Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Symetrie - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Symetrie względem prostej

Jeśli jedna z figur jest odbiciem drugiej względem danej prostej, to figury te są symetryczne względem prostej

Gdy mówimy, że dwie figury są symetryczne względem prostej, to od danego punktu jednej figury oraz punktu mu odpowiadającemu drugiej figury do prostej jest taka sama odległość.


Przykłady:





Oś symetrii figury

Oś symetrii dowolnej figury to taka prosta, która dzieli tę figurę na dwa symetryczne do siebie kawałki.

Figura, która posiada oś symetrii to figura osiowosymetryczna.

Niektóre figury mogą nie mieć lub mieć więcej niż jedną oś symetrii. 


Przykłady:



Symetralna odcinka

Symetralna odcinka to prosta, która jest prostopadła do danego odcinka i przechodzi przez jego środek.

Symetralna odcinka jest więc zbiorem punktów jednakowo oddalonych od obu końców tego odcinka. 



Dwusieczna kąta

Dwusieczna kąta to półprosta, która dzieli kąt na dwa kąty o jednakowych miarach. 

 

Symetria względem punktu

Symetria względem punktu to odbicie obrazu względem punktu.

Dwie figury są symetryczne względem punktu, jeśli jedną z nich otrzymujemy, obracając drugą z figur wokół danego punktu o 180°. 


Przykłady:


  • wzgledempunktu

  • wzgledempunktu2

Środek symetrii figury

Środek symetrii figury to taki punkt, względem którego odpowiednie punkty figury są symetryczne.

W przypadku wielokątów wystarczy sprawdzić, czy odpowiednie wierzchołki są symetryczne względem tego punktu.

Figura, która posiada środek symetrii to figura środkowosymetryczna.

Przykłady:





Symetrie w układzie współrzędnych

W układzie współrzędnych występują 3 symetrie:

  1. Symetria względem początku układu współrzędnych. Wtedy obie współrzędne punktu zmieniają się na przeciwne.

    Przykład:

    • punktem symetrycznym do punktu A (9,4) względem początku układu współrzędnych jest punkt A’ (-9,-4)
  2. Symetria względem osi x. Wtedy tylko druga współrzędna zmienia się na przeciwną, a pierwsza pozostaje bez zmian.

    Przykład:

    • punktem symetrycznym punktu do B (3,1) względem osi x jest punkt B’ (3,-1)
  3. Symetria względem osi y. Wtedy tylko pierwsza współrzędna zmienia się na przeciwną, a pierwsza pozostaje bez zmian.

    Przykład:

    • punktem symetrycznym do punktu C (7,2) względem osi y jest punkt B’ (-7,2)
 

Zadania powtórzeniowe

 

Zadanie 1.

Boki czworokąta mają długości 4 cm, 5 cm, 6 cm i 9 cm. Wielokąt zbudowany z tego czworokąta i jego odbicia symetrycznego względem prostej zawierającej jeden z boków czworokąta ma obwód 40 cm. Jakiej długości bok jest zawarty w osi symetrii?

obwód: 40 cm -> figura i jej odbicie symetryczne

obwód: 20 cm -> figura bez odbicia symetrycznego i bez szukanego boku

Długości których trzech boków mają w sumie 20 cm

z tego wynika, że bok o długości 4 cm jest zawarty w osi symetrii

Odp: Bok o długości 4 cm jest zawarty w osi symetrii.

Zadanie 2.

Podaj współrzędne punktów symetrycznych do punktów: A=(3,-5) ; B=(-1,2) ; C=(-420,0)

  1. względem osi x
  2. względem osi y
  3. względem początku układu współrzędnego [punkt (0,0)]

Gdy punkt jest symetryczny względem osi x, zmienia się jego druga współrzędna na liczbę przeciwną.

Gdy punkt jest symetryczny względem osi y, zmienia się jego pierwsza współrzędna na liczbę przeciwną.

Gdy punkt jest symetryczny względem punktu (0,0), zmieniają się jego obydwie współrzędne na liczby przeciwne.

  1. A=(3,5) ; B=(-1,-2) ; C=(-420,0)
  2. A=(-3,-5) ; B=(1,2) ; C=(420,0)
  3. A=(-3,5) ; B=(1,-2) ; C=(420,0)

Zadanie 3.

Która z figur ma zawsze środek symetrii? Trójkąt równoboczny, prostokąt, trapez czy trójkąt prostokątny?

Środek symetrii ma figura, która po obrocie o 180° względem tego punktu będzie wyglądała tak samo.

Odp.: Z podanych figur środek symetrii ma zawsze prostokąt.

Zadanie 4.

Jakie współrzędne ma punkt będący środkiem symetrii czworokąta o wierzchołkach (-2,4),(0,4),(4,-2) i (2,-2)?

Zadanie 5.

Określ, gdzie położony jest punkt K, jeżeli odcinek symetryczny do odcinka AB względem punktu K:

  1. leży na prostej AB
  2. jest odcinkiem AB
  3. ma jeden punkt wspólny z odcinkiem AB
  1. Odcinek K leży w dowolnym miejscu na prostej AB
  2. Odcinek K leży w połowie odcinka AB
  3. Odcinek K leży na krańcu odcinka AB

Zadanie 6.

Kąt między dwoma bokami trójkąta ma miarę 20°. Pod jakim kątem przecinają się symetralne tych boków?

$$ β $$ -> miara szukanego kąta
Powstaje czworokąt o kątach $$ β, 20°, 90° i 90° $$ . Suma miar kątów w czworokącie wynosi $$ 360° $$ .

$$ β+20°+90°+90°=360° $$
β=160°

Odp.: Symetralne tych boków przecinają się pod kątem $$ 160° $$ .

Spis treści

Rozwiązane zadania
Punkt A ma współrzędne (3,2). Wybrano taki punkt...

Rysunek pomocniczy:



Pole kwadratu obliczamy korzystając z  wzoru:

`P=a^2` 

zatem aby pole kwadratu było różne od 5 to:
{premium}
`5!=a^2 \ \|sqrt` 

`a!=sqrt5` 

Zauważmy, że długości odcinków AX1, AX2, AX4 są takie same ponieważ każdy z tych odcinków jest
przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych długości 1 i 2

obliczmy długość każdego z tych odcinków

`|AX_1|^2=1^2+2^2` 

`|AX_1|^2=1+4` 

`|AX_1|^2=5` 

`sqrt|AX_1|=sqrt5` 

zatem odcinki AX1, AX2, AX4 mają długość `sqrt5` 

obliczmy długość odcinka AX3   jest on 
przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych długości 3 i 2

`|AX_3|^2=3^2+2^2` 

`|AX_3|^2=9+4` 

`|AX_3|^2=13` 

`sqrt|AX_3|=sqrt13` 


Odp.: C

Trójkąt na rysunku jest równoramienny...

W każdym trójkącie suma miar kątów wewnętrznych wynosi `180^@` 


Trójkąt pierwszy (od lewej)

Miary kątów tego trójkąta wynoszą:

`beta, alpha, alpha` 
{premium}
zatem:

`beta+alpha+alpha=180^@` 

`beta+2alpha=180^@ \ \ |-2alpha` 

`beta=180^@-2alpha` 



Trójkąt drugi (od lewej)

Miary kątów tego trójkąta wynoszą:

`360^@-gamma, alpha, alpha` 

zatem:

`360^@-gamma+alpha+alpha=180^@` 

`360^@-gamma+2alpha=180^@ \ \ |-360^@` 

`-gamma+2alpha=-180^@ \ \|-2alpha` 

`-gamma=-180^@ -2alpha \ \ |*(-1)` 

`gamma=180^@ +2alpha` 


Trójkąt trzeci (od lewej)

Miary kątów tego trójkąta wynoszą:

`180^@-delta, alpha, alpha` 

zatem:

`180^@-delta+alpha+alpha=180^@` 

`180^@-delta+2alpha=180^@ \ \ |-180^@` 

`-delta+2alpha=0 \ \|-2alpha` 

`-delta=-2alpha \ \ |*(-1)` 

`delta=2alpha` 

Oblicz długość zaznaczonych ...

Bryła jest prostopadłościanem, więc każda jej ściana jest prostokątem.

Obliczmy długośc przekątnej d1.

Przekątna d1 jest przekątną prostokąta o bokach długości 12 cm oraz 5 cm.

Wraz z bokami tego prostokąta tworzy trójkąt prostokątny.

Obliczymy  długość przekątnej  korzystając z tw. Pitagorasa: {premium}

`12^2+5^2=(d_1)^2`

`144+25=(d_1)^2`

`169=(d_1)^2`

`d_1=13\ [cm]`

Przekątna d1 ma 13 cm długości.

 

Obliczmy długość przekątnej d2.

Przekątna d2 jest przekątną prostopadłościanu. Wraz z krawędzią boczną o długości 6 cm oraz przekątną podstawy o długości 13 cm (obliczona powyżej) tworzy trójkąt prostokątny.

Długość tej przekątnej także obliczymy korzystając z tw. Pitagorasa:

`13^2+6^2=(d_2)^2`

`169+36=(d_2)^2`

`205=(d_2)^2`

`d_2=sqrt205\ [cm]`

Przekątna d2 ma √205 cm długości.

a) Ile jest dwucyfrowych liczb naturalnych podzielnych...

a) Dwucyfrowe liczby naturalne podzielne przez 5 to:

10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95

zatem takich liczb jest: 18


b)  Dwucyfrowe liczby naturalne podzielne przez 3 to:
{premium}

12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48, 51, 54, 57, 60, 63, 66, 69, 72, 75, 78, 81, 84, 87, 90, 93, 96, 99

zatem takich liczb jest: 30


c) Dwucyfrowe liczby naturalne podzielne przez 15 to:

15, 30, 45, 60, 75, 90

zatem takich liczb jest: 6

Na wykresie przedstawiono...

`a)`  

`"dla " 20\ (km)/h  "mamy: " 13\ N`   

`"dla " 40\ (km)/h  "mamy: " 50\ N`   
{premium}

`"dla " 80\ (km)/h  "mamy: " 200\ N`   

 

`b)` 

Wraz ze wzrostem prędkości siła oporu rośnie.

 

`c)` 

Dla prędkości większych od `55\ (km)/h` 

W każdym z wymienionych w tabelce graniastosłupów prostych krawędź podstawy jest równa 4 (...)

Uzupełnij tabelę.

Jeżeli w podstawie jest n -kąt to:

n - liczba ścian bocznych

n+1 - liczba wszystkich ścian

n - liczba krawędzi podstawy

2n - liczba krawędzi

n - liczba wierzchołków podstawy

n+1 - liczba wszystkich wierzchołków

{premium}

Podstawa ostrosłupa

Liczba ścian bocznych

Liczba wszystkich ścian

Liczba krawędzi podstawy

Liczba krawędzi

Liczba wierzchołków podstawy

Liczba wszystkich wierzchołków

trójkąt

3

4

3

6

3

4

siedmiokąt

7

8

7

14

7

8

pięciokąt

5

6

5

10

5

6

ośmiokąt

8

9

8

16

8

9

sześciokąt

6

7

6

12

6

7

jedenastokąt

11

12

11

22

11

12

Na rysunku przedstawiono ...

W zadaniu korzystamy z tw. Pitagorasa.

 

a)

Obliczamy długość przekątnej podstawy x.

`2^2+x^2=6^2`

`4+x^2=36`

`x^2=32`

{premium}

`x=sqrt(32)=sqrt(16*2)=4sqrt2\ [cm]`

 

Obliczamy długość przekątnej y graniastosłupa.

`5^2+x^2=y^2`

Podstawiamy x = 4√2.

`5^2+(4sqrt2)^2=y^2`

`25+32=y^2`

`y^2=57`

`y=sqrt(57)\ [cm]`

 

b)

Obliczamy długość przekątnej podstawy x.

`1^2+4^2=x^2`

`1+16=x^2`

`x^2=17`

`x=sqrt(17)\ [cm]`

 

Obliczamy długość przekątnej y graniastosłupa.

`3^2+x^2=y^2`

Podstawiamy x = √17.

`3^2+(sqrt17)^2=y^2`

`9+17=y^2`

`y^2=26`

`y=sqrt(26)\ [cm]`

a) Powierzchnia jednego pęcherzyka...

`a)` 

Dane:

Powierzchnia jednego pęcherzyka płucnego: `P = 1,7*10^-7\ m^2` 

Minimalna liczba pęcherzyków płucnych w płucach: `n_min = 300\ "mln" = 300*10^6 = 3*10^2*10^6=3*10^(2+6)=3*10^8` 

Maksymalna liczba pęcherzyków płucnych w płucach: `n_max = 500\ "mln" = 500*10^6 = 5*10^2*10^6=5*10^(2+6)=5*10^8`

Szukane:

Powierzchnia pęcherzyków płuc:  `P_min = ?,  P_max = ?` 

Rozwiązanie:

Obliczamy minimalną powierzchnię pęcherzyków płuc:

`P_min = P*n_min` 

`P_min = 1,7*10^-7\ m^2*3*10^8\ m = 1,7*3*10^(-7+8)\ m^2 = 5,1*10\ m^2 = 51\ m^2` 
{premium}

Obliczamy maksymalną powierzchnię pęcherzyków płuc:

`P_max = P*n_max` 

`P_max = 1,7*10^-7\ m^2*5*10^8\ m = 1,7*5*10^(-7+8)\ m^2 = 8,5*10\ m^2 = 85\ m^2` 

Odp.: Łączna powierzchnia pęcherzyków mieści się w przedziale od 51 m2 do 85 m2.

 

`b)` 

Dane:

Zakres wysokości termosfery:

`"od "8,5*10^4\ m " do "5,5*10^5\ m` 

Szukane:

Grubość warstwy termosfery: `d = ?`  

Rozwiązanie:

`d = 5,5*10^5\ m - 8,5*10^4\ m = 55*10^4\ m - 8,5*10^4\ m = 46,5*10^4\ m = 465  000\ m`  

Odp.: Grubość warstwy termosfery wynosi 465 tysięcy metrów.

 

`c)` 

Dane:

Długość folii: `a = 200\ m =200*10\ dm =2000\ dm=2*10^3\ dm` 

Szerokość foli: `b = 50\ cm=5\ dm`  

Grubość fali: `c = 2,3*10^-5\ m = 2,3*10^-5*10\ dm=2,3*10^(-5+1)\ dm=2,3*10^-4\ dm` 

Szukane:

Objętość fali: `V = ?` 

Rozwiązanie:

Folię traktujemy jak prostopadłościan. Objętość tej folii wynosi:

`V=a*b*c` 

`V = 2 * 10^3\ dm * 5\ dm * 2,3*10^-4\ dm = 2*5*2,3*10^(3-4)\ dm^3 = 23*10^-1\ dm^3=2,3\ dm^3` 

Odp.: Objętość foli wynosi 2,3 dm3.

Każde z poniższych równań ma dwa rozwiązania...

`a")" x^2+2=3x` 

Sprawdźmy czy liczba `-3` jest rozwiązaniem tego równania:

`L=(-3)^2+2=9+2=11` 

`P=3*(-3)=-9` 

`L!=P` 

liczba `-3` nie jest rozwiązaniem tego równania
{premium}

Sprawdźmy czy liczba `-1` jest rozwiązaniem tego równania:

`L=(-1)^2+2=1+2=3` 

`P=3*(-1)=-3` 

`L!=P` 

liczba `-1` nie jest rozwiązaniem tego równania


Sprawdźmy czy liczba `0` jest rozwiązaniem tego równania:

`L=0^2+2=0+2=2` 

`P=3*0=0` 

`L!=P` 

liczba `0` nie jest rozwiązaniem tego równania


Sprawdźmy czy liczba `1` jest rozwiązaniem tego równania:

`L=1^2+2=1+2=3` 

`P=3*1=3` 

`L=P` 

liczba `1`jest rozwiązaniem tego równania


Sprawdźmy czy liczba `2` jest rozwiązaniem tego równania:

`L=2^2+2=4+2=6` 

`P=3*2=6` 

`L=P` 

liczba `2`jest rozwiązaniem tego równania


`b")" \ 1/(x+1)=(x+1)/4` 

Sprawdźmy czy liczba `-3` jest rozwiązaniem tego równania:

`L=1/(-3+1)=1/(-2)=-1/2` 

`P=(-3+1)/4=-2/4=-1/2` 

`L=P` 

liczba `-3`jest rozwiązaniem tego równania


Sprawdźmy czy liczba `-1` jest rozwiązaniem tego równania:

`L=1/(-1+1)` - nie możemy dzieli przez `0`!!! 

liczba `-1`nie jest rozwiązaniem tego równania


Sprawdźmy czy liczba `0` jest rozwiązaniem tego równania:

`L=1/(0+1)=1/1=1` 

`P=(0+1)/4=1/4` 

`L!=P` 

liczba `0`nie jest rozwiązaniem tego równania


Sprawdźmy czy liczba `1` jest rozwiązaniem tego równania:

`L=1/(1+1)=1/2` 

`P=(1+1)/4=2/4=1/2` 

`L=P` 

liczba `1`jest rozwiązaniem tego równania


Sprawdźmy czy liczba `2` jest rozwiązaniem tego równania:

`L=1/(2+1)=1/3` 

`P=(2+1)/4=3/4` 

`L!=P` 

liczba `2`nie jest rozwiązaniem tego równania


`c")" \ 2x^2=x^3` 

Sprawdźmy czy liczba `-3` jest rozwiązaniem tego równania:

`L=2*(-3)^2=2*9=18` 

`P=(-3)^3=-27` 

`L!=P` 

liczba `-3`nie jest rozwiązaniem tego równania


Sprawdźmy czy liczba `-1` jest rozwiązaniem tego równania:

`L=2*(-1)^2=2*1=2` 

`P=(-1)^3=-1` 

`L!=P` 

liczba `-1`nie jest rozwiązaniem tego równania


Sprawdźmy czy liczba `0` jest rozwiązaniem tego równania:

`L=2*0^2=2*0=0` 

`P=0^3=0` 

`L=P` 

liczba `0`jest rozwiązaniem tego równania


Sprawdźmy czy liczba `1` jest rozwiązaniem tego równania:

`L=2*1^2=2*1=2` 

`P=1^3=1` 

`L!=P` 

liczba `1`nie jest rozwiązaniem tego równania


Sprawdźmy czy liczba `2` jest rozwiązaniem tego równania:

`L=2*2^2=2*4=8` 

`P=2^3=8` 

`L=P` 

liczba `2`jest rozwiązaniem tego równania


`d")" \ |x+1|=2` 

Sprawdźmy czy liczba `-3` jest rozwiązaniem tego równania:

`L=|-3+1|=|-2|=2` 

`P=2` 

`L=P` 

liczba `-3`jest rozwiązaniem tego równania


Sprawdźmy czy liczba `-1` jest rozwiązaniem tego równania:

`L=|-1+1|=|0|=0` 

`P=2` 

`L!=P` 

liczba `-1`nie jest rozwiązaniem tego równania


Sprawdźmy czy liczba `0` jest rozwiązaniem tego równania:

`L=|0+1|=|1|=1` 

`P=2` 

`L!=P` 

liczba `0`nie jest rozwiązaniem tego równania


Sprawdźmy czy liczba `1` jest rozwiązaniem tego równania:

`L=|1+1|=|2|=2` 

`P=2` 

`L=P` 

liczba `1`jest rozwiązaniem tego równania


Sprawdźmy czy liczba `2` jest rozwiązaniem tego równania:

`L=|2+1|=|3|=3` 

`P=2` 

`L!=P` 

liczba `2`nie jest rozwiązaniem tego równania