Trójkąty prostokątne - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Twierdzenie Pitagorasa

Twierdzenie Pitagorasa

Jeśli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.

`a^2+b^2=c^2`  

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa

Znając długości trzech boków trójkąta jesteśmy w stanie stwierdzić czy jest on prostokątny.

Wystarczy sprawdzić czy suma kwadratów długości dwóch krótszych boków jest równa kwadratowi długości najdłuższego boku.

Takie twierdzenie nazywamy twierdzeniem odwrotnym do twierdzenia Pitagorasa.

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa:

Jeśli w trójkącie suma kwadratów długości dwóch krótszych boków jest równa kwadratowi długości najdłuższego boku, to trójkąt jest prostokątny.

Przekątna kwadratu

Dzięki znajomości twierdzenia Pitagorasa jesteśmy w stanie obliczyć długość przekątnej kwadratu znając długość jego boku.

przekatna

`a`  - długość boku kwadratu 

`d`  - długość przekątnej kwadratu 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa mamy: 
`a^2+a^2=d^2`  
`2a^2=d^2`  
`d=sqrt{2a^2}` 
`d=sqrt{2}*sqrt{a^2}`
`d=asqrt{2}` 

Przekątna kwadratu o boku długości `a` ma długość:

`d=asqrt{2}` 

Wysokość i pole trójkąta równobocznego

Dzięki twierdzeniu Pitagorasa, oprócz długości przekątnej kwadratu, jesteśmy również w stanie obliczyć długość wysokości oraz pole trójkąta równobocznego znając długość jego boku.

`a`  - długość boku trójkąta 

`h`  - długość wysokości trójkąta 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa mamy: 
`(1/2a)^2+h^2=a^2` 
`1/4a^2+h^2=a^2 \ \ \ \ \ \ \ \ |-1/4a^2`  
`h^2=3/4a^2`    
`h=sqrt{3/4a^2}` 
`h=sqrt{3a^2}/sqrt{4}` 
`h=(asqrt{3})/2`  

Wysokość trójkąta równobocznego o boku długości `a`  możemy obliczyć ze wzoru:

`h=(asqrt{3})/2` 
 

Znając długość podstawy i długość wysokości jesteśmy w stanie obliczyć ile wynosi pole trójkąta równobocznego.

`P=1/2*a*h=1/2*a*(asqrt{3})/2=(a^2sqrt{3})/4` 

 Pole trójkąta równobocznego o boku długości  `a`  możemy obliczyć ze wzoru:

`P=(a^2sqrt{3})/4`  

Trójkąty o kątach 45°, 45°, 90° oraz 30°, 60°, 90°

Istnieją dwa rodzaje trójkątów prostokątnych, w których dzięki kątom znamy zależności między długościami ich boków.

Znajomość tych zależności ułatwi i przyspieszy rozwiązywanie zadań!

  1. Trójkąt o kątach 45°, 45°, 90° (prostokątny równoramienny).

    Jest to połowa kwadratu o boku `a`, dlatego przeciwprostokątna ma długość `asqrt{2}` 



  2. Trójkąt o kątach 30°, 60°, 90°

    Jest to połowa trójkąta równobocznego o boku `2a` .

 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Oblicz długość przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych długości:

  1. 3 i 5
  2. 1 i √2
  3. $$√2$$ i $$√3$$

Z twierdzenia pitagorasa ($$a^2+b^2=c^2$$) obliczam długość trzeciego boku:

  1. $$3^2+5^2=c^2 $$

    $$34=c^2 $$

    $$c=√34 $$
     
  2. $$1^2+{(√2)}^2=c^2 $$

    $$1+2=c^2 $$

    $$c=√3 $$
     
  3. $${(√2)}^2+{(√3)}^2=c^2 $$

    $$2+3=c^2$$

    $$c=√5$$
     

Zadanie 2.

Oblicz pole trójkąta prostokątnego o bokach długości:

  1. 3 cm, 4 cm i 5 cm
  2. 5 cm, 12 cm i 13 cm

Pole trójkąta prostokątnego można obliczyć ze wzoru: $$ P={a×b}/2 $$, gdzie a i b to przyprostokątne. Przyprostokątne to zawsze dwa krótsze boki trójkąta prostokątnego.

  1. $$ P={3×4}/2={12}/2=6 cm^2 $$
  2. $$ P={5×12}/2={60}/2=30 cm^2 $$

Zadanie 3.

Oblicz długość przekątnej kwadratu o boku długości:

  1. 5
  2. $$3√2$$
  3. $$5√3$$

Aby obliczyć przekątną kwadratu należy posłużyć się wzorem $$a√2$$, gdzie a oznacza długość boku kwadratu.

  1. $$ 5×√2=5√2 $$
  2. $$ 3√2×√2=3×2=6 $$
  3. $$ 5√3×√2=5√6 $$

Zadanie 4.

O ile procent przekątna kwadratu jest dłuższa od jego boku? Wynik zaokrąglij do części dziesiątych procenta.

$${a√2-a}/{a}×100%=(√2-1)×100%≈(1,414-1)×100%=0,414×100%=41,4% $$

Odp.: Przekątna kwadratu jest dłuższa od jego boku o ok. 41,4%.

Zadanie 5.

Oblicz długość przekątnej prostokąta o bokach długości 2 dm i 5 cm.

$$2 dm=20 cm$$
 

Obliczam przekątną z twierdzenia pitagorasa przyjmując przekątną, jako trzeci bok trójkąta prostokątnego:

$$ {20}^3+5^2=c^2 $$

$$400+25=c^2$$

$$c=√425=5√17 cm $$
 

Odp.: Przekątna tego prostokąta ma długość $$5√17$$ cm.

Zadanie 6.

Czy istnieje trójkąt prostokątny o bokach długości 2, 5 i 6?

Trójkąt jest prostokątny, gdy długości jego boków spełniają równanie $$a^2+b^2=c^2$$.

$$2^2+5^2$$ ? $$6^2 $$

$$4+25$$ ? $$36$$

$$29≠36$$ -> trójkąt nie jest prostokątny

Odp.: Nie istnieje trójkąt prostokątny o podanych bokach.

 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Uporządkuj liczby...

Zauważmy, że:

 

 {premium}

 

 

 

 

Uporządkujmy liczby rosnąco:

 

Zapisz za pomocą czterech znaków ...

Za pomocą 4 znaków rzymskich chcemy zapisać najmniejszą możliwą liczbę. 

Aby znaleźć taką liczbę musimy możliwie najwięcej razy użyć znaków{premium} I i V, gdyż mają one najmniejszą wartość w systemie rzymskim. 

Taka liczba to: VIII

 

Za pomocą 4 znaków rzymskich chcemy zapisać największą możliwą liczbę. 

Aby znaleźć taką liczbę musimy możliwie najwięcej razy użyć znaków M i D, gdyż mają one największą wartość w systemie rzymskim. 

Taka liczba to: MMMD

Wykonaj...

Korzystamy z wzoru:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 {premium}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Przedstaw...

 

 

 

 {premium}

 

 

 


 

 

 

 

 

 

 

 

 

10% powierzchni...

Obliczamy  z powierzchni :

 

 

 {premium}

 

 

 

 

Odpowiedź:

 

 

 

Cena płaszcza wynosiła x zł, a kurtki y zł ( x>y). Płaszcz staniał

Cena płaszcza: x

Cena płaszcza po obniżce:

{premium}

Cena kurtki: y

Cena kurtki po obniżce:

 

 

Obliczmy różnicę nowych cen:

 

Odp. C

W czworokącie ABCD boki DA i AB są równej długości ...

Rysunek pomocniczy:

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.

Z treści zadania wiadomo, że |AD|=|AB|=b, |BC|=|CD|=a. {premium}

 

Rozpatrzmy trójkąt ACD i trójkąt ABC.

|AB|=|AD|

|BC|=|CD| 

|AC|=|AC|

|CK|=|BC| 

Zauważmy, że są to trójkąty przystające na mocy cechy BBB. 

Wobec tego pozostałe boki i kąty również są takie same.

Zatem  .

Kąty przy wierzchołkach B i D są równe, co należało pokazać.

Które figury są przystające do F?

Figury przystające mają taki sam kształt i taką samą wielkość (można je na siebie nałożyć). 

Zauważmy, że:

- figura I jest przystająca do figury  {premium}

- figura II jest przystająca do figury

- figura III jest przystająca do figury

- figura IV jest przystająca do figury


Odp.: Wszystkie figury są przystające do figury F.

Szklane naczynie w kształcie prostopadłościanu ...

Ścianą o największej powierzchni jest ta o wymiarach .

podglad pliku{premium}

Obliczamy objętość wody.

 


Ścianą o najmniejszej powierzchni jest ta o wymiarach .

Objętość wody nie zmieni się po postawieniu naczynia na innej ścianie.

Obliczamy do jakiej wysokości woda sięgała - wysokość tę oznaczamy przez .

 

 

 

 

podglad pliku


Odpowiedź: C

Obwód koła o średnicy 60 cm...

Początkowo średnica koła wynosiła , czyli jego promień wynosił:

  

Wówczas obwód tego koła wynosi:

 

Obwód tego koła zwiększamy {premium}o , czyli:

 

 

 

Wówczas promień koła o zwiększonym obwodzie będzie wynosił:

 

 

 

 

Odpowiedź: