Trójkąty prostokątne - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Twierdzenie Pitagorasa

Twierdzenie Pitagorasa

Jeśli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.

`a^2+b^2=c^2`  

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa

Znając długości trzech boków trójkąta jesteśmy w stanie stwierdzić czy jest on prostokątny.

Wystarczy sprawdzić czy suma kwadratów długości dwóch krótszych boków jest równa kwadratowi długości najdłuższego boku.

Takie twierdzenie nazywamy twierdzeniem odwrotnym do twierdzenia Pitagorasa.

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa:

Jeśli w trójkącie suma kwadratów długości dwóch krótszych boków jest równa kwadratowi długości najdłuższego boku, to trójkąt jest prostokątny.

Przekątna kwadratu

Dzięki znajomości twierdzenia Pitagorasa jesteśmy w stanie obliczyć długość przekątnej kwadratu znając długość jego boku.

przekatna

`a`  - długość boku kwadratu 

`d`  - długość przekątnej kwadratu 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa mamy: 
`a^2+a^2=d^2`  
`2a^2=d^2`  
`d=sqrt{2a^2}` 
`d=sqrt{2}*sqrt{a^2}`
`d=asqrt{2}` 

Przekątna kwadratu o boku długości `a` ma długość:

`d=asqrt{2}` 

Wysokość i pole trójkąta równobocznego

Dzięki twierdzeniu Pitagorasa, oprócz długości przekątnej kwadratu, jesteśmy również w stanie obliczyć długość wysokości oraz pole trójkąta równobocznego znając długość jego boku.

`a`  - długość boku trójkąta 

`h`  - długość wysokości trójkąta 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa mamy: 
`(1/2a)^2+h^2=a^2` 
`1/4a^2+h^2=a^2 \ \ \ \ \ \ \ \ |-1/4a^2`  
`h^2=3/4a^2`    
`h=sqrt{3/4a^2}` 
`h=sqrt{3a^2}/sqrt{4}` 
`h=(asqrt{3})/2`  

Wysokość trójkąta równobocznego o boku długości `a`  możemy obliczyć ze wzoru:

`h=(asqrt{3})/2` 
 

Znając długość podstawy i długość wysokości jesteśmy w stanie obliczyć ile wynosi pole trójkąta równobocznego.

`P=1/2*a*h=1/2*a*(asqrt{3})/2=(a^2sqrt{3})/4` 

 Pole trójkąta równobocznego o boku długości  `a`  możemy obliczyć ze wzoru:

`P=(a^2sqrt{3})/4`  

Trójkąty o kątach 45°, 45°, 90° oraz 30°, 60°, 90°

Istnieją dwa rodzaje trójkątów prostokątnych, w których dzięki kątom znamy zależności między długościami ich boków.

Znajomość tych zależności ułatwi i przyspieszy rozwiązywanie zadań!

  1. Trójkąt o kątach 45°, 45°, 90° (prostokątny równoramienny).

    Jest to połowa kwadratu o boku `a`, dlatego przeciwprostokątna ma długość `asqrt{2}` 



  2. Trójkąt o kątach 30°, 60°, 90°

    Jest to połowa trójkąta równobocznego o boku `2a` .

 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Oblicz długość przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych długości:

  1. 3 i 5
  2. 1 i √2
  3. $$√2$$ i $$√3$$

Z twierdzenia pitagorasa ($$a^2+b^2=c^2$$) obliczam długość trzeciego boku:

  1. $$3^2+5^2=c^2 $$

    $$34=c^2 $$

    $$c=√34 $$
     
  2. $$1^2+{(√2)}^2=c^2 $$

    $$1+2=c^2 $$

    $$c=√3 $$
     
  3. $${(√2)}^2+{(√3)}^2=c^2 $$

    $$2+3=c^2$$

    $$c=√5$$
     

Zadanie 2.

Oblicz pole trójkąta prostokątnego o bokach długości:

  1. 3 cm, 4 cm i 5 cm
  2. 5 cm, 12 cm i 13 cm

Pole trójkąta prostokątnego można obliczyć ze wzoru: $$ P={a×b}/2 $$, gdzie a i b to przyprostokątne. Przyprostokątne to zawsze dwa krótsze boki trójkąta prostokątnego.

  1. $$ P={3×4}/2={12}/2=6 cm^2 $$
  2. $$ P={5×12}/2={60}/2=30 cm^2 $$

Zadanie 3.

Oblicz długość przekątnej kwadratu o boku długości:

  1. 5
  2. $$3√2$$
  3. $$5√3$$

Aby obliczyć przekątną kwadratu należy posłużyć się wzorem $$a√2$$, gdzie a oznacza długość boku kwadratu.

  1. $$ 5×√2=5√2 $$
  2. $$ 3√2×√2=3×2=6 $$
  3. $$ 5√3×√2=5√6 $$

Zadanie 4.

O ile procent przekątna kwadratu jest dłuższa od jego boku? Wynik zaokrąglij do części dziesiątych procenta.

$${a√2-a}/{a}×100%=(√2-1)×100%≈(1,414-1)×100%=0,414×100%=41,4% $$

Odp.: Przekątna kwadratu jest dłuższa od jego boku o ok. 41,4%.

Zadanie 5.

Oblicz długość przekątnej prostokąta o bokach długości 2 dm i 5 cm.

$$2 dm=20 cm$$
 

Obliczam przekątną z twierdzenia pitagorasa przyjmując przekątną, jako trzeci bok trójkąta prostokątnego:

$$ {20}^3+5^2=c^2 $$

$$400+25=c^2$$

$$c=√425=5√17 cm $$
 

Odp.: Przekątna tego prostokąta ma długość $$5√17$$ cm.

Zadanie 6.

Czy istnieje trójkąt prostokątny o bokach długości 2, 5 i 6?

Trójkąt jest prostokątny, gdy długości jego boków spełniają równanie $$a^2+b^2=c^2$$.

$$2^2+5^2$$ ? $$6^2 $$

$$4+25$$ ? $$36$$

$$29≠36$$ -> trójkąt nie jest prostokątny

Odp.: Nie istnieje trójkąt prostokątny o podanych bokach.

 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Zaznacz taki punkt D, aby czworokąt ABCD miał oś symetrii

Oblicz pole i obwód narysowanego trójkąta.

a) Trójkąt jest równoramienny. 
Obliczamy długość jego wysokości. 
`h^2+5^2=7^2`     (pierwsza linijka w ćwiczeniach) 
`h^2+25=49 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |-25` 
`h^2=24`    (druga linijka w ćwiczeniach)
`h=sqrt{24}=sqrt{4*6}`    
`h=2sqrt{6}`   (trzecia linijka w ćwiczeniach)

{premium}
Podstawa ma długość 10, bo trójkąt jest równoramienny, więc wysokość dzieli podstawę na dwa równe odcinki. 
`P=1/strike2^1*strike10^5*2sqrt{6}=10sqrt{6}`    (czwarta linijka w ćwiczeniach)

Boki trójkąta mają długości 7, 7, 10. 
`Obw.=7+7+10=24`   (piąta linijka w ćwiczeniach)
`ul(ul( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 


b) Najpierw obliczamy długość odcinka x. 
`x^2+12^2=13^2`   (pierwsza linijka w ćwiczeniach) 
`x^2+144=169 \ \ \ \ \ \ \ \|-144` 
`x^2=25`   (druga linijka w ćwiczeniach)
`x=sqrt{25}` 
`x=5`   (trzecia linijka w ćwiczeniach)


Następnie obliczamy długość odcinka y. 
`y^2+12^2=15^2`   (czwarta linijka w ćwiczeniach)
`y^2+144=225 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \|-144` 
`y^2=81`   (piąta linijka w ćwiczeniach)
`y=sqrt{81}` 
`y=9`   (szósta linijka w ćwiczeniach)


Podstawa trójkąta ma więc długość równą:
`x+y=5+9=14` 
Wysokość ma długość 12. 
`P=1/strike2^1*strike14^7*12=7*12=84`  (siódma linijka w ćwiczeniach)


Boki trójkąta mają długość 13, 14, 15. 
`Obw.=13+14+15=42`   (ósma linijka w ćwiczeniach)
`ul(ul( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 


c) Najpierw obliczamy długość odcinka a. 
`a^2=2^2+6^2`   (pierwsza linijka w ćwiczeniach)
`a^2=4+36` 
`a^2=40`    (druga linijka w ćwiczeniach)
`a=sqrt{40}=sqrt{4*10}` 
`a=2sqrt{10}`  (trzecia linijka w ćwiczeniach)


Następnie obliczamy długość odcinka b. 
`b^2=6^2+6^2`  (czwarta linijka w ćwiczeniach)
`b^2=36+36` 
`b^2=72`    (piąta linijka w ćwiczeniach)
`b=sqrt{72}=sqrt{36*2}` 
`b=6sqrt{2}`     (szósta linijka w ćwiczeniach)


Podstawa ma długość 8. Wysokość ma długość 6. 
`P=1/strike2^1*strike8^4*6=4*6=24`   (siódma linijka w ćwiczeniach)


Boki trójkąta mają długość 8, 2√10, 6√2.
`Obw.=8+2sqrt{10}+6sqrt{2}`     (ósma linijka w ćwiczeniach)

Obwód prostokąta wynosi...

Dane:

Obwód prostokąta:  

Długość jednego boku:  

Długość drugiego boku:  

Szukane:

Pole prostokąta w skali  

Rozwiązanie:

Znamy obwód prostokąta. Zapiszmy równanie opisujące go i wyznaczmy długość jednego z boków:

 

 {premium}

 

 

 

 

 

 

Czyli:

 

Wówczas długość drugiego boku wynosi:

 

 

 

 

Mamy podaną skalę prostokąta. Długości boków tego prostokąta w skali  będą wynosiły:

 

 

Wówczas pole tego prostokąta w tej skali wynosi:

 

 

 

Odp.: Pole prostokąta w skali  wynosi .

Łucja i Adam przeprowadzili ankietę przy wyjściu...

Na podstawie wykresu wiemy, że:

a) Największą popularnością wśród ankietowanych cieszyła się małpa

aż 32 osoby wskazały to zwierzę (16+16=32)
{premium}
b) słonia wskazały 3 kobiety i 11 mężczyzn

obliczmy jaki procent osób, które wskazały słonia stanowią kobiety:

 

c) Obliczmy ile kobiet wzięło udział w ankiecie:

 

Obliczmy jaki procent ankietowanych kobiet stanowią te, które wskazały słonia:

 

Spośród liczb naturalnych...

Zauważmy, że:

 {premium}

Do zbiory  należy liczba , która nie jest wielokrotnością liczby .

 

Odpowiedź:

 

ponieważ  liczba  nie jest wielokrotnością liczby .

 

Z sześcianu o krawędzi 9 cm wycięto ...

Krawędź sześcianu ma długość 9 cm. 

Z sześcianu tego wycinamy prostopadłościan o wymiarach 3 cm x 2 cm x 1 cm. 


Obliczamy, ile wynosi suma długości krawędzi powstałej bryły. {premium}

Powstała bryła ma:

  • 9 krawędzi długości 9 cm 
  • 1 krawędź długości 9 cm - 1 cm = 8 cm
  • 1 krawędź długości 9 cm - 2 cm = 7 cm 
  • 1 krawędź długości 9 cm - 3 cm = 6 cm
  • 3 krawędzie długości 3 cm
  • 3 krawędzie długości 2 cm
  • 3 krawędzie długości 1 cm 

Łączna długość krawędzi tej bryły to: 
 
      


Odpowiedź
Suma długości krawędzi powstałej bryły wynosi 120 cm

Pole sześciokąta foremnego...

Dane:

Pole sześciokąta foremnego:  

Szukane:

Dłuższa przekątna sześciokąta:  

Rozwiązanie:

Wykonajmy rysunek:

gdzie  jest bokiem sześciokąta foremnego,  jest jego dłuższą przekątną. Pole sześciokąta obliczamy z wzoru:

 

Wówczas długość jego boku wynosi:{premium}

 

 

 

 

 

 

Wówczas:

 

Wiemy, że dłuższa przekątna sześciokąta równa jest dwukrotności długości boku tego sześciokąta:

 

Czyli:

 

 

Odp.: Dłuższa przekątna sześciokąta foremnego wynosi  

a) Sahara ma powierzchnię równą około...

a) Wiemy, że Sahara ma powierzchnię około 9 mln km2 z czego piaszczysta część stanowi około 30%, zatem:

 

Odp.: Piaszczysta część Sahary ma pole powierzchni ok 2,7 mln km2.

{premium}

b) Wiemy, że do tej pory wydobyto na świecie ok 150 tys. ton złota z czego 85 tys. ton złota znajduje się w rękach prywatnych

obliczmy jaki procent wydobytego złota znajduje się w rękach prywatnych:

 

Odp.: Do prywatnych posiadaczy należy około 57% wydobytego złota.


c)  - wielkość światowych zasobów rud miedzi

 

 

 

 

Odp.: Wielkość światowych zasobów rud miedzi wynosi ok 37,8 mld ton.

Liczbę x zmniejszono o...

 

 

 

 

  

 
{premium}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ile jest liczb podzielnych przez 5 wśród ...

Wypiszmy wszystkie liczby podzielne przez 5 wśród liczb dwucyfrowych. {premium}

10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50

55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95

 

Odp. Takich liczb jest 18.