Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Pierwiastki - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Pojęcie pierwiastka

Pierwiastkiem kwadratowym z nieujemnej liczby a nazywamy taką nieujemną liczbę b, której kwadrat jest równy liczbie a.

Pierwiastek kwadratowy możemy nazwać również pierwiastkiem drugiego stopnia

Symbolicznie możemy zapisać to: 

`sqrt{a}=b, \ \ \ "bo" \ \ \ b^2=a`  


Pierwiastkiem sześciennym z liczby a nazywamy taką liczbę b, której sześcian (trzecia potęga) jest równy liczbie a.

Pierwiastek sześcienny możemy nazwać także pierwiastkiem trzeciego stopnia.  

Symbolicznie możemy zapisać to: 

`root{3}{a}=b,  \ \ \ "bo" \ \ \ b^3=a`  


Przykłady

  • `sqrt{25}=5, \ \ \ "bo" \ \ \ 5^2=25` 
     
  • `sqrt{81}=9, \ \ \ "bo" \ \ \ 9^2=81`    

  • `root{3}{27}=3, \ \ \ "bo" \ \ \ 3^3=27`  

  • `root{3}{64}=4, \ \ \ "bo" \ \ \ 4^3=64` 



Wykonując działania na pierwiastkach warto pamiętać o kilku własnościach:

  1. Dla `a>=0` mamy: 

    `sqrt{a^2}=a`   

    `(sqrt{a})^2=a` 

    `sqrt{a}*sqrt{a}=a` 

  2. Dla dowolnej liczby `a`  mamy: 

    `root{3}{a^3}=a` 

    `(root{3}{a})^3=a`   

    `root{3}{a}*root{3}{a}*root{3}{a}=a`  

 

Działania na pierwiastkach

 

Własności pierwiastkowania: 

  1. Pierwiastek z iloczynu jest równy iloczynowi pierwiastków z tych liczb.


    Dla `a>=0 \ "i" \ b>=0` 

    `sqrt{a*b}=sqrt{a}*sqrt{b}`  


    Dla dowolnych liczb `a \ "i" \ b` mamy:

    `root{3}{a*b}=root{3}{a}*root{3}{b}` 


  2. Pierwiastek z ilorazu jest równy ilorazowi pierwiastków z tych liczb.


    Dla `a>=0 \ "i" \ b>0` mamy: 

    `sqrt{a/b}=sqrt{a}/sqrt{b}` 


    Dla dowolnej liczby `a \ "i" \ b!=0` mamy:   

    `root{3}{a/b}=root{3}{a}/root{3}{b}`  

 

Przykłady:

  • `sqrt{3600}=sqrt{36*100}=sqrt{36}*sqrt{100}=6*10=60` 

  • `root{3}{-64 \ 000}=root{3}{-64*1000}=root{3}{-64}*root{3}{1000}=-4*10=-40`   

  • `sqrt{121/49}=sqrt{121}/sqrt{49}=11/7=1 4/7` 

  • `root{3}{216/512}=root{3}{216}/root{3}{512}=6/8`   

Obliczanie wartości pierwiastka z wykorzystaniem rozkładu na czynniki pierwsze

Obliczając wartość pierwiastka możemy skorzystać z rozkładu liczby podpierwiastkowej na czynniki pierwsze

Poniżej prezentujemy sposób wykonania takich obliczeń. 


Przykłady
                

`sqrt{576}=sqrt{2^2*2^2*2^2*3^2}=sqrt{2^2}*sqrt{2^2}*sqrt{2^2}*sqrt{3^2}=2*2*2*3=24` 

 

                

`sqrt{216}=sqrt{2^2*3^2*2*3}=sqrt{2^2}*sqrt{3^2}*sqrt{2*3}=2*3*sqrt{6}=6sqrt{6}`  

 

                

`root{3}{216}=root{3}{2^3*3^3}=root{3}{2^3}*root{3}{3^3}=2*3=6`  

 

                

`root{3}{648}=root{3}{2^3*3^3*3}=root{3}{2^3}*root{3}{3^3}*root{3}{3}=2*3*root{3}{3}=6root{3}{3}`   

Wyłączanie czynnika przed znak pierwiastka

Czasami nie da się obliczyć dokładnej wartości pierwiastka, gdyż większość pierwiastków to liczby niewymierne. 

Możemy wtedy wyłączyć pewien czynnik przed znak pierwiastka. 

Gdy liczbę podpierwiastkową możemy zapisać w postaci iloczynu liczby, z której da się obliczyć pierwiastek oraz liczby z której nie jest to możliwe, wówczas możemy wyłączyć odpowiedni czynnik przed znak pierwiastka


Przykłady
:

  • `sqrt{75}=sqrt{25*3}=sqrt{5^2*3}=sqrt{5^2}*sqrt{3}=5*sqrt{3}=5sqrt{3}`  

  • `root{3}{16}=root{3}{8*2}=root{3}{8}*root{3}{2}=2*root{3}{2}=2root{3}{2}`  

Włączanie czynnika pod znak pierwiastka

Możemy również włączyć dany czynnik pod znak pierwiastka

Poniższe przykłady prezentują jak należy to zrobić. 


Przykłady

  • `2sqrt{3}=#underbrace(sqrt{4})_(2=sqrt{4})*sqrt{3}=sqrt{4*3}=sqrt{12}`  

  • `6sqrt{3}=#underbrace(sqrt{36})_(6=sqrt{36})*sqrt{3}=sqrt{36*3}=sqrt{108}` 

  • `5root{3}{4}=#underbrace(root{3}{125})_(5=root{3}{125})*root{3}{4}=root{3}{125*4}=root{3}{500}` 

  •  `7root{3}{5}=#underbrace(root{3}{343})_(7=root{3}{343})*root{3}{5}=root{3}{343*5}=root{3}{1715}`     

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Oblicz:

  1. $$ √81 $$
  2. $$ √10000 $$
  3. $$ √0,04 $$
  1. $$ √{81}=9 $$
  2. $$ √{10000}=100 $$
  3. $$ √{0,04}=0,2 $$

Zadanie 2.

Jaką długość ma bok kwadratu, którego pole jest równe:

  1. $$ 40 000 m^2 $$
  2. $$ 0,0001 m^2 $$
  3. $$ 10^{-16} m^2 $$
  1. $$ √{40 000}=200 m $$
  2. $$ √{1/{10 000} }={1}/{100} m $$
  3. $$ √{10^{-16} }=√{1/{10^{16} } }=1/{10^8} =1/{100000000} m $$

Zadanie 3.

Włącz czynnik pod znak pierwiastka:

  1. $$ 5√3 $$
  2. $$ 6√1,5 $$
  3. $$ 2∛10 $$
  1. $$ 5√3=√{5×5×3}=√75 $$
  2. $$ 6√1,5=√{6×6×1,5}=√54 $$
  3. $$ 2∛10=∛{2×2×2×10}=∛80 $$

Zadanie 4.

Oblicz:

  1. $$ √{8^2} $$
  2. $$ {√6}^4 $$
  3. $$ √{4^6} $$
  1. $$ √{8^2} =8 $$
  2. $$ {√6}^4={√6}^2×{√6}^2=6×6=36 $$
  3. $$ √{4^6}=√{2^12}=2^6 $$

Zadanie 5.

Usuń niewymierność z mianownika:

  1. $$ 1/{√7} $$
  2. $$ 2/{√2} $$
  3. $$ {10}/{2√5} $$
  1. $$ 1/{√7}={√7}/7 $$
  2. $$ 2/{√2}={2√2}/2=√2 $$
  3. $$ {10}/{2√5}={20√5}/{10}=√5 $$

Zadanie 6.

Oblicz pole kwadratu o boku:

  1. $$ √8$$ $$m $$
  2. $$ 3√2$$ $$m $$
  3. $$ 10√5$$ $$m $$
  1. $$ {√8}^2=8$$ $$m^2 $$
  2. $$ {3√2}^2=9×2=18$$ $$m^2 $$
  3. $$ {10√5}^2=100×5=500$$ $$m^2 $$

Spis treści

Rozwiązane zadania
a) Hania zmieszała 30 dag cukru i 120 dag mąki. W ...

a) Stosunek cukru do mąki wynosi: 

`30/120=1/4`   

{premium}

Hania zmieszała cukier i mąkę w stosunku 1:4


b) Cały sos składa się z 3 części. Ocet stanowi 1 część, a oliwa 2 części tego sosu. 

Stosunek octu do oliwy wynosi więc 1:2


c) Objętość całej zalewy wynosi 2 l. Objętość octu wynosi 0,5 l. 

Objętość wody wynosi więc: 

`2 \ "l"-0,5 \ "l"=1,5 \ "l"`  

Obliczamy ile wynosi stosunek octu do wody.  

`(0,5)/(1,5)=5/15=1/3` 

Stosunek octu do wody wynosi 1:3

Deskę długości 1,5 m wykonano z wysuszonego drewna jodły ...

Policzmy, jaką objętość ma 1 taka deska: {premium}

`V=1,5\ "m"*20\ "cm"*1\ "cm"=`

`=1,5\ "m"*0,2\ "m"*0,01\ "m"=0,003\ "m"^3`

Policzmy, jaką objętość ma 10 takich desek.

`10*0,003\ "m"^3=0,03\ "m"^3` 

 

Gęstość 410 kg/m³ oznacza, że 1 m³ drewna waży 410 kg. Obliczamy, jaka jest masa 0,03 m³ takiego drewna 

`0,03*410=0,3*41=12,3\ "kg"`

Odp. Masa 10 takich desek wynosi 12,3 kg.

Z talii 24 kart (od dziewiątek) losujemy...

W talii znajdują się 4 dziewiątki. Zatem:

`P(A) = 4/24 = 1/6` {premium}


W talii znajduje się 6 trefli. Zatem:

`P(B) = 6/24= 1/4` 


W tali znajdują się 4 króle i 4 damy. Zatem:

`P(C) = (4+4)/24 = 8/24 = 1/3` 


W talii znajdują się 4 dziesiątki. Zatem:

`P(D) = (24-4)/24 = 20/24 = 5/6` 

Czy zamieszczone zdjęcie jest dowodem prawdziwości podanego...

a) Nie, na świecie nie wszystkie koty są rude (mimo tego, że na zdjęciu nie umieszczono kota innego koloru).{premium}

b) Tak, na świecie są rude koty.

c) Nie,  z tego zdjęcia nie wynika, że na świecie są czarne koty.

d) Tak, na zdjęciu mamy przykład, że oprócz czarnych kotów na świeci istnieją również rude.

Wykonaj działania...

`a)` 

`-4  1/6 * (-2 2/5) = -25/6*(- 12/5)=-strike(25)^5/strike(6)^1*(- strike(12)^2/strike(5)^1) = 5*2 = 10`  

{premium}

`b)` 

`2  1/7: 5 = 15/7:5 = 15/7*1/5 = strike(15)^3/7 * 1/strike(5)^1 = 3/7`  

 

`c)` 

`5/(3  1/8) = 5/(25/8) = (5*8)/25 = (strike(5)^1 * 8)/strike(25)^5 = 8/5 = 1 3/5`  

 

`d)` 

`5  5/6 : 3  1/9 = 35/6 : 28/9 = 35/6 * 9/28 = strike(35)^5/strike(6)^2  * strike(9)^3/strike(28)^4 = 5/2 * 3/4 = 15/8 = 1 7/8`  

 

`e)` 

`-7  14/15  :  2  5/6 = -  119/15 : 17/6 = -119/15*6/17 = - strike(119)^7/15 * 6/strike(17)^1 = -7/15*6/1 = -42/15 = -2  12/15=-2  4/5`  

Podziel kąt o mierze 60° na 4 równe kąty.

 {premium}

Zapisz w prostszej...

`a)` 

`2a + 4a = 6a` 

   {premium}

`b)` 

`3b*4b =12b^2` 

 

`c)` 

`(8c)/(4c) = 8/4*c/c = 2*1 = 2`    

 

`d)` 

`(8c)/2=(strike(8)^4 c)/strike(2)^1 = (4c)/1 = 4 c`    

 

`e)` 

`8/(4c)=strike(8)^2/(strike(4)^1 c)=2/c =2:c` 

Znajdź liczby oznaczone literami:

`3(a-1)=-a`

`3a-3=-a \ \ \ \ \ |+a` 

`4a-3=0 \ \ \ \ \ |+3` 

{premium}

`4a=3 \ \ \ \ \ |:4` 

`a=3/4`

 

`1-0,2b=0,3b \ \ \ \ \ \ \ |+0,2b` 

`1=0,5b \ \ \ \ \ \ \ |:0,5` 

`b=1:0,5=10:5=2` 

 

`(c+1)/2=c/3 \ \ \ \ \ \ \ |*6` 

`3(c+1)=2c`

`3c+3=2c \ \ \ \ \ \ \ |-2c`    

`c+3=0 \ \ \ \ \ \ \ \ |-3` 

`c=-3`

Liczba a jest podzielna przez 9. Podaj dwa przykłady ...

Wiemy, że liczba  `a`  jest podzielna przez 9, czyli suma jej cyfr dzieli się przez 9. 

Liczba  `10a`  dzieli się przez 10, gdyż jest iloczynem liczby 10 i liczby  `a` . 

Liczba `10a`  dzieli się także przez 9, gdyż składa się ona z takich samych cyfr jak liczba  `a`  oraz cyfry 0.
Suma jej cyfr jest więc taka sama jak suma cyfr liczby `a` , czyli dzieli się przez 9. 


`a) \ 10a+b`

Chcemy, aby liczba `10a+b`  dzieliła się przez 10. Wiemy już, że liczba `10a`  dzieli się przez 10. 

Jeśli dodamy liczbę 10, 20, 30 ... (kolejne wielokrotności liczby 10), to otrzymana liczba także będzie dzielić się przez 10 (jej ostatnią cyfrą będzie 0). 

Liczba b może więc wynosić np.: 10, 30

{premium}


`b) \ 10a+b`

Chcemy, aby liczba `10a+b`  dzieliła się przez 5. Wiemy już, że liczba `10a`  dzieli się przez 10. 

Jeśli dodamy liczbę 5, 10, 15, 20, 25 ... (kolejne wielokrotności liczby 5), to otrzymana liczba będzie dzielić się przez 5 (jej ostatnią cyfrą będzie 0 lub 5). 

Liczba b może więc wynosić np.: 5, 20

 

`c) \ 10a+b` 

Chcemy, aby liczba `10a+b`  dzieliła się przez 9. Wiemy już, że liczba `10a`  dzieli się przez 9. 

Jeśli dodamy liczbę 9, 18, 27, 36, 45, ... (kolejne wielokrotności liczby 9), to otrzymana liczba także będzie dzielić się przez 9 (suma jej cyfr będzie podzielna przez 9, gdyż dodawaliśmy wielokrotności liczby 9). 

Liczba b może więc wynosić np.: 18, 45

 

`d) \ 10a+b`

Chcemy, aby liczba `10a+b`  dzieliła się przez 6. Musi dzielić się więc przez 2 i 3.

Wiemy już, że liczba `10a`  dzieli się przez 10, gdyż jej ostatnią cyfrą jest 0.

Jeśli dodamy liczbę 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, ... (kolejne wielokrotności liczby 2), to otrzymana liczba będzie dzielić się przez 2 (jej ostatnią cyfrą będzie 0, 2, 4, 6, 8). 

Chcemy, aby liczba `10a+b`  dzieliła się przez 3. Wiemy już, że liczba `10a`  dzieli się przez 9. Skoro dzieli się przez 9, to dzieli się także przez 3. 

Jeśli więc dodamy liczbę 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, ... (kolejne wielokrotności liczby 3), to otrzymana liczba także będzie dzielić się przez 3 (suma jej cyfr będzie podzielna przez 3, gdyż dodawaliśmy wielokrotności liczby 3). 


Zauważmy, że liczba `10a+b`  jest jednocześnie podzielna przez 2 i 3, gdy dodamy 6, 12, 18, ... (kolejne wielokrotności liczby 6). 

Liczba b może więc wynosić np.: 6, 30

Podaj dodatnią liczbę x ...

a)

`sqrt64=8` 

`8^2=64, \ \ \ "więc" \ \ \ x=8` 

{premium}

 

b)

`sqrt(4/81)=2/9` 

`(2/9)^2=4/81, \ \ \ "więc" \ \ \ x=2/9` 

 

c)

`11^2=121` 

`sqrt(121)=11, \ \ \ "więc" \ \ \ x=121` 

 

d)

`7^2=49` 

`sqrt(49)=7, \ \ \ "więc" \ \ \ x=49`