Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Potęgi - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Potęga o wykładniku naturalnym

Potęga to wielokrotne pomnożenie przez siebie takiego samego czynnika.


Potęgę liczby a o wykładniku n oznaczamy symbolem `a^n`, gdzie a to podstawa potęgi, n to wykładnik potęgi.  

Powyższa potęga oznacza, że dokonamy n - krotnego mnożenie czynnika a.

`a^n=#underbrace(a*a*...*a)_("n czynników")` 

Przykłady:

  • `3^4=3*3*3*3=81` 

  • `2^3=2*2*2=8`  

Gdy liczbę dodatnią lub ujemną podnosimy do potęgi parzystej, wówczas wynikiem będzie zawsze liczba dodatnia.

Gdy wykładnikiem potęgi liczby ujemnej będzie liczba nieparzysta to wynik będzie zawsze ujemny.

Przykłady:

  • `(-3)^6=3^6` 

  • `(-6)^5=-6^5`  

  • `(-1/2)^4=(1/2)^4` 

  • `(-1/7)^3=-(1/7)^3` 

Gdy podnosimy ułamek zwykły do danej potęgi, to wykonujemy oddzielnie potęgowanie dla licznika i mianownika. 

Przykłady

  • `(2/3)^2=2^2/3^2=4/9` 

  •  `(1/2)^4=1^4/2^4=1/16`  


Zapamiętaj:

  • `a^0=1 \ \ \ "dla" \ \ \ a!=0`  

  • `a^1=a`    

Iloczyn i iloraz potęg o tych samych podstawach

Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach jest bardzo proste. Należy zapamiętać dwie proste zasady:

  1. Mnożenie - iloczynem dwóch potęg o tych samych podstawach jest potęga, której podstawa jest taka sama jak podstawy mnożonych potęg, a wykładnik jest sumą wykładników tych potęg.

    `a^m*a^n=a^(m+n)`  

  2. Dzielenie - ilorazem dwóch potęg o tych samych podstawach jest potęga, której podstawa jest taka sama jak podstawy dzielnej i dzielnika, a wykładnik jest różnicą wykładników tych potęg.

    `a^m:a^n=a^(m-n) \ \ \ \ "dla" \ \ \ a!=0` 
     

Przykłady:

  • `3^2*3^4=3^(2+4)=3^6` 

  • `(-5)^3*(-5)^2=(-5)^(3+2)=(-5)^5` 

  • `7^3:7=7^3:7^1=7^(3-1)=7^2`     

  • `4^8:4^5=4^(8-5)=4^3`   

Potęgowanie potęgi

Potęgując potęgę należy pamiętać, że podstawa pozostaje bez zmian, a wykładniki mnożymy. 

  • `(a^m)^n=a^(m*n)` 


Przykłady:

  • `(2^3)^4=2^(3*4)=2^12` 

  • `(9^7)^8=9^(7*8)=9^(56)`   



Uwaga

Jeśli mamy potęgę postaci `a^(m^n)`, to w pierwszej kolejności potęgujemy potęgi, czyli obliczamy ile wynosi `m^n`.

W wyniku otrzymujemy potęgę o tej samej podstawie (`a`) i wykładniku będącym potęgą potęg.   


Przykłady

  • `5^(2^3)=5^8 \ \ \ \ "bo" \ \ \ 2^3=8` 

  • `4^(3^4)=4^81 \ \ \ \ "bo" \ \ \ \ 3^4=81`   

Potęgowanie iloczynu i ilorazu

Potęgowanie iloczynu i ilorazu odbywa się według dwóch prostych zasad: 

  1. Potęga iloczynu jest równa iloczynowi potęg. 

    `(a*b)^n=a^n*b^n`  

  2. Potęga ilorazu jest równa ilorazowi potęg. 
  • `(a:b)^n=a^n:b^n \ \ \ \ "dla" \ \ \ b!=0`    

  • `(a/b)^n=a^n/b^n \ \ \ \ "dla" \ \ \ b!=0`  
     

Przykłady:

  • `(3*2)^2=3^2*2^2`
     
  • `(5*7)^4=5^4*7^4`   

  • `(9:4)^3=9^3:4^3`  

  • `(8/5)^6=8^6/5^6`  

Potęga o wykładniku całkowitym ujemnym

Aby obliczyć potęgę, której podstawą jest liczba `a!=0` a wykładnik jest liczbą całkowitą ujemną zamieniamy podstawę potęgi na liczbę do niej odwrotną a wykładnik potęgi na liczbę do niego przeciwną. 

  • `a^(-n)=(1/a)^n=1^n/a^n=1/a^n`  


Przykłady
:

  • `7^-9=1/7^9` 

  • `2^(-3)=1/2^3`  

  • `(1/2)^(-4)=(2/1)^4=2^4`  

Notacja wykładnicza

Notacja wykładnicza to przedstawienie danej liczby w postaci iloczynu liczby większej lub równej 1 i mniejszej od 10 oraz potęgi liczby 10.

Zapis liczby dodatniej w notacji wykładniczej:

`a*10^n,  \ \ \ \ "gdzie" \ \ \ 1  <=  a < 10, \ \ \ "n jest liczbą całkowitą"` 


Przykłady:

  • `38 \ 900=3,8900*10 \ 000=3,89*10^4` 

  • `789 \ 423=7,89423*100 \ 000=7,89423*10^3`   

  • `0,00934=934/(100 \ 000)=(9,34)/(1000)=(9,34)/10^3=9,34*1/10^3=9,34*10^-3`     

  •  `0,00001257=(1257)/(100 \ 000 \ 000)=(1,257)/(100 \ 000)=(1,257)/10^5=1,257*1/10^5=1,257*10^-5`   


Uwaga:

Na podstawie powyższych przykładów można zauważyć, że:

  • Jeżeli przecinek przesuwaliśmy w lewo, to wykładnik potęgi liczby 10 będzie liczbą dodatnią;
  • Jeżeli przecinek przesuwaliśmy w prawo, to wykładnik potęgi liczby 10 będzie liczbą ujemną.

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Oblicz w pamięci:

  1. $$ 4^2 $$
  2. $$ 3^2 $$
  3. $$ 2^4 $$
  4. $$ 3^4 $$
  5. $$ 1^{43} $$
  1. $$ 4^2=16 $$
  2. $$ 3^2=9 $$
  3. $$ 2^4=16 $$
  4. $$ 3^4=81 $$
  5. $$ 1^{43}=1 $$

Zadanie 2.

Odgadnij liczbę spełniającą równanie:

  1. $$ 3^3×3^5=3^x $$
  2. $$ 5^2×5^x=5^7 $$
  3. $$ 7^7÷7^x=7^5 $$
  1. $$ 3^3×3^5=3^8 -> x=8 $$
  2. $$ 5^2×5^5=5^7 -> x=5 $$
  3. $$ 7^7÷7^2=7^5 -> x=2 $$

Zadanie 3.

Przedstaw wartość wyrażenia w postaci potęgi liczby 3:

  1. $$ 3^5×9^3 $$
  2. $$ {27}^5÷3^2 $$
  3. $$ 3^2×9^1÷3^3 $$
  1. $$ 3^5×9^3=3^5×3^6=3^{11} $$
  2. $$ {27}^5÷3^2=3^{15}÷3^2=3^{13} $$
  3. $$ 3^2×9^1÷3^3=3^2×3^2÷3^3=3^4÷3^3=3 $$

Zadanie 4.

Oblicz:

  1. $$ 2^{-4} $$
  2. $$ 3^{-3} $$
  3. $$ {10}^{-5} $$
  1. $$ 2^{-4}=1/{2^4} =1/{16} $$
  2. $$ 3^(-3)=1/{3^3} =1/{27} $$
  3. $$ {10}^{-5}=1/{ {10}^5} =1/{100000} $$

Zadanie 5.

Zapisz w notacji wykładniczej:

  1. 125 mln
  2. 8276 mln
  3. 25,6 mld
  1. 125 mln$$=125 000 000=1,25×{10}^8 $$
  2. 8276 mln$$=8726 000 000=8,726×{10}^9 $$
  3. 25,6 mld$$=25 600 000 000=2,56×{10}^{10}$$

Zadanie 6.

Który znak należy wstawić $$ < $$ czy $$ > $$?

  1. $$4^8$$ i $$3^8$$
  2. $$2^8$$ i $$2^{10}$$
  3. $$6^{-3}$$ i $$6^{-4}$$
  1. $$ 4^8 > 3^8 $$
  2. $$ 2^8 < 2^{10} $$
  3. $$ 6^{-3} > 6^{-4} $$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Znak B-1 oznacza zakaz ruchu w obu kierunkach. Średnica

Wymiary białego obszaru (pole koła o promieniu 32 cm):

`R=800 \ "mm":2=400 \ "mm"=40 \ "cm"` 

`r=400 \ "mm"-80 \ "mm"=320 \ "mm"=32 \ "cm"` {premium}

Pole:

`P_1=pi * r^2 = pi * 32^2 = 1024 pi \ ["cm"^2]` 

Pole czerwonego obszaru w kształcie pierścienia:

`P_2= P_k - P_1 = pi *40^2 - pi *32^2 = 1600pi - 1024 pi = 576pi \ ["cm"^2]` 

 

`P_1 \ \ > \ \ P_2` 

 

Połowa pola białego obszaru:

`P_1/2 = (1024)/2 = 512 \ ["cm"^2]` 

 

Odp. Pole czerwonego obszaru wynosi 576 `pi` cm2. Pole czerwonego obszaru nie jest mniejsze od połowy pola białego obszaru.

Przekątne kwadratu mają po 10 cm długości. Uzasadnij ...

Kwadrat jest również rombem. Znając długości przekątnych możemy zatem obliczyć jego pole, które jest połową iloczynu ich długości.

`P=1/2*10 \ "cm"*10 \ "cm"=1/strike2^1*strike100^50 \ "cm"^2=50 \ "cm"^2` 

{premium}

Obliczmy teraz długość boku kwadratu o polu równym 50 cm2.

`P=a^2` 

`a^2=50 \ "cm"^2 \ \ \ \ \ |sqrt` 

`a=sqrt50 \ "cm"` 

Oszacujmy długość boku kwadratu.

`sqrt50 \ "cm" \ \ > \ \ sqrt49 \ "cm"` 

`sqrt50 \ "cm" \ \ > \ \ 7 \ "cm"` 

Długość boku kwadratu kwadratu jest większa niż 7 cm, stąd jego obwód jest większy niż:

`Obw=4*7 \ "cm"=28 \ "cm"` 

Krzysztof i Mateusz zarobek za wykonaną pracę podzielili w stosunku ...

Zarobek Krzysztofa i Mateusza został podzielony w stosunku 2:7. 

Krzysztof otrzymał 2 części z całej kwoty, a Mateusz - 7 części. 

Mateusz otrzymał 595 zł. Możemy więc napisać: {premium}

`7x=595 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \|:7`

`x=85`   


Obliczamy ile wynosił zarobek Krzysztofa. 

`2x=2*85=170`

Zarobek Krzysztofa wynosił 170 zł. 


Obliczamy ile wynosił łączny zarobek Krzysztofa i Mateusza. 

`595+170=765`

Razem zarobili 765 zł. 


Poprawna odpowiedź: A. 765 zł  

a) Pięć rozbitych jajek wypełnia szklankę o pojemności 0,25 l. ...

`a)`    Tuzin to 12 sztuk. 

`5\ jajek\ \ \ -\ \ \ 0,25\ l` {premium}

`12\ jajek\ \ -\ \ \ x`


Korzystając z tego, że są to wielkości wprost proporcjonalne układamy proporcję, z której obliczymy x: 

`5/12=(0,25)/x`

`5x=12*0,25\ \ \ |:5`

`x=12*0,05=0,6`


Odpowiedź
: Naczynie musiałoby mieć pojemność 0,6 litra. 

 

`b)`  Kopa to 60 sztuk. 

`7 \ jajek\ \ \ -\ \ \ 455\ g`

`60\ jajek\ \ -\ \ \ x`


Korzystając z tego, że są to wielkości wprost proporcjonalne układamy proporcję, z której obliczymy x:

`7/60=455/x`

`7*x=455*60\ \ \ \ |:7`

`x=65*60=3900`


Odpowiedź
: Kopa jajek waży 3900 gram. 

Przedstaw potęgę...

Przykładowe rozwiązanie zadania.


`a)` 

`a^16 = a^(4*4) = (a^4)^4` 

 

`3^12 = 3^(3*4) = (3^3)^4` 

 

`(- 1/3)^8 = (- 1/3)^(4*2) = ((- 1/3)^4)^2` 

{premium}

 

`(1,3)^15=(1,3)^(3*5) = ((1,3)^3)^5` 

 

`(-4)^20 = (-4)^(10*2)=((-4)^10)^2` 

 


 

`b)` 

`(-2)^5 = (-2)^(1*5)=((-2)^1)^5` 

 

`-(-5)^6=-(-5)^(2*3)=-((-5)^2)^3` 

 

`-11^9 = -11^(3*3) = -(11^3)^3` 

 

`-(-7)^18 = -(-7)^(2*9)=-((-7)^2)^9` 

 

`m^64 = m^(4*16) = (m^4)^16` 

W pewnej ankiecie...

Z wykresu odczytujemy, że:

  • budyń malinowy lubi:  `140\ "osób"` 
  • budyniu malinowego nie lubi: `80\ "osób"` 

Oznacza to, że liczba wszystkich badanych osób to:

`140 + 80 = 220` 
{premium}

Obliczmy jaki procent badanych lubi, a jaki nie lubi budyniu malinowego: 

`140/220*100% = 7/11*100% = 700/11%~~63,6%` 

`80/220*100% = 4/11*100% = 400/11%~~36,4%` 

Odp.: Budyń malinowy lubi około 63,6% badanych osób, natomiast budyniu malinowego nie lubi około 36,4% badanych osób.

Długość przekątnej kwadratu o polu 8

`P=8` 

`a^2=8 \ \ \ \ \ \ \ |sqrt` 

`a=sqrt8` 

`a=sqrt(4*2)` 

`a=2sqrt2` 

zatem:

`d=asqrt2` 

`d=2sqrt2*sqrt2` 

`d=2sqrt4` 

`d=2*2` 

`d=4` 

Odp.: `"B." \ \ 4`  

Kolejne punkty kratowe K, L, M są ...

Sprawdźmy A.

Z punktu K do punktu L przesuwamy się o 3 w lewo i 5 w górę. 

Z punktu L do punktu M przesuwamy się o 3 w lewo i 5 w górę. {premium}

Dodatkowo: NWD(3, 5)=1. 

Są to kolejne punkty kratowe.

 

Odp. A

W szufladzie są skarpetki: 10 czarnych, 8 białych i 6 różowych...

Wiemy, że w szufladzie jest: 10 czarnych, 8 białych i 6 różowych skarpetek

zatem wszystkich skarpetek w szufladzie jest:

`10+8+6=24` 

a) obliczmy prawdopodobieństwo zdarzenia, że wylosowana skarpetka będzie biała:

liczba białych skarpetek wynosi: 8

liczba wszystkich skarpetek: 24

p- prawdopodobieństwo, że wyciągnięta skarpetka będzie biała
{premium}

`p=8/24=1/3` 

Odp.:  Prawdopodobieństwo tego zdarzenia wynosi `1/3`. 


b) obliczmy prawdopodobieństwo zdarzenia, że wylosowana skarpetka nie będzie czarna:

liczba skarpetek, które nie są czarne wynosi: 8+6=14

liczba wszystkich skarpetek: 24

p- prawdopodobieństwo, że wyciągnięta skarpetka nie będzie czarna

`p=14/24=7/12` 

Odp.: Prawdopodobieństwo tego zdarzenia wynosi `7/12`.

Jakie jest prawdopodobieństwo, że kiedy rzucimy dwudziestościenną kostką...

a) Wszystkie możliwe wyniki:

liczby od 1 do 20- jest ich 20

Wyniki, które są liczbami większymi od 40: - jest ich 0
{premium}
p- prawdopodobieństwo otrzymania liczby większej od 40

`p=0/20=bb(0)` 


Odpowiedź: Prawdopodobieństwo tego zdarzenia wynosi `0` 


b) Wszystkie możliwe wyniki:

liczby od 1 do 20- jest ich 20

Wyniki, które są liczbami mniejszymi od 40:1, 2, 3, ..., 20 - jest ich 20

p- prawdopodobieństwo otrzymania liczby mniejszej od 40

`p=20/20=bb(1)` 


Odpowiedź: Prawdopodobieństwo tego zdarzenia wynosi `1`