Trójkąty prostokątne - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Trójkąty prostokątne - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Twierdzenie Pitagorasa

Twierdzenie Pitagorasa

Jeśli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.

`a^2+b^2=c^2`  

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa

Znając długości trzech boków trójkąta jesteśmy w stanie stwierdzić czy jest on prostokątny.

Wystarczy sprawdzić czy suma kwadratów długości dwóch krótszych boków jest równa kwadratowi długości najdłuższego boku.

Takie twierdzenie nazywamy twierdzeniem odwrotnym do twierdzenia Pitagorasa.

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa:

Jeśli w trójkącie suma kwadratów długości dwóch krótszych boków jest równa kwadratowi długości najdłuższego boku, to trójkąt jest prostokątny.

Przekątna kwadratu

Dzięki znajomości twierdzenia Pitagorasa jesteśmy w stanie obliczyć długość przekątnej kwadratu znając długość jego boku.

przekatna

`a`  - długość boku kwadratu 

`d`  - długość przekątnej kwadratu 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa mamy: 
`a^2+a^2=d^2`  
`2a^2=d^2`  
`d=sqrt{2a^2}` 
`d=sqrt{2}*sqrt{a^2}`
`d=asqrt{2}` 

Przekątna kwadratu o boku długości `a` ma długość:

`d=asqrt{2}` 

Wysokość i pole trójkąta równobocznego

Dzięki twierdzeniu Pitagorasa, oprócz długości przekątnej kwadratu, jesteśmy również w stanie obliczyć długość wysokości oraz pole trójkąta równobocznego znając długość jego boku.

`a`  - długość boku trójkąta 

`h`  - długość wysokości trójkąta 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa mamy: 
`(1/2a)^2+h^2=a^2` 
`1/4a^2+h^2=a^2 \ \ \ \ \ \ \ \ |-1/4a^2`  
`h^2=3/4a^2`    
`h=sqrt{3/4a^2}` 
`h=sqrt{3a^2}/sqrt{4}` 
`h=(asqrt{3})/2`  

Wysokość trójkąta równobocznego o boku długości `a`  możemy obliczyć ze wzoru:

`h=(asqrt{3})/2` 
 

Znając długość podstawy i długość wysokości jesteśmy w stanie obliczyć ile wynosi pole trójkąta równobocznego.

`P=1/2*a*h=1/2*a*(asqrt{3})/2=(a^2sqrt{3})/4` 

 Pole trójkąta równobocznego o boku długości  `a`  możemy obliczyć ze wzoru:

`P=(a^2sqrt{3})/4`  

Trójkąty o kątach 45°, 45°, 90° oraz 30°, 60°, 90°

Istnieją dwa rodzaje trójkątów prostokątnych, w których dzięki kątom znamy zależności między długościami ich boków.

Znajomość tych zależności ułatwi i przyspieszy rozwiązywanie zadań!

  1. Trójkąt o kątach 45°, 45°, 90° (prostokątny równoramienny).

    Jest to połowa kwadratu o boku `a`, dlatego przeciwprostokątna ma długość `asqrt{2}` 



  2. Trójkąt o kątach 30°, 60°, 90°

    Jest to połowa trójkąta równobocznego o boku `2a` .

 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Oblicz długość przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych długości:

  1. 3 i 5
  2. 1 i √2
  3. $√2$ i $√3$

Z twierdzenia pitagorasa ($a^2+b^2=c^2$) obliczam długość trzeciego boku:

  1. $3^2+5^2=c^2 $

    $34=c^2 $

    $c=√34 $
     
  2. $1^2+{(√2)}^2=c^2 $

    $1+2=c^2 $

    $c=√3 $
     
  3. ${(√2)}^2+{(√3)}^2=c^2 $

    $2+3=c^2$

    $c=√5$
     

Zadanie 2.

Oblicz pole trójkąta prostokątnego o bokach długości:

  1. 3 cm, 4 cm i 5 cm
  2. 5 cm, 12 cm i 13 cm

Pole trójkąta prostokątnego można obliczyć ze wzoru: $ P={a×b}/2 $, gdzie a i b to przyprostokątne. Przyprostokątne to zawsze dwa krótsze boki trójkąta prostokątnego.

  1. $ P={3×4}/2={12}/2=6 cm^2 $
  2. $ P={5×12}/2={60}/2=30 cm^2 $

Zadanie 3.

Oblicz długość przekątnej kwadratu o boku długości:

  1. 5
  2. $3√2$
  3. $5√3$

Aby obliczyć przekątną kwadratu należy posłużyć się wzorem $a√2$, gdzie a oznacza długość boku kwadratu.

  1. $ 5×√2=5√2 $
  2. $ 3√2×√2=3×2=6 $
  3. $ 5√3×√2=5√6 $

Zadanie 4.

O ile procent przekątna kwadratu jest dłuższa od jego boku? Wynik zaokrąglij do części dziesiątych procenta.

${a√2-a}/{a}×100%=(√2-1)×100%≈(1,414-1)×100%=0,414×100%=41,4% $

Odp.: Przekątna kwadratu jest dłuższa od jego boku o ok. 41,4%.

Zadanie 5.

Oblicz długość przekątnej prostokąta o bokach długości 2 dm i 5 cm.

$2 dm=20 cm$
 

Obliczam przekątną z twierdzenia pitagorasa przyjmując przekątną, jako trzeci bok trójkąta prostokątnego:

$ {20}^3+5^2=c^2 $

$400+25=c^2$

$c=√425=5√17 cm $
 

Odp.: Przekątna tego prostokąta ma długość $5√17$ cm.

Zadanie 6.

Czy istnieje trójkąt prostokątny o bokach długości 2, 5 i 6?

Trójkąt jest prostokątny, gdy długości jego boków spełniają równanie $a^2+b^2=c^2$.

$2^2+5^2$ ? $6^2 $

$4+25$ ? $36$

$29≠36$ -> trójkąt nie jest prostokątny

Odp.: Nie istnieje trójkąt prostokątny o podanych bokach.

 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Odległość między prostymi równoległymi a i b przedstawionymi na rysunku jest...

Pole trójkąta obliczamy korzystając z wzoru:

   gdzie    - długość boku trójkąta,  - długość wysokości opuszczonej na ten bok 


Trójkąt pierwszy
(od lewej)

 

pole tego trójkąta możemy również obliczyć w następujący sposób:

 

zatem:

 

 

 

 

{premium}


Trójkąt drugi (od lewej)

 

pole tego trójkąta możemy również obliczyć w następujący sposób:

 

zatem:

 

 

 

 


Trójkąt trzeci (od lewej)

 

pole tego trójkąta możemy również obliczyć w następujący sposób:

 

zatem:

 

 

 

 

Oceń prawdziwość zdań...

Thumb zad5as182 {premium}

Thumb zad5bs182

Na rysunku przedstawiono trójkąt różnoboczny ...

1. Kąt  i półprosta .

2. Kąt  i półprosta .

3. Kąt  i półprosta .{premium}


4. Kąt  i półprosta .

5. Kąt  i półprosta .

6. Kąt  i półprosta .


7. Kąt  i półprosta .

8. Kąt  i półprosta .

9. Kąt  i półprosta .

W układzie współrzędnych ...

Wyznaczamy czwarty wierzchołek kwadratu. 

Przyjmijmy oznaczenia jak na poniższym rysunku. {premium}


Pierwszy wiersz w tabeli

Wierzchołek D ma współrzędne (2,0). 

F (fałsz)

 

Drugi wiersz w tabeli

Zauważmy, że boki kwadratu są przeciwprostokątnymi trójkątów prostokątnych o przyprostokątnych długości 4 i 5. 

Obliczamy ile wynosi długość boku kwadratu (a). 

 

 

 

 

Bok kwadratu ma długość √41. 

P (prawda)

W klasie liczącej 27 osób jest o 5 chłopców...

wprowadźmy następujące oznaczenia:

 - liczba dziewcząt w tej klasie

 - liczba chłopców w tej klasie


wiemy, że w tej klasie jest 27 osób, zatem:{premium}

 

 

 

 

 


Odp.: W tej klasie jest 11 dziewcząt i 16 chłopców.

Oblicz długości zaznaczonych na ...

LATARNIA:

- pierwszy odcinek

 

 

a, b - przyprostokątne

  

c - przeciwprostokątna

Z tw. Pitagorasa:

  {premium}

  

 

 

 

- drugi odcinek

 

 

x, y - przyprostokątne

 

z - przeciwprostokątna

Z tw. Pitagorasa:

czyli:

 

 

 

 

  

 

STÓŁ:

 

  

a, b - przyprostokątne

  

c - przeciwprostokątna

Z tw. Pitagorasa:

 

 

 

 

  

 

ŻAGLÓWKA:

 

  

x, y - przyprostokątne

  

z - przeciwprostokątna

Z tw. Pitagorasa:

   

  

  

  

   

 

LATAWIEC:

 

 

x, y - przyprostokątne

 

z - przeciwprostokątna

h - wysokość, na jakiej znajduje się latawiec

Z tw. Pitagorasa:

czyli:

 

 

 

 

Zwrócmy uwagę, że chłopiec trzyma latawiec w ręce, 1 m nad ziemią, więc do otrzymanego wyniku musimy dodać 1 m:

 

 

 

PÓŁKA Z KSIĄŻKAMI:

 

 

a, b - przyprostokątne

 

c - przeciwprostokątna

Z tw. Pitagorasa:

czyli:

 

 

 

 

  

 

PRZYCZEPKA SAMOCHODU:

 

 

a, b - przyprostokątne

 

c - przeciwprostokątna

Z tw. Pitagorasa:

czyli:

 

 

 

 

  

Ankieterzy pokazali 20 osobom zdjęcie i poprosili...

a) Obliczmy średnią arytmetyczną  tych wyników:

 

Wyznaczmy medianę tych danych{premium}

(w tym celu musimy uporządkować je rosnąco):

 
zatem mediana wynosi:

 


b) Przedstawmy te dane na diagramie słupkowym:

podglad pliku

c) Zauważmy, że

- najniższy podany wiek przez ankietowanych to 13 lat

- najwyższy podany wiek przez ankietowanych to 19 lat

zatem różnica między tymi wynikami wynosi:

 

d) Obliczmy ile procent ankietowanych właściwie oceniło wiek chłopca:

 

Na rysunku przedstawiono drzewo...

Korzystając z rysunku drzewa wiemy, że zbiór zdarzeń elementarnych to :    {premium}

 


zatem zbiór zdarzeń elementarnych składa się z 9 elementów


Odp.: C.

Liczba 2^2*2^3*2^4*2^5 nie jest...

 

zatem:

A.    
{premium}
 

 

 


Odp.: C

Jeden ze sposobów określania przybliżonej ...

Przyjmijmy oznaczenia: 

  - wiek dziecka (w latach)

  - masa ciała dziecka (w kg) 


Aby obliczyć masę dziecka należy: 

  • wiek zwiększyć o 2, czyli: {premium}  

  • otrzymaną powyżej sumę zwiększyć 3 razy, czyli:   


Masę dziecka opisuje równanie: 

 


Poprawna odpowiedź: C. m=3(w+2)