Symetrie - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Symetrie względem prostej

Jeśli jedna z figur jest odbiciem drugiej względem danej prostej, to figury te są symetryczne względem prostej

Gdy mówimy, że dwie figury są symetryczne względem prostej, to od danego punktu jednej figury oraz punktu mu odpowiadającemu drugiej figury do prostej jest taka sama odległość.


Przykłady:





Oś symetrii figury

Oś symetrii dowolnej figury to taka prosta, która dzieli tę figurę na dwa symetryczne do siebie kawałki.

Figura, która posiada oś symetrii to figura osiowosymetryczna.

Niektóre figury mogą nie mieć lub mieć więcej niż jedną oś symetrii. 


Przykłady:



Symetralna odcinka

Symetralna odcinka to prosta, która jest prostopadła do danego odcinka i przechodzi przez jego środek.

Symetralna odcinka jest więc zbiorem punktów jednakowo oddalonych od obu końców tego odcinka. 



Dwusieczna kąta

Dwusieczna kąta to półprosta, która dzieli kąt na dwa kąty o jednakowych miarach. 

 

Symetria względem punktu

Symetria względem punktu to odbicie obrazu względem punktu.

Dwie figury są symetryczne względem punktu, jeśli jedną z nich otrzymujemy, obracając drugą z figur wokół danego punktu o 180°. 


Przykłady:


  • wzgledempunktu

  • wzgledempunktu2

Środek symetrii figury

Środek symetrii figury to taki punkt, względem którego odpowiednie punkty figury są symetryczne.

W przypadku wielokątów wystarczy sprawdzić, czy odpowiednie wierzchołki są symetryczne względem tego punktu.

Figura, która posiada środek symetrii to figura środkowosymetryczna.

Przykłady:





Symetrie w układzie współrzędnych

W układzie współrzędnych występują 3 symetrie:

  1. Symetria względem początku układu współrzędnych. Wtedy obie współrzędne punktu zmieniają się na przeciwne.

    Przykład:

    • punktem symetrycznym do punktu A (9,4) względem początku układu współrzędnych jest punkt A’ (-9,-4)
  2. Symetria względem osi x. Wtedy tylko druga współrzędna zmienia się na przeciwną, a pierwsza pozostaje bez zmian.

    Przykład:

    • punktem symetrycznym punktu do B (3,1) względem osi x jest punkt B’ (3,-1)
  3. Symetria względem osi y. Wtedy tylko pierwsza współrzędna zmienia się na przeciwną, a pierwsza pozostaje bez zmian.

    Przykład:

    • punktem symetrycznym do punktu C (7,2) względem osi y jest punkt B’ (-7,2)
 

Zadania powtórzeniowe

 

Zadanie 1.

Boki czworokąta mają długości 4 cm, 5 cm, 6 cm i 9 cm. Wielokąt zbudowany z tego czworokąta i jego odbicia symetrycznego względem prostej zawierającej jeden z boków czworokąta ma obwód 40 cm. Jakiej długości bok jest zawarty w osi symetrii?

obwód: 40 cm -> figura i jej odbicie symetryczne

obwód: 20 cm -> figura bez odbicia symetrycznego i bez szukanego boku

Długości których trzech boków mają w sumie 20 cm

z tego wynika, że bok o długości 4 cm jest zawarty w osi symetrii

Odp: Bok o długości 4 cm jest zawarty w osi symetrii.

Zadanie 2.

Podaj współrzędne punktów symetrycznych do punktów: A=(3,-5) ; B=(-1,2) ; C=(-420,0)

  1. względem osi x
  2. względem osi y
  3. względem początku układu współrzędnego [punkt (0,0)]

Gdy punkt jest symetryczny względem osi x, zmienia się jego druga współrzędna na liczbę przeciwną.

Gdy punkt jest symetryczny względem osi y, zmienia się jego pierwsza współrzędna na liczbę przeciwną.

Gdy punkt jest symetryczny względem punktu (0,0), zmieniają się jego obydwie współrzędne na liczby przeciwne.

  1. A=(3,5) ; B=(-1,-2) ; C=(-420,0)
  2. A=(-3,-5) ; B=(1,2) ; C=(420,0)
  3. A=(-3,5) ; B=(1,-2) ; C=(420,0)

Zadanie 3.

Która z figur ma zawsze środek symetrii? Trójkąt równoboczny, prostokąt, trapez czy trójkąt prostokątny?

Środek symetrii ma figura, która po obrocie o 180° względem tego punktu będzie wyglądała tak samo.

Odp.: Z podanych figur środek symetrii ma zawsze prostokąt.

Zadanie 4.

Jakie współrzędne ma punkt będący środkiem symetrii czworokąta o wierzchołkach (-2,4),(0,4),(4,-2) i (2,-2)?

Zadanie 5.

Określ, gdzie położony jest punkt K, jeżeli odcinek symetryczny do odcinka AB względem punktu K:

  1. leży na prostej AB
  2. jest odcinkiem AB
  3. ma jeden punkt wspólny z odcinkiem AB
  1. Odcinek K leży w dowolnym miejscu na prostej AB
  2. Odcinek K leży w połowie odcinka AB
  3. Odcinek K leży na krańcu odcinka AB

Zadanie 6.

Kąt między dwoma bokami trójkąta ma miarę 20°. Pod jakim kątem przecinają się symetralne tych boków?

$$ β $$ -> miara szukanego kąta
Powstaje czworokąt o kątach $$ β, 20°, 90° i 90° $$ . Suma miar kątów w czworokącie wynosi $$ 360° $$ .

$$ β+20°+90°+90°=360° $$
β=160°

Odp.: Symetralne tych boków przecinają się pod kątem $$ 160° $$ .

Spis treści

Rozwiązane zadania
Oblicz wysokość trójkąta równobocznego ...

Wysokość trójkąta równobocznego obliczamy ze wzoru:
 
gdzie a to długość boku trójkąta. 



a) Bok trójkąta ma długość 2, czyli a=2. {premium}

Obliczamy ile wynosi wysokość tego trójkąta. 
 

Wysokość trójkąta ma długość √3

b) Bok trójkąta ma długość 6, czyli a=6. 

Obliczamy ile wynosi wysokość tego trójkąta. 
  

Wysokość trójkąta ma długość 3√3

c) Bok trójkąta ma długość √2, czyli a=√2. 

Obliczamy ile wynosi wysokość tego trójkąta. 
  

Wysokość trójkąta ma długość √6/2

d) Bok trójkąta ma długość 4√3, czyli a=4√3. 

Obliczamy ile wynosi wysokość tego trójkąta. 
     

Wysokość trójkąta ma długość 6

Jakie wyrażenie...

  

  

 

 
{premium}

W miejscu kropek należy wpisać wyrażenie:  

 

  

 

 

 

W miejscu kropek należy wpisać wyrażenie:  

 

 

  

 

 

 

W miejscu kropek należy wpisać wyrażenie:  

 

 

 

 

  

W miejscu kropek należy wpisać wyrażenie:  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

W miejscu kropek należy wpisać wyrażenie:  

 

 

 

 

  

 

 

W miejscu kropek należy wpisać wyrażenie:  

 

W dziewięciokącie foremnym ABCDEFGHI ...

Miarę kąta wewnętrznego -kąta foremnego obliczamy ze wzoru:{premium}

 


Miara kąta wewnętrznego dziewięciokąta foremnego jest zatem równa

 

Zatem kąt przy wierzchołku  ma miarę .

 

Wiemy, że suma miar kątów wewnętrznych w trójkącie jest równa .

Trójkąt  jest trójkątem równoramiennym, zatem miary jego kątów ostrych są równe i wynoszą

 

 

Miary kątów trójkąta : .

Rozwiąż równanie. a) 3(2x-1)-5(x-3)+ 6(3x-4)=83

  

 

 

{premium}

 

 

 

 

 

 

  

 

  

Dzięki posezonowej obniżce ceny bluzki o 70%...

Wiemy, że dzięki posezonowej obniżce ceny bluzki o 70% Klaudia zaoszczędziła 35 zł 

obliczmy, ile kosztowała ta bluzka przed obniżką:

   -cena bluzki przed obniżką   {premium}

 

 

 

 

 


Odp.: Ta bluzka kosztowała przed obniżką 50 zł.

Skorzystaj z informacji podanych na rysunku ...

Ilość członków rodziny: 

 

Wzrosty członków rodziny:

 

{premium}

Średnia arytmetyczna:

 

 

Średnia wzrostu członków rodziny wynosi 140 cm.

Zapisz symbolicznie zbiór...

 

Liczby naturalne mniejsze od  to liczby całkowite od  do . Wówczas:

 

 

 {premium}

Zauważmy, że od  do  mamy  liczb. Zauważmy, że:

 

Od  do  mamy  liczb. Zauważmy, że:

 

Wówczas od  do  mamy  liczb. Wówczas zbiór  kolejnych liczb naturalnych, gdzie największą liczbą jest  ma postać:

 

 

O dwóch liczbach x i y wiadomo, że ...

Wiemy, że -3 < x < -2 oraz -2 < y < 2. 


Pierwszy wiersz w tabeli

Liczba x jest liczbą ujemną. 

Liczba y może być liczbą ujemną, {premium}ale może też być liczbą dodatnią. 

Iloczyn dwóch liczb ujemnych jest liczbą dodatnią, ale iloczyn liczby ujemnej i liczby dodatniej jest liczbą ujemną.

Oznacza to, że iloczyn  może być liczbą ujemną (nie zawsze jest dodatni). 

Przykład: 

   


Drugi wiersz w tabeli

Zastanówmy się ile wynosiłaby ta różnica gdybyśmy mieli: -3 ≤ x ≤ -2 oraz -2 ≤ y ≤ 2. 

Różnica ta byłaby możliwie największa, gdybyśmy od możliwie najmniejszego x (-3) odjęli możliwe największy y (2). 

 

Różnica ta byłaby możliwie najmniejsza, gdybyśmy od możliwie największego x (-2) odjęli możliwe najmniejszy y (-2).

  

Różnica tych liczb byłaby większa lub równa -5 i mniejsza lub równa 0. 


My jednak nie możemy wziąć pod uwagę -3, -2 i 2. W zadaniu mamy podane, że -3< x < -2 oraz -2 < y < 2. 

Oznacza to, że różnica tych liczb wynosi więcej niż -5 i mniej niż 0, czyli jest ujemna. 

 

Iloczyn   na pewno jest dodatni.  P F
Różnica x-y na pewno jest ujemna.  P F

 

Udowodnij, że jeśli kąt...

Krok 1.

Na zielono należy podkreślić: kąt ostry rombu ma

Na czerwono należy podkreślić: krótsza przekątna ma taką sama długość jak jego bok.


Krok 2.


Krok 3.

{premium}

Czworokąt  jest rombem, więc wszystkie jego boki są równe.

Wobec tego  więc trójkąt  jest równoramienny.

Obliczamy miary pozostałych kątów trójkąta  

 

 

 

 

 

Trójkąt  ma wszystkie kąty równe  więc jest trójkątem równobocznym,

czyli  co należało udowodnić.

Oblicz pole pierścienia ...
  I II III
 promień małego koła      
 pole małego koła      {premium}
 promień dużego koła      
 pole dużego koła      
 pole pierścienia
 kołowego
     

 

Promień małego koła w II:  

Promień dużego koła w II:  

Promień małego koła w III:  

Promień dużego koła w III: