Proporcjonalność - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Proporcje

Proporcja to równość dwóch ułamków czyli równość dwóch ilorazów.

Wyrazy skrajne to w pierwszym ułamku licznik, a w drugim ułamku mianownik.

Wyrazy środkowe to w pierwszym ułamku mianownik, a w drugim licznik.

Przykłady:

  • `m/n=k/l \ \ \ \ ->`     wyrazy skrajne: m, l;  wyrazy środkowe: n, k

  • `5/k=l/3 \ \ \ \ ->`     wyrazy skrajne: 5, 3;  wyrazy środkowe: k, l

  • `3/x=(5+x)/2 \ \ \ \ ->`     wyrazy skrajne: 3, 2;  wyrazy środkowe: x, 5+x 


W proporcji iloczyn wyrazów skrajnych jest równy iloczynowi wyrazów środkowych. 

Przykład:

  • `x/3=5/2` 

    `x*2=3*5` 

    `2x=15 \ \ \ \ \ \ \ |:2` 

    `x=7,5`   

Wielkości wprost proporcjonalne

W matematyce w wielu przypadkach można zauważyć wielkości wprost proporcjonalne. Co to jest?

Wielkości wprost proporcjonalne to takie wielkości, w których wraz ze wzrostem jednej z nich druga rośnie tyle samo razy.


Przykłady:

  • Liczba kupionych jabłek i kwota, którą musimy za nie zapłacić. 

    Jeśli zwiększymy liczbę zakupionych jabłek, tyle samo razy zwiększy się kwota, którą należy za nie zapłacić. 

  • Liczba jednakowych ziarenek kaszy i łączna ich masa. 

    Jeśli zwiększymy liczbę ziarenek, tyle samo razy zwiększy się ich łączna masa. 

  • Czas podróży i droga przebyta w tym czasie (zakładamy, że poruszamy się ze stałą prędkością). 

    Ile razy dłuższy czas podróży, tyle razy dłuższą drogę można przebyć. 

 

Wielkości odwrotnie proporcjonalne

Wielkości odwrotnie proporcjonalne to takie, w których jedna wielkość rośnie, a druga maleje tyle samo razy.


Przykłady:

  • Liczba kawałków ciasta i wielkość jednego kawałka.

    Gdy zwiększymy liczbę kawałków, tyle samo razy zmniejszy się ich wielkość. 

  • Liczba słoików, do których rozlewamy sok i ich pojemność.

    Gdy zwiększymy liczbę słoików, tyle samo razy musimy zmniejszyć ich pojemność (ilość soku jest stała). 

Podział proporcjonalny

Podział proporcjonalny to podział danej wielkości na odpowiednie kawałki zgodnie z podanym stosunkiem. 

 

Przykład: 

Jak należy podzielić sznurek długości 70 cm w stosunku 2:5?

Stosunek 2:5 oznacza, że cały sznurek należy podzielić na 2+5=7 równych, małych części. Długość każdej części oznaczamy literą x. 

Pierwszy kawałek sznurka będzie składać się z 2 małych części, czyli jej długość to 2x. 

Drugi kawałek całego sznurka będzie składać się z 5 małych części, czyli jej długość to 5x.

Wiemy, że długość całego sznurka wynosi 70 cm. Czyli: 

`2x+5x=70` 

`7x=70 \ \ \ \ \ \ \ \ |:7` 

`x=10 \ \ \ ["cm"]`


Zatem: 

`2x=2*10=20 \ \ \ ["cm"]`

`5x=5*10=50 \ \ \ ["cm"]`


Odpowiedź: Sznurek podzielono na dwie części o długości 20 cm i 50 cm.   

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Odgadnij liczbę x spełniającą równanie:

  1. $$ 1/x=5/{15} $$
  2. $$ 2/3=x/9 $$
  3. $$ 2/x=7/{21} $$
  1. $$ 5x=15 $$
    $$ x=3 $$
  2. $$ 3x=18 $$
    $$ x=6 $$
  3. $$ 7x=42 $$
    $$ x=6 $$

Zadanie 2.

Włosy przedłużają się przeciętnie o 1 cm w ciągu 3 tygodni. O ile milimetrów wydłużają się w ciągu jednej godziny?

x -> długość o jaką wydłużają się włosy w ciągu jednej godziny
$$1 cm=10 mm $$
3 tygodnie =21 dni= 504 godzin
$$ {10}/{504}=x/1 $$
$$ 504x=10 $$
$$ x≈0,02 mm $$

Odp.: Włosy wydłużają się przeciętnie o około 0,02 mm na godzinę.

Zadanie 3.

Jaka równość wynika z proporcji: $$ 3/x={2+x}/{12} $$ ?

$$ 3/x={2+x}/12 $$
$$ x(2+x)=36 $$
$$ 2x+x^2=36 $$
Odp.: Z tej proporcji wynika równość $$2x+x^2=36$$.

Zadanie 4.

Szklankę herbaty posłodzono dwiema łyżeczkami cukru. Ile łyżeczek cukru trzeba wrzucić do kotła herbaty, aby była tak samo słodka? Szklanka ma pojemność 0,25 l, a kocioł 20 l.

$$ x $$ -> ilość łyżeczek cukru jaką trzeba wrzucić do kotła
$$ 2/{0,25}=x/{20} $$
$$ 0,25x=40 $$
$$ x=160 $$
Odp.: Trzeba wrzucić 160 łyżeczek cukry, aby herbata w kotle była tak samo słodka jak w szklance.

Zadanie 5.

Tomek i Janek plewią ogródek. Gdyby Tomek robił to sam, zajęłoby mu to 10 godzin. Gdyby Janek robił to sam zajęłoby mu to 15 godzin. Jak długo będą plewić wspólnie?

$$ x$$ -> ilość godzin jaką będą plewić ogródek wspólnie
$$ 1/{10} $$ ogródka plewi Tomek w 1 godzinę
$$ 1/{15} $$ ogródka plewi Janek w 1 godzinę
$$ 1/{10}+1/{15}=3/{30}+2/{30}=5/{30}=1/6 $$ ogródka plewią obydwoje w 1 godzinę
$$ { {1}/{6} }/1=1/x $$
$$ x=6 $$
Odp.: Wspólnie będą plewić ogródek w 6 godzin.

Zadanie 6.

Jeśli 5 butelek napoju kosztuje 8 zł, to ile kosztuje 20 takich butelek?

$$x$$ -> koszt 20 takich butelek
$$ 8/5=x/{20} $$
$$ 5x=160 $$
$$ x=32 $$
Odp.: 20 takich butelek kosztuje 32 zł.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Podstawą graniastosłupa prostego jest romb o boku ...

Rysuenk pomocniczy:

 

Przyjmujemy takie oznaczenia, jak na rysunku.

Przekątna ściany bocznej (zaznaczona kolorem niebieskim) jest nachylona do krawędzi podstawy pod kątem 45o.

Przekątna ściany bocznej, krawędź podstawy oraz wysokość graniastosłupa tworzą trójkąt prostokątny.

Korzystając z własności trójkąta prostokątnego o kątach 90o, 45o i 45o otrzymujemy:

 

W podstawie graniastosłupa znajduje się romb, którego kąt ostry ma miare 60o.

Zaznaczamy w rombie wysokość (oznaczamy ją jako h).

Zauważmy, że wysokość podstawy podzieliła romb na dwie figury,{premium} z czego jedna jest trójkątem prostokątnym o kątach 90o, 60o i 30o

(wysokość jest poprowadzona na podstawę pod kątem prostym, jeden kąt ostry w trójkącie ma 60o, więc drugi musi mieć miarę równą 30o).

Korzystając z własności trójkąta o kątach 90o, 60o i 30o otrzymujemy:

 

 

Wówczas:

 

 

Obliczamy pole podstawy:

  

Obliczamy objętość graniastosłupa:

   

Ile elementów ma zbiór liczb...

Pytamy o liczbę elementów zbioru liczb od  do  podzielnych przez . Wiemy, że zbiór  ma  elementów. Zbiór  ma  elementów. Wówczas liczba elementów w zbiorze  będzie wynosiła:{premium}

 

Z tego wynika, że zbiór  ma  elementy. Wiemy, że liczby  nie są podzielne przez , czyli możemy je odrzucić w obliczeniach. Wówczas zbiór  ma  elementów. Wiemy, że ostatnia liczba w zbiorze jest podzielna przez , czyli możemy ją na razie odrzucić z tego zbioru i na końcu dodać do ilości liczb podzielnych przez  w tym zbiorze. Wówczas . Począwszy od pierwszej liczby co trzynasta jest podzielna przez . Z tego wynika, że:

 

Z tego wynika, że liczb podzielnych przez  w tym zbiorze jest:

 

W zbiorze jest  elementów.

 

Odpowiedź:  

Na rysunku 2 zilustrowano ...

Przenosimy oznaczenia na składaną kartkę.{premium}

podglad pliku

Z zadania  wiemy już, że trójkąty  i  są przystające.

Trójkąt  powstał przez zagięcie części kartki stanowiącej trójkąt , więc jest on przystający do trójkąta .

Zatem .


Wiemy już, że kąt  jest kątem prostym.

Kąt  ma miarę: .

Zatem .

Oblicz miary kątów:...

Wiemy, że:

- suma miar kątów wewnętrznych w każdym trójkącie wynosi  

-suma miar kątów przyległych wynosi  

Zauważmy, że:

 

zatem:

 

 

 


Kąty ABX i XBC to kąty przyległe zatem:{premium}

  

 

 


Obliczmy miarę kąta BXC:

 

 

 

Obliczmy miarę kąta AXC:

 


Kąty BCX i XCD to kąty przyległe zatem:

  

 

 


Obliczmy miarę kąta CXD:

 

 

 


Obliczmy miarę kąta BXD:

 


Kąty CDX i XDE to kąty przyległe zatem:

  

 

 


Obliczmy miarę kąta DXE:

 

 

 


Obliczmy miarę kąta BXE:

 

Czy z trzech ostrosłupów, których model pokazano ...
  • Z trzech takich ostrosłupów można zbudować sześcian (zob. rys.){premium}

podglad pliku

  • Objętość sześcianu o krawędzi długości  jest równa .

  • Objętość sześcianu jest równa sumie objętości ostrosłupów, z których ten sześcian jest zbudowany, zatem objętość jednego takiego ostrosłupa jest równa .
Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa ...

 

 {premium}

 

Ostrosłup prawidłowy sześciokątny ma sześć ścian bocznych, stąd jedna ściana boczna ma pole:

 

 

Odp. Pole ściany bocznej tego ostrosłupa wynosi 9.

Oszacuj, między jakimi kolejnymi liczbami naturalnymi znajduje się każda z podanych liczb.

{premium}


 


 


 

Znajdź liczbę o 2 większą od wartości wyrażenia...

Obliczmy wartość wyrażenia  :   {premium}


   


zatem liczba o   większa od  :


 


Odp.: Ta liczba to  

W czworokącie ABCD kąt przy...

Miara kąta przy wierzchołku A:  

Miara kąta przy wierzchołku B:  

Miara kąta przy wierzchołku C:  

Miara kąta przy wierzchołku D:{premium}  

Wiemy, że suma miar kątów wewnętrznych czworokąta wynosi . Wówczas  będzie wynosił:

 

 

 

 

 

 

 

 

Z tego wynika, że:

 kąt przy wierzchołki A wynosi:  

 kąt przy wierzchołki B wynosi:  

 kąt przy wierzchołki C wynosi:  

 kąt przy wierzchołki D wynosi:  

 

Odpowiedź: Miary kątów w czworokącie ABCD wynoszą , ,  i .

Ankieter pytał przypadkowo wybranych...

Obliczmy, ile osób wzięło udział w ankiecie:

 

a) Obliczmy, jaki procent napotkanych osób ma jedno dziecko:{premium}

 


b) Obliczmy, jaki procent badanych ma co najmniej dwoje dzieci: