Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Potęgi - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Potęga o wykładniku naturalnym

Potęga to wielokrotne pomnożenie przez siebie takiego samego czynnika.


Potęgę liczby a o wykładniku n oznaczamy symbolem `a^n`, gdzie a to podstawa potęgi, n to wykładnik potęgi.  

Powyższa potęga oznacza, że dokonamy n - krotnego mnożenie czynnika a.

`a^n=#underbrace(a*a*...*a)_("n czynników")` 

Przykłady:

  • `3^4=3*3*3*3=81` 

  • `2^3=2*2*2=8`  

Gdy liczbę dodatnią lub ujemną podnosimy do potęgi parzystej, wówczas wynikiem będzie zawsze liczba dodatnia.

Gdy wykładnikiem potęgi liczby ujemnej będzie liczba nieparzysta to wynik będzie zawsze ujemny.

Przykłady:

  • `(-3)^6=3^6` 

  • `(-6)^5=-6^5`  

  • `(-1/2)^4=(1/2)^4` 

  • `(-1/7)^3=-(1/7)^3` 

Gdy podnosimy ułamek zwykły do danej potęgi, to wykonujemy oddzielnie potęgowanie dla licznika i mianownika. 

Przykłady

  • `(2/3)^2=2^2/3^2=4/9` 

  •  `(1/2)^4=1^4/2^4=1/16`  


Zapamiętaj:

  • `a^0=1 \ \ \ "dla" \ \ \ a!=0`  

  • `a^1=a`    

Iloczyn i iloraz potęg o tych samych podstawach

Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach jest bardzo proste. Należy zapamiętać dwie proste zasady:

  1. Mnożenie - iloczynem dwóch potęg o tych samych podstawach jest potęga, której podstawa jest taka sama jak podstawy mnożonych potęg, a wykładnik jest sumą wykładników tych potęg.

    `a^m*a^n=a^(m+n)`  

  2. Dzielenie - ilorazem dwóch potęg o tych samych podstawach jest potęga, której podstawa jest taka sama jak podstawy dzielnej i dzielnika, a wykładnik jest różnicą wykładników tych potęg.

    `a^m:a^n=a^(m-n) \ \ \ \ "dla" \ \ \ a!=0` 
     

Przykłady:

  • `3^2*3^4=3^(2+4)=3^6` 

  • `(-5)^3*(-5)^2=(-5)^(3+2)=(-5)^5` 

  • `7^3:7=7^3:7^1=7^(3-1)=7^2`     

  • `4^8:4^5=4^(8-5)=4^3`   

Potęgowanie potęgi

Potęgując potęgę należy pamiętać, że podstawa pozostaje bez zmian, a wykładniki mnożymy. 

  • `(a^m)^n=a^(m*n)` 


Przykłady:

  • `(2^3)^4=2^(3*4)=2^12` 

  • `(9^7)^8=9^(7*8)=9^(56)`   



Uwaga

Jeśli mamy potęgę postaci `a^(m^n)`, to w pierwszej kolejności potęgujemy potęgi, czyli obliczamy ile wynosi `m^n`.

W wyniku otrzymujemy potęgę o tej samej podstawie (`a`) i wykładniku będącym potęgą potęg.   


Przykłady

  • `5^(2^3)=5^8 \ \ \ \ "bo" \ \ \ 2^3=8` 

  • `4^(3^4)=4^81 \ \ \ \ "bo" \ \ \ \ 3^4=81`   

Potęgowanie iloczynu i ilorazu

Potęgowanie iloczynu i ilorazu odbywa się według dwóch prostych zasad: 

  1. Potęga iloczynu jest równa iloczynowi potęg. 

    `(a*b)^n=a^n*b^n`  

  2. Potęga ilorazu jest równa ilorazowi potęg. 
  • `(a:b)^n=a^n:b^n \ \ \ \ "dla" \ \ \ b!=0`    

  • `(a/b)^n=a^n/b^n \ \ \ \ "dla" \ \ \ b!=0`  
     

Przykłady:

  • `(3*2)^2=3^2*2^2`
     
  • `(5*7)^4=5^4*7^4`   

  • `(9:4)^3=9^3:4^3`  

  • `(8/5)^6=8^6/5^6`  

Potęga o wykładniku całkowitym ujemnym

Aby obliczyć potęgę, której podstawą jest liczba `a!=0` a wykładnik jest liczbą całkowitą ujemną zamieniamy podstawę potęgi na liczbę do niej odwrotną a wykładnik potęgi na liczbę do niego przeciwną. 

  • `a^(-n)=(1/a)^n=1^n/a^n=1/a^n`  


Przykłady
:

  • `7^-9=1/7^9` 

  • `2^(-3)=1/2^3`  

  • `(1/2)^(-4)=(2/1)^4=2^4`  

Notacja wykładnicza

Notacja wykładnicza to przedstawienie danej liczby w postaci iloczynu liczby większej lub równej 1 i mniejszej od 10 oraz potęgi liczby 10.

Zapis liczby dodatniej w notacji wykładniczej:

`a*10^n,  \ \ \ \ "gdzie" \ \ \ 1  <=  a < 10, \ \ \ "n jest liczbą całkowitą"` 


Przykłady:

  • `38 \ 900=3,8900*10 \ 000=3,89*10^4` 

  • `789 \ 423=7,89423*100 \ 000=7,89423*10^3`   

  • `0,00934=934/(100 \ 000)=(9,34)/(1000)=(9,34)/10^3=9,34*1/10^3=9,34*10^-3`     

  •  `0,00001257=(1257)/(100 \ 000 \ 000)=(1,257)/(100 \ 000)=(1,257)/10^5=1,257*1/10^5=1,257*10^-5`   


Uwaga:

Na podstawie powyższych przykładów można zauważyć, że:

  • Jeżeli przecinek przesuwaliśmy w lewo, to wykładnik potęgi liczby 10 będzie liczbą dodatnią;
  • Jeżeli przecinek przesuwaliśmy w prawo, to wykładnik potęgi liczby 10 będzie liczbą ujemną.

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Oblicz w pamięci:

  1. $$ 4^2 $$
  2. $$ 3^2 $$
  3. $$ 2^4 $$
  4. $$ 3^4 $$
  5. $$ 1^{43} $$
  1. $$ 4^2=16 $$
  2. $$ 3^2=9 $$
  3. $$ 2^4=16 $$
  4. $$ 3^4=81 $$
  5. $$ 1^{43}=1 $$

Zadanie 2.

Odgadnij liczbę spełniającą równanie:

  1. $$ 3^3×3^5=3^x $$
  2. $$ 5^2×5^x=5^7 $$
  3. $$ 7^7÷7^x=7^5 $$
  1. $$ 3^3×3^5=3^8 -> x=8 $$
  2. $$ 5^2×5^5=5^7 -> x=5 $$
  3. $$ 7^7÷7^2=7^5 -> x=2 $$

Zadanie 3.

Przedstaw wartość wyrażenia w postaci potęgi liczby 3:

  1. $$ 3^5×9^3 $$
  2. $$ {27}^5÷3^2 $$
  3. $$ 3^2×9^1÷3^3 $$
  1. $$ 3^5×9^3=3^5×3^6=3^{11} $$
  2. $$ {27}^5÷3^2=3^{15}÷3^2=3^{13} $$
  3. $$ 3^2×9^1÷3^3=3^2×3^2÷3^3=3^4÷3^3=3 $$

Zadanie 4.

Oblicz:

  1. $$ 2^{-4} $$
  2. $$ 3^{-3} $$
  3. $$ {10}^{-5} $$
  1. $$ 2^{-4}=1/{2^4} =1/{16} $$
  2. $$ 3^(-3)=1/{3^3} =1/{27} $$
  3. $$ {10}^{-5}=1/{ {10}^5} =1/{100000} $$

Zadanie 5.

Zapisz w notacji wykładniczej:

  1. 125 mln
  2. 8276 mln
  3. 25,6 mld
  1. 125 mln$$=125 000 000=1,25×{10}^8 $$
  2. 8276 mln$$=8726 000 000=8,726×{10}^9 $$
  3. 25,6 mld$$=25 600 000 000=2,56×{10}^{10}$$

Zadanie 6.

Który znak należy wstawić $$ < $$ czy $$ > $$?

  1. $$4^8$$ i $$3^8$$
  2. $$2^8$$ i $$2^{10}$$
  3. $$6^{-3}$$ i $$6^{-4}$$
  1. $$ 4^8 > 3^8 $$
  2. $$ 2^8 < 2^{10} $$
  3. $$ 6^{-3} > 6^{-4} $$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Uzupełnij tabelę prezentującą zbiory owoców na pewnej plantacji...
Owoc  ubiegły rok ten rok
zbiory w tonach o ile procent więcej lub mniej zbiory w tonach
maliny 18 o 15% więcej 20,7 {premium}
agrest 12 o 5% mniej 11,4 
truskawki 60 o 30% więcej 78
porzeczki 15 o 40% mniej  9



Maliny :

18 +0,15∙18= 18+2,7=20,7

Agrest:

12- 0,05∙12=12-0,6=11,4

Truskawki:


x- liczba procent, o które wzrosły zbiory truskawek

60+x∙60=78
x∙60=78-60
x∙60=18
x=18:60
x=0,3=30%


Porzeczki:


y- liczba procent, o które zmalały zbiory porzeczek

15-y∙15=9
-y∙15=9-15
-y∙15=-6
-y=-6:15
-y=-0,4
 y=0,4=40%

Wpisz znak: > lub <.

`a")"  \ 1/17> -5/27` 

`\ \ \ -39/23  < 1/70` 

`\ \ \ 11/12< 12/11 \ "(bo liczba" \  11/12< 1, \ "a liczba" \  12/11>1")"` 

`\ \ \ 7/6> 8/9 \ "(bo liczba" \  7/6>1, \ "a liczba" \  8/9< 1")"` 
{premium}


`b")" \ 3/10< 3/8` 

`\ \ \ 12/7 < 12/5` 

 `-29/21> -29/20` 

`-100/7 < -100/43` 


`c")" \ 2/3< 5/6  "(bo" \  2/3=4/6< 5/6")"` 

`\ \ \ 7/15> 2/5 \ "(bo" \ 2/5=6/15< 7/15")"` 

`-5/12 > -17/36 \ "(bo" \ -5/12=-15/36> -17/36")"` 
`-8/21 < -2/7 \ "(bo" \-2/7=-6/21> -8/21")"` 


`d")" \ 3/5 < 2/3 \ "(bo" \ 3/5= 9/15, \  "a" \ 2/3=10/15")"` 

`\ \ \ 5/17 < 3/10 \ "(bo" \ 5/17=50/170,  \ "a" \ 3/10=51/170` 

`-5/6 < -7/9 \ "(bo" \ 5/6=-15/18, \ "a" \ -7/9=-14/18)` 
`-3/11 < - 2/9 \ "(bo" \ -3/11=-27/99, \ "a" \ -2/9=-22/99")"` 


`e")" \ 2,7>2,07` 

`-5,33> -5,333` 

`4,(7) < 4,78` 

`-2,5(2) < - 2,2(5)` 


`f")" \ 0,8> 3/5 \ "(bo" \ 3/5=6/10=0,6")"` 

`\ \ \ 1,23 < 13/10 \ "(bo" \  13/10=1,3")"` 

`-3 2/5 < -3,35 \ "(bo" \ -3 2/5=-3 4/10=-3,4 ")"` 

`-5/7 < -0,7 \  "(bo" \ -5/7=-50/70,  \ "a" \ -0,7=-7/10=-49/70")"` 

Podkreśl tę z wymienionych liczb, która ...

`"a)"\ sqrt2~~1,41`  

`\ \  \ sqrt2< 1,5` 

Podkreślamy liczbę 1,5. 

 

`"b)"` {premium} `sqrt256=16` 

`\ \ \ sqrt256< 17` 

Podkreślamy liczbę 17.  

 

`"c)"\ sqrt300=10sqrt3~~10*1,73=17,3` 

`\ \ \ sqrt300>17` 

Podkreślamy liczbę 17.  

 

`"d)"\ root(3)(-64)=-4` 

`\ \ \ root(3)-64=-4` 

Podkreślamy liczbę -4. 

 

`"e)"\ root(3)(-2) \ < \ root(3)(-1)\ < \ root(3)0`    

`\ \ \ root(3)(-2)\ < \ -1\ < \ 0`  

Dodatkowo zauważmy, że:

`\ \ \ root(3)(-8)\ < \ root(3)(-2)`  

czyli:

`-2\ < \ root(3)(-2)\ < \ -1\ < \ 0` 

Podkreślamy liczbę -2. 

 

`"f)"\ root(3)-1\ < \ root(3)0\ < \ root(3)(0,1)\ < \ root(3)1` 

`\ \ -1\ < \ 0\ < \ root(3)0,1\ < \ 1` 

Podkreślamy liczbę 1.

 

 

Zapisz i rozwiąż odpowiednie równanie.

`a) \ \ 5x=x+12` 

Rozwiązujemy powyższe równanie:

{premium}

`5x=x+12 \ \ \ \ \ \ \ \ \|-x`

`4x=12 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |:4`

`x=3`   

 

`b) \ x \ - \ "waga Piotrka    [w kg]"`

`x+4 \ - \ "waga Tomka    [w kg]"`  

`134 \ - \ "łączna waga Piotrka i Tomka    [w kg]"` 

Równanie ma postać: 

`x+(x+4)=134`

Rozwiązujemy równanie: 

`x+(x+4)=134`  

`x+x+4=134`

`2x+4=134 \ \ \ \ \ \ \ \ \ |-4`

`2x=130 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |:2`

`x=65`    

Dwa spośród boków trójkąta równoramiennego mają długości a i b...

Trójkąt równoramienny ma dwa boki tej samej długości

wiemy również, że trójkąt możemy zbudować z trzech odcinków jeśli
suma długości każdych dwóch z tych odcinków jest większa od długości trzeciego odcinka

zatem:

a)

a= 3 cm, b=4 cm

sprawdźmy czy trzeci odcinek może mieć długość 3 cm:

`3 \ "cm"+3 \ "cm"=6 \ "cm"` 

`6 \ "cm" > 4\ "cm"` 


`3 \ "cm"+4 \ "cm"=7 \ "cm"` 

`7 \ "cm" > 3\ "cm"` 

trzeci bok może mieć długość 3 cm

{premium}
sprawdźmy czy trzeci odcinek może mieć długość 4 cm:

`4 \ "cm"+4 \ "cm"=8 \ "cm"` 

`8 \ "cm" > 3\ "cm"` 


`3 \ "cm"+4 \ "cm"=7 \ "cm"` 

`7 \ "cm" > 4\ "cm"` 

trzeci bok może mieć również długość 4 cm

Odp.: Trzeci bok może mieć długość 3 cm lub 4 cm.


b) 

a= 1 cm, b=3 cm

sprawdźmy czy trzeci odcinek może mieć długość 1 cm:

`1 \ "cm"+1 \ "cm"=2 \ "cm"` 

`2 \ "cm" < 3\ "cm"` 

trzeci bok nie może mieć długości równej 1 cm


sprawdźmy czy trzeci odcinek może mieć długość 3 cm:

`3 \ "cm"+3 \ "cm"=6 \ "cm"` 

`6 \ "cm" > 1\ "cm"` 


`3 \ "cm"+1 \ "cm"=4 \ "cm"` 

`4 \ "cm" > 3\ "cm"` 

trzeci bok może mieć długość równą 3 cm


Odp.: Trzeci bok może mieć długość 3 cm.

Która z zapisanych pod rysunkiem zależności wynika z twierdzenia Pitagorasa?



a) Przyprostokątne to: d i e. Przeciwprostokątna to: c.
Zależność ma postać:
`d^2+e^2=c^2` 
{premium}

b) Przyprostokątne to: y i z. Przeciwprostokątna to: x.
Zależność ma postać:
`x^2=y^2+z^2` 


c) Przyprostokątne to: s i q. Przeciwprostokątna to: r.
Zależność ma postać:
`r^2=q^2+s^2` 

Każda z krawędzi pewnego...

Suma długości wszystkich...

Graniastosłup ma 9 krawędzi. Ich suma będzie wynosiła:

`L = 9*a`  

`L = 9*2\ cm` 
{premium}

`L= 18\ cm`  

FAŁSZ

Pole powierzchni tego...

Pole podstawy tego graniastosłupa będzie wynosiło:

`P_p = (a^2 sqrt3)/4` 

`P_p  = ((2\ cm)^2*sqrt3)/4` 

`P_p = (4\ cm^2*sqrt3)/4` 

`P_p = sqrt3\ cm^2` 

Pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa będzie wynosiło:

`P_b =3*a^2`

`P_b = 3*(2\ cm)^2`  

`P_b = 3*4\ cm^2` 

`P_b = 12\ cm^2` 

Pole całkowite tego graniastosłupa będzie miało postać:

`P = 2P_p + P_b` 

`P = 2*sqrt3\ cm^2 + 12\ cm^2` 

`P = (2sqrt3+12)\ cm^2` 

FAŁSZ

Objętość tego...

Objętość tego graniastosłupa będzie wynosiła:

`V = P_p a` 

`V = sqrt3\ cm^2 *2\ cm` 

`V = 2sqrt3\ cm^3` 

FAŁSZ

Uzupełnij rysunki siatek ...

Uzupełnione krawędzie siatek ostrosłupów zostały zaznaczone kolorem czerwonym.

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa ...

Rysunek pomocniczy:

 

a)

`w^2=t^2+y^2`

`t^2=z^2-(x-y)^2\ \ \ \ \ \ \ \ "lub"\ \ \ \ \ \ t^2=w^2-y^2`

`z^2=t^2+(x-y)^2`

{premium}

 

b)

`r^2=h^2+(w-l)^2`

`h^2=r^2-(w-l)^2`

`p^2=h^2+(l-a)^2`

 

c)

`a^2=d^2+c^2`

`d^2=a^2-c^2`

`b^2=(e-d)^2+c^2`

 

d)

`s^2=d^2+(2r)^2`

`t^2=r^2-(d/2)^2`

`c^2=r^2-t^2`

 

a) Jakie wysokości ma trójkąt...

`a)` 

Przyprostokątne w trójkącie prostokątnym są również wysokościami tego trójkąta.

Ramiona trójkąta równoramiennego w trójkącie prostokątnym są jego przyprostokątnymi. Z tego wynika, że: `a = b = 10` 

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczamy długość trzeciego boku:

`10^2 + 10^2 = x^2` 

`100 + 100 = x^2` 

`200 = x^2` 

`x^2 = 200 \ \ \ \ \ \ |sqrt(\ )` 

`sqrt(x^2) = sqrt(200)` 

`x = sqrt(100*2)` 

`x = 10sqrt2` 
{premium}

Wysokość trójkąta prostokątnego padająca na jego przeciwprostokątną dzieli tą przeciwprostokątną na połowę. Z tego wynika, że ta wysokość będzie wynosiła:

`h^2+(x/2)^2 = 10^2` 

`h^2 + ((10sqrt2)/2)^2 = 100` 

`h^2 + (5sqrt2)^2 = 100` 

`h^2 + 25*2=100` 

`h^2 + 50 = 100 \ \ \ \ \ |-50` 

`h^2 = 50 \ \ \ \ \ \ |sqrt(\ )` 

`sqrt(h^2) = sqrt(50)` 

`h = sqrt(25*2)` 

`h = 5sqrt2` 

Odp.: Wysokości prostokątnego trójkąta równoramiennego mają długości: `10,  10 " i " 5sqrt2  .` 

 

`b)` 

 

Mamy trójkąt prostokątny równoramienny o ramionach o długości x oraz przeciwprostokątnej o długości 6. Obliczmy długość ramienia tego trójkąta:

`x^2 + x^2 = 6^2` 

`2x^2 = 36 \ \ \ \ |:2` 

`x^2= 18 \ \ \ \ |sqrt(\ )` 

`sqrt(x^2) = sqrt(18)` 

`x = sqrt(9*2)`  

`x = 3sqrt2`  

Obliczmy długość wysokości tego trójkąta:

`h^2 + (6/2)^2 = x^2` 

`h^2 +3^2 = (3sqrt2)^2` 

`h^2 + 9 = 9*2` 

`h^2 + 9 = 18 \ \ \ \ \ |-9` 

`h^2 = 9 \ \ \ \ \ |sqrt(\ )`   

`sqrt(h^2) = sqrt9` 

`h = 3` 

Z tego wynika, że pole tego trójkąta wynosi (a = 6):

`P = 1/2 a h` 

`P = 1/2*6*3` 

`P = 9` 

Odp.: Pole tego trójkąta wynosi 9.

 

`c)` 

Mamy trójkąt prostokątny równoramienny o ramionach o długości x oraz przeciwprostokątnej o długości y. Pole tego trójkąta wynosi: `P = 8`  

Wiemy, że pole tego trójkąta prostokatnego obliczamy korzystając z wzoru:

`P = 1/2* x*x` 

`P = 1/2 x^2` 

Wyznaczmy zależność x od P dla tego trójkąta:

`P = 1/2 x^2  \ \ \ \ \ |*2` 

`2  P =x^2` 

`x^2 = 2 P \ \ \ \ \ | sqrt(\ )` 

`sqrt(x^2) = sqrt(2 P)` 

`x = sqrt(2 P)` 

`x = sqrt(2*8)`

`x = sqrt(16)` 

`x = 4`   

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa wyznaczamy zależność y od x:

`x^2 + x^2 = y^2` 

`2 x^2 = y^2` 

`y^2 = 2 x^2` 

`y^2 = 2 *4^2` 

`y^2 = 2 *16\ \ \ \ \ |sqrt(\ )` 

`sqrt(y^2) = sqrt(2*16)` 

`y = 4sqrt2` 

Z tego wynika, że obwód tego trójkąta wynosi:

`L = x+x+y` 

`L = 4+4+4sqrt2` 

`L = 8+4sqrt2` 

Odp.: Obwód tego trójkąta wynosi: `8+4sqrt2  .`