Równania - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Równania - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Liczby spełniające równania

Litery w równaniu oznaczają liczby, których nie znamy, czyli niewiadome

Liczby odpowiadające tym niewiadomym nazywamy liczbami spełniającymi równanie lub pierwiastkami równania.

Przykłady

  • równanie  `x+6=10`  spełnia liczba `4`, gdyż  `4+6=10`, czyli `x=4` 

  • równanie  `2x+1=1`  spełnia liczba `0`, gdyż  `2*0+1=0+1=1`, czyli `x=1`     



Równania z jedną niewiadomą mogą:

  • nie mieć żadnego rozwiązania - równania sprzeczne;

  • mieć jedno rozwiązanie;

  • mieć nieskończenie wiele rozwiązań - równania tożsamościowe.  

Przykłady: 

  • równanie  `x+5=0`  ma jedno rozwiązanie, spełnia je liczba  `-5` , czyli  `x=-5`   

  • równanie  `x+2=x+1`  nie ma rozwiązania, nie spełnia go żadna liczba - równanie sprzeczne

  • równanie  `x+2=2+x`  ma nieskończenie wiele rozwiązań, spełnia go każda liczba  - równanie tożsamościowe



Zbiór liczb spełniających równanie to zbiór rozwiązań równania

Jeśli dwa równania mają taki sam zbiór rozwiązań, to są to równania równoważne

Przykład: 

  • równania  `x+2=5`  i  `x-3=0`  są równoważne, gdyż rozwiązaniem każdego z nich jest liczba 3 

Sposoby rozwiązywania równań

Aby obliczyć jaka liczba spełnia równanie należy je rozwiązać.

Najprostszą metodą rozwiązywania równań jest metoda równań równoważnych.

Polega ona na dodaniu/odjęciu tego samego wyrażenia od obu stron równania lub na pomnożeniu/podzieleniu przez tę samą liczbę (różną od zera) obu stron równania.

Przykłady:

  1. dodanie tego samego wyrażenia

    `x-10=14 \ \ \ \ \ \ \ \ |+10`   

    `x=24`    (dodaliśmy do obu stron równania liczbę 10)

  2. odjęcie tego samego wyrażenia

    `y+13=23 \ \ \ \ \ \ \ \ |-13` 

    `y=10`    (odjęliśmy od obu stron równania liczbę 13)

  3. pomnożenie przez tę samą liczbę

    `0,5x=7 \ \ \ \ \ \ \ \ |*2`  

    `x=14`     (pomnożyliśmy obie strony równania razy 2)

  4. podzielenie przez tę samą liczbę

    `3x=27 \ \ \ \ \ \ \ \ |:3`  

    `x=9`    (podzieliliśmy obie strony równania przez 3)

Przekształcanie wzorów

Przekształcanie wzorów służy do wyznaczenia określonej niewiadomej.

Przy przekształcaniu wzorów postępujemy tak samo jak przy rozwiązywaniu równań. Wykonujemy więc czynności takie jak dodawanie / odejmowanie od obu stron tego samego wyrażenia lub mnożenie / dzielenie obu stron przez to samo wyrażenie.

Przykłady:

  1. dodawanie / odejmowanie tego samego wyrażenia

    Ze wzoru  `z+p=k`  wyznaczamy zmienną  `z` 

    `z+p=k \ \ \ \ \ \ \ \ |-p`   

    `z=k-p` 

    Ze wzoru  `k-5=x`  wyznaczamy zmienną  `k`  

    `k-5=x \ \ \ \ \ \ \ \ |+5`  

    `k=x+5`  

  2. mnożenie / dzielenie przez to samo wyrażenie

    Ze wzoru  `m/z=y+l` , gdzie `z!=0`, wyznaczamy zmienną  `m`   
    `m/z=y+l \ \ \ \ \ \ \ \ |*z`  

    `m=(y+l)*z`  

    Ze wzoru  `dt=x+5`  wyznaczamy zmienną  `d`   

    `dt=x+5 \ \ \ \ \ \ \ \ |:t \ \ \ \ \ t!=0` 

    `d=(x+5)/t`     

 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Rozwiąż równanie:

  1. $ x+5=10 $
  2. $ 2x+3=15 $
  3. $ 5x+13=23 $
  1. $ x+5=10 $
    $ x=5 $
  2. $ 2x+3=15 $
    $ 2x=12 $
    $ x=6 $

  3. $ 5x+13=23 $
    $ 5x=10 $
    $ x=2 $

Zadanie 2.

Ułóż i rozwiąż odpowiednie równanie:
Liczba o 3 większa od x jest 3 razy większa od x.

$ x+3=3x $
$ 3=2x $
$ x=1,5 $

Zadanie 3.

Tata Zosi jest od niej 3 razy starszy, a Zosia jest od niego młodsza o 30 lat. Ile lat ma Zosia?

x -> wiek Zosi
$ x+30 $ lub $ 3x$ -> wiek taty Zosi
$ x+30=3x $
$ 2x=30 $
$ x=15 $
Odp.: Zosia ma 15 lat.

Zadanie 4.

Julek i Zosia są w sumie o 6 lat starsi od swojego brata Michała, ale każde z nich z osobna jest od niego młodsze: Julek o 7 lat, Zosia o 2 lata. Ile lat mają w sumie wszyscy troje?

$ x $ -> wiek Michała
$ x-7 $ -> wiek Julka
$ x-2 $ -> wiek Zosi
$ x-7+x-2=x+6 $
$ 2x-9=x+6 $
$ x=15 $ -> wszyscy: $ 15+8+13=36$
Odp.: Wszyscy troje mają razem 36 lat.

Zadanie 5.

Ile trzeba użyć soli, aby po zmieszaniu z 150 g wody otrzymać roztwór o stężeniu $ 6,25% $ ?

x -> potrzebna sól

$ x/{150+x}×100%=6,25% $

$ x={6,25}/{100} (150+x) $

$ x=9,375+0,0625x $

$ 0,9375x=9,375 $

$ x=10 g $
Odp.: Trzeba użyć 10 g soli, aby otrzymać 6,25% rozwór.

Zadanie 6.

Ustal, ile liczb naturalnych spełnia nierówność $ 2x < x+3$.

$ 2x < x+3 $
$ x<3 $ -> spełniają je liczby: 0,1,2
Odp.: Tą nierówność spełniają 3 liczby naturalne - 0,1,2.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Oceń prawdziwość podanych zdań ...

Romb to równoległobok, w którym wszystkie boki są równej długości.

Kwadrat to czworokąt, w którym wszystkie boki są równej długości i kąty wewnętrzne są proste. {premium}

Zauważmy, że w rombie kąty wewnętrzne nie muszą być proste.

Każdy romb jest kwadratem. P F

 

Równoległobok to czworokąt, który ma dwie pary boków równoległych równej długości.

Jeśli wszystkie boki będą równej długości to będzie to romb.

Niektóre równoległoboki są rombami. P F

 

Równoległobok to czworokąt, który ma dwie pary boków równoległych równej długości.

Trapez to czworokąt, który ma przynajmniej jedną parę boków równoległych.

Każdy równoległobok jest trapezem.

Nie każdy równoległobok jest trapezem. P F

 

Równoległobok to czworokąt, który ma dwie pary boków równoległych równej długości.

Równoległobok, który ma kąt prosty jest prostokątem (niekoniecznie kwadratem).

 

Każdy równoległobok, który ma kąt prosty, jest kwadratem. P F
Uprość podane...

 
{premium}
 

 
 

Rozwiąż poniższe zadania...

a) 30-80% ∙30= 30-0,8∙30=30-24=6
{premium}

b) 120- 15% ∙120=120-0,15∙120=120-18=102

Odp. : Nowa cena tej gry wynosi 102 zł.


c) 4-20%∙4=4-0,2∙4=4-0,8=3,2


Odp. : Bilet dla dziecka kosztuje 3,20 zł.

Ile jest różnych dróg z A do ...

Z A do G przez C jest{premium}  dróg. Z A do G przez E są drogi.

Jadąc z A do G, jedziemy albo przez C, albo przez E, więc w sumie mamy:

 możliwych dróg.

W ostrosłupie prawidłowym sześciokątnym ...

Krawędź boczna ma długość , a wysokość ściany bocznej jest równa 

Długość krawędzi podstawy oznaczamy przez , więc {premium}jej połowa jest równa .

podglad pliku

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, wyznaczamy długość krawędzi podstawy.

 

 

 

 


Podstawą ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego jest sześciokąt foremny. Składa się on z sześciu przystających trójkątów równobocznych (zob. rys.).

podglad pliku

Dłuższa przekątna sześciokąta foremnego jest dwa razy dłuższa od boku tego sześciokąta, zatem ma ona długość .

Oceń prawdziwość każdego zdania ...

PRAWDA, ponieważ{premium}

wszystkie krawędzie sześcianu są równej długości.

Objętość graniastosłupa o krawędzi długości   jest równa:

 

 

PRAWDA, ponieważ

wszystkie ściany sześcianu są kwadratami.

Pole powierzchni całkowitej sześcianu o krawędzi długości  jest równe

 

 

Thumb str. 31   4

 

Oblicz objętość graniastosłupa prawidłowego...

Objętość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego obliczamy korzystając z wzoru:

 

gdzie:

  -długość krawędzi podstawy graniastosłupa

  -wysokość graniastosłupa


     {premium}

 


Obliczmy objętość tego graniastosłupa:

 


Odp.: Objętość tego graniastosłupa wynosi 5400 cm3.

Przerysuj do zeszytu odcinek BD, który ...

1. Z punktu  po obu stronach odcinka kreślimy łuki (o promieniu większym niż połowa długości odcinka).

podglad pliku

2. Nie zmieniając rozwartości cyrkla, kreślimy łuki z punktu .

podglad pliku{premium}

3. Przez punkty przecięcia łuków prowadzimy prostą. Narysowana prosta jest symetralną odcinka . Punkt przecięcia odcinka  z tą symetralną oznaczamy jako  (jest to punkt przecięcia się przekątnych kwadratu).

podglad pliku

4. Odmierzamy cyrklem długość odcinka . Wbijamy nóżkę cyrkla w punkt  i kreślimy łuki przecinające symetralną. Punkty przecięcia łuków z prostą są pozostałymi wierzchołkami kwadratu .

podglad pliku

5. Odpowiednio łączymy wierzchołki, aby powstał kwadrat .

podglad pliku

Zapisz w postaci...

 

  

{premium}

 

  

 

 

 

 

 

  

Wnętrze szklanki jest graniastosłupem prawidłowym...

Mamy dane:

 

 

Obliczamy objętość graniastosłupa (szklanki):{premium}

 

 

Prawidłowa odpowiedź to