Równania - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Liczby spełniające równania

Litery w równaniu oznaczają liczby, których nie znamy, czyli niewiadome

Liczby odpowiadające tym niewiadomym nazywamy liczbami spełniającymi równanie lub pierwiastkami równania.

Przykłady

  • równanie  `x+6=10`  spełnia liczba `4`, gdyż  `4+6=10`, czyli `x=4` 

  • równanie  `2x+1=1`  spełnia liczba `0`, gdyż  `2*0+1=0+1=1`, czyli `x=1`     



Równania z jedną niewiadomą mogą:

  • nie mieć żadnego rozwiązania - równania sprzeczne;

  • mieć jedno rozwiązanie;

  • mieć nieskończenie wiele rozwiązań - równania tożsamościowe.  

Przykłady: 

  • równanie  `x+5=0`  ma jedno rozwiązanie, spełnia je liczba  `-5` , czyli  `x=-5`   

  • równanie  `x+2=x+1`  nie ma rozwiązania, nie spełnia go żadna liczba - równanie sprzeczne

  • równanie  `x+2=2+x`  ma nieskończenie wiele rozwiązań, spełnia go każda liczba  - równanie tożsamościowe



Zbiór liczb spełniających równanie to zbiór rozwiązań równania

Jeśli dwa równania mają taki sam zbiór rozwiązań, to są to równania równoważne

Przykład: 

  • równania  `x+2=5`  i  `x-3=0`  są równoważne, gdyż rozwiązaniem każdego z nich jest liczba 3 

Sposoby rozwiązywania równań

Aby obliczyć jaka liczba spełnia równanie należy je rozwiązać.

Najprostszą metodą rozwiązywania równań jest metoda równań równoważnych.

Polega ona na dodaniu/odjęciu tego samego wyrażenia od obu stron równania lub na pomnożeniu/podzieleniu przez tę samą liczbę (różną od zera) obu stron równania.

Przykłady:

  1. dodanie tego samego wyrażenia

    `x-10=14 \ \ \ \ \ \ \ \ |+10`   

    `x=24`    (dodaliśmy do obu stron równania liczbę 10)

  2. odjęcie tego samego wyrażenia

    `y+13=23 \ \ \ \ \ \ \ \ |-13` 

    `y=10`    (odjęliśmy od obu stron równania liczbę 13)

  3. pomnożenie przez tę samą liczbę

    `0,5x=7 \ \ \ \ \ \ \ \ |*2`  

    `x=14`     (pomnożyliśmy obie strony równania razy 2)

  4. podzielenie przez tę samą liczbę

    `3x=27 \ \ \ \ \ \ \ \ |:3`  

    `x=9`    (podzieliliśmy obie strony równania przez 3)

Przekształcanie wzorów

Przekształcanie wzorów służy do wyznaczenia określonej niewiadomej.

Przy przekształcaniu wzorów postępujemy tak samo jak przy rozwiązywaniu równań. Wykonujemy więc czynności takie jak dodawanie / odejmowanie od obu stron tego samego wyrażenia lub mnożenie / dzielenie obu stron przez to samo wyrażenie.

Przykłady:

  1. dodawanie / odejmowanie tego samego wyrażenia

    Ze wzoru  `z+p=k`  wyznaczamy zmienną  `z` 

    `z+p=k \ \ \ \ \ \ \ \ |-p`   

    `z=k-p` 

    Ze wzoru  `k-5=x`  wyznaczamy zmienną  `k`  

    `k-5=x \ \ \ \ \ \ \ \ |+5`  

    `k=x+5`  

  2. mnożenie / dzielenie przez to samo wyrażenie

    Ze wzoru  `m/z=y+l` , gdzie `z!=0`, wyznaczamy zmienną  `m`   
    `m/z=y+l \ \ \ \ \ \ \ \ |*z`  

    `m=(y+l)*z`  

    Ze wzoru  `dt=x+5`  wyznaczamy zmienną  `d`   

    `dt=x+5 \ \ \ \ \ \ \ \ |:t \ \ \ \ \ t!=0` 

    `d=(x+5)/t`     

 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Rozwiąż równanie:

  1. $$ x+5=10 $$
  2. $$ 2x+3=15 $$
  3. $$ 5x+13=23 $$
  1. $$ x+5=10 $$
    $$ x=5 $$
  2. $$ 2x+3=15 $$
    $$ 2x=12 $$
    $$ x=6 $$

  3. $$ 5x+13=23 $$
    $$ 5x=10 $$
    $$ x=2 $$

Zadanie 2.

Ułóż i rozwiąż odpowiednie równanie:
Liczba o 3 większa od x jest 3 razy większa od x.

$$ x+3=3x $$
$$ 3=2x $$
$$ x=1,5 $$

Zadanie 3.

Tata Zosi jest od niej 3 razy starszy, a Zosia jest od niego młodsza o 30 lat. Ile lat ma Zosia?

x -> wiek Zosi
$$ x+30 $$ lub $$ 3x$$ -> wiek taty Zosi
$$ x+30=3x $$
$$ 2x=30 $$
$$ x=15 $$
Odp.: Zosia ma 15 lat.

Zadanie 4.

Julek i Zosia są w sumie o 6 lat starsi od swojego brata Michała, ale każde z nich z osobna jest od niego młodsze: Julek o 7 lat, Zosia o 2 lata. Ile lat mają w sumie wszyscy troje?

$$ x $$ -> wiek Michała
$$ x-7 $$ -> wiek Julka
$$ x-2 $$ -> wiek Zosi
$$ x-7+x-2=x+6 $$
$$ 2x-9=x+6 $$
$$ x=15 $$ -> wszyscy: $$ 15+8+13=36$$
Odp.: Wszyscy troje mają razem 36 lat.

Zadanie 5.

Ile trzeba użyć soli, aby po zmieszaniu z 150 g wody otrzymać roztwór o stężeniu $$ 6,25% $$ ?

x -> potrzebna sól

$$ x/{150+x}×100%=6,25% $$

$$ x={6,25}/{100} (150+x) $$

$$ x=9,375+0,0625x $$

$$ 0,9375x=9,375 $$

$$ x=10 g $$
Odp.: Trzeba użyć 10 g soli, aby otrzymać 6,25% rozwór.

Zadanie 6.

Ustal, ile liczb naturalnych spełnia nierówność $$ 2x < x+3$$.

$$ 2x < x+3 $$
$$ x<3 $$ -> spełniają je liczby: 0,1,2
Odp.: Tą nierówność spełniają 3 liczby naturalne - 0,1,2.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Dzielimy 3 przez liczbę b oraz ...

Liczbę 3 dzielimy przez b. Liczbę 5 dzielimy przez b+12. 

Obliczamy ile musi wynosić b, aby otrzymane ilorazy były równe. {premium}

   

  

Aby ilorazy były równe liczba b musi wynosić 18. 

W pewnej klasie pod koniec każdego miesiąca uczniowie odpowiadali...

a) Suma liczb z tabeli jest większa niż 100 ponieważ niektórzy uczniowie uprawiali sport częściej niż 1
w okresie od stycznia do maja
{premium}
b) Danych z tabeli nie możemy przedstawić na wykresie kołowym ponieważ suma tych liczb jest większa niż 100
(czyli niektórzy uczniowie wybrali więcej niż 1 odpowiedź)

c) Dane z tabeli najlepiej (najdokładniej) przedstawia diagram I.

d) Najtrudniej odczytać właściwe dane z diagramu III.

e) Według mnie najbardziej atrakcyjny wizualnie jest diagram II
(ale odpowiedź na to pytanie jest subiektywna, każdy może wybrać inny diagram)

Oceń prawdziwość podanych...

Przekątne dzielą każdy romb...

PRAWDA
{premium}

Przekątne dzielą każdy prostokąt...

PRAWDA

Przekątne dzielą każdy kwadrat...

FAŁSZ, przekątne dzielą każdy kwadrat na cztery trójkąty równoramienne.

 

Dane są cztery liczby...

Sprawdźmy sumę podanych liczb:

 

 {premium}

 

 

 

Z tego wynika, że suma liczb  

Oznacza to, że należy odrzucić liczbę:  

 

Odpowiedź:  

Długość jednego kroku olbrzyma z literatury science fiction jest równa odległości Księżyca od Ziemi. Średnia odległość Ziemi od Słońca

{premium}

 

Na rysunku przedstawiono siatkę...

Kostka jest czworościenna, czyli liczba możliwych wyników wynosi:{premium}  

Napis LA znajduje się na jednej ścianie kostki, czyli mamy jedną możliwość wylosowania go:  

Wówczas prawdopodobieństwo wynosi:

 

 

Odpowiedź:  

O której godzinie temperatura odczuwalna powietrza...

Z wykresu możemy odczytać, że najwyższa odczuwalna temperatura w tym dniu została zanotowana o godzinie:
{premium}

15:00

Odp.: C


Trzy koty złapały 3 myszy ...

Jeśli 3 koty złapały 3 myszy w ciągu 3 dni, to 6 kotów złapałoby w tym samym czasie (czyli w ciągu 3 dni) 6 myszy - ilość kotów jest 2 razy większa, więc ilość myszy także zwiększy się 2 razy. 

3 koty - 3 dni - 3 myszy      |٠2

6 kotów - 3 dni - 6 myszy 

Wiemy, że 6 kotów w ciągu 3 dni złapie 6 myszy. Gdyby te koty miały 2 razy więcej czasu, czyli 6 dni, to złapałyby 2 razy więcej myszy, czyli 12 myszy. 

6 kotów - 3 dni - 6 myszy      |٠2

6 kotów - 6 dni - 12 myszy


Odpowiedź: 6 kotów w ciągu 6 dni złapie 12 myszy. 

Ile krawędzi, ścian i wierzchołków ma ostrosłup ...

 

 

 {premium}{premium}

 

16 krawędzi, 9 ścian i 9 wierzchołków

 

Odp. D

Która z figur przedstawionych na rysunku ...

1,7 cm - długość boku kwadratu 

Obwód kwadratu to:{premium}
 


1 cm - długość promienia okręgu

Obwód okręgu to:
 


 

Odpowiedź:
Większy obwód ma kwadrat.