Trójkąty prostokątne - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Trójkąty prostokątne - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Twierdzenie Pitagorasa

Twierdzenie Pitagorasa

Jeśli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.

`a^2+b^2=c^2`  

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa

Znając długości trzech boków trójkąta jesteśmy w stanie stwierdzić czy jest on prostokątny.

Wystarczy sprawdzić czy suma kwadratów długości dwóch krótszych boków jest równa kwadratowi długości najdłuższego boku.

Takie twierdzenie nazywamy twierdzeniem odwrotnym do twierdzenia Pitagorasa.

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa:

Jeśli w trójkącie suma kwadratów długości dwóch krótszych boków jest równa kwadratowi długości najdłuższego boku, to trójkąt jest prostokątny.

Przekątna kwadratu

Dzięki znajomości twierdzenia Pitagorasa jesteśmy w stanie obliczyć długość przekątnej kwadratu znając długość jego boku.

przekatna

`a`  - długość boku kwadratu 

`d`  - długość przekątnej kwadratu 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa mamy: 
`a^2+a^2=d^2`  
`2a^2=d^2`  
`d=sqrt{2a^2}` 
`d=sqrt{2}*sqrt{a^2}`
`d=asqrt{2}` 

Przekątna kwadratu o boku długości `a` ma długość:

`d=asqrt{2}` 

Wysokość i pole trójkąta równobocznego

Dzięki twierdzeniu Pitagorasa, oprócz długości przekątnej kwadratu, jesteśmy również w stanie obliczyć długość wysokości oraz pole trójkąta równobocznego znając długość jego boku.

`a`  - długość boku trójkąta 

`h`  - długość wysokości trójkąta 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa mamy: 
`(1/2a)^2+h^2=a^2` 
`1/4a^2+h^2=a^2 \ \ \ \ \ \ \ \ |-1/4a^2`  
`h^2=3/4a^2`    
`h=sqrt{3/4a^2}` 
`h=sqrt{3a^2}/sqrt{4}` 
`h=(asqrt{3})/2`  

Wysokość trójkąta równobocznego o boku długości `a`  możemy obliczyć ze wzoru:

`h=(asqrt{3})/2` 
 

Znając długość podstawy i długość wysokości jesteśmy w stanie obliczyć ile wynosi pole trójkąta równobocznego.

`P=1/2*a*h=1/2*a*(asqrt{3})/2=(a^2sqrt{3})/4` 

 Pole trójkąta równobocznego o boku długości  `a`  możemy obliczyć ze wzoru:

`P=(a^2sqrt{3})/4`  

Trójkąty o kątach 45°, 45°, 90° oraz 30°, 60°, 90°

Istnieją dwa rodzaje trójkątów prostokątnych, w których dzięki kątom znamy zależności między długościami ich boków.

Znajomość tych zależności ułatwi i przyspieszy rozwiązywanie zadań!

  1. Trójkąt o kątach 45°, 45°, 90° (prostokątny równoramienny).

    Jest to połowa kwadratu o boku `a`, dlatego przeciwprostokątna ma długość `asqrt{2}` 



  2. Trójkąt o kątach 30°, 60°, 90°

    Jest to połowa trójkąta równobocznego o boku `2a` .

 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Oblicz długość przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych długości:

  1. 3 i 5
  2. 1 i √2
  3. $√2$ i $√3$

Z twierdzenia pitagorasa ($a^2+b^2=c^2$) obliczam długość trzeciego boku:

  1. $3^2+5^2=c^2 $

    $34=c^2 $

    $c=√34 $
     
  2. $1^2+{(√2)}^2=c^2 $

    $1+2=c^2 $

    $c=√3 $
     
  3. ${(√2)}^2+{(√3)}^2=c^2 $

    $2+3=c^2$

    $c=√5$
     

Zadanie 2.

Oblicz pole trójkąta prostokątnego o bokach długości:

  1. 3 cm, 4 cm i 5 cm
  2. 5 cm, 12 cm i 13 cm

Pole trójkąta prostokątnego można obliczyć ze wzoru: $ P={a×b}/2 $, gdzie a i b to przyprostokątne. Przyprostokątne to zawsze dwa krótsze boki trójkąta prostokątnego.

  1. $ P={3×4}/2={12}/2=6 cm^2 $
  2. $ P={5×12}/2={60}/2=30 cm^2 $

Zadanie 3.

Oblicz długość przekątnej kwadratu o boku długości:

  1. 5
  2. $3√2$
  3. $5√3$

Aby obliczyć przekątną kwadratu należy posłużyć się wzorem $a√2$, gdzie a oznacza długość boku kwadratu.

  1. $ 5×√2=5√2 $
  2. $ 3√2×√2=3×2=6 $
  3. $ 5√3×√2=5√6 $

Zadanie 4.

O ile procent przekątna kwadratu jest dłuższa od jego boku? Wynik zaokrąglij do części dziesiątych procenta.

${a√2-a}/{a}×100%=(√2-1)×100%≈(1,414-1)×100%=0,414×100%=41,4% $

Odp.: Przekątna kwadratu jest dłuższa od jego boku o ok. 41,4%.

Zadanie 5.

Oblicz długość przekątnej prostokąta o bokach długości 2 dm i 5 cm.

$2 dm=20 cm$
 

Obliczam przekątną z twierdzenia pitagorasa przyjmując przekątną, jako trzeci bok trójkąta prostokątnego:

$ {20}^3+5^2=c^2 $

$400+25=c^2$

$c=√425=5√17 cm $
 

Odp.: Przekątna tego prostokąta ma długość $5√17$ cm.

Zadanie 6.

Czy istnieje trójkąt prostokątny o bokach długości 2, 5 i 6?

Trójkąt jest prostokątny, gdy długości jego boków spełniają równanie $a^2+b^2=c^2$.

$2^2+5^2$ ? $6^2 $

$4+25$ ? $36$

$29≠36$ -> trójkąt nie jest prostokątny

Odp.: Nie istnieje trójkąt prostokątny o podanych bokach.

 

Spis treści

Rozwiązane zadania
W pierwszym woreczku jest 39 kul, z czego ...

Pierwszy woreczek

39 - liczba wszystkich kul 

26 - liczba białych kul 

Zdarzenie A polega na wylosowaniu białej kuli. Prawdopodobieństwo zdarzenia A wynosi:{premium}

 


Drugi woreczek

9 - liczba wszystkich kul 

x - liczba białych kul 

Zdarzenie B polega na wylosowaniu białej kuli. Prawdopodobieństwo zdarzenia B wynosi: 

 


Wiemy, że prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe prawdopodobieństwu zdarzenia B. 

 

Zatem: 

 

 

 

 

W drugim woreczku jest 6 białych kul. 


Poprawna odpowiedź: C. 6

Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną ...
 I \ II    
   
 


a)

Zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu polegającemu na wyrzuceniu dokładnie jednej reszki:{premium}

 

Prawdopodobieństwo tego zdarzenia:

 


b)

Zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu polegającemu na wyrzuceniu co najmniej jednej reszki:

 

Prawdopodobieństwo tego zdarzenia:

 

W graniastosłupie prawidłowym sześciokątnym...

Wprowadźmy oznaczenia:

  -długość krawędzi podstawy graniastosłupa

  -długość wysokości graniastosłupa


Zauważmy, że:

 

 

zatem:  {premium}

 

 

 

 

więc:

 


Obliczmy objętość tego graniastosłupa:

 



Odp.: Objętość tego graniastosłupa wynosi    cm3.

W skarbonce jest 13 złotówek, 8 dwuzłotówek i 4 monety ...

Liczba wszystkich możliwości:{premium}

 

Liczba zdarzeń sprzyjających wylosowaniu monety o wartości nie mniejszej niż  złote:

 


Prawdopodobieństwo wylosowania monety o wartości nie mniejszej niż  złote: 

 


Odpowiedź
: Prawdopodobieństwo wylosowania monety o wartości nie mniejszej niż  złote wynosi .

Wyraź: a) w milimetrach sześciennych:...

   {premium}

 

 



 

 

 

Uporządkuj w kolejności rosnącej liczby ...

Obliczamy wartości wyrażeń.

 {premium}

 

 


 

 


Liczby porządkujemy w kolejności rosnącej:

 

Przedstaw w prostszej postaci wyrażenie ...

Podane wyrażenie przedstawiamy w jak najprostszej postaci. 

 
{premium}

 


Zapiszmy w prostej postaci wartości a i b. 

 

 


Obliczamy ile wynosi wartość powyższego wyrażenia dla podanych wartości a i b. 

  


Odpowiedź: Wartość podanego wyrażenia wynosi 60

W pudełku znajduje się 20 kul...

 Prawdopodobieństwo wylosowania kuli z liczbą złożoną jest równe .

Ilość kul w pudełku wynosi , czyli:  

Zbiór liczb złożonych ma postać:

 

Liczba elementów w tym zbiorze wynosi .

Prawdopodobieństwo wylosowania kuli z liczbą złożoną wynosi:

 

Zdanie jest fałszywe.


 Prawdopodobieństwo wylosowania kuli z liczbą pierwszą jest równe .

Zbiór liczb pierwszych ma postać:{premium}

 

Liczba elementów w tym zbiorze wynosi .

Prawdopodobieństwo wylosowania kuli z liczbą pierwszą wynosi:

 

Zdanie jest fałszywe.


 Prawdopodobieństwo wylosowania kuli z liczbą, która jest dzielnikiem liczby  jest równe .

Zbiór liczb będących dzielnikami liczby  ma postać:

 

Liczba elementów w tym zbiorze wynosi .

Prawdopodobieństwo wylosowania kuli będącej dzielnikiem liczby  wynosi:

 

Zdanie jest prawdziwe.


 Prawdopodobieństwo wylosowania kuli z liczbą, która jest wielokrotnością liczby , jest równe .

Zbiór liczb będących wielokrotnościami liczby  ma postać:

 

Liczba elementów w tym zbiorze wynosi .

Prawdopodobieństwo wylosowania kuli będącej wielokrotnością liczby  wynosi:

 

Zdanie jest prawdziwe.

Jaką długość ma średnica...

 

Ponieważ  to promień koła będzie wynosił:

 

 

 

 

Ponieważ średnica jest dwukrotnością długości promienia to otrzymujemy:

 

Odp.: Średnica koła wynosi około .

 

 {premium}

Ponieważ  to promień koła będzie wynosił:

 

 

 

 

Ponieważ średnica jest dwukrotnością długości promienia to otrzymujemy:

 

Odp.: Średnica koła wynosi około .

 

 

Ponieważ  to promień koła będzie wynosił:

 

 

 

Ponieważ średnica jest dwukrotnością długości promienia to otrzymujemy:

 

Odp.: Średnica koła wynosi .

Jak położone są względem siebie dwa...

a) Mamy dane:

 

 

Narysujmy okręgi we wspólnym układzie współrzędnych:

Odcinek AC ma długość promienia okręgu o środku w punkcie A, więc:

 

Z rysunku odczytujemy długość odcinka BC:

 

Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy odległość między środkami okręgów:

 

 

 

 

 

Obliczamy sumę długości promieni tych okręgów:

 

Mamy więc:

 

Odp. Okręgi są styczne zewnętrznie.  


b) Mamy dane:

 

 

Narysujmy okręgi we wspólnym układzie współrzędnych:

Z rysunku odczytujemy długości odcinków SQ i PQ:

 

 

Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy odległość między środkami okręgów:

 

 

 

 

 

Obliczamy sumę oraz różnicę długości promieni tych okręgów:

 

Mamy więc:

 

Odp. Okręgi przecinają się.