Potęgi - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Potęga o wykładniku naturalnym

Potęga to wielokrotne pomnożenie przez siebie takiego samego czynnika.


Potęgę liczby a o wykładniku n oznaczamy symbolem `a^n`, gdzie a to podstawa potęgi, n to wykładnik potęgi.  

Powyższa potęga oznacza, że dokonamy n - krotnego mnożenie czynnika a.

`a^n=#underbrace(a*a*...*a)_("n czynników")` 

Przykłady:

  • `3^4=3*3*3*3=81` 

  • `2^3=2*2*2=8`  

Gdy liczbę dodatnią lub ujemną podnosimy do potęgi parzystej, wówczas wynikiem będzie zawsze liczba dodatnia.

Gdy wykładnikiem potęgi liczby ujemnej będzie liczba nieparzysta to wynik będzie zawsze ujemny.

Przykłady:

  • `(-3)^6=3^6` 

  • `(-6)^5=-6^5`  

  • `(-1/2)^4=(1/2)^4` 

  • `(-1/7)^3=-(1/7)^3` 

Gdy podnosimy ułamek zwykły do danej potęgi, to wykonujemy oddzielnie potęgowanie dla licznika i mianownika. 

Przykłady

  • `(2/3)^2=2^2/3^2=4/9` 

  •  `(1/2)^4=1^4/2^4=1/16`  


Zapamiętaj:

  • `a^0=1 \ \ \ "dla" \ \ \ a!=0`  

  • `a^1=a`    

Iloczyn i iloraz potęg o tych samych podstawach

Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach jest bardzo proste. Należy zapamiętać dwie proste zasady:

  1. Mnożenie - iloczynem dwóch potęg o tych samych podstawach jest potęga, której podstawa jest taka sama jak podstawy mnożonych potęg, a wykładnik jest sumą wykładników tych potęg.

    `a^m*a^n=a^(m+n)`  

  2. Dzielenie - ilorazem dwóch potęg o tych samych podstawach jest potęga, której podstawa jest taka sama jak podstawy dzielnej i dzielnika, a wykładnik jest różnicą wykładników tych potęg.

    `a^m:a^n=a^(m-n) \ \ \ \ "dla" \ \ \ a!=0` 
     

Przykłady:

  • `3^2*3^4=3^(2+4)=3^6` 

  • `(-5)^3*(-5)^2=(-5)^(3+2)=(-5)^5` 

  • `7^3:7=7^3:7^1=7^(3-1)=7^2`     

  • `4^8:4^5=4^(8-5)=4^3`   

Potęgowanie potęgi

Potęgując potęgę należy pamiętać, że podstawa pozostaje bez zmian, a wykładniki mnożymy. 

  • `(a^m)^n=a^(m*n)` 


Przykłady:

  • `(2^3)^4=2^(3*4)=2^12` 

  • `(9^7)^8=9^(7*8)=9^(56)`   



Uwaga

Jeśli mamy potęgę postaci `a^(m^n)`, to w pierwszej kolejności potęgujemy potęgi, czyli obliczamy ile wynosi `m^n`.

W wyniku otrzymujemy potęgę o tej samej podstawie (`a`) i wykładniku będącym potęgą potęg.   


Przykłady

  • `5^(2^3)=5^8 \ \ \ \ "bo" \ \ \ 2^3=8` 

  • `4^(3^4)=4^81 \ \ \ \ "bo" \ \ \ \ 3^4=81`   

Potęgowanie iloczynu i ilorazu

Potęgowanie iloczynu i ilorazu odbywa się według dwóch prostych zasad: 

  1. Potęga iloczynu jest równa iloczynowi potęg. 

    `(a*b)^n=a^n*b^n`  

  2. Potęga ilorazu jest równa ilorazowi potęg. 
  • `(a:b)^n=a^n:b^n \ \ \ \ "dla" \ \ \ b!=0`    

  • `(a/b)^n=a^n/b^n \ \ \ \ "dla" \ \ \ b!=0`  
     

Przykłady:

  • `(3*2)^2=3^2*2^2`
     
  • `(5*7)^4=5^4*7^4`   

  • `(9:4)^3=9^3:4^3`  

  • `(8/5)^6=8^6/5^6`  

Potęga o wykładniku całkowitym ujemnym

Aby obliczyć potęgę, której podstawą jest liczba `a!=0` a wykładnik jest liczbą całkowitą ujemną zamieniamy podstawę potęgi na liczbę do niej odwrotną a wykładnik potęgi na liczbę do niego przeciwną. 

  • `a^(-n)=(1/a)^n=1^n/a^n=1/a^n`  


Przykłady
:

  • `7^-9=1/7^9` 

  • `2^(-3)=1/2^3`  

  • `(1/2)^(-4)=(2/1)^4=2^4`  

Notacja wykładnicza

Notacja wykładnicza to przedstawienie danej liczby w postaci iloczynu liczby większej lub równej 1 i mniejszej od 10 oraz potęgi liczby 10.

Zapis liczby dodatniej w notacji wykładniczej:

`a*10^n,  \ \ \ \ "gdzie" \ \ \ 1  <=  a < 10, \ \ \ "n jest liczbą całkowitą"` 


Przykłady:

  • `38 \ 900=3,8900*10 \ 000=3,89*10^4` 

  • `789 \ 423=7,89423*100 \ 000=7,89423*10^3`   

  • `0,00934=934/(100 \ 000)=(9,34)/(1000)=(9,34)/10^3=9,34*1/10^3=9,34*10^-3`     

  •  `0,00001257=(1257)/(100 \ 000 \ 000)=(1,257)/(100 \ 000)=(1,257)/10^5=1,257*1/10^5=1,257*10^-5`   


Uwaga:

Na podstawie powyższych przykładów można zauważyć, że:

  • Jeżeli przecinek przesuwaliśmy w lewo, to wykładnik potęgi liczby 10 będzie liczbą dodatnią;
  • Jeżeli przecinek przesuwaliśmy w prawo, to wykładnik potęgi liczby 10 będzie liczbą ujemną.

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Oblicz w pamięci:

  1. $$ 4^2 $$
  2. $$ 3^2 $$
  3. $$ 2^4 $$
  4. $$ 3^4 $$
  5. $$ 1^{43} $$
  1. $$ 4^2=16 $$
  2. $$ 3^2=9 $$
  3. $$ 2^4=16 $$
  4. $$ 3^4=81 $$
  5. $$ 1^{43}=1 $$

Zadanie 2.

Odgadnij liczbę spełniającą równanie:

  1. $$ 3^3×3^5=3^x $$
  2. $$ 5^2×5^x=5^7 $$
  3. $$ 7^7÷7^x=7^5 $$
  1. $$ 3^3×3^5=3^8 -> x=8 $$
  2. $$ 5^2×5^5=5^7 -> x=5 $$
  3. $$ 7^7÷7^2=7^5 -> x=2 $$

Zadanie 3.

Przedstaw wartość wyrażenia w postaci potęgi liczby 3:

  1. $$ 3^5×9^3 $$
  2. $$ {27}^5÷3^2 $$
  3. $$ 3^2×9^1÷3^3 $$
  1. $$ 3^5×9^3=3^5×3^6=3^{11} $$
  2. $$ {27}^5÷3^2=3^{15}÷3^2=3^{13} $$
  3. $$ 3^2×9^1÷3^3=3^2×3^2÷3^3=3^4÷3^3=3 $$

Zadanie 4.

Oblicz:

  1. $$ 2^{-4} $$
  2. $$ 3^{-3} $$
  3. $$ {10}^{-5} $$
  1. $$ 2^{-4}=1/{2^4} =1/{16} $$
  2. $$ 3^(-3)=1/{3^3} =1/{27} $$
  3. $$ {10}^{-5}=1/{ {10}^5} =1/{100000} $$

Zadanie 5.

Zapisz w notacji wykładniczej:

  1. 125 mln
  2. 8276 mln
  3. 25,6 mld
  1. 125 mln$$=125 000 000=1,25×{10}^8 $$
  2. 8276 mln$$=8726 000 000=8,726×{10}^9 $$
  3. 25,6 mld$$=25 600 000 000=2,56×{10}^{10}$$

Zadanie 6.

Który znak należy wstawić $$ < $$ czy $$ > $$?

  1. $$4^8$$ i $$3^8$$
  2. $$2^8$$ i $$2^{10}$$
  3. $$6^{-3}$$ i $$6^{-4}$$
  1. $$ 4^8 > 3^8 $$
  2. $$ 2^8 < 2^{10} $$
  3. $$ 6^{-3} > 6^{-4} $$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Liczba s jest średnią arytmetyczną ...

Średnia arytmetyczna liczb x i y (dwóch liczb) wynosi s. 

Możemy więc zapisać:  {premium}

  


Z powyższego wzoru wyznaczamy zmienną x. 

   


Poprawna odpowiedź: C. x = 2s - y

Liczby pierwsze: 29, 47, 61, ...

Wypiszmy kilka kwadratów kolejnych liczb pierwszych:

 


Podane liczby zapisujemy w postaci sumy kwadratów co najmniej dwóch liczb pierwszych.

 {premium}

 


 

 


 

 

 

 

 

 

Dane są trójkąty ABC i ADE położone jak na rysunku...

Suma miar kątów wewnętrznych w każdym trójkącie wynosi  

dla ułatwienia zrozumienia czytelnikowi rozwiązania oznaczam dodatkowy kąt literą  

rysunek pomocniczy:



rozpatrzmy trójkąt ABC:

 {premium}

 

 


rozpatrzmy trójkąt ABE:

 

 

 

 


rozpatrzmy trójkąt AED:

 

 

 

 


rozpatrzmy trójkąt BED:

 

 

 

 


Odp.: Miary szukanych kątów to `alpha=28^@, beta=62^@, gamma=20^@`.

Jak można obliczyć, ile jest ...

Wszystkich możliwych kodów PIN jest {premium}

 


Odpowiedź: B

W pewnej szkole do egzaminu gimnazjalnego ...

Przyjmijmy oznaczenia: 

  - liczba dziewcząt przystępujących do egzaminu 

  - liczba chłopców przystępujących do egzaminu [bo było o 60 chłopców więcej]

  - łączna liczba uczniów przystępujących do egzaminu 


Wiemy, że chłopcy stanowili 65% liczby osób piszących egzamin. Zatem: {premium}

 

  

 

 

  

 

Do egzaminu przystąpiło 70 dziewcząt. 


Poprawna odpowiedź: C. 70 

Narysuj graniastosłup...

Wykonajmy rysunek:{premium}

podglad pliku

Liczba krawędzi:  

Liczba ścian:  

Łamana otwarta składa...

Długość najkrótszego odcinka:  

Długość drugiego co do najmniejszej wielkości odcinka:  

Długość trzeciego co do najmniejszej wielkości odcinka:  

Długość najdłuższego odcinka:{premium}  

 

 

Suma długości dwóch środkowych odcinków wynosi:

 

Odp.: Dwa środkowe odcinki mają razem długość .

 

 

Obliczamy najpierw długość całej łamanej:

 

Chcemy obliczyć długość łamanej w skali , czyli  razy mniejszą. Wówczas:

 

Odp.: Długość łamanej w skali  wynosi .

Które z odcinków zaznaczonych na rysunku są: przekątnymi podstaw

a)

przekątne podstaw: brak

przekątne ścian bocznych: C'B

przekątne graniastosłupa: AC'

{premium}

 

b)

przekątne podstaw: A'D', BD

przekątne ścian bocznych: EA', D'C

przekątne graniastosłupa: D'B

 

c)

przekątne podstaw: DB

przekątne ścian bocznych: AD', B'C

przekątne graniastosłupa: D'B

Czy każde dwa trójkąty równoboczne są przystające?

Dwa trójkąty są przystające, kiedy nie tylko ich kształt, ale również ich rozmiar jest taki sam.

zatem:{premium}
Jeśli rozważymy dwa trójkąty równoboczne: trójkąt równoboczny o boku 2 cm
i trójkąt równoboczny o boku 3 cm  to można zauważyć, że figury te mają ten sam kształt
ale inny rozmiar, więc nie są przystające.

Nie każde dwa trójkąty równoboczne są zatem przystające.

Dwa trójkąty równoboczne są przystające, jeśli bok jednego trójkąta ma długość równą długości boku drugiego trójkąta.

Przekątna kwadratu o boku ...

Dzięki znajomości twierdzenia Pitagorasa jesteśmy w stanie obliczyć długość przekątnej

kwadratu znając długość jego boku.{premium}

Thumb str. 18   1

 

Odpowiedź C.