Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Trójkąty prostokątne - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Twierdzenie Pitagorasa

Twierdzenie Pitagorasa

Jeśli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.

`a^2+b^2=c^2`  

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa

Znając długości trzech boków trójkąta jesteśmy w stanie stwierdzić czy jest on prostokątny.

Wystarczy sprawdzić czy suma kwadratów długości dwóch krótszych boków jest równa kwadratowi długości najdłuższego boku.

Takie twierdzenie nazywamy twierdzeniem odwrotnym do twierdzenia Pitagorasa.

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa:

Jeśli w trójkącie suma kwadratów długości dwóch krótszych boków jest równa kwadratowi długości najdłuższego boku, to trójkąt jest prostokątny.

Przekątna kwadratu

Dzięki znajomości twierdzenia Pitagorasa jesteśmy w stanie obliczyć długość przekątnej kwadratu znając długość jego boku.

przekatna

`a`  - długość boku kwadratu 

`d`  - długość przekątnej kwadratu 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa mamy: 
`a^2+a^2=d^2`  
`2a^2=d^2`  
`d=sqrt{2a^2}` 
`d=sqrt{2}*sqrt{a^2}`
`d=asqrt{2}` 

Przekątna kwadratu o boku długości `a` ma długość:

`d=asqrt{2}` 

Wysokość i pole trójkąta równobocznego

Dzięki twierdzeniu Pitagorasa, oprócz długości przekątnej kwadratu, jesteśmy również w stanie obliczyć długość wysokości oraz pole trójkąta równobocznego znając długość jego boku.

`a`  - długość boku trójkąta 

`h`  - długość wysokości trójkąta 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa mamy: 
`(1/2a)^2+h^2=a^2` 
`1/4a^2+h^2=a^2 \ \ \ \ \ \ \ \ |-1/4a^2`  
`h^2=3/4a^2`    
`h=sqrt{3/4a^2}` 
`h=sqrt{3a^2}/sqrt{4}` 
`h=(asqrt{3})/2`  

Wysokość trójkąta równobocznego o boku długości `a`  możemy obliczyć ze wzoru:

`h=(asqrt{3})/2` 
 

Znając długość podstawy i długość wysokości jesteśmy w stanie obliczyć ile wynosi pole trójkąta równobocznego.

`P=1/2*a*h=1/2*a*(asqrt{3})/2=(a^2sqrt{3})/4` 

 Pole trójkąta równobocznego o boku długości  `a`  możemy obliczyć ze wzoru:

`P=(a^2sqrt{3})/4`  

Trójkąty o kątach 45°, 45°, 90° oraz 30°, 60°, 90°

Istnieją dwa rodzaje trójkątów prostokątnych, w których dzięki kątom znamy zależności między długościami ich boków.

Znajomość tych zależności ułatwi i przyspieszy rozwiązywanie zadań!

  1. Trójkąt o kątach 45°, 45°, 90° (prostokątny równoramienny).

    Jest to połowa kwadratu o boku `a`, dlatego przeciwprostokątna ma długość `asqrt{2}` 



  2. Trójkąt o kątach 30°, 60°, 90°

    Jest to połowa trójkąta równobocznego o boku `2a` .

 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Oblicz długość przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych długości:

  1. 3 i 5
  2. 1 i √2
  3. $$√2$$ i $$√3$$

Z twierdzenia pitagorasa ($$a^2+b^2=c^2$$) obliczam długość trzeciego boku:

  1. $$3^2+5^2=c^2 $$

    $$34=c^2 $$

    $$c=√34 $$
     
  2. $$1^2+{(√2)}^2=c^2 $$

    $$1+2=c^2 $$

    $$c=√3 $$
     
  3. $${(√2)}^2+{(√3)}^2=c^2 $$

    $$2+3=c^2$$

    $$c=√5$$
     

Zadanie 2.

Oblicz pole trójkąta prostokątnego o bokach długości:

  1. 3 cm, 4 cm i 5 cm
  2. 5 cm, 12 cm i 13 cm

Pole trójkąta prostokątnego można obliczyć ze wzoru: $$ P={a×b}/2 $$, gdzie a i b to przyprostokątne. Przyprostokątne to zawsze dwa krótsze boki trójkąta prostokątnego.

  1. $$ P={3×4}/2={12}/2=6 cm^2 $$
  2. $$ P={5×12}/2={60}/2=30 cm^2 $$

Zadanie 3.

Oblicz długość przekątnej kwadratu o boku długości:

  1. 5
  2. $$3√2$$
  3. $$5√3$$

Aby obliczyć przekątną kwadratu należy posłużyć się wzorem $$a√2$$, gdzie a oznacza długość boku kwadratu.

  1. $$ 5×√2=5√2 $$
  2. $$ 3√2×√2=3×2=6 $$
  3. $$ 5√3×√2=5√6 $$

Zadanie 4.

O ile procent przekątna kwadratu jest dłuższa od jego boku? Wynik zaokrąglij do części dziesiątych procenta.

$${a√2-a}/{a}×100%=(√2-1)×100%≈(1,414-1)×100%=0,414×100%=41,4% $$

Odp.: Przekątna kwadratu jest dłuższa od jego boku o ok. 41,4%.

Zadanie 5.

Oblicz długość przekątnej prostokąta o bokach długości 2 dm i 5 cm.

$$2 dm=20 cm$$
 

Obliczam przekątną z twierdzenia pitagorasa przyjmując przekątną, jako trzeci bok trójkąta prostokątnego:

$$ {20}^3+5^2=c^2 $$

$$400+25=c^2$$

$$c=√425=5√17 cm $$
 

Odp.: Przekątna tego prostokąta ma długość $$5√17$$ cm.

Zadanie 6.

Czy istnieje trójkąt prostokątny o bokach długości 2, 5 i 6?

Trójkąt jest prostokątny, gdy długości jego boków spełniają równanie $$a^2+b^2=c^2$$.

$$2^2+5^2$$ ? $$6^2 $$

$$4+25$$ ? $$36$$

$$29≠36$$ -> trójkąt nie jest prostokątny

Odp.: Nie istnieje trójkąt prostokątny o podanych bokach.

 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Oblicz obwód wielokąta zaznaczonego niebieską linią.

a) Najpierw obliczamy długość odcinka x, który jest przekątną mniejszego kwadratu o boku długości 4.  
`x=4sqrt{2}` 


Następnie obliczamy długość odcinka y. Odcinek y oraz odcinek długości 4 to bok kwadratu, który ma długość 7. 
`y+4=7 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |-4` 
`y=3` 

{premium}
Obliczamy długość odcinka z, który jest przekątną kwadratu o boku długości 7. 
`z=7sqrt{2}` 


Obwód wielokąta wynosi:
`Obw.=4+7+4sqrt{2}+3+7sqrt{2}=14+11sqrt{2}` 
`ul(ul( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 


b) Obliczamy długość przekątnej mniejszego kwadratu, który ma bok długości 3. 
`x=3sqrt{2}` 
Mamy dwa odcinki takiej długości. 

Obliczamy teraz długość przekątnej większego kwadratu, którego bok ma długość 6. 
`y=6sqrt{2}` 


Obwód wielokąta wynosi:
`Obw.=2*3sqrt{2}+6sqrt{2}+6=6sqrt{2}+6sqrt{2}+6=6+12sqrt{2}`   
`ul(ul( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 


c) Obliczamy długość wysokości trójkąta równobocznego o boku długości 6. 
`h=(6sqrt{3})/2=3sqrt{3}` 


Obwód wielokąta to:
`Obw.=6+3+3+3sqrt{3}=12+3sqrt{3}` 

Dany jest graniastosłup prawidłowy czworokątny ...

Przyjmijmy oznaczenia jak rysunku poniżej. {premium}

Podstawą graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat.

Długość przekątnej kwadratu wynosi `asqrt(2)`, gdzie `a` oznacza długość boku kwadratu.

Krawędź podstawy ma długość `2sqrt(2) \ "cm"` 

`a=2sqrt(2)` 

zatem przekątna podstawy `x` jest długości:

`x=asqrt(2)=2*2=4 \ ["cm"]` 

 

Wysokość graniastosłupa `y` obliczmy korzystając z twierdzenia Pitagorasa.

`5^2=x^2+y^2` 

`25=16+y^2 \ \ \ \ \ \ \|-16` 

`9=y^2` 

`y=3 \ ["cm"]` 

 

Odpowiedź: Wysokość graniastosłupa jest równa `3 \ "cm"`.

Wskaż wszystkie poprawne zakończenia ...

Najpierw zaczniemy od zamiany `0,05 \ "m"^3` na `"dm"^3`.{premium}

`0,05 \ "m"^3=0,05*1 \ "m"^3=0,05 *(10 \ "dm")^3=0,05 *1000 \ "dm"^3=5*10 \ "dm"^3=50 \ "dm"^3` 

 

Następnie `0,05 \ "m"^3` zamienimy na `"cm"^3`.

`0,05 \ "m"^3=0,05*1 \ "m"^3=0,05 *(100 \ "cm")^3=0,05 *1000000 \ "cm"^3=5*10000 \ "cm"^3=`

`=50000 \ "cm"^3`  

 

Odpowiedzi: A. i D.

W kącie pokoju Tomka leży papierek z kawałkiem niedojedzonego batonika ...

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej. 



Długość odcinka {premium}`a` to długość przekątnej kwadratu o boku `4 \ "m"`, zatem odcinek `a` ma długość:

`a=4sqrt(2) \ "m"` 


Długość odcinka `x` (drogę muchy) możemy obliczyć z twierdzenia Pitagorasa:

`4^2+(4sqrt(2))^2=x^2` 

`16+32=x^2` 

`48=x^2` 

`x=sqrt(48)=sqrt(16*3)=4sqrt(3)~~4*1,7=6,8 \ ["m"]`


Długości odcinków `y` i `z` również możemy obliczyć z twierdzenia Pitagorasa:

`2^2+4^2=y^2` 

`4+16=y^2` 

`20=y^2` 

`y=sqrt(20)=sqrt(4*5)=2sqrt(5)~~2*2,2=4,4 \ ["m"]`

 

`2^2+8^2=z^2` 

`4+64=z^2` 

`68=z^2` 

`z=sqrt(68)=sqrt(4*17)=2sqrt(17)~~2*4,1=8,2 \ ["m"]`

 

Suma długości odcinków `y` i `z` to długość drogi, którą musi pokonać mrówka:

`y+z=4,4+8,2=12,6 \ ["m"]` 

 

Obliczamy o ile dłuższa jest droga mrówki.

`12,6 \ "m"-6,8 \ "m"=5,8 \ "m"`

 

Odpowiedź: Droga mrówki jest dłuższa od drogi muchy o około `5,8 \ "m"` 

Niektóre z najmniejszych znanych gwiazd zwane są białymi karłami. Są one bardzo masywne. Astronomowie twierdzą, że 1cm

Obliczmy ile waży biały karzeł. {premium}

`10^6\ "g" = 1\ 000\ 000\ "g"=1000\ "kg"=1\ "t"`

 

Odp. Nie jest to możliwe.

Kostka o zadanej wielkości ważyłaby tonę, a jest to wielkość

kilkukrotnie przekraczająca obecny rekord świata w podnoszeniu ciężarów.

Roman pisze powieść. Ma już 1/3 zaplanowanej liczby stron. ...

`x` - liczba stron powieści


Możemy zapisać równanie:  {premium}

`1/3x+37=1/2x \ \ \ \ \ \ \|*6` 

`2x+222=3x \ \ \ \ \ \ \ |-2x` 

`x=222` 

Odpowiedź: Powieść ma liczyć 222 stron. 

Czy boki trójkąta mogą mieć długości 3 cm, 6 cm i 10 cm?

W każdym trójkącie suma długości dwóch najkrótszych boków musi być większa niż długość najdłuższego boku. {premium}

`3 \ "cm"+6 \ "cm"=9 \ "cm" \ < \ 10 \ "cm"` 

Boki trójkąta nie mogą więc mieć długości 3 cm, 6 cm i 10 cm.  

Zapisz dwie zależności wynikające z twierdzenia Pitagorasa:

a) Zależność w niebieskim trójkącie:
`a^2+b^2=e^2` 

{premium}

Zależność w szarym trójkącie:
`c^2+e^2=d^2` 
`ul(ul( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 


b) Zależność w niebieskim trójkącie:
`u^2+z^2=w^2` 


Zależność w szarym trójkącie:
`x^2+y^2=w^2` 
`ul(ul( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 


c) Zależność w niebieskim trójkącie:
`t^2+r^2=s^2` 


Zależność w szarym trójkącie:
`p^2+r^2=q^2` 

Oblicz objętość prostopadłościanu ...

Jest to prostopadłościan o wymiarach 2p, 1,5p i 0,5p. {premium}

`V=2p*1,5p*0,5p=1,5p^3` 

Dane są prostokąty o wymiarach:...

Prostokąty mają następujące wymiary:

`I. \ (2x+30) \ "cm" xx (x+20) \ "cm"` 

`II. \ (2x+10) \ "cm" xx (x+10) \ "cm"` 

wiemy, że różnica ich pól wynosi `900 \ "cm"^2` 

zatem:

`(2x+30)(x+20)=900+(2x+10)(x+10)` 
{premium}

`2x^2+40x+30x+600=900+2x^2+20x+10x+100` 

`2x^2+70x+600=1000+2x^2+30x \ \ |-2x^2` 

`70x+600=1000+30x \ \ |-30x` 

`40x+600=1000 \ \ |-600` 

`40x=400 \ \|:40` 

`x=10` 


Obliczmy obwód I prostokąta:

`L_1=2*(2x+30)+2*(x+20)=4x+60+2x+40=6x+100` 

`x=10` 

zatem:

`L_1=6*10+100=60+100=160 \ "[cm]"` 


Obliczmy obwód II prostokąta:

`L_2=2*(2x+10)+2*(x+10)=4x+20+2x+20=6x+40` 

`x=10` 

zatem:

`L_2=6*10+40=60+40=100 \ "[cm]"` 


Odp.: Obwód I prostokąta wynosi 160 cm, a obwód II prostokąta wynosi 100 cm.