Potęgi - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Potęgi - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Potęga o wykładniku naturalnym

Potęga to wielokrotne pomnożenie przez siebie takiego samego czynnika.


Potęgę liczby a o wykładniku n oznaczamy symbolem `a^n`, gdzie a to podstawa potęgi, n to wykładnik potęgi.  

Powyższa potęga oznacza, że dokonamy n - krotnego mnożenie czynnika a.

`a^n=#underbrace(a*a*...*a)_("n czynników")` 

Przykłady:

  • `3^4=3*3*3*3=81` 

  • `2^3=2*2*2=8`  

Gdy liczbę dodatnią lub ujemną podnosimy do potęgi parzystej, wówczas wynikiem będzie zawsze liczba dodatnia.

Gdy wykładnikiem potęgi liczby ujemnej będzie liczba nieparzysta to wynik będzie zawsze ujemny.

Przykłady:

  • `(-3)^6=3^6` 

  • `(-6)^5=-6^5`  

  • `(-1/2)^4=(1/2)^4` 

  • `(-1/7)^3=-(1/7)^3` 

Gdy podnosimy ułamek zwykły do danej potęgi, to wykonujemy oddzielnie potęgowanie dla licznika i mianownika. 

Przykłady

  • `(2/3)^2=2^2/3^2=4/9` 

  •  `(1/2)^4=1^4/2^4=1/16`  


Zapamiętaj:

  • `a^0=1 \ \ \ "dla" \ \ \ a!=0`  

  • `a^1=a`    

Iloczyn i iloraz potęg o tych samych podstawach

Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach jest bardzo proste. Należy zapamiętać dwie proste zasady:

  1. Mnożenie - iloczynem dwóch potęg o tych samych podstawach jest potęga, której podstawa jest taka sama jak podstawy mnożonych potęg, a wykładnik jest sumą wykładników tych potęg.

    `a^m*a^n=a^(m+n)`  

  2. Dzielenie - ilorazem dwóch potęg o tych samych podstawach jest potęga, której podstawa jest taka sama jak podstawy dzielnej i dzielnika, a wykładnik jest różnicą wykładników tych potęg.

    `a^m:a^n=a^(m-n) \ \ \ \ "dla" \ \ \ a!=0` 
     

Przykłady:

  • `3^2*3^4=3^(2+4)=3^6` 

  • `(-5)^3*(-5)^2=(-5)^(3+2)=(-5)^5` 

  • `7^3:7=7^3:7^1=7^(3-1)=7^2`     

  • `4^8:4^5=4^(8-5)=4^3`   

Potęgowanie potęgi

Potęgując potęgę należy pamiętać, że podstawa pozostaje bez zmian, a wykładniki mnożymy. 

  • `(a^m)^n=a^(m*n)` 


Przykłady:

  • `(2^3)^4=2^(3*4)=2^12` 

  • `(9^7)^8=9^(7*8)=9^(56)`   



Uwaga

Jeśli mamy potęgę postaci `a^(m^n)`, to w pierwszej kolejności potęgujemy potęgi, czyli obliczamy ile wynosi `m^n`.

W wyniku otrzymujemy potęgę o tej samej podstawie (`a`) i wykładniku będącym potęgą potęg.   


Przykłady

  • `5^(2^3)=5^8 \ \ \ \ "bo" \ \ \ 2^3=8` 

  • `4^(3^4)=4^81 \ \ \ \ "bo" \ \ \ \ 3^4=81`   

Potęgowanie iloczynu i ilorazu

Potęgowanie iloczynu i ilorazu odbywa się według dwóch prostych zasad: 

  1. Potęga iloczynu jest równa iloczynowi potęg. 

    `(a*b)^n=a^n*b^n`  

  2. Potęga ilorazu jest równa ilorazowi potęg. 
  • `(a:b)^n=a^n:b^n \ \ \ \ "dla" \ \ \ b!=0`    

  • `(a/b)^n=a^n/b^n \ \ \ \ "dla" \ \ \ b!=0`  
     

Przykłady:

  • `(3*2)^2=3^2*2^2`
     
  • `(5*7)^4=5^4*7^4`   

  • `(9:4)^3=9^3:4^3`  

  • `(8/5)^6=8^6/5^6`  

Potęga o wykładniku całkowitym ujemnym

Aby obliczyć potęgę, której podstawą jest liczba `a!=0` a wykładnik jest liczbą całkowitą ujemną zamieniamy podstawę potęgi na liczbę do niej odwrotną a wykładnik potęgi na liczbę do niego przeciwną. 

  • `a^(-n)=(1/a)^n=1^n/a^n=1/a^n`  


Przykłady
:

  • `7^-9=1/7^9` 

  • `2^(-3)=1/2^3`  

  • `(1/2)^(-4)=(2/1)^4=2^4`  

Notacja wykładnicza

Notacja wykładnicza to przedstawienie danej liczby w postaci iloczynu liczby większej lub równej 1 i mniejszej od 10 oraz potęgi liczby 10.

Zapis liczby dodatniej w notacji wykładniczej:

`a*10^n,  \ \ \ \ "gdzie" \ \ \ 1  <=  a < 10, \ \ \ "n jest liczbą całkowitą"` 


Przykłady:

  • `38 \ 900=3,8900*10 \ 000=3,89*10^4` 

  • `789 \ 423=7,89423*100 \ 000=7,89423*10^3`   

  • `0,00934=934/(100 \ 000)=(9,34)/(1000)=(9,34)/10^3=9,34*1/10^3=9,34*10^-3`     

  •  `0,00001257=(1257)/(100 \ 000 \ 000)=(1,257)/(100 \ 000)=(1,257)/10^5=1,257*1/10^5=1,257*10^-5`   


Uwaga:

Na podstawie powyższych przykładów można zauważyć, że:

  • Jeżeli przecinek przesuwaliśmy w lewo, to wykładnik potęgi liczby 10 będzie liczbą dodatnią;
  • Jeżeli przecinek przesuwaliśmy w prawo, to wykładnik potęgi liczby 10 będzie liczbą ujemną.

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Oblicz w pamięci:

  1. $ 4^2 $
  2. $ 3^2 $
  3. $ 2^4 $
  4. $ 3^4 $
  5. $ 1^{43} $
  1. $ 4^2=16 $
  2. $ 3^2=9 $
  3. $ 2^4=16 $
  4. $ 3^4=81 $
  5. $ 1^{43}=1 $

Zadanie 2.

Odgadnij liczbę spełniającą równanie:

  1. $ 3^3×3^5=3^x $
  2. $ 5^2×5^x=5^7 $
  3. $ 7^7÷7^x=7^5 $
  1. $ 3^3×3^5=3^8 -> x=8 $
  2. $ 5^2×5^5=5^7 -> x=5 $
  3. $ 7^7÷7^2=7^5 -> x=2 $

Zadanie 3.

Przedstaw wartość wyrażenia w postaci potęgi liczby 3:

  1. $ 3^5×9^3 $
  2. $ {27}^5÷3^2 $
  3. $ 3^2×9^1÷3^3 $
  1. $ 3^5×9^3=3^5×3^6=3^{11} $
  2. $ {27}^5÷3^2=3^{15}÷3^2=3^{13} $
  3. $ 3^2×9^1÷3^3=3^2×3^2÷3^3=3^4÷3^3=3 $

Zadanie 4.

Oblicz:

  1. $ 2^{-4} $
  2. $ 3^{-3} $
  3. $ {10}^{-5} $
  1. $ 2^{-4}=1/{2^4} =1/{16} $
  2. $ 3^(-3)=1/{3^3} =1/{27} $
  3. $ {10}^{-5}=1/{ {10}^5} =1/{100000} $

Zadanie 5.

Zapisz w notacji wykładniczej:

  1. 125 mln
  2. 8276 mln
  3. 25,6 mld
  1. 125 mln$=125 000 000=1,25×{10}^8 $
  2. 8276 mln$=8726 000 000=8,726×{10}^9 $
  3. 25,6 mld$=25 600 000 000=2,56×{10}^{10}$

Zadanie 6.

Który znak należy wstawić $ < $ czy $ > $?

  1. $4^8$ i $3^8$
  2. $2^8$ i $2^{10}$
  3. $6^{-3}$ i $6^{-4}$
  1. $ 4^8 > 3^8 $
  2. $ 2^8 < 2^{10} $
  3. $ 6^{-3} > 6^{-4} $

Spis treści

Rozwiązane zadania
Jeden koniec odcinka o długości a ma ...

Jeden koniec odcinka ma współrzędne (3,2). Oznaczmy go jako P.

 

Drugi koniec odcinka znajduje się na osi Y, więc jego współrzędna x-kowa ma wartość 0.

Nie jest znana współrzędna y. Oznaczmy ten punkt jako S:

 

 

a) Wyznaczamy tak punkt S, aby długość odcinka SP była równa 5.

Przyjmijmy takie oznaczenia, jak na rysunku. 

Popatrzmy na trójkąt PRS1.

Chcemy, aby długośc odcinka S1P była równa 5:

 

Odcinek S1R ma długośc 3 (znamy współrzędne x-owe obu punktów, więc łatwo to zauważyć):

 

Wyznacamy długość odcinka RP:

  

 

 

Oznacza to, że współrzędne y-kowe punktu S1 oraz P muszą różnić się o 4 jednostki.

Stąd:

 

gdyż:

 

{premium}

Tym sposobem otrzymujemy także drugi punkt spełniający warunki zadania:

 

gdyż:

 

  

b) Wyznaczamy tak punkt S, aby długość odcinka SP była równa 32.

Przyjmijmy takie oznaczenia, jak na rysunku. 

Popatrzmy na trójkąt PRS1.

Chcemy, aby długośc odcinka S1P była równa 32:

   

Odcinek S1R ma długośc 3 (znamy współrzędne x-owe obu punktów, więc łatwo to zauważyć):

  

Wyznacamy długość odcinka RP:

  

   

  

Oznacza to, że współrzędne y-kowe punktu S1 oraz P muszą różnić się o 3 jednostki.

Stąd:

 

gdyż:

  

 

Tym sposobem otrzymujemy także drugi punkt spełniający warunki zadania:

 

gdyż:

  

   

c) Wyznaczamy tak punkt S, aby długość odcinka SP była równa 13.

Przyjmijmy takie oznaczenia, jak na rysunku. 

Popatrzmy na trójkąt PRS1.

Chcemy, aby długośc odcinka S1P była równa 13:

   

Odcinek S1R ma długośc 3 (znamy współrzędne x-owe obu punktów, więc łatwo to zauważyć):

  

Wyznacamy długość odcinka RP:

  

   

  

Oznacza to, że współrzędne y-kowe punktu S1 oraz P muszą różnić się o 2 jednostki.

Stąd:

 

gdyż:

  

 

Tym sposobem otrzymujemy także drugi punkt spełniający warunki zadania:

 

gdyż:

  

   

d) Wyznaczamy tak punkt S, aby długość odcinka SP była równa 58.

Przyjmijmy takie oznaczenia, jak na rysunku. 

Popatrzmy na trójkąt PRS1.

Chcemy, aby długośc odcinka S1P była równa 58:

   

Odcinek S1R ma długośc 3 (znamy współrzędne x-owe obu punktów, więc łatwo to zauważyć):

  

Wyznacamy długość odcinka RP:

  

   

   

Oznacza to, że współrzędne y-kowe punktu S1 oraz P muszą różnić się o 7 jednostek.

Stąd:

 

gdyż:

  

 

Tym sposobem otrzymujemy także drugi punkt spełniający warunki zadania:

 

gdyż:

   

Marek, przygotowując się do egzaminu z matematyki, rozwiązywał ...

Marek w ciągu pierwszego tygodnia zaplanował, że rozwiąże  wszystkich zadań. Obliczamy, ile zadań stanowi , jeżeli wszystkich zadań jest . {premium}

 


W ciągu pierwszych trzech dni Marek rozwiązał  zadań. Obliczamy, ile zadań musi jeszcze rozwiązać, aby wykonać tygodniowy plan.

 


Odpowiedź: Marek musi jeszcze rozwiązać  zadań.

Z kawałka plasteliny ulepiono ostrosłup ...

Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat o boku długości 2 cm. 

Pole podstawy wynosi więc: {premium}

 

Wysokość ostrosłupa ma długość 6 cm. 

 

Obliczamy ile wynosi objętość tego ostrosłupa. 

  

 

Taką samą objętość ma sześcian (ulepiono go z tego samego kawałka plasteliny co ostrosłup). 

 

Obliczamy ile wynosi długość krawędzi (a) tego sześcianu. 

   

Krawędź sześcianu ma długość 2 cm. 


Poprawna odpowiedź: A. 2 cm

Na rysunku przedstawiono tarczę...

a) Obliczy pole białej części tarczy:   {premium}

 


b) Obliczmy pole części tarczy, na którym można zdobyć więcej niż 3 punkty ale mniej niż 10 punktów:

 


Powierzchnia pola na którym można zdobyć 1, 2 lub 3 punkty jest większa
obliczmy, o ile procent :

 


c) Obliczmy pole całej tarczy:

 


Obliczmy pole powierzchni pola 10-punktowego:

 


Obliczmy jaki procent całej części tarczy stanowi pole 10-punktowe:

 


Oblicz w zeszycie długość średnicy okręgu o długości:

Długość okręgu obliczamy korzystając  z wzoru:

 

   -długość promienia okręgu

  -długość średnicy tego okręgu

zatem:

 

 {premium}

 


 

 

 


 

 

 


 

 

 

Oblicz obwód kwadratu...

Długość boku kwadratu , jeżeli znamy jego przekątną  wyznaczymy z wzoru:

 

Wówczas obwód takiego kwadratu wyznaczymy z wzoru:

 

 

 

 

 {premium}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Uzasadnij, że liczba podzielna...

Wyznaczmy wszystkie dzielniki liczby 39:

 

Wyznaczmy wszystkie dzielniki liczby 15:

 {premium}

Wyznaczmy wszystkie dzielniki liczby 65:

 

Ponieważ 5 i 13 są względnie pierwsze oraz 5 jest dzielnikiem liczby 15,
a 13 jest dzielnikiem liczby 39 to liczba, która jest podzielna prze 39 i 15 jest również podzielna przez 65.

Długości dwóch boków trójkąta ...

Nasz trójkąt nie jest równoramienny, gdyż długości jego wysokości są równe.

Gdyby dwie wysokości miały taką samą długość, to byłby to trójkąt równoramienny. 

Przyjmijmy oznaczenia: 

   - długość trzeciego boku trójkąta [w cm]

  • I możliwość - bok   jest najkrótszym bokiem trójkąta {premium}

    Spełniona musi być nierówność trójkąta, czyli: 

     

     

    Skoro bok ten jest najkrótszy, to jego długość musi wynosić jednocześnie mniej niż 9 cm. 

     

    Na najdłuższy bok (15 cm) opuszczona jest najkrótsza wysokość (7,2 cm). 

    Pole trójkąta wynosi: 

     

    Skoro bok   jest najkrótszy, to opuszczono na niego najdłuższą wysokość (12 cm). Wtedy: 

     
      

    Bok   nie może mieć 9 cm długości (nasz trójkąt nie jest równoramienny). Wynika z tego, że ta sytuacja jest niemożliwa. Należy odrzucić tę możliwość. 


  • II możliwość - bok   jest bokiem średniej długości 

    Spełniona musi być nierówność trójkąta, czyli: 

     

     

    Skoro bok ten jest najkrótszy bokiem średniej długości, to jego długość musi wynosić więcej niż 9 cm i mniej niż 15 cm (powyższa nierówność będzie spełniona, gdyż będzie on dłuższy niż 6 cm). 

     

    Na najdłuższy bok (15 cm) opuszczona jest najkrótsza wysokość (7,2 cm). 

    Pole trójkąta wynosi: 

     

    Skoro bok   jest bokiem średniej długości, to opuszczono na niego średniej długości wysokość (9 cm). Wtedy: 

     

     

      

    Bok   może mieć 12 cm długości. Wynika z tego, że ta sytuacja jest możliwa. Nie odrzucamy tej możliwości. 


  • III możliwość - bok   jest najdłuższym bokiem trójkąta

    Spełniona musi być nierówność trójkąta, czyli: 

     

     

    Długość boku a musi wynosić mniej niż 24 cm i jednocześnie więcej niż 15 cm, gdyż jest on najdłuższy. 

      

    Na najkrótszy bok (9 cm) opuszczona jest najdłuższa wysokość (12 cm). 

    Pole trójkąta wynosi: 

     

    Skoro bok   jest najdłuższy, to opuszczono na niego najkrótszą wysokość (7,2 cm). Wtedy: 

     

     

      

    Bok   nie może mieć 15 cm długości. Wynika z tego, że ta sytuacja jest niemożliwa. Należy odrzucić tę możliwość. 


Z przeprowadzonej powyżej analizy wynika, że można wziąć pod uwagę tylko II możliwość, tylko ta sytuacja jest możliwa. 

Trzeci bok trójkąta ma więc długość 12 cm. 

Korzystając z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa sprawdzamy, czy trójkąt ten jest prostokątny. 

 

Suma kwadratów długości dwóch krótszych boków jest równa kwadratowi długości najdłuższego boku. 

Wynika z tego, że trójkąt ten jest prostokątny. 


Odpowiedź: Trzeci bok trójkąta ma długość 12 cm. Jest to trójkąt prostokątny

Który z wielokątów...

Odpowiedź: , ponieważ:{premium}

Które z podanych wyrażeń ma ...

Obliczamy ile wynosi wartość każdego z podanych wyrażeń wykorzystując własności działań na pierwiastkach.  


 
{premium}

Wiemy, że: 

 

Zatem: 

 



 


 


 


Największą wartość ma więc wyrażenie D. 


Poprawna odpowiedź: D. (2√7)2