Proporcjonalność - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Proporcje

Proporcja to równość dwóch ułamków czyli równość dwóch ilorazów.

Wyrazy skrajne to w pierwszym ułamku licznik, a w drugim ułamku mianownik.

Wyrazy środkowe to w pierwszym ułamku mianownik, a w drugim licznik.

Przykłady:

  • `m/n=k/l \ \ \ \ ->`     wyrazy skrajne: m, l;  wyrazy środkowe: n, k

  • `5/k=l/3 \ \ \ \ ->`     wyrazy skrajne: 5, 3;  wyrazy środkowe: k, l

  • `3/x=(5+x)/2 \ \ \ \ ->`     wyrazy skrajne: 3, 2;  wyrazy środkowe: x, 5+x 


W proporcji iloczyn wyrazów skrajnych jest równy iloczynowi wyrazów środkowych. 

Przykład:

  • `x/3=5/2` 

    `x*2=3*5` 

    `2x=15 \ \ \ \ \ \ \ |:2` 

    `x=7,5`   

Wielkości wprost proporcjonalne

W matematyce w wielu przypadkach można zauważyć wielkości wprost proporcjonalne. Co to jest?

Wielkości wprost proporcjonalne to takie wielkości, w których wraz ze wzrostem jednej z nich druga rośnie tyle samo razy.


Przykłady:

  • Liczba kupionych jabłek i kwota, którą musimy za nie zapłacić. 

    Jeśli zwiększymy liczbę zakupionych jabłek, tyle samo razy zwiększy się kwota, którą należy za nie zapłacić. 

  • Liczba jednakowych ziarenek kaszy i łączna ich masa. 

    Jeśli zwiększymy liczbę ziarenek, tyle samo razy zwiększy się ich łączna masa. 

  • Czas podróży i droga przebyta w tym czasie (zakładamy, że poruszamy się ze stałą prędkością). 

    Ile razy dłuższy czas podróży, tyle razy dłuższą drogę można przebyć. 

 

Wielkości odwrotnie proporcjonalne

Wielkości odwrotnie proporcjonalne to takie, w których jedna wielkość rośnie, a druga maleje tyle samo razy.


Przykłady:

  • Liczba kawałków ciasta i wielkość jednego kawałka.

    Gdy zwiększymy liczbę kawałków, tyle samo razy zmniejszy się ich wielkość. 

  • Liczba słoików, do których rozlewamy sok i ich pojemność.

    Gdy zwiększymy liczbę słoików, tyle samo razy musimy zmniejszyć ich pojemność (ilość soku jest stała). 

Podział proporcjonalny

Podział proporcjonalny to podział danej wielkości na odpowiednie kawałki zgodnie z podanym stosunkiem. 

 

Przykład: 

Jak należy podzielić sznurek długości 70 cm w stosunku 2:5?

Stosunek 2:5 oznacza, że cały sznurek należy podzielić na 2+5=7 równych, małych części. Długość każdej części oznaczamy literą x. 

Pierwszy kawałek sznurka będzie składać się z 2 małych części, czyli jej długość to 2x. 

Drugi kawałek całego sznurka będzie składać się z 5 małych części, czyli jej długość to 5x.

Wiemy, że długość całego sznurka wynosi 70 cm. Czyli: 

`2x+5x=70` 

`7x=70 \ \ \ \ \ \ \ \ |:7` 

`x=10 \ \ \ ["cm"]`


Zatem: 

`2x=2*10=20 \ \ \ ["cm"]`

`5x=5*10=50 \ \ \ ["cm"]`


Odpowiedź: Sznurek podzielono na dwie części o długości 20 cm i 50 cm.   

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Odgadnij liczbę x spełniającą równanie:

  1. $$ 1/x=5/{15} $$
  2. $$ 2/3=x/9 $$
  3. $$ 2/x=7/{21} $$
  1. $$ 5x=15 $$
    $$ x=3 $$
  2. $$ 3x=18 $$
    $$ x=6 $$
  3. $$ 7x=42 $$
    $$ x=6 $$

Zadanie 2.

Włosy przedłużają się przeciętnie o 1 cm w ciągu 3 tygodni. O ile milimetrów wydłużają się w ciągu jednej godziny?

x -> długość o jaką wydłużają się włosy w ciągu jednej godziny
$$1 cm=10 mm $$
3 tygodnie =21 dni= 504 godzin
$$ {10}/{504}=x/1 $$
$$ 504x=10 $$
$$ x≈0,02 mm $$

Odp.: Włosy wydłużają się przeciętnie o około 0,02 mm na godzinę.

Zadanie 3.

Jaka równość wynika z proporcji: $$ 3/x={2+x}/{12} $$ ?

$$ 3/x={2+x}/12 $$
$$ x(2+x)=36 $$
$$ 2x+x^2=36 $$
Odp.: Z tej proporcji wynika równość $$2x+x^2=36$$.

Zadanie 4.

Szklankę herbaty posłodzono dwiema łyżeczkami cukru. Ile łyżeczek cukru trzeba wrzucić do kotła herbaty, aby była tak samo słodka? Szklanka ma pojemność 0,25 l, a kocioł 20 l.

$$ x $$ -> ilość łyżeczek cukru jaką trzeba wrzucić do kotła
$$ 2/{0,25}=x/{20} $$
$$ 0,25x=40 $$
$$ x=160 $$
Odp.: Trzeba wrzucić 160 łyżeczek cukry, aby herbata w kotle była tak samo słodka jak w szklance.

Zadanie 5.

Tomek i Janek plewią ogródek. Gdyby Tomek robił to sam, zajęłoby mu to 10 godzin. Gdyby Janek robił to sam zajęłoby mu to 15 godzin. Jak długo będą plewić wspólnie?

$$ x$$ -> ilość godzin jaką będą plewić ogródek wspólnie
$$ 1/{10} $$ ogródka plewi Tomek w 1 godzinę
$$ 1/{15} $$ ogródka plewi Janek w 1 godzinę
$$ 1/{10}+1/{15}=3/{30}+2/{30}=5/{30}=1/6 $$ ogródka plewią obydwoje w 1 godzinę
$$ { {1}/{6} }/1=1/x $$
$$ x=6 $$
Odp.: Wspólnie będą plewić ogródek w 6 godzin.

Zadanie 6.

Jeśli 5 butelek napoju kosztuje 8 zł, to ile kosztuje 20 takich butelek?

$$x$$ -> koszt 20 takich butelek
$$ 8/5=x/{20} $$
$$ 5x=160 $$
$$ x=32 $$
Odp.: 20 takich butelek kosztuje 32 zł.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Na wykresie przedstawiono zmiany ...

a) W południe w Suwałkach był `1^o C` , a w Szczecinie `2^oC` .

{premium}

b) Temperatura w Suwałkach wynosiła `0^oC` o godzinach 11:00 i 22:00.

    Temperatura w Szczecinie wynosiła `0^oC` o godzinach 10:00 i 24:00.

c) Temperatura w Suwałkach była ujemna w godzinach od północy do 11:00 i od 22:00 do 24:00.

Temperatura w Szczecinie była ujemna w godzinach od północy do 10:00 i od 24:00.

d) Temperatura w obu miastach była taka sama o godzinach 13:00 i 21:00.

e) W Suwałkach było cieplej niż w Szczecinie od godziny 13:00 do 21:00.

f) Najwyższa temperatura w Suwałkach wynosiła `5^oC` o godzinie 16:00, a w Szczecinie `4^oC` o godzinie 16:00.

g) W Szczecinie `-3^oC` były o godzinie 4:00, wtedy temperatura w Suwałkach wynosiła `-4^oC`  

Wśród poniższych brył wskaż ...

Ostrosłup to wielościan, w którym wszystkie ściany boczne sa trójkątami o wspólnym wierzchołku, a podstawą jest dowolny wielokąt. {premium}

Ostrosłupy to: II, III, VII.

Dokończ zdanie tak, aby otrzymać zdanie prawdziwe...

rownanie matematyczne

{premium}

rownanie matematyczne  

 

Odp. C

Wskaż liczby z ramki, które są ...

a) Liczba jest podzielna przez 2, gdy jej ostatnią ostatnią cyfrą jest 0, 2, 4, 6, 8. 

Liczby podzielne przez 2 t: 192, 1308, 2340, 1234, 1170.

{premium}


b) Liczba jest podzielna przez 5, gdy jej ostatnią cyfrą jest 0 lub 5. 

Liczby podzielne przez 5 to: 7335, 2340, 1170


c) Liczba jest podzielna przez 10, gdy jej ostatnią cyfrą jest 0. 

Liczby podzielne przez 10 to: 2340, 1170


d) Liczba jest podzielna przez 4, gdy jej dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez 4. 

Liczby podzielne przez 4 to: 192 (92:4=23), 1308 (08, czyli 8:4=2), 2340 (40:4=10). 

e) Liczba jest podzielna przez 3, gdy suma jej cyfr jest liczbą podzielną przez 3. 

Liczby podzielne przez 3 to: 192 (1+9+2=12, 12:3=4), 1308 (1+3+0+8=12, 12:3=4), 3333 (3+3+3+3=12, 12:3=4), 

7335 (7+3+3+5=18, 18:3=6), 2340 (2+3+4+0=9, 9:3=3), 1170 (1+1+7+0=9, 9:3=3).


f) Liczba jest podzielna przez 9, gdy suma jej cyfr jest liczbą podzielną przez 9. 

Liczby podzielne przez 9 to: 7335 (7+3+3+5=18, 18:9=2), 2340 (2+3+4+0=9, 9:9=1), 1170 (1+1+7+0=9, 9:9=1).

Dane są trzy wyrażenia: A=7-(2x+11), B=-(3x-3)-1,...

Wiemy, że:

A=7-(2x+11)=7-2x-11=-2x-4

B=-(3x-3)-1=-3x+3-1=-3x+2

C=x-(2x-2)=x-2x+2=-x+2


sprawdźmy czy prawdziwa jest równość: A+C=B {premium}

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

ta równość jest prawdziwa


sprawdźmy czy prawdziwa jest równość: 2B-4C=A

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

ta równość nie jest prawdziwa

sprawdźmy czy prawdziwa jest równość: A-B+C=-4

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

ta równość jest prawdziwa

Podstawę trójkąta i jego wysokość...

Początkowa długość podstawy trójkąta: rownanie matematyczne 

Początkowa długość wysokości trójkąta: rownanie matematyczne 

Początkowe pole trójkąta: rownanie matematyczne 

Podstawa trójkąta po wzroście długości: rownanie matematyczne 

Wysokość trójkąta po wzroście długości:{premium} rownanie matematyczne 

Wówczas pole trójkąta będzie wynosiło:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Obliczamy o ile procent wzrosło pole trójkąta:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Każda tarcza użyta do budowy drugiej linii metra ...

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne

rownanie matematyczne {premium}

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne 

Średnica tarczy:

rownanie matematyczne 

Pole powierzchni tarczy:

rownanie matematyczne 

 

Odp. Tarcza ma średnicę długości około 6,27 m i pole około 30,9 m2.

Znajdź liczbę, której 10% jest równe wartości wyrażenia

Najpierw uprośćmy to wyrażenie.

rownanie matematyczne  

{premium}

 rownanie matematyczne

 

Wiemy, że 10% pewnej liczby to 1.

100% to 10 razy więcej niż 10%, czyli 10 razy więcej niż 1.

Szukana liczba to 10.

 

Wpisz właściwe znaki (+ i -) w kwadraty...

rownanie matematyczne 

{premium}


rownanie matematyczne 


rownanie matematyczne 


rownanie matematyczne 

Punkty C, D, E leżą na prostej p, a punkty A i B...

Pole trójkąta obliczamy korzystając z  wzoru:

rownanie matematyczne 

rownanie matematyczne - długość boku trójkąta

rownanie matematyczne - długość wysokości trójkąta opuszczonej na bok rownanie matematyczne 

wiemy, że odcinek AB i prosta p są równoległe

wykonajmy rysunek pomocniczy: {premium}



Obliczmy pole trójkąta ABC:

rownanie matematyczne 


Obliczmy pole trójkąta ABD:

rownanie matematyczne 


Obliczmy pole trójkąta ABE:

rownanie matematyczne 


zatem:

rownanie matematyczne