "i" \ (-16)mn` 

  • `3k \ "i" \ 8k`   


Przykłady redukcji wyrazów podobnych:

  • `4xy-9xy=(-5)xy` 

  • `8y^2+19y^2=27y^2`  

Redukcja wyrazów podobnych

Jednomiany podobne to wyrazy sumy algebraicznej (sumy jednomianów) różniące się tylko współczynnikiem liczbowym.


Redukcja wyrazów podobnych
polega na dodaniu wyrazów podobnych.


Przykłady redukcji wyrazów podobnych:

  • `ul(2xy)+ul(ul(6z))-ul(10xy)+ul(ul(z))-k=-8xy+7z-k`  

    Jednomiany podobne to: 2xy i -10xy oraz 6z i z. 

  • `ul(8x)+ul(ul(2y))+ul(ul(ul(9x^2)))+7-ul(x)-ul(ul(3y))-ul(ul(ul(x^2)))=8x^2+7x-y+7` 

    Jednomiany podobne to: 9x2 i -x2, 8x i -x, 2y i -3y    

Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych

Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych to nic innego jak opuszczanie nawiasów i porządkowanie otrzymanego wyrażenia algebraicznego.

Przykłady:

  • `(x-y)+(4x-2y)=ul(x)-ul(ul(y))+ul(4x)-ul(ul(2y))=5x-3y`  

  • `7k-9m+(11m-4k)=ul(7k)-ul(ul(9m))+ul(ul(11m))-ul(4k)=3k+2m` 


Uwaga - ważna zasada!!!

Jeśli w sumie algebraicznej przed nawiasem znajduje się znak minus, to opuszczając nawias należy znaki wszystkich wyrazów z nawiasu zmienić na przeciwne. 

Przykłady:

  • `9l-10k-(11l+7k-11t)=ul(9l)-ul(ul(10k))-ul(11l)-ul(ul(7k))+11t=-2l-17k+11t`    

  • `8+2k-(6k+5m)=8+ul(2k)-ul(6k)-5m=8-4k-5m`  

Mnożenie jednomianów przez sumy algebraiczne

Mnożenie jednomianów przez sumy algebraiczne polega na pomnożeniu jednomianu przez każdy wyraz sumy.


Przykłady:

  • `9a(4c+9b)=9a*4c+9a*9b=36ac+81ab`  

  • `(a-bc)*5xy=a*5xy-bc*5xy=5axy-5bcxy`  

Mnożenie sum algebraicznych

Mnożenie sum algebraicznych jest bardzo podobne do mnożenia jednomianu przez sumę algebraiczną.

Wystarczy tylko pomnożyć każdy jednomian z pierwszej sumy przez wszystkie jednomiany z drugiej sumy i je dodać.

`(m+n)(k+l)=m(k+l)+n(k+l)=mk+ml+nk+nl` 


Schemat mnożenia sum algebraicznych: 


Przykłady:

  • `(3k-1)(2+t)=3k*2+3k*t+(-1)*2+(-1)*t=6k+3kt-2-t` 

  • `(6l-7b)(9r+4q)=6l*9r+6l*4q+(-7b)*(9r)+(-7b)*4q=54lr+24lq-63br-28bq`     

Wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias

Mnożenie jednomianów i sum algebraicznych prowadziło do powstania sumy algebraicznej.

Czasami warto wykonać odwrotną operację czyli zamienić sumę algebraiczną na iloczyn jednomianu i krótszej sumy algebraicznej. Taką operację nazywamy wyłączaniem czynnika przed nawias.


Jak to zrobić? 

Mamy sumę:  `8xy+2x+9kx+17x` 

  1. Z każdego wyrazu sumy wybieramy powtarzający się element. W podanym przykładzie będzie to: `x` . 

    `8ul(x)y+2ul(x)+9kul(x)+17ul(x)`  

  2. Wyciągamy powtarzający się element przed nawias tak, by po pomnożeniu otrzymać początkową sumę algebraiczną.
    Z pozostałych elementów każdego jednomianu tworzymy sumę algebraiczną. 

    `x(8y+2+9k+17)`  


Przykłady:

  • `9x-3y+18k=ul(3)*3x+ul(3)*(-y)+ul(3)*6k=ul(3)(3x-y+6k)`  

  • `5kl+10xk-20qk=ul(5k)*l+ul(5k)*2x+ul(5k)*(-4q)=ul(5k)(l+2x-4q)`  

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Michał ma n lat. Dwie siostry Michała są od niego młodsze: Ania o 3 lata, a Beata o 5 lat. Tata Michała jest od niego starszy o 30 lat, a mama o 28. Zapisz w postaci wyrażeń algebraicznych wiek sióstr i rodziców.

Ania: n-3

Beata: n-5

Tata: n+30

Mama: n+28
 

Zadanie 2.

Oblicz wartość poniższych wyrażeń dla $x=3$.

  1. $ 2x+5 $
  2. $ 2(x+5) $
  3. $ x(2+5) $
  1. $ 2x+5=2×3+5=6+5=11 $
  2. $ 2(x+5)=2(3+5)=2×8=16 $
  3. $ x(2+5)=3(2+5)=3×7=21 $

Zadanie 3.

Uporządkuj jednomiany:

  1. baba
  2. baca
  3. lelek
  4. jajo
  1. $ a^2 b^2 $
  2. $ a^2 bc $
  3. $ e^2 kl^2 $
  4. $ aj^2 o $

Zadanie 4.

Marcin ma x złotych, Jacek o 5 złotych więcej, a Olek trzy razy więcej niż Marcin. Ile pieniędzy mają w sumie?

Marcin -> $x$

Jacek -> $x+5$

Olek -> $3x$

$ x+(x+5)+3x=x+x+5+3x=5x+5$

Odp.: W sumie chłopcy mają $5x+5$ zł.

Zadanie 5.

Przekształć do postaci sumy algebraicznej wyrażenie:

  1. $ 2(a+b) $
  2. $ 3(x+2y-6) $
  3. $ -2(x+4-y+z) $
  1. $ 2(a+b)=2a+2b $
  2. $ 3(x+2y-6)=3x+6y-18 $
  3. $ -2(x+4-y+z)=-2x-8+2y-2z$

Zadanie 6.

Wyłącz wspólny czynnik przed nawias:

  1. $ 5a+10b-15c $
  2. $ 12x+5xy+8x^2 $
  3. $ -3k-6k^2-18klm $
  1. $ 5a+10b-15c=5(a+2b-3c) $
  2. $ 12x+5xy+8x^2=x(12+5y+8x) $
  3. $ -3k-6k^2-18klm=-3k(1+2k+6lm) $

Spis treści

Rozwiązane zadania
Tłuszcz stanowi 0,6% masy ryżu...

Wiemy, że tłuszcz stanowi 0,6% masy ryżu

a) Obliczmy, ile gramów tłuszczu zawiera 30-gramowa  porcja ryżu:

 
{premium}
Odp.: 30-gramowa porcja ryżu zawiera 0,18 g tłuszczu.


b) Obliczmy jaka porcja ryżu zawiera 0,51 g tłuszczu:

 - porcja ryżu, która zawiera 0,51 g tłuszczu

 

 

 

Odp.: 0,51 g tłuszczu zawiera  85 g ryżu.

W pewnym stopie trzech metali...

Dane:

Masy metali A, B i C: , i .

Stosunek wagowy tych metali:  

Masa całego stopu:  

Szukane:

 

 

 

Rozwiązanie:

Stosunek mas  oznacza, że masa  jest trzynastą częścią całości, masa  jest czwartą częścią całości,  jest trzecią częścią całości masy . Całość będzie wynosiła:{premium}

 

Wówczas:

 

 

 

Wiemy, że:

 

Wówczas:

  

  

  

Odp.: Masy poszczególnych składników stopu wynoszą ,  i .

Na rysunku przedstawiono fragment siatki ostrosłupa prawidłowego...

Obliczmy pole podstawy tego ostrosłupa:

 


Obliczmy pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa:  {premium}

 


Obliczmy pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa:

 


wykonajmy rysunek pomocniczy:

podglad pliku

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczmy długość wysokości tego ostrosłupa:

 

 

 

 

 


Obliczmy objętość tego ostrosłupa:

 


Odp.: Pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa wynosi 3920 cm2, a objętość ego ostrosłupa wynosi 11200 cm3.

Z trzech danych wyrażeń wybierz dwa, ...

Przedstawimy każde z podanych wyrażeń w prostszej postaci. 

 
{premium}

  


 


Należy wybrać teraz takie dwa wyrażenia, których iloczyn wynosi 1.   

 


Odpowiedź: Należy wybrać wyrażenia q i r. 

Na rysunku obok znajduje się...

Wszystkie liście są figurami przystającymi.

Liście {premium} II i V są symetryczne względem punktu S ponieważ odpowiadające (takie same elementy) w liściach II i V są równo odległe od punktu S.


Odp.: Liście II i V są symetryczne względem punktu S. 

Oblicz pole powierzchni i objętość...

a) Obliczmy pole powierzchni całkowitej tej bryły:

  

Obliczmy objętość tej bryły:   {premium}

 


b)  Obliczmy pole powierzchni całkowitej tej bryły:

 


Obliczmy objętość tej bryły:

 


c) Obliczmy pole powierzchni całkowitej tej bryły:

 


Obliczmy objętość tej bryły:

 

Pewien bar oferuje 5 zup, w tym 3 wegetariańskie ...

Zupę możemy wybrać na  sposobów i do każdej tak wybranej zupy możemy dobrać drugie danie spośród  drugich dań.

Liczba wszystkich możliwości:{premium}

 

Zupę wegetariańską możemy wybrać na  sposoby i do każdej tak wybranej zupy możemy dobrać drugie spośród  drugich dań wegetariańskich.

Liczba możliwości:

 

Prawdopodobieństwo:

 


Odpowiedź: A

Punkt S = (3, 2) jest środkiem odcinka ...

Treść

Punkt S = (3, 2) jest środkiem odcinka AB, w którym A = (5, 5). 


Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. 


Punkt B ma współrzędne

A. (8, 7)

B. (7, 8)

C. (-1, 1)

D. (1, -1)



Rozwiązanie

Przyjmijmy oznaczenia:

B = (x, y)


Pierwsza współrzędna punktu S (środka odcinka AB) jest równa średniej arytmetycznej pierwszych współrzędnych punktów będących końcami odcinka AB. 

`3=(5+x)/2 \ \ \ |*2`  
{premium}

  

Druga współrzędna punktu S (środka odcinka AB) jest równa średniej arytmetycznej drugich współrzędnych punktów będących końcami odcinka AB.

   


Punkt B ma więc współrzędne: 

B = (1, -1)



Odpowiedź

D. (1, -1)

Wskaż zdanie prawdziwe dotyczące ostrosłupa ...

Zdanie A:

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym spodek wysokości znajduje się w punkcie przecięcia przekątnych podstawy.

Jeżeli spodek wysokości nie jest punktem przecięcia przekątnych podstaw, to ostrosłup nie jest ostrosłupem prawidłowym czworokątnym.

{premium}

 

Zdanie B:

Wierzchołek ostrosłupa czworokątnego leży na prostej prostopadłej do podstawy, ale prosta ta nie musi przechodzić przez

jeden z wierzchołków podstawy. Gdyby tak były, to spodkiem wysokości w takim ostrosłupie byłby jeden z wierzchołków podstawy.

Ostrosłup czworokątny może być np. pochyły i wówczas spodek wysokości bedzie leżał poza podstawą.

 

Zdanie C:

Ostrosłup może być ostrosłupem czworokątnym pochyłym. Wówczas spodek wysokości będzie znajdowac się poza podstawą.

Prawdziwym zdaniem jest zdanie D.

Odp: D

Z drutu o długości 144 cm wykonano szkielet ...

Oznaczmy długość krawędzi bocznej jako , a długość krawędzi podstawy jako .

Na podstawie podanej sumy długości wszystkich krawędzi i wprowadzonych oznaczeń możemy zapisać równanie:{premium}

 

 

 

 

 

Odpowiedź: Długość krawędzi podstawy tego ostrosłupa wynosi .