Prawdopodobieństwo - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Prawdopodobieństwo - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Obliczanie prawdopodobieństw

Z doświadczeniami losowymi mamy do czynienia na co dzień. Rzut monetą, rzut sześcienną kostką do gry, wygrana na loterii czy numer nadjeżdżającego autobusu to tylko kilka z nich.

Zdarzenie losowe to pewna sytuacja możliwa do uzyskania podczas danego doświadczenia losowego, np. wyrzucenie parzystej liczby oczek na kostce do gry. 

W zdarzeniach losowych prawdopodobieństwo (oznaczmy go literą P) nastąpienia sytuacji, która nas interesuje oblicza się bardzo prosto (o ile każda z sytuacji jest jednakowo prawdopodobna). Jest to iloraz ilości sytuacji nas interesujących (np. autobusy nam odpowiadające) (ich ilość oznaczmy literą n) i ilości wszystkich możliwych sytuacji (np. wszystkie autobusy) (ich ilość oznaczmy literą N).

`P=n/N` 


Przykładowe zadania:

Zadanie 1.

Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowanie króla z talii 52 kart?

Wiemy, że w talii są 52 karty. W całej talii są 4 króle. 

Wszystkich możliwych wyników jest więc 52. Liczba interesujących nas wyników to 4. 

Prawdopodobieństwo (p) tego zdarzenia wynosi:

`p=4/52=1/13` 

Odpowiedź: Prawdopodobieństwo, że wylosujemy króla wynosi `1/13`

Zadanie 2.

Stoimy na przystanku. Na tym przystanku zatrzymuje się łącznie 8 autobusów. My możemy jechać tylko autobusem numer 234 oraz 123. Nadjeżdża autobus. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że będzie to jeden z autobusów, którymi możemy pojechać?


Wszystkich możliwych wyników jest 8. Liczba interesujących nas wyników to 2. 

Prawdopodobieństwo (p) tego zdarzenia wynosi:

`p=2/8=1/4`  

Odpowiedź: Prawdopodobieństwo nadjechania autobusu, który nam odpowiada wynosi `1/4`.

Zadanie 3.

Rzucamy dwa razy sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo, że suma oczek wyniesie 6.

Rzucając kostką dwukrotnie otrzymujemy 36 róznych kombinacji. Przedstawione są one na tabelce:

tabela

Liczby, które spełniają nasz warunek (suma wynosi 6) zostały pogrubione. Jest ich w sumie 5. 

Wszystkich możliwych wyników jest 36. Liczba interesujących nas wyników to 5. 

Prawdopodobieństwo (p) tego zdarzenia wynosi:

`p=5/36`  

Odpowiedź: Prawdopodobieństwo wynosi `5/36`


Zadanie 4.

Ze zbioru liczb 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ..., 19, 20 wybieramy losowo jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo, że wylosowana liczba jest podzielna przez 3.

Ze zbioru liczb 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ..., 19, 20 (jest ich w sumie 20) wypisujemy wszystkie liczby podzielne przez 3, czyli: 3, 6, 9, 12, 15, 18. Jest ich w sumie 6. 

Wszystkich możliwych wyników jest 20. Liczba interesujących nas wyników to 6. 

Prawdopodobieństwo (p) tego zdarzenia wynosi: 
 
`p=6/20=3/10` 

Odpowiedź: Prawdopodobieństwo w tym przypadku wynosi `3/10`

Zadanie 5.

Rzucamy 2 razy monetą. Oblicz prawdopodobieństwo, że dwa razy wypadnie reszka.

Na początek musimy wypisać wszystkie możliwe kombinacje rzutów tak więc: 

  • Orzeł i Orzeł
  • Orzeł i Reszka
  • Reszka i Reszka
  • Reszka i Orzeł

Pogrubiona została kombinacja, która spełnia nasz warunek. 

Wszystkich możliwych wyników jest 4. Liczba interesujących nas wyników to 1. 

Prawdopodobieństwo (p) tego zdarzenia wynosi:

`p=1/4`  
Odpowiedź: Prawdopodobieństwo w tym przypadku wynosi `1/4` . 

 

Spis treści

Rozwiązane zadania
Uzasadnij, że trójkąty ABD i ADE,...

W każdym trójkącie suma miar kątów wewnętrznych wynosi 180o, zatem:


Obliczmy miarę kąta ABC:

    {premium}


Obliczmy miarę kąta ADB:

 


Kąty ADE i ADE to kąty przyległe zatem:

 


Trójkąty ABD i ADE mają jeden wspólny bok o długości AD,

zatem na mocy cechy przystawania trójkątów kąt-bok-kąt 

trójkąty ABD i ADE są przystające.

W trakcie ośmiogodzinnego dnia pracy ...
   Przez pierwsze trzy godziny malarz pomalował dokładnie  ściany. F


Dokładnie  ściany malarz pomalował przez pierwsze  godziny.{premium}


   Od godz.  do  malarz pomalował większą powierzchnię niż od godz.  do . P


Od godziny  do  malarz pomalował dokładnie  ściany, 

a od godziny  do  malarz pomalował około  ściany.


   Przez ostatnie dwie godziny pracy malarz pomalował ściany o powierzchni . P


W ciągu ostatnich dwóch godzin pracy malarz przez pół godziny odpoczywał, ale później pomalował ściany o powierzchni .

Oprocentowanie lokaty wynosi 6% w stosunku rocznym...

 - kwota, która wpłacono na lokatę

6%- oprocentowanie lokaty

2544 zł- kwota, która po roku znajduje się na lokacie:

obliczmy ile pieniędzy wpłacono na tę lokatę:

 
{premium}
 

 

 


Odp.: B

Który opis jednoznacznie określa zbiór K ...

Najmniejszą naturalną liczbą nieparzystą większą od  jest liczba{premium} , natomiast największą naturalną liczbą nieparzystą mniejszą od  jest liczba

Do zbioru  należą liczby od  do  (włącznie), zatem

 


Odpowiedź: A

Podstawą ostrosłupa jest romb o kącie...

Dane:

Miara kąta rozwartego rombu w podstawie ostrosłupa:  

Długość krótszej przekątnej rombu:  

Długość krawędzi bocznej prostopadłej do podstawy (wysokości):  

Szukane:

Objętość ostrosłupa:  

Rozwiązanie:

Podstawą ostrosłupa jest romb. Pole rombu obliczamy korzystając z wzoru:

 

gdzie  i  są przekątnymi tego rombu. Znamy długość krótszej przekątnej oraz miarę kąta rozwartego rombu. Wykonajmy rysunek i wyznaczmy długość drugiej przekątnej tego rombu:{premium}

podglad pliku

Zauważmy, że krótsza przekątne rombu dzieli go na dwa trójkąty równoboczne. Z tego wynika, że długość krótszej przekątnej równa jest długości krawędzi podstawy ostrosłupa . Ponadto wiemy, że przekątne rombu przecinają się pod kątem prostym. Oznacza to, że połowa długości dłuższej przekątnej będzie odpowiadała wysokości trójkąta równobocznego. Wówczas:

 

 

 

 

Oznacza to, że pole podstawy ostrosłupa wynosi:

 

 

Wówczas objętość tego ostrosłupa ma postać:

 

 

 

Odp.: Objętość ostrosłupa mającego w podstawie romb wynosi .

Czy trapez o wierzchołkach...

Zaczynamy od obliczenia długości boków trapezu.

Znając wierzchołki trapezu  możemy obliczyć długości jego boków. Ponieważ , ,  i  to boki trapezu to , ,  i . Długość odcinka  będzie wynosiła:

 

 

 

 

 

Długość odcinka  wynosi:

 

 

 

 

Długość odcinka  wynosi:{premium}

 

 

 

 

 

Długość odcinka  wynosi:

 

 

 

 

 

Wówczas obwód tego trapezu będzie wynosił:

 

 

 

Obliczamy pole tego trapezu. Musimy wyznaczyć jego wysokość. Zaznaczmy podane punkty w układzie współrzędnych i narysujmy ten trapez:

podglad pliku

Zauważmy, że trapez jest prostokątny. Jego podstawy to  i , a wysokość to . Pole tego trapezu będzie wynosiło:

 

 

 

 

 

Odpowiedź: Trapez jest trapezem prostokątnym. Jego pole wynosi , a objętość .

Pani Alicja Sójka kupiła na wyjazd do Szwecji ...

Obliczamy, ile koron szwedzkich kupiła pani Alicja za , czyli ile {premium}koron szwedzkich sprzedano jej za tę kwotę.

Kurs sprzedaży wynosił . Oznacza to, że za  można kupić  korony szwedzkiej.

 

Następnie pani Alicja chciała sprzedać  koron szwedzkich, więc obliczamy za ile złotych w kantorze kupiono je od niej.

Kurs kupna wynosił . Oznacza to, że za  koronę szwedzką można kupić .

  

Obliczamy, ile straciła pani Alicja na tych operacjach.

 

Pewien żeton jest z jednej strony żółty, a z drugiej ...

Prawdopodobieństwo wyrzucenia strony żółtej jest równe , więc {premium}prawdopodobieństwo wyrzucenia strony niebieskiej jest równe:

 

Wyłącz wspólny czynnik przed nawias...

 

 

 

 

 

 

 {premium}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Agnieszka zapisała liczbę czterocyfrową ...

Agnieszka zapisała pewną liczbę czterocyfrową podzielną przez 9. Oznacza to, że suma cyfr tej liczby tworzyła liczbę podzielną przez 9. 

Gdy skreśliła cyfrę jedności otrzymała liczbę 496. 

Możemy napisać, że czterocyfrowa liczba zapisana przez Agnieszkę miała postać: {premium}

 


Obliczamy ile wynosi suma cyfr, jakie znamy w naszej liczbie. 

 

Skoro liczba ta miała być podzielna przez 9, to suma jej cyfr musiała utworzyć liczbę podzielną przez 9. 

Zastanówmy się teraz, jakie cyfry możemy wstawić w miejsce  , aby utworzona liczba była podzielna przez 9. 

  • Jeśli w miejsce  wpiszemy 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 i 9, to suma cyfr otrzymanej liczby nie będzie podzielna przez 9, więc nasza liczba nie będzie podzielna przez 9. 

  • Jeśli w miejsce  wpiszemy 8, to suma cyfr otrzymanej liczby będzie wynosić: 

     

     

    Liczba 27 dzieli się przez 9, więc nasza liczba także będzie dzielić się przez 9. 

    Oznacza to, że w miejsce  należy wpisać 8


Odpowiedź: Liczba czterocyfrowa zapisana przez Agnieszkę to 4968