Ostrosłupy - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Ostrosłup

Ostrosłup to bryła (figura przestrzenna), której:

  • podstawą jest dowolny wielokąt; 
     

Ściany boczne są trójkątami o wspólnym wierzchołku, który nosi nazwę wierzchołka ostrosłupa. 


 

Ostrosłup, tak jak graniastosłup, przyjmuje swoją nazwę od wielokąta, który jest jego podstawą.

Wysokość ostrosłupa (H) to odcinek łączący wierzchołek ostrosłupa z płaszczyzną podstawy i do niej prostopadły. 

Punkt wspólny wysokości i płaszczyzny podstawy to spodek wysokości


Ostrosłup prawidłowy
to taki ostrosłup, którego podstawą jest wielokąt foremny, a krawędzie boczne mają jednakową długość.

Ściany boczne ostrosłupa prawidłowego są przystającymi trójkątami równoramiennymi.


Ostrosłup trójkątny nazywamy czworościanem

Ostrosłup, którego wszystkie ściany są trójkątami równobocznymi nazywamy czworościanem foremnym.

prawidlowy

Ciekawostka

Piramida Cheopsa jest największym na świecie ostrosłupem prawidłowym czworokątnym. Ma 146 m wysokości, a krawędź jej podstawy ma długość 230 m. Na zbudowanie tej piramidy zużyto 2 300 000 bloków granitowych o ciężarze od 2,5 t do 15 t. Gdyby z tego materiału zbudować mur o wysokości 3 m i grubości 25 cm to opasałby on całą Polskę.

Siatka ostrosłupa

Siatka ostrosłupa to przedstawienie na płaszczyźnie wszystkich jego ścian. 



Siatka graniastosłupa składa się z podstawy i wszystkich ścian bocznych.

Pole powierzchni ostrosłupa

Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa jest sumą pola jego podstawy i pola powierzchni bocznej.

Pole powierzchni bocznej ostrosłupa to suma pól ścian bocznych.

 

`P_c=P_p+P_b` 

`P_c \ \ ->`   pole powierzchni całkowitej 

`P_p \ \ ->`   pole podstawy 

`P_b \ \ ->`   pole powierzchni bocznej 

Objętość ostrosłupa

Objętość ostrosłupa liczy się bardzo podobnie jak objętość graniastosłupa.

Objętość ostrosłupa jest 3 razy mniejsza od objętości graniastosłupa o takiej samej podstawie i wysokości. 

objetoscostroslupa


`V=1/3P_p*H` 


`V\ \ ->`    objętość ostrosłupa

`P_p \ \ ->`    pole podstawy

`H \ \ ->`    długość wysokości

Odcinki w ostrosłupach

W ostrosłupie rozróżniamy 4 różne odcinki:

  • wysokość podstawy

  • przekątną podstawy  

  • wysokość ściany bocznej

  • wysokość ostrosłupa 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Ile krawędzi, ścian i wierzchołków ma ostrosłup, którego podstawa jest trójkątem prostokątnym?

krawędzie: 6

ściany: 4

wierzchołki: 4
 

Zadanie 2.

Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o wysokości 12dm i krawędzi podstawy 4dm.

$$V= 1/3 P_p×H$$

$$V=1/3×16×12=64 dm^3$$

Odp.: Objętość tego ostrosłupa wynosi 64 $$dm^3$$.

Zadanie 3.

Podstawą ostrosłupa prawidłowego jest kwadrat o boku długości 0,5m, a jego objętość jest równa $$1 m^3$$. Czy ostrosłup ten zmieści się w sali o wymiarach: $$6 m×5 m×3 m$$ ?

$$ V= 1/3 P_p×H $$

$$ 1= 1/3×1/4×H $$

$$ H=12 m $$

Odp.: Ten ostrosłup nie zmieści się do sali o podanych wymiarach, ponieważ jego wysokość jest większa od przekątnej sali, równej $$√{70}$$ m < 12m, czyli nie wejdzie do sali nawet na ukos.

Zadanie 4.

Jakie ostrosłupy można zbudować z zapałek tak, by każda krawędź miała długość jednej zapałki?

Wszystkie krawędzie mogą być równej długości w ostrosłupach, których krawędź będzie krótsza od połowy przekątnej. -> takie ostrosłupy to ostrosłup prawidłowy: trójkątny, czworokątny i pięciokątny.

Odp.: Z zapałek możemy zbudować ostrosłup prawidłowy: trójkątny, czworokątny i pięciokątny.

Zadanie 5.

Krawędź boczna ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ma 14 cm, a przekątna podstawy ma 12cm. Oblicz wysokość tego ostrosłupa.

Obliczam wysokość z pitagorasa:

$$ {14}^2-{(1/2×12)}^2=H^2 $$

$$ 196-36=H^2 $$

$$ H=√160=4√10 cm $$

Odp.: Wysokość tego ostrosłupa ma długość $$4√10$$ cm.

Zadanie 6.

Ścianami bocznymi ostrosłupa prawidłowego czworokątnego są trójkąty o bokach długości 20cm, 120cm i 120cm. Oblicz sumę długości jego krawędzi.

a -> 20 cm, ponieważ boki o długości 120cm i 120cm muszą być krawędziami bocznymi, ponieważ mają jednakową długość.

Suma krawędzi: $$20×4+120×4=80+480=560$$ cm

Odp.: Suma długości krawędzi tego ostrosłupa wynosi 560 cm.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Uporządkuj liczby od najmniejszej do największej.

 

{premium}

 

 

 

 

 

 

Rozwiąż...

Wiemy, że . Obliczamy równanie:

 

Korzystamy z wzorów:

  

 

Wówczas:

 

 {premium}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Które z poniższych zdań są ...

a) Zdanie prawdziwe (każdy odcinek ma dokładnie jeden środek symetrii).


b) Zdanie prawdziwe (nieskończenie wiele środków symetrii ma na przykład prosta).{premium}


c) Zdanie fałszywe (przykładem figury nie mającej środka symetrii jest trójkąt równoboczny).

podglad pliku


d) Zdanie prawdziwe (kwadrat ma cztery osie symetrii, a środkiem symetrii kwadratu jest punkt przecięcia się jego przekątnych).


e) Zdanie fałszywe (każdy równoległobok ma środek symetrii).

podglad pliku


f) Zdanie fałszywe (przykładem figury, której środek symetrii leży poza nią jest figura zbudowana z dwóch rozłącznych okręgów o równych promieniach).

podglad pliku

Czy można wybrać takie liczby ...

Wiemy, że  . Oznacza to, że  .


a) Iloraz   możemy zapisać jako  , gdyż kreska ułamkowa zastępuje znak dzielenia. 
Zauważmy, że licznik tego ułamka jest mniejszy od mianownika, {premium} czyli jest to ułamek właściwy. 

Iloraz b:a jest więc zawsze liczbą mniejszą od 1.  


b) Można tak wybrać liczby a i b, aby różnica a-b była większa od 60. Np.:

  • a=523, b=462, wtedy a-b=523-462=61

  • a=524, b=461, wtedy a-b=524-464=63


c) Można tak wybrać liczby a i b, aby suma a+b była liczbą ujemną. Np.:

  • a=523, b=-600, wtedy a+b=523+(-600)=523-600=-77

  • a=540, b=-720, wtedy a+b=540+(-720)=540-720=-180


d) Można tak wybrać liczby a i b, aby iloraz   była liczbą większą od miliona. Wystarczy wybrać wystarczająco dużą liczbę a. Np.:

  • a=500 000, b=250, wtedy a٠b=500 000٠250=125 000 000

  • a=1 000 000, b=5, wtedy a٠b=1 000 000٠5=5 000 000
Pudełko ma kształt graniastosłupa prawidłowego ...

Wysokość pudełka równa jest .

podglad pliku

Wiemy też, że długość krótszej przekątnej sześciokąta foremnego równa jest . Rysujemy podstawę tego graniastosłupa. Pamiętamy, że {premium}sześciokąt foremny składa się z sześciu przystających trójkątów równobocznych.

podglad pliku

Zauważmy, że połowa odcinka będącego krótszą przekątną sześciokąta jest również wysokością trójkąta równobocznego. Miary kątów zamalowanego trójkąta są równe . Przypomnijmy własności takiego trójkąta.

podglad pliku

Przyjmijmy, że , zatem ``, więc

 

 

 

Przyjmujemy, że , więc

 


Obliczamy pole podstawy, czyli pole sześciu trójkątów równobocznych.

  

 


Obliczamy objętość pudełka.

 


Wynik mamy podać w litrach. Przypomnijmy, że , a , zatem

 

Pole narysowanej...

 

W zadaniu podany mamy trójkąt prostokątny o przyprostokątnych:  

Pole tego trójkąta wynosi:  

Pole trójkąta prostokątnego obliczamy korzystając z wzoru:  

Z tego wynika, że otrzymujemy:

 

 

 

 

 

{premium}

 

 

 

 

 

 

 

 

W zadaniu podany mamy prostokąt o bokach:   

Pole tego prostokąta wynosi:  

Pole prostokąta obliczamy korzystając z wzoru:  

Z tego wynika, że otrzymujemy:

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

W zadaniu podany ma trapez, którego górna podstawa wynosi:  

Dolna podstawa tego trapeze jest sumą odcinków o długościach:  

Oznacza to, że dolna podstawa będzie miała długość:  

Wysokość tego trapezu ma postać:  

Pole tego trapezu wynosi:  

Pole trapezu obliczamy korzystając z wzoru:  

Z tego wynika, że otrzymujemy:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Oblicz:

 

{premium}


 

 

 

  

a) Przeciętny włos ma grubość...

 

Grubość włosa:  

Liczba włosów:  

Jeżeli ułożymy włosy w rzędzie, to szerokość pasa tych włosów będzie wynosiła:

 

Odpowiedź: Pas włosów miałby szerokość 10 m. 

{premium}

 

Liczba arkuszy papieru w ryzie:  

Grubość ryzy papieru wynosi:  

Wyrażamy 1 km w centymetrach:

 

Obliczmy ile razy w 10  000 cm zmieści się 5 cm:

 

Z tego wynika, że należy ułożyć na sobie 20 000 ryz papieru. Obliczmy ile arkuszy papieru należy ułożyć na sobie:

 

Odpowiedź: Należy ułożyć 10 000 000 arkuszy papieru.

 

 

Waga najcięższych kuli do kręgli:  

Ładowność samochodu ciężarowego wynosi:  

Obliczmy, ile kul do kręgli możemy załadować na samochód:

 

Odpowiedź: Na samochód ciężarowy można załadować 1250 kul doi kręgli.

 

 

Waga myszy:  

Waga słonia:  

Obliczmy ile razy słoń będzie cięższy od myszy:

 

Odpowiedź: Słoń będzie cięższy od myszy 200 000 razy.

 

 

Powierzchnia całego terenu wynosiła:  

Liczba działek, którą otrzymano po podzieleniu działki na równe części:  

Obliczamy pole powierzchni jednej z tych działek:

 

Odpowiedź: Każda z tych działek miała 4 a.

 

 

Powierzchnia wyspy Wolin:  

Powierzchnia Parku Narodowego:  

Obliczamy powierzchnię nieobjętą parkiem narodowym:

 

Odpowiedź: Powierzchnia części wyspy nieobjętej Parkiem Narodowym wynosi 135 km2.

 

 

Czas podzielony na trzy równe okresy to:  

Z tego wynika, że każdy z okresów wynosił:

 

Gdyby czas podzielono na cztery okresy to czas jednego z nich by wynosił:

 

Odpowiedź: Czas podzielony na trzy okresy wynosi 44 min, a czas podzielony na cztery okresy wynos 33 min.

 

 

Czas pływania:  

Czas jazdy na rowerze:  

  

Czas biegu:  

Z tego wynika, że łączny czas wynosi:

 

 

 

Odpowiedź: Łączny czas ruchu zawodnika wynosi 2 h 8 min 48 s.

Udowodnij, że w trójkącie równoramiennym dwusieczna kąta między ramionami jest...

Wiemy, że:

- suma miar kątów wewnętrznych w każdym trójkącie wynosi  

- dwusieczna dzieli kąt na dwa kąty przystające

- w trójkącie równoramiennym kąty między ramionami a podstawą mają taką samą miarę

przyjmijmy oznaczenia takie jak na rysunku:{premium}



Założenie: Trójkąt ABC jest równoramienny

Teza: Dwusieczna kąta między ramionami jest prostopadła do podstawy
(CD_|_AB)

Dowód: 

Wiemy, że suma kątów wewnętrznych w każdym trójkącie wynosi  

 

 


2) rozpatrzmy trójkąt ADC:

 

 

 


3) rozpatrzmy trójkąt BDC:

 

 

 


zatem CD_|_ AB co należało dowieźć

Odczytaj współrzędne punktów...

 

Zauważmy, że pomiędzy punktem 34, a 36 znajduje się 6 odcinków jednostkowych i 2 liczby naturalne. Oznacza to, że jednostka zmienia się co:

Z tego wynika, że punkty na osi będą miały współrzędne: 

  

  

{premium}

 

Zauważmy, że pomiędzy punktem 0, a -3 znajduje się 8 odcinków jednostkowych i 3 liczby naturalne. Oznacza to, że jednostka zmienia się co:

Z tego wynika, że punkty na osi będą miały współrzędne: 

  

  

 

 

Zauważmy, że pomiędzy punktem 1, a -5 znajduje się 7 odcinków jednostkowych i 6 liczb naturalnych. Oznacza to, że jednostka zmienia się co:

Z tego wynika, że punkty na osi będą miały współrzędne: 

 

   

 

 

Zauważmy, że pomiędzy punktem 5, a -11 znajduje się 9 odcinków jednostkowych i 16 liczb naturalnych. Oznacza to, że jednostka zmienia się co:

 

Z tego wynika, że punkty na osi będą miały współrzędne: