Trójkąty prostokątne - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Trójkąty prostokątne - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Twierdzenie Pitagorasa

Twierdzenie Pitagorasa

Jeśli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.

`a^2+b^2=c^2`  

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa

Znając długości trzech boków trójkąta jesteśmy w stanie stwierdzić czy jest on prostokątny.

Wystarczy sprawdzić czy suma kwadratów długości dwóch krótszych boków jest równa kwadratowi długości najdłuższego boku.

Takie twierdzenie nazywamy twierdzeniem odwrotnym do twierdzenia Pitagorasa.

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa:

Jeśli w trójkącie suma kwadratów długości dwóch krótszych boków jest równa kwadratowi długości najdłuższego boku, to trójkąt jest prostokątny.

Przekątna kwadratu

Dzięki znajomości twierdzenia Pitagorasa jesteśmy w stanie obliczyć długość przekątnej kwadratu znając długość jego boku.

przekatna

`a`  - długość boku kwadratu 

`d`  - długość przekątnej kwadratu 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa mamy: 
`a^2+a^2=d^2`  
`2a^2=d^2`  
`d=sqrt{2a^2}` 
`d=sqrt{2}*sqrt{a^2}`
`d=asqrt{2}` 

Przekątna kwadratu o boku długości `a` ma długość:

`d=asqrt{2}` 

Wysokość i pole trójkąta równobocznego

Dzięki twierdzeniu Pitagorasa, oprócz długości przekątnej kwadratu, jesteśmy również w stanie obliczyć długość wysokości oraz pole trójkąta równobocznego znając długość jego boku.

`a`  - długość boku trójkąta 

`h`  - długość wysokości trójkąta 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa mamy: 
`(1/2a)^2+h^2=a^2` 
`1/4a^2+h^2=a^2 \ \ \ \ \ \ \ \ |-1/4a^2`  
`h^2=3/4a^2`    
`h=sqrt{3/4a^2}` 
`h=sqrt{3a^2}/sqrt{4}` 
`h=(asqrt{3})/2`  

Wysokość trójkąta równobocznego o boku długości `a`  możemy obliczyć ze wzoru:

`h=(asqrt{3})/2` 
 

Znając długość podstawy i długość wysokości jesteśmy w stanie obliczyć ile wynosi pole trójkąta równobocznego.

`P=1/2*a*h=1/2*a*(asqrt{3})/2=(a^2sqrt{3})/4` 

 Pole trójkąta równobocznego o boku długości  `a`  możemy obliczyć ze wzoru:

`P=(a^2sqrt{3})/4`  

Trójkąty o kątach 45°, 45°, 90° oraz 30°, 60°, 90°

Istnieją dwa rodzaje trójkątów prostokątnych, w których dzięki kątom znamy zależności między długościami ich boków.

Znajomość tych zależności ułatwi i przyspieszy rozwiązywanie zadań!

  1. Trójkąt o kątach 45°, 45°, 90° (prostokątny równoramienny).

    Jest to połowa kwadratu o boku `a`, dlatego przeciwprostokątna ma długość `asqrt{2}` 



  2. Trójkąt o kątach 30°, 60°, 90°

    Jest to połowa trójkąta równobocznego o boku `2a` .

 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Oblicz długość przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych długości:

  1. 3 i 5
  2. 1 i √2
  3. $√2$ i $√3$

Z twierdzenia pitagorasa ($a^2+b^2=c^2$) obliczam długość trzeciego boku:

  1. $3^2+5^2=c^2 $

    $34=c^2 $

    $c=√34 $
     
  2. $1^2+{(√2)}^2=c^2 $

    $1+2=c^2 $

    $c=√3 $
     
  3. ${(√2)}^2+{(√3)}^2=c^2 $

    $2+3=c^2$

    $c=√5$
     

Zadanie 2.

Oblicz pole trójkąta prostokątnego o bokach długości:

  1. 3 cm, 4 cm i 5 cm
  2. 5 cm, 12 cm i 13 cm

Pole trójkąta prostokątnego można obliczyć ze wzoru: $ P={a×b}/2 $, gdzie a i b to przyprostokątne. Przyprostokątne to zawsze dwa krótsze boki trójkąta prostokątnego.

  1. $ P={3×4}/2={12}/2=6 cm^2 $
  2. $ P={5×12}/2={60}/2=30 cm^2 $

Zadanie 3.

Oblicz długość przekątnej kwadratu o boku długości:

  1. 5
  2. $3√2$
  3. $5√3$

Aby obliczyć przekątną kwadratu należy posłużyć się wzorem $a√2$, gdzie a oznacza długość boku kwadratu.

  1. $ 5×√2=5√2 $
  2. $ 3√2×√2=3×2=6 $
  3. $ 5√3×√2=5√6 $

Zadanie 4.

O ile procent przekątna kwadratu jest dłuższa od jego boku? Wynik zaokrąglij do części dziesiątych procenta.

${a√2-a}/{a}×100%=(√2-1)×100%≈(1,414-1)×100%=0,414×100%=41,4% $

Odp.: Przekątna kwadratu jest dłuższa od jego boku o ok. 41,4%.

Zadanie 5.

Oblicz długość przekątnej prostokąta o bokach długości 2 dm i 5 cm.

$2 dm=20 cm$
 

Obliczam przekątną z twierdzenia pitagorasa przyjmując przekątną, jako trzeci bok trójkąta prostokątnego:

$ {20}^3+5^2=c^2 $

$400+25=c^2$

$c=√425=5√17 cm $
 

Odp.: Przekątna tego prostokąta ma długość $5√17$ cm.

Zadanie 6.

Czy istnieje trójkąt prostokątny o bokach długości 2, 5 i 6?

Trójkąt jest prostokątny, gdy długości jego boków spełniają równanie $a^2+b^2=c^2$.

$2^2+5^2$ ? $6^2 $

$4+25$ ? $36$

$29≠36$ -> trójkąt nie jest prostokątny

Odp.: Nie istnieje trójkąt prostokątny o podanych bokach.

 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Rzekł raz Kargul do Pawlaka

Thumb str. 217   7{premium}Thumb str. 217   7.Thumb str. 217   7..

Studnia jednak ma znajdować się na granicy tych gospodarstw, więc powinna zostać zbudowana w miejscu przecięcia symetralnej (odcinek zaznaczony kolorem niebieskim) i granicy (krzywa zaznaczona kolorem czarnym).

Czy można podać jako przykład liczbę 35, aby...

a) NIE, aby udowodnić poprawność tego twierdzenia nie wystarczy podać jednej liczby, która je spełnia{premium}

b) TAK, liczba 35 jest podzielna przez 7 a nie kończy się cyfrą 7 zatem jest to kontrprzykład,
który potwierdzenia niepoprawność twierdzenia

c) NIE, to twierdzenie jest nieprawdziwe, ale liczba 35 nie jest na to dowodem 

ponieważ np. liczby 7, 77, 777... są podzielne przez 7,
a liczby: 17, 27, 37, 247, ... nie są podzielne przez 7 

zatem liczba, która kończy się cyfrą 7 może ale nie musi być podzielna przez 7

Oblicz sumy długości wszystkich...

 

Suma długości krawędzi:

 

Pole powierzchni:

 

 

 {premium}

Objętość:

 

 

 

 

Suma długości krawędzi:

 

Pole powierzchni podstawy, która jest równoległobokiem wynosi:]

 

 

Pole powierzchni:

 

 

 

 

Objętość:

 

 

 

 

 

Obliczmy długość boku rombu, który jest podstawą graniastosłupa:

 

 

 

 

Suma długości krawędzi wynosi:

 

Pole powierzchni podstawy, która jest rombem wynosi:

 

 

 

Pole powierzchni wynosi:

 

 

 

 

Objętość:

 

 

 

Wypisz wszystkie liczby całkowite spełniające...

-Liczby całkowite spełniające warunek:

   i       to:


 


-Liczby całkowite spełniające warunek:

   i       to: {premium}


 


Liczby całkowite spełniające warunek:

   i       to:


 


Liczby całkowite spełniające warunek:

   i       to:


 

Do zestawu trzech doniczek wrzucamy dwa różne...

Rozwiązanie zostało przedstawione na rysunku:

{premium}

Iloczynem liczb 56 i 35 jest ...

Obliczamy iloczyn licz  i .{premium}

podglad pliku

Liczba  zapisana w systemie rzymskim to:  


Odpowiedź: A

W pewnej restauracji są do wyboru: ...

Zupę możemy wybrać spośród 3 zup, czyli są 3 możliwości.

Drugie danie możemy wybrać spośród 7 dań, czyli jest 7 możliwości.

{premium}

Deser możemy wybrać spośród 2 deserów, czyli są 2 możliwości.

Zgodnie z regułą mnożenia wszystkich możliwości jest:

 

 

Odp. Można wybrać 42 różnych zestawów obiadowych.

Która z podanych...

 

Wiemy, że:

 

 

Ponieważ:

 

To:

  

Czyli:

{premium}  

 

 

Wiemy, że:

  

 

Ponieważ:

 

To:

 

Czyli:

 

 

 

Ponieważ:

 

To:

  

 

 

Ponieważ:

  

To:

 

 

 

Wiemy, że:

 

 

 

Czyli:   

  

 

 

Wiemy, że:

  

 

Ponieważ:

 

To:

 

Czyli:

3,4)6<(3,4)8(-3,4)6<(-3,4)8

Wykonaj obliczenia. Skreśl litery odpowiadające otrzymanym ...

  

{premium}

  

   

    

 

  

 

Skreślamy litery:

A, N, N, A, K, R

 

Hasło:

R O O T

Uzasadnij, że liczba...

Jeżeli podana liczba jest podzielna przez 7 to:

 {premium}

gdzie m jest dowolną liczbą naturalną. Wykażmy, że m jest liczbą naturalną: 

 

 

 

Odp: Liczba 2n jest liczbą naturalną, czyli liczba 2n+2n+1+2n+2 jest podzielna przez 7.