Potęgi - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Potęgi - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Potęga o wykładniku naturalnym

Potęga to wielokrotne pomnożenie przez siebie takiego samego czynnika.


Potęgę liczby a o wykładniku n oznaczamy symbolem `a^n`, gdzie a to podstawa potęgi, n to wykładnik potęgi.  

Powyższa potęga oznacza, że dokonamy n - krotnego mnożenie czynnika a.

`a^n=#underbrace(a*a*...*a)_("n czynników")` 

Przykłady:

  • `3^4=3*3*3*3=81` 

  • `2^3=2*2*2=8`  

Gdy liczbę dodatnią lub ujemną podnosimy do potęgi parzystej, wówczas wynikiem będzie zawsze liczba dodatnia.

Gdy wykładnikiem potęgi liczby ujemnej będzie liczba nieparzysta to wynik będzie zawsze ujemny.

Przykłady:

  • `(-3)^6=3^6` 

  • `(-6)^5=-6^5`  

  • `(-1/2)^4=(1/2)^4` 

  • `(-1/7)^3=-(1/7)^3` 

Gdy podnosimy ułamek zwykły do danej potęgi, to wykonujemy oddzielnie potęgowanie dla licznika i mianownika. 

Przykłady

  • `(2/3)^2=2^2/3^2=4/9` 

  •  `(1/2)^4=1^4/2^4=1/16`  


Zapamiętaj:

  • `a^0=1 \ \ \ "dla" \ \ \ a!=0`  

  • `a^1=a`    

Iloczyn i iloraz potęg o tych samych podstawach

Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach jest bardzo proste. Należy zapamiętać dwie proste zasady:

  1. Mnożenie - iloczynem dwóch potęg o tych samych podstawach jest potęga, której podstawa jest taka sama jak podstawy mnożonych potęg, a wykładnik jest sumą wykładników tych potęg.

    `a^m*a^n=a^(m+n)`  

  2. Dzielenie - ilorazem dwóch potęg o tych samych podstawach jest potęga, której podstawa jest taka sama jak podstawy dzielnej i dzielnika, a wykładnik jest różnicą wykładników tych potęg.

    `a^m:a^n=a^(m-n) \ \ \ \ "dla" \ \ \ a!=0` 
     

Przykłady:

  • `3^2*3^4=3^(2+4)=3^6` 

  • `(-5)^3*(-5)^2=(-5)^(3+2)=(-5)^5` 

  • `7^3:7=7^3:7^1=7^(3-1)=7^2`     

  • `4^8:4^5=4^(8-5)=4^3`   

Potęgowanie potęgi

Potęgując potęgę należy pamiętać, że podstawa pozostaje bez zmian, a wykładniki mnożymy. 

  • `(a^m)^n=a^(m*n)` 


Przykłady:

  • `(2^3)^4=2^(3*4)=2^12` 

  • `(9^7)^8=9^(7*8)=9^(56)`   



Uwaga

Jeśli mamy potęgę postaci `a^(m^n)`, to w pierwszej kolejności potęgujemy potęgi, czyli obliczamy ile wynosi `m^n`.

W wyniku otrzymujemy potęgę o tej samej podstawie (`a`) i wykładniku będącym potęgą potęg.   


Przykłady

  • `5^(2^3)=5^8 \ \ \ \ "bo" \ \ \ 2^3=8` 

  • `4^(3^4)=4^81 \ \ \ \ "bo" \ \ \ \ 3^4=81`   

Potęgowanie iloczynu i ilorazu

Potęgowanie iloczynu i ilorazu odbywa się według dwóch prostych zasad: 

  1. Potęga iloczynu jest równa iloczynowi potęg. 

    `(a*b)^n=a^n*b^n`  

  2. Potęga ilorazu jest równa ilorazowi potęg. 
  • `(a:b)^n=a^n:b^n \ \ \ \ "dla" \ \ \ b!=0`    

  • `(a/b)^n=a^n/b^n \ \ \ \ "dla" \ \ \ b!=0`  
     

Przykłady:

  • `(3*2)^2=3^2*2^2`
     
  • `(5*7)^4=5^4*7^4`   

  • `(9:4)^3=9^3:4^3`  

  • `(8/5)^6=8^6/5^6`  

Potęga o wykładniku całkowitym ujemnym

Aby obliczyć potęgę, której podstawą jest liczba `a!=0` a wykładnik jest liczbą całkowitą ujemną zamieniamy podstawę potęgi na liczbę do niej odwrotną a wykładnik potęgi na liczbę do niego przeciwną. 

  • `a^(-n)=(1/a)^n=1^n/a^n=1/a^n`  


Przykłady
:

  • `7^-9=1/7^9` 

  • `2^(-3)=1/2^3`  

  • `(1/2)^(-4)=(2/1)^4=2^4`  

Notacja wykładnicza

Notacja wykładnicza to przedstawienie danej liczby w postaci iloczynu liczby większej lub równej 1 i mniejszej od 10 oraz potęgi liczby 10.

Zapis liczby dodatniej w notacji wykładniczej:

`a*10^n,  \ \ \ \ "gdzie" \ \ \ 1  <=  a < 10, \ \ \ "n jest liczbą całkowitą"` 


Przykłady:

  • `38 \ 900=3,8900*10 \ 000=3,89*10^4` 

  • `789 \ 423=7,89423*100 \ 000=7,89423*10^3`   

  • `0,00934=934/(100 \ 000)=(9,34)/(1000)=(9,34)/10^3=9,34*1/10^3=9,34*10^-3`     

  •  `0,00001257=(1257)/(100 \ 000 \ 000)=(1,257)/(100 \ 000)=(1,257)/10^5=1,257*1/10^5=1,257*10^-5`   


Uwaga:

Na podstawie powyższych przykładów można zauważyć, że:

  • Jeżeli przecinek przesuwaliśmy w lewo, to wykładnik potęgi liczby 10 będzie liczbą dodatnią;
  • Jeżeli przecinek przesuwaliśmy w prawo, to wykładnik potęgi liczby 10 będzie liczbą ujemną.

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Oblicz w pamięci:

  1. $ 4^2 $
  2. $ 3^2 $
  3. $ 2^4 $
  4. $ 3^4 $
  5. $ 1^{43} $
  1. $ 4^2=16 $
  2. $ 3^2=9 $
  3. $ 2^4=16 $
  4. $ 3^4=81 $
  5. $ 1^{43}=1 $

Zadanie 2.

Odgadnij liczbę spełniającą równanie:

  1. $ 3^3×3^5=3^x $
  2. $ 5^2×5^x=5^7 $
  3. $ 7^7÷7^x=7^5 $
  1. $ 3^3×3^5=3^8 -> x=8 $
  2. $ 5^2×5^5=5^7 -> x=5 $
  3. $ 7^7÷7^2=7^5 -> x=2 $

Zadanie 3.

Przedstaw wartość wyrażenia w postaci potęgi liczby 3:

  1. $ 3^5×9^3 $
  2. $ {27}^5÷3^2 $
  3. $ 3^2×9^1÷3^3 $
  1. $ 3^5×9^3=3^5×3^6=3^{11} $
  2. $ {27}^5÷3^2=3^{15}÷3^2=3^{13} $
  3. $ 3^2×9^1÷3^3=3^2×3^2÷3^3=3^4÷3^3=3 $

Zadanie 4.

Oblicz:

  1. $ 2^{-4} $
  2. $ 3^{-3} $
  3. $ {10}^{-5} $
  1. $ 2^{-4}=1/{2^4} =1/{16} $
  2. $ 3^(-3)=1/{3^3} =1/{27} $
  3. $ {10}^{-5}=1/{ {10}^5} =1/{100000} $

Zadanie 5.

Zapisz w notacji wykładniczej:

  1. 125 mln
  2. 8276 mln
  3. 25,6 mld
  1. 125 mln$=125 000 000=1,25×{10}^8 $
  2. 8276 mln$=8726 000 000=8,726×{10}^9 $
  3. 25,6 mld$=25 600 000 000=2,56×{10}^{10}$

Zadanie 6.

Który znak należy wstawić $ < $ czy $ > $?

  1. $4^8$ i $3^8$
  2. $2^8$ i $2^{10}$
  3. $6^{-3}$ i $6^{-4}$
  1. $ 4^8 > 3^8 $
  2. $ 2^8 < 2^{10} $
  3. $ 6^{-3} > 6^{-4} $

Spis treści

Rozwiązane zadania
Wiatrak ma skrzydła ...

Wiatrak ma skrzydła długości 4 m.

a) Punkt A w czasie jednego obrotu skrzydeł, zakreśli okrąg. Tym samym pokona drogę równą długości okręgu o promieniu 4 m (promień okręgu jest równy długości skrzydła wiatraka).

Obliczmy długość okręgu (drogę, jaką pokona punkt A):{premium}

`l=2pi*4`

 

 

Odp: Punkt A w czasie jednego obrotu skrzydeł pokona drogę równą 8𝜋 m.

 

b) Pewien punkt (niech to będzie punkt B) znajduje się na skrzydle wiatraka. W ciągu jednego obrotu pokonuje drogę równą 22 m. Odległość tego punktu, czyli punktu B od punktu S, wyznacza promień okręgu, po jakim porusza się ten punkt.

Punkt B pokonuje drogę równą 22 m, czyli zakreśla okrąg o długości 22 m.

r - długość promienia  (odległość punktu B znajdującego się na skrzydle wiatraka od punktu S)

 

 

 

 

Odp: Punkt na skrzydle wiatraka znajduje się 11/𝜋 m od punktu S.

Sporządź kopię rysunku ostrosłupa

W pewnym stopie trzech metali...

Dane:

Masy metali A, B i C: , i .

Stosunek wagowy tych metali:  

Masa całego stopu:  

Szukane:

 

 

 

Rozwiązanie:

Stosunek mas  oznacza, że masa  jest trzynastą częścią całości, masa  jest czwartą częścią całości,  jest trzecią częścią całości masy . Całość będzie wynosiła:{premium}

 

Wówczas:

 

 

 

Wiemy, że:

 

Wówczas:

  

  

  

Odp.: Masy poszczególnych składników stopu wynoszą ,  i .

Z kwadratowych arkuszy papieru ...

Rysunek pomocniczy:

Patrząc na rysunek możemy zauważy, że długość średnicy koła na kolejnych rysunkach jest równa{premium} 1/n, gdzie n oznacza ilość kół w jednym wierszu.

Ilość kół w jednym wierszu jest zgodan z numerem rysunku.

Ilość wszystkich kół na rysunku jest równa kwadratowi liczby kół z jednego wiersza.

Np. Na rysunku 5 koła będą miały średnicę 1/5 m. W jednym wierszu będzie 5 kół. W całym kwadracie będzie 25 kół (52=25).

 

Obliczmy pole koła z pierwszego rysunku:

 

Promień koła jet dwa razy mniejszy od średnicy, więc:

 

Pole koła I:

 

   

Obliczmy pole jednego koła z drugiego rysunku:

  

Promień koła jet dwa razy mniejszy od średnicy, więc:

 

Pole koła II:

  

Suma wszystkich czterech kół wynosi:

 

   

Obliczmy pole jednego koła z trzeciego rysunku:

  

Promień koła jet dwa razy mniejszy od średnicy, więc:

 

Pole koła III:

  

Suma wszystkich czterech kół wynosi:

  

   

Analizując trzy powyższe przykłady możemy zauważyć, że suma pól kół na każdym rysunku wynosi 1/4𝜋 m2.

Otrzymane dane zapiszmy w postaci tabelki.

Nr rys.

Ilość kół w jednym wierszu

Ilość wszystkich kół

Średnica jednego koła [m]

Promień jednego koła [m]

Pole jednego koła [m2]

Pole wszystkich kół [m2]

1

1

12=1

1

1/2

1/4𝜋

11/4𝜋 = 1/4𝜋

2

2

22=4

1/2

1/4

1/16𝜋

41/16𝜋 = 1/4𝜋

3

3

32=9

1/3

1/6

1/36𝜋

91/36𝜋 = 1/4𝜋

4

4

42=16

1/4

1/8

1/64𝜋

161/64𝜋 = 1/4𝜋

...

...

...

...

...

...

...

n

n

n2

1/n

1/2n

( 1/2n )2 𝜋

n2( 1/2n )2 𝜋=1/4𝜋

Sprawdźmy, czy dla dowolnego n (gdzie n - liczba kół w wierszu), suma pól wszystkich kół, których ilość wynosi n2, jest równa 1/4𝜋 m.

Średnica koła, które znajduje się na n-tym rysunku, wynosi 1/n m. Długość promienia koła jest dwa razy krótsza od długości średnicy, więc promień ma:

  

Obliczmy pole jednego koła:

  

Obliczmy sume wszystkich pól (wiemy, że jest n2 kół):

  

Ile osi symetrii ma: ...

a)

podglad pliku

Odcinek ma dwie osie symetrii.{premium}


b)

podglad pliku

Półprosta ma jedną oś symetrii.


c)

podglad pliku

Prostokąt ma dwie osie symetrii.


d)

podglad pliku

Romb ma dwie osie symetrii.


e)

podglad pliku

Sześciokąt foremny ma sześć osi symetrii.


f)

podglad pliku

Okrąg ma nieskończenie wiele osi symetrii.

Oblicz, o ile większe jest pole trapezu od pola...

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa możemy obliczyć  długość drugiej przyprostokątnej tego trójkąta (a):

 

   {premium}

 

 


Obliczmy pole tego trójkąta:

 


Obliczmy pole trapezu:

 

Obliczmy, o ile większe jest pole trapezu od pola trójkąta:

 


Odp.: Pole trapezu jest o 72 m2 większe od pola trójkąta.

Książka po obniżce kosztuje...

Nowa cena książki:  

Cena książki przed obniżką:  

Obliczamy procent, o jaki zmniejszyła się cena książki:

 {premium}

 

 

 

 

 

Cena książki zmniejszyła się o .

 

Odpowiedź:  O .

Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego...

Objętość ostrosłupa obliczamy korzystając z wzoru:

 


Obliczmy pole podstawy tego ostrosłupa:  {premium}

 


Korzystając  z twierdzenia Pitagorasa obliczmy długość wysokości tego ostrosłupa:

 

 

 

 

 


Obliczmy objętość tego ostrosłupa:

 

podglad pliku


Odp.: Objętość tego ostrosłupa wynosi 588√3 cm3.

Dwusieczna kąta prostego BAC w trójkącie...

Wiemy, że:

-dwusieczna kąta dzieli kąt na dwa kąty o tej samej mierze

-w każdym trójkącie suma miar kątów wewnętrznych wynosi  

wykonajmy rysunek pomocniczy:{premium}

podglad pliku

Obliczmy miarę kąta  :

 

  


Obliczmy miarę kąta  :

 

 

 

 


Odp.: Miary kątów w trójkącie ABC to: `90^@, 60^@, 30^@`.

Zapisz w najprostszej postaci wyrażenie opisujące...

 Obliczmy obwód tej figury:

{premium}  

 


 Obliczmy obwód tej figury: