Proporcjonalność - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Proporcjonalność - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Proporcje

Proporcja to równość dwóch ułamków czyli równość dwóch ilorazów.

Wyrazy skrajne to w pierwszym ułamku licznik, a w drugim ułamku mianownik.

Wyrazy środkowe to w pierwszym ułamku mianownik, a w drugim licznik.

Przykłady:

  • `m/n=k/l \ \ \ \ ->`     wyrazy skrajne: m, l;  wyrazy środkowe: n, k

  • `5/k=l/3 \ \ \ \ ->`     wyrazy skrajne: 5, 3;  wyrazy środkowe: k, l

  • `3/x=(5+x)/2 \ \ \ \ ->`     wyrazy skrajne: 3, 2;  wyrazy środkowe: x, 5+x 


W proporcji iloczyn wyrazów skrajnych jest równy iloczynowi wyrazów środkowych. 

Przykład:

  • `x/3=5/2` 

    `x*2=3*5` 

    `2x=15 \ \ \ \ \ \ \ |:2` 

    `x=7,5`   

Wielkości wprost proporcjonalne

W matematyce w wielu przypadkach można zauważyć wielkości wprost proporcjonalne. Co to jest?

Wielkości wprost proporcjonalne to takie wielkości, w których wraz ze wzrostem jednej z nich druga rośnie tyle samo razy.


Przykłady:

  • Liczba kupionych jabłek i kwota, którą musimy za nie zapłacić. 

    Jeśli zwiększymy liczbę zakupionych jabłek, tyle samo razy zwiększy się kwota, którą należy za nie zapłacić. 

  • Liczba jednakowych ziarenek kaszy i łączna ich masa. 

    Jeśli zwiększymy liczbę ziarenek, tyle samo razy zwiększy się ich łączna masa. 

  • Czas podróży i droga przebyta w tym czasie (zakładamy, że poruszamy się ze stałą prędkością). 

    Ile razy dłuższy czas podróży, tyle razy dłuższą drogę można przebyć. 

 

Wielkości odwrotnie proporcjonalne

Wielkości odwrotnie proporcjonalne to takie, w których jedna wielkość rośnie, a druga maleje tyle samo razy.


Przykłady:

  • Liczba kawałków ciasta i wielkość jednego kawałka.

    Gdy zwiększymy liczbę kawałków, tyle samo razy zmniejszy się ich wielkość. 

  • Liczba słoików, do których rozlewamy sok i ich pojemność.

    Gdy zwiększymy liczbę słoików, tyle samo razy musimy zmniejszyć ich pojemność (ilość soku jest stała). 

Podział proporcjonalny

Podział proporcjonalny to podział danej wielkości na odpowiednie kawałki zgodnie z podanym stosunkiem. 

 

Przykład: 

Jak należy podzielić sznurek długości 70 cm w stosunku 2:5?

Stosunek 2:5 oznacza, że cały sznurek należy podzielić na 2+5=7 równych, małych części. Długość każdej części oznaczamy literą x. 

Pierwszy kawałek sznurka będzie składać się z 2 małych części, czyli jej długość to 2x. 

Drugi kawałek całego sznurka będzie składać się z 5 małych części, czyli jej długość to 5x.

Wiemy, że długość całego sznurka wynosi 70 cm. Czyli: 

`2x+5x=70` 

`7x=70 \ \ \ \ \ \ \ \ |:7` 

`x=10 \ \ \ ["cm"]`


Zatem: 

`2x=2*10=20 \ \ \ ["cm"]`

`5x=5*10=50 \ \ \ ["cm"]`


Odpowiedź: Sznurek podzielono na dwie części o długości 20 cm i 50 cm.   

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Odgadnij liczbę x spełniającą równanie:

  1. $ 1/x=5/{15} $
  2. $ 2/3=x/9 $
  3. $ 2/x=7/{21} $
  1. $ 5x=15 $
    $ x=3 $
  2. $ 3x=18 $
    $ x=6 $
  3. $ 7x=42 $
    $ x=6 $

Zadanie 2.

Włosy przedłużają się przeciętnie o 1 cm w ciągu 3 tygodni. O ile milimetrów wydłużają się w ciągu jednej godziny?

x -> długość o jaką wydłużają się włosy w ciągu jednej godziny
$1 cm=10 mm $
3 tygodnie =21 dni= 504 godzin
$ {10}/{504}=x/1 $
$ 504x=10 $
$ x≈0,02 mm $

Odp.: Włosy wydłużają się przeciętnie o około 0,02 mm na godzinę.

Zadanie 3.

Jaka równość wynika z proporcji: $ 3/x={2+x}/{12} $ ?

$ 3/x={2+x}/12 $
$ x(2+x)=36 $
$ 2x+x^2=36 $
Odp.: Z tej proporcji wynika równość $2x+x^2=36$.

Zadanie 4.

Szklankę herbaty posłodzono dwiema łyżeczkami cukru. Ile łyżeczek cukru trzeba wrzucić do kotła herbaty, aby była tak samo słodka? Szklanka ma pojemność 0,25 l, a kocioł 20 l.

$ x $ -> ilość łyżeczek cukru jaką trzeba wrzucić do kotła
$ 2/{0,25}=x/{20} $
$ 0,25x=40 $
$ x=160 $
Odp.: Trzeba wrzucić 160 łyżeczek cukry, aby herbata w kotle była tak samo słodka jak w szklance.

Zadanie 5.

Tomek i Janek plewią ogródek. Gdyby Tomek robił to sam, zajęłoby mu to 10 godzin. Gdyby Janek robił to sam zajęłoby mu to 15 godzin. Jak długo będą plewić wspólnie?

$ x$ -> ilość godzin jaką będą plewić ogródek wspólnie
$ 1/{10} $ ogródka plewi Tomek w 1 godzinę
$ 1/{15} $ ogródka plewi Janek w 1 godzinę
$ 1/{10}+1/{15}=3/{30}+2/{30}=5/{30}=1/6 $ ogródka plewią obydwoje w 1 godzinę
$ { {1}/{6} }/1=1/x $
$ x=6 $
Odp.: Wspólnie będą plewić ogródek w 6 godzin.

Zadanie 6.

Jeśli 5 butelek napoju kosztuje 8 zł, to ile kosztuje 20 takich butelek?

$x$ -> koszt 20 takich butelek
$ 8/5=x/{20} $
$ 5x=160 $
$ x=32 $
Odp.: 20 takich butelek kosztuje 32 zł.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Rzucamy jeden raz sześcienną kostką do gry...

a) Wszystkie możliwe wyniki:

liczby od 1 do 6- jest ich 6

Wyniki, które są liczbami mniejszymi od 6:1, 2, 3, 4, 5 - jest ich 5
{premium}
p- prawdopodobieństwo otrzymania liczby mniejszej od 6

 


Odpowiedź: Prawdopodobieństwo tego zdarzenia wynosi  


b) Wszystkie możliwe wyniki:

liczby od 1 do 6- jest ich 6

Wyniki, które są liczbami parzystymi: 2, 4, 6 - jest ich 3

p- prawdopodobieństwo otrzymania liczby parzystej

 


Odpowiedź: Prawdopodobieństwo tego zdarzenia wynosi  


c) Wszystkie możliwe wyniki:

liczby od 1 do 6- jest ich 6

Wyniki, które są równe 53: - jest ich 0

p- prawdopodobieństwo otrzymania liczby równej 53

 


Odpowiedź: Prawdopodobieństwo tego zdarzenia wynosi  


d) Wszystkie możliwe wyniki:

liczby od 1 do 6- jest ich 6

Wyniki, które są liczbami mniejszymi od 53:1, 2, 3, 4 ,5, 6 - jest ich 6

p- prawdopodobieństwo otrzymania liczby mniejszej od 53

 


Odpowiedź: Prawdopodobieństwo tego zdarzenia wynosi  


e) Wszystkie możliwe wyniki:

liczby od 1 do 6- jest ich 6

Wyniki, które są liczbami jednocyfrowymi: 1, 2, 3, ,4 ,5, 6 - jest ich 6

p- prawdopodobieństwo otrzymania liczby jednocyfrowej

 


Odpowiedź: Prawdopodobieństwo tego zdarzenia wynosi  


f) Wszystkie możliwe wyniki:

liczby od 1 do 6- jest ich 6

Wyniki, które są liczbami pierwszymi: 2, 3, 5 - jest ich 3

p- prawdopodobieństwo otrzymania liczby pierwszej

 


 

Do 500 g roztworu soli o stężeniu ...

a) Po dolaniu 750 g wody stężenie roztworu wynosiło 4%. {premium}


b) Dolano 2000 g wody. 


c) Początkowe stężenie wynosiło 10%. Dwukrotnie mniejsze stężenie to 10%:2=5%. 

Do momentu uzyskania stężenia 5% dolano 500 g wody. 

Jakie miary mają...

 

 

 

{premium}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie ...
 Jeżeli w trójkącie równoramiennym kąt przy podstawie ma miarę , to trójkąt ten
 jest rozwartokątny.
P F


Miarę kąta między ramionami trójkąta równoramiennego oznaczmy przez .

{premium}


Suma miar kątów wewnętrznych w trójkącie jest równa , więc:

 

 

 


Miara kąta rozwartego jest większa od , ale mniejsza od , zatem trójkąt ten jest rozwartokątny.


 Jeżeli w trójkącie równoramiennym miara kąta między ramionami jest dwa razy
 większa od miary kąta przy podstawie, to trójkąt ten jest prostokątny.
P F


Miara kąta między ramionami jest dwa razy większa od miary kąta przy podstawie. Przyjmijmy więc następujące oznaczenia:

 - miara kąta przy podstawie

 - miara kąta między ramionami


Suma miar kątów wewnętrznych w trójkącie jest równa , więc:

 

 

 


Miara kąta między ramionami jest więc równa , zatem trójkąt ten jest prostokątny.

Uderzona kula bilardowa potoczyła się z punktu A ...

Przyjmijmy oznaczenia jak na poniższym rysunku:

 

 

  


Zauważmy, że trójkąty ACD i BED są trójkątami prostokątnymi, których jeden z kątów ostrych ma miarę 30o.

Drugi z kątów ostrych każdego z tych trójkątów ma więc miarę 60o. Są to więc trójkąty, których kąty mają miary 30o, 60o i 90o. {premium}

Korzystając z zależności między bokami w trójkącie o kątach 30o, 60o i 90obliczamy długości boków AD i BD. 
 

 

    

 


Droga przebyta przez kulę bilardową jest równa sumie długości odcinków AD i BD. 

Ma ona więc długość:
 


Odpowiedź:
Kula bilardowa przebyła drogę długości (12+10√3/3) dm

Oblicz...

 

 

 

 

 

 

 

 {premium}

 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Okrąg o środku O przechodzi ...

Rysujemy promień OA. Promień ten dzieli kąt o mierze 45o na dwa kąty o równych miarach. {premium}

 


Otrzymujemy trójkąty równoramienne AOC i AOB, gdyż ich boki OA i OC oraz OB są promieniami okręgu (mają równe długości). 

 

W każdym z tych trójkątów kąt przy wierzchołku O ma miarę: 

 


Kąty AOB, AOB i BOC tworzą kąt pełny, czyli kąt o mierze 360o

Obliczamy ile wynosi miara kąta BOC. 

 


Miara kąta BOC wynosi 90o. Wynika z tego, że trójkąt OBC jest prostokątny. 

Obwód podstawy ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ...

Podstawą ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego jest sześciokąt foremny. Obliczamy długość krawędzi podstawy.

 

 

Sześciokąt foremny {premium}składa się z sześciu trójkątów równobocznych. Obliczamy pole podstawy ostrosłupa.

 


Wiemy, że wysokość ściany bocznej jest o  dłuższa od krawędzi podstawy, zatem 

 


Obliczamy pole powierzchni bocznej.

 


Obliczamy pole powierzchni całkowitej ostrosłupa.

 

 


Odpowiedź: Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa wynosi .

Zredukuj wyrazy podobne. Litery odpowiadające...

 

W kratkę należy wpisać literę E.

{premium}


 

W kratkę należy wpisać literę P.


 

W kratkę należy wpisać literę I.


 

W kratkę należy wpisać literę K.


 

W kratkę należy wpisać literę A.


Hasło: EPIKA

Obwód narysowanego czworokąta...

Wiemy, że obwód czworokąta wynosi . Dodając długości wszystkich boków tego czworokąta otrzymujemy równanie:

 

 {premium}

 

 

Z tego wynika, że poszczególne boki mają długość:

 

 

 

 

Wówczas długości średnich boków wynoszą  i . Zatem ich różnica ma postać:

 

 

Odpowiedź: