Proporcjonalność - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Proporcjonalność - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Proporcje

Proporcja to równość dwóch ułamków czyli równość dwóch ilorazów.

Wyrazy skrajne to w pierwszym ułamku licznik, a w drugim ułamku mianownik.

Wyrazy środkowe to w pierwszym ułamku mianownik, a w drugim licznik.

Przykłady:

  • `m/n=k/l \ \ \ \ ->`     wyrazy skrajne: m, l;  wyrazy środkowe: n, k

  • `5/k=l/3 \ \ \ \ ->`     wyrazy skrajne: 5, 3;  wyrazy środkowe: k, l

  • `3/x=(5+x)/2 \ \ \ \ ->`     wyrazy skrajne: 3, 2;  wyrazy środkowe: x, 5+x 


W proporcji iloczyn wyrazów skrajnych jest równy iloczynowi wyrazów środkowych. 

Przykład:

  • `x/3=5/2` 

    `x*2=3*5` 

    `2x=15 \ \ \ \ \ \ \ |:2` 

    `x=7,5`   

Wielkości wprost proporcjonalne

W matematyce w wielu przypadkach można zauważyć wielkości wprost proporcjonalne. Co to jest?

Wielkości wprost proporcjonalne to takie wielkości, w których wraz ze wzrostem jednej z nich druga rośnie tyle samo razy.


Przykłady:

  • Liczba kupionych jabłek i kwota, którą musimy za nie zapłacić. 

    Jeśli zwiększymy liczbę zakupionych jabłek, tyle samo razy zwiększy się kwota, którą należy za nie zapłacić. 

  • Liczba jednakowych ziarenek kaszy i łączna ich masa. 

    Jeśli zwiększymy liczbę ziarenek, tyle samo razy zwiększy się ich łączna masa. 

  • Czas podróży i droga przebyta w tym czasie (zakładamy, że poruszamy się ze stałą prędkością). 

    Ile razy dłuższy czas podróży, tyle razy dłuższą drogę można przebyć. 

 

Wielkości odwrotnie proporcjonalne

Wielkości odwrotnie proporcjonalne to takie, w których jedna wielkość rośnie, a druga maleje tyle samo razy.


Przykłady:

  • Liczba kawałków ciasta i wielkość jednego kawałka.

    Gdy zwiększymy liczbę kawałków, tyle samo razy zmniejszy się ich wielkość. 

  • Liczba słoików, do których rozlewamy sok i ich pojemność.

    Gdy zwiększymy liczbę słoików, tyle samo razy musimy zmniejszyć ich pojemność (ilość soku jest stała). 

Podział proporcjonalny

Podział proporcjonalny to podział danej wielkości na odpowiednie kawałki zgodnie z podanym stosunkiem. 

 

Przykład: 

Jak należy podzielić sznurek długości 70 cm w stosunku 2:5?

Stosunek 2:5 oznacza, że cały sznurek należy podzielić na 2+5=7 równych, małych części. Długość każdej części oznaczamy literą x. 

Pierwszy kawałek sznurka będzie składać się z 2 małych części, czyli jej długość to 2x. 

Drugi kawałek całego sznurka będzie składać się z 5 małych części, czyli jej długość to 5x.

Wiemy, że długość całego sznurka wynosi 70 cm. Czyli: 

`2x+5x=70` 

`7x=70 \ \ \ \ \ \ \ \ |:7` 

`x=10 \ \ \ ["cm"]`


Zatem: 

`2x=2*10=20 \ \ \ ["cm"]`

`5x=5*10=50 \ \ \ ["cm"]`


Odpowiedź: Sznurek podzielono na dwie części o długości 20 cm i 50 cm.   

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Odgadnij liczbę x spełniającą równanie:

  1. $ 1/x=5/{15} $
  2. $ 2/3=x/9 $
  3. $ 2/x=7/{21} $
  1. $ 5x=15 $
    $ x=3 $
  2. $ 3x=18 $
    $ x=6 $
  3. $ 7x=42 $
    $ x=6 $

Zadanie 2.

Włosy przedłużają się przeciętnie o 1 cm w ciągu 3 tygodni. O ile milimetrów wydłużają się w ciągu jednej godziny?

x -> długość o jaką wydłużają się włosy w ciągu jednej godziny
$1 cm=10 mm $
3 tygodnie =21 dni= 504 godzin
$ {10}/{504}=x/1 $
$ 504x=10 $
$ x≈0,02 mm $

Odp.: Włosy wydłużają się przeciętnie o około 0,02 mm na godzinę.

Zadanie 3.

Jaka równość wynika z proporcji: $ 3/x={2+x}/{12} $ ?

$ 3/x={2+x}/12 $
$ x(2+x)=36 $
$ 2x+x^2=36 $
Odp.: Z tej proporcji wynika równość $2x+x^2=36$.

Zadanie 4.

Szklankę herbaty posłodzono dwiema łyżeczkami cukru. Ile łyżeczek cukru trzeba wrzucić do kotła herbaty, aby była tak samo słodka? Szklanka ma pojemność 0,25 l, a kocioł 20 l.

$ x $ -> ilość łyżeczek cukru jaką trzeba wrzucić do kotła
$ 2/{0,25}=x/{20} $
$ 0,25x=40 $
$ x=160 $
Odp.: Trzeba wrzucić 160 łyżeczek cukry, aby herbata w kotle była tak samo słodka jak w szklance.

Zadanie 5.

Tomek i Janek plewią ogródek. Gdyby Tomek robił to sam, zajęłoby mu to 10 godzin. Gdyby Janek robił to sam zajęłoby mu to 15 godzin. Jak długo będą plewić wspólnie?

$ x$ -> ilość godzin jaką będą plewić ogródek wspólnie
$ 1/{10} $ ogródka plewi Tomek w 1 godzinę
$ 1/{15} $ ogródka plewi Janek w 1 godzinę
$ 1/{10}+1/{15}=3/{30}+2/{30}=5/{30}=1/6 $ ogródka plewią obydwoje w 1 godzinę
$ { {1}/{6} }/1=1/x $
$ x=6 $
Odp.: Wspólnie będą plewić ogródek w 6 godzin.

Zadanie 6.

Jeśli 5 butelek napoju kosztuje 8 zł, to ile kosztuje 20 takich butelek?

$x$ -> koszt 20 takich butelek
$ 8/5=x/{20} $
$ 5x=160 $
$ x=32 $
Odp.: 20 takich butelek kosztuje 32 zł.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Jakie wymiary musi mieć...

Dane: 

Krawędź podstawy:  

Krawędź boczna:  

Długość drutu, z którego budujemy ostrosłup:  

Szukane:

Długość krawędzi podstawy:  

Długość krawędzi bocznej:  

Rozwiązanie:

Ostrosłup prawidłowy pięciokątny ma w podstawie pięciokąt foremny. Z tego wynika, że ma on  krawędzi podstawy oraz  krawędzi bocznych. Z tego wynika, że całkowitą długość drutu potrzebną na zbudowanie szkieletu ostrosłupa możemy przedstawić równaniem:{premium}

 

Wówczas:

 

 

 

 

 

 

 

Z tego wynika, że krawędź boczna ma długość:

 

 

 

 

Odpowiedź:  Krawędź podstawy , krawędź boczna .

Oblicz objętość ostrosłupa, którego ...

a)   Rysujemy ten ostrosłup. {premium}

podglad pliku

Przez  oznaczamy odcinek, który jest połową długości przekątnej podstawy ostrosłupa. 

Długość przekątnej prostokąta możemy obliczyć korzystając z twierdzenia Pitagorasa.

Oznaczmy długość tej przekątnej przez .

Zatem .

Obliczamy wysokość ostrosłupa korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla zamalowanego trójkąta. 


Pole podstawy tego ostrosłupa jest równe

 

Obliczamy jego objętość.


b)   Rysujemy ten ostrosłup. 

podglad pliku

Skoro przekątna ma długość , to jej połowa jest równa .

Obliczamy długość wysokości ostrosłupa korzystając z twierdzenia Pitagorasa

 

Obliczamy pole podstawy (kwadrat jest także rombem, więc możemy policzyć jego pole jako połowę iloczynu długości przekątnych)


Obliczamy objętość ostrosłupa.

 

Na rysunku zaznaczono ...

Okrąg I

promień  

długość okręgu:  

Łuk I to  okręgu.{premium}

długość łuku:  


Okrąg II

promień  

długość okręgu:  

Łuk II to  okręgu.

długość łuku:  


Okrąg III

promień  

długość okręgu:  

Łuk III to  okręgu.

długość łuku:  

W graniastosłupie prawidłowym pięciokątnym...

Pierwsze zdanie jest fałszywe ponieważ   {premium}

wprowadźmy następujące oznaczenia:

  -długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa

  -długość krawędzi bocznej tego graniastosłupa


wiemy, że:    

 

zatem:

 

więc ściana boczna tego graniastosłupa jest prostokątem, ale nie kwadratem


Drugie zdanie jest prawdziwe ponieważ:

Obwód podstawy wynosi:   

Obwód jednej ściany wynosi:    

 

ponieważ :

 

Wczoraj Wojtek i Asia mieli takie same ...

Przyjmijmy oznaczenia: 

  - początkowa kwota oszczędności Wojtka / Asi [w zł]

  - oszczędności Asi po zwiększeniu się o połowę [w zł] {premium}

  - oszczędności Wojtka po zmniejszeniu się o 10 zł [w zł] 


Wiemy, że Asia ma 4 razy więcej pieniędzy niż Wojtek. Zatem: 

 

  

 

 

 

Początkowa Asia i Wojtek mieli po 16 zł. 


Obliczamy ile pieniędzy ma Wojtek. 

 


Odpowiedź: Teraz Wojtek ma 6 zł. 

Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego ...

 {premium}

 

Odp. Objętość tego ostrosłupa wynosi 10√3.

O godzinie 17:15 rowerzysta wyjechał ...

Obliczamy ile czasu potrzebuje rowerzysta na przejechanie 15 km. 

{premium}


Zapisujemy proporcję: 


Rowerzysta wyjechał o 17:15 i potrzebuje 48 minut na przejechanie tego dystansu. Możemy obliczyć, o której dotrze na miejsce: 

Rowerzysta dotrze na miejsce o 18:03, więc jadąc w tym tempie nie ma szans, aby zdążyć na spotkanie wyznaczone w Boćkowie na 18:00. 


Odpowiedź: Rowerzysta nie ma szans zdążyć na spotkanie. 

Oblicz sumę wszystkich czynników pierwszych ...

Treść

Oblicz sumę wszystkich czynników pierwszych liczby 9350, jeżeli największy z nich wynosi 17.



Rozwiązanie
:

Liczbę 9350 rozkładamy na czynniki pierwsze. {premium}

Mamy więc: 

 


Obliczamy ile wynosi suma czynników pierwszych liczby 9350. 

 



Odpowied
ź
:

Suma czynników pierwszych liczby 9350 wynosi 40. 

Czy ostatnią cyfrą...

Mamy sumę liczb: . Wiemy, że ostatnia cyfrą liczby  jest . Ostatnią cyfrą liczby  jest{premium} . Ostatnią cyfrą liczy  jest oraz ostatnią cyfrą liczby  jest

Zauważmy, że sumując ostatnie cyfry poszczególnych potęg otrzymujemy liczbę, której ostatnia cyfra będzie ostatnią sumą :

 

Z tego wynika, że cyfra  jest ostatnią cyfrą podanej sumy.

 

Odpowiedź:

  ponieważ  

 

a) Znajdź ułamek, w którym licznik ...

a) x  - mianownik ułamka 

x-8  - licznik ułamka

Wiemy, że podany ułamek jest równy  . Możemy napisać proporcję: {premium}

 

    


Szukany ułamek to:    

 

b) x - mianownik ułamka 

x+6  - licznik ułamka

Wiemy, że podany ułamek jest równy   . Możemy napisać proporcję: 

 

    

 


Szukany ułamek to: