Symetrie - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Symetrie względem prostej

Jeśli jedna z figur jest odbiciem drugiej względem danej prostej, to figury te są symetryczne względem prostej

Gdy mówimy, że dwie figury są symetryczne względem prostej, to od danego punktu jednej figury oraz punktu mu odpowiadającemu drugiej figury do prostej jest taka sama odległość.


Przykłady:





Oś symetrii figury

Oś symetrii dowolnej figury to taka prosta, która dzieli tę figurę na dwa symetryczne do siebie kawałki.

Figura, która posiada oś symetrii to figura osiowosymetryczna.

Niektóre figury mogą nie mieć lub mieć więcej niż jedną oś symetrii. 


Przykłady:



Symetralna odcinka

Symetralna odcinka to prosta, która jest prostopadła do danego odcinka i przechodzi przez jego środek.

Symetralna odcinka jest więc zbiorem punktów jednakowo oddalonych od obu końców tego odcinka. 



Dwusieczna kąta

Dwusieczna kąta to półprosta, która dzieli kąt na dwa kąty o jednakowych miarach. 

 

Symetria względem punktu

Symetria względem punktu to odbicie obrazu względem punktu.

Dwie figury są symetryczne względem punktu, jeśli jedną z nich otrzymujemy, obracając drugą z figur wokół danego punktu o 180°. 


Przykłady:


  • wzgledempunktu

  • wzgledempunktu2

Środek symetrii figury

Środek symetrii figury to taki punkt, względem którego odpowiednie punkty figury są symetryczne.

W przypadku wielokątów wystarczy sprawdzić, czy odpowiednie wierzchołki są symetryczne względem tego punktu.

Figura, która posiada środek symetrii to figura środkowosymetryczna.

Przykłady:





Symetrie w układzie współrzędnych

W układzie współrzędnych występują 3 symetrie:

  1. Symetria względem początku układu współrzędnych. Wtedy obie współrzędne punktu zmieniają się na przeciwne.

    Przykład:

    • punktem symetrycznym do punktu A (9,4) względem początku układu współrzędnych jest punkt A’ (-9,-4)
  2. Symetria względem osi x. Wtedy tylko druga współrzędna zmienia się na przeciwną, a pierwsza pozostaje bez zmian.

    Przykład:

    • punktem symetrycznym punktu do B (3,1) względem osi x jest punkt B’ (3,-1)
  3. Symetria względem osi y. Wtedy tylko pierwsza współrzędna zmienia się na przeciwną, a pierwsza pozostaje bez zmian.

    Przykład:

    • punktem symetrycznym do punktu C (7,2) względem osi y jest punkt B’ (-7,2)
 

Zadania powtórzeniowe

 

Zadanie 1.

Boki czworokąta mają długości 4 cm, 5 cm, 6 cm i 9 cm. Wielokąt zbudowany z tego czworokąta i jego odbicia symetrycznego względem prostej zawierającej jeden z boków czworokąta ma obwód 40 cm. Jakiej długości bok jest zawarty w osi symetrii?

obwód: 40 cm -> figura i jej odbicie symetryczne

obwód: 20 cm -> figura bez odbicia symetrycznego i bez szukanego boku

Długości których trzech boków mają w sumie 20 cm

z tego wynika, że bok o długości 4 cm jest zawarty w osi symetrii

Odp: Bok o długości 4 cm jest zawarty w osi symetrii.

Zadanie 2.

Podaj współrzędne punktów symetrycznych do punktów: A=(3,-5) ; B=(-1,2) ; C=(-420,0)

  1. względem osi x
  2. względem osi y
  3. względem początku układu współrzędnego [punkt (0,0)]

Gdy punkt jest symetryczny względem osi x, zmienia się jego druga współrzędna na liczbę przeciwną.

Gdy punkt jest symetryczny względem osi y, zmienia się jego pierwsza współrzędna na liczbę przeciwną.

Gdy punkt jest symetryczny względem punktu (0,0), zmieniają się jego obydwie współrzędne na liczby przeciwne.

  1. A=(3,5) ; B=(-1,-2) ; C=(-420,0)
  2. A=(-3,-5) ; B=(1,2) ; C=(420,0)
  3. A=(-3,5) ; B=(1,-2) ; C=(420,0)

Zadanie 3.

Która z figur ma zawsze środek symetrii? Trójkąt równoboczny, prostokąt, trapez czy trójkąt prostokątny?

Środek symetrii ma figura, która po obrocie o 180° względem tego punktu będzie wyglądała tak samo.

Odp.: Z podanych figur środek symetrii ma zawsze prostokąt.

Zadanie 4.

Jakie współrzędne ma punkt będący środkiem symetrii czworokąta o wierzchołkach (-2,4),(0,4),(4,-2) i (2,-2)?

Zadanie 5.

Określ, gdzie położony jest punkt K, jeżeli odcinek symetryczny do odcinka AB względem punktu K:

  1. leży na prostej AB
  2. jest odcinkiem AB
  3. ma jeden punkt wspólny z odcinkiem AB
  1. Odcinek K leży w dowolnym miejscu na prostej AB
  2. Odcinek K leży w połowie odcinka AB
  3. Odcinek K leży na krańcu odcinka AB

Zadanie 6.

Kąt między dwoma bokami trójkąta ma miarę 20°. Pod jakim kątem przecinają się symetralne tych boków?

$$ β $$ -> miara szukanego kąta
Powstaje czworokąt o kątach $$ β, 20°, 90° i 90° $$ . Suma miar kątów w czworokącie wynosi $$ 360° $$ .

$$ β+20°+90°+90°=360° $$
β=160°

Odp.: Symetralne tych boków przecinają się pod kątem $$ 160° $$ .

Spis treści

Rozwiązane zadania
Środki dwóch kolejnych...

Wiemy, że długość boku kwadratu wynosi . Wykonajmy rysunek przedstawiający sytuację opisaną w zadaniu:

podglad pliku

Pole całkowite kwadratu będzie wynosiło:{premium}

 

Otrzymaliśmy trzy trójkąty prostokątne. Jeden o przyprostokątnych  i  oraz dwa o przyprostokątnych  i . Z tego wynika, że:

 

 

Oznacza to, że pole szukanego trójkąta wynosi:

 

 

 

 

 

 

Obliczamy jaką częścią pola kwadratu jest pole trójkąta:

 

 

Odpowiedź: Pole trójkąta wynosi  i jest ono  pola całego kwadratu.

Zapisz wyrażenia w najprostszej postaci. a) 3π+π

 {premium}

 

 

 

 

 

 

 

 

Oblicz wysokość h trapezu równoramiennego o danej

 

 

 

 

 

{premium}

 

 

 

 


 

 

 

 


 

 

 

 

 

 

 

Przygotowano karteczki z liczbami:1, 3, 4, 5, 6, 7, 9...

Obliczmy na ile sposobów możemy wylosować dwie spośród przygotowanych 7 karteczek:

   {premium}

a) Iloczyn dwóch liczb jest parzysty jeśli co najmniej jedna z tych liczb jest parzysta,

zatem parzysty będzie iloczyn liczb:

 

 

Takich możliwości jest 22.

Obliczmy prawdopodobieństwo zdarzenia, że w wybierając losowo dwie karteczki, iloczyn liczb na nich napisanych będzie liczbą parzystą:

 



b) Suma dwóch liczb jest parzysta, jeśli obie liczby są parzyste lub obie liczby są nieparzyste.

Wypiszmy pary liczb, których suma jest parzysta:

 

 

Takie możliwości są 22.


Obliczmy prawdopodobieństwo zdarzenia, że w wybierając losowo dwie karteczki, suma liczb na nich napisanych będzie liczbą parzystą:

 


Oblicz pola kwadratów zbudowanych na bokach trójkąta...

Rysunek pomocniczy:



Obliczmy pole kwadratu o boku długości 4:

 
{premium}
Obliczmy pole kwadratu o boku długości 6:

 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczmy długość przeciwprostokątnej tego trójkąta:

 

 

 

 

 

Obliczmy pole kwadratu o boku długości  :

 


Odp.: Pola kwadratów zbudowanych na bokach tego trójkąta to: 16, 36 i 52. Przeciwprostokątna tego trójkąta ma długość 2√13.

Przy diagramach i w tabelach...

Obliczenia dla diagramu PRODUKCJA ZIEMNIAKÓW NA 1 MIESZKAŃCA.

Wiemy, że w Polsce w  mieszkało  ludzi i wyprodukowali oni  ziemniaków. 

Obliczamy, przy pomocy proporcji, ile ziemniaków wyprodukował jeden mieszkaniec:

 

 

 

Nad jaśniejszym słupkiem należy wpisać  

 

Podobne obliczenia przeprowadzamy dla Holandii:

 

 

 

Nad ciemniejszym słupkiem należy wpisać           

 

 

Obliczenia dla tabelki LICZBA LUDNOŚCI:

Obliczamy liczbę ludności w Polsce w  

Z diagramu z  wynika, że produkcja ziemniaków na jednego mieszkańca to  

a z tabelki PRODUKCJA ZIEMNIAKÓW wynika, że w  wyprodukowano      

Obliczamy, przy pomocy proporcji, liczbę ludności w Polsce w tym czasie:

 

 

 

W komórce odpowiadającej liczbie ludności w Polsce w  należy wpisać       

 

Podobnie wyznaczamy liczbę ludności w Holandii w  

 

 

 

W komórce odpowiadającej liczbie ludności w Holandii w  należy wpisać  

Liczbę ludności w Holandii w  obliczymy później.

 

 

Teraz przechodzimy do tabelki PRODUKCJA ZIEMNIAKÓW [mln ton].

Obliczamy, korzystając z proporcji, jaka była produkcja ziemniaków w Polsce w   

 

 

 

W komórce odpowiadającej produkcji ziemniaków w Polsce w  należy wpisać  

Produkcję ziemniaków w  Holandii w  obliczymy później.     

 

 

Obliczenia dla diagramów PLONY ZIEMNIAKÓW:

Obliczamy, przy pomocy proporcji, jakie były plony ziemniaków w Polsce z  w  

 

 

 

 

Obliczamy, przy pomocy proporcji, jakie były plony ziemniaków w Polsce z  w  

 

 

 

 

Obliczamy, przy pomocy proporcji, jakie były plony ziemniaków w Holandii z  w  

 

 

 

Obliczone wartości należy wpisać w odpowiednie miejsca przy słupkach.

 

 

Obliczenia dla tabelki POWIERZCHNIA UPRAW ZIEMNIAKÓW:

Zapisując odpowiednią proporcję, obliczamy powierzchnię upraw ziemniaków w Holandii w   

 

  

 

 

Zapisując odpowiednią proporcję, obliczamy powierzchnię upraw ziemniaków w Polsce w   

 

  

 

 

 

Wracamy do tabelki PRODUKCJA ZIEMNIAKÓW i obliczamy, jaka była produkcja ziemniaków w Holandii w  

  

 

    

 

Możemy obliczyć już liczbę ludności w Holandii w  

 

        

 

 

  

     

 

Znak B-1 oznacza zakaz ruchu w obu kierunkach. Średnica

Wymiary białego obszaru (pole koła o promieniu 32 cm):

 

 {premium}

Pole:

 

Pole czerwonego obszaru w kształcie pierścienia:

 

 

 

 

Połowa pola białego obszaru:

 

 

Odp. Pole czerwonego obszaru wynosi 576  cm2. Pole czerwonego obszaru nie jest mniejsze od połowy pola białego obszaru.

Proste a i b są równoległe (rysunek ...

Przedłużamy ramię kąta o mierze 37o. Punkt przecięcia tego ramienia z prostą b oznaczamy literą D. 

Przyjmijmy oznaczenia jak na poniższym rysunku. {premium}

podglad pliku

Kąt    oraz kąt o mierze 37o to kąty naprzemianległe. Mają równe miary. 

 


Obliczamy ile wynosi miara trzeciego kąta w trójkącie BCD. 

 

 
Kąt   oraz kąt    to kąty przyległe. Suma ich miar wynosi 180o. Zatem: 

 


Miara kąta   wynosi 81o, czyli jest to kąt ostry. 

Punkty A=(-5, 2) i B=(-5, -1) są sąsiednimi wierzchołkami kwadratu...

Wiemy, że kwadrat ma wszystkie boki równej długości oraz wszystkie kąty o mierze 90o 

Obliczmy długość odcinka AB w jednostkach osi Y:

 

wykonajmy rysunek pomocniczy: {premium}

podglad pliku


Istnieją dwa takie kwadraty, pozostałe wierzchołki mogą mieć współrzędne:

(-2, -1) i (-2, 2)

lub

(-8, -1) i (-8, 2)

Obwód kwadratu wynosi:

 

 

Odp.: Współrzędne dwóch pozostałych wierzchołków tego kwadratu to (-2, -1) i (-2, 2) lub (-8, -1) i (-8, 2).
Istnieją dwa takie kwadraty. Obwód tego kwadratu wynosi 12.

Narysuj w zeszycie układ współrzędnych i zaznacz...

Zauważmy, że najlepiej dobrać jednostkę w ten sposób aby mianownik 

był wspólną wielokrotnością wszystkich mianowników podanych współrzędnych 

zatem:

    {premium}

 

 

 

 


podglad pliku