Symetrie - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Symetrie - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Symetrie względem prostej

Jeśli jedna z figur jest odbiciem drugiej względem danej prostej, to figury te są symetryczne względem prostej

Gdy mówimy, że dwie figury są symetryczne względem prostej, to od danego punktu jednej figury oraz punktu mu odpowiadającemu drugiej figury do prostej jest taka sama odległość.


Przykłady:





Oś symetrii figury

Oś symetrii dowolnej figury to taka prosta, która dzieli tę figurę na dwa symetryczne do siebie kawałki.

Figura, która posiada oś symetrii to figura osiowosymetryczna.

Niektóre figury mogą nie mieć lub mieć więcej niż jedną oś symetrii. 


Przykłady:



Symetralna odcinka

Symetralna odcinka to prosta, która jest prostopadła do danego odcinka i przechodzi przez jego środek.

Symetralna odcinka jest więc zbiorem punktów jednakowo oddalonych od obu końców tego odcinka. 



Dwusieczna kąta

Dwusieczna kąta to półprosta, która dzieli kąt na dwa kąty o jednakowych miarach. 

 

Symetria względem punktu

Symetria względem punktu to odbicie obrazu względem punktu.

Dwie figury są symetryczne względem punktu, jeśli jedną z nich otrzymujemy, obracając drugą z figur wokół danego punktu o 180°. 


Przykłady:


  • wzgledempunktu

  • wzgledempunktu2

Środek symetrii figury

Środek symetrii figury to taki punkt, względem którego odpowiednie punkty figury są symetryczne.

W przypadku wielokątów wystarczy sprawdzić, czy odpowiednie wierzchołki są symetryczne względem tego punktu.

Figura, która posiada środek symetrii to figura środkowosymetryczna.

Przykłady:





Symetrie w układzie współrzędnych

W układzie współrzędnych występują 3 symetrie:

  1. Symetria względem początku układu współrzędnych. Wtedy obie współrzędne punktu zmieniają się na przeciwne.

    Przykład:

    • punktem symetrycznym do punktu A (9,4) względem początku układu współrzędnych jest punkt A’ (-9,-4)
  2. Symetria względem osi x. Wtedy tylko druga współrzędna zmienia się na przeciwną, a pierwsza pozostaje bez zmian.

    Przykład:

    • punktem symetrycznym punktu do B (3,1) względem osi x jest punkt B’ (3,-1)
  3. Symetria względem osi y. Wtedy tylko pierwsza współrzędna zmienia się na przeciwną, a pierwsza pozostaje bez zmian.

    Przykład:

    • punktem symetrycznym do punktu C (7,2) względem osi y jest punkt B’ (-7,2)
 

Zadania powtórzeniowe

 

Zadanie 1.

Boki czworokąta mają długości 4 cm, 5 cm, 6 cm i 9 cm. Wielokąt zbudowany z tego czworokąta i jego odbicia symetrycznego względem prostej zawierającej jeden z boków czworokąta ma obwód 40 cm. Jakiej długości bok jest zawarty w osi symetrii?

obwód: 40 cm -> figura i jej odbicie symetryczne

obwód: 20 cm -> figura bez odbicia symetrycznego i bez szukanego boku

Długości których trzech boków mają w sumie 20 cm

z tego wynika, że bok o długości 4 cm jest zawarty w osi symetrii

Odp: Bok o długości 4 cm jest zawarty w osi symetrii.

Zadanie 2.

Podaj współrzędne punktów symetrycznych do punktów: A=(3,-5) ; B=(-1,2) ; C=(-420,0)

  1. względem osi x
  2. względem osi y
  3. względem początku układu współrzędnego [punkt (0,0)]

Gdy punkt jest symetryczny względem osi x, zmienia się jego druga współrzędna na liczbę przeciwną.

Gdy punkt jest symetryczny względem osi y, zmienia się jego pierwsza współrzędna na liczbę przeciwną.

Gdy punkt jest symetryczny względem punktu (0,0), zmieniają się jego obydwie współrzędne na liczby przeciwne.

  1. A=(3,5) ; B=(-1,-2) ; C=(-420,0)
  2. A=(-3,-5) ; B=(1,2) ; C=(420,0)
  3. A=(-3,5) ; B=(1,-2) ; C=(420,0)

Zadanie 3.

Która z figur ma zawsze środek symetrii? Trójkąt równoboczny, prostokąt, trapez czy trójkąt prostokątny?

Środek symetrii ma figura, która po obrocie o 180° względem tego punktu będzie wyglądała tak samo.

Odp.: Z podanych figur środek symetrii ma zawsze prostokąt.

Zadanie 4.

Jakie współrzędne ma punkt będący środkiem symetrii czworokąta o wierzchołkach (-2,4),(0,4),(4,-2) i (2,-2)?

Zadanie 5.

Określ, gdzie położony jest punkt K, jeżeli odcinek symetryczny do odcinka AB względem punktu K:

  1. leży na prostej AB
  2. jest odcinkiem AB
  3. ma jeden punkt wspólny z odcinkiem AB
  1. Odcinek K leży w dowolnym miejscu na prostej AB
  2. Odcinek K leży w połowie odcinka AB
  3. Odcinek K leży na krańcu odcinka AB

Zadanie 6.

Kąt między dwoma bokami trójkąta ma miarę 20°. Pod jakim kątem przecinają się symetralne tych boków?

$ β $ -> miara szukanego kąta
Powstaje czworokąt o kątach $ β, 20°, 90° i 90° $ . Suma miar kątów w czworokącie wynosi $ 360° $ .

$ β+20°+90°+90°=360° $
β=160°

Odp.: Symetralne tych boków przecinają się pod kątem $ 160° $ .

Spis treści

Rozwiązane zadania
Rozwiąż równanie.

 

 

 
{premium}
 

 

 

 


 

 

 

 

 

 

 

Boki trójkąta mają długość 4 m, 5 m i 6 m.

a) 1 możliwość: Bok długości 4 m zawiera się w osi symetrii. 

Gdyby oś symetrii zawierała bok długości 4 m, to symetrycznie odbijalibyśmy boki długości 5 m i 6 m. Bok symetryczny do boku długości 4 m pokrywałby się z wyjściowym bokiem długości 4 m. 

Czworokąt miałby więc dwa boki długości 5 m i dwa boki długości 6 m. 
Jego obwód to:
{premium}
Obw.=2∙5m+2∙6m=10m+12m=22m

Szukamy czworokąta o obwodzie 20 m, więc ta możliwość nie jest właściwa. 


2 możliwość: Bok długości 5 m zawiera się w osi symetrii. 

Gdyby oś symetrii zawierała bok długości 5 m, to symetrycznie odbijalibyśmy boki długości 4 m i 6 m. Bok symetryczny do boku długości 5 m pokrywałby się z wyjściowym bokiem długości 5 m. 

Czworokąt miałby więc dwa boki długości 4 m i dwa boki długości 6 m. 
Jego obwód to:
Obw.=2∙4m+2∙6m=8m+12m=20m

Szukaliśmy czworokąta o obwodzie 20 m, więc ta możliwość jest właściwa.

Odpowiedź:
Bok zawarty w osii symetrii ma długość 5 m. 
 

 

b) 1 możliwość: Bok długości 4 cm zawiera się w osi symetrii. 

Gdyby oś symetrii zawierała bok długości 4 m, to symetrycznie odbijalibyśmy boki długości 5 cm, 6 cm i 9cm. Bok symetryczny do boku długości 4 cm pokrywałby się z wyjściowym bokiem długości 4 cm. 

Wielokąt miałby więc dwa boki długości 5 cm, dwa boki długości 6 cm i dwa boki długości 9 cm. 
Jego obwód to:
Obw.=2∙5cm+2∙6cm2∙9cm=10cm+12cm+18cm=40cm

Szukaliśmy wielokąta o obwodzie 40 cm, więc ta możliwość jest właściwa.

Odpowiedź:
Bok zawarty w osii symetrii ma długość 4 cm. 

Po zapoznaniu się z przykładem zamieszczonym obok rozwiąż poniższe zadania.

a) 16% liczby 70
   
    0,16∙70=11,2
{premium}

b) 30% liczby 40
   
    0,30∙40=12

Odp. : Żeglarze zabrali ze sobą 12 puszek rybnych. 


c) 17% liczby 250

    0,17∙250=42,5

Odp. : Orzechy w tej tabliczce maja masę 42,5 g.

Które z wyrażeń...

 

{premium}

 

 

 

 

 

 

Odp.: D

Z rozwałkowanego ciasta Asia wycina...

Zauważmy, że gwiazda ma kształt szesnastokąta, zatem{premium} foremki mają kształt graniastosłupa szesnastokątnego.

Średnia wieku członków...

Suma wieku członków sekcji oznaczmy:  

Liczbę wszystkich uczestników sekcji oznaczmy:  

Wiek opiekuna grupy to:  {premium}

Średnia wieku członków sekcji wynosi:

 

 

Średnia wieku członków wraz z opiekunem wynosi:

 

Z tego wynika, że liczba członków sekcji brydżowej wynosi:

 

 

 

 

 

 

Odp. Liczba członków sekcji brydżowej wynosi 7.

W kawiarni możemy skomponować ...

kulka lodów i owoc  

dwie kulki lodów o różnych smakach{premium}  (np. waniliowe i czekoladowe to to samo, co czekoladowe i waniliowe)

kulka lodów lub sok   (wybieramy jedną rzecz)

sok i owoc  

kulka lodów oraz do wyboru owoc lub sok  

dwie różne kulki lodów, owoc i sok   

dwa różne owoce lub jeden sok  

Hasło: TYMPANON

Zapisz w postaci...

 

     

{premium}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Za 3 lata matka będzie...

Przedstawmy dane w tabeli:

Osoba: Wiek teraz: Wiek za  lata: Wiek  lata temu:
Matka      
Córka      

Szukane:

 

 

Rozwiązanie:

Zauważmy, że wiek matki za  lata możemy przedstawić równaniem:

 

Wyznaczmy :{premium}

 

 

 

Zauważmy, że wiek córki  lata temu możemy przedstawić równaniem:

 

 

 

 

Podstawiamy  i wyznaczamy :

 

 

 

 

Wówczas:

 

 

 

Odp.: Matka ma  lata, a córka ma  lat.

Wpisz brakujące podstawy i wykładniki.

 

Przy wykładniku 4 wpisujemy podstawę 6.

Przy wykładniku 2 wpisujemy podstawę 36.

 

 

Przy wykładniku 5 wpisujemy podstawę 36.

Przy wykładniku 10 wpisujemy podstawę 6.

{premium}

 

Przy podstawie 3 wpisujemy wykładnik 12.

Przy podstawie 9 wpisujemy wykładnik 6.

 

Przy podstawie 5 wpisujemy wykładnik 12.

Przy podstawie 125 wpisujemy wykładnik 4.



  

Przy podstawie 2 wpisujemy wykładnik 12.

Przy podstawie 4 wpisujemy wykładnik 6.

 

 

Przy podstawie 3 wpisujemy wykładnik 8.

Przy podstawie 9 wpisujemy wykładnik 4.

 

 

Przy podstawie 6 wpisujemy wykładnik 6.

Przy podstawie 36 wpisujemy wykładnik 3.

 

 

Przy wykładniku 8 wpisujemy podstawę 2.

Przy podstawie 16 wpisujemy wykładnik 2.