Układ współrzędnych - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Układ współrzędnych - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Układ współrzędnych

Układ współrzędnych służy do określania położenia punktów na płaszczyźnie. Tworzą go dwie osie, które są do siebie prostopadłe. 

Oś x-ów (oś poziomą) nazywamy osią odciętych i oznaczamy symbolicznie OX

Oś y-ów (oś pionową) nazywamy osią rzędnych i oznaczamy symbolem OY. 

Punkt przecięcia osi nazywamy początkiem układu współrzędnych. 


Współrzędne punktu 
to dwie liczby, które określają położenie tego punktu na płaszczyźnie. 

Pierwsza liczba to współrzędna x (odcięta punktu), którą odczytujemy z osi poziomej (OX). 

Druga liczba to współrzędna y (rzędna punktu), którą odczytujemy z osi pionowej (OY). 


Osie układu dzielą płaszczyznę na cztery części, które nazywamy ćwiartkami układu współrzędnych

Uwaga!

Punkty, które leżą na osiach nie należą do żadnej ćwiartki. 

Środek odcinka

W poniższym układzie współrzędnych zaznaczono punkty `A=(x_A, y_A)`  oraz  `B=(x_B, y_B)`

Punkt  `S`  jest środkiem odcinka AB.   

Współrzędna `x` punktu S leży dokładnie w środku pomiędzy współrzędnymi  `x_A`  i  `x_B`

Współrzędny `y`  punktu S leży dokładnie w środku pomiędzy współrzędnymi  `y_A`  i  `y_B`.


Współrzędne środka odcinka AB (punktu S) możemy obliczyć następująco: 

`x=(x_A+x_B)/2` 

`y=(y_A+y_B)/2` 

Punkt S, będący środkiem odcinka AB ma więc współrzędne: 

`S=((x_A+x_B)/2 ; (y_A+y_B)/2)`   

 

Przykład

Obliczamy ile wynoszą współrzędne środka odcinka AB (punktu S), którego końcami są punkty  `A=(-2,6)`  oraz  `B=(8,-4)` .  

`x_S=(-2+8)/2=6/2=3` 

`y_S=(6+(-4))/2=(6-4)/2=2/2=1` 

Punkt S, będący środkiem odcinka AB, ma współrzędne:  `S=(3,1)` . 

Długość odcinka

W poniższym układzie współrzędnych zaznaczono punkty `A=(x_A, y_A)`  oraz  `B=(x_B, y_B)` . 

Obrano również punkt  `C`  tak, aby punkty A, B i C były wierzchołkami trójkąta prostokątnego. 

Zauważmy, że: 

  • pierwsza współrzędna punktu C jest równa pierwszej współrzędnej punktu B;

  • druga współrzędna punktu C jest równa drugiej współrzędnej punktu A.

Punkt C ma więc współrzędne: 

`C=(x_B, y_A)` 



Trójkąt ABC jest prostokątny.

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa możemy obliczyć ile wynosi długość odcinka AB.    

`|AC|^2+|CB|^2=|AB|^2` 

Zatem: 

`|AB|=sqrt{|AC|^2+|CB|^2}` 



Przykład

Obliczamy ile wynosi długość odcinka AB, którego końcami są punkty  `A=(-1,-2)`  oraz  `B=(2,3)`

 

Zaznaczamy taki punkt C, aby punkty A, B i C były wierzchołkami trójkąta prostokątnego. 

Punkt C ma współrzędne:  `C=(2, -2)`.

Mamy również:  

`|AC|=3` 

`|CB|=5` 

Długość odcinka AB wynosi więc: 

`|AB|=sqrt{3^2+5^2}=sqrt{9+25}=sqrt{34}`    

Spis treści

Rozwiązane zadania
Punkty A=(5a+1, 4) ...

 

 

 

 

Zatem otrzymujemy:

{premium}  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Obliczmy współrzędne punktu A

 

 

 

 

Obliczmy współrzędne punktu B

 

 

 

 

W pewnym roku kwiecień rozpoczyna się w niedzielę. Czy prawdopodobieństwo...

Wiemy, że:

-w tym roku kwiecień rozpoczął się w niedzielę

-kwiecień ma 30 dni


Wypiszmy dni weekendu w kwietniu tego roku:

1; 7; 8; 14; {premium}15; 21; 22; 18; 29

Zdarzenie polega na tym, iż losujemy jeden dzień w kwietniu

Wszystkich możliwości wyników jest 30

Zdarzenie A polega na tym, iż losowo wybrany dzień nie przypadnie w weekend

wiemy, że w tym miesiącu było 9 dni przypadających w weekend

zatem dni nie przypadających w weekend czyli sprzyjających zdarzeniu A było:

30-9=21


Obliczmy prawdopodobieństwo zdarzenia A:

 


Odp.: Prawdopodobieństwo tego zdarzenia wynosi `7/10`.

Ile jest wszystkich liczb trzycyfrowych ...

Liczby trzycyfrowe, których suma cyfr wynosi 4 to: 

400, 103, 130, 301, {premium}310, 202, 220, 112, 121, 211. 

Jest 10 takich liczb.  


Obliczamy ile wynosi suma tych liczb. 

 


Obliczamy ile wynosi suma cyfr liczby 2110. 

 

Suma cyfr tej liczby wynosi 4, czyli nie dzieli się przez 9. Oznacza to, że liczba ta nie dzieli się przez 9. 


Odpowiedź: Wszystkich liczb trzycyfrowych, których suma cyfr wynosi 4, jest 10. Suma tych liczb nie jest podzielna przez 9. 

Uzasadnij, że wszystkie trójkąty...

100-kąt foremny ma wszystkie boki tej samej długości i  {premium}  wszystkie kąty wewnętrzne tej samej miary

zatem na mocy cechy przystawania bok-kąt-bok wiemy, że wszystkie trójkąty wyznaczone przez

trzy kolejne wierzchołki 100- kąta foremnego są przystające.

Które trapezy mają równe ...

I.  Trapez składa się z czterech trójkątów prostokątnych: 

  • o przyprostokątnych długości 3 

  • o przyprostokątnych długości 3 i 8 - 2 trójkąty 

  • o przyprostokątnych długości 8 {premium}

 


II. 
Trapez składa się z czterech trójkątów prostokątnych: 

  • o przyprostokątnych długości 5 

  • o przyprostokątnych długości 5 i 10 - 2 trójkąty 

  • o przyprostokątnych długości 10

 


III.  Trapez składa się z czterech trójkątów prostokątnych: 

  • o przyprostokątnych długości 6 

  • o przyprostokątnych długości 6 i 9 - 2 trójkąty 

  • o przyprostokątnych długości 9

 


IV. Trapez składa się z czterech trójkątów prostokątnych: 

  • o przyprostokątnych długości 4 

  • o przyprostokątnych długości 4 i 7 - 2 trójkąty 

  • o przyprostokątnych długości 7

 


Trapezy o równych polach to:  

 

  

Trapezy I i IV oraz II i III mają równe pola. 

Wojtek gra w grę planszową, w której pionek porusza się o tyle pól,...

Zdarzenie polega na jednokrotnym rzucie kostką.

Wszystkie możliwe wyniki tego doświadczenia to:

 

Wszystkich możliwych wyników jest 6

zauważmy, że Wojtek przesunie pionek na pole z pułapką jeśli wyrzuci liczbę oczek 2 lub 5

zatem:{premium}

zdarzenie A polega na tym, że wypadnie liczba oczek różna od 2 i 5

 

zdarzeniu A sprzyjają 4 wyniki

Prawdopodobieństwo zdarzenia A wynosi:

 


Czy to prawda, że:

 

 

 

PRAWDA


 

 

 

 

 

 

 

FAŁSZ


 

 

 

 

 

PRAWDA


 

 

 

  

FAŁSZ

Zapisz w postaci jednej potęgi:

 

{premium}

 


 
 

  

Wybierz poprawne dokończenie zdania...

Wszystkie krawędzie ostrosłupa mają taką samą długość . Oznacza to, że jego ściany boczne są trójkątami równobocznymi, a w takim razie podstawa musi być kwadratem. Z tego wynika, że pole podstawy będzie wynosiło:

 

Pole jednej {premium}ściany bocznej będzie wynosiło:

 

 

Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa wynosi:

 

 

 

 

 

 

Odpowiedź:  

W ósmej klasie uczniowie...

Z diagramu odczytujemy, że liczba poszczególnych kolorów koszulek wynosi:

 białe: ,

 czerwone: ,

 zielone: ,{premium}

 niebieskie: .

Liczba wszystkich koszulek wynosi

 

Z tego wynika, że częstość występowania dla poszczególnych kolorów koszulek wynosi:

 białe: ,

 czerwone: ,

 zielone: ,

 niebieskie: .