Proporcjonalność - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Proporcjonalność - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Proporcje

Proporcja to równość dwóch ułamków czyli równość dwóch ilorazów.

Wyrazy skrajne to w pierwszym ułamku licznik, a w drugim ułamku mianownik.

Wyrazy środkowe to w pierwszym ułamku mianownik, a w drugim licznik.

Przykłady:

  • `m/n=k/l \ \ \ \ ->`     wyrazy skrajne: m, l;  wyrazy środkowe: n, k

  • `5/k=l/3 \ \ \ \ ->`     wyrazy skrajne: 5, 3;  wyrazy środkowe: k, l

  • `3/x=(5+x)/2 \ \ \ \ ->`     wyrazy skrajne: 3, 2;  wyrazy środkowe: x, 5+x 


W proporcji iloczyn wyrazów skrajnych jest równy iloczynowi wyrazów środkowych. 

Przykład:

  • `x/3=5/2` 

    `x*2=3*5` 

    `2x=15 \ \ \ \ \ \ \ |:2` 

    `x=7,5`   

Wielkości wprost proporcjonalne

W matematyce w wielu przypadkach można zauważyć wielkości wprost proporcjonalne. Co to jest?

Wielkości wprost proporcjonalne to takie wielkości, w których wraz ze wzrostem jednej z nich druga rośnie tyle samo razy.


Przykłady:

  • Liczba kupionych jabłek i kwota, którą musimy za nie zapłacić. 

    Jeśli zwiększymy liczbę zakupionych jabłek, tyle samo razy zwiększy się kwota, którą należy za nie zapłacić. 

  • Liczba jednakowych ziarenek kaszy i łączna ich masa. 

    Jeśli zwiększymy liczbę ziarenek, tyle samo razy zwiększy się ich łączna masa. 

  • Czas podróży i droga przebyta w tym czasie (zakładamy, że poruszamy się ze stałą prędkością). 

    Ile razy dłuższy czas podróży, tyle razy dłuższą drogę można przebyć. 

 

Wielkości odwrotnie proporcjonalne

Wielkości odwrotnie proporcjonalne to takie, w których jedna wielkość rośnie, a druga maleje tyle samo razy.


Przykłady:

  • Liczba kawałków ciasta i wielkość jednego kawałka.

    Gdy zwiększymy liczbę kawałków, tyle samo razy zmniejszy się ich wielkość. 

  • Liczba słoików, do których rozlewamy sok i ich pojemność.

    Gdy zwiększymy liczbę słoików, tyle samo razy musimy zmniejszyć ich pojemność (ilość soku jest stała). 

Podział proporcjonalny

Podział proporcjonalny to podział danej wielkości na odpowiednie kawałki zgodnie z podanym stosunkiem. 

 

Przykład: 

Jak należy podzielić sznurek długości 70 cm w stosunku 2:5?

Stosunek 2:5 oznacza, że cały sznurek należy podzielić na 2+5=7 równych, małych części. Długość każdej części oznaczamy literą x. 

Pierwszy kawałek sznurka będzie składać się z 2 małych części, czyli jej długość to 2x. 

Drugi kawałek całego sznurka będzie składać się z 5 małych części, czyli jej długość to 5x.

Wiemy, że długość całego sznurka wynosi 70 cm. Czyli: 

`2x+5x=70` 

`7x=70 \ \ \ \ \ \ \ \ |:7` 

`x=10 \ \ \ ["cm"]`


Zatem: 

`2x=2*10=20 \ \ \ ["cm"]`

`5x=5*10=50 \ \ \ ["cm"]`


Odpowiedź: Sznurek podzielono na dwie części o długości 20 cm i 50 cm.   

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Odgadnij liczbę x spełniającą równanie:

  1. $ 1/x=5/{15} $
  2. $ 2/3=x/9 $
  3. $ 2/x=7/{21} $
  1. $ 5x=15 $
    $ x=3 $
  2. $ 3x=18 $
    $ x=6 $
  3. $ 7x=42 $
    $ x=6 $

Zadanie 2.

Włosy przedłużają się przeciętnie o 1 cm w ciągu 3 tygodni. O ile milimetrów wydłużają się w ciągu jednej godziny?

x -> długość o jaką wydłużają się włosy w ciągu jednej godziny
$1 cm=10 mm $
3 tygodnie =21 dni= 504 godzin
$ {10}/{504}=x/1 $
$ 504x=10 $
$ x≈0,02 mm $

Odp.: Włosy wydłużają się przeciętnie o około 0,02 mm na godzinę.

Zadanie 3.

Jaka równość wynika z proporcji: $ 3/x={2+x}/{12} $ ?

$ 3/x={2+x}/12 $
$ x(2+x)=36 $
$ 2x+x^2=36 $
Odp.: Z tej proporcji wynika równość $2x+x^2=36$.

Zadanie 4.

Szklankę herbaty posłodzono dwiema łyżeczkami cukru. Ile łyżeczek cukru trzeba wrzucić do kotła herbaty, aby była tak samo słodka? Szklanka ma pojemność 0,25 l, a kocioł 20 l.

$ x $ -> ilość łyżeczek cukru jaką trzeba wrzucić do kotła
$ 2/{0,25}=x/{20} $
$ 0,25x=40 $
$ x=160 $
Odp.: Trzeba wrzucić 160 łyżeczek cukry, aby herbata w kotle była tak samo słodka jak w szklance.

Zadanie 5.

Tomek i Janek plewią ogródek. Gdyby Tomek robił to sam, zajęłoby mu to 10 godzin. Gdyby Janek robił to sam zajęłoby mu to 15 godzin. Jak długo będą plewić wspólnie?

$ x$ -> ilość godzin jaką będą plewić ogródek wspólnie
$ 1/{10} $ ogródka plewi Tomek w 1 godzinę
$ 1/{15} $ ogródka plewi Janek w 1 godzinę
$ 1/{10}+1/{15}=3/{30}+2/{30}=5/{30}=1/6 $ ogródka plewią obydwoje w 1 godzinę
$ { {1}/{6} }/1=1/x $
$ x=6 $
Odp.: Wspólnie będą plewić ogródek w 6 godzin.

Zadanie 6.

Jeśli 5 butelek napoju kosztuje 8 zł, to ile kosztuje 20 takich butelek?

$x$ -> koszt 20 takich butelek
$ 8/5=x/{20} $
$ 5x=160 $
$ x=32 $
Odp.: 20 takich butelek kosztuje 32 zł.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Czterech pracowników wykonało wspólnie ...

Obliczamy ile łącznie dni pracowali pracownicy. 

 


Obliczamy jaką część łącznej liczby dni pracowali poszczególni pracownicy.  {premium}

  • Ambroży:  

  • Bonifacy:  

  • Celestyn:  

  • Damazy:  


Łączne wynagrodzenie wynosiło 3000 zł. 

Obliczamy ile pieniędzy otrzymał każdy z pracowników adekwatnie do przepracowanych dni. 

  • Ambroży:    

  • Bonifacy:   

  • Celestyn:   

  • Damazy:   


Odpowiedź: Pan Ambroży powinien otrzymać 1250 zł, pan Bonifacy - 1000 zł, pan Celestyn - 250 zł, pan Damazy - 500 zł. 

W tabeli przedstawiono zależność między ...

Zależność przedstawiona w tabeli przedstawia wielkości wprost proporcjonalne. 

Im dłuższy czas jazdy, tym dłuższą drogę można przebyć. 


Układamy proporcję, która pozwoli nam obliczyć szukaną długość drogi. {premium}

 

 

 

Zatem: 

      

 

 

Szukana droga ma długość 90 km. 


Poprawna odpowiedź: D. 90

Proste DF i AG są równoległe, a półprosta CH jest dwusieczną kąta ACF...

Wiemy, że:

suma miar kątów wewnętrznych w każdym trójkącie wynosi  

dwusieczna dzieli kąt na dwa kąty przystające

kąty odpowiadające, naprzemianległe i wierzchołkowe mają taką samą miarę

suma miar kątów przyległych wynosi  


rysunek pomocniczy:
{premium}


Zauważmy, że kąty ACB i BCF mają taką samą miarę (ponieważ półprosta CH jest dwusieczną kąta ACF)
oraz kąty BCF i ABC mają taką samą miarę (ponieważ są to kąty naprzemianległe)

z tego wynika, że kąty ACB i ABC mają taką samą miarę


Odp. TAK ponieważ B

Czteroosobowa rodzina wybrała się ...

Obliczmy ile zapłaciłaby rodzina wybierając ofertę I.

Za wypożyczenie czterech rowerów na 3h zapłacimy: {premium}

 

 

Obliczmy ile zapłaciłaby rodzina wybierając ofertę II.

Za wypożyczenie czterech rowerów zapłacimy:

 

 

Skoro rodzina wybrała tańszy wariant, to zapłaciła 80 zł.

Odp. B

Pewna rodzina planuje wykonać...

Dane:

Cena  parkietu:  

Cena  terakoty:  

Procent dodatkowo zużywanego parkietu:  

Procent dodatkowo zużywanej terakoty:  

Kwota przeznaczona na materiały:  

Szukane:

Koszt zakupu materiałów.

Rozwiązanie:

Zaczynamy od obliczenia powierzchni poszczególnych pomieszczeń. Wszystkie te pomieszczenia są prostokątami, dlatego:

 

 

 

 {premium}

 

 

 

Obliczamy ile metrów kwadratowych mają razem oba pokoje, w których zostanie położony parkiet:

 

Wiemy, że do otrzymanej powierzchni należy doliczyć  na dodatkowo zużyte materiały, czyli:

 

Obliczamy koszt zakupu parkietu:

 

Obliczamy ile metrów kwadratowych mają razem kuchnia, łazienka i przedpokój:

 

Wiemy, że do otrzymanej powierzchni należy doliczyć  na dodatkowo zużyte materiały, czyli:

 

Obliczamy koszt zakupu terakoty:

 

Z tego wynika, że za materiały rodzina zapłaci:

 

Zauważmy, że:

 

Ponadto parkiet jest droższy niż terakota. Obliczamy, o ile:

 

Odp.: Przeznaczona kwota wystarczy na zakup materiałów oraz za parkiet zapłacono o  złote więcej niż za terakotę.

Tłuszcz stanowi 0,6% masy ryżu...

Wiemy, że tłuszcz stanowi 0,6% masy ryżu

a) Obliczmy, ile gramów tłuszczu zawiera 30-gramowa  porcja ryżu:

 
{premium}
Odp.: 30-gramowa porcja ryżu zawiera 0,18 g tłuszczu.


b) Obliczmy jaka porcja ryżu zawiera 0,51 g tłuszczu:

 - porcja ryżu, która zawiera 0,51 g tłuszczu

 

 

 

Odp.: 0,51 g tłuszczu zawiera  85 g ryżu.

Spośród dwunastu cyfr, którymi zapisano lata ...

Cyfry jakie mamy do dyspozycji to:

 

Jest ich , czyli wszystkich możliwych wyników jest , więc .


a)   Zdarzenie  polega na wylosowaniu liczby nieparzystej.

Zdarzeniu temu sprzyjają {premium}wyniki: .  

Zdarzeniu  sprzyja  zdarzeń elementarnych, czyli .

Prawdopodobieństwo zdarzenia  wynosi:

    


b)   Zdarzenie  polega na wylosowaniu liczby pierwszej.

Zdarzeniu temu sprzyjają wyniki: .  

Zdarzeniu  sprzyjają  zdarzenia elementarne, czyli .

Prawdopodobieństwo zdarzenia  wynosi:

    

Trójkąt równoboczny ma taki sam obwód ...

Kwadrat to czworokąt, który ma wszystkie boki równej długości.  

Obliczmy obwód kwadratu o boku 3x+1,5y: {premium}

 

 

Obliczmy długość boku trójkąta równobocznego o obwodzie długości 12x+6y.

Trójkąt równoboczny ma wszystkie boki równej długości, zatem jeden bok ma długość:

 

 

Odp. Długość boku trójkąta równobocznego to 4x+2y.

 

a) Zapisz podane liczby...

a)

 

 

 

 

 

 

b)

{premium}

 

 

 

 

 

 

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym wysokość...

Wykonajmy rysunek pomocniczy:

podglad pliku{premium}

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa wyznaczmy długość odcinka a:

 

 

 

 

 

 


Korzystając z twierdzenia Pitagorasa możemy obliczyć długość odcinka b:

 

zatem:

 

 

 

 

 

 


Obliczmy, ile razy krawędź podstawy tego ostrosłupa jest dłuższa od krawędzi bocznej tego ostrosłupa:

 


Odp.: Krawędź podstawy tego ostrosłupa jest (4 √6)/7 razy dłuższa od krawędzi bocznej.