Proporcjonalność - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Proporcje

Proporcja to równość dwóch ułamków czyli równość dwóch ilorazów.

Wyrazy skrajne to w pierwszym ułamku licznik, a w drugim ułamku mianownik.

Wyrazy środkowe to w pierwszym ułamku mianownik, a w drugim licznik.

Przykłady:

  • `m/n=k/l \ \ \ \ ->`     wyrazy skrajne: m, l;  wyrazy środkowe: n, k

  • `5/k=l/3 \ \ \ \ ->`     wyrazy skrajne: 5, 3;  wyrazy środkowe: k, l

  • `3/x=(5+x)/2 \ \ \ \ ->`     wyrazy skrajne: 3, 2;  wyrazy środkowe: x, 5+x 


W proporcji iloczyn wyrazów skrajnych jest równy iloczynowi wyrazów środkowych. 

Przykład:

  • `x/3=5/2` 

    `x*2=3*5` 

    `2x=15 \ \ \ \ \ \ \ |:2` 

    `x=7,5`   

Wielkości wprost proporcjonalne

W matematyce w wielu przypadkach można zauważyć wielkości wprost proporcjonalne. Co to jest?

Wielkości wprost proporcjonalne to takie wielkości, w których wraz ze wzrostem jednej z nich druga rośnie tyle samo razy.


Przykłady:

  • Liczba kupionych jabłek i kwota, którą musimy za nie zapłacić. 

    Jeśli zwiększymy liczbę zakupionych jabłek, tyle samo razy zwiększy się kwota, którą należy za nie zapłacić. 

  • Liczba jednakowych ziarenek kaszy i łączna ich masa. 

    Jeśli zwiększymy liczbę ziarenek, tyle samo razy zwiększy się ich łączna masa. 

  • Czas podróży i droga przebyta w tym czasie (zakładamy, że poruszamy się ze stałą prędkością). 

    Ile razy dłuższy czas podróży, tyle razy dłuższą drogę można przebyć. 

 

Wielkości odwrotnie proporcjonalne

Wielkości odwrotnie proporcjonalne to takie, w których jedna wielkość rośnie, a druga maleje tyle samo razy.


Przykłady:

  • Liczba kawałków ciasta i wielkość jednego kawałka.

    Gdy zwiększymy liczbę kawałków, tyle samo razy zmniejszy się ich wielkość. 

  • Liczba słoików, do których rozlewamy sok i ich pojemność.

    Gdy zwiększymy liczbę słoików, tyle samo razy musimy zmniejszyć ich pojemność (ilość soku jest stała). 

Podział proporcjonalny

Podział proporcjonalny to podział danej wielkości na odpowiednie kawałki zgodnie z podanym stosunkiem. 

 

Przykład: 

Jak należy podzielić sznurek długości 70 cm w stosunku 2:5?

Stosunek 2:5 oznacza, że cały sznurek należy podzielić na 2+5=7 równych, małych części. Długość każdej części oznaczamy literą x. 

Pierwszy kawałek sznurka będzie składać się z 2 małych części, czyli jej długość to 2x. 

Drugi kawałek całego sznurka będzie składać się z 5 małych części, czyli jej długość to 5x.

Wiemy, że długość całego sznurka wynosi 70 cm. Czyli: 

`2x+5x=70` 

`7x=70 \ \ \ \ \ \ \ \ |:7` 

`x=10 \ \ \ ["cm"]`


Zatem: 

`2x=2*10=20 \ \ \ ["cm"]`

`5x=5*10=50 \ \ \ ["cm"]`


Odpowiedź: Sznurek podzielono na dwie części o długości 20 cm i 50 cm.   

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Odgadnij liczbę x spełniającą równanie:

  1. $$ 1/x=5/{15} $$
  2. $$ 2/3=x/9 $$
  3. $$ 2/x=7/{21} $$
  1. $$ 5x=15 $$
    $$ x=3 $$
  2. $$ 3x=18 $$
    $$ x=6 $$
  3. $$ 7x=42 $$
    $$ x=6 $$

Zadanie 2.

Włosy przedłużają się przeciętnie o 1 cm w ciągu 3 tygodni. O ile milimetrów wydłużają się w ciągu jednej godziny?

x -> długość o jaką wydłużają się włosy w ciągu jednej godziny
$$1 cm=10 mm $$
3 tygodnie =21 dni= 504 godzin
$$ {10}/{504}=x/1 $$
$$ 504x=10 $$
$$ x≈0,02 mm $$

Odp.: Włosy wydłużają się przeciętnie o około 0,02 mm na godzinę.

Zadanie 3.

Jaka równość wynika z proporcji: $$ 3/x={2+x}/{12} $$ ?

$$ 3/x={2+x}/12 $$
$$ x(2+x)=36 $$
$$ 2x+x^2=36 $$
Odp.: Z tej proporcji wynika równość $$2x+x^2=36$$.

Zadanie 4.

Szklankę herbaty posłodzono dwiema łyżeczkami cukru. Ile łyżeczek cukru trzeba wrzucić do kotła herbaty, aby była tak samo słodka? Szklanka ma pojemność 0,25 l, a kocioł 20 l.

$$ x $$ -> ilość łyżeczek cukru jaką trzeba wrzucić do kotła
$$ 2/{0,25}=x/{20} $$
$$ 0,25x=40 $$
$$ x=160 $$
Odp.: Trzeba wrzucić 160 łyżeczek cukry, aby herbata w kotle była tak samo słodka jak w szklance.

Zadanie 5.

Tomek i Janek plewią ogródek. Gdyby Tomek robił to sam, zajęłoby mu to 10 godzin. Gdyby Janek robił to sam zajęłoby mu to 15 godzin. Jak długo będą plewić wspólnie?

$$ x$$ -> ilość godzin jaką będą plewić ogródek wspólnie
$$ 1/{10} $$ ogródka plewi Tomek w 1 godzinę
$$ 1/{15} $$ ogródka plewi Janek w 1 godzinę
$$ 1/{10}+1/{15}=3/{30}+2/{30}=5/{30}=1/6 $$ ogródka plewią obydwoje w 1 godzinę
$$ { {1}/{6} }/1=1/x $$
$$ x=6 $$
Odp.: Wspólnie będą plewić ogródek w 6 godzin.

Zadanie 6.

Jeśli 5 butelek napoju kosztuje 8 zł, to ile kosztuje 20 takich butelek?

$$x$$ -> koszt 20 takich butelek
$$ 8/5=x/{20} $$
$$ 5x=160 $$
$$ x=32 $$
Odp.: 20 takich butelek kosztuje 32 zł.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Zaznacz dwa dowolne punkty i narysuj ...

Zaczynamy od narysowania odcinka o końcach w tych punktach.

podglad pliku

Następnie {premium}konstruujemy symetralną tego odcinka - na niej leżeć będą środki okręgów przechodzących przez oba te punkty.

podglad pliku

Rysujemy kilka okręgów przechodzących przez oba punkty.

podglad pliku

Na metkach można odczytać, jak zmieniała się cena ...

Kurtka damska:

  

   

 

{premium}

 

Garsonka: 

  

 

 

 

Spodnie:

 

 

 

 

Bluzka:

 

 

 

 

Sweter:

 

 

 

 

Apaszka:

 

 

        

Oblicz bez korzystania z kalkulatora...

 
{premium}
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Oblicz objętość sześcianu, którego ściana

 

 

 {premium}

 

 

 

Odp. Objętość tego sześcianu wynosi 2√2 cm3.

Czy równoległobok o wierzchołkach...

 

Podane mamy wierzchołki czworokąta:

 

Zaznaczmy te punkty w układzie współrzędnych:

podglad pliku

Jeżeli czworokąt o podanych wierzchołkach byłby rombem to miałby wszystkie boki równej długości. Z tego wynika, że powinna być wówczas spełniona zależność:

 

Obliczamy długości tych odcinków:

 odcinek AB:

 

 

 odcinek BC:

 

 

 odcinek CD:{premium}

 

 

 odcinek AD:

 

 

Ponieważ spełniona jest zależność  to czworokąt jest rombem.


 

Przekątne rombu to  i .  Obliczamy długości tych odcinków. Odcinek :

 

 

 

 

 

Odcinek :

 

 

 

 

 

Odpowiedź: Długości przekątnych wynoszą  i .


 

W rombie przekątne przecinają się w połowie. Współrzędne środka odcinka będącego jedną z przekątnych będą wynosiły:

 

Odpowiedź: Punkt przecięcia się przekątnych rombu wynosi .

Dane jest równanie ...

Pierwszy wiersz w tabeli: 

W okienko wstawiamy liczbę -3. Sprawdzamy, czy rozwiązaniem równania jest liczba 0.{premium}

 

 

 

Po wstawianiu liczby -3 w miejsce okienka nie otrzymaliśmy równania spełnionego przez liczbę 0. 


W okienko wstawiamy liczbę 0. Sprawdzamy, czy rozwiązaniem równania jest liczba 0.

 

 

 

Po wstawianiu liczby 0 w miejsce okienka nie otrzymaliśmy równania spełnionego przez liczbę 0. 

W okienko wstawiamy liczbę 2. Sprawdzamy, czy rozwiązaniem równania jest liczba 0.

   

 

 

Po wstawianiu liczby 2 w miejsce okienka otrzymaliśmy równanie spełnione przez liczbę 0. 


Odpowiedź: P (prawda)



Drugi wiersz w tabeli:

W okienko wstawiamy liczbę -3. Rozwiązujemy podane równanie. 

 

 

 

 

Równanie sprzecznie - brak rozwiązań. 


Po wybraniu liczby -3 otrzymujemy takie równanie, które nie ma rozwiązań. 


Odpowiedź: P (prawda)

Odcinki a i b są prostopadłe...

Symetralna odcinka to prosta prostopadła do odcinka przechodząca przez jego środek.

Wiemy, że odcinki a i b są prostopadłe zatem {premium} odcinek a zawiera się w symetralnej odcinka b,
natomiast odcinek b zawiera się w symetralnej odcinka a. 

Z tego wynika, że symetralne tych odcinków są do siebie prostopadłe.

Przekątna ściany bocznej graniastosłup prawidłowego ...

Rysunek pomocniczy:

 

Wysokość graniastosłupa, krawędź podstawy oraz przekątna ściany bocznej tworzą trójkąt prostokątny.

Jeden z kątów ostrych w trójkącie ma miare równą 30o, wówczas miara drugiego kąta ostrego wynosi 60o.

 Wiemy, że wysokość graniastosłupa wynosi:

 

oznaczmy krawędź podstawy jako a.

Korzystając z własności trójkąta o kątach 90o, 60o i 30o możemy zapisać równość: {premium}

 

 

 

Obliczamy pole podstawy graniastosłupa (podstawa jest trójkątem równobocznym o boku długości 33 cm):

 

Obliczamy objętość graniastosłupa:

   

Oceń prawdziwość każdego zdania ...

FAŁSZ, ponieważ {premium}

liczby ujemne podniesione do potęgo o wykładniku nieparzystym są ujemne, a liczby dodatnie podniesione do potęgo o wykładniku nieparzystym są dodatnie.

Np. , a .

 

FAŁSZ, ponieważ 

sześcian liczby wymiernej, czyli liczby, którą można przedstawić za pomocą ułamka zwykłego jest liczbą mniejszą niż kwadrat tej liczby.

Np.

Oblicz. a) -6√0,54+15√ 0,06:√6

{premium}