Ostrosłupy - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Ostrosłup

Ostrosłup to bryła (figura przestrzenna), której:

  • podstawą jest dowolny wielokąt; 
     

Ściany boczne są trójkątami o wspólnym wierzchołku, który nosi nazwę wierzchołka ostrosłupa. 


 

Ostrosłup, tak jak graniastosłup, przyjmuje swoją nazwę od wielokąta, który jest jego podstawą.

Wysokość ostrosłupa (H) to odcinek łączący wierzchołek ostrosłupa z płaszczyzną podstawy i do niej prostopadły. 

Punkt wspólny wysokości i płaszczyzny podstawy to spodek wysokości


Ostrosłup prawidłowy
to taki ostrosłup, którego podstawą jest wielokąt foremny, a krawędzie boczne mają jednakową długość.

Ściany boczne ostrosłupa prawidłowego są przystającymi trójkątami równoramiennymi.


Ostrosłup trójkątny nazywamy czworościanem

Ostrosłup, którego wszystkie ściany są trójkątami równobocznymi nazywamy czworościanem foremnym.

prawidlowy

Ciekawostka

Piramida Cheopsa jest największym na świecie ostrosłupem prawidłowym czworokątnym. Ma 146 m wysokości, a krawędź jej podstawy ma długość 230 m. Na zbudowanie tej piramidy zużyto 2 300 000 bloków granitowych o ciężarze od 2,5 t do 15 t. Gdyby z tego materiału zbudować mur o wysokości 3 m i grubości 25 cm to opasałby on całą Polskę.

Siatka ostrosłupa

Siatka ostrosłupa to przedstawienie na płaszczyźnie wszystkich jego ścian. 



Siatka graniastosłupa składa się z podstawy i wszystkich ścian bocznych.

Pole powierzchni ostrosłupa

Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa jest sumą pola jego podstawy i pola powierzchni bocznej.

Pole powierzchni bocznej ostrosłupa to suma pól ścian bocznych.

 

`P_c=P_p+P_b` 

`P_c \ \ ->`   pole powierzchni całkowitej 

`P_p \ \ ->`   pole podstawy 

`P_b \ \ ->`   pole powierzchni bocznej 

Objętość ostrosłupa

Objętość ostrosłupa liczy się bardzo podobnie jak objętość graniastosłupa.

Objętość ostrosłupa jest 3 razy mniejsza od objętości graniastosłupa o takiej samej podstawie i wysokości. 

objetoscostroslupa


`V=1/3P_p*H` 


`V\ \ ->`    objętość ostrosłupa

`P_p \ \ ->`    pole podstawy

`H \ \ ->`    długość wysokości

Odcinki w ostrosłupach

W ostrosłupie rozróżniamy 4 różne odcinki:

  • wysokość podstawy

  • przekątną podstawy  

  • wysokość ściany bocznej

  • wysokość ostrosłupa 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Ile krawędzi, ścian i wierzchołków ma ostrosłup, którego podstawa jest trójkątem prostokątnym?

krawędzie: 6

ściany: 4

wierzchołki: 4
 

Zadanie 2.

Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o wysokości 12dm i krawędzi podstawy 4dm.

$$V= 1/3 P_p×H$$

$$V=1/3×16×12=64 dm^3$$

Odp.: Objętość tego ostrosłupa wynosi 64 $$dm^3$$.

Zadanie 3.

Podstawą ostrosłupa prawidłowego jest kwadrat o boku długości 0,5m, a jego objętość jest równa $$1 m^3$$. Czy ostrosłup ten zmieści się w sali o wymiarach: $$6 m×5 m×3 m$$ ?

$$ V= 1/3 P_p×H $$

$$ 1= 1/3×1/4×H $$

$$ H=12 m $$

Odp.: Ten ostrosłup nie zmieści się do sali o podanych wymiarach, ponieważ jego wysokość jest większa od przekątnej sali, równej $$√{70}$$ m < 12m, czyli nie wejdzie do sali nawet na ukos.

Zadanie 4.

Jakie ostrosłupy można zbudować z zapałek tak, by każda krawędź miała długość jednej zapałki?

Wszystkie krawędzie mogą być równej długości w ostrosłupach, których krawędź będzie krótsza od połowy przekątnej. -> takie ostrosłupy to ostrosłup prawidłowy: trójkątny, czworokątny i pięciokątny.

Odp.: Z zapałek możemy zbudować ostrosłup prawidłowy: trójkątny, czworokątny i pięciokątny.

Zadanie 5.

Krawędź boczna ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ma 14 cm, a przekątna podstawy ma 12cm. Oblicz wysokość tego ostrosłupa.

Obliczam wysokość z pitagorasa:

$$ {14}^2-{(1/2×12)}^2=H^2 $$

$$ 196-36=H^2 $$

$$ H=√160=4√10 cm $$

Odp.: Wysokość tego ostrosłupa ma długość $$4√10$$ cm.

Zadanie 6.

Ścianami bocznymi ostrosłupa prawidłowego czworokątnego są trójkąty o bokach długości 20cm, 120cm i 120cm. Oblicz sumę długości jego krawędzi.

a -> 20 cm, ponieważ boki o długości 120cm i 120cm muszą być krawędziami bocznymi, ponieważ mają jednakową długość.

Suma krawędzi: $$20×4+120×4=80+480=560$$ cm

Odp.: Suma długości krawędzi tego ostrosłupa wynosi 560 cm.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Uporządkuj liczby...

Zauważmy, że:

 

 {premium}

 

 

 

 

Uporządkujmy liczby rosnąco:

 

Zapisz za pomocą czterech znaków ...

Za pomocą 4 znaków rzymskich chcemy zapisać najmniejszą możliwą liczbę. 

Aby znaleźć taką liczbę musimy możliwie najwięcej razy użyć znaków{premium} I i V, gdyż mają one najmniejszą wartość w systemie rzymskim. 

Taka liczba to: VIII

 

Za pomocą 4 znaków rzymskich chcemy zapisać największą możliwą liczbę. 

Aby znaleźć taką liczbę musimy możliwie najwięcej razy użyć znaków M i D, gdyż mają one największą wartość w systemie rzymskim. 

Taka liczba to: MMMD

Wykonaj...

Korzystamy z wzoru:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 {premium}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Przedstaw...

 

 

 

 {premium}

 

 

 


 

 

 

 

 

 

 

 

 

10% powierzchni...

Obliczamy  z powierzchni :

 

 

 {premium}

 

 

 

 

Odpowiedź:

 

 

 

Cena płaszcza wynosiła x zł, a kurtki y zł ( x>y). Płaszcz staniał

Cena płaszcza: x

Cena płaszcza po obniżce:

{premium}

Cena kurtki: y

Cena kurtki po obniżce:

 

 

Obliczmy różnicę nowych cen:

 

Odp. C

W czworokącie ABCD boki DA i AB są równej długości ...

Rysunek pomocniczy:

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.

Z treści zadania wiadomo, że |AD|=|AB|=b, |BC|=|CD|=a. {premium}

 

Rozpatrzmy trójkąt ACD i trójkąt ABC.

|AB|=|AD|

|BC|=|CD| 

|AC|=|AC|

|CK|=|BC| 

Zauważmy, że są to trójkąty przystające na mocy cechy BBB. 

Wobec tego pozostałe boki i kąty również są takie same.

Zatem  .

Kąty przy wierzchołkach B i D są równe, co należało pokazać.

Które figury są przystające do F?

Figury przystające mają taki sam kształt i taką samą wielkość (można je na siebie nałożyć). 

Zauważmy, że:

- figura I jest przystająca do figury  {premium}

- figura II jest przystająca do figury

- figura III jest przystająca do figury

- figura IV jest przystająca do figury


Odp.: Wszystkie figury są przystające do figury F.

Szklane naczynie w kształcie prostopadłościanu ...

Ścianą o największej powierzchni jest ta o wymiarach .

podglad pliku{premium}

Obliczamy objętość wody.

 


Ścianą o najmniejszej powierzchni jest ta o wymiarach .

Objętość wody nie zmieni się po postawieniu naczynia na innej ścianie.

Obliczamy do jakiej wysokości woda sięgała - wysokość tę oznaczamy przez .

 

 

 

 

podglad pliku


Odpowiedź: C

Obwód koła o średnicy 60 cm...

Początkowo średnica koła wynosiła , czyli jego promień wynosił:

  

Wówczas obwód tego koła wynosi:

 

Obwód tego koła zwiększamy {premium}o , czyli:

 

 

 

Wówczas promień koła o zwiększonym obwodzie będzie wynosił:

 

 

 

 

Odpowiedź: