Pierwiastki - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Pierwiastki - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Pojęcie pierwiastka

Pierwiastkiem kwadratowym z nieujemnej liczby a nazywamy taką nieujemną liczbę b, której kwadrat jest równy liczbie a.

Pierwiastek kwadratowy możemy nazwać również pierwiastkiem drugiego stopnia

Symbolicznie możemy zapisać to: 

`sqrt{a}=b, \ \ \ "bo" \ \ \ b^2=a`  


Pierwiastkiem sześciennym z liczby a nazywamy taką liczbę b, której sześcian (trzecia potęga) jest równy liczbie a.

Pierwiastek sześcienny możemy nazwać także pierwiastkiem trzeciego stopnia.  

Symbolicznie możemy zapisać to: 

`root{3}{a}=b,  \ \ \ "bo" \ \ \ b^3=a`  


Przykłady

  • `sqrt{25}=5, \ \ \ "bo" \ \ \ 5^2=25` 
     
  • `sqrt{81}=9, \ \ \ "bo" \ \ \ 9^2=81`    

  • `root{3}{27}=3, \ \ \ "bo" \ \ \ 3^3=27`  

  • `root{3}{64}=4, \ \ \ "bo" \ \ \ 4^3=64` 



Wykonując działania na pierwiastkach warto pamiętać o kilku własnościach:

  1. Dla `a>=0` mamy: 

    `sqrt{a^2}=a`   

    `(sqrt{a})^2=a` 

    `sqrt{a}*sqrt{a}=a` 

  2. Dla dowolnej liczby `a`  mamy: 

    `root{3}{a^3}=a` 

    `(root{3}{a})^3=a`   

    `root{3}{a}*root{3}{a}*root{3}{a}=a`  

 

Działania na pierwiastkach

 

Własności pierwiastkowania: 

  1. Pierwiastek z iloczynu jest równy iloczynowi pierwiastków z tych liczb.


    Dla `a>=0 \ "i" \ b>=0` 

    `sqrt{a*b}=sqrt{a}*sqrt{b}`  


    Dla dowolnych liczb `a \ "i" \ b` mamy:

    `root{3}{a*b}=root{3}{a}*root{3}{b}` 


  2. Pierwiastek z ilorazu jest równy ilorazowi pierwiastków z tych liczb.


    Dla `a>=0 \ "i" \ b>0` mamy: 

    `sqrt{a/b}=sqrt{a}/sqrt{b}` 


    Dla dowolnej liczby `a \ "i" \ b!=0` mamy:   

    `root{3}{a/b}=root{3}{a}/root{3}{b}`  

 

Przykłady:

  • `sqrt{3600}=sqrt{36*100}=sqrt{36}*sqrt{100}=6*10=60` 

  • `root{3}{-64 \ 000}=root{3}{-64*1000}=root{3}{-64}*root{3}{1000}=-4*10=-40`   

  • `sqrt{121/49}=sqrt{121}/sqrt{49}=11/7=1 4/7` 

  • `root{3}{216/512}=root{3}{216}/root{3}{512}=6/8`   

Obliczanie wartości pierwiastka z wykorzystaniem rozkładu na czynniki pierwsze

Obliczając wartość pierwiastka możemy skorzystać z rozkładu liczby podpierwiastkowej na czynniki pierwsze

Poniżej prezentujemy sposób wykonania takich obliczeń. 


Przykłady
                

`sqrt{576}=sqrt{2^2*2^2*2^2*3^2}=sqrt{2^2}*sqrt{2^2}*sqrt{2^2}*sqrt{3^2}=2*2*2*3=24` 

 

                

`sqrt{216}=sqrt{2^2*3^2*2*3}=sqrt{2^2}*sqrt{3^2}*sqrt{2*3}=2*3*sqrt{6}=6sqrt{6}`  

 

                

`root{3}{216}=root{3}{2^3*3^3}=root{3}{2^3}*root{3}{3^3}=2*3=6`  

 

                

`root{3}{648}=root{3}{2^3*3^3*3}=root{3}{2^3}*root{3}{3^3}*root{3}{3}=2*3*root{3}{3}=6root{3}{3}`   

Wyłączanie czynnika przed znak pierwiastka

Czasami nie da się obliczyć dokładnej wartości pierwiastka, gdyż większość pierwiastków to liczby niewymierne. 

Możemy wtedy wyłączyć pewien czynnik przed znak pierwiastka. 

Gdy liczbę podpierwiastkową możemy zapisać w postaci iloczynu liczby, z której da się obliczyć pierwiastek oraz liczby z której nie jest to możliwe, wówczas możemy wyłączyć odpowiedni czynnik przed znak pierwiastka


Przykłady
:

  • `sqrt{75}=sqrt{25*3}=sqrt{5^2*3}=sqrt{5^2}*sqrt{3}=5*sqrt{3}=5sqrt{3}`  

  • `root{3}{16}=root{3}{8*2}=root{3}{8}*root{3}{2}=2*root{3}{2}=2root{3}{2}`  

Włączanie czynnika pod znak pierwiastka

Możemy również włączyć dany czynnik pod znak pierwiastka

Poniższe przykłady prezentują jak należy to zrobić. 


Przykłady

  • `2sqrt{3}=#underbrace(sqrt{4})_(2=sqrt{4})*sqrt{3}=sqrt{4*3}=sqrt{12}`  

  • `6sqrt{3}=#underbrace(sqrt{36})_(6=sqrt{36})*sqrt{3}=sqrt{36*3}=sqrt{108}` 

  • `5root{3}{4}=#underbrace(root{3}{125})_(5=root{3}{125})*root{3}{4}=root{3}{125*4}=root{3}{500}` 

  •  `7root{3}{5}=#underbrace(root{3}{343})_(7=root{3}{343})*root{3}{5}=root{3}{343*5}=root{3}{1715}`     

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Oblicz:

  1. $ √81 $
  2. $ √10000 $
  3. $ √0,04 $
  1. $ √{81}=9 $
  2. $ √{10000}=100 $
  3. $ √{0,04}=0,2 $

Zadanie 2.

Jaką długość ma bok kwadratu, którego pole jest równe:

  1. $ 40 000 m^2 $
  2. $ 0,0001 m^2 $
  3. $ 10^{-16} m^2 $
  1. $ √{40 000}=200 m $
  2. $ √{1/{10 000} }={1}/{100} m $
  3. $ √{10^{-16} }=√{1/{10^{16} } }=1/{10^8} =1/{100000000} m $

Zadanie 3.

Włącz czynnik pod znak pierwiastka:

  1. $ 5√3 $
  2. $ 6√1,5 $
  3. $ 2∛10 $
  1. $ 5√3=√{5×5×3}=√75 $
  2. $ 6√1,5=√{6×6×1,5}=√54 $
  3. $ 2∛10=∛{2×2×2×10}=∛80 $

Zadanie 4.

Oblicz:

  1. $ √{8^2} $
  2. $ {√6}^4 $
  3. $ √{4^6} $
  1. $ √{8^2} =8 $
  2. $ {√6}^4={√6}^2×{√6}^2=6×6=36 $
  3. $ √{4^6}=√{2^12}=2^6 $

Zadanie 5.

Usuń niewymierność z mianownika:

  1. $ 1/{√7} $
  2. $ 2/{√2} $
  3. $ {10}/{2√5} $
  1. $ 1/{√7}={√7}/7 $
  2. $ 2/{√2}={2√2}/2=√2 $
  3. $ {10}/{2√5}={20√5}/{10}=√5 $

Zadanie 6.

Oblicz pole kwadratu o boku:

  1. $ √8$ $m $
  2. $ 3√2$ $m $
  3. $ 10√5$ $m $
  1. $ {√8}^2=8$ $m^2 $
  2. $ {3√2}^2=9×2=18$ $m^2 $
  3. $ {10√5}^2=100×5=500$ $m^2 $

Spis treści

Rozwiązane zadania
Punkt S jest środkiem okręgu opisanego ...

a)

Thumb str. 59   4a

Przekątne w kwadracie przecinają się pod kątem prostym.

Kąt między przekątną a bokiem kwadratu ma miarę: .

Kąt zewnętrzny między bokami kwadratu równy jest: .{premium}


b)

Thumb str. 59   4b

Suma miar kątów wewnętrznych w pięciokącie foremnym wynosi , więc kąt wewnętrzny ma miarę .

Kąt zewnętrzny jest zatem równy: .

Miara kąta przy wierzchołku wynosi: .

Trójkąt, którego jednym wierzchołkiem jest punkt  jest równoramienny, zatem drugi z kątów jest równy: .

Trójkąt, którego dwoma bokami są boki pięciokąta również jest równoramienny. Wiemy, że jego kąt rozwarty mia miarę , zatem kąt ostry jest równy: .


c)

Thumb str. 59   4c

Suma miar kątów wewnętrznych w sześciokącie foremnym wynosi , więc kąt wewnętrzny ma miarę .

Kąt zewnętrzny jest zatem równy: .

Sześciokąt foremny zbudowany jest z sześciu przystających trójkątów równobocznych, których kąty są równe

Kąt oparty na średnicy okręgu jest kątem prostym.

Zegar wskazówkowy spóźnia się ...

W ciągu doby zegar spóźnia się  godziny - PRAWDA

Doba ma  godziny, zatem zegar w tym czasie spóźnia się o  sekundy.

Obliczamy, ile {premium}sekund ma  godzina, czyli  minut wiedząc, że  minuta ma  sekund.

 

Po skróceniu przez  ułamka  otrzymujemy ułamek .


Jeżeli wiadomo, że zegar nastawiono punktualnie we wtorek w południe, to o północy z czwartku na piątek spóźni się o minutę - PRAWDA

Obliczamy, ile godzin minęło od godziny  we wtorek do północy z czwartku na piątek.

 

 

W ciągu  zegar spóźni się o  sekund, czyli o  minutę.


Zegar wskazuje godzinę . Przy założeniu, że będzie on chodził przez cały czas, za  godzin wskaże  - FAŁSZ

Gdyby zegar się nie spóźniał, to za  godzin () wskazałby godzinę , ponieważ

 

Wiemy już, że na każde  godzin zegar spóźnia się o  minutę, zatem po  godzinach wskaże on godzinę .

 

Wskaż, którą z poniższych czterech liczb ...

Ostatnią cyfrą liczb podzielnych przez  jest cyfra  lub .

Zauważmy, że {premium}po zsumowaniu liczb ,  i  otrzymamy liczbę, której ostatnią cyfrą będzie cyfra , ponieważ

Należy zatem pominąć liczbę .


Odpowiedź: B

Oblicz pole trapezu...

Trapez jest równoramienny. Wiemy, że:

 

 

 

Wykonajmy rysunek:

podglad pliku

Zauważmy, że:

 

Z tego wynika, że:{premium}

 

 

 

Z twierdzenie Pitagorasa otrzymujemy, że:

 

 

 

 

 

Wówczas pole trapezu wynosi:

 

 

 

 

 

Odpowiedź: Pole trapezu równoramiennego wynosi .

Skorzystaj z wymiarów basenu podanych na rysunku i oblicz

 

 

{premium}

  

 

 

 

 

 

 

 

Trzeba doliczyć jeszcze 10% na ubytki i zapas:

 

 

 

 

Odp. Trzeba kupić 143 metry kwadratowe kafelków.


 

 

Podzieliliśmy bryłę na dwa graniastosłupy.

Pierwszy z nich to graniastosłup o podstawie w kształcie trapezu prostokątnego i wysokości 10 m.

Drugi to graniastosłup o podstawie w kształcie prostokąta i wysokości 1,4 m.

Liczymy objętości obu graniastosłupów, następnie dodamy je do siebie. 

 

 

 

 

 

 

 

   

 

Odp. Aby wypełnić basen po brzegi, należy wlać 430 000 litrów wody.

Liczba sqrt(49)-sqrt(25)+sqrt(16) jest równa ...

Odpowiedź D, ponieważ{premium}

.

Wskaż odcinek symetryczny do odcinka AB ...

 

Odcinek symetryczny do odcinka  to odcinek .{premium}


 

Odcinek symetryczny do odcinka  to odcinek .


 

Odcinek symetryczny do odcinka  to odcinek .

Uzasadnij, że liczby...

Sprawdźmy, czy różnica tych liczb jest liczbą mniejszą niż 1. {premium}

Zauważmy, że   

 

Zauważmy, że:

 

Co należało uzasadnić.

Gdy wiatr wieje z prędkością ...

v=16 m/s

W miejsce v w podanym wzorze wstawiamy 16 i obliczamy wartość t. {premium}

 

Temperatura odczuwalna wynosi -18oC. 


Poprawna odpowiedź
: B. -18oC

a) Krzyś ma dwadzieścia różnych par ...

a)

Krzyś pierwszą skarpetę może wybrać na  sposobów i do każdej tak wybranej skarpety może dobrać drugą spośród pozostałych  skarpet.

Liczba wszystkich możliwości:

 

Obliczamy prawdopodobieństwo tego, że Krzyś założył skarpety z jednej pary. Krzyś pierwszą skarpetę może wybrać na  sposobów i do każdej tak wybranej skarpety może dobrać tylko jedną, która jest z tej samej pary.

Liczba możliwości:

 


Prawdopodobieństwo:

 {premium}


b)

Wiktoria rękawiczkę na rękę lewą może wybrać na  sposobów i do każdej tak wybranej rękawiczki może dobrać drugą spośród  rękawiczek na rękę prawą.

Liczba wszystkich możliwości:

 

Obliczamy prawdopodobieństwo tego, że Wiktoria założy rękawiczki z jednej pary. Wiktoria rękawiczkę na rękę lewą może wybrać na  sposobów i do każdej tak wybranej rękawiczki może dobrać tylko jedną rękawiczkę na rękę prawą, która jest z tej samej pary.

Liczba możliwości:

 

Prawdopodobieństwo:

 


c)

Klaudia szalik na pierwszy dzień może wybrać na  sposobów, na drugi dzień również.

Liczba wszystkich możliwości:

 

Obliczamy prawdopodobieństwo tego, że Klaudia przez dwa dni będzie nosiła ten sam szalik. Klaudia szalik na pierwszy dzień może wybrać na  sposobów, a na drugi dzień może wybrać tylko ten szalik, co poprzedniego dnia.

Liczba możliwości:

 

Prawdopodobieństwo: