Prawdopodobieństwo - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Obliczanie prawdopodobieństw

Z doświadczeniami losowymi mamy do czynienia na co dzień. Rzut monetą, rzut sześcienną kostką do gry, wygrana na loterii czy numer nadjeżdżającego autobusu to tylko kilka z nich.

Zdarzenie losowe to pewna sytuacja możliwa do uzyskania podczas danego doświadczenia losowego, np. wyrzucenie parzystej liczby oczek na kostce do gry. 

W zdarzeniach losowych prawdopodobieństwo (oznaczmy go literą P) nastąpienia sytuacji, która nas interesuje oblicza się bardzo prosto (o ile każda z sytuacji jest jednakowo prawdopodobna). Jest to iloraz ilości sytuacji nas interesujących (np. autobusy nam odpowiadające) (ich ilość oznaczmy literą n) i ilości wszystkich możliwych sytuacji (np. wszystkie autobusy) (ich ilość oznaczmy literą N).

`P=n/N` 


Przykładowe zadania:

Zadanie 1.

Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowanie króla z talii 52 kart?

Wiemy, że w talii są 52 karty. W całej talii są 4 króle. 

Wszystkich możliwych wyników jest więc 52. Liczba interesujących nas wyników to 4. 

Prawdopodobieństwo (p) tego zdarzenia wynosi:

`p=4/52=1/13` 

Odpowiedź: Prawdopodobieństwo, że wylosujemy króla wynosi `1/13`

Zadanie 2.

Stoimy na przystanku. Na tym przystanku zatrzymuje się łącznie 8 autobusów. My możemy jechać tylko autobusem numer 234 oraz 123. Nadjeżdża autobus. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że będzie to jeden z autobusów, którymi możemy pojechać?


Wszystkich możliwych wyników jest 8. Liczba interesujących nas wyników to 2. 

Prawdopodobieństwo (p) tego zdarzenia wynosi:

`p=2/8=1/4`  

Odpowiedź: Prawdopodobieństwo nadjechania autobusu, który nam odpowiada wynosi `1/4`.

Zadanie 3.

Rzucamy dwa razy sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo, że suma oczek wyniesie 6.

Rzucając kostką dwukrotnie otrzymujemy 36 róznych kombinacji. Przedstawione są one na tabelce:

tabela

Liczby, które spełniają nasz warunek (suma wynosi 6) zostały pogrubione. Jest ich w sumie 5. 

Wszystkich możliwych wyników jest 36. Liczba interesujących nas wyników to 5. 

Prawdopodobieństwo (p) tego zdarzenia wynosi:

`p=5/36`  

Odpowiedź: Prawdopodobieństwo wynosi `5/36`


Zadanie 4.

Ze zbioru liczb 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ..., 19, 20 wybieramy losowo jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo, że wylosowana liczba jest podzielna przez 3.

Ze zbioru liczb 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ..., 19, 20 (jest ich w sumie 20) wypisujemy wszystkie liczby podzielne przez 3, czyli: 3, 6, 9, 12, 15, 18. Jest ich w sumie 6. 

Wszystkich możliwych wyników jest 20. Liczba interesujących nas wyników to 6. 

Prawdopodobieństwo (p) tego zdarzenia wynosi: 
 
`p=6/20=3/10` 

Odpowiedź: Prawdopodobieństwo w tym przypadku wynosi `3/10`

Zadanie 5.

Rzucamy 2 razy monetą. Oblicz prawdopodobieństwo, że dwa razy wypadnie reszka.

Na początek musimy wypisać wszystkie możliwe kombinacje rzutów tak więc: 

  • Orzeł i Orzeł
  • Orzeł i Reszka
  • Reszka i Reszka
  • Reszka i Orzeł

Pogrubiona została kombinacja, która spełnia nasz warunek. 

Wszystkich możliwych wyników jest 4. Liczba interesujących nas wyników to 1. 

Prawdopodobieństwo (p) tego zdarzenia wynosi:

`p=1/4`  
Odpowiedź: Prawdopodobieństwo w tym przypadku wynosi `1/4` . 

 

Spis treści

Rozwiązane zadania
W dwóch naczyniach znajduje...

Dane:

Ilość roztworu  

Ilość roztworu  :  

Całkowita ilość otrzymanego roztworu : 

Szukane:

 

 

Rozwiązanie:

Chcemy otrzymać  roztworu, czyli:

 

Zawartość soli w roztworze -procentowym ma postać:  

Zawartość soli w roztworze -procentowym ma postać:  

Wówczas zawartość soli w mieszaninie roztworów o -procentowej zawartości soli ma postać:{premium}  

Z tego wynika, że:

 

Ponieważ  to . Wówczas:

 

 

 

 

 

Z tego wynika, że:

 

Odp.: Należy wymieszać  roztworu -procentowego i  roztworu -procentowego.

Uporządkuj rosnąco...

Obliczamy wartości poszczególnych liczb:

 

 

 

 

 

 

 

 {premium}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Uporządkujmy rosnąco liczby. Wiemy, że  ,  oraz . Wówczas:

 

Rozwiąż...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 {premium}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Oblicz w zeszycie obwód czworokąta ABCD o wierzchołkach w punktach:...

Wykonajmy rysunek pomocniczy tego czworokąta:

podglad pliku

Długość odcinka AB możemy odczytać w jednostkach osi X:  {premium}

 

Długość odcinka CD możemy odczytać w jednostkach osi X:

 


Długość odcinka BC możemy obliczyć korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

 

 

 

 

 


Długość odcinka AD możemy obliczyć korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

 

 

 

 

 


Obliczmy obwód czworokąta ABCD:

 

Odp.: Obwód tego czworokąta wynosi    .

W czworokącie ABCD kąt przy...

Miara kąta przy wierzchołku A:  

Miara kąta przy wierzchołku B:  

Miara kąta przy wierzchołku C:  

Miara kąta przy wierzchołku D:{premium}  

Wiemy, że suma miar kątów wewnętrznych czworokąta wynosi . Wówczas  będzie wynosił:

 

 

 

 

 

 

 

 

Z tego wynika, że:

 kąt przy wierzchołki A wynosi:  

 kąt przy wierzchołki B wynosi:  

 kąt przy wierzchołki C wynosi:  

 kąt przy wierzchołki D wynosi:  

 

Odpowiedź: Miary kątów w czworokącie ABCD wynoszą , ,  i .

Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość ...

a) Jest to graniastosłup trójkątny.

W podstawie znajduje się trójkąt prostokątny.

Obliczmy przeciwprostokątną tego trójkąta, korzystając z tw. Pitagorasa. {premium}

 

 

 

 

 

Obliczmy pole podstawy tego graniastosłupa.

 

Obliczmy pole boczne tego graniastosłupa.

 

Obliczmy pole całkowite tego graniastosłupa.

 

Obliczmy objętość tego graniastosłupa.

 


b) Jest to graniastosłup czworokątny.

W podstawie znajduje się trapez równoramienny.

Obliczmy wysokość tego trapezu, korzystając z tw. Pitagorasa.

 

 

 

 

Zauważmy, że dłuższa podstawa tego trapezu wynosi 5+10+5=20.

Obliczmy pole podstawy tego graniastosłupa.

Obliczmy pole boczne tego graniastosłupa.

 

Obliczmy pole całkowite tego graniastosłupa.

 

Obliczmy objętość tego graniastosłupa.

 

 

Liczba √64 - ...

 

{premium}

Odp. D

Doprowadź wyrażenie...

 {premium}

 

 

Podstawiamy  

 

 

 

Odp:  

Oblicz:

 

 

 

 
{premium}



 
 
 
 

 
 
 
 


 

 

 

 

 
 
 
 


 
 
 
 

Sprawdź, czy równanie...

 

 

 

 

 

 

Równanie jest tożsamościowe.

 

 {premium}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Równanie jest tożsamościowe.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

SPRZECZNOŚĆ! Równanie nie jest tożsamościowe.