Symetrie - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Symetrie - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Symetrie względem prostej

Jeśli jedna z figur jest odbiciem drugiej względem danej prostej, to figury te są symetryczne względem prostej

Gdy mówimy, że dwie figury są symetryczne względem prostej, to od danego punktu jednej figury oraz punktu mu odpowiadającemu drugiej figury do prostej jest taka sama odległość.


Przykłady:





Oś symetrii figury

Oś symetrii dowolnej figury to taka prosta, która dzieli tę figurę na dwa symetryczne do siebie kawałki.

Figura, która posiada oś symetrii to figura osiowosymetryczna.

Niektóre figury mogą nie mieć lub mieć więcej niż jedną oś symetrii. 


Przykłady:



Symetralna odcinka

Symetralna odcinka to prosta, która jest prostopadła do danego odcinka i przechodzi przez jego środek.

Symetralna odcinka jest więc zbiorem punktów jednakowo oddalonych od obu końców tego odcinka. 



Dwusieczna kąta

Dwusieczna kąta to półprosta, która dzieli kąt na dwa kąty o jednakowych miarach. 

 

Symetria względem punktu

Symetria względem punktu to odbicie obrazu względem punktu.

Dwie figury są symetryczne względem punktu, jeśli jedną z nich otrzymujemy, obracając drugą z figur wokół danego punktu o 180°. 


Przykłady:


  • wzgledempunktu

  • wzgledempunktu2

Środek symetrii figury

Środek symetrii figury to taki punkt, względem którego odpowiednie punkty figury są symetryczne.

W przypadku wielokątów wystarczy sprawdzić, czy odpowiednie wierzchołki są symetryczne względem tego punktu.

Figura, która posiada środek symetrii to figura środkowosymetryczna.

Przykłady:





Symetrie w układzie współrzędnych

W układzie współrzędnych występują 3 symetrie:

  1. Symetria względem początku układu współrzędnych. Wtedy obie współrzędne punktu zmieniają się na przeciwne.

    Przykład:

    • punktem symetrycznym do punktu A (9,4) względem początku układu współrzędnych jest punkt A’ (-9,-4)
  2. Symetria względem osi x. Wtedy tylko druga współrzędna zmienia się na przeciwną, a pierwsza pozostaje bez zmian.

    Przykład:

    • punktem symetrycznym punktu do B (3,1) względem osi x jest punkt B’ (3,-1)
  3. Symetria względem osi y. Wtedy tylko pierwsza współrzędna zmienia się na przeciwną, a pierwsza pozostaje bez zmian.

    Przykład:

    • punktem symetrycznym do punktu C (7,2) względem osi y jest punkt B’ (-7,2)
 

Zadania powtórzeniowe

 

Zadanie 1.

Boki czworokąta mają długości 4 cm, 5 cm, 6 cm i 9 cm. Wielokąt zbudowany z tego czworokąta i jego odbicia symetrycznego względem prostej zawierającej jeden z boków czworokąta ma obwód 40 cm. Jakiej długości bok jest zawarty w osi symetrii?

obwód: 40 cm -> figura i jej odbicie symetryczne

obwód: 20 cm -> figura bez odbicia symetrycznego i bez szukanego boku

Długości których trzech boków mają w sumie 20 cm

z tego wynika, że bok o długości 4 cm jest zawarty w osi symetrii

Odp: Bok o długości 4 cm jest zawarty w osi symetrii.

Zadanie 2.

Podaj współrzędne punktów symetrycznych do punktów: A=(3,-5) ; B=(-1,2) ; C=(-420,0)

  1. względem osi x
  2. względem osi y
  3. względem początku układu współrzędnego [punkt (0,0)]

Gdy punkt jest symetryczny względem osi x, zmienia się jego druga współrzędna na liczbę przeciwną.

Gdy punkt jest symetryczny względem osi y, zmienia się jego pierwsza współrzędna na liczbę przeciwną.

Gdy punkt jest symetryczny względem punktu (0,0), zmieniają się jego obydwie współrzędne na liczby przeciwne.

  1. A=(3,5) ; B=(-1,-2) ; C=(-420,0)
  2. A=(-3,-5) ; B=(1,2) ; C=(420,0)
  3. A=(-3,5) ; B=(1,-2) ; C=(420,0)

Zadanie 3.

Która z figur ma zawsze środek symetrii? Trójkąt równoboczny, prostokąt, trapez czy trójkąt prostokątny?

Środek symetrii ma figura, która po obrocie o 180° względem tego punktu będzie wyglądała tak samo.

Odp.: Z podanych figur środek symetrii ma zawsze prostokąt.

Zadanie 4.

Jakie współrzędne ma punkt będący środkiem symetrii czworokąta o wierzchołkach (-2,4),(0,4),(4,-2) i (2,-2)?

Zadanie 5.

Określ, gdzie położony jest punkt K, jeżeli odcinek symetryczny do odcinka AB względem punktu K:

  1. leży na prostej AB
  2. jest odcinkiem AB
  3. ma jeden punkt wspólny z odcinkiem AB
  1. Odcinek K leży w dowolnym miejscu na prostej AB
  2. Odcinek K leży w połowie odcinka AB
  3. Odcinek K leży na krańcu odcinka AB

Zadanie 6.

Kąt między dwoma bokami trójkąta ma miarę 20°. Pod jakim kątem przecinają się symetralne tych boków?

$ β $ -> miara szukanego kąta
Powstaje czworokąt o kątach $ β, 20°, 90° i 90° $ . Suma miar kątów w czworokącie wynosi $ 360° $ .

$ β+20°+90°+90°=360° $
β=160°

Odp.: Symetralne tych boków przecinają się pod kątem $ 160° $ .

Spis treści

Rozwiązane zadania
Sprawdź, które liczby...

 

Liczby spełniają równanie, jeżeli prawa strona tego równania będzie równa lewej. Wówczas:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 {premium}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Odpowiedź: Równanie spełnia liczba .

 

 

Analogicznie, jak w poprzednim podpunkcie. Obliczamy:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Odpowiedź: Równanie spełnia liczba .

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym T wszytkie...

Wiemy, że suma długości wszystkich krawędzi każdego z tych dwóch ostrosłupów wynosi 240 cm.

Pierwsze zdanie jest fałszywe ponieważ:   {premium}

Ostrosłup prawidłowy trójkątny (T) ma 6 krawędzi 

(w tym zadaniu wszystkie krawędzie tego ostrosłupa mają taką samą długość)

Obliczmy długość jednej krawędzi tego ostrosłupa:

 


Drugie zdanie jest prawdziwe ponieważ:

Ostrosłup prawidłowy czworokątny (C) ma 8 krawędzi 

(w tym zadaniu wszystkie krawędzie tego ostrosłupa mają taką samą długość)

Obliczmy długość jednej krawędzi tego ostrosłupa:

 


Obliczmy obwód podstawy ostrosłupa C:

 


Trzecie zdanie jest prawdziwe ponieważ:

Obliczmy, o ile krawędź ostrosłupa T jest dłuższa od krawędzi ostrosłupa C:

 

Oblicz pole powierzchni bocznej...

Dane:

Długość przekątnej podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego:  

Długość krawędzi podstawy:  

Wysokość graniastosłupa:  

Szukane:

Pole powierzchni bocznej:  

Rozwiązanie:

Wiemy, że graniastosłup prawidłowy czworokątny ma w podstawie kwadrat. Skoro znamy długość przekątnej tego kwadratu to długość jego krawędzi będzie wynosiła:{premium}

 

 

 

Powierzchnia boczna tego graniastosłupa składa się z czterech takich samych prostokątów, w których jednym bokiem jest krawędź podstawy, a drugim jest wysokość tego graniastosłupa. Z tego wynika, że:

 

 

 

 

 

 

Odp.: Pole powierzchni bocznej graniastosłupa wynosi .

Na pianinie można zagrać 88 różnych ...

 

Oba dźwięki możemy zagrać na pianinie lub oba na dzwonkach, ale również pierwszy może zostać zagrany na pianinie, a drugi na dzwonkach lub odwrotnie - pierwszy na dzwonkach, a drugi na pianinie. Mamy więc cztery różne możliwości wyboru instrumentu / instrumentów.

Pamiętajmy, że dźwięk może się powtórzyć.{premium}

1. Oba dźwięki zagrane zostaną na pianinie. Liczba możliwości:

 

2. Oba dźwięki zagrane zostaną na dzwonkach. Liczba możliwości:

 

3. Pierwszy dźwięk zostanie zagrany na pianinie, a drugi na dzwonkach. Liczba możliwości:

 

4. Pierwszy dźwięk zostanie zagrany na dzwonkach, a drugi na pianinie. Liczba możliwości:

 


Sumujemy otrzymane wyniki, aby dowiedzieć się ile różnych sekwencji dwudźwiękowych można zagrać.

 


 

Oba dźwięki możemy zagrać na pianinie lub oba na dzwonkach, ale również pierwszy może zostać zagrany na pianinie, a drugi na dzwonkach lub odwrotnie - pierwszy na dzwonkach, a drugi na pianinie. Mamy więc cztery różne możliwości wyboru instrumentu / instrumentów.

Pamiętajmy, że dźwięk nie może się powtórzyć.

1. Oba dźwięki zagrane zostaną na pianinie. Liczba możliwości:

 

2. Oba dźwięki zagrane zostaną na dzwonkach. Liczba możliwości:

 

3. Pierwszy dźwięk zostanie zagrany na pianinie, a drugi na dzwonkach. Liczba możliwości:

 

4. Pierwszy dźwięk zostanie zagrany na dzwonkach, a drugi na pianinie. Liczba możliwości:

 


Sumujemy otrzymane wyniki, aby dowiedzieć się ile różnych sekwencji dwudźwiękowych można zagrać.

 

Oblicz sumę długości ...

a) Ostrosłup ma w podstawie prostokąt o wymiarach 7 cm x 3 cm. Długość krawędzi bocznej wynosi 9 cm.

Aby obliczyć sumę długości wszystkich jego krawędzi dodajemy obwód podstawy oraz cztery krawędzie boczne.

{premium}

b) Ostrosłup ma w podstawie trójkąt prostokatny.

Obliczmy długość przeciwprostokątnej tego trójkąta korzystając z twierdzenia Pitagorasa.

 

Znamy długości wszystkich krawędzi podstawy ostrosłupa: 6cm, 8 cm oraz 10 cm.

Długość krawędzi bocznej ostrosłupa wynosi 10 cm.

Aby obliczyć sumę długości wszystkich jego krawędzi dodajemy obwód podstawy oraz trzy krawędzie boczne.

 

c) Ostrosłup ma w podstawie trapez równoramienny o podstawach wynoszących 7 cm i 10 cm oraz ramionach długości 4 cm.

Długość krawędzi bocznej ostrosłupa wynosi 8 cm.

Aby obliczyć sumę długości wszystkich jego krawędzi dodajemy obwód podstawy oraz cztery krawędzie boczne.

Tabela przedstawia wyniki ankiety, w której grupę ...

a) Obliczamy, ilu było ankietowanych. 

 

Zapytano 40 nastolatków. 

  • 4 osoby odpowiedziały, że nie były w ogóle w kinie. 

Obliczamy, ile procent ankietowanych udzieliło takiej odpowiedzi. 

 
Obliczamy ile będzie wynosić miara kąta środkowego wycinka koła odpowiadającego tej odpowiedzi.  

 {premium}

  • 15 osób odpowiedziało, że były w kinie jeden raz. 

Obliczamy, ile procent ankietowanych udzieliło takiej odpowiedzi. 

 
Obliczamy ile będzie wynosić miara kąta środkowego wycinka koła odpowiadającego tej odpowiedzi. 

 

  • 12 osób odpowiedziało, że w kinie byli 2 razy. 

Obliczamy, ile procent ankietowanych udzieliło takiej odpowiedzi. 

  
Obliczamy ile będzie wynosić miara kąta środkowego wycinka koła odpowiadającego tej odpowiedzi.  

 

  • 6 osób odpowiedziało, że w kinie byli 3 razy. 

Obliczamy, ile procent ankietowanych udzieliło takiej odpowiedzi. 

  
Obliczamy ile będzie wynosić miara kąta środkowego wycinka koła odpowiadającego tej odpowiedzi.  

 

  • 2 osoby odpowiedziały, że były w kinie 4 razy. 

Obliczamy, ile procent ankietowanych udzieliło takiej odpowiedzi. 

 
Obliczamy ile będzie wynosić miara kąta środkowego wycinka koła odpowiadającego tej odpowiedzi.  

 

  • 1 osoba odpowiedziała, że była w kinie 5 razy. 

Obliczamy, ile procent ankietowanych udzieliło takiej odpowiedzi. 

   

Obliczamy ile będzie wynosić miara kąta środkowego wycinka koła odpowiadającego tej odpowiedzi.  

 


Diagram kołowy: 

 

b) Obliczamy, ile wynosiła średnia ilość filmów obejrzanych przez nastolatków. 

 

Średnia wynosi 1,75 filmu. 

Wyraź podane wielkości w jednostce wskazanej w ramce.

 

  

{premium}

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

               

 

Na ile sposobów Jaś i Małgosia ...

Jaś może wybrać jedno z ośmiu miejsc, czyli ma 8 możliwości. {premium}

Małgosia może wybrać jedno z siedmiu miejsc
(jedno miejsce już wybrał Jaś), czyli ma 7 możliwości.

Zgodnie z regułą mnożenia wszystkich możliwości jest:

 

 

Odp. Jaś i Małgosia mogą zająć miejsca na 56 sposobów.

Iloczyn...

 

 {premium}

 

 

 

 

 

Odpowiedź:  

Punkty A=(3, 2) i B=(5, -4) ...

{premium}

 

Czworokąt A'BB'A to trapez równoramienny o podstawach długości 4 i 8 oraz wysokości 2.