Proporcjonalność - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Proporcjonalność - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Proporcje

Proporcja to równość dwóch ułamków czyli równość dwóch ilorazów.

Wyrazy skrajne to w pierwszym ułamku licznik, a w drugim ułamku mianownik.

Wyrazy środkowe to w pierwszym ułamku mianownik, a w drugim licznik.

Przykłady:

  • `m/n=k/l \ \ \ \ ->`     wyrazy skrajne: m, l;  wyrazy środkowe: n, k

  • `5/k=l/3 \ \ \ \ ->`     wyrazy skrajne: 5, 3;  wyrazy środkowe: k, l

  • `3/x=(5+x)/2 \ \ \ \ ->`     wyrazy skrajne: 3, 2;  wyrazy środkowe: x, 5+x 


W proporcji iloczyn wyrazów skrajnych jest równy iloczynowi wyrazów środkowych. 

Przykład:

  • `x/3=5/2` 

    `x*2=3*5` 

    `2x=15 \ \ \ \ \ \ \ |:2` 

    `x=7,5`   

Wielkości wprost proporcjonalne

W matematyce w wielu przypadkach można zauważyć wielkości wprost proporcjonalne. Co to jest?

Wielkości wprost proporcjonalne to takie wielkości, w których wraz ze wzrostem jednej z nich druga rośnie tyle samo razy.


Przykłady:

  • Liczba kupionych jabłek i kwota, którą musimy za nie zapłacić. 

    Jeśli zwiększymy liczbę zakupionych jabłek, tyle samo razy zwiększy się kwota, którą należy za nie zapłacić. 

  • Liczba jednakowych ziarenek kaszy i łączna ich masa. 

    Jeśli zwiększymy liczbę ziarenek, tyle samo razy zwiększy się ich łączna masa. 

  • Czas podróży i droga przebyta w tym czasie (zakładamy, że poruszamy się ze stałą prędkością). 

    Ile razy dłuższy czas podróży, tyle razy dłuższą drogę można przebyć. 

 

Wielkości odwrotnie proporcjonalne

Wielkości odwrotnie proporcjonalne to takie, w których jedna wielkość rośnie, a druga maleje tyle samo razy.


Przykłady:

  • Liczba kawałków ciasta i wielkość jednego kawałka.

    Gdy zwiększymy liczbę kawałków, tyle samo razy zmniejszy się ich wielkość. 

  • Liczba słoików, do których rozlewamy sok i ich pojemność.

    Gdy zwiększymy liczbę słoików, tyle samo razy musimy zmniejszyć ich pojemność (ilość soku jest stała). 

Podział proporcjonalny

Podział proporcjonalny to podział danej wielkości na odpowiednie kawałki zgodnie z podanym stosunkiem. 

 

Przykład: 

Jak należy podzielić sznurek długości 70 cm w stosunku 2:5?

Stosunek 2:5 oznacza, że cały sznurek należy podzielić na 2+5=7 równych, małych części. Długość każdej części oznaczamy literą x. 

Pierwszy kawałek sznurka będzie składać się z 2 małych części, czyli jej długość to 2x. 

Drugi kawałek całego sznurka będzie składać się z 5 małych części, czyli jej długość to 5x.

Wiemy, że długość całego sznurka wynosi 70 cm. Czyli: 

`2x+5x=70` 

`7x=70 \ \ \ \ \ \ \ \ |:7` 

`x=10 \ \ \ ["cm"]`


Zatem: 

`2x=2*10=20 \ \ \ ["cm"]`

`5x=5*10=50 \ \ \ ["cm"]`


Odpowiedź: Sznurek podzielono na dwie części o długości 20 cm i 50 cm.   

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Odgadnij liczbę x spełniającą równanie:

  1. $ 1/x=5/{15} $
  2. $ 2/3=x/9 $
  3. $ 2/x=7/{21} $
  1. $ 5x=15 $
    $ x=3 $
  2. $ 3x=18 $
    $ x=6 $
  3. $ 7x=42 $
    $ x=6 $

Zadanie 2.

Włosy przedłużają się przeciętnie o 1 cm w ciągu 3 tygodni. O ile milimetrów wydłużają się w ciągu jednej godziny?

x -> długość o jaką wydłużają się włosy w ciągu jednej godziny
$1 cm=10 mm $
3 tygodnie =21 dni= 504 godzin
$ {10}/{504}=x/1 $
$ 504x=10 $
$ x≈0,02 mm $

Odp.: Włosy wydłużają się przeciętnie o około 0,02 mm na godzinę.

Zadanie 3.

Jaka równość wynika z proporcji: $ 3/x={2+x}/{12} $ ?

$ 3/x={2+x}/12 $
$ x(2+x)=36 $
$ 2x+x^2=36 $
Odp.: Z tej proporcji wynika równość $2x+x^2=36$.

Zadanie 4.

Szklankę herbaty posłodzono dwiema łyżeczkami cukru. Ile łyżeczek cukru trzeba wrzucić do kotła herbaty, aby była tak samo słodka? Szklanka ma pojemność 0,25 l, a kocioł 20 l.

$ x $ -> ilość łyżeczek cukru jaką trzeba wrzucić do kotła
$ 2/{0,25}=x/{20} $
$ 0,25x=40 $
$ x=160 $
Odp.: Trzeba wrzucić 160 łyżeczek cukry, aby herbata w kotle była tak samo słodka jak w szklance.

Zadanie 5.

Tomek i Janek plewią ogródek. Gdyby Tomek robił to sam, zajęłoby mu to 10 godzin. Gdyby Janek robił to sam zajęłoby mu to 15 godzin. Jak długo będą plewić wspólnie?

$ x$ -> ilość godzin jaką będą plewić ogródek wspólnie
$ 1/{10} $ ogródka plewi Tomek w 1 godzinę
$ 1/{15} $ ogródka plewi Janek w 1 godzinę
$ 1/{10}+1/{15}=3/{30}+2/{30}=5/{30}=1/6 $ ogródka plewią obydwoje w 1 godzinę
$ { {1}/{6} }/1=1/x $
$ x=6 $
Odp.: Wspólnie będą plewić ogródek w 6 godzin.

Zadanie 6.

Jeśli 5 butelek napoju kosztuje 8 zł, to ile kosztuje 20 takich butelek?

$x$ -> koszt 20 takich butelek
$ 8/5=x/{20} $
$ 5x=160 $
$ x=32 $
Odp.: 20 takich butelek kosztuje 32 zł.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Trzy potęgi zapisano w kolejności ...

 

    {premium}

 

 

Ułamków tych nie zapisano w kolejności od najmniejszego do największego. 

Ułamki zapisano od największego do najmniejszego. 

 

 

 

 

 

Liczb nie uporządkowano w kolejności rosnącej. 

 

   

 

Ułamki uporządkowano w kolejności rosnącej. 

 

  

 

 

Ułamków nie zapisano w kolejności od najmniejszego do największego. 


Poprawna odpowiedź: C. 

Dwusieczna kąta między ramionami trójkąta równoramiennego...

Wiemy, że :

w trójkącie równoramiennym długości co najmniej dwóch boków są takie same

oraz co najmniej dwa kąty mają równą miarę

dwusieczna kąta dzieli ten kąt na dwa kąty przystające

wykonajmy rysunek pomocniczy:{premium}



zauważmy, że dwusieczna trójkąta równoramiennego dzieli ten trójkąt na trójkąty o wspólnym boku
oraz o boku długości a, oraz dwóch kątach o mierze  i  

zatem zarówno z cechy przystawania bok-kąt-bok

jak i z cechy przystawania kąt-bok-kąt możemy stwierdzić, że trójkąty te są przystające


Zaznacz na osi liczbowej w zeszycie punkty, które...

Wiemy, że:

  dla    

   dla    


zatem:

 

 

 

rysunek: {premium}

podglad pliku

 

 

 

 

rysunek:
podglad pliku

 

 

 

 

rysunek:

podglad pliku
 

 

 

 

 

rysunek:

podglad pliku

W barze mlecznym Zosia ma do...

Zosia ma do wyboru w barze mlecznym:

- 3 zupy

- 3 drugie dania

- 2 napoje


Obliczmy na ile sposobów Zosia może wybrać zupę i drugie danie:     {premium}

 


Obliczmy na ile sposobów Zosia może drugie danie i napój:

 


Obliczmy na ile sposobów Zosia może wybrać zupę i drugie danie lub drugie danie i napój:

 


Odp.: Zosia może wybrać zupę i drugie danie lub drugie danie i napój na 15 sposobów.

Oblicz...

 

 

 

     

 
{premium}

  

 

 

  

 

 

 

 

 

  

 

 

   

 

 

 

 

   

 

 

   

 

Kasia ma 5 lat, a jej mama ...

5 lat - wiek Kasi obecnie

30 lat - wiek mamy Kasi obecnie

5+x - wiek Kasi za x lat

30+x - wiek mamy Kasi za x lat {premium}

 

Z treści zadania wiemy, że:

 

 

 

 

 

Odp. Za 20 lat mama Kasi będzie 2 razy starsza od Kasi.

Podczas deszczu na każdy metr...

 

Na każdy metr kwadratowy spada 15 l wody, czyli możemy zapisać, że objętość wody możemy przedstawić zależnością:

 

gdzie V jest objętością wody, S jest polem powierzchni, h jest wysokością. W naszym przypadku pole powierzchni i objętość wynoszą:

 

  

Wówczas otrzymujemy, że wysokość, o jaką podniesie się woda w basenie wynosi:

 

 

 
{premium}

 

 

Odpowiedź: Woda w basenie podniesie się o 15 mm.

 

 

Wiemy, że powierzchnia parku wynosi:

 

Skoro na 1 m2 spada 15 l to objętość wody, która spadnie na 20 000 000 m2 będzie wynosiła:

 

Odpowiedź: Na park spadło 3 000 m3 wody.

Rzucamy dwukrotnie monetą...

Zbiór zdarzeń elementarnych tego doświadczenia to:   {premium}

{(r, r), (r, o), (o, r), (o, o)}


A- zdarzenie, że wypadnie co najmniej jeden orzeł

A={(r, o), (o, r), (o, o)}

Zbiór A składa się z 3 elementów.


Obliczmy prawdopodobieństwo zdarzenia A:

 


Odp.: C

Oblicz miarę kąta wewnętrznego: ...

a) Sześciokąt foremny możemy podzielić na 4 trójkąty.

Suma miar kątów w trójkącie wynosi  

Suma miar kątów wewnętrznych sześciokąta foremnego to:

 

Sześciokąt ma sześć kątów wewnętrznych.

Miara jednego kąta wewnętrznego:

 

{premium}


b) Ośmiokąt foremny możemy podzielić na 6 trójkątów.

Suma miar kątów w trójkącie wynosi  

Suma miar kątów wewnętrznych ośmiokąta foremnego to:

 

Ośmiokąt ma osiem kątów wewnętrznych.

Miara jednego kąta wewnętrznego:

 


c) Dziesięciokąt foremny możemy podzielić na 8 trójkątów.

Suma miar kątów w trójkącie wynosi  

Suma miar kątów wewnętrznych dziesięciokąta foremnego to:

 

Dziesięciokąt ma dziesięć kątów wewnętrznych.

Miara jednego kąta wewnętrznego:

 


d) Dwunastokąt foremny możemy podzielić na 10 trójkątów.

Suma miar kątów w trójkącie wynosi  

Suma miar kątów wewnętrznych dwunastokąta foremnego to:

 

Dwunastokąt ma dwanaście kątów wewnętrznych.

Miara jednego kąta wewnętrznego:

 

 

Za 3 bułki i 4 rogaliki Ania zapłaciła ...

Wiemy, że rogalik jest o , czyli  droższy od bułki.

Przyjmijmy więc następujące oznaczenia:{premium}

 - cena bułki  

 - cena rogalika  


Wiemy, że za  bułki i  rogaliki Ania zapłaciła , więc możemy zapisać:

 

 

 

 

 

 


Bułka kosztowała więc , a rogalik: .


Obliczamy, ile Jasiek zapłaci za  bułek i  rogalików.

 


Odpowiedź: D