Prawdopodobieństwo - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Obliczanie prawdopodobieństw

Z doświadczeniami losowymi mamy do czynienia na co dzień. Rzut monetą, rzut sześcienną kostką do gry, wygrana na loterii czy numer nadjeżdżającego autobusu to tylko kilka z nich.

Zdarzenie losowe to pewna sytuacja możliwa do uzyskania podczas danego doświadczenia losowego, np. wyrzucenie parzystej liczby oczek na kostce do gry. 

W zdarzeniach losowych prawdopodobieństwo (oznaczmy go literą P) nastąpienia sytuacji, która nas interesuje oblicza się bardzo prosto (o ile każda z sytuacji jest jednakowo prawdopodobna). Jest to iloraz ilości sytuacji nas interesujących (np. autobusy nam odpowiadające) (ich ilość oznaczmy literą n) i ilości wszystkich możliwych sytuacji (np. wszystkie autobusy) (ich ilość oznaczmy literą N).

`P=n/N` 


Przykładowe zadania:

Zadanie 1.

Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowanie króla z talii 52 kart?

Wiemy, że w talii są 52 karty. W całej talii są 4 króle. 

Wszystkich możliwych wyników jest więc 52. Liczba interesujących nas wyników to 4. 

Prawdopodobieństwo (p) tego zdarzenia wynosi:

`p=4/52=1/13` 

Odpowiedź: Prawdopodobieństwo, że wylosujemy króla wynosi `1/13`

Zadanie 2.

Stoimy na przystanku. Na tym przystanku zatrzymuje się łącznie 8 autobusów. My możemy jechać tylko autobusem numer 234 oraz 123. Nadjeżdża autobus. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że będzie to jeden z autobusów, którymi możemy pojechać?


Wszystkich możliwych wyników jest 8. Liczba interesujących nas wyników to 2. 

Prawdopodobieństwo (p) tego zdarzenia wynosi:

`p=2/8=1/4`  

Odpowiedź: Prawdopodobieństwo nadjechania autobusu, który nam odpowiada wynosi `1/4`.

Zadanie 3.

Rzucamy dwa razy sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo, że suma oczek wyniesie 6.

Rzucając kostką dwukrotnie otrzymujemy 36 róznych kombinacji. Przedstawione są one na tabelce:

tabela

Liczby, które spełniają nasz warunek (suma wynosi 6) zostały pogrubione. Jest ich w sumie 5. 

Wszystkich możliwych wyników jest 36. Liczba interesujących nas wyników to 5. 

Prawdopodobieństwo (p) tego zdarzenia wynosi:

`p=5/36`  

Odpowiedź: Prawdopodobieństwo wynosi `5/36`


Zadanie 4.

Ze zbioru liczb 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ..., 19, 20 wybieramy losowo jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo, że wylosowana liczba jest podzielna przez 3.

Ze zbioru liczb 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ..., 19, 20 (jest ich w sumie 20) wypisujemy wszystkie liczby podzielne przez 3, czyli: 3, 6, 9, 12, 15, 18. Jest ich w sumie 6. 

Wszystkich możliwych wyników jest 20. Liczba interesujących nas wyników to 6. 

Prawdopodobieństwo (p) tego zdarzenia wynosi: 
 
`p=6/20=3/10` 

Odpowiedź: Prawdopodobieństwo w tym przypadku wynosi `3/10`

Zadanie 5.

Rzucamy 2 razy monetą. Oblicz prawdopodobieństwo, że dwa razy wypadnie reszka.

Na początek musimy wypisać wszystkie możliwe kombinacje rzutów tak więc: 

  • Orzeł i Orzeł
  • Orzeł i Reszka
  • Reszka i Reszka
  • Reszka i Orzeł

Pogrubiona została kombinacja, która spełnia nasz warunek. 

Wszystkich możliwych wyników jest 4. Liczba interesujących nas wyników to 1. 

Prawdopodobieństwo (p) tego zdarzenia wynosi:

`p=1/4`  
Odpowiedź: Prawdopodobieństwo w tym przypadku wynosi `1/4` . 

 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Na diagramie obok przedstawiono ...

a)

Ocena niedostateczna:

 

{premium}

Ocena dopuszczająca:

  

 

Ocena dostateczna:

   

 

Ocena dobra:

  

 

Ocena bardzo dobra:

   

 

Ocena celująca:

  

  

b) 

Ocena

ndst

dop

dost

db

bdb

cel

Ilość osób

1

3

5

9

5

2


Thumb zad1str11

Prostopadłościenne akwarium o podstawie...

Dane:

Wymiary podstawy akwarium:  

Wysokość akwarium:  

Wysokość wody w akwarium:  

Krawędź sześciennego klocka:  

Zmiana poziomu wody:  

Szukane:

Ilość klocków wrzuconych przez Jasia do wody:  

Rozwiązanie:

Akwarium jest prostopadłościanem. Ilość wody znajdującej się w akwarium zanim Jaś dorzucił klocki będzie wynosiła:

 

 

 

Jaś dorzucił klocki i poziom wody podniósł się. Obliczamy objętość wody wraz z klockami:{premium}

 

 

 

 

Z tego wynika, że całkowita objętość samych klocków w wodzie będzie wynosiła:

 

 

 

 

Znamy wymiary sześciennego klocka. Wówczas objętość jednego takiego klocka będzie wynosiła:

 

 

 

Jeżeli podzielimy całkowitą objętość wszystkich klocków przez objętość jednego klocka to otrzymamy liczbę klocków wrzuconych przez Jasia do akwarium:

 

Odp.: Mały Jaś wrzucił do akwarium  klocków.

Ile metrów kwadratowych tapety potrzeba ...

Zacznijmy od zamiany wymiarów drzwi z centymetrów na metry.

Przypomnijmy, że , więc , zatem{premium}

 


Wykonujemy rysunek pomocniczy.

podglad pliku

Chcemy dowiedzieć się, ile metrów kwadratowych tapety potrzeba, zatem obliczamy różnicę pola powierzchni bocznej powyższego prostopadłościanu (ścian przedpokoju) i pola powierzchni otworów (drzwi).

Obliczamy pole ściany o wymiarach .

 

Obliczamy pole ściany o wymiarach .

 

Na pole powierzchni bocznej składają się dwie ściany o wymiarach  oraz dwie ściany o wymiarach .

 

Obliczamy powierzchnię, jaką zajmują drzwi o wymiarach .

.


Obliczamy, ile metrów kwadratowych tapety potrzeba na wytapetowanie ścian tego przedpokoju.

 

W przedstawionych trójkątach w jednakowy sposób zaznaczono równe...

a) Te trójkąty są przystające ponieważ {premium}

kąty przy boku w jednym trójkącie mają taką samą miarę jak kąty
przy boku tej samej długości w drugim trójkącie

cecha przystawania kąt-bok-kąt


b) Te trójkąty nie są przystające ponieważ

kąty, które mają taką samą miarę nie znajdują się przy boku
tej samej długości w obu trójkątach


c) Te trójkąty są przystające ponieważ

suma miar kątów wewnętrznych w każdym trójkącie wynosi  

zatem miary kątów wewnętrznych w tych trójkątach wynoszą:  

kąty przy boku o długości 5 w jednym trójkącie mają taką samą miarę jak kąty
przy boku o tej samej długości w drugim trójkącie

cecha przystawania kąt-bok-kąt

Uzupełnij zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz...

Punkt K=(x, 5) ma rzędną równą 5, zatem może leżeć w I lub IV ćwiartce

aby punkt K leżał w II ćwiartce  jego odcięta musi być{premium} liczbą ujemną

Odp.: A


Punkt L=(-2, y) ma odcięta równą -2, zatem może leżeć w II lub III ćwiartce

Odp.: D

Rzucamy sześcienną kostką do gry ...

Rzucając sześcienną kostką do gry ilość możliwości to 6. {premium}

Obliczmy prawdopodobieństwo zdarzenia:

A - wypadły co najmniej dwa oczka.

Wypiszmy zdarzenia sprzyjające.

 

Takich zdarzeń jest 5.

 

 

B - wypadły najwyżej cztery oczka.

Wypiszmy zdarzenia sprzyjające.

 

Takie zdarzenia są 4.

 

 

C - wypadła liczba oczek będąca liczbą złożoną.

Wypiszmy liczby złożone, które mogą być liczbą oczek na kostce.

Są to: 4, 6.

Wypiszmy zdarzenia sprzyjające.

  

Takie zdarzenia są 2.

 

 

 

 

 

 

 

Które z podanych wyrażeń ma ...

{premium}


     


Wartości wyrażeń w kolejności rosnącej to: 


Największą wartość ma więc wyrażenie B.  

Oblicz objętość graniastosłupa prawidłowego...

Podstawą graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest trójkąt równoboczny o boku  

Wszystkie krawędzie mają taką samą długość, więc wysokość graniastosłupa jest równa  


Oznaczmy:

 


Obliczamy pole podstawy graniastosłupa:

 {premium}

 


Obliczamy objętość graniastosłupa:

 

 


Odp. Objętość graniastosłupa jest równa  

Masa Słońca jest równa 2* 10^30 kg, masa Ziemi 6* 10^ 24 kg, zaś masa Księżyca 7* 10^22 kg.

{premium}

 

 

 

Różnica cyfry dziesiątek i cyfry...

Wiemy, że różnica cyfry dziesiątek i jedności pewnej dwucyfrowej liczby wynosi . Sprawdźmy wszystkie możliwości:

 

 

 {premium}

 

 

 

Ponadto wiemy, że różnica tej liczby i liczby  daje liczbę dwucyfrową z tymi samymi cyframi co początkowa liczba, ale zapisanymi w odwrotnej kolejności:

 

 

 

 

 

 

Odpowiedź: Liczby spełniające założenie zadania to: , , ,  i .