Prawdopodobieństwo - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Prawdopodobieństwo - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Obliczanie prawdopodobieństw

Z doświadczeniami losowymi mamy do czynienia na co dzień. Rzut monetą, rzut sześcienną kostką do gry, wygrana na loterii czy numer nadjeżdżającego autobusu to tylko kilka z nich.

Zdarzenie losowe to pewna sytuacja możliwa do uzyskania podczas danego doświadczenia losowego, np. wyrzucenie parzystej liczby oczek na kostce do gry. 

W zdarzeniach losowych prawdopodobieństwo (oznaczmy go literą P) nastąpienia sytuacji, która nas interesuje oblicza się bardzo prosto (o ile każda z sytuacji jest jednakowo prawdopodobna). Jest to iloraz ilości sytuacji nas interesujących (np. autobusy nam odpowiadające) (ich ilość oznaczmy literą n) i ilości wszystkich możliwych sytuacji (np. wszystkie autobusy) (ich ilość oznaczmy literą N).

`P=n/N` 


Przykładowe zadania:

Zadanie 1.

Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowanie króla z talii 52 kart?

Wiemy, że w talii są 52 karty. W całej talii są 4 króle. 

Wszystkich możliwych wyników jest więc 52. Liczba interesujących nas wyników to 4. 

Prawdopodobieństwo (p) tego zdarzenia wynosi:

`p=4/52=1/13` 

Odpowiedź: Prawdopodobieństwo, że wylosujemy króla wynosi `1/13`

Zadanie 2.

Stoimy na przystanku. Na tym przystanku zatrzymuje się łącznie 8 autobusów. My możemy jechać tylko autobusem numer 234 oraz 123. Nadjeżdża autobus. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że będzie to jeden z autobusów, którymi możemy pojechać?


Wszystkich możliwych wyników jest 8. Liczba interesujących nas wyników to 2. 

Prawdopodobieństwo (p) tego zdarzenia wynosi:

`p=2/8=1/4`  

Odpowiedź: Prawdopodobieństwo nadjechania autobusu, który nam odpowiada wynosi `1/4`.

Zadanie 3.

Rzucamy dwa razy sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo, że suma oczek wyniesie 6.

Rzucając kostką dwukrotnie otrzymujemy 36 róznych kombinacji. Przedstawione są one na tabelce:

tabela

Liczby, które spełniają nasz warunek (suma wynosi 6) zostały pogrubione. Jest ich w sumie 5. 

Wszystkich możliwych wyników jest 36. Liczba interesujących nas wyników to 5. 

Prawdopodobieństwo (p) tego zdarzenia wynosi:

`p=5/36`  

Odpowiedź: Prawdopodobieństwo wynosi `5/36`


Zadanie 4.

Ze zbioru liczb 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ..., 19, 20 wybieramy losowo jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo, że wylosowana liczba jest podzielna przez 3.

Ze zbioru liczb 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ..., 19, 20 (jest ich w sumie 20) wypisujemy wszystkie liczby podzielne przez 3, czyli: 3, 6, 9, 12, 15, 18. Jest ich w sumie 6. 

Wszystkich możliwych wyników jest 20. Liczba interesujących nas wyników to 6. 

Prawdopodobieństwo (p) tego zdarzenia wynosi: 
 
`p=6/20=3/10` 

Odpowiedź: Prawdopodobieństwo w tym przypadku wynosi `3/10`

Zadanie 5.

Rzucamy 2 razy monetą. Oblicz prawdopodobieństwo, że dwa razy wypadnie reszka.

Na początek musimy wypisać wszystkie możliwe kombinacje rzutów tak więc: 

  • Orzeł i Orzeł
  • Orzeł i Reszka
  • Reszka i Reszka
  • Reszka i Orzeł

Pogrubiona została kombinacja, która spełnia nasz warunek. 

Wszystkich możliwych wyników jest 4. Liczba interesujących nas wyników to 1. 

Prawdopodobieństwo (p) tego zdarzenia wynosi:

`p=1/4`  
Odpowiedź: Prawdopodobieństwo w tym przypadku wynosi `1/4` . 

 

Spis treści

Rozwiązane zadania
87,5% uczniów klasy...

Dane:

Procent uczniów pewnej klasy, który planował wyjście do teatru:  

Liczba osób, które zrezygnowały z wyjścia w dniu spektaklu:  

Stosunek liczby uczniów, którzy poszli do teatru do tych którzy pozostali:  

Szukane:

Ilu uczniów planowało wspólne wyjście do teatru:  

Rozwiązanie:

Wiemy, że  uczniów planowało wspólne wyjście do teatru, czyli jeżeli przez  oznaczymy liczbę uczniów w całej klasie to:

 

Wiemy, że  uczniów zrezygnowało w dniu przedstawienia, czyli liczba uczniów uczestniczących w spektaklu to . Ponad to w treści zadania podane mamy, że liczba uczniów, którzy poszli do teatru jest  razy większa od liczby tych, którzy pozostali:{premium}

 

gdzie  to liczba uczniów, którzy od początku nie wybierali się na przedstawienie, a  to liczba uczniów, którzy nie byli na przedstawieniu. Wyznaczmy :

 

 

 

 

 

 

Wiemy że , czyli  będzie wynosiło:

 

 

 

 

 

 

 

 

Odp.: Na przedstawienie planowało iść  uczniów.

Na diagramie przedstawiono, ile dziewcząt i ilu chłopców...

Obliczmy jaki procent klasy VIII a stanowią dziewczęta:

 

{premium}

Obliczmy jaki procent klasy VIII b stanowią dziewczęta:

 


Obliczmy jaki procent klasy VIII c stanowią dziewczęta:

 


Obliczmy jaki procent klasy VIII d stanowią dziewczęta:

 


Odp.: Procent liczby dziewcząt jest największy w klasie VIII b.

Wskaż założenie i tezę w podanym...

a) Założenie: Czworokąt jest kwadratem{premium}

Teza: jego przekątne są równe, prostopadłe, i przecinają się w środku każdej z nich


b) Założenie: a, b - liczby nieparzyste

Teza: Iloczyn liczb a i b jest liczbą nieparzystą


c) Założenie: a, b, c- liczby, które przy dzieleniu przez 3 dają taką samą resztę

Teza: Suma liczb a, b, c jest liczbą podzielną przez 3

Podaj współrzędne wierzchołków figury symetrycznej do danego trójkąta ABC względem:



{premium}

W tabeli podane są pewne informacje ...

a) Średnia odległość Merkurego od Słońca wynosi 5,8٠107 km. 

Średnia odległość Urana od Słońca wynosi 2,9٠109 km. 


Obliczamy ile razy średnia odległość Merkurego od Słońca jest mniejsza od średniej odległości Urana od Słońca. 

W tym celu średnią odległość Urana od Słońca {premium}dzielimy przez średnią odległość Merkurego od Słońca. 

 


Odpowiedź: Średnia odległość Merkurego od Słońca jest 50 razy mniejsza od średniej odległości Urana od Słońca. 



b) Średnica Urana ma długość 5,2٠104 km. Średnica Merkurego ma długość 4,9٠103 km. 


Obliczamy o ile kilometrów średnica Urana jest większa od średnicy Merkurego. 

W tym celu od średnicy Urana odejmujemy średnicę Merkurego. 

 

 


Odpowiedź: Średnica Urana jest większa o 4,71٠104 km

Przemyśl spostrzeżenia uczniów: Czy potrafisz ...

Aby suma oczek była równa  muszą wypaść:

{premium}  (kolejność nie ma znaczenia)

Aby suma oczek była równa  muszą wypaść:

 

Oznacza to, że jest większa szansa na wyrzucenie  niż  oczek.

 

...

Rzucamy 4 razy sześcienną kostką...

W podanym doświadczeniu możemy uzyskać następujące liczby, których suma cyfr jest równa 6:   {premium}

{(1113), (1131), (1311), (3111), (2211), (2121), (1122), (1212), (2112), (1221)}

podanemu zdarzeniu sprzyja 10 wyników.


Odp.: Możemy w ten sposób uzyskać 10 liczb, których suma cyfr jest równa 6.

Oblicz masę metalowej sztabki w kształcie ...

 {premium}

 

 

 

 

   

Narysuj oś liczbową. Zaznacz ...

a) Obliczamy ile wynosi średnia arytmetyczna liczb 4 i 12. 

  {premium}

 

b) Obliczamy ile wynosi średnia arytmetyczna liczb 0 i -6. 

 

 

c) Obliczamy ile wynosi średnia arytmetyczna liczb -5 i 7. 

 

 

d) Obliczamy ile wynosi średnia arytmetyczna liczb -10 i -2. 

 


Można zauważyć, że środek odcinka wyznaczonego przez dwie liczby jest równy średniej arytmetycznej tych liczb. 

Wysokość trójkąta równobocznego...

Dane:

Bok trójkąta równobocznego:  

Szukane:

Wysokość trójkąta równobocznego:

 

Rozwiązanie:{premium}

Wysokość trójkąta równobocznego wyznaczamy z wzoru:

 

Wówczas:

 

 

 

Odpowiedź: