Układ współrzędnych - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Układ współrzędnych - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Układ współrzędnych

Układ współrzędnych służy do określania położenia punktów na płaszczyźnie. Tworzą go dwie osie, które są do siebie prostopadłe. 

Oś x-ów (oś poziomą) nazywamy osią odciętych i oznaczamy symbolicznie OX

Oś y-ów (oś pionową) nazywamy osią rzędnych i oznaczamy symbolem OY. 

Punkt przecięcia osi nazywamy początkiem układu współrzędnych. 


Współrzędne punktu 
to dwie liczby, które określają położenie tego punktu na płaszczyźnie. 

Pierwsza liczba to współrzędna x (odcięta punktu), którą odczytujemy z osi poziomej (OX). 

Druga liczba to współrzędna y (rzędna punktu), którą odczytujemy z osi pionowej (OY). 


Osie układu dzielą płaszczyznę na cztery części, które nazywamy ćwiartkami układu współrzędnych

Uwaga!

Punkty, które leżą na osiach nie należą do żadnej ćwiartki. 

Środek odcinka

W poniższym układzie współrzędnych zaznaczono punkty `A=(x_A, y_A)`  oraz  `B=(x_B, y_B)`

Punkt  `S`  jest środkiem odcinka AB.   

Współrzędna `x` punktu S leży dokładnie w środku pomiędzy współrzędnymi  `x_A`  i  `x_B`

Współrzędny `y`  punktu S leży dokładnie w środku pomiędzy współrzędnymi  `y_A`  i  `y_B`.


Współrzędne środka odcinka AB (punktu S) możemy obliczyć następująco: 

`x=(x_A+x_B)/2` 

`y=(y_A+y_B)/2` 

Punkt S, będący środkiem odcinka AB ma więc współrzędne: 

`S=((x_A+x_B)/2 ; (y_A+y_B)/2)`   

 

Przykład

Obliczamy ile wynoszą współrzędne środka odcinka AB (punktu S), którego końcami są punkty  `A=(-2,6)`  oraz  `B=(8,-4)` .  

`x_S=(-2+8)/2=6/2=3` 

`y_S=(6+(-4))/2=(6-4)/2=2/2=1` 

Punkt S, będący środkiem odcinka AB, ma współrzędne:  `S=(3,1)` . 

Długość odcinka

W poniższym układzie współrzędnych zaznaczono punkty `A=(x_A, y_A)`  oraz  `B=(x_B, y_B)` . 

Obrano również punkt  `C`  tak, aby punkty A, B i C były wierzchołkami trójkąta prostokątnego. 

Zauważmy, że: 

  • pierwsza współrzędna punktu C jest równa pierwszej współrzędnej punktu B;

  • druga współrzędna punktu C jest równa drugiej współrzędnej punktu A.

Punkt C ma więc współrzędne: 

`C=(x_B, y_A)` 



Trójkąt ABC jest prostokątny.

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa możemy obliczyć ile wynosi długość odcinka AB.    

`|AC|^2+|CB|^2=|AB|^2` 

Zatem: 

`|AB|=sqrt{|AC|^2+|CB|^2}` 



Przykład

Obliczamy ile wynosi długość odcinka AB, którego końcami są punkty  `A=(-1,-2)`  oraz  `B=(2,3)`

 

Zaznaczamy taki punkt C, aby punkty A, B i C były wierzchołkami trójkąta prostokątnego. 

Punkt C ma współrzędne:  `C=(2, -2)`.

Mamy również:  

`|AC|=3` 

`|CB|=5` 

Długość odcinka AB wynosi więc: 

`|AB|=sqrt{3^2+5^2}=sqrt{9+25}=sqrt{34}`    

Spis treści

Rozwiązane zadania
Rzekł raz Kargul do Pawlaka

Thumb str. 217   7{premium}Thumb str. 217   7.Thumb str. 217   7..

Studnia jednak ma znajdować się na granicy tych gospodarstw, więc powinna zostać zbudowana w miejscu przecięcia symetralnej (odcinek zaznaczony kolorem niebieskim) i granicy (krzywa zaznaczona kolorem czarnym).

Czy można podać jako przykład liczbę 35, aby...

a) NIE, aby udowodnić poprawność tego twierdzenia nie wystarczy podać jednej liczby, która je spełnia{premium}

b) TAK, liczba 35 jest podzielna przez 7 a nie kończy się cyfrą 7 zatem jest to kontrprzykład,
który potwierdzenia niepoprawność twierdzenia

c) NIE, to twierdzenie jest nieprawdziwe, ale liczba 35 nie jest na to dowodem 

ponieważ np. liczby 7, 77, 777... są podzielne przez 7,
a liczby: 17, 27, 37, 247, ... nie są podzielne przez 7 

zatem liczba, która kończy się cyfrą 7 może ale nie musi być podzielna przez 7

Oblicz sumy długości wszystkich...

 

Suma długości krawędzi:

 

Pole powierzchni:

 

 

 {premium}

Objętość:

 

 

 

 

Suma długości krawędzi:

 

Pole powierzchni podstawy, która jest równoległobokiem wynosi:]

 

 

Pole powierzchni:

 

 

 

 

Objętość:

 

 

 

 

 

Obliczmy długość boku rombu, który jest podstawą graniastosłupa:

 

 

 

 

Suma długości krawędzi wynosi:

 

Pole powierzchni podstawy, która jest rombem wynosi:

 

 

 

Pole powierzchni wynosi:

 

 

 

 

Objętość:

 

 

 

Wypisz wszystkie liczby całkowite spełniające...

-Liczby całkowite spełniające warunek:

   i       to:


 


-Liczby całkowite spełniające warunek:

   i       to: {premium}


 


Liczby całkowite spełniające warunek:

   i       to:


 


Liczby całkowite spełniające warunek:

   i       to:


 

Do zestawu trzech doniczek wrzucamy dwa różne...

Rozwiązanie zostało przedstawione na rysunku:

{premium}

Iloczynem liczb 56 i 35 jest ...

Obliczamy iloczyn licz  i .{premium}

podglad pliku

Liczba  zapisana w systemie rzymskim to:  


Odpowiedź: A

W pewnej restauracji są do wyboru: ...

Zupę możemy wybrać spośród 3 zup, czyli są 3 możliwości.

Drugie danie możemy wybrać spośród 7 dań, czyli jest 7 możliwości.

{premium}

Deser możemy wybrać spośród 2 deserów, czyli są 2 możliwości.

Zgodnie z regułą mnożenia wszystkich możliwości jest:

 

 

Odp. Można wybrać 42 różnych zestawów obiadowych.

Która z podanych...

 

Wiemy, że:

 

 

Ponieważ:

 

To:

  

Czyli:

{premium}  

 

 

Wiemy, że:

  

 

Ponieważ:

 

To:

 

Czyli:

 

 

 

Ponieważ:

 

To:

  

 

 

Ponieważ:

  

To:

 

 

 

Wiemy, że:

 

 

 

Czyli:   

  

 

 

Wiemy, że:

  

 

Ponieważ:

 

To:

 

Czyli:

3,4)6<(3,4)8(-3,4)6<(-3,4)8

Wykonaj obliczenia. Skreśl litery odpowiadające otrzymanym ...

  

{premium}

  

   

    

 

  

 

Skreślamy litery:

A, N, N, A, K, R

 

Hasło:

R O O T

Uzasadnij, że liczba...

Jeżeli podana liczba jest podzielna przez 7 to:

 {premium}

gdzie m jest dowolną liczbą naturalną. Wykażmy, że m jest liczbą naturalną: 

 

 

 

Odp: Liczba 2n jest liczbą naturalną, czyli liczba 2n+2n+1+2n+2 jest podzielna przez 7.