Symetrie - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Symetrie - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Symetrie względem prostej

Jeśli jedna z figur jest odbiciem drugiej względem danej prostej, to figury te są symetryczne względem prostej

Gdy mówimy, że dwie figury są symetryczne względem prostej, to od danego punktu jednej figury oraz punktu mu odpowiadającemu drugiej figury do prostej jest taka sama odległość.


Przykłady:





Oś symetrii figury

Oś symetrii dowolnej figury to taka prosta, która dzieli tę figurę na dwa symetryczne do siebie kawałki.

Figura, która posiada oś symetrii to figura osiowosymetryczna.

Niektóre figury mogą nie mieć lub mieć więcej niż jedną oś symetrii. 


Przykłady:



Symetralna odcinka

Symetralna odcinka to prosta, która jest prostopadła do danego odcinka i przechodzi przez jego środek.

Symetralna odcinka jest więc zbiorem punktów jednakowo oddalonych od obu końców tego odcinka. 



Dwusieczna kąta

Dwusieczna kąta to półprosta, która dzieli kąt na dwa kąty o jednakowych miarach. 

 

Symetria względem punktu

Symetria względem punktu to odbicie obrazu względem punktu.

Dwie figury są symetryczne względem punktu, jeśli jedną z nich otrzymujemy, obracając drugą z figur wokół danego punktu o 180°. 


Przykłady:


  • wzgledempunktu

  • wzgledempunktu2

Środek symetrii figury

Środek symetrii figury to taki punkt, względem którego odpowiednie punkty figury są symetryczne.

W przypadku wielokątów wystarczy sprawdzić, czy odpowiednie wierzchołki są symetryczne względem tego punktu.

Figura, która posiada środek symetrii to figura środkowosymetryczna.

Przykłady:





Symetrie w układzie współrzędnych

W układzie współrzędnych występują 3 symetrie:

  1. Symetria względem początku układu współrzędnych. Wtedy obie współrzędne punktu zmieniają się na przeciwne.

    Przykład:

    • punktem symetrycznym do punktu A (9,4) względem początku układu współrzędnych jest punkt A’ (-9,-4)
  2. Symetria względem osi x. Wtedy tylko druga współrzędna zmienia się na przeciwną, a pierwsza pozostaje bez zmian.

    Przykład:

    • punktem symetrycznym punktu do B (3,1) względem osi x jest punkt B’ (3,-1)
  3. Symetria względem osi y. Wtedy tylko pierwsza współrzędna zmienia się na przeciwną, a pierwsza pozostaje bez zmian.

    Przykład:

    • punktem symetrycznym do punktu C (7,2) względem osi y jest punkt B’ (-7,2)
 

Zadania powtórzeniowe

 

Zadanie 1.

Boki czworokąta mają długości 4 cm, 5 cm, 6 cm i 9 cm. Wielokąt zbudowany z tego czworokąta i jego odbicia symetrycznego względem prostej zawierającej jeden z boków czworokąta ma obwód 40 cm. Jakiej długości bok jest zawarty w osi symetrii?

obwód: 40 cm -> figura i jej odbicie symetryczne

obwód: 20 cm -> figura bez odbicia symetrycznego i bez szukanego boku

Długości których trzech boków mają w sumie 20 cm

z tego wynika, że bok o długości 4 cm jest zawarty w osi symetrii

Odp: Bok o długości 4 cm jest zawarty w osi symetrii.

Zadanie 2.

Podaj współrzędne punktów symetrycznych do punktów: A=(3,-5) ; B=(-1,2) ; C=(-420,0)

  1. względem osi x
  2. względem osi y
  3. względem początku układu współrzędnego [punkt (0,0)]

Gdy punkt jest symetryczny względem osi x, zmienia się jego druga współrzędna na liczbę przeciwną.

Gdy punkt jest symetryczny względem osi y, zmienia się jego pierwsza współrzędna na liczbę przeciwną.

Gdy punkt jest symetryczny względem punktu (0,0), zmieniają się jego obydwie współrzędne na liczby przeciwne.

  1. A=(3,5) ; B=(-1,-2) ; C=(-420,0)
  2. A=(-3,-5) ; B=(1,2) ; C=(420,0)
  3. A=(-3,5) ; B=(1,-2) ; C=(420,0)

Zadanie 3.

Która z figur ma zawsze środek symetrii? Trójkąt równoboczny, prostokąt, trapez czy trójkąt prostokątny?

Środek symetrii ma figura, która po obrocie o 180° względem tego punktu będzie wyglądała tak samo.

Odp.: Z podanych figur środek symetrii ma zawsze prostokąt.

Zadanie 4.

Jakie współrzędne ma punkt będący środkiem symetrii czworokąta o wierzchołkach (-2,4),(0,4),(4,-2) i (2,-2)?

Zadanie 5.

Określ, gdzie położony jest punkt K, jeżeli odcinek symetryczny do odcinka AB względem punktu K:

  1. leży na prostej AB
  2. jest odcinkiem AB
  3. ma jeden punkt wspólny z odcinkiem AB
  1. Odcinek K leży w dowolnym miejscu na prostej AB
  2. Odcinek K leży w połowie odcinka AB
  3. Odcinek K leży na krańcu odcinka AB

Zadanie 6.

Kąt między dwoma bokami trójkąta ma miarę 20°. Pod jakim kątem przecinają się symetralne tych boków?

$ β $ -> miara szukanego kąta
Powstaje czworokąt o kątach $ β, 20°, 90° i 90° $ . Suma miar kątów w czworokącie wynosi $ 360° $ .

$ β+20°+90°+90°=360° $
β=160°

Odp.: Symetralne tych boków przecinają się pod kątem $ 160° $ .

Spis treści

Rozwiązane zadania
O ile metrów krócej jedzie rowerzysta ścieżką przez las...

Korzystając z twierdzenie Pitagorasa obliczmy długość ścieżki przez las

  -długość ścieżki przez las


 

   {premium}

 

 


Obliczmy długość trasy kierowcy ciężarówki:

 


Obliczmy, o ile metrów krócej jedzie rowerzysta ścieżką przez las niż kierowca ciężarówki

 


Odp.: Ścieżka, którą jedzie rowerzysta jest o 400 m dłuższa od drogi, którą jedzie kierowca ciężarówki.

Wskaż ostrosłupy proste...

Ostrosłup prosty prawidłowy to taki, który ma wszystkie krawędzie podstawy tej samej długości oraz wysokość tego ostrosłupa to odcinek od  {premium} wierzchołka ostrosłupa do punktu przecięcia przekątnych podstawy tego ostrosłupa.

zatem ostrosłupy proste i prawidłowe są przedstawione na rysunkach: 2 i 6.

Pole powierzchni całkowitej sześcianu...

Wiemy, że:

 

Obliczmy długość krawędzi tego sześcianu:  {premium}

 

 

 


Obliczmy objętość tego sześcianu:

 



Odp.: Objętość tego sześcianu wynosi 8 cm3.

Wirnik wiatraka wytwarzającego prąd wraz z łopatami ma

Obliczmy drogę, jaką przebywa końcówka łopaty podczas jednego obrotu wiatraka (długość okręgu o średnicy 80 m):

 {premium}

Obliczmy, jaką drogę przebywa końcówka łopaty podczas 12 obrotów (droga przebywana w ciągu minuty):

 

Obliczmy, jaką drogę przebywa końcówka łopaty podczas godziny (60 razy dłuższą niż w czasie minuty):

 

Jeśli końcówka łopaty przebywa 181 km w ciągu godziny, to osiąga ona prędkość:

 

Odp. Końcówka łopaty osiąga prędkość 181 km/h.

Udowodnij, że każda prosta przechodząca przez ...

Rysujemy kwadrat, zaznaczamy punkt przecięcia jego przekątnych i dzielimy go na dwa przystające prostokąty.{premium}

podglad pliku

Kolorem granatowym została narysowana dowolna prosta przechodząca przez środek kwadratu.

Zauważmy, że prosta ta, wraz z odcinkiem dzielącym kwadrat na dwa takie same prostokąty, podzieliła nam kwadrat na cztery czworokąty.

Kolorami niebieskim i zielonym zaznaczone zostały kąty o takich samych miarach (własności kątów naprzemianległych i kątów odpowiadających).

Otrzymaliśmy dwie pary figur przystających. Pola figur zaznaczonych kolorem żółtym są równe i pola figur zaznaczonych kolorem różowym są równe.

podglad pliku

Zatem prosta podzieliła kwadrat na dwie części o równych polach.

Dany jest trójkąt o wierzchołkach A= ...

Rysujemy odcinek  w układzie współrzędnych i zaznaczamy punkty, których współrzędne podano w odpowiedziach{premium}

Na odcinku  leży punkt o współrzędnych .


Odpowiedź: B

Za wykonana pracę Zosia, Ania i Kasia otrzymały ...

Zosia otrzymała 80 zł z 200 zł. 

Obliczamy jaki procent całego wynagrodzenia stanowiło wynagrodzenie Zosi. {premium}

 

Wynagrodzenie Zosi stanowiło 40% całego wynagrodzenia. 


Ania otrzymała 70 zł z 200 zł. 

Obliczamy jaki procent całego wynagrodzenia stanowiło wynagrodzenie Ani. 

 

Wynagrodzenie Ani stanowiło 35% całego wynagrodzenia. 


Pozostała część przypadła Kasi. 

Obliczamy jaki procent wynagrodzenia otrzymała Kasia. 

 

Kasia otrzymała 25% całego wynagrodzenia. 


Odpowiedź: Zosia otrzymała 40% całego wynagrodzenia, Ania - 35% całego wynagrodzenia a Kasia - 25% wynagrodzenia. 

Na bokach trójkąta prostokątnego ABC zaznaczono ...

Treść

Na bokach trójkąta prostokątnego ABC zaznaczono punkty D i E. Odcinek DE podzielił trójkąt ABC na dwa wielokąty: trójkąt prostokątny ADE i czworokąt DBCE, jak na rysunku. Odcinek AB ma długość 4√3 cm, a odcinek DE ma długość 3 cm. 

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. 


Długość odcinka EC jest równa

A. 1 cm

B. √3 cm

C. 2 cm

D. 4 cm

E. 3√3 cm



Rozwiązanie

Wiemy, że: 

 

 

Zauważmy, że trójkąt ADE jest trójkątem o kątach 30o, 60o, 90o

Korzystając z zależności między bokami w tym trójkącie mamy: 

 
{premium}

Zauważmy, że trójkąt ABC także jest trójkątem o kątach 30o, 60o, 90o

Korzystając z zależności między bokami w tym trójkącie mamy: 

   

oraz: 

 


Obliczamy ile wynosi długość odcinka EC. 

 



Odpowiedź

C. 2 cm

Obręcz drewnianej beczki wykonujemy z paska ...

Aby obliczyć długość okręgu  o promieniu , stosujemy wzór:

 

Średnica  okręgu o promieniu  jest równa: . Zatem długość okręgu  o średnicy  możemy obliczyć również stosując poniższy wzór:

 


Średnica beczki w miejscu o największym obwodzie jest równa .{premium}

Korzystamy ze wzoru: , aby obliczyć obwód koła o średnicy .

 


Pamiętamy, że do tej długości należy doliczyć jeszcze  paska jako zakładkę potrzebną do nitowania.

Obliczamy, ile centymetrów paska potrzeba na wykonanie największej obręczy beczki.

 

Pole kwadratu...

Dane:

Pole kwadratu:  

Szukane:

Obwód kwadratu:

 

Rozwiązanie:

Wiemy, że pole kwadratu możemy przedstawić wzorem:

 {premium}

gdzie  jest długością boku tego kwadratu. Znamy pole kwadratu. Wyznaczamy długość boku:

 

 

 

 

 

 

Wówczas obwód tego kwadratu będzie wynosił:

 

 

 

 

Odpowiedź: