Równania - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Równania - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Liczby spełniające równania

Litery w równaniu oznaczają liczby, których nie znamy, czyli niewiadome

Liczby odpowiadające tym niewiadomym nazywamy liczbami spełniającymi równanie lub pierwiastkami równania.

Przykłady

  • równanie  `x+6=10`  spełnia liczba `4`, gdyż  `4+6=10`, czyli `x=4` 

  • równanie  `2x+1=1`  spełnia liczba `0`, gdyż  `2*0+1=0+1=1`, czyli `x=1`     



Równania z jedną niewiadomą mogą:

  • nie mieć żadnego rozwiązania - równania sprzeczne;

  • mieć jedno rozwiązanie;

  • mieć nieskończenie wiele rozwiązań - równania tożsamościowe.  

Przykłady: 

  • równanie  `x+5=0`  ma jedno rozwiązanie, spełnia je liczba  `-5` , czyli  `x=-5`   

  • równanie  `x+2=x+1`  nie ma rozwiązania, nie spełnia go żadna liczba - równanie sprzeczne

  • równanie  `x+2=2+x`  ma nieskończenie wiele rozwiązań, spełnia go każda liczba  - równanie tożsamościowe



Zbiór liczb spełniających równanie to zbiór rozwiązań równania

Jeśli dwa równania mają taki sam zbiór rozwiązań, to są to równania równoważne

Przykład: 

  • równania  `x+2=5`  i  `x-3=0`  są równoważne, gdyż rozwiązaniem każdego z nich jest liczba 3 

Sposoby rozwiązywania równań

Aby obliczyć jaka liczba spełnia równanie należy je rozwiązać.

Najprostszą metodą rozwiązywania równań jest metoda równań równoważnych.

Polega ona na dodaniu/odjęciu tego samego wyrażenia od obu stron równania lub na pomnożeniu/podzieleniu przez tę samą liczbę (różną od zera) obu stron równania.

Przykłady:

  1. dodanie tego samego wyrażenia

    `x-10=14 \ \ \ \ \ \ \ \ |+10`   

    `x=24`    (dodaliśmy do obu stron równania liczbę 10)

  2. odjęcie tego samego wyrażenia

    `y+13=23 \ \ \ \ \ \ \ \ |-13` 

    `y=10`    (odjęliśmy od obu stron równania liczbę 13)

  3. pomnożenie przez tę samą liczbę

    `0,5x=7 \ \ \ \ \ \ \ \ |*2`  

    `x=14`     (pomnożyliśmy obie strony równania razy 2)

  4. podzielenie przez tę samą liczbę

    `3x=27 \ \ \ \ \ \ \ \ |:3`  

    `x=9`    (podzieliliśmy obie strony równania przez 3)

Przekształcanie wzorów

Przekształcanie wzorów służy do wyznaczenia określonej niewiadomej.

Przy przekształcaniu wzorów postępujemy tak samo jak przy rozwiązywaniu równań. Wykonujemy więc czynności takie jak dodawanie / odejmowanie od obu stron tego samego wyrażenia lub mnożenie / dzielenie obu stron przez to samo wyrażenie.

Przykłady:

  1. dodawanie / odejmowanie tego samego wyrażenia

    Ze wzoru  `z+p=k`  wyznaczamy zmienną  `z` 

    `z+p=k \ \ \ \ \ \ \ \ |-p`   

    `z=k-p` 

    Ze wzoru  `k-5=x`  wyznaczamy zmienną  `k`  

    `k-5=x \ \ \ \ \ \ \ \ |+5`  

    `k=x+5`  

  2. mnożenie / dzielenie przez to samo wyrażenie

    Ze wzoru  `m/z=y+l` , gdzie `z!=0`, wyznaczamy zmienną  `m`   
    `m/z=y+l \ \ \ \ \ \ \ \ |*z`  

    `m=(y+l)*z`  

    Ze wzoru  `dt=x+5`  wyznaczamy zmienną  `d`   

    `dt=x+5 \ \ \ \ \ \ \ \ |:t \ \ \ \ \ t!=0` 

    `d=(x+5)/t`     

 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Rozwiąż równanie:

  1. $ x+5=10 $
  2. $ 2x+3=15 $
  3. $ 5x+13=23 $
  1. $ x+5=10 $
    $ x=5 $
  2. $ 2x+3=15 $
    $ 2x=12 $
    $ x=6 $

  3. $ 5x+13=23 $
    $ 5x=10 $
    $ x=2 $

Zadanie 2.

Ułóż i rozwiąż odpowiednie równanie:
Liczba o 3 większa od x jest 3 razy większa od x.

$ x+3=3x $
$ 3=2x $
$ x=1,5 $

Zadanie 3.

Tata Zosi jest od niej 3 razy starszy, a Zosia jest od niego młodsza o 30 lat. Ile lat ma Zosia?

x -> wiek Zosi
$ x+30 $ lub $ 3x$ -> wiek taty Zosi
$ x+30=3x $
$ 2x=30 $
$ x=15 $
Odp.: Zosia ma 15 lat.

Zadanie 4.

Julek i Zosia są w sumie o 6 lat starsi od swojego brata Michała, ale każde z nich z osobna jest od niego młodsze: Julek o 7 lat, Zosia o 2 lata. Ile lat mają w sumie wszyscy troje?

$ x $ -> wiek Michała
$ x-7 $ -> wiek Julka
$ x-2 $ -> wiek Zosi
$ x-7+x-2=x+6 $
$ 2x-9=x+6 $
$ x=15 $ -> wszyscy: $ 15+8+13=36$
Odp.: Wszyscy troje mają razem 36 lat.

Zadanie 5.

Ile trzeba użyć soli, aby po zmieszaniu z 150 g wody otrzymać roztwór o stężeniu $ 6,25% $ ?

x -> potrzebna sól

$ x/{150+x}×100%=6,25% $

$ x={6,25}/{100} (150+x) $

$ x=9,375+0,0625x $

$ 0,9375x=9,375 $

$ x=10 g $
Odp.: Trzeba użyć 10 g soli, aby otrzymać 6,25% rozwór.

Zadanie 6.

Ustal, ile liczb naturalnych spełnia nierówność $ 2x < x+3$.

$ 2x < x+3 $
$ x<3 $ -> spełniają je liczby: 0,1,2
Odp.: Tą nierówność spełniają 3 liczby naturalne - 0,1,2.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Dany jest okrąg o środku w punkcie O i dwa należące ...

1. Rysujemy odcinek . Z punktu  po obu stronach odcinka kreślimy łuki (o promieniu większym niż połowa długości odcinka).

podglad pliku{premium}

2. Nie zmieniając rozwartości cyrkla, kreślimy łuki z punktu .

podglad pliku

3. Przez punkty przecięcia łuków prowadzimy prostą. Narysowana prosta jest symetralną odcinka 

podglad pliku

4. Zaznaczmy punkty przecięcia symetralnej z okręgiem - są one punktami okręgu równo oddalonymi od punków  i .

podglad pliku

W równoległoboku miary kątów...

Wiemy, że równoległobok ma dwa kąty ostre tej samej miary oraz dwa kąty rozwarte tej samej miary. Wykonajmy rysunek przedstawiający sytuację opisaną w zadaniu:{premium}

podglad pliku

Zauważmy, że:

 

 

Wówczas z sumy miar kątów wewnętrznych czworokąta otrzymujemy, że:

 

 

 

 

 

 

Odpowiedź: Kąty wewnętrzne równoległoboku wynoszą , ,  i .

Mapa sporządzona jest w skali 1: 2 500 000. Odległość między dwoma miastami na tej

Ze skali mapy wynika, że 1 cm na mapie to 2000000 cm w terenie.

{premium}

Wobec tego 1 cm na mapie to 20000 m w terenie.

Zatem 1 cm na mapie to 20 km w terenie.

 

Odległość na mapie to 4 cm, czyli 4 razy więcej niż 1 cm.

Zatem ta odległość w terenie jest 4 razy większa niż 20 km, czyli wynosi 80 km.

 

Odp. Rzeczywista odległość między tymi miastami to 80 km.

Dane są wyrażenia: A=8x-12, B=4x-3...

Obliczmy wartość iloczynu 

 

 {premium}


Obliczmy wartość iloczynu 

 


Obliczmy wartość iloczynu 

 


Obliczmy wartość wyrażenia  

 


zatem:

pierwsze zdanie jest fałszywe

drugie zdanie jest fałszywe

Dane są trójkąty ABC i ABE położone jak na rysunku...

Wiemy, że suma miar kątów wewnętrznych w każdym trójkącie wynosi  

rozpatrzmy trójkąt ABC:

 {premium}

 

 


rozpatrzmy trójkąt BAE:

 

 

 


rozpatrzmy trójkąt BDA:

 

 

 


Kąty BDA i CDB to kąty przyległe, 

obliczmy miarę kąta CDB:

 

 


rozpatrzmy trójkąt BDC:

 

 

 



 

Uzupełnij tabelę.
Lokata Oprocentowanie w procentach ( ) Ulokowana kwota ( )

Odsetki po roku

( )

Stan konta po roku

( )

I

  5000 zł    {premium}
II   5100 zł    
III   5150 zł    
IV   6000 zł    
V   4000 zł    
Rzucamy dwukrotnie sześcienną kostką...

Na pierwszej z kostek może wypaść jeden z wyników: 1, 2, 3, 4, 5, 6.   {premium}

Na drugiej z kostek może wypaść jeden z wyników: 1, 2, 3, 4, 5, 6.


Korzystając z reguły mnożenia obliczmy, ile jest możliwych wyników tego doświadczenia:

 


Odp.: Jest 36 wszystkich możliwych wyników tego doświadczenia.


Dwaj łucznicy stoją na...

Niech  będzie drogą, jaką pokonuje każda strzała, a  odległością celu od wyższej wieży. Wykonajmy uproszczony rysunek przedstawiający sytuację opisaną w zadaniu:

podglad pliku

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że:

 

Wówczas porównując powyższe równania otrzymujemy, że:{premium}

 

 

 

 

 

 

 

Odpowiedź: Cel znajduje się w odległości  od wyższej wieży.

Typowa karta do gry ma wysokość ...

Pojedynczy domek z dwóch kart tworzy trójkąt równoramienny o ramionach długości 9 cm (wysokość karty) i podstawie długości 6 cm (rozstaw kart). 

Wysokość opuszczona z wierzchołka znajdującego się między ramionami {premium} dzieli podstawę na dwie równe części (dzieli trójkąt równoramienny na dwa przystające trójkąty prostokątne). 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczamy jaka jest wysokość domku utworzonego z dwóch kart (ile wynosi h). 
 
 
 
 

Wysokość domku wynosi 6√2 cm. 
 

Wysokość domku wynosi więc około 8,46 cm. 

Wysokość każdej z warstw jest równa wysokości domku (każda warstwa składa się z pewnej ilości domków ułożonych obok siebie), czyli ma ona wysokość około 8,46 cm. 


Obliczamy ile warstw (x) należy ustawić, aby konstrukcja miała ponad 1 m = 100 cm wysokości. 
 
  

         

Aby konstrukcja miała wysokość większą niż 1 m należy ustawić przynajmniej 12 warstw domków z kart. 

Z każdą kolejną warstwą konstrukcja będzie coraz wyższa, ale aby jej wysokość wynosiła ponad 1 m potrzeba minimalnie 12 warstw. 


Odpowiedź: Należy ustawić 12 warstw domków z kart. 

W pewnym roku kwiecień rozpoczyna się w niedzielę. Czy prawdopodobieństwo...

Wiemy, że:

-w tym roku kwiecień rozpoczął się w niedzielę

-kwiecień ma 30 dni


Wypiszmy dni weekendu w kwietniu tego roku:

1; 7; 8; 14; {premium}15; 21; 22; 18; 29

Zdarzenie polega na tym, iż losujemy jeden dzień w kwietniu

Wszystkich możliwości wyników jest 30

Zdarzenie A polega na tym, iż losowo wybrany dzień nie przypadnie w weekend

wiemy, że w tym miesiącu było 9 dni przypadających w weekend

zatem dni nie przypadających w weekend czyli sprzyjających zdarzeniu A było:

30-9=21


Obliczmy prawdopodobieństwo zdarzenia A:

 


Odp.: Prawdopodobieństwo tego zdarzenia wynosi `7/10`.