Pierwiastki - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Pierwiastki - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Pojęcie pierwiastka

Pierwiastkiem kwadratowym z nieujemnej liczby a nazywamy taką nieujemną liczbę b, której kwadrat jest równy liczbie a.

Pierwiastek kwadratowy możemy nazwać również pierwiastkiem drugiego stopnia

Symbolicznie możemy zapisać to: 

`sqrt{a}=b, \ \ \ "bo" \ \ \ b^2=a`  


Pierwiastkiem sześciennym z liczby a nazywamy taką liczbę b, której sześcian (trzecia potęga) jest równy liczbie a.

Pierwiastek sześcienny możemy nazwać także pierwiastkiem trzeciego stopnia.  

Symbolicznie możemy zapisać to: 

`root{3}{a}=b,  \ \ \ "bo" \ \ \ b^3=a`  


Przykłady

  • `sqrt{25}=5, \ \ \ "bo" \ \ \ 5^2=25` 
     
  • `sqrt{81}=9, \ \ \ "bo" \ \ \ 9^2=81`    

  • `root{3}{27}=3, \ \ \ "bo" \ \ \ 3^3=27`  

  • `root{3}{64}=4, \ \ \ "bo" \ \ \ 4^3=64` 



Wykonując działania na pierwiastkach warto pamiętać o kilku własnościach:

  1. Dla `a>=0` mamy: 

    `sqrt{a^2}=a`   

    `(sqrt{a})^2=a` 

    `sqrt{a}*sqrt{a}=a` 

  2. Dla dowolnej liczby `a`  mamy: 

    `root{3}{a^3}=a` 

    `(root{3}{a})^3=a`   

    `root{3}{a}*root{3}{a}*root{3}{a}=a`  

 

Działania na pierwiastkach

 

Własności pierwiastkowania: 

  1. Pierwiastek z iloczynu jest równy iloczynowi pierwiastków z tych liczb.


    Dla `a>=0 \ "i" \ b>=0` 

    `sqrt{a*b}=sqrt{a}*sqrt{b}`  


    Dla dowolnych liczb `a \ "i" \ b` mamy:

    `root{3}{a*b}=root{3}{a}*root{3}{b}` 


  2. Pierwiastek z ilorazu jest równy ilorazowi pierwiastków z tych liczb.


    Dla `a>=0 \ "i" \ b>0` mamy: 

    `sqrt{a/b}=sqrt{a}/sqrt{b}` 


    Dla dowolnej liczby `a \ "i" \ b!=0` mamy:   

    `root{3}{a/b}=root{3}{a}/root{3}{b}`  

 

Przykłady:

  • `sqrt{3600}=sqrt{36*100}=sqrt{36}*sqrt{100}=6*10=60` 

  • `root{3}{-64 \ 000}=root{3}{-64*1000}=root{3}{-64}*root{3}{1000}=-4*10=-40`   

  • `sqrt{121/49}=sqrt{121}/sqrt{49}=11/7=1 4/7` 

  • `root{3}{216/512}=root{3}{216}/root{3}{512}=6/8`   

Obliczanie wartości pierwiastka z wykorzystaniem rozkładu na czynniki pierwsze

Obliczając wartość pierwiastka możemy skorzystać z rozkładu liczby podpierwiastkowej na czynniki pierwsze

Poniżej prezentujemy sposób wykonania takich obliczeń. 


Przykłady
                

`sqrt{576}=sqrt{2^2*2^2*2^2*3^2}=sqrt{2^2}*sqrt{2^2}*sqrt{2^2}*sqrt{3^2}=2*2*2*3=24` 

 

                

`sqrt{216}=sqrt{2^2*3^2*2*3}=sqrt{2^2}*sqrt{3^2}*sqrt{2*3}=2*3*sqrt{6}=6sqrt{6}`  

 

                

`root{3}{216}=root{3}{2^3*3^3}=root{3}{2^3}*root{3}{3^3}=2*3=6`  

 

                

`root{3}{648}=root{3}{2^3*3^3*3}=root{3}{2^3}*root{3}{3^3}*root{3}{3}=2*3*root{3}{3}=6root{3}{3}`   

Wyłączanie czynnika przed znak pierwiastka

Czasami nie da się obliczyć dokładnej wartości pierwiastka, gdyż większość pierwiastków to liczby niewymierne. 

Możemy wtedy wyłączyć pewien czynnik przed znak pierwiastka. 

Gdy liczbę podpierwiastkową możemy zapisać w postaci iloczynu liczby, z której da się obliczyć pierwiastek oraz liczby z której nie jest to możliwe, wówczas możemy wyłączyć odpowiedni czynnik przed znak pierwiastka


Przykłady
:

  • `sqrt{75}=sqrt{25*3}=sqrt{5^2*3}=sqrt{5^2}*sqrt{3}=5*sqrt{3}=5sqrt{3}`  

  • `root{3}{16}=root{3}{8*2}=root{3}{8}*root{3}{2}=2*root{3}{2}=2root{3}{2}`  

Włączanie czynnika pod znak pierwiastka

Możemy również włączyć dany czynnik pod znak pierwiastka

Poniższe przykłady prezentują jak należy to zrobić. 


Przykłady

  • `2sqrt{3}=#underbrace(sqrt{4})_(2=sqrt{4})*sqrt{3}=sqrt{4*3}=sqrt{12}`  

  • `6sqrt{3}=#underbrace(sqrt{36})_(6=sqrt{36})*sqrt{3}=sqrt{36*3}=sqrt{108}` 

  • `5root{3}{4}=#underbrace(root{3}{125})_(5=root{3}{125})*root{3}{4}=root{3}{125*4}=root{3}{500}` 

  •  `7root{3}{5}=#underbrace(root{3}{343})_(7=root{3}{343})*root{3}{5}=root{3}{343*5}=root{3}{1715}`     

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Oblicz:

  1. $ √81 $
  2. $ √10000 $
  3. $ √0,04 $
  1. $ √{81}=9 $
  2. $ √{10000}=100 $
  3. $ √{0,04}=0,2 $

Zadanie 2.

Jaką długość ma bok kwadratu, którego pole jest równe:

  1. $ 40 000 m^2 $
  2. $ 0,0001 m^2 $
  3. $ 10^{-16} m^2 $
  1. $ √{40 000}=200 m $
  2. $ √{1/{10 000} }={1}/{100} m $
  3. $ √{10^{-16} }=√{1/{10^{16} } }=1/{10^8} =1/{100000000} m $

Zadanie 3.

Włącz czynnik pod znak pierwiastka:

  1. $ 5√3 $
  2. $ 6√1,5 $
  3. $ 2∛10 $
  1. $ 5√3=√{5×5×3}=√75 $
  2. $ 6√1,5=√{6×6×1,5}=√54 $
  3. $ 2∛10=∛{2×2×2×10}=∛80 $

Zadanie 4.

Oblicz:

  1. $ √{8^2} $
  2. $ {√6}^4 $
  3. $ √{4^6} $
  1. $ √{8^2} =8 $
  2. $ {√6}^4={√6}^2×{√6}^2=6×6=36 $
  3. $ √{4^6}=√{2^12}=2^6 $

Zadanie 5.

Usuń niewymierność z mianownika:

  1. $ 1/{√7} $
  2. $ 2/{√2} $
  3. $ {10}/{2√5} $
  1. $ 1/{√7}={√7}/7 $
  2. $ 2/{√2}={2√2}/2=√2 $
  3. $ {10}/{2√5}={20√5}/{10}=√5 $

Zadanie 6.

Oblicz pole kwadratu o boku:

  1. $ √8$ $m $
  2. $ 3√2$ $m $
  3. $ 10√5$ $m $
  1. $ {√8}^2=8$ $m^2 $
  2. $ {3√2}^2=9×2=18$ $m^2 $
  3. $ {10√5}^2=100×5=500$ $m^2 $

Spis treści

Rozwiązane zadania
Średnia arytmetyczna liczb 2, 2, 5, ...

Zapiszmy wyrażenie opisujące średnią arytmetyczną podanych liczb.{premium}

 

Wiemy, że średnia tych sześciu liczb wynosi , więc

 

Rozwiązujemy powyższe równanie, aby dowiedzieć się ile wynosi .

 

 

  


Odp. B

Skonstruuj kąty

Do skonstruowania kątów potrzebna będzie nam również wiedza dotycząca konstrukcji symetralnej odcinka.{premium}

W układzie współrzędnych narysowano ...

Obliczmy długość boku AC:

     {premium}

 

 

 

 

 

 

Obliczmy długość boku AB:

 

 

 

 

 

 

 

Obliczmy długość boku BC:

 

 

 

 

 

 

 

Obwód trójkąta ABC:

 

Odp. B

Adam zdobył na sprawdzianie z geografii ...

Ocenę bardzo dobrą uzyskiwał uczeń, który zdobył co najmniej  maksymalnej liczby punktów.{premium}

Adamowi zabrakło  do oceny bardzo dobrej, zatem zdobył on  maksymalnej liczby punktów.


Wiemy, że Adam zdobył  punktów, czyli:

 


Obliczamy, ile punktów można było zdobyć na tym sprawdzianie.

 

 

 

 

 


Odpowiedź: C

Uzupełnij zdania. Wybierz odpowiedzi ...

 {premium}

 

 

Odp. B

 

 

 

Odp. D

 

Określ położenie punktu przecięcia dwusiecznych kątów w ...

a)

Obliczamy miarę trzeciego kąta.

 

Rysujemy trójkąt.

podglad pliku

Konstruujemy dwusieczne kątów wewnętrznych trójkąta.

1. Z wierzchołka kąta kreślimy łuk (o dowolnym promieniu).

podglad pliku{premium}

2. Z punktów przecięcia łuku z ramionami kąta kreślimy łuki o jednakowym promieniu (przecinające się wewnątrz kąta).

podglad pliku

3. Z wierzchołka kąta prowadzimy półprostą przechodzącą przez punkt przecięcia łuków. Narysowana półprosta jest dwusieczną kąta. 

podglad pliku


b)

Obliczamy miarę trzeciego kąta.

 

Rysujemy trójkąt.

podglad pliku

Konstruujemy dwusieczne kątów wewnętrznych trójkąta.

1. Z wierzchołka kąta kreślimy łuk (o dowolnym promieniu).

podglad pliku

2. Z punktów przecięcia łuku z ramionami kąta kreślimy łuki o jednakowym promieniu (przecinające się wewnątrz kąta).

podglad pliku

3. Z wierzchołka kąta prowadzimy półprostą przechodzącą przez punkt przecięcia łuków. Narysowana półprosta jest dwusieczną kąta. 

podglad pliku


c)

Obliczamy miarę trzeciego kąta.

 

Rysujemy trójkąt.

podglad pliku

Konstruujemy dwusieczne kątów wewnętrznych trójkąta.

1. Z wierzchołka kąta kreślimy łuk (o dowolnym promieniu).

podglad pliku

2. Z punktów przecięcia łuku z ramionami kąta kreślimy łuki o jednakowym promieniu (przecinające się wewnątrz kąta).

podglad pliku

3. Z wierzchołka kąta prowadzimy półprostą przechodzącą przez punkt przecięcia łuków. Narysowana półprosta jest dwusieczną kąta. 

podglad pliku

Rysunek przedstawia trzy przecinające się ...

Katy zaznaczone na rysunku to kąty przyległe, zatem tworzą kąt o mierze 180o. {premium}

Otrzymujemy:

 

 

 

Odp. A

Usuń nawiasy i zredukuj...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 {premium}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z rozwałkowanego ciasta Asia wycina...

Zauważmy, że gwiazda ma kształt szesnastokąta, zatem{premium} foremki mają kształt graniastosłupa szesnastokątnego.

Dany jest graniastosłup prawidłowy sześciokątny ...

a) Podstawą graniastosłupa prawidłowego jest sześciokąt foremny, który możemy podzielić na sześć przystających trójkątów równobocznych. 
Boki tych trójkątów mają taką samą długość jak bok sześciokąta, czyli √5.  

Dłuższa przekątna podstawy składa się z dwóch boków trójkątów, na jakie możemy podzielić sześciokąt. 
Dłuższa przekątna podstawy (d) ma długość: 

  

Krawędzie boczne mają długość 4. 

Przekątna podstawy, krawędź boczna oraz przekątna graniastosłupa tworzą trójkąt prostokątny. 
Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczamy, ile wynosi długość przekątnej (D) graniastosłupa. {premium}

 

 

 

 

Przekątna graniastosłupa ma długość 6.  


b) Podstawą graniastosłupa prawidłowego jest sześciokąt foremny, który możemy podzielić na sześć przystających trójkątów równobocznych. 
Boki tych trójkątów mają taką samą długość jak bok sześciokąta, czyli 2√2.

Obliczamy, jaką długość ma wysokość każdego z tych trójkątów.

 

Krótsza przekątna podstawy (sześciokąta) składa się z dwóch wysokości trójkątów, na jakie możemy podzielić sześciokąt. 
Krótsza przekątna (d) ma długość: 

 

Krawędzie boczne mają długość 5. 

Przekątna podstawy, krawędź boczna oraz przekątna graniastosłupa tworzą trójkąt prostokątny. 
Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczamy, ile wynosi długość przekątnej (D) graniastosłupa. 

 

 

 

 

Przekątna graniastosłupa ma długość 7.