Równania - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Liczby spełniające równania

Litery w równaniu oznaczają liczby, których nie znamy, czyli niewiadome

Liczby odpowiadające tym niewiadomym nazywamy liczbami spełniającymi równanie lub pierwiastkami równania.

Przykłady

  • równanie  `x+6=10`  spełnia liczba `4`, gdyż  `4+6=10`, czyli `x=4` 

  • równanie  `2x+1=1`  spełnia liczba `0`, gdyż  `2*0+1=0+1=1`, czyli `x=1`     



Równania z jedną niewiadomą mogą:

  • nie mieć żadnego rozwiązania - równania sprzeczne;

  • mieć jedno rozwiązanie;

  • mieć nieskończenie wiele rozwiązań - równania tożsamościowe.  

Przykłady: 

  • równanie  `x+5=0`  ma jedno rozwiązanie, spełnia je liczba  `-5` , czyli  `x=-5`   

  • równanie  `x+2=x+1`  nie ma rozwiązania, nie spełnia go żadna liczba - równanie sprzeczne

  • równanie  `x+2=2+x`  ma nieskończenie wiele rozwiązań, spełnia go każda liczba  - równanie tożsamościowe



Zbiór liczb spełniających równanie to zbiór rozwiązań równania

Jeśli dwa równania mają taki sam zbiór rozwiązań, to są to równania równoważne

Przykład: 

  • równania  `x+2=5`  i  `x-3=0`  są równoważne, gdyż rozwiązaniem każdego z nich jest liczba 3 

Sposoby rozwiązywania równań

Aby obliczyć jaka liczba spełnia równanie należy je rozwiązać.

Najprostszą metodą rozwiązywania równań jest metoda równań równoważnych.

Polega ona na dodaniu/odjęciu tego samego wyrażenia od obu stron równania lub na pomnożeniu/podzieleniu przez tę samą liczbę (różną od zera) obu stron równania.

Przykłady:

  1. dodanie tego samego wyrażenia

    `x-10=14 \ \ \ \ \ \ \ \ |+10`   

    `x=24`    (dodaliśmy do obu stron równania liczbę 10)

  2. odjęcie tego samego wyrażenia

    `y+13=23 \ \ \ \ \ \ \ \ |-13` 

    `y=10`    (odjęliśmy od obu stron równania liczbę 13)

  3. pomnożenie przez tę samą liczbę

    `0,5x=7 \ \ \ \ \ \ \ \ |*2`  

    `x=14`     (pomnożyliśmy obie strony równania razy 2)

  4. podzielenie przez tę samą liczbę

    `3x=27 \ \ \ \ \ \ \ \ |:3`  

    `x=9`    (podzieliliśmy obie strony równania przez 3)

Przekształcanie wzorów

Przekształcanie wzorów służy do wyznaczenia określonej niewiadomej.

Przy przekształcaniu wzorów postępujemy tak samo jak przy rozwiązywaniu równań. Wykonujemy więc czynności takie jak dodawanie / odejmowanie od obu stron tego samego wyrażenia lub mnożenie / dzielenie obu stron przez to samo wyrażenie.

Przykłady:

  1. dodawanie / odejmowanie tego samego wyrażenia

    Ze wzoru  `z+p=k`  wyznaczamy zmienną  `z` 

    `z+p=k \ \ \ \ \ \ \ \ |-p`   

    `z=k-p` 

    Ze wzoru  `k-5=x`  wyznaczamy zmienną  `k`  

    `k-5=x \ \ \ \ \ \ \ \ |+5`  

    `k=x+5`  

  2. mnożenie / dzielenie przez to samo wyrażenie

    Ze wzoru  `m/z=y+l` , gdzie `z!=0`, wyznaczamy zmienną  `m`   
    `m/z=y+l \ \ \ \ \ \ \ \ |*z`  

    `m=(y+l)*z`  

    Ze wzoru  `dt=x+5`  wyznaczamy zmienną  `d`   

    `dt=x+5 \ \ \ \ \ \ \ \ |:t \ \ \ \ \ t!=0` 

    `d=(x+5)/t`     

 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Rozwiąż równanie:

  1. $$ x+5=10 $$
  2. $$ 2x+3=15 $$
  3. $$ 5x+13=23 $$
  1. $$ x+5=10 $$
    $$ x=5 $$
  2. $$ 2x+3=15 $$
    $$ 2x=12 $$
    $$ x=6 $$

  3. $$ 5x+13=23 $$
    $$ 5x=10 $$
    $$ x=2 $$

Zadanie 2.

Ułóż i rozwiąż odpowiednie równanie:
Liczba o 3 większa od x jest 3 razy większa od x.

$$ x+3=3x $$
$$ 3=2x $$
$$ x=1,5 $$

Zadanie 3.

Tata Zosi jest od niej 3 razy starszy, a Zosia jest od niego młodsza o 30 lat. Ile lat ma Zosia?

x -> wiek Zosi
$$ x+30 $$ lub $$ 3x$$ -> wiek taty Zosi
$$ x+30=3x $$
$$ 2x=30 $$
$$ x=15 $$
Odp.: Zosia ma 15 lat.

Zadanie 4.

Julek i Zosia są w sumie o 6 lat starsi od swojego brata Michała, ale każde z nich z osobna jest od niego młodsze: Julek o 7 lat, Zosia o 2 lata. Ile lat mają w sumie wszyscy troje?

$$ x $$ -> wiek Michała
$$ x-7 $$ -> wiek Julka
$$ x-2 $$ -> wiek Zosi
$$ x-7+x-2=x+6 $$
$$ 2x-9=x+6 $$
$$ x=15 $$ -> wszyscy: $$ 15+8+13=36$$
Odp.: Wszyscy troje mają razem 36 lat.

Zadanie 5.

Ile trzeba użyć soli, aby po zmieszaniu z 150 g wody otrzymać roztwór o stężeniu $$ 6,25% $$ ?

x -> potrzebna sól

$$ x/{150+x}×100%=6,25% $$

$$ x={6,25}/{100} (150+x) $$

$$ x=9,375+0,0625x $$

$$ 0,9375x=9,375 $$

$$ x=10 g $$
Odp.: Trzeba użyć 10 g soli, aby otrzymać 6,25% rozwór.

Zadanie 6.

Ustal, ile liczb naturalnych spełnia nierówność $$ 2x < x+3$$.

$$ 2x < x+3 $$
$$ x<3 $$ -> spełniają je liczby: 0,1,2
Odp.: Tą nierówność spełniają 3 liczby naturalne - 0,1,2.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Jakie pole powierzchni ma stella ...

Powierzchnia tej bryły jest równa sumie pól powierzchni bocznych ośmiu czworościanów foremnych (na rysunku: cztery w kolorze szarym i cztery w kolorze zielonym) o boku długości  (połowa długości krawędzi dwóch czworościanów, z których zbudowana jest stella octangula, czyli połowa z ).

Ściany czworościanu {premium}foremnego są przystającymi trójkątami równobocznymi. 

Wiemy, że krawędź "mniejszego" czworościanu ma długość  

Obliczamy pole jednej ściany bocznej (korzystamy ze wzoru na pole trójkąta równobocznego).

 

Obliczamy pole powierzchni bocznej jednego z ośmiu czworościanów foremnych.

 

Pole powierzchni bocznej ośmiu takich czworościanów foremnych (czyli pole powierzchni stelli octanguli) jest równe

 

Jakie pole ma koło...

Jeżeli promień koła wynosi  to jego pole wynosi:{premium}

 

 

 

 

 

Odpowiedź:  

W Polsce średnio zbiera się około ...

Z 1 ha zbiera się 16 ton ziemniaków. 

 

 

Oznacza to, że z 10 000 m2 zbiera się 16 000 kg ziemniaków. 



a) 1 m2 to 10 000 razy mniej niż 10 000 m2. Oznacza to, że z tego obszaru zbiera się {premium}o 10 000 mniej ziemniaków, czyli: 

 

Odpowiedź: Z 1m2 ziemi zbiera się 1,6 kg ziemniaków. 



b) Wiemy, że z 1 m2 zbiera się 1,6 kg ziemniaków. 

Chcemy dowiedzieć się z jakiej powierzchni można zebrać 100 kg ziemniaków. 

Możemy napisać proporcję: 

 

 

Mamy więc: 

 

Odpowiedź: 100 kg ziemniaków zbiera się z powierzchni 62,5 m2 ziemi. 



c) 1 mieszkaniec zużywa dziennie średnio 20 dag ziemniaków. 

Obliczamy ile ziemniaków zużyje 1 mieszkaniec w ciągu roku (365 dni). 

 

1 mieszkaniec zużywa rocznie 73 kg ziemniaków. 


Miasto liczy 10 000 mieszkańców. Obliczamy ile ziemniaków rocznie zużywają mieszkańcy tego miasta. 

 

Mieszkańcy tego miasta zużywają rocznie 730 t ziemniaków. 


Obliczamy ile wynosi powierzchnia uprawy ziemniaków potrzebnych dla wszystkich mieszkańców miasta. 

 

 

Mamy więc:

 

Odpowiedź: Roczne potrzeby mieszkańców może zaspokoić uprawa 45,625 ha ziemi. 

Ile wynosi stosunek...

Dane:

Krawędź pierwszego sześcianu wynosi:  

Krawędź drugiego sześcianu wynosi:  

Szukane:

Stosunek objętości pierwszego sześcianu do drugiego:  

Rozwiązanie:

Objętość sześcianu obliczamy korzystając z wzoru:

 

gdzie  jest krawędzią tego sześcianu. W naszym przypadku objętości poszczególnych sześcianów będą miały postać:{premium}

 

 

Wówczas stosunek tych objętości ma postać:

 

 

 

 

 

Odpowiedź:  

Oblicz. a) (- 1 1/2)² b)-8²

{premium}

 

Ewa i jej mama...

Niech długość kroku Ewy wynosi , a długość kroku mamy wynosi . Wiemy, że Ewa robi krok o  mniejszy od kroku mamy, czyli:

 

Ponadto  kroki Ewy równe są  krokom mamy:{premium}

 

Z tego wynika, że:

 

 

 

 

Oznacza to, że długość kroku Ewy będzie wynosiła:

 

 

Odpowiedź:

 

 

Podstawa ABCD ostrosłupa ABCDE jest rombem,...

Wykonajmy rysunek pomocniczy:

podglad pliku

Korzystając  z twierdzenia Pitagorasa obliczmy długość odcinka a:  {premium}

 

 

 

 


Korzystając  z twierdzenia Pitagorasa obliczmy długość odcinka b:

 

 

 

 

Obliczmy pole podstawy tego ostrosłupa:

 

 


Obliczmy objętość tego ostrosłupa:

 

 


Odp.: Objętość tego ostrosłupa wynosi 64 cm3.

Na rysunku przedstawiono trójkąt, w którym ...

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczamy ile wynosi długość odcinka oznaczonego literą u. 

     


Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczamy teraz długość odcinka z. 

     


Obliczamy ile wynosi wartość podanego wyrażenia. 

 


Poprawna odpowiedź: A. -1

Udowodnij, że jeśli kąt...

Krok 1.

Na zielono należy podkreślić: kąt ostry rombu ma

Na czerwono należy podkreślić: krótsza przekątna ma taką sama długość jak jego bok.


Krok 2.


Krok 3.

{premium}

Czworokąt  jest rombem, więc wszystkie jego boki są równe.

Wobec tego  więc trójkąt  jest równoramienny.

Obliczamy miary pozostałych kątów trójkąta  

 

 

 

 

 

Trójkąt  ma wszystkie kąty równe  więc jest trójkątem równobocznym,

czyli  co należało udowodnić.

Jedenaście piłeczek, ponumerowanych kolejnymi ...

W zestawie liczb od 1 do 11 jest:

6 liczb nieparzystych (1; 3; 5; 7; 9; 11) {premium}

5 liczb parzystych (2; 4; 6; 8; 10)

Aby mieć pewność, że  przynajmniej jedna z wyjętych piłeczek będzie oznaczona liczbą parzystą Janek musi wyciągnąć 7 piłeczek.

Wówczas nawet jeśli wyjmie wszystkie piłeczki z nieparzystymi liczbami, to 7 piłeczka będzie miała parzysty numer. 


Odpowiedź: Janek musi wyjąć 7 piłeczek.