Symetrie - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Symetrie względem prostej

Jeśli jedna z figur jest odbiciem drugiej względem danej prostej, to figury te są symetryczne względem prostej

Gdy mówimy, że dwie figury są symetryczne względem prostej, to od danego punktu jednej figury oraz punktu mu odpowiadającemu drugiej figury do prostej jest taka sama odległość.


Przykłady:





Oś symetrii figury

Oś symetrii dowolnej figury to taka prosta, która dzieli tę figurę na dwa symetryczne do siebie kawałki.

Figura, która posiada oś symetrii to figura osiowosymetryczna.

Niektóre figury mogą nie mieć lub mieć więcej niż jedną oś symetrii. 


Przykłady:



Symetralna odcinka

Symetralna odcinka to prosta, która jest prostopadła do danego odcinka i przechodzi przez jego środek.

Symetralna odcinka jest więc zbiorem punktów jednakowo oddalonych od obu końców tego odcinka. 



Dwusieczna kąta

Dwusieczna kąta to półprosta, która dzieli kąt na dwa kąty o jednakowych miarach. 

 

Symetria względem punktu

Symetria względem punktu to odbicie obrazu względem punktu.

Dwie figury są symetryczne względem punktu, jeśli jedną z nich otrzymujemy, obracając drugą z figur wokół danego punktu o 180°. 


Przykłady:


  • wzgledempunktu

  • wzgledempunktu2

Środek symetrii figury

Środek symetrii figury to taki punkt, względem którego odpowiednie punkty figury są symetryczne.

W przypadku wielokątów wystarczy sprawdzić, czy odpowiednie wierzchołki są symetryczne względem tego punktu.

Figura, która posiada środek symetrii to figura środkowosymetryczna.

Przykłady:





Symetrie w układzie współrzędnych

W układzie współrzędnych występują 3 symetrie:

  1. Symetria względem początku układu współrzędnych. Wtedy obie współrzędne punktu zmieniają się na przeciwne.

    Przykład:

    • punktem symetrycznym do punktu A (9,4) względem początku układu współrzędnych jest punkt A’ (-9,-4)
  2. Symetria względem osi x. Wtedy tylko druga współrzędna zmienia się na przeciwną, a pierwsza pozostaje bez zmian.

    Przykład:

    • punktem symetrycznym punktu do B (3,1) względem osi x jest punkt B’ (3,-1)
  3. Symetria względem osi y. Wtedy tylko pierwsza współrzędna zmienia się na przeciwną, a pierwsza pozostaje bez zmian.

    Przykład:

    • punktem symetrycznym do punktu C (7,2) względem osi y jest punkt B’ (-7,2)
 

Zadania powtórzeniowe

 

Zadanie 1.

Boki czworokąta mają długości 4 cm, 5 cm, 6 cm i 9 cm. Wielokąt zbudowany z tego czworokąta i jego odbicia symetrycznego względem prostej zawierającej jeden z boków czworokąta ma obwód 40 cm. Jakiej długości bok jest zawarty w osi symetrii?

obwód: 40 cm -> figura i jej odbicie symetryczne

obwód: 20 cm -> figura bez odbicia symetrycznego i bez szukanego boku

Długości których trzech boków mają w sumie 20 cm

z tego wynika, że bok o długości 4 cm jest zawarty w osi symetrii

Odp: Bok o długości 4 cm jest zawarty w osi symetrii.

Zadanie 2.

Podaj współrzędne punktów symetrycznych do punktów: A=(3,-5) ; B=(-1,2) ; C=(-420,0)

  1. względem osi x
  2. względem osi y
  3. względem początku układu współrzędnego [punkt (0,0)]

Gdy punkt jest symetryczny względem osi x, zmienia się jego druga współrzędna na liczbę przeciwną.

Gdy punkt jest symetryczny względem osi y, zmienia się jego pierwsza współrzędna na liczbę przeciwną.

Gdy punkt jest symetryczny względem punktu (0,0), zmieniają się jego obydwie współrzędne na liczby przeciwne.

  1. A=(3,5) ; B=(-1,-2) ; C=(-420,0)
  2. A=(-3,-5) ; B=(1,2) ; C=(420,0)
  3. A=(-3,5) ; B=(1,-2) ; C=(420,0)

Zadanie 3.

Która z figur ma zawsze środek symetrii? Trójkąt równoboczny, prostokąt, trapez czy trójkąt prostokątny?

Środek symetrii ma figura, która po obrocie o 180° względem tego punktu będzie wyglądała tak samo.

Odp.: Z podanych figur środek symetrii ma zawsze prostokąt.

Zadanie 4.

Jakie współrzędne ma punkt będący środkiem symetrii czworokąta o wierzchołkach (-2,4),(0,4),(4,-2) i (2,-2)?

Zadanie 5.

Określ, gdzie położony jest punkt K, jeżeli odcinek symetryczny do odcinka AB względem punktu K:

  1. leży na prostej AB
  2. jest odcinkiem AB
  3. ma jeden punkt wspólny z odcinkiem AB
  1. Odcinek K leży w dowolnym miejscu na prostej AB
  2. Odcinek K leży w połowie odcinka AB
  3. Odcinek K leży na krańcu odcinka AB

Zadanie 6.

Kąt między dwoma bokami trójkąta ma miarę 20°. Pod jakim kątem przecinają się symetralne tych boków?

$$ β $$ -> miara szukanego kąta
Powstaje czworokąt o kątach $$ β, 20°, 90° i 90° $$ . Suma miar kątów w czworokącie wynosi $$ 360° $$ .

$$ β+20°+90°+90°=360° $$
β=160°

Odp.: Symetralne tych boków przecinają się pod kątem $$ 160° $$ .

Spis treści

Rozwiązane zadania
Ile różnych dzielników ma liczba, której rozkład na czynniki...

Dzielnikami liczby mogą być liczby występujące w jej rozkładzie na czynniki pierwsze lub iloczyny złożone z tych czynników

 

ta liczba ma następujące dzielniki:

 

zatem liczba ta ma 4 różne dzielniki

{premium}

 

ta liczba ma następujące dzielniki:

 

zatem liczba ta ma 4 różne dzielniki


 

ta liczba ma następujące dzielniki:

 

zatem liczba ta ma 8 różnych dzielników


 

ta liczba ma następujące dzielniki:

 

zatem liczba ta ma 8 różnych dzielników





ta liczba ma następujące dzielniki:



zatem liczba ta ma 16 różnych dzielników







Pole trójkąta przedstawionego na rysunku jest...

Rysunek pomocniczy:



Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczmy długość odcinka x:

 

 

 

 

{premium}

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczmy długość odcinka y:

 

 

 

 

 

Obliczmy pole tego trójkąta:

 

Odp.: C

Oblicz pole prostokąta o wymiarach:

Pole prostokąta to iloczyn długości dwóch sąsiednich boków. 

a, b - długości sąsiednich boków prostokąta

P=ab


 

 

 

Pole prostokąta wynosi: {premium}

 


  

 

Pole prostokąta wynosi: 

 

Oblicz pole trójkąta.

a) Zauważmy, że trójkąt ten jest trójkątem równoramiennym. 

Wysokość CD podzieliła ten trójkąt na dwa przystające trójkąty prostokątne (podzieliła ona podstawę AB na dwie równe części). {premium}

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta ADC obliczamy ile wynosi długość odcinka AD. 
 
 
 
 
 


Odcinki AD i DB mają taką samą długość, czyli:
 


Podstawa AB trójkąta ma więc długość:
 


Obliczamy ile wynosi pole trójkąta ABC.
 

Pole trójkąta ABC wynosi 240.


b) Trójkąt ten jest trójkątem prostokątnym o przyprostokątnej długości 7 i przeciwprostokątnej długości 25.  

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczamy ile wynosi długość drugiej przyprostokątnej (x). 
 
 
 
 
  

Druga przyprostokątna tego trójkąta ma długość 24. 


Jedną z przyprostokątnych tego trójkąta traktujemy jak wysokość tego trójkąta, a drugą jak podstawę, gdyż przyprostokątne są do siebie prostopadłe. 

Obliczamy ile wynosi pole tego trójkąta. 
 

Pole tego trójkąta wynosi 84. 

Piotr, Paweł, Ania i Hania zbierali ...

 - ilość jagód zebranych przez Piotra [w litrach]

   - ilość jagód zebranych przez Pawła [w litrach]

   - ilość jagód zebranych przez Anię [w litrach]   {premium}

   - ilość jagód zebranych przez Hanię [w litrach]

Wiemy, że chłopcy zebrali tyle samo jagód co dziewczynki. 


Możemy napisać równanie: 

 

Piotra zebrał 6 litrów jagód. 


Obliczamy ile jagód zebrał Paweł. 

Paweł zebrał 3 litry jagód. 


Obliczamy ile łącznie jagód zebrali chłopcy. 

Chłopcy zebrali 9 litrów jagód. 


Dziewczęta zebrały tyle samo jagód co chłopcy, czyli 9 litrów. 


Obliczamy ile łącznie jagód zebrała czwórka dzieci. 


Odpowiedź: Razem mają 18 litrów jagód.      

Zosia i Bartek obliczali długość przekątnej ...

Rozwiązanie Zosi: 

Podstawą jest prostokąt o bokach długości 1 i 2. Krawędź boczna ma długość 3.

Odcinek c jest przekątną podstawy. Tworzy on z krawędziami podstawy trójkąt prostokątny. {premium}

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczamy, ile wynosi długość odcinka c. 

 

 

 

 

Przekątna podstawy ma długość √5.      


Obliczamy ile wynosi długość przekątnej prostopadłościanu korzystając z równości zapisanej przez Zosię. 

 

 

 

 

 

Przekątna prostopadłościanu ma długość √14.      

 

Rozwiązanie Bartka: 

Podstawą jest prostokąt o bokach długości 3 i 2. Krawędź boczna ma długość 1. 

Odcinek x jest przekątną podstawy. Tworzy on z krawędziami podstawy trójkąt prostokątny. 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczamy, ile wynosi długość odcinka x. 

 

 

 

 

Przekątna podstawy ma długość √13.      


Obliczamy ile wynosi długość przekątnej prostopadłościanu korzystając z równości zapisanej przez Bartka. 

 

 

 

 

 

Przekątna prostopadłościanu ma długość √14.      

Podaj sześć liczb, których średnia jest równa 4,...

Zauważmy, że skoro średnia sześciu liczb ma być równa 4 to ich suma musi wynosić 24, 

a suma 3 i 4 liczby (po ustawieniu w kolejności rosnącej) musi być równa 10, aby mediana była równa 5:
 
Przykłady sześciu liczb, których średnia jest równa 4, a mediana wynosi 5:
{premium}

1. 0, 1, 4, 6, 6, 7

2. 1, 2, 5, 5, 5, 6

3. 0, 0, 3, 7, 7, 7

Podaj najmniejszą liczbę naturalną spełniającą ...

 

 

 

 {premium}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Rozwiąż równania. a) x/6=5/3 b) 4/x=2/5

 

{premium}

 

Uzasadnij, że nie jest spełniona równość ...

Usuńmy najpierw niewymierności z mianowników liczb występujących w równaniu.

 

{premium}