Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Symetrie - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Symetrie względem prostej

Jeśli jedna z figur jest odbiciem drugiej względem danej prostej, to figury te są symetryczne względem prostej

Gdy mówimy, że dwie figury są symetryczne względem prostej, to od danego punktu jednej figury oraz punktu mu odpowiadającemu drugiej figury do prostej jest taka sama odległość.


Przykłady:





Oś symetrii figury

Oś symetrii dowolnej figury to taka prosta, która dzieli tę figurę na dwa symetryczne do siebie kawałki.

Figura, która posiada oś symetrii to figura osiowosymetryczna.

Niektóre figury mogą nie mieć lub mieć więcej niż jedną oś symetrii. 


Przykłady:



Symetralna odcinka

Symetralna odcinka to prosta, która jest prostopadła do danego odcinka i przechodzi przez jego środek.

Symetralna odcinka jest więc zbiorem punktów jednakowo oddalonych od obu końców tego odcinka. 



Dwusieczna kąta

Dwusieczna kąta to półprosta, która dzieli kąt na dwa kąty o jednakowych miarach. 

 

Symetria względem punktu

Symetria względem punktu to odbicie obrazu względem punktu.

Dwie figury są symetryczne względem punktu, jeśli jedną z nich otrzymujemy, obracając drugą z figur wokół danego punktu o 180°. 


Przykłady:


  • wzgledempunktu

  • wzgledempunktu2

Środek symetrii figury

Środek symetrii figury to taki punkt, względem którego odpowiednie punkty figury są symetryczne.

W przypadku wielokątów wystarczy sprawdzić, czy odpowiednie wierzchołki są symetryczne względem tego punktu.

Figura, która posiada środek symetrii to figura środkowosymetryczna.

Przykłady:





Symetrie w układzie współrzędnych

W układzie współrzędnych występują 3 symetrie:

  1. Symetria względem początku układu współrzędnych. Wtedy obie współrzędne punktu zmieniają się na przeciwne.

    Przykład:

    • punktem symetrycznym do punktu A (9,4) względem początku układu współrzędnych jest punkt A’ (-9,-4)
  2. Symetria względem osi x. Wtedy tylko druga współrzędna zmienia się na przeciwną, a pierwsza pozostaje bez zmian.

    Przykład:

    • punktem symetrycznym punktu do B (3,1) względem osi x jest punkt B’ (3,-1)
  3. Symetria względem osi y. Wtedy tylko pierwsza współrzędna zmienia się na przeciwną, a pierwsza pozostaje bez zmian.

    Przykład:

    • punktem symetrycznym do punktu C (7,2) względem osi y jest punkt B’ (-7,2)
 

Zadania powtórzeniowe

 

Zadanie 1.

Boki czworokąta mają długości 4 cm, 5 cm, 6 cm i 9 cm. Wielokąt zbudowany z tego czworokąta i jego odbicia symetrycznego względem prostej zawierającej jeden z boków czworokąta ma obwód 40 cm. Jakiej długości bok jest zawarty w osi symetrii?

obwód: 40 cm -> figura i jej odbicie symetryczne

obwód: 20 cm -> figura bez odbicia symetrycznego i bez szukanego boku

Długości których trzech boków mają w sumie 20 cm

z tego wynika, że bok o długości 4 cm jest zawarty w osi symetrii

Odp: Bok o długości 4 cm jest zawarty w osi symetrii.

Zadanie 2.

Podaj współrzędne punktów symetrycznych do punktów: A=(3,-5) ; B=(-1,2) ; C=(-420,0)

  1. względem osi x
  2. względem osi y
  3. względem początku układu współrzędnego [punkt (0,0)]

Gdy punkt jest symetryczny względem osi x, zmienia się jego druga współrzędna na liczbę przeciwną.

Gdy punkt jest symetryczny względem osi y, zmienia się jego pierwsza współrzędna na liczbę przeciwną.

Gdy punkt jest symetryczny względem punktu (0,0), zmieniają się jego obydwie współrzędne na liczby przeciwne.

  1. A=(3,5) ; B=(-1,-2) ; C=(-420,0)
  2. A=(-3,-5) ; B=(1,2) ; C=(420,0)
  3. A=(-3,5) ; B=(1,-2) ; C=(420,0)

Zadanie 3.

Która z figur ma zawsze środek symetrii? Trójkąt równoboczny, prostokąt, trapez czy trójkąt prostokątny?

Środek symetrii ma figura, która po obrocie o 180° względem tego punktu będzie wyglądała tak samo.

Odp.: Z podanych figur środek symetrii ma zawsze prostokąt.

Zadanie 4.

Jakie współrzędne ma punkt będący środkiem symetrii czworokąta o wierzchołkach (-2,4),(0,4),(4,-2) i (2,-2)?

Zadanie 5.

Określ, gdzie położony jest punkt K, jeżeli odcinek symetryczny do odcinka AB względem punktu K:

  1. leży na prostej AB
  2. jest odcinkiem AB
  3. ma jeden punkt wspólny z odcinkiem AB
  1. Odcinek K leży w dowolnym miejscu na prostej AB
  2. Odcinek K leży w połowie odcinka AB
  3. Odcinek K leży na krańcu odcinka AB

Zadanie 6.

Kąt między dwoma bokami trójkąta ma miarę 20°. Pod jakim kątem przecinają się symetralne tych boków?

$$ β $$ -> miara szukanego kąta
Powstaje czworokąt o kątach $$ β, 20°, 90° i 90° $$ . Suma miar kątów w czworokącie wynosi $$ 360° $$ .

$$ β+20°+90°+90°=360° $$
β=160°

Odp.: Symetralne tych boków przecinają się pod kątem $$ 160° $$ .

Spis treści

Rozwiązane zadania
Jaki promień będzie miał ...

Wzór na długość okręgu:

`L=2pir`

gdzie r - długość promienia okręgu

 

`"a)"\ "Długość drutu"\ =4\ "m"`

`2pir=4\ \ \ \ |:2pi`

{premium}

`r=4/(2pi)~~4/(2*3,14)=4/(6,28)~~0,64\ ["m"]`

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ ))`

`"b)"\ "Długość drutu"\ =70\ "cm"`

`2pir=70\ \ \ \ |:2pi`

`r=70/(2pi)~~70/(2*3,14)=70/(6,28)~~11,15\ ["cm"]`

Niech x, y będą liczbami dodatnimi, a n- liczbą naturalną ...

`a) \ \ sqrt(x^(2n))=sqrt(x^(n*2))=sqrt((x^n)^2)=x^n` 

{premium}

`b) \ \ sqrt(x^(4n)y^(2n))=sqrt(x^(2n*2)*y^(n*2))=sqrt((x^(2n))^2*(y^n)^2)=sqrt((x^(2n)y^n)^2)=x^(2n)y^n`  

`c) \ \ sqrt(x^(6n)/y^(4n))=sqrt(((x^(3n))^2)/(y^(2n))^2)=x^(3n)/y^(2n)` 

`d) \ \ sqrt(x^(10n)*sqrt(x^(4n)))=` `sqrt(x^(10n)*sqrt((x^(2n))^2))=sqrt(x^(10n)*x^(2n))=sqrt(x^(10n+2n))=sqrt(x^(12n))=sqrt((x^(6n))^2)=x^(6n)`     

Odległość między punktami A=(2,1) i B=(-3, -2)...

Rysunek pomocniczy:



Długość odcinka AB oznaczonego literą x możemy obliczyć korzystając z twierdzenia Pitagorasa:
{premium}

`3^2+5^2=x^2`
 
`9+25=x^2`  

`x^2=34 \ \ |sqrt` 

`x=sqrt34` 


Odp.: D

Wpisz na rysunku odpowiednie ...

Przykład a)

Obliczmy długość odcinka a:

`2^2+3^2=a^2`

`4+9=a^2`

`a^2=13`

`a=sqrt13`

Obliczmy długość odcinka d:

`2^2+6^2=d^2`

`4+36=d^2`

`d^2=40`

`d=sqrt40=sqrt(4*10)=2sqrt10`

Obliczmy długość wszystkich odcinków:

`"Suma"=3*2+2*6+2*d+2a`

`"Suma"=6+12+4sqrt10+2sqrt13`

`"Suma"=18+4sqrt10+2sqrt13`

{premium}

Przykład b)

Obliczmy długość odcinka a:

`2^2+a^2=(2sqrt5)^2`

`4+a^2=20`

`a^2=16`

`a=4`

Obliczmy długość odcinka b:

`5^2+2^2=b^2`

`25+4=b^2`

`b^2=29`

`b=sqrt29`

Obliczmy długość odcinka c:

`2^2+a^2=c^2`

`4+4^2=c^2`

`4+16=c^2`

`c^2=20`

`c=sqrt20=sqrt(4*5)=2sqrt5`

Obliczmy długość wszystkich odcinków:

`"Suma"=4*2+5+2sqrt5+b+c+2*(5+a)`

`"Suma"=8+5+2sqrt5+sqrt29+2sqrt5+2*(5+4)`

`"Suma"=13+2sqrt5+sqrt29+2sqrt5+18`

`"Suma"=31+4sqrt5+sqrt29`

a) Czy różnica 70987-11872 jest podzielna przez 5?

a) Zauważmy, że różnica liczb 70987 i 11872 będzie miała cyfrę jedności równą 5 ponieważ (7-2=5)

zatem liczba 70987-11872 jest podzielna przez 5


b) Zauważmy, że suma liczb 12018 i 57804 będzie miała cyfrę dziesiątek równą 2 i cyfrę jedności równą 2 ponieważ (18+4=22)

zatem liczba złożona z dwóch ostatnich cyfr tej sumy będzie wynosiła 22, liczba 22:4= 5 r 2

więc liczba 12018 + 57804 nie jest podzielna przez 4


c) Iloczyn liczb jest podzielny przez 3 jeśli chociaż jeden z czynników tego iloczynu jest podzielny przez 3

sprawdźmy czy liczba 26787 jest podzielna przez 3:

2+6+7+8+7= 30

pierwszy czynnik mnożenia jest liczbą podzielną przez 3

zatem liczba 26787٠50723 jest podzielna przez 3

Uporządkuj liczby...

Obliczmy wartości przybliżone poszczególnych liczb:

`2 root(3)(15) ~~ 2 *2,47=4,94` 

`3sqrt(3)~~3*1,73=5,19` {premium}

`4 root(3)(2) ~~4*1,26=5,04` 

`3 root(3)(5) ~~ 3*1,71=5,13` 

`2 sqrt(6)~~2*2,45=4,9` 

Porządkujemy liczby w kolejności malejącej:

`3sqrt(3)  >  3 root(3)(5)  >  4 root(3)(2)  >  2 root(3)(15)  >  2 sqrt(6)` 

Nektar powstaje...

Udział soku w pierwszym nektarze wynosi:

`15%*x = y` 

Udział soku w drugim nektarze wynosi: 

`10%*30kg = 0,1*30\ kg = 3\ kg` {premium}

Po zmieszaniu tych nektarów otrzymujemy, że masa powstałego nektaru wynosi: `x + 30\ kg` 

Masa soku zawartego w tym nektarze to: `y + 3\ kg` 

Wiemy, że powstały nektar jest 12%, czyli:

`(y+3\ kg)/(x+30\ kg)*100% = 12%` 

`(15%*x+3\ kg)/(x+30\ kg)*100% = 12%` 

`(0,15 x+3\ kg)/(x+30\ kg) = 0,12` 

`0,15 x+3\ kg = 0,12*(x+30\ kg)` 

`0,15 x+3\ kg = 0,12 x+3,6\ kg \ \ \ \ \ |-0,12 x` 

`0,03 x + 3\ kg = 3,6\ kg \ \ \ \ \ |-3\ kg` 

`0,03 x = 0,6\ kg \ \ \ \ |:0,03` 

`x = (0,6\ kg)/(0,03)` 

`x = 20\ kg`  

 

Odp: Należy dolać 20 kg nektaru.

Udowodnij, że w trójkącie równoramiennym środkowe ...

Rysujemy trójkąt równoramienny. Prowadzimy środkowe do obu ramion tego trójkąta. 

Przyjmijmy oznaczenia jak na poniższym rysunku. 

{premium}

Trójkąt ABC jest równoramienny, więc: 

`|/_CAB|=|/_ABC|`

`|AC|=|BC|` 


Punkty D i E są środkami ramion, więc: 

`|AD|=|DC|=|BE|=|EC|` 


Zauważmy, że w trójkątach ABE i ABD dwa boki mają równe długości oraz kąty zawarte między tymi bokami mają równe miary. 

`|AD|=|BE|`

`|AB|`   - wspólny bok obu trójkątów 

`|/_DAB|=|/_ABE|` 

Oznacza to, że trójkąty te są przystające, czyli boki BD i AE mają równe długości. 

`|BD|=|AE|` 


Pokazaliśmy, że w trójkącie równoramiennym środkowe poprowadzone do ramion mają równe długości. 

Stawka VAT na watę cukrową wynosi ...

Obliczamy ile wynosił koszt 2460 porcji waty. Jedna porcja kosztuje 4 zł.  {premium}

`4 \ "zł"*2460=9840 \ "zł"` 

Koszt 2460 porcji wynosi 9840 zł. 


Stawka VAT wynosi 23% ceny netto. Oznacza to, że kwota 9840 zł stanowi 123% kwoty netto (bo jest w nią wliczony podatek VAT). 

Obliczamy ile wynosiła kwota netto (x).

`9840=123%x`

`9840=1,23x \ \ \ \ \ \ \  \|:1,23`

`x=8000`    


Obliczamy ile wynosił podatek VAT. 

`9840-8000=1840` 


Odpowiedź: Sprzedawca musiał odprowadzić 1840 zł do skarbu państwa. 

Rozwiąż równanie.

`a")" \ (2x+1)/(x^2+5)=2/x \ \ |*x` 

`(x(2x+1))/(x^2+5)=2 \ \ |*(x^2+5)` 

`x(2x+1)=2(x^2+5)` 

`2x^2+x=2x^2+10 \ \|-2x^2` 

`x=10` 


{premium}

`b")" \ (3x)/(6x-1)=x/(2x+5) \ \ |*(6x-1)` 

`3x(6x-1)=(x(6x-1))/(2x+5) \ \ |*(2x+5)` 

`3x(2x+5)=x(6x-1)` 

`6x^2+15x=6x^2-x \  \ |-6x^2` 

`15x=-x \ |+x` 

`16x=0 \ \ |:16` 

`x=0` 


`c")" \ (x^2-1)/(2x)=(2x-3)/4 \ \ |*2x` 

`x^2-1=(2x(2x-3))/4 \ \ |*4` 

`4 (x^2-1)=2x(2x-3)` 

`4x^2-4=4x^2-6x \ \ |-4x^2` 

`-4=-6x \ \ |:(-6)` 

`x=(-4)/(-6)` 

`x=2/3` 


`d")" \ (-6x-5)/(-2)=(3x^2+1)/x \ \ |*x` 

`(x(-6x-5))/(-2)=3x^2+1 \ \ |*(-2)` 

`x(-6x-5)=-2(3x^2+1)` 

`-6x^2-5x=-6x^2-2 \ \|+6x^2` 

`-5x=-2 \ \ |:(-5)` 

`x=2/5` 


`e")" \ (4x)/(4x^2+1)=1/(x+1) \ \ |*(4x^2+1)` 

`4x=(4x^2+1)/(x+1) \ \ |*(x+1)`

`4x(x+1)=4x^2+1`  

`4x^2+4x=4x^2+1 \ \|-4x^2` 

`4x=1` 

`x=1/4` 


`f")" \ 3/(-2x)=(-3x+2)/(2x^2+8) \ \ |*(-2x)` 

`3=(-2x(-3x+2))/(2x^2+8) \ \ \|*(2x^2+8)` 

`3(2x^2+8)=-2x(-3x+2)` 

`6x^2+24=6x^2-4x \ \ |-6x^2` 

`24=-4x \ \|:(-4)` 

`x=-6`