Pierwiastki - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Pierwiastki - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Pojęcie pierwiastka

Pierwiastkiem kwadratowym z nieujemnej liczby a nazywamy taką nieujemną liczbę b, której kwadrat jest równy liczbie a.

Pierwiastek kwadratowy możemy nazwać również pierwiastkiem drugiego stopnia

Symbolicznie możemy zapisać to: 

`sqrt{a}=b, \ \ \ "bo" \ \ \ b^2=a`  


Pierwiastkiem sześciennym z liczby a nazywamy taką liczbę b, której sześcian (trzecia potęga) jest równy liczbie a.

Pierwiastek sześcienny możemy nazwać także pierwiastkiem trzeciego stopnia.  

Symbolicznie możemy zapisać to: 

`root{3}{a}=b,  \ \ \ "bo" \ \ \ b^3=a`  


Przykłady

  • `sqrt{25}=5, \ \ \ "bo" \ \ \ 5^2=25` 
     
  • `sqrt{81}=9, \ \ \ "bo" \ \ \ 9^2=81`    

  • `root{3}{27}=3, \ \ \ "bo" \ \ \ 3^3=27`  

  • `root{3}{64}=4, \ \ \ "bo" \ \ \ 4^3=64` 



Wykonując działania na pierwiastkach warto pamiętać o kilku własnościach:

  1. Dla `a>=0` mamy: 

    `sqrt{a^2}=a`   

    `(sqrt{a})^2=a` 

    `sqrt{a}*sqrt{a}=a` 

  2. Dla dowolnej liczby `a`  mamy: 

    `root{3}{a^3}=a` 

    `(root{3}{a})^3=a`   

    `root{3}{a}*root{3}{a}*root{3}{a}=a`  

 

Działania na pierwiastkach

 

Własności pierwiastkowania: 

  1. Pierwiastek z iloczynu jest równy iloczynowi pierwiastków z tych liczb.


    Dla `a>=0 \ "i" \ b>=0` 

    `sqrt{a*b}=sqrt{a}*sqrt{b}`  


    Dla dowolnych liczb `a \ "i" \ b` mamy:

    `root{3}{a*b}=root{3}{a}*root{3}{b}` 


  2. Pierwiastek z ilorazu jest równy ilorazowi pierwiastków z tych liczb.


    Dla `a>=0 \ "i" \ b>0` mamy: 

    `sqrt{a/b}=sqrt{a}/sqrt{b}` 


    Dla dowolnej liczby `a \ "i" \ b!=0` mamy:   

    `root{3}{a/b}=root{3}{a}/root{3}{b}`  

 

Przykłady:

  • `sqrt{3600}=sqrt{36*100}=sqrt{36}*sqrt{100}=6*10=60` 

  • `root{3}{-64 \ 000}=root{3}{-64*1000}=root{3}{-64}*root{3}{1000}=-4*10=-40`   

  • `sqrt{121/49}=sqrt{121}/sqrt{49}=11/7=1 4/7` 

  • `root{3}{216/512}=root{3}{216}/root{3}{512}=6/8`   

Obliczanie wartości pierwiastka z wykorzystaniem rozkładu na czynniki pierwsze

Obliczając wartość pierwiastka możemy skorzystać z rozkładu liczby podpierwiastkowej na czynniki pierwsze

Poniżej prezentujemy sposób wykonania takich obliczeń. 


Przykłady
                

`sqrt{576}=sqrt{2^2*2^2*2^2*3^2}=sqrt{2^2}*sqrt{2^2}*sqrt{2^2}*sqrt{3^2}=2*2*2*3=24` 

 

                

`sqrt{216}=sqrt{2^2*3^2*2*3}=sqrt{2^2}*sqrt{3^2}*sqrt{2*3}=2*3*sqrt{6}=6sqrt{6}`  

 

                

`root{3}{216}=root{3}{2^3*3^3}=root{3}{2^3}*root{3}{3^3}=2*3=6`  

 

                

`root{3}{648}=root{3}{2^3*3^3*3}=root{3}{2^3}*root{3}{3^3}*root{3}{3}=2*3*root{3}{3}=6root{3}{3}`   

Wyłączanie czynnika przed znak pierwiastka

Czasami nie da się obliczyć dokładnej wartości pierwiastka, gdyż większość pierwiastków to liczby niewymierne. 

Możemy wtedy wyłączyć pewien czynnik przed znak pierwiastka. 

Gdy liczbę podpierwiastkową możemy zapisać w postaci iloczynu liczby, z której da się obliczyć pierwiastek oraz liczby z której nie jest to możliwe, wówczas możemy wyłączyć odpowiedni czynnik przed znak pierwiastka


Przykłady
:

  • `sqrt{75}=sqrt{25*3}=sqrt{5^2*3}=sqrt{5^2}*sqrt{3}=5*sqrt{3}=5sqrt{3}`  

  • `root{3}{16}=root{3}{8*2}=root{3}{8}*root{3}{2}=2*root{3}{2}=2root{3}{2}`  

Włączanie czynnika pod znak pierwiastka

Możemy również włączyć dany czynnik pod znak pierwiastka

Poniższe przykłady prezentują jak należy to zrobić. 


Przykłady

  • `2sqrt{3}=#underbrace(sqrt{4})_(2=sqrt{4})*sqrt{3}=sqrt{4*3}=sqrt{12}`  

  • `6sqrt{3}=#underbrace(sqrt{36})_(6=sqrt{36})*sqrt{3}=sqrt{36*3}=sqrt{108}` 

  • `5root{3}{4}=#underbrace(root{3}{125})_(5=root{3}{125})*root{3}{4}=root{3}{125*4}=root{3}{500}` 

  •  `7root{3}{5}=#underbrace(root{3}{343})_(7=root{3}{343})*root{3}{5}=root{3}{343*5}=root{3}{1715}`     

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Oblicz:

  1. $ √81 $
  2. $ √10000 $
  3. $ √0,04 $
  1. $ √{81}=9 $
  2. $ √{10000}=100 $
  3. $ √{0,04}=0,2 $

Zadanie 2.

Jaką długość ma bok kwadratu, którego pole jest równe:

  1. $ 40 000 m^2 $
  2. $ 0,0001 m^2 $
  3. $ 10^{-16} m^2 $
  1. $ √{40 000}=200 m $
  2. $ √{1/{10 000} }={1}/{100} m $
  3. $ √{10^{-16} }=√{1/{10^{16} } }=1/{10^8} =1/{100000000} m $

Zadanie 3.

Włącz czynnik pod znak pierwiastka:

  1. $ 5√3 $
  2. $ 6√1,5 $
  3. $ 2∛10 $
  1. $ 5√3=√{5×5×3}=√75 $
  2. $ 6√1,5=√{6×6×1,5}=√54 $
  3. $ 2∛10=∛{2×2×2×10}=∛80 $

Zadanie 4.

Oblicz:

  1. $ √{8^2} $
  2. $ {√6}^4 $
  3. $ √{4^6} $
  1. $ √{8^2} =8 $
  2. $ {√6}^4={√6}^2×{√6}^2=6×6=36 $
  3. $ √{4^6}=√{2^12}=2^6 $

Zadanie 5.

Usuń niewymierność z mianownika:

  1. $ 1/{√7} $
  2. $ 2/{√2} $
  3. $ {10}/{2√5} $
  1. $ 1/{√7}={√7}/7 $
  2. $ 2/{√2}={2√2}/2=√2 $
  3. $ {10}/{2√5}={20√5}/{10}=√5 $

Zadanie 6.

Oblicz pole kwadratu o boku:

  1. $ √8$ $m $
  2. $ 3√2$ $m $
  3. $ 10√5$ $m $
  1. $ {√8}^2=8$ $m^2 $
  2. $ {3√2}^2=9×2=18$ $m^2 $
  3. $ {10√5}^2=100×5=500$ $m^2 $

Spis treści

Rozwiązane zadania
Oceń prawdziwość podanych ...

Pierwszy wiersz w tabeli - PRAWDA

Odległość na osi pionowej między 0 i 1 km=1000 m, czyli odległość równa 1000 m, została podzielona na 5 równych części. {premium}

Każda część odpowiada więc odległości równej 1000 m : 5 = 200 m. Na osi pionowej poruszamy się co 200 m. 

Z wykresu możemy odczytać, że odległość między domem a przystankiem wynosi 400 m. 


Drugi wiersz w tabeli
- PRAWDA 

Mateusz wsiadł do autobusu w 22 minucie. Do szkoły dotarł w 26 minucie. Jego podróż trwała:

 

Przystanek znajduje się w odległości 400 m od domu, a szkoła w odległości 4 km od domu. 

Obliczamy jaką drogę pokonał z przystanku do szkoły. 

 

Średnia prędkość autobusu wynosiła więc: 

   

Dwa paski papieru o jednakowej szerokości przyklejono ...

Przyjmijmy oznaczenia jak na poniższym rysunku. {premium}

Chcemy pokazać, że czworokąt ABCD jest rombem. 


Boki AD i BC oraz AB i DC mają równe długości. 

Odcinki te są również równoległe (przeciwległe boki każdego z pasków). 

  

Oznacza to, że czworokąt ABCD jest na pewno równoległobokiem. 


Wiemy, że pasek niebieski i pasek zielony mają taką samą szerokość. Oznacza to, że: 

 


Pole czworokąta ABCD możemy obliczyć na dwa sposoby. Wiemy już, że jest to równoległobok. 

Powyżej obliczyliśmy pole na dwa sposoby, czyli:

Otrzymujemy więc, że:

     


Czworokąt ABCD jest równoległobokiem i jeszcze jego boki mają równe długości. 

Oznacza to, że jest on rombem. 

Koło o średnicy 20 cm podzielono na osiem przystających

Zamalowana część koła to 5 wycinków z 8, na jakie podzielono koło, stąd jej pole stanowi pola koła o średnicy 20 cm. {premium}

 

   

Środki czterech stykających się ze sobą ...

Zauważmy, że każdy bok kwadratu składa się z 2 promieni. Promienie mają długość 3 cm. Zatem: {premium}

 

Boki kwadratu mają długość 6 cm. 

Obliczamy ile wynosi pole tego kwadratu. 

 

Poprawna odpowiedź: B. 36 cm2

 

Cztery boki dwunastokąta mają długość 6 cm, gdyż składają się na nie 2 promienie. 

 

Pozostałe boki maja taką samą długość jak promienie okręgów, czyli 3 cm. 

 

Obwód dwunastokąta wynosi: 

 

Poprawna odpowiedź: C. 48 cm

W pudełku znajduje się 12 żetonów...

Przez x oznaczmy liczbę czerwonych żetonów, którą należy dołożyć do pudełka:

Liczba żetonów

Obecnie Po dołożeniu x żetonów czerwonych
żółtych    
czerwonych    
RAZEM    

Po dołożeniu czerwonych żetonów mamy:  {premium}

Wiemy, że prawdopodobieństwo wylosowania czerwonego żetonu wzrosło do:  

Z tego wynika, że liczba czerwonych żetonów, które należy dołożyć wynosi:

 

 

 

 

 

 

 

Odp: Do pudełka należy dołożyć 21 czerwonych żetonów.

Obecnie największym diabelskim kołem...

Obliczmy obwód tego diabelskiego koła przyjmując, że        {premium}
  

 


Obliczmy długość średnicy tego koła:
(na taką maksymalną wysokość ten młyn może zabrać pasażerów)

 

 

 


Odp.: Ten młyn może zabrać pasażerów na maksymalną wysokość ok. 168 m. 

Cena sukienki została podwyższona...

Oznaczmy jako x - cenę początkową sukienki, a y - cenę po podwyżce .

Cena sukienki po podwyżce:

  

 

 

 

Cena sukienki po obniżce wynosi:

{premium}  

Z tego wynika, że początkowa cena sukienki wynosiła:

 

 

  

  

 

 

 

 

 

Odp: Sukienka na początku kosztowała 350 złotych.

Uprość wyrażenie, a następnie oblicz jego...

`a) \ \ 1,2x+y-(1,3x-2y)+(0,8x-2y)=ul(1,2x)+y-ul(1,3x)+2y+ul(0,8x)-2y=0,7x+y`

zatem dla x=5, y=1,8 wyrażenie ma wartość:
{premium}

`0,7*5+1,8=3,5+1,8=5,3`

`b) \ \ 3x(x-2y)-2y(y-3x)=3x^2-6xy-2y^2+6xy=3x^2-2y^2`

zatem dla x=5, y=-5 wyrażenie ma wartość:

Narysuj ostrosłup...

Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma w podstawie kwadrat:

podglad pliku

 

 

Podział ostrosłupa na dwa ostrosłupy trójkątne otrzymamy dzieląc go wzdłuż przekątnej podstawy:{premium}

podglad pliku

 

 

Jeżeli przekrój będzie zawierał środki dwóch sąsiednich krawędzi bocznych i dwóch równoległych krawędzi podstawy to będzie on czworokątem:

podglad pliku

Bok rombu ma 6 cm, a jeden z jego kątów ...

Rysunek pomocniczy:

{premium}

Zauważmy, że krótsza przekątna dzieli ten romb na dwa trójkąty równoboczne.

Krótsza przekątna jest równa długości boku tego rombu, czyli 6 cm.

 

Zauważmy, że dłuższa przekątna jest równa 2h.

 

 

 

 

Odp. C