Pierwiastki - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Pierwiastki - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Pojęcie pierwiastka

Pierwiastkiem kwadratowym z nieujemnej liczby a nazywamy taką nieujemną liczbę b, której kwadrat jest równy liczbie a.

Pierwiastek kwadratowy możemy nazwać również pierwiastkiem drugiego stopnia

Symbolicznie możemy zapisać to: 

`sqrt{a}=b, \ \ \ "bo" \ \ \ b^2=a`  


Pierwiastkiem sześciennym z liczby a nazywamy taką liczbę b, której sześcian (trzecia potęga) jest równy liczbie a.

Pierwiastek sześcienny możemy nazwać także pierwiastkiem trzeciego stopnia.  

Symbolicznie możemy zapisać to: 

`root{3}{a}=b,  \ \ \ "bo" \ \ \ b^3=a`  


Przykłady

  • `sqrt{25}=5, \ \ \ "bo" \ \ \ 5^2=25` 
     
  • `sqrt{81}=9, \ \ \ "bo" \ \ \ 9^2=81`    

  • `root{3}{27}=3, \ \ \ "bo" \ \ \ 3^3=27`  

  • `root{3}{64}=4, \ \ \ "bo" \ \ \ 4^3=64` 



Wykonując działania na pierwiastkach warto pamiętać o kilku własnościach:

  1. Dla `a>=0` mamy: 

    `sqrt{a^2}=a`   

    `(sqrt{a})^2=a` 

    `sqrt{a}*sqrt{a}=a` 

  2. Dla dowolnej liczby `a`  mamy: 

    `root{3}{a^3}=a` 

    `(root{3}{a})^3=a`   

    `root{3}{a}*root{3}{a}*root{3}{a}=a`  

 

Działania na pierwiastkach

 

Własności pierwiastkowania: 

  1. Pierwiastek z iloczynu jest równy iloczynowi pierwiastków z tych liczb.


    Dla `a>=0 \ "i" \ b>=0` 

    `sqrt{a*b}=sqrt{a}*sqrt{b}`  


    Dla dowolnych liczb `a \ "i" \ b` mamy:

    `root{3}{a*b}=root{3}{a}*root{3}{b}` 


  2. Pierwiastek z ilorazu jest równy ilorazowi pierwiastków z tych liczb.


    Dla `a>=0 \ "i" \ b>0` mamy: 

    `sqrt{a/b}=sqrt{a}/sqrt{b}` 


    Dla dowolnej liczby `a \ "i" \ b!=0` mamy:   

    `root{3}{a/b}=root{3}{a}/root{3}{b}`  

 

Przykłady:

  • `sqrt{3600}=sqrt{36*100}=sqrt{36}*sqrt{100}=6*10=60` 

  • `root{3}{-64 \ 000}=root{3}{-64*1000}=root{3}{-64}*root{3}{1000}=-4*10=-40`   

  • `sqrt{121/49}=sqrt{121}/sqrt{49}=11/7=1 4/7` 

  • `root{3}{216/512}=root{3}{216}/root{3}{512}=6/8`   

Obliczanie wartości pierwiastka z wykorzystaniem rozkładu na czynniki pierwsze

Obliczając wartość pierwiastka możemy skorzystać z rozkładu liczby podpierwiastkowej na czynniki pierwsze

Poniżej prezentujemy sposób wykonania takich obliczeń. 


Przykłady
                

`sqrt{576}=sqrt{2^2*2^2*2^2*3^2}=sqrt{2^2}*sqrt{2^2}*sqrt{2^2}*sqrt{3^2}=2*2*2*3=24` 

 

                

`sqrt{216}=sqrt{2^2*3^2*2*3}=sqrt{2^2}*sqrt{3^2}*sqrt{2*3}=2*3*sqrt{6}=6sqrt{6}`  

 

                

`root{3}{216}=root{3}{2^3*3^3}=root{3}{2^3}*root{3}{3^3}=2*3=6`  

 

                

`root{3}{648}=root{3}{2^3*3^3*3}=root{3}{2^3}*root{3}{3^3}*root{3}{3}=2*3*root{3}{3}=6root{3}{3}`   

Wyłączanie czynnika przed znak pierwiastka

Czasami nie da się obliczyć dokładnej wartości pierwiastka, gdyż większość pierwiastków to liczby niewymierne. 

Możemy wtedy wyłączyć pewien czynnik przed znak pierwiastka. 

Gdy liczbę podpierwiastkową możemy zapisać w postaci iloczynu liczby, z której da się obliczyć pierwiastek oraz liczby z której nie jest to możliwe, wówczas możemy wyłączyć odpowiedni czynnik przed znak pierwiastka


Przykłady
:

  • `sqrt{75}=sqrt{25*3}=sqrt{5^2*3}=sqrt{5^2}*sqrt{3}=5*sqrt{3}=5sqrt{3}`  

  • `root{3}{16}=root{3}{8*2}=root{3}{8}*root{3}{2}=2*root{3}{2}=2root{3}{2}`  

Włączanie czynnika pod znak pierwiastka

Możemy również włączyć dany czynnik pod znak pierwiastka

Poniższe przykłady prezentują jak należy to zrobić. 


Przykłady

  • `2sqrt{3}=#underbrace(sqrt{4})_(2=sqrt{4})*sqrt{3}=sqrt{4*3}=sqrt{12}`  

  • `6sqrt{3}=#underbrace(sqrt{36})_(6=sqrt{36})*sqrt{3}=sqrt{36*3}=sqrt{108}` 

  • `5root{3}{4}=#underbrace(root{3}{125})_(5=root{3}{125})*root{3}{4}=root{3}{125*4}=root{3}{500}` 

  •  `7root{3}{5}=#underbrace(root{3}{343})_(7=root{3}{343})*root{3}{5}=root{3}{343*5}=root{3}{1715}`     

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Oblicz:

  1. $ √81 $
  2. $ √10000 $
  3. $ √0,04 $
  1. $ √{81}=9 $
  2. $ √{10000}=100 $
  3. $ √{0,04}=0,2 $

Zadanie 2.

Jaką długość ma bok kwadratu, którego pole jest równe:

  1. $ 40 000 m^2 $
  2. $ 0,0001 m^2 $
  3. $ 10^{-16} m^2 $
  1. $ √{40 000}=200 m $
  2. $ √{1/{10 000} }={1}/{100} m $
  3. $ √{10^{-16} }=√{1/{10^{16} } }=1/{10^8} =1/{100000000} m $

Zadanie 3.

Włącz czynnik pod znak pierwiastka:

  1. $ 5√3 $
  2. $ 6√1,5 $
  3. $ 2∛10 $
  1. $ 5√3=√{5×5×3}=√75 $
  2. $ 6√1,5=√{6×6×1,5}=√54 $
  3. $ 2∛10=∛{2×2×2×10}=∛80 $

Zadanie 4.

Oblicz:

  1. $ √{8^2} $
  2. $ {√6}^4 $
  3. $ √{4^6} $
  1. $ √{8^2} =8 $
  2. $ {√6}^4={√6}^2×{√6}^2=6×6=36 $
  3. $ √{4^6}=√{2^12}=2^6 $

Zadanie 5.

Usuń niewymierność z mianownika:

  1. $ 1/{√7} $
  2. $ 2/{√2} $
  3. $ {10}/{2√5} $
  1. $ 1/{√7}={√7}/7 $
  2. $ 2/{√2}={2√2}/2=√2 $
  3. $ {10}/{2√5}={20√5}/{10}=√5 $

Zadanie 6.

Oblicz pole kwadratu o boku:

  1. $ √8$ $m $
  2. $ 3√2$ $m $
  3. $ 10√5$ $m $
  1. $ {√8}^2=8$ $m^2 $
  2. $ {3√2}^2=9×2=18$ $m^2 $
  3. $ {10√5}^2=100×5=500$ $m^2 $

Spis treści

Rozwiązane zadania
Na osi liczbowej zaznaczono cztery liczby : 2√2, π,√19, π/2.

 

 

 

Na osi zaznaczono dwie liczby pomiędzy liczbami 2 i 4. Wiemy jednak że wartość liczby pi wynosi w przybliżeniu 3,14, więc jest to liczba:

 {premium}

 

Drugą liczbą pomiędzy liczbami 3 i 4 jest liczba B, stąd:

 

 

  

  

 

 

 

 

 

 

Czy wykonany z kartonu...

Kwadrat nie będzie widoczny spod koła jeżeli długość średnicy tego koła będzie większa lub równa przekątnej kwadratu. Przekątna kwadratu o boku  wynosi:

 {premium}

 

 

 

Ponieważ koło ma średnicę o długości , czyli mniejszą od przekątnej kwadratu, to nie przykryje ono w całości tego kwadratu.

 

Odpowiedź: Nie, ponieważ średnica koła jest mniejsza od przekątnej kwadratu.

Przerysuj do zeszytu figurę...

Rysunki możemy uzupełnić w  następujący sposób:  {premium}

a)
podglad pliku
b)

Thumb zad18bs140

Trójkąt równoboczny, kwadrat i ...

Oznaczmy: 

a - długość boku trójkąta równobocznego

b - długość boku kwadratu

c - długość boku sześciokąta foremnego

 

Obliczmy długość boku i pole trójkąta równobocznego. {premium}

 

 

 

 

 

 

Zauważmy, że:

  

 

Obliczmy długość boku i pole kwadratu.

 

 

 

 

 

Obliczmy długość boku i pole sześciokąta foremnego.

 

 

 

 

 

 

 

Zauważmy, że:

 

 

Odp. Pole trójkąta jest najmniejsza, a pole sześciokąta jest największe.

Na wykresie przedstawiono odległość w kilometrach przebytą...

Z wykresu możemy odczytać, że:


w ciągu minuty samochód przebywał mniej niż kilometr, zatem

pierwsze zdanie jest prawdziwe
{premium}

odległość 4 km samochód pokonał w czasie powyżej 5 minut, zatem

drugie zdanie jest fałszywe


między 3 a 6 minutą jazdy samochód przebył więcej niż 2 km 

trzecie zdanie jest prawdziwe


obliczmy prędkość średnią samochodu:

 

wiemy, że samochód przejechał 3 km w 4 minuty, zatem:

 

czwarte zdanie jest fałszywe






Dwutomowe wydanie Opowieści z Narnii C. S. Lewisa liczy...

 -liczba stron w tomie I

 -liczba stron w tomie II

Wiemy, że pierwszy tom ma o 138 stron mniej niż drugi, zatem:

musimy rozwiązać równanie:

 

zatem:
{premium}
   

 

 

 

 


Odp.: Pierwszy tom ma 471 stron, a drugi tom ma 609 stron.

Par liczb naturalnych, których suma ...

Wypiszmy wszystkie pary liczb naturalnych, których suma jest równa .{premium}

 

Jest  takich par.


Odpowiedź: A

 

Wykonaj i opisz konstrukcję kąta 135°.

{premium}

Współrzędne którego z punktów zaznaczonych ...

Odczytujemy najpierw ile wynoszą współrzędne punktu A. 

 

Obliczamy, czy współrzędne tego punktu spełniają podany warunek. {premium}

 

Współrzędne punktu A spełniają podany warunek. 


Odczytujemy najpierw ile wynoszą współrzędne punktu B. 

 

Obliczamy, czy współrzędne tego punktu spełniają podany warunek. 

 

Współrzędne punktu B nie spełniają podanego warunku. 


Odczytujemy najpierw ile wynoszą współrzędne punktu C. 

 

Obliczamy, czy współrzędne tego punktu spełniają podany warunek. 

 

Współrzędne punktu C nie spełniają podanego warunku. 



Odczytujemy najpierw ile wynoszą współrzędne punktu D. 

 

Obliczamy, czy współrzędne tego punktu spełniają podany warunek.

 

Współrzędne punktu D nie spełniają podanego warunku. 

 

Poprawna odpowiedź: A. A

Dany jest prostopadłościan...

Zaznaczmy na rysunku przekrój prostopadłościanu:{premium}

podglad pliku

Zauważmy, że odcinki BD o EF są do siebie równoległe `BD || EF` oraz długość odcinka BD jest większa od odcinka EF: `|BD| > |EF|.` 

Z tego wynika, że pole przekroju tego prostopadłościanu jest trapezem.

 

Odpowiedź:

`bb(B.)` trapezem.