Układ współrzędnych - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Układ współrzędnych

Układ współrzędnych służy do określania położenia punktów na płaszczyźnie. Tworzą go dwie osie, które są do siebie prostopadłe. 

Oś x-ów (oś poziomą) nazywamy osią odciętych i oznaczamy symbolicznie OX

Oś y-ów (oś pionową) nazywamy osią rzędnych i oznaczamy symbolem OY. 

Punkt przecięcia osi nazywamy początkiem układu współrzędnych. 


Współrzędne punktu 
to dwie liczby, które określają położenie tego punktu na płaszczyźnie. 

Pierwsza liczba to współrzędna x (odcięta punktu), którą odczytujemy z osi poziomej (OX). 

Druga liczba to współrzędna y (rzędna punktu), którą odczytujemy z osi pionowej (OY). 


Osie układu dzielą płaszczyznę na cztery części, które nazywamy ćwiartkami układu współrzędnych

Uwaga!

Punkty, które leżą na osiach nie należą do żadnej ćwiartki. 

Środek odcinka

W poniższym układzie współrzędnych zaznaczono punkty `A=(x_A, y_A)`  oraz  `B=(x_B, y_B)`

Punkt  `S`  jest środkiem odcinka AB.   

Współrzędna `x` punktu S leży dokładnie w środku pomiędzy współrzędnymi  `x_A`  i  `x_B`

Współrzędny `y`  punktu S leży dokładnie w środku pomiędzy współrzędnymi  `y_A`  i  `y_B`.


Współrzędne środka odcinka AB (punktu S) możemy obliczyć następująco: 

`x=(x_A+x_B)/2` 

`y=(y_A+y_B)/2` 

Punkt S, będący środkiem odcinka AB ma więc współrzędne: 

`S=((x_A+x_B)/2 ; (y_A+y_B)/2)`   

 

Przykład

Obliczamy ile wynoszą współrzędne środka odcinka AB (punktu S), którego końcami są punkty  `A=(-2,6)`  oraz  `B=(8,-4)` .  

`x_S=(-2+8)/2=6/2=3` 

`y_S=(6+(-4))/2=(6-4)/2=2/2=1` 

Punkt S, będący środkiem odcinka AB, ma współrzędne:  `S=(3,1)` . 

Długość odcinka

W poniższym układzie współrzędnych zaznaczono punkty `A=(x_A, y_A)`  oraz  `B=(x_B, y_B)` . 

Obrano również punkt  `C`  tak, aby punkty A, B i C były wierzchołkami trójkąta prostokątnego. 

Zauważmy, że: 

  • pierwsza współrzędna punktu C jest równa pierwszej współrzędnej punktu B;

  • druga współrzędna punktu C jest równa drugiej współrzędnej punktu A.

Punkt C ma więc współrzędne: 

`C=(x_B, y_A)` 



Trójkąt ABC jest prostokątny.

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa możemy obliczyć ile wynosi długość odcinka AB.    

`|AC|^2+|CB|^2=|AB|^2` 

Zatem: 

`|AB|=sqrt{|AC|^2+|CB|^2}` 



Przykład

Obliczamy ile wynosi długość odcinka AB, którego końcami są punkty  `A=(-1,-2)`  oraz  `B=(2,3)`

 

Zaznaczamy taki punkt C, aby punkty A, B i C były wierzchołkami trójkąta prostokątnego. 

Punkt C ma współrzędne:  `C=(2, -2)`.

Mamy również:  

`|AC|=3` 

`|CB|=5` 

Długość odcinka AB wynosi więc: 

`|AB|=sqrt{3^2+5^2}=sqrt{9+25}=sqrt{34}`    

Spis treści

Rozwiązane zadania
Zaznacz taki punkt D, aby czworokąt ABCD miał oś symetrii

Oblicz pole i obwód narysowanego trójkąta.

a) Trójkąt jest równoramienny. 
Obliczamy długość jego wysokości. 
`h^2+5^2=7^2`     (pierwsza linijka w ćwiczeniach) 
`h^2+25=49 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |-25` 
`h^2=24`    (druga linijka w ćwiczeniach)
`h=sqrt{24}=sqrt{4*6}`    
`h=2sqrt{6}`   (trzecia linijka w ćwiczeniach)

{premium}
Podstawa ma długość 10, bo trójkąt jest równoramienny, więc wysokość dzieli podstawę na dwa równe odcinki. 
`P=1/strike2^1*strike10^5*2sqrt{6}=10sqrt{6}`    (czwarta linijka w ćwiczeniach)

Boki trójkąta mają długości 7, 7, 10. 
`Obw.=7+7+10=24`   (piąta linijka w ćwiczeniach)
`ul(ul( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 


b) Najpierw obliczamy długość odcinka x. 
`x^2+12^2=13^2`   (pierwsza linijka w ćwiczeniach) 
`x^2+144=169 \ \ \ \ \ \ \ \|-144` 
`x^2=25`   (druga linijka w ćwiczeniach)
`x=sqrt{25}` 
`x=5`   (trzecia linijka w ćwiczeniach)


Następnie obliczamy długość odcinka y. 
`y^2+12^2=15^2`   (czwarta linijka w ćwiczeniach)
`y^2+144=225 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \|-144` 
`y^2=81`   (piąta linijka w ćwiczeniach)
`y=sqrt{81}` 
`y=9`   (szósta linijka w ćwiczeniach)


Podstawa trójkąta ma więc długość równą:
`x+y=5+9=14` 
Wysokość ma długość 12. 
`P=1/strike2^1*strike14^7*12=7*12=84`  (siódma linijka w ćwiczeniach)


Boki trójkąta mają długość 13, 14, 15. 
`Obw.=13+14+15=42`   (ósma linijka w ćwiczeniach)
`ul(ul( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 


c) Najpierw obliczamy długość odcinka a. 
`a^2=2^2+6^2`   (pierwsza linijka w ćwiczeniach)
`a^2=4+36` 
`a^2=40`    (druga linijka w ćwiczeniach)
`a=sqrt{40}=sqrt{4*10}` 
`a=2sqrt{10}`  (trzecia linijka w ćwiczeniach)


Następnie obliczamy długość odcinka b. 
`b^2=6^2+6^2`  (czwarta linijka w ćwiczeniach)
`b^2=36+36` 
`b^2=72`    (piąta linijka w ćwiczeniach)
`b=sqrt{72}=sqrt{36*2}` 
`b=6sqrt{2}`     (szósta linijka w ćwiczeniach)


Podstawa ma długość 8. Wysokość ma długość 6. 
`P=1/strike2^1*strike8^4*6=4*6=24`   (siódma linijka w ćwiczeniach)


Boki trójkąta mają długość 8, 2√10, 6√2.
`Obw.=8+2sqrt{10}+6sqrt{2}`     (ósma linijka w ćwiczeniach)

Obwód prostokąta wynosi...

Dane:

Obwód prostokąta:  

Długość jednego boku:  

Długość drugiego boku:  

Szukane:

Pole prostokąta w skali  

Rozwiązanie:

Znamy obwód prostokąta. Zapiszmy równanie opisujące go i wyznaczmy długość jednego z boków:

 

 {premium}

 

 

 

 

 

 

Czyli:

 

Wówczas długość drugiego boku wynosi:

 

 

 

 

Mamy podaną skalę prostokąta. Długości boków tego prostokąta w skali  będą wynosiły:

 

 

Wówczas pole tego prostokąta w tej skali wynosi:

 

 

 

Odp.: Pole prostokąta w skali  wynosi .

Łucja i Adam przeprowadzili ankietę przy wyjściu...

Na podstawie wykresu wiemy, że:

a) Największą popularnością wśród ankietowanych cieszyła się małpa

aż 32 osoby wskazały to zwierzę (16+16=32)
{premium}
b) słonia wskazały 3 kobiety i 11 mężczyzn

obliczmy jaki procent osób, które wskazały słonia stanowią kobiety:

 

c) Obliczmy ile kobiet wzięło udział w ankiecie:

 

Obliczmy jaki procent ankietowanych kobiet stanowią te, które wskazały słonia:

 

Spośród liczb naturalnych...

Zauważmy, że:

 {premium}

Do zbiory  należy liczba , która nie jest wielokrotnością liczby .

 

Odpowiedź:

 

ponieważ  liczba  nie jest wielokrotnością liczby .

 

Z sześcianu o krawędzi 9 cm wycięto ...

Krawędź sześcianu ma długość 9 cm. 

Z sześcianu tego wycinamy prostopadłościan o wymiarach 3 cm x 2 cm x 1 cm. 


Obliczamy, ile wynosi suma długości krawędzi powstałej bryły. {premium}

Powstała bryła ma:

  • 9 krawędzi długości 9 cm 
  • 1 krawędź długości 9 cm - 1 cm = 8 cm
  • 1 krawędź długości 9 cm - 2 cm = 7 cm 
  • 1 krawędź długości 9 cm - 3 cm = 6 cm
  • 3 krawędzie długości 3 cm
  • 3 krawędzie długości 2 cm
  • 3 krawędzie długości 1 cm 

Łączna długość krawędzi tej bryły to: 
 
      


Odpowiedź
Suma długości krawędzi powstałej bryły wynosi 120 cm

Pole sześciokąta foremnego...

Dane:

Pole sześciokąta foremnego:  

Szukane:

Dłuższa przekątna sześciokąta:  

Rozwiązanie:

Wykonajmy rysunek:

gdzie  jest bokiem sześciokąta foremnego,  jest jego dłuższą przekątną. Pole sześciokąta obliczamy z wzoru:

 

Wówczas długość jego boku wynosi:{premium}

 

 

 

 

 

 

Wówczas:

 

Wiemy, że dłuższa przekątna sześciokąta równa jest dwukrotności długości boku tego sześciokąta:

 

Czyli:

 

 

Odp.: Dłuższa przekątna sześciokąta foremnego wynosi  

a) Sahara ma powierzchnię równą około...

a) Wiemy, że Sahara ma powierzchnię około 9 mln km2 z czego piaszczysta część stanowi około 30%, zatem:

 

Odp.: Piaszczysta część Sahary ma pole powierzchni ok 2,7 mln km2.

{premium}

b) Wiemy, że do tej pory wydobyto na świecie ok 150 tys. ton złota z czego 85 tys. ton złota znajduje się w rękach prywatnych

obliczmy jaki procent wydobytego złota znajduje się w rękach prywatnych:

 

Odp.: Do prywatnych posiadaczy należy około 57% wydobytego złota.


c)  - wielkość światowych zasobów rud miedzi

 

 

 

 

Odp.: Wielkość światowych zasobów rud miedzi wynosi ok 37,8 mld ton.

Liczbę x zmniejszono o...

 

 

 

 

  

 
{premium}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ile jest liczb podzielnych przez 5 wśród ...

Wypiszmy wszystkie liczby podzielne przez 5 wśród liczb dwucyfrowych. {premium}

10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50

55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95

 

Odp. Takich liczb jest 18.