Układ współrzędnych - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Układ współrzędnych - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Układ współrzędnych

Układ współrzędnych służy do określania położenia punktów na płaszczyźnie. Tworzą go dwie osie, które są do siebie prostopadłe. 

Oś x-ów (oś poziomą) nazywamy osią odciętych i oznaczamy symbolicznie OX

Oś y-ów (oś pionową) nazywamy osią rzędnych i oznaczamy symbolem OY. 

Punkt przecięcia osi nazywamy początkiem układu współrzędnych. 


Współrzędne punktu 
to dwie liczby, które określają położenie tego punktu na płaszczyźnie. 

Pierwsza liczba to współrzędna x (odcięta punktu), którą odczytujemy z osi poziomej (OX). 

Druga liczba to współrzędna y (rzędna punktu), którą odczytujemy z osi pionowej (OY). 


Osie układu dzielą płaszczyznę na cztery części, które nazywamy ćwiartkami układu współrzędnych

Uwaga!

Punkty, które leżą na osiach nie należą do żadnej ćwiartki. 

Środek odcinka

W poniższym układzie współrzędnych zaznaczono punkty `A=(x_A, y_A)`  oraz  `B=(x_B, y_B)`

Punkt  `S`  jest środkiem odcinka AB.   

Współrzędna `x` punktu S leży dokładnie w środku pomiędzy współrzędnymi  `x_A`  i  `x_B`

Współrzędny `y`  punktu S leży dokładnie w środku pomiędzy współrzędnymi  `y_A`  i  `y_B`.


Współrzędne środka odcinka AB (punktu S) możemy obliczyć następująco: 

`x=(x_A+x_B)/2` 

`y=(y_A+y_B)/2` 

Punkt S, będący środkiem odcinka AB ma więc współrzędne: 

`S=((x_A+x_B)/2 ; (y_A+y_B)/2)`   

 

Przykład

Obliczamy ile wynoszą współrzędne środka odcinka AB (punktu S), którego końcami są punkty  `A=(-2,6)`  oraz  `B=(8,-4)` .  

`x_S=(-2+8)/2=6/2=3` 

`y_S=(6+(-4))/2=(6-4)/2=2/2=1` 

Punkt S, będący środkiem odcinka AB, ma współrzędne:  `S=(3,1)` . 

Długość odcinka

W poniższym układzie współrzędnych zaznaczono punkty `A=(x_A, y_A)`  oraz  `B=(x_B, y_B)` . 

Obrano również punkt  `C`  tak, aby punkty A, B i C były wierzchołkami trójkąta prostokątnego. 

Zauważmy, że: 

  • pierwsza współrzędna punktu C jest równa pierwszej współrzędnej punktu B;

  • druga współrzędna punktu C jest równa drugiej współrzędnej punktu A.

Punkt C ma więc współrzędne: 

`C=(x_B, y_A)` 



Trójkąt ABC jest prostokątny.

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa możemy obliczyć ile wynosi długość odcinka AB.    

`|AC|^2+|CB|^2=|AB|^2` 

Zatem: 

`|AB|=sqrt{|AC|^2+|CB|^2}` 



Przykład

Obliczamy ile wynosi długość odcinka AB, którego końcami są punkty  `A=(-1,-2)`  oraz  `B=(2,3)`

 

Zaznaczamy taki punkt C, aby punkty A, B i C były wierzchołkami trójkąta prostokątnego. 

Punkt C ma współrzędne:  `C=(2, -2)`.

Mamy również:  

`|AC|=3` 

`|CB|=5` 

Długość odcinka AB wynosi więc: 

`|AB|=sqrt{3^2+5^2}=sqrt{9+25}=sqrt{34}`    

Spis treści

Rozwiązane zadania
Który z poniższych punktów leży na symetralnej

Zaznaczamy podane punkty w układzie współrzędnych. Rysujemy symetralną odcinka .

{premium}

Odp.: C

Która zależność została opisana poprawnie ...

A.  {premium}

B.  

C.  

D.  

 (wyrażenia są równe)


Odpowiedź: C

Oblicz. a) √49+√36-√25 b) √100∙√16-√125 ...

{premium}

 

 

 

 

 

 

Pan Michał ma 3 marynarki, 6 różnych par ...

Pan Michał marynarkę może wybrać na  sposoby, {premium}spodnie - na  sposobów, a koszulę - na  sposobów.

Obliczamy, na ile różnych sposobów pan Michał może się ubrać.

 

Uzasadnij, że po odcięciu naroży ...

Narysujmy ten ośmiokąt i podzielmy go na mniejsze części:{premium}



Thumb zad10s155



Trójkąty na rysunku są prostokątne i równoramienne, więc długość ich boków możemy policzyć z tw. Pitagorasa:

 


Zatem bok tego prostokąta musi wynosić:

Rzucamy dwukrotnie sześcienną kostką...

Na pierwszej z kostek może wypaść jeden z wyników: 1, 2, 3, 4, 5, 6.   {premium}

Na drugiej z kostek może wypaść jeden z wyników: 1, 2, 3, 4, 5, 6.


Korzystając z reguły mnożenia obliczmy, ile jest możliwych wyników tego doświadczenia:

 


Odp.: Jest 36 wszystkich możliwych wyników tego doświadczenia.


Agata i Marysia rzucają jednokrotnie sześcienną kostką do gry. Agata ...

Wszystkich możliwych wyników jest 6. 

 

 

M - zdarzenie polegające na tym, że Marysia wyrzuci liczbę oczek będącą kwadratem liczby naturalnej. 

Zdarzenia sprzyjające zdarzeniu M to:{premium}

   

 

Prawdopodobieństwo zdarzenia M wynosi: 

 

A - zdarzenie polegające na tym, że Agata wyrzuci liczbę oczek podzielną przez 2. 

Zdarzenia sprzyjające zdarzeniu A to: 

 

   

Prawdopodobieństwo zdarzenia A wynosi więc: 

 

W - zdarzenie polegające na tym, że Agata wyrzuci liczbę oczek podzielną przez 2, a Marysia wyrzuci liczbę oczek będącą kwadratem liczby naturalnej. 

Zdarzenia sprzyjające zdarzeniu W to: 

 

   

Prawdopodobieństwo zdarzenia W wynosi więc: 

 

Liczba sqrt(49)-sqrt(25)+sqrt(16) jest równa ...

Odpowiedź D, ponieważ{premium}

.

Przyjrzyj się płytkom na pokazanych ...

Nie mogą to być płytki o dowolnych kątach. Mozaiki nie ułożymy np. z pięciokątów foremnych.

Pięciokąt foremny można podzielić na pięć trójkątów równoramiennych, których miara kąta między ramionami wynosi {premium} , a miary kątów przy podstawie tych trójkątów są równe .

podglad pliku

Gdybyśmy połączyli trzy pięciokąty foremne tak, aby miały wspólny wierzchołek, to utworzyłyby one kąt o mierze .

Gdybyśmy chcieli w ten sposób połączyć cztery pięciokąty foremne, to czwarty pięciokąt częściowo pokryłby się z pierwszym pięciokątem. 

Nie jesteśmy więc w stanie tak ułożyć pięciokątów, aby mając wspólny wierzchołek tworzyły kąt pełny. 

Podstawą ostrosłupa czworokątnego ABCDS jest kwadrat ...

W ostrosłupie tym krawędź boczna  {premium}jest również wysokością ostrosłupa:

podglad pliku

Obliczamy pole podstawy.

 


Obliczamy objętość ostrosłupa o wysokości .