Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Proporcjonalność - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Proporcje

Proporcja to równość dwóch ułamków czyli równość dwóch ilorazów.

Wyrazy skrajne to w pierwszym ułamku licznik, a w drugim ułamku mianownik.

Wyrazy środkowe to w pierwszym ułamku mianownik, a w drugim licznik.

Przykłady:

  • `m/n=k/l \ \ \ \ ->`     wyrazy skrajne: m, l;  wyrazy środkowe: n, k

  • `5/k=l/3 \ \ \ \ ->`     wyrazy skrajne: 5, 3;  wyrazy środkowe: k, l

  • `3/x=(5+x)/2 \ \ \ \ ->`     wyrazy skrajne: 3, 2;  wyrazy środkowe: x, 5+x 


W proporcji iloczyn wyrazów skrajnych jest równy iloczynowi wyrazów środkowych. 

Przykład:

  • `x/3=5/2` 

    `x*2=3*5` 

    `2x=15 \ \ \ \ \ \ \ |:2` 

    `x=7,5`   

Wielkości wprost proporcjonalne

W matematyce w wielu przypadkach można zauważyć wielkości wprost proporcjonalne. Co to jest?

Wielkości wprost proporcjonalne to takie wielkości, w których wraz ze wzrostem jednej z nich druga rośnie tyle samo razy.


Przykłady:

  • Liczba kupionych jabłek i kwota, którą musimy za nie zapłacić. 

    Jeśli zwiększymy liczbę zakupionych jabłek, tyle samo razy zwiększy się kwota, którą należy za nie zapłacić. 

  • Liczba jednakowych ziarenek kaszy i łączna ich masa. 

    Jeśli zwiększymy liczbę ziarenek, tyle samo razy zwiększy się ich łączna masa. 

  • Czas podróży i droga przebyta w tym czasie (zakładamy, że poruszamy się ze stałą prędkością). 

    Ile razy dłuższy czas podróży, tyle razy dłuższą drogę można przebyć. 

 

Wielkości odwrotnie proporcjonalne

Wielkości odwrotnie proporcjonalne to takie, w których jedna wielkość rośnie, a druga maleje tyle samo razy.


Przykłady:

  • Liczba kawałków ciasta i wielkość jednego kawałka.

    Gdy zwiększymy liczbę kawałków, tyle samo razy zmniejszy się ich wielkość. 

  • Liczba słoików, do których rozlewamy sok i ich pojemność.

    Gdy zwiększymy liczbę słoików, tyle samo razy musimy zmniejszyć ich pojemność (ilość soku jest stała). 

Podział proporcjonalny

Podział proporcjonalny to podział danej wielkości na odpowiednie kawałki zgodnie z podanym stosunkiem. 

 

Przykład: 

Jak należy podzielić sznurek długości 70 cm w stosunku 2:5?

Stosunek 2:5 oznacza, że cały sznurek należy podzielić na 2+5=7 równych, małych części. Długość każdej części oznaczamy literą x. 

Pierwszy kawałek sznurka będzie składać się z 2 małych części, czyli jej długość to 2x. 

Drugi kawałek całego sznurka będzie składać się z 5 małych części, czyli jej długość to 5x.

Wiemy, że długość całego sznurka wynosi 70 cm. Czyli: 

`2x+5x=70` 

`7x=70 \ \ \ \ \ \ \ \ |:7` 

`x=10 \ \ \ ["cm"]`


Zatem: 

`2x=2*10=20 \ \ \ ["cm"]`

`5x=5*10=50 \ \ \ ["cm"]`


Odpowiedź: Sznurek podzielono na dwie części o długości 20 cm i 50 cm.   

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Odgadnij liczbę x spełniającą równanie:

  1. $$ 1/x=5/{15} $$
  2. $$ 2/3=x/9 $$
  3. $$ 2/x=7/{21} $$
  1. $$ 5x=15 $$
    $$ x=3 $$
  2. $$ 3x=18 $$
    $$ x=6 $$
  3. $$ 7x=42 $$
    $$ x=6 $$

Zadanie 2.

Włosy przedłużają się przeciętnie o 1 cm w ciągu 3 tygodni. O ile milimetrów wydłużają się w ciągu jednej godziny?

x -> długość o jaką wydłużają się włosy w ciągu jednej godziny
$$1 cm=10 mm $$
3 tygodnie =21 dni= 504 godzin
$$ {10}/{504}=x/1 $$
$$ 504x=10 $$
$$ x≈0,02 mm $$

Odp.: Włosy wydłużają się przeciętnie o około 0,02 mm na godzinę.

Zadanie 3.

Jaka równość wynika z proporcji: $$ 3/x={2+x}/{12} $$ ?

$$ 3/x={2+x}/12 $$
$$ x(2+x)=36 $$
$$ 2x+x^2=36 $$
Odp.: Z tej proporcji wynika równość $$2x+x^2=36$$.

Zadanie 4.

Szklankę herbaty posłodzono dwiema łyżeczkami cukru. Ile łyżeczek cukru trzeba wrzucić do kotła herbaty, aby była tak samo słodka? Szklanka ma pojemność 0,25 l, a kocioł 20 l.

$$ x $$ -> ilość łyżeczek cukru jaką trzeba wrzucić do kotła
$$ 2/{0,25}=x/{20} $$
$$ 0,25x=40 $$
$$ x=160 $$
Odp.: Trzeba wrzucić 160 łyżeczek cukry, aby herbata w kotle była tak samo słodka jak w szklance.

Zadanie 5.

Tomek i Janek plewią ogródek. Gdyby Tomek robił to sam, zajęłoby mu to 10 godzin. Gdyby Janek robił to sam zajęłoby mu to 15 godzin. Jak długo będą plewić wspólnie?

$$ x$$ -> ilość godzin jaką będą plewić ogródek wspólnie
$$ 1/{10} $$ ogródka plewi Tomek w 1 godzinę
$$ 1/{15} $$ ogródka plewi Janek w 1 godzinę
$$ 1/{10}+1/{15}=3/{30}+2/{30}=5/{30}=1/6 $$ ogródka plewią obydwoje w 1 godzinę
$$ { {1}/{6} }/1=1/x $$
$$ x=6 $$
Odp.: Wspólnie będą plewić ogródek w 6 godzin.

Zadanie 6.

Jeśli 5 butelek napoju kosztuje 8 zł, to ile kosztuje 20 takich butelek?

$$x$$ -> koszt 20 takich butelek
$$ 8/5=x/{20} $$
$$ 5x=160 $$
$$ x=32 $$
Odp.: 20 takich butelek kosztuje 32 zł.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Wskaż odcinek symetryczny do odcinka AB względem prostej

Krótsza przekątna trapezu...

Wykonajmy rysunek do zadania:

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczmy długość boku a:

`a^2 + a^2 = 8^2` 

`2 a^2 = 64 \ \ \ \ \ |:2` 

`a^2 = 32 \ \ \ \ \ |sqrt(\ )` 

`sqrt(a^2) = sqrt(32 )` 

`a=sqrt(16*2)` 

`a = 4sqrt2` 
{premium}

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczmy długość boku b:

`b^2 = 8^2 + 8^2`  

`b^2 = 64+64` 

`b^2 = 128 \ \ \ \ \ |sqrt(\ )` 

`sqrt(b^2) = sqrt(128)` 

`b = sqrt(64*2)` 

`b=8sqrt2` 

Obliczmy pole trapezu:

`P = (a*(a+b))/2` 

`P = (4sqrt2*(4sqrt2 + 8sqrt2))/2` 

`P = (4sqrt2*12sqrt2)/2` 

`P = (4*12*strike2)/strike2`  

`P = 48` 

 

Odp.: Pole tego trapezu wynosi 48 cm2.

Poniżej podano pewne czynności i kolejność ich...

n=9

Największa liczba pierwsza mniejsza od 9 to 7.

7+5=12 

Najmniejsza liczba pierwsza, przez którą jest podzielna 12, to 2

Wynik: 2


{premium}

n=17

Największa liczba pierwsza mniejsza od 17 to 13.

13+5=18 

Najmniejsza liczba pierwsza, przez którą jest podzielne 18, to 2

Wynik: 2


n=27

Największa liczba pierwsza mniejsza od 27 to 23.

23+5=28 

Najmniejsza liczba pierwsza, przez którą jest podzielne 28, to 2

Wynik: 2


n=32

Największa liczba pierwsza mniejsza od 32 to 31.

31+5=36 

Najmniejsza liczba pierwsza, przez którą jest podzielne 36, to 2

Wynik: 2


 

NIEZALEŻNIE OD WYBORU LICZBY WYNIK ZAWSZE JEST RÓWNY 2

 

Dwa okręgi o środkach P oraz S są styczne i mają ...

Łączymy punkty P i S i otrzymujemy odcinek PS.

Okręgi o środkach punktach P i S są styczne zewnętrznie i mają równe promienie.

Oznacza to, że są styczne w punkcie będącym środkiem odcinka PS.

Oznaczmy ten punkt jako R.

{premium}

Kreślimy okrąg o środku P i promieniu PR oraz okrąg o środku S i promieniu SR.

Następnie rysujemy odcinek OS. Punkt przecięcia odcinka OS z okręgiem o środku S oznaczmy jako T.

Kreślimy okrąg o środku w punkcie O i promieniu OT. 

Możemy zauważyć, że wszystkie warunki podane w treści zadania są spełnione.

Okrąg o środku w punkcie O NIE przecina okręgu o środku w punkcie P.

Zapisz w postaci jednego pierwiastka.

`a")" \ sqrt2*sqrt7= sqrt(2*7)= sqrt14` 

`\ \ \ sqrt3*sqrt10= sqrt(3*10)= sqrt30` 

`\ \ \ root(3)(5)*root(3)(11)= root(3)(5*11)=root(3)(55)` 
{premium}



`b")" \ (sqrt10)/(sqrt2)= sqrt(10/2)= sqrt5` 

`\ \ \ sqrt15:sqrt5= (sqrt15)/(sqrt5)=sqrt(15/5)=sqrt3` 

`\ \ \ root(3)(30):root(3)(3)= (root(3)(30))/(root(3)(3))=root(3)(30/3)= root(3)(10)` 

W pewnej ankiecie...

Z wykresu odczytujemy, że:

  • budyń malinowy lubi:  `140\ "osób"` 
  • budyniu malinowego nie lubi: `80\ "osób"` 

Oznacza to, że liczba wszystkich badanych osób to:

`140 + 80 = 220` 
{premium}

Obliczmy jaki procent badanych lubi, a jaki nie lubi budyniu malinowego: 

`140/220*100% = 7/11*100% = 700/11%~~63,6%` 

`80/220*100% = 4/11*100% = 400/11%~~36,4%` 

Odp.: Budyń malinowy lubi około 63,6% badanych osób, natomiast budyniu malinowego nie lubi około 36,4% badanych osób.

a) Pierwiastek kwadratowy...

`a)` 

`sqrt(a * b)*sqrt(a:b) = sqrt(a*b*a:b )=sqrt(a*b*a*1/b)=` 
{premium}
`=sqrt(a^2)=a` 

 

`b)` 

`sqrt(a *b) :sqrt(a:b)= sqrt(a*b:(a:b)) =sqrt(a*b:(a/b))=sqrt(a*b*1/(a/b)) = sqrt(a*b*b/a)=`    

`=sqrt(b^2) = b` 

Skrupuły i łuty to dawne jednostki masy. ...

`"a)"\ 1\ "skrupuł"=1,056\ "g"=1,056*0,001\ "kg"=0,001056\ "kg"` 

Obliczamy, ile skrupułów waży jeden kilogram:

`1\ "kg"=1:0,001056 \ "skrupułów"~~946,97\ "skrupułów"` 

{premium}

Zamieniamy wagę pani Wiesławy i pani Jadwigi na skrupuły:

`58\ "kg"~~58*946,97\ "skrupułów"=54\ 924,26\ "skrupułów"` 

`77,8\ "kg"~~77,8*946,97\ "skrupułów"=73\ 674,266\ "skrupułów"` 

Obliczamy, o ile więcej skrupułów ma pani Jadwiga:

`73\ 674,266-54\ 924,26=18\ 750,26~~18\ 750\ "skrupułów"`  

Odpowiedź: Pani Jadwiga ma około `18\ 750` skrupułów więcej od pani Wiesławy.

 

`"b)"\ 5000\ "łutów"=5000*12\ "skrupułów"=60\ 000\ "skrupułów"=60\ 000*1,056 \ "g"=63\ 360\ "g"=` 

`\ \  \=63\ 360*0,001\ "kg"=63,36\ "kg"`  

Odpowiedź: Żona pana Jana waży `63,36\ "kg".`    

Oblicz brakującą długość boku trójkąta,

`a) \ 20^2+b^2=25^2` 
`\ \ \ 400+b^2=625 \ \ \ \ \ \ \ \ \ |-400` 
`\ \ \ b^2=225` 
`\ \ \ b=sqrt{225}` 
`\ \ \ b=15` 
`ul(ul( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 
{premium}


`b) \ 30^2+40^2=x^2` 
`\ \ \ 900+1600=x^2` 
`\ \ \ 2500=x^2` 
`\ \ \ x=sqrt{2500}` 
`\ \ \ x=50` 
`ul(ul( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 


`c) \ 4^2+p^2=6^2` 
`\ \ \ 16+p^2=36 \ \ \ \ \ \ \ \ |-16` 
`\ \ \ p^2=20` 
`\ \ \ p=sqrt{20}=sqrt{4*5}`  
`\ \ \ p=2sqrt{5}`  
`ul(ul( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 


`d) \ 5^2+6^2=m^2` 
`\ \ \ 25+36=m^2` 
`\ \ \ 61=m^2` 
`\ \ \ m=sqrt{61}` 
`ul(ul( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 


`e) \ w^2+5^2=13^2` 
`\ \ \ w^2+25=169 \ \ \ \ \ \ \ \ \ |-25` 
`\ \ \ w^2=144` 
`\ \ \ w=sqrt{144}` 
`\ \ \ w=12` 

Rzymianie liczyli lata od założenia Rzymu, co miało ...

a) Rzym założono w 753 r. p. n. e. Cesarstwo rzymskie upadło w 476 r. n.e.

Obliczamy, ile lat miał Rzym. 

{premium}

`753+476-1=1229-1=1228` 

Uwaga!!! Należy odjąć 1, gdyż nie ma roku 0. Z 1 r. p. n. e. od razu przechodzimy na 1 r. n. e. 

Rzym miał 1228 lat. Jego wiek zapisujemy w systemie rzymskim. 

`1228 \ - \ "MCCXXVIII"` 

 

b) Obecnie mamy 2018 rok. Obliczamy, którym rokiem od założenia Rzymu jest rok 2018. 

`2018+753-1=2771-1=2770` 

Uwaga!!! Należy odjąć 1, gdyż nie ma roku 0. Z 1 r. p. n. e. od razu przechodzimy na 1 r. n. e. 

Obecny rok byłby 2770 rokiem od założenia Rzymu. Zapisujemy to w systemie rzymskim. 

`2770 \ - \ "MMDCCLXX"`