Równania - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Liczby spełniające równania

Litery w równaniu oznaczają liczby, których nie znamy, czyli niewiadome

Liczby odpowiadające tym niewiadomym nazywamy liczbami spełniającymi równanie lub pierwiastkami równania.

Przykłady

  • równanie  `x+6=10`  spełnia liczba `4`, gdyż  `4+6=10`, czyli `x=4` 

  • równanie  `2x+1=1`  spełnia liczba `0`, gdyż  `2*0+1=0+1=1`, czyli `x=1`     



Równania z jedną niewiadomą mogą:

  • nie mieć żadnego rozwiązania - równania sprzeczne;

  • mieć jedno rozwiązanie;

  • mieć nieskończenie wiele rozwiązań - równania tożsamościowe.  

Przykłady: 

  • równanie  `x+5=0`  ma jedno rozwiązanie, spełnia je liczba  `-5` , czyli  `x=-5`   

  • równanie  `x+2=x+1`  nie ma rozwiązania, nie spełnia go żadna liczba - równanie sprzeczne

  • równanie  `x+2=2+x`  ma nieskończenie wiele rozwiązań, spełnia go każda liczba  - równanie tożsamościowe



Zbiór liczb spełniających równanie to zbiór rozwiązań równania

Jeśli dwa równania mają taki sam zbiór rozwiązań, to są to równania równoważne

Przykład: 

  • równania  `x+2=5`  i  `x-3=0`  są równoważne, gdyż rozwiązaniem każdego z nich jest liczba 3 

Sposoby rozwiązywania równań

Aby obliczyć jaka liczba spełnia równanie należy je rozwiązać.

Najprostszą metodą rozwiązywania równań jest metoda równań równoważnych.

Polega ona na dodaniu/odjęciu tego samego wyrażenia od obu stron równania lub na pomnożeniu/podzieleniu przez tę samą liczbę (różną od zera) obu stron równania.

Przykłady:

  1. dodanie tego samego wyrażenia

    `x-10=14 \ \ \ \ \ \ \ \ |+10`   

    `x=24`    (dodaliśmy do obu stron równania liczbę 10)

  2. odjęcie tego samego wyrażenia

    `y+13=23 \ \ \ \ \ \ \ \ |-13` 

    `y=10`    (odjęliśmy od obu stron równania liczbę 13)

  3. pomnożenie przez tę samą liczbę

    `0,5x=7 \ \ \ \ \ \ \ \ |*2`  

    `x=14`     (pomnożyliśmy obie strony równania razy 2)

  4. podzielenie przez tę samą liczbę

    `3x=27 \ \ \ \ \ \ \ \ |:3`  

    `x=9`    (podzieliliśmy obie strony równania przez 3)

Przekształcanie wzorów

Przekształcanie wzorów służy do wyznaczenia określonej niewiadomej.

Przy przekształcaniu wzorów postępujemy tak samo jak przy rozwiązywaniu równań. Wykonujemy więc czynności takie jak dodawanie / odejmowanie od obu stron tego samego wyrażenia lub mnożenie / dzielenie obu stron przez to samo wyrażenie.

Przykłady:

  1. dodawanie / odejmowanie tego samego wyrażenia

    Ze wzoru  `z+p=k`  wyznaczamy zmienną  `z` 

    `z+p=k \ \ \ \ \ \ \ \ |-p`   

    `z=k-p` 

    Ze wzoru  `k-5=x`  wyznaczamy zmienną  `k`  

    `k-5=x \ \ \ \ \ \ \ \ |+5`  

    `k=x+5`  

  2. mnożenie / dzielenie przez to samo wyrażenie

    Ze wzoru  `m/z=y+l` , gdzie `z!=0`, wyznaczamy zmienną  `m`   
    `m/z=y+l \ \ \ \ \ \ \ \ |*z`  

    `m=(y+l)*z`  

    Ze wzoru  `dt=x+5`  wyznaczamy zmienną  `d`   

    `dt=x+5 \ \ \ \ \ \ \ \ |:t \ \ \ \ \ t!=0` 

    `d=(x+5)/t`     

 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Rozwiąż równanie:

  1. $$ x+5=10 $$
  2. $$ 2x+3=15 $$
  3. $$ 5x+13=23 $$
  1. $$ x+5=10 $$
    $$ x=5 $$
  2. $$ 2x+3=15 $$
    $$ 2x=12 $$
    $$ x=6 $$

  3. $$ 5x+13=23 $$
    $$ 5x=10 $$
    $$ x=2 $$

Zadanie 2.

Ułóż i rozwiąż odpowiednie równanie:
Liczba o 3 większa od x jest 3 razy większa od x.

$$ x+3=3x $$
$$ 3=2x $$
$$ x=1,5 $$

Zadanie 3.

Tata Zosi jest od niej 3 razy starszy, a Zosia jest od niego młodsza o 30 lat. Ile lat ma Zosia?

x -> wiek Zosi
$$ x+30 $$ lub $$ 3x$$ -> wiek taty Zosi
$$ x+30=3x $$
$$ 2x=30 $$
$$ x=15 $$
Odp.: Zosia ma 15 lat.

Zadanie 4.

Julek i Zosia są w sumie o 6 lat starsi od swojego brata Michała, ale każde z nich z osobna jest od niego młodsze: Julek o 7 lat, Zosia o 2 lata. Ile lat mają w sumie wszyscy troje?

$$ x $$ -> wiek Michała
$$ x-7 $$ -> wiek Julka
$$ x-2 $$ -> wiek Zosi
$$ x-7+x-2=x+6 $$
$$ 2x-9=x+6 $$
$$ x=15 $$ -> wszyscy: $$ 15+8+13=36$$
Odp.: Wszyscy troje mają razem 36 lat.

Zadanie 5.

Ile trzeba użyć soli, aby po zmieszaniu z 150 g wody otrzymać roztwór o stężeniu $$ 6,25% $$ ?

x -> potrzebna sól

$$ x/{150+x}×100%=6,25% $$

$$ x={6,25}/{100} (150+x) $$

$$ x=9,375+0,0625x $$

$$ 0,9375x=9,375 $$

$$ x=10 g $$
Odp.: Trzeba użyć 10 g soli, aby otrzymać 6,25% rozwór.

Zadanie 6.

Ustal, ile liczb naturalnych spełnia nierówność $$ 2x < x+3$$.

$$ 2x < x+3 $$
$$ x<3 $$ -> spełniają je liczby: 0,1,2
Odp.: Tą nierówność spełniają 3 liczby naturalne - 0,1,2.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Napisz wyraz, który ma oś symetrii ...

{premium}

Rzucamy dwa razy czworościenną kostką. Na jej ściankach ...

Wypisujemy wszystkie możliwości za pomocą tabelki.

             
  
  
    
  


Dla {premium}ułatwienia, w miejscach par liczb, zapiszmy iloczyny tych liczb.

             
  
  
    
  


Kolorem zielonym zaznaczone zostały pola, na których otrzymany iloczyn jest większy od , a kolorem żółtym pola, na których otrzymany iloczyn jest mniejszy od .

Pól żółtych jest tyle samo, co pól zielonych, zatem oba zdarzenia są jednakowo prawdopodobne.

Co jest szybsze: ...

Prędkość sokoła wynosi 230 km/h. 

Zapisujemy tę prędkość w m/min. Dzięki temu będziemy mogli porównać ją z prędkością samochodu wyścigowego. 


1 km = 1000 m {premium}

1 h = 60 min

Mamy więc:

  

Prędkość sokoła wynosi 3833 1/3 m/min. 


Porównujemy prędkość sokoła z prędkością samochodu wyścigowego. 

 

Z większą prędkością porusza się sokół. 


Odpowiedź: Szybszy jest sokół. 

Wybierz poprawne...

Obliczamy wyrażenie dla  i :

 

 {premium}

 

 

 

 

 

 

 

Odpowiedź:  

Prosta l na rysunku obok przechodzi ...

Najpierw punkt  odbijamy symetrycznie względem prostej . Otrzymujemy:{premium} .

Następnie punkt  odbijamy symetrycznie względem prostej . Otrzymujemy: .

podglad pliku

Odp.: B

W trójkącie prostokątnym o obwodzie ...

  - długość jednej z przyprostokątnych [w cm]

  - długość drugiej przyprostokątnej [w cm]

   - długość przeciwprostokątnej [w cm]

   - obwód trójkąta [w cm]


Możemy napisać równanie:  {premium}

   

  

Jedna z przyprostokątnych ma długość 8. 


Obliczamy ile wynosi długość drugiej przyprostokątnej. 


Rysujemy trójkąt prostokątny, którego przyprostokątne mają długość 8 cm i 6 cm.  

Przeciwprostokątna tego trójkąta będzie miała długość 10 cm. 

Liczba wszystkich krawędzi graniastosłupa jest o

Liczba ścian bocznych:

 

Liczba wszystkich krawędzi: {premium}

Równanie opisujące zależność między liczbą krawędzi a liczbą ścian bocznych, jeśli liczba wszystkich krawędzi jest o 14 większa od liczby wszystkich ścian bocznych:

 

 

 

 

Odp. Podstawą tego graniastosłupa jest siedmiokąt.

W pewnym wielokącie foremnym ...

Przypomnijmy wzór na miarę kąta wewnętrznego w n-kącie foremnym:

 

{premium}

 

Wobec tego wiemy, że:

 

 

 

 

 

 

 

Odp. Ten wielokąt ma 9 boków.

Zakreśl liczby, które są ...

 

Zakreślamy liczby:

{premium}

ponieważ: 

ponieważ:

ponieważ:

więc tym bardziej

Ostrosłup prawidłowy trójkątny o krawędzi ...

Zaczniemy od obliczenia objętości ostrosłupa prawidłowego trójkątnego o krawędzi podstawy  i wysokości .

Ostrosłup ten ma w podstawie trójkąt równoboczny.

Pole {premium}trójkąta równobocznego o boku długości  możemy obliczyć ze wzoru

 

Obliczamy pole podstawy pierwszego ostrosłupa.

 

Objętość tego ostrosłupa jest zatem równa

 

 

Z treści zadania wiemy, że objętości obu ostrosłupów są równe, zatem

 

 

Podstawą drugiego ostrosłupa (prawidłowego czworokątnego) jest kwadrat o boku , zatem jego pole podstawy jest równe

 

Znając objętość i pole podstawy, możemy wyznaczyć wysokość ostrosłupa.

 

 

 

 

 

Odpowiedź: Wysokość drugiego ostrosłupa jest równa .