Równania - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Równania - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Liczby spełniające równania

Litery w równaniu oznaczają liczby, których nie znamy, czyli niewiadome

Liczby odpowiadające tym niewiadomym nazywamy liczbami spełniającymi równanie lub pierwiastkami równania.

Przykłady

  • równanie  `x+6=10`  spełnia liczba `4`, gdyż  `4+6=10`, czyli `x=4` 

  • równanie  `2x+1=1`  spełnia liczba `0`, gdyż  `2*0+1=0+1=1`, czyli `x=1`     



Równania z jedną niewiadomą mogą:

  • nie mieć żadnego rozwiązania - równania sprzeczne;

  • mieć jedno rozwiązanie;

  • mieć nieskończenie wiele rozwiązań - równania tożsamościowe.  

Przykłady: 

  • równanie  `x+5=0`  ma jedno rozwiązanie, spełnia je liczba  `-5` , czyli  `x=-5`   

  • równanie  `x+2=x+1`  nie ma rozwiązania, nie spełnia go żadna liczba - równanie sprzeczne

  • równanie  `x+2=2+x`  ma nieskończenie wiele rozwiązań, spełnia go każda liczba  - równanie tożsamościowe



Zbiór liczb spełniających równanie to zbiór rozwiązań równania

Jeśli dwa równania mają taki sam zbiór rozwiązań, to są to równania równoważne

Przykład: 

  • równania  `x+2=5`  i  `x-3=0`  są równoważne, gdyż rozwiązaniem każdego z nich jest liczba 3 

Sposoby rozwiązywania równań

Aby obliczyć jaka liczba spełnia równanie należy je rozwiązać.

Najprostszą metodą rozwiązywania równań jest metoda równań równoważnych.

Polega ona na dodaniu/odjęciu tego samego wyrażenia od obu stron równania lub na pomnożeniu/podzieleniu przez tę samą liczbę (różną od zera) obu stron równania.

Przykłady:

  1. dodanie tego samego wyrażenia

    `x-10=14 \ \ \ \ \ \ \ \ |+10`   

    `x=24`    (dodaliśmy do obu stron równania liczbę 10)

  2. odjęcie tego samego wyrażenia

    `y+13=23 \ \ \ \ \ \ \ \ |-13` 

    `y=10`    (odjęliśmy od obu stron równania liczbę 13)

  3. pomnożenie przez tę samą liczbę

    `0,5x=7 \ \ \ \ \ \ \ \ |*2`  

    `x=14`     (pomnożyliśmy obie strony równania razy 2)

  4. podzielenie przez tę samą liczbę

    `3x=27 \ \ \ \ \ \ \ \ |:3`  

    `x=9`    (podzieliliśmy obie strony równania przez 3)

Przekształcanie wzorów

Przekształcanie wzorów służy do wyznaczenia określonej niewiadomej.

Przy przekształcaniu wzorów postępujemy tak samo jak przy rozwiązywaniu równań. Wykonujemy więc czynności takie jak dodawanie / odejmowanie od obu stron tego samego wyrażenia lub mnożenie / dzielenie obu stron przez to samo wyrażenie.

Przykłady:

  1. dodawanie / odejmowanie tego samego wyrażenia

    Ze wzoru  `z+p=k`  wyznaczamy zmienną  `z` 

    `z+p=k \ \ \ \ \ \ \ \ |-p`   

    `z=k-p` 

    Ze wzoru  `k-5=x`  wyznaczamy zmienną  `k`  

    `k-5=x \ \ \ \ \ \ \ \ |+5`  

    `k=x+5`  

  2. mnożenie / dzielenie przez to samo wyrażenie

    Ze wzoru  `m/z=y+l` , gdzie `z!=0`, wyznaczamy zmienną  `m`   
    `m/z=y+l \ \ \ \ \ \ \ \ |*z`  

    `m=(y+l)*z`  

    Ze wzoru  `dt=x+5`  wyznaczamy zmienną  `d`   

    `dt=x+5 \ \ \ \ \ \ \ \ |:t \ \ \ \ \ t!=0` 

    `d=(x+5)/t`     

 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Rozwiąż równanie:

  1. $ x+5=10 $
  2. $ 2x+3=15 $
  3. $ 5x+13=23 $
  1. $ x+5=10 $
    $ x=5 $
  2. $ 2x+3=15 $
    $ 2x=12 $
    $ x=6 $

  3. $ 5x+13=23 $
    $ 5x=10 $
    $ x=2 $

Zadanie 2.

Ułóż i rozwiąż odpowiednie równanie:
Liczba o 3 większa od x jest 3 razy większa od x.

$ x+3=3x $
$ 3=2x $
$ x=1,5 $

Zadanie 3.

Tata Zosi jest od niej 3 razy starszy, a Zosia jest od niego młodsza o 30 lat. Ile lat ma Zosia?

x -> wiek Zosi
$ x+30 $ lub $ 3x$ -> wiek taty Zosi
$ x+30=3x $
$ 2x=30 $
$ x=15 $
Odp.: Zosia ma 15 lat.

Zadanie 4.

Julek i Zosia są w sumie o 6 lat starsi od swojego brata Michała, ale każde z nich z osobna jest od niego młodsze: Julek o 7 lat, Zosia o 2 lata. Ile lat mają w sumie wszyscy troje?

$ x $ -> wiek Michała
$ x-7 $ -> wiek Julka
$ x-2 $ -> wiek Zosi
$ x-7+x-2=x+6 $
$ 2x-9=x+6 $
$ x=15 $ -> wszyscy: $ 15+8+13=36$
Odp.: Wszyscy troje mają razem 36 lat.

Zadanie 5.

Ile trzeba użyć soli, aby po zmieszaniu z 150 g wody otrzymać roztwór o stężeniu $ 6,25% $ ?

x -> potrzebna sól

$ x/{150+x}×100%=6,25% $

$ x={6,25}/{100} (150+x) $

$ x=9,375+0,0625x $

$ 0,9375x=9,375 $

$ x=10 g $
Odp.: Trzeba użyć 10 g soli, aby otrzymać 6,25% rozwór.

Zadanie 6.

Ustal, ile liczb naturalnych spełnia nierówność $ 2x < x+3$.

$ 2x < x+3 $
$ x<3 $ -> spełniają je liczby: 0,1,2
Odp.: Tą nierówność spełniają 3 liczby naturalne - 0,1,2.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Zaznacz w układzie współrzędnych punkty K(-3,3), L=(1,0),...

Zaznaczmy punkty K, L i M w układzie współrzędnych:

podglad pliku{premium}

Zauważmy, że:

LM=3

Trójkąt LDK jest prostokątny

korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczmy długość odcinka KL:

 

 

 

 

 


Trójkąt KEM jest prostokątny

korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczmy długość odcinka KM:

 

 

 

 

 

 


Trójkąt ten jest rozwartokątny

Ile krawędzi, ile ścian i ile wszystkich ...

a) Podstawą ostrosłupa jest trójkąt równoboczny.

Liczba krawędzi: 6

Liczba ścian: 4
{premium}

Liczba wierzchołków: 4

 

b) Podstawą ostrosłupa jest kwadrat.

Liczba krawędzi: 8

Liczba ścian: 5

Liczba wierzchołków: 5

 

c) Podstawą ostrosłupa jest pięciokąt foremny.

Liczba krawędzi: 10

Liczba ścian: 6

Liczba wierzchołków: 6

 

d) Podstawą ostrosłupa jest sześciokąt foremny.

Liczba krawędzi: 12

Liczba ścian: 7

Liczba wierzchołków: 7

 

Spodki wysokości zaznaczone zostały kolorem czerwonym:

Maria ma 24 lata. Jest ona dwukrotnie starsza

a - wiek Anny obecnie

24 - wiek Marii obecnie

24-a - tyle lat temu Maria miała tyle ile Anna ma teraz {premium}

 

   

 

Odp. Anna ma obecnie 18 lat.

Wykonaj działania...

 

Wiemy, że .

Wówczas:

 

 

 

 {premium}

Wiemy, że .

Wówczas:

 

 

 

 

Wiemy, że . Otrzymujemy zatem:

 

 

 

Uzupełnij zdania.

Pierwsze zdanie

 
{premium}

  


Drugie zdanie

1 godzina to 3600 sekund. 

Zatem: 

 


Trzecie zdanie

1 km = 1000 m = 100 000 cm 

Zatem: 

   


Czwarte zdanie

1 km = 1000 m 

1 h = 60 min 

Zatem: 

 

Narysuj w zeszycie układ współrzędnych i zaznacz w nim...

Zaznaczmy w układzie współrzędnych jednostkę co 0,25 aby łatwo można było zaznaczyć 
współrzędne punktów A, B, C, D, E, F, G, H i I : {premium}

podglad pliku

Trzecia część wyrażenia 6pq + 12 pr- 3ps jest równa:

Trzecia część to jedna z trzech części, czyli jedna trzecia. {premium}

 

Odp. A

Narysuj cztery różne siatki sześcianu

Narysuj cztery z jedenastu poniżej przedstawionych siatek:

 {premium}

Prędkość 45 km/h wyrażona ...

Przypomnijmy:

 

     {premium}

 

Zatem:

 

 

Odp. C

 

 

Ustal, jakie będzie stężenie 1 kilograma 20-procentowego...

Dany jest 1 kg 20-procentowego roztworu chlorku wapnia:
zatem:

a) Obliczmy, ile chlorku wapnia jest w tym roztworze:

 

Jeśli dodamy do tego roztworu 3 kg wody jego stężenie będzie wynosiło:
{premium}

Odp.: Po dodaniu do tego roztworu 3 kg wody stężenie tego roztworu będzie wynosiło 5%.



b)  

Jeśli dodamy do tego roztworu 0,1 kg chlorku wapnia jego stężenie będzie wynosiło:

 


Odp.: Po dodaniu do tego roztworu 10 dag chlorku wapnia stężenie tego roztworu będzie wynosiło 30%.