Prawdopodobieństwo - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Prawdopodobieństwo - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Obliczanie prawdopodobieństw

Z doświadczeniami losowymi mamy do czynienia na co dzień. Rzut monetą, rzut sześcienną kostką do gry, wygrana na loterii czy numer nadjeżdżającego autobusu to tylko kilka z nich.

Zdarzenie losowe to pewna sytuacja możliwa do uzyskania podczas danego doświadczenia losowego, np. wyrzucenie parzystej liczby oczek na kostce do gry. 

W zdarzeniach losowych prawdopodobieństwo (oznaczmy go literą P) nastąpienia sytuacji, która nas interesuje oblicza się bardzo prosto (o ile każda z sytuacji jest jednakowo prawdopodobna). Jest to iloraz ilości sytuacji nas interesujących (np. autobusy nam odpowiadające) (ich ilość oznaczmy literą n) i ilości wszystkich możliwych sytuacji (np. wszystkie autobusy) (ich ilość oznaczmy literą N).

`P=n/N` 


Przykładowe zadania:

Zadanie 1.

Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowanie króla z talii 52 kart?

Wiemy, że w talii są 52 karty. W całej talii są 4 króle. 

Wszystkich możliwych wyników jest więc 52. Liczba interesujących nas wyników to 4. 

Prawdopodobieństwo (p) tego zdarzenia wynosi:

`p=4/52=1/13` 

Odpowiedź: Prawdopodobieństwo, że wylosujemy króla wynosi `1/13`

Zadanie 2.

Stoimy na przystanku. Na tym przystanku zatrzymuje się łącznie 8 autobusów. My możemy jechać tylko autobusem numer 234 oraz 123. Nadjeżdża autobus. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że będzie to jeden z autobusów, którymi możemy pojechać?


Wszystkich możliwych wyników jest 8. Liczba interesujących nas wyników to 2. 

Prawdopodobieństwo (p) tego zdarzenia wynosi:

`p=2/8=1/4`  

Odpowiedź: Prawdopodobieństwo nadjechania autobusu, który nam odpowiada wynosi `1/4`.

Zadanie 3.

Rzucamy dwa razy sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo, że suma oczek wyniesie 6.

Rzucając kostką dwukrotnie otrzymujemy 36 róznych kombinacji. Przedstawione są one na tabelce:

tabela

Liczby, które spełniają nasz warunek (suma wynosi 6) zostały pogrubione. Jest ich w sumie 5. 

Wszystkich możliwych wyników jest 36. Liczba interesujących nas wyników to 5. 

Prawdopodobieństwo (p) tego zdarzenia wynosi:

`p=5/36`  

Odpowiedź: Prawdopodobieństwo wynosi `5/36`


Zadanie 4.

Ze zbioru liczb 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ..., 19, 20 wybieramy losowo jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo, że wylosowana liczba jest podzielna przez 3.

Ze zbioru liczb 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ..., 19, 20 (jest ich w sumie 20) wypisujemy wszystkie liczby podzielne przez 3, czyli: 3, 6, 9, 12, 15, 18. Jest ich w sumie 6. 

Wszystkich możliwych wyników jest 20. Liczba interesujących nas wyników to 6. 

Prawdopodobieństwo (p) tego zdarzenia wynosi: 
 
`p=6/20=3/10` 

Odpowiedź: Prawdopodobieństwo w tym przypadku wynosi `3/10`

Zadanie 5.

Rzucamy 2 razy monetą. Oblicz prawdopodobieństwo, że dwa razy wypadnie reszka.

Na początek musimy wypisać wszystkie możliwe kombinacje rzutów tak więc: 

  • Orzeł i Orzeł
  • Orzeł i Reszka
  • Reszka i Reszka
  • Reszka i Orzeł

Pogrubiona została kombinacja, która spełnia nasz warunek. 

Wszystkich możliwych wyników jest 4. Liczba interesujących nas wyników to 1. 

Prawdopodobieństwo (p) tego zdarzenia wynosi:

`p=1/4`  
Odpowiedź: Prawdopodobieństwo w tym przypadku wynosi `1/4` . 

 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Kule białe i czarne umieszczono...

W I pojemniku mamy 6 kul  w tym 2 kule białe.

Obliczmy prawdopodobieństwo wylosowania białej kuli z I pojemnika:  {premium}

 

W II pojemniku mamy 12 kul  w tym 4 kule białe.


Obliczmy prawdopodobieństwo wylosowania białej kuli z II pojemnika:

 


Odp.: T ponieważ B.

Oblicz długość zaznaczonej przekątnej graniastosłupa prostego

{premium}



Krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego ...

Rysunek pomocniczy:

Przyjmujemy oznaczenia, jak na rysunku.

Trójkąt zawierający wierzchołek ostrosłupa i przekątną podstawy zaznaczony został kolorem żółtym.{premium}

Jest to trójkąt równoramienny o ramionach długości  (ramiona są krawędziami bocznym ostrosłupa).

Obliczamy długość przekątnej  podstawy ostrosłupa (korzystamy ze wzoru na długość przekątnej w kwadracie):

 

Zauważmy, że długość odcinka  jest równa połowie długości przekątnej podstawy, więc:

   

Wysokość ostrosłupa, krawędź boczna oraz odcinek  tworzą trójkąt prostokątny.

Korzystając z tw. Pitagorasa obliczamy długość wysokości ostrosłupa:

 

 

 

 

Obliczamy pole trójkąta o podstawie długości  i wysokości poprowadzonej na tę podstawę o długości :

 

Trójkąt prostokątny równoramienny ma ramię

Trójkąt prostokątny równoramienny to trójkąt o kątach 45 °,45 °, 90 °. Również wysokość opuszczona na przeciwprostokątną w tym trójkącie dzieli go na dwa trójkąty prostokątne równoramienne (o kątach 45 °,45 °, 90 °), stąd można bezpośrednio wyznaczyć wyrażenie na długość tej wysokości w zależności od długości z. 

 

  
{premium}

 

 

 

 

 

 

 

 

Czy to prawda? 

 

  

{premium}

 

 

W zadaniu znak nierówności jest w druga stronę.

FAŁSZ  


 

    

 

 

 

PRAWDA


 

 

     

   

 

 

 

PRAWDA


 

       

 

 

 

 

W zadaniu znak nierówności jest w druga stronę.

FAŁSZ  


 

     

 

      

  

    

W zadaniu liczby są ustawione w innej kolejności.

FAŁSZ  


 

   

 

      

 

 

 

PRAWDA 

Rowerzysta jedzie z prędkością ...

Prędkość rowerzysty wynosi 21 km/h. Oznacza to, że w ciągu 1 h rowerzysta pokona drogę długości 21 km. 

 

 

{premium}

Możemy więc stwierdzić, że w czasie 3600 sekund rowerzysta pokona trasę długości 21 000 m. 


Im dłużej będzie jechał rowerzysta, tym dłuższą trasę pokona. 

Wielkości te są więc wprost proporcjonalne. 

Długość pokonanej drogi [w m] 21 000 200
Czas podróży [w s] 3600 x


Mamy więc: 

 

  

 

 


Odpowiedź: Odległość równą 200 m rowerzysta pokona w czasie około 34 sekund

Dokończ zdanie tak, aby otrzymać ...

Szukamy liczby mniejszej od 120, z której potrafimy obliczyć pierwiastek oraz liczby większej od 120, z której także potrafimy obliczyć pierwiastek. {premium}

 

 

 

Oznacza to, że liczba √120 leży na osi liczbowej między liczbami 10 i 11. 


Poprawna odpowiedź: A. 10 i 11

Wyznacz długości przekątnych graniastosłupa prawidłowego ...

Sześciokąt foremny możemy podzielić na sześć przystających trójkątów równobocznych, których boki (a) mają taką samą długość jak bok sześciokąta. 

  

Dłuższa przekątna podstawy składa się z dwóch boków takich trójkątów, czyli jej długość wynosi: 

  

Dłuższa przekątna podstawy, krawędź boczna oraz dłuższa przekątna graniastosłupa tworzą trójkąt prostokątny. 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczamy, ile wynosi długość dłuższej przekątnej graniastosłupa. 

 

   

 

 

Dłuższa przekątna graniastosłupa ma długość √5.    

 

Sześciokąt foremny możemy podzielić na sześć przystających trójkątów równobocznych, których boki (a) mają taką samą długość jak bok sześciokąta. 

  

Obliczamy, ile wynosi długość wysokości każdego z tych trójkątów. 

 

Krótsza przekątna podstawy składa się z dwóch wysokości takich trójkątów, czyli jej długość wynosi: 

    

Krótsza przekątna podstawy, krawędź boczna oraz krótsza przekątna graniastosłupa tworzą trójkąt prostokątny. 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczamy, ile wynosi długość krótszej przekątnej graniastosłupa. 

 

 

 

 

Krótsza przekątna graniastosłupa ma długość 2.     


Odpowiedź: Przekątna graniastosłupa mają długość √5 i 2

Na rysunku przedstawiono ...

W zadaniu korzystamy z tw. Pitagorasa.

 

a)

Obliczamy długość przekątnej podstawy x.

{premium}

 

Obliczamy długość przekątnej y graniastosłupa.

Podstawiamy x = 4√2.

 

b)

Obliczamy długość przekątnej podstawy x.

 

Obliczamy długość przekątnej y graniastosłupa.

Podstawiamy x = √17.

Oblicz wartość wyrażenia ...

Obliczamy ile wynosi wartość podanego wyrażenia dla a=2,5 i h=3.

W miejsce a wstawiamy więc 2,5, w miejsce h wstawiamy 3. {premium}


 


Wartość wyrażenia wynosi 42,5.