Pierwiastki - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Pojęcie pierwiastka

Pierwiastkiem kwadratowym z nieujemnej liczby a nazywamy taką nieujemną liczbę b, której kwadrat jest równy liczbie a.

Pierwiastek kwadratowy możemy nazwać również pierwiastkiem drugiego stopnia

Symbolicznie możemy zapisać to: 

`sqrt{a}=b, \ \ \ "bo" \ \ \ b^2=a`  


Pierwiastkiem sześciennym z liczby a nazywamy taką liczbę b, której sześcian (trzecia potęga) jest równy liczbie a.

Pierwiastek sześcienny możemy nazwać także pierwiastkiem trzeciego stopnia.  

Symbolicznie możemy zapisać to: 

`root{3}{a}=b,  \ \ \ "bo" \ \ \ b^3=a`  


Przykłady

  • `sqrt{25}=5, \ \ \ "bo" \ \ \ 5^2=25` 
     
  • `sqrt{81}=9, \ \ \ "bo" \ \ \ 9^2=81`    

  • `root{3}{27}=3, \ \ \ "bo" \ \ \ 3^3=27`  

  • `root{3}{64}=4, \ \ \ "bo" \ \ \ 4^3=64` 



Wykonując działania na pierwiastkach warto pamiętać o kilku własnościach:

  1. Dla `a>=0` mamy: 

    `sqrt{a^2}=a`   

    `(sqrt{a})^2=a` 

    `sqrt{a}*sqrt{a}=a` 

  2. Dla dowolnej liczby `a`  mamy: 

    `root{3}{a^3}=a` 

    `(root{3}{a})^3=a`   

    `root{3}{a}*root{3}{a}*root{3}{a}=a`  

 

Działania na pierwiastkach

 

Własności pierwiastkowania: 

  1. Pierwiastek z iloczynu jest równy iloczynowi pierwiastków z tych liczb.


    Dla `a>=0 \ "i" \ b>=0` 

    `sqrt{a*b}=sqrt{a}*sqrt{b}`  


    Dla dowolnych liczb `a \ "i" \ b` mamy:

    `root{3}{a*b}=root{3}{a}*root{3}{b}` 


  2. Pierwiastek z ilorazu jest równy ilorazowi pierwiastków z tych liczb.


    Dla `a>=0 \ "i" \ b>0` mamy: 

    `sqrt{a/b}=sqrt{a}/sqrt{b}` 


    Dla dowolnej liczby `a \ "i" \ b!=0` mamy:   

    `root{3}{a/b}=root{3}{a}/root{3}{b}`  

 

Przykłady:

  • `sqrt{3600}=sqrt{36*100}=sqrt{36}*sqrt{100}=6*10=60` 

  • `root{3}{-64 \ 000}=root{3}{-64*1000}=root{3}{-64}*root{3}{1000}=-4*10=-40`   

  • `sqrt{121/49}=sqrt{121}/sqrt{49}=11/7=1 4/7` 

  • `root{3}{216/512}=root{3}{216}/root{3}{512}=6/8`   

Obliczanie wartości pierwiastka z wykorzystaniem rozkładu na czynniki pierwsze

Obliczając wartość pierwiastka możemy skorzystać z rozkładu liczby podpierwiastkowej na czynniki pierwsze

Poniżej prezentujemy sposób wykonania takich obliczeń. 


Przykłady
                

`sqrt{576}=sqrt{2^2*2^2*2^2*3^2}=sqrt{2^2}*sqrt{2^2}*sqrt{2^2}*sqrt{3^2}=2*2*2*3=24` 

 

                

`sqrt{216}=sqrt{2^2*3^2*2*3}=sqrt{2^2}*sqrt{3^2}*sqrt{2*3}=2*3*sqrt{6}=6sqrt{6}`  

 

                

`root{3}{216}=root{3}{2^3*3^3}=root{3}{2^3}*root{3}{3^3}=2*3=6`  

 

                

`root{3}{648}=root{3}{2^3*3^3*3}=root{3}{2^3}*root{3}{3^3}*root{3}{3}=2*3*root{3}{3}=6root{3}{3}`   

Wyłączanie czynnika przed znak pierwiastka

Czasami nie da się obliczyć dokładnej wartości pierwiastka, gdyż większość pierwiastków to liczby niewymierne. 

Możemy wtedy wyłączyć pewien czynnik przed znak pierwiastka. 

Gdy liczbę podpierwiastkową możemy zapisać w postaci iloczynu liczby, z której da się obliczyć pierwiastek oraz liczby z której nie jest to możliwe, wówczas możemy wyłączyć odpowiedni czynnik przed znak pierwiastka


Przykłady
:

  • `sqrt{75}=sqrt{25*3}=sqrt{5^2*3}=sqrt{5^2}*sqrt{3}=5*sqrt{3}=5sqrt{3}`  

  • `root{3}{16}=root{3}{8*2}=root{3}{8}*root{3}{2}=2*root{3}{2}=2root{3}{2}`  

Włączanie czynnika pod znak pierwiastka

Możemy również włączyć dany czynnik pod znak pierwiastka

Poniższe przykłady prezentują jak należy to zrobić. 


Przykłady

  • `2sqrt{3}=#underbrace(sqrt{4})_(2=sqrt{4})*sqrt{3}=sqrt{4*3}=sqrt{12}`  

  • `6sqrt{3}=#underbrace(sqrt{36})_(6=sqrt{36})*sqrt{3}=sqrt{36*3}=sqrt{108}` 

  • `5root{3}{4}=#underbrace(root{3}{125})_(5=root{3}{125})*root{3}{4}=root{3}{125*4}=root{3}{500}` 

  •  `7root{3}{5}=#underbrace(root{3}{343})_(7=root{3}{343})*root{3}{5}=root{3}{343*5}=root{3}{1715}`     

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Oblicz:

  1. $$ √81 $$
  2. $$ √10000 $$
  3. $$ √0,04 $$
  1. $$ √{81}=9 $$
  2. $$ √{10000}=100 $$
  3. $$ √{0,04}=0,2 $$

Zadanie 2.

Jaką długość ma bok kwadratu, którego pole jest równe:

  1. $$ 40 000 m^2 $$
  2. $$ 0,0001 m^2 $$
  3. $$ 10^{-16} m^2 $$
  1. $$ √{40 000}=200 m $$
  2. $$ √{1/{10 000} }={1}/{100} m $$
  3. $$ √{10^{-16} }=√{1/{10^{16} } }=1/{10^8} =1/{100000000} m $$

Zadanie 3.

Włącz czynnik pod znak pierwiastka:

  1. $$ 5√3 $$
  2. $$ 6√1,5 $$
  3. $$ 2∛10 $$
  1. $$ 5√3=√{5×5×3}=√75 $$
  2. $$ 6√1,5=√{6×6×1,5}=√54 $$
  3. $$ 2∛10=∛{2×2×2×10}=∛80 $$

Zadanie 4.

Oblicz:

  1. $$ √{8^2} $$
  2. $$ {√6}^4 $$
  3. $$ √{4^6} $$
  1. $$ √{8^2} =8 $$
  2. $$ {√6}^4={√6}^2×{√6}^2=6×6=36 $$
  3. $$ √{4^6}=√{2^12}=2^6 $$

Zadanie 5.

Usuń niewymierność z mianownika:

  1. $$ 1/{√7} $$
  2. $$ 2/{√2} $$
  3. $$ {10}/{2√5} $$
  1. $$ 1/{√7}={√7}/7 $$
  2. $$ 2/{√2}={2√2}/2=√2 $$
  3. $$ {10}/{2√5}={20√5}/{10}=√5 $$

Zadanie 6.

Oblicz pole kwadratu o boku:

  1. $$ √8$$ $$m $$
  2. $$ 3√2$$ $$m $$
  3. $$ 10√5$$ $$m $$
  1. $$ {√8}^2=8$$ $$m^2 $$
  2. $$ {3√2}^2=9×2=18$$ $$m^2 $$
  3. $$ {10√5}^2=100×5=500$$ $$m^2 $$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Jedna przekątna czworokąta ma długość 48 cm, a druga...

Wiemy, że z trzech odcinków można zbudować trójkąt jeśli 

suma każdych dwóch z tych trzech odcinków jest mniejsza

od długości trzeciego odcinka

wiemy, że każda z przekątnych dzieli czworokąt na dwa trójkąty zatem:
wykonajmy schematyczny rysunek pomocniczy:{premium}

podglad pliku

zatem:

 

 


 

 


 

 

 

 


więc:

 

 

 

 

 

  

 

 

 

zatem:

 

Oblicz pole podstawy i pole ...

Sześciokąt foremny można podzielić na  przystających trójkątów równobocznych. Korzystając ze {premium}wzoru na pole trójkąta równobocznego możemy obliczyć pole podstawy tego ostrosłupa: 

 

podglad pliku

Ostrosłup prawidłowy sześciokątny ma  jednakowych ścian bocznych, każda ściana jest trójkątem równoramiennym o podstawie długości  i ramieniu długości .

Obliczamy wysokość ściany bocznej korzystając z twierdzenia Pitagorasa. 

 

 

 

 

Teraz obliczamy pole powierzchni bocznej.

 

Trójkąt prostokątny równoramienny ma ramię

Trójkąt prostokątny równoramienny to trójkąt o kątach 45 °,45 °, 90 °. Również wysokość opuszczona na przeciwprostokątną w tym trójkącie dzieli go na dwa trójkąty prostokątne równoramienne (o kątach 45 °,45 °, 90 °), stąd można bezpośrednio wyznaczyć wyrażenie na długość tej wysokości w zależności od długości z. 

 

  
{premium}

 

 

 

 

 

 

 

 

W prostopadłościennym akwarium o wymiarach ...

Przypomnijmy, że , dlatego wymiary akwarium wyrażamy w : {premium}

 

Obliczamy objętość wlanej wody.

 


Odp. A

 

Ania wycięła z kartki papieru ...

I figura

Punkt E dzieli bok AB na dwie równe części, czyli: 

Punkt D dzieli przeciwprostokątną BC na dwie równe części, czyli: {premium}

 

Odcinek DE stanowi połowę odcinka CA, czyli: 

 


Pole tej figury wynosi:

 

Obwód tej figury wynosi: 

 

 

II figura

Punkt F dzieli bok CA na dwie równe części, zatem: 

 

Punkt D dzieli przeciwprostokątną BC na dwie równe części, czyli: 

 

Odcinek FD stanowi połowę odcinka AB, czyli: 

 


Pole tej figury wynosi: 

 

Obwód tej figury wynosi: 

 

 

PIERWSZY WIERSZ W TABELI - P (prawda)

 


DRUGI WIERSZ W TABELI - F (fałsz)

  

Popatrz na rysunki naczyń, które ...

A) Naczynie jest podzielone na 10 równych części. 

Woda wypełnia 8 części. 

Obliczamy w jakim procencie naczynie zostało napełnione. {premium}

  

Naczynie zostało wypełnione w 80%. 


B) Naczynie jest podzielone na 5 równych części. 

Woda wypełnia 3 części. 

Obliczamy w jakim procencie naczynie zostało napełnione.

  

Naczynie zostało wypełnione w 60%. 


C) Naczynie jest podzielone na 5 równych części. 

Woda wypełnia 2 części. 

Obliczamy w jakim procencie naczynie zostało napełnione.

  

Naczynie zostało wypełnione w 40%. 


D) Naczynie jest podzielone na 10 równych części. 

Woda wypełnia 2 części. 

Obliczamy w jakim procencie naczynie zostało napełnione. 

  

Naczynie zostało wypełnione w 20%. 



ODPOWIEDZI:

Pierwszy wiersz w tabeli - A 

Woda wypełnia naczynie w 80% na rysunku A. 


Drugi wiersz w tabeli - B

Woda wypełnia naczynie w 60% na rysunku B. 

Przekrój sześcianu...

Wykonajmy rysunek:{premium}

podglad pliku

 

Odpowiedź: `bb(C.)` trójkątem równobocznym.

Basen ma długość 20 m i szerokość ...

Basen możemy podzielić na prostopadłościan oraz graniastosłup trójkątny. 

Przyjmijmy oznaczenia jak na poniższym rysunku. {premium}

podglad pliku

Prostopadłościan ma wymiary 1,2 m x 20 m x 10 m. 


Podstawą graniastosłupa trójkątnego jest trójkąt prostokątny, którego przyprostokątne mają długość 20 m i 0,6 m. 

Wysokość tego graniastosłupa ma długość 10 m. 


Obliczamy ile wynosi objętość wody w basenie. 

 
Objętość wody w basenie wynosi 300 m3


 

Objętość wody w basenie wynosi 300 000 l. 


Wiemy, że 1 l wody waży 1 kg. Oznacza to, że woda w basenie waży 300 000 kg. 

 


Odpowiedź: Woda wypełniająca basen waży 300 t. 

Oceń prawdziwość zdań ...

I.      Jeśli w wyniku dzielenia otrzymujemy resztę, to jest ona zawsze mniejsza od

dzielnika - PRAWDA {premium}


II.     Tomek  kasztanów rozłożył po równo do  koszyków i zostały mu  kasztany - FAŁSZ

Reszta z dzielenia liczby  przez  jest równa , a nie , ponieważ

 


III.    Mama upiekła  pączków, zjadła  pączek, a resztę rozłożyła po równo na

 talerzach - PRAWDA

Po odjęciu liczby  od liczby  otrzymamy liczbę , która jest liczbą podzielną przez ,

ponieważ . Oznacza to, że mama na każdym z  talerzy ułożyła po  pączków.


IV.    Wojtek  cukierkami sprawiedliwie poczęstował  kolegów i zostały mu  cukierki - FAŁSZ

Reszta z dzielenia liczby  przez  jest równa , a nie , ponieważ

 

Podane daty wydarzeń...

 

 

 

 

 

 

 {premium}