Zgoda na przetwarzanie danych osobowych

25 maja 2018 roku zacznie obowiązywać Rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady (UE) 2016/679 z dnia 27 kwietnia 2016 r. znane jako RODO.

Dlatego aby dalej móc dostarczać Ci materiały odpowiednie do Twojego etapu edukacji, potrzebujemy zgody na lepsze dopasowanie treści do Twojego zachowania. Dzięki temu możemy zapamiętywać jakie materiały są Ci potrzebne. Dbamy o Twoją prywatność, więc nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień. Twoje dane są u nas bezpieczne, a zgodę na ich zbieranie możesz wycofać na podstronie polityka prywatności.

Klikając "Przejdź do Odrabiamy", zgadzasz się na wskazane powyżej działania. W przeciwnym wypadku, nie jesteśmy w stanie zrealizować usługi kompleksowo i prosimy o opuszczenie strony.

Polityka prywatności

Drogi Użytkowniku w każdej chwili masz prawo cofnąć zgodę na przetwarzanie Twoich danych osobowych. Cofnięcie zgody nie będzie wpływać na zgodność z prawem przetwarzania, którego dokonano na podstawie wyrażonej przez Ciebie zgody przed jej wycofaniem. Po cofnięciu zgody wszystkie twoje dane zostaną usunięte z serwisu. Udzielenie zgody możesz modyfikować w zakładce 'Informacja o danych osobowych'

Ostrosłupy - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Ostrosłup

Ostrosłup to bryła (figura przestrzenna), której:

  • podstawą jest dowolny wielokąt; 
     

Ściany boczne są trójkątami o wspólnym wierzchołku, który nosi nazwę wierzchołka ostrosłupa. 


 

Ostrosłup, tak jak graniastosłup, przyjmuje swoją nazwę od wielokąta, który jest jego podstawą.

Wysokość ostrosłupa (H) to odcinek łączący wierzchołek ostrosłupa z płaszczyzną podstawy i do niej prostopadły. 

Punkt wspólny wysokości i płaszczyzny podstawy to spodek wysokości


Ostrosłup prawidłowy
to taki ostrosłup, którego podstawą jest wielokąt foremny, a krawędzie boczne mają jednakową długość.

Ściany boczne ostrosłupa prawidłowego są przystającymi trójkątami równoramiennymi.


Ostrosłup trójkątny nazywamy czworościanem

Ostrosłup, którego wszystkie ściany są trójkątami równobocznymi nazywamy czworościanem foremnym.

prawidlowy

Ciekawostka

Piramida Cheopsa jest największym na świecie ostrosłupem prawidłowym czworokątnym. Ma 146 m wysokości, a krawędź jej podstawy ma długość 230 m. Na zbudowanie tej piramidy zużyto 2 300 000 bloków granitowych o ciężarze od 2,5 t do 15 t. Gdyby z tego materiału zbudować mur o wysokości 3 m i grubości 25 cm to opasałby on całą Polskę.

Siatka ostrosłupa

Siatka ostrosłupa to przedstawienie na płaszczyźnie wszystkich jego ścian. 



Siatka graniastosłupa składa się z podstawy i wszystkich ścian bocznych.

Pole powierzchni ostrosłupa

Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa jest sumą pola jego podstawy i pola powierzchni bocznej.

Pole powierzchni bocznej ostrosłupa to suma pól ścian bocznych.

 

`P_c=P_p+P_b` 

`P_c \ \ ->`   pole powierzchni całkowitej 

`P_p \ \ ->`   pole podstawy 

`P_b \ \ ->`   pole powierzchni bocznej 

Objętość ostrosłupa

Objętość ostrosłupa liczy się bardzo podobnie jak objętość graniastosłupa.

Objętość ostrosłupa jest 3 razy mniejsza od objętości graniastosłupa o takiej samej podstawie i wysokości. 

objetoscostroslupa


`V=1/3P_p*H` 


`V\ \ ->`    objętość ostrosłupa

`P_p \ \ ->`    pole podstawy

`H \ \ ->`    długość wysokości

Odcinki w ostrosłupach

W ostrosłupie rozróżniamy 4 różne odcinki:

  • wysokość podstawy

  • przekątną podstawy  

  • wysokość ściany bocznej

  • wysokość ostrosłupa 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Ile krawędzi, ścian i wierzchołków ma ostrosłup, którego podstawa jest trójkątem prostokątnym?

krawędzie: 6

ściany: 4

wierzchołki: 4
 

Zadanie 2.

Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o wysokości 12dm i krawędzi podstawy 4dm.

$$V= 1/3 P_p×H$$

$$V=1/3×16×12=64 dm^3$$

Odp.: Objętość tego ostrosłupa wynosi 64 $$dm^3$$.

Zadanie 3.

Podstawą ostrosłupa prawidłowego jest kwadrat o boku długości 0,5m, a jego objętość jest równa $$1 m^3$$. Czy ostrosłup ten zmieści się w sali o wymiarach: $$6 m×5 m×3 m$$ ?

$$ V= 1/3 P_p×H $$

$$ 1= 1/3×1/4×H $$

$$ H=12 m $$

Odp.: Ten ostrosłup nie zmieści się do sali o podanych wymiarach, ponieważ jego wysokość jest większa od przekątnej sali, równej $$√{70}$$ m < 12m, czyli nie wejdzie do sali nawet na ukos.

Zadanie 4.

Jakie ostrosłupy można zbudować z zapałek tak, by każda krawędź miała długość jednej zapałki?

Wszystkie krawędzie mogą być równej długości w ostrosłupach, których krawędź będzie krótsza od połowy przekątnej. -> takie ostrosłupy to ostrosłup prawidłowy: trójkątny, czworokątny i pięciokątny.

Odp.: Z zapałek możemy zbudować ostrosłup prawidłowy: trójkątny, czworokątny i pięciokątny.

Zadanie 5.

Krawędź boczna ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ma 14 cm, a przekątna podstawy ma 12cm. Oblicz wysokość tego ostrosłupa.

Obliczam wysokość z pitagorasa:

$$ {14}^2-{(1/2×12)}^2=H^2 $$

$$ 196-36=H^2 $$

$$ H=√160=4√10 cm $$

Odp.: Wysokość tego ostrosłupa ma długość $$4√10$$ cm.

Zadanie 6.

Ścianami bocznymi ostrosłupa prawidłowego czworokątnego są trójkąty o bokach długości 20cm, 120cm i 120cm. Oblicz sumę długości jego krawędzi.

a -> 20 cm, ponieważ boki o długości 120cm i 120cm muszą być krawędziami bocznymi, ponieważ mają jednakową długość.

Suma krawędzi: $$20×4+120×4=80+480=560$$ cm

Odp.: Suma długości krawędzi tego ostrosłupa wynosi 560 cm.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Na wykresie przedstawiono, jak zmieniała się liczba ludności świata od 1800 r...

Z wykresu wynika, że:

a) 1 mld

{premium}

b) 2000 roku

c) ok 125 lat (od 1800 r. do ok 1925 r.)

d) 1960 -2020

Rozwiąż poniższe zadania. a) Za 0,45 kg bananów

`a) \ \ (0,45)/(2,10)=x/(9,10)`

`0,45*9,1=2,1x`

`4,095=2,1x \ \ \ \ |:2,1`

`x=1,95`

Odpowiedź: Za 9,10 zł można kupić 1,95 kg bananów.

{premium}

`b) \ \ (0,35)/(1,40)=(2,3)/x`

`0,35*x=1,40*2,3`

`0,35x=3,22 \ \ \ \ \ |:0,35`

`x=9,2`

Odpowiedź: 2,3 kg kiwi kosztuje 9,2 zł

`c) \ \ \ (0,6)/(3,30)=(1,5)/x`

Masa (kg) 0,6 1,5
Kwota (zł) 3,30 x

 `6/33=(1,5)/x`

`6*x=33*1,5`

`6x=49,5 \ \ \ |:6`

`x=8,25`

 Odpowiedź: 1,5 kg grejpfrutów koszstuje 8,25 zł.

`d) \ \ \ (1,3)/(5,85)=(0,7)/x`

Masa (kg) 1,3 0,7
Kwota (zł) 5,85 x

 

`1,3x=5,85*0,7`

`1,3x=4,095 \ \ \ \ \ |:1,3`

`x=3,15`

Odpowiedź: 0,7 kg pomaraczy kosztuje 3,15 zł.

Wszystkie trójkąty ostrokątne widoczne na poniższych

a) Odcinek CD to długość 6 pomniejszona o długość wysokości trójkąta ABC.

`h=(asqrt3)/2=(6sqrt3)/2=3sqrt2`  

`` `|CD|=ulul(6-3sqrt2)` 

{premium}

b) Odcinek CD to długość wysokości trójkąta ABC pomniejszona o 3.

`h=(8sqrt3)/2=4sqrt3` 

`|CD|=ulul(4sqrt3-3)` 

c) Obliczmy najpierw długość wysokości mniejszego trójkąta:

`h_1=(4sqrt3)/2=2sqrt3` 

Teraz obliczmy długość tej części wysokości mniejszego trójkąta, która pokrywa się z wysokością dużego trójkąta (oznaczmy ją jako DE).

`|DE|=2sqrt3-2`  

Długość odcinka CD to wysokość większego trójkąta pomniejszona o długość DE.

`h_2=(6sqrt3)/2=3sqrt3` 

`|CD|=3sqrt3-(2sqrt3-2)=3sqrt3-2sqrt3+2=ulul(sqrt3+2)` 

 

Wysokość ostrosłupa prawidłowego ...

Rozpatrujemy ostrosłup prawidłowy trójkątny - w podstawie znajduje się trójkąt równoboczny.

 

Obliczenia - Sposób 1.

Trójkąt równoboczny ma krawędź długości 6.

Obliczamy wysokość trójkąta równobocznego korzystając ze wzoru:

`h=(asqrt3)/2`

gdzie a - długość boku trójkąta równobocznego.

Obliczamy "x":

`x=(strike6^3sqrt3)/strike2^1=3sqrt3`

Spodek wysokości ostrosłupa prawidłowego trójkątnego, dzieli wysokość podstawy w stosunku 2:1.

Odcinek "y" stanowi więc 2/3 wysokości podstawy, czyli 2/3 odcinka "x". {premium}

`y=2/3x=2/strike3^1*strike3^1sqrt3=2sqrt3`

Aby obliczyć wysokość ostrosłupa "h" skorzystamy z tw. Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego, którego przyprostokątne mają długość "y" oraz "h", a przeciwprostokątna ma 10.

`h^2+y^2=10^2`

`h^2+(2sqrt3)^2=10^2`

`h^2+12=100`

`h^2=88`

`h=sqrt88=sqrt(4*22)=2sqrt22`

`ul(ul(\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ))`

Obliczenia - Sposób 2.

Trójkąt równoboczny ma krawędź długości 6.

Obliczamy wysokość trójkąta równobocznego, czyli "x":

`x=(strike6^3sqrt3)/strike2^1=3sqrt3`

Spodek wysokości ostrosłupa prawidłowego trójkątnego, dzieli wysokość podstawy w stosunku 2:1.

Odcinek "z" stanowi więc 1/3 wysokości podstawy, czyli 1/3 odcinka "x".

`z=1/3x=1/strike3^1*strike3^1sqrt3=sqrt3`

Odcinek "a" jest połową krawędzi podstawy, stąd:

`a=3`

Chcemy obliczyć pierwiastek długości wysokości ściany bocznej, czyli "b2". Kwadrat odcinka "b" będzie potrzebny w dalszej częsci zadania.

Aby obliczyć b2 korzystamy z tw. Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego, którego przyprostokątne mają długość "a" oraz "b", a przeciwprostokątna ma 10.

`a^2+b^2=10^2`

`3^2+b^2=10^2`

`9+b^2=100`

`b^2=91`

Obliczamy długość wysokości ostrosłupa "h" korzystając z trójkąta prostokątnego, którego przyprostokątne mają długość "z" oraz "h", a przeciwprostokątna ma długość "b".

`h^2+z^2=b^2`

`h^2+(sqrt3)^2=91`

`h^2+3=91`

`h^2=88`

`h=sqrt88=sqrt(4*22)=2sqrt22`

Na podstawie informacji przedstawionych...

a)

W 1995 roku: `45/5673*100%~~0,79%` {premium}

W 2015 roku: `3186/7349*100%~~43,35%` 

Odp. W 1995 roku z internetu korzystało ok. 0,8% żyjących ludzi, a w 2015 roku ok. 43%.


b)

Liczba użytkowników internetu wzrosła o: 

`(3186-45)/45*100%=3141/45*100%=69,8*100%=6980%` 

Ludność świata wzrosła o:

`(7349-5673)/5673*100%=1676/5673*100%~~0,30*100%~~30%` 


c)

`19%*3186=19/100*3186=0,19*3186=605,34~~605` 

Odp. W 2015 roku w Europie żyło około 605 milionów użytkowników internetu.

Zapisz zestaw dwudziestu losowo wybranych...

Zestaw dwudziestu losowo wybranych liczb:

`12, 15, 21, 28, 36, 39, 41, 44, 48, 51, 54, 59, 62, 64, 71, 76, 78, 82, 85, 89` 

 

Liczby mniejsze od dwudziestu w tym zestawie:`12, 15` 

Prawdopodobieństwo: `2/20` 

 

Liczby rozpoczynające się od cyfry 1 w tym zestawie:`12, 15` 

Prawdopodobieństwo: `2/20` 

 

Liczba zbudowana z takich samych cyfr w tym zestawie:`44` 

Prawdopodobieństwo: `1/20` 

 

Liczby o sumie cyfr równej 10 w tym zestawie:`28, 64, 82` 

Prawdopodobieństwo: `3/20` 


Wszystkie liczby dwucyfrowe:

`10, 11, 12, ..., 97, 98, 99` 

(jest ich 90) 

 

Liczby mniejsze od 20: `10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19` 

Prawdopodobieństwo: `10/90` 

 

Liczby rozpoczynające się od cyfry 1: `10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19` 

Prawdopodobieństwo: `10/90` 

 

Liczby zbudowane z takich samych cyfr: `11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99` 

Prawdopodobieństwo: `9/90`  

 

Liczby o sumie cyfr równej 10: `19, 28, 37, 46, 55, 64, 73, 82, 91` 

Prawdopodobieństwo: `9/90` 


Uzupełniamy tabelkę:

 

Losujemy liczbę

z powyższego 

zestawu

Losujemy liczbę

spośród wszystkich

liczb dwucyfrowych

Prawdopodobieństwo wybrania liczby

mniejszej od 50

`2/20`  `10/90` 

Prawdopodobieństwo wybrania liczby

rozpoczynającej się od cyfry 1

`2/20`  `10/90` 

Prawdopodobieństwo wybrania liczby 

zbudowanej z takich samych cyfr

`1/20`  `9/90` 

Prawdopodobieństwo wybrania liczby

o sumie cyfr równej 10

`3/20`  `9/90` 
a) Rury wodociągowe w starożytnym Rzymie były wykonane z nieomal czystego...

a) Wiemy, że rury były wykonane niemal  czystego ołowiu, a zanieczyszczenia stanowiły jedynie 7%

obliczmy jaki procent tego materiału stanowił czysty ołów:

`100%-7%=93%` 

Odp.: Czysty ołów stanowił 93%tego materiału.
{premium}

b) Wiemy, że:

żelazo stanowi 32% masy naszej planety

glin stanowi 1,4% masy naszej planety

Obliczmy, ile razy więcej na Ziemi jest żelaza niż glinu:

`32:1,4~~23` 

Odp.: Na Ziemi jest ok. 23 razy więcej żelaza niż glinu.

Zmieszano 350 g 15-procentowego roztworu cukru z pewną ilością...

Wiemy, że zmieszano:

350 g 15-procentowego roztworu cukru i pewną ilość 20-procentowego roztworu cukru

i otrzymano 0,5 kg roztworu

Obliczmy masę cukru w pierwszym roztworze:

`350*15%= 350*0,15=52,5 \ "[g]"` 

`52,5 \ "g"= 0,0525 \ "kg"` 
{premium}

wiemy, że po zmieszaniu roztworów powstało 0,5 kg roztworu

obliczmy masę drugiego roztworu:

`0,5-0,35= 0,15` 

Obliczmy ile cukru było w 20-procentowym roztworze:

`0,15*20%= 0,15*0,2=0,03 \ "[kg]"`

  W powstałym po zmieszaniu tych dwóch mieszanek roztworze znajduje się tyle cukru ile
w sumie znajdowało się w tych dwóch mieszankach

obliczmy, ile cukru jest w tym roztworze:

`0,0525+0,03=0,0825 \ "[kg]"` 


Odp.: W tym roztworze znajduje się 0,0825 kg cukru.




Wyrażenie...

`(25x + 5y)/5 - (-45x+9y)/9 = (5(5x+y))/5 - (9(-5x+y))/9 =` 
{premium}

`=(strike5(5x+y))/strike5 - (strike9(-5x+y))/strike9 =` 

`\ \ \  = 5x+y-(-5x+y) = 5x+y+5x-y = 10x` 

 

Odp.: A. 

Wykonaj działania...

`a)` 

`8,23 +3,99 = 12,22` 

{premium}

`b)` 

`2,92 - 7,6 = -4,68` 

 

`c)` 

`3,8*(-0,7)=-2,66` 

 

`d)` 

`4,8:0,06= 80` 

 

`e)` 

`0,42:(-3) = -0,14` 

 

`f)` 

`-6,25:(-0,25) = 25`