Równania - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Równania - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Liczby spełniające równania

Litery w równaniu oznaczają liczby, których nie znamy, czyli niewiadome

Liczby odpowiadające tym niewiadomym nazywamy liczbami spełniającymi równanie lub pierwiastkami równania.

Przykłady

  • równanie  `x+6=10`  spełnia liczba `4`, gdyż  `4+6=10`, czyli `x=4` 

  • równanie  `2x+1=1`  spełnia liczba `0`, gdyż  `2*0+1=0+1=1`, czyli `x=1`     



Równania z jedną niewiadomą mogą:

  • nie mieć żadnego rozwiązania - równania sprzeczne;

  • mieć jedno rozwiązanie;

  • mieć nieskończenie wiele rozwiązań - równania tożsamościowe.  

Przykłady: 

  • równanie  `x+5=0`  ma jedno rozwiązanie, spełnia je liczba  `-5` , czyli  `x=-5`   

  • równanie  `x+2=x+1`  nie ma rozwiązania, nie spełnia go żadna liczba - równanie sprzeczne

  • równanie  `x+2=2+x`  ma nieskończenie wiele rozwiązań, spełnia go każda liczba  - równanie tożsamościowe



Zbiór liczb spełniających równanie to zbiór rozwiązań równania

Jeśli dwa równania mają taki sam zbiór rozwiązań, to są to równania równoważne

Przykład: 

  • równania  `x+2=5`  i  `x-3=0`  są równoważne, gdyż rozwiązaniem każdego z nich jest liczba 3 

Sposoby rozwiązywania równań

Aby obliczyć jaka liczba spełnia równanie należy je rozwiązać.

Najprostszą metodą rozwiązywania równań jest metoda równań równoważnych.

Polega ona na dodaniu/odjęciu tego samego wyrażenia od obu stron równania lub na pomnożeniu/podzieleniu przez tę samą liczbę (różną od zera) obu stron równania.

Przykłady:

  1. dodanie tego samego wyrażenia

    `x-10=14 \ \ \ \ \ \ \ \ |+10`   

    `x=24`    (dodaliśmy do obu stron równania liczbę 10)

  2. odjęcie tego samego wyrażenia

    `y+13=23 \ \ \ \ \ \ \ \ |-13` 

    `y=10`    (odjęliśmy od obu stron równania liczbę 13)

  3. pomnożenie przez tę samą liczbę

    `0,5x=7 \ \ \ \ \ \ \ \ |*2`  

    `x=14`     (pomnożyliśmy obie strony równania razy 2)

  4. podzielenie przez tę samą liczbę

    `3x=27 \ \ \ \ \ \ \ \ |:3`  

    `x=9`    (podzieliliśmy obie strony równania przez 3)

Przekształcanie wzorów

Przekształcanie wzorów służy do wyznaczenia określonej niewiadomej.

Przy przekształcaniu wzorów postępujemy tak samo jak przy rozwiązywaniu równań. Wykonujemy więc czynności takie jak dodawanie / odejmowanie od obu stron tego samego wyrażenia lub mnożenie / dzielenie obu stron przez to samo wyrażenie.

Przykłady:

  1. dodawanie / odejmowanie tego samego wyrażenia

    Ze wzoru  `z+p=k`  wyznaczamy zmienną  `z` 

    `z+p=k \ \ \ \ \ \ \ \ |-p`   

    `z=k-p` 

    Ze wzoru  `k-5=x`  wyznaczamy zmienną  `k`  

    `k-5=x \ \ \ \ \ \ \ \ |+5`  

    `k=x+5`  

  2. mnożenie / dzielenie przez to samo wyrażenie

    Ze wzoru  `m/z=y+l` , gdzie `z!=0`, wyznaczamy zmienną  `m`   
    `m/z=y+l \ \ \ \ \ \ \ \ |*z`  

    `m=(y+l)*z`  

    Ze wzoru  `dt=x+5`  wyznaczamy zmienną  `d`   

    `dt=x+5 \ \ \ \ \ \ \ \ |:t \ \ \ \ \ t!=0` 

    `d=(x+5)/t`     

 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Rozwiąż równanie:

  1. $ x+5=10 $
  2. $ 2x+3=15 $
  3. $ 5x+13=23 $
  1. $ x+5=10 $
    $ x=5 $
  2. $ 2x+3=15 $
    $ 2x=12 $
    $ x=6 $

  3. $ 5x+13=23 $
    $ 5x=10 $
    $ x=2 $

Zadanie 2.

Ułóż i rozwiąż odpowiednie równanie:
Liczba o 3 większa od x jest 3 razy większa od x.

$ x+3=3x $
$ 3=2x $
$ x=1,5 $

Zadanie 3.

Tata Zosi jest od niej 3 razy starszy, a Zosia jest od niego młodsza o 30 lat. Ile lat ma Zosia?

x -> wiek Zosi
$ x+30 $ lub $ 3x$ -> wiek taty Zosi
$ x+30=3x $
$ 2x=30 $
$ x=15 $
Odp.: Zosia ma 15 lat.

Zadanie 4.

Julek i Zosia są w sumie o 6 lat starsi od swojego brata Michała, ale każde z nich z osobna jest od niego młodsze: Julek o 7 lat, Zosia o 2 lata. Ile lat mają w sumie wszyscy troje?

$ x $ -> wiek Michała
$ x-7 $ -> wiek Julka
$ x-2 $ -> wiek Zosi
$ x-7+x-2=x+6 $
$ 2x-9=x+6 $
$ x=15 $ -> wszyscy: $ 15+8+13=36$
Odp.: Wszyscy troje mają razem 36 lat.

Zadanie 5.

Ile trzeba użyć soli, aby po zmieszaniu z 150 g wody otrzymać roztwór o stężeniu $ 6,25% $ ?

x -> potrzebna sól

$ x/{150+x}×100%=6,25% $

$ x={6,25}/{100} (150+x) $

$ x=9,375+0,0625x $

$ 0,9375x=9,375 $

$ x=10 g $
Odp.: Trzeba użyć 10 g soli, aby otrzymać 6,25% rozwór.

Zadanie 6.

Ustal, ile liczb naturalnych spełnia nierówność $ 2x < x+3$.

$ 2x < x+3 $
$ x<3 $ -> spełniają je liczby: 0,1,2
Odp.: Tą nierówność spełniają 3 liczby naturalne - 0,1,2.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Na osi liczbowej zaznaczono cztery liczby : 2√2, π,√19, π/2.

 

 

 

Na osi zaznaczono dwie liczby pomiędzy liczbami 2 i 4. Wiemy jednak że wartość liczby pi wynosi w przybliżeniu 3,14, więc jest to liczba:

 {premium}

 

Drugą liczbą pomiędzy liczbami 3 i 4 jest liczba B, stąd:

 

 

  

  

 

 

 

 

 

 

Czy wykonany z kartonu...

Kwadrat nie będzie widoczny spod koła jeżeli długość średnicy tego koła będzie większa lub równa przekątnej kwadratu. Przekątna kwadratu o boku  wynosi:

 {premium}

 

 

 

Ponieważ koło ma średnicę o długości , czyli mniejszą od przekątnej kwadratu, to nie przykryje ono w całości tego kwadratu.

 

Odpowiedź: Nie, ponieważ średnica koła jest mniejsza od przekątnej kwadratu.

Przerysuj do zeszytu figurę...

Rysunki możemy uzupełnić w  następujący sposób:  {premium}

a)
podglad pliku
b)

Thumb zad18bs140

Trójkąt równoboczny, kwadrat i ...

Oznaczmy: 

a - długość boku trójkąta równobocznego

b - długość boku kwadratu

c - długość boku sześciokąta foremnego

 

Obliczmy długość boku i pole trójkąta równobocznego. {premium}

 

 

 

 

 

 

Zauważmy, że:

  

 

Obliczmy długość boku i pole kwadratu.

 

 

 

 

 

Obliczmy długość boku i pole sześciokąta foremnego.

 

 

 

 

 

 

 

Zauważmy, że:

 

 

Odp. Pole trójkąta jest najmniejsza, a pole sześciokąta jest największe.

Na wykresie przedstawiono odległość w kilometrach przebytą...

Z wykresu możemy odczytać, że:


w ciągu minuty samochód przebywał mniej niż kilometr, zatem

pierwsze zdanie jest prawdziwe
{premium}

odległość 4 km samochód pokonał w czasie powyżej 5 minut, zatem

drugie zdanie jest fałszywe


między 3 a 6 minutą jazdy samochód przebył więcej niż 2 km 

trzecie zdanie jest prawdziwe


obliczmy prędkość średnią samochodu:

 

wiemy, że samochód przejechał 3 km w 4 minuty, zatem:

 

czwarte zdanie jest fałszywe






Dwutomowe wydanie Opowieści z Narnii C. S. Lewisa liczy...

 -liczba stron w tomie I

 -liczba stron w tomie II

Wiemy, że pierwszy tom ma o 138 stron mniej niż drugi, zatem:

musimy rozwiązać równanie:

 

zatem:
{premium}
   

 

 

 

 


Odp.: Pierwszy tom ma 471 stron, a drugi tom ma 609 stron.

Par liczb naturalnych, których suma ...

Wypiszmy wszystkie pary liczb naturalnych, których suma jest równa .{premium}

 

Jest  takich par.


Odpowiedź: A

 

Wykonaj i opisz konstrukcję kąta 135°.

{premium}

Współrzędne którego z punktów zaznaczonych ...

Odczytujemy najpierw ile wynoszą współrzędne punktu A. 

 

Obliczamy, czy współrzędne tego punktu spełniają podany warunek. {premium}

 

Współrzędne punktu A spełniają podany warunek. 


Odczytujemy najpierw ile wynoszą współrzędne punktu B. 

 

Obliczamy, czy współrzędne tego punktu spełniają podany warunek. 

 

Współrzędne punktu B nie spełniają podanego warunku. 


Odczytujemy najpierw ile wynoszą współrzędne punktu C. 

 

Obliczamy, czy współrzędne tego punktu spełniają podany warunek. 

 

Współrzędne punktu C nie spełniają podanego warunku. 



Odczytujemy najpierw ile wynoszą współrzędne punktu D. 

 

Obliczamy, czy współrzędne tego punktu spełniają podany warunek.

 

Współrzędne punktu D nie spełniają podanego warunku. 

 

Poprawna odpowiedź: A. A

Dany jest prostopadłościan...

Zaznaczmy na rysunku przekrój prostopadłościanu:{premium}

podglad pliku

Zauważmy, że odcinki BD o EF są do siebie równoległe `BD || EF` oraz długość odcinka BD jest większa od odcinka EF: `|BD| > |EF|.` 

Z tego wynika, że pole przekroju tego prostopadłościanu jest trapezem.

 

Odpowiedź:

`bb(B.)` trapezem.