Układ współrzędnych - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Układ współrzędnych

Układ współrzędnych służy do określania położenia punktów na płaszczyźnie. Tworzą go dwie osie, które są do siebie prostopadłe. 

Oś x-ów (oś poziomą) nazywamy osią odciętych i oznaczamy symbolicznie OX

Oś y-ów (oś pionową) nazywamy osią rzędnych i oznaczamy symbolem OY. 

Punkt przecięcia osi nazywamy początkiem układu współrzędnych. 


Współrzędne punktu 
to dwie liczby, które określają położenie tego punktu na płaszczyźnie. 

Pierwsza liczba to współrzędna x (odcięta punktu), którą odczytujemy z osi poziomej (OX). 

Druga liczba to współrzędna y (rzędna punktu), którą odczytujemy z osi pionowej (OY). 


Osie układu dzielą płaszczyznę na cztery części, które nazywamy ćwiartkami układu współrzędnych

Uwaga!

Punkty, które leżą na osiach nie należą do żadnej ćwiartki. 

Środek odcinka

W poniższym układzie współrzędnych zaznaczono punkty `A=(x_A, y_A)`  oraz  `B=(x_B, y_B)`

Punkt  `S`  jest środkiem odcinka AB.   

Współrzędna `x` punktu S leży dokładnie w środku pomiędzy współrzędnymi  `x_A`  i  `x_B`

Współrzędny `y`  punktu S leży dokładnie w środku pomiędzy współrzędnymi  `y_A`  i  `y_B`.


Współrzędne środka odcinka AB (punktu S) możemy obliczyć następująco: 

`x=(x_A+x_B)/2` 

`y=(y_A+y_B)/2` 

Punkt S, będący środkiem odcinka AB ma więc współrzędne: 

`S=((x_A+x_B)/2 ; (y_A+y_B)/2)`   

 

Przykład

Obliczamy ile wynoszą współrzędne środka odcinka AB (punktu S), którego końcami są punkty  `A=(-2,6)`  oraz  `B=(8,-4)` .  

`x_S=(-2+8)/2=6/2=3` 

`y_S=(6+(-4))/2=(6-4)/2=2/2=1` 

Punkt S, będący środkiem odcinka AB, ma współrzędne:  `S=(3,1)` . 

Długość odcinka

W poniższym układzie współrzędnych zaznaczono punkty `A=(x_A, y_A)`  oraz  `B=(x_B, y_B)` . 

Obrano również punkt  `C`  tak, aby punkty A, B i C były wierzchołkami trójkąta prostokątnego. 

Zauważmy, że: 

  • pierwsza współrzędna punktu C jest równa pierwszej współrzędnej punktu B;

  • druga współrzędna punktu C jest równa drugiej współrzędnej punktu A.

Punkt C ma więc współrzędne: 

`C=(x_B, y_A)` 



Trójkąt ABC jest prostokątny.

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa możemy obliczyć ile wynosi długość odcinka AB.    

`|AC|^2+|CB|^2=|AB|^2` 

Zatem: 

`|AB|=sqrt{|AC|^2+|CB|^2}` 



Przykład

Obliczamy ile wynosi długość odcinka AB, którego końcami są punkty  `A=(-1,-2)`  oraz  `B=(2,3)`

 

Zaznaczamy taki punkt C, aby punkty A, B i C były wierzchołkami trójkąta prostokątnego. 

Punkt C ma współrzędne:  `C=(2, -2)`.

Mamy również:  

`|AC|=3` 

`|CB|=5` 

Długość odcinka AB wynosi więc: 

`|AB|=sqrt{3^2+5^2}=sqrt{9+25}=sqrt{34}`    

Spis treści

Rozwiązane zadania
Uporządkuj liczby...

Zauważmy, że:

 

 {premium}

 

 

 

 

Uporządkujmy liczby rosnąco:

 

Zapisz za pomocą czterech znaków ...

Za pomocą 4 znaków rzymskich chcemy zapisać najmniejszą możliwą liczbę. 

Aby znaleźć taką liczbę musimy możliwie najwięcej razy użyć znaków{premium} I i V, gdyż mają one najmniejszą wartość w systemie rzymskim. 

Taka liczba to: VIII

 

Za pomocą 4 znaków rzymskich chcemy zapisać największą możliwą liczbę. 

Aby znaleźć taką liczbę musimy możliwie najwięcej razy użyć znaków M i D, gdyż mają one największą wartość w systemie rzymskim. 

Taka liczba to: MMMD

Wykonaj...

Korzystamy z wzoru:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 {premium}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Przedstaw...

 

 

 

 {premium}

 

 

 


 

 

 

 

 

 

 

 

 

10% powierzchni...

Obliczamy  z powierzchni :

 

 

 {premium}

 

 

 

 

Odpowiedź:

 

 

 

Cena płaszcza wynosiła x zł, a kurtki y zł ( x>y). Płaszcz staniał

Cena płaszcza: x

Cena płaszcza po obniżce:

{premium}

Cena kurtki: y

Cena kurtki po obniżce:

 

 

Obliczmy różnicę nowych cen:

 

Odp. C

W czworokącie ABCD boki DA i AB są równej długości ...

Rysunek pomocniczy:

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.

Z treści zadania wiadomo, że |AD|=|AB|=b, |BC|=|CD|=a. {premium}

 

Rozpatrzmy trójkąt ACD i trójkąt ABC.

|AB|=|AD|

|BC|=|CD| 

|AC|=|AC|

|CK|=|BC| 

Zauważmy, że są to trójkąty przystające na mocy cechy BBB. 

Wobec tego pozostałe boki i kąty również są takie same.

Zatem  .

Kąty przy wierzchołkach B i D są równe, co należało pokazać.

Które figury są przystające do F?

Figury przystające mają taki sam kształt i taką samą wielkość (można je na siebie nałożyć). 

Zauważmy, że:

- figura I jest przystająca do figury  {premium}

- figura II jest przystająca do figury

- figura III jest przystająca do figury

- figura IV jest przystająca do figury


Odp.: Wszystkie figury są przystające do figury F.

Szklane naczynie w kształcie prostopadłościanu ...

Ścianą o największej powierzchni jest ta o wymiarach .

podglad pliku{premium}

Obliczamy objętość wody.

 


Ścianą o najmniejszej powierzchni jest ta o wymiarach .

Objętość wody nie zmieni się po postawieniu naczynia na innej ścianie.

Obliczamy do jakiej wysokości woda sięgała - wysokość tę oznaczamy przez .

 

 

 

 

podglad pliku


Odpowiedź: C

Obwód koła o średnicy 60 cm...

Początkowo średnica koła wynosiła , czyli jego promień wynosił:

  

Wówczas obwód tego koła wynosi:

 

Obwód tego koła zwiększamy {premium}o , czyli:

 

 

 

Wówczas promień koła o zwiększonym obwodzie będzie wynosił:

 

 

 

 

Odpowiedź: