Ostrosłupy - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy - Odrabiamy.pl

Ostrosłupy - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Ostrosłup

Ostrosłup to bryła (figura przestrzenna), której:

  • podstawą jest dowolny wielokąt; 
     

Ściany boczne są trójkątami o wspólnym wierzchołku, który nosi nazwę wierzchołka ostrosłupa. 


 

Ostrosłup, tak jak graniastosłup, przyjmuje swoją nazwę od wielokąta, który jest jego podstawą.

Wysokość ostrosłupa (H) to odcinek łączący wierzchołek ostrosłupa z płaszczyzną podstawy i do niej prostopadły. 

Punkt wspólny wysokości i płaszczyzny podstawy to spodek wysokości


Ostrosłup prawidłowy
to taki ostrosłup, którego podstawą jest wielokąt foremny, a krawędzie boczne mają jednakową długość.

Ściany boczne ostrosłupa prawidłowego są przystającymi trójkątami równoramiennymi.


Ostrosłup trójkątny nazywamy czworościanem

Ostrosłup, którego wszystkie ściany są trójkątami równobocznymi nazywamy czworościanem foremnym.

prawidlowy

Ciekawostka

Piramida Cheopsa jest największym na świecie ostrosłupem prawidłowym czworokątnym. Ma 146 m wysokości, a krawędź jej podstawy ma długość 230 m. Na zbudowanie tej piramidy zużyto 2 300 000 bloków granitowych o ciężarze od 2,5 t do 15 t. Gdyby z tego materiału zbudować mur o wysokości 3 m i grubości 25 cm to opasałby on całą Polskę.

Siatka ostrosłupa

Siatka ostrosłupa to przedstawienie na płaszczyźnie wszystkich jego ścian. 



Siatka graniastosłupa składa się z podstawy i wszystkich ścian bocznych.

Pole powierzchni ostrosłupa

Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa jest sumą pola jego podstawy i pola powierzchni bocznej.

Pole powierzchni bocznej ostrosłupa to suma pól ścian bocznych.

 

`P_c=P_p+P_b` 

`P_c \ \ ->`   pole powierzchni całkowitej 

`P_p \ \ ->`   pole podstawy 

`P_b \ \ ->`   pole powierzchni bocznej 

Objętość ostrosłupa

Objętość ostrosłupa liczy się bardzo podobnie jak objętość graniastosłupa.

Objętość ostrosłupa jest 3 razy mniejsza od objętości graniastosłupa o takiej samej podstawie i wysokości. 

objetoscostroslupa


`V=1/3P_p*H` 


`V\ \ ->`    objętość ostrosłupa

`P_p \ \ ->`    pole podstawy

`H \ \ ->`    długość wysokości

Odcinki w ostrosłupach

W ostrosłupie rozróżniamy 4 różne odcinki:

  • wysokość podstawy

  • przekątną podstawy  

  • wysokość ściany bocznej

  • wysokość ostrosłupa 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Ile krawędzi, ścian i wierzchołków ma ostrosłup, którego podstawa jest trójkątem prostokątnym?

krawędzie: 6

ściany: 4

wierzchołki: 4
 

Zadanie 2.

Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o wysokości 12dm i krawędzi podstawy 4dm.

$V= 1/3 P_p×H$

$V=1/3×16×12=64 dm^3$

Odp.: Objętość tego ostrosłupa wynosi 64 $dm^3$.

Zadanie 3.

Podstawą ostrosłupa prawidłowego jest kwadrat o boku długości 0,5m, a jego objętość jest równa $1 m^3$. Czy ostrosłup ten zmieści się w sali o wymiarach: $6 m×5 m×3 m$ ?

$ V= 1/3 P_p×H $

$ 1= 1/3×1/4×H $

$ H=12 m $

Odp.: Ten ostrosłup nie zmieści się do sali o podanych wymiarach, ponieważ jego wysokość jest większa od przekątnej sali, równej $√{70}$ m < 12m, czyli nie wejdzie do sali nawet na ukos.

Zadanie 4.

Jakie ostrosłupy można zbudować z zapałek tak, by każda krawędź miała długość jednej zapałki?

Wszystkie krawędzie mogą być równej długości w ostrosłupach, których krawędź będzie krótsza od połowy przekątnej. -> takie ostrosłupy to ostrosłup prawidłowy: trójkątny, czworokątny i pięciokątny.

Odp.: Z zapałek możemy zbudować ostrosłup prawidłowy: trójkątny, czworokątny i pięciokątny.

Zadanie 5.

Krawędź boczna ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ma 14 cm, a przekątna podstawy ma 12cm. Oblicz wysokość tego ostrosłupa.

Obliczam wysokość z pitagorasa:

$ {14}^2-{(1/2×12)}^2=H^2 $

$ 196-36=H^2 $

$ H=√160=4√10 cm $

Odp.: Wysokość tego ostrosłupa ma długość $4√10$ cm.

Zadanie 6.

Ścianami bocznymi ostrosłupa prawidłowego czworokątnego są trójkąty o bokach długości 20cm, 120cm i 120cm. Oblicz sumę długości jego krawędzi.

a -> 20 cm, ponieważ boki o długości 120cm i 120cm muszą być krawędziami bocznymi, ponieważ mają jednakową długość.

Suma krawędzi: $20×4+120×4=80+480=560$ cm

Odp.: Suma długości krawędzi tego ostrosłupa wynosi 560 cm.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Wstaw znak < lub >:

Kilka przydatnych obserwacji:

1) przy podnoszeniu liczby ujemnej do potęgi parzystej minus znika, więc wynik jest dodatni,

a przy podnoszeniu do potęgi nieparzystej wynik jest ujemny

(np.   , ale   )

2) {premium} podnoszenie liczby mniejszej od 1 do coraz większych potęg sprawia, że wynik jest coraz mniejszy

(np.   ,   ,   )

3) podnoszenie liczby większej od 1 do coraz większych potęg sprawia, że wynik jest coraz większy

(np.   ,   ,  )

4) jeśli dwie różne liczby są podnoszone do takich samych potęg większych od 0, to większy wynik

uzyskamy podnosząc do potęgi większą z nich (np.   , więc   )

 

 

 

 

 

 

 

 

Udowodnij, że przekątne rombu dzielą jego...

Wiemy, że każdy romb:

jest równoległobokiem

ma wszystkie boki równej długości

jego przekątne przecinają się pod kątem prostymi i dzielą się na połowy


wykonajmy rysunek pomocniczy:{premium}




każdy romb jest równoległobokiem zatem:

 

 



trójkąty DBC i DAB i ADC oraz ABC są równoramienne zatem:

 

 

 

 

zatem przekątne rombu dzielą go na 4 takie same trójkąty prostokątne, zatem

dzielą jego kąty na połowy co należało dowieść

Rozwiąż równanie.

 

 

 
{premium}
 

 

 

 


 

 

 

 

 

 

 

Ile wierzchołków ma ostrosłup...

Ostrosłup ma pięć ścian. Jedną ze ścian ostrosłupa jest podstawa, czyli {premium}pozostałe cztery to ściany boczne. Z tego wynika, że podstawą ostrosłupa jest czworokąt. Wówczas w ostrosłupie będzie jeden wierzchołek ostrosłupa oraz cztery wierzchołki przy podstawie tego ostrosłupa. Z tego wynika, że ostrosłup o pięciu ścianach ma pięć wierzchołków.

 

Odpowiedź:  

Bez wykonywania obliczeń odpowiedz...

a) Ta średnia jest większa od liczby 9 ponieważ

 oraz 10 ma "większą wagę" niż 8

sprawdzenie:

{premium}
 

b) Ta średnia jest mniejsza od liczby 8 ponieważ

 oraz 7 ma "mniejszą wagę" niż 9

sprawdzenie:

 

Na diagramach przedstawiono liczby poszczególnych ocen wystawionych...

Z diagramów wynika, że:

-ocen dopuszczających w klasach siódmych było 14{premium}

-ocen dopuszczających w klasach ósmych było 10

-ocen celujących w klasach siódmych było 12

-ocen celujących w klasach ósmych było 8


zatem:

pierwsze zdanie jest fałszywe

drugie
zdanie jest prawdziwe

W wiadrze i w konewce było razem 15 litrów ...

x - ilość litrów w wiadrze przed zmianą 

15-x - ilość litrów w konewce przed zmianą (ponieważ w wiadrze i konewce było łącznie 15 litrów) {premium}

 

x-4 - ilość litrów w wiadrze po przelaniu

15-x+4 - ilość litrów w konewce po przelaniu

 

Z treści zadania wiemy, że: 

 

 

 

 

 

 

 

Ilość litrów w wiadrze na początku:  

Ilość litrów w konewce na początku:  

 

Odp. Na początku w wiadrze było 14 litrów, a w konewce 1 litr.

Pan Jerzy codziennie wychodzi...

Zauważmy, że pan Jerzy codziennie odwiedza 4 miejsca, ale za każdym razem stara się wybierać inną trasę.

Pierwszy swój cel pan Jerzy może obrać na: 4 sposoby  {premium}

Drugi swój cel pan Jerzy może obrać na: 3 sposoby

Trzeci swój cel pan Jerzy może obrać na: 2 sposoby

Czwarty swój cel pan Jerzy może obrać na: 1 sposób


Obliczmy na ile sposobów pan Jerzy może zaplanować swoją trasę:

 

Miesiąc ma co najmniej 28 dni, a  24 to mniej niż 28.


Odp.: Pan Jerzy nie może zaplanować tak swoich tras, aby przez miesiąc się nie powtórzyły.

Na trzech tabliczkach umieszczono cyfry...

a) Aby utworzona liczba była większa od 500 cyfra setek może być równa 8 lub 6.

zatem mamy do dyspozycji:

-2 cyfry setek

-4 cyfry dziesiątek

-3 cyfry jedności

Obliczmy ile liczb większych od 500 możemy utworzyć z tych cyfr: {premium}

 


b) Aby utworzona liczba była nieparzysta cyfra jedności może być równa 9 lub 3.

zatem mamy do dyspozycji:

-3 cyfry setek

-4 cyfry dziesiątek

-2 cyfry jedności

Obliczmy ile liczb nieparzystych możemy utworzyć z tych cyfr:

 


c) Aby utworzona liczba była podzielna przez 5 cyfra jedności musi być równa 0 (w tym zestawie nie mamy do dyspozycji cyfry 5).

zatem mamy do dyspozycji:

-3 cyfry setek

-4 cyfry dziesiątek

-1 cyfrę jedności

Obliczmy ile liczb nieparzystych możemy utworzyć z tych cyfr:

 


d) Aby liczba była podzielna przez 3 to suma jej cyfr musi być podzielna przez 3, 

zatem jeśli cyfrą setek tej liczby będzie 8 to możemy utworzyć liczby:

 
(czyli 9 liczb)


zatem jeśli cyfrą setek tej liczby będzie 2 to możemy utworzyć liczby:

 
(czyli 9 liczb)

Jeśli cyfrą setek tej liczby będzie 6 to nie utworzymy z podanych cyfr liczby podzielnej przez 3 ponieważ w tym zestawie każda z możliwych cyfr jedności dzieli się przez 3, a żadna z proponowanych cyfr dziesiątek nie dzieli się przez 3.

Obliczmy, ile liczb podzielnych przez 3 możemy utworzyć z proponowanych cyfr:

 

Uzasadnij, że ułamek ...

LICZNIK:

Określmy ile wynosi cyfra jedności liczby 312.  

   

 

 

 
{premium}

 

 

Zauważmy, że cyfra jedności kolejnych potęg liczby 3 powtarza się. 

W 1 i 5 potędze wynosi ona 3. 

W 2 i 6 potędze wynosi 9. 

W 3 i 7 potędze będzie wynosić 7. 

W 4, 8 i 12 potędze będzie więc wynosić 1. 

Cyfra jedności liczby 312 wynosi 1


Określmy ile wynosi cyfra jedności liczby 512.  

   

 

 

 

Zauważmy, że cyfra jedności kolejnych potęg liczby 5 powtarza się i wynosi 5. 

Cyfra jedności liczby 512 wynosi 5


Określmy ile wynosi cyfra jedności sumy znajdującej się w liczniku. 

 

Cyfra jedności sumy występującej w liczniku wynosi 6. Oznacza to, że licznik dzieli się przez 2

 

MIANOWNIK:

Określmy ile wynosi cyfra jedności liczby 712.  

   

 

 

 

 

Zauważmy, że cyfra jedności kolejnych potęg liczby 7 powtarza się. 

W 1 i 5 potędze wynosi ona 7. 

W 2 i 6 potędze będzie wynosić 9. 

W 3 i 7 potędze będzie wynosić 3. 

W 4, 8 i 12 potędze będzie więc wynosić 1. 

Cyfra jedności liczby 712 wynosi 1


Określmy ile wynosi cyfra jedności liczby 912.  

   

 

 

 

Zauważmy, że cyfra jedności kolejnych potęg liczby 9 powtarza się. 

Jeśli wykładnik potęgi jest liczbą parzystą, to cyfra jedności wynosi 1.

Cyfra jedności liczby 912 wynosi 1


Określmy ile wynosi cyfra jedności sumy znajdującej się w mianowniku. 

 

Cyfra jedności sumy występującej w liczniku wynosi 2. Oznacza to, że mianownik dzieli się przez 2



Licznik i mianownik ułamka dzielą się przez 2. Oznacza to, że ułamek ten można skrócić przez 2.