Układ współrzędnych - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Układ współrzędnych

Układ współrzędnych służy do określania położenia punktów na płaszczyźnie. Tworzą go dwie osie, które są do siebie prostopadłe. 

Oś x-ów (oś poziomą) nazywamy osią odciętych i oznaczamy symbolicznie OX

Oś y-ów (oś pionową) nazywamy osią rzędnych i oznaczamy symbolem OY. 

Punkt przecięcia osi nazywamy początkiem układu współrzędnych. 


Współrzędne punktu 
to dwie liczby, które określają położenie tego punktu na płaszczyźnie. 

Pierwsza liczba to współrzędna x (odcięta punktu), którą odczytujemy z osi poziomej (OX). 

Druga liczba to współrzędna y (rzędna punktu), którą odczytujemy z osi pionowej (OY). 


Osie układu dzielą płaszczyznę na cztery części, które nazywamy ćwiartkami układu współrzędnych

Uwaga!

Punkty, które leżą na osiach nie należą do żadnej ćwiartki. 

Środek odcinka

W poniższym układzie współrzędnych zaznaczono punkty `A=(x_A, y_A)`  oraz  `B=(x_B, y_B)`

Punkt  `S`  jest środkiem odcinka AB.   

Współrzędna `x` punktu S leży dokładnie w środku pomiędzy współrzędnymi  `x_A`  i  `x_B`

Współrzędny `y`  punktu S leży dokładnie w środku pomiędzy współrzędnymi  `y_A`  i  `y_B`.


Współrzędne środka odcinka AB (punktu S) możemy obliczyć następująco: 

`x=(x_A+x_B)/2` 

`y=(y_A+y_B)/2` 

Punkt S, będący środkiem odcinka AB ma więc współrzędne: 

`S=((x_A+x_B)/2 ; (y_A+y_B)/2)`   

 

Przykład

Obliczamy ile wynoszą współrzędne środka odcinka AB (punktu S), którego końcami są punkty  `A=(-2,6)`  oraz  `B=(8,-4)` .  

`x_S=(-2+8)/2=6/2=3` 

`y_S=(6+(-4))/2=(6-4)/2=2/2=1` 

Punkt S, będący środkiem odcinka AB, ma współrzędne:  `S=(3,1)` . 

Długość odcinka

W poniższym układzie współrzędnych zaznaczono punkty `A=(x_A, y_A)`  oraz  `B=(x_B, y_B)` . 

Obrano również punkt  `C`  tak, aby punkty A, B i C były wierzchołkami trójkąta prostokątnego. 

Zauważmy, że: 

  • pierwsza współrzędna punktu C jest równa pierwszej współrzędnej punktu B;

  • druga współrzędna punktu C jest równa drugiej współrzędnej punktu A.

Punkt C ma więc współrzędne: 

`C=(x_B, y_A)` 



Trójkąt ABC jest prostokątny.

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa możemy obliczyć ile wynosi długość odcinka AB.    

`|AC|^2+|CB|^2=|AB|^2` 

Zatem: 

`|AB|=sqrt{|AC|^2+|CB|^2}` 



Przykład

Obliczamy ile wynosi długość odcinka AB, którego końcami są punkty  `A=(-1,-2)`  oraz  `B=(2,3)`

 

Zaznaczamy taki punkt C, aby punkty A, B i C były wierzchołkami trójkąta prostokątnego. 

Punkt C ma współrzędne:  `C=(2, -2)`.

Mamy również:  

`|AC|=3` 

`|CB|=5` 

Długość odcinka AB wynosi więc: 

`|AB|=sqrt{3^2+5^2}=sqrt{9+25}=sqrt{34}`    

Spis treści

Rozwiązane zadania
Przedstaw iloczyny potęg w postaci potęgi.

`3^1*3^3=3^(1+3)=3^4`
{premium}



 

 

 

  

Dwa klocki przedstawione na rysunku obok ...

Klocki te można połączyć ścianami o takich samych wymiarach.

Zauważmy, że każdy z tych klocków ma ścianę o wymiarach 7 cm x 9 cm. {premium}

Wynika z tego, że zależy połączyć je właśnie tymi ścianami. 


Powstanie graniastosłup, którego podstawy mają wymiary 7 cm x 9 cm. 

Wysokość będzie miała długość: 

  


Odpowiedź: Wymiary graniastosłupa będą wynosić 7 cm x 9 cm x 14 cm. 

Prędkość średnia piechura na trasie ...

Piechur

Piechur porusza się z prędkością 5 km/h, czyli w ciągu 1 h pokonuje drogę długości 5 km. 

10 km to 2 razy więcej niż 5 km, czyli aby pokonać 10 km piechur potrzebuje 2 razy więcej czasu. {premium}

 

Aby pokonać drogę długości 10 km piechur potrzebuje 2 godzin.


Rowerzysta:

Rowerzysta porusza się z prędkością 20 km/h, czyli w ciągu 1 h pokonuje drogę długości 20 km. 

10 km to 2 razy mniej niż 20 km, czyli aby pokonać 10 km rowerzysta potrzebuje 2 razy mniej czasu. 

 

Aby pokonać drogę długości 10 km rowerzysta potrzebuje 0,5 godziny.


Obliczamy o ile minut więcej potrzebuje piechur na pokonanie trasy długości 10 km. 

 

Piechur potrzebuje o 90 minut więcej niż rowerzysta. 


Poprawna odpowiedź: C. 90 minut

Odczytaj z rysunku, jakie liczby ...

Odległość między 0 i 1 na osi liczbowej wynosi 1. Odległość ta została podzielona na 4 równe części. 

Każda z tych części odpowiada odległości: . Na osi poruszamy się więc co 1/4. {premium}

 

    


Liczby przeciwne: 

  • do  :   

  • do  :   

  • do  :   

  • do  :   

  • do  :     
Wyznacz dwie kolejne liczby naturalne, między którymi

 

Zauważmy, że liczba 200 jest większa od 125=53, ale mniejsza od 63=216, zatem:

{premium}

 

Szukanymi liczbami naturalnymi są liczby 5 i 6.

 

Skorzystajmy z tablicy sześcianów w ćwiczeniu 2. i zauważmy, że liczba 3000 jest większa od 142=2744, ale mniejsza od 152=3375, zatem:

 

 

Piechur, który porusza się ze średnią prędkością ...

Wykres ilustrujący odległość piechura od celu w zależności od czasu: {premium}

Zaznacz na osi liczbowej liczby spełniające ...

a)    Na osi liczbowej zaznaczamy wszystkie liczby większe od .

Thumb str. 157   10a{premium}


b)    Na osi liczbowej zaznaczamy wszystkie liczby mniejsze lub równe .

Thumb str. 157   10b


c)    Na osi liczbowej zaznaczamy wszystkie liczby większe lub równe .

Thumb str. 157   10c


d)    Na osi liczbowej zaznaczamy wszystkie liczby mniejsze od .

Thumb str. 157   10d

Bez korzystania z kalkulatora sprawdź, czy warunki ...

   

Warunki są prawdziwe. {premium}

        

Warunki nie są prawdziwe.

 

Warunki są prawdziwe.

 

W pewnym prostokącie kąt ostry między przekątnymi...

Wiemy, że:

- przekątne prostokąta dzielą go na dwie pary takich samych trójkątów równoramiennych

- suma miar kątów przyległych wynosi  

-suma miar kątów wewnętrznych w każdym trójkącie wynosi  


wykonajmy rysunek pomocniczy:{premium}

podglad pliku

 -kąt między przekątną, a dwusieczną


Obliczmy miarę kąta  

 


Obliczmy miarę kąta   

 

 

 


zauważmy, że:

 

 

 


Odp.: Miara kąta miedzy tą dwusieczną, a przekątną wychodzącą z jednego wierzchołka wynosi 12o.

Objętość...

 {premium}

 

 

Odpowiedź: