Potęgi - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Potęgi - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Potęga o wykładniku naturalnym

Potęga to wielokrotne pomnożenie przez siebie takiego samego czynnika.


Potęgę liczby a o wykładniku n oznaczamy symbolem `a^n`, gdzie a to podstawa potęgi, n to wykładnik potęgi.  

Powyższa potęga oznacza, że dokonamy n - krotnego mnożenie czynnika a.

`a^n=#underbrace(a*a*...*a)_("n czynników")` 

Przykłady:

  • `3^4=3*3*3*3=81` 

  • `2^3=2*2*2=8`  

Gdy liczbę dodatnią lub ujemną podnosimy do potęgi parzystej, wówczas wynikiem będzie zawsze liczba dodatnia.

Gdy wykładnikiem potęgi liczby ujemnej będzie liczba nieparzysta to wynik będzie zawsze ujemny.

Przykłady:

  • `(-3)^6=3^6` 

  • `(-6)^5=-6^5`  

  • `(-1/2)^4=(1/2)^4` 

  • `(-1/7)^3=-(1/7)^3` 

Gdy podnosimy ułamek zwykły do danej potęgi, to wykonujemy oddzielnie potęgowanie dla licznika i mianownika. 

Przykłady

  • `(2/3)^2=2^2/3^2=4/9` 

  •  `(1/2)^4=1^4/2^4=1/16`  


Zapamiętaj:

  • `a^0=1 \ \ \ "dla" \ \ \ a!=0`  

  • `a^1=a`    

Iloczyn i iloraz potęg o tych samych podstawach

Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach jest bardzo proste. Należy zapamiętać dwie proste zasady:

  1. Mnożenie - iloczynem dwóch potęg o tych samych podstawach jest potęga, której podstawa jest taka sama jak podstawy mnożonych potęg, a wykładnik jest sumą wykładników tych potęg.

    `a^m*a^n=a^(m+n)`  

  2. Dzielenie - ilorazem dwóch potęg o tych samych podstawach jest potęga, której podstawa jest taka sama jak podstawy dzielnej i dzielnika, a wykładnik jest różnicą wykładników tych potęg.

    `a^m:a^n=a^(m-n) \ \ \ \ "dla" \ \ \ a!=0` 
     

Przykłady:

  • `3^2*3^4=3^(2+4)=3^6` 

  • `(-5)^3*(-5)^2=(-5)^(3+2)=(-5)^5` 

  • `7^3:7=7^3:7^1=7^(3-1)=7^2`     

  • `4^8:4^5=4^(8-5)=4^3`   

Potęgowanie potęgi

Potęgując potęgę należy pamiętać, że podstawa pozostaje bez zmian, a wykładniki mnożymy. 

  • `(a^m)^n=a^(m*n)` 


Przykłady:

  • `(2^3)^4=2^(3*4)=2^12` 

  • `(9^7)^8=9^(7*8)=9^(56)`   



Uwaga

Jeśli mamy potęgę postaci `a^(m^n)`, to w pierwszej kolejności potęgujemy potęgi, czyli obliczamy ile wynosi `m^n`.

W wyniku otrzymujemy potęgę o tej samej podstawie (`a`) i wykładniku będącym potęgą potęg.   


Przykłady

  • `5^(2^3)=5^8 \ \ \ \ "bo" \ \ \ 2^3=8` 

  • `4^(3^4)=4^81 \ \ \ \ "bo" \ \ \ \ 3^4=81`   

Potęgowanie iloczynu i ilorazu

Potęgowanie iloczynu i ilorazu odbywa się według dwóch prostych zasad: 

  1. Potęga iloczynu jest równa iloczynowi potęg. 

    `(a*b)^n=a^n*b^n`  

  2. Potęga ilorazu jest równa ilorazowi potęg. 
  • `(a:b)^n=a^n:b^n \ \ \ \ "dla" \ \ \ b!=0`    

  • `(a/b)^n=a^n/b^n \ \ \ \ "dla" \ \ \ b!=0`  
     

Przykłady:

  • `(3*2)^2=3^2*2^2`
     
  • `(5*7)^4=5^4*7^4`   

  • `(9:4)^3=9^3:4^3`  

  • `(8/5)^6=8^6/5^6`  

Potęga o wykładniku całkowitym ujemnym

Aby obliczyć potęgę, której podstawą jest liczba `a!=0` a wykładnik jest liczbą całkowitą ujemną zamieniamy podstawę potęgi na liczbę do niej odwrotną a wykładnik potęgi na liczbę do niego przeciwną. 

  • `a^(-n)=(1/a)^n=1^n/a^n=1/a^n`  


Przykłady
:

  • `7^-9=1/7^9` 

  • `2^(-3)=1/2^3`  

  • `(1/2)^(-4)=(2/1)^4=2^4`  

Notacja wykładnicza

Notacja wykładnicza to przedstawienie danej liczby w postaci iloczynu liczby większej lub równej 1 i mniejszej od 10 oraz potęgi liczby 10.

Zapis liczby dodatniej w notacji wykładniczej:

`a*10^n,  \ \ \ \ "gdzie" \ \ \ 1  <=  a < 10, \ \ \ "n jest liczbą całkowitą"` 


Przykłady:

  • `38 \ 900=3,8900*10 \ 000=3,89*10^4` 

  • `789 \ 423=7,89423*100 \ 000=7,89423*10^3`   

  • `0,00934=934/(100 \ 000)=(9,34)/(1000)=(9,34)/10^3=9,34*1/10^3=9,34*10^-3`     

  •  `0,00001257=(1257)/(100 \ 000 \ 000)=(1,257)/(100 \ 000)=(1,257)/10^5=1,257*1/10^5=1,257*10^-5`   


Uwaga:

Na podstawie powyższych przykładów można zauważyć, że:

  • Jeżeli przecinek przesuwaliśmy w lewo, to wykładnik potęgi liczby 10 będzie liczbą dodatnią;
  • Jeżeli przecinek przesuwaliśmy w prawo, to wykładnik potęgi liczby 10 będzie liczbą ujemną.

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Oblicz w pamięci:

  1. $ 4^2 $
  2. $ 3^2 $
  3. $ 2^4 $
  4. $ 3^4 $
  5. $ 1^{43} $
  1. $ 4^2=16 $
  2. $ 3^2=9 $
  3. $ 2^4=16 $
  4. $ 3^4=81 $
  5. $ 1^{43}=1 $

Zadanie 2.

Odgadnij liczbę spełniającą równanie:

  1. $ 3^3×3^5=3^x $
  2. $ 5^2×5^x=5^7 $
  3. $ 7^7÷7^x=7^5 $
  1. $ 3^3×3^5=3^8 -> x=8 $
  2. $ 5^2×5^5=5^7 -> x=5 $
  3. $ 7^7÷7^2=7^5 -> x=2 $

Zadanie 3.

Przedstaw wartość wyrażenia w postaci potęgi liczby 3:

  1. $ 3^5×9^3 $
  2. $ {27}^5÷3^2 $
  3. $ 3^2×9^1÷3^3 $
  1. $ 3^5×9^3=3^5×3^6=3^{11} $
  2. $ {27}^5÷3^2=3^{15}÷3^2=3^{13} $
  3. $ 3^2×9^1÷3^3=3^2×3^2÷3^3=3^4÷3^3=3 $

Zadanie 4.

Oblicz:

  1. $ 2^{-4} $
  2. $ 3^{-3} $
  3. $ {10}^{-5} $
  1. $ 2^{-4}=1/{2^4} =1/{16} $
  2. $ 3^(-3)=1/{3^3} =1/{27} $
  3. $ {10}^{-5}=1/{ {10}^5} =1/{100000} $

Zadanie 5.

Zapisz w notacji wykładniczej:

  1. 125 mln
  2. 8276 mln
  3. 25,6 mld
  1. 125 mln$=125 000 000=1,25×{10}^8 $
  2. 8276 mln$=8726 000 000=8,726×{10}^9 $
  3. 25,6 mld$=25 600 000 000=2,56×{10}^{10}$

Zadanie 6.

Który znak należy wstawić $ < $ czy $ > $?

  1. $4^8$ i $3^8$
  2. $2^8$ i $2^{10}$
  3. $6^{-3}$ i $6^{-4}$
  1. $ 4^8 > 3^8 $
  2. $ 2^8 < 2^{10} $
  3. $ 6^{-3} > 6^{-4} $

Spis treści

Rozwiązane zadania
Biuro bukmacherskie przyjmuje zakłady...

 

Ze stosunku prawdopodobieństw tych zdarzeń możemy wywnioskować,

że prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia, które jest remisem wynosi: {premium}

 

 

 

Prawdopodobieństwo, że spotkania nie wygrają goście wynosi:

 

 

Wyrażenie algebraiczne postaci ...

  - suma połowy liczby a i liczby b {premium}

  - sześcian sumy połowy liczby a i liczby b

Odp. B

 

 - kwadrat liczby x

 - iloraz liczby y przez liczbę 10

 - suma kwadratu liczby x i ilorazu liczby y przez liczbę 10

Odp. C

Użyj notacji wykładniczej i wyraź

{premium}

 

Na którym rysunku figury płaskie położone są ...

B. Figury nie są położone symetrycznie względem prostej  (figura po prawej stronie znajduje się za nisko).{premium}

C. Figury nie są położone symetrycznie względem prostej  (figura po prawej stronie jest obrócona "do góry nogami" i znajduje się za nisko).

D. Figury nie są położone symetrycznie względem prostej  (figura po prawej stronie jest obrócona "do góry nogami").


Odpowiedź: A

Wskaż poprawne zaokrąglenie wartości pierwiastka ...

 

Pierwiastek z 2600 to więcej niż 50. {premium} 

Podane zaokrąglenie nie jest poprawne. 


 

Pierwiastek z 1500 to mniej niż 40. 

Podane zaokrąglenie nie jest poprawne. 


 

Pierwiastek z 2400 to mniej niż 50. 

Podana zaokrąglenie nie jest poprawne. 


 

 Pierwiastek z 5000 to trochę więcej niż 70. 

Podane zaokrąglenie jest poprawne. 


Poprawna odpowiedź: D. 

Oblicz NWW i NWD...

 

Wypiszmy wielokrotności tych liczb:

 

 

 

Wypiszmy dzielniki tych liczb:

 {premium}

 

 

 

 

Wypiszmy wielokrotności tych liczb:

 

 

 

Wypiszmy dzielniki tych liczb:

 

 

 

 

Wypiszmy wielokrotności tych liczb:

 

 

 

Wypiszmy dzielniki tych liczb:

 

 

 

Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie...

Na kostce sześciennej znajdują się następujące liczby oczek :{1, 2, 3, 4, 5, 6}, zatem:   {premium}

a) Zbiór zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu, że utworzona liczba dwucyfrowa jest podzielna przez 8 to:

 

b) Zbiór zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu, że utworzona liczba dwucyfrowa jest podzielna przez 11 to:

 

c) Zbiór zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu, że utworzona liczba dwucyfrowa jest liczbą pierwszą to:

Przeczytaj ciekawostkę. a) Jacek przez tydzień ...

 Jacek otrzymał  pomniejszone o podatek.  Obliczymy, ile wynosi podatek.

Zgodnie z informacją powyżej podatek to  z  kwoty brutto, czyli:

 

VAT wyniósł  

Obliczamy, ile pieniędzy otrzymał Jacek:{premium}

 

Odpowiedź: Jacek otrzymał netto  

 

 Obliczamy najpierw, jaką kwotę brutto można zarobić za  godzin pracy:

 

Obliczamy, ile wynosi podatek od tej kwoty:     

 

Obliczamy, jaka jest kwota netto:

 

Odpowiedź: U tego pracodawcy można zarobić  netto za  godzin pracy.

 

skąd to się wzięło i po co to jest potrzebne? podatek

to  z  kwoty brutto. Pokazaliśmy, że  z  to więc teraz możemy stwierdzić,

że  z  kwoty brutto to tak naprawdę  kwoty brutto          

Wobec powyższego podatek stanowi  kwoty brutto, stąd wiemy,

że kwota netto to  kwoty brutto.

Wystarczy już tylko zapisać odpowiednią proporcję, by wyznaczyć kwotę brutto:

 

 

 

Odpowiedź: Kwota brutto na tej umowie to            

Opłata paliwowa to podatek wprowadzony w celu finansowania ...

a)     Obliczamy, jaki procent ceny paliwa stanowi opłata paliwowa.

 

Obliczamy, jaką kwotę ceny paliwa (ceny za litr) stanowi opłata paliwowa,

czyli {premium} z .

 

Przy tankowaniu  litrów wyniesie ona

 


b)     Obliczamy, ile wynosi marża stacji benzynowej przy sprzedaży litra oleju napędowego,

czyli  z .

 


c)     Podatki stanowią łącznie  .

Obliczamy, jaką kwotę ceny paliwa (ceny za litr) stanowią podatki,

czyli {premium} z .

 

Grot, czyli największy żagiel na żaglówce, ma ...

Thumb zag

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczamy jaką wysokość ma grot (ile wynosi ). {premium}

 

 

 

 

 


Obliczamy ile wynosi powierzchnia tego żagla. 

 


Odpowiedź: Powierzchnia żagla wynosi około .