Równania - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Równania - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Liczby spełniające równania

Litery w równaniu oznaczają liczby, których nie znamy, czyli niewiadome

Liczby odpowiadające tym niewiadomym nazywamy liczbami spełniającymi równanie lub pierwiastkami równania.

Przykłady

  • równanie  `x+6=10`  spełnia liczba `4`, gdyż  `4+6=10`, czyli `x=4` 

  • równanie  `2x+1=1`  spełnia liczba `0`, gdyż  `2*0+1=0+1=1`, czyli `x=1`     



Równania z jedną niewiadomą mogą:

  • nie mieć żadnego rozwiązania - równania sprzeczne;

  • mieć jedno rozwiązanie;

  • mieć nieskończenie wiele rozwiązań - równania tożsamościowe.  

Przykłady: 

  • równanie  `x+5=0`  ma jedno rozwiązanie, spełnia je liczba  `-5` , czyli  `x=-5`   

  • równanie  `x+2=x+1`  nie ma rozwiązania, nie spełnia go żadna liczba - równanie sprzeczne

  • równanie  `x+2=2+x`  ma nieskończenie wiele rozwiązań, spełnia go każda liczba  - równanie tożsamościowe



Zbiór liczb spełniających równanie to zbiór rozwiązań równania

Jeśli dwa równania mają taki sam zbiór rozwiązań, to są to równania równoważne

Przykład: 

  • równania  `x+2=5`  i  `x-3=0`  są równoważne, gdyż rozwiązaniem każdego z nich jest liczba 3 

Sposoby rozwiązywania równań

Aby obliczyć jaka liczba spełnia równanie należy je rozwiązać.

Najprostszą metodą rozwiązywania równań jest metoda równań równoważnych.

Polega ona na dodaniu/odjęciu tego samego wyrażenia od obu stron równania lub na pomnożeniu/podzieleniu przez tę samą liczbę (różną od zera) obu stron równania.

Przykłady:

  1. dodanie tego samego wyrażenia

    `x-10=14 \ \ \ \ \ \ \ \ |+10`   

    `x=24`    (dodaliśmy do obu stron równania liczbę 10)

  2. odjęcie tego samego wyrażenia

    `y+13=23 \ \ \ \ \ \ \ \ |-13` 

    `y=10`    (odjęliśmy od obu stron równania liczbę 13)

  3. pomnożenie przez tę samą liczbę

    `0,5x=7 \ \ \ \ \ \ \ \ |*2`  

    `x=14`     (pomnożyliśmy obie strony równania razy 2)

  4. podzielenie przez tę samą liczbę

    `3x=27 \ \ \ \ \ \ \ \ |:3`  

    `x=9`    (podzieliliśmy obie strony równania przez 3)

Przekształcanie wzorów

Przekształcanie wzorów służy do wyznaczenia określonej niewiadomej.

Przy przekształcaniu wzorów postępujemy tak samo jak przy rozwiązywaniu równań. Wykonujemy więc czynności takie jak dodawanie / odejmowanie od obu stron tego samego wyrażenia lub mnożenie / dzielenie obu stron przez to samo wyrażenie.

Przykłady:

  1. dodawanie / odejmowanie tego samego wyrażenia

    Ze wzoru  `z+p=k`  wyznaczamy zmienną  `z` 

    `z+p=k \ \ \ \ \ \ \ \ |-p`   

    `z=k-p` 

    Ze wzoru  `k-5=x`  wyznaczamy zmienną  `k`  

    `k-5=x \ \ \ \ \ \ \ \ |+5`  

    `k=x+5`  

  2. mnożenie / dzielenie przez to samo wyrażenie

    Ze wzoru  `m/z=y+l` , gdzie `z!=0`, wyznaczamy zmienną  `m`   
    `m/z=y+l \ \ \ \ \ \ \ \ |*z`  

    `m=(y+l)*z`  

    Ze wzoru  `dt=x+5`  wyznaczamy zmienną  `d`   

    `dt=x+5 \ \ \ \ \ \ \ \ |:t \ \ \ \ \ t!=0` 

    `d=(x+5)/t`     

 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Rozwiąż równanie:

  1. $ x+5=10 $
  2. $ 2x+3=15 $
  3. $ 5x+13=23 $
  1. $ x+5=10 $
    $ x=5 $
  2. $ 2x+3=15 $
    $ 2x=12 $
    $ x=6 $

  3. $ 5x+13=23 $
    $ 5x=10 $
    $ x=2 $

Zadanie 2.

Ułóż i rozwiąż odpowiednie równanie:
Liczba o 3 większa od x jest 3 razy większa od x.

$ x+3=3x $
$ 3=2x $
$ x=1,5 $

Zadanie 3.

Tata Zosi jest od niej 3 razy starszy, a Zosia jest od niego młodsza o 30 lat. Ile lat ma Zosia?

x -> wiek Zosi
$ x+30 $ lub $ 3x$ -> wiek taty Zosi
$ x+30=3x $
$ 2x=30 $
$ x=15 $
Odp.: Zosia ma 15 lat.

Zadanie 4.

Julek i Zosia są w sumie o 6 lat starsi od swojego brata Michała, ale każde z nich z osobna jest od niego młodsze: Julek o 7 lat, Zosia o 2 lata. Ile lat mają w sumie wszyscy troje?

$ x $ -> wiek Michała
$ x-7 $ -> wiek Julka
$ x-2 $ -> wiek Zosi
$ x-7+x-2=x+6 $
$ 2x-9=x+6 $
$ x=15 $ -> wszyscy: $ 15+8+13=36$
Odp.: Wszyscy troje mają razem 36 lat.

Zadanie 5.

Ile trzeba użyć soli, aby po zmieszaniu z 150 g wody otrzymać roztwór o stężeniu $ 6,25% $ ?

x -> potrzebna sól

$ x/{150+x}×100%=6,25% $

$ x={6,25}/{100} (150+x) $

$ x=9,375+0,0625x $

$ 0,9375x=9,375 $

$ x=10 g $
Odp.: Trzeba użyć 10 g soli, aby otrzymać 6,25% rozwór.

Zadanie 6.

Ustal, ile liczb naturalnych spełnia nierówność $ 2x < x+3$.

$ 2x < x+3 $
$ x<3 $ -> spełniają je liczby: 0,1,2
Odp.: Tą nierówność spełniają 3 liczby naturalne - 0,1,2.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Moneta 5-złotowa zasłania nalepkę...

Wykonajmy rysunek pomocniczy:  {premium}



Obliczmy pole powierzchni tej monety:

 


Obliczmy pole powierzchni tego sześciokąta:

 


Obliczmy jaki procent pola monety stanowi pole sześciokąta:

 


Odp.: Nalepka stanowi ok. 82% pola monety.

W układzie współrzędnych dane są punkty K=(-4, -2), L=(2, -2)...

Zauważmy, że punkty K i L mają taką samą rzedną
obliczmy odległość między tymi punktami: {premium}

 

Wiemy, że trójkąt KLM jest prostokątny i równoramienny

zatem odcinek LM ma długość 6 lub odcinek KM ma długość 6

więc punkt M może  mieć współrzędne:

(2,4) ponieważ:

 

lub (-4, 4) ponieważ:

 

rysunek:

podglad pliku

Oblicz.

 
{premium}



 

Uzasadnienie: 

 

 


 

 


 

 

Karol jest o 3 lata młodszy od Piotra i ...

Przyjmijmy oznaczenia: 

K - wiek Karola 

M - wiek Marka

P - wiek Piotra


Karol jest o 3 lata młodszy od Piotra, czyli: {premium}

 

Karol jest jednocześnie 3 razy młodszy od Marka, czyli: 

 


Zapisujemy wiek Marka w zależności od wieku Piotra. 

Wiemy, że: 

 

 

Zatem: 

  

 


Poprawna odpowiedź: A. M = 3P - 9

Kanapa kosztowała...

Cena kanapy:  

Cena fotela:  

Cena kompletu złożonego z kanapy i czterech foteli:

 

 

 

Wiemy, że kanapa zdrożała o , czyli jej cena wynosi:

 

Wiemy, że cena fotela wzrosła o , czyli cena jednego fotela po podwyżce wynosi:{premium}

 

Z tego wynika, że cena kompletu po podwyżce ma postać:

 

 

 

 

Niech  oznacza procent, o jaki wzrosła cena całego kompletu. Wówczas:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Odpowiedź:

 

 

Niech x, y będą liczbami dodatnimi, a n- liczbą naturalną ...

 

{premium}

  

 

      

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli ...
 Wyrażenie  można zapisać w postaci . P F


Upraszczamy podane wyrażenie.{premium}

 

 

 


 Wyrażenie  można zapisać w postaci . P F


Upraszczamy podane wyrażenie.

 

 

 

Jacek zapisuje dwuznakowe kody...

Jacek ma do dyspozycji 26 różnych liter alfabetu i 10 cyfr


a) Obliczmy ile różnych kodów, w których występuje co najmniej jedna litera (nie rozróżniając małych i wielkich liter) może zapisać Jacek:   {premium}

1) obliczmy ile kodów, w których występują tylko litery może zapisać Jacek

 


2) obliczmy ile kodów, w których pierwszym znakiem jest litera, a drugim jest cyfra może zapisać Jacek

 


3) obliczmy ile kodów, w których pierwszym znakiem jest cyfra, a drugim jest litera może zapisać Jacek

 

obliczmy ile takich kodów łącznie może zapisać Jacek:

 


b) Obliczmy ile różnych kodów, w których występuje co najmniej jedna litera (rozróżniając małe i wielkie litery) może zapisać Jacek:

jeśli rozróżnimy małe i wielkie litery to mamy teraz do dyspozycji: 

 

"różne" litery

1) obliczmy ile kodów, w których występują tylko litery może zapisać Jacek

 


2) obliczmy ile kodów, w których pierwszym znakiem jest litera, a drugim jest cyfra może zapisać Jacek

 


3) obliczmy ile kodów, w których pierwszym znakiem jest cyfra, a drugim jest litera może zapisać Jacek

 

obliczmy ile takich kodów łącznie może zapisać Jacek:

 

W dwóch workach znajduje...

Dane:

Początkowa ilość fasoli w pierwszym worku:  

Początkowa ilość fasoli w drugim worku:  

Ilość fasoli w pierwszym worku po pierwszym przesypaniu:  

Ilość fasoli w drugim worku po drugim przesypaniu:  

Ilość fasoli w pierwszym worku po drugim przesypaniu:  

Ilość fasoli w drugim worku po drugim przesypaniu:  

Szukane:

 

 

Rozwiązanie:

Wiemy, że po pierwszym przesypaniu w obu workach jest ta sama ilość fasoli:

 

 

 

Po drugim przesypaniu w pierwszym worku jest dwa razy więcej fasoli:{premium}

 

 

 

 

 

 

 

Otrzymaliśmy dwa wzory opisujące zależność na początkową ilość fasoli w pierwszym worku . Porównajmy je:

 

 

 

Otrzymaliśmy początkową ilość fasoli w drugim worku. Wówczas po pierwszym przesypaniu w worku znajduje się:

 

 

 

Wówczas po drugim przesypaniu otrzymujemy, że ilość fasoli w drugim worku wynosi:

 

 

 

Wówczas w pierwszym worku mamy:

 

 

 

Odp.: W pierwszym worku znajduje się  fasoli, a w drugim worku znajduje się  fasoli.

W ciągu trzech kolejnych dni ...

Obliczamy ile wynosi średnia cena truskawek z trzech dni. {premium}

 


Obliczamy jaki procent średniej ceny truskawek z trzech dni stanowi kwota 10 zł (najwyższa z podanych cen). 

 


Odpowiedź: Najwyższa z podanych cen stanowi 125% średniej ceny z trzech dni.