Równania - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Równania - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Liczby spełniające równania

Litery w równaniu oznaczają liczby, których nie znamy, czyli niewiadome

Liczby odpowiadające tym niewiadomym nazywamy liczbami spełniającymi równanie lub pierwiastkami równania.

Przykłady

  • równanie  `x+6=10`  spełnia liczba `4`, gdyż  `4+6=10`, czyli `x=4` 

  • równanie  `2x+1=1`  spełnia liczba `0`, gdyż  `2*0+1=0+1=1`, czyli `x=1`     



Równania z jedną niewiadomą mogą:

  • nie mieć żadnego rozwiązania - równania sprzeczne;

  • mieć jedno rozwiązanie;

  • mieć nieskończenie wiele rozwiązań - równania tożsamościowe.  

Przykłady: 

  • równanie  `x+5=0`  ma jedno rozwiązanie, spełnia je liczba  `-5` , czyli  `x=-5`   

  • równanie  `x+2=x+1`  nie ma rozwiązania, nie spełnia go żadna liczba - równanie sprzeczne

  • równanie  `x+2=2+x`  ma nieskończenie wiele rozwiązań, spełnia go każda liczba  - równanie tożsamościowe



Zbiór liczb spełniających równanie to zbiór rozwiązań równania

Jeśli dwa równania mają taki sam zbiór rozwiązań, to są to równania równoważne

Przykład: 

  • równania  `x+2=5`  i  `x-3=0`  są równoważne, gdyż rozwiązaniem każdego z nich jest liczba 3 

Sposoby rozwiązywania równań

Aby obliczyć jaka liczba spełnia równanie należy je rozwiązać.

Najprostszą metodą rozwiązywania równań jest metoda równań równoważnych.

Polega ona na dodaniu/odjęciu tego samego wyrażenia od obu stron równania lub na pomnożeniu/podzieleniu przez tę samą liczbę (różną od zera) obu stron równania.

Przykłady:

  1. dodanie tego samego wyrażenia

    `x-10=14 \ \ \ \ \ \ \ \ |+10`   

    `x=24`    (dodaliśmy do obu stron równania liczbę 10)

  2. odjęcie tego samego wyrażenia

    `y+13=23 \ \ \ \ \ \ \ \ |-13` 

    `y=10`    (odjęliśmy od obu stron równania liczbę 13)

  3. pomnożenie przez tę samą liczbę

    `0,5x=7 \ \ \ \ \ \ \ \ |*2`  

    `x=14`     (pomnożyliśmy obie strony równania razy 2)

  4. podzielenie przez tę samą liczbę

    `3x=27 \ \ \ \ \ \ \ \ |:3`  

    `x=9`    (podzieliliśmy obie strony równania przez 3)

Przekształcanie wzorów

Przekształcanie wzorów służy do wyznaczenia określonej niewiadomej.

Przy przekształcaniu wzorów postępujemy tak samo jak przy rozwiązywaniu równań. Wykonujemy więc czynności takie jak dodawanie / odejmowanie od obu stron tego samego wyrażenia lub mnożenie / dzielenie obu stron przez to samo wyrażenie.

Przykłady:

  1. dodawanie / odejmowanie tego samego wyrażenia

    Ze wzoru  `z+p=k`  wyznaczamy zmienną  `z` 

    `z+p=k \ \ \ \ \ \ \ \ |-p`   

    `z=k-p` 

    Ze wzoru  `k-5=x`  wyznaczamy zmienną  `k`  

    `k-5=x \ \ \ \ \ \ \ \ |+5`  

    `k=x+5`  

  2. mnożenie / dzielenie przez to samo wyrażenie

    Ze wzoru  `m/z=y+l` , gdzie `z!=0`, wyznaczamy zmienną  `m`   
    `m/z=y+l \ \ \ \ \ \ \ \ |*z`  

    `m=(y+l)*z`  

    Ze wzoru  `dt=x+5`  wyznaczamy zmienną  `d`   

    `dt=x+5 \ \ \ \ \ \ \ \ |:t \ \ \ \ \ t!=0` 

    `d=(x+5)/t`     

 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Rozwiąż równanie:

  1. $ x+5=10 $
  2. $ 2x+3=15 $
  3. $ 5x+13=23 $
  1. $ x+5=10 $
    $ x=5 $
  2. $ 2x+3=15 $
    $ 2x=12 $
    $ x=6 $

  3. $ 5x+13=23 $
    $ 5x=10 $
    $ x=2 $

Zadanie 2.

Ułóż i rozwiąż odpowiednie równanie:
Liczba o 3 większa od x jest 3 razy większa od x.

$ x+3=3x $
$ 3=2x $
$ x=1,5 $

Zadanie 3.

Tata Zosi jest od niej 3 razy starszy, a Zosia jest od niego młodsza o 30 lat. Ile lat ma Zosia?

x -> wiek Zosi
$ x+30 $ lub $ 3x$ -> wiek taty Zosi
$ x+30=3x $
$ 2x=30 $
$ x=15 $
Odp.: Zosia ma 15 lat.

Zadanie 4.

Julek i Zosia są w sumie o 6 lat starsi od swojego brata Michała, ale każde z nich z osobna jest od niego młodsze: Julek o 7 lat, Zosia o 2 lata. Ile lat mają w sumie wszyscy troje?

$ x $ -> wiek Michała
$ x-7 $ -> wiek Julka
$ x-2 $ -> wiek Zosi
$ x-7+x-2=x+6 $
$ 2x-9=x+6 $
$ x=15 $ -> wszyscy: $ 15+8+13=36$
Odp.: Wszyscy troje mają razem 36 lat.

Zadanie 5.

Ile trzeba użyć soli, aby po zmieszaniu z 150 g wody otrzymać roztwór o stężeniu $ 6,25% $ ?

x -> potrzebna sól

$ x/{150+x}×100%=6,25% $

$ x={6,25}/{100} (150+x) $

$ x=9,375+0,0625x $

$ 0,9375x=9,375 $

$ x=10 g $
Odp.: Trzeba użyć 10 g soli, aby otrzymać 6,25% rozwór.

Zadanie 6.

Ustal, ile liczb naturalnych spełnia nierówność $ 2x < x+3$.

$ 2x < x+3 $
$ x<3 $ -> spełniają je liczby: 0,1,2
Odp.: Tą nierówność spełniają 3 liczby naturalne - 0,1,2.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Punkt S jest środkiem okręgu opisanego ...

a)

Thumb str. 59   4a

Przekątne w kwadracie przecinają się pod kątem prostym.

Kąt między przekątną a bokiem kwadratu ma miarę: .

Kąt zewnętrzny między bokami kwadratu równy jest: .{premium}


b)

Thumb str. 59   4b

Suma miar kątów wewnętrznych w pięciokącie foremnym wynosi , więc kąt wewnętrzny ma miarę .

Kąt zewnętrzny jest zatem równy: .

Miara kąta przy wierzchołku wynosi: .

Trójkąt, którego jednym wierzchołkiem jest punkt  jest równoramienny, zatem drugi z kątów jest równy: .

Trójkąt, którego dwoma bokami są boki pięciokąta również jest równoramienny. Wiemy, że jego kąt rozwarty mia miarę , zatem kąt ostry jest równy: .


c)

Thumb str. 59   4c

Suma miar kątów wewnętrznych w sześciokącie foremnym wynosi , więc kąt wewnętrzny ma miarę .

Kąt zewnętrzny jest zatem równy: .

Sześciokąt foremny zbudowany jest z sześciu przystających trójkątów równobocznych, których kąty są równe

Kąt oparty na średnicy okręgu jest kątem prostym.

Zegar wskazówkowy spóźnia się ...

W ciągu doby zegar spóźnia się  godziny - PRAWDA

Doba ma  godziny, zatem zegar w tym czasie spóźnia się o  sekundy.

Obliczamy, ile {premium}sekund ma  godzina, czyli  minut wiedząc, że  minuta ma  sekund.

 

Po skróceniu przez  ułamka  otrzymujemy ułamek .


Jeżeli wiadomo, że zegar nastawiono punktualnie we wtorek w południe, to o północy z czwartku na piątek spóźni się o minutę - PRAWDA

Obliczamy, ile godzin minęło od godziny  we wtorek do północy z czwartku na piątek.

 

 

W ciągu  zegar spóźni się o  sekund, czyli o  minutę.


Zegar wskazuje godzinę . Przy założeniu, że będzie on chodził przez cały czas, za  godzin wskaże  - FAŁSZ

Gdyby zegar się nie spóźniał, to za  godzin () wskazałby godzinę , ponieważ

 

Wiemy już, że na każde  godzin zegar spóźnia się o  minutę, zatem po  godzinach wskaże on godzinę .

 

Wskaż, którą z poniższych czterech liczb ...

Ostatnią cyfrą liczb podzielnych przez  jest cyfra  lub .

Zauważmy, że {premium}po zsumowaniu liczb ,  i  otrzymamy liczbę, której ostatnią cyfrą będzie cyfra , ponieważ

Należy zatem pominąć liczbę .


Odpowiedź: B

Oblicz pole trapezu...

Trapez jest równoramienny. Wiemy, że:

 

 

 

Wykonajmy rysunek:

podglad pliku

Zauważmy, że:

 

Z tego wynika, że:{premium}

 

 

 

Z twierdzenie Pitagorasa otrzymujemy, że:

 

 

 

 

 

Wówczas pole trapezu wynosi:

 

 

 

 

 

Odpowiedź: Pole trapezu równoramiennego wynosi .

Skorzystaj z wymiarów basenu podanych na rysunku i oblicz

 

 

{premium}

  

 

 

 

 

 

 

 

Trzeba doliczyć jeszcze 10% na ubytki i zapas:

 

 

 

 

Odp. Trzeba kupić 143 metry kwadratowe kafelków.


 

 

Podzieliliśmy bryłę na dwa graniastosłupy.

Pierwszy z nich to graniastosłup o podstawie w kształcie trapezu prostokątnego i wysokości 10 m.

Drugi to graniastosłup o podstawie w kształcie prostokąta i wysokości 1,4 m.

Liczymy objętości obu graniastosłupów, następnie dodamy je do siebie. 

 

 

 

 

 

 

 

   

 

Odp. Aby wypełnić basen po brzegi, należy wlać 430 000 litrów wody.

Liczba sqrt(49)-sqrt(25)+sqrt(16) jest równa ...

Odpowiedź D, ponieważ{premium}

.

Wskaż odcinek symetryczny do odcinka AB ...

 

Odcinek symetryczny do odcinka  to odcinek .{premium}


 

Odcinek symetryczny do odcinka  to odcinek .


 

Odcinek symetryczny do odcinka  to odcinek .

Uzasadnij, że liczby...

Sprawdźmy, czy różnica tych liczb jest liczbą mniejszą niż 1. {premium}

Zauważmy, że   

 

Zauważmy, że:

 

Co należało uzasadnić.

Gdy wiatr wieje z prędkością ...

v=16 m/s

W miejsce v w podanym wzorze wstawiamy 16 i obliczamy wartość t. {premium}

 

Temperatura odczuwalna wynosi -18oC. 


Poprawna odpowiedź
: B. -18oC

a) Krzyś ma dwadzieścia różnych par ...

a)

Krzyś pierwszą skarpetę może wybrać na  sposobów i do każdej tak wybranej skarpety może dobrać drugą spośród pozostałych  skarpet.

Liczba wszystkich możliwości:

 

Obliczamy prawdopodobieństwo tego, że Krzyś założył skarpety z jednej pary. Krzyś pierwszą skarpetę może wybrać na  sposobów i do każdej tak wybranej skarpety może dobrać tylko jedną, która jest z tej samej pary.

Liczba możliwości:

 


Prawdopodobieństwo:

 {premium}


b)

Wiktoria rękawiczkę na rękę lewą może wybrać na  sposobów i do każdej tak wybranej rękawiczki może dobrać drugą spośród  rękawiczek na rękę prawą.

Liczba wszystkich możliwości:

 

Obliczamy prawdopodobieństwo tego, że Wiktoria założy rękawiczki z jednej pary. Wiktoria rękawiczkę na rękę lewą może wybrać na  sposobów i do każdej tak wybranej rękawiczki może dobrać tylko jedną rękawiczkę na rękę prawą, która jest z tej samej pary.

Liczba możliwości:

 

Prawdopodobieństwo:

 


c)

Klaudia szalik na pierwszy dzień może wybrać na  sposobów, na drugi dzień również.

Liczba wszystkich możliwości:

 

Obliczamy prawdopodobieństwo tego, że Klaudia przez dwa dni będzie nosiła ten sam szalik. Klaudia szalik na pierwszy dzień może wybrać na  sposobów, a na drugi dzień może wybrać tylko ten szalik, co poprzedniego dnia.

Liczba możliwości:

 

Prawdopodobieństwo: