Trójkąty prostokątne - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Trójkąty prostokątne - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Twierdzenie Pitagorasa

Twierdzenie Pitagorasa

Jeśli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.

`a^2+b^2=c^2`  

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa

Znając długości trzech boków trójkąta jesteśmy w stanie stwierdzić czy jest on prostokątny.

Wystarczy sprawdzić czy suma kwadratów długości dwóch krótszych boków jest równa kwadratowi długości najdłuższego boku.

Takie twierdzenie nazywamy twierdzeniem odwrotnym do twierdzenia Pitagorasa.

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa:

Jeśli w trójkącie suma kwadratów długości dwóch krótszych boków jest równa kwadratowi długości najdłuższego boku, to trójkąt jest prostokątny.

Przekątna kwadratu

Dzięki znajomości twierdzenia Pitagorasa jesteśmy w stanie obliczyć długość przekątnej kwadratu znając długość jego boku.

przekatna

`a`  - długość boku kwadratu 

`d`  - długość przekątnej kwadratu 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa mamy: 
`a^2+a^2=d^2`  
`2a^2=d^2`  
`d=sqrt{2a^2}` 
`d=sqrt{2}*sqrt{a^2}`
`d=asqrt{2}` 

Przekątna kwadratu o boku długości `a` ma długość:

`d=asqrt{2}` 

Wysokość i pole trójkąta równobocznego

Dzięki twierdzeniu Pitagorasa, oprócz długości przekątnej kwadratu, jesteśmy również w stanie obliczyć długość wysokości oraz pole trójkąta równobocznego znając długość jego boku.

`a`  - długość boku trójkąta 

`h`  - długość wysokości trójkąta 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa mamy: 
`(1/2a)^2+h^2=a^2` 
`1/4a^2+h^2=a^2 \ \ \ \ \ \ \ \ |-1/4a^2`  
`h^2=3/4a^2`    
`h=sqrt{3/4a^2}` 
`h=sqrt{3a^2}/sqrt{4}` 
`h=(asqrt{3})/2`  

Wysokość trójkąta równobocznego o boku długości `a`  możemy obliczyć ze wzoru:

`h=(asqrt{3})/2` 
 

Znając długość podstawy i długość wysokości jesteśmy w stanie obliczyć ile wynosi pole trójkąta równobocznego.

`P=1/2*a*h=1/2*a*(asqrt{3})/2=(a^2sqrt{3})/4` 

 Pole trójkąta równobocznego o boku długości  `a`  możemy obliczyć ze wzoru:

`P=(a^2sqrt{3})/4`  

Trójkąty o kątach 45°, 45°, 90° oraz 30°, 60°, 90°

Istnieją dwa rodzaje trójkątów prostokątnych, w których dzięki kątom znamy zależności między długościami ich boków.

Znajomość tych zależności ułatwi i przyspieszy rozwiązywanie zadań!

  1. Trójkąt o kątach 45°, 45°, 90° (prostokątny równoramienny).

    Jest to połowa kwadratu o boku `a`, dlatego przeciwprostokątna ma długość `asqrt{2}` 



  2. Trójkąt o kątach 30°, 60°, 90°

    Jest to połowa trójkąta równobocznego o boku `2a` .

 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Oblicz długość przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych długości:

  1. 3 i 5
  2. 1 i √2
  3. $√2$ i $√3$

Z twierdzenia pitagorasa ($a^2+b^2=c^2$) obliczam długość trzeciego boku:

  1. $3^2+5^2=c^2 $

    $34=c^2 $

    $c=√34 $
     
  2. $1^2+{(√2)}^2=c^2 $

    $1+2=c^2 $

    $c=√3 $
     
  3. ${(√2)}^2+{(√3)}^2=c^2 $

    $2+3=c^2$

    $c=√5$
     

Zadanie 2.

Oblicz pole trójkąta prostokątnego o bokach długości:

  1. 3 cm, 4 cm i 5 cm
  2. 5 cm, 12 cm i 13 cm

Pole trójkąta prostokątnego można obliczyć ze wzoru: $ P={a×b}/2 $, gdzie a i b to przyprostokątne. Przyprostokątne to zawsze dwa krótsze boki trójkąta prostokątnego.

  1. $ P={3×4}/2={12}/2=6 cm^2 $
  2. $ P={5×12}/2={60}/2=30 cm^2 $

Zadanie 3.

Oblicz długość przekątnej kwadratu o boku długości:

  1. 5
  2. $3√2$
  3. $5√3$

Aby obliczyć przekątną kwadratu należy posłużyć się wzorem $a√2$, gdzie a oznacza długość boku kwadratu.

  1. $ 5×√2=5√2 $
  2. $ 3√2×√2=3×2=6 $
  3. $ 5√3×√2=5√6 $

Zadanie 4.

O ile procent przekątna kwadratu jest dłuższa od jego boku? Wynik zaokrąglij do części dziesiątych procenta.

${a√2-a}/{a}×100%=(√2-1)×100%≈(1,414-1)×100%=0,414×100%=41,4% $

Odp.: Przekątna kwadratu jest dłuższa od jego boku o ok. 41,4%.

Zadanie 5.

Oblicz długość przekątnej prostokąta o bokach długości 2 dm i 5 cm.

$2 dm=20 cm$
 

Obliczam przekątną z twierdzenia pitagorasa przyjmując przekątną, jako trzeci bok trójkąta prostokątnego:

$ {20}^3+5^2=c^2 $

$400+25=c^2$

$c=√425=5√17 cm $
 

Odp.: Przekątna tego prostokąta ma długość $5√17$ cm.

Zadanie 6.

Czy istnieje trójkąt prostokątny o bokach długości 2, 5 i 6?

Trójkąt jest prostokątny, gdy długości jego boków spełniają równanie $a^2+b^2=c^2$.

$2^2+5^2$ ? $6^2 $

$4+25$ ? $36$

$29≠36$ -> trójkąt nie jest prostokątny

Odp.: Nie istnieje trójkąt prostokątny o podanych bokach.

 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Prawdopodobieństwo otrzymania kul w jednym...

Zawartość urny to:

- 2 kule czerwone

- 2 kule białe


Obliczmy, ile jest wszystkich możliwości wylosowania 4 kul, jeśli będziemy losować kule ze zwracaniem:

{premium}  


A- zdarzenie polegające na wylosowaniu czterech kul w jednym kolorze:

 


Obliczmy prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A:

 


Odp.: B.

Jakie wymiary musi mieć...

Dane: 

Krawędź podstawy: `a` 

Krawędź boczna: `l = 2  a` 

Długość drutu, z którego budujemy ostrosłup: `L = 5,4\ m` 

Szukane:

Długość krawędzi podstawy: `a = ?` 

Długość krawędzi bocznej: `l = ?` 

Rozwiązanie:

Ostrosłup prawidłowy pięciokątny ma w podstawie pięciokąt foremny. Z tego wynika, że ma on `5` krawędzi podstawy oraz `5` krawędzi bocznych. Z tego wynika, że całkowitą długość drutu potrzebną na zbudowanie szkieletu ostrosłupa możemy przedstawić równaniem:{premium}

`L = 5*a + 5*l` 

Wówczas:

`5*a + 5*l = 5,4\ m` 

`5*a + 5*2*a = 5,4\ m` 

`5*a + 10*a = 5,4\ m` 

`15*a = 5,4\ m\ \ \ \ \ \ |:15` 

`a = (5,4)/15\ m` 

`a = 0,36\ m` 

`a = 3,6\ dm` 

Z tego wynika, że krawędź boczna ma długość:

`l = 2  a` 

`l = 2 * 0,36\ m` 

`l = 0,72\ m` 

 

Odpowiedź: `bb(C.)` Krawędź podstawy `3,6\ dm`, krawędź boczna `0,72\ m`.

Wykres przedstawia, ile kilometrów autostrad...

 Obliczamy, ile kilometrów autostrad przybywało w kolejnych latach.

W latach  przybyło   

W latach  przybyły   

W latach  przybyło   

W latach  {premium}  przybyło   

W latach  ubyły   

W latach  przybyło   

W latach  przybyło   

W latach  przybyło   

W latach  przybyły   

W latach  przybyły   

W latach  przybyło   

W latach  przybyło   

W latach  przybyło   

Nanosimy wartości na wykres:

 

 W luki należy wpisać kolejno: 

 

  

   

 

Obliczenia do ostatniej luki:

Obliczamy średnią długość zbudowanych autostrad w latach  

 

Obliczamy, o ile wzrosła średnia:

 

W ostatniej luce należy wpisać       

W trójkącie prostokątnym jedna przyprostokątna ma długość 5...

Wprowadźmy następujące oznaczenia:

 

 

  -długość drugiej przyprostokątnej

Korzystając  z twierdzenia Pitagorasa wiemy, że:

      {premium}

 

 

 

 


Odp.: C

W punkty A i B zaznaczone na kartonie w odległości 2 cm...

a) Trasa, po której porusza się rysik wyglądała w następujący sposób:  {premium}

podglad pliku

b) Obliczmy długość tej trasy:

 


Odp.: Długość tej trasy wynosi 12π cm.

Oceń prawdziwość podanych zdań ...

Skala 1:20 to skala zmniejszająca, czyli został narysowany odcinek 20 razy mniejszy niż w rzeczywistości.  {premium}

Jeśli odcinek na rysunku jest 20 raz dłuższy niz w rzeczywistości, to znaczy, że został narysowany w skali 1:20. P F

 

Skala 1:350 000 oznacza:

1 cm na mapie to 350 000 cm w rzeczywistości.

1 cm na mapie to 3 500 m w rzeczywistości.

1 cm na mapie to 3,5 km w rzeczywistości.

Odległość w takiej skali jest mniejsza niż odległość w skali 1 cm - 3 km.

Odległość między Warszawą i Gdańskiem narysowana na mapie w skali 1:350 000 jest mniejsza niż ta sama odległość narysowana w skali 1 cm - 3 km. P F
Uzupełnij zdania. Wybierz ...

Obliczamy ile wynosi wartość każdego z podanych wyrażeń. {premium}

 

Poprawna odpowiedź: A. 21


 

Poprawna odpowiedź: D. 15

Krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego ...

a)   Rysujemy ostrosłup prawidłowy czworokątny, którego podstawą jest kwadrat o boku ,
      a krawędzie boczne mają długość .

Thumb str. 123   2a{premium}


b)   Przekrój zawierający przeciwległe krawędzie boczne jest trójkątem równoramiennym.

Thumb str. 123   2b


c)   Aby narysować ten przekrój w naturalnej wielkości, musimy najpierw narysować kwadrat
      o boku długości  oraz jego przekątną.

Thumb str. 123   2c

Następnie rysujemy prostą. Mierzymy cyrklem przekątną kwadratu i odkładamy odcinek takiej długości na narysowanej prostej - jest to podstawa trójkąta będącego przekrojem ostrosłupa.

Odmierzamy cyrklem odcinek długości  i zakreślamy łuki z obu końców zaznaczonego odcinka.

Łączymy końce odcinka z miejscem przecięcia łuków.

Thumb str. 123   2c.


d)   Oś symetrii tego przekroju pokrywa się z wysokością ostrosłupa. Na rysunku zaznaczona
      została kolorem czerwonym.

Thumb str. 123   2d

Wynik pomiaru zapisano za pomocą liczby ...

a) Szukamy takiej liczby, która ma 5 cyfr po przecinku. Ostatnia cyfra po przecinku nie wynosi 0.

Zaokrąglenie tej liczby do części dziesiątych ma wynosić 1. 

Największa taka liczba to: {premium} 1,04999

Najmniejsza taka liczba to: 0,95001

 

b) Szukamy takiej liczby, która ma 5 cyfr po przecinku. Ostatnia cyfra po przecinku nie wynosi 0.

Zaokrąglenie tej liczby do części setnych ma wynosić 1. 

Największa taka liczba to: 1,00499

Najmniejsza taka liczba to: 0,99501

Uczniowie klasy 8 a wybrali ...

W klasie jest 32 uczniów. 


Zwyciężyła Ola, która uzyskała mniej niż połowę głosów. 

 

Ola mogła uzyskać więc 15, 14, 13, 12, 11, ... głosów. {premium}

Wiemy również, że Paweł i Romek uzyskali po tyle samo głosów.


Zastanówmy się teraz ile głosów mogła uzyskać Ola i każdy z jej rywali. 

Pamiętajmy jednak, że Ola wygrała, więc musi ona mieć więcej głosów niż każdy z chłopców. 

  • Jeśli Ola uzyskałaby 15 głosów, to każdy z pozostałych dwóch chłopców otrzymałby: 

     

    Chłopcy nie mogli otrzymać po 8,5 głosu. Mogli uzyskać 8 lub 9 głosów. Ilość głosów jest liczbą naturalną. 

    Sytuacja ta jest więc niemożliwa. 

  • Jeśli Ola uzyskałaby 14 głosów, to każdy z pozostałych dwóch chłopców otrzymałby: 

     

    Każdy z chłopców otrzymałby po 9 głosów, czyli mniej niż uzyskała Ola. 

    Sytuacja ta jest możliwa. 

  • Jeśli Ola uzyskałaby 13 głosów, to każdy z pozostałych dwóch chłopców otrzymałby: 

     

    Chłopcy nie mogli otrzymać po 9,5 głosu. Mogli uzyskać 9 lub 10 głosów. Ilość głosów jest liczbą naturalną. 

    Sytuacja ta jest więc niemożliwa. 

  • Jeśli Ola uzyskałaby 12 głosów, to każdy z pozostałych dwóch chłopców otrzymałby: 

     

    Każdy z chłopców
    otrzymałby po 10 głosów, czyli mniej niż uzyskała Ola. 

    Sytuacja ta jest możliwa. 

  • Jeśli Jeśli Ola uzyskałaby 11 głosów, to każdy z pozostałych dwóch chłopców otrzymałby: 

     

    Chłopcy nie mogli otrzymać po 10,5 głosu. Mogli uzyskać 10 lub 11 głosów. Ilość głosów jest liczbą naturalną. 

    Sytuacja ta jest więc niemożliwa. 

  • Jeśli Ola uzyskałaby 10 głosów, to każdy z pozostałych dwóch chłopców otrzymałby: 

     

    Każdy z chłopców otrzymałby po 11 głosów, czyli więcej niż Ola. 

    Sytuacja ta nie jest więc możliwa, gdyż Ola wygrała wybory, więc musiała mieć najwięcej głosów. 


W każdym kolejnym przypadku chłopcy uzyskiwaliby więcej głosów niż Ola. 


Możliwe rozwiązania to: 

  • Ola - 14 głosów 

    Paweł - 9 głosów 

    Romek - 9 głosów

  • Ola - 12 głosów 

    Paweł 10 głosów 

    Romek - 10 głosów