Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Pierwiastki - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Pojęcie pierwiastka

Pierwiastkiem kwadratowym z nieujemnej liczby a nazywamy taką nieujemną liczbę b, której kwadrat jest równy liczbie a.

Pierwiastek kwadratowy możemy nazwać również pierwiastkiem drugiego stopnia

Symbolicznie możemy zapisać to: 

`sqrt{a}=b, \ \ \ "bo" \ \ \ b^2=a`  


Pierwiastkiem sześciennym z liczby a nazywamy taką liczbę b, której sześcian (trzecia potęga) jest równy liczbie a.

Pierwiastek sześcienny możemy nazwać także pierwiastkiem trzeciego stopnia.  

Symbolicznie możemy zapisać to: 

`root{3}{a}=b,  \ \ \ "bo" \ \ \ b^3=a`  


Przykłady

  • `sqrt{25}=5, \ \ \ "bo" \ \ \ 5^2=25` 
     
  • `sqrt{81}=9, \ \ \ "bo" \ \ \ 9^2=81`    

  • `root{3}{27}=3, \ \ \ "bo" \ \ \ 3^3=27`  

  • `root{3}{64}=4, \ \ \ "bo" \ \ \ 4^3=64` 



Wykonując działania na pierwiastkach warto pamiętać o kilku własnościach:

  1. Dla `a>=0` mamy: 

    `sqrt{a^2}=a`   

    `(sqrt{a})^2=a` 

    `sqrt{a}*sqrt{a}=a` 

  2. Dla dowolnej liczby `a`  mamy: 

    `root{3}{a^3}=a` 

    `(root{3}{a})^3=a`   

    `root{3}{a}*root{3}{a}*root{3}{a}=a`  

 

Działania na pierwiastkach

 

Własności pierwiastkowania: 

  1. Pierwiastek z iloczynu jest równy iloczynowi pierwiastków z tych liczb.


    Dla `a>=0 \ "i" \ b>=0` 

    `sqrt{a*b}=sqrt{a}*sqrt{b}`  


    Dla dowolnych liczb `a \ "i" \ b` mamy:

    `root{3}{a*b}=root{3}{a}*root{3}{b}` 


  2. Pierwiastek z ilorazu jest równy ilorazowi pierwiastków z tych liczb.


    Dla `a>=0 \ "i" \ b>0` mamy: 

    `sqrt{a/b}=sqrt{a}/sqrt{b}` 


    Dla dowolnej liczby `a \ "i" \ b!=0` mamy:   

    `root{3}{a/b}=root{3}{a}/root{3}{b}`  

 

Przykłady:

  • `sqrt{3600}=sqrt{36*100}=sqrt{36}*sqrt{100}=6*10=60` 

  • `root{3}{-64 \ 000}=root{3}{-64*1000}=root{3}{-64}*root{3}{1000}=-4*10=-40`   

  • `sqrt{121/49}=sqrt{121}/sqrt{49}=11/7=1 4/7` 

  • `root{3}{216/512}=root{3}{216}/root{3}{512}=6/8`   

Obliczanie wartości pierwiastka z wykorzystaniem rozkładu na czynniki pierwsze

Obliczając wartość pierwiastka możemy skorzystać z rozkładu liczby podpierwiastkowej na czynniki pierwsze

Poniżej prezentujemy sposób wykonania takich obliczeń. 


Przykłady
                

`sqrt{576}=sqrt{2^2*2^2*2^2*3^2}=sqrt{2^2}*sqrt{2^2}*sqrt{2^2}*sqrt{3^2}=2*2*2*3=24` 

 

                

`sqrt{216}=sqrt{2^2*3^2*2*3}=sqrt{2^2}*sqrt{3^2}*sqrt{2*3}=2*3*sqrt{6}=6sqrt{6}`  

 

                

`root{3}{216}=root{3}{2^3*3^3}=root{3}{2^3}*root{3}{3^3}=2*3=6`  

 

                

`root{3}{648}=root{3}{2^3*3^3*3}=root{3}{2^3}*root{3}{3^3}*root{3}{3}=2*3*root{3}{3}=6root{3}{3}`   

Wyłączanie czynnika przed znak pierwiastka

Czasami nie da się obliczyć dokładnej wartości pierwiastka, gdyż większość pierwiastków to liczby niewymierne. 

Możemy wtedy wyłączyć pewien czynnik przed znak pierwiastka. 

Gdy liczbę podpierwiastkową możemy zapisać w postaci iloczynu liczby, z której da się obliczyć pierwiastek oraz liczby z której nie jest to możliwe, wówczas możemy wyłączyć odpowiedni czynnik przed znak pierwiastka


Przykłady
:

  • `sqrt{75}=sqrt{25*3}=sqrt{5^2*3}=sqrt{5^2}*sqrt{3}=5*sqrt{3}=5sqrt{3}`  

  • `root{3}{16}=root{3}{8*2}=root{3}{8}*root{3}{2}=2*root{3}{2}=2root{3}{2}`  

Włączanie czynnika pod znak pierwiastka

Możemy również włączyć dany czynnik pod znak pierwiastka

Poniższe przykłady prezentują jak należy to zrobić. 


Przykłady

  • `2sqrt{3}=#underbrace(sqrt{4})_(2=sqrt{4})*sqrt{3}=sqrt{4*3}=sqrt{12}`  

  • `6sqrt{3}=#underbrace(sqrt{36})_(6=sqrt{36})*sqrt{3}=sqrt{36*3}=sqrt{108}` 

  • `5root{3}{4}=#underbrace(root{3}{125})_(5=root{3}{125})*root{3}{4}=root{3}{125*4}=root{3}{500}` 

  •  `7root{3}{5}=#underbrace(root{3}{343})_(7=root{3}{343})*root{3}{5}=root{3}{343*5}=root{3}{1715}`     

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Oblicz:

  1. $$ √81 $$
  2. $$ √10000 $$
  3. $$ √0,04 $$
  1. $$ √{81}=9 $$
  2. $$ √{10000}=100 $$
  3. $$ √{0,04}=0,2 $$

Zadanie 2.

Jaką długość ma bok kwadratu, którego pole jest równe:

  1. $$ 40 000 m^2 $$
  2. $$ 0,0001 m^2 $$
  3. $$ 10^{-16} m^2 $$
  1. $$ √{40 000}=200 m $$
  2. $$ √{1/{10 000} }={1}/{100} m $$
  3. $$ √{10^{-16} }=√{1/{10^{16} } }=1/{10^8} =1/{100000000} m $$

Zadanie 3.

Włącz czynnik pod znak pierwiastka:

  1. $$ 5√3 $$
  2. $$ 6√1,5 $$
  3. $$ 2∛10 $$
  1. $$ 5√3=√{5×5×3}=√75 $$
  2. $$ 6√1,5=√{6×6×1,5}=√54 $$
  3. $$ 2∛10=∛{2×2×2×10}=∛80 $$

Zadanie 4.

Oblicz:

  1. $$ √{8^2} $$
  2. $$ {√6}^4 $$
  3. $$ √{4^6} $$
  1. $$ √{8^2} =8 $$
  2. $$ {√6}^4={√6}^2×{√6}^2=6×6=36 $$
  3. $$ √{4^6}=√{2^12}=2^6 $$

Zadanie 5.

Usuń niewymierność z mianownika:

  1. $$ 1/{√7} $$
  2. $$ 2/{√2} $$
  3. $$ {10}/{2√5} $$
  1. $$ 1/{√7}={√7}/7 $$
  2. $$ 2/{√2}={2√2}/2=√2 $$
  3. $$ {10}/{2√5}={20√5}/{10}=√5 $$

Zadanie 6.

Oblicz pole kwadratu o boku:

  1. $$ √8$$ $$m $$
  2. $$ 3√2$$ $$m $$
  3. $$ 10√5$$ $$m $$
  1. $$ {√8}^2=8$$ $$m^2 $$
  2. $$ {3√2}^2=9×2=18$$ $$m^2 $$
  3. $$ {10√5}^2=100×5=500$$ $$m^2 $$

Spis treści

Rozwiązane zadania
Rysunek przedstawia prostopadłościan ABCDEFGH. Uzupełnij

`|AC|^2=|AD|^2+|CD|^2` 

{premium}

`|BG|^2-|GC|^2=|BC|^2` 

`|AG|^2-|AC|^2=|GC|^2` 

`|DB|^2+|HD|^2=|HB|^2` 

a) Oblicz kwotę podatku...

`a)` 

Podatek VAT: `23%` 

Kwota brutto: `12  340\ zł` 

Obliczamy wartość kwoty netto:

`x+23%x=12  340\ zł` 

`x+0,23 x=12  340\ zł` 

`1,23 x=12  340\ zł \ \ \ \ \ |:1,23` 

`x=(12  340\ zł)/(1,23)` 
{premium}

`x ~~10  032,52\ zł` 

Wówczas kwota podatku wynosi:

`12  340\ zł - 10  032,52\ zł = 2  307,48\ zł` 

Odp.: Kwota podatku VAT wynosi 2 307,48 zł.

 

`b)` 

Załóżmy, że cenę brutto oznaczymy przez: `y` 

Wówczas cena netto oznaczona przez z wynosi:

`z+23%*z=y` 

`z+0,23z=y` 

`1,23 z = y \ \ \ \ \ |:1,23` 

`z = y/(1,23)` 

`z ~~0,813 y` 

Wówczas kwota podatku wyznaczona z ceny brutto ma postać:

`y - z = y - 0,813 y = 0,187 y = 18,7%*y` 

Odp.: Wysokość podatku można wyznaczyć mnożąc kwotę brutto przez 18,7%.

 

`c)` 

Obliczamy wartość podatku sposobem podanym w podpunkcie b:

`18,7% * 12  340\ zł = 0,187*12  340\ zł=2307,58\ zł` 

W podpunkcie a) otrzymano kwotę:

`2307,48\ zł` 

Z tego wynika, że:

`2307,58\ zł - 2307,48\ zł = 0,10\ zł = 10\ gr` 

Odp.: Kwoty te różnią się o 10 groszy.

Oblicz obwody narysowanych wielokątów.

Odcinki AD i BC mają taką samą długość. 
`|AD|^2=2^2+5^2=4+25=29` 
`|AD|=sqrt{29}` 

{premium}

Odcinki AB i DC mają taką samą długość równą 5.


Obwód to suma długość wszystkich boków wielokąta.
`Obw.=5+5+sqrt{29}+sqrt{29}=10+2sqrt{29}`   
`ul(ul( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 


Odcinek AD ma długość 5. 
Odcinek BC ma długość 3. 
Odcinki AB i CD mają taką samą długość. 
`|AB|^2=1^2+4^2=1+16=17`  
`|AB|=sqrt{17}` 


Obwód:
`Obw.=5+3+sqrt{17}+sqrt{17}=8+2sqrt{17}` 
`ul(ul( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))` 

Figura przedstawiona na rysunku to romb. Każdy bok tej figury ma więc taką samą długość.  
`|AB|^2=3^2+2^2=9+4=13` 
`|AB|=sqrt{13}` 


Obwód tej figury wynosi:
`Obw.=4*sqrt{13}=4sqrt{13}` 

Wypisz wszystkie liczby parzyste, których brakuje...

Liczby parzyste występujące na tarczy zegara to: 2, 4, 6, 8, 10, 12

w systemie rzymskim te liczby zapisujemy w następujący sposób:

2=II

4=IV

6=VI

8=VIII
{premium}
10=X

12=XII

zatem:


Oceń prawdziwość podanych ...

Liczba wierzchołków każdego ostrosłupa jest nieparzysta.     FAŁSZ

W podstawie ostrosłupa może znajdować się dowolny n-kąt mający n wierzchołków.

Każdy ostrosłup ma również wierzchołek, który jest wspólnym wierzchołkiem wszystkich ścian bocznych

Ostrosłup ma jedną podstawę, więc w podstawie znajduje się zawsze n wierzchołków.
{premium}
Zatem liczba wierzchołków ostrosłupa, który ma w podstawie n- kąt wynosi n+1

Jeśli liczba n jest podzielna przez 2, to liczba n+1 nie jest podzielna przez 2 ponieważ

liczby parzyste i nieparzyste występują naprzemiennie. 

Zatem ostrosłup może mieć parzystą lun nieparzystą liczbę wierzchołków.

 

W każdym ostrosłupie ścian bocznych jest tyle, ile wierzchołków podstawy.      PRAWDA

 

Liczba krawędzi każdego ostrosłupa jest nieparzysta.           FAŁSZ

W każdym ostrosłupie liczba krawędzi podstawy i liczba krawędzi bocznych jest taka sama

zatem każdy ostrosłup, który ma w podstawie n- kąt ma liczbę wszystkich krawędzi równą 2n

2n jest liczbą podzielną przez 2 zatem każdy ostrosłup ma parzystą liczbę krawędzi


Każdy ostrosłup o podstawie będącej wielokątem foremnym jest prawidłowy.     FAŁSZ

Aby ostrosłup był prawidłowy w podstawie musi znajdować się wielokąt foremny oraz

jego krawędzi boczne muszą być równej długości.

ODP:

Zdanie 1: FAŁSZ

Zdanie 2: PRAWDA

Zdanie 3: FAŁSZ

Zdanie 4: FAŁSZ

 

 

Oblicz przybliżony promień koła ...

Pole koła obliczamy ze wzoru:

`P=pir^2`

gdzie r - długość promienia koła

 

`"a)"\ P=30\ "cm"^2`

`pir^2=30\ \ \ |:pi`

`r^2=30/(pi)`

{premium}

`r=sqrt(30/pi)~~3,09\ ["cm"]`

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

`"b)"\ P=520\ "m"^2`

`pir^2=520\ \ \ |:pi`

`r^2=520/(pi)`

`r=sqrt(520/pi)~~12,87\ ["m"]`

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

`"c)"\ P=2\ "km"^2`

`pir^2=2\ \ \ |:pi`

`r^2=2/(pi)`

`r=sqrt(2/pi)~~0,78\ ["km"]`

Po zapoznaniu się z przykładem zamieszczonym obok rozwiąż poniższe zadania.

a) 16% liczby 70
   
    0,16∙70=11,2
{premium}

b) 30% liczby 40
   
    0,30∙40=12

Odp. : Żeglarze zabrali ze sobą 12 puszek rybnych. 


c) 17% liczby 250

    0,17∙250=42,5

Odp. : Orzechy w tej tabliczce maja masę 42,5 g.

Zapisz odpowiednie wyrażenia algebraiczne.

`a) \ \ \ 1000x+5` 

1 km = 1000 m, więc x km = 1000x m

{premium}

`b) \ \ 5+0,001y` 

1 kg = 1000 g, więc y g = 0,001y kg

`c) \ \ 100x+y` 

1 euro = 100 eurocentów, więc x euro = 100x eurocentów

`d) \ \ a+0,01b` 

1 zł = 100 gr, więc b gr = 0,01b zł


`e) \ h+0,01a` 

1 ha = 100 a, więc a arów = 0,01a hektarów


`f) \ g+m/60` 

1 h = 60 min, więc m min = m/60 h

Podstawy trapezu równoramiennego mają długości 5 m i 7 m, a jego...

Pole trapezu obliczamy korzystając z  wzoru:

`P=(a+b)/2*h`


gdzie 

`a, b` - długości podstaw tego trapezu,

 `h` - wysokość tego trapezu,

wiemy, że:

`a=5 \ "m"`  

`b=7 \ "m"` 

`h=10 \ "m"` 

zatem:

`P=(5+7)/2*10=12/2*10=` 
{premium}
`=6*10=60 \ "[m"^2"]"` 


Odp.: Pole tego trapezu wynosi 60 m2.

Na diagramie przedstawiono procentowy skład powietrza...

Obliczmy objętość pokoju o wymiarach 2 m x 3 m x 2,5 m:

`V= 2*3*2,5=15 \ "[m"^3"]"` 
{premium}

Obliczmy, ile m3 azotu znajduje się w tym pokoju:

`78,08%*15= 0,7808*15=11,712~~11,7 \ "[m"^3"]"` 

Obliczmy, ile m3 tlenu znajduje się w tym pokoju:

`20,95%*15= 0,2095*15=3,1425~~3,1 \ "[m"^3"]"` 

Odp.: A