Ostrosłupy - 8-szkoly-podstawowej - Baza Wiedzy

Ostrosłup

Ostrosłup to bryła (figura przestrzenna), której:

  • podstawą jest dowolny wielokąt; 
     

Ściany boczne są trójkątami o wspólnym wierzchołku, który nosi nazwę wierzchołka ostrosłupa. 


 

Ostrosłup, tak jak graniastosłup, przyjmuje swoją nazwę od wielokąta, który jest jego podstawą.

Wysokość ostrosłupa (H) to odcinek łączący wierzchołek ostrosłupa z płaszczyzną podstawy i do niej prostopadły. 

Punkt wspólny wysokości i płaszczyzny podstawy to spodek wysokości


Ostrosłup prawidłowy
to taki ostrosłup, którego podstawą jest wielokąt foremny, a krawędzie boczne mają jednakową długość.

Ściany boczne ostrosłupa prawidłowego są przystającymi trójkątami równoramiennymi.


Ostrosłup trójkątny nazywamy czworościanem

Ostrosłup, którego wszystkie ściany są trójkątami równobocznymi nazywamy czworościanem foremnym.

prawidlowy

Ciekawostka

Piramida Cheopsa jest największym na świecie ostrosłupem prawidłowym czworokątnym. Ma 146 m wysokości, a krawędź jej podstawy ma długość 230 m. Na zbudowanie tej piramidy zużyto 2 300 000 bloków granitowych o ciężarze od 2,5 t do 15 t. Gdyby z tego materiału zbudować mur o wysokości 3 m i grubości 25 cm to opasałby on całą Polskę.

Siatka ostrosłupa

Siatka ostrosłupa to przedstawienie na płaszczyźnie wszystkich jego ścian. 



Siatka graniastosłupa składa się z podstawy i wszystkich ścian bocznych.

Pole powierzchni ostrosłupa

Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa jest sumą pola jego podstawy i pola powierzchni bocznej.

Pole powierzchni bocznej ostrosłupa to suma pól ścian bocznych.

 

`P_c=P_p+P_b` 

`P_c \ \ ->`   pole powierzchni całkowitej 

`P_p \ \ ->`   pole podstawy 

`P_b \ \ ->`   pole powierzchni bocznej 

Objętość ostrosłupa

Objętość ostrosłupa liczy się bardzo podobnie jak objętość graniastosłupa.

Objętość ostrosłupa jest 3 razy mniejsza od objętości graniastosłupa o takiej samej podstawie i wysokości. 

objetoscostroslupa


`V=1/3P_p*H` 


`V\ \ ->`    objętość ostrosłupa

`P_p \ \ ->`    pole podstawy

`H \ \ ->`    długość wysokości

Odcinki w ostrosłupach

W ostrosłupie rozróżniamy 4 różne odcinki:

  • wysokość podstawy

  • przekątną podstawy  

  • wysokość ściany bocznej

  • wysokość ostrosłupa 

Zadania powtórzeniowe

Zadanie 1.

Ile krawędzi, ścian i wierzchołków ma ostrosłup, którego podstawa jest trójkątem prostokątnym?

krawędzie: 6

ściany: 4

wierzchołki: 4
 

Zadanie 2.

Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o wysokości 12dm i krawędzi podstawy 4dm.

$$V= 1/3 P_p×H$$

$$V=1/3×16×12=64 dm^3$$

Odp.: Objętość tego ostrosłupa wynosi 64 $$dm^3$$.

Zadanie 3.

Podstawą ostrosłupa prawidłowego jest kwadrat o boku długości 0,5m, a jego objętość jest równa $$1 m^3$$. Czy ostrosłup ten zmieści się w sali o wymiarach: $$6 m×5 m×3 m$$ ?

$$ V= 1/3 P_p×H $$

$$ 1= 1/3×1/4×H $$

$$ H=12 m $$

Odp.: Ten ostrosłup nie zmieści się do sali o podanych wymiarach, ponieważ jego wysokość jest większa od przekątnej sali, równej $$√{70}$$ m < 12m, czyli nie wejdzie do sali nawet na ukos.

Zadanie 4.

Jakie ostrosłupy można zbudować z zapałek tak, by każda krawędź miała długość jednej zapałki?

Wszystkie krawędzie mogą być równej długości w ostrosłupach, których krawędź będzie krótsza od połowy przekątnej. -> takie ostrosłupy to ostrosłup prawidłowy: trójkątny, czworokątny i pięciokątny.

Odp.: Z zapałek możemy zbudować ostrosłup prawidłowy: trójkątny, czworokątny i pięciokątny.

Zadanie 5.

Krawędź boczna ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ma 14 cm, a przekątna podstawy ma 12cm. Oblicz wysokość tego ostrosłupa.

Obliczam wysokość z pitagorasa:

$$ {14}^2-{(1/2×12)}^2=H^2 $$

$$ 196-36=H^2 $$

$$ H=√160=4√10 cm $$

Odp.: Wysokość tego ostrosłupa ma długość $$4√10$$ cm.

Zadanie 6.

Ścianami bocznymi ostrosłupa prawidłowego czworokątnego są trójkąty o bokach długości 20cm, 120cm i 120cm. Oblicz sumę długości jego krawędzi.

a -> 20 cm, ponieważ boki o długości 120cm i 120cm muszą być krawędziami bocznymi, ponieważ mają jednakową długość.

Suma krawędzi: $$20×4+120×4=80+480=560$$ cm

Odp.: Suma długości krawędzi tego ostrosłupa wynosi 560 cm.

Spis treści

Rozwiązane zadania
Dźwięk rozchodzi się w powietrzu ...

Prędkość rozchodzenia się dźwięku wynosi 330 m/s. 

Oznacza to, że w ciągu 1 s dźwięk pokonuje drogę długości 330 m. {premium}


Chcemy obliczyć po jakim czasie dźwięk pokona drogę długości 220 m (dźwięk biegnie od Hani do ściany drzew i z powrotem). 

Możemy więc zapisać: 

 

 


Możemy zapisać równanie: 


Odpowiedź: Hania usłyszy echo po
  sekundy. 

     

Krawędź boczna ostrosłupa prawidłowego...

Rysunek pomocniczy:



Obliczmy pole  powierzchni arkusza papieru o wymiarach 16 cm x 20 cm:

{premium}

 


Obliczmy pole powierzchni ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o wymiarach

podanych w treści zadania:

korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczmy wysokość ściany bocznej
tego ostrosłupa:

 

 

 

 

 

zatem:

 


Odp.: Arkusz papieru o podanych wymiarach nie wystarczy na oklejenie tego ostrosłupa.

Tomek biega codziennie. Od poniedziałku ...

Tomek od poniedziałku do niedzieli (czyli przez 7 dni) przebiegł kolejno:

 

Obliczamy średnią liczbę kilometrów pokonywaną dziennie przez Tomka:

  
{premium}


Wyznaczamy medinę:

- porzadkujemy dane od najmniejszej do największej:

   

- jest nieparzysta liczba danych więc medianą jest wartość znajdująca się na środku (na czwartym miejscu):

 

 

Odp.: Średnia liczba kilometrów pokonywanych dziennie przez Tomka jest mniejsza niż mediana.

Oblicz pole równoległoboku...

Dane:

Długość boku równoległoboku:  

Wysokość opuszczona na ten bok:  

Szukane:

Pole równoległoboku:  

Rozwiązanie:

Pole równoległoboku obliczamy ze wzoru:

 

Z tego wynika, że:

 {premium}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Odp.: Pole równoległoboku wynosi  

Oblicz wartość wyrażenia ...

{premium}

 

 

Uzasadnij, że w trójkącie równoramiennym ostrokątnym:...

a) Wiemy, że w trójkącie równoramienny co najmniej dwa boki mają taką samą długość 

oraz co najmniej dwa kąty mają takie same miary

rysunek pomocniczy:



Trójkąt  ABC jest równoramienny, zatem {premium}

 

oraz

 

W każdym trójkącie suma miar kątów wewnętrznych wynosi  

zatem 

 

więc korzystając z cechy przystawania kąt-bok-kąt możemy stwierdzić, że trójkąty

DAB i EBA są przystające 

zatem

 

co należało dowieźć



b) rysunek pomocniczy:



Wiemy, że środkowa dzieli bok na dwie równe części zatem:

 

Trójkąt ABC jest równoramienny, zatem:

 

trójkąty AEB i BDA są przystające na mocy cechy przystawania trójkątów 

bok-kąt-bok

zatem: EB=AD=g=f   co należało dowieźć

Dwóm grupom osób dano do wyboru krówki o czterech smakach: śmietankowe, kakaowe, sezamowe...

prawdopodobieństwo, że wynik spełni podany warunek obliczamy korzystając  z wzoru:

 

 - prawdopodobieństwo, że wynik spełni podany warunek

 - liczba wyników spełniających podany warunek

 - liczba wszystkich możliwych wyników 

a) Obliczmy prawdopodobieństwo zdarzenia, że w I grupie trafimy na osobę,
która wybrała krówkę śmietankową:

 

 

 
{premium}
Obliczmy prawdopodobieństwo zdarzenia, że w II grupie trafimy na osobę,
która wybrała krówkę śmietankową:

 

 

 


 

Odp.: Prawdopodobieństwo zdarzenia, że trafimy na osobę, która wybrała krówkę śmietankową
jest większe w I grupie.


b) Obliczmy prawdopodobieństwo zdarzenia, że w I grupie trafimy na osobę,
która wybrała krówkę kakaową:

 

 

 

Obliczmy prawdopodobieństwo zdarzenia, że w II grupie trafimy na osobę,
która wybrała krówkę kakaową:

 

 

 


 

 

zatem:

 

Odp.: Prawdopodobieństwo zdarzenia, że trafimy na osobę, która wybrała krówkę śmietankową
jest większe w I grupie.


c) Obliczmy prawdopodobieństwo zdarzenia, że w I grupie trafimy na osobę,
która wybrała krówkę sezamową:

 

 

 

Obliczmy prawdopodobieństwo zdarzenia, że w II grupie trafimy na osobę,
która wybrała krówkę sezamową:

 

 

 

obliczmy ile razy prawdopodobieństwo trafienia na osobę, która wybrała krówkę sezamową
jest wyższe w grupie 2 niż w grupie 1:

 


Odp.: Prawdopodobieństwo trafienia na osobę, która wybrała krówkę sezamową
jest 3 razy wyższe w grupie 2 niż w grupie 1.


d) Obliczmy prawdopodobieństwo zdarzenia, że w I grupie trafimy na osobę,
która wybrała krówkę makową:

 

 

 

Obliczmy prawdopodobieństwo zdarzenia, że w II grupie trafimy na osobę,
która wybrała krówkę kakaową:

 

 

 

Obliczmy prawdopodobieństwo zdarzenia, że w grupie powstałej  przez połączenie
obu grup trafimy na osobę, która wybrała krówkę kakaową:

 

 

 

Odp.: Prawdopodobieństwo zdarzenia, że w grupie I trafimy na osobę,
która wybrała krówkę makową wynosi `1/5`,  w grupie II  `1/6`, 
a w grupie powstałej z tych obu grup `9/50`.

Średnie miesięczne wynagrodzenie w pewnej firmie zatrudniającej 29 pracowników...

Wiemy, że:

-średnie miesięczne wynagrodzenie w pewnej firmie zatrudniającej 29 pracowników wynosiło 4500 zł

-po zatrudnieniu nowego pracownika średnie miesięczne wynagrodzenie zmalało o 50 zł


Obliczmy sumę pensji 29 pracowników tej firmy (przed zatrudnieniem nowego pracownika)

  -suma pensji 29 pracowników  {premium}


 

 

Wiemy, że po zatrudnieniu kolejnego 30-stego pracownika średnie wynagrodzenie zmalało o 50 zł

  -wynagrodzenie 30-stego pracownika

 

 

 

 


Odp.: Nowo zatrudniony pracownik zarabia 3000 zł.

Za pomocą cyrkla i linijki i kątomierza narysuj:...

a) Dzielimy kąt pełny na 12 części:

 

Rysujemy okrąg i za pomocą kątomierza zaznaczamy kąt środkowy o mierze :{premium}

 
Kąt ten wyznacza na okręgu łuk ustawiamy rozwartość cyrkla równą długości odcinka BC

Cyrklem odkładamy na okręgu kolejne łuki


Łączymy kolejne punkty przecięcia łuków i okręgu:


b) Dzielimy kąt pełny na 20 części:

 

Rysujemy okrąg i za pomocą kątomierza zaznaczamy kąt środkowy o mierze :



Kąt ten wyznacza na okręgu łuk ustawiamy rozwartość cyrkla równą długości odcinka BC

Cyrklem odkładamy na okręgu kolejne łuki



Łączymy kolejne punkty przecięcia łuków i okręgu:




Ile jest na rysunku: ...

a)

Małych trójkątów jest 9. {premium}

Są 3 średnie trójkąty (składające się z czterech małych trójkątów).

Jest 1 duży trójkąt (składający się ze wszystkich małych trójkątów).

 

Łączna ilość trójkątów na rysunku: 9+3+1=13.


b)

Małych kwadratów jest 9.

Są 4 średnie kwadraty (składające się z czterech małych kwadratów).

Jest 1 duży kwadrat.

 

Łączna ilość kwadratów na rysunku: 9+4+1=14.