Potęgi - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Potęga o wykładniku naturalnym

Potęga to wielokrotne pomnożenie przez siebie takiego samego czynnika.


Potęgę liczby a o wykładniku n oznaczamy symbolem `a^n`, gdzie a to podstawa potęgi, n to wykładnik potęgi.  

Powyższa potęga oznacza, że dokonamy n - krotnego mnożenie czynnika a.

`a^n=#underbrace(a*a*...*a)_("n czynników")` 

Przykłady:

  • `3^4=3*3*3*3=81` 

  • `2^3=2*2*2=8`  

Gdy liczbę dodatnią lub ujemną podnosimy do potęgi parzystej, wówczas wynikiem będzie zawsze liczba dodatnia.

Gdy wykładnikiem potęgi liczby ujemnej będzie liczba nieparzysta to wynik będzie zawsze ujemny.

Przykłady:

  • `(-3)^6=3^6` 

  • `(-6)^5=-6^5`  

  • `(-1/2)^4=(1/2)^4` 

  • `(-1/7)^3=-(1/7)^3` 

Gdy podnosimy ułamek zwykły do danej potęgi, to wykonujemy oddzielnie potęgowanie dla licznika i mianownika. 

Przykłady

  • `(2/3)^2=2^2/3^2=4/9` 

  •  `(1/2)^4=1^4/2^4=1/16`  


Zapamiętaj:

  • `a^0=1 \ \ \ "dla" \ \ \ a!=0`  

  • `a^1=a`    

Iloczyn i iloraz potęg o tych samych podstawach

Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach jest bardzo proste. Należy zapamiętać dwie proste zasady:

  1. Mnożenie - iloczynem dwóch potęg o tych samych podstawach jest potęga, której podstawa jest taka sama jak podstawy mnożonych potęg, a wykładnik jest sumą wykładników tych potęg.

    `a^m*a^n=a^(m+n)`  

  2. Dzielenie - ilorazem dwóch potęg o tych samych podstawach jest potęga, której podstawa jest taka sama jak podstawy dzielnej i dzielnika, a wykładnik jest różnicą wykładników tych potęg.

    `a^m:a^n=a^(m-n) \ \ \ \ "dla" \ \ \ a!=0` 
     

Przykłady:

  • `3^2*3^4=3^(2+4)=3^6` 

  • `(-5)^3*(-5)^2=(-5)^(3+2)=(-5)^5` 

  • `7^3:7=7^3:7^1=7^(3-1)=7^2`     

  • `4^8:4^5=4^(8-5)=4^3`   

Potęgowanie potęgi

Potęgując potęgę należy pamiętać, że podstawa pozostaje bez zmian, a wykładniki mnożymy. 

  • `(a^m)^n=a^(m*n)` 


Przykłady:

  • `(2^3)^4=2^(3*4)=2^12` 

  • `(9^7)^8=9^(7*8)=9^(56)`   



Uwaga

Jeśli mamy potęgę postaci `a^(m^n)`, to w pierwszej kolejności potęgujemy potęgi, czyli obliczamy ile wynosi `m^n`.

W wyniku otrzymujemy potęgę o tej samej podstawie (`a`) i wykładniku będącym potęgą potęg.   


Przykłady

  • `5^(2^3)=5^8 \ \ \ \ "bo" \ \ \ 2^3=8` 

  • `4^(3^4)=4^81 \ \ \ \ "bo" \ \ \ \ 3^4=81`   

Potęgowanie iloczynu i ilorazu

Potęgowanie iloczynu i ilorazu odbywa się według dwóch prostych zasad: 

  1. Potęga iloczynu jest równa iloczynowi potęg. 

    `(a*b)^n=a^n*b^n`  

  2. Potęga ilorazu jest równa ilorazowi potęg. 
  • `(a:b)^n=a^n:b^n \ \ \ \ "dla" \ \ \ b!=0`    

  • `(a/b)^n=a^n/b^n \ \ \ \ "dla" \ \ \ b!=0`  
     

Przykłady:

  • `(3*2)^2=3^2*2^2`
     
  • `(5*7)^4=5^4*7^4`   

  • `(9:4)^3=9^3:4^3`  

  • `(8/5)^6=8^6/5^6`  

Potęga o wykładniku całkowitym ujemnym

Aby obliczyć potęgę, której podstawą jest liczba `a!=0` a wykładnik jest liczbą całkowitą ujemną zamieniamy podstawę potęgi na liczbę do niej odwrotną a wykładnik potęgi na liczbę do niego przeciwną. 

  • `a^(-n)=(1/a)^n=1^n/a^n=1/a^n`  


Przykłady
:

  • `7^-9=1/7^9` 

  • `2^(-3)=1/2^3`  

  • `(1/2)^(-4)=(2/1)^4=2^4`  

Notacja wykładnicza

Notacja wykładnicza to przedstawienie danej liczby w postaci iloczynu liczby większej lub równej 1 i mniejszej od 10 oraz potęgi liczby 10.

Zapis liczby dodatniej w notacji wykładniczej:

`a*10^n,  \ \ \ \ "gdzie" \ \ \ 1  <=  a < 10, \ \ \ "n jest liczbą całkowitą"` 


Przykłady:

  • `38 \ 900=3,8900*10 \ 000=3,89*10^4` 

  • `789 \ 423=7,89423*100 \ 000=7,89423*10^3`   

  • `0,00934=934/(100 \ 000)=(9,34)/(1000)=(9,34)/10^3=9,34*1/10^3=9,34*10^-3`     

  •  `0,00001257=(1257)/(100 \ 000 \ 000)=(1,257)/(100 \ 000)=(1,257)/10^5=1,257*1/10^5=1,257*10^-5`   


Uwaga:

Na podstawie powyższych przykładów można zauważyć, że:

  • Jeżeli przecinek przesuwaliśmy w lewo, to wykładnik potęgi liczby 10 będzie liczbą dodatnią;
  • Jeżeli przecinek przesuwaliśmy w prawo, to wykładnik potęgi liczby 10 będzie liczbą ujemną.

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Oblicz w pamięci:

  1. $$ 4^2 $$
  2. $$ 3^2 $$
  3. $$ 2^4 $$
  4. $$ 3^4 $$
  5. $$ 1^{43} $$
  1. $$ 4^2=16 $$
  2. $$ 3^2=9 $$
  3. $$ 2^4=16 $$
  4. $$ 3^4=81 $$
  5. $$ 1^{43}=1 $$

Zadanie 2.

Odgadnij liczbę spełniającą równanie:

  1. $$ 3^3×3^5=3^x $$
  2. $$ 5^2×5^x=5^7 $$
  3. $$ 7^7÷7^x=7^5 $$
  1. $$ 3^3×3^5=3^8 -> x=8 $$
  2. $$ 5^2×5^5=5^7 -> x=5 $$
  3. $$ 7^7÷7^2=7^5 -> x=2 $$

Zadanie 3.

Przedstaw wartość wyrażenia w postaci potęgi liczby 3:

  1. $$ 3^5×9^3 $$
  2. $$ {27}^5÷3^2 $$
  3. $$ 3^2×9^1÷3^3 $$
  1. $$ 3^5×9^3=3^5×3^6=3^{11} $$
  2. $$ {27}^5÷3^2=3^{15}÷3^2=3^{13} $$
  3. $$ 3^2×9^1÷3^3=3^2×3^2÷3^3=3^4÷3^3=3 $$

Zadanie 4.

Oblicz:

  1. $$ 2^{-4} $$
  2. $$ 3^{-3} $$
  3. $$ {10}^{-5} $$
  1. $$ 2^{-4}=1/{2^4} =1/{16} $$
  2. $$ 3^(-3)=1/{3^3} =1/{27} $$
  3. $$ {10}^{-5}=1/{ {10}^5} =1/{100000} $$

Zadanie 5.

Zapisz w notacji wykładniczej:

  1. 125 mln
  2. 8276 mln
  3. 25,6 mld
  1. 125 mln$$=125 000 000=1,25×{10}^8 $$
  2. 8276 mln$$=8726 000 000=8,726×{10}^9 $$
  3. 25,6 mld$$=25 600 000 000=2,56×{10}^{10}$$

Zadanie 6.

Który znak należy wstawić $$ < $$ czy $$ > $$?

  1. $$4^8$$ i $$3^8$$
  2. $$2^8$$ i $$2^{10}$$
  3. $$6^{-3}$$ i $$6^{-4}$$
  1. $$ 4^8 > 3^8 $$
  2. $$ 2^8 < 2^{10} $$
  3. $$ 6^{-3} > 6^{-4} $$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Ile jest liczb pierwszych mniejszych od 20?

Liczby pierwsze mniejsze od 20 to: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19. 

{premium}

Jest ich 8

Wśród poniższych brył wskaż ...

Ostrosłup to wielościan, w którym wszystkie ściany boczne sa trójkątami o wspólnym wierzchołku, a podstawą jest dowolny wielokąt. {premium}

Ostrosłupy to: II, III, VII.

Dany jest trójkąt ABC. Który z narysowanych ...

podglad pliku{premium}  podglad pliku

Trójkątem przystającym do trójkąta  jest trójkąt  (na podstawie cechy przystawania kbk).

Oblicz w zeszycie promień...

 

   {premium}

 

 


 

   

 


`c")" \ 34 \ "cm"` 

`34=2pir \ \|:2`   

`17=pir \ \ | :pi` 

`r=17/pi \ "[cm]"`


`d")" \ 13 \ "dm"` 

`13=2pir \ \|:2`   

`6,5=pir \ \ | :pi` 

`r=6,5/pi \ "[dm]"`

Kolejne punkty kratowe K, L, M są ...

Sprawdźmy A.

Z punktu K do punktu L przesuwamy się o 3 w lewo i 5 w górę. 

Z punktu L do punktu M przesuwamy się o 3 w lewo i 5 w górę. {premium}

Dodatkowo: NWD(3, 5)=1. 

Są to kolejne punkty kratowe.

 

Odp. A

Sześcienna kostka czekolady...

Wiemy, że sześcienna kostka o krawędzi 2 cm waży 5 dag. {premium}

Zauważmy, że  

Sześcienna kostka o krawędzi 8 cm składa się z:

 sześciennych kostek o wadze 5 dag.

 

 

 

Odp: Sześcienna kostka czekolady o krawędzi 8 cm ważyłaby  

a) Wyraź podane wielkości...

 

Wiemy, że:

 

  

Wówczas:

 

 

 

 

 

{premium}

 

Wiemy, że:

 

 

 

Wówczas:

 

 

 

 

 

 

 

Wiemy, że:

 

Wówczas:

 

 

  

 

 

 

 

Wiemy, że:

 

 

  

Wówczas:

  

 

 

 

 

Co jest większe: 30% liczby a ...

Obliczmy liczbę a.

 

{premium}

Obliczmy 30% liczby a.

 

 

Obliczmy liczbę b.

 

Obliczmy 0,9 liczby b.

 

 

Odp. 30% liczby a jest równe 0,9 liczby b.

 

Średnia wieku dziesięciu koszykarzy...

Niech  jest wiekiem trenera, a  jest sumą wieku koszykarzy. Wiemy, że średnia wieku  koszykarzy wynosi  lat, czyli:

 {premium}

 

Natomiast średnia wieku koszykarzy wraz z trenerem wynosi  lat. Wówczas:

 

 

 

 

 

Odpowiedź: Trener ma  lat.

W pierwszym pojemniku jest 7 kul białych ...

Pierwszy pojemnik: 

Obliczamy ile łącznie kul znajduje się w pierwszym pojemniku. 

 

W pierwszym pojemniku znajduje się łącznie 20 kul, czyli: 

 

Kul białych jest 7, więc:  {premium}

Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej wynosi więc: 

  


Drugi pojemnik:

x - liczba białych kul jakie należy dołożyć 

15+x - liczba białych kul w pojemniku po dołożeniu pewnej ilości kul białych

y - liczba czarnych kul jakie należy dołożyć 

20+y - liczba czarnych kul w pojemniku po dołożeniu pewnej ilości kul czarnych 

15+x+20+y=35+x+y - liczba wszystkich kul w pojemniku 


Chcemy, aby prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej wynosiło 7/20 (tyle samo, co w pierwszym pojemniku). Zatem:

 

   

 


Zauważmy, że z prawej strony równania (7y) mamy liczbę będącą wielokrotnością liczby 7 (bo mamy iloczyn liczby 7 i pewnej liczby y). 

Skoro zachodzi równość, to lewa strona także musi być wielokrotnością liczby 7. Szukamy więc takich liczb x, aby wartość lewej strony równania była wielokrotnością liczby 7. 

  • Dla x=6 mamy: 

 

 

Zatem: 

 

Możemy dołożyć 6 kul białych i 19 kul czarnych

  • Dla x=20 mamy: 

Zatem:

   

Możemy dołożyć 20 kul białych i 45 kul czarnych