Równania - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Liczby spełniające równania

Litery w równaniu oznaczają liczby, których nie znamy, czyli niewiadome

Liczby odpowiadające tym niewiadomym nazywamy liczbami spełniającymi równanie lub pierwiastkami równania.

Przykłady

  • równanie  `x+6=10`  spełnia liczba `4`, gdyż  `4+6=10`, czyli `x=4` 

  • równanie  `2x+1=1`  spełnia liczba `0`, gdyż  `2*0+1=0+1=1`, czyli `x=1`     



Równania z jedną niewiadomą mogą:

  • nie mieć żadnego rozwiązania - równania sprzeczne;

  • mieć jedno rozwiązanie;

  • mieć nieskończenie wiele rozwiązań - równania tożsamościowe.  

Przykłady: 

  • równanie  `x+5=0`  ma jedno rozwiązanie, spełnia je liczba  `-5` , czyli  `x=-5`   

  • równanie  `x+2=x+1`  nie ma rozwiązania, nie spełnia go żadna liczba - równanie sprzeczne

  • równanie  `x+2=2+x`  ma nieskończenie wiele rozwiązań, spełnia go każda liczba  - równanie tożsamościowe



Zbiór liczb spełniających równanie to zbiór rozwiązań równania

Jeśli dwa równania mają taki sam zbiór rozwiązań, to są to równania równoważne

Przykład: 

  • równania  `x+2=5`  i  `x-3=0`  są równoważne, gdyż rozwiązaniem każdego z nich jest liczba 3 

Sposoby rozwiązywania równań

Aby obliczyć jaka liczba spełnia równanie należy je rozwiązać.

Najprostszą metodą rozwiązywania równań jest metoda równań równoważnych.

Polega ona na dodaniu/odjęciu tego samego wyrażenia od obu stron równania lub na pomnożeniu/podzieleniu przez tę samą liczbę (różną od zera) obu stron równania.

Przykłady:

  1. dodanie tego samego wyrażenia

    `x-10=14 \ \ \ \ \ \ \ \ |+10`   

    `x=24`    (dodaliśmy do obu stron równania liczbę 10)

  2. odjęcie tego samego wyrażenia

    `y+13=23 \ \ \ \ \ \ \ \ |-13` 

    `y=10`    (odjęliśmy od obu stron równania liczbę 13)

  3. pomnożenie przez tę samą liczbę

    `0,5x=7 \ \ \ \ \ \ \ \ |*2`  

    `x=14`     (pomnożyliśmy obie strony równania razy 2)

  4. podzielenie przez tę samą liczbę

    `3x=27 \ \ \ \ \ \ \ \ |:3`  

    `x=9`    (podzieliliśmy obie strony równania przez 3)

Przekształcanie wzorów

Przekształcanie wzorów służy do wyznaczenia określonej niewiadomej.

Przy przekształcaniu wzorów postępujemy tak samo jak przy rozwiązywaniu równań. Wykonujemy więc czynności takie jak dodawanie / odejmowanie od obu stron tego samego wyrażenia lub mnożenie / dzielenie obu stron przez to samo wyrażenie.

Przykłady:

  1. dodawanie / odejmowanie tego samego wyrażenia

    Ze wzoru  `z+p=k`  wyznaczamy zmienną  `z` 

    `z+p=k \ \ \ \ \ \ \ \ |-p`   

    `z=k-p` 

    Ze wzoru  `k-5=x`  wyznaczamy zmienną  `k`  

    `k-5=x \ \ \ \ \ \ \ \ |+5`  

    `k=x+5`  

  2. mnożenie / dzielenie przez to samo wyrażenie

    Ze wzoru  `m/z=y+l` , gdzie `z!=0`, wyznaczamy zmienną  `m`   
    `m/z=y+l \ \ \ \ \ \ \ \ |*z`  

    `m=(y+l)*z`  

    Ze wzoru  `dt=x+5`  wyznaczamy zmienną  `d`   

    `dt=x+5 \ \ \ \ \ \ \ \ |:t \ \ \ \ \ t!=0` 

    `d=(x+5)/t`     

 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Rozwiąż równanie:

  1. $$ x+5=10 $$
  2. $$ 2x+3=15 $$
  3. $$ 5x+13=23 $$
  1. $$ x+5=10 $$
    $$ x=5 $$
  2. $$ 2x+3=15 $$
    $$ 2x=12 $$
    $$ x=6 $$

  3. $$ 5x+13=23 $$
    $$ 5x=10 $$
    $$ x=2 $$

Zadanie 2.

Ułóż i rozwiąż odpowiednie równanie:
Liczba o 3 większa od x jest 3 razy większa od x.

$$ x+3=3x $$
$$ 3=2x $$
$$ x=1,5 $$

Zadanie 3.

Tata Zosi jest od niej 3 razy starszy, a Zosia jest od niego młodsza o 30 lat. Ile lat ma Zosia?

x -> wiek Zosi
$$ x+30 $$ lub $$ 3x$$ -> wiek taty Zosi
$$ x+30=3x $$
$$ 2x=30 $$
$$ x=15 $$
Odp.: Zosia ma 15 lat.

Zadanie 4.

Julek i Zosia są w sumie o 6 lat starsi od swojego brata Michała, ale każde z nich z osobna jest od niego młodsze: Julek o 7 lat, Zosia o 2 lata. Ile lat mają w sumie wszyscy troje?

$$ x $$ -> wiek Michała
$$ x-7 $$ -> wiek Julka
$$ x-2 $$ -> wiek Zosi
$$ x-7+x-2=x+6 $$
$$ 2x-9=x+6 $$
$$ x=15 $$ -> wszyscy: $$ 15+8+13=36$$
Odp.: Wszyscy troje mają razem 36 lat.

Zadanie 5.

Ile trzeba użyć soli, aby po zmieszaniu z 150 g wody otrzymać roztwór o stężeniu $$ 6,25% $$ ?

x -> potrzebna sól

$$ x/{150+x}×100%=6,25% $$

$$ x={6,25}/{100} (150+x) $$

$$ x=9,375+0,0625x $$

$$ 0,9375x=9,375 $$

$$ x=10 g $$
Odp.: Trzeba użyć 10 g soli, aby otrzymać 6,25% rozwór.

Zadanie 6.

Ustal, ile liczb naturalnych spełnia nierówność $$ 2x < x+3$$.

$$ 2x < x+3 $$
$$ x<3 $$ -> spełniają je liczby: 0,1,2
Odp.: Tą nierówność spełniają 3 liczby naturalne - 0,1,2.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Na rysunku przedstawiono wzory występujące na herbach różnych miast.

Herby mające oś symetrii (pionową) to herby miast takich jak:
{premium}

  • Gdańsk
  • Rzeszów
  • Elbląg
Porównaj pola i obwody trzech figur złożonych z półkoli.

Pole pierwszej figury:

 {premium}

Obwód pierwszej figury (długość półokręgu o promieniu 4 cm i odcinek o długości średnicy tego półokręgu):

 

Pole drugiej figury (pole dwóch wycinków koła, z których każdy stanowi koła o promieniu 2 cm):

 

Obwód drugiej figury (długość dwóch półokręgów o promieniu 2 cm i dwa odcinki o długości średnicy tych półokręgów):

 

Pole trzeciej figury (pole czterech wycinków koła, z których każdy stanowi  koła o promieniu 1 cm):

 

Obwód trzeciej figury (długość czterech półokręgów o promieniu 1 cm i cztery odcinki o długości średnicy tych półokręgów):

  

 

Odp. Obwody tych figur są takie same. Pole pierwszej figury jest największe, a pole trzeciej figury jest najmniejsze.

 

 

Oblicz długość przeciwprostokątnej w danym

 

 

 

 

{premium}

 

 

 

 

 

 

 

 

a) Dwa boki trójkąta mają...

 

Każdy bok trójkąta ma długość mniejszą od sumy długości dwóch pozostałych boków. W naszym przypadku boku trójkąta mają długość:   

Ich suma wynosi:  
{premium}

Oznacza to, że trzeci bok tego trójkąta może mieć długość  , ale jego długość nie może wynosić  

 

 

Suma miar kątów wewnętrznych w każdym trójkącie wynosi  

Oznacza to, że trzeci kąt tego trójkąta wynosi:

 

  

 

Z podanego wzoru wyznacz wielkość x. Przyjmij ...

 

Z podanego wzoru wyznaczamy wielkość .

 

 

 {premium}


 

Z podanego wzoru wyznaczamy wielkość .

 

 

 


 

Z podanego wzoru wyznaczamy wielkość .

 

 

 


 

Z podanego wzoru wyznaczamy wielkość .

 

 

 

 

 

 

 

 

Na poniższym diagramie przedstawiono...

a) Największą popularnością wśród chłopców cieszy się piłka nożna, w wśród dziewcząt taniec. {premium}

b) Siatkówkę i taniec.

c) 

 

Na zajęcia z koszykówki chodzi 12 osób.

d)

 

Na zajęcia sportowe chodzą 63 osoby.

e) Liczba wszystkich chłopców uczestniczących w zajęciach sportowych:

 

Procent chłopców uczęszczających na siatkówkę:

 

Na siatkówkę uczęszcza około 18% chłopców.

Jakie figury można...

 

podglad pliku

Bryłę otrzymano w wyniku {premium}obrotu trapezu.


 

podglad pliku

Bryłę otrzymano w wyniku obrotu sześciokąta.


 

podglad pliku

Bryłę otrzymano w wyniku obrotu trapezu.

Na brzegu okrągłej tarczy zegara ...

Suma miar kątów wewnętrznych w każdym trójkącie wynosi 180o

Wykonajmy rysunek pomocniczy:{premium}

Thumb zad6s75
Zauważmy, że każdy z kątów tego trójkąta jest oparty na łuku składającym się z tych samych części

zatem miary kątów tego trójkąta możemy zapisać jako:

 

(jeden z kątów jest oparty na łuku składającym się z 3 takich samych części, drugi z kątów jest oparty na łuku składającym się z 4 takich samych części, trzeci z kątów jest oparty na łuku składającym się z 5 takich samych części)

zatem:

 

 

 

więc miary kątów tego trójkąta wynoszą:

 

 

 


Odp.: Miary kątów tego trójkąta wynoszą: 45o, 60o i 75o.

Bez korzystania z kalkulatora sprawdź, czy nierówność ...

 

 

{premium}

 

Nierówność jest prawdziwa.

 

 

   

Nierówność nie jest prawdziwa.

Przekrojem walca nie...

Przekrojem poprzecznym walca jest {premium}koło, a przekrojem osiowym jest prostokąt, który w szczególnym przypadku może być kwadratem. Przekrojem walca nie może być dowolny równoległobok.

 

Odpowiedź: `bb(D.)`dowolny równoległobok.