Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Układ współrzędnych - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Układ współrzędnych

Układ współrzędnych służy do określania położenia punktów na płaszczyźnie. Tworzą go dwie osie, które są do siebie prostopadłe. 

Oś x-ów (oś poziomą) nazywamy osią odciętych i oznaczamy symbolicznie OX

Oś y-ów (oś pionową) nazywamy osią rzędnych i oznaczamy symbolem OY. 

Punkt przecięcia osi nazywamy początkiem układu współrzędnych. 


Współrzędne punktu 
to dwie liczby, które określają położenie tego punktu na płaszczyźnie. 

Pierwsza liczba to współrzędna x (odcięta punktu), którą odczytujemy z osi poziomej (OX). 

Druga liczba to współrzędna y (rzędna punktu), którą odczytujemy z osi pionowej (OY). 


Osie układu dzielą płaszczyznę na cztery części, które nazywamy ćwiartkami układu współrzędnych

Uwaga!

Punkty, które leżą na osiach nie należą do żadnej ćwiartki. 

Środek odcinka

W poniższym układzie współrzędnych zaznaczono punkty `A=(x_A, y_A)`  oraz  `B=(x_B, y_B)`

Punkt  `S`  jest środkiem odcinka AB.   

Współrzędna `x` punktu S leży dokładnie w środku pomiędzy współrzędnymi  `x_A`  i  `x_B`

Współrzędny `y`  punktu S leży dokładnie w środku pomiędzy współrzędnymi  `y_A`  i  `y_B`.


Współrzędne środka odcinka AB (punktu S) możemy obliczyć następująco: 

`x=(x_A+x_B)/2` 

`y=(y_A+y_B)/2` 

Punkt S, będący środkiem odcinka AB ma więc współrzędne: 

`S=((x_A+x_B)/2 ; (y_A+y_B)/2)`   

 

Przykład

Obliczamy ile wynoszą współrzędne środka odcinka AB (punktu S), którego końcami są punkty  `A=(-2,6)`  oraz  `B=(8,-4)` .  

`x_S=(-2+8)/2=6/2=3` 

`y_S=(6+(-4))/2=(6-4)/2=2/2=1` 

Punkt S, będący środkiem odcinka AB, ma współrzędne:  `S=(3,1)` . 

Długość odcinka

W poniższym układzie współrzędnych zaznaczono punkty `A=(x_A, y_A)`  oraz  `B=(x_B, y_B)` . 

Obrano również punkt  `C`  tak, aby punkty A, B i C były wierzchołkami trójkąta prostokątnego. 

Zauważmy, że: 

  • pierwsza współrzędna punktu C jest równa pierwszej współrzędnej punktu B;

  • druga współrzędna punktu C jest równa drugiej współrzędnej punktu A.

Punkt C ma więc współrzędne: 

`C=(x_B, y_A)` 



Trójkąt ABC jest prostokątny.

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa możemy obliczyć ile wynosi długość odcinka AB.    

`|AC|^2+|CB|^2=|AB|^2` 

Zatem: 

`|AB|=sqrt{|AC|^2+|CB|^2}` 



Przykład

Obliczamy ile wynosi długość odcinka AB, którego końcami są punkty  `A=(-1,-2)`  oraz  `B=(2,3)`

 

Zaznaczamy taki punkt C, aby punkty A, B i C były wierzchołkami trójkąta prostokątnego. 

Punkt C ma współrzędne:  `C=(2, -2)`.

Mamy również:  

`|AC|=3` 

`|CB|=5` 

Długość odcinka AB wynosi więc: 

`|AB|=sqrt{3^2+5^2}=sqrt{9+25}=sqrt{34}`    

Spis treści

Rozwiązane zadania
Narysuj osie symetrii poniższych figur

Tarcza składa się z pięciu okręgów o średnicach 10 cm, 20 cm

Koło czerwone:

Średnica tego koła ma długość 10 cm, czyli promień ma długość 5 cm (promień jest dwa razy krótszy od średnicy). 

Obliczamy ile wynosi pole tego koła.
`P_c=pi*(5 \ "cm")^2=25pi \ "cm"^2` {premium}


Pierścień pomarańczowy:

Średnica koła składającego się z koła czerwonego i pierścienia pomarańczowego wynosi 20 cm, czyli promień ma długość 10 cm.

Obliczamy ile wynosi pole pierścienia pomarańczowego (od pola koła składającego się z pierścienia pomarańczowego i koła czerwonego odejmujmy pole czerwonego koła).  
`P_p=pi*(10 \ "cm")^2-P_c=100pi \ "cm"^2-25pi \ "cm"^2=75pi \ "cm"^2` 


Pierścień żółty: 

Średnica koła składającego się z koła czerwonego, pierścienia pomarańczowego i pierścienia żółtego wynosi 30 cm, czyli promień ma długość 15 cm.

Obliczamy ile wynosi pole pierścienia żółtego (od pola koła składającego się z pierścienia żółtego, pierścienia pomarańczowego i koła czerwonego odejmujmy pole pierścienia pomarańczowego i czerwonego koła).  
`P_"ż"=pi*(15 \ "cm")^2-P_p-P_c=225pi \ "cm"^2-75pi \ "cm"^2-25pi \ "cm"^2=125pi \ "cm"^2`    


Pierścień niebieski: 

Średnica koła składającego się z koła czerwonego, pierścienia pomarańczowego, pierścienia żółtego i pierścienia niebieskiego wynosi 40 cm, czyli promień ma długość 20 cm.

Obliczamy ile wynosi pole pierścienia niebieskiego (od pola koła składającego się z pierścienia niebieskiego, pierścienia żółtego, pierścienia pomarańczowego i koła czerwonego odejmujmy pole pierścienia żółtego, pierścienia pomarańczowego i czerwonego koła).  
`P_n=pi*(20 \ "cm")^2-P_"ż"-P_p-P_c=400pi \ "cm"^2-125pi \ "cm"^2-75pi \ "cm"^2-25pi \ "cm"^2=175pi \ "cm"^2`    


Pierścień zielony: 

Średnica koła składającego się z koła czerwonego, pierścienia pomarańczowego, pierścienia żółtego, pierścienia niebieskiego i pierścienia zielonego wynosi 50 cm, czyli promień ma długość 25 cm.

Obliczamy ile wynosi pole pierścienia zielonego (od pola koła składającego się z pierścienia zielonego, pierścienia niebieskiego, pierścienia żółtego, pierścienia pomarańczowego i koła czerwonego odejmujmy pole pierścienia niebieskiego, pierścienia żółtego, pierścienia pomarańczowego i czerwonego koła).  
`P_n=pi*(25 \ "cm")^2-P_n-P_"ż"-P_p-P_c=625pi \ "cm"^2-175pi \ "cm"^2-125pi \ "cm"^2-75pi \ "cm"^2-25pi \ "cm"^2=225pi \ "cm"^2` 


Pole całej tarczy: 


Pole całej tarczy to pole koła składającego się z koła czerwonego, pierścienia pomarańczowego, pierścienia żółtego, pierścienia niebieskiego i pierścienia zielonego.
Średnica tego koła ma długość 50 cm, czyli promień ma długość 25 cm.  
`P_t=pi*(25 \ "cm")^2=625pi \ "cm"^2`   


Obliczamy teraz jaki udział procentowy w całej tarczy mają poszczególne jej elementy. 

Czerwone koło:

`(25strike(pi \ "cm"^2))/(625strike(pi \ "cm"^2))*100%=25/625*100%=1/strike25^1*strike100^4%=4%` 

 

Pomarańczowy pierścień:

`(75strike(pi \ "cm"^2))/(625strike(pi \ "cm"^2))*100%=75/625*100%=3/strike25^1*strike100^4%=12%` 


Żółty pierścień: 

`(125strike(pi \ "cm"^2))/(625strike(pi \ "cm"^2))*100%=125/625*100%=1/strike5^1*strike100^20%=20%` 


Niebieski pierścień:

`(175strike(pi \ "cm"^2))/(625strike(pi \ "cm"^2))*100%=175/625*100%=7/strike25^1*strike100^4%=28%` 


Zielony pierścień:

`(225strike(pi \ "cm"^2))/(625strike(pi \ "cm"^2))*100%=225/625*100%=9/strike25^1*strike100^4%=36%`  

Oszacuj, między jakimi kolejnymi liczbami naturalnymi znajduje się każda z podanych liczb.

`"a)"`

`2sqrt3 = sqrt4*sqrt3=sqrt12`

{premium}

`sqrt9< sqrt12< sqrt16`

`3< sqrt12< 4`


`"b)"`

`3sqrt15=sqrt9*sqrt15=sqrt135`

 

`sqrt121 < sqrt135< sqrt144`

`11< sqrt135< 12`


`"c)"`

`4root(3)(2)=root(3)(64)*root(3)(2)=root(3)(128)`

 

`root(3)(125)< root(3)(128)< root(3)(216)`

`5< root(3)(128)< 6`


`"d)"`

`3root(3)(10)=root(3)(27)*root(3)(10)=root(3)(270)`

 

`root(3)(216)< root(3)(270)< root(3)(343)`

`6< root(3)(270)< 7`

Ruszając z punktu położonego na wysokości ...

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku. 

Ruszamy z punktu P znajdującego się na wysokości 1000 m n.p.m. 

Poruszamy się po drodze pochylonej do poziomu pod kątem 30o
`|< SPK|=30^o` 

Droga jaką musimy pokonać ma długość 1 km, czyli:
`|PK|=1 \ "km"=1000 \ "m"` {premium}


Zauważmy, że trójkąt SPK jest trójkątem o kątach 30o, 60o i 90o

Korzystając z zależności między bokami w trójkącie o kątach  30o, 60o i 90o obliczamy jaką długość ma bok KS. 
`|KS|=1/2*|PK|=1/2*1000 \ "m"=500 \ "m"` 

Bok KS ma długość 500 m. 

Oznacza to, że punkt K znajduje się 500 m nad punktem S, czyli jego wysokość wynosi:
`1000 \ "m  n.p.m."+500 \ "m  n.p.m."=1500 \ "m  n.p.m."` 


Odpowiedź:
Wjedziemy na wysokość 1500 m n.p.m.  

W pewnej klasie chłopcy stanowią...

Oznaczmy liczbę wszystkich uczniów jako `x.` 

Chłopcy stanowią `40%` wszystkich uczniów, czyli `40%x=0,4x.` 

Dziewczyny stanowią `60%` wszystkich uczniów, czyli `60%x=0,6x.` 


Obliczamy, o ile jest więcej dziewczyn niż chłopców:

`0,6x-0,4x=0,2x` 

Obliczamy, jaki to procent liczby chłopców:

{premium}

`(0,2x)/(0,4x)*100%=2/4*100%=1/2*100%=50%` 

Zatem dziewczyn jest o `50%` więcej niż chłopców.

Dziewczyn jest o `20%` więcej niż chłopców. F
Dziewczyn jest o `50%` więcej niż chłopców. P

Chłopców jest o `0,2x` mniej niż dziewcząt.

Obliczamy, jaki to procent liczby dziewcząt.

`(0,2x)/(0,6x)*100%=1/3*100%=33 1/3%` 

Zatem chłopców jest o około  `33%` mniej niż dziewcząt.

Chłopców jest o około  `33%` mniej niż dziewcząt. P
Liczba √64 - ...

`sqrt64-root(3)(64)=8-4=4` 

{premium}

Odp. D

Zapisz związek miedzy długościami boków ...

Na podstawie twierdzenia Pitagorasa zapisujemy zależności między odpowiednimi bokami trójkątów. 

`"a)"\ l^2+m^2=k^2`   {premium}

`"b)"\ x^2+z^2=y^2` 

`"c)"\ b^2+c^2=a^2` 

`"d)"\ |AB|^2+|AC |^2=|BC|^2` 

`"e)"\ |PQ|^2+|QR|^2=|PR|^2` 

`"f)"\ (x+1)^2+x^2=y^2` 

W podanym trazpezie wyznacz miary kątów

a) Kąt `alpha`  wraz z kątami o mierze 25o i 40o to kąty wewnętrzne trójkąta,
jaki powstał przez podzielenie trapezu przekątną na dwa trójkąty.
Na podstawie znajomości sumy miar kątów w trójkącie sporządzamy równanie:

`25^o +40^o +alpha=180^o`{premium}

`65^o +alpha=180^o`

`alpha=180^o-65^o`

`alpha=115^o`

 Wiemy, że miary kątów leżących przy jednym ramieniu trapezu dają w sumie 180°.
Na tej podstawie można ułożyć równanie:

`40^o +90^o +beta=180^o`

`130^o +beta=180^o`

`beta=180^o-130^o`

`beta=50^o`

b) Zauważamy, że kąt `alpha`  i kąt o mierze 40° to kąty naprzemianległe-mają równe miary, zatem:

`alpha=40^o`

Wiemy, że miary kątów leżących przy jednym ramieniu trapezu dają w sumie 180°. Na tej podstawie można ułożyć równanie:

`alpha+alpha+beta=180^o`

`40^o +40^o +beta=180^o`

`80^o +beta=180^o`

`beta=180^o-80^o`

`beta=100^o`

Klasa sportowa liczy 27 osób, z czego ...

Klasa liczy 27 osób.

Chłopcy stanowią 1/3 klasy. Obliczamy liczbę chłopców w klasie:

`1/strike3^1*strike27^9=9` 
{premium}

W klasie jest 9 chłopców. Pozostałe osoby to dziewczęta, więc:

`27-9=18` 

W klasie jest 18 dziewcząt.

 

Wiemy, że średni wzrost chłopców wynosi 183 cm. Oznaczmy przez x sumę wzrostów wszystkich chłopców, wówczas:

`x/9=183\ \ \ \ \ \ \ \ \ |*9` 

`x=1647` 

Wiemy, że średni wzrost dziewcząt wynosi 174 cm. Oznaczmy przez y sumę wzrostów wszystkich dziewcząt, wówczas:

`y/18=174\ \ \ \ \ \ \ \ \ |*18`  

`y=3132`   

 

Wyznaczamy średni wzrost wszystkich osób w klasie (sumę wzrostów dziewcząt i chłopców dzielimy przez ilość osób):

`(1647+3132)/27=4779/27=177\ ["cm"]`  

Samochód osobowy jedzie z prędkością 80 km/h...

Zauważmy, że

`60 \ "min"=1 \ "h"` 

zatem:

`15 \ "min"= 1/4 \ "h"` 

wiemy, że samochód jedzie z prędkością `80 \ "km"/"h"` 

obliczmy jaką trasę pokona ten samochód w `1/4 \ "h"` 

{premium}

`1/4 \ "h"*80 \ "km"\"h"= 1/4*80 \ "km"=20 \ "km"` 


Odp.: C