Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Trójkąty prostokątne - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Twierdzenie Pitagorasa

Twierdzenie Pitagorasa

Jeśli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.

`a^2+b^2=c^2`  

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa

Znając długości trzech boków trójkąta jesteśmy w stanie stwierdzić czy jest on prostokątny.

Wystarczy sprawdzić czy suma kwadratów długości dwóch krótszych boków jest równa kwadratowi długości najdłuższego boku.

Takie twierdzenie nazywamy twierdzeniem odwrotnym do twierdzenia Pitagorasa.

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa:

Jeśli w trójkącie suma kwadratów długości dwóch krótszych boków jest równa kwadratowi długości najdłuższego boku, to trójkąt jest prostokątny.

Przekątna kwadratu

Dzięki znajomości twierdzenia Pitagorasa jesteśmy w stanie obliczyć długość przekątnej kwadratu znając długość jego boku.

przekatna

`a`  - długość boku kwadratu 

`d`  - długość przekątnej kwadratu 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa mamy: 
`a^2+a^2=d^2`  
`2a^2=d^2`  
`d=sqrt{2a^2}` 
`d=sqrt{2}*sqrt{a^2}`
`d=asqrt{2}` 

Przekątna kwadratu o boku długości `a` ma długość:

`d=asqrt{2}` 

Wysokość i pole trójkąta równobocznego

Dzięki twierdzeniu Pitagorasa, oprócz długości przekątnej kwadratu, jesteśmy również w stanie obliczyć długość wysokości oraz pole trójkąta równobocznego znając długość jego boku.

`a`  - długość boku trójkąta 

`h`  - długość wysokości trójkąta 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa mamy: 
`(1/2a)^2+h^2=a^2` 
`1/4a^2+h^2=a^2 \ \ \ \ \ \ \ \ |-1/4a^2`  
`h^2=3/4a^2`    
`h=sqrt{3/4a^2}` 
`h=sqrt{3a^2}/sqrt{4}` 
`h=(asqrt{3})/2`  

Wysokość trójkąta równobocznego o boku długości `a`  możemy obliczyć ze wzoru:

`h=(asqrt{3})/2` 
 

Znając długość podstawy i długość wysokości jesteśmy w stanie obliczyć ile wynosi pole trójkąta równobocznego.

`P=1/2*a*h=1/2*a*(asqrt{3})/2=(a^2sqrt{3})/4` 

 Pole trójkąta równobocznego o boku długości  `a`  możemy obliczyć ze wzoru:

`P=(a^2sqrt{3})/4`  

Trójkąty o kątach 45°, 45°, 90° oraz 30°, 60°, 90°

Istnieją dwa rodzaje trójkątów prostokątnych, w których dzięki kątom znamy zależności między długościami ich boków.

Znajomość tych zależności ułatwi i przyspieszy rozwiązywanie zadań!

  1. Trójkąt o kątach 45°, 45°, 90° (prostokątny równoramienny).

    Jest to połowa kwadratu o boku `a`, dlatego przeciwprostokątna ma długość `asqrt{2}` 



  2. Trójkąt o kątach 30°, 60°, 90°

    Jest to połowa trójkąta równobocznego o boku `2a` .

 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Oblicz długość przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych długości:

  1. 3 i 5
  2. 1 i √2
  3. $$√2$$ i $$√3$$

Z twierdzenia pitagorasa ($$a^2+b^2=c^2$$) obliczam długość trzeciego boku:

  1. $$3^2+5^2=c^2 $$

    $$34=c^2 $$

    $$c=√34 $$
     
  2. $$1^2+{(√2)}^2=c^2 $$

    $$1+2=c^2 $$

    $$c=√3 $$
     
  3. $${(√2)}^2+{(√3)}^2=c^2 $$

    $$2+3=c^2$$

    $$c=√5$$
     

Zadanie 2.

Oblicz pole trójkąta prostokątnego o bokach długości:

  1. 3 cm, 4 cm i 5 cm
  2. 5 cm, 12 cm i 13 cm

Pole trójkąta prostokątnego można obliczyć ze wzoru: $$ P={a×b}/2 $$, gdzie a i b to przyprostokątne. Przyprostokątne to zawsze dwa krótsze boki trójkąta prostokątnego.

  1. $$ P={3×4}/2={12}/2=6 cm^2 $$
  2. $$ P={5×12}/2={60}/2=30 cm^2 $$

Zadanie 3.

Oblicz długość przekątnej kwadratu o boku długości:

  1. 5
  2. $$3√2$$
  3. $$5√3$$

Aby obliczyć przekątną kwadratu należy posłużyć się wzorem $$a√2$$, gdzie a oznacza długość boku kwadratu.

  1. $$ 5×√2=5√2 $$
  2. $$ 3√2×√2=3×2=6 $$
  3. $$ 5√3×√2=5√6 $$

Zadanie 4.

O ile procent przekątna kwadratu jest dłuższa od jego boku? Wynik zaokrąglij do części dziesiątych procenta.

$${a√2-a}/{a}×100%=(√2-1)×100%≈(1,414-1)×100%=0,414×100%=41,4% $$

Odp.: Przekątna kwadratu jest dłuższa od jego boku o ok. 41,4%.

Zadanie 5.

Oblicz długość przekątnej prostokąta o bokach długości 2 dm i 5 cm.

$$2 dm=20 cm$$
 

Obliczam przekątną z twierdzenia pitagorasa przyjmując przekątną, jako trzeci bok trójkąta prostokątnego:

$$ {20}^3+5^2=c^2 $$

$$400+25=c^2$$

$$c=√425=5√17 cm $$
 

Odp.: Przekątna tego prostokąta ma długość $$5√17$$ cm.

Zadanie 6.

Czy istnieje trójkąt prostokątny o bokach długości 2, 5 i 6?

Trójkąt jest prostokątny, gdy długości jego boków spełniają równanie $$a^2+b^2=c^2$$.

$$2^2+5^2$$ ? $$6^2 $$

$$4+25$$ ? $$36$$

$$29≠36$$ -> trójkąt nie jest prostokątny

Odp.: Nie istnieje trójkąt prostokątny o podanych bokach.

 

Spis treści

Rozwiązane zadania
a) Przedstaw liczbę 12 jako iloczyn dodatnich liczb całkowitych ...

a) Liczbę 12 możemy przedstawić następująco:

`1*12=12` 

`2*6=12` 

`3*4=12` 

{premium}

b) Liczbę 12 możemy rozłożyć na czynniki w następujący sposób:


Zaznacz punkt symetryczny do punktu P względem punktu S i oznacz go

a) Dzienne zapotrzebowanie dorosłej osoby na białko wynosi ok 80 g...

a) Dzienne zapotrzebowanie dorosłej osoby na białko wynosi ok 80 g

wiemy, że 200 g grochu zawiera 48 g białka

`x` - waga grochu pokrywającego dzienne zapotrzebowanie dorosłej osoby na białko:

`48/200=80/x \ \ |*x` 

`(48x)/200=80 \ \ |*200` 

`48x=16000 \ \ |:48` 

`x=16000/48` 

`x=1000/3` 

`x=333 1/3~~333 \ "[g]"` 

Odp.: Groch pokrywający to zapotrzebowanie waży 333 g.


b) Dzienne zapotrzebowanie dorosłej osoby na magnez wynosi ok 350 mg

wiemy, że 1 kg kakao zawiera ok. 4,2 g magnezu

`x` - masa kakao pokrywającego dzienne zapotrzebowanie dorosłej osoby na magnez:

`350 \ "mg"=0,35  \ "g"` 

`4,2/1000=0,35/x \ \ |*x` 

`(4,2x)/1000=0,35 \ \|*1000` 

`4,2x=350 \ \|:4,2` 

`x=3500/42` 

`x=1750/21` 

`x=83 1/3~~83 \ "[g]"` 

Odp.: Kakao pokrywający to zapotrzebowanie waży 83 g.

Pizzeria oferuje pizzę w trzech ...
 

Średnica pizzy [cm2]

Cena pizzy [zł]

Powierzchnia pizzy [cm2]

Koszt 1 cm2 [zł]

1

28

12

615,44

0,02 {premium}

2

34

24

907,46

0,03

3

37

35

1074,66

0,03

Pole pizzy obliczymy ze wzoru:

`P=pir^2`

gdzie r - długość promienia pizzy

 

Obliczenia:

1. Pizza ma 28 cm2 średnicy.

Promień pizzy ma 14 cm długości.

Powierzchnia pizzy to:

`P=pi*14^2=196pi~~196*3,14=615,44\ ["cm"^2]`

Cała pizza kosztuje 12 zł.

Czyli za 615,44 cm2 pizzy płacimy 12 zł.

Aby obliczyć koszt 1 cm2 pizzy, musimy ceną całej pizzy podzielić przez jej powierzchnię.

`12\ "zł":615,44=1200:61544~~0,02\ "zł"`

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

2. Pizza ma 34 cm2 średnicy.

Promień pizzy ma 17 cm długości.

Powierzchnia pizzy to:

`P=pi*17^2=289pi~~289*3,14=907,46\ ["cm"^2]`

Cała pizza kosztuje 24 zł.

Czyli za 907,46 cm2 pizzy płacimy 24 zł.

Aby obliczyć koszt 1 cm2 pizzy, musimy ceną całej pizzy podzielić przez jej powierzchnię.

`24\ "zł":907,46=2400:90746~~0,03\ "zł"`

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

3. Pizza ma 37 cm2 średnicy.

Promień pizzy ma 18,5 cm długości.

Powierzchnia pizzy to:

`P=pi*18,5^2=342,25pi~~342,25*3,14=1074,66\ ["cm"^2]`

Cała pizza kosztuje 35 zł.

Czyli za 1074,66 cm2 pizzy płacimy 35 zł.

Aby obliczyć koszt 1 cm2 pizzy, musimy ceną całej pizzy podzielić przez jej powierzchnię.

`35\ "zł":1074,66=3500:107466~~0,03\ "zł"`

Rozwiąż poniższe zadania. a) Za 0,45 kg bananów

`a) \ \ (0,45)/(2,10)=x/(9,10)`

`0,45*9,1=2,1x`

`4,095=2,1x \ \ \ \ |:2,1`

`x=1,95`

Odpowiedź: Za 9,10 zł można kupić 1,95 kg bananów.

{premium}

`b) \ \ (0,35)/(1,40)=(2,3)/x`

`0,35*x=1,40*2,3`

`0,35x=3,22 \ \ \ \ \ |:0,35`

`x=9,2`

Odpowiedź: 2,3 kg kiwi kosztuje 9,2 zł

`c) \ \ \ (0,6)/(3,30)=(1,5)/x`

Masa (kg) 0,6 1,5
Kwota (zł) 3,30 x

 `6/33=(1,5)/x`

`6*x=33*1,5`

`6x=49,5 \ \ \ |:6`

`x=8,25`

 Odpowiedź: 1,5 kg grejpfrutów koszstuje 8,25 zł.

`d) \ \ \ (1,3)/(5,85)=(0,7)/x`

Masa (kg) 1,3 0,7
Kwota (zł) 5,85 x

 

`1,3x=5,85*0,7`

`1,3x=4,095 \ \ \ \ \ |:1,3`

`x=3,15`

Odpowiedź: 0,7 kg pomaraczy kosztuje 3,15 zł.

Zapisz w systemie dziesiątkowym ...

Każdą z podanych lat zapisujemy w systemie dziesiątkowym. 

`"MDCCCLXXVI" \ - 1876` 

{premium}

`"MDCLXXXVIII" \ - \ 1688`

`"MDCCCLXXX" \ - \ 1880`

`"MCMXXVII" \ - \ 1927`

`"MDCC" \ - \ 1700`    

Przez jakie liczby jednocyfrowe są podzielne liczby równe...

`a")" \ 11*55=11*5*11=1*11*5*11` 

ten iloczyn jest podzielny przez następujące liczby jednocyfrowe:

`1,5` 


`b")" \ 22*33=2*11*3*11=1*2*3*11*11`
{premium}

ten iloczyn jest podzielny przez następujące liczby jednocyfrowe:

`1, 2, 3` 
 


`c")" \ 14*17*19=2*7*17*19=1*2*7*17*19` 

ten iloczyn jest podzielny przez następujące liczby jednocyfrowe:

`1, 2, 7` 
 


`d")" \ 22*66*77= 2*11*6*11*7*11=1*2*11*6*11*7*11` 

ten iloczyn jest podzielny przez następujące liczby jednocyfrowe:

`1, 2, 6, 7` 
 


`e")" \ 14*21*30=2*7*3*7*3*10=2*3*3*7*7*10=1*2*3*3*7*7*10` 

ten iloczyn jest podzielny przez następujące liczby jednocyfrowe:

`1, 2, 3, 7` 
 



Na rysunku I przedstawiono kwadrat ułożony ...

Rysunek pomocniczy - kwadrat I:

Bok kwadratu (zaznaczony kolorem niebieskim) ma długość 2.

Przekątna kwadratu ma długość 22.
{premium}

Odcinek zaznaczony kolorem czerwonym ma długość równą połowie długości przekątnej, stąd jego długość to 2.

Odcinki zaznaczone kolorem żółtym mają długości równe 1/4 długości przekątnej kwadratu, czyli 1/22.

Odcinki zaznaczone kolorem zielonym mają długość równą połowie boku kwadratu, czyli 1.

 

Rysunek pomocniczy - kwadrat II:

Obliczamy długość obwodu figury przedstawionej na rysunku II:

`O=4*sqrt2+strike6^3*1/strike2^1sqrt2=4sqrt2+3sqrt2=ul(ul(7sqrt2))`   

Odp.: D

Liczba p jest dodatnia. ...

Wiemy, że liczba p jest dodatnia. 


`a) \ p+5`

{premium}

`b) \ p-3`

`c) \ p*4=4p`

`d) \ p:2=p/2`    

Przyjmij, że bok kratki ma długość 1 i oblicz