Równania - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Liczby spełniające równania

Litery w równaniu oznaczają liczby, których nie znamy, czyli niewiadome

Liczby odpowiadające tym niewiadomym nazywamy liczbami spełniającymi równanie lub pierwiastkami równania.

Przykłady

  • równanie  `x+6=10`  spełnia liczba `4`, gdyż  `4+6=10`, czyli `x=4` 

  • równanie  `2x+1=1`  spełnia liczba `0`, gdyż  `2*0+1=0+1=1`, czyli `x=1`     



Równania z jedną niewiadomą mogą:

  • nie mieć żadnego rozwiązania - równania sprzeczne;

  • mieć jedno rozwiązanie;

  • mieć nieskończenie wiele rozwiązań - równania tożsamościowe.  

Przykłady: 

  • równanie  `x+5=0`  ma jedno rozwiązanie, spełnia je liczba  `-5` , czyli  `x=-5`   

  • równanie  `x+2=x+1`  nie ma rozwiązania, nie spełnia go żadna liczba - równanie sprzeczne

  • równanie  `x+2=2+x`  ma nieskończenie wiele rozwiązań, spełnia go każda liczba  - równanie tożsamościowe



Zbiór liczb spełniających równanie to zbiór rozwiązań równania

Jeśli dwa równania mają taki sam zbiór rozwiązań, to są to równania równoważne

Przykład: 

  • równania  `x+2=5`  i  `x-3=0`  są równoważne, gdyż rozwiązaniem każdego z nich jest liczba 3 

Sposoby rozwiązywania równań

Aby obliczyć jaka liczba spełnia równanie należy je rozwiązać.

Najprostszą metodą rozwiązywania równań jest metoda równań równoważnych.

Polega ona na dodaniu/odjęciu tego samego wyrażenia od obu stron równania lub na pomnożeniu/podzieleniu przez tę samą liczbę (różną od zera) obu stron równania.

Przykłady:

  1. dodanie tego samego wyrażenia

    `x-10=14 \ \ \ \ \ \ \ \ |+10`   

    `x=24`    (dodaliśmy do obu stron równania liczbę 10)

  2. odjęcie tego samego wyrażenia

    `y+13=23 \ \ \ \ \ \ \ \ |-13` 

    `y=10`    (odjęliśmy od obu stron równania liczbę 13)

  3. pomnożenie przez tę samą liczbę

    `0,5x=7 \ \ \ \ \ \ \ \ |*2`  

    `x=14`     (pomnożyliśmy obie strony równania razy 2)

  4. podzielenie przez tę samą liczbę

    `3x=27 \ \ \ \ \ \ \ \ |:3`  

    `x=9`    (podzieliliśmy obie strony równania przez 3)

Przekształcanie wzorów

Przekształcanie wzorów służy do wyznaczenia określonej niewiadomej.

Przy przekształcaniu wzorów postępujemy tak samo jak przy rozwiązywaniu równań. Wykonujemy więc czynności takie jak dodawanie / odejmowanie od obu stron tego samego wyrażenia lub mnożenie / dzielenie obu stron przez to samo wyrażenie.

Przykłady:

  1. dodawanie / odejmowanie tego samego wyrażenia

    Ze wzoru  `z+p=k`  wyznaczamy zmienną  `z` 

    `z+p=k \ \ \ \ \ \ \ \ |-p`   

    `z=k-p` 

    Ze wzoru  `k-5=x`  wyznaczamy zmienną  `k`  

    `k-5=x \ \ \ \ \ \ \ \ |+5`  

    `k=x+5`  

  2. mnożenie / dzielenie przez to samo wyrażenie

    Ze wzoru  `m/z=y+l` , gdzie `z!=0`, wyznaczamy zmienną  `m`   
    `m/z=y+l \ \ \ \ \ \ \ \ |*z`  

    `m=(y+l)*z`  

    Ze wzoru  `dt=x+5`  wyznaczamy zmienną  `d`   

    `dt=x+5 \ \ \ \ \ \ \ \ |:t \ \ \ \ \ t!=0` 

    `d=(x+5)/t`     

 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Rozwiąż równanie:

  1. $$ x+5=10 $$
  2. $$ 2x+3=15 $$
  3. $$ 5x+13=23 $$
  1. $$ x+5=10 $$
    $$ x=5 $$
  2. $$ 2x+3=15 $$
    $$ 2x=12 $$
    $$ x=6 $$

  3. $$ 5x+13=23 $$
    $$ 5x=10 $$
    $$ x=2 $$

Zadanie 2.

Ułóż i rozwiąż odpowiednie równanie:
Liczba o 3 większa od x jest 3 razy większa od x.

$$ x+3=3x $$
$$ 3=2x $$
$$ x=1,5 $$

Zadanie 3.

Tata Zosi jest od niej 3 razy starszy, a Zosia jest od niego młodsza o 30 lat. Ile lat ma Zosia?

x -> wiek Zosi
$$ x+30 $$ lub $$ 3x$$ -> wiek taty Zosi
$$ x+30=3x $$
$$ 2x=30 $$
$$ x=15 $$
Odp.: Zosia ma 15 lat.

Zadanie 4.

Julek i Zosia są w sumie o 6 lat starsi od swojego brata Michała, ale każde z nich z osobna jest od niego młodsze: Julek o 7 lat, Zosia o 2 lata. Ile lat mają w sumie wszyscy troje?

$$ x $$ -> wiek Michała
$$ x-7 $$ -> wiek Julka
$$ x-2 $$ -> wiek Zosi
$$ x-7+x-2=x+6 $$
$$ 2x-9=x+6 $$
$$ x=15 $$ -> wszyscy: $$ 15+8+13=36$$
Odp.: Wszyscy troje mają razem 36 lat.

Zadanie 5.

Ile trzeba użyć soli, aby po zmieszaniu z 150 g wody otrzymać roztwór o stężeniu $$ 6,25% $$ ?

x -> potrzebna sól

$$ x/{150+x}×100%=6,25% $$

$$ x={6,25}/{100} (150+x) $$

$$ x=9,375+0,0625x $$

$$ 0,9375x=9,375 $$

$$ x=10 g $$
Odp.: Trzeba użyć 10 g soli, aby otrzymać 6,25% rozwór.

Zadanie 6.

Ustal, ile liczb naturalnych spełnia nierówność $$ 2x < x+3$$.

$$ 2x < x+3 $$
$$ x<3 $$ -> spełniają je liczby: 0,1,2
Odp.: Tą nierówność spełniają 3 liczby naturalne - 0,1,2.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa ...

 

 {premium}

 

Ostrosłup prawidłowy sześciokątny ma sześć ścian bocznych, stąd jedna ściana boczna ma pole:

 

 

Odp. Pole ściany bocznej tego ostrosłupa wynosi 9.

Podczas siatkarskiego obozu sportowego ...

Liczbę pokoi czteroosobowych zajętych przez dziewczęta oznaczmy przez .

Zatem dziewczęta zajęły  czteroosobowych pokoi.

Gdyby pokoje były trzyosobowe, to {premium}liczba zajętych pokoi wyniosłaby , ponieważ dziewczęta zajęłyby o  pokoi więcej.

Zatem dziewczęta zajęłyby  pokoi trzyosobowych.


Możemy ułożyć następujące równanie.

 

Wyznaczamy  z powyższego równania, aby dowiedzieć się, ile pokoi czteroosobowych zostało zajętych.

 

 

 


Wiemy, że dziewczęta zajęły  czteroosobowych pokoi.

Obliczamy, ile dziewcząt pojechało na obóz.

 

Wysokości trójkąta równobocznego ABC ...

Rysujemy trójkąt równoboczny ABC. Zaznaczamy jego wysokości. 

Punkt przecięcia tych wysokości oznaczamy literą P. 


Przyjmijmy oznaczenia jak na poniższym rysunku. {premium}

podglad pliku

Punkt P dzieli każdą z wysokości trójkąta równobocznego w stosunku 2:1 (patrząc od wierzchołka). 

Mamy więc: 

 


Zapisujemy pole trójkąta ABP oraz pole trójkąta ABC. 

 

 


Obliczamy ile razy pole trójkąta ABP jest mniejsze od pola trójkąta ABC. 

 

Pokazaliśmy, że pole trójkąta ABP jest 3 razy mniejsze od pola trójkąta ABC. 

Pierwsze wydanie pewnej gazety miało ...

Początkowo nakład wynosił 3000 egzemplarzy. 

Po roku wzrósł on o 135%. 


Obliczamy ile wynosił nakład po roku. {premium}

 

Po roku nakład wynosił 7050 egzemplarzy. 


Poprawna odpowiedź: C. 7050 egz. 

Narysuj cztery dowolne bryły obrotowe ...

a)

podglad pliku podglad pliku {premium}podglad pliku podglad pliku


b)

podglad pliku podglad pliku podglad pliku podglad pliku

W trójkącie prostokątnym PQR ...

{premium}

Twierdzenie Pitagorasa dla trójkąta PQR to:
 

Przekształcamy to równanie tak, aby móc obliczyć długość boku RP. 
 
  

Podstawiając długości odpowiednich boków mamy:
 

Zatem:
 


Odpowiedź:
Bok RP ma długość 7 cm

Na rysunku pokazano ostrosłup ...

a) 

Thumb str. 74   1a  {premium}Thumb str. 74   1a.


b)    - krawędź podstawy 

 - krawędź boczna

 - przekątna podstawy 

 - połowa krawędzi podstawy 

 - wysokość ściany bocznej 

 - wierzchołek podstawy 

 - wierzchołek ostrosłupa

Na bokach DC i BC prostokąta ABCD ...

Przeciwległe boki prostokąta mają równe długości. Przyjmijmy więc, że: 

 

 

Kąty wewnętrzne prostokąta są kątami prostymi, zatem: 

 


Na boku DC zbudowano trójkąt równoboczny, więc: {premium}

 

 

Na boku BC również zbudowano trójkąt równoboczny, więc: 

 

 


Obliczamy teraz ile wynosi miara kąta FDA. 

 


Obliczamy ile wynosi miara kąta ECF. 

 


Obliczamy ile wynosi miara kąta ABE. 

  


Zauważmy, że w każdym z trójkątów FDA, ABE i ECF dwa boki mają długości a i b oraz kąty między tymi bokami mają miarę 150o.  

   

Oznacza to, że trójkąty te są przystające (cecha bkb). 


Skoro trójkąty FDA, ABE i ECF są przystające, to ich odpowiednie boki mają równe długości. Zatem: 

  

Oznacza to, że trójkąt AEF jest równoboczny. 

Przyjmijmy, że x jest daną liczbą, y jest liczbą ...

a)    Wiemy, że .

Liczbą przeciwną do liczby  jest liczba , zatem .

Liczbą odwrotną do liczby  jest liczba{premium} , więc .

Odwrotnością liczby  jest liczba , czyli .

Obliczamy wartość wyrażenia .

 

 


b)    Wiemy, że .

Liczbą przeciwną do liczby  jest liczba , zatem .

Liczbą odwrotną do liczby  jest liczba , więc .

Odwrotnością liczby  jest liczba , czyli .

Obliczamy wartość wyrażenia .

 

 


c)    Wiemy, że .

Liczbą przeciwną do liczby  jest liczba , zatem .

Liczbą odwrotną do liczby  jest liczba , więc .

Odwrotnością liczby  jest liczba , czyli .

Obliczamy wartość wyrażenia .

 

 

Dokończ zdanie tak, aby ...

Przyprostokątne trójkąta prostokątnego równoramiennego (kąty ostre mają miarę 45o) mają długość 2√2. {premium}

Korzystając z zależności między bokami w trójkącie prostokątnym równoramiennym obliczamy długość przeciwprostokątnej (b) tego trójkąta. 
 

Przeciwprostokątna tego trójkąta ma długość 4.


Obliczamy ile wynosi obwód tego trójkąta.
 
Obwód trójkąta wynosi 4(√2+1).  

Odp. C