Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Równania - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Liczby spełniające równania

Litery w równaniu oznaczają liczby, których nie znamy, czyli niewiadome

Liczby odpowiadające tym niewiadomym nazywamy liczbami spełniającymi równanie lub pierwiastkami równania.

Przykłady

  • równanie  `x+6=10`  spełnia liczba `4`, gdyż  `4+6=10`, czyli `x=4` 

  • równanie  `2x+1=1`  spełnia liczba `0`, gdyż  `2*0+1=0+1=1`, czyli `x=1`     



Równania z jedną niewiadomą mogą:

  • nie mieć żadnego rozwiązania - równania sprzeczne;

  • mieć jedno rozwiązanie;

  • mieć nieskończenie wiele rozwiązań - równania tożsamościowe.  

Przykłady: 

  • równanie  `x+5=0`  ma jedno rozwiązanie, spełnia je liczba  `-5` , czyli  `x=-5`   

  • równanie  `x+2=x+1`  nie ma rozwiązania, nie spełnia go żadna liczba - równanie sprzeczne

  • równanie  `x+2=2+x`  ma nieskończenie wiele rozwiązań, spełnia go każda liczba  - równanie tożsamościowe



Zbiór liczb spełniających równanie to zbiór rozwiązań równania

Jeśli dwa równania mają taki sam zbiór rozwiązań, to są to równania równoważne

Przykład: 

  • równania  `x+2=5`  i  `x-3=0`  są równoważne, gdyż rozwiązaniem każdego z nich jest liczba 3 

Sposoby rozwiązywania równań

Aby obliczyć jaka liczba spełnia równanie należy je rozwiązać.

Najprostszą metodą rozwiązywania równań jest metoda równań równoważnych.

Polega ona na dodaniu/odjęciu tego samego wyrażenia od obu stron równania lub na pomnożeniu/podzieleniu przez tę samą liczbę (różną od zera) obu stron równania.

Przykłady:

  1. dodanie tego samego wyrażenia

    `x-10=14 \ \ \ \ \ \ \ \ |+10`   

    `x=24`    (dodaliśmy do obu stron równania liczbę 10)

  2. odjęcie tego samego wyrażenia

    `y+13=23 \ \ \ \ \ \ \ \ |-13` 

    `y=10`    (odjęliśmy od obu stron równania liczbę 13)

  3. pomnożenie przez tę samą liczbę

    `0,5x=7 \ \ \ \ \ \ \ \ |*2`  

    `x=14`     (pomnożyliśmy obie strony równania razy 2)

  4. podzielenie przez tę samą liczbę

    `3x=27 \ \ \ \ \ \ \ \ |:3`  

    `x=9`    (podzieliliśmy obie strony równania przez 3)

Przekształcanie wzorów

Przekształcanie wzorów służy do wyznaczenia określonej niewiadomej.

Przy przekształcaniu wzorów postępujemy tak samo jak przy rozwiązywaniu równań. Wykonujemy więc czynności takie jak dodawanie / odejmowanie od obu stron tego samego wyrażenia lub mnożenie / dzielenie obu stron przez to samo wyrażenie.

Przykłady:

  1. dodawanie / odejmowanie tego samego wyrażenia

    Ze wzoru  `z+p=k`  wyznaczamy zmienną  `z` 

    `z+p=k \ \ \ \ \ \ \ \ |-p`   

    `z=k-p` 

    Ze wzoru  `k-5=x`  wyznaczamy zmienną  `k`  

    `k-5=x \ \ \ \ \ \ \ \ |+5`  

    `k=x+5`  

  2. mnożenie / dzielenie przez to samo wyrażenie

    Ze wzoru  `m/z=y+l` , gdzie `z!=0`, wyznaczamy zmienną  `m`   
    `m/z=y+l \ \ \ \ \ \ \ \ |*z`  

    `m=(y+l)*z`  

    Ze wzoru  `dt=x+5`  wyznaczamy zmienną  `d`   

    `dt=x+5 \ \ \ \ \ \ \ \ |:t \ \ \ \ \ t!=0` 

    `d=(x+5)/t`     

 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Rozwiąż równanie:

  1. $$ x+5=10 $$
  2. $$ 2x+3=15 $$
  3. $$ 5x+13=23 $$
  1. $$ x+5=10 $$
    $$ x=5 $$
  2. $$ 2x+3=15 $$
    $$ 2x=12 $$
    $$ x=6 $$

  3. $$ 5x+13=23 $$
    $$ 5x=10 $$
    $$ x=2 $$

Zadanie 2.

Ułóż i rozwiąż odpowiednie równanie:
Liczba o 3 większa od x jest 3 razy większa od x.

$$ x+3=3x $$
$$ 3=2x $$
$$ x=1,5 $$

Zadanie 3.

Tata Zosi jest od niej 3 razy starszy, a Zosia jest od niego młodsza o 30 lat. Ile lat ma Zosia?

x -> wiek Zosi
$$ x+30 $$ lub $$ 3x$$ -> wiek taty Zosi
$$ x+30=3x $$
$$ 2x=30 $$
$$ x=15 $$
Odp.: Zosia ma 15 lat.

Zadanie 4.

Julek i Zosia są w sumie o 6 lat starsi od swojego brata Michała, ale każde z nich z osobna jest od niego młodsze: Julek o 7 lat, Zosia o 2 lata. Ile lat mają w sumie wszyscy troje?

$$ x $$ -> wiek Michała
$$ x-7 $$ -> wiek Julka
$$ x-2 $$ -> wiek Zosi
$$ x-7+x-2=x+6 $$
$$ 2x-9=x+6 $$
$$ x=15 $$ -> wszyscy: $$ 15+8+13=36$$
Odp.: Wszyscy troje mają razem 36 lat.

Zadanie 5.

Ile trzeba użyć soli, aby po zmieszaniu z 150 g wody otrzymać roztwór o stężeniu $$ 6,25% $$ ?

x -> potrzebna sól

$$ x/{150+x}×100%=6,25% $$

$$ x={6,25}/{100} (150+x) $$

$$ x=9,375+0,0625x $$

$$ 0,9375x=9,375 $$

$$ x=10 g $$
Odp.: Trzeba użyć 10 g soli, aby otrzymać 6,25% rozwór.

Zadanie 6.

Ustal, ile liczb naturalnych spełnia nierówność $$ 2x < x+3$$.

$$ 2x < x+3 $$
$$ x<3 $$ -> spełniają je liczby: 0,1,2
Odp.: Tą nierówność spełniają 3 liczby naturalne - 0,1,2.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Uzupełnij tabelę.

Ostrosłup prawidłowy jest to ostrosłup, który w podstawie ma wielokąt foremny oraz krawędzie boczne są równej długości .

 

Obliczmy pole podstawy ostrosłupa, jeżeli w podstawie znajduje się trójkąt równoboczny.

Krawędź podstawy ma długość √3. korzystamy ze wzoru na pole trójkąta równobcznego.

`P_p=((sqrt3)^2sqrt3)/4`

`P_p=(3sqrt3)/4\ [j^2]`

Wysokość ostrosłupa to 5. Obliczmy objętość.

`V=1/strike3^1*(strike3^1sqrt3)/4*5`

`V=(5sqrt3)/4\ [j^3]`

{premium}

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

Obliczmy pole podstawy ostrosłupa, jeżeli w podstawie znajduje się kwadrat.

Krawędź podstawy ma długość 5. korzystamy ze wzoru na pole kwadratu.

`P_p=5^2`

`P_p=25\ [j^2]`

Wysokość ostrosłupa to 4. Obliczmy objętość.

`V=1/3*25*4`

`V=100/3\ [j^3]`

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

Obliczmy pole podstawy, jeżeli w podstawie znajduje się sześciokąt foremny.

Wykonajmy rysunek pomocniczy:

 

Sześciokąt możemy podzielić na 6 takich samych trójkątów równobocznych.

Obliczmy pole jednego z trójkątów równobocznych o boku długości 1.

`P_t=(1^2sqrt3)/4=sqrt3/4\ [j^2]`

Pole sześciokąta foremnego, czyli pole podstawy ostrosłupa to:

`P_p=strike6^3*sqrt3/strike4^2=(3sqrt3)/2\ [j^2]`

Wysokość ostrosłupa to 10. Obliczmy objętość.

`V=1/strike3^1*(strike3^1sqrt3)/2*10`

`V=(strike10^5sqrt3)/strike2^1`

`V=5sqrt3\ [j^3]`

 

Uzupełniamy tabelkę:

Ostrosłup prawidłowy

Krawędź podstawy

Pole podstawy

Wysokość ostrosłupa

Objętość ostrosłupa

trójkatny

`sqrt3` 

`\ \ (3sqrt3)/4`

5

`\ \ (5sqrt3)/4`

czworokątny

5

25

4

`\ \ \ 100/3`

sześciokątny

1

`\ \ (3sqrt3)/2`

10

`\ \ \ 5sqrt3`

 

Podaj zaokrąglenie liczby do części ...

a)

`root(3)(2)+2~~1,26+2=3,26` 

{premium}

b)

`3-root(3)(3)~~3-1,44=1,56` 

c)

`root(3)(2)/2~~(1,26)/2=0,63` 

d)

`root(3)(3)-root(3)(2)~~1,44-1,26=0,18` 

Kolejka górska na trasie przejazdu ...

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku. 

Kolejka górska ma długość 2 km, stąd |PK|=2 km. {premium}

Kolejka ta jest nachylona do poziomu pod kątem 30o, stąd |<LPK|=30o.  


Jeden z kątów ostrych trójkąta prostokątnego ma miarę 30o. Oznacza to, że drugi z kątów ostrych ma miarę 60o, bo 30o+60o+90o=180o.

Korzystając z zależności między bokami w trójkącie o kątach 30o, 60i 90obliczamy jaka jest różnica wysokości między stacją początkową a końcową. 

Odcinek KL jest dwa razy krótszy od odcinka PK, zatem:
`|KL|=1/2*|PK|=1/2*2 \ "km"=1 \ "km"` 

Różnica wysokości między stacją początkową a stacją końcową kolejki wynosi 1 km, czyli 1000 m. 


Stacja początkowa znajduje się na wysokości 1500 m n. p. m. Stacja końcowa znajduje się 1000 m wyżej, czyli na wysokości:
`1500 \ "m"+1000 \ "m"=2500 \ "m"` 


Odpowiedź:
Stacja końcowa znajduje się na wysokości 2500 m n. p. m

Liczba wszystkich krawędzi graniastosłupa jest o

Liczba ścian bocznych:

`n` 

Liczba wszystkich krawędzi: {premium}

`k=3n`

Równanie opisujące zależność między liczbą krawędzi a liczbą ścian bocznych, jeśli liczba wszystkich krawędzi jest o 14 większa od liczby wszystkich ścian bocznych:

`n+14=3n \ \ \ \ \ \ \ \ |-n` 

`14=2n \ \ \ \ \ |:2` 

`n=7` 

 

Odp. Podstawą tego graniastosłupa jest siedmiokąt.

Zapisz ułamek zwykły...

`a)` 

 

`3/11 = 0,27272727... = 0,(27)` {premium}

`b)` 

`21/22 = 0,9545454... = 0,9(54)` 

`c)` 

`2 4/15 = 34/15=2,266666...=2,2(6)` 

`d)` 

`3 5/12 = 41/12 = 3,416666... = 3,41(6)` 

Ile liczb dwucyfrowych można utworzyć ...

Cyfrę dziesiątek możemy wybrać spośród 6 liczb, czyli jest 6 możliwości.

Cyfrę jedności możemy wybrać spośród 6 liczb, czyli jest 6 możliwości. {premium}

Zgodnie z regułą mnożenia wszystkich możliwości jest:

`6*6=36` 

 

Odp. D

W sześciokącie foremnym połączono środki ...

Rysunek pomocniczy:

Oznaczenie: 

a - długość boku początkowego sześciokąta

b - długość boku otrzymanego sześciokąta {premium}

 

Zauważmy, że długość b to wysokość w wyjściowym sześciokącie, czyli:

`b=(asqrt3)/2` 

 

Obliczmy pole wyjściowego sześciokąta.

`P_1=(3a^2sqrt3)/2` 

Obliczmy pole otrzymanego sześciokąta.

`P_2=(3b^2sqrt3)/2=(3*((asqrt3)/2)^2sqrt3)/2=(3*(a^2*3)/4sqrt3)/2=9/4a^2sqrt3*1/2=(9a^2sqrt3)/8` 

 

Obliczmy stosunek pól sześciokątów:

`P_2/P_1=((9a^2sqrt3)/8)/((3a^2sqrt3)/2)=(9a^2sqrt3)/strike8^4*strike2^1/(3a^2sqrt3)=9/12=3/4` 

Wyłącz czynnik...

`a)`  

`sqrt20 + sqrt45 = sqrt(4*5) + sqrt(9*5) = sqrt4*sqrt5+sqrt9*sqrt5 = 2sqrt5+3sqrt5 = 5sqrt5` 

{premium}

`b)` 

`sqrt8 - sqrt200 = sqrt(4*2) - sqrt(100*2) = sqrt4*sqrt2 - sqrt100*sqrt2 = 2sqrt2-10sqrt2 = -8sqrt2` 

 

`c)` 

`-sqrt75+sqrt27 = -sqrt(25*3)+sqrt(9*3) = -sqrt25*sqrt3+sqrt9*sqrt3 = -5sqrt3+3sqrt3 = -2sqrt3` 

 

`d)` 

`root(3)(40) + root(3)(5000) = root(3)(8*5)+root(3)(1000*5) = root(3)(8)*root(3)(5) + root(3)(1000)*root(3)(5) = 2root(3)(5)+10root(3)(5)=12root(3)(5)` 

 

`e)` 

`root(3)(128) - root(3)(54) = root(3)(64*2)- root(3)(27*2) = root(3)(64)*root(3)(2) - root(3)(27)*root(3)(2) = 4root(3)(2)-3root(3)(2) = root(3)(2)` 

 

`f)` 

`-root(3)(0,004) + root(3)(32) = -root(3)(4*10^-3) + root(3)(8*4) = -root(3)((10^-1)^3)*root(3)(4) + root(3)(8)*root(3)(4) =-10^-1 root(3)(4) + 2root(3)(4) = -0,1root(3)(4) + 2 root(3)(4)= 1,9root(3)(4)=1  9/10 root(3)(4)`   

Deskę długości 1,5 m wykonano z wysuszonego drewna jodły ...

Policzmy, jaką objętość ma 1 taka deska: {premium}

`V=1,5\ "m"*20\ "cm"*1\ "cm"=`

`=1,5\ "m"*0,2\ "m"*0,01\ "m"=0,003\ "m"^3`

Policzmy, jaką objętość ma 10 takich desek.

`10*0,003\ "m"^3=0,03\ "m"^3` 

 

Gęstość 410 kg/m³ oznacza, że 1 m³ drewna waży 410 kg. Obliczamy, jaka jest masa 0,03 m³ takiego drewna 

`0,03*410=0,3*41=12,3\ "kg"`

Odp. Masa 10 takich desek wynosi 12,3 kg.

Jeden z boków równoległoboku jest dwa razy...

Wiemy, że jeden z boków równoległoboku jest 2 razy większy od drugiego. 

Przyjmijmy więc oznaczenia: 

`a`   - długość krótszego boku równoległoboku   

`2a`   - długość dłuższego boku równoległoboku {premium}


W równoległoboku na dłuższy bok jest opuszczona krótsza wysokość. Zatem: 

`h_a`   - wysokość opuszczona na bok a (dłuższa wysokość)

`h_(2a)`  - wysokość opuszczona na bok 2a (krótsza wysokość)


Pole równoległoboku możemy zapisać na dwa sposoby: 

`a*h_a=2a*h_(2a) \ \ \ \ \ \ \ \ |:a`

`h_a=2h_(2a)`  

Oznacza to, że jedna z wysokości jest 2 razy dłuższa od drugiej. 

 

Prawidłowa odpowiedź: Tak, ponieważ ... B - ... oba iloczyny - długości boku i wysokości ...