Pierwiastki - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Pojęcie pierwiastka

Pierwiastkiem kwadratowym z nieujemnej liczby a nazywamy taką nieujemną liczbę b, której kwadrat jest równy liczbie a.

Pierwiastek kwadratowy możemy nazwać również pierwiastkiem drugiego stopnia

Symbolicznie możemy zapisać to: 

`sqrt{a}=b, \ \ \ "bo" \ \ \ b^2=a`  


Pierwiastkiem sześciennym z liczby a nazywamy taką liczbę b, której sześcian (trzecia potęga) jest równy liczbie a.

Pierwiastek sześcienny możemy nazwać także pierwiastkiem trzeciego stopnia.  

Symbolicznie możemy zapisać to: 

`root{3}{a}=b,  \ \ \ "bo" \ \ \ b^3=a`  


Przykłady

  • `sqrt{25}=5, \ \ \ "bo" \ \ \ 5^2=25` 
     
  • `sqrt{81}=9, \ \ \ "bo" \ \ \ 9^2=81`    

  • `root{3}{27}=3, \ \ \ "bo" \ \ \ 3^3=27`  

  • `root{3}{64}=4, \ \ \ "bo" \ \ \ 4^3=64` 



Wykonując działania na pierwiastkach warto pamiętać o kilku własnościach:

  1. Dla `a>=0` mamy: 

    `sqrt{a^2}=a`   

    `(sqrt{a})^2=a` 

    `sqrt{a}*sqrt{a}=a` 

  2. Dla dowolnej liczby `a`  mamy: 

    `root{3}{a^3}=a` 

    `(root{3}{a})^3=a`   

    `root{3}{a}*root{3}{a}*root{3}{a}=a`  

 

Działania na pierwiastkach

 

Własności pierwiastkowania: 

  1. Pierwiastek z iloczynu jest równy iloczynowi pierwiastków z tych liczb.


    Dla `a>=0 \ "i" \ b>=0` 

    `sqrt{a*b}=sqrt{a}*sqrt{b}`  


    Dla dowolnych liczb `a \ "i" \ b` mamy:

    `root{3}{a*b}=root{3}{a}*root{3}{b}` 


  2. Pierwiastek z ilorazu jest równy ilorazowi pierwiastków z tych liczb.


    Dla `a>=0 \ "i" \ b>0` mamy: 

    `sqrt{a/b}=sqrt{a}/sqrt{b}` 


    Dla dowolnej liczby `a \ "i" \ b!=0` mamy:   

    `root{3}{a/b}=root{3}{a}/root{3}{b}`  

 

Przykłady:

  • `sqrt{3600}=sqrt{36*100}=sqrt{36}*sqrt{100}=6*10=60` 

  • `root{3}{-64 \ 000}=root{3}{-64*1000}=root{3}{-64}*root{3}{1000}=-4*10=-40`   

  • `sqrt{121/49}=sqrt{121}/sqrt{49}=11/7=1 4/7` 

  • `root{3}{216/512}=root{3}{216}/root{3}{512}=6/8`   

Obliczanie wartości pierwiastka z wykorzystaniem rozkładu na czynniki pierwsze

Obliczając wartość pierwiastka możemy skorzystać z rozkładu liczby podpierwiastkowej na czynniki pierwsze

Poniżej prezentujemy sposób wykonania takich obliczeń. 


Przykłady
                

`sqrt{576}=sqrt{2^2*2^2*2^2*3^2}=sqrt{2^2}*sqrt{2^2}*sqrt{2^2}*sqrt{3^2}=2*2*2*3=24` 

 

                

`sqrt{216}=sqrt{2^2*3^2*2*3}=sqrt{2^2}*sqrt{3^2}*sqrt{2*3}=2*3*sqrt{6}=6sqrt{6}`  

 

                

`root{3}{216}=root{3}{2^3*3^3}=root{3}{2^3}*root{3}{3^3}=2*3=6`  

 

                

`root{3}{648}=root{3}{2^3*3^3*3}=root{3}{2^3}*root{3}{3^3}*root{3}{3}=2*3*root{3}{3}=6root{3}{3}`   

Wyłączanie czynnika przed znak pierwiastka

Czasami nie da się obliczyć dokładnej wartości pierwiastka, gdyż większość pierwiastków to liczby niewymierne. 

Możemy wtedy wyłączyć pewien czynnik przed znak pierwiastka. 

Gdy liczbę podpierwiastkową możemy zapisać w postaci iloczynu liczby, z której da się obliczyć pierwiastek oraz liczby z której nie jest to możliwe, wówczas możemy wyłączyć odpowiedni czynnik przed znak pierwiastka


Przykłady
:

  • `sqrt{75}=sqrt{25*3}=sqrt{5^2*3}=sqrt{5^2}*sqrt{3}=5*sqrt{3}=5sqrt{3}`  

  • `root{3}{16}=root{3}{8*2}=root{3}{8}*root{3}{2}=2*root{3}{2}=2root{3}{2}`  

Włączanie czynnika pod znak pierwiastka

Możemy również włączyć dany czynnik pod znak pierwiastka

Poniższe przykłady prezentują jak należy to zrobić. 


Przykłady

  • `2sqrt{3}=#underbrace(sqrt{4})_(2=sqrt{4})*sqrt{3}=sqrt{4*3}=sqrt{12}`  

  • `6sqrt{3}=#underbrace(sqrt{36})_(6=sqrt{36})*sqrt{3}=sqrt{36*3}=sqrt{108}` 

  • `5root{3}{4}=#underbrace(root{3}{125})_(5=root{3}{125})*root{3}{4}=root{3}{125*4}=root{3}{500}` 

  •  `7root{3}{5}=#underbrace(root{3}{343})_(7=root{3}{343})*root{3}{5}=root{3}{343*5}=root{3}{1715}`     

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Oblicz:

  1. $$ √81 $$
  2. $$ √10000 $$
  3. $$ √0,04 $$
  1. $$ √{81}=9 $$
  2. $$ √{10000}=100 $$
  3. $$ √{0,04}=0,2 $$

Zadanie 2.

Jaką długość ma bok kwadratu, którego pole jest równe:

  1. $$ 40 000 m^2 $$
  2. $$ 0,0001 m^2 $$
  3. $$ 10^{-16} m^2 $$
  1. $$ √{40 000}=200 m $$
  2. $$ √{1/{10 000} }={1}/{100} m $$
  3. $$ √{10^{-16} }=√{1/{10^{16} } }=1/{10^8} =1/{100000000} m $$

Zadanie 3.

Włącz czynnik pod znak pierwiastka:

  1. $$ 5√3 $$
  2. $$ 6√1,5 $$
  3. $$ 2∛10 $$
  1. $$ 5√3=√{5×5×3}=√75 $$
  2. $$ 6√1,5=√{6×6×1,5}=√54 $$
  3. $$ 2∛10=∛{2×2×2×10}=∛80 $$

Zadanie 4.

Oblicz:

  1. $$ √{8^2} $$
  2. $$ {√6}^4 $$
  3. $$ √{4^6} $$
  1. $$ √{8^2} =8 $$
  2. $$ {√6}^4={√6}^2×{√6}^2=6×6=36 $$
  3. $$ √{4^6}=√{2^12}=2^6 $$

Zadanie 5.

Usuń niewymierność z mianownika:

  1. $$ 1/{√7} $$
  2. $$ 2/{√2} $$
  3. $$ {10}/{2√5} $$
  1. $$ 1/{√7}={√7}/7 $$
  2. $$ 2/{√2}={2√2}/2=√2 $$
  3. $$ {10}/{2√5}={20√5}/{10}=√5 $$

Zadanie 6.

Oblicz pole kwadratu o boku:

  1. $$ √8$$ $$m $$
  2. $$ 3√2$$ $$m $$
  3. $$ 10√5$$ $$m $$
  1. $$ {√8}^2=8$$ $$m^2 $$
  2. $$ {3√2}^2=9×2=18$$ $$m^2 $$
  3. $$ {10√5}^2=100×5=500$$ $$m^2 $$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Kąt rozwarty rombu ma miarę ...

Przekątne rombu przecinają się pod kątem prostym, połowią się i zawierają się w dwusiecznych jego kątów. 

{premium}

POLE:

1 sposób:

Zauważmy, że przekątna BD podzieliła romb na dwa trójkąty równoboczne o bokach długości 14 cm (boki trójkąta mają długość równą długości przekątnej BD). 

Pole tego rombu wynosi więc:
  

Pole rombu wynosi 98√3 cm2


2 sposób:

Zauważmy, że przekątne rombu podzieliły go na cztery przystające trójkąty prostokątne o kątach 30o, 60o i 90o

Krótsza przyprostokątna tych trójkątów ma długość 7 cm (połowa długości przekątnej BD). 


Trójkąt ABE:

 

Bok AB jest dwa razy dłuższy od boku BE, czyli:
 

Korzystając z zależności między bokami w trójkącie o kątach 30o, 60o i 90o obliczamy ile wynosi długość boku EA. 
 


Obliczamy ile wynosi pole rombu:
 

Pole rombu wynosi 98√3 cm2.    



OBWÓD:

Zauważmy, że przekątna BD podzieliła romb na dwa trójkąty równoboczne o bokach długości 14 cm (boki trójkąta mają długość równą długości przekątnej BD), czyli:
 

Boki rombu mają długość 14 cm. 


Obliczamy ile wynosi obwód tego rombu. 
 

Obwód rombu wynosi 56 cm

Największą wartość ma wyrażenie ...

Obliczamy wartość każdego wyrażenia.


A.  {premium}

B.  

C.    

D.  


Odpowiedź: C

Podstawą graniastosłupa prostego jest...

Podane mamy długości krawędzi podstawy będące podstawami trapezu `x\ cm` i `(x+2)\ cm`. Wysokość graniastosłupa wynosi `20\ cm`. Wówczas otrzymujemy, że ściany boczne których powierzchnię możemy obliczyć to prostokąty o wymiarach `x\ cm  xx  20\ cm` oraz `(x + 2)\ cm  xx  20\ cm`. Pole pierwszego prostokąta będzie wynosiło:

`P_(s1) =  x\ cm * 20\ cm` 

`P_(s1) = 20 x\ cm^2` 

Pole drugiego prostokąta będzie wynosiło:{premium}

`P_(s2) = (x+2)\ cm*20\ cm` 

`P_(s2) = 20 (x + 2)\ cm^2` 

Wówczas pole powierzchni bocznej możliwe do obliczenia wynosi:

`P_b = P_(s1) + P_(s2)` 

`P_b = 20 x\ cm^2 + 20 (x + 2)\ cm^2` 

`P_b = bb([20 x + 20 (x + 2)]\ cm^2)` 

`P_b = 20 x\ cm^2 + 20 x\ cm^2 + 20*2\ cm^2` 

`P_b = 2* 20 x\ cm^2 + 20*2\ cm^2` 

`P_b = bb(20 (2 x + 2)\ cm^2)` 

`P_b = 40 x\ cm^2 + 40\ cm^2` 

`P_b = bb((40 x + 40)\ cm^2)` 

 

Odpowiedź:

`bb(A.)  (40 x + 40)\ cm^2` 

`bb(B.)  20 (2 x + 2)\ cm^2` 

`bb(C.)  [20 x + 20 (x + 2)]\ cm^2` 

Cenę wycieczki obniżono w listopadzie ...

Cena wycieczki przed obniżką wynosiła 488,75 zł.

Sprawdźmy czy cena po obniżce wynosi 425 zł. {premium}

 

 

 

Odp. N, ponieważ C.

 

W misce zmieszano 48 orzechów...

Przez x -oznaczmy ilość orzechów laskowych. 

Wszystkich orzechów było 48, więc orzechów włoskich było 48-x. 

Stosunek orzechów laskowych do orzechów włoskich wynosił 5:1. 

Równanie opisujące stosunek orzechów do ich ilości to:


{premium} 

Rozwiązujemy równanie. 

 
 
 
 

W misce było 40 orzechów laskowych. 

Proste a i b, przedstawione na rysunku obok, ...

a) Kąty  i  to katy odpowiadające zatem mają taką samą miarę

{premium}

b) Kąty   i  to kąty przyległe zatem ich suma wynosi  

 

 

zatem:

 

 


c) Wiemy, że prosta c jest prostopadła do prostej b

zatem sumę miar kątów w trójkącie prostokątnym o pozostałych kątach  

 

 

wiemy, że:

 

zatem:

 

Dwa boki trójkąta ABC mają długości ...

Wiemy, że dwa boki trójkąta ABC mają długości a+1 oraz 10-a. 

Na podstawie tych informacji NIE możemy stwierdzić, czy jest to trójkąt równoramienny. {premium}

Nie jesteśmy więc w stanie powiedzieć, czy boki AB i AC mają równe długości. 


Każdy z boków trójkąta ma długość większą niż 0 (bok nie może mieć długości 0). Zatem: 

  

oraz: 

  

Liczba a jest więc większa od -1 i mniejsza od 10. 

Bok a+1 ma więc długość na pewno mniejszą niż 11 (10+1=11, lecz a<10, więc a+1<11). 

Bok 10-a ma długość na pewno mniejszą niż 11 (10-(-1)=10+1=11, lecz a>-1, więc 10-a<11). 

Z rysunku możemy odczytać, że bok BC jest najkrótszym bokiem tego trójkąta. 

Jest on więc krótszy od pozostałych boków, czyli jego długość wynosi mniej niż 11. 

 

I. NIE
II. NIE
III. NIE
IV. TAK

 

Oblicz. a) ³√8 + ³√27- ³√64 ...

 

{premium}

 

 

   

Oceń prawdziwość podanych...

Przekątne dzielą każdy romb...

PRAWDA
{premium}

Przekątne dzielą każdy prostokąt...

PRAWDA

Przekątne dzielą każdy kwadrat...

FAŁSZ, przekątne dzielą każdy kwadrat na cztery trójkąty równoramienne.

 

Półproste zaznaczone na rysunku 2 tym samym kolorem są równoległe...

Wiemy, że:

- kąty odpowiadające mają równe miary

- suma miar kątów przyległych wynosi  

- suma miar kątów wewnętrznych wynosi  

wykonajmy rysunek pomocniczy:

podglad pliku{premium}

 

 


Obliczmy miarę kąta 

 

  

 

 


Obliczmy miarę kąta  :

 

 

 


Obliczmy miarę kąta 

 

  

 

 

 


Odp.: Miary kątów trójkąta ABC to: 48o, 82o i 50o.