Układ współrzędnych - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Układ współrzędnych - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Układ współrzędnych

Układ współrzędnych służy do określania położenia punktów na płaszczyźnie. Tworzą go dwie osie, które są do siebie prostopadłe. 

Oś x-ów (oś poziomą) nazywamy osią odciętych i oznaczamy symbolicznie OX

Oś y-ów (oś pionową) nazywamy osią rzędnych i oznaczamy symbolem OY. 

Punkt przecięcia osi nazywamy początkiem układu współrzędnych. 


Współrzędne punktu 
to dwie liczby, które określają położenie tego punktu na płaszczyźnie. 

Pierwsza liczba to współrzędna x (odcięta punktu), którą odczytujemy z osi poziomej (OX). 

Druga liczba to współrzędna y (rzędna punktu), którą odczytujemy z osi pionowej (OY). 


Osie układu dzielą płaszczyznę na cztery części, które nazywamy ćwiartkami układu współrzędnych

Uwaga!

Punkty, które leżą na osiach nie należą do żadnej ćwiartki. 

Środek odcinka

W poniższym układzie współrzędnych zaznaczono punkty `A=(x_A, y_A)`  oraz  `B=(x_B, y_B)`

Punkt  `S`  jest środkiem odcinka AB.   

Współrzędna `x` punktu S leży dokładnie w środku pomiędzy współrzędnymi  `x_A`  i  `x_B`

Współrzędny `y`  punktu S leży dokładnie w środku pomiędzy współrzędnymi  `y_A`  i  `y_B`.


Współrzędne środka odcinka AB (punktu S) możemy obliczyć następująco: 

`x=(x_A+x_B)/2` 

`y=(y_A+y_B)/2` 

Punkt S, będący środkiem odcinka AB ma więc współrzędne: 

`S=((x_A+x_B)/2 ; (y_A+y_B)/2)`   

 

Przykład

Obliczamy ile wynoszą współrzędne środka odcinka AB (punktu S), którego końcami są punkty  `A=(-2,6)`  oraz  `B=(8,-4)` .  

`x_S=(-2+8)/2=6/2=3` 

`y_S=(6+(-4))/2=(6-4)/2=2/2=1` 

Punkt S, będący środkiem odcinka AB, ma współrzędne:  `S=(3,1)` . 

Długość odcinka

W poniższym układzie współrzędnych zaznaczono punkty `A=(x_A, y_A)`  oraz  `B=(x_B, y_B)` . 

Obrano również punkt  `C`  tak, aby punkty A, B i C były wierzchołkami trójkąta prostokątnego. 

Zauważmy, że: 

  • pierwsza współrzędna punktu C jest równa pierwszej współrzędnej punktu B;

  • druga współrzędna punktu C jest równa drugiej współrzędnej punktu A.

Punkt C ma więc współrzędne: 

`C=(x_B, y_A)` 



Trójkąt ABC jest prostokątny.

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa możemy obliczyć ile wynosi długość odcinka AB.    

`|AC|^2+|CB|^2=|AB|^2` 

Zatem: 

`|AB|=sqrt{|AC|^2+|CB|^2}` 



Przykład

Obliczamy ile wynosi długość odcinka AB, którego końcami są punkty  `A=(-1,-2)`  oraz  `B=(2,3)`

 

Zaznaczamy taki punkt C, aby punkty A, B i C były wierzchołkami trójkąta prostokątnego. 

Punkt C ma współrzędne:  `C=(2, -2)`.

Mamy również:  

`|AC|=3` 

`|CB|=5` 

Długość odcinka AB wynosi więc: 

`|AB|=sqrt{3^2+5^2}=sqrt{9+25}=sqrt{34}`    

Spis treści

Rozwiązane zadania
Odległość między prostymi równoległymi a i b przedstawionymi na rysunku jest...

Pole trójkąta obliczamy korzystając z wzoru:

   gdzie    - długość boku trójkąta,  - długość wysokości opuszczonej na ten bok 


Trójkąt pierwszy
(od lewej)

 

pole tego trójkąta możemy również obliczyć w następujący sposób:

 

zatem:

 

 

 

 

{premium}


Trójkąt drugi (od lewej)

 

pole tego trójkąta możemy również obliczyć w następujący sposób:

 

zatem:

 

 

 

 


Trójkąt trzeci (od lewej)

 

pole tego trójkąta możemy również obliczyć w następujący sposób:

 

zatem:

 

 

 

 

Oceń prawdziwość zdań...

Thumb zad5as182 {premium}

Thumb zad5bs182

Na rysunku przedstawiono trójkąt różnoboczny ...

1. Kąt  i półprosta .

2. Kąt  i półprosta .

3. Kąt  i półprosta .{premium}


4. Kąt  i półprosta .

5. Kąt  i półprosta .

6. Kąt  i półprosta .


7. Kąt  i półprosta .

8. Kąt  i półprosta .

9. Kąt  i półprosta .

W układzie współrzędnych ...

Wyznaczamy czwarty wierzchołek kwadratu. 

Przyjmijmy oznaczenia jak na poniższym rysunku. {premium}


Pierwszy wiersz w tabeli

Wierzchołek D ma współrzędne (2,0). 

F (fałsz)

 

Drugi wiersz w tabeli

Zauważmy, że boki kwadratu są przeciwprostokątnymi trójkątów prostokątnych o przyprostokątnych długości 4 i 5. 

Obliczamy ile wynosi długość boku kwadratu (a). 

 

 

 

 

Bok kwadratu ma długość √41. 

P (prawda)

W klasie liczącej 27 osób jest o 5 chłopców...

wprowadźmy następujące oznaczenia:

 - liczba dziewcząt w tej klasie

 - liczba chłopców w tej klasie


wiemy, że w tej klasie jest 27 osób, zatem:{premium}

 

 

 

 

 


Odp.: W tej klasie jest 11 dziewcząt i 16 chłopców.

Oblicz długości zaznaczonych na ...

LATARNIA:

- pierwszy odcinek

 

 

a, b - przyprostokątne

  

c - przeciwprostokątna

Z tw. Pitagorasa:

  {premium}

  

 

 

 

- drugi odcinek

 

 

x, y - przyprostokątne

 

z - przeciwprostokątna

Z tw. Pitagorasa:

czyli:

 

 

 

 

  

 

STÓŁ:

 

  

a, b - przyprostokątne

  

c - przeciwprostokątna

Z tw. Pitagorasa:

 

 

 

 

  

 

ŻAGLÓWKA:

 

  

x, y - przyprostokątne

  

z - przeciwprostokątna

Z tw. Pitagorasa:

   

  

  

  

   

 

LATAWIEC:

 

 

x, y - przyprostokątne

 

z - przeciwprostokątna

h - wysokość, na jakiej znajduje się latawiec

Z tw. Pitagorasa:

czyli:

 

 

 

 

Zwrócmy uwagę, że chłopiec trzyma latawiec w ręce, 1 m nad ziemią, więc do otrzymanego wyniku musimy dodać 1 m:

 

 

 

PÓŁKA Z KSIĄŻKAMI:

 

 

a, b - przyprostokątne

 

c - przeciwprostokątna

Z tw. Pitagorasa:

czyli:

 

 

 

 

  

 

PRZYCZEPKA SAMOCHODU:

 

 

a, b - przyprostokątne

 

c - przeciwprostokątna

Z tw. Pitagorasa:

czyli:

 

 

 

 

  

Ankieterzy pokazali 20 osobom zdjęcie i poprosili...

a) Obliczmy średnią arytmetyczną  tych wyników:

 

Wyznaczmy medianę tych danych{premium}

(w tym celu musimy uporządkować je rosnąco):

 
zatem mediana wynosi:

 


b) Przedstawmy te dane na diagramie słupkowym:

podglad pliku

c) Zauważmy, że

- najniższy podany wiek przez ankietowanych to 13 lat

- najwyższy podany wiek przez ankietowanych to 19 lat

zatem różnica między tymi wynikami wynosi:

 

d) Obliczmy ile procent ankietowanych właściwie oceniło wiek chłopca:

 

Na rysunku przedstawiono drzewo...

Korzystając z rysunku drzewa wiemy, że zbiór zdarzeń elementarnych to :    {premium}

 


zatem zbiór zdarzeń elementarnych składa się z 9 elementów


Odp.: C.

Liczba 2^2*2^3*2^4*2^5 nie jest...

 

zatem:

A.    
{premium}
 

 

 


Odp.: C

Jeden ze sposobów określania przybliżonej ...

Przyjmijmy oznaczenia: 

  - wiek dziecka (w latach)

  - masa ciała dziecka (w kg) 


Aby obliczyć masę dziecka należy: 

  • wiek zwiększyć o 2, czyli: {premium}  

  • otrzymaną powyżej sumę zwiększyć 3 razy, czyli:   


Masę dziecka opisuje równanie: 

 


Poprawna odpowiedź: C. m=3(w+2)