Trójkąty prostokątne - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Twierdzenie Pitagorasa

Twierdzenie Pitagorasa

Jeśli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.

`a^2+b^2=c^2`  

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa

Znając długości trzech boków trójkąta jesteśmy w stanie stwierdzić czy jest on prostokątny.

Wystarczy sprawdzić czy suma kwadratów długości dwóch krótszych boków jest równa kwadratowi długości najdłuższego boku.

Takie twierdzenie nazywamy twierdzeniem odwrotnym do twierdzenia Pitagorasa.

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa:

Jeśli w trójkącie suma kwadratów długości dwóch krótszych boków jest równa kwadratowi długości najdłuższego boku, to trójkąt jest prostokątny.

Przekątna kwadratu

Dzięki znajomości twierdzenia Pitagorasa jesteśmy w stanie obliczyć długość przekątnej kwadratu znając długość jego boku.

przekatna

`a`  - długość boku kwadratu 

`d`  - długość przekątnej kwadratu 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa mamy: 
`a^2+a^2=d^2`  
`2a^2=d^2`  
`d=sqrt{2a^2}` 
`d=sqrt{2}*sqrt{a^2}`
`d=asqrt{2}` 

Przekątna kwadratu o boku długości `a` ma długość:

`d=asqrt{2}` 

Wysokość i pole trójkąta równobocznego

Dzięki twierdzeniu Pitagorasa, oprócz długości przekątnej kwadratu, jesteśmy również w stanie obliczyć długość wysokości oraz pole trójkąta równobocznego znając długość jego boku.

`a`  - długość boku trójkąta 

`h`  - długość wysokości trójkąta 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa mamy: 
`(1/2a)^2+h^2=a^2` 
`1/4a^2+h^2=a^2 \ \ \ \ \ \ \ \ |-1/4a^2`  
`h^2=3/4a^2`    
`h=sqrt{3/4a^2}` 
`h=sqrt{3a^2}/sqrt{4}` 
`h=(asqrt{3})/2`  

Wysokość trójkąta równobocznego o boku długości `a`  możemy obliczyć ze wzoru:

`h=(asqrt{3})/2` 
 

Znając długość podstawy i długość wysokości jesteśmy w stanie obliczyć ile wynosi pole trójkąta równobocznego.

`P=1/2*a*h=1/2*a*(asqrt{3})/2=(a^2sqrt{3})/4` 

 Pole trójkąta równobocznego o boku długości  `a`  możemy obliczyć ze wzoru:

`P=(a^2sqrt{3})/4`  

Trójkąty o kątach 45°, 45°, 90° oraz 30°, 60°, 90°

Istnieją dwa rodzaje trójkątów prostokątnych, w których dzięki kątom znamy zależności między długościami ich boków.

Znajomość tych zależności ułatwi i przyspieszy rozwiązywanie zadań!

  1. Trójkąt o kątach 45°, 45°, 90° (prostokątny równoramienny).

    Jest to połowa kwadratu o boku `a`, dlatego przeciwprostokątna ma długość `asqrt{2}` 



  2. Trójkąt o kątach 30°, 60°, 90°

    Jest to połowa trójkąta równobocznego o boku `2a` .

 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Oblicz długość przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych długości:

  1. 3 i 5
  2. 1 i √2
  3. $$√2$$ i $$√3$$

Z twierdzenia pitagorasa ($$a^2+b^2=c^2$$) obliczam długość trzeciego boku:

  1. $$3^2+5^2=c^2 $$

    $$34=c^2 $$

    $$c=√34 $$
     
  2. $$1^2+{(√2)}^2=c^2 $$

    $$1+2=c^2 $$

    $$c=√3 $$
     
  3. $${(√2)}^2+{(√3)}^2=c^2 $$

    $$2+3=c^2$$

    $$c=√5$$
     

Zadanie 2.

Oblicz pole trójkąta prostokątnego o bokach długości:

  1. 3 cm, 4 cm i 5 cm
  2. 5 cm, 12 cm i 13 cm

Pole trójkąta prostokątnego można obliczyć ze wzoru: $$ P={a×b}/2 $$, gdzie a i b to przyprostokątne. Przyprostokątne to zawsze dwa krótsze boki trójkąta prostokątnego.

  1. $$ P={3×4}/2={12}/2=6 cm^2 $$
  2. $$ P={5×12}/2={60}/2=30 cm^2 $$

Zadanie 3.

Oblicz długość przekątnej kwadratu o boku długości:

  1. 5
  2. $$3√2$$
  3. $$5√3$$

Aby obliczyć przekątną kwadratu należy posłużyć się wzorem $$a√2$$, gdzie a oznacza długość boku kwadratu.

  1. $$ 5×√2=5√2 $$
  2. $$ 3√2×√2=3×2=6 $$
  3. $$ 5√3×√2=5√6 $$

Zadanie 4.

O ile procent przekątna kwadratu jest dłuższa od jego boku? Wynik zaokrąglij do części dziesiątych procenta.

$${a√2-a}/{a}×100%=(√2-1)×100%≈(1,414-1)×100%=0,414×100%=41,4% $$

Odp.: Przekątna kwadratu jest dłuższa od jego boku o ok. 41,4%.

Zadanie 5.

Oblicz długość przekątnej prostokąta o bokach długości 2 dm i 5 cm.

$$2 dm=20 cm$$
 

Obliczam przekątną z twierdzenia pitagorasa przyjmując przekątną, jako trzeci bok trójkąta prostokątnego:

$$ {20}^3+5^2=c^2 $$

$$400+25=c^2$$

$$c=√425=5√17 cm $$
 

Odp.: Przekątna tego prostokąta ma długość $$5√17$$ cm.

Zadanie 6.

Czy istnieje trójkąt prostokątny o bokach długości 2, 5 i 6?

Trójkąt jest prostokątny, gdy długości jego boków spełniają równanie $$a^2+b^2=c^2$$.

$$2^2+5^2$$ ? $$6^2 $$

$$4+25$$ ? $$36$$

$$29≠36$$ -> trójkąt nie jest prostokątny

Odp.: Nie istnieje trójkąt prostokątny o podanych bokach.

 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Przedstaw iloczyny potęg w postaci potęgi.

`3^1*3^3=3^(1+3)=3^4`
{premium}



 

 

 

  

Dwa klocki przedstawione na rysunku obok ...

Klocki te można połączyć ścianami o takich samych wymiarach.

Zauważmy, że każdy z tych klocków ma ścianę o wymiarach 7 cm x 9 cm. {premium}

Wynika z tego, że zależy połączyć je właśnie tymi ścianami. 


Powstanie graniastosłup, którego podstawy mają wymiary 7 cm x 9 cm. 

Wysokość będzie miała długość: 

  


Odpowiedź: Wymiary graniastosłupa będą wynosić 7 cm x 9 cm x 14 cm. 

Prędkość średnia piechura na trasie ...

Piechur

Piechur porusza się z prędkością 5 km/h, czyli w ciągu 1 h pokonuje drogę długości 5 km. 

10 km to 2 razy więcej niż 5 km, czyli aby pokonać 10 km piechur potrzebuje 2 razy więcej czasu. {premium}

 

Aby pokonać drogę długości 10 km piechur potrzebuje 2 godzin.


Rowerzysta:

Rowerzysta porusza się z prędkością 20 km/h, czyli w ciągu 1 h pokonuje drogę długości 20 km. 

10 km to 2 razy mniej niż 20 km, czyli aby pokonać 10 km rowerzysta potrzebuje 2 razy mniej czasu. 

 

Aby pokonać drogę długości 10 km rowerzysta potrzebuje 0,5 godziny.


Obliczamy o ile minut więcej potrzebuje piechur na pokonanie trasy długości 10 km. 

 

Piechur potrzebuje o 90 minut więcej niż rowerzysta. 


Poprawna odpowiedź: C. 90 minut

Odczytaj z rysunku, jakie liczby ...

Odległość między 0 i 1 na osi liczbowej wynosi 1. Odległość ta została podzielona na 4 równe części. 

Każda z tych części odpowiada odległości: . Na osi poruszamy się więc co 1/4. {premium}

 

    


Liczby przeciwne: 

  • do  :   

  • do  :   

  • do  :   

  • do  :   

  • do  :     
Wyznacz dwie kolejne liczby naturalne, między którymi

 

Zauważmy, że liczba 200 jest większa od 125=53, ale mniejsza od 63=216, zatem:

{premium}

 

Szukanymi liczbami naturalnymi są liczby 5 i 6.

 

Skorzystajmy z tablicy sześcianów w ćwiczeniu 2. i zauważmy, że liczba 3000 jest większa od 142=2744, ale mniejsza od 152=3375, zatem:

 

 

Piechur, który porusza się ze średnią prędkością ...

Wykres ilustrujący odległość piechura od celu w zależności od czasu: {premium}

Zaznacz na osi liczbowej liczby spełniające ...

a)    Na osi liczbowej zaznaczamy wszystkie liczby większe od .

Thumb str. 157   10a{premium}


b)    Na osi liczbowej zaznaczamy wszystkie liczby mniejsze lub równe .

Thumb str. 157   10b


c)    Na osi liczbowej zaznaczamy wszystkie liczby większe lub równe .

Thumb str. 157   10c


d)    Na osi liczbowej zaznaczamy wszystkie liczby mniejsze od .

Thumb str. 157   10d

Bez korzystania z kalkulatora sprawdź, czy warunki ...

   

Warunki są prawdziwe. {premium}

        

Warunki nie są prawdziwe.

 

Warunki są prawdziwe.

 

W pewnym prostokącie kąt ostry między przekątnymi...

Wiemy, że:

- przekątne prostokąta dzielą go na dwie pary takich samych trójkątów równoramiennych

- suma miar kątów przyległych wynosi  

-suma miar kątów wewnętrznych w każdym trójkącie wynosi  


wykonajmy rysunek pomocniczy:{premium}

podglad pliku

 -kąt między przekątną, a dwusieczną


Obliczmy miarę kąta  

 


Obliczmy miarę kąta   

 

 

 


zauważmy, że:

 

 

 


Odp.: Miara kąta miedzy tą dwusieczną, a przekątną wychodzącą z jednego wierzchołka wynosi 12o.

Objętość...

 {premium}

 

 

Odpowiedź: