Potęgi - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Potęgi - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Potęga o wykładniku naturalnym

Potęga to wielokrotne pomnożenie przez siebie takiego samego czynnika.


Potęgę liczby a o wykładniku n oznaczamy symbolem `a^n`, gdzie a to podstawa potęgi, n to wykładnik potęgi.  

Powyższa potęga oznacza, że dokonamy n - krotnego mnożenie czynnika a.

`a^n=#underbrace(a*a*...*a)_("n czynników")` 

Przykłady:

  • `3^4=3*3*3*3=81` 

  • `2^3=2*2*2=8`  

Gdy liczbę dodatnią lub ujemną podnosimy do potęgi parzystej, wówczas wynikiem będzie zawsze liczba dodatnia.

Gdy wykładnikiem potęgi liczby ujemnej będzie liczba nieparzysta to wynik będzie zawsze ujemny.

Przykłady:

  • `(-3)^6=3^6` 

  • `(-6)^5=-6^5`  

  • `(-1/2)^4=(1/2)^4` 

  • `(-1/7)^3=-(1/7)^3` 

Gdy podnosimy ułamek zwykły do danej potęgi, to wykonujemy oddzielnie potęgowanie dla licznika i mianownika. 

Przykłady

  • `(2/3)^2=2^2/3^2=4/9` 

  •  `(1/2)^4=1^4/2^4=1/16`  


Zapamiętaj:

  • `a^0=1 \ \ \ "dla" \ \ \ a!=0`  

  • `a^1=a`    

Iloczyn i iloraz potęg o tych samych podstawach

Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach jest bardzo proste. Należy zapamiętać dwie proste zasady:

  1. Mnożenie - iloczynem dwóch potęg o tych samych podstawach jest potęga, której podstawa jest taka sama jak podstawy mnożonych potęg, a wykładnik jest sumą wykładników tych potęg.

    `a^m*a^n=a^(m+n)`  

  2. Dzielenie - ilorazem dwóch potęg o tych samych podstawach jest potęga, której podstawa jest taka sama jak podstawy dzielnej i dzielnika, a wykładnik jest różnicą wykładników tych potęg.

    `a^m:a^n=a^(m-n) \ \ \ \ "dla" \ \ \ a!=0` 
     

Przykłady:

  • `3^2*3^4=3^(2+4)=3^6` 

  • `(-5)^3*(-5)^2=(-5)^(3+2)=(-5)^5` 

  • `7^3:7=7^3:7^1=7^(3-1)=7^2`     

  • `4^8:4^5=4^(8-5)=4^3`   

Potęgowanie potęgi

Potęgując potęgę należy pamiętać, że podstawa pozostaje bez zmian, a wykładniki mnożymy. 

  • `(a^m)^n=a^(m*n)` 


Przykłady:

  • `(2^3)^4=2^(3*4)=2^12` 

  • `(9^7)^8=9^(7*8)=9^(56)`   



Uwaga

Jeśli mamy potęgę postaci `a^(m^n)`, to w pierwszej kolejności potęgujemy potęgi, czyli obliczamy ile wynosi `m^n`.

W wyniku otrzymujemy potęgę o tej samej podstawie (`a`) i wykładniku będącym potęgą potęg.   


Przykłady

  • `5^(2^3)=5^8 \ \ \ \ "bo" \ \ \ 2^3=8` 

  • `4^(3^4)=4^81 \ \ \ \ "bo" \ \ \ \ 3^4=81`   

Potęgowanie iloczynu i ilorazu

Potęgowanie iloczynu i ilorazu odbywa się według dwóch prostych zasad: 

  1. Potęga iloczynu jest równa iloczynowi potęg. 

    `(a*b)^n=a^n*b^n`  

  2. Potęga ilorazu jest równa ilorazowi potęg. 
  • `(a:b)^n=a^n:b^n \ \ \ \ "dla" \ \ \ b!=0`    

  • `(a/b)^n=a^n/b^n \ \ \ \ "dla" \ \ \ b!=0`  
     

Przykłady:

  • `(3*2)^2=3^2*2^2`
     
  • `(5*7)^4=5^4*7^4`   

  • `(9:4)^3=9^3:4^3`  

  • `(8/5)^6=8^6/5^6`  

Potęga o wykładniku całkowitym ujemnym

Aby obliczyć potęgę, której podstawą jest liczba `a!=0` a wykładnik jest liczbą całkowitą ujemną zamieniamy podstawę potęgi na liczbę do niej odwrotną a wykładnik potęgi na liczbę do niego przeciwną. 

  • `a^(-n)=(1/a)^n=1^n/a^n=1/a^n`  


Przykłady
:

  • `7^-9=1/7^9` 

  • `2^(-3)=1/2^3`  

  • `(1/2)^(-4)=(2/1)^4=2^4`  

Notacja wykładnicza

Notacja wykładnicza to przedstawienie danej liczby w postaci iloczynu liczby większej lub równej 1 i mniejszej od 10 oraz potęgi liczby 10.

Zapis liczby dodatniej w notacji wykładniczej:

`a*10^n,  \ \ \ \ "gdzie" \ \ \ 1  <=  a < 10, \ \ \ "n jest liczbą całkowitą"` 


Przykłady:

  • `38 \ 900=3,8900*10 \ 000=3,89*10^4` 

  • `789 \ 423=7,89423*100 \ 000=7,89423*10^3`   

  • `0,00934=934/(100 \ 000)=(9,34)/(1000)=(9,34)/10^3=9,34*1/10^3=9,34*10^-3`     

  •  `0,00001257=(1257)/(100 \ 000 \ 000)=(1,257)/(100 \ 000)=(1,257)/10^5=1,257*1/10^5=1,257*10^-5`   


Uwaga:

Na podstawie powyższych przykładów można zauważyć, że:

  • Jeżeli przecinek przesuwaliśmy w lewo, to wykładnik potęgi liczby 10 będzie liczbą dodatnią;
  • Jeżeli przecinek przesuwaliśmy w prawo, to wykładnik potęgi liczby 10 będzie liczbą ujemną.

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Oblicz w pamięci:

  1. $ 4^2 $
  2. $ 3^2 $
  3. $ 2^4 $
  4. $ 3^4 $
  5. $ 1^{43} $
  1. $ 4^2=16 $
  2. $ 3^2=9 $
  3. $ 2^4=16 $
  4. $ 3^4=81 $
  5. $ 1^{43}=1 $

Zadanie 2.

Odgadnij liczbę spełniającą równanie:

  1. $ 3^3×3^5=3^x $
  2. $ 5^2×5^x=5^7 $
  3. $ 7^7÷7^x=7^5 $
  1. $ 3^3×3^5=3^8 -> x=8 $
  2. $ 5^2×5^5=5^7 -> x=5 $
  3. $ 7^7÷7^2=7^5 -> x=2 $

Zadanie 3.

Przedstaw wartość wyrażenia w postaci potęgi liczby 3:

  1. $ 3^5×9^3 $
  2. $ {27}^5÷3^2 $
  3. $ 3^2×9^1÷3^3 $
  1. $ 3^5×9^3=3^5×3^6=3^{11} $
  2. $ {27}^5÷3^2=3^{15}÷3^2=3^{13} $
  3. $ 3^2×9^1÷3^3=3^2×3^2÷3^3=3^4÷3^3=3 $

Zadanie 4.

Oblicz:

  1. $ 2^{-4} $
  2. $ 3^{-3} $
  3. $ {10}^{-5} $
  1. $ 2^{-4}=1/{2^4} =1/{16} $
  2. $ 3^(-3)=1/{3^3} =1/{27} $
  3. $ {10}^{-5}=1/{ {10}^5} =1/{100000} $

Zadanie 5.

Zapisz w notacji wykładniczej:

  1. 125 mln
  2. 8276 mln
  3. 25,6 mld
  1. 125 mln$=125 000 000=1,25×{10}^8 $
  2. 8276 mln$=8726 000 000=8,726×{10}^9 $
  3. 25,6 mld$=25 600 000 000=2,56×{10}^{10}$

Zadanie 6.

Który znak należy wstawić $ < $ czy $ > $?

  1. $4^8$ i $3^8$
  2. $2^8$ i $2^{10}$
  3. $6^{-3}$ i $6^{-4}$
  1. $ 4^8 > 3^8 $
  2. $ 2^8 < 2^{10} $
  3. $ 6^{-3} > 6^{-4} $

Spis treści

Rozwiązane zadania
Oblicz objętość graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego...

Dłuższa przekątna graniastosłupa tworzy z dłuższą przekątną podstawy oraz wysokością bryły trójkąt

prostokątny równoramienny, więc wysokość bryły i dłuższa przekątna podstawy mają taką samą długość.

Co więcej, taki trójkąt jest połówką kwadratu, więc wysokość bryły i dłuższa przekątna podstawy są równe  


Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:

Thumb dd2str185


Przyda nam się też rysunek pomocniczy podstawy graniastosłupa: {premium}

Thumb dd2astr185


Przekątne sześciokąta podzieliły go na sześć trójkątów równobocznych o boku  

Stąd:

 

 


Pole sześciokąta jest równe polu sześciu trójkątów równobocznych o boku  

Obliczamy pole podstawy graniastosłupa:

Podstawiamy  

 


Obliczamy objętość graniastosłupa:

 

 


Odp. Objętość graniastosłupa jest równa  

Narysuj sześciokąt, który nie jest foremny ...

Lodziarz sprzedaje małe...

Dane:

Cena małej gałki lodów:  

Cena dużej gałki lodów:  

Liczba sprzedanych gałek lodów:  

Kwota uzyskana ze sprzedaży lodów:  

Liczba sprzedanych małych gałek:  

Szukane:

Liczba sprzedanych dużych gałek lodów:  

Rozwiązanie:

Znamy liczbę sprzedanych przez lodziarza gałek lodów, która jest sumą małych i dużych gałek lodów:

 
{premium}

Znamy kwotę uzyskaną przez lodziarze ze sprzedaży:

 

Otrzymujemy układ równań, z którego obliczamy ilość małych i dużych gałek lodów sprzedanych przez lodziarza:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Odp.: Lodziarz sprzedał 260 dużych gałek lodów.

Spośród narysowanych figur ...

a) 

podglad pliku{premium}

,   


b)

podglad pliku

 


c)

podglad pliku

 

W prostopadłościanie o objętości V cm³ jedna z krawędzi o długości x jest

Wprowadźmy oznaczenia zgodne z treścią zadania.

Objętość: V

Długość jednej z krawędzi: x

Długość drugiej z krawędzi: 2x

Długość trzeciej z krawędzi: c

{premium}

Trzecią krawędź o nieznanej długości przedstawmy za pomocą danych nam wielkości korzystając ze wzoru na objętość prostopadłościanu.

 

 

 

 

 

Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu wyraża się wzorem:

 

Wyznaczmy wzór na pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu zapisany za pomocą tych oznaczeń.

 

 

 

  

 

 

W równoległoboku ABCD przekątne ...

W trójkącie BCE opuszczamy wysokość z wierzchołka C. 

Trójkąt EFC jest trójkątem prostokątnym równoramiennym o przeciwprostokątnej długości 6 cm. {premium}

Korzystając z zależności między bokami w trójkącie prostokątnym równoramiennym obliczamy długość wysokości CF. 
 
 
Usuwamy niewymierność z mianownika. 
 


Każda z przekątnych równoległoboku dzieli go na dwa trójkąty przystające. 

Przekątna BD dzieli równoległobok na dwa trójkąty przystające. 

Trójkąt ABD jest przystający do trójkąta CDB. 

W trójkącie CDB podstawą jest przekątna BD równoległoboku, czyli a=16 cm. 
Wysokość tego trójkąta jest równa długości odcinka CF, czyli h=3√2 cm. 

Pole równoległoboku jest sumą pól trójkątów ABD i CDB, czyli jest dwa razy większe od pola trójkąta CDB (bo trójkąty te są przystające).


Obliczamy ile wynosi pole równoległoboku:
   

Odpowiedź:
Pole równoległoboku wynosi 48√2 cm2

Doświadczenie losowe polega na...

Określmy na początku zbiór zdarzeń elementarnych:

 

Z tego wynika, że liczba zdarzeń elementarnych wynosi:  

 

 

Losujemy oczka będące potęgą liczby dwa:

 

Liczba zdarzeń sprzyjających wynosi:  

Wówczas prawdopodobieństwo wylosowania liczby będącej potęgą liczby dwa to:

 

 

 

 

Losujemy oczka będące wielokrotnością liczby :{premium}

 

Liczba zdarzeń sprzyjających wynosi:  

Prawdopodobieństwo to:

 

 

 

Losujemy liczbę nie większą niż . Zauważmy, że . Z tego wynika, że:

 

 

Liczba zdarzeń sprzyjających wynosi:  

Prawdopodobieństwo to:

 

 

 

 

Losujemy liczbę, która nie dzieli się przez :

 

Liczba zdarzeń sprzyjających wynosi:  

Prawdopodobieństwo to:

 

 

 

 

Losujemy liczbę, która przy dzieleniu przez  daje resztę . Zauważmy, że:

 

 

 

 

 

 

Nie ma elementów spełniających to założenie. Zbiór jest pusty:  

Liczba zdarzeń sprzyjających wynosi:  

Prawdopodobieństwo to:

 

 

Dany jest kąt alpha...

1. Tak, ponieważ wystarczy dorysować zielony odcinek:

podglad pliku{premium}

2. Tak, ponieważ wystarczy dorysować zielony odcinek:

Thumb zad23bs71

3. Tak, ponieważ wystarczy dorysować zielony odcinek:

Thumb zad23cs71

4. Tak, ponieważ wystarczy dorysować zielony odcinek:

Thumb zad23ds71

W konkursie Mistrz Klawiatury ...

Oznaczmy prędkość (wyrażoną w znakach na minutę) z jaką pisała na konkursie Joasia, jako  . 

 

Z treści zadania wiemy, że w określonym przez jury czasie zapisała 4920 znaków, pisząc z prędkością  znaków na minutę.
Skoro w ciągu jednej minuty zapisywała   znaków, to na zapisanie 4920 znaków potrzebowała    minut.    {premium}


Wiemy także, że gdyby pisała o 5 znaków więcej w ciągu każdej minuty, to w tym samym czasie zapisałaby 5040 znaków.

Skoro w ciągu jednej minuty zapisałaby   znaków, to na napisanie 5040 znaków potrzebowałaby    minut. 


Wiemy, że czasy pisania w obu przypadkach byłyby takie same, czyli: 

 


Odpowiedź: Joasia pisała z prędkością 205 znaków na minutę

Średnica najmniejszej poznanej bakterii wynosi około ...

Średnica najmniejszej poznanej bakterii wynosi około , czyli{premium}

 


Przypomnijmy, że , zatem

 

Na zdjęciu z mikroskopu powiększającego milion razy będzie milion razy dłuższa.