Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Równania - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Liczby spełniające równania

Litery w równaniu oznaczają liczby, których nie znamy, czyli niewiadome

Liczby odpowiadające tym niewiadomym nazywamy liczbami spełniającymi równanie lub pierwiastkami równania.

Przykłady

  • równanie  `x+6=10`  spełnia liczba `4`, gdyż  `4+6=10`, czyli `x=4` 

  • równanie  `2x+1=1`  spełnia liczba `0`, gdyż  `2*0+1=0+1=1`, czyli `x=1`     



Równania z jedną niewiadomą mogą:

  • nie mieć żadnego rozwiązania - równania sprzeczne;

  • mieć jedno rozwiązanie;

  • mieć nieskończenie wiele rozwiązań - równania tożsamościowe.  

Przykłady: 

  • równanie  `x+5=0`  ma jedno rozwiązanie, spełnia je liczba  `-5` , czyli  `x=-5`   

  • równanie  `x+2=x+1`  nie ma rozwiązania, nie spełnia go żadna liczba - równanie sprzeczne

  • równanie  `x+2=2+x`  ma nieskończenie wiele rozwiązań, spełnia go każda liczba  - równanie tożsamościowe



Zbiór liczb spełniających równanie to zbiór rozwiązań równania

Jeśli dwa równania mają taki sam zbiór rozwiązań, to są to równania równoważne

Przykład: 

  • równania  `x+2=5`  i  `x-3=0`  są równoważne, gdyż rozwiązaniem każdego z nich jest liczba 3 

Sposoby rozwiązywania równań

Aby obliczyć jaka liczba spełnia równanie należy je rozwiązać.

Najprostszą metodą rozwiązywania równań jest metoda równań równoważnych.

Polega ona na dodaniu/odjęciu tego samego wyrażenia od obu stron równania lub na pomnożeniu/podzieleniu przez tę samą liczbę (różną od zera) obu stron równania.

Przykłady:

  1. dodanie tego samego wyrażenia

    `x-10=14 \ \ \ \ \ \ \ \ |+10`   

    `x=24`    (dodaliśmy do obu stron równania liczbę 10)

  2. odjęcie tego samego wyrażenia

    `y+13=23 \ \ \ \ \ \ \ \ |-13` 

    `y=10`    (odjęliśmy od obu stron równania liczbę 13)

  3. pomnożenie przez tę samą liczbę

    `0,5x=7 \ \ \ \ \ \ \ \ |*2`  

    `x=14`     (pomnożyliśmy obie strony równania razy 2)

  4. podzielenie przez tę samą liczbę

    `3x=27 \ \ \ \ \ \ \ \ |:3`  

    `x=9`    (podzieliliśmy obie strony równania przez 3)

Przekształcanie wzorów

Przekształcanie wzorów służy do wyznaczenia określonej niewiadomej.

Przy przekształcaniu wzorów postępujemy tak samo jak przy rozwiązywaniu równań. Wykonujemy więc czynności takie jak dodawanie / odejmowanie od obu stron tego samego wyrażenia lub mnożenie / dzielenie obu stron przez to samo wyrażenie.

Przykłady:

  1. dodawanie / odejmowanie tego samego wyrażenia

    Ze wzoru  `z+p=k`  wyznaczamy zmienną  `z` 

    `z+p=k \ \ \ \ \ \ \ \ |-p`   

    `z=k-p` 

    Ze wzoru  `k-5=x`  wyznaczamy zmienną  `k`  

    `k-5=x \ \ \ \ \ \ \ \ |+5`  

    `k=x+5`  

  2. mnożenie / dzielenie przez to samo wyrażenie

    Ze wzoru  `m/z=y+l` , gdzie `z!=0`, wyznaczamy zmienną  `m`   
    `m/z=y+l \ \ \ \ \ \ \ \ |*z`  

    `m=(y+l)*z`  

    Ze wzoru  `dt=x+5`  wyznaczamy zmienną  `d`   

    `dt=x+5 \ \ \ \ \ \ \ \ |:t \ \ \ \ \ t!=0` 

    `d=(x+5)/t`     

 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Rozwiąż równanie:

  1. $$ x+5=10 $$
  2. $$ 2x+3=15 $$
  3. $$ 5x+13=23 $$
  1. $$ x+5=10 $$
    $$ x=5 $$
  2. $$ 2x+3=15 $$
    $$ 2x=12 $$
    $$ x=6 $$

  3. $$ 5x+13=23 $$
    $$ 5x=10 $$
    $$ x=2 $$

Zadanie 2.

Ułóż i rozwiąż odpowiednie równanie:
Liczba o 3 większa od x jest 3 razy większa od x.

$$ x+3=3x $$
$$ 3=2x $$
$$ x=1,5 $$

Zadanie 3.

Tata Zosi jest od niej 3 razy starszy, a Zosia jest od niego młodsza o 30 lat. Ile lat ma Zosia?

x -> wiek Zosi
$$ x+30 $$ lub $$ 3x$$ -> wiek taty Zosi
$$ x+30=3x $$
$$ 2x=30 $$
$$ x=15 $$
Odp.: Zosia ma 15 lat.

Zadanie 4.

Julek i Zosia są w sumie o 6 lat starsi od swojego brata Michała, ale każde z nich z osobna jest od niego młodsze: Julek o 7 lat, Zosia o 2 lata. Ile lat mają w sumie wszyscy troje?

$$ x $$ -> wiek Michała
$$ x-7 $$ -> wiek Julka
$$ x-2 $$ -> wiek Zosi
$$ x-7+x-2=x+6 $$
$$ 2x-9=x+6 $$
$$ x=15 $$ -> wszyscy: $$ 15+8+13=36$$
Odp.: Wszyscy troje mają razem 36 lat.

Zadanie 5.

Ile trzeba użyć soli, aby po zmieszaniu z 150 g wody otrzymać roztwór o stężeniu $$ 6,25% $$ ?

x -> potrzebna sól

$$ x/{150+x}×100%=6,25% $$

$$ x={6,25}/{100} (150+x) $$

$$ x=9,375+0,0625x $$

$$ 0,9375x=9,375 $$

$$ x=10 g $$
Odp.: Trzeba użyć 10 g soli, aby otrzymać 6,25% rozwór.

Zadanie 6.

Ustal, ile liczb naturalnych spełnia nierówność $$ 2x < x+3$$.

$$ 2x < x+3 $$
$$ x<3 $$ -> spełniają je liczby: 0,1,2
Odp.: Tą nierówność spełniają 3 liczby naturalne - 0,1,2.

Spis treści

Rozwiązane zadania
W którym miejscu należy ustawić piłkę

Symetralna to zbiór punktów równoodległych od końców odcinka. 

Należy więc skonstruować symetralne odcinków AB, BC, CA, punkt przecięcia symetralnych to miejsce, w którym należy ustawić piłkę. 

 

Staś miał w skarbonce...

Dane:

Liczba złotówek w skarbonce Stasia: `x` 

Liczba dwuzłotówek w skarbonce Stasia: `y =1/2 x` 

Liczba pięciozłotówek w Skarbonce Stasia: `z = 1/4 x` 

Liczba pięćdziesięciogroszówek w skarbonce Stasia: `v = 2/3  x` 

Kwota jaką w skarbonce miał Staś: `43\ zł` 

Szukane:

Liczba złotówek w skarbonce Stasia.

Rozwiązanie:

Sumę wszystkich pieniędzy w skarbonce przedstawimy równaniem:

`x*1\ zł + y*2\ zł + z*5\ zł + v*0,50\ zł = 43\ zł` 
{premium}

Obliczmy liczbę złotówek w skarbonce Stasia:

`x*1\ zł + y*2\ zł + z*5\ zł + v*0,50\ zł = 43\ zł` 

`x*1\ zł + 1/2x*2\ zł + 1/4x*5\ zł + 2/3x*0,50\ zł = 43\ zł`

`x*1\ zł + x*1\ zł + x*5/4\ zł + 2/3x*1/2\ zł = 43\ zł`

`x*1\ zł + x*1\ zł + x*5/4\ zł + x*2/6\ zł = 43\ zł`

`x*(1\ zł + 1\ zł + 5/4\ zł + 2/6\ zł) = 43\ zł`

`x*(12/12\ zł + 12/12\ zł + 15/12\ zł + 4/12\ zł) = 43\ zł`

`x*43/12\ zł = 43\ zł \ \ \ \ \ |*12`

`x*43\ zł = 43\ zł *12\ \ \ \ \ |:43\ zł`

`x = (strike(43\ zł) *12)/strike(43\ zł)`

`x = 12` 

Odp.: Staś w skarbonce miał 12 złotówek. 

Rozwiąż równanie...

`a)` 

`-5x+3 = 7x+8 \ \ \ \ \ |-7x -3`  

`-5x+3-7x - 3 = 7x+8-7x-3` 

`-ul(5x)+strike3-ul(7x) - strike3 = strike(7x)+ul(8)-strike(7x)-ul(3)` 

`-12x = 5 \ \ \ \ \ |:(-12)` 
{premium}

`x = 5/(-12)` 

`x = -5/12` 

 

`b)` 

`1/8(3x-3) = -(6-x) \ \ \ \ \ |*8` 

`8*1/8(3x-3) = -8*(6-x)` 

`strike8*1/strike8 (3x-3) = -8*6-8*(-x)` 

`3x-3 = -48 + 8x \ \ \ \ \ |-8x+3` 

`3x-3-8x+3 = -48+8x-8x+3` 

`ul(3x)-strike(3)-ul(8x)+strike(3) = ul(-48)+strike(8x)-strike(8x)+ul(3)` 

`-5x- = -45 \ \ \ \ |:(-5)` 

`x = (-45)/(-5)` 

`x = 9` 

 

`c)` 

`6(x+4) = -3 (-2 x - 5)` 

`6*x+6*4 = -3* (-2 x) -3*(- 5)` 

`6x+24=6x +15 \ \ \ \ |-6x` 

`24=15` 

RÓWNANIE JEST SPRZECZNE!

 

`d)` 

`1/5(6x-2) + 3(1/2 x - 1/6) = 2,52 x` 

`1/5*6x + 1/5*(-2) + 3*1/2x + 3*(-1/6) = 2,52  x` 

`6/5 x - 2/5 + 3/2 x - 3/6 = 2,52 x` 

`ul(1,2 x) -ul(ul(0,4))+ul(1,5x)-ul(ul(0,5)) = 2,52 x` 

`2,7 x-0,9 = 2,52 x \ \ \ \ |-2,52 x+0,9` 

`2,7x - 0,9 - 2,52x + 0,9 = 2,52x - 2,52 x + 0,9` 

`ul(2,7x) -strike( 0,9) - ul(2,52x) + strike(0,9) = strike(2,52x) - strikie(2,52 x) + 0,9` 

`0,18 x = 0,9 \ \ \ \ \ |:0,18` 

`x = (0,9)/(0,18)` 

`x = 90/18` 

`x = 5` 

 

`e)` 

`1/3 (5x+2) - 2 (1/2 x + 1/3) = 2/3 x` 

`1/3*5x + 1/3*2 - 2*1/2x - 2*1/3 = 2/3 x` 

`5/3 x +ul( 2/3) - x - ul(2/3) = 2/3 x` 

`5/3 x - 3/3x  = 2/3 x` 

`2/3x = 2/3 x` 

RÓWNANIE JEST TOŻSAMOŚCIOWE!

Każda liczb jest rozwiązaniem tego równania.

 

`f)` 

`-2/5 (3-2x) = 0,1(4x+1)` 

`-2/5 *3 - 2/5* (-2x) = 0,1* 4x+0,1*1` 

`-6/5 + 4/5 x = 0,4 x + 0,1 \ \ \ \ \ |*10` 

`-6/strike5*strike(10)^2 + 4/strike5 x*strike(10)^2 = 0,4 x*10 + 0,1*10` 

`-12 + 8 x = 4 x + 1 \ \ \ \ \ \ |-4x+12` 

`-strike(12) + ul(8 x) - ul(4x)+strike(12) = strike(4 x) + ul(1) - strike(4x) + ul(12)` 

`4x = 13 \ \ \ \ \ |:4` 

`x = 13/4` 

`x= 3  1/4` 

 

`g)` 

`0,4 (2x-8) + 4/7(14-3x)=-1,6` 

`0,4 *2x-0,4*8 + 4/7* 14-4/7*3x=-1,6` 

`0,8x - 3,2 + 8 - 12/7*x=-1,6 \ \ \ \ \ |*7` 

`0,8x *7- 3,2*7 + 8*7 - 12/7*x*7=-1,6*7` 

`ul(5,6x) - ul(ul(22,4)) + ul(ul(56)) - ul(12x)=-11,2` 

`- 6,4 x +33,6 = -11,2 \ \ \ \ \ |-33,6` 

`- 6,4 x = -44,8 \ \ \ \ \ |:(-6,4)` 

`x = (-44,8)/(-6,4)` 

`x = 7` 

 

`h)` 

`0,3 (12 + 3x) - 8/9 (1+5x) = -5/6 \ \ \ \ \ |*18` 

`0,3(12+3x)*18 - 8/9(1+5x)*18 = -5/6*18` 

`0,3(12+3x)*18 - 8/strike9 (1+5x)*strike(18)^2 = -5/strike6*strike(18)^3` 

`5,4 (12+3x) - 8 (1+5x)*2 = -5*3` 

`5,4(12+3x) - 16(1+5x) = -15` 

`5,4*12 + 5,4*3x -16 - 16*5x = -15` 

`ul(ul(64,8)) + ul(16,2 x) - ul(ul(16)) - ul(80x) = -15` 

`-63,8 x +48,8=-15\ \ \ \ \ \ |-48,8` 

`-63,8x=-63,8 \ \ \ \ \ |:(-63,8)` 

`x = 1` 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa ...

Rysunek pomocniczy:

 

a)

`w^2=t^2+y^2`

`t^2=z^2-(x-y)^2\ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ \ t^2=w^2-y^2`

`z^2=t^2+(x-y)^2`

{premium}

 

b)

`r^2=h^2+(w-l)^2`

`h^2=r^2-(w-l)^2`

`p^2=h^2+(l-a)^2`

 

c)

`a^2=d^2+c^2`

`d^2=a^2-c^2`

`b^2=(e-d)^2+c^2`

 

d)

`s^2=d^2+(2r)^2`

`t^2=r^2-(d/2)^2`

`c^2=r^2-t^2`

 

Narysuj wskazany wielokąt tak, aby zaznaczony ...

a) Pole równoległoboku obliczamy ze wzoru:

`P=a*h`  

gdzie a to długość podstawy, a h to długość wysokości poprowadzonej na podstawę a. 

{premium}

Wysokość ma długość 3, więc podstawa musi mieć długość 6. 

 

b) Pole trapezu obliczamy ze wzoru:

`P=((a+b)*h)/2`  

gdzie a, b - długości podstaw, h - długość wysokości trapezu.

Wysokość ma długość 4, a pole ma być równe 18.

Podstawmy dane do wzoru:

`18=((a+b)*strike4^2)/strike2^1` 

`18=(a+b)*2\ \ \ \ \ \ \ \ \  \  |:2` 

`a+b=9`    

Tak dobieramy długości podstaw, aby ich suma wynosiła 9, na przykład a=6, b=3. 

Uzupełnij wyciągi bankowe na podstawie podanych informacji...

`"a)"` Pan Makary Piński

Stan konta w dniu `1.09.1999:` `5000\ "zł"`    

Odsetki: `11%*5000\ "zł"=11/100*5000\ "zł"=11*50\ "zł"=550\ "zł"` 

Stan konta w dniu `1.09.2000:\ 5000\ "zł"+550\ "zł"=5550\ "zł"` 

 

Pan Makary Piński

Stan konta w dniu `1.09.2000:` `5550\ "zł"`    

Odsetki: `11%*5550\ "zł"=0,11*5550\ "zł"=610,50\ "zł"` 

Stan konta w dniu `1.09.2001:\ 5550\ "zł"+610,50\ "zł"=6160,50\ "zł"` 

{premium}

 

`"b)"` Pani Dobrosława Wolska

Stan konta w dniu `4.02.2012:\ 20\ 000\ "zł"`  

Odsetki: `6%*20\ 000\ "zł"=6/100*20\ 000\ "zł"=6*200\ "zł"=1200\ "zł"` 

Stan konta w dniu `4.02.2013:\ 20\ 000\ "zł"+1200\ "zł"=21\ 200\ "zł"`  

 

Pani Dobrosława Wolska

Stan konta w dniu `4.02.2013:\ 21\ 200\ "zł"`  

Odsetki: `6%*20\ 000\ "zł"=6/100*20\ 000\ "zł"=6*200\ "zł"=1200\ "zł"` 

Stan konta w dniu `4.02.2014:\ 21\ 200\ "zł"+1200\ "zł"=22\ 400\ "zł"` 

 

`"c)"` Pani Julia Cewicz

Stan konta w dniu `15.08.2014:\ 10\ 000\ "zł"`  

Odsetki: `5%*10\ 000\ "zł"=5/100*10\ 000\ "zł"=5*100\ "zł"=500\ "zł"` 

Stan konta w dniu `15.08.2015:\ 10\ 000\ "zł"+500\ "zł"=10\ 500\ "zł"`  

 

Pani Julia Cewicz

Stan konta w dniu `15.08.2015:\ 10\ 500\ "zł"`  

Odsetki: `3%*10\ 500\ "zł"=3/100*10\ 500\ "zł"=3*105\ "zł"=315\ "zł"` 

Stan konta w dniu `15.08.2016:\ 10\ 500\ "zł"+315\ "zł"=10\ 815\ "zł"`

 

 

 

 

   

Oblicz obwody narysowanych wielokątów.

Odcinki AD i BC mają taką samą długość. 
`|AD|^2=2^2+5^2=4+25=29` 
`|AD|=sqrt{29}` 

{premium}

Odcinki AB i DC mają taką samą długość równą 5.


Obwód to suma długość wszystkich boków wielokąta.
`Obw.=5+5+sqrt{29}+sqrt{29}=10+2sqrt{29}`   
`ul(ul( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 


Odcinek AD ma długość 5. 
Odcinek BC ma długość 3. 
Odcinki AB i CD mają taką samą długość. 
`|AB|^2=1^2+4^2=1+16=17`  
`|AB|=sqrt{17}` 


Obwód:
`Obw.=5+3+sqrt{17}+sqrt{17}=8+2sqrt{17}` 
`ul(ul( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

Figura przedstawiona na rysunku to romb. Każdy bok tej figury ma więc taką samą długość.  
`|AB|^2=3^2+2^2=9+4=13` 
`|AB|=sqrt{13}` 


Obwód tej figury wynosi:
`Obw.=4*sqrt{13}=4sqrt{13}` 

Które z kart mają środek symetrii?

Przyprostokątne trójkąta prostokątnego

Oznaczmy boki tego prostokąta jako a, b i c. Możemy wtedy zapisać równość:

`a+b+c=3(4+sqrt10)` 

`a+b+c=12+3sqrt10` 

Przyprostokątne a i b to liczby naturalne, stąd można przypuszczać że ich suma a+b stanowi naturalny składnik zapisanej po prawej stronie równania sumy, czyli 12, a przeciwprostokątna ma długość 3√10.

`#overbrace(a+b)^12+#overbracec^(3sqrt10)=12+3sqrt10` 

{premium}

`a+b=12`  

`c=3sqrt10`  

Musimy odgadnąć, na jakie składniki należy rozłożyć sumę 12, aby zachodziła równość:

`a^2+b^2=c^2` 

`a^2+b^2=(3sqrt10)^2` 

`a^2+b^2=90` 

`a+b=12=11+1=10+2=9+3=8+4=7+3=...` 

`1^2+11^2 \ =1+121!=90`  

`2^2+10^2=4+100!=90` 

`3^2+9^2=9+81=90` 

Tym samym wiadomo, że:

`a=3 \ \ \ b=9` 

 

 

Rozwiąż równania.

`a")" \ 2-5(3x-4)=5(6+x)` 
`\ \ \ 2-15x+20=30+5x` 
`\ \ \ -15x+22=30+5x \ \ \ |-5x` 
`\ \ \ -20x+22=30 \ \ \ |-22` 
`\ \ \ -20x=8 \ \ \ |:(-20)` 
`\ \ \ x=-8/20= -2/5`

{premium}

`b")" \ x+x/2-1=2x-x/2+1 \ "/"*2` 
`\ \ \ 2x+x-2=4x-x+2` 
`\ \ \ \3x-2=3x+2 \ \ \ |-3x` 
`\ \ \ -2=2` 

`"Układ równań nie ma rozwiązania."` 

`c")" \ (2x-3)/5=x/3` 
`\ \ \ 3(2x-3)=5x` 
`\ \ \ 6x-9=5x` 
`\ \ \ 6x-5x=9` 
`\ \ \ x=9` 

`d")" \ (x+2)(x-1)=x(x+5)`

 `\ \ \ x^2-x+2x-2=x^2+5x \ \ \ |-x^2`  
`\ \ \ x-2=5x \ \ \ |-5x`

 `\ \ \ -4x-2=0 \ \ \ |+2`

 `\ \ \ -4x=2 \ \ \ |:(-4)` 
`\ \ \ x=-2/4``\ \ \ x=-1/2` 

`e")" 1/x=5/(2x+1)` 

`\ \ \ 1*(2x+1)=5*x` 

`\ \ \ 2x+1=5x \ \ \ |-1`    
`\ \ \ 2x=5x-1 \ \ \ |-5x` 

`\ \ \ -3x=-1 \ \ \ |:(-3)` 

`\ \ \ x=1/3`

 `f")" (-x)/(2x-4)=(3x)/(1-6x)` 
`\ \ \ (-x)*(1-6x)=3x*(2x-4)` 
`-x+6x^2=6x^2-12x \ \ \ |-6x^2`