Symetrie - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Symetrie - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Symetrie względem prostej

Jeśli jedna z figur jest odbiciem drugiej względem danej prostej, to figury te są symetryczne względem prostej

Gdy mówimy, że dwie figury są symetryczne względem prostej, to od danego punktu jednej figury oraz punktu mu odpowiadającemu drugiej figury do prostej jest taka sama odległość.


Przykłady:





Oś symetrii figury

Oś symetrii dowolnej figury to taka prosta, która dzieli tę figurę na dwa symetryczne do siebie kawałki.

Figura, która posiada oś symetrii to figura osiowosymetryczna.

Niektóre figury mogą nie mieć lub mieć więcej niż jedną oś symetrii. 


Przykłady:



Symetralna odcinka

Symetralna odcinka to prosta, która jest prostopadła do danego odcinka i przechodzi przez jego środek.

Symetralna odcinka jest więc zbiorem punktów jednakowo oddalonych od obu końców tego odcinka. 



Dwusieczna kąta

Dwusieczna kąta to półprosta, która dzieli kąt na dwa kąty o jednakowych miarach. 

 

Symetria względem punktu

Symetria względem punktu to odbicie obrazu względem punktu.

Dwie figury są symetryczne względem punktu, jeśli jedną z nich otrzymujemy, obracając drugą z figur wokół danego punktu o 180°. 


Przykłady:


  • wzgledempunktu

  • wzgledempunktu2

Środek symetrii figury

Środek symetrii figury to taki punkt, względem którego odpowiednie punkty figury są symetryczne.

W przypadku wielokątów wystarczy sprawdzić, czy odpowiednie wierzchołki są symetryczne względem tego punktu.

Figura, która posiada środek symetrii to figura środkowosymetryczna.

Przykłady:





Symetrie w układzie współrzędnych

W układzie współrzędnych występują 3 symetrie:

  1. Symetria względem początku układu współrzędnych. Wtedy obie współrzędne punktu zmieniają się na przeciwne.

    Przykład:

    • punktem symetrycznym do punktu A (9,4) względem początku układu współrzędnych jest punkt A’ (-9,-4)
  2. Symetria względem osi x. Wtedy tylko druga współrzędna zmienia się na przeciwną, a pierwsza pozostaje bez zmian.

    Przykład:

    • punktem symetrycznym punktu do B (3,1) względem osi x jest punkt B’ (3,-1)
  3. Symetria względem osi y. Wtedy tylko pierwsza współrzędna zmienia się na przeciwną, a pierwsza pozostaje bez zmian.

    Przykład:

    • punktem symetrycznym do punktu C (7,2) względem osi y jest punkt B’ (-7,2)
 

Zadania powtórzeniowe

 

Zadanie 1.

Boki czworokąta mają długości 4 cm, 5 cm, 6 cm i 9 cm. Wielokąt zbudowany z tego czworokąta i jego odbicia symetrycznego względem prostej zawierającej jeden z boków czworokąta ma obwód 40 cm. Jakiej długości bok jest zawarty w osi symetrii?

obwód: 40 cm -> figura i jej odbicie symetryczne

obwód: 20 cm -> figura bez odbicia symetrycznego i bez szukanego boku

Długości których trzech boków mają w sumie 20 cm

z tego wynika, że bok o długości 4 cm jest zawarty w osi symetrii

Odp: Bok o długości 4 cm jest zawarty w osi symetrii.

Zadanie 2.

Podaj współrzędne punktów symetrycznych do punktów: A=(3,-5) ; B=(-1,2) ; C=(-420,0)

  1. względem osi x
  2. względem osi y
  3. względem początku układu współrzędnego [punkt (0,0)]

Gdy punkt jest symetryczny względem osi x, zmienia się jego druga współrzędna na liczbę przeciwną.

Gdy punkt jest symetryczny względem osi y, zmienia się jego pierwsza współrzędna na liczbę przeciwną.

Gdy punkt jest symetryczny względem punktu (0,0), zmieniają się jego obydwie współrzędne na liczby przeciwne.

  1. A=(3,5) ; B=(-1,-2) ; C=(-420,0)
  2. A=(-3,-5) ; B=(1,2) ; C=(420,0)
  3. A=(-3,5) ; B=(1,-2) ; C=(420,0)

Zadanie 3.

Która z figur ma zawsze środek symetrii? Trójkąt równoboczny, prostokąt, trapez czy trójkąt prostokątny?

Środek symetrii ma figura, która po obrocie o 180° względem tego punktu będzie wyglądała tak samo.

Odp.: Z podanych figur środek symetrii ma zawsze prostokąt.

Zadanie 4.

Jakie współrzędne ma punkt będący środkiem symetrii czworokąta o wierzchołkach (-2,4),(0,4),(4,-2) i (2,-2)?

Zadanie 5.

Określ, gdzie położony jest punkt K, jeżeli odcinek symetryczny do odcinka AB względem punktu K:

  1. leży na prostej AB
  2. jest odcinkiem AB
  3. ma jeden punkt wspólny z odcinkiem AB
  1. Odcinek K leży w dowolnym miejscu na prostej AB
  2. Odcinek K leży w połowie odcinka AB
  3. Odcinek K leży na krańcu odcinka AB

Zadanie 6.

Kąt między dwoma bokami trójkąta ma miarę 20°. Pod jakim kątem przecinają się symetralne tych boków?

$ β $ -> miara szukanego kąta
Powstaje czworokąt o kątach $ β, 20°, 90° i 90° $ . Suma miar kątów w czworokącie wynosi $ 360° $ .

$ β+20°+90°+90°=360° $
β=160°

Odp.: Symetralne tych boków przecinają się pod kątem $ 160° $ .

Spis treści

Rozwiązane zadania
Rzekł raz Kargul do Pawlaka

Thumb str. 217   7{premium}Thumb str. 217   7.Thumb str. 217   7..

Studnia jednak ma znajdować się na granicy tych gospodarstw, więc powinna zostać zbudowana w miejscu przecięcia symetralnej (odcinek zaznaczony kolorem niebieskim) i granicy (krzywa zaznaczona kolorem czarnym).

Czy można podać jako przykład liczbę 35, aby...

a) NIE, aby udowodnić poprawność tego twierdzenia nie wystarczy podać jednej liczby, która je spełnia{premium}

b) TAK, liczba 35 jest podzielna przez 7 a nie kończy się cyfrą 7 zatem jest to kontrprzykład,
który potwierdzenia niepoprawność twierdzenia

c) NIE, to twierdzenie jest nieprawdziwe, ale liczba 35 nie jest na to dowodem 

ponieważ np. liczby 7, 77, 777... są podzielne przez 7,
a liczby: 17, 27, 37, 247, ... nie są podzielne przez 7 

zatem liczba, która kończy się cyfrą 7 może ale nie musi być podzielna przez 7

Oblicz sumy długości wszystkich...

 

Suma długości krawędzi:

 

Pole powierzchni:

 

 

 {premium}

Objętość:

 

 

 

 

Suma długości krawędzi:

 

Pole powierzchni podstawy, która jest równoległobokiem wynosi:]

 

 

Pole powierzchni:

 

 

 

 

Objętość:

 

 

 

 

 

Obliczmy długość boku rombu, który jest podstawą graniastosłupa:

 

 

 

 

Suma długości krawędzi wynosi:

 

Pole powierzchni podstawy, która jest rombem wynosi:

 

 

 

Pole powierzchni wynosi:

 

 

 

 

Objętość:

 

 

 

Wypisz wszystkie liczby całkowite spełniające...

-Liczby całkowite spełniające warunek:

   i       to:


 


-Liczby całkowite spełniające warunek:

   i       to: {premium}


 


Liczby całkowite spełniające warunek:

   i       to:


 


Liczby całkowite spełniające warunek:

   i       to:


 

Do zestawu trzech doniczek wrzucamy dwa różne...

Rozwiązanie zostało przedstawione na rysunku:

{premium}

Iloczynem liczb 56 i 35 jest ...

Obliczamy iloczyn licz  i .{premium}

podglad pliku

Liczba  zapisana w systemie rzymskim to:  


Odpowiedź: A

W pewnej restauracji są do wyboru: ...

Zupę możemy wybrać spośród 3 zup, czyli są 3 możliwości.

Drugie danie możemy wybrać spośród 7 dań, czyli jest 7 możliwości.

{premium}

Deser możemy wybrać spośród 2 deserów, czyli są 2 możliwości.

Zgodnie z regułą mnożenia wszystkich możliwości jest:

 

 

Odp. Można wybrać 42 różnych zestawów obiadowych.

Która z podanych...

 

Wiemy, że:

 

 

Ponieważ:

 

To:

  

Czyli:

{premium}  

 

 

Wiemy, że:

  

 

Ponieważ:

 

To:

 

Czyli:

 

 

 

Ponieważ:

 

To:

  

 

 

Ponieważ:

  

To:

 

 

 

Wiemy, że:

 

 

 

Czyli:   

  

 

 

Wiemy, że:

  

 

Ponieważ:

 

To:

 

Czyli:

3,4)6<(3,4)8(-3,4)6<(-3,4)8

Wykonaj obliczenia. Skreśl litery odpowiadające otrzymanym ...

  

{premium}

  

   

    

 

  

 

Skreślamy litery:

A, N, N, A, K, R

 

Hasło:

R O O T

Uzasadnij, że liczba...

Jeżeli podana liczba jest podzielna przez 7 to:

 {premium}

gdzie m jest dowolną liczbą naturalną. Wykażmy, że m jest liczbą naturalną: 

 

 

 

Odp: Liczba 2n jest liczbą naturalną, czyli liczba 2n+2n+1+2n+2 jest podzielna przez 7.