Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Układ współrzędnych - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Układ współrzędnych

Układ współrzędnych służy do określania położenia punktów na płaszczyźnie. Tworzą go dwie osie, które są do siebie prostopadłe. 

Oś x-ów (oś poziomą) nazywamy osią odciętych i oznaczamy symbolicznie OX

Oś y-ów (oś pionową) nazywamy osią rzędnych i oznaczamy symbolem OY. 

Punkt przecięcia osi nazywamy początkiem układu współrzędnych. 


Współrzędne punktu 
to dwie liczby, które określają położenie tego punktu na płaszczyźnie. 

Pierwsza liczba to współrzędna x (odcięta punktu), którą odczytujemy z osi poziomej (OX). 

Druga liczba to współrzędna y (rzędna punktu), którą odczytujemy z osi pionowej (OY). 


Osie układu dzielą płaszczyznę na cztery części, które nazywamy ćwiartkami układu współrzędnych

Uwaga!

Punkty, które leżą na osiach nie należą do żadnej ćwiartki. 

Środek odcinka

W poniższym układzie współrzędnych zaznaczono punkty `A=(x_A, y_A)`  oraz  `B=(x_B, y_B)`

Punkt  `S`  jest środkiem odcinka AB.   

Współrzędna `x` punktu S leży dokładnie w środku pomiędzy współrzędnymi  `x_A`  i  `x_B`

Współrzędny `y`  punktu S leży dokładnie w środku pomiędzy współrzędnymi  `y_A`  i  `y_B`.


Współrzędne środka odcinka AB (punktu S) możemy obliczyć następująco: 

`x=(x_A+x_B)/2` 

`y=(y_A+y_B)/2` 

Punkt S, będący środkiem odcinka AB ma więc współrzędne: 

`S=((x_A+x_B)/2 ; (y_A+y_B)/2)`   

 

Przykład

Obliczamy ile wynoszą współrzędne środka odcinka AB (punktu S), którego końcami są punkty  `A=(-2,6)`  oraz  `B=(8,-4)` .  

`x_S=(-2+8)/2=6/2=3` 

`y_S=(6+(-4))/2=(6-4)/2=2/2=1` 

Punkt S, będący środkiem odcinka AB, ma współrzędne:  `S=(3,1)` . 

Długość odcinka

W poniższym układzie współrzędnych zaznaczono punkty `A=(x_A, y_A)`  oraz  `B=(x_B, y_B)` . 

Obrano również punkt  `C`  tak, aby punkty A, B i C były wierzchołkami trójkąta prostokątnego. 

Zauważmy, że: 

  • pierwsza współrzędna punktu C jest równa pierwszej współrzędnej punktu B;

  • druga współrzędna punktu C jest równa drugiej współrzędnej punktu A.

Punkt C ma więc współrzędne: 

`C=(x_B, y_A)` 



Trójkąt ABC jest prostokątny.

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa możemy obliczyć ile wynosi długość odcinka AB.    

`|AC|^2+|CB|^2=|AB|^2` 

Zatem: 

`|AB|=sqrt{|AC|^2+|CB|^2}` 



Przykład

Obliczamy ile wynosi długość odcinka AB, którego końcami są punkty  `A=(-1,-2)`  oraz  `B=(2,3)`

 

Zaznaczamy taki punkt C, aby punkty A, B i C były wierzchołkami trójkąta prostokątnego. 

Punkt C ma współrzędne:  `C=(2, -2)`.

Mamy również:  

`|AC|=3` 

`|CB|=5` 

Długość odcinka AB wynosi więc: 

`|AB|=sqrt{3^2+5^2}=sqrt{9+25}=sqrt{34}`    

Spis treści

Rozwiązane zadania
Dane są równania:

I. `(x-3)/24=(x-18)/(-48) \ \ |*(-48)` 

`strike(-48)^-2*(x-3)/strike24_1=strike(-48)^1*(x-18)/strike(-48)_1` 

`-2*(x-3)=x-18` 

`-2x+6=x-18 \ \|-x` 

`-3x+6=-18\ \ |-6` 

`-3x=-24 \ \ |:(-3)` 

`x=8` 
{premium}

II `13/(x+6)=26/(72-x) \ \ |*(x+6)` 

`13=(26*(x+6))/(72-x)` 

`13=(26x+156)/(72-x) \ \|*(72-x)` 

`13*(72-x)=26x+156` 

`936-13x=26x+156 \ \|+13x` 

`936=39x+156 \ \ |-156` 

`780=39x \ \ |:39` 

`x=20` 

III. `x/(10+x)=45/75 \ \ |*(10+x)` 

`x=45/75*(10+x) \ \ |*75` 

`75x=45*(10+x)` 

`75x=450+45x \ \|-45x` 

`30x=50 \ \|:30` 

`x=5/3` 

IV. `x/(x-2)=x/(x+1) \ \ |*(x-2)` 

`x=(x*(x-2))/(x+1) \ \ |*(x+1)` 

`x*(x+1)=x*(x-2)` 

`x^2+x=x^2-2x \ \|-x^2` 

`x=-2x \ \|+2x` 

`3x=0 \ \|:3` 

`x=0` 

zatem liczby spełniające te równania w kolejności rosnącej to:

`0 < 5/3 < 8 < 20` 


Odp.:D

Poniżej podano pewne czynności i kolejność ich...

n=9

Największa liczba pierwsza mniejsza od 9 to 7.

7+5=12 

Najmniejsza liczba pierwsza, przez którą jest podzielna 12, to 2

Wynik: 2


{premium}

n=17

Największa liczba pierwsza mniejsza od 17 to 13.

13+5=18 

Najmniejsza liczba pierwsza, przez którą jest podzielne 18, to 2

Wynik: 2


n=27

Największa liczba pierwsza mniejsza od 27 to 23.

23+5=28 

Najmniejsza liczba pierwsza, przez którą jest podzielne 28, to 2

Wynik: 2


n=32

Największa liczba pierwsza mniejsza od 32 to 31.

31+5=36 

Najmniejsza liczba pierwsza, przez którą jest podzielne 36, to 2

Wynik: 2


 

NIEZALEŻNIE OD WYBORU LICZBY WYNIK ZAWSZE JEST RÓWNY 2

 

Liczba 4,5 jest rozwiązaniem równania:

A. Sprawdźmy czy liczba 4,5 jest rozwiązaniem tego równania:

`3(0,5-x)=12` 

`L=3(0,5-4,5)=3*(-4)=-12` 

`P=12` 

`L!=P` 
{premium}


B. Sprawdźmy czy liczba 4,5 jest rozwiązaniem tego równania:

`x+1,5=(3x+4,5):3` 

`x+1,5=x+1,5\ \ |-1,5` 

`x=x` 

równanie tożsamościowe każda liczba spełnia to równanie


C. Sprawdźmy czy liczba 4,5 jest rozwiązaniem tego równania:

`-(x+3,5)=17-2x` 

`L=-(4,5+3,5)=-8` 

`P=17-2*4,5=17-9=8` 

`L!=P` 


D. Sprawdźmy czy liczba 4,5 jest rozwiązaniem tego równania:

`2(x-4)-1/2(x-4)=4/3` 

`L=2*(4,5-4)-1/2*(4,5-4)= 2*0,5-1/2*0,5= 1- 1/2*1/2=1-1/4=3/4` 

`P=4/3` 

`L!=P` 


Odp.: B

Wykonaj działania...

`a)` 

`8,23 +3,99 = 12,22` 

{premium}

`b)` 

`2,92 - 7,6 = -4,68` 

 

`c)` 

`3,8*(-0,7)=-2,66` 

 

`d)` 

`4,8:0,06= 80` 

 

`e)` 

`0,42:(-3) = -0,14` 

 

`f)` 

`-6,25:(-0,25) = 25`             

Marek zarobił w ciągu pierwszego miesiąca 1200 zł i co miesiąc otrzymywał...

Wiemy, że Marek w ciągu pierwszego miesiąca zarobił 1200 zł oraz,
że w każdym kolejnym miesiącu jego wynagrodzenie było wyższe o 10%

Obliczmy, ile wynosiło wynagrodzenie Marka w drugim miesiącu:

`1200+10%*1200=1200+0,1*1200= 1200+120=1320 \ "[zł]"` 
{premium}

Obliczmy, ile wynosiło wynagrodzenie Marka w trzecim miesiącu:

`1320+10%*1320=1320+0,1*1320= 1320+132=1452 \ "[zł]"` 


Odp.: Wynagrodzenie Marka po trzecim miesiącu wynosiło 1452 zł.

Zaznacz punkt symetryczny do punktu P względem punktu S i oznacz go

Oblicz...

`a)` 

`3 + 2 *(-7) = 3-14 = -11` 

 

`b)` 

`17-7*5 = 17-35 = -18` 

{premium}

`c)` 

`4-(4+6)*2 = 4-10*2=4-20=-16` 

 

`d)` 

`1-8:(-3+5)=1-8:2=1-4=-3` 

 

`e)` 

`(-12+2):(-2-3)=(-10):(-5) = 2` 

 

`f)` 

`(-3*(-4) - 5) * (-8 -2*(-6)) = (12-5)*(-8+12) = 7*4 = 28` 

 

`g)` 

`6+15:3 - 12+6*9 = 6+5-12+54=53`               

 

`h)` 

`(-7) + 4*(10+5)-(-3-(-2)) = -7+4*15 - (-3+2) = -7+60-(-1) = -7+60+1 = 54`  

Oblicz pola narysowanych trójkątów ...

W zadaniu korzystamy ze wzoru na pole trójkąta:

`P=(a*h)/2` 

gdzie a - długość boku trójkąta, h - wysokość poprowadzona na bok a. 

 

Rysunek pomocniczy:

Przyjmujemy, że bok kratki ma długość 1.

Na czerwono zaznaczono wysokości trójkątów.

Niebieską linią podzielono trójkąt III i IV na dwa trójkąty.

 

Obliczamy pole trójkąta I.

`P_(I)=(7*strike4^2)/strike2^1=14\ [j^2]`  

{premium}

Obliczamy pole trójkąta II.

`P_(II)=(3*5)/2=15/2=7,5\ [j^2]` 

 

Obliczamy pole trójkąta III.

Dzielimy podstawowy trójkąt na dwa trójkąty. Pole trójkąta III obliczamy jako sumę pól dwóch mniejszych trójkątów.

`P_(III)=(3*3)/2+(3*3)/2=9/2+9/2=18/2=9\ [j^2]` 

 

Obliczamy pole trójkąta IV.

Dzielimy dany trójkąt na dwa trójkąty. Pole trójkąta IV obliczamy jako sumę pól dwóch mniejszych trójkątów.

`P_(IV)=(1*2)/2+(1*6)/2=2/2+6/2=1+3=4\ [j^2]`  

Oblicz długość przekątnych ścian bocznych ...

Graniastosłup jest graniastosłupem prostym, więc jego ściany są prostokątami.

Rysunek pomocniczy:
{premium}

Przyjmujemy oznaczenia, jak na rysunku.

Korzystając z tw. Pitagorasa obliczamy długości przekątnych poszczególnych ścian bocznych graniastosłupa.

Obliczamy długość przekątnej d1:

`(d_1)^2=5^2+3^2` 

`(d_1)^2=25+9=34` 

`d_1=sqrt34\ ["cm"]`  

Obliczamy długość przekątnej d2:

`(d_2)^2=5^2+5^2` 

`(d_2)^2=25+25=50` 

 

`d_2=sqrt50=sqrt(25*2)=5sqrt2\ ["cm"]`  

Obliczamy długość przekątnej d3:

`(d_3)^2=5^2+10^2`  

`(d_3)^2=25+100=125` 

 

`d_3=sqrt125=sqrt(25*5)=5sqrt5\ ["cm"]`  

Obliczamy długość przekątnej d4:

`(d_4)^2=5^2+12^2`  

`(d_4)^2=25+144=169`  

 

`d_4=sqrt169=13\ ["cm"]` 

a) Przeciętny włos ma grubość...

`a)` 

Grubość włosa: `0,1\ mm` 

Liczba włosów: `100  000` 

Jeżeli ułożymy włosy w rzędzie, to szerokość pasa tych włosów będzie wynosiła:

`0,1\ mm * 100  000 = 10  000\ mm=10\ m` 

Odpowiedź: Pas włosów miałby szerokość 10 m. 

{premium}

`b)` 

Liczba arkuszy papieru w ryzie: `500` 

Grubość ryzy papieru wynosi: `5\ cm` 

Wyrażamy 1 km w centymetrach:

`1\ km = 1  000\ m = 100  000\ cm` 

Obliczmy ile razy w 10  000 cm zmieści się 5 cm:

`100  000\ cm : 5\ cm = 20  000` 

Z tego wynika, że należy ułożyć na sobie 20 000 ryz papieru. Obliczmy ile arkuszy papieru należy ułożyć na sobie:

`20  000 * 500 = 10  000  000` 

Odpowiedź: Należy ułożyć 10 000 000 arkuszy papieru.

 

`c)` 

Waga najcięższych kuli do kręgli: `7,2\ kg` 

Ładowność samochodu ciężarowego wynosi: `9\ t = 9000\ kg` 

Obliczmy, ile kul do kręgli możemy załadować na samochód:

`(9000\ kg)/(7,2\ kg) = 1250` 

Odpowiedź: Na samochód ciężarowy można załadować 1250 kul doi kręgli.

 

`d)` 

Waga myszy: `3\ dag` 

Waga słonia: `6\ t = 6  000\ kg = 600  000\ dag` 

Obliczmy ile razy słoń będzie cięższy od myszy:

`(600  000\ dag)/(3\ dag)  = 200  000` 

Odpowiedź: Słoń będzie cięższy od myszy 200 000 razy.

 

`e)` 

Powierzchnia całego terenu wynosiła: `0,6\ ha = 60\ a` 

Liczba działek, którą otrzymano po podzieleniu działki na równe części: `15` 

Obliczamy pole powierzchni jednej z tych działek:

`(60\ a)/15 = 4\ a` 

Odpowiedź: Każda z tych działek miała 4 a.

 

`f)` 

Powierzchnia wyspy Wolin: `245\ km^2` 

Powierzchnia Parku Narodowego: `11  000\ ha = 1  100  000\ a = 110  000  000\ m^2 = 110\ km^2` 

Obliczamy powierzchnię nieobjętą parkiem narodowym:

`245\ km^2 - 110\ km^2 = 135\ km^2` 

Odpowiedź: Powierzchnia części wyspy nieobjętej Parkiem Narodowym wynosi 135 km2.

 

`g)` 

Czas podzielony na trzy równe okresy to: `2\ h  12 min` 

Z tego wynika, że każdy z okresów wynosił:

`(2\ h  12 min)/(3) = (2*60 min + 12 min)/3 = (120 min+12 min)/3 = (132 min)/3 = 44 min` 

Gdyby czas podzielono na cztery okresy to czas jednego z nich by wynosił:

`(2\ h 12 min)/4=(132 min)/4 = 33 min` 

Odpowiedź: Czas podzielony na trzy okresy wynosi 44 min, a czas podzielony na cztery okresy wynos 33 min.

 

`h)` 

Czas pływania: `18 min  55\ s = 18*60\ s + 55\ s = 1  080\ s+55\ s=1  135\ s` 

Czas jazdy na rowerze: `1\ h  15 min  40\ s = 60 min + 15 min + 40\ s =75 min+40\ s=` 

`\ \ \ = 75*60\ s+40\ s=4  500\ s+40\ s=4  540\ s`  

Czas biegu: `34 min  13\ s = 34*60\ s + 13\ s = 2  040\ s+13\ s= 2  053\ s` 

Z tego wynika, że łączny czas wynosi:

`1  135\ s + 4  540\ s + 2  053\ s = 7  728\ s = (7  680 + 48)\ s = 7  680\ s + 48\ s = 7  680*1/60  min + 48\ s =` 

`\ \ \ = 128 min + 48\ s = (120 + 8) min + 48\ s = 120  min + 8  min + 48\ s = 120*1/60\ h + 8  min+ 48\ s =` 

`\ \ \ = 2\ h  8 min 48\ s` 

Odpowiedź: Łączny czas ruchu zawodnika wynosi 2 h 8 min 48 s.